/
Текст
И. В. Остославский, И. В. Стражева
ДИНАМИКА ПОЛЕТА
УСТОЙЧИВОСТЬ
И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для авиационных втузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва 1 965
УДК 629.13 : 629.1. (.073+.075) .001.1 (075.8)
Книга посвящена теории устойчивости и управляемости
летательных аппаратов. В основном рассмотрены устойчивость
и управляемость крылатых летательных аппаратов в широком
диапазоне скоростей, включая сверхзвуковые.
В книге изложены современные методы исследования
устойчивости и управляемости в продольном и боковом дви-
жениях, при старте и посадке и на критических углах атаки.
Рассмотрены передаточные функции летательного аппарата
и методы выбора оптимальных параметров аппарата и авто-
матики. Наряду с математическими основами исследований
приведены инженерные методы расчетов устойчивости и управ-
ляемости с числовыми примерами.
Книга является учебником по курсу «Динамика полета»
для студентов авиационных вузов; вместе с тем она будет по-
лезна инженерам, занимающимся проектированием летатель-
ных аппаратов.
Рецензенты профессор Н. В. Куршев
и профессор Я. Е. Ткаченко
Редактор доцент Я. М. Котляр
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга является второй частью единого учебника по динамике
полета. В первой части «Динамика полета. Траектории полета лета-
тельных аппаратов», вышедшей в 1963 г., рассмотрены возможные
траектории полета летательных аппаратов и, в частности, методы выбо-
ра оптимальных по какому-либо критерию траекторий. Материал тако-
го рода позволяет выбрать программу полета летательного аппарата.
В настоящей книге рассматриваются вопросы, связанные с реали-
зацией намеченной по тем или иным соображениям программы, поле-
та,— вопросы устойчивости и управляемости летательных аппаратов.
Практическим результатом исследования устойчивости и управляемости
является выбор динамических коэффициентов, обеспечивающих наибо-
лее простую реализацию программы и наименьшие отклонения от про-
граммы при случайных возмущениях.
Летательный аппарат представляет собой только одно из звеньев
более сложной системы, в состав которой входят также автопилот,
командная станция, кинематические и корректирующие звенья и т. д.
Отсюда следует, что динамические коэффициенты летательного аппа-
рата должны выбираться совместно с такими же динамическими коэф-
фициентами остальных звеньев всей системы.
Мы будем рассматривать летательный аппарат как часть всей замк-
нутой системы — как объект управления. В некоторых случаях под
объектом управления будем понимать собственно летательный аппарат
и функционально необходимую часть—автопилот, которые представ-
ляют собой в сущности неразрывные части единого целого.
Современная вычислительная техника принципиально дает возмож-
ность решения задач устойчивости и управляемости без существенного
их упрощения (в нелинейной постановке, без разделения пространст-
венного движения на продольное и боковое и т. д.). Реализация этой
возможности, однако, затруднительна даже с привлечением самой со-
временной вычислительной техники из-за большой трудоемкости и слож-
ности расчетов. Кроме того, такие решения могут дать ответ только на
конкретные вопросы, относящиеся к движению конкретного летатель-
ного аппарата по тем или иным конкретным траекториям. Помимо
таких способов решения задач динамики, инженер должен иметь
в своем распоряжении сравнительно простые способы аналитического
решения, особенно важные при предварительном решении задач син-
теза системы управления.
* Главное внимание в книге уделяется таким приближенным анали-
тическим методам исследования динамики, в основу которых положены
линеаризация уравнений движения и замена дифференциальных урав-
1824
4
Предисловие
нений с переменными коэффициентами уравнениями с постоянными
коэфф ищ 1ента ми.
Авторы при изложении материала использовали аппарат и термино-
логию теории автоматического управления. Изложению вопросов собст-
венно динамики полета предпосланы краткие сведения о применяемом
математическом аппарате; эти сведения даются без доказательств основ-
ных положений и без подробных выводов.
Летательный аппарат рассматривается почти на всем протяжении
курса как тело переменного состава с недеформпруемой оболочкой, об- '
ладающее шестью степенями свободы. Влияние упругости конструкции
на характер движения оценивается приближенно через изменение сте- ь
пени статической устойчивости из-за деформаций.
Наиболее подробно рассмотрены вопросы устойчивости и управ-
ляемости летательных аппаратов, полет которых происходит в сравни-
тельно плотных слоях атмосферы, так как задачи этого рода оказы-
ваются наиболее сложными. Вопросы, связанные с устойчивостью
и управляемостью космических кораблей, движение которых осущест-
вляется практически вне атмосферы, как менее сложные, изложены бо-
лее кратко.
Такой подход к изучению устойчивости и управляемости летатель-
ных аппаратов представляется авторам методически правильным, хотя
он, конечно, далеко не исчерпывает проблему. В этом смысле книгу
можно рассматривать как введение в изучение динамики полета, даю-
щее общее Представление о явлениях, связанных с полетом летатель-
ных аппаратов, и о методах исследования.
Так как в настоящей книге, как и в книге «Траектории летатель-
ных аппаратов», излагается общий курс динамики полета, то она мо-
жет быть использована лицами, специализирующимися в области и са-
молете- и ракетостроения. Материал, необходимый для интересующихся
вопросами динамики ракет и не обязательный для читателей, специали-
зирующихся в области самолетостроения, отмечен двумя звездочками
(**) в оглавлении. Материал, предназначенный для интересующихся
динамикой самолетов, отмечен одной звездочкой (*). Материал, необ-
ходимый для более глубокого изучения вопросов, рассматриваемых
в книге, набран мелким шрифтом.
Все примеры, поясняющие теоретические положения, относятся
к гипотетическим самолетам и ракетам. В книге использованы данные,
опубликованные в отечественной и зарубежной печати.
Авторы приносят благодарность профессорам Я. Е. Ткаченко
и Н. В. Куршеву, а также доценту Я. М. Котляру, сделавшим ряд цен-
ных замечаний по содержанию и методике изложения рассмотренных
в книге вопросов.
Авторы будут благодарны читателям за замечания по содержа-
нию книги и за пожелания по ее дальнейшему улучшению. Все заме-
чания следует направлять по адресу: Москва, И-51, Петровка, 24, изда-
тельство «Машиностроение».
4
ВВЕДЕНИЕ
При изучении методов расчета траекторий полета и, в частности,
оптимальных с той или иной точки зрения (см. И. В. Остославский,
И. В. Стражева. «Динамика полета. Траектории летательных аппара-
тов». Оборонгиз, 1963), вполне обоснованно было рассматривать лета-
тельный аппарат как материальную точку переменной массы. Такое
допущение существенно упрощало решение задач, связанных с расчет-
ной траекторией полета.
Приближенность представления летательного аппарата как мате-
риальной точки (а не как тела — системы материальных точек) заклю-
чается в том, что управление летательным аппаратом (предполагается
идеальным. Другими словами, при таком предположении принимается,
что необходимые для полета по той или иной траектории внешние силы,
действующие па летательный аппарат, возникают мгновенно вслед
за управляющим воздействием (например, вслед за отклонением руля).
Если еще допустить, что управляющее воздействие на летатель-
ный аппарат сводится только к некоторому моменту, т. е. предположить,
что величина внешней силы, создающей момент, не зависит от управ-
ляющего воздействия (от отклонения руля), то задача управления лета-
тельным аппаратом существенно упрощается. При этом из общей систе-
мы уравнений выделяются уравнения равновесия моментов, которые
можно рассматривать как систему уравнений для определения углов
отклонения рулей. Для решения задачи о расчете траектории полета
(если конкретная величина управляющих воздействий нас не интере-
сует) можно ограничиться исследованием только уравнений равновесия
сил в проекциях на координатные оси, как это сделано в [1].
В действительности, конечно, управляющее воздействие (напри-
мер, отклонение руля) не мгновенно изменяет траекторию движения
летательного аппарата в нужном направлении. Этот процесс занимает
промежуток времени, в течение которого и изменяется внешняя сила.
Предположим, например, что необходимо увеличить аэродинамиче-
скую подъемную силу самолета,, с тем чтобы искривить траекторию его
полета в вертикальной плоскости. Очевидно, что при данной скорости
для этого необходимо увеличить углы атаки 'Крыльев, т. е. повернуть
самолет в пространстве вокруг, его оси Oz в соответствующем направ-
лении. На поворот самолета потребуется некоторое время, в течение
которого угол атаки будет постепенно нарастать до заданного значения,
а подъемная сила увеличиваться.
При некоторых неблагоприятных обстоятельствах это время пере-
ходного процесса, в течение которого происходит формирование подъ-
емной силы, может получиться чрезмерно большим, а сам переходный
процесс — недостаточно плавным (например, угол атаки будет сначала
возрастать, заметно превзойдет нужную величину, а потом будет умень-
6
Введение
шаться). Летательный аппарат с такими характеристиками будет обла-
дать неудовлетворительной управляемостью.
Вторым предположением, упростившим решение задачи об опреде-
лении траектории полета летательного аппарата, было предположение
об отсутствии каких бы то ни было случайных отклонений от заданного
программой управления режима полета, т. е. движение летательного
аппарата предполагалось происходящим в абсолютно спокойной среде.
В действительности в процессе полета на летательный аппарат не-
прерывно действуют случайные, не предусмотренные программой управ-
ления силы — возмущения, отклоняющие движение летательного аппа-
рата от заданного программой. Это случайные возмущения могут появ-
ляться в результате воздействия внешней среды (например, порывы
ветра при полете в сравнительно плотных слоях атмосферы, возмущаю-
щие воздействия таких небесных тел, как метеориты, не учитываемые
программой управления при полете в космическом пространстве, и т. д.).
Возмущения могут возникать и на самом летательном аппарате (напри-
мер, вследствие неравномерности работы двигателей, колебания поло-
жения центра масс из-за перемещения масс топлива внутри летательного
аппарата и т. д.).
Под воздействием случайных возмущений действительное движение
летательного аппарата будет отличаться от рассчитанного в предполо-
жении отсутствия подобных возмущений.
У правильно спроектированного летательного аппарата переходный
процесс должен быть достаточно непродолжительным и плавным, без
каких-либо особенностей, а отклонения движения от заданного про-
граммой вследствие воздействия случайных возмущений должны доста-
точно быстро ликвидироваться без вмешательства в управление аппа-
ратом. Другими словами, летательный аппарат должен обладать удов-
летворительными управляемостью и устойчивостью.
Управляемостью летательного аппарата будем называть его спо-
собность реагировать изменением соответствующих внешних сил на дей-
ствия рычагами управления.
Очевидно, что свойства управляемости в значительной мере опре-
деляют и такое важное качество летательного аппарата, как маневрен-
ность, т. е. способность его изменять скорость, высоту и направление
полета.
Чем меньший промежуток времени требуется для изменения этих
кинематических характеристик и чем больше диапазон возможных изме-
нений, тем лучше маневренные свойства летательного аппарата.
Обратимся теперь к понятию «устойчивость движения». Для того
чтобы яснее представить его смысл, напомним вначале смысл понятия
«устойчивость положения» или, что то же, «устойчивость равновесия».
Различают устойчивое, неустойчивое или безразличное равновесие
тела. В том случае, когда после отклонения от положения равновесия
тело само возвращается в исходное положение, имеет место устойчи-
вое равновесие тела. Если тело не возвращается в исходное положение,
то равновесие неустойчивое. Если же любое положение тела является
равновесным, то равновесие тела называют безразличным. Простейшим
примером устойчивого равновесия тела может служить параллелепи-ь
пед, стоящий на своем основании (фиг. 1): если при небольшом откло-
нении от положения равновесия предоставить затем параллелепипед
самому себе, то он вернется в исходное положение равновесия. Приме-
ром неустойчивого равновесия служит тот же параллелепипед, постав-
ленный на ребро (фиг. 2): достаточно незначительного отклонения
параллелепипеда от положения равновесия, для того чтобы он не вер-
Введение
7
нулся в исходное положение равновесия, а упал на какую-либо грань.
Наконец, примером безразличного равновесия является шар, помещен-
ный на горизонтальной плоскости; любое положение шара есть положе-
ние равновесия.
Очевидно, для того чтобы положение равновесия было устойчивым,
необходимо выполнение такого условия: при отклонении тела должен
возникнуть момент (сила), действие которого непосредственно после
отклонения тела от положения равновесия направлено в сторону исход-
ного положения.
Фиг. 1. Устойчивое поло-
жение параллелепипеда
на плоскости.
Фиг. 2. Неустойчивое поло-
жение параллелепипеда на
плоскости.
Далее ясно, что для возвращения в исходное положение нужно,
чтобы возникшее движение тела с течением времени затухало. Если
в приведенном выше примере пренебречь силой сопротивления воздуха,
возникающей при движении параллелепипеда, и силой трения, то един-
ственной действующей силой будет сила веса параллелепипеда. В этом
случае после отклонения и освобождения параллелепипеда возникнут
незатухающие колебания параллелепипеда около положения равнове-
сия и параллелепипед никогда не вернется в исходное положение.
Сформулированное выше условие устойчивости положения равновесия,
следовательно, есть условие необходимое, но не достаточное.
Рассмотрим еще один простой пример. Пусть тяжелый шарик веса
G может перемещаться по поверхности желоба (фиг. 3). Предположим
вначале, что сила трения шарика о поверхность желоба отсутствует.
Вначале шарик находится в равновесии, занимая самое нижнее воз-
можное положение. Выведем шарик из положения равновесия О, поме-
стив его в положение а, и предоставим шарик самому себе. Тогда под
действием неуравновешенной составляющей силы веса шарик начнет
' двигаться к исходному положению равновесия. Так как, по предположе-
нию, никакие другие силы, кроме тяжести, на шарик не действуют, то
сообщенный ему в точке а запас энергии Gh в дальнейшем останется
неизменным: в точке О эта энергия превратится в кинетическую энер-
гию Gh=^~^. Обладая скоростью в точке О, шарик не остановится
в ней, а начнет подниматься по другой стороне желоба, пока скорость
шарика не станет равной нулю (точка b на фиг. 3). Из точки b шарик
опять начнет двигаться вниз, опять пройдет точку О и начнет подни-
маться по левой стороне желоба. Этот процесс будет повторяться бес-
конечно долго: движение шарика будет незатухающим.
8
Введение
Предположим теперь, что силы трения, действующие на шарик
в процессе его движения, не равны нулю. Тогда часть приобретенной
шариком энергии будет затрачиваться на работу сил трения, и точка Ь',
в которую придет шарик на правой стороне желоба, будет лежать ниже
точки а. Далее шарик все в меньшей степени будет отклоняться от точ-
ки О, пока не остановится в ней.
Таким образом, вторым необходимым условием устойчивого поло-
жения равновесия является условие затухания или демпфирования дви-
жения тела.
Аналогичные рассуждения можно применить при рассмотрении дви-
жения тела.
Пусть тело движется по заданной траектории со скоростью, изме-
Фиг. 3. Тяжелый шарик, переме-
щающийся по желобу.
няющейся по определенному закону
в зависимости от времени. При этом
положение тела в пространстве изме-
няется также по определенному вре-
менному закону. Такое движение на-
зывают основным или программным.
Пусть далее в некоторый момент
времени на тело подействовали силы,
не предусмотренные программой дви-
жения, которые вызвали возмущения
движения. Пусть затем действие этих
сил прекратилось.
После прекращения действия воз-
мущений тело по крайней мере в те-
чение некоторого промежутка времени
будет двигаться по закону, отличному от заданного программой: основ-
ное движение уступит место некоторому новому возмущенному движе-
нию. Очевидно, что если по прошествии некоторого времени возмущен-
ное движение снова переходит в основное, то движение тела будет
устойчивым. Если же с течением времени возмущенное движение все бо-
лее отклоняется от основного, то движение тела будет неустойчивым.
Таким образом, под устойчивостью движения тела (и, следователь-
но, летательного аппарата) понимают свойство кинематических
характеристик движения возвращаться к своим исходным значениям
в основном движении после отклонения тела от исходного движения
и прекращения действия причины, вызвавшей это возмущение.
Необходимым условием устойчивости движения, как и устойчивости
положения, является наличие восстанавливающих сил и моментов
и демпфирование возмущенного движения.
Рассматривая вопрос об устойчивости движения или положения,
можно говорить или об устойчивости в широком смысле слова — при
любой величине возмущений («устойчивость в большом»), или об устой-
чивости при возмущениях, ограниченных некоторыми предельными зна-
чениями («устойчивость в малом»). Так, в рассмотренном выше при-
мере параллелепипед, стоящий на основании, устойчив в малом и не-
устойчив в большом: если отклонить параллелепипед достаточно далекр
от исходного положения равновесия, то он упадет на другую грань и",
следовательно, не вернется в исходное положение равновесия.
В большинстве задач техники приходится встречаться с устойчиво-
стью в малом, когда отклонения от положения равновесия невелики.
В этой книге мы также будем считать отклонения от основного движе-
ния небольшими, т. е. будем рассматривать устойчивость в малом.
Введение
9
Содержанием настоящего курса являются вопросы о том, как
управлять летательным аппаратом при полете по топ или иной траек-
тории и каковы условия, облегчающие управление. Для того чтобы
ответить на эти вопросы, необходимо рассмотреть две задачи.
Во-первых, следует выяснить, какие управляющие воздействия тре-
буются для осуществления того или иного режима полета летательного
аппарата. Это — задача об управляемости летательного аппарата.
Во-вторых, надо установить, как часто, задав определенный режим
* полета некоторой программой управления, в реальных условиях прихо-
дится вмешиваться в управление, для того чтобы сохранять нужный
« режим полета. Это — задача об устойчивости движения летательного
аппарата.
Чем проще по своему характеру управляющие воздействия и чем
меньше приходится вмешиваться в заранее заданную программу управ-
ления, тем совершеннее летательный аппарат. Оказывается, что управ-
ляемость и устойчивость летательного аппарата тесно связаны друг
с другом.
Рассмотрим, например, взлет самолета. Целью этого движения
является сообщение самолету скорости, достаточной для отделения са-
молета от земли. Начиная взлет на самолете, имеющем шасси с хвосто-
вым колесом, летчик перемещает рычаг управления газом для перевода
двигателя на режим полной мощности: самолет начинает движение
по аэродрому на трех колесах. Для уменьшения лобового сопротивле-
ния самолета при разбеге летчик плавно отклоняет от себя ручку
управления рулем высоты, создавая момент, опускающий нос самолета,
и, таким образом, уменьшает угол атаки крыльев. Угол тангажа под-
держивается неизменным до момента отрыва самолета от земли.
По мере возрастания скорости движения угол отклонения руля высоты,
необходимый для сохранения нужного угла тангажа, уменьшается.
После отрыва самолета от земли скорость самолета продолжает увели-
чиваться, а руль высоты летчик при этом отклоняет вниз.
На фиг. 4 приведены записи изменения по времени скорости движе-
ния V учебного самолета, угла отклонения руля высоты 6В и усилия на
ручке управления Ръ при взлете, полученные при помощи приборов-
самописцев, установленных на учебном самолете. Согласно этим запи-
сям движение руля высоты в основном происходит в соответствии с опи-
санным выше. Однако, как видно из фиг. 4, на основное движение все
время накладываются дополнительные движения, обусловленные слу-
чайными возмущениями в процессе взлета (порывы ветра, неровности
почвы и т. д.). На все эти возмущения летчик реагирует соответствую-
щими отклонениями руля высоты, в результате чего кривые на фиг. 4
получаются неплавными. Управляющие воздействия рулем высоты со-
стоят из двух частей: основной, определяемой программой или целью
движения, и дополнительной, необходимой для парирования случайных
'возмущений. Чем устойчивее самолет, тем меньше эти дополнительные
(непроизводительные) управляющие воздействия, тем легче самолет
в пилотировании.
Так же обстоит дело и с другими режимами полета летательных
аппаратов.
При всяком неустановившемся движении летательный аппарат
в общем случае обладает несколькими степенями свободы; так, напри-
мер, при движении в вертикальной плоскости летательный аппарат
имеет два возможных поступательных перемещения (по горизонтали
и по•вертикали) и одно вращательное (вокруг оси Oz).
10
Введение
Рассмотрим схематизированный случай, когда летательный аппарат
обладает только одной степенью свободы — возможностью вращения
вокруг оси, проходящей через центр масс летательного аппарата, напри-
мер, вокруг оси Ozi (вокруг поперечной оси). Практически такие усло-
вия можно, например, воспроизвести в аэродинамической трубе, поме-
Фиг. 4. Запись параметров движения самолета при взлете.
стив в нее модель летательного аппарата и закрепив поперечную ось Ozi
(фиг. 5). Пусть модель обдувается потоком с постоянной скоростью V.
Если поворачивать модель вокруг оси Ozit устанавливая ее под
различными углами атаки, то при каждом угле атаки а действующий
на модель момент аэродинамических сил Mz можно уравновесить мо-
ментом от внешней силы Р, приложенной на определенном плече х
(например, грузом, помещаемым на чашке аэродинамических весов).
Проведя соответствующие измерения, можно построить диаграмму
действующих на модель моментов аэродинамических сил Mz=Px в за-
висимости от угла атаки а (фиг. 6).
Фиг. 5. Силы, действующие на модель самолета.
Положениям равновесия модели в аэродинамической трубе соот-
ветствует равенство нулю момента Afz (точки 1, 2, 3 на фиг. 6). Усло-
вимся считать положительным (отрицательным) момент, стремящийся
увеличить (уменьшить) угол атаки. Выясним, какие положения равно-
Введение
11
весия модели в аэродинамической трубе будут устойчивыми, а какие
неустойчивыми.
Начнем с положения равновесия, соответствующего точке 1. Откло-
ним модель от этого положения, уменьшив угол атаки; при этом, как
видно из фиг. 6, возникнет положительный момент ЛД>0, стремящийся
увеличить угол атаки. Если теперь освободить модель и предоставить
ее самой себе, то угол атаки начнет увеличиваться, и через некоторое
время (при наличии демпфирования) модель установится под прежним
углом атаки, соответствующим исходному положению равновесия 1.
Отсюда следует, что положение равновесия 1 является устойчивым.
Путем таких же рассуждений можно убедиться, что положение равно-
весия 3 также будет устойчивым. Наоборот, положение равновесия
в точке 2 будет неустойчивым; в самом деле, если отклонить модель из
этого положения равновесия, например, уменьшив угол атаки, то воз-
никший отрицательный момент AJz<0 будет стремиться еще более
уменьшить угол атаки. Если осво-
бодить модель, то угол атаки а бу-
дет уменьшаться до тех пор, пока
модель не займет новое положение
равновесия 1 с новым углом атаки.
Рассуждения не изменятся, ко-
нечно, если вместо уменьшения угла
атаки мы будем его увеличивать.
Вместо вращения модели лета-
тельного аппарата вокруг оси Oz\
можно было бы рассмотреть враще-
ние вокруг вертикальной оси Оух
(фиг. 7), причем все выводы, сде-
ланные относительно характера из-
менения момента аэродинамических
сил вблизи точки равновесия, оста-
лись бы в силе. В этом случае вместо угла атаки а мы имели бы дело
с углом скольжения (3, а вместо момента Mz— с моментом Му.
Устойчивость летательного аппарата при таком искусственно вос-
произведенном в аэродинамической трубе или воображаемом движении
принято называть статической устойчивостью, хотя этот термин
и нельзя признать удачным.
Из приведенных выше рассуждений следует, что условием возвра-
щения модели в исходное положение равновесия 1 или 3 является
демпфирование движения; в рассмотренном случае это демпфирование
осуществляется аэродинамическими силами сопротивления воздуха, воз-
никающими при вращении модели.
Анализ кривых фиг. 6 приводит к выводу, что признаком наличия
у летательного аппарата продольной статической устойчивости при
принятом нами правиле знаков является отрицательный угловой коэф-
фициент наклона касательной к кривой Mz=Mz(a) в точке балансиров-
ки (равновесия). Математически это условие можно записать в виде
неравенства
1 дМ* <0.
да
Для статически неустойчивого летательного аппарата будет иметь
tvfecio неравенство
М2
Фиг. 6. Примерный вид зависимости мо-
мента Мг от угла атаки а.
дМг
да
О
12
Введение'
и для статически нейтрального летательного аппарата
dMz __Q
да
Точно так же, если считать момент Му положительным, когда он
стремится вращать модель летательного аппарата против часовой
стрелки (если смотреть сверху — с конца оси Ог/i), то условие путевой
статической устойчивости летательного аппарата (по отношению к оси
Оу,) напишется так:
Фиг. 7. Установка в аэродинамической трубе модели, способ-
ной вращаться вокруг оси Otp.
Для летательного аппарата со статической неустойчивостью пути
справедливо неравенство
дМу
—->0,
д?
а для летательного аппарата, нейтрального в отношении путевой стати-
ческой устойчивости,— равенство
^-=0.
др
Если скорость потока в аэродинамической трубе постоянна, вместо
моментов Mz и Му можно рассматривать коэффициенты этих моментов:
мг му
т==---------------------------; ,
Sbq У Slq
где S— условная площадь, к которой отнесен1 момент, например пло-
щадь крыльев;
b — хорда крыла;
I — размах крыла;
оУ2
q=-— — скоростной напор потока.
Тогда условие продольной статической устойчивости летательногр
аппарата примет вид
да
1 Для бескрылых ракет можно в качестве 5 брать площадь миделевого сечения
корпуса, а вместо b и I длину корпуса.
Введение
13
а условие путевой статической устойчивости
дту а г,
——<0.
др у
dmz дту
Если знак производных --- или---- характеризует статическую
да др
устойчивость (неустойчивость) летательного аппарата, то величина этих
производных оценивает степень' статической устойчивости (неустойчиво-
сти) аппарата.
Так как в летном диапазоне углов атаки и скольжения коэффи-
циенты су и cz связаны обычно с углами аир линейной зависимостью,
„ дтг
то вместо производной для оценки, например, продольном ста-
тической устойчивости можно пользоваться производной
тсу=^.
г дсу
Эта частная производная связана с производной mz очевидным ра-
венством
с., dmz да т,
mzy=----------— —
да дсу с
Частная производная mzy, как и частная производная mz, дает
возможность определить направление вращения и количественно оце-
нить статическую устойчивость того или иного летательного аппарата.
Поэтому эти обе частные производные mz и mzy, от которых зависит
восстанавливающий или опрокидывающий продольный момент, назы-
вают степенью или мерой продольной статической устойчивости.
На практике степень продольной статической устойчивости (или
неустойчивости) чаще всего оценивают абсолютной величиной частной
производной rnzy. Как будет показано в гл. III, наряду с частной произ-
водной т/ для летательных аппаратов, летающих с относительно
большими скоростями (при числах М, превышающих критическое зна-
чение), в качестве меры продольной
дится рассматривать также полную
статической устойчивости прихо-
производную
дтг dfA
dM dCy
dmz____дт2
dc<y дсу
Этот случай является более общим, поскольку коэффициент про-
дольного момента mz, помимо су, является также функцией числа М
или скорости полета V.
Так как рассмотренное выше условное движение летательного
аппарата с одной степенью свободы (с возможностью вращения вокруг
центра масс) отличается от действительного движения, то наличие у ле-
тательного аппарата статической устойчивости еще не означает, что
аппарат в действительности устойчив; в этом и состоит 1неудачность тер-
мина «статическая устойчивость». Однако знаки моментов статической
устойчивости играют основную роль при оценке действительной устой-
чивости летательных аппаратов, как это следует из (предыдущего и как
это выяснится в дальнейшем.
14
Введение
Для исследования управляемости и устойчивости летательных
аппаратов прежде всего надо выяснить, какие внешние силы и моменты
действуют на летательный аппарат при его движении. Рассмотрению
этого вопроса и будет посвящена первая глава книги. Далее мы позна-
комимся с математическими методами исследования устойчивости
и управляемости летательных аппаратов, а затем перейдем собственно-
к задачам динамики, связанным с устойчивостью и управляемостью ле-
тательных аппаратов.
ГЛАВА I
СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ
АППАРАТ
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ГИПОТЕЗА СТАЦИОНАРНОСТИ
На летательный аппарат в полете действуют аэродинамические,
реактивные и массовые силы. В том частном случае, когда полет про-
исходит на таких больших высотах, на которых плотностью окружаю-
щей среды можно пренебречь, аэродинамические силы можно считать
равными нулю и единственными остаются реактивные и массовые силы.
Основной реактивной силой является сила тяги движителя, уста-
новленного на летательном аппарате, используемая для его передвиже-
ния. Реактивные силы могут использоваться также для поддержания
летательного аппарата в пространстве или для управления летатель-
ным аппаратом. К массовым силам относится сила тяжести.
В этой главе мы рассмотрим аэродинамические и реактивные силы,
действующие на летательный аппарат в полете. Среди этих сил можно
выделить основные силы, способствующие (например аэродинамическая
подъемная сила, сила тяги) или препятствующие (например лобовое
сопротивление) поддержанию летательного аппарата в пространстве
и его продвижению, и силы управляющие, используемые для изменения
основных сил. По своей природе управляющие силы могут быть аэро-
динамическими или реактивными.
В общем случае неустановившегося движения кинематические ха-
рактеристики движения изменяются с течением времени. Следователь-
но, и аэродинамические силы, зависящие от кинематических характе-
ристик, будут функциями времени. Условия обтекания частей летатель-
ного аппарата неустановившимся потоком воздуха могут весьма замет-
но отличаться от условий обтекания этих же частей стационарным,
установившимся потоком. Различие в условиях обтекания приводит
к различию и в аэродинамических силах и моментах, действующих на
летательный аппарат при установившемся и неустановившемся полете.
Эти различия тем больше, чем быстрее изменяются по времени кинема-
тические характеристики движения, например угол атаки, скорость
йолета и т. д. Известно, что быстро колеблющееся в вертикальной плос-
кости крыло может создавать силу тяги, хотя в стационарных условиях
на то же крыло, как мы знаем, действует в направлении, обратном
движению, лишь сила лобового сопротивления.
Таким образом, при нестационарном движении аэродинамические
силы и их моменты определяются не только кинематическими характе-
, 16 Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
ристиками в данный момент времени, но и всей «историей» движения.
Следовательно, при определении аэродинамических сил мы должны
были бы считать, что они зависят от углов атаки а и скольжения р и от
их производных по времени, от углов отклонения рулей и от их произ-
водных по времени, от скорости и высоты полета и от их производных
по времени. Даже если пренебречь изменением плотности воздуха с те-
чением времени, т. е. рассматривать движение на небольшом интервале
времени, когда высота полета* не успевает существенно измениться,
следовало бы исходить из зависимостей следующего вида:
су = су(а> а, а,...; V, V, V,. .. ; р, р, 0,...;.. .)
mz=mz(a, а, а,...; V, V, V,. .. ; 0, 0,
И т. д.
Такая постановка чрезвычайно усложнила бы решение задачи
об устойчивости движения летательного аппарата и его управляемости
и сделала бы это решение мало пригодным для инженерной практики.
На помощь здесь приходят следующие соображения.
В большинстве случаев при решении задач, связанных с изучением
неустановившегося движения летательного аппарата, кинематические
характеристики движения (например угол атаки, скорость полета и т.д.)
изменяются по времени сравнительно медленно. Вследствие этого неста-
ционарность обтекания сказывается на величине аэродинамических сил
и моментов незначительно. В первом приближении можно принять по-
этому, что основное влияние на структуру обтекания в каждый момент
времени оказывают кинематические характеристики, соответствующие
именно этому моменту времени. Чем меньше значение критерия подо-
бия по периодичности Sh, тем ближе к действительности такое предпо-
ложение.
Обычно при исследовании неустановившегося движения летатель-
ного аппарата пользуются гипотезой стационарности, которую можно
сформулировать следующим образом:
Аэродинамические силы и моменты, действующие на летательный
аппарат в неустановившемся полете в данный момент времени, полно-
стью определяются кинематическими характеристиками движения
в этот момент времени.
Другими словами, предполагается, что аэродинамические силы и мо-
менты в некоторый момент времени при неустановившемся движении
получаются такими же, как в установившемся движении, с теми же
углом атаки а, скольжения 0, скоростью полета V, плотностью воздуха о
и угловой скоростью (о, которые имеются в данный момент времени при
неустановившемся движении.
Гипотезой стационарности мы уже пользовались в книге [1] при
расчете траекторий полета; при этом мы пошли еще дальше, предполо-
жив, что угловая скорость о не влияет на величину аэродинамических
сил, действующих на летательный аппарат.
При определении моментов аэродинамических сил, действующих на
летательный аппарат, пренебрегать ролью угловой скорости вращения
летательного аппарата уже нельзя, так как с угловой скоростью связано
возникновение таких важных моментов, как момент демпфирования.
Таким образом, основываясь на гипотезе стационарности, при изучении
устойчивости и управляемости летательных аппаратов будем считать,
что аэродинамические силы — функции высоты и скорости полета, углов
1. Общие замечания. Гипотеза стационарности
17
атаки и скольжения, углов отклонения рулей, а аэродинамические мо-
менты, кроме того,—-функции угловой скорости вращения летательного
аппарата вокруг центра масс.
Гипотеза стационарности чрезвычайно упрощает анализ и с этой
точки зрения весьма плодотворна; вряд ли наши сведения по устойчи-
вости полета самолетов были бы такими обширными, если бы в основу
анализа не была положена гипотеза стационарности. Однако необходи-
мо иметь в виду, что гипотеза стационарности является лишь
первым приближением, грубой моделью действительного явления.
В качестве примера явной неприменимости гипотезы стационар-
ности к изучению аэродинамических сил при неустановившемся движе^
нии можно привести случай обтекания потоком воздуха крыла, установ-
ленного в аэродинамической трубе
под достаточно большим углом ата-
ки а. Если мы будем измерять
подъемную силу этого крыла, посте-
пенно увеличивая угол атаки, то
получим кривую /, приведенную
на фиг. 1. 1. Если такие же измере-
ния проводить, сначала увеличи-
вая, а потом уменьшая углы атаки,
то для некоторых профилей крыльев
можно получить кривую 2. Это хо-
рошо известное работникам аэро-
динамических лабораторий явление
объясняется «аэродинамическим ги-
стерезисом»: режим течения в по-
граничном слое крыла при различ-
ных законах изменения угла атаки
получается различным, различными
получаются и аэродинамические
Фиг. 1.1. Характер изменения коэффи-
циента подъемной силы с углом атаки
для некоторых профилей крыльев.
силы.
Приведенный пример не имеет прямого отношения к изучению
управляемости и устойчивости летательных аппаратов, так как, за
исключением полета в режиме штопора (см. гл. XII), мы будем ограни-
чиваться углами атаки, при которых нет заметного отрыва потока
от поверхности крыла и при которых, следовательно, аэродинамический
гистерезис не может иметь места. Однако и при решении стоящих перед
нами задач придется столкнуться со случаем неприменимости гипотезы
стационарности.
Все же во многих случаях гипотеза стационарности может служить
достаточно надежным фундаментом для анализа.
Итак, в соответствии с гипотезой стационарности полная величина
моментов аэродинамических сил при неустановившемся движении ле-
тательного аппарата может быть представлена в виде суммы: 1) момен-
тов аэродинамических сил, которые действовали (5ы на летательный
аппарат при установившемся прямолинейном полете с теми же углами
атаки и скольжения а и р и с теми же плотностью воздуха и скоростью
полета V и q, что и в данный момент времени при неустановившемся
движении; 2) моментов, обусловленных постоянной по времени угловой
скоростью ® вращения летательного аппарата вокруг центра масс, рав-
ной угловой скорости в данный момент времени при неустановившемся
движении. Это положение, справедливое для неустановившегося движе-
ния лишь приближенно, становится точным для криволинейного устано-
вившегося движения.
2 1824
18
Гл. /. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
§ 2. ПРОДОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
КРЫЛЬЕВ И КОРПУСА (ФЮЗЕЛЯЖА)
В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ ПОЛЕТЕ
При прямолинейном установившемся полете, по определению, мо-
мент всех сил, действующих на летательный аппарат, равен нулю; одна-
ко при этом момент сил, действующих на отдельные части летательного
аппарата, может и не равняться нулю. В общем случае момент аэро-
динамических сил, действующих на крылья и на корпус летательного
аппарата, не равен нулю. Этот момент должен погашаться моментом
управляющих сил, действующих на органы управления и стабилизации.
Остановимся вначале на моменте аэродинамических сил, действую-
щих на крылья летательного аппарата относительно связанной оси Ozh
проходящей через центр масс летательного аппарата. Напомним, что
в качестве связанной системы координат (подробнее см. [1]) мы прини-
маем систему координат, начало которой помещено в центре масс, а оси
направлены вдоль главных осей инерции летательного аппарата:
ось Oxi направлена вдоль продольной главной оси инерции.
При определении продольного момента аэродинамических сил
удобно пользоваться составляющими полной аэродинамической силы,
действующей на крыло, взятыми в системе связанных осей координат.
Эти составляющие аэродинамической силы связаны зависимостью, на-
зываемой полярой второго рода. Связь между координатами поляры
второго рода сУ1 и cxi и координатами обычной поляры су и сх получает-
ся иэ элементарных геометрических соображений и имеет вид
1=су cos а -ф сх sin а,
сХ1 — сх cos а — су sin а.
Так как при нормальных режимах полета летательных аппаратов,
которые мы в основном и будем рассматривать, углы атаки невелики,
то без значительной погрешности можно принять
cosa^l, sina^a.
В таком случае формулы (1.1) принимают более простой вид:
Ч- cxcl,
Cxi '^Сх Су а.
Так как произведение сха значительно меньше, чем су, то этим про-
изведением можно пренебречь, и мы приходим к следующим упрощен-
ным формулам:
1 (1а. 1)
cxl~cx~cya- J
Заметим, что, в то время как коэффициент лобового сопротивле-
ния сх всегда положителен, коэффициент касательной аэродинамиче-
ской силы Cxi, как видно из (1а. 1), может получаться и положительным,
и отрицательным. Примерный вид поляр первого и второго рода пока-
зан на фиг. 2.1.
Вектор полной аэродинамической силы, действующей на крыло,
приложен в центре давления крыла; в этой точке, следовательно, при-
ложены и составляющие аэродинамической силы по связанным осям
координат. Однако при изучении продольных моментов аэродинамиче-
(1-1)
2. Продольные моменты аэродинамических сил крыльев и корпуса 19
ских сил, за исключением гиперзвуковых скоростей полета, удобнее поль-
зоваться понятием фокуса крыла, известным из курса аэродинамики.
Фокусом крыла называют точку приложения приращения подъем-
ной силы. При данных V и q момент аэродинамических сил относитель-
но фокуса крыла постоянен и не
зависит от угла атаки а или коэф-
фициента подъемной силы су.
Вместо момента аэродинами-
ческих сил Mz в дальнейшем бу-
дем пользоваться коэффициентом
«момента
Л1г
т,=—
2 Sbq
где S — площадь крыла;
b — хорда крыла;
ОУ2
q=-------скоростной напор
набегающего по-
Фиг. 2.1. Примерный вид поляр 1-го
и 2-го рода.
тока.
Фиг. 3.1. К определению продольного момента
крыла (центр масс лежит в плоскости хорд).
Пусть, например, имеется крыло достаточно большого размаха
и постоянной хорды, следовательно, прямоугольной формы в плане.
Предположим вначале, что центр масс летательного аппарата располо-
жен в плоскости хорд крыла (фиг. 3.1) на расстоянии хт от передней
кромки, и составим выражение для коэффициента момента относитель-
но центра масс
—ХТ)СУ1 =
= ст + > (2*1)
гделд = ^, хт=^ист-
О и
коэффициент продольного
момента относительно оси,
проходящей через перед-
нюю кромку крыла.
Первое выражение по-
лучим, если определим мо-
мент непосредственно относительно выбранной оси, проходящей через
центр масс, второе — если предварительно определим момент относи-
тельно оси, проходящей через переднюю кромку крыла, а затем по об-
щим правилам перейдем к выбранной оси.
На линейном участке кривой су=су(а), как известно, справедливо
выражение
(3.1)
На основании (la. 1), (2.1) и (3.1) можно получить известное вы-
ражение для центра давления крыла
? __ СтО дСт
'Д л
Су дсу
(4.1)
2*
20
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Отсюда видно, что, если ст0#=0, центр давления перемещается
вдоль хорды крыла и, в частности, при су—-0 стремится к хд=оо.
С другой стороны, по второй части выражения (2.1) с учетом (3.1)
имеем
+ + (5-1)
По определению, коэффициент момента крыла относительно фокуса
не должен зависеть от значения су\ отсюда находим положение фокуса"
относительно носка крыла прямоугольной формы в плане:
-(6.1)'
UCy
Фиг. 4. 1. К определению продольного момента крыла
(центр масс не лежит в плоскости хорд).
Формула (6. 1) дает безразмерную координату фокуса, отнесенную
к хорде крыла. Как видим, эта безразмерная координата численно рав-
на производной кривой cm=cm(cy), взятой с обратным знаком. У совре-
менных профилей при небольших числах М фокус расположен прибли-
зительно на 22—25% хорды. При сверхзвуковых скоростях полета
(М^>1) фокус перемещается назад, располагаясь примерно на 50%
хорды.
Используя полученные выражения, коэффициент продольного мо-
мента аэродинамических сил, действующих на прямоугольное крыло,
относительно центра масс можно представить в следующей форме:
= (хр Ху) Су. (7. 1)
Как видим, в рассмотренном частном случае, когда центр масс ле-
жит в плоскости хорд крыла, коэффициент mz есть линейная функция
коэффициента подъемной силы су. В том более общем случае, когда
центр масс не лежит в плоскости хорд, выражение коэффициента про-
дольного момента аэродинамических сил, действующих на крыло, при-
нимает (фиг. 4.1) вид
Ц?2 = СтО (.Ху Хт) Су УтСхХ
или с учетом (1 а. 1)
/Hz=C7nO (.Ху Xi —yiG.)Cy У^Сх. (8. i)
Как видим, смещение центра масс из плоскости хорд по высоте на-
рушает линейность функции mz—mz(cy) тем сильнее, чем больше угол
атаки а, так как сх и асу не являются линейными функциями су. Одйа-
ко если смещение центра масс по высоте невелико (порядка 10% хор-
ды), то, как показывает расчет, функция mz(cy) не сильно отличается
§ 2. Продольные моменты аэродинамических сил крыльев и корпуса
21
от линейной. На фиг. 5.1 показаны результаты расчета mz для несколь-
ких значений ут; при этом расчете было принято
xf=0,20, хт=0,25, cy = 5,8a, сх=0,007+0,07с^.
Из фиг. 5. 1 следует, что при значениях су, не превышающих су—
=0,5, кривые, соответствующие г/т=±0,1, практически совпадают с пря-
мой линией, соответствующей ут = 0.
Обычно смещение центра масс летательных аппаратов по высоте
относительно плоскости хорд крыла не превышает 10% хорды, так что
на практике при исследовании вопросов устойчивости и управляемости
можно пользоваться более простым (хотя и менее точным) выражением
коэффициента продольного момента крыла (7.1), полученным для
Ут=О.
Фиг. 5.1. Влияние координаты y-t=y-tlb центра масс
на продольный момент крыльев.
Рассуждения, подобные приведенным, можно применить и в более
общем случае крыла произвольной формы в плане. Данное ранее опре-
деление фокуса прямоугольного крыла как точки приложения прира-
щения подъемной силы остается справедливым и в общем случае.
Относительно фокуса крыла произвольной формы в плане коэффициент
продольного момента аэродинамических сил, как и ранее, на зависит
от угла атаки или от значения су. Положение фокуса крыла, однако,
в сильной мере зависит от формы крыла в плане.
Крылья современных летательных аппаратов часто имеют в плане
форму трапеции или треугольника, причем линии передней и задней
кромок крыла в общем случае не перпендикулярны плоскости симмет-
рии крыла. Вместо того чтобы определять положение фокуса крыла
произвольной формы в плане, попытаемся подобрать такое эквивалент-
ное прямоугольное крыло, моментные характеристики которого и силы
У1 были бы тождественны моментным характеристикам и силам
У; крыла произвольной формы в плане. При этом площади действитель-
ного и эквивалентного крыльев должны быть одинаковыми.
Найдем величину хорды эквивалентного крыла и его положение
относительно действительного крыла.
Момент относительно оси, проходящей через переднюю кромку цен-
трального сечения крыла произвольной формы в плане, имеющего
22
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
в общем случае поперечную V-образность (фиг. 6.1), можно получить
на основании следующих рассуждений.
Момент, создаваемый элементарной площадкой крыла с хордой b
и шириной dz,
dMz=q( cmb2—Cybx+ cxiby)dz.
Интегрируя это выражение по всему размаху крыла, найдем вели-
чину полного момента крыла произвольной формы в плане относительно
оси, проходящей через переднюю кромку центрального сечения:
2Иг=2?
”Z/2 Z/2 Z/2
J cmb2dz — § Cybx dz J cxl by dz .
,0 о 0
Момент эквивалентного прямоугольного крыла относительно той же
оси
0 = Cm aZ/S^a Cg &qSxa + CXi af]Sya, (9a. 1)
где ba — хорда эквивалентного крыла;
xa, У& — координаты передней кромки эквивалентного крыла относи-
тельно оси, проходящей через переднюю кромку действитель-
ного крыла.
Моменты действительного и эквивалентного крыльев будут равны,
если приравнять почленно слагаемые выражений (9.1) и (9а. 1). Вы-
полнив это, получим равенства:
Z/2
Ст£Ь&=2 ^Cmb2dz,
о
1/2 I
Cy&Sxa=2^Cybxdz,
о
1/2
cxlaSya=2\cxlbydz.
о )
(10.1)
Отсюда найдем величину хорды эквивалентного крыла и координа-
ты ее передней кромки:
Z/2
J cm62 dz
ba=2°---------,
Cm
Z/2
fc/xdz (U Л)
xa=2----------,
a Cy aS
Z/2
f Cjcz^y dz
Уа = 2^-----—•
Cxla*5
Из выражений (11.1) видно, что для определения эквивалентного
крыла, помимо геометрических характеристик действительного крыла,
надо знать его аэродинамические характеристики — распределение по
размаху коэффициентов ст, су и сх\. Однако если все эти данные имеют-
ся, то нет необходимости рассматривать эквивалентное крыло, а можно
сразу рассчитать момент действительного крыла.
§ 2. Продольные моменты аэродинамических сил крыльев и корпуса
23
Для сравнительной оценки моментных характеристик крыльев по-
этому обычно принимают, что аэродинамические коэффициенты не изме-
няются вдоль размаха действительного крыла и равны аэродинамиче-
ским коэффициентам эквивалентного крыла. В таком случае выражения
(11.1) существенно упрощаются (хотя и становятся приближенными)
и величины ba, ха и уа зависят только от
Для трапецевидных крыльев с прямо-
линейными образующими интегралы, входя-
щие в (12. 1), можно вычислить аналитиче-
ски; при этом выражения (12. 1) принимают
вид
Фиг. 6.1. Крыло произволь-
ной формы в плане, имею-
щее поперечную V-образ-
ность.
где т(=——сужение крыла;
Ьо и bt—соответственно корневая и концевая хорды крыла;
-уп—угол стреловидности по передней кромке и <J> — угол попе-
речной V-образности крыльев.
Как видим, в общем случае хорда эквивалентного крыла не равна
£
средней геометрической хорде Ьср= — действительного крыла. Хорду
'эквивалентного крыла называют средней аэродинамической хор-
дой (САХ).
Так, например, в случае треугольного в плане крыла т) = оо, и мы
получаем fea=l,3336cp. Так как площади эквивалентного и действи-
тельного крыльев равны по условию задачи, а хорда эквивалентного
крыла ba не равна средней хорде Ьср действительного крыла, то размахи
24
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
обоих крыльев получаются разные. Это означает, что не все аэродина-
мические характеристики эквивалентного крыла будут тождественны
аэродинамическим характеристикам действительного крыла; индуктив-
ное сопротивление эквивалентного крыла, например, не будет равно
индуктивному сопротивлению действительного крыла.
Введение понятия эквивалентного крыла позволяет при расчете
коэффициента продольного момента аэродинамических сил, действую-
щих на действительное крыло, пользоваться прежними формулами,
в частности (8. 1). Координата фокуса действительного крыла относи-
тельно передней кромки средней аэродинамической хорды, отнесенная
к длине средней аэродинамической хорды, должна быть равна относи- ,
тельной координате фокуса профилей, из которых осуществлено дейст-
вительное крыло.
В действительности, однако, это условие не выполняется, так как
в основу вывода формул (13. 1) положено предположение о неизменно-
сти аэродинамических коэффициентов вдоль размаха действительного
крыла. На самом деле эти коэффициенты изменяются вдоль размаха
крыла; в частности, изменяется коэффициент подъемной силы су. Если
принять, например, что коэффициент су изменяется вдоль размаха кры-
ла по линейному закону, увеличиваясь к концам крыла, как это схема-
тически показано на фиг. 7. 1, и что фокус профилей расположен на рас-
стоянии 25% от передней кромки, то для треугольного крыла, если
принять ==3, получим, что фокус располагается на 32,6% САХ.
суо
Если бы средняя аэродинамическая хорда была определена точно, то
фокус должен был бы получиться на 25% САХ.
Несмотря на приближенность формул (13. 1), вследствие их про-
стоты ими удобно пользоваться на практике. Обычно результаты испы-
таний моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах
относят к средней аэродинамической хорде, величину и положение ко-
торой определяют по формулам (13. 1).'
При больших гиперзвуковых (см. 111) скоростях полета, соответст-
вующих числам М>54-10, как показывают теория и эксперимент,
кривые mz=mz(cv) значительно отличаются от прямых линий. Производ-
ная dmjdcy получается различной при различных значениях су, и поло-
жение фокуса в сильной степени зависит от су. В этом случае введение
«фокуса» не упрощает расчет и пользоваться им при расчете момента
крыла не имеет смысла: приходится опять обращаться к центру давле-
ния крыла. При этом понятие «средняя аэродинамическая хорда» также
теряет смысл. Однако в целях единообразия коэффициент продольного
момента и при гиперзвуковых скоростях полета обычно относят к сред-
ней аэродинамической хордев дальнейшем мы будем исходить из
этого положения.
При переходе к полету с большими сверхзвуковыми скоростями под-
сасывающая сила на передней кромке крыла убывает практически до
нуля; при этом фокус крыла смещается назад, как показывает теория,
приблизительно на 50% хорды. Поэтому при неизменном положении
центра масс коэффициент продольного момента крыла изменяется с из-
менением числа М. Степень продольной статической устойчивости
крыла увеличивается. Следовательно, при одном и том же крыле и при
неизменном положении центра масс летательного аппарата, но при раз-
1 Иногда при определении САХ летательных аппаратов, выполненных по схеме
«+» или «X», не учитывают часть площади крыла, занятую корпусом (подфюзеляж-
ную часть).
§ 2. Продольные моменты аэродинамических сил крыльев и корпуса
25
ных числах Маха степень продольной статической устойчивости полу-
чается существенно различной. Это обстоятельство усложняет задачу
создания летательного аппарата с широким диапазоном скоростей по-
лета: от малых дозвуковых до больших гиперзвуковых. Если не при-
менять специальные автоматические устройства, управляемость и устой-
чивость такого «универсального летательного аппарата» на разных
режимах полета будут получаться различными. Летательный аппарат,
обладающий хорошей управляемостью и устойчивостью на одних режи-
мах полета, может оказаться
плохо управляемым и неустой-
чивым на других.
* В качестве иллюстрации
влияния сжимаемости воздуха
на продольный момент крыла
на фиг. 8. 1 приведены резуль-
таты теоретического расчета
Фиг. 7.1. Условный линейный закон из- Фиг. 8. 1. Результаты расчета коэффициен-
менения су . по размаху треугольного та продольного момента крыльев при двух
крыла. значениях числа М.
коэффициента mz крыла. Объектом расчета было прямоугольное крыло
достаточно большого удлинения с ромбовидным профилем, положение
центра масс принималось на 35% хорды. Расчет был проведен для двух
значений числа Маха: М=0,8 и М=10.
Как видно из фиг. 8. 1, при малом числе М крыло обладает про-
дольной статической неустойчивостью (производная ^^->0). При
дсу
М=10 вместо неустойчивости, как видно из графика, получается про-
дольная статическая устойчивость (производная <0). Кроме того,
дсу
на фиг. 8. 1 показано, что, как уже было отмечено, линейность протекания
функции mz=mz(cy) нарушается тем сильнее, чем больше значение су.
Остановимся еще на одной особенности протекания кривых
m2’=m2(a) крыльев.
Выражение для коэффициента продольного момента крыла
которым мы пользовались до сих пор, справедливо только в том диа-
пазоне углов атаки, в котором обеспечивается практически безотрывное
обтекание крыла. При приближении к критическому углу атаки, соот-
ветствующему су=cyiaax, плавность обтекания крыла нарушается
вследствие отрыва потока, и коэффициент ст перестает 'быть линейной
26
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
функцией Су. Примерный характер -протекания аэродинамических коэф-
фициентов по углам атаки приведен на фиг. 2. 1. Если вспомнить общее
выражение коэффициента момента крыла (8. 1), то можно придти к за-
ключению, что на углах атаки, близких к критическому, вносимая пря-
моугольным крылом доля продольной статической устойчивости возра-
стает. Это возрастание может быть настолько резким, что на диаграмме
моментов в области Сушах кривая /п2=/п2(а) идет почти вертикально:
возникает, как иногда говорят, «стенка» продольного момента.
Описанное явление связано с проявлением вязкости воздуха. По-,
скольку основным критерием подобия по вязкости является число Re,
данными испытаниями в аэродинамических трубах следует пользоваться
Фиг. 9.1. Область отрыва по-
тока при больших углах атаки
на стреловидном крыле.
Фиг. 10.1. Примерные
положения фокусов
крыльев и корпуса.
осторожно, если подобие по числу Re не выдержано, так как может
оказаться, что характер протекания кривых mz=mz(a) в натуре полу-
чится не таким, как в аэродинамической трубе.
Продольный момент стреловидных крыльев при больших углах ата-
ки изменяется особым образом в -силу следующих причин. У крыльев
со стреловидностью %>0 отрыв потока возникает вблизи концов кры-
ла, так что зона оторвавшегося потока располагается за центром
масс (фиг. 9. 1). При этом в зоне, охваченной срывом, значения су по-
лучаются меньшими, чем на остальной части крыла. Меньшие значения
Су позади центра масс приводят к возникновению моментов кабрирова-
ния Л12>0. Вносимая крылом доля продольной статической устойчивости
уменьшается: на кривой m2=mz(a) возникает так называемая «ложка»
(см. фиг. 9. 1). С этим неприятным явлением можно бороться, применяя
специально подобранные профили вдоль размаха крыла или какие-либо
другие средства, препятствующие утолщению пограничного слоя на кон-
цах стреловидного крыла и предотвращающие отрыв потока.
По отношению к корпусу летательного аппарата (к фюзеляжу)
применимы те же рассуждения, что и по отношению к крылу.
Фокус корпуса в общем случае не совпадает с фокусом крыла, как
это схематически показано на фиг. 10. 1. Вследствие этого фокус ком-
бинации (крыло+корпус) не совпадаете фокусом изолированного кры-
ла; явление еще более усложняется вследствие интерференции крыла
§ 3. Боковые аэродинамические силы и моменты крыльев и корпуса
27
Фиг. 11.1. Результаты расчета коэффи-
циента продольного момента корпуса
при двух значениях числа М.
и корпуса (фюзеляжа). На фиг. 11.1 приведены результаты расчета
коэффициента момента фюзеляжа, выполненного в виде сочетания ко-
нической носовой части с цилиндром. Удлинение носовой Хн и цилиндри-
ческой 7.ц части было принято равным 5. Положение центра масс лета-
тельного аппарата, относительно которого определялся момент, принято
на 45% полной длины фюзеляжа от
его носа.
Как видим, при переходе от ма-
лого докритического числа М=0,8
к М=10 протекание кривой mz=
= mz(a) радикально изменяется. Из
статически неустойчивого фюзеляж
становится статически устойчивым,
линейность зависимости tnz—mz(a)
полностью нарушается. В этом при-
мере фюзеляж при дозвуковых ско-
ростях полета уменьшает, а при
гиперзвуковых скоростях увеличи-
вает статическую устойчивость, по-
лучающуюся от крыльев.
Расчет моментных характери-
стик корпусов (фюзеляжей), осо-
бенно в условиях их работы в при-
сутствии крыльев, довольно сложен,
а главное — мало надежен ввиду
сложности явления и трудности его
схематизации. Наиболее полный
систематический материал по этому
вопросу приводится в [2]. В прило-
жении настоящей книги приводятся
краткие выдержки из книги [2], по-
зволяющие провести необходимые
расчеты.
Если двигатели расположены в
специальных гондолах, центр дав-
ления которых не совпадает с центром масс летательного аппарата,
то необходимо также принять во внимание момент гондол двигателей.
Суммируя моменты крыльев, корпуса и гондол двигателей, получим
момент летательного аппарата без момента оперения и момента силы
тяги относительно оси Ozb проходящей через центр масс летательного
аппарата.
§ 3. БОКОВЫЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
И МОМЕНТЫ КРЫЛЬЕВ И КОРПУСА (ФЮЗЕЛЯЖА)
В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ ПОЛЕТЕ
Если считать, что летательный аппарат имеет плоскость симметрии
то аэродинамические силы, действующие в плоскостях X\Oz{
и r/iOzi, так называемые боковые силы, и моменты боковых сил могут
возникать только в том случае, если полет летательного аппарата про-
исходит со скольжением (р=#0).
• В самом деле, если угол скольжения р=0, то любые изменения
вектора скорости V, лежащего в плоскости симметрии XiOyi, по величи-
не и по направлению (если V продолжает оставаться в плоскости сим-
28
Гл. I. Салы и моменты, действующие на летательный аппарат
Фиг. 12. 1. Возникновение сколь-
жения в результате крена.
метрик) могут вызвать только силы, действующие в плоскости XiOyi.
Боковые силы при этом появиться не могут.
Силы, возникающие при полете со скольжением, влияют на харак-
тер движения летательного аппарата. Для того чтобы яснее предста-
вить себе это влияние, рассмотрим, как будет протекать движение само-
лета, первоначально летевшего без крена и скольжения, при внезапном
возникновении скольжения. Скольжение может возникнуть или непо-
средственно, или в результате крена самолета. Пусть, например, само-
лет, летящий на прямолинейной горизонтальной траектории, внезапно -
накренился на угол у; крен может получиться как результат односторон-
него порыва ветра, ошибки, допущенной
летчиком, и т. д.
Вследствие крена самолета возникает
проекция подъемной аэродинамической си-
лы У на горизонтальную плоскость
(фиг. 12. 1), которая в начале движения
•ничем не уравновешена. Под действием
этой силы самолет получит некоторую до-
полнительную боковую скорость движения,
так что движение непосредственно вслед
за креном будет происходить со сколь-
жением (приведенный на фиг. 12. 1
пример соответствует скольжению на пра-
вое крыло).
С появлением скольжения возникнут моменты аэродинамических
сил: момент Mxt относительно оси Oxt, проходящей через центр тяжести
самолета, и относительно оси Оу\. Если при положительном угле
Р момент Л1Д1 получится отрицательный, то согласно принятому прави-
лу знаков под действием этого момента самолет будет крениться
в сторону левого крыла; другими словами, в этом случае момент Мх\
будет ликвидировать возникший первоначально крен самолета.
Если же при положительном угле р момент Л1х1 также положителен,
то самолет под действием этого момента будет крениться на правое
крыло, так что первоначальный угол крена будет увеличиваться.
Точно так же, если момент МуХ при положительном угле р будет
отрицательным, то самолет под действием этого момента будет пово-
рачиваться вокруг оси Оух вправо, если смотреть из кабины летчика.
Наоборот, при положительном угле р и положительном самолет
будет поворачиваться влево и первоначальный угол скольжения будет
возрастать.
Таким образом, в первый момент после внезапного накренения харак-
тер движения летательного аппарата определяется знаком производных
<ШЛ1
---— и -----.
др др
Вместо моментов можно рассматривать коэффициенты моментов
Му1
тх— “ —
дЛ)Л-1
а вместо производных ——— и
дтх
др х' др у
Sql ’ Sql
dJWyl
——-----производные
§ 3. Боковые аэродинамические силы и моменты крыльев и корпуса
29
По аналогии с продольной статической устойчивостью в рассматри-
ваемом случае можно говорить о поперечной статической устойчивости,
мерой которой будет служить производная т$х, и о путевой статической
устойчивости, оцениваемой производной т&. Отрицательный знак про-
изводных свидетельствует о статической устойчивости, положительный —
о статической неустойчивости летательного аппарата.
Следует заметить, что термин «путевая устойчивость» не является
удачным. В самом деле, как видно из приведенных выше рассуждений,
речь идет не об устойчивости пути в смысле выдерживания заданного
направления движения, а об устранении возникшего угла скольжения.
Самолет, обладающий путевой устойчивостью, при возникновении крена
Фиг. 13.1. Углы стреловидности х
и поперечной V-образности <р-
Фиг. 14. 1. Плоское стреловидное
крыло.
и следующего за креном скольжения изменит первоначальное направле-
ние движения, повернувшись носом в сторону крена. Термин этот, одна-
ко, прочно укоренился в авиационной практике; в дальнейшем мы будем
пользоваться этим термином.
Заметим еще, что поперечная статическая устойчивость летатель-
ного аппарата не всегда является достаточным условием
действительной устойчивости при боковых возмущениях, как об этом
сказано ниже.
Момент Мх1 крыла относительно оси Охх получается за счет пере-
распределения нормальных аэродинамических сил (подъемной силы),
момент Mvi относительно оси Оу\ — за счет перераспределения танген-
циальных аэродинамических сил Х). Так как нормальные аэродинамиче-
ские силы значительно больше тангенциальных, то момент крыла
.получается гораздо большим, чем момент MvX, так что в первом прибли-
жении моментом Mj/i крыла можно даже пренебрегать.
Основными геометрическими факторами, влияющими на момент Л4Ж1
крыла, являются угол стреловидности крыла в плане % и угол попереч-
ной V-образности крыла ф (фиг. 13. 1). Вначале рассмотрим стреловид-
ное крыло, не имеющее поперечного V (фиг. 14. 1). Углы атаки и сколь-
жения будем считать небольшими, так что
. sina=»a, cos a^l, sin P~p, cos p?«l.
Проектируя вектор скорости набегающего потока V на направле-
ние, перпендикулярное передней кромке крыла и параллельное ей, и в
30
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
первом приближении пренебрегая влиянием составляющей V, парал-
лельной (передней кромке, на обтекание крыла, получим различные для
правого и левого крыльев эффективные скорости
V0.np«Vcos(z Р), 1 <14
V^e^VcOSU + P) J
и соответствующие эффективные углы атаки
а8’пр cos (х — ₽)
~ ___ а
С^э.лев ' 7 i ёГ” *
cos (х -ь ₽)
(14a. 1).,
Подъемная сила, действующая на симметрично расположенные эле-
ментарные площадки правого и левого крыльев, при р#=0 получится
различной, так что возникнет момент относительно оси Охь Если пред-
положить, что вдоль размаха крыла коэффициент подъемной силы не
изменяется, и не принимать во внимание серединный и концевой эф-
фекты стреловидного крыла, то для стреловидного крыла без попереч-
ного V получим 1
mx^ — 0,5<?y2:CT.psinx, (15.1)
где zCt — плечо статического момента площади полукрыла, т. е. расстоя-
ние от плоскости симметрии до центра тяжести площади полукрыла,
отнесенное к полуразмаху; для трапециевидных крыльев
Здесь через т\ = — обозначен коэффициент сужения крыла (Ьй—
корневая, a bt — концевая хорды крыла).
Из выражения (15. 1) видно, что коэффициент момента поперечной
статической устойчивости стреловидного крыла без поперечного V есть,
линейная функция cv. С увеличением коэффициента су коэффициент
(—тху) увеличивается; это является характерной особенностью стрело-
видных крыльев.
Для крыла с положительной стреловидностью при положительном
р момент получается отрицательным, т. е. крыло обладает поперечной
статической устойчивостью.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда крыло имеет одно-
временно стреловидность и поперечную V-образность, и сохраним все
сделанные при рассмотрении предыдущей задачи допущения. В этом
случае составляющая скорость Vsinx, параллельная передней кромке
крыла, влиянием которой на обтекание плоского крыла мы пренебрега-
ли, будет оказывать влияние на обтекание крыла и на величину аэро-
динамических сил. Действительно, в этом случае (фиг. 15. 1) составляю-
щая V sin х не лежит в плоскости крыла. Проектируя V sin % на пло-
скость хорд крыла и на направление, перпендикулярное этой плоскости,
для небольших углов ф получим '
1 (17.1)
—Vsinxtycosx. J
1 Здесь и везде далее угол f берется в радианах.
<5 3. Боковые аэродинамические силы и моменты крыльев и корпуса
31
Составляющая скорости Vz лежит в плоскости крыла и, как и преж-
де, не влияет на его обтекание. Составляющая Vv изменяет истинные
углы атаки сечений крыла (фиг. 16.1).
При полете со скольжением в (17.1) для правого крыла вместо
sin % надо подставить sin(x—₽), а для левого крыла — sin (%+ ₽), так что
скорости Vy на правом и левом крыльях получатся различными:
пр~—V sin (х—р)ф cos х,
Фиг. 15. 1. Дополнительные составляющие скорости, вызванные
V-образностью стреловидного крыла.
Различными получатся и эффективные углы атаки правого и лево-
го крыльев: возникнет момент относительно оси Охь Для коэффициента
дополнительного момента, обусловленного поперечной V-образностью
стреловидного крыла, получается следующее приближенное выражение:
— 0,5с® zCT{ty cos2 х- (18.1)
Таким образом, для коэффициента поперечного момента стреловид-
ного крыла, имеющего поперечную V-образность, приходим к следую-
щему приближенному выражению:
— 0,5zCT₽(c“<]>cos2x+cysinx). (19.1)
Следует заметить, что даже у нестреловидного крыла без попереч-
ной V-образности поперечный момент, возникающий при скольжении,
в общем случае не равен нулю. Величина этого момента зависит от
формы концов крыльев (фиг. 17. 1). При симметричных концах крыла
(б), как показывает эксперимент, этот момент получается близким
к нулю; при концах типа а (фиг. 17.1) момент получается отрицатель-
ным и при концах типа в — положительным.
* Из выражения (19. 1) видно, что степень поперечной устойчивости,
создаваемая крылом, на разных режимах полета получается разной:
на малых скоростях полета (большие су) поперечная устойчивость по-
32
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
лучается большей, чем «а больших (малые су). Для того чтобы при
больших су поперечная статическая устойчивость не получилась излиш-
не большой, стреловидные крылья обычно делают с отрицательной по-
перечной V-образностью, т. е. концы крыльев опускают вниз (фиг. 18. 1).
К,=К<|)31ПХС05Х
Фиг. 16.1. Изменение истинных углов
атаки сечений стреловидного крыла вслед-
ствие его V-образности.
Наоборот, крыльям без стреловидности придают положительную V-об-
разность.
Приведенные выше приближенные выражения основаны на упро-
щенной картине явления. В действительности обтекание стреловидного
крыла получается более сложным, и простые формулы (15. 1) и (18. 1)
получить не удается *. Эти формулы, однако, довольно хорошо улавли-
Фиг. 17.1. Различные формы
концов крыльев (вид спереди).
Фиг. 18.1. Положительная и отрица-
тельная V-образность крыльев.
вают качественную сторону явления, в частности, характер зависимости
тх от р и Су. Так как в диапазоне сравнительно небольших углов атаки
а коэффициент су связан с а линейной зависимостью, то тх у крыльев
без поперечного V (ф = 0) получается симметричным относительно аир.
По этой причине коэффициент тх для четырех крыльев, как это бывает
у летательных аппаратов, выполненных по схеме «+» или «X», полу-
чается равным нулю. В этом случае для вертикальных крыльев
(фиг. 19. 1) роль угла атаки играет угол скольжения р, а роль угла
скольжения — угол атаки а. Вертикальная и горизонтальная пары
1 Полуэмпирический прием расчета тх, заимствованный из [2], приведен в при-
ложении.
§ 3. Боковые аэродинамические силы и моменты крыльев и корпуса 33
крыльев дают момент, одинаковый по величине, но противоположный
по знаку, так что суммарный момент всех четырех крыльев относительно
оси Oxi получается равным ну-
лю Коэффициент боковой аэ-
родинамической силы cz, дейст-
вующей на крылья и корпус
летательного аппарата, у аппа-
ратов схемы «-|~» или «X» по-
♦ лучается значительно большим,
чем у самолетов с одной парой
* крыльев, так как сам по себе
корпус (фюзеляж) дает срав-
нительно небольшую боковую
аэродинамическую силу, зна-
чительно меньшую той силы,
которая получается от верти-
кальных крыльев.
Корпусы (фюзеляжи) со-
временных летательных аппа-
ратов близки по форме к те-
лам вращения. Центр масс ле-
тательных аппаратов обычно
расположен вблизи оси кор-
пуса, так что поперечный
момент, создаваемый
Фиг. 19.1. Углы атаки и скольжения для
крыльев в схеме <+».
корпусом, весьма мал и на практике им можно пренебрегать. Однако
корпус летательного аппарата, даже будучи телом вращения и не созда-
вая поперечного момента сам по себе, изменяет характер обтекания
прилегающей к нему части крыльев. Вследствие этой интерферен-
ции появляется некоторый дополнительный момент интерференции.
Если крыло расположено сверху корпуса, как это бывает у само-
летов, выполненных по схеме высокоплана (фиг. 20. 1,а), то при наличии
угла скольжения в зоне сочленения крыла и корпуса образуется до-
Фиг. 20.1. Поперечный момент от интерференции при разных положе-
ниях крыльев относительно корпуса по высоте.
1 Это правило нарушается в случае «косой обдувки» (см. ниже).
3 1824
34 Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
полнительный подпор (увеличение давления), приводящий к возникно-
вению момента отрицательного знака. В случае низкоплана
(фиг. 20. 1,6), когда крыло расположено снизу корпуса, такой дополни-
тельный подпор образуется на верхней поверхности крыла; соответст-
вующий момент Мх1 в этом случае получается положительным. При
среднем расположении крыла приблизительно по середине высоты кор-
пуса момент Мх} от интерференции получается небольшим, и в первом
приближении им можно пренебрегать.
По поводу момента корпуса относительно оси Оух остаются в силе,
все соображения, высказанные при рассмотрении вопроса о моменте
корпуса относительно оси Oz\ (продольного момента), так как обычно
поперечное сечение корпуса близко к кругу и имеется полная симметрия"
продольного момента и угла атаки, путевого момента и угла сколь- '
жения.
Суммируя моменты, создаваемые крыльями и корпусом летатель-
ного аппарата, а также в случае необходимости моменты от гондол дви- ‘
гателей, получим моменты летательного аппарата Мх и Му без момента
вертикального оперения и момента силы тяги.
§ 4. МОМЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
ОРГАНОВ СТАБИЛИЗАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ
Для стабилизации и управления летательными аппаратами, полет
которых происходит в плотных слоях атмосферы, обычно используют
аэродинамические силы, действующие на специальные органы управле-
ния и стабилизации — на оперение летательного аппарата. Для получе-
ния нужного характера движения в плоскости симметрии летательного J
аппарата служит горизонтальное оперение, которое в общем случае со-
стоит из стабилизатора и руля высоты. Для получения нужного харак-
тера движения в двух боковых плоскостях XjOzj и y\Ozi служит верти-
кальное оперение, состоящее из киля и руля направления, и крылья, на
которых для управления относительно оси Oxi имеются элероны. \
Следует заметить, что принципиально можно осуществить стабили-
зированный управляемый полет летательного аппарата и не прибегая
к устройству специального горизонтального и вертикального оперений.
Рассмотрим, например, вопрос о стабилизации летательного аппарата |
в плоскости симметрии х-^Оу^. Суммарный коэффициент момента крыль- |
ев и корпуса, как уже было отмечено, можно представить в виде ?
тгъ.т.о—т1аь.т.о (хр б.г.о х-r) Су. (20.1) j
Для установившегося прямолинейного полета необходимо, как мы j
знаем, равенство нулю коэффициента момента; это условие можно обес-
печить, выбрав соответствующее положение центра масс летательного
аппарата. Приравнивая (20. 1) нулю, найдем J
- = _ ^„б.г.0 ,+ -f6jo- (21.1) j
Су j
Коэффициент /nZo6.r.o. если не принимать специальных мер, отрица-
телен. Поэтому, как видно из (21. 1), в случае управления летательным i
аппаратом путем перемещения центра масс для всех положительных i
значений су должно быть ’ }
Х"с^> XFCjc.a '
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления 35
причем каждому режиму полета должно соответствовать свое положе-
ние центра масс. При таком способе управления летательный аппарат
получается статически неустойчивым в продольном отношении, так как
mXr.o= - (^б.г.о —5ст)>0. (22.1)
Такой «балансирный» способ управления самолетом, применявший-
ся известным немецким инженером и ученым О. Лилиенталем на заре
.авиации, приемлемый для небольших летательных аппаратов, переме-
щающихся с небольшими скоростями, неприменим для больших лета-
тельных аппаратов, полет которых происходит с большими скоростями.
Возможен и другой способ управления летательным аппаратом, не
имеющим специального горизонтального оперения. При данном поло-
жении центра масс для обеспечения равновесия продольных моментов,
Фиг. 21.1. Бесхвостый самолет «Парабола» Б. И. Черановского.
как видно из (21. 1), необходимо получить т2„б.г.о>0. Потребное значе-
ние mZo6.r.o при этом
^г<>б.г.о — (-^FC.i.o Су.
(23.1)
Так как для летательного аппарата, обладающего продольной ста-
тической устойчивостью, разность (xF6.r.o—хт) положительна, то m2p6.r.o
должен быть также положительным. Получить mzo6.r.o нужного знака
и величины можно, например, изменяя вогнутость профиля крыла путем
отклонения закрылков не книзу, как обычно, а кверху.
Таким образом, можно создать обладающий продольной статиче-
ской устойчивостью и управляемостью летательный аппарат без гори-
зонтального оперения —так называемый «бесхвостый самолет». Бесхво-
стые самолеты в СССР одним из первых строил конструктор Б. И. Чера-
новский (фиг. 21.1).
Недостатком бесхвостых самолетов является необходимость для ба-
лансировки моментов отклонять закрылки (их называют элевонами)
вверх на тем больший угол, чем больше коэффициент подъемной силы
су. Вследствие этого значения су гаах уменьшаются (фиг. 22. 1), и для
получения приемлемых взлетно-посадочных свойств самолета приходит»
ся на бесхвостых самолетах идти на меньшую нагрузку на крыло G/S
(на большую площадь крыльев S). Это в свою очередь снижает макси-
мальную скорость горизонтального полета. Кроме того, управление бес-
хвостым самолетом имеет одну особенность. Для увеличения подъемной
силы крыльев необходимо увеличить их угол атаки; для этого на бес-
хвостом самолете необходимо отклонить элевоны вверх. Но при откло-
3*
36
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
ненных вверх элевонах, как видно из фиг. 22.1, при неизменном угле
атаки коэффициент подъемной силы су уменьшается, так что вначале,
пока самолет не успел еще увеличить угол атаки, его подъемная сила
не увеличится, а уменьшится. В первое время после отклонения элево-
нов самолет будет проваливаться вместо того, чтобы набирать высоту.
Ясно, что этого неприятного явления можно избежать, если при неиз-
менной величине момента уменьшить силу, возникающую при отклоне-
нии органа управления. Идея устройства оперения и заключается,
в управлении летательным аппаратом при помощи малой силы, прило-
женной на большом плече.
Чем больше плечо оперения}
тем при данном моменте мень-
ше возникающая при управле-
Фиг. 22.1. Влияние отклонения закрылков
на коэффициент подъемной силы.
ний. Обозначим коэффициент момента
нии сила. При достаточно боль-
шом плече в первом прибли-
жении можно считать, что на-
рушается только равновесие
моментов, действующих на ле-
тательный аппарат, а равнове-
сие сил не зависит от управ-
ляющей силы. Именно в таком
предположении и определя-
лись траектории полета лета-
тельных аппаратов в [1].
Величина подъемной силы
оперения, необходимой для
балансировки летательного ап-
парата в установившемся пря-
молинейном полете, может
быть определена на основании
следующих простых соображе-
вертикального или горизонталь-
ного оперения через /иг г.о или тг в.о; тогда для горизонтального оперения
/Иг г.о
—— ^г.о^-г.о
Sqb&
(24.1)
где Уг.о — подъемная сила, действующая на оперение;
£г.о— плечо оперения относительно центра масс.
Знак в выражении (24. 1) выбирается в зависимости от того, впере-
ди или позади центра масс расположено оперение. Если оперение рас-
положено впереди центра масс летательного аппарата, т. е. если аппарат
спроектирован по схеме «утка» (фиг. 23. 1), то согласно принятому пра-
вилу знаков следует брать плюс; в случае, когда летательный аппарат
выполнен по обычной схеме, то минус. Отношение.
Гг.р
Sg
= Му,
входящее в выражение (24. 1), есть дополнительный к коэффициенту
подъемной силы летательного аппарата без оперения коэффициент подъ-
емной силы. Поэтому вместо (24.1) можно написать
Пг г.о = + Д Су ' = -+- Д ГуЬт 0,
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления 37
откуда
(25.1)
^Г.О
Но в случае равновесия
б.Г.ОГ.О ~ ^=0,
так что
ЛТг г.о = ЛТ? б.г.о-
Подставив в (25. 1) выражение mz б.г.о, 'согласно (20. 1) найдем
Дсу=±=^— [тг„б.г.о — йрб.г.о —хт)еу]. (26.1)
Lp.o
Фиг. 23. 1. Расположение оперения в схеме «утка».
Если задаться средними на практике значениями
-=—=0,4, тго6.г.о = — 0,02, х^б.™ =0,18
^Г.О •
и предположить, что для обычной схемы хт = 0,22, а для схемы типа
«утка» хт = —0,10, то можно получить следующие значения Асу, приве-
денные в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Дополнительный коэффициент Дсу Су
0,1 0,3 0,6 0,9
Обычная схема —0,006 —0,003 +0,002 +0,006
Схема типа „утка" +0,019 +0,042 +0,075 +0,109
Из табл. 1. 1 видно, что дополнительная подъемная сила в схеме
типа «утка» получается значительно большей, чем в обычной схеме ’.
У аппаратов типа «утка» дополнительная подъемная сила оперения
всегда положительна, т. е. играет полезную роль, тогда как у обычной
1 В схеме типа «утка» скос потока, вызванный оперением, уменьшает значение ctl
без горизонтального оперения; об этом не учтенном при составлении таблицы обстоя-
тельстве см. ниже.
38
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
схемы эта сила при некоторых условиях получается отрицательной, т. е.
играет вредную роль. В этом заключается одно из преимуществ аппара-
тов типа «утка».
В [1] при расчете траекторий летательных аппаратов пренебрега-
лось влиянием отклонения рулей на величину аэродинамических сил,
действующих на летательный аппарат. При помощи выражения (26. 1)
результаты такого расчета можно уточнить. Пусть нам известны поляра
летательного аппарата без горизонтального оперения и взаимное распо-
ложение фокуса и центра масс летательного аппарата. Тогда для каж-
дого значения су по формуле (26. 1) можно рассчитать дополнительное
значение Лсу, получающееся при уравновешивании продольного момен--
та. Можно также рассчитать дополнительное лобовое сопротивление,
получающееся при этом, т. е. найти Дсх. В результате подобных рас-
четов можно построить поляру при условии равновесия продольных
моментов, действующих на летательный аппарат. Расчет надо вести по
формулам
С у ~ Су Н" Сх = СХ “Ь
где су, сх соответствуют летательному аппарату без оперения; Дсу опре-
деляется по (26. 1) и Асх— соответствующее изменение коэффициен-
та сх.
Поляру, построенную таким образом, часто называют балансиро-
вочной или эксплуатационной. Для установившихся прямолинейных ре-
жимов полета эксплуатационная поляра достаточно точно дает связь
между реальными значениями с'у и с'х. Однако и для криволинейных
неустановившихся режимов полета при пользовании эксплуатационной
полярой результаты получаются более близкими к действительности,
хотя в этом случае суммарный момент, действующий на летательный
аппарат, и не равен нулю. Объясняется это тем, что при сравнительно
небольших угловых скоростях летательного аппарата, встречающихся на
практике, основную роль играет момент, связанный с углами атаки (или
с су), а этот-то момент и учитывается формулой-(26.1).
В том случае, когда имеется поляра летательного аппарата с опе-
рением, полученная при нулевом отклонении руля (бв=0), дополни-
тельный коэффициент подъемной силы может быть определен по фор-
муле
Acy=±-J—тг=Ч- -~-(тго+тсУсу), (26а. 1)
Ьг.О *-г.о z
где коэффициенты mz, mz0 и тсу относятся к летательному аппарату
с оперением.
Подъемную силу, действующую на оперение, можно представить
в следующем виде:
Уоп = Оу onSоп?ОШ
где СуОъ—коэффициент подъемной силы оперения;
Son—площадь оперения;
<7оп — скоростной напор потока, набегающего на оперение.
Момент оперения
Моп= +Су опЦоц1-Оа>
где Lon — плечо оперения (расстояние от центра масс летательного ап-
парата до центра давления оперения).
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления 39
Для определенности все дальнейшие рассуждения будем вести для
случая горизонтального оперения, расположенного позади крыльев.
Этому эквивалентен случай, когда вертикальное оперение в схеме «+»
или «X» расположено позади крыла, так что дальнейшие выводы будут
в равной мере справедливы и для горизонтального оперения в обычной
схеме, и для вертикального оперения в схеме « + » или «X».
Так как хорда оперения обычно значительно меньше расстояния
от центра масс до оперения, а изменение положения центра давления
'оперения составляет лишь некоторую часть хорды оперения, допустимо
пренебрегать смещением центра давления оперения при изменении ре-
дким а полета. Тогда под величиной плеча Lon можно понимать расстоя-
Фиг. 24.1. Истинный угол атаки горизонтального оперения.
ние от центра масс летательного аппарата до некоторой условно выбран-
ной точки оперения. За величину Топ обычно принимают расстояние от
центра масс до оси вращения руля (до шарнира руля) и обозначают ее
для горизонтального оперения через Lr.o, а для вертикального опере-
ния— через LB.O.
Коэффициент подъемной силы оперения надо определять не для
угла атаки а крыла, а для истинного угла атаки оперения аг.о-
Нетрудно видеть, что истинный угол атаки оперения определяется по
формуле (фиг. 24.1)
аг.о = а+ф—е, (27.1)
где ф — угол установки оперения относительно крыла и в —скос потока
в области оперения.
Из курса аэродинамики известно, что образование подъемной силы
крыла связано с возникновением системы вихрей. В первом приближе-
нии можно считать, что эта система вихрей состоит из присоединенного
вихря, ось которого направлена вдоль размаха крыла, и свободных вих-
рей, сбегающих с крыла по всему размаху, оси которых направлены по
скорости набегающего потока. Образуемая свободными вихрями вих-
ревая пелена неустойчива и на небольшом расстоянии за крылом сво-
рачивается в два вихревых жгута, расстояние между которыми V не рав-
но размаху крыла I (фиг. 25. 1).
Расстояние I' между вихревыми жгутами можно определить на
основании теоремы Жуковского о подъемной силе. Согласно этой теоре-
ме подъемная сила Y крыла
+ Z/2
* К—qV J Гс?г, (28.1)
-Z/2
где Г — переменная вдоль размаха крыла циркуляция скорости.
* В то же время на достаточно большом расстоянии позади крыла,
где влиянием присоединенных вихрей можно пренебречь, поле индуци-
рованных скоростей будет таким же, как поле скоростей П-образного
40
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
вихря. Обозначив расстояние между усами П-образного вихря через
I', на основании той же теоремы Жуковского получим
y=evr0/',
(29. 1)
так как циркуляция вихревых жгутов равна наибольшей циркуляции
в середине крыла Го. Приравнивая выражения (28. 1) и (29. 1), получим
расстояние
+ Z/2
/'=— С Vdz. (30.1)
Го J
Фиг. 25.1. Сворачивание вихревой пелены за крыльями.
Чем больше расстояние I' между вихревыми жгутами, тем дальше
они проходят от оперения и тем меньше скос потока у оперения. Сле-
довательно, если мы рассмотрим две кривые распределения циркуляции
вдоль размаха крыла с одинаковыми значениями площади
+ 112
-.72
Фиг. 26.1. Различные законы распределения цирку-
ляции по размаху крыльев.
но с различными ординатами Го (фиг. 26. 1), то кривой с меньшей орди-
натой Го будет соответствовать меньший скос потока.
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления -41
Обозначив отношение расстояния между вихревыми жгутами I'
к размаху крыла I через у, получим
v= — С Vdz,
Го.’
о
где обозначено
Для ориентировочных расчетов коэффициент у можно определять
по приближенной формуле, полученной в результате обработки точных
расчетов1 распределения циркуляции скорости по размаху крыльев
различной формы:
v=(0,5 —О,25Л,)0 -ф—)+ (31.1)
Фиг. 27.1. График для определения коэффициента v.
Коэффициенты kt и у, входящие в эту формулу, определяются по
фиг. 27. 1 и 28. 1. Для дозвуковых скоростей полета (М<1) коэффици-
ент/г v принимается постоянным и равным kt—1,333; коэффициент у для
всех скоростей полета определяется в зависимости от угла стреловид-
ности Xi передней кромки крыла и от эффективного сужения
T]'=T](l+tgXi), где т)=-г- —сужение крыла,
и
Предполагая, что (присоединенный вихрь помещается в фокусе кры-
ла, и зная расположение свободных вихревых жгутов (коэффициент у).
можно рассчитать скос потока. Для точек, лежащих в плоскости сим-
метрии крыла на некотором расстоянии позади него, получаются сле-
дующие формулы2 для расчета скоса потока.
• 1 Такие расчеты см. [3]; по поводу расчета скоса потока см. также (2].
2 Если размах оперения невелик по сравнению с размахом крыла, то в первом
приближении средний скос потока в области оперения можно считать равным скосу
потока в плоскости симметрии летательного аппарата.
42
Г л. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
При М<1
е° = 9Д с Г _ _ g _ __ |
Х L (*2 + ₽2у2) Vx2 + (-v2+y2)₽2
4------- (14—7==- х== _
»2 + У2 \ у х2+Х^2 + У2) ₽2 Л
и при М>1
ро_1812/? х jfi — (V2 + 2у2)
X У X2 —₽2у2 ^2 + у2) 72 — р2 (<2 у2)
где X — удлинение крыла.
Коэффициент р, входящий в формулу (32.1),
₽=У4—М2,
(32.1)
(32а. 1)
а входящий в формулу (32а. 1)
р=УМ2-1.
Далее
— 2х — 2у
х——, у——,
Z Л Z
где х и у — координаты фокуса оперения относительно фокуса крыла
в скоростной системе координат. Эти координаты можно выразить через
координаты оперения в связанной системе хъ у\ при помощи формул 1
(фиг. 29. 1)
x=xi'+0,0175yiao,
у=у\—0,0175xiao.
Если при расчете по формуле (32а. 1) подкоренное выражение по-
лучается отрицательным, скос потока надо принимать равным нулю.
Физически в этом случае конусы Маха, выходящие из концов крыла
1 Из приведенных выражений следует, что скос потока есть нелинейная функция
угла атаки или коэффициента подъемной силы су. В первом приближении эту функцию
можно линеаризировать (см. гл. VI).
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления 43
(из начала вихревых жгутов), не охватывают точку, в которой опреде-
ляется скос потока, так что скос потока получается равным нулю.
На фиг. 30.1 и 31.1 приведены результаты расчета скоса потока
по приведенным формулам для двух крыльев различной формы в плане.
Фиг. 29. 1. Координаты оперения в скоростной системе координат.
Как видим, после перехода через скорость звука скос потока быстро
убывает и при некоторых значениях числа М, зависящих от формы
крыла в плане, становится равным нулю.
Следует заметить, что приведенные выше формулы получены
в предположении, что при М<1 обтекание крыла целиком дозвуковое,
а при М> 1 — целиком сверхзвуковое. В действительности в области
чисел -Маха, близких к М=1, обтекание крыла получается смешанное:
часть крыла обтекается дозвуковым потоком, а часть — сверхзвуковым.
Результаты, получаемые по формулам (32.1) и (32а. 1), в области чи-
сел М, примыкающих к М=1, по этой причине оказываются неточными.
Заметное изменение скоса потока может начинаться значительно ранее,
чем при М=1. На фиг. 32.1 приведены результаты испытаний одной
модели самолета в аэродинамической трубе.
Фиг. 30.1. Результаты расчета скоса потока для треугольного
крыла.
Примерный вероятный характер изменения скоса потока в зависи-
мости от числа М при неизменном су показан на фиг. 33.1.
Скос потока при посадке самолета. Для летательных аппаратов,
осуществляющих посадку,— для самолетов—представляет интерес
44
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
определение скоса потока при полете в непосредственной близости к зем-
ле (фиг. 34.1).
Так как на самой поверхности земли поток воздуха параллелен
земле, индуктивная скорость, вызываемая крыльями, у поверхности
Фиг. 31. 1. Результаты расчета скоса потока для прямо-
угольного крыла.
скос потока отличен
и на величину скоса
земли на скос пото-
оперения можно по-
мож-
при-
земли должна быть направлена параллельно земной поверхности. Если
бы это условие не было выдержано, поток проникал бы через поверх-
ность земли, что физически невозможно. Таким образом, скос потока
на поверхности земли равен нулю, в то время как при том же значе-
нии су, но на некотором расстоянии от земли
от нуля. Очевидно, что близость земли повлияет
потока у оперения.
Представление о механизме влияния близости
ка у
лучить при помощи часто
применяемого в гидроди-
намике метода зеркаль-
ного отображения: дей-
ствительное явление
но заменить схемой,
веденной на фиг. 35. 1.
По этой схеме скос по-
тока у оперения создается
действительным крылом
и фиктивным, зеркально
отображающим действи-
тельное. Скос потока от
фиктивного крыла мень-
ше, чем от действитель-
ного, так как расстояние
горизонтального оперения
от фиктивного крыла по
оси Оу! больше, чем от
действительного крыла, и имеет обратный знак. Результирующий скос
потока от крыла в присутствии земли по этой причине получается мень-
шим, чем вдали от земли.
Второй особенностью работы оперения при посадке самолета
является то, что на посадке закрылки обычно бывают отклонены.
§ 4 Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления 45
При отклонении закрылков циркуляция скорости по размаху крыла
перераспределяется, как это схематически показано на фиг. 36.1.
На первоначальную кривую распределения циркуляции накладывается
Фиг. 33.1. Вероятный характер зависимости скоса потока
от числа Маха.
кривая дополнительной циркуляции, обусловленной отклонением
закрылков. В этом случае скос потока вызывается как бы двумя систе-
мами вихрей: основной, соответствующей крылу с неотклоненными
Фиг. 34.1. Полет самолета вблизи земли.
закрылками, и дополнительной, обусловленной отклонением закрылков.
При одном и том же значении су скос потока при отклоненных закрыл-
ках будет больше, чем при неотклоненных.
Фиг. 35.1. Схематизация влияния земли путем зеркального
отображения крыла.
Таким образом, при полете вблизи земли (на режиме посадки или
взлета самолета) скос потока будет уменьшаться вследствие влияния
близости земли и увеличиваться вследствие отклонения закрылков.
46
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Для расчета скоса потока от крыла при полете вблизи земли с от-
клоненными закрылками можно пользоваться следующей полуэмпири-
ческой формулой:
32
^закр
(33.1)
Z2
л _______ ьзакр
лзакр — Q
•^закр
Фиг. 36. 1. Распределение циркуляции
скорости по размаху крыльев при откло-
нении закрылков.
Здесь А —расстояние от закрылков до земли, определяемое по
фиг. 37.1; А=йзакр-]-й', где А' —расстояние от нижнего,
края колес до земли;
Су соответствует крылу с неотклоненными закрылками;
дсу — приращение коэффициента су вследствие отклонения зак-
рылков;
удлинение части площади крыла, обслуживаемой закрыл-
ками (фиг. 38.1);
Z —размах крыльев;
коэффициенты ул и у2 определяются по фиг. 39.1 — 40.1.
Обычно при расчетах предельно допустимой передней центровки
(см. гл. III) принимают h'—0,2ba.
Уменьшение скоса потока
вследствие влияния земли полу-
чается весьма значительным, со-
измеримым с величиной скоса по-
тока вдали от земли.
Помимо крыла, скос потока
у оперения создает также и кор-
пус (фюзеляж) летательного ап-
парата. Кроме того, если на ле-
тательном аппарате установлены
винтовые двигатели, то скос по-
тока у оперения получается так-
же и вследствие влияния струи
винтов.
первом приближении скос потока
от корпуса можно считать не зависящим от угла атаки крыла. Для всех
случаев, когда оперение расположено на корпусе, скос потока от кор-
пуса можно принять
Эксперимент показывает, что в
=“=0,5 = 1,0.
Если горизонтальное
соко над фюзеляжем, то
меньшим; в этих случаях
оперение расположено на киле самолета вы-
угол скоса потока от корпуса получается
в среднем
=“ = 0 = 0,5.
Из теории идеального пропеллера известно, что дополнительная
скорость v отбрасывания воздуха, проходящего через диск винта,
равна 1
и= v (yrqre-i)
и направлена по оси винта. Так как в общем случае направление оси
винта не совпадает с направлением скорости полета, то скорость потойа
1 Значение В см. на стр. 48.
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления
47
у оперения при работающем винте изменится по величине и по направ-
лению; возникнет дополнительный скос потока при работающем винте.
Кроме того, у самолетов с винтами, установленными впереди крыла,
струя воздуха, отбрасываемая винтами, прежде чем достигнуть опере-
ния, обдувает крыло, изменяя распределение циркуляции по размаху
крыла. Выше было указано, что при прочих равных условиях скос
потока зависит от характера распределения циркуляции по размаху
Фиг. 37.1. К определению расстояния h.
крыла, так что при работающих винтах, установленных перед крылом,
изменится и скос потока от крыла.
Для учета изменения скоса потока вследствие влияния воздушных
винтов можно воспользоваться следующим эмпирическим приемом
расчета.
Согласно этому приему к величине скоса потока от крыла, опреде-
ленного по формуле (32.1) или (32а. 1), в случае самолета с одним
двигателем следует добавить величину
е;«(2-рб,бД)су,
а в случае самолета с несколькими двигателями
<«(0,5 + 6В)су.
(34.1)
(35.1)
Торможение скорости потока в области оперения. Вследствие лобо-
вого сопротивления крыльев и корпуса летательного аппарата скорость
потока у оперения Von меньше, чем скорость полета; можно положить
Н0п=у9г1/, (36.1)
где коэффициент торможения скорости
При больших посадочных углах
атаки и при отклоненных закрылках
размеры области заторможенного по-
тока (ширина спутной струи) возра-
стают. На фиг. 41. 1 приведены экспе-
риментальные данные по величине
Фиг. 38.1. К определению удлинения части
площади крыла, обслуживаемой закрылками.
дополнительного (к его значению при малых углах атаки) коэффициента
торможения скорости kmc для этого случая, так что полный коэффи-
циент торможения скорости
^ПОЛН = ^^ПОС-
48
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
По оси абсцисс на фиг. 41.1 отложено отношение х/Ьс, где х — рас-
стояние от задней кромки корневого профиля крыла до горизонтального
оперения, измеренное по направлению хорды крыла.
По оси ординат отложено отношение у/bo, где у — расстояние по
высоте горизонтального оперения от середины спутной струи.
В первом приближении у можно определять по формуле
У — h-\-X 6пос>
где h — высота горизонтального оперения над плоскостью хорд крыла
при а=0 и Епос — угол скоса потока в радианах при посадке.
Фиг. 39.1. График для определе- Фиг. 40. 1. График для определения коэф-
ния коэффициента Xi- фициента Хг.
В случае самолетов с винтовыми двигателями скорость потока
у оперения увеличивается по сравнению со скоростью полета. Для расче-
та коэффициента торможения скорости в этом случае можно пользо-
ваться эмпирической формулой
Л8ф=Л(1+ЛвВ). (37.1)
Здесь k — коэффициент торможения скорости у оперения при не-
работающих винтах;
kB — коэффициент, учитывающий относительные размеры
винта и оперения: для самолетов с одним двигателем
Д,=0,75 —,
^г.о
для самолетов с двумя двигателями
£,=0,75
где /г о —размах горизонтального оперения; а—расстояние от плоскости
симметрии до оси винта.
Коэффициент нагрузки на ометаемую винтом площадь
где Р —сила тяги винта;
тс£)2
V
ометаемая винтом площадь;
oV2
---скоростной напор, определенный по скорости полета.
Подытоживая все сказанное, приходим к выводу, что коэффициент
момента оперения надо рассчитывать для истинного угла атаки, опреде-
ляемого по формуле (27.1), и для истинной скорости потока, связанной
со скоростью полета через коэффициент торможения k.
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления
49
В случае летательных аппаратов, выполненных по схеме «утка»,
у которых оперение расположено в носовой части корпуса, с достаточ-
ной степенью точности скос потока и торможение скорости у оперения
можно считать равными нулю. Однако для таких аппаратов надо учесть,
что крылья работают в поле скоростей, индуцированных оперением, рас-
положенным перед крыльями. Поэтому при расчете подъемной силы
крыльев следует учитывать скос потока, вызванный оперением; это
в равной мере относится к летательным аппаратам схемы «+» или «X»
Фиг. 41.1. График для определения коэффици-
ента kuoc*
в том случае, когда полет происходит со скольжением. В этом, между
прочим, заключается одна из причин так называемой «косой обдувки»
(см. ниже), приводящей к тому, что, например, коэффициент тх$ м о
мента, создаваемого крыльями, в схемах «-}-» или «X» получается не
равным нулю.
Для приближенной оценки величины скоса потока от оперения
в области расположенных за ним крыльев можно воспользоваться сле-
дующими рассуждениями.
Некоторая часть размаха крыльев, равная v/on—расстоянию меж-
ду свободными вихрями, сбегающими с оперения, работает в поле поло-
жительных скосов; другая часть, расположенная вне этой области
(фиг. 42.1), наоборот, работает в поле отрицательных скосов.
Среднее значение скоса вблизи крыльев можно получить по при-
ближенной формуле
есР = ^ Bo+(l-vZf)h, (38.1)
где е0 вычисляется в точке крыла г=0, a et — в точке, отстоящей от
плоскости симметрии на расстоянии
2=0 можно найти по формуле (32.1) или
можно
Скос потока в точке
(32а. 1). Для определения скоса потока в точке Zi=0,5|
4 1824
50 Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
воспользоваться аналогичными формулами, позволяющими рассчитать с
при z=7^0. Именно, при М<1
L Г - * v~* - 1
X У [х2 + у2£2 [у [(у _ + ~2] р2 + “2 “Г
V[(v + ^)2 + y2]p2+x2
(v —z)2+y2
[(v-i.)2+ y2Jf2 + X2-
(у 4- г’2)2 4- У2
1/[(> + г2)4-у2]₽24-х2
v^on
(39.1)
Фиг. 42.1. К определению скоса потока, вызванного
оперением в схеме типа «утка».
и при М > 1
ео = 1812с ( (у - 7) {72 - [(V -7)2 + 2Я)
* у I [(у —7)2 4-у2] Ух^ — р2 [(У—7)2 4- у2]
j (у + 7) {72 - ?2 [(v +7)2 4- 2?]} 1 (39а
[(у 4- 72) + у2] У — ₽2 [(у + 7)2 4- у2] |
Коэффициент момента оперения. Управление летательным аппара-
том в вертикальной плоскости осуществляется рулем высоты, а в гори-
зонтальной — рулем направления.
Как было отмечено, рули могут представлять собой некоторую
часть оперения (фиг. 43.1,а). В этом случае при управлении часть опе-
рения (стабилизатор или киль) остается неподвижной. Иногда при
управлении отклоняют целиком всю плоскость оперения, как это пока-
зано на фиг. 43.1,6. Последний способ управления предпочтителен для
сверхзвуковых скоростей полета, так как при этом момент оперения
получается большим.
В общем случае, когда оперение состоит из стабилизатора (киля)
и руля, коэффициент подъемной • силы оперения можно представить
в виде
S оп=^(«оп + «оп8). (40.1)
где аОп — истинный угол атаки оперения, определяемый по форму-
ле (27.1);
б — угол отклонения руля;
Поп—коэффициент эффективности руля, равный приблизительно
при дозвуковых скоростях полета
- / ^руля
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления
51
и при сверхзвуковых скоростях полета
^руля
^ОП Q ’
Jon
5РУля — площадь руля;
Son — площадь всего оперения, включая руль.
Используя все полученные ранее выражении, приходим к следую-
щему выражению коэффициента продольного момента горизонтального
оперения:*
^г.о=+й^^^г.о(а+?-е4-лЛ)- (41.1)
ос? д
Неподвижный
стабилизатор
Фиг. 43.1. Управление отклонением руля высоты и стабилизатора.
Аналогично1 2 для коэффициента момента вертикального оперения
относительно оси Оу\ приходим к следующей формуле:
™ув.о=+* + (42.1)
о/
где ев — скос потока в плоскости крыльев.
Значение производной с“го горизонтального оперения можно опре-
делять по графикам фиг. 1п —4п приложения. По этим же графикам
определяется и производная с₽в0 вертикального оперения. В том слу-
чае, когда вертикальное оперение расположено несимметрично относи-
тельно оси Охх, как это обычно бывает у самолетов, при определении
производной с₽в0 вместо действительного удлинения вертикального опе-
рения следует принимать эффективное удлинение \ъ 0 8, которое
можно определить по фиг. 44.13 .
Для самолетов, имеющих только горизонтальную пару крыльев,
при расчете коэффициента тув.о скосом потока в горизонтальной плос-
кости обычно пренебрегают; для летательных аппаратов, выполненных
по схеме « + » или «X», скос потока в горизонтальной плоскости необ-
ходимо принимать во внимание.
1 В том случае, когда оперение отклоняется целиком и специальный руль высоты
отсутствует, в формуле (41.1) следует положить пв=0.
2 В формулах (41.1) и (42.1) знак минус следует брать для летательных аппа-
ратов обычной схемы, а знак плюс — для летательных аппаратов типа «утка».
3 График фиг. 44.1 построен по материалам [3].
4*
52
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
В общем случае вертикальное оперение, помимо момента Л^в.о, соз-
дает также момент относительно оси Оль Коэффициент этого момента,
как нетрудно убедиться по фиг. 45. 1,
(43. 1)
о L
За плечо ув.о можно принимать расстояние от оси Охг до середины
высоты вертикального оперения.
Фиг. 44. 1. График для определения эффективного
удлинения вертикального оперения.
При отклонении руля высоты или руля направления возникают до-
полнительные моменты, коэффициенты которых
«гг.о5 = Т k с; Г.А.Д; (44.1)
шу B.0,=+k ^Ь--(_с₽в 0>в.Д; (45.1)
Шх в.о 6 = - k ( - С? в 0 ) йв Л. (46. 1)
У летательных аппаратов, выполненных по схеме «+» или «X».
если не принимать во внимание «косую обдувку», коэффициенты тХВЛ
и гпхъ.оь в силу симметрии равны нулю.
Моменты при отклонении элеронов. В сечениях крыла, на которых
расположены элероны, коэффициент подъемной силы при отклонении
элеронов на угол бэ увеличивается на величину (фиг. 46.1)
дсу=с“яэ8э,
где коэффициент эффективности элеронов пэ при М<1
и при М>1
где S06.s — площадь части крыла, на которой расположены элероны.
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления
53
Если принять во внимание перераспределение циркуляции при от-
клонении элеронов по всему размаху крыла, то для определения коэф-
фициента тхв момента, возникающего при отклонении элеронов в слу-
чае М<1, можно пользоваться следующей полуэмпирической фор-
мулой:
где
&э~0,6—[—0,066 (т]—1).
При числах М>1, когда имеет место смешанное обтекание крыла
на той его части, на которой расположены элероны, вследствие скачков
Фиг. 45.1. К расчету поперечного мо-
мента вертикального оперения.
Фиг. 46.1. К определению попереч-
ного момента при отклонении эле-
ронов.
уплотнения и отрыва потока эффективность элеронов может заметно
понижаться, а при неудачной аэродинамической компоновке крыла
и элеронов даже упасть до нуля. Однако при тщательном подборе пара-
метров крыла и элеронов эффективность элеронов остается удовлетво-
рительной в широком диапазоне чисел М.
При отклонении элеронов в сечениях крыла, на которых располо-
жены элероны, помимо коэффициента подъемной силы су, изменяется
также коэффициент тангенциальной силы cxi. Вследствие неодинакового
изменения cxi при отклонении элерона вниз или вверх получается
также момент относительно оси мешающий управлению. Для умень-
шения этого момента применяют дифференциальное управление элеро-
нов. Кинематика системы управления элеронами подбирается таким
образом, чтобы угол отклонения элерона вниз был меньше угла откло-
нения элерона вверх. При дифференциальном отклонении элеронов
момент А1у1Э получается сравнительно небольшим, так что им в первом
приближении можно пренебречь.
54
Гл. 1. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
§ 5. МОМЕНТ СИЛ ПРИ КОСОЙ ОБДУВКЕ КРЫЛА
Выше было отмечено, что пара крыльев, расположенных по схеме
« + » или «X», в условиях полета с невозмущенными углом атаки а=#0
и углом скольжения р#=(У в силу симметрии не может создавать момент
крена Мх. В этом случае для схемы «+», например, горизонтальные
крылья при полете с р^О создают поперечный момент, коэффициент
которого
шжгор=—£ictP, (48.1)
где на основании (15.1)
Ci=0,5cbzCT sin х,
и крыло предполагается плоским (без поперечной V-образности).
Для вертикальных крыльев роль угла атаки а и угла скольжения р
изменяется: для этих крыльев углом атаки будет угол скольжения р,
а углом скольжения — угол атаки а. В силу симметрии для вертикаль-
ных крыльев
Мх верт = + сгар. (49.1)
Если вертикальные и горизонтальные крылья геометрически одина-
ковы, то
С1 = С2 = С,
так что суммарный момент от обеих пар крыльев получается равным
нулю.
Таким образом, бесхвостый летательный аппарат, имеющий одну
пару крыльев, расположенных по схеме « + » или «X», будет нейтраль-
ным в отношении поперечной статической устойчивости: у такого лета-
тельного аппарата будет т^ = 0.
У летательных аппаратов обычной схемы или схемы «утка» имеют-
ся две пары крыльев, расположенных одна позади другой. Одна пара
крыльев служит для создания основной подъемной силы Y и боковой
силы Z; другая пара крыльев предназначена для стабилизации лета-
тельного аппарата. Стабилизирующая пара крыльев может быть распо-
ложена позади основной пары (летательный аппарат обычной схемы)
и впереди основных крыльев (летательный аппарат типа «утка»).
Если к передней по потоку паре крыльев применимы сделанные
ранее замечания о симметрии обтекания и, следовательно, о равенстве
нулю производной , то по отношению к задней паре крыльев явление
усложняется. Задняя пара крыльев работает в поле скосов, создавае-
мых передней парой. В общем случае полета с а=/=0 и р=#0 вихревые
системы создаются вертикальными и горизонтальными крыльями. Рас-
положение задних вертикальных и горизонтальных крыльев по отноше-
нию к вихревым системам получается различным (фиг. 47.1), и симмет-
рия обтекания задних крыльев нарушается. В результате момент
Мх верт, создаваемый вертикальными крыльями задней пары, не компен-
сируется моментом Мкгор, создаваемым горизонтальными крыльями
задней пары. Получается некоторый отличный от нуля момент Мх, за-
висящий от р, так что производная trcx получается отличной от нуля.
Рассмотрим это явление с качественной стороны. Для упрощения
задачи будем предполагать, что скос потока в области задней пары
крыльев создается только передней парой крыльев; скосом потока, вы-
зываемым корпусом, будем, следовательно, пренебрегать.
§ 5. Момент сил при косой обдувке крыла
55
Для горизонтальных крыльев, расположенных позади оперения, на
основании (48.1)
^хгор=: £аистРист с (a е1) (р ег)>
где истинный угол атаки
Вист = О—61,
истинный угол скольжения
Рист = р—62.
Фиг. 47. 1. Расположение задних горизонтальных и вер-
тикальных крыльев относительно вихревых систем, сбе-
гающих с передних крыльев.
(Гв —'циркуляция, обусловленная вертикальными крыльями,
Гг —горизонтальными).
Точно так же для вертикальных крыльев, расположенных позади
оперения,
верт = + ₽;ст = + с (а - е3) (₽ - е4),
где истинные углы атаки и скольжения:
а’ =а—е,;
ист
₽йст=₽-£4-
Считая горизонтальные и вертикальные крылья геометрически оди-
наковыми, получаем
' Скос потока на основании изложенного ранее
e=Dcy или е=£>(—сг),
где коэффициент D зависит,от геометрической формы передних крыльев
и от расположения точки, в которой вычисляется скос, относительно
вихревой пелены, создаваемой передними крыльями.
56
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Для горизонтальной пары передних крыльев, предполагая в общем
случае руль высоты отклоненным, имеем
Точно так же для вертикальных крыльев передней пары
-сг= -
С учетом сделанных замечаний выражения для коэффициентов по-
перечного момента горизонтальных и вертикальных крыльев задней
пары, приведенные выше, можно переписать в следующем виде:
тх гор = — с (« — ei) (Р—е2)~ — с (ар—ае2 — р61) =
= _cap[i_c« (D.+D^+cD^+cD^a, (50.1)
"he верт ~ + С (ар — ае4 — ре3) =
=саР[1 (D3+D4)]-cD^$-cD4cnEa. (51.1)
При составлении этих выражений предполагали, что скосы потока
невелики, и их произведениями пренебрегали.
Суммируя (50.1) и (51.1) и беря затем производную по (3 от этой
суммы, придем к следующим выражениям для задней пары крыльев:
тх=-ссау (D3 ф- D4 - О, — D2) ap—
-cc^^-D^-cc* 8„(D4-£>2)a; (52.1)
mx = - ccy (D3 + D4 - Z>1 - Z)2) a -
-c^D3-Dl)-c^-^(D3+D4-D1-D2)-cc^B^{D3-Dl)-
(D4-D2). (53.1)
Так как скос потока зависит от расстояния точки y(z) относитель-
но вихревой пелены по нормали к ее поверхности, то скосы потока изме-
няются вдоль размаха вертикальных и горизонтальных крыльев задней
пары. Поэтому коэффициенты Dx~D4 вообще различны. Это и приводит
к возникновению отличной от нуля производной И1р.
Точное решение задачи определения скосов потока и расчета про-
изводной т₽ оказывается весьма сложным. Представление о порядке
величины возникающих моментов можно получить, если принять неко-
торые средние направления потока относительно задних крыльев, при-
чем за такие средние направления можно принять направления потоков
в серединах вертикальных и горизонтальных крыльев.
Задние крылья жестко ориентированы относительно передних в свя-
занной с летательным аппаратом системе координат. В системе коор-
динат, связанной с вихревыми пеленами, сбегающими с передних
крыльев, координаты задних крыльев будут зависеть от угла атаки
и угла скольжения передних крыльев. Приняв в первом приближении,
что оси свободных вихрей параллельны скорости набегающего потока,
для координат (х', у', z') горизонтальных и (х", у", z") вертикальных
крыльев задней пары в поточной системе координат получим (фиг. 48.1)
х'=х"—XjeosacosB, y'=z"— — x1sinacos р, z' = y" = — XjSinp.
§ 5. Момент сил при косой обдувке крыла
57
Если считать углы а
cosp^l, sinp~p, то эти
и р малыми и принять cosct~l, sina^a»
выражения примут вид
(54.1)
0В=х
АВ=~У'
AP=~z‘
OP- Х‘
Х = х, сова cog р
y'=-r,sinac(Bp
z'=-x,etnp
0,-0 (xt,-x, а,-х,р)
О у— 0 (Xj t—Xf p,~Xj(X)
ОВ=ха
АВ=-у"
AP=-z'
ОР=Х,
x”=xtcosaaisf
у =-x,stnp
z =-Х, sinacosp
2?2=J?fx„-x,p,-x,a)
0Л=О (xt,-x,arx,f)
Фиг. 48.1. К определению координат задних крыльев
в схеме «+».
Следовательно, коэффициенты D, можно записать так:
Dl=^D{x', у', z'}— D(xlf — хга, —XiP),
D2=D{x",y",z!')=D(x1, —л-jP, — Xja),
D3=D(x',z',y')=D{xu — JCtP, — xxa),
D4=D(x",z", y")=D(xx, — xra, — jqP),
58
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
где черта над Xi означает безразмерную величину, т. е.
1 Z/2
Из приведенных для коэффициентов выражений следует, что
Di—Di, D2—D3.
При сделанных предположениях первое слагаемое (53.1) обра-
щается в нуль, и для коэффициента получается приближенное выра- -
жение
[m₽]₽=0 = -cc'y8B(D2-DI) (55.1) -
(так как при (3=0 и бн=0).
При нулевом отклонении руля высоты бв = 0, как видно из (55.1),
получается (т₽)₽-о=О. По абсолютной величине производная (тр₽=о
возрастает с увеличением угла отклонения руля высоты. Это означает,
что при значительном отклонении руля высоты на летательный аппа-
рат, невозмущенный полет которого происходит в вертикальной плоско-
сти без крена и скольжения, при появлении скольжения будет действо-
вать поперечный момент крена, так же как и на летательный аппарат
самолетной схемы.
В инженерной практике описанное явление несимметричного обте-
кания задних крыльев получило название «косая обдувка».
В общем случае полета с креном и скольжением при упрощающем
допущении относительно величин коэффициентов £>г на основании (52.1)
для коэффициента тх получаем формулу
~сс\ OVW.- «8н). (56.1)
Интересно отметить, что в случае установившегося прямолинейного
полета с креном и скольжением коэффициент тх получается равным
нулю'. Действительно, в этом случае условия равновесия моментов отно-
сительно осей OZi и Оу\ можно написать в виде
+ =0.
Определяя отсюда балансировочные углы отклонения руля высоты
и руля направления, получим
а подставив эти выражения в (56.1), придем к выводу, что тх—0.
§ 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ В КРИВОЛИНЕЙНОМ
НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ПОЛЕТЕ
До сих пор мы рассматривали моменты, действующие на летатель-
ный аппарат в прямолинейном установившемся полете. Если движение
летательного аппарата криволинейное, то необходимо принять во вни-
мание еще моменты, обусловленные угловой скоростью со вращения
летательного аппарата.
В силу формулированной выше гипотезы стационарности полные
моменты, действующие на летательный аппарат в криволинейном не-
6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 59
установившемся движении, получаются как суммы моментов в прямо-
линейном установившемся движении с тем же углом атаки, что и в кри-
волинейном неустановившемся движении в данный момент времени,
и дополнительных моментов, обусловленных криволинейностью полета.
Коэффициенты дополнительных моментов, обусловленных криво-
линейностью полета, определяют из специальных экспериментов в аэро-
динамических трубах. Модели летательного аппарата, установленной
в аэродинамической трубе, сообщают колебания; по характеру затуха-
ния этих колебаний определяют величину действующих на модель
моментов аэродинамических сил *.
Фиг. 49.1. Искривление потока при вращении летатель-
ного аппарата.
Приближенная оценка дополнительных моментов, обусловленных
угловой скоростью to, может быть проведена на основании гипотезы
искривления.
Чтобы уяснить смысл гипотезы искривления, рассмотрим следую-
щий случай.
Пусть летательный аппарат, летящий со скоростью V, одновремен-
но вращается вокруг оси Ozi с угловой скоростью <ог1. В результате
сложения поступательного и вращательного движений линии тока набе-
гающего на летательный аппарат потока искривляются, как это пока-
зано на фиг. 49.1.
Из фиг. 49.1 видно, что углы встречи искривленного потока с эле-
ментами поверхности летательного аппарата (в частности, крыла) отли-
чаются от углов встречи при прямолинейном движении без вращения.
Следовательно, различными получатся аэродинамические силы, дейст-
вующие на летательный аппарат при движении без вращения и с вра-
щением, и моменты этих сил относительно центра масс летательного
аппарата.
Вместо того чтобы рассматривать условия обтекания летательного
аппарата искривленным потоком (фиг. 50. 1,а), в первом приближении
можно рассматривать условия обтекания искривленного соответствую-
щим образом летательного аппарата прямолинейным потоком воздуха
(фиг. 50.1,6). Расчет аэродинамических сил при этом существенно
упрощается.
Результаты, полученные на основе гипотезы искривления, достаточ-
но хорошо согласуются с экспериментальными данными. Этой гипотезой
искривления в случае необходимости мы и будем пользоваться в даль-
нейшем.
Момент демпфирования оперения. Для определенности будем рас-
сматривать момент демпфирования горизонтального оперения, обуслов-
1 Как будет видно из дальнейшего, при этом учитывается и момент, обусловлен-
ный нестационарностью течения.
60
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
ленный наличием угловой скорости со2. Все следующие ниже выводы
будут в равной мере относиться и к моменту демпфирования вертикаль-
ного оперения относительно оси Оух.
Местные скорости потока, набегающего на горизонтальное опере-
ние при вращении летательного аппарата, по величине и по направле-
Фиг, 50. 1. К гипотезе искривления.
нию будут отличаться от скорости полета. Действительно, при вращении
летательного аппарата с угловой скоростью а>г в различных точках гори-
зонтального оперения появляются дополнительные составляющие ско-
рости ДУ=игг, направленные перпендикулярно к радиусам-векторам,
проведенным из центра масс летательного аппарата в эти точки в сто-
рону, обратную окружной скорости cozr (фиг. 51.1). В частности, на оси
вращения руля высоты дополнительная составляющая скорости
Д Vг. о == wz Lг.р 4- у г. о.
Так как величина уГ,о в обычных случаях значительно меньше рас-
стояния от центра масс до оси вращения руля высоты £г.о, то с неболь-
шой погрешностью можно принять
Д 1/г.о'-^ТГо<л)г
и считать, что ДУг.о направлена по перпендикуляру к скорости полета К
Фиг. 51.1. Скорость потока, набегающего на оперение при
вращении летательного аппарата вокруг оси Ozt.
В других точках поверхности горизонтального оперения дополни-
тельная скорость, вызванная вращением летательного аппарата, строго
говоря, будет отличаться от дополнительной скорости на оси вращения
руля высоты, так как расстояния этих точек от центра масс аппарата
не будут равны расстоянию Lr.o. Величина хорды горизонтального опе-
рения, однако, значительно меньше расстояния £г.о, и без большой по-
грешности можно принять, что на всей поверхности горизонтального
§ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 61
оперения дополнительная скорость AV постоянна по величине и по на-
правлению и равна AVr.o.
Если угловые скорости и2 не очень велики (согласно методу малых
возмущений именно такое предположение и было сделано), то можно
считать, что дополнительная скорость изменит только угол атаки гори-
зонтального оперения, тогда как скорость потока, набегающего на опе-
рение, останется такой же, как и в случае прямолинейного полета с той
же скоростью.
Угол атаки горизонтального оперения при вращении летательного
аппарата (фиг. 52.1) изменится на
да да £г-0<п.?
Л г-о ~ у
Вследствие изменения угла атаки 1 горизонтального оперения изме-
нится его подъемная сила на
АЕг.о ~ Асу г.о*^г.о^^7> (57.1)
где k—коэффициент торможения скорости у оперения.
Фиг. 52.1. Изменение угла атаки горизонтального оперения вследствие
вращения летательного аппарата вокруг оси Ozi.
При положительной угловой скорости <в2 дополнительная подъем-
ная сила горизонтального оперения будет направлена вверх. Умножив
величину дополнительной подъемной силы АУг.о на плечо горизонталь-
ного оперения LT.O относительно центра масс летательного аппарата, по-
лучим дополнительный продольный момент горизонтального оперения,
обусловленный угловой скоростью со2:
7Игг.0о>г= ДСу v.aSrOkqLr. 0. (58.1)
На основании полученного выше выражения для Ааг.о найдем коэф-
фициент дополнительной подъемной силы оперения;
(59.1)
Подставив (59.1) в выражение (58.1), получим
Л1„.»г= -с; • (60.1)
' Продольный момент горизонтального оперения, обусловленный
угловой скоростью со2, как видно из формулы (60. 1), пропорционален
1 Строго говоря, при вычислении._Даг. о следовало бы принять во внимание, что
скорость потока у оперения 1'г.о=УГkVотличается от скорости полета; однако свя-
занная с этим поправка невелика и ввиду общей приближенности рассуждения может
быть опущена.
62
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
угловой скорости coz вращения летательного аппарата и направлен
в сторону, обратную вращению. Этот момент, всегда препятствующий
вращению летательного аппарата, называют демпфирующим моментом
горизонтального оперения.
Легко убедиться, что при отрицательной угловой скорости <ог<О
демпфирующий момент получается положительным, т. е. также препят-
ствующим вращению летательного аппарата.
Подобным же образом можно рассуждать и при выводе выражения
для демпфирующего момента вертикального оперения относительно
оси Oyi. Это выражение совершенно аналогично выражению (58.1);
только вместо производной Суг онадо подставить (—с|во), а вместо пло-
щади Sr.o и плеча Lr.o горизонтального оперения — площадь SB.o и плечо
LB.o вертикального оперения.
Выражение (58.1) момента демпфирования горизонтального опе-
рения можно представить и в другой форме, аналогичной выражению
статического момента аэродинамических сил. Этим выражением, полу-
чающимся путем несложных преобразований, часто пользуются при про-
ведении расчетов".
А1гг.о (60а. 1)
где
— так называемая вращательная производная горизонтального
оперения и
• z V
— безразмерная угловая скорость вращения летательного аппарата.
Значения производной с“г0 (а для летательных аппаратов, выпол-
ненных по схеме « + » или «X», и производной—с£в>0) можно опреде-
лять по материалам, приведенным в приложении к этой книге.
Помимо горизонтального или вертикального оперения, крылья
и корпус летательного аппарата также создают демпфирующие момен-
ты. Кроме того, вследствие возникновения кориолисова ускорения при
вращении летательного аппарата с реактивными двигателями возникает
внутренний демпфирующий момент, как об этом сказано ниже.
Демпфирующий момент крыльев. Демпфирующий момент прямых
(нестреловидных) крыльев значительно меньше демпфирующего момен-
та оперения. Объясняется это тем, что плечи относительно центра масс
летательного аппарата элементарных аэродинамических сил, действую-
щих на такие крылья, невелики по сравнению с плечом оперения.
При расчетах первого приближения демпфирующим моментом прямых
крыльев можно пренебрегать.
В случае треугольного в плане или стреловидного крыла точки,
расположенные вблизи передней и задней кромок крыла, находятся уже
на значительном расстоянии от центра масс летательного аппарата;
демпфирующий момент таких крыльев может получиться соизмеримым
с демпфирующим моментом оперения.
Величина демпфирующего момента крыльев при прочих равных
условиях зависит от формы крыла в плане, от положения центра масс
летательного аппарата по отношению к крыльям и от числа М полета..
$ б. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 63
Приведем заимствованные из [3] формулы для расчета демпфирующего
момента крыльев.
Демпфирующий момент крыльев
ЛЧкР = <гкр56а (61-1)
или
Коэффициент mwz .входящий в (61а. 1), можно найти по формуле
-
rri‘z =-?-
ZK₽ 57,3
- Вх (0,5 -хт) (0,5-хт)2. (62.1)
Здесь
mz*
са
су _____
от параметров Xj/М2—1=хр, сужения крыльев -»] nktgxo,5, где ход —
угол стреловидности, измеренный по линии, соединяющей середины хорд
крыла.
Формула (62.1) справедлива для сверхзвуковых скоростей полета;
для дозвуковых скоростей можно пользоваться формулой (см. [1])
и Вх определяются по фиг. 53.1 и 54.1 в зависимости
(A+BMgx+CKtg>ri-D,
(63.1)
где коэффициенты А, В, С и D определяются по фиг. 55.1—57.1 и х
определяется для линии, соединяющей четверти хорд крыла.
Демпфирующий момент корпуса значительно меньше демпфирую-
щего момента крыльев и тем более оперения. Поэтому для дозвуковых
скоростей полета демпфирование корпуса учитывают, вводя некоторый
64
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
поправочный коэффициент в выражение демпфирующего момента
крыльев.
Обычно этот коэффициент принимают равным 1,15—1,20, т. е. оце-
Фиг. 54.1. График для определения коэффициента Bi при М>1.
Для бескрылых летательных аппаратов (например, для баллистиче-
ских ракет), полет которых происходит в сравнительно плотных слоях
атмосферы, роль демпфирующего момента корпуса увеличивается, так
как для таких аппаратов демпфирующий момент оперения получается
небольшим.
Фиг. 55.1. График для определения коэффициента А (М<1).
Следует отметить, что при известных условиях в области чисел
М>1 демпфирующий момент корпуса может сильно уменьшиться
§ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 65
и даже изменить знак; в этом случае корпус будет не препятствовать,
а способствовать вращению летательного аппарата.
Теория дает [3] следующее приближенное выражение для момента
демпфирования корпуса при М>1:
MZKa=-Sfy^2\Qcm-x^ —^-1. (64.])
v L <к^к J
В этой формуле приняты следующие обозначения:
5К —площадь миделевого сечения корпуса;
/к —длина корпуса;
^тп.
хт = — —относительная координата миделевого сечения корпуса;
хк=—— относительная координата центра масс летательного аппарата;
'7Иоб—момент объема корпуса относительно центра масс1.
Так, например, для корпуса, обводы которого представляют собой
дуги окружности, после соответствующих вычислений получим
^ZK^=V^y-2(0,5-xK)(xK-|-0,167X2), (64а. 1)
где X — удлинение корпуса.
То же выражение в другой форме имеет вид
M2Kaz=Sbaqm^zl (646.1)
1 Все последующие выводы в равной мере справедливы и для определения демп-
фирующего момента корпуса относительно оси Оу^ необходимо только вместо <ог
всюду подставить
5 1824
66
Г л. 1. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
где
т?к=2
^(Ау(0>5-хк)(хк + 0,167л^
<». = — .
z V
Из приведенных формул видно, что если координата центра масс
относительно носка корпуса меньше 50% его длины, то момент Mz КШг
получается положительным.
Помимо внешних моментов демпфирования, обусловленных аэроди-
намическими силами, как уже было упомянуто, возникает внутренний
момент демпфирования, обусловленный кориолисовым (поворотным)
ускорением. Величину этого момента можно определить на основании
следующих соображений.
Фиг. 57.1. График для определения коэффициентов С
и D (М<1).
Пусть корпус летательного аппарата вращается вокруг какой-либо
оси, например оси Ozit с угловой скоростью coz (фиг. 58.1). Если внутри
корпуса установлен двигатель, то рабочее тело (горючее и окислитель),
а также струя газа в сопле перемещаются вдоль оси корпуса со скоро-
стью Vx. Вследствие этого возникает кориолисово ускорение
/к=2 Vxwz.
На элементарную массу рабочего тела dm действует кориолисова
сила инерции
dRK=2Vxv>zdm.
Для элементарной массы имеем
Таким образом, момент кориолисовой силы, действующей на эле-
ментарную массу dm, относительно центра масс летательного аппарата
получается
dMz=—dRK(x—xr) =—2Vxg>zQxSx(x—x^dx. (65.1)
В силу условия неразрывности
=const, (66.1)
g
где Gc — секундный расход;
Уа — средняя скорость истечения газа из сопла, и индексом «а» от-
мечены величины на срезе сопла.
§ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 67
Используя приближенное выражение силы тяги ракетного двигате-
ля, которое получается из общего выражения (см. [1]), если положить
в нем разность давлений (ра—рн) =0,
V.,
получим
= (67.1)
va gPyn.
где Руд — удельная тяга двигателя.
С учетом (66.1) и (67.1) выражение (65.1) можно переписать
в следующем виде:
Фиг. 58.1. К определению кориолисова ускорения, обусловленного
работой двигателя.
или, относя координату х к длине корпуса 1К и вводя обозначения
(68.1)
(69.1)
Х==--» хк=~ >
/к 1К
dMz= — 2шг ll (х — хк) dx.
ё^уд
Если принять, что внутри корпуса передвигается масса, неизменная
по длине корпуса, то, интегрируя выражение (68.1) в пределах от
х0~ где х0 — расстояние от носка тела до начала объема перемещаю-
щейся массы, до х = 1, получим
7Иг =---1^г (1 -х0) (14-х0—2xj.
Помимо кориолисова момента, необходимо также принять во вни-
мание изменение положения центра инерции рабочего тела внутри кор-
пуса. Предполагая, что в основном изменяется распределение масс по
длине корпуса в начале объема перемещающейся массы (участок аб
на фиг. 59.1), для изменения момента инерции рабочего тела за вре-
мя А/ получим
А/ — Qa^a Еа (Хт Хо) ^А/.
Секундное изменение момента количества движения рабочего тела
получится равным:
~ГГ ~ Qa$a Vа (хт xof wz= р (хк — ХоУ ®z>
gPya
5*
68
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
так что к выражению (69.1) необходимо еше добавить момент
АЛ1г= -f- (*к - ХО)2. (70.1)
gtyn
Суммарный момент, обусловленный поворотным ускорением и сме-
щением центра инерции внутри корпуса, получится как сумма выраже-
ний (69.1) и (70.1); после простых преобразований получим
Л4гвнИг=----|-/2шД(1-хк)*-2(лк-х0)2]. (71.1)
ё*ул
Выражение (71.1) получено в предположении однородности пере-
мещающейся внутри корпуса массы на всем протяжении занимаемого
ею объема. Для ЖРД аналогичную формулу (см. [8]) можно получить,
Фиг. 59.1. Изменение момента инерции рабочего тела.
если принять во внимание, что для этого двигателя два компонента
обычно располагаются по обе стороны центра масс летательного аппа-
рата. Для этого случая выражение (71. 1) следует заменить выра-
жением
Мг внщ=-----/2К (k [(1 -ХК)2 - 2 (Хк - Х0)2] +
gPyn
+^^k)[(l-xK^-2(x1-x^]}. (72.1)
Здесь дополнительно к предыдущим приняты обозначения:
Xi —координата начала объема компонента, расположенного за
центром масс летательного аппарата:
k =----;
*7с.о + Gci
Gc.o — секундный расход компонента топлива, расположенного впе-
реди центра масс;
Gci—секундный расход компонента топлива, расположенного по-
зади центра масс.
Формулой (72.1) следует пользоваться для жидкостных ракет,
а формулой (71. 1) —для ракет, работающих на твердом топливе.
У летательных аппаратов, на которых установлен воздушно-реак-
тивный двигатель, момент, обусловленный кориолисовым ускорением
и смещением центра инерции рабочего тела, строго говоря, также имеет
место. Расчеты показывают, однако, что величина этого момента полу-
чается малой и без большой погрешности его можно не принимать
во внимание.
Аэродинамический демпфирующий момент, играющий большую
роль в устойчивости летательных аппаратов, уменьшается при увеличе-
§ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 69
нии высоты полета. Основную роль в демпфировании летательных
аппаратов играет оперение; момент корпуса и крыльев, а также момент
внутренних сил для крылатых летательных аппаратов обычно невелики.
Для бескрылых летательных аппаратов, например для последних сту-
пеней баллистических ракет, демпфирующий момент крыльев и опере-
ния равен нулю и остаются только демпфирующий момент корпуса
и момент внутренних сил.
Для того чтобы оценить порядок величин отдельных слагающих мо-
мента демпфирования, рассмотрим два примера.
В качестве первого примера возьмем гипотетический самолет, летя-
щий на высоте Я=20 км со скоростью, соответствующей М=3. Приняв
средние типичные для такого аппарата геометрические соотношения
и проведя расчет по приведенным выше формулам, получим полную ве-
личину демпфирующего момента
— 7278 <ог.
Демпфирующий момент крыльев составляет 4,6% от всего момента,
демпфирующий момент корпуса—16,8%, демпфирующий момент внут-
ренних сил — 1,2%) и демпфирующий момент оперения — 77%.
В качестве другого примера возьмем гипотетическую ступень бал-
листической ракеты, летящей на высоте /7=40 км со скоростью V=
=5 км/сек и со средними по статистике геометрическими соотношения-
ми. Для этого случая получим общий демпфирующий момент
Мг^ = — 453
причем момент корпуса AfZKtoz =—575<oz, а момент внутренних сил
Mz == "I-122coz.
Приведенные цифры подтверждают сделанные ранее замечания от-
носительно роли отдельных слагающих момента демпфирования и влия-
ния на него высоты полета.
Перейдем теперь к моментам, возникающим вследствие вращения
летательного аппарата вокруг осей Охг и Оуг с угловыми скоростями
и (ру. Вначале рассмотрим моменты, действующие на крыло.
Пусть крыло летательного аппарата вращается вокруг оси Ох^
(фиг. 60.1) с угловой скоростью сож. Тогда на крыло, опускающееся
вниз, поток будет набегать под большими углами атаки, а на крыло,
поднимающееся вверх, под меньшими, чем при отсутствии вращения,
как это показано на фиг. 60.1. В результате возникнут дополнительные
аэродинамические силы, перпендикулярные к плоскости крыла и лежа-
щие в плоскости крыла, и дополнительные моменты, обусловленные
вращением крыла.
Момент этих дополнительных сил 7ИЖШд.кр относительно оси Oxlt
препятствующий вращению крыла, называют моментом поперечного
демпфирования крыла. Кроме того, тангенциальные силы, возникшие
вследствие вращения крыла, дадут момент относительно оси Оух, кото-
рый мы обозначим Afymjt.Kp.
Точно так же, если летательный аппарат вращается вокруг оси Оу\
с угловой скоростью а>у, то скорость потока, набегающего на крыло,
идущее вперед (фиг. 61.1), будет большей, а на крыло, идущее назад,
меньшей, чем скорость полета. Так как действующие на крыло аэроди-
намические силы при прочих равных условиях пропорциональны
квадрату скорости набегающего потока, то вследствие наличия угловой
скорости Oyi возникнет момент нормальных к плоскости крыла аэро-
70
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
динамических сил МХШу относительно оси Oxi и момент Муи>у тангенци-
альных аэродинамических сил относительно оси Oyi.
Для перечисленных четырех моментов крыла можно получить1
следующие приближенные выражения, справедливые при дозвуковом
обтекании крыла:
-SPq^ ^(2Суа + ^); (73.1)
МХШу кр = - SPq (2 - А,-) су; (74.1)
Фиг. 60. 1. Изменение углов атаки сечений крыльев при
их вращении относительно оси Oxi.
ых & I , / с“ \ .
Муш кр= —SPq-— — ICjia+cJ —— 11^
У I \ /
a>v £2 Г ( cv , \ .
МуШуКр= -^SPq— — yxX—Су ~ )а I
(75.1)
(76.1)
В этих формулах приняты следующие обозначения:
1 1 “Ь 31)
г=------1—=—квадрат радиуса инерции площади полукрыла отно-
6 1 + ij
сительно плоскости симметрии, отнесенный к полураз-
маху крыла;
V
н=------удлинение крыла;
£z=0,63 -ф 0,03).— эмпирический коэффициент, учитывающий дополни-
тельные индуктивные скорости, обусловленные враще-
нием крыла.
Из изложенного следует, что при вращении летательного аппарата
вокруг оси Oxi, помимо момента относительно этой оси, возникает мо-
мент Муи>х относительно оси Оух. Точно так же при вращении вокруг
оси Оуь помимо момента МуШу, возникает момент МХШу. Эти моменты
обычно называют перекрестными моментами, а производные их по угло-
вым скоростям — перекрестными вращательными производными.
Тангенциальные силы, действующие на крыло, всегда значительно
меньше нормальных сил; поэтому и моменты, обусловленные танген-
1 Подробный вывод этих формул см. в [4].
§ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 71
Фиг. 61.1. Изменение скорости
потока, набегающего на крылья,
при вращении летательного
аппарата вокруг оси Оу\.
циальными силами, получаются значительно меньшими, чем моменты,
обусловленные нормальными аэродинамическими силами, действующи-
ми на крыло. В первом приближении можно ограничиться учетом лишь
моментов ЛГхо^кр и 7Wjca>yKp, вызванных нормальными аэродинамическими
силами, пренебрегая моментами и 7Илт^кр.
В самом первом приближении формулами (73.1) и (74.1) можно
пользоваться и при числах М>1, если в них подставлять значения^,
полученные для этих чисел М. Для этой цели можно пользоваться
графиками фиг. 1п—4п, приведенными в приложении.
По аналогии с продольным моментом демпфирования можно, вве-
дя безразмерные угловые скорости
_ Oxl — Ыу1
<0,= , = ~ .
х 2V у 2V
получить другие выражения для мо-
ментов:
MxmxKp=Slqm^iax, (73а. 1)
MXWyKp=SlqnTxy^y, (74а. 1)
где
m?=--f-(2Cya + ^X
При вращении летательного аппарата вокруг оси Охх возникает
момент вертикального оперения относительно осей Ох^ и Оу\.
Вследствие малости высоты вертикального оперения по сравнению
с размахом крыла и длиной корпуса можно принять, что боковой угол
атаки вертикального оперения по высоте вертикального оперения по-
стоянен и равен углу атаки по середине вертикального оперения
аср Рср
ЧгУв.О
V
Тогда на вертикальное оперение будет действовать боковая сила,
обусловленная угловой скоростью <ож, равная
Z..„= +4..О +4^““ S..O И,.
Эта сила даст моменты относительно осей Oxt и Оуг.
= +5в.оу’л^₽в.о^-; (77.1)
ТИу^в.о =£в.оув.оД, .okqe?ZB о ~. (78.1)
Точно так же при вращении летательного аппарата вокруг оси Oyi
с угловой скоростью Шу на вертикальное оперение действует дополни*
тельная боковая сила (фиг. 63.1)
72
Г л. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
приложенная приблизительно по середине высоты вертикального опе-
рения. Моменты этой силы относительно осей Oxi и Оу{ получаются
равными:
-Л4хсоув.о,=с₽в о SB 0LB 0 yB,okq—, (79.1)
^yV.O=^B.0SB.0Ll0kq-^-. (80.1)
Фиг. 62.1. К определению момента AI^b.o вертикального
оперения при вращении летательного аппарата вокруг оси Oxi.
Для летательных аппаратов, выполненных по схеме «-J-» или «X»,
в силу симметрии получим
TVfya^B.0 В.О ^^9,
НО
в.о -j- 9, -f- 9.
Для таких летательных аппаратов, как в этом нетрудно убедиться,
все сделанные выводы справедливы и по отношению к моменту горизон-
тального оперения *.
Влияние сжимаемости воздуха на вращательные производные вер-
тикального оперения в первом приближении можно оценить, исходя из
зависимости с“—cj(M). Так как эта производная при увеличении числа
М убывает, то и вращательные производные уменьшаются при увеличе-
нии числа М.
В безразмерной 'форме выражения для моментов вертикального
оперения имеют вид
- - Г S v1 2 ' _
Mx^.0 = Slqm^x=Slq\ +2 -^Ч₽в.о (77а- П
1 Приближенные выражения для вращательных производных корпуса М
УшуК
были приведены выше при рассмотрении продольного момента демпфирования; момент
Л4уш к можно считать равным нулю.
£ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 73
B.0=Slqm^x=Slq 2^
О
MxiaBM=Slqm^y^Slq [2
I «э
Муш
7Иут^в.о —Sl(]iTiyvBJu>y—Slq 2
*^в.о Ув.о ^в.о у
S I I 2В*°
y±o_L kcp ]
с / В*° z В.О I
с /2
°В.О Sj.o
(78а.1)
(79а.1)
(80а.1)
5 12 kCz в-°
V
Запаздывание скоса потока у оперения. Эксперимент в аэродинами-
ческих трубах по определению момента демпфирования моделей корпу-
сов (фюзеляжей) с оперением хорошо подтвердил теоретические выво-
ды, основанные на гипотезе 'стационарности. Однако эксперименты на
моделях корпусов с оперением и крыльями показал, что измеренная
величина момента демпфирования оказывалась значительно большей,
Фиг. 63. 1. К определению момента МушуВ.о верти-
кального оперения при вращении летательного аппа-
рата вокруг оси Оу{.
чем рассчитанная теоретически. Анализ этого явления выявил, что
расхождение теории с экспериментом является следствием неточности
гипотезы стационарности при определении момента демпфирования опе-
рения. В предыдущие выводы поэтому надо внести поправку.
Рассмотрим с качественной стороны вопрос о роли нестационарно-
сти движения при определении момента, действующего на оперение.
В неустановившемся движении угол атаки крыльев с течением вре-
мени непрерывно изменяется; при этом изменяется и подъемная сила,
зависящая от угла атаки, а следовательно, и циркуляция, которая по
теореме Жуковского пропорциональна подъемной силе. Так как в иде-
альной среде, за которую можно принимать окружающий воздух, цир-
куляция по достаточно большому замкнутому контуру, охватывающему
крыло (теорема Томсона), должна оставаться неизменной во все момен-
ты времени, то с крыла при изменении угла атаки должны сбегать и дей-
ствительно сбегают вихри с циркуляцией, обратной по знаку изменению
циркуляции вокруг крыла. В случае крыла конечного размаха эти вихри
можно считать в первом приближении П-образными (фиг. 64. 1). Эти
вихри уменьшают скос потока у оперения по сравнению с вычисленным
по гипотезе стационарности; величина скоса потока становится завися-
щей от времени, так что гипотеза стационарности уже неприменима.
Приближенный ответ на вопрос о количественном влиянии нестацио-
нарности можно получить путем следующих рассуждений. Можно при-
нять, что любой П-образный вихрь впереди себя скос потока не создает,
так как скосы потока от вихрей, параллельных размаху крыла, и от
вихрей, направленных по скорости потока, при этом имеют разный знак.
Тогда при определении величины скоса потока необходимо учесть
только вихри, связанные с нестационарностью, которые расположены на
74
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
участке между крылом и оперением длиной £г.о; другими словами, надо
учесть только вихри, сбежавшие с крыла за время
„ л 4 ^т.о
Д/=~ ’
Если непрерывную картину образования вихрей заменить дискрет-
ной, когда все вихри, сбежавшие с крыла в действительности за время
А/, сбегают в один и тот же момент времени мгновенно, то можно скос
потока, создаваемый крыльями, определять не для действительного зна-
чения коэффициента подъемной силы су в некоторый момент времени,
а для меньшего значения
Фиг. 64.1. к определению запаздывания скоса потока
у оперения.
Индуцированный крыльями скос потока у оперения, как мы знаем,
можно представить в виде
s—Dcy,
где D — числовой коэффициент, зависящий от формы крыла в плане
и от взаимного расположения крыла и оперения.
Изменению угла атаки Act соответствует по формуле (81. 1) изме-
нение коэффициента подъемной силы:
Изменение (запаздывание) скоса потока у оперения при неуста-
новившемся движении летательного аппарата будет
де==рдс =_Рс« (82.1)
z у V at
Следствием запаздывания скоса потока будет дополнительная подъ-
емная сила оперения
Д^г.о=-^г.оАе5г.о^.
Эта дополнительная подъемная сила дает дополнительный момент
ДЛ1гг.0=-дГг.0£г.0=-с;г^ (83.1)
§ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 75
действующий в ту же сторону, что и момент демпфирования, и стремя-
щиися уменьшить угол атаки при — >0.
Надо заметить, что, строго говоря, помимо запаздывания скоса
потока у оперения, вызванного крыльями, имеется запаздывание скоса
потока, вызванное корпусом летательного аппарата. Эта вторая состав-
ляющая запаздывания скоса потока, однако, значительно меньше пер-
вой, так что ею можно пренебрегать при расчете момента демпфиро-
вания.
Расчеты показывают, что при дозвуковых скоростях, например, ве-
личина запаздывания скоса получается значительная: момент, вычис-
ленный по (83.1), может составить около 50% момента демпфирования
оперения, определенного без учета запаздывания скоса потока.
С увеличением числа М, если М>1, производные с“ и с“го умень-
шаются; уменьшается и коэффициент D в выражении скоса потока. По-
этому при больших числах М эффект запаздывания скоса потока по-
лучается небольшим, и им иногда пренебрегают.
Само собой разумеется, что в случае установившегося криволиней-
на _
ного движения летательного аппарата производная —=0 и момент
dt
от запаздывания скоса потока равен нулю. Так, например, при выпол-
нении установившегося правильного виража (см. [1]) с неизменным
углом атаки AAfzr.o=0, в то время как момент Мго>г, обусловленный
угловой скоростью, не равен нулю.
Все приведенные здесь выводы сделаны применительно к горизон-
тальному оперению и к случаю запаздывания скоса потока в вертикаль-
ной плоскости симметрии летательного аппарата. Если рассматривает-
ся неустановившееся движение летательного аппарата в горизонтальной
или наклонной плоскости с углом скольжения 0=0(/), то путем анало-
гичных рассуждений можно придти к выводу о запаздывании скоса
потока, вызванного боковой аэродинамической силой Z и действующего
в этой горизонтальной или наклонной плоскости.
Для летательных аппаратов, выполненных по схеме самолета
(с одной парой крыльев), боковая аэродинамическая сила Z обычно
невелика. В таком случае и скос потока ez в плоскости полета, вызван-
ный силой Z, получается небольшим, так что этим скосом потока и тем
более запаздыванием скоса потока можно пренебречь. Для летательных
аппаратов, выполненных по схеме «+» или «X», боковой скос потока
получается соизмеримым со скосом потока в вертикальной плоскости;
запаздывание бокового скоса потока в этом случае необходимо прини-
мать во внимание.
Дополнительный момент вертикального оперения, возникающий
вследствие запаздывания скоса потока, относительно связанной оси Oyi
может быть определен по формуле, аналогичной формуле (83. 1):
Щ ,.о = - Л2,.о ОЛ - J , (83а. 1)
где Dz — коэффициент в выражении бокового скоса потока
8Z = DzCz,
определяемый аналогично коэффициенту D в выражении скоса потока
в плоскости симметрии летательного аппарата.
В силу симметричного расположения оперения на летательных ап-
паратах схемы «+» или «X» момент АЛ1Ж от запаздывания боковою
скоса потока можно считать равным нулю.
76
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Строго говоря, при расчете моментов для летательных аппаратов,
выполненных по схеме «утка», надо было бы принять во внимание, по-
мимо запаздывания скоса потока от оперения в области крыльев, эффект
запаздывания скоса потока, связанный с производной — = 8В
dt
tfbH v „
и — =он. оти моменты, однако, играют меньшую роль по сравнению
с моментами, зависящими от а, и в первом приближении будем ими
пренебрегать ’.
§ 7. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПРОДОЛЬНЫХ И БОКОВЫХ
МОМЕНТОВ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ПУТЕМ ПОВОРОТА КРЫЛЬЕВ
В большинстве случаев изменение аэродинамической подъемной
силы У получают, поворачивая летательный аппарат относительно оси
Огр, для этого отклоняют соответствующим образом руль высоты. Точно
так же боковую аэродинамическую силу Z получают путем поворота
летательного аппарата вокруг оси Оу\ в результате отклонения руля
направления.
Фиг. 65.1. Изменение подъемной силы У путем поворота крыльев.
Эти силы, однако, можно получить и не прибегая к повороту всего
летательного аппарата. Для изменения подъемной силы У можно по-
вернуть горизонтальную пару крыльев относительно оси, параллельной
Ozi по отношению к корпусу летательного аппарата. Геометрический
угол атаки корпуса летательного аппарата и горизонтального оперения
при этом остается неизменным, а угол атаки повернутого крыла изме-
няется. Вместе с этим изменяется и аэродинамическая подъемная сила,
создаваемая крыльями (фиг. 65. 1).
Для получения боковой аэродинамической силы у летательных
аппаратов схемы «+» (или «X») можно применить поворот вертикаль-
ной пары крыльев относительно корпуса летательного аппарата, как
показано на фиг. 66.1 (в случае схемы «X» надо поворачивать все четы-
ре крыла).
Расчет продольных и боковых моментов летательных аппаратов
с поворотными крыльями имеет некоторые особенности, на которых мы
и остановимся.
Управление продольным движением летательного аппарата путем
поворота крыльев. Рассмотрим летательный аппарат схемы «+»
(фиг. 67. 1), у которого горизонтальная пара крыльев может поворачи-
ваться относительно оси Ozy, все последующие рассуждения можно при-
1 Материалы по этому вопросу можно найти, например, в [2].
§ 7. Особенности расчета продольных, и боковых моментов при повороте крыла 77
менять и по отношению к. летательным аппаратам схемы «X», только
поворачивать придется все четыре крыла. Будем считать, что поворот
крыльев происходит достаточно быстро, так что изменением скорости
полета во время поворота крыльев можно пренебречь. Представим
продольный момент, действующий на летательный аппарат, как функ-
цию истинного («воздушного») угла атаки ав и угла поворота крыльев
Фк. Под истинным углом атаки при этом понимается угол между хордой
крыльев и направлением скорости воздушного потока.
Фиг. 66.1. Изменение боковой аэродинамической силы Z путем поворота
вертикальных крыльев.
Полный продольный момент, действующий на летательный аппарат,
можно представить как сумму моментов крыльев Л12кр, корпуса Mzv,
интерференции Л12И и момента горизонтального оперения Л42Г.О.
Момент крыльев при прочих равных условиях есть функция истин-
ного угла атаки ав
М2кр=Л12кр(ав). (84.1)
Момент корпуса — функция истинного угла атаки корпуса а, раз-
ного а=ав—<Рк, так что
М2К=Л42К(ав фк). (85. 1)
Фиг. 67.1. Углы при повороте горизонтальных крыльев относительно
оси Ozi.
Момент интерференции в общем случае зависит от истинного угла
атаки крыльев ав и от угла поворота крыльев <рк относительно корпуса:
Л42И=Л12И(ав, фк) • (86. 1)
78
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Момент горизонтального оперения на основании изложенного ранее
можно написать в виде 1
^Я^г.о^т.осу г.о(°в <Рк— екр — ек), (87.1)
где £кр=^у крав — скос потока, вызванный крыльями;
Ек — скос потока, вызванный корпусом летательного ап-
парата.
Приращение продольного момента, действующего на летательный
аппарат, при одновременном изменении истинного угла атаки Дав и по-
вороте крыльев на угол Дсрк можно представить в виде
Д7Иг= 7ИгДав -J- 7И^кД<рк = 5/>а^ (тп“Дав -ф 7ПгКДсрк).
Воспользовавшись приведенными выше выражениями для отдель-
ных слагаемых моментов, получим
М°г=Sbaq (m« кр+от' к -ф m* и-фщ- г. 0)=Sb&qm%
MlK=Sbaq
Относительно производной m“ остаются в силе все соображения,
изложенные в предыдущих параграфах этой главы; эта производная
оценивает изменение продольного момента летательного аппарата
с жестко установленным (неповорачивающимся) крылом.
На основании выражений (85. 1) и (87. 1) имеем
тгкк— ~т<1г^
=A-k Sr-°Lr-° с°---\-kA са
ПЬгы у г.о КЛГ.ОСу Г.О’
где
Д ___^Г.О 7.г,о
г’°~ Sba ’
так что
= -<к + ^и±^г.о^ г.о. (88. 1)
Значения тагк и т*кя должны быть взяты по результатам испытания
модели в аэродинамической трубе или рассчитаны теоретически2.
Если в первом приближении принять, как это сделано выше, что
момент корпуса эквивалентен смещению фокуса крыла на некоторую
величину AxF, т. е. что
т“к=-Дх^,
и пренебречь изменением момента интерференции крыла и корпуса при
изменении <рк» то вместо (88.1) в первом приближении можно Восполь-
зоваться формулой
mzK ^xFcay±kAT^y г>0. (89.1)
1 Знак минус относится к обычной схеме летательного аппарата, знак плюс —
к схеме типа «утка»,
2 См., например, [2].
§ 7. Особенности расчета продольных и боковых моментов при повороте крыла 79
С еще более грубым приближением, сохраняя в этой формуле'толь-
ко второе слагаемое, получим
m^±kAT.0cayTo. (90.1)
Аналогично подъемную силу летательного аппарата можно пред-
ставить в виде суммы
1Л=1кр+1Лк+1/и+1г.о> (91.1)
где Укр — подъемная сила крыльев;
Ук — подъемная сила корпуса;
Уи — подъемная сила, обусловленная интерференцией крыльев
и корпуса;
Уг.о— дополнительная подъемная сила, создаваемая горизонталь-
ным оперением.
Это последнее слагаемое подъемной силы
гг.о = kSr.oqcay г>0 (ав — екр — ек4- <рэ — Д<рк\
где
фэ = ф + Пвбв.
Принимая во внимание, что по тем же соображениям, как и при
расчете момента корпуса,
о а
~с ,
у к у к’
выражение (91.1) перепишем в виде
Г=Sq [с“ крав+с* к (ав - ?к)+
+ y-Су г.о (ав“ Dcy ав - + Тэ- Д?кЯ- (92- Ь
Входящие в (92.1) слагаемые должны быть определены по дан-
ным испытания модели или на основании теоретического расчета. Пере-
ходя от подъемной силы У к ее коэффициенту су, для производной с“
получим очевидное выражение
са 4-с“ 4-са ~\-k (1—Dca},
у у кр I у к г уи । £ уг.о' у7’
а для производной с'ук—
Если в первом приближении пренебречь подъемной силой корпуса
и подъемной силой, обусловленной интерференцией крыла и корпуса,
то для оценки производной сук можно воспользоваться приближенным
выражением * 1
С С °
— (94.1)
О пв
£
1 Так как с?в = k СуТлпв, где пв— коэффициент эффективности руля
высоты.
80
Г л. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Управление боковым движением летательного аппарата путем по-
ворота крыльев. Боковую аэродинамическую силу Z, действующую на
летательный аппарат, представим в виде суммы
Z=ZKp+ZK+ZH+ZB.o, (95. 1)
где 2кр — аэродинамическая боковая сила, действующая на крылья;
ZK — аэродинамическая боковая сила корпуса;
ZH — аэродинамическая боковая сила, обусловленная интерферен-
цией крыльев и корпуса;
ZB.O — дополнительная боковая аэродинамическая сила, действую-
щая на вертикальное оперение.
По аналогии с продольным движением боковую аэродинамическую
силу Z, а также боковые моменты ЛД и Му представим как функции
истинного («воздушного») угла скольжения £>в, под которым будем по-
нимать угол между хордой вертикальной пары крыльев и направлением
скорости набегающего потока, и угла <рк — поворота крыльев относи-
тельно корпуса (фиг. 68. 1):
Z = Z(₽B,<pK), МХ=МХ$В, ?к), Л4у=ЛТу(₽Е,Тк).
Пренебрегая малой боковой аэродинамической силой горизонталь-
ной пары крыльев, можно написать
2кр = ^кр(рв)> ZK = ZK(₽B (pit) , ZH = ZH(PB, фк).
Далее, боковая сила, действующая на вертикальное оперение,
Zb.o = в.о (₽в - + D^z кр₽в)-
Таким образом, можно придти к следующему выражению для про-
изводной
' (S6.1)
В первом приближении czK =--—, где пн — коэффициент эффек-
тивности руля направления.
§ 7. Особенности расчета продольных и боковых моментов при повороте крыла 81
Точно так же момент Мх
Мх = Мх кр.г + Мх кр.в + в.оН-Л4.Г Г.О н-
На основании изложенного выше (см. стр. 54) момент горизон-
тальной пары крыльев 1
Жкр.г= — Sql-0,5 asiny(₽B —<рк)= — const а (рв—?к), (97. 1)
а вертикальной пары крыльев —
Л4Х кр.в = S^Z-O,5zCTCy a sin yJB= -[-const apB. (98. 1)
Моменты M„.o и AfXB.o, создаваемые горизонтальным и вертикаль-
ным оперениями, если не учитывать «косую обдувку», соответственно
равны
мх г.о = - const' (a — s) (Рв - срк + Dzc? кррв), (99а. 1)
Л4жв.о= +const'(a-e)(PB-¥K4-Dzc₽KpBB). (996.1)
С учетом (97. I) — (99.1) получим следующее выражение для про-
взводной тхк:
тхК=~т1кр.г + тх\- (100.1)
Наконец, момент Му равен сумме
Л1у=Л1у кр.г~Ь Му кр.в ~г Му K-[-My иЧ-7Ир в.о»
где момент горизонтальной пары крыльев
Л!у кр.г=0,5т? кр(Вв-<рк) $<?/, (101.1)
момент вертикальной пары крыльев
Мукрл=0,5т₽кр₽в^/. (102.1)
Здесь /Дувр — полный коэффициент момента от горизонтальных
и вертикальных (неповоротных) крыльев.
Момент вертикального оперения 2
Мув.0 = ±^5Е.0Лв.0сРв.0(₽в-сРк+адкрРв). (103.1)
Момент корпуса
Му K=Sqlmy к(рв Фк) • (104.1)
На основании выражений (103. 1) —(104. 1) для производной тук
получаем
<к= -0,5^5 кр-ту к+Ч и - ^Л.о^в.о. (Ю5.1)
Если пренебречь небольшими по абсолютной величине производ-
ными /тг£кр и т^я, то получим приближенное выражение для т?к:
тук~ -т₽к-АДв.ос₽во. (106.1)
’ Для нулевой поперечной V-образности (ф=0) при подстановке cv=cay п.
2 Знак плюс относится к обычной схеме, минус — к схеме типа «утка».
6 1824
82
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Некоторые из приведенных в этом параграфе выражений понадо-
бятся (см. гл. VI и IX) при исследовании возмущенного движения ле-
тательных аппаратов с поворотным крылом.
§ 8. МОМЕНТЫ СИЛЫ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЕЙ.
УПРАВЛЕНИЕ ПУТЕМ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА ТЯГИ
И ПРИ ПОМОЩИ ГАЗОВЫХ РУЛЕЙ
Момент силы тяги движителя, установленного на летательном ап-
парате, относительно центра масс летательного аппарата определяется
по известной формуле как произведение силы тяги на 'плечо. Так, мо-
мент силы тяги относительно оси Oz\ (продольный момент тяги) равен
(фиг. 69. 1)
MzP——PyP. (107.1)
Поскольку двигатели обычно расположены на летательном аппа-
рате симметрично относительно плоскости XiOyi, момент силы тяги от-
носительно оси Оу{ равен нулю. Возникновение момента силы тяги от-
носительно оси Оу} возможно лишь в том случае, когда все или часть
Фиг. 69. 1. Момент Mzp силы тяги движителей.
двигателей, расположенных с одной стороны от плоскости Х\Оуъ не
работают (при одностороннем отказе двигателей).
В случае воздушно-реактивных двигателей (ВРД) к величине мо-
мента, определяемой по формуле (107. 1), необходимо добавить момент,
вызываемый тем, что сила тяги направлена не точно, по оси двигателя.
Такой же момент возникает и в случае винтовых двигателей.
У летательного аппарата с ВРД, летящего под некоторым углом
атаки (фиг. 70. 1), на входе в двигатель теряется часть количества дви-
жения, равная
mV sin a—mVti.
Возникающая вследствие этого поперечная сила
YP~mVa.
Так как сила тяги ВРД
P^m(Va—V),
где Va — скорость истечения газов из сопла двигателя, то
а
§ 8. Управление путем изменения вектора тяги и при помощи газовых рулей 83
^Момент этой силы (см. фиг. 70. 1)
р=РхЛ —
V ~~1
(108.1)
В случае винтовых двигателей дополнительный момент рассматри-
ваемого типа вызывается поперечной 'силой, действующей на воздушный
винт при наличии угла атаки в плоскости вращения винта. Этот момент
можно определять по эмпирической формуле
ЛМг P=Q,05xgiD2cyq, (109. 1)
где i — число винтов, D — диаметр воздушного винта.
Наличие продольного момента силы тяги движителя осложняет пи-
лотирование летательного аппарата, так как на разных режимах работы
тяга, а следовательно, и момент получаются различными. Поэтому при
Фиг. 70.1. Поперечная сила на входе в ВРД.
проектировании летательного аппарата стремятся обеспечить возможно
меньший момент силы тяги, располагая двигатели соответствующим
образом.
Выше было отмечено, что при полете на больших высотах, где плот-
ность воздуха мала, аэродинамические органы управления летательным
аппаратом становятся неэффективными. В этом случае для поворота
летательного аппарата вокруг его центра масс и используют силу тяги.
Необходимые моменты можно получить либо поворачивая вспомога-
тельные двигатели, как это показано схематически на фиг. 71. 1, либо
применяя газовые рули — специальные рули, помещаемые в потоке
газа, выходящем из сопла двигателя (фиг. 72. 1).
В первом случае моменты, получающиеся при управлении, равны:
Mz =—Р sin 6ELr.o: Му=—Р sin бнВв.о; Мх——Р sin &в1д, (110. 1)
где Lr.o, LB.O и уZ3 — соответственно плечи вспомогательных двигателей,
выполняющих функции руля высоты, руля направ-
ления и элеронов;
бЕ, бн, бэ — углы отклонения этих двигателей.
Во втором случае моменты газовых рулей равны:
Мг= — cySBqrLr^B;
Му---- ^и^г^в-О^п’
(110а. 1)
где *SB, SH,
бв, бн,
Мх= ~c;SBqrlJ>a,
S3— площади соответствующих рулей;
бэ — углы отклонения рулей;
qT — скоростной напор газовой струи.
6*
84
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
На основании данных, приведенных в гл. Ill [1], получаем следую-
щее выражение для скоростного напора:
_Ос_ Уа Р
Чт 2g Sa 2Sa ’
где Gc — секундный расход топлива и окислителя в кг/сек;
Va — скорость газовой струи в м]сек;
Sn — площадь выходного сечения сопла двигателя в л2.
Фиг. 71.1. Схема управления вспомогательными двигателями.
Помимо моментов, при отклонении газовых рулей изменяется
и подъемная сила, действующая на летательный аппарат. Величину это-
го изменения можно оценить производной
У6
dY
При поворачивающихся вспомогательных двигателях для руля вы-
соты получаем
ySB=Pcos8B (1106.1)
и для руля направления
Z8h = Pcos8h. (НОв.1)
Фиг. 72.1. Схема действия газовых рулей.
В случае газовых рулей для руля высоты
и для руля направления
ДПОг.1)
(110д.1)
Значения с“, необходимые для расчета, определяются по фиг. 1п —4п
приложения для числа Маха газовой струи
kSaPa ’
$ 9. Шарнирные моменты органов управления
85
где ра — давление газа в выходном сечении сопла и k — коэффициент
адиабаты.
Помимо непосредственно управляющих функций, газовые рули
обоих типов могут выполнять также функции стабилизаторов по углам
тангажа, крена и рыскания или увеличивать демпфирующие свойства
летательного аппарата, если в систему управления летательным аппа-
ратом ввести автопилот (подробнее см. ниже), отклоняющий в нужном
направлении газовые рули при случайных возмущениях движения.
В простейшем случае идеального автопилота (т. е. срабатывающего
мгновенно) полное отклонение газового руля равно сумме управляюще-
го угла отклонения 6уп и угла отклонения да, вызванного автопилотом.
Так, например, для газового руля высоты
бв = ^в.уп + бв.а-
§ 9. ШАРНИРНЫЕ МОМЕНТЫ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ
До сих пор мы рассматривали моменты аэродинамических сил,
действующих на летательный аппарат, относительно его центра масс.
Эти моменты определяют характер движения летательного аппарата
относительно центра масс. Кроме моментов относительно центра масс,
при рассмотрении вопросов управляемости летательного аппарата боль-
шую роль играют моменты аэродинамических сил, действующих на орга-
ны управления, относительно оси вращения органов управления. Такие
моменты называют шарнирными, т. е. моментами относительно оси
шарниров, около которых поворачиваются органы управления (руль вы-
соты, руль направления, элероны).
Величина шарнирного момента определяет для пилотируемых само-
летов усилие, которое летчик должен приложить к рычагам управле-
ния: чем больше шарнирный момент, тем больше при прочих равных
условиях и усилие на рычаге управления. Для летательных аппаратов,
управляемых автоматически, от величины шарнирного момента зависит
потребная мощность рулевой машины, приводящей в движение органы
управления.
Обычно органы управления состоят из неподвижной (стабилизато-
ра, киля) и подвижной частей (руля высоты, руля направления, элеро-
нов). Шарнирный момент какого-либо органа управления (руля) можно
представить в виде
А1тп =
где qp— скоростной напор потока, набегающего на орган управления;
5ри6р — соответственно площадь и хорда руля;
тш— коэффициент шарнирного момента руля.
За хорду, к которой относят шарнирный момент, обычно принимают
среднюю геометрическую хорду оперения.
Нетрудно убедиться, что для коэффициента шарнирного момента
справедливо выражение
Шти “ (*Гд Хщ) Ср,
где су — коэффициент аэродинамической силы, действующей на руль;
хд и хш— соответственно координаты центра давления и оси вращения
руля относительно передней кромки средней хорды, отнесен-
ной к средней хорде.
Из приведенного выражения видно, что при прочих равных услови-
ях коэффициент шарнирного момента зависит от положения оси вра-
86
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
щения руля. Если ось вращения расположена приблизительно на перед-
ней кромке руля, то коэффициент тш имеет наибольшее значение; по
мере отодвигания оси вращения назад коэффициент тш по абсолютной
величине уменьшается. Если ось вращения совпадает с центром давле-
ния руля, шарнирный момент получается равным нулю; при еще более
заднем положении оси вращения коэффициент шарнирного момента
изменяет свой знак на обратный (положительный вместо отрицатель-
ного) .
При неизменном значении коэффициента тш шарнирный, момент
возрастает с увеличением скоростного напора qp и размеров руля (Sp
и Ьр). Во избежание получения недопустимо больших шарнирных мо-
ментов при больших скоростных напорах и больших размерах рулей
необходимо уменьшать коэффициент шарнирного момента тш. С этой
целью применяют аэродинамическую компенсацию рулевых поверхно-
стей. Идея аэродинамической компенсации состоит в создании на рулях
управления аэродинамических моментов разного знака, с тем чтобы
суммарный шарнирный момент был небольшим.
Простейшей реализацией этой идеи является смещение оси враще-
ния руля назад по отношению к его передней кромке, как было отмече-
но выше. Это вид аэродинамической компенсации называют осевой ком-
пенсацией.
Аэродинамическую компенсацию можно осуществлять и другими
путями, помимо смещения оси вращения руля. Существует роговая ком-
пенсация, когда рули делают с выступающими впереди оси вращения
закраинами, дающими момент обратного знака по сравнению с моментом,
создаваемым основной частью руля. Применяют также сервокомпенса-
цию; в этом случае на задней части руля устанавливают дополнитель-
ную отклоняющуюся поверхность, как бы маленький руль, кинемати-
чески связанный с основным рулем и неподвижной частью оперения
таким образом, что при отклонении основного руля на некоторый угол
сервокомпенсатор отклоняется на пропорциональный ему угол в обрат-
ную сторону. При этом на заднюю часть основного руля действуют
аэродинамические силы обратного знака, уменьшающие шарнирный
момент руля. Иногда применяют внутреннюю компенсацию (главным
образом на элеронах). По идее внутренняя компенсация близка к осе-
вой; шарнирный момент в обоих случаях уменьшается благодаря мо-
менту аэродинамических сил, действующих на часть поверхности, рас-
положенную впереди оси вращения руля. Однако в отличие от осевой
компенсации эта поверхность помещается в особой пазухе внутри опе-
рения и герметически разобщает верхнюю область пазухи от ее нижней
области, так что вспомогательная поверхность не обтекается потоком
воздуха. На верхнюю поверхность действуют силы давления такие же,
как и на верхней поверхности оперения, а на нижнюю поверхность ком-
пенсатора — силы давления такие же, как на нижней поверхности опе-
рения. Преимуществом внутренней компенсации является то обстоятель-
ство, что компенсатор не вносит никаких возмущений в поток, что осо-
бенно важно при значительных числах М; недостатком внутренней
компенсации является ограничение диапазона отклонения руля. Пере-
численные типы аэродинамической компенсации схематически показаны
на фиг. 73. 1.
Наибольшим распространением пользуется осевая аэродинамиче-
ская компенсация и сервокомпенсация, удобные в практическом осуще-
ствлении и аэродинамически достаточно эффективные. Необходимо
иметь в виду, что сервокомпенсатор снижает эффективность руля, так
§ 9. Шарнирные моменты органов управления
87
как на часть поверхности руля при этом действуют силы обратного зна-
ка, чем это требуется при отклонении руля.
Внутренняя
Фиг. 73. 1. Различные типы аэродинамической компенсации рулей.
Коэффициент шарнирного момента рулей, как и другие аэродина-
мические коэффициенты, находят в результате аэродинамического экспе-
римента, проводимого с моделями рулей. Приближенно оценить коэф-
фициент шарнирного момента можно на основании следующих сообра-
жений.
88
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
В том случае, когда все оперение является вместе с тем и рулем,
положение фокуса оперения совпадает с положением центра давления
оперения. Как уже упоминалось ранее, при дозвуковом обтекании кры-
ла (или оперения) фокус располагается вблизи V4—1/з средней аэроди-
намической хорды крыла (оперения). При сверхзвуковом обтекании
крыла фокус смещается к задней кромке крыла приблизительно на
*/г САХ. При неизменном положении оси вращения оперения и при от-
сутствии перекомпенсации на малых числах М можно ожидать поэтому
значительного возрастания (по абсолютной величине) коэффициента
шарнирного момента при переходе от дозвуковых к сверхзвуковым ско-
ростям полета.
Так как мы условились относить шарнирный момент к средней гео-
метрической хорде оперения, то необходимо перейти от координаты
фокуса относительно САХ к координате относительно средней геомет-
рической хорды. Формула для пересчета, вывод которой опускается,
имеет вид
3 L (1 +ч)2 J 12 1 +7]
(Ш.1)
Здесь хл = ——координата фокуса относительно передней кромки
«ср
средней хорды, отнесенная к величине средней хорды;
хЛ а——координата фокуса относительно САХ, отнесенная к САХ;
т] и Л имеют прежний смысл.
Зная геометрические параметры оперения и величину хд.а, по фор-
муле (Ш.1) нетрудно найти величину хд, а затем и коэффициент шар-
нирного момента. Как уже было указано, для дозвуковых чисел М мож-
но принимать хд.а=0,254-0,33, а в среднем для большинства крыльев
тд.а--0,32. Координату хд для сверхзвуковых чисел М можно определять
по фиг. 7п—10п приложения, построенным на основании теоретических
расчетов [3]. Значения производной с“ определяются по фиг. 1п—4п.
В качестве примера на фиг. 74. 1 приведены результаты расчета по
приведенным формулам коэффициента тш для оперения треугольной
формы в плане (Л=4) с удлинением Х=2. Положение оси вращения
оперения принято на 8,3% средней геометрической хорды от ее носка.
Как видно из фиг. 74. 1, коэффициент шарнирного момента при переходе
через скорость звука существенно растет. Теория не позволяет найти тш
в непосредственной близости к М=1; поэтому на фиг. 74.1 пунктиром
показан вероятный характер протекания кривой в этой области чисел
Маха.
Если оперение состоит из неподвижной части—стабилизатора
(киля) и подвижного руля, то коэффициент шарнирного момента зави-
сит от двух углов: угла атаки оперения и угла отклонения руля. При
дозвуковом обтекании оперения коэффициент тш можно определять по
эмпирической формуле
. (112.1)
Wm==mL«on + <8on,
где
т“ ,=
°оп \
—0,14 р —6,5
+ 0,017^-1/
•р] 5,01,1
3/2 |
I С*
I у оп
5 л...
(113.1)
1
£ 9. Шарнирные моменты органов управления
89
В формулах (113.1) приняты следующие обозначения:
Sp — площадь руля;
Son — площадь оперения (включая руль);
S0.k — площадь осевой компенсации;
SCK — площадь сервокомпенсации;
Ьск—хорда сервокомпенсатора;
/гск — коэффициент, учитывающий отношение между углами откло-
нения сервокомпенсатора и руля: kCK=—- — .
ДВр
При переходе к сверхзвуковому обтеканию оперения, как и в слу-
чае целиком поворотного оперения, коэффициент шарнирного момента
руля резко увеличивается по абсолютной величине. При сверхзвуковом
обтекании руля коэффициенты т"ц и т!ш получаются одинаковыми
и равными:
2
КМ2—1
(114.1)
Так, например, если относительная площадь руля равна — = 0,4, а
•Son
£
относительная величина осевой компенсации -5^=0,23 и оперение —
•Sp
треугольной формы в плане (X=2), то по приведенным формулам полу-
чим для М=0,5
т^= —0,0193, /га8ш= -0,0940,
а для М=2,0
-°,623,
т. е. значительно большую величину.
Аэродинамическая перекомпенсация рулей недопустима, если
управление осуществляется летчиком. При наличии перекомпенсации
усилия на рычагах управления по знаку не совпадают с отклонениями
90
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
рулей. При отклонении, например, руля высоты вниз (ручка управления
«от себя») в случае перекомпенсации летчику, вместо того чтобы отжи-
мать ручку управления, приходится удерживать ручку, которая сама
будет стремиться отклоняться вниз. В этом случае управление самоле-
том очень осложняется и становится даже опасным; поэтому переком-
пенсация рулей крайне нежелательна.
При правильно подобранной величине аэродинамической компен-
сации рулей шарнирный момент рулей не становится равным нулю,
а только уменьшается. При длительном же полете на каком-либо
режиме даже небольшое постоянное усилие, прикладываемое к рычагам
Триммер
Фиг. 75.1. Применение триммера иа рулях высоты.
управления, утомляет летчика. Точно так же на автоматически управ-
ляемом летательном аппарате, длительное время летящем на неизмен-
ном режиме, нежелательно постоянно держать рулевую машину под на-
пряжением. Поэтому для получения нулевого шарнирного момента ча-
сто применяют триммеры.
Триммер представляет собой вспомогательную рулевую поверх-
ность, устанавливаемую в задней части руля так же, как и сервоком-
пенсатор, но не связанную кинематически с отклонением руля. Тримме-
ром управляют отдельными командами. Для получения нулевого шар-
нирного момента на каком-либо режиме полета, которому соответству-
ет, например, отклонение руля высоты вверх на отрицательный угол,
триммер надо отклонить вниз (фиг. 75. 1) на такой угол, чтобы суммар-
ный шарнирный момент стал равен нулю. Если на некотором режиме
полета триммер отклонен на определенный угол, так что на этом режиме
шарнирный момент равен нулю, и в дальнейшем положение триммера
не изменяется, то на других режимах полета шарнирный момент руля
получится не равным нулю.
В заключение напомним, что все приведенные выше количественные
данные надо рассматривать как ориентировочные. Точный материал,
необходимый для расчета, можно получить лишь из эксперимента в аэ-
родинамических трубах или в полете.
§ 10. МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА КОСМИЧЕСКИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
В этом параграфе в кратких чертах рассмотрен вопрос о моментах,
действующих на летательные аппараты, совершающие полет в разре-
женных слоях атмосферы или за пределами атмосферы, т. е. на высотах,
превышающих 100—200 км.
Аэродинамический момент. Так как плотность воздуха при увели-
чении высоты полета быстро убывает (приблизительно по экспоненци-
jj? 10. Моменты сил, действующих на космические летательные аппараты 91
альному закону), а скорость полета ограничена, то скоростной напор
QV2
на больших высотах получается очень малым. Аэродинамиче-
ские силы на таких высотах также малы, что и являлось основанием
для пренебрежения ('см. [1]) аэродинамическими силами на высотах
более 100 км. При исследовании движения летательного аппарата
на больших высотах вокруг центра масс, однако, роль даже небольшого
аэродинамического момента может оказаться значительной, так как мо-
менты всех других сил на таких высотах также получаются весьма
малыми.
При 7/^100-е-200 км, как было отмечено в [1], можно исходить
для определения аэродинамических сил из ньютоновской схемы течения,
согласно которой аэродинамическая сила нормальна к поверхности
тела и по величине равна потерянной составляющей количества движе-
кия; так, сила, действующая в плоскости симметрии летательного
аппарата,
7?а=Seisin a cos р.
Эта сила /?а, приложенная в геометрическом центре поверхности
летательного аппарата, даст относительно центра масс момент
Л1г a=/?aZ=Sg V2sin a cos р/, (115.1)
где I — плечо действия силы /?а относительно центра масс летательного
аппарата.
Для небольших углов атаки и скольжения синусы можно заменить
дугами, а косинусы — единицами. Тогда для продольного момента по-
лучим
Mza^2Sl^-a=2Slqa. (116.1)
Аналогичные выражения справедливы и для моментов Мха и Муа;
надо только вместо площади S при виде в плане подставить площадь
боковой проекции (при определении Mv) и соответствующие плечи.
Пусть, например, S=5 jh2, расстояние от центра масс до центра дав-
ления 7=0,3 м, угол атаки а=10р=О,175 рад и скорость полета V—
= 7800 м/сек.
На высоте Н = 200 км имеем р=4,5-10~и кГ-секРм-4 —
=44,15-10-" кг/м3, q = 0,0014 «Г/лг2=0,0137 н/м3, Л12а=7,3-10" кГ м=
=71,61 • 10" нм. На больших высотах аэродинамический момент полу-
чается еще во много раз меньшим; обычно при Н>500 км моментом
аэродинамических сил пренебрегают.
Момент гравитационных сил. Этот момент, также весьма малый
по абсолютной величине, связан с градиентом гравитационного поля
(с изменением сил тяготения при изменении расстояния от рассматри-
ваемых точек тела до центра тяготения).
Пусть (фиг. 76.1) центр масс некоторого тела находится на рас-
стоянии г от центра притяжения (от центра Земли). Обозначим векто-
ры, определяющие положение какой-либо точки i тела относительно его
центра масс, через щ.
Тогда вектор момента гравитационных сил относительно центра
масс тела
(П7Л)
где знак S суммирования распространяется на все точки тела;
Gi — вектор гравитационной силы (силы тяготения).
92
Г л. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
Поместим в центре масс тела начало координат О системы Ox0y0z0.
Ось Oxq поместим в мгновенной плоскости большого круга, ось Оу0—
вдоль радиуса Земли, ось Ozq — по перпендикуляру к мгновенной
плоскости большого круга (мгновенной орбитальной плоскости) и ось
Ох0 так, чтобы система была правой.
Так как ускорение силы тяготения обратно пропорционально квад-
рату расстояния от притягивающего центра до какой-либо точки тела,
то, обозначив через g ускорение тяготения на поверхности земного
шара, для вектора силы тяготения, действующей на какую-либо точку
тела с массой тг- на расстоянии от центра тяготения, получим
— г2. 7/ г2 _ _ _
G. = - g -у mi — = - g mt (rlxi04 r/y/0 + rt A), (118.1)
ri ri ri
где rix, riy, riz — проекции вектора г, на оси принятой системы коорди-
нат; io, jo,k0 —единичные векторы (орты) (краткие сведения о векторах
приведены в гл. V).
В силу того, что ось Оу0 направлена вдоль г, а г; = г+р, имеем
Ггу —Г Уой 1"iz~Zoi.
Квадрат расстояния точки i от центра притяжения
г?=Лог+2:о« + г2 + 2гУо(=е? + г2 + 2гУор
Так как расстояния q от центра масс до какой-либо точки тела зна-
чительно меньше расстояния г от центра масс тела до центра притяже-
ния, предыдущее выражение без большой погрешности можно Заменить
следующим:
г2=г2+2гу0/ = г2(1+2^.
По этой же причине
J 10. Моменты сил, действующих на космические летательные аппараты 93
Подставив полученные выражения в (117.1), придем к следующему
выражению вектора гравитационного момента:
х[х0/7+(г+уш)7+^.А]. (119.1)
Представляя радиус-вектор g{ точек тела относительно начала ко-
ординат (центра масс тела) в виде
6/=хо/г + Уо/7' +
приняв во внимание, что 2 Лог — 2 = так как на-
чало координат помещено в центре масс тела, после перемножения
векторов получим
— г1 _ _
+'ГР = 3g У ^у01. (x0lk0 -zoiio).
Так как центробежные моменты инерции равны:
fxy=2 т1хо‘Уо^
то выражение для вектора момента гравитационных сил можно пере-
писать в виде
— г2
^rp=3^-|-[/x/()-/y?0]. (120.1)
Введем теперь еще одну систему координат Oxyz с началом в цент-
ре масс и с осями, направленными вдоль главных осей инерции тела;
очевидно, система координат Oxyz будет повернута относительно систе-
мы координат Ox0y0ZQ.
Направляющими косинусами для перехода от одной системы коор-
динат к другой будут скалярные произведения ортов: (ГГо), (г/о),
(г k0) и т. д.
В новой системе координат Oxyz радиус-вектор q, равен
Qi^Xti+yJ+z^. (121.1)
Вектор
n = r + Qi.
Таким образом, произведение, входящее в формулу (119.1),
Qi Xrl=Ql x(r+e/)=Q/ Xr.
Вектор г центра масс тела относительно центра Земли в системе
координат OxGyaz0
r=rj0.
Так’ как
7о= (/0Ш+ (/о/)/ +|(/о^) k,
то в системе координат Oxyz этот вектор выражается формулой
r=r[(joi)i+(707)7+ (jotyk].
Наконец,
Уы = Хг (joi)-\-yi (707) +2г (/о^)-
94
Гл. I. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
При перемножении векторов Qi и г примем во внимание, что вслед-
ствие того, что начало координат системы расположено в центре масс,
V mixi mizi =°.
а в силу того, что оси координат совпадают с главными осями инерции,
2 т‘х1 у<=2 miXiZi= °-
Из выражения осевых моментов инерции
Jy=^mi (*? + *?)•
следует:
Имея в виду все сделанные замечания, приходим к следующим вы-
ражениям скалярных проекций вектора гравитационного момента
Л/гр на оси Ох, Оу, Oz, совпадающие с главными осями инерции тела:
Л1хгр^ЗШ2(7о*)(7о7)(/г-/у), (122.1)
^угР=з^(70оао^)(Л-^), (123.1)
А1ггр=з<и2(70Г)07/)(/у-/х). (124.1)
В этих формулах
2
^77—2
представляет собой квадрат орбитальной скорости тела.
Момент гравитационных сил, как и аэродинамический момент, по-
лучается небольшим на достаточно больших высотах полета. Расчеты
показывают, что при высоте полета порядка Я=200 км аэродинамиче-
ский и гравитационный моменты получаются соизмеримыми по абсо-
лютной величине. На больших высотах, аэродинамический момент быст-
ро уменьшается и основную роль начинает играть гравитационный
момент.
Момент от давления солнечных лучей. Давление солнечных лучей
зависит от отражательной способности поверхности и обратно пропор-
ционально квадрату расстояния от Солнца. Для сравнительнб неболь-
ших высот полета солнечное давление можно считать
Рс.д=4,4-10-7 кГ/л12=43,16 • 10~7 н/м2.
Момент от солнечного давления, действующий на летательный
аппарат,
•Мс.Д=Рс.д5/с.Д> (125.1)
где S — облучаемая поверхность летательного аппарата;
$ 10. Моменты, сил, действующих на космические летательные аппараты 95
/с.д— расстояние от центра масс летательного аппарата до центра
давления.
Момент от солнечного давления значительно меньше гравитацион-
ного момента при относительно небольших высотах полета.
Для качественной оценки роли аэродинамического, гравитационно-
го моментов и момента от давления Солнца приведена таблица. Геомет-
рические размеры тела взяты такими, как указано выше на стр. 91.
Высота полета в км
Аэродинамический момент
в н-м
Момент от солнечного
давления в н-м
Гравитационный момент
в н-м
200
71,61-10-4
68,67-10—7
34,33-10-4
300
13,73-10-8
68,67-10—7
34,33-10-4
При расчете гравитационного момента предполагается, что
(1У—7х)=5ОО кГ м/сек2=4905 кг-м2.
Кроме этих моментов, на космический летательный аппарат дейст-
вуют моменты, обусловленные тем, что полет происходит в магнитном
и электрическом полях. Эти моменты еще мало изучены, а величина их
при не слишком больших высотах полета очень невелика. В первом при-
ближении этими моментами можно пренебрегать.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
КАК ТЕЛА ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА
§ 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Приступая к изучению динамики полета, мы отметили (см. [1]),
что летательный аппарат надо рассматривать как тело переменного со-
става. Было показано, что уравнения движения тела переменного
состава формально совпадают с уравнениями движения тела постоян-
ного состава—твердого тела. Необходимо только при составлении
уравнений к внешним силам, действующим на летательный аппарат,
добавить реактивную силу тяги двигателя, а массу и моменты инерции
летательного аппарата рассматривать как функции времени, определяе-
мые расходом топлива с течением времени.
Будем считать пока оболочку (контур) летательного аппарата абсо-
лютно жесткой, пренебрегая сравнительно небольшими деформациями
конструкции; вопрос о влиянии деформаций конструкции летательного
аппарата на его устойчивость и управляемость рассмотрен в гл. XI.
Примем также, что положение главных осей инерции летательного
аппарата относительно его контура в течение рассматриваемого проме-
жутка времени не изменяется.
В [1] были получены1 * * уравнения движения тела переменного соста-
ва в прямоугольной системе координат, начало которой помещено
в центре масс тела, а оси совпадают с главными осями инерции тела;
эти уравнения имеют вид
m (Kri + - Vyil^i) = ^P (1 2)
m (Vyl + 1/л1о>г1 - V21<Bxi)=ri; (2.2)
m (Vzl + - Vx^yl)=Zx, (3.2)
+ = (4-2)
Vyi + (Л — Л) =Afyi; (5.2)
+ (7y - 7 J wxl“yl = Mz\- (6- 2)
1 В предположении, что скоростью перемещения центра масс относительно обо-
лочки тела можно пренебрегать; эта скорость в дальнейшем принимается во внимание
лишь при определении демпфирующих моментов Му и Mi (см. гл. I).
1. Уравнения движения в общем случае
97
В уравнениях (1.2) — (6.2) приняты следующие обозначения:
т и 1Х, 1У, Iz— соответственно масса и моменты инерции тела отно-
сительно главных осей инерции; как было отмечено, масса и моменты
инерции в общем случае являются функциями времени t;
Vxi, Vyi, Vzi — составляющие вектора скорости движения тела V
по осям координат;
(Oxi, G>t/i, (Ozi — составляющие вектора угловой скорости со враще-
ния тела по осям координат;
Х1г Уь Zi — проекции равнодействующей внешних сил, действую-
щих на тело, на соответствующие оси координат;
МХ[, Му1, MZ1— момент внешних сил, действующих на тело, относи-
тельно соответствующих осей координат.
В число внешних сил, действующих на летательный аппарат,
надо включить и реактивную силу тяги движителя, установленного на
летательном аппарате.
Положение связанной системы координат относительно местных
горизонтальной и вертикальной плоскостей определяется (см. [1]) тре-
мя эйлеровыми углами: углом тангажа й, углом крена у и углом рыска-
ния ф. Напомним, что углом тангажа называют угол между связанной
осью Oxi и местной горизонтальной плоскостью, углом крена — угол
между плоскостью симметрии летательного аппарата и местной верти-
кальной плоскостью, содержащей ось Охь и углом рыскания — угол
между проекцией связанной оси Охх на горизонтальную плоскость
и некоторым направлением, условно принятым за начальное.
Между углами й, у и ф, с одной стороны, и угловыми скоростями
<oxi, «М, ©zi — с другой, существуют следующие, выведенные в [1] кине-
матические связи:
«х1=у+ф sinO; (7.2)
©1д=фсо5йсо5у4-й8П1у; (8.2)
<в21=й cos у—ф cos й sin у. (9. 2)
Уравнения движения (1.2)—(6.2) составлены в инерциальной си-
стеме отсчета; другими словами, перемещение в пространстве осей ко-
ординат, связанных с телом (с летательным аппаратом), рассматри-
вается в предположении, что Земля не вращается и что поверхность
Земли — плоская. В действительности, как было отмечено в [1], система
отсчета, связанная с Землей, не является инерциальной по двум при-
чинам.
Во-первых, вследствие кривизны земной поверхности местные гори-
зонтальная и вертикальная плоскости изменяют свое положение в про-
странстве относительно инерциальной системы координат. За такую
инерциальную систему координат для целей, которые мы ставим в этой
книге, можно принять [1] систему координат, начало которой помещено
в центре земного шара, ось О0уо направлена вдоль оси вращения Земли,
оси О0х0 и O0z0 неподвижны в пространстве (фиг. 1.2).
Во-вторых, вследствие суточного вращения Земли система связан-
ных с летательным аппаратом осей координат также поворачивается
в пространстве относительно инерциальной системы координат.
Из курса механики известно, что уравнения движения твердого
тела в неинерциальной системе координат имеют тот же вид, что и урав-
нения движения в инерциальной системе координат (1.2) — (6.2), если
к внешним силам, действующим на тело, добавить силы инерции, свя-
7 1824
98
Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
занные с центростремительным и поворотным (кориолисовым) уско-
рением.
Таким образом, к внешним силам и моментам в правых частях
уравнений (1.2)—(6.2) надо добавить силы инерции и моменты этих
сил относительно центра масс тела.
Суточное вращение Земли приводит к необходимости ввести в урав-
нения движения центробежную силу инерции
Rc=m (rs + Н) <о2 cos о,
перпендикулярную оси Ору0 вращения Земли.
Здесь со3 — угловая скорость суточного вращения Земли;
г3 — радиус земного шара;
Н — высота полета над уровнем моря;
а—угол географической широты.
Проектируя эту силу на оси земной системы координат (ось Oxg
направлена по касательной к параллели на восток, ось Oyg — по про-
должению радиуса земного шара, ось Ozg образует правую систему ко-
ординат, см. фиг. 4.2), получим
^=0;
А*с yg=Rc COS о (rs + /7) u>2 COS2 a;
Rc zg == Rc sin о=m (r3 4- H) a>2 sin a cos o.
(Ю.2)
Перейти от земной к связанной системе координат можно при по-
мощи направляющих косинусов, приведенных в [1]. Направляющие ко-
синусы в форме, удобной для наших целей, приведены в табл. 1.2; для
сокращения письма эти направляющие косинусы будем обозначать
в соответствии с табл. 2.2.
Таблица 1.2
Скоростные оси
Ох Оу Oz
Охг sin в sin в + cos 6 sin 8 — — cos в sin (ф — x)
+ cos 6 cos в cos (ф — х) — sin 6 cos & cos (ф — x)
Oyi cos в sin у sin (ф — х) + — sin в sin у sin (ф—x)+ sin у cos (ф — x) +
1. Уравнения движения в общем случае
99
Продолжение
Ох Oy Oz
4- sin в cos & cos у — — cos 9 sin 8 cos y X X cos(ip —x) 4- cos 0 cos 8 cos у 4- 4- sin 0 sin 8 cos y X X cos (<p — x) 4- sin 8 cos y sin (ip —x)
0гх cos в sin $ sin y X — sin 0 sin 8 sin y X cos у cos (ip —x)“
X cos (ip — x)“ — sin0cos8sinY 4- 4- cos 0 cos y sin (ip — x) X cos (<p — x) — — cos 0 cos & sin y — — sin 0 cos y sin (ip — x) Земные оси — sin 8 sin у sin (<p — x)
Ox^ Oyg Ozg
Oxi. cos 8 cos ip sin 8 — cos 8 sin ip
Оу] sin ip sin y — — sin8 cos ip cos y cos 8 cos y cos <p sin y 4- 4- sin 8 sin ip cos у
Ozx sin 8 cos <p sin y 4- 4- sin <p cos y Пс — cos 8 sin y (лусвязанные оси cosip cos у — — sin 8 sin<p sin у
Ox' оу Oz'
Oxi cos a sin a 0
Oyi — sin a cos a 0
Ozi 0 c 0 жоростные оси 1
Ox Оу Oz
Oxi cos a cos p sin a cos Yc + 4- cos a sinpsin Yc sin a sin Yc — — cos a sin p cos Yc
Oyj — sin a cos p cos a cos Yc — — sin a sin p sin Yc sin a sin p cos Yc 4- 4- cos a sin Yc
0*1 sin p — cosp sin Yc cospcos Yc.
Таблица 2.2
Оси Ox Oy Oz
Oxi 4 4
Oyi £2 ®2 X-2
Ozx e3 ^3
7*
100 Гл. II. У равнения движения аппарата как тела переменного состава
Таким образом, для проекций центробежной силы, связанной с су-
точным вращением Земли, на оси связанной системы координат полу-
чим следующие выражения:
Rc Jrt — у/1 + Re zg ^1’
Rc yl~Rc yg^2 4~ Rc zg ^2’
Rczl~Rc yg§3 + Rc zg\-
(И.2)
После подстановки выражений направляющих косинусов по
табл. 1.2 получим
Rcx\=m (r3+Н) cos с (cos с sin & — sin a cos & sin ф); (12.2)
Rc yl — m (r3 + ^0 “з cos ° [cos C cos & COS Y +
-}- sin a (cos ф sin у -|- sin & sin ф cos y)]; (13.2)
Rc 2i==^ (r3cos c [ — cos a cos 9 sin у-f-
+ sin a (cos фcos y — sin & sin ф sin y)]. (14.2)
Фиг. 2.2. К определению составляющих
угловой скорости <Вз в земной системе
координат.
Проекции на связанные оси координат кориолисовых сил инерции,
как известно из механики, равны:
Rkxi — 2m (1/у1<о3 г1 Иг1о>3 у1);
/?ку1=2т(1/ло>ЗЛ1 К^зя);
RK zi—2т (Vx^3 yi — lZyi0)3 jfl). ,
(15.2)
Из фиг. 2.2 следует, что проекции угловой скорости &>3 суточного
вращения Земли на оси земной системы координат равны:
OW=0'
0)3yg=0)3Sin°;
%гг== —% COS а.
$ 1. Уравнения движения в общем случае
101
Переходя при помощи табл. 1.2 к связанной системе координат,
найдем
“з л-1=% (sin ° sin & cos ° cos ® sin Ф);
% y i=o)3 [sin c cos & cos у — cos c (cos <p sin у+
-[- sin & simp cosy)];
co3 Л = — o>3 [sin a cos & siny 4- cos о (cos <p cos у —
— sin & simp sin y)].
(16.2)
Кривизна земной поверхности приводит к появлению центробежной
силы. Из механики известно, что вместо того, чтобы вводить в правые
части уравнений проекции
этой центробежной силы,
можно в левых частях урав-
нений движения ввести пол-
Фиг. 3.2. К определению составляющих угло- Фиг. 4. 2. Земная система координат,
вой скорости со * в земной системе координат.
ные угловые скорости, учитывающие поворот местных горизонтальной
и вертикальной плоскостей, обусловленный кривизной земной поверх-
ности. Найдем эти полные угловые скорости.
Проекции вектора со* угловой скорости, обусловленной кривизной
земной поверхности, на оси земной системы координат (см. фиг. 3.2
и 4.2) равны:
(17.2)
102
Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
Переходя к проекциям вектора угловой скорости &>* на связанные
оси координат, воспользовавшись табл. 1.2, получим
"£1 ~ г i ~Н ~ ^21 (е*Хз — + “у А =
• з » **
sin у + cos у .
=--------7~7i--------cos &+*sin :
“у1 ~ Г+~Н ^Х1 (е^2 ~ ^г1 3 ~ ^2 “
Vjei cos 8 sin у+ Vzi sinS । » Л . О®’2)
=------—-------- - 1-------P<0* cos & sin у;
ra + H ys
W*1= , w I ^X1 (£?'3 — езМ + ^yl (S2*3 — езМ] + °^g^3 —
' 3 “Г **
Vyi sin t> — Vxl cos ft sin у
—--------------------------o>* „ cos & sin y.
r3 + H у«
Полные составляющие угловой скорости с учетом кривизны земной
поверхности найдем, сложив выражения (7.2)— (9.2) и выраже-
ния (18.2):
, . у . n , vyl sin у + Кя cos у
wxin = V + (Ф + %, >1П&-|----------- - -COS&;
г 3 i
Ь . I /•. I * У «у Vjd cos & sin у+V2j sin & j ,.Q
ioyln = &siny4- (Ф+<0yg) cos & cosy--------— ---------; } (19-^)
гз + “
. . , „ , Vyisinfi — Vricos&siny
^In=8 cos у - (Ф+o>; ) cos & sin у +-------—-----------.
>s Г3 +H
Угол рыскания гр, входящий в эти выражения, отсчитывается от те-
кущего положения земной оси Oxg; для того чтобы перейти к полной
угловой скорости гра относительно неизменного в пространстве направ-
ления, надд суммировать гр и угловую скорость поворота земной
оси Oxg, так что
Фа=Ф~Ь“у₽- (20.2)
Имея это в виду, составляющие угловой скорости с учетом кривиз-
ны земной поверхности представим в виде сумм угловых скоростей для
плоской поверхности Земли и дополнительных угловых скоростей, об-
условленных кривизной земной поверхности:
где
шх1п — “xj + ^Kpxi;
“yin=“yi + 0)Kpj/i; •
Юг1 П==в)г1 + ®крг1» •
wyl = &sin y-|-<pacos$cos у;
wzl —&cos у—<p„cos&siny,
. (21.2)
(22.2)
$ 1. Уравнения движения в общем случае
103
и дополнительные угловые скорости, обусловленные кривизной земной
поверхности:
о>кР xi =----sin V + Vzicos Y)sin
Г „ -4— Г7 *
WKp у 1-
----(VX1 cos 8- sin у -J" Kzisin
(23.2)
<oKPzi =--------Ц— (Vyl sin 8 — cos 8 sin у).
Перенеся силы инерции из правой части уравнений движения в ле-
вые их части, имея в виду приведенные выше выражения, получим сле-
дующие выражения для составляющих абсолютного ускорения W (отно-
сительно инерциальной системы отсчета) тела:
^Х1 — Кг1 + Kjl (0>у1 + 0)Кр У1) — ^yl (“zl + “крг! ) +
+ 2 ( V21<о3 yl — Vyl(fl3 21) — о>2 (г3 + И) cos a (cos a sin 8 —
— sin а cos 8 sin ф);
yl — *Zyl + Kid (“zl + 0)Kpzl ) — И21 (®X1 + ®кр xl) + 2 (Vxl(03 г1 —
—- VZ1 % Xi) — <*>g (r3 + //) COS a [cos O COS 8 COS у 4"
-[- sin a (cos ф sin у 4~ sin 8 sin ф cos y)];
(24. 2)
zl — K21 4“ ^yl (“xl + “кр xl) — Kd (“yl4~ “кр у 1) 4“ 2 ( ^у10)3 xl —
— УХ1шз yl)—®з (гз+^)cos 01—cos ° cos ftsin у 4-
4- sin a (cos ф cos у — sin 8 sin ф sin y)].
Обозначив через Уь Z\ проекции равнодействующей внешних
сил, действующих на летательный аппарат, на оси связанной системы
координат, придем к следующим уравнениям равновесия сил в связан-
ной системе координат:
m^xl— т (^х1“Р ^г1(“у14"“кру1) — ^/yi(<B214"<fiKPzl)4~
+ 2 ( Цг1“з yl — Иу10)3 г1) — <«2 (r3 4- H) COS a (COS a Sin 8 —
—sin о cos 8 sin ф)]=AT); (25.2)
m^yi—m {Vyl 4- VX1 (o>2i 4- wKp zi) — Kzi (<o2i 4" “кр *i) 4~
+ 2 (Kd“s zl — Vzl“s xl) ~ “з (rs 4- #) COS a [cos a cos & COS у -ф-
4- sin a (cos ф sin у 4- sin 8 sin ф cos y)]} = (26.2)
m^zl — m fS zl + yl (“xl 4- “кр Xl) — (coyl 4- 0>кр у 1) 4"
+ 2Ч ^у1“з xl - ^xl^s yl) - °>3 (r3 4- H) COS a [ — cos a cos & sin у 4-
4- sin c (cos ф cos у — sin & sin ф sin y)]} = Zj. (27.2)
Составим теперь уравнения равновесия моментов, действующих на
летательный аппарат, в связанной системе координат.
Рассмотрим два последовательных положения осей связанной си-
стемы координат в момент времени t и близкий к нему момент времени
Л = ^4“Д^ (фиг. 5.2).
104
Г л. II. Уравнения движения аппарата как. тела переменного состава
Положение осей координат, соответствующее моменту времени t\,
можно получить из положения, соответствующего моменту времени t,
осуществив последовательно повороты вокруг осей Oxi, Oyi, Oz{ подоб-
но тому, как это было сделано в [1] и как это делают при выводе урав-
нений движения твердого тела в инерциальной системе координат.
Фиг. 5.2. Положение осей связанной системы координат и вектора G
момента количества движения в моменты времени t и ti=t+Kt.
Осуществляя поворот вокруг оси Oxi (фиг. 6.2), получаем следую-
щие проекции вектора момента количества движения G', соответствую-
щего моменту времени 6:
ОУ1=О 'Cos(uxh.t) — G sin (о>х&I) G ' —G ]
yl zl yl zl
G'zi— G 'cos(<flxд^)4~О 'sin(<охд/)«Q --{-O'-<охд^; I
zl yl zl yl |
Gxi = G''.
xl )
(28.2)
Здесь через G , G • и G • обозначены проекции вектора G' на про-
xl yl zl
межуточные направления1 осей координат связанной системы Ох', Оу',
Oz'.
Далее, при повороте вокруг оси Оу' (фиг. 7.2) получим
G > -X.G " G "«> ,д/;
xl JC1 zl у
G • — О -;
yl yl
(29.2)
G • ~G " — G »ю л/,
zl zl Xl
1 Положение оси Ох{ совпадает с положением оси Ох^
£ 1. Уравнения движения в общем случае
105
Наконец, в результате третьего поворота вокруг оси Oz\ (фиг. 8.2)
будем иметь
G- ^G'xut— G - <о
л-1 yl1*
G "«sOyUj-l- Gxit^z&t;
yi
G - = Gzut.
zl
(30.2)
Исключим из уравнений (28.2) — (30.2) промежуточные величины,
с тем чтобы получить выражения проекций 0^,0^ и G'zl через оконча-
тельные значения проекций вектора G' н*а положение осей координат
Охц, Оуц, Ozu в момент времени ti. В результате получим следующие
выражения искомых проекций век-
тора G':
G’xi = Gxut + — Gy iZlo)2);
Gy i = Gy и, 4- Д/ (G^it,w2 — Gzit.^J;
Од=Gzit, + Д/ (Gy —Gxit^y).
(31.2)
Составляющие угловой скоро-
сти сое поворота летательного аппа-
рата относительно инерциальной си-
стемы отсчета по связанным осям
координат:
“xlc = “xl + 0)кр Х1 + 0)3 Х1 ’
“ylc = “у 1 ~Г“кр у 1 + О)3 у!»
“zlc = “zl + 0)кр zl + “з zl ’
где (0x1, cOj/1, (Ozi — составляющие Фиг. 6.2. Поворот вокруг оси Охъ
угловой скорости поворота летатель-
ного аппарата относительно связанной системы координат;
со.крхь ©Kpi/i, <oKpzi — составляющие угловой скорости поворота
связанной системы координат, обусловленные
кривизной земной поверхности;
(0.3x1, (Озуь (o3zi — составляющие угловой скорости поворота
связанной системы координат, обусловленные
вращением Земли. Выражения составляющих
(0цР и (Оз получены выше.
Составляющие вектора момента количества движения по осям свя-
занной системы координат в момент времени t равны:
^Xl ^х“с Х1 > 1 ^у“с yl> ^Z1 ^z“c Z1
или
@xl — ^х(“х1 + “кр Х1 + “з Х1);
Gyl “ (“у 1 + “кр yl + % yl);
^zl — Ig (“zl + “кр zl + “з Zl)-
(32.2)
106
Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
В момент времени = составляющие вектора момента коли-
чества движения
или
Gxltt — Iх (“х1с + Д“х1с)> Gy и, — Iу (“у 1с “F Д“у1с),
Ог«, = /,(“йс + Д“г1с)
Схщ — Iх (“xl + Д“х1 + “кр Х1 + Д“кр Х1 + % Х1 4* Д“з xl)>’
Gy И, = /у (юу1 + Д^у! + <0кр у1 + Д%р у! + “3 у1 + Д“з у1)‘>
Оги, — Iг (“zl + Д“г1 + “кр Л + Д“кр г1 + “з zl + Д“3 zl)-
(33.2)
Фиг. 7.2. Поворот вокруг оси Оу\. Фиг. 8.2. Поворот вокруг оси 0гг
Теперь можно найти приращения проекций вектора момента коли-
чества движения на оси связанной системы координат за время At
Имея в виду выражения (31.2)—(33.2), получим
ДОХ1 = Oxi —Ох1 = 1х (Дозх1 + Д<0кр Х1 -}- Дш3 х1)
+ Д * \Jz (“zl + Д“г1 + “кр zl + Д“кр zl + “з zl + Д“з zl) х
X (Wyl -|- 0)Kp yl + % yl) — I у (“yl + Д<Uyl + “Kp yl + Д“кр yl +
+ “syl + Д“з у 1) (“zl + “кр zl + “з zl)]
или, сохраняя только малые первого порядка (считая Д/, Д<оЖ1, Д&>Крх1,
Д(03х1 и т. д. малыми),
AGX1 = 1Х (Дшл1 + Д“кр Х1 + Д“з Х1) + ДЧЛ (“zl + “кр Z1 +
+ “з zl) (“yl + “кр yl + “з yl) — 1 у (“yl + “кр yl + “з yl) (“zl + “кр zl "Г
"Ь “з Z1)] = х (Д“х1 + Д“кр Х1 + Д“з Х1) + Uz ~ у) (“zl + “кр ztl + “з zl)X
X («yl + “кр yl + “з yl)-
Точно так же
Д^у1 — /у (До)у1 Д0)кр у1 + Д“3 yl) +
+ & Ux — lz) (“xl + “кр XI + “з Jrt) (“zl +“кр zl + “з zl)l
Д°г1 = z (Д“г1 + Д“кр zl + Д“з zl) +
-т- Д^ (/у /х) (<Оу1 4- юкр yi 4" “з yl) (“х! 4“ “кр х! “Ь “з zl)-
£ 1. Уравнения движения в общем случае
107
Разделив эти выражения на At и переходя к пределу при At—-0,
получим следующие выражения производных составляющих момента
количества движения вдоль осей связанной системы координат:
^-=Л(“Л+“Крх1+%л1)+(4-Л)(‘«у1+
+ “кр yl + “з yl) (“zl +“кр Z1 + “з Z1);
~~~ = I у (“yl + “кр yl + “з xl) + Ux ~ Iг) (“xl +
+ “кр xl + “з xl) (“zl + “кр zl + “з Z1):
~L = 1г (о>г1 + “кр Z1 + “з xl) + (^ у — ^х) (“xl +
+ “кр xl +“з xl) (“yl + “кр yl + “з yl)-
Наконец, приравнивая производные момента количества движения
моментам внешних сил, действующих на летательный аппарат, придем
к следующим уравнениям равновесия моментов:
1 х (“xl + “кр Х1 + “з Х1) + (Л — ^у) (“yl +
+ “кр yl + “з yl) (“zl + “кр zl + “з zl) = МХ1; (34. 2)
1у (“yl + “кр yl + “з yl) “НЛг — Л) (“xl "I"“кр xl + “з Xl) (“zl + “кр zl + “з zl) = ^yV
(35.2)
1z (“zl “Г “кр zl + “з Zl) + Uy — x) (“xl + “кр xl +“з xl)(“yl + “кр yl + “3 yl) = Mzl-
(36.2)
Итак, движение летательного аппарата описывается тремя уравне-
ниями равновесия сил в проекциях на оси связанной системы координат
(25.2) — (27.2) и тремя уравнениями равновесия моментов относитель-
но связанных осей координат (34.2)—(36.2). Напомним, что при выво-
де уравнений равновесия моментов предполагалось, что связанные оси
координат совпадают с главными осями инерции летательного аппа-
рата.
Левые части уравнений движения содержат 17 неизвестных: состав-
ляющие скорости полета по связанным осям координат Vxi, Vyi, V2i; со-
ставляющие угловой скорости по этим осям <0x1, соц], <ozi; дополнитель-
ные составляющие угловой скорости, обусловленные кривизной земной
поверхности <oKpxi, <окр yi, <oKPzi и суточным вращением Земли <o3xi.
Из „ь <озгг, эйлеровы углы &, у, чр; угол широты о; высоту полета Н.
Внешние (аэродинамические) силы и их моменты, входящие в правые
части уравнений, зависят от угла атаки а и угла скольжения (3, от ско-
рости полета V, от высоты полета Я и от управляющих воздействий —
углов отклонения рулей 6В, 6Н, дэ и режима работы двигателей, завися-
щего от положения дросселя 6ДР. Следовательно, к перечисленным 17 не-
известным добавляются еще семь неизвестных: V, а, р, бВ) бн, бэ. бдр-
Число неизвестных, таким образом, значительно превышает число
уравнений. Часть неизвестных связана между собой следующими до-
полнительными кинематическими соотношениями:
— тремя уравнениями (22.2), связывающими составляющие угло-
вой скорости <0x1, <оИ1, <o2i с эйлеровыми углами 0, у, ib и со скоростями
Vxi, Vyl, Ki;
— тремя уравнениями (23.2), связывающими составляющие угло-
вой скорости, обусловленной кривизной земной поверхности, <oKPxi,
«адуг, ®лр zi с эйлеровыми углами и со скоростями Vxi, Vvi, V2i;
108
Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
— тремя уравнениями (16. 2), связывающими составляющие угло-
вой скорости суточного вращения Земли и эйлеровы углы.
Далее, очевидно,
IZ2=V^ + V2yl4-l/L (37.2)
а на основании табл. 1.2
Ух1=V cos acosfi, Vyl= — Vsinacosf, V21 = V sin р,
так что для углов атаки а и скольжения р получаем
Vvl
tga——-7—; (38.2)
vjc1
sin₽=^. (39.2)
В [1] было получено следующее соотношение, связывающее угол ши-
роты о с другими кинематическими величинами:
V cos в sin х Vz g
r3 + H r3 + H
На основании табл. 1.2
Vzg = — VX1 cos & sin ф V j (cos ф sin у 4- sin $ sin ф cos y) 4-
~4 VZ1 (cos ф cos у — sin & sin ф sin y),
так что предыдущее соотношение принимает вид
о——cos & sin ф — Vу1 (cos ф sin у -|- sin'& sin ф cos у) —
— 1/г1 (cos ф cos у — sin & sin ф sin у)] - (40.2)
Наконец, так как
Н= V sin 0,
а на основании табл. 1.2
sin 0 =-^- (Vxisin & cos cos у — cos & sin у),
получаем последнее кинематическое уравнение
Н — VX1 sin & -J" Vyicos ® cos V—Vzicos & sin Y- (41.2)
Всего имеем, следовательно, шесть уравнений движения и 14 кине-
матических уравнений, т. е. 20 уравнений, содержащих 24 неизвестных.
Так как число неизвестных больше числа уравнений, то для полу-
чения решений системы уравнений необходимо задаться законом изме-
нения по времени каких-либо четырех функций; за такие функции удоб-
но принять 6в(0> бн(0. МО и AP(t). Задавшись законом изменения по
времени этих величин или, как говорят, задав программу управления
летательным аппаратом, в результате решения системы уравнений мож-
но найти траекторию полета и установить зависимость от времени всех
кинематических характеристик движения.
§ 2. Упрощение уравнений движения
109
§ 2. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО
УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОЛЕТА
Полученные выше уравнения движения летательного аппарата
(25.2)—(27.2), (34.2) — (36.2) можно условно назвать точными.
Эти уравнения можно упростить, если принять во внимание следующие
обстоятельства.
Угловая скорость вращения Земли, как известно, со3=
=0,0000728 1/сек=0,004 град/сек. Встречающиеся на практике угловые
скорости вращения летательного аппарата вокруг связанных осей коор-
динат измеряются обычно единицами и даже десятками градусов
в 1 сек, так что угловая скорость вращения Земли существенно меньше
угловой скорости вращения летательного аппарата относительно связан-
ной системы координат. Центробежная сила, обусловленная вращением
Земли, гораздо меньше, чем сила тяжести. Так, например, на экваторе,
где центробежная сила наибольшая, даже при полете на высоте Н—
= 1000 км центростремительное ускорение, обусловленное вращением
Земли, составляет всего около 0,5% от ускорения силы тяжести на этой
высоте. Кориолисовы силы получаются несколько большими: на широте
<у=45°, например, при скорости полета V=4 км/сек поворотное ускоре-
ние составляет около 5% от ускорения силы тяжести, а при V=
=8 км/сек—11%. Если, однако, по причинам, изложенным в [1], пре-
небречь влиянием вращения Земли на характер движения летательного
аппарата, то в полученных ранее уравнениях движения надо положить
<о3=0. Тогда уравнения движения примут более простой вид:
т [ ^х! + Кг! (“у! + “кр ух) — ^,1 (“я +“кр я)] =^'11 (42. 2)
т [ ^yi + V Х1 (шг1 о>кр г1) — 1/г1 (а>х1 %- <»кр j-i)]=Кр (43.2)
т [17я+Vyi (“xi+“KP я) - Кя (“yl + “Kp yi)]=^j; (44.2)
Ax (“xl +“кр xl)4~(^z — /у) (“yl + “кр yl) (“я 4~“кр zl^ — ^xl’ (45. 2)
/y(“yl +“кр у1) + (Лг- Л)(“х1 + “крх1)(“я + “кря) — 44yii (46. 2)
fz(“zl + “кр я) + (Л1 — Ar) (“xl + “кр xl) (“yl + “кр yl) = Мя- (47. 2)
Угловая скорость, обусловленная кривизной земной поверхности,
невелика по сравнению с угловой скоростью летательного аппарата
относительно связанной системы координат. Так, в наиболее неблаго-
приятном случае горизонтального полета на малых высотах получается
<0^=0,00125—. Даже при полете с круговой скоростью а>кр=
- Укр
= 0,00125 1/сек=0,075 град/сек. Поэтому в уравнениях равновесия мо-
ментов, в которых е>кр встречается не в виде произведения <окр V, без
большой погрешности можно пренебречь ®кр по сравнению с собствен-
ной угловой скоростью летательного аппарата. В уравнениях равно-
весия сил пренебрегать угловой скоростью икр нельзя, так как в эти
уравнения ыкр входит в виде произведения <оКр V, которое при скоростях
полета, близких к круговой скорости, дает величины порядка ускорения
силы тяжести g.
ПО Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
Таким образом, дальнейшее упрощение уравнений движения полу-
чим, если в уравнениях равновесия моментов положим <оКр=0; тогда
эти уравнения принимают вид
ЛЮХ1+(Л—(45а.2)
ЛА-i+—Л) =Myv (46а • 2)
Л>Z1+Uy — Л) =МЛ. (47а. 2)
Следующее упрощение системы уравнений можно получить, если
рассматривать возмущенное движение внутри небольшого интервала
времени. Переходный процесс в действительности занимает сравнитель-
но небольшое время, а именно изучение переходного процесса и являет-
ся нашей целью; поэтому такое предположение можно считать обосно-
ванным при решении ряда задач. Изменение высоты полета летательного
аппарата за небольшое время получится также небольшим. Это озна-
чает, что изменение плотности воздуха q и его температуры Т в неболь-
шом интервале времени получится небольшим. В первом приближении
можно при изучении возмущенного движения летательного аппарата
принять q=const, Т=const. При таком предположении в правой части
уравнений движения пропадают члены, содержащие частные производ-
ные сил и моментов по высоте полета Н. Кроме того, при этом пред-
положении уравнение (41.2) выделяется из общей системы уравнений.
Решив остальные уравнения системы, по уравнению (41.2) можно затем
найти изменение высоты полета Н в процессе возмущенного движения.
Это означает, что число дифференциальных уравнений, входящих в си-
стему, сокращается на единицу, что упрощает решение системы.
При дальнейшем исследовании мы будем исходить из этого пред-
положения, пренебрегая изменением плотности и температуры воздуха
в процессе возмущенного движения летательного аппарата.
Важным частным случаем движения летательного аппарата являет-
ся его прямолинейное установившееся движение. В [1] уже отмечалась,
с одной стороны, условность этого понятия в применении к летательным
аппаратам и подчеркивалась, с другой стороны, важность изучения
установившегося движения при оценке динамических свойств летатель-
ных аппаратов; здесь к этим вопросам возвращаться не будем.
Для того чтобы в уравнениях движения (42.2) — (47.2) от общего
случая перейти к рассматриваемому частному случаю установившегося
прямолинейного движения, надо положить
V—const, 1/л1=соп51, Уд=const, Уг1=const,
а=const, ₽=const, 0 =const,
S—const, у—const, <]>=const, фс—const,
8 =const, 8„=const, o = const, 8.B—const.
Производные всех этих величин по времени в случае прямолиней-
ного установившегося движения, следовательно, равны нулю. Кроме
того, равны нулю составляющие собственной угловой скорости лета-
тельного аппарата: соЖ1 = (ог/1=<ог1=О. Подчеркнем, что угловая скорость
ыКр не равна нулю, если скорость полета соизмерима с круговой скоро-
стью, но остается неизменной по времени.
В рассматриваемом случае уравнения движения вместо дифферен-
циальных становятся алгебраическими и принимают вид
m (Кг1“кр yl ^у1шкр г1) ~ (48- 2)
«(^Х1ШКр Z1 ^21И1<Р Х1) — (49- 2)
§ 3. Метод малых возмущений. Линеаризация уравнений движения 111
( Vy ]<окр xi—^xi^Kpyi) — ^1’ (50.2)
(51.2)
Жу1=0; (52.2)
Мг1=0. (53.2)
Как видим, при установившемся прямолинейном движении проек-
ции внешних сил на координатные оси получаются постоянными, а мо-
мент внешних сил относительно центра масс — равным нулю. Если дви-
жение летательного аппарата происходит со скоростью, значительно
меньшей, чем круговая скорость, то кривизной земной поверхности
можно пренебречь, и проекции внешних сил получаются равными нулю.
Анализ алгебраических уравнений, описывающих установившееся пря-
молинейное движение, значительно проще анализа дифференциальных
уравнений неустановившегося движения летательного аппарата.
§ 3. МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Уравнения движения (42.2)—(47.2) даже в принятой упрощенной
постановке задачи, когда конструкция летательного аппарата предпола-
гается абсолютно жесткой и не учитываются дополнительные силы,
возникающие вследствие вращения Земли, представляют собой нелиней-
ные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.
Аналитические методы решения подобных систем уравнений не раз-
работаны, так что их приходится решать, пользуясь методами числен-
ного интегрирования или применяя для этой цели электронно-модели-
рующие устройства и машины дискретного счета1. Такими способами
удается довести до конца решение конкретной задачи, но нельзя
получить решение задачи вобщем виде. В то же время для оценки
управляемости и устойчивости летательного аппарата вообще такое
общее решение желательно иметь, например, при формировании контура
управления и стабилизации летательного аппарата, в процессе которого
необходимо проследить, как влияют конструктивные или аэродинамиче-
ские параметры на поведение летательного аппарата.
Таким образом, наряду с методами решения уравнений движения
летательного аппарата, записанными в форме (42.2)—'(47.2), которую
мы условно назовем «точной», желательно располагать приближенны-
ми методами. Эти приближенные методы за счет приемлемых допуще-
ний должны позволить получить решение уравнений в аналитической
форме. Для получения таких приближенных решений необходимо упро-
стить самые уравнения движения летательного аппарата. Основной
идеей в этом направлении является идея линеаризации уравнений дви-
жения летательного аппарата при помощи метода малых возмущений.
Сущность допущений, положенных в основу метода малых возму-
щений, заключается в том, что все параметры возмущенного движения
(т. е. движения, возникающего в результате нарушения первоначаль-
ного основного движения летательного аппарата) предполагаются
мало отличающимися от параметров первоначального движе-
ния (основного движения) в одни и те же моменты времени.
Если это условие удовлетворяется, то в уравнениях движения
в первом приближении можно пренебречь членами, содержащими от-
клонения параметров движения (например углов, угловых скоростей,
1 Подробнее по этому вопросу см. [1].
112
Гл. И. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
линейных скоростей и т. д.) в степенях выше первой как малыми
высшего порядка. При этом в уравнениях сохраняются только члены
с первыми степенями отклонений, так что уравнения становятся линей-
ными дифференциальными уравнениями относительно отклонений,
методы решения которых сравнительно просты.
Напомним некоторые общие свойства нелинейных и линейных диф-
ференциальных уравнений, описывающих движение нелинейных и ли-
нейных механических систем.
Если в начальный момент времени система находится в равнове-
сии, то после отклонения ее из положения равновесия возникает возму-
щенное движение. Характер возмущенного движения можно оценить
относительным изменением координат системы:
Дуо
где Ау— текущее значение возмущения координаты у,
Луо — начальное возмущение этой координаты (если за начало от-
счета принят нуль, то Ду=у, Луо—Уо)',
t—независимое переменное.
В случае линейной системы характер изменения у не зависит от ве-
личины начального возмущения Ау0 в том смысле, что если система
устойчива при каком-либо значении Az/о, то она устойчива и при любом
другом Лу0-
В случае нелинейной системы изменение у зависит от величины на-
чального возмущения Ду0, так что при различных Ду0 одна и та же си-
стема может оказаться устойчивой или неустойчивой.
В курсе математики дается следующее определение понятия устой-
чивости решений дифференциальных уравнений, с которым мы будем
встречаться на протяжении всего дальнейшего изложения.
Пусть имеется система дифференциальных уравнений
yi=fi(t, Уи У2,---,Уп),
и соответствующие ей начальные условия
yi{to) —УгО,
где yi — искомые функции независимого переменного t;
t0 — момент времени, принятый за начальный;
Уго — заданные числа.
Обозначим через
У/ (О» *=1. 2,..., п
решение этой системы, удовлетворяющее заданным начальным усло-
виям. Известно [29], что исследование на устойчивость решения yi(t)
может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального
решения О — положения равновесия. Поэтому без ограничения
общности в дальнейшем можно исследовать на устойчивость тривиаль-
ное решение -?•
или, что то же, положение равновесия рассматриваемой системы.
1. Решение у<=0 называется устойчивым, если для любого числа
е>0 можно указать другое число б>0, такое, что при t~^tQ и |yi(t0) 1<б
выполняется неравенство
|yi(0 |<е.
§ 3. Метод малых возмущений. Линеаризация уравнений движения 113
Следовательно, решение 1/;=0, соответствующее положению равно-
весия, называется устойчивым, если решения у,(О, близкие к положе-
нию равновесия в начальный момент времени t0, остаются близкими
к этому положению во все последующие моменты времени
Если же при сколь угодно малом б>0 хотя бы для одного решения
Уг(О> г=1> 2, .... п
неравенство |у<(0 |<е не выполняется, то решение (положение
равновесия) называется неустойчивым.
2. Решение г/г=0 называется асимптотически устойчивым., если до-
полнительно к условиям устойчивости, указанным в п. 1, выполняется
условие
Нт [у (7)1=0.
/“►со
Очевидно, что практический интерес представляет тот случай, когда
значения 6, определяющие возможные начальные возмущения, не слиш-
ком малы, так что приведенное в п. 1 неравенство охватывает все воз-
можные на практике начальные возмущения.
Система нелинейных дифференциальных уравнений
^=Л(ЛУ1,У2,---, УЛ 2,..., я, (54.2)
at
где fi — дифференцируемые в окрестности начала координат (i/i = 0)
функции, может быть представлена в этой окрестности в виде
п
^_=2«о(ОУ;+^(Л Уь У2,-.., У„), (54а.2)
7=1
7=1, 2,..., п.
Здесь Ri—остаточный член формулы Тейлора (нелинейная часть
исходной системы), имеющий порядок выше первого относительно
/ 2*
i=l
Линейную систему
п
= Л’ (55.2)
7=1
полученную из (54а. 2) путем отбрасывания нелинейных частей 7?{, на-
зывают системой уравнений первого приближения для систем (54.2)
и (54а. 2).
В том случае, когда в системе первого 'Приближения (55.2) все
коэффициенты а^ постоянны, т. е. система имеет вид
п
(56-2)
7=1
систему (54а. 2) называют стационарной в первом приближении.
Известна следующая теорема [29]. Если система уравнений (54а. 2)
стационарна в первом приближении, все остаточные члены Ri в доста-
8 1824
114
Гл. II. Уравнения движения аппарата как. тела переменного состава
точно малой окрестности начала координат при t>t0 удовлетворяют не-
равенствам
где 2V>0, а>0 — постоянные, и ни один из корней характеристического
уравнения (см, гл. V) не имеет вещественной части, равной нулю, то
системы (54а. 2) и (56.2) одновременно асимптотически устойчивы или
неустойчивы, т. е. в этом случае возможно исследование на устойчи-
вость по первому приближению.
Практический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполне-
нии указанных в ней условий вместо исследования на устойчивость
сложной нелинейной системы (54.2) можно исследовать гораздо более
простую систему (56. 2) линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами.
Проиллюстрируем влияние нелинейных членов дифференциальных
уравнений на устойчивость его решений следующим простым примером:
у=у(а+Ьу), (57.2)
где 0 </< + со и а, b — постоянные.
Решение дифференциального уравнения (57.2), удовлетворяющее
начальному условию
У(О)=^о,
в котором переменные легко разделяются, имеет вид
. у ~ у ----<-J. —. (58.2)
У Уй{а+Ьу0)е~а1-Ьуа 1 7
Соответствующее (57.2) стационарное в первом приближении урав-
нение .получается из (57.2) при 6=0:
' У=ау, (59.2)
и его решением будет
у=уйеа*. (60.2)
В случае п = 0, 6#=0 уравнение (57,2) остается по-прежнему нели-
нейным:
У=Ьу\ (61.2)
и его решение имеет вид
• (62.2)
1 — byot
На фиг. 9.2 приведены результаты расчета, выполненного по фор-
муле (58.2) для а=—1, 6=2 и для различных начальных условий
у0=0,14-0,75. На этой же фигуре нанесен график решения (60.2), соот-
ветствующего линейному уравнению (59.2). На фиг. 10.2 приведены
результаты аналогичных расчетов для а = 4-1, 6=—2.
Как видно, в зависимости от начальных условий (ус) характер из-
менения y(t) получается существенно различным.
При а<0 и достаточно малой Az/o (в нашем примере а— — 1,
Дуо<О,5) и нелинейная система, описываемая уравнением (57.2), и со-
ответствующая ей линеаризированная система, описываемая уравне-
нием (59.2), оказываются асимптотически устойчивыми. При п>0
(в нашем примере а = 4-1, Д«/о<О,5) обе системы оказываются неустой-
чивыми.
<5 3. Метод малых, возмущений. Линеаризация уравнений движения
115
Если ограничиться исследованием устойчивости на небольшом ин-
тервале времени, то, как видно из фиг. 9.2 и 10.2, величина начальны*
возмущений, при которых линейная система хорошо описывает поведе-
ние нелинейной, должна быть ограничена значением
Ротах = 0,25.
Чем меньше значение отношения |а/6|, тем меньше допустимое при
исследовании поведения линеаризированной системы начальное возму-
щение уо- Отсюда следует, что при малой степени устойчивости линеа-
Фиг. 9. 2. Поведение нелинейной и линейной систем при
условии, что линейная система устойчива. ' ;
ризированной системы (при малом коэффициенте |а[ и 6=^0) допусти-
мые начальные возмущения могут оказаться весьма малыми. Если роль
нелинейных членов дифференциального уравнения по сравнению, с ли-
нейными членами невелика (в нашем примере коэффициент b мал по
абсолютной величине), тб даже при небольшой степени устойчивости
линеаризированной системы'допустимые'начальные возмущения могут
оказаться значительными.
Формулированное выше правило оценки устрйчивбсти нелинейной
системы по знаку коэффициента приvлинейном члене неприменимо
в том случае, когда линеаризированная система получается нейтральной
(о=0).1 В этом частном случае решение (60.2) принимает вид у=уо,
в то время как решение нелинейной системы описывается функцией
(62.2). Следовательно, судить о поведении нелинейной системы по по-
ведению линеаризированной системы нельзя: требуется рассматривать
нелинейные члены уравнений.
1 При этом корень характеристического уравнения получается равным нулю,
и формулированная выше теорема неприемлема.
8*
116
Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
В зависимости от знака постоянных Ь и у0 система может быть
устойчивой (при 6<0, уо>0) или неустойчивой (при Ь>0, уо>О).
В линейной интерпретации уравнение (61.2) принимает вид
У=0, (63.2)
так что линеаризированная система получается нейтральной, в то вре-
мя как в действительности она может оказаться устойчивой либо не-
устойчивой.
При исследовании динамики летательных аппаратов случай ней-
тральности линеаризированной системы встречается на практике до-
вольно редко. Однако малая степень устойчивости линеаризированной
Фиг. 10.2. Поведение нелинейной и линейной систем при
условии, что линейная система неустойчива.
системы в некоторых случаях может иметь место, например, в случае
длиннопермодического движения (см. гл. VII). Исследование устойчи-
вости движения при этих условиях с помощью линеаризированной систе-
мы может привести к существенным погрешностям. Заметим, что реаль-
ные системы обычно обладают достаточно большой степенью устойчи-
вости в линейной интерпретации.
Итак, с известным приближением исследование возмущенного дви-
жения нелинейной системы можно заменить исследованием возмущен-
ного движения линейной системы.
Вряд ли можно представить себе в действительности строго линей-
ную систему; при решении ряда технических задач, однако, нелиней-
ность системы можно не принимать во внимание, если эта нелинейность
выражена не слишком сильно. Наоборот, при решении некоторых
других задач, таких, например, как изучение автоколебаний системы,
пренебрежение нелинейностью недопустимо, так как автоколебания мо-
гут возникнуть только в нелинейной системе. Таким образок, присту-
пая к линеаризации системы, надо отчетливо представить себе, какие
задачи не могут быть решены при таком упрощении. Линеаризацию
надо осуществлять с учетом реальных условий задачи. Так, например,
при полете с гиперзвуковыми скоростями зависимость коэффициента
подъемной силы су от угла атаки а получается (см. [1], гл. III) нели-
нейная. Если предстоит исследовать движение вблизи некоторого равно-
весного значения ар, то линеаризацию можно провести так, как это
схематически показано на фиг. 11.2. Заметим еще, что некоторые пере-
§ 3. Метод малых возмущений. Линеаризация уравнений движения
117
менные по существу входят в уравнения линейно; сюда относятся, на-
пример, линейные и угловые ускорения [см. (42.2) — (47.2)].
Так как для устойчивого летательного аппарата возмущения с те-
чением времени убывают, то для такого аппарата метод малых возму-
щений применим в течение достаточно большого промежут-
ка времени при условии, что начальные возмущения, вызвавшие
отклонение движения от основного, невелики. Для неустойчивого лета-
тельного аппарата, у которого отклонения от основного движения с те-
чением времени возрастают, требуется дополнительное условие: возму-
щенное движение неустойчивого летательного аппарата можно
исследовать методом малых
возмущений в течение лишь
такого интервала времени,
в котором отклонения пара-
метров возмущенного дви-
жения от их первоначаль-
ных значений невелики, т. е.
в течение сравнитель-
но небольшого ин-
тервала времени.
Сказанное хорошо иллю-
стрируют фиг. 9.2 и 10.2;
приближение линейного ре-
шения к действительности
для устойчивого решения
лучше на большом интер-
вале изменения х, чем для
неустойчивого.
Несмотря на эти ограничения, результаты, получаемые по методу
малых возмущений, имеют огромное значение, так как на практике
в большинстве случаев представляет интерес исследование возмущенно-
го движения именно в течение небольшого отрезка времени вслед за
отклонением летательного аппарата от первоначального режима полета.
Можно без преувеличения сказать, что прогресс в области изучения
управляемости и устойчивости летательных аппаратов в значительной
мере связан с идеями метода малых возмущений.
Перейдем теперь к линеаризации уравнений движения летательного
аппарата. Следуя методу малых возмущений, представим кинематиче-
ские характеристики возмущенного движения в виде сумм значений
этих характеристик в основном (невозмущенном) движении и возмуще-
ний. Кинематические характеристики, соответствующие основному дви-
жению, будем считать заданными функциями времени. Таким образом,
положим
Vxi —Vxio+AVxi, Vyi — Vj/io+AVyi, a=ao+Aa и т. д.
Точно так же силы и моменты, действующие на летательный аппа-
рат, представим в виде
A’i—А10-|-дАг1, } j—ТИд-!—А4д.10-]-дЛ1л1 и т. д.
В этих выражениях индексом «О» отмечены величины, относящиеся
к основному (невозмущенному) движению; ДЛь ДУЬ ДЛ1Х1 и т. д. озна-
чают малые приращения сил и моментов в возмущенном движении.
Проследим подробно преобразование исходных уравнений движе-
ния при подстановке в них этих выражений на примере первого уравне-
118 Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
ния (42.2). После 'подстановки принятых выражений это уравнение
принимает вид
m I + А xi+(+А Krt) (“уЮ4"+ Шкру10 + Д°>кр ую) —
— (^>ю4~ Д^1)(юг1о4"Аа,г14-Й)крг1о4" Д“крг1о)] = А'1о4-Д^1-
В соответствии с методом малых возмущений, полагая отклонения
AVzi, Acopi, Аокрг/i и т. д. малыми и пренебрегая членами порядка ма-
лости выше первого, после перемножения получим
m [ KrlO + A Krt + ^zlO (“ylO + “кр У ю) — У ую (<«zl0 + “кр zio) +
4“ zlO (Дшу1 + А°»кр У1) ~ ^ylO (A“zl + Ашкр zl) + A Vzl (“ylo + “кр У io) —
A^yl^zWb^KpzUOl^-Vjg-p-AAY
Но в исходном невозмущенном движении справедливо равенство
m [^лИ)4~ Кг1о(0>у1о4-‘0кр.ую) ^ylo(0)zlo4*<°KPzlo)] = ^ю,
так что предыдущее уравнение принимает вид
w[aVx1 + Kzio (AWyj4“ Д^кру i)— ^ую(Аюг14“ Д^кргО 4“
4- А zl (юуЮ 4- “кр у ю) — A Vyl (<“г10 4" “кр Zio)] = AXj. (64. 2)
Как видим, левая часть уравнения (64.2) есть линейная функция
возмущений AVxi, и т. д. Нетрудно убедиться, что и правая часть
этого уравнения также есть линейная функция возмущений.
В самом деле, на летательный аппарат в полете действуют, как
известно, следующие внешние силы: сила тяги Р, направленная по оси
Ох] связанной системы координат, сила тяжести G, действующая вдоль
отрицательного направления оси Oyg земной системы координат, и аэро-
динамические силы Y, Q, Z вдоль осей полусвязанной системы коорди-
нат. Проекция равнодействующей всех этих сил на ось Oxi связанной
системы координат, как нетрудно убедиться по табл. 1.2,
Xi =Р cos <р—G sin &+Y sin а—Q cos а.
Если применить разложение функций в ряд Тейлора и пренебречь
малыми второго и высших порядков малости, то приращение
AXi = Ci A V+сгАа4-СзАр + + CsAy+i
+Сб Adnj'CyAdii + Cg Абэ!+ с$\Р,
где смысл приращений AV, Да и т. д. ясен, а через АР обозначено при-
ращение силы тяги вследствие изменения режима работы двигателя.
Через Ci в приведенном выражении обозначены коэффициенты первых
членов в разложении Тейлора. Так, например, коэффициенты разложе-
ния члена Pcoscp, если пренебречь изменением высоты полета в процес-
се возмущенного движения, равны:
С] р Р^ COS (р, С% р — ^?jp —— ^4Р — £5Р —
~= Гцр — С’?р — Cgp=-6), Гс)р =COS(f.
Таким образом, и левая, и правая части уравнения (64.2) являются
линейными функциями возмущений; это значит, что уравнение (64.2),
полученное из уравнения (42.2) на основе метода малых возмущений,
есть линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффи-
циентами относительно неизвестных возмущений АУжь AVyi, AVzi и т. п
Преобразуя подобным же образом остальные уравнения движения
и кинематические уравнения, придем к системе линейных дифференци-
§ 4. Разделение системы уравнений движения на две независимые системы 119
альных уравнений с переменными коэффициентами относительно возму-
щений AVxi, AVj/i, AVzi и т. д.
Решив эту систему уравнений, найдем AVxi, AVj/i, AVzi и т. д.
в функции времени t, а так как Vxl0, Vvi0, Vzi0 и т. д.— известные функ-
ции времени t, сможем найти закон изменения V~i, Vyi, Vzi и т. д. в воз-
мущенном движении.
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с пере-
менными коэффициентами представляет собой довольно сложную за-
дачу. Для получения простых решений линейных дифференциальных
уравнений в аналитической форме желательно еще более упростить за-
дачу. Этого можно достигнуть, если привести задачу к решению линей-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
§ 4. УПРОЩЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ. РАЗДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
НА ДВЕ НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ
Прежде всего возникает вопрос: в какой мере допустимо при иссле-
довании заменить систему уравнений с переменными коэффициентами
более простой системой дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами?
Естественно, что чем менее в данном интервале времени изменяют-
ся коэффициенты дифференциального уравнения, тем меньшей будет
погрешность от замены переменных коэффициентов постоянными. Основ-
ная цель аналитического исследования устойчивости и управляемости
летательного аппарата — изучение переходного процесса, в течение ко-
торого формируются внешние силы, необходимые для изменения
режима полета. Продолжительность переходных процессов обычно не-
велика (несколько секунд), так что за время переходного процесса
кинематические характеристики основного (невозмущенного) движения
изменяются сравнительно несильно.
Это обстоятельство и позволяет в первом приближении заменить
систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами,
описывающих движение летательного аппарата, более простой системой
уравнений с постоянными коэффициентами. При таком упрощении
в процессе исследования возмущенного движения можно пренебречь
изменением кинематических характеристик основного (невозмущенного)
движения по сравнению с изменением кинематических характери-
стик-возмущений.
Такой прием исследования апробирован инженерной практикой
и получил даже специальное название метода «замороженных коэффи-
циентов». Это название подчеркивает, что кинематические характеристи-
ки основного движения принимаются постоянными и равными их зна-
чениям в начале рассматриваемого интервала времени (в начале возму-
щенного движения) ’.
Коэффициенты дифференциальных уравнений строго- постоянны,
если в качестве исходного движения рассматривать прямолинейное
установйвшееся движение летательного аппарата. Для такого режима
полета угловая скорость летательного аппарата относительно связанной
системы координат равна нулю (остается только угловая скорость, об-
условленная кривизной земной поверхности). Углы, определяющие по-
ложение летательного аппарата относительно местных горизонтальной
1 О пределах применимости метода «замороженных коэффициентов» см., напри-
мер, [11].
120
Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
и вертикальной плоскостей и по отношению к вектору скорости, а также
сам вектор скорости не зависят от времени. Следовательно, в этом
случае
Wxio=<»2/io=cOzio=O; Vxio = const; Vyio = const; V2l0=const;
Vo=const; ao=const; Po=,const; tlo=|const; y0=const;
6BO=const; 6n0=const; 6a0=const; APo=O.
В том случае, когда исходный режим полета представляет собой
неустановившееся движение, в общем случае криволинейное, как уже
было отмечено, всем кинематическим величинам основного движения
(Vxio, Vjho и т. д.) присваиваются 'Постоянные значения, равные их зна-
чениям в начале возмущенного движения. В этом случае дополнительно
к предыдущим условиям надо положить
(0x10 = const, ©V1O = const, wzio = const,
где константы не равны нулю и коэффициенты дифференциальных урав-
нений получаются также постоянными. Система дифференциальных
уравнений состоит из шести уравнений движения (в которых коэффи-
циенты принимаются постоянными) и следующих кинематических урав-
нений, получаемых из приведенных ранее путем их линеаризации:
Д »=sin у0Д«у14-cos у0Дю21+(wyJ cos у0 — a>210 sin у0) ду; (65.2)
AY=Д“)Х1 - tg »0 [cos у0До,у1 — sin у0д<о21 — (a)yl0 sin у0-фw210cos у0) д у] —
— sec2 »0 (®у10 cos у0—о>210 sin у0) Д»; (66.2)
Дфй=sec % [cos у0До)у1 — sin уодw21 — (o^w sin у0 -ф w210 cos у0) ду] -ф
+tg % sec % (wyI0 cos y0—«210 sin y0) Д»; (67. 2)
. „ ^yiosinyo-i-Vzl0cosy0
Дшкр xi = -sm %----------—-Г---------И
• з “Г
H——Msin у0ДV J -ф cos у0ДVzl+(V 10cos y0- H21o sin y0) ду]; (68.2)
r3 4- rz
Д<«кр У1 = - -1, - - [sin % д V21 -ф cos % sin y0 д 4
r3 4- г/
+ ^i0cos&oCosYoAy+(V2i0c°s&0— V^sin »osinу0)Д&[; (69. 2)
* r3 + H 1 u yl u u
+ ^xio cos &o sin Y0AY+(l7 до cos % 4- H21o sin Oo cos у0) Д&); (70.2)
^1ОДИЛ1 + ^у10д Vyl + И21ОДИ21; (71.2)
Да = _ ^£₽o_(sina0A V'jrt+cosctnAHyi); (72. 2)
vo
др =lT-(sec^I/2l-tg родИ). r (73. 2)
ko
Кинематические уравнения (16.2) отпадают, так как мы услови-
лись не принимать во внимание суточное вращение Земли. По этой же
причине кинематическое уравнение (40.2), связывающее угол широты о
с другими кинематическими величинами, выпадает из общей системы
уравнений, так как в остальные уравнения о не входит. Наконец,
кинематическое уравнение (41.2), служащее для определения высоты
§ 4. Разделение системы уравнений движения на две независимые системы 121
полета Н, также выпадает из общей системы уравнений ('поскольку мы
пренебрегаем влиянием изменения Н на внешние силы и моменты).
Итак, полученная система линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами состоит из шести уравнений движения
и из девяти кинематических уравнений (65.2)—'(73.2), т. е. из 15 урав-
нений, содержащих 19 неизвестных:
ДИХ1, дИу1, дИг1, дй, ду, дфа, д<оя, д<оу1, дшг1,
Д1°крх1» Д^круЦ Д^крг!» ДИ, Да, ДР» Д^в» Д^н, Д8Э, Д^-
Решение такой системы уравнений получается громоздким. Это ре-
шение можно существенно упростить, если сделать еще одно последнее
упрощающее предположение о том, что исходным режимом полета
является полег без крена и скольжения.
Из этого последнего предположения вытекает, что в исходном ре-
жиме основного движения
Ро=То= Кю=|0.
При этом, так как полет происходит в плоскости большого круга,
ifa=0 и по уравнениям (22.2):
0x10 = tt>plo==0. .
По уравнениям (23. 2)
К>кр х!0 = Мкр рЮ = 0.
Для рассматриваемого случая полета в исходном режиме без кре-
на и скольжения уравнения движения (42.2)—-(47.2) после линеариза-
ции принимают вид
m [ДЙЛ1 —дИу1 (<ozio Ч- <Ukp zio) Ч- Иу10 ( Д<»г14" Д^кр zi)]—Д^; (74.2)
™[дйу1+дИх1 (wzio_h0)KP^io)+ (Д0)х1 Ч_ Д0)кр zi)]—- ДК б (75. 2)
m [Л^Гг1Ч"^/Гу1о(Д<их1Ч" Д0:>крх1) — Их10(Д<Оу1-|" Д(йкру1)] = ДДб (76.2)
1 хДшл-1 Ч- UZ — 1 у) “zloA^yl = (77‘ 2)
7уДш’у1 Ч- (7х - Л) “гюДшх1 = Д муб (78.2)
/2Дозг1-ДЛ421. (79.2)
Кинематические уравнения (65.2) — (73.2) упрощаются и прини-
мают вид
Atf=A<o2i; (80.2)
Ду=Д(Од1 — tg »0 (До^! — <»210Д у); (81.2)
Дк=8ес&о(дюу1 —<«210ду); (82.2)
Д<»крх1=-Е£|%-(ДИг1+ У 10ду); (83.2)
Г3 + Н у
Д<окр у 1 =--1—- (sin »од Vzl + Kxlocos йод у); (84.2)
г3 + п
До>кр zl = [sin »од Vу1 — cos %Д УХ1 +
4-(Kyi0cos »0+ yA10sin &0) д»]; (85.2)
ИД У = УХ1ОД Ул1+ Уу10дУ„; (86.2)
122 Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
Да = —1- (sin OoAV^+cos а0Д V х); (87.2)
1о
Д₽=^-. (88.2)
го
Проанализируем полученные уравнения. В большинстве случаев
летательный аппарат можно считать телом, имеющим плоскость сим-
метрии XiOyi. В таком случае функции Xi=Xi(p), Afzi=Afz)(P) и другие
подобные им будут симметричными (фиг. 12.2). Так как, следуя методу
малых возмущений, при разложении внешних сил и моментов в ряды
Тейлора мы ограничиваемся только членами первого порядка малости,
то, как нетрудно убедиться, имеем следующие равенства:
х\=х} = X*=Х*с = Г1 = Y \ = И = Y ic = /Ин = /wL = /Ия =
= /Ияс = = = =/Иг1э=0.
Соответствующие члены в уравнениях движения исчезают.
При отсутствии скольжения в исходном режиме полета (Ро=О)
возмущения, действую-
щие в продольной плос-
кости симметрии лета-
тельного аппарата, не мо-
гут привести к появлению
боковых сил и моментов.
Действительно, как бы мы
ни изменяли, например,
угол атаки а, в силу сим-
метрии обтекания соот-
ветствующие аэродинами-
ческие силы будут дейст-
вовать в плоскости сим-
Фиг. 12. 2. Симметричные функции параметров боко-
вого движения.
метрии XiOi/ь так что бо-
ковые силы Z] или мо-
менты /ИХ1, Му\ возник-
нуть не могут. Следовательно, справедливы равенства:
ct&Vct & V со а &
Zx=Zi—Zi =714^1 =/Ил1 = /ИЛ1= Mxi — Myi—Myi—
8 8 „ ДР V ш ДР
=/ИУ1в =ЛД1В =/ИУ1 =/иу1г =/иу1=о.
Отмеченные свойства летательных аппаратов приводят нас к сле-
дующему важному выводу.
Силы и моменты, действующие на летательный аппарат в плоскости
симметрии х^Оух, не зависят от параметров бокового движения (р, у, ф,
ых, Оу), а силы и моменты, действующие в двух боковых плоскостях, —
от параметров продольного движения (а, О, О, V, од).
Таким образом, при условии, что исходным режимом полета яв-
ляется прямолинейное движение без крена и скольжения, .приходим
к выводу, что
ДЛ'1—линейная функция от ДУ, Да, ДО, Дбв, ДР,
ДУ1 — линейная функция от ДУ, Да, ДО, Дбв, ДЯ
AZi—линейная функция от Д0, Ду, Дф>а, Дбн, Д6Э,
Д/ИХ]— линейная функция от Др, Ду, Дф>а, Дбн, Д6Э,
ДЛ4?/1 — линейная функция от Др, Ду, Дф>а, Дбн, Дбэ,
Д/Ия—линейная функция от ДУ, Да, ДО, Д6В.
§ 4. Разделение системы уравнений движения на две независимые системы 123
Рассмотрим теперь подробнее уравнения (74.2), (75.2) и (79,2).
Замечая, что согласно (80. 2), (85. 2) A<ozi и А(оКр zi не зависят от боко-
вых возмущений Ар, Ау и т. д., приходим к выводу, что левые части
уравнений (74. 2), (75. 2), (79. 2) содержат только возмущения, дейст-
вующие в плоскости симметрии Х\Оу\ летательного аппарата. Но, по
только что доказанному, правые части этих уравнений содержат тоже
только такие возмущения. Это означает, что названные уравнения
можно решать независимо от уравнений (76.2)—(78.2). Точно так
же уравнения (80.2), (85.2) — (87.2) можно решать независимо от
остальных кинематических уравнений.
Наоборот, уравнения (76. 2) —(78. 2), (81. 2) —(84. 2) и (88.2), как
легко убедиться, содержат только возмущения, действующие в боковых
плоскостях X\Ozi и t/iOzj, и могут решаться независимо от остальных
уравнений.
В результате система дифференциальных уравнений, описывающих
возмущенное движение летательного аппарата, разделяется на две не-
зависимые системы уравнений. Первая из этих систем уравнений
описывает продольное возмущенное движение летательного аппарата
и состоит из следующих уравнений:
m [д ^х1 ~ Д (“zio+“кр zio) + Vую (Д“г1 + Д“кр zi)] =
=x'i дН4-2Г1Да+ ^А» + ЛГ1вд8в+ xf ДР;
m [д yl + Д Kri (“zlO + “кр zio) + ^xio (Д“г1 + Д“кр zl)] =
= Г\ XV +riAa+riA& + rlBA8B+rfAP;
/гДо^1 = 7Иг1Д1/ -]-Л1г1ДСС-|_7Иг1Д& -]-Л1г1ВД8в;
дё=д^; <89-2)
Д“кр н=----~ [sin &од — cos »0Д Vxl 4-
r3 + И
+(Vyi0cos &04- Vxlosin %) д&];
НдИ=Нл10дНЛ1 + Ну10дНу1;
Да = - (sin а0Д Vxi + cos аод V у1).
V о
Вторая система уравнений, описывающая боковое возмущенное
движение летательного аппарата, получается следующая:
m [д ^zl + уЮ (Д“х14" Д“кр -н) — i^xio (Д“у1 + Д“кр у 1)1 —
= Z^8 + Zhy+Z^a+ Zfo8H + Z^A83;
I лД“х1 + (Л — ^у) “г1оД“у! =
—-Д4х1Д ,'~(_7Ил|Ду 4“ 714.Лд<ра-|-./Ихвд8н-[- Л4л?Д^8;
1 уД“у1 + (Л - 4) “гюД“х1 =
= Л1у1Д8 -|-/14у1Ду -j- 7Иу“дфа4-Л1у11д8н4- Л1у?д8э;
д Y=Д“х1 - tg а0 (Д“у1 - “аоД Y);
Дк=sec % (дюу1—<«г10ду);
(90.2)
)
124
Гл. II. Уравнения движения аппарата как тела переменного состава
Д«кР = (A Vzl+ 1/у1оДу);
Г3 + П
Д10кр yl---
(90.2)
линейных
—i—— (sin »0Д + ^xiocos °оДУ);
Г3 + п
И)
Каждая из двух полученных систем является системой
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Применение метода малых возмущений при сделанном предполо-
жении относительно характера основного (невозмущенного) движения
существенно облегчило анализ возмущенного движения летательного
аппарата: продольное возмущенное движение и боковое возмущенное
движение в первом приближении можно рассматривать независимо
одно от другого.
Поскольку основное движение принято прямолинейным установив-
шимся движением без крена и скольжения, постольку, очевидно,
У = Ду, Р = ДР, фа = Дфа, <0х1 = Д(0х1, <'),,] = ДсО,д,
так что вместо Ду, Др, Дфа и т. д. можно писать просто у, р, фо и т. д.
Заканчивая эту главу, сделаем следующее существенное замечание.
Основанием для разделения системы уравнений движения на две неза-
висимые системы, описывающие продольное и боковое возмущенное
движения летательного аппарата, было предположение о симметрии
обтекания летательного аппарата в исходном движении. Условие геомет-
рической симметрии летательного аппарата относительно плоскости
Х1О&1 — условие необходимое, но не достаточное для симметрии обте-
кания. Возможны случаи, когда летательный аппарат летит без сколь-
жения, так что вектор скорости полета лежит в плоскости симметрии
Х1О//1, а обтекание несимметрично. Такое несимметричное обтекание
задних крыльев может получиться, например, у аппарата типа «утка»
схемы «+» или «X», когда в силу какой-либо причины руль направле-
ния отклонен (фиг. 13.2). Скос потока.в плоскости XjOz/i, возникающий
от силы ZH, действующей на вертикальное оперение, приводит к тому,
что задние крылья обтекаются потоком под некоторыми отличными от
нуля местными углами скольжения, изменяющимися вдоль размаха
крыльев. Вследствие этого на крылья будет действовать момент Мх.
Это явление «косой обдувки» (см. гл. I) усложняет управление лета-
тельным аппаратом. В некоторых случаях (например при интенсивном
отклонении руля высоты) вследствие косой обдувки разделять урав-
$ 4. Разделение системы уравнений движения на две независимые системы 125
нения движения на две независимые системы нельзя; в этих случаях
приходится исследовать полную систему уравнений со всеми вытекаю-
щими отсюда усложнениями задачи.
В дальнейшем будем предполагать, что разделение системы урав-
нений движения на две независимые системы, описывающие продольное
и боковое возмущенное движение, допустимо во всех случаях.
Выше рассмотрен общий случай неустановившегося движения лета-
тельного аппарата. Помимо этого общего случая, представляет интерес
исследование частных случаев установившегося движения летательного
аппарата; к рассмотрению таких частных случаев мы и перейдем.
ГЛАВА III
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Среди широкого класса различных движений летательных аппара-
тов наиболее простыми являются движения, близкие к установившимся.
В этой главе рассмотрим вопрос о величине углов отклонения рулей,
необходимых для реализации установившихся режимов полета по пря-
молинейным траекториям, лежащим в вертикальной плоскости. Нас
будет интересовать также величина усилий летчика, необходимых на
этих режимах полета, или потребная мощность рулевой машины, если
управление летательным аппаратом автоматическое.
С этой целью выясним прежде всего, как изменяется коэффициент
продольного момента, действующего на летательный аппарат, при пе-
реходе от одного установившегося режима прямолинейного полета
к другому. С этим вопросом связано расширение понятия статической
продольной устойчивости, которым мы пользовались до сих пор.
В дальнейшем будем исходить из предположения, что полет про-
исходит без крена и скольжения и что изменением плотности и темпе-
ратуры окружающего воздуха в течение небольшого промежутка вре-
мени можно пренебрегать. Уравнения движения будем писать линеари-
зированными.
§ 1. ПРОДОЛЬНАЯ СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ПО ПЕРЕГРУЗКЕ И ПО СКОРОСТИ
Предположим, что летательный аппарат осуществляет установив-
шийся полет с некоторой скоростью Гис некоторым значением су.
Тогда при изменении значения су и при неизменной скорости полета
подъемная сила, действующая на летательный аппарат, изменится: на-
пример, при увеличении су подъемная сила увеличится. Равновесие меж-
ду подъемной силой и весом летательного аппарата, имевшее место
в исходном режиме полета, нарушится — появится некоторая перегруз-
ка пу. Под влиянием перегрузки траектория движения искривится
и дальнейшее движение летательного аппарата будет криволинейным.
§ 1. Продольная статическая устойчивость по перегрузке и по скорости 127
Коэффициент продольного момента, действующего на летательный
аппарат, изменится. Так как в общем случае mz=mz(cy, М), то при
неизменном числе М 1 приращение коэффициента mz будет
dmz cv
Ыпг=—— &с = тгумч.
дсу у у
Для уравновешивания возникшего момента t±mz=mzv&с? необходимо
отклонить соответствующим образом руль высоты.
Отклонение руля высоты при прочих равных условиях будет про-
порционально производной тСу, которая, как мы видели ранее (см.
гл. I), является мерой продольной статической устойчивости летатель-
т-, - дтг с ,
него аппарата. В дальнейшем частную производную --?—т у будем
дс-у z
называть мерой продольной статической устойчивости по перегрузке,
подчеркивая этим, что речь идет о полете с изменяющейся перегрузкой
и с неизменной скоростью.
Такой случай полета может иметь место, например, в начале вы-
полнения резкого маневра, когда перегрузка изменяется, а скорость
полета не успевает измениться. Другим примером может служить полет
самолета в турбулентной атмосфере (в «болтанку»), когда углы атаки
крыльев и вместе с ними перегрузка пу быстро меняются, а скорость
полета практически остается неизменной.
Рассмотрим теперь два близких прямолинейных установившихся
режима полета летательного аппарата при неизменном режиме работы
двигателя (при неизменном положении дроссельной заслонки). Пусть
первому режиму полета соответствуют значения а, 0 и М, а второму
режиму ^значения а+Да, 0+Д0 и М-фДМ. Для простоты дальней-
ших рассуждений будем считать угол (а—<р) между направлением си-
лы тяги и касательной к траектории полета равным нулю.
Уравнения движения, написанные в скоростной системе осей коор-
динат (см. [1], гл. I), для первого режима полета имеют вид
Р — с*3-0,7 рн№— Gsin0=O; )
су5-0,7/?яМ2 —Geos 0(1 —V2) =0, j
а для второго режима.
Р -ф Pv аь М - (сх + сах да -|- с?д М) S • 0,7 рн X
Х(М-[-дМ)2 — Gsin(0-f-A0)=O;
(су 4- с°у да 4- с“д М) S • 0,7/>„ (М -фДМ)2 -
- Gcos(0+A0) Г 1—^-±^-1=0.
^Кр
Осуществляя в (1а.З) перемножения и пренебрегая малыми второ-
го порядка, получим
Р + Pvab М - c^S • 0,7/?яМ2 — 2с^5 • 0,7 ряМдМ -
- caxS 0,7рнМ2Да - cxS • 0,7/?нМ2Д М - G sin 0 - G cos 0Д0 = 0;
1 Так как мы условились пренебрегать изменением температуры воздуха, от кото-
рой зависит скорость звука а, то при V=const и М= — =const.
(1.3)
(la. 3)
128
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
cyS 0,7/^М2 + 2с • 0,7р„Мд М -ф c°S 0,7р„М2Да -ф
-фДу5-0,7^яМ2дМ-0 cos 0 (1 - V2) +
+G sin 0Д0 (1 - И2) -|-2 Gcos 0 V2 =0
или, принимая во внимание уравнения (1-3),
= Д0; (2.3)
Sq \ М /] 1—V2 ' ’
+ ^AM=-cytg 0Д0. (3.3)
Исключим из этих уравнений переменную А0, для чего разделим
почленно уравнение (3.3) на (2.3); получим
Определим отсюда отношение J и затем перейдем к пределу
при Да—0:
ДМ .. < — с® tg0(l —V2)
—= - М---------------------?--^-2------------------------. (4.3)
Да 2су _ Г рУ\т
+ Me” + tg 0 (1 - V2) — - (2сх + Мс«)
При переходе от первого режима полета ко второму коэффициент
продольного момента mz и коэффициент подъемной силы су изменятся
соответственно на
Д/пг= /и“да -фт^дМ,
ДДу = сау да -фс у дМ.
Отсюда
Да Да (5 3)
dCy , м£М.
Да у ' у da
и полную производную
» , '<dJL
dmz dmz _ асу Да (6 3)
Дсу Да da а
называют мерой продольной статической устойчивости по скорости.
Этим названием подчеркивается, что речь идет о полете с изменяющей-
ся скоростью по прямолинейным траекториям. Такой случай полета,
например, будет иметь место при разгоне или торможении летательного
аппарата по прямолинейной траектории, при пикировании и т. д.
$ 1. Продольная статическая устойчивость по перегрузке и по скорости 129 ‘
В частном случае для скоростей полета, значительно меньших, чем
круговая скорость, т. е. при V^Q *, когда исходным (первым) режимом
прямолинейного полета является горизонтальный полет с 0=0,
из полученных выше выражений следует:
_ Су
da 1 4-- — с№ ’
1 + 2су >
dmz___
da
Мс“
_____У__
2Су+МС« 2>
(7.3)
(8.3)
так что полная производная dmzldcy (мера продольной статической устой-
чивости по скорости) получается равной
dmz __ '”г / j [ М см’
dcy \ ' 2су у,
М
2су
2су 2
(9.3)
При полете с малыми скоростями и соответственно малыми числами
М производная практически равна нулю. В этом случае мера про-
дольной статической устойчивости по скорости dmjdcy совпадает с ме-
рой продольной статической устойчивости по перегрузке тс^. После
возникновения волнового кризиса при числах М, близких к М=1, как
мы видели (см. гл. I), фокус летательного аппарата без горизонталь-
ного оперения смещается назад, а скос потока уменьшается; в резуль-
тате отрицательный по знаку коэффициент mz по абсолютной величине
возрастает, так что частная производная получается отрицательной.
Из формулы (9. 3) видно, что к отрицательной /д^у добавляется поло-
М м т~>
жительное слагаемое —~mz- “ ряде случаев это положительное сла-
гаемое получается настолько большим, что полная производная dmzldcB
может стать положительной. В этом случае летательный аппарат не
обладает продольной статической устойчивостью по скорости; в даль-
нейшем (см. гл. VI) будет показано, что при этом летательный аппарат
становится апериодически неустойчивым.
Для уравновешивания возникающего при переходе от одного пря-
молинейного режима полета к другому момента необходимо соответ-
ствующим образом отклонить руль высоты. При изменении знака пол-
ной производной dmjdcy изменяется и знак отклонения руля, наступает
обращение управления летательным аппаратом.
Приведенные выше соображения можно иллюстрировать и геомет-
рическими построениями. Пусть имеется семейство кривых mz=
=mz(cy, М), полученное из эксперимента в аэродинамической трубе
или путем расчета (фиг. 1.3). Пусть летательный аппарат совершает
прямолинейный горизонтальный полет с разгоном, так что он проходит
ряд последовательных положений равновесия mz=0. Из условия гори-
зонтального полета получаем следующее выражение, связывающее су
и число -М:
___ G _________const
у~ УЪ,7^М2 — М2
Тогда каждому значению М соответствует свое равновесное значе-
ние коэффициента су и соответствующее этому значению су значение
1 В дальнейших выводах в этой главе будем полагать У=«0.
9 1824
• 130
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
коэффициента mz, который должен быть погашен отклонением руля вы-
соты. Соответствующие точки a, b, с, d отмечены на фиг. 1. 3. Как видим,
по мере увеличения скорости полета (увеличения числа М) и уменьше-
ния Су сначала, при небольших числах М, коэффициент mz возрастает,
затем падает и, наконец, при больших сверхзвуковых числах М снова
возрастает. Этому закону будет следовать и отклонение руля высоты;
Фиг. 1.3. К определению продольной статической устойчи-
вости по скорости и по перегрузке.
вначале руль высоты надо отклонять вниз, увеличивая угол отклонения
по мере увеличения скорости полета; затем отклонение вниз уменьшает-
ся и при некоторых числах М может уступить место отклонению руля
вверх, а не вниз. Летчик, управляющий самолетом, имеющим такие ха-
рактеристики, будет ощущать тенденцию затягивания самолета в пики-
рование. На автоматически управляемом летательном аппарате потре-
буется обращение команд управления.
Продольная статическая неустойчивость по скорости, таким обра-
зом, осложняет управление летательным аппаратом; из дальнейшего
будет видно, что при помощи рационально подобранной автоматики
вредное влияние продольной статической неустойчивости по скорости
может быть устранено или по крайней мере ослаблено.
Рассуждения, приведенные нами, относились к случаю горизонталь-
ного полета; такие же рассуждения нетрудно провести и в том случае,
когда рассматривается прямолинейный режим полета с набором высо-
ты или со снижением.
§ 2. БАЛАНСИРОВКА В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ПОЛЕТЕ
БЕЗ КРЕНА И СКОЛЬЖЕНИЯ. ДИАПАЗОН ЦЕНТРОВОК
Коэффициент продольного момента, действующего на летательный
аппарат в прямолинейном установившемся полете, представляет собой
сумму коэффициента момента без горизонтального оперения и коэффи-
циента момента горизонтального оперения:
mz Шг б.г.о4~^z г.о-
§ 2. Балансировка в прямолинейном полете без крена и скольжения
131
Выше (см. гл. I) было показано, что коэффициент mz6.r.o можно
представить в виде
б.г.о = «г о - (xf Хт) Су,
где xf — положение фокуса летательного аппарата без горизонтального
оперения относительно носка САХ, выраженное в долях САХ.
Точно так же коэффициент момента горизонтального оперения
в прямолинейном установившемся полете выражается формулой 1 *
^r.o=+^^^r.o(« + ?-^,-EK + «.8>
---|- kAT 0Су г-о (а-{-ср — Dcy — eK~b#B&B)-
Имея в виду, что при небольших углах атаки коэффициент подъем-
ной силы Су есть линейная функция а, т. е.
су=су (° — соХ
где ао — угол нулевой подъемной силы, для угла атаки получаем
су ।
а=—+ а0.
су
Тогда выражение для mzг.о принимает вид
mzr.o~ 4- ^\.оСу Л а-су Н“ ? + а0 — £к + яв8в1>
L\ у / ]
а полный коэффициент продольного момента, действующего на лета-
тельный аппарат,
тг=тгй-
X? ^-^г.сКу г.о
-Т- ^Л.ссУ г.о (<? + а0 — £К + «В8в)- (10. 3)
Взяв частную производную по су от выражения (10.3), получим
= - (xF -лт) Т kАг.ос“ г.о Z-L - М . (Ц.З)
\ су /
Как видно из выражения (11.3), степень продольной статической
устойчивости летательного аппарата по перегрузке mczv зависит от по-
ложения центра масс летательного аппарата — от его центровки.
При перемещении центра масс назад степень продольной статиче-
ской устойчивости уменьшается, а вперед — увеличивается.
Существует, очевидно, такое положение центра масс, при котором
производная mcv обращается в нуль. При такой нейтральной цен-
тровке летательный аппарат нейтрален в отношении продольной ста-
тической устойчивости. Вспомнив определение фокуса, придем к заклю-
чению, что нейтральная центровка помещается в фокусе летательного
аппарата.
1 Знак минус относится к летательным аппаратам обычной схемы, а знак плюс —
схемы «утка». Формула получена из выражения (41.1).
9*
132
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
Нейтральную центровку найдем, полагая в выражении (11.3)
mjy =0:
-kt.h — хр i ЬА-т.осу г-о ( й • (12.3)
\ су /
Так как всегда —-----D>0, то нейтральная центровка (фокус) ле-
су
тательного аппарата обычной схемы всегда расположена позади фо-
куса летательного аппарата без горизонтального оперения. Наоборот,
у летательного аппарата типа «утка», для которого коэффициент мо-
мента горизонтального оперения следует брать со знаком плюс, фокус
всего летательного аппарата расположен впереди фокуса летательного
аппарата без горизонтального оперения.
Коэффициент продольного момента летательного аппарата можно
представить и в несколько иной форме; на основании полученных выше
выражений можно написать:
+ (13.3)
где суммарный коэффициент mzOc
«гос = =р k Аг.0Су г.о (<р + а0 — ек + ПВ8В) =
=тм =р k Аг.0Су г.о (а0 — ек+<р)+т£в (14.3)
и
тг — Н~ kAf.oCy г. о^в-
Точно так же для нейтральной центровки можно получить вместо
(12.3) другое выражение. Для этого надо написать выражение (11.3)
один раз для действительной центровки летательного аппарата, а дру-
гой раз для нейтральной центровки irT.H и вычесть одно выражение из
другого. Выполнив это, получим
хт.н =хт — mzy. (15.3)
При неизменном отклонении руля высоты, как уже отмечалось,
коэффициент продольного момента есть линейная функция су. Если
летательный аппарат обладает продольной статической устойчивостью
по перегрузке, то наклон прямой mz=mz(cy) отрицателен, так что эта
прямая пересекает ось абсцисс при некотором значении сур (фиг. 2.3).
Для осуществления прямолинейного установившегося полета при любом
другом су необходимо удовлетворить условию mz=0 путем отклонения
на соответствующий угол руля высоты.
Выведем аналитическое выражение для угла отклонения руля вы-
соты, обеспечивающего равновесие продольных моментов, действующих
на летательный аппарат при заданном значении су. С этой целью на
основании (13.3) и (14.3) определим сумму <р + пвбв:
——--------± ----------1ПгУ с .
kAr.0Cy гл kAr.ocy г о
В частном случае, когда стабилизатор не отклоняется,
и потребный угол отклонения руля высоты
ф + — —аО“Ьек ±
(16.3)
<p=const,
1
пв
_<р -I----------------]--------L-----тСусу
т — ЪА га — l?A z У
«Zir.ot-y г.о г.о
«0 — ек + ? -j- mz0 + mzCy
пв
„8
тг
(17.3)
$ 2. Балансировка в прямолинейном полете без крена и скольжения
133
В другом частном случае, когда отклоняется целиком горизонталь-
ное оперение и специальный руль высоты отсутствует, бв=0, и потреб-
ный угол отклонения стабилизатора
+ тс.у с v
= — a0-J-sK Т . (18.3)
mz
Из выражения (16.3) видно, что сумма
<р+Пвбв=фэ>
которую можно назвать эквивалентным углом отклонения оперения,
есть линейная функция су. Наклон прямой линии <Рэ=<Рэ(си) зависит от
Фиг, 2.3. Зависимость тг=гаг(си) при разных отклоне-
ниях руля высоты.
степени продольной статической устойчивости летательного аппарата.
Для статически устойчивого летательного аппарата наклон получается
отрицательным, для статически неустойчивого — положительным. Для
аппарата, обладающего статической нейтральностью, прямая <рэ=фэ(с3/)
параллельна оси абсцисс (фиг. 3.3).
Удобнее строить зависимость эквивалентного угла отклонения опе-
рения <рэ не от Су, а от скорости полета. Пренебрегая кривизной земной
поверхности, из условия прямолинейности полета имеем
2G cos 6
с„=---------.
у SqV2
С учетом этого выражения
симости (₽э от скорости полета
получаем следующее выражение зави-
V:
„ , „ , /пго , 2GcosOm^ 1
Ц —I— —j—---------j--------------.
— Mr.oc; ri, — Ыг.ос“ r>ose V2
(19.3)
Примерный вид этой зависимости (называемой балансировочной
кривой) показан на фиг. 4. 3 для летательного аппарата, обладающего
продольной статической устойчивостью. Характер этой зависимости из-
меняется при изменении величины гпсу (фиг. 5. 3).
134
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
Линейный характер зависимости фэ=<Рэ(Сг/) (в этом предположении
были получены и приведенные выводы) при трансзвуковых скоростях
полета может заметно нарушаться.
Выше было отмечено, что в области скоростей полета вблизи М=1
производная тсУ по абсолютной величине резко возрастает. Это приво-
Фиг. 3.3. Влияние степени продольной статической устой-
чивости на зависимость <рэ от су.
дит к нарушению монотонности протекания кривой <ра=<Рэ(У). На этой
кривой образуется своеобразная впадина, как ее обычно называют, —
«ложка». В области «ложки» летательный аппарат имеет тенденцию
к затягиванию в пикирование, как об этом уже упоминалось.
Продолжим анализ балансировочных кривых. По мере увеличения
производной тсу по абсолютной величине наклон кривой <p3=tp3(V)
к оси абсцисс увеличивается. При прочих равных условиях увеличение
наклона получается при смещении центровки летательного аппарата
вперед. При некоторой достаточно передней центровке может оказаться,
что предельно допустимое отклонение оперения не обеспечивает балан-
Фиг. 4.3. Примерный вид балансировочной кри-
вой для летательного аппарата, обладающего
продольной статической устойчивостью.
сировки момента при всех
скоростях полета.
Предельно передней-
центровкой летательного ап-
парата называют такое по-
ложение центра масс, при
котором еще удается обес-
печить балансировку мо-
ментов при наиболь-
шем допустимом значении
Су max-
Если центровка лета-
тельного аппарата располо-
жена позади нейтральной
центровки, определяемой
выражением (12.3) или
(15.3), то летательный ап-
парат статически неустой-
невозможен, то по крайней
чив; полет на таком аппарате если не
мере опасен.
Если центровка летательного аппарата расположена впереди пре-
дельной передней центровки, то обеспечить равновесие моментов при
больших значениях су оказывается невозможным.
§ 2. Балансировка в прямолинейном полете без крена и скольжения
135
Таким образом, для каждого летательного аппарата существует
определенный диапазон центровок, внутри которого может быть обес-
печен устойчивый полет по прямолинейным траекториям.
Для летательных аппаратов, осуществляющих посадку на землю —-
для самолетов, — расчетным случаем для определения предельной пе-
редней центровки является посадка с отклоненными закрылками, так
как в этом случае коэффициенты су и |тго| получаются наибольшими,
а скос потока — наименьшим (см. гл. I).
При расчете предельной передней центровки самолета в уравнения
надо подставлять не предельно допустимое отклонение руля высоты,
а несколько меньшую величину, так как летчик должен иметь опреде-
ленный запас отклонения руля для преодоления момента сил инерции
и для сообщения самолету углового ускорения при подходе к земле.
Фиг. 5.3. Влияние степени продольной статической
устойчивости на вид балансировочной кривой.
Другими словами, при предельно передней центровке следует обеспе-
чить возможность не только прямолинейного полета, но и полета с тра-
екторией, искривленной кверху. Величина запаса отклонения руля вы-
соты обычно лежит в пределах 5—8° и может быть определена ПО' при-
ближенной формуле
Д^в.зап
т —
г dt
mz пос^а^пос
(20.3)
где 1г —момент инерции самолета относительно оси Ozp
—- — угловое ускорение самолета при подходе к земле, задаваемое
dt техническими требованиями к самолету.
Определяя из выражения (10.3) предельную переднюю центровку
самолета, получим
Хт.аер=хр-^—^- [±^Л.о^г.о(/гЛ + апос + '?-епоС)-"г.го]. (21-3)
. су пос
где апос —угол атаки при посадке;
‘’у пос — соответствующее значение су;
mzn и епос берутся для случая посадки с отклоненными закрылками.
Для летательных аппаратов, не осуществляющих посадку :на зем-
лю, предельную переднюю центровку можно определить, исходя из наи-
большей перегрузки л^шах, действующей на летательный аппарат при
различных возможных режимах его полета. Формула для определения
136
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
предельно передней центровки таких аппаратов (вывод такой формулы
не представляет труда, и мы его опускаем) имеет вид
— ~
Лт.пер = XF 77 [±&-Аг.оСу Г.ОХ
max 17
х («Д max+? - snoc+°о) - пг01 ± *А-.О . (22. 3)
су
где qp—расчетная величина скоростного напора.
Иногда расчет предельно передней центровки для летательных ап-
паратов этого типа производят более точно, исходя из неустановившего-
ся движения летательного аппарата в вертикальной плоскости; на этом
вопросе мы остановимся в гл. VIII.
§ 3. ШАРНИРНЫЕ МОМЕНТЫ РУЛЯ ВЫСОТЫ НА РЕЖИМАХ
БАЛАНСИРОВКИ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ
ПОЛЕТЕ
В предыдущем пункте было показано, что для балансировки лета-
тельного аппарата в прямолинейном установившемся полете необходи-
мо определенным образом отклонять руль высоты. По этой причине,
а также вследствие того, что угол атаки горизонтального оперения в об-
щем случае не равен нулю, шарнирный момент руля высоты получается
не равным нулю. Выясним, какая величина шарнирного момента соот-
ветствует различным режимам балансировки летательного аппарата.
Рассмотрим общий случай, когда часть оперения поворачивается (руль
высоты), а часть остается неподвижной (стабилизатор).
Шарнирный момент руля высоты, как мы знаем из гл. I,
Л1Ш.В== ' >
причем коэффициент тш.в шарнирного момента
тш.в= тш.ваг,0 + 4- m^.ETE.
Угол атаки горизонтального оперения аг.о
«г.о—а+ф—ек—Dcy,
где <р— угол установки стабилизатора;
ек — скос потока, вызванный корпусом (фюзеляжем), принимаемый
нами постоянным;
D — коэффициент в выражении скоса потока от крыла.
Угол отклонения руля высоты, потребный для балансировки лета-
тельного аппарата, согласно (17.3)
— ао4“ ек — ? —
пв
mzo+m^'cy
кАтлсуг0
Подставив эти выражения в выражение для тш.в, приведенное выше
получим с учетом, что £
m^=F(AAr.oc“ro/iB):
тш.в = - - mz “rt - £ А.оСу г.о(ао+ ? - £к) - т\ -----
mz L '“ш.в тш.в
§ 3. Шарнирные моменты руля высоты на режимах балансировки
137
Введем следующие обозначения:
> Т €1
F тга~ Щ^тв-Мг.о^г.о(а0+?-ек)-^^ = Л;
'Z L ^Ш.В ^Ш.В ’
cv 8 ^ш.в
т/ — т—г-
теш-в
тогда для Шш.в получим сокращенную формулу
тшъ=А+Всу. (23.3)
Выбрав соответствующим образом угол отклонения тв триммера,
можно получить нулевое значение тш.в и, следовательно, шарнирного
момента Л4Ш.В на каком-либо режиме полета, которому соответствует
скоростной напор q§ и коэффициент подъемной силы суб- Этот режим
полета называют режимом балансировки по усилию. На режиме ба-
лансировки по усилию одновременно обеспечивается равенство нулю
полного момента внешних сил относительно центра масс летательного
аппарата и шарнирного момента.
На других режимах полета, отклоняя соответствующим образом
руль высоты, можно обеспечить равенство нулю момента внешних сил
относительно центра масс; однако при неизменном положении триммера
шарнирный момент руля высоты не будет равен нулю.
На режимах прямолинейного полета справедливо1 равенство
cySq= G cos ©,
где 0 — угол наклона траектории к горизонту.
Из этого равенства получаем
G cos в
Су~~ Sq •
Подставив это выражение в (23.3), будем иметь
+ (24.3)
S д
Обозначим значения коэффициентов А и В на режиме балансиров-
ки по усилию через Ав и В^; тогда на этом режиме должно удовлетво-
ряться равенство
S qf,
из которого находим
Для любого другого режима полета коэффициент шарнирного мо-
мента ~
Geos 6
^Ш.В О
Вд
А Вб д
А6 В дб
Подставив это выражение в более общее выражение шарнирнцго
момента и раскрывая выражение В перед скобками, придем к следую-
Пренебрегая углом (а—<р).
138
Гл. III. У становившееся движение в вертикальной плоскости
щему выражению шарнирного момента руля высоты на режимах пря-
молинейного установившегося полета:
. G
miu.B ~^~cosesBbBk
=»----------
mz
х(1
» йб <7 \
Аб В )
X
(25.3)
Если пренебречь влиянием сжимаемости воздуха на аэродинами-
ческие коэффициенты летательного аппарата, то, как видно из (25.3),
шарнирный момент получается линейной функцией скоростного напора
q. На фиг. 6. 3 показан примерный вид зависимости Мш.в от q для лета-
тельного аппарата обычной схемы и схемы «утка». В обоих случаях
Фиг. 6.3. Примерная зависимость Мш,в —
==Л1ш.в(?) для летательных аппаратов
обычной схемы и схемы «утка».
Фиг. 7.3. Зависимость Л4ШВ =
=Л1п1.в(9) в случае недостаточной
степени продольной статической
устойчивости (обычная схема).
предполагается, что летательный аппарат обладает продольной стати-
ческой устойчивостью по перегрузке, т. е. что /и£у<0. Если степень
продольной статической устойчивости \mczv | очень мала, то может ока-
заться, что выражение в скобках формулы (25. 3) изменит свой знак.
В этом случае зависимость Мш.в от q имеет вид, изображенный на
фиг. 7. 3.
Для нормального управления летательным аппаратом, особенно для
аппаратов, пилотируемых летчиком, шарнирный момент Мш.в при из-
менении q должен изменяться в соответствии с фиг. 6. 3. При таком ха-
рактере изменения Мш.в = Мш.в(<7) летательный аппарат как бы сопро-
тивляется увеличению скоростного напора: для увеличения q при <7><7о
необходимо увеличивать по абсолютной величине Мш.в. В противном
случае, показанном на фиг. 7. 3, для увеличения скоростного напора q
приходится «удерживать» летательный аппарат (при помощи руля вы-
соты), который сам стремится увеличивать q. t
S б?
тш.в~у cos0SBM
Множитель —-------j------, стоящий перед скобками в выраже-
mz
нии (25.3), имеет интересный физический смысл. Чтобы выяснить его,
предположим, что на летательном аппарате, находящемся в прямоли-
нейном установившемся полете, внезапно сместился центр масс на не-
которую величину Ахт. Для того чтобы при этом режим полета остался
§ 3. Шарнирные моменты руля высоты на режимах балансировки
139
неизменным, необходимо отклонить руль высоты так, чтобы было удов-
летворено условие равновесия моментов относительно центра масс
летательного аппарата. Это условие можно написать в следующей форме
(фиг. 8. 3):
О cos &Дхт -|- тпг^в8Ьъд = 0.
Отсюда найдем потребное отклонение руля высоты:
й __ G cos 8 Дхт ___ G cos 8 Дхт
в Sb&q пРг Sq тъг
Для небольших углов атаки можно положить
cos ft = cos (0-|а) ^cos 0,
так что предыдущее выражение принимает вид
(26.3)
з. G cos в Дх,
z
Фиг. 8.3. Момент веса при смещении центра масс.
Так как, по условию, режим полета сохранился неизменным, а угол
отклонения руля изменился, возникнет шарнирный момент руля высоты
ДЛ^В="О
Приняв во внимание (26.3), это выражение можно переписать:
Д^ш.в= - V cos 0Sb VmL.B 4- Д*т- ' (27.3)
В полученных выражениях обозначено:
Разделив обе части
Длт
Дхт —- .
“а
(27.3) на АТт, получим
. G
тш в — cos в SBbBk
Мхш.в =------'-±—ъ---------. (28.3)
Таким образом, рассматриваемый множитель представляет собой
изменение шарнирного момента руля высоты, взятое с обратным зна-
140
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
ком при единичном смещении центра масс (смещении на величину дли-
ны САХ) и при сохранении режима полета неизменным
При отсутствии влияния сжимаемости воздуха на аэродинамические
характеристики летательного аппарата коэффициент получается
не зависящим от скорости полета; если влияние сжимаемости имеет
место, коэффициент зависит от скорости полета.
Приняв во внимание (28.3), для шарнирного момента Л4Ш.В вместо
(25. 3) можно написать:
1
м = — Мх
' ш.в ш.в
'"ш.в
-4 Вб X
Лб В <7б
Характер изменения шарнирного момента при изменении скорост-
'ного напора q при прочих равных условиях зависит от величины и зна-
ка выражения, стоящего в квадратных скобках (25а. 3). Покажем, что
величина этого выражения определяется степенью продольной статиче-
ской устойчивости со свободным рулем.
§ 4. ПРОДОЛЬНАЯ СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА СО СВОБОДНЫМ РУЛЕМ ВЫСОТЫ
Рассмотрим равновесные режимы полета летательного аппарата
при зажатом и при свободном руле высоты.
Пусть летательный аппарат летит в установившемся прямолиней-
ном режиме с определенным углом отклонения руля высоты, необходи-
мым для равновесия моментов относительно центра масс. К рычагам
управления рулем высоты в общем случае приложено некоторое уси-
лие, так как шарнирный момент руля не равен нулю.
Если освободить руль, сняв усилие, приложенное к рычагам управ-
ления, то в первый момент времени на руль будет действовать ничем
не уравновешенный шарнирный момент. Под действием этого шарнир-
ного момента руль отклонится от первоначального положения и через,
некоторое время займет некоторое новое положение, при котором шар-
нирный момент будет равен нулю. Следовательно, при установившемся
полете летательного аппарата со свободным рулем шарнирный момент
должен равняться нулю.
После того как руль высоты займет новое положение, соответст-
вующее условию 7Иш.в=0, балансировка относительно центра масс ле-
тательного аппарата, имевшая место в исходном режиме полета, нару-
шится. В результате появления неуравновешенного момента летатель-
ный аппарат начнет вращаться относительно центра масс, пока в конце
концов не установится новый режим полета, отличающийся от исходного
режима, в котором будет иметь место одновременно равновесие момен-
тов относительно центра масс летательного аппарата и равенство нулю
шарнирного момента руля. Этот новый режим полета будет, очевидно,
режимом балансировки по усилию. *•’
Пренебрегая моментом от сил тяжести, действующих на руль, от-
носительно оси вращения руля, а также моментами от сил трения
1 Для того чтобы от рассмотренного случая, когда отклоняется руль высоты,
а стабилизатор остается неподвижным, перейти к случаю целиком отклоняемого
стабилизатора, в полученных выражениях надо заменить nfz на т'г =+Л.4г.0СуГ 0,
а на таш в.
£ 4. Продольная статическая устойчивость со свободным рулем высоты 141
в проводке управления рулем, формулированное условие равенства
нулю шарнирного момента руля запишем в виде
тш.в="гш.ваг.о + тшА.св + "йи.вТв=0.
Определяя отсюда угол отклонения руля при полете со свободным
рулем, получим
(29.3)
^Ш.в Иш.в
При таком отклонении руля высоты согласно (13.3) коэффициент
продольного момента, действующего на летательный аппарат,
mz св = mzQ + А.о4 г.о («о - Ч + S’) -
У ^Ш.В 8 ^Ш.В 1 с.,
mz ~8 аг.о ‘гвН-тгУ СУ
тш.в ^ш.в
или, если воспользоваться известным выражением для угла атаки го-
ризонтального оперения
аг.о =
—D Vy+ао+? — ек>
/у /
то
^гсв = ^2о+(-|- ^г.оСу г.о -^^((«О-ек+'Р)-
тъ - с
"‘‘г „8 4 СУ
тш.в
(30.3)
Но на режиме балансировки по усилию имеет место равновесие
моментов, действующих на летательный аппарат, относительно центра
масс, так что тгСв=0. Приравнивая нулю выражение (30.3), получим
уравнение, из которого определим значение су§ на режиме балансиров-
ки по усилию:
су б —
___________1
г 8 <.в/ 1
"4Ш.вХ у
8 тш.в / I х „8 тш.в _
— тг -с— (а0—ек-|-®) — тг—^ т
тш.в тш.в
mzo+(+^A.oc; г.о
(31.3)
При неизменном положении триммера на всех других режимах
полета невозможно одновременно обеспечить равенство нулю шарнир-
ного мбмента и момента относительно центра масс летательного аппа-
рата. Следовательно, для каждого положения триммера существует
только адин возможный режим прямолинейного установившегося полета
со свободным рулем, определяемый выражением (31.3).
Определим теперь степень продольной статической устойчивости по
перегрузке при полете со свободным рулем. Взяв производную по су от
выражения (30. 3), получим
тгусЪ=тгу — mz
(32.3)
142
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
Так как всегда -^>0, ( — — £>)>0 и для обычной схемы лета-
<в \ су /
тельного аппарата ти°<0, а для схемы „утка“ иг’]>0, то степень про-
дольной статической устойчивости по перегрузке со свободным рулем
для летательных аппаратов обычной схемы, если не принимать специ-
альных мер (см. ниже), меньше степени продольной статической устой-
чивости по перегрузке с зажатым рулем, а для схемы «утка» — больше.
Теперь становится более ясным смысл стоящего в квадратных
скобках выражения в формуле для шарнирного момента (25. 3) в пря-
молинейном установившемся полете. В самом деле, вместо выражения
(25.3) с учетом (32.3) можно написать
Мш,в=--Мхш.ътсЛв Г 1 • (33.3)
\ Лб в q6 }
Если влияние сжимаемости воздуха на аэродинамические характе-
ристики летательного аппарата пренебрежимо мало, то коэффициенты
А и В при изменении режима полета можно 'считать неизменными. Для
этого случая (33.3) принимает более простой вид:
Мш.в=2И шХу£В ( 1 - • (33а. 3)
Как видим, при отсутствии влияния сжимаемости воздуха на аэро-
динамические характеристики летательного аппарата шарнирный мо-
мент в прямолинейном установившемся полете получается прямо про-
порциональным степени продольной статической устойчивости со сво-
бодным рулем ’.
В более общем случае, когда влиянием сжимаемости воздуха на
аэродинамические характеристики пренебрегать нельзя, зависимость
шарнирного момента от степени продольной статической устойчивости
со свободным рулем получается более сложной.
Если не учитывать влияние сжимаемости воздуха на аэродинами-
ческие характеристики летательного аппарата, то зависимость шарнир-
ного момента 7Иш.в от скоростного напора q будет прямолинейная.
В том случае, когда летательный аппарат обладает продольной стати-
ческой устойчивостью по перегрузке (тсу <0), то, так как коэффициент
ZCB
ЛР^всегда отрицателен [см. (28.3)], с ростом скоростного напора шар-
нирный момент убывает. В тех же случаях, когда влиянием сжимаемо-
сти воздуха пренебрегать нельзя, зависимость Л4ШВ от q получается
более сложная; в отдельных случаях может даже оказаться, что в об-
ласти интенсивного изменения аэродинамических коэффициентов при
увеличении скорости полета шарнирный момент при тсу <0 будет воз-
лев
растать.
Важной характеристикой управляемости самолетов, пилотируемых
летчиком, является величина усилия, которое летчик прикладывает
к ручке управления рулем высоты.
Ручка (или штурвал) управления рулем высоты в обычной схеме
летательного аппарата кинематически связана с рулем так, как схемати-
чески показано на фиг. 9. 3; для схемы «утка» эта связь изображена
на фиг. 10. 3. В общем случае кинематическая связь может быть осуще-
ствлена таким образом, что угол отклонения руля бв не равен углу от-
1 Напомним, что при отсутствии влияния сжимаемости степени продольной ста-
тической устойчивости по перегрузке т у и по скорости dmz colder, будут одинаковы.
2сВ
§ 4. Продольная статическая устойчивость со свободным рулем высоты 143
клонения др ручки управления. Очевидно, что при заданной величине
шарнирного момента усилие на ручке управления
ЖШ.В=-АШ.ВМШ.В, (34.3)
ьр dip dxp
где Ьр — рабочая высота ручки (расстояние от оси вращения ручки до
точки приложения усилия летчиком) и dxp=dpc?dp.
Фиг. 9.3. Кинематическая схема управления рулем высоты
у аппарата обычной схемы.
Выражение (34.3) получается из условия равенства работы при
перемещении ручки и руля высоты.
Коэффициент
fy 1 дЪв
. в Т ТТ ”7
bp бГ&р dXp
(35.3)
обычно называют коэффициентом передачи усилия от руля высоты.
При отсутствии в системе управления самолетом гидроусилителей
(бустеров) (см. ниже), при установке которых шарнирный момент Л4Ш.В
не передается на ручку управления рулем высоты, усилие целиком вос-
принимается летчиком. Это усилие у больших и высокоскоростных са-
молетов может достигать значительной величины *.
Фиг. 10.3. Кинематическая схема управления рулем высоты у аппа-
рата схемы «утка».
На основании (33.3) и (34.3) для усилия на ручке
рулем высоты получаем выражение
/’в=-^.Лш.втХ( 1-~ )•
\ Аб В q6 /
управления
(36.3)
1 Управление «вручную» такими самолетами в этом случае оказывается сложным,
а иногда даже невозможным.
144
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
Фиг. 11.3. Балансиры и пружины в системе
управления рулем высоты.
Выражение (36.3) отличается от (33.3) только множителем А’Ш.Е;
таким образом, по отношению к изменению усилия на ручке управления
остаются справедливыми все замечания, сделанные при анализе измене-
ния шарнирного момента.
Применение пружин и балансиров в системе управления рулем вы-
соты. Если в силу каких-либо причин при окончательном расчете или
dPB
при летных испытаниях самолета выяснилось, что производная
получается отрицательной, то положение можно исправить, введя в си-
стему управления рулем высоты пружины определенной силы натяже-
ния или грузы (балансиры)
с определенной массой. При-
веденные на фиг. 11.3 устрой-
ства расположены на самой
ручке управления рулем высо-
ты, хотя на практике иногда
их размещают и в другом ме-
сте системы.
Очевидно, что создавае-
мый такими устройствами шар-
нирный момент в отличие от
пропорционального скоростно-
му напору шарнирного момен-
та аэродинамических сил, дей-
ствующих на руль, не зависит
от скоростного напора; этот шарнирный момент определится только
массой груза и его расположением или силой натяжения пружины.
Однако коэффициент шарнирного момента
-^ш.б.пр
^ш.б.пр . с ,
kqSBbB
от балансира или пружины, наоборот, в значительной степени зависит
от скоростного напора: этот коэффициент обратно пропорционален ско-
ростному напору.
Необходимо иметь в виду, что при полете с неизменной перегрузкой
по прямолинейной траектории и балансир, и пружина действуют при
изменении режима полета совершенно одинаково: шарнирный момент
обоих устройств при этом не меняется. Наоборот, при полете с изменяю-
щейся перегрузкой действие пружины и балансира существенно различ-
но. При изменении перегрузки шарнирный момент, создаваемый балан-
сиром, изменяется пропорционально перегрузке, так как действующая
на балансир сила пропорциональна перегрузке. Шарнирный момент,
создаваемый силой натяжения пружины, не зависящей от перегрузки,
остается неизменным. Из дальнейшего будет видно, в каких случаях
целесообразно применять пружину и в каких балансир.
Пусть, например, при отсутствии в системе управления балансиров
и пружин зависимость усилий на ручке Рв от скоростного напора q
в прямолинейном полете имеет вид прямой линии, изображенной на
фиг. 12. 3. Выясним, как при помощи пружин и балансиров нужно изме-
нить характер этой зависимости, чтобы обеспечить положительную про-
изводную dPJdq.
Введем в систему управления балансир или пружину, дающие на
ручке управления дополнительное усилие —Рб.щ>- Тогда при изменении
скоростного напора q и при неизменной перегрузке пу усилие Рб.пр будет
одинаковым при всех значениях q. На фиг. 12.3 зависимость
§ 4. Продольная статическая устойчивость со свободным рулем высоты 145
P't—P'v(q) изобразится прямой, параллельной первой прямой РВ = РВ(9)
и смещенной относительно нее вниз на величину Рб.щ>- Новая прямая
не пересекается с осью абсцисс, так что режим балансировки по уси-
лиям не имеет места. Для сохранения прежнего режима балансировки
по усилиям нужно соответствующим образом отклонить триммер руля
высоты или, если стабилизатор управляется в полете, изменить угол
установки горизонтального оперения. Угол отклонения триммера или
угол установки оперения должен быть выбран таким образом, чтобы
при </=<7б суммарное усилие на ручке от аэродинамических сил и от
пружин (балансиров) было равно нулю (см. фиг. 12.3). Так как на
режиме балансировки по усилию до установки устройств шарнирный
момент равнялся нулю, то на том же режиме полета при наличии
устройств шарнирный момент аэродинамических сил, возникший из-за
отклонения триммера, будет равен шарнирному моменту балансира
или пружины.
При других величинах скоростного напора усилие на ручке от
этого дополнительного шарнирного момента аэродинамических сил
будет изменяться пропорционально 1 скоростному напору. В результа-
те зависимость усилия на ручке от скоростного напора при наличии
в системе управления пружины или балансира будет иметь вид, приве-
денный на фиг. 12.3, и производная dPJdq получится положи-
тельной.
На фиг. 12.3 показан сравнительно простой случай, когда зависи-
мость Рв=Дв(<7) близка к линейной. Как уже упоминалось, в некоторых
случаях линейность этой зависимости может нарушаться, так что на
кривой Pv=Pv(q) образуется «ложка», повторяющая «ложку» на кри-
вой mz=mz(a). Пример такой нелинейной зависимости приведен на
фиг. 13.3.
И в этом случае положение можно исправить при помощи пружин
и балансиров. Однако если на участке «ложки» желательно получить
удовлетворительный градиент усилия dPB/dq, то на остальных участках
1 Для простоты принимается mHI=const независимо от режима полета.
10 1824
146
Гл. 111. Установившееся движение в вертикальной плоскости
кривой производная dPJdq получается излишне большой, как это вид-
но из фиг. 13. 3.
Впоследствии мы увидим, что исправить «ложку» можно при помо-
щи автопилота, подобранного соответствующим образом.
Выясним вопрос о влиянии пружин и балансиров на степень про-
дольной статической устойчивости самолета со свободной ручкой.
При наличии в системе управления пружин и балансиров усилие
на ручке
р;=рв-Лурб-рпр, (З7.з)
где пу — коэффициент перегрузки.
Определяя из условия Р' =0 балансировочный угол отклонения
руля высоты со свободной ручкой и принимая во внимание выражение
(34. 3), получим
_ ПуРб + Рпр _
кш.вЗвЬвкдт&шв пГшв
тш.в
о ТВ
теш.в
(38. 3)
Соответствующий этому отклонению руля высоты дополнительный
по отношению к моменту с неотклоненным рулем коэффициент продоль-
ного момента будет
дтгсв=тХ.св =
ПуРб ^пр
кв^Й ^ш.в
я ^Ш.В
mz~Z£~~ аг.о
'^Ш.В
— /и? тв.
2 в
(39.3)
Ш.В
Угол атаки горизонтального оперения, как мы знаем,
аг.о = а+<р—ек—Dcy,
а коэффициент перегрузки 1
(40. 3)
1 В дальнейшем, как и ранее, пренебрегаем углом (а—<р) между направлением
силы тяги и касательной к траектории полета.
§ 4. Продольная статическая устойчивость со свободным, рулем высоты 147
(41.3)
Используя эти выражения, а также введя по аналогии с
эффициент
(28.3) ко-
рх — k Мх
ЛШ.ВУПШ.В»
выражение (39. 3) перепишем в следующем виде:
^пр G/S cos в
^z^
COS ©б?
Рх у
В 4 в
я
mw.B
'"ш.в '"ш.в
гаш.в
(42. 3)
(43.3)
В общем случае при изменении угла атаки коэффициент подъемной
силы изменяется по закону
dCy
cv=~ (« —а0),
da
где производная dcyjda определяется по формулам (5.3) и (4.3).
В том частном случае, когда при изменении режима полета скорость
и число М остаются неизменными, полная производная равна частной
производной:
dcy
=СУ-
М=const
Определяя из предыдущего выражения угол атаки, найдем
+ da
d,Cy
Наконец, внеся последнее выражение в (43.3), получим:
- flcosG + m^f—-D
L^b ~"4.в\^У
ш.в
^пр g/S cos в
су
в Я
МШ.В / I х S «ш.в
-mz~ (°о+?-£к)-тг— тв.
о ^Ш.В
(44.3)
'ш.в
Выражение (44.3) позволяет определить изменение степени про-
дольной статической устойчивости по перегрузке и по скорости при
освобождении ручки управления. Для простоты будем считать, что ко-
эффициент D в выражении скоса потока, в общем случае зависящий от
угла атаки а, не зависит от а, так что D = D(M) и D^D(a). Взяв част-
ную производную по су при условии </ = const, M = const от (44.3), по-
лучим
Ш.В
-—D).
, Са- /
' у '
Из этого выражения видно, что изменение степени продольной стати-
ческой устойчивости по перегрузке со свободной ручкой может быть до-
стигнуто только при помощи балансиров; введение в систему управления
Д/7?г св = — cos 6 — ШЬ
Р m
в ш.в
(45.3)
10s
148
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
пружин не изменяет степень продольной статической устойчивости по
перегрузке со свободной ручкой.
Возьмем полную производную по су от выражения (44.3), имея
в виду, что при изменении су изменяется скорость полета, так что режим
полета остается прямолинейным. Получим
d^mZcB
dCy
р° cos е I G/S cos е Ргр dq m* m^-B ( da
PXB q2 Px dcy Zml^B\dCy
1
Рхъ dM
C COS 0
К У
d f тш.ъ( da
--- fll 6--— I-----
f)ML Zm^B\dCy
d
dM
«8z^(«o + ?-®k) + ^
тш.в
। ^np G/S cos 0\
~? }Cy
Из известного выражения скоростного напора
<7=0,7рнМ2
находим
dq 2q dIA 2q dM da
dcy M dCy M da dcy
Подставив это значение в предыдущее выражение и принимая во
внимание (4.3), получим
dhmz св _ cos в
</Су Рх
с* -<tg0
Рх дм \РХ у
д
дМ
Т’пр da
cos в
Мм,*®
' 2еу у 2су
1 дР-
dCy
тШ.в \ асУ
_ _d_
Су dM
й
mz
9
8 zwiii.B / I \ I я тш.в
m-z — («оЧ-? — тв
тш,в «ш.в
т,„.в / da
тш.в\асу
(46.3)
Из выражения (46. 3) следует, что при свободной ручке изменение
степени продольной статической устойчивости по скорости можно полу-
чить, вводя в систему управления и балансиры, и пружины.
В частном случае, если исходным режимом прямолинейного полета
является горизонтальный полет, то 0 = 0, и выражение (46.3) «несколь-
ко упрощается:
dbmZCB \
dcv I „
У /гор
1 m
Г в
тш.в
da
dCy
СУ dPXB [Рб I Pw \ с д 8 тш.в / da
Рх~дМ\РХв~РХ)~Су'Ал[тг
д
ЙМ
8 ^1и.в /1 \ । б ^ш.в
т* — (ао + ?-ек) + "1г— Тв
теш.в ^ш.в
(46а. 3)
§ 5. Усилия на рычагах управления
149
Наконец, если пренебречь влиянием сжимаемости воздуха на коэф-
фициенты Р*, ташл, тгш в, т*г, пГтъ, а0, ек, D, с“, выражение (46а. 3) упро-
щается еще больше и принимает вид
/ \ + РпР т& тМ — 4бб 3)
\ асу /гор г<_в\«; /
Из всего изложенного следует, что, комбинируя определенным об-
разом пружины и балансиры, можно изменять в желаемом направлении
степень продольной статической устойчивости со свободной ручкой по
перегрузке и по скорости.
Устройство, состоящее из пружин и балансиров, можно рассмат-
ривать как простейший тип автомата усилий, часто применяемого на
самолетах.
§ 5. УСИЛИЯ НА РЫЧАГАХ УПРАВЛЕНИЯ
Применение гидроусилителей в системе управления самолетом.
Выше было отмечено, что в некоторых случаях усилия на органах управ-
ления могут достигать значительной величины, что затрудняет управле-
ние самолетом. Особенно большие изменения претерпевают усилия
на рычагах управления при больших скоростях полета, когда сущест-
венно проявляется влияние сжимаемости воздуха на аэродинамические
характеристики самолета.
Для уменьшения усилий на рычагах управления необходимо увели-
чивать степень аэродинамической компенсации рулей. Этот способ ока-
зывается практически приемлемым лишь до известного предела, так как
производственные отклонения при серийном изготовлении при очень
большой степени компенсации на отдельных экземплярах самолетов
могут приводить к недопустимой перекомпенсации. Кроме того, при
больших числах М распределение нагрузки на органы управления по-
лучается не таким, как при малых числах М; это может привести
к перекомпенсации на одних скоростях полета и к излишней «тяжести»
рычагов управления (большим усилиям) на других.
Эффективным средством нормализации усилий на рычагах управ-
ления летательным аппаратом является введение в систему управле-
ния гидроусилителей (бустеров).
При наличии гидроусилителя, представляющего собой вспомога-
тельный механизм, управляющий рулями, летчику приходится управ-
лять только этим механизмом, что, конечно, гораздо легче, чем управ-
лять рулями. На больших самолетах гидроусилители, по-видимому,
являются единственным средством для получения приемлемых усилий
на рычагах управления.
На фиг. 14. 3 в качестве примера приведена схема действия необ-
ратимого гидроусилителя.
При включении в систему управления необратимого гидроусили-
теля летчик при отклонении ручки управления от себя перемещает
золотник гидроусителя 3, с которым соединена ручка управления.
Вследствие этого в полость а начинает поступать масло под определен-
ным давлением, создаваемым насосом. Под действием давления мас-
ла поршень, соединенный с рулем, перемещается вправо и отклоняет
руль высоты вниз.
При отклонении ручки управления в обратную сторону масло по-
ступает в полость б цилиндра, поршень перемещается влево и руль
высоты отклоняется вверх.
150
Гл. III. Установившееся движение в вертикальной плоскости
При включении в систему управления необратимого гидроусилите-
ля летчик совершенно не сталкивается с изменением шарнирного
момента руля. Усилие передается от летчика к рулю, но обратно усилие
от руля к летчику не передается, поэтому такие устройства и назы-
вают необратимыми гидроусилителями.
Фиг. 14.3. Необратимый гидроусилитель (схематически).
/—корпус гидроусилителя, 2—силовой шток, 3—золотник гидроусилителя.
Так как небольшие усилия, затрачиваемые на перемещение золот-
ника гидроусилителя, не сообщают летчику «чувства управления», то
обычно при необратимых гидроусилителях в систему управления вклю-
чают еще автомат усилий. Автомат усилий представляет собой уст-
ройство, создающее определенные усилия на рычагах управления
в зависимости от их перемещения. Автоматы усилия могут давать
усилия, связанные со скоростным напором, с числом М полета, с пере-
грузкой и т. д.
Обратимый гидроусилитель (фиг. 15.3) отличается от необрати-
мого тем, что он воспринимает не весь шарнирный момент руля,
а только некоторую определенную его часть. В этом случае летчик вос-
принимает заранее определенную часть усилия, создаваемого шарнир-
Фиг. 15.3. Обратимый гидроусилитель (схематически).
ным моментом аэродинамических сил, действующих на руль. Если
аэродинамический шарнирный момент претерпевает резкое изменение,
летчик воспринимает это изменение в уменьшенном масштабе.
Соответствующим подбором параметров обратимого гидроусилите-
ля и автомата усилий можно обеспечить на ручке управления усилия
знака, необходимого для нормального управления самолетом, хотя
аэродинамический шарнирный момент может даже изменять свой знак
(фиг. 16.3).
В заключение этой главы остановимся вкратце на роли трения
в системе управления самолетом.
Трение в системе управления вызывает дополнительные усилия
и нарушает точность движения ручки управления и руля.
§ 5. Усилия на рычагах управления
151
При больших силах трения в системе управления пилотирование
самолета может быть серьезно затруднено. Усилие, которое летчику
приходится прилагать для
преодоления сил трения, рв
всегда направлено в сто-
рону, противоположную дви-
жению рычага управле-
ния. На диаграмме зависи-
мости усилия на ручке от
скоростного напора при на-
личии трения вместо кри-
вой Рв = ^в(^) получим не-
которую полосу, так назы-
ваемую «дорожку трения»
(фиг. 17.3). Если летчик
освободит ручку управле-
ния, то при наличии трения
Фиг. 16.3. Усилия на ручке в случае обратимого
гидроусилителя.
в системе управления само-
лет может быть сбалан-
сирован не при одной
величине скоростного на-
пора, как это получается без трения, а внутри некоторого диапа-
зона аб.
При наличии большого трения летчик практически не имеет воз-
можности плавно откло-
Фиг. 17.3. «Дорожка трения».
автоматически управляемые летательные
Пять ручку управления и
перемещает ее более или
менее резкими отдельными
рывками. Это1, конечно,
отрицательно сказывается
на поведении самолета, осо-
бенно при больших скоро-
стях полета, когда от лет-
чика требуются точные дей-
ствия и весьма небольшие
отклонения ручки.
Сделанные замечания
можно распространить и на
аппараты. Поэтому при про-
ектировании системы управления следует принимать возможные меры
для снижения трения в системе управления таких аппаратов.
ГЛАВА IV
УСТАНОВИВШЕЕСЯ БОКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Боковое движение летательного аппарата, при котором вектор
скорости не лежит в плоскости симметрии аппарата, возможно только
при угле скольжения, отличном от нуля. Как увидим дальше, в ряде
случаев боковое движение происходит одновременно и с некоторым
углом крена у.
Будем называть установившимся боковым движением летательно-
го аппарата такое движение, в процессе которого углы крена и сколь-
жения сохраняют неизменные значения. Установившееся боковое дви-
жение может быть прямолинейным и криволинейным; в силу самого
определения во втором случае угловая скорость поворота вектора ско-
рости есть величина постоянная. Рассмотрим последовательно условия
балансировки летательного аппарата в прямолинейном и криволиней-
ном боковом установившемся движении.
§ 1. РЕЖИМ БАЛАНСИРОВКИ В УСТАНОВИВШЕМСЯ
ПРЯМОЛИНЕЙНОМ БОКОВОМ ДВИЖЕНИИ
В общем случае прямолинейного установившегося полета со сколь-
жением на летательный аппарат, как сказано в. гл. I, действуют: боко-
вая аэродинамическая сила Z, поперечный момент Мх$ и путевой мо-
мент Afyp. Боковые силы и моменты можно считать прямо пропорцио-
нальными углу скольжения р.
Так как в установившемся прямолинейном движении равнодейст-
вующая всех сил, действующих на летательный аппарат, и момент
этих сил относительно центра масс должны равняться нулю, то в рас-
сматриваемом случае прямолинейного полета со скольжением необхо-
димо уравновесить силу Z и моменты и Му$.
Уравновесить моменты AlTp и Му$ можно, отклонив соответствую-
щим образом элероны и руль направления. При этом, вообще говоря,
на вертикальном оперении вследствие отклонения руля направления
возникает дополнительная боковая сила Zn=Z В6Н- В общём случае
равнодействующая сил Z и ZH не будет равна нулю, и в случае пря-
молинейного полета для ее уравновешивания потребуется некоторая
сила. Такую силу можно получить, сообщив летательному аппарату
некоторый угол крена у.
При накренении летательного аппарата вместе с ним наклоняет-
ся и вектор подъемной силы, так что возникает его проекция на гори-
зонтальную плоскость. В связанной системе осей координат при накре-
§ 1. Режим балансировки в установившемся прямолинейном боковом движении 153
нении летательного аппарата сила тяжести G дает проекцию на свя-
занную ось Ozp, эта проекция и уравновешивает равнодействующую
боковых сил (Z-j-ZH), действующих на самолет (фиг. 1.4).
Наибольший интерес исследование прямолинейного установивше-
гося бокового движения представляет для самолета; для летательных
аппаратов схемы «+» или «X» прямолинейное установившееся движе-
ние с креном и скольжением менее типично.
Большую часть полетного времени самолет летит без скольжения,
так что вектор скорости полета лежит в плоскости симметрии самоле-
та; однако в некоторых случаях полезно и даже необходимо исполь-
Фиг. 1.4. Силы, действующие
на летательный аппарат в пря-
молинейном полете с креном
и скольжением.
Фиг. 2.4. Посадка с
боковым ветром (спо-
соб борьбы с ветром
при помощи крена
самолета).
зовать эффект скольжения. В качестве одного из таких случаев рас-
смотрим посадку самолета с боковым по отношению к оси взлетной
посадочной полосы ветром.
Для осуществления посадки при боковом ветре в качестве сред-
ства борьбы с ветром большей частью применяют крен самолета. Са-
молету придают такое положение, чтобы плоскость его симметрии
была параллельна осевой линии взлетно-посадочной полосы (фиг. 2.4).
Вектор скорости самолета относительно земли при этом
направлен параллельно оси взлетно-посадочной полосы, а вектор
истинной скорости самолета относительно воздуха направлен
под некоторым углом к оси полосы. Так как плоскость симметрии са-
молета параллельна оси полосы, то полет происходит с некоторым
углом скольжения р, величина которого определяется выражением
(1.4)
где W— скорость бокового ветра.
Вследствие скольжения на самолет будет действовать боковая
сила Z=Z₽ р. Для того чтобы траектория полета была прямолинейной,
необходимо, как уже указывалось, накренить самолет на некоторый
угол у.
Условия равновесия моментов относительно осей Ох\ и Оу\ и усло-
вие равновесия проекций сил на нормаль к траектории полета, лежа-
154
Гл. IV. Установившееся боковое движение
летательного аппарата
щую в горизонтальной плоскости, для небольших углов у и р, прене-
брегая влиянием кривизны земной поверхности, можно написать
в следующем виде:
₽ 8 „ 8
=0;
где Mtp и Л/уЗ — соответственно поперечный и путевой моменты,
обуслов пенные скольжением;
б б б
А1АЭ, МЗИ, М/о,, —моменты, обусловленные отклонением элеронов и
руля направления;
2?19 и Z8«8H—боковые силы, обусловленные скольжением и от-
клонением руля направления.
Перейдем от сил и моментов к коэффициентам, для чего разделим
все члены первых двух уравнений на Sql, а третьего уравнения — на
Sq; получим
3 ф- Ц- т*н8и=0;
ЩуЗ-|-тун8п== 0;
(2.4)
Три уравнения (2.4) содержат четыре неизвестных: угол сколь-
жения р, угол крена у, угол отклонения элеронов бэ и угол отклонения
руля направления би- Очевидно, что, задаваясь одним каким-либо неиз-
вестным, по уравнениям (2.4) можно найти три остальные.
В рассматриваемом случае посадки с боковым ветром угол сколь-
жения задан: он определяется выражением (1.4). Решим уравнения
(2. 4) относительно у, 6Э и бн, выразив их в функции угла скольжения
Р; получим
(3-4)
Как видно, при борьбе с боковым ветром путем крена самолет
должен подходить к земле с некоторым углом крена. На очень малой
высоте над поверхностью аэродрома быстрым движением элеронов
необходимо убрать крен, с тем чтобы самолет приземлился Нормально
на оба колеса.
Для посадки самолета с боковым ветром по описанному способу
требуются значительные углы отклонения элеронов и руля направле-
ния. Потребные углы отклонения увеличиваются с увеличением угла
стреловидности крыльев и с увеличением коэффициента подъемной
силы, т. е. с уменьшением скорости полета и с увеличением р, как это
видно из (1.4). Напомним, что при увеличении угла стреловидности
§ 1. Режим балансировки в установившемся прямолинейном боковом движении 155
крыльев и коэффициента су коэффициент т₽. по абсолютной величине
возрастает, как это показано в гл. I.
Предположим, например, что при боковом ветре со скоростью
IF=20 м/сек заходит на посадку самолет, истинная скорость полета
которого У=66,6 м/сек.
Угол скольжения, определенный по (1.4),
(3 = 0,3 рад.
Пусть аэродинамические коэффициенты этого гипотетического са-
молета определяются следующими выражениями:
cv=0,9; Л=-0,2; с" ==-0,12; -0,145;
«, = -0,146; =-0,00126; mIH=-0,016; =-0,0017.
Для этих данных по формулам (3.4) получим
g 0Д46 оз= _25 7°;
0,0017
0,145
0,00126
.„ОД
'~0,9
_ 0,016____ОД 46___1
0,145 57,3-0,0017]
0,3-57,3= -28,8°;
0,12 0,146
0,2 57,3-0,0017
0,3-57,3=1,3°.
Как видим, во взятом примере требуются настолько большие углы
отклонения органов управления, что посадка при боковом ветре со
скоростью II7=20 м/сек практически неосуществима.
Посадка при боковом ветре для самолетов со стреловидными или
треугольными крыльями является одним из расчетных случаев для
выбора степени поперечной статической устойчивости самолета.
Уменьшения потребных отклонений органов управления при по-
садке с боковым ветром можно было бы достигнуть путем увеличения
скорости полета: в таком случае при неизменной скорости ветра угол
скольжения получился бы 'меньшим. Кроме того, вследствие меньшего
2G
значения су~ s у3 ПОЛУЧИЛСЯ бы меньший коэффициент |т^. | (см.
гл. I), что также уменьшило бы потребный угол отклонения элеронов.
Однако при увеличении посадочной скорости сильно возрастает длина
посадочной дистанции (см. {1]) и посадка усложняется.
Иногда для борьбы с боковым ветром пользуются способом изме-
нения курса самолета. По этому способу самолет при заходе на посад-
ку ведут не параллельно оси взлетной полосы, а под некоторым углом
к ней или совсем без скольжения, или с углом скольжения меньшим,
чем это требуется по первому способу (фиг. 3. 4). При подходе само-
лета к земле быстрым отклонением руля направления изменяют курс
самолета таким образом, чтобы самолет приземлился параллельно оси
полосы.
Посадда при боковом ветре является частным случаем баланси-
ровки самолета в прямолинейном полете с креном и скольжением.
Другим важным для практики случаем является прямолинейный полет
в случае одностороннего отказа двигателей на самолете с несколькими
двигателями.
При одностороннем отказе одного или нескольких двигателей на
самолете двигатели, работающие с одной стороны плоскости симмет-
рии, создают момент силы тяги Л4ут относительно оси Оу\ (фиг. 4.4).
Этот момент летчик парирует, отклоняя руль направления, в резуль-
156 Гл. IV. Установившееся боковое движение летательного аппарата
тате чего появляется боковая сила ZH на вертикальном оперении. Чтобы
уравновесить эту боковую силу, летчик должен накренить самолет на
некоторый угол у.
Предполагая, как и в предыдущем случае, углы у и 0 небольши-
ми, условия равновесия моментов и проекций сил на нормаль к траек-
Фиг. 3.4. Посадка при боко-
вом ветре (способ борьбы
с ветром путем изменения
курса самолета).
Фиг. 4.4. К определению момента силы тяги
Му т при одностороннем отказе двигателя.
тории, лежащую в горизонтальной плоскости, можно записать в сле-
дующем виде:
^₽+Л4Чн + УИут=0;
Z₽P+ZX+^Y=O.
Переходя аналогично предыдущему от сил и моментов коэффи-
циентам, получим
m хР+тх*« + т&Л=°;
+ <уу=О.
(4-4)
Коэффициент момента силы тяги
^у т Pz-r
mv =-----—--------— .
V т Sql Sql
§ 1. Режим балансировки в установившемся прямолинейном боковом движении 157
В случае горизонтального установившегося полета, когда сила
тяги уравновешивает силу лобового сопротивления, получим
"гут=
QzT _ _ zT
Sy I х I
Так же как и в случае посадки с боковым ветром, уравнения (4.4)
содержат четыре неизвестных: 0, у, бн и бэ- Задаваясь одним каким-
либо неизвестным, можно, решив уравнения, найти три остальные не-
известные. Выражая неизвестные через угол скольжения 0, получим
(5-4)
Как видно из уравнений (5.4), для поддержания прямолинейного
установившегося полета при одностороннем отказе двигателей можно
применять самые различные способы пилотирования самолета: само-
лет может лететь со скольжением в сторону работающих или остано-
вившихся двигателей и соответственно с различными углами крена.
Пусть, например, на самолете с двумя турбореактивными двига-
телями остановился правый двигатель. Тогда для компенсации момен-
та силы тяги необходимо отклонить руль направления влево; возник-
шая вследствие этого на вертикальном оперении сила будет направ-
лена вправо. Компенсировать эту силу можно или накренив самолет
на левое крыло, или сообщив самолету скольжение на правое крыло.
Можно также, сообщив самолету скольжение на левое крыло, уравно-
весить силы от отклонения руля направления и от скольжения боль-
шим по величине креном на левое крыло и т. д.
Следовательно, в случае одностороннего отказа двигателей про-
должать прямолинейный полет можно с положительным, отрицатель-
ным или нулевым углом скольжения. При этом будут получаться раз-
личные углы крена и различные углы отклонения органов управления.
Из возможных комбинаций крена и скольжения следует выбрать та-
кую, при которой получаются наименьшие углы отклонения органов
управления — элеронов и руля направления, — с тем чтобы усилия на
рычагах управления были возможно меньшими и имелся достаточный
запас отклонения этих органов управления.
Рассмотрим преимущества различных комбинаций крена и сколь-
жения на.частном примере.
Пусть остановился правый двигатель на самолете с двумя турбо-
реактивными двигателями, обладающем следующими данными:
тпх= — 0,093; /Пу = —0,12; тук——0,086;
/п>=—0,017; т>= — 0,08; Л=-0,2;
dH= — 0,12; су=0,4; са.=0,03;
^=0,1.
I
158
Гл. IV. У становившееся боковое движение летательного аппарата
По формулам (5.4) для этих данных получаем:
у°= — 0,08₽° —0,6;
0,43 - 0,86^°;
С= —1,4₽°-2.
Ниже приведены углы крена самолета, углы отклонения элеронов
и руля направления в зависимости от угла скольжения, рассчитанные по этим формулам:
—5 —2,5 —1 0 +2,5 +5
¥° —0,2 —0,4 —0,5 —0,6 -0,8 —1,0
К +4,7 +2,6 + 1,3 +0,4 —2,7 —3,9
»н +5,0 +1,5 —0,6 —2,0 —5,5 —9,0
Из приведенных данных видно, что в случае скольжения в сторо-
ну остановившегося двигателя (положительный угол 0) требуются
довольно большие углы отклонения элеронов и особенно руля направ-
ления. Наоборот, при скольжении в сторону работающего двигателя
углы отклонения получаются меньшими; так, при угле скольжения
Р=—1° требуются углы отклонения элеронов и руля направления око-
ло |Г|. Следовательно, при одностороннем отказе двигателей выгодно
продолжать полет с небольшими углами скольжения и крена в сторо-
ну работающего двигателя. Отметим, что рассмотренные примеры ба-
лансировки самолета в прямолинейном полете с креном и скольжением
не исчерпывают всех возможных случаев, когда такая балансировка
бывает необходима. Режимы прямолинейного полета с креном и сколь-
жением могут оказаться полезными, например, в условиях воздушного
боя самолетов или в других ситуациях.
§ 2. РЕЖИМ БАЛАНСИРОВКИ
В КРИВОЛИНЕЙНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ ПОЛЕТЕ
С КРЕНОМ И СКОЛЬЖЕНИЕМ
В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос о балансировке
летательного аппарата в прямолинейном установившемся полете с кре-
ном и скольжением. Если установившийся полет с креном и скольже-
нием осуществляется по криволинейной траектории (установившийся
разворот летательного аппарата), то к рассмотренным выше силам
и моментам добавятся моменты, связанные с вращением летательного
аппарата, т. е. с вращательными производными (см. гл. 1)'\
В общем случае при вращении летательного аппарата с угловой
скоростью со, дающей проекции по всем трем осям координат, возник-
нут дополнительные моменты, коэффициенты которых равны:
m_=пг“хш -ф ш ;
-4 Л •Л 1 л у
$ 2. Режим балансировки в полете с кпеном и скольжением
159
где
- z
W, = W
х 2V
- I
2V
ba
z у z
Кроме того, так как движение летательного аппарата криволиней-
ное, сумма проекций сил на ось Ozi связанной системы координат уже
не будет равна нулю, как это имело место в случае прямолинейного
движения.
Уравнения установившегося криволинейного полета в связанной
системе координат, если считать угловые скорости малыми и пре-
небречь их произведениями, на основании (44.2) — (47.2) можно напи-
сать (пренебрегая кривизной земной поверхности) в виде
+ =0’> (6- 4)
+44=°’ (7- 4>
Z₽₽-]-Z81i8H-]-Ocos&sinY— —mV (aojxl-j-ojyl); (8.4)
М“а+7ИМв = 0. (9.4)
Здесь приведены только уравнения равновесия моментов относи-
тельно трех осей координат и уравнение равновесия сил в проекциях
на ось Oz\; уравнения равновесия сил в проекциях на две другие оси
координат не приводятся. Эти уравнения служат для определения по-
требных для разворота углов атаки а и крена у; такие вопросы рас-
смотрены в [1].
Переходя от моментов и сил к их коэффициентам подобно тому,
как это было сделано раньше, и принимая во внимание условие рав-
новесия сил на ось Оу\, получим
G cos & sin у « Y cos у cos & sin у=c?Sq sin у cos у cos &.
Тогда предыдущие уравнения можно переписать так:
+ 4"8н + т'х 8э + <41 + «1 = 0: (6а 4)
4₽ •+ <н8н + <4i + <УшУ1 = 0; (7а 4)
4 + сгн8н + Су sin Y cos У COS & =---(ао>л1 -ф Ш J =
Qo V
= - (41 + °\1); (8а- 4)
4 g<Sz 3
tnzu -ф т[в%в -ф «1=0. (9а. 4)
Согласно выражениям (19. 1) — (21. 1), приведенным в [1], для не-
больших углов Ь
0Jxi —Ф s*n 8 ~ Ф^>
(1)у1=ф cos & cos у » ф cos у;
(Ю.4)
юг1— —ф cos&sin уж — фзт у.
160
Г л. IV. У становившееся боковое движение летательного аппарата
Кроме того,1 на основании таблицы направляющих косинусов, при-
веденной в гл. II,
Из уравнений (8а. 4) и (10.4) получим (сс&«=Ю)
+ YcosY). (И-4)
К—о у
так что выражения (10.4) принимают вид
pSV 8 . , । 8 .
=----р+с/8н + Су sin у cos у);
+ су sin у cos у);
<°г1 = +СЧ + Ssin Y cos Y)tg у
или в безразмерной форме
“xi (c^+cX+cysinVCOsy);
2V 4m cosy у
-~-(c^+cX + cysinYCOsy);
Uizi = + ^4+cv sin у cos y) tg у.
(12.4)
Определяя из уравнений (6а. 4) — (9а. 4) потребные для баланси-
ровки углы отклонения руля направления и элеронов, а также величи-
ну дополнительного отклонения руля высоты, обусловленную криволи-
нейностью полета, получим
8н=-----+ + <13-4)
т„н
При помощи выражений (12.4)-—(15.4) нетрудно рассчитать ба-
лансировочные углы отклонения органов управления в установившем-
ся криволинейном полете с креном и скольжением.
В качестве одного из примеров балансировки летательного аппа-
рата в криволинейном установившемся полете рассмотрим баланси-
ровку самолета при выполнении установившегося правильного виража
(см. [1], гл. IV).
1 Для простоты ограничимся случаем разворота в горизонтальной плоскости
(0=0).
§ 2. Режим балансировки в полете с коеном и скольжением
161
В этом случае угол скольжения 0 равен нулю и
принимают более простой вид:
(сН+мп? cosv);
= -^-(C>H+Ssinv cosy);
“zl = (С’н8н + Су Sin у COS у) tg у.
формулы (12.4)
(12а. 4)
Подставив выражения ых1 и <ovi по (12а. 4) в (13.4), получим
уравнение, из которого можно определить потребный угол отклонения
руля направления. Выполнив необходимые преобразования, получим
8Н— су sinycosy
8
______cos у
6 qSI I
~л—
y 4m \
cos у
(13a. 4)
Аналогично для углов отклонения элеронов и дополнительного угла
отклонения руля высоты придем к выражениям:
=> qSZ Су
oa=------—smycosy- -------
B x 1 1 г qSI
m„H — -—
4/n
myH
т/ 4-тп“-
cos Y
т8н
у
8
—- 'V
cos у у
8
cos у
(14а. 4)
4m m *
8
г
У
wz
A 8B = — - “T" + Cy sin 7 cos y) tg у. (15a. 4)
mB
Напомним, что в случае правого виража угол крена у следует
брать положительным, а в случае левого — отрицательным.
Выражения (12а. 4) определяют составляющие угловой скорости
по осям связанной с летательным аппаратом системы координат; при
помощи этих выражений можно найти полную угловую скорость лета-
тельного аппарата при правильном вираже. Переходя от безразмерных
угловых скоростей сож1, coyi, cozi к размерным, возводя составляющие
в квадрат и складывая эти квадраты, получим квадрат полной угловой
скорости щ затем — полную угловую скорость. Таким образом, найдем
р c!H8H+cySiny cos у
(0= —4------?---------------
v Су COS2 у
или, принимая во внимание (13а. 4),
8
ф= _ Я-________________
v «н esz / 8
mv — (------
у 4т \ cos y
tgy •
(16.4)
11 1824
162
Гл. IV. Установившееся боковое движение летательного аппарата
В гл. IV [1] для угловой скорости при вираже было получено вы-
ражение
фс=ю = —-^-Igy. (16а.4)
Как видим, выражение (16.4) отличается от (16а. 4). Объясняет-
ся это тем, что ранее в [1] при расчете траекторий полета и, в частно-
сти, при расчете виража мы предполагали силы, действующие на ле-
тательный аппарат, не зависящими от углов отклонения рулей, в то
время как в настоящей книге это влияние принимается во внимание.
Чтобы перейти от полученных выше результатов [формула (16.4)]
к результатам [1] [формула (16а. 4)], надо положить (?н = 0. Как видим,
при czH =0 полученные результаты становятся тождественными ре-
зультатам [1].
Фиг. 5.4. Дополнительная подъемная сила на горизон-
тальном оперении при правильном вираже.
Учет влияния отклонения рулей на величину аэродинамических
сил, как видно из (16.4) и (16а. 4), несколько изменяет угловую ско-
рость поворота траектории полета при том же угле крена у, однако
поправка к результатам расчета, выполненного по правилам [1], по-
лучается небольшая. Ниже это показано на конкретном примере.
Из выражения (15а. 4) видно, что для выполнения виража руль
высоты необходимо отклонить дополнительно кверху (ручку управле-
ния «взять на себя») по сравнению с отклонением руля в прямолиней-
ном установившемся полете с тем же углом атаки, что и при вираже.
Объясняется это следующим. При положительной угловой скоро-
сти <о2>0 на горизонтальное оперение набегает дополнительный поток
воздуха снизу (фиг. 5. 4), так что угол атаки горизонтального опере-
ния в режиме виража получается большим, чем в режиме горизонталь-
ного полета с тем же значением а. На горизонтальном оперении воз-
никает дополнительная подъемная сила, действующая снизу вверх
и создающая дополнительный момент на пикирование самолета. Если
бы летчик не отклонил дополнительно руль высоты в соответствии
с (15а. 4), то самолет под действием дополнительного момента гори-
зонтального оперения вышел бы из режима виража и перешел в режим
снижения по спиральной траектории. Дополнительное отклонение руля
высоты препятствует этой тенденции самолета.
Руль направления приходится отклонять дополнительно на угол,
определяемый выражением (13а. 4), в сторону виража (в случае пра-
вого виража — вправо). Вследствие угловой скорости toj/i (при правом
вираже — отрицательной) на вертикальное оперение слева набегает
дополнительный поток (фиг. 6.4). Это приводит к появлению допол-
нительной боковой силы, действующей на вертикальное оперение,
£ 2. Режим балансировки в полете с кпеном и скольжением
163
и момента 7Кг/=Д7в.о£в.о относительно центра масс, в нашем случае
положительного, стремящегося повернуть нос самолета влево. Для
парирования этого дополнительного момента вертикального оперения
летчик должен отклонить руль направления вправо в соответствии
с (13а. 4).
Точно так же можно объяснить и дополнительное отклонение эле-
ронов при вираже. Отрицательная угловая скорость о>х1 при правом
вираже приводит к тенденции самолета крениться влево. На левом
крыле при этом подъемная сила получается большей, чем на правом:
возникает момент Мх, стремящийся увеличить крен самолета. С другой
стороны, при правом вираже скорость потока, набегающего на левое
(внешнее) крыло, получается больше скорости потока, набегающего
на правое (внутреннее) крыло. Это также приводит к .возникновению
Фиг. 6.4. Дополнительная подъемная сила (боковая) на
вертикальном оперении при правильном вираже.
момента, стремящегося увеличить крен самолета. Для парирования
этого дополнительного момента летчик должен отклонить элероны про-
тив виража в соответствии с (14а. 4).
Рассмотрим пример. Пусть самолет, имеющий следующие данные:
2 = 10 м; Ья = 3 м; —==2884 и/.и2 * * * * * В=294 кГ)м2;
S
^«=-0,12; щ“х=_о,4; mS=-0,25;
-0,001; 0,15; mf* = -6,0;
m^= -0,069; -0,115; 0,86; т’н=-0,05,
совершает на высоте 72=1000 м левый вираж с перегрузкой пу=4 при
скорости 1^=540 км/час =150 м/сек; этим данным соответствует значе-
ние ^=0,92. Пусть угол тангажа 0=12о=0,21 рад.
В результате расчета углов отклонения органов управления, вы-
полненного для этих данных по формулам (13а. 4) — (15а. 4), полу-
чаем
8н ——0,2°; 5=-0,9°; Д5В=-2,О°.
Как видим, особенно большим получается дополнительное откло-
нение руля высоты.
Заметим, что, как видно из приведенных выше формул, величина
отклонения органов управления получается прямо пропорциональной
11*
164
Гл. IV. Установившееся боковое движение летательного аппарата
значению су. Отсюда следует, что по мере увеличения скорости полета
и, следовательно, по мере уменьшения су при той же перегрузке пу
углы отклонения органов управления уменьшаются.
Другим примером балансировки летательного аппарата в криво-
линейном установившемся полете может служить плоский разворот ле-
тательного аппарата со скольжением без крена. Такой разворот, как
уже отмечалось, особенно типичен для летательных аппаратов, выпол-
ненных по схеме «-{-» или «X».
Полагая в формулах (12.4) — (15.4) у = 0, получим следующие
выражения для углов отклонения руля направления и элеронов:
₽ QSI ( а »v\ ₽
my PV + V/ сг
8э =---V [тхтуИ ~ тутхИ - [( (тех - nfy с[) +
тх v L
Дополнительный угол отклонения руля высоты в этом случае ра-
вен нулю.
Для летательных аппаратов схемы «-(-» или «X», как отмечено
в гл. I, можно принять
8 6 со гч
тх — =тух=0.
Тогда предыдущие выражения несколько упрощаются:
Р qSI ш р
т,, —----mjc,
У 4/и У г
5 qSI ш 8
m »— -— т Ус”
у 4т у
(13в. 4)
х
(14в. 4)
по
Пусть, например, летательный аппарат, выполненный
«+», дополнительно к прежним данным имеет: т?у =—0,12, =—2,5
и выполняет разворот в горизонтальной плоскости с углом скольжения
0=0,21 рад.
Произведя расчет по формулам (13в. 4) и (14в. 4), получим
6н=—12,9°; бэ=—0,1°.
Как видим, для выполнения разворота в этом случае требуется
значительное отклонение руля направления: это и понятно, так как
отклонением руля направления достигается нужная величина угла
скольжения.
Отклонять элероны при выполнении разворота на летательном
аппарате схемы « + » или «X» почти не требуется.
§ 3. Шарнирные моменты руля направления и элеронов
165
§3. ШАРНИРНЫЕ МОМЕНТЫ РУЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ И ЭЛЕРОНОВ.
УСИЛИЯ НА РЫЧАГАХ УПРАВЛЕНИЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ
ПОЛЕТЕ С КРЕНОМ И СКОЛЬЖЕНИЕМ
При полете с креном и скольжением на органах управления бо-
ковым движением летательного аппарата — руле направления и элеро-
нах— возникает шарнирный момент, который был равен нулю при от-
сутствии скольжения. Это объясняется, с одной стороны, тем, что
Рт^О, а с другой — тем, что углы отклонения органов управления боко-
вым движением в общем случае не равны нулю. Кроме того, в случае
криволинейного полета углы встречи местного потока с органами
управления (в том числе и руля высоты) изменяются вследствие нали-
чия угловых скоростей сох, сои и <bz.
Выясним, как можно рассчитать величину шарнирного момента
органов управления летательным аппаратом в общем случае криволи-
нейного установившегося
полета с креном и сколь-
жением.
Начнем с определе-
ния шарнирного момен-
та, действующего на эле-
роны. На фиг. 7.4 приве-
дена кинематическая
схема управления элеро-
нами. Рассматривая эту
схему, нетрудно убедить-
ся, ЧТО при отклонении Фиг. 7.4. Кинематическая схема управления элеро-
рычага у, например вле- нами,
во, правый элерон опус-
кается (отклоняется вниз), а левый — поднимается (отклоняется вверх).
Результатом такого отклонения элеронов является возникновение мо-
мента Мхв относительно центра масс летательного аппарата, приводя-
щего к его крену, в нашем примере — на левое крыло.
Как упомянуто в гл. I, для уменьшения вредного момента Муэ от-
носительно оси Оуъ возникающего при отклонении элеронов, применя-
ют дифференциальное управление элеронами. При этом угол отклоне-
ния элерона вниз делают меньшим, чем угол отклонения элерона вверх.
Условимся считать знак угла отклонения элеронов по правому
элерону, причем отклонение правого элерона вниз будем считать по-
ложительным. Этому отклонению элеронов будет соответствовать отри-
цательный шарнирный момент правого элерона и положительный шар-
нирный момент левого элерона. Как можно убедиться, в схеме управ-
ления элеронами (см. фиг. 7.4) на рычаг у поступает разность шар-
нирных моментов, действующих на правый и левый элероны.
Будем считать коэффициент шарнирного момента элеронов линей-
ной функцией угла атаки а и угла отклонения элеронов бэ:
В таком случае шарнирный момент на рычаге у
^Аи.в.пр (тш.э.пр^э.пр тш.а.лЯъ.л) =
=s9lb3 [т‘э (апр^Пр-а^л) + /<%(88.пр?пр + 89.л^л)], (17.4)
166
Гл. IV. Установившееся боковое движение летательного аппарата
где S8i — площадь одного элерона и bs— средняя хорда элерона; апр,
6s.np, <7п₽ и ал, б0.л, Qn — соответственно эффективный угол атаки в обла-
сти расположения элерона, угол отклонения элерона и эффективный
скоростной напор в области элерона для правого и левого крыльев.
Поясним смысл понятий эффективного угла атаки и эффективного
скоростного напора.
Испытания моделей летательных аппаратов в аэродинамической
трубе на шарнирный момент элеронов обычно проводят при нулевом
угле скольжения. Коэффициент шарнирного момента элерона при этом
находят по формуле
где а — угол атаки крыла, измеряемый относительно хорды крыла, ле-
жащей в плоскости симметрии, и q — скоростной напор невозмущенно-
го потока.
Если полет происходит со скольжением р#=0, то условия обтека-
ния правого и левого крыльев и, следовательно, правого и левого эле-
ронов будут различными, в то время как при отсутствии скольжения
(₽=0) в силу симметрии эти условия были одинаковыми.
В первом приближении можно считать, что характер обтекания
правого и левого элеронов определяется величиной местного скорост-
ного напора, рассчитанного по составляющей скорости, перпендикуляр-
ной к линии фокусов, и угла атаки, также рассчитанного в сечении
крыла, перпендикулярном линии фокусов.
При наличии скольжения р>0 составляющая скорости, перпенди-
кулярная линии фокусов, на правом крыле
Vs.np = Vcos (х—₽),
а на левом крыле
Е0.л=Усо5(х+₽).
Соответственно этому получаем величины эффективного скорост-
ного напора и эффективного угла атаки на правом крыле:
cos у
«пс = и---------—
Р cos(x — ₽)
и на левом крыле
cos2 (у + В)
COS2 у
cos(x + ₽)
Как видим, в частном случае, когда р = 0, эффективные, скоростные
напоры и эффективные углы атаки на правом и левом крыльях равны
скоростному напору q, вычисленному по скорости полета V и углу ата-
ки а, определенному относительно хорды крыла, лежащей в плоскости
симметрии летательного аппарата.
Приведенные выше выражения не принимают во внимание влия-
ния угловых скоростей вращения летательного аппарата и, следова-
тельно, относятся к случаю прямолинейного полета с креном и сколь-
жением.
§ 3. Шарнирные моменты руля направления и элеронов
167
В случае криволинейного полета с креном и скольжением углы
атаки и эффективные скорости на правом и левом крыльях получат
дополнительные приращения, связанные с угловыми скоростями <oxi
И
Прежде всего перейдем от угловых скоростей (oxi и co37i в связан-
ной системе координат к угловым скоростям ох и ау в скоростной си-
стеме. Для малых углов а и р на основании таблицы направляющих
косинусов получим
Вследствие наличия этих угловых скоростей (предполагая их по-
ложительными) на правое крыло, опускающееся вниз, будет набегать
дополнительный поток со скоростью, перпендикулярной V и равной
и на левое крыло
где г — координата сечения крыла относительно его плоскости симмет-
_ 2г
рии и z = — .
Пусть zs —координата середины элеронов относительно плоскости
симметрии крыла. Тогда на среднее сечение элерона будет набегать
дополнительный поток со скоростью
Д^уср=±28(<»л1-аозу1) V.
Это приведет к изменению угла атаки крыла в сечении на рас-
стоянии z3 от плоскости симметрии на величину
Да=±28(а)Л1 —ao)yi),
где знак плюс относится к правому крылу, а минус — к левому.
Точно так же из-за наличия угловой скорости соу эффективная ско-
рость потока, набегающего на правое крыло, в области элерона увели-
чится на
Д V=zs(coJ/i4-acoxi) V,
а на левое крыло — уменьшится на ту же величину.
Предполагая дополнительные скорости ДУ малыми по сравнению
со скоростью полета V и сохраняя члены первого порядка малости,
для общего случая криволинейного установившегося полета с креном
и скольжением получим следующие выражения эффективных углов
атаки и, скоростных напоров:
cos у . — /— — \.
cos(x_F+^4t-«м,
cos2(Z-P)_[1+2- (-
7п₽ 7 COS2 X
(18.4)
(18a. 4)
cos-2 x J
168 Гл. IV. Установившееся боковое движение летательного аппарата
Введем обозначение:
^л=*Л.пР=-Л8э, (19.4)
где k3 — коэффициент, учитывающий различие в отклонении правого
и левого элеронов.
При помощи (18.4) — (19.4) выражение шарнирного момента эле-
ронов (17.4) можно привести к следующему виду:
Мш.э~ Sabaqm^3
8-~
сф tg Х-+
теш.э / 1 \
-----Z9 (°41 +ОШу1)
т„?а
(20.4)
При данных угле атаки и скорости полета шарнирный момент эле-
ронов в криволинейном установившемся полете с креном и скольже-
нием, как и следовало ожидать, зависит от угла отклонения элеронов
бэ,_от угла скольжения р и от безразмерных угловых скоростей
и to^i.
Выше было получено выражение (14.4) для угла отклонения эле-
ронов. Подставив (14.4) в (20.4), получим выражение шарнирного
момента, не содержащее угла отклонения элеронов:
Л1ш.э=-Sabsq —
«Ш-Э 1 + ka
2
» тхп ₽ 8 отш.э 2 . V ,
№------т-nv —т* —т-------------аtgy Н4-
ту тш.э 1 + *э j
2
тш.э 1 + ka
(21.4}
Перейдем теперь к определению шарнирного момента руля направ-
ления.
На фиг. 8. 4 приведена кинематическая схема управления рулем
направления. Как видно из этой схемы, при отклонении, например, пра-
вой педали вперед руль направления отклоняется вправо. При этом от-
носительно центра масс летательного аппарата возникает момент Myv,
разворачивающий в нашем случае нос аппарата вправо. Знак отклоне-
ния руля направления вправо принимают обычно за положительный.
При таком отклонении руля направления относительно оси его враще-
ния возникает отрицательный шарнирный момент. *
Примем, как и в случае отклонения руля высоты и элеронов, что
коэффициент шарнирного момента руля направления является ^инейной
функцией угла скольжения р и угла отклонения руля направления
бн, т. е.
т —т$ в+т8» 8 .
Ш-Н Ш.Н‘ I Ш.Н н
В этом случае шарнирный момент
Мш.н = m^„S„bHkq=(mL.Bp+8Н) SKbakq.
(22.4)
§ 3. Шарнирные моменты руля наплавления и элеронов
169
Будем считать, что известна (например, на основании результатов
испытаний в аэродинамической трубе) зависимость коэффициента шар-
нирного момента руля направления вида
р-^-= тМ/ + <«н 5И,
где рг— угол встречи потока, набегающего на вертикальное оперение,
со средней хордой вертикального оперения.
В прямолинейном полете со скольжением угол р< связан с углом
скольжения р соотношением
- Dzc\).
Как отмечено в гл. 1, для летательных аппаратов, выполненных по
схеме самолета, скос потока ez в боковой плоскости невелик, так что
им можно пренебречь; тогда р;~р.
Фиг 8.4. Кинематическая схема управления рулем направления.
В случае криволинейного полета со скольжением значение угла р.,
отличается от того значения, которое соответствует прямолинейному
полету со скольжением. В криволинейном полете возникает дополни-
тельная боковая составляющая скорости потока в области оперения
^Vz=LB.o Si + a(uxi)=2ZB.o (<оу14-айх1)У,
где
У ^-в.о
в.° z
Эта составляющая скорости приводит к изменению местного угла
встречи р, на величину
у kV у k ’
Таким 'образом, в общем случае криволинейного полета со сколь-
жением для шарнирного момента руля направления получаем
Мш.н
n Н л III.Н
+ 2^(Wyl + aiujlj.
(23.4>
170
Гл. IV. Установившееся боковое движение летательного аппарата
Подставив в (23.4) выражение (13.4) балансировочного угла
отклонения руля направления в криволинейном установившемся поле-
те, получим выражение' Л4ш.н, не содержащее угла отклонения руля на-
правления:
0 8
т\-т«
(— tn? \ I —
Ш.Н / \ Ш.Н
(23а. 4)
Выражения (23а. 4) и (21.4) для шарнирных моментов руля на-
правления и элеронов можно представить в несколько ином виде, вве-
дя понятие статических и вращательных производных летательного
аппарата со свободными органами управления.
Предположим, что в установившемся криволинейном полете
с креном и скольжением рычаги управления элеронами и рулем направ-
ления освобождены, так что эти органы управления могут занимать
любое положение. Тогда через некоторое время элероны и руль на-
правления займут такое установившееся положение, при котором шар-
нирные моменты, действующие на них, равны нулю. Соответствующие
углы отклонения элеронов и руля направления получим, приравняв
нулю выражения (20.4) и (23.4):
8э.св = — tg z+^9 ’ (24-4)
1 + k3 tn э
Ш.Э
mP f T — —
8h.cb =----V ₽(1 ~ +2Tt + • (25-4)
Написав выражения для коэффициентов mXCB, my св поперечного
и путевого моментов, действующих на летательный аппарат оо свобод-
ными рулями, получим
св = "гх+ Н-ев +
тусв = /«у + ^/,8н.св>
(26.4)
(27.4)
где тх и ту соответствуют бэ=6н=0.
Так как выражения для углов отклонения рулей, потребных для ба-
лансировки моментов относительно центра масс летательного аппара-
та, и выражения свободных углов отклонения рулей получились раз-
личными, то установившийся полет со свободными рулями на прежнем
режиме невозможен. Такой установившийся полет реализуется при не-
котором другом угле скольжения, при котором одновременно будут
равны нулю и шарнирные моменты органов управления, и моменты
относительно центра масс.
§ 3. Шарнирные моменты руля направления и элеронов
171
Подставив в выражения (26.4) и (27.4) значения бэ.св и 6НСВ по
{24.4) и (25.4), получим
тх св = mx - in* [сф tg х + (сол1 ф- а«у1)] -
т,’э 1 +кэ
т₽
тЪ„ ш-н
8
тш"н
(28.4)
ту св = - тъ» к (1 - Г)24) + 2 yf (<оу1 ф- а<ол1) . (29.4)
Возьмем частные производные от выражений (28.4) и (29.4) по
Р, Oxi и соуГ, получим 'статические и вращательные производные лета-
тельного аппарата со свободными рулями. Проведя необходимые пре-
образования, найдем
а р
а -я4); (30.4)
т.п.э 1 + Лэ И
^CB=^-^K-F(1 -DA)- (31.4)
ЛИ н
Ш.н
2 а; (32.4)
4э1 + ^
„ а р —
= 2^|; (33.4)
m,® 1 + йэ m " V k
- — 7
ЧУсВ = от?-т$н ^ 2 Z/f • (35.4)
™ш.'н
При помощи выражений (30.4) — (35.4) выражения шарнирного
момента элеронов (21.4) и руля направления (23а. 4) можно привести
к следующему виду:
8а
/Ишэ=-5Д^^и+^
тгэ
-э
2
тл-св
тк
5 nLy св
znyH
-4-m
7П«
у св
°\1 +
т у
X св
5
ЛИ„Н —
Л ок,
~^тусв
^ш.н— ~ SKbHkq '-8^(^усвР+/п“хсв‘«Л.1ф-/п“Уви>у1)
т,,н
172
Гл. IV. Установившееся боковое движете летательного аппарата
или, так как мы рассматриваем полет в неизменной плоскости, накло-
ненной к горизонту под углом 0, так что
CySq=n.yG = const G,
к окончательному виду
^ш.э
5
*св >
-Sabg —
8 9 S
m8s
«у
?+
тшх
хсв
т”
"у 1 +
су 2
СВ
5„
- т ” —
т“у — -ъ-пгу
х св т°н у св
(36.4>
мшн= -SKb„k — ^-(т[е $+тш* <0и4-т“у ~ )
Ш.н НН Q О \ V СВ» I у СВ xl I у CBUJvl/
тун су
(37.4)
Как видим, в выражение шарнирного момента руля направления
(37. 4) входят только статические и вращательные производные аппа-
рата со свободными рулями, в то время как в выражения балансиро-
вочных углов отклонения элеронов и руля направления входили стати-
ческие и вращательные производные аппарата с зажатыми рулями. Это
и понятно, так как углы отклонения рулей отсчитываются от нулевых
углов б3 и бн, тогда как шарнирный момент отсчитывается от нулевого
шарнирного момента, получающегося при свободных рулях.
В выражение шарнирного момента элеронов, кроме статических
и вращательных производных аппаратов со свободными рулями, вхо-
дят и некоторые дополнительные слагаемые, относящиеся к зажатым
рулям. Это получается потому, что поперечный момент Мх относитель-
но центра масс летательного аппарата создается не только элеронами,
но и рулем направления (через производную mJ”), в то время как пу-
тевой момент Му создается только рулем направления.
Множители
тЬэ
—11
S т ®
-Sgbg G
— Sabgk
G тш»И
с 8
S туН
в выражениях (36.4) и (37.4) имеют определенный физический
смысл '. Чтобы выяснить его смысл, предположим, что центр „масс ле-
тательного аппарата, совершающего установившийся полет, внезапно
сместился из плоскости симметрии на величину Az.
Для того чтобы сохранить режим полета неизменным, необходимо
соответствующим отклонением элрронов уравновесить появившийся мо-
мент д/Их=Осоз йдг=Осо8й — дг относительно оси Охг (фиг. 9.4). По-
1 Ср. с коэффициентом расхода шарнирного момента руля высоты, выражение
которого получено в гл. III, формула (28.3).
§ 3. Шарнирные моменты руля направления и элеронов
173
требный угол отклонения элеронов (угол отклонения правого элерона)
должен удовлетворять равенству
G cos & дг + m^isfigSql—0.
Отсюда найдем
Д88=-
G соз&Дг
2m^Sq
G
Фиг. 9.4. К определению величины М^.э.
Следствием отклонения элеронов при прочих прежних условиях
будет возникновение шарнирного момента
тш, э q < G п Дг
—SBba — cos & —
m^ $ 2
или, так как при небольших углах атаки а и угла наклона траектории
к горизонту 0 приблизительно cos 'ft = COS 0~ 1, то
Взяв от обеих частей этого выражения производную по >
получим
Мгш.з = 2АЛ1_Ш~Э =-5э&э (38.4)
Дг S m э
Отсюда видно, что множитель М^э представляет собой величину
шарнирного момента, который необходимо приложить к элеронам для
сохранения неизменного режима полета при внезапном смещении цен-
тра масс из плоскости симметрии на величину, равную размаху крыль-
ев (конечно, такое смещение центра масс мыслимо только гипотетиче-
ски, так как центр масс при этом выйдет за пределы летательного ап-
парата).
174
Гл. IV. У становившееся боковое движение летательного аппарата
Таким образом, выражение шарнирного момента элеронов (36.4}
теперь можно переписать в виде
Mw.9=ML
”у 1 +
су 2
(39.4)
Путем аналогичных рассуждений можно для шарнирного момента
руля направления вместо (37.4) получить
= ~ + + , (40. 4)
Су
где
(41-4>
S Шу"
—-величина шарнирного момента руля направления, необходимая для
сохранения режима полета при внезапном приложении момента отно-
сительно оси Оуь равного &My=Gl.
Выражения (39.4) и (40.4) определяют углы отклонения элеро-
нов и руля направления, необходимые для осуществления установив-
шегося криволинейного полета с креном и скольжением. В эти выра-
жения входят вращательные производные летательного аппарата со
свободными рулями.
Таким же путем можно получить выражение дополнительного шар-
нирного момента руля высоты в криволинейном полете через враща-
тельную производную m шг.
Z св
При переходе от прямолинейного к криволинейному полету угол
атаки горизонтального оперения изменяется вследствие появления-
дополнительной составляющей скорости потока, набегающего на опе-
рение, как это видно из фиг. 10.4. Изменение угла атаки горизонталь-
ного оперения
даг.0=А^1_. (42 4)
У k
При освобождении руля высоты в установившемся криволинейном
полете свободный угол отклонения руля бв.св.кр получится отличным
от того, который был в прямолинейном полете 6в.св.пр с тем sj<e углом
атаки а. Обозначим разность
бв.св.кр бв.св.пр = Лбв.св.
Приращение шарнирного момента руля высоты можно написать,
в следующей форме:
(а \
Д8в.св4--4^ Даг.о|=°.
1Y1 В /
" ш. в J
§ 3. Шарнирные моменты руля направления и элеронов
175
откуда
Д8СВ =
'Ш.В
«ш.в
ДКГ.О =
«ш.в Lr 0 —
8.
m в
ш. в
(43.4)
Коэффициент т2СВ.кр продольного момента в криволинейном поле-
те со свободным рулем можно выразить через коэффициент т2СВ.пр
в прямолинейном полете со свободным рулем следующим образом:
^гсв.кр mz св.пр "4“ ^гВД8в.св ^гсв.пр ^2В
Фиг. 10.4. Изменение угла атаки горизонтального опе-
рения в криволинейном полете.
Взяв производную по «21 от этого выражения, найдем вращатель-
ную производную аппарата со свободным рулем высоты:
m в у к
Ш.В
Принимая во внимание выражения (15.4) для дополнительного
угла отклонения руля высоты, обусловленного криволинейностью по-
лета, и (42.4) для соответствующего изменения угла атаки горизон-
тального оперения, получим следующее выражение для приращения
шарнирного момента руля высоты, обусловленного криволинейностью
полета:
/ “ _ \
.яг си и~ «Ш.В I О, ?. «Ш.В /.г.о I
ДД^ш.в — SBbBkq j I m tn в - —I
m в \ m в у “ /
'“z \ Ш .В '
или с учетом (44.4)
Z 8
* П1 в “ —
ДЛ/ш.в= -SBbBkq . (45.4)
mzB
Наконец, воспользовавшись обозначением (28.3), для небольших
углов ©, для которых cos 0~1, (45.4) перепишем в виде
Д^=<.в— (45а.4)
Су
176
Г л. IV. У становившееся боковое движение летательного аппарата
Применим полученные выше формулы к расчету правильного ви-
ража, являющегося частным случаем криволинейного установившегося
полета. В этом случае угол скольжения (3=0, и выражения (39. 4)
и (40.4) принимают вид
Су
9 ^в.о
m
(46.4)
мшэ=мг Пу 1 + k
Ш-Э 1П.Э
(47.4)
где составляющие угловой скорости летательного аппарата опреде-
ляются выражениями (12а. 4).
В качестве примера определим величины шарнирных моментов
элеронов Л4ш.э и руля направления Л1ш.н, а также приращение шарнир-
ного момента руля высоты Д7ИШ.В для самолета, выполняющего левый
вираж. Данные этого гипотетического самолета приведены на стр. 163.
Дополнительные данные, необходимые для проведения расчета, сле-
дующие:
— площадь руля высоты SB = 2,5 м2,
— средняя хорда руля высоты 6В=1 м,
— площадь руля направления SH=2,0 м2,
— средняя хорда руля направления 6н=0,6 м.
— площадь элеронов 5Э=1,5 м2,
— средняя хорда элеронов дэ=0,4 м,
— расстояние от плоскости симметрии до середины длины элерона, от-
несенное к полуразмаху крыла, zH=0,8,
— плечо горизонтального оперения относительно центра массы самоле-
та, отнесенное к средней аэродинамической хорде крыла, £Г.О = 2,5,
— плечо вертикального оперения относительно центра масс самолета,
отнесенное к полуразмаху крыльев, 2ZB.O = 1,5,
— коэффициент, учитывающий дифференциальность отклонения элеро-
нов, ^э=1,28,
— коэффициенты шарнирных моментов:
о о
-0,001; /тЛ -0 0015; = -0,0018;
ш.и * т.н
= -0,0005; mJ= -0,0008; = -0,00016.
т.н ш.э UJ.3
Для виража без скольжения при перегрузке п?/=4, угле тангажа
€'=12°=0,21 рад и угле крена у = —75°40' по формулам (42а. 4) по-
лучаем
сож1= +6,00178; = +0,00212; cozi= + 0,00488. *•
Заметим что угловая скорость виража, рассчитанная по формуле
(16.4), получается <о=-|-0,252 \/сек и почти не отличается от значения
1 Величина со, определенная по формуле (16.4), отличается от той, которую
можно получить путем возведения в квадрат и сложения найденных выше величин
toxi, coBi, (Oxi, предварительно приведенных к размерной форме, вследствие сделанных
допущений о малости угла О.
§ 3. Шарнирные моменты руля направления и элеронов
177
о>=+0,253 1/сек, полученного по формуле (16а. 4). Отсюда видно, что
с вполне достаточной степенью точности расчет радиуса и времени
виража можно вести по формулам, приведенным в [1], не учитывающим
отклонения рулей при вираже.
Вращательные производные аппарата со свободными органами
управления по формулам (32.4)—(35.4) получаются равными:
/п?св = -0,387; /nS =-0,208; <*в= + 0,019;
. = -0,055; = -4,90.
Далее по формулам (28.3), (38. 4) и (41.4) определяем коэффициен-
ты М.в=-46,5; МД» =-264; Л4*.„=—250.
Наконец, по формулам (45а. 4), (46.4) и (47.4) находим шарнир-
ные моменты:
ДЛ1ш.в = 47,58 н-м, Мш.э= 14,03 н-м и 7ИШ.П=0,981 н-м.
Как видим, особенно значительным получается увеличение шарнир-
ного момента руля высоты, обусловленное криволинейностью полета.
Точно так же, как и в случае продольного управления самолетом,
при отсутствии в системе управления гидроусилителей шарнирный мо-
мент целиком передается на рычаги управления и уравновешивается
соответствующими усилиями летчика.
В общем случае кинематическая связь ручки (штурвала) управле-
ния с элеронами и педалей с рулем направления осуществляется таким
образом, что углы отклонения элеронов бэ и руля направления 6Н не рав-
ны углам отклонения 6Р.Э ручки и 6П педалей. Тогда, обозначив коэффи-
циент передачи усилий от элеронов через /гш.я и коэффициент передачи
усилий от руля направления через получим следующие выражения
для усилия на ручке управления элеронами и усилия на педалях управ-
ления рулем направления:
7>э==/'ш.э41ш.0,’ (48.4)
Рц= (49.4)
Значения kнт я и k,„ г, можно определить из условия равенства ра-
боты, совершаемой летчиком при перемещении органов управления,
и работы, совершаемой аэродинамическими силами, приложенными
к этим органам управления — элеронов и руля направления. Таким об-
разом, получим
где 6р.э —• рабочая высота ручки управления элеронами; 6Э и бр.э — соот-
ветственное углы отклонения элеронов1 и ручки управления элеронами.
Точно так же для кшл1 получим следующее выражение:
* Ь —________£L.
Лш.н , ч
где fen— плечо педали относительно оси ее вращения; 6Н и бп
ветственно углы отклонения руля направления и педалей.
(51.4)
— соот-
1 Напомним, что под углом отклонения элеронов бэ мы условились понимать угол
отклонения правого элерона; этот угол считается положительным при отклонении пра-
вого элерона вниз.
12 1824
178
Гл. IV. Установившееся боковое движение летательного аппарата
По аналогии с коэффициентом введенным в гл. III, можно вве-
сти коэффициенты расхода усилий от элеронов и руля направления:
Рэ -
Рх— k мх
Используя приведенные ранее формулы (39.4) и (40.4), получим
следующие развернутые выражения для усилий на рычагах управле-
ния элеронами и педалями:
св? + "S^xi+) • (53- 4>
Су
Дополнительное усилие на ручке управления рулем высоты при
правильном вираже определится по формуле
(54.4у
Су
Если принять
^ln.B=l,6j /^Ш.Э=:1»51 ^Ш.Н=2,5,
то для приведенного выше примера получим следующие величины уси-
лий на рычагах управления:
АРВ = —76,5 н; Рэ=-\ 20,6 н; Рн=—2,45 н.
Как видим, усилия на ручке управления рулем высоты при выпол-
нении правильного виража существенно больше усилий па ручке управ-
ления элеронами и особенно на педалях управления рулем направ-
ления.
Если в системе управления самолетом имеются гидроусилители,,
то часть усилия, приходящего на орган управления, снимается (в слу-
чае обратимых гидроусилителей). В случае необратимых гидроусили-
телей усилия, зависящие от шарнирных моментов органов управления,
на рычаги управления не передаются. Для того чтобы создать у лет-
чика правильные ощущения усилий, в систему управления вводят спе-
циальные автоматы усилий, так же как и при управлении в продольном
движении.
ГЛАВА V
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА
В гл. II показано, что при исследовании возмущенного движения
летательного аппарата приходится рассматривать системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В даль-
нейшем нам придется встречаться с такими дифференциальными
уравнениями двух видов: с однородными дифференциальными уравне-
ниями, правые части которых равны нулю, и с неоднородными диффе-
ренциальными уравнениями, правая часть которых представляет собой
некоторую заданную функцию времени.
Дифференциальные уравнения первого вида описывают так назы-
ваемое собственное возмущенное движение летательного аппарата.
Физически собственное возмущенное движение какой-либо механиче-
ской системы (в частности летательного аппарата) можно реализовать,
если находящейся в равновесии системе сообщить некоторые началь-
ные возмущения и затем предоставить систему самой себе. В случае
летательного аппарата такими начальными возмущениями могут быть
мгновенное изменение угла атаки или скорости относительно воздуха
вследствие порыва ветра, мгновенный крен летательного аппара-
та и т. д.
Если правая часть дифференциального уравнения не равна нулю,
то соответствующее движение протекает при постоянном воздействии
на летательный аппарат внешних сил. Эти внешние силы могут быть,
например, созданы летчиком или командным устройством путем откло-
нения соответствующих рулей.
В этом случае движение называют управляемым движением, а от-
клонение рулей — управляющими воздействиями.
Внешние силы, действующие на летательный аппарат в процессе
возмущенного движения, могут быть также результатом воздействия
внешней среды (например, непрерывно следующие один' за другим по-
рывы ветра и т. п.).
Из Kygca математики известно, что общее решение линейного не-
однородного дифференциального уравнения можно представить как
сумму общего решения соответствующего однородного уравнения
и частного решения рассматриваемого неоднородного дифференциаль-
ного уравнения. В соответствии с этим и движение, описываемое не-
однородным дифференциальным уравнением, можно представить
в виде суммы движения, описываемого однородным уравнением,— соб-
ственного движения — и движения, описываемого частным решением
полного дифференциального уравнения,— вынужденного движения.
12*
180
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
В настоящей главе вкратце остановимся на применяемых в настоя-
щее время методах решения линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, как однородных, так и неоднородных.
В курсе математики приводятся критерии, позволяющие судить об
устойчивости или неустойчивости движения, описываемого этими урав-
нениями, не решая самые уравнения. Инженеру, однако, в большинстве
случаев недостаточно только установить факт устойчивости или неустой-
чивости движения; его интересует еще и характер возмущенного дви-
жения-. степень быстроты затухания возмущений, тип реализуемого дви-
жения (колебательное или апериодическое) и т. п.
Вначале изложим так называемый «классический» метод решения
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами, а также метод, основанный на операционном исчислении, а затем
приведем краткие сведения из теории регулирования, необходимые
в дальнейшем для изучения характера возмущенного движения.
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
(КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД)
Рассмотрим ход решения системы однородных линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами, у которых пра-
вые части равны нулю. Как известно, вначале следует найти линейно
независимые частные решения системы. Общее решение системы диф-
ференциальных уравнений получается как сумма произведений най-
денных частных решений на произвольные постоянные.
Для большей наглядности рассмотрим систему однородных диф-
ференциальных уравнений третьего порядка. Пусть такая система
имеет вид
+ а10х -ф Ьпу + &10у + +Сю?=0;
a2i*+«20х + М+^2оУ + с21^+с2ог = °;
а31х 4“ °30Х 4“ ^31У 4“ ^зоУ 4~ C31Z 4~ сзог = 0-
(1-5)
Здесь и в дальнейшем систему п дифференциальных уравнений
первого порядка для краткости будем называть системой n-го порядка.
Ищем частные решения системы в виде
х=Дех/; у=Веи- z=Ceu,
где А, В, С я X— постоянные величины.
Подставив в уравнения (1.5) какое-либо частное решение, после
сокращения на общий множитель ем придем к системе алгебраиче-
ских уравнений:
(ЦцХ а10) А (bu\ -|- Z>i0) В -|- (сиХ с10) С=0;
(й2?' 4“ fl2o) 4“ (^21^ 4” ^23) & 4“ (сгА 4” f2o) С = 0;
(йзЛ 4~ дзо) -А 4~ (^31^ +М 4- (сзЛ 4- сзо) с=о.
(2.5)
Система (2.5) представляет собой систему однородных (конечных)
алгебраических уравнений относительно неизвестных А, В, С. Как из-
вестно, для получения нетривиальных (отличных от нуля) решений
этих уравнений определитель системы (2.5) должен быть равен нулю.
§ 1. Классический метод решения линейных дифференциальных уравнений 181
Составляя выражение для определителя системы (2.5) и прирав-
нивая его нулю, получим так называемое характеристическое уравне-
ние относительно X.
В рассматриваемом случае системы третьего порядка характери-
стическое уравнение будет уравнением третьей степени:
X3+я27Л+Uih+я0=О,
где коэффициенты характеристического уравнения, как нетрудно уста-
новить, выражаются через коэффициенты дифференциальных урав-
нений.
Характеристическое уравнение третьей степени имеет три вещест-
венных или комплексных корня Хь Х2, Хз (в общем случае число корней
характеристического уравнения равно порядку системы дифференци-
альных уравнений). Предположим, что все корни характеристического
уравнения различны (простые), т. е. Xi=#X2#=X3- На случае кратных
корней характеристического уравнения при рассмотрении классиче-
ского метода решения системы линейных дифференциальных уравне-
ний мы не останавливаемся из-за его сложности. Как будет видно из
дальнейшего, операторный метод позволяет весьма просто решить си-
стему и в этом случае.
После нахождения корней характеристического уравнения, т. е.
после определения значений Xi, Х2 и Z3, из уравнений (2.5) можно опре-
делить только какие-либо две неизвестные,1 выразив их через третью
(например С), которая остается произвольной. Пользуясь произволом
в выборе этой третьей величины, ее обычно полагают равной единице
(например С=1). В результате получают три тройки значений иско-
мых коэффициентов:
Л,, Вь 1,
л2, В2, 1,
Лз, В3, 1,
соответствующие трем корням характеристического уравнения.
Отыскав, таким образом, три частных решения системы (1.5)
xl = AleK't, у^В^е^, zI = ex>',
х2=.А2ех=<, у2—В2ех=<, z2=ekil,
х3=Л3ех»/, у3=В3еМ, £3=ехз<1
общее решение этой системы получим в виде линейных комбинаций
с постоянными коэффициентами найденных частных решений, т. е.
х=cxx j -|- с2х2 -f- с3х3,
У^^1У1+^2У2+сзУз.
i Z^CtZt + c^ + c^s,
где Ci, с2, Сз — произвольные постоянные. В развернутом виде общее
решение запишется так:
х=СуА^1 с2 Л2еХа/ -|- с3 А Зе^‘;
у = с^В^ + с2В2е^+с3В^;
z=qex>z с2еХ2< + с3ех=/.
1 Если все дифференциальные уравнения рассматриваемой системы независимы,
что имеет место в задачах динамики.
182
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Таким образом, описанный способ решения линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в слу-
чае простых корней характеристического уравнения приводит к такой
последовательности операций:
1. Решение характеристического уравнения и определение его кор-
ней X.
2. Решение алгебраической системы (2.5) и определение коэффи-
циентов А, В, С и т. д.
3. Составление частных решений
У„
*2, У2. ^2.
-*з, Уз. z3 и т- Д-
рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.
4. Составление общего решения системы в виде линейной комби-
нации с постоянными (произвольными) коэффициентами найденных
частных решений.
5. Подстановка в общее решение заданных начальных значений
х(О)=хо, у(0)=уо, z(O)=zo и т. д.
и решение полученной алгебраической системы относительно постоян-
ных cit с2, и т. д.
В дальнейшем при анализе возмущенного движения нам могут
встретиться следующие случаи.
1. Все корни характеристического уравнения — действительные
величины.
2. Часть корней —- действительные, а другая часть — взаимно со-
пряженные комплексные или чисто мнимые величины.
3. Все корни — комплексные или чисто мнимые величины.
Представим себе характер возмущенного движения в этих трех
случаях.
В первом случае, когда все корни действительные, кинематиче-
ские характеристики движения, описываемого системой дифференци-
альных уравнений n-го порядка, могут быть представлены в виде
У,=с1/ем + с2(^М + - + cm^nt (3. 5)
Каждое из слагаемых этого выражения изменяется в функции вре-
мени по апериодическому закону и будет возрастать или убывать по
модулю с течением времени в зависимости от знака соответствующего
корня Хг характеристического уравнения.
Пусть хотя бы один корень характеристического уравнения полу-
чился положительным, а все другие корни — отрицательными. Тогда
слагаемые, соответствующие отрицательным корням X, в выражении
(3.5), с течением времени будут убывать, стремясь к нулкЛв пределе
при /—► оо, а слагаемое, соответствующее положительному корню, бу-
дет с течением времени неограниченно возрастать, стремясь & со в пре-
деле при /—со. Таким образом, и вся сумма (3.5) с течением времени
будет неограниченно возрастать по абсолютной величине. Система бу-
дет все более и более отклоняться от исходного движения. Следова-
тельно, в рассматриваемом случае движение системы будет неустой-
чивым.
Для того чтобы движение системы было устойчивым в случае дей-
ствительных корней характеристического уравнения, необходимо, что-
бы все корни были отрицательными.
§ I. Классический метод решения линейных дифференциальных уравнений 183
Рассмотрим теперь второй случай, когда два корня характеристи-
ческого уравнения являются взаимно сопряженными комплексными
величинами, а все остальные корни—действительные. Положим, что
сопряженными являются корни Zi и Z2 (такое предположение можно
было бы сделать по отношению к любым двум корням), т. е.
Х\ = а + Ы, Хг = а—Ы,
где а и Ь — действительные числа.
Рассмотрим частное решение системы дифференциальных уравне-
ний, соответствующее паре корней Zi и Z2:
y1>2==fiieM4-fi2eM. (4.5)
Поскольку мы рассматриваем реальное движение системы, все ве-
личины, входящие в окончательное решение уравнений, должны быть
действительными. Поэтому при наличии взаимно сопряженных комп-
лексных корней X соответствующие им постоянные величины Вх и В2
должны быть комплексно сопряженными (в частности, они могут быть
действительными). Эти постоянные можно записать в следующем
виде:
В\~В—Bi, В2=В+Di,
где В и D — постоянные действительные величины.
Преобразуем теперь частное решение у\,2, написав его предвари-
тельно в форме
у112= (B-Di)e{a+bi)t ^-(B-}-Di)e(a~biU = Beat{ebit +e~bit)-
— Dieat(eb,t— e~b‘‘).
Но по формулам Эйлера
еьи е-ьи l 2 cos bt-, ebit -e~bit =2i sin bt.
Поэтому выражение у-ц 2 можно переписать в виде
i/i, 2=2Beat cos bt+2Deat sin bt.
Это выражение уже не содержит мнимых величин; чтобы сделать
его более удобным для практического использования, введем новые
произвольные постоянные Лиф, связанные со старыми В и D соотно-
шениями
2B=/5sini|j; 2П=Лсозф
или, что то же,
Л = 2ф
Тогда выражение уц2 примет вид
у1,2=Лео(8т(Ь/-]-ф). (5.5)
Ясне*? что в случае комплексных взаимно сопряженных корней ха-
рактеристического уравнения соответствующие частные решения систе-
мы дифференциальных уравнений удобнее использовать не в комплекс-
ной форме (4.5), а в действительной (5.5).
Произвольными постоянными, определяемыми по начальным усло-
виям задачи, являются при этом Лиф.
В выражении (5.5) зш(&/+ф) есть гармоническая функция вре-
мени t, так что движение, описываемое парой комплексных корней
184
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
характеристического уравнения, есть движение периодическое, колеба-
тельное. Это колебательное движение будет затухающим или усили-
вающимся в зависимости от того, положительна или отрицательна
величина а, представляющая собой вещественную часть комплексного
корня. Если а отрицательна, колебания затухают, и система получается
колебательно устойчивой. Если, наоборот, а положительна, то с тече-
нием времени колебания возрастают, и система колебательно неустой-
чива. В частном случае при а=0 колебания будут происходить с посто-
янной амплитудой, и система получится нейтральной.1
Таким образом, условием устойчивости движения в случае комп-
лексных корней характеристического уравнения является отрицатель-
ный знак вещественных частей всех комплексных корней характери-
стического уравнения.
Как видим, во втором случае, когда часть корней — действительные,
а часть — комплексные попарно сопряженные, результирующее движе-
ние будет представлять собой сумму некоторого количества апериоди-
ческих и колебательных движений.
Ясно, что в третьем случае результирующее движение будет пред-
ставлять собой сумму колебательных движений.
Обобщая полученные результаты, приходим к выводу, что для
устойчивости движения необходимо и достаточно, чтобы все корни
характеристического уравнения имели отрицательные вещественные
части.
Мы уже упоминали, что общее решение неоднородного дифферен-
циального уравнения представляет собой сумму общего решения соот-
ветствующего однородного уравнения и частного решения рассматри-
ваемого неоднородного уравнения. Вид частного решения неоднородно-
го уравнения зависит от вида правой части этого уравнения.
В общем случае при заданной правой части и найденном общем
решении соответствующего однородного уравнения частное решение
неоднородного уравнения можно найти методом вариации произволь-
ных постоянных [12], на котором мы не останавливаемся. Если же пра-
вая часть имеет специальный вид
2 (Ak cos v-J + Bk sin gk0,
k
го частное решение имеет тот же вид
2 cos ай/ sin
k
причем постоянные Mk и Nk выражаются через ah, а&, Аь, Bk.
Для решения вопроса об устойчивости или неустойчивости возму-
щенного движения можно и не определять корни характеристического
уравнения, а воспользоваться приводимыми в курсе математики крите-
риями— теоремой Гурвица [12].
Так, например, если характеристическое уравнение представляет
собой уравнение четвертой степени '*
X4 -|- а3Х3 -|- а2Х2 <ZjX а0— О,
то для того, чтобы все корни этого уравнения имели отрицательные
1 Строго говоря, как отмечено в гл. II, при а=0 для решения вопроса об устой-
чивости системы необходимо принимать во внимание нелинейные члены. Однако более
подробное рассмотрение случая а=0 не представляет интереса для инженерной прак-
тики.
£ 2. Краткие сведения по операционному исчислению
185
вещественные части, необходимо и достаточно выполнение условий:
а0>0, О1>0, «2>0, а3>0;|
% = а1а2аг — с&а0 — с&'>§. j
Напомним, что невыполнение последнего условия (положительный
знак дискриминанта R Рауса) означает, что система колебательно не-
устойчива, а невыполнение какого-либо из остальных условий означает
апериодическую неустойчивость системы.
Точно так же для уравнения третьей степени
Л3-|-О2^_Ь G1X + Q-й == О
система критериев устойчивости имеет вид
о0>0, ^>0, «2>0; 1
/? = а1п2 —а0>0. j
Подобные же критерии существуют и для уравнений более высо-
ких степеней.
Изложенный выше классический способ решения линейных диф-
ференциальных уравнений, которым в течение долгого времени пользо-
вались при решении задач динамики, с точки зрения инженера обла-
дает существенным недостатком. Этот способ требует сравнительно
большого объема вычислительной работы, быстро возрастающего с по-
вышением порядка системы дифференциальных уравнений, а также
повышенного внимания. Это затрудняет процесс решения исходной
системы дифференциальных уравнений.
В последние годы широкое распространение получил метод реше-
ния дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисле-
ния. Чтобы сделать этот метод более ясным для читателя, остановимся
вкратце на основных положениях операционного исчисления, которые
потребуются в дальнейшем.
§ 2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Сущность операторных методов [13, 14] решения линейных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами заключается
в переходе по определенным правилам от дифференциальных уравне-
ний к уравнениям алгебраическим, решение которых, конечно, пред-
ставляет собой более простую задачу.
Искомые функции переменного t (оригиналы) и их производные,
входящие в рассматриваемые уравнения, заменяются изображе-
ниями этих функций и производных. Переход от оригиналов к изо-
бражениям осуществляется путем специального преобразования;
в дальнейшем будем пользоваться преобразованием Лапласа.
Изображением по Лапласу У(р) функции y(t) называют следую-
щее интегральное преобразование, содержащее параметр р, представ-
ляющий в общем случае комплексное число:
Y {р) = ^е~Р*у (8.5>
О
Интегральное преобразование Лапласа, т. е. переход от оригинала
y(t) к его изображению У(р) по формуле (8.5), часто обозначают сим-
волом /-[*/(£)]. В дальнейшем символ Е-фУ^)] будет обозначать
обратный переход от изображения У(р) к соответствующему ему ори-
гиналу y(t).
386
г'л. V Математические основы исследований динамики полета
Приведем некоторые основные положения операционного исчисле-
ния, не останавливаясь на доказательстве этих положений.
1. Изображение суммы нескольких оригиналов равно сумме изо-
бражений этих функций:
ЦУх (0 +y2(t) + ... +уп (t)] = Y{ (р) + У2(р) + ... 4-У„ (р). (9. 5)
2. Изображение оригинала y(t), умноженного на постоянную с,
равно изображению У(р) этого оригинала, умноженному на с, т. е.
L[cy(t)] = cY(p). . (10.5)
3. Изображение производной у (t) выражается через изображение
Y (р) функции y(t) при помощи формулы
Lly(t)]=pY(p)— р(0). (11.5)
Справедливость этого положения можно установить, составив
выражение изображения функции y(t)
со
L [у(0] = J e-p‘y(t)dt
о
и выполнив интегрирование по частям.
Как видим, дифференцированию оригинала y(t) соответствует
умножение изображения У(р) на множитель р, т. е. алгебраическая
операция.
Для высших производных функции y(t) переход к изображению
осуществляется по формуле
(р)-р«-1у0-р«-2;0_ ... - у*"-1’. (12.5)
Здесь у0, у0... —значения функции y(t) и ее производных
щ начальный момент времени /=0. Если эти начальные значения рав-
ны нулю, то предыдущее выражение принимает более простой вид:
L[y^t] = pnY(p).
t
4. Изображение интеграла [ y(t)dt выразится через изображение
о
У(р) функции y(t) при помощи формулы
J У У) di
.0
У(Р)
р
(13.5)
Справедливость этой формулы доказывается при помощи правила
предыдущего пункта.
Как видим, интегрированию оригинала y(t) соответствует деление
изображения У(р) на множитель р, т. е. алгебраическая операция.
5. Изображения простейших функций нетрудно получить непосред-
ственным интегрированием. Например,
если у(/)=1, то К(/?)=—,
Р
если у(^)=Л
то У(р)=^-,
Р2
§ 2. Краткие сведения по операционному исчислению
187
если y(t) — eat, то Y (р)—-,
р —а
если y(f)=teat, то Y (р)=-—-—— .
Можно показать, что для любого оригинала вида tm еи , где m —
любое натуральное число или О, X-—любое комплексное число, изобра-
жения будут иметь вид дробно-линейной функции. В общем случае
дробно-рациональную функцию можно представить в виде
Г(Р)=^Ж (И.5)
?(д)
где f(p) и <р(р) — целые полиномы от р, причем степень полинома
f(p) равна или меньше степени полинома <р(р).
Если вид изображения Y(р) получается достаточно сложным, то
для облегчения перехода от изображения к оригиналу сложную дроб-
но-рациональную функцию (14.5) целесообразно представить в виде
суммы элементарных дробей, а затем найти изображение искомой
функции как сумму простых изображений, соответствующих элемен-
тарным дробям.
Из курса математики известно, что если все корни уравнения
<р(р) =0
различны (простые), то рациональную дробь можно представить в виде
суммы
у(р)=У,——. <15-5)
P—Pi
где п — число корней уравнения <р(р)=О, а р, — корни этого урав-
нения.
Коэффициенты kj разложения определяются по формуле
А=Г(р-р.)-/Ш . (16.5)
1 L 1 ч (р) \p-pj
Пусть, например, изображение имеет вид
Г(р)~ 22р + 3„ .
рч—р — 2
Прежде всего находим корни уравнения:
р2—р—2=0;
получаем
pi —— 1; Рг—+2.
Далее находим коэффициенты разложения ki и k2 по форму-
ле (16. 5) <
(Р —А)
k,
Л’ Г /(р) j /(р) 1 =Р1 1 . 3 ’ +7_
~Р1)(Р — Р2) Jp +1
L Р—Р2 Jp=Pi /(р) — 1 — 2 1 [/(/?)
(Р — Pi) (р — Рг) Jp-Ps Lp—Pl. IP=Ps 2+1
7
3
188
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Наконец, искомое изображение представляем в виде
, И 1 , 7 1
Переходя от изображения к оригиналу, найдем
y(O=-Ue“'+7e2/l-
о
В том случае, если среди корней уравнения
ф(р)=0
имеется кратный корень (например р\) с кратностью q, то <р(р) можно,
представить в таком виде:
<Р (Р) = (р—Pt)9 (р~р2) (р~Рз) . (р—рп). (17.5)
Разложение на элементарные дроби при этом получается сле-
дующее:
I—Ч j=n— q
Z=1 /=2
Коэффициенты k, в этом выражении определяются по тем же пра-
вилам, что и раньше (эти коэффициенты соответствуют простым, т. е.
различным корням уравнения). Коэффициенты fa первой части разло-
жения находятся по формуле
k = 1 ( dl~l
1 (/-1)! y(p)
В частности, коэффициент
k = (Р — P\)4f(p)
L Jp=p.'
Коэффициент
, d Г (р—Pi)7(p)
гСл-- ~~
dP ¥ (Р)
(19.5)
И T. Д.
Пусть, например, изображение имеет вид
Г(р)
______р+1
р3 — 7/2 + 16/— 12
Приравнивая нулю выражение, стоящее в знаменателе, получим
уравнение
р3—7р2+16р—12=0,
имеющее кратный корень pj = 2 с кратностью q=2 и простой корень
Р2 = 3.
По формулам (19.5) и (16.5) последовательно получаем».
__ d г / +11 _Г______4 1
dP Lp — 3 Jp„2 I (p — 3)2
/г3=Г £-+-1 1 =4.
3 I (P~2)2
$ 2. Краткие сведения по операционному исчислению
189
Искомое изображение, таким образом, представим в виде
(P-2Y Р-2 гр-3
Оригинал, соответствующий этому изображению, имеет вид
у (t) = 3te2t—4ezt+4е3*=—(3/+4) е2/+4е3/.
Описанными способами можно представить изображения дробно-
рациональных функций в виде суммы простых изображений; от этих
изображений нетрудно перейти к оригиналам. Подобные соответствия
между изображениями и оригиналами называют «словарем» изобра-
жений Лапласа; такой словарь изображений приведен в конце книги
(см. приложение 2).
При решении некоторых задач динамики иногда встречаются слу-
чаи, когда нет необходимости получать решение дифференциального
уравнения в явном виде. Достаточно бывает установить только некото-
рые свойства решения y(t); в частности, важно бывает знать поведение
функции y(f) вблизи t=0, т. е. в самом начале движения, и вблизи
/= со, т. е. для больших t, при условии, что система устойчива. Таким
образом можно оценить динамические свойства системы.
В курсах операционного исчисления приводятся следующие две
важные теоремы, позволяющие решить поставленную задачу [13], [31].
6. Если существует предел функции lim[y(/)]<_о , то
lim[z/(0]/-o=lim[pY(p)]p-„ .
По этой теореме, зная вид изображения У(р), можно определить
предельное значение оригинала при £=0. Подчеркнем, что это возмож-
но только в том случае, когда заранее известно, что такой предел су-
ществует, хотя само значение предела и неизвестно. Возможны случаи,
когда существует предел Ит[рУ(р)]₽_*»,, но lim[z/(Z)]^o не существует.
Примером такого случая может быть следующий оригинал
,(0=^cos(A),
которому соответствует изображение
У (р) = -| / — е~ cos (]/2р).
V р
Нетрудно убедиться, что, хотя
Пт[рУ(р)]р-«, =0,
lim[r/(/)b-*o не существует.
7. Если существует предел функции Ит[г/(/)]<-« , то
*’ lim[£/(0h-« =Пт[рУ(р)]р-о.
Аналогично предыдущему при помощи этой теоремы можно оце-
нить предельное значение
Нт[г/(0]/-и =#( + с/э),
если заранее известно, что этот предел существует, т. е. что рассматри-
ваемая система устойчива.
Этими двумя важными теоремами мы будем впоследствии неодно-
кратно пользоваться при анализе возмущенного движения летательных
аппаратов.
190
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
8. Теорема подобия утверждает, что если в выражении оригинала
заменить независимую переменную t на at, где а>0 — некоторое по-
стоянное число, то изображение Y(p) заменяется изображением
— Y (-£-Y
а \ а )
Пусть, например, оригинал имеет вид
y(t) =cos t.
Этому оригиналу, как нетрудно убедиться, соответствуем изобра-
жение
Если теперь вместо t подставить at, то оригинал примет вид
у (at) = cos (at),
а изображение этого оригинала в соответствии с теоремой подо-
бия — вид
Р
а (JLj + j Р2 + «2
9. По теореме запаздывания смещение начала отсчета времени на
некоторую величину t0 приводит к умножению изображения на е~р‘°.
Другими словами, если задана функция y(t), изображение которой
равно Y(p), то изображение функции y(t—to) будет иметь вид
L[y(t-ta)}^e~^Y (р).
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Применяя методы операционного исчисления, можно существенно
упростить решение линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами, сведя его к решению алгебраических урав-
нений.
Пусть имеется дифференциальное уравнение /г-го порядка с по-
стоянными коэффициентами:
z/I+an_it/'I-i+ ... +a1y+aoy=x(t), (20.5)
решение которого должно удовлетворять заданным начальным усло-
виям у(О)=уо, у(О)=уо....У(0){п~1)=у{оП~1). Здесь у0, у0, • , у<п~'' —
заданные числа; x(t) —заданная функция времени t (в частном случае,
если x(t) равна нулю, получается однородное дифференциальное урав-
нение).
Для решения этого дифференциального уравнения необходимо вы-
полнить следующие операции.
1. Составим выражения для изображений производных, пользуясь
формулой (12.5). Следуя этой формуле, получим
Z. [у<п>(/)] = р'!Г (^)_р«-1у0_р«-2у0_ ... -у^"1’;
§ 3. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений 19
А (р)-р"-2уо-ря-3Уо- • - -у^2>;
l [у(О]=^(р)-уо;
А[у(/)]=Г(Р).
Таким образом, изображение дифференциального уравнения напи-
шется в следующей форме:
ь [РП + «Л-1РЯ~1 + - - • + «1А’+о0]Г(р)=А' (р)+
+ У о (Р"-1 + ап-1Рп~2 + • • • + «1)+
+Уо(Ря^+«л-1Г-3 +... + а2)+ • • • + (р + Уоя~2) -| - уГ П, (21.5>
где Х(р) —изображение x(t).
2. Определим отсюда изображение функции У(р):
У(Р)=-ЦЕ)г, (22.5)’
<е(р)
где f(p)—правая часть уравнения (21.5); <р(р)—характеристический
многочлен, входящий множителем при У(р) в левой части этого урав-
нения.
3. Если изображение (22.5) представляет собой рациональную-
дробь (такой случай и представляет интерес в задачах динамики), то,
разлагая дробь (22. 5) по указанным выше правилам на простейшие,
находим, используя словарь изображений, искомое решение уравнения7
(20.5), удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Проследим описанный ход решения на примере дифференциаль-
ного уравнения второго порядка:
y+aiy + aoy=x(t). (23.5)'
Изображение дифференциального уравнения имеет вид
Е(р) (p2+tzi/?+a0) =Х(Р) +уо+ (а1 + р)у0.
Определяя отсюда изображение Y(p) функции y(t), получим
У (р)=-----------Ь-а|Уо+у° 4- у0---р-----. (24. 5>
Р2+«1Р+Ло pi+a}p-\.a0 и p^+ajp + ao
Соответствующий этому изображению оригинал
У Г *(р) l + GWo + yo)*--1 [------------------1 +
Lp2+ai/H-a0J 1Р2+ atp-t-aol ‘
Р
Р2 + а}р + а0
По сл<цшрю изображений, предполагая корни pi и р2 знаменателя
p2+aip+ao простыми и действительными, находим
+У<Л-*[
---------- =
[Р2+ «1Д + «0
£-{•---------1
[р2+й]Р+Д0 j
eplt— ер^ .
Р\ — Pi
P\ePit—р2ер^
Р\~Рч
192
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Для того чтобы найти оригинал, соответствующий изображению
Х(Р)
р2 + ахр + а0
необходимо задаться конкретной формой функции x(t).
Особый интерес для нас будут представлять три случая:
1. х(/)=0. Для этого случая однородного уравнения получим
у (0= (^Уо+уоГ-^’+уо
Р\ — Рч
Pi — Рч
(Д1 + Р1) Уо + Уо ePit <Д] + Рч) Уо + Уо еР11
Pl ~РЧ Pl — Рч
(25. 5)
2. x(t) = c=const. По приведенным выше правилам
X(p)=L[c]=-^,
р
так что к решению, полученному в п. 1, надо прибавить оригинал, соот-
ветствующий изображению
с
У'(Р)=
p(p^^aip-^a0)
Воспользовавшись словарем изображений, получим
выражение этого оригинала:1
y'(z)=^
1 J рче^—р^1 '
а0 а0 (Р1 — Рч)
Таким образом, полное решение дифференциального
принимает вид
У(0=—Н-----------[[(а1 + /’1)У0+у0+ —р2]^-
ао Pi—Рч Ч До
- [(«т + аЬо+Уо + ~ Pile"’1].
I а0 J )
3. Функция x(t) задана гармоническим законом:
х(0 =%osin a>ot.
следующее
уравнения
(26. 5)
В этом случае к решению п. 1 следует прибавить оригинал, соот-
ветствующий изображению
____Х(р) _________1________
Р- +atp + а0 0 0 (р2 + »о)(р2 + «1р + До) ’
По словарю изображений находим
у'(/)=- - ~ ... sin (оу/-I Ф)-U
_|_Д° 1 ePlt 1 gp.J
“о p\(Pi — Рч) P^iPi — Рч)
1 Так как Pip2 = ao
£ 3. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений 193
где
tg ф=а>0. + >
Р\Р2~ *"о
так что полное решение дифференциального уравнения получается сле-
дующее:
у ъsin
] (^1 +“о)(Р2 +ыо)
+ “—~----II “^2 + (Й1 + ^1)УоЧ”Уо
Р1 — Р2 I “0Р1
еР^ —
(27.5)
-----+(«1 + Аг) У о + У о ерЛ •
ш0/?2
Мы привели ход решения для случая, когда корни уравнения
р2+а1р+ао=0
— действительные и простые. Аналогично можно было бы провести ре-
шение и для случая комплексных или кратных корней; пришлось бы
только воспользоваться другими выражениями, приведенными в слова-
ре изображений.
Подобным же образом осуществляется решение дифференциаль-
ных уравнений более высоких порядков.
Как видим, объем и сложность вычислительной работы при реше-
нии линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами операторным методом получаются меньшими по сравнению
с решением «классическим» методом. Особым преимуществом опера-
торного метода решения является то обстоятельство, что при его помо-
щи можно сразу найти решение дифференциального уравнения (или
системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющее заданным
начальным условиям. При применении классического метода пришлось
бы проделать дополнительную работу — решить систему алгебраиче-
ских уравнений для определения значений произвольных постоянных,
удовлетворяющих заданным начальным условиям. Кроме того, в отли-
чие от классического метода при пользовании операторным методом
наличие кратных корней характеристического уравнения не усложняет
ход решения.
Отметим, что при отсутствии вынуждающей функции в правой ча-
сти уравнений (случай 1) для устойчивой системы, т. е. для отрица-
тельных корней pi и р2, возмущение y(t) с течением времени затухает,
стремясь к нулю при
Во втором случае, когда на входе в систему действует постоянно
приложенное возмущение x(t)=c, с течением времени y(t) возрастает,
стремясь к пределу у(оо) = —. Действительное движение в этом слу-
а-о
f с
чае представляется в виде суммы вынужденного движения y(t) = —
ао
и собственного возмущенного движения, описываемого двумя другими
слагаемыми выражения (26.5). Собственное возмущенное движение
с течением времени затухает и остается только вынужденное.
Точно так же в третьем случае, когда возмущения изменяются по
закону x(t) =xosin<i)o^ вынужденная составляющая движения описы-
вается первым слагаемым выражения (27.5), а собственное возмущен-
13 1824
194
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
ное движение — двумя другими слагаемыми этого выражения.
Для устойчивой системы (корни pi<0, Рг<0). собственное движение
с течением времени затухает, так что через некоторый достаточно
большой промежуток времени t остается только вынужденное колеба-
тельное движение.
Для улучшения динамических свойств системы желательно, чтобы
собственное возмущенное движение затухало достаточно быстро;
к этому вопросу мы еще вернемся впоследствии (см. гл. VI и после-
дующие) .
§ 4. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ »
. < Режим работы . или рабочий процесс какого-либо технического
устройства (механической системы) характеризуется одной или не-
сколькими величинами, которые для осуществления этого режима ра-
боты или хода процесса должны поддерживаться постоянными либо
изменяться по определенному закону с течением времени. Эти величины
называются регулируемыми величинами или регулируемыми парамет-
рами.
Процесс поддержания определенной величины регулируемых пара-
метров механической системы при различных внешних воздействиях,
а также процесс изменения рабочего режима системы называется про-
цессом регулирования.
Термином система регулирования обозначают комплекс, состоящий
из объекта регулирования и регулятора с промежуточными устройст-
вами, устанавливающими связь между регулятором и объектом регу-
лирования.
Объектом регулирования называют техническое устройство (меха-,
иическую систему), рабочий процесс которого необходимо регули-
ровать.
Многие процессы человек может регулировать вручную; при этом
он наблюдает за ходом процесса; сравнивает фактические значения ре-
гулируемых величин со значениями, необходимыми для нормального
хода процесса, и в случае их несовпадения осуществляет необходимое
воздействие на процесс. В данном случае человек, выполняющий функ-
ции регулирования, и играет роль регулятора.
В качестве примера регулирования вручную можно привести само-
лет, управляемый летчиком. Замечая, что режим полета самолета от-
личается от желаемого, летчик, отклоняя соответствующим образом
рули, вынуждает самолет лететь на желаемом режиме полета.
Однако далеко не всегда человеку удается осуществить полное или
даже частичное управление ходом рабочего процесса механической
системы. Особенно ярко это можно показать на примерах развития но-
вой техники, связанной с использованием атомной энергии, £ созданием
летательных аппаратов новых типов, в тех случаях, когда приходится
иметь дело с очень быстрым изменением внешних воздействий или
с очень точной дозировкой регулирующих воздействий. Так, например,
на самолете больших скоростей и высот полета летчику затруднитель-
но выполнять функции регулятора: для облегчения работы летчика
применяют специальные автоматические устройства, например авто-
пилот. В этом случае система регулирования состоит из самолета, лет-
чика и автопилота.
1 См., например, [15] и [16].
§ 4. Краткие сведения о регулировании параметров механических- систем 195
Автопилот является автоматическим регулятором. Этот регулятор
автоматически поддерживает заданный режим полета самолета без
вмешательства летчика. Кроме того, автопилот по заданию летчика,
программного механизма или системы телемеханического управления
может изменять режим полета по требуемому закону.
Таким образом, автопилот в соответствии с выполняемыми задача-
ми может иметь два различных режима работы: режим стабилизации
(выдерживание прямолинейного полета летательного аппарата с наи-
меньшими рысканием по курсу, продольными и. поперечными колеба-
ниями) и режим управления (изменение режима полета летательного
аппарата в Соответствии с указаниями задатчиков).
Система регулирования, в режимах стабилизации и управления
которой не участвует человек, носит название системы автоматическо-
го регулирования (САР).
Задача автоматического регулирования состоит в автоматическом
поддержании значения регулируемой величины вблизи .заданного ее
значения, которое может быть постоянным или переменным в зависи-
мости от времени.
Регулирование для решения этой задачи можно осуществлять раз-
личными способами.
Можно создать регулятор, реагирующий на изменение производ-
ной регулируемой величины. Такой регулятор как бы «предвидит»
назревающие отклонения системы от заданного режима: это является
его положительной стороной. Однако вследствие того, что такой регу-
лятор не реагирует на отклонение регулируемой величины, возмущения
через некоторое время приведут к ее отклонению от заданного зна-
чения.
Другим типом является регулятор, реагирующий непосредственно
на отклонение регулируемой величины от заданного ее значения.
Преимущество такого способа регулирования по отклонению со-
стоит в том, что с течением времени регулируемая величина в среднем
будет оставаться неизменной. Недостатком этого регулятора является
то, что регулятор воздействует только после отклонения регулируемой
величины от ее заданного значения.
В качестве примера рассмотрим простейшее движение крена само-
лета. Пусть в результате воздействия возмущений внешней среды (по-
лет «в болтанку») возникает накренение самолета. Задача регулятора
заключается в поддержании угла крена вблизи нулевого значения; для
этой цели на самолете устанавливают автопилот, представляющий
собой регулятор. Если этот регулятор реагирует на возмущение (в дан-
ном случае — угловую скорость крена), то вслед за возникновением
угловой скорости крена, пока угол крена не успевает еще существенно
измениться, отклонение регулятором элеронов воспрепятствует увели-
чению угла крена. Из-за неточной работы регулятора, однако, отклоне-
ние элеронов регулятором не будет приводить самолет точно к полету
с нулевым креном: через некоторое время угол крена может заметно
отличаться <£г нуля, так что задача регулирования не будет выполнена.
Если автопилот реагирует непосредственно на угол крена, то такое
накапливание ошибок отпадает, и в среднем угол крена будет равен
нулю. Однако вблизи этого нулевого значения неизбежно будут коле-
бания угла крена: регулирование получится «грубым».
Комбинированный регулятор, реагирующий одновременно и на
возмущение, и на отклонение, сочетает в себе преимущества обоих
типов регуляторов. Именно так в большинстве случаев и выполняют
13*
196
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
регуляторы на практике; например, автопилот по крену, применяемый
на самолетах, реагирует одновременно на угол крена и на угловую
скорость нарастания крена. Такой автопилот включает в себя каналы
стабилизации по крену и по угловой скорости крена. Для улучшения
качества регулятора часто добавляют еще канал, реагирующий на ин-
теграл отклонения, взятый по времени.
Система регулирования, в которой изменение выходной величины
не вызывает изменения входной величины или входного сигнала, назы-
вается разомкнутой системой. Например, если летчик, отклонив элеро-
ны, не вмешивается затем в управление самолетом, а поддерживает
угол отклонения элеронов неизменным, движение самолета происходит
по разомкнутой системе: угол крена и угловая скорость крена изме-
няются, в то время как входной сигнал (отклонение элеронов) остается
неизменным.
Элемент, передающий воздействие выходной величины на входной
сигнал, называется обратной связью. Если летчик отклонил элероны,
например, с целью получить определенный угол крена, и в процессе
движения самолета крен получается большим, чем это требуется, лет-
чик уменьшит угол отклонения элеронов или даже изменит знак угла
отклонения элеронов на обратный. Эти действия летчика и представ-
ляют собой обратную связь. Здесь выходная величина (угол крена)
влияет на входной сигнал (угол отклонения элеронов): получается
замкнутый цикл.
Система с замкнутым циклом передачи воздействия называется
замкнутой.
При решении задач, связанных с поддержанием регулируемой ве-
личины вблизи заданного значения (режим стабилизации), мы встре-
чаемся со случаем замкнутой системы.
Каждая система регулирования состоит из определенной последо-
вательности звеньев-, в приведенных выше примерах этими звеньями
являются самолет, автопилот, управляющее или стабилизирующее воз-
действие летчика. В свою очередь крупные звенья системы можно
представить в виде последовательности входящих в это крупное звено
частных более простых звеньев. Эти частные звенья определяются по
характеру их воздействия на систему регулирования.
В настоящей работе основное внимание уделено одному из круп-
ных звеньев системы — летательному аппарату. Поэтому мы не будем
подробно останавливаться на анализе преимуществ и недостатков
различных типов регуляторов; укажем лишь, что чаще всего приме-
няются следующие типы регуляторов.
Статический регулятор реагирует на отклонение регулируемой ве-
личины от заданного значения и работает по закону
y(t)=kikx(t),
где y(f)—регулирующее воздействие регулятора на объект регули-
рования;
Ax(t) —отклонение регулируемой величины от заданного зна-
чения; >
^i = const — общий коэффициент усиления регулятора.
Астатический регулятор реагирует на интеграл от отклонения по
времени; этот регулятор описывается уравнением
t
y(t)=k2\ Ax(t)dt,
о
где &2 = const.
§ 4. Краткие сведения о регулировании параметров механических систем 197
По самому принципу действия статический регулятор обладает
статической ошибкой (т. е. неточным выдерживанием регулируемой
величины в равновесном режиме), а астатический не обладает стати-
ческой ошибкой, поскольку накапливание ошибок исключается.
Изодранный регулятор представляет собой комбинацию статиче-
ского и астатического регулятора. Уравнение этого регулятора:
t
у (t) = k^x (t)-J- k2 J д x (/) dt.
. о
Наконец, возможен еще более общий тип регулятора, уравнение
которого имеет вид (Л[— const, ^2=const, /e3=const)
- t
у (t) = kthx (t) + ^2 J ДХ (/) dt -j- &3дх (/).
0
Такой регулятор является наиболее совершенным из рассмотрен-
ных: возможные ошибки регулирования при этом сводятся к мини-
муму.
Часто при формировании контура регулятора в него вводят обрат-
ную связь, т. е. подают на вход в регулятор сигнал, связанный с вы-
ходной величиной. Обратная связь может быть жесткой или ско-
ростной.
Жесткая обратная связь связывает изменение регулирующего воз-
действия с изменением самой выходной величины, скоростная связь —
со скоростью изменения выходной величины.
Уравнение, например, изодромного регулятора с жесткой обрат-
ной связью имеет вид (feo=const, &i = const, A2=const)
t t
Д x(f)dt — k0 J у (f) dt.
о 0
(28.5)
Основной задачей настоящего курса является исследование дина-
мики летательного аппарата. Из дальнейшего будет видно, что совре-
менные летательные аппараты с большим диапазоном высот и скоро-
стей полета немыслимы без автоматики. Вопросы выбора структуры
автопилота составляют часть более широкой задачи синтеза регулиро-
вания; такие вопросы рассматриваются в курсе систем управления.
При рассмотрении движения летательного аппарата с автопилотом
ограничимся автопилотом простейшего типа — изодромным с жесткой
обратной связью. Если продифференцировать (28.5), то уравнение
такого автопилота можно представить в виде линейного дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами:
t y(t) =kiAx(t) +k2hx(t)—koy(t). (28a. 5)
Одним из оснований для этого служит то обстоятельство, что урав-
нения движения летательного аппарата берутся также в линейной
форме (см. гл. II).
В действительности автопилот является Пелинейной системой.
Так, например, всякий реальный автопилот обладает определенной зо-
ной нечувствительности, так что если величина входного сигнала лежит
в пределах зоны нечувствительности, то автопилот не реагирует на
такой входной сигнал (фиг. 1.5,а). Угол отклонения руля автопилотом
изменяется при изменении входного сигнала лишь в ограниченном
диапазоне изменения входного сигнала. Если входной сигнал выходит
198
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
за пределы этого диапазона, руль становится «на упор» и угол откло-
нения руля остается неизменным, равным максимальному (фиг. 1.5,6).
Очевидно, что погрешность от линеаризации уравнения автопило-
та будет тем меньшей, чем меньше зона нечувствительности и меньше
величина входного сигнала.
При изменении величины, поступающей на вход в систему (вход-
ного сигнала), возникает
дающего зоной нечувствительности (автопилот реа-
гирует на отклонение).
переходный процесс, в те-
чение которого все кине-
матические * характери-
стики системы изменяют-
ся. Переходный процесс
обусловлен 'инерционно-
стью элементов системы:
механической инерцией
деталей, образующих си-
стему, их теплоемкостью,
электрической емкостью,
аэродинамическими свой-
ствами и т. д. По истече-
нии некоторого времени
(для линейных систем
теоретически это время
равно бесконечности,
практически же оно полу-
чается небольшим) уста-
навливается определен-
ное соотношение между
входной и выходной ве-
личинами, которое, если
дальнейшее изменение
сигнала отсутствует, ос-
тается далее неизменен-
ным. Следовательно, че-
рез некоторое время
после изменения входно-
го сигнала, который в
дальнейшем остается не-
измененным, система при-
ходит к некоторому
новому установившемуся
состоянию, отличающе-
муся от ее первоначаль-
ного состойся.
При анализе систем
регулирования для оценки их качества обычно рассматривают статиче-
скую и динамическую характеристики системы. >
Статическая характеристика представляет собой график зависи-
мости выходной величины от входной для установившихся режимов
работы системы.
Динамическая характеристика оценивает поведение системы в не-
установившихся режимах — в переходном процессе. Динамиче-
ские свойства системы (или какого-либо звена) можно выявить по
графику переходного процесса, т. е. зависимости изменения выходной
величины от времени при определенном изменении сигнала на входе
§ 5. Передаточные функции системы регулирования и ее простейших звеньев .199
в систему. У какой-либо конкретной системы каждому закону изменения
входного сигнала соответствуют различные переходные процессы.
Для удобства сопоставления динамических свойств различных си-
стем и их звеньев обычно рассматривают переходный процесс, возни-
кающий в результате скачкообразного изменения входного сигнала
на единицу (единичное возмущение). Ясно, что динамическая харак-
теристика системы будет тем лучшей, чем меньшее время занимает
переходный процесс и чем более плавно изменяется входная величина
за этот промежуток времени.
Статическая характеристика разомкнутой системы будет тем луч-
шей, чем шире диапазон режи- .,
Фиг. 2.5. Структурная схе-
ма простейшего управляе-
мого движения крена само-
лета.
Фиг. 3.5. Структурная схема простей-
шего управляемого движения крена
в том случае, когда на самолете уста-
новлен автопилот.
дробнее остановимся еще на вопросах оценки статических и динамиче-
ских характеристик различных звеньев механических систем.
Мы уже упоминали, что всякую систему можно представить в виде
совокупности (последовательности) частных простых звеньев. Последо-
вательность таких звеньев называют структурной схемой.
На фиг. 2.5 показана простейшая структурная схема движения
крена, получающегося в результате отклонения элеронов. Входной
величиной здесь является угол отклонения элеронов бэ. Входной сиг-
нал, пройдя через звено «самолет», приводит к изменению угла кре-
на у. В структурной схеме, приведенной на фиг. 2.5, обратная связь
отсутствует. Следовательно, изображенная на этой фигуре система
является разомкнутой.
Если на самолете установлен стабилизирующий по крену автопи-
лот, то при возникновении угла крена у автопилот вырабатывает
дополнительный входной сигнал, направленный в сторону уменьшения
крена (фиг. 3.5). Автопилот здесь играет роль обратной связи.
В схемах, приведенных на фиг. 2.5 и 3.5, самолет изображен
в виде одного звена. Как уже упоминалось, это крупное звено в свою
очередь можно представить в виде последовательности простых
звеньев, среди которых могут быть звенья, представляющие собой
обратныецгвязи. В дальнейшем (см. гл. VI и последующие главы) оста-
новимся на этом вопросе более подробно.
Заметим, что данное ранее определение обратной связи можно
теперь обобщить, понимая под обратной связью воздействие выходной
величины из какого-либо звена на входную величину какого-либо пре-
дыдущего звена.
§ 5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
И ЕЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗВЕНЬЕВ
В настоящей работе мы ограничиваемся рассмотрением летатель-
ного аппарата как линейной системы, т. е. механической системы, опи-
200
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
сываемой линейными дифференциальными уравнениями с постоянны-
ми коэффициентами. Линейную систему любой сложности можно све-
сти к одному из так называемых типовых звеньев или к некоторой их
комбинации.
Под типовым линейным звеном понимается такая совокупность де-
талей или элементов, переходный процесс в которой описывается обык-
новенными линейными дифференциальными уравнениями не выше вто-
рого порядка. Звеном называют элемент (или часть элемента, или
группу элементов), рассматриваемый только с точки зрения его дина-
мических свойств, совершенно отвлекаясь от конструкции или
функционального назначения этого элемента.
Тип звена у одного и того же элемента 'может изменяться в зави-
симости от того, какие физические величины приняты за входной сиг-
нал и за выходную величину. Тип звена зависит от того, что подразу-
мевается под входом и выходом, на какие детали подается и откуда
снимается сигнал. Звенья обладают направленным действием, так что
последующее звено не оказывает влияния на предыдущие звенья, если
это звено не является обратной связью.
Различают следующие шесть типов линейных звеньев: пропорцио-
нальное или усилительное (статическая связь), апериодическое, диффе-
ренцирующее, колебательное, апериодическое второго порядка и инте-
грирующее.
В теории регулирования широко пользуются понятием передаточ-
ной функции.
Передаточной функцией называют отношение изображения выход-
ной величины к изображению входной величины при нулевых началь-
ных условиях. Передаточную функцию обозначают символом 1К(р).
Можно говорить о передаточной функции системы регулирования
и о передаточных функциях отдельных звеньев, образующих эту систе-
му; в последнем случае иногда передаточные функции звеньев назы-
вают частными передаточными функциями.
Рассмотрим динамические свойства перечисленных выше шести
звеньев.
1. Усилительное звено (статическая связь). В уси-
лительном звене выходная величина в любой момент времени пропор-
циональна входному сигналу. Уравнение такого звена имеет вид
y(t) =kx(t). (29.5)
Как видим, усилительное звено описывается конечным (алгебраи-
ческим), а не дифференциальным уравнением; переходный процесс
в усилительном звене отсутствует, выходная величина мгновенно следит
за входным сигналом.
Изображение уравнения (29.5) получается следующее:
У(р)=*Х(р).
Определив из этого уравнения отношение изображения У(р) к изо-
бражению Х(р), найдем выражение передаточной функции усилитель-
ного звена:
W (р) —k=const. (30.5)
Как видим, усилительное звено имеет постоянную передаточную
функцию, в выражение которой параметр р не входит.
Коэффициент k обычно называют коэффициентом усиления.
Физический смысл усилительного звена состоит в том, что оно пе-
редает <на выход входную величину, увеличенную (усиленную) в k раз.
§ 5. Передаточные функции системы регулирования и ее простейших, звеньев 201
Коэффициент k не зависит от времени, как это схематически показано
на фиг. 4.5.
2. Апериодическое звено описывается дифференциальным
уравнением вида
Ty(t)+y(t)=x(f), (31.5)
где постоянная времени 7’>0.
То же уравнение в изображениях (при нулевых начальных усло-
виях) принимает вид
У(р)(7р + 1)=Х(р), (31а. 5)
откуда передаточная функция апериодического звена
' И7(р)=—4~. (32.5)
Тр + 1
Выше было отмечено, что динамические свойства звеньев оцени-
вают, рассматривая переходный
процесс при условии подачи на
вход в звено единичного возмуще-
ния х(/) = 1. При этом предпола-
гается, что все начальные возмуще-
ния равны нулю (нулевые началь-
ные условия).
Учитывая, что
£'Ч=-7-
получим
K(p)=V7(p)J-= *
Р Р(Тр +1)
Фиг. 4.5. Коэффициент усиления.
Воспользовавшись таблицей приложения 2, найдем оригинал, соот-
ветствующий этому изображению:
у(/)=1-е т.
(33. 5)
Полагая в выражении (33.5) t—co, получим предельное значение
z/(co) = l. Отсюда видно, что уравнение (33.5) дает возможность опре-
делить отношение выходной величины y(t) в любой момент времени t
к значению этой выходной величины при t—* оо.
Уравнение (33.5) показывает, что это отношение изменяется по
апериодическому закону (фиг. 5.5), откуда и вытекает название звена.
Постоянную Т, входящую в уравнения (31.5) и (31а. 5), назы-
вают постоянной времени. Постоянная времени характеризует скорость
протекания апериодического (экспоненциального) переходного про-
цесса, т. е. Степень инерционности апериодического звена. Чем больше
постоянная времени, тем большее время занимает переходный процесс,
как это видйо из фиг. 6. 5, а также из (33. 5).
Функцию y(t) —выходную величину в переходном процессе с еди-
ничным входным импульсом — называют переходной функцией.
Как видно, переходная функция апериодического звена изменяется
с течением времени монотонно.
3. Дифференцирующее звено представляет собой звено,
в котором выходная величина пропорциональна производной по време-
ни от входной величины, т. е. пропорциональна скорости изменения
входной величины. Дифференцирующие звенья часто вводят в САР как
202
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
корректирующие элементы для повышения качества регулиро-
вания.
Дифференциальное уравнение идеального дифференцирующего
звена (т. е. звена, срабатывающего мгновенно) имеет вид
(34.5)
Переходя в уравнении (34.5) от оригиналов
нулевых начальных условий х(0) =0 получим
к изображениям, для
У(р)=рХ(р),
откуда передаточная функция дифференцирующего звена
Фиг. 5.5. Изменение выходной
величины в апериодическом звене
первого порядка.
Фиг. 6.5. Влияние постоянной
времени апериодического звена
на характер изменения выходной
величины.
Для единичного возмущения х(/) = 1 производная x(t)=0 для
всех f; поэтому переходная функция дифференцирующего звена
у (0=0.
4. Колебательное звено. Дифференциальное уравнение та-
кого звена имеет вид 1
Пу (0 +Лу (0+у (0=х (/), (36.5)
где 7\ и Т2 — не отрицательные постоянные.
Изображение этого уравнения при у(0) =у(0) =0 напишется так:
У(р) (71р2+Лр+1)=^(р)-
Введем обозначения:
Ц_=(В2- 2±=2Л.
Величину со, имеющую размерность [сек-1], называют опорной ча-
стотой, а коэффициент h, имеющий размерность [сек-1], — коэффи-
циентом демпфирования колебательного звена.
С учетом введенных обозначений получим следующее выражение
передаточной функции колебательного звена:
U7(p)=-----.
/)2 2hp 4- ш2
(37.5)
§ 5. Передаточные функции системы регулирования и ее простейших звеньев 203
Корни уравнения, получающегося от приравнивания нулю знаме-
нателя (37.5), равны
/?1,2= — h ±* V0)2— Л2.
Если (со2—А2) >0, то корни получаются комплексными сопряжен-
ными; в этом случае имеет место колебательный процесс изменения
выходной величины и звено является колебательным,. Если (со2—Л2)<0,
то оба корня получаются действительными; в этом случае получается
апериодическое звено второго порядка (см. ниже).
Переходя от изображения Y(р) к оригиналу при единичном возму-
щении Х(р) = —, при помощи таблицы приложения 2 получим пере-
Р
ходную функцию колебательного звена
У (/)=1 - е-м sin«M2-fe2^+T) 5 (38.5)
sinr
где величина смещения по фазе определяется из выражения
(39.5)
tgT=-i—-
ft
Из (38. 5) видно, что колебания в переходном процессе происхо-
дят с частотой
(Oj = у OJZ-
меньшей, чем опорная частота со; при отсутствии демпфирования ко-
лебательного звена (Л=0) частота колебаний совпадает с опорной ча-
стотой.
5. Апериодическое звено второго порядка. В этом
случае, как уже упоминалось, корни рх и р2 получаются действительны-
ми. Передаточная функция апериодического звена второго порядка,
дифференциальное уравнение которого формально имеет тот же вид,
что и для колебательного звена,
(40.5)
при условии
Т2
’ 2
1
У2
‘ 2
1
(41.5)
Г2
1 9
получается следующей:
W (р) = 4--------------.
(р—Рд(.р — р2)
где pi и р2—действительные корни уравнения
4. 1 2 2
Апериодическое звено второго порядка можно представить в виде
двух последовательно соединенных апериодических звеньев первого
порядка. Тогда передаточную функцию апериодического звена второго
порядка можно представить в следующей форме:
W(P)=-—
(42.5)
где
= __
Л 2
'т' 2
1 m2 . 'Т' Г РI
4------/2’
— I 2 .
204
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Переходя от изображения к оригиналам для случая единичного
возмущения на входе, получим переходную функцию апериодического
звена второго порядка
у (/) = 1 - Р1^~Р2еР'* . (43.5)
Pl -Рч
6. Интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение ин-
тегрирующего звена имеет вид
y(t)=x(t). * (44.5)
Изображение этого дифференциального уравнения следующее:
Y(p)p=X(p),
так что передаточная функция интегрирующего звена
Г(р)=—. (45.5)
Р
Переходная функция при х(/) = 1 интегрирующего звена получает-
ся непосредственно интегрированием уравнения (40.5):
t t
у (/)=J %(/)rf/ = Jl-d/=/. (46.5)
о о
Следовательно, у интегрирующего звена при единичном воздейст-
вии выходная величина y(t) неограниченно возрастает с течением вре-
мени: установившийся режим отсутствует.
Динамические свойства систем регулирования и простейших звень-
ев, рассмотренных вцше, можно оценить помимо переходной функции
при помощи частотных характеристик.
Частотными характеристиками системы (или звена) называют от-
ношение амплитуды выходной величины к амплитуде входного сигна-
ла и смещение по фазе выходной величины при условии, что на вход
в систему (звено) подается входной сигнал, изменяющийся по гармо-
ническому закону. Частотные характеристики описывают процесс уста-
новившихся колебаний системы, и для их получения начальные усло-
вия (начальные возмущения) надо брать нулевыми. Последнее озна-
чает, что должны рассматриваться такие моменты времени, когда влия-
ние начальных условий на характер движения становится исчезающе
малым.
Как отмечено выше, в случае нулевых начальных условий связь
между выходной и входной величиной дается уравнением
У(р)=Г(р)Х(р),
где W(р) — передаточная функция системы (звена).
Оказывается, что для анализа частотных характеристик системы
не требуется переходить от изображений к ориги-
налам.
Покажем это на примере обычно встречающегося случая, когда передаточная
функция является дробно-рациональной функцией р и имеет вид
W(p) =
f(p)
v(p) ’
где f(p), <р(р) —целые полиномы относительно р.
§ 5. Передаточные функции системы регулирования и ее простейших звеньев 205
Рассмотрим поведение системы с такой передаточной функцией при условии, что
возмущения на входе изменяются по гармоническому закону
x(<)=x0sin<oB7, (47.5)
где <0в — частота вынужденных колебаний;
х0 — амплитуда этих колебаний.
Вводя вместо функции (47.5) комплексную функцию
х1(0 = ^'“в/ (48.5)
и вспомнив формулу Эйлера
4 е““в1 = cos + i sin ыв7,
придем к выводу, что гармоническое возмущение на входе (47. 5) представляет собой
мнимую часть (48.5), т. е.
x(7)=Im[Xj(0].
Отсюда следует, что, найдя оригинал yi(t), соответствующий возмущению на входе
(48.5), для перехода к гармоническому возмущению на входе (47.5) мы должны
будем взять только мнимую часть оригинала yi(t).
Изображение входного сигнала (48.5) на основании приложения 2
1
р — ZIOB
Следовательно, изображение выходной
налу (48.5),
величины, соответствующей входному сиг-
(Р) = х0
/(Р)
(р — 7шв) у (р) ‘
(49.5)
Представим сложную дробь, входящую в правую часть (49.5), в виде суммы
элементарных дробей, руководствуясь приведенными выше (см. стр. 187) правилами.
Полагая корни уравнения <р(р)=О простыми,1 получим
Лр)
(Р — «“в) т (Р)
/ (»“в) 1 + yi /(Рг) 1
G“b) Р — »“в (Рг— 7“в) ¥ (Рг) Р — Рг
Ре1
где рг —корни уравнения <р(р)=0 и
?(Рг)
У (Р) 1
- (Р Т’г) 1р;=рг
корни рг могут быть действительными или комплексными.
Если перейти теперь от изображения к оригиналам, то каждому изображе-
1 рА
нию вида kr ----------- будет соответствовать оригинал вида kre Г .
Р — Рг
Для устойчивой системы, а только для устойчивой системы и может иметь место
установившийся режим колебаний, такие функции с течением времени затухают. По-
этому при составлении частотных характеристик решения вида
krePrt
не должны йриниматься во внимание, так как они отражают влияние начальных усло-
вий, которое с течением времени становится исчезающе малым.
.. /(*%) 1 /040
Изображению ---------•--------- соответствует оригинал ------- е в .
? (*“в) Р — '“в ? (*’“в)
1 Случай кратных корней исследуется аналогично.
206
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
получим
системы
(50. 5)
частное
пользо-
Фиг. 7. 5. К определению
модуля и аргумента ком-
плексного числа.
Таким образом, переходя от изображений к оригиналам,
следующее выражение для функции, описывающей поведение
при изменении входного сигнала по гармоническому закону:
У1(О=*оф^ =^-x1(/)=U7(4)x1 W-
Напомним, что выражением (50.5), представляющим собой
решение неоднородного дифференциального уравнения, можно
ваться только для устойчивых систем и при достаточно больших t,
когда роль собственного возмущенного движения (общее решение
однородного дифференциального уравнения) пренебрежимо -мала.
Из выражения (50.5) следует, что при сигнале на входе вида
(48.5) выходная величина равна входной вели-
чине, умноженной на передаточную* функцию
системы (звена), в которой принято p=zcoB.
Функцию W(ibbB) обычно называют ча-
стотной функцией системы.
Для каждого значения частоты вынуж-
денных колебаний wB частотная функция есть
комплексное число; это комплексное число
можно представить в следующих формах:
W%)= AMeiv (51.5)
где Д(сов)—модуль, <р(сов)—аргумент (фиг.
7.5).
Имея это в виду, а также воспользовав-
шись формулой Эйлера, выражение (50.5)
можно переписать в следующем виде:
У1 (/)=х0 V?+»Q) (cos %* 4- i sin %/)=
=х0 [A* cos <ев/ — Q sin wBt+i (R sin wB/ Q cos wBt)]. (52.5)
В соответствии с отмеченным выше для перехода от оригинала
Pi (0, получающегося при возмущении на входе вида (48.5), к ориги-
налу y(t), отвечающему возмущению на входе (47.5), необходимо
оставить лишь мнимую часть yi(t) т. е.
у (t)=Im [у j (/)]=х0 (R sin 4>Bt 4- Q cos «,/).
Пусть
f=tgT.
Тогда предыдущее выражение можно переписать в следующей
форме: .
y(t) =XqA sin (wB/+<p), (53.5)
где
^K)=/[/?K)]2+[QK)F; (54.5)
? (%)=arctg . * (55.5)
.« (“в) J
Из выражения (53. 5) видно, что при подаче на вход в систему
гармонических колебаний некоторой амплитуды выходная величина
также изменяется по гармоническому закону с частотой, равной часто-
те вынужденных колебаний toB, но с другой амплитудой и со смещени-
ем по фазе.
§ 5. Передаточные функции системы регулирования и ее простейших звеньев 207
Очевидно, что модуль частотной функции Л(сов) есть отношение
амплитуды выходной величины к амплитуде входной величины.
Частотные функции простейших звеньев, найденные по правилам,
приведенным выше:
для усилительного эвена
W(iaB) =k; A=k;
(56.5) ’
для апериодического звена
^(Ч)=
1 — 1Тшв
1 + тъ%
для дифференцирующего звена
W (Za»B) = Z<oB; А = ав;
для колебательного звена
о>2 — о,2 —
(ы2— о,2)2 + 4Л2ш2 ’
А=<о2— 1- - . .-=
|/г((й2_ш2)2.|.4ЛЧ
(57.5)
(58. 5)
(59.5)
для
апериодического звена второго порядка
.у/ . 1 (Р1Р2 — “D + Z (Pl + Р2> “в
WW~T* (р1Л-<о2)2+(Р1+л)Ч ’
д= 1 1
^2 (PiP2— “I)2 4- (Pi + Рг)2“в
(60. 5)
для интегрирующего звена
W (1ыв)=—Д=—. (61.5)
“в “в
Относительная амплитуда Л(юв) и смещение по фазе <р(шв) яв-
ляются функциями частоты вынужденных колебаний и»в. Построив за-
висимости Д(а»в) и <р(а>в), получим амплитудную и фазовую частотные
характеристики. Часто при построении амплитудной характеристики
вместо самой амплитуды А (шв) по соответствующей оси координат от-
кладывают lgH(ii)B)]. Такую характеристику называют логарифмиче-
ской амплитудной характеристикой.
В курсах теории автоматического регулирования доказывается (см., например,
[15, 16]), что между вещественной частью частотной характеристики Л(<вв) и пере-
ходной функцией у (t) существует однозначная связь. Зная выражение вещественной
части частотной характеристики, можно получить выражение переходной функции по
формуле
ею
... 2 С ЛЮ sin (шв О
у (О = —-1-------------------------<Ю
7t J “В
' и
Однако в общем случае, когда вещественная часть частотной функции изобра-
жается сложной кривой высокого порядка, построение переходной функции требует
значительной затраты труда; поэтому разработан приближенный прием расчета, осно-
ванный на замене действительной кривой ломаной линией.
Вместо фигуры, ограниченной действительной кривой Л(ыв), при этом рассмат-
ривается несколько заменяющих эту фигуру трапеций. Для каждой из таких трапеций
208
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
можно заранее рассчитать переходную функцию при условии, что размеры всех тра-
пеций приведены к одному масштабу. Значения таких элементарных переходных
/(-функций приведены в приложении 3. При пользовании этой таблицей для перехода
от /г-функций к слагающим действительной переходной функции надо учесть мас-
штабный коэффициент.
Т
Фиг. 8. 5. К методу трапеций: у=гйп\ t= — , х = —
“6 “г>
Пусть какая-либо эталонная трапеция (с единичными нижним основанием и вы-
сотой) изображена на фиг. 8. 5, а. Тогда переход от /i-функций, соответствующих этой
трапеции, к переходной функции, соответствующей действительной трапеции фиг. 8. 5, б.
осуществляется по формулам
у = roh (т);
Здесь /г(т) и т—ординаты и абсциссы кривой, изображающей /(-функцию, соот-
ветствующую эталонной трапеции на фиг. 8.5, а.
После определения /г-функций для всех элементарных трапеций, заменяющих дей-
ствительную кривую, и учета масштабного эффекта вычерчиваются графики каждого
слагаемого действительной переходной функции в зависимости от действительного
времени t. Для каждого момента времени t суммируются ординаты отдельных кривых;
такие суммы и будут представлять ординаты переходной кривой, изображаюшей дей-
ствительную переходную функцию.
Фиг. 9. 5. Пример замены кривой Фиг. 10.5. Трапеции, образующие ломаную
зависимости вещественной части линию на фиг. 9.5.
частотной функции от частоты <ов
ломаной линией.
Пусть, например, вещественная часть частотной характеристики имеет вид, изоб-
раженный на фиг. 9. 5; на этом же графике показана замена действительной кривой
ломаной линией. На фиг. 10. 5 представлены трапеции, заменяющие действительную
кривую. В этом примере получились три эквивалентные трапеции; следовательно, при-
§ 6. Динамические свойства колебательного и апериодического звеньев 209
дется найти три ft-функции и построить три слагающие действительной переходной
функции.
Понятно, что с увеличением числа трапеций точность расчета возрастает, однако
вместе с повышением точности увеличивается и трудоемкость расчетной работы.
Само собой разумеется, что приведенный метод трапеций целесообразно приме-
нять только в тех случаях, когда изображение оригинала получается сложной функ-
цией от р. Для элементарных звеньев, когда передаточные функции имеют сравнитель-
но простой вид, можно построить простой и наглядный способ определения коэффи-
циентов дифференциального уравнения звена, обеспечивающих удовлетворительное
качество переходного процесса и частотные характеристики.
Рассмотрим этот способ применительно к колебательному звену и апериодическому
звену второго порядка, так как именно эти звенья играют наиболее важную роль при
анализе устойчивости и управляемости летательных аппаратов.
§ 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ЗВЕНА
И АПЕРИОДИЧЕСКОГО ЗВЕНА ВТОРОГО ПОРЯДКА
Выше было получено следующее выражение переходной функции
колебательного звена (38. 5):
. h. sin(y/r“2—ft2* т)
у (*) = 1 — e~h' ——-----—-.
sin т
Введем относительные величины
ft i
E=-; I
I
/=Ao; } (62.5)
тогда выражение (38.5) можно переписать в виде
Й7)= 1 - , 63 5
sinr
где смещение по фазе определяется из равенства
tgx==j/^—Е (64-5)
Обозначим
8у = -. зт(/1^*+т). (65 5)
sinr
Тогда переходную функцию (63.5) можно представить в виде
у(«) = 1+бу. (66.5)
Величина Ъу представляет отклонение выходной величины в пере-
ходном процессе от ее значения в конечном установившемся режиме,
выраженное в долях установившегося значения выходной величины.
Так как в случае колебательного звена бг/ есть периодическая
функция безразмерного времени t, то она имеет ряд экстремумов, при-
чем для устойчивой системы абсолютная величина экстремумов с те-
чением времени неограниченно убывает, стремясь к нулю при t—> оо.
Величину какого-либо экстремума можно найти, взяв производную по
t от (65. 5) и приравняв ее нулю; таким образом, найдем момент вре-
мени t3, соответствующий экстремальному значению функции
(67’5)
где п=1, 2, 3, ...
14 1824
210
Гл. V, Математические основы исследований динамики полета
При увеличении п получаются экстремумы, соответствующие более
поздним моментам времени (фиг. 11.5). Зная моменты времени, соот-
ветствующие экстремумам, по формулам (65.5) и (66. 5) можно найти
экстремальные значения отклонения 6уа и функции y(t3). В частности,
гУэ=(_1)я+1е—
(68. 5)
Из выражений (67.5) и (68.5) видно, что наибольшее положи-
тельное значение 6уэ (наибольшее отклонение или заброс выходной ве-
личины у) получается в момент времени, соответствующий. n= 1:
41 ’
(69. 5)
Фиг. 11.5. Последовательные экстремумы при из-
менении выходной величины по колебательному
закону.
и равно
= (70.5)
Возникает вопрос, что
же понимать под временем
переходного процесса или,
как иногда говорят, под
временем регулирования /р?
Теоретически это время
равно бесконечности; поэто-
му необходимо сделать ка-
кое-либо предположение
относительно допустимой
величины отклонения вы-
ходной величины 6i/ от ее
равновесного (асимптотиче-
ского) значения в новом
режиме уж. Тот момент
времени, когда отклонение
by достигнет обусловленной
величины, и можно считать
за время окончания пере-
ходного процесса. В настоя-
щей книге за время ре-
гулирования будем принимать время, по истечении которого от-
клонение by не превышает 5% равновесного значения ух. Это время
может быть найдено в результате графического решения уравнения
(фиг. 12.5).
е-%
sin (У 1 — £27р + т)
sin т
=0,05.
(71-5)
Из выражений (70.5) и (71.5) видно, что заброс by (индекс «э»
отброшен) выходной величины и время регулирования 7Р — функции
одного параметра g, так как согласно (64.5) т есть функция g.
Таким образом^ по формулам (70.5) и (71.5) можно построить
зависимости byi и Гр от параметра Такие графики приведены на
фиг. 13. 5.
Из графиков фиг. 13.5 видно, что для получения удовлетворитель-
ного качества переходного процесса с небольшим временем регулиро-
вания и забросом, не выходящим из заданных пределов, необходимо,
чтобы коэффициент g также лежал в определенных пределах. Напри
§ 6. Динамические свойства колебательного и апериодического звеньев 211
мер, если максимально допустимую величину заброса ограничить 10%,
коэффициент I должен удовлетворять неравенству
0,6<g. (72.5)
Если допустить, что максимальный заброс составляет 20%, то по-
лучается неравенство
0,46^g (73.5)
и т. д.
Фиг. 12.5. Графическое решение уравнения (71.5).
Заметим, что, как нетрудно убедиться, при значениях
£>1
рассматриваемое звено из колебательного становится апериодическим
звеном второго порядка. При этом заброс тождественно равен нулю,
а время регулирования на основании (43. 5) определяется из уравнения
Pi еР2‘р — p2ep,tp = 0,05 (рх —~р2). (74.5)
Перейдем теперь к частотным характеристикам колебательного
звена.
Фиг. 13.5. График переходного процесса для колебательного
и апериодического второго порядка звеньев.
Введем обозначение
€0
где юв — частота вынужденных колебаний, а <о—-опорная частота
звена.
14*
212
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Воспользовавшись общим выражением (59.5) частотной функции
для рассматриваемого звена, получим
W . (75.5)
' т/ (1___<р2)2 + 4$2ф2 ' ’
Отношение амплитуды выходной величины к амплитуде входной
величины
Фиг. 14.5. График частотных характеристик колебатель-
ного и апериодического второго порядка звеньев.
Смещение по фазе выходной величины
<77-5)
Зависимости
А = Л(§, ф)
и
Ф=ф(В, Ф)
можно изобразить графически. От смещения по фазе <р легко перейти
к запаздыванию по времени при помощи формулы -г
Д/=-*- - (78. 5)
<°В
Для практического применения кривые, построенные по уравнени-
ям (76.5) и (77.5), удобно нанести на один график. На этом же гра-
фике можно построить граничные линии, обеспечивающие удовлетво-
рительное качество переходного процесса, полученные из графика
фиг. 13.5. Как было отмечено, эти граничные линии, например, при
<$ 6. Динамические свойства колебательного и апериодического звеньев 213
6i/i = 0,10 представляют прямые £=0,6 и £=1,0; при бу i = 0,20
правая граничная линия остается прежней, а левая заменяется прямой
£=0,46 и т. д.
В результате таких построений получается единая диаграмма, при
помощи которой легко выбрать область значений £ и ф, внутри кото-
рой сохраняется удовлетворительное качество переходного процесса,
а амплитуда и запаздывание не выходят из заранее заданных пре-
делов.
Диаграмма этого вида приведена на фиг. 14. 5. При помощи этой
диаграммы легко решить в первом приближении важную при проекти-
ровании контура управления
системы задачу выбора рацио-
нальных значений коэффици-
ента демпфирования и опор-
ной частоты колебательного
звена.
Пусть техническими тре-
бованиями к системе заданы:
диапазон частот вынужден-
ных колебаний или максималь-
ная частота вынужденных ко-
лебаний С0в max, допустимый
диапазон относительной ам-
плитуды, т. е. значения Лгп!1, и
Лщах, допустимый ДИаПЭЗОН
запаздывания — A^min и А/тах-
Определив предваритель-
но значения произведений
£
о'--------------------------------------
Ф
Фиг. 15.5. Расчетный график для выбора
параметров системы регулирования, опи-
сываемой уравнением второго порядка.
фггПп — <Вв maxA/min, фтах — Ив тахА/тах,
по фиг. 14. 5 найдем область значений £ и ф, удовлетворяющих постав-
ленным условиям, а также условию удовлетворительного качества пе-
реходного процесса (£min^ 1^1,0). Такая область показана на
фиг. 15.5.
Далее, для каждой конкретной задачи следует от коэффициентов
£ и ф перейти к физическим параметрам, формирующим эти коэффи-
циенты, и дополнительно принять во внимание статические условия
установившихся режимов, которые могут ограничивать область допу-
стимых значений физических параметров.
В гл. VIII и IX при анализе продольного и бокового управляемого
движения летательного аппарата изложены практические приемы ре-
шения таких задач.
Подобными методами можно исследовать и динамические свойства
системы, орисываемой передаточной функцией
W (/?)= 6)2(1+М = _ 1 + &>/> (79 5)
Т р2 + 2йр + о>2 р2+25р+1 v 7
Эта передаточная функция отличается от передаточной функции
(37.5) тем, что в числителе вместо величины со2 стоит двучлен
ы2(1 +Ьр).
Опуская выводы, приведем окончательные результаты. Макси-
мальный заброс выходной величины определяется по формуле
- Sj.-arctg
8у1 = е 1 “ /1-2^а>-j-bW. (80.5)
214
Г л. V. Математические основы исследований динамики полета
Время регулирования должно быть найдено из уравнения
где
sin(/ l_-g2fp-|-T)
sin т
= 0,05,
(81.5)
tgr =
/~1 —
$ — Ьы
е ур
Кривые, полученные по этим уравнениям, приведены на фиг. 16 5
и 17.5.
Фиг. 16.5. График для определения заброса Ьу\
звена с передаточной функцией (79.5).
Для амплитуды А и смещения по фазе <р при изменении входного
сигнала по гармоническому закону получаются следующие выра-
жения:
|/ (1
1
— ф2)2 -|- 4£2ф2
<р = — arctg
(82.5)
(83.5)
2g —fro(l —ф2) 1
1 — ф2 + 2е*<оф2 ] '
В эти выражения входят три параметра, так что графически изоб
разить (82.5) и (83.5) в наглядной форме не удается и расчет надо
проводить непосредственно по формулам.
В заключение подчеркнем, что, в то время как зависимость забро-
са byi от коэффициента g может быть получена сколь угодно точно, за-
висимость времени регулирования tp от g получается приближенная.
Это объясняется следующим. В качестве критерия для определения
времени tp мы приняли некоторую постоянную величину отклонения
by функции от ее равновесного значения. В случае колебательного про-
цесса при некоторых значениях параметра g уже при малом его измене-
нии Ag время регулирования изменяется скачком, как это показано на
фиг. 18.5. Таким образом, кривые tp=/(g) на фиг. 13.5 и 17.5 должны
иметь разрывы. Но поскольку принятое значение |бу| = 0,05 является
условным, на графиках проведены непрерывные кривые, так что этим
кривым соответствует не точно |б^| =0,05, а близкие к нему значения.
Такой прием допустим потому, что нет необходимости в точном опреде-
лении времени 7Р, а достаточно знать его приближенные значения.
§ 6. Динамические свойства колебательного и апериодического звеньев 215
Характер переходного процесса в разомкнутой и замкнутой систе-
мах. Как следует из всего предыдущего, характер переходного процесса
в разомкнутой системе зависит только от вида характеристического
уравнения, которое получается приравниванием нулю знаменателя вы-
Фиг. 17.5. График для определения времени переходного
процесса звена с передаточной функцией (79.5).
ражения передаточной функции. Так, для звена второго порядка харак-
теристическое уравнение становится уравнением второй степени, имею-
щим два корня. Если корни получаются действительными, то переход-
ный процесс носит апериодический характер; комплексным корням
соответствует колебательный характер переходного процесса. Если ве-
щественные части корней характеристического уравнения отрицатель-
ные, то переходный процесс с течением времени затухает: система
устойчива. В случае положительных вещественных частей система не-
устойчива, так что пере-
ходный процесс как та-
ковой не имеет места:
с течением времени си-
стема все более удаляет-
ся от исходного состоя-
ния равновесия.
Коэффициенты выра-
жения, стоящего в числи-
теле передаточной функ-
ции, влияют лишь на ве-
личину амплитуды вы-
ходной величины и на
смещение по фазе выход-
ной величины по отноше-
нию к входному сигналу,
не изменяя самый харак-
Фиг. 18.5. Изменение времени ts скачком.
тер движения.
При переходе от разомкнутой системы к замкнутой характер пере-
ходного процесса изменяется по сравнению с его характером для
разомкнутой системы в зависимости от коэффициента усиления обратной
связи k. При достаточно больших коэффициентах усиления k переход-
ный процесс из апериодического в разомкнутой системе может превра-
216
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
титься в колебательный в замкнутой системе. При некоторых условиях
система, обладавшая устойчивостью как разомкнутая, может стать не-
устойчивой как замкнутая.
Это общее свойство, известное из теории автоматического регулиро-
вания, иллюстрируем частными примерами.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
W)=--------?---.
р2 + Зр+1
Нетрудно убедиться, что этому виду передаточной функции соответ-
ствуют действительные корни характеристического уравнения и, следо-
вательно, апериодический характер переходного процесса; система
устойчива, так как корми р\ =—0,38, р2=—2,62.
Добавим к этой разомкнутой системе обратную связь простейшего
типа, подающую на вход в
систему сигнал
x=k(y0~ у),
где у0 — потребное значение выходной величины. Тогда передаточная
функция замкнутой системы с обратной связью найдется из уравнения
у=Г*(у,-у)..^-^ ,
Р2- + Зр + 1
откуда
k
^заЫкн(Р) = —
овМКп j д
Характеристическое уравнение этой передаточной функции
p2+3p+(W)=0
содержит коэффициент усиления k, отсутствовавший в характеристиче-
ском уравнении разомкнутой системы. Непосредственным подсчетом
нетрудно убедиться, что если k< 1,25, то оба корня остаются действи-
тельными и отрицательными. При #=1,25 корни становятся равными
(pi=P2=—1,5) и при #>1,25 —комплексными сопряженными. Это озна-
чает, что при достаточно большом коэффициенте усиления обратной
связи характер переходного процесса изменяется: из апериодического
в разомкнутой системе он становится колебательным в замкнутой. В рас-
смотренном примере введение обратной связи не нарушает устойчивость
системы, только из апериодически устойчивой она становится колеба-
тельно устойчивой.
Пусть теперь передаточная функция разомкнутой системы
W (р) =-------1-----.
Р(Р2 + 1.5д + 1)
Соответствующая система—астатическая (в знаменателе переда-
точной функции имеется множитель р).
После введения обратной связи того же вида, что и в первом приме-
ре, передаточная функция замкнутой системы
k
Г замки (/О рЗ+1>5р2 + р + Г
Характеристическое уравнение для этой системы будет уравнением
третьей степени
р3 +1,5р2+p~\-k=0.
<? 6. Динамические свойства колебательного и апериодического звеньев 217
Подсчет показывает, что из трех корней этого уравнения действи-
тельный корень при всех значениях k остается отрицательным, а ком-
плексные корни, при малых k имеющие отрицательные вещественные ча-
сти, при достаточно больших k приобретают положительную веществен-
ную часть. Так, при £=1,0 pi =—-1,273; р2, з=—0,1135+0,844< система
устойчива. При &=2,0 получаем р\ ——1,652; р2,з= +0,076±1,096/, и си-
стема становится колебательно неустойчивой.
К таким же результатам можно придти и в том случае, когда пере-
даточная функция разомкнутой системы отличается от рассмотренной
тем, что в числителе передаточной функции вместо единицы стоит
ki + k2p.
Отмеченные обстоятельства, связанные с изменением характера
переходного процесса при переходе от разомкнутой к замкнутой систе-
ме, необходимо иметь в виду при формировании бортового контура ста-
билизации летательных аппаратов (см. гл. XIII).
Входной сигнал в виде импульса. До сих пор мы рассматривали
входные сигналы двух видов: скачкообразное единичное возмущение
(например мгновенное отклонение руля на некоторый постоянный угол,
который можно принять равным единице) и изменения входного сигнала
по гармоническому закону (например отклонение руля по синусоидаль-
ному закону). С входным сигналом первого вида мы встретились при
исследовании переходного процесса, с входным сигналом второго
вида — при построении частотной характеристики.
При входных сигналах такого типа на протяжении всего движения
на систему действуют возмущения — постоянное в первом случае и пе-
ременное во втором. Представляет интерес также исследовать собствен-
ное возмущенное движение системы. Такое движение возникает в ре-
зультате того, что какая-либо причина вывела систему из состояния
равновесия и затем действие этой причины снято, т. е. система предо-
ставлена сама себе. Применительно к летательным аппаратам такой
причиной может быть воздушная турбулентность, проявившаяся в виде
мгновенного порыва ветра, приведшего к изменению угла атаки, случай-
ное мгновенное накренение летательного аппарата и т. д.
Для исследования собственного возмущенного движения необходи-
мо рассмотреть еще один вид входного сигнала. Отклонение системы из
состояния равновесия можно представить как результат приложения
на входе в систему некоторого импульса. Импульс представляет собой
действие весьма большой (теоретически — бесконечно большой) силы R
в течение весьма малого (теоретически — бесконечно малого) времени т.
При этом интеграл
\Rdt
о
остается конечным, например, равным единице. В этом случае говорят
о единичном импульсе.
Действие такого возмущения в виде обычной непрерывной или даже
разрывной функции представить нельзя, так как эта функция равна
нулю во все моменты времени, за исключением момента приложения
импульса, когда она становится бесконечно большой. Поэтому матема-
тический аппарат пополняют специальной импульсной функцией — так
называемой 6-функцией (Дирака), обладающей указанными выше свой-
ствами.
218
Г л. V. Математические основы исследований динамики полета
Изображение ё-функции оказывается равным [31]
£[8 (/)] = j‘
6
Введение ё-функции расширяет класс входных сигналов, включая
в их число импульсные сигналы на входе. Такие сигналы теперь можно
математически интерпретировать в виде начальных условий, которые
запишутся так:
Уо=Уо&({), у(0)=уоё(0 и т. д.
На основании изложенного изображение решения однородного диф-
ференциального уравнения
Уп (О + ап-1УЛ~1 (0 + • • • + «1У (/)+аоу (/)=О,
например, при ненулевых первых начальных условиях
У(0) =Уо^О, у(О)=уо=£®
и при равенстве нулю всех остальных производных
У(О)=у(О)=...=у'’-1(О)=О
напишется в виде [см. формулу (21.5)]
Г(£)=у0£[8(/)]
рп x+an~xpn 24-...+ai
рп + ап_хрп~х+. ,.+а}р +а0
+у0£ [§(/)]
рп + an—iPn • • -Ч-д2
Рп+ an_xpn~l+...+ ахр + «о
О входных сигналах типа импульса сказано в гл. VII при исследо-
вании собственного возмущенного движения летательного аппарата.
§ 7. ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
До сих пор предполагалось, что воздействие (например управляю-
щее воздействие), поступающее на вход в систему, представляет собой
определенную (детерминированную) функцию времени. В этом случае
и выходная величина также является определенной функцией времени;
вид этой функции полностью определяется при заданном виде функции
входа структурой передаточной функции. Входные сигналы, однако,
далеко не всегда можно считать определенными функциями времени:
они могут носить случайный характер, так что заранее их нельзя пред-
ставить в виде определенных функций времени. Но тогда и выход из
системы также не может быть представлен как определенная функция
времени. Следовательно, если на вход в систему подается случайная
функция x(t), то на выходе из системы получится также случайная
функция y(t), отличающаяся от входной функции. Оценка динамических
свойств системы в этом случае может быть проведена статистическими
методами. Задача статистического расчета системы заключается в опре
делении статистических свойств выходной функции при известных стати-
стических свойствах входной функции.
Приведем некоторые основные определения, принятые в теории
случайных функций [21], с которыми нам придется встретиться в даль-
нейшем.
§ 7. Понятие о статистическом расчете динамической системы
219
Случайной называют величину, которая в результате опыта может
принимать то или иное значение, причем заранее неизвестное. Напри-
мер, при стрельбе в цель случайной величиной будут координаты точки
Фиг. 19.5. Изменение фактической высоты по-
лета самолета в разных опытах.
попадания.
Случайной называют функцию, которая в результате опыта может
принимать тот или иной конкретный вид, причем заранее неизвестно,
какой именно. Примером случайной функции может служить фактиче-
ская высота полета самолета, совершающего горизонтальный полет.
Вследствие воздействия ряда случайных факторов (турбулентность ат-
мосферы, ошибки летчика и т. д.) фактическая высота полета колеблется
около некоторой средней высоты; зависимость фактической высоты от
времени в разных опытах (разных полетах) будет получаться различ-
ной (фиг. 19.5).
Если статистические свой-
ства случайной функции (на-
пример связь между амплиту-
дой и частотой) не зависят от
времени, то говорят о стацио-
нарной случайной функции. В
дальнейшем мы ограничимся
только стационарными слу-
чайными функциями.
Если имеется некоторая
случайная величина у, то ве-
роятность того, что эта вели-
чина примет значение, лежа-
щее внутри интервала у и
(y+dy), можно представить
в виде W{(y)dy. Функция IEj(y)
деления вероятности. Аналогично вероятность получения функцией yi
значения, лежащего в интервале и (yi + dyt) в момент времени t, и
значения, лежащего в интервале у2 и {yi+dy?}, в момент времени
(/+т) можно написать в виде 1Е2(уь у2, т) dy\dy2. Функция IF2(yf, у2, т)
называется второй функцией распределения вероятности.
Математическим ожиданием случайной величины называют число
называется первой функцией распре-
У = f yW^yjdy.
(84.5)
Выражение, аналогичное у,
уп = J ynWl(y)dy (84а. 5)
.—-оо
называют моментом n-й степени; ясно, что математическое ожидание
представляет собой момент первой степени.
Говорят о центрированной случайной величине, если ее математи-
ческое ожидание равно нулю. Ясно, что всякую случайную величину
можно превратить в центрированную, если воспользоваться формулой
Уи.=у—у;
тогда уъ=у—у = 0.
Средний квадрат отклонения случайной величины определяется со-
отношением
а2 = (у— у)2 = J (у —y)2U7i(y)rfy=y2—у2. (85-5)
220
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Для центрированной случайной величины средний квадрат откло-
нения о будет одновременно и средним квадратичным значением \^у2
случайной величины, так как математическое ожидание у центрирован-
ной случайной функции равно нулю.
Функцией корреляции случайной функции называют среднее значе-
ние произведения за время Т
___ ____________ +«•
^(T)=yiy2=y(/)y(/_j_T)= J y1y2W2(y1,y2,t)dyldy2=
Фиг. 20. 5. к определению спектраль-
ной плотности.
=Нт f +
Т—х 1 J
L —772
(86. 5)
Функция корреляции /?(т) дает
меру взаимной связи двух значений
y(t), измеренных в два разных момен
та времени, отделенные один от дру-
гого на величину т. С ростом т эта
связь ослабевает, и при т —ос величи-
ны y(t) и у(/+т) перестают зависеть
друг от друга. В этом случае справед-
лива формула теории вероятностей
W2=W1(yi)Wl(y2).
При т=0 функция корреляции становится равной 7?(0)=о2.
Так как выбор ее начального значения произволен, то справедлива
формула
R (т)=у (0 у (t + т) = у(/—т)у(/).
Функцию y(t) представим в виде интеграла Фурье (предполагая,
что такое представление возможно)
4-00
y(/)=J A(y>)eiwt dw,
— со
(87.5)
где А (со) — амплитуда колебаний с частотой со.
Из (87. 5) следует, что случайную функцию можно рассматривать
как сумму колебаний с непрерывно изменяющимися частотами со и с
амплитудами Л (со), являющимися также непрерывными функциями со.
Распределение среднего квадрата случайной величины по спектру
частот называют спектральной плотностью случайной величины
(фиг. 20.5). Так, спектральная плотность случайной величины х будет
dm
(88.5)
Отсюда следует, что средний квадрат о* случайной величины можно
определить по формуле
ах — J Sx du>. (89. 5)
о
§ 7. Понятие о статистическом расчете динамической системы
221
При решении ряда задач считают, что распределение случайной ве-
личины следует нормальному закону (закону Гаусса)
(90-5)
где через о обозначено среднее квадратичное значение случайной вели-
чины х.
Величину о2 в случае центрированной случайной функции называют
дисперсией случайной функции.
При нормальном законе распределения (90. 5) спектральная плот-
ность
(91.5)
где wm—значение ю, соответствующее максимуму ординаты 5Ж (см.
фиг. 20.5). Справедливость (91.5) нетрудно проверить при помощи
формулы (89.5), по которой
о о
что и требуется.
Перейдем теперь к основному вопросу о реакции линейной системы
на случайные возмущения. На основании (50. 5) реакция системы на
входной сигнал вида Xk(t) = Uke'01^ равна
* yh(t)=xh(t)W(iah) = UllW(iak)eiu>kt ,
причем Uh может быть и случайной величиной, но не зависящей от
времени, что и имеет место для стационарных случайных функций.
На основании принципа суперпозиции реакция линейной системы
на бесконечную последовательность дискретных возмущений такого типа
У(0= (92-5)
й——со
Обозначим некоррелированную случайную величину с математиче-
ским ожиданием, равным нулю,
ukw(i^w'b.
Тогда (92.5) можно написать в виде
у(/)= 2 (93.5)
k= — СО
В теории случайных функций доказывается, что дисперсия случай-
ной комплексной величины равна математическому ожиданию квадрата
модуля А этой случайной величины. Таким образом, для комплексной
случайной величины Wk (ttfc)e'“ft/ имеем
[U^] — \UkA Ы?=1Л[А (wft)]2=
222
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Переходя к пределу при Т—оо, придем к следующему важному со-
отношению:
==[Л(О))]2С?О2
или, так как по (89.5)
do ’ х do ’
ТО
£и=И(одах. (94.5)
Таким образом, средний квадрат выходной величины можно найти
через средний квадрат входной величины по простой формуле
с2 (95.5)
о
Формула (95. 5) определяет статистические свойства выходной вели-
чины через статистические свойства входной величины, которые предпо-
лагаются известными, т. е. отвечает на поставленный в начале этого
пункта вопрос.
Со статистическим методом расчета нам придется встретиться
в гл. VIII при исследовании собственного возмущенного движения лета-
тельных аппаратов.
§ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРА
ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Напомним, что векторная величина (вектор) В вполне определяется
своей длиной (модулем) и направлением. Скалярная величина (скаляр)
вполне определяется числом S, ее измеряющим.
Всякий вектор в прямоугольной системе координат можно пред-
ставить в виде суммы:
R=lRx + 7Ry + kRz,
где г, J, k — единичные векторы (орты) и Rx> Ry, Rz— проекции вектора
В на оси координат Ox, Оу, Oz.
Различают скалярное и векторное произведения^ векторов.
Скалярным произведением двух векторов А и В называют скаляр
S, величина которого определяется по формуле
5 = А В = |А| |В| cos О,
в которой через © обозначен_угол_между векторами А и В; |А|, |В| —
длины (модули) векторов А и В.
Если векторы имеют одно и то же направление (0=0), то
A-В —|А||В|.
Если векторы перпендикулярны ^©= —) , то
А-В=0.
Если векторы направлены в противоположные стороны (0=л), то
Д.В=-|А| |В|.
<> 8. Производная вектора во вращающейся системе координат
223
Для ортов выполняются следующие условия:
i -i = j • / — k• k= 1;
ij = j k = ki = O.
Векторным произведением двух векторов А и В называют вектор В,
равный по модулю площади параллелограмма, построенного на векто-
рах А и В, и направленный перпендикулярно к плоскости параллело-
грамма так, что векторы А, В, В образуют правую систему координат;
AXB=R.
Модуль вектора В
|/?| = |Д| |5|sin€).
Если векторы имеют одинаковое (0 = 0) или противоположное
(0=л) направление, то векторное произведение
АУ,В = 0.
Векторные произведения ортов равны:
ГхТ=7х7=*х*=0;
iXj — k, jxk=i, kXi = j.
Далее
АХВ—-—ВХА-,
RX(A-\-B)=RxA^RxB.
Производная вектора, изменяющегося со временем t по величине
и направлению, т. е. B = B(t), определяется так:
dR bR . — 5
—+ «>ХА\
dt Ы
где
аД d Rx - , dRv _ , dRz -
--=---- 4 -)-j -----k
It dt dt dt
и co — вектор угловой скорости поворота вектора В.
Несколько подробнее остановимся на определении производной
вектора во вращающейся (неинерциальной) системе координат. В част-
ности, если рассматривать производную вектора скорости, то производ-
ная этого вектора будет ускорением:
dt
Рассмотрим систему координат Oxyz, начало координат которой О
перемещается относительно инерциальной системы со скоростью Vc.
и которая вращается с угловой скоростью со (фиг. 21.5).
Вектор V абсолютной (относительно инерциальной системы) скорости
точки Р, движение которой в системе Oxyz определено радиусом-векто-
ром q и вектором относительной скорости Vr,
v=v0+Vr+^XQ.
224
Гл. V. Математические основы исследований динамики полета
Применяя изложенные выше общие правила дифференцирования
векторов, получим
^=^+"xK"+^+“xV-+^xe+"x>+“x<“xS-
ог or Ъ1 Gt
Но
Фиг. 21.5. К определению производной век-
гора во вращающейся системе координат.
так что абсолютное ускорение W
й0+-^ +
+—хе+2«>х vr-|-a>x (u>xq).
(96. 5)
Сумма векторов
Gt
+ ^Хё+«>Х(о>хё)=^пер
ОС
есть переносное ускорение точки/3;
= М70тн — относительное ускорение точки Р и 2о>х НЛ=1Гкор—пово-
ротное (кориолисово) ускорение точки Р. Следовательно, как это извест-
но из механики, абсолютное ускорение точки Р равно сумме переносно-
го, относительного и поворотного ускорений.
Представив векторы в виде сумм составляющих этих векторов по
ссям координат Ох, Оу, Oz
Q==xi-\-yj-\-zk,
^=vJ+vry7+vrJ,
и : e>xi - u)vy <azk,
^0xl + ^0у/ +
получим
— х С=( V — ">z у) I + (и)гх—Wxz) j + («)Лу — 0Jyx)^;
<о X И0=(огуVGz — <огVОу) I+(о>гVOx—шхVОг) j + (о>ЛVОу - в>уVOx)k;
го х («> х е)=[“л^уУ+w—х (шу + °^)11 +
+ [“xV + “у^2 — У (“х + “pl j + tVx2 + 0>ушгУ — 2 (“£ + ШУ )] k-,
«>Х Vr = (PyVzr — “z^yJ^ + K^xr — “x^xz) j +(u)xV'yr — шуУхг)^-
После подстановки полученных выражений в общее выражение
(96. 5) вектора абсолютного ускорения получим скалярные составляю-
§ 8. Производная вектора во вращающейся системе координат
225
щие вектора абсолютного ускорения W по осям координат системы
Oxyz:
Wx = VOx + шуУОг - voy + WyZ - шгу + 0)л.0)уу 4-
4-W-x(^ +^)+Vxr + 2(^Vz-^Vyry, (97.5)
W У = ^Оу + “Лох ~ W+ “г* ~ V + V/ + V’z* —
-уК+^+^г+гк^-^); (98.5)
= ^Ог + шх^0у ““ шу^Ох + шхУ ~ шуХ + шхшгХ +
+ w _2(Ш2 +W2) + 1?гг+2 (рхУу-ШуУхг). (99.5)
Напомним, что в (97.5) — (99.5) х, у, z— координаты точки Р от-
носительно начала координат системы Oxyz.
Формулы (97.5) — (99.5) справедливы при любом выборе системы
координат Oxyz, в качестве этой системы можно выбрать скоростную
систему, связанную систему координат и т. д.
15 1824
ГЛАВА VI
ПРОДОЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
В гл. III и IV рассмотрено установившееся движение летательного
аппарата. Более общим случаем является неустановившееся движение,
в процессе которого все кинематические характеристики движения —
скорость полета, угол атаки, угол тангажа и т. д. — изменяются с те-
чением времени.
Выше мы условились рассматривать неустановившееся движение
летательного аппарата как результат отклонения от заданного основ-
ного движения, вызванного какими-либо причинами. Такое движение
мы назвали возмущенным. В гл. II показано, что исследование возму-
щенного движения получается особенно простым, если за основное не-
возмущенное движение принять движение летательного аппарата без
крена и скольжения, а отклонения кинематических характеристик в воз-
мущенном движении от их значений в основном движении считать не-
большими. В этом случае продольное возмущенное и боковое возму-
щенное движение можно рассматривать независимо одно от
другого.
В этой главе подробно рассмотрено продольное возмущенное дви-
жение летательного аппарата.
Все дальнейшие выводы будут справедливы в меру применимости
метода малых возмущений, т. е. до тех пор, пока допустима линеариза-
ция уравнений движения летательного аппарата.
§ 1. ВОЗМУЩЕНИЯ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В ПОЛЕТЕ
Приступая к изучению продольного возмущенного движения лета-
тельного аппарата, прежде всего необходимо выяснить, какие причины
могут привести к отклонению от основного режима полета.
Такими причинами могут быть возмущения, связанные как с самим
летательным аппаратом, так и с внешней средой, в которой происходит
полет. Из общих соображений, приведенных в гл. II, ясно, что при изу-
чении продольного возмущенного движения должны рассматри-
ваться только возмущения, действующие в плоскости симметрии лета-
тельного аппарата; возмущения другого типа привели бы к появлению
бокового возмущенного движения.
Возмущения, связанные с самим летательным аппаратом, могут
быть следствием либо управляющих воздействий, осуществляемых лет-
чиком или специальным командным устройством — автоматом, либо
изменений состояния летательного аппарата в процессе его полета, не
§ 1. Возмущения, действующие в полете
227
предусмотренных программой основного движения (например измене-
ния массы летательного аппарата вследствие сбрасывания грузов, изме-
нения положения центра масс и т. д.).
Возмущения, не связанные с самим летательным аппаратом, появ-
ляются вследствие изменения состояния среды, в которой происходит
полет летательного аппарата. Наиболее часто встречающиеся изменения
состояния среды проявляются в виде порывов ветра; очевидно, что при
изучении продольного возмущенного движения мы должны рассматри-
вать порывы ветра в плоскости симметрии XiOz/i.
В этой книге в качестве возмущений, связанных с самим летатель-
ным аппаратом, будут рассматриваться только управляющие воздейст-
вия, а в качестве возмущений, связанных с внешней средой, — изменения
по величине и по направлению скорости набегающего на летательный
аппарат потока.
Целью всякого управляющего воздействия является изменение ха-
рактера движения летательного аппарата. Этого можно достигнуть, из-
менив (нарушив) баланс внешних сил, действующих на летательный
аппарат. Таким образом, целью управляющего воздействия является из-
менение равнодействующей внешних сил (включая и силу тяги), дейст-
вующих на летательный аппарат.
У крылатых летательных аппаратов, изучением движения которых
мы главным образом и будем заниматься, внешними силами, которые
можно изменять, являются аэродинамические силы и сила тяги. Вели-
чина аэродинамических сил при прочих равных условиях и при отсут-
ствии скольжения (Р = 0) определяется величиной угла атаки а, т. е.
ориентировкой летательного аппарата по отношению к вектору скоро-
сти V. Для быстрого изменения величины аэродинамических сил, сле-
довательно, необходимо изменить угол атаки а. Для этого надо повер-
нуть летательный аппарат относительно вектора скорости, т. е. в пер-
вый момент времени, -т- пока вектор скорости полета остается неизмен-
ным,— повернуть летательный аппарат в пространстве. Для поворота
летательного аппарата надо приложить к нему момент относительно
центра масс; этот момент получается в результате отклонения руля.
Изменить величину аэродинамических сил можно, однако, и пово-
рачивая не весь летательный аппарат, а только крылья, так как аэро-
динамическая подъемная сила создается в основном крыльями
(фиг. 1.6). Преимуществом такого способа управления аэродинамиче-
ской силой является более быстрое достижение желаемого результата
изменения подъемной силы, если повернуть крыло удается достаточно
быстро; недостатком — конструктивное усложнение задачи.
Остановимся несколько подробнее на управляющих воздействиях
и на возмущениях, связанных с внешней средой.
Управляющие воздействия в продольной плоскости симметрии лета-
тельного аппарата XjOt/i в общем случае могут осуществляться путем:
1) отклонения руля высоты на угол А6В, приводящего к нарушению
равновесия моментов относительно оси Oz\, проходящей через центр
масс летательного аппарата, и к возникновению углового ускорения от-
носйтельно оси Ozx (фиг. 2.6);
2) изменения силы тяги движителей ’. Мерой этого изменения яв-
ляется величина ДР (фиг. 3. 6);
1 Имеется в виду изменение силы тяги вследствие изменения режима работы дви-
жителя. Так как в общем случае P=P(V, Н), то под ДР понимается изменение Р при
неизменных И, V.
15*
228
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
3) поворота крыльев на угол Д<рк вокруг оси, перпендикулярной
плоскости симметрии летательного аппарата, непосредственно приводя-
щего к изменению аэродинамической силы и ее момента относительно
центра масс летательного аппарата (см. фиг. 1.6);
Фиг. 1.6. Изменение режима полета путем поворота крыла.
4) поворота двигателя относительно оси, перпендикулярной плоско-
сти симметрии летательного аппарата, оцениваемого величиной угла
(£Дв между осью двигателя и осью Oxi летательного аппарата (фиг. 4. 6).
Второе и четвертое управляющие воздействия обычно приводят
только к нарушению равновесия сил, действующих на летательный
аппарат, и к изменению линейного ускорения летательного аппарата.
Кроме того, побочным следст-
вием такого управления может
быть также изменение равно-
Г0;Д 1Л2-0
весия моментов в том случае,
когда момент силы тяги отно-
сительно оси Ozj не равен ну-
лю, а уравновешивается в
основном движении какими-ли-
бо другими моментами.
В общем случае рулем вы-
соты надо считать всякое уст-
ройство, позволяющее получить
нормальную силу, приложен-
ную на некотором плече отно-
сительно центра масс лета-
тельного аппарата, независимо
от природы этой силы. Эта
нормальная сила может быть
(см. гл. I) аэродинамической
или газодинамической. Аэро-
динамические рули, использу-
ющие скоростной напор воз-
душного потока, применяются
при полете на сравнительно
небольших высотах, когда ско-
ростной напор достаточно ве-
лик; газодинамические рули —
при полете на достаточно
Фиг. 2.6. Изменение режима полета путем больших высотах или при по-
отклонения руля высоты. лете на малых высотах, но с
небольшими скоростями, когда
скоростной напор мал и аэродинамические рули оказываются недоста-
точно эффективными. Как отмечено ранее, в качестве газодинамического
§ 1. Возмущения, действующие в полете
229
руля можно использовать либо рулевую поверхность, помещенную в по-
токе газа, выходящем из сопла двигателя, либо вспомогательные дви-
гатели.
В действительности при осуществлении какого-либо управляюще-
го воздействия изменяются все внешние силы и моменты, действующие
на летательный аппарат; однако некоторые силы изменяются существен-
но, в то время как изменение других сил невелико. Без большой по-
Фиг. 3. 6. Изменение режима полета путем изменения величины силы тяги.
грешности поэтому можно ограничиться учетом только основных сил
и моментов, возникающих при том или ином управлении летательным
аппаратом.
В дальнейшем, пренебрегая изменением силы лобового 'сопротивле-
ния Q, будем считать, что п р и отклонении руля высоты изме-
няются только аэродинамическая (газодинамическая) подъемная сила
У и аэродинамический (газодинамический) момент Mz.
При изменении силы тяги Р будем учитывать только изменение
силы тяги, пренебрегая изменением момента силы тяги относительно
центра масс летательного аппарата, так как этот момент обычно не-
велик.
При повороте крыла будем принимать во внимание изменение
аэродинамической подъемной силы и лобового сопротивления, а также
момент аэродинамических сил относительно центра масс летательного
аппарата.
Фиг. 4. 6. Изменение режима полета путем поворота двигателя.
Наконец, при повороте двигателя будем принимать во вни-
мание только изменение составляющих силы тяги по связанным осям
координат, пренебрегая возникающими при таком управлении моментом
силы тяги и дополнительными аэродинамическими силами из-за изме-
нения характера обтекания летательного аппарата.
230
Гл.
VI. Продольное возмущенное движение
летательного аппарата
Таким образом, в уравнения движения летательного аппарата бу-
дем вводить следующие управляющие силы и моменты:
д/Иг5в=Л1>д8в, дГ6в=УгвД8в, ДР;
д7Иг?к = <кД(рк> дГ?к=Г-ркд?к> д?с?к=(3.КД(рк.
(1-6)
ДКрдв= -Рсо5(а-?)д<рдв, дХУдв=Р81п(а—<р) д?дв,
где <р = срдв—о>к (фиг. 5.6), У6®, М\в и т. д. — частные производные
соответствующих сил и моментов по управляющим воздействиям.
Фиг. 5.6. К определению углов <рк, <рдв и <р.
В большинстве случаев двигатель жестко фиксирован в связанной
системе координат и не может поворачиваться в полете. В этом случае,
очевидно, управляющее воздействие А<рдв тождественно равно нулю.
Если, кроме того, крыло также жестко фиксировано в связанной системе
координат, то равно нулю и управляющее воздействие А<рк, т. е. остаются
только два управляющих воздействия: отклонение руля высоты и изме-
нение режима работы двигателя.
Возмущениями внешней среды при изучении продольного движения
летательных аппаратов будем
Фиг. 6.6. Изменение направления подъем-
ной силы при изменении угла атаки вслед-
ствие воздушной турбулентности.
считать дополнительные состав-
ляющие скорости потока, набе-
гающего на летательный аппа-
рат, относительно первоначаль-
ного положения осей координат.
Так, в скоростной системе коор-
динат турбулентными возмуще-
ниями внешней среды будут: нор-
мальная к положению оси Ох
в основном движении составляю-
щая скорости AVPT и касатель-
ная составляющая ДЕЖТ-
Вследствие появления этих
составляющих скорости изме-
нятся угол атаки (угол между
направлением скорости набегаю-
щего потока и хордой крыла,
жестко фиксированной относи-
тельно оси Ох/) и скорость набе-
гающего потока. Если эти изме-
нения равны соответственно Аат
и АУт, то изменения аэродинами-
ческой подъемной силы У и силы
лобового сопротивления Q полу-
чаются равными:
§ 1. Возмущения, действующие в полете
231
дКт=Гдат+^д1/т;
£&,= (? baT+Qv&VT.
Кроме того, подъемная сила, согласно теореме Жуковского нор-
мальная скорости набегающего потока, отклонится от своего первона-
чального положения на угол Дат (фиг. 6.6), вследствие чего возникнет
составляющая подъемной силы по оси Ох скоростной системы коорди-
нат (напомним, что в этой системе координат ось Ох направлена в до^ ь
траектории полета, а не по скорости набегающего
потока). Точно так же сила
лобового сопротивления дает
составляющую по оси Оу. На-
конец, вследствие изменения
скорости набегающего потока
в случае ВРД изменится и
сила тяги движителя, завися-
щая от скорости набегающего
потока.
Момент аэродинамических
сил, действующих на летатель-
ный аппарат, при полете в тур-
булентной атмосфере изменит-
ся на величину (см. гл. I)
дЛ1гт=Л12 Дот_|_./Иг Дат-|-
+ 7ИУдНт.
В результате при полете
турбулентной атмосфере
уравнения движения летатель-
ного аппарата, написанные в
скоростной системе координат,
мы должны ввести следующие
приращения внешних сил и мо-
ментов:
в
в
Фиг. 7.6. Мгновенное возмущение угла
атаки и скорости набегающего потока
(«ступенька»).
ДГ=Г AaT4-rVAl/T+QAaT;
дХ=Удат-£ада1-£гд1/т +РГДИТ;
дТИ2=Л1г Дат+7ИгДат4-Л1Уд1/т.
(2.6)
В том случае, когда имеются одновременно возмущения от управ-
ляющих воздействий и возмущения, вносимые внешней средой, в урав-
нения движения надо ввести одновременно дополнительные силы и мо-
менты по формулам (1.6) и (2.6).
Турбулентные возмущения Дат и ДУТ носят случайный характер
и не могут быть представлены в виде определенных функций времени.
Позже мы остановимся на оценке влияния случайных возмущений на
характер возмущенного движения летательного аппарата, а сейчас сде-
лаем лишь следующие замечания.
Для каждого дискретного возмущения зависимость Дат и ДУТ мож-
но представить в виде определенных функций времени t. Вид этих функ-
ций можно установить, если задаться определенной формой порыва.
232 Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
Встречающиеся в полете формы порывов можно выявить на основе ста-
тистической обработки метеорологических данных.
Простейшими двумя случаями турбулентного возмущения являются
следующие. В первом случае угол атаки или скорость набегающего по-
тока мгновенно изменяются на некоторую величину и затем сохраняются
постоянными (фиг. 7.6) (порыв типа «ступеньки»). Во втором случае
Фиг. 8.6. Изменение вертикальной составляющей скорости воздушного
потока по синусоиде.
в некоторый момент времени летательный аппарат попадает в область,
где турбулентные возмущения угла атаки или скорости набегающего
потока изменяются по закону синуса (по гармоническому закону), как
это показано на фиг. 8.6.
В более общем случае, как уже упоминалось, турбулентные возму-
щения представляются как случайные функции времени t. К этому во-
просу мы вернемся, а сейчас перейдем к составлению уравнений про-
дольного возмущенного движения летательного аппарата.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Как показано в гл. II, если исходным режимом является полет
без крена и скольжения, то продольное возмущенное движение можно
рассматривать независимо от бокового возмущенного движения.
Уравнения продольного возмущенного движения, приведенные
в гл. II, составлены в связанной с летательным аппаратом системе осей
координат. Практически удобнее рассматривать продольное возмущен-
ное движение в скоростной системе координат, которая при 0=0 совпа-
дает с полусвязанной системой координат. Именно в полусвязанной
системе представляют обычно результаты испытаний моделей в аэроди-
намических трубах.
Составим уравнения продольного возмущенного движения в ско-
ростной системе координат.
Так как оси Oz и Oz\ скоростной и связанной систем при 0 = 0 сов-
падают, то уравнение моментов относительно оси Oz остается тем же,
что и относительно связанной оси Ozx. Уравнения равновесия сил в про-
екциях на оси Ох и Оу изменятся. Новые уравнения получим, если в об-
щих уравнениях движения (42.2) — (43.2) положим V2i = сож1 = о)у1 — О
и примем во внимание, что в соответствии с определением скоростной
системы
VX=V, Vy=0
и угловая скорость поворота оси Oz
<о2 = ©=&—а.
Уравнения (42.2) — (43.2) принимают вид
mV=Xc; (42а. 2)
тУ(0 + <окр2) = Гс.
(43а. 2)
§ 2. Уравнения продольного возмущенного движения
233
Здесь через Хс и Yc обозначены проекции равнодействующей всех
Внешних сил (включая силу тяги) на оси Ох и Оу скоростной системы
координат.
Составим выражения этих проекций. На летательный аппарат в по-
лете действуют следующие силы (фиг. 9.6):
— сила тяжести G — mg;
— аэродинамическая подъемная сила Y, направленная перпенди-
кулярно скорости набегающего потока. В том общем случае, когда
имеются турбулентные возмущения, подъемная сила Y будет давать
проекции на обе оси скоростной системы; при отсутствии турбулентных
возмущений угла атаки сила У направлена вдоль оси Оу скоростной
системы координат;
Фиг. 9.6. Внешние силы, действующие на летательный
аппарат в полете.
— аэродинамическая сила лобового сопротивления Q, направлен-
ная по скорости набегающего потока. В общем случае, так же как и У,
сила Q будет давать проекции на обе оси Ох и Оу;
— сила тяги Р, направленная под углом (а—ср) к оси Ох.
Проектируя эти силы на оси Ох и Оу, получим
Хс=Р cos (а—ф) —Q cos ат—G sin 0 + У sin ат;
yc=Psin (а—ф) +У cos aT + Q sinaT—G cos®.
Будем считать турбулентные возмущения угла атаки малыми,
так что можно принять sinaT~aT, cosaT~l. Тогда предыдущие выра-
жения можно переписать в виде
Xc~Pcos(a—ф)—Q-|—У ат—Gsin0;
УС^Р sin (а—ф) + У+Q ат—G cos 0.
Величина аэродинамических сил У и Q зависит при прочих рав-
ных условиях от истинного («воздушного») угла атаки ав, определяе-
мого как угол между скоростью набегающего потока и связанной
осью Охр В дальнейшем исключим из написанных равенств угол a
между скоростью полета и связанной осью Oxi; нетрудно видеть
(фиг. 10.6), что углы а, ав и ат связаны соотношением
а=ав—ат.
234
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
В соответствии с этим соотношением для угла наклона траектории
к горизонту 0 получаем
0=•&—а='&—ав+ат.
Ранее для угловой скорости coKpz> связанной с кривизной земной
поверхности, было получено выражение
V cos в
“крг — ~ •
Вспоминая, что круговая скорость
Фиг. 10.6. Связь между углами а, ат и ав
предыдущее выражение можно заменить следующим:
“кРг=----C-cos©=------cos(S-ав-|-ат). (3.6)
V кр *кр
Приняв во внимание все эти выражения, для проекций Хс и Ус
получим
A'c = Pcos(aB —<р —ат)—Q-|~KaT —Osin(& —ав-|-ат); (4.6)
Fc = Р sin (ав—? — ат) -j- У 4- QaT — G cos (& — ав -ф ат). (5.6)
Движение в исходном режиме полета мы условились считать
невозмущенным, а в невозмущенном движении возмущения угла атаки
отсутствуют (ато=О). Поэтому для исходного режима полета равен-
ства (4.6) и (5.6) принимают вид
-’Со=ро cos (ao — ?)—Qo—° sin eo5 (6- 6)
rco=posin(ao—?)+ro—Gcos0o. (7.6)
Воспользуемся уже ранее встречавшимся понятием нормальной
перегрузки пу, определяемой как отношение проекции на нормаль
к траектории всех сил (за исключением веса) к весу:
„ ^Р081п(а—у) + Уо
Тогда уравнение (7.6) можно написать в несколько другой форме:
гсо=(«уо —cos0o)O. (7а. 6)
При помощи (3.6) и (7а. 6) уравнения движения (42а. 2) и (43а. 2)
для исходного режима полета можно переписать так:
m V'o—Ро cos (a0 — <р) — Qo—G sin 0О; (8.6)
mV0Q0—G L 0—cos 0O(1 —S-)|- (9- 6)
L ' *кр ' J
§ 2. Уравнения продольного возмущенного движения
235
Для возмущенного движения уравнения (42а. 2) и (43а. 2) прини-
мают вид
mV=Pcos(aB —<р —ат)—Q-j-Koj —Gsin(& —ав4-ат); (10. 6)
j/zVre=Psin(aB —? —aT)4-r+QaT —Gcos(& —ав+ат) fl — (И-6)
Линеаризируем уравнения (10.6) и (11.6). В соответствии с проце-
дурой метода малых возмущений мы должны положить
ав = °о4“ Дав»
ат=Дат,
У = 1/0+дУ,
^т=дйт,
Р=Р0+дР+Р1/(д^+дГт),
У=Г0+Г‘Дав + Г?кД?к +КН+ НД^ + ДУТ),
Q^Qo+Q^b+Q^A'Pk+Q^a^+a^)
и считать приращения всех кинематических величин Аав, Дат, А-& и т. д.
малыми.
При составлении выражений для сил принято во внимание, что в об-
щем случае ВРД сила тяги зависит от скорости (V + AVT) набегающего
потока, так же как и аэродинамические силы У и Q.
Подставляя приведенные выражения в уравнения (10.6) и (11.6)
и сохраняя члены только первого порядка малости, получим
т (Йо 4- Д Й) = Ро cos (a0—ср) — Ро sin (a0—<р) (Дав — дат)+
+ д Р cos (а0 — ср) -|- Pv cos (а0 — ср) (д V + д йт)—Qo — <2“дав—
— Q?K Д?к — QV (Д V + Д VT) — G sin ©0—G cos ©0 (д& — дав -f- дат) 4~
0Дат;
тУ0©04-тУ0(д&_дав4-дат) + тд\/(©0-2-^^°-\ +
х *кр '
rngV^ ~
+ sin ©о (Д» - дав+дат) = PQ sin (а0—ср) Д-
* кр
4* Ро cos (а0—ср) (Дав — Дат) 4* ДР sin (а0 — ср) 4- PKsin (а0 — <р) (д V 4- д VT) 4-
4- У0 4- ГаД«в +^?к д?к+^8Д8в 4- Yv (Д V 4- дйт) 4- О0дат -
— G cos ©0 4- G sin 0О (Д& — Дав 4- Дат).
Наконец, приняв во внимание уравнения (8.6) и (9.6), после не-
сложных преобразований получим уравнения равновесия сил в скорост-
ной системе осей координат в вариациях:
д V [P^cos (a0 - ср) - Qv ] д V 4- Г ^о£М«о~?) + Ои. _
т L т
©1 । гх . & ДР cos (ап — ср)
о Дав 4-g cos ®о Д& =-—~~
-^-AcpK4--^-[/)lzCOs(a0-cp)-Q^]AVT +
+g(«yo-cos®o)AaT; (12-6)
236
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
. р I Уо \ Г У“+Ро cos (а0— у) р
Д& —sin 0О(1 --д-) Д&- ----------sin ©0 X
\ ^кр / L
(у2 х-i г
Ла«~ ^c^-j4(«y3-cos0o)+
v кр / J L Ккр V О
+^(до-т)+гПдУ=_д-
mVQ 1
Po cos (а0 — ср) — Qo — G sin 0О/1
vo Yl др
Й~ AaT+-^-sin(ao-?) +
С кр / mV0
yfK Y&
mV'T Л?к + ~mV\>
Я4
Pv sin(a0 —у)-(-Ук
mVc,
LVT.
(13.6)
У летательных аппаратов, использующих для поддержания в возду-
хе аэродинамическую подъемную силу, углы атаки а в полете обычно
бывают небольшими; угол установки двигателей ф относительно связан-
ной оси Oxi тоже невелик. Поэтому в уравнениях (12.6) и (13. 6) допу-
стимо принять
sin(a0—cp)^a0 —<р, cos (а0 — ср)»1.
При этом уравнения принимают более простой вид:1
Д V — — - Д V 4- Г-^°(а° —-------g cos 001 да -J-
m L m J
др пРк Pv__О1'
-t~ g cos 0ОД&=-— Д<рк4---&V,+g(n 0 — со50о)дат; (14.6)
mm tn 1
/ V2 * * * *
A&_^sin0o[l._ °
^0 \ *кр ,/
COS0O
-
KP
д& — дав —
«Ур
yl
v2KP
Дав —
(ар
mV0
(1-4-
>г(а0 —у)
' mVo х и 1/1 mVo lK ' mVo~" в 1 mV0
Обозначим сумму аэродинамической подъемной силы У и
силы тяги Р на ось Оу через
>4=S*S<7=r+^(a-?),
= — Дат—
-J-(/z.yO-cos0o)4
v о
Pq —Qo g
sin <
mV0 Vo
др У ?к у8
(а0 —ср) + —^у-Дср^ —д8в4
так что
Су»—с -J —(а —ср).
у Sy
Дат-(-
ДК
(15.6)
проекции
(16.6)
1 Без большой погрешности можно принять Q®, пренебрегая небольшим
влиянием изменения условий обтекания корпуса и оперения при повороте крыла на
лобовое сопротивление летательного аппарата. Точно так же на основании форму-
лы (94.1):
и8
пв '
§ 2. Уравнения продольного возмущенного движения
237
Тогда
(17.6)
yv+Pv(a0-?) = rr=^(2^ + M0^) (18.6)
Уо
(так как су*=су»(а, М)),
где
(19.6)
у* у S<7o
см (20.6)
у >»TS9c 1р0 МоГ г
Составим далее выражения для частных производных аэродинами-
ческой силы Q, входящих в уравнения (14.6).
Так как сила лобового сопротивления
Q=CXS ^-=^q,
то частная производная этой силы по углу атаки
да
Частная производная силы Q по скорости набегающего потока
(так как в общем случае коэффициент лобового сопротивления есть
функция числа Маха, а М= —)
а J
T2V'<:
OV Z z V о
С учетом полученных выражений уравнения равновесия сил приво-
дятся к следующему виду:
д17_Х[рг_^.о(2Схо+МоСмо)1д1/ +
ко J
т
Ро(ао— ч) + см8Яо Q I .
-----------------gcos0o Дав +
т
Рк 1
-д<?к+— Pv
т т
+ £(«уо — со8 0о)дат;
/ V2 \
sin 0 J 1 - J Д& - Дав —
V2
v кр
----^(^-cose0)+g(a:
У8 у’к др
=— д8 -]---— д<рк -|—— (а0 — <р) — Дат —
mVQ mVG mVG
- p°-Q°-^-g-sin
mV0 Vo
4-^-(2гу*4-М0сМ)дИт.
2m y
п о ДР Q
-g cos 0ОД» =----
т
до
' g cos 0О
——— sin 0О(1
тУ0 у Ио \
g
^(2сх0+М0г«) дУт+
ИО J
(21-6)
дав —
д1/=
•2
кр
(22.6)
238
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
Эти уравнения можно еще упростить, если пренебречь небольшими
по сравнению с остальными членами уравнений слагаемыми
m L *кр ''о J mV о
Тогда вместо (21.6) и (22.6) получим
--5-----geos е0 Дав+g cos е0Д& =
tn------]
-т; <^+м»« ] 4V’+
+ g(So~cos0o) дат; (23.6)
/ • V2 \
Д&---— sin 0011-I д& —
Vo \ ^р/
— дав—----------— sin@0 f 1 Дм —
в [mV0 >* Vo °\ V2p/I в
oS yfK
-^(2<Т’* + М0^,)д1/=—- д8в +2_ д?к - дат-
2m 5 mV0 mV0
_ + (24.6)
m^o Hq \ гКр / ] zm Л
Этими более простыми уравнениями и будем пользоваться в даль-
нейшем.
Перейдем теперь к уравнению равновесия моментов относительно
оси Oz. Уравнение (79.2) с учетом (80.2) имеет вид
/гд&=дЛ12. (25.6);
Приращение продольного момента в возмущенном движении
ДТИ2=Ж^оДав+Л4“0Дав + 7И^( д V + Д Ут) +
+<^НМм+<?д?к- (26.6)
Частные производные момента Mz определяются следующими выра-
жениями:
Л12о—mzoSb^Q,
(2и»Н?+ HcM/f®
(так как в исходном криволинейном движении т2о¥=0):
^г0::=тг0^^^0‘
В случае аэродинамического руля высоты
Alzo=mzoS^0.
Наконец, производная
M^ = m^b&qQ,
£ 2. Уравнения продольного возмущенного движения
239
где в первом приближении по формуле (89.1)
^m^+kAr^yrM
Подставив полученные выражения в уравнение (25.6), придем
к уравнению равновесия моментов относительно оси Oz в возмущенном
движении:
Л» t0AaB+ т“)Дав+ ^^o-rAfo^o ду =
1z L _
= дг, I и,1. (27.6)
'z 72 L у о
Если кривизна траектории полета в исходном режиме не слишком
велика, коэффициент тг0 продольного момента в исходном режиме
также невелик; это позволяет в первом приближении пренебречь этим
коэффициентом, т. е. принять mzG~0. Тогда получим более простое
уравнение, которым и будем пользоваться в дальнейшем:
от;0Дав4-та;0Дав+от^д&+М°^г0
*z L •'о
^гО g -$Мо
Iz Iz
^Д?к + ^;Д?к-|-
Vo
(28.6)
дУт .
Левые части уравнений (23.6), (24.6) и (28.6) описывают собст-
венное возмущенное движение летательного аппарата; в правой части
уравнений помещены вынуждающие функции — управляющие воздей-
ствия и возмущения внешней среды.
Для упрощения записи введем следующие обозначения:
«io=-^1-^cos0o; &10= —-^г^о+МосМ)] ;
77Z ТП V q J
clo=gcos0o;
/ V2 \
а20=^е- sin 0О ( 1-^-); b2Q = -(2су* 4-Мос« );
20 mV0 у Vo V*p/ 20 2т у 1 0
/ V2 \
с20 =---— sin 0011-I;
V0 °\ V^f
Sbaq0
n Sbaq0 . —
aS0— t mzV U3l —
lz lz
, _S»a90 ?и. а’=_§Мо ^.
“зо — J rnzV' U31 T
‘Z Jz
Sblq0
mz0
S^<70
irLzb '
31 Iz 20 Vo/Z
y6 c _ yvk
FS=—=^<o>‘ (Fk
mV0 mV0 y0 mV0 °
v04 20
OU 17 т u 20’
V 0JZ
e — Мг°
езо— T »
1Z
QoK
m
(29.6)
nvKa
'"W
240
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
С учетом этих обозначений уравнения продольного возмущенного
движения принимают вид1
йУ “J- ^юДа ~I- (/); (30.6)
Д &+с20Д& — Да — а20Да+bw Д V=у (/); (31.6)
Д $+Сз1 Д^+аз1 Д а+а30 д а Z>30 Д V=m (I), (32.6)
где возмущающие функции равны:
др ___________________
(0=------Д <рк - bю Д VT+g(п 0 - cos 0О) Дат; (33. 6)
tn '
у(/)=у8дйв+г д?к-дс^-
rnV^ Vo \
^2о д4\;
= - е30д8в+а30дТк - а'31 д?к - б30д 1/т.
21
^кр
Дат —
(34.6)
(35.6)
Как видим, уравнения продольного возмущенного движения
(30. 6) —(32. 6) представляют собой систему линейных дифференци-
альных уравнений четвертого порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнения (30.6) — (32.6) составлены для общего случая, когда
одновременно имеются и управляющие воздействия Дбв, ДР и Д<рк,
и возмущения, обусловленные турбулентностью воздушной среды
Дат и ДУТ.
Система (30.6) — (32.6) содержит три уравнения с восемью неиз-
вестными: Дбв, ДР, Дфк, Дав, ДО, ДУ, Дат и ДУТ.
Для получения решения этих дифференциальных уравнений необ-
ходимо, следовательно, задаться законом изменения в функции
времени пяти каких-либо неизвестных. Такими заданными функциями
времени в дальнейшем будем считать управляющие воздействия Дбв,
ДР и Дфк и турбулентные возмущения Дат и ДУТ.
При заданных управляющих функциях и возмущениях внешней
среды система уравнений получается замкнутой: число неизвестных
равно числу уравнений.
Заметим, что одновременно все три управления (Дбв, ДР, Д<рк) при-
меняются редко, так что мы, как правило, будем рассматривать лишь
одно какое-либо управляющее воздействие.
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРОДОЛЬНОГО ВОЗМУЩЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ
Для решения дифференциальных уравнений (30.6) — (32.6) вос-
пользуемся методами операционного исчисления. Применяя правила
перехода от оригиналов к изображениям, приведенные в гл. V, вместо
(30.6) —(32. 6) получим следующую систему конечных (алгебраиче-
ских) уравнений:
(Р + *io)V + аюа+cio&=Хв (р) + Д VoJ (36-6)
bzo V — (р+а20) а+(р+<"20) &=Кв (р) - Д а0+Д &0; (37.6)
+ («з1Р + «зо) а+(Р2+РяР)&=^в(Р) + ®з1Дао +
+(р+Сз1)д&о+д&о. (38.6)
В дальнейшем индекс «в» у Дав для удобства записи опускаем.
§ 3. Решение уравнений продольного возмущенного движения
241
Здесь р — параметр преобразования Лапласа; Дао, Д&о, ДКо — на-
чальные (при f=O) возмущения истинного угла атаки, угла тангажа
и скорости полета. Изображения функций Да(£), ДУ(0 и т. д. обозна-
чены соответственно через а, V и т. д. Через Хв(р), Ув(р), Мв(р) обозна-
чены изображения правых частей дифференциальных уравнений:
1 О?к
Хв(р)=—Р---— ?к ~ b10V т+g (So — cos ©о) S; (39.6)
т. т
Гв(^)=Г88+Г-Тк_ат-[^^+г201ат--&20Ут; (40.6)
L т* о J
Мв(р)= — ^зо8 + «зо'Рк — «з1Тк — 6з(Ут- (4 У 6)
Как видим, изображения Ув(р) и AfJ(p) содержат изображения
самих возмущений Дат и Дср1( и их производных Дат и Дф1(, изображе-
ния которых равны
Z, [дат]=ат= рат, L [Д<рк] =ук=р<рк.
Далее, в правой части уравнений (36.6)—(38.6), помимо изобра-
жений Хв(р), Ув(р) и 7Ив(р), имеются начальные возмущения Дао,
Айо, Айо, ДК0. Как отмечено в гл. V, эти начальные возмущения можно
рассматривать как результат импульсных воздействий в начальный мо-
мент времени /=О:
ДОо^/), дй08(/), д&08(/), дК08(/),
где б(/) —импульсная функция Дирака; изображение этой функции,
как было отмечено,
Цб(О]=1.
Все правые части уравнений (36.6) — (38.6) можно поэтому рас-
сматривать как некоторые изображения, обозначив их через
аДр)=а;(р)+дК0;
Y(p)=Y0(j>)-Y'{p)p-
М(р)=М0(р)-М'(р)р,
где
y0(p)=yS8+^K?K-(-f(^+So)s-^-A«o+A»o;
\ rnVQ /
М) (р) = — езо8+So? к ~ *30^ + й31дао + С31Д^0 +
У'(р)==ат; ^'(Р)=«з1<Рк—д&о-
Уравнения (36.6) — (38.6) теперь можно переписать в несколько
более простой форме:
(Р ~г bl0) V + awa + с108 = X (р);
So17 - (Р + So)а + (Р+So)°=Y (р);
^зоУ+(«з1Р+«зо) «+(P2+SiP) а =м (Р)-
(42.6)
(43.6)
(44. 6)
Решение системы уравнений (42.6) — (44.6) имеет следующий вид:
д«
а = —
д
Дг
V = -^
Д
й=А
д
(45. 6)
16
1824
242
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
где определитель системы
aio р4-&ю С10
Д = — (/>4-020) ^20 />4-^20 (46.6)
а31Р 4* оз0 ^30 />2-Нз1Л
а определители Дя, Ду и Д& получаются из определителя Д путем за-
мены в нем соответствующих столбцов правыми частями уравнений
(42. 6) —(44.6).
Раскрывая (46.6), получим развернутое выражение определителя
^Р*+азР^-\-а2р2-\-ахр-\-а0. (47.6)
Здесь
аз~ а2о + аз1 + ^ю 4*С31! (48.6)
а2 ~ аХ0^20 4* а2Э^10 4* а30 4* а31 (^10 4~ С2о) 4* С31 (°20 4* ^1о)’ (49-
а1 — ^10 (^2(£з1 — ^зо) 4“ a20^10C3l 4/a30 (^10 4’ С2о) 4“
4* й!31 (Ьхос20 — &2(Ао) — ^3(Ао> (50. 6)
а0 — азо (^10^20 ^20Сю) ^30 (,аюс23 4“ °2ОС1о)- (51.6)
В гл. V показано, что признаком наличия у летательного аппарата устойчивости,
именно апериодической устойчивости, является положительный знак коэффициента а0
определителя системы. Покажем, что в случае, когда исходным режимом летательно-
го аппарата является горизонтальный полет, коэффициент ао получается положитель-
ным при наличии у летательного аппарата продольной статической устойчивости по
скорости, т. е. при выполнении неравенства
dm г
dCy
(52.6)
Для простоты будем пренебрегать составляющей силы тяги по нормали к траекто-
рии, т. е. примем с2/0=^в
В гл. III получено следующее выражение (6.3) для производной — dcy
m“ + т,
dmz . = , (53.6)
dCy с“ 4- см —-
у у da
где по (4.3)
оГМ с“ —с“ tge0(i-p2)
da - Ми 2су0 PvVn Т (54’6) 1 _ V2 + М°С”° + tg6° (1 ~ V2) ~ (2Сх0 + М°с"о)
На основании введенных обозначений (29.6) получаем
|^2+М^о=-^-^,2о: ^-(2^+MgC«) =
=- — *10; < - с“ tg е0 (1 - V2) = — .
£ s?o у g Sqv сю
tg©o(l-V2) =-V0~ ;
с10
„я М Vo
mz=~ ТГ7-азо: тг —------— *зо-
St'a'/o Sb&qQ Mq
(55.6)
§ 3. Решение уравнений продольного возмущенного движения 243
Внеся эти выражения в (53.6) и (54.6), придем к следующим выражениям:
dmz______ Iz азо (^10с20 — ^20с1 о) — ^30 (д1рС20 + а20сю)
dCy Sb3q$ Л ,, , у М0 м
су (®10с2Р— с2(|С10)— сур(а10с2р+с20сю)
ео
(56.6)
dM Мр ДщСго + Й2осю
, ж т 1 1 • (57. о)
da Vo ij0c2p — Z>2pCip
Сравнивая выражения (51.6) и (56.6), замечаем, что с0 можно представить
в виде
S^aQp I а ., , . МрС^ ”1 dmz
ао~— j с (прсго — ''20cio) — — («1о«20 + «2с«ю) ~— • (58.6)
‘Z L Ир J ЯСу
Преобразуем теперь выражение, стоящее в квадратных скобках (58.6), при помо-
щи полученных выше выражений; нетрудно убедиться, что
Мос" 1
Су (^1рС20—^2Рс1р)— .. (й1рС20+й20с1р) I ~
L J
_ g2es coS e0 (_..2сУ0. , Г2)ГрГГ° ,
2G Cy(l-v2 +
с® 1)
+ Мрс1^ —— — (2сЛэ + Мрс^1) I?.
Су Л
Выражение (58.6) теперь можно переписать в виде
-(2сл0+МрС«)]}^, (59.6)
где
Д2А'2С)£а<7о cos ВрСу
«2 =---------------------
2О/г
— существенно положительная величина.
В случае, когда исходным режимом является горизонтальный полет 0П=О, из
(59.6) получаем
2сур dmz ,idmz
ам= — С2-------=------= — с' ------.
w 1 — V2 dc а су
Как видно, знак коэффициента арр получается обратным знаку про-
изводной dmjdcy, что и требовалось доказать.
Если в исходном режиме во^-О, то сделанный вывод вообще не
будет справедливым, так как при некоторых сочетаниях производных
с“, с“, с^, с^-, Pv и угла 0О в выражении в фигурных скобках (59.6)
может измениться знак.
Вернемся к решению уравнений движения. Выражения частных
определителей, представляющих собой числители изображений а, О
и V, имеют следующий общий вид:
+ r3Ps + г2р2 + ггр 4- г0. (60. 6)
Коэффициенты г этого выражения определяются по следующим
формулам, различным для Да, Др, дг.
16*
244
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
Определитель Ао
г4а=ат; (61.6)
г3а= —Г0 + ат(610-1-Сз1) —Л1'; (62.6)
Г21=ХЬ20 — Уо (Ь10 +с31) + аДсА1+Мо УИ' (ЬХд 4- с20); (63.6)
Г 1а = % (^20С31 ^зо) (ДоС31 От^30С10 4“ Мд До 4“ С2о)
44 ДоС20 ^20Сю)> (64. 6)
Г0а= —АД0С20 4~ ДДоС10 4“ ТИд Д оС2о ^20Сю)- (65. 6)
Определитель д&
Г4&=0; (66.6)
Гз&= — (ата314-УИ'); (67.6)
Г29 =14/^31 ат (а30 4“ ^зДо) + Мд М (с2о 4- ^ю)> (68.6)
/» = — 2С (<23 До 4" Ь3д) 4" У0 (азо 4“ аз До) “ ат (йзДо — йЮ^Зо) 4"
4-Мд (а2д 4~ ^ю) — М (а1ОЬ20 4~ а2(До)> (69. 6)
Го» = X (а20^30 4“ аЗО^2о) 4"~ Y0 (азДо ’ аЮ^Зо) 4~
4- УИ0 Д До 4- %До)- (70- 6)
Определитель дг
г4и=0; (71.6)
г3(/ = A" u^al0', 6)
r2V — X До 4- °31 + С31) 4“ Оаю —ат Д cAi ~ a3iaio) +
4-УИ'(а104-с10); (73.6)
rw~^ (a304“a20a31 4“ а31С2о) 4“У0 (а10а31 а31С1о) +
4- 0T«3(Ao—М) («io4-cio)4-M' Доа2о 4- «20сю); (74.6)
г0И “^а30(-20 0а30а10 7И0 (010^20 4" а20Сю)’ (76. 6)
Так как под а в уравнениях движения мы условились понимать
истинный (воздушный) угол атаки, то в общем случае турбулентного
возмущения угла атаки, отличного от нуля, изображение угла наклона
траектории к горизонту можно найти по формуле
a r4eP4 + r3ePs+r2eP2 + ri&P + rc& ,
0=-------------------------------Ь«т, (76.6)
где коэффициенты riQ получаются как разности г,» для изображения г'!
и ria для изображения а:
Пе=г®—ггв.
Таким образом, изображения всех кинематических величин, харак-
теризующих продольное возмущенное движение, имеют вид дробно-ра-
циональных выражений вида
ф Г4Р4 + Г3рЗ + Г2р2 + ПР + z-р ,77 6)
Р4 + йзр3 + Д2Р^ + а1Р + а0
С целью облегчить переход от таких сравнительно сложных изо-
бражений к оригиналам, а также сделать анализ более простым и на-
§ 3. Решение уравнений продольного возмущенного движения
245
глядным представим (77.6) в виде суммы двух более простых изобра-
жений:
Ф = ^iP rI + Р^Р /у8 6%
д2 -{- 2Лкр + ь>2 Р2 + 2Лдр + Шд
Коэффициенты 2йк, <о^, 2йд и «>2 знаменателей (78.6) выражаются
через корни ръ р2, р3, р4 характеристического уравнения
Pi + a3P3+a2p2 + a1p+ao=O (79.6)
известными из математики формулами:
2^k=-(Pi + /’2X ^Р1Ръ
2Ад=—(Рз+Л), <^=Рз/’4-
Коэффициенты Ко, Ki, Do и Di могут быть определены из системы
уравнений, которая получится, если приравнять (77.6) и (78.6) и на-
писать условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях р.
Эта система уравнений имеет вид
K1-\-D1 = r3—r42hJi; (80.6)
2haKl+Ко+Do + 2АКА = г2 - г4<о2; (81.6)
(82.6)
(83.6)
Корни уравнения четвертой степени (или коэффициенты 2/гк, со2,
2/гд, двух квадратных уравнений, заменяющих уравнение четвертой
степени) могут быть найдены графическими или численными метода-
ми, 'известными из курса алгебры. Приведем один такой способ, ис-
пользующий итерации и применимый в тех случаях, когда корни урав-
нения четвертой степени разделяются на две группы, существенно
различающиеся по абсолютной величине корней.
Так как в этом случае коэффиценты 2/гд и сод существенно меньше,
чем 2/iK и со2, то для расчета можно пользоваться следующими фор-
мулами:
2/гк=а3—2/гд; (84.6)
ш2=а2 —2/гк2/гд —ш2; .(85.6)
(86.6)
“к
2йд=—- (87.6)
“к
В первом приближении можно принять
2АК ~ а3; <ок ~ а2.
Подставляя эти приближенные выражения 2h'K и о/2 в (86.6) и (87.6),
получим для о)2 и 2йд их значения в первом приближении:
'2 а0 __ а0 .
' Д “к2 "2 ’
2Л; « _1_(О1_2йХ2)=—к-
юк #2 \ а2 f
246
Гл. VI. Продольное возмущенное движение летательного аппарата
Подставив затем эти приближенные значения о/2 и 2h'a в (84.6) и
(85.6), получим значения 2h"K и о>’2 во втором приближении и далее по
(86.6) и (87. 6)—значения <о'2 и 2й’ во втором приближении.
Процесс итераций повторяется до тех пор, пока при вычислении 2hK,
ш2, 2йд и а>2 предыдущие выражения не будут совпадать с последую-
щими в пределах необходимой точности.
После определения окончательных значений 2hK, и?, 2hR и ч? нахо-
дим корни характеристического уравнения по формулам
Р1,2=-Лк±/
(88.6)
При встречающихся на практике соотношениях для определения
коэффициентов 2йк, wj?, 2йд и достаточно сделать два —три прибли-
жения.
При некоторых допущениях, о которых подробно сказано ниже,
коэффициенты 2йк, &>*, 2йд и и2 можно определить по аналитическим
формулам, минуя нахождение корней уравнения четвертой степени.
Эти формулы получаются в результате упрощения структурной схемы
продольного движения, как это показано в следующей главе.
ГЛАВА VII
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ВОЗМУЩЕННОМ ДВИЖЕНИИ
§ 1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
В гл. VI были получены изображения выходных величин в том об-
щем случае, когда <на входе в систему имеются одновременно вее воз-
мущения Абв, Афк, АР, Аат, A VT и когда начальные возмущения Аао,
ДФо, А'б’о и ДВо отличны от нуля. Принцип суперпозиции, справедливый
для линейных систем, утверждает, что результат суммы возмущений
равен сумме результатов, получающихся от каждого возмущения в от-
дельности. Важным для практики частным случаем является возмущен-
ное движение, возникающее из состояния равновесия в результате
одного какого-либо возмущения. Каждому виду входного сигнала
(возмущения) и каждой выходной величине соответствуют определен-
ные выражения передаточной функции.
Выражения передаточных функций можно получить, если в общих
выражениях изображений, полученных в гл. VI, сохранить какое-либо
одно возмущение и затем полученное выражение разделить на изобра-
жение этого возмущения. Так, например, если в качестве возмущения
рассмотреть управление рулем высоты, будем иметь
А = ^=-в30; =
бв Ьв &в бв бв
Если возмущением является турбулентное [изменение угла атаки
Дат=Дат (0 > то
X / о \ Е / — Qo I \
-=^(«y0-cose0); —+С2О);
^=0; П = 1;
(Ху Cty (Ху
Подобным образом можно рассмотреть и остальные возмущения.
Передаточные функции имеют следующий общий вид:
W(p)== ^4p4+'rsp3 4-^2Р2+г1р + г0 ,j _
Р4 + 0зР3 + «2Р2 + а\Р -I- «о
Выражения для коэффициентов г3- числителя этого выражения
приведены в табл. 1.7—3.7, составленных для выходных величин а, &, V.
248 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Таблица 1.7
Передаточная функция для угла атаки
w _ Г4Р4+ Г3р3 + Г2р2 + ггр + Гр
Д
Вход Г4 гз гч «1 «0
ДВв 0 — У6 — Гезо + + Y* (Ью + «31)] — [«30 (*10 + «2о) + + Г5*10«31] — [е30 (610«20 — — 6го«ю)—Гв6зо«ю]
Д'-f к 0 — к + й31) — Qf>K 62О—У?к X X (^1о+ «31) 4 й30— — Д31 (^ю+ «2о) — 0*“ (^20«31 — 630) — — 610c3i + + й30 (610 + «2о) — — й31 (*10«20 — *20«ю) Q К 6зо«2О + + к 6зо«]О + + «30 (610«20—62о«ю)
\Р 0 0 6 20 m 620«31 — 63р m 6зр«20 m
Дат 1 У + (6ю + «31) ГД ^20+У(*ю+«31) + + *10«31 е x = g(nyo— cos х (^20«31 — ^Зо) + +У^10«31—/'ЗОСю а \ ^*0 — Qo ©о). У- +< mV 0 — хЬжс20 — у6зос]о 20
дкт 0 ^20 ^20«31 — Ьзо — *30«20 0
Дар 0 1 Й31 + 6jp + «31 а31 (610 + «2о) + 610«31 а31 (610«20 — — 62рС10) — 630Сю
Д&о 0 0 «20 «20 (6ю + «31) — 62pCi0 6зо«ю + + «31 (610«20~ 620С10)
д% 0 0 1 610 + «20 610«20 — 62O«1O
ДГ0 0 0 бэд 6го«31 — бзо — 630С20
§ 1. Передаточные функции
249
Таблица 2.7
Передаточная функция для угла тангажа
= 'тар4 + г3р3+72р2+71Р +70
Д
Вход /"4 гз Г2 Г1 г0
Дбв 0 0 — е30 + ^«31 — е30 (а20 + ^10) + + У* (а30 + а31^ю) — е30 («10^20 + + «2О^1о) — X X (а1о^зо — азо^ю)
Д?К 0 «31 к a31 + а30 — —а31 («20— Аю) Qf>K (*30 + «31 ^2о) + + У7* (а3о+ «з1^ю) + +«30 («20 + *ю)— —«31 («10^20 + а20*ю) О^к («20^30 + + а30^2о) + КХ X (а30^10—а1о^зо) + +«3о(«10^20+«20^ю)
ДР 0 0 0 1 — (а31*20 + *3о) m — ~ («20^30 + + а30^20)
Дат 0 —«31 Г1 — а31У — — (а30 + «31^ю) ie x = g(ny0 — со — X (*30 + а31^2о) — — У (а30 + «31^ю) — — («30^10 — «ю*зо) п , Рр— Qo S ©о); У — „ "г^о — X («20^30 + + а30^20) — — У («30^10—«ю^зо) с20
ДГТ 0 0 — (а31^20 + &30) — (а20^30 + а30^20) 0
Дао 0 0 0 — (а30 — «20«31) «10^30 — «30^10 + + а31 (а10^20 + + «20^ю)
Д&о 0 1 «20 + «31+ ^ю+ С31 а30 + а31^10 + а10^20 + + а20^10 +с31 X X (а20+ Ы а30^10 — аЮ^30 + + С31 (а10^20 + + «20^1 о)
Д&о 0 0 1 а20 + ^10 аЮ^20 + «20^10
ДГо 0 0 0 — («31 ^20 + ^Зо) — (а20^30 + «30^20)
250 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Таблица 3.7
Передаточная функция для скорости полета
wv= -----------
Вход >4 гз гч И г0
Д6В 0 0 Уъаю сзо («ю + сю) + + («10с31 — «31 Сю) еЗо(«Юс2о+ «20сю) — — ^г«30сЮ
Д?к 0 -ёок —• QoK («20+ «31 + + е31) + Y к «ю+ + «31 («10 + сю) QoK («зо+ «20С31 + + «31С20) + + ^?к(«юс31—«31с1о) — — «30 (а10 + сю) + + «31 («10с20 + «20Сю) — д30^20 — — «зосю — —«Зо(«10С2о+ «20сю)
ДР 0 1 Л m («20 +«31 + с31) m («30 + «20с31 + m + «31с2о) 1 ~ «ЗОс20 тп
Дат 0 * —«ю гд х («2о+ «31+ с31)— — У«ю — — («10с31 —«31сю) е х = £-(пу0—cos х («зо + «20С31 + + «З1С20) — — У («юсз1 — «З1сю) + + «зосю а \ , вА)'- mv, +C1 хаз(Гчо + + У«зосю 0 -
ДУТ 0 — Ь10 — («10^20+ «20^10)— — ^10 («31 + с31) — ^10 («30 + «20с31 + + «31с2о) — — *20(«Юс31—«31сю) + + ^30 («10 + сю) — «30 (*10С20 — — ^2оСю) + ^30 X X («10с20 + «20сю)
Дао 0 0 —«10 — «10 («31 + С31) «зосю — «31 X X («10С20 + «20С10)
Д&0 0 0 —сю — С10(«31 + С31) — — («юС20 + «20сю) • — «зосю — с31 X X («юС20 + «20сю)
д% 0 0 0 — («10 + сю) — («Юс20 + «20С10)
Д^о 0 1 «20 + «31 + С31 «30 + «20с31 + «31с20 «30С2О
§ 1. Передаточные функции
251
Коэффициенты знаменателя определяются по формулам (48.6) —
(51.6).
Передаточная функция для угла © наклона траектории к горизонту
имеет вид
We(p) = V7a(p)-U>\(p), (2.7)
так как © = &—а.
В том случае, когда в качестве входной величины рассматривается
турбулентное возмущение угла атаки ат, выражение (2. 7) следует за-
менить выражением
V/e(p)=V7&(p)-ra(p) + l, (2а.7)
которое получается, если принять во внимание, что под а понимается
истинный (воздушный) угол атаки и что при этом
Д 0 = д& — (да — дат).
Приведем несколько примеров пользования таблицами.
1. Построить выражение передаточной функции для угла наклона
траектории к горизонту © для возмущения типа импульса в момент
времени ^=0, изменяющего угол тангажа Д&0 и угол атаки Дао на одну
и ту же величину, так что Д-&о=Дао-
Руководствуясь приведенными выше правилами, мы должны сум-
мировать коэффициенты /у табл. 2. 7, взятые для возмущений Д&о и Дао.
и вычесть из этих сумм результаты суммирования коэффициентов г$
табл. 1.7 для тех же возмущений. Таким образом, получим
г40:=О;
г3©=1 —1=0;
Г2е = <^20 4“ fl31 Ч- ^10 Ч~ ^31 fl31 ^10 ' — С31 С20 ~ а20 С20’
Г10 = — (а30 — «20^31) Ч- й30 + а3 Ао + а10^20 + а2(Р10 4“
-j- с31 (а20 -J- b10) asl (b10 с20) ^юсз1 — с2о Ао 4“ с 31) Ч-
Ч- ^20Г10 ~ (а31 + С31) (°20 С2о) Ч" й10^20 4” ° 2(Ао>
Гое = #10 (а31^20 Ч- *3о) ^10 (азо a20fl31) Ч~ аЗ(Ао — а1(Ао Ч-
4" С31 АсАо 4“ аЪрio) а31 АоС2О ^2ОС1о) Ч- ^ЗО*То ^30^10
''З! Ао^гО ^20Сю) ~ (fl31 Ч~ с31) (fl10^20 а2сЛ10 ^10С20 Ч~ ^2(/то)-
Передаточная функция для рассматриваемого импульсного возму-
щения
___ггеР2 +г1ер + гое
е~ д
2. Найти выражения для изменения скорости полета Д14» и угла на-
клона траектории к горизонту Д©оо в конце переходного процесса при
отклонении руля высоты на некоторый постоянный угол Дбв. Предпо-
лагается, что летательный аппарат устойчив.
Ответ на поставленный вопрос получим, воспользовавшись теоре-
мой операционного исчисления (см. гл. V) о предельных состояниях
системы.
Имеем следующие общие формулы, вытекающие из этой теоремы:
дКи = 11т(р^-^=д8в ; Д©. = Ит^-в
Р-о\ р аа / а0 р-»о\ р а0 , /
лХ ~о^~~оа
= Д6В--------.
252 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Здесь на основании табл. 3.7
г0V = ^30 (^10^20 4” а20^ю) Й30С10»
а на основании табл. 2.7 и 1.7
Гой Гоа= —е30 (010^204“ а"20^ю)-Ь^/ (а30^10 flT(/?3o)4-
4“ ^30 (^10^20 ^20Сю) — 30С10 ~ е30 (а10^20 4“ a2<fil0
10С20 4- ^20Сю) 4- (°30^10 — аю^30 — ^ЗОС1о)•
Следовательно, изменение скорости полета
езо (Д10С20 + Д20сю) — ^Дзо^ю
До
а изменение угла наклона траектории
д0 __ ____дд е30 (а10^20 + Дго^ю — ^юсго + ^го^ю) — У (дзо^ю — д1о^зо — ^зо^ю)
до
Так как езо ^>У6 , то при отклонении руля высоты, например, вверх
(Адв<0) угол наклона траектории увеличится, а скорость полета умень-
шится. Этот результат в свое время был отмечен в [1].
3. Найти изображение угла атаки при импульсном отклонении ру-
ля высоты на некоторый угол Або и возвращении руля в исходное по-
ложение.
Воспользовавшись табл. 1.7 и имея в виду, что изображение им-
пульса Дбоб(О равно Дбо, получим
Z [А« (/)] = (Рр3 + [е30 + ^ (*10 + с31)] р1 2 +
4-[^зо(^ю4-^2о)4->/6*1ос31]/? + [^зо(&1ос20 ^2<Ао) ^^зсАо]}- (3-7)
В том случае, когда летательный аппарат обладает устойчивостью,
по структуре передаточной функции можно оценить предельное состоя-
ние летательного аппарата: в начале возмущенного движения и в кон-
це его—при выходе на установившийся режим. В большинстве случаев,
однако, летательные аппараты без автопилота оказываются неустойчи-
выми в целом, хотя на некоторых этапах возмущенного движения эта
неустойчивость практически не скажется. В таких случаях оценить пре-
дельное состояние при помощи передаточных функций, полученных вы-
ше, невозможно (так как сами предельные состояния у неустойчивых
летательных аппаратов отсутствуют) !.
Поэтому желательно представить сложные передаточные функции,
полученные выше, в виде последовательности более простых передаточ-
ных функций. Этого можно достигнуть, рассмотрев структурную схему
продольного возмущенного движения.
§ 2. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Для того чтобы составить структурную схему в таком ее виде,
который позволял бы внести рациональные упрощения, представим
сложную механическую систему, описываемую дифференциальными
1 Здесь подразумевается предельное состояние при /=оо, соответствующее выхо-
ду на новый устаяовившийся режим.
£ 2. Структурная схема возмущенного движения
253
уравнениями (30.6) — (32.6), в виде последовательности простых меха-
нических звеньев. Эти составляющие звенья выберем таким образом,
чтобы в выражения частных передаточных функций этих звеньев входи-
ли полиномы не выше второй степени по р.
С этой целью определим из уравнения (42. 6) неизвестное О, выра-
зив его через неизвестные а и V и через входное воздействие. Получим
&=И71а-|-1Г21/+ — X, (4.7)
^10
где обозначено
У71=_£1о; (5.7)
Сю
р-^-=Д2р+В2. (6.7)
Сю С10
Как видим, звено № 1 с передаточной функцией представляет
собой статическую связь с коэффициентом усиления, определяемым по
(5.7), а звено № 2 — дифференцирующее звено первого порядка, коэф-
фициенты которого равны
; (7.7)
Сю
В2=-^. (8.7)
сю
Далее из уравнения (43.6) с учетом (4.7) получаем для рб выра-
жение, которое может потребоваться в дальнейшем:
= V (Cw р | ^1°С2° — *я)Сю \ j а / р । аюС2о + ДгоСю \
\Сю сю / \ Сю /
2
^Y-—X=V + (9-7)
Сю Сю \ С10/ Сю
Сначала же исключим из уравнения (43.6) с помощью (4.7) изо-
бражение й. В результате получим соотношение, связывающее угол
атаки а, скорость полета К и входные воздействия:
17 Г А + (Со +с2о) Р + ^Юс2о]
v с'го-----------------------—
L сю J
__а (дю + сю) Р + Дюс20 + ДгрСю у Р + c2q
сю с10
или
— V — U73a= — Кс1()-|-(/7-}-с20) X,
где частные передаточные функции равны:
V73=-(^ + 53);
UZ4=-------------г
р2 + 2Л4д 4- <4
и входящие в них величины
^з=а1о + сю:
83 — aVSC2Q 4* G2cAo’
2А4=&10+с20;
= ^10^20 ^20С10-
(Ю.7)
(П-7)
(12-7)
(13-7)
(14.7)
(15.7)
(16.7)
254 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Звено № 3 является дифференцирующим звеном Первого порядка;:
что касается звена № 4, то в зависимости от соотношения между коэф-
фициентами 2/i4 и <1)4 этого звена оно может быть колебательным или
апериодическим звеном второго порядка.
Далее из уравнения (44.6) с учетом (9.7) находим
(аз1Р+азо)а = _~ зо+(Р+сз1) (~ Р Н—~
L \«ю сю /J
Определяя из этого уравнения а, получим еще одно уравнение, свя-
зывающее переменные а, V и входные воздействия:
+ (17.7)
IV 5 \ Сю /
в котором введены обозначения:
W6=----------г;
Д2 + 2h5p +
(18.7)
р76=д;р2+ЛбР+Вб. (19.7)
2АБ=а:1о—+ «2o + «3i+<?3i; (20.7)
сю
w5 = а30 + С31 (й10 — F а2о) > (21.7)
д’= — £20; (22.7)
Сю
(23.7)
Сю Сю
В6=сз1 Г^2о ^ю ) ^зо- (24. 7)
\ С|0 /
Звено № 5 в большинстве встречающихся в авиационной практике
случаев является колебательным. Только при очень малых степенях
продольной статической устойчивости по перегрузке оно может стано-
виться апериодическим звеном второго порядка. Это звено играет важ-
ную роль в динамике летательных аппаратов, так как именно оно
в основном определяет характер переходного процесса при формирова-
нии перегрузки пу, как это будет видно из дальнейшего.
Звено № 5 — колебательное, звено № 6 — дифференцирующее зве-
но второго порядка.
Составим еще выражение передаточной функции для изменения
высоты полета в процессе возмущенного движения. Выше уже было
отмечено, что при сделанном предположении относительно постоянства
плотности q и температуры Т окружающего воздуха высота полета мо-
жет быть определена из кинематического уравнения
Н— Vsin 0= Vsin (О'—а).
Линеаризируя это уравнение, будем иметь
А//= Vo cos ©о(ДО— Да) + sin 0СД V.
Функции АО, Да и AV, входящие в написанное уравнение, должны
быть взяты по результатам решения основной системы уравнений про-
дольного возмущенного движения (30.6) — (32.6).
§ 2. Структурная схема возмущенного движения
255
Переписав уравнение для определения Д/7 в операторной форме,
получим
рН= Vo cos 0о С&—a) +siri 0OV.
Отсюда находим следующее выражение изображения Н:
Н= a) +AV8V, (25. 7)
где передаточные функции равны
U77=-oCt)se° ; (26. 7)
Р
(27.7)
Р
Как и следовало ожидать, передаточные функции IV7 и IV8 соот-
ветствуют интегрирующим звеньям.
Интеграл
J (AVsineo4-A0Vocos9o)rf/
о
нулю не равен, так что за время переходного процесса высота полета
летательного аппарата изменяется: стабилизация высоты полета отсут-
ствует. Это объясняется тем, что при решении уравнений движения мы
приняли плотность и температуру окружающего воздуха постоянными
(см. гл. II). Вследствие этого в уравнениях движения отсутствуют силы
и моменты, стабилизирующие высоту полета.
В действительности плотность воздуха q изменяется при изменении
высоты полета; это же относится и к температуре воздуха Т. Например,
при увеличении высоты полета Н вследствие уменьшения плотности
воздуха q аэродинамическая подъемная сила Y=cyS ^-уменьшается
при прочих равных условиях; возникает дополнительная подъемная
сила, направленная вниз. Эта дополнительная подъемная сила стаби-
лизирует .высоту полета, однако процесс стабилизации протекает весьма
медленно, так как изменение плотности воздуха q при небольших изме-
нениях высоты полета невелико. Практически, если рассматривать воз-
мущенное движение в течение сравнительно небольшого интервала вре-
мени, можно считать, что стабилизация высоты полета Н отсутствует.
Система полученных частных передаточных функций позволяет по-
строить структурную схему продольного возмущенного движения лета-
тельного аппарата. На фиг. 1.7—3.7 приведены структурные схемы для
возмущений на входе: бв, <рк и ат. Подобным образом можно построить
структурные схемы и для остальных возмущений.
Все приведенные структурные схемы имеют некоторую общую для
них часть, состоящую из одинаковых звеньев; эта общая часть структур-
ной схемы представляет собой контур бортовой стабилизации. Различ-
ные возмущения проходят через различные звенья и приложены в раз-
личных точках контура бортовой стабилизации. Какими бы ни были
возмущения и точки их приложения, контур бортовой стабилизации
остается неизменным.
Передаточные функции всего летательного аппарата, полученные
нами ранее другим путем (см. стр. 247), можно получить и из выраже-
256 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
ний (4.7), (10.7) и (17.7), исключив из них промежуточные перемен-
ные. Таким образом, получим, например, для угла атаки
(28.7)
Д' (р)
Фиг. 1.7. Структурная схема продольного движения при управлении рулем
ВЫСОТЫ.
—СюТ8; 1Г63 =—[₽зо+ (р + сз1) Т8].
где д' (р)— определитель системы уравнений (4.7), (10.7) и (17.7):
1 -1Г2
0 1 — WR
Д'(р)= ^5 о
0 -г3 1
1Г4
(29.7)
и д^(/>) — определитель, полученный из д' (р) заменой соответствующего
столбца правыми частями уравнений.
Уравнения (4.7), (10.7) и (17.7) получены из уравнений (42.6) —
(44.6); поэтому определитель обеих систем уравнений должен быть
одним и тем же: Д(р)=Д'(р). Точно так же определители ДДр)
и Д^(р), Дг(р) и д; (р), Д8(р) и Д3 (р) должны быть тождественными.
В справедливости этого можно убедиться, если вместо частных переда-
точных функций, полученных выше, подставить их развернутые выра-
жения.
Для определителя системы уравнений (4.7), (10.7) и (17.7) или,
что равноценно, системы (42.6)—(44.6) получаем
Д'(/7) = -^Ь-----(30.7)
Как будет видно из дальнейшего, выражение (30.7) оказывается
более удобным по сравнению с выражением (46. 6) при решении вопро-
,<J> 2. Структурная схема возмущенного движения
257
Фиг. 2.7. Структурная схема продольного движения при управлении поворо-
том крыльев.
р / Р уз \
^2 = т7 + ~ = йго + (Р + c3i) | Р + 77“ +—).
mV0 пв * I. mV0 пв /
Фиг. 3.7. Структурная схема продольного движения при турбулентных
возмущениях угла атаки.
"Ч* =~ [тг(а -?)+с>° : w= р ho (1 - v20)~
+ сюс20 —«20(а0 — ?) ;
"*• m l Iх о
=— (Р + С31) l~ М2- (а0—?) — -^-1 — с20 (1 — Vg) —р! .
t rrL LCjQ у о J _ J
17 1824
258 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
са о возможности упрощения структурной схемы продольного возму-
щенного движения; к этому вопросу мы и перейдем.
§ 3. УПРОЩЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ ПРОДОЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ. КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКОЕ
И ДЛИННОПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЯ
Выражение (78.6) было получено для изображений кинематиче-
ских характеристик а, V и -0. В соответствии с этим выражением дейст-
вительное движение, которому отвечает характеристическое урав-
нение четвертой степени, было представлено в виде суммы двух более
простых движений, каждому из которых соответствует характеристиче-
ское уравнение второй степени.
Оказывается, что в большинстве случаев двум составляющим дви-
жениям соответствуют существенно различные собственные частоты
и коэффициенты затухания.
Первое составляющее движение протекает с высокими частотами;
его называют короткопериодическим. Второе составляющее движение,
протекающее с низкими частотами, называют длиннопериодическим ’.
Физически такое разделение движения вполне обосновано. Дейст-
вительно, угол атаки и скорость полета, от которых зависит величина
аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат, и, сле-
довательно, характер, его движения изменяются по времени существен-
но различным образом. Угол атаки практически начинает изменяться
сразу после появления возмущения, и его изменение заканчивается для
устойчивых летательных аппаратов достаточно быстро (обычно в тече-
ние 1—2 сек). Скорость полета, наоборот, изменяется сравнительно мед-
ленно, так что в первое время после действия возмущения практически
скорость полета можно считать неизменной.
В качестве иллюстрации указанного свойства летательных аппара-
тов рассмотрим следующий пример.
Пусть самолет, имеющий следующие основные данные:
Vo= 1000 км)час; ^о=О,1; ^=^- = 14 715 н/.и1 2= 1500 «Г/.и2; =
=—0,5; <?“=0,15; /и = 800 кг; I ,—2000 кг м2; S—25 м2; Ь==2,5 м,
внезапно попал в зону восходящих потоков воздуха с такой вертикаль-
ной скоростью, что угол атаки крыльев мгновенно увеличился на 2°.
Для определения тангенциального и углового ускорений самолета
в первый момент можно пользоваться следующими уравнениями, кото-
рые получаются из общих уравнений движения, если положить в них
все возмущения, кроме Да, равными нулю:
mi'0= —caxSq0&a;
да-
Подставив в эти уравнения принятые числовые значения, получим
Vo— —0,25 м1сек2,
юг0= — 0,81 1/сек2= — 46,5 град/сек2.
1 Это положение, справедливое в большинстве случаев практики, теряет свою
силу для летательных аппаратов, обладающих малой степенью продольной статической
устойчивости. Подробное рассмотрение этого вопроса, однако, не представляет практи-
ческого интереса.
§ 3. Упрощение структурной схемы продольного движения
259
Отсюда ясно, что в первое время после действия возмущения вра-
щение самолета будет более интенсивным, чем изменение скорости
полета.
Аналогичные рассуждения можно привести и для случая, когда
начальным возмущением является отклонение руля высоты. При откло-
нении руля высоты движение летательного аппарата происходит в такой
последовательности.
Нарушенное вследствие отклонения руля равновесие моментов вы-
зывает вращение летательного аппарата вокруг оси Ozt.
Вращение летательного аппарата через некоторое время приведет
к изменению угла атаки крыльев, а следовательно, и к изменению подъ-
емной силы и силы лобового сопротивления. Из-за изменения угла тан-
гажа и силы лобового сопротивления нарушается равновесие сил в про-
екциях на касательную к траектории, так что возникает тангенциальное
ускорение. Однако тангенциальное ускорение значительно меньше нор-
мального ускорения.
При относительно небольших тангенциальных ускорениях вследст-
вие большой инертности летательного аппарата скорость полета изме-
няется сравнительно медленно, в то время как угол атаки изменяется
быстро. Поэтому в течение 2—3 сек после воздействия возмущения ско-
рость полета летательного аппарата практически можно считать неиз-
менной; изменение же угла атаки за это время получается значи-
тельным.
Если в исходном режиме полета подъемная сила уравновешивала
проекцию веса летательного аппарата, то после возмущения возникает
избыток или недостаток подъемной силы, который впоследствии при-
водит к искривлению траектории полета. Этот этап движения соответст-
вует короткопериодическому движению летательного аппарата. Вслед-
ствие большого демпфирования короткопериодическое движение для
устойчивых летательных аппаратов заканчивается в течение первых 1 —
2 сек. В конце первого этапа движения угол атаки получается таким,
что обеспечивается равновесие моментов, действующих на летательный
аппарат; угол тангажа, однако, при этом не принимает равновесное
значение. Вследствие этого равновесие сил в проекциях на нормаль и на
касательную к траектории в конце короткопериодического движения
еще не достигается. Равновесие достигается в последующем движении,
которое протекает сравнительно медленно и представляет собой длин-
нопериодическое движение *.
Мы описали физические причины разделения движения на коротко-
периодическое и длиннопериодическое. Рассмотрим теперь этот вопрос
с математической стороны; с этой целью проанализируем свойства от-
дельных звеньев структурной схемы.
Рассмотрим частотные характеристики звеньев № 4 и 5. Пользуясь
общими правилами, изложенными в гл. V, напишем выражения для от-
ношений амплитуд величин, выходящих из этих звеньев, к амплитудам
входящих величин:
j/^ (“< — 0)2 )2 + 4Л4<02
а5= 1
У (ы5 — w2)2-f-4Asw2
1 Следует заметить, что термин «длиннопериодическое движение» не вполне то-
чен, так как это движение может быть не колебательным, а апериодическим; но так
как апериодическое движение можно представить как колебательное с бесконечно боль-
шим периодом, то с этим термином можно согласиться.
17*
260 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Опорные частоты (04 и (05 существенно отличаются одна от другой
по величине: как показывают расчеты, если летательный аппарат обла-
дает продольной статической устойчивостью по перегрузке, частота cos
всегда получается значительно больше (на несколько порядков), чем
«4. Таким образом, при движении летательного аппарата с низкими ча-
стотами, близкими к опорной частоте звена № 4, амплитуда звена № 5
должна мало зависеть от частоты со, с которой происходит движение.
Фиг, 4.7, Амплитудно-частотные характеристики звеньев № 4 и 5
для полета с набором высоты.
Действительно, как видно из формулы, приведенной на стр. 259, ампли-
туда As при малых (о в основном определяется опорной частотой (05.
Наоборот, при движении с частотами, близкими к опорной частоте
звена № 5, амплитуда звена № 4 должна получаться малой.
Для подтверждения этих общих соображений на фиг. 4.7 и 5.7
приведены амплитудные характеристики звеньев № 4 и 5. Для большей
наглядности по оси ординат графиков отложены значения логарифма
отношения действительных амплитуд к амплитудам в статических усло-
виях (при (о = О). Расчет производился для двух случаев: для полета
с набором высоты и для горизонтального полета.
В первом случае высота -полета принята равной Д=10 км, а угол
наклона траектории к горизонту 0=30° при ^=0,0866 и при скорости
полета V0 = 344 м/сек (Мо=1,15). В основу расчета положены следую-
щие данные:
0/5=2452,5 «/.и2; /2=6000 кг-м2; су=0,0866;
(^=0,025; с” =3,7; с’=0,2;
с^=—0,05; • (?м=0,06; Pv = 199н-сек[м‘,
ЬЛ=3,Ам\ m“=-0,465;
/и« = —0,365; тп>=-0,0262; /га“=-0,0112;
тм=-0,0252. . - -
§ 3. Упрощение структурной схемы продольного движения
261
Во втором случае расчет проводился для высоты полета Н=20 км
при 0=0 и си=0,1; скорость полета взята Vo=758 м!сек (МО=2,53).
Геометрические и массовые характеристики летательного аппарата та-
кие же, как и в первом случае, а аэродинамические характеристики
взяты следующие:
5,=0,1; сх=0,025; с’=2,27;
с’=0,3; с™ =—0,02; с™=—0,005;
Pv =98,1 н-сек)м; шз= —1,0; т®=—0,21;
<*=-0,016; < = -0,004; т"=0.
Фиг. 5. 7. Амплитудно-частотные характеристики звеньев № 4
и 5 для горизонтального полета.
Графики фиг. 4.7 и 5.7 хорошо подтверждают высказанные выше
соображения. При высоких частотах амплитуда звена № 4 получается
весьма малой. Наоборот, при низких частотах, близких к опорной ча-
стоте звена № 4, относительная амплитуда звена № 5 практически не
отличается от единицы; при низких частотах, следовательно, звено № 5
можно рассматривать как простой усилитель. При высоких частотах
звено № 4 является фильтром, практически не пропускающим входной
сигнал.
Рассмотренные свойства звеньев № 4 и 5 позволяют существенно
упростить структурную схему продольного движения.
При движении с высокими частотами, близкими к опорной частоте
звена № 5, представим определитель (30.7) в следующей форме:
На основании отмеченного выше второе слагаемое в скобках этого
выражения гораздо меньше первого, так что вторым слагаемым можно
262 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
в первом, приближении пренебречь. Отсюда следует, что при высоких
частотах характеристическое уравнение Д'=0 можно заменить более
простым уравнением
1-Uo
w4 w5
или, так как при высоких частотах #=0, уравнением =0.
Воспользовавшись выражением (18. 7) для И75, приходим к характе-
ристическому уравнению короткопериодического движения:
р2+2Акр+а)2=0, (31.7)
где по (20.7) и (21.7)
2АК ==2А5=«ю —+&20 4" «з1 4" Сз1 ж «го 4“ «з14“ сз1! (32. 7)
сю
“к = ~ «30 4- С31 f«10 I- «20^ ~ «30 4“ «20С31- (33. 7)
\ cio /
Из этого простого квадратного уравнения можно найти два боль-
ших корня, соответствующих движению с высокими частотами.
Для низких частот, близких к опорной частоте звена № 4, выраже-
ние (30.7) удобно написать в форме
Так как при таких частотах —#=0, то уравнение для определения
W5
малых по абсолютной величине корней имеет приближенно вид
----VT3VrsW76=0
W4 3 5 6
или, если в силу свойств звена № 5 при низких частотах заменить
на 1/со|, то
Подставив в это уравнение развернутые выражения передаточных
функций W3, W4 и IF6, получим
АзАб Л3_|_А 1 лзЛ + Л6В3\ / Л6В3 + Д3В6\ в3В6
4 рд1 +—ц—)^+[2^+—ц—
Оценивая коэффициенты Д3, В3, Де, Д6, ве и “5 110 приведенным ра-
нее формулам, можно заметить1, что слагаемое
о
--2-PS
“5
значительно меньше, чем р2, так как величина А мала, а <4 велика.
Точно так же слагаемое
Д3Л6 + АеВ3
* В этом можно убедиться из примера, приведенного в конце этой главы.
«f 4. Кинематические характеристики колебательного движения
263
получается значительно меньше единицы. Обоими этими слагаемыми
в первом приближении можно пренебречь. В результате приходим
к следующему характеристическому уравнению длиннопериодического
движения:
р24-2Лдр+(34.7)
где коэффициенты равны:
2Лд=2А4 + ЛзВб+/ёВз; : (35.7)
“5
(36.7)
“5
Таким образом, выполненное в гл. VI формальное разделение (78. 6)
имеет определенный физический смысл: первое слагаемое этого выра-
жения соответствует короткопериодическому движению (высокие ча-
стоты, большие по абсолютной величине корни характеристического
уравнения), второе — длиннопериодическому (низкие частоты, малые по
абсолютной величине корни характеристического уравнения).
Подчеркнем еще раз. что определение корней характеристического
уравнения четвертой стетгени из двух квадратных уравнений (31.7)
и (34. 7) является приближенным (так как коэффициенты этих уравне-
ний приближенные) и приемлемо только в том случае, когда летатель-
ный аппарат обладает достаточно большой степенью продольной стати-
ческой устойчивости по перегрузке. Позже мы наметим границы допу-
стимости такого приема расчета, а сейчас перейдем к анализу изменения
кинематических величин в короткопериодическом и длиннопериодиче-
ском движениях.
§ 4. ИЗМЕНЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
В КОРОТКО- И ДЛИННОПЕРИОДИЧЕСКОМ (КОЛЕБАТЕЛЬНОМ)
ДВИЖЕНИЯХ
Если корни характеристического уравнения, соответствующие ко-
роткопериодическому движению, по абсолютной величине значительно
больше корней, соответствующих длиннопериодическому движению, то,
очевидно, справедливы неравенства
2Ак»2Ад,
О)2 О)2 .
(37. 7)
В таком случае решение системы уравнений (80.6)—(83.6), опре-
деляющих коэффициенты Ко, Ki, Do и Dy можно провести аналитически,
пренебрегая менее существенными слагаемыми по сравнению с основ-
ными.
Из (80.6) получаем
Di = Гз—п2Ад—Ki-
Внеся это выражение в (81.6), будем иметь
Г>0=г2 - 2Акг.з - г4 (^ - 2ЛК 2ЛД) - Ко+(2 Ак - 2А д) К.
или, пренебрегая членом 2йя по сравнению с 2/гю
Do» г2 - 2Акг3 - Ко 4- 2Ак/<1 ~ г4 К - 2АК2АД).
264 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Аналогично можно провести упрощения и при решении остальных
двух уравнений (82.6) и (83.6). В результате можно придти к следую-
щим приближенным выражениям:
(2Лк)2
%2
• ~ г0
О ~ 2
“к
~ 2ЛК
4 Г0
К
2ЛК
“2
-г42йд;
D,
О—' 2 ’
“к
> ~ 2Ак
1 ~ 4“
Си
к
(38.7)
(39.7)
(40.7)
(41.7)
Напомним, что коэффициенты г,- для различных кинематических ха-
рактеристик должны быть определены по данным таблиц 1. 7—3. 7.
Перейдем теперь к сравнительной оценке изменения кинематических
величин Да, Д0 и ДУ в короткопериодическом и в длиннопериодическом
движениях. Этот анализ будем проводить, учитывая, что в короткопе-
риодическом движении темп протекания значительно выше, чем в длин-
нопериодическом, и что в короткопериодическом движении летательный
аппарат всегда обладает устойчивостью. Только при этих предположе-
ниях и имеет смысл говорить о короткопериодическом и длинноперио-
лическом движениях.
При нулевых начальных условиях (при равенстве нулю
начальных возмущений) суждение о роли каждой фазы движения мож-
но составить, оценив величину выходной координаты в длиннопериоди-
ческом движении в тот момент, когда короткопериодическое движение
можно считать практически закончившимся. Чем меньше по абсолютной
величине значение Аул по сравнению с величиной Аук в короткоперио-
дическом движении, тем меньше роль длиннопериодического движения.
В качестве типичных примеров движения мы рассмотрим управ-
ляемые движения при мгновенных отклонениях руля высоты на
угол Абв или увеличении силы тяги на величину АР.
Управление рулем высоты. В этом случае изображение
в-
Р
Все коэффициенты г, (см. стр. 244) пропорциональны бв, так что
их можно представить в виде
— Дбв
г/ = г, —
Р
Следовательно, коэффициенты Ki и Di, представляющие собой ли-
нейные комбинации г,, также можно написать в виде
К^К^, D^D^.
Р Р
Тогда изображение какого-либо оригинала y(t) (этим оригиналом
может быть изменение угла атаки Да, изменение скорости полета ДУ,
изменение угла наклона Траектории к горизонту Д0) для короткоперио-
дического движения имеет вид
^[Ук(01=— —71- -
• Р Р2 + 2ftKp 4-
Ко 4- А1Р
(42.7)
§ 4. Кинематические характеристики колебательного движения
265
и для длиннопериодического
L [уд(/)]=— 2 (43.7)
Р Р2 + 2Лдр + «>‘
. В момент возникновения возмущенного движения, умножив правые
*асти (42.7) и (43.7) на р и положив р=оо, получим значения ук(0)
и рд(0) согласно соответствующей теореме операционного исчисления
о предельном значении оригиналов (см. стр. 189). Нетрудно видеть, что
оба эти значения получаются равными нулю, что и следовало ожидать.
Для летательных аппаратов, за исключением особо редких случаев,
короткопериодическое движение всегда получается устойчивым, тогда
как длиннопериодическое может быть и устойчивым и неустойчивым.
Для оценки предельной величины оригинала (при t—) согласно со-
ответствующей теореме операционного исчисления необходимо, умно-
жив выражение изображения на р, положить р=0. Теорема эта спра-
ведлива для устойчивых систем и, следовательно, безусловно может быть
применена к короткопериодическому движению. Таким образом,
Ук(~)=М4г- (44.7)
СО
к
Теоретически предельное значение z/K(cz>) достигается через беско-
нечно большой промежуток времени; практически, однако, как отмече-
но в гл. V, при больших значениях корней характеристического уравне-
ния оно реализуется уже через очень небольшой промежуток времени
после начала движения. В течение этого времени оригиналы в длинно-
периодическом движении будут также изменяться. Это последнее изме-
нение, однако, будет гораздо более медленным, чем в короткопериоди-
ческом движении.
Оценим величину изменения оригинала в длиннопериодическом дви-
жении в окрестности точки /=0.
Для 'небольших значений t в длиннопериодическом движении yR(t)
можно считать линейной функцией t, так что мерой изменения уд(г)
будет производная ^д(/) при t=Q.
Переходя по общим правилам операционного исчисления (см. гл. V)
от изображения оригинала (43.7) к изображению его производной,
получим
L [УД (01 = PL [Уд (<)]2Х+У' •
На основании уже использованной теоремы операционного исчисле-
ния получим значение производной г/д(0 при ^=0:
Уд(0)-Д8Л- (45.7)
В конце короткопериодического движения изменение Дуд(^Р), соот-
ветствующее длиннопериодическому движению,
Ауд(9~Д8М
Имея в виду, что время затухания короткопериодического движения
tp невелико (в редких случаях оно превышает 1,5—2 сек), и не интере-
суясь конкретным значением tp, в качестве критерия, оценивающего
роль длиннопериодического движения, можно принять значение произ-
водной ^д(О).
Чем меньше г/д(0) й больше Дг/1;( оо), тем меньше роль длиннопе-
риодического и больше роль короткопериодического движения. В этом
266 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
случае длиннопериодическим движением за время короткопериодиче-
ского движения можно пренебречь. Если kyt:(<sj ) и г/д(0) получаются
одного порядка, то обе- составляющие движения играют примерно оди-
наковую роль. Определяющей при этом будет абсолютная величина
если она мала, то 'изменением y(t) за время короткопериоди-
ческого движения можно пренебречь. Наконец, если Д#к(оо) получается^
существенно меньше, чем уд(0), то в короткопериодической составляю-
щей движения изменение выходной величины невелико, и можно ограни-
читься учетом лишь длиннопериодического движения.
Как мы видели, Дг/Дсо) пропорциональна коэффициенту Ка,
уд(0) •—коэффициенту Di. Эти последние коэффициенты определяются
по формулам (38.7) и (41.7); формулы можно упростить, имея в виду
общий приближенный характер исследования. Примем /гк=О,7О7сок, что
соответствует удовлетворительному качеству переходного процесса в ко-
роткопериодическом движении (см., например, фиг. 13.5). Тогда
При оценке коэффициентов г3- можно сохранить только основные
слагаемые и пренебречь второстепенными. Такими второстепенными
слагаемыми являются члены, содержащие множителями Ью, Ь20, Ь:х и с2о,
так как эти множители малы (см. численный пример в конце этой гла-
вы) по сравнению с членами, содержащими ащ, а20, Дзо> сю- Имея в виду
сделанные замечания, на основании таблиц 1.7—3.7 получим:
для изображения угла атаки а
Г1а?^0; Т’2а== Сзо»
для изображения скорости полета V
ГОГ ~ ^30^20^10’ ~ ^30 (*До ~Ь ю)> ~ 0>
для изображения угла 0 наклона траектории к горизонту
Г00 0, Г10 ^-3'0^20’ 20 0,
Таким образом, для изображения угла атаки а получим
К 0а ~ ^30’
Dle«0.
Следовательно,
Дак„= — Д8в-^г-, ад(0)~0.
Полученный результат свидетельствует о том, что изменение угла
атаки практически полностью протекает в короткопериодическом дви-
жении и что ролью длиннопериодического движения при расчете изме-
нения угла атаки можно пренебрегать.
Для изображения скорости полета V
ког»а1йл_1,4(а1о+С1о)1;
“к L “к J
~П __ 630 I „ 1 Л д20Сю]
2 1^10 “Г С10 ,
“к L “kJ
так что
езо |«2о£1р
“Зк
Йд(О)^дЗв-^
(£>
К
д и Ки
. “к J
«ю+сю- 1,4»1.
“к J
§ 4. Кинематические характеристики колебательного движения
267
Для летательных аппаратов порядок величины отдельных членов
(см., в частности, пример в конце этой главы):
“к L “к J
езо I „ | г 1 4д20сю] — ч • in
~~2~ а10~ГС10— 1>Ч:--I ~ О — Ш.
“к I “kJ
Если взять, например, -Д6в = 0,1 (=5,73°), то получим
д1/к(оо)^ь — 0,1-4—0,3 [м/сек]; (0) 0,3-ь-1 [м/сек2].
Обе величины ДКк(оо) и Ёд(0) получаются малыми; это показыва-
ет, во-первых, что скорость полета изменяется в основном в длиннопе-
риодическом движении и, до-вторых, что за время короткопериодическо-
го движения она изменяется незначительно. Следовательно, в процессе
короткопериодического движения скорость полета можно считать неиз-
менной
Для угла |@| наклона траектории к горизонту получаем выра-
жения:
Кое «1,4»
“к
7У ___ Сз0а20
Me ~-------о-
“к
Оценка порядка величин входящих в эти выражения коэффициен-
тов показывает, что в конце короткопериодического движения изменение
угла наклона траектории к горизонту при угле отклонения руля, на-
пример, 5,73°
Д0К(°°) = 0,5°4-2,0°,
в то время как производная
<9д(0) =—4-.—6 град/сек.
Таким образом, угол наклона траектории к горизонту в основном
изменяется в длиннопериодическом движении. Если не требуется высокой
точности, то при расчетах можно принимать во внимание только изме-
нение Д0 в длиннопериодическом движении. Для получения более точ-
ного результата надо принять во внимание обе фазы движения.
Управление путем изменения тяги двигателя. Критерии для оценки
роли короткопериодического и длиннопериодического движений остают-
ся прежними, изменяются лишь выражения коэффициентов г3, которые
на основании табл. 1.7—3.7 имеют вид
Z ___о- 7 ~ ^20сз1 — Ьг0 . — ___ Ь2о.
m tn
- п - ~ “к 7 ~ 2Ак •
Го^~О; Гц/~-------1 Гги~—,
m m
Z ~ й20^30 + а30^20 . z __ ^2о(а31+с31) .
Гое ~ —--------------> гю ж-----------------,
m tn
Z ___ Л20
Г20~-------•
m
268 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Далее
^31-*30 1Д + ^20
“к
0;
Ю; £>!а_ .Wai-fr»
Kov~®> —
m
1
Ко»
m
а20^30 + #30^20 | -1 д ^20 (й31+С31) t
<0* “1" ’ 20
0;
~~Т I — Ь2о («31 + «з1) +1Л (л2Л0+ ЯзоМ-
, miaK
Если взять, например, —— =1 м/сек2 и принять во внимание поря-
tn
док значений других входящих в написанные выражения величин, то
можно придти к следующим выводам.
За время короткопериодического движения угол атаки изменяется
настолько слабо, что его можно принимать постоянным. В процессе
длиннопериодического движения угол атаки изменяется весьма мед-
ленно.
Скорость полета практически изменяется только в процессе длинно-
периодического движения.
Угол наклона траектории к горизонту изменяется только в процес-
се длиннопериодического движения.
Таким образом, получается, что все кинематические характеристики
при управлении величиной силы тяги изменяются только в фазе длин-
нопериодического движения.
Подобным же образом можно рассмотреть характер изменения
кинематических величин и при других видах возмущений. В качестве
примера рассмотрим случай, когда на вход в систему подается импульс-
ное изменение угла атаки Асю. Возникающее при этом движение было
названо собственным возмущенным движением летательного аппарата.
В процессе собственного возмущенного движения начальное возмуще-
ние Асю с течением времени затухает (для устойчивого летательного ап-
парата) или неограниченно возрастает (для неустойчивого летательного
аппарата). Часть начального возмущения изменяется в фазе коротко-
периодического движения, другая часть — в фазе длиннопериодического.
В качестве критериев для оценки роли этих двух фаз движения можно
взять величины начальных возмущений ДуОк в начале короткопериоди-
ческого и АуОд— в начале длиннопериодического. Если ДуОд получится
малой, то выходная величина в основном изменяется в короткопериоди-
ческом движении. Если ДуОк и ДуОд получатся одного порядка, то при
расчете надо учитывать обе составляющие движения. Наконец, если
ДуОд получается значительно больше, чем ДуОк, то основную роль играет
длиннопериодическое движение.
При помощи применявшейся уже теоремы операционного исчисле-
ния о предельных состояниях приходим к следующим выражениям:
Ду0к=Да0/<1, ДуОд=Да0Е>1,
где К, ~ 1,4 ----Ц—\-r3, a D, определяется по ранее приведенной
К к
формуле.
$ 4. Кинематические характеристики колебательного движения
269
Для рассматриваемого случая начального возмущения Асю на осно-
вании табл. 1.7—3.7, пренебрегая, как и ранее, малыми величинами,
для коэффициентов ту получаем
7"За — 1, Т*2а «31 "ф 7?з1, 7*1а ГОа О,
гзи=0; Г2к« — (а10+с10); гщ=
= - [(«10 + Сю) («31 + «31) + «2О«1о1:
Гог ~ — а20с1о (а31 -ф с31);
7"30 0) 7*20 , 7*10 («31 ”Ф «31)’ ^*00 0.
Коэффициенты К\ и D\ равны:
для изображения угла атаки а
Ки~\,
Dla « 0;
для изображения скорости полета V
jT. ____j g20c10 («31 + с3|) I («10 -|- Сю) («31 + с3|) + «20е10
“к “к
/5iv« — Ллк!
для изображения угла наклона траектории к горизонту 0
77 «20(«31 + c3i) . 75 _,«2о(«31 + с31) т?
А10-----------,----, L>\0 г®------=--- — Л 10.
“к “к
Этим выражениям соответствуют
Д«ок Д®0’ Д«од ~
Следовательно, угол атаки практически изменяется только в про-
цессе короткопериодического движения.
Для ЛУок и ДКод получаются выражения:
А^Ок ~ ~2~ [ 20 '° ( 31 + 3') + (а10 *Ф «1о) («31 4“ «31) *Ф «20«10 ]’>
“к L “к J
Д^Од«-дУОк.
Оценка порядка величин коэффициентов, входящих в эти выраже-
ния, показывает, что обе величины К\у и D\V, а следовательно, АКок
и АКод получаются малыми. Это означает, что в процессе рассматривае-
мого собственного возмущенного движения скорость полета изменяется
мало.
Наконец, А0ок и А0од для изображения 0 получаются равными:
Д0ок=_дао^<а31+.С31);
“к
Д0Од=-До-
оценка порядка величин показывает, что начальные возмущения
Д0ок и А0од, противоположные по знаку, получаются не слишком малы-
ми. Следовательно, при расчетах необходимо принимать во внимание
обе составляющие движения.
Проведенный анализ позволяет сделать следующие общие выводы.
1. Если возмущенное движение возникает вследствие возмущений
по углу отклонения руля, по углу, поворота крыльев, по.углу атаки, то
270 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
угол атаки изменяется практически только в фазе короткопериодиче-
ского движения.
2. Скорость полета при всех видах возмущений изменяется практи-
чески только в фазе длиннопериодического движения. За время корот-
копериодического движения скорость полета можно считать неизменной.
3. Угол наклона траектории к горизонту при указанных в п. 1 воз-
мущениях изменяется главным образом в фазе длиннопериодического
движения. При расчетах, однако, желательно учесть и ту часть 0К, ко-
торая изменяется в фазе короткопериодического движения.
4. Если возмущенное движение есть следствие тангенциальных
возмущений (изменение величины силы тяги ДР), то оно бывает в основ-
ном длиннопериодическим.
То обстоятельство, что при возмущениях 1 типа п. 1 в процессе су-
щественного изменения угла атаки скорость полета практически остается
неизменной, позволяет получить для изображения нормальной перегруз-
ки формулу
с1 Sa I + К &
L (0]=——- L [Да (/)] = const °а 2 . (46. 7)
* mg р^ + 2hKp + v >
Таким образом, изображение важной при исследовании вопросов
динамики нормальной перегрузки Д/гу получается достаточно простое.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ
Выше было сказано, что если входной сигнал приводит к возникно-
вению момента относительно оси Ozi, то в течение первых нескольких
секунд летательный аппарат вращается главным образом вокруг этой
оси. При этом изменяются угол атаки и угол тангажа, а скорость поле-
та практически остается неизменной. Это позволяет упростить приведен-
ные в начале этой главы выражения передаточных функций, опреде-
ляющих изменение угла атаки.
Действительно, если летательный аппарат обладает продольной
статической устойчивостью по перегрузке, то изменение угла атаки при
рассматриваемых входных сигналах практически заканчивается через
1—2 сек после подачи на вход сигнала, так что изменение угла атаки
можно считать происходящим только в процессе короткопериодического
движения. Наоборот, скорость полета изменяется только в процессе
длиннопериодического движения.
Угол наклона траектории, как уже было отмечено, изменяется
главным образом в процессе длиннопериодического движения, хотя не-
которую роль играет и короткопериодическое. Поэтому для оценки из-
менения 0 в достаточно большом интервале времени следует пользо-
ваться полными выражениями передаточных функций, учитывающими
как длиниопериодическую, так и короткопериодическую составляющие
движения. Если нашей целью является оценка изменения 0 на неболь-
шом отрезке времени (порядка времени переходного процесса коротко-
периодического движения), то приближенное выражение передаточной
функции для угла 0 можно получить на основании следующих рас-
суждений.
1 Напомним, что формула для нормальной перегрузки Апу в том случае, когда
возмущением является поворот крыльев на угол Д<рк, должна быть изменена. Вместо
Да в эту формулу надо подставить истинный угол атаки крыльев Дав.кр=Да+Д<рк.
$ 5. Приближенные выражения для передаточных функций
271
В уравнении (43. 6) равновесия сил на нормаль к траектории на
небольшом отрезке времени скорость полета можно принять неизмен-
ной; другими словами, в этом уравнении можно положить V=0, так что
оно принимает следующий вид
(р+«2о)а—Уо+рат, (47.7)
где, пренебрегая второстепенными слагаемыми, Уо можно определять по
формуле
Уо^Р8в + У^к-А«о + Д%-
Угол 0 наклона траектории к горизонту можно выразить через угол
тангажа fl-, истинный угол атаки а и турбулентное возмущение ат угла
атаки. По известной формуле
fl,= 0+a—a-i.
Подставив это выражение в (47. 7) и определяя из получившегося
уравнения 0, получим
0=а2о«+Уо, (47а. 7)
Р
Выше было показано, что изображение угла атаки в короткоперио-
дическом движении имеет вид (см. стр. 245)
__Про. + К ур + г
” Дк
где характеристический многочлен короткопериодического движения по
(31.7)
Дк=/*+2Лк/>+<о2 (48.7)
и
2^к~а2о + а31 + С31> 1 мд
Шк ~ а30 + °20С31 • )
С учетом приведенных выражений изображение 0 принимает вид
г. (Уо + a20r4) Р2 + (Уо2Лк + a20^ja) jP 4-«20^0“ + Уошк
е=-------------------—-------------------. (so.?)
От изображения нетрудно перейти к передаточной функции для О,
рассматривая какой-либо конкретный входной сигнал и относя изобра-
жение 0 к изображению этого входного сигнала.
Напомним, что полученное выражение справедливо только для тех
входных сигналов, при которых можно пренебрегать изменением угла
атаки а в процессе длиннопериодического движения и на небольших от-
резках времени, на которых допустимо 'скорость полета принимать неиз-
менной.
Ограничимся далее приближенными выражениями передаточных
функций для основных входных сигналов: управления рулем высоты 6В
и углом поворота крыльев <рк, турбулентного возмущения угла атаки ат
и начального возмущения по углу тангажа ДАр, которое будем рассмат-
ривать одновременно с начальным возмущением по углу атаки Дао,
считая Дао=ДА,о. Последний случай представляет собой мгновенный по-
ворот летательного аппарата на угол ДАо = Дао относительно неизменной
траектории полета. 1
1 Здесь ввиду малости коэффициент с2о принят равным нулю.
272 Г л. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Выведем, кроме того, выражение передаточной функции для вход-
ного сигнала, изображающего изменение режима работы двигателя,
приводящее к изменению силы тяги на величину АР. На основании от-
меченного в § 4 при выводе этой передаточной функции можно ограни-
читься рассмотрением только длиннопериодического движения.
Для входных сигналов, для которых основную роль играет корот-
копериодическое движение, будем рассматривать выходные величины
а и 0; как было отмечено, от величины а легко перейти к величине пе-
регрузки пу. Для входного сигнала АР рассмотрим выходные величи-
ны 0 и V.
Управление рулем высоты Абв- Коэффициенты числителя изобра-
жения а определяются по формулам (38.7) и (39.7); входящие в эти
формулы коэффициенты r:i определим на основании табл. 1.7, причем
второстепенными слагаемыми в выражениях г3 будем пренебрегать. Та-
ким образом,
^«-8в(^зо+Кгс31), Л7,^-ЙВГ, г4=0, Г0=*Ч-
Следовательно, передаточной функцией для угла атаки будет
\у/ __ <40 т J'"8 С31 + Vs Р
Ц/ ga - _ ——______
р2 4- 2ЛКР 4- шк
(51.7)
Приближенное выражение передаточной функции для 0 на основа-
нии (49.7) и (50.7) получается следующее:
Wt,e Т8/>2 + К6 (а3[ + с31) р — (а20е30 — 7?'дяо)
р(р2 + 2Лк/) + <^)
Более точное выражение V7i. © , как уже отмечалось, можно полу-
чить при помощи табл. 1.7 и 2.7. В этом случае, пренебрегая, как
и ранее, малыми слагаемыми, придем к выражению
щ/ _ Гз8^ + г2Е'р2 + Й8Р+'о8
86 (/?2 + 2ЛКД + 0>2)(р2 + 2hap + <о2)’
где
Г28 ~ Y (<2з1 4“ С31) >
Г18 ~ (*30*^20 Iх азо)’
Гог — egg [а^ю 4“ ^го (аю 4" *ю)14“ [°зо^ю зо (аю 4” сю)1 -
Если пренебречь в большинстве случаев небольшим влиянием от-
клонения руля высоты на подъемную силу всего летательного аппарата,
т. е. принять Ув = 0, то формулы (51.7) — (53.7) упрощаются и прини-
мают вид
wia= ——2;
д2 + 2hKp +
(51а. 7)
Wie
а20<40______ .
р(/>2+2Лкр+<4;)
(52а. 7)
VF6e = - *зо Р +Д2о<:1^ ^io+f .p) (53а. ?)
(д2 + 2ЛК/? + «к)(/?2 + 2hap + <од)
Управление поворотом крыльев Д<рк. В этом случае
^Оа«?к(^-^К*31)> ^«-?к(^к4-азгХ г4=0, Го^Ч-
§ 5. Приближенные выражения для передаточных функций 273
где
Передаточная функция для угла атаки
,F/ азо — YVk c3i — (>^к+«з1) Р
Vv m•
Р2 4- 2Дкр 4- «к
Передаточная функция для угла наклона траектории к
1У/ Г?кр2+ [г’к (а31 + с31) — а2о«з1] Р + («го«зо + ^“«зо)
И/ ф© ~ -----------------7-----------.
Р (р2 + 2Лкр + шк )
Более точное выражение передаточной функции
^Р3 + 72уд2 +71у д 4- гру
________________________________________
(р2 -р 2ЛК/? <о2)(д2 + 2Лдр + Ыд)
(54. 7)
горизонту
(55. 7)
(56.7)
Гз?«ГТк,
r2f «Рк (а31+c3l) - a20a'3V
Гкр^Г^зо+а^,
Го? [«30^10 — ^30 («10 + Сю)] + «30 [(«1oH~C1O^ ^20 4~ «2O^loL
Начальное возмущение по углам тангажа и атаки Д()о=Д«о. Имеем
Коа~Д1&о(<2з1Ч_С31)> К(а ~ДЙо, Г4 = 0, Ур~0.
Передаточная функция для угла атаки
Ц» + «*1+Р (57 7)
Р2 4- 2Лкр + “к
Приближенное выражение передаточной функции для 0
« «20 —/ + a31+C31 . (58. 7)
20 р (р2 + 2Лкд 4-ы2) V ’
Более точное выражение
цу __ «20Р2 + «20 («31 + с31) Р + («31 + С3|) [/>20 («10 4-С1р) + Д20^ю] z^g -уч
(р2 + 2ЛКР + “2) (р2 + 2ЛдР + <°д)
Турбулентное возмущение угла атаки Дат. Приближенно в этом слу-
чае можно принять
/(оа^О, /Citx ~(ТтСз1, г4«ат, Уо~6.
Передаточная функция для угла атаки имеет вид
U7 — Р2 + сз1Р
p2 + 2hKp + ^K'
(60.7)
Передаточная функция для угла наклона траектории к горизонту
U7a8«a20----* + Сз1 .....
т Р2 + 2hKp 4- <ок
Более точное выражение передаточной функции
я20Р3 + а20сЗ|Р2 + [«30 (с20— У о) — «31/>20c10 + С31 («10*20 +
vv/ _____________+ «20*1 о)1 Р — с10 («20*30 + «ЗО*2о)_
(р2 + 2*кР + "к)(р2 + 2ЛдР + <7 )
(61.7)
(62.7)
18 1824
274 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
Изменение величины силы тяги ДР. Рассматриваем только длинно-
периодическое движение. Коэффициенты £>0 и £>i числителя изображе-
ний 0 и V находим по формулам (40.7) и (41.7).
Для угла наклона траектории к горизонту на основании табл. 1.7
и 2.7 получаем
£>ое « - ^-+-^0*20. др.
2ЛК
*20 («31 + с31)— 2 (а20*30 + а30*2о)
“к
2
/72 о/
ДР.
Передаточная функция
, t г 2ЛК I
а20*30 + а30*20 + *20 (fl31 + с31)— 2~ (а2О*Зо + fl3(j*2o) Р
_ 1 I “к I
Q . - —- —
тик />2 + 2Лдр +
Для 'скорости полета
DqV ~ 30 22° ~ 2~ («30 -}- «20С31) •
«“к
Передаточная функция
__ 1 а30с20 + “к Р
PV Ч Р2 + 2ЛД/’ + “д '
(63. 7)
(64. 7)
В формулах (63.7) и (64. 7) через 2/гд и со® обозначены коэффи-
циенты определителя длиннопериодического движения, выражения ко-
торых (35.7) и (36.7) приведены ранее.
Мы привели приближенные выражения передаточных функций для
входных сигналов и выходных величин, представляющих наибольший
интерес на практике. Пользуясь аналогичным методом, читатель может
получить подобные выражения и для других случаев.
§ 6. ЧИСЛОВОЙ РАСЧЕТ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ.
ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ
В качестве примера 1 рассмотрим возмущенное движение самолета
в спокойной атмосфере под действием мгновенного отклонения рулей
высоты летчиком на угол Дбв =—0,1 рад=—5,73°.
За исходный режим полета примем горизонтальный полет на высоте
Н= 10 км со скоростью Vo = 344 ж/сек=1240 км/час. Этому случаю со-
ответствует скоростной напор </0 = 24 550 н/м2 и число Мо=1,15. Такой
режим полета выбран из тех соображений, что взятый для примера ги-
потетический самолет, как будет видно из дальнейшего, обладает про-
дольной статической неустойчивостью по скорости и, следовательно,
апериодической неустойчивостью.
В основу расчета положим следующие исходные данные: началь-
ная масса самолета то=825 кг (начальный вес Go=8O932 н), площадь
крыльев 5 = 32,4 м2, средняя аэродинамическая хорда &а=3,4 м, момент
инерции /2=6000 кг-м2.
1 См. [20].
§ 6. Числовой расчет возмущенного движения 275
Аэродинамические коэффициенты, необходимые для расчета, были
взяты следующие:
<>=0,1; р*о=О,О25; ^=3,7;
с“=0,2; с*'=-0,05; 0,06;
Рк = 62,3 сек]м- ти“= —0,465;
т* = —0,365; =0,0524;
т“ = —0,0224; /дм=_ о,О252.
Производной У® при расчете для простоты пренебрегаем, т. е.
принимаем У® =0.
Порядок расчета следующий.
1. По формулам (29.6) находим значения динамических коэффи-
циентов:
«10=9,81; Ь10=0,0263; с10=9,81;
«20=1,053; ^20=—0,000118; с2а=0;
«30=21,3; ^зо=О,00386; с31=2,38;
«31 = 1,024; е30 = 16,65.
2. По формулам (32.7), (33.7), (35.7) и (36.7) находим коэффи-
циенты характеристических уравнений короткопериодического и длин-
нопериодического движения:
2/zK = 4,457; о? = 23,80;
2Лд=0,0232; «2 =—0,00063.
Таким образом, получаем характеристические уравнения коротко-
периодического и длиннопериодического движений:
р2 + 4,457р+23,-80 = 0;
р2+0,0232р—0,00063=0.
Решая полученные уравнения, находим следующие приближенные
значения корней:
Pi.2=—2,228±4,34i;
р3=+0,0161; р4 = —0,0393.
Заметим, что полное характеристическое уравнение системы в рас-
сматриваемом случае будет следующим:
р4+4,483р3+23,917р2+0,549р—0,015 = 0.
Коэффициенты 2/гк, со2, 2/гд и со2 (точные значения) в этом случае
получаются равными:
2ЛК =4,460; <«2 = 23,815;
2/гд=0,0232; ш2 = - 0,00063.
Таким образом, совпадение приближенных значений коэффициен-
тов 2/гк, и2, 2/гд и со2 с их точными значениями, найденными в резуль-
тате решения полного характеристического уравнения системы, полу-
чается вполне удовлетворительным. Поэтому все дальнейшие расчеты
проводятся лишь на основе данных, полученных по приближенным фор-
мулам.
18*
276 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
3. Ищем изображение угла атаки. С этой целью, воспользовавшись
табл. _1.7 ^формулами (38.7) — (41.7), находим коэффициенты г/аи
Коа, Kia, Doa И Dia. Получаем
Гз»=0, Г2а= —16,65; Па=—0,437; гОа= — 0,0193
И
£оа=-16,57; /<ia=0,0181,
75ои=—0,000181; -0,0181.
Передаточная функция угла атаки при управлении рулем высоты
согласно (78.6) будет
—16,57 + 0,0181р . — 0,00081 —0,0181 р
р2 4-4,457 р + 23,8 р2 + 0,0232 р — 0,00063
и изображение угла атаки
94,8 л 0,0463
———0,104 -—- + 0,104
а = —-------------+------Р-------------.
р2 + 4,457р+23,8 р2 + о,0232 р — 0,00063
4. Воспользовавшись словарем изображений (см. стр. 459), пере-
ходим от изображения к оригиналу:
Да =3,98 [ 1 -e~w +62,9)1
к | 0,890 J
дагд=7,С)8(р0,01<ш - 1)4-0,25 (1 - е"0-0393'),
Да°= да“к-|-Дад.
На фиг. 6.7 нанесены -кривые Аак—Аак(0 и Аад=Аад(/), харак-
теризующие изменения угла атаки в короткопериодическом и длинно-
периодическом движении в течение первых пяти секунд после действия
возмущения.
Аналогичным образом проводится расчет и для определения _AV
и_А<1._Определяя-Коэффициенты и г3&, а также коэффициенты Kov,
Kiv, Dov, Div и #i&, D<$ и £>i&, можно найти выражения переда-
точных функций Wv и W& и получить изображения V и б:
—6,24 0,724
+ 1,24 — -----—1,24
V =------------------1------Е;
рч + 4,457 р + 23,8 1 р2 + 0,0232р — 0,00063
76 0,106
-----4,31 ----+ 4,31
& =_____Р---------+---------р----------.
р2 + 4,457р + 23,8 1 р2 + 0,0232р —0,00063
§ 6. Числовой расчет возмущенного движения
277
Последующий переход от изображений к оригиналам даст-
для скорости полета
AV =0 26 [ 1 - е-2’228' g1^248**!20’1* 1
к I 0,864 _|
дУд = — 837(е°’0161< -1)+313(1 -е-°-0393/),
дУ = дУк+дУд
Фиг. 7. 7. Изменение скорости полета в короткопериодическом и длинно-
периодическом движениях в течение первых пяти секунд (пример).
и для угла тангажа
__ з 20 11 g-2,228< sin (248/ + 50.5)
к ’ [ 0,772
д&;= 197 (е0>016И -1) +28,7 (1 - е-°>0393/);
Д&д= Д&к + д&д.
Кривые, построенные по этим выражениям, приведены на
фиг. 7. 7—8. 7.
Графики фиг. 6. 7—8. 7, на которых нанесены кривые зависимости
Да, ДУ и ДО от времени в процессе короткопериодического и длиннопе-
риодического движений, позволяют сделать выводы, подтверждающие
изложенные выше соображения. В частности, из фиг. 6.7 видно, что
угол атаки а в основном изменяется в процессе короткопериодического
движения. Скорость же полета У (см. фиг. 8.7) изменяется в длиннопе-
риодическом движении.
Вполне удовлетворительные результаты получаются и при пользо-
вании более грубыми приближенными формулами (51.7), (52.7).
В табл. 4. 7 приведены результаты расчетов по этим формулам и для
сравнения — результаты, взятые из фиг. 6.7—8.7. Таким образом, если
не требуется особенно высокой степени точности, можно пользоваться
278 Гл. VII. Передаточные функции летательного аппарата при возмущ. движении
приближенными выражениями передаточных функций, приведенными
выше.
В рассмотренном примере летательный аппарат обладает аперио-
дической неустойчивостью в длиннопериодическом движении. Поэтому
изменение кинематических характеристик в длиннопериодическом дви-
жении получается значительным уже при небольших значениях време-
ни t. Исследование возмущенного движения в широком диапазоне t не
представляет интереса, так как (см. гл. II) линеаризированные уравне-
Фиг. 8. 7. Изменение угла тангажа в короткопериодическом и длинноперио-
дическом движениях в течение первых пяти секунд (пример).
Таблица 4.7
t Ьа° сек 0,5 4,21 1.0 4,45 2,0 4,21 5,0 4,54 Д6° Д0° (52.7) 1,05 2,08 3.45 4,17 7,57 8,29 20,14 20,85
Да° (51.7) 4,20 4,38 4,02 4,00 ДУ MjceK +0,1 -0,9 -2,6 —14,2
В приведенном примере расчет по приближенным формулам дает
вполне удовлетворительные результаты. Возникает вопрос о пределах
применимости приближенных формул.
Прежде всего заметим, что разложение (78. 6) является вполне
строгим, так что расчет может оказаться неточным только вследствие
неточного определения коэффициентов этого разложения и, в частности,
корней характеристического уравнения. При вычислении этих коэффи-
циентов предполагалось, что по абсолютной величине корни характе-
ристических уравнений короткопериодического и длиннопериодического
движений существенно различны. В первые несколько секунд движение
в основном состоит из вращения летательного аппарата относительно
оси Ozr, скорость полета и угол наклона траектории к горизонту при
этом практически остаются неизменными.
Ясно, что такое представление справедливо лишь до тех пор, пока
момент Mza, вызывающий вращение летательного аппарата, достаточно
велик по абсолютной величине. Чем меньше этот момент, тем медленнее
поворачивается летательный аппарат и, следовательно, тем менее спра-
ведливо предположение о неизменности V и 0.
Точная оценка границ применимости приближенных формул вряд
ли представляет интерес, так как в действительности летательный аппа-
§ 6. Числовой расчет возмущенного движения
279
рат (вместе с системой управления) обычно представляет собой устой-
чивую систему с достаточно большим восстанавливающим моментом
Afza. Приближенно эта граница может быть получена из условия равен-
ства нулю производной т“=0. Надо сказать, что даже при сравнитель-
но небольшой степени продольной статической устойчивости погреш-
ность от применения приближенных формул оказывается небольшая,
и только в случае продольной статической неустойчивости эта погреш-
ность быстро возрастает. Такое свойство летательных аппаратов иллю-
стрируется таблицей, построенной для рассмотренного примера в пред-
положении, что центр масс постепенно смещается назад и, следователь-
но, степень продольной статической устойчивости уменьшается. При
этом изменяется только коэффициент азо, а все остальные коэффициен-
ты предполагаются неизменными. В табл. 5. 7 помещены значения коэф-
фициентов 2ЛК и определителя короткопериодического движения,
рассчитанные по точным и по приближенным формулам.
Таблица б. 7
й30 21,3 5,0 0 —0,5
2*к По точной формуле По приближенной формуле 2,752 2,754 2,763 2,754 2,735 2,754 2,242 2,754
,2 По точной формуле 22,560 6,280 1,242 —0,470
“к По приближенной формуле 22,565 6,250 1,250 +0,750
Как видно из этой таблицы, даже при азо = О, что соответствует ней-
тральности самолета (т“=0), расчет по приближенным формулам дает
результаты, близкие к точным. Достаточно, однако, небольшой степени
продольной статической неустойчивости (азо——0,5), чтобы погрешность
сильно возросла.
Подобную же оценку можно было бы провести и применительно
к коэффициентам числителя передаточных функций.
Таким образом, во всех тех случаях, когда летательный аппарат
обладает продольной статической устойчивостью, можно пользоваться
приближенными формулами.
ГЛАВА VIII
ПРОДОЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С АВТОПИЛОТОМ
В гл. VI приведены уравнения продольного возмущенного движения
летательного аппарата (30.6)—(32.6). Стабилизирующими и управ-
ляющими силами, входящими в эти уравнения, обычно являются аэро-
динамические силы, при прочих равных условиях пропорциональные
плотности окружающей среды.
Представим себе, что полет летательного аппарата происходит на
такой большой высоте, на которой вследствие малой плотности возду-
ха можно пренебречь аэродинамическими силами. В таком случае вос-
станавливающий и демпфирующий моменты будут равны нулю, и, если
управляющее воздействие Д6в=0, то, как видно из уравнения (32.6),
получится Ай’=0. Летательный аппарат не будет обладать необходимой
устойчивостью, если не принять специальных мер, например, установить
на летательном аппарате автопилот.
Исследование показывает, что и при полете на меньших высотах,
где плотность воздуха не исчезающе мала, в некоторых случаях аэро-
динамических восстанавливающего и демпфирующих моментов недоста-
точно для нужной степени устойчивости летательного аппарата. И в
этом случае положение можно исправить, применив автопилот.
Настоящая глава посвящена изучению продольной устойчивости
и управляемости летательных аппаратов при полете их в сравнительно
плотных слоях атмосферы, при этом будем предполагать, что на лета-
тельном аппарате установлен автопилот.
Первой задачей в этом случае является исследование переходного
процесса формирования изменения перегрузки Апу при управлении ру-
лем высоты и при неизменном режиме работы двигателя. В гл. VII по-
казано, что в процессе формирования изменения угла атаки Да скорость
полета практически остается неизменной. Так как изменение перегрузки
связано с изменением угла атаки1 соотношением [см. (46.7)]
°Дав,
у у mg
то задача исследования изменения перегрузки тождественна задаче ис-
следования изменения угла атаки.
Вторая задача этой главы состоит в исследовании собственного
возмущенного движения, возникающего вследствие воздействий внеш-
1 При управлении поворотом крыльев перегрузка определяется истинным углом
атаки крыльев Дав.Кр=Дав+Д(рк.
§ 1. Уравнения продольного возмущенного движения
281
ней среды. Мы ограничимся рассмотрением начального импульса по
углу тангажа Дй0 с одновременным изменением угла атаки Дао- Рас-
смотрим такой случай, когда летательный аппарат внезапно попадает
в восходящий или нисходящий поток воздуха постоянной интенсивности,
и вкратце остановимся на статистическом расчете для более общего
случая турбулентных возмущений.
Наконец, третьей задачей является исследование возмущенного дви-
жения, возникающего при изменении работы двигателя, в процессе ко-
торого изменяется скорость полета летательного аппарата.
На основании выводов гл. VII при решении первой и второй задач
можно ограничиться изучением только короткопериодического движе-
ния. При решении третьей задачи, наоборот, надо рассматривать длин-
нопериодическое движение.
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Назначением автопилота является обеспечение заданного режима
полета летательного аппарата. Применение автопилота позволяет улуч-
шить характеристики устойчивости и управляемости летательного аппа-
рата, особенно при большом диапазоне изменения скорости и высоты
полета. Кроме того, на летательных аппаратах, управляемых летчиком,
автопилот, разгружая от постоянного управления летательным аппара-
том летчика, облегчает условия его работы.
Автопилот состоит из специальных устройств (например гироско-
па), реагирующих на отклонение параметров движения (углов, угло-
вых скоростей и т. д.) от заданных программой движения, и из руле-
вой машины — исполнительного органа, отклоняющего соответствую-
щим образом рули для устранения возникших отклонений. Автопилот
можно использовать не только как стабилизирующее, но и как управ-
ляющее устройство, если изменять, например, положение оси гироскопа
относительно летательного аппарата.
Принципиальная схема простейшего автопилота приведена на
фиг. 1.8. Автопилот, изображенный на этой фигуре, работает следую-
щим образом. При отклонении летательного аппарата от определенно-
го положения в пространстве сопла сдвигаются относительно заслонки
на угол <р, равный углу отклонения летательного аппарата от исход-
ного положения. При этом одно из сопел перекрывается заслонкой,
а второе открывается. Вследствие этого в воздушном реле возникает
перепад давления, который сдвигает масляный золотник рулевой
машины в сторону от нулевого положения, открывая доступ маслу
в рулевую машину. Под давлением масла поршень рулевой машины
перемещается и отклоняет руль на некоторый угол, пропорциональный
углу отклонения летательного аппарата от исходного режима полета.
В результате летательный аппарат поворачивается в сторону исходного
положения. Шт ок поршня рулевой машины связан с соплами при по-
мощи следящей системы таким образом, что при указанном движении
поршня сопла движутся в направлении уменьшения угла <р между соп-
лами и заслонкой.
В принципе автопилот может реагировать на отклонение от исход-
ных значений различных параметров движения или на их различные
комбинации: на угол атаки Да, на изменение скорости полета ДУ,
на угол тангажа Дй, на угловую скорость Дй, на угол крена Ду и т. д.
Наибольшее применение получили автопилоты, реагирующие на откло-
нение от исходных углов между связанными осями летательного аппа-
рата и земными осями и на угловые скорости этих отклонений, а также
282 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
на отклонение перегрузки /\пу или угла атаки Да. Кроме того, с целью
улучшения работы автопилота часто в качестве дополнительного сиг-
нала вводят интеграл от углов отклонения, взятый по времени.
Так как автопилот осуществляет отклонение рулей (в рассматри-
ваемом случае продольного возмущенного движения — руля высоты)
в зависимости от изменения угла тангажа и его производной (или ин-
теграла) и перегрузки, а угол отклонения руля входит в уравнения дви-
жения летательного аппарата (30.6) — (32.6), то уравнения движения
должны решаться совместно с уравнениями автопилота.
Направление полета
Заслонка связана с гироскопом и
неподвижна в пространстве
Фпг. 1.8. Принципиальная схема простейшего автопилота.
Автопилот представляет собой последовательность более или ме-
нее сложных звеньев, каждое из которых описывается нелинейными
дифференциальными уравнениями (см. [24]).
В характеристике автопилота имеются зоны нечувствительности,
так что если входной сигнал меньше некоторой определенной величи-
ны, автопилот не работает (фиг. 2.8). Максимальная скорость рулевой
машины (исполнительного органа автопилота) ограничена; если при
некоторой величине входного сигнала достигается эта максимальная
скорость, то при дальнейшем увеличении входного сигнала скорость
рулевой машины остается неизменной. Таким образом, между входным
сигналом и углом отклонения руля автопилотом получается нелинейная
связь.
Вследствие инерционности звеньев автопилота рулевая машина
постепенно набирает скорость, так что в уравнении автопилота появ-
ляются инерционные члены, содержащие вторую производную угла
отклонения руля.
Наконец, если в процессе работы автопилота угол отклонения
руля достигает предельно допустимого для данного автопилота значе-
ния, то в дальнейшем угол отклонения руля остается неизменным
(фиг. 3.8), как говорят, «рули садятся на упор».
Наиболее полное отражение всех особенностей реального авто-
пилота можно получить, если набрать на моделирующем устройстве
§ 1. Уравнения продольного возмущенного движения
283
уравнения движения летательного аппарата (30.6) — (32.6) и подклю-
чить реальный автопилот.
Проводя последовательно идеи метода малых возмущений с целью
получить решение задачи в аналитической форме, уравнение автопило-
та, нелинейное в общем случае, следует линеаризировать. Такой под-
ход дает возможность анализировать динамические свойства летатель-
ного аппарата с автопилотом в первом приближении; это тем более
необходимо, что, как уже было отмечено, современный летательный
аппарат немыслим без автопилота.
Фиг. 2.8. Зоны нечувствительности Фиг. 3.8. Предельные углы отклонения
автопилота. руля автопилотом.
В этой книге мы ограничимся рассмотрением простейшего автопи-
лота е жесткой обратной связью, описываемого линейным дифферен-
циальным уравнением первого порядка. Применительно к продольному
движению такой автопилот реагирует углом отклонения руля высоты
Ада на отклонение углов тангажа АО и атаки 1 Аав и угловой скорости
<ог=ДО от заданных их значений. Уравнение автопилота имеет вид2
Д^аТ=ЛаД&-[-Z?O1 дйА’о.да— д8а, (1-8)
где k^, km и ka —передаточные числа автопилота для каналов, реаги-
рующих соответственно на отклонение угла тангажа, угловой скорости
тангажа и угла атаки; Т — постоянная времени автопилота.
Постоянная времени Т в линейной интерпретации отражает то
обстоятельство, что после получения сигнала рулевая машина авто-
пилота отклоняет руль высоты не мгновенно, т. е. характеризует з а-
паздывание автопилота; чем больше Т, тем больше запаздывание
автопилота.
С целью уяснить смысл постоянной времени Т рассмотрим, напри-
мер, автопилот, состоящий только из одного канала тангажа; уравне-
ние такого автопилота имеет вид
ДдаТ=^ДО—Дда. (1а. 8)
Пусть задана конкретная величина входного сигнала ДО. Тогда при
постоянном передаточном числе
k& ДО=const.
1 Практически чаще применяют канал автопилота, реагирующий на отклонение
перегрузки Дяу от заданной. Поскольку (см. гл. VI) в процессе короткопериодического
движения V«const, то
„ Syр
кпу = с , —— Дав = const Дав.
у G
2 Для краткости индекс «в» у а опускаем.
284 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Интегрируя уравнение (1а. 8) и полагая, что при t=0 и Д6а = 0,
получим
A§a=constU-e т /=ДЗатах\1-е
где Адатах=^»А'& — угол отклонения руля автопилотом, соответствую-
щий установившемуся режиму автопилота (этот угол теоретически
достигается через бесконечно большое время).
На фиг. 4. 8 приведены кривые изменения отношения Дда/Аба max
в зависимости от времени t при различных значениях постоянной вре-
мени Т. Если входные сигналы подаются на автопилот с частотой сов,
то качество работы автопилота зависит от значения произведения <лвТ.
Если то автопилот работает удовлетворительно; при невыпол-
Фиг. 4. 8. Роль постоянной времени Т автопилота.
нении этого неравенства работу автопилота нельзя признать удовле-
творительной.
Пусть, например, частота входного сигнала равна (ов = 3 гц и сиг-
налы подаются дискретно. Тогда сигналы подаются через промежутки
времени Д£=-|- = 0,333 сек. Если постоянная времени автопилота Т=
= 0,1 сек, то по приведенной выше формуле находим, что
0,333
—= 1-е 0,1 = 0,964.
max
Следовательно, к моменту подачи следующего сигнала на вход
в автопилот задание предыдущего сигнала будет выполнено почти пол-
ностью (~96%). В этом случае ©в7’=О,3.
В том случае, если постоянная времени автопилота Т=0,666 сек,
при той же частоте сигнала на входе получим сов7’=2,0 и отношение
Дба/Абашах к моменту подачи следующего сигнала
—^— = 0,39.
max
В этом случае автопилот работает неудовлетворительно; его запаз-
дывание слишком велико. Задание предыдущего сигнала выполняется
§ 1. Уравнения продольного возмущенного движения
285
только на 39%. Автопилот с такими данными, очевидно, непригоден
для применения на летательном аппарате.
Итак, для улучшения процесса стабилизации летательных аппа-
ратов может быть применен автопилот, причем постоянная времени Т
автопилота должна быть достаточно мала. Если автопилот исполь-
зуется таким образом, то говорят, что он работает в режиме ста-
билизации.
В предыдущих главах летательный аппарат рассматривался как
объект управления; нас интересовала при этом только реакция лета-
тельного аппарата на управляющее воздействие (например, на откло-
нение руля высоты) независимо от того, по какому закону управляю-
щее воздействие изменяется с течением времени.
Если летательный аппарат управляется автоматически, то управ-
ляющие воздействия реализуются через автопилот, .на вход в который
подается необходимый сигнал, а на выходе получается отклонение
руля. В этом случае автопилот работает в режиме управления.
В большинстве случаев автопилоты работают одновременно в режиме
стабилизации и в режиме управления.
Обозначим управляющее отклонение руля высоты на автомати-
чески управляемом летательном аппарате через Абу.а; тогда уравнение
автопилота вместо (1.8) надо написать так:
Тд8а= ДЙуфа-]-km Д&-|- АаДС — д§а, (2.8)
где Аба —полный угол отклонения руля автопилотом, работающим
одновременно в режиме стабилизации и управления.
Уравнение (2.8) можно обобщить и на тот случай, когда управ-
ление летательным аппаратом осуществляется летчиком (ие через
автопилот), а автопилот работает в режиме стабилизации.
Обозначим управляющий угол отклонения летчиком руля высоты
через Абу. Тогда полный угол отклонения руля высоты Абв будет скла-
дываться из двух частей: управляющего угла Абу и стабилизирующего
угла Дба:
Д8в=д8у4-Д8а.
Управляющее воздействие, осуществляемое летчиком, вообще го-
воря, реализуется не мгновенно, а формируется в течение некоторого
промежутка времени. Можно было бы, введя постоянную времени лет-
чика, описать этот процесс подобно тому, как это было сделано для
автопилота; мы, однако, не будем вникать в этот процесс, а под Дбу
условимся понимать конечный результат действий летчика. Тогда, при-
бавив и вычтя в правой части (2.8) Дбу, это уравнение можно перепи-
сать в следующем виде:
Т Д8а=Д8у.а4- д8у-{-Л&Д&-{- А:шД&-|- А!оДа — (д8у-{- Д8а)
или
Т'Д§В=дЗу>а-}-дЗу-|-Л9Д&-]-Лшд&-|-^ада — д8в, (2а. 8)
так как мы приняли Абу #=/(/) и поэтому Абв = Аба-
Уравнение (2а. 8) должно быть решено совместно с уравнениями
движения летательного аппарата (30.6) — (32.6). При этом число не-
известных, входящих в эти уравнения, должно быть увеличено на одно,
так как полный угол отклонения руля Дбв неизвестен, а управляющи-
ми воздействиями являются Абу.а и Дбу. Так как управляющие воздей-
ствия Абу.а и Дбу одновременно не встречаются, то с целью сделать
систему уравнений единой для автоматически управляемого летатель-
286 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
ного аппарата и для самолета, пилотируемого летчиком, введем обо-
значение
Д8у=Д8у.а+д8у,
а в уравнениях (30.6) — (32.6) члены, содержащие Дбв, перенесем из
правой части в левую. В результате придем к следующей системе
дифференциальных уравнений продольного возмущенного движения.
летательного аппарата с автопилотом:
ДУ -]-&1оД д&=%| (^); (3.8)
Д&+с2оД& — Да — а20Да -ф &20 Д У — У6Д8В=Уi (fy (4. 8)
-ф с31 Д » -ф а31 да 4- йзоДа -ф ^д V -ф е^дй,, = тх (/); (5.8)
ТДйв -ф Дйв — h Д& — £ШД& — &аДа= Дйу, (6. 8)
где возмущающие функции определяются [ср. с (33.6) — (35.6)] сле-
дующими выражениями:
*1 (0=—— СоКД<Рк ~ *юд Vt + S (пуо ~ cos ео) Дат5 (7-8)
У1(/)=ГД?К- Дат- р^-+с201 Дат —*20дУт; (8. 8)
L О J
mi (0=«мД?к - <41Д?К ~ ^гоД^т- (9.8)
Уравнения (3.8) —(6.8) являются общими для автоматически,
управляемых аппаратов и для самолетов, пилотируемых летчиком. По-
ложив в этих уравнениях Дбу.а = О, придем к случаю самолета, пилоти-
руемого летчиком, на котором автопилот работает в режиме стабили-
зации. Положив Дбу=О, получим уравнения для автоматически управ-
ляемого летательного аппарата.
Система (3.8) — (6.8), как нетрудно убедиться, представляет со-
бой систему дифференциальных уравнений пятого порядка, содержа-
щую десять неизвестных: Да1, Дй, ДУ, Дбв, Дбу.а, Дбу, Д<рк, ДР,.
Дат и ДУТ. По существу число неизвестных сокращается до девяти, так
как управляющие воздействия Дбу.а и Дбу не могут иметь место одно-
временно. В таком случае имеем систему четырех дифференциальных
уравнений с девятью неизвестными, так что законом изменения в зави-
симости от времени пяти каких-либо неизвестных необходимо задаться.
Такими заданными функциями времени в дальнейшем будем считать
управляющие воздействия Дбу.а (или Дбу), Д<рк, ДР и турбулентные
возмущения Дат и ДУТ; кроме того, будем считать заданными началь-
ные возмущения Дао, ДФо, ДУо (если таковые имеются).
§ 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ.
СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Уравнения движения (3.8) — (6.8), написанные в изображениях,
принимают вид
(Р + ^ю)^ + «10«+С10&=^а; (10.8)
bwV - (р + «20) а+(Р + & - F6S=ra; (11.8)
*30^ + («з1Р + «зо)а + (Р2+сз1Р)а + его8-=7Иа; (12-8)
Л«а-]-(Йшр-|-М»-(1 +ТР)Ъ=-Ъу-РТЪг (13..8)
1 Напомним, что Да — изменение истинного (воздушного) угла атаки.
§ 2. Методы решения уравнений движения. Структурная схема движения 287
Здесь, как и ранее, изображения обозначаются теми же буквами,
что и оригиналы. В левой части уравнений сохранены прежние обозна-
чения динамических коэффициентов (29.6).
Входящие в правые части уравнений Ха, Уа, М& представляют со-
бой изображения правых частей дифференциальных уравнений
(3.8)-(6.8):
(Р)=р—0е +ё («уо—cos 0О) ат — 61ОУТ + д Vo; (14.8)
Га(р)=Г<Рк-(^5^ + с20+^ат-&2()^т-Да0+Д%; (15.8)
7Иа(/2) = с;о?к-&гоУт + с31Да0+сг1д&о4-Д80 — p(fl’3tfK — Д&0). (16. 8)
Система уравнений продольного возмущенного движения лета-
тельного аппарата с автопилотом (10.8)—(13.8) отличается от систе-
мы (36.6) — (38.6), составленной для летательного аппарата без авто-
пилота, дополнительным уравнением (13.8) автопилота; кроме того,
вводится дополнительное неизвестное 6.
Решение уравнений (10.8) — (13.8) имеет вид
(17-8)
Ла ’
где Аа — определитель системы, а определители Д«а, Диа, Д»а, Дба полу-
чаются из определителя Да заменой в нем соответствующих столбцов
правыми частями уравнений.
Для определителя системы
Р4~^ю «10 с10 0
д»= ^20 — (Р4-«2о) р4-^20 -уъ
‘-‘а ^30 «31Р 4- «30 Р24-«з1Р е30 kap+h —(14-Гр)
0
получаем развернутое выражение
Да = а6ар5 + а4ар4 + ОзаР3 + П2ар2 + П1ар4 «Оа, (18.8)
где
аБа=Г; (19.8)
о4а = 1 -|-7 (й2о-]-йз1 + ^1о4*сз1)> (29- 8)
о3а=й2о 4" ^314" ^io 4“ с314~ (^зо р аз1) 4~
~Ь 4“ Т' [<710^20 4“ й2(Ао 4“ й30 4~ fl31C20 4“ ^го^з! 4~
4-(«314-^31)]; (21.8)
288 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
° 2а = й1(Ао 4" Й2(Ао 4~ й80 + Й31С2О 4“ G20C31 4“ ^10 (°31 4" С31) +
4~ k,Jt [е30 (а20 Ц- £10) — Y (а?л Ц- я31^10)] Ц-
+ && (е30 ~ а31) + [е30(^10 4~ С31)] +
4~ [°10 (^20С31 Ь?.о) И- й20^10С31 4“ й30 (^10 “Ь С2о) 4“
-j- <231 (^10^20 ^20Сю) ^ЗОС1о]> (22. 8)
а\а — а\Т> (^20С31 (’зо) 4“ a2Spvf'3X 4~ Й30 (^10 4“ С2о) 4~
4- й31 (^юС20 ^20Сю) (’30С10 4“ &> 1^30 (й20^20 4~ а2(Д о) 4~
4- (^к/'зо «зАоЛ 4“ [аЗо(а2О 4- &ю) — (а30 4“ йз41о)1 4~
4~ ka. [^ЙОС2О 4“ ^1о(в30 4- С31^ )] 4“ Т [азо (^10^20 to)'
— Ь30 (о10с20 й2ос1о)1 > (23. 8)
а0а ~ а30 (^10С20 ^20С 1(0 ^30 (й10С20 4“ а20С1о) 4"
4- k(, [е30 (<210^20 4“ а20^ю) 4- (й10^30 а30^1о)] 4“
4* ^a[a3o(^lof2o ^20Сю) ^Э0С10^ 1 • (24. 8)
Если сопоставить выражения (48.6) — (51.6) с полученными вы-
ражениями (19.8) — (24.8), то можно заметить, что коэффициенты
определителя системы летательного аппарата с автопилотом выра-
жаются через коэффициенты аналогичного определителя летательного
аппарата без автопилота:
Й4а = 1 + Га3; (20а. 8)
йзя = йз+7й2+ ^ш(е30 —F6a3i) + ^F6; (21а. 8)
й2а = а2 4“ 4" [е30 (й20 4- &10) — (й30 4“ ^Sl^lo)] 4“
+ М*304-Шо 4-^31)] 4-6& (бзо- F41); (22а. 8)
й1а = а1 4" ^«0 4- [^зо (й10^20 4- йго^ю) 4“
4“Г (а10^30—Й30^1о)]4'^“[е30с2о4_^ю(е3о4'^ с31)]4“
4~ (езо (й2о 4- (’io) — (йзо 4- йзг^ю)]: (23а. 8)
йОа = O.Q 4- ka [е30 (^10^20 ^2ос1<4 ^Зос 10^ 14-
4- kb [йзо («10^204-«20^10)4-i76(«ю^зо-йзо^о)]- (24а. 8)
Как видим, подбирая соответствующим образом передаточные чис-
ла автопилота, можно изменять в желаемом направлении коэффициен-
ты определителя Аа и, следовательно, изменять степень устойчивости
летательного аппарата.
Характеристическое уравнение продольного возмущенного движе-
ния летательного аппарата с автопилотом
Аа=0 (18а. 8)
является уравнением пятой степени, в то время как такое же уравне-
ние летательного аппарата без автопилота было четвертой степени.
Повышение степени характеристического уравнения объясняется тем,
что уравнение автопилота представляет собой дифференциальное урав-
нение первого порядка.
Нетрудно заметить, что, положив в (19.8)—(24.8)
йо=Лю=^& =7’=0,
2. Методы решения уравнений движения. Структурная схема движения 289
придем к выражениям (48.6) — (51.6) коэффициентов характеристи-
ческого уравнения четвертой степени для летательного аппарата без
автопилота.
Частные определители Даа, Д&а, Дна для всех сигналов на входе
и для всех выходных величин, за исключением выходной величины а
при входном сигнале ат, имеют общий вид
г4р4 +т3р3 + г2р2+fip + го’.
Частный определитель Д<ха при входном сигнале ат получается
в виде
Тр5+г4р4 + г3р3 + г2р2+г ip + г0.
В табл. 1.8—3.8 приведены выражения коэффициентов г,-, отне-
сенные к изображениям входного сигнала, для различных сигналов на
входе. Таблицы эти аналогичны табл. 1.7—3.7 и отличаются только
наличием дополнительных членов, связанных с автопилотом. Пользуясь
этими таблицами, можно решать задачи, примеры которых для лета-
тельного аппарата без автопилота приведены в гл. VII.
Полученные выше выражения изображений кинематических пара-
метров продольного движения имеют следующий общий вид для всех
случаев, кроме изображения истинного угла атаки ав при возмуще-
нии Дат:
ф —. г4р« + г3д34-/-2Р2 + г|Р+г0 (25 8)
Тр5 + а4ар4 + ДзарЗ + й2а/,2 + а1ар + аОа
Для облегчения перехода от изображений к оригиналам удобно
сложную дробь, входящую в (25.8), представить в виде суммы двух
более простых дробей, подобно тому, как это сделано в гл. VI:
ф___ Ко + KiP + К2Р2____|_
Тр'л + «2кР2 + «1кД + P2 4- 2hap + <o2 ’
Коэффициенты Kj и Dj этого разложения определяются
мы уравнений, аналогичной (80.6) — (83.6):
K^TD^-,
K1 + 2hRK2+a2KD1+TD0^=r3-
^0 + 2^ + “д АГ2 + й2к^0 + °1к^1 = Г2’
2ЛдКго+мд^1 + а1к^)о+йок^1 = г1;
“Ь а0к^о = го-
Для изображений ав при возмущениях Дат выражения
(26.8) должны быть заменены следующими:
ф __ ГР5 + г4Р4 + rsp3 + г2р2 + Г1Р + г0 .
Тр5 + а4яр* + д3ар3 4- а2аР2 + а1ар 4. С()а ’
ф = + АдР2 + 7р3 , Dq+D^p
Тр3 + а2кр2 + в1кР + йок Р2 + '2h,{p + <д2
В этом случае в правой части уравнений (27.8) и (28.8) вместо
г4 и г3 надо подставить г4—2hnT и г3—ы2Т.
Впоследствии мы остановимся более подробно на практических
приемах решения системы уравнений (27.8) — (31.8), а сейчас рас-
смотрим структурную схему продольного движения летательного аппа-
рата с автопилотом и возможное ее упрощение.
(26. 8)
из систе-
(27.8)
(28.8)
(29.8)
(30.8)
(31.8)
(25.8) и
(32.8)
(33. 8)
19 1824
290 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
дкт ^зит гзкт+ Trzvr rW.+TrW.+ +W r i^T 0
Да0 т 1 + ТгЪ.а r2%0+ TrU0+kJ- Г1а0+7'Г(И|1+ L + kmb\oL Г0ао + ^&^10^
Д80 —т —l + ^&o ri»t+T^W—ka>f( rl»0+ X X — k^K ^O&o—kO-bl0P
Д80 0 т l+7>im-V8 ^ia>0+ T'row—k^ x w5-^2
ДУ"о 0 Tr2V„ rW0 + TrWa rW<> + TrOVo+ka>N r0V„+kb^
Обозначения:
Ро — Qo
+ с20
W = W3o+ W8. £ = езо—«31^\ ^ = «30—«31^10. Af = e30 +У3с31, л0 = ^(Яу0—COS0O), J'o^
Zn/Q
* При входном сигнале Дат в числителе надо добавить слагаемое Т р~\
Таблица 2.8
Передаточная функция для угла тангажа
г = '4аР4 +'ЗаР3+~'2аР2+~'1а/>+70з
& Гр5 4-д4р4 4. йзрЗ 4-д2р2-|-й]р д0
Вход '4а 'За '2а '1а '0а
А Ву,а 0 0 '25 ^13 'оз
ДВу 0 т~г№ '26+7'15 '15+ Тгоь 'оз
д?к Т\ 'зт +т \ r2p+ TrV?~ ЛсЛ8д31 'lip+7’'o<p+ 'Оср+ ^а [QT + ^10 X
+МезоГЧ + 7s4-i10F8^1) X (У^зоЧ- «зоК5)]
ДР 0 0 Тг\Р г1р + Тг$р — ^а пг
Дат Г'3ат т Г3а + Тг2а т т r^+1''rll,—kae30 т т '1а +7>0«т — т '0ат-А«Х
- —^30 (уо+ ^1о) ХСУо^ю^зо + XqN)
292 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата
2- Методы решения уравнений движения. Структурная схема движения 293
294 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
§ 2. Методы решения уравнений движения. Структурная схема движения 295
296 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Структурная схема, очевидно, получится, если к контуру бортовой
стабилизации летательного аппарата, построенному в гл. VII, добавить
контур автопилота в соответствии с его дифференциальным уравне-
нием (13.8). Это уравнение в целях единообразия напишем в следую-
щем виде:
8=8у + «/9(8у, + ^ю& + ^«), (34.8)
где
<®-8>
W10 = krnP -[-Aft. (36.8)
Фиг. 5.8. Структурная схема продольного движения при управлении
рулем высоты.
В этих терминах уравнение автопилота (34.8) принимает вид
Axa + IF 10*-^8= — 2L —8 (37.8)
w9 wg
Структурная схема для управления рулем высоты приведена на
фиг. 5.8, где контур автопилота нанесен жирными линиями. Аналогич-
но можно построить структурную схему и для других возмущений на
входе.
По фиг. 1.7 и 5.8 можно заметить, что все те соображения, кото-
рыми мы пользовались в гл. VII при упрощении структурной схемы
продольного движения летательного аппарата без автопилота, полно-
стью применимы и в рассматриваемом случае. Так же, как в гл. VII.
влияние изменения угла атаки на изменение скорости полета можно
считать малым. Это позволяет получить приближенные выражения
определителя системы для короткопериодического и длиннопериодиче-
ского движений летательного аппарата с автопилотом.
§ 2. Методы решения уравнений движения. Структурная схема движения 297
Вместо уравнений (10.8) — (13.8) можно написать уравнения
(4.7), (10.7) и (17.7), которые с учетом того, что 6 рассматривается
как 'неизвестное, можно переписать в следующем виде:
- W2V - lV,a + &= — Ха;
сю
Xv-ir3a + c10r88=t10ra+(p + c10)^a;
"5
х(хас^~у^+мя.
(38.8)
Система уравнений (37.8) и (38.8), конечно, совершенно эквива-
лентна системе уравнений (10.8) — (13.8). Определитель системы урав-
нений (37.8) и (38.8) равен
1 -IV, -IV2 0
0 ~ ~W6 езо+гЧ + ^Р
Ла= 0 -IV3 — с10Р 3 1Г4 10
-ka 0 -L
W'b
Раскрывая выражение определителя по минорам нижней строки,
получим
д;=_кд'+Ло [lV/c/+^i44i+4_j +
1Г9 1 \ ь 1Г4 / 1
+ W Wi</4
е30+Г6с31 +Уър
U74
W~5W^ +
+«/^(^4-/4+W,
(39.8)
где А' — определитель системы для летательного аппарата без авто-
пилота; выражение этого определителя (30.7) приведено в гл. VII.
Пользуясь выражениями частных передаточных функций, приве-
денными в гл. VII, можем написать
IV, + IV2IV3IV4=W4(р2 + р \<2h№x +—+*ю(1 - W,)] +
I L сю J
+-^,0-—1« ^4(Р2+«2о/’ + «1о^о + ^1о); (40. 8)
сю j
^41V6 + ^«^[-«io(W + ^)-(/’ + ^o)(P2 + 2^ + o>|)]^
*5 с10
~ 4 [Р3+2М2++(«иЛ+«]• (41- 8)
с10
Последние выражения получены при сохранении только основных
слагаемых и при пренебрежении малыми величинами.
298 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Используя (40.8) и (41.8), а также (30.7), выражение определи-
теля (39. 8) можно переписать в следующем виде:
^41^9'"5 /
Ч- С1(У W4^б) 4“ 4 “Ь ^р) Iе30 (Р2 Ч~ а2оР + °10^20 +
+ «20&ю) - + р«зо)]} • (42.8)
Посмотрим, как можно упростить это выражение в случае движе-
ния с высокими частотами, которым соответствуют большие по абсо-
лютной величине корни р характеристического уравнения.
При больших значениях р можно принять
4 + 2Л4р + <о“
Сохраняя в (42.8) только члены, не содержащие в знаменателе р
(так как такие члены имели бы второй порядок малости), получим для
области высоких частот
«1 +Tp)(p^+2h5p+^+ka(e3Q+Ys с31+Г6/;) +
VV4
Ч~ (^30 ®31) Ч~ 1(^30 й31) Р Ч~ е30 й20 ^’Зо]} “ Дк.а-
И7 4
Определитель системы для этого случая, описывающего коротко-
периодическое движение летательного аппарата с автопилотом, равен
Дк.а = О + Тр) + 2hbP + М^Ч-У^31 + Fp) +
Ч~ (^30 У ^31) Ч- 1(^30 } ^31) Р 4“ ^30^20 У азо] •
Так как при больших р величина то характеристическое
уравнение для короткопериодического движения имеет вид
Дк.а~ 0
или
7’p3+a2Kp2 + aiKp+a0K=0, (43.8)
где коэффициенты характеристического уравнения определяются сле-
дующими выражениями:
«2к—l + T2/zK; (44.8)
а1к=2ЛК + kaY& + Kt*» - F«31)+7W; (45.8)
а0к = акЧ-^а(^30 У С31) 4“ (й20е30 азо)Ч~^& (^30 °3l)- (46.8)
Как видим, короткопериодическому движению летательного аппа-
рата с автопилотом соответствует определитель системы третьего по-
рядка, в то время как без автопилота (см. гл. VII) этот определитель
имел второй порядок. Объясняется это тем, что уравнение автопилота
(6.8) есть дифференциальное уравнение первого порядка, вследствие
чего и повышается общий порядок системы уравнений.
§ 2. Методы решения уравнений движения. Структурная схема движения 299
В случае идеального автопилота постоянная времени
7=0 и вместо (43.8) получаем полином второй степени
Дк.а/ = Р2 + 2Ак.аР+<а (47.8)
с коэффициентами
2Лк.а=2Лк-}-^а7 +^«1(^зо — <г31)==
= й2о 4" аз1 + Сз1 + FP 4~ ^“(езо — °31); (48. 8)
<а = юк ~Ь ^а(^30 С31) 4~ ^О> (^20^30 ^Зо) Н- (^30 ^31) =
— ^30 4“ ^20^31 “Ь (^30 С31) + (°20^39 ^Зо) 4~
+ ^30-/41). (49.8)
Наконец, положив в (48.8) и (49.8) передаточные числа автопило-
та равными нулю, придем к выражениям коэффициентов 2hK и сок2 ле-
тательного аппарата без автопилота:
2hK = aw а31 -|- с31; (48а. 8)
0)к—°зоЧ“°20сз1. (49а. 8)
Эти выражения были получены в гл. VII [см. формулы (32.7)
и (33.7)].
Из приведенных выражений видно, что, подбирая соответствующие
значения передаточных чисел ka, fe» и автопилота, можно изменять
в широких пределах опорную частоту и демпфирование летательного
аппарата. Это означает, что, устанавливая автопилот, можно улучшать
динамические свойства летательного аппарата.
Применим теперь выражение (42. 8) к случаю движения с низки-
ми частотами.
Ранее для движения с высокими частотами было получено выра-
жение
Дк.а=(1+7'/’)(/’2+2А5р+<о2)+^(^30 + Ггс31+Г^)+
+П/4 {&& [<?30р2 - F6a31/?2] + kwp [ 6?3G (р2+а20р) —
— F8 (p2«3i + ^30)]},
которое при больших р принимало вид (43.8). Поэтому (42.8) можно
переписать в виде1
Да—~ {ЛК.а-^З^б+^1/Х^6+
и/4
+ W4 [е30 («1с/>20 + «20^10+«2оР) - ^«з0Р] +
4“ &u>PW4(?30 (O1Q&20 4" ^20^ю)}
+ (°1(Ао + «2(Ао + а2оР) ~~ Р] +
L ^к.а пк.а J
4" ku>P 30 («10^20 4" а20^ю)| • (50- 8)
Ак.Й J
1 Так как при малых р можно принять 1+Тр^1.
300 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
При помощи рассуждений, аналогичных приведенным в гл. VII,
нетрудно убедиться в том, что при низких частотах определитель Дк.а
приближенно можно заменить постоянным числом (Дк.а) р-о ^«ок-
Приняв это во внимание, для области низких частот выражение
(50.8) можно заменить приближенным:
1 Ш
** 4 ^0к #0к
— [*?30 («10*20 + «20*10+<W) - +
#0к
+ -^-(«10*2o + «2°*lo)j •
(51.8)
Ясно, что выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет
собой определитель системы Дд.а для длиннопериодического движения.
Подставляя сюда выражения частных передаточных функций IV3, Wt,
W6, приведенные в гл. VII, после несложных преобразований получим
Дд.а«Р2+2*д.ар+о4а, (52.8)
где
2*л.а=2Л4 + Лз^-+4б£з _А_ +
а0к «Ок
+ *о> — («10*20+ й20*1о) + *& —(^20 —^Чо); (53. 8)
Л0к \ ^0к
—+*» ~(«10*2о+«20*1о)- (54. 8)
а0к Л0к
Таким образом, и в случае летательного аппарата с автопилотом
определитель системы дифференциальных уравнений приближенно
можно представить в виде произведения двух определителей: (43.8)
для короткопериодического движения и (52. 8) — для длиннопериоди-
ческого.
Для суждения о степени точности такого разложения с приближен-
ными коэффициентами обратимся к продольному возмущенному движе-
нию самолета, рассмотренного в конце гл. VII. Предположим, что на
этом самолете установлен автопилот с постоянной времени У=0,1 сек
и с передаточными числами
*а=0,1, *&=0,1, ka =0,3 сек.
Решение характеристического уравнения (18а. 8) пятой степени
можно получить итерациями по формулам:
й2к==а4 —72/гд;
«1К=а3-«2К2*д-7Х;
a0K=«2-«2K^-«iK2^;
2 а° . Од й1—а1к“д
шд=----> 2йд =---------,
#0к Л0к
причем в первом приближении принимается 2/гд=0 и юд=0.
Для рассматриваемого примера получим
«2к= 1,440; «1к= 11,756; ио.к=31,690;
м2 а=0,00097; 2*д.а = 0,0781.
§ 3. Приближенные выражения для передаточных функций
301
Расчет по формулам (44.8) — (46.8) и (53.8) — (54.8) дает следую-
щие результаты:
а2[;^ 1,446; Ящ—11,838; аОк~ 32,395;
®д.а^°>0012°; 2/1д.а«0,0820.
Как видим, приближенные формулы дают удовлетворительную сте-
пень точности.
При определении коэффициентов /Q и Dj, входящих в числители
изображений (26.8), примем во внимание, что по абсолютной величине
коэффициенты аОк, aiK и значительно больше коэффициентов 2ЛД,
«д длиннопериодического движения и что постоянная времени Т авто-
пилота мала. Тогда при решении уравнений (27.8) — (31.8) можно
пренебречь малыми членами, сохранив только основные слагаемые,
чтобы упростить окончательные формулы.
Исключим из уравнений (28.8) и (29. 8) неизвестные /С2, jDo и D-.
при помощи (27.8), (30.8) и (31.8). Решив два оставшихся уравнения
с двумя неизвестными, найдем Ко и К\- Подставив затем эти решения
в уравнения (27.8), (30.8) и (31.8), найдем остальные неизвестные
К2- Do и £>]. В результате можно прийти к следующим приближенным
выражениям коэффициентов числителей:
(55.8)
(56.8)
(57.8)
(58.8)
(59. 8)
Изображение какого-либо кинематического параметра в коротко-
периодическом движении летательного аппарата с автопилотом дается
первым слагаемым (26. 8), в котором коэффициенты я2к, а1к, аОк, Ко, К\
и К2 определяются по приведенным выше формулам.
§ 3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Приведенные в табл. 1.8—3.8 выражения передаточных функций
летательного аппарата с автопилотом можно назвать «точными». В том
случае, когда летательный аппарат с автопилотом обладает устойчи-
востью в короткопериодическом движении, можно получить более про-
стые приближенные выражения передаточных функций.
Оценивая изменения кинематических величин в возмущенном дви-
жении летательного аппарата без автопилота (см. гл. VII), мы пришли
к следующим выводам.
Если входной сигнал связан с возникновением вращения летатель-
ного аппарата вокруг оси Oz (возмущения Абв, А<рк, Аат, Дао, А&о,
Айо), то угол атаки практически полностью изменяется в процессе ко-
роткопериодического движения. Время переходного процесса коротко-
302 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
периодического движения невелико, так что изменением скорости
полета за это время можно пренебречь. В случае входных сигналов,
(АР, A Vo) не связанных с вращением летательного аппарата, основную
роль играет длиннопериодическое движение, так что в первом прибли-
жении изменением кинематических величин в фазе короткопериодиче-
ского движения можно пренебречь.
Эти выводы являются прямым следствием того обстоятельства, что
корни характеристического уравнения продольного возмущенного дви-
жения летательного аппарата без автопилота делятся на две группы.
К первой группе относятся большие по абсолютной величине корни,
соответствующие короткопериодическому движению. Корни второй
группы по абсолютной величине малы и соответствуют длиннопериоди-
ческому движению.
В случае летательного аппарата с автопилотом, как уже отмеча-
лось, коэффициенты характеристического уравнения короткопериоди-
ческого движения по абсолютной величине оказываются значительно
большими, чем длиннопериодического. Это приводит к тому, что и для
летательного аппарата с автопилотом корни характеристического урав-
нения короткопериодического движения (в этом случае получается
три таких корня) по абсолютной величине значительно больше корней
характеристического уравнения длиннопериодического движения. По-
этому сделанные в гл. VII выводы можно распространить и на случай
летательного аппарата с автопилотом.
Приближенные выражения передаточных функций получим, рас-
сматривая только одну какую-либо — короткопериодическую или длин-
нопериодическую составляющую движения. При этом можно ограни-
читься только одним каким-либо слагаемым общего выражения изо-
бражения (26.8). Исключение из этого правила должно быть сделано
только по отношению к изменению угла наклона траектории к горизон-
ту А0, так же, как это было сделано в гл. VII для летательного аппа-
рата без автопилота.
Мы приведем здесь приближенные выражения1 передаточных
функций для тех же входных и выходных величин, которые рассматри-
вались в гл. VII; ход рассуждений при выводе этих приближенных
выражений совершенно аналогичен примененному в гл. VII.
Управление рулем высоты на беспилотном летательном аппарате.
На основании табл. 1.8 коэффициенты г3, входящие в числитель пере-
даточной функции для угла атаки, равны:
Г4а =0;
Гза. =0;
Г2а = — с30;
Г 1а = -<?30 (filo 4“ С2о)’
г0а = — С30 (^10^20 — ^2ОС1о)-
Сохраняя в этих выражениях только основные слагаемые и пре-
небрегая второстепенными, получим
Г2а— ~~ Сур
г 1а ~ 0;
ГОа « 0.
‘Далее принимается У8=0.
§ 3. Приближенные выражения для передаточных функций
303
С помощью формул (55.8) — (57.8) получаем
Коа — £3о!
^i«=0; /G«=0.
Передаточная функция для угла атаки при управлении рулем вы-
соты, следовательно,
Wt а =----------------. (60. 8)
у.а ТрЗ + а2кр2 + а1кр + аОк
Для построения приближенного выражения передаточной функции
для угла 0 по-прежнему можно использовать выражение (50.7), в ко-
тором согласно (15.8) надо принять Ус=0, г4 = 0. Получим
1Г6 0 =---------------е-^-------. (61.8)
у-а р (ТрЗ + а2к/>2 4- д1кр 4- аОк)
Более точное выражение передаточной функции для угла 0, полу-
ченное при помощи табл. 1.8 и 2.8, имеет вид
У-а (Трз + а2кд2 + а1кр + л0к)(д2 + 2Ля.ар4- “я.а) ’
где _
Г1= е30а20>
Г 0= —'еЗо[й20^1о + ^2о(аю + С’1о)]-
Управление рулем высоты на самолете, пилотируемом летчиком.
В этом случае коэффициенты г,а передаточной функции для угла ата-
ки, если в их выражениях пренебречь второстепенными слагаемыми,
получаются равными:
Г4а=0;
Г3а ~ У^30>
г2ч ~ ^30’
Г 1а « 0;
Гоа ~ 0.
На основании формул (55.8) — (57.8)
К{)а =--бзО,
К{а=----Твзо', К^а~0,
так что передаточная функция для угла атаки
W, а =---------£зо+£езо£-------. (63.8)
У ТрЗ + Д2кр2 + д1кр + аОк
Приближенное выражение передаточной функции для угла 0
\Y7 „___ „ езо + Те^оР
У P (T p3 + а2кР2 + а1кР + «0к)
Более точное выражение этой передаточной функции
IV/ Р2 + (и + 7>о) Р + го
У (ГрЗ 4- а2кР2 4- а1кр 4. (р2 4. 2Лд.ар + <»д.а)
где го и Г] остаются такими же, как в (62.8).
(64. 8)
(65.8)
304 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
(Н
К'
h;
К.
*
Й
г' •
О* А
й:
fc?*»
Управление поворотом крыльев. На основании табл,
в этом слурае
^=7^+^);
F3a=-F’>(l+7C31)+^07-fl;i;
г 2а = — У’’ (с31 йше39) 4~ о30;
Г 1а —~ У' kfy 1?3Q ,
Г0а = 0.
На основании формул (55.8) — (57.8)
К^-У* Cn + a^-k^e^ + h
^0к
KXll= -y’t-a'n + h ^у^+Т^-У^у,
Oqk
х2а = _ 7 (у ^ + аЪ1 - ЬУ v —} •
Передаточная функция для угла атаки при управлении
крыльев
где
где
1.7 и 1.8 4
поворотом
уу ^Оа ~Ь ^1а.Р + КулР2
Тр3 + ОукР2 + О.\кР + а0к
Для получения приближенного выражения_ передаточной
в уравнении (50.7) надо положить У’0 = У'?; при этом
4~ Вр -|- Ср2 Ч~ Рр3
Р (Тр3 + «2кР2 + Я1кР + °0к)
д=ло+гЧо(^+^);
Д = Д0+7Д0+АЛ30;
с=св+тв0,
D=yvT;
— °2о«зо 4" ^«зо! &о = («з14” сз1) я20«з1’
с0=г.
Более точное выражение этой передаточной функции:
IV/ __________Г4р4 + Г3р3 + 72р2 4- ггр 4- 70_
(66.8)
функции
(67.8)
* (Т[Г + Д2кР2 + «1кР-I-аок) (д2+2Лд.ар+“д<а)
согласно табл. 1.8, 2.8, 1.7 и 2.7.
r4=m
^=^+7 [Г(а31+^31)- ад0];
г2=У\а31 + с31) — а31а20+Т + а>20) +
г 1=К'?а30Ц-о!30а20-|-^аК¥е30Ц-^&>/¥е30;
Г0 — «30^10 ~ ^30 («10 4" С1о)] 4“ «30 (^20 («10 4" Сю) + «20^1о1 +
+РЧо(*«4-М*ю-
(68. 8)
§ 3. Приближенные выражения для передаточных функций
305
Турбулентное
Далее
возмущение угла атаки. На основании табл. 1.8
Г4а= 1 Д- ТС^]\
г за=^з1 Д- k№e3G',
Г 2а #30’
Г1а»0; Г^иО.
^оа»^&е30;
T’Clct Д“ ku,C3Q^
Kia ~ 1 4~7'#ЗГ
Передаточная функция для угла атаки
w/ езо + (c3i + kae3o) р + (I + Тс31) р2 + трз
уу а а- ~ ~ . (ЬУ. о)
ТрЛ + «2кР2 + а1к Р + <20к
Приближенное выражение передаточной функции W\Te получаем
по (50.7), в котором надо положить Уо=—р:
Vso + fan +Мзо)Р + (1 +Тсз1)р2 + Трй
IV а Q ----------------------------------------- . (/U. о)
Р (ТР3 + а2кР2 4~ а1кР Ч" #0к)
Более точное выражение передаточной функции 1ГО © имеет вид
.г/ ^еР4 + гзеР3 + ХеР2 + rieP + гсе ,71 Q,
Vv а е = -------------------------7------------5—г- , (71.8)
(УдЗ а2кд2 + а1кр + oqk) (р2 + 2Лд.ад+<ода)
где на основании табл. 1.8 и 2.8 коэффициенты равны:
Р 40 = ТЦ^20’
г 30 — #20 Д' Т#23# 31 ’
Г2в = #2Э#31 "T ^ш#20#30>
Г10 — #30 (с20 ^о) #31^20^10 4“ С31 (#10^20 “Г #20^ 1о)
— ^2^30 (X0 #2э) 4” ^шб3о (#10^20 4- #23^10) 4“ #20^30’
Гое — ск (^20^30 4“ #зо^2о)-
Начальное возмущение по углам тангажа и атаки Д|9,о=Д«о-
На основании табл. 1.8 и 2.8
^=7, гза=14-^(«з14"сз1);
Г2а = G3i Д- Cgi ~(~ ^-&#зо ^u>#30>
Г1а==Гоа = 0.
Коэффициенты Kj получаются равными:
К 0а = #31 4- С31 >
К1а — Т (#31 4“ #31);
Лга=0.
Следовательно, передаточная функция для угла атаки
g3i + С31 + 7* (g.si + Сз1) Р + 7д2 ,j2 g>
Т рз + д2кР2 + а1кр + Оок
20 1824
306 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
В данном случае Уо=О, так что приближенное выражение переда-
точной функции для угла наклона траектории к горизонту получается
следующее:
е = Дз1 + с31 + Г(сз1 + с81)/> + 7-р2 . (73 8)
Р (7Р3 + а2кР2 + «1кР + «Ок)
Более точное выражение этой передаточной функции:
1у/ гЗ<эР3 + Г2вР2 + ГюР + ГО0 Z7ZL й\
Vv 3-е =-------------------------у—-----------9—, , (/4. о)
(ТР3 + а2кР2 + а1кР + «Ок) (р2 + ^ЛлР + “д.а)
где на основании табл. 1.8 и 2.8
Г3© =z Т«20’
г 20 ~ а2д "Т Т «20^31 ^-&^зо>
r 1® ~ «20 («31 4“ с31)’
Г00 ~ («31 -b «31) [^20 (Л104-<?ю)4'а20^1о]-
Изменение величины силы тяги АР. Так как в этом случае движе-
ние в первом приближении можно считать проходящим только в длин-
нопериодической фазе, то для определения коэффициентов D, второго
слагаемого разложения (26.8) служат формулы (58.8) и (59.8).
Коэффициенты г3- числителя передаточной функции 1Гре на осно-
вании табл. 1.8 и 2.8:
Г40 =0; гзв~0;
«20 — __*20 [I -J-T' (а31Ц-с31)];
m
«10 ~------[&20 («31 «31) 4“ (#20^30 4“ «ЗО^2о) 4“ ^<"^20^311 ’
m
Гое~ [«20^30 4“ «30^20 4“ ^20«30 (^а4"^э)],
m
а коэффициенты Д,-©:
Doe =---------[«20^30 “4 «30^20 4~ ^20^30 + ^»)];
таОк
0 =--------ffe20 (а31 4“ «31)-~ [«20^30 4- «30^20 4- Дэ«30 X
ma0K I «ок
х (ka+&8)]+k^b30 е30).
Передаточная функция для угла © определяется выражением
Wpe =
Рое + £*10 Р
+ 2йд.а р + о>2_а
(75.8)
Точно так же для скорости полета получаем
rw=^-T, 73V=J-(i+mK), F2V=1-(2ak4-7’<o24-m3o);
т m m
г —- [ш2 Ашй^о^зэ 4“ (^а 4- ^3) ^зо]>
т
рov ~ («30^20 4- ^“«30^20 4“ ^3«2О^Зо)‘
т
§ 4. Влияние автопилота на характер движения при управлении рулем высоты 307
Коэффициенты Djv получаются равными:
^0V = («30Г20 4" «20«30 30°д)’
таОк
Dw«ок - — «2о«зо) •
\ #0к /
Передаточная функция для скорости полета
в30с20 + а20е30 — ^ше30шд + (й0к — ~ ^20^30 ) Р
----------^(7^...,+ <.)“" - (76'8)
В заключение этого параграфа напомним, что выражение переда-
точной функции для перегрузки пу получается простым умножением
передаточных функций а, Wt,y-aa и на —Cy—Sg°.— . в случае
управления поворотом крыльев к углу атаки, получающемуся по
(66.8), надо добавить угол поворота крыльев Д<рк.
§ 4. ВЛИЯНИЕ АВТОПИЛОТА
НА ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
ПРИ УПРАВЛЕНИИ РУЛЕМ ВЫСОТЫ
Полученные в предыдущем параграфе приближенные выражения
передаточных функций позволяют легко оценить влияние автопилота
на характер движения летательного аппарата. Проведем такую оцен-
ку применительно к управлению рулем высоты.
Для упрощения выводов вместо реального автопилота будем рас-
сматривать идеальный, у которого постоянная времени Г=0. Будем
пренебрегать влиянием отклонения руля высоты на величину подъем-
ной силы всего летательного аппарата, т. е. примем Fs = 0.
При Т=0 выражение (60.8) принимает следующий простой вид,
справедливый и для автоматического управления, и для управления
летчиком:
W.
у р2 + 2hKap + о>кл
(77. 8)
Где согласно (48.8) и (49.8)
«20 4“ «31 4^31 4“ ^“^30 = 4~ ^-ш«30’
шк.а = «30 4- «20С31 4" ^'•>«20е.-<0 4"
-)-(£«4" «30~ шк4“ (^о>«204" 4~М ^30-
КаК отмечено ранее, передаточная функция для перегрузки
iw _ cy*S(4o____________________еяо________
8упу G p2 + 2hK.ap + ^a '
(78. 8)
Передаточный коэффициент (коэффициент усиления) этой функции
k =
СУ*
G
eso
“к.а
(79.8)
20*
308 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Часто при оценке управляемости летательных аппаратов вместо
передаточного коэффициента (79.8) пользуются обратной ему величи-
ной, которую обозначают
„ 2
G шк.а
СУ » S<Jo езо
8«=
В
(80. 8)
Коэффициент б”
соты при изменении
представляет собой расход отклонения руля вы-
перегрузки пу на единицу. Значения б" должны
лежать в определенных пределах; при слишком малом значении ба
уже небольшое отклонение руля (которое может носить случайный
характер) приведет к возникновению недопустимо большой перегрузки.
При слишком большом значении б” и при ограниченном максимально
допустимом отклонении руля запас отклонения руля окажется недоста-
точным для создания необходимой перегрузки. Так, например, если
8^ =—0,1=—5,73°, то для создания перегрузки пу=8 (Дпу=7) потре-
бовалось бы отклонить руль высоты на Абв = —40°; такое значительное
отклонение руля нереально. Если 6" = —0,01=—0,57°, то при отклоне-
нии руля высоты всего на 1° возникла бы перегрузка пу=2,8: неточное
отклонение руля на таком летательном аппарате приводило бы к воз-
никновению недопустимо больших перегрузок.
Из (80.8) видно, что при заданной мощности руля высоты (при
заданном коэффициенте езо) коэффициент б" прямо пропорционален
квадрату опорной частоты ы^а. Поэтому при больших значениях е»2.а
коэффициент 8'' может получиться излишне большим по абсолютной
величине со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Динамические свойства звена, передаточная функция которого
имеет вид (77.8), подробно рассмотрены в гл. V. Качество переходного
процесса такого звена определяется коэффициентом относительного
демпфирования
^к.а
^к.а
Удовлетворительные заброс перегрузки (6i/max<0,1) и время пере-
ходного процесса достигаются при 0,6<;5<1,0.
Предположим, что без автопилота коэффициент £=0,6 или более.
Применение канала автопилота, стабилизирующего угол тангажа или
угол атаки, приведет к увеличению соаа, как это видно из (49.8).
Для того чтобы значение оставалось приемлемым, потребуется вве-
сти [см. (48.8)] дополнительно канал автопилота, стабилизирующий
угловую скорость, а это приведет к дополнительному увеличению ш^а.
Отсюда видно, что если летательный аппарат обладает достаточно
большой устойчивостью без введения канала стабилизации угла тан-
гажа (или угла атаки), то подключение этого канала приведет к уве-
личению коэффициента б" по абсолютной величине и к ухудшению
маневренных свойств летательного аппарата.
Канал стабилизации $ или а потребуется только в том случае,
когда без такого канала динамические свойства летательного аппарата
получаются неудовлетворительными.
Итак, приходим к следующему выводу: если возможно обеспечить
удовлетворительное качество переходного процесса в управляемом
движении (при управлении рулем высоты) без применения канала
автопилота, стабилизирующего угол тангажа (или угол атаки), то
включение этого канала нецелесообразно.
§ 4. Влияние автопилота на характер движения при управлении рулем высоты 309
Посмотрим теперь, как влияет автопилот на возмущенное движе-
ние летательного аппарата. В качестве возмущения будем рассматри-
вать турбулентное возмущение угла атаки 1 и сохраним те же упрощаю-
щие предположения, сделанные ранее (автопилот идеальный, У6=0).
Согласно (69.8) передаточная функция для угла атаки
де, + + Р2
т Р2 + 2/гк.а/’+<йк.а
а для перегрузки
. Су* Sqo Aayz + Ва^ар + />2
Vk гт П -" Г) «
ТУ О р2 + 2Лк.ар+ш->а
где Ba^a=csl-\- k^e^.
(81.8)
(82. 8)
Рассмотрим
мущения в виде
вначале идеализированную схему турбулентного воз-
ступенчатого порыва ветра достаточно большой про-
v
Фиг. 6.8. Турбулентное возмущение угла атаки в виде «ступеньки».
тяженности (фиг. 6.8). Так как в этом случае турбулентное возмуще-
ние AaT=const, то изображение этого возмущения получается а——1
_ Р
Применяя к рассматриваемому случаю теорему о предельном значении
при Z-се (см. гл. V), найдем величину перегрузки в конце коротко-
периодического движения
Аа a. Ca*Sq0
L4y к~ ==-о ----~~
к.а
или, приняв во внимание (49.8),
ДПу K'V-
[л30 + «го (с31 + Лше30)] + (ka 4- k6) е30
Су* Sqo
G
(83. 8)
Как видим, при увеличении передаточного числа k& перегрузка
в конце коротколериодического движения увеличивается, что нежела-
тельно. Поэтому в случае рассмотренного дискретного турбулентного
порыва применение канала автопилота, стабилизирующего угол танга-
жа, нецелесообразно.
То обстоятельство, что в конце короткопериодического движения
при увеличении передаточного числа k» получаются все увеличиваю-
щиеся непогашенные перегрузки, означает, что все большие доли на-
чальной перегрузки
ДПу0=Дат
Су* BqQ
G~~
1 При этом предполагается, что весь летательный аппарат мгновенно подвергается
действию турбулентного возмущения. Подробнее по этому вопросу см. [14].
310 Г л. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
изменяются в процессе длиннопериодического движения. Если лета-
тельный аппарат обладает устойчивостью и в длиннопериодическом
движении, то в итоге перегрузка будет стремиться к нулю. Устойчи-
вость длиннопериодического движения при увеличении передаточного
числа возрастает. Это, однако, не имеет практического значения
ввиду того, что при любых приемлемых значениях передаточного чис-
ла автопилота длиннопериодическое движение затухает гораздо
медленнее короткопериодического.
Физически поведение летательного аппарата при мгновенном воз-
мущении угла атаки вследствие воздушной турбулентности имеет сле-
дующий характер. Вследствие изменения угла атаки в начальный
момент времени возникает момент продольной статической устойчи-
вости по перегрузке AMZ=M“ Дао, стремящийся ликвидировать возму-
щение угла атаки. По этой причине угол атаки изменяется в процессе
короткопериодического движения в течение первых 1—2 сек после
действия возмущения. За это время траектория летательного аппарата
относительно Земли не успевает измениться, так что одновременно
с изменением угла атаки изменяется и угол тангажа (так как Д0 =
= Д-&—Да~0). Так, при внезапном увеличении угла атаки (например,
«поддув снизу») момент продольной статической устойчивости умень-
шает угол атаки и угол тангажа. Введение стабилизации по углу
тангажа автопилотом препятствует уменьшению угла атаки и затяги-
вает по времени процесс ликвидации добавочной перегрузки, вызванной
воздушной турбулентностью: в итоге летательный аппарат в течение
большого промежутка времени испытывает дополнительные перегрузки.
Мы рассмотрели характер движения летательного аппарата в слу-
чае дискретного порыва ветра достаточно большой протяженности.
Рассмотрим теперь такой же вопрос для случая, когда турбулентные
возмущения следуют непрерывно одно за другим и носят случайный
характер.
За критерий, оценивающий поведение летательного аппарата,
примем среднюю квадратическую величину перегрузки (или угла атаки,
так как V~const), испытываемой летательным аппаратом при полете
в таких условиях.
Передаточная функция при сохранении допущений Т = 0 и У6 =0
имеет прежний вид (81.8). Если протяженность зоны воздушной тур-
булентности достаточно велика и движение летательного аппарата
можно рассматривать в течение достаточно длинного промежутка вре-
мени, то собственным возмущенным движением можно пренебречь, так
как оно затухает достаточно быстро, и рассматривать только вынуж-
денное движение. В таком случае средний квадрат угла атаки в вы-
нужденном движении можно определить по формуле (95.5)
(84.8)
о
где А (ш) — амплитуда частотной характеристики летательного аппа-
рата с автопилотом и Зат —спектральная плотность турбулентного
возмущения угла атаки Дат.
Определяя квадрат амплитуды, соответствующий передаточной
функции (81.8), получим
[(.Да а 4“ ) —щ212 (2ЛК 4" За а Ио>2
[Д(<о)]2=- „т «-О------ J V *------т_2--. (85.8)
(<a-“2)2 + <a-2
§ 4. Влияние автопилота на характер движения при управлении рулем высоты 311
Предполагая, что турбулентные возмущения 'следуют нормально-
му закону распределения, спектральную плотность турбулентного воз-
мущения угла атаки найдем по формуле, см. [14].
2 05
Sa=^.e~\ (86-8)
где —средний квадрат вертикальной составляющей W воздушной
турбулентности, который примем равным с^=10 м^/сек2;
®в — частота, соответствующая максимуму ординаты кривой, опре-
деляемая по формуле
Vo .
^ср
Lcp— средняя протяженность отдельного порыва; Lcp = 600 м.
Фиг. 7. 8. Амплитуда угла атаки при случайных турбулентных воз-
мущениях (пример).
Практически интегрировать по формуле (84.8) можно до частоты
ы = 20 сек-1, так как при больших частотах ординаты кривой Sa.f
становятся исчезающе малыми.
На фиг. 7.8 показаны результаты расчета амплитуд по формуле
(85.8) для примера, рассмотренного в конце гл. VI при нескольких
значениях передаточного числа /г&. Предполагается, что передаточное
число канала угловой скорости автопилота Лт=0,3 сек. На этом же
графике приведена кривая спектральной плотности, построенная по
формуле (86.8). Как видно, в диапазоне частот турбулентных возму-
щений (0—2,5) применение стабилизации угла тангажа увеличивает
амплитуду колебаний возмущения истинного угла атаки и, следова-
тельно, перегрузку, действующую на летательный аппарат. Только при
больших частотах турбулентных возмущений оказывается целесооб-
разным применять канал стабилизации угла тангажа автопилота.
Наиболее вероятная частота турбулентных возмущений во взятом при-
мере получается ыв=1,82 сек-1; это значение нанесено на фиг. 7.8.
Итак, сделанный нами ранее вывод о нецелесообразности приме-
нения канала автопилота, стабилизирующего угол тангажа в том слу-
312 Г л. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
чае, если возможно обеспечить удовлетворительное качество переход-
ного процесса без дополнительной стабилизации угла тангажа, имеет
силу и при рассмотрении полета летательных аппаратов в условиях
воздушной турбулентности.
§ 5. УПРАВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫМ АППАРАТОМ
ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ
ПУТЕМ ИЗМЕНЕНИЯ СИЛЫ ТЯГИ
Рассмотрим еще один важный случай продольного управляемого
движения летательного аппарата —разгон и торможение по прямо-
линейной траектории.
Пусть летательный аппарат находится в режиме прямолинейного
установившегося полета, и пусть в некоторый момент времени про-
граммирующее устройство или летчик изменяет величину силы тяги,
которая принимается направленной по касательной к траектории поле-
та. Вследствие нарушения равновесия сил в проекциях на касательную
к траектории полета летательный аппарат начинает двигаться уско-
ренно или замедленно, в зависимости от знака приращения силы тяги.
Соответствующими отклонениями руля высоты при этом поддержи-
вается первоначальный угол наклона 0 траектории к горизонту.
Задача состоит в определении закона отклонения руля высоты,
удовлетворяющего этим условиям.
В соответствии с программой рассматриваемого маневра в урав-
нениях движения (30.6) — (32.6), составленных для общего случая,
надо положить:
А0=А'&—Аа=0; АО = Аа.
Предположим, что движение происходит в спокойной атмосфере.
Уравнения движения принимают вид
. ДР —
дУфАоДУ-ф (а10+С1о)Да=£—=йР\ (87.8)
и
— (а20 — с2о) Да-ф^2оД^ — УгдЗа = У6д8; (88. 8)
Да-ф(я314-с31)дафа30даф^30д1/ = —е30д8, (89.8)
ДР
где йР—g------относительное приращение силы тяги двигателя.
G
Если для простоты анализа пренебречь влиянием отклонения руля
высоты на подъемную силу всего летательного аппарата, т. е. принять
Vs =0, то два первых уравнения (87.8) и (88.8) не зависят от угла
отклонения руля высоты Аб и могут рассматриваться независимо от
третьего уравнения (89. 8).
Исключая из уравнений (87.8) и (88.8) величину Аа', придем
к следующему уравнению относительно приращения скорости:
йУ +ю + ~° (~ ° +-С1о) 1Д V = дР. (90.8)
L я20 — с20 J
Для дальнейшего анализа необходимо задаться законом измене-
ния силы тяги в зависимости от времени. Движители, применяемые на
летательных аппаратах, не позволяют изменять силу тяги мгновенно
1 При этом для простоты анализа влиянием кривизны Земли можно пренебречь,
т. е. принять У=0.
§ 5. Управление при движении по прямолинейной траектории
313
вслед за изменением положения рычага, регулирующего силу тяги:
тяга изменяется с течением времени постепенно.
Положим, что изменение силы тяги следует экспоненциальному
закону
ДР = ДРтах(1-е-^), (91.8)
где АРщах — максимальное приращение относительной силы тяги и
х—-некоторое число, характеризующее приемистость двига-
теля.
Внеся (91.8) в уравнение (90.8), получим простое дифференциаль-
ное уравнение относительно AV, интегрирование которого не представ-
ляет труда. Таким образом, найдем
где корень характеристического уравнения
Г = - ью - AoJ.flio..+ cio)- . (93. 8)
«20 — с20
Подставим найденное решение (92. 8) в уравнение (89.8). Решив
затем это уравнение относительно Аб, получим искомый закон отклоне-
ния руля высоты. Будем считать автопилот идеальным; из уравнения
идеального автопилота, так как АФ=Аа, имеем
д8а = ЛшДа -Т (k& -j-да.
Из уравнения (88.8), полагая в нем У8 =0, получаем
Да = **> -дК.
«20 — с20
Дифференцируя два раза выражение (92.8), найдем
Д V = 4gmaxX _ g-xQ.
X +г
д у = APmaxx rt .
х + Г
После подстановки всех полученных выражений в уравнение (89. 8)
и группировки подобных членов придем к следующему выражению
угла отклонения руля высоты:
Д8 =
^30
«о е—а «2х2 — «1х — «о
Г X г
дгг-ь щ— —
,п г
(94. 8)
где обозначено
п ____ «30^20 + «20^30 — ^30с20 о
и0 — ' .30
^20
«20 — с20
«I = ——---(«31 + С31 + «зо^);
«20 — с20
а2=—.
«20 — с20
(*&+*»);
«20 — с20
(95. 8)
(96.8)
(97. 8)
314 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Первое слагаемое выражения (95.8) имеет определенный физический смысл: это
слагаемое пропорционально степени продольной статической устойчивости по скорости
dmz
——. Покажем это.
dCy
В гл. VI этот вопрос рассмотрен в том общем случае, когда угол наклона траек-
тории к горизонту 0 при переходе от режима к режиму изменялся, а режим работы
двигателя оставался неизменным. В рассматриваемом случае, наоборот, угол 0 остает-
ся неизменным, а режим работы двигателя изменяется. Поэтому воспользоваться вы-
ражением (56.6) непосредственно нельзя, а необходимо получить новое выражение
для —— .
dCy
При постоянном угле наклона траектории к горизонту должно удовлетворяться
равенство
Y=CyS 0,7pnM.2=G cos 0 = const,
если пренебречь изменением массы (веса) летательного аппарата, т. е. считать
G=const.
Отсюда следует, что при небольшом изменении высоты полета, когда Qh=const.
саМ2=const.
Дифференцируя по а это выражение, можно прийти к следующим формулам:
dcy
da
с
а
У
2су у
дГМ
da
М
2с у
_М_ м
2су у
Далее, так как
dmz
da
= maz + m
MrfM
2 da
то
dmz __
dcy
или с учетом полученных
da dmz da / „ м дМ
-------~ =----(mz + mz —
dcy da dcy \ da
выше выражений
dmz „« 2суо+ мосУ м
Воспользовавшись обозначениями (29.6), выражение (98.8) можно привести
к виду
dmz __ VqIz азоЬго + д2о^зо — ^30^20 ,оо
j — о L • (УУ. о)
асу а20 — с20
Сопоставляя первое слагаемое (95.8) с выражением (99.8), заме-
чаем, что для коэффициента а0 вместо (95. 8) можно написать выра-
жение
«о=-^2су^-езо—^-(^ + М. (100.8)
Vq/z dCy «20— с20
Для устойчивого движения центра масс летательного аппарата ко-
рень характеристического уравнения г, определяемый выражением
(93.8), должен быть отрицательным.
Действительно, одно из слагаемых выражений (92.8) содержит
множителем ert . При г<0 это слагаемое с течением времени неограни-
ченно убывает, так что приращение скорости ДУ стремится к некото-
рому пределу.
§ 5. Управление при движении по прямолинейной траектории
315
Положив при условии г<0 в (92.8) t = co, получим предельное
приращение скорости
(101.8)
В противном случае, если г>0, предела приращения скорости не
существует (при линейной интерпретации уравнений движения).
В действительности, если принять во внимание нелинейность, и при по-
ложительном г будет существовать некоторый установившийся режим,
соответствующий приращению тяги Д-Ртах (фиг. 8.8).
Итак, при г>0 исходный режим полета будет режимом неустойчи-
вого движения центра масс. Малейшее отклонение летательного аппа-
рата из этого режима поле-
та будет приводить к его
дальнейшему отклонению до
тех пор, пока аппарат не
придет в новый режим
устойчивого установившего-
ся полета.
Ограничимся случаем
отрицательного корня г<0.
Угол отклонения руля высо-
ты, соответствующий ново-
му установившемуся режи-
му полета, найдем, положив
в (94.8) £=сс>:
Д8у=-ДРгаах-^-_ (102.8)
’ езог
Фиг. 8.8. Установившийся режим полета, полу-
чающийся при увеличении силы тяги движителя.
Так как знаки е3о и г противоположны, то, как следует из (102.8),
знак отклонения руля высоты при положительной Д_Ртах совпадает
со знаком коэффициента а0. Если летательный аппарат не обладает
продольной статической устойчивостью по скорости то °о<О,
и при отсутствии автопилота будет иметь место обращение управления
рулем высоты: отклонение руля с течением времени придется в этом
случае при разгоне не увеличивать, а уменьшать. Это положение мож-
но исправить при помощи автопилота, реагирующего на изменение
угла тангажа ДО. Как видно из (95. 8), сумма передаточных чисел
автопилота (k^4-ka) должна быть положительной, так как £>2о<0.
В качестве иллюстрации приведем результаты расчета разгона
самолета по горизонтальной траектории. Объектом расчета выберем
самолет, данные которого приведены в гл. VI, но_с передаточным чис-
лом по каналу демпфирования 6ш=0,2. Возьмем Д/>тах=2, примем коэф-
фициент х=1,5.
Из формулы (99.8) следует, что взятый для примера самолет не
обладает продольной статической устойчивостью по скорости:
£^=1 0,0575.
dcv
По формулам, приведенным выше, получим
п0=—0,00147 + 0,00188 (k & + ka);
а, = —0,000755;
а2= —0,000112;
г=—0,0241.
316 Гn^VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
-------2^----------------------------------------------------------.------------------
Результаты расчета представлены на фиг. 9.8.
Как видим, при отсутствии автопилота самолет приходится удер-
живать от затягивания в пикирование (Дб<0). Автопилот с условным
передаточным числом /гу = А»-^- ka= 1 делает управление самолетом
нормальным (Дб>0). Конечно, такой результат является следствием
выбранных аэродинамических коэффициентов, при которых > 0.
dcy
В других случаях и без автопилота управление летательным аппаратом
при разгоне может получиться нормальным.
Фиг. 9. 8. Управление рулем высоты при разгоне самолета
по горизонтали (пример).
Найдем теперь расход руля на 1% приращения скорости, т. е.
— =
ДУ в
С этой целью разделим почленно (102.8) на (101.8) и умножим
результат на Vo/ЮО; получим
= —Д-у - К0=0,01Но
в Ю0ДУтах 0 0
й-о
е30
Подставив в это выражение формулу (100.8) и развернутое выра-
жение е30 по (29.6), перепишем его в виде
8Г=-0,01 (103.8)
[ wz dCy а^о — <?20 J
Коэффициент является одним из критериев продольной управ-
ляемости летательного аппарата; этот критерий получил широкое при-
менение в практике проектирования самолетов.
Из (103.8) видно, что на критерий 6^ сильное влияние оказывает
степень продольной статической устойчивости по скорости. Крите-
рий у летательного аппарата, не обладающего продольной статиче-
ской устойчивостью по скорости, можно изменить при помощи авто-
пилота, реагирующего на отклонение угла тангажа или угла атаки.
§ 6. Влияние параметров на продольную устойчивость и управляемость аппарата 317
§ 6. ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ
И ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
НА ЕГО ПРОДОЛЬНУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
Рассмотрим вопрос о влиянии основных конструктивных парамет-
ров (нагрузки на крыло G/S, момента инерции Iz=mr%) и кинематиче-
ских характеристик (скорости V и высоты Н полета, угол наклона 0
траектории к горизонту) на продольную устойчивость и управляемость
летательного аппарата.
Прежде всего условимся относительно критериев, оценивающих
продольную устойчивость и управляемость летательных аппаратов.
За такие критерии примем:
1) качество переходного процесса — заброс перегрузки и время
переходного процесса;
2) коэффициент б", оценивающий маневренные возможности лета-
тельного аппарата;
3) коэффициент б^, оценивающий расход руля высоты при раз-
гоне и торможении летательного аппарата; этот критерий представляет
интерес главным образом для самолетов, пилотируемых летчиком.
При оценке продольной управляемости самолетов, пилотируемых летчиком, вместо
Л л Р В
критерия бв часто пользуются критерием Рв=^~', этот критерий представляет собой
усилие на ручке управления, которое летчик должен приложить для изменения пере-
грузки nv на единицу. Ясно, что коэффициент Рв, так же как и величина б", должны
лежать в определенных пределах.
Если в системе управления самолетом имеются необратимые гидроусилители, то
усилие на ручке управления Рв формируется загрузочным устройством (автоматом
усилий). В этом случае усилие на ручке управления при прочих равных условиях
можно считать пропорциональным углу отклонения руля высоты:
PB=ky6B,
где ky — коэффициент пропорциональности, зависящий от скорости и высоты полета.
Эта заранее устанавливаемая зависимость обеспечивается автоматом усилий. При на-
личии гидроусилителей в системе управления самолетом, очевидно,
РПВ = Мв-
Выведем выражение для Р" в том случае, когда на самолете не установлены не-
обратимые гидроусилители, так что шарнирный момент (или некоторая часть его)
воспринимается усилием летчика. Для определенности примем, что ©о=0, и будем
пренебрегать кривизной земной поверхности, т. е. положим Vo=O. Кроме того,.будем
пренебрегать составляющей силы тяги по нормали к траектории: Pcos(a—<р)*«Р,
Р sin (а—<р)~0.
Как отмечено в гл. III, усилие на ручке управления определяется по формуле
Рв = - ^ш.в^ю = ^Ш.В*^В^В^7 ("'’имДг.О + ^Ш.В^В'Е /ПШ.ВТв).
Взяв от этого выражения частную производную по пу при постоянной скорости
полета V= const, получим
Рв=— kui.BSBbBky (m аш в + "О в) •
\ ОПу /
Но перегрузка1 пу (составляющей от силы
пренебрегаем):
п
тяги по нормали к траектории полета
Sq cv
У~ GC>~ су0
1 Значение суВ соответствует установившемуся горизонтальному полету с данной
скоростью:
G 2G
Су0~ Sq ~ SqV2 ’
318 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
так что предыдущее выражение можно переписать в виде
' а й«г-0 , г ,
miu.BC3’0 + ™Ш.в’
в ----^Ш.В"
(104. 8)
дсу
Угол атаки горизонтального оперения в общем случае криволинейного квазиуста-
новившегося полета (так как в конце переходного процесса а~0)
. гч . “г^-г-о
«г.о — « ~Н ¥ £к — DCy + Г~Г. . >
У k Vo
где приближенно можно принять D~const.
Взяв от этого выражения частную производную по су, найдем
^ar.o 1 7-г.о diBZ
дсу Су + у/~kVо дсу
(105.8)
Но из уравнения движения с a=const в проекциях на нормаль к траектории в том
случае, когда исходным режимом полета является горизонтальный полет,
mV $ — mV $»z = CySq$ — G,
получаем
dcv mV о
Подставив это выражение в (105.8),
<1«г.о 1 j
дсУ са„
gSq0 g 1
GV0 Vo Су0
перепишем его в следующем
, g 1 Lr.o
виде:
Vo Суо V£V0
(105а. 8)
Раскроем теперь выражение (80.8), использовав формулы (27.6)
в ВИДУ, ЧТО при 00 — 6 и С2=0,
при помощи аэродинамических
лучим
и (49. 8). Имея
осуществляется
по-
а также предполагая, что управление
рулей, так что M^=mb2Sqob&t для случая ka = 0
Cy0
Вв—' -
mS
,c. z
VOCyO
(106.8)
z У
g
Подставив найденные выражения (105а. 8) и (106.8) в общее выражение
(104.8), приняв во внимание (28.3), получим
РПВ
рп—__ъ Мх
VoCyo
Но, по (32.3),
Нетрудно убедиться
тсу — т'[
z z
( а.
. со 8 772ш-в Лг-0
mz—т~—7----7=—
. Z Ч.В /kVG
тШ.в
тш.в
s mz
+ mzkw+ ~а
СУ
с 5 mui.B
тгУ-тг-Г~
ти1.в
далее, что
ш s теш.в L
mzz~mz
—a~D]—mcy .
c I 2CB
‘ У 7
Z св
(107.8)
g
«L /kv*
1
представляет собой выражение производной гпж
при изменении угла атаки горизонтального оперения вследствие вращения самолета
с угловой скоростью <в2 на величину
со свободным рулем. В самом деле.
/kv0
£ 6. Влияние параметров на продольную устойчивость и управляемость аппарата 319
из условия равенства нулю шарнирного момента руля найдем соответствующее изме-
нение свободного угла отклонения руля высоты:
теш.в “z^-r.O
<в VkV0-
Приращение коэффициента момента горизонтального оперения
Дт2св = Д/й
6
г“г П\п''
"'ш.в
wz^r.o
7Ж'
Взяв от этого выражения производную по <ог, получим
mwz = m'“z—nf
ZCB z z
r
miu.B
Приняв во внимание полученные выражения, формулу (107. 8)
в следующем виде:
р- * 1
Рв =- *ш.вЛС.в от^в+ 7ГГ (ОТХ+ + Vs Ч ’
L гсв УдСуо ' гсв Z Су J
можно переписать
(108.8)
что и требовалось доказать.
Выражения, стоящие в квадратных скобках формул (106.8) и (108.8), формаль-
но аналогичны и отличаются только тем, что в выражение угла отклонения руля
(106.8) входят производные тсУ и для фиксированного («зажатого») руля, а в
выражение (108. 8) — усилия тсУ и /п“г для свободного руля. Это и понятно, так
как угол отклонения руля отсчитывается от нулевого угла отклонения, а усилие — от
кулевого усилия, которое получается на свободном руле.
Заметим еще, что наличие автопилота, реагирующего на отклонение угла тангажа
(#^0), увеличивает Р” и 8" ; это означает, что управление летательным аппаратом
утяжеляется. При выполнении маневра целесообразно, следовательно, отключать канал
автопилота, реагирующий на отклонение угла тангажа от заданного, так как автопи-
лот мешает изменять угол тангажа, как об этом уже упоминалось.
Остановимся несколько подробнее на роли заброса перегрузки
\пу. Пусть необходимо сообщить летательному аппарату перегрузку
п.у\=Пуо-\-ДпУ1
и пусть с этой целью руль высоты отклонен достаточно быстро (мгно-
венно) на некоторый угол Дб. Если в переходном процессе имеется от-
личный от нуля заброс перегрузки Лпу= ——,то вследствие этого
Дпу1
максимальная перегрузка в процессе выхода на заданную перегрузку
получится больше, чем заданная nyi (фиг. 10.8). Если в процессе ма-
невра необходимо использовать предельно допустимое по условию
безопасности полета значение суъез, то при наличии заброса это зна-
чение Су без будет превзойдено. При этом летательный аппарат может
оказаться на режиме обтекания, недопустимом по условиям безопас-
ности полета; в результате выполнение желаемого маневра окажется
под угрозой. Кроме того, летательный аппарат может выйти на недопу-
стимые по условиям прочности конструкции перегрузки.
Чтобы избежать этого, при забросе по перегрузке придется откло-
нять руль высоты на несколько меньший угол с таким расчетом, чтобы
достигаемое в переходном процессе наибольшее значение сут не превы-
шало допустимого су без- При таком уменьшенном отклонении руля
высоты переходный процесс, однако, закончится выходом на значе-
ние Сур, меньшее Су без, и соответственно на меньшую перегрузку.
320 Гл. УШ. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Достижимое при наличии заброса по перегрузке значение сур свя-
зано со значением губез соотношением
Су без ,
1+ Дйу =^без-
Коэффициент
лм=—U-
м 1 + Дпу
(109.8)
можно назвать коэффициентом использования маневренных возмож-
ностей летательного аппарата.
Приведенное определение коэффициента &м надо понимать в том
смысле, что при простом управляющем воздействии (быстрое отклоне-
ние руля высоты на некоторый угол Дб) летательный аппарат сможет
безопасно выполнить маневр с перегрузкой в l/kM раз меньшей, чем
допустимая по условиям безопасности. Для того чтобы при этих
условиях полностью использовать значение
нить характер управляющего воздействия.
Фиг. 10.8. Характер изменения перегрузки при
наличии заброса.
Су без, пришлось бы усЛОЖ-
Отклонив вначале руль на
некоторый угол, меньший
предельно необходимого,
пришлось бы, начиная
с некоторого момента
времени, постепенно уве-
личивать отклонение ру-
ля. При этом потребова-
лась бы исключительно
четкая дозировка откло-
нения руля высоты; прак-
тически, если принять во
внимание малую продол-
жительность переходного
процесса, такой закон от-
клонения руля трудно
осуществить.
В гл. VII показано, что опорная частота <ок летательного аппарата
без автопилота определяется главным образом коэффициентом а30,
который согласно (29.6) прямо пропорционален степени продольной
статической устойчивости maz . Точно так же коэффициент демпфирова-
ния /д в основном зависит от коэффициентов а31 и сзь которые в свою
очередь определяются значениями вращательных производных т*
и т“*, как это видно из (29. 6). Уже отсюда ясно, что для получения
удовлетворительных характеристик устойчивости и управляемости ле-
тательного аппарата недостаточно обеспечить только продольную
статическую устойчивость; требуются определенные значения статиче-
ской устойчивости и демпфирования. Методы обеспечения удовлетвори-
тельных динамических качеств летательных аппаратов рассмотрены
ниже.
С целью сделать дальнейший анализ более наглядным предполо-
жим, что 7’ = У8 = 0 и что с®в = с“ ; другими словами, мы заменяем ре-
альный автопилот идеальным, пренебрегая влиянием отклонения руля
высоты на подъемную силу летательного аппарата и составляющей
силы тяги по нормали к траектории. Кроме того, за исходный режим по-
лета примем прямолинейное установившееся движение летательного ап-
§ 6. Влияние параметров на продольную устойчивость и управляемость аппарата 321
парата. При этих предположениях справедливы выражения, приведен-
ные на стр. 307:
2^к.а==й2о4-а31 + С314“^“е30» (110.8)
0)к.а = <^30 Ч“^20 (С31 + ^“езо) + (^х + ^») Ск? (111.8)
Введем обозначение
h=mblr2z.
Используя обозначения (29.6) и принимая во внимание, что в ис-
ходном режиме установившегося полета
mg cos ©о (1 — И)^су5^0,
выражения (110.8) и (111.8) можно привести к следующему виду:
(112.8)
c,j^l_sine0(i_v*)
SqV0
2mr|
2Л = Х
к а Vo р 2mg
*-а 7г у 2mba 1 1 2 2т 1 U 2f4LSIne0i 1 ’ ^>4 0 [I-Vl)]x
V X (т/Ц-Л», ^~т&г (& + М tn\ j .
(113.8)
Ограничимся качественным обзором влияния конструктивных и
аэродинамических параметров летательного аппарата на его управляе-
мость и устойчивость.
Предположим пока, что на летательном аппарате не установлен
автопилот, т. е. что
--kfy —— ka-0
При увеличении угла наклона 0О траектории к го-
ризонту и при всех прочих неизменных условиях, как видно из
(113.8), опорная частота юк.а весьма слабо изменяется в сторону умень-
шения, так как слагаемое —т“ по абсолютной величине гораздо боль-
ше остальных слагаемых под знаком радикала.
Коэффициент демпфирования /?к.а на основании (112.8) несколько
уменьшается, так как обычно два последних слагаемых в (112.8) по
абсолютной величине больше остальных слагаемых и не зависят от ©0.
В результате такого изменения о>к.а и hK.a коэффициент 5=^2-не-
10к.а
сколько уменьшается. На основании фиг. 13.5 время переходного про-
цесса при этом возрастает, а заброс перегрузки увеличивается; измене-
ния эти, однако, получаются небольшими. Следовательно, увеличение
угла наклона траектории
небольшому, ухудшению
аппарата.
При увеличении
к горизонту приводит к некоторому, обычно
управляемости и
устойчивости летательного
G mg
крыло —<=—=. опорная
обратно пропорционально
нагрузки на
частота о)к.а уменьшается приблизительно
р/", так как основную роль в подкоренном выражении играет сла-
гаемое (—т“), не зависящее от G/S. Коэффициент демпфирования /гк.а
уменьшается сильнее, приблизительно обратно пропорционально первой
21 1824
322 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
степени G/S. В итоге коэффициент S, уменьшается, время переходного
процесса возрастает и заброс перегрузки увеличивается.
Наконец, расход руля на единицу перегрузки согласно (106.8)
изменяется примерно пропорционально G/S, так как при l/=const
и 77=const получим cy0~GIS. Общее заключение таково: при увеличе-
нии нагрузки G/S на крыло управляемость и устойчивость летательного
аппарата ухудшаются.
При увеличении радиуса инерции fz летательного
аппарата опорная частота уменьшается обратно пропорционально
rz, а коэффициент демпфирования /гк.а примерно обратно пропорциональ-
но г2 . Коэффициент g уменьшается, время переходного процесса и за-
брос перегрузки увеличиваются, так что качество переходного процесса
ухудшается. Согласно выражению (29.6) для коэффициента езо можно
прийти к выводу, что величина критерия 6" не изменяется.
Управляемость и устойчивость летательного аппарата при увеличе-
нии момента инерции (радиуса инерции г2), следовательно, ухудшаются.
Выясним еще, как влияет на управляемость и устойчивость лета-
тельного аппарата приближение скорости полета к круговой скорости
(V—>1). Так как круговая скорость — величина постоянная, то при уве-
личении V, равной V2/V2p, скорость полета возрастает. Рассматривая
выражения ^112.8) и (113.8), можно прийти к выводу, что само по себе
отношение Г=У/УцР мало влияет на опорную частоту и коэффициент
демпфирования: основное изменение получается вследствие влияния
скорости полета V. Вопрос о влиянии скорости полета на управляемость
и устойчивость летательного аппарата рассмотрен ниже.
Все выводы относительно влияния изменения динамических пара-
метров на характеристики продольной управляемости и устойчивости
справедливы для летательных аппаратов без автопилота. Выбирая со-
ответствующие передаточные числа каналов автопилота, можно значи-
тельно ослабить ухудшение управляемости и устойчивости при измене-
нии динамических параметров в невыгодную сторону и даже полностью
ликвидировать это ухудшение; этот вопрос более подробно рассмотрен
ниже.
Оценим теперь изменение характеристик продольной управляемости
и устойчивости при изменении скорости V и высоты Н, при этом будем
предполагать, что скорость полета V существенно меньше, чем круговая
скорость, так что V—Q. Вначале рассмотрим летательный аппарат без
автопилота. Для этого случая формулы (112.8) и (113.8) принимают
более простой вид:
Скорость полета Уо входит в выражения (112а. 8) и (113а. 8) и не-
посредственно, и в силу того, что аэродинамические коэффициенты в об-
А. ^0
щем случае зависят от числа М= —, которое изменяется при изменении
а
скорости полета и при всех прочих неизменных условиях. Если пока
отвлечься от влияния сжимаемости воздуха на аэродинамические коэф-
фициенты, то можно заключить, что при увеличении скорости полета ко-
эффициент демпфирования hK будет увеличиваться примерно так же,
как и частота сок. Поэтому коэффициент Ё, время переходного процесса
§ 6. Влияние параметров на продольную устойчивость и управляемость аппарата 323
в безразмерной форме <ок^> и заброс перегрузки \пу почти не будут из-
меняться. Действительное время переходного процесса гр, однако, вслед-
ствие роста опорной частоты будет уменьшаться при увеличении ско-
рости полета. С ростом Ио критерий б" будет уменьшаться, так как
уменьшается суо.
Таким образом, если не принимать во внимание сжимаемость воз-
духа, то с увеличением скорости полета характеристики продольной
устойчивости и управляемости меняются мало.
В действительности, однако, вследствие влияния сжимаемости воз-
духа все аэродинамические коэффициенты при изменении скорости по-
лета изменяются. При различных числах М характер изменения аэро-
динамических коэффициентов получается различным. Как отмечено
в гл. 1, наиболее сильно аэродинамические коэффициенты изменяются
в трансзвуковой области скоростей полета (при М, близких к единице).
В этой области чисел М степень продольной устойчивости по перегрузке
быстро возрастает при увеличении скорости полета, а коэффициенты
/п“г и уменьшаются по абсолютной величине. Вследствие этого опор-
ная частота свк короткопериодического движения с ростом скорости
полета увеличивается, а коэффициент демпфирования hK уменьшается,
так что отношение
__Ак.
“к
при переходе через скорость звука резко уменьшается. Это приводит
к увеличению заброса перегрузки Апу и к уменьшению коэффициента
использования маневренных возможностей kM летательного аппарата.
Безразмерное время переходного процесса (соДр) увеличивается;
действительное время переходного процесса
7 (“кф)
“к
обычно возрастает, так как (<ок/р) растет быстрее, чем <ок.
Величина критерия б”, как это следует из (106.8), при переходе
через скорость звука увеличивается, так как при небольшом изменении
Во степень продольной статической устойчивости заметно увели-
чивается.
В результате, если при некоторой скорости полета, соответствующей
числу М<1, все критерии продольной управляемости были удовлетвори-
тельными, то при переходе через скорость звука они перестанут быть
такими.
Для тех летательных аппаратов, полет которых происходит в широ-
ком диапазоне скоростей, требуются специальные меры для поддержа-
ния управляемости на нужном уровне при всех скоростях полета; на
этих мерах мы остановимся ниже.
При неизменной скорости полета и при увеличении высоты
полета получается следующая картина изменения критериев продоль-
ной управляемости.
Вследствие уменьшения плотности воздуха g при увеличении высо-
ты полета опорная частота сок и коэффициент демпфирования /гк умень-
шаются. Однако уменьшение коэффициента hK, как видно из (112а. 8)
и (113а. 8), получается более интенсивным (приблизительно пропорцио-
нально q), чем изменение <ок (сок изменяется приблизительно пропор-
ционально 1/q)- В результате коэффициент g с ростом высоты полета
21*
324 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
убывает. Время переходного процесса увеличивается, коэффициент kM
уменьшается Критерий б" на основании (106.8) увеличивается из-за
увеличения су.
Следует заметить, что изменение высоты полета влияет на динами-
ческие коэффициенты не только через плотность воздуха q, но и косвен-
но вследствие влияния сжимаемости воздуха на коэффициенты т“, с“
и др. Действительно, так как М= —, а скорость звука а с ростом вы-
fl
соты изменяется, то все аэродинамические коэффициенты, зависящие
от числа М, изменяются. Изменение динамических коэффициентов ®к
и йк по этой причине, однако, невелико, так как при неизменной скорости
полета изменение числа М получается небольшим.
Как видим, увеличение и высоты, и скорости полета приводит
к ухудшению управляемости летательного аппарата. Интересно рас-
смотреть случай, когда одновременно увеличиваются и высота, и ско-
рость полета, например, при полете на разных высотах с неизменным
значением су.
Проследим изменение критериев управляемости в этом случае на
конкретном примере (см. [20]). В качестве объекта расчета возьмем ги-
потетический самолет с треугольным крылом в режиме горизонтального
полета (0о=О) Основные данные этого самолета примем следующие:
G/5=250 кГ/л<2=2453 н)м, 6а=3,4 м, 5=32,4 л2, /z=6000 кГ м-сек2=
= 58 860 кг-м. Необходимые для расчета аэродинамические коэффи-
циенты приведены в табл. 4.8.
Таблица 4.8
Ним 5 10 15 20 25
М 0,805 1,15 1,77 2,53 3,75
3,4 3,7 3,3 2,6 1,9
S 1 ъ —0,170 —0,850 —0,825 —0,650 —0,456
mz —4,0 —4,2 —3,9 —3,0 —2,1
>|| 5 О’ N КЗ м я j. —1,8 —1,8 —1,4 —0,9 —0,5
> || S h N Ь» 1 —0,56 —0,58 —0,38 —0,25 —0,16
Роль сжимаемости воздуха в изменении критериев продольной
управляемости можно проследить по фиг. 11.8 и 12.8, где приведены
результаты расчета без учета влияния сжимаемости воздуха и с учетом
его. В первом случае для всех высот полета аэродинамические коэффи-
циенты брались такими же, как на высоте Н=5 км.
Как видно из фиг. 11.8 и 12.8, влияние сжимаемости воздуха на
характеристики летательного аппарата приводит к существенному
ухудшению управляемости при увеличении высоты полета. Однако даже
при отсутствии этого влияния ухудшение управляемости летательного
аппарата получается значительным: время переходного процесса при
§ 6. Влияние параметров на продольную устойчивость и управляемость аппарата 325
увеличении высоты полета от /7 = 5 км до //=25 км возрастает от
/п=1,8 сек до tn=7,7 сек, а коэффициент kM при тех же условиях умень-
шается от 0,95 до 0,65.
Если учесть и влияние сжимаемости воздуха на аэродинамические
коэффициенты, то время переходного процесса на высоте Я=25 км
возрастает до 15,1 сек, а коэффициент использования маневренных воз-
можностей kM уменьшается до /?м=0,53. Совершенно очевидно, что такое
ухудшение управляемости и маневренности летательного аппарата
на больших высотах полета недопустимо.
Фиг. 11.8. Влияние сжимаемости воздуха на коэффициент
использования маневренности самолета.
Для удовлетворительной управляемости и маневренности летатель-
ного аппарата на больших высотах полета необходимо применение
автоматики.
Простейшим видом автоматического устройства для улучшения
управляемости летательного аппарата является автомат демпфирования,
реагирующий соответствующим отклонением руля высоты на угловую
скорость wz летательного аппарата относительно оси Ozi. Если прене-
бречь запаздыванием автомата, т. е. рассматривать идеальный автомат
демпфирования, то применение такого автоматического устройства иден-
тично увеличению вращательной производной т?г . Такой идеальный
автомат демпфирования дополнительно отклоняет руль высоты на угол,
пропорциональный угловой скорости летательного аппарата. Действи-
тельный автомат демпфирования работает с некоторым запаздыванием,
однако, как было показано, коэффициент демпфирования летательного
аппарата при этом также повышается [см. формулу (112.8)].
Наиболее простым является автомат демпфирования с постоянным
передаточным числом ku, =const независимо от высоты и скорости по-
лета летательного аппарата.
Для количественной оценки влияния высоты и скорости полета
на продольную управляемость и для суждения об эффективности при-
менения автомата демпфирования 1 были проведены расчеты в диапазо-
не высот полета от //=5 км до //=25 км при неизменном значении
1 Передаточное число km автомата демпфирования выбиралось таким образом,
чтобы наилучшие характеристики управляемости обеспечивались на высоте /7=15 км.
326 Гл. \ III. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
с'{/=0,1 для самолета, данные которого приведены выше. Результаты
таких расчетов приведены на фиг. 13.8—14.8.
Как видно из этих графиков, без автомата демпфирования про-
дольная управляемость на больших высотах полета ухудшается зна-
чительно. Применение автомата демпфирования существенно улучшает
характеристики управляемости. Все же при больших высотах полета
управляемость летательного аппарата ухудшается и при наличии
автомата демпфирования; особенно это замечание относится к крите-
рию б" , значение которого при больших высотах получается по абсо-
лютной величине излишне
Фиг. 12.8. Влияние сжимаемости воздуха на
время переходного процесса.
большим.
Еще лучших результатов
можно достигнуть, применяя
автопилот, передаточные чис-
ла которого и ka програм-
мируются по высоте и по ско-
рости полета (по числу М).
Действительно, применяя
на летательном аппарате ав-
томат демпфирования, как это
видно из формул (112.8) и
(113.8), в основном можно по-
влиять на коэффициент демп-
фирования /гк.а, так как опор-
ная частота сок.а слабо зависит
от передаточного числа ku. ка-
нала демпфирования автопило-
та. Поэтому, оперируя только
передаточным числом k«„
можно добиться удовлетворительных значений коэффициента
^к.а
“к.а
Знаменатель этого выражения (опорная частота) при увеличении
высоты полета, как мы видели, возрастает. Для сохранения приемлемо-
го значения g необходимо увеличивать /гк.а, увеличивая передаточное
число .
Таким способом нельзя удовлетворить всем требованиям управляе-
мости. Нельзя, например, предотвратить возрастание критерия б" с ро-
стом высоты полета, нельзя обеспечить постоянную величину времени
переходного процесса ta и запаздывания АД на всех высотах полета.
Для улучшения всех характеристик управляемости необходимо воз-
действовать не только на числитель коэффициента но и на его знаме-
натель. Нужно иметь возможность изменять и опорную частоту сок.а не-
зависимо от изменения Лк.а. Как видно из (112.8) и (113.8), это можно
осуществить, подбирая для каждой высоты и скорости (числа М) по-
лета соответствующие передаточные числа автопилота kb и другими
словами, необходимо программирование передаточных чисел по высоте
полета и по числу М.
Такие автоматы, конечно, будут более сложными, чем автомат
демпфирования с передаточным числом /гш =const для всех высот и ско-
ростей полета, однако и результаты, которых удается достигнуть при
помощи таких автоматов, получаются более эффективными.
§ 6. Влияние параметров на продольную устойчивость и управляемость аппарата 327
Программирование передаточных чисел автопилота должно осно-
вываться на задачах, которые ставятся перед летательным аппаратом.
Для улучшения характеристик управляемости летательного аппара-
та можно применять также автоматы стабилизации, позволяющие воз-
действовать на степень продольной статической устойчивости по пере-
грузке nf?.
Фиг. 13.8. Влияние автомата демпфирования на время
переходного процесса и коэффициент использования манев-
ренности.
Такой автомат стабилизации с передаточным числом ka реагирует
на отклонение угла атаки Аа от заданной его величины, отклоняя со-
ответствующим образом руль высоты. Поскольку в короткопериодиче-
ском движении, как мы видели, изменение скорости полета невелико.
Фиг. 14. 8. Влияние автомата демпфирования на амплитуду А
и критерий б".
перегрузку можно считать пропорциональной углу атаки. При этом
в качестве датчика автомата стабилизации можно использовать акселе-
328 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
рометр в сочетании с прибором, измеряющим число М полета. Роль
такого автомата (передаточного числа ka) видна из фиг. 15. 8 и 16. 8.
Фиг. 15.8. Влияние передаточного числа ka
на время переходного процесса и коэффициент
использования маневренности.
Во всем предыдущем изложении предполагалось, что полет лета-
тельных аппаратов происходит в 'сравнительно плотных слоях атмосфе-
ры; стабилизирующими и управляющими силами при этом являлись
Фиг. 16.8. Влияние передаточного числа ka на амплитуду А
и критерий 6".
аэродинамические. Иначе обстоит дело в тех случаях, когда полет ле-
тательного аппарата происходит на таких больших высотах, что аэро-
динамическими силами, действующими на летательный аппарат, можно
пренебречь.
§ 7. Управляемость при наличии кинематических связей
329
§ 7. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
ПРИ НАЛИЧИИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ,
НАЛОЖЕННЫХ НА ДВИЖЕНИЕ. ПОНЯТИЕ
О ДИНАМИЧЕСКИХ ОШИБКАХ НАВЕДЕНИЯ
До сих пор мы изучали управляемость летательного аппарата
в предположении, что управление может осуществляться по произволь-
ному закону (конечно, допустимому по условиям безопасности полета).
В этом параграфе мы остановимся на особенностях управления лета-
тельным аппаратом в тех случаях, когда он должен лететь по опреде-
ленной траектории, т. е. когда задан закон изменения в зависимости от
времени всех кинематических характеристик, определяющих траекто-
рию полета.
Рассмотрим две типичные задачи. Первую задачу формулируем
следующим образом: найти программу управления рулем высоты, обес-
печивающую движение летательного аппарата по заранее заданной тра-
ектории. Вторая задача состоит в определении закона управления и ха-
рактера действительного движения летательного аппарата в режиме
наведения.
Первая задача возникает, например, при исследовании перехвата
воздушной цели самолетом-истребителем или при исследовании движе-
ния баллистической ракеты на активном участке. Примером второй за-
дачи может служить движение зенитного управляемого снаряда, осуще-
ствляющего перехват воздушной цели по тому или иному методу наве-
дения.
Структурная схема продольного движения при решении первой за-
дачи является незамкнутой: обратная связь между выходной величи-
ной (например перегрузкой) и характером управления отсутствует. При
решении второй задачи характер управления целиком определяется
характером изменения выходной величины: имеется обратная связь
между выходной величиной и входным сигналом управления, система —
замкнутая.
Рассмотрим движение при управлении рулем высоты; решение за-
дач при управлении поворотом крыльев может быть получено анало-
гичными методами.
В целях упрощения последующих выводов будем исходить из сле-
дующих предположений.
1. Внешнюю среду (атмосферу), в которой происходит движение,
будем считать совершеннно спокойной, пренебрегая турбулентными воз-
мущениями скорости набегающего на летательный аппарат потока.
2. Автопилот, установленный на летательном аппарате, будем счи-
тать идеальным (постоянная времени 7’=0).
3. Влиянием отклонения руля высоты на величину подъемной силы
всего летательного аппарата будем пренебрегать; другими словами,
будем считать производную У6 =0.
4. Влиянием кривизны земной поверхности на характер движения
будем пренебрегать, а ускорение силы тяжести g считать постоянным
независимо от высоты полета.
Полет по заданной программе. В силу сделанного предположения
(Уг =0) уравнения равновесия сил можно рассматривать независимо
от уравнения равновесия моментов, так как при этом угол отклонения
руля в уравнения равновесия сил не входит. Для определения програм-
мы управления рулем высоты необходимо, следовательно, рассмотреть
уравнение равновесия моментов совместно с уравнением автопилота. При
этом закон изменения a(t), V(t) и других кинематических характери-
330 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
стик известен на основании решения уравнений равновесия сил; мето-
ды этого решения рассмотрены в [1].
Уравнение равновесия моментов, имеющее в линейной интерпрета-
ции вид (5.8), в данном случае линеаризировать не нужно, так как оно
требуется только для определения закона 6^(0 при заданных законах
изменения всех кинематических величин, определяющих характер дви-
жения. Уравнение равновесия моментов в общем случае имеет вид
/Л=7ИгШг4-7Иг. + Л4ет+Л4г5, (114.8)
где Iz — момент инерции летательного аппарата относительно оси Ozf,
Mzu>z—момент демпфирования;
—момент из-за запаздывания скоса потока;
Мк—восстанавливающий момент (момент продольной статической
устойчивости);
zWzs — момент, возникающий при отклонении руля высоты.
С достаточной для наших целей степенью точности можно считать
моменты демпфирования и запаздываний скоса потока пропорциональ-
ными производным •& и а соответственно. Так же точно можно принять
Л4ет=(/п.г0-{- mZI)Sbaq, M^ = m^Sbaq\.
В таком случае, определяя из (114.8) неизвестную бв, получим
8В=- + (115.8)
в m\Sbaq k z г 1 г ’ m\ V ’
Из уравнения (115.8) видно, что отклонение руля высоты необхо-
димо для преодоления момента инерции летательного аппарата, для
преодоления демпфирования (включая сюда и запаздывание скоса по-
тока) и собственно для изменения угла атаки.
Если на летательном аппарате установлен автопилот, то бв, найден-
ное по (115.8), включает в себя, кроме управляющего, еще и стабили-
зирующее отклонение руля высоты, так что для получения только управ-
ляющего отклонения руля высоты выражение (115.8) должно быть за-
менено другим. Так как автопилот мы считаем идеальным, то уравнение
автопилота (6.8) имеет вид
8В — k^ — М—Л«а=8у, (116.8)
т. е. является конечным (алгебраическим) уравнением относительно не-
известных бв и бу, где бв—.полный угол отклонения, а бу — управляющий
угол отклонения руля высоты.
Определяя из (116.8) бв, получим
бв=бу+О+kuiDаа.
Подставим это выражение в (115. 8); кроме того, так как при рас-
чете траекторий полета удобно пользоваться углом наклона 0 траекто-
рии к горизонту, а не углом тангажа 6, произведем замену:
,0'=0+а.
После несложных преобразований получим выражение для управ-
ляющего угла отклонения руля высоты:
z
3 = —Л---
y m^b^q
mz
mz
\ mz J mJSbaq
m*
mz
Z
mz I
—J—(- -j- ka I a.
^'Z J
(117.8)
d —
7. Управляемость при наличии кинематических связей
331
Выражение (117.8), определяющее программу управления рулем
высоты, и дает ответ на вопрос, поставленный в рассматриваемой
задаче.
Заметим, что предположение о линейном характере зависимости мо-
мента ТИ2 от а и йб не является необходимым и сделано только для более
наглядных результатов.
Движение летательного аппарата в режиме наведения. Как отмече-
но в [1], перехват воздушных целей в большинстве случаев и во всяком
случае на конечном этапе атаки осуществляют по тому или иному ме-
тоду наведения или самонаведения. В этом случае система управления
представляет сооои сле-
дящую систему.
Рассмотрим схемати-
чески работу следящей
системы. Пусть на вход в
систему подается управ-
ляющий сигнал х, а на
выходе из системы полу-
чается некоторая величи-
на у, определяющая ха-
рактер движения систе-
мы. Применительно к на-
ведению летательного
аппарата в вертикальной
плоскости за такую опре-
деляющую величину можно
Фиг. 17.8. Структурная схема следящей си-
стемы.
принять, например, угол О наклона траек-
тории к горизонту, поскольку скорость полета изменяется сравнительно
плавно с течением времени.
Пусть в каждый момент времени известна величина уо, необходи-
мая для реализации кинематической схемы метода наведения, как ее
называют, выходная величина, соответствующая опорной траектории
или траектории метода наведения. Сигнал управления х, подаваемый
на вход в систему, определяется величиной рассогласования (уо—у)
выходной величины по сравнению с потребной. Величина рассогласова-
ния определяется в каждый момент времени особым счетно-решающим
устройством на основе измерения координат перехватчика и воздуш-
ной цели.
Структурная схема следящей системы показана на фиг. 17.8. Если
передаточную функцию системы обозначить через W, то фактическое
значение выходной величины можно найти, решив уравнение
y=k(y0—y)W,
где k — коэффициент усиления обратной связи. Как нетрудно убедиться,
получается
kW /но о\
’’“’’"Тннг' (,18'8)
Таким образом, передаточная функция замкнутой системы IF3aMKn
выражается через передаточную функцию разомкнутой системы W при
помощи формулы, хорошо известной из теории автоматического управ-
ления:
1 kw
332 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Как отмечено в гл. V, для улучшения работы системы часто приме-
няют регулятор, реагирующий одновременно на отклонение у и на воз-
мущение у. В этом случае сигнал управления определяется выражением
x—ki(yo—p)i+'#2(yo—у), (120.8)
где k\ и k2 — соответствующие коэффициенты усиления.
Передаточная функция замкнутой системы для этого последнего
случая вместо (119.8) принимает вид
ПУ ______ (fe;4-^P) W
замкн— 1+(Л1+Й2р) w
(121.8)
Применяя приведенное выражение к случаю продольного движения
летательного аппарата, т. е. полагая х=—6У; у = @ и приняв во внима-
ние полученное ранее выражение передаточной функции для угла 0
(61.8), получим (feie = fc1«2o; —
0 = ©0----7------------------------------------•
Р (р2 + 2hK.ap “к а) + взо (^1 + k^p)
(122.8)
Роль входного сигнала в данном случае играет потребная величи-
на ©о, получающаяся на основании опорной траектории методами, ука-
занными в [1]; выходной является фактическая величина 0. Как видим,
фактическая величина 0 не равна потребной ©о, так что в действитель-
ности летательный аппарат движется по траектории, отличающейся от
опорной. Результатом этого являются динамические ошибки наведения,
приводящие к отклонению перехватчика от воздушной цели и к про-
маху.
Полагая сигнал Д©0 скачкообразным, так что
г [де0]=е0=—>
р
умножая (122.8) на р и переходя к пределу при р—>0, найдем значение
©cv в конце переходного процесса:
© „ = ©0
^30^1
езо^1
©0.
Отсюда видно, что если то статическая ошибка системы
e<z>=©o—©ад
в конце переходного процесса получается равной нулю.
Если ^1 = 0, т. е. входной сигнал зависит только от производной ©,
то, сократив р в числителе и в знаменателе, выражение (122.8) можно
переписать в виде
© = ©0----------------------. (123.8)
Р2 -J- 2hK ap 4- ь>к а + взо^г
В предельном случае при /—-со (р—0) статическая ошибка
_ _ а <
£w — ^0 2 “
“к.а +е30^2
Статическая ошибка при &i = 0 отлична от нуля.
Надо заметить, что даже если статическая ошибка равна нулю, ди-
намическая ошибка имеет место, так как в конце переходного процесса,
когда входной сигнал полностью отработан, выходная величина ©«, не
§ 8. Краткие сведения об устойчивости космических летательных аппаратов 333
будет равна потребной в этот момент времени. Действительно, за время
переходного процесса tp потребная величина ©о изменится, так как опор-
ная траектория в общем случае представляет кривую линию. Динами-
ческие ошибки наведения возрастают при увеличении кривизны траек-
тории наведения. Поэтому при наведении по кривой погони, например,
динамические ошибки получаются большими, чем при наведении по
методу параллельного сближения.
Для проведения расчета возмущенного движения в режиме наведе-
ния и для определения величины динамической ошибки в первом при-
ближении можно основываться на выражении (122.8), применяя прием
замораживания коэффициентов на отдельных участках опорной траек-
тории. Входной сигнал ©о можно принимать изменяющимся в зависимо-
сти от времени по линейному закону, линеаризируя участки опорной
траектории на небольших интервалах времени. Ход расчета аналогичен
применявшемуся при исследовании характера движения разомкнутой
системы, описанного в предыдущих параграфах.
Выражение, входящее в знаменатель (122.8), представляет собой
полином третьей степени. Для нахождения корней характеристического
уравнения
Р (Р2 + 2hap+<4) 4- <?30 [ki + k2p)=О
или
(р—Pi) (pz+Ap+B) =0,
где р1г А, В подлежат определению, можно воспользоваться методом
итераций. Если коэффициент ki небольшой (что обычно' и имеет место),
то для определения корней характеристического уравнения служат сле-
дующие формулы:
А=2Л-}-р1;
^=“2+^зо+^Л;
В первом приближении при нахождении значений А и В значение pi
принимается равным нулю.
Переход от изображения к оригиналу осуществляется при помощи
словаря изображений, приведенного в приложении.
§ 8. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
КОСМИЧЕСКИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Внешние силы, действующие на летательные аппараты, полет ко-
торых происходит на больших высотах (более 100 км), за исключением
силы тяжести, весьма малы, как об этом упоминалось в гл. I. Правда,
за длительный промежуток времени даже небольшая сила аэродинами-
ческого лобового сопротивления постепенно снижает скорость полета
искусственных спутников Земли, а это приводит к уменьшению высоты
полета и к изменению орбиты. Однако если рассматривать вопрос об
устойчивости движения космического летательного аппарата, то силы,
способные изменить характер движения за короткий промежуток вре-
мени, практически можно считать равными нулю.
Это позволяет при исследовании устойчивости движения таких ле-
тательных аппаратов рассматривать угловые движения независимо от
движения центра масс. Имея это в виду, рассмотрим главным образом
с качественной стороны условия устойчивости космического летательно-
334 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
го аппарата при его небольших угловых отклонениях от положения
равновесия.
Воспользуемся уравнениями равновесия моментов (45.2) — (47.2).
Так как в данном случае нас интересует устойчивость летательного
аппарата по отношению к траектории полета, а не по отношению к Зем-
ле, как это было при составлении уравнений (45.2) — (47.2), то геогра-
фическую сетку (широты и долготы) можно выбрать произвольно, так,
чтобы уравнения получились наиболее простыми. Примем х=<т=О. При
этом, имея в виду малость угловых отклонений и сохраняя в дальней-
шем только малые первого порядка, по формулам (22.2) — (23.2) по-
лучим
“лх~У. “ух~Ф> “л~&-
V , V V
“кр х! ~ — Ф. “кр у!~ ~ — У. %р гХ~--- ,
так что полные составляющие угловой скорости
“хХа==У + “кр'?, = — “крУ, = —“кр.
где угловая скорость, обусловленная кривизной траектории летательного
аппарата (траекторию будем считать круговой), обозначена так:
Подставив полученные выражения в уравнения (45.2) — (47.2),
придем к следующим уравнениям равновесия моментов:
Лт + “кр(/г-/у)т+%р(/ж+/у-/г)ф=Л4Л1; (124.8)
ЛФ +4р(/г-Л)ф-“кр(/х+/у- /г)У=МуХ; (125.8)
/Л=7Иг1. (126.8)
Предположим, что внешним моментом является момент гравита-
ционных сил; выражения составляющих этого момента (122. 1) —
(124. 1) имеют вид
Мх1 гр ~ — 3«>кр (/г — /у) у;
^у1гр«-3“кр(/х-Л)»¥«0;
Ma гр ~ ЗюКр (/у — /х)
Подставив эти выражения в уравнения движения (124.8) — (126.8),
после приведения подобных членов получим
ЛУ+4“кр(/г-/у)у + “кр(/х+/у-/г)Ф=0; (127.8)
/уф + “кр(/г -Л)Ф-“кр(Л+/у-/г)У=О; (128.8)
/Л + 3«>кр(/^-/у)&=0. (129.8)
Как известно, суждение об устойчивости можно составить, иссле-
дуя корни характеристического уравнения. Составляя характеристиче-
ское уравнение для системы дифференциальных уравнений (127.8) —
(129.8), получим (см. [28]):
[/г^+3«>2Кр(/х-/у)]{//ур4 + «>к₽[4/у(/2-/у) + Л(/г-/х)+
+(Л+/у-Л)21Р2+4о^(/г-/у)(/г-/х)}=О. (130.8)
§ 8. Краткие сведения об устойчивости космических летательных аппаратов 335
Характеристическое уравнение (130.8) распадается на два:
/гр2 + 3Мк2р(Л- /у)=0; (131.8)
1х1уР*+“кр [4/у (h - 1у) + /х (h - Л) +
+(Л+1у-Л)2] Р2+4шкр (Л - /у)(/г - /J-0. (132.8)
Уравнение (129.8) содержит только угол тангажа й и не содержит
углов крена у и рыскания ф, а уравнения (127.8) — (128.8) содержат
только углы крена и рыскания. Отсюда следует, что в первом приближе-
нии движение по углу тангажа можно рассматривать независимо от
движений крена и рыскания; это заключение аналогично такому же
заключению, сделанному для летательных аппаратов, совершающих
полет в атмосфере.
Уравнения, описывающие движение космического летательного ап-
парата, обладают одной существенной особенностью: в дифференциаль-
ных уравнениях отсутствуют члены, соответствующие демпфированию
(в первом уравнении члены с у, во втором — с ф и в третьем — с •0).
Демпфирование возмущенного движения космических летательных ап-
паратов равно нулю; это и понятно, так как отсутствуют внешние силы,
способные демпфировать движение. Но отсутствие демпфирования озна-
чает, как мы знаем, и отсутствие устойчивости, даже при наличии бла-
гоприятного статического момента внешних сил. В лучшем случае кос-
мический летательный аппарат (если не принять специальные меры)
будет совершать незатухающие колебания около положения равновесия
с некоторой определенной амплитудой. В худшем случае (при небла-
гоприятном знаке статического момента внешних сил) при случайном
возмущении летательный аппарат будет отклоняться от исходного по-
ложения равновесия.
Как видим, при пассивной (без применения автоматических
устройств) стабилизации космический летательный аппарат не воз-
вращается к исходному режиму полета после прекращения действия
возмущений и, следовательно, по существу неустойчив. Однако принято
говорить об устойчивости угловых движений, если возмущенное движе-
ние представляет собой гармонические (незатухающие и ненарастаю-
щие) колебания. При таких гармонических колебаниях с известной
степенью точности поддерживается исходный заданный режим.
Для того чтобы возмущенное движение представляло собой гармо-
нические колебания, необходимо, чтобы корни характеристического
уравнения были чисто мнимыми; следовательно, квадраты корней долж-
ны быть отрицательными.
Из первого уравнения (131.8) видно, что для выполнения этого
условия должно быть:
1Х>1У. (133.8)
Для того чтобы корни второго уравнения (132.8) были отрицатель-
ными, как известно, коэффициенты этого уравнения должны быть поло-
жительными. Условие положительности свободного члена уравнения
(132.8) с учетом (133.8):
Iz>Ix>Iy. (134.8)
Более подробный анализ, приведенный в [28], показывает, что
(134.8) представляет собой необходимое и достаточное условие устой-
чивости (в приведенном выше смысле).
Таким образом, в принципе путем соответствующего подбора мо-
ментов инерции космического летательного аппарата можно добиться
336 Гл. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
устойчивости его углового движения. Расчеты показывают, однако, что
период колебаний космического летательного аппарата получается
весьма большим, соизмеримым с периодом обращения спутника вокруг
Земли.
В случае продольных (по углу тангажа) колебаний, как видно из
уравнения (131.8), частота собственных колебаний
_ / UX-Л')
а период колебаний
Л=—=О,577Го1/
“с \ 1х—1у
где То — период обращения летательного аппарата по орбите.
В соответствии с приведенным выше условием устойчивости от-
ношение
Фиг 18.8. Маховики космическо-
го летательного аппарата.
1г
1х-1у
должно быть положительным и боль-
шим единицы; если это отношение
принять, например, равным 2, то пе-
риод колебаний
7с^О,827о.
Это означает, что на протяжении
одного оборота вокруг Земли спутник
не будет находиться в положении рав-
новесия по углу тангажа.
Подобные же результаты полу-
чаются и в случае пассивной стабили-
зации аэродинамическим моментом.
Отсюда ясно, что методами пассивной стабилизации обеспечить необ-
ходимую устойчивость космических летательных аппаратов не удается:
необходимо применять средства автоматической стабилизации.
Мы рассмотрели продольные угловые движения космического ле-
тательного аппарата; анализ показывает, что и в случае боковых угло-
вых движений методы только пассивной стабилизации оказываются не-
эффективными.
Одним из способов активного улучшения стабилизации космических
летательных аппаратов является использование внутренних моментов,
возникающих в результате относительного движения частей летатель-
ного аппарата. Изменяя величину внутренних моментов в зависимости
от действующих на летательный аппарат возмущений, можно добиться
реализации моментов, стабилизирующих угловое движение аппарата.
В качестве примера реализации этой идеи рассмотрим систему
твердых тел, состоящую из корпуса летательного аппарата и трех махо-
виков (фиг. 18.8), вращающихся относительно трех главных осей инер-
ции летательного аппарата; будем считать, что центр масс всей рас-
сматриваемой системы совпадает с центром масс корпуса (летательного
аппарата без маховиков).
Выберем связанную систему координат, оси которой совпадают
с главными осями инерции летательного аппарата. Кинетический мо-
§ 8. Краткие сведения об устойчивости космических летательных аппаратов 337
мент системы твердых тел с учетом относительного движения (враще-
ния) маховиков
К = Vх®xl + !х м“х м) * + (Zy“yl + Zy м“у м) j + Uгшг\ + 1 г Л м) k,
где 1Х, 1У, Iz — полные моменты инерции (с учетом масс маховиков);
Лм, /ум, Лм—-осевые моменты инерции маховиков;
сохь Wzi — составляющие угловой скорости летательного аппарата
вдоль связанных осей координат;
«хм, Wj/м, Wzm — составляющие угловой скорости вращения маховиков;
I, j, k — единичные векторы (орты) в связанной системе коор-
динат.
Представив далее полные моменты инерции летательного аппарата
с маховиками в виде сумм:
где /хо, /уо, /го — моменты инерции корпуса летательного аппарата без
маховиков, получим
7<=К^+Ку7+1<^. (135.8)
Здесь приняты обозначения:
КХ ~ Iхо“х1 + Zx м (“xl + “х м);
у Zyo“yl + Zy м (coyl + “у м)>
/< z — Zzo“zl + Zz м (“zl + “г м)-
Производная вектора кинетического момента может быть представ-
лена в виде (см. гл. V)
dt
где
/t=/U + v+^
и
“ = / -|- wzi k.
Раскрывая векторное произведение, получим:
“ X К=(?yiKz -^ЛКу) i + КЛх+ихЛг) 7 + (“хЛу+“уЛх)
Используя приведенные выражения, найдем составляющие произ-
водной вектора кинетического момента
Т’х— Zxo“xl + /хм (“xl 4~“х м) + “yl [Zzo“zl + /г м (“zl + “z м)] —
~ “zl [ /уо“у1 + / у м (“yl + “у м)];
Ку=1 + /у М ((,,у1 + “у м) + “zl lZ xo“xl + Zx м (“xl + “х м)] —
— “xl [ /zo“zl + Zz м (“zl + “z м)] ;
Кz= /zo“zl + Zz м (“zl +“z м) +“xl lZyo“yl + /у м (“yl + “y m)] —
— “yl [/xo“xl + Zx м (“xl + “x m)].
22 1824
338 Г л. VIII. Продольное возмущ. движение летательного аппарата с автопилотом
Уравнения угловых движений системы твердых тел теперь прини-
мают вид
4o<l>Jtl 4~ zO уО 4“ z м у м) ^х1
— 1хм (“jd + 01л м) ~ z M‘°ylwz М + 4 MWzl“y м = Мх1 — Мы Л1; (136. 8)
уО wyl 4“ 0Jxl“zl ( 4о 4о 4 4 м I zm)~~ -^yl
— /ум(“у1 +<"ум) — Лмиг1й,хм + 4м0,л1%м = УИу1-УИмз,1; (137.8)
4o<Uzl 4" l0xlt0yl (^yO 4o 4” у м x m) zl'
IZ M (Wzl 4* “»Z M) “ 4 MWJVl0>y M 4- IX M^yl^ M ^Z1 ' Zl > (1 38. 8)
Угловые ускорения летательного аппарата существенно меньше
угловых ускорений маховиков, т. е.
^хм^хЪ «ум^^уР wzm3>wz1.
так что приближенно принято:
Лм("\1 4'(”лм) ~ Л М’
у м (’“yl 4“0)ум) у м“у М’
z м (0)zl Г шг м) " г мшг м-
Тогда для определения внутренних моментов можно воспользовать-
ся приближенными формулами:
Мм XI « Л м<«л м 4-4 M^yl^Z м — 1 у Mwzlwy М: (139.8)
yl у м*°у м 4- 4 M0>zl0>X М Z MWjrtWZ М’ (140. 8)
^4 Z1 - fz м4 м 4- 1 у M^Xl^y M-fx Mwyl№x М. (141.8)
Внутренние моменты, создаваемые маховиками, можно использо-
вать для стабилизации и для управления космическими летательными
аппаратами. Угловые скорости и ускорения маховиков должны автома-
тически реагировать на угловые возмущения движения летательного
аппарата.
ГЛАВА IX
БОКОВОЕ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА.
БОКОВАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
В гл. VI—VII рассмотрено продольное возмущенное движение ле-
тательного аппарата, возникающее в результате возмущений, действую-
щих в плоскости симметрии летательного аппарата.
Возмущения могут действовать не только в плоскости симметрии,
но и в двух других координатных плоскостях. В этой главе рассматри-
вается боковое возмущенное движение летательного аппарата вследст-
вие возмущений, действующих в координатных плоскостях XiOzi и
Как и в случае продольного движения, эти возмущения разделяют-
ся на две группы: возмущения, возникающие на самом летательном
аппарате, и возмущения внешней среды, в которой происходит полет.
В качестве возмущений первой группы ограничимся рассмотрением
управляющих воздействий: отклонения руля направления Дбн, элеронов
А6Э (на беспилотных летательных аппаратах эти отклонения осуществ-
ляются через автопилот) и угла Д<рк поворота вертикальной пары крыль-
ев для летательных аппаратов схемы «+» или «X»- Возмущениями вто-
рой группы будем считать турбулентные возмущения угла скольжения
ApT = IFZT/I/0, а также начальные возмущения угла скольжения Др0
и угла крена Ду0. Заметим, что начальное возмущение Ду0 приводит
к появлению начального возмущения Дрот угла скольжения, обуслов-
ленного возмущением по крену, как это следует из чисто кинематиче-
ских соображений (фиг. 1.9). В самом деле, при внезапном накренении
па угол Ду0 летательный аппарат поворачивается вокруг оси Охъ
связанной с летательным аппаратом и не совпадающей в общем случае
с направлением скорости полета. Поэтому если первоначально угол
скольжения был равен нулю, то после накренения появляется состав-
ляющая скорости полета, нормальная к плоскости симметрии аппарата,
т. е. возникает угол скольжения Дрот- Воспользовавшись формулами,
приведенными в конце табл. 1. 2, или на основании фиг. 1.9 для неболь-
ших углов у и р получим
ДРот =sin Ду0 sin а0~ Дуоао-
Таким образом, при расчете возмущенного движения вследствие
внезапного накренения летательного аппарата следует одновременно
учитывать Ду0 и ДрОу.
Исследование бокового возмущенного движения, являющегося ре-
зультатом управляющих воздействий, позволит построить методы оцен-
22*
340
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
ки боковой управляемости летательных аппаратов. Исследование боко-
вого возмущенного движения, возникающего вследствие начальных воз-
мущений Ду0 и ДРо, даст возможность судить о боковой устойчивости
движения летательного аппарата.
Фиг. 1.9. Возникновение скольжения при внезапном на-
кренении летательного аппарата.
Методы исследования бокового возмущенного движения аналогичны
методам исследования продольного возмущенного движения; поэтому
мы будем опускать детали вывода формул.
При решении задачи о боковой управляемости по аналогии с иссле-
дованием продольного движения будем считать, что полет происходит
в абсолютно спокойной среде. Точно так же при решении задачи о бо-
ковой устойчивости будем считать, что управляющие воздействия равны
нулю. В обоих случаях за исходный режим примем полет без крена
и скольжения.
§ 1. УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С АВТОПИЛОТОМ
В гл. II показано, что при формулированных выше условиях си-
стема уравнений бокового возмущенного движения может рассматри-
ваться независимо от системы уравнений продольного возмущенного
движения. Система динамических и кинематических уравнений (90.2)
,$ 1. Уравнения бокового движения аппарата с автопилотом
341
бокового возмущенного движения в осях координат, связанных с лета-
тельным аппаратом *, имеет вид
m [ Д V Л 4- Vyi0 (ДшЛ14- До)кр Л1) — Vx 10 (д<пу1 -j- Дш кр у1)] = д Zp (1.9)
/лД«л1+(Л — ;у) Д (2.9)
/уДшу14- (Л — 4) “21оД^1=Д^уй (3.9)
A Y = Дшл1 - tg % (A(Oyi - М Y)’> (4.9)
дфа=sec &0(До)У1—®г10Ду); (5.9)
Д%₽ .1=^т^-(Д^г1 + vy 10ду); (6.9)
г з ~г п
Д%Р У1= - 7777 (sin Mv2i + v х ю cos % ay); (7.9)
AV21=VosM«Vo3. (8.9)
В правой части уравнений (1.9) — (3.9) содержатся приращения
проекций внешних сил на ось Ozi и приращения моментов относительно
осей Oxi и Оу\.
Преобразуем уравнения (1.9) — (8.9) так, чтобы исключить состав-
ляющие скорости Vxi, Vyi, Vzi, выразив их через Каир. При этом
углы атаки а и скольжения р будем считать небольшими, так что
sina^a; cosa^l; sin Р~ р; cosp~l. (9.9)
Воспользовавшись табл. 1.2 направляющих косинусов, для неболь-
ших углов атаки получим
Ki = V cos a cos р~ V; Vyi =—V sin a cos p^—Va; Vzi = Vsin p~ Vp-
Введем далее относительную скорость
где VKp — круговая скорость на высоте Н.
После соответствующих преобразований систему уравнений (1.9) —
(3.9) и (6.9) — (8.9) можно привести к следующим трем уравнениям:
тК0Гдр 4--^- Vosin @одР4-~ V?cos&0Ay —аодыА1—Дсо J—AZp (1а. 9)
L И) к0 J
4Д“л1 4"(4 7у) <»г10До1у1 =дЛГЛ; (2а. 9)
/УД«У1 4- (Л — /г) м210Д<оЛ1 = ДУИ у1. (За. 9)
Приращения силы AZ] и моментов AAl^i и АЛ1г/1 являются функ-
циями приращений кинематических характеристик:
дрв, Ду, Д«Л1, Ди>у1, Д8Н, Дсрк, дМФ-
Заметим, что если пренебречь кориолисовыми силами, связанными
с суточным вращением Земли (как мы и поступили), то внешние силы,
действующие на летательный аппарат, получаются не зависящими от
1 Напомним, что оси связанной системы координат совпадают с главными осями
инерции летательного аппарата.
342
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
угла рыскания ф. Накренение летательного аппарата иа угол Лу само
по себе не может привести к возникновению моментов сил относительно
центра масс- такие моменты могут возникнуть лишь из-за появления
угла скольжения Ар, являющегося следствием угла крена Ау. Наконец,
в силу гипотезы стационарности (см. гл. I) внешние силы и их моменты
зависят только от мгновенных значений кинематических характеристик
движения. От гипотезы стационарности мы отступим, как и в случае
продольного движения, только при определении момента вертикального
оперения: в этом случае будем учитывать эффект запаздывания скоса
потока в боковой плоскости (см. гл. I). Силу AZ, как и в случае про-
дольного движения, будем считать не зависящей от угловых скоростей
иХ1 и ыу\. Таким образом,
Z?=Л1*а=/И*,=АД,=/И J,=0.
По аналогии с исследованием продольного движения за истинный
угол скольжения рв в случае полета в неспокойной атмосфере усло-
вимся принимать угол между вектором скорости набегающего потока
и плоскостью симметрии ххОу{. Истинный угол скольжения рв связан
с углом скольжения р относительно плоскости х^Оу^, измеренным по
скорости полета V, следующим соотношением:
Рв = Р+Арт.
Заменив в уравнении (1а. 9) угол Ар углом Арв, в соответствии
с приведенной формулой получим
от1/о[д₽в +.-7- Vosin0oApB + -^VoCos&oAY — ~ A“yil =
L vo ^0 J
+ IZoSineoApJ . (16.9)
L 10 J
Два остальных уравнения (2д. 9) и (За. 9) сохраняют прежний
вид.
Учитывая сделанное выше замечание, для правых частей уравне-
ний можем написать:
дZ1=Z?ApB + Z^ASn + Z^K + Z\ Ду^ДВ9;
Д МХ1+ М₽1Дри + М®НД8Н + Л1 *?Д88 + Af>K +
Д Му1=М1Дрв + 1Д ₽в + ТИ^ндВи + ЛГкд?к +
В дальнейшем для краткости вместо Арв будем писать Ар, опуская
индекс «в».
Частные производные сил и моментов определяются следующими
формулами:1 *
1 Напомним, что, как отмечалось
мать во внимание только момент лАэ
Х1
в
от запаздывания
гл. I, при отклонении элеронов можно причи-
кроме того, будем пренебрегать моментом
скоса потока.
§ 1. Уравнения бокового движения аппарата с автопилотом
343
Z\=c*zSq0, Z\=G^0, Z\»=c*»Sq0, Z^O, Z^c^Sq^
M^mlSq.1, MaA=mySqol=-^mySqol, Л^О;
zvq
=ntySqJ., TH®! = in/SqJ,-,
M^=m\SqJ, M”x=m“xSqJ=^m}xSqJ-,
M")\ = tnyySqQl=^-myySqol, M y«=rn«Sqj.;
M^rn^Sq^, Л1>0;
MU = mlSQol=^rmls^ol-
Как отмечалось в гл. I, при отсутствии экспериментальных данных
для частных производных по углу <рк поворота крыльев можно пользо-
ваться приближенными формулами:
<К = ^г-^корп -^в.о^в.о:
/д^=0,5^кр;
/и '-|< .— ]Г)' -kA с'
ГПу — ту корп к^в.осгв.о'
где
Д ___ ^BjAl.O
в.о— Sl
При помощи выражений частных производных уравнения движе-
ния (16.9), (2а. 9) и (За. 9) можно привести к следующему виду:
Д₽ - Др (с^ —-f- Vo sin ©Л - аод«х1 — Дм t -
\ * 2/и г 0 /
--^cos &0(1-Vi) Ду-с'н^^-Д8н = +
Ко 2т 2т
+ ApT4--f-V’sin0oAPT; (10.9)
Го
™₽s<ft/Ap <О, со,jSqol
Д<ол1 — трх —— др — тхх —д«л1 — (тхУ—^-
G \ ^х
/'? — Iу \ б Sqnl л б _ л s
— —------ “гю Д“У1 - тх« -р- д8н - тх^ =
1х / 1х 1х
(11.9)
Д<оу1 - т[у д р - т₽ д ₽ - (тах мг10\ д<ол1 —
*у -*у ' *у *у '
-т~у^ Д»„-т‘. Д8, = т>* дт„. (12.9)
/у Jy 1у
Уравнения движения (10.9) — (12.9) надо решать совместно
с двумя оставшимися кинематическими уравнениями (4.9) и (5.9).
344
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Для улучшения характеристик боковой устойчивости и управляе-
мости на летательном аппарате часто устанавливают автопилот. Кроме
того, на беспилотных летательных аппаратах управление боковым
движением, как и продольным, осуществляется только через авто-
пилот.
Каналы простейшего автопилота реагируют на отклонение угла
крена Ау и угловой скорости крена Ау от заданных их (нулевых) зна-
чений, а также на отклонение угла рыскания Аф и угловой скорости
рыскания Аф от их нулевых значений. Если автопилот имеет жесткую
обратную связь, то линеаризированные уравнения автопилота по анало-
гии с уравнением автопилота для продольного движения можно напи-
сать в следующем виде:
гд8н.а = Д8н.у.а + МФ -г - Д8н.а; (13.9)
т.а = Д8э.у.а + МУ+М'У-Д8э.а. (14.9)
где Т — постоянная времени автопилота (см. гл. VIII);
Абн.а, Абэ.а—-углы отклонения рулей автопилотом;
Абн.у.а, Абэ.у.а — управляющие воздействия, если они осуществляют-
ся через автопилот;
Лф, Лфь и — передаточные числа соответствующих каналов
автопилота.
Для исследования бокового возмущенного движения летатель-
ного аппарата с автопилотом необходимо совместное рас-
смотрение уравнений движения летательного аппарата (10.9) — (12.9)
кинематических уравнений (4.9) — (5.9) и уравнений автопилота
(13.9) и (14.9).
Полные величины углов отклонения руля направления и элеронов
складываются из углов отклонения бц.а и бэ.а, обусловленных автопи-
лотом, и зависящих, в частности, от управляющих воздействий Дбн.у.а
и Абэ.у.а, осуществляемых через автопилот (если такие воздействия
имеются), и управляющих воздействий Абн.у и Абэ.у, осуществляемых
непосредственно летчиком (если такие воздействия имеются). Управ-
ляющие воздействия Абн.у.а и Абэ.у.а имеются на беспилотных летатель-
ных аппаратах, причем для таких аппаратов Дбн.у=Абэ.у=0; управ-
ляющие воздействия Абн.у и Абэ.у имеются на летательных аппаратах,
управляемых летчиком; в этом случае Абн.у.а=Абэ.у.а=0.
Таким образом, нам предстоит решить систему семи линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эта си-
стема уравнений содержит семь неизвестных: Др, Ау, Д<оЖ1, А<оИ1, Аф,
Абн.а и Абэ.а- Управляющие воздействия Абн.у.а и A63.y.a (или Абн.у
и Абэ.у), а также Арт при этом должны быть заданы в фунции време-
ни. Хотя решение такой задачи принципиально возможно, однако
выражения получаются громоздкие: аналитическое решение системы
дифференциальных уравнений седьмого порядка, а тем более анализ
получаемых решений требуют большой вычислительной работы и по-
вышенного внимания инженера, проводящего расчет. Практически
подобные задачи можно решать только на моделирующих устройствах
или на машинах дискретного счета для конкретных начальных
условий.
Для получения приемлемого аналитического метода исследования
необходимо сделать упрощающие предположения, чтобы снизить по-
рядок системы дифференциальных уравнений и получить решения
в достаточно компактных выражениях. Этого можно достигнуть, внеся
§ 1. Уравнения бокового движения аппарата с автопилотом
345
в структурную схему бокового возмущенного движения рациональные
упрощения, как это показано далее в § 3.
Для сокращения дальнейшей записи введем следующие обозна-
чения:
“o=-(^T-^V”Si"e»)
dK= —ACOS&0(1-V2);
v 0
Z8H Д„5'0У0. n — S</°1
z 2m 23 x Ix
, <d SqqI ш S/^qVq
4-1у
; #ю— Qq’ ?
4/
Г20 —
а>„ SGqI
ЩУ —
wzl0
4/
(15.9)
е2!)= -tn"
«30=
W. ь
. у Л20— "Д , '
*Х
St/pl .
Ц----ly
j o)zl0
~Ojz10 —
F-'
^^qKo
Jy
г SqGl т S12qVg ,
Sl2^- -
. y 4/y
r ____ w“y __________ ™“y s/2gvp .
30 У ly У 4/y
S S(/ol
‘y
Полные углы отклонения руля направления бн и элеронов бэ пред-
ставим в виде сумм управляющих углов отклонения бн.у и бэ.у. осу-
ществляемых помимо автопилота (летчиком), и углов отклонения,
обусловленных автопилотом; эти последние включают в себя и управ-
ляющие воздействия, осуществляемые через автопилот, бн.у.а и бэ.у.а-
С тем чтобы дальнейшие выражения имели универсальный харак-
тер и в равной мере могли быть применены к автоматически управ-
ляемому летательному аппарату и к самолету, управляемому летчи-
ком, введем фиктивные углы отклонения
бн—бн.у.а "Ибн. у", Оз — бэ.у.а + бэ.у,
представляющие собой суммы управляющих воздействий летчика
и автоматического управления. Ясно, что в случае пилотируемого са-
молета бн.у.а = бэ.у.а = 0 И
бн = бн.у, бэ = бэ.у,
а в случае беспилотного летательного аппарата бн.у=бэ.у=О и бн=бн.у.а.
бэ= бэ.у.а-
346
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Напишем уравнения движения (10.9)—(12.9), кинематические
уравнения (4.9) и (5.9) и уравнения автопилота (13.9) и (14.9)
в операторной форме. Принимая во внимание введенные обозначения,
получим 1 следующую систему алгебраических уравнений:
₽ (Р + а1о)+“Ао — “у4*Y^io + — А — ?к^к+
+ ₽T(p+^V20sineo); (16.9)
“л (Р + *20) + PG20 + ШуС2О 4" ^20 4“ ?'э*20 = ~ Тк/го! (17.9)
(оу (Р + С3о) + ₽ («30 4“ а31Р) + Сул*30 + 41е30 =
= «31(A₽o + Wo) —Тк/зо! (18.9)
Y/7—“>x+tgVy=AYo; (19-9)
typ— sec»o<sy=O; (20.9)
8Н (1 +rp)=JH + 8H.y^+^(^ + ^lP); (21.9)
8Э (1 + Тр)=8Э -ф \.уТр -ф Y А 4~ - MYo- (22.9)
Неизвестными в этих уравнениях являются изображения:
₽=£[Др], у=Л[Ду], 8Н—£[Д8Н], 8э=£[д8э],
[Дф], <ол=Л[Д<йх1], «y=Z [Д<оу1].
Исключим из уравнений (16. 9) — (18. 9), (21. 9) — (22. 9) неизвестные
(ож и (оу при помощи кинематических уравнений (19.9) и (20.9); после
соответствующих преобразований придем к следующей системе урав-
нений:
Р (Р + «ю) + Y (J)wp -ф dl0) — ф (cos % - bl0 sin &0) р -ф 8н2г« = Z; (23.9)
Р«2о+УР(Р + *20)+VP [^20 cos &0 4- sin % (р + &20)] -ф
+ V20+^ф; ' -(24.9)
₽ («зо + «31Р)+УьзоР+$Р [cos »0 (р -ф с30) -ф
+ *зо sin &0] -ф 8незо=Лф; (25.9)
8H(l+7'/’)-9(^ + W)=^; (26.9)
8э(1+Г/7)-у(Лт + ад=£'. (27.9)
Здесь изображения правых частей дифференциальных уравнений
равны:
^ = Д₽о-?к^к + ₽т -f-^sine0 + ^ = Z0+PTp; (28.9)
ко
мх = Д Yo (р + *2э) - ТкЛо=ф Д уор; (29.9)
— Д Ро«з14“ Д Уо («з1«о 4~ *зо) 9к/зо"’ (30* 9)
D=\±^yTp-, (31.9)
Е=ф 4- \.уТр - Ду0*Т1. (32.9)
1 Учитывается, что согласно условию при i=0 начальные возмущения внешней
среды Др(0) =ДРо, Ду(О)=Дуо и что начальному возмущению Дуо4=О соответствует
ДРо т =аоДуо.
§ 2. Уравнения бокового движения аппарата с идеальным автопилотом 347
Пять уравнений (23.9) — (27.9) содержат пять неизвестных:
[Др(О], у=Л [ДУ(О], ф=£[Дф(О].
8Н=£[Д8Н(О], 8Э=£[Д8Э(О],
причем возмущения
?к=^[Д'Рк(О], WM(01,
8Э=1[Д8Э(О], РТ=£[ДМО]
предполагаются заданными.
Определив в результате решения системы (23.9) — (27.9) пять не-
известных изображений р, у, -ф, бн, бэ, по формулам (19.9) и (20.9)
можно найти изображения <ох и ыу.
§ 2. УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ИДЕАЛЬНЫМ АВТОПИЛОТОМ
Рассмотренная в предыдущем параграфе задача заметно упро-
щается, если вместо реального автопилота рассматривать идеальный
автопилот, срабатывающий мгновенно, т. е. если принять постоянную
времени автопилота 7=0. ;
Уравнения (26.9) — (27.9) в случае идеального автопилота стано-
вятся алгебраическими (конечными):
8н~ = 8н ,у-}-ф(&ф-г Api/O; (26а. 9)
8Э=8э.у - Д?(А1+У Uh + ^iP)- (27а-9)
В результате этого порядок системы дифференциальных уравне-
ний понижается до пятого. Исключив из уравнений движения при по-
мощи (26а. 9) и (27а. 9) углы отклонения руля направления бн и эле-
ронов бэ, придем к следующей системе уравнений:
Р (.Р + йю) + У (^юР+*Ао)+Ф MhZ н —
— р (cos &0 — bw sin &0 — ^iZ6,i)]= Zz, (33.9)
где
Zz = Z-Z4.y; (33а. 9)
₽«2Э + У [М20+Р Un + ^т^го) + р21+ФI lhen+
+(620 sin %+с20 cos % + fyi^) р + sin ОоД2]=Mxi\ (34.9)
Mxi ДУо&^го ^2о8н.у ^2о8э.у4~ ДТо7> (34а.9)
р sec &0 (а30+а31р) + у&30 sec Ъор Д- ф [ЛФе30 sec &0 4-
+(^зо+^зо sec '% + ьзо tg %) Р + Р21 = Му1; (35.9)
Myi = Му sec &0- е^н у sec So. (35а. 9)
Для сокращения записи введем следующие обозначения:
^20 ~ ^20 "Ь 1^20’ I
C2o = C2o + ^2OSeC&o: [ (36.9)
^30 = С30 4~ ^41^30 sec ®0"
Физически коэффициенты Ьп, с20 и с30 представляют собой про-
изводные т“^, тхУ и т.уУ с учетом влияния автопилота.
348
Г л. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
В новых обозначениях уравнения (33.9) —(35.9) принимают сле-
дующий вид:
₽ (Р + «ю) + V (*юР+d10)+<p [k.Zz* —
— р (cos &0 — /у0 sin % — Лф1^5н)] = Z,; (37.9)
Р«20 + Y (*Т*20 + *2оР + Р2) + Ф [ *Ф«20 sec % +
+(«20 + *20 tg »о) Р +* tg V2! cos »„=Mxl; (38.9)
₽ sec % («30 + с31р)+у Ь30 sec Ьор -ф
+ Ф [*ф«зо sec %+(с30+b30 tg »0) Р + Р2\=му,. (39.9)
Определитель системы уравнений (37.9) —(39.9) есть полином
пятой степени в соответствии с пятым порядком дифференциальных
уравнений.
Так как в выражениях Z;, Mxi, Myi имеются слагаемые, пропор-
циональные управляющим воздействиям бн.у и бэ.у> то, как видно из
уравнений (37.9) — (39.9), часть управляющих воздействий затрачи-
вается на парирование тенденции автопилота сохранять углы крена
и рыскания неизменными. Маневренные возможности летательного
аппарата по этой 'причине ухудшаются, так как автопилот препятствует
выполнению маневра. Для улучшения маневренных возможностей це-
лесообразно, следовательно, каналы автопилота, стабилизирующие
углы крена и рыскания, отключить; автопилот при этом превращается
в автомат демпфирования. В соответствии с этими соображениями,
положив в (37.9) — (39.9) значения ki, = k-1=O, придем к следующей
системе уравнений:
₽ (Р + «ю)+Y (*юР 4-rfio) — РФ (cos »0 — &10 sin »0 — k^Zs«)=Zp (40.9)
₽«го+Y (b20p + р2) + рф cOs Й() (с20+/;23 tg % -ф tg »ор)=Mxi; (41.9)
Р5ес&0(«30 + «31р)+уй308ес&ор + рф(^=кй30 tg»0+p)=My/. (42.9)
Относительно неизвестных 0, у, рф уравнения (40.9) — (42.9) пред-
ставляют систему четвертого порядка. Определитель системы есть
полином четвертой степени
Ai = Р4+«згР3 + a2ip2+a up+ам, (43.9)
где коэффициенты равны:
«3Z = «10-ф- 620-j-Сдо + «31 (t “sec^0); (44.9)
«2z =-i^k£(*2oj4; «3o)~^«2o*itf «зо (1 — k^Z ii'Sec &(]) -|-
+ «31 [*10«20 + *20 (1 - *44^Mec&o)++o tg &ol +
+ *го«зо — + (45.9)
«1Z = «10 [*20«30 ~4 *30 («20 ~— «20 [Z>i0«30 + *30 X
X (1 -^2Wc+0) 4-rfi0]j'+ G3q [*^£20- +
+ *2o(l -*$r>H-see&0)+^tg&0] + «3A0(C2o+*2otg&o); (46.9)
«oz = <Ao l«30 («20 + *20 tg »o) - «20 («30 + *30 tg %)) (47.9)
Частные определители, входящие в выражения решений урав-
нений:
^Г; Y=="T
Д; Д/
pii = -^-
Az
§ 2. Уравнения бокового движения аппарата с идеальным автопилотом 349
получаются из определителя системы путем замены соответствующих
столбцов правыми частями уравнений. Все кинематические величины,
за исключением р при возмущении вида рт, имеют такой общий вид:
. . , . ГЗухР3 + г2ухР2 4- Г 1ухР + Г
у(р)=х(р) -------------------------
(48.9)
При возмущении рт (угол скольжения, обусловленный воздушной
турбулентностью) для изображения р вместо (48.9) имеем
РЛ + гзрр Р3 +г2за Р2 Л’1РР,77 +горр,
-----------------------1------------—--------------
дг
(48а. 9)
Это получается потому, что в качестве угла скольжения мы усло-
вились рассматривать истинный (воздушный) угол скольжения, как
это отмечено в предыдущем параграфе.
В табл. 1.9—3.9 приведены выражения коэффициентов riyx пере-
даточных функций для различных входных и выходных величин.
В частном случае, если в выражениях коэффициентов riyx и коэффи-
циентов определителя системы положить /гД =ЛТ1 =0, придем к слу-
чаю летательного аппарата без автопилота.
Характеристическое уравнение бокового возмущенного движения
летательного аппарата с автопилотом
р4+а3гР3-Ьа2гР2+а1гр+аог = 0 (43а. 9)
имеет четыре корня. Обычно два корня получаются действительные,
а два других — комплексные сопряженные. Это означает, что боковое
возмущенное движение состоит из двух апериодических и одного
колебательного движений.
Один действительный корень получается малым по абсолютной ве-
личине и соответствует спиральному движению летательного аппара-
та; этот корень может получиться как отрицательным, так и положи-
тельным. Другой действительный корень — всегда отрицательный
и большой по абсолютной величине; этот корень соответствует движе-
нию демпфирования крена.
Такое распределение корней характеристического уравнения поз-
воляет получить простой и в то же время достаточно точный способ
нахождения корней. Этот способ состоит в следующем.
При определении малого по абсолютной величине действительного
корня можно в характеристическом уравнении сохранить только
члены, содержащие р в степени не выше первой (первое приближе-
ние). Тогда
(49.9)
ац
Более точный результат получается, если pi находить по формуле
второго приближения
Р1=
После того как найден
можно представить в виде
(р—Pi) (р3+азр2+«2р + «1) =0. (50.9)
aQi
an
(49а. 9)
корень pi, характеристическое уравнение
1 .
2 I ’
" /
350
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Таблица 1.9* **
Передаточная функция для угла скольжения
w hyP3 + Г2$Р2 + h$P +'оу
р Р* + asip^ + a2ipi + aliP + aoi
Вход <33 г2₽ г13 r0p
®н.у — Z®« — Z " (^20 + с3о) + + е20^10— «30 (1— — sec i^) — " (^20с30 +^30с20) + + «20 Н10с30 + ^30 (1 — — A’^jZis-see^-) +rfw]— — ^ЗО Н10с20 + ^20 (1 — — +d l0t g»0] rf10 [«20 («30 + ^30 tg So) — — «30(«20 + ho tg So)]
<Рк —р — 2У (^20 + сзо) + + /2Л0 +/зо(1 — — ^i-Z^secSo) — Zf(hoc3O + ^3Oc2o] + + /20 H10c30 + ^30 (1 — — £фХн sec&0) +<zlo]— — /30 H'10c20 + ^20 (1 — -^i28"sec90) + rfio X X tg So] ^10 [/20 («30 + ^30 tg Sq) — —f зо(«2о + ho tg So)]
®э.у 0 ^20^10 ^20 I^10c30 4- ^30 (1 — — Sp) + ^10] ^20^10 («30 + ho tg Sq)
Q -t *5* Pt ho + «зо hoPzo + hoP2O 0 0
Д₽о 1 ^20 + C30 + Я31Х X(l~k^Z^x X sec 80) ^20 c30 + ^30c20 + «31 X X [^юСго + ^20 (1 —^ф1 X X Z8HsecSo)+</]otg8ol «31^10 (c2o + ho tg So)
д¥о — ho — (^10сзо + ^10) — — ^10 H2o+fl3j(l— — i^8“sec So)] — ^10 (c30 + ^30 tg So) — — ^20 И10с30 + too (1 — — HsecS0) + ^10] + + (^30 — «31^10) Picfto + + ^2o(l— *ф128н8ес»о)+ + rfio tg So] ^10 [—^20 (сзо+ ho tgSo)+ + (^30 — «31^io) (c20 + + ho tg So)]
* Для выходной величины ₽ при возмущении рт в числителе выражения
следует добавить слагаемое pi.
** Для 1/0 = 0.
§ 2. Уравнения бокового движения аппарата с идеальным автопилотом 351
Таблица 2.9
Передаточная функция для угла крена + йз,-рз + fl2zp2 + «1/jP +
Вход гзт «2Т «iT «0T
®н.у ?к 0 0 «зо tg So — e20 — — Z&ua3i tg 80 —Zp«3i tgS0 — —/20 + /30 tg So —5 - Z ” [«20 — «3i «20 — («30+ + 630) tg Sq] — e2o [«10 + + «31 (1 — 610 tg »0 — g . z [«20 «30 — «30«20 + + («20630—«30620) tg So]— — «20 [«10 («3o + 6sotg So) + + «30 (1 — 610 tg 8q—fcjp-rX — 8 X'Z-^aecy +«3o [«WX X(«20 + 620 tg So) + «20 X X (1 — 6I0 tg $0 — —8 •Xa nsec80)] ZT [a20 C30—«ЗО«2о+ («20Х X 630 — «зо62о) tg So] — —/20 [«10 («зо +630 tg So)+ +«30 (1 — 6iOtg&o —j X X Z « sec$o)l+/зо(«юХ X(«20 + 620 tg Sq) + «20 X X(1 — 6l0 tg&o —6ф1Х >+г" sec 80)l
“ “r C30 1 + 630 tg $0] + «30 [«20 + + («10 + 62o tg So)[ Zf [«20 — «31«20 — («30 + + 630) tg Sq] —/20 [«10 + + «31 (1 — 610 tg $0 — —8 „ — ^1^ H 3C6-So)+«3O + + 630 tg So] + /30 [«20 + +(«10 + 620) tg So]
₽; «31 tg 80 — [«20 — «30 tg Sq— —«31 («20 + ^201 g So) ] — [«20 «30 — «30«20 + + («20630 — «30620) tg Sq] 0
®э.у 0 — 620 — 620 [«10 + «31 (1 — 61otgSO 6ф1А Л —620 [«10 («30 +630 tg Sq) + +«30 (1 — 610 tg 80 —
Д₽о Дуо 0 1 0 «10 + 620 + «50 + +«зо tg So +«3i (1— — 610 tgS0 — йф1х X^" sec So) — — (— «31^10 + + 630) tg 80 — [«20 — «31«20 — — («зо + 630) tg So — — «31 [«20 + («10 + + 62o) tg So] 620 («io+«3i (1—6j0 tg Sq— —г — —k^Z “seeSo) + C30+S +630 tg Sq]+«1o(«30 + +630 tg So)+«3o (1— 610 X —5 XtgSo—k^Z «sec So) — — (— «31610 + 630) [«20 + + («10 + 620) tg Sq] — [«20«30 — «30«20+ («20 X X630 — «30620) tg 80] — — «31 [«io(«2o+ 620 tg So) + +«20 (1 — 6io tg 8q — —6фХ« sec80)] 620 [«10 («30 + 630 tg 80) + + «зо (1 — 610 tg Sq—6ф1Х XZ8“ sec 80)]—(—«31610+ + 6зо)[«ю(«2о+ 620 tgS0)4- +«20 (1 — 6I0 tg 80 — —64,X« sec 80)l
* Для Vo = 0.
352
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Таблица 3.9* **
Передаточная функция для угловой скорости рыскания
гЗф1Р3 + Г2^\Р2 + Г 1ф1Р + Г0ф1
W7. =------------------------------ sec$0
ф Р4 -I- «317'3 + «2iP2 + «ItP + «Oi
Вход Г3ф1 Г2ф1 г1ф1 гСф1
®н.у тРк ®э.у — е3о + 4-Z н«31 ^«31- —/зо 0 Z я («30 + «31*2о) + + е20 (—«31*1о+ +*3о)— вз0(«10+Ь 20 ) 2? («30 + «31*2о) + + /20 (—«31*10 + + *зо)—/зоХ X («10 + *2о) *20 (— «31*10 + *30 ) — 2 н («20*30 — «30*2о) + + е20 («10*80 — «30* 10 — — «31^ю) — е30 («10*20 — — «20*ю) —Z* («20*30— — «зо*2о) + /го («ю^зо — — «30^10 — «31^ю) — —/зо («10^20 — «20^1 о) ^20 («10*30 — — «30*10 — «31 d го) ^10 (— «30^20 + «20^30) (—/го«зо + /зо«2о) — *20«30^10
Q ГТ — («30+ + «31*2о) «20*30 — «30*20 0 0
Л₽о М’о 0 0 — («30 + «31*2о) + + «31 («10 + *20 ) («30 — «10«31) *ю+ + «31^10 «20*30 — «30*20 + + «31 («10*20 — «20*ю) — *20 («10*30 — «30*10 — — «З1^ю) + «зо^ю + + (— «31*10 + *зо) X X («10*20 — «20*ю) — «20«31^10 rf10 [«30*20 — — «20 (— «31*10 + *3о)]
* Для выходной величины ф при возмущении ₽т в числителе выражения
W. следует добавить слагаемое «зцо4.
Ф
** Для Уо = О.
$ 2. Уравнения бокового движения аппарата с идеальным автопилотом 353
Коэффициенты ctj находят обычным путем до формулам:
—а34- Pi, (51.9)
а2=a2~h ^зР1> ai=а.\+й2Р1. Уравнение (50.9) распадается на два уравнения: Р—Pi = 0 и р3+а3р2 + агр + щ = 0. Уравнение (54.9) содержит три параметра: а3, а2 и at. можно, осуществив две последовательные подстановки: Р^=У — у и y=]/~Lz. (52.9) (53.9) (54. 9) Решить его
где и После первой подстановки получаем p3+^+2L=0, - йз &=а2 2 3 “3 — - , т агаз । gi / 27 6 1 2 ‘ ' (54а. 9)
Вторая подстановка позволяет получить уравнение, содержащее
всего лишь один параметр:
г?+Рг+2=0, (55.9)
где
Переменная z уравнения (55.9) связана с переменной р уравне-
ния (54. 9) соотношением
р=У1г-^-.
Определить корень г» уравнения (55.9) можно, если воспользо-
ваться, например, графиком зависимости p=p(z), приведенным на
фиг. 2. 9. Зная коэффициенты at, аг и аз, нетрудно найти L и k, а следо-
вательно, и р.
На фиг. 3.9, а и 3.9,6 приведены также кривые, облегчающие
нахождение коэффициентов L и k в зависимости от коэффициентов
ai, аг и о3 характеристического уравнения.
Зная по приведенной выше формуле нетрудно определить вто-
рой действительный корень характеристического уравнения бокового
движения
Рг=У1 z»~~- (56.9)
О
Представим теперь уравнение (43а. 9) в виде
р4+ЯзР3+а-гр2 + aip-[-a0=
= (Р—Pi) (р—Рг) (p2+2/ip+w2) =0.
23 1824
354
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Приравнивая в этом выражении коэффициенты при одинаковых
степенях р, придем к следующим формулам для определения коэффи-
циентов 2h и со2:
2h=as—М- (57.9)
-2 = >- (58.9)
Фиг. 2.9. График для определения вспомога-
тельного корня г.
Здесь обозначено:
(pi+p2), ^=Р\Рч-
Определив 2h и со2, 'нетрудно найти и два оставшихся корня р3, р4.
§ 3. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ИДЕАЛЬНЫМ АВТОПИЛОТОМ.
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
Построим структурную схему бокового возмущенного движения.
Как будет видно из дальнейшего, при некоторых условиях в структур-
ную схему можно внести существенные упрощения и, таким образом,
получить приближенные аналитические выражения для расчета боко-
вого возмущенного движения.
Определяя из уравнения (42.9) изображение угла скольжения р,
получим
р =—Wi (№2рф + №зу—Му{ cos •йо) - (59. 9)
Частные передаточные функции, входящие в (59. 9), определяются
следующими выражениями:
^1(р)=-----1----; (60.9)
я30 + °31Р
W2{p) = A2 + B2p- (61.9)
W3(p)=b3,p, (62.9)
§ 3. Структурная схема бокового движения с идеальным автопилотом 355
Фиг. 3.9. Графики для определения коэффициентов k и L.
23*
356
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
где обозначено:
Лг = (сзо + ^зо tg'&ojcos Фо;
B2=,cos Фо.
Далее из уравнения (40.9) находим
рф=Л4(Г5₽ + Г6у-^),
где частные передаточные функции:
л4=-----------------=г ;
cos % — 610 sin 80—k^Z н
W6(p)-dw+bloP.
Наконец, из уравнения (41.9) получаем
у= ^(агоР + ^рф—Mci)>
где
W^p)=A6+B&Pt
и введены обозначения:
Л 8 = (С2о+^2оШФо),со8 Фо;
B8 = sin Фо.
(63.9)
(64.9)
(65.9)
(66.9)
(67.9)
(68.9)
(69.9)
(70.9)
(71.9)
(72.9)
(73.9)
Управляющими воздействиями являются 6Н.У и 6а.у; возмущения, j
связанные с внешней средой,— Zit Mxi, Myi. Д
Структурная схема бокового возмущенного движения, построен- Д
ная по уравнениям (59.9), (65.9) и (69.9), приведена на фиг. 4.9. Д
Анализ полученных выражений показывает, что при известных ус- Д
.ловиях структурную схему бокового движения можно существенно 1
i упростить. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подробнее уравнение 1
(59.9). Из этого уравнения видно, что изменение угла скольжения, 1
помимо входных величин, зависит от изменения угла крена у и угло- 1
вой скорости рыскания рф. Степень этой зависимости, однако, оказы- 1
вается различной. Изменение угла крена влияет на изменение угла гч
скольжения через дифференцирующее звено № 3, амплитуды которого I
в свою очередь зависят от коэффициента 630. Численное значение 630 1
зависит от величины вращательной производной пг^х и от слагаемого 1
1Х~ lz 1
' ~ Ш?10- 1
/у Д
Момент Муи>х создается в основном крыльями и вертикальным ,
оперением. Часть этого момента, создаваемого крыльями, обусловлена -j
тангенциальными силами, небольшими по величине; в первом прибли- 1
жении этой частью момента М у^х можно пренебречь. я
Часть момента MyWx, создаваемая вертикальным оперением,. отли-
чается от нуля только при асимметричном расположении вер- <
тикального оперения, как это видно из фиг. 5.9. При симметричном
§ 3. Структурная схема бокового движения с идеальным автопилотом 357
расположении вертикального оперения (у летательных аппаратов,
выполненных по схеме « + » или «X») вертикальное оперение не соз-
дает момента Л4„ш^(фиг. 6.9).
В итоге момент обычно получается небольшим; в первом
приближении, следовательно, этим моментом можно пренебречь.
Ix—Iz
Слагаемое------<ог1О при всех скоростях полета невелико;
h
в первом приближении это слагаемое также можно принять равным
Возмущение 6ну 6э.у <fK ₽т
Z —Z°K 0 —Z?K р+-y-V* sin0o
И)
ЛД —«20 —До —/20 0
Л1У —ego 0 —/зо 0
нулю. В результате значение коэффициента Ь30 получается близким
к нулю.
Полагая 63о=О, уравнение (59.9) можно написать в следующем
виде:
Р=—^(Ггрф—Myicosfl0). (74.9)
Как видим, уравнение (74. 9) не содержит угла крена у и связы-
вает входные величины только с изменением угла скольжения р и угло-
вой скоростью рыскания рф.
Далее из уравнения (65.9) следует, что на угловую скорость рыс-
кания рф, помимо входной величины, оказывает влияние изменение
угла скольжения р и угла крена у. Анализ показывает, что ес/и изме-
нения Р и у оказываются величинами одного порядка малости, то влия-
нием изменения у на угловую скорость можно пренебречь. Действи-
тельно, как видно из приведенного далее примера, коэффициент di0 по
абсолютной величине значительно меньше коэффициента ош, а коэф-
фициент 6ю значительно меньше единицы. В таком случае ролью звена
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
№ 6 при определении скольжения р и угловой скорости рыскания рф
можно пренебречь.
Чтобы составить суждение о роли звена № 6 в процессе формиро-
вания угла скольжения р и угловой скорости рыскания ф, выразим рф
и у через р по уравнениям (59.9) и (69. 9) и подставим результат
в уравнение (65.9). Для простоты при этом можно положитьД8н=Ь30=
= a3i«s0, а также принять cos@0~cost%.
Таким образом, придем к следующему
уравнению:
1
^8
W1W2k4
= Zt -\-W6W7MxiA-Myl cos
' 1 6 7 x, I y< 0 w^ki
Д'в.о
ZJY2=-AYj I
Фиг. 6.9. Момент Л4„,, при
У X
симметричном расположении
вертикального оперения.
Фиг. 5.9. Момент Mv,„ при
у х
асимметричном расположении
вертикального оперения.
Второе слагаемое левой части этого
звена № 6. Степень этого влияния определяется величиной амплиту-
ды А, соответствующей сложной пеоедаточной функции
a w* \
. 23
по сравнению с амплитудой Ло, соответствующей основной передаточ-
ной функции
равенства оценивает влияние
[ величиной амплиту-
W
^0=^4- 1
WxW2k4
§ 3. Структурная схема бокового движения с идеальным автопилотом 359
Положив в полученных ранее выражениях частных передаточных
функций р=1ы и проведя преобразования, необходимые для определе-
ния амплитуды (см. гл. V), найдем
J 1 Г Х2 -С Г2ш2
ы + В2о)2 Г “2 "* ^20
где введены следующие обозначения:
—d 10*2“ b ,
у. = <220Л2 <2зоЛ8, I
k = 6Z2o^2 ^30^8- J
(75.9)
(76.9)
(78.9)
Точно так же для амплитуды основной части изменения 0 полу-
чаем выражение
Ао = - Г(/И-ш2)2+№ш2> (77.9)
]/ + В|о)2
где
М ~ a10 (С3(АзО tg %) 4“ G30>
^=йю+4-1ЛН-
Очевидно, что влияние звена № 6 на процесс формирования угла
скольжения 0 и угловой скорости рыскания ф будет тем меньше, чем
меньше отношение амплитуд А/Ао.
Если принять предельную величину этого отношения, при которой
еще возможно пренебрегать влиянием звена № 6 на движение рыска-
ния, равной 2,5%, то придем к следующему условию допустимости
приближенного решения:
А= sec&o / ^2 + Г2м2 . 0,025. (79.9)
До ы -/(Л4 — 0)2)2 + ДГ2Ш2 |/ + 0)2 4
При удовлетворении неравенству (79.9) уравнение (65.9) можно
заменить приближенным
рф«й4(Г50—Z4). (80.9)
Два уравнения (74.9) и (80.9) содержат неизвестные 0 и рф и не
содержат угла крена у. Эти уравнения, следовательно, могут быть ре-
шены независимо от уравнения (69.9). Мы приходим к важному выво-
ду: движение рыскания в первом приближении при выполнении усло-
вия (79.9) можно рассматривать независимо от движения крена.
Структурная схема движения рыскания приведена на фиг. 7.9.
Заметим, что обратное утверждение о независимости движения
крена от движения рыскания было бы несправедливым, как это видно
из уравнения (69.9). Действительно, коэффициенты а2о, Л8 и Bg в об-
щем случае могут быть значительными по величине, а это означает, что
движение крена нельзя рассматривать независимо от движения рыс-
кания.
Сделанный выше вывод о независимости движения рыскания от
движения крена основывается на том, что быстро протекающее движе-
ние крена не успевает привести к возникновению сколь-нибудь замет-
ной угловой скорости рыскания ф, угла рыскания Дф и угла скольже-
ния Д0. Однако если угол скольжения Д0 образовался вследствие
360
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
движения рыскания, он может привести к интенсивному движению
крена.
Уравнения (74.9) и (80.9) позволяют получить приближенные
выражения для угла скольжения р и угловой скорости рыскания рф.
Фиг. 7.9. Структурная схема движения рыскания (k^=k^ =0).
Возмущение 8Н.У <fK рт
_Z5« — ZfK р + ~ sin ®о
vo
—езо —/зо
0
Определитель этой системы уравнении
пени:
есть полином второй сте-
где
Др — р2 ^-2hpp ojp,
2ЛР = «10-h «si (1 — Мё % + /гФ126н sec &о)+«зо+&зо Ш (81.9)
«р = «ю («зо + йзо %) + «зо (1 — tg &о + sec %). (82.9)
Находя частные определители, входящие в числители изображений
Р и рф, можно составить выражения передаточных функций IF з и .
Эти выражения имеют следующий общий вид:
_~ Г2Р2 + >ЛР + го
Р2 + 2Лрр + ш2 '
(83.9)
Выражения коэффициентов приведены в табл. 4.9 и 5.9.
Найдя передаточные функции IFp и U/ф и подставив их в уравне-
ние (69.9), получим выражение для угла крена у:
= _ ^рЗ + ЪР2 + ГцР+Гщ . 84 9)
Р2+ Ь20р (р2+ ьжР) ( р2 4- 2Лрр + 0>р) '
Выражения коэффициентов гзт приведены в табл. 6.9.
Второе слагаемое выражения (84.9) удобно представить в виде
суммы двух более простых слагаемых:
r31Ps + '2,P2 + rvlP+r0, = Ло+Ад ) /<о+/<1Р . (85 9)
(р2+^гоР) (р2+ 2/ipp + Шр) р2 4- 1>2оР Р2 + 2Лрр + Шр
§ 3. Структурная схема бокового движения с идеальным автопилотом 361
Таблица 4.9
Коэффициенты rj^ для вычисления передаточной функции
_ r2$P7 + ripP+ г0Р
е р2 + 2ЛрР + 0)2
Вход г2р г1₽ Г0р
^Н.у 0 —Z^H — Z "(сзо + *30 *g »о) —
?к 0 —zv,i — е30 (1 — *ю tg V- sec »0) — (с30 + *30 t g ®о) —
*э.у 0 0 —/зо (1 — *10 tg »о — ^^"sec »о) 0
₽т* 1 с,зо + *зо tg Эо 0
А₽0 0 1 с30 + *30 tg »о.+
+ a3i (1 — *10 tg &о — *612 Hsec »о)
Ду0- 0 0 (— й31*10 + *зо) (1 — *10 tg »0— —*фХн sec »о)
* Для Vo = 0.
Таблица 5. 9
Коэффициенты для вычисления передаточной функции
rWlP2 + г1ф1 Р + Г0ф1 i Р2 4- ‘ZhyP + “р sec 80
Вход г2ф1 г1ф1 гОф1
8н.у 0 — (e30-^-Z Hfl31) — («юезо — fl30^ н )
тРк 0 —(/зо — zf a3l) — (лю/зо — «зо^’’)
^э.у 0 0 0
О * Рт —а31 — а30 0
ДЗо 0 0 — °30 + а10й31
Дуо 0 — a31*10 + *30 flio(— й31*10 + *зо)
Для Vo = 0.
362 Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Таблица 6.9
Коэффициенты для вычисления передаточной функции (84. 9)
Вход Г3т г2т r0r
®н.у 0 — tg»0(e30 — — 2 " [«20 — «31 («20 + — Z5h[«20 (c3o+*3otg ад—
-гЧ31) + *20 tg Эо) — а3о tg Эо] — — «30 («20 + *20 tg ад] —
— «30 («20 + *20 tg &0 + —«30 [«10 («20 +*20 tg »o)+
+«10 tg»o) + «20 (1 — *10 tg 80 —
—sec »0)]
0 — tg »0 (/зо — — Zf [«20 — «31 («20 + — Z1 [«20 («30+*30 tg ад—
Z? «31) + *20 tg »o) — «30 tg »ol— — «30 («20 + *20 tg ад] —
—/зо («20 + *20 tg 80 + — /ЗО [«ю(«20 + *20 tg ®o) +
+ «iotg»o) + «20 (1 — *10 tg ®0 —
sec ад]
&э.у 0 0 0 0
₽т* —«31 tg&o «20 — «31 («20 + + *20 tg »0) — — «30 tg &0 «20 (c30 + *30 tg 80) — — «30 («20 + *20 tg &o) 0
Д₽о 0 0 «20 + tg 80 (— «3o+flio«31) «20 (Сзо + *30 tg ад — — «30 («20 + *20 tg ад + + «31 [«10 (c2o+*20tg&o) + + «20 (1 — *10 tg ®0—
—sec ад]
Д\’о 0 tg (— «31*10 + (— «31*10 + *30)(«20 + (— «31*10 + *зо) [«io X
+ *зо) + *20 tg ®0 + «10 tg &o) X («20 + *20 tg ад +
+ «20 (1 — *10 tg ®0 —
—*ф1^6н sec ад]
Для Vo = 0.
§ 4. Собственное боковое возмущенное движение
363
Коэффициенты Aj и Kj этого разложения определяются в резуль-
тате решения следующей системы уравнений:
Д1 + К1 = г3т; _ ]
Д0 + /<0 + Л12Лр + /<Ао=г21; I
Д02йР+Л^ + /<Л0=г1т; [ (86‘9)
•Agtop == f
Следует заметить, что в большинстве случаев представляет инте-
рес определение угловой скорости разворота ф> или угла скольжения Др
(а значит, и боковой перегрузки Anz). Расчет этих выходных величин
проще по сравнению с расчетом угла крена Ду.
§ 4. СОБСТВЕННОЕ БОКОВОЕ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Собственное возмущенное движение летательного аппарата возни-
кает в результате начального импульса. В качестве такого импульса
мы условились рассматривать мгновенное начальное возмущение Др0
по углу скольжения и мгновенное начальное возмущение Ду0 по углу
крена.
С целью упрощения дальнейших выводов рассмотрим задачу о ра-
счете собственного бокового возмущенного движения летательного
аппарата с идеальным автопилотом, имеющим каналы стабилизации
по угловой скорости крена и рыскания. Общая теория для этого случая
рассмотрена в § 3. Изображение какой-либо кинематической величины,
как было показано, имеет следующий общий вид:
У(р) =----^.±£2^ + ^ +го------------ (87 9)
(р2 + 2hp + <02) (р - Р1) (р - Л2)
где г,-—коэффициенты, определяемые по табл. 1.9—3.9;
pi и р2 — действительные корни характеристического уравнения;
2h и со2 — коэффициенты, определяющие пару комплексных кор-
ней характеристического уравнения. Способы определе-
ния этих величин описаны в предыдущем параграфе.
Для практического применения изображение (87.9) удобно пред-
ставить в виде суммы двух более простых дробей:1
у Ko + KiP -------------А>_+41£----. (87а. 9)
р2 + 2йр + о>2 (Р — Р\)(р — р2)
Аналогичный прием был применен ранее при исследовании про-
дольного возмущенного движения.
Система уравнений для определения коэффициентов /Q и Л,
А'о — (2Л + Pi -г /А) ~г ао = г2 — r32h;
- (Pi + Р2) А'о - («>2 - PiP2) Кг + 2/Z Ао = Tj - Г3оз2;
/лаЛо-Н|)2А==го;
Aj = r3- —К}.
Рассмотрим численный пример расчета бокового возмущенного
движения гипотетического самолета, имеющего следующие основные
данные:
।
I
} (88.9)
I
1 По поводу числителя первой дроби см. примечание к табл. 1.9—3.9.
364
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
полетный вес G=344 к.н = 35 т,
площадь крыльев 5=100 м2,
размах крыльев /=23 м,
момент инерции относительно оси Охх равен 1Х= 122,6 • 103 кг-м=
= 12,5 • 103 кГ сек2 • м,
момент инерции относительно оси Оух равен /г/=1226-103 кг-м=
= 125*103 кГ-сек2-м.
Передаточные числа каналов автопилота возьмем следующие:
Аф1=0,2 сек, &Ti = 0,05 сек.
Будем считать, что самолет совершает горизонтальный полет на
высоте Н—8000 м со скоростью V=250 м/сек=900 км/час. Скоростной
напор при этом q= 16380 н/лг2=1670 кГ/м2. Угол атаки примем а=5°=
=0,087 рад.
Пусть на этом режиме полета аэродинамические коэффициенты:
mp=-0,4; «гр=—0,08; Д=-0,5; /«>=-0,3; /п>=-0,025;
Д л Z у л
с> =-0,2;./«>=-0,06; /«>=-0,75; /«>=-0,2; /«>=-0,75;
Л Л ‘ JC 1 у г
/«>=-0,01; /п|=0.
Последовательность расчета будет такой.
1. Определяем динамические коэффициенты по формулам (15.9):
аю=0,0945; />10= —0,087; d10=—0,039; Zs« =0,0378;
020=12,3; 620= Ю,6; Сго=2,82; £20=7,66; ^20=18,45;
о3о=12,28; а31 = 0; &3о=0,0141; с30= 1,057; е30=9,21.
По формулам (36.9)
520=11,52; С2о=4,35; с3о=2,900.
2. По формулам (44.9) — (47.9) находим коэффициенты характе-
ристического уравнения бокового движения:
a3i= 14,51; o2< = 48,1; аи= 131,7; aOj =—1,12.
3. По формуле (49.9) находим малый действительный корень
Pi =0,0085.
По формулам (51.9) — (53.9)
оз = 14,52; 02=48,22; щ = 132,1.
По фиг. 2.9—3.9 второй действительный корень
р2 =—11,29.
По формулам (57.9) и (58.9)
2/1=3,23; <о2= 11,72.
Далее
M= — (Pi+p2) = 11,282; Д=Р1Р2=—0,0956.
Для сравнения вычислим коэффициенты 2/г и со2 по приближенным
формулам (81.9) и (82.9); получим
2/гр~ 2,995; со2р~ 12,54.
Как видим, приближенное значение 2/г меньше точного на 7%,
а приближенное значение со2 больше точного тоже на 7%.
§ 4. Собственное боковое возмущенное движение
365
Оценивая значение критерия .4//10 по формуле (79.9), получим
—=0,008,
Л
т. е. погрешность расчета амплитуд без учета влияния движения крена
на движение рыскания составляет около 1%.
Как было отмечено ранее, при пользовании приближенными фор-
мулами погрешность увеличивается при увеличении отношения Д/До;
это отношение возрастает при увеличении коэффициента а20, завися-
щего от степени поперечной статической устойчивости т₽. Так, если
увеличить а2о вдвое (до 24,6), получим Д/Ло=О,О14; 2/z=3,312; со2 =
= 11,92, в то время как приближенные значения 2/г и со2 остаются преж-
Фиг. 8.9. Зависимость погрешности при
определении коэффициента 2ft по при-
ближенной формуле от критерия А/Ао
(пример).
ними. При а20=49,2 (увеличение
в 4 раза) получаем
— =0,031; 2А = 3,550; gj2=12,3.
Aq
Как видим, при увеличении
А/Ай особенно большие погрешности
получаются при определении 2/г;
в первом случае погрешность равна
9,5%, во втором—15,6%. Коэффи-
циент со2 меняется в гораздо мень-
шей степени. На фиг. 8,9 показан
характер зависимости погрешности
при определении 2h по приближен-
ной формуле от критерия Д/Ло.
4. Пользуясь табл. 1.9—3.9, на-
ходим значения коэффициентов
мы ограничимся вычислениями ко-
эффициентов изображений 0 и у
при возмущении по углу скольжения
Др0. Получаем
гз₽ =1; г2₽ = 14,42; Г;р =33,46; Го₽ = О;
Гзт=0; г2т =0; riT =—11,23; гот = +29,О.
5. Составляем выражения изображений 0 и у, для чего предваритель-
но решаем уравнения (86.9):
Ко₽ = 1,205; Kip =—0,687; ДОр =0,0098; Xip = 1,687;
КОт=—1,642; КД =0,0563; Д07 =2,460; Д1т = —0,0563.
6. Пользуясь словарем изображений, переходим от изображений
к оригиналам:
= 1,030б-1’615/ sin (173/ - 41,8)+0,002е°-008И + 1,685е-п-29<.
-^= -0,575е-ьб1б/ Sin (173/ — 5,6)-ф0,218е°-008И-0,274е-11-29'.
На фиг. 9.9 и 10.9 приведены результаты расчета по полученным
формулам для времени 0<^/<Д0 сек. Для сравнения там же приведе-
ны результаты расчета по приближенным формулам (83.9) — (85.9)
(мы ограничиваемся результатами только для Приближенная
формула в нашем случае принимает вид
-^= — ОДЭе-1-498< sin (184/ -4-8,8) -4-0,199 — 0,124е-11-52/.
366
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Из фиг. 10. 9 видно, что если рассматривать движение в течение
сравнительно небольшого промежутка времени (3—5 сек), приближен-
ные формулы приводят к сравнительно небольшим погрешностям; в то
Фиг. 9. 9. Зависимость угла скольжения от времени в собст-
венном возмущенном боковом движении (пример).
же время расчет по приближенным формулам получается более про-
стым.
На фиг. 11.9 показаны результаты расчета для двух значений
коэффициента а20: исходного а20 = 12,3 и увеличенного в 4 раза а2о=49,2-
Характер изменения угла крена в этих двух случаях получается сущест-
венно различным. При а20=12,3 в начале возмущенного движения в ре-
венном возмущенном боковом движении (пример).
зультате действия момента самолет кренится при положительном
скольжении на левое крыло. Одновременно с этим вследствие момента
/Иур самолет стремится ликвидировать возникшее скольжение и начи-
нает рыскать при положительном скольжении вправо. Из-за возникшей.
§ 4. Собственное боковое возмущенное движение
367
при этом угловой скорости а>у (отрицательной при положительном
скольжении) возникает момент Мха1у, стремящийся накренить самолет
при положительном начальном скольжении на правое крыло.
В результате уже через небольшой промежуток времени самолет
приобретает угол крена того же знака, что и начальное скольжение.
В этот момент времени скольжение получается отрицательным, так что
Фиг. 11.9. Влияние степени поперечной статической устой-
чивости на характер собственного возмущенного бокового
движения (пример).
момент Мх$, также стремится накренить самолет на правое крыло.
Вследствие того, что во взятом примере демпфирование движения рыс-
(1 498 \
£ =—----^0,44 1, движение рыскания зату-
3,43 /
хает достаточно быстро, и в дальнейшем практически имеет место та
часть движения, которая соответствует малому действительному кор-
ню—спиральное движение. Так как самолет спирально неустойчив
(pi>0), это движение протекает с непрерывным слабым увеличением
угла крена.
Для иллюстрации на
фиг. 12.9 показано изменение
отдельных составляющих бо-
кового движения.
При большой степени по-
перечной статической устойчи-
вости «20=49,2 в начале возму-
щенного движения самолет
также приобретает отрицатель-
ный угол крена, однако из-за
большого Мхр этот угол значи-
тельно больше, чем в первом
случае. Так как демпфирование
движения рыскания практичес-
ки остается тем же, что и в пер-
вом случае, а угол крена зна-
чительно больше, то возникаю-
щие моменты не в состоянии
Фиг. 12.9. Составляющие собственного возму-
щенного бокового движения при разной сте-
пени поперечной статической устойчивости
(пример).
ликвидировать этот угол крена. Спиральное движение самолета в этом
случае получается устойчивым и протекает с постепенно уменьшающим-
ся отрицательным углом крена.
368
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Описанный характер изменения возмущенного движения при изме-
нении степени поперечной статической устойчивости имеет место при
достаточно большом демпфировании движения рыскания. Если демп-
фирование движения рыскания недостаточно, то возмущенное движение
протекает главным образом в фазе колебательного движения: самолет
попеременно кренится то на
левое, то на правое крыло и
одновременно рыскает вле-
во и вправо. На фиг. 13.9
нанесены результаты расче-
та для самолета, имеющего
те же динамические коэффи-
циенты, что и во втором слу-
чае, за исключением коэф-
фициента демпфирования,
который в данном случае
был принят £зо= 1,0. Боковое
возмущенное движение при
этом имеет характер попере-
менного крена и рыскания
вправо и влево.
Приведенный пример
свидетельствует о том, как
важно обеспечить надлежа-
/т АР
Фиг. 13.9. Влияние путевого демпфирования
на характер собственного возмущенного боко-
вого движения (пример).
щее демпфирование движе-
ния рыскания (коэффициент сзд). Кроме того, этот пример показывает,
что увеличение степени поперечной статической устойчивости ухудшает
характер бокового возмущенного движения.
Отметим еще, что спиральное движение развивается весьма мед-
ленно; поэтому несущественно*, обладает летательный аппарат спи-
ральной устойчивостью или неустойчивостью, так как медленные воз-
мущения движения легко могут парироваться вмешательством летчика
в управление.
Было рассмотрено возмущенное движение, возникающее в резуль-
тате начального импульса. Возмущенное движение, обусловленное
воздушной турбулентностью, может быть исследовано статистическими
методами, подобно тому, как это сделано в гл. VIII.1
§ 5. РАСЧЕТ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
ПРИ ОДНОСТОРОННЕМ ОТКАЗЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
Соображения относительно возможности в первом приближении
рассматривать движение рыскания независимо от движения крена поз-
воляют сравнительно просто рассмотреть задачу о движении самолета
при внезапном одностороннем отказе двигателей.
При внезапной остановке одного (или нескольких) двигателя,
в том случае когда этот двигатель расположен не в плоскости симмет-
рии самолета, возникает момент относительно оси Oyt (фиг. 14.9).
Этот момент стремится повернуть самолет относительно оси Оуг. В ре-
зультате такого поворота появляется скольжение в сторону работающе-
го двигателя и возникает обусловленный скольжением момент попе-
речной статической устойчивости Мхр, который стремится накренить
1 Пример такого анализа можно найти в [14].
§ 5. Расчет возмущенного движения самолета при отказе двигателей 369
самолет в сторону Неработающего двигателя (фиг. 15.9). Кроме того,
во время вращения на самолет действуют моменты, обусловленные
УГЛОВЫМИ СКОРОСТЯМИ СОх И (Ру.
Так как остановка двигателя (односторонний отказ) всегда бы-
вает непредвиденной, то в течение некоторого ’времени летчик не успе-
вает вмешаться в управление и самолет совершает неуправляемое
движение. Это движение в основном состоит из поворота самолета
вокруг осей Oyi и Оху После того как летчик отклонит органы управ-
действующих на самолет сил и моментов,
ления для уравновешивания
самолет постепенно пе-
рейдет в установившийся
режим полета; этот ре-
жим, однако, будет отли-
чаться от того, который
был до отказа двигателей \
На новом режиме ско-
рость полета будет мень-
шей, чем в исходном ре-
жиме, так как сила тяги
меньше (часть двигателей
не работает). Кроме того,
на новом режиме самолет
будет лететь с креном и
скольжением, элероны и
руль направления будут
отклонены. Вопрос о ба-
лансировке самолета на
этом новом режиме поле-
та рассмотрен в гл. IV.
Значительный инте-
рес представляет исследо-
вание движения самолета
Фиг. 14.9. Момент Mv при внезапной остановке
Двигателя.
в первое время после остановки двигателя — неуправляемый (полет. Дви-
жение самолета на этой первой фазе можно рассматривать как возму-
щенное. Возмущением при этом является момент силы тяги двигателей,
противостоящих остановившимся, относительно центра масс самолета.
Ввиду того, что неуправляемое движение продолжается всего 1—2 сек
(затем летчик вмешивается в управление), можно считать, что скорость
полета остается неизменной. В таком случае решение поставленной за-
дачи можно получить при помощи формул, выведенных выше при рас-
смотрении движения рыскания. Надо только при определении коэффи-
циентов г, принять Zsh =0, а вместо момента руля направления Муъя под-
ставить момент силы тяги двигателей, противостоящих остановившимся;
элероны при этом надо считать неотклоненными.
С качественной стороны рассматриваемое движение протекает сле-
дующим образом.
Внезапно возникший момент относительно оси Oyi приводит к бы-
строму возникновению рыскания и скольжения в сторону работающего
двигателя. Возникший в результате появления скольжения момент ЛДр
приводит к быстрому накренению самолета в сторону неработающего
двигателя. При неблагоприятном сочетании динамических коэффициен-
тов самолета (малые размеры, малые моменты инерции, большая тяго-
вооруженность) крен, возникающий вслед за остановкой двигателя,
может оказаться значительным.
24 1824
370
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
С целью иллюстрации рассмотрим следующий пример.
Пусть на самолете с двумя ТРД, совершающем горизонтальный
полет со скоростью V=250 м!сек на высоте //=8000 м, внезапно оста-
новился левый двигатель.
Примем следующие условные динамические характеристики са-
молета:
— полетный вес Go = 88400 я=9000 кГ,
— площадь крыльев 5 = 30 лг2,
Фиг. 15.9. Момент Мх при внезапной остановке двигателя.
— размах крыльев 1= 10 м,
— моменты инерции самолета: /ж=102 кг-л!2=1000 кГ м - сек2,
1У=508 кг• яг2 = 5000 кГ -м-сек2,
— угол атаки а = 0 =5°,
— тяга одного двигателя Рлв=19 620 я=2000 кГ,
— плечо силы тяги zP=2 м.
Будем предполагать, что на взятом для примера условном самоле-
те установлены демпферы рыскания и крена с передаточными числами
&Ф1 =0,2 сек, £,1=0.05 сек.
Аэродинамические коэффициенты возьмем следующие:
ш?у——0,06; /п₽ = —0,04; с$ =—0,5;
тъ*= — 0,06; гп»——0,025; с*н=—0,2;
т’э = -0,06; тпш*= -0,5; = -0,2;
m“>' = -0,5; -0,01; tr?y =0.
В соответствии с формулами (15.9) получим
П1о=О,11; b\Q——0,0875; я2о=2О,О:
^2о ~ 5,0; с2О=2,01; Озо = 6,0;
^31=0; &зо=О,О2; Сзо = .1,0;
Z н =0,044; <?2о==12,5; взо=|6,О; Л2о=ЗО,О.
По формулам (36.9) Ь20=6,5; с20 = 4,51; с3о=2,2.
§ 6. Управляемое движение рыскания
371
При помощи табл. 6.9 найдем
г2т=0.0696; Г17=3,97; гОт =16,45.
По приближенным формулам (81.9) и (82.9) получим
2йр=2,316, (о2р=6,25.
Составляя и решая уравнения (86.9), найдем
Ко=—0,744; Ki=—0,435; Л0 = 2,63; Л = 0,435.
Изображение угла крена, составленное по формулам (84.9)
и (85.9):
0,744 Л _
—----+ 0,435
Р
2,63 0,435
у=~ -р2 ~-Р-
/>+6,5 1 />2 +2,316/7+6,25
При помощи словаря изображений (см. приложение 2) замечаем,
что изображению вида
А В
о + _
соответствует оригинал вида
y(O=-f—+4^ (1-^)-АЛ
pi Pi) pi
Переходя от изображения к оригиналу (промежуточные вычисле-
ния опускаются), получим
Ду0= - 0,3 (1 - £?~6-5') - 23,2/ +
I g g Г1 I е-1,1S8Z sin (127/ 41,6) I
— ’ L 0,665 J
Угол крена, рассчитанный по этой формуле, по прошествии t—
= 1 сек после отказа двигателя Ду°=13,6°. Такое быстрое нарастание
крена нежелательно, так как оно может привести к неожиданным по-
следствиям. Дальнейший анализ показывает, что уменьшение степени
поперечной статической устойчивости |т₽| существенно уменьшает
накренение самолета в результате внезапной остановки двигателя.
Для уменьшения крена самолета в случае внезапной остановки
двигателя необходим правильный выбор поперечной и путевой устойчи-
вости самолета. Поперечная устойчивость должна быть небольшой,
а путевая — достаточно большой. Двигатели выгодно располагать по
возможности ближе к плоскости симметрии самолета, чтобы момент
силы тяги был как можно меньше.
Характер неуправляемого движения при внезапной остановке дви-
гателя можно улучшить и установкой на самолете автопилота, стаби-
лизирующего угол крена.
§ 6. УПРАВЛЯЕМОЕ ДВИЖЕНИЕ РЫСКАНИЯ
Мы рассмотрели уравнения бокового возмущенного движения
в том общем случае, когда возмущениями одновременно могли являть-
ся и управляющие воздействия, и возмущения внешней среды. В этом
параграфе рассмотрим более подробно управляемое боковое движение
летательных аппаратов; при этом будем считать, что возмущения внеш-
ней среды отсутствуют, т. е. Дрт = ДРо=Дуо=О.
24*
372
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
Среди всех возможных управляемых боковых движений летатель-
ных аппаратов можно выделить две основные группы более простых
движений. К первой группе относятся движения, выполняемые лета-
тельным аппаратом без крена со скольжением; ко второй группе —
движения, выполняемые с креном, но без скольжения. Примером дви-
жения первой группы может служить плоский разворот летательного
аппарата, выполненного по схеме « + » или «X», или плоский разворот
самолета («коробочка»), примером движения второй группы — пра-
вильный вираж.
При оценке боковой управляемости летательных аппаратов наибо-
лее важно исследование движений первой группы. Именно при таких
движениях появляется новая аэродинамическая сила, обусловленная
скольжением, которая в исходном режиме полета отсутствовала. При
этом угол скольжения должен регулироваться достаточно точно во из-
бежание попадания летательного аппарата на нежелательные режимы
обтекания.
Рассмотрим движения первой группы — без крена, но со скольже-
нием. Канал автопилота, стабилизирующий угол курса, будем считать
отключенным (&ф=0, а постоянную времени Г=0). Соображения, обо-
сновывающие целесообразность отключения этого канала при манев-
ре,— те же, что и при исследовании продольного движения по отноше-
нию к каналу, стабилизирующему угол тангажа (см. гл. VIII).
Так как в самой постановке рассматриваемой задачи содержится
требование нулевого угла крена, то положение о возможности рассмот-
рения движения рыскания независимо от движения крена, вообще го-
воря, приближенное, становится точным; мы можем, следовательно,
воспользоваться полученным ранее общим выражением (83.9) переда-
точной функции.
Рассмотрим последовательно управляемое движение при управле-
нии поворотом крыльев и при отклонении руля направления.
Управление поворотом крыльев. В соответствии с (83.9) для изо-
бражений угла скольжения р и угловой скорости рыскания рф по-
лучаем
е Гу#Р +гад _ 9
К p2 + 2ftp + «)2
'-W +готФ (89а. 9)
‘ Тк р2+2Лр+<п2 '
где коэффициенты определителя системы, входящего в знаменатель,
определяются по формулам (81.9) и (82.9), а коэффициенты г3- нахо-
дятся по табл. 4.9 и 5.9:
Гад=-2’; (90.9)
— Z? (сзо ^зо tg »о)—
—/зо(1 — £до tg %—sec &0); (91.9)
г^=-(/зо-^з1); (92.9)
Горф — {fliafго — ^Чо)- (93.9)
Корни характеристического уравнения
p2+2/zp+co2=O
обычно получаются комплексными, что свидетельствует о колебатель-
ном характере переходного процесса. Найдем оригиналы Др и Дф,
§ 6. Управляемое движение рыскания
373
предполагая для простоты, что поворот крыльев осуществляется мгно-
венно на некоторый угол Д<рк. При помощи словаря изображений полу-
чаем;
Д₽=Д<Рк
СО-*
1 — е~м
sin (К^2 — +т)
sin т
(94.9)
где смещение по фазе т определяется из выражения
tg т = Уш2— Л2------. (94а. 9)
В конце переходного процесса, как это следует из (94. 9), угол
скольжения Д0 стремится к предельному значению
Д₽(со)=ДТк Г^~.
0)2
К этому же результату можно было бы прийти и непосредственно
на основании изображения (89.9) и теоремы о предельном значении
(см. гл. V).
Выражение для оригинала угловой скорости рыскания Дф совер-
шенно аналогично выражению (94.9), только вместо г0?₽ и гкр сле-
дует подставить г01рф и г1¥ф согласно (92.9) и (93.9). Угловая скорость
рыскания Дф, так же как угол скольжения, стремится к некоторому
пределу, а угол рыскания
t
дф = J дфЛ
о
неограниченно возрастает с течением времени.
Хотя движение рыскания протекает без крена, для его реализации
необходимо в общем случае управлять элеронами. Объясняется это
тем, что угловая скорость рыскания Дф и угол скольжения Д0, возни-
кающие при рыскании, приводят к появлению моментов относительно
оси Oxi летательного аппарата. Эти моменты стремятся накренить ле-
тательный аппарат: отклонение элеронов необходимо для парирования
этой тенденции к крену. Найдем закон управления элеронами, необхо-
димый для реализации чистого рыскания.
Так как по условию у=0, то уравнение (69.9) принимает вид
^4x1 = 0200 + ^вРф- (95.9)
На основании (29.9) и (34а. 9)
Л4хг= фк/20 *2обэ.у-
Подставив это выражение в (95.9) и определяя из
ния угол отклонения элеронов 6э.у, получим
8s.y = ~~ lfl20? + + + <Рк/го1-
1 *20
Приняв во внимание полученные выше выражения
(89а. 9), после несложных преобразований выражение
привести к виду
этого уравне-
(96.9)
0 (89. 9) и рф
(96.9) можно
s P%fP2 + Р\чр+ Po-f
о = — ср —----------------1----—— ,
S‘y (P2 + 2hp 4- <o2)’
(97.9)
374
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
R%t— /20— tg &о(/зо — Z^O^j).
Rty= — ^а20 — (c20 "Ь ^20 tg »o) (/зо 2<731)
— tg М«ю/зо - 2?йзо) + 2A/20;
Rof= — o20[Z’’(c30-J-&30tg&0)4~ /30О
- *10 tg »O - sec &o)] -
— (c2o H“ ^30 tg »о) (°1о/зо 2? азо) "I- /го1"2-
Для случая мгновенного поворота крыльев по словарю изображе-
ний получаем соответствующий изображению (97.9) оригинал:
““ ^20
Д8э,у_/?<
Д<рк 0)2
। -л/ sinCy^0)2—ffit Ч~ т)
sinr
4-7?2¥е-Л/
sin (Уа>2—h2t + т)
sin т
(99.9)
tg Т == |/ to2 — Л2
^2<р“2“~ ^0?
(99а. 9)
Из (99.9) видно, что в общем случае для выполнения движения
рыскания требуется отклонять элероны по довольно сложному закону.
Это усложняет выполнение маневра рыскания; поэтому желательно
подобрать динамические коэффициенты летательного аппарата и авто-
пилота так, чтобы отклонять элероны не требовалось совсем или чтобы
по крайней мере закон отклонения элеронов был как можно проще.
Для того чтобы угол отклонения элеронов тождественно равнялся
нулю, необходимо удовлетворить условиям
— Rfv^2R2? ”9.
Удовлетворить всем этим условиям в общем случае не удается,
однако сравнительно легко получить
— uPRty =0,
выбирая соответствующим образом коэффициенты а2о (степень попе-
речной устойчивости |/л₽|), «зо (степень путевой устойчивости |т£|)
и передаточное число автопилота kvi. При этом получится
ДЗ = — — —=const-A<pK;
8-у Л20 Ук
Управление рулем направления. Как и в предыдущем случае, на
основании (83.9) для изображений р и рф получаются выражения:
Р=8Н у -Гвр/>+-Г<ир -; (100. 9)
у p2 + 2hp + ^ v '
pty=8„ />/,+г°5* .; (100а. 9)
"-У p2+2hp + ^ у '
где на основании табл. 4.9 и 5.9 коэффициенты /у- равны (Z8h=Z5):
rls₽=-Z8; (101.9)
/"osp = Z (c3q -р &3Q tg &0)
— е30(1 —610tg% —fyiZ8 sec&0); (102.9)
гкф = — (е30 — Z\z3i); (103.9)
Гогф= ^зо)- (104.9)
§ 6. Управляемое движение рыскания
375
Движение, как и при управлении поворотом крыльев, носит коле-
бательный характер. Предельные значения угла скольжения Др
и угловой скорости рыскания Дф получаются равными:
ДР(оо)=д5н.у^,
J GJ*
Дф(=°)=д8
Изображение угла отклонения элеронов имеет вид,
(97.9):
R J. R^P2+ RlbP + ^08
03 — о —---------------—
У н-уЛ2о(р2+2/гр + о12)
где
— ^20 ' tg (е30 Z 6Х31);
Ru — (^20 “Ь ^2о tg %) (^30 Z ct^) —
— tg&0 (а^зо-Та^-,
/?08 = е2й<«2—«2ol-Z (c30”b^3otg%)-f-
+Аз0 (1 — tg &0—sec %)] —
аналогичный
(105. 9)
(105а. 9)
(с2оЧ“ ^20 tg %) (a!0^30 a3o)-
Соответствующие изображениям оригиналы будут:
Др—д8н j__с—« sinful— №t +т)
'у ы2 sin т
где
tg т =]Л»2-Л2-----;
говр* Г1бр“2
дф=д8н Г1 _ е-м зЫбЛоа-ЛЦ + тП,
,у со2 sint
где
tg Т = /о?—А2-----.
г06ф^ —г18ф“2
Наконец, угол отклонения элеронов
I
(106.9)
(106а. 9)
(107.9)
(107а. 9)
^20 - ^06
Д<рк Л 9-у~ ш2
1 _ е-ы Sin^<&-№t + т)
sinr
+ /?28в-«
sin (7/" <i>2—№t + т)
sin т
где смещение по фазе
(108.9)
tg т=У io2— Л2
^28“2— ^08
“2(^18— ^28^) —^08
(108а. 9)
Так же, как и при управлении поворотом крыльев, закон отклоне-
ния элеронов можно упростить соответствующим выбором коэффици-
ентов Ого, йзо и Аф1, с тем чтобы удовлетворить равенствам
Ros — <°27?26 = О,"
элероны при этом должны отклоняться по простому апериодическому
закону
Дй8.у= - Д<Рк —~= const -Д<рк.
Й20
376
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
§ 7. УПРАВЛЯЕМОЕ ДВИЖЕНИЕ КРЕНА
Разворот летательных аппаратов, выполненных по схеме самолета
(с одной парой крыльев), обычно выполняют с креном, но без сколь-
жения. Целесообразность такого маневра объясняется тем, что на са-
молетах можно получить гораздо большую центростремительную силу
для разворота путем накренения, чем путем сообщения самолету
скольжения.
Для выполнения полета с креном, но без скольжения отклонением
элеронов сообщают летательному аппарату угловую скорость крена
Ду, а отклонением руля направления парируют тенденцию летательного
аппарата к скольжению. Эта тенденция обусловлена угловыми скоро-
стями <j)xi и аУ1 и связанными с ними вращательными производными.
Будем считать, что возмущения внешней среды отсутствуют,
т. е. что
ДЗо=Дуо=Д₽т = О.
Как и ранее, ограничимся случаем идеального автопилота, имеюще-
го каналы стабилизации угловых скоростей крена и рыскания (переда-
точные числа k-fi и £},i). Кроме того, для общности будем считать
включенным канал автопилота, стабилизирующий угол крена у (пере-
даточное число k-t).
Полагая в уравнениях (37.9) — (39.9) р = 0, эти уравнения перепи-
шем в следующем виде (cos ©о—cos Фо—*юзтФо):
Т(*юР4Чо)~Жсо5©0-*^)+^.у =0; (109.9)
V С/’2 + 'bwP + kyk20)+pty cos so (c20 + b20 tg % +
+ tg %p) + e20 8„.y = - Ms.y; (HO. 9)
yft30sec V+P^ao+^otg &о+Р)+езо8в.у8ес&0=0. (Ш.9)
Определитель этой системы дифференциальных уравнений, напи-
санных в операторном виде:
Д=
bwP+^ю — (cos Фо—&10 sin Фо - )
Р2+bwp+k,k20 cos »о (с20 + *2о tg %+tg &ор)
*3osecSoP Zn + Mg^o+Z7
Раскрывая определитель системы, получим
А=ар3+bp2+cp+d,
где коэффициенты равны:
у 6 ,
а = Л ;
Z6
^20
^30 sec Оо
(112.9)
(113.9)
& = е30(1 — ^iZ8 sec&0) —fr10e20 + Z6(fr20+c30+&10tg&0); (114.9)
С = ^30[*ю (с2о 4- *2о tg &о)+ *2о (1 ~ *ю tg &о ~ *-и sec »0)] —
— е20 [*юсзо "Г *30 (1 —*<piZ sec&0)4-rf10]4-
+ [*20 (С30+ *30 tg &о) + *20*1 Ji
(115.9)
d — d-ю [<?зо (С20 + *20 tg %) — е2Э (сзо 4" *30 tg %)] 4~
+ *20*itao(l — *10tg »о—*Ф1^sec&0) + Z6(<?30 + fe3!)tg%)]. (116.9)
Характеристическое уравнение Движения крена
ap3+bp2+cp+d=0,
§ 7. Управляемое движение крена
377
как видим, есть уравнение третьей степени. Анализ показывает, что все
три корня характеристического уравнения действительные, так что дви-
жение крена представляет собой апериодическое движение. Два кор-
ня этого уравнения всегда имеют отрицательный знак, что свидетель-
ствует о затухании соответствующих составляющих движения крена.
Так как по абсолютной величине эти два корня большие, то затухание
происходит достаточно быстро. Третий корень р3 характеристического
уравнения при отсутствии на летательном аппарате канала автопилота,
стабилизирующего угол крена (&7=0), обычно положительный. Это оз-
начает, что соответствующее составляющее движение крена неустой-
чиво: с течением времени угол крена неограниченно возрастает. Следо-
вательно, если, например, отклонить элероны на некоторый угол Д6э.у
достаточно быстро и затем сохранять этот угол неизменным, то угол
крена будет непрерывно увеличиваться и летательный аппарат будет
совершать «бочку», вращаясь вокруг продольной оси Oxi.
Для определения корней характеристического уравнения движения
крена можно воспользоваться номограммой (см. фиг. 2.9). Надо только
вместо коэффициентов а3, а2, di подставить коэффициенты b/а, с/а, d/a.
При этом параметр А, от которого зависит корень г,
где
(117.9)
(117а.9)
Искомый корень характеристического уравнения определяется по
формуле
Pi=V ,
За
(118.9)
а коэффициенты уравнения, из которого определяются два других кор-
ня,— по формулам
2/г=_1_ + л>
а
(119.9)
aPi ‘
Поскольку управляемое движение крена, как уже было отмечено,
представляет собой достаточно плавно протекающее апериодическое
движение, подробное его исследование не представляет большого инте-
реса для инженерной практики. Однако рассматриваемый маневр дви-
жения крена является одной из отправных позиций при выборе динами-
ческих коэффициентов бокового возмущенного движения летательных
аппаратов. Именно исходя из этого движения, можно определить пере-
даточные числа каналов автопилота k-,i и fopi. Этот вопрос подробно
рассмотрен в гл. XIII, а сейчас перейдем к анализу влияния динамиче-
ских коэффициентов летательного аппарата на характер бокового воз-
мущенного движения.
378
Гл. JX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
§ 8. ВЛИЯНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
НА БОКОВУЮ УПРАВЛЯЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Как и в случае анализа продольного возмущенного движения, за
критерии боковой устойчивости и управляемости можно принять время
переходного процесса tp формирования боковой перегрузки Апг и заброс
боковой перегрузки 6п2. Третьим критерием по аналогии с продольным
движением является величина представляющая угол отклонения 6Н
руля направления потребный для изменения перегрузки nz на еди-
ницу.
Ограничимся в дальнейшем для простоты случаем идеального авто-
пилота (7’=0) с отключенным каналом стабилизации угла рыскания
(Аф =0) и крена (Ат=0); кроме того, будем пренебрегать кривизной
земной поверхности (Р=0) и изменением боковой аэродинамической
силы, действующей на летательный аппарат при отклонении руля на-
правления (с*н =0). При этих предположениях, как показано выше,
передаточная функция движения рыскания для угла скольжения р есть
передаточная функция простого колебательного звена. Для колебатель-
ного звена время переходного процесса и заброс выходной величины
определяются (см. гл. V) коэффициентом относительного демпфиро-
вания
(О
где h и и — коэффициент демпфирования и опорная частота летатель-
ного аппарата с идеальным автопилотом.
Передаточная функция для угла скольжения при управлении ру-
лем направления и упрощающих предположениях на основании (100.9)
имеет вид1 2
U76 = ~^зо (l-^io tg»0) _-----£зо-----
н д2 + 2йд + о>2 p2+2ftp + <o2 v ’
где _
2 А = аю+Азо tg %+«31 (1 - А1о tg %) + с 30
~ °io4“A3Otg % + + (121.9)
oj2=(X10(fc30tg&0-|-c30)-|-a30 (1 bK tg й0)даа10 (&3Q tg % Ц- сзо) -|-д'зо (122.9)
И ^30=^30 + sec »0= - «Л .
Jy
Так как в течение небольшого промежутка времени скорость поле-
та можно считать неизменной, для передаточной функции перегрузки nz
можно пользоваться выражением
Ws „ = — -----. (123.9)
И г z G p2+2hp + <£ 1 ’
Полагая управление в виде мгновенного отклонения руля направ-
ления на постоянный угол Абн, приращение перегрузки Дпг в конце пере-
ходного процесса найдем, положив в (123.9) р=0:
Ci со*
1 В дальнейшем рассматривается только случай управления рулем направления,
как наиболее интересный
2 Так как согласно (15.9) bw=—ао и 1—£>io tg •&0= 1 Ч-'а tg Oo^l.
§ 8. Влияние динамических коэффициентов на управляемость и устойчивость 379
Отсюда получим
§П2== А5н G <»2
н Ди
•S<7ocz езо
(124.9)
Воспользовавшись обозначениями (15.9), после несложных преоб-
разований выражения (121.9), (122.9) и (124.9) перепишем в следую-
щем виде:
2 _ _
Л== _ 2с₽ fZ_(^ys + ,^tg&o+wF)] ; (125.9)
8Я< =___о -4+^ +”?•.)
H Sq^ —tn*
(126.9)
(127.9)
Эти формулы получены в результате рассмотрения колебательной
составляющей движения рыскания, которому соответствуют большие
по абсолютной величине комплексные корни характеристического урав-
нения р3 и р4. Два остальных действительных корня характеристиче-
ского уравнения pi и р2 описывают апериодическое движение лета-
тельного аппарата. Величина малого действительного корня рь как это
видно из выражения (49.9), зависит от коэффициентов характеристи-
ческого уравнения а0 и аь которые, в частности, зависят от степени
поперечной статической устойчивости т'х и от передаточных чисел
и &Т1 автопилота.
Так как движение рыскания в первом приближении рассматри-
вается как не зависящее от движения крена, то в выражения h, со и
коэффициенты и ЛТ| не входят. Выбирая соответствующим образом
эти коэффициенты, можно обеспечить требуемую величину малого
действительного корня рь
Рассмотрим с качественной стороны, как влияют на боковую
управляемость и устойчивость летательного аппарата основные его
конструктивные параметры, а также скорость и высота полета.
При увеличении массы летательного аппарата и при всех прочих
равных условиях (заметим, что при увеличении массы т пропорцио-
нально увеличивается и момент инерции 1у=тг2у), как видно из (125.9)
и (126.9), опорная частота летательного аппарата со уменьшается;
коэффициент демпфирования h уменьшается быстрее, чем со. Поэтому
относительный коэффициент демпфирования |= — уменьшается. Это
(О
означает, что характеристики переходного процесса ухудшаются: отно-
сительный заброс боковой перегрузки и время переходного про-
цесса t-p увеличиваются.
Из (127.9) следует, что увеличение массы летательного аппарата
приводит к увеличению коэффициента б^г.
Таким образом, летательные аппараты с большой удельной нагруз-
кой на крыло G/S обладают худшей боковой устойчивостью и управ-
ляемостью, чем летательные аппараты с меньшей удельной нагрузкой
на крыло.
Увеличение радиуса инерции гу летательного аппарата относи-
тельно оси Оу\ приводит, как видно из (125.9) и (126.9), к уменьше-
380
Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
нию опорной частоты со и коэффициента g. Следовательно, качество
переходного процесса при этом ухудшается. Коэффициент б”г не зави-
сит от момента инерции 1У, как это следует из (127. 9).
Отсюда видно, что при проектировании летательных аппаратов
желательно применять меры к уменьшению момента инерции 1У.
При изменении положения центра масс летательного аппарата
(изменение центровки) в основном изменяется коэффициент — сте-
пень путевой статической устойчивости. При смещении центровки на-
зад коэффициент т9 уменьшается, а вперед — увеличивается. Сме-
щение центровки назад приводит к уменьшению опорной частоты со;
коэффициент h практически остается неизменным, так что коэффициент
£ увеличивается. Если в исходном варианте динамические коэффициен-
ты обеспечивали хорошее качество переходного процесса, то при из-
менении центровки это качество ухудшается.
Коэффициент fi”z при смещении центровки назад уменьшается.
При изменении высоты полета Н плотность воздуха р убывает
с увеличением высоты и увеличивается с ее уменьшением. При неиз-
менной скорости полета и при увеличении высоты Н опорная частота
со уменьшается, относительный коэффициент демпфирования % также
уменьшается и качество переходного процесса ухудшается. Коэффици-
ент О/ увеличивается, так как плотность р влодит в знаменатель вы-
ражения (127.9) через <7o = qVq/2.
Отсюда следует, что при увеличении высоты полета характеристи-
ки боковой устойчивости и управляемости летательных аппаратов
ухудшаются.
Увеличение скорости при неизменной высоте полета и связанное
с этим влияние сжимаемости воздуха на аэродинамические характе-
ристики летательного аппарата приводят к росту опорной частоты со,
уменьшению коэффициента £ и ухудшению качества переходного про-
цесса. Коэффициент 6”z при увеличении скорости полета в области
трансзвуковых скоростей увеличивается из-за быстрого увеличения
коэффициента (— /др.
Одновременное увеличение скорости и высоты полета может зна-
чительно ухудшить боковую устойчивость и управляемость летательно-
го аппарата, если не принять специальных мер, приводящих, как и в
случае продольного движения, к усилению автоматизации в контуре
бортовой стабилизации.
Очень интересен вопрос о влиянии степени поперечной статиче-
ской устойчивости т9х на характеристики боковой устойчивости лета-
тельного аппарата. Выше на примерах собственного возмущенного
движения и движения самолета при одностороннем отказе двигателей
мы видели, что для удовлетворительных результатов желательно обес-
печивать достаточно малую степень поперечной статической устой-
чивости.
Приведенные выше критерии боковой управляемости и устойчи-
вости не позволяют непосредственно оценить характер влияния пг9х
на боковую устойчивость и управляемость летательного аппарата. Дей-
ствительно, при изменении ш9 будет изменяться только корень р\
характеристического уравнения, определяющий спиральное движение
летательного аппарата. При увеличении степени поперечной статиче-
ской устойчивости коэффициент аы характеристического уравнения
бокового движения увеличивается, как в этом можно убедиться, ана-
§ 8. Влияние динамических коэффициентов на управляемость и устойчивость 381
лизируя выражение (47. 9). Увеличение коэффициента aOi приводит
к увеличению степени спиральной устойчивости летательного аппара-
та: Если при некотором значении т^, например, корень р1 получился
положительным (летательный аппарат спирально неустойчив), то, вы-
бирая достаточно большую степень поперечной статической устойчиво-
сти, можно добиться отрицательного значения корня pi и, следователь-
но, обеспечить спиральную устойчивость летательного аппарата. При
этом все остальные критерии боковой управляемости останутся неиз-
менными, так что можно было бы сделать вывод о целесообразности
большой степени поперечной статической устойчивости. Такой вывод.
однако, противоречит качественным соображениям относительно ха-
рактера бокового возмущенного движения при больших отрицательных
значениях т?х, приведенных на стр. 368. Это кажущееся противоречие
объясняется следующим образом.
Выведенные выше критерии позволяют оценить качество переход-
ного процесса (критерии tn и Лп2), предельно достижимые боковые пе-
регрузки (критерий б”г), характер спирального движения (корень pi),
но не дают возможности узнать, например, наибольший угол крена
в процессе возмущенного движения. В то же время ясно, что распре-
деление бокового движения между колебательным, спиральным и дви-
жением демпфирования крена зависит от степени поперечной статиче-
ской устойчивости т₽. Анализ показывает, что при увеличении степени
спиральной устойчивости летательного аппарата роль колебательной
составляющей движения крена возрастает. Если колебательное дви-
жение затухает недостаточно быстро, то амплитуды углов крена в те-
чение сравнительно большого времени остаются соизмеримыми с на-
чальной амплитудой угла крена. В этом случае, несмотря на то, чтс
летательный аппарат обладает колебательной и спиральной устойчи-
востью, угол крена в течение некоторого времени будет быстро изме-
нять свой знак: летательный аппарат будет попеременно крениться на
правое и левое крылья.
На фиг. 16. 9 приведены результаты расчета бокового движения ги-
потетического снаряда типа «воздух — воздух». По оси абсцисс гра-
фика отложены значения коэффициента (— т^.), по оси ординат —
амплитуды угла крена в колебательном движении, отнесенные к ам-
плитуде угла крена при т₽=0. Как видно, оптимум (наименьшие ам-
плитуды) получается при достаточно малых степенях поперечной ста-
382 Гл. IX. Боковое возмущенное движение летательного аппарата
тической устойчивости летательного аппарата. При больших значениях
(—т!х ) амплитуды угла крена заметно возрастают.
Таким образом, и с точки зрения удовлетворительного протекания
бокового возмущенного движения летательного аппарата целесообраз-
но поперечную статическую устойчивость выбирать небольшой.
Надо заметить, что v летательных аппаратов, выполненных по схе-
ме « + » или «X», как отмечено в гл. I, коэффициент т[х близок к нулю,
что положительно сказывается на характеристиках боковой устойчиво-
сти и управляемости. Однако у самолетов, не обладающих осевой
симметрией, коэффициент может заметно отличаться от нуля,
в этих случаях необходимо принимать специальные меры для умень-
шения \т$ |, особенно при достаточно больших значениях су, при ко-
торых | т?х | возрастает.
ГЛАВА X
УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
ПРИ СТАРТЕ И ПОСАДКЕ
До сих пор рассматривались вопросы устойчивости движения ле-
тательного аппарата в воздухе — в полете. Наряду с такими вопроса-
ми представляет интерес 'изучение устойчивости и управляемости ле-
тательных аппаратов в начале и в конце полета — при старте и при
посадке. В этой главе рассмотрены устойчивость движения самолета
по поверхности аэродрома перед взлетом и после посадки, а также дви-
жение беспилотного летательного аппарата при его старте со специ-
альных устройств —с направляющих.
Основное отличие задач этого рода от рассмотренных выше за-
ключается в том, что при движении летательного аппарата по поверх-
ности аэродрома или по направляющим на характер движения накла-
дываются определенные жесткие связи. Так как при всех встречаю-
щихся возмущениях летательный аппарат продолжает двигаться по
аэродрому или по направляющим, то в возмущенном движении центр
масс летательного аппарата продолжает перемещаться практически
параллельно поверхности аэродрома или направляющих1 и траекто-
рия центра масс представляет собой прямую линию. При движении
летательного аппарата в воздухе, как мы видели, такая связь отсутст-
вует: траектория центра масс летательного аппарата при действии воз-
мущений выходит из той плоскости, в которой она находилась в исход-
ном движении до действия возмущений, и представляет собой кривую
линию.
Другим отличием задачи от предыдущих является то обстоятель-
ство, что исходное движение летательного аппарата есть движение
заведомо неустановившееся, в процессе которого скорость с течением
времени или увеличивается (при старте), или уменьшается (при по-
садке). Это обстоятельство значительно усложняет решение задачи
об устойчивости движения летательного аппарата по поверхности аэро-
дрома или по направляющим: уравнения движения получаются диф-
ференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Чтобы
получить простые решения, приходится делать упрощающие допуще-
ния, как это будет показано далее.
Наибольший практический интерес представляет исследование
продольной и путевой (курсовой) устойчивости самолета при движе-
1 Случай отделения самолета от земли («козление») не рассматривается.
384
Гл. X. Устойчивость и управляемость аппарата при старте и посадке
нии по аэродрому, а также вопрос об устойчивости движения по на-
правляющим и сразу после схода с направляющих; рассмотрением
этих вопросов мы и ограничимся.
§ 1. ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ САМОЛЕТА
ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО АЭРОДРОМУ
Рассмотрим вначале движение по аэродрому самолета, шасси ко-
торого имеет два главных колеса, расположенных впереди центра
тяжести самолета, и хвостовое (фиг. 1. 10).
Как отмечено в [1], взлет самолетов этого типа обычно производят
с приподнятым хвостовым колесом; лишь в самом начале разбега са-
молет движется на главных и хвостовом колесах. Нормальная посадка
таких самолетов производится на три точки: на главные и хвостовое
Фиг. 1. 10. Движение по аэродрому самолета, основные колеса
шасси которого расположены впереди центра тяжести.
колеса. Таким образом, при взлете разность между весом самолета
и подъемной силой крыльев воспринимается только главными колеса-
ми, а при посадке — и главными, и хвостовыми.
Очевидно, что в силу каких-либо случайных причин при взлете
самолета углы атаки и тангажа могут изменяться в сторону как уве-
личения, так и уменьшения. При посадке самолета с рассматриваемым
типом шасси принципиально можно предполагать изменение угла ата-
ки только в сторону его уменьшения (см. сноску на стр. 383); однако
практически при достаточно большом выносе главных колес относи-
тельно центра тяжести самолета угол атаки не может при возмущениях
изменяться и в сторону уменьшения. Отсюда следует, что задачу о про-
дольной устойчивости целесообразно рассматривать при движении
самолета по аэродрому на главных колесах.
Сделаем здесь существенное замечание. Как указано в [1], при дви-
жении самолета вблизи поверхности земли близость земли достаточно
сильно влияет на аэродинамические характеристики летательного аппа-
рата. Изменение аэродинамических характеристик очень быстро убы-
вает по мере удаления летательного аппарата от поверхности земли.
Поэтому если рассматривать движение самолета не только по аэро-
дрому, как это делаем мы, но и в 'непосредственной близости от поверх-
ности аэродрома, следовало бы принять во внимание влияние земли
на аэродинамические характеристики. Задача при этом усложнилась
бы и получить простые решения было бы затруднительно.
В процессе движения летательного аппарата по поверхности аэро-
дрома расстояние крыльев, оперения и других частей летательного
£ 1. Продольная устойчивость самолета при движении по аэродрому 385
аппарата от земли можно считать неизменным, как это было указано.
Составим уравнения равновесия в проекциях на вертикальную
плоскость сил, действующих на самолет при движении его по аэро-
дрому в общем случае на трех колесах, и уравнение моментов относи-
тельно оси Ог1г проходящей через центр тяжести самолета.
В общем случае при движении по аэродрому на трех колесах на
самолет действуют следующие силы; сила тяжести G=mg, подъемная
сила Y, лобовое сопротивление Q, сила тяги движителя Р, силы реак-
ции /V] и N2, действующие на главные и хвостовое колеса, и соответст-
вующие силы трения Ft и F2.
Действующий на самолет момент можно представить как сумму
момента аэродинамических сил Мг, момента силы тяги двигателя МгР,
момента реакций N\ и N2, приложенных в точках касания колесами
аэродрома, и момента сил трения колес Fi и F2.
При составлении уравнений движения предположим, что проек-
ция силы тяги Р на вертикальную плоскость равна нулю (сила тяги
действует по направлению движения) и что момент силы тяги MzP
равен нулю. Таким образом, исходное невозмущенное движение само-
лета описывается следующими уравнениями:
N^N^G-Y-,
^зем = Мг + NJ^ICT - - /Уст (А^1 + = 0;
Л = ^2 = Ж,
(1.10)
где /— коэффициент трения колес о поверхность аэродрома;
Х1ст и х2ст— расстояния от центра тяжести самолета до главных и до
хвостового колес, соответственно, измеренные по гори-
зонтали;
Уст — расстояние от центра тяжести самолета до поверхности
аэродрома при стояночном положении самолета (на
главных и хвостовом колесах).
Определяя из уравнений (1. 10) силы реакции колес, получим
ДГ (Q Y) Х1ст "Ь/Уст MZ
N2= (G — Г) x^T~fycr ,
L ’
(2. Ю)
где L=xiст+х2ст— расстояние между точками касания главных и хво-
стового колес (база шасси).
При движении самолета с шасси рассматриваемого типа по аэро-
дрому на трех колесах летчик обычно отклоняет ручку управления
рулем высоты «на себя» до отказа; при таком отклонении руля высоты
и при угле атаки, соответствующем стояночному положению самолета,
приблизительно при сг/=с1(тах, момент аэродинамических сил практиче-
ски можно считать равным нулю. Для отделения хвостового колеса
от поверхности аэродрома летчик отклоняет ручку управления «от се-
бя», чтобы создать аэродинамический момент ДМг, опускающий нос
самолета, и уменьшить нагрузку на хвостовое колесо до нуля. Потреб-
ный момент может быть найден из условия N2=Q, откуда
ДЖг^Л1Х=(Г-О)(х1ст-/уст).
Полученное выражение позволяет найти минимальный скоростной
напор «/min, при котором возможно отделение хвостового колеса от по-
верхности аэродрома. Подставив в это уравнение развернутые выраже-
25 1824
386 Гл. X. Устойчивость и управляемость аппарата при старте и посадке
~--------•—1------'— ----------------------Г------------------'-----------
ния подъемной силы и момента от отклонения руля высоты, после
элементарных преобразований получим
G
q™1п = Г ’ (3-10)
су ст ~
-*1ст ТУст
где плечи х1ст и уст отнесены к Л:
При расчете по формуле (3. 10) угол отклонения руля высоты
можно принимать 6в~6втах, так как летчик отклоняет руль высоты
из положения до отказа «на себя» приблизительно в положение 6B=0
(нейтральное положение), которому соответствуют малые балансиро-
вочные углы атаки.
В качестве примера рассмотрим самолет со следующими данными:
— • нагрузка на крыло G/S=200 кГ/ж2=1962 н/м2;
— относительные размеры шасси: xiCT=0,0625, уСт:=0125, Ь=2,5;
— коэффициент m6z =—0,018;
— угол отклонения руля высоты 6в = 30°;
— коэффициент подъемной силы при стояночном угле атаки
Су ст ~ 1 >0;
— коэффициент трения /==0,05.
Производя вычисления по формуле (3. 10), получим
<7тш=37,5 кГ/ж2=369 н/м2.
Таким образом, хвостовое колесо отделяется от земли уже при
сравнительно небольшом скоростном напоре. При дальнейшем движе-
нии самолета с поднятым хвостовым колесом и с новым углом атаки
сила реакции N2 равна нулю, а сила реакции
N^G—Y.
Уравнение моментов для этого случая при движении с постоянным
углом атаки примет вид
Л12+ (G—У) (Xi—fy) + A7Hz=0, (4. 10)
где Xi и у берутся для угла атаки аразб, соответствующего движению
на основных колесах.
Рассмотрим вопрос об устойчивости этого движения. Пусть на
самолет подействовало возмущение, увеличившее угол тангажа (а сле-
довательно, и угол атаки) на ДФ. Дальнейшее возмущенное движение
самолета будет происходить с переменным углом атаки. Уравнения
движения имеют вид 1
/(о-
2 \ 2 /
Izt$=mz
cvSqV2
G----—------=Л\,
2. 1
ba SbaQV2 I
2 ' z V 2 '
(5.10)
'г
1 Значения cv, cx и m2 должны быть взяты для угла атаки а=аразб.
§ 1. Продольная устойчивость самолета при движении по аэродрому
387
Так как в первом уравнении
меняться только слагаемые
при изменении угла атаки могут из-
CxSqV2 CySQV2
----«— и
2 2
, й CxsqV2 cySevs
а сила тяги при разбеге значительно больше, чем |— — j ——------ ,
то практически в возмущенном движении можно пренебречь изменением
скорости дУ и считать V« Уисх.
Изменение силы реакции в возмущенном движении
1 2
Подставив ДЛ^ в уравнение моментов и воспользовавшись обозна-
чением
I =mrzb2a (rz=-^-,
\ Ь.Л т)
получим уравнение, из которого должен быть определен угол тангажа
в возмущенном движении:
c“op-V2 г _,
Д& \тсу - L (%! - /у 0] Д& +
о
+-9y^-s ) д&. (6. ю)
Уравнение (6. 10) есть дифференциальное уравнение второго по-
рядка с переменными коэффициентами, так как скорость движения са-
молета зависит от времени. Ввиду того, что период продольных коле-
баний самолета невелик, а скорость за небольшой промежуток времени
изменяется незначительно, для упрощения при решении уравнения
(6. 10) можно принять V=const. При этом допущении коэффициенты
уравнения становятся постоянными; с уравнениями такого типа мы
уже неоднократно встречались.
Характеристическое уравнение для (6. 10) имеет вид
р2+ар+Ь = 0, (7. 10)
где
а=-------------(8.10)
2^G/S V '
b=~ \mcy-T (x, - /у)]. (9.10)
2rz ПГ
о
Так как /п“2<0, дг“<0, то коэффициент а всегда положителен.
Если 0<^Ь<^ —, то корни характеристического уравнения
25*
388
Гл. X. Устойчивость и управляемость аппарата при старте и посадке
— действительные, и в этом случае движение устойчиво, так как всег-
д2
да а>0. Если Ь> —, то корни характеристического уравнения полу-
чаются комплексные, и движение также устойчиво.
Следовательно, достаточное условие устойчивости движения само-
лета по аэродрому можно написать в виде &>0 или в соответствии
с (9.10).
<у-£(х1-/у)<0. (10.10)
Таким образом, для продольной устойчивости движения самолета
по аэродрому, как и для продольной устойчивости при полете, необхо-
димо, чтобы самолет обладал статической устойчивостью. Разница
заключается только в том, что при движении самолета по аэродрому
степень продольной статической устойчивости определяется не только
моментом аэродинамических сил, как это было в полете (у.устойчивого
самолета т^<0), но и моментом сил реакции колес относительно цен-
тра тяжести.
Так как практически всегда (5?i—/у)>0, мы приходим к выводу,
что самолет с шасси из1 двух главных и хвостового колес, обладающий
продольной статической устойчивостью в полете, будет иметь продоль-
ную статическую устойчивость при движении по аэродрому.
Заметим еще, что, как отмечено в гл. I, влияние близости земли
приводит к уменьшению скоса потока за крылом и к увеличению коэф-
фициента тсУ по сравнению с его значением в полете.
Перейдем теперь к самолету, шасси которого состоит из двух
главных колес, расположенных позади центра тяжести, и переднего
колеса (фиг. 2. 10).
Чтобы уменьшить возможные возмущения, обусловленные нагруз-
кой на переднее колесо, разбег на таких самолетах обычно производят
с приподнятым передним колесом. Для отделения переднего колеса
от поверхности аэродрома летчик отклонением руля высоты должен
создать момент, уравновешивающий момент реакции переднего колеса.
Определяя из этого условия аналогично предыдущему минимальный
скоростной напор при котором возможно. отделение переднего ко-
леса, получим
G
S
<7mln 8.
mz8B 1
Су ст + — , — -т-
-*2ст + f Уст L
(11.10)
§ 1. Продольная устойчивость самолета при движении по аэродрому
389
После отделения переднего колеса от поверхности аэродрома са-
молет продолжает движение на главных колесах с 'постоянным углом
атаки. Уравнение равновесия моментов1 при таком движении имеет вид
Mz зем=Л12 + ЛЛ12— (G—Y) (x-i+fy) =0, (12. 10)
а сила реакции Мь приложенная к главным колесам,
N2=G—Y, (13.10)
При составлении уравнения моментов, действующих на самолет
в возмущенном движении, надо принять во внимание, что знак момен-
та реакции колес будет обратным знаку этого момента у рассмотрен-
ного ранее самолета, так как в данном случае реакция колес прило-
жена позади центра тяжести самолета. Не приводя подробных выво-
дов, во всем аналогичных предыдущим, дадим сразу окончательное
уравнение, из которого можно определить угол тангажа
~[mCzy +Щ2 + /у)] Д& +
ЬЛ
О
4- ) д&. (14.10)
' 2r2G/S V г Т z/“ ' /
Как видно, уравнение (14. 10) отличается от (6. 10) только выра-
жением коэффициента при ДФ, который в данном случае получается
равным
w^+Z(x2+/y).
Для обеспечения продольной устойчивости движения по аэродро-
му самолета с шасси рассматриваемого типа необходимо удовлетво-
рить неравенству
/п5'+£(х2+/у)<0. (15.10)
Член L(x2+fy) в этом неравенстве положительный; поэтому при
известных условиях самолет, обладающий в полете продольной ста-
тической устойчивостью (т^<0), при движении по аэродрому может
оказаться продольно неустойчивым. Для обеспечения продольной
устойчивости движения по аэродрому самолета с шасси, главные ко-
леса которого расположены позади центра тяжести, необходимо, чтобы
— znS>Z(x2+/y).
Это условие можно выполнить путем выбора достаточно большой
степени продольной статической устойчивости в полете или пу-
тем обеспечения достаточно малой величины суммы (x2+fy). В по-
следнем случае следует иметь в виду, что величина плеча х2 при пере-
ходе самолета из положения при разбеге к положению при посадке
уменьшается. При неудачной компоновке шасси может оказаться даже,
что при посадке координата х2 станет отрицательной. В этом случае
момент веса самолета относительно точки касания колесами аэродрома
при посадке может привести к удару самолета о поверхность аэродро-
1 Коэффициенты cv и mz соответствуют углу атаки а=аразб.
390
Гл. X. Устойчивость и управляемость аппарате, при старте и посадке
ма и к аварии. Поэтому при посадочном положении самолета необ-
ходимо обеспечивать положительную координату х2.
Резюмируя положения, приведенные в настоящем параграфе, не-
обходимо подчеркнуть, что условием продольной устойчивости движе-
ния самолета по аэродрому, как и движения в воздухе, является нали-
чие статической устойчивости.
Как было показано, у самолетов, шасси которых имеют главные
колеса впереди центра тяжести, степень продольной статической устой-
чивости при движении по аэродрому больше, чем в полете. Наоборот,
у самолета с шасси, главные колеса которого расположены позади цен-
тра тяжести, степень продольной статической устойчивости при движе-
нии по аэродрому меньше, чем в полете. Это особенно характерно для
шасси велосипедного типа, у которых центр тяжести самолета нахо-
дится примерно посередине между точками касания аэродрома глав-
ными и хвостовым колесами.
В качестве примера рассмотрим три самолета с различными_типа-
ми шасси. Пусть щасси с передним, колесом имеет размеры: Ь=2,0,
г2=0,0625, у = 0,25; шасси с хвостовым колесом: £ = 2,5, xi=0,0625,
у =0,25; шасси велосипедного типа: Х=2,0, х2=0,5, у = 0,25. Степень
продольной статической устойчивости от аэродинамических сил у всех
трех самолетов одинакова и равна mczy =—0,25 (такую сравнительно
большую степень статической устойчивости можно принять, имея в ви-
ду, что вследствие близости земли скос потока значительно умень-
шается).
Производя подсчет по приведенным выше формулам, найдем, что
для самолета с шасси, имеющим хвостовое колесо, степень продольной
статической устойчивости при движении по аэродрому получается рав-
ной —0,375. Для самолета с шасси, имеющим главные колеса впереди
центра тяжести («трехколесное шасси»), степень продольной статиче-
ской устойчивости при движении по аэродрому равна —0,10, а для
самолета с шасси велосипедного типа +0,655.
Как видно из этого примера, в случае шасси велосипедного типа
самолет при движении по аэродрому на задних колесах обладает зна-
чительной продольной неустойчивостью; поэтому на таком самолете
разбег с приподнятыми передними колесами практически невозможен.
Правда, на таком самолете не хватит запаса отклонения руля высоты
для отделения передних колес от поверхности аэродрома при неболь-
ших скоростях движения, как в этом можно убедиться, производя рас-
чет по формуле (12. 10). Движение по аэродрому на самолетах с шасси
велосипедного типа осуществляют и на передних и на задних коле-
сах; передние колеса отрываются от аэродрома только при достижении
скорости отрыва. Для уменьшения длины разбега самолетов с шасси
велосипедного типа стояночный угол атаки часто выбирают большим,
чем с шасси другого типа.
§ 2. ПУТЕВАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ САМОЛЕТА
ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО АЭРОДРОМУ
Устойчивость пути (курса) самолета при движении по аэродрому
является весьма важным условием безопасности взлета и посадки
самолета.
Пусть самолет движется по аэродрому так, что траектория его
представляет прямую линию, и пусть в некоторый момент времени по
какой-либо причине самолет отклонился от первоначальной траекто-
рии, так что дальнейшее движение его будет происходить с некоторым
§ 2. Путевая устойчивость самолета при движении по аэродрому
391
углом скольжения. Траектория такого возмущенного движения само-
лета в общем случае будет криволинейной.
В случае прямолинейного движения по аэродрому на самолет дей-
ствуют аэродинамические силы, силы реакции колес и силы трения, рас-
смотренные в предыдущем разделе. Если самолет движется ио аэро-
дрому с некоторым углом скольжения, то возникают дополнительные
аэродинамические силы, с которыми мы встречались при рассмотрении
бокового движения летательных аппаратов в полете. Кроме того, на
Фиг. 3. 10. Боковые силы, действую-
щие на колеса шасси при движении
самолета по аэродрому со скольже-
нием.
колеса, помимо обычных сил трения,
направленных в сторону, обратную дви-
жению, будут действовать силы, пер-
пендикулярные скорости движения и
направленные в сторону, обратную на-
правлению ско-льжения (фиг. 3. 10).
Эти силы могут значительно превосхо-
дить по величине силы трения, направ-
Фиг. 4.10. Характер зависимо-
сти коэффициента боковой
СИЛЫ Cl к от угла скольже-
ния Р,
ленные обратно движению самолета. Как показывает опыт, коэффициент
действующей на колесо боковой силы с2К= вначале при сравнительно
небольших углах скольжения прямо пропорционален углу скольжения.
После того как угол скольжения достигнет некоторой критической вели-
чины рКрит, при которой cZK достигает максимума, дальнейшее увеличе-
ние угла скольжения приводит к уменьшению коэффициента cz к, как это
показано на фиг. 4.10. Зависимость коэффициента cZK=f(P) весьма
напоминает зависимость коэффициента подъемной силы крыльев от угла
атаки cy=f(a): и в том, и в другом случаях сначала имеет место линей-
ная зависимость коэффициента от угла, а затем — уменьшение коэффи-
циента при дальнейшем увеличении угла атаки или угла скольжения.
В большинстве случаев при движении самолета по аэродрому углы
скольжения невелики; поэтому коэффициент боковой силы с2К колеса
связан с углом скольжения линейной зависимостью.
При составлении уравнений движения самолета по аэродрому будем
считать, что движение крена самолета и, следовательно, угловая ско-
рость соЖ1 относительно оси Охг отсутствуют. Такое предположение
близко к действительности особенно для самолетов с колесами шасси,
разнесенными относительно плоскости симметрии самолета. Далее по-
ложим, что изменением реакции колес вследствие поперечного момента,
392
Гл. X. Устойчивость и управляемость аппарата при старте и посадке
обусловленного угловой скоростью (вращательная производная
/п“у), можно пренебречь. Такое допущение основано на том, что мо-
мент от нормальной силы, действующей на колеса при скольжении, во
много раз превосходит момент от сил трения, зависящих от вертикаль-
ных нагрузок на колеса шасси.
Составляя уравнения равновесия проекций сил на ось Ozx и рав-
новесия моментов относительно оси Оу\, с учетом сделанных допуще-
ний получим (см. гл. II)
+ +^2^2)₽; (16.10)
Ууи>у=»г“,У<ву ^Sql-\-{m^Sql—x1c9ZK(Nl-\-x2c^KzN^,d. (17.10)
Исключив из этих уравнений угловую скорость ыу, а также исполь-
зуя обозначение
после несложных преобразований придем к следующему дифференци-
альному уравнению относительно угла скольжения |3:
р+ар + 6₽ = 0, (18.10)
где введены обозначения
Ь=-
xz+fy
ZgQV2
r}pl
QV2
Р
X
I , xv~fy
у- (-Z к1 ~
my——c?mwy
y 4p z у
, P у
(19.10)
+ +44-^ m“y-^\ (20.10)
I J L \ P у I / Г j
и p=GIS.
Так как коэффициенты m$, c$, с₽к1 и с₽к2. всегда отрицательны, то,
как видно из (19. Ю), коэффициент а положителен при условии, что
коэффициент нормальной силы, действующей на колесо, связан
с углом скольжения линейной зависимостью, как об этом было сказа-
но. Коэффициент Ь может быть и положительным, и отрицательным.
На основании рассуждений, аналогичных приведенным в преды-
дущем параграфе, приходим к заключению, что для того, чтобы дви-
жение самолета по аэродрому обладало путевой устойчивостью, не-
обходимо выполнение того же условия Ь>0.
Посмотрим, выполняется ли это условие для самолетов с различ-
ным типом шасси.
Как видно из (20. 10), первое слагаемое в выражении коэффици-
ента b прямо пропорционально квадрату скорости и при наличии у са-
молета путевой устойчивости в полете всегда положительно. Поэтому
расчетным случаем для оценки путевой устойчивости самолета при дви-
жении по аэродрому должно быть движение с малой скоростью.
Имея в виду общую приближенность расчета, два первых слагае-
мых в (20. 10) можно положить равными нулю. Тогда условие путевой
§ 2. Путевая устойчивость самолета при движении по аэродрому
393
устойчивости самолета при движении по аэродрому можно написать
в следующем виде:
к1 (—h 4*i у) (*2 + /у)+
\ р * J
(РГ)1т“У — 1 | .
4х2А (х1-/у)>0. (21.10)
Р----------------------------------i J
У самолетов, главные колеса шасси которых расположены впе-
реди центра тяжести, оси основных колес делают неподвижными,
а хвостовое колесо — ориентирующимся. Ориентирующееся хвостовое
колесо, плоскость вращения которого практически совпадает с направ-
лением движения самолета, дает весьма небольшой момент относи-
тельно центра тяжести самолета; в первом приближении этим момен-
том можно пренебречь. Следовательно, в неравенстве (21. 10) в этом
случае можно положить с₽к2 =0. Так как всегда <0, то для вы-
полнения неравенства нужно, чтобы
+4Т,А<0
р I
или
— I RQlnK?
х.< - 0,25 — у . (22.10)
L Р
Пусть, например, р=200 кГ/;и2=1962 н/м1, /=10 м, rrty=—0,3
и пусть движение самолета по аэродрому происходит на уровне моря
(q = 0,125 кГ •сек11м'>= 1,225 н-сек2(м^). Подставив эти данные в (22. 10),
получим, что для обеспечения путевой устойчивости необходимо х\<
<0,009. Такое небольшое плечо Xi практически получить нельзя, так
как в этом случае при положении самолета «в линии полета» центр
тяжести самолета окажется впереди точки касания колесами земли
(фиг. 5. 10) и для компенсации момента силы тяжести относительно
точки касания колесами земли потребуются большие моменты руля
высоты.
Таким образом, самолет, шасси которого имеет хвостовое колесо,
обладает путевой неустойчивостью при движении по- аэродрому. Эту
394 Гл. X. Устойчивость и управляемость аппарата при старте и посадке
неустойчивость можно несколько ослабить применением устройства,
которое стопорит хвостовое колесо при разбеге и пробеге и оставляет
его ориентирующимся при рулежке. Этим способом, однако, в лучшем
случае удается сделать самолет близким к нейтральному, в чем можно
убедиться, производя расчет по формуле (21. 10), приняв с₽к1 = с₽к2.
Радикальным решением вопроса о путевой устойчивости самолета
при движении по аэродрому является применение шасси, основные ко-
леса которого расположены позади центра тяжести самолета. В этом
случае при скольжении боковые силы, действующие на основные коле-
са, дают стабилизирующий момент, а дестабилизирующее влияние
переднего колеса незначительно, так как боковая сила переднего коле-
са весьма мала и ее можно принять равной нулю.
Пусть, например, самолет с шасси такого типа имеет те же, что
в предыдущем примере, нагрузку на крыло, размах крыльев и произ-
водную т“т и 'пусть Х2=0,0625, х1 = 0,9375, у=0,25, =0,5.
Производя расчет по формуле (21. 10) для с₽к1 =0,05 и 5.
придем к неравенству
—0,007 + 0,660= + 0,653>0.
Таким образом, самолет, шасси которого имеет основные колеса
позади и переднее ориентирующееся колесо впереди центра тяжести
самолета, обладает путевой устойчивостью при движении по аэродро-
му. Для большего удобства в таком шасси иногда применяют устрой-
ство, превращающее по желанию летчика переднее колесо из свободно
ориентирующегося в управляемое.
В приведенных рассуждениях мы пренебрегали стабилизирующим
моментом действующих на самолет аэродинамических сил. По мере
увеличения скорости движения самолета по аэродрому роль этих сил
возрастает; начиная с некоторой скорости самолет с главными колеса-
ми впереди центра тяжести также становится устойчивым.
Если в силу каких-либо причин при движении самолета по аэро-
дрому углы скольжения оказываются большими, чем критический угол
скольжения ркр (см. фиг. 4. 10), то дифференциальные уравнения дви-
жения становятся нелинейными и полученные выше решения теряют
силу. На основании простых рассуждений можно прийти к выводу, что
при движении по земле в этом случае самолет становится неустойчи-
вым в путевом отношении. В этом случае при увеличении угла сколь-
жения действующая на колеса боковая сила уменьшается, а не увели-
чивается, как это было- при малых углах скольжения. Момент сил,
действующих на главные колеса, будет при этом увеличивать, а не
уменьшать, как прежде, угол скольжения: разворот самолета будет
усиливаться. Попытка летчика исправить положение путем управле-
ния передним колесом не только не улучшит, а даже ухудшит поло-
жение, так как, поворачивая переднее колесо в сторону, обратную
скольжению, летчик уменьшит угол скольжения переднего колеса. Бо-
ковая сила переднего колеса увеличится, а не уменьшится, так что
дестабилизирующий момент при этом возрастет.
Следовательно, при движении самолета по аэродрому летчик не
должен допускать больших углов скольжения, так как при таких углах
он не сумеет удержать самолет от разворота и возникнет аварийная
ситуация. Надо отметить, что вероятность появления больших углов
скольжения в случае шасси велосипедного типа, по-видимому, меньше.
§ 3. Расчет движения летательного аппарата при старте с направляющих 395
чем в случае шасси с разнесенными колесами, благодаря меньшей ве-
личине плеч возможных возмущающих моментов.
§ 3. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПРИ СТАРТЕ С НАПРАВЛЯЮЩИХ
В некоторых случаях старт беспилотных летательных аппаратов
осуществляют со специальных стартовых устройств — направляющих,
вдоль которых в течение некоторого времени движется летательный
аппарат (фиг. 6. 10). За это время летательный аппарат приобретает
скорость, необходимую для свободного полета, и в дальнейшем осу-
ществляет такой полет.
Летательный аппарат перемещается вдоль направляющих на двух
опорах, расположенных по обе стороны его центра масс. Сами направ-
ляющие устанавливаются под некоторым углом 0 к поверхности зем-
Фиг. 6. 10. Старт летательного аппарата с направляющих.
ли. Опоры, на которых перемещается летательный аппарат, устраи-
вают так, чтобы летательный аппарат не мог произвольно отделяться
от направляющих и, следовательно, выдерживал заданное направле-
ние движения. Сообщать летательному аппарату необходимую кине-
тическую энергию, помимо двигателя, установленного на летательном
аппарате, могут и дополнительные двигатели. Эти двигатели либо
устанавливают на самом летательном аппарате (стартовые ускорите-
ли, подобно применяемым при старте самолета с места — см. [1]),
либо они являются неотъемлемой частью стартового устройства.
В этом последнем случае дополнительные двигатели создают силу
тяги, приложенную к опорам, а не непосредственно к летательному
аппарату.
Движение летательного аппарата по направляющим не представ-
ляет принципиальной разницы по сравнению с его движением по по-
верхности аэродрома (при ограничениях, введенных выше, — невоз-
можность отделения самолета от поверхности аэродрома). Необходимо
только учесть, что поверхность аэродрома, роль которой теперь играют
направляющие, наклонена к горизонту под углом 0.
396 Гл. X. Устойчивость и управляемость аппарата при старте и посадке
Уравнения равновесия сил в проекциях на нормаль к направляю-
щей и уравнение равновесия моментов относительно оси 0zh проходя-
щей через центр масс летательного аппарата, имеют вид
Mj + M2—
(23.10)
MiXi—М2х2—Л12 а = 0.
(24. 10)
Здесь R—G cos 0о—Psintp—У — результирующая сила, передавае-
мая от летательного аппарата на направляющие;
Ni и М2 —реакции передней и задней опор;
у — расстояние от центра масс летательного аппарата, измеренное
по перпендикуляру к поверхности направляющей;
f — коэффициент трения
Фиг. 7. 10. Силы, действующие на летательный
аппарат при старте с направляющих.
опор;
Mta — момент аэроди-
намических сил, действую-
щих на летательный аппа-
рат (фиг. 7.10).
После того как лета-
тельный аппарат при движе-
нии вдоль направляющих
наберет достаточную ско-
рость, обе опоры одновре-
менно освобождаются, и ле-
тательный аппарат начинает
свободный полет. Одновре-
менное освобождение обеих
опор необходимо потому,
что в противном случае не-
избежно появление возму-
щающих сил и моментов,
нарушающих программу
движения летательного ап-
парата.
Отделение летательного аппарата от направляющих, очевидно, воз-
можно лишь при выполнении условия
(Л71+Л72) отрС 0.
Целесообразно это условие вместо неравенства рассматривать
как равенство (M+(V2)OTp=0, так как в противном случае в момент
отделения летательного аппарата к нему будет приложена избыточная
сила
^отрЭ^О-
Эта сила будет играть роль возмущения и, следовательно, приведет
к отклонению дальнейшего движения летательного аппарата от про-
граммы.
Момент аэродинамических сил Mza можно, как обычно, предста-
вить в виде
Mza = mzSbaq.
Если коэффициент момента т2=^=0, то момент ТИ2а при отделении
летательного аппарата от направляющих получится не равным нулю.
Непосредственно перед отделением этот момент Л42а уравновешивает-
ся моментом реакции опор и сил трения. Непосредственно после отде-
ления момент Mz а будет играть роль дополнительного возмущения.
§ 3. Расчет движения летательного аппарата при старте с направляющих 397
Отсюда следует, что угол установки руля при старте с направляющих
надо выбирать таким образом, чтобы коэффициент момента
был равен нулю в течение всего времени движения по направ-
ляющим.
При выполнении условий, формулированных выше, траектория по-
лета летательного аппарата после схода с направляющих вначале
будет продолжать траекторию движения по направляющим, а затем
вследствие роста скорости — искривляться кверху.
Так как на практике трудно обеспечить строго одновременное осво-
бождение обеих направляющих, трудно точно выдержать момент
времени, соответствующий равенству нулю силы /?Отр, и обеспечить
точное равенство нулю момента, действующего на летательный аппа-
рат, то в течение некоторого времени после схода с направляющих
движение его будет представлять собой возмущенное движение. Это
движение можно рассматривать как результат начальных возмущений
по моменту
=Sbaqo^mz Д8в0,
где Дбв0 оценивает неточное равенство нулю момента, и по углу атаки
Дао пни сходе с направляющих. Методы исследования такого возму-
щенного движения изложены в гл. VI—VIII. Для упрощения исследо-
вания вместо действительного движения можно ограничиться рассмот-
рением короткопериодического движения, характеристическое уравне-
ние которого в случае идеального автопилота есть квадратное уравне-
ние (47.8).
В правой части уравнений движения (3.8) —(5.8) возмущениями,
как было отмечено, будут (—Дао) и (—е30Д6в0). Коэффициенты г}, вхо-
дящие в выражение коэффициентов К, короткопериодического движе-
ния, должны быть определены именно для этих возмущений.
Метод расчета возмущенного движения принципиально ничем не
отличается от изложенного в гл. VI—VIII, и мы на нем останавливать-
ся не будем.
ГЛАВА XI
ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО
АППАРАТА НА ЕГО УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
До сих пор летательный аппарат рассматривался как абсолютно
жесткое тело. В действительности в полете под действием внешних
сил (главным образом аэродинамических) элементы конструкции де-
формируются. Вследствие упругости конструкции характеристики
управляемости и устойчивости летательного аппарата изменяются. Это
изменение обусловливается двумя причинами. Во-первых, устойчивость
и управляемость изменяются вследствие изменения внешних нагрузок,
обусловленного деформациями; во-вторых, изменение устойчивости
и управляемости может иметь место вследствие изменения углового
положения автоматических устройств стабилизации и управления по-
летом, также обусловленного деформациями конструкции. Подробное
изучение вопросов, связанных со вторым из отмеченных обстоятельств,
выходит за пределы курса динамики; отметим лишь, что те автомати-
ческие устройства, точность работы которых зависит от их расположе-
ния относительно летательного аппарата, надо устанавливать там, где
деформации конструкции минимальны. Первое обстоятельство надо
учитывать при исследовании динамики.
Как было отмечено, внешние силы, действующие на летательный
аппарат, вызывают деформации конструкции и приводят к изменению
его внешних обводов. Изменение внешних обводов в свою очередь из-
меняет нагрузки на элементы (на крылья, корпус и т. д.) летательного
аппарата. Аэродинамические нагрузки на летательном аппарате
с упругой конструкцией изменяются по сравнению с аэродинамически-
ми нагрузками на летательном аппарате с такими же геометрическими
формами, но с абсолютно жесткой конструкцией, как по величине, так
и по характеру распределения на его поверхности. В результате для
получения одной и той же аэродинамической силы, например, лета-
тельный аппарат с упругой конструкцией надо ориентировать иначе
относительно вектора скорости полета, чем с абсолютно жесткой кон-
струкцией. Так, для получения одной и той же подъемной силы У при
одном и том же скоростном напоре летательные аппараты с упругой
и абсолютно жесткой конструкцией должны иметь различные углы
атаки крыльев. Для равновесия моментов при этих условиях потребует-
ся различное отклонение руля высоты. Динамические коэффициенты,
входящие в уравнения движения, в результате упругости конструкции
изменятся, как и решения этих уравнений.
Деформациям в полете подвергаются все части летательных ап-
паратов: крылья, оперение, корпус и пр. При недостаточно жесткой
Гл. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость 399
конструкции и при большом расстоянии центров давления крыльев
и оперения позади центров жесткости никакого прироста подъемной
силы при увеличении угла атаки крыльев или при отклонении рулей
может не получиться. При этом вследствие деформаций кручения
крыльев угол атаки крыльев уменьшится как раз настолько, насколько
он увеличится вследствие отклонения рулей. В этом случае будет иметь
место полная потеря управляемости летательного аппарата вследствие
упругости конструкции. Потеря управляемости в принципе возможна
и вследствие деформаций изгиба корпуса (фюзеляжа).
Влияние деформаций конструкции на аэродинамические характе-
ристики летательного аппарата увеличивается при увеличении скоро-
сти набегающего потока; поэтому оценка влияния упругости конструк-
ции на устойчивость и управляемость особенно актуальна для лета-
тельных аппаратов с большими скоростями полета. Объясняется это
тем, что аэродинамические силы и моменты, от которых зависит дефор-
мация конструкции, пропорциональны при прочих равных условиях
квадрату скорости полета и, следовательно, растут с ростом скорости
полета.
Количество конструктивных элементов, деформации которых ска-
зываются на характеристиках устойчивости и управляемости лета-
тельных аппаратов, довольно велико. Наиболее существенной при ана-
лизе устойчивости и управляемости летательных аппаратов является
деформация крыльев, оперения и корпуса, а для самолетов, пилоти-
руемых летчиком, кроме того, деформация триммеров, установленных
на рулях.
Следует заметить, что, помимо влияния на устойчивость и управ-
ляемость, деформации конструкции сказываются и при оценке общих
динамических характеристик летательного аппарата, в частности, ло-
бового сопротивления. Этот вопрос, однако, мы рассматривать не бу-
дем, так как при правильном выборе жесткости конструкции такое
влияние, по-видимому, невелико.
Деформации конструкции под действием внешних нагрузок изме-
няются с течением времени: деформация возникает не сразу вслед за
приложением сил, а формируется в течение некоторого времени. От-
сюда следует, что деформации должны быть определены из дифферен-
циальных уравнений, отражающих условия работы упругой конструк-
ции летательного аппарата. Расчет внешних нагрузок усложняется по
сравнению со случаем абсолютно жесткого летательного аппарата.
Область динамики, рассматривающая подобные вопросы, называют
«аэроупругостью»; эта область стоит на стыке собственно динамики
полета и теории упругости. Мы ограничимся в этой книге более про-
стым подходом к решению задачи о влиянии упругости конструкции
летательного аппарата на его устойчивость и управляемость. Именно,
вместо того, чтобы рассматривать динамику упругих деформаций и со-
ответствующих изменений внешних сил, мы будем исходить из статики.
Другими словами, при расчете аэродинамических коэффициентов
с учетом упругости конструкции летательного аппарата будем исходить
из установившихся режимов, при которых наступает равновесие сил
упругости и аэродинамических сил.
Такой упрощающий решение задачи подход обосновывается тем,
что переходные процессы формирования деформаций и соответствую-
щих изменений внешних сил значительно короче переходных процес-
сов формирования основных сил, действующих на летательный аппа-
рат. Сделанные допущения аналогичны допущению при замене реаль-
ного автопилота идеальным.
400 Г л. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
§ 1. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛЬЕВ
НА ПРОДОЛЬНУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ и управляемость
Рассмотрим вначале упрощенную модель явления (фиг. 1.11).
Примем, что само крыло имеет абсолютно жесткую конструкцию,
а упругость крыла 'на кручение моделируется при помощи двух пру-
жин, расположенных так, что центр жесткости находится на расстоянии
Ах позади фокуса крыла.
Пусть такое крыло установлено в потоке воздуха под углом атаки
а. Вследствие упругости пружин при увеличении скорости потока угол
атаки крыла будет изменяться; величину изменения угла атаки крыла
вследствие упругости обоз-
начим ДаУпр. Аэродинами-
ческие силы и моменты,
действующие на крыло,
можно свести к силе Уь
нормальной к хорде крыла,
к тангенциальной силе Xi и
к моменту Мг0, причем си-
лы приложены в фокусе
крыла. Приближенно будем
считать, что сила Ху прохо-
дит через центр жесткости,
Фиг. 1.11. Схема упругого прямого крыла. а сила равна подъемной,
силе Y крыла.
Условие равновесия моментов, приложенных к крылу, можно на-
писать в виде
+ Г Дх - &крДаупр = 0,
(1-И)
где &кр — коэффициент жесткости крыла на кручение.
Заменяя в (1. 11) подъемную силу Y и момент Mz0 их выражениями
получим
=Су(а+Даупр)-$?, M^m^SbAq,
тг0Ьа + (а + Даупр) Дх - =о.
__(^гО-ЬСу°Дх) Sbaq
Определяя из этого уравнения угол закручивания крыла Даупр,
найдем
Д®упр
где введено обозначение
(2.Н)
Акр— сауйх Sbaq
LX=--
Из уравнения (2.11) видно, что при увеличении скоростного напо-
ра q угол закручивания будет возрастать и при
^кр
9=9кРит= C^-Sba
он станет бесконечно большим: наступит так называемая диверген-
ция — апериодическая неустойчивость конструкции крыла на кручение.
§ 1. Влияние упругости крыльев на продольную устойчивость и управляемость 401
При q, близком к <7крит, достаточно небольшого увеличения 'скоростно-
го напора для очень большого увеличения деформации кручения. Если
в (2.11) вынести за скобку йкр в знаменателе, то для Ааущ, получим не-
сколько иное выражение:
А^упр
(тг0+с“аДх) Sbaq
^кр (1 — 9/?крит)
(3.11)
Рассмотренная выше схема является весьма грубой моделью дей-
ствительного явления. С целью выяснения влияния деформации круче-
ния крыла на продольную статическую устойчивость летательного
аппарата возьмем несколько более
близкую к действительности мо-
дель. Центральное (корневое) сече-
ние крыла постоянной хорды будем
считать недеформируемым, жестко
связанным с корпусом, а само кры-
ло— упругим, причем угол круче-
ния будем считать изменяющимся
вдоль размаха крыльев.
Для того чтобы оценить влия-
ние деформации кручения крыла
на продольную статическую устой-
чивость летательного аппарата, до-
Фиг. 2. И. Изменение углов атаки
сечений прямого крыла по размаху
вследствие кручения при постоянной
величине изменения коэффициента
подъемной силы (Ac„=const) для
трех случаев:
статочно сравнить приращение про-
дольного момента при каком-либо
определенном изменении перегруз-
ки или скорости полета у летатель-
ного аппарата с жесткими или уп-
ругими крыльями. На фиг. 2.11
схематически показаны различные
законы распределения угла атаки
вдоль размаха прямого крыла при
1—абсолютно жесткое крыло, 2—углы
атаки сечений возрастают к концам кры-
ла, 3—углы атаки сечений уменьшаются
к концам крыла.
одном и том же приращении коэф-
фициента Дсу по сравнению с исходным режимом полета (Асг/>0).
Кривая 1 соответствует абсолютно жестким крыльям: в этом слу-
чае во всех сечениях крыла при изменении угла атаки центрального
сечения на величину Да углы атаки изменяются именно на эту величи-
ну Да. Кривая 2 и 3 соответствуют упругим крыльям с различными
характеристиками упругости. В 'случае кривой 2 характеристики упру-
гости таковы, что углы атаки сечений крыльев возрастают по направ-
лению к концам крыльев; для получения на таком крыле того же при-
ращения коэффициента подъемной силы Acv, что и на жестком крыле,
угол атаки центрального сечения придется изменить на меньшую вели-
чину, чем в случае жесткого крыла. В случае кривой 3 характеристики
упругости приводят к уменьшению углов атаки сечений при перемеще-
нии к концам крыльев. Для получения того же приращения коэффи-
циента подъемной силы ДсР требуется большее изменение угла атаки
центрального сечения крыла Да, чем в случае жестких крыльев.
В рассмотренных трех случаях различным углам атаки централь-
ного сечения крыльев будут соответствовать и различные углы атаки
горизонтального оперения. Следовательно, моменты горизонтального
оперения относительно центра масс летательного аппарата получатся
различными. В первом приближении, если пренебречь влиянием де-
формации на коэффициент mz0 крыла, можно считать, что изменение
26 1824
402 Гл. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
полного момента, действующего на летательный аппарат, при данном
значении су равно изменению момента горизонтального оперения. Та-
ким образом ’,
Д/И2 == mz упр Юг ж = Д Ш2 г.о
ИЛИ
Дтг= — А: Дг.0Су г.оДаг.о, (4.11)
где
Даг.о=аг.о упр ctr.o ж-
Угол атаки горизонтального оперения в случае упругого крыла бу-
дет отличаться от угла атаки в случае жесткого крыла не только
вследствие различия угла атаки упругого и жесткого крыльев, но
и вследствие различных углов скоса потока. Изменение угла е скоса
потока объясняется перераспределением циркуляции скорости по раз-
маху на упругом крыле по сравнению с жестким крылом. С достаточ-
ным для качественной оценки приближением, не отражающимся на
принципиальной стороне дальнейших рассуждений, угол скоса потока е
можно принять пропорциональным изменению угла атаки центрального
сечения крыльев. Тогда
Де=£)СуДа, £>=—.
Ос у
Таким образом, изменение угла атаки горизонтального оперения
вследствие упругости крыльев
Даг.о=0 —Dcay) Да. (5.11)
Величина £)с“<4, поэтому знак Даг.о совпадает со знаком Да.
Как видим, знак приращения коэффициента продольного момента
Диг2 согласно (4.11) получается обратным знаку изменения угла атаки
центрального сечения крыльев Да вследствие упругости конструкции
крыльев. Положительной по знаку закрученности крыла (кривая 2 на
фиг. 2.11) соответствует Да<0 и, следовательно, Дт2>0: в этом слу-
чае упругость крыла приведет к возникновению дополнительного мо-
мента кабрирования. Так как в основу построения фиг. 2.11 положено
. rv дДт2^~
положительное значение Дс„>0, то в этом случае производная ——>0,
д&Су
что свидетельствует об уменьшении степени продольной статической
устойчивости по перегрузке вследствие упругости конструкции крыльев.
В случае отрицательной по знаку закрученности крыльев (кри-
вая 3 на фиг. 2.11) получается Да>0 и Дт2<Т), так что производная
-^<0.
дЬсу
Итак, условием увеличения степени продольной статической устой-
чивости, обусловленной упругостью крыльев, является неравенство
ДДа g
dCy
Приведенные рассуждения относились к обычной схеме летатель-
ного аппарата, у которого горизонтальное оперение расположено по-
зади крыльев. Для летательных аппаратов схемы «утка» принципиаль-
1 Рассматривается летательный аппарат с горизонтальным оперением, располо-
женным позади крыльев; в схеме «утка» при пользовании формулой (4.11) следует
брать знак плюс.
§ 1. Влияние упругости крыльев на продольную устойчивость и управляемость 403
но применимы те же рассуждения, только вместо скоса потока от кры-
ла, воздействующего на оперение, надо рассматривать скос потока от
оперения, изменяющий угол атаки крыльев
Кручение какого-либо крыла, помимо подъемной силы Y, зависит
и от изменения коэффициента ст0 сечений крыла 'вдоль размаха и от
взаимного расположения центра жесткости и фокуса в сечениях крыла.
Вернемся к упрощенной схеме фиг. 1. 11 и будем считать, что сред-
ний угол закручивания крыльев линейно зависит от подъемной силы У
всего крыла и от момента Mz0\ в таком случае величину Ааупг, угла
закручивания крыльев найдем из уравнения (1. 11). Так как для сохра-
нения одинаковой у жесткого и упругого крыльев подъемной силы
необходимо, как мы видели, изменить угол атаки центрального сечения
крыльев на величину — Даупр, то
Act—— Actynp
и, следовательно,
_ Mz0+Y&x (тг0 + Суйх) Sbrf
да— ——- — -——. (о.11)
^кр ^кр
Взяв производную по Су от обеих частей (6.11) при условии q—
=const, можно оценить влияние упругости крыльев на степень про-
дольной статической устойчивости по перегрузке:
дДа _ Дх5&а<7 щ
дбу Л[<р
Так как S, ba, q и /гкр положительны, то при расположении фокуса
впереди центра жесткости крыльев (Ах>0).
дДа
дсу ’
и степень продольной статической устойчивости по перегрузке вследст-
вие упругости крыла в этом случае уменьшается.
Выше (см. гл. VII) показано, что в первом приближении переда-
точная функция для короткопериодического движения соответствует
колебательному звену. Динамические свойства переходного процесса
при этом определяются значением относительного коэффициента демп-
фирования
й>
причем квадрат опорной частоты со2 линейно связан со степенью про-
дольной статической устойчивости по перегрузке, увеличиваясь при ее
возрастании. При уменьшении степени статической устойчивости квад-
рат опорной частоты уменьшается и коэффициент g увеличивается.
Если коэффициент £ без учета упругости конструкции крыльев был
близок к оптимальному (время переходного Процесса минимальное,
заброс перегрузки 10—15%), то влияние упругости конструкции
крыльев приведет к некоторому уменьшению заброса перегрузки
и к увеличению времени переходного процесса.
Для увеличения степени продольной статической устойчивости по
перегрузке вследствие влияния упругости конструкции крыльев необ-
1 В случае схемы «утка» условие увеличения степени продольной устойчивости
б?Да
имеет вид ----- < 0.
dCy
26*
404 Гл. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
ходимо центр жесткости крыльев располагать впереди фокуса. Упру-
гость крыльев при этом приведет к увеличению со и к уменьшению
коэффициента заброс перегрузки и время переходного процесса при
этом увеличатся.
Определим также величину изменения степени продольной стати-
ческой устойчивости по скорости dmjdcy, обусловленного упругостью
крыльев. Для этого при дифференцировании выражения (6.11) необ-
ходимо принять во внимание, что согласно определению устойчивости
по скорости (см. гл. III) при изменении коэффициента су перегрузка
остается неизменной и равной1 пу—\, т. е.
y=cJ/S<7=G = const. (8.11)
Принимая во внимание (8.11), в результате дифференцирования
(6. 11) получим
г? Да_ тгг,8Ь& / dq X Sb^qdm^ IdM\
dCy ^кр \ dCy ^кр \6?Cy /«y 1
~Gb^
Дифференцируя равенство (8. 11) no q и M, получим уже встре-
чавшиеся ранее выражения
= __9_
\6?Су/«у=1 Су
и
/rfM\ М
\6?Су /«у 1 2Су
Так как положение центра жесткости крыла не зависит от чис-
ла М, а
ДЛС—
то
дхР
д!Л дМ
Приняв во внимание все сделанные замечания, придем к следую-
щему выражению для d&aldcy-.
dLa __ m^Sbaq Sbag!A dmz0 Gba M дхР ,g ц .
dcy Ьцр^Су ^кр 2су дЛА
Обычно коэффициенты mz0, d-z0 , отрицательны; в таком слу-
д!Л дГЛ
dka.
чае производная ----- также отрицательна, и, следовательно, упругое
de у
закручивание прямого крыла уменьшает степень продольной статиче-
ской устойчивости по скорости. Исключения из этого правила могут
встретиться при больших числах М, при которых производная мо-
жет получиться и положительной.
Для случая горизонтального полета.
§ 1. Влияние упругости крыльев на продольную устойчивость и управляемость 405
Все приведенные в этом параграфе рассуждения относились к пря-
мому (нестреловидному) крылу. В этом случае в первом приближении
деформации изгиба не оказывают влияния на продольные моменты
крыльев; сечения прямого крыла при изгибе перемещаются параллель-
но (фиг. 3.11), так что дополнительные силы, перпендикулярные на-
правлению скорости полета, а следовательно, и продольные моменты
от них не возникают. В случае стреловидных крыльев картина полу-
чается более сложной. Представление о характере влияния деформа-
ций изгиба стреловидных крыльев на продольную устойчивость лета-
тельных аппаратов можно составить на основании следующих прибли-
женных рассуждений.
Рассматривая обтекание стреловидного крыла (см. гл. I), мы ви-
дели, что в первом приближении вектор полной скорости потока, набе-
гающего на стреловидное крыло, можно разложить на две составляю-
щие: перпендикулярную линии фокусов и параллельную ей. Если
стреловидное крыло имеет абсолютно жесткую конструкцию, то при
полете без скольжения составляющие скорости, параллельные линии
фокусов, или не вызовут никаких сил, перпендикулярных скорости по-
лета, или приведут к появлению симметрично приложенных сил на
правом и левом крыльях. Если же стреловидное крыло обладает упру-
гостью, то будет иметь место явление, близкое к тому, с которым мы
познакомились при рассмотрении влияния поперечной V-образности
стреловидного крыла на его аэродинамику (см. гл. I). Составляющие
скорости Vsinx будут давать составляющие, перпендикулярные плос-
кости крыла при его деформации (изгибе), как это показано на
фиг. 4.11. В результате углы атаки сечений крыла уменьшаются на
величину
y'V sin 7 ,, ,-r. ,, ч
д«ИЗг«—-=у tgz, (io.li)
V cos х
где у'—девиация прогиба в сечении крыла.
Так как прогибы при приближении к концам крыла увеличивают-
ся, то уменьшение углов атаки к концам крыла также будет возрастать.
На концах крыла возникнет дополнительная отрицательная сила —ДУ,
которая даст момент относительно центра масс летательного аппарата,,
направленный на кабрирование (фиг. 5.11). Следовательно, момент,
обусловленный деформациями изгиба стреловидных крыльев, будет
уменьшать степень продольной статической устойчивости. Если харак-
теристики упругости на кручение стреловидных крыльев будут типа
406 Г л. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
кривой 3 на фиг. 2.11, то в случае прямого крыла горизонтальное опе-
рение даст обусловленный упругостью крыльев дополнительный момент
на пикирование, т. е. приведет к увеличению степени продольной ста-
Фиг. 4.11. Изменение эффек-
тивных углов атаки стреловид-
ного крыла при изгибе.
Фиг. 5. 11. Дополнительная подъем-
ная сила ДУ и момент ДЛД при изги-
бе стреловидного крыла.
тической устойчивости. Таким образом, если характеристики упругости
стреловидных крыльев выбраны соответствующим образом (по кри-
вой 3 фиг. 2.11), то суммарное влияние упругости конструкции крыльев
на степень продольной статической устойчивости будет меньше, чем
в случае прямого крыла с теми же характеристиками упругости на кру-
чение.
§ 2. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛЬЕВ
НА БОКОВУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
Отметим прежде всего, что деформация изгиба стреловидных
крыльев, как это отмечено в предыдущем параграфе, уменьшает углы
атаки сечений крыла тем больше, чем ближе к концам крыла располо-
жены сечения. Следовательно, с качественной стороны влияние дефор-
мации изгиба стреловидных крыльев можно отождествить с уменьше-
нием положительной поперечной V-образности крыльев. С другой сто-
роны, само по себе явление изгиба увеличивает (см. фиг. 3.11) поло-
жительную поперечную V-образность. Можно предположить поэтому,
что деформации изгиба не должны приводить к существенным измене-
ниям поперечного момента Мх, действующего на крылья.
Представляет интерес вопрос деформации кручения стреловидного
крыла при отклонении элеронов. Рассмотрим упрощенную постановку
задачи, как это было сделано при рассмотрении деформации кручения
прямого крыла.
Предположим, что стреловидное крыло постоянной хорды само по
себе абсолютно жесткое, но может вращаться и изгибаться (поворачи-
ваться) около осей, проходящих через точку О (фиг. 6.11). Пусть
вдоль всей задней кромки крыла установлен закрылок, который может
отклоняться; этот закрылок в известной степени можно уподобить
элерону на крыле летательного аппарата. Предположим далее, что при
неотклоненном закрылке аэродинамические силы и силы упругости,
действующие на крыло, находятся в равновесии и крыло имеет опреде-
ленный угол атаки; затем элероны (закрылки) отклоняются в противо-
положную сторону. Тогда равновесие сил, имевшее место до отклоне-
ния элеронов, нарушится, и под действием возникшего момента крыло
повернется около точки О и займет новое положение в пространстве;
измененный угол атаки будет а'=а + АауПр.
§ 2. Влияние упругости конструкции крыльев на боковую устойчивость
407
Величину, на которую изменится угол атаки, т. е. угол закручива-
ния Лиупр, вызванный отклонением элеронов, можно определить по
уравнению (1.11), которое в рассматриваемом случае примет вид
ДауПр)5дх^ — ЛкрДауПр=0. (11.11)
Здесь ДстоОэ — дополнительный коэффициент продольного момента
в сечениях крыла, а ДСрЭ—дополнительный коэффициент подъемной
силы в сечениях крыла, обусловленные отклонением элеронов. Обе эти
величины пропорциональны углу отклонения элеронов бэ, т. е. при сде-
Фиг. 6.11. Схематическое представление упругого
стреловидного крыла.
данном предположении об абсолютной жесткости крыла не зависят от
его деформации.
Как было отмечено, в результате отклонения элеронов крыло по-
вернется около обеих осей, проходящих через точку О на фиг. 6.11.
Рассмотрим только поворот относительно оси Ozi, представляющий
собой в упрощенной схеме деформацию кручения. Определяя из урав-
нения (11.11) угол закручивания, получим
ДС1упр= йкр-г^Дхд (Д^оэ+ э)- (I2-11)
Полное приращение коэффициента подъемной силы Дсу сечения
крыла при отклонении элеронов
+ fe+A*)]' (13Л1)
Если бы крыло было абсолютно жестким, то приращение коэффи-
циента подъемной силы вследствие отклонения элеронов было бы
Дсуж=ДСу9. (14.11)
Разделив (13.11) на (14. 11), получим относительное изменение
коэффициентов дополнительной подъемной силы Ncy!Ncyw, при откло-
408 Гл. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
Дсу
Дсу ж
нении элеронов, которое при сделанных допущениях равно относитель-
ному изменению поперечного момента:
c’ySbg
kKp—c“Sb&xq
(15.11)
Дсуэ
Расстояние между центром жесткости и фокусом крыла в рассмат-
риваемом упрощенном случае, как видно из фиг. 6.11,
^=xK~xFKp=x.M-(-L-tg^xFy (16.11)
Поэтому относительное расстояние
Ax=xiK-(^-tgx-!-x/?y (17.11)
При практически возможных соотношениях получается Дх<0.
При положительном отклонении элерона изменение коэффициента
АСтоэ получается отрицательным. Следовательно, оба дополнительных
к единице слагаемых в правой части (15.11) у стреловидного крыла
получаются отрицательные. В результате приращение коэффициента
подъемной силы при отклонении элерона на упругом стреловидном
крыле получается меньшим, чем на жестком стреловидном крыле. Сле-
дует отметить, что в случае прямого крыла эти приращения коэффи-
циента подъемной силы для жесткого и упругого крыльев могут ока-
заться одинаковыми вследствие разных знаков слагаемых в выраже-
нии (15.11).
Так как при росте скоростного напора q знаменатель второго сла-
гаемого формулы (15. 11) уменьшается, то существует такой скоростной
напор <7крит, при достижении которого отношение Ксу1\су ж =0. При до-
стижении такого скоростного напора элероны полностью теряют свою
эффективность: возникает реверс элеронов. Величину критического ско-
ростного напора найдем, приравняв нулю Дс,,/Дс,/Ж по выражению
(15.11); таким образом,
^КрДСу э
7крт== с*8Ь&ст0э
(18.11)
Мы рассмотрели явление реверса элеронов в упрощенной поста-
новке, однако с качественной стороны полученные выводы будут спра-
ведливыми и при решении этой задачи в действительных условиях
полета.
В полете явление реверса элеронов будет протекать следующим
образом. Пусть в силу каких-либо причин, например вследствие на-
чальной асимметрии крыльев, имеется момент относительно оси Охх,
который парируется соответствующим отклонением элеронов, и пусть
скорость полета у летательного аппарата постепенно увеличивается.
Тогда вследствие понижения эффективности элеронов из-за упругости
конструкции крыльев по мере увеличения скорости полета угол откло-
нения элеронов придется увеличивать. Летчик на таком летательном
аппарате будет испытывать ощущение «валежки» самолета на крыло.
По мере приближения к критической скорости реверса угол отклонения
элеронов, потребный для парирования момента крена, будет быстро
возрастать. В некоторый момент времени летчик полностью отклонит
элероны, а самолет будет продолжать валиться на крыло. Если летчик
не сможет принять быстрые и эффективные меры к уменьшению скоро-
сти, то полет может окончиться сваливанием самолета на крыло, осо-
§ 3. Влияние упругости корпуса на устойчивость и управляемость
409
бенно неприятным на больших скоростях полета. Снижение эффектив-
ности (реверс) элеронов усугубляется еще тем, что вследствие дефор-
мации изгиба, как показано на фиг. 7.11, возникают дополнительные
составляющие скорости, нормальные к поверхности крыльев, которые
еще больше понижают эффективность элеронов.
Фиг. 7.11. Изменение углов атаки стреловидного крыла
при отклонении элеронов.
Явление «валежки» самолета тесно связано с жесткостью крыла;
сильнее всего это явление может проявляться в случае крыльев боль-
шого удлинения с большой стреловидностью при малой относительной
толщине профиля. Крылья малого удлинения даже при небольшой от-
носительной толщине профиля обладают большей жесткостью; на та-
ких крыльях явление реверса элеронов маловероятно.
§ 3. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ КОРПУСА
(ФЮЗЕЛЯЖА) НА УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
В полете при любом установившемся режиме аэродинамическая
сила, действующая на оперение, создает момент, уравновешивающий
момент летательного аппарата без оперения относительно центра масс.
Для определенности будем рассматривать продольные моменты, т. е.
влияние упругих деформаций корпуса на продольную устойчивость
и управляемость летательного аппарата. Все получаемые далее выводы
можно распространить и на случай бокового движения летательного
аппарата.
Как показано в гл. I, коэффициент момента горизонтального опере-
ния выражается формулой 1
™2г.о = г.о(аг.о + «ВМ- (19.11)
Под действием аэродинамической силы, приложенной к горизон-
тальному оперению, корпус изгибается. Вследствие этого на одном и
том же режиме полета угол атаки горизонтального оперения в случае
упругого корпуса будет отличаться от угла атаки при жестком корпу-
се на величину
АПг.о.упр = Ctr.o.ynp Ctr.o.Hi-
УгОЛ Acir.oynp можно считать прямо пропорциональным подъемной
силе горизонтального оперения, изгибающей корпус, т. е.
А^г-О.упр Су (^г.о.упр —Ь ^в^в)-
1 Для летательных аппаратов обычной схемы (горизонтальное оперение позади
крыльев); для схемы «утка» в (19.11) следует брать знак плюс.
410 Гл. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
Подставив это выражение в предыдущую формулу, найдем
(1-ф^к Су T.oSr-0kq)аг.о.упр = <1г.о.ж Су r.oSr-oknB^Bq.
Отсюда определяем угол атаки горизонтального оперения с учетом
деформации изгиба корпуса:
п ________«г.о. ж_____су Г.О^Г.О^В^В? /ПЛ . ..
г ° упр—1 + Л-1с«гл5г(Лд 1 + ^‘С“ rMST.okq • 1 '
Момент без горизонтального оперения при одном и том же исход-
ном режиме полета можно считать одинаковым у летательного аппа-
рата с жестким и с упругим корпусами (при этом незначительным мо-
ментом, появляющимся вследствие искривления корпуса, пренебре-
гают). Отсюда следует, что разница в степени продольной статической
устойчивости летательного аппарата с упругим и с жестким корпусами
будет определяться разницей в коэффициентах момента горизонталь-
ного оперения. Найдем, например, изменение степени продольной ста-
тической устойчивости по перегрузке. Дифференцируя (20.11) по су
при условии q = const и внося результат в выражение т^гл, получен-
ное путем дифференцирования (19.11), найдем
Гу —__________ьд г“ даг.0,ж____________________________
Z Г.0 упр г.о уГ.о дСу l + ft-lc«r>oSr o^ •
Следовательно, изменение степени продольной статической
•чивости по перегрузке вследствие упругости корпуса
-шсу = kA пса даг-аж feKlcposr.ofe<?
гг.оупр гг.о.ж Г.0 у г.о ()Су l + fe-'C“ r oSr ofe7
(21.11)
устой-
(22.11)
Так как производная даг.олк1дсу всегда положительна, то Дт*у>0.
Другими словами, продольная статическая устойчивость по перегрузке
вследствие упругости корпуса уменьшается. В этом легко убедиться
и на основании простых соображений (фиг. 8.11). Положим, например,
что по какой-то причине угол атаки крыльев увеличился; при этом уве-
личится угол атаки горизонтального оперения, а следовательно, возра-
стет его подъемная сила. В результате увеличения подъемной силы
оперения корпус деформируется, как показано на фиг. 8.11, а горизон-
тальное оперение поворачивается. Окончательный угол атаки горизон-
тального оперения в случае упругого корпуса получится меньшим, чем
у летательного аппарата с жестким корпусом. Поэтому летательный
аппарат с упругим корпусом будет иметь меньший восстанавливающий
момент, т. е. вследствие упругости корпуса степень продольной стати-
ческой устойчивости будет уменьшаться.
Аналогично можно получить выражение и для изменения степени
продольной статической устойчивости по скорости вследствие упруго-
сти корпуса (это выражение здесь не приводим).
Упругие деформации корпуса снижают эффективность руля высо-
ты, т. е. уменьшают аэродинамический момент горизонтального опере-
ния относительно центра масс летательного аппарата, вызванный
отклонением руля высоты. Действительно, отклонение руля высоты из-
меняет подъемную силу горизонтального оперения и создает дополни-
тельный изгибающий момент такого знака, что на оперении возникает
дополнительная подъемная сила, уменьшающая подъемную силу, полу-
чившуюся вследствие отклонения руля высоты (фиг. 9.11).
§ 3. Влияние упругости корпуса на устойчивость и управляемость
411
Так, например, отклонение руля высоты вверх создает на горизон-
тальном оперении дополнительную подъемную силу, направленную
вниз. Эта сила приводит к изгибу корпуса (задняя кромка корпуса
опустится) и, следовательно, к увеличению угла атаки оперения. Воз-
никшая вследствие деформации корпуса дополнительная подъемная
сила дает эффект, противоположный эффекту от отклонения руля вы-
соты.
В гл. I показано, что коэффициент эффективности руля высоты при
отсутствии деформации конструкции определяется выражением
Фиг. 8.11. Уменьшение угла атаки горизонтального оперения
вследствие упругости корпуса.
полученным путем дифференцирования коэффициента момента гори-
зонтального оперения:
тгг.о = -^А.о^уг.0 (аг.о + «в8в)-
При наличии упругих деформаций корпуса, очевидно,
д/Дгг.о.упр . а
= - ЬЛг.„су
^^г.о.упр
Й6В
(23.11)
где угол атаки горизонтального оперения
®г.о. упр ®г.о. ж + Лаг.о. упр-
Взяв производную по бв от выражения (20.11), получим
дйг.О.упр «у Г.О5Г.О«В^
<Э6В kK + с“ IMST.okq
так что по выражению (23.11)
^К^^4Г.О^у г.оив
пт =-----------------—-----.
2упр kK + с“ TOSr-Okq
Разница в коэффициентах эффективности руля высоты при жест-
ком и упругом корпусе получается равной
Д//7® — у/z — ///® — —- Ь Л га /7 /----------------------1 \
* ^уир A:/lr-^-"B^K+C“r.oSr.o^
ИЛИ
. Л.о$г.<Л2 (су г.0)2«в
&пг =-------------— - ------
&к + Су Г.О5Г.О*?
я-
(24.11)
Из выражения (24.11) следует, что Am® >0, т. е. что эффектив-
ность руля высоты вследствие упругости корпуса снижается и что сни-
жение эффективности при увеличении скоростного напора q возрастает.
8
fllz упр
412 Гл. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
Как отмечено в начале этого параграфа, все полученные выводы
справедливы и для путевой статической устойчивости /Пу летательного
Фиг. 9. 11. Изменение угла атаки горизонтального оперения при
отклонении руля высоты, обусловленное упругостью фюзеляжа
(корпуса).
аппарата. Проследить влияние упругости корпуса на действительную
устойчивость и управляемость летательного аппарата можно, рассмат-
ривая аналогично предыдущему изменение относительного коэффи-
циента демпфирования g и помня, что ы2, входящая в знаменатель
увеличивается при увеличении степени продольной и путевой стати-
ческой устойчивости и уменьшается в противном случае.
§ 4. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ОПЕРЕНИЯ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
Все полученные ранее выводы при анализе вопросов о роли дефор-
мации кручения крыла применимы и к анализу роли деформаций кру-
чения оперения и их влияния на устойчивость и управляемость лета-
тельного аппарата.
Для аэродинамического момента сил, действующих на оперение
относительно его центра жесткости, аналогично предыдущему можно
написать выражение
А1оп~ Су ОП*^ОПоп О^оп^оп^^* (2а. 11)
Здесь Дхоп — относительное расстояние от фокуса оперения до его
центра жесткости, a mZOno—коэффициент момента оперения при
сьоп=0; коэффициент mzono зависит от угла отклонения руля.
Выражение (25.11) в равной мере применимо и к горизонтальному
и к вертикальному оперению.
Угол закручивания оперения пропорционален моменту Л40п.
Для определенности, как и ранее, будем рассматривать условия рабо-
ты горизонтального оперения; следующие далее выводы можно распро-
странить и на условия работы вертикального оперения. Дифференци-
руя по су (25.11) при условии <7=const, получим
л •-’г.оА ХТ.О^Г.О^Я‘ (26. 11)
• ОС у ОС у
Если dMr.° то при увеличении коэффициента подъемной
дсу
силы Су на горизонтальном оперении относительно его оси жесткости
возникнет момент, направленный на кабрирование. Этот момент, по-
явившийся вследствие упругих деформаций оперения, увеличит угол
§ 4. Влияние деформации оперения на устойчивость и управляемость
413
атаки оперения и, следовательно, его подъемную силу. Таким образом,
в этом случае вследствие деформаций оперения появится дополнитель-
ный момент относительно центра масс летательного аппарата на пики-
рование. Отсюда следует, что при >0 устойчивость по перегрузке
вследствие деформации оперения увеличивается.
Определим изменение степени продольной статической устойчи
вости по перегрузке вследствие упругости горизонтального оперения.
Изменение коэффициента продольного момента mz относительно цент-
ра масс летательного аппарата, обусловленное упругостью конструкции
оперения,
Д^гупр== ^-^г.о^'г-о^^г.о. упр- (27. 11)
Изменение угла атаки горизонтального оперения вследствие упру-
гости конструкции определится из условия равенства момента сил,
действующих на оперение относительно его центра жесткости, и момен-
та сил упругости; таким образом,
Д«г.о.УпР=~, (28.11)
«г.о
где kT.o — коэффициент жесткости горизонтального оперения на кру-
чение.
Дифференцируя это выражение по су, принимая во внимание
(26.11) и подставляя результат в (27.11), получим выражение для
изменения степени продольной статической устойчивости по перегруз-
ке, обусловленного упругостью конструкции горизонтального оперения:
--Г- (29-П)
«Г.о ос у
Производная дсугл/дсу всегда положительна, поскольку при уве-
личении су угол атаки аг.о и коэффициент подъемной силы горизонталь-
ного оперения суТ.о увеличиваются; остальные множители, входящие
в (29.11), также положительны.
Таким образом, из выражения (29.11) следует, что при располо-
жении центра жесткости горизонтального оперения позади фокуса сте-
пень продольной статической устойчивости по перегрузке летательного
аппарата вследствие упругости конструкции оперения возрастает. Абсо-
лютная величина степени изменения продольной статической устойчи-
вости, как видно из (29.11), пропорциональна скоростному напору;
следовательно, роль упругих деформаций горизонтального оперения
с ростом скорости полета быстро возрастает.
Выражение для изменения степени продольной статической устой-
чивости по скорости приводить не будем; это выражение получается
довольно сложным и не позволяет сделать каких-либо определенных
выводов относительно влияния конструктивных параметров оперения на
устойчивость по скорости.
Все приведенные соображения полностью применимы к анализу
влияния упругости конструкции вертикального оперения на путевую
устойчивость летательного аппарата.
414 Гл. XI. Влияние упругости конструкции на устойчивость и управляемость
§ 5. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТРИММЕРОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
И УПРАВЛЯЕМОСТЬ САМОЛЕТА
Как уже отмечалось ранее, на самолетах, пилотируемых летчика-
ми, для снижения нагрузок на рычаги управления на руле высоты
и руле направления обычно применяют триммеры.
Деформации триммера могут оказать заметное влияние на управ-
ляемость самолета; особенно это относится к триммеру руля высоты,
так как на горизонтальное оперение в полете вообще действуют боль-
шие нагрузки, чем на вертикальное оперение. Рассмотрим влияние де-
формации триммера руля высоты на
продольную управляемость самолета;
приводимые ниже рассуждения приме-
нимы и к анализу деформаций трим-
мера руля направления.
Фиг. 10.11. Упругие деформации
триммера руля высоты при измене-
нии скорости полета (ti<0).
Фиг. 11.11. Упругие деформации трим-
мера руля высоты при изменении ско-
рости полета (Ti>0).
Положение триммера руля высоты, необходимое для балансировки
самолета по усилиям (Pv=0), зависит от ряда параметров: положения
центра масс самолета, его моментных характеристик, угла установки
горизонтального оперения и т. д. Поэтому на практике могут встре-
титься и положительные, и отрицательные углы отклонения триммера.
Пусть, например, режиму балансировки самолета по усилию соот-
ветствует отрицательный угол установки триммера Tj<0, как показано1
на фиг. 10.11. Пусть скорость полета на режиме балансировки по уси-
лию равна Кь При увеличении скорости полета аэродинамический
шарнирный момент триммера относительно его оси вращения увели-
чится. При упругой проводке управления триммером этот момент
уменьшит абсолютный угол установки триммера до Т2<Ть Вследствие
этого шарнирный момент руля высоты при какой-либо большей скоро-
сти полета будет больше, чем в случае абсолютно жесткой конструкции
проводки управления триммером. Для полета на большей скорости
летчику придется приложить к ручке управления большие усилия в на-
правлении «от себя», чем в случае жесткой конструкции. Очевидно,
что и степень продольной статической устойчивости по скорости в этом
случае увеличится.
Положим теперь, что триммер в исходном режиме полета уста-
новлен под некоторым положительным углом Ti>0, как показано на
фиг. 11.11. При увеличении скорости полета упругая конструкция про-
водки управления триммером приведет, как и в предыдущем случае,
к уменьшению угла установки триммера. Однако шарнирный момент
сил, действующих на руль высоты, при этом уменьшится, и летчику для
§ 5. Влияние деформации триммеров на устойчивость и управляемость 415
полета на большей скорости придется приложить к ручке управления
меньшие усилия, чем в случае жесткой конструкции. Степень продоль-
ной статической устойчивости самолета по скорости в этом случае
уменьшится.
Как видно, влияние упругости проводки управления триммером на
усилия на ручке зависит от угла установки триммера в исходном
режиме полета, а этот угол, как уже было отмечено, зависит от ряда
конструктивных и аэродинамических параметров самолета. При проек-
тировании самолета следует стремиться к тому, чтобы на режимах по-
лета с большими скоростями угол отклонения триммера был близок
к нулю; при этом влияние упругости проводки управления триммером
будет сведено к минимуму.
Приведенные рассуждения основаны на предположении, что упру-
гие деформации триммера связаны только с углом его отклонения
и со скоростным напором; в действительности на величину шарнирного
момента, помимо угла отклонения триммера, оказывают влияние и угол
атаки горизонтального оперения, и угол отклонения руля высоты, хотя
это влияние значительно меньше влияния угла отклонения триммера
и скоростного напора.
ГЛАВА XII
ПОЛЕТ НА ЗАКРИТИЧЕСКИХ УГЛАХ АТАКИ.
ШТОПОР ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
§ 1. ОСОБЕННОСТИ ПОЛЕТА НА БОЛЬШИХ УГЛАХ АТАКИ.
САМОВРАЩЕНИЕ КРЫЛА
Во всех предыдущих главах книги в основу было положено пред-
положение о том, что полет летательного аппарата происходит в том
диапазоне углов атаки а, в котором коэффициент подъемной силы су
связан с углом атаки линейной зависимостью. Другими словами, пред-
полагалось, что отрыв потока от поверхности летательного аппарата,
если он и имеет место, невелик, носит сугубо местный характер и не
оказывает существенного влияния на аэродинамические силы, дейст-
вующие на летательный аппарат. Такой безотрывный характер обтека-
ния, как известно, сохраняется только при сравнительно небольших
углах атаки. При увеличении угла атаки до околокритического или
закритического (т. е. до несколько меньшего угла атаки при су=суП1ах
или превышающего его) возникает отрыв потока в первую очередь от
поверхности крыльев. На крыльях применяемой в настоящее время
формы отрыв потока возникает прежде всего вблизи концов крыльев,
а затем, при дальнейшем увеличении угла атаки, распространяется на
все крыло. При этом характер обтекания крыла, а вместе с ним и аэро-
динамические свойства летательного аппарата радикально изме-
няются.
При докритических углах атаки, как указано в гл. I, при вращении
крыла вокруг оси Ох{ возникает момент поперечного демпфирования;
этот момент действует в сторону, обратную направлению вращения, и,
следовательно, препятствует вращению летательного аппарата.
Напомним физические причины возникновения момента поперечно-
го демпфирования; этот момент, как мы видели, в основном создается
крыльями.
Если крыло вращается вокруг связанной оси Oxi, то местные углы
атаки в каких-либо сечениях крыла отличаются от угла атаки, измерен-
ного по центральной хорде. Следствием изменения углов атаки являет-
ся изменение распределения аэродинамических сил по размаху крыла
и появление момента демпфирования. Пусть, например, летательный
аппарат вращается так, что правое крыло опускается, а левое подни-
мается (фиг. 1. 12). Тогда на правое крыло дополнительный поток воз-
духа, связанный с угловой скоростью сох, будет набегать снизу вверх,
а на левое крыло — сверху вниз. Углы атаки соответствующих сечений
$ 1. Особенности полета на больших углах атаки. Самовращение крыла 417
правого и левого крыльев будут отличаться от угла атаки, измеренного
по центральной хорде, на величину (см. фиг. 1. 12)
А 1
да = ± —
Для простоты рассуждений пренебрежем дополнительным измене-
нием углов атаки вследствие изменения индуктивных скоростей, свя-
Фиг. 1.12. Изменение угла атаки Да вдоль размаха крыльев при
вращении летательного аппарата вокруг оси Ох\.
занного с изменением распределения циркуляции по размаху. Тогда
измененным углам атаки взятых сечений будут соответствовать и изме-
ненные значения коэффициента подъемной силы су, которые можно
определить в первом приближении по кривой зависимости су этих сече-
ний от угла атаки (фиг. 2.12).
При докритических углах атаки,
углу атаки соответствует и большее
зом, на правое крыло будет действо-
вать большая подъемная сила, чем
на левое. В результате возникнет мо-
мент разности сил, действующих на
одноименные сечения правого и ле-
вого крыльев, направленный в сто-
рону, обратную направлению враще-
ния (в нашем случае — против
часовой стрелки, если смотреть сза-
ди вдоль оси Oxi). Суммируя такие
элементарные моменты, получим
момент поперечного демпфирования
крыла.
Предположим теперь, что угол
атаки центрального сечения превы-
шает критический угол атаки
(фиг. 3. 12) и что крыло по-прежне-
му вращается вокруг оси Охц с угло-
вой скоростью (ож. В таком случае,
как видно из фиг. 3. 12, сечению пра-
как видно из фиг. 2. 12, большему
значение су сечения; таким обра-
Фиг. 2.12. Изменение коэффициента
подъемной силы си в сечениях кры-
ла при его вращении вокруг оси Ох\.
вого крыла, имеющему увеличенный угол атаки, будет соответствовать
не большее, а меньшее значение коэффициента су, чем соответствую-
щему сечению левого крыла, работающему с уменьшенным углом атаки.
Момент разности подъемных сил относительно оси 0%i теперь будет
действовать уже в сторону вращения крыла и, следовательно, будет
способствовать его вращению.
27 1824
418
Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
Следовательно, при достаточно больших углах атаки крыло, кото-
рому сообщен начальный импульс на вращение вокруг оси Охь не бу-
дет сопротивляться вращению, а наоборот,
Фиг. 3.12. Изменение коэффициента подъемной
силы су в сечениях крыла при а>акрит.
импульсом
случайная
случай-
начнет вращаться вокруг
О%1 с возрастающей уг-
ловой скоростью <ож.
Достаточно весьма не-
большого (теоретически
бесконечно малого) им-
пульса для того, чтобы
при таких больших углах
атаки крыло начало вра-
щение вокруг ОСИ ОХ].
Начальным
может быть
ошибка летчика,
ный односторонний порыв
ветра или другая подоб-
ная причина.
Такое свойство крыла
начинать при закритичес-
ких углах атаки самопро-
извольное вращение во-
круг оси Oxi называют
самовращением (авторо-
тацией) крыла.
Так как при околокритических углах атаки (близких к углу атаки
при суmax), как показано в гл. I, резко увеличивается продольный мо-
мент на пикирование, препятствующий увеличению угла атаки, то ле-
тательный аппарат с правильно выбранными характеристиками устой-
чивости самопроизвольно не может попасть на большие углы атаки,
при которых возможно самовращение. На самолете с такими характе-
ристиками самовращение может быть вызвано летчиком только пред-
намеренно. Если вблизи Сушах имеет место «ложка» на кривой mz=
= m2(a), то при полете на достаточно больших, но докритических углах
атаки летчик путем даже не очень энергичного отклонения руля высоты
Фиг. 4.12. Возникновение срыва потока на горизонтальном
оперении у летательных аппаратов типа «утка».
«на себя» может сообщить самолету угловую скорость coz. Эта угловая
скорость выведет самолет на закритические углы атаки, а на этих
углах начнется самовращение. При этом произойдет сваливание само-
лета на крыло, которое приведет к переходу самолета на режим што-
пора.
Следует заметить, что у летательных аппаратов схемы «утка»
самопроизвольному переходу на большие закритические углы атаки
§ 1. Особенности, полета на больших углах атаки. Самовращение крыла 419
препятствует то обстоятельство, что критический угол атаки на гори-
зонтальном оперении достигается раньше, чем на крыльях. При этом
(фиг. 4.12) возникает значительный момент, направленный на пикиро-
вание, и угол атаки крыльев уменьшается. Для таких летательных ап-
паратов режим штопора маловероятен; 'Поэтому все дальнейшие рас-
суждения относятся главным образом к летательным аппаратам
обычной (самолетной) схемы.
Все предыдущие рассуждения принципиально не изменятся, если
вместо связанной с летательным аппаратом оси Охх взять скоростную
Фиг. 6. 12. Зависимость коэффициента
подъемной силы су от угла атаки а.
Фиг. 5. 12. Зависимость коэффициента тх
момента самовращения от угловой скоро-
сти <о и от угла атаки а.
ось Ох. Для дальнейших рассуждений нам удобно именно так и посту-
пить. Установив в аэродинамической трубе модель летательного аппа-
рата под некоторым достаточно большим углом атаки так, чтобы мо-
дель могла вращаться вокруг оси, параллельной оси трубы, и сообщив
модели начальную угловую скорость со, можно наблюдать самовраще-
ние модели. В процессе самовращения можно измерить угловые скоро-
сти и моменты относительно оси Ох в каждый момент времени. В ре-
зультате таких измерений можно построить диаграмму зависимости
момента Мх от угловой скорости вращения со; вместо момента и угло-
вой скорости можно взять коэффициент момента тх и безразмерную
угловую скорость
Как видно из графиков фиг. 5. 12, сообщив модели угловую ско-
рость со при докритическом угле атаки (например а=10°), получим
отрицательный коэффициент момента тх, так что возникший момент
будет моментом демпфирования. Начавшееся при этом угле атаки вра-
щение модели летательного аппарата через некоторое время затухнет.
Если угол атаки закритический (например а=30°), то при сообщении
модели небольшой угловой скорости коэффициент момента тх получит-
ся положительным; возникший момент будет усиливать начавшееся
вращение летательного аппарата. Угловая скорость со с течением вре-
мени будет возрастать, и вращение летательного аппарата будет иметь
неустановившийся характер. Момент самовращения вначале при уве-
личении со будет возрастать, а затем убывать. Причина убывания
коэффициента тх становится ясной, если рассмотреть кривую су—су(а)
на фиг. 6.12. Как видно, при увеличении дополнительного угла атаки,
вызванного вращением, разность подъемных сил на правом и левом
27*
420
Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
крыльях сначала будет увеличиваться, а затем уменьшаться. При не-
„ “пред*
которой величине Дапред= —-— эта разность станет равной нулю.
В этот момент времени элементарный момент двух одноименных сече-
ний крыльев относительно оси Ох станет равным нулю. При дальней-
шем увеличении и момент изменит свой знак (станет отрицательным).
Очевидно, что1 и для крыльев в целом существует угловая скорость,
при которой коэффициент момента тх равен нулю; при больших угло-
вых скоростях тх получится отрицательным.
Так как при установившемся вращении момент Л4Ж равен нулю, то
режимам установившегося самовращения летательного аппарата на
фиг. 5.12 соответствуют точки, в которых тх=0.
Рассмотрим какую-либо кривую, например соответствующую_а=
=40°, которая пересекается_с осью абсцисс в двух точках: при о>=0
и при некотором значении со=#О (точка а). Первая точка пересечения,
совпадающая с началом координат, представляет собой точку неустой-
чивого равновесия, которую можно рассматривать как предельный
случай самовращения с угловой скоростью <о=0. Вторая точка пересе-
чения а — режим установившегося самовращения летательного аппа-
рата с некоторой угловой скоростью со.
Самовращение на этом режиме будет устойчивым. В самом деле,
пусть летательный аппарат находится в режиме самовращения, изо-
бражаемом на фиг. 5. 12 точкой а. Пусть в силу какой-либо причины
угловая скорость самовращения возросла по сравнению с ее значением
в точке а. Тогда, как видно из диаграммы, появится момент (Л4ж<0),
стремящийся уменьшить угловую скорость; под действием этого момен-
та через некоторое время летательный аппарат вернется к исходному
режиму установившегося самовращения (к точке а). Точно так же,
если в силу какой-либо причины угловая скорость уменьшилась, то
возникнет момент, положительный по знаку, стремящийся увеличить
скорость самовращения. В результате через некоторое время летатель-
ный аппарат вернется к исходному режиму самовращения. Таким об-
разом, при случайных отклонениях от режима установившегося само-
вращения в точке а летательный аппарат возвращается к исходному
режиму, который, таким образом, является режимом устойчивой авто-
ротации.
Из фиг. 5.12 видно1, что при а=50° и небольшой угловой скорости
(точка Ь) получается момент, отрицательный по знаку, препятствую-
щий самовращению. При увеличении угловой скорости, однако, в этом
случае момент изменяет свой знак и становится положительным, спо-
собствующим самовращению летательного аппарата. Как видно,
в некоторых случаях при небольших угловых скоростях момент может
быть отрицательным, а при больших угловых скоростях — положитель-
ным, способствующим самовращению.
Таким образом, обнаружив при небольших со отрицательный коэф-
фициент момента гпх<0 и не зная, каким будет дальнейший характер
изменения пгх—тх(ы), мы могли бы предположить, что на данном угле
атаки летательный аппарат не склонен к самовращению. Но если не-
много увеличить начальную угловую скорость о, то летательный аппа-
рат перейдет в режим самовращения (кривая, соответствующая а=50с
на фиг. 5. 12). Такой характер поведения летательного аппарата при
больших углах атаки называют скрытым самовращением. Скрытое
1 Значение а=50° взято для примера.
§ J. Особенности полета на больших углах атаки. Самовращение крыла 421
самовращение зависит от характера распределения давления по по-
верхности крыльев при закритических углах атаки, а следовательно, от
геометрической формы профилей крыла и от формы крыла в плане
и может иметь место не для всех типов крыльев.
По значениям угловой скорости установившегося самовращения
и соответствующим углам атаки можно построить в координатах а, <о
кривую установившихся режимов самовращения летательного аппара-
та (фиг. 7.12). Точки, расположенные внутри области, ограниченной
кривой, соответствуют режимам неустановившегося самовращения.
Если режим самовращения изображается, например, точкой а на
фиг. 7.12 и если летательный аппарат предоставлен самому себе, то
через некоторое время он
перейдет в другой режим са- о>
мовращения, который будет
изображаться точками кри-
вой фиг. 7.12.
Из фиг. 7. 12 видно, что
некоторым углам атаки
(в левой части кривой) со-
ответствуют единственно
возможные угловые скорости
установившегося самовра-
щения летательного аппара-
та. Другим углам атаки
(в правой части кривой) со-
ответствуют две возможные
скорости установившегося
самовращения.
Нетрудно убедиться, что
единственным решениям на
фиг. 7. 12 соответствуют ре-
жимы установившегося устойчивого самовращения; всем таким точкам
на фиг. 5.12 соответствуют точки, в которых тж=0 и производная
отрицательна. В случае двух решений на фиг. 7. 12 большей угло-
вой скорости при данном угла атаки соответствуют также режимы уста-
новившегося устойчивого самовращения, а меньшей угловой скорости —
режимы установившегося неустойчивого самовращения. Это можно
установить путем сравнения диаграмм фиг. 5. 12 и 7. 12. Такие режимы
неустойчивого установившегося самовращения, как мы видели, полу-
чаются при скрытом самовращении (если не рассматривать точки, соот-
ветствующие <о =0).
Как видим, диаграмма типа фиг. 7.12 весьма удобна для анализа
различных режимов самовращения летательного аппарата; такая диа-
грамма называется диаграммой самовращения. В дальнейшем нам при-
дется воспользоваться этой диаграммой.
Предыдущие рассуждения относились к случаю, когда угол р
скольжения был равен нулю, т. е. когда вектор скорости полета лежал
в плоскости симметрии летательного аппарата. Предположим теперь,
что самовращающемуся крылу придан некоторый угол скольжения р.
Тогда вектор продольного момента (в общем случае не равный нулю)
даст проекцию, отличную от нуля, на скоростную ось Ох. В зависимо-
сти от знака угла скольжения эта проекция будет увеличивать или
уменьшать момент самовращения, коэффициент которого равен тх.
422
Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
При правом вращении летательного аппарата, т. е. при со>О, коэффи-
циент момента тх будет положительным. Если угол скольжения р бу-
дет положительным (фиг. 8.12), то суммарный момент
тх$ = тх + т2 sin р (1. 12)
будет меньше момента, который имел место при р = 0, так как /nz<0.
Наоборот, при правом вращении летательного аппарата и при отрица-
тельном знаке угла скольжения, как видно из (1. 12), суммарный мо-
мент при р#=0 будет больше момента, который имел место при р=0.
Кроме того, даже при mz=0 вследствие изменения условий обтекания
Фиг. 8. 12. К влиянию скольжения на момент Фиг. 9. 12. Диаграмма самовра-
самовращения. щения при различных углах
скольжения.
крыльев при правом вращении и р>0 коэффициент тх уменьшается
по абсолютной величине, а при р<0 — увеличивается.
В итоге при правом вращении летательного аппарата правое
скольжение уменьшает, а левое увеличивает момент самовращения.
В соответствии с этим изменяется и диаграмма самовращения, как
примерно показано на фиг. 9.12. При положительном знаке угла
скольжения «петля самовращения» сужается, как это видно на фиг. 9.12;
при отрицательном знаке «петля самовращения», наоборот, увеличи-
вается.
При помощи подобных рассуждений нетрудно убедиться, что при
левом вращении летательного аппарата отрицательный знак угла
скольжения сужает «петлю самовращения», а правое скольжение рас-
ширяет ее. Следовательно, можно увеличить или уменьшить угловую
скорость самовращения, придав летательному аппарату угол скольже-
ния того или иного знака. Это обстоятельство весьма важно при пило-
тировании самолета, оказавшегося в режиме штопора.
§ 2. СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА САМОЛЕТ
ПРИ ШТОПОРЕ
Если после сваливания самолета на крыло летчик не примет свое-
временных и решительных мер для возвращения самолета в исходный
режим полета или если почему-либо эти меры окажутся неэффективны-
ми, то самолет перейдет в новый режим полета — режим штопора.
При штопоре центр масс самолета движется по крутой спирали
с вертикальной осью, поэтому самолет снижается по винтовой траек-
<5 2. Силы и моменты, действующие на самолет при штопоре
423
к беспилотным лета-
тории весьма малого радиуса, действительно напоминающей нарезку
штопора (фиг. 10.12). Время, затрачиваемое на один виток, невелико,
обычно 0,75—1,5 сек.
Аэродинамика и динамика штопора, представляющего собой про-
странственную фигуру, при выполнении которой углы атаки превышают
критические, весьма сложны. Надо сказать, что при современных мето-
дах проектирования самопроизвольное возникновение штопора мало-
вероятно; в особенности это замечание относится
тельным аппаратам.
В первый момент после сваливания на крыло
ния самолета штопор будет неустановившимся:
момента самовращения угловая скорость будет возрастать.
Через некоторое время самолет перейдет в режим уста-
новившегося штопора. При установившемся штопоре угло-
вая скорость вращения самолета, угол атаки и положение
самолета относительно оси штопора остаются с течением
и начала самовраще-
вследствие действия
Фиг. 10.12.
Траектория
самолета
при штопо-
ре.
6 9
Фиг. 11.12. Силы, действующие на са-
молет при штопоре.
времени неизменными (конечно, при этом плотность воз-
духа предполагается постоянной). Установившийся штопор
обычно получается после трех-шести витков.
В установившемся режиме штопора сила тяжести самолета урав-
новешивается проекцией на вертикаль аэродинамической силы, дейст-
вующей на самолет (фиг. 11.12). Так как при штопоре крыло работает
в условиях сорванного потока, а при срыве потока полная сила аэро-
динамического давления на крылья приблизительно перпендикулярна
их поверхности, то условие равновесия сил >в проекциях на вертикаль-
ную ось напишется так:
п п с V2
(j — R sin a=crSq — sin a,
(2.12)
где сп — коэффициент полной аэродинамической силы, действующей
на самолет.
424
Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
Отсюда можно найти скорость снижения самолета при штопоре.
Полагая вследствие малости радиуса штопора скорость по траектории
равной вертикальной скорости снижения, получим
1
2G
c„oS ~Уsin а
(3.12)
Коэффициент полной аэродинамической силы cR при штопоре мало
отличается от максимального коэффициента подъемной силы Сушах, так
/ 2 I Г
как сл=у Су-\-сх , и при уменьшении су на закритических углах ата-
ки коэффициент сх увеличивается. Поэтому скорость снижения при
штопоре больше минимальной скорости полета на той высоте, на кото-
। рой происходит штопор. В самом деле,
Фиг. 12.12. Крутой што-
пор.
Фиг. 13. 12. Плоский штопор.
Различают режимы крутого и плоского штопора. Крутым назы-
вают штопор при сравнительно небольших углах атаки (а^25н-40°),
но, конечно, больших, чем критический угол атаки. При крутом што-
поре самолет наклонен к вертикальной оси штопора под углом «^25-4-
40°; угол тангажа самолета при этом будет &=—65-ь—50°, и самолет
будет лететь с заметно опущенным носом (фиг.. 12.12). Штопор назы-
вают плоским при больших углах атаки (а^60-=-70°), когда угол тан-
гажа самолета получается сравнительно небольшим (от —20 до —30°)
и самолет занимает положение, более близкое к горизонтальному
(фиг. 13.12).
При плоском штопоре скорость снижения оказывается меньшей,
чем при крутом, так как углы атаки при плоском штопоре получаются
/ 1
большими I — — меньшим
У У sin а
Нетрудно получить и выражение для радиуса спирали, по которой
движется центр масс самолета при штопоре — для радиуса штопора.
§ 2. Силы, и моменты, действующие на самолет при штопоре
425
Проектируя действующие на самолет силы
кость, получим
/?cosa = mw2r.
Внеся в (4.12) выражение R через G
г= gctga
<о2
на горизонтальную плос-
(4.12)
согласно (2. 12), получим
(5.12)
Если в (5. 12) вместо угловой скорости ю внести ее выражение
через безразмерную угловую скорость со, получим несколько иное вы-
ражение для радиуса штопора:
r ctga
4V2 «2
(6.12)
Из (6.12) видно, что радиус плоского штопора меньше, чем кру-
того, так как при плоском штопоре углы атаки и угловые скорости
получаются большими.
штопора
Оценим порядок величины скорости снижения и радиуса штопора
при крутом штопоре. Пусть, например, самолет имеет нагрузку на
крылья— =250 k/7jh2=2452,5 h/jh2 и совершает крутой штопор на вы-
S
соте Н = 5000 м при угле атаки a=30°. Пусть коэффициент полной аэро-
динамической силы сн=1,2. По формуле (3.12) получим
V=101 м/сек,
а по (5.12), полагая угловую скорость ы=6,01/сек,
г=0,47 м.
Как видно, скорость снижения получилась значительная: при што-
поре самолет быстро теряет высоту. Радиус штопора получился не-
большой.
Рассмотрим теперь условия равновесия моментов, действующих на
самолет при штопоре; при этом ограничимся случаем установившегося
штопора. Проектируя угловую скорость ю штопора на связанные оси
координат (фиг. 14.12), можно заметить, что все три составляющие со
отличаются от нуля. Это означает, что при штопоре на самолет дейст-
вуют все моменты, связанные с угловыми скоростями (вращательные
производные — см. гл. I). Будут действовать также моменты, связан-
ные с углом атаки а и углом скольжения р (статические производные).
Все эти моменты уравновешиваются силами инерции около соответст-
вующих осей координат.
Наибольший практический интерес представляют моменты отно-
сительно оси Oz\ — моменты тангажа, так как именно эти моменты
влияют на угол атаки при штопоре; рассмотрением этих моментов мы
и ограничимся.
Выясним, каковы моменты от сил инерции при штопоре. Предста-
вим себе тяжелый стержень, установленный под углом а<90° к верти-
кальной оси и вращающийся вокруг этой оси (фиг. 15. 12). Взяв какой-
либо элемент стержня с массой dm, найдем, что на этот элемент дей-
ствует центробежная сила
dPn=dm <о2х sin a,
где со — угловая скорость вращения стержня.
426
Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
Эта центробежная сила, будучи приложена на плече xcosct, даст
момент относительно оси, перпендикулярной стержню и лежащей в го-
ризонтальной плоскости, равный
dMzn=dm to2x sin а • х cos а=у dm и2* sin 2а. (7. 12)
Фиг. 14. 12. Положение вектора угловой скорости со
самолета относительно связанной системы координат.
Суммируя элементарные моменты (7.12) по всей длине стержня,
получим момент сил инерции стержня относительно оси, соответствую-
щей оси Ozj самолета:
и2 Сx2dm=l'x о)2. (8.12)
2 J 2
Этот момент, как видно из фиг. 15.12, стремится увеличить угол
атаки.
Фиг. 15. 12. Тяжелый
стержень, вращаю-
щийся вокруг верти-
кальной оси под уг-
лом а<90°.
Фиг. 16.12. Тяжелый стержень,
вращающийся вокруг верти-
кальной осн под углом
(90+а°).
2- Силы и моменты, действующие на самолет при штопоре
427
Пусть теперь стержень наклонен к оси вращения под углом
(90+а°), как это показано на фиг. 16.12. Этот стержень, очевидно,
перпендикулярен рассмотренному ранее.
На элемент стержня с массой dm действует центробежная сила
dPn=dmvfly cos а.
Момент этой центробежной силы относительно горизонтальной
оси Oz\
dMz ц — — dnusPy cos а • у sin а =--- dmv^y2 sin 2а,
(9-12)
а полный момент относительно оси Oz\
Хц=-/у^|^<и2- (10.12)
Момент Mzn стремится уменьшить угол атаки.
Пусть теперь вокруг вертикальной оси вращаются два тяжелых
стержня, жестко связанные между собой и расположенные под прямым
углом один к другому (фиг. 17. 12). Можно сказать, что момент отно-
сительно оси Ozt сил инерции, действующих на эту систему из двух
стержней,
Мг1=Мг11+М'гп = ^(1'х- (11-12)
По аналогии с рассмотренным простейшим случаем двух стержней
на самолет, вращающийся вокруг вертикальной оси (оси штопора),
будет действовать момент относительно оси Ozi, определяемый выра-
жением (11.12); Л и /у в этом случае представляют собой моменты
инерции самолета относительно плоскостей ZiOz/i и ZiOxi, а а — угол
атаки, измеренный по центральной хорде крыла. Используя обозна-
чения
/2 -.2
, 12 -,2
4 . 1у = Ш — Гу-, [1
2m
и переходя от момента к коэффициенту момента, получим
тг1=* (гл -~г'у) Л (12.12)
У летательных аппаратов обычно fx^zry, поэтому момент сил
инерции стремится увеличить угол атаки при штопоре.
Из выражения (12.12) следует, что с увеличением коэффициен-
та р. (этот коэффициент называют «относительной плотностью» самоле-
та) коэффициент mzi момента тангажа от сил инерции при штопоре
увеличивается. Следовательно, при прочих равных условиях и при уве-
личении высоты полета (при уменьшении плотности воздуха q) коэф-
фициент момента тангажа от сил инерции увеличивается. Точно так
же коэффициент момента тангажа от сил инерции увеличивается при
увеличении нагрузки на крылья G/S.
В случае установившегося штопора, как было отмечено выше,
угловая скорость вращения со и угол атаки крыльев а, измеренный по
хорде центрального сечения, связаны между собой определенной зави-
симостью-диаграммой самовращения (см. фиг. 7.12). Располагая
такой диаграммой, нетрудно построить диаграмму зависимости от
угла атаки коэффициента mzi. Определяя по диаграмме фиг. 7.12 зна-
428
Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
чения со для ряда углов атаки а и вычисляя по формуле (12.12) коэф-
фициент момента mZi, получим диаграмму фиг. 18. 12.
Коэффициент момента mz аэродинамических сил относительно оси Oz\
следует взять из результатов испы-
Фиг. 17.12. Два взаимно
перпендикулярных тяже-
лых стержня, вращаю-
щиеся вокруг вертикаль-
ной оси.
Фиг. 18. 12. Зависимость от угла
атаки коэффициента mzi момента
тангажа от сил инерции.
мической трубе; примерный вид такой зависимости показан на фиг. 19.12.
При помощи фиг. 18.12 и 19.12 можно найти режимы установившегося
штопора, соответствующие некоторому определенному углу отклонения
руля высоты. На таких режимах должно удовлетворяться равенство
mz-\-mzi = Q.
Для определения этих режимов на одной диаграмме можно по-
строить кривую mzi=fi(a) и кривую mz=f2(a), взятую с обратным
знаком; точки пересечения обеих кривых и будут представлять собой
режимы установившегося штопора. Из фиг. 20.12, на которой показан
Фиг. 19. 12. Зависимость от угла атаки
коэффициента mza момента тангажа от
аэродинамических сил.
примерный вид такой диаграммы,
ясно, что существуют два режима
установившегося штопора, кото-
рым соответствуют точки а и Ь:
в точке b — режим плоского што-
пора, в точке а — крутого. Угло-
вая скорость со вращения самоле-
та в каждом из этих режимов
определится по диаграмме само-
вращения. При увеличении высо-
ты полета и при прочих неизмен-
ных условиях кривая
останется неизменной, а кривая
mZi=f2(a) изменится в соответст-
вии с изменением относительной
плотности ц самолета.
Так, например, при увеличении высоты полета и, следовательно,
при увеличении ц кривая m2=f2(a) примет вид, показанный на
фиг. 20.12 пунктиром; установившиеся режимы штопора получатся на
других углах атаки. Наиболее неприемлемый для летчика режим плос-
кого штопора получится при большем угле атаки.
§ 3. Вывод самолета из штопора
429
Явления при штопоре описаны выше главным образом с качест-
венной стороны. Более подробные сведения по этому вопросу можно
найти в многочисленных работах советских ученых (А. Н. Журавченко,
В. С. Пышнова и др.).
Фиг. 20.12. Диаграмма для определения устано-
вившихся режимов штопора.
Штопор не является боевой фигурой, как, например, вираж или
боевой разворот. Обычно штопор возникает самопроизвольно и неожи-
данно и при недостаточной опытности летчика может привести
к неприятным последствиям. Поэтому особое значение имеет правиль-
ное представление о методах вывода самолета из штопора.
§ 3. ВЫВОД САМОЛЕТА ИЗ ШТОПОРА
Вследствие известной сложности пилотирования самолета при вы-
воде из штопора и неожиданности возникновения штопора долгое вре-
мя штопор считался довольно опасной фигурой. В то же время по мере
повышения нагрузки на крылья и увеличения скорости и высоты по-
лета летчики стали сталкиваться со штопором все чаще. Перед совет-
ской наукой стала задача подробного изучения этого неприятного
и в то же время опасного явления.
Первый намеренный ввод самолета и режим штопора, а затем
вывод из него был осуществлен в нашей стране в 1916 г. летчиком
К. Арцеуловым. Своим полетом Арцеулов доказал возможность выво-
да самолета из штопора при пользовании рациональными методами
пилотирования; его полет показал, что штопор, как и другие режимы
полета, подчиняется законам аэродинамики и может быть рассчитан
заранее.
Пусть самолет находится в режиме штопора, соответствующего
точке а (фиг. 21.12), и штопор необходимо прекратить. Можно по-
пытаться уменьшить угол атаки крыльев, переведя самолет отклоне-
нием руля высоты вниз на такие углы атаки, при которых самовраще-
ние вообще невозможно. Иногда такой способ может оказаться
эффективным. Предположим, что летчик отклонил руль высоты вниз
на угол бв=4-20°. Если руль отклонен очень энергично и эффектив-
ность руля достаточна, то самолет приобретает отрицательную угло-
вую скорость; в результате нос самолета опустится вниз и угол атаки
430 Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
уменьшится. При достаточно малом угле атаки самовращение прекра-
тится; самолет выйдет из штопора и перейдет в режим пикирования.
Однако если отклонение руля высоты произведено недостаточно
энергично или если руль малоэффективен (из-за аэродинамического
затенения), то самолет вместо выхода из штопора может перейти
в другой режим установившегося штопора, соответствующий равенст-
ву аэродинамического и инерционного моментов относительно оси Ozi
при большем угле атаки (точка b на фиг. 21.12).
Явление осложняется еще тем, что в точке а режим штопора не-
устойчив и под действием случайных причин самолет может выйти
из этого режима и перейти в режим устойчивого штопора (точка b
на фиг. 21. 12) —плоского. Действительно, путем простых рассуждений
можно прийти к выводу, что в точке а при увеличении угла атаки а
Фиг. 21.12. К выводу самолета из режима
штопора.
момент сил инерции растет
быстрее, чем момент аэродина-
мических сил: самолет будет
уходить из исходного режима
штопора. Наоборот, в точке b
при увеличении или уменьше-
нии угла атаки появляется ре-
зультирующий момент относи-
тельно Ozi, стремящийся вер-
нуть самолет в исходный ре-
жим штопора. Достаточно по-
этому небольшой ошибки лет-
чика, внезапного порыва ветра
и т. д., для того чтобы самолет
перешел в режим устойчивого
плоского штопора со значитель-
но большими углами атаки.
Таким образом, рассмотренный способ вывода самолета из што-
пора путем отклонения руля высоты вниз не является надежным.
Необходимо добавить, что при больших углах атаки в режиме што-
пора, как уже упоминалось, крылья работают в сорванном потоке
и элероны практически полностью теряют свою эффективность. Поэто-
му попытка летчика прекратить штопор, отклонив элероны в сторону,
обратную штопору, даст только отрицательный результат.
Предположим, что при правом штопоре летчик отклонил элероны
в сторону, обратную штопору, т. е. правый элерон вниз, а левый —
вверх. Вследствие потери эффективности элероны не создадут практи-
чески никакого момента относительно оси Oxi, но вызовут вращение
самолета вокруг оси Or/i из-за момента, создаваемого разностью
тангенциальных сил (фиг. 22.12). Под действием этого момента в рас-
сматриваемом случае появится скольжение самолета на левое крыло,
т. е. 0<О. При £о>0 и 0<О, как отмечено ранее, «петля самовращения»
увеличится и прежнему углу атаки теперь будет соответствовать боль-
шая угловая скорость, чем при 0=0. Момент тангажа от сил инерции
увеличится, и штопор будет продолжаться, но с большей угловой ско-
ростью, чем прежде.
Для вывода самолета из штопора более радикальным является
такой способ пилотирования, при котором летчик сначала уменьшает
угловую скорость самовращения, а затем угол атаки самолета. В пре-
дыдущем параграфе указано, что скорость самовращения и зависит от
величины знака угла скольжения. При со>О угол скольжения 0>О
§ 3. Вывод самолета из штопора
431
уменьшает угловую скорость при данном угле атаки, а в случае 0<О —
увеличивает ее.
Следовательно, если летчик при правом штопоре создаст положи-
тельный угол скольжения, отклонив для этого руль направления в сто-
рону, обратную штопору, то угловая скорость о в установившемся
режиме штопора уменьшится. Но вследствие относительно малой эф-
фективности руля направления при штопоре со уменьшится только че-
рез некоторое время, в течение которого самолет будет продолжать
штопор с прежней угловой скоростью.
Вследствие уменьшения угловой скорости со момент тангажа от
сил инерции, пропорциональный со2, также уменьшится. Когда угловая
Фиг. 22.12. Момент от разности тангенциальных
сил, действующих на крылья при отклонении эле-
ронов в режиме штопора.
скорость штопора уменьшится, летчик должен отклонить руль высоты
вниз, чтобы создать момент Мг на пикирование, который уменьшит
угол атаки. В результате такой последовательности действий летчика
штопор самолета будет прекращен. Ручку управления рулем высоты
при выводе самолета из штопора надо отклонять возможно более рез-
ко, чтобы при пониженной эффективности руля высоты создать доста-
точную угловую скорость <о2 относительно ОСИ Ozi.
При штопоре эффективность органов управления снижается. При-
чины этого заключаются в следующем. После отрыва потока подъем-
ная сила крыльев падает, а лобовое сопротивление значительно возра-
стает. Вместе с этим центр давления перемещается по направлению
к задней кромке крыльев, что приводит к появлению дополнительного
момента крыльев на пикирование. Кроме того, вследствие падения
подъемной силы уменьшается скос потока у оперения. Скос потока
уменьшается и в силу того, что при больших углах а горизонтальное
оперение оказывается расположенным довольно далеко от свободных
вихрей, сбегающих с крыльев. В итоге истинный угол атаки оперения
увеличивается, что также увеличивает момент на пикирование.
За крыльями образуется зона интенсивного торможения скорости,
подобно тому, как при малых углах атаки, но в гораздо более сильной
степени. Вследствие этого эффективность органов управления падает.
432 Гл. XII. Полет на закритических углах атаки. Штопор
При проектировании самолета необходимо принимать соответствую-
щие меры против затенения крыльями горизонтального оперения
и против затенения вертикального оперения горизонтальным. Необхо-
димое взаимное расположение горизонтального и вертикального опере-
ния и крыльев выбирают на основании результатов опытов в аэроди-
намических трубах. Известного улучшения штопорных характеристик
самолета, особенно на режимах крутого штопора, можно достигнуть
рациональным выбором профиля крыльев и их аэродинамической ком-
поновкой. Другим очень действенным средством улучшения штопор-
ных характеристик самолета является уменьшение моментов инерции
самолета и особенно момента Гх, из-за которого и ухудшаются што-
порные свойства самолета.
ГЛАВА XIII
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА.
ПОНЯТИЕ О ФОРМИРОВАНИИ КОНТУРА
БОРТОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
§ 1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Задачи, приведенные в гл. VI—IX, формулировались следующим
образом.
Заданы структура системы, состоящей из летательного аппарата
и автопилота (или только летательного аппарата), коэффициенты пе-
редаточной функции этой системы и возмущения, поступающие на
вход в систему. Выяснить характер возмущенного движения системы
и оценить ее динамические свойства.
Такую задачу — задачу анализа — можно назвать прямой задачей
динамики полета. Инженеру, однако, не менее важно уметь решать
и обратную задачу динамики полета — задачу синтеза системы.
Формулировка обратной задачи такова. Подобрать структуру си-
стемы (летательный аппаратДавтопилот), наилучшим образом удовле-
творяющую требованиям, предъявляемым к динамическим свойствам
этой системы. Возмущения при этом могут быть любыми, свойствен-
ными конкретной рассматриваемой задаче, например, управляющими
воздействиями различной амплитуды и частоты, турбулентными воз-
мущениями различной структуры, случайными помехами, сопутствую-
щими управлению летательным аппаратом.
Решение обратной задачи в общем случае выходит за рамки на-
стоящего курса и является предметом теории проектирования систем
автоматического управления.
Далее мы рассмотрим лишь некоторые простые частные варианты
обратной задачи.
Система управления летательным аппаратом состоит из контура
бортовой стабилизации — незамкнутой системы, выполняющей функ-
цию преобразования входного сигнала в выходную величину (напри-
мер угла отклонения руля высоты в перегрузку, действующую на лета-
тельный аппарат), и замыкающей систему обратной связи, обеспечи-
вающей выполнение заданной вели (например слежение перехватчика
за воздушной целью). Эту обратную связь выходной величины с сиг-
налом управления назовем главной обратной связью. Контур бортовой
стабилизации в общем случае может содержать свои обратные связи,
например обратную связь, осуществляемую автопилотом, работающим
в режиме стабилизации.
28 1824
434
Гл. XIII Прямая и обратная задачи динамики полета
На самолете, пилотируемом летчиком, функции главной обратной
связи выполняет летчик, в зависимости от общей обстановки изменяющий
характер управления самолетом. На беспилотном летательном аппара-
те обратная связь реализуется специальными автоматическими устрой-
ствами. Главным звеном автоматической обратной связи является
элемент сравнения, устанавливающий разницу между потребными
и фактическими данными траектории летательного аппарата, например,
соответствие между фактической и опорной траекториями зенитной
управляемой ракеты (ЗУР), находящейся в режиме наведения. Далее
в цепи главной обратной связи должен быть блок, преобразующий по-
лученную разницу в ко-
мандные сигналы, пода-
ваемые на вход в
пилот. Кроме того, в глав-
ную обратную связь вклю-
чают дополнительные кор-
ректирующие звенья для
уменьшения влияния слу-
чайных ошибок, сопутст-
вующих сигналам управ-
ления, т. е. для улучшения
динамических свойств си-
стемы.
Контур бортовой ста-
билизации в свою оче-
редь состоит из ряда
аппарат и автопилот.
Уо Ауп
Фиг. 1. 13. Схема следящей системы.
авто-
звеньев, представляющих летательный
В конце гл. VIII приведена укрупненная структурная схема про-
дольного движения ЗУР в режиме наведения. Напомним основные
черты, характеризующие работу такой системы.
На вход в элемент сравнения подается информация о взаимном
положении перехватчика и воздушной цели. В результате сравнения
этой информации с потребными кинематическими характеристиками
(скоростью, высотой полета, углом наклона траектории к горизонту
и т. д.) вычисляется величина ошибки (рассогласования) и вырабаты-
вается величина потребной для исправления этой ошибки коррекции
управляющего сигнала.
Вследствие неизбежных погрешностей на вход в элемент сравнения,
помимо полезной информации, поступают и помехи — случайные вели-
чины, обусловленные случайными ошибками при определении коорди-
нат перехватчика и воздушной цели, погрешностями аппаратуры слеже-
ния и т. п.
Управляющий сигнал, который подается на вход в контур борто-
вой стабилизации (фиг. 1.13), складывается, таким образом, из сиг-
нала потребной коррекции (полезного сигнала) и вредного сигнала,
обусловленного помехами и неточностью работы системы. Вспоминая
выражение передаточной функции замкнутой системы (119.8), можем
написать
/ А ч kW
д’’«) 17^
где уо — полезный сигнал коррекции;
At/n — случайная помеха;
k — коэффициент усиления обратной связи.
1. Общие соображения
435
В более общем случае, когда постоянные времени обратной связи
нельзя полагать равными нулю и, следовательно, обратную связь надо
представить не в виде коэффициента усиления, а в виде некоторой пере-
даточной функции 1Е0, вместо приведенного выражения следует принять
ду,)^. <1Л3’
Ошибка на выходе из системы
е—Уо~У—Уо ] + Го17 + дУп j + Го1Г • (2-13)
Из выражения (2. 13) видно, что систематическая часть ошибки
1
ео = Уо------,
0 1 + W0W
или в том случае, когда W0=k,
_ 1
so—Уо j + kW
Случайная часть ошибки, обусловленная случайными погрешно-
стями,
-Л ^о^
еп— Уп 1+
или для случая W0=k
А kW
еп — Уп J +kW
Систематическая ео и случайная части ошибки еп по-разному зависят
от W0W. Так, например, увеличивая коэффициент усиления k обратной
связи, мы будем уменьшать систематическую ошибку и увеличивать слу-
чайную (вредную) часть ошибки. В этом примере коэффициент k должен
выбираться из условия минимизации полной ошибки наведения.
Если передаточная функция контура бортовой стабилизации W соот-
ветствует статической системе, т. е. не содержит в знаменателе р в виде
множителя, например,
W=-----------,
р2 +2hp+^2
то в конце переходного процесса ошибка наведения отличается от нуля;
действительно, при р=0
=К
Если входные сигналы с течением времени стремятся к некоторому
пределу, то, как видно из (2. 13),
1 । kK , п
1+Л/< ^°-
Во избежание накапливания систематических ошибок в замкнутую
систему надо ввести астатизм, т. е. принять выход из обратной связи
в виде
W'of1 +~)(Уо-У-ДУп)-
X «1Р/
(3.13)
28 1824
436
Гл. XIII. Прямая и обратная задачи динамики полета
Передаточная функция замкнутой системы при этом
(i+T-Woir
и/замкн=-------~, (4. 13)
1 + (1 + ~
\ kxpj
где Wo — передаточная функция обратной связи (без астатизма) для
основной выходной величины и klt k2 — коэффициенты усиления соответ-
ствующих каналов обратной связи.
Можно убедиться, что и в этом случае при изменении структуры пере-
даточной функции обратной связи или коэффициентов k2 система-
тическая и случайная составляющие ошибки изменяются различным
образом. Оптимальные структуры должны быть выбраны с учетом
случайных ошибок (помех) из условия оптимизации процесса наведе-
ния. Выбор контура замкнутой системы, состоящей из контуров борто-
вой стабилизации и обратной связи, является одной из главных задач
при проектировании систем автоматического управления. Решение
этой сложной задачи 1 требует, как правило, привлечения счетно-ре-
шающих машин.
Инженеру, однако, помимо таких точных методов решения, жела-
тельно иметь в своем распоряжении также приближенные аналитиче-
ские приемы решения обратной задачи динамики, которыми можно
было бы воспользоваться на начальных этапах проектирования, когда
необходимо приближенно наметить общие требования к параметрам
летательного аппарата и автопилота. Естественно, что для получения
простых выражений в формулировку задачи приходится ввести упро-
щающие ее предположения, которые и дают решению задачи прибли-
женный характер.
В качестве такого упрощающего предположения примем, что зада-
чу синтеза системы автоматического управления можно разделить на
две, первая из которых может решаться независимо от второй. Будем
считать, что предметом первой задачи является выбор функционально
необходимой части системы — формирование контура бортовой стаби-
лизации независимо от структуры обратной связи. Вторая задача будет
тогда состоять в выборе такого контура обратной связи, который при
заданном контуре бортовой стабилизации наилучшим образом сохра-
нял бы полезные сигналы коррекции управления и отфильтровывал
случайные помехи. Ограничимся рассмотрением первой задачи.
Требования, предъявляемые к контуру бортовой стабилизации (ле-
тательный аппарат+автопилот), в основном заключаются в обеспече-
нии малого времени переходного процесса /р, ограничении заброса вы-
ходной величины (например перегрузки), в пропускании с достаточ-
ной амплитудой управляющих воздействий во всем необходимом диа-
пазоне частот, определяемом на основе опорной траектории.
Если схема автопилота выбрана, то структурная схема контура
бортовой стабилизации определена однозначно и задача сводится к вы-
бору коэффициентов передаточной функции контура бортовой стабили-
зации. Другими словами, необходимо определить рациональные
области положения центра масс летательного аппарата и передаточ-
ных чисел автопилота. Именно такую, более простую задачу мы и бу-
дем рассматривать в дальнейшем.
Наиболее просто задача решается для самолета, пилотируемого
летчиком; к этой задаче мы и перейдем.
1 См., например, [15], [16] и др.
§ 2. Формирование контура бортовой стабилизации пилотируемого самолета 437
§ 2. ФОРМИРОВАНИЕ КОНТУРА БОРТОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
САМОЛЕТА, ПИЛОТИРУЕМОГО ЛЕТЧИКОМ
При решении задачи формирования контура бортовой стабилиза-
ции исходим из следующих предположений.
1. Влиянием кривизны земной поверхности пренебрегаем, а уско-
рение силы тяжести считаем постоянным, не зависящим от высоты
полета.
2. Автопилот считаем идеальным (7’=0).
3. Влиянием отклонения руля на величину полной аэродинамиче-
ской силы пренебрегаем (К8в—Zsh=0).
Считаем, что техническими требованиями к самолету заданы:
1) максимальная допустимая величина заброса нормальной &пу
или боковой бпг перегрузки в процессе возмущенного движения;
2) максимальное и минимальное допустимые значения критериев
5" и характеризующих расход отклонения руля на создание пере-
грузки Пу и nz;
3) максимальное значение a>Bm частоты управляющих воздействий
(отклонения руля летчиком);
4) максимальное и минимальное значения Лшах и /lmin относитель-
ной амплитуды перегрузки;
5) максимальная и минимальная величины запаздывания реак-
ции самолета на управляющие воздействия при отклонении рулей по
гармоническому закону (по закону синуса);
6) запас отклонения руля высоты, достаточный для посадки само-
лета, и руля направления, достаточный для парирования заданного
момента Му (например, при остановке одного из двигателей, при по-
садке с боковым ветром и т. д.);
7) максимальное и минимальное значения критерия оцени-
вающего характер управления самолетом при разгоне по прямолиней-
ной траектории;
8) максимальное допустимое время удвоения начального возму-
щения в спиральном движении (см. гл. IX).
Подлежат определению:
1) диапазон положений центра тяжести самолета (диапазон цен-
тровок) ;
2) передаточные числа каналов автопилота.
Геометрические, весовые и аэродинамические характеристики са-
молета предполагаются известными.
Процесс формирования перегрузки в случае управляемого движе-
ния или ликвидации начальных возмущений по углу атаки и по углу
скольжения, как показано в гл. VIII и IX, происходит в фазе коротко-
периодического движения (продольное возмущенное движение) или
в фазе движения рыскания (боковое возмущенное движение). Переда-
точная функция определяется следующим приближенным выражением,
общим для продольного или бокового движения:
где в случае продольного движения
Гу «
£=—е30 —
28*
438
Гл. XIII. Прямая и обратная задачи динамики полета
и в случае бокового движения
Динамические свойства звена, описываемого передаточной функ-
цией (5.13), подробно рассмотрены в гл. V, где был построен график
Фиг. 2.13. График для расчета переходного процесса.
Передаточная функция вида:
Р7 + 2hKp +
переходного процесса и получены следующие формулы для расчета
амплитудно-частотной характеристики:
А = ..1 ___; (6.13)
/(1—^2)2+452^2 V ’
<p=-arctg-^-. (7.13)
1 —
Здесь ф = — —отношение частоты вынужденных колебаний <ов
“к
к опорной частоте <ок и £ =----относительный коэффициент демпфи-
“к
рования.
От смещения по фазе <р легко перейти к запаздыванию по време-
ни At при помощи формулы
(8.13)
(бв
§ 2. Формирование контура бортовой стабилизации пилотируемого самолета 439
Для практического использования удобно построить совмещенный
график, на котором нанесены кривые зависимости £=£(ф) для разных
амплитуд А и разных значений произведения <оЛ/, построенные по фор-
мулам (6.13) и (7.13). На этот же график целесообразно нанести
и граничные линии £=const, обеспечивающие удовлетворительное ка-
чество переходного процесса; так, если заброс перегрузки ограничен
значением ди = 10%, такими линиями являются прямые
£1 = 0,6 и £2=1,0.
Фиг. 3.13. Примерный вид области
допустимых значений £ и ф.
Таким образом, получается единая
помощи которой легко выбрать об-
ласть значений £ и ф, внутри которой
обеспечивается удовлетворительное ка-
чество переходного процесса, а ампли-
туды выходной величины и запаздыва-
ние не выходят из заданных пределов.
Такой график приведен на фиг. 3. 13.
Далее от области допустимых зна-
чений £ и ф надо перейти к области
допустимых значений относительной
координаты центра масс летательного
аппарата хт и передаточных чисел ка-
налов автопилота. Хотя общие рассу-
ждения одинаковы, конечные формулы
перехода получаются различными для
формирования контура бортовой стабилизации продольного и бокового
движения.
Продольное движение. На основании изложенного в гл. VIII пе-
редаточные числа каналов автопилота, стабилизирующих угол танга-
жа •& и угол атаки а (перегрузку nv), целесообразно положить равны-
ми нулю. В том случае, когда задача при этом не получает удовлетво-
рительного решения, следует провести такой же расчет для нескольких
значений передаточных чисел и ka и затем выбрать наивыгодней-
шую комбинацию этих чисел.
На основании формул (48.8) и (49.8) нетрудно получить следую-
щие выражения для £2 и ф2:
(й20 + а31 + С31 + ^ше3о)2
?=
л % Sbа#о — 1
4 «300 Су - Хт + Я20С31 + &оД20е30 + (fia + £&) «30 I
в
Iz
а -------
азоо Су - — хг + Я20С31 + Лша2оезо + (ka + /га) е30
*z
где а3оо соответствует центровке хт=0.
Решив (9.13) и (10.13) относительно хт и /гш, найдем
’^-«20-а31)+
+ (*« + M*80
(9.13)
[(10.13)
“ Z
Хт== c‘Sbaq0
йзоо
фг J’
Лш= —
езо
^20 Й31 С31) •
(11.13)
(12.13)
1 См. фиг. 14. 5; для удобства этот график воспроизведен еще раз.
440
Гл. XIII. Прямая и обратная задачи динамики полета
Формулы (11.13), (12.13) и служат для перехода от неизвестных
£ и тр к неизвестным «т и km. Дальнейший ход расчета получается про-
стым: исходя из технических требований, предъявляемых к самолету,
по графику фиг. 2.13 находим область допустимых значений | и ф и по
формулам (11.13) и (12.13) переходим к допустимым значениям
И k<j>.
Для самолетов, совершающих посадку, на выбор центровки и пе-
редаточных чисел автопилота могут быть наложены дополнительные
ограничения. Так, в гл. III было получено выражение для предельной
передней центровки, допустимой из условия посадки:
Х-t mln —б.г.о + ; i ^-^r.ofy г.о
Су ПОС
X (^в^в max ®пос V snoc) ^КгОб.г.о!- (13. 13)
Зная предельный угол отклонения руля высоты 6Етах, возможный
по конструктивным условиям, по формуле (13.13) можно найти зна-
Фиг. 4. 13. Области допустимых значе-
ний хт и kal для нескольких режимов
полета.
чение ггтппп- Это значение на
графике фиг. 4. 13 изобразится
в виде прямой линии, ограни-
чивающей область допустимых
центровок самолета слева.
Кроме того, можно наложить
ограничения, связанные с мощ-
ностью гидроусилителей и ру-
левой машины автопилота1
(здесь эти ограничения не рас-
сматриваем). В результате по-
лучается область, внутри ко-
торой должны лежать допусти-
мые значения центровки
хт и передаточного числа km
канала демпфирования авто-
пилота.
Передаточное число канала автопилота, стабилизирующее угол
тангажа можно найти по формуле (103.8) по заданному технически-
ми требованиями критерию 6в. Таким образом, получим
Суо dnig
nfz dcy
0-20 — с20
^20^0
1008^ -ka.
(14.13)
2
График для выбора хт и целесообразно строить для несколь-
ких характерных для самолета режимов полета и затем выбирать об-
ласть допустимых значений хт и ka, общую для всех таких режимов
полета (см. фиг. 4.13), если желательно ограничиться постоянной на-
стройкой автопилота.
Боковое движение. Так как предполагается, что Zs = 0, то форму-
лы (81.9) и (82.9) принимают вид
2й=«10 4- «31 (1 - bw tg »0) 4- ёзо+b3Q tg % «
й10 Н- а31 + С30 + ^30fyh
О)2=«10 (730 4- b30 tg &0) 4- «ю (1 - bw tg &0) «г «ю^зо 4- «зо.
1 Такие ограничения рассмотрены в [20].
§ 2. Формирование контура бортовой стабилизации пилотируемого самолета 441
Отсюда получаем1 выражения для £2 и ф2:
„„ («к + «31 + «зо+^зо tg®o + £ф1«зо sec So)2 ,.г .
$ = —---------------------------—c , i ; (15. 13)
I n R ^^0*' — I
4 <*10 (<?30 + ^1^30 tg %) + 0300 + C* —j— XT
2
f э (16.13)
p S(]qI -
«10 («30 + Ля «30 tg ®o) + «300 + CZ —T~ Xr
Jy
где йзоо соответствует центровке в долях длины фюзеляжа хт=0.
Решая (15.13) и (16.13) относительно хт и k^i, получим следую-
щие формулы перехода от £, ф к хт, k^r.
— Ру ।
*т = р00+°10 р
\ <о2
й10 Д31 Ьзо^ё^о) ГГ 1
Аф1 =------- (-у-5 — #10 — Й31 — С30 — &30 tg •
«зо \ У /
(17.13)
(18.13)
Дальнейший ход расчета ничем не отличается от описанного для
случая продольного движения: в результате получается график допу-
стимых значений хт и kqi типа фиг. 4. 13, полученной для продольного
движения.
Дополнительными условиями, которые могут ограничивать выбор
хт и йф1, могут служить удовлетворительное поведение самолета при
внезапном одностороннем отказе двигателей (см. гл. IX), посадка
с боковым ветром и т. д. (см. гл. IV). Определение граничных линий
из этих условий не представляет трудностей, и мы на нем не будем
останавливаться.
Выбрать передаточные числа каналов автопилота /?т и &Ti, стаби-
лизирующих угол крена и угловую скорость крена, можно из условий
ограничения степени спиральной неустойчивости и хорошего качества
координированного разворота (движения крена без скольжения).
Рассмотрим эти условия последовательно.
Ограничение степени спиральной неустойчивости самолета. Будем
считать, что время возрастания начального возмущения в спиральном
движении не должно быть меньше заданного техническими требова-
ниями.
Часть начального возмущения, изменяющаяся в спиральном дви-
жении, пусть равна Ду0. Тогда в процессе спирального движения
Ду = Дуоер<
Если обозначить через (2 время, за которое удваивается начальное
возмущение в спиральном движении, то, очевидно,
2ду0=ду0е₽,<°;
из этого равенства найдем время удвоения начального возмущения
в спиральном движении
,0,693 (19.13)
Pi
1 Напомним, что согласно (36.9)
«30 = «30 + ^ф1«30 sec &о-
442
Гл. XIII. Прямая и обратная задачи динамики полета
Так как по условию это время не должно превышать заданного, то
для корня pi характеристического уравнения бокового движения по-
лучается ограничение
(20.13)
(22.13)
. 0,693
»2
На основании формулы (49.9) корень pi
аы
Р1=—
ац
так что должно выполняться условие
0,693 ,п.
a0i^ , аи- (21.13)
‘2
Коэффициенты aOi и ац определим по формулам (46.9) и (47.9),
сохраняя в этих формулах только основные члены. Тогда неравенство
(21.13) можно привести к виду
k > k /__ *2___а10 + а31 + Сз1 + ^30 tg Sq \_
1 \ 0,693 азо + аюсзо
_ tj а10 а30 (с20 + ^20 tg Sq) — Д20С3О
0,693 Л2о азо + аюсзо
Если заданное время /2 достаточно велико, то (22. 13) можно
заменить более простым выражением
k > £ ^2______^2 У to. а30 (с30 + ^20 tg ftp) — а20с30 <22а 13)
0,693 0,693 ^20 С30 + Дю^зо
Неравенства (22.13) или (22а. 13) на плоскости (Ат, Р-р) ограни-
чивают область допустимых значений kp и Лт, как это показано на
фиг. 5.13.
Хорошее качество координированного разворота. Это движение
рассмотрено в гл. IX. Полагая в уравнениях (109.9) — (111.9) Z‘=0,
перепишем эти уравнения:
у (bwp+</„)=Рф cos So (1 — tg 80)« рф cos So, (23.13)
у [М20+№>о + Ао) р + Р2] + РФ cos &0 (Fgo+b2(j tg %+tg &op) =
~ ^20% у ^208н у’ (24- 13)
yZ>30 sec «о P + РФ (С30+b30 tg So+p) = - e30 sec &08H y. (25.13)
Определяя из уравнений (23. 13) — (25. 13) угол отклонения элеро-
нов бЭ1/, получим
у—У ^r^o+^ioC^o+^tg &о)
—~ [^зс+(<"зо+^зо %)] + {b20 -ф- kpk^
«30
+ bio (С20 + ^20 tg ®о) + ^10 tg %-— [d 10 Ц- &ю (Сзо + fc30 tg &0)]} р -ф-
Сзо
+(l+&i0tg&0-(26.13)
В конце переходного процесса, т. е. при р=0, из уравнения
(26.13) получим
— ^2оА8э у=А V () {М20+^10 (с20 + *20 tg &о) ~
--------- [^зо + (сзо + b20 tg %) d10]|,
е30 •>
§ 2. Формирование контура бортовой стабилизации пилотируемого самолета 443
откуда условие, ограничивающее выбор
(F2o + z,2otg§0)_^o b30] . (27.13)
ЛБэ у «20 L «30 J
Отношение должно быть задано, так как при заданной
Д5Э у
мощности элеронов оно определяет достижимый угол крена. В таком
случае уравнение (27. 13) на фиг. 5. 13 изображается в виде верти-
кальной прямой, ограничивающей область допустимых значений k^.
Наконец, еще одну граничную линию можно получить из условия
обеспечения апериодического движения крена. При условии Z8 =0
характеристическое уравнение (112.9) превращается в квадратное
/?24-Др + £=О, (28.13)
Ху,
Фиг. 5.13. Область допустимых
значений передаточных чисел
канала стабилизации крена и k у1
канала стабилизации угловой ско-
рости крена.
где
*20 + k *20 + *10 («20 + *20 tg + ^10 tg —~ № 10 + * 10 («30 + *30 tg &о) 1
А =---------------------------------------------.
1 + *10 tg % —~ *10
е.зо
(29.13)
*у*20 + ^10 («20 + *20 tg '%) — [*30 + До («30 + *30 tg ®о)1
В=------------------------------. (30.13)
1 + *10 tg &0 ——“ *10
«зо
Для того чтобы движение было апериодическим, необходимо
удовлетворить неравенству
После несложных преобразований описанное неравенство можно
привести к виду
krlk20 > 2 ]А*+М20- 2Л0, (31.13)
где
<°0 == ^10 (^20 + &20 tg %) - — [&30 + ^10 (^30 + t>30 tg &0)L
«30
2А0—b20 -{- b10 (c20 Ц- b20 tg &0) d10 tg &0 ™ [d10 bw (cs0 -j- bz0 tg &0)j.
«30
444
Гл. XIII. Прямая и обратная задачи динамики полета
Соответствующая граничная линия также нанесена на фиг. 5.13.
Таким образом, график фиг. 5. 13 позволяет наметить рациональ-
ные значения передаточных чисел k^i и каналов автопилота, стаби-
лизирующих угловую скорость крена и угол крена.
При выборе степени поперечной статической устойчивости |—trtx\
как об этом уже упоминалось, следует принимать небольшие ее зна-
чения.
§ 3. ФОРМИРОВАНИЕ КОНТУРА БОРТОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Общие предположения, лежащие в основе решения задачи, остают-
ся теми же, что и в предыдущем параграфе.
Техническими требованиями к летательному аппарату задаются:
1) допустимая величина заброса перегрузки 6пу и dnz в процессе
возмущенного движения;
2) максимальное и минимальное значения критериев бв и 8в;
3) максимальная вынужденная частота соВт. Это значение может
быть найдено путем гармонического разложения функции n=n(t), по-
лучаемой из опорной траектории;
4) максимальное и минимальное значения относительной ампли-
туды перегрузки Дтах и Лт1п.
Требования эти аналогичны предъявляемым к самолету; отсутст-
вуют лишь требования, специфические для самолетов, пилотируемым
летчиком.
Требуется найти:
1) область допустимых положений центра масс летательного ап-
парата;
2) передаточные числа каналов автопилота.
Геометрические, массовые и аэродинамические характеристики
летательного аппарата, как и в предыдущем параграфе, предполагают-
ся известными.
Ход решения задачи формирования контура бортовой стабилизации
беспилотного летательного аппарата в общем аналогичен описанному
в предыдущем параграфе, однако возникают некоторые особенности,
свойственные беспилотным аппаратам. Остановимся кратко на таких
особенностях.
Если наибольшая частота управляющих воздействий соВш невели-
ка, то потребная собственная частота летательного аппарата с автопи-
лотом получается также небольшая и задачу формирования контура
бортовой стабилизации беспилотного летательного аппарата удается
решить без дополнительных корректирующих звеньев. В рассматривае-
мом случае, однако, диапазон частот управляющих сигналов обычно
получается довольно широким, так что максимальная частота соВт
может оказаться значительной. Если и в этом случае отправляться от
звена второго порядка, то для получения удовлетворительного пере-
ходного процесса пришлось бы пойти на большие значения опорной
частоты (ок летательного аппарата, так как нельзя было бы использо-
вать большие значения коэффициента фто= и при больших <овт
сок
получились бы и большие значения сок- Большие значения сок привели
бы к увеличению критерия 6"у или а это в свою очередь снизило бы
маневренные возможности летательного аппарата: запаса отклонения
рулей могло бы нехватить для реализации нужных перегрузок.
§ 3. Формирование контура бортовой стабилизации беспилотного аппарата 445
Задачу можно решить, если усложнить структурную схему конту-
ра бортовой стабилизации, введя в него дополнительное корректирую-
щее звено. Это звено при удовлетворительном качестве переходного
процесса должно увеличить диапазон частот, внутри которого сохра-
няются достаточно большие значения амплитуд выходной величины
(перегрузки), отнесенных к входной.
Удовлетворительные результаты получаются, если передаточную
функцию корректирующего звена принять, например, в виде
Гк(р) = 1+Ар, (32.13)
где k — некоторый коэффициент, подлежащий определению.
В этом случае передаточная функция системы, состоящей из лета-
тельного аппарата, корректирующего звена и автопилота, прини-
мает вид
W =_____1 + kp__
Р2 + 2hKp + о>2
Если ввести обозначения
(33.13)
Л=&ок,
О)к
— р . <0
р=—, ф=—
СОК й)к
и перейти от действительного времени t к безразмерному t = asKt, то
выражение (33.13) можно привести к виду
____£____1 Р
“2 p2-f-2£p+l
(34.13)
Пользуясь обычными правилами построения частотных характери-
стик (см. гл. V), найдем, что частотные характеристики для пере-
даточной функции (34. 13) определяются по формулам:
1= 1/ 1+*2Ф2
V (1—ф2)2 + 4£2ф2 ’
-1ёу=Ф Io-*2)-* .
1— ф2 + 2£Лф2
(35.13)
(36.13)
Найдем максимальную амплитуду Дтах. С этой целью возьмем
производную по ф2 от (35. 13) и приравняем ее нулю. Получим.
2 У(1 +fe2)2 —4g2fe2—1
•Э £2
(37.13)
Подставив (37.13) в выражение (35.13), для максимальной ам-
плитуды получим следующую формулу:
Апах=0,707^2 1/-z,— _ =/------------— . (38.13)
У У(1 +Р2)2 — 4£2й2 __(1 +Л2_ 2^2) V ’
Так как по условиям задачи максимальная амплитуда задана, то
(38. 13) связывает две величины: k _и £. Рассматривая (38.13) как
уравнение относительно неизвестной k и решая это уравнение, найдем
k = V2Дтах [V Д2тах-1 - Дтах (1 - 2?)]. (39.13)
446
Гл. XJII. Прямая и обратная задачи динамики полета
Минимальная амплитуда будет соответствовать наибольшему зна-
чению фт, так что
Лт,П== (1-^)2 + 4^ ’ (40‘ 13>
В этом выражении k уже является определенной функцией соглас-
но (39.13). Определяя из (40.13) неизвестную фт, получим
(1-» + ^+^. (41.13)
Фиг. 6.13. Область допустимых значе-
ний^™ и § (4max=l,175, 4min = 0,8).
Кривая зависимости фта=фга(£),
построенная по формулам (39. 13) и
(41. 13), приведена на фиг. 6. 13 для
значений Дт)п=0,8 и Дтах= 1,175.
Как можно убедиться непосредствен-
Фиг. 7.13. Область допустимых значе-
ний фт И £ (^тах= 1>090> Лщ1п—0»8).
=4,175 в диапазоне 0,5<£<4,0 соответствует заброс перегрузки
15%. На фиг. 7.13 нанесена подобная же кривая для Л max =1,090;
этому значению Лтах в диапазоне 0,6'^'£<С1,0 соответствует забпос пепе-
грузки бйв«1О%.
Качество переходного процесса должно быть удовлетворительным
в режиме не только управления, но и стабилизации, когда введенное
корректирующее звено не работает, и передаточная функция для пере-
грузки летательного аппарата с автопилотом в режиме стабили-
зации имеет вид
W =________с
Р2 + 2hKp + <о2
(42.13)
График для расчета переходного процесса для такого вида переда-
точной функции приведен на фиг. 2. 13. Для удовлетворительного каче-
ства переходного процесса в режиме стабилизации коэффициент g дол-
жен быть ограничен пределами 0,5К£<1,0 для допустимого заброса
перегрузки 6nj/=15°/o и 0,6<^g^l,0 для 6^=10%. Соответствующие
граничные линии также нанесены на фиг. 6. 13 и 7. 13.
§ 3. Формирование контура бортовой стабилизации беспилотного аппарата 447
Смещение по фазе согласно расчету по формуле (36. 13) получает-
ся меньше л/2; поэтому при выборе параметров контура стабилизации
это условие можно не принимать во внимание.
Таким образом, на фиг. 6. 13 или 7. 13 определяется область допу-
стимых значений фто и удовлетворяющих поставленным в начале ре-
шения задачи требованиям. Переход от переменных ф, £, к переменным
хт и ka или ktyi осуществляется при помощи формул (11. 13) и (12. 13)
Фиг. 8.13. Область допустимых значений kw и хт
(пример).
в случае продольного движения и (17. 13) и (18. 13) в случае бокового.
В результате можно определить область рациональных значений коор-
динаты хт центра масс летательного аппарата и передаточных чисел
ka или k%\ каналов автопилота. Для случая формирования бортового
контура продольной стабилизации беспилотного летательного аппарата
примерный вид такой области показан на фиг. 8. 13. На этой диаграмме
можно также нанести линии, полученные из условий ограничения допу-
стимых значений критерия б" . Из общего выражения
и из выражения опорной частоты
“к = °30 4~ й20 (С31 “И ^зо) —
— ^30(1 у -Хт ^20 (^31 4“ "'“^30/
Jz
получается уравнение этой последней граничной линии
Д
Хт с^^й^^зоо + ^гоС^зщЬ^^зо) (43.13)
Заметим, что без введения в контур бортовой стабилизации дополни-
тельного корректирующего звена преобразования команд, подобного
введенному выше (32. 13), удовлетворить всем требованиям задачи мо-
жет оказаться невозможным.
Пусть, например, летательный аппарат имеет (—с) = 10 000 и пусть
техническими требованиями обусловлен заброс перегрузки бпутах=
448
Гл. ХШ. Прямая и обратная задачи динамики палета
= 15%, а диапазон допустимых 6" =0.02 и 6” =0,01. Максималь-
• в Шал в mill
ная частота вынужденных колебаний пусть со = 20,6 сек-1.
Этим данным соответствуют со^ =200 сек-2, со® =100 сек-2:
* К Шал К II1LI1
Результаты расчета, проведенного по описанному выше способу, пока-
заны на фиг. 9. 13. Как видно, имеется область допустимых значений
сок и удовлетворяющих всем тре-
бованиям задачи.
Если попытаться решить зада-
чу без введения в контур борто-
вой стабилизации корректирующего
звена, то, например, при выдержи-
вании минимального значения ам-
плитуды Лтш=0,8 и максимального
значения 6£mdX=0,02 получилось
бы £=0,19 и Лтах=2,68. Макси-
мальная амплитуда получилась бы
недопустимо большой, а заброс пе-
регрузки при £=0,19 также превзо-
шел бы обусловленный технически-
ми требованиями. Если бы мы по-
ставили себе целью выдержать за-
данные амплитуды ЛтяУ= 1,175 и
71min=0,8, то получилось бы £=0,487,
так что заброс превзошел бы задан-
ный требованиями, а значение 8"=
= 0,0295 было бы в полтора раза
выше заданной нормы.
Последовательность проведения
расчета при формировании бортово-
го контура стабилизации проследим
Фиг. 9.13. К выяснению возможности
удовлетворить техническим требова-
ниям без введения корректирующего
звена.
на примере.
Пусть необходимо сформиро-
вать бортовой контур продольной
стабилизации гипотетического бес-
пилотного летательного аппарата
в такой точке траектории, которой соответствует высота полета Но=
= 15 км, скорость Vo—600 м/сек и угол наклона траектории к горизонту
@о=6О°. При этом 9о=35 000 н/м2.
Пусть на 1 м2 площади крыльев нагрузка ^=4905 н/м2, момент
инерции относительно оси ОхЛ равен /г=2943 кг-м2, средняя аэроди-
намическая хорда 6а = 0,71 м, площадь крыльев S=l,5 м2. Пусть в рас-
сматриваемой точке траектории аэродинамические коэффициенты
равны:
с“, = 2,3; тд“0=—1,84(при хт=0); m“z=—1,85;
Отг =0; тг= —0’9-
Наибольшая частота вынужденных колебаний пусть сошах=2О сек-1.
Проведем расчет для ^а=Л&=01.
1 Как уже упоминалось, такой расчет следует провести для нескольких значений
ka и h.
§ 3. Формирование контура бортовой стабилизации беспилотного аппарата 449
1. По формулам (29.6) определяем динамические коэффициенты:
а2о=О,254; аж=233; а31=0; с31=0,277; е30=114.
2. По графику фиг. 6. 13, предполагая, что допустимый максималь-
ный заброс перегрузки 15%, находим зависимость ф,„ от %.
3. Составляем рабочие формулы для перехода от ф, i к хт,
пользуясь (11.13) и (12.13):
хт=0,8004-0,0348 -—;
Т 1 ’ ф ф2
=0,351 ----0,0047.
Ф
4. Линии ограничения из условия заданных пределов б" (£", =0,06,
8"2 =0,04) по (42. 13) получаются следующие:
х? min=0,410+0,1+;
хт шах 0,540+0,1 &о,.
5. Строим область допустимых значений хт и km по полученным
рабочим формулам (см. фиг. 8. 13).
6. Выбираем внутри получившейся области 1 значения хт и k^.
В заключение заметим, что пренебрежение постоянной времени
автопилота (замена действительного автопилота идеальным) не при-
водит к заметным ошибкам только в тех случаях, когда постоянная вре-
мени Т существенно меньше, чем 1/сок. Если это условие не выполняется,
то такая замена нежелательна. Можно построить аналогично предыду-
щему метод расчета и для Г=^0. Расчет при этом получается несколько
сложнее, и мы на этом вопросе здесь останавливаться не будем.
1 Такие области следует строить для нескольких характерных точек на траектории.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. РАСЧЕТ НЕКОТОРЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК,
НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
И УПРАВЛЯЕМОСТИ
Ниже излагаются приближенные приемы расчета производной с’
для изолированных крыльев (оперений), изолированных корпусов (фю-
зеляжей) и для летательного аппарата без оперения. Эти приемы
заимствованы из книги А. А. Лебедева и Л. С. Чернобровкина [2]; в не-
которых случаях применены возможные, по мнению авторов, упрощения
расчетных формул.
Подъемная сила изолированных крыльев (оперений). Производная
кр изолированного крыла, где а берется в радианах, определяется по
формуле
/ С X
= 57,3X1-^- .
\ х /
(1п)
Су кр
Значения коэффициента I
в зависимости от значений где для М<4, р=]Л1 — М2 и для М>1
р=уЛМ2—1; от сужения крыльев ц= —, где ^ — максимальная и Ьх —
bi
з/-—
минимальная хорды крыла; от параметра Ху с, где с — относительная
толщина профиля крыла.
Через X обозначено удлинение крыльев: Х=— , где I — размах,
находят по графикам фиг. 1п—4п
S— площадь крыльев. Каждому графику соответствует свое значение
произведения Xtgyo.s, где угол /о,5 измеряется по линии, соединяющей
середины хорд крыла.
Если необходимое значение Xtgxo.s не соответствует ни одному из
графиков, применяют интерполяцию.
Подъемная сила изолированного корпуса (фюзеляжа). Произ-
водная с“кк корпуса, где коэффициент сук отнесен к площади миделе-
вого сечения SK корпуса и ак—угол атаки корпуса в радианах, опре-
деляется по формуле
^=57.3<-*.,.е-0,35(1 (2п)
\ ОК /
° •
Производная с “кф нос находится по графику фиг. 5п в зависимости от
параметров —— и . Коэффициент ₽ имеет прежний смысл. Удли-
нное хн0с
Приложения
451
нения носовой и цилиндрической части корпуса находят по формулам:
X = 0,89 -4^, X =0,89 -^=- .
нос » 1Л q » дил ’ /с
у ок У ок
Фиг. 1п.
Расстояния /нос и /цил определяют в соответствии с фиг. 5п. Через
6’лк обозначена площадь донной части корпуса: 5ДН= —
Подъемная сила комбинации «крылья плюс корпус». В общем слу-
чае, когда хорда крыльев составляет с осью корпуса угол <р1( (фиг. 6п),
коэффициент подъемной силы комбинации «крылья плюс корпус» опре-
деляется по формуле
су=^«в + ^к<Рк- (Зп)
За угол атаки ав здесь принят истинный угол атаки крыльев (угол
между хордой крыльев и направлением скорости набегающего потока).
Производная с* находится по формуле
Здесь с’кр и с“кк определены выше; SKOHC —площадь консолей
крыльев (часть площади крыльев, омываемая потоком), коэффициент
km =1—2,5е,
29*
452
Приложения
Приложения
453
где обозначено
е= 1,131^(1,2-^
и / — размах крыльев.
Производная
е¥к=—,,^с-1,6е.
У У Кр s ’
(5п)
Центр давления изолированных крыльев. Координата центра давле-
ния относительно передней кромки САХ, отнесенная к длине 6а САХ,
определяется по формуле
— — а°_5 —
Хд.кр = (-*л)а=5 Ч------ (ДЛд)а=20’ . (6п)
id
Если угол атаки крыльев а<5°, то жд.Кр принимается постоянным
и определяется по фиг. 7п—10п в зависимости от параметров 0% и тр Сме-
щение центра давления (Ахд)а_2о° при а=20° определяется также по
этим графикам.
Для малых углов атаки фокус крыльев можно считать совпадаю-
щим с центром давления.
Центр давления изолированного корпуса. Координата центра дав-
ления корпуса относительно его носа, отнесенная к длине корпуса 1К,
определяется по формуле
— СУ Ф. НОС®7»ЗХд.нос -|- Су кормил-корм /7гтА
ХЛ. к — —а • Vn(
су к
Значения производных с“°ффН0С и с“к определены выше1. Значение
относительной координаты центра давления носовой нос и кормовой
Хд. корм частей корпуса определяется по формулам:
— . SrX /корм--------^К0РМ
•^д.корм 1 о ё
•^к лн
с’к=—0,35(1
5дн
£к
30
1824
454
Приложения
Фиг. 7п.
Приложения
455
I
а
1
30*
456
П риложения
Приложения
457
Здесь IFHOC и УГкорм —объемы носовой и кормовой частей корпуса.
Значение Длд находят по фиг. 11п в зависимости от параметров р/Хнос
Н \1ИлАнОС’
Центр давления комбинации «крылья плюс корпус». Коэффициент
момента комбинации относительно центра масс летательного аппарата
определяется по формуле
тг=т^к+таа, (8п)
где производные и таг равны:
+^КР^Т 1’6/+
+^7 (*Д.к (9п)
= - Су кр k°“ (*Д. КР - *т) -
Q 1 _ —
-^K^-f-(^.K-^.K)- <10n)
О Ыд
Все входящие сюда величины уже определены выше.
Координата центра давления комбинации относительно передней
кромки САХ может быть найдена по формуле
~ _ mz
Лд------,
СУ
где xR отнесена к длине 6а САХ.
2. ТАБЛИЦА ИЗОБРАЖЕНИЙ И ОРИГИНАЛОВ
458
Приложения
Продолжение
Изображение
Оригинал
а
рЧ а2
р
рЪ + «2
а
р2— а-
Р
рЧ — eft
1___
р(1 + ар)
1___
(р~«)2
1
(Р— Pi) (Р—Рч)
А
а + —
Р
Р~Р\
sin at
cos at
sh at
ch at
teat
ePlt — ePit
Pi — Pi
A A
Pi Pi
Л \
a + 2 )
P\ )
ер'*
Р~Р1
'а+Л+.вр\1
> Р2 + “2 / р — Р1
_____а + Ьр______
(Р — Pi) (Р — Рч)
а + Ьр
(.P — Pi)2
а + Ьр
р2 + 2Лр + “2
c
-i/ <1 ~ ~sin
F Pl + “2
a + opi
Pi — Pi
Api — BeP
An 4- Вы pi
a+bP2eB,t
Pl—Pi
[i + (a + bP1) f] ep'{
t Sin()/ oj2 —Д2/4-T)
be n —————
sin т
Приложения
459
Продолжение
Изображение
Оригинал
где (ш2 — Л2 > 0)
Ь Уw2 — h2
где tgr =-----——
а — bh
(p — Pi) (P — Pi)
. А + —21— gPlt _ —2?— epj
Р1Р2 Pl — P2 Pl — P2
^4
где Qj = a + bpx +'—,
Pl
A
Qz — a + bp2+
P2
а + Ър +
__________Р
(P — Pi)2
_Д
где Qi = a + bpi + —
Pi
а + Ър +
____________Р
р2 + 2/гр + “2 ’
ЛГ ht sin (Уш2 —
—11 — e 1----------------------------
o»2 [ sin T J
sin(-)/" «>2 — &2^-]-t)
sin T
где (со2 —Л2 > о)
где tg T = )/<u2 — h.2
ЬчР—A
e»(a — bh) — Ah
о- + Ьр +
___________Р2
(Р~Р1) (Р~ Pi)
Л
а + Ьр+
_______1р_
(р — Р1У
P1i~22 -A + —— t + ——-ept‘ ———----ep‘‘,
P1P2 P1P2. P1 — P2 P1—P2
A
где Qi=a+ipi+—2“,
Q2 — л + bp^ + 2
P2
2Л А я / 2A nt
3+2 *+(й— з +Q<)e₽I ,
Pi Pi x Pi /
где Q = a + bpx + —y-
Pi
460
Приложения
Продолжение
Изображение Оригинал
а + ЬР+^
р% 4- 2hp 4- ш2
где (oj2 — ft2) > о
2ЛЛ Гj £—ht sin (У м2 — ft2/ -j- r )
ш4 [ star
A h( sin (/to2— ft2Z4-r)
<o2 sin r
2Ah -4- 6и4
а 4- Ьр-\-
Р2+Шо
(Р~Р1) (.Р — Р2)
где tgr= )/to2 — ft2
Д(2Л2 —ш2)4-ш4(а—г,Л)
~ sin («о/ +Ф) 4- ——----------ePl‘ — ——---------ep‘* ,
Pi — Рг Pi — Pi
где P2 = (p2 4-to®) (p| 4- a,®),
tg (p = too
Pl +p2
P1P2—“o
Ctop
Qi — a 4- ftpi4~ 2 . 2 >
Pi 4-to0
Qi — a 4- bpz~\-
сы0
p!+«2
, . С“Р
а + ЬР+ „2 Л"2
Р2 Ш()
(Р ~ Р1У
c
—— sin (<и0/ -t- <p)4-
где Р = р2 ’4-о>2
tg<p=
2pi<o0
Ctop
Q = a + bpi 4" 2.2
а + Ьр +
сюо
Р2+“о
/>2 2hp Ц- 0J2
C yrz+ui I г_____________
— sin К/ 4- ф)4- - e h sin (K“2 — *2 *+*).
p у —л2
где (и2 — ft2) > о
где P2 = (ы2 — to2)24-4ft2to2,
Приложения
461
Продолжение
Изображение
Оригинал
tg<p
2A<i)0
<1)2---G12
Т = ]/о)2 — Л2 [2с<о0Л + Ь (u>2 _ afy 2 4- 4/><^Л2],
U = ccoo (<o2 — <o2 4- 2h^ 4- (a — bh) X
X ['(Ы2_Ш2)2 + 4Л2Ь)2],
T
tor =----
6 U
a 4- bp 4- cp2
(P ~ P\) (P2 + 2Лр 4- o>2) ’
где (м2 •— Л2) > О
w2 + pj(2A+pi) [
где P~a + bpi + cp\,
ht sin(j/<i)2 — №t+ r)
sin т
Q = с (<»)2 + 2Л^1) — {а + bpi).
R = «2 (J -|_ Cpj) — a(2h +pi),
a 4- bp 4- cp2
P(P — Pi)(P2 + 2Лр 4- <<)2) ’
a
ppjfi js2 + 2hpx + <i)2
PePl ‘ + Qe M
1
У U2 _ Л2
«’"О ff-Q/.
1
где (<о2 — Л2) > О
sin (K<o2 — №t 4- т )
sinT
a+bp\ + cpj
где P =----------
Р1
a (2h 4- py) — bi>& — cuPpj
Ь)2
— <i)2 (a + bpx — co2) 4- 2ah (2h 4- p^ — 2bhufl
R =
<i>2
tgr= Q
у— №
R — Qh
3. ТАБЛИЦА й-ФУНКЦИЙ
X Т 's 0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,5 0,158 0,166 0,175 0,182 0,190 0,197 0,205 0,213 0,221 0,228 0,236 0,244 0,252 0,256 0,265 0,275 0,283 0,284 0,299 0,305 0,313
1,0 0,310 0,325 0,341 0,356 0,371 0,386 0,402 0,417 0,432 0,447 0,461 0,476 0,491 0,505 0,519 0,534 0,548 0,561 0,575 0,590 0,602
1,5 0,449 0,471 0,493 0,515 0,537 0,559 0,580 0,601 0,622 0,642 0,662 0,682 0,701 0,720 0,741 0,757 0,775 0,792 0,810 0,827 0,842
2,0 0,571 0,600 0,628 0,655 0,682 0,709 0,733 0,761 0,785 0,810 0,831 0,856 0,878 0,899 0,919 0,938 0,957 0,974 0,991 1,008 1,022
2,5 0,673 0,706 0,739 0,771 0,802 0,832 0,861 0,889 0,916 0,941 0,963 0,988 1,010 1,030 1,048 1,066 1,082 1,096 1,109 1,121 1,131
3,0 0,755 0,792 0,828 0,863 0,895 0,928 0,958 0,986 1,013 1,038 1,061 1,081 1,100 1,116 1,131 1,143 1,154 1,162 1,169 1,174 1,177
3,5 0,814 0,854 0,892 0,929 0,963 0,995 1,024 1,051 1,076 1,097 1,116 1,133 1,147 1,157 1,165 1,171 1,174 1,175 1,174 1,175 1,166
4,0 0,856 0,898 0,937 0,974 1,008 1,038 1,066 1,090 1,110 1,127 1,141 1,151 1,158 1,162 1,163 1,161 1,156 1,150 1,141 1,132 1,119
4,5 0,882 0,924 0,964 1,000 1,032 1,060 1,084 1,104 1,120 1,131 1,138 1,141 1,141 1,138 1,131 1,122 1,111 1,098 1,083 1,069 1,053
5,0 0,895 0,939 0,977 1,012 1,042 1,067 1,087 1,102 1,112 1,117 1,117 1,114 1,107 1,097 1,084 1,069 1,053 1,036 1,019 1,003 0,987
5,5 0,901 0,944 0,982 1,015 1,042 1,063 1,079 1,093 1,092 1,091 1,086 1,086 1,064 1,048 1,031 1,014 0,996 0,978 0,963 0,948 0,936
6,0 0,903 0,945 0,981 1,013 1,037 1,054 1,065 1,069 1,068 1,062 1,051 1,036 1,020 1,001 0,984 0,966 0,949 0,934 0,922 0,914 0,907
6,5 0,903 0,945 0,979 1,009 1,030 1,044 1,050 1,050 1,044 1,030 1,018 1,001 0,983 0,965 0,948 0,933 0,920 0,911 0,906 0,904 0,906
7,0 0,904 0,945 0,978 1,006 1,024 1,034 1,037 1,033 1,023 1,009 0,922 0,975 0,957 0,941 0,927 0,917 0,911 0,909 0,911 0,917 0,926
7,5 0,906 0,948 0,979 1,005 1,021 1,027 1,027 1,020 1,007 0,991 0,975 0,958 0,943 0,931 0,923 0,919 0,920 0,926 0,935 0,946 0,962
8,0 0,911 0,951 0,983 1,007 1,020 1,024 1,021 1,011 0,998 0,982 0,966 0,952 0,941 0,934 0,932 0,936 0,944 0,965 0,970 0,987 1,002
8,5 0,917 0,959 0,989 1,011 1,022 1,024 1,018 1,007 0,993 0,978 0,964 0,954 0,948 0,947 0,952 0,961 0,975 0,991 1,008 1,024 1,037
9,0 0,925 0,966 0,996 1,016 1,025 1,025 1,017 1,006 0,992 0,978 0,968 0,962 0,961 0,967 0,976 0,990 1,006 1,023 1,038 1,051 1,060
9,5 0,932 0,973 1,003 1,021 1,028 1,026 1,018 1,005 0,993 0,982 0,975 0,973 0,977 0,987 1,000 1,016 1,032 1,047 1,058 1,065 1,066
10,0 0,939 0,980 1,009 1,025 1,030 1,027 1,018 1,005 0,994 0,985 0,982 0,984 0,993 1,006 1,020 1,036 1,049 1,059 1,063 1,062 1,056
10,5 0,944 0,985 1,013 1,028 1,031 1,026 1,016 1,004 0,994 0,988 0,988 0,994 1,005 1,019 1,033 1,046 1,054 1,057 1,054 1,046 1,033
11,0 0,947 0,988 1,015 1,028 1,030 1,024 1,013 1,002 0,993 0,990 0,993 1,001 1,014 1,027 1,039 1,047 1,048 1,044 1,034 1,021 1,005
11,5 0,949 0,989 1,015 1,027 1,028 1,020 1,009 0,998 0,992 0,991 0,996 1,006 1,018 1,029 1,036 1,038 1,034 1,024 1,010 0,994 0,978
12,0 0,950 0,990 1,015 1,025 1,024 1,015 1,004 0,994 0,989 0,990 0,997
12,5 0,950 0,990 1,013 1,022 1,019 1,009 0,998 0,988 0,986 0,989 0,997
13,0 0,950 0,989 1,012 1,019 1,015 1,004 0,993 0,986 0,984 0,989 0,997
13,5 0,950 0,989 1,011 1,016 1,011 1,000 0,990 0,983 0,984 0,989 0,998
14,0 0,951 0,990 1,010 1,015 1,008 0,997 0,987 0,983 0,985 0,991 0,999
14,5 0,953 0,991 1,011 1,014 1,006 0,995 0,986 0,984 0,987 0,994 1,002
15,0 0,956 0,993 1,012 1,014 1,006 0,995 0,987 0,986 0,991 0,998 1,005
15,5 0,958 0,996 1,013 1,014 1,006 0,995 0,989 0,989 0,995 0,003 1,008
16,0 0,961 0,998 1,015 1,014 1,006 0,995 0,990 0,992 0,999 1,007 1,010
16,5 0,963 1,000 1,016 1,015 1,005 0,996 0,992 0,995 1,003 1,010 1,012
17,0 0,965 1,001 1,016 1,014 1,005 0,996 0,993 0,998 1,006 1,011 1,012
17,5 0,966 1,002 1,016 1,013 1,003 0,995 0,994 0,998 1,007 1,011 1,010
18,0 0,966 1,002 1,015 1,012 1,002 0,994 0,994 1,000 1,007 1,010 1,008
18,5 0,966 1,002 1,014 1,010 1,000 0,993 0,994 1,001 1,007 1,008 1,004
19,0 0,966 1,002 1,013 1,008 0,998 0,992 0,994 1,001 1,006 1,006 1,001
19,5 0,967 1,001 1,012 1,006 0,996 0,991 0,994 1,001 1,005 1,003 0,997
20,0 0,967 1,001 1,011 1,004 0,995 0,991 0,994 1,001 1,004 1,001 0,995
20,5 0,967 1,002 1,010 1,003 0,994 0,991 0,995 1,001 1,003 1,000 0,994
21,0 0,968 1,002 1,010 1,003 0,994 0,991 0,996 1,002 1,003 0,999 0,993
21,5 0,970 1,003 1,010 1,002 0,994 0,993 0,998 1,003 1,003 0,998 0,994
22,0 0,971 1,004 1,011 1,002 0,994 0,994 1,000 1,004 1,004 0,998 0,995
22,5 0,972 1,005 1,011 1,002 0,995 0,996 1,002 1,006 1,004 0,998 0,996
23,0 0,973 1,006 1,011 1,002 0,995 0,997 1,003 1,006 1,004 0,998 0,997
23,5 0,974 1,006 1,011 1,002 0,995 0,998 1,004 1,006 1,003 0,998 0,999
24,0 0,975 1,006 1,010 1,001 0,995 0,998 1,005 1,006 1,002 0,998 0,999
24,5 0,975 1,006 1,009 1,000 0,995 0,999 1,004 1,005 1,000 0,997 0,999
25,0 0,975 1,006 1,008 0,999 0,995 0,999 1,004 1,004 0,999 0,996 1,000
25,5 0,975 1,006 1,007 0,998 0,994 0,999 1,004 1,002 0,997 0,996 1,000
26,0 0,975 1,005 1,006 0,997 0,994 0,999 1,003 1,001 0,996 0,996 1,000
1,007 1,018 1,026 1,029 1,025 1,015 1,000 0,985 0,970 0,958
1,007 1,015 1,020 1,017 1,009 0,996 0,979 0,965 0,955 0,950
1,006 1,012 1,012 1,005 0,993 0,979 0,965 0,955 0,952 0,955
1,005 1,008 1,004 0,994 0,982 0,968 0,958 0,955 0,960 0,970
1,005 1,005 0,998 0,987 0,975 0,965 0,961 0,965 0,976 0,991
1,005 1,002 0,994 0,983 0,974 0,969 0,972 0,982 0,997 1,013
1,006 1,002 0,993 0,983 0,977 0,978 0,987 1,001 1,018 1,032
1,007 1,001 0,992 0,985 0,984 0,990 1,003 1,019 1,032 1,039
1,008 1,001 0,994 0,990 0,993 1,003 1,018 1,031 1,040 1,039
1,008 1,001 0,995 0,995 1,001 1,014 1,027 1,035 1,037 1,028
1,007 1,000 0,996 0,999 1,008 1,021 1,030 1,032 1,026 1,012
1,004 0,998 0,997 1,002 1,012 1,022 1,027 1,022 1,011 0,994
1,001 0,997 0,997 1,004 1,014 1,020 1,019 1,008 0,993 0,978
0,998 0,994 0,997 1,005 1,012 1,014 1,007 0,994 0,979 0,969
0,995 0,993 0,997 1,004 1,009 1,006 0,995 0,981 0,970 0,967
0,992 0,992 0,997 1,003 1,005 0,998 0,985 0,974 0,969 0,973
0,9Ql 0,992 0,998 1,003 1,001 0,991 0,980 0,972 0,975 0,986
0,991 0,994 1,000 1,002 0,998 0,987 0,978 0,977 0,987 1,001
0,992 0,996 1,001 1,002 0,996 0,986 0,982 0,987 1,001 1,015
0,994 0,999 1,004 1,002 0,995 0,988 0,988 0,998 1,014 1,025
0,997 1,002 1,005 1,002 0,995 0,992 0,997 1,010 1,024 1,029
1,000 1,005 1,007 1,002 0,996 0,996 1,005 1,019 1,028 1,028
1,002 1,007 1,007 1,002 0,997 1,001 1,011 1,022 1,025 1,016
1,003 1,008 1,006 1,001 0,999 1,004 1,015 1,021 1,016 1,003
1,004 1,007 1,004 0,999 0,999 1,007 1,015 1,016 1,006 0,990
1,004 1,006 1,002 0,997 0,999 1,007 1,012 1,007 0,993 0,980
1,004 1,004 0,999 0,996 1,000 1,007 1,008 0,998 0,984 0,975
1,003 1,001 0,996 0,995 1,000 1,005 1,001 0,989 0,978 0,977
1,002 0,999 0,995 0,995 1,000 1,002 0,996 0,984 0,978 0,984
ЛИТЕРАТУРА
1. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Траекто-
рии летательных аппаратов. Оборонгиз, 1963.
2. Лебедев А. А., Чернобровкин Л. С. Динамика полета. Оборон-
гиз, 1962.
3. Аэродинамика частей самолета при больших скоростях. Под редакцией А. До-
новэн и Г. Лоуренс. ИЛ, 1959.
4. О ст о с л а в ск и й И. В. Аэродинамика самолета. Оборонгиз, 1957.
5. Нилсен Дж. Аэродинамика управляемых снарядов. Оборонгиз, 1962.
6. Л о к к А. С. Управление снарядами. ГИТТЛ, 1957.
7. Б о н н и Э. А., 3 у к р о у М. Дж., Бессерер К. У. Аэродинамика. Реак-
тивные двигатели. Практика конструирования и расчета. Физматгиз, 1960.
8. Феодосьев В. И., Синярев Г. Б. Введение в ракетную технику. Обо-
ронгиз, 1961.
9. Г а н т м а х е р Ф. Р., Левин Л. М. Теория полета неуправляемых ракет.
Физматгиз, 1959.
10. Современная математика для инженеров. Под редакцией Э. Ф. Беккенбаха.
ИЛ, 1958.
11. Лебедев А. А. О применении метода «замороженных коэффициентов» для
исследования устойчивости неустановившегося движения. Известия высших учебных
заведений. Авиационная техника, 1958, № 1.
12. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Физматгиз, 1958.
13. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа.
Физматгиз, 1958.
14. Матвеев В. Н. Расчет возмущенного движения самолета. Оборонгиз, 1960.
15. Солодовников В. В. Основы автоматического регулирования. Маш-
гиз, 1954.
16. А й з е р м а н Л!. А. Лекции по теории автоматического регулирования. Физ-
матгиз, 1958.
17. Боднер В. А., Козлов М. С. Стабилизация летательных аппаратов
и автопилоты. Оборонгиз, 1961.
18. В е д р о в В. С., Романов Г. Л., Сурина В. Н. Самолет как объект
регулирования. Оборонгиз, 1957.
19. П а ш к о в с к и й И. М. Особенности устойчивости и управляемости скорост-
ного самолета. Воениздат, 1961.
20. О с т о с л а в с к и й И. В., Стражева И. В. О формировании контура
управления самолетом. Оборонгиз, 1960.
21. Be нт цель Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1958.
22. Цянь-Сюэ-Сянь, Техническая кибернетика. ИЛ, 1956.
23. Л е т о в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. Физмат-
гиз, 1962.
24. К о л о с о в С. П., С т р о м и л о в В. М. Основы автоматического пилотиро-
вания. Оборонгиз, 1959.
25. Научные проблемы искусственных спутников. Сборник статей под редакцией
А. А. Орлова. ИЛ, 1959.
26. Движение ракет. Сборник под редакцией Н. Л. Соловьева. ИЛ, 1959.
27. Э т к и н Б. Динамика полета. Устойчивость и управляемость. Машинострое-
ние, 1964.
28. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г. Управление космическим летательным
аппаратом. Машиностроение, 1964.
29. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения. ГИТТЛ, 1958.
30. Боднер В. А. Теория автоматического управления полета. «Наука», 1964.
31. Л а в р е ит ь ев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплекс-
ного переменного. Физматгиз, 1958.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ... .................................................. 3
Введение . . . . . . .......... . . . 5
Глава I
Силы и моменты, действующие на летательный аппарат
§ 1. Общие замечания. Гипотеза стационарности........................ 15
§ 2. Продольные моменты аэродинамических сил крыльев и корпуса (фю-
зеляжа) в прямолинейном установившемся полете ...................... 18
§ 3. Боковые аэродинамические силы и моменты крыльев и корпуса (фю-
зеляжа) в прямолинейном установившемся полете....................... 27
§ 4. Моменты аэродинамических сил органов стабилизации и управления 34
§ 5. Момент сил при косой обдувке крыла.............................. 54
§ 6. Дополнительные моменты в криволинейном неустановившемся полете 58
§ 7. Особенности расчета продольных и боковых моментов при управле-
нии путем поворота крыльев.......................................... 76
§ 8. Моменты силы тяги двигателей. Управление путем изменения векто-
ра тяги и при помощи газовых рулей.................................. 82
§ 9. Шарнирные моменты органов управления .......................... 85
§ 10. Моменты сил, действующих на космические летательные аппараты 90
Глава II
Уравнения движения летательного аппарата как тела переменного состава
§ I. Уравнения движения в общем случае............................... 96
§ 2. Упрощение уравнений движения. Уравнения движения в случае
прямолинейного установившегося полета............................... 109
§ 3. Метод малых возмущений. Линеаризация уравнений движения ... 111
§ 4. Упрощение дифференциальных уравнений движения. Разделение си-
стемы уравнений движения на две независимые системы................ 119
Глава III
Установившееся движение летательного аппарата в вертикальной плоскости
§ 1. Продольная статическая устойчивость по перегрузке и по скорости 126
§ 2. Балансировка в прямолинейном полете без крена и скольжения.
Диапазон центровок................................................. 130
§ 3. Шарнирные моменты руля высоты на режимах балансировки в пря-
молинейном установившемся полете................................... 136
* § 4. Продольная статическая устойчивость летательного аппарата со сво-
бодным рулем высоты............................................... 140
* § 5. Усилия на рычагах управления................................. 149
Глава IV
Установившееся боковое движение летательного аппарата
§ 1. Режим балансировки в установившемся прямолинейном боковом
движении............................................................ 152
§ 2. Режим балансировки в криволинейном установившемся полете с кре-
ном и скольжением................................................... 158
§ 3. Шарнирные моменты руля направления и элеронов. Усилия на рыча-
гах управления в установившемся полете с креном и скольжением 165
466
Оглавление
Стр.
Глава V
Математические основы исследования динамики полета
§ 1. Методы решения линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами (классический метод)........................... 180
§ 2. Краткие сведения по операционному исчислению................... 185
§ 3. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами................................... 190
§ 4. Краткие сведения о методах регулирования параметров механиче-
ских систем........................................................ 194
§ 5. Передаточные функции системы регулирования и ее простейших
звеньев . ......................................................... 199
§ 6. Динамические свойства колебательного звена и апериодического зве-
на второго порядка ................................................ 209
§ 7. Понятие о статистическом расчете динамической системы.......... 218
§ 8. Производная вектора во вращающейся системе координат.......... 222
Глава VI
Продольное возмущенное движение летательного аппарата
§ 1. Возмущения, действующие в полете............................... 226
§ 2. Уравнения продольного возмущенного движения.................... 232
§ 3. Решение уравнений продольного возмущенного движения........... 240
Глава VII
Передаточные функции летательного аппарата
как объекта управления при продольном возмущенном движении
§ 1. Передаточные функции........................................... 247
§ 2. Структурная схема возмущенного движения........................ 252
§ 3. Упрощение структурной схемы продольного движения. Коротко-
периодическое и длиннопериодическое движения....................... 258
§ 4. Изменение кинематических характеристик в коротко- и длинноперио-
дическом (колебательном) движениях..................................263
§ 5. Приближенные выражения для передаточных функций................ 270
§ 6. Числовой расчет возмущенного движения. Границы применимости
приближенных формул................................................ 274
Глава VIII
Продольное возмущенное движение летательного аппарата с автопилотом
§ 1. Уравнения продольного возмущенного движения.................... 281
§ 2. Методы решения уравнений движения. Структурная схема продоль-
ного движения...................................................... 286
§ 3. Приближенные выражения для передаточных функций................ 301
§ 4. Влияние автопилота на характер движения летательного аппарата
при управлении рулем высоты........................................ 307
* § 5. Управление летательным аппаратом при движении по прямолиней-
ной траектории путем изменения силы тяги........................ 312
§ 6. Влияние конструктивных и динамических параметров летательного
аппарата на его продольную устойчивость и управляемость .... 317
§ 7. Управляемость летательного аппарата при наличии кинематических
связей, наложенных на движение. Понятие о динамических ошибках
наведения.......................................................... 329
§ 8. Краткие сведения об устойчивости космических летательных аппа-
ратов ............................................................. 333
Глава IX
Боковое возмущенное движение летательного аппарата.
Боковая устойчивость и управляемость
§ 1. Уравнения бокового возмущенного движения летательного аппарата
с автопилотом.........................................•............ 340
§ 2. Уравнения бокового возмущенного движения летательного аппарата
с идеальным автопилотом............................................ 347
§ 3. Структурная схема бокового движения летательного аппарата с иде-
альным автопилотом. Приближенный метод расчета..................... 354
§ 4. Собственное боковое возмущенное движение . . . ................ 363
* § 5. Расчет возмущенного движения самолета при одностороннем отказе
двигателей........................................................... 368
Is’
Оглавление
467
Стр.
§ 6. Управляемое движение рыскания............................... 371
§ 7. Управляемое движение крена................................... 376
§ 8. Влияние динамических коэффициентов на боковую управляемость
и устойчивость ................................................... 378
Глава X
Устойчивость и управляемость летательного аппарата при старте и посадке
* § 1. Продольная устойчивость самолета при движении по аэродрому . . 384
* § 2. Путевая устойчивость самолета при движении по аэродр'ому .... 390
* * § 3. Особенности расчета движения летательного аппарата при старте
с направляющих...................................................... 395
Глава XI
Влияние упругости конструкции летательного аппарата на его устойчивость
и управляемость
§ 1. Влияние упругости конструкции крыльев на продольную устойчивость
и управляемость.................................................. 400
§ 2. Влияние упругости конструкции крыльев на боковую устойчивость 406
§ 3. Влияние упругости конструкции корпуса (фюзеляжа) на устойчи-
вость и управляемость............................................. 409
§ 4. Влияние деформации оперения на устойчивость и управляемость . . 412
§ 5. Влияние деформации триммеров на устойчивость и управляемость
самолета.......................................................... 414
Глава XII
Полет на закритических углах атаки. Штопор летательного аппарата
§ 1. Особенности полета на больших углах атаки. Самовращение крыла 416
§ 2. Силы и моменты, действующие на самолет при штопоре........... 422
* § 3. Вывод самолета из штопора.................................... 429
Глава XIII
Прямая и обратная задачи динамики полета.
Понятие о формировании контура бортовой стабилизации
§ 1. Общие соображения............................................ 433
§ 2. Формирование контура бортовой стабилизации самолета, пилотируе-
мого летчиком..................................................... 437
* * § 3. Формирование контура бортовой стабилизации беспилотного лета-
тельного аппарата.................................................... 444
Приложения.
1. Расчет некоторых аэродинамических характеристик, необходимых для
исследования устойчивости и управляемости......................... 450
2. Таблица изображений и оригиналов.............................. 457
3. Таблица Л-функций............................................. 462
Литература...............................•............................. 464
Иван Васильевич Остославский и Ирина Викторовна Стражева
ДИНАМИКА ПОЛЕТА
УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Издательский редактор М. Ф. Богомолова Техн, редактор М. С. Владимирова
Г-24739 Подписано в печать 20/VII 1965 г. Учетно-изд. л. 31,68
Формат бумаги 70ХЮ81/1б= 14,63 бум. л.— 40,07 печ, л.
Цена 1 р. 26 к. Тираж 10 000 экз. Заказ 1824/1762
Сводный план 1965 г. Хе 682 (ВУЗы и техникумы)
Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати
Хохловский пер., 7
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
л Стр, Строка Напечатано * Должно быть
• 49 1 снизу г, =0,5^4- *г.о\ I ) 21 = 0,5^1 +
< 81 Формула (104.1) = Sqlmy к (К — ?к)- = s9lmf, к <₽в — ¥к)-
132 19 сверху = ЯР k-АтлРу Г.О^В’ = -F ^Лг.О<’у гдДв-
i 136 2 снизу 1 са в в Э со Э 5 £ "g* 1 — s (ц0+?—®к)] J
Й. 137 2 сверху 1 1 п са В 5 «э 3 $ 5 40 М g 1 = А; •>1“ ”1 в — т\ 6 (а0+ <р— ек) — А; ^ш.в -I
- 146 7 снизу ПуР б + пр tlyPб “F ^пр ^8
^Ш.В^В^ В^7^Ш. в ^Ш.В^В^В^^^Ш.В
148 3 снизу = 7Д + Т’пр) — ~ в = —(Рб + Р пр) — ^В
225 5 сверху —j- 4- + (Лх<ЛуХ +
277 15 снизу Д»д = Д»° =
2- 277 7 снизу фиг. 8.7 фиг. 7.7
321 12 сверху = к.а wK.a ~
334 2 сверху равновесия. равновесия [28].
353 13 снизу р = р Р = Р(2)
- 359 14 сверху — а10 (с30^30 tg &о) = йю (ёзо+^зо tg &о)
у 359 Формула (79.9) • sec&o cos80
£ 374 15 снизу 7?Of— Ь)2/?2 — 0 Я0?—“2/?2,>
J -< -р и' sin %
375 4 снизу /?05— “27?28~ t), ^08—' “2^26
г sin Т
ъ ;А 380 9 сверху коэффициент коэффициент —
387 Формула (8.10)
2'dG/S ( Z Z / 2г2 G/S \ г г)’
389 18 сверху равным пропорциональным
442 Формула (26.13) 8 снизу = + = +
1 7 снизу — — [^зо+ ^10 (сзо+ ^30 tg »о)1 + бол — ~ 4*10 («зо+^зо tg &о) +• бзо 1^зо4*ю+Ао (с30 + е30
6 снизу — ~ [4*ю+ Afl (с30 + «30
442 1 снизу — “ [Ао+(сзо+ 20 tg »0) Aolj , — ~ 4*10 (Cso+Aotg %) 1, £ч0 )
-> и 443 2 сверху Ду(оо) k- < " 1 Д6эу [4*10 (с20 + «20 h МэУ 4*10 г- k1< Ду(оо) Л2О1с2о +
J1 ! + ^20 tg%) — е20 . 1 «зо 1 • е80 J + ^20 tg fy)— (4,зо+ Д80 tg ®о)]- бзо
Заказ 1824/1762