ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

LES FONDEMENTS
DE LA GEOMETRIE
JACQUELINE
LELONG-FERRAND
Presses Universitaires
de France

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
ВВОДНЫЕ КУРСЫ
Ж.ЛЕЛОН-ФЕРРАН
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
Перевод с французского
В. В. РЫЖКОВА
МОСКВА «МИР» 1989

ББК 22.151.1
Л43
УДК 514
Лелон-Ферран Ж-
Л43 Основания геометрии: Пер. с франц.— М.«
Мир, 1989. —312 с.
ISBN 5-03-001008-4
Монография учебного характера, написанная француз-
французским математиком на основе университетского курса лек-
лекций. Книга примыкает по тематике к известному двухтом-
двухтомнику М. Берже «Геометрия» (М.: Мир, 1984), но отличается
от него простотой и доступностью. Изложение начинается
с основных понятий и доводится до весьма общих и глубо-
глубоких теорем геометрии. Приведено более 100 упражнений
для самостоятельного решения.
Для математиков разной квалификации, преподавате-
преподавателей, аспирантов и студентов университетов и пединститу-
пединститутов, учителей и школьников старших классов.
¦
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001008-4 (русск.) © Presses Universitaires de Fran-
ISBN 2-13-038851-5 (франц.) ^ се> *985
© перевод #& русский язык,
с авторскими исправлениями,
«Мир», 198&

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Предлагаемая вниманию советского читателя кни-
книга известного французского математика Жаклин Ле-
лон-Ферран представляет собой руководство, рассчи-
рассчитанное, в «пересчете» на нашу систему образования,
на студентов не ранее чем с третьего — четвертого се-
семестра обучения. Она также может быть полезна ас-
аспирантам и преподавателям математики в средней
школе и педагогическом институте.
Структурно материал книги можно подразделить
на три части. Первая из них (гл. I) представляет со-
собой детальное изложение теории действительных чи-
чисел, основанное на их представлении бесконечными
десятичными дробями. Вторая (гл. II—V) содержит
систематическое изложение теории векторных, аффин-
аффинных и проективных пространств над произвольным те-
телом, а также элементов геометрической алгебры (ак-
(аксиоматическая «реконструкция» аффинной и проектив-
проективной геометрии в гл. V). Наконец, третья часть (гл. VI)
посвящена основаниям геометрии в традиционном
смысле: построению абсолютной геометрии исходя из
понятия метрической плоскости; геометрия Лобачев-
Лобачевского развита в модели Пуанкаре. Каждая из назван-
названных частей в достаточной мере независима от других.
От читателя требуется знание основ линейной алгеб-
алгебры и аналитической геометрии (в коммутативном слу-
случае), а также начальных сведений о группах.
Естественное стремление переводчика сохранить
привлекательные черты стиля оригинала наталкива-
наталкивалось на трудности, вызванные в основном различиями
в русской и французской математической терминоло-
терминологии. В ряде случаев по этому поводу даны пояснения
в примечаниях.
Значительную помощь в работе над переводом кни-
книги оказали уточнения и исправления, присланные ав-
автором для русског# издания книги; переводчик счи-
считает своим приятным долгом выразить г-же Лелон-
Ферран свою искреннюю благодарность.
В. В. Рыжков

ПРЕДИСЛОВИЕ
Находящаяся в течение ряда лет в опале, Геомет-
Геометрия снова входит в честь, обогащенная точностью ле-
лежащих в ее основе алгебраических структур. Этому
обновлению способствовали многие сочинения и среди
них замечательная «Геометрия» Марселя Берже; в ря-
ряде университетов введено преподавание геометриче-
геометрической алгебры для будущих учителей. В то же время
аксиоматические основания геометрии, не считая ев-
евклидовой, во Франции все еще находятся в пренебре-
пренебрежении, тогда как в англоязычных и немецкоязычных
странах они являются предметом многочисленных ис-
исследований и публикаций; немногие изданные у нас
переводы не кажутся легким чтением. Как нам ду-
думается, здесь образовался пробел, который и должна
заполнить эта книга, возникшая на основе курса, чи-
читанного в Университете Пьера и Марии Кюри с 1978
по 1981 г. При подготовке ее к изданию нашей целью
было предложить изучающим геометрию, как студен-
студентам, так и преподавателям, книгу, легкую для чтения,
в которой они могли бы найти:
— углубленные сведения об основных структурах,
раскрывающие наименее известные их аспекты
(теория размерности, дуальность);
— прочную основу для различных геометрий, опираю-
опирающуюся на аксиомы, наглядно отраженные на чер-
чертежах;
¦— полные и прозрачные доказательства великих тео-
теорем геометрии;
— связи между различными аспектами геометрии;
— ответы на вопросы, которые ставит похвальная за-
забота об общности, например: что произойдет в слу-
случае произвольного тела или бесконечной размерно-

ПРЕДИСЛОВИЕ
сти? Какая геометрия получится, если отбросить
пятый постулат Евклида?
В целях большей ясности книга начинается с по-
построения и характеризации поля действительных чи-
чисел, используемого в дальнейшем для обоснования
обычной геометрии и неотделимого от вопроса об «из-
«измерении величин». Эта глава при первом чтении мо-
может быть опущена, и читатель может начать сразу с
глав II и III, посвященных углублению знаний о век-
векторных и аффинных структурах. Здесь мы обращаем-
обращаемся к случаю произвольного основного тела, необяза-
необязательно коммутативного, что необходимо для понима-
понимания роли теорем Дезарга и Паппа и может возбудить
у читателя новый интерес к теориям, уже ставшим
классическими.
После гл. IV, посвященной проективной геометрии,
мы показываем в гл. V, как можно воссоздать аффин-
аффинную или проективную геометрию, отправляясь от ак-
аксиом инцидентности и (в случае плоскости) аксиомы
Дезарга или Паппа. Действительная аффинная пло-
плоскость является предметом отдельного изучения с ис-
использованием результатов гл. I.
В гл. VI возобновляется традиционное построение
элементарной геометрии, облегченное предваритель-
предварительным знанием поля R и независимое от постулата Ев-
Евклида: достаточно продвинутое изучение позволяет
нам установить ряд предложений, эквивалентных этой
аксиоме (например, существование прямоугольника),
и увидеть, что произойдет, если от нее отказаться. Мы
заканчиваем обзором гиперболической неевклидовой
геометрии.
Изложение дополнено многочисленными упражне-
упражнениями, позволяющими читателю проверить на деле
приобретенные знания и поручить много интересных
результатов, для которых не нашлось места в книге.
Чтение этого сочинения потребует лишь знаком-
знакомства с алгебраическими понятиями в объеме програм-
программы первого курса университета. Мы надеемся, что
нам удалось дать достаточно подробные и простые до-
доказательства, которые не потребуют от читателя чрез-
чрезмерных усилий (но и не скроют никаких трудностей).
Мы надеемся также сделать понятными многие краси-

ПРЕДИСЛОВИЕ
вые теоремы, лежащие в основе геометрии, и прине-
принести пользу в деле подготовки преподавателей. Наша
цель будет полностью достигнута, если эта книга вы-
вызовет у читателя желание продолжить занятия и об-
обратиться к более специальным работам; для этого мы
приводим достаточно обширную библиографию, отра-
отражающую интерес к этим вопросам во многих странах.
Я хочу выразить здесь свою признательность про-
профессору Полю Деювелю и издательству «Presses Uni-
versitaires de France», взявшим на себя публикацию
этого труда в серии «Математика»; я благодарю так-
также Алину Робер и Мирей Морель за плодотворное со-
сотрудничество в деле преподавания оснований геомет-
геометрии и дружескую поддержку в деле издания этого
курса. Наконец, большую услугу нам оказал наш кол-
коллега Жан Лефевр, прочитав и исправив корректуры.
Новые издания книги выиграли благодаря замеча-
замечаниям наших читателей, и в особенности Ги Хирша и
Леонса Лезье; я им весьма признательна.

Глава I
ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ВВЕДЕНИЕ
Этимологически, геометрия есть наука об измере-
измерениях на поверхности земли; проистекая из размышле-
размышлений землемеров, она неотделима от понятия числа.
Означает ли это, как мы часто слышим, что метриче-
метрическую геометрию можно надлежащим образом изучать,
лишь овладев в совершенстве понятием действитель-
действительного числа? Иными словами: должно ли изучению
геометрии предшествовать строгое построение поля
действительных чисел? На это можно ответить про-
просто: да, если речь идет об учителе; нет, если речь идет
об учащемся. Для того чтобы приступить к изучению
евклидовой геометрии, достаточно не слишком опре-
определенного представления о числе: свойства чисел, ко-
которые придется применять (отношение порядка,
структура поля, существование квадратных корней),
естественно вводятся по ходу изложения. Далекое от
предположения о наличии полных знаний этих свойств,
преподавание геометрии дает, напротив, серьезные мо-
мотивации для расширения представлений о числе: это
предусматривают новые программы для студентов. Од-
Однако для того, чтобы вести учеников по этому пути,
преподаватель должен знать, куда приводит такое эм-
эмпирическое изложение. Вот почему мы начинаем наш
труд с элементарного построения поля действитель-
действительных чисел и изучения его характерных свойств, нахо-
находящих приложения в геометрии.
Чтобы не отягощать изложение, мы не будем го-
говорить здесь о топологии R: она естественно вытекает
из упорядоченности; именно это, интуитивно гораздо
более ясное понятие, мы изучим подробно. Изложение
топологических свойств R можно найти в любом кур-
курсе анализа, например в [ВО2], гл. IV, где содержится
исторический очерк, и в [LF—AR], т. 2.

10 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Перелистывая разные книги по анализу, мы заме-
замечаем, что существует много способов «построить» R.
Несомненно, наиболее приемлемый из них тот, кото-
который основан на бесконечных десятичных дробях: не-
неограниченно продолжаемое действие деления и, более
общо, задача измерения величин в десятичной системе
счисления приводят к записи таких символов. Поэтому
естественно, что понятие о таком подходе дается в на-
начале обучения. Другое преимущество этой конструк-
конструкции состоит в том, что она дает аксиоматическую ха-
рактеризацию') поля действительных чисел (см.
§ 6—8), что позволяет доказать эквивалентность раз-
различных конструкций R (см. [LF2]).
Аксиомы, возникающие из задачи измерения ве-
величин, мы проанализируем далее (§ 5). А пока мы
только покажем, что эта задача приводит к записи
бесконечных десятичных дробей.
При выбранной единице измерения и мерой с точ-
точностью до единицы по недостатку величины g назы-
называется наибольшее число «содержащихся» в g единиц,
т. е. наибольшее целое число р, удовлетворяющее ус-
условию ри ^ g. Это целое ро характеризуется двойным
неравенством
(l+Po)u. A)
Ошибка, допускаемая при замене g на рои, таким
образом, меньше единицы и; для получения лучших
приближенных значений для меры g берут все мень-
меньшие и меньшие «единицы».
Применяя десятичную систему счисления, единицу
каждый раз делят на 10; при этом ип = 10~пи назы-
называется десятичной единицей п-го порядка. При этой
новой единице измерения приближенной мерой g (по
недостатку) служит единственное целое число рп, удо-
удовлетворяющее неравенствам
1) Напомним, что свойство некоторого объекта называется
характеристическим, если он является единственным объектом
с этим свойством.

1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Ц
или, что то же самое,
Десятичная дробь Dn = 10~прп называется прибли-
приближенной десятичной мерой g порядка п.
Можно отметить (доказательство дается дальше),
что переход от дроби Dn к дроби Dn+\ сводится к до-
добавлению к Dn одного нового десятичного знака. Все
десятичные дроби Dn имеют, таким образом, одну и
ту же целую часть Do = р0, и существует бесконечная
последовательность (dn)n>l целых чисел, принимаю-
принимающих значения от 0 до 9, таких, что для любого п ^ 1
Dn = D0 + 0, dxd2... dn = D0+Z Ю"Ч-
k=\
Для удобства мы примем следующее соглашение
(используемое в таблицах логарифмов):
Обозначения. Для любой системы l) (d0, db ..., dn)
целых чисел, такой, что rfo^Z и 0 ^ я^ ^ 9 при всех
&> 1, символ d0, d{d2 ... dn представляет десятичную
дробь
tfo + 0, dxd2 ... dn = do+t Ю"Ч-
ft-i
Очевидно, что каждая десятичная дробь может
быть записана в таком виде и притом единственным
образом, если наложить условие (йл=^0 либо п = 0).
Однако следует быть начеку при записи противопо-
противоположного числа: например, противоположным к 2,34 бу-
будет (—3), 66.
Теперь мы готовы дать
^ 2) Определение 1.1. Бесконечной десятичной дробью
(сокращенно БДД) называется последовательность
(*n)ft€=N относительных целых чисел, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям 0 ^Ял^Э при /i^l; такая последо-
последовательность записывается в виде х = х0, х\ ... хп ... .
1) Слово «система» употреблена в смысле «конечная после-
последовательность».
2) Этим символом помечены наиболее важные формулиров-
формулировки. — Прим. пере в.

12 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Целое хп называется десятичным знаком х п-го
порядка и обозначается dn{x)\ десятичная дробь хо%
Х\ ... хп обозначается Dn(x)\ относительное целое чис-
число хо называется целой частью х.
Например, (—2), 0...0... и (—2), 9...Э... суть БДД
с целой частью —2.
Множество всех БДД будем обозначать 2)\ мы по-
положим его в основу построения поля действительных
чисел. Понятно, что аналогичное построение можно
было бы осуществить в системе счисления с любым
основанием.
2. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК НА 2)
Для равенства двух БДД х и у, по самому опреде-
определению, необходимо и достаточно, чтобы dn(x) = dn(y)
при всех /ieN. Если уфх, то множество целых пе
eN, таких, что йп(х)Ф dn(y), следовательно, не пу-
пусто; значит, в нем найдется наименьший элемент1),
для которого имеет место одно из двух неравенств:
dn(x) > dn(y), dn(y) > dn(x).
> Предложение 2.1. Полагая у ^ х, если у = х или
если для наименьшего целого /г, такого, что dn{x)^
?zdn(y), выполняется dn(y) > dn(x), мы устанавли-
устанавливаем на 2) отношение линейного порядка.
Доказательство. Очевидно, что введенное отноше-
отношение рефлексивно и антисимметрично. Для доказатель-
доказательства его транзитивности достаточно рассмотреть три
БДД х, у, г, для которых у > х и z> у. Обозначая
через m (соотв. п) наименьшее целое, такое, что
dm (у) ф dm (x) (соотв. dn(z) Ф dn(y)), положим р =
= inf(m, n). По предположению, для всех k<Cp
имеем dk{x) — dk(y) = dk(z); смотря по тому, будет
ли р = m или р = я, окажется верным одно из нера-
неравенств dp {у) > dp(x) или dp (г) > dp(y). В обоих слу-
случаях dp(z) > dp(x) и, значит, г > х.
Наконец, замечание, сделанное перед предложе-
') Мы пользуемся тем фактом, что любая непустая часть
N содержит наименьший элемент, т. е. N — «вполне упорядочен-
упорядоченное» множество. Далее используется и то, что любая мажо-
мажорируемая часть N или Z содержит наибольший элемент.

2. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК НА 3) 13
нием 2.1, показывает, что любые две БДД х, у срав-
сравнимы, и, следовательно, заданный порядок является
линейным. ?
Определенное таким образом отношение порядка
на Ф сходно с тем, которое применяется при располо-
расположении слов в словарях: слова рассматриваются как
конечные последовательности букв в алфавите, упоря-
упорядоченном от А до Z. По этой причине порядок, уста-
установленный на 3), называется лексикографическим.
Заметим, что понятие лексикографического порядка
распространяется на любое множество последователь-
последовательностей, элементы которых принадлежат линейно упо-
упорядоченному множеству.
Из этого определения немедленно вытекает
^ Предложение 2.2. Если х — БДД, для которой
то х есть нулевая БДД (образованная последователь-
последовательностью нулей).
Доказательство. В силу определения упорядоченно-
упорядоченности все десятичные знаки х равны нулю. ?
> Заметим, что неравенство у ^ х равносильно не«
равенству
(V/ie=N) Dn{y)>Dn{x).
Каноническое вложение / множества D в S
Обозначим через D множество относительных де-
десятичных дробей и используем условие, согласно кото-
которому всякой десятичной дроби d = d0, d\ ... dn мож-
можно поставить в соответствие БДД do, d\ ... dn0 ...
... О ..., получаемую из данной добавлением беско-
бесконечной последовательности нулей вслед за десятич-
десятичными знаками d. Если 3) снабдить лексикографиче-
лексикографическим порядком, а на D рассмотреть естественный по-
порядок, то, как легко видеть, задаваемое этим соответ-
соответствием отображение /: D->^5 есть строго возра-
возрастающее вложение.
Это вложение / называется каноническим-, оно по-
позволяет отождествить D с подмножеством в2)и срав-

14 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
нивать БДД с десятичными дробями. В частности,
каждая БДД х = хо> х\ ... хп ... удовлетворяет нера-
неравенствам Хо ^ X < Хо + 1 И (\ГП ^ N*) X ^ Хо, Х\ ... Хп.
Более того, если существует целое п^\, такое, что
хп ф 9, то также х < х0, х\ ... (хп + 1).
Теорема о верхней грани
Определение 2.1. Говорят, что подмножество Л
линейно упорядоченного множества X имеет верхнюю
грань l) b ^Х, если
1) Ъ есть мажоранта Л, т. е.
(V* е= А) * < 6;
2) Ь есть наименьшая из мажорант Л, т. е. для
любого а ^ X, такого, что а < 6, в Л сущест-
существует элемент х со свойством х > а.
Если такой элемент Ъ существует, то он единствен
и обозначается sup Л.
> Теорема 2.3. Всякое непустое и мажорируемое
подмножество Л множества 3) имеет верхнюю грань.
Доказательство. Пусть а = а0, а\ ... ап ... есть не-
некоторая мажоранта для Л. Если х = хо> х\ ... *„ ... —
произвольный элемент Л, то х ^ а и х0 ^ «о. Множе-
Множество Л о = {do(x) \x^ А} целых частей элементов из Л
есть часть Z, мажорируемая числом а0; отсюда выте-
вытекает, что Ло имеет наибольший элемент Ьо (см. приме-
примечание в начале § 2).
Обозначим через Во непустое множество, образо-
образованное теми элементами Л, целая часть которых равна
60, т. е. Во= {x^A\do(x) = Ь0}; поскольку десятич-
десятичные знаки порядка ^ 1 суть целые, лежащие между О
и 9, то можно положить
Ъх = sup {dx (х)\хе= Во}, В, = {х е= Во \ dx (х) = Ъ{)
(В\ образовано теми элементами из ?0, первый деся-
десятичный знак которых — наибольший возможный). Ин-
1) Наряду с термином «верхняя грань» употребляются так-
также термины «точная верхняя грань» и «супремум». — Прим. пе*
рее.

3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Щ
дуктивно мы определяем последовательность (Вп) не-
непустых подмножеств в Л и последовательность (Ьп\
целых чисел 0 ^ Ьп ^ 9 при п ^ 1, такие, что (V/zs
N)
Вя+1 = {х е Я„| <*я+1(*) = 6я+1}.
По индукции проверяется, что 5Л есть множество эле-
элементов х из Л, таких, что Dw(x)==60, &i ... Ьп (см.
обозначения в конце § 1). Любая мажоранта А не мо-
может быть меньше Ъ = &о, Ь\ ... Ьп ... ; с другой сто-
стороны, по построению, 6 есть мажоранта для Л. Итак,
& 4. D
Аналогично доказывается, что любое непустое и
минорируемое подмножество 3) имеет нижнюю грань.
Пример. БДД, образованную из последовательно-
последовательности нулей, обозначим /D); множество 2)-={х&
& 2D\x<ii(Q)} состоит из БДД с целой частью лг0 <
< 0. Его верхняя грань есть БДД (—1), 9 ... 9 ...,
все десятичные знаки которой порядков ^ 1 равны 9.
Множество 2>+ = {х^3)\х> /@)} имеет своей ниж-
нижней гранью /@).
3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Мы определим действительные числа с помощью
их представления посредством БДД. Но сначала сле-
следует исключить БДД, называемые «несобственными».
Обозначения. Для каждого целого /г, 0 ^ k ^ 9,
через 3)k обозначим совокупность БДД х = лс0, х\ ...
... хп ..., таких, что хп = к для всех /г, начиная с не-
некоторого (периодические БДД с периодом (k)). При
к = 9 эти БДД будем называть несобственными.
В § 2 мы определили каноническое вложение /
множества D в 2), образ которого / (D) очевидно есть
SDq. Менее очевидно

16 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Предложение 3.1. Отображение / множества D
на 2)9, определяемое условиями
i(d) = (d- 1), 9 ... 9 ..., если rfeZ,
/ (d) = d0, dx ... dn_{ (dn — 1) 9 ... 9 ..., если
d = dQy d{ ... dn, где dn ф 0,
есть строго возрастающая биекция.
Для каждого rfGD его образ i(d) будет назы-
называться несобственным десятичным разложением df в
то время как БДД j(d) —собственным.
Заметим, что всегда i(d) <j(d) и не существует
БДД х, для которой i(d) < х < j(d).
Каноническое вложение / позволило нам отожде-
отождествить D с частью 3)\ обобщим теперь понятие чис-
числа, приняв
> Определение 3.1. Действительными числами назы-
называются элементы множества 3)\3)ъ, т. е. бесконечные
десятичные разложения, в которых бесконечное число
десятичных знаков отлично от 9.
> Множество действительных чисел обозначается R,
и каждая десятичная дробь d отождествляется с дей-
действительным числом j(d).
Распространение на R теоремы о верхней грани
> Теорема 3.2. Каждое непустое и мажорируемое
подмножество A a R имеет в R верхнюю грань.
Доказательство. Пусть Ь — верхняя грань А в Ж).
Если Ъф.2)ъ, то Ъ есть верхняя грань А в R. В про-
противном случае Ь есть несобственное разложение деся-
десятичной дроби Ъ' > 6; поскольку не существует БДД,
лежащей между Ь и Ь\ то Ь' — наименьшая мажоран-
мажоранта А в iR, т. е. верхняя грань Л. ?
Заметим, что с учетом отождествления D с 2H для
любого действительного числа х = Хо, Х\ ... хп ...
имеем
х = sup Dn (х), где Dn (х) = х0, хх ... хп. A)
/l€=N

3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ 17
Десятичные приближения действительного числа
^ Определение 3.2. Если x = xOf Х\ ... хп ... — дей-
действительное число, то десятичная дробь Dn(x)=x0,
х\ ... хп называется десятичным приближением по-
рядка п числа х.
Предложение 3.3. Dn(x) есть единственная деся-
десятичная дробь вида 10~"p, где р е Z, удовлетворяющая
неравенствам
Dn(x)<x<Dn(x)+l0~n. B)
Доказательство. Левое неравенство очевидно; пра-
правое вытекает из того, что Dn(x) + 10~п равно хо+ 1,
если х\ = Х2 = ... = хп = 9, и лго, Х\ ... (хр + 1) в ос-
остальных случаях, где р — наибольшее целое ^ п, та-
такое, что хр Ф 9.
Можно также воспользоваться тем фактом, что не-
несобственное разложение десятичной дроби Dn(x) +
+ 10-" есть х0, х\ ... хп§ ... 9 ....
С другой стороны, если бы для двух целых р, рг
выполнялись условия
1(Г><*< КГ>+КГЛ и
1(гу<*< кгу+кг'1,
то из них вытекало бы, что
р < 1 + р' и р' <1+р, откуда р' = р. D
^ Определение 3.3. Пусть d и е — две десятичные
дроби. Говорят, что d является десятичным приближе-
приближением действительного числа х с точностью до е, если
d— e^x^d + e1).
Из вышеизложенного видно, что Dn(x) есть при-
приближенное значение х с точностью до 10~rt; очевидно,
что это приближение не единственное.
Следующее предложение позволяет устанавливать
равенство действительных чисел без знания соответ-
соответствующих БДД.
^ Предложение 3.4. Для того чтобы два действи-
действительных числа х, у были равны, необходимо и доста-
х) У автора точнее: «с точностью не менее чем до е», —
Прим. перев.

18 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
точно, чтобы при каждом neN они допускали оди-
одинаковое десятичное приближение с точностью до 10~л.
Доказательство. Необходимость условия следует из
того, что равенство у = х равносильно (У/п е N) Dn (x)=
= Dn(y).
Для доказательства достаточности рассмотрим
действительные числа х, у, которым можно сопоста-
сопоставить последовательность (dn) десятичных дробей, удо-
удовлетворяющих условиям
(V/2 gNL~ 10~" < х < dn + 1(ГЯ,
Тогда для любой пары целых чисел (р, q) e N2
имеем
dp — 10~р^л: < Dq(x) + Ю и y^dp-{-l0~p,
откуда
(VP е= N) Z), (у) < Z), (jc) + 1(Г* + 2 • 10""р,
что влечет за собой
Dq (у) - Dq (х) - 1(Г* < inf 2 • Ю~р = 0.
Положим x = xQt Х\ ... хп ...; поскольку х
для каждого п е N найдется целое q > п, такое, что
#4 =7^= 9, и поэтому
Dn (у) < D, (у) < Dq (х) + 10-9=лг0, хх...хп...
Следовательно, при всех /igN
и у ^ Jt. Меняя ролями х и у, найдем также, что л; ^
^ у, и, значит, у = *. ?
В завершение этого параграфа установим
> Предложение 3.5. Множество R несчетно.
Рассуждая от противного, предположим, что все
действительные числа можно расположить в виде по-
последовательности (*a)ae=N; пусть ха,п при каждом па

4. СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА 19
е N обозначает п-& десятичный знак ха. Для каж-
каждого п можно выбрать уп отличным от хп, п и лежа-
лежащим между 0 и 8 при п^ 1. Тогда БДД у = уОу
ух ... уп ... есть действительное число, не принадле-
принадлежащее последовательности (#а), что противоречит до-
допущению. ?
4. СЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА
Пусть х = xo,Xi ... хп ... и у = у0, ух ... уп ... —
два произвольных действительных числа. При каждом
«gN имеем
DЛх)<х < х0 + 1, Dn(у)<у < у0 + 1.
Множество десятичных дробей вида Dn(x) -f- Z)rt(#)
мажорируется, таким образом, числом Хо -f- y<$ -J- 2 и
имеет в R верхнюю грань; это позволяет нам дать сле-
следующее
^ Определение 4.1. Суммой двух действительных чи-
чисел jc, г/ называется действительное число, обозначае-
обозначаемое х + У и определяемое как!)
* +у = sup (/)„(*) + ?«(#)). A)
N
Это определение оправдано тем, что в случае, ког-
когда х и # —десятичные дроби, данное определение дает
их обычную сумму; действительно, в этом случае воз-
возрастающие последовательности Dn(x) и Dn(y) стацио-
стационарны2), и при достаточно больших п имеем Dn{x) =
= х, Dn(y)=y.
Свойства сложения
> Предложение 4.1. Сложение действительных чисел
коммутативно и для любых х, у, г, таких, что x^ly,
имеем
x + z^y + z. B)
*) Если бы мы определили топологию на R, то могли бы
также ввести сумму равенством х + у = lim (Dn (x) + Dn (у)).
tt->+oo
2) Напомним, что последовательность называется стацио-
стационарной, если найдется целое р, такое, что *„ = хр при любом
п ^ р.

20 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Доказательство. Коммутативность сложения дей-
действительных чисел следует непосредственно из опре-
определения 4.1 и коммутативности сложения десятичных
дробей.
С другой стороны, неравенство х ^ у влечет за
собой Dn(x)^.Dn(y) для всех /ieN, поэтому для
каждого действительного г
Отсюда получаем B), взяв верхнюю грань левой ча-
части последних неравенств. ?
Предложение 4.2. Для любых действительных
ху у при каждом п е N выполняются неравенства
<Dn(x) +Dn{y) + 2-10
Доказательство. По определению, Dn(x) + Dn(y)
принадлежит множеству десятичных дробей вида
10"лр, где реZ, таких, что Ю~пр ^ х + у; при этом
предложение 3.3 показывает, что Dn (x + у) есть наи-
наибольший элемент этого множества. Таким образом,
Dn(x) + Dn(у) ^Dn(x + y)^x + y. Далее, двукрат-
двукратное применение предложений 3.3 и 4.1 показывает,
n(y) + 2-W-n. ?
Из этого предложения видно, что Dn(x) + Dn(y)
есть приближенное значение х + у с точностью до
2-10~л; определение 4.1 сводится, таким образом,
к введению суммы двух действительных чисел с по-
помощью последовательности десятичных приближений,
как это и реализуется на практике с применением все
более мощной вычислительной техники. Но нужно
иметь в виду, что десятичное приближение порядка п
числа х + у необязательно равно Dn (x) + Dn (у): это
затруднение связано с оставляемым «в уме» при вы-
выполнении сложения.
Предложение 4.3. Сложение действительных чисел
ассоциативно.

4. СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА $1
Доказательство. Для любых действительных чисел
х, у, z находим с помощью повторного применения
предложений 3.3 и 4.2:
Dn (x) + Dn (у) + Dn (z) + 3 • Ю
< Dn (x) + Dn (y) + Dn (z) + 3 • КГ".
Это доказывает, что (х + у) + z и х + (у + z) допу-
допускают одинаковые десятичные приближения с точ-
точностью до Ю1~п (так как 3-10-" < 101-"). В силу про-
произвольности п равенство (х-{- y)-\~z = х + (у + 2)
вытекает из предложения 3.4. ?
Предложение 4.4. Для сложения действительных
чисел нулевая БДД 0, 00 ... 0 ... является нейтраль-
нейтральным элементом, и для любого действительного числа
существует противоположное.
Доказательство. Обозначая через 0 нулевую БДД,
получим
(\/х e=R) х + 0 = sup (Dn (x) + 0) = sup Dn (x) = х.
Ы N
Тем самым 0 — нейтральный элемент. С другой сто-
стороны, для действительного х = х0, Хи • • • хп ... вве-
введем БДД у = у0, ух ... уп ..., определенную усло-
условиями
#о = — 1— *о и уп = 9 — хп при я>1.
Если х не является десятичной дробью, то
у *= sup (Dn(x) + Dn(y)) = sup (-1, 9 ... 9) = 0.
/г раз
Если х есть десятичная дробь х = х0, *i ... Х/г 0 ..
... 0 ..., то у является несобственной БДД для деся-
десятичной дроби у\ такой, что у' + х = 0.
В обоих случаях у действительного х имеется про-
противоположное. ?

22 гл. i. поле действительных чисел
Теперь для действительного х можно определить
его абсолютную величину:
, —л:),
и без труда доказать неравенство треугольника
(V(xfy)<=R2) \x +
откуда следует также, что \у — х\^\\у\ —1*||.
Чтобы иметь возможность резюмировать основные
полученные результаты, напомним классическое
определение.
> Определение 4.2. Упорядоченной абелевой группой
называется абелева группа (G, +I), снабженная от-
отношением линейного порядка, таким, что неравенство
х ^ у влечет за собой
(VzzeG) x+z^y+z
(при этом из строгого неравенства х < у следует
также строгое неравенство x + z <. у + z).
Теперь мы можем подвести итог:
> Теорема 4.5. (R, +) есть упорядоченная абелева
группа.
5. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
Для того чтобы получить возможность охаракте-
охарактеризовать подгруппы группы R и построить теорию
измерения величин, удобно ввести понятие архиме-
архимедовой группы.
^ Определение 5.1. Архимедовой группой называет-
называется упорядоченная абелева группа (G,+), такая, что
для любой пары (а, Ь) элементов G, где а > (Ь, су-
существует neN, при котором па > 6.
х) Если не оговорено противное, абелевы группы будут рас-
рассматриваться в аддитивной записи, нейтральный элемент в Q
обозначаться через Ос или просто 0, когда это не ведет к пу-
путанице.

Б. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ 23
Изучение архимедовых групп основано на следую-
следующем утверждении, отражающем возможность «гра-
«градуировать» G.
> Предложение 5.1. Пусть G — архимедова группа
и а > О — ее элемент. Для любого xeG существует
единственное целое р, для которого
ра^х<(р+1)а. A)
Доказательство. По аксиоме Архимеда множество
{п^Ы\па > х} есть непустая часть N1). Если через
q обозначить ее наименьший элемент, то целое число
p = q—l будет единственным, для которого вер-
верно A). D
Основная теорема о гомоморфизме
^ Теорема 5.2. Пусть G — архимедова группа. Для
каждого а >0о из G существует единственный не-
неубывающий гомоморфизм ha из G в (R, +), такой, что
ha(a)= 1, и ha — строго возрастающий и потому инъ-
ективный.
Доказательство проводится в несколько шагов.
а) Предварительные замечания, единственность.
Пусть задан элемент jcgG. Так как группа G архи-
архимедова, то по предложению 5.1 существует единствен-
единственная последовательность (рп) относительных целых
чисел, такая, что
(у/г €= N) Рпа < Юпх < A + рп) а. B)
Если гомоморфизм ha существует, то должно быть
К (рпа) < К A0я*) < К (A + рп) а),
где ha (pna) = pnha (a) = pn, ha(l0nx) = \0nha (x) и
МО + Рп)а)=1+ рп, поэтому
(V* €= N) 10~>rt < ha (x) < КГ* A + Рп)9 C)
откуда, как мы сейчас увидим, следует, что
j
Лв (*)=¦• sup UO-VJ. D)
n e=N
l) Здесь неявно предполагается, что х > 0; случай jc < О
также легко рассматривается. — Прим. перев.

24 № 1. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В самом деле, неравенство C) показывает, что
ha(x) является мажорантой множества Р =?
={lO~rtprt}rt6EN» 0H0 также показывает, что всякая ма-
мажоранта т множества Р удовлетворяет условию
т^ ha (х)— 10~л; действительное число Ъ = sup (P)
удовлетворяет, следовательно, неравенствам
(V* е- N) ha (х) - КГ" < Ъ < ha (x)9
откуда, применяя предложение 2.2 к действительному
числу ha(x) — by получаем требуемое равенство Ь =
= ha(x).
Соотношение D) доказывает единственность ha.
Ъ) Построение ha. Для заданного элемента х е G
пусть (рп)—последовательность целых чисел, опре-
определяемая неравенствами B). Докажем, что суще-
существует действительное у, такое, что при любом /igN
выполнено Dn(y)= 10~пРп-
Заменяя в B) п на п + 1 и сравнивая полученное
неравенство с B), находим, что Юрпа<A +pn+i)a и
< 10A + рп)а, откуда Юр* < 1 + рп+\ и рп+\ <
A+) что равносильно неравенствам
10pft<prt+,<10prt + 9. E)
Отсюда вытекает, что для любого «gN целое рп
есть «число десятков» рп+\. Полагая уо = Ро и для
каждого «gN Уп+i = Pn+i — Юря> получаем 0 ^
^ уп+х ^9и по индукции
=1Ч) lO~apn = yOt yl ... уя.
Осталось доказать, что БДД уо, у\ ... уп ... не
принадлежит 3)д. Но в противном случае существо-
существовало бы такое целое т, что при каждом п> т было
бы уп = 9. Тогда мы имели бы
10->rt-~l(Tmpm==0, 0 ... 0 9 ... 9=10~т—КГ",
т раз (п—т) раз
откуда

б. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ 25
Положим Ъ = A + рт)а— Ютх; применяя B) к
значению т, получим Ь > Ос, а также при п^ т
10n-mb==(l+pn)a-l0nx^a.
В силу произвольности целого п — т двойное не-
неравенство
{уп>т) 0G< 10n~m6<a
противоречит аксиоме Архимеда, которая справедлива
для G.
Таким образом, у = у0, ух ... уп ... есть действи-
действительное число, для которого (V^eN) Dn(y)= 10~прп;
тем самым y = sup W~npn, и мы определим отобра-
neN
жение ha из G в R, полагая
ка(х) = *ир10-яря. F)
/IEN
Неравенство E) показывает, что последователь-
последовательность Ю~прп возрастает1).
с) Свойства ha. Пусть х, у — два элемента G,
(рп) — последовательность целых чисел, определяемая
неравенствами B). Неравенства
qna<l0ny<(l+ qn)а, гпа< 10*(х + у) < A + rjа
определят последовательности целых (<7n), (gn). Имеем
гпа < A+ рп)а + A + ?„)а, A + Оя > Pn« + qna,
откуда
г„ < 2 + р„ -Ь <7„, 1 + гп > рп + qn,
что равносильно
По определению ha, применяя предложение 4.2,
получаем
1(Гпгп < Ла (* + у)< 10"" (г„ + 1),
Ю-" (Ря + qn) < К (х) + К (у) < 10-" (г„ + 2),
*) Автор различает возрастание (неубывание) и строгое воз-
возрастание. — Прим.. перев.

26 ГЛ. I, ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
откуда, сравнивая с G), найдем, что
КГ" (гп - 1) < К (х) + ha (у) < КГ" (гп + 2).
Это показывает, что для любого п е N действи-
действительные числа ha (х + у) и ha (x) + ha (у) допускают
одинаковые десятичные приближения с точностью
до 2-10-".
Таким образом, выполнено равенство
(V (х, у) е G2) ha (х + у)=* К (х) + К (у),
показывающее, что ha есть групповой гомоморфизм;
для доказательства того, что ha строго возрастает,
достаточно показать, что из х > 0<j вытекает ha(x)>-
>0.
Действительно, пусть х > 0<? и (рп) по-прежнему
обозначает последовательность целых, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам B). Тогда существует хотя бы
одно целое п > 0, такое, что prt^l: в противном
случае было бы 10пх < а для всех «gN, что проти-
противоречило бы аксиоме Архимеда. Но при рп ^ 1 имеем
ha (x) ^5 10-" и, значит, ha (x) > 0.
Теорема 5.2 полностью доказана. ?
> Следствие. Пусть G — архимедова группа. Для
каждого ненулевого элемента aeG существует
единственный монотонный гомоморфизм ha группы G
в R, такой, что ha(a)= 1. Этот гомоморфизм являет-
является строго возрастающим при а > 0о и строго убы-
убывающим при а < Ос Следовательно, ha инъективен.
Случай а > 0G рассмотрен выше, случай а > 0о
получается из него путем замены порядка на G на
противоположный. ?
Теперь пришло время доказать
> Предложение 5.3. Группа R и ее подгруппы ар-
архимедовы.
В самом деле, пусть а, Ь — действительные числа,
причем а > 0. Положим а = а0, а\ ... ап •• • и b =
= bo, b\ ... bn ...; найдется хотя бы одно п, такое,
что ап ^ 1. Тогда 10"а ^ 1, откуда 11 + Ьо\ Юпа > 6.

5. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ 27
Следовательно, R архимедова, равно как и ее под-
подгруппы; действительно, если а принадлежит подгруп-
подгруппе G группы R, то ей принадлежит и па при каждом
я е N. ?
Теперь мы можем сформулировать
Предложение 5.4. Архимедовы группы суть упо-
упорядоченные абелевы группы, изоморфные подгруппам
(R.+).
Случай группы, состоящей из одного нейтрального
элемента (нуля), не вызывает затруднений. Примеры
подгрупп R имеются в упражнениях.
Приложение к теории измерения величин
Вернемся к вопросу об измерении величин, подня-
поднятому в § 1, и попытаемся сначала аксиоматизировать
понятие «измеримой величины».
Каждая измеримая физическая величина (масса,
длина, объем, давление и т. д.) представляется как
линейно упорядоченное множество G, снабженное за-
законом сложения, таким, что
(i) сложение коммутативно и ассоциативно,
(ii) в G существует наименьший элемент Ос, яв-
являющийся нейтральным элементом для сло-
сложения,
(ш) для любого элемента z неравенства х ^ у и
х + г ^ у + z равносильны.
Множество G, снабженное такой структурой, на-
называется упорядоченной абелевой полугруппой-, с по-
помощью процесса «симметризации» (см. [LF2] или
[ВО1]), который сводится к «ориентации» рассматри-
рассматриваемой величины и присоединения элементов, назы-
называемых «отрицательными», можно получить упорядо-
упорядоченную абелеву группу.
Обычно предполагается (хотя зачастую неявно),
что полученная таким путем группа G архимедова:
нри выборе единицы измерения и > Ов определенный
в теореме 5.2 гомоморфизм hu решает задачу изме-
измерения величин. Отметим, что вея его роль заключает-
заключается в том, чтобы придать строгую форму иостроению

28 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
начала § 1. Действительное число hu(x) есть, таким
образом, Мера величины х при выбранной единице
измерения и.
Мы увидим далее, что hu(x) можно истолковать
как отношение величины х к величине и.
6. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R
КАК ГРУППЫ1)
Выделенных до сих пор свойств еще недостаточно
для характеризации R (с точностью до изоморфиз-
изоморфизма): так, Z есть собственная подгруппа в R и, зна-
значит, архимедова группа, обладающая, кроме того,
свойством верхней грани. Для того чтобы охаракте-
охарактеризовать R только с помощью указанных выше струк-
структур, введем
Определение 6.1. Говорят, что линейно упорядо-
упорядоченное множество X не имеет дыр, если для любых
а <СЬ из R существует элемент с, лежащий между
ними: а < с <Lb.
> Определение 6.2. Говорят, что линейно упорядо-
упорядоченное множество X обладает свойством верхней гра-
грани, если оно удовлетворяет следующей аксиоме:
(ВГ) Любое непустое и мажорируемое подмножество
X имеет (в X) верхнюю грань.
Наконец, говорят, что X непрерывно, если оно не
имеет дыр и удовлетворяет аксиоме (ВГ).
Из этих аксиом вытекают такие следствия:
Предложение 6.1. Пусть G — упорядоченная абе-
лева группа без дыр; для любого элемента а > 0G
из G существует последовательность (ап) элементов
G, удовлетворяющих неравенствам
(V/*e=N) 0<2Х<Д. (О
Доказательство. Полагая яо = а, строим такую
последовательность индуктивно: считая ап известным,
1) Изложение в этом параграфе навеяно заметками, кото-
которые составил Ж. М. Эксбрейа для соискателей конкурса на
место преподавателя.

b. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ГРУППЫ 29
находим такое с, что 0 < с < аПу и полагаем ап+\ =
= inf (с, ап — с); тогда 2ап+\ ^ ап и A) устанавли-
устанавливается индукцией по п.
Предложение 6.2. Любая абелева упорядоченная
группа G, удовлетворяющая аксиоме (ВГ), архиме-
архимедова.
Доказательство. Проводим рассуждение от против-
противного. Допустим, что существует пара (q,6)eG2 с
а > О, такая, что
Тогда множество А = {па\п^ N} будет непустой
частью G с мажорантой Ъ\ у него существует верхняя
грань а. Элемент а — а не является мажорантой Л,
и потому найдется целое р, такое, что ра > а — а,
откуда (р-\-\)а> а, что противоречит определе-
определению а. ?
Замечание. Мы получили таким путем новое дока-
доказательство того, что группа (R, +) архимедова.
Основная теорема об изоморфизме
Теперь мы в состоянии дополнить теорему 5.2 сле-
следующим образом:
Теорема 6.3. Пусть G — архимедова группа и а —
ее ненулевой элемент. Для того чтобы ассоциирован-
ассоциированный гомоморфизм ha (см. следствие из теоремы 5.2)
был сюръективным, необходимо и достаточно, чтобы
группа G была непрерывной.
Доказательство. Поскольку Л_а = —ha, можно
предполагать, что а > (Ь.
a) Условие необходимо: если гомоморфизм ha
сюръективен, то при а > 0G он является строго воз-
возрастающей биекцией G на R и устанавливает соот-
соответствие между верхними гранями подмножеств G и
R; из непрерывности R следует непрерывность G.
b) Чтобы доказать достаточность условия, зада-
зададимся произвольным действительным у и попытаемся
построить такое хбб, что ha{x) = у. Поскольку в G
нет дыр, предложение 6.1 позволяет нам построить

30 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
последовательность (ап) элементов G, такую, что
0 < 2пап ^ а при каждом /isN. Тогда последова-
последовательность ип = аАп удовлетворяет условиям 0 <
< Юпип < 24*а4„ < а, откуда 0 < ha (ип) < 10-*
Положим еп = ha(un)\ существует последователь-
последовательность целых чисел (рл), для которой
(ул е N) р„е„ < г/ < A + ря) ея> B)
откуда в силу возрастания ha
(V(m, n)eN2)
Последовательность (pnttn)ne_N, таким образом,
мажорируема; поскольку G удовлетворяет аксиоме
(ВГ), эта последовательность имеет верхнюю грань х,
для которой
(уя е N) рпип < х < A + ря) мя>
откуда
Из сравнения с B) видно, что ha(x) и у при лю-
любом п е N допускают одно и то же приближенное
значение с точностью до ея, где гп ^ 10-л.
Равенство ha(x) = y вытекает теперь из предло-
предложения 3.4. ?
> Следствие. Любая непрерывная упорядоченная
абелева группа изоморфна (R, +).
Мы получили аксиоматрическую характеризацию
(R, +) с точностью до изоморфизма. Возвращаясь
к теореме 5.2, можно также сказать, что (R, +)
с точностью до изоморфизма есть наибольшая архиме-
архимедова группа.
Архимедова группа (R, +) является, таким обра-
образом, наибольшим элементом среди расширений Z: ее
нельзя дальше расширить без потери каких-либо
свойств.
Это свойство, называемое «полнотой» R, было при-
принято в качестве аксиомы Гильбертом [HI — RO].
В упр. 1.7 проводится исследование подгрупп
группы (R, +).

7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R, +). СТРУКТУРА ПОЛЯ 31
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R,+). СТРУКТУРА ПОЛЯ.
ГОМОМОРФИЗМЫ (R,+) В СЕБЯ
Теорема 6.3 применима, в частности, к самому R,
поэтому можно сформулировать
^ Предложение 7.1. Для каждого действительного
а Ф О существует единственное монотонное отобра-
отображение ha\ R->R, удовлетворяющее условиям ha(a) =
= 1 и
(V (х, у) е R2) К (х + у) = К (х) + К {у)
и являющееся биекцией. В частности, hx = Mr.
Изучение обратного отображения для ggR при-
приводит к следующему важному результату:
^ Теорема 7.2. Для любого aeR существует един-
единственное монотонное отображение фй: R-*R, удов-
удовлетворяющее условиям фаA) = а и
(V (х, у) €= R2) Фа (х + у) = Фа (х) + ф. (у). A)
Это отображение есть нулевая константа, если
а = 0, и является биекцией при а Ф 0. В частности,
ф1 есть тождественное отображение.
Доказательство. Разберем сначала случай а = 0.
Если ф0—монотонное отображение R в R, удовле-
удовлетворяющее условию A), и фоA) = О, то прежде всего
по индукции находим, что Фо(р) = О для любого
р е N; кроме того, фО(/?)= 0 при всех ре Z и фО(х)=
= 0 для всякого х, удовлетворяющего неравенствам
р ^ х < р + 1» где peZ; окончательно, в силу моно-
монотонности фо(лг), имеем фО(л;)=О для всех ^eR.
Если а ф 0, то отображение, обратное к Afl, удов-
удовлетворяет выдвинутым требованиям. Чтобы показать,
что не существует другого отображения с теми же
свойствами, достаточно заметить, что если фа удовле-
удовлетворяет условию A), то отображение 9 = Ад'лфд мо-
монотонно и 9A)= 1, а также Q(x + y)= 9(*) + Q(y)
для любых действительных х, у. Поэтому 9 = Л, = IcIr
в силу единственности Ai; отсюда с необходимостью
Х

32 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Существование гомоморфизмов фа позволит нам
определить произведение двух действительных чисел
a, b равенством ab = q>a(b). Предварительно мы
установим, однако, некоторые свойства этих отобра-
отображений.
Свойства гомоморфизмов <рл
Предложение 7.3. Если а, Ь — десятичные дроби, то
Ч>а(Ь) = <Рь{а) = аЬ. B)
Доказательство. Из соотношения A) легко выво-
выводим, что
(V* eR, VP e- Z) q>a (рх) = руа (х),
откуда при х = 10-"
и если а — десятичная дробь, то
откуда получаем B), полагая b = 10~np. D
Предложение 7.4. Семейство (фа) удовлетворяет
условию
(V(a, ft)eR2) Фа+* = Фа + Фг, C)
Доказательство. Предположим сначала, что а ^ 0
и 6^0; тогда фа и ф^ — возрастающие отображения;
то же имеет место и для функции ф = фа + фь» Для
которой фA) = а + ^, и путем сложения получается
A). Таким образом, ф = уа+ъ.
Аналогично рассматривается случай а < 0, 6 < 0.
Чтобы разобрать случай ab < 0, заметим, что
единственность фа влечет ф_а = —Фа, так как —ф-а
удовлетворяет требованиям, наложенным на фа. Пе-
Переставляя в случае необходимости а и b и заменяя
их противоположными, можно свести дело к случаю
а <. 0, b > 0, a + b > 0. Полагая с = а + 6, получим
тогда, в силу уже рассмотренного, ф_а + Фс = фс+(-а) =
= фь, т. е. C). D

7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R, 4-). СТРУКТУРА ПОЛЯ 33
Предложение 7.5. Для любых действительных а, Ь
имеет место равенство
D)
Доказательство. Из предложения 7.4 немедленно
получается, что для любого 6gR отображение
qV. R->R, ян-хр^б) монотонно (возрастает при 6^0,
убывает при fe^O) и удовлетворяет условиям, на*
ложенным на ф&, так как *ф& A) ===== ф! F) == 6. Таким
образом, 1$ь = Уь и D) верно при любом asR,
Произведение действительных чисел
Теперь мы можем дать такое
Определение 7.1. Произведением аЬ двух дейст-
действительных чисел a, b называется действительное число
Это определение оправдано тем, что в случае деся-
тичных дробей оно приводит к их обычному произве-
произведению (см. предложение 7.3). Более того, предло-
предложения 7.4 и 7.5 показывают, что произведение дей-
действительных чисел дистрибутивно по отношению к
сложению и коммутативно.
Для полноты установим следующее
Предложение 7.6. Произведение действительных
чисел ассоциативно.
Доказательство. Если а, Ь — фиксированные дей-
действительные числа, то функция г|) = фа°фь удовлетво-
удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на ц>аь (посколь-
(поскольку <фA) = фа(й) =а&). Таким образом, для любых
действительных a, fe, с имеем
Фаь (с) = Фа ° Фь (с) н (аЬ) с = а (Ьс).
Существование частного
Предложение 7.7. Для любых действительных а,
Ь при b Ф 0 существует действительное q, такое, что
a = bq. О
Доказательство. По определению отображение
ф^: х^—^Ьх является обратным к /i&. Действительное
2 Ж. Лелон-Феррак

34 ГЛ. Г. ПОЛБ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
q = hb(o) удовлетворяет, следовательно, равенству
a = bq. ?
Для того чтобы резюмировать полученные резуль*
таты, введем
Определение 7.2. Поле К называется упорядочен*
ныму если оно снабжено отношением линейного поряд-
порядка, таким, что (/С, +)—упорядоченная група и для
любого элемента а > 0 из К неравенство у ^ х вле-
влечет ay ^ ах.
Теперь итоговая теорема может быть сформулиро-
сформулирована так:
> Теорема 7.8. С введенными структурами порядка,
сложения и умножения R является упорядоченным по-
полем; каждое монотонное отображение ф: R->Rf удо-
удовлетворяющее условию
имеет вид ф (х) = kx, k = const.
(Последнее утверждение следует из определения
умножения.)
Замечания. 1) Если ху у — положительные действие
тельные числа, то
А, (х) Dn (у) < ху < A0"" + Dn (х)) A0-" + Dn (у)) <
< Dn (х) Dn (у) + 10"" (Do (x) + Do (у) + 3).
Отсюда легко выводим, что
ху = sup Dn (x) Dn (у); E)
при х < 0 или у < 0 это соотношение теряет силу.
По аналогии с определением суммы двух действи-
действительных чисел мы могли бы определить произведение
положительных действительных чисел равенством E)«
Тогда произведение чисел любого знака определялось
бы по «правилу знаков». Но этот способ ведет к бо-
более длительным вычислениям, чем данный здесь (см,
[LF2] ).
2) Можно заметить, что при нашем построении по-
поля действительных чисел частное a/b = hb(a) двух

7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R, +). СТРУКТУРА ПОЛЯ 35
чисел введено фактически раньше их произведения
ab — (ра(Ь), Это связано с тем, что частное g/u двух
измеримых величин (равное по определению мере ве-
величины g при выбранной единице измерения и) имеет
физический смысл, которого нет у их «произведения».
Существование квадратичного корня
> Теорема 7.9. Каждое положительное действитель-
действительное число имеет единственный положительный квад-
квадратный корень (и, следовательно, единственный отри-
отрицательный квадратный корень).
Доказательство. Заметим прежде всего, что если а,
Ь — два положительных действительных числа, то не-
неравенство а2 > Ь2 равносильно неравенству а > Ь;
единственность положительного квадратного корня
этим устанавливается. Остается доказать его сущест-
существование.
При данном действительном х > О положим для
каждого п ^ N
Легко видеть, что Рп имеет мажоранту 10"(l -f-#o),
где Xq — Do{x) — целая часть х. Обозначим через рп
наибольший элемент в Рп. Для каждого ле^ будем
иметь
{\Ъ-прпJ<х<{\Ъ-п{\+рп))\ F)
откуда, поскольку целые рп положительны,
(у (т, п) е= N2) Ю~прп < Ю"т A + рт).
Итак, множество {lO~npn}nGN мажорируемо и его
верхняя грань у удовлетворяет неравенствам
л/г G)
Из сравнения с F) мы видим, что действительные
числа х и у2 оба допускают (\Q-npnJ как приближен-
приближенное значение с точностью до гп= 10~2/гA + 2рп)\ если
обозначить через b целое число, мажорирующее по-
последовательность A0~прп)> то будем иметь
2*

36 ГЛ. Г. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В силу произвольности я, предложение 3.4 влечет
равенство у2 = х.
С учетом F) мы видим тогда, что первое неравен-
неравенство G) можно заменить строгим неравенством; от-
отсюда вытекает, что \0~прп есть десятичное приближе-
приближение порядка п для у = л/х.
Этим объясняется, почему практически в процессе
«извлечения квадратного корня с точностью до 10~"»
получается собственное десятичное разложение квад-
квадратного корня (аналогичное замечание можно сделать
по поводу операции деления, см. упр. 1.2).
8. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ.
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ПОЛЯ
Понятие упорядоченного поля1), введенное в пре-
предыдущем параграфе, позволяет уточнить некоторые
свойства R, а также охарактеризовать R как архиме-
архимедово поле. Напомним сначала, что характеристика по-
поля /С, обозначаемая саг/(, равна 0 или наименьшему
р е N*, такому, что ра = О/с для всех а е /С, и заме-
заметим, что существование ненулевого элемента а в /С,
такого, что ра = О/с, влечет рх = 0 для всех х^К
(так как рх= (ра) {а~1х)). Имеет место следующее
Предложение 8.1. Любое упорядоченное поле /С, в
частности IR, имеет характеристику нуль.
Доказательство. Если К упорядочено, то соотноше-
соотношения п^\ («gN) и а>0/( влекут па > 0#; поэтому
па Ф 0# и К — поле характеристики нуль.
Но в поле характеристики нуль любой элемент ви-
вида р • 1/с, где р — ненулевое целое, имеет обратный,
обозначаемый просто р~1 или \/р\ отсюда для любого
х е К следует существование элемента у = р~1х, для
которого ру = х. Полагая р = 2, получим
Следствие. Каждое упорядоченное поле не имеет
дыр.
!) В оригинале употреблено слово corps, т. е. тело; но в § 7
было дано только определение упорядоченного поля, и дальше,
по существу, речь идет о полях (см. упр. I. 10), — Прим. перев.

8 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ПОЛЯ 37
В самом деле, если х < у, то действительное z =
= 1/2(* + f/) удовлетворяет условию х < z < у.
Теорема о гомоморфизме
Напомним сначала, что если К и К'— два тела
(необязательно коммутативные), то гомоморфизмом h
тела К в К' называется отображение К в К\ удовле-
удовлетворяющее условиям
h(xy) = h(x)h(y). A)
Из этих условий следует, что !) h {0к) = 0к>. Если
А не является нулевым гомоморфизмом (который
определяется соотношением h (х) = 0к> для всех
х^К)у то имеем также h(\K)=\K' и
Это имеет место, в частности, если h — биекция, и
тогда говорят, что h — изоморфизм тел.
Далее, упорядоченное поле К называется архиме-
архимедовым, если его аддитивная группа (/С, +) архиме-
архимедова; для этого необходимо и достаточно, чтобы каж-
каждый элемент из К имел мажоранту вида я-1/о где
«G N.
^ Теорема 8.2. Если К — упорядоченное архимедово
поле, то существует единственный монотонный гомо-
гомоморфизм ft из /С в поле R, отличный от нулевого. При
этом h строго возрастает и ft (К) содержит подполе Q
из R, образованное действительными числами вида
p/q (peZ, q e N*), которые называются рациональ-
рациональными.
Доказательство, Прежде всего условие )
вместе с первым из соотношений A) показывает, что
ft (если он существует) равен гомоморфизму групп ha
с a = ltf, определенному теоремой 5.2. Отсюда выте-
вытекает единственность ft.
Покажем теперь, что гомоморфизм групп h = hiK
1) Нуль и единица тела К обозначаются Од, Ц или просто
О, 1, если это не ведет к недоразумениям; К* обозначает
К \ {0}.

38 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
удовлетворяет и второму из соотношений A). Для
этого предположим, что х > 0, и рассмотрим отобра-
отображение fx: /C->R, у *->[h{x)]~~l h{xy) с фиксированным
действительным х.
Сразу видно, что fx — строго возрастающий гомо-
гомоморфизм (/С, +) в (R, +), при котором /*0/c)—ll1
следовательно, fx = h{ и
(г. е. h(xy) — h(x)h(y).
Это соотношение распространяется на случай х <<
< 0 заменой х на —#, и ясно, что оно выполняется
также и при х = 0. Следовательно, Л является гожо-
морфизмом тел.
Наконец, h(p-U) = p, откуда h(p/q) = p/q, како-
каковы бы ни были pGZ и ^gN*. ?
Из сравнения с теоремой 6.3 и следствием из пред-
предложения 8.1 с учетом предложения 6.2 выводится
> Теорема 8.3. Любое упорядоченное поле /С, обла-
обладающее свойством (ВГ) верхней грани, изоморфно R#
Вопреки тому что имеет место для архимедовых
групп, указанный здесь изоморфизм единствен. Эта
единственность обеспечивается вторым из соотноше-
соотношений A).
Согласно этим результатам, R является наиболь-
наибольшим архимедовым полем (с точностью до изомор-
изоморфизма).
Гомоморфизмы поля R в себя
Из предыдущего видно, что монотонных гомомор-
гомоморфизмов поля R в себя, отличных от нулевого и тожде-
тождественного, не существует. Но возникает вопрос, нет ли
гомоморфизмов, не являющихся монотонными. Отри-
Отрицательный ответ на него дает
> Теорема 8.4. Не существует гомоморфизмов поля
JR в себя, отличных от нулевого и тождественного.
Доказательство. Допустим, что такой гомоморфизм
h существует, Для любого действительного х > 0 най*

8. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ПОЛЯ 39
дется действительное у > О, такое, что у2 = ху откуда
h() (h())*0
() ((y))^
Для любой пары действительных иу vy таких, что
и > vy получим тогда h(v)—h(u)—h(v— м)^0,
что доказывает монотонность А, и остается применить
теорему 8.2.
Заметим, что, напротив, немонотонные гомомор-
гомоморфизмы группы IR в R существуют (см. § II. 10).
Подполя поля R. Мы видели, что множество Q ра-
рациональных чисел есть подполе поля IR, но существует
и много других подполей, например:
• поле (называемое полем Галуа)у порожденное
корнями заданного многочлена с целочисленными ко-
коэффициентами, имеющего только действительные
корни;
• поле алгебраических чисел, образованное дей-
действительными числами, являющимися корнями много-
многочленов с целочисленными коэффициентами.
• в евклидовой геометрии мы естественно встре-
встречаемся с полем квадратных корней — наименьшим
подполем К в IR, которое вместе с каждым положи-
положительным элементом содержит квадратный корень из
него; это поле образовано теми действительными чис-
числами, которые можно получить из рациональных чи-
чисел с помощью конечного числа действий сложения,
умножения, деления и извлечения квадратных корней
(см. [СА]).
Существование упорядоченных неархимедовых полей
Известны примеры полей ненулевой характеристи-
характеристики (и потому не допускающих упорядочения), напри-
например поля Z/pZ, где р простое; с другой стороны, Q
дает пример упорядоченного поля, не удовлетворяю-
удовлетворяющего аксиоме (ВГ) о верхней грани. Для доказатель-
доказательства независимости аксиом, характеризующих R, мы
приведем пример упорядоченного неархимедова поля.
Предложение 8.5. Пусть R(X] — поле рациональ-
рациональных дробей (частных многочленов) с действительны-
действительными коэффициентами, рассматриваемых как функции с
числовыми значениями.

40 ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
a) Отношение линейного порядка на R(X) можно
получить, полагая f ^ g, если существует действитель-
действительное хо, такое, что f(x) ^g(x) для всех х ^ х0.
б) Снабженное этим отношением порядка R (х)
будет упорядоченным неархимедовым полем.
Доказательство, а) Отношение, определенное на
IR (-АГ), очевидным образом антисимметрично, рефлек-
рефлексивно и транзитивно, и / ^ g равносильно / — g ^ 0-
Но если h = Q/P — рациональная дробь, не рав-
равная тождественно нулю, то множество корней Р и Q
конечно; следовательно, существует действительное х0,
такое, что Р(х) и Q(x) при х ^ х0 сохраняют постоян-
постоянные знаки; таким образом, верно одно из двух соот-
соотношений h > 0 или h < 0. Этим доказано, что поря-
порядок, определенный на 'R(X), линейный.
b) Без труда проверяются аксиомы упорядоченно-
упорядоченного поля. Для доказательства неархимедовости R(X)}
достаточно заметить, что положительные элементы f,
g, заданные как f(x) = x и g(x) = x2} удовлетворяют
при любом /igN неравенству nf < g.
Замечания. 1) Данное в этой главе построение R!
использует только теорию десятичных дробей (но не
вообще теорию дробей): Q возникает просто как «мно-
«множество отношений целых чисел», откуда уже выво-
выводятся все правила действий с дробями. Таким путем
мы узакониваем прагматический подход современных
программ обучения, где принято не слишком четкое
(но достаточное!) понятие действительного числа и
где рациональные числа рассматриваются как отно-
отношения целых чисел.
2) Введение на R порядковой топологии и понятия
«сходящейся последовательности» позволяет дать дру-
другие аксиоматические характеризации R (см., напри-
например, [ВО2], гл. IV, или [LF —AR], т. 2).
3) Судить о пользе теоремы 6.3 можно по приме-
применению ее к доказательству существования функции
«логарифм по основанию а» (см. упр. 1.9).

Глава II
СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
НАД ТЕЛОМ
Современное конструктивное изложение геометрии
основывается на понятии векторного пространства;
при этом в случае евклидовой геометрии ограничи-
ограничиваются конечномерными векторными пространствами
над полем R.
Но, желая иметь более широкую картину и подго-
подготовиться к аксиоматическому изложению аффинной
геометрии, следует изучить произвольные векторные
пространства над телами, необязательно коммутатив-
коммутативными. По этой причине мы начнем с напоминания не-
некоторых сведений из алгебры.
J. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ТЕЛА
Напомним, что тело К называется коммутативным
или некоммутативным1) в зависимости от того, ком-
коммутативна ли в нем операция умножения.
Если (/С, +> X) — некоммутативное тело, то на
том же множестве К можно определить другую струк-
структуру тела (К, +, *), сохранив операцию сложения и
введя новую операцию умножения х*у по правилу
х *у = уУ^х. Это новое тело мы обозначаем через К
и называем телом, противоположным телу К.
Определение 1.1. Центром тела К называется
множество ZK его элементов, коммутирующих со
всеми элементами из К, т. е. ZK = {х е/С \(уа<^К)
ах = ха}.
') Автор в примечании дает соответствующие английские
термины field и division ring. В литературе на русском языке
приняты термины «поле» и «тело», которых мы и будем
придерживаться» — Прим. перев.

42 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Легко видеть, что центр К есть коммутативное под-
подтело К (поле), содержащее все элементы вида п-\к>
где /igZ, Если К имеет характеристику нуль, то эти
элементы при пФО обратимы; элементы вида
p(ti'lK)-{, обозначаемые как —• 1К, где (/?, n)eZX
X N*, образуют коммутативное подтело тела К, со-
содержащееся в его центре и изоморфное полю Q ра-
рациональных чисел.
Пример некоммутативного тела: тело кватернионов
Считая известной структуру векторного простран-
ства R4, обозначим через е0 = A, 0, 0, 0), е\ = @, 1,
О, 0), е2 = @, 0, 1, 0), еъ = @, 0, 0, 1) векторы его ка-
канонического базиса. Легко видеть, что можно ввести в
JR4 операцию умножения, ассоциативную и дистрибу-
дистрибутивную относительно сложения векторов и такую, что
el=l9 eoe{ = eieo^=eit ej = -e0 (/=1, 2, 3),
еъ, е2еъ = — е^е2 = еь A)
— е{еъ = е2.
Тогда во будет нейтральным элементом для этой
операции умножения, и можно проверить, что любой
ненулевой элемент
з з
<7 = Z + Е
допускает в качестве обратного элемент
Таким образом, множество R4, снабженное этой
структурой, является телом, которое называется те^
лом кватернионов и обозначается Ц (по начальной
Оукве фамилии английского математика Гамильтона,
открывшего кватернионы). Таблица умножения A)
показывает, что это тело некоммутативно и что его
центр состоит из элементов вида (х, 0, 0, 0), где jceR»
эти элементы образуют подтело Н> изоморфное К (см.

Т. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ТЕЛА 43
ниже). Заметим, наконец, что тело Н имеет характе-
характеристику нуль.
Заменяя R полем комплексных чисел С', получим
таким же путем алгебру комплексных кватернионов,
не являющуюся телом.
Изоморфизмы, автоморфизмы и антиавтоморфизмы
Напомним (см. § 1.8), что изоморфизмом тела К
на тело К! называется биекция А: /С->/С, удовлетво*
ряющая условиям
h(xy) = h(x)h(y),
из которых можно также получить, что
lK' и
ft (*->) = [Л (*)]"'.
Примеры. 1) Если К — тело характеристики нуль,
то отображение /: Q->/C, гь—>г« 1кестъ инъективный
гомоморфизм и, значит, изоморфизм Q на его образ,
2) Отображение R->H, x*->(x9 0, 0, 0) есть инъ-
инъективный гомоморфизм R на центр тела Н *)•
В случае некоммутативных тел вводится новое по*
нятие.
Определение 1.2. Антиизоморфизмом тела К на те-
тело К' называется биекция А: К-^К'* для которой
(V(x,y)<=K2) h{x + y) = h{
откуда снова вытекает, что
и
Автоморфизмом (антиавтоморфизмом) тела К на-
называется его изоморфизм (антиизоморфизм) на себя,
1) Точнее говорить об инъективном гомоморфизме R в Н а
тем самым изоморфизме R на ZH, — Прим. перев.

44 ГЛ II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТ РАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Примеры. 1) Если С — поле комплексных чисел,
то отображение сопряжения х + iy \-^> х — iy является
автоморфизмом С. (автоморфизм сопряжения).
2) Если \\—тело кватернионов, то отображение
есть антиавтоморфизм тела Н-
3) Если К — некоммутативное тело, то внутрен*
ние автоморфизмыha: х »—*-аха~{, где а е /С*, являют-
являются автоморфизмами /С; если ^ — тело, противополож-
противоположное /С, то тождественное отображение Ык является ан-
антиизоморфизмом К на /С.
4) Поле K = Z/pZ (обозначаемое также Zp), где
р — простое число, не допускает других автоморфиз-
автоморфизмов, кроме тождественного; действительно, любой эле-
элемент К имеет вид п-\Ку где яеМ, и, значит, сохра-
сохраняется при любом автоморфизме поля /С.
Задача перечисления автоморфизмов тела
Как мы увидим далее (§ III. 8 и IV. 12), изучение
аффинной или проективной геометрии приводит к за-
задаче определения всех автоморфизмов основного тела.
Приведенный выше пример 4 и теорема 1.8.4 решают
эту задачу для полей Zp и R: эти поля не допускают
автоморфизмов, отличных от тождественного.
Более глубокое изучение алгебраических свойств
тела кватернионов позволяет доказать, что единствен*
ными автоморфизмами этого тела являются внутрен-
внутренние автоморфизмы hq: Н -* Щ, х н-> qxq~l (q s Н*) (см.
[BE], т. 2, § 8.9).
Наконец, можно доказать, что поле С допускает
бесконечное множество автоморфизмов, отличных от
тождественного и от автоморфизма сопряжения (см.
|ВО1], упр. 1 в § V. 6 и упр. 2 в § VI. 9); однако сре-
среди них нет ни одного, сохраняющего подполе R или
непрерывного в обычной топологии С.
Эти примеры показывают разнообразие возмож-
возможных ситуаций.

2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ 45
Задача описания всех конечных полей
Прежде всего в [AR], гл. I, и в [LF — AR], т. 1,
упр. IV. 20, можно найти доказательства следующей
знаменитой теоремы:
^ Теорема Веддерберна. Всякое конечное тело ком*
мутативно.
С другой стороны, можно доказать, что характе-
характеристика р конечного поля отлична от нуля и что по-
порядок такого поля (т. е. число его элементов) имеет
вид pd, где dGN* (см. упр. I. 14).
Существование конечного поля характеристики р и
порядка pd следует из теории Галуа (см. [ML—-BI],
т. 2, гл. XVII; примеры есть в упр. 1.15—I. 18). Отме-
Отметим еще, что два конечных поля одной и той же ха^
рактеристики и одинакового порядка изоморфны1),
Упорядоченные тела
Общая проблема упорядоченных тел рассматри-
рассматривается в книге [AR], гл. I2). Там можно найти при-
принадлежащий Гильберту пример некоммутативного упо-
упорядоченного тела.
Напротив, некоммутативного упорядоченного тела,
удовлетворяющего аксиоме Архимеда, не существует
(см. упр. I. 10).
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ
> Определение 2.1. Пусть К — какое-либо тело, не
обязательно коммутативное. Левым векторным про*
странством над К называется абелева группа (?, +)>
снабженная внешним законом композиции КУ^ЕЕ
(Я, л:)н->Ял:, таким, что3)
1) Очевидно, что равенство характеристик вытекает из ра-
равенства порядков. — Прим. перев.
2) Там же (гл. I, § 9 русского издания) дано и определение
упорядоченного тела в общем случае. — Прим. перев.
3) Во избежание недоразумений элементы К (называемые
скалярами) по большей части обозначаются греческими буквами,
а элементы Е (называемые векторами)—латинскими. В виде
исключения нуль тела К и нуль векторного пространства Е
будут обозначаться одинаково как 0,

46 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
j) (уд; ^ ?) 1 . х = X
ii) (V(^, x, y)s=KXEXE) X(x + y)=Xx + Xyf
Ш) (V(Kn,x)^KXKXE) (X + tx)x = Xx + \xy9
iv) (V(X,\i,x)€=KXKXE) Яfax) = (Xix)x.
Эти условия влекут А,-0 = 0 для всех Х^К и О-
«. # = 0 для всех л; е ?.
> Точно так же правое векторное пространство над
К есть абелева группа (?, +)» снабженная внешним
законом композиции EX K-+E, {х, Х)*—>хХ, таким,
что
i) (V-^ g= Е) х ' 1 — х
ii) (V (Х,х,у)<=КХЕХ Е) (х + у)Х = хХ + уХ,
Hi) (V(^ V> х)е=КХКХЕ) {Х + )
(()KE)
Во избежание путаницы элементы из К часто бу-
будут называться «скалярами», в то время как элемен-
элементы из Е — «векторами».
Заметим, что К имеет двойную каноническую
структуру векторного пространства, левого и правого4
над самим собой.
Замечания. 1) Понятно, что не возбраняется пи-
писать (X, x)t->Xx (где Я,е К и хе Е) и для внешнего
закона композиции правого векторного пространства,
но тогда iii) принимает вид \л{Хх)= {Х\л)х\ это пока*
зывает, что правое векторное пространство над К мо-
может рассматриваться как левое над телом Я, противо-
противоположным /С.
Поэтому мы можем, не нарушая общности, огра*
ничиться рассмотрением левых векторных пространств,
2) Если К коммутативно, понятия левого и пра-
правого векторных пространств совпадают. В этом и толь*
ко в этом случае произведение вектора х на скаляр Л
можно записывать и как Ял:, и как хХ.
Обобщение привычных понятий на случай некомму-
некоммутативного тела
Пусть Е — левое векторное пространство над /Сл
а) Векторным подпространством (сокращенно
ВПП) пространства Е называется непустое подмноже-
подмножество X аЕ, устойчивое по отношению к обоим зако-

2, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОД^ЦЬЩ,ТЕЛОМ >^7
нам композиции, т. е. такое, что 0е1и
(V (Я, [х) е= К\ V (*, У) е Г) Л* + ад е= X.
Каждое ВПП пространства Е допускает очевидную
структуру левого векторного пространства над /(.
b) Пусть $F = (xi)t s 7 — произвольное семейство
(необязательно конечное) элементов Е.
Линейные комбинации элементов SF — это элемен-
элементы Е вида X) hjXj, где / — некоторое конечное1) не-
непустое подмножество /, а Я/ (/е/)—произвольные
скаляры.
Зги линейные комбинации образуют векторное
подпространство в ?; говорят, что оно порождено се-
семейством S^, и обозначают его Vect(^). Семейство ?Г
называется семейством образующих, если Vect(^") =
= Е, т. е. если любой элемент Е является линейной
комбинацией элементов SF.
c) Семейство (**•); е=/ элементов Е называется зави-
зависимым, если существуют конечное подмножество
/ d / и скаляры (Л»у)уе/, не все равные нулю, такие,
что
Yj hjXj = 0.
В противном случае семейство (л^)/е/ называется
d) Базисом (индексированным) пространства /?
называется свободное семейство ЗГ образующих; это
означает, что каждый элемент из Е может быть един-
единственным образом представлен как линейная комби-
комбинация элементов ST.
e) Понятие свободного подмножества (соотв. под-
подмножества образующих) в Е сводится к понятию сво-
свободного семейства (соотв. семейства образующих) в
Е\ в самом деле, подмножество X можно отождествить
с семейством (^a)a€SJC, индексированным элементами из
Ху так что ха = а для всех asl
*) Важно иметь в виду, что в алгебраической теории век-
векторных пространств рассматриваются только конечные линей-
линейные комбинации.

48 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
В частности, векторное пространство, порожденное
этим семейством, будет обозначаться Vect(X).
Если множество X состоит из одного элемента а,
то векторное пространство Vect(Z) обозначается /Са
или а/С, смотря по тому, является ли Е левым или
правым векторным пространством над /С, и называет-
называется векторной прямой, порожденной вектором а1).
> Наконец, понятия суммы, прямой суммы ВПП и
дополнительного ВПП немедленно распространяются
на случай пространств над телами (см. упр. II. 3 и
II. 6).
Теорема о замене
В § 3 мы покажем, что теория размерности тоже
без затруднений распространяется на левые (или пра-
правые) векторные пространства над телами. Вначале мы
установим во всей общности следующий основной ре-
результат:
> Теорема 2.1. Пусть Е — левое (или правое) век*
торное пространство над телом /С, G— подмножество
образующих и А = {аь ..., ар} — свободное конечное
подмножество в Е.
Тогда в G найдется р попарно различных элемен*
тов Ьи Ь2, ..., Ьр, таких, что A (J (G\{bu b2, ..., bp}}
будет подмножеством образующих для Е2).
Другими словами: можно заменить в G элементы
b\f ,.., Ьр элементами аи . • • > ар> так что G сохранит
свойство быть подмножеством образующих в Е — от-
отсюда и название «теорема о замене».
Доказательство. Не нарушая общности, предполо-
предположим, что Е — левое векторное пространство.
Положив Ak = {au a2, ..., ak) для каждого
&е{1, 2, ..., р}, заметим, что Ak есть свободное
подмножество в Е (так как Ak содержится в Л), и
проведем индукцию по k\ именно, установим, что
для любого k е {1, 2, ..., р] в G существует под-
подмножество Bk = {bu b2, ..., bk) мощности k, такое,
х) Разумеется, при а ф 0. — Прим. перев.
2) Напомним здесь, что G \В обозначает множество, со-
состоящее из элементов (?, не входящих в В.

» ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ 4Й
что Gk = AkU {G \Bk) является подмножеством обра-
образующих для ?.
a) При k= l утверждение верно; в самом деле,
п\ ф О, так как А свободное. Так как G — множество
m
образующих, можно записать а{ = Z ^igh ГДе gi» ¦••
г*-, gm — различные элементы G. Так как не все Я*
равны нулю, положим Я/ ф 0 и введем обозначения
Я = Я/, &i = gj. Тогда
Это показывает, что Ь\ принадлежит векторному про-
пространству, порожденному G\ = {a{} \J(G\{b\})\ итак,
всякая линейная комбинация элементов G есть линей-
линейная комбинация элементов из G\{6i} и а\. Иными
словами, G\ есть множество образующих для Е.
b) Предположим, что утверждение верно до неко<
торого k < р. Поскольку Gk = Ak\j {G\Bk) — множе-
множество образующих, можно положить
Z
g gm — различные элементы из G\Bk;
так как А — свободное подмножество, то найдется
хотя бы один индекс /^{1, ..., т}, такой, что
Яу Ф 0. Полагая Я==Я/, bk+l=a*gj и Bk+l = Bk\J
\J{bk+i}=*{b\, ..., bk9 bk+l}t найдем, что вектор
k
bk+l — X~lak+l - Z b~%gt - Z Я"Vr^r
принадлежит векторному пространству, порожденному
множеством
е*+1 = {а,+1} и (oh \ {bk+l}) = лА+1 и (о \ вм),
и так как по предположению индукции Gk есть мно-
множество образующих, то и Gk+i — множество образую-
образующих Е. Итак, утверждение верно при любом целом
k^p. ?

50 ГЛ, IT. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
> Следствие. Если Е допускает свободное р-элеч
ментное подмножество Л, то всякое множество обра-^
зующих Е содержит не менее р элементов.
Пример. Векторное пространство многочленов над
К. Пусть К [X]— множество формальных многочле-
нов над произвольным телом /С На К[Х] определяет*
ся структура левого векторного пространства над К9
если положить для любых двух многочленов Р»
= ? akXk и Q = ? bkXk и любого Хе=К
P + Q=~Z(ak + bk)Х\ %Р = ? XakXk.
Семейство (Xn)nGN является тогда базисом простран-
ства К[Х].
3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
^ Теорема 3.1 (о размерности). Пусть Е — левое (или
правое) векторное пространство над телом /С, допу^
екающее конечный базис В мощности п. Тогда
Всякое свободное подмножество в Е имеет не бо-
более п элементов.
Всякое подмножество образующих Е содержит на
менее п элементов.
Следовательно, всякий базис Е состоит из п эле*
ментов.
Доказательство, а) Если L — свободное подмноже-
подмножество Е, то, как показывает следствие из теоремы 2.1,
всякая конечная часть L состоит не более чем из п
элементов (поскольку базис В является подмножест-
подмножеством образующих мощности я); следовательно, L —•
конечное множество мощности ^ п.
Ь) Если G — множество образующих Е, мы можем
применить то же самое следствие при А = В и убе-
убедиться, что card(G) ^ п. Отсюда вытекает и послед-
последнее утверждение.
. Тем самым мы обосновали корректность следую-
следующего определения:
> Определение 3.1. Векторное пространство назы-
называется конечномерным (соотв, размерности /г), если

3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 51
оно допускает конечный базис (соотв. базис мощно-
мощности п).
Последующие предложения являются приложения-
приложениями теоремы о замене 2.1.
Предложения 3.2. Для того чтобы векторное про-
пространство Е было конечномерным, необходимо и до-
достаточно, чтобы оно допускало конечное подмноже-
подмножество образующих G; это подмножество образующих
содержит базис.
Доказательство. Необходимость условия очевидна.
Обратно, если условие выполнено, то мощности под-
подмножеств образующих, содержащихся в G, составляют
непустое подмножество PcN; обозначим через р
наименьший элемент Р. Тогда существует хотя бы од-
одно подмножество Go образующих Е% содержащееся в
G и имеющее мощность р. Если бы Go не было сво-
свободным, то какой-нибудь элемент а из Go был бы ли-
линейной комбинацией остальных, a G0\{a} было бы
множеством образующих Е мощности р—1, что про-
противоречит определению р. Значит, Go является конеч-
конечным базисом Я, содержащимся в G. П
> Следствие. Если Е — векторное пространство раз-
размерности п, то любое подмножество образующих, со-
содержащее п элементов, является базисом.
Предложение 3.3. Для того чтобы векторное про*
странство Е имело конечную размерность ^ п, необ-
необходимо и достаточно, чтобы в нем не было свободного
подмножества мощности > п.
Доказательство. Необходимость этого условия вы-
вытекает из теоремы 3.1. Обратно, если оно выполнено,
мощности свободных конечных подмножеств Е обра-
образуют непустое подмножество Р в N, имеющее мажо-
мажоранту п. Обозначим через р наибольший элемент в Р;
существует свободное подмножество L а Е мощности
р. Если бы L не было множеством образующих, в Е
существовал бы элемент а, не принадлежащий
Vect(L), и L U {а} было бы свободным подмножест-
подмножеством Е мощности р+ 1, что противоречит определению
р. Таким образом, L есть базис Е и dim(?'| = p. ?

52 ГЛ II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
> Следствие. Если Е— векторное пространство ко-
конечной размерности п, то все его векторные подпро-
подпространства имеют конечную размерность ^ п.
В самом деле, каждое свободное подмножество Ь
ВПП X а Е есть также и свободное подмножество в
Е. Поэтому card(L) </2и dim(Z) ^ п.
Теорема о дополнении до базиса
> Теорема 3.4. Если Е — конечномерное векторное
пространство и L — свободное подмножество в ?, то
существует базис Я, содержащий L.
Доказательство. Применим теорему о замене
(теорему 2.1) с Л = ? и некоторым базисом Е в ка-
качестве G. Если L—{au ..., ар}, то можно упорядо-
упорядочить G в конечную последовательность (Ьи Ъ2> ...,&л)
с /г>р так, чтобы В = {аи ..., ар, Ьр+и ..., Ьп}
было множеством образующих Е. Так как card (В) =
z=n = dim(E), то В является базисом Е (следствие
из предложения 3.2). ?
^ Следствие 1.Если Е — векторное пространство ко-
конечной размерности п, то каждое его свободное под-
подмножество, состоящее из п элементов, является бази-
базисом.
> Следствие 2. Если Е — векторное пространство ко-
конечной размерности и X — его ВПП той же размерно-
размерности, то X = Я.
Действительно, каждый базис В подпространства
X является свободным подмножеством, число элемен-
элементов которого равно размерности ?, и потому Е =
Vt(B)X
>> Теорема 3.5. Если Е — конечномерное векторное
пространство, то каждое его ВПП X допускает по
меньшей мере одно дополнительное подпростран*
ство !).
1) Дополнительными подпространствами в Е называются та-
такие подпространства X, У, что любой элемент z e E единствен-
единственным образом представляется в виде z = х + у, где х е X,
у бУ,- Прим. перев.

4 ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 53
Доказательство. Результат тривиален в случаях
X = {0} и Х = Е, которые мы исключим из рассмо-
рассмотрения. Пусть А — базис X и В — базис Е, содержа-
содержащий А. Тогда каждый элемент из Е единственным об-
образом представляется как сумма линейной комбина-
комбинации элементов А и линейной комбинации элементов
Ъ\А; иными словами, X = Vect (А ) и У = Vect (B\A );
суть два дополнительных друг к другу ВПП (см.
упр. II. 3). ?
Заметим, что если X, Y — два дополнительных ВПП
в ?, то dim(?) = dim(X) + сНт(У) (подробнее см,
упр. II. 5 и II. 6).
Типовой пример: стандартные пространства Кп
Если К — произвольное тело, то декартово произ-
произведение Кп допускает две канонические структуры
векторного пространства над К: левого и правого, оп-
определенных соответственно законами умножения
%( ) ..., Ххп) и (хи ..., хп)к =
)
В случае коммутативного К эти две структуры сов-
совпадают; их размерности обе равны п.
Можно заметить, что если К—конечное тело (и,
следовательно, поле) порядка й, то мощность множе-
множества Кп равна kn (так как каждая из координат х\>
Х2, -..<> хп пробегает k различных значений).
Далее мы увидим, что всякое левое (соотв. пра-
правое) векторное пространство размерности п над К
изоморфно КпУ рассматриваемому как левое (соотв.
правое) векторное пространство.
Замечание. Векторные пространства, не имеющие
конечной размерности, называются бесконечномерны-
бесконечномерными; например, К[Х] бесконечномерно; этому выраже-
выражению мы не придаем более точного смысла (см. § 9).
4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Понятие линейного отображения немедленно рас-
распространяется на случай векторных пространств над
произвольным телом; в частности, сохраняется без
изменений теория векторных проектирований и сим-

54 ГЛ. П. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
метрий (см. упр. II. 3). Но здесь нам потребуется бо-
лее общее понятие.
> Определение 4.1. Пусть Ех и Е2— левые вектор*
ные пространства над телами соответственно К\ и /С2.
Отображение /: Е\-*Е2 называется полулинейным,
если оно удовлетворяет условию
(V{x9y)eExXEx) f(x + y) = f(x)+f(y)
и существует такой изоморфизм 9 тела К\ на тело К2>
что
(V (Я, х) е= Кг X Е{) f {kx) = 6 (Я) / (х).
Термин линейное отображение приберегается для
случая, когда /Ci = /С2 и 9 — тождественное отобра-
отображение. В частности, изоморфизм есть биективное ли-
линейное отображение; эндоморфизм (соотв. автомор*
физм) векторного пространства Е есть линейное ото-
отображение Е в себя (соотв. изоморфизм Е на себя).
Автоморфизмы векторного пространства Е обра-
образуют группу, называемую линейной группой Е и обо-
обозначаемую GL(?).
Более общо, полулинейные биекции векторного
пространства Е на себя образуют группу, обозна-
обозначаемую GSL(?), для которой GL(?) является инва-
инвариантной подгруппой.
Примеры. 1) Если Е — векторное пространство над
полем характеристики ^2, то можно показать
(см. упр. II. 3), что единственные инволютивные авто-
автоморфизмы Е суть векторные симметрии1). Но могут?)
существовать инволютивные полулинейные отображен
ния Е на Е9 не являющиеся линейными. Например^
если ?=,СЛ то полулинейное отображение f: '&п—.&п9
{z\ ..., zrt)b->(fif ..., zn)t ассоциированное с авто-
автоморфизмом гь—>г поля С:, инволютивно.
2) Если Е — левое векторное пространство над К,
то векторная гомотетия hk: E-+E, x\—>kx(k^K*)
есть полулинейное отображение, ассоциированное с
По поводу случая характеристики 2 см. упр, II. 4,

4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 55
внутренним автоморфизмом
/WUT1.
> Таким образом, hk линейно, только если к при-
принадлежит центру К\ тогда гомотетия hk становится
автоморфизмом Е.
Легко показать, что векторные гомотетии обра-
образуют инвариантную подгруппу группы GSL(?).
С другой стороны, центр группы GL(?) образован
векторными гомотетиями h^ коэффициент k которых
принадлежит центру К (см. упр. II. 15 и II. 16).
Свойства. Среди классических свойств линейных
отображений есть такие, которые легко распростра-
распространяются на линейные или даже всего лишь полулиней-
полулинейные отображения над произвольным телом, но есть и
такие, которые теряют силу в случае некоммутатив-
некоммутативного тела.
Мы начнем с изучения общих свойств, не завися-
зависящих от размерности; случай конечномерных про-
пространств рассматривается в § 5.
^ Предложение 4.1. Пусть f: E-+F—полулинейное
отображение, X — ВПП Е и У—ВПП F. Тогда f(X)
является ВПП F и f-1{Y)—BUU E.
В частности, lmf = f(E) есть ВПП F, называемое
образом f, a Kerf^f-^O)—ВПП Еу называемое яд-
ядром /; ядро сводится к {0} тогда и только тогда,
когда / инъективно.
Доказательство очевидно.
Заметим, что, напротив, задача о собственных
значениях и собственных векторах в случае некомму-
некоммутативного тела выглядит совершенно по-другому.
^ Предложение 4.2. Пусть ?, F — два векторных
пространства над одним и тем же телом /С, а Еи Е2 —
два ВПП пространства Я, такие, что Е = Е{® Е21).
\Если /ь Ei-^F и f2: E2-+F — два линейных отобра-
отображения, то существует единственное линейное отобра-
Напомним, что Ф есть знак прямой суммы. -^- Прим. перев.

56 ГЛ II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
жение f: ?->F, ограничение которого на каждое из
подпространств ?,• (i = 1, 2) равно ft.
Доказательство. Пусть / — биекция
fiX^-^ Е> (хи Х2)*-> хх + х2.
Тогда единственное отображение /, удовлетворяющее
выдвинутым требованиям, определяется условием
foj(Xu Ха) == f 1 (х0 + f2(x2).
Таким образом, линейное отображение Е в F од-
позначно определено своими ограничениями на два
дополнительных ВПП Еи Е2 пространства Е.
Факторпространство. Каноническое разложение полу-
полулинейного отображения
^ Теорема 4.3. Пусть Е — левое векторное простран-
пространство над К, X — его векторное подпространство и
Е/Х—факторгруппа группы (?",+) по подгруппе X.
Тогда Е/Х допускает единственную структуру левого
векторного пространства над /С, такую, что канониче*
екая проекция р: Е-+Е/Х есть линейное отобра-
отображение.
Более того, если У дополнительно к X, то ограни-
ограничение р на У есть изоморфизм У на Е/Х.
Доказательство, а) По определению, для любого
а^Е класс р(а) есть множество векторов вида
а -\- х, где х пробегает Ху и, как легко проверить, для
%^К класс p(ka) зависит только от К и р(а). Та-
Таким образом, Е/Х наделяется структурой левого век-
векторного пространства, совместимой с классической
групповой структурой, если положить р{а)-\-р(Ь) =
= р(а + Ь) и Хр (а) = р (Ха). Это единственная
структура, относительно которой проекция р линейна.
Ь) Если E = X®Yy то каждый класс р(а) имеет
с У единственный общий элемент (компоненту а в
У); поэтому ограничение р на У биективно. ?
> Теорема 4.4. Каждое полулинейное отображение
/: E-+F имеет разложение f = gopt где р: Е-+
?/К/—каноническая проекция, a g: ?"/Кег/->-

4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 57
~> F—полулинейное инъективное отображение, ассо-
ассоциированное с тем же изоморфизмом Э тела, что и /.
Доказательство. Если (ayb)^E2y то f(a)—f(b)
равносильно Ь — a g Ker f, и потому р(а) = р(Ь).
Следовательно, существует инъективное отображение
g: E/Kev f-> Fy такое, что f = g ° p. Далее, поскольку
р линейно и / полулинейно, для любых а, 6е?
имеем
и для каждого элемента Я основного тела простран-
пространства Е
g (Яр (а)) = ? (р (Яа)) = / (Ха) = 6 (Я) / (а) = 0 (Я) g (p (а)).
Итак, g полулинейно и ассоциировано с Э. П
Применение базисов
^ Теорема 4.5. Пусть ?, F — два левых векторных
пространства над телами /С, /С7 и В = (^)/е/— ин-
индексированный базис Е. Тогда
a) Для любого семейства {cii)ieI элементов Fy ин-
индексированного тем же множеством /, существует
единственное полулинейное отображение f: E-+F, ас-
социированное с заданным изоморфизмом Э: К-+К'
и удовлетворяющее условиям f(ei)=ai при всех
ie/.
b) Для того чтобы / было инъективным (соотв.
сюръективным), необходимо и достаточно, чтобы се-
семейство (ui){eI было свободным (соотв. семейством
образующих).
Следовательно, для того чтобы f было биектив-
биективным, необходимо и достаточно, чтобы образ при ото-
отображении f какого-либо базиса Е был базисом Ft и
тогда то же самое имеет место для всякого базиса.
Доказательство, а) Отображение f, определяемое
равенством / f J) хьеЛ = 2 0(**)а* Для любого ко^
Vie/ / ie=J

Б8 ГЛ- It. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
нечного /с:/, является единственным отображением,
удовлетворяющим поставленным требованиям.
Отсюда легко получается утверждение Ь).
Пространство линейных или полулинейных отобра-
отображений
Легко видеть, что композиция линейных (соотв.
полулинейных) отображений линейна (соотв. полули-
полулинейна).
Сумма двух линейных отображений /*•: E-+F {i =
= 1, 2), очевидно, линейна. Напротив, сумма двух
полулинейных отображений полулинейна только в
том случае, когда оба этих отображения ассоцииро-
ассоциированы с одним и тем же изоморфизмом тел.
Наконец, пусть ?, F — два левых векторных про-
пространства над телами /С, К' и f: E-*F — полулиней-
полулинейное отображение, ассоциированное с изоморфизмом
0: К-+К'. Для любого k e К'* отображение
g = kf: E-+F, x*-*kf(x)
полулинейно и ассоциировано с изоморфизмом
Действительно, имеем
8 (хх) = kf (хх) = т (я) f (х)=/е (я) ыхё (х).
В частности, мы можем сформулировать
> Предложение 4.6. Если ?, F — два левых вектор-
векторных пространства над телом К и / — линейное ото-
отображение Е в F, то отображение kf (где k<^K*) по-
полулинейно и ассоциировано с внутренним автомор-
автоморфизмом X и-> kkkT1.
Итак, kf линейно только в случае, когда k при-
принадлежит центру тела К. Если f = IcU, то мы возвра-
возвращаемся к случаю векторных гомотетий.
Отсюда вытекает, что если К не коммутативно, то
множество линейных отображений Е в F не является
векторным пространством по отношению к обычным
операциям] поэтому представляет интерес следующий
частный случай:

5. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 59
> Предложение 4.7. Пусть Е — левое векторное про-
пространство над телом К. Тогда линейные отображе-
отображения Е в К (называемые линейными формами) об-
образуют правое векторное пространство над К со
следующими законами сложения и умножения на
скаляры:
(fk)(x) = f(x)k (kezK).
Проверка осуществляется непосредственно. Векторное
пространство линейных форм на Е называется сопря-
сопряженным с Е и обозначается Е*.
Понятно, что предложение 4.7 остается верным при
перестановке слов «левый» и «правый».
Сопряженность линейных пространств будет изу-
изучена в § 6.
5. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Теорема 5.1. Пусть Е — левое конечномерное про-
пространство над телом /С. Для того чтобы левое вектор-
векторное /(-пространство F было изоморфно Е, необходимо
и достаточно условие dim(JF)= dim(?).
В самом деле, пусть (^I</<rt — базис Е\ если
f: E->F— изоморфизм, то (f(et)) составляют базис
F, откуда следует, что dim(F) = dim(?). Обратно,
если последнее равенство выполнено, то предложе-
предложение 4.5 позволяет построить нужный изоморфизм.
Можно доказать также следующую теорему:
>> Теорема 5.2. Пусть ?, F — два векторных про-
пространства одинаковой конечной размерности п над
телами /С, К', а /—полулинейное отображение Е в F.
Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
i) / инъективно,
ii) / сюръективно,
ш) / биективно.
Доказательство. Если f инъективно (соотв. сюръ-
сюръективно), то образ при отображении / базиса Е яв-

60 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ляется свободным семейством (соотв. семейством об-
образующих) мощности п, что и влечет биективность f.
Наконец, из теоремы 4.4 о каноническом разложе-
разложении выводится
> Предложение 5.3. Если ?, F — два конечномерных
векторных пространства и /: E-+F— полулинейное
отображение, то
dim(Im/) + dim(Ker/) = dim(?l). A)
Доказательство. Можно положить f = g^pt где
g: E/Kerf-+F — полулинейное инъективное отобра-
отображение. Каноническая проекция р: ?->?/Ker f сюръ-
ективна, и потому Imjf=Img. Рассматривая g как
полулинейную биекцию ?/Kerf на Im/, найдем, что
dim(Im/)=dim(?/Kerf).
Наконец, поскольку ?/Kerf изоморфно любому
подпространству, дополнительному к Кег/ (теорема
4.3), то
dim (Е) = dim (Кег /) + dim (?/Кег /),
откуда и вытекает результат. ?
Напомним здесь, что размерность образа / назы-
называется рангом f и обозначается rg(f).
Матрица линейного отображения
Пусть Е, F — два левых векторных пространства
конечных размерностей пу р над одним и тем же те-
телом К, В = (ер ..., еп) — базис ?иВ' = (е[9 ..., е'р)-~
базис F. В силу теоремы 4.5, задание линейного
отображения f: E-+F равнозначно заданию прямо-
прямоугольной таблицы скаляров (аы) A ^ k ^ р, 1 <1
^ / ^ п), таких, что
f{et) = txakie'k A</<л). B)
Эта таблица называется матрицей отображения f в
базисах В, В'.

6. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, ДУАЛЬНОСТЬ §1
п
Образом вектора х= ^ хье{ из Е является вектор
р
из F с координатами
1 C)
В случае правых векторных пространств ?, F фор-
формулы B) и C) заменяются следующими:
/(*,) = ? 4Лн (!<'<*), B0
fe=i
*/&==: 2-1 ^/-^? A ^ & ^ p)t C)
и отображение / определяется тогда условиями
/ п \ п р
/1 Z-i ^-^/ I — Zu I (еи %i — Z.
\i — \ / i=»l fe =
В частности, всякая линейная форма / на левом
(соотв. правом) векторном пространстве Е записы-
записывается в виде
/ п
где /(е«) — элементы тела /С.
Если К — поле, то мы возвращаемся к привычным
формулам.
Мы не станем развивать здесь матричное исчисле-
исчисление над некоммутативным телом.
6. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ,
ДУАЛЬНОСТЬ
Линейные формы были определены в § 4. Теперь
мы изучим их связь с геометрическим понятием гипер*
плоскости.

62 ГЛ. 1Г. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Определение 6.1. Пусть Е — векторное простран-
пространство над телом К. Векторной гиперплоскостью в Е
называется такое его векторное подпространство Я,
что размерность Е/Н равна 1.
> Предложение 6.1. Для того чтобы векторное под-
подпространство Я пространства Е было гиперпло-
гиперплоскостью, достаточно, чтобы в Е существовал такой
элемент я, что Е = Я Ф Ка.
Обратно, если Я— гиперплоскость в Е9 то Е =
g== Я © Ка для любого а е Е\Н.
Доказательство, а) Если ? = Я©/Са, то Я допу-
допускает в качестве дополнительного подпространства
прямую Ка. По теореме 4.3 размерность Е/Н равна 1
и Я — гиперплоскость.
Ь) Если Я — гиперплоскость, обозначим через
р: Е-+Е/Н каноническую проекцию. Поскольку Е/Н
одномерно, Е\Н не пусто, и для каждого а е Е\Н
векторное пространство Е/Н порождается элементом
р{а). Дя каждого х^Е существует Я е К, такое, что
р[х) = Хр(а), что равносильно х — ке//. Следова-
Следовательно, Е = Я + Ка и, поскольку Я П (Ка) = {0},
имеем Е = Я @ Ка.
Следствие. Для того чтобы векторное подпро-
подпространство Я пространства Е было гиперплоскостью,
необходимо и достаточно, чтобы у Я имелось до-
дополнительное подпространство размерности 1.
Заметим, что гиперплоскости можно было опреде-
определить этим свойством, не прибегая к понятию фактор-
пространства.
Пример. Пусть Я — векторное подпространство в
Е = К[Х], образованное многочленами без свобод-
свободного члена. Тогда Я допускает в качестве дополни-
дополнительного подпространства векторную прямую, порож-
порожденную скалярами; значит, Я есть векторная гипер-
гиперплоскость пространства /С[^]
> Теорема 6.2. а) Ядро не равной тождественно
нулю линейной формы является векторной гиперпло-
гиперплоскостью.

6. ДИНВЦНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ, ДУАЛЬНОСТЬ' 63
Ь) Обратно, если Я— векторная гиперплоскость
в Е, то на Е существует линейная форма /, такая, что
Н = Kerf, и если g — линейная форма, равная нулю
на Я, то существует такой скаляр /г, что g = fk. Сле*
довательно, если Я — Кег / = Ker gt то существует
k е /С*, такой, что g = fk.
Доказательство, а) Пусть f e E\ f Ф 0 и Я == Ker f.
По предположению, существует такой вектор а??,
что / (а) =^= 0; положив b = [/ (а)] а, найдем, что
/ F) = 1. Для каждого х е ? вектор y=-x~f(x)b
удовлетворяет равенству f(y) = Qt т. е. у^Н. Таким
образом, хеЯ + /С6, откуда следует, что Е = Н + Kb,
и, поскольку b ф Н, Н — гиперплоскость.
Ь) Пусть Н — гиперплоскость и а^ Е \Н. Для
каждого х е ? существует единственный скаляр /(х),
такой, что x — f(x)a^H. Определенное таким путем
отображение /: Е->К очевидным образом линейно
и хеЯ равносильно /(#) = 0. Итак, Я = Кег/.
Наконец, если g — линейная форма, равная нулю
на Я = Кег/, то можно выбрать а^Е так, что
/(а)=1. Тогда форма А: л: ь-> g (#) _ f (x) g (а) обра-
обращается в нуль и на Я и в а и, следовательно, на
Н + /(а=- Е; иными словами, h есть нулевая форма
и § = fk> гДе k = g(a) (напомним, что форма
//?: x*—>f(x)k линейна). П
Следствие. Если Я, Я' — две гиперплоскости в Е
и Я с Я', то Я = Я7.
Доказательство. Положим Я = Кег/, Я' =
форма g обращается в нуль на Я, и потому g = fk
с k ф 0 и, значит, Я = Я7.
Замечание. Более общо: ядро полулинейной фор*
мы, не всюду равной нулю на Я, является гиперпло-
гиперплоскостью. Действительно, полулинейные формы при-
приводятся к линейным с помощью композиции с авто-
автоморфизмом тела К <(см. упр. II. 13).
Дуальность
Мы рассмотрим отношение, называемое дуаль-
дуальностью, между пространством Е и сопряженным Е\

64 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Для этого введем отображение
Ь: ЕХЕ*->К, (x9f)*-»f(x).
Это отображение билинейно1), так как
(V (Я, ix) € К\ V (*, /) е ? X E*) Ъ (kxt /,1) = Xf (x) p.
A)
Форма b позволяет ввести между элементами про-
пространства Е и сопряженного пространства Е* отно-
отношение ортогональности: элемент f e E* назовем орто-
ортогональным к х^Е, если /(х) = 0. Множество всех
элементов из ?*, ортогональных к хеО, называется
аннулятором х. В более общей форме введем
> Определение 6.2. Аннулятором2) подмножества
AczE называется подмножество Л° с= ?*, определяе-
определяемое условием
Л° = {/ е ?* | (Vjc с= Л) f (х) = 0}.
Иными словами, это множество линейных форм на
?, ядро которых содержит Л. Аннулятор Л можно
также называть (полным) ортогональным к А про-
странством, так как верно
Предложение 6.3. Аннулятор Л° подмножества
А а Е есть векторное подпространство в Е* и
Л° Л°
)
С другой стороны, если Л, В — два подмножества
в Е, то
(Л U ВH = Л° Л В0, (Л П Bf zdA° + B° B)
и включение А а В влечет Л° :=> В0.
Проверка не составляет труда.
1) Более общо, если Е — левое и Е* — правое векторные про*
странства над /С, отображение Ъ\ Е X Е* ->¦ К со свойством A)
называется спариванием; по поводу этого понятия см. [AR], гл. I.
2) Термином «аннулятор» мы заменили трудно переводимый
термин «l'orthogonal»; для компенсации добавлено прямое опре-
определение ортогональности элементов Е и Е*. Вообще, два под-
подмножества А а Е и А' с Е* можно называть вполне ортого~
нальными, если попарно ортогональны любые их элементы. —•
Прим. перев.

б. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ. ДУАЛЬНОСТЬ §5
Пример. Пусть Н — гиперплоскость в Е\ ее анну-
лятор есть векторная прямая в ?"*, образованная ли-
линейными формами, обращающимися в нуль на Н
l(cm. теорему 6.2).
Второе сопряженное пространство. По-прежнему
исходим из левого векторного пространства Е над те-
телом К. Сопряженное с ним пространство ?* есть пра-
правое векторное пространство над /С; пространство ?**,
сопряженное с ?*, называется вторым сопряженным
с Е и является левым векторным пространством над
К. Отображение /: ?->?**, x*—>xf определяемое ус-
условием x(f) = f(x), очевидным образом, линейно; в
самом деле, (кх) (f) = f (кх) = kf (x) = кх (/).
Далее (§ 10) мы установим, применяя, правда,
лемму Цорна, что это отображение / инъективно; дей-
действительно, утверждать, что / инъективно, означает
утверждать, что нулевой вектор Е — это единствен-
единственный вектор, удовлетворяющий условию f(x) = 0 для
всех / е ?*, что для бесконечномерного Е неоче-
неочевидно.
Случай конечной размерности рассматривается
в § 7.
Линейное отображение / называется канониче-
каноническим вложением Е во второе сопряженное простран-
пространство ?**.
Транспонированное линейное отображение
Определение 6.3. Пусть ?, F — два левых вектор-
векторных пространства над одним и тем же телом К и
ф: Е-> F — линейное отображение. Транспонирован-
Транспонированным к ф называется отображение 'ф: /•->?*, опреде-
определенное условием
Предложение 6.4. Если ф — линейное отображе-
отображение, то транспонированное отображение *ф также ли-
линейно и
C)
3 Ж. Лелон-Феррак

66 ГЛ. 1Г. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Доказательство. Для любой формы fef* и каж-
каждого k e К имеем
'ф (/*) (х) = / (Ф (*)) k или <ср (fk) = ('ф (/)) k
и, с другой стороны,
что и доказывает линейность 'ф.
Наконец, Кег('ф) есть множество таких /еР, что
^Оф(л:)=0 для всех xg?; иными словами, Кег('ф)
есть множество таких /еР, которые равны нулю на
ф(?)=1тф, откуда C) следует по определению ан-
нулятора. П
Разумеется, все результаты этого параграфа со-
сохраняют силу при перестановке слов «левый» и «пра-
«правый».
7. ДУАЛЬНОСТЬ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Если Е конечномерно, то результаты предыдущего
параграфа могут быть усилены.
Теорема 7.1. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности п\ тогда и сопряженное про-
пространство Е* имеет ту же размерность п\ если
B = (ei)l<i<n—базис Е9 то п координатных форм
(xi)l<i<n составляют базис ?*, называемый дуаль-
дуальным базисом к В.
Доказательство. Если Е — левое векторное про-
пространство, то всякая линейная форма на нем един-
единственным образом записывается в виде
'(?**)¦
Е//*> где fi =
Таким образом, п координатных форм хь->хь со-
составляют базис в ?*; координатами / в этом базисе
являются скаляры // = f(jSi). ?

7. ДУАЛЬНОСТЬ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ 67
Следствие. Если Е — конечномерное векторное про-
пространство, то отображение /: ?->?**, х*—>?9 опре-
определяемое условием
(V/€=?*) x(f) = f(x),
является изоморфизмом, что позволяет отождествить
Е и его второе сопряженное пространство ?"**.
Доказательство. ?** имеет ту же размерность п>
что Е* и Е. Поскольку / линейно, достаточно доказать
его инъективность, что делается элементарно: если
х — элемент Е, такой, что х = О, то x(f) = 0 для всех
/ е Е* и, в частности, для каждой координатной фор-
формы */ в некотором базисе В пространства Е. Имея
нулевые координаты, вектор х равен нулю: х = 0. ?
Важное замечание. Если Е — левое (соотв. пра-
правое) векторное пространство, то Е* является правым
(соотв. левым) векторным пространством. Поэтому
не существует изоморфизма Е на ?*, кроме случая,
когда К — поле. Но даже в этом случае не существует
канонического изоморфизма Е на Е* (т. е. изомор-
изоморфизма, однозначно определенного самой векторной
структурой, независимо, например, от выбора базиса
в Е). Мы увидим ниже (§ 8), что в случае, когда К —
поле, задание изоморфизма Е на Е* равносильно за-
заданию на Е невырожденной .билинейной формы.
Соответствие между векторными подпространствами
вЕиЕ*
Каждому ВПП X в Е отвечает ВПП Х° в Е*9 орто-
ортогональное к X. Уточним характер этого соответствия.
> Теорема 7.2. Пусть Е — векторное пространство
размерности п. Если X — его ВПП размерности р
@ ^ р ^ п), то ортогональное к нему ВПП Х° в ?*
имеет размерность п — р. Если отождествить Е с его
вторым сопряженным пространством с помощью ка-
канонического изоморфизма /, то (X0H = X.
Доказательство. Пусть feI</<rt — базис Е, полу-
полученный пополнением базиса (^)i^f^p подпростран-
3*

63 Г«Л. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ства X. Тогда / е Х° в том и только том случае, если
таким образом, Х° есть множество линейных отобра-
отображений Е в К вида
п п
* = ? ад h-> ?
где fp+ь ..., /„ — элементы К.
Иначе говоря, п — р координатных форм хр4.ь ...
..., хп образуют базис Х° (аннулятора X).
Такие же рассуждения показывают, что (еи ..., ер)
образуют базис в (Х°)°у т. е. (Х°)° = Х.
Следствие. 1) Отображение X у->Х° есть биекция
множества ВПП в Е на множество ВПП в Е*.
2) Если А — любое подмножество в Е и Е отож-
отождествлено со своим вторым сопряженным, то (Л°)°=з
= VectD).
Приложения
> Предложение 7.3. Если X есть ВПП размерности
р пространства Е и р < п = dim(?), то существует
система из я — р линейных форм /ь ..., fn~Pi таких,
что
x<=X<=>f{(x) = f2(x)= ... =/л_р(*)=:0, A)
и каждая линейная форма /е?"*, обращающаяся в
нуль на X, является линейной комбинацией форм
/Ь • • • » fn—p-
Доказательство. Соотношение ^1) показывает, что
X—множество векторов, ортогональных к подмноже-
подмножеству А = {/ь ..., fn-P} элементов E*t или X — A°f
это равносильно X = (VectA)° или Х° = Vect(A).
Условие A) выполняется, таким образом, тогда и
только тогда, когда А — множество образующих для
Х°, т. е. базис Х° (так как dim(X°) = n —р). Отсюда и
следует наше утверждение. ?
> Напомним, что линейные формы на Е называются
независимыми, если они образуют свободное подмно-
подмножество в Е\ Предложение 7.3 показывает, что если

7. ДУАЛЬНОСТЬ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ 69
й\тЕ = п> то каждое ВПП в Е размерности р может
быть задано системой п — р независимых линейных
уравнений в декартовых координатах.
Если рассматривать необязательно независимые
линейные формы, то справедливо
> Предложение 7.4. Если /, fu ..., fq— линейные
формы на ?, причем из q соотношений f{(x) = O, ...
..., М*) = 0 вытекает f(x) = O, то / является линей-
линейной комбинацией форм /ь ..., fq.
Доказательство. Положим y = Vect(/b ..., fq) и
обозначим через /° подпространство, ортогональное
к {/}. Высказанное предположение может быть выра-
выражено в виде Y°czf°, откуда (f°)°cz(Y0H или Vect(f)c
сУ и [еУ, что и дает требуемый результат. П
> Следствие. Пусть Ни ..., Hq — векторные гипер-
гиперплоскости с уравнениями соответственно fi = 0, ...
..., fq = 0. Тогда векторные гиперплоскости, содержа-
содержащие Н1 П Н2 П ••• П HQ) — это те, которые могут быть
заданы уравнениями вида X А^ = 0.
(Это геометрическая формулировка предыдущего
результата.)
Предложения 7.3 и 7.4 лежат в основе теории не-
неопределенных множителей, которая встречается в ме-
механике и вариационном исчислении.
Ранг транспонированного отображения
^ Теорема 7.5. Пусть Я, F — два левых векторных
пространства над одним и тем же телом К и ср: Е->-
->F — линейное отображение. Тогда ранг транспони-
транспонированного отображения {ц>: F*-*E* равен рангу ф.
Доказательство. Применив предложения 5.3 и 6.4,
получим: rg(*qp) + dim Кег (*qp) = dim (Z7*) и Кег('ф)==
= Aтф)°; с другой стороны, dim^mqp^^-dim^) —
— dim(Im(p), и в силу dim(F) = dim(F*) имеем
rg (*qp) = dim (F) — dim (Im ф)° — dim (Im ф) = rg ф. П
Матричная интерпретация. Пусть отображение ш
определено своей матрицей А == ()

70 ГЛ. 1Г. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
в базисах B = (ei)\^t^n пространства Е и В'
= (е^ пространства F. Тогда (см. § 5)
п
(п \ р
Е хе ) = ? у Ж, где
1 = 1 / й = 1
1
Образ k-й координатной формы yk на F пря
отображении *ср есть, таким образом, форма fkz
п
хн-> Yj xtaki (l^^^p). Образ при отображении fcp
i = i
базиса, дуального к В\ есть (/ь ..., fp), и матрица fq>
в дуальных базисах к В' и В образована коэффи-;
циентами форм />. Это есть, таким образом, транспо**
нированная матрица к Л, т. е. полученная из А пере-
перестановкой строк и столбцов.
С учетом теоремы 7.5 мы получили следующий
важный результат:
> Предложение 7.6. Ранг матрицы не изменяется
при ее транспонировании.
8. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
НА ЕГО СОПРЯЖЕННОЕ (КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ,
КОНЕЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ)
На протяжении всего этого параграфа Е обозна-
обозначает конечномерное векторное пространство над не-
некоторым полем. Мы докажем, что существует биек-
биективное соответствие между изоморфизмами Е на ?*
и невырожденными билинейными формами на Е.
Пусть / — изоморфизм Е на Е*. Для любого у^Е
его образ I (у) есть линейная форма на Е. Обозначим*
через В (х, у) = I (у) (х) значение функции 1(у) на
элементе х^Е; мы получим билинейную формул
В: ЕХЕ->К, (х, у)^>В(х, у) (отображение ЕХЕ в
/С, линейное по каждому из аргументов х, у).
Если отождествить Е с его вторым сопряженным,
то транспонированное отображение Ч отождествится
с отображением /: fi-^f*, таким, что (Vy^E}
КУ) = Ы> где (V/e=?*) y(f) = f(y). Таким обра-
образом, для каждого хе? получаем (полагая / = Пх)):
J (У) W = У (/ (*)) = / (*) (У) = В {у, х).

8. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА1 ~ f\
Так как по теореме 7.5 / и / одинакового ранга, то /
также является изоморфизмом Е на ?*; равенство
У (У) (х) = В (у, х) показывает, что билинейная форма,
ассоциированная с /, есть форма fBt определяемая
равенством *В(х, у)= В(у, х) и называемая транспо*
нированной по отношению к В.
Обратно, пусть В: ЕУ^Е-^К— билинейная фор-
форма на Е. Для каждого у^Е обозначим В(<,у) ли-
линейную форму ?->/(, х*-^В(х, у); пусть аналогично
1В(у} •) есть линейная форма ?->/(, х*->В(у, х). Тог-
Тогда отображения
линейны и взаимно транспонированы, а следователь-
следовательно, имеют одинаковый ранг. Поэтому мы можем вве-
ввести
Определение 8.1. Билинейная форма В на Е назы-
называется невырожденной, если линейные отображения
/: у*->В{-, у) и /: у\->В(у, •)
имеют ранг п = dim E.
Итак, имеет место
> Предложение 8.1. Если Я — конечномерное вектор-
векторное пространство над полем, то изоморфизмы Е на
его сопряженное имеют вид/: у*->В(*9 у)9 где В —
невырожденная билинейная форма на Е.
Использование базисов. Обозначим через е =
t=1(ei\<i<n базис Е\ тогда каждая билинейная фор-
форма В на ? запишется в виде
ЕА> Е»//) Ttliiyh где aii =
t — 1 /—1 У it j
Для каждого / образ /(^) вектора et при отобра-
п
жении /: у*—>В('гу) есть линейная форма ? ак1хк.
/г=1
Матрица отображения / в дуальных базисах е = (ei)
и е* = (xi) равна, таким образом, матрице (aki) би-
билинейной формы В в базисе (ei). Для того чтобы I
было изоморфизмом, необходимо и достаточноь что^

72 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
бы детерминант этой матрицы был отличен от нуля.
Отсюда видно также, что матрица отображения
/: Е-+Е*, уь-> В(у, •) в базисах (ei) и (xi) получает-
получается транспонированием матрицы {аы)\ она равна мат-
матрице билинейной формы *В: (х, у)*—>В(у) х) и имеет
тот же ранг, что и матрица формы В.
Ортогональность в Е. Задание изоморфизма Е на
?* позволяет определить отношение ортогональности
на самом Е: элемент у в Е называется ортогональным
к х е Е, если / (у) (х) = 0, т. е. если В (х, у) = 0.
Но это отношение ортогональности получает ин-
интересное развитие только в случае, когда оно сим*
метричнОу т. е. когда В(х, у) = 0 равносильно
В (у, х) = 0. Последнее имеет место в двух следующих
случаях (см. упр. II. 18):
i) форма В симметрична, т. е. для любых (х9у)&
е Е2 выполнено В (х, у)= В (у, х);
ii) форма В кососимметрична, т. е. для любого
х е Е имеем В (х, х) = 0 ]).
Первый случай представляет предмет изучения в
ортогональной геометрии, ассоциированной с квадра-
квадратичной формой ху-> В(х, х)\ евклидова геометрия есть
частный случай, когда К = R и форма В положитель-
положительно определенная2).
Изучение второго случая составляет предмет сим-
плектической геометрии.
По поводу этих геометрий см. более специальные
сочинения ([AR], гл. Ill, [DE]).
9. О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
На протяжении предыдущих параграфов мы изло«
жили некоторые свойства конечномерных пространств.
Чтобы удовлетворить законное стремление к наиболь^
шей общности, мы укажем здесь на некоторые труд-
трудности, возникающие при переходе от конечной размер-
размерности к бесконечной.
1) Если саг К = 2, то условие i) равносильно условию iij«
Случай саг К = 2 обычно исключается. — Прим. перев.
2) Если К = R, но форма В знаконеопределенная, то говсь
рят о псевдоевклидовой геометрии, «*- Прим. перев.

9 О БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 73
> Прежде всего выражение «бесконечная размер-
размерность» не должно вводить нас в заблуждение: оно
означает лишь, что рассматриваемое пространство не
допускает конечного базиса. Два бесконечномерных
векторных пространства над одним и тем же полем
необязательно изоморфны.
Контрпример L По построению, векторное про-
пространство R [X] многочленов над R допускает счетный
базис (Xn)nsN (см. § 2); можно заметить, что R [Х\
отождествимо с множеством конечных последователь-
последовательностей действительных чисел.
Напротив, векторное пространство RN, образован-
образованное бесконечными последовательностями действитель-
действительных чисел, не допускает счетного базиса и потому не
изоморфно R[^], хотя оба пространства «бесконечно-
«бесконечномерны».
В самом деле, последовательности sa: пь—>паг
где а пробегает R+, образуют свободное несчетное
семейство элементов RN (см. упр. 19). Если бы RN
допускало счетный базис (#j)/e=N, T0 каждое из мно-
множеств
Ап = {а <= R+ 15а €= Vect (а0, аи ..., ап)}
было бы конечным мощности, не превосходящей п + 1
(так как размерность Vect(a0, аи • •, ап) равна
/г+1), и их объединение, равное R+, было бы счет-
счетным, что приводит к противоречию.
Контрпример 2. R есть векторное пространство
над Q, не имеющее счетного базиса и потому неизо-
неизоморфное Ql-У].
В самом деле, предположим, что R, рассматривае-
рассматриваемое как векторное пространство над Q, допускает счет-
счетный базис fe)rteN. Тогда для любого «gN подпро-
подпространство И„ = Vect(a0, аи ...> Ял+i) изоморфно
Qrt+I и потому счетно. Счетным оказалось бы и
R= У Ап, что противоречит несчетности R.
(О существовании базисов (R над Q говорится в
§ Ю.1

74 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
О распространении свойств на случай бесконечной
размерности
Среди классических свойств конечномерных век-
векторных пространств, формулировка которых сохраняет)
смысл и в бесконечномерном случае, мы будем разли-
различать три категории свойств.
1° Некоторые свойства становятся неверными, если
хотя бы одно из рассматриваемых векторных про-
пространств бесконечномерно.
Примеры, а) Утверждение «каждый инъективный
или сюръективный эндоморфизм Е является автомор-
автоморфизмом» неверно, если Е бесконечномерно.
Контрпример 3. Пусть Е = К [X]; эндоморфизм
Рь->ХР инъективен, но не сюръективен (образ не со-
содержит констант). Аналогично, эндоморфизм
kZ k
сюръективен, но не инъективен.
b) Утверждение «любое ВПП в Е, изоморфное Е%
совпадает с ?"», верное в конечномерном случае (см,
§ 3 и 5), не имеет места в бесконечномерном случае.
Контрпример 4. Пусть Е = К[Х]\ подпространство
?о, образованное многочленами без свободного члена
п
вида Р= У) akXky является образом Е при инъектив-
ном эндоморфизме Рь-^ХР и, следовательно, изо*
морфно ?, но отлично от Е.
c) Утверждение «дополнительные подпространства
для двух изоморфных ВПП Ей Е2аЕ изоморфны»,
очевидное в конечномерном случае (уже ввиду одина-
одинаковой размерности дополнительных подпространств),
в бесконечномерном случае ошибочно.
Контрпример 5. Пусть Е = К[Х], а Ео то же, что
в предыдущем примере. Тогда Е допускает в качестве
дополнительного подпространства {0}, а Ео — вектор
ную прямую, составленную из скаляров»

3. О БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 75
d) Утверждение «пространство, сопряженное с Е,
изоморфно Е» верно для конечномерного пространства
Е над полем, но не имеет места в бесконечномерном
случае.
Контрпример 6. Пусть Е ='R [X]; так как последо-
последовательность (Хп) образует базис в Е, то задание ли-
линейной формы f на Е равнозначно заданию последова-
последовательности действительных чисел (fn =:f(Xn))n(E.N. Та-
Таким образом, ?* изоморфно уже изученному нами
пространству RN бесконечных последовательностей
действительных чисел, не изоморфному Е = R [X]
(контрпример 2).
2° Некоторые свойства переносятся на случай бес*
конечной размерности путем видоизменений в доказа-
доказательствах.
Примеры, а) Если X—ВПП в Е, а У, Z — два до-
дополнительных к X подпространства, то Y и Z изо-
изоморфны.
Если Е имеет конечную размерность п, то доста-
достаточно заметить, что dim Y = n — dimX = dimZ.
В общем случае обозначим через р, q проектирова-
проектирования Е на У, Z параллельно X.
Тогда ограничение q на Y будет линейной биек-
цией У на Z, обращение которой будет ограничением
р на Z, и, следовательно, изоморфизмом (полученное
соответствие между У и Z определяется условием у—-
Ь) Если в Е имеется ВПП X, такое, что фактор-
пространство Е/Х имеет конечную размерность А, то
у X существует дополнительное подпространство раз-
размерности k. Это предложение, вытекающее в конечно-
конечномерном случае из теорем 3.5 и 4.3, остается в силе и
для произвольного Е.
Действительно, пусть (в() —базис Е/Х и для лю-
любого i е {1, 2, ..., k) элемент at е Е таков, что р{а{)=^
— et (где р — каноническая проекция Е-+Е/Х). Для
каждого xg? координаты (xt) вектора р(х\ в базисе
(?,•)—это единственные скаляры, для которых

76 ГЛ. И. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
k /
х — Y4 xiai е X \ так как э^° соотношение равносильно
k \
Р(х) = S **А ). Таким образом, Y = Vect(ab ..., а*) —
дополнительное подпространство к X; более того, се*
мейство (аи ..., а/е) свободное и, значит, dim У = k.
с) Пусть, наконец, Е — действительное векторное
пространство, снабженное скалярным произведением
(симметричной положительно определенной билиней-
билинейной формой). Тогда отображения Е в ?, сохраняющие
скалярное произведение любых элементов, линейны*
это свойство, которое в школьных учебниках часто до-
доказывается с применением базисов, т. е. в предполо-
предположении конечномерности ?, справедливо и в бесконеч-
бесконечномерном случае и доказывается очень просто следую-
следующим способом.
Пусть р: Е X Е -> R — рассматриваемое скалярное
произведение; по предположению о положительной
определенности, р(х, х) — 0 влечет х = 0. С другой
стороны, пусть /: Е-^Е — отображение, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию
(V (х, у)^ЕХЕ) p(f (x), f (у)) = р(х9 у). A)
Обозначим через (х, у, Я, \х) произвольный элемент
^Х^Х^ХК и положим
Применяя A), найдем, что для любого зе?
р (ш, / (г)) = р (f (Хх + м), f (z)) - Хр (/ (х)9 f (г)) -
«= р {Хх + \iy, z) — Хр (х, z) — цр (у, z) = 0.
В частности, p(w, f{x))= p(w, f(y))=O ц
p(w,f(Xx + \iy))=0, откуда в силу линейности р по
второму аргументу получаем р(ш, ш)=0 и, значит,
w = 0.
Отсюда вытекает линейность f. О
3° Наконец, имеются такие предложения, которые
можно распространить на бесконечномерный случай,

10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА 77
только прибегая к использованию добавочной аксио*
мы (аксиомы Цорна или какой-нибудь ей эквивалент-
эквивалентной). Соответствующие примеры мы приведем в § 10,
10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА
Начнем с формулировки этой аксиомы.
j> Аксиома Цорна. Пусть X — индуктивное упорядо-
упорядоченное множество, т. е. такое, что любое его линейно
упорядоченное подмножество (цепь) имеет верхнюю
границу.
Тогда в X найдется хотя бы один максимальный
элемент, т. е. такой элемент х, что не существует эле-
элемента j/gX, для которого у > х.
Напомним, что эта аксиома эквивалентна каждой
из следующих:
Аксиома Цермело. Каждое множество может быть
вполне упорядочено, т. е. снабжено таким отношением
порядка, что любое непустое подмножество имеет наи-
наименьший элемент.
Аксиома выбора. Пусть {Xi)i^I есть семейство
непустых множеств. Тогда существует отображение
/: /-> U Xit такое, что для каждого /е/ имеем
Покажем теперь, как аксиома Цорна позволяет до*
называть теоремы существования для бесконечномер*
ных пространств.
Существование базисов
^ Теорема 10.1. Любое векторное пространство В
имеет базис. Каждое свободное подмножество L в Е
может быть дополнено до базиса.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из
второго, если принять за L пустое множество.
Обозначим через L свободное подмножество в Е
(может быть, и пустое); пусть & — множество всех
свободных подмножеств ?, содержащих L, упорядо-
упорядоченное по включению. Тогда 3? непусто {так как Ьщ

78 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
) и индуктивно, так как любая цепь в 9? имеет
своей верхней гранью объединение входящих в нее
подмножеств. Поэтому в 3? существует максимальный
элемент S, и так как Bg^, то В — свободное под-
подмножество в Е. С другой стороны, если бы В не было
множеством образующих для ?, то существовал бы
элемент а е ?\ В, такой, что множество В U {а} было
бы свободным и принадлежало i?, что противоречит
максимальности В и 2?. Итак, В — базис Et содер-
содержащий L. ?
Существование дополнительных подпространств
> Теорема 10.2. Если Е — векторное пространство, то
каждое его ВПП X допускает дополнительное подпро-
подпространство.
Доказательство. По предыдущей теореме X имеет
базис Л; поскольку А — свободное подмножество в Е%
его можно дополнить до базиса В пространства Е.
Тогда векторное пространство Y = Vect(B\A) будет
дополнительным для X. D
> Следствие. В каждом векторном пространстве раз-
размерности :^г 1 существуют гиперплоскости (дополне-
(дополнения к векторным прямым).
Продолжение линейных отображений
^ Теорема 10.3. Пусть Ef F — два левых векторных
пространства над одним и тем же телом /С, X — ВПП
й Е и /: X-+-F — линейное отображение. Тогда f мож-
можно продолжить до линейного отображения f: E->F<
Доказательство. Выбрав дополнительное к X под-
подпространство YczE, положим f(x-\-y) =f(x) для лю-
любых (х9 у)ееХХУ-
Следствие. Если элемент а векторного простран-
пространства Е обращает в нуль любую линейную форму / на
JE: f(a) =0, то а = 0.
Доказательство. Допустим, что а Ф 0; тогда суще-
существует линейное отображение ф векторной прямой Ка
^ К} такое, что ф(а) =1 (ф определяется условием

ТО. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА1 79
ф()= К для любого k ^ /С). Следовательно, ф про-
продолжается до линейной формы / на Е, такой, что
f(a) =1. ?
Приложение. Мы можем теперь сформулировать с
полной общностью (см. § 7)
> Предложение 10.4. Каноническое вложение / век-
векторного пространства Е в его второе сопряженное все-
всегда является инъективным отображением.
Существование норм
Теорема 10.5. Каждое векторное пространство Е
над R или С допускает норму, в каждом векторном
пространстве над R можно ввести скалярное произве-
произведение.
Доказательство. Если (^)/е/ — базис в Е, то каж-
каждый элемент х е Е однозначно представим в виде
х = ^ xteh где / — некоторое конечное подмноже-
ство в / и {Xi)ie.j — семейство скаляров. Легко видеть,
что можно ввести три нормы No, Nb N2 на Е, положив
No (х) = sup | х{ |, N{ (*) = ?
is/ f
В случае поля iR норма N2 ассоциирована со ска-
скалярным произведением р, определенным на Е)^Е ра-
равенством
ie/ /g/ / /е/
Построение нелинейных автоморфизмов группы (R, -f)
Мы знаем, что всякий монотонный автоморфизм
группы (R, +) линеен, т. е. имеет вид л;ь->ах, где
a eIR*. Так же обстоит дело и с непрерывными авто-
!) Здесь под / можно понимать /iU^2, где /ь /2 — множе-j
ства индексов для х, у, такие, что х =* J^ A:t.et., // = ^ у^^-^к.
Прим. перев.

SO ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
морфизмами этой группы (см. [LF — AR], т. 2,
упр. II. 16). Применяя аксиому Цорна, мы можем по-
построить нелинейный (а, значит, не монотонный и не
непрерывный) автоморфизм (!R, +)•
С этой целью рассмотрим R как векторное про*
странство над Q; тогда Q окажется векторным под-
подпространством в R и для него найдется дополнитель-
дополнительное подпространство У.
Следовательно, существует Q-линейное отображе-
отображение f: IR->R, такое, что f(x)=x для всех xgQ и
f(y) = 2у для всех y^Y (см. предложение 4.2). Оно
определяется равенством f(x-\-y)=x-\-2y для лю-
любых (х, j/)gQX^. Это отображение f очевидным
образом не линейно, но биективно и удовлетворяет ус-
условию
т. е. является автоморфизмом группы (R, +)• П
> Заметим, однако, что невозможно построить такое
отображение элементарными средствами (так же, как
нельзя указать в явном виде базис R над Q); прак-
практически мы никогда не встречаемся с нелинейными ав-
автоморфизмами (R, +)•
В заключение заметим, что результаты, получен-
полученные в этом параграфе с помощью аксиомы Цорна,
имеют чисто теоретический интерес, ибо невозможно
предъявить объекты, существование которых в них ут-
утверждается. С другой стороны, использование этих ре-
результатов для получения «заодно» свойств конечно-
конечномерных пространств (таких, как существование бази-
базисов или дополнительных подпространств), как это
делается в некоторых курсах, было бы злоупотребле-
злоупотреблением: ведь это значило бы поставить в зависимость от
аксиомы Цорна свойства, которые от нее не зависят.

Глава III
СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
НАД ТЕЛОМ
I. ВВЕДЕНИ
Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не
теряться от ее кажущейся сложности, можно обра-
обратиться к более общему понятию однородного простран-
пространства1). Это даст также повод вспомнить, что понятие
группы возникло путем абстракции из понятия группы
преобразований, и, более того, оно полностью прояв-
проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы
на некотором множестве.
Считая хорошо известным понятие абстрактной
группы, введем
^ Определение 1.1. Пусть G — некоторая группа (с
мультипликативным обозначением операции) и е — ее
нейтральный элемент.
Говорят, что G действует слева на множестве X,
если определено отображение qp: GXI->Xte,^
qp(g, x), такое, что набор отображений ф^: Х->Х,
(, х) удовлетворяет условиям
= Idz и (V(g,A)EG2) qPgoqPft = <Pgft. .A)
Аналогично говорят, что G действует на X справа,
если определено отображение г|з: Xy^G->Xt (x, g)i—>
*->$(х, g), такое, что набор отображений i|)g: X-+X,
?н->ф(#, g) удовлетворяет условиям
^ = М^ и (VfcA)GG2) Ъо$н=*Ънг A0
Соотношения A) (соотв. (Г)) показывают, что ф^
(соотв. -ф^) —это биекции X на X и что <pJl = <Pg-i
(соотв. *Jl = *g)
,1) Чтение этого параграфа необязательно для понимания
дальнейшего.

82 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
• " " — -*
Например, любая группа G действует сама на
себе слева левыми сдвигами: <pg(x) = gx и справа
правыми сдвигами: ^g(x) = xg.
Группа G действует на себе слева также внутрен*
ними автоморфизмами: qg(x) = gxg~K
Условимся считать, если иное не оговорено, что
действие группы на множестве понимается как дей«
ствие слева.
Понятно, что для коммутативной группы G оба
действия совпадают; следует, однако, отметить, что
одна и та же группа может действовать на множестве,
в том числе и на себе, разными способами.
Определение 1.2. Пусть группа G действует слева
на множестве X с законом действия ср. Говорят, что G
действует на X транзитивно, если для любой пары
(х, у) элементов X существует хотя бы один элемент,
g ^ G, такой, что у = ф (g, x) = ф^ (х); далее, говорят,
что действие G просто транзитивно, если этот элемент
g всегда единственный.
Пример. Линейная группа GL(n, R) автоморфизм
мов Rn действует транзитивно на R"\{0}, но это
действие не является просто транзитивным, кроме
случая п — 1.
Определение 1.3. Пусть группа G действует слева
на множестве X. Стабилизатором подмножества А
множества X называется множество GA={gG
Непосредственно ясно, что Ga — подгруппа груп«
пы G. Если множество А состоит из одного элемента
а, то эта подгруппа *) называется группой изотропии
элемента а.
Замечание. Стабилизатор GA является пересече-
пересечением двух множеств G\ = {g e G \q>g (А) с: Л} и G~А =
= {ge=G\q>g(A)iD A} = {g<=G\q>-l{A)cA}, которые
не обязаны быть подгруппами G. Например, если
1) В этом случае подгруппа G обозначается просто Ga
и называется также стационарной подгруппой элемента а. —¦
Прим. перев.

G = (R, +) действует на себе трансляциями и А =*
*=R+ — положительная полуось, то Gl==R+ не является
подгруппой, a GJ = {0}. По поводу Gl см. упр. III.1.
Определение 1.4. Пусть G —группа, действующая
слева на X; орбитой элемента qg! называется
образ G при отображении сра: g" i—5- ф (g, a).
Если G действует на X транзитивно, то орбиты
всех элементов совпадают с X.
Замечание, На X можно определить отношение эк-
эквивалентности, полагая у = х, если существует эле-
элемент gG G, такой, что у = фИ*); классы эквивалент-
эквивалентности являются орбитами элементов Х\ фактормно-
фактормножество по этому отношению назовем пространством
орбит.
Однородные пространства
Определение 1.5. Однородным пространством, ас-
ассоциированным с группой G, называется множество
X, на котором определено транзитивное действие
группы G.
Пример (типовой). Пространство смежных клас-
классов группы по ее подгруппе1).
Пусть G — группа, Н — ее подгруппа, G/H — фак-
фактормножество2), образованное левыми смежными
классами относительно Н: элементы х, у из G объяв-
объявляются эквивалентными, если существует элемент
fteW, такой, что у = xh\ класс эквивалентности эле-
элемента х есть множество хН элементов вида xh9 где
транзитивно. Фактормножество G/H является одно*
родным пространством относительно этого действия.
1) Это построение использовалось при определении фактор*
пространства векторного пространства по его подпространству,
2) Напомним, что G/H допускает естественную структуру
группы, если Н — инвариантная подгруппа G,
Действие слева группы G на G/H определяется
с помощью q>a(xH)= gxH: это действие, очевидно,

84 ГЛ. ИГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Мы увидим, что всякое однородное пространство
приводится (при помощи биекции) к пространству
такого вида.
Теорема 1.1. Пусть X — однородное пространство,
ассоциированное с группой G, и для любого ае!
пусть Ga — группа изотропии а. Тогда существует
единственная биекция fa факторпространства G/Ga
на X, такая, что для всех g e G выполнено fa ° p(g) =
= Ф (?>#)> гДе р: G-^G/Ga — каноническая проекция
и ф — действие G на X.
Доказательство. Соотношение ф (g't a) = ф (g, a)
равносильно yig^g', а) = а и, значит, g~lg' ^Ga или
p(g') = p(gYt следовательно, отображение фа: G->X9
g*—*4>(g> a) переносится на фактормножество и
представляется в виде фа==/а°Р» гДе fa: G/Ga->X —
биекция. П
Специальный случай
Если группа G действует на X просто транзитивно,
то группы изотропии Ga тривиальны; для каждой точ-
ки а е X отображение фа: G->X9 gt—>(f>(g, а) являет-
является биекцией, удовлетворяющей условию уа(е)=а.
> Эта биекция сра позволяет перенести на X структур
РУ группы G, которая, однако, будет зависеть от вы-
выбора точки а, т. е. образа нейтрального элемента. Го-
Говоря нестрого, X допускает структуру группы, изо-
изоморфной G, при произвольном выборе нейтрального
элемента.
Так и будет обстоять дело в случае «аффинной
структуры».
2. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
> Определение 2.1. Пусть Е — векторное простран-
пространство над произвольным телом К. Аффинным про-
пространством, ассоциированным с Et называется мно-
множество <?Г, на котором определено просто транзитив-
транзитивное действие абелевой группы (?,+). Это действие
записывается обычно в виде

2. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 85
Для любого и^Е биекция хи: $->&, х*—> х-\- и
называется трансляцией на вектор и\ далее, для каж-
каждой пары а, Ь элементов <S единственный вектор и, та-
такой, что Ь = хи{а), обозначается ab.
В дальнейшем, по соображениям типографского
характера, мы будем избегать употребления стрелок
для обозначения векторов. Чтобы отличать элементы
& (называемые точками) от элементов Е (называе-
(называемых векторами), мы будем преимущественно обо-
обозначать «точки» прописными буквами латинского
алфавита, такими, как Л, В, М, ..., а «векторы» —
строчными, например а, и, v, ...; греческие буквы
предназначаются для «скаляров».
Можно привести два равносильных данному опре*
делению 2.1 обычных определения, не опирающихся
на понятие действия группы.
Определение 2.2. Аффинным пространством, ассо*
циированным с ?, называется множество &\ снабжен-
снабженное семейством биекций (т„)ие?, таких, что
a) T0? = Ids
b) для любой пары (Л,В)е^Х^ существует
единственный вектор и^Е, такой, что В = тм(Л).
Определение 2.3. Аффинным пространством, ассо-
ассоциированным с Е, называется множество $, снабжен-
снабженное отображением 8 У^& -» Е, обозначаемым (Л, В)н->
ь-> ЛВ, таким, что
a) для каждого А ^ & отображение & ->?",
Af ь—> ЛЛ^[ биективно;
b) для любых точек Л, В, С из (!Г выполнено соог-
ношение Шаля
АС = АВ + ВС.
, Заметим, что из этих условий следует, что для
любой точки Ле^мы имеем АА = 0?.
От определения 2.3 к определению 2.2 можно пе-
перейти, обозначив через тм(Л) единственную точку В,
такую, что АВ == и, и заметив, что соотношение Шаля

86 ГЛ. НГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
равносильно т»^Ти = ти+о. Переход от определения 2.2
к определению 2.1 непосредственно ясен.
Из какого бы определения мы ни исходили, суще*
ственным остается тот факт, что для любой точки
Ле«? отображение /л: Е->$\ и*—> А + и = ти(А)
есть биекция; эта биекция позволяет перенести на Si
векторную структуру Е.
> Обозначения. Полученная таким путем векторная
структура на & будет называться векторной структур
рой с началом А\ множество <§ с этой структурой бу*
дет обозначаться &а*
Говоря нестрого, аффинное пространство выгля-
дит как векторное пространство, начальный (ней-
(нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффин-
Аффинные свойства & — это те свойства векторного про-
пространства & а, которые не зависят от выбора точки Л.
Таким образом, можно было бы, пренебрегая аф-
аффинной структурой, свести все задачи аффинной гео-
геометрии к задачам векторного характера путем выбора
начальной точки; так и делается в математическом
обиходе. Но больше в духе «внутреннего» исследова-
исследования была бы работа без выбора начальной точки, поз-
позволяющая яснее представить именно аффинные свой-
свойства <о. Так мы и поступим, не забывая при этом, что
введение векторной структуры с надлежащим выбо-
выбором начальной точки часто проясняет дело.
Размерность аффинного пространства
Пусть &— аффинное пространство, ассоциирован-
ассоциированное с векторным пространством Е. По определению,
размерность & равна размерности Е.
В частности, любое одноточечное множество до-
допускает единственную аффинную структуру размер-
размерности 0, ассоциированную с нулевым векторным про-
пространством.
3. АФФИННЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
(ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ)
Пусть &— аффинное пространство, ассоциирован-
ассоциированное с векторным пространством Е. Каждое векторное
подпространство V пространства Е образует подгруп-

3. ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 87
пу группы (?,-{-)> действующую на (§ трансляциями.
По определению, орбиты действия V на $ называются
линейными аффинными многообразиями (сокращенно
!ЛАМ) с направлением V. Группа {V, +)> действую-
действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит,
определяет тем самым на каждой из них аффинную
структуру, ассоциированную с V\ поэтому мы назы-
называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпро-
подпространствами в <§.
Если Т есть ЛАМ с направляющим подпростран-
подпространством V и А — точка Т, то Т допускает структуру
векторного пространства с началом А и Та есть век-
векторное подпространство в &А (см. § 2). Обратно, лю-
любое ВПП пространства & а есть ЛАМ, проходящее че-
через Л; сформулируем
> Предложение 3.1. Аффинные подпространства в
1$, проходящие через точку Л, суть векторные под-
подпространства векторного пространства <Sа-
Это краткое рассмотрение показывает, что направ-
направление ЛАМ Т пространства <§ полностью определяет-
определяется заданием множества точек Т.
Другие определения
Предложение 3.1 показывает, что данное выше
определение эквивалентно следующему элементарно-
элементарному определению:
Определение 3.1. Непустое подмножество Т аф-
аффинного пространства & называется линейным аф-
аффинным многообразием, если в Т существует точка Л,
такая, что VA = {АМ \М е Т) является векторным
подпространством в Е.
Приняв определение 3.1, можно непосредственно
установить следующее
Предложение 3.2. Пусть Т — непустое подмноже*
ство в & и Л — точка Т, такая, что VА = {AM \M^T}
есть векторное подпространство в Е. Тогда для любой
точки В из Т множество Vв = {ВМ \М е Т} совпа-
совпадает с VA.

88 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Доказательство. VB есть множество векторов
ВМ = АМ — А В, где AM e VA; таким образом, V в есть
образ VA при биекции т: Е->Е, иь->и — АВУ и по-
поскольку АВ е 7Л, то т GЛ) = 7Л.
Установив это, легко убедиться, что Т наделено
структурой аффинного пространства, ассоциирован-
ассоциированного с векторным пространством V = Va, которое не
зависит от точки А.
Вместо того чтобы исходить из векторной струк-
структуры Уд, можно использовать отношение эквивалент-
эквивалентности, связанное с действием V на Т (см. § 1): ЛАМ
суть классы эквивалентности для этого отношения, и
мы приходим к следующему равносильному опреде-
определению:
Определение 3.2. Пусть V — векторное подпро-
подпространство в Е и 9lv — отношение эквивалентности,
определенное на & с помощью
аффинными многообразиями с направлением V на-
называются классы эквивалентности по отношению 9lv.
Существуют и другие способы определить ЛАМ
пространства $ (см. упр. III. 4), но нам кажется, что
данные выше определения ведут к наиболее простому
способу изложения дальнейшего.
Случай векторного пространства
Каждое векторное пространство Е канонически
снабжено аффинной структурой, так как (Е, +) дей-
действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой
вектор 0 называется также «началом» Е и
(V (р, q)^E2) p*q = q-p.
ЛАМ пространства С, проходящие через 0, суть
векторные подпространства в ?; ЛАМ, проходящие
через точку а е ?", суть образы векторных подпро-
подпространств Е при параллельном переносе тв.

3. ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 89
Ради краткости ЛАМ, не проходящие через на-
начало, будут называться собственно аффинными (по-
(поскольку они не являются ВПП в ?).
Размерность линейного аффинного многообразия
Вернемся к случаю произвольного аффинного про-
пространства <?\ предшествующие рассмотрения позво-
позволяют определить размерность ЛАМ как размерность
его направляющего ВПП. Отсюда появляются поня-
понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аф-
аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ раз-
размерности 0 суть точки &.
Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, на-
направляющее подпространство которого есть векторная
гиперплоскость.
Пересечение линейных аффинных многообразий
^ Предложение 3.3. Пусть (Ti)i e 7— семейство аффин-
аффинных подпространств в 8 и Vi для каждого /е/ — на«
правляющее подпространство для Ти
Если пересечение Т= (| Тг непусто, то оно
является аффинным подпространством в Е с направ-
направляющим V = П Vi,
i <==/
Доказательство сразу получается из определе-
определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место
Предложение 3.4. Для того чтобы пересечение
Т\ П ^°2 Двух ЛАМ в & было непустым, необходимо
и достаточно, чтобы существовали такие точки Ах &
*еУх и Л2 е= Тъ что А^А2 gKj + V2, и тогда
Доказательство. Если А^УХ[\УЪ то для любых
Мг^Ги М2е-У\ имеем АМ^ Vx и AM2<=V2. Та-
Таким образом, МХМ2 = АМ2 — AMx e Vx + ^2.
Обратно, если существуют Ах & Ух и А2 е Уъ
такие, что Л^з е У| + V2, то можно представить

90 ГЛ. ИГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
в виде А{А2 = щ + иъ где щ е Vu и2 e 72. Тогда
точка Л, определяемая условием А{А=--иь принад-
принадлежит Т\ и, как легко видеть, А2А = — и2. Это дока-
доказывает, что А принадлежит также Тъ а тем самым
Тх П Т2 не пусто. П
Из предложения 3.4 можно получить примеры
ЛАМ с пустым пересечением, а также
Предложение 3.5. Если Ть Т2 — аффинные под-
подпространства в &, направляющие которых взаимно
дополняют друг друга в ?, то Т\ и Тг имеют един-
единственную общую точку.
Параллелизм
Определение 3.3. Говорят, что два линейных аф-
аффинных многообразия У°и У°2 вполне параллельны1),
если они имеют одно и то же направляющее подпро-
подпространство: V\ = 1^2-
Более общо, говорят, что Т\ параллельно2) У*2,
если направляющие пространства Vi, V% многообра-
многообразий Ти У°2 удовлетворяют включению V\ c= V2.
Можно проверить, что отношение «3^1 вполне па-
параллельно (соотв. параллельно) Т2» равносильно су-
существованию трансляции т пространства &, такой,
(Fi) = r2 (соотв. т(У1)У)
Аффинное подпространство, порожденное подмножест-
подмножеством X пространства $
> Предложение 3.6. Если X — непустое подмноже-
подмножество в & у то существует единственное аффинное под-
подпространство в $г обозначаемое Aff(X), содержащее
X и обладающее следующим свойством:
Любое аффинное подпространство 8, содержащее
X, содержит и Aff (X).
1) В оригинале «fortement paralleles» («сильно параллель-
параллельны») . — Прим. перге.
2) В оригинале «faiblement parallele» («слабо параллель^
). —Прим. перев,

3. ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 91
Говорят, что Aff (X) порождено X.
Коротким способом доказательства предложен
ния 3.6 является применение предложения 3.3:
LAff(X) есть пересечение всех ЛАМ, содержащих X.
Недостаток этого рассуждения в том, что приходится
привлекать семейство «всех ЛАМ, содержащих X»,
о котором мало что известно и которое обычно даже
несчетно!
Более элементарный и конструктивный способ со-
состоит в выборе в X начальной точки Л, что сводит
задачу к отысканию наименьшего векторного подпро-
подпространства в &л, содержащего X (поскольку ЛАМ, со-
содержащие X, являются ВПП в <?). Таким образом,
Aff (X) есть ВПП в Sa, порожденное Х\ при этом сам
характер задачи показывает, что это ВПП не зависит
от выбора точки А в X. Если мы заметим, что на-
направляющее подпространство для А11(Х) есть ВПП
в Я, порожденное векторами (АМ)М(-Х, то получим
также
Предложение 3.7. Пусть X — непустое подмно-
подмножество в <%\ для каждой точки ЛеХ положим
VА = Vect(AM)M^x. Тогда векторное пространство VА
не зависит от выбора А и Aff (X) есть ЛАМ, проходя-
проходящее через А с направлением Va*
Можно дать прямое доказательство этого утверж-
утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.
В частности, если X = {Ло, Аи ..., Ап} — конеч-
конечное множество, то векторное пространство Vi =
= Vect (АгАХ ^ t не зависит от i и, следовательно, со-
совпадает с
Отсюда вытекает
Предложение 3.8. Размерность аффинного подпро-
подпространства, порожденного п + 1 точками Ло, А\, ..., Ап
пространства ^, не превосходит п\ его размерность

92 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
равна п тогда и только тогда, когда п векторов
A0Ai (l^i^.n) образуют свободное семейство.
Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с поня-
понятием барицентра.
4. БАРИЦЕНТРЫ; ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ
АФФИННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
В последующем <§ всегда обозначает аффинное
пространство, ассоциированное с левым векторным
пространством Е над, вообще говоря, некоммутатив-
некоммутативным телом /С «Взвешенной точкой» называется эле-
элемент (ЛД)е^Х^С-
^ Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства
(системы) (Ah Af).e/ взвешенных точек, такого, что
Л kt ф О, существует единственная точка G, удов-
удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным)
из следущих трех условий а), Ь), с):
a) 2j ^iGAi = 0,
с) (УЛ е <5) {2L ^Л &G = La A,jЛЛ|.
Эта точка называется барицентром (центром
тяжести) системы (Ait Я;)/е_7. Мы обозначаем ее
Эквивалентность трех условий легко устанавли-
устанавливается с помощью соотношения Шаля.
Свойства, а) Однородность (слева).
Предложение 4.2. Для любого К е К* имеем
Ь) Ассоциативность.

*4 БАРИЦЕНТРЫ 93
Предложение 4.3. Пусть (/ь ..., /р) — разбиение /,
т. е. совокупность непустых попарно непересекаю-
непересекающихся подмножеств /, таких, что U /а —/.
1 <а<р
Если для любого ае{1, ..., р) скаляр jxa =
отличен от нуля и мы положим Ga =
,)ieV то
= #(Ga> |xaI
I<a<p.
Доказательства получаются непосредственно. П
> Замечания. По предложению 4.2 можно всегда
привести дело к случаю, когда «полная масса» систе-
системы (Ah М/е/, т. е. 2 Xh равна 1. В этом и только
i e=/
в этом случае можно положить
3B{At,
Для успешного использования этого обозначения
следует заметить, что соотношение G== ^ ЯгЛ^ рав-
носильно каждому из следующих утверждений:
? Л, = 1 и (ЗЛ €= «Г) >4G = Е ЛИ^ь A)
8) AG = Ц Я.ЛЛ^ B)
так как B) влечет за собой A).
Эквибарицентром конечного подмножества (А(). е/
пространства ^ называется точка $(Л*, l)t-e/. Она
существует только тогда, когда характеристика К не
является делителем числа п = СагсЦ/).
Следующее утверждение показывает, что отыска-
отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключения-
исключениями, к последовательному построению барицентров
пар точек.

94 ГЛ. НГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Предложение 4.4. Пусть (Ah Af)/s/— конечное
семейство взвешенных точек, таких, что Kt Ф О для
всех / е= /, 2 Я/ # 0 и Card (/) > 3.
Если характеристика /( отлична от 2, то суще-
существует разбиение (/i, /г) множества /, такое, что
Е^о и Z hфо.
Доказательство. Если одна из сумм jxy = ?] Я,
<е/\{/}
отлична от нуля, то достаточно положить J{ == {/} и
/2-/\{/Ь
Если все суммы ц/ равны нулю, то все Я/ равны
одному и тому же элементу Я е /С*, такому, что
(л— 1)Я = 0, где п = Card(/).
Если характеристика К отлична от 2, то 2Я ф 0,
и, поскольку (п — 2)Я = —Я не равно нулю, получим
искомое разбиение, выбирая ]\ как двухэлементное
подмножество, а /2 как подмножество из (п — 2) эле-
элементов. ?
Следствие. Если характеристика К не равна 2, то
построение барицентра п точек приводится к последо-
последовательному построению п— 1 барицентров пар.
Приложение к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5. Если X — непустое подмножество в $\
то Aff(-X) есть множество барицентров конечных се-
семейств взвешенных точек с носителями в X.
Доказательство. Уточним сначала, что под носите-
носителем семейства (А{, Я/)<€3/ понимается множество
Условившись об этом, выберем некоторую точку А
в X. Барицентры семейства с носителями в X суть
точки G, удовлетворяющие соотношению вида
C)
где 2 &t= 1 и (V0 ^4* s J. При этом соотношение C)

4. БАРИЦЕНТРЫ 95
влечет за собой AG e Vect{AM)Ms^ и потому Gq
sAff(X) (см. предложение 3.7). Обратно, есля
G — точка из Aff(X), то найдутся точки Аи .,,, Аа$
принадлежащие X, и скаляры Хи ..., Ял (с суммой*
п
необязательно равной 1), такие, что Лб = У]
это соотношение также записывается в виде
/г я
= Z А, ЛЛ, с Ао == 1 — У. Я; и А0 =
0 il
таким образом, G есть барицентр системы с носите-
носителем в X. ?
> Определение 4.1. Подмножество Xcz& называется
аффинно порождающим <%, если Aff (Z) = ^; оно
называется аффинно свободным, если любая точка М
из Aff (Z) единственным образом представляется в виде
п п
М = Yj кгАи где 2^ = 1 и ^е! при любом /.
Множество, одновременно аффинно свободное и
аффинно порождающее, называется аффинным репе*
ром1).
Выбирая начало А в X и полагая ХА = {AM | M &X}t
легко видеть, что X аффинно свободное (соотв. аф-
аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда
ХА свободное (соотв. множество образующих). (На-
(Напомним, что Vect(Xi) не зависит от выбора Л.) От-
Отсюда вытекает
Предложение 4.6. Для того чтобы подмножество Jf
пространства 8 было аффинно порождающим, необ-
необходимо и достаточно, чтобы X не содержалось ни в
какой афинной гиперплоскости в <§.
Наконец, применяя предложение 3.7, получим
!) Чаще в понятие репера включают требование упорядо*
ценности системы образующих его точек, — Прим, перев,

96 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Предложение 4.7. Если <$ — аффинное простран-
пространство конечной размерности я, то любой его аффинный
репер образован п+ 1 точками.
Обратно, для того чтобы п -f- 1 точек в <§ образо-
образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, что-
чтобы п векторов A0At A</<я) образовали базис Е,
или (эквивалентное условие) чтобы точки Ло, Ль ...
..., Ап не принадлежали одной аффинной гиперпло-
гиперплоскости.
Заметим, что если У есть ЛАМ конечной размер-
размерности в 8 и (Ло, Аи ..., Ар) — аффинный репер в У,
р р
то У есть множество точек 2] ktAi с 5Z ^/ == 1 • Этот
способ параметризации часто полезен. В частности,
аффинная прямая, соединяющая две точки Л, В в <*f,
есть множество точек А,Л + A—X) В (Х^К).
Характеризация аффинных подпространств
Следующая теорема оправдывает элементарное оп-
определение плоскости в школьном курсе геометрии как
такого множества Р точек, что каждая прямая, имею-
имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит Р.
> Теорема 4.8. Для того чтобы непустая часть F про-
пространства Е была линейным аффинным многообра-
многообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если К Ф Z/2Z — любая прямая, соединяющая
две точки Т, содержалась в Т\
b) если K = Z/2Z — эквибарицентр любых трех
точек Т лежал в Т.
Доказательство. Нам уже известна необходимость
этого условия. Для доказательства достаточности вы-
выберем в Т точку Л и покажем, что V = {AM \M e У)
есть ВПП пространства Е.
а) Предположив, что К ф Z/2Z, установим прежде
всего, что условия («gK и % е К) влекут Хи е V'.
Действительно, по предположению существует точка
В е У, такая, что АВ =; и. Точка С, определенная

5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 97
—>
условием АС=^Хи9 принадлежит прямой {АВ) и, зна-
значит, Т, откуда следует, что кеК.
Рассмотрим далее два любых вектора и = АВ и
v = AC в V и выберем k е К \ {0, 1} (что возможно,
так как К не сводится к {0, 1}). Точки В' = А + k~lu
и С' = Л + A ~ k)~~l v (см. рис. 1) принадлежат соот-
соответственно прямым {АВ) и {АС), а потому и Т, Сле-
Следовательно, точка D = kB' + A — k)C = A + u+ v при-
принадлежит У% откуда и + у ^ V- Итак, V есть ВПП в Я,
Рис. 1
Ь) Если К = Z/2Z, то тривиальным образом (Я, и) е
s /С X V влечет ки е 1/ (так как Я может принимать
—>• —>
только два значения 0, 1). Если и — АВ, v = AC —
два вектора из V, то точка D, определяемая усло-
условием AD = u + vt есть эквибариценГр Л, В, С, откуда
и вытекает наше утверждение. ?
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
^ Определение 5.1. Пусть &, 2F — два аффинных
пространства, ассоциированных соответственно с век-
векторными пространствами ?, F. Отображение /: <^->^~
называется полуаффинным (соотв. аффинным), если в <$
существует такая точка Л, что отображение фл: Е ->F,
_>
аь-^-/(Л)/(Л + и) полулинейно (соотв. линейно).
Предложение 5.1. Если в <? существует точка Л,
удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им
4 Ж. Лелои-Ферран

98 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
удовлетворяет любая точка & и отображение фл не
Зависит от Л.
Доказательство. Для любой пары (ut В)е
имеем в силу линейности фл
что и доказывает требуемое. ?
Р> Обозначения. Отображение фл обозначается /.(/) и
называется полулинейной (соотв. линейной) частью f.
Истолкование. Фиксируем в <§ некоторую точку А
и снабдим &\ $Г векторными структурами, принимая
за начало в & точку Л, а в У — точку /(Л). Тогда /
будет полуаффинным (соотв. аффинным) в том и
только том случае, если L(f) —полулинейное (соотв.
линейное) отображение & а в #*7(л).
В частности, изучение полуаффинных (соотв. аф-
аффинных) отображений пространства & в себя, допу-
допускающих неподвижную точку Л, сводится к изучению
полулинейных (соотв. линейных) отображений <Sa в
себя.
Так обстоит дело в случае гомотетий, проектирова-
проектирований и симметрии (см. ниже).
> Важно заметить, что полуаффинное (соотв. аффин-
аффинное) отображение полностью определяется своей полу-
полулинейной (соотв. линейной) частью и образом одной
точки.
Если Е, F — два векторных пространства, то полу-
полуаффинное (соотв. аффинное) отображение Е и F есть
отображение вида /: х«—> ф (х) + k, где ф полулиней-
полулинейно (соотв. линейно), a k=f(O)—постоянный эле-
мент.
Непосредственные следствия. Если f: <$ -*ЯГ полу-
аффинно, то
1) Образ ЛАМ в 8 есть ЛАМ в Т.
2) Прообраз ЛАМ в У есть ЛАМ в & или пустое
множество.

5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 99
3) Для любой системы (Ah ^)fQ/ взвешенных
точек 8 образ барицентра ${Ah Xi)i^l есть бари-
барицентр $ (f (At), 6 (A,;)); e 7, где 6 обозначает изоморфизм
тел, ассоциированный с /.
Применение аффинных реперов
> Теорема 5.2. Пусть 8, SF — аффинные простран-
пространства над делами К, К\ 6 —изоморфизм К на К',
(A)=s — аффинный репер вй'и {Вь). s ; — семейство
точек #", индексированное тем же множеством инде-
индексов /.
Тогда существует единственное полуаффинное ото-
отображение f пространства 8 в &~, ассоциированное с
изоморфизмом 0, такое, что /(Л/) =Bt для всех i'g /.
Более того, / биективно (соотв. инъективно, сюръ-
ективно) тогда и только тогда, когда семейство
(Bi)i e; есть аффинный репер (соотв. свободное се-
семейство, семейство образующих) для У.
Доказательство. Вернемся к теореме II. 4.5, взяв
одну из точек At в качестве начала в <$, а соответст-
соответствующую точку Bt — в &~\ отображение / определяется
равенством
f(ZxiAi)= Z в(хдВ,
для любого конечного подмножества / cz / и любой
системы скаляров (л:/)?е/, таких, что, X *j=l. П
i /
^ В частности, аффинное отображение 8 в 2F опре-
определяется заданием образа аффинного репера из 8\
Приложение: уравнения аффинной гиперплоскости
или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в § II. 6,
легко получаем
Предложение 5.3. Пусть 8 — аффинное простран-
пространство над телом К. Тогда
а) Если /: &-+К — непостоянное аффинное ото-
отображение, то /-1 @¦) — аффинная гиперплоскость в 8
с направлением KerL(f).

100 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Ь) Обратно, если Ж — аффинная гиперплоскость в
&, то существует аффинное отображение /: ё '->/С, та-
такое, что <9^ = /~1@), и все аффинные отображения <§
в К с этим свойством суть отображения fk: х н—> / (х) kt
где 4еГ.
Если <о — аффинное пространство конечной раз-
размерности я, то каждое ЛАМ размерности р в <§ опре-
определяется системой уравнений вида fi(x) = 0 A ^ i ^
^.п — р), где /*• — аффинные отображения <§ в /С, ли-
линейные части которых независимы.
Характеризация аффинных отображений
> Теорема 5.4. Пусть <§, 2Г — два аффинных про-
пространства над одним и тем же телом /С. Для того что-
чтобы отображение /: <§ -+%Г было аффинным, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы
а) при К Ф Z/2Z
/ (A - К) А + KB) = A - Я) / (А) + Kf (В);
Ъ) при /C = Z/2Z образ эквибарицентра любых
трех точек <^ был эквибарицентром их образов.
Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8).
а) При фиксированной точке Де^ соотношение
а) показывает, что для любого вектора и — АВ на-
направляющего пространства Е имеем
Отображение qp: «ь-> f(A)f(A + и) удовлетворяет,
следовательно, условию q>(hu)=zkq>(u).
Чтобы доказать, что выполняется и условие
<р (и + v) = ф {и) + ф (v) для любых (и, v)^EX.Ef выбе-
выберем такие S, С, что ЛВ = и, ЛС=и и Я <= /С \ {0, 1},
определим точки В', Сг условиями АВ' = К~1и, АС' =
(l—K)~lv. Применяя условие а), получим тогда
A + +) f(B' (l)C') Kfffl + (lKm(n

5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 101
откуда
<р(и + v) = Яф(АВ') + A -
Рассмотрение случая Ь) предоставляется читателю
(упр. III. 7). ?
Можно также сформулировать теорему 5.4 так:
отображение & в $Г является аффинным тогда и
только тогда, когда его ограничение на любую аффин-
аффинную прямую в ё аффинно.
В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую
характеризацию полуаффинных отображений (§ 9).
Неподвижные точки аффинных и полуаффинных ото-
отображений
^ Теорема 5.5. Если f: & —><В — полуаффинное отоб-
бражение и множество /(/)= {М е <g\f{M) = М) его
неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с
направляющим множеством I(L(f)) = Ker(L(/) —
— IcU), состоящим из неподвижных элементов отобра-
отображения L(f).
С другой стороны, если & конечномерно и L(f) не
имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то /
имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство. Если фиксировать т*очку А<^<$,
условие f(M) = M равносильно f (A) f (М) = / (А) М и,
значит, условию ф (AM) — AM = f(A)A, где ф = L(/).
• Если А — неподвижная точка f, то M^I(f) равно-
равносильно AM e Кег (ф — IdE), откуда вытекает первое
утверждение.
• Если Кег (ф —• Id?) = {0}, то отображение ф—ЫЕ
инъективно и потому в случае конечной размерности Е
биективно; в & существует единственная точка М>
такая, что ф (AM) — AM = f (А) А, откуда следует вто-
второе утверждение. Q

102 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
> Важное замечание. Если /: <S-^-<S — произвольное
отображение и g: <§Г-><Г — биекция, то I (g°f°g~1) —
ff ((/))
Это общее замечание особенно полезно в случае
аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы
Если /: ^Ti —>- <§Г2 и g: <%ч-+-<%ъ— два аффинных (со-
(соотв. полуаффинных) отображения, то gof также есть
аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и
L(g °/) = L(g) oL(f). Отсюда выводится
Теорема 5.6. Пусть & — аффинное пространство,
ассоциированное с векторным пространством Е. Аф-
Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции 8 на <S об-
образуют группу, которую мы обозначаем GA(S) (со-
(соотв. GSA(^T)). Отображение L (линейная или полули-
полулинейная часть) есть гомоморфизм GA(<?T) на GL(?) и
GSA(^T) на группу GSL(?) полулинейных биекций
Е на Е.
Наконец, для любой точки Р в ^ ограничение L
на группу изотропии точки Р в GA(^T) (соотв.
GSA(^T)) является изоморфизмом этой группы на
GL(?) (соотв. GSL(?)).
Последнее утверждение получим, выбирая Р в ка-
качестве начала в 8.
Следствие. Если Н — подгруппа в GL(?) (соотв.
в GSL(?)), то L~l(H) есть подгруппа в GA(<§F) (со-
(соотв. в GSA(^T)); при этом если Я — инвариантная
подгруппа, то такова же и L~l(H).
> В частности, если Н = ldE, то L~X(H) есть инва-
инвариантная подгруппа в GA(<§T), образованная трансля-
трансляциями.
Если Н = {±Id?}, то L~l(H) есть инвариантная
подгруппа в GA(^T), образованная трансляциями и
центральными симметриями.
Если Н — инвариантная подгруппа группы GSL (Е),
образованная векторными гомотетиями (см. § II. 4),
то L~l(H) есть инвариантная подгруппа в GSA(<?f),
называемая группой дилатаций.

5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЮЗ
Пусть f — дилатация, не сводящаяся к трансляции;
тогда L(f) — векторная гомотетия вида uv—>kuy где
1гф\.Ъ этом случае / имеет единственную неподвиж-
неподвижную точку /, определяемую из условия (k — 1) AI =
= /(Л)Л,где А — произвольная точка 8'. Таким обра-
образом, / выражается как Л! ь->/+ kIM.Такое отображе-
отображение называется гомотетией с центром I и коэффициен-
коэффициентом k.
Сформулируем
> Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии <§ со-
составляют инвариантную подгруппу группы GSA(*?),
называемую группой дилатаций <§. Мы обозначаем ее
Dil(#)
По поводу чисто геометрической характеризации
этой группы см. упр. III. 8.
Если основное тело К коммутативно, то группа
(^) является инвариантной подгруппой группы
Проектирования
Назовем проектированием & любое аффинное ото-
отображение р пространства <? в себя, удовлетворяющее
условию р ? р = р.
\
р(М)
V
Рис. 2 *s(M)
Для такого отображения любая точка Лр()
является неподвижной; принимая такую точку за на-
начало, мы приходим к случаю проектирования для век-
векторного пространства &а. Отсюда вытекает существо-
существование таких отображений, а также следующая их гео-
геометрическая характеризация:

104 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Предложение 5.8. Отображение р: <$-><$ является
проектированием, если существует ВПП W простран-
пространства Е и ЛАМ У в <$ с направляющим подпростран-
подпространством V, дополнительным к W, такие, что для любой
точки М е & ее образ р(М) есть точка пересечения У
с ЛАМ, проходящим через М с направлением W
(рис.2).
Аффинные симметрии
> Теорема 5.9. Пусть & — аффинное пространство,
ассоциированное с векторным пространством Е над
телом К характеристики Ф 2 1).
> Для того чтобы аффинное отображение /: $ -><S
было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы
оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку
и чтобы его линейная часть была векторной симме-
симметрией Е.
Такое отображение называется аффинной симме-
симметрией.
Доказательство. Если fof = \dz и Л g <§Г, то обра-
образом середины отрезка [Л, f(A)] будет середина отрез-
отрезка [f(A), f°f(A)] = [f(A), А]; таким образом, эта
точка инвариантна при отображении / и, выбрав ее за
начало, мы сведем дело к векторному случаю. ?
Предложение 5.10. Отображением: <$->$ является
аффинной симметрией, если существуют ВПП W про-
пространства & и ЛАМ Y<^$ с направлением, дополни-
дополнительным к W, такие, что для любой точки M^S* (см.
рис. 2)
i) Ms(M) e= W;
ii) середина [М, s(M)] принадлежит Т.
Если У сводится к одной точке Л, то 1^ = ? и s
есть центральная симметрия с центром А.
Теорема Фалеса
Пусть по-прежнему W есть ВПП в Е и У и У 2 —
два аффинных пространства в &, направляющие кото-
1) Это утверждение теряет силу, если К — тело характери-
характеристики 2 (см. упр. III. б).

6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА
105
рых соответственно V\, V2 дополнительны к W. Обо-
Обозначим через р\ (соотв. р2) ограничение проектирова-
проектирования <8 на Т2 (соотв. Т\) параллельно W. Тогда, как
легко видеть, р2 является аффинной биекцией Т\ на
Y2, обратная к которой есть рх. Образ М2 = р2(М\)
точки М\ е У°\ определяется условиями М2^Т2 и
МХМ2 <= W (см. рис. 3).
> В более общей форме теорема Фалеса есть не что
иное, как констатация того факта, что установленное
Рис. 3
указанным способом соответствие между Т\ и У2 яв-
является аффинным.
В частности, если W-
то справедлива
векторная гиперплоскость,
^ Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, парал-
параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, вы-
высекают на произвольной паре не параллельных им
прямых пропорциональные отрезки ]).
6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ АФФИННОГО
ПРОСТРАНСТВА В ВЕКТОРНОЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть снова <8 — аффинное пространство, ассоции-
ассоциированное с векторным пространством Е. Как мы уже
видели, выбор начала в <% позволяет отождествить <S
с Е\ теперь мы докажем, что <% канонически отожде-
') У автора: «divisions semblables» («подобные разбие-
разбиения») . — Прим. перев.

106 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ствляется с аффинной гиперплоскостью некоторого
векторного пространства F, изоморфного Е X К.
Метод будет состоять в сопоставлении каждой точ-
точке А ^& отображения fA: 8-+Е, М ъ—>МА.
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма. Пусть Е — левое векторное пространство
над телом /С, а X — произвольное множество. Тогда
множество Xе отображений X в Е есть левое вектор-
векторное пространство над К по отношению к обычным
операциям сложения функций и умножению их слева
на скаляры:
f + g: x*->f(x) + g(x) и Xf: x^Xf(x).
(Проверяется непосредственно.)
В силу доказанного искомое векторное простран-
пространство F будет ВПП в <§Е, порожденным отображениями
/л. Поэтому мы начнем с изучения этого простран-
пространства F.
> Предложение 6.1. Пусть F—векторное подпростран-
подпространство в &Е, порожденное функциями fA: &-+Е,
пусть, далее, /: &->Еу Мн> ? %{МАЬ —
элемент из F1). Тогда
a) Сумма X Xt зависит только от функции / и
/ €= /
притом линейно, т. е. является линейным отображе-
отображением F в /С, которое мы обозначим \х.
b) Если \i(f) Ф0, то существует единственная точ-
точка Ge<?, такая, что / = |ы(/)/с.
c) Если \i(f) = 0, то / постоянна.
Доказательство. Заметим сначала, что утвержде-
утверждение а) не очевидно, так как могут существовать раз-
различные системы взвешенных точек (Ah А,/)/€Е/, такие,
что /= Yi kifA.; но оно легко вытекает из того факта,
J) Заметим, что элементы F называются «функциями Лейб-
Лейбница» и часто применяются в теории барицентров; однако если
Л' не коммутативно, то эти функции лишь полуаффинны.

6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА Ю7
что для любой пары (М, Р) е &2 выполнено соот-
соотношение
Z A)
которое доказывает существование и линейность функ-
функции f>-*\x(f).
b) Если 2 ^г =7^= 0, выберем в <§ произвольную
/е/
точку Р. Соотношение A) показывает, что в S суще-
существует единственная точка G, такая, что / (G) — 0; она
определяется условием ( 2 kAPG = f(P). Из A)
также видно, что эта точка — единственная, для кото-
которой (VM е йГ) /(М) = (? А,Л Ж?. Таким образом,
V е= / /
барицентр семейства (Аи hi)teI зависит только от
функции /.
c) Наконец, последнее утверждение также выте-
вытекает из A). ?
Следствие. F является теоретико-множественным
объединением векторного пространства постоянных
функций и множества функций вида XfA ((X, Л) <=
/(*ХГ)
Предложение 6.2. Пусть / — отображение $->F,
А^-^!ау и пусть /о — отображение Е в F, которое
любому вектору и е Е ставит в соответствие постоян-
постоянную функцию, равную и на 8.
Тогда / аффинно с линейной частью /0 и потому
инъективно; при этом j(&) есть аффинная гиперпло-
гиперплоскость F\ в F с уравнением |х (/) ===== 1.
Доказательство. Для любой пары (Л, В) е ё*2 раз-
разность j(B) — j(A) есть постоянная функция fB — fA:
М>->МВ — МА = AS; положим / (В) — / (Л) =- /0 (AS).
Таким образом, / аффинно, L(j) = j0 и / инъективно,
как и /0.
С другой стороны, как показывает предыдущее
предложение, функции fA суть элементы f e F, удо-
удовлетворяющие условию |ы(/) = 1. ?

108 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
^ Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству
8> ассоциированному с векторным /(-пространством
?, можно канонически присоединить:
• векторное пространство F> изоморфное
• ненулевую линейную форму \х на F,
• аффинную инъекцию /: <§-*F, такую, что ](<&) —
аффинная гиперплоскость в F\ с: F с уравнением
ц(х) = 1.
Доказательство. Остается только установить изо-
изоморфизм между F и Е X К. Для этого достаточно за-
заметить, что, какова бы ни была точка Дб^, ото-
отображение ЕУ^К-^F, (и, X)i—>/o(w) + ЦА линейно и
биективно. Установленный таким путем изоморфизм
очевидным образом зависит от выбора точки А. ?
Заметим, что аффинная гиперплоскость F\ имеет в
качестве направляющей векторную гиперплоскость
Fo = Ker(ji) == jo(E) постоянных функций, которая
отождествляется с Е.
Замечания. 1) Векторную структуру на множестве
Е\] (К*У^8) можно определить непосредственно, не
прибегая к векторному пространству <%Е, но это свя-
связано с утомительными выкладками.
2) Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обе-
обеспечивает каноническое погружение /, единственным
образом определяемое заданием 8.
> Обозначения. Векторное пространство F, построен-
построенное таким образом, называется векторным продолже-
продолжением & и обозначается &'.
Если & имеет размерность п, то размерность *?
равна п + 1. Мы увидим, что введение этого простран-
пространства позволяет прояснить многие вопросы.
7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ПОГРУЖЕНИИ
Векторная интерпретация барицентров
Вернемся к обозначениям § 6. Инъекция / позво-
позволяет нам отождествить 8 с аффинной гиперплоскостью
/^i = (Li A) в F, в то время как ее линейная часть /о

7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ПОГРУЖЕНИИ Ю9
позволяет отождествить Е с векторной гиперпло-
гиперплоскостью Fo = Ker(ii).
Предложение 7.1. Пусть (Ль Xt){ s/ — конечное
семейство взвешенных т*очек &', где точки Л^ ото-
отождествлены с элементами F1% Для того чтобы элемент
^ hiAi из Т7 принадлежал /*\ (соотв. Fo)9 необходимо
/е=/
и достаточно, чтобы 2^ = 1 (соотв. 2 А,* =
Доказательство. Это вытекает из соотношения
> Правило. Отождествление <§Г с подмножеством
в F~§ позволяет без предосторожностей записывать
любые конечные линейные комбинации J] Я^Лг- эле-
элементов <§Г. Но такая комбинация представляет элемент
из <? только тогда, когда XI ^^ = 1 (этот элемент будет
барицентром системы (Ль A,t-)); если же ^ Лг = 0, то
Yj kiAi представляет элемент из Е9 равный X hiAAt
для любой точки i4Gl.
Приложения. 1) Для того чтобы три точки Л, В, С
из *? были коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы существовали не равные одновременно нулю
скаляры К \i, v, такие, что
A, + jA + v = O и ^ + nfi + vC = 0. A)
Соотношения A) на самом деле равносильны од-
—> —>
ному соотношению КС А + \^СВ = 0; они интересны
своей симметричной формой относительно Л, В, С
и возможностью складывать подобные соотношения.
2) Если XI Яг =5^= 0, то барицентром системы
(Л,, A,f)/e/ является точка пересечения с /^ векторной
прямой с направляющей 2 ^И* в ^7-
3) Для того чтобы семейство (^)/е/ точек из &
было аффинно свободным (соотв. аффинно порождаю-
порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство

НО ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
i^I было свободным ( соотв. семейством образую-
образующих) в векторном пространстве F.
> В частности, аффинный репер & является базисом
F, содержащимся в F).
Векторная интерпретация аффинных отображений
Мы начнем с установления одного общего резуль-
результата, независимого от теории векторных продолжений.
Предложение 7.2. Пусть F, F' — два векторных
пространства над одним и тем же телом /( и F,
(соотв. F\) — аффинная гиперплоскость в F (соотв. F'),
не проходящая через начало; обозначим Fo (соотв. Fq)
векторную гиперплоскость, параллельную Fi (соотв. F[).
a) Если ф: F->F' — линейное отображение, такое,
что ф (F\) c= F\9 то ограничение ф на F{ есть аффинное
отображение F\ в F\, линейная часть которого есть
ограничение ф на Ео.
b) Обратно, если /: F\ ->Fi — аффинное отображе-
отображение, то существует единственное линейное отображе-
отображение ф: F-+F', ограничение которого на F\ совпа-
совпадает с /.
Доказательство, а) Если ф: F-+F' линейно n(p(F{)cz
cz F\t то для любых точек Л, В из Fx имеем ф(В) —
— ф(Л) = ф(АВ) и ЛВ е Fo. Ограничение ф на Fx
аффинно с линейной частью ф0: Fq-^Fq, u*-xp(u).
Ъ) Обратно, пусть /: F\ ->/ч —- аффинное отобра-
отображение. Фиксируем точку А в F{ и обозначим через D
(соотв. D') векторную прямую в F (соотв. F'), поро-
порожденную А (соотв. f{A)) (рис. 4). Тогда F = F0(&D,
F' = Fo®D\ и искомое линейное отображение дол-
должно удовлетворять следующим двум условиям:
) Ф() /(),
п) ограничение ф на Fo равно линейной части /.
Но существует единственное линейное отображе-
отображение ф из F в Frу удовлетворяющее этим условиям (ф
определено своими ограничениями на дополнительные

7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ПОГРУЖЕНИИ 111
ВПП Fo и D пространства F); тогда ограничение ф на
F\ есть аффинное отображение с той же линейной
частью, что и /, и принимающее в точке А то же зна-
значение, что и /, а тем самым равное /, откуда вытекает
доказываемый результат. D
> Существует, следовательно, биективное соответствие
между аффинными отобраоюениями F\ в F\u линейными
отображениями F в F', удовлетворяющими условию
С другой стороны, если F' = F и F\=Fu это соот-
соответствие сохраняет композицию отображений (компо-
Рис. 4
зиция ограничений двух отображений совпадает с ог-
ограничением их композиции). Наконец, если ф — авто-
автоморфизм F и F\ — аффинная гиперплоскость в F, то
включение <р(Л) cFi влечет равенство <p(Fi) =F\,
В самом деле, ф(Л) есть аффинная гиперплоскость
в F, и достаточно применить следствие теоремы II. 6.2,
вернувшись к векторному случаю путем замены на-
начала в F.
Таким образом, мы можем сформулировать
Предложение 7.3. Пусть F — векторное простран-
пространство, F\ — аффинная гиперплоскость в F, не проходя-
проходящая через начало. Существует изоморфизм группы
аффинных биекций F\ на стабилизатор F\ в GL(F)
(подгруппу в GL(F), состоящую из автоморфизмов ф,
для которых cp(Fi) =5Л).
> Эти результаты применимы, в частности, к случаю,
когда F, F' —- векторные продолжения аффинных про-

l\2 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
странств Ж, Ж'у a F\, F\ — образы Ж, Ж' при канони-
канонических погружениях j: <?f—>/\ \'\ Ж/->Р/: всякое
аффинное отображение Ж в Ж' отождествляется с линей-
линейным отображением ф пространства F в F\ удовлетво-
удовлетворяющим требованию y(Fi)czFu и группа аффинных
биекций Ж отождествляется с подгруппой в GL {F),
сохраняющей аффинную гиперплоскость F{.
Случай конечной размерности
Если аффинное пространство Ж имеет конечную
размерность п, то в F — Ж можно выбрать базис
(е{, ..., еп+{) так, что et e FQ при 1 ^/^п и en+i^F{.
Тогда (еп+{', е{, ..., еп) есть декартов репер в F{ = Ж
с началом еп+1 (рис. 4).
В этом случае F{ является множеством точек х=
= S xiei пространства F, таких, что х — eft+1Gf0=
= Vect^, ..., еп); следовательно, это аффинная гипер-
гиперплоскость с уравнением хп+1 — 1 в базисе (?fI</<n+1.
Эндоморфизмы ф пространства F, удовлетворяющие
условию ф (F{) с: Fb — это те эндоморфизмы, матрица
которых в базисе (et) имеет вид
B)
0
0 1
где А == (ац) — квадратная матрица порядка п. Эн-
Эндоморфизму ф с матрицей B) соответствует аффинное
отображение /: Fi ->Fu координатное выражение ко-
которого в декартовом репере (еп+\\ ей ...> еп) имеет
форму
ft (х) = t{ xkaik + bt A
n).
C)
Матричные вычисления показали бы, что для этого
соответствия соблюдаются правила композиции ото-

8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ИЗ
бражений. С другой стороны, эндоморфизм ф с матри-
матрицей B) обратим тогда и только тогда, когда обратима
матрица B), и тогда выполняется и равенство <p(Fi) —
= F\. Таким образом, получается
> Теорема 7.4. Группа аффинных биекций я-мерного
аффинного пространства изоморфна подгруппе линей-
линейной группы GL(/Cn+1)> образованной матрицами вида
B), где А принадлежит GL(/Cn).
В частности, группа аффинных биекций х »—> ах + b
тела К изоморфна подгруппе в GL(/C2), состоящей из
[a b
матриц вида п
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ
ИНЪЕКТИВНЫХ ПОЛУАФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Ниже мы обозначаем через <§, <§' два аффинных
пространства, ассоциированных соответственно с век-
векторными пространствами ?, Ег над произвольными те-
телами /С, /('. Мы дадим чисто геометрическую характе-
ризацию полуаффинных отображений & в <§'х). Для
ясности начнем со случая инъективных отображений.
> Теорема 8.1. Допустим, что dim(<§T) ^2. Для того
чтобы инъективное отображение /: <§-+<§' было по-
полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно
удовлетворяло следующим двум условиям:
i) образ любой аффинной прямой из & был аф-
аффинной прямой в <%'\
п) образы двух параллельных прямых были парал-
параллельными прямыми.
Доказательство. Необходимость условий очевидна.
Доказательство достаточности проведем в несколько
этапов, все время предполагая, что / удовлетворяет
условиям i) и п).
1) Доказательства в § 8 и 9 частично используют приведен-
приведенные в [FR], но относятся к более общей ситуации (произволь-
(произвольное тело, необязательно конечная размерность). С другой сто-
стороны, применение теоремы 4.8 упрощает изложение (см. § 9).

114 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
а) Образы при f двух различных прямых Du D2 из
<g суть также две различные прямые.
В самом деле, пусть D\, D2 — прямые в <ff, имею-
имеющие один и тот же образ f(Di) =/(Ь2), и пусть Л, В—
две различные точки их общего образа. Тогда прооб-
прообразы f~l(A), f~l(B) точек А и В принадлежат D{ и D2
одновременно и различны (в силу инъективности /),
откуда следует, что D\ = D2.
b) Отображение фл: Е-+Е, и н-^ / (A) f (Л + и) не
зависит от выбора А в &.
В самом деле, пусть 5 —другая точка <$ и С, D
таковы, что АС = BD = и. Если (ABDC) — несплющен-
ный параллелограмм, то из И) и а) следует*, что его
образ (f(A) f(B) f(D)f (С)) — тоже настоящий паралле-
параллелограмм, откуда
f(A)f(Q = f(B)f(D),
Если точки А, В, С, D принадлежат одной прямой
Я), то предположение dim(?F)^2 позволяет выбрать в
?\3) точки Р, Q так, что PQ = u. Применяя предыду-
предыдущий случай, имеем
откуда щ(и) =
Отображение срА обозначаем отныне просто ф.
с) Отображение ф: Е-*-Е инъективно и удовлетво-
удовлетворяет условию
(V (и, v) s Е2) Ф (и + v) - Ф (и) + Ф (v). A)
Инъективность ф сразу следует из инъективности
/. С другой стороны, для любых данных и, v выберем
в <% такие точки Л, В, С, что АВ = и и BC = v. Тогда
/ (A) f (В) + f(B)f (С)=ф)+ф).
й) Существует отображение р: /С-^/С', такое, что
(V (Я, и)^КХЕ) Ф(Аи) = р(А)Ф(и). B)

8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ Ц5
Доказательство, Достаточно найти р, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию B) при и ф 0. Для заданной пары (Я, и)
выберем Л, Ву С в <§ так, что АВ = и, АС = ки. Так
как точки A' = / (Л), B'=f (В) и C'=f (С) коллинеарны,
то коллинеарны и векторы Л/С' = ф(Яи) и А'В' = <${и)\
отсюда вытекает существование некоторого скаляра,
скажем 8 (Я, и), т'акого, что ф(Яц) = 8(Я, и) ф (и).
Остается доказать, что 9 (Я, и) не зависит от вектора и
(по предположению ненулевого).
1) Если и, v —два неколлинеарных вектора, то не-
коллинеарны и ф(и), ф(у); в противном случае обра-
образы двух прямых Du D2, проходящих через одну и ту
же точку Л с направляющими и, v, совпадали бы, что
невозможно в силу а).
Для любого X е К имеем
откуда в силу неколлинеарности ф(и), q>(v)
u + v) = Q{X, v).
2) ?{:лц ц, v — коллинеарные ненулевые векторы,
то предположение dim(?)^2 позволяет выбрать
w^E так, что пары (ц, w) и (и, о/) свободны. От-
Отсюда находим, что
Так для каждого %^К отображение Е\ {0}->/(,
и«—> 6 (Я, и) есть константа, мы обозначим ее через р (Я).
е) Отображение р: К-*~К' является изоморфизмом
тел.
Выбрав и^Е\ {0}, мы увидим прежде всего, что
соотношения ф ((Я + ц) и) = ф (Хи) + ф (\iu) и ф (K\iu) =
= р {X\i) ф (и) = р (Я) ф {[хи) = р (Я) р (\i) ф (и) влекут (с уче-
учетом ф (и) ф 0)
т. е. показывают, что р — гомоморфизм тел.
Наконец, для любой точки islf отображение
Я«—>А + Хи есть биекция К на прямую ?>; ограниче-

116 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ние / на D есть биекция D на прямую f{D). Следо-
Следовательно, композиция K—>f(D), Я»—>/ (А + ^и) =
= /(Л) + р(Х)(р(и) биективна. Отсюда вытекает, что
отображение р: К —> К' биективно.
Итак, р — изоморфизм тел, ф — полулинейное ото-
отображение, ассоциированное с р, и / — полуаффинное
отображение. ?
Случай плоскости
Если & и <&' двумерны, то условие ii) в теореме 8.1
следует из условия i) и инъективности /. Мы можем,
таким образом, сформулировать
> Следствие. Если <$\ В' — аффинные плоскости и f:
$-*¦<§'—инъективное отображение, такое, что образ
любой прямой в & есть прямая в &\ то / — полуаф-
финнов отображение.
Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в
частности, если /—инъективное отображение <§ в се-
себя, такое, что образ любой прямой D есть прямая, па-
параллельная D; тогда можно непосредственно доказать^
что/ — дилатация (см. упр. III. 8).
9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ
Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характериза-
цию линейных аффинных многообразий, представлен-
представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую тео~
рему:
> Теорема 9.1. Пусть В, <S' — аффинные простран-
пространства над телами К, К', отличными от поля Z/2Z; для
того чтобы отображение /: <§ —> <$' было полуаффин-
полуаффинным, достаточно, чтобы
i) Образ любой прямой в <§ был прямой в &',
либо сводился к одной точке.
ii) Аффинное подпространство в <8Г, порожденное
\{<8), имело размерность ^2.
Мы подразделим доказательство этой теоремы на
семь лемм; в каждой из них предполагается, что f
удовлетворяет условиям i) и ii).

9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц7
Лемма 1. Если У есть ЛАМ в «\ то f{T) - ЛАМ в 8'.
Доказательство. Пусть A' = f(A) и B' = f(B)—
две различные точки в f{T). Тогда прямая {А'В')
есть по условию i) образ прямой {АВ)\ так как пря-
прямая {АВ) содержится в У, прямая (А'В') содержится
в ((У). Результат теперь вытекает из теоремы 4.8. ?
Лемма 2. Если У — ЛАМ в!"и множество У =.
==f~l(y') непусто, то оно является ЛАМ в 8.
Доказательство. Результат очевиден, если У сво-
сводится к одной точке. В противном случае для любой
пары различных точек Д, BgF прямая (f(A)f(B))
содержится в У согласно i). Таким образом, прямая
(АВ) содержится в У и теорема 4.8 показывает, что
У есть ЛАМ. D
Лемма 3. Для любой непустой части X простран-
пространства 8
All(f(X)) = f(AU(X)). A)
Доказательство. Aff (Я) есть ЛАМ в 8, содержа-
содержащее X; по лемме 1, f(AH(X)) есть ЛАМ в <§', содер-
содержащее f{X). Отсюда следует включение Aff(f(X))cz
cf(Aff(X)).
Аналогично, по лемме 2, f~ (Afl(f(X)) есть ЛАМ
в 8\ содержащее f~l (f(X)), а потому и X; имеет место
включение Aff (X) cz/" (Aff (f(X))); применение отоб-
отображения f дает
f (Aff (*))<= АН (/(X)).
Окончательно получаем равенство A). D
Лемма 4. Пусть Du D2— пара параллельных пря-
прямых в <$. Если f(D\) сводится к точке, то же имеет
место и для f(D2). Если f(D\)—прямая, то и f(D2) —
прямая, параллельная f{D\).
Доказательство. Мы можем предположить, что
D{ Ф D2. Тогда У = Aff (D{ U D2) есть ЛАМ размерно-
размерности 2 в I, порожденное двумя точками Л, В одной
из прямых и точкой С другой прямой; по леммам 2

118 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
и 3, f(Г) = АН{f(A), f(B), /(О) есть ЛАМ размер-
размерности 5^2.
а) Покажем сначала, что / (Dx) = f (D2) либо / (Dx) f|
Of(D2)=0.
Допустим, что f(D{) и f{D2) действительно имеют
общую точку. Тогда найдутся точки Ах е Dx и Л2е?2,
такие, что f(Ax) = f(A2). Выбирая BX^DX\{AX} и
B2^D2\ {A2} и полагая по-прежнему T=Aff(Dx \J D2),
получим с помощью леммы 3, что
/ (Л = Aff (/ (Ах), f (Л2), / (Вх)) = Aff (/ (А,), / (Si)) =
и аналогично
/ (Г) - Aff (/ (Л,), f (Л2), / (ft))=Aff (/ (Л2), / (B2))=f(D2),
откуда f(D{) = f(D2).
Поскольку сформулированное утверждение при
) = /(D2) очевидно, будем далее полагать }(йх)Ф
) т. е. считать, что f (Dx) и f(D2) не имеют
общих точек.
b) Предположим, что f(Dx) — прямая вЙ"и f(Dx){]
Of02)= 01 тогда /(У) имеет размерность 2.
Если бы на прямой ZJ существовали две точки В,
С, такие, что /(В) = /(С), то для любой точки А е Di
мы имели бы Г = Aff (Л, 5, С) и /(Г) = Aff (/(Л),
f{B)), и тогда /(У3) не было бы двумерным вопреки
предположению. Отсюда следует, что f{D2)—прямая.
Значит, f{Dx) и f(D2) — две прямые без общих
точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т. е. па-
параллельные.
c) Если f{D\) сводится к одной точке, то, меняя
ролями D\ и D2 и применяя результат Ь), мы видим,
что f (D2) также сводится к точке. ?
Лемма 5. Если (Р, Q) — пара точек в f$\ таких,
что множества f~l (P), f~l (Q) непусты, то f~l(P) и
/el(Q)—-ЛАМ с общим направлением.
Доказательство. По лемме 2, f~l (P) и f~{ (Q) суть
ЛАМ в &. Предполагая, что Рф(), фиксируем точку Л
в T = f~~l(P) и точку В в F> = /~1(Q); параллельный
перенос на вектор АВ обозначим через т. Для любой

9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц9
точки Мef прямая (Вх(М)) = (х(А)х(М)) параллельна
прямой (AM), и поскольку образ прямой (AM)) сво-
сводится к одной точке Р, то образ прямой (Вх(М)) сво-
сводится к точке Q = f (В). Таким образом, М^Т влечет
х(М)аЖ и имеет место включение х(Т)аЖ.
Меняя ролями Т и Ж, получим включение
гНЛсГ, откуда х(Т) = Ж. Итак, Tt Ж имеют
общее направление. ?
Лемма 6. Обозначим через V общее направление
непустых ЛАМ в & вида f~l(P)9 где Pg^, и пусть
&/V — факторпространство 8 по отношению эквива-
эквивалентности 91, определенному условием А@1В<=>АВ^V.
Тогда <?/V имеет единственную аффинную струк-
структуру, такую, что каноническая проекция р: &-+<?/V
является аффинной.
Доказательство. Выбор начала А в & сводит дело
к случаю факторпространства векторного простран-
пространства & а по его векторному подпространству У, и ока-
оказывается, что достаточно применить теорему II. 4.3,
приняв точку р(А) за начало в &/V. ?
Отметим, что &[V является пространством орбит
действия группы трансляций (У, +) на %>\ это есть
множество ЛАМ с направлением V (см. § 2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение f
представляется в виде / = g"^p, где g: <?/V-+&' —
инъективное полуаффинное отображение; отсюда вы-
вытекает, что / полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность
g вытекают из того, что соотношение f (Л) = f(B) рав-
равносильно AB^V (см. лемму 5), и тем самым р(А) =
= р(В). Для доказательства полуаффинности g по-
покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8. К
Пусть 3) — произвольная аффинная прямая в 8/Л/у
порожденная двумя различными элементами а, р из
&/V'. Без труда проверяется, что р~1B)) есть ЛАМ
в &, порожденное p"(a)Up~(P)-
По лемме 3, gBD) = f(p~l (к))) есть ЛАМ, порож-
порожденное / (р-1 (a)) U / (р-1 (Р)) = {g (а), g (P)}; итак (в силу
инъективности g), g(&) является аффинной прямой &\

120 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Наконец, &/V не может сводиться к одной точке
или прямой, так как тогда к точке или прямой своди-
сводилось бы и g{<S/V) = \{<&), что противоречит условию
и). Поэтому dim ((Г/У) ^ 2.
Отсюда следует, что g удовлетворяет условиям i)
и И), наложенным на /, при условии замены & на
&IV. Лемма 4 показывает тогда, что образы при ото-
отображении g двух параллельных прямых 3)\, S>2 из
&'/V — две параллельные прямые. Наконец, g удов-
удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены
& на &/V). Следовательно, g полуаффинно и так же
обстоит дело с /. ?
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. ?
Этот результат особенно интересен в случае, когда
тела К и К! совпадают и не допускают других авто-
автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда
К = R или K = ZP при р ф 2): в этом случае мы по-
получаем чисто геометрическую характеризацию аффин-
аффинных отображений ранга ^2 пространства & в &'.
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла
бы силу при отсутствии условия ii): ведь любое ото-
отображение & на прямую тривиальным образом удов-
удовлетворяет условию i).
Так же и в случае К = К' = Z/2Z условие i) выпол-
выполнено для любого отображения & в &г (поскольку
каждая прямая в & и &' состоит из двух точек). Тео-
Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ пря-
прямой есть прямая или точка» более слабым условием
«образы коллинеарных точек коллинеарны», даже
при условии, что / биективно.
Например, f: К2Аг->рАг, (хи ..., хП9 уь ..., уп)*->
*—> (х{ + *Уи • • •» хп + *Уп) есть биекция векторного
пространства R2n над R в векторное пространство [Cf
над ?)., и образ каждой прямой из R2" при отображе-
отображении / содержится в некоторой прямой пространства
Crt, но / не является полулинейным (поскольку R и
С не изоморфны).

Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Избыток аффинной геометрии в последние годы
привел к забвению задач, при всей их естественности,
которые связаны с центральным проектированием и
теорией перспективы. Настала пора к ним вернуться,
ибо с практической точки зрения проектирование имеет
ключевое значение для хорошего пространственного
представления. В теоретическом же плане они пред-
представляют естественное введение в проективную гео-
геометрию, которая лучше, чем аффинная, приспособ-
приспособлена к изучению некоторых видов задач (о колли-
коллинеарности и пересечениях, об алгебраических кривых),
Для начала мы изучим вкратце следующую за-
задачу:
Задача о центральных проекциях1}
Пусть § — произвольное аффинное пространство,
О — некоторая его точка и Ж, Жг— две гиперплоско-
гиперплоскости в <S, не проходящие через О. Мы намерены изу-
изучить соответствие между Ж и Жг, устанавливаемое
условием: «точка МвЖи точка М' в Ж' коллинеар-
ны с О».
Если Ж и Жг параллельны, то это соответствие
определяет аффинную или полуаффинную биекцию Ж
на Ж (ограничение на Ж некоторой гомотетии с
центром О).
Если же Ж и Ж не параллельны, то это соответ-
соответствие не определяет отображения Ж на Ж'\ точка
М^Ж не имеет образа в Ж' в случае, когда прямая
(ОМ) параллельна Ж\ точно так же и точка М' в
Ж' имеет прообраз в Ж лишь в случае, когда прямая
(ОМ') не параллельна Ж.
!) В трехмерном случае эта задача возникает при рассмот-
рассмотрении плоского рисунка.

122 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
> Для того чтобы сделать это соответствие биектив-
биективным, достаточно присоединить к Ж и Ж множества
Ж», Жо, состоящие соответственно из направлений
принадлежащих им прямых^ и определить отображе-
отображение /: Ж[}Жоо-+Ж''\}3в'<х> по следующим правилам:
a) если Ме^ и прямая (ОМ) не параллельна
Ж, то f(M) есть точка пересечения прямой (ОМ)
с Ж'.
b) если МеЖи прямая (ОМ) параллельна Ж',
то f(M) есть направление прямой (ОМ) (элемент Ж'оо).
c) если б е Ж» иб^ Жо, то / (б) есть точка пере-
пересечения Ж с прямой, проходящей через О с направо
лением б.
d) если бе=ЖоП^~, то /(б) = б.
Эти условия проясняются, если рассмотреть соот-
соответствие, устанавливаемое проектированием с цент-
центром О между прямыми плоскостей Ж и Ж\ если
Ж) — прямая в Ж с направлением б и плоскость
(О, 3)) не параллельна Ж, то ей соответствует пря-
прямая 2D' — пересечение плоскостей @,3)) и Ж\ тогда
?br имеет направление б или проходит через точку
/(б) в зависимости от того, параллельна ли & пло-
плоскости Ж.
> Универсальная процедура для превращения цент-
центральных проекций гиперплоскостей в биекции состоит,
таким образом, в присоединении к каждой аффинной
гиперплоскости Ж пространства $ множества направ-
направлений ее прямых1); для каждой пары (Ж, Ж') аф-
аффинных гиперплоскостей в % и любой точки О в
&\(ЗЛ6\}Ж) биекция /, определенная правилами
а)—d), называется проекцией или перспективой с
центром О расширенной гиперплоскости Ж\}Жоо
на Ж'\]Ж'оо. Эти условия применимы и тогда, когда
Ж и Ж параллельны (при этом возможны лишь слу-
случаи а) и d).
В действительности биекция строится с помощью
множества прямых, проходящих через О. Для даль-
1) Удобно называть <^(J^«> расширенной гиперплоскостью.—
Прим. перев.

2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 123
^ейшего важно выяснить роль этого посредника.
Сформулируем
Предложение 1.1. Для любой аффинной гиперпло-
гиперплоскости Ж пространства 8 и любой точки ОеАЖ
существует естественная биекция \н расширенной ги-
гиперплоскости Ж\]Ж<х> на множество аффинных пря-
прямых, проходящих через О: каждой точке М^Ж со-
соответствует прямая (ОМ) и любому элементу бе
^ <Жх> соответствует прямая, проходящая через О,
с направлением 6.
Если Ж, Ж'— две аффинные гиперплоскости в <§г
не проходящие через О, то проекция Ж\]Ж^ из
центра О на Ж' \]Ж'^ есть биекция f = j^°j^
Предложение 1.1 привлекает наше внимание
к изучению множества аффинных прямых, проходя-
проходящих через фиксированную точку О^&\ снабжая 8
векторной структурой путем выбора точки О за на-
начало, мы приходим к изучению векторных прямых
векторного пространства Е. Это изучение и составит
предмет проективной геометрии, к которой мы теперь
приступаем.
2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Обозначим через Е левое1) векторное простран-
пространство над произвольным телом Д", не сводящееся к {0}.
После всего сказанного мы могли бы ввести соответ-
соответствующее проективное пространство как множество
всех векторных прямых Е. Но легко заметить, что век-
векторные прямые Е с исключенным началом образуют
разбиение множества Е* = Е\{0}2) на классы экви-
эквивалентности по очевидному отношению эквивалент-
эквивалентности на ?*: две точки ху у ^ ?* принадлежат одной
и той же векторной прямой тогда и только тогда,
!) Аналогично определяется проективное пространство и в
случае правого векторного пространства (см. § 5).
2) Всюду, где Е обозначает векторное пространство, Е%
обозначает множество ?\{0} (обозначение Е* сохраняется для
сопряженного пространства к Е). Для тела мы сохраняем обо-
обозначение К* = К\{0}.

|24 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
когда существует скаляр К (непременно отличный от
нуля!), такой, что у = Хх. Так мы приходим к сле-
следующему алгебраическому определению:
> Определение 2.1. Проективное пространство Р (Е)
левого векторного пространства Е над К есть фактор-
пространство множества ненулевых векторов ?* =
= /Г\{0} по отношению эквивалентности 52, зада-
задаваемому условием
Кт) y = hx. A)
Обозначим через р: Е*-+Р(Е) каноническую про-
проекцию; класс р(х) (хё?*) можно обозначать <х>.
Отметим также, что в случае dim?'= 1 простран-
пространство Р (Е) сводится к одной точке.
В случае произвольной конечной размерности п
пространству Р(Е) приписывается размерность п—1;
это условие получает в дальнейшем оправдание (§ 4);
в частности, если Е имеет размерность 2 (соотв. 3),
то мы называем Р (Е) проективной прямой (соотв.
проективной плоскостью).
Проективные подпространства
> Определение 2.2. Подмножество L cz P (Е) назы-
называется проективным подпространством в Р(?), если
p~l(L)\j{0} есть векторное подпространство в Е.
В частности, всякая точка МеР(?) является
нульмерным проективным подпространством в Р (Е)
(так как p~l(M)\J{0} есть векторная прямая в Е).
Аналогично, пустое подмножество в Р (Е) можно рас-
рассматривать как его проективное подпространство раз-
размерности — 1. Не считая этого случая, простейшими
подпространствами являются проективные прямые
(когда p-l(L)\j{0} имеет размерность 2) и проек-
проективные гиперплоскости (когда p-^LJUlO} есть век-
векторная гиперплоскость в Е).
Проективные прямые будут изучены в § 6. Теперь
же заметим, что через две различные точки Р (Е)
проходит единственная проективная прямая (потому
что две различные векторные прямые Е порождают
векторную плоскость). Немедленно получаем

2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 125
Предложение 2.1. Если V — векторное подпро-
подпространство в ?, то p(V*) является проективным под-
подпространством в Р(?); мы говорим, что оно индуци-
индуцировано V.
В самом деле, V есть объединение векторных
прямых, и потому 1/*=1/\{0} состоит из классов
эквивалентности по отношению A) и p~l(pV*) = V*.
Следствие. Всякое проективное подпространство L
в Р (Е) допускает каноническую проективную струк-
структуру, получаемую ограничением на p~l(L) отношения
эквивалентности A).
Проективное подпространство в Р(?), индуциро-
индуцированное векторным подпространством V пространства
Е, можно отождествить с проективным простран-
пространством P(V) и обозначать просто Р (V) вместо p(V*).
В частности, если V двумерно, то проективные
прямые в Р(Е) имеют структуру проективного про-
пространства размерности 1, что оправдывает нашу тер-
терминологию.
Предложение 2.2. Пересечение произвольного се-
семейства (Li)i€-j проективных подпространств в Р (Е)
есть также проективное подпространство в Р(Е),
быть может, пустое.
Доказательство. Полагая L= f] Lh получаем
IE/
p~l(L)= П P~l(Li), и p~l(L)[){0} есть пересечение
векторных подпространств p~l(Li) [) {0}.
Пример. Заметив, что всякая векторная плоскость
и векторная гиперплоскость в Е имеют по меньшей
мере общую векторную прямую, получим
> Предложение 2.3. Пусть L — проективная гипер-
гиперплоскость в Р (Е) и Л — проективная прямая в Р (Е),
не лежащая в L. Тогда L и Д имеют в точности одну
общую точку.
Однородные координаты
Предположим, что Е имеет конечную размерность
л+1 <[и тогда по определению размерность Р(?)

126 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
равна п), и пусть (^I<f<n+1 —базис Е. Для произ-
произвольной точки х ^ Р (Ё) существует по меньшей мере
один (я+1)-набор (Xi, X2, ..., Xn+i) элементов К,
такой, что точка Хе?с координатами (Xi) в базисе
(ei) принадлежит р~1(х)\ тогда говорят, что (Хи
Х2, ..., Xn+i) — набор однородных координат точки х
относительно базиса (ei). Другие наборы однородных
координат точки х в этом базисе имеют вид (КХ\9 ...
..., ХХп+\), где ХееК*.
Обратно, если (Х[у ..., Хп+\)—набор из п+1
скаляров, не все из которых равны нулю, то суще-
существует единственная точка х^Р(Е), допускающая
их в качестве однородных координат относительно ба-
базиса (et).
В частности, если Е = Кп+\ то задание некоторой
точки в Р(Kn+l) равносильно заданию набора (Хи ...
..,, Хп+\) из п + 1 элементов /С, не все из которых
равны нулю, определенных с точностью до общего
множителя слева.
Отметим, что стандартное проективное простран-
пространство Р (Кп+1) обозначается также Рп(К). Понятие
проективного репера будет изучено в упр. IV. 4.
3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИЗМЫ. ТОМОГРАФИИ
Обозначим через ?, F два левых векторных про-
пространства, через р: Е*-*Р(Е) и q: F*-+P(F) их ка-
канонические проекции на соответствующие проектив-
проективные пространства и через f: E-+F полулинейное ото-
отображение (см. § П. 4).
Если К — основное поле пространства Е и 0 — ас-
ассоциированный с / изоморфизм тел, то
и потому соотношение р(х) = р(у) (где (х, у)Х
Х?), влечет q °f(x) = q *f(y), когда /(*)?= 0. Огра-
Ограничение / на ?\Кег/ проходит, следовательно, через
факторпространство, и существует единственное ото-
отображение ф: ?\Кег/-*Р(?), для которого cpj>p =

3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИЗМЫ. ТОМОГРАФИИ 127
что выражается коммутативной диаграммой
\
p(E\Kerf)—+P(F)
Ф
Определение 3.1. Если /: E-+F — линейное (соотв.
полулинейное) отображение, то отображение ф:
/?(?\Кег/)-^ Р (?), удовлетворяющее указанным ус-
условиям, называется проективным (соотв. полупроек-
тивным) морфизмом Р (Е) в P(F), индуцированным!.
> ЗаметиМу что qp определено на всем Р(Е) только
тогда, когда f инъективно (т. е. когда Кег/ = {0}).
Примеры. 1) Пусть / — эндоморфизм ?, получае-
получаемый проектированием на векторную гиперплоскость
Н параллельно векторной прямой D (не содержащей-
содержащейся в Н). Тогда Кег / = D и р (D*) есть точка 5 в
Р(Е). Морфизм ф, индуцированный f, является ото-
отображением Р(?)\{5} на проективную гиперпло-
гиперплоскость р(#*); соотношение
показывает, что точки М = р(х), ф(Л1) = р °/(х) и
S = p(D*) принадлежат одной и той же проективной
прямой в Р(Е). Это дает простую геометрическую
интерпретацию ф: для каждой точки AfeP(?)\{S}
точка ф(М) есть точка пересечения прямой (SM)
с проективной гиперплоскостью Р(#).
Полученный таким способом проективный морфизм
будет называться проектированием Р (Е) из центра S
на проективную гиперплоскость Р(Н).
По поводу обобщения этого примера см. упр. IV. 6.
2) Проективные морфизмы в случае конечной раз-
размерности. Предположим, что ?, F конечномерны, и
пусть (е{) — базис в ?, а (е'Л — базис в F.
Линейное отображение f: E->F определяется зада-
нием матрицы {aif), такой, что /(^)=2а/^/- Обоз-

128 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
начим через ф проективный морфизм, индуцирован-
индуцированный /, и через (xt) набор однородных координат
точки jcsP(?) в базисе (et). Тогда точка ф(л:) допу-
п
екает скаляры у} = ? х{пц в качестве однородных
координат в базисе (efy, однако следует заметить,
что матрица (at/) не полностью определяется зада-
заданием ф, как показывает следующий общий результат:
Предложение 3.1. Пусть Е, F — два векторных
пространства над телами /С, К'. Для того чтобы два
полулинейных отображения /, g из Е в F индуциро-
индуцировали один и тот же полупроективный морфизм ср:
Р (Е)-> р (F), достаточно, чтобы существовал ненуле-
ненулевой элемент k е К\ такой, что g = kf\ это условие
также и необходимо, если ф не постоянно.
Доказательство. Достаточность условия очевидна.
Обратно, если /, g индуцируют один и тот же проек-
проективный морфизм ф, то векторы f(x), g(x) должны
быть оба нулевыми или коллинеарными; отсюда вы-
вытекает существование функции р: ?\Кег /-> К', удов-
удовлетворяющей условию g(x)= p(x)f(x).
Если х, у — элементы Е, такие, что пара (f(x)>
f(y)) свободна, то соотношение
= p(x)f(x) + 9(y)f(y)
влечет р (х + у) = р (х) = р (у).
Однако если ф не постоянно, то f(E) имеет раз-
размерность ^2; поэтому если х, у — такие элементы Е,
что f(x), f(y) ненулевые, но пропорциональные, то
существует z&E, такой, что пары (f(x), f(z)) и
(f(y)> f(z)) свободны. Тогда р(*) = р(у) = р(г) и
функция р постоянна на ?\Kerf; обозначив эту по-
постоянную через k, получим g(x)=kf(x) для всех
хе? (поскольку Кегg = Кег/), откуда и вытекает
наш результат. П
Замечание. Если /, g линейны, то соотношение
g = kf требует, чтобы k принадлежал центру К (пред-
(предложение II. 4.6).

3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИаМЫ. ТОМОГРАФИИ 129
Следствие. Пусть Е, F— два векторных простран-
пространства над одним и тем же телом К. Для .того чтобы
полулинейное отображение /: E-+F ранга ^2 инду-
индуцировало проективный морфизм, необходимо и до-
достаточно, чтобы f было ассоциировано с внутренним
автоморфизмом тела /С
В самом деле, для линейности kf необходимо и до-
достаточно, чтобы / было ассоциировано с внутренним
автоморфизмом Х\—> k~~lXk.
Свойства
Предложение 3.2. Пусть ср — проективный (соот^
полупроективный) морфизм Р (Е) в P(F) и ?ф — его
область определения. Если L — проективное подпро-
подпространство в Р(Е), то ограничение ср на L{\D^ яв-
является проективным (соотв. полупроективным) мор-
физмом, образ которого — некоторое проективное под-
пространство в P(F).
В частности, образ ср есть проективное подпро-
подпространство в Р (F).
Действительно, при введенных обозначениях огра-
ограничение ср на L{\D^ есть морфизм, индуцированный
ограничением / на векторное пространство V =
= p-1(L)U{0}, а его образ есть проективное подпро-
подпространство в P(F), индуцированное f(V).
Если ф определено на всем Р(Е), то, кроме того,
полный образ проективного подпространства из Р(F)
будет проективным подпространством в Р(Е).
Случай инъективных морфизмов
Предложение 3.3. Полупроективный морфизм ср,
индуцированный полулинейным инъективным отобра-
отображением /: Е-^F, сам является инъективным; для
биективности ср необходимо и достаточна биектив*
пость f.
Доказательство. Пусть у\ = р(х\) и У2 = р(^2) —
две точки в Р(Е), такие, что ф(^/1> = ф(^/г). В обо-
обозначениях, введенных в начале параграфа, получим
5 Ж& Лелон-Феррац

1,30 ГД. IV., ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
откуда следует, коллинеарность f(x\) и f(x2); если /
инъективно, то сами х\, Х2 коллинеарны и р(х\) —
= р(х2). Таким образом, ф инъективно. Второе утвер-
утверждение следует из того, что ср(Р(?)) есть проектив-
проективное подпространство в P(F), индуцированное Im/.
Томографии
О Определение 3.2. Отображение ср: P(E)—>P(F) на-
называется голографией (английский термин project!-
vity), если существует линейное биективное отобра-
отображение /: E-+-F, такое, что ф°р = ^°Д где р. Е*—>~
->• Р (Е) и q: F*->P(F)— канонические проекции.
3) Гомологии. Пусть Я — гиперплоскость в Е, а —
элемент из Е\Н и А — ненулевой скаляр. Отображе-
Отображение /: ?->?, f(x + ha) = x + Kka для любых хеЯ
и Я ge К линейно и биективно. Томография ф простран-
пространства Р(Е), индуцированная f, имеет в качестве непо-
неподвижных точек точку А = р(а) и все точки проектив-
проективной гиперплоскости Р(#). С другой стороны для каж-
каждого вектора у^Е его образ f(y) принадлежит век-
векторной плоскости, порожденной а и у. Отсюда следует,
что для произвольной точки М е Р(Е) три точки Л,
М и ЛГ = ф(М) принадлежат одной проективной
прямой.
По определению, такая томография ср будет назы-
называться гомологией с центром А и гиперплоскостью
Р(Я). Она инволютивна при k = 1 (в этом случае
она сводится к тождественному преобразованию) и
при k = —1 (в этом случае / есть симметрия отно-
относительно гиперплоскости Н с направляющей вектор-
векторной прямой Ка). В последнем случае ср называют
гармонической гомологией; эта терминология оправ-
оправдана предложением 6.7 ниже.
^ Заметим, что задание множества неподвижных
точек1) и образа Pf одной из не принадлежащих ему
точек Р позволяет построить образ М' произвольной
]) Если гомология не тождественная, то, как уже отмечено
выше, ее неподвижными точками будут центр и точки плоско-
плоскости гомологии. — Прим. перев.

3. ГТРбЁКТЙ&НШ МОРФИЗМЫ. ГОМбУЕАФИИ
точки М по следующим правилам, вытекающим из
свойств ф (см. рис. 1):
i) точки Л, М, Ш лежат на одной прямой;
ii) прямые (МР) и [М'Р') пересекают Р(#) в
одной и той же точке /.
4) Элации. Пусть h — ненулевая линейная форма
на ? и а ^Е0 — такой вектор, что h(a) = 0. Тогда
отобралсение /: Е->Е, x\->x-\-h{x)a есть автомор-
автоморфизм Е, называемый трансвекцией (см. упр. II. 14),
Рис. 1
обратным к которому является отображение у*
•—>У — h{y)a. Индуцированный таким / морфизм ф
пространства Р (Е) имеет в качестве неподвижных
точек все точки проективной гиперплоскости P(Kerf);
более того, для любой точки МеР(Е) точки А ==
= р(й), М и NV = ф(М) лежат на одной прямой (так
как f(x) принадлежит векторной плоскости, порож-
порожденной а и х).
Полученная таким образом томография ф назы-
называется элацией.
И здесь, полагая Я=Кег/г, мы увидим, что за-
задание Л, Р(#) и образа Р' какой-либо не неподвиж-
неподвижной точки Р позволяет построить образ М' любой
точки, по тем же правилам i), ii). Заметим, однако,
что в этом случае А е Р(#).
Реализация гомологии и элаций как композиций
перспектив
Гомологии и элации естественно появляются при
изучении перспектив (см. § 1 и определение 4.2): обо-
обозначив через 3?, 2' две различные гиперплоскости в

132
ГЛ IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Р(?), выберем в Р (Е) также две различные точки
S, S', не принадлежащие ни З7, ни 3'', и обозначим
через р (соотв. р') перспективу с центром S (соотв.
S') гиперплоскости 3? на i?'. Тогда <р = р'~ ° р будет
биекцией 3 на себя, имеющей в качестве неподвиж-
неподвижных точек все точки пересечения 2? П 3' (образую-
(образующие гиперплоскость в S), а также точку А пересе-
пересечения прямой (SS') с 3?. Более того, ф сохраняет
все проективные прямые в 3?, проходящие через А.
Построение образа М! любой точки М выполняется
Рис. 2
по правилам i), ii), которые называются по этой при-
причине правилами перспективы. Отсюда выводится, что
ф = р'-х с р есть элация или гомология гиперплоско-
гиперплоскости 2', смотря то тому, принадлежит или нет точка А
пересечению 3? [\&г (см. рис. 2). По поводу дальней-
дальнейших подробностей см. упр. IV. 10.
Проективная группа
Томографии Р (Е) на себя образуют группу, на-
называемую проективной группой пространства Е и обо-
обозначаемую PGL(?).
По предложению 3.1, при условии dim(?)^2 два
элемента /, geGL(?) индуцируют одну и ту же то-
томографию тогда и только тогда, когда существует
элемент k Ф 0 центра тела Д\ такой, что g = kf\ это
эквивалентно тому, что gf~l = k Id? принадлежит
центру GL(E) (см. упр. 11.16). Сформулируем
Предложение 3.4. Проективная группа FGL(?)
изоморфна факторгруппе группы GL^) по ее центру.

4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА 133
4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ
АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
Как мы видели в § III. 6, всякое аффинное про--
странство & допускает каноническую аффинную би-
екцию на собственно аффинную гиперплоскость1)
векторного пространства В, где В называлось век-*
торным продолжением $*. Теперь мы можем выска*
зать
> Определение 4.1. Проективное пополнение аффин-
аффинного пространства <S есть проективное пространство
Р (J&) его векторного продолжения.
Забыв пока это абстрактное определение, предпо-
предположим, что рассматриваемое аффинное пространство
<?Г есть собственно аффинная гиперплоскость вектор-
векторного пространства F, и пусть Е — векторная гиперпло-
гиперплоскость F, направляющая 8'.
Ограничение на & канонической проекции р: Z7*-*
-> P(F), обозначаемое pv есть инъекция <§ в P(F),
образ которой дополнителен к Р (Е) (каждой точке
Мб^ отвечает векторная прямая (ОМ); обратно,
векторная прямая в F пересекает <§ тогда и только
тогда, когда она не содержится в Е). Эта инъекция
pg позволяет, таким образом, отождествить <§ g
P(F)\P(E)y и удобно называть Р {F) «проективным
пополнением» & и в том случае, когда F не обяза-
обязательно «каноническое» векторное продолжение <%. Эта
«наивная» точка зрения оправдывается следующим
предложением, которое выводится из предложения
III. 7.2 и устанавливает изоморфизм между P(F) и
> Предложение 4.1. Пусть F, Fr — два векторных
пространства над одним и тем же телом К и Ж
(соотв. Ж) есть собственно аффинная гиперплоскость
в F (соотв. F').
J) Для краткости аффинную гиперплоскость векторного про-
пространства мы называем собственно аффшщо$, если она н§ про-
проходит через начало,

134 ' гл. iv. Элементы проективной геометрии
Каждая аффинная биекция Ж на Ж' имеет про-
продолжение до изоморфизма F на F\ индуцирующего
томографию Р (F) на РG7/I).
Мы можем, таким образом, полностью определить
проективное пополнение аффинного пространства, не
прибегая к конструкции § III. 6: достаточно построить
аффинную биекцию <§ на собственно аффинную ги-
гиперплоскость векторного пространства F, и тогда
Р (F) будет искомым пополнением (определенным
с точностью до изоморфизма).
При любом <g можно положить F = Е X К, где
Е— векторное пространство, ассоциированное с <%\
Мы получим аффинную биекцию / пространства &
на аффинную гиперплоскость ?Х{1} в F, если фик-
фиксируем некоторую точку /1е^и положим
(\/Mt=8) f(M) = (AM, 1).
Если <§ — аффинная гиперплоскость аффинного
пространства вГ, то достаточно выбрать некоторую
точку О в ёГ\<о и снабдить $Г структурой вектор-
векторного пространства с началом О. Тогда мы вернемся
к случаю собственно аффинной гиперплоскости век-
векторного пространства ЗГ0\ проективное пополнение <§{
изоморфно Р(ЗГо) и отождествляется с 8\}Р(Е)%
где Е — направляющее векторное пространство %>.
Мы вновь получим при этом конструкцию конца § 1
с tffoo = р (Е) (множеством направлений прямых
В <У).
Для конкретизации понятия проективного попол-
пополнения используем следущие
^ Обозначения. Если $ — аффинное пространство,
ассоциированное с векторным пространством Е, то
его проективное пополнение (определенное с точ-
точностью до изоморфизма) будет обозначаться <S U
U р (Е) или просто <§\ множество Р (Е) будет назы-
называться бесконечно удаленной гиперплоскостью в & \\
обозначаться ёж. Элементы Р (Е) будут называться
бесконечно удаленными точками ё3.
]) Отметим, что всякая трансляция (соотв. гомотетия) $в
продолжается до элации (соотв. гомологии) Р (F) (см,
улр, IV, 7).

'4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА 135
Заметим, что если & имеет конечную размерность
я, то размерность § равна п+ 1» так что проективное
пополнение пространства <§ имеет ту же размерность,
что и & (этим оправданы соглашения, принятые
в § 1).
В частности, если <? — аффинная прямая, размер-
размерность ее направляющего пространства Е равна 1,
а Р (Е) сводится к одной точке, называемой беско-
бесконечно удаленной точкой прямой & и обозначаемой
просто оо. Проективное пополнение аффинной прямой
<§ обозначается просто Ж\] {со}.
Как следствие предложения 4.1 получаем
Предложение 4.2. Если &\ <§' — два аффинных
пространства над одним и тем же телом К, то вся-
всякая аффинная биекция f: &-><§' продолжается до
гомографии & = <§ U Р (Е) на <?' = Ш U Р (Е')у причем
продолжение / на Р (Е) есть томография Р(?) на
Р (?"'), индуцированная линейной частью f.
Теорема о проектированиях
Теперь мы в состоянии точнее установить характер
центрального проектирования, определенного в § 1.
Определение 4.2. Пусть П — проективное про-
пространство, S — его точка, 2?, &' — две проективные
гиперплоскости в П, не проходящие через 5. Биекция
SB на й7', которая каждой точке MeS' ставит в со-
соответствие точку пересечения прямой (SM) с 3?\ на-
называется перспективой (или перспективным отобра-
отображением) S на ??' из центра S.
Эта биекция есть не что иное, как ограничение
на 3? проектирования из центра S пространства П
на 3?' (см. § 3, пример 1). Так как это проектирова-
проектирование ф является проективным морфизмом, его ограни-
ограничение на & также есть проективный морфизм (см.
предложение 3.2) и, в силу биективности, томография
& на &'. Имеет место следующая
Теорема 4.3. Если 5?, &' — две проективные ги-
гиперплоскости проективного пространства П, то любая
перспектива 3? на Э?' есть гомография.

136 л /ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Замечание. Если П конечномерно, то можно дока-
доказать, что каждая томография ф гиперплоскости 3?,
на гиперплоскость 9?' пространства П есть произве-
произведение конечного числа перспектив фЬ ..., ф^:
(см. [AR], § 10 гл. II и упр. IV. 16).
Вернемся теперь к построению § 1: если Ж, Ж' —
две аффинные гиперплоскости аффинного простран-
пространства «\ то множества S^^U^, 9?' = Ж\}3№'„,
введенные в § 1, отождествляются с проективными
гиперплоскостями пополнения В = <g \] <S^ простран-
пространства <?Г, а биекция 3? на 3?', продолжающая проек-
проектирование с центром О, есть не что иное, как пер-
перспективное отображение 3? на &' с центром О: есте-
естественное продолжение центрального проектирования
одной гиперплоскости на другую есть, стало быть, го-
мография.
От проективного назад к аффинному
Будем исходить теперь из проективного простран-
пространства Р(?), и пусть Н — векторная гиперплоскость
в Е. Если Ш — собственно аффинная гиперплоскость
в Е, параллельная Я, то каноническая проекция поз-
позволяет отождествить Ж с Р(?)\Р(#). Таким обра-
образом, Р(Е)\Р(Н) допускает аффинную структуру,
проективным пополнением которой является Р(Е),
а множеством бесконечно удаленных точек Р(#).
Эта аффинная структура априори зависит от вы*
бора аффинной гиперплоскости Ж, параллельной Н.
Но если мы заменим Ж параллельной гиперпло*
скостью Ж' и обозначим через /, /' ограничения на
Ж, Ж' канонической проекции р: ?*->Р(?), то най-
найдется такой элемент feei(*, что j (х) **= j'(kx) или
у = j\o hk, где hk — ограничение на Ж векторной гомо«
тетии с коэффициентом k (см. рис. 3).
Если К коммутативно, то hk аффинно, так что
аффинные структуры, определяемые на P(Z?)\P(#)
отождествлением с Ж_ или Ж% совпадают.

4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА 137
Если К не коммутативно, то hk — полуаффинное
отображение, ассоциированное с внутренним авто-
автоморфизмом kt—>kXk-{ (см. § П. 4); таким образом,
если мы обозначим через & (соотв. <§') аф-
аффинное пространство, полученное отождествлением
Р(?)\Р(#) с Ж (соотв Ж) у то тождественное ото-
отображение <g на <§' будет лишь полуаффинным. Дру-
Другими словами, различные аффинные структуры, полу-
получаемые изменением Ж, будут лишь «полуизоморф*
ными». Но это не является практической помехой*
мы просто сформулируем следующее утверждение:
кх
1
\
.
/
Рис. 3
^ Теорема 4.4. Если Р(?)— проективное простран-
пространство и Р (Н)—проективная гиперплоскость в нем, то
множество Р (Е)\Р (Н) допускает по меньшей мере
одну структуру аффинного пространства, ассоцииро-
ассоциированного с векторным пространством Я, проективное
пополнение которого есть Р(Е).
> Будем говорить, что такая аффинная структура
получена исключением проективной гиперплоскости
Р(Я), или, более образно, отправкой Р(Н) в беско*
нечностъ ([BE], ч. 1).
Этот результат имеет большое практическое зна«
чение, так как позволяет упрощать некоторые задачи
проективной или аффинной геометрии (см. § 7, 10,
И, 12).
Отметим, что если А — проективная прямая в
Р(?), то ее пересечение с Р (Е)\Р (Н) есть аффин«
ная прямая, которую мы назовем ограничением (или
сужением) Д. Для того чтобы ограничения двух про-*

138 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
активных прямых Дь А2 были параллельны, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы Дь Дг пересекались в точке
на Р(#).
Продолжение барицентрических координат
Пусть & — аффинное пространство, отождествлен-
отождествленное с собственно аффинной гиперплоскостью своего
векторного продолжения /7= §. Мы видели (§ III. 7),
что аффинные реперы <% отождествляются с базисами
F, принадлежащими <§. Предположим, что <§ имеет
некоторую конечную размерность п и что (е0, е\, ...
..., еп) — один из таких базисов, а р — каноническое
проектирование Т7* на Р(/7).
Для любого элемента jtg^ однородные барицент-
барицентрические координаты х в аффинном репере (ei) отож-
отождествляются с однородными координатами р{х) в
базисе (ei) и удовлетворяют условию /j %i ?= 0.
о
С другой стороны, векторное подпространство Е
пространства F, направляющее для §', допускает в
п
базисе (ei) уравнение ][]xj=0 (см. предложение
о
III. 7.1). Таким образом, Р (Е) есть множество точек
P(F), однородные координаты которых в базисе (ei\
п
удовлетворяют уравнению ]? xt = 0.
о
> Если (eiH<{<n — аффинный репер аффинного про-
пространства <%, то можно отождествить семейство (ei)\
с базисом его векторного продолжения 8, и однород-
однородные координаты в <f=P(#) в базисе (ei) составят?
продолжение однородных барицентрических коорди-
координат в & относительно аффинного репера. Точка с од-
однородными координатами Xi принадлежит & или
<5оо = Р (Е), смотря по тому, будет ли ? х(Ф 0 или
Это замечание позволит нам свободно пользовать-
пользоваться барицентрическими координатами, избегая неко-
некоторых затруднений i(cm. § 6). Связь между этим ти-

8, ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ 139
пом1 однородных координат и «проективными репс-*
рами» изучается в упр. IV, 4.
С другой стороны, проективное обобщение «основ*
ной теоремы аффинной геометрии» рассматривается
в § 12.
5. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
Напомним сначала, что каждое правое векторное
пространство над телом К можно рассматривать как
левое векторное пространство над противоположным
телом (см. § П. 2). Теория правых проективных про-
пространств сводится, таким образом, к теории левых
проективных пространств; уточним только, что если
Е — правое векторное пространство над телом К, то
соответствующее ему проективное пространство опре*
деляется факторизацией Е* по отношению эквива-
эквивалентности 31, определенному соотношением
К*) у = хК. A)
|> Итак, если некоторая теорема верна для всех ле-
левых проективных пространств, то она остается верной
mutatis mutandis1) и для всех правых проективных
пространств.
Далее, если Е — левое векторное пространство ко*
нечной размерности п над телом /(, то его сопряжен-
сопряженное Е* есть правое векторное пространство той же
размерности п над К (§ П. 6) и отношение ортого-
ортогональности устанавливает биекцию X н->Х° множества
векторных подпространств в ? на множество вектор.-
ных подпространств в ?*, удовлетворяющую (теоре-
(теорема II. 7.2) условиям dim(X)+ dim(X°)== n и 1с;
cz Y<=>X°zd Y°. В частности, ортогональной к прямой
(соотв. гиперплоскостиJ) в Е будет гиперплоскость
(соотв. прямая) в Е*. При переходе к проективным
пространствам немедленно получается
Теорема 5.1. Пусть Е — конечномерное векторное
пространство и Е* — его сопряженное. Отношение
1) «С необходимыми изменениями» (лат.). — Прим. перео.
2) Здесь и далее можно читать «аннулятором прямой (ги-
(гиперплоскости)».— Прим. перев.

140 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ортогональности между Е и ?* индуцирует биекцию f
пространства Р (Е) на множество 3IS* проективных
гиперплоскостей пространства Р (Е*) и биекцию g
пространства Р(Е*) на множество Ж проективных
гиперплоскостей Р(?), такие, что
В самом деле, точкам из Р (Е) (соотв. Р(Е*)) от-
отвечают векторные прямые из Е (соотв. E*)f а вектор-
векторным гиперплоскостям из Р (Е) (соотв. Р(?*)) отве-
отвечают векторные гиперплоскости из Е (соотв. Е*).
Отсюда немедленно выводится
> Принцип двойственности. Если теорема верна для
всех конечномерных проективных пространств, она
Останется верной и при перестановке слов «точки» и
«проективные гиперплоскости» и при перемене усло-
условий «точка М принадлежит гиперплоскости L» и «ги-
«гиперплоскость М содержит точку L».
Этот принцип будет широко использован в случае
проективной плоскости (когда проективные гиперпло-
гиперплоскости являются проективными прямыми). При этой
двойственности «точки, лежащие на одной прямой»,
отвечают «прямым, проходящим через одну точку».
Случай конечного поля
Установим сначала следующее
Предложение 5.2. Если К—конечное поле по-
порядка ky то всякое /г-мерное проективное простран-
пространство над К содержит в точности 1 + k + ... -(- kn то*
чек.
Доказательство. Результат верен для размерности
п = 0. Предположим, что он верен для размерностей
^/г—1. Тогда всякое /г-мерное проективное про-
пространство над К является дизъюнктным объединен
нием /г-мерного аффинного пространства & над К
(мощности kn) и (/2—1)-мерного проективного про-
пространства <§Гоо над К мощности 1+А+ ... -\-kn~l\
итак, результат верен и для размерности п.
В частности, проективные прямые над К содержат,
k^\i 1 точек.

6. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ 141
В силу двойственности, всякое проективное про-
пространство размерности п над К содержит столько же
проективных гиперплоскостей, сколько и точек. В ча-
частности, имеет место
Предложение 5.3. Проективная плоскость над ко-
конечным полем порядка k содержит в точности k2 -\r
4- k + 1 точек и k2 + k + 1 проективных прямых.
6. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ
Стандартная проективная прямая
Напомним, что стандартная проективная прямая
pi (/С) = Р (/С2) есть фактормножество #2Х{@,0)}
по отношению эквивалентности 52:
(*', у') 01 (*, у) *> Ck €= /О *' = kx, у' = ky.
Ради краткости класс эквивалентности пары (х, у)
будет обозначаться <х, у}.
В соответствии с общей теорией (§ 4) Р1(К) изо*
морфно проективному пополнению К = К U {°°} аф-
аффинной прямой /С. Точнее, мы отождествляем каждый
элемент К^К с элементом (X, 1> из Р1(К) (что сво«
дится к отождествлению К с аффинной прямой у = 1
в /С2). Отсюда следующее правило (если не огово-
оговорено противное):
Точка <Я, \i> из Р1{К) отождествляется с элемен-
элементом \.к-11 в К при \хФ0 и обозначается оо, если
11-0.
Параметризация проективной прямой
Легко получается следующее
Предложение 6.1. Если А = р(а) и В = р(Ь)—<
две различные точки проективного /(-пространства
Р(Е), то в Р'(?") существует единственная проек-
проективная прямая, содержащая Л и Б. Это есть множе-
множество точек вида p(Xa + jxb), где (Я, \х) пробегает
К2\{@)}
{()}
В самом деле, поскольку Л и В различны, векторы
a, b ^Е независимы и искомая проективная прямая

I j% ГЛ. IV, ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
индуцируется векторной плоскостью, порожденной а
к Ь. Эта проективная прямая будет просто называть-
называться прямой (АВ).
Действительно, отображение /: К2->Е, (Я, |л)»—^
н->ha + \ib является изоморфизмом К2 на плоскость
P = Vect(a,6) в Е, и этот изоморфизм индуцирует
томографию Р (К2) на прямую {АВ). Сформулируем
следующее
^> Предложение 6.2. Если А — проективная прямая,
соединяющая две точки А «= р(а) и В = р(Ь) проек-
проективного /(-пространства Р(Е)9 то параметризация
является голографией.
Замечание 1. Если Р(Е) — проективное пополнение
аффинного пространства % и если <§ отождествить
с собственно аффинной гиперплоскостью в Еу то мож-
можно положить а =* Л, b — В. Тогда точка р(Ха + \ib)
будет барицентром (Л, X) и E, fx); при X -f- ^ = О
он находится в бесконечности. Это замечание позво-
позволит нам переходить от аффинной точки зрения к про-
проективной и обратно.
Гармонические четверки
> Определение 6.1. Пусть Л, В — две различные точ-
точки проективного /(-пространства Р(Е), и пусть ае
& р-1 (Л), b е /Н (S). Гармонически сопряженной с
точкой С — р(Ха + \хЬ) прямой (АВ) относительно
точек А и В называется точка D = p(Xa — \xb) той
же прямой.
Легко проверить, что точка D не зависит от выбо-
выбора а в р~1(А) и Ь в р~х(В)\ она единственным обра-
образом определена заданием точек Л, В, С.
Если Z) выбрана указанным образом, то говорят,
что (Л, В, С, D)— гармоническая четверка.
Если С = Л, то fi = 0 и D = C = A. Если С = ?,
тоА, = 0 и D = C = J5.
> Если Л, В, С различны, то можно выбрать а и &
так, что С = р(а-\-Ь)\ в этом случае D = p(a — 6)
(достаточно заменить а на к и J на juift). Теперь
легко видеть, что С и D совпадают только в том слу* jS

«. ПРОЕКТИВНОЕ ЩЯМЫЕ. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ Щ
чае, когда К — поле характеристики 2: в самом деле,
существование скаляра К> такого, что а — 6 = /г(а+.
г\-Ь), влечет ?=1=—1 (так как пара {а, Ь) сво-
свободна).
Основной пример
Предложение 6.3. Пусть Л, В— две точки аффин-
аффинного пространства <§ над телом характеристики Ф2,
С — их середина и оо — бесконечно удаленная точка
прямой (АВ). Тогда (Л, В, С, оо) — гармоническая чет-
четверка в <э.
Доказательство. Отождествим <§ с собственно аф-
аффинной гиперплоскостью векторного пространства ?",
что позволит положить ё = Р (Е) и воспользоваться
приведенным выше замечанием 1; тогда С = (Л +,
|-|1 В)/2 = р(А + В), в то время как р(А—В)—бес-
р(А—В)—бесконечно удаленная точка прямой (АВ). Таким обра-
образом, (Л, В, С, оо) — гармоническая четверка в В.
В частности, если а, |3 — различные элементы
тела К характеристики Ф29 то (а, |3, (а + Р)/2, оо)-*
гармоническая четверка в Р1(/С)= К[) {°°}.
Замечание 2. Если Л, В — две различные точки
аффинного пространства <§ и Я, |i — скаляры, такие,
что К ф \i и Я + [ut =#= 0, то точки С = ^((ЛД),
(B,|ii)) и Д = ^((ЛД),(В,—[х)) гармонически со-
сопряжены относительно А и В в <§f и принадлежат <§Г.
Мы говорим тогда, что точки (Л, В, С, Z)) находятся
в гармоническом отношении в <§Г.
Свойства гармонического отношения
Отношение «(А, В, С, D) — гармоническая четверо
ка» очевидным образом симметрично, с одной сто-
стороны, по первой паре точек Л, В и, с другой стороны,
по второй паре С, D (достаточно поменять местами
а и b и заменить b на —b в определении 6.1). Кро-
Кроме того, имеет место
Предложение 6.4. Если характеристика основного
тела К отлична от 2 и гармоническая четверка
((Л, Ву С, D) состоит из различных точек, то четверка
[(С, D, Л, В) также гармоническая.

Н4 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Доказательство. Так как точки Л, В, С различны,
можно положить А = р (а), В = р(Ь), С = р(а + &)»
откуда D = р(а — Ь). Положив с = а + 6, d = а — 6,
получим с + d = 2а и с — d — 2b> откуда, в силу
car (К) Ф 2, имеем A = p(c + d), B = p{c — d). Та-
ким образом, (С, D, А, В) — гармоническая четверка.
Обобщение. Чтобы сохранить справедливость
предложения 6.4 и в случае, когда точки не являются
различными, можно условиться, что четверка с тремя
Совпадающими точками и одной отличной от них—•
всегда гармоническая.
Этот случай мало интересен, и практически мы
ограничиваемся лишь четверками несовпадающих
точек.
^ Теорема 6.5. Пусть (А, В, С, D) — гармоническая
четверка в проективном пространстве Р (Е) и ср:-
Р (Е) ->- Р (F) — полу проективный морфизм. Если все
точки ф(Л), ф(В), ф(С), фф) определены, то либо
они все совпадают, либо образуют гармоническую чет-
четверку.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай,
когда Л, В, С различны, что позволяет положить
А = р(а), В = р{Ь), С = р(а + Ь) и D = p(a — b).
Обозначим через q каноническое проектирова-
проектирование F% на Р (F) и предположим, что ф индуцировано
полулинейным отображением /: E->F. Полагая
a' = f(a), b' = f(b)9 получим Ф(Л) = (/ (В)F')
(С) ?(/(а + й)) = 9(а/ + &/) и (
q(arb).
Если а', bf зависимы, то точки ф(Л), ф(В), ф(С),
совпадают; если пара (а\ Ь') свободна, то они
образуют гармоническую четверку.
В частности, если у —гомография Р {Е) на P{F)y
то образ любой гармонической четверки из Р (Е) есть
гармоническая четверка в P{F).
> Следствие. Пусть Д — проективная прямая проек-
проективного /(-пространства Р (Е) и ф: Р1 (/()->• Д — томо-
томографическая параметризация Д (см. предложение
6.2); для того чтобы четверка точек Д была гармони*
ческой, необходимо и достаточно, чтобы их параметры

6. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ 145
находились в гармоническом отношении в Р{(К).
Этот результат приводит нас к изучению гармо*
нических четверок в pl(K) = K\j {оо}.
Условие гармоничности четырех элементов а, 8. v*
бРЧК)
При pl(K)= K[J {оо} случай, когда одна из то-
точек а, р, 7> б находится в бесконечности, решается в
предложении 6.3 с учетом симметрии гармонического
отношения. Например, (а, оо, у, б)— гармоническая
четверка тогда и только тогда, когда у -J- б = 2а
{записанное в этой форме условие сохраняет силу и
в случае характеристики 2). Поэтому можно считать
а, р, у, б элементами /Сие помощью томографии
свести дело к случаю а = 0 и р = оо, получив усло-
условие гармоничности в виде 7-1-6 = 0.
> Предложение 6.6. Для того чтобы четверка
^а, р, у, б) различных элементов К была гармониче-
гармонической, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
соотношение
(Y — Э) (y — а) = — F — ЭO' F — а). A)
'Доказательство. По соглашению, принятому в на-
начале параграфа, любой элемент X е К отождеств-
отождествляется с элементом <Х, 1> из Р1(К). Пусть ф при фик-
фиксированных скалярах а, р (а Ф Р) есть томография
Р1 (/С), индуцированная линейным отображением
f: К2-+К2, (х9 у)^(х — уа, х — t/p). Имеем
<р(а) = </(<*, l)) = <0fa-p> = 0f
0> = <Р-а, 0>=оо,
и гармоничность (а, р, 7, б) равносильна гармонич-
гармоничности @, оо, фG), ф(б)), т. е. фG) + фF) = 0. Итак,
получаем
откуда и следует A).
Можно проверить, что это условие сохраняется
при перестановке аир или 7 и б или ^а, Р) и G>б).

146 ГЛ. IV, ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРВД л
Далее заметим, что найденное условие не зависит
от способа отождествления Р1(К) с /С U {°°}, так как
его изменение приводит лишь к томографии Р1(К).
fB [AR], § 9 гл. II, с. 111 и далее, можно найти
различные эквивалентные формы соотношения A).
В случае коммутативного К запись A), очевидно,
наиболее удобна (см. упр. IV. 18).
Если характеристика К равна 2, то A) влечет
а = р или у = б; если же эта характеристика Ф2,
то соотношение A) все еще можно считать верным и
в случае v = (a + P)/2, б = оо, если условиться, что
(оо — p)-i(oo — а)= 1.
Интерпретация гармонических гомологии
Предложение 6.7. Пусть Р (Е) — проективное про-
пространство, Р(#)— проективная гиперплоскость в Р(Е)
и S=P(D) — точка в Р (Е)\Р (Н). Гармоническая
гомология с центром S и гиперплоскостью Р (Я)
(см. пример 3 § 3) есть биекция ф пространства
Р(?), определенная следующими требованиями:
i) если М = S, то ф (М) =¦- М\
ii) если М Ф S я Р обозначает точку пересече-
пересечения Р(#) с прямой (SM), то четверка (/?, Р, М, q>(M))
гармоническая (откуда у(М) = М, если М = Р).
Доказательство. Напомним (см. пример 3 § 3),
что ф есть томография Р(?), индуцированная сим-
симметрией f пространства Е в направлении D относи-
относительно гиперплоскости Я. Для любых s e D#, Ae H*
и (х,у)^К2 выполнено f(xs + yh) = —xs + yh\ итак,
образ при ф точки M = p(xs-\-yh) есть точка
ц)(М) = р(—xs-\-yh), гармонически сопряженная с М
относительно пары S = p(s) и Р = p(h). П
В частности, если Л, В — две различные точки
проективной прямой Л, то можно получить инволю-
тивную томографию ф, положив по условию (\/М&
еД) (Л, В, М, ф(М))—гармоническая четверка (в
нашем случае размерность Р (Е) равна 1).
Заметим в заключение, что любая биекция проек*
тивной прямой, переводящая гармонические четверки
в гармонические, полупроективна, если характеристи-
характеристика К ^2 (см. упр. IV. 19),

7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ 147
7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ
НА ПЛОСКОСТИ
^ Теорема 7.1. Пусть Ai, Д2, Аз, А4 — четыре пря-
прямые проективной плоскости П, имеющие общую точ-
точку 5. Если существует проективная прямая А в П,
такая, что точки Ai == A,-f|A образуют гармоническую
четверку, то то же самое выполняется и для любой
другой проективной прямой А', не проходящей че-
через S,
Доказательство. Это вытекает из того, что проек-
проекция из центра S определяет томографию А на А7, и
из теоремы 6.5 (см. рис. 4).
> Определение 7.1. Если четыре прямые проективной
плоскости удовлетворяют условиям теоремы 7.1, то
будем говорить, что они образуют гармоническую
четверку (прямыхI).
Ради общности говорят, что четыре (пересекаю-
(пересекающиеся в одной точке или параллельные) прямые аф-
аффинной плоскости 3* образуют гармоническую четвер-
четверку, если ее образуют их пополнения в ^.
1) Это частный случай понятия «гармонической четверки ги-
гиперплоскостей» в произвольном проективном пространстве
1см. упр. IV. 24),

148' ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример. Пусть 9Р—аффинная плоскость над те-
телом К характеристики Ф2 и (Л, Б, С, D)— параллело-
параллелограмм в 3>. Тогда диагонали Ль Л2 и «медианы» Аз,
А4 этого параллелограмма образуют гармоническую
четверку (см. рис. 5).
Рис. 5 ' Лг
В самом деле, эти четыре прямые пересекаются в
одной точке, их проективные пополнения Аи Д2, А3, Д4
пересекают проективную прямую А = (АВ) плоскости
ёР в точках Л, В, Доо, /, где Доо — бесконечно удаленная
точка прямой Д, а / — середина отрезка [Л, В]. Сфор-
Сформулированное утверждение вытекает теперь из пред-
предложения 6.3.
С помощью отправки в бесконечность отсюда
можно вывести следующую более общую теорему.
> Теорема 7.2. Пусть П — проективная плоскость
над телом характеристики Ф2 и {А В С D)—четы-
рехугольник, образованный четырьмя точками, ника-
никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Обозначим1) Е= (АВ) f] (CD), F= (AD) f| (ВС),
G= (AC) П (BD). Тогда прямые (GAC), (GBD),
(G?), (GF) образуют гармоническую четверку (см.
рис. 6).
1) Точку пересечения прямых (АВ) и (CD) мы обозначим
(АВ) П (CD),

7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Н9
Доказательство. Если мы отправим в бесконеч-
бесконечность прямую {EF)y то получим аффинную плоскость,
в которой {ABC D) — параллелограмм с центром G,
и тем самым вернемся к предыдущему примеру.
Рис. 6
Рис. 7
Замечание. Если выполнить те же действия в слу-
случае тела характеристики 2, то (Л В С D) по-преж-
по-прежнему перейдет в параллелограмм, но его диагонали
\[(АС) и {BD) будут параллельны. Это означает, что
точки Е, F, G лежат на одной прямой; на рис. 7 изо-
изображена так называемая конфигурация Фано. Она
позволяет охарактеризовать проективные плоскости
над телами характеристики 2. Сформулируем
> Предложение 7.3. Для того чтобы основное тело
пооективной плоскости П было характеристики 2,

150 ,;ГЛ..Ш; ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
достаточно, чтобы существовала четверка точек Л,< Д
С, Д никакие три из которых не лежат на одной
прямой, такая, что точки Е = (AB)fl(CD), F = (AD)(]
f)(BC), G <=(AC)f\(BD) коллинеарны, и тогда то же
самое имеет место для любого четырехугольника в П.
Действительно, в аффинной плоскости <р из су-
существования настоящего параллелограмма с парал-
параллельными диагоналями следует, что характеристика
равна 2; тогда то же самое имеет место и для любого
параллелограмма.
Применение к построению гармонически сопряженной
точки
Если даны три точки Л, 5, Е на прямой, то легко
восстановить рис. 6, проведя две различные секущие
(AF) и (BF)y а затем секущую (ECD)\ точку G вы-
выберем как пересечение прямых (BD) и (АС); тогда
гармонически сопряженной с Е относительно точек Л
и В будет точка Е' пересечения прямых (GF) и (АВ).
Из этого построения ясно, что всякая биекция П, пе-
переводящая прямые в прямые, сохраняет гармоническое
отношение. Можно было бы воспользоваться этим
для доказательства основной теоремы проективной
геометрии (см. § 12 и упр. IV. 19).
Тот же рисунок позволяет построить четвертую
прямую гармонической четверки по трем заданным;
положив Ai = (/*V1), Д2 = (FB), Д3 = (/7?'), получим
A (FG)
)
Наконец, тот же рисунок позволяет доказать, что
понятия «гармонических четверок» для точек и пря-
прямых двойственны (см. упр. IV. 25).
8. ТОМОГРАФИИ ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ.
ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ
> Теорема 8.1. Пусть Д, А'— проективные прямые
над одним и тем же телом /С. Для любой тройки
(Л, 5, С) различных точек А и любой тройки (А\
В\ С) различных точек А' существует по меньшей
мере одна гомография ф прямой А на А', такая, что
ф(Л)==Л/, ц)^В)^В\ q>lC)=C't Более того, эта го*

8. ТОМОГРАФИЯ ПРЯМОЙ. ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЙ 16!
мография единственна тогда и только тогда, когда
тело К коммутативно (т. е. является полем).
Доказательство, Положим Л = Р (Е), Д' = р (?'),
где ?, Е'*—две векторные плоскости над К. По сде-
сделанному выше замечанию (стр. 142) в Е существует
базис (а, 6), а в Ег — базис (а', &')> такие, что
А = р(а), B = p(b), C = p(a + b),
А' = р' (а'), В' = р' F'), С = р' {а' + Ь%
где р (соотв. //) обозначает каноническую проек-
проекцию Еп на Л (соотв. Е[ на А').
Для того чтобы линейное отображение /: Е-+Е'
индуцировало томографию, удовлетворяющую нало-
наложенным требованиям, необходимо и достаточно, что-
чтобы существовали три элемента а, |3, у из /С*, такие,
что
f(a) = aa\ f(b) = $b'9 f(a + b) = yc', A)
откуда
и поскольку пара (а\ Ь') свободная, a = p = Y.
Изоморфизм f\: E-+E', определяемый условиями
f{(a)—af и f\(b)—b', удовлетворяет всем нужным
требованиям и, значит, ф существует.
Если К коммутативно, то всякое линейное отобра-
отображение, удовлетворяющее A) с a = P==v, имеет вид
f = afi, и f и fi индуцируют одну и ту же единствен-
единственную томографию ф.
Если К не коммутативно, то существуют два эле-
элемента a, 1g /С*, такие, что аХ Ф Ха. Тогда линейное
отображение /: Е->Е'9 задаваемое с помощью
/ (a) = aa\ f (b) = ab't удовлетворяет равенствам
/ (а + ХЬ) = f (а) + Я/ (Ь) = aar + Xab\ в то время как
для /i имеем f{ (а + ХЬ) = аг + М/. Поскольку ХафаХ,
вектор аа'-\-Xabr не коллинеарен вектору arj\-Xbr.
Отсюда следует, что томографии ф, фь индуциро-
индуцированные отображениями / и fu различны, хотя обе
они удовлетворяют всем условиям. Итак, в этом слу-
случае ф не единственна. D

152 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЯ '
Следствие. Если Л, В, С — три различные точки
проективной прямой А над полем К, то существует
единственная гомография ф прямой А на Р1(К)*=и
= /CU {°°}, такая, что ф(Л) = оо, ф(В) = 0, ф(С)= 1.
> Определение 8.1. В принятых обозначениях если
D — произвольная точка А, то двойным отношением,
или ангармоническим отношением, точек Л, В, С, D
называется элемент ф(?))^Р1(/С), обозна'чаемый
[А, В, С, D] (по-английски: cross ratio).
В частности, имеем [А, В, С, А] = оо, [Л, В, С, В}?=0,
[Л, В, С, С] = 1 и [А, В, С, D] ф оо, если Z) =^= А.
Следует принимать во внимание, что двойное от-
отношение определено здесь только для случая, когда
К — поле (по поводу некоммутативного случая см.
упр. IV. 22). Немедленно получаем
Предложение 8.2. Двойное отношение четверки
коллинеарных точек есть инвариант любой гомо-
графии.
Выражение двойного отношения в Р1(К)
Рассмотрим прежде всего четверку элементов
а, р, у» бе/С, отождествив их с элементами <а, 1>,
<Р, О, <Y, 1>, <в, О из Р>(/С) (см. начало § 6). Для
того чтобы линейное отображение f: К2-*-К2 индуци-
индуцировало томографию, для которой ф(а)= оо и ф(Р) =
= 0, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид
/: (х, у) н-> (Я (х — рг/), у, {х — ау)),
и требование ц>(у)= 1 будет равносильно Х(у — Р) =
= jnG — а). Таким образом, гомография, удовлетво-
удовлетворяющая условиям ф(а)=оо, ф(р) = 0, фG)= h ин-
индуцируется отображением
/: К2 -> К\ (х, у) ^ ((у ~ а) (х - Py)f (Y - Р) (х - ау)),
и мы находим, что
г„ о v л1 _ (У - а) F - Р) _ у - а . 6 - а (~
[а, р, y, OJ— (Y_p)F_a) — Y_p. 6_p. W
Случай, когда одна из точек бесконечно удаленная,
трактуется просто; например, [а, р, у, оо] = [у —.

8. ТОМОГРАФИЯ ПРЯМбй. ДВбЙНОЕ OTHODffiflWg ?53
— а)/(у— р). Заметим, что [а, р, у, б] изменяется на
противоположное при перестановке аир или у и б
и сохраняется, если поменять (а, р) с (у,8)>
Случай аффинной прямой
Пусть 3) — аффинная прямая над полем /С; аф-
аффинная параметризация К-+&, t\—^(l—t)A + tBf
продолжается в томографию, /C->i25, если положить
Ф (оо) = 3)^, где 3)^ — бесконечно удаленная точка
прямой 3). Таким образом, если С = A—и)А-\-иВ
и D = A — v) A + vB — две точки 3>, то [Л, В, С, Z)] —
= [0, 1, и, v] «=—^Ц-1—^-р, и, допуская вольность в
обозначениях1), получаем
[А, В, С, D]=*Qi-0?r
СВ DB
СА
и, в частности, [А, В, С, iZ)oo] = ^=5-«
СВ
Интерпретация гармонических четверок
Предложение 8.3. Для того чтобы четыре точки
А, В, С, D проективной прямой над полем К с раз-
различными Л, В, С образовали гармоническую четвер-
четверку, необходимо и достаточно, чтобы [Л, В, С, D] =
.__ 1
Доказательство. По определению двойного отно-
отношения достаточно проверить, что четверка (оо,0,
1,6), где бе К, гармоническая тогда и только тогда,
когда б = —1.
Этот результат сохраняет силу и в случае, когда
характеристика К равна 2.
Двойное отношение четырех прямых, проходящих
«лерез одну точку (коммутативный случай)
Из предложений 4.3 и 8.2 немедленно выводится
1) Напомним, что деление векторов лишено смысла, если
они не коллинеарны.

{64 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ
> Предложение 8.4. Если Ah Д2, Д3, Д4--четыре
прямые проективной плоскости над полем, проходя-
проходящие через одну точку, то двойное отношение четверо
ки точек их пересечения с любой прямой Д, не про-
проходящей через их общую точку, не зависит от выбора
прямой Д.
9. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
Пусть 9> — аффинная плоскость над произвольным
телом К, снабженная аффинным репером (Л, В, С),
и <7> = &>\J&>oo = Р(?), гДе dim? = 3, —ее проектив-
проективное пополнение. В § 4 мы видели, что в Е существует
базис (ei, ?2, ?зЬ такой, что однородные координаты
в 9* в этом базисе являются продолжениями бари-
барицентрических однородных координат плоскости 2Р в
репере (Л, В, С). В частности, бесконечно удаленная
прямая ^оо плоскости 3> в этом базисе есть прямая
Х + у + 2 = 0 В ^.
Обратно, если Р (Е)— проективная плоскость и
{ей #2» #з)—базис ?", то мы сводим дело к предыду-
предыдущему случаю, отправляя в бесконечность проективную
прямую Д с уравнением х + у + z = 0 в этом базисе
и выбирая в качестве аффинного репера в Р(?)\Д
репер (А = p{ei), В = р(е2), С = р(е3)).
^ Это замечание позволит нам одновременно рас-
рассматривать задачи аффинной геометрии в 3* и проек-
проективной геометрии в 3*. Ради краткости точка с одно-
однородными координатами (х, у> г) в базисе (ei) будет
обозначаться Ъ (х> у, z).
Уравнения прямых
В указанных выше обозначениях проективные
прямые в & индуцируются векторными плоскостями в
Е\ следовательно, это подмножества ^, допускающие
в базисе (е«) уравнение вида ха + г/Р + zy = 0, где
(а, р, y)^ /C3\{0, 0, 0}. Бесконечно удаленная прямая
в 3> снова появляется при а = р = у.
Прямыми, проходящими через А — р{е[)> являют-
ся те, которые допускают уравнение вида #Р+г^=.

9. ПРОЕКТИВНАЯ5 ПЛОСКО^Ь'. ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ Й МЕНЕЛАЯ П$
=^0; точка пересечения такой прямой с прямой (ВС),
имеющей уравнение х = 0, есть точка 6@, (Н, —у~1).
Аналогично характеризуются прямые, проходящие
через В = р(е2) или С = р(еъ).
Заметим далее, что всякая точка Р прямой (ВС),
отличная от С, допускает однородные координаты
вида @, 1,—к) и что при К ф 1 скаляр К определен
в аффинной плоскости 0> условием РВ = ХРС. Если
же % = 1, то точка 6@, 1,—1) есть бесконечно уда-
удаленная точка прямой (ВС). Отсюда легко получается
> Теорема 9.1. Пусть P = b@, 1,— I), Q = b(—\i,
0,1), R = b(l,—v, 0) — три точки 9>, взятые соответ-
соответственно на прямых (ВС), (СА), (АВ) и отличные
от Л, В, С.
a) Для того чтобы прямые (АР), (BQ) и (CR)
имели в 9* общую точку, необходимо и достаточно,
чтобы A,jbiv = —1.
b) Для того чтобы точки Р, Q, R лежали на одной
прямой, необходимо и достаточно, чтобы A.jxv = 1.
Доказательство, а) Прямые {АР), (BQ), {CR}
представимы уравнениями
z + УХ = 0, х + Z[i = 0, у + xv = 0.
Очевидно, что они имеют общую точку тогда и толь-
только тогда, когда k\iv = —1.
b) Точки Р, Q, R лежат на одной прямой тогда и
только тогда, когда существуют три не равных одно-
одновременно нулю скаляра а, р, у, таких, что координа-
координаты каждой из точек Р, Q, R удовлетворяют уравне-
уравнению ха + i/P + zy = 0, откуда получаем условия
и ненулевая тройка (а, р, у), удовлетворяющая этим
условиям, существует лишь при %\iv = 1. ?
Эта теорема очевидным образом обобщает теоре-
теоремы Чевы (утверждение а)) и Менелая (утверждение
Ь)). Она имеет место в случае произвольного тела.
> Обсуждение. При желании можно дать чисто аф-
аффинную формулировку. Для этого нужно ограничиться

156
ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
случаем, когда Р, Q, R лежат в 53, и определить ска-
скаляры Я, (I, v соотношениями
Утверждение b) сохраняется без изменений, а утверж-
утверждение а) заменяется следующим:
а') Для того чтобы прямые {АР), (BQ), (CR) пе-
пересекались в одной точке (соотв. были параллельны)!
в 9*, необходимо и достаточно, чтобы Я|лл? = —1, где
jA ф 1 — Я (соотв. \i = I - Я~* и v = A - ЯГ1).
Действительно, если X\iv =—1, то точка пересе-
пересечения прямых (АР), (BQ), (CR) есть 6A,— v, vA,), и
эта точка лежит на бесконечности, если \х = 1 — X"
1
От теоремы Менелая к теореме Чевы
Заметим, что при любом X е К точки Р =*
, 1,— Я) и Р7 = 6@, 1Д) гармонически сопря-
Рис. 8 й Р' С Р
жены относительно В и С; в самом деле, четверка
(В, С, Р, Р') является образом гармонической четвер-
четверки @,оо,—Я, Я) при томографии Р1{К) на прямую
(ВС), заданной условиями ср (Я) = Ь (О, 1, Я), если
Я <= /С, и ф(оо) = С (см. § 6).
Полагая по-прежнему Q = Ъ (—|i, О, 1) и R =
cs&^—^O), мы увидим, что отношение «точки Р,
Q, /? коллинеарны» равносильно отношению «прямые
(АР'), (BQ), (CR) проходят через одну точку»
(см. рис. 8): мы вновь приходим здесь к построению,

SO. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА 157
гармонически сопряженной с Р точки относительно
(В, С), которое было дано в § 7.
Аналогичную эквивалентность мы получим, если
вместо замены Р на Р/ заменим Q на Q/ = 6(fi,O, 1)
(гармонически сопряженную с Q относительно
(С, А)) или R на /?/ = 6(l,v, 0) (гармонически сопря-
сопряженную с R относительно (А, В)). Кроме того, отно-
отношение «Р, Q, R коллинеарны» равносильно «прямые
(АР'), (BQ'), (CR') проходят через одну точку».
Если основное поле К имеет характеристику 2, то
Р = Р\ Q = Q'f R = R\ и мы вновь приходим к кон-
конфигурации Фано (см. § 7, рис. 7).
10. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Пусть П — проективная плоскость над произволь-
произвольным телом /С, для определенности — левая. Напом-
Напомним, что ради краткости мы обозначаем точку пе-
пересечения двух проективных прямых (АВ) и (CD)
через (AB)f](CD); условимся также, что слово «тре-
«треугольник» обозначает тройку неколлинеарных точек.
Проективная формулировка теоремы Дезарга
> Теорема 10.1. Пусть (Л, В, С) и (Л', Я', С') — два
треугольника проективной плоскости П, такие, что
прямые {АА')> {ВВ'), {СС) все различны. Для того
чтобы они имели общух точку, необходимо и доста-
достаточно, чтобы точки Р = (ВС)П(В'С), <2 = (СЛ)П
П(С'Л'), R = (АВ){\(А/В/) лежали на одной прямой
(см. рис. 9).
Доказательство. а) Необходимость. Положим
П = Р(?) и обозначим через р: ?#->П каноническую
проекцию.
При А — А\ В=г-В' или С = С результат очеви-
ден> поэтому допустим, что А Ф А', В фВ\ С ф С,
и положим А = р(а), В=^р(Ь), С — р(с).
Если прямые (АА'), (ВВ)> {СС) имеют общую
точку S = p(s), то найдутся такие скаляры Я, |х, v,
что A' = p(s + ka), B' = p(s + \ib), C' = p(s + vc).
Далее проверяем, что точка p(\ib — vc) есть точка Р
пересечения прямых (ВС), {В'С)\ аналогично,

ГЛ, IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Q = p(vc —Ал) и R=*p(la — \xb). Поккольку сумма.
векторов \ib — vc9 vc — Xa и Xa — \xb в E равна нулю,
1ч)чки P, Q, R коллинеарны.
b) Достаточность. Можно было бы провести дока-
доказательство от противного, как это будет сделано в
случае предложения V. 6.1, однако интереснее заме-
заметить, что утверждение Ъ) следует из а) по принципу
двойственности,
\А
Рис. 9
Действительно, пусть ?* —сопряженное с Е и А[9
Вр Ср Лр В[, С[ — точки Р (?"*), соответствующие
прямым {ВС), (СА), (АВ), (В'С), (СМ7), {А'В'). Точ-
Точкам Р, Q, /? соответствуют прямые а = {А{А\)%
Р = (В1В[), y = (C1Cj); легко видеть, что эти прямые
различны, если предположить, что А' ф Л, В' ф В,
С ф С. Следовательно, если точки Р, Q, /? колли-
коллинеарны, то прямые а, р, y проходят через одну
точку. В силу справедливости утверждения а) в пло-
плоскости Р (Я*) точки Р{ = (В{Сг) П (В[С'{), Q{ = (С{А{) (]
П (С^Лi) и /?2 = (Л1В1) П(Л{В[) коллинеарны. Но эти
точки соответствуют прямым (AA')t (BBf)t (CC) в Р(?"),
которые, следовательно, проходят через одну точку.
Аффинная интерпретация
Доказательство утверждения а) легко приспосо-
приспособить к аффинной геометрии и получить элементарное

ft ТЕОРЕМА ДЕЭАРГД " 159
доказательство теоремы Дезарга в аффинной пло-
плоскости.
В самом деле, пусть (Л, В, С) и (Л', В', С7)— деа
треугольника в аффинной плоскости 9*. Мы можем
отождествить ёР с собственно аффинной гиперпло-
гиперплоскостью ее векторного продолжения Е = & и поло-
положить ^ = Р (?") = ^U^oo- Тогда каждая точка Лей3
отождествляется с р(Л). Подсчеты, проведенные в а),
сохранят силу, при условии что р ( У) Я;ЛЛ обозна-
обозначь е/ /
чает барицентр трех взвешенных точек (Ah Л,-)<е/
в 53, причем этот барицентр есть «направление пря-
прямой» в случае, когда ?) At- = 0.
Разумеется, это дает повод для обсуждения: ведь
придется выделять случаи, когда прямые (АА'),
(БВ7), (СС) проходят через одну точку или парал-
параллельны, а также случай, когда некоторые из точек
Р, Q, R бесконечно удаленные. По поводу прямого
элементарного рассмотрения теоремы Дезарга в аф-
аффинной плоскости см. упр. III. 14.
Доказательство с помощью отправки в бесконеч-
бесконечность ^
Для дальнейшего важно убедиться, что теорема
Дезарга с помощью процедуры отправки в бесконеч-
бесконечность сводится к двум простым свойствам аффинной
плоскости.
В предположениях теоремы 10.1 обозначим че-
через Д прямую (QR) и снабдим SP = П\Л такой аф<
финной структурой, чтобы Л была «бесконечно уда-
удаленной прямой» в плоскости & (см. § 4). Случай,
когда прямая А проходит через одну из точек Л, В,
С, А\ В\ С\ без труда изучается непосредственно, и
мы его исключим. Тогда мы приходим к простой тео-
теореме аффинной геометрии, а именно:
& Теорема 10.2. Пусть (Л, В, С) и (Л', В\ С) — два
треугольника в аффинной плоскости, такие, что
(А'В')\\(АВ) и (А'С)\\(АС).
J) В § V.11 дается другое доказательство, с помощью по-
гружеИия П в проективное пространство размерности п ^ 3.

160
ГЛ TV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Тогда, для того чтобы прямые {АА'), {ВВ'), {СС)
'(предполагаем, что они различны) проходили через
одну точку или были параллельными, необходимо и
достаточно, чтобы прямая {В'С) была параллельна
прямой {ВС).
Доказательство. По предположению, существуют Я,
|1<=/С, такие, что 7П$' = ХАВ и А/С' = \\,АС. По-
Поэтому б'С = [хАС — ХАВ и параллельность прямых
(В'С) и (ВС) равносильна равенству X = \х (так как
вектор B'C' — \lAC~ ХАВ коллинеарен ВС = АС—АВ
лишь при X = \i). Разберем теперь две возможности:
а) Х = \х= I тогда и только тогда, когда обе пря-
прямые {ВВ') и {СС) параллельны {АА') (рис. 10).
Рис. 10
Рис. 11
Ь) Если ХФ 1, то прямые (ЛЛО и E5') пересе-
пересекаются в точке S, такой, что SA' — XSA, и если
ji ф 1, то прямые (ЛА') и (СС) пересекаются в точке Г,
такой, что ТА' = [iTA. Итак, X = \х тогда и только
тогда, когда 5 = Г, т. е. прямые {АА'), {ВВ') и {СС)
проходят через одну точку (см. рис. 11). Это и дока-
доказывает наше утверждение. П
Замечание. Сведение теоремы Дезарга к аффин-
аффинному случаю приводит к двум различным конфигура-
конфигурациям (рис. 10 и 11), отвечающим соответственно слу-
случаям, когда прямая {PQR) проходит или не проходит
через точку 5, общую для прямых {АА')У {ВВ'),
{СС).

11. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА 161
Эти две конфигурации будут играть важную роль
при аксиоматическом построении аффинной плоскости
(см. гл. V).
И. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА
Начнем с аффинного изучения.
^ Теорема 11.1. Пусть 3>—аффинная плоскость над
телом К. Для коммутативности К необходимо и до-
достаточно, чтобы существовала пара различных пере-
секающихся прямых 3), 3)\ таких, чтобы для любых
троек (Л, В, С) точек на 3) и (Л', В\ С) на ЗУ из
параллельности (АВ')\\(А'В) и (АС')\\(А'С) следова-
следовала параллельность {ВС') II {В'С).
Обратно, если К коммутативно, то любая пара
C), ЗУ) прямых в <р (пересекающихся или парал-
параллельных) удовлетворяет этому условию.
Доказательство, а) Предположим, что суще-
существуют прямые 3), 3)\ пересекающиеся в точке О и
удовлетворяющие высказанному требованию. Выбе-
Выберем точки СсеЗ), В' €Е 2>\
С любой парой (х, у) элементов К* свяжем точки
Л, В на 3) и точки Л7, С1 на 3)', определив их уело»
виями
ОА = хОС, ОВ = уОА = ухОС,
~ОА' =, уОВ', ОС' = хОА' = хуОВ'.
Тогда АС' = хСА\ ВАГ = уАВ' и, следовательно,
(ЛЯ')И(ДЛ'), (ЛС)Ц(СЛ') (см. рис. 12); отсюда выте-
вытекает, что (ВС')Н(СВ')> и поскольку ОВ = ухОС и
ОС = xyOB't то параллельность (ВС') и {СВ') влечет
ху = ух.
Тем самым тело К коммутативно (т. е. является
полем).
Ь) Предположим теперь, что К коммутативно, и
пусть (А, В, С), (А\В\С) — две тройки коллинеар-
ных точек, для которых (АВ')\\(А'В) и (ЛС) || (Л'С).
Если прямые 3)у 3)\ на которых лежат эти трои-
6 Ж. Лелон Ферран

162 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ки, пересекаются в точке О, то существуют два ска-
скаляра х, у, такие, что
ОА^хОС,
откуда находим, что ОС = хуОВ' и ОВ = ухОС> и
потому в силу ху = ух имеем ВС = хуСВ/ и
(всжв'с)
ж)
Если прямые (А, В, С) и (А\ В', С) параллельны,
то утверждение {ВС) \\ (В'С) сохраняет силу и без
предположения коммутативности К по следующей
лемме:
л
и
л/
Рис. 12 и (? Ъ'
Предложение 11.2. Пусть 3) и &)' — две различ-
различные аффинные параллельные прямые аффинной пло-
плоскости <р над произвольным телом К и (Л, В, С) е
€Е 2K, (А', В\ С) е 2)'z — такие тройки точек, что
(АВ')ЦА'В), (АС')\\{А'С)- тогда и (ВС) II (В'С).
Доказательство. По предположению четырехуголь-
четырехугольники {АВ'А'В) и {АС'А'С) — параллелограммы (рис. 13).
Следовательно, АВ = В'А' и АС = С'А\ откуда
ВС = АС — АВ = СГА' — В'А' = СВ' и ВС = ВХ. ?
Применяя метод отправки в бесконечность, мы мо-
можем доказать такое утверждение 1):
> Теорема 11.3. Пусть П — проективная плоскость
над некоторым телом К. Для коммутативности К не-
1) По поводу другого доказательства теоремы Паппа
см. упр. III.11 и 111.16.

11. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА
163
обходимо и достаточно, чтобы существовали две раз-
различные прямые А, А' в П, обладающие следующим
свойством (рис. 14):
(Р) Для каждой тройки точек (Л, В, С) на А и
(Л', В\ С) на А' точки Р = (ВС')[\(СВ')> Q = (CAf)(]
П(АС'), R = {ABf)[)(BA') коллинеарны.
Обратно, если К коммутативно, то любая пара
(А, А') прямых в П обладает этим свойством.
Рис. 13
Доказательство, а) Предположим, что существует
пара прямых (А, АО со свойством (Р), и пусть
Д" — любая прямая в П, не содержащая точки
О = ДГ|А/. Снабдим множество ^«П\Д" структу-
структурой аффинной плоскости, получаемой отправкой
прямой А" в бесконечность; пусть 2) = А(]^9
3)' = А'0<Р — аффинные прямые в ^, полученные
сужением прямых Д, Дг. Поскольку точка О не при-
6*

164 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
надлежит &>„ = &", прямые 2)у 2)' пересекаются в О
и мы можем применить к ним теорему 11.1: доста-
достаточно воспользоваться свойством (Р) для троек
(Л, В, С)еД3 и (Л', В', С) е Д'3, образованных раз-
различными точками и таких, что точки Q = (CA')f)(AC)
и R = {AB') П (ВА') принадлежат бесконечно удален-
удаленной прямой Д". Точки Q, R различны, ибо таковы С
и В, а коллинеарность Р = {ВС')(){СВ') с Q и R в П
влечет Р е Д". Иначе говоря, в аффинной пло-
плоскости 9 условия (СЛ') II (ЛС) и (ЛВ') Ц(ВЛ') (где Л,
Б, С принадлежат прямой &)у а Л', В\ С' — пря-
прямой 2D') влекут (ВС)ЦСВ') и, значит, К коммута-
коммутативно.
Ь) Предположим, что К коммутативно (т. е.
К — поле). Пусть (Л, В, С), (Л7, Б", С') — две тройки
различных точек, лежащие соответственно на пря-
прямых Д, Д' плоскости П. Исключим тривиальный слу-
случай, когда одна из этих точек совпадает с О = ДГ)Д',
и положим Q = (CA')[\(AC), R = {AB')(\{BA'). Легко
ъидеть, что тогда прямая k" — (QR) не проходит ни
через одну из точек Л, В, С, Л', В', С'. Отправляя эту
прямую в бесконечность, мы придем к двум тройкам
(Л, В, С), (Л', В\ С) коллинеарных точек аффинной
плоскости ^ = П\Д", для которых (СЛ')Ц(ЛС') и
{АВ')\\(ВА'). Тогда и (ВС')Ц(СВ'). откуда следует, что
точка Р пересечения проективных прямых {ВС), (СВ')
плоскости П лежит на бесконечно удаленной прямой
12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Цель этого параграфа — дать геометрическую ха-
рактеризацию полупроективных биекций. Установим
сначала некоторые предварительные свойства.
^ Предложение 12.1. Для того чтобы подмножество
L проективного пространства Р (Е) было проектив-
проективным подпространством в Р(Е), необходимо и доста-
достаточно, чтобы любая проективная прямая, соединяю-
соединяющая две различные точки Л, В е L, содержалась в L.

12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 165
Доказательство. Необходимость условия очевидна.
Обратно, предположим, что условие выполнено, и
пусть а, Ъ — два различных элемента в p~l{L). Тогда
А=р(а), В = р(Ь) принадлежат L и для каждой
пары (X, jLi)ei^2, такой, что Ха + \xb ф 0, p(Xa + \xb)
будет точкой прямой {АВ), если А Ф В, или точкой
Л, если А = В. В обоих случаях p(Xa + \xb) принад-
принадлежит L и Ха + ixb ^p-l(L). Итак, p-l(L)[}{0} есть
векторное подпространство в Е, a L есть проективное
подпространство в Р(?). ?
Замечание. Эта теорема аналогична предложению
III. 4.8, но здесь нет необходимости предполагать, что
К Ф Z/2Z.
> Определение 12.11). Пусть Р(?), P(F) —два про-
проективных пространства. Коллинеацией Р (Е) на P(F)
называется такая биекция, что образы любых трех
коллинеарных точек Р (Е) коллинеарны в P{F).
Предложение 12.2. Если /: Р (Е) -> Р (F) — колли-
неация, то прообраз f~l{L) проективного подпро-
подпространства L пространства Р(F) является проектив-
проективным подпространством в Р{Е).
Доказательство. Пусть Л, В — две точки из f~l(L)
и С — точка на прямой (АВ). Так как / — коллинеа-
ция, точка /(С) лежит на прямой (f(A)f(B)) и, зна-
значит, содержится в L. Отсюда вытекает, что прямая
(АВ) принадлежит f~l(L), что и доказывает утверж-
утверждение. П
Предложение 12.3. Пусть Р(Е), P(F) — два про-
проективных пространства одной и той же конечной раз-
размерности п и /: Р (Е)->- Р(/7)— коллинеация. Тогда
образ каждой проективной прямой из Р (Е) при ото-
отображения / есть проективная прямая в Р(/).
Доказательство. Пусть А—прямая в Р{Е). Так как
f—коллинеация, то образ А содержится в некоторой
прямой А' пространства Р (F) (прямой, соединяющей
1) Часто дают и другое определение коллинеации, но экви-
эквивалентное ему в случае конечной размерности (см. предложе-
предложение 12.7).

166 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
образы двух точек А). Остается доказать, что f(A) =
= Д'.
Обозначим через q каноническую проекцию F*
на P(F). В векторном пространстве F легко постро-
построить строго возрастающую последовательность
(Хь ..., Хп) векторных подпространств F, таких, что
dimXfc — k + 1 при k=\, 2, ..., /г, первый член ко-
которой Хг — плоскость, индуцирующая прямую А';
пусть Xl = q~l(A/)\J {0} (действуем далее по индук-
индукции, выбирая ak^ F \Xk и полагая Xk+l =
= Vect(XfeU {#*})). Имеем, очевидно, Xn — F.
Эта последовательность (Хи ..., Хп) индуцирует
строго возрастающую последовательность (Д|, A?, ...
...,А^) проективных подпространств*?^), такую,
что A; = ^, A'n = P(F).
Так как / биективно и в силу предложения 12.2
множества Aaj = /"(A^) (fe = l, 2, ..., п) образуют
строго возрастающую последовательность проектив-
проективных подпространств в Р(Е)9 такую, что AciAj (по-
(поскольку / (А) с: А;)) и Д„ = Р (?).
Размерности этих подпространств удовлетворяют,
следовательно, неравенствам
dim A < dim А! < dim А2 < ... <dimAft = Ai
(так как два различных проективных подпростран-
подпространства, содержащиеся одно в другом, не могут быть
одинаковой размерности).
Из этих неравенств следует условие dimAi ^ 1 и,
значит, Ai = А и А' = /(АО = /(А). ?
Замечание. Предложение 12.3 не имеет места без
предположения о том, что / — биекция. Пусть, на-
например, / — вложение Pn(R) в Р"(С), которое в од-
однородных координатах точке (хи ..., хп+{) ^Pn(R)
ставит в соответствие точку с теми же координатами
(хи ..., хп+1)^Рп(С). Тогда / преобразует колли-
неарные точки в коллинеарные, но образ прямой
в Р"(К) не есть прямая в РЯ(С) и отображение не
полулинейно.
Предложение 12.4. Пусть Р(?), P(F) — два про-
произвольных проективных пространства и /: R(?)->

12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 167
-*P(F)— такая биекция, что образ любой прямой из
Р (Е) есть прямая в P(F). Тогда прообраз гиперпло-
гиперплоскости в Р(?) есть гиперплоскость в Р(Е).
Доказательство. Пусть Я— гиперплоскость в Р (F);
по предложению 12.2, f~x(H) есть проективное под-
подпространство в Р(?), очевидно отличное от Р(Е).
С другой стороны, если А — прямая в Р(?), то /(А)
будет прямой в Р(/7), пересекающей Я по меньшей
мере в одной точке; следовательно, А пересечет
/-1 (Я) по меньшей мере в одной точке.
Если V — векторное подпространство в ?, индуци-
индуцирующее /-1(Я), то пересечение V с любым двумерным
векторным подпространством в Е имеет размерность
^1, а поскольку V Ф Е, то V оказывается гиперпло-
гиперплоскостью в Е (см. упр. II. 8). ?
Теперь может быть установлена
> Теорема 12.5. Пусть Р(Е), P(F)-— два проектив-
проективных пространства любой (конечной или бесконечной)
размерности ^2 и /: Р (Е)-^Р (F)—биекция, такая,
что образ любой прямой из Р (Е) есть прямая в
Р (F). Тогда / полупроективна.
Доказательство. Обозначим через Я произвольную
гиперплоскость в Р (F) и снабдим & = Р (E)\f~l (H)
(соотв. @~ = Р (F)\H) аффинной структурой, полу-
полученной отправкой /-1 (Я) (соотв. Я) в бесконечность.
Ограничение f отображения / на <? есть биекция ё
на ЗГ, преобразующая аффинные прямые из & на-
направления 6 g f (Я) в аффинные прямые в #" на-
направления /(б). По теореме III. 8.1 f есть полуаффин-
полуаффинная биекция <§ на У.
С помощью легкого обобщения предложения 4.1
видим, что такая биекция f продолжается до полупро-
полупроективной биекции Р (Е) на Р(/7), с необходимостью
совпадающей с / (поскольку образ прямой направ-
направления б из & есть прямая направления /(б) в &г)\
отсюда и вытекает результат. ?
Путем сравнения этой теоремы с предложе-
предложением 12.3 получается, наконед,

168 гл- IV- ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
> Теорема 12.6. Если Р(?)> Р(^) — Два проектив-
проективных пространства одинаковой конечной размерности
п ^ 2, то всякая коллинеация Р (Е) на Р (F) полу-
проективна.
Коллинеации и корреляции (случай конечной размер-
размерности)
С каждым проективным пространством Р (Е) ко-
конечной размерности свяжем множество Р (Е) его про-
проективных подпространств (включая пустое множество
и само Р(Е)). Немедленно убеждаемся, что каждая
полупроективная биекция /: Р (Е)-+Р (F) продол-
продолжается в биекцию f: Р (?)-> Р{Е), для которой выпо-
выполнено условие
A)
Обратно, имеет место
Предложение 12.7. Пусть Р(Е), Р (F) — два проек-
проективных пространства одинаковой конечной размерно-
размерности п, и пусть f: Р (Е) -> Р (F) — биекция, удовлетво-
удовлетворяющая условию A). Тогда f является продолже-
продолжением на Р (Е) некоторой коллинеации /: Р(Е)~>~
-+P(F).
Доказательство, а) Покажем сначала, что f сохра-
сохраняет размерность. Для этого рассмотрим произволь-
произвольное проективное подпространство X размерности k
пространства Р(Е). Обобщением процедуры, приме-
примененной при доказательстве предложения 12.3, можно
построить конечную строго возрастающую последова-
последовательность (L_i, Lo, L\9 ..., Ln) проективных подпро-
подпространств из Р(Е), такую, что L-\ = 0, Ln = P(E)y
Lk = X и dim(L/) = / для всех у1). Из того что f
биективно и удовлетворяет условию A), вытекает*
что последовательность (L'j = f (L/)) строго возрастает
1) Напомним, что пустое подмножество в Р (Е) рассмат-
рассматривается как проективное подпространство размерности —1, то-
тогда как точки Р (Е) суть проективные подпространства размер-
иости 0.

12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 169
{—1^/^/г). Следовательно, имеют место неравен-
неравенства
— 1 < dim (Llx) < dim (LJ) < dim (LJ) < ...
которые влекут dim (L^) = / для всех / и, в част-
частности,
dim (?(*))= dim (Li) = й.
b) По предыдущему, образ точки М из Р (Е) есть
проективное подпространство нулевой размерности в
P(F), т. е. сводится к точке, которую мы обозначим
f(M). С другой стороны, если Д — прямая в Р(Е), то
f(A) есть прямая в Р (F) и условие A) влечет вклю-
включение /(A)czf(A). Тогда / — коллинеация, и по тео-
теореме 12.6 / полупроективна.
Наконец, если X — проективное подпространство
размерности k в пространстве Р(Е), то f(X) есть про-
проективное подпространство размерности к в Р (F) (так
как полупроективная биекция сохраняет размерности
подпространств). Далее, соотношение A) влечет
f(X)af(X) (так как образы точек из X при отобра-
отображении / суть подпространства в P(F), содержащиеся
в f (X)), и поскольку f (X) есть проективное подпро-
подпространство в Р (F) той же размерности, что и f(X), то
f(X) = J(X). Итак, f действительно есть продолже-
продолжение f на Р(?). ?
В случае пространств одинаковой конечной раз-
размерности можно, следовательно, определить коллинеа-
ции как биекции Р(Е) на P(F), удовлетворяющие ус-
условию A).
По аналогии введем
> Определение 12.2. Пусть Р(?), P(F) — два проек-
проективных пространства одинаковой конечной размер-
размерности п. Корреляцией Р(Е) на P(F) называется би-
биекция ф: P(?)->P(F), удовлетворяющая условию:
(VX, FgP (?)) X a Y => Ф (X) id ф (Г). B)

170 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример. Если Е* — пространство, сопряженное с Е>
то отношение ортогональности определяет корреляцию
6Е: Xv-^X0 пространства Р(Е) на Р(Е*) (см. § II. 6).
Если ф: Р(Е)-> Р(Е) — произвольная корреляция,
то непосредственно видно, что qp о 6i — коллинеация
Р(?*) на P(F). Поэтому можно сформулировать
Предложение 12.8. Любая корреляцияР(Е) на P(F)
имеет вид Ф = / ° 6?, где / — некоторая коллинеация
Р(Е*) на P(F), а дЕ —корреляция Р(Е) на Р(?*), оп-
определенная отношением ортогональности.
По поводу построения корреляций с помощью по-
луторалинейных форм см. [FR], гл. V.

Глава V
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АФФИННОЙ
И ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЙ
1. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Целью этой главы является обоснование аффин-
аффинной и проективной геометрий при помощи простых
аксиом, не использующих иных свойств, кроме при-
принадлежности точек прямым и пересечения прямых,
проверяемых (в некотором смысле) с помощью одного
простого правила. Мы ограничимся по существу гео-
геометрией плоскости, которая только и приводит к но-
ным структурам; «аффинная» и «проективная» точки
зрения будут тесно перемешаны. Случай простран-
пространственной геометрии рассматривается в § И и 12.
Уточним прежде всего рамки нашего исследования,
введя понятия «плоскости проективного типа» и «пло-
«плоскости аффинного типа» 1).
Плоскости проективного типа
^ Определение 1.1. Плоскость проективного типа
есть пара, состоящая из
a) некоторого множества П, называемого пло-
плоскостью, элементы которого называются точками;
b) непустого множества i? подмножеств П, назы-
называемых прямыми и удовлетворяющих следующим ак-
аксиомам:
Pi Через две любые различные точки П проходит
одна и только одна прямая.
Р2 Две различные прямые имеют общую точку
(единственную по аксиоме Pi).
1) В курсах, построенных аксиоматически, говорят просто
о «проективной плоскости» и «аффинной плоскости»; мы пред-
предпочли избежать двусмысленности, сохранив последние термины
для двумерных проективных (соотв. аффинных) пространств над
некоторым телом; они являются частными случаями плоскостей
проективного [соотв. аффинного] типа.

172 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Рз Каждая прямая содержит по меньшей мере три
точки.
Р4 Существуют три точки, не лежащие на одной
прямой.
Естественно, можно привести и другие, равносиль-
равносильные, формулировки этих аксиом. В частности, можно
заменить аксиому Р4 на
Р^ Какова бы ни была прямая Д, множество П\Л
не пусто.
Из этих аксиом вытекает
Предложение 1.1. Плоскость проективного типа
содержит не меньше семи точек и семи прямых.
Доказательство. Пусть А — прямая на П и Л, Ву
С — три точки A, a D — точка П\А. Существует точ-
Рис. 1
ка Е прямой (AD), отличная от А и Д и точка F
прямой (BD), отличная от В и D (см. рис. 1). Тогда
прямые (AF) и (BE) пересекаются в новой точке G+
что и дает нам семь различных точек. С другой сто-
стороны, шесть прямых уже начерчены, и существует
по меньшей мере еще одна, седьмая, соединяющая
Е и F.
Замечание. Для того чтобы плоскость П содер-
содержала лишь семь точек и семь прямых, требуется,
чтобы точки С, ?, F были коллинеарны, равно как и
точки С, D, G. Мы вновь получаем конфигурацию
Фано, с которой уже встречались в § IV. 7.
Плоскости аффинного типа
^ Определение 1.2. Плоскостью аффинного типа на-
называется пара (^, «Sf), состоящая из:

1. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 173
a) множества ^, называемого плоскостью, элемен-
элементы которого называются точками]
b) непустого множества & подмножеств й9, назы-
называемых прямыми и удовлетворяющих следующим ак-
аксиомам:
Ai Через две различные точки $Р проходит одна и
только одна прямая.
А2 Любая прямая содержит не менее двух точек.
Аз Существуют три точки, не лежащие на одной
прямой.
А4 (Сильная аксиома Евклида.) Каковы бы ни были
прямая 2D и точка ЛеА2), существует един-
ственная прямая, проходящая через Л и не пере-
пересекающая 3).
Немедленно получаем
Предложение 1.2. Если (П, S)—плоскость проек-
проективного типа и А — любая прямая в П, то можно по-
получить структуру аффинного типа на П\Д, назвав
«прямыми» пересечения прямых из П с П\Д.
Действительно, две «прямые» из П\Д, не имею-
имеющие точки пересечения, происходят из двух прямых
в П, проходящих через одну и ту же точку Д.
Мы увидим, что и, обратно, всякая плоскость аф-
аффинного типа может быть канонически дополнена до
плоскости проективного типа. Прежде всего имеет
место
Предложение 1.3. Если (<?*, 9?) — плоскость аффин-
аффинного типа, то отношение параллелизма на «2?, опре-
определенное с помощью 3) || 2>'<=*(&>=&)' или 3) f) &>'= 0),
есть отношение эквивалентности.
Доказательство. Симметрия и рефлексивность вве-
введенного отношения очевидны; транзитивность выте-
вытекает из условия единственности в аксиоме А4.
Класс эквивалентности, содержащий прямую SD,
будет называться направлением прямой 3).
Предложение 1.4. Пусть д* — плоскость аффинного
типа, а ^оо — множество направлений ее прямых. На
5*^ получим структуру плоскости проективного

|74 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
типа, назвав прямыми множество ^оо и каждое мно-
множество, получаемое объединением любой прямой из
9> и ее направления.
Доказательство. Проверка аксиом (Р*) не вызы-
вызывает затруднений: например, существование един-
единственной прямой в ^U^oo, соединяющей точку Л на
<р с точкой В на fPoo, вытекает из существования един-
единственной прямой в 3* с заданным направлением, про-
проходящей через данную точку (аксиома А4). С другой
стороны, аксиома А3 влечет существование трех не-
коллинеарных точек Л, В, С, откуда вытекает и су-
существование трех различных направлений прямых,
определяемых прямыми (АВ), (ВС), (СА). Следова-
Следовательно, ^оо содержит не менее трех элементов.
Определение 1.3. Изоморфизмом плоскости аффин-
аффинного (соотв. проективного) типа называется биекция
на плоскость (того же типа), переводящая прямые
в прямые.
Рис. 2
Предложение 1.5. Плоскость аффинного типа со-
содержит не менее четырех точек и шести прямых. Она
содержит только четыре точки лишь в случае, когда
она изоморфна аффинной плоскости Z2 X Z2.
Доказательство. Пусть Л, В, С — три неколлинеар-
ные точки; прямая, параллельная (ВС) и проходящая
через Л, и прямая, параллельная (АВ) и проходящая
через С, пересекутся в четвертой точке D (см. рис. 2);
шесть прямых (АВ), (AC), (AD), (ВС), (BD), (CD)
все различны.
С другой стороны, <р не может сводиться лишь
к четырем точкам Л, В, С, Д иначе как в случае па-
параллельности диагоналей параллелограмма (ABCD).

2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА 175
В этом случае биекция /: ^-^Z2XZ2,
/(Л) = @,0), /(Я) = A,0), /(О = A,1), /ф) = @, 1)
есть изоморфизм. П
Следствие. Плоскость проективного типа, содер-
содержащая ровно семь точек, изоморфна Р2 (Z2).
Двойственность в плоскости проективного типа
Предложение 1.6. Пусть П — плоскость проектив-
проективного типа. Аксиомы Pi—Р4 остаются верными, если
поменять местами слова «точка» и «прямая» и заме-
заменить отношение инцидентности «прямая Д проходит
через точку Л» двойственным к нему: «точка Д при-
принадлежит прямой Л».
Доказательство. Аксиомы Pi, P2 просто поменяют-
поменяются местами. Аксиома Р4 превратится в следующую:
Р^ Какова бы ни была точка А е П, существует пря-
прямая, не проходящая через Л.
Это утверждение легко вытекает из Р4.
Наконец, аксиома Р3 превращается в
Р^ Через любую точку в П проходит не менее трех
различных прямых.
Это утверждение следует из Рз и Р4. ?
Итак, точки и прямые в плоскости проективного
типа играют аналогичные роли, что выявляет также
Предложение 1.7. Если (П, 3?)—конечная пло-
плоскость проективного типа (т. е. такая, что П — конеч-
конечное множество), то и 3? — конечное множество той
же мощности, что и П (эта мощность ^7 по предло-
предложению 1.1).
Напротив, для плоскостей аффинного типа поня-
понятия точки и прямой не перестановочны.
2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА
В дальнейшем мы введем (§ 3 и 5) аксиомы, поз-
позволяющие перейти от общей структуры «плоскости
аффинного типа» к более специальной «аффинной

176 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
плоскости над телом»; мы увидим тогда, что эти
аксиомы равносильны существованию достаточно ши-
широкой группы преобразований плоскости, состоящей
из трансляций и гомотетий. Чтобы облегчить изложе-
изложение, мы изучим эти преобразования с самого начала,
не зная, существуют ли среди них отличные от тож-
тождественного.
> Определение 2.1. Пусть &—плоскость аффинного
типа. Дилатацией 9* мы назовем биекцию 9* на ^, та-
такую, что для любой пары различных точек (Л, В)
прямая (f(A)f(B)) параллельна прямой (АВ).
Очевидно, что тождественное преобразование есть
дилатация и что дилатации 9> образуют группу.
Предложение 2.1. Если / — дилатация ^, то каж-
каждая прямая iZ>, содержащая некоторую точку М и ее
образ f(M), устойчива относительно / (т. е. fB)) =
= 2)). В частности, любая прямая, проходящая че-
через неподвижную точку /, устойчива при действии f.
Доказательство. Пусть М е 9*. Если / (М) Ф Mt
обозначим через SD прямую (Mf (М)); если же / (М) = М,
то пусть SD — любая прямая, проходящая через М.
Для всякой точки Ре2)\{М) прямая (f(M)f(P))
должна быть параллельна прямой (МР), т. е. 3), и,
следовательно, совпадает с SD\ отсюда f(P)^.2D и мы
имеем включение fBD)a<2).
Аналогично, если Р^SD\{f(М)} и f~l(P) — про-
прообраз Р, то прямая {Mf1 (PJ) должна быть парал-
параллельной прямой (f(M)P), т. е. 2D, и потому совпадет
с 3), откуда f[(P)<=.2D и / B)) id 2D. Окончательно
имеем fBD) &
Предложение 2.2. Дилатация, допускающая две
различные неподвижные точки, сводится к тожде-
тождественному преобразованию.
Доказательство. Пусть Л, В — две различные не-
неподвижные точки дилатации /. По предложению 2.1
любая прямая, проходящая через А или В, устойчива
при /: каждая точка М плоскости ^, не принадлежа-

2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА 177
щая прямой (АВ), является единственной общей точ-
точкой пары устойчивых прямых (AM), (ВМ), откуда
и следует, что f(M) = М.
Выбрав такую точку М, мы покажем (теми же
рассуждениями), что любая точка, не лежащая на
прямой (AM), неподвижна при отображении /; тем
самым любая точка плоскости &> остается неподвиж-
неподвижной при дилатации f. ?
> Определение 2.2. Пусть $Р—плоскость аффинного
типа. Дилатация без неподвижных точек называется
трансляцией-, дилатация с одной неподвижной точ-
точкой / — гомотетией с центром I. Наконец, тождествен-
тождественное преобразование одновременно рассматривается
как трансляция и как гомотетия с произвольным
центром.
Свойства трансляций
Предложение 2.3. Если т — трансляция, отличная
от Id^, то прямые (Мх(М)), где М пробегает 3>у
параллельны.
Доказательство. Пусть М, Р — две точки SP. Если
бы устойчивые прямые (Мх(М)) и (Рх(Р)) имели
одну общую точку, то она была бы неподвижной при
т, что противоречит предположению. Итак, указанные
прямые параллельны.
Следствие. Если т — трансляция, отличная от
то для любых двух точек М, Р на 3* либо четыре
точки М, Р, х(М), х(Р) коллинеарны, либо (М, х(М),
т(Р), Р)—параллелограмм.
Действительно, (МР)\\(х(М)х(Р)) и (Мт(М))\\
\\(Рх(Р)) (см. рис. 3).
Предложение 2.4. Для любой пары точек (Л, А')
плоскости & существует не более одной трансляции т,
гакой, что х(А) = А'.
Доказательство. При А' = А результат тривиален
(т — тождественное отображение), поэтому предполо-
предположим, что А' ф А, и обозначим через 3) прямую (АА').
Образ М' любой точки МеА2) полностью опре-

178 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
делен условием «(АА'М'М)— параллелограмм». Фик-
Фиксируем такую точку М\ теперь образ Р' каждой точки
Pg^) полностью определен условием «(ММ'Р'Р)—
параллелограмм» (рис. 4). Итак, задание образа
А' = х(А) определяет т. ?
Предложение 2.5. Трансляции плоскости аффин-
аффинного типа 9* образуют группу.
Доказательство. Пусть а, т — две трансляции !? и
ф = т-1оа. Ясно, что ф — дилатация (так как дила-
тации образуют группу). Если ф допускает неподвиж-
м'
т
ную точку Л, то о(А) = т^ф(Л) = т(Л), откуда а
по предложению 2.4 и qp = I(b>. Итак, <р либо не имеет
неподвижных точек, либо совпадает с Id^; в обоих
случаях ф — трансляция. ?
Свойства гомотетий
Если / — гомотетия с центром /, отличная от ^,
то образ произвольной точки М^!Р\{1} принадле-
принадлежит устойчивой прямой (IM) (предложение 2.1). От-
Отсюда выводится
Предложение 2.6. Если /, Л, А' — три коллинеар-
ные точки ^, причем А ф /, А' Ф /, то существует не
более одной гомотетии f с центром /, такой, что
Доказательство. Обозначим прямую (IAA') через
2), и пусть / — гомотетия с центром /, такая, что
f(A) = A'. Заметим прежде всего, что образ W точ-
точки М из &\Й) однозначно определен условиями
«(/, М, М') коллинеарны» и (А'М')\\(АМ). Фиксируем
такую точку М\ образ Р' произвольной точки Р из

3. ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 179
{} определяется условиями Р'е^ и (Р'М')\\
|| (РМ) (см. рис. 5). Значит, гомотетия / един-
единственна. ?
Предложение 2.7. Гомотетии с заданным центром
/ образуют группу.
В самом деле, если f, g — гомотетии с центром /,
то gif~{ — дилатация с неподвижной точкой /.
Рис. 5.j ® а А' Р Р*
3. ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Изучение, проведенное в § 2, побуждает нас за-
заинтересоваться прежде всего теми плоскостями аф-
аффинного типа, на которых группа трансляций дей-
действует транзитивно. Введем
> Определение 3.1. Плоскость аффинного типа 3* на-
называется плоскостью трансляций, если для любой
пары (Л, А') точек 3* существует такая трансляция т,
что т(Л) = А'.
По предложению 2.4 такая трансляция единствен-
единственна-, мы обозначим ее т?.
Покажем, что наложенное требование равносильно
геометрическому свойству, проверяемому по чертежу.
> Теорема 3.1. Для того чтобы плоскость аффинного
типа З9 была плоскостью трансляций, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
> (d) (Малая аффинная аксиома Дезарга.) Если
(ЛВС) и (А'В'С') — два треугольника, таких, что
{АА'), {ВВ') и (СС) — три параллельные и различ-

180 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ные прямые, то из соотношений (А'В')\\(АВ) и
(А'С) II {АС) вытекает (В'С) \\ (ВС).
Иными словами: если (ABB'А') и (АССА')—па-
(АССА')—параллелограммы и точки В, С, В', С не коллинеарны,
то (ВССВ') — параллелограмм.
Доказательство, а) Условие необходимо. Если ?Р —
плоскость трансляций и (АВВ'А')У (АССА') — парал-
параллелограммы на ^, то трансляция % = %* удовлетво-
удовлетворяет соотношениям т(В) = В' и т(С)= С' (следствие
из предложения 2.3). Значит, (В'С7)!! (ВС).
b) Условие достаточно. Пусть плоскость аффин-
аффинного типа 3* удовлетворяет аксиоме (d) и (АУА') —
пара точек <Р. Существование трансляции, для кото-
которой х(А) = А', тривиально, если А = А'\ поэтому по-
положим А' ф А и построим пару точек (В, В') в ^
таких, что (ABB'А') — параллелограмм. Тогда мы по-
получим отображение т плоскости ZP в ^, определив об-
образ АГ = т(Л1) точки М следующими условиями (см.
рис. 6 и 7):
i) если М не принадлежит прямой (АА'), то
(АММ'А')— параллелограмм;
п) если М принадлежит прямой (АА'), то
(ВММ'В')— параллелограмм.
Очевидно, что т есть биекция <р на ^, для которой
т(Л) = Л/, и что т не имеет неподвижных точек. Мы
докажем, что для любой пары (Af, N) точек 0> точки
М' = х (Af), N' = х (N) удовлетворяют условию
(M'N')W(MN).
Первый случай. Ни одна из точек Af, N не принад-
принадлежит прямой (АА'). Тогда (АММ'А') и (ANN'А') —

3. ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
181
параллелограммы (см. рис. 6). Следовательно, если
точки М, М\ N, N' не коллинеарны, то соотношение
(M'Nf) || (MN) вытекает из аксиомы (d).
Второй случай. Обе точки М, N принадлежат пря-
прямой (АА') (см. рис. 7). Тогда и точки М\ N' принад-
принадлежат этой прямой, и результат очевиден.
Третий случай. Точка М принадлежит прямой
(АА')У а точка N не принадлежит ни одной из прямых
(АА')> (ВВ').
По построению, (ВММ'В'), (ВАА'В')У (ANN'A') —
параллелограммы (см. рис. 8). Первое применение ак-
аксиомы (d) показывает, что (BNN'B')—параллело-
Рис. 8
Рис. 9
грамм, повторное применение этой аксиомы показы-
показывает, что и (MNN'M') — параллелограмм, откуда
{M'N')W(MN).
Четвертый случай. Точка М принадлежит прямой
ЛГ), а точка ;V — прямой (ВВ') (см. рис. 9).
Заметим сначала, что плоскость 3* сводится к объ-
объединению прямых {АА') и (ВВ') лишь тогда, когда
она состоит из четырех точек Л, А\ ?, В' (см.
упр. V. 1).
Так как этот случай был рассмотрен отдельно
(предложение 1.5), мы можем предположить, что су-
существует точка Р, не лежащая ни на одной из пря-
прямых (АА'K (ВВ').
Положим Р/ = т(Р); рассмотрение первого слу-
случая показывает, что (NPP'N')—параллелограмм; тре-
третий случай показывает, что (МРР'М') — параллело-
параллелограмм. Применяя аксиому (d), выведем отсюда, что

182 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
(MNN'M') — параллелограмм; таким образом,
\M'N')\\(MN).
В итоге т есть трансляция, для которой т(Л) =
= /г . I—I
> Теорема 3.2. Группа трансляций плоскости транс-
трансляций 3> коммутативна.
Доказательство. Пусть а, т — две трансляции и
А — произвольная точка плоскости ^. Положим
о(А) = В их(В)=С.
а
D Л *¦ 7е
Рис. 10
Рис. И А ~^~ В ~7^ С
a) Если точки Л, S, С не коллинеарны, то точка
D = t(A) определяется условием «(ABCD) есть па-
параллелограмм», и поскольку В = о(А), то C — o(D)
(см. рис. 10), откуда о^т(Л) = o(D) = С = т(В) =
= т^а(Л). Предложение 2.4 показывает, что тогда
(jj> т = х о а.
b) Если точки Л, S, С коллинеарны, выберем
точку Р, не лежащую на прямой (ABC) (см. рис. 11),
и обозначим через ф = т? такую трансляцию, что
ф(В) = Р. В силу доказанного в п. а) трансляции ф
и ф коммутируют сайт (так как, с одной сто-
стороны, точки Л, В, Р и, с другой стороны, точки Р, В,

4. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 18$
С не коллинеарны). Подобным же образом трансля-
трансляции ф о а = т^ и тоф~1 = т^ коммутируют (в силу не-
неколлинеарности точек Л, Р, С). Следовательно,
Т о а = (Т о ф) о (ф о 0) = (ф о 0) о (т о ф) =
= (а о ф) о (ф~1 о т) = 0 о т,
откуда огот = тоово всех случаях.
Заметим, что в случае Ь) используется транзитив-
транзитивность группы трансляций. ?
4. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Отношение эквиполлентности
Определение 4.1. Две (упорядоченные) пары точек
(Л, В) и (С, D) плоскости трансляций 0> называются
эквиполлентными, если (в обозначениях предыдущего
параграфа) ^д== Не-
Неопределенное так отношение очевидным образом
является отношением эквивалентности на 9>2. Классы
эквивалентности называем векторами] вектор, пред-
представляемый парой (Л, В), обозначаем ЛВ. Множество
всех векторов на 3* будет обозначаться ^.
В частности, пары вида (AtA)t где Ле^, обра-
образуют класс эквивалентности, называемый нулевым
вектором и обозначаемый 0 или просто 0.
Если и = АВ — ненулевой вектор, то направление
прямой (АВ) не зависит от выбора представителя
(Л, В) вектора и; действительно, если (С, D) — другой
представитель и, то соотношение т? = т^ влечет
(CD) || (ЛВ). По определению направление ненуле-
ненулевого вектора и= АВ есть направление прямой (АВ);
два ненулевых вектора называются коллш.еарнымщ
если они имеют общее направление.
Геометрическая интерпретация эквиполлентности
Из построения образа точки М при трансляции
т? (предложение 2.4), с изменением обозначений,
выводится следующее правило:

184 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ПрЕдложЕНие 4.1. а) Если А = В, то AB = CD
равносильно C = D.
b) Если Л, Ву С не коллинеарны, то AB = CD
равносильно утверждению «(ABCD) — параллело-
параллелограмм».
c) Если Л, В, С коллинеарны и А Ф Bt то АВ = CD
равносильно существованию таких двух точек ?, Ft
что (ABFE) и (CDFE)—параллелограммы.
Можно было бы непосредственно изучать отноше-
отношение эквиполлентности, приняв это правило за опреде-
определение; симметричность и рефлексивность определен-
определенного таким способом бинарного отношения очевидны.
Однако доказательство транзитивности исходя из ак-
аксиомы (d) (см. § 3) потребовало бы рассуждений,
аналогичных тем, которые встретились в части Ь) до-
доказательства теоремы 3.1.
Трансляции, совмещающие пары точек
Предложение 4.2. Эквиполлентность AB — CD
равносильна эквиполлентности AC = BD.
Доказательство. В принятых обозначениях имеем
тсА = тсвотвА и т?=-т?от?.
*С другой стороны, коммутативность группы тран-
трансляций и соотношение т^ = т? влекут Тд = ^о^ =
— rD 0ТС — TD
Иными словами, из AB — CD следует AC=--BD;
противоположная импликация получается изменением
обозначений.
Следствие. Для существования трансляции, ото-
отображающей пару (Л, В) на пару (С, D), необходимо
и достаточно, чтобы AB = CD.
Аддитивная группа векторов
По определению трансляция хвА зависит только
от вектора и—-АВ\ обозначим ее ти и будем назы-
называть ее трансляцией на вектор и.

4, ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 18S
При таких обозначениях отображение «ь->тц
есть биекция множества векторов ^ плоскости 9> на
группу ?Г трансляций 9>\ эта биекция позволяет пе-
перенести на ^ структуру группы д~. Поскольку эта
группа абелева, мы примем аддитивные обозначения
и введем
Определение 4.2. Суммой и + v двух векторов на-
назовем вектор трансляции хи °Xv = XvjiXu-
Тогда очевидно, что (^, +) есть абелева группа
с нулевым вектором в качестве нейтрального эле-
элемента. С другой стороны, предложение 2.4 и опреде-
определение 3.1 позволяют нам высказать
Предложение 4.3. Для всякой точки А <= & и
всякого вектора и существуют единственная точка В
и единственная точка С, такие, что АВ = и, С А—и.
Иначе говоря, можно произвольно выбрать на-
чальную или конечную точку пары, представляющей
вектор и.
Предложение 4.4. Каковы бы ни были точки Л, Ву
С плоскости 0>, выполняется соотношение Шаля
АС=АВ + ВС.
В частности (если С = Л), вектор В А противоположен
вектору АВ.
В самом деле, по определению 4.2, АВ + ВС есть
вектор трансляции твоТл===тл-
Заметим, наконец, что векторы заданного направ-
направления й образуют подгруппу группы (&>, +)> которую
мы обозначим (d, -j-I), действительно, если и = АВ
и v = АС имеют общее направление d, то точки А,
В, С коллинеарны и вектор v — и = ВС имеет то же
направление, что и и v.
1) При этом предполагается, что нулевой вектор принад*
лежит каждому направлению. — Прим. перев.

186 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
б. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Понятие проектирования немедленно распростра-
распространяется на плоскости аффинного типа: пусть & — та-
такая плоскость, 3)— прямая в !Р и б — направление
прямой, отличное от направления 3). Тогда проекти-
проектирование <р на 3) в направлении б есть отображение
Р%: &-*&> которое каждой точке Мей3 ставит в
соответствие точку пересечения 3) с прямой направ-
направления б, проходящей через М.
Начиная отсюда предполагается, что 3* — пло-
плоскость трансляций. Тогда имеет место
Предложение 5.1. Пусть (А, В) — пара точек ^.
Проекциями пары (Л, В) в направлении б на две па-
параллельные прямые 3), S)' являются две эквиполлент-
ныепары (C,D)9 (CD').
л
Рис. 12
ш
Доказательство. Если С = D, то прямая {АВ)
имеет направление б и С = D'.
Если С ф D, то (CDD'C)— параллелограмм
(рис. 12), откуда и вытекает результат.
Предложение 5.2. Образами при одном и том же
проектировании р двух эквиполлентных пар (Л, В) и
(С, D) являются две эквиполлентные пары (А\ В')
и (C'9D').
Доказательство. Пусть р — проектирование в на-
направлении б на прямую Ю и т — трансляция, пере-
переводящая (Л, В) в (С, D) (см. следствие из пред-
предложения 4.2). Пусть С", D" — проекции С, D в
направлении б на прямую 3)' = %C)) (рис. 13). Тран-

5. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 187
сляция т сохраняет параллелизм и С" = т(А')9 D" =
= т(В')> откуда С"?>" = Л'В'. Далее, предложение
5.1 показывает, что C"I>" — CDf и, следовательно,
А'В' = С7У. ?
В тех же обозначениях из предложений 5.1, 5.2
—> >
следует, что вектор А'В' = р (А) р (В) зависит только
от вектора АВ, направления б проектирования р и
направления d прямой ?)\ мы будем обозначать его
n6d(AB). Таким путем получаем отображение л% из 3*
на подгруппу (d, +)> состоящую из векторов напра-
направления d (см. конец § 4). Более того, если и = АВ и
v = AC — два произвольных вектора, то
= р{А)р (С) -р(А)р (В) = я* (v) - я* (и).
Итак, можно сформулировать
Предложение 5.3. Для любой пары (d, б) различ-
различных направлений прямых существует гомоморфизм n6d
из 9* на группу (d, +) векторов направления d, такой,
что для любой прямой к> направления d и любой
пары (Л, ?)е=^2 выполнено р% (Л) р% (В) = n6d (AB).
Мы называем n6d проектированием SP на d в на-
направлении б. Ядром этого гомоморфизма является,
очевидно, подгруппа (б,+), состоящая из векторов
направления б. Отсюда вытекает
^ Теорема 5.4. Пусть d, d', б — три направления
различных прямых. Тогда ограничение zi6d на (d!y +)
есть изоморфизм {d\ +) на (d, +).
Теорема 5.4 представляет собой «малую теорему
Фалеса». которой при обучении придается нагляд-
наглядность с помощью такого ее следствия:

188 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Следствие. Пусть 3), Ф' — две произвольные пря-
прямые плоскости трансляций 53, б — направление, отлич-
отличное от направлений прямых 3)> 3)\ и р— ограниче-
ограничение на 3) проектирования в направлении б плоскости
<? на прямую 3)'. Если Ль ..., Ап— последователь-
последовательность точек 3), таких, что
то их проекции А\ = Р(А) удовлетворяют равенствам
=ЛЙ= ... =А'п{А'п.
Коротко говорят, что проекция правильного под-
подразделения 3) есть правильное подразделение 3)'.
Из этих результатов мы выведем одно примеча-
примечательное свойство группы векторов плоскости &.
> Предложение 5.5. Пусть 9* — плоскость трансля-
трансляций, (^, +)-—группа ее векторов и п^2 — целое
число.
a) Если существует вектор а Ф О, такой, что
па = 0, то пи = 0 для всякого и^&.
b) Если существует вектор а, такой, что пафО,
то для каждого вектора и найдется единственный век-
вектор vt такой, что nv = и.
Доказательство. Мы можем считать, что и ф 0.
a) Предположим, что па = 0 для некоторого
аФО. Пусть и — вектор, неколлинеарный а; если d —
направление «иб — направление а — «, то я^ (а) = и
(рис. 14), и по предложению 5.3 имеем п^(па) =
= пи = 0.
Если па = 0, а ф 0 и и коллинеарен а, то мы мо-
можем применить предыдущий результат к ненулевому
вектору ft, неколлинеарному а. Тогда nb = 0, откуда
(в силу неколлинеарности и и Ь) пи = 0.
b) Если па ф 0, то а) показывает, что пЬ ф 0 для
любого b Ф0.
При заданном векторе и ф 0 мы можем выбрать
Ъ Ф 0, неколлинеарный и. Если d и б обозначают
соответственно направления и и nb — и, то вектор

5. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 189
v = K6d(b) (рис, 15) удовлетворяет равенству nv =
= nbd (nb) = и.
Наконец, если v, v' — два вектора, для которых
nv = nv' = и, то n{vf— v) = 0 и, значит, и' = v. О
Следствие. Пусть р—наименьшее целое ^1, для
которого можно указать вектор а ф О, такой, что
ра = О (если такое р существует); если такого р нет,
то положим р = 0 (в обоих случаях р назовем харак-
характеристикой Ф).
0 и пи d 0 v и. d
Рис. 14 Рис. 15
a) Если р ФО> то р — простое число.
b) В любом случае, если целое п ^ 1 не является
->
кратным р и «б^1 — произвольный вектор, то суще-
существует вектор v, такой, что nv = и.
Доказательство, а) Если р Ф 0 и не является про-
простым, то можно положить р = mn, где 1 < m < p и
1 < п < р. Тогда при ма Ф 0 (а ^= 0) соотношение
т(па) = тпа = 0 противоречит определению р.
Ь) Если р ф 0 и целое n ^ 1 не является кратным
р, то, разделив п на р, получим п = pq -\- г, где 0<
< г < р и, следовательно, па = га ф 0, что позво-
позволяет применить предложение 5.5. При р = 0 резуль-
результат получается немедленно. ?
Отсюда вытекает, что 3* допускает структуру век-
векторного пространства над Q, если р ф 0, и структуру
векторного пространства nadZp, если р Ф 0.
Эти результаты показывают, что аддитивная груп-
группа ^ не является произвольной. Более глубокое иссле-
исследование показывает, что на каждой подгруппе (d, +)

190 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
можно определить закон умножения, дистрибутивный
справа, который превращает ее в «почти-тело»1)
(см., например, [PI] или [ST]). Лишь аксиома Де-
зарга (см. § 6) позволит нам определить на каждой
подгруппе (d, +) структуру тела, а на ^ структуру
векторного пространства,
6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
Определение 6.1. Плоскость аффинного типа на-
называется дезарговой, если выполняется следующая
аксиома:
> (D) (Большая аффинная аксиома Дезарга.) Пусть
(ЛВС) и (А'В'С) — два таких треугольника, что пря-
прямые (АА'), (ВВ') и (СС) различны и пересекаются
в одной точке; тогда соотношения (ArB')\\ (AB) и
(Л'С')И(ЛС) влекут (В'С) II (ВС).
Мы покажем, что всякая дезаргова плоскость яв-
является плоскостью трансляций. Для этого нужно до-
доказать, что из аксиомы (D) следует аксиома (d) из
теоремы 3.1. Предварительно покажем, что из аксио-
аксиомы (D) вытекает обратное утверждение, а именно
Предложение 6.1. Пусть (ABC) и (А'В'С) — два
треугольника дезарговой плоскости, такие, что пря-
прямые (АА'), (ВВ') и (СС) различны и удовлетворяют
условиям (А'В')\\(АВ), (А'С')ЦАС) и (В'С) || (ВС).
Тогда прямые (АА'), (ВВ') и (СС) пересекаются в
одной точке или параллельны.
Доказательство. Если прямые (АА'), (ВВ') и
(СС) не параллельны, то две из них, для определен-
определенности (АА') и (ВВ'), имеют общую точку О; чтобы
доказать, что и (СС) проходит через О, допустим
противное. Прямая (ОС) не может быть параллель-
параллельной одновременно прямым (А'С) и (В'С); предпо-
предположим для определенности, что она пересекает пря-
прямую (А'С) в точке С" (рис. 16). Применив свойство
*) В советской литературе более принят термин «система
Веблена — Веддерберна». — прим. перев.

6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
191
ID) к треугольникам (ABC) и (А'В'С), мы увидим,
что соотношения (А'В')\\(АВ) и (А'С")\\(АС) влекут
(В'С")\\(ВС)9 и поскольку (В'С')\\(ВС), точки В\
С', С" коллинеарны. Так как точки Л', С\ С" тоже
коллинеарны, то С" = С\ откуда и следует коллине-
коллинеарность О, С, С. О
Теперь мы можем доказать, что из аксиомы (D)
вытекает аксиома (d).
Рис. 17
Предложение 6.2. Пусть (ABC) и (А'В'С') — два
треугольника на дезарговой плоскости, такие, что пря-
прямые (АА'), (ВВ') и (СС) различны и параллельны.
Тогда из условий (А'В')ЦАВ) и (А'С)\\(АС) выте-
вытекает и (В'С')ЦВС).
Доказательство, Если бы прямые (В'С) и (ВС)
не были параллельными, то проходящая через С па-
параллель к (ВС) пересекала бы прямую (А'В') в не-
некоторой точке В", отличной от В' (рис. 17), а пря-
прямая (ВВ") пересекла бы прямую (ААГ) в некоторой
точке О. По предложению 6.1 соотношения

ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
(А'В")\\(АВ), (А'С')\\(АС) и {В"С) \\ (ВС) привели
бы к пересечению прямых (АА'), (ВВ') и {СС) в
точке О, что противоречит предположению ЛЛ'||
II (СС). ?
^ Следствие. Любая дезаргова плоскость есть пло-
плоскость трансляций.
Это утверждение можно также установить, при-
применяя гомотетии (см. упр V. 3).
Существование гомотетий
По изложенному выше аксиома (D) ведет к суще-
существованию транзитивной группы трансляций; мы уви-
увидим, что она влечет и существование гомотетий с за-
заданным центром.
^ Теорема 6.3. Пусть ^ — дезаргова плоскость. Для
любой тройки коллинеарных точек (О, А, А'), такой,
что А Ф О и А' ф О, существует единственная гомоте-
гомотетия h с центром О, такая, что h(A) = A'.
Доказательство, Единственность уже была уста-
установлена (предложение 2.6). Для доказательства су-
существования h выполним конструкцию, аналогичную
той, которую мы провели для трансляции %% (теорема
3.1).
Ввиду тривиальности случая А = А' предположим,
что А' ф Л, и обозначим через 3) прямую (ОАА').
Выберем точку В е $Р\3) и обозначим через В' точку
пересечения прямой (ОВ) с проведенной через А' па-
параллелью к (АВ). Определим теперь отображение h
плоскости & в 9 следующими условиями:
i) h(O) = O;
ii) если Mg^\2), то точка М' = h(M) колли-
неарна с О и М и {А'М') \\ (AM) (рис. 18);
111) если Mg2)\{0), to M' = h(M) коллинеарна
с О и М и (В*М')ЦВМ) (рис. 19).
Очевидно, что h есть биекция 3> на ^, имеющая
единственную неподвижную точку О. Для того чтобы
доказать, что h — гомотетия, достаточно проверить,
что для любой пары точек (М, N) из д°\{0} точки

6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ 193
ЛГ = h (М) и N' = h (N) удовлетворяют условию
(M'N')W(MN).
Первый случай. Ни одна из точек М, N не принад-
принадлежит прямой 3) = {АА') (рис. 18).
В этом случае из (А'М')ЦАМ) и (A'N')W(AN),
применяя (D), получим (M'N')W(MN).
Второй случай. Обе точки М, N принадлежат пря-
прямой ЯЬ\ тогда прямые (MN) и (M'N') совпадают.
Третий случай. Точка М лежит на прямой 2) =
= (АА'), а точка N не лежит ни на какой из прямых
{АА'), (ВВ') (см. рис. 19).
О А А' Я)
Рис. 18 Рис. 19
Первое применение аксиомы (D) дает (В'ЛГ)Ц
\\(BN), и поскольку (В'М') || (ВМ) по построению, по-
повторное применение (D) дает (M'N') II (MN).
Четвертый случай. Точка М лежит на прямой
(АА'), а точка N на прямой (ВВ') (построение ри-
рисунка предоставляется читателю).
Так как плоскость <р не может сводиться к объ-
объединению пары пересекающихся прямых (АА'), (ВВ')
(см. упр. V. 2), то в 9* найдется точка Р, не принад-
принадлежащая ни одной из этих прямых. Положим Р' =
= Л(Р). Обращаясь к первому случаю, найдем, что
(N'P')W(NP). Согласно третьему случаю, (М'Р')\\
\\(МР). Отсюда (MfN')\\(MN) получается новым при-
применением аксиомы (D). П
Отметим строгую аналогию этого рассмотрения
с частью Ь) доказательства теоремы 3.1.
7 Ж. Лелон-Ферран

194 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Для полноты этой аналогии с теоремой 3.1 можно
без труда установить такое обращение теоремы 6.3:
Пусть ЗР — плоскость аффинного типа, такая, что
для любой тройки (О, Ау А') различных коллинеарных
точек существует гомотетия h с центром О, такая, что
h(A) = А'. Тогда плоскость 3> дезаргова.
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА, АССОЦИИРОВАННОГО
С ДЕЗАРГОВОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Векторные гомотетии
Поскольку гомотетии плоскости аффинного типа
сохраняют параллелизм, они переводят любой парал-
параллелограмм снова в параллелограмм. Отсюда легко
выводится
Предложение 7.1. В плоскости трансляций образы
при гомотетии А двух эквиполлентных пар (Л, В) и
(С, D) — также эквиполлентные пары.
Следствие. С каждой гомотетией А плоскости
трансляций 0* ассоциируется отображение А из ^
в ^, для которого
(V (Л, В) €= &2) А (Л) А (В) =t(AB).
->
Мы называем h векторной гомотетией и векторной
частью h (слово «линейной» не имело бы в данный
момент смысла).
Предложение 7.2. Если h — гомотетия плоскости
трансляций ^, то ее векторная часть есть биекция 9*
на ^, для которой h(—u) = — h(u) и
(V(и, v) €= Й h(u + v) =h(u) + h{v). A)
С другой стороны, если Аь А2 — две гомотетии
с общим центром, то векторная часть А2°А! есть
А2 о Aj.

7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА 195
Наконец, если h — гомотетия с центром О их —
трансляция, то %°h&%-1 — гомотетия с центром т(О)
и с той же векторной частью, что и h.
Доказательство, а) Если h = гомотетия с центром О,
-> -> -> —> >¦
то h — отображение $Р —> ^, СШ *—* Oh (уИ), очевидным
образом биективное.
Если и = ОА и v — OB — два элемента ^, то
ft (V - и) = А (АВ) = h (Л) h (В) = Oh (В) - Oh (A)
ИЛИ
откуда следуют равенства h(—u) — — h(u) и A).
Ь) Если h = h2°h\ — композиция двух гомотетий
с центром О, то для любой пары (Л, В) точек &
h (A) h (В) = h2 (A{) h2 (SO, где Ах = Лх (Л), St = hx (В),
или
->
ft (Л) /г (В) = /г2 {А{В{) = /г2 о /г, (ЛВ),
что и требовалось установить.
с) Если h — гомотетия с центром О и т — трансля-
трансляция, то hr = т о h^xrx — дилатация, допускающая не-
неподвижную точку т(О), и, следовательно, гомотетия
с центром т(О); соотношение hr = А следует из того,
что для любой пары (Л, В) точек 9* имеем т (Л) т (В) =
= АВ. ?
Следствие. Векторные гомотетии образуют группу Я
биекций ^; если Яо обозначает группу гомотетий
с заданным центром О, то отображение Н0->Н>
h*—>h есть изоморфизм групп.
Предложение 7.3. Для каждого вектора и ф 0 и
->
любой гомотетии Я множества 3* вектор К (и) колли-
неарен и.
7*

196 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Обратно, если ut v — два ненулевых коллинеарных
вектора на дезарговой плоскости 3>, то существует
единственная векторная гомотетия X множества ^,
такая, что Х(и) = v.
Доказательство. В силу вышеизложенного дело
сводится к известным свойствам гомотетий с данным
центром О (предложение 2.1 и теорема 6.3). ?
Полученные свойства позволят нам определить
при условии дезарговости 9) векторную структуру
на 9>.
> Обозначения и определения. Обозначим через 9*
дезаргову плоскость, через со — нулевое отображение
->
9* (ставящее в соответствие каждому вектору и ну-
нулевой вектор) и положим /e=//(J{co}, где Н по-
прежнему обозначает группу векторных гомотетий 9*.
Определим произведение Х\х двух элементов X, [\
из К как их композицию Х^ |х, что влечет Хсо = соЯ =
= со для всех X е К.
С другой стороны, образом вектора и при дей-
действии элемента X е К назовем произведение вектора
и на X, обозначаемое просто Хи\ тем самым для всех
ош = 0 и (V(A,f \i)z=K2) X(\iu) = (X\i)u. B)
Структура аддитивной группы на К
Предложение 7.4. Если Я, и — элементы К, то
отображение v: 55->55, ut—>\i(u) — X(u) есть эле-
элемент К, который мы обозначим \х — Я.
Доказательство. Для фиксированной точки О в &
обозначим через f отображение ^в^, заданное усло-
условием
(VAf e= 3>) Of(M) = \хОМ — ХОМ.
Тогда точки О, Ми f(M) коллинеарны; для любой
лары (Л1, N) различных точек
f(M)f(N) = ixMN - XMN. C)

7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА 197
Если X = |л, то v = со и результат тривиален. Если
X =т^ (я, то соотношение C) показывает, что / инъек-
тивно (см. предложение 7.3) и прямая (f(M)f(N))
параллельна прямой (MN). Обозначая через А неко-
некоторую точку в !?\{О} и полагая А' = f(A), мы легко
получаем, что / совпадает с гомотетией h с цент-
центром О, удовлетворяющей условию h(A) = A', хотя
мы и не предполагали заранее сюръективности f
(см. построение h в доказательстве теоремы 6.1).
Итак, f— гомотетия и v = /. ?
В частности, если \i = со, отображение —X: и>—>
+—>—Хи есть элемент К и можно определить сумму
двух элементов X-{-\i из К как Х-{-^ = Х— (—ji);
тогда
(Vm <= ^) (Я + |х) и = Ал + |ш. D)
->
Из того что ^—абелева группа, легко вывести,
что (/С, +) есть абелева группа с нейтральным эле-
элементом со.
Структура тела на К
Мы уже знаем, что (/(,+)—абелева группа и
Я = /С\{со} — группа по отношению к композиции ото-
отображений. Для того чтобы доказать, что (/(,+, °) —
тело, достаточно обосновать распределительные за-
законы:
Предложение 7.5. Для любых элементов К ji, vg
<е /( выполняются равенства
<А, + I*) v = a,v + |xv E) и v(A, + ^) = v^ + v^x. F)
->
Доказательство. Для любого и^?Р по опреде-
определению суммы Х + \i имеем
= X о V (и) -\- \Х о VU = XVU + \XVU,
т. е. выполнено E). Точно так же, если v ф со, то,
применяя A) при ft = v, имеем
= V о Л (п) + V о JA (и) =

198 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
т. е. выполнено F). При v = со результат тривиа-
тривиален. D
Теперь может быть сформулирована
^ Теорема 7.6. Пусть 3> — дезаргова плоскость аф-
аффинного типа, Н — группа векторных гомотетий и
К = Н U {со}, где со — нулевое отображение 0*. Тогда
a) если сложение в К определено формулой D),
то (/(, +, °) есть тело с нулевым элементом со;
-> ->
b) внешнее умножение КУ^З*->5Р, (X, и)*—> Х(и)
->
определяет на группе {$Р, +) структуру векторного
пространства над К размерности 2.
Доказательство. Утверждение а) вытекает из пре-
->
дыдущего. Соотношения B) и D) показывают, что &
есть векторное npocfpaHCTBO над /С. Наконец, легко
видеть, что если w, и — два неколлинеарных вектора,
то всякий вектор w из !? единственным образом раз-
разлагается в сумму некоторого вектора х, коллине^уу-
ного w, и вектора у, коллинеарного v. Тогда предло-
предложение 7.3 показывает, что найдется единственная
пара (A,, jli) е К X К, такая, что х = %и и у = \xv, от-
откуда вытекает единственность разложения w = Хи +
¦+- [iv. Этим устанавливается, что размерность <р рав-
равна 2. D
> Следствие. Всякая дезаргова плоскость аффинного
типа 9* допускает структуру аффинной плоскости над
ассоциированным телом Я.
Доказательство. Прежде всего группа (^, +) Дей-
Действует на д> с помощью трансляций ти просто транзи-
тивно (см. § 3). С другой стороны, если Л, А' — две
различные точки какой-либо прямой S) в 53, то пре-
предыдущее исследование показывает, что 3) есть множе-
множество точек М, таких, что AM = ХАА\ где X пробегает
К. Таким образом, «прямые» 3* совпадают с прямы-
прямыми аффинной структуры, определенной на д> дей-
действием д>.

7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА 199
> В заключение приведем формулировку в краткой
форме: для того чтобы плоскость аффинного типа
была аффинной плоскостью, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы она удовлетворяла аффинной аксиоме Де-
зарга (D).
В самом деле, необходимость условия нам изве-
известна.
Возврат к проективному случаю
Из полученных результатов легко выводится
> Теорема 7.7. Для того чтобы плоскость проектив-
проективного типа была проективным пространством размер-
размерности 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась
следующая аксиома:
(ДР) (Проективная аксиома Дезарга.) Если
(ABC) и (А'В?С) — такие два треугольника, что пря-
прямые (ЛЛ'), (ВВ') и (СС) различны и имеют общую
точку О, то точки Р = (ВС)П(В'С'), Q = (СЛ)П(СМ')
и R = (АВ)(](А/В/) коллинеарны.
Доказательство. Мы знаем, что условие необходи-
необходимо (теорема IV. 10.1); обратно, если условие выпол-
выполнено и А — какая-нибудь прямая в П, то множество
П\А обладает структурой плоскости аффинного типа,
удовлетворяющей аксиомам (d) и (D). Следователь-
Следовательно, П\А есть аффинная плоскость и П — проектив-
проективная плоскость.
Замечания. 1) В действительности достаточно, что-
чтобы П\А удовлетворяла аксиоме (D), что приводит
лишь к предположению, что свойство (DP) выпол-
выполнено, если точки Q, R принадлежат заданной прямой
А, а точка О ей не принадлежит.
2) Для того чтобы плоскость П\А была пло-
плоскостью трансляций, достаточно предположить спра-
справедливость (DP) лишь при условии, что точка О
принадлежит прямой (QR). Плоскости проективного
типа, удовлетворяющие этому ослабленному предпо-
предположению (называемому малой проективной аксиомой
Дезарга), изучала Р. Муфанг. Они называются «аль-
«альтернативными плоскостями» в связи с природой ал-

200 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
гебраической структуры, которую они индуцируют
(см. [PI], [ST]).
Напомним, наконец, что свойство Фано (см. пред-
предложение IV. 7.3) позволяет выяснить, будет ли тело,
ассоциированное с дезарговой плоскостью, характе-
характеристики 2 или нет.
8. ПЛОСКОСТЬ ПАППА—ПАСКАЛЯ
> Определение 8.1. Плоскость 3> аффинного типа
называется папповой (или паскалевой), если она
удовлетворяет следующей аксиоме:
(РА) (Аффинная аксиома Паппа.) Если (Л, В, С)
и (А\В\С) — две различные тройки коллинеарных
точек, то соотношения (AB')W(BA') и (AC')W(CA')
влекут (BC')W(CB').
По предыдущему исследованию и теореме IV. 11.1
мы знаем, что всякая плоскость аффинного типа,
удовлетворяющая аксиоме Дезарга (D) и аксиоме
Паппа (РА), есть аффинная плоскость над коммута-
коммутативным телом (т. е. полем). В действительности, как
мы увидим далее, аксиома (РА) влечет и аксио-
аксиому (D).
> Теорема 8.1 (Гессенберга). Каждая паппова пло-
плоскость является дезарговой (а значит, и плоскостью
трансляций).
Доказательство. Предположим, что плоскость 0*
удовлетворяет аксиоме (РА), и пусть (ЛВС),
(АВ'С) — —два таких треугольника, что прямые
(AAf), (BBf), (СС) различны и пересекаются в точ-
точке О; предположим, кроме того, что (А'В') || (АВ) и
(Л'С) II (ЛС).
Обозначим через 2) прямую, проведенную че-
через О параллельно (АС), и через D — точку 3) (](АВ)
(см. рис. 20). Поскольку прямая (B'D) пересекает 2),
она также пересекает и прямую (А'С') в некоторой
точке Е. Применим свойство (РА) к тройкам
(Д Е, В'), (Л', О, А)\ очевидные соотношения (DO) \\
ЦЕА'), (DA)W(B'A') повлекут (?Л)||(В'О). Отсюда

8. ПЛОСКОСТЬ ПАППА - ПАСКАЛЯ
201
следует, что прямая (ЕА) пересекает прямую (ОС)
в некоторой точке F и что (FA)\\(OB).
Применяя свойство (РА) к тройкам (О, С, F) и
(Л, Д В), мы видим, что из условий (OD)\\(CA)y
(OB)\\(FA) вытекает (CB)\\(FD). Наконец, приме-
применив свойство (РА) к тройкам (О, С, F) и (?, Д В')у
получим, что соотношения (OD)W(C'E), (OB')W(EF)
влекут (C'B')W(FD) и, значит, (С'В')\\(СВ). Это и
доказывает, что на <р выполняется аксиома (D). ?
Рис. 20
> Следствие. Для того чтобы плоскость аффинного
типа была аффинной плоскостью над полем, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла аффин-
аффинной аксиоме Паппа (РА).
Возврат к проективному случаю
Из полученных результатов немедленно выводится
> Теорема 8.2. Для того чтобы плоскость П проек-
проективного типа была проективным пространством раз-
размерности 2 над полем, необходимо и достаточно, что-
чтобы она удовлетворяла следующей аксиоме:
(РР) (Проективная аксиома Паппа.) Если
(Л, Ву С) и (А\ В\ С) — две тройки различных колли-

202 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
неарных точек, то точки Р = (J5C/)f|(Ci5/), Q =
= (СА')(](АС) и R = (AB')[\(BA') коллинеарны.
Отметим простоту аксиом, лежащих в основании
плоской проективной геометрии.
Перейдем теперь к изучению аксиом, на которых
основана плоская аффинная геометрия над полем
действительных чисел (§ 9 и 10). Отправляясь от
некоторой плоскости трансляций, мы введем аксио-
аксиомы порядка и воспользуемся аксиоматическими ха-
рактеризациями R, установленными в гл. I. Аксиомы
Дезарга и Паппа появятся в этом случае как след-
следствия аксиом порядка.
9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ,
АРХИМЕДОВЫ ПЛОСКОСТИ
> Определение 9.1. Плоскость аффинного типа <? на-
называется упорядоченной, если на каждой ее прямой
установлены два взаимно обратных отношения линей-
линейного порядка (позволяющие определить отрезки пря-
прямой) так, что выполняется следующая аксиома:
> (О) (Аксиома Паша.) Если Л, В, С — три неколли-
неарные точки, то любая прямая, пересекающая один
из отрезков [АВ], [ВС], [СА], пересекает и второй.
Эта аксиома равносильна следующему свойству,
позволяющему определить полуплоскости, ограничен-
ограниченные прямой 3)\
> (О7) Для каждой прямой SD плоскости $? опреде-
определено отношение эквивалентности на &*\3) условием:
АЯВ, если отрезок [АВ] не пересекается с прямой 2).
Действительно, определенные так отношения сим-
симметричны и рефлексивны, а их транзитивность равно-
равносильна обратному к противоположному для утверж-
утверждения (О):
«Если отрезки [АВ] и [ВС] не пересекаются с
прямой SD, то с ней не пересекается и отрезок [ЛС]».
Будем говорить, что прямая ориентирована, если
на ней выбрано одно из двух взаимно обратных отно-
отношений порядка.

9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ, АРХИМЕДОВЫ ПЛОСКОСТИ 203
Теорема 9.1. Если 3> — упорядоченная плоскость
аффинного типа, то проектирование ориентированной
прямой 3) на ориентированную прямую 3)' в направ-
направлении б монотонно.
Доказательство. Пусть Л, В, С—три точки на 2D,
такие, что В лежит между Л и С, т. е. принадлежит
отрезку [АС], и пусть А', В\ С — их проекции на Ф'
(рис. 21). Тогда прямая (ВВ') пересекает сторону
&' А' В'
Рис. 21
р(А) Я' р(В)
Ф А т(А) В т(В)
Рис. 22
[АС] треугольника (АСС')У и так как она параллель-
параллельна его стороне [СС']\ то она пересекает третью сто-
сторону этого треугольника [ЛС]. Аналогично, посколь-
поскольку прямая (ВВ') параллельна стороне [АА'\ тре-
треугольника (АА'С) и пересекает его сторону 1ЛС'],
она пересекает и сторону [Л7С7] того же треугольни-
треугольника. Этим доказано, что проектирование сохраняет от-
отношение «лежать между». Итак, проектирование р
есть монотонное отображение, каковы бы ни были
выбранные ориентации прямых 2) и 2)' (случай,
когда.рB)) сводится к одной точке, тривиален), ?

204 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Упорядоченные плоскости трансляций
Предложение 9.2. Если ^ — упорядоченная пло-
плоскость трансляций, то трансляции любой ориентиро-
ориентированной прямой являются возрастающими отображе-
отображениями.
Доказательство. Пусть 3)— ориентированная пря-
прямая в $Р и т — ограничение на 3) трансляции на век-
вектор и параллельно 3), сохраняющей 3)\ можно счи-
считать, что и Ф 0.
a) Покажем сначала, что т монотонно. Для этого
выберем прямую 3)' у параллельную 3) C)' Ф ЗУ), и
проектирование р прямой 3) на ЗУ в произвольном
направлении 6, Тогда направление 6' прямой
(х{А)р{А)) не зависит от выбора точки Л на 3)
(см. рис. 22), так как для любой пары (Л, В) то-
точек 3) имеем р(А)р(В) = АВ = т(Л)т(В), и потому
(т(В)р(В))\\ (х(А)р(В)). Обозначая через р' проекти-
проектирование 3)' в направлении б' на 3), получим т^-р'ор,
и поскольку р и р' монотонны при любой ориен-
ориентации 3)\ то т монотонно и даже строго монотонно
в силу биективности.
b) Поскольку т строго монотонно, то так же об-
обстоит дело и с трансляцией %п на вектор пи при лю-
любом целом п ^ 1. Следовательно, пи ф 0 при п ^ 1
и, в частности, 2и ф 0. По исследованию, проведенно-
проведенному в § 5, отсюда следует существование вектора vy
для которого и = 2v. Трансляция на вектор v сохра-
сохраняет 3), а ее ограничение на 3) является строго мо-
монотонной биекцией а, такой, что т = о°о. Отсюда
следует строгое возрастание т. ?
Следствие. Две эквиполлентные пары точек (Л, В),
(Л', В') на одной и той же ориентированной прямой
3) находятся в одинаковом отношении порядка.
В самом деле, существует такая трансляция т, что
Л/ = т(Л) и В' = %(В). а
Эти результаты позволят нам упорядочить группу
(d, +) векторов & с заданным направлением d. Но
для большей наглядности мы используем пунктиро-
пунктированные прямые в направлении d: пунктированной пря-

9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ, АРХИМЕДОВЫ ПЛОСКОСТИ 205
мой 2)о называется прямая 2), на которой выбрана
некоторая начальная точка (начало) О. Если Мг
N — две точки на 2H, то мы определим точку Р =
= М + N равенством OP = OM + ON. Тогда ?D0
превратится в группу, изоморфную группе (d, +) век-
векторов того же направления d> что и 2).
Предложение 9.3. В упорядоченной плоскости
трансляций каждая пунктированная и ориентирован-
ориентированная прямая ??>о является упорядоченной абелевой
группой. Более того, если 3)'о> — Другая пунктирован-
пунктированная и ориентированная прямая и р — проектирование
3) на 3)\ такое, что р{0) = О\ то р есть монотонный
гомоморфизм групп.
Доказательство. Пусть Л, 5, С — три точки пря-
прямой &>0, такие, что В > А, и Аг = А + С, В' = В + С —
точки прямой SD, определенные условиями АА' =
= ВВ' = ОС. Тогда AS = ЙЪ' и, по предложению 9.2,
Вг >> Лг. Итак, S)o в самом деле есть упорядоченная
группа. Второе утверждение вытекает из теорем 9.1
и 5.4. D
Архимедовы плоскости
> Определение 9.2. Упорядоченная плоскость транс-
трансляций называется архимедовой, если каждая ее пунк-
пунктированная и ориентированная прямая является ар-
архимедовой группой (см. § 1.5).
Предложение 9.4. Для того чтобы упорядоченная
плоскость трансляций была архимедовой, достаточно^
чтобы на ней существовала пунктированная и ориен-
ориентированная прямая ?Do, составляющая архимедову
группу.
Доказательство. Если пунктированная прямая 3)о
архимедова по отношению к одному из своих упоря-
упорядочений, то же самое имеет место и для второго упо-
упорядочения; она останется архимедовой и при выборе
нового начала О', так как трансляция т—^: 2D0->2bQ>

206 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
является строго монотонным гомоморфизмом. Нако-
Наконец, если 3)'а —- другая пунктированная ориентиро-
ориентированная прямая, то можно свести дело к случаю, ког-
когда 0ф.ЗЬ', O'^?D\ тогда проектирование р в на-
направлении @0') прямой 3H на 3)'о, будет строго
монотонным гомоморфизмом по предложению 9.3.
Отсюда следует, что ®'о,— также архимедова группа.
Применением следствия из теоремы 1.5.2 немед-
немедленно получается
Предложение 9.5. Пусть SD0 — пунктированная
ориентированная прямая архимедовой плоскости.
Тогда для каждой точки /1g®\{0) существует
единственный монотонный гомоморфизм во группы 2Do
в (R, +), такой, что 9о(Л)=1.
В этом случае действительное число Во(М) назы-
называется абсциссой точки М в репере (О, А) прямой 2D\
эта абсцисса обозначается ОМ, если точка А фикси-
фиксирована.
Отметим, что гомоморфизм 9$ не зависит от
ориентации 3), и напомним., что он строго монотонен;
если 3) ориентирована так, что А >> 0, то он строго
возрастает.
> Теорема 9.6 (Сильная теорема Фалеса.) Пусть 3),
iZ/ —прямые, пересекающиеся в О, А — точка на
3) \ {0} и А' — точка на 2Df \ {О}. В принятых выше
обозначениях соотношение Во(М) — Во W) (где Ме2)
и М' <=&') равносильно {ММ')\\{АА').
Другими словами, если 3), SD' отнесены к реперам
(О, Л), (О, А'), то проектирование р прямой 3) на
3bf в направлении (АА') сохраняет абсциссы.
Доказательство. Отображение / = 9о °р есть моно-
монотонный гомоморфизм SD0 в R, для которого /(Л)= 1,
он равен 9$. В силу инъектив
Во равенство Во {М') — Во (М) F
и к тому же (ММ')Ц(АА'). D
и потому он равен Во. В силу инъективности гомо-
гомоморфизма Во равенство Во (М') — Во (М) равносильно

10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 207
10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА
АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Образ пунктированной прямой 2H при одном из
гомоморфизмов 6о является, очевидно, подгруппой
(R, +). Мы увидим, что эта подгруппа в действитель-
действительности является подполем поля R (предложение 10.1)
и не зависит ни от выбора 3)о, ни от точки А (пред-
(предложение 10.2).
Прежде всего, чтобы доказать, что до {&) — под-
подполе поля R, достаточно установить, что частное двух
его элементов ему принадлежит; это и утверждается
в следующем предложении.
^ I /, X X сту
Рис. 23 л В С А В
Предложение 10.1. Пусть 3)о — пунктированная
прямая архимедовой плоскости. Каковы бы ни были
точки Л, Ву С из 2D \ {О}, найдется точка Dg2)\ {О},
такая, что 6о (D) = Во (СЩо (В).
Доказательство. При фиксированных на Сточках А,
В отображение /: 2) -> R, М ь-> Qo (M)/Qo (В) есть моно-
монотонный гомоморфизм 3)о в (R, +), такой, что / (fl) = 1,
и потому равный 0о. Значит, нам следует построить
такую точку D, что б? (D) = Qo (Q.
Для этого проведем через О отличную от 2D пря-
прямую ЗУ и выберем точку В' на ЗУ \ {О} (рис. 23).
Построим на 2)' точку С, такую, что {СС')\\{ВВ)У
и на 3) точку Д такую, что {CD) || (В'А). Обозначив
через 6о гомоморфизм 3>о в (R, +), для которого
до(В')=1, и применив теорему Фалеса 9.6, получим

208 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
воф) = 9о/(С/) = 8о(С). Следовательно, Z) — искомая
точка. ?
Если обозначить абсциссу точки М на 3) в репере
(О, А) этой прямой просто как ОМ, то точка Z) опре-
OD ОА
делится из равенства -= =¦=-.
^ ос ов
Итак, мы выполнили построение «четвертой про-
пропорциональной».
Предложение 10.2. При вышеуказанных обозна-
обозначениях подполе во (ЗУ) не вависит ни от выбора ЗУУ
ни от репера (О, А) на 3).
Доказательство. Пусть 3)> ЗУ — прямые в 9* (не-
(необязательно различные), снабженные соответственно
реперами (ОУА), (О', Л'), и пусть р— проектирова-
проектирование 3)' на 2) в произвольном направлении (равное
тождественному отображению при ЗУ' = ЗУ). Обо-
Обозначим через 8 = 6о гомоморфизм 3H в R, удовле-
удовлетворяющий условию 6(Л)=1, и пусть 6'— отобра-
отображение 3)' в R, определенное условием
УМ
Можно проверить, что 8Г — монотонный гомомор-
гомоморфизм 3K в R, для которого 6'(Л') = 1, и потому
он равен 8о'*, соотношение A) показывает, что 8' (М)
принимает значения в поле 6$ (ЗУ). Таким образом,
имеет место включение Qa C)') cz Qo (ЗУ). Меняя
ролями 3) и 3)\ получим требуемое равенство. ?
Если 3)' — ?D и /?==И^, то, как показывает фор-
формула A), при изменении репера на прямой ЗУ абс-
абсциссы подвергаются аффинному преобразованию.
Обозначив через /О подполе в R, образованное
абсциссами точек какой-либо пунктированной прямой,
мы сможем установить
Предложение 10.3. Если 9* — упорядоченная ар-
архимедова плоскость трансляций, то аддитивная труп-

10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 209
па ее векторов допускает структуру векторного про-
пространства размерности 2 над полем /О.
Доказательство, а) Поскольку сложение векторов
уже определено и изучено (см. § 4), мы определим
произведение Ки ненулевого вектора и = ОА на эле-
элемент А, из /О как такой вектор ОВУ что точки О,
Л, В коллинеарны и во(В) = Х. Используя свойства
проектирований, легко показать, что это определение
не зависит от выбора точки О (если поместить новое
начало в точку О', то точки Л, В подвергнутся транс-
трансляции на вектор 00'\ см. рис. 24).
Положим А,. 0 = 0 для всех А,е/О>.
Ь) Фиксируем вектор и —О А и покажем, что для
любых (А,, ц) е К& X К& выполняется
(X + \i)u = Ки + \хи B) и \х (Хи) = (jiA,) гг. C)
Можно считать, что и Ф 0; при гг = ОЛ обозначим
через 0 прямую (ОА) и пусть точки fi, С, D прямой S)
таковы, что
Поскольку &о есть гомоморфизм пунктированной пря-
прямой ^o_MR, +), то e3(D) = e?(fi) + e3(C) = ^ + jx,
откуда OD = (А, + !¦*) ^, т. е. выполнено B).
Чтобы установить C), мы можем положить ХфО
и, значит, В Ф 0. По одному замечанию, уже сде-
сделанному при доказательстве предложения 10.1, теперь

210 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
для любой точки М прямой &) имеем &о (M) =
= во (В) во (М) = Хво (Af), откуда, если ОМ = \iOB,
получаем Во (М) = Х\х = \хХ и ОМ = ji (А,0 Л) = (jiA,) ОЛ;
это и есть требуемое равенство C).
с) Фиксируем элемент X е /О и покажем, что для
любых векторов и, v имеет место Х(и + v) = %и + Xv.
Можно считать векторы и, v ненулевыми; будем
различать два случая.
Первый случай. Векторы и, v коллинеарны. Тогда
можно положить v = kuy где k e К&- Применяя B) и
C), получим
Ku + lv = lu + Xku =,{X + Xk)u = X [A +k)u] =
= X (и + ku) = X {и + v).
Второй случай. Векторы иу v не коллинеарны
Положив и = ОА, v = OB, u + v = OC и аналогично
Ки = ОА\ Xv = OB'y k(u + v)=~OC', по теореме 9.6
получим (А'С)НАС) и (В'С')ЦВС) (см. рис. 25),
Поскольку (ОАСВ) — параллелограмм, то и (ОАС'В')—
параллелограмм, откуда ОС = ОА' -\-ОВ', т. е.
d) Наконец, легко видеть, что при ненулевых и
неколлинеарных векторах и, v любой вектор w един-
единственным образом разлагается как w = Хи + \iv, где
А,, \х принадлежат /О. Итак, (^, +) в самом деле есть
векторное пространство размерности 2 над полем
К? при определенном нами внешнем законе умно-
умножения. ?
Отсюда выводится
^ Теорема 10.4. Каждая упорядоченная архимедова
плоскость трансляций есть аффинная плоскость над
подполем /О поля R.
->
Доказательство. В силу результатов § 4, (^, +)
действует просто транзитивно на & трансляциями;
отсюда следует существование аффинной структуры
размерности 2 на 2Р. С другой стороны, каждая «пря-

11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 211
мая» 2) в ёР есть множество точек М, таких, что
ОМ = ХОА, где (О, Л)— фиксированный репер 3) и X
пробегает /<>: это получается из самого определения
вектора КО А. Таким образом, «прямые» в <р — это
прямые аффинной структуры на д>. ?
Отметим, что этот результат получен без пред-
предположения, что плоскость трансляций $Р удовлетво-
удовлетворяет большой аксиоме Дезарга или аксиоме Паппа:
здесь это следствие аксиом порядка и аксиомы Ар-
Архимеда (см. § 9).
> Отметим также, что любая аффинная плоскость
над каким-либо подполем R удовлетворяет этим ак-
аксиомам: поле Л> остается неопределенным подполем
R, пока на плоскость 2Р не накладываются дополни-
дополнительные требования.
Теорема 10.4 составляет основу элементарной гео-
геометрии. В гл. VI мы изучим дополнительные аксиомы-
позволяющие построить евклидову геометрию.
11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ: ИСТОЛКОВАНИЕ
АКСИОМЫ ДЕЗАРГА С ПОМОЩЬЮ ВЛОЖЕНИЯ
Обобщая определение 1.1, введем
> Определение 11.1. Пространством проективного
типа называется пара (?, SB), состоящая из
a) множества ?, называемого пространством, эле-
элементы которого именуются точками;
b) множества SB подмножеств Е, называемых пря-
прямыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
Ei Через любые две различные точки Е проходит
дна и только одна прямая.
Е2 Если Л, В, С, D — четыре различные точки ?,
такие, что прямые (АВ) и (CD) пересекаются,
то пересекаются и прямые {AC), (BD).
Е3 Каждая прямая содержит по меньшей мере три
точки.

212 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Это определение очевидным образом охватывает
плоскости проективного типа, пустое множество и
множества, сводящиеся к точке или к «прямой».
Несмотря на слабость сформулированных ак-
аксиом1), мы увидим, что, за исключением особых слу-
случаев, которые будут перечислены, всякое простран-
пространство проективного типа удовлетворяет аксиоме Де-
зарга и допускает проективную структуру над подхо-
подходящим телом. С этой целью начнем с аксиоматиче-
аксиоматического исследования подпространств пространства про-
проективного типа.
Определение 11.2. Пусть Е — пространство проек-
проективного типа. Подмножество X cz E называется под-
подпространством ?, если для любой пары (Л, В) то-
точек Ху такой, что А Ф В, прямая (АВ) содержит-
содержится в X.
Каждое подпространство Е допускает естествен-
естественную структуру пространства проективного типа, ин-
индуцированную структурой Я, и справедливо
Предложение 11.1. Пересечение семейства под-
подпространств Е есть подпространство Е.
В частности, если X — непустое подмножество Еу
то пересечение подпространств ?, содержащих X, на-
называется подпространством, порожденным X.
Предложение 11.2. Пусть Е — пространство про-
проективного типа, X — подпространство Е и А — точка
в Е\Х. Тогда подпространство ?, порожденное Х[)
U {Л}, есть множество У точек Мв?, таких, что пря-
прямая (AM) пересекается с X.
Доказательство. Очевидно, что каждое подпро-
подпространство в ?, содержащее А и X, содержит и У.
Остается доказать, что У—подпространство в Еу
установив, что каждая прямая, соединяющая две
точки М, N из У, содержится в У. Этот факт тривиа-
тривиален, если М или N совпадает с А. Предположим,
чт0 М Ф Л, N Ф Л, и пусть М' (соотв. N ) — точка пе-
!) Эти аксиомы введены Вебленом и Юнгом [VE—YO]; они
намного более простые и общие, чем аксиомы Бибербаха, ка-
касающиеся лишь трехмерного случая (см. [КЕ], т. 2).

11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 213
ресечения прямой (AM) (соотв. (AN)) с X (эта точка
единственная, так как А не принадлежит X). Обозна-
Обозначив через Р произвольную точку прямой (MN), от-
отличную от М и N, мы докажем, что Р е У.
Первый случай. М' Ф М и N' ф N (рис. 26). По-
Поскольку прямые (ММ') и (NN') пересекаются в А>
прямые (MN) и (M'N') имеют общую точку /, при-
принадлежащую X (по аксиоме Ег); аналогично, по-
поскольку прямые (AN') и (PI) пересекаются в N, пря-
прямые (АР) и (IN') имеют общую точку Р'. Так как
N
М' Р' N' I И Р' N'
Рис. 26 Рис. 27
прямая (IN') содержится в X, то Р' принадлежит X;
прямая (АР) пересекает X и Р G У.
Второй случай. М' = М (рис. 27). Случай М = Nr
очевиден (прямая (MN) проходит через Л), поэтому
предположим, что М ф N'. Тогда, поскольку прямые
(МР) и (AN') пересекаются в N, прямые (MN') и
(АР) имеют также общую точку Р'\ так как прямая
(MN') содержится в X, точка Р' принадлежит X и
РеУ. П
Понятие размерности; плоскости
Определение 11.2. Говорят, что пространство Е
проективного типа имеет конечную размерность п>
если существует конечная система (Ло, А\, ..., Ап)
из п + 1 точек, порождающая Е, и не существует си-
системы из п точек, порождающей Е (такое натураль-
натуральное п единственно). Если Е не порождается никакой
конечной системой точек, то говорят, что Е бесконеч-
бесконечномерно.
Эти определения применимы равным образом и
к подпространствам в Е. В частности, подпростран-

214 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ство размерности 0 есть точка, размерности 1 — пря-
прямая. Подпространство размерности 2 называется
плоскостью.
Теорема 11.3. Через любые три неколлинеарные
точки Л, В, С пространства проективного типа Е про-
проходит единственная плоскость, совпадающая с мно-
множеством П таких точек М, что прямая (AM) пересе-
пересекается с прямой (ВС).
Доказательство. По предложению 11.2, II есть
подпространство Е. С другой стороны всякое подпро-
подпространство в Е, содержащее А, В, С, содержит и пря-
прямую (ВС), а значит, и П, причем П порождается си-
системой точек А, В, С и не сводится к прямой. Итак,
dim(II) = 2.
Обратно, если плоскость IT, порожденная тремя
неколлинеарными точками Р, Q, R, содержит и точки
Л, В, С, то легко доказать, что прямые (АВ), (ВС),
(СА) пересекаются с прямыми (PQ), (QR), (RP),
откуда следует, что Р, Q, R принадлежат П. Имеют
место включения ГГгэП и П id IT, а потому IT =
= П. ?
Предложение 11.4. Две прямые в Е, лежащие в од-
одной плоскости П, имеют общую точку.
Доказательство. По предыдущему, мы можем
предполагать, что плоскость П порождена одной из
прямых, например X, и точкой А на второй прямой.
Предложение 11.2 показывает, что эти прямые пере-
пересекаются.
Следствие. На плоскостях пространства проектив-
проективного типа определена структура плоскостей проек-
проективного типа в смысле определения 1.1.
Теорема Дезарга в пространстве
> Теорема 11.5. Пусть Е — пространство проектив-
проективного типа размерности ^3 и (А, В, С), (А\В',С) —
две тройки неколлинеарных точек, таких, что прямые
{АА')У (ВВ') и (СС) различны и проходят через
одну точку. Тогда точки Р = (ВС)П(В'С'), Q =

11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 215
= (СА)[\(СА'), R = (AB)[](A'B') (существующие по
аксиоме Е2) коллинеарны.
Доказательство распадается на два случая.
Первый случай. Прямые (АА'), (ВВ') и (СС) не
лежат в одной плоскости пространства Е.
Пусть тогда П — плоскость, порожденная А, В, Су
а П'—плоскость, порожденная А', В\ С. Три точки
Р, Q, R принадлежат одновременно обеим плоско-
плоскостям П и ГГ. Если бы они не были коллинеарными,
то по предложению 11.3 мы имели бы П = П' вопре-
вопреки предположению.
Рис. 28
Второй случай. Прямые (АА'), (ВВ') и (СС) ле-
лежат в одной плоскости П.
Тогда в силу условия dim (E) ^ 3 существует точ-
точка S??, не принадлежащая П. Обозначим через О
общую точку прямых (АА'), (ВВ'), (СС) и выберем
точку а на прямой (SA), отличную от S и А. Тогда
точки О, a, S, А' все различны и неколлинеарны
(рис. 28), и поскольку прямые (ОА') и (Sa) пересе-
пересекаются в Л, то прямые (Оа) и (SA') имеют един-
единственную общую точку а/.
Три различные прямые (аа7), (ВВ'), (СС) пере-
пересекаются в О и не содержатся в одной плоскости.
К ним применим предыдущий результат, что дока-

216 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
зывает коллинеарность точек Р = (ВС)О(В'С'), C =
= (аС)П(а'С) и у = (аВH(а'В').
Прямая (S|3) является пересечением плоскости X,
проходящей через точки S, а, С, и плоскости Х\ про-
проходящей через S, а', С\ С другой стороны, П (] X есть
прямая (АС), а П (] X' — прямая (А'С'). Таким обра-
образом, прямая (S§) = X[\Xr пересекает плоскость П в
точке Q = (AC)(](A/C/) = U(]X(]X/ (см. рис. 28).
Аналогично, прямая (Sy) пересечет П в точке R =
= (АВ)(](А'В'). Таким образом, прямая (QR) есть
пересечение П с плоскостью IT, проходящей через
точки S, р, 7> и поскольку Р лежит на прямой ($у)
и в П, то Р принадлежит и П f| IF, т. е. прямой
(QR). П
> Следствие. Для того чтобы плоскость проектив-
проективного типа П могла быть вложена в пространство про-
проективного типа размерности ^3, необходимо и до-
достаточно, чтобы на ней выполнялась проективная ак-
аксиома Дезарга (DP) (см. теорему 7.7).
Мы видели, что это условие необходимо; обратно,
если оно выполнено, то, как мы знаем, П допускает
структуру проективного пространства размерности 2
над телом К и для любого натурального п ^ 3 изо-
изоморфна некоторой плоскости в Рп(К).
12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА
Как мы объявили, мы докажем, что аксиомы Еь
Е2, Е3 из определения 11.1 достаточны для построе-
построения на Е структуры проективного пространства, если
только размерность Е (конечная или бесконечная)
не меньше 3.
С этой целью мы вернемся к построению аффин-
аффинной структуры на множестве Е\Н, полученном ис-
исключением из Е подходящего подпространства Я.
Установим прежде всего
Предложение 12.1. Если Е — пространство проек-
проективного типа размерности ^2, то найдется по мень-
меньшей мере одно подпространство Н в ?, отличное от Е
и такое, что любая прямая из Е пересекается с Я.

12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА 217
Такое подпространство называется гиперплоскостью
в Е.
Доказательство, а) Предположим сначала, что Е
имеет конечную размерность п\ тогда оно порождено
п-\- 1 точками Ло, Ль ..., Ап, и Н — подпространство
в Е, порожденное точками Ль ..., Ап. Значит, НфЕ
и Е порождено множеством Н[} {Ло}. Тогда из пред-
предложения 11.2 вытекает, что для каждой точки Ме?
прямая (А0М) пересекает Н в некоторой точке М'.
Если 3) — какая-нибудь прямая в Е, не проходящая
через Ло, и М, N — две точки на 2), то прямые (А0М)
и (A0N) пересекаются с Я в различных точках М',
N'. Отсюда выводим, что прямые (MN) и (M'N') пе-
пересекаются, и, следовательно, прямая 2) = (MN) пе-
пересекает Я.
Ь) Если Е не имеет конечной размерности, нам
придется обратиться к аксиоме Цорна. Собственные
подпространства Е, упорядоченные по включению,
образуют индуктивное упорядоченное множество, и
любой максимальный элемент Н этого множества
удовлетворяет требуемому условию: достаточно по-
повторить предыдущее рассуждение, приняв за Ло про-
произвольную точку в Е\Н и заметив, что #11 {^о} по-
порождает Е. ?
Чтобы получить возможность формулировать свой-
свойства Е\Н, мы дадим
> Определение 12.1. Пространством аффинного типа
называется пара {&, S), состоящая из:
a) множества &, элементы которого называются
точками;
b) множества & подмножеств &\ называемых пря-
прямыми, снабженного отношением эквивалентности,
именуемым параллелизмом. При этом должны быть
выполнены следующие условия:
&х Через любые две различные точки & проходит
одна и только одна прямая.
&2 Через любую данную точку <§ проходит одна и
только одна прямая, параллельная некоторой за-
заданной прямой.

218 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
^з Если Л, В, С, D — четыре различные точки, та-
такие, что прямые (АВ) и (CD) пересекаются или
параллельны, то и прямые (АС) и (BD) пересе-
пересекаются или параллельны.
4^4 Каждая прямая содержит не менее двух точек.
Тогда немедленно получим
Предложение 12.2. Пусть ? — пространство проек-
проективного типа и Н — гиперплоскость в Е. Назвав «пря-
«прямыми» ограничения прямых Е на Е\Н, а «парал-
«параллельными прямыми» — ограничения прямых, пересе-
пересекающих Н в одной и той же точке, мы получим на
Е\Н структуру аффинного типа.
Поскольку это так, легко распространить на про-
пространства аффинного типа теорию дилатаций. Мож-
Можно доказать, что основные теоремы 3.1 и 6.3 (суще-
(существование трансляций и гомотетий) применимы к
каждому пространству аффинного типа, удовлетво-
удовлетворяющему формулировке (D) аксиомы Дезарга. Обоб-
Обобщая построения, выполненные в § 3—7, можно выве-
вывести существование на & аффинной структуры, ассо-
ассоциированной с некоторым телом, и ее «прямые» суть
те же «прямые» в & (упр. V. 3).
Итак, если Е — пространство проективного типа
размерности п ^ 3 и Н — гиперплоскость в ?, то по
теореме 11.5 пространство аффинного типа Е\Н
удовлетворяет аксиоме (D). Поэтому Е\Н обладает
структурой аффинного пространства над телом К и
Н легко отождествляется с множеством «направлений
прямых» в Е. Отсюда следует, что Е наделено струк-
структурой проективного пространства над /С. Имеет место
> Теорема 12.3, Всякое пространство Е проектив-
проективного типа размерности п ^ 3 имеет структуру проек-
проективного пространства, ассоциированного с некоторым
телом, и его прямые совпадают с «прямыми» Е.
Непосредственное, чисто проективное, доказатель-
доказательство этого результата можно найти в [VE — YO],
т. 2, [КЕ],т. 2, и [GA].
Пространства аффинного, типа. Если & — про-
пространство аффинного типа, то можно попытаться про-

12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА 219
должить его до пространства проективного типа пу-
путем присоединения «бесконечно удаленных точек»
(направлений прямых в ^). Но в общем случае это
продолжение осуществляется не так быстро, как в
случае плоскости: нужно действительно определить
«бесконечно удаленные прямые» и проверить аксиому
?2, когда некоторые из точек Л, В, С, D бесконечно
удаленные. На деле быстрее действовать прямым пу-
путем, воодушевляясь проективным случаем. Так, мож-
можно доказать, что если <$ содержит четыре некомпла-
некомпланарные точки, то аффинные аксиомы Дезарга (d) и
(D) выполнены. Предшествующий анализ позволит
тогда дать такую формулировку:
> Теорема 12.4. Для того чтобы пространство аф-
аффинного типа допускало аффинную структуру над те-
телом, достаточно, чтобы существовали четыре различ-
различные точки Л, В, С, D, такие, что прямые (АВ) и (CD)
не пересекаются и не параллельны.
Заключение. Итак, случай пространств размерно-
размерности ^3 улажен; случай пространств размерности О
или 1 тривиален. Поэтому только «плоскости» проек-
проективного или аффинного типа выдвигают новые проб-
проблемы. Можно построить «плоскости», не удовлетво-
удовлетворяющие аксиоме Дезарга. Изучение этих плоскостей,
называемых «недезарговыми», дало толчок многочис-
многочисленным исследованиям и привело к введению новых
алгебраических структур (см., например, [AZ], [OS],
[PI], [ST], [LO]).

Глава VI
МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
{ЕВКЛИДОВА И НЕЕВКЛИДОВА)
1. ВВЕДЕНИЕ
Напомним, что геометрия аффинной плоскости
основана на следующих аксиомах:
• аксиомы плоскости аффинного типа (§ V. 1):
аксиомы инцидентности, сильная аксиома Ев-
Евклида;
• малая аффинная аксиома Дезарга (d) (§ V. 3);
• аксиомы порядка, аксиома Паша и аксиома Ар-
Архимеда (§ V. 9).
Для того чтобы основным полем нашей геометрии
выло все R, а не одно из его подпол ей, достаточно
лодчинить его еще аксиоме (ВГ) верхней грани
(§ 1.6) или взамен потребовать его максимальности
(т. е. чтобы оно было наибольшим из полей, удовле-
удовлетворяющих наложенным условиям, см. § 1.8): это
была бы аксиома полноты Гильберта.
На достигнутом этапе нам не остается ничего бо-
более для обоснования евклидовой геометрии, как вве-
ввести скалярное произведение в ассоциированном век-
векторном пространстве; так и делалось последние годы
в курсах геометрии, и нетрудно найти изложение,
ставшее уже классическим, с выводом соответствую-
соответствующих свойств (метрических соотношений, свойств вра-
вращений и симметрии, меры углов).
Но этот путь изложения, при котором геометрия
рассматривается как некая конкретизация алгебраи-
алгебраических структур, имеет относительно недавнее проис-
происхождение, долгими же веками геометрия воспринима-
воспринималась как моделирование физического пространства, и
потому как проистекающая из опыта и подчиняю-
подчиняющаяся ему. Возможность переместить фигуру, не под-
подвергая ее деформации, входила в число основных
аксиом и позволяла измерять длины и углы; прямые

1. ВВЕДЕНИЕ 221
неизбежно участвовали как кратчайшие пути, соеди-
соединяющие пары точек. Но при этом понятие «парал-
«параллельные прямые» вызывало трудности в связи с не-
невозможностью проверить с полной достоверностью,
что две прямые не пересекаются. И несколько вычур-
вычурная форма, которую придал Евклид аксиоме о парал-
параллельных (см. конец § 9), заставляла думать, что речь,
скорее, идет о еще недоказанном следствии других
аксиом, чем о некоторой физической очевидности.
Для отличения ее от других аксиом долго использо-
использовался термин «постулат»1).
Поэтому изложение геометрии начиналось со
свойств, не зависящих от этой аксиомы (предложения
1—26 первой книги Евклида). Сохранялась надежда
доказать ее от противного; для этого нужно было
долго изучать логические следствия ее отрицания в
поисках противоречия. Однако вывести пятый посту-
постулат Евклида из остальных аксиом не удавалось. Со
времен Евклида и до наших дней можно насчитать
сотни «доказательств» этого постулата2); многие ма-
математики, и среди них весьма крупные, занимались
этой проблемой. Из наиболее близких к современности
и наиболее известных упомянем лишь Карно, Лапла-
Лапласа, Больцано, Эйлера, Лагранжа и особенно Фурье
A768—1830). Со временем, в начале XIX в., их по-
постоянные неудачи и влияние Гаусса A777—1855) при-
привели к сомнениям в возможности доказать такими
средствами пятый постулат.
Наконец, около 1830 г., почти одновременно Янош
Бойаи и Н. И. Лобачевский 3) дали систематическое
построение «неевклидовой геометрии», начатое Сак-
кери и Лежандром. Однако вера в логическую необ-
1) Термин «постулат» введен самим Евклидом; у него де-
девять аксиом и пять постулатов. — Прим. перев.
2) История попыток доказать пятый постулат Евклида
весьма полно изложена в книге [PN], где рассказано о стра-
страстях, кипевших вокруг этой проблемы. Подробный анализ этого
труда дан нами в июньском номере за 1987 г. журнала «Pour
le science».
3) Приоритет Н. И. Лобачевского, равно как и полная са-
самостоятельность Яноша Бойаи, прочно установлены (см. Ро-
зенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии., -^ М.: Наука,
1976). — Прим. перев.

222 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ходимость постулата Евклида так сильно укорени-
укоренилась в умах, что теории Бойаи и Лобачевского сна-
сначала вызвали недоверие, переходящее в возмущение.
Полемика, возникшая в связи с этой геометрией, про-
продолжалась до 1870 г.
Проблема получила полное решение лишь после
того, как удалось установить непротиворечивость не-
неевклидовой геометрии; построение «моделей» этой
геометрии Бельтрами A835—1900), Клейном A849—
1925) и Пуанкаре A854—1912) показало, что эта
непротиворечивость равносильна непротиворечивости
аксиоматики действительных чисел. Неевклидова гео-
геометрия оказывалась столь же состоятельной, что и
евклидова. В конце XIX в. она выступила как част-
частный случай геометрии римановых пространств по-
постоянной кривизны, другим примером которой может
служить сферическая геометрия, и не могла более
быть оспорена.
Одновременно начал развиваться интерес к осно-
основаниям евклидовой геометрии, и в 1899 г. Давид
Гильберт дал в своих «Основаниях геометрии»
(см. [HI — RO]) первую полную систему аксиом, ко-
которую можно положить в основу этой геометрии. Тем
самым была оправдана теория Евклида и ее препо-
преподавание, которое вплоть до 1970 г. велось под влия-
влиянием его «Начал».
Хотя мы теперь действительно освободились от
исторически сложившегося недоверия к аксиоме Ев-
Евклида о параллельных, все же небесполезно получить
четкое представление о возможном построении гео-
геометрии на основе метрических свойств, несомненно
более ощутимых и чаще употребляемых, чем аффин-
аффинные свойства.
С другой стороны, небезынтересно убедиться, что
в рамках теории метрических пространств имеются
другие свойства, эквивалентные аксиоме Евклида
о параллельных (например, существование прямо-
прямоугольника); становятся понятными ценность задач на
построение, которые предлагаются ученикам, и то
внимание, которое уделяется изучению «простых фи-
фигур»: менее абстрактные, чем свойство параллельных,

2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 223
свойства этих фигур составляют на деле надежную
основу для обучения геометрии.
На последующих страницах мы изложим аксиома-
аксиоматику метрической геометрии, следуя исторически сло-
сложившемуся пути (т. е. откладывая по мере возмож-
возможности введение аксиомы о параллельных) и оставаясь
как можно ближе к преподаванию начал геометрии.
Затем мы обсудим различные эквивалентные вариан-
варианты пятого постулата Евклида. Наконец, в завершение
мы опишем простую модель гиперболической геомет-
геометрии. Подробнее все это изложено в работах [HI —
RO], [EV], [EF], [ВК], [КЕ].
2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
В своей аксиоматике евклидовой плоскости Гиль-
Гильберт воссоздает геометрию Евклида, не вводя никаких
аксиом, относящихся к «геометрической» или «чис-
«числовой прямой»; его аксиоматика содержит полное по-
построение поля действительных чисел под именем «ис-
«исчисления отрезков», основанное на аксиомах порядка,
конгруэнтности и непрерывности (см. [HI — RO]).
В действительности для первых математиков по-
построение R тесно связывалось со свойствами евкли-
евклидовой плоскости: сначала доказывалось, что длины
(определяемые как классы эквивалентности отрезков)
составляют измеримую величину; затем шла теорема
Фалеса, позволяющая строить «четвертое пропорцио-
пропорциональное», что приводило к структуре поля после вы-
выбора единицы длины. Наконец, в большей или мень-
меньшей степени уточнялась природа подполей R.
На самом деле, если допустить, что длины обра-
образуют измеримую величину, нет необходимости прибе-
прибегать к теореме Фалеса (которая опирается на аксио-
аксиому о параллельных) для определения частного или
произведения двух длин; это показано нами в § 1.7.
Таким образом, мы облегчим изложение, предпо-
предполагая известным поле действительных чисел и рас-
рассматривая как решенную предварительно задачу из-
измерения длин, благодаря изучению, проведенному в
§ I. 5. Итак, мы считаем, что выбрана единица длины,
и допускаем в наших аксиомах существование рас-

224 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
стояния. Так мы можем изложить общие свойства, от-
относящиеся как к евклидовой, так и к неевклидовой
геометриям, которые составляют содержание «абсо-
«абсолютной геометрии».
Метрическая плоскость
Ради краткости мы называем метрической пло-
плоскостью любое множество 3>, удовлетворяющее че-
четырем приведенным ниже группам аксиом1). Тем са-
самым абсолютная геометрия будет изучением этой
«метрической плоскости». В дальнейшем метрическая
плоскость станет евклидовой или неевклидовой пло-
плоскостью в зависимости от того, будет ли принята
аксиома Евклида о параллельных или ее отрицание.
I. Аксиомы инцидентности
Плоскость есть множество 3>, элементы которого
называются точками, г. некоторые его подмножества,
называемые прямыми, удовлетворяют следующим ус-
условиям:
1а Через две различные точки 3* проходит един-
единственная прямая.
Ь Каждая прямая содержит не менее двух точек.
1с Существуют три неколлинеарные (т. е. не лежа-
лежащие на одной прямой) точки.
II. Аксиомы порядка
Па Каждая прямая из 3* снабжена двумя взаимно
противоположными отношениями линейного по-
порядка.
Эта аксиома приводит к заданию тернарного отноше-
отношения «лежать между» и позволяет определить отрезки
и полупрямые. Обозначим через [АВ] отрезок, обра-
образованный точками прямой (АВ), лежащими между А
и В (включая и концевые точки), и сформулируем еще
одну аксиому:
!) Некоторые из этих аксиом уже формулировались. Для
большей ясности мы их воспроизводим с другой нумерацией.
Уточним на будущее, что нас не беспокоит вопрос о независи-
независимости аксиом. По этому поводу можно обратиться к [HI—RO]S

2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 225
Пь (Аксиома Паша.) Если прямая 2) пересекает
одну из сторон [АВ], [ВС], [СА] треугольника
(ABC), то она пересекает по меньшей мере еще
одну его сторону.
III. Аксиомы расстояния
Мы предполагаем, что задано отображение d: ^X
X^-^R+, называемое функцией расстояния (между
точками), которое удовлетворяет следующим усло-
условиям:
IIIa (У/(А, В)
Шь d(A9 В) =
11 Io Для того чтобы точка С прямой (АВ) принад-
принадлежала отрезку [АВ], необходимо и достаточно,
чтобы
d(A, B) = d(AiC) + d(C, В).
Hid На каждой полупрямой (Ои) с началом О и для
любого действительного х > 0 1) существует
точка М, такая, что d(O, М) = х.
(Из предыдущих аксиом следует единственность этой
точки.) Число d(AtB) называется также длиной от-
отрезка [АВ] и часто обозначается просто АВ (см. § 8).
IV. Аксиомы симметрии2)
Для удобства их формулировки введем некоторые
предварительные термины.
Определение 2.1. Автоморфизмом 2Р называется
биекция 0* на &9 сохраняющая расстояния и преобра-
преобразующая прямые в прямые.
Теперь сформулируем следующие аксиомы:
1) Вместо предположения о том, что х — произвольное дей-
действительное число, можно в этом условии ограничиться подхо-
подходяще выбранным подмножеством действительных чисел (см.
упр. VI. 23).
2) В оригинале «Axiotnes de pliage» (аксиомы сгибания),
что связано с обычным для школьной геометрии «перегнем пло-
плоскость по прямой». — Прим. перев.
8 Ж. Лелйн-Ферран

226 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
IVa Для любой прямой SD в ЗР существует единствен-
единственный автоморфизм 9* помимо тождественного,
оставляющий неподвижной каждую точку ЗЬ.
Этот автоморфизм называется симметрией с осью 2>
и обозначается s&.
IVb Для любой пары (Ох, Оу) полупрямых с нача-
началом О существует по меньшей мере одна пря-
прямая iZ>, такая, что s® (Ох) = Оу.
3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Свойства, связанные с порядком
Предложение 3.1. Прямая плоскости ЗР не может
пересекать трех сторон треугольника (ABC), за ис-
исключением случая, когда она проходит через одну из
его вершин.
Доказательство. Предположим, что прямая 2) пе-
пересекает [ВС] в Р, [СА] в Q, [АВ] в R и не прохо-
Рис. 1 ^"!d—~"
дит ни через одну из точек А, В, С. Тогда точки Р,
Q, R различны и одна из них, для определенности Р,
лежит ме!жду двумя другими. Прямая (ВС) пересе-
пересекает отрезок [QR] в Р, но не пересекает ни одного
из отрезков [AQ], [AR], что противоречит аксиоме
Паша, примененной к треугольнику (AQR) (рис. 1). П
Предложение 3.2. Для любой прямой 3) в 3*
отношение 31, определенное на 3>\2) с помощью
A3tB<^[AB]{\3)=^0, A)
есть отношение эквивалентности, разбивающее 3* на
два класса эквивалентности; эти классы называются
полуплоскостями, ограниченными прямой 3).

3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 227
Доказательство. Симметричность и рефлексивность
отношения 91 очевидны. Его транзитивность равно-
равносильна утверждению:
(О') Если (А, В, С) — три точки ^, такие, что [АВ]
и [ВС] не пересекаются с прямой 3), то и
[АС] не пересекается с 3).
Но утверждение (О') обратно противоположно аксио-
аксиоме Паша Па и потому выполнено.
Рис. 2 ^ М
С другой стороны, можно построить две точки Ах,.
А2 в 9>\3), такие, что отрезок [Л1Л2] пересекает ЗУ
в некоторой точке /: достаточно провести через / пря-
прямую А и применить аксиому Hid для построения Двух
точек Аь Л2 прямой Д по разные стороны от /, таких,
4Tod(I,Ai)=d(I,A2)=l (рис.2).
Если М — любая точка в 9*\3), то прямая ЗУ не
проходит ни через одну из вершин треугольника
(AL4ii42), и поскольку она пересекает отрезок [ЛИг],
она пересекает только один из отрезков [M^i], [МЛ2],
т. е. М принадлежит либо классу Ль либо классу Л2,
и отношение 9t действительно определяет два класса
эквивалентности. ?
Напомним здесь, что прямая 3) в 9* называется
ориентированной, если выбрано одно из двух опреде-
определенных на ней отношений порядка.
Свойства, связанные с расстоянием
Признаемся сначала, что мы употребили слово
«расстояние», не приняв всех аксиом метрического
пространства: аксиома Шс влечет неравенство тре-
треугольника d(Ay В) <; d(A, C) + d(C, В) только для
троек коллинеарных точек, но не в общем случае.
Однако, как мы увидим далее, общее неравенство тре-
8*

228 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
угольника есть следствие принятой системы аксиом
(предложение 8.4), что апостериори оправдывает
применение термина «расстояние».
Покажем, теперь, что прямые в 9* изометричны
«числовой прямой» R.
Предложение 3.3. Для каждой ориентированной
прямой 3) и каждой ее точки О существует един-
единственная возрастающая биекция / прямой 2) на R,
для которой /(О) = 0 и
(\f(A,B)e=<Z>*) \f(B)-f(A)\ = d{A,B).
Доказательство. Пусть (Ох) (соотв. {Ох')) — по-
полупрямая с началом О, состоящая из точек Ме2),
лежащих после (соотв. перед) О относительно вы-
выбранного на 3) отношения порядка; легко видеть, что
единственная функция, удовлетворяющая поставлен-
поставленным условиям, определяется равенствами f(M) =
= d{O,M), если Мее(Ох), и f(M) =—d(O,M), если
?
Действительное значение f(M) называется абс-
абсциссой точки М на ориентированной и пунктирован-
пунктированной прямой 2)о и обозначается ОМ.
Отметим, что если изменить ориентацию <?>, не
меняя начала О, то функция / изменит знак на про-
противоположный.
Следствие. Для любой пары (Л, В) различных то-
точек <Р существует единственная точка С на прямой
(АВ), для которой d(A, С) = d(Bt С); эта точка ле-
лежит между Л и В и называется серединой отрезка
[АВ].
Доказательство. Из аксиомы 1ПС видно, что А
не может лежать между В и С, В между Л и С; таким
образом, С лежит между Л и В. При любой ориента-
ориентации прямой (АВ) точка С определяется равенством
Если А = В, то будем говорить, что серединой от-
отрезка [АА] служит А.

3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 229
Общие свойства автоморфизмов
Аксиома Шс показывает, что всякий автоморфизм
9* сохраняет отношение «лежать между». Итак, если
/ — автоморфизм 9> и 2Е> — прямая на 2Р и если вы-
выбраны ориентации прямых 3) и fC)), то ограничение
f на 3) будет монотонной биекцией 2) на fC)). От-
Отсюда вытекает
Предложение 3.4. Если /—автоморфизм 9>, то
a) образ отрезка [АВ] есть отрезок [f(A)f(B)];
b) образ полупрямой с началом О есть полупря-
полупрямая с началом /(О);
c) образ полуплоскости, ограниченной прямой 3),
есть полуплоскость, ограниченная прямой \C>).
С другой стороны, краткое изучение неподвижных
точек автоморфизмов дает нам
Предложение 3.5. Пусть f—автоморфизм 3>\ тогда
a) если / имеет две неподвижные точки Л и В, то
он оставляет неподвижной и каждую точку
прямой (АВ);
b) если / меняет местами точки Л и В, то он остав-
оставляет неподвижной середину отрезка [АВ];
c) если f допускает три неколлинеарные непо-
неподвижные точки Л, В, С, то / является тожде-
тождественным отображением.
Доказательство. Утверждение а) следует из того,
что точка М прямой (АВ) полностью определяется
своими расстояниями от точек Л, В. Можно также
воспользоваться предложением 3.3, чтобы свести дело
к изометрии R.
b) Если f(A)=B и f(B) = Ay то образ середины
С отрезка [АВ] есть середина образа [ДЛ)/(В)] =
= [ВА\2 т. е. С.
c) Если f допускает три неколлинеарные непо-
неподвижные точки Л, В, С, то, как показывает утверж-
утверждение а), / оставляет на месте каждую точку прямых
(АВ), (ВС), (СА). Но через каждую точку М в 9>,
не принадлежащую этим прямым, проходит по край-
крайней мере одна прямая 3), пересекающая две из этих
прямых в различных точках (достаточно применить

230 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
аксиому Паша Нь к прямой 3D, соединяющей М с од-
одной из внутренних точек отрезка [ВС]). Тогда все
точки 9> неподвижны при f и, в частности, f(M) =
= М. П
Наконец, очевидно, что автоморфизмы 9* образуют
группу. Отсюда следует
Предложение 3.6. На множестве У подмножеств^
<Р можно ввести отношение эквивалентности, полагая
F = F' тогда и только тогда, когда существует авто-
автоморфизм / плоскости #>, такой, что f (F) = F'.
Это отношение эквивалентности называется кон-
конгруэнтностью или, не совсем правильно, равенством.
Далее мы встретим примеры этого отношения.
Замечание. Установленные в этом параграфе свой-
свойства не зависят от аксиом симметрии Па и Пь. Теперь
мы изучим следствия этих аксиом.
4. ОСЕВЫЕ СИММЕТРИИ.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Свойства осевых симметрии
Предложение 4.1. Любая осевая симметрия s&
инволютивна\ она не имеет других неподвижных то-
точек, кроме точек своей оси 3D, и меняет местами по-
полуплоскости, ограниченные прямой 3D.
Доказательство. Композиция S3>osg> есть авто-
автоморфизм ^, отличный от sm и оставляющий непод-
неподвижной каждую точку 3D, а следовательно, совпа-
совпадающий с IcU по аксиоме IVa. С другой стороны,,
как показывает предложение 3.5, с), симметрия say
не имеет других неподвижных точек, кроме точек
прямой 3). Наконец, для любой точки Mg^\2)
середина / отрезка [Ms<g>(Af)] остается на месте при
ss) по предложению 3.5, Ь) (в силу инволютивности s<g>);
таким образом, /g®h s&(M) лежат в другой полу-
полуплоскости, чем М, относительно 3D.
Предложение 4.2. Если Л, В —- две различные
точки ^, то существует единственная прямая 3D, такая,,
что A)

4. ОСЕВЫЕ СИММЕТРИИ. ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ 23F
Доказательство. Существование. Пусть О— сере-
середина отрезка [АВ] и Ох (соотв. Оу)— полупрямая
с началом О, содержащая Л (соотв. В); по аксиоме
IVb найдется хотя бы одна прямая 3), такая, что
s®{Ox) = Oy, и поскольку d(O, A) = d(O, B)y то
S3 (А) = В.
Единственность. Пусть 3)' — другая прямая, такая,
что S3' (А) = В. Тогда S3 и S3' — автоморфизмы,
переставляющие Л и В, сохраняющие, следовательно,
прямую Д = (ЛВ) и отличные от 5д. Поскольку пря-
прямые 2) и ^ отличны от прямой Л, то S3 и sw имеют
неподвижные точки, не лежащие на Л. Композиция
S3°S3' есть автоморфизм, оставляющий неподвиж-
неподвижными точки А и Bt a потому и любую точку пря-
прямой Д, и отличный от 5д, так как он сохраняет
полуплоскости, ограниченные прямой Д. Итак,
S3 ° S3' = Н^, откуда 3) = 3)'. О
Следствие. Если Ох, О у — две полупрямые с об-
общим началом О, то существует единственная прямая Фу
такая, что s®(Ox) = Oy. Эта прямая, проходящая,
через О, называется биссектрисой полупрямых Ох
и Оу.
Доказательство. Прежде всего для того, чтобы
выполнялось условие s®(Ox) = Оу, необходимо, чтобы
S3 (О) = О (см. предложение 3.4, Ь)), а потому 0е2).
Пусть тогда А е (Ох) и Bg (О у) —- такие точки, что
d{0, A) = d(O, В)>0. Условие s&{Ox) = Oy влечет
S3(A) = B. Если Ох = Оу, то А = Вк2) может быть*
лишь прямой (ОЛ), содержащей Ох. ЕслижеОх^Оу,
то АфВ и 2) есть ось симметрии, переставляющей.
Л и В.
Медиатриса отрезка
> Теорема 4.3. Множество точек, равноудаленных от
двух различных точек Л и S, есть ось 2) единствен*
ной осевой симметрии, переставляющей Л и В.
Доказательство. Очевидно, что из Mg® следует
d(A, М) = d(B, М) (так как М неподвижна относи-
относительно симметрии s&). Обратно, пусть Ме^ — та-

232 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
кая точка, что d(At М) = d(Bt М), и пусть Д есть ось
симметрии, переставляющей полупрямые с началом
М, содержащие соответственно Л и В\ тогда 5д(Л) =
= В, откуда Д = 2)иМе2). ?
Перпендикулярные прямые
Определение 4.1. Говорят, что прямая Д перпен-
перпендикулярна (или ортогональна) прямой 2), если Д ф 2)
и sAB)) = 2)\ в этом случае пишут Д A-2D.
Покажем, что отношение ортогональности симмет-
симметрично (хотя и не рефлексивно).
> Теорема 4.4. Отношение A_LiZ> влечет S)_LA; из
него также следует, что прямые Д и 2) пересекаются.
Доказательство 1). Пусть А е 2D — такая точка,
что Аф Д; если 5дE9) = <?>, то точка В = 5д(Л) от-
отлична от Л и принадлежит 2)\ середина О отрезка
[АВ] неподвижна относительно 5д и, значит, является
общей точкой 2H и Д, а потому Д — медиатриса [АВ].
Тогда, поскольку симметрия сохраняет расстояния,
s® (Д) есть медиатриса [sb (A) s& (В)] = [АВ] и s® (Д)=Д.
Другими словами, из Д JL 2D следует 3) 1 Д. П
Замечание. Из этого доказательства видно, что
медиатриса отрезка [АВ] есть перпендикуляр к пря-
прямой (АВ), проходящий через середину О отрез-
отрезка [АВ].
Предложение 4.5. Через данную точку А прохо-
проходит одна и только одна прямая, перпендикулярная
заданной прямой 2).
Доказательство. Если А ф. 2D, то искомая прямая
должна пройти через точку В = s® (А); значит, это
может быть лишь прямая (АВ), и ее образ при сим-
симметрии S3) есть прямая (s& (А) S3 (В)) = (АВ).
Если У1е2), то искомый перпендикуляр есть ось
единственной симметрии, переставляющей две полу-
полупрямые прямой 2) с началом в Л.
1) На ближайших страницах мы предоставляем читателю
выполнить соответствующие очень простые рисунки.

5. ВРАЩЕНИЯ 233
Снова об автоморфизмах
Предложение 4.6. Пусть (ABC) и (Л'В'С) — два
треугольника (тройки неколлинеарных точек), для ко-
которых
d (Л, В) = d (Л', ВО, d (Л, С) = d (Л', СО,
d(B, c) = d(Br, со.
Тогда существует единственный автоморфизм / пло-
плоскости 5Р, который переводит (А, В, С) в (Л', В', СО,
и этот автоморфизм является произведением двух или
трех осевых симметрии 1).
Доказательство. Единственность f следует из пред-
предложения 3,5,с), так как если бы было два таких авто-
автоморфизма f, gt то автоморфизм g~l°f имел бы три
неколлинеарные неподвижные точки Л, В, С, откуда
/ = *•
Для доказательства существования / обозначим
через 5t такую симметрию, что s{ (Л) =-- A' (s{ един-
единственна, если Л Ф ЛО, и положим Вх = 5! (В), С! = s{ (С).
Тогда d(A', B{) = d(At B) = d(A\ В'), откуда следует
существование симметрии % такой, что 52(Л') = Л'
и 52(В1) = В/. Полагая C2 = s2(C1), будем иметь
d (Л7, C2)=d (Л7, Ci)=d (Лг, СО и d (В', С2) = d (Вь С,) =
= d(B', CO- Теперь возможны два случая. Если
C2z=C/, то требуемым автоморфизмом является f =
= 52 0 5!. Если же С2фС, то прямая (Л^') есть
медиатриса отрезка [С2С]. Обозначив через s3 сим-
симметрию с осью (Л'ВО, найдем требуемый автомор-
автоморфизм: f = 53°52o51. ?
Следствие. Всякий автоморфизм / плоскости 9>
разлагается в произведение не более чем трех осевых
симметрии.
5. ВРАЩЕНИЯ
Определение 5.1. Вращением с центром О назы-
называется автоморфизм 5*, имеющий О единственной не-
неподвижной точкой либо совпадающий с тождествен-
тождественным отображением.
1) Напомним, что существование f составляет «третий при-
признак равенства треугольников».
9 Ж. Лелон-Ферран

234 гл- VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Произведение симметрии
> Теорема 5.1. а) Произведение двух симметрии,
оси которых 3), <?)' проходят через точку О, есть вра-
вращение с центром О.
Ь) Обратно, для любого вращения г с центром О
и любой прямой 2), проходящей через О, существуют
прямые 3)', ?D", проходящие через О, такие, что
S&' о S& — Г = S3) ° S3".
Доказательство, а) г = s& о s®> есть автоморфизм &
с неподвижной точкой О. Если г имеет вторую не-
неподвижную точку Л, то для точки B = s&'(A) имеем
s&(B) = A и, значит, также s®(A) = B. По предло-
предложению 4.2, А = В пли ?D = 2D'. Но если А = S, то
А — общая точка прямых^, 2D' и, поскольку АфО,
мы снова имеем ?D = 2D'. Таким образом, г не имеет
неподвижной точки, кроме О, за исключением слу-
случая ?Z)' = iZ), когда г —Id^. Во всех вариантах г
есть вращение с центром О.
Ь) Если г = Id^, результат очевиден; в противном
случае пусть А^2)\{0} и В = г (А). Тогда точка О
равноудалена от А и В и существует симметрия
с осью 3)', проходящей через О, меняющая местами А
и В. Композиция s®> о г есть автоморфизм ^, от-
отличный от Id^, с неподвижными точками О и Л;
значит, он является симметрией с осью Й)--=(ОЛ), и
мы имеем s&' о г — s& или г = s&'° s&.
Аналогично, существует прямая <2b'\ такая, что
l , откуда г — s@o s@». ?
Следствие 1. Если г — вращение с центром О и
iZ) — прямая, проходящая через О, то композиции
S3) о г и г о S3 суть симметрии с осями, проходящими
через О.
Следствие 2. Для любой пары (Ох, Оу) полупря-
полупрямых с общим началом О существует единственное
вращение г с центром О, такое, что г(Ох)= Оу.
Пусть, в самом деле, s — симметрия относительно
прямой (Ох). Для того чтобы существовало враще-
вращение г с центром О, при котором г(Ох)= Оу, необ-

S. ВРАЩЕНИЯ 235
ходимо и достаточно, чтобы автоморфизм rjs был
симметрией s\ переставляющей Ох и Оу, откуда г =
= s'L°s. ?
Группа вращений с заданным центром
.> Теорема 5.2. Вращения с центром О образуют
коммутативную группу.
Доказательство. Пусть л, г' — два вращения с цент-
центром О.
a) Покажем, что г'Т1 — вращение с центром О.
При выбранной прямой iZ>, проходящей через О, тео-
теорема 5.1 показывает, что существуют две прямые Д,
А', проходящие через О, такие, что r = sAos0 и г' =
= SA'os,g>. Тогда
/ о Г'[ = 5Д, о 5^ о 5~ 1 о 5д * = 5Д, о 5д,
откуда видно, что rr ° Л — вращение.
b) Покажем, что г ° rr = rf о г.
Пусть А — произвольная точка в ^\{О} и s —
симметрия с осью (ОА). Тогда r°s является сим-
симметрией с осью, проходящей через О, переводящей А
в В = г (А) и, следовательно, переставляющей эти
точки, откуда г ° s (В) = А. Аналогично, rf ° s есть
симметрия с осью, проходящей через О, переставляю-
переставляющая точки А и В' = г'(Л), откуда г/°5(В/) = Л.
Но, в силу части a), r°rf и г1°г — вращения. При-
Применяя следствие 1, мы увидим, что r'^r°s — симмет-
симметрия с осью, проходящей через О, переводящая В в В',
в то время как r°r' °s — симметрия с осью, проходя-
проходящей через О, переводящая В' в В. Имеем r'?r.*s =
= г о /*' ° 5, откуда г °У = г' °г. ?
Приведенное выше следствие 2 можно сформули-
сформулировать, сказав, что группа вращений с центром О
действует просто транзитивно на множестве полупря-
полупрямых с началом в О, а также на каждой окружности
с центром О и радиусом R ф 0.
Покажем, наконец, что группа 910 вращений
с центром О всегда изоморфна некоторой фиксиро-
фиксированной группе при изменении точки О.

236 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Предложение 5.3. Если О, О' — две различные
точки 3* и s — осевая симметрия, переставляющая О
и О', то отображение h: $о-^&о', г»—>so/-os явля-
является изоморфизмом групп.
Доказательство. Пусть г^&о и г' = so г о 5; если
u = Id^, то r' = Id^. Если г Ф Id^, то г' есть авто-
автоморфизм 0* с единственной неподвижной точкой
O' = s{O), т. е. вращение с центром О', причем
г'~ =5ого5. Наконец, для двух вращений гь г2
с центром О имеем
h (Г,) о А (г2) = E о rj о s) (S о Г2 о s) =
= 5 о (Г, о Г2) о S = h (Г{ о Г2).
Итак, h в самом деле есть изоморфизм 91о на 5?о'. ?
Замечание. Если О = О' и 5 — какая-либо симмет-
симметрия с осью, проходящей через О, то отображение
h: 3lo~>9lo, rv-^>s<>r os является автоморфизмом Жо
и можно проверить, что h(r)= r~l (см. упр. VI. 3).
Центральные симметрии
Определение 5.1. Если О — точка плоскости 5°, то
симметрией с центром О называется биекция а0 пло-
плоскости д> на й9, определяемая условием:
для любой точки М ^.9* точка О есть середина от-
отрезка [Моо(М)].
Теорема 5.4. Симметрия с центром О есть комму-
коммутативное произведение осевых симметрии относитель-
относительно любой пары перпендикулярных прямых, проходя-
проходящих через О; она есть, следовательно, вращение с
центром О и притом единственное инволютивное вра-
вращение с центром О, отличное от тождественного ото-
отображения.
Доказательство, а) Обозначив через 3), 2)' две
перпендикулярные прямые, проходящие через О, по-
покажем, что симметрии s=s& и s = s&' коммутируют

6. углы 237
и что их произведение есть инволютивное вра-
вращение.
Выберем А&3)'\{0}\ точка B = s(A) принад-
принадлежит SD' по условию; поэтому s' °s(A) = s'(B) = В
и s °s'(A) = s(A) = В. По вышеприведенному след-
следствию 2 получим s' ° s = s о s/ (единственное вращение с
центром О, переводящее Л в В).Отсюда (sf о s) о (s'os) =
= (s' о s) о (s о s') = Id^.
b) Покажем, что инволютивное вращение г с цент-
центром О есть симметрия с центром О или тождествен-
тождественное отображение.
В самом деле, для каждой точки М ^ <? середина
отрезка [Л1г(Л1)] есть неподвижная точка г; если
г Ф Id^, то это точка О и г — оо-
Так как композиция симметрии относительно двух
ортогональных прямых 3), 9Ь' не может быть тожде-
тождественным отображением (поскольку 2)' Ф2))> то она
является симметрией с центром О. Теорема 5.4 пол-
полиостью доказана. ?
6. УГЛЫ
Слово «угол» охватывает традиционно несколько
разных математических понятий, которые необходи-
необходимо различать. Но усилия, предпринятые в препода-
преподавании для устранения любых неясностей, привели к
парализующей тяжести терминологии. На самом
деле на практике пользуются обиходным языком: ис-
исходя из «угла» как фигуры, образованной двумя полу-
полупрямыми с общим началом, к нему присоединяют все
математические понятия, в которых возникает надоб-
надобность. Но, чтобы не утратить необходимой гибкости,
не следует, как часто делают, сводить традиционное
понятие «фигуры» к понятию множества: геометриче-
геометрическая фигура скорее есть семейство множеств (точек,
прямых, отрезков, окружностей, ...), связанных опре-
определенными соотношениями, и мы можем по произволу
обогащать фигуру посредством геометрических по-
построений.
В частности, заметим, что задание двух полупря-
полупрямых Ох, Оу с общим началом О равносильно заданию

238 гл- VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
множества (Ох)[)(Оу) лишь в том случае, если эти
полупрямые не противоположны *).
Каждой паре (Ох, Оу) полупрямых с общим нача-
началом, не лежащих на одной прямой, мы ставим в со-
ответствие открытый угловой сектор, образованный
пересечением полуплоскости Щ, содержащей Оу п
ограниченной прямой (Ох), и полуплоскости Пу, со-
содержащей Ох и ограниченной прямой (Оу). Замкну-
Замкнутый угловой сектор получится как пересечение замк-
замкнутых полуплоскостей (замкнутая полуплоскость есть
объединение полуплоскости и ее граничной прямой).
Определение 6.1. Две пары (Ох, О у), (О'х', О'у'}
полупрямых называются конгруэнтными (или, не со-
совсем правильно, равными), если существует авто-
автоморфизм f плоскости 3>, такой, что f(Ox)=O'x' и
f(Oy)=O'y'.
Это отношение конгруэнтности является, очевид-
очевидным образом, отношением эквивалентности, классы
эквивалентности которого называются неориентиро-
неориентированными углами; класс, содержащий пару (Ох,Оу)„
обозначается хОу.
Если полупрямые Ох, Оу совпадают (соотв. про-
противоположны), то класс хОу, образованный совпа-
совпадающими (соотв. противоположными) парами полу*
прямых, есть по определению нулевой (соотв. развер*
нутый) угол хОу. Нулевой угол обозначают просто О»
а развернутый со.
Очевидно, что хОу = уОх (так как существует
симметрия, переставляющая Ох и Оу).
Подобным же образом, если Охг, Оу' — две полу-
полупрямые, соответственно противоположные Ох, Оу, та
х'Оу =хОу (так как симметрия с центром О меняет
местами Ох с Ох' и Оу с Оу').
Наконец, как мы увидим далее, пары (Ох, Оу)у
такие, что прямые (Ох), (Оу) перпендикулярны, об-
1) В случае противоположных полупрямых их задание вы-
выделяет на прямой точку О, но прямая с выделенной точкой
есть уже фигура, отличная от самой прямой (для сравнения:
отрезок и отрезок с указанной серединой — фигуры разные).—
Прим. перев.

б, углы 239*
разуют один класс эквивалентности, называемый
прямым углом и обозначаемый б.
Изучение углов будет облегчено благодаря исполь-
использованию представителей (Ох,Оу), одна сторона Ох
которых будет фиксирована, а вторая Оу будет рас-
располагаться в одной из полуплоскостей, ограниченных
прямой (Ох).
Предложение 6.1. Пусть Ох—полупрямая и П —
замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой (Ох).
Для любого неориентированного угла а имеется
единственный представитель вида (Ох,Оу), где Оу а
а П (другими словами, отображение Оу ^—>хОу есть
биекция множества полупрямых с началом О, содер-
содержащихся в П, на множество углов).
Доказательство. Ввиду очевидности результата для
нулевого или развернутого а будем считать, что-
а ф 0, а ф со.
a) Единственность получается немедленно: если
xOy — xOz, то существует автоморфизм /, такой,
что f(Ox) = Ох и f(Oy) = Ozy и, значит, сохраняющий
каждую точку прямой (Ох). Если Оу, Oz лежат по
одну сторону от этой прямой, то отображение / тож-
тождественное.
b) Для доказательства существования предполо-
предположим, что а определяется в виде a = uAv. Обозначим
через s\ симметрию, для которой S\(A)= О. Положим
Ощ = Si(Au) и Ovi = Si(Av); существует симметрия
52 с осью, проходящей через О, такая, что s2(Ou\) =
— Ох. Если s2(Ovi)a П, то полупрямая Оу = S2(OV[)
удовлетворяет требуемым условиям; в противном слу-
случае достаточно принять за Оу полупрямую, симмет-
симметричную s2(Ov\) относительно Ох. П.
В частности, существует единственная полупрямая
Оу, перпендикулярная Ох и лежащая в П: класс xOt/
образован тогда парами перпендикулярных полупря-
полупрямых и называется прямым углом; он обозначает-
обозначается 6.

240 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Отношение порядка
Выберем полупрямую Ох и замкнутую полупло-
полуплоскость П, ограниченную прямой (Ох). С каждым уг-
углом а = хОу, где Оу а П, мы ассоциируем замкнутый
угловой сектор Sa, ограниченный Ох и Оу, и усло-
условимся считать, что Sa = П, если а — развернутый
угол со, и что Sa = Ох, если а — нулевой угол. Тогда
на множестве s?> неориентированных углов получим
отношение порядка, полагая а ^ |3, если Sac:S|$.
Легко видеть, что это отношение порядка не зависит
от выбора пары (Ох, П). Мы покажем, что этот по-
порядок линейный и что *я?, снабженное этим порядком,
изоморфно замкнутому интервалу в R.
*' А' О А х О А
Рис. 3 Рис. 4
Так как развернутый угол — наибольший элемент
«я?, а нулевой угол — наименьший, то достаточно
сравнивать ненулевые и неразвернутые углы. Для
этого заметим, что всякая полупрямая Ои, содержа-
содержащая некоторую точку А =^= О углового сектора с вер-
вершиной О, вся лежит в этом секторе; удобно обозна-
обозначить замкнутый угловой сектор, ограниченный двумя
полупрямыми Ох, Оу, не лежащими на одной прямой,
через S(Ox, Оу).
Предложение 6.2. Пусть П — замкнутая полупло-
полуплоскость, ограниченная прямой х'Ох, Оу — полупрямая,
лежащая в П, отличная от Ох и Ох\ и Л, В, А' — три
точки, отличные от О, принадлежащие соответственно
полупрямым Оле, Оу, Ох' (рис. 3).
а) Каждая полупрямая Ог, лежащая в П и отлич-
отличная от Ох, Оу, Ох', пересекает только один из отрез-
отрезков [AB]f [BA']. В зависимости от того, пересекает

6. углы 241
она [АВ] или [ВЛ'], имеем включение S(Ox, Oz)a
<nS@x,0y) или S@x,0y)aS@x,0z).
b) Пусть Ои, Ov— две полупрямые, лежащие в
S(Ox,Oy) и, значит, пересекающие [АВ] в некото-
некоторых точках Р, Q (рис. 4). Тогда включение S (Ох, Ои) а
d S(Ox, Ov) равносильно утверждению «Р лежит
между А и Q».
Доказательство, а) Аксиома Паша и предложение
3.1 показывают, что прямая (Oz) пересекает лишь
один из отрезков [АВ], [ВА']\ эта точка пересечения
неизбежно принадлежит полупрямой Oz, поскольку
она лежит в П. С другой стороны, из определения
полуплоскостей и угловых секторов вытекает, что
[АВ] с= S (Ох, Оу) и [ВА'] си S (Оу, Ох'). По предыду-
предыдущему замечанию Oz cz S(Ox, Оу) или Ozcz S (Оу, Ox'),
смотря по тому, пересекает ли Oz отрезок [АВ] или
[ВА'].
Если Oz пересекает [АВ] в точке С, то получен-
полученный нами результат показывает (в измененных обо-
обозначениях), что S(Ox,Oz) есть объединение полупря-
полупрямых с началом О, пересекающих [АС], тогда как
S(Ox,Oy) есть объединение полупрямых с началом О,
пересекающих [АВ]. Отсюда вытекает включение
S@x,0z)c:S@x,0y).
Если Oz пересекает [В/Г], то аналогично имеем
5@^, Oz) a S (Ох', Оу), откуда, переходя к допол-
дополнительным секторам, получаем 5 (Ox, Oz) =э S (Ох, Оу).
Ъ) По предыдущему, включение S (Ох, Ои) cz
S@x, Ov) равносильно Оиа S(Ox, Ov), а значит,
[AQ]. ?
Следствие. Отношение порядка, определенное на
множестве s& углов, есть отношение линейного по-
порядка, и каждое подмножество в s& допускает верх-
верхнюю и нижнюю грани.
Доказательство. Линейность порядка вытекает из
части а) предыдущего предложения. С другой сто-
стороны, часть Ь) показывает, что множество [0, а] уг-
углов, не превосходящих некоторого неразвернутого
угла а = хОу, допускает строго возрастающую биек-

242
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
цию на отрезок [АВ], ориентированный от Л к В. От-
Отсюда вытекает, что зФ допускает строго возрастаю-
возрастающую биекцию на ломаную линию (ABAf) (объедине-
(объединение отрезков [АВ] и [BAf], ориентированное от А
к А'); следовательно, s& изоморфно замкнутому огра-
ограниченному интервалу / в R длины АВ + ВА'. Отсюда
следует наше утверждение, так как любое подмноже-
подмножество в / имеет в / нижнюю и верхнюю грани.
7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
Во всем последующем, если не оговорено против-
противное слово «угол» означает неориентированный угол, а
S(Ox,Oy) обозначает замкнутый угловой сектор,,
ограниченный двумя не противоположными полупря-
полупрямыми Ох, Оу, или полупрямую Ох в случае Ох = Оу,
Рис. 5
Рис. 6
Определение 7.1. Говорят, что угол у есть сумма
углов а, р, и пишут у=-а + Р, если существуют три
полупрямые Ox, Oy, Oz с общим началом О, такие,
Oz = §, xOz = y и
что хОу = а, y
• либо S(Ox, Oz) = S(Ox, Oy)\]S{Oy, Oz),
• либо Oz — полупрямая, противоположная Ох
(в этом случае говорят, что угол Р дополнителен к а
и что а + р —- развернутый угол).
Если Y = a + P> то пишут также р = у~а и а==::
Заметим, что в любом случае эти три полупрямые
лежат в одной полуплоскости (рис. 5).

7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ 243
Из данного определения, основанного на теорети-
теоретико-множественном объединении угловых секторов,
следует, что сложение углов коммутативно и ассоциа-
ассоциативно-, оно удовлетворяет также правилу сокращения,
по которому из а + Р = а + р' следует р = C'; однако
сумма а + Р определена не всегда (рис. 6).
Половинный угол. По определению, внутренняя
биссектриса двух не противоположных полупрямых
Оу, Oz есть полупрямая Ои, лежащая на прямой —
биссектрисе Оу, Oz и содержащаяся в S(Oy, Oz)*
Очевидно, что (см. рис. 5) yOu = uOz и уОи + uOz =
= yOz, откуда yOz = 2yOu 1). Мы говорим, что угол
уОи есть половина угла yOz, и пишем yOu = l/2yOz»
Прямой угол б — единственный, для которого 26 =
= б + б = со; итак, половинный угол данного угла
всегда определен.
По индукции для любого угла а определяется по-
последовательность (ап) таких углов, что 2"а„ = а;
угол ап обозначаем 2"rta.
Существование градуировки на множестве углов
Воспользуемся представителями углов вида хОу>
где Ох — заданная полупрямая, а Оу содержится в
замкнутой полуплоскости П, ограниченной прямой
(Ох).
Пусть Ои — внутренняя биссектриса полупрямых
Oyt Oz, расположенных в П; положим хОу==ау
xOz — y (см. рис. 5); тогда легко видеть, что хОи =
= Y + y- Более того, каждая полупрямая, лежащая
в 5 (Оу, Oz), содержится в одном из секторов 5 (Оу, Ои)
и S(Oz, Ои). На основе этого замечания по индук-
индукции доказывается
Предложение 7.1. Для любого угла а и каждого
целого п ^ 1 существует единственное целое qn ^ 0„
Здесь под 2а понимается a + a. — Прим. перев.

244 гл- VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
удовлетворяющее неравенствам
^2-*ю<а<(?„+1J-Ч
где со — развернутый угол.
Дело сводится к построению полупрямых Oyqn,
лежащих в П и таких, что xOtjn =• q • 2~/гсо @ ^ q ^ 2rt),
и к проверке того, что 2п угловых секторов S(Oyqn,
®Уп+Х) @^*7^2"—1) при фиксированном а покры-
покрывают П.
Такая градуировка тем тоньше, чем больше п\ она
позволяет нам определить «меру» углов. Предвари-
Предварительно мы установим лемму, которая заменит нам
здесь аксиому Архимеда.
Предложение 7.2. Для любого угла а > 0 суще-
существует целое п, такое, что 2~л(о ^ а.
Доказательство. Пусть е — нижняя грань углов
вида 2~/г(о, которая существует в силу следствия пред-
предложения 6.2. Так как отображение а \-*> а/2 есть стро-
строго возрастающая биекция s& на интервал [0, б] мно-
множества j$, то
4-= inf 2~лсо, откуда -1- = е и е = 0.
Отсюда следует сформулированное утвержде-
утверждение. ?
Следствие. Любой угол а является верхней гранью
множества Еа углов вида q • 2~rtco («gN, 0 ^ q <! 2"),
не превосходящих а.
Доказательство, а есть мажоранта для Еа, и для
каждого угла р < а существует целое /igN, такое,
что 2~пы < а — р. Если q — наименьшее целое, такое,
что q • 2~п(о > а, то угол (q — 1J~/гсо принадлежит
интервалу [р, а] и Еа. Значит, а — наименьшая ма-
мажоранта Еа. П
Определение 7.2. Мерой неориентированных углов
называется любое строго возрастающее отображение

7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ 245
ф: iS$->R+, такое, что ф(а + р) = ф(а) + ф(Р) всякий
раз, когда сумма а + р определена.
> Теорема 7.3. Для любого действительного k > О
существует единственная мера ф на jg, такая что
ф(со) = k, и ф есть биекция зФ на интервал [0, k] en R.
Доказательство. Единственность. Если такая функ-
функция ф существует, то для любой пары (n, q) положи-
положительных целых чисел, таких, что q ^ 2п, должно иметь
место равенство
<p(q-2-a®) = q.2-ak. A)
С другой стороны, в обозначениях вышеприведен-
вышеприведенного следствия, для любого угла а должно быть
ф(а)= вирфМ. B)
Е
Соотношения A) и B) определяют ф однозначно.
Существование. Обратно, пусть ф есть отображе-
отображение $4- в R+, определенное условиями A), B). Если
через Е обозначить множество всех углов вида q ^-"co,
где целые положительные q, п таковы, что q ^ 2п, то
очевидным образом
Ч>(х + У) = 4>(х) + Ч(у) C)
для любой пары (х, у)^Е2, такой, что определена
сумма х + у.
С помощью аппроксимации, поступая так же, как
при доказательстве теоремы 1.5.2, выведем отсюда^
что C) сохраняет силу и вообще для любой пары уг-
углов х, у с определенной суммой х + у. Отсюда выте-
вытекает возрастание ф.
Наконец, чтобы доказать, чта ф есть биекция s4>
на [0, k], достаточно заметить, что любое действи-
действительное I e @, k] есть верхняя грань множества D\
действительных чисел вида q-2~nk (nsN, q^Nr
q^.2n), меньших g, и что угол x = sup f"^00) —
единственный, удовлетворяющий условию ф(л:)= |. D

246 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Можно заметить аналогию между этим доказатель-
доказательством и доказательством теоремы I. 5.2.
Итак, мера углов определена элементарным, хотя
и строгим способом; основная идея состояла в по-
построении градуированного «транспортира» в системе
счисления с основанием 2; практическая конструкция
такого «транспортира», как нам кажется, помогает по-
понять принцип этого построения.
Напомним, что если k= 180 (соотв. 200, я), то
действительное число ф(а) называется мерой угла а
в градусах (соотв. в градах, радианах).
Задачи ориентации
Ориентация действительной аффинной плоско-
плоскости— относительно простой вопрос, так как существо-
существование группы трансляций позволяет свести дело к ли-
линейной группе, что приводит к ориентированию репе-
реперов с фиксированным началом. Возможно, хотя и не
столь просто, ориентировать метрическую плоскость
^, не вводя дополнительной аксиомы, и доказать, что
группа ее автоморфизмов распадается на два непере-
непересекающихся множества: подгруппу автоморфизмов
(автоморфизмы первого рода1)), разлагающихся в
четное число осевых симметрии, и множество автомор-
автоморфизмов (автоморфизмы второго рода), разлагающихся
в нечетное число осевых симметрии.
Чтобы доказать это, можно начать с определения
отношения эквивалентности на множестве SD пар по-
полупрямых (Ох, ОуJ), не лежащих на одной прямой:
при этом говорят, что две пары имеют одинаковую
ориентацию, если они принадлежат одному классу.
Затем доказывается, что это отношение определяет
два класса эквивалентности, и автоморфизмы класси-
классифицируются, смотря по тому, сохраняют или изменяют
они ориентацию пары (Ох>Оу) из 2) (см. [LF1].
При такой ориентации метрической плоскости
можно определить понятие ориентированного угла и
меры ориентированных углов; эта последняя задача
равносильна отысканию гомоморфизмов группы вра-
В оригинале: direct и indirect. — Прим. перев.
Здесь эти пары упорядоченные. — Прим. перев.

8. НЕРАВЕНСТВА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ 247
щений 5?0 с данным центром О на мультипликативную
группу U комплексных чисел с модулем, равным 1,
лри подчинении этих гомоморфизмов условию сохра-
сохранения циклического порядка. К этому можно прийти
элементарным путем, отправляясь от меры неориен-
неориентированных углов.
S. НЕРАВЕНСТВА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
> Обозначения. Начиная отсюда, будем обозначать
расстояние между двумя точками Л, В просто АВ
вместо d(A,B) (что позволяет записать вычисления
более наглядно). С другой стороны, полупрямую с на-
началом Л, содержащую точку В, будем обозначать че-
через (АВ(. Далее речь идет всюду о неориентирован-
неориентированных углах, и мы говорим просто об «углах»; угол на-
называется острым (соотв. тупым),.если он строго мень-
меньше (соотв. больше) прямого угла. Если (ABC) — тре-
треугольник, то будем обозначать ВАС или, короче, А
угол между полупрямыми (ЛВ(, (АС(; дополнитель-
дополнительный угол со — А будет называться внешним углом тре-
треугольника, смежным с Л; это есть угол между (АВ)
и полупрямой, противоположной (АС(.
Наконец, ради сохранения традиции мы говорим,
что сумма двух углов, если она определена, не пре-
превосходит развернутого угла со.
Равнобедренные треугольники
Предложение 8.1 !). В треугольнике (ABC) равен-
равенство АВ = АС равносильно В = С.
Доказательство. Если АВ = ACt то существует
симметрия 5 с осью, проходящей через Л, перестав-
переставляющая В и С; отсюда следует равенство АВС = АСВ.
Обратно, если АВС = АСВ и Л' —точка, симмет-
симметричная Л относительно медиатрисы отрезка [ВС], то
1) В старинных трактатах по геометрии это предложение на-
называлось «ослиным мостиком» (лат. pons asinorum). Несомнен-
Несомненно, оно рассматривалось как тест на сообразительность.

248 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
равенство А'ВС = АСВ = АВС показывает, что полу-
полупрямые (ВА'( и (ВA (t находясь по одну сторону от
прямой (ВС), совпадают. Точно так же (СА'(=(СА(У
откуда А' = А и АВ = АС. ?
Неравенства в треугольнике
Предложение 8.2. В треугольнике (ЛВС) каждый
внешний угол строго больше каждого не смежного
с ним внутреннего.
Доказательство. Пусть Вх—полупрямая, проти-
противоположная (ВС(. Внешний угол при вершине В есть
АВх, и нам достаточно доказать неравенство АВх >
> ВАС; остальные получаются из него перестановкой
Рис. 8
вершин. Обозначим середину отрезка [АВ] через /,
и пусть D — точка, симметричная С относительно /
(рис. 7). Так как симметрия с центром / есть авто-
автоморфизм, то ВАС = ABD. С другой стороны, D при-
принадлежит открытому угловому сектору, ограничен-
ограниченному полупрямыми Вх и (ВА (, откуда АВх > ABD =
= ВАС. ?
Следствие. Сумма двух углов треугольника строго
меньше развернутого угла.
Действительно, при тех же обозначениях имеем
СВА<АВх

8. НЕРАВЕНСТВА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ 249
Предложение 8.3. В треугольнике (ABC) неравен-
неравенства АВ > АС и АСВ > ABC равносильны (иными
словами, меры углов образуют тот же порядок, что
и длины противолежащих сторон).
Доказательство. Пусть АВ > АС и D е [АВ] — та*
кая точка, что AD = AC (см. рис. 8). По предложе-
предложению 8.1 имеем ADC — ACD, а по предложению 8.2
ABC < ADC, откуда ABC < АСВ. Обратное утвержде-
утверждение получается рассуждением от противного с пере-
перестановкой В и С. ?
> Предложение 8.4. В треугольнике (ABC) длина
каждой стороны строго меньше суммы длин двух дру
гих сторон.
Рис. 9 в с
Доказательство. Пусть D — точка полупрямой, про-
противоположной (АС(, такая, что AD = АВ. Имеем
ADB = ABD<CBD (см. рис. 9), откуда, применяя
предложение 8.3 к треугольнику (BCD), получаем
ВС < CD и ВС < АВ + АС.
Следствие. Для любых точек Л, В, С плоскости 9*
имеет место неравенство d(Ay В) ^ d(A, C) + d(C, В),
причем равенство выполняется лишь тогда, когда С —
точка отрезка [АВ].
> Отсюда вытекает, что плоскость 9>> снабженная
отображением расстояния d, является метрическим
пространством,; мы могли бы поэтому снабдить ее
ассоциированной топологией,
10 Ж. Лелон-Ферран

250 -Л. УГ. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Назовем изометрией всякую биекцию 9* на ^, со-
сохраняющую расстояния; тогда имеет место
^ Теорема 8.5. Каждая изометрия 53 является
автоморфизмом.
Доказательство. Достаточно доказать, что если
f — изометрия, то образ прямой есть прямая. Итак,
пусть А, В, С — три коллинеарные точки. Одна из них,
для определенности С, лежит между двумя другими;
тогда АВ = АС + ВС, откуда d(f(A),f(B)) =
= d(f(A),f(C)) + d(f(B),f(C)). Последнее равенство
означает, что f(C) принадлежит прямой (f(A)f(B)).
Итак, / сохраняет коллинеарность, а отсюда легко
следует, что образ прямой есть прямая. D
> Отныне мы можем применять слово «изометрия»
вместо «автоморфизм».
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ.
ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Предложение 9.1. Пусть 3) — прямая плоскости #>,
А—точка в 9*\ЗЬ и Я — основание перпендикуляра
к 3), проведенного через А. Тогда для любой точки
М<=3) имеем AM ^ АН и на каждой из полупрямых
Нх, Нх', определяемых на 3) точкой Я, расстояние
AM есть строго возрастающая функция расстояния
ИМ, стремящаяся к +°° вместе с НМЛ
Расстояние АН есть, таким образом, абсолютный
минимум AM, когда М пробегает 3)\ оно называется
расстоянием от точки А до прямой 3).
Доказательство. Пусть точка А' симметрична А
относительно прямой 3) (рис. 10). Для каждой точки
Mg2) имеем 2АМ = AM + MAr ^ AAr = 2AH и,
значит, AM ^ АН, где равенство достигается лишь
при М е [АА'\, т. е. при М = Н.
Если М, Р — две точки прямой 2), принадлежащие
одной и той же полупрямой с началом Я, и HP >
> HMt то Me [HP] и аксиома Паша, примененная

9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 251
к треугольнику {НРА')> показывает, что прямая \АМ\
пересекает [РА'\ в некоторой точке Q. Поэтому
2AP = AP + PQ + QA'> AQ + QA' и
AQ + QA' = AM + MQ + QA' > AM + MA' = 2ЛМ,
откуда АР > AM.
Наконец, меняя ролями А и М> найдем, что МА >'
> МН по первой части предложения. Значит, МА
стремится к +оо, когда МН стремится к -f-oo.
Рис. 10
Приложение: пересечение прямой с окружностью
Так как окружность ^@, R) есть множество точек
плоскости ?РУ расстояние которых от ее центра, т. е.
точки О, равно ее радиусу /?, то имеет место
Предложение 9.2. Для того чтобы прямая <?) пе-
пересекалась с окружностью ff(O,R), необходимо и до-
статочно, чтобы расстояние d(Oy3)) от О до 3) не
превосходило R\ прямая имеет с окружностью две
общие точки или одну, смотря по тому, будет ли
d@,2))<R или d@2>) R
Доказательство. Необходимость условия вытекает
из предложения 9.1. Для доказательства достаточно-
достаточности предположим, что d(O,2>)< /?, и обозначим че-
через Я ортогональную проекцию О на 3). На каждой
из полупрямых Нх, Нх\ определяемых началом Н на
2), расстояние ОМ есть строго возрастающая функ-
10*

252 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ция расстояния НМУ изменяющаяся от d{Oy2D) до
,+ оо, когда НМ изменяется от 0 до +°°; следова-
следовательно, она единственный раз принимает значение /?.
Исследование случая d(Oy 2)) = R очевидно. ?
Пересечение двух окружностей
Без какой-нибудь дополнительной аксиомы, по-ви-
по-видимому, трудно обсуждать вопрос о пересечении
двух окружностей, не используя топологических со-
соображений. Допустив, что окружности являются связ-
связными множествами на 9* (см. упр. VI. 6), мы уста-
установим
Предложение 9.3. Для того чтобы две окружности
0, R)y «^@',/?') с различными центрами О, О' пе-
пересекались, необходимо и достаточно, чтобы расстоя-
расстояние d = 00' между их центрами удовлетворяло не-
неравенствам
+ R'; A)
они имеют две общие точки или одну, смотря по тому,
являются ли неравенства строгими: \R — R'\<Cd<C<
<С R + R' или одно из них становится равенством:
d = \R — R'\ или d = R f R'.
Доказательство. Необходимость условия A) сле-
следует из неравенства треугольника. Пусть, напротив,
A) выполнено; обозначим через f(M)=O'M рас-
расстояние от О' до переменной точки М окружности
^@, R). Применив неравенства для сторон треуголь-
треугольника (М00')у получим \d — R\^f{M)^d + R; кро-
кроме того, / принимает значения \d — R\y d + R в точ-
точках Л, В прямой {00'). Но / — непрерывное отобра-
отображение из W(O,R) в R (как ограничение на ^@,/?)
функции расстояния). Если мы допустим, что
^0, R) — связное множество, то / будет принимать
[АВ каж-
кажd—R\
( ) / у р
на каждой из полуокружностей диаметра [АВ
дое значение, заключенное между наименьшим
у \
и наибольшим d-\-R\ в частности, / примет и значе-"
ние R' (так как из A) следует, что \d — R\^R'^
z^d + R).
Остается доказать, что / на каждой из полуокруж-
полуокружностей принимает значение R' лишь один раз. Дей-

9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 253
ствительно, если f(M) = f(P) = R', то прямая {00')
есть медиатриса отрезка [МР] и точки М, Р могут
принадлежать одной и той же полуокружности лишь
при М = Р. Отсюда и вытекает результат, поскольку
М^(О/?)Г)^(О',/?') равносильно f(M) = R'. П
Пересечение двух прямых
Полученные результаты показывают, что суще-
существуют пары прямых, не имеющих общей точки; так,
имеет место
Предложение 9.4. Если прямая 3) не проходит
через точку О, то прямая 3)', симметричная 3) отно-
относительно О, не пересекается с 3).
Доказательство. Если бы 3) и 2)' имели общую
точку Л, то им принадлежала бы и точка Ву симмет-
симметричная А относительно О. Эта точка отлична от точ-
точки А (так как А Ф О), поэтому прямые 3) и 3)'
должны были бы совпадать и 3) проходила бы че-
через О как середину отрезка [АВ], то противоречит
предположению. ?
Предложение 9.5 Две различные прямые 3), 3)\
перпендикулярные к одной и той же прямой Д, не
имеют общих точек.
Это есть прямое следствие предложения 4.5. Из
него выводится
^ Предложение 9.6. Через любую точку А, не лежа-
лежащую на прямой 3), проходит по меньшей мере одна
прямая 3)', не пересекающаяся с 3).
Доказательство. Первый способ: выберем на 3)
точку В и примем за 3)' прямую, симметричную SD.
относительно середины О отрезка [АВ].
Второй способ: проведем через А прямую Д, пер-
перпендикулярную 3), и затем построим 3)' как перпен-
перпендикуляр к Д в точке А. ?
Предложение 9.5 допускает следующее обобщение*
Предложение 9.7. Если две различные прямые 3),
3)\ образуют с некоторой прямой Д соответственна

254
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
равные углы1) (см. рис. 11), то они не имеют общей
точки.
Доказательство. Если 3), 3)' пересекают Д в точ-
точках Л, А', то, как легко видеть, 3)' и %Ь симмет-
симметричны относительно середины / отрезка ИЛ'].
> Этот результат, которым иногда пренебрегают,
имеет важное практическое значение, так как служит
оправданием приема построения параллельных с по-
помощью угольника (см. рис. 12).
Наконец, предложение 9.7 само допускает следую-
следующее уточнение:
Предложение 9.8. Если Ах, By— полупрямые,
такие, что сумма хАВ + уВА равна развернутому
углу или не определена, то они не имеют общей точки
l(cm. рис. 13).
Я/ /
Рис. 11
Рис. 12
Доказательство. Если бы Ах и By пересекались
в точке С, то треугольник (ABC) не удовлетворял
бы следствию из предложения 8.2. ?
Аксиома Евклида о параллельных
Только дойдя до этого места, Евклид в своих «На-
«Началах» формулирует свой знаменитый пятый посту-
постулат в следующей форме:
^ (Ео) Если две полупрямые Ах, By расположены
по одну сторону от прямой (АВ) и сумма хАВ -\- уВА
1) Выше не было определения соответствующих углов; чи-
читателя не затруднит дать его, пользуясь понятиями полупрямых
и полуплоскостей, — Прим. перев,

ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 255
строго меньше развернутого угла, то эти полупрямые
имеют общую точку (см. рис. 14).
Легко видеть, что утверждение (Ео) равносильно
следующему, которое является современной формой
постулата Евклида, введенной в практику преподава-
преподавания Дж. Плэйфером (J. Playfair, 1748—1819I).
> (Е{) Через точку, не лежащую на прямой 3), про-
проходит не более одной прямой, не пересекающей 3).
Эти формулировки равносильны также следую-
следующей:
а а л в
Рис. 13 Рис, 14
> (Е^) Для того чтобы две различные прямые не пе-
пересекались, необходимо, чтобы их соответственные
углы с каждой общей секущей были равны.
Доказательство равносильности этих аксиом эле-
элементарно.
Не принимая временно ни одной из этих аксиом,
мы продолжим изучение абсолютной геометрии, идя
по стопам Саккери и Лежандра; мы обнаружим дру-
другие свойства, эквивалентность которых аксиоме Ев-
Евклида менее очевидна, в их числе
О* (Е^) Существуют прямая 3) и не лежащая на ней
точка Л, такие, что через А проходит единственная
прямая, не пересекающая 3).
О* (Е3) Существует прямоугольник (т. е. четырех-
четырехугольник с четырьмя прямыми углами).
1) В такой форме постулат также называют именем Прокла
или Прокла — Плэйфера. — Прим. перев,

256 ГЛ. Vr. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
> (Е4) Сумма углов любого треугольника равна раз-*
вернутому углу.
^ (Е5) Существует треугольник, сумма углов которо-
которого равна развернутому углу.
> (Е6) Существует пара неизометричных треуголь-
треугольников (ABC) и (А'В'С) с равными углами: Л/ = Л,
Равносильность (Е6) с (Ei) доказывает, что евкли-
евклидова плоскость — единственная, для которой суще-
существуют подобия, не сводящиеся к изометриям.
10. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРИ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Уточним сначала, что многоугольник в плоскости
9* называется выпуклым,, если все его вершины рас-
располагаются по одну сторону от прямой, соединяющей
любую пару последовательных вершин.
Ai
в=В0 C=Bi Б2 Вз В4
Рис. 15
Определение 10.1. В метрической плоскости 3*
четырехугольником Саккери называется выпуклый
четырехугольник (ABCD), такой, что углы ABC и
BCD прямые и ЛВ = С/). Отрезок [ВС] называется
его нижним, а отрезок [AD] — верхним основаниями
(рис. 15).
Легко видеть, что в случае евклидовой геометрии
такой четырехугольник будет прямоугольником. По-

10. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ 257
этому изучение этого четырехугольника позволит нам
углубить представление о значении постулата Ев-
Евклида.
> Теорема 10.1. Если (ЛВС/3) — четырехугольник
Саккери, то AD^BC и равные углы BAD, CD A
острые или прямые.
Доказательство, а) С помощью последовательных
осевых симметрии мы можем построить последовав
тельность четырехугольников Саккери (АпВпВп+1Ап+х),
такую, что А0 = А, В0 = В, AX=^D, Bl = C и для
всякого /zeN* отрезок [Ап+[Вп+1] симметричен
{An_xBn_i\ относительно прямой (АпВп) (см. рис. 15).
Тогда точки Во, Вь ..., Вп коллинеарны и для лю-
любого /zc=N выполнено равенство ВпВп+1^= ВС.
Точки (Ап) необязательно коллинеарны, гно для
всех neN имеем AnAn+l = AD и АпВп
А в' 3
v ;
п
; /
/ л
Рис. 16
Повторно применяя неравенство треугольника, мы
увидим, что длина отрезка [ВВп] не превосходит дли-
длины ломаной (ВАА\ ... АпВп), откуда
(уп €= N) пВС < nAD + 2ЛВ,
и переходя к пределу после деления на /г, получаем
b) Отрезки [CD] и [ВА] очевидным образом сим-
симметричны относительно медиатрисы отрезка [ВС]
(рис. 16). Последняя соединяет, таким образом, се-
середины / и / отрезков [ВС] и [Л/)], и медиатриса А
отрезка [//] не пересекает ни одной из прямых (AD)
и (ВС) (поскольку прямые (AD), (ВС) и А перпен-
перпендикулярны к прямой (//)). Тогда, поскольку / и / не
лежат по одну сторону от А, так же обстоит дело и

?58 гл- VI- МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
с точками А и В; отрезок [АВ] пересекает А в неко-
некоторой точке К. Но ВС ^ А Д поэтому точка В\ сим-
симметричная В относительно А, принадлежит отрезку
[AJ]. ^
Если В'-=А (случай, когда BC = AD), то BAD =»
«= ЛВС = 6. Если ?' =#= Л, то в треугольнике (КАВ')
угол в вершине В' прямой и по предложению 8.2
другие его углы острые, откуда BAD = КАВ' < б. ?
Сформулированное утверждение доказано, и вид-
до, что равенство АВ = CD имеет место только в
случае BAD — CD А = 6, когда (ABCD) — прямоуголь-
прямоугольник. В этом случае имеем
Предложение 10.2. Пусть (ABCD) — четырехуголь-
четырехугольник Саккери, являющийся прямоугольником (т. е.
атакой, *гто BAD===CDA==d). Если А'(=[ВА] и Z/g=
е [CD] — такие точки, что В А' = CD\ то прямая (A'D')
перпендикулярна прямым (АВ) и {CD).
Доказательство. Равенства ВА = CD и ВА' = CD'
влекут А'А = DfD, и видно, что (A/BCD/)j и
^A'ADD')—четырехугольники Саккери (рис. 17).
Поэтому В A'D' <б и AA'D' ^ 6, что вместе с ра-
равенством BA'D' -{- AA'D' = (х> приводит к равенствам
&A'D/ = AA'D' = d. Итак, прямая (A'D') перпендику-
перпендикулярна к (АВ). Аналогично можно убедиться, что она
перпендикулярна и к {CD). ?
Применение к изучению суммы углов треугольника
Для начала установим
Предложение 10.3. Сумма непрямых углов прямо-
прямоугольного треугольника не превосходит прямого угла.
Доказательство. В силу следствия из предложе-
предложения 8.2 треугольник имеет не более одного прямого
|?гла. Пусть (ABC) — прямоугольный треугольник
с прямым углом в В и В' — точка, симметричная В
относительно середины / отрезка [АС] (рис. 18). На

30. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРИ. ПРИЛОЖЕНИЯ
259
перпендикуляре к прямой (ВС), проведенном в точ-
ке С, найдется такая точка Д что CD = АВ, причем
D расположена по ту же сторону, что и Л, от прямой
{ВС). Тогда (ABCD) есть четырехугольник Саккери,
и в силу симметрии ВАС = В'СА.
Ф Если B' = D, то ВСА + ВАС = ВСА + %
@ Если В' Ф Д то по симметрии АВ' = ВС, откуда*
применив теорему 10.1, получим ABr ^ AD. Следова-
Следовательно (см. упр. VI. 1), Л лежит с той же стороны,
А'
Рис. 17
Рис. 18
что и В', относительно медиатрисы А отрезка [B'D],
проходящего через С (поскольку СВ' = АВ = CD).
Таким образом, АСВ/ < ACD, откуда
ВСА + ВАС = ВСА + ВХА =- BCBf < BCD = б.
Во всех случаях ВСА + ВАС^8. U
^ Теорема 10.4 (называемая теоремой Лежандра —
Саккери). Сумма углов треугольника не превосходит
развернутого угла.
Доказательство. Согласно следствию из предло*
жения 8.2, треугольник имеет не более одного пря-
прямого или тупого угла. Поэтому мы можем считать,
что углы ABC и АСВ треугольника {ABC) острые.
Тогда основание Н перпендикуляра, проведенного
к прямой {ВС) через Ау принадлежит отрезку [ВС]
(см. рис. 19) и ЛВС + ВСА + CAB = АВН ¦? ВАН ¦?>
Л б = (о. Q

B60
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Одно свойство прямоугольников
Предложение 10.5. Если (ABCD) — прямоугольник
(т. е. четырехугольник с четырьмя прямыми углами),
то прямая (AD) является единственной прямой, про-
проходящей через Л и не пересекающей прямой (ВС).
Доказательство. Допустим, что существует прямая
3), проходящая через Л, отличная от прямой (AD) и
не пересекающая прямой (ВС), и пусть С, D' сим-
симметричны С, D относительно прямой (АВ) (рис. 20).
27'
V
Рис. 19
в с
Рис. 20
н(
в'
Если бы 3) не пересекала ни один из отрезков (CD)\
[CD'], то точка С (соотв. С) лежала бы по одну
^торону с D (соотв. D') относительно 3), и поскольку
2D пересекает отрезок [DD'], то вопреки предполо-
предположению SD пересекала бы также и отрезок [СС7].
Предположим для определенности, что 3) пересе-
пересекает [CD] в точке Ль и обозначим через Л', В/ точки,
симметричные Л, В относительно прямой {CD)
(см. рис. 20).
Теперь (АВВ'А') есть четырехугольник Саккери,
одновременно являющийся и прямоугольником. Если
Яр Н\ обозначают ортогональные проекции Л1 на
прямые (АВ), (А'В'), то из соображений симметрии
ВН\ аи B'H'V и предложение 10.2 показывает, что пря-
прямая НХН[ перпендикулярна (АВ) и (А'В') и, значит,
проходит через точку А\. Тогда (ADAiH\)—прямо-
(ADAiH\)—прямоугольник, и мы можем с помощью повторных симмет-
симметрии замостить плоскость прямоугольниками, конгру-
конгруэнтными (ADA\H\) (рис. 21). Отсюда вытекает суще-
существование последовательности {Ап) точек 3) с Ло =

11. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
2Ы
= Л, такой, что ортогональная проекция Нп точки Ап
на прямую (АВ) удовлетворяет условию
где Л#1 =^= О (поскольку 2) не проходит через D).
Тогда при достаточно больших п будем иметь АНп >
> АВ; в этом случае Л и Нп не лежат по одну сто-
сторону от прямой {ВС). Далее, прямые (ВС) и {НпАп)
не пересекаются (они обе перпендикулярны к (АВ)).
Таким образом, Ап и Нп лежат по одну сторону от
{ВС) у причем противоположную той, где находится
Рис. 21
Л. Значит, отрезок [ААп] пересечет (ВС) вопреки
предположению. ?
> Заметим, что это доказательство основано на том
факте, что прямые—архимедовы.
П. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
Теперь мы в состоянии установить равносильность
утверждений Еь Е2, E3, E4, E5, E6, сформулированных
в конце § 9. Она будет следовать из предложения
10.5 и предложений, приведенных ниже.
Предложение 11.1. Предположим, что существуют
прямая 2) и точка Л, такие, что через Л проходит
единственная прямая 3)', не пересекающая 3). Тогда
для каждого действительного d > 0 существует пря-
прямоугольник, одна из сторон которого равна d, и через
любую точку М плоскости ^ проходит не более одной

26$ ГЛ- VI- МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
прямой, не пересекающей произвольной заданной
прямой А.
Доказательство, а) Пусть В — основание перпен-
дикуляра, опущенного из Л на Д и С — такая точка
на Ъ, что ВС = d (см. рис. 22). Так как &'— един-
единственная прямая, проходящая через Л и не пересе-
пересекающаяся с .25, то она совпадает с прямой, симмет-
ричной &) относительно середины отрезка [ЛВ], и,
следовательно, перпендикулярна к (ЛВ). Пусть, да-
далее, 3)" — перпендикуляр к 2D, проведенный через С«
Рис. 22 3) В d С
поскольку прямая, перпендикулярная к 2)" и провес
денная через Л, не пересекает прямой 3), то она сов-
совпадает с 2Df и пересекает @)" в некоторой точке D.
Таким образом, (ABCD) — прямоугольник, сторона
[ВС] которого имеет длину d.
b) Пусть А — прямая в плоскости 5°, М — точка из
&*\\ и Р — основание перпендикуляра к А, проходя-
проходящего через М (см. рис. 23). Положим МР = dy и
пусть (ABCD) — такой прямоугольник, что ВС = d.
Существует изометрия / плоскости ^, которая пере-
переводит В в М и С в Р. Пусть A' = f{A), D' = f(D);
тогда {MPD'A')—прямоугольник и D'eA, Предло-
Предложение 10.5 показывает, что (МА') — единственная
прямая, проходящая через Ми не пересекающая А. ?
Предложения 10.5 и 11.1 делают очевидной экви-
эквивалентность аксиом (Ei) — (Е3) из конца § 9. Далее,
хорошо известно, что (Ei) влечет (Е4) (см. упр. VI. 8)
и (Е6), и поскольку из (EU) следует (Es), нам остает-
остается доказать, что из (Е5) вытекает (Е3), а (Еб) вле-
влечет (Ее).
Предложение 11.2. Пусть (ABC) — треугольник,
сумма углов которого равна развернутому углу; тогда

11. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
263
существует прямоугольник, диагональ которого яв-
является одной из сторон этого треугольника.
Доказательство. Можно считать, что углы В и С
острые. Тогда основание Н высоты, проведенной из
Л, лежит между В и С; сумма всех непрямых углов
прямоугольных треугольников (АНВ) и (АНС) рав-
равна со. Из предложения 10.3 вытекает, что сумма не-
непрямых углов каждого из этих треугольников равна
прямому углу. Если К — точка, симметричная Н от-
относительно середины / отрезка [АВ] (см. рис. 24), то
легко обнаружить, что (АНВК) — прямоугольник. ?
Рис. 23
н с
Рис. 24
Замечание. Отождествив каждый угол с его ра-
дианной мерой, легко убедимся, что существование
треугольника с суммой углов, равной я, равносильно
существованию выпуклого четырехугольника с сум-
суммой углов, равной 2л1). Чтобы доказать, что из ак-
аксиомы (Е6) следует аксиома (Еб), достаточно, таким
образом, установить
Предложение 11.3. Если существует два неизо-
метршных треугольника (ЛВС), (А'В С) с равными
углами: Л' = А, В' = В, С' = С, то существует вы-
выпуклый четырехугольник, сумма углов которого
равна 2п.
Доказательство. Ввиду неизометричности треуголь-
треугольников можно для определенности положить А/В/ ><
1) Можно также, не используя меры углов, придать соот*
ветствующий смысл утверждению: «сумма углов четырехуголь*^
пика равна 2(о»,

264 гл- VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
> А В. Пусть f — та изометрия, которая переводит?
полупрямую (А'В'( в полупрямую (АВ(, а полупря-
полупрямую (Л/С/(—в полупрямую {АС(. Обозначим В\ =
*=f(B'), Ci = f(C) (см. рис. 25). Тогда АВё =>
«=ЛБ1С1 и ЛСБ = ЛС^ь откуда следует, что сумма уг«
лов выпуклого четырехугольника (BB{CiC) равна 2л.
Указанная выше эквивалентность аксиом пол-^
ностью доказана. ?
Эта эквивалентность не решает, однако, вопроса
о независимости пятого постулата Евклида от осталь-
ных аксиом. Эта независимость следует из того фак-
Рис. 25 А В В<\
та, что можно определить на R2 или на некоторых
частях R2 структуру «метрической плоскости», для
которой аксиома Евклида не выполняется; такая пло-
плоскость называется гиперболической и представляет
собой «модель» неевклидовой геометрии. Мы приве-
приведем такой пример в § 12.
Более того, свойства метрической плоскости, по-
полученные Бойаи и Лобачевским при отрицании посту-
постулата Евклида, позволяют построить биекцию, изомет-
изометрическую с точностью до постоянного множителя, этой
«метрической неевклидовой плоскости» на гиперболи-
гиперболическую плоскость. Но связанные с этим вычисления
далеко не элементарны и слишком длинны, чтобы их
здесь привести; их можно найти в гл. VI в [ВК—SZ],
Существование этого изоморфизма легко позво-
позволяет построить новые формулировки, равносильные
аксиоме Евклида (см. упражнения). Оно показывает,
кроме того, что с точностью до гомотетии существуют
Лишь две «метрические плоскости»: евклидова и ги-
гиперболическая— это итог 25 веков исследований, от
Евклида до XIX в.

12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ' ПУАНКАРЕ) 265
J2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ
(МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ)
Назовем гиперболической плоскостью множество
<р = {(х, t/)e R2\y > 0}, именуемое также полупло-
полуплоскостью Пуанкаре; назовем гиперболической прямой
любое подмножество в #>, определяемое уравнением
вида х = Хо (хо постоянно) или вида (х — xoJ + t/2 =
[= г2 (хо, г постоянны). Гиперболические прямые —
это пересечения с & евклидовых прямых из R2, орто-
ортогональных оси х'х, и евклидовых окружностей с цент-
центрами на х'х (предполагается, что плоскость R2 снаб-
снабжена канонической евклидовой структурой).
Рис. 26
Рис. 27
Легко видеть, что пара (^, i?), состоящая из ги-
гиперболической плоскости 3* и множества гиперболи-
гиперболических прямых 2, удовлетворяет аксиомам инцидент-
инцидентности I из § 2. С другой стороны, каждая гиперболи-
гиперболическая прямая 3) допускает очевидным образом два
естественных взаимно противоположных отношения
порядка (см. рис. 26) и разбивает ?Р\3) на две об-
области, которые мы можем назвать «полуплоскостями».
Если 3) имеет уравнение х = хо, то полуплоскости
определяются неравенствами х > xq и х<х0; если
же 2D определяется уравнением (х — х0J + у2 = г2,
то полуплоскости соответственно задаются неравен-
неравенствами (х — *оJ + У2 > г2 и (х — хоJ + у2 < г2. Кро-
Кроме того, две точки Л, В принадлежат одной и той же
полуплоскости, ограниченной 3), тогда и только тогда,
когда соединяющий их отрезок гиперболической пря-
прямой не пересекает 3). Отсюда нетрудно вывести, что
SP удовлетворяет аксиоме Паша Пь. Наконец, оче-
очевидно, что & не удовлетворяет аксиоме Евклида о па-

266
ГЛ. УГ. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
раллельных: на рис. 27 изображены две гиперболиче-
гиперболические прямые @)\ ®2, пересекающиеся в точке Л и не
пересекающие гиперболической прямой 3).
Расстояние между двумя точками
Мы определим гиперболическое расстояние меж-
между двумя точками Л и В плоскости Ф криволинейным
интегралом
в
где ds =
A)
взятым по дуге АВ> образованной сегментом гипер*
болической прямой, соединяющей точки А и В.
Это расстояние очевидным образом удовлетворяет
аксиомам Ша, Шь, Шс из § 1. Ясно, что d(A, В) удов-
удовлетворяет неравенству
d(A9
Ул
причем равенство достигается лишь тогда, когда Л и
В имеют одинаковые абсциссы. Отсюда видно, что
d(A, В) стремится к +оо, когда ув стремится к О
или +оо, и поскольку d(AyB) — непрерывная функ-
функция б, то отображение М »—>^(Л, М) определяет би-
екцию каждой из гиперболических полупрямых с на-
началом Л на полупрямую R+, Поэтому, гиперболиче-
гиперболическое расстояние удовлетворяет и аксиоме IIId из § 1.
Формула гиперболического расстояния
а) Если Л, В имеют одну и ту же абсциссу #0, то
гиперболическая прямая, которая их соединяет, есть
евклидова полупрямая х =» х0, У > 0, и мы имеем *)*
ув ,
d(A,B) =
УА
In
Ъ) Если абсциссы точек Л, В различны, то соеди-
!) Удобно считать, что путь интегрирования ориентирован
так, что у в > ул, — Прим, перев*

12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ4 ПУАНКАРЕ) 267
няющая их гиперболическая прямая является евкли*
довой полуокружностью 2) с диаметром [PQ], лежа-
лежащим на х'х. Если мы отождествим R2 с LCi и обозна-
обозначим через а, 6, р, q аффиксы точек Л, В, Р, Q, то
полуокружность ?D допускает параметрическое пред-
представление 0 *¦—> со + reie (О < 0 < п) с со = (р + <7)/2 и
г = I (Р — Ф/21 (Рис- 28)> откуда
d(A,B) =
Arg (Ь-cd)
Arg (a-co)
\ • • q = 11 In tg-7r|
J sin 9 И & 2 J
Arg (&-©)
Arg (а—со)
i=b
B)
где [а, 6, р, q] — двойное отношение а, Ь, р, ^ (см-
§ IV. 8), которое действительно1) ввиду конциклично-
сти точек Л, Б, Р, Q (упр. IV. 29).
/Q х
Рис. 28
Можно заметить, что формула B) остается верной
и в случае а), если положить р = х0 и q = оо. Легко
также доказать, что формула B) равносильна фор-
формуле
d (Л, В) = 2 Arth [а, а, 6, Ь]1/2 = 2 Arth | |=y |, B')
1) Легко проверить, что оно положительно,«Прим* перев*

2Ш гл- VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
где а, В комплексно сопряжены с а, Ь и Arth — функ-
ция /^V2l(j^f)
Автоморфизмы и симметрии 3*
Легко видеть, что если отождествить & с множе-
множеством {z e CJ 1гп2 > 0}, то отображения вида
¦, (a, b, с, d) <= R4 и ad — be > О
или
z н-> -^jlqry > (а> 6> с, rf) e R4 и ad —be < О
являются биекциями 3* на ^, преобразующими каж-
каждую гиперболическую прямую в гиперболическую пря-
прямую (так как это преобразования С, которые перево-
переводят окружность или прямую снова в окружность или
прямую и сохраняют ось х'х, а, значит, множество
прямых и окружностей, ортогональных х'х). Кроме
того, эти преобразования сохраняют двойные отноше-
отношения или переводят их в комплексно сопряженные. По
формулам B) и B') они сохраняют гиперболическое
расстояние и являются автоморфизмами 3> в смысле
определения 2.1. В частности, евклидовы симметрии,
ось которых ортогональна х'х (преобразования вида
zь—>2х0 — г, где xoeR) и инверсии с положительной
степенью, полюс которых принадлежит х'х (вида
к
z н-> х0 + -= с k > 0), индуцируют инволютив-
X — Xq
ные автоморфизмы 3*> которые мы назовем гипербо-
гиперболическими симметриями; теперь нам остается лишь
проверить аксиомы симметрии Va и Vb из § 2.
Предложение 12.1. Для каждой гиперболической
прямой 3) существует гиперболическая симметрия,
S3), для которой эта прямая 3) есть множество непо-
неподвижных точек и которая является единственным не*'
тождественным автоморфизмом 3>, оставляющим не-
неподвижными все точки прямой 3).
Доказательство, а) Если 3) лежит на евклидовой
прямой, ортогональной х'х, то подходит евклидова
симметрия относительно этой прямой. Если 2Ь лежит

12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ1 ПУАНКАРЕ) 269
на евклидовой окружности радиуса г с центром в
/точке / оси хгх, то искомую симметрию даст преоб-
преобразование инверсии с полюсом / и степенью г2.
Ь) Пусть f—автоморфизм &, оставляющий на
месте каждую точку гиперболической прямой ?D.
Если f Ф IcU, то применимое здесь предложение 3.5
показывает, что f не имеет других неподвижных то-
,чек. С другой стороны, из предыдущего мы видим, что
существует автоморфизм А, такой, что hC)) распола-
располагается на евклидовой прямой А, ортогональной к х'х\
в этом случае g-= Aofo А есть автоморфизм с мно-
множеством неподвижных точек hED). Если z обозначает
аффикс точки М в ^, a zf—аффикс точки g(M), то
по формуле B')
zr — a
z — a
для всех а е (С", для которых точка с аффиксом а
принадлежит hB)). Значит, М' расположена симмет-
симметрично с М относительно евклидовой прямой Л, откуда
вытекает единственность g, а значит, и /. ?
Предложение 12.2. Существует по меньшей мере
одна гиперболическая симметрия, меняющая местами
две гиперболические полупрямые с общим началом.
Доказательство. Действуя, как и ранее, мы можем
свести дело к случаю, когда одна из гиперболических
полупрямых расположена на евклидовой прямой А,
ортогональной в Я к х'х\ при этом другая гиперболи-
гиперболическая полупрямая будет представлена дугой АР
окружности Г с диаметром [PQ] на оси х'х\ так как
Г пересекает Л, то Н лежит между Р и Q (рис. 29).
Если первая полупрямая представлена отрезком
[АН] прямой А, то инверсия с полюсом Q и положи-
положительной степенью QP-QH дает искомую симметрию;
если же первая полупрямая представлена евклидовой
полупрямой Ау, то искомую симметрию даст инвер-
инверсия с полюсом Р и положительной степенью PQ-i
-ph. a
Итак, мы сумели построить «метрическую пло-
плоскость» ^ удовлетворяющую пяти группам аксиом

270
ГЛ. УГ. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
из § 2, но не удовлетворяющую аксиоме Евклида
о параллельных; этим доказана независимость послед-
последней аксиомы и невозможность доказать ее исходя из
аксиом метрической плоскости.
Замечание. Можно доказать, что угол между дву-
двумя гиперболическими прямыми равен углу между.
Рис. 29
представляющими их дугами окружностей евклидовой
плоскости. Модель Пуанкаре оказывается, таким об-
образом, конформной, т. е. сохраняющей углы, моделью
гиперболической плоскости. Существуют и другие мо-
модели этой геометрии, и среди них модель Бельтрами,
в которой гиперболические прямые представлены от-
отрезками евклидовых прямых (см. упр. VI. 17). Даль-
Дальнейшие подробности по гиперболической геометрии,
а также изложение сферической или эллиптической
геометрии, см. в книге [BEJ, т. 5.

УПРАЖНЕНИЯ
ГЛАВА I
1. Исходя из определения сложения действительных чисел, дан-
данного в § 1.1, усильте предложение 4.2, установив неравенство
Dn (x + y)<Dn (х) + Dn (У) + Ю"п.
2. (Изучение последовательности частных с точностью до 10~п.)
Пусть а, Ь — два действительных числа, причем Ъ >¦ 0. Пока-
Покажите (не опираясь на существование частного), что для любого
«gN существует «такое рп s Z, что 10"" pnb ^ а < 10""
Ч+Рп)Ь.
Покажите, что для (m, n) s N2 имеет место неравенство
нг"р„< io-m(i + Pm).
Выведите отсюда, что последовательность A0~прп) имеет верх-
верхнюю грань q, такую, что qb — а, и что 10-"рл есть десятичное
приближение порядка п для q.
3. а) Каковы гомоморфизмы группы (Q, +) в себя?
Ь) Покажите, что единственный автоморфизм поля Q есть
тождественное отображение.
4. а) Пусть к > 0 — такое целое число, что ^/k иррационален.
Покажите, что действительные числа вида а + Ь л/k , где (a, b) e
е Q2, образуют подполе К поля R.
Ъ) Покажите, что отображение К —> К* а + Ь л/k I—> а —
— Ъ V& является автоморфизмом поля К-
5. Пусть /: R —>¦ R — монотонное отображение, удовлетворяющее
условиям
(Vlx.y)sR«) f A^-L) = V* •(/ W + f (»))•
Покажите, что f — аффинное отображение (положив ф(я) ==*
= / (^) — f @), можно установить, что ф(х/2)= УгфМ и
) М ())
6. Подмножество A cz R называется всюду плотным в R, если
в каждом (непустом) открытом интервале ]^,u[cR содер-»
жится хотя бы один элемент из Л,

272 упражнения
Покажите, что если G — архимедова группа без дыр и
h — строго монотонный гомоморфизм G в R, то h(G) всюду
плотно в R (воспользуйтесь предложением 6.1).
7. а) Пусть G — упорядоченная абелева группа, удовлетворяю-
удовлетворяющая аксиоме (ВГ) (см. определение 6.2). Покажите, что любое
непустое минорируемое подмножество G имеет нижнюю грань*
b) Пусть G — подгруппа в (R, +)» не сводящаяся к {0},
и пусть а = inf {g e G\g > 0}. Покажите, что если а = 0, то
G всюду плотна в R (см. упр. 6).
Покажите, что если а > 0, то G есть множество aZ чисел
вида па, где п <= Z (нужно доказать, что если х — действитель-
действительное число, удовлетворяющее неравенствам ра ^ х < (р + 1) а,
где р <= Z, то х = ра).
c) Выведите отсюда классификацию архимедовых групп,
удовлетворяющих аксиоме (ВГ).
8. Пусть G — подгруппа в (R, +)» образованная действительны-
действительными числами вида р + q®, где со — фиксированное иррациональное
число и (р, q) e Z2. Покажите, что множество элементов G
счетно и не существует действительного а, такого, что G — aZ.
Выведите отсюда, что G всюду плотно в R и отлично от R
(воспользуйтесь предыдущим упражнением).
9. Покажите, что мультипликативная группа положительных
действительных чисел архимедова 1). Выведите отсюда, что для
любого действительного а > 0 существует единственная моно-
монотонная биекция ha из R^_ на R, удовлетворяющая условиям
ha(а) = 1 и h(xy) = h(x) + h(y) для любых х, y^R\ (тем
самым будет доказано существование » единственность лога-
логарифма по основанию а).
10. Пусть К — тело (коммутативность не предполагается), снаб-
снабженное отношением линейного порядка, таким, что если у ^ х,
то для любого ze/( имеем у + z ^ х + г, и если г > 0/с, то
г</ ^ zx, уг > хг.
a) Покажите, что К имеет характеристику нуль.
b) Предположим, что группа (К, +) архимедова, и обо-
обозначим через h монотонный гомоморфизм (К, +) в (R, +), та-
такой, что h(lK) — 1. Покажите, что элементы К вида
q~{p = (q. iK)~l (p- 1^), где (р, </)gZX 1ST, составляют подтело
Ко тела /С и что h(q~lp) == р/?.
c) Покажите, что для любых х, у из К выполнено равен*
ство h(xy) = h(x)h(y), и выведите отсюда, что К коммута-
коммутативно (можно предположить, что х > 0/с, # > 0/с, и воспользо-
воспользоваться оценками для х, у вида №~Прп < * < 10~n(l + pw)f
10" ^^ < г/ < 10~ (\-\-qn)). Заключение: всякое архимедово
упорядоченное тело есть поле.
*) «Положительными» в этой группе считаются элементы
1, Следует предположить, что а ф 1, — Прим. перев.

УПРАЖНЕНИЯ 273
11. (Элемент наибольшего порядка в конечной коммутативной
группе.) Пусть G — конечная коммутативная группа порядка п
в мультипликативных обозначениях, с нейтральным элементом 1*
a) Покажите, что для любого а е G существует целое
р ^ 1, такое, что ар = 1 иа^1 при 1 ^ q < р. Это целое р
называется порядком а.
b) Если а е G — элемент порядка р, то р является делите-
делителем п (рассмотрите факторизацию G по подгруппе Ga =
= {1, а, ..., ар~1}). Покажите, что соотношение aq = 1 (где
<^eN*) равносильно тому, что р — делитель q.
c) Пусть а,Ь — два элемента G порядков р, q соответственно,
причем р и q взаимно просты. Покажите, что ab — элемент по-
порядка pq (возведите соотношение апвп — 1 в степень р или q).
d) Пусть т — наименьшее общее кратное порядков элемен-
тов G и m = p{1 ... рг — его разложение на простые множите-
множители. Обозначим т{ = m/pv n{ = т/р®1. Покажите, что существует
такой элемент ogG, что атхФ\ и элемент 6j = аПх имеет поря-
порядок р^1- Покажите также, что для любого I ^ r найдется эле-
элемент b. e G порядка pt \ и с помощью с) установите, что про-
произведение c — b\b2 ... br имеет порядок т.
12. С помощью предыдущего упражнения покажите, что если
К — конечное поле, то мультипликативная группа К* = К \ {0}
циклическая. (Указания: предположив, что К имеет порядок nt
обозначим через т НОК порядков элементов /С*, тогда т де-
делит п — 1, и п—1 элементов /С* являются корнями уравнения
Хт — 1 = 0; отсюда т = п—1, и, значит, существует эле-
элемент а, такой, что К* = {1, а, ..., а"-1}.)
13. Пусть К — поле характеристики р. Пользуясь формулой би-
бинома Ньютона, покажите, что для любых (a, b) e К2 верны ра-
равенства (а + Ь)р = ар + Ьр и (а — Ь)р = ар — 6р. Выведите
отсюда, что отображение /:/(->/(, х\—> хр есть инъективный
гомоморфизм поля. Покажите, что в случае конечного поля /
является автоморфизмом. Что будет в случае, когда Д" —Z/pZ?
14. Пусть К — конечное поле порядка п.
a) Покажите, что для любого а е К существует целое по-
положительное q, такое, что qa = 0; выведите отсюда, что поле К
имеет конечную характеристику р.
b) Покажите, что множество элементов К вида т-\к, где
т е {0, 1, ,.., р—1}, образует подполе Ко поля /С, изоморфное
с) Покажите, что К допускает структуру векторного про-
пространства над /Со и что если d — его размерность, то порядок
поля равен п — pd. Далее покажите, что отображение /: К-+К,
х\—> хр линейно. (Эти результаты вместе с результатами упр. 12
показывают, что К отождествляется с «полем корней» полинома
Хп — X над Z/pZ в теории Галуа.)

274 УПРАЖНЕНИЯ
15. Построение поля1). Пусть К — поле и Р е /([I] — неприводи-
неприводимый полином над К (т. е. неразложимый в произведение двух
полиномов положительной степени над тем же полем).
a) Покажите, что, полагая R == S тогда и только тогда,
когда полином R — S делится на Р, мы получим на кольце по-
полиномов К[Х] отношение эквивалентности i%.
Далее класс эквивалентности полинома R обозначаем че-
через R, а соответствующее факторпространство — через К[Х]/(Р),
b) Покажите, что класс эквивалентности суммы (соотв.
произведения) двух полиномов R, S зависит только от их
классов /?, S. Выведите отсюда, что на К[Х]/(Р) можно опре-
определить сложение и умножение, такие, что
(V {R, S) е= (К [X]J) R~+~S = R + S и RS = RS.
c) Покажите, что К[Х]1(Р), снабженное этими двумя опе-
операциями, является коммутативным кольцом.
d) Используя неприводимость Р, покажите, что К[Х]/(Р)
является полем той же характеристики, что и К (для доказа-
доказательства того, что у элементарно есть обратный, заметьте,
что R и Р взаимно просты, и примените тождество Безу2)).
e) Если К — поле конечного порядка п, покажите, что
К[Х]/(Р) имеет порядок ndy где d = deg(P) (каждый элемент
можно представить полиномом степени ^.d— 1).
f) Покажите, что полином степени 2 или 3 над К непри-
неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в К
(это замечание будет использовано в приложениях).
16. Пусть К = {0,1, а, Ь)—множество из четырех элементов.
a) Покажите, что К допускает структуру поля характери-
характеристики 2, в котором 0 есть нулевой, а 1 — единичный элементы,
причем 1 + а = Ъ, 1 -f Ь = а, а2 = Ь, Ь2 = а, аЬ = 1.
b) Проверьте, что полином Р = X2 + X + 1 неприводим над
полем Хч = Z/2Z, и покажите, что поле Z2 [Х][(Р), полученное
как указано в предыдущем упражнении, изоморфно полю К
из а). (Это есть поле Галуа порядка 4, его обозначают /V)
17. Проверьте, что полином Л'3 + X + 1 неприводим над полем
Z2. Выведите отсюда существование поля F8 характеристики 2
и порядка 8, такого, что отображение X \—> X2 является авто-
автоморфизмом, отличным от тождественного.
18. а) Проверьте, что полиномы X2 + 1 и Хг — Х+\ неприво-
димы над полем Z$ = Z/3Z. Выведите из этого, что существуют
поля характеристики 3 и порядков 9 и 27 соответственно.
1) Это построение связано с теорией Галуа.
2) Под тождеством Безу здесь понимается следующее: если
R, Р взаимно просты, то существуют такие полиномы и, у, что
Ru + Rv = 1 (можно считать, что deg и > de^P, cleg v <,
< deg R). — Прим. перев%

УПРАЖНЕНИЯ 275
b) Постройте аналогичным путем поле характеристики 5
с 25 элементами (подыщите полином степени 2, неприводимый
над полем Z5 = Z/5Z).
ГЛАВА II
1. а) Пусть G — какая-либо группа, Л, Б —две ее подгруппы,
такие, что G = A U В. Покажите, что G = А или G = В (пред-
(предположив, что G ф В, выберите в G \В элемент а и покажите,
что если 6еВ, то ah e А).
b) Пусть X, У— два ВПП векторного пространства Е, та-
ких, что X U У есть ВПП в Е. Покажите, что 1сУ или У с Хщ
c) Выведите отсюда, что Е не может быть объединением
двух гиперплоскостей.
2. Пусть X, У — два конечномерных ВПП векторного простраьь
ства Е.
a) Покажите, что X-\-Y и X{]Y конечномерны и dim X -f*
+ dim У = dim(^ + У) + dim(X f) У).
b) Выведите отсюда, что если dim E = п, то dim(X (]Y) ^
^ dim X -f dim У — п.
3. Напомним, что два ВПП векторного пространства Е назы-
называются дополнительными, если каждый элемент г e ? един-
единственным образом записывается в виде г = л: + */> ГДе л ^ X,
^еУ, Отображение р: Е-+Е, г\—>* называется проектирова-
проектированием на X в направлении У.
a) Покажите, что отображение р линейно, причем Кег р = К
и Im р = X, и что р ° р = р.
b) Покажите, что верно и обратное, всякий эндоморфизм Е,
удовлетворяющий условию р ° р = р, является проектированием,
c) Пусть s — инволютивный автоморфизм Е. Считая, что ха-
характеристика основного тела не равна 2, покажите, что р =
= 7г (Не — 5) является проектированием, и выведите отсюда,
что существуют два таких взаимно дополнительных подпростран-
подпространства X, У, что s является симметрией в направлении У отно-
относительно А' (определяемой как s(x~\-y) =х — у для всех х е X
и yeY).
4. Пусть Е — векторное пространство над телом характеристи-
характеристики 2 и f — инволютивный автоморфизм Е.
a) Покажите, что Ker(/ — Id?) :э1т(/ — ЫЕ).
b) Предположив, что dim E = 2 и f ф 16е, покажите, что
в Е существует такой базис (/,/), что /(/) =/ и /(/) =/ + /.
Покажите, что верно и обратное: эндоморфизм, определенный
этими условиями, инволютивен.
c) Покажите, что и вообще всякая трансвекция инволю*
тивна (см. упр. 14).
5. Пусть Е — конечномерное векторное пространство и X, Y—<
два его ВПП. Покажите, что любые два из следующих трех
условий влекут третье: X П У = {0}, X + Y = Е, dim(X) +t
+ di(y) = dim(E).

276 ' УПРАЖНЕНИЯ
6. Пусть Е — векторное пространство; определим сумму F =
= Ех -f E2 + ... + Ер нескольких его ВПП как векторное про-
пространство, порожденное объединением Е\ (J Еч U ... U Ер. Назо-»
вем ее прямой суммой, если сюръективное отображение
f: Ех X Е2 X ... X Ер —> F, (хь ..., хр) ь-> jc, + ... + хр
инъективно. В этом случае будем писать F = Е{ 0 ... 0 Ept
a) Пусть р = 2; покажите, что сумма Е\ -f ?2 будет пря-
прямой тогда и только тогда, когда Е\ П Е2 = {0}.
b) Пусть р ^5 3; для каждого k е {1, 2 р} положим
Покажите, что ^Г ?t- — прямая сумма тогда и только тогда,
когда Ek П ^й = {0} для всех &.
c) Приведите пример трех ВПП в R2, таких, что Е\ (] Ег П
[\ ?3 = {0}, но ?*i + ?г + Еъ не является прямой суммой.
d) Допустим, что все подпространства Ei конечномерны.
v
Покажите, что ^ Ei является прямой суммой тогда и только
z = i
р
тогда, когда dim (F) = ^Г dim (?t).
7. Пусть ? — векторное пространство и X — его ВПП коразмер"
ности р (т. е. такое, что dim(E/X) = p). Покажите, не приме-
применяя аксиому Цорна, что X допускает дополнительное подпро-
подпространство размерности р.
8. Пусть Е — векторное пространство и V — его ВПП, такое,
что для любого ВПП X а Е размерности р выполнено условие
dim(Vn^) ^ 1. Покажите, что коразмерность V не превосходит
р — 1 (проведите рассуждение методом от противного, предпо-
предположив, что существуют р элементов х\, ..., хр пространства ?,
таких, что их классы по модулю V независимы, и рассмотрите
пересечение V с X = Vect(#i хр)).
9. Пусть Ни Н2 — две гиперплоскости одного и того же век-
векторного пространства Е. Покажите, что существует векторная
прямая, одновременно дополнительная к Н{ и Н2 (можно ис-
использовать упр. 1, и тогда упр. 12 позволит вывести заключение
о существовании инволютивного автоморфизма Е, переставляю-
переставляющего Н\ и Hz)>
10. Пусть Е — векторное пространство и Х} Y — два его ВПП
одинаковой конечной размерности. Покажите, что X, Y допу-
допускают общее дополнительное подпространство. (Можно построить
базис X+Y вида (е{ ek, аи ¦.., aq% bu ..., bq), такой,
что (#i ek) будет базисом X П Y, (еи ..., е*, аи ..., aq) —
базисом X и (ей ,.., ек, Ьи ».., bq) — базисом Y. Если L —

УПРАЖНЕНИЯ 277
подпространство, дополнительное к X-\-Y, то L+Vect(ai + b\, ..,
,.., aq + bq) будет дополнительным кА'ик У.)
11. а) Пусть ? —векторное пространство, X — его ВПП и / —
автоморфизм X. Покажите, что существует автоморфизм g про-
пространства Е, ограничение которого на X совпадает с /; кроме
того, если / инволютивно, то можно и на g наложить условие
инволютивности (воспользуйтесь подпространством, дополнитель-
дополнительным к X).
Ь) Пусть X, У— два ВПП пространства Е одинаковой ко-
конечной размерности и f — изоморфизм X на У. Покажите, что f
продолжается до автоморфизма Е (примените упр. 10).
12. Пусть Е — векторное /(-пространство и А', У — два его ВПП,
допускающие общее дополнительное подпространство L. Обо-
Обозначим через р проектирование Е на У в направлении L.
a) Покажите, что существует автоморфизм f пространства
?, такой, что f\x = р\х и f\L = —-Id*..
b) Покажите, что для всех (х, у) е X X У, таких, что
х — у е L, выполняется f(x) = у и f(y) = х. Выведите отсюда,
что / инволютивен и меняет местами X и У.
c) Предположим, что характеристика К отлична от 2. По-
Покажите, что / — симметрия в направлении L. Как построить мно-
множество неподвижных точек /, исходя из X, У и L?
Приложение. Для двух заданных гиперплоскостей X, У или
двух ВПП в Е одинаковой конечной размерности установите
существование переставляющего их инволютивного автоморфиз-
автоморфизма Е (воспользуйтесь упр. 9 и 10).
13. Пусть Е — левое векторное пространство над телом К и f —
полулинейное отображение Е в /(, ассоциированное с внутрен-
внутренним автоморфизмом 8 тела К. Проверьте, что 8~ of — линей-
линейная форма, и выведите отсюда, что ядром / является гипер-
гиперплоскость.
14. (Трансвекции.) Пусть Е — векторное пространство и Н =
= Кег h — гиперплоскость в Е.
a) Покажите, что эндоморфизмы f пространства Е, такие,
что f(x) =х для всех х^Н, имеют вид fa: х\—> х + h (x) а,
где а ^Е (выбрав b e E \Н, мы увидим, что а можно выбрать
таким образом, чтобы выполнялось fa(b) — f(b), и тогда fa = /)«
Если а е Н, то fa называется трансвекцией гиперплоскости Я;
если а(?Н, то fa иногда называют дилатацией 1) или аффинитетом.
b) Как нужно выбирать а, чтобы fa было автоморфизмом
(соотв. инволютивным)?
c) Покажите, что произведение двух симметрии в различ-
различных направлениях относительно гиперплоскости Н является
трансвекцией этой гиперплоскости.
15. Пусть Е, F — левые векторные пространства, К — основное
поле для F и /, g — два полулинейных отображения Е в Ft
1) Не путать с дилатациями, определенными в § V. 2!

278 УПРАЖНЕНИЯ
Допустим, что существует функция h: E -+¦ К, такая, что для
любого х е Е имеем f(x) = h(x)g(x).
a) Покажите, что если х, у — элементы Е, такие, что пара
(g(x),g(y)) свободна, то h(x + у) = Цх) = h(y).
b) Выведите отсюда, что если ранг g ^ 2, то существует
константа k е К, такая, что / = kg.
c) Покажите, что этот результат сохраняет силу, если
ранг g равен 1 и если /, g линейны.
Приложение, Пусть Е имеет размерность ^2 и / — полу-
полулинейное отображение Е в Е, такое, что х и f(x) зависимы при
всех х е Е. Покажите, что / — гомотетия или нулевое отобра-
отображение.
16. Пусть Е — векторное пространство размерности ^2 над те-
телом К и f — полулинейное отображение Е в Е.
a) Предположим, что существует элемент а е Е, такой,
что пара (a,f(a)) свободна; обозначим через Н гиперплоскость,
для которой а&Н, f(a)^H, Покажите, что тогда существует
автоморфизм g пространства ?, такой что g(f(a)) =a-\-f(a)n
g\H = \dH, и проверьте, что g не перестановочно с /.
b) Покажите, что если / перестановочно со всеми автомор-
автоморфизмами Еу то / имеет вид х \—> kx> где k e К (воспользуй-
(воспользуйтесь предыдущим упражнением). Выведите отсюда, что центр
GL(E) состоит из отображений х i—> kx, где k ФО принадле-
принадлежит центру К.
c) Исследуйте случай dim(?) = 1.
17. Пусть Е — векторное пространство, X, Y — два его ВПП и
/Y0, У0 — их аннуляторы (подпространства в Е*). Установите
соотношение (X П YH = Х° + У0 (см. предложение II. 6.3).
Указание: для f^(X[}Y)° рассмотрите ограничения / на
ВПП L П Ху L П У, где L обозначает дополнительное к X [) Y
подпространство, и воспользуйтесь предложением II. 4.2 для по-
получения разложения f в / = g + h, где g & Х° и h e У0.
18. Пусть Е — векторное пространство над полем К и В —.
такая билинейная форма на ?, что из В(х, у) = 0 следует
В(угх) =0.
a) Проверьте, что для любых (х, уу z) e ?3 выполняется
В [х, В (х, z) у — В (х, у) z] = 0, и выведите из этого, что
В (х, г) В (у, х) — В (xf у) В (z, x). Затем покажите, что если
В(х, у)?=В(у, х), то В(х, х) = В(у, у) = 0.
b) Предположим, что существует пара (х, у) е ?2, такая,
что В(у,х) ф В(х,у). Покажите, что для любого z^E, для
которого В(х, z) Ф 0, верно также В(х, z) фВ(г,х), и потому
В (г, z) = 0.
c) Снова предположив, что В(уух) ф В(х, у)у покажите, что
для z e Et для которого В(х, z) = В (у, z) = 0, выполнено также
равенство B(y + z, у + z) = 0. Получите отсюда снова, что
B{zfz) =0.
d) Выведите из предыдущего, что
либо (V (х, у) е= Е2) В (х, у) = В (у, х),
либо (Vz <=Е) В (z, z) = 0,

УПРАЖНЕНИЯ 279
и покажите, что во втором случае
(V (х, у) е Е2) В (х, у) + В (у, х) = 0.
19. (Примеры свободных семейств в случае бесконечной раз-
размерности.)
a) Покажите, что функции fa: R+ -> R, х ь-» ха (а <= R+)
образуют свободное семейство в пространстве отображений R_f-
в R. (Исследуйте поведение на бесконечности некоторой линейной
комбинации fa.)
b) Пусть для каждого aGR функция fa: R -> R задана как
fa(x) = \x — a\. Покажите, что функции fa образуют свободное
семейство в пространстве отображений R в R.
(Покажите, что функция вида ^Г ^ifa-> где ^/ — действи-
действительные числа, не равные одновременно нулю, не может быть
всюду дифференцируемой и, значит, не может тождественно
равняться нулю.)
ГЛАВА III
1. Пусть f — биекция множества X в себя и А — подмножество
в X. Покажите, что в каждом из следующих случаев включе-
включение f(A) а А влечет f(A) = A:
a) А конечно:
b) X является векторным пространством, / — автоморфиз-
автоморфизмом X и А — ВПП конечной размерности,
c) X — аффинное пространство, / — аффинная биекция X на
X и А — ЛАМ конечной размерности в X;
d) X — аффинное пространство, / — аффинная биекция X
на А" и Л — гиперплоскость в X;
e) X — нормированное векторное пространство, / — биектив-
биективная векторная изометрия X и А — шар или сфера в X (вос-
(воспользуйтесь тем фактом, что ограниченное множество не мо-
может иметь более одного центра симметрии).
2. Пусть Т[, Т2 — два конечномерных ЛАМ аффинного про-
пространства над телом K?=Z2. Покажите, что Ti\JT2 будет ЛАМ
только в том случае, если Т\ а У°2 или Т2 си Y\. (Случай,
когда У\(]Т2 не пусто, сводится к векторному; если Т\[\Тч
пусто, то можно применить теорему III.4.8.)
3. Пусть Тъ У2 — два конечномерных ЛАМ аффинного про-
пространства #\ Покажите, что размерность Aff (T\ U У2) равна
dim (>",) + dim(y2) — 6\т(У1(]У2), если У1(]У2 не пусто, и
dim (У\) Hh dim (У\) + 1, если Ух Г) У г пусто (примените
упр. II. 2; последнее утверждение дает основание считать, что пу*
стое подмножество есть ЛАМ размерности —1).
4. Постройте теорию линейных аффинных многообразий, осно»
вываясь на одном из следующих определений;

280 УПРАЖНЕНИЯ
a) Непустое подмножество Т с & является ЛАМ, если
множество векторов PQy для которых (Р, Q) е Т2У является
векторным пространством.
b) Непустое подмножество Waff является ЛАМ, если ба-
рицентр любой системы взвешенных точек <§Г с носителем в Y,
содержится в Т.
5. Пусть & — аффинное пространство, т — трансляция <!Г на век-
вектор и и f — аффинная биекция <8 на & с линейной частью
L(/)
)p
a) Покажите, что / ° т ° f~l есть трансляция на вектор ф(м),
и выведите отсюда условие перестановочности /их.
b) Воспользуйтесь этим результатом для построения инво-
лютивных аффинных биекций <§ в случае основного тела ха-
характеристики 2 (обратитесь к упр. II. 4 и используйте то, что
трансляции и трансвекции инволютивны).
6. Пусть & — аффинное пространство над телом характеристики
Ф2 и s — аффинная симметрия <§ в направлении W относи-
относительно ЛАМ Т.
a) Покажите, что если т — трансляция на вектор и е W,
то s ° т и т ° s являются аффинными симметриями.
b) Пусть f — аффинная биекция & с инволютивной линей-
линейной частью. Покажите, что f получается как коммутативное
произведение аффинной симметрии и трансляции на вектор ut
инвариантный при действии L(f) (примените пункт а) предыду-
предыдущего упражнения).
7. Пусть & — аффинное пространство над телом характеристи-
характеристики 2. Покажите, что если (ABCD) — параллелограмм, то каждая
его вершина является эквибарицентром трех остальных. Полу-
Получите отсюда доказательство части Ь) теоремы III. 5.4.
8. Пусть & — аффинное пространство и f: 8-+<§ — такое инъек-
тивное отображение, что для любой пары (А, В) различных то-
точек прямая (f(A)f(B)) параллельна прямой (АВ). Покажите,
что
a) если Л, В — такие две точки &\ что прямые (Af(A)) и
(Bf(B)) пересекаются в точке /, то / есть неподвижная точка
отображения /;
b) если / — неподвижная точка /, то прямые, проходящие
через /, сохраняются при отображении f n f есть гомотетия
с центром /;
c) если / не допускает неподвижных точек, то / — транс-
трансляция.
9. Пусть Е — векторное пространство и Н — его аффинная ги-
гиперплоскость, не проходящая через начало. Покажите, что на
Е существует единственная линейная форма h, такая, что Н =
10. а) Пусть Нд, hB — две гомотетии аффинного пространства $*,
отличные от Idg, с различными центрами А, В. Покажите, что

УПРАЖНЕНИЯ 281
hB ° hA является гомотетией, центр которой лежит на прямой
(АВ), или трансляцией на вектор и, параллельный этой прямой*
Покажите также, что На и Нв не коммутируют.
Ь) Покажите, что гомотетия Ь,ф\&% не может коммутировать
с трансляцией
11. Пусть три гомотетии р, q, r с различными центрами Р, Q, R
аффинного пространства & удовлетворяют условию pqr = rpq
или pqr = rqp, причем композиция pq не является трансляцией.
Покажите, что Р, Q, R лежат на одной прямой (первый
случай прос-г; для исследования второго следует различать две
возможности: первая, когда pqr — гомотетия, центр которой мож-
можно определить по центрам Л, В гомотетий (pq), (qp), и вторая,
когда pqr — трансляция).
Приложение. Пусть основное тело К коммутативно, 2D, Ф' —
пара параллельных прямых, Л, В, С — три точки на 3) и Л',
В'\ С — три точки на Ф'. Докажите, что точки Р = (ВС) П
П (СВ')У Q = (СА') П (АС) и R = (АВ;) f| (ЯЛ'), если они су-
существуют, принадлежат одной прямой (примените гомотетию р'
с центром Р, переводящую Б в С, и аналогичные гомотетии
q, г с центрами Q, R и докажите, что pq~lr = rq~lp\ это есть
специальный случай теоремы Паппа, см. § IV. 11).
12. В аффинном пространстве <§Г, ассоциированном с векторным
пространством Е, дано конечное семейство (Л^, ^)/е/ взвешен*
ных точек, для которых ^ Xt =*= 0.
a) Покажите, что функция Лейбница /: & -> Е, М \—>
i—> V %{MAi постоянна.
b) Постройте систему из трех точек Л, Б, С, снабженных
ненулевыми массами X, \х, v, такую, чтобы функция М \—> кМА-\-
+ цМВ + vMC была всюду равна нулю (точки Л, Б, С
должны быть коллинеарны).
c) Докажите предложение: для того чтобы п + 1 точек
Ло, ..., Ап в & принадлежали одному ЛАМ размерности*
^.п—1, необходимо и достаточно, чтобы существовали не рав-
равные нулю одновременно скаляры ко, ..., %п, такие, что функция
п ^
М i—> 2^ %iMAi равна нулю тождественно (можно использо-
вать векторную структуру с началом Ло).
13. Пусть <§Г — евклидово аффинное пространство. Каждому ко-
нечному семейству (Л^, А^)^/ взвешенных точек сопоставим вто»
рую функцию Лейбница <р: <§ -> R, М \^ J
Ж. Лелон-Ферран

282 упражнения
a) Покажите, что если ]Г Я^О и G — барицентр семейства,
ТС
(VM <= (Г) ф (Af)
b) Покажите, что при ]Г Я/ = 0 функция ф постоянна.
В каком случае она равна нулю? (Воспользуйтесь предыдущим
упражнением.)
Приложение. 1) При данных точках Л, В выясните, каково
множество точек М, для которых MB = kMA (k = const).
2) Для заданной тройки коллинеарных точек Л, Б, С вы-
выведите соотношение Стюарта
(VMe^1) МЛ2 ВС + МВ2СА + МС2АВ = 0.
14. (Теорема Дезарга1).) Пусть & — аффинное пространство над
каким-либо телом К и (ЛВС), (А'В'С')—две тройки не кол-
линеарных точек, такие, что прямые (АА'), (ВВ;), (СС;) раз-
различны и пересекаются в точке S. Предполагается, что А' Ф Л,
В' ФВ,С ф С.
а) Покажите, что существуют скаляры X, \i, v, такие, что
Л'= $((?, 1), (Д Я)), 5' = ^((S, 1), (В, ц)),
C;-I((S, 1), (С, v)),
и проверьте, что если \х ф v, то &((В, \х), (С, —v)) есть точка Р
пересечения прямых (ВС) и (#'С).
b) Определите таким же путем точки Q = (СА) (] (С;А;) и
/? = (ЛВ) П (Л'Б'), если они существуют; проверьте, что
(v — \i) ~SP + (X — v) SQ + (\i — X) S^ = 0. Выведите отсюда, что
точки Р, Q, У? принадлежат одной прямой.
c) В случае когда прямые (ВС) и (В'С) параллельны, но
точки Q и R существуют, покажите, что прямая (QR) парал-
параллельна (ВС).
15. (Теорема Менелая о полном четырехстороннике.) Пусть
(ABC) — треугольник в аффинной плоскости 1г и Р, Q, R —
точки, заданные условиями ВР = ХСР, CQ = \iAQ, AR = vBR,
где X, jx, v—ненулевые скаляры. Обозначим через р, q, r го-
гомотетии с центрами соответственно в Р, Q, R и коэффициентами
Я, \i, v.
a) Покажите, что p°qor = Idg тогда и только тогда, когда
X\iv = 1, и выведите из этого, что приведенное условие равно-
равносильно коллинеарности точек Р, Q, R.
b) Предположив коллинеарность точек Р, Q, Ry покажите,
!) Это доказательство — аффинный вариант данного в
§ IV. 10. Заметим, что здесь нет предположения о двумерно-
сти &.

УПРАЖНЕНИЯ 28$
что середины а, р, у отрезков [АР], [BQ] и [CR] также кол-
линеарны. (Если K\xv = 1, то можно положить К = v~lw, \x =е
= w~lu, v = u~lv и доказать, что для любой точки О е &
выполнено (w — v) Oa + (м — до) Ор + (а — м) Оу == 0.)
16. (Теорема Паппа.) Пусть в аффинной плоскости над некото-
некоторым полем (А, В, С) и (А',В',С)—две тройки коллинеарных
точек, расположенные соответственно на прямых 3), ЗУ, пере-
пересекающихся в О (случай параллельности прямых iZ>, ?frr разо-
разобран в упр. 11).
a) Выбрав декартов репер (О, /, /) с началом О, такой, что
i имеет направление ??), а / — направление ??)', положим О А =
= а~!, ОВ = $~\ ОС = у~\ О47 = а/~1, о?=§'~\ ОС7 =
= у/~\ Напишите уравнения прямых (АВ') и {ВА') и найдите
координаты точки их пересечения R.
b) Аналогичным образом найдите координаты точек Р =
= (ВС')[\(СВ') и д.-=(СЛ')П(^') и проверьте, что (рр' —
— yy') OP + (yy' — ««') OQ + (aa' — pp') 0^ = 0. Выведите от-
отсюда заключение о коллинеарности точек Р, Q, R.
17. Пусть / — аффинная биекция аффинного евклидова простран-
пространства & на себя. Предположим, что существует сфера S с цен-
центром А и радиусом R, образом которой также служит сфера S'
с центром А' и радиусом Rf. Покажите, что А' = f(A) и что
линейная часть f есть преобразование подобия. Выведите отсюда,
что / — аффинное преобразование подобия.
18. Пусть ^ — множество, состоящее из окружностей ненуле-
ненулевого радиуса и прямых евклидовой плоскости «?.
a) Покажите, что элемент Ag^ — прямая тогда и только
тогда, когда для любой пары (Л, В) точек & существует эле-
элемент из ^, проходящий через А и В и имеющий с А не более
одной общей - точки. (Если IS — окружность, возьмите в каче-
качестве А внутреннюю, а в качестве В — внешнюю точку относи-
относительно А.)
b) Пусть f — биекция & на <?Г, преобразующая всякую пря-
прямую или окружность снова в прямую или окружность. По-
Покажите, что при этом условии f переводит прямые в прямые
и окружности в окружности (воспользуйтесь предыдущим
упражнением).
ГЛАВА IV
Проективные подпространства и проективные морфизмы
1. Пусть р (Е)—проективное пространство размерности п и X,
У —два его проективных подпространства, таких, что целое
р — dim(Ar) + dim (У) ^ п. Покажите, что Xf]Y не пусто и
dlm(X{]Y) ^ р — п (воспользуйтесь упр. II. 2).
2. Пусть Р (Е) есть n-мерное проективное пространство над те-
11*

284 УПРАЖНЕНИЯ
лом К. Покажите, что отображение, определяемое в однородных
координатах при заданном автоморфизме тела G условием
(Хо, ..., Хп) н—> @ (Хо), ..., 0 (Хп)), является полупроективным.
3. а) Пусть X — подмножество проективного пространства Р (Е).
Покажите, что существует проективное подпространство Р (Е) —
обозначим его L(X), содержащее X и такое, что любое проек-
проективное подпространство Р (?), содержащее X, содержит также
и L(X) (мы говорим, что L(X) есть проективное подпростран-
подпространство в Р (Е), порожденное X).
b) Покажите, что если И — проективная гиперплоскость
и точка ЛеР(?)\Я, то Н (J {Л} порождает Р (Е).
c) Покажите, что n-мерное проективное пространство Р (Е)
не может быть порождено конечным подмножеством мощности
^.п и что {Л о, Ль ..., Ап} порождает Р (Е) тогда и только
тогда, когда п + 1 точек Л,- не лежат в одной проективной ги-
гиперплоскости.
4. (Проективные реперы.) Пусть Е — векторное /(-пространство
размерности п + 1. Назовем проективным репером пространства
Р (Е) систему (Ло, Аи •••» Ап+\) из п + 2 точек, никакие п + 1
из которых не лежат в одной проективной гиперплоскости.
a) Покажите, что в Е существует базис (et-)o<i<^n» такои1
что p(ei) = At для i = 0, 1, ...,я и р(е0 + ... -[- еп) = Ля+1;
установите, что любой другой базис, удовлетворяющий тем же
условиям, имеет вид (^%-)о<г<п> г^е ^ е К*- Выведите отсюда,
что однородные координаты в Р (Е) относительно этого базиса
зависят только от выбора точек A-t @ ^ /^ п-\- 1). Их назы-
называют однородными координатами в проективном репере (Ai).
b) Пусть & — аффинное «-мерное пространство над телом
/С, (Ло, ..., Ап)—аффинный репер в & и Ап+\—эквибарицентр
точек Ло, ..., Ап (лежащий в бесконечности, если п кратно
характеристике тела /С). Покажите, что (Ло, ..., Л„+1) яв-
является проективным репером & и что однородные координаты
относительно этого репера суть продолжения барицентрических
координат & в аффинном репере (Ло, ..., Ап).
5. Пусть Р (?), Р (F) — два проективных пространства одинако-
одинаковой размерности п над одним и тем же телом К и (^)o</<n+i,
{^i)o<*<n+i "~ проективные реперы в этих пространствах (см.
упр. *4).к
a) Покажите, что существует не менее одной томографии
<р: Р (Е) -> Р (У7), такой, что ср(Л/) = Bi для всех и
b) Покажите, что такая томография единственна тогда и
только тогда, когда тело К коммутативно. (Это обобщение
теоремы IV. 8.1, известное как «первая основная теорема проек-
проективной геометрии».)
6. (Обобщение понятий проектирования и гомологии.) Пусть
?* (Е) — проективное пространство и X, Y — два взаимно допол-
дополнительных ВПП пространства Е. Положим U = Р (Е) \ (Р (X) [)
i)P(Y))

УПРАЖНЕНИЯ 285
a) Покажите, что через любую точку Ме[/ проходит
«единственная проективная прямая Дм, пересекающая Р (X)
и Р (Y). (Указание: выберите гер-](М) и разложите z в z »
*= х + у, где х е= X, у е= У.)
b) Для любого k & К обозначим через ср* морфизм, инду-
индуцированный полулинейным отображением fk, таким, что fk(x) =
= kx для х е X и fk(y) = у для у & Y. Покажите, что для
любой точки М €= U образ ф*(М) лежит на прямой Дм, и по-
постройте геометрически q>k(M) при k = 0 и /г = —1 (при к = О
это будет обобщением примера 1 из § 3, а при к = —1 —
обобщением гармонических гомологии).
c) Если К — поле, покажите, что [Р, Q, M, cpk(M)] = k, где
Р, Q — точки пересечения Дм с Р (X), Р (F).
7. Пусть ?Р, $" — два аффинных пространства над одним и тем
же телом К, $ и <F>/— их проективные пополнения и qp: & ->#"—
такая томография, что <р (^'оо) = ^оо-
a) Покажите, что ограничение ф на & является полуаф-
-финной биекцией, ассоциированной с внутренним автоморфиз-
автоморфизмом тела К. (Полагая $ = Р (?"), ё' = Р (?') и считая ф ин-
индуцированным линейным отображением /: Е-+Е', можно
отождествить &', <В' соответственно с гиперплоскостями в Е, Е'
и доказать существование такого k e /С*, что kf переводит &
b) Получите тот же результат в случае конечной размер-
размерности п, используя в $ и &' однородные координаты, в кото-
которых уравнение бесконечно удаленной плоскости имеет вид
Хп+\ = 0.
c) В случае $' = & покажите, что ф является гомоло-
гомологией (соотв. гармонической гомологией, элацией) гиперплоскости
^оо тогда и только тогда, когда ее ограничение на <8 является
гомотетией (соотв. центральной симметрией, трансляцией).
8, Покажите, что в проективном пространстве композиция двух
гармонических гомологии с общей гиперплоскостью и различ-
различными центрами является элацией. Обратно, в случае когда ха-
характеристика основного тела ф2, покажите, что каждая элация
может быть представлена как произведение двух гармониче-
гармонических гомологии (см. упр. II. 14),
D. Пусть Л, Ву А'} В' — четыре точки проективной плоскости П,
никакие три из которых не лежат на одной прямой. Покажите,
что существуют единственная гармоническая гомология и един-
единственная элация, переводящие (Л, В) в (A'f В'). (Можно пред-
предположить, что характеристика тела Ф2.)
10. Пусть Р (Е) — проективное пространство размерности ^2,
.2? — проективная гиперплоскость, S — точка Р (Е) и Л, А' — дв§
точки в Р (Е) \ 2?, коллинеарные с 5 и отличные от S. По-
Покажите, что существует единственная гомология или элация ф
пространства Р (Е) с центром S и гиперплоскостью j?, такая,
что ф(Л) = А',

286 УПРАЖНЕНИЯ
Указания. Единственность ср получается из «правил пер-
перспективы» (см. конец § 3). Для доказательства существования ф
можно отправить $? в бесконечность, и тогда дело сведется к
отысканию дилатации аффинного пространства Р (Е) \ SB
(см. упр. 7). Можно также воспользоваться упражнением II. 14
для построения автоморфизма ?, индуцирующего ф.
Приложение. Пусть 5\ SB' — две проективные гиперплоско-
гиперплоскости проективного пространства Р (Е) и 5, S' — две точки в
Р (Е) \B?\}3?'). Обозначив через р проектирование j? на 9?'
из центра S, а через q — проектирование SB' на SB из центра S',
дайте строгое доказательство того, что q ° p есть гомология илш
элация SB.
11. В проективной плоскости П два треугольника (ABC) я
(А'В'С) расположены так, что прямые (АА')У (ВВ') и (СС)
различны и пересекаются в одной точке. Покажите, что теорема
Дезарга равносильна существованию гомологии или элации, пе-
переводящей (ABC) в (А'В'С). (Воспользуйтесь предыдущим
упражнением.)
12. (Обобщение теоремы Дезарга.) Пусть Р (Е) есть «-мерное
проективное пространство и (AQ, ..., Ап) (соотв. (Ло, ..., Лп)) —
система п + 1 точек, не принадлежащих одной гиперплоскости,
таких, что А^ФА^ при всех k, и прямая (Л^Л^) не содержит
ни одной из точек Ah, Ah при Нфк, Предположим также, что
при кфН прямые (AkAh) и (AkAh) имеют одну общую точку
Pkh и все точки Pkh лежат в одной гиперплоскости ,2\
a) Покажите, что все прямые (Л^Л^) имеют общую точку «S*
b) Выведите отсюда, что существует такая гомология или
элация ф с центром S и гиперплоскостью i?, чтоф (Л^) = Ak дл»
всех k.
13. Пусть ф — томография проективного пространства Р (Е)г
оставляющая неподвижной каждую точку некоторой гиперпло-
гиперплоскости SB и не совпадающая с тождественным отображением;
допустим еще, что dim Р (Е) ^ 2.
a) Покажите, что каждая проективная прямая А, содер-
содержащая точку MgP(?)\^ вместе с ее образом при ф, пере-
переходит в себя.
b) Пусть Л, Б —две точки вР(?)\^ и Л', В' — их об-
образы. Покажите, что прямые (АВ) и (А'В') пересекают 2?
в одной и той же точке.
c) Покажите, что можно выбрать точки Л и В так, чтобы
прямые (ЛЛ') и (ВВ') были различны, и что в этом случае
они имеют общую точку S, неподвижную при томографии ф.
Покажите далее, что все прямые (М, <$(М)) проходят через 5
(если S ф SB, это получается сразу; если же SeS7, to можно
Выведите отсюда, что ф является гомологией или элацией, (Это»
можно доказать также, отправляя SB в бесконечность.)

УПРАЖНЕНИЯ 287
14. Пусть Р (Е) — проективное пространство размерности ^ 2,
S — точка в Р (Е) и ф — томография, сохраняющая все прямые,
проходящие через S.
a) Пусть Л, В — две точки Р (?), не лежащие на одной пря-
прямой с S, и Л', В' — их образы. Покажите, что прямые (ЛВ)
и (А'В') пересекаются в неподвижной точке томографии ф.
b) Пусть SB — множество полученных таким путем непо-
неподвижных точек ф. Применяя теорему Дезарга, покажите, что
произвольная проективная плоскость П, проведенная через S,
пересекает $? по прямой и что ограничение ф на П является
гомологией или элацией.
c) Покажите, что любая прямая, соединяющая две точки
из 9?, содержится в 9?\ выведите отсюда, что $? — гиперпло-
гиперплоскость (см. предложение 12.1) и что ф — гомология или элация.
(Это можно также доказать, удаляя точку S в бесконечность.)
15. Пусть К — произвольное тело; отождествим Р1(К) с /С U {°°},
•следуя соглашениям, принятым в § 6.
a) Покажите, что томографии Р1 (К) записываются в виде
х i—> (хс + d)" (xa + 6), а те из них, которые сохраняют бес-
бесконечно удаленную точку, в виде х i—> X (ха + Ь), где (A,, a, b) e
€== К* X К* X К.
b) Покажите, что элации, сохраняющие бесконечно удален-
удаленную точку, представляются в форме х \—>х -f Ь (см. упр. 7). Вы-
Выведите из этого, что элации, допускающие в качестве неподвиж-
неподвижной точку а е /С, задаются соотношениями вида (ф(х) —а) =
= (х — а)-1+ & (b = const). (Воспользуйтесь томографией
Х1_^(х_а)-1.)
c) Покажите, что гомологии, сохраняющие бесконечно уда-
удаленную точку, имеют вид х i—> хХ + Ъ или х \—> Хх + Ьу смот-
смотря по тому, является ли точка оо их центром или нет. Полу-
Получите из этого, что гомологии с центром аЕК, имеющие вторую
неподвижную точку J3 е /С, могут быть заданы соотношением
вида
(Ф (х) - РГ1 (Ф (х) - а) = Х(х - рГ1 (х - а) (X г К), A)
и проверьте, что в случае поля К соотношение A) равносильно
fp, а, х, ф(х)] = X. (Воспользуйтесь томографией х \—> (х —
_P)-i(*_a).)
d) В случае поля К покажите, что гомологии и элации
являются единственными гомографиями Р1 (/С), допускающими
хотя бы одну неподвижную точку.
16. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над по-
полем /С1). Напомним, что линейная группа порождается автомор-
автоморфизмом ?, множество неподвижных точек которого есть гипер-
гиперплоскость (см. упр. II. 14 и [LFA], т. 3, упр. I. 14).
а) Выведите из этого, что PGL(?) порождается гомоло-
гиями и элациями (см. упр. 13).
По поводу некоммутативного случая см. [AR], гл. IV,

288 упражнения
b) Пусть 3? — проективная гиперплоскость в Р (?). Пока-
Покажите, что любая томография 2 получается как композиция ко-
конечного числа перспектив.
c) Пусть К*= R; покажите, что любая томография Р (?>
индуцируется автоморфизмом Е с детерминантом ±1. Допу*
стим, что такой автоморфизм разлагается в произведение сим-
симметрии относительно гиперплоскостей; покажите, что PGL(?>
порождается гармоническими гомологиями.
Гармонические четверки и двойное отношение
17. В случае произвольного тела К покажите, что четверка
(О, р, у» б) гармоническая тогда и только тогда, когда Y +¦
+ 6 —2Р.
18. Покажите, что для поля характеристики ф2 четверка
(ос, —-а, у, б) гармоническая тогда и только тогда, когда уд « ай.
19. Пусть К — произвольное тело характеристики Ф2 и (р —
биекция Р1 (К) на Р1 (/С), такая, что образ любой гармоничен
Ской четверки есть гармоническая четверка. Докажите, что ото-
отображение ф полупроективно (теорема фон Штаудта). План
доказательства:
а) Покажите, что можно свести дело к случаю ф@) *» О,.
qp(ty «=¦ 1, ф(оо) - оо; тогда, отождествив Рг(К) с /CU {°°}, по-
Лу
4"(ф {Х) + ф {у))> ф {2х) = 2ф {х)
(Пользуемся тем, что (#, у, (х + у)/2, ©о), @, 2jc, jc, оо) й
A,х2, *,—л;)—гармонические четверки.) Выведите из этого, что»
Ф — автоморфизм тела К.
Ъ) Возвратившись к общему случаю, выведите сформулиро-
сформулированное утверждение.
20. Пусть а, Ь, с, d — четыре элемента поля К и k = [а, 6, с, d] —
их двойное отношение. Покажите, что если / пробегает множе-
множество (содержащее 24 элемента) всех перестановок а, Ь, с, dy
то двойное отношение [/(а), f(b), f(c), f(d)] принимает лишь зна-
зна\ 1 \ AI
[/(), f(), f(), f
чения k4 k~\ 1-Jfe, 1-/Г1, A-А>Г\ A-Л).
a) При каком выборе а, 6, с, d не все эти шесть значений
различны?
b) Выясните, каково число значений, принимаемых этим
двойным отношением, в следующих случаях:
i) k = —1 (рассмотрите случаи, когда характеристика К
равна 2 и 3);
ii) tf — k+l =0;
iii) k есть поле F4 из упр. I. 16.
21. Пусть Р (Я), Р (F) — два проективных пространства над по-
полями /С, К' и ф: Р B?) -> Р (F) — полупроективный морфизм, ассо-

УПРАЖНЕНИЯ 289
циированный с изоморфизмом 0: К-к К'. Покажите, что если
Л, В, С, D — коллинеарные точки Р {Е) и [Л, В, С, D] = к, то
{Ф(Л), Ф(В), ф(С), Ф (/))] = 9 (к).
22. (Обобщение понятия двойного отношения.) Пусть Л — проек-
проективная прямая над некоммутативным телом К и Л, В, С, D-—
четыре ее точки. Обозначим через [Л, 5, С, D] множество зна-
значений q>(D), где ф — томография А на Р1 (/С), такая, что ф(Л) ==*
« оо, ф(Л) = 0, ф(С) = 1.
a) Покажите, что [Л, В, С, D] инвариантно при любой го-
мографии.
b) Покажите, что если к е [Л, В, С, D], то
[Л, В, С, D] *= {т~! Us /С*}.
c) Что будет в случае гармонической четверки (А, В, С, D)}
23. Пусть & — аффинная плоскость над полем К, отнесенная
к декартову реперу с началом в О. Каждому элементу
m e P1 (К) поставим в соответствие прямую (прямая с накло-
наклоном т) с уравнением у «= тх, если т& К, и х = 0, если т =
= оо. Покажите, что двойное отношение четырех прямых, про-
проходящих через О, равно двойному отношению их наклонов.
24. (Пучок гиперплоскостей.) Пусть ф, г|э — две независимые ли-
линейные формы на векторном /(-пространстве Е и L, М — гипер-
гиперплоскости в Р(?) с однородными уравнениями ф = 0, г|э = О
соответственно.
a) Покажите, что гиперплоскости в Р (Е), содержащие
L Л М, суть те, которые могут быть заданы однородным урав-
уравнением вида Яф + jLX-ф «« 0, где (X, \i) е К2 \ {0, 0} (говорят, что
эти гиперплоскости образуют пучок с базисом (L,M)).
b) Назовем секущей пучка любую проективную прямую, не
пересекающую Lf]M. Покажите, что гиперплоскости с уравне-
уравнениями ф я» 0, г|э «= 0, Хф + \ity = 0, Лф — 1дд|э = 0 определяют
гармоническую четверку на каждой секущей. (Воспользуйтесь
параметрическими уравнениями секущей.)
c) Докажите более общий результат: четыре гиперплоскости
с уравнениями Я,?<р + |ifi|) = 0 (i = 1, 2, 3, 4) определяют гар-
гармоническую четверку на каждой секущей тогда и только тогда,
когда точки (h, \id образуют гармоническую четверку в Р1(К)
(тогда говорят, что эти гиперплоскости образуют гармоническую
четверку). Выведите отсюда обобщение теоремы IV. 7.1 и дайте
этому обобщению прямое геометрическое доказательство (для
сравнения четверок на секущих Л, Л' можно пользоваться вспо-
вспомогательной секущей, имеющей общие точки и с Л и с Л', и
применять теорему IV. 7.1).
d) Предполагая К коммутативным, покажите, что двойное
отношение точек пересечения четырех гиперплоскостей
Я,ф + р,л|) = 0 с секущей равно двойному отношению точек
<ta, \н> прямой Р1 (К).
25. Покажите, что фигура, двойственная гармонической четверке
точек, есть гармоническая четверка гиперплоскостей (см. преды-
предыдущее упражнение.)

290 УПРАЖНЕНИЯ
26. Пусть Р (Е) — проективное пространство над полем характе-
характеристики ф% Обозначим через L, М две гиперплоскости в Р (Е)
и через 5 точку в P(E)\(L[)M).
a) Покажите, что геометрическое место точек, гармонически
сопряженных с 5 относительно точек пересечения с L, М се-
секущей, проходящей через S, является гиперплоскостью (см.
упр. 24).
b) Выведите из этого, что существует гармоническая гомо-
гомология с центром 5, меняющая местами L и М.
Случай, когда основное тело есть R или С
27. Пусть Sn •— сфера в Rn+l, определенная уравнением ^ х\ =
= 1.
a) Каждой паре (х, —л:) диаметрально противоположных то-
точек Sn поставим в соответствие точку р(х) в P(Rn+). Пока-
Покажите, что таким путем получается биекция P(Rn+ ) на фактор-
фактормножество Sn по соответствующему отношению эквивалентности.
b) Каждой паре (А, В) точек Р (Rn+ ) поставим в соответ-
соответствие действительное число d(AyB)—радианную меру острога
угла, образованного прямыми р^(А) и р~1(В). Покажите, что
таким образом можно определить расстояние в Рп (R), и най-
найдите множество точек, равноудаленных от двух данных. Каковы
томографии, сохраняющие это расстояние?
28. Пусть 5 — сфера в IR3 с уравнением х2 + у2 + z2 — z = 0.
Проверьте, что инъекция С->5:
продолжается с помощью предельного перехода до биекции
pi (С) = CU{oo} на 5. (В теории функций комплексного пере-
переменного множество CU{°°}> отождествленное с S, называется
«сферой Римана».)
29. а) Дайте геометрическую интерпретацию двойного отноше-
отношения четырех различных элементов а, Ь, с, d e С с помощью от-
отношений СА/СВ, DA/DB и величин углов (СА, СВ), Eл, DB).
Здесь А, В, С, D обозначают точки с аффиксами а, Ь, с, d.
b) Покажите, что [а, Ь, с, d] e R тогда и только тогда, ко-
когда точки А, В, С, D лежат на одной прямой или окружности.
Для проверки вычислите [ен\ eil\ ен\ е*и], где (tu t2, h, tA) e=
gR4,
c) Как следует выбирать точки Л, В, С, D для того, чтобы
модуль \а, Ь, с, d] был равен 1 ?
d) Для данных точек А, В, С постройте такую точку Д
чтобы [а, Ь, с, d] =—1, и проверьте, что инверсия с центром
в А преобразует точки В, С, D в точки В', С, /У, такие, что Лд
является серединой отрезка [С//У].

УПРАЖНЕНИЯ 291
30. (Формула Лагерра.) Пусть Di, D2 — прямые евклидовой
плоскости R2 с уравнениями у = т\Ху у = т2х и Э — угол ме-
между ними. Проверьте, что [mi, тг, /, —/]«е"" е. Получите от-
отсюда интерпретацию угла в терминах двойного отношения пря-
прямых, используя инъективное отображение R2 в С2.
31. Томографии прямой Р1 (С) ==CU{°o}. Ниже С отождествля-
отождествляется с евклидовой плоскостью R2.
a) Проверьте, что томографии Р1 (С) представляются в виде
<р: 2 1—> ~Т~Т' где а& — ЬсФЪ и в случае сФО приняты со-
соглашения ф (оо) =» а/с, ф (—die) = оо.
b) Проверьте, что томографии Р1 (С) разлагаются в произве-
ведение трансляций, преобразований прямого подобия и (при
с Ф 0) томографии z i—> 1/2. Выведите отсюда, что они яв-
являются конформными преобразованиями евклидовой плоскости
(т. е. сохраняют ориентированные углы между любыми кривы-
кривыми) и переводят любую прямую или окружность снова в пря-
прямую или окружность.
c) Обратно, пусть / — биекция Р1 (С), преобразующая каж-
каждую прямую или окружность в прямую или окружность. Ис-
Используя композицию / с томографией, покажите, что дело сво-
сводится к случаю /(оо) = оо, и выведите отсюда, что / — томо-
томография или антигомография (биекция вида z i—> (а2 + b)/(cz -f-
4- а). (Воспользуйтесь упр, III. 18.)
32. а) Покажите, что каждая томография ф прямой Р1 (С) до-
допускает по меньшей мере одну неподвижную точку.
b) Покажите, что если оо — неподвижная точка, то ф имеет
вид 2i—>az + b (аФО).
c) Покажите, что в случае двух неподвижных точек а, реС
томография ф может быть задана соотношением вида (ф (г) —
- Р)/(ф (z) - а) = * (z - p)/(z - а), где k <= С*.
d) Покажите, что с случае единственной неподвижной точки
ct e С томографию ф можно определить соотношением вида
(фB) — а)" = B — а)" + /г, где АеС (ср. с упр. 15).
33. Определите все инволютивные томографии С.
34. Отождествим евклидову плоскость R2 с С и обозначим че-
через D прямую с уравнением у = 0 (действительную ось).
a) Покажите, что томографии D отождествляются с гомо-
графиями С вида z \—> (az + b)/(cz + d) с действительными а,
Ь, с, d.
b) Пусть ф — томография указанного вида без действитель-
действительной неподвижной точки. Покажите, что тогда ф допускает пару
комплексно сопряженных неподвижных точек а, Р и ее ограни-
ограничение на D можно задать геометрически условием вида
(ЛМ, АМ') = д, где А, М, М' — точки с аффиксами а, 2, ф(«г),
а Э — заданный угол между прямыми. Как выбрать 0, чтобы го-
мография ф была инволютивной?

292 упражнения
35. (Двойное отношение четырех точек окружности.) Пусть
& — евклидова плоскость, отождествленная с С выбором орто-
нормированного репера 01.
a) Покажите, что замена репера сохраняет или заменяет
на комплексно сопряженное двойное отношение аффиксов чет-
четверки точек в зависимости от того, имеет ли новый репер ту
же ориентацию, что и исходный, или нет. Покажите, что, с дру-
другой стороны, инверсия изменяет двойное отношение на его ком-
комплексно сопряженное.
b) Покажите, что двойное отношение аффиксов четырех то-
точек А, В, С, D, лежащих на одной окружности Г, не зависит
от выбора репера 01 (см. упр. 29) и равно двойному отношению*
прямых (IA), (IB), AС), (ID), соединяющих эти точки с про-
произвольной точкой / окружности Г (примените инверсию с по-
полюсом /). Обозначив это двойное отношение через [A, B,C,D]y
покажите, наконец, что его абсолютная величина равна
СА DB _
^5" * ГТ • Получите отсюда геометрическое доказательство того,.
что двойное отношение четырех коцикличных точек сохраняется
по абсолютной величине при преобразованиях инверсии. (Если
/ — инверсия с полюсом / и степенью k и Л', В' — образы то*
„ _, я, п/ I k IAB v
чек Л, В, то можно показать, что А В' = ' ' .)
36. Пусть Л, В — две точки на полуокружности с диаметром*
[PQ] и А', В' — их ортогональные проекции на прямую (PQ)~
Покажите, что [Л, В, P,Q]2 = [Л', В1, Р, Q].
37. (Гармонические гомологии, сохраняющие квадрику.) Невы-
Невырожденная квадрика Q проективного пространства РЛ(Р) опре-
определена однородным уравнением вида q(x\, ..., xn+i) = О, где
q — невырожденная неопределенная квадратичная форма. Ка-
Каждой точке S = p(s) пространства Рп (R) ставится в соответ-
соответствие гиперплоскость Hs, называемая полярной гиперплоскостью*
точки S, задаваемая уравнением B(x,s) = 0, где В — билиней-
билинейная симметричная форма, соответствующая q.
Покажите, что точка, гармонически сопряженная с S отш>
сительно точек пересечения с Q секущей, проведенной через 5„
лежит в Hs. (Воспользуйтесь параметрическими уравнениями се-
секущей.)
Выведите отсюда, что гармоническая гомология с центром
«S и гиперплоскостью Hs сохраняет Q.
38. (Коники. Двойное отношение четырех точек.) Квадрика в
Р2 (R) называется коникой.
a) Пусть Г — коника в Р2 (R); покажите, что существует
система однородных координат, в которой Г имеет уравнение
х2 + у2 = г2. Выведите отсюда, что любые две коники полу-
получаются друг из друга с помощью томографии.
b) Пусть Л, В, С, D — четыре точки в Р2 (R) и k e= R \ {0, 1}.
Покажите, что множество точек М, таких, что двойное отноше-
отношение прямых МЛ, MB, MC, MD равно k, является коникой, про-

упражнения 293
ходящей через точки Л, В, С, D. Каково уравнение такой ко-
коники, если принять четверку (А, В, С, D) за проективный репер?
с) Обратно, пусть Л, Б, С, D — четыре точки коники 1\
Покажите, что если М — точка Г, то двойное отношение пря-
прямых MA, MB, MC, MD не зависит от М (можно с помощью
томографии свести дело к случаю окружности, разобранному
в упр. 35, или действовать прямым образом).
39. Пусть Л, В — две точки проективной плоскости. Биекция k
пучка прямых с центром Л на пучок прямых с центром В на-
называется томографической, если существует прямая До, не про-
проходящая ни через Л, ни через В и такая, что точки М =
= Д П До и ЛГ = /1(Д)ПДо находятся в томографическом соот-
соответствии.
a) Покажите, что в этом случае то же имеет место и для
любой прямой До, не проходящей ни через Л, ни через В.
b) В случае когда основное поле есть R, покажите, что
геометрическое место точек пересечения прямых Д и /*(Д) есть
прямая или коника, смотря по тому, является ли прямая (АВ)
своим собственным образом или нет. (Можно использовать од-
однородные координаты, в которых Л = A,0, 0) и В= @, 0, 1).)
ГЛАВА V
1. Пусть & — плоскость аффинного типа и iZ), &>'— такие две
ее прямые, что & = ?) U <Ь'. Обозначим через Л, В две произ-
произвольные точки iZ) и через Л', В' две произвольные точки Ф'\
покажите, что (АА')\\(ВВ'), и выведите отсюда, что ^ сво-
сводится к четырем точкам Л, В, Л', В'.
2. Пусть в плоскости & аффинного типа две прямые iZ), 2D' пе-
пересекаются в точке О. Покажите, что в ^ существует точка,
не лежащая ни на 2Е), ни на &' (постройте параллелограмм
(ОАСВ), такой, что Л е=3) и Bg^5').
3. Пусть & — пространство аффинного типа (см. § 12), не сво-
сводящееся к прямой. Дилатацией пространства 8 называется лю-
любая его биекция / на себя, такая, что для любой пары (Л, В}
точек & имеем (f(A)f(B))\\(AB).
a) Покажите, что сохраняют силу результаты § V. 2.
b) Определим трансляции и гомотетии как в § V. 2; обо-
обозначим через hy h' две гомотетии с различными центрами О, Ог
и через Л—точку &, не лежащую на прямой {00'). Полагая
В = Н* ° h(A), покажите, что h'° h является гомотетией ил»
трансляцией в зависимости от того, пересекает ли прямая (АВ}
прямую (ООГ) или ей параллельна.
c) Предположим, что для любой тройки (О, А, А') различ-
различных коллинеарных точек существует гомотетия h с центром Ог
такая, что h(A) = А'. Покажите, что для любой пары (Л, В)
точек & существует такая трансляция т, что т(Л) = В (при-
(примените пункт Ь) для построения т как произведения двух го-
гомотетий),

394 УПРАЖНЕНИЯ
d) Предположив, что & удовлетворяет аксиоме Дезарга (D),
покажите, что гипотеза пункта с) верна (это легкое обобщение
теоремы V. 6.3).
С помощью с) выведите отсюда, что & удовлетворяет также
аксиоме (d) (см. § V. 3), и покажите, что & допускает аффин-
аффинную структуру (расширьте теорию, развитую в § V. 4, V. 5
и V.7).
Замечание. В случае плоскости таким путем получается но-
новое доказательство того, что из (D) следует (d).
4. Пусть 0* — такая плоскость аффинного типа, что каждой
паре (Л, В) точек 0* можно поставить в соответствие точку
т(АуВ) на (Л5), называемую серединой отрезка [АВ], таким
образом, что:
i) m(AtB) = т(В,А);
и) т(А,А) =Л;
ш) если Л', В' — образы точек Л, В при каком-либо проек-
проектировании р% (см. § V. 5), то т(А'уВ') является образом
т(А,В).
a) Покажите, что диагонали любого параллелограмма
(ABCD) пересекаются в их серединах (покажите, что предпо-
предположение т(А, С) ф m(B,D) ведет к тому, что прямая, соеди-
соединяющая эти точки, одновременно должна быть параллельна
(ЛВ) и (AD)).
b) Покажите, что в 0> выполняется малая аксиома Дезарга
.(d), и потому 0* — плоскость трансляций.
ГЛАВА VI
Абсолютная геометрия
В упр. 1—9 0* обозначает метрическую плоскость (см. § 2).
1. Пусть Л, В — две различные точки 0* и А — медиатриса [АВ].
Обозначим через 0>А, 0*в полуплоскости, ограниченные А и со-
соответственно содержащие Л, В. Покажите, что если М е 0*а,
то MA < MB (постройте точрг пересечения [МБ] с А и при-
примените неравенство треугольника). Выведите отсюда, что
&А = {М €= 0> | MA < MB}, 0>В = {М<=0>\МА> MB}.
2. Установите три «признака равенства треугольников» (случай
равенства трех пар соответственных сторон, случай равных
углов, заключенных между парами равных сторон, и случай
пары равных сторон с двумя парами равных прилежащих
углов).
3. Пусть г — вращение с центром О и а — симметрия относи-
относительно оси, проходящей через О. Покажите, что сг ° г ° а = г-1.
(Воспользуйтесь разложением г в произведение симметрии.) По-
Получите отсюда другое доказательство коммутативности группы
©ращений с центром О.

упражнения 295-
4. Говорят, что множество X в 9* выпукло, если любой отрезок
[АВ], соединяющий две точки А, В из X, весь содержится в X.
a) Покажите, что всякий угловой сектор выпуклый.
b) Покажите, что любой круг выпуклый (открытый круг
с центром О и радиусом R есть множество точек (Мё^|ОМ <С
5. Пусть 2D — множество полупрямых с началом О. Покажите
что на 3) можно ввести расстояние 6, полагая 6 (Ох, Оу) =
= хОу !). Покажите, что iZ>, снабженное таким расстоянием
изометрично единичной окружности U евклидовой плоскости..
Выведите отсюда, что ^) компактно и связно.
6. Связность окружности.
a) Пусть А — фиксированная точка и Ои — переменная по-
полупрямая с началом О Ф А. Пусть а = АОи. Покажите, что
при а е [0, я/2] (см. примечание к предыдущей задаче) рас-
расстояние от А до прямой (Ои) есть возрастающая функция ф(а)
угла а, стремящаяся к нулю вместе с а.
b) На каждой полупрямой Ох с началом О отметим точку
f(Ox) ее пересечения с заданной окружностью Г с центром О.
При фиксированной точке А = f(Ox) пусть M==f(Oy)—дру-
M==f(Oy)—другая точка на Г. Полагая хОу = 2а и применяя обозначения
п. а), проверьте, что d(A,M) = 2ф(а).
c) Пусть 3) — множество полупрямых с началом О, снаб-
снабженное метрикой из упр. 5. Покажите, что / есть непрерывное
отображение 3) на Г и что Г связно. Покажите также, что лю-
любая дуга окружности связна.
7. Пусть &* — метрическая плоскость, не удовлетворяющая аксио-
аксиоме Евклида о параллельных, <?) — прямая в & и М е & \®.
a) Покажите, что объединение полупрямых с началом в М,
пересекающих ?D. является открытым угловым сектором и де-
делится пополам перпендикуляром, проведенным через М к к)\
его угол раствора обозначают 2а (а называется углом парал-
параллелизма М относительно $5).
b) Покажите, что а зависит только от расстояния d от
точки М до прямой ZD и является убывающей функцией d
(функция a(d) называется функцией Лобачевского; можно до-
доказать (см. [ВО—SZ]), что она имеет вид а = 2 arc tg e~d^k, где
k — константа; мы проверяем это на моделях Пуанкаре и
Бельтрами).
8. Пусть (ABC) —треугольник в метрической плоскости &. Обо-
Обозначим через В' (соотв. С) точку, симметричную с С (соотв. В)
относительно середины [АВ] (соотв. [ЛС]), и пусть S — сумма
углов треугольника (ABC).
1) Для упрощения мы применяем в этих упражнениях обыч*
ное отождествление углов с их мерой в радианах.

296 УПРАЖНЕНИЯ
a) Покажите, что 5 = В'АС, и выведите из этого, что 5 —
развернутый угол, если & удовлетворяет аксиоме Ех § 9.
b) Если 0* не удовлетворяет аксиоме Ей обозначим через а
угол параллелизма А относительно прямой (ВС). Покажите, что
тогда S ^ 2а.
8. Пусть & — метрическая плоскость, не удовлетворяющая аксио-
аксиоме Евклида. Назовем дефектом, треугольника Т = (ABC) число
Ь(Т) = к—(a + P + Y)> где а, р, у —углы треугольника.
Покажите, что если D — многоугольная область, разбитая
на конечное число треугольников, то сумма дефектов этих тре-
треугольников не зависит от выбранного способа разбиения (рас-
(рассмотрите сначала случай, когда D — треугольная область).
Обозначим эту сумму через 6(D); теория меры показывает,
что площадь многоугольной области D имеет вид k&(D), где
k = const (площадь подчинена условию инвариантности при изо-
метриях).
Приложения, а) Если !Р — модель Пуанкаре, покажите, что
k — 1 (примените упр. 14).
Ь) Используя упр. 16, покажите, что в гиперболической
плоскости существуют четырехугольники, площадь которых
больше площади любого треугольника: такой четырехугольник
не может быть заключен в треугольной области.
Модель Пуанкаре (см. § 12)
В упр. 10—14 через & обозначена полуплоскость Пуанкаре,
снабженная гиперболической метрикой.
10. Пусть 3)> 3)' — пара гиперболических прямых в ^, пред-
представленных евклидовыми полуокружностями, не пересекающи-
пересекающимися и не касающимися.
a) Покажите, что существует единственная гиперболическая
прямая А, перпендикулярная одновременно к 3) и &'.
b) Покажите, что существуют две осевые симметрии, пере-
переводящие 2D и & друг в друга.
c) Пусть А — точка ^\ не принадлежащая ни 2D, ни &', ни
их общему перпендикуляру, и пусть Б, С — точки, симметрич-
симметричные А относительно прямых 2D, 3)'. Покажите, что точки Л, В, С
не лежат на одной прямой и через них не проходит никакая
гиперболическая окружность. (Отсюда выводится, что аксиома
Евклида равносильна утверждению: через любые три некол-
линеарные точки проходит окружность.)
d) Пусть гиперболические прямые 3), 3)' в & представлены
касающимися евклидовыми полуокружностями. Покажите, что
существует единственная осевая симметрия, переставляющая ЗУ
и ЗЬ'у и у 3)у 3)' нет общего перпендикуляра.
11. Пусть 3), 3)' — две гиперболические прямые, представленные
евклидовыми полуокружностями с диаметрами [АВ], [А'В']
соответственно.

УПРАЖНЕНИЯ 297
a) Покажите, что 3) и 9)' пересекаются тогда и только
тогда, когда отрезки [АВ] и [Л'?'1 имеют хотя бы одну общую
внутреннюю точку.
b) Предположим, что 3) и &' пересекаются в точке / и
обозначения выбраны так, что точки В и Л' принадлежат от-
отрезку [Л?']. Покажите, что через точку #*, внутреннюю по
отношению к евклидову диску с диаметром [?Л'], не проходит
никакая гиперболическая прямая, пересекающая обе гиперболи-
гиперболические полупрямые AВ( и (/Л'(. (Отсюда выводится, что аксио-
аксиома Евклида равносильна утверждению: через любую точку угло-
углового сектора проходит хотя бы одна прямая, пересекающая сто-
стороны этого сектора.)
12. а) Пусть М — точка ?Р с кординатами а, Ъ и & — гипер-
гиперболическая прямая (х = 0, у > 0) в ^\ Найдите проходя-
проходящую через М прямую, гиперболически ортогональную к iz>,
и проверьте, что расстояние от М до 9D равно d =
= In ((а2 + б2I/2 + а) — In b. (Примените упр. IV. 36.)
Ь) Покажите, что пересекающие 3) полупрямые с началом
ъ М — это те прямые, которые принадлежат открытому угло-
угловому сектору, ограниченному полупрямой Мх, лежащей на пря-
прямой х = а, и дугой евклидовой окружности, касательной к Оу в
точке О. Выведите отсюда, что угол параллелизма а в точке М
относительно прямой 2) равен а = 2 arc ige~d.
13. Предположим, что любая метрическая плоскость ^неудовле-
^неудовлетворяющая аксиоме Евклида, допускает биекцию / на полу-
полуплоскость Пуанкаре ^0, удовлетворяющую условиям
<V (Л, В) €= ^2) d [f (Л), f (В)] = -i- d (Л, В), где R = const.
Покажите, что отображение f конформно (т. е. соответственные
углы имеют одинаковую радианную меру). Выведите из этого
выражение а = 2 arc tg e~d^ для функции Лобачевского (см.
упр. 7).
14. В полуплоскости Пуанкаре !Р три-асимптотическим треуголь-
треугольником называют фигуру, образованную тремя гиперболическими
прямыми, представленными тремя ортогональными к х'х попарно
касающимися полуокружностями или полупрямыми.
a) Покажите, что два любых три-асимптотических треуголь-
треугольника изометричны (постройте томографию, переводящую одну
тройку точек х'х в другую).
b) Покажите, что площадь три-асимптотического треуголь-
треугольника равна я (она выражается несобственным интегралом
f Г d х d у
\ \ Г» распространенным на внутренность треугольника).
(Отсюда можно получить, что площадь треугольника с углами
а, Р, у равна я — (а + Р + Y)-)

298 упражнения
Другая конформная модель гиперболической геометрии
15. Каждой точке М полуплоскости Пуанкаре 9* с аффиксом
z = х + iy (У > 0) поставим в соответствие точку f(M) в IR2"
с аффиксом Z= (z — i)/(z-\-i).
a) Покажите, что f является биекцией & на единичный
круг 3), определенный неравенством \Z\ < 1, и что образам»
гиперболических прямых из &* являются пересечения с & пря-
прямых, проходящих через О, и окружностей, ортогональных еди-
единичной окружности U (определяемой условием \Z\ = 1).
b) С помощью этой биекции перенесите на & гиперболи-
гиперболическую метрику, определенную на &. Проверьте, что расстояние
между двумя точками Л, В в Ф равно d(A,B) = 1п[Л, В, Ру Q]r
где Р, Q — точки пересечения с U окружности или прямой, орто-
ортогональной U и проходящей через А, В (см. упр. IV. 35).
c) Покажите, что евклидовы вращения вокруг центра О
сохраняют это расстояние и что гиперболический угол между
двумя диаметрами 3) равен евклидову углу между ними (вспо-
(вспомните, что f конформно). В последующих упражнениях круг 2)%
снабженный расстоянием, определенным в Ь), будет называться
«гиперболическим кругом».
16. Пусть у — гиперболическая прямая, представленная в гипер-
гиперболическом круге 2) дугой окружности радиуса г с центром /,
ортогональной к U (см. упр. 15), и пусть уи у2 — образы у при
вращениях вокруг О на углы ±2я/3.
а) Какому условию должно удовлетворять г для того, что-
чтобы у пересекалась с yi и Уг/ (Напомним, что О/2 — г2+1.>
Положим тогда А = у (] уи В = у (] у2, С = ух(]у2; проверьте»
что углы гиперболического треугольника (ABC) со сторонам»
Y» Yb Y2 все равны а, причем cos— = -9—{г2+\)т. (Можно
вычислить синус угла OAI в евклидовом треугольнике (OAI).)
Выведите отсюда, что для любого действительного а е
е]0, я/3[ можно построить гиперболический треугольник, все
углы которого равны а; покажите, что существует четырехуголь-
четырехугольник (полученный объединением двух треугольников) с суммой
углов <jt.
Модель Бельтрами
17. Обозначим через / инверсию R3 с полюсом S@,0,—1) и
степенью 2 и через р ортогональную проекцию (л:, у, z) 1—> (ху
у, 0). Пусть, наконец, ?D обозначает единичный круг в пло-
плоскости z = 0, снабженный гиперболической метрикой d (иа
упр. 15).
a) Покажите, что ограничение / отображения р ° j на ЗУ
является биекцией, и вычислите координаты точки f(M) как
функции от координат М.
b) Покажите, что образ гиперболической прямой в 3) при
отображении / есть интервал евклидовой прямой.
c) Любой паре (Л, В) точек 3) поставлено в соответствие
число б (Л, В) = d[j~l(A),f-l(B)], где d обозначает гиперболи-

УПРАЖНЕНИЯ 299
яеское расстояние. Покажите, что б (Л, В) = 7s In [Л, В, Р, Q], где
Р, Q — точки пересечения евклидовой прямой (АВ) с единичной
окружностью U. (Обозначим С = f~l(A), D = f~l(B); упр. IV. 36
докажет, что [A,B,P,Q] «= [j(C),j(D),P,Q]2, и останется при-
применить результат упр. IV. 35, Ь).)
Круг ^ снабженный метрикой б, называется моделью Бель-
Бельтрами гиперболической плоскости.
d) Покажите, что расстояние между двумя точками Л, В
е Ф задается в модели Бельтрами формулой
ch б (Л, В) = —
где О Л • О? обозначает евклидово скалярное произведение (вос-
(воспользуйтесь параметризацией прямой (АВ)).
е) Покажите, что осевые симметрии круга Бельтрами пред-
представляются гармоническими гомологиями проективного пополне-
пополнения R2 с центром вне 2D и с осью, служащей полярой центра
относительно окружности [/, рассматриваемой как коническое
сечение (см. упр. IV. 37).
18. Теорема Брианшона.
a) Покажите, что в любой метрической плоскости & бис-
биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной
точке.
b) Дайте истолкование этого результата в модели Бельтрами
^выберите точку О в круге Бельтрами и точки Р, Q на еди-
единичной окружности U и покажите, что биссектриса внутреннего
угла между полупрямыми (ОР(У (OQ( представляется прямой,
соединяющей точку О с точкой пересечения касательных к U
в точках Р, Q).
c) Выведите из этого, что диагонали шестиугольника, сто-
стороны которого касаются одной и той же коники на проективной
плоскости, пересекаются в одной точке (можно предположить,
что коника определяется однородным уравнением вида
х2 + у2 = г2, и отождествить ее с окружностью, см. упр. IV. 38).
19. Теорема Паскаля. Из предыдущего результата выведите по
принципу двойственности теорему Паскаля (обобщающую тео-
теорему Паппа в Р2 (R)): если Л, В, С, А', В\ С — шесть точек
на одной и той же конике, то точки Р = (ВС) f| (CB')y Q =
= (СА') П (AC), R = (АВ') П (ВА') лежат на одной прямой.
20. Пусть 3) — круг Бельтрами.
a) Покажите, что гиперболический угол между двумя диа-
диаметрами 3) имеет ту же меру, что и евклидов угол между
ними.
b) Пусть Р, Q — две точки на единичной окружности U
и А — гиперболическая прямая, представленная открытым ин-
интервалом ]P,Q[. Выразите гиперболическое расстояние d от О
до Л с помощью евклидова расстояния г; проверьте, что угол

300 УПРАЖНЕНИЯ
параллелизма А относительно точки О есть
с) Покажите, что это общая формула в 3).
21. Гиперболическая тригонометрия. Ставится задача доказать,
что углы а, Р, у и гиперболические длины сторон а, Ь, с тре-
треугольника (ABC) в круге Бельтрами 3) связаны соотношением
ch a = ch Ь ch с — sh 6 sh с cos a A)
и ему аналогичными.
a) Покажите, что можно свести дело к случаю, когда
точка А совпадает с центром ®.
b) Выразите в этом случае ch a, ch Ъ и ch с через и = \\АВ\\г
v = \\AC\\ и w—AB'AC (примените формулу A) из упр. 17).
c) Получите отсюда соотношения
sh a sh Ь sh с
sin а sin P sin у '
22. Обобщим модель Бельтрами, заменив единичный круг ЗУ
кругом ^/?, определенным неравенством х2 + У2 < R2. Расстоя-
Расстояние между точками Л, В зададим соотношением
h / 6 (Л, В) \ = R2 — OA-OB
с V R )~
a) Проверьте, что в полученной «метрической плоскости»
функция Лобачевского выражается как а — 2 arc tg e~d/R.
b) Как изменятся формулы A) и B) из упр. 21?
c) Покажите, что при /?->-оо расстояние б (Л, В) между
двумя фиксированными точками имеет пределом евклидово рас-
расстояние между ними. (Евклидова геометрия становится, таким
образом, предельным случаем гиперболической геометрии.)
23. Обозначим через К такое подполе в R, что для любого яе/С
действительное число |*|1/2 принадлежит К. Покажите, что
К X К снабженное канонической евклидовой структурой, удов-
удовлетворяет аксиомам, получаемым из аксиом метрической пло-
плоскости (аксиом расстояния, § III. 2) при замене в них R+
на К+. Сохраняется ли такое положение для гиперболической
геометрии? (Примените формулы гиперболической тригономет-
тригонометрии.)
24. Пусть & — евклидова плоскость, т. е. «метрическая пло-
плоскость», в которой выполняется аксиома Евклида Ех (см. конец
§ VI. 9).
а) Проверьте, что & является упорядоченной плоскостью
аффинного типа (см. § V. 9).

УПРАЖНЕНИЯ 301
b) Покажите, что произведение двух центральных симмет-
симметрии является трансляцией (см. § V. 2). Выведите отсюда, что 9*
есть плоскость трансляций (см. определение V. 3.1).
c) Пусть р— проектирование в направлении б ориентиро-
ориентированной прямой & на другую ориентированную прямую к)\
Покажите, что р— монотонное отображение и что расстояние
d(p(A), p(B)) зависит только от расстояния d(A,B) (где Л,
Ве^)). Выведите отсюда, что р — аффинное отображение-
(идею можно почерпнуть из исследования, проведенного в § V. 9,
а затем применить теорему 1.7.8).
d) Покажите, что & есть аффинная плоскость над полем R
(теорема Фалеса, установленная в с), позволяет определить
произведение вектора на действительное число).
25. Пусть & — евклидова плоскость.
a) Установите «признаки подобия треугольников», соответ-
соответствующие их «признакам равенства» (см. упр. VI. 2).
b) Сравните различные доказательства, которые можно при-
привести для теоремы Пифагора. (Применение ортогонального про-
проектирования, скалярного умножения, признаков подобия прямо-
прямоугольных треугольников.)

ЛИТЕРАТУРА 1)
[AR] Artin E. Algebre geometrique. Cahiers scientifiques,
fasc. XXVIII. —Paris: Gauthier-Villars, 1972. [Имеет-
[Имеется перевод: Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.:
Мир, 1976.1
[AZ] Artzy R. Linear geometry. — Addison Wesley, 1965.
[BA] Bonola R. Non euclidean geometry. — New York: Dover
publications, 1955.
[BE] Berger M. Geometrie. 5 vol. — Paris: CEDIC, Fernand
Nathan, 1977. [Имеется перевод: Берже М. Геомет-
Геометрия. Т. 1, 2. —М.: Мир, 1984.1
TBI— ML] Birkhoff G., Mac Lane S., Algebre. 2 vol. Cahiers
scientifiques, fasc. XXXV et XXXVI. — Paris, Gauthier
Villars.
IBK—SZ] Borsuk K., Szmielew W. Foundations of geometry.—
Amsterdam; North Holland Publishing company, 1960.
[BO 1] Bourbaki N. Algebre (Livre II), Chapitre I, V, VI.
Actualites scientifiques. — Paris: Hermann. [Имеется
перевод: Бурбаки H. Алгебра — М.: Физматгиз, 1962
(гл. I—III), Наука, 1965 (гл. IV—VI).]
[ВО 2] Bourbaki N. Topologie generate (Livre III), Chapi-
tres III a VI. Actualites scientifiques. — Paris: Hermann.
[Имеется перевод: Бурбаки Н. Общая топология —
М.: Физматгиз, 1958. (гл. I—III), 1959, гл. IV—VII.]
-[BR] Brisac R. Expose elementaire des principes de la
geometrie euclidienne. — Paris: Gauthier-Villars, 1955.
[BU] Buseman H. The geometry of geodesies. — New York:
Academic Press, 1955. [Имеется перевод: Буземан Г.
Геометрия геодезических. — М.: Физматгиз, 1962.]
[BU—KE] Buseman H., Kelly P. J. Projective geodesies and
projective metrics. — New York: Academic Press, 1953.
[Имеется перевод: Буземан Г., Келли П. Проективная
геометрия и проективные метрики.—М.: ИЛ, 1957.]
[СА] Carrega J. С. Theorie des corps. La regie et le com-
pas. — Actualites scientifiques, fasc. 1402. — Paris:
Hermann, 1981.
!) Чтобы не дезориентировать читателя, мы даем лишь
ограниченную библиографию, отдавая предпочтение литературе
на французском языке. Более полная библиография содержится
в [EV], [PI], [ST].

ЛИТЕРАТУРА 30$
[СН] Choquet G. L'enseignement de la geometrie. — Paris:
Hermann, 1964. [Имеется перевод: Шоке Г. Геомет-
Геометрия. — М.: Мир, 1970.1
[СО] Coolidge J. L. The mathematics of great amateurs. —
Dover publications.
[CX 1] Coxeter H. S. M. Non euclidean geometry. — Toronto:
University of Toronto Press, 1947.
[SX 2] Coxeter N. S. M. Introduction to geometry. — New York:
John Wiley and Sons, 1969. [Имеется перевод: Кок-
стер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука,.
1966.]
[DE] Deheuvels R. Formes quadratiques et groupes classi-
ques. — Paris: Presses Universitares de France, 1982.
[DI] Dieudonne J. Algebre lineaire et geometrie elemen-
taire. — Paris: Hermann, 1968. [Имеется перевод: Дье-
донне Ж. Линейная алгебра и элементарная геомет-
геометрия. — М.: Наука, 1972.]
[DK] Dembowski P. Finite geometries. — Berlin: Springer,.
1968.
[DO] Doneddu A. Geometrie euclidienne plane. — Paris:
Dunod, 1965.
[EF] Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — M.: Наука, 1978.
[EU] Les oeuvres d'Euclide (avec introduction de J. Itard).—
Paris: Librairie scientifique et technique Albert Blan-
chard, 1966 *).
[EV] Eves H. A survey of geometry. — Boston: Allyn and
Bacon, 1972.
[FR] Frenkel J. Geometrie pour l'eleve professeur. Actualites
scientifiques, fasc. 1362. — Paris: Hermann, 1972.
[GA] Garner L. E. An outline of projective geometry. —
New York: Elsevier North Holland, 1981.
[HI—RO] Hilbert D. Les fondements de la geometrie. Edition
critique preparee par P. Rossier. — Paris: Dunod,.
19712).
[KE] Kerekjarto B. Les fondements de la geometrie, 2 vol. —
Budapest: Academiai, 1955.
[LF 1] Lelong-Ferrand J. Geometrie differentielle. — Paris:
Masson, 1963.
[LF 2] Lelong-Ferrand J. Notions mathematiques de base. —
Paris: Armand Colin, 1964.
[LF—AR] Lelong-Ferrand J., Arnaudies J. M. Cours de mathe-
mathematiques. 4 vol. — Paris: Dunod.
[LU] Luneburg H. Translation planes. — Berlin: Springer,
1980.
[OS] Ostrom T. G. Finite translation planes. Lecture Notes.
№ 158.— New York: Springer, 1970.
*) Евклид. Начала. Пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мор-
духай-Болтовского при ред. участии М. Я. Выгодского и
И. Н. Веселовского. — М.: ГТТИ, 1948—1950.
2) Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с нем, — M.i
ГТТИ, 1948.

304 ЛИТЕРАТУРА
[PI] Pickert G. Projective Ebenen.-—Berlin: Springer, 1955.
[PN] Pont J. C. L'aventure des paralleles. Histoire de la
geometrie non euclidienne, precursours et attardes.—
Bern, Frankfurt, New York: Peter Lang, 1986.
[PO] Погорелов А. В. Лекции по основаниям геометрии. —
Харьков: Госуниверситет, 1964.
[RU] Russel B. An essay on the foundations of geometry. —
New York: Dover publications, 1956.
[SP] Springer С. Е. Geometry and analysis of projective
spaces.— San-Francisco: W. H. Freeman, 1972.
[ST] Stevenson F. W. Projective planes. — San Francisco:
W. H. Freeman, 1972.
[TI] Tisseron С Geometrie affine projective et euclidien-
euclidienne.— Paris: Hermann, 1983.
J[VE—YO] Veblen O., Young J. W. Projective geometry. Vol. I.—
Boston: Ginn, 1938; Vol. П. —New York: Blaisdell,
1946.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм векторного про-
пространства (automorphisme
d'espace vectoriel) 54
— метрической плоскости (—du
plan metrique) 225
— тела(—d'un corps) 43
Аксиома Архимеда (Axiome
d'Archimede) 22
— верхней грани (—de la bor-
borne superieure) 28
— выбора (—du choix) 77
— Дезарга аффинная малая
(petit axiome de Desargues
affine)
большая (grand
) 190
проективная (axiome de
Desargues projectif) 199
— Евклида (—d'Euclide) 255,
261
сильная ( fort) 173
— Пanna аффинная (axiome de
Pappus affine) 200
проективная
( projectif) 201
— Паша (—de Pasch) 202,
225
— Цермело ( Zermelo)
77
— Цорна ( Zorn) 77
Аксиомы инцидентности (axio-
mes d'incidence) 224
— порядка (— d'ordre) 224
— расстояния (— des distan-
distances) 225
— симметрии (— de pliage)
225
Аннулятор (orthogonal) 64
Антиавтоморфизм тела (anti-
automorphisme d'un corps)
43
Антиизоморфизм тел (antiiso-
morphisme de corps) 43
Базис (base) 47
— дуальный (base duale) 6&
Барицентр (barycentre) 92
Вектор (vecteur) 46
Вращение (rotation) 233
Гармоническая четверка точек
(division harmonique) 142
прямых (faisceau harmo-
nique des droites) 147
гиперплоскостей
( d'hyperplans) 147, 28^
Гармонически сопряженная (со-
njugue harmonique) 142
Гиперплоскость аффинная (hy-
perplan affine) 89
— бесконечно удаленная
(— a l'infini) 134
— векторная (— vectoriel) 62"
— проективная (—projectif)
124
Томография (homographie) 130
Гомология (homologie) 130
— гармоническая (—harmoni-
que) 130
Гомоморфизм тела (homomor-
phisme de corp) 37
Гомотетия аффинная (homo-
thetie affine) 54
— векторная (vectorielle) 103
Грань верхняя (borne superie-
superieure) 14
— нижняя (—inferieure) 15
Группа архимедова (groupe
archimedien) 22
— аффинная (affine) 102
— дилатаций (— des dilata-
dilatations) 103
— изотропии (— d'isotropie) 82
— линейная (— lineaire) 54
— полуаффинная (—semi-affi-
ne) 102

306
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— полулинейная (— semi-linea-
ire) 54
— преобразований (— de trans-
transformations) 81
— — транзитивная
( transitif) 82
— проективная (— projectif)
132
— упорядоченная (ordonne) 22
Действие группы (action d'un
groupe) 81
Действительное число (nombre
reel) 16
Десятичная дробь бесконечная
(developpement decimal il-
limite) 11
— единица я-го порядка (uni-
(unite decimal du n-me ordre) 16
Десятичное приближение (va-
leur decimale approchee) 65
Десятичный знак п-го порядка
(decimale d'ordre n) 11
Дилатация (dilatation) 103, 176
Дуальность (dualite) 63
Измерение величин (mesure des
grandeurs) 27
— углов ( angles) 242
Изоморфизм векторных про-
пространств (isomorphisme d'es-
paces vectoriels) 54
— проективных пространств
(—d'espaces projectifs) 54
— тел (— de corps) 37
Кватернионы (quaternions) 37
Коллинеация (collineation) 165
Конфигурация Фано (configu-
(configuration de Fano) 149, 172
Корреляция (correlation) 170
Линейная комбинация векторов
(combinaison lineaire des
vecteurs) 47
Линейное аффинное многооб-
многообразие (variete lineaire affi-
affine) 87
Линейные аффинные многооб-
многообразия параллельные (varie-
tes lineaires affines paralle-
les) 90
Мажоранта (majorant) 14
Матрица линейного отображе-
отображения (matrice d'une applica-
application lineaire) 60
Модель Бельтрами (modele de
Beltrami) 298
— Пуанкаре ( Poincare)
265
Морфизм полупроективный
(morphisme semi-projectif)
127
— проективный (—projectif)
127
Направление линейного аффин-
аффинного многообразия (direc-
(direction d'une variete lineaire
affine) 87
Неравенство треугольника (ine-
galite triangulaire) 22, 249
Норма (norme) 79
Образ полулинейного отображе-
отображения (image d'une application
semi-lineaire) 55
Орбита (orbite) 82
Отношение ангармоническое
(rapport anharmonique) 152
— двойное (birapport) 152
четырех точек на окруж-
окружности (— de quatre points
d'un circle) 292
— дуальности (dualite) 63
— ортогональности (relation
d'orthogonalite) 72
Отображение аффинное (appli-
(application affine) 97
— линейное (— lineaire) 53
транспонированное
(transposee (d'une ) 65
— полуаффинное (application
semi-affine) 97
— полулинейное (— semi-linea-
semi-lineaire) 54
Перспектива (perspective) 128,
136
Плоскость альтернативная
(plan alternatif) 199
— архимедова (— archimedien)
205
— аффинная (— affine) 89

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
307
— аффинного типа (— de type
affine) 172
— гиперболическая (— hyper-
bolique) 265
— дезаргова (arguesien) 190
— евклидова (—euclidien) 224
— метрическая (— metrique)
208
— Муфанг (—de Moufang) 199
— недезаргова (— non argue-
arguesien) 219
— Пanna—Паскаля (— de Pap-
Pappus—Pascal) 200
— проективного типа (— de
type projectif) 171
— трансляций (— de transla-
translation) 179
— упорядоченная (ordonne)
202
Подмножество свободное (par-
tie libre) 47
— образующих (partie gene-
ratrice) 47
Подпространство аффинное
(sous-espace affine) 87
— векторное (— vectoriel) 46
— дополнительное (— supple-
mentaire) 52, 275
— проективное (— projectif)
124
Поле архимедово (corps archi-
medien) 37
— упорядоченное (— ordonne)
34
— — неархимедово (— — non
archimedien) 40
Пополнение проективное (com-
(complete projectif) 133
Порядок лексикографический
(ordre lexicographique) 13
— линейный (— total) 12
Принцип двойственности (ргщ-
cipe de dualite) 139
Продолжение векторное (pro-
longement vectoriel) 108
Проектирование аффинное (pro-
(projection affine) 103
— векторное (— vectoriel) 5,
275
— центральное (-— centrale)
121
Пространство аффинное (espa-
се affine) 84
— аффинного типа (— de type
affine) 217
— векторное (— vectoriel) 4S
— однородное (— homogene)
83
— орбит (— des orbites) 83
— проективного типа (— de
type projectif) 197
— проективное (— projectif)
124
— сопряженное (— dual) 59
второе (— bidual) 65
Прямая аффинная (droite af-
affine) 89
— векторная (— vectorielle) 48-
— проективная (— projective)
124
Прямые перпендикулярные
(droites perpendiculaires) 232
Размерность пространства аф-
аффинного (dimension d'un es-
pace affine 86
векторного ( vec-
vectoriel) 124
проективного
( projectif) 213
Ранг линейного отображения
(rang d'une application linea-
ire) 60
Расстояние гиперболическое
(distance hyperbolique) 266
Репер аффинный (repere affi-
affine) 95
— проективный (— projectif)
284
Свойство верхней грани (pro-
priete de la borne superieure)
28
Сдвиг левый (translation gau-
gauche) 82
— правый (— droite) 82
Семейство зависимое (famille
Нее) 47
— образующих (— generatrice)
47
— свободное (— libre) 47
Симметрия аффинная (symet-
rie affine) 104

308
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— векторная (— vectorielle)
275
— осевая (— axiale) 226
— центральная (— centrale)
104, 236
Скаляр (scalaire) 46
Скалярное произведение (рго-
duit scalaire) 79
Соотношение Шаля (relation
de Chasles) 85
Спаривание (couplage) 64
Стабилизатор (stabilisateur) 82
Тело кватернионов (corps des
quaternions) 42
— коммутативное (— commu-
tatif) 41
— некоммутативное (— поп
commutatif) 41
— противоположное (— oppo-
oppose) 41
— упорядоченное (— ordonne)
272
Теорема Брианшона (theoreme
de Brianchon) 299
— Веддерберна ( Wedder-
* burn) 45
— Гессенберга ( Hessen-
berg) 200
— Дезарга ( Desargues)
157
— Лежандра — Саккери
( Legendre—Saccheri)
259
— Менелая ( Menelaus)
155
— о замене (— d'echange) 48
— о размерности (— de dimen-
dimension) 50
— Паппа ( Pappus) 161
— Паскаля ( Pascal) 299
— Фалеса ( Thales) 105
малая (petit ) 187
сильная (theoreme de
Thales fort) 206
— Штаудта ( Von Staudt)
288
— Чевы ( Ceva) 155
Точка взвешенная (point pon-
dere) 92
Трансвекция (transvection) 277
Трансляция (translation) 85,
177
Угол (angle) 237
Форма билинейная (forme bi-
lineaire) 71
невырожденная
( non degeneree) 71
транспонированная
( transposed) 71
— линейная (— lineaire) 59
— полулинейная (—semi-linea-
ire) 63
Формы независимые (formes in-
dependentes) 68
Формула Лагерра (formule de
Laguerre) 291
Функции Лейбница (fonctions
de Leibnitz) 106
Характеристика плоскости
трансляций (caracteristique
d'un plan de translation) 189
— поля (тела) (— d'un corps)
36
Центр тела (centre d'un corps)
41
Четырехугольник Саккери (qu*
adrangle de Saccheri) 256
Эквибарицентр (equibaricentre)
93
Эквиполлентность (equipollen-
ce) 183
Элация (elation) 131
Эндоморфизм (endomorphisme)
54
Ядро полулинейного отображе-
отображения (noyau d'une application
semi-lineaire) 55

ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Предисловие 6
Глава I. Поле действительных чисел ......... 9
Введение 9
1. Бесконечные десятичные дроби 10
2. Лексикографический порядок на 3) ..... 12
3. Действительные числа. Десятичные приближения 15
4. Сложение действительных чисел. Групповая
структура 19
5. Архимедовы группы 22
6. Аксиоматическая характеризация R как группы 28
7. Автоморфизмы группы (R,+). Структура поля.
Гомоморфизмы (R,+) в себя ....... 31
8. Упорядоченные поля. Характеризация R как поля 36
Глава II. Структура векторного пространства над телом 41
1. Общее понятие тела 41
2. Векторные пространства над произвольным
телом 45
3. Конечномерные векторные пространства . . 50
4. Линейные и полулинейные отображения . . 53
5. Линейные и полулинейные отображения в ко-
конечномерном случае 59
6. Линейные формы, гиперплоскости, дуальность 61
7. Дуальность в конечномерном случае .... 66
8. Изоморфизмы векторного пространства на его
сопряженное (коммутативный случай, конеч-
конечная размерность) 70
9. О бесконечномерных пространствах .... 72
10. Некоторые приложения аксиомы Цорна ... 77
Глава III. Структура аффинного пространства над телом 81
1. Введение 81
2. Аффинные пространства 84
3. Аффинные подпространства (линейные аффин-
аффинные многообразия) 86
4. Барицентры; приложения к изучению аффин-
аффинных подпространств 92
5. Аффинные и полуаффинные отображения . . 97

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги,
ее оформлении, качестве перевода и другие
просим присылать по адресу: 129820, Мо-
Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2,
издательство «Мир».
Учебное издание
Жаклин Лелон-Ферран
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР
профессор В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А, С. Попов
Ст. научи, ред. Н. И. Плужникова, А. А. Бряндинская
Мл. научи, ред. Л. А. Королева
Художник О. С. Василькова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор И. И. Володина
Корректор Л. Д. Панова
ИБ № 6803
Сдано в набор 19.10.88. Подписано к печати 03.05.89»
Формат 84Х1087зг. Бумага тип. № 1. Печать высокая»
Гарнитура литературная. Объем 4,88 бум. л. Усл. печ.
л. 16,38. Усл. кр.-отт. 16,60. Уч.-изд. л. 16,39. Изд. № 1/6035*
Тираж 25 000 экз. Зак. 1241. Цена 1 р. 20 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» В/О «Совэкспорткнига» Госу-
Государственного комитета СССР по делам издательству
полиграфии и книжной торговли, 129820, ГСП, Москва,.
И-110, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 головное предприятие
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколо-
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном коми-
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
книжной торговли. 198052, г, Ленинград, Л-52, Измайловски*
проспект, 29,