/
Текст
в.А.КраСШlьников, в.в.КРblлов
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКУЮ АКУСТИКУ
В книrе дано сжатое изложение физической акустики области физики,
изучающей взаимодействия акустических волн с веществом на MaKpo и
микроскопическом уровнях. Приведены основные сведения из механики
сплошной среды, необходимые для анализа проблем физической акустики.
Изложены линейные и нелинейные задачи акустики rазов, жидкостей и твердых
тел. Рассмотрены проблема «турбулентность и звую>, основы акустики маrнитных
сред и кристаллоакустики. Даны важнейшие сведения по акусто электронике и
акустооптике. Ряд разделов книrи иллюстрирован изложением методики
экспериментов и экспериментальными данными.
Для студентов физических, физико технических и физико химических
специальностей, аспирантов, преподавателей вузов, слушателей факультетов
повышения квалификации, инженеров акустиков, а также для лиц, занимающихся
механикой жидкостей и rазов, теорией упруrости, физикой твердоrо тела,
радиофизикой, обработкой сиrналов, rидроакустикой и rеофизикой.
Содержание
Предисловие 6
ЧАСТЬ 1. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ И r АЗАХ
r лава 1. Некоторые вопросы rидродинамики 9
9 1. Идеальная жидкость 9
92. Вязкая и теплопроводящая жидкость 14
9 3. Примеры точных решений 17
94. Законы подобия. Безразмерные числа в rидродинамике 21
95. Приближенные решения уравнений вязкой жидкости при больших и 23
малых числах Рейнольдса. Поrраничный слой
9 6. Волны на поверхности жидкости 25
97. Турбулентное движение жидкости. Закон «двух третей» 27
r лава 2. Звуковые волны в rазах и жидкостях. Релаксационная теория 34
9 1. Звуковые волны бесконечно малой амплитуды в идеальной среде 34
9 2. Скорость звука и поrлощение в rазах и жидкостях 36
93. Дисперсия и поrлощение звука. Экспериментальные исследования 41
94. Релаксация объемной вязкости 47
95. Релаксация сдвиrовой вязкости в жидкостях 55
9 6. Акустическая спектроскопия 60
r лава 3. Основы нелинейной акустики rазов и жидкостей 65
9 1. ПЛоская волна конечной амплитуды в rазе и жидкости в отсутствие 65
диссипации
9 2. Экспериментальные методы исследования 72
93. ПЛоская нелинейная волна в среде с диссипацией 76
9 4. Нелинейные плоские волны в среде с дисперсией 80
95. Сферические и цилиндрические нелинейные волны 85
9 6. Оrраниченные пучки 87
r лава 4. Взаимодействия нелинейных акустических волн. 89
Параметрические антенны
9 1. Взаимодействие нелинейных волн 89
9 2. Стоячие нелинейные волны и резонаторы 94
93. Параметрические процессы в нелинейных волнах. Параметрическая 99
излучающая и приемная антенны'
94. Статистические явления при распространении нелинейных 108
акустических волн
95. Поrлощение звука шумом. Акустическая турбулентность ПО
rлава 5. Радиационное давление. Акустические течения 118
9 1. Радиационное давление. Общие сведения 118
92. Радиационная сила давления звука на взвешенные сферические 126
частицы
9 3. Взаимодействие двух сферических частиц в звуковом поле 132
9 4. Акустические течения 135
r лава 6. Акустическая кавитация. Распространение звука в среде с 138
пузырьками
9 1 Общие сведения 138
9 2. Динамика одиночноrо rазовоrо пузырька в акустическом поле 139
93. Динамика одиночноrо паровоrо пузырька 147
94. Асимметричное захлопывание кавитационных пузырьков в жидкости 152
95. Кавитационная область и пороrи кавитации 155
9 6. Распространение звука в среде с пузырьками 160
rлава 7. Турбулентность и звук 170
9 1. Введение. Общие сведения 170
9 2. Приближение rеометрической акустики 171
9 3. Приближенный учет дифракционных поправок Метод плавных 179
возмущений
94. Задача о рассеянии звука на турбулентности 182
95. Эксперименты по рассеянию звука на турбулентных неоднород ностях 186
ЧАСТЬ 11. ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
r лава 8. Линейная акустика изотропных твердых тел 188
9 1. Основные сведения из теории упруrости 188
9 2. Продольные и поперечные волны в изотропном твердом теле 193
9 3. Отражение и преломление продольных и поперечных волн 196
9 4. Поверхностные волны Рэлея 199
95. Друrие типы поверхностных волн 203
9 6. Волны в пластинках и стержнях 208
rлава 9. Основы кристаллоакустики 213
9 1. ПЛоские упруrие волны в кристаллах. Уравнение Кристоффеля. 213
Квазипродольные и квазипоперечные волны
9 2. Влияние симметрии упруrих свойств на распространение волн. При мер 215
расчета для кубическоrо кристалла
9 3. Поток энерrии. Фазовая и rрупповая скорости 219
94. Волны в пьезоэлектрических кристаллах. Коэффициент 221
электромеханической связи
95. Отражение и преломление упруrих волн на rраницах раздела 225
9 6. Поверхностные волны в кристаллах 227
9 7. Учет дискретности кристаллической решетки. Акустическая активность 231
и друrие эффекты, обусловленные микроструктурой
rлава 10. Поrлощение и скорость звука в твердых телах. 236
Взаимодействие с тепловыми фононами и дислокациями.
Акустическая эмиссия
9 1. Введение. Общие сведения 236
92. Поrлощение звука в изотропных диэлектриках 238
93. Некоторые сведения о колебаниях кристаллической решетки и фононах 241
9 4. Взаимодействие звуковых волн с тепловыми фононами. 246
Микроскопическое рассмотрение. Низкие температуры и
rиперзвуковые частоты
95. Взаимодействие звуковых волн с тепловыми фононами. 253
Макроскопическое рассмотрение. Высокие (комнатные) температуры
и ультразвуковые частоты
9 6. Дислокационное поrлощение и дисперсия звука. Акустическая эмиссия 261
r лава 11. Нелинейная акустика твердоrо тела 280
9 1. Введение. Общие замечания 280
9 2. Основные сведения из нелинейной теории упруrости 281
93. Взаимодействие упруrих волн конечной амплитуды в изотропном 285
твердом теле
94. Нелинейные акустические эффекты в кристаллах 291
95. Экспериментальные методы исследования нелинейных явлений в 298
твердых телах и некоторые результаты этих исследований
r лава 12. Акустоэлектроника 305
9 1. Общие сведения 305
9 2. Возбуждение и детектирование поверхностных волн. Встречно 307
штыревой преобразователь
9 3. Линии задержки и фильтры, использующие встречно штыревые 313
преобразователи
9 4. Рассеяние поверхностных волн. Резонаторы и фильтры на основе 318
отражательных структур
95. Усиление звука дрейфом носителей в пьезополупроводниках и 324
слоистых структурах
9 6. Волновые взаимодействия, обусловленные токопой нелинейностью. 330
Акустоэлектрический эффект
97. Нелинейные акустоэлектронные устройства на поверхностных волнах 333
r лава 13. Акустооптика 339
9 1. Введение 339
9 2. Дифракция света на звуке. Раман натовский и брэrrовский режимы 340
9 3. Дифракция света на поверхностных акустических волнах 344
9 4. Рассеяние Мандельштама Бриллюэна на тепловых колебаниях 346
9 5. Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
9 6. Акустооптика жидких кристаллов
97. Некоторые применения акустооптически.Х взаимодействий
rлава 14. Волны в маrнитоупорядоченных кристаллах
9 1. Основные сведения о маrнитоупорядоченных кристаллах
9 2. Спиновые волны в ферро и антиферромаrнетиках
93. Маrнитоупруrие волны
94. Затухание маrнитоупруrих волн
95. Нелинейные эффекты
Литература
Предметный указатель
348
351
354
368
368
371
375
378
379
382
400
Предметный указатель *)
*) Настоящий предметный указатель дополняет оrлавление книrи, не повторяя
ero. Термины и понятия, отраженные в оrлавлении, в указатель не включены
Адиабата Пуассона 11
Акустическая rолоrрафия
357
левитация 130
Акустические оси 218,226,233
ветви колебаний 243
Акустолюминесценция 366
Акустооптические дефлекторы
364
процессоры 365
Взаимодействие акустоэлектронное
325
встречное 295, 333
вырожденное 295, 334
трехволновое 89
фонон фононное 244
Вектор смещения 189
Волны вязкие 20, 56
rравитационно капиллярные 26
rуляева Блюштейна 203
изrибные 21 О
клиновые 207
крутильные 212
Лэмба 210
Лэмба обобщенные 205
Лява 204
маrнитостатические 373
нормальные продольные 210
SH210
простые 68
стационарные 70
Стоунли 205
температурные 20
ударные 12
утечки 206, 231
щелевые 206
юнrовские 211
Выпрямленная теплопередача 151
rенерация обратной волны 295
Давление звуковое 34
ланжевеновское 120
рэлеевское 121
Закон Тука 192
обобщенный 213
Запоминание акустических сиrналов
295,336
Излучение звука дислокациями 272
трещинами 276
MarнoHЫ 373
Маrнитоаку стический резонанс
377
Механизм Ахиезера 257
Ландау Румера 257
Модули упруrости 192,215,282
Односторонняя диффузия 146
Оптические ветви колебаний 243
Отражательные решетки ПАВ 320
Пики Бордони 268
Рассеяние звука на звуке 93, 290
Резонаторы на ПАВ 321
Решение Римана 66
Сила Бьёркнеса 133
Скорость звука адиабатическая 11,36
высокочастотная 47
Скорость колебательная 34
Солитон 84
Соотношение Вайнрайха 332
Соотношения Крамерса Крониrа
54
Мэнли Роу 100
Тензор деформации 189
напряжений 190
Пиолы Кирхrофа 283
термодинамических напряжений
193,282
Термооптическая rенерация звука
359
Уrлы Брюстера 199, 234
Уравнение Бернулли 17
Больцмана кинетическое 256
Бюрrерса 77
rерца Кнудсена 149
Дайсона 163
движения упруrой среды 190, 194,
213
Кельвина Фойrта 49
KopTeBera де Вриза 83
Навье Стокса 14,19
непрерывности 10, 13
Нолтинrа Непайреса 141
переноса тепла 16
Рэлея 140,200
Хохлова Заболотской 87
эйконала 173
Эйлера 9,13
Условия синхронизма 89,289
У стройства свертки и корреляции
333
считывания оптических
изображений 337
Фильтры дисперсионные 317, 323
полосовые 315
Флуктуации амплитуды 178
фазыl74
Формула Кёниrа 133
Кинrа 130
Миннаерта 144
Стокса Кирхrофа 41
Фотоакустическая спектроскопия 363
Электроакустическое эхо 295
Эффективное маrнитное поле
370
ПРЕДИСЛОВИЕ
Общей, или классической, акустикой называют раздел физики,
имеющий дело с упруrими колебаниями и волнами в классическоЙ
сплошной среде в случае, коrда длины волн значительно больше
расстояний между атомами и молекулами. Друrими словами, об
щая акустика это часть механики сплошных сред (rидродинамики
и теории упруrости), изучающая колебательные и волновые про
цессы. Если же среда характеризуется не только механическими, но
и друrими физическими свойствами (например, наличием пьезо
электричества, фотоупруrости, маrнитных свойств и т. д.), то про
цесс распространения звука в такой среде может существенно зави
сеть от этих свойств. Для описания акустических явлений в этом
случае уже недостаточно традиционных представлений механики
сплошных сред. Необходимо использовать более общие модели, oc
нованные на рассмотрении соответствующих явлений на макро- и
микроуровнях. Это относИтся К взаимодействиям звука с тепло
выми упруrими волнами в кристаллах фононами, взаимодеЙст
виям со светом фотонами (акустооптика), со свободными НОСИте
лями заряда электронами (акустоэлектроника), с возбуждения
ми в маrнитоупорядоченных кристаллах маrнонами. к.оrда дли-
на волны стаНQВИТСЯ сравнимой с параметром решетки кристалла,
возникают специфические явления, которые также не MorYT быть
описаны в рамках классической механики сплошных сред.
Область акустики, изучающую взаимодействия звука с вещест
вом как на макроскопическом, так и на микроскопическом уровнях,
обычно называют физической акустикой. В Kpyr ее задач входит,
с одной стороны, изучение особенностей распространения звука в
средах с различными физическими свойствами и использование
этих особенностей в практических целях. Это прямые задачи фи
зической акустики. С друrой стороны, зондируя исследуемую среду
звуком различной частоты и амплитуды, оказывается возможным
определять мноrие ее физические свойства. Это обратные задачи
физической акустики,
В настоящее время физическая акустика занимает видное место
не только в акустике в целом, но и во мноrих смежных областях
физики; она служит основой мноrих практических приложений.
За последние 25 30 лет возникли и получили большое развитие
такие новые области, как нелинейная акустика, кристаллоакусти
ка, акустоэлектроника, акустооптика, физика поверхностных волн.
Результаты физической акустики нашли широкие приложения в фи
зике твердоrо тела, квантовой физике, радиоэлектронике.
Физическом акустике посвящена обширная литература. Coдep
жание различных ее разделов рассредоточено по ряду специальных
журналов и моноrрафий. При этом изложение мноrих вопросов
слишком специализировано, для Toro чтобы начинающий читатель,
приступая к изучению физическоЙ акустики, Mor получить необхо
димые сведения по основному Kpyry рассматриваемых в ней проб
лем. Так, например, широко известно MHoroToMHoe американское
издание «Физическая акустика», из KOToporo у нас в стране издатель
ством «Мир» выпущено 11 книr (в США выходят все новые и новые
тома этой серии). Обширный и интересный материал, собранныЙ
в этом IIздании, написан различными авторами в виде статей обзор
Horo характера. Вследствие этоrо он насыщен специальной термино
лоrией, очень разнороден как по характеру, так и по стилю и ypOB
ню изложения. В результате этот мноrотомный труд доступен для
изучения, как правило, ,rшшь узким специалистам. Как в нашей,
так и в зарубежноЙ литературе пока нет моноrрафии или учебноrо
пособия, rде бы на современном уровне сконцентрированно и сжато
были изложены основные вопросы физической акустики. Предла
rаемая книrа попытка осуществить такой труд. Она представ
ляет собой расширенный курс лекций, которые читаются студентам
акустической специальности радиофизическоrо отделения на физи
чес ком факультете MOCKoBcKoro университета.
Имеются трудности в определении Toro, что именно должно быть
включено в понятие физической акустики и, как следствие этоrо,
в выборе материала. Содержание книrи в значительноЙ степени
сложилось под влиянием научных интересов одноrо из авторов
(В. А. КрасильнИ!<ова) в процессе ero длительной работы со сту-
дентами и аспирантами на кафедре акустики физическоrо факуль-
тета MfY, а также с сотрудниками Акустическоrо института им.
Н. Н, Андреева.
Мноrие вопросы из той обширной области, которую представ-
ляет собой физическая акустика, мы не моrли включить в эту кни
ry, Так, опущены разделы по квантовым явлениям и по взаймодей
ствию звука с электронами в металлах, не рассмотрены процессы
аэродинамической rенерации звука, очень кратко освещены воп
росы возбуждения и рассеяния звука. С друrой стороны, неко-
торые разделы изложены более подробно, чем, казалось, сле
довало бы. Так, основным понятиям {'идрuдинамики посвящена OT
дельная {'лава, в то время как аналоrичные сведения из теОРИI!
упруrОСТ!f излаr:вются весьма конспективно. Это связано с тем, что,
как показал наш опыт, студенты обычно лучше знакомы с теорией
упруrости, чем с rидродинамикой. В книrе мы намеренно уделили
большое внимание нелинейным задачам; наше твердое убеждение
состоит в том, что развитие физической акустики идет и в ближай-
шее время пойдет еще более быстрыми темпами именно в этом
направлении. Будут развиваться (как в теоретическом, так и
в особенности в экспериментальном плане) те области физиче
ской акустики, rде волны конечной амплитуды иrрают заметную
роль.
7
Первая часть книrи написана В, А. Красильниковым, При Ha
писании этой части большую помощь оказал А. М. Обухов, который
сделал ряд ценных замечаний по rлавам 1 и 7. К. Н. Баранекому
принадлежат основные идеи 5 rл, 2, относящеrося к релаксации
сдвиrовой вязкости; он также высказал ряд ценных замечаний по
этой rлаве, В, Н. Алексеев принял большое участие в написании
rл. 5, в которой использованы полученные им новые результаты о
радиационном давлении звука на сферу и о взаимодействии двух
сферических частиц в звуковом поле. В. Н. Алексеев и В. П. Юшин
оказали большую помощь в написании rл. 6 (звуковая кавитация),
в которой изложен ряд полученных ими новых результатов.
Во второЙ части книrи rл. 10 написана В. А. Красильниковым,
r лавы 8, 9 и 12 написаны В. В. Крыловым и r лавы 11, 13 и 14 COBMe
стно В. А. Красильниковым и В. В. Крыловым. При написании
этих rлав авторы пользовались советшли и замечаниями А. [. Ko
зорезова, В. И. Павлова, И, Ю. Солодова. Изложение вопросов He
линейной кристаллоакустики в значительной степени основано на
ориrинальных результатах, получениых В. Е. Лямовым. Ряд цeH
ных замечаний сделали Л. К. Зарембо и О. В, PyдeНI<O, сотрудни
чество с которыми оказало большое влияние на формирование
взrлядов авторов по целому Kpyry проблем. Всем им авторы выра-
жают искреннюю блаrодарность.
Эта книrа написана физиками и предназначена пре)кде Bcero
для физиков экспериментаторов, Однако и начинающим теорети-
кам она, с нашеЙ точки зрения, также может быть полезна. Книrа
не дает в руки теоретика рабочих технических приемов решения
задач, но может ввести в курс дела по той или иной проблеме фи-
зической акустики.
Мы отдаем себе отчет, что некоторые положения или высказы-
вания в этой книrе MorYT показаться читателю спорными или, во
всяком в случае, не лишенными недостатков. Все' замечания и пред-
ложения по содержанию книrи будут встречены нами с блаrодар-
ностью.
Авторы
Часть 1
ВОЛНbI В ЖИДКОСТЯХ и rA3AX
fлава 1
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ rИДРОДИНАМИКИ
1. Идеальная жиДкость
Теоретической основой физической акустики служит механика
сплОшных сред rидродинамика и теория упруrости, Подробное
изложение rидродинамики содержится во мноrих книrах (см., Ha
пример, l1 4]). Предполаrая, что читатель знаком с ее основами,
мы кратко остановимся лишь на тех сведениях, которые понадо
бятся нам в дальнейшем.
Рассмотрим движение идеальной сплошной среды (жидкости
или rаза), вязкость и теплопроводность в которой отсутствуют.
Закон Ньютона для сплошной среды произведение массы еди
ницы объема среды на ее ускорение равно действующей силе
в координатах неПОДВИЖНОI'О пространства (координаты Эйлера) за
пишется в виде
dv av
P/iТ==p дТ+ р (vV) v == vp+pf, (1.1)
rде V скорость движения жидкости в данной точке пространства,
р плотность, р давление и f силы, действующие на едини
цу массы жидкости. (Например, pf==rg это сила тяжести, rде
g ускорение свободноrо падения,) В этом уравнении дvlдt преk
ставляет собой так называемую локальную производную, (vV)v
конвективную производную. Это векторное уравнение называется
уравнением Эйлера; оно содержит пять неизвестных их, и!I' и"
р, р. Сразу же отметим, что это уравнение нелинейное; нелиней
ность возникает, например, из за присутствия конвективноrо члена
(vV)v. Обычно в акустике, rде скорость V есть колебательная
скорость частиц жидкости, вызываемая прохождением волны в по
коящейся среде, этот член отбрасывают, поскольку v мало и
(vV)v член BToporo порядка малости, Он значительно меньше oc
тальных членов уравнения (1.1). Далее мы увидим, что во мноrих
случаях этоrо делать нельзя, и учет конвективноrо члена позволяет
рассматривать большой класс важных нелинейных эффектов.
Если при движении жидкости нет разрывов сплошности, масса
в некотором фиксированном относительно неподвижноrо простран-
9
ства объеме сохраняется. Закон сохранения массы жидкости выра-
жается уравнен-ием. непрерЫ8ности:
др/дt + v (pv) === О. (1.2)
Правая часть (1.2) равна нулю, только если отсутствует источник
массы. Условие несжимаемости жидкости p==const запишется в
виде
Vv == div v == О.
(1.3)
Возможен друrой подход к описанию движения, коrда система
координат связана с частицами среды (ла2ранжевы координаты).
Этот подход используется в теории упруrости и некоторых зада
чах нелинейной акустики, там, rде лаrранжевы координаты удоб
ны для задания rраничных условий [5].
Если совокупность эйлеровых координат (Е координат) обозна
чить через х, у, z, а лаrранжевых (L-координат) через а, Ь, с, то
преобразование от L-координат к Е координатам будет иметь вид
х==х(а, Ь, с, t), у==у(а, Ь, с, t), z===z(a, Ь, с, t). (1.4)
Обратное преобразование от Е- к L-координатам:
а===а(х, у, z, t), Ь==Ь(х, у, z, t), с==с(х, у, z, 1). (1.5)
Для совершения точноrо перехода От одних координат к друrим
нужно, вообще rоВОрЯ, знать решение системы уравнениЙ rидроди-
наМИЮI в E или L координатах, В акустических задачах, коrда
смещения частиц S из положения равновесия малы, этот переход
МОжно выполнить приближенно. Связь между эйлеровой коорди
натой х и лаrранжевой а будет x==a+s, и, поскольку смещения ма-
лы, можно представить rидродинамические параметры, например
акустическую скорость v в L- и Е координатах, в виде ряда посте
пеням S' Оrраничиваясь в этом разложении членами BToporo поряд-
ка малости, имеем в I" координатах
( 1: дин 1 1:2 д 2 ин
VL а, t)===VH(X S, t) ив(х, t) '"' дх +2'''' дх2 +...
и в Е координатах
. . ди L 1 д 2 и L
ив(х, t)==vL(a+s, t) vL(a, t)+saa+2" S 2 да 2 +
( 1.6)
(1.7)
В переменных Лаrранжа уравнение непрерывности для «жидко
ro» объема (форма KOToporo меняется с течением времени) в одно-
мерном случае имеет вид
р (1 + дs/да) == Ро, (1.8)
а одномерное уравнение движения (при 1==0)
родls/дt2+др/да == О. (1.9)
Как видно, в отличие от (1.1), одномерное уравнение движения
(1,9) в среде без вязкости в L координатах линейно и имеет более
простой вид,
10
Для несжимаемой жидкости система (1.1) II условие (1.3) (еели
сила f задана) представляют собоЙ замкнутую систему четырех
уравнений для четырех неизвестных: их, и!/, и , и р, На основе этих
уравнений MorYT решаться конкретные задачи. Для идеальной жид-
кости на непроницаемых rраницах обращается в нуль только HOp
мальная к поверхности составляющая скорости. Из за Toro, что
жидкость не прилипает к стенкам, танrенциальная составляющая
скорости на rранице Toro же порядка, что и вдали от тела.
Акустика имеет дело со сжимаемыми жидкостями, поэтому He
известной является также и плотность р. Чтобы замкнуть систему
уравнений идеальной, но сжимаемой жидкости, необходимо еще
одно уравнение, связывающее р и р. Таким уравнением служит
уравнение состояния среды,
В случае идеальноrо rаза du CvdT, "де C v теплоемкость при
постоянном объеме, и ero внутренняя энерrия (энерrия едини
цы массы), и уравнение состояния может быть записано в виде
адиабаты Пуассона:
Р == Ро (Р(Ро)'l' ,
(1.1 О)
Здесь Ро давление при P Po' y==C/C v , rде С р теплоемкость
при постоянном давлении.
Отметим, что для rазов всеrда у> 1 (так, для воздуха при 20 0 С
и атмосферном давлении y 1 ,43) и уравнение состояния нелиней
но; нелинейным также является и уравнение состояния д,ЛЯ жидкос
тей. Сложность теории движения жидкости н состоит rлавным об
разом в том, что это движение описывается нелинейными дифферен
циальными уравнениями в частных производных инелинейным
уравнением состояния. Следует добавить, что эти уравнения coдep
жат большое число переменных.
Уравнение состояния для среды, отличающейся от идеальноrо
rаза, можно получить, разложив р==р (р) в ряд по малому объемно
му сжатию /l==(p Po)(p l [5]. Такие сжатия в акустике действи
тельно малы, даже при больших интенсивностях звука. Разложе
ние запишем в виде
P Po== ( P ) p + ( д д 2 ) ( p)2+...
р В, P P. Р s, P P.
2 I p ( дс2 ) 2 + А + в 2 +
PoCo/lI 2 д /l .,. /l 21 /l ...,
р 5, P P.
А PoC , В == p (дс 2 /др)s, P P.'
(1.11)
( 1.12)
Здесь с 2 квадрат адиабатической скорости звука; безразмерная
величина В/ А == (Р/с8)(дс 2 /др )5. Р=Р. определяет нелинейные свойства
среды с точностью до квадратичных членов, Будем называть нели-
нейныМ параметром среды величину
n == 1 +.Е!. ( дс2 ) (1.13)
c др s, Р=Р.
(коrда справедливо (1.10), n==у). Величина п выражается через А
11
11 В так:
п l+B!A.
( 1.14)
Наряду с п часто используют параметр 8==(п+ 1)/2.
В отличие от rазов, теория жидкостей еще недостаточно разра
ботана, и мы не имеем уравнения состояния, которое следовало бы
из теории. Поэтому для жидкости приходится пользоваться эмпи
рическим уравнением состояния, так называемым уравнениеJ.1 Тэ
та:
р == р* [(p!po)r 1],
(1,15)
rде Р* так называемое внутреннее давление, r нелинейный
параметр, который характеризует отклонение адиабатической сжи
маемости жидкости от линейноrо уравнения состояния. Если р+
+P* полное давление, то тоrда (1.15) формально не отличается от
(1.10). Обе величины р* и r эмпирические постоянные. Из экс
периментальных данных следует, что р* имеет порядок 108 Па, а
r для различных жидкостей меняется в пределах от 4 (жидкий
азот) до 12 (ртуть); для воды r 7. Адиабатический модуль сжимае
мости жидкости
К ад == Ро (др!др)s, P Po == rp*
( 1.16)
определяет внутреннее давление р*, которое возникает из за взаи-
модействия молекул. Подчеркнем еще раз, что для жидкостей
имеется большое отличие r от единицы (нелине:Йность уравнения
состояния жидкости значительна). Это обстоятельство, как мы уви
дим дальше, имеет большое значение в нелинейной акустике жиk
костей.
Проведенные рассуждения относятся к случаю, коrда измене
ния давления и плотности малы. Если приращения !1р и !1р испыты
вают конечный скачок по нормали к некоторой поверхности разде
ла (прямой скачок уплотнения или ударная волна), уравнение co
стояния Пуассона заменяется так называемой ударной адиабатой
или адиабатой Рэнкина rЮ20НИО. Уравнение ударной адиабаты
не может быть получено из системы уравнений rидродинамики, KO
торые здесь неприменимы Из за разрывности движения. Оно полу
чается из законов сохранения массы, энерrии, импульса и имеет
вид
Р2!Рl == [(у + 1) P2 (Y 1) Рl];[(У + 1) Рl (y 1) Р2]' (1.17)
Здесь индексы «1» и «2» относятся к значениям по обе стороны по-
верхности ударноrо фронта, Отметим, что при Р2?>Рl (сильный раз
рыв) плотность идеальноrо rаза стремится к предельноМу значению
Р2 == Рl (у + 1)!(y 1). (1.18)
Так, для двухатомноrо rаза, которым можно приближенно считать
воздух, у== 1 ,40 и предельное значение р2!Pl::::::6. При малых зна
чениях РЗ/Рl ударная адиабата переходит в адиабату Пуассона
(рис. 1.1). Заметим, что блаrодаря медленному росту плотности при
Р2?>Рl медленно уменьшается объем rаза и произведение р V ==RT, rде
12
R rазовая постояннан, растет быстро, По этоЙ ПРIlЧIше быстро
и до больших значений возрастает температура Т, Этим объясняет
ся, почему на фронте ударной волны возникают высокие температу
ры. Можно показать, что для слабых ударных волн, с которыми
приходится встречаться, например, в нелинейной акустике, коrда
(p2 Pl)/Po==fl l, (p2 Pl)/Po==fl l, rде Ро И Ро давление и плот-
ность в среде в отсутствие волны, также
возникают скачки rидродинамических и h/fll
термодинамических величин, в том числе ЗIJ
возникает скачок энтропии (52 51)' Этот
скачок представляет собой величину треть-
ero порядка малости по сравнению со скач
ком дав.тrения:
Заметим, что при выводе ударной адиа
баты Рэнкина I'юrонио на основе зако
нов сохранения массы, импульса и энерrии
ширина разрыва ударной волны б считает
ся равной нулю. В действительности в силь-
ных ударных волнах, коrда скачок CKOpOC
ти движения rаза по обе стороны фронта
иl и2==Ди становится сравнимым со CKOpOC
тью звука С, величина б имеет порядок дли-
ны свободноrо пробеrа молекул rаза, и для рассмотрения вопроса о
еличине б необходимо привлечение методов кинетической теории
rазов. Для слабых ударных волн (например, периодических yдap
ных волн, с которыми приходится встречаться в нелинейной aKYC
тике) при рассмотрении вопроса о ширине фронта следует учесть в
законах сохранения импульса и энерrии процессы диссипации за
счет вязкости и теплопроводности.
Далее мы будем пользоваться уравнениями I<aK в векторных,
так и в тензорных обозначениях, Уравнения (1.1) и (1.2) в компо
нентах записываются следующим образом:
дщ + и. дщ == др == c
at J дх j Р дх; Р aXi'
др + д (pVi) О
дi '
(52 '1) "" (ДР)3.
(1.19)
20
1IJ
IJ
z
-1
б
Р2/ Рl
Рис. 1.1 Ударная адиаба
та Рэнкина rlOrонио
(кривая 1) и адиабата Пу-
ассона (кривая 2).
( 1.20)
rде c ==(дp/дp)po скорость звука. Как обычно, в тензорной за
писи мы условливаемся в том, что по индексам, повторяющимся
дважды, производится суммирование. Умножив первое уравнение
(1.20) на р, второе на V j и сложив их, получим закон сохранения
импульса единицы объема идеальной жидкости в дифференциальной
форме:
a(pVi) д !: О
дТ---"+ дх. (pVjVj+PUij)== ,
J
rде бij символ Кронекера, бij==О при i*j и бij==l
(1.21 )
при i==j. Это
13
уравнение запишем также в виде
д (рщ) aTij
дt aXj ' T ij == рбij + PViVj,
( 1.22)
rде Ти есть т.еНЗ0Р плотности потока импульса. Интеrрируя (1.22)
по объему V, оrраниченному замкнутой поверхностью 5, имеем
закон сохранения импульса в интеrральной форме:
:t 5 pVidV+:fTijIljdS== :, 5 pVidV Fi==O. (1.23)
V S \'
Здесь п единичный вектор внешней нормаiIИ к поверхности 5,
а сила, действующая на поверхность S объема V,
р, == А; т ..п . dS ( 1.24 )
1 :t' I} j .
S
Закон сохранения энерrии идеальной жидкости формулируется
следующим образом. ,Полная энерrия единицы объема жидкости
(плотность энерrии) определяется выражением
Е == pv 2 j2 + ри, (1.25)
rде pи /2 кинетическая энерrия и ри внутренняя энерrия, KO
торая для идеальной жидкости совпадает с потенциальной энер
rией. ИЗ уравнений непрерывности и движения нетрудно получить
для изменении ШIOтности энерrии
дЕ ( и2 ) J
дt== v' [pv 2+ w ,
( 1.26)
rде w энтальпия единицы массы жидкости или тепловая функ-
ция; для адиабатическоrо процесса vw==dpjp. Взяв интеrрал по объе-
му от (1.26), имеем
:t 5 Е dV == g; pv ( и; +ш) nd5. (1.27)
v S
Вектор
1== pv (v 2 j2 + ш)
(1.28)
называют вектОрОА! плотности потока энеР2ИU или вектором У МО-
ва ПойнтИН2а.
2. Вязкая и теплопроводящая жидкость
Переходя к формулировке уравнений rидродинамики вязкой теп
лопроводящей жидкости в координатах Эйлера, отметим, что урав-
нение непрерывности для этоrо случая не изменяется. Уравнение
Эйлера переходит в так называемое уравнение Навье Стокса,
в котором учитываются силы вязкости. Это уравнение в векторной
форме имеет вид
; +('VV)'V== V'р+тV'2'V++( ч+ч')VV'V+f, (2.1)
14
rде '1'] [Па .с] сдвисоеая вязкость и '1']' обммная вязкость при
объемном расширении (сжатии). При этом здесь считается, что '1']
и '1']' не зависят от КQординат, а также от давления и температуры,
что представляет собой существенную идеализацию.
В вязкой среде тензор плотности потока импульса приобретает
вид
т ij == PViVj + p6ij a/k'
rде a//I. meнзор вязких напряжении, наиболее общий
ro дается выражением [11
0< == ( дЩ + aVk 6. )+ 1 '6.
111. 11 aXk дх! 3 111. дх[ 1 111. дх[ .
(2.2)
вид KOTOpO
(2.3)
Отметим, что плотность потока импульса вдоль оси х (случай, co
ответствующий распространению плоской звуковой волны, о чем
будет идти речь в 2 rл. 2), ВызваННОI'О внутренним трением, бу-
дет, соrласно (2.2) и (2,3), определяться таким выражением:
a x == (4/ з Yl + YI') дих/дх. (2.4)
Для несжимаемой жидкости выражение (2.3) упрощается:
a/ k == YI (ди i/aXk + aVk/ aX J.
Уравнение сохранения импульса (1.21) переходит в уравнение
:! (pVi) + д . (pViVj + p6iJ a/k) == О. (2.5)
J
Если жидкость вязкая, но сжимаемость можно не учитывать,
то в уравнении (2.1) (l/з'l']+'I']')VVV==О и уравнение HaBьe CTOKca
упрощается, приобретая вид
av I
N+(vV') v== r(V'P+'I']V'2v)+f==0. (2.6)
Вязкости 11 и 11' определяют в большинстве случаев основные поте-
ри энерrии звуковой волны. Как уже упоминалось, величину
Р (Vv)v в (2.6) называют конвективным или нелинейным членом.
Соответственно величину 'l']V2V называют «вязким» членом.
Естественно, что rраничным условием для движения вязкой
жидкости вблизи абсолютно твердой стенки будет равенство НУJIЮ
не только нормальной (как в случае идеальной жидкости), но и
танrенциальных компонент скорости, так как частицы вязкой жиk
кости «прилипают» К стенке.
Система уравнений rидродинамики существенно усложняется,
если учитывать еще теплопроводность жидкости. Хорошо известно,
что процесс теплопередачи от HarpeToro тела к движущейся жидкос
ти происходит значительно быстрее, чем в случае неподвижной жиk
кости. Обычная же теплопроводность покоящейся жидкости npeд
ставляет собой процесс переноса тепла из более наrретых мест в
более холодные. Этот процесс не связан с макроскопическим движе-
цием, а представляет собой молекулярный перенос энерrии. Вектор
15
плотности теплО80ео потока q при этом СОJЗпадает с направлением'
нормали к изотермической поверхности в каждой ее точке и опре-
деляется уравнением
q== 'X'VT,
(2.7)
rде 'Х [Вт/(м .К)] коэффициент теплопроводности. Для вязкой
теплопроводящей жидкости энтропия уже не представляет собой
неизменную величину. Увеличение энтропии описывается уравне-
ние-м neреноса тепла, учитывающим движение жидкости [1]
рТ [ +(v'V)s ] ===..!l. [ дщ + дVk !б'k ди[ ] i2+
at 2 aXk aXi 3' дх[
+ч' ('VV)2+'X'V 2 T. (2.8)
Для несжимаемой жидкости, в отсутствие внешних источников теп-
ла, это уравнение упрощается и принимает более простой вид
дТ/дt + (v'V) Т == X'V 2 T, (2.9)
rде х=='Х/С р р[м 2 /с] коэффициент температуропроводности, YpaB
нение переноса тепла содержит дополнительно еще две неизвест-
ные величины s и Т. Таким образом, в системе уравнений вязкой
теплопроводящей жидкости будет семь неизвестных, Чтобы замк
нуть полученную систему уравнений уравнений неразрывности,
Навье Стокса и переноса тепла, следует воспользоваться урав-
нением сохранения энерrии
Tds===du pdp/p2. (2.10)
При этом выражения для энтропии s 1:1 внутренней энерrии
rYT быть получены с учетом свойств среды. Так, например,
чае идеальноrо rаза для единицы массы
du == С v dT == l' 1 d ( ), ds == С v' d; R d: '
U мо-
В слу-
(2.11 )
и мы имеем семь уравнений для восьми неизвестных (к семи неиз
вестным добавляется и). Восьмым, замыкающим систему ypaBHe
ний вязкой теплопроводящей ЖИДКосТИ, будет уравнение состоя-
ния.
В заключение приведем выражение для возникающеrо Из-за
необратимых процессов BHYTpeHHero трения (вязкости) и теплопро
водности изменеНИЯ.1увеличения) энтропии жидкости, занимающей,
объем V; оно нам потребуется при рассмотрении вопроса о поrло-
щении звука в жидКости. Это изменение дается выражением, кото-
рое следует из уравнения переноса тепла (2.8):
5 sdV == r х (V T )2 dV + 5 ....2L. ( дщ + aVk б. ди[ ) 2 dV +
at Р .) т 2Т aXk дч 3 lk дх[
+ 5 (div v)2dV. (2.12)
Естественно, что последний член 31'оrо уравнения исчезает для не-
сжимаемой жидкости, а во втором члене в правой части обращается
в нуль третий член в скобках.
16
3. Примеры точных решени""
Дальнейшее применение теории движения жидкости состоит
в нахождении решений конкретных задач. Для потенциальносо дви-
жения идеальной жидкости rot'l1==O и, следовательно, v==VCP, Тоrда
уравнение Эйлера может быть записано в виде
V' ( + и; ) + v (P;;p ) ==0.
Здесь Ро постоянное (в отсутствие внешних полей) значение дaB
ления в той области пространства, rде отсутствует движение жиk
кости, Воспользовавшись соотношениями J.J!.. == v L + V'p' (р' ==
р р р
==P Po' Ро == COl1st), получаем
( д<р и 2 р' ) р' ,
V' дi+T+ p +-р2ур ==0. (3.1)
В случае адиабатическоrо процесса ур'==ур'/с 2 , rде с 2 ==(др/др)
квадрат адиабатической скорости звука. Если теперь в (3.1) поло
жить р == Ро + р', то приближенно получим
V' ( + +L (р;р ) == О.
at 2 ро 2рос2
Без оrраничения общности можно записать
д<р + + (p po) (p po)2 ==0 (3.2)
at 2 Ро 2p c2 .
При стационарном (acp/at==O) движении несжимаемой (с--,.ню) жиk
кости имеем точное уравнение
и 2 /2 + (p Ро)/Р == о.
Это уравнение носит название уравнения Бернулли. Еr;;акже час
то записывают Ъ виде
иЗ /2 + р/р == COl1st.
Приближенное уравнение (3.2) можно записать в виде
виду, что р' == Poacp/at)
д<р иЗ р' 1 ( д<р ) 2
дТ+T+P; 2ё2 7ft o. (3.4)
. Это уравнение иноrда называют обобщенным /равнением Бернулли.
Оно справедливо при условии v l!T, rде 1 характерная длина,
а т характерный временной интервал. Например, для акустичес-
ких задач эти величины имеют смысл длины и периода волны и
выписанное условие приобретает вид и c.
Уравнение Бернулли есть следствие закона сохранения энерrии
и во мноrих случаях позволяет получить сведения о потоке, не
прибеrая к решению самих rидродинамических уравнений,
Из уравнения Бернулли леrко выясняется смысл условия He
сжимаемости стационарноrо движения жидкости div 'l1==O, Посколь
ку при адиабатическом изменении плотности /!..р==(др/др)/':.р== /!..р/с 2 ,
17
(3,3)
(имея в
rде C CKOpOCTЬ звука, а из(З.З)f\р"""рv ,.то f\p/r"""(v/c)2. Таким
образом, условие (f\p/p) I, т. е. условие несжимаемости жидкости
состоит в том, чтодля стационарноrотечения числоМаха M==и/c< 1;
при и c rаз или жидкость описываются одними и теми же уравне-
ниями.
Однако такой вывод справедлив лишь для стационарноrо дви-
жения жидкости. Если движение нестационарно, то в добавление
к условию несжимаемости div v==o следует учесть еще одно условие,
Действительно, акустическое число Маха Мак==и/с (здесь v KO
лебательная скорость частиц) всеrда значительно меньше единицы.
Тем не менее, поскольку акустические волны это нестационар
ное движение жидкости, условие MaK l еще не означает, что жнд
кость можно считать несжимаемой; в несжимаемой жидкости звук
вообще не распространяется.
Дело здесь в том, что для «несжимаемости» при нестационар
ных движениях жидкости необходимо выполнение условий
lдр/дtl lрdivvl и дv/дt vр/р, которые следуют из уравнения не-
прерывности и из уравнения Эйлера, Но из первоrо неравенства
следует, что f\p/T<{pv/l, rде 1 и т соответственно характерные
пространственный и временной масштабы движения (длина волны
л и ее период Т в случае звука). Из BToporo приближенноrо paBeH
ства (уравнение Эйлера) 'VP/P;:::;;V/T и равенства f\p==c 2 f\p, имеем
f\p;:::;;lpv/Tc 2 . Отсюда f\p/pT;:::;;lv/c 2 T2, и далее, используя неравенство
f\p/T<{PV/l, найдем T"j;>l/C. Таким образом, жидкость при ее нестаци-
онарном движении можно считать несжимаемой, если выполняются
два условия: M l и T"j;>l/C. Последнее условие означает, что
в несжимаемой жидкости распространение возмущения должно
происходить с бесконечной скоростью; в акустике хотя MaK I,
но зато T;:::;;l/c.
Друrой пример использования уравнения Бернуллн относится
к теории диска Рэлея, применяемоrо для абсолютных измерений
звуковоrо давления. Диск Рэлея представляет собой небольшой
леrкий слюдяной кружок (ero диаметр существенно меньше длины
звуковой волны), подвешенный на тонкой кварцевой нити. l(оrда на
диск падают звуковые волны, он поворачивается, стремясь за.нять
положение, перпендикулярное направлению распространения этих
волн. Причина этоrо может быть понята на основе уравнения Бер
нулли. На рис. 1.2 изображены линии, по которым движутся час
тицы воздуха при обтекании диска постоянным воздушным пото-
KOM, линии тока; вблизи диска линин тока искривляются, Давле
ние потока на диск в разных точках ero поверхности зависит от
скорости, которую в этих точках имеют частицы воздуха. Соrласно
уравнению (3.3) наибольшее давление будет в тех точках диска, rде
происходит полная остановка течения. Таких точек на диске ДB ,
В этих точках появляются силы, показанные на рис. 1.2 стрелками,
которые образуют вращающий момент, стремящийся повернуть диск
«лицом К потоку». По этой же причине лист бумаrи, выпавший из рук,
при своем падении стремится повернуться так, чтобы ero поверх-
ность стала перпендикулярной к направлению движения.
18
Из рис. 1.2 можно замеТIIТЬ, что если направление потока из-
менить на обр<пное, то б.rrаrодаря симметрии картины линий тока
вращающиЙ момент не изменится; диск будет стремиться повер
нуться в том же направлении. Поэтому, если диск находится в пере-
менном потоке воздуха, направление KOToporo периодически изме
няется (а такой поток имеет место при распространении звуковой
волны), он будет поворачиваться так же,
как и в постоянном потоке, занимая по
ложение поперек потока,
ПереЙдем к реальноЙ жидкости, об
ладающей вязкостью. Уравнения дви
жения вязкоЙ жидкости весьма сложны.
По этоЙ причине только небольшое число
задач имеет точное решение. Такие за
дачи, как правило, отличаются reoMeT
рпческой IIрОСТОТОЙ и определеhНЫМИ
условиями симметрии. Весь же orpoM-
ный I(омплекс остальных задач rидроди
намики вязкой жидкости приходится pe
шать приближенными аналитическими методами и широко приме
нять численные методы с использованием быстродействующих ЭВМ
[6], К числу задач, которые удается решить точно, относятся такие
задачи, как одномерное течение вдоль стенки, течение между двумя
движущимися друr относительно друrа параллельными плоскими
стенками (течение Куэтта), течение в цилиндрической трубке (те-
чение Пуазейля), стаuионарное течение между двумя цилиндрами,
течение в расширяющейся трубе (диффузоре) и некоторые друrие.
Остановимся здесь лишь на rажной для физической акустики зада
че о движении в вязкоЙ несжимаемой жидкости плоской безrранич
ной стенки, которая колеблется в своеЙ плоскости.
Пусть неоrраниченная плеская поверхность (плоскость ху) co
прикасается с покоящейся в целом несжимаемой вязкой жидко-
стью, и пусть эта поверхность совершает rармонические колебания
в своей плоскости с частотой w в направлении у. Спрашивается, Ka
кое при этом возникает в жидкости (z>O) движение, если жидкость
в целом покоится? Используя rраничные условия, соrласно KOTO
рым скорость жидкости У поверхности совпадает со скоростью по-
верхности и==иу==и о exp( iwt), условие несжимаемости жидкости
div v==O и rеометрию задачи, нетрудно показать, что в рассматри
ваемом случае (vV)V==O, p==const и уравнение движения Навье
Стокса сводится к линейному одномерному уравнению типа ypaB
нения теплопроводности:
.
Рис. 1.2. Обтекание диска
потоком. LLиск поставлен под
yr лом 450 к потоку.
ди 1] д 2 и
дТ == () дi.2 . (3.5)
Отыскивая периодическое решение этоrо уравнения в виде 'и=.::.
==и о exp[ i (wt kBZ)], rде k B волновое число, найдем, ИСПОЛЬ$УЯ
rраничныеусловия при z==O,
iw ==..2L k: == vk:. (3.6)
р
I.
Отсюда, rЮСI(QЛЫ(У V Т + (1 + i)/V2, получасм
k ==: ==: ,,/ iшр ==: + (i i:..!l. " / ш
в Ав JI 11 У2 V т] Р
(3.7)
и
V == и о ехр ( у р z) ехр l i ( wt у' р z) ], (3.8)
rде у мнимой части k B взят знак «+», ина'!е скорость при z>O воз
растала бы.
Полученный результат показывает, что колеблющаяся в вязкой
несжимаемой жидкости в своей плоскости пластина излучает попе-
речные волны с волновым числом k B , которые называют вЯЗКЩ,lU или
сдвиrовыми волнами, иноrда волнами CTOI(Ca. Эти волны рас-
пространяются со скоростью
сп == V 2YjШ/Р (3.9)
и имеют длину
л в /2л == V- 211/WP == V 2v/w .
(3. 1 О)
Коэффициент затухания вязкой волны ав, соrласно (3.8), имеет
значение
а: в == V wp!2Yj .
(3.11 )
Вязкая волна практичеСЮI затухает на расстоянии, равном длине
волны; в некотором тонком поrраничном слое, толщина KOToporo
порядка Ав, она все же распространяется.
Если на плоской поверхности жидкости имеются периодические
изменения температуры, то, подобно вязким волнам, в жидкости
возникают температурные, или тепловые волны. Характерные па
раметры этих волн определяются одномерным уравнением тепло
проводности
дТ /at == х д 2 Т /az 2 ,
(3.12)
rде Т температура и X==x/pC J , коэффициент температуропро-
водности, т, е. уравнением точно TaKoro же вида, как и уравнение
(3.5) для вязких волн.
Если на rранице при z==O T==Toexp( iwt), то, по аналоrии
с (3.8), значеНIIе Т в зависимости от z, ш, Х будет иметь вид
т ==: То ехр ( v щ2х z) ехр [ i (wt V ы/2х z)].
(3.13)
Так же, как и вязкие волны, тепловые волны распространяются
в rлубь среды со скоростью С Т == V 2xw, экспоненциально затухая
и образуя тонкий тепловой поrраничный слой, Эти волны также
имеют сильную дисперсию,
Длина тепловой волны выражается формулой
л т /2л ==: V 2х/ ш .
(3.14)
20
Представление о ВЯЗЫIХ И тепловых волнах, быстро затухаЮЩIlХ
при у даJ!е!IИIf от колеБJIющеЙсн понеРХIЮСТl1 тела ВНУ'! Р" ЖIIДI(()СТИ
Н обладающих дисперсиеЙ, очень важно для большоrо I(pyra задач
физическоЙ аI(УСТИЮI. Аналоrичные процессы необходимо учиты-
вать, в частности, в задаче о поrлощении звука, распространяюще
rосп вдоль твердоЙ стенки (что имеет сущестпенное значение в Teo
рии звукопоrлотителей), в теории аI(устических течениЙ, в явле
ниях, связанных с динамикой rазопых и паровых пузырькоп, Haxo
дящихся в акустическом поле, и т. д.
4. ЗаКОНbI подобия. БезразмеРНbIе числа
в rидродинамике
Представление о наиболее характерных особенностях движения
жидкости часто :\1Ожно ПОЛУЧi!ТЬ, не решая задачи, а зная лишь зна
чения величин нескольких безразмерных чисел специальных KOM
бинациЙ физических параметров.
Впервые безразмерные числа были введены при рассмотрении
вопроса о подобии течениЙ, В rидродннамике часто приходится про
водить эксперименты с моделями и ПОТО:VI уже полученные данные
переносить на реальные тела. просIыe рассуждения, основывающие
ся на уравнениях дпижения для описания двух течений с различ
ными rидродинамическими параметрами, приводят к тому, что для
вязкоЙ несжимаемоЙ жидкости, коrда отсутствуют внешние силы,
а также внешние поверхности, два течения подобны, если, кроые
IшнеМi1.тическоrо подобия (т. е. rеометричеСl\оrо подобия и подобия
поля скоростеЙ), для этих течениЙ равны числа РеЙнольдса. Число
РеЙНОЛhдса Re pvl/11 vl/v (rде l характерныЙ масштаб движе
ния, например радИУС трубы при движении в неЙ жидкости, v
скорость потока и V кинематическая вязкость) иrрает очень
большую роль в rидродинамике и акустике, и далее нам часто при
дется иметь с ним дело. Если необходимо учитывать наличие внеш
них сил, например силы тяжести, то в добавление к числу Re OKa
зывается необходимым ввести' также еще число Фруда Fr v2/lg,
и тоrда два течения подобны, коrда, кроме кинематическоrо подо
бия, числа Re и Fr обоих течениЙ равны. При учете сжимаемости
жидкости в рассмотрение необходимо включить еще число Маха
M и/c, rде с скорость звука в жидкости. Если учитывается теп
лопроводность жидкости, появляется безразмерное число Прандтля
Pr 'YjC/x 'Yj/PX V/X, представляющее собой материальную KOH
станту среды, не зависящую от свойств потока.
к: необходимости введения этих чисел можно также прийти,
если провести оценку различных членов в уравнениях движения и
переноса тепла. Так, число Re получится. если взять отношение
конвективноrо (нелинейноrо) члена в (2.6) Zпел к члену, характери
зующему вязкость ZВЯЗ:
ZII ел "" р о и 2 / 1 === Povl === Re
ZВЯЗ Т)и/[2 1) . '
( 4.1)
21
Чис.110 Fr получится, если взять отношение, I{Qнвективноrо члена'
в уравнеНИIl (2.6) к члену, характеризующему внешнюю СIlЛУ f,
например снлу тяжести, которая на единицу массы равна просто
ускорению свободноrо падения g:
Zиел ......., р о и 2 /1 == "'" Fr
Zсил Pog 19 .
(4,2)
Если воспользоваться уравнением переноса тепла (2.9) и взять
отношение тепловоrо конвективноrо члена Z"OHB=='VVT к члену,
характеризующему теплопроводность жидкости (rаза) Z.еnл""'Х у 2 Т,
то получим число Пекле Ре:
lКОИR ......., 12 == ==Re Pr ==Ре (4.3)
Z.еnл lх т ' v Х '
равное lIРОllзведению числа Рейнольдса на число Прандтля, Здесь
T'==T To.
Нас в дальнейшем будут интересовать акустические волновые
процессы, поэтому оценим по порядку величины отдельные члены
в уравнениях Навье Стокса для акустических колебаний в жид-
кости. В этом случае характерным масштабом длины, на которой
MorYT происходить заметные изменения rидродинамических пара-
метров, будет, очевидно, длина волны л; характерным масштабом
времени период звуковой волны .......,1/ш (ш частота звука);.
характерной rидродинамической скоростью колебательная, или
акустическая скорость v, Тоrда
zНел/ZВяз.......,роvл!\']==RеаК. (4.4)
I':aK видим, это отношение представляет собоr"i '<J.исло Рейнольдса
для акустическоrо случая (так называемое акустическое число Рей
нольдса). Коrда Re a ,,>l, т, е.Zнед>Zвяз, становятся существенными
акусти.ческие нелинейные процессы, а при Re a ,,<l основными яв
ляются диссипативные процессы; об этом подробно rоворится в
rл. 3,
Число Rе аи записывают также в виде Rea,,==p' /Ьro, rде р'
акустическое (избыточное) давление и Ь==4/ э Yl+YI' +х (1/Cp 1/Cv)
диссипативный член; это выражение, справедливое для плоской
акустическоЙ волны, получается из (4.4), если воспользоваться ос-
новным соотношением для плоской звуковой волны p==vpc ( 1
rл. 2),
Отношение Zнел К инерционному члену в (2,6) Zни==Род'V/дt:
Zпед ......., Pok ......., k(J)s .......,1.,.....,..5L == м (4.5)
ZИН рооо "'о (J) л. СО. ак'
есть акустическое число Маха, которое уже было введено выще.
Отметим, что в акустике даже для самых мощных звуковых волн
число. Маха не превышает значений 10 4 lO 3 (rазы, жидкости),
и при средних амплитудах смещений s==vo!ro,,-, 1O 8 10 7 число
MaK""lO 7 lO 5. Число Маха в акустических задачах всеrда счи-
тается малым параметром.
22
Возвраща5IСЬ к процесса 1 теплообмена, характеризуемым чис
лом Прандтля Pr, напомним, что это ЧИСJ10 представляет собой Ma
териальную постоянную, Так, для l"азоВ число Pr мало отличается
от единицЫ (для воздуха Pr;:::;0,73), для жидкостей же это различие
может быть существенны:'.!. Например, для воды при обычных усло
БНЯХ Pr;:::;6,75, а для ртути PrzO,04. Соrласно (4.3), (3.10) II (3.14)
число Р, может быть эаписано как отношение квадрата длины
вязкой волны к квадрату длины тепловой волны;
Pr },;/Л;.
(4.6)
Поскольку, как было сказано выше, для воздуха (и rазов) Pr 1,
то лвz},т, Для воды л в ;:::;3л. и для ртути л.в о, 1),..
5. Приближенные решения уравнений
вязкой жидкости при больших
и малых числах Рейнольдса. Поrраничный слой
Перейдем теперь к приближенным методам решения уравнений
движения вязкой жидкости. Решение упрощается в двух предеЛЬ
ных случаях. Первый соответствует задачам, коrда велика вязкость
среды, малы скорости движения и масштабы движения, т. е. малы
числа Рейнольдса Re==vl/v. В этих случаях члены, характеризую
щие вязкость в уравнениях движения, rораздо больше инерцион
ных членов, и последние MorYT быть отброшены. Тоrда уравнение
Навье Стокса переходит в линейное уравнение, которое без уче
та объемной, или второй вязкости 'Yj', примет вид
v р == 1/V 2V .
(5.1)
к: числу известных задач, которые решаются в таком приближении,
относится задача о плоском течении очень вязкоЙ жидкости между
двумя пластинками, о медленном движении малой сферы (задача
Стокса) [1 2]. Решение, соответствующее последней задаче, при
водит к известной формуле Стокеа для силы сопротивления, KOTO
рую испытывает сфера в вязкой жидкости:
F == 6лаvl'j,
(5,,2)
rде а радиус сферы, Если учесть в уравнении Навье Стокса
те инерционные члены, которые имеют наибольшее значение, то
эта формула приобретает вид
F==6Л'Yjаv(1+3/8Rе), (5,3)
Член 3/8Re носит название поправки Осеена,
Друrой предельный случай соответствует движениям с больши-
ми скоростями в задачах, Коrда мала вязкость и велики пространст
венные масштабы, т. е. велико число Рейнольдса.
Однако полностью отбрасывать в уравнениях движения члены,
учитывающие вязкость, нельзя, так как решения получающихся
23
при этом уравнений Эr"Iлера не удовлетворяют rраничным условиям,
соrласно которым реальная жидкость должна прилипать к CTeH
кам, даже если она характеризуется большими числами Рейнольд
са. Выход из TaKoro положения был найден Л. Прандтлем (1904),
который предположил, что при больших числах Re основное дейст
вие вязкости должно проявляться только вблизи самих стенок, в
так называемом посранuчном слое. Вне этоrо поrраничноrо слоя
движение жидкости можно считать движением
идеальной жидкости.
В дальнейшем теория поrраничноrо слоя
быстро развивалась и превратилась в широ
кую ветвь аэроrндромеханики, имеющую
большие практические применения, Эта теория
Х' была затем распространена на случай сжимае
мой жидкости и для больших чисел Рейнольд
са, коrда движение в слое становится турбу
лентным. Теория поrраничноrо слоя важна
для задач приема слабых акустических сиrна
лов приемниками звука, установленными на
движущихся или обтекаемых потоком по
верхностях; пульсации давления при обте
кании служат источниками существенных
помех,
На рис. 1.3 дана условная схема обтекания тонкой пластинки по
током несжимаемой жидкост.и, направленным по оси х при малых чис
лах Re. Рассматривая порядки членов в уравнении HaBьe CTOKca
(2.6), для плоской задачи при {==о можно упростить эти уравнения.
Так, из физических соображениЙ следует считать, что скорость Te
Чения 'о с изменением у меняется быстро, а с изменением х зна-
чительно медленнее, Можно считать далее, что если длина пластин
ки равна 1 и толщинапоrраничноrо слоя б, то 8<5f;,1. Используя эти
обстоятельства, а также тот факт, что при у==О и O, т. е. что и у
мало в слое, и принимая во внимание уравнение непрерывности
для стационарноrо обтекания, Коrда av/at ==о, членом д;2и/дх 2 можно
пренебречь по сравнению с друrими членами. НелинеЙные инер
ционные члены вида иди/дх имеют порядок v 2 /1, а вязкие члены
порядок VV/{j2. TaKoro рода оценки дают возможность сформулиро
вать основные уравнения теории поrраничноrо слоя, которые мы
здесь не приводим.
Отношение сил вязкости к нелинейным силам инерции в поrра-
ничном слое, соrлаСhО проведенным оценкам, будет
Рис. 1.3. Поrраничный
слой при обтекании
пластинки аЬ потоком
со скоростью V.
I f === ( ) 2:= R (+) 2 .
(5.4)
Прандтль высказал rипотезу, которая далее получила подтвержде
ние, что в поrраничном слое силы Инерции имеют тот же порядок
величины, что и силы вязкости, Эта rипотеза сразу же позволила
оценить порядок толщины поrраничноrо слоя, Действительно, если
24
Rе 1(lIб)3"" 1, то
б"" l/V Re . (5,5)
Этой формулой часто приходится пользоваться для получения
оценки величины б.
6. ВОЛНbI на поверхности жидкости
Любое локальное нарушение rоризонтальности поверхности
жидкости приводит К появлению волн, которые распространяются
по поверхности и быстро затухают с rлубиноЙ. Возникновение волн
происходит из-за cOBMecTHnro действия силы тяжести и силы инер
ции (сравитационные сuдродuнамuческuе волны) или силы поверх
HocTHoro натяжения и силы инерции (капиллярные волны).
Приведем ряд резулыатоl3 по rИДРО)ТJrнамике поверхностноrо
волнения ЖИДI(ОСТИ, которые понадобятся нам в дальнейшем [1, 2
(ч, 2), 7 10]. Можно существенно уrrрnстить задачу, если считать
жидкость идеальной; учет диссипат-rии необходим rлаВНЫ:\1 образом
для капиллярных и коротких rравитационных волн.
Считая смещения частиц жидкости малыми, можно оrраничиться
линейной задачей и пренебречь в уравнении Эйлера нетrнейным чле-
ном ('lIV)V, что соответствует малости амплитуды волны по cpaBHe
нию с ее длиной 'л. Тоrда для несжимаемой жидкости волновое дви-
жение на ее поверхности без учета сил поверхностноrо натяжения
определяется таI(ОЙ сиrтеМOIUI уравнений для 110теНIщала (Р (напом
пим, что 'lI \ep) [11:
( . (1'1'
GZ
\,2(p (),
I I. д 3 (р \ ()
Jt2 i .
g . ., =0
(6,1 )
(6.2)
(ось z направлена вертикально вверх и z. O соответствует непоз?vlУ
щенной поверхности жидкости).
Для неоrраниченной поверхности жидкости, rлубина которой
значительно больше длины волны, можно искать решение задачи
в виде распространяющейся n положительном направлении Х и за
тухающей с rлубиной z плоской неОДНОРОi!НОЙ волны:
ер ==о cos (kx (j)t) f (z),
rде ш==о2лf частота волны и k (j),'сф=с..2:тт (/ волновое число,
[де Сф фазовая скорость. Подставляя это значение IIО1енциала
в уравнение (6.1), а также учитывая, что решения имеют смысл для
2<0, получаем выражение для потенциала:
ер А ехр (kz) cos (kx (f)t),
(6.3)
а удовлетворяя rраничному условию на поверхности жидкости (6,2)
дисперсионное уравнение
(j)2 == kg.
(6.4)
25
Таким образом, rрупп,)вая скорость распространения rравитацион-
ной волны
C rp =-" a(f)/ak. == (l/2)V g/k ,
тоrда как фазовая скорость такой волны
Сф =-" V g/k .
Как видно, rравитационные волны обладают дисперсией; с увели
чением длины волны их фазовая скорость Сф растет,
11HTepeceH вопрос о том, каково распределение скоростей и х и
и , частиц жидкости в волне; оно находится дифференцированием
потенuиала (6.3) по х и z.
Рассмотрение показывает, что частицы жидкости в волне опи
сывают движение приблизительно по окружности (BoKpyr своих
равновесных точек х о ' 20)' радиус которых
экспоненциально спадает с rлубиной,
На r,ТIубине, равноЙ одной длине волны,
ее амплитуда примерно в 535 раз MeHЬ
ше, чем вблизи поверхности, Приведен-
ные результаты относились к волнам на
rлубокоЙ воде, коrда л h, rде h rлу-
бина жидкости. Если имеет место проти
CA1 1 воположный случай (например, волны
tlJ JIJ распространяются в канале конечноЙ,
но малой rлубины), то
IJ,J IJ,Z
Л, CN
[,'ф, си/с
5IJ
1IJ
2IJ
IJ
1<7 2 1
10
IJ,S
Рис. 1 А. ;J,IIСIIСрСНОJlная кри',
вая для rраВlIтационно'ка
пиллярных волн на поверх
ности r лубокой воды в об
ласти, rде существенны и
g, и СТ.
(6,5)
(6.6)
Сф =-" v gh,
(6,7)
Как видно, такие волны ДIIсперсиеЙ не
обл адают.
С учетом капиллярноЙ силы Лапласа,
обусловленной поверхностным натяже-
нием а,
ы2 == (а/р) kз,
(6.8)
т, е., в отличие от rравитационных, скорость капиллярных волн
растет с уменьшением длины волны. Совместное действие силы тя-
жести и силы поверхностноrо натяжения определяется таким дис
перС!lОНIIЫМ уравнением (rлубокая вода):
ы2 == gk + (а/р) k 3 , (6,9)
На рис. 1.4 показана зависимость фазовой скорости распростране
ния волн на поверхности жидкости от ДЛllНы волны для воды соrлас-
но выражению (6.9), ИЗ этоrо рисунка видно, что при 1.,==1,73 см
имеет место минимуы скорости поверхностных волн, являющихся
смешанными GрШЗllтat{ИОНliO lшпиллярньutu волнами..
Приведенные результаты относились к одномерным линейным
волнам в отсутствие диссипации. Кроме Toro, считалось, что
волны реrулярные и распространяются в одном направлении. Вол-
ны, возникающие при движении корабля в спокойной воде или
при подходе к мелкому береrу, действительно представляют собой
26
реrулярные возмущения. Волны же на поверхности ЖИдкости, воз.
никающие под действием ветра, преимущественно случаЙные
они движутся в разных направлениях и имеют разные частоты и
амплитуды; именно такую картину мы наблюдаем, находясь на
корабле в открытом море в ветренную поrоду,
Затухание rравитационных волн с длинами волн более метра
мало, но оно все же значительно больше, чем это следует из линей
ной теории. Это расхождение, очевидно, вызвано процессами, свя
занными с нелинейностью при распространении rравитацнонных
и капиллярных волн. Так, если одиночная волна распространяется
на мелкой воде с фазовой скоростью сф V gh , то такая волна не
обладает дисперсией. [е профиль по мере распространения CTaHO
вится круче блаrодаря тому, Что верхние частицы среды, дЛЯ KOTO
рых rлубина h БОJIьше, чем для нижних частиц, будут двиrаться с
большеЙ скоростью, соrласно (6.7), и волна начнет захлестываться;
при подходе к береrу волна обрушивается на Hero. Эффект захле
стывания усиливается еще и потому, Что при уменьшении rлубины
h возрастает амплитуда волны s: по закону сохранения потока энер
rии плотность энерrии возрастает из за у;леньшения поперечноrо
сечения слоя воды. С ростом же S нелинейные эффекты проявляют
ся еще сильнее, Процесс «укручен ия» волн при их распространении
происходит и на rлубокой воде вследствие неЛlIнейности уравнений
движения. Теория нелинейных волн на поверхности жидкости полу
чила большое развитие в последнее время, хотя первые работы в
этом направлении были сделаны еще в конце прошлоrо века.
Если имеется несколько волн, они нелинейно взаимодействуют
друr с друrоМ; принцип суперпозиции для волн конечной амплиту-
ды уже не соблюдается, Условия нелинейноrо взаимодействия rpa
витационных волн, блаrодаря их -дисперсионным свойствам, отли
Чаются интереснымИ особенностями, на которых ыы здесь не имеем
возможности остановиться, Отметим лишь, что реально сущест-
вующее взаимодействие случайных волн конечнОй амплитуды в
принципе объясняет значительно большее затухание BO,ТIH на по
верхности, чем это предсказывает линеЙная теория. Действует
механизм поrлощения за счет нелинейноrо взаимодействия; энер
rия из области малых волновых чисел (длинные волны) перекачи
вается в области все меньших длин волн и, HaKOHeц, в капилляр
ную область спектра, rде она в конечном счете диссипируется за
счет вязкости, переходя в тепло (11].
в rл, 3 мы будем иметь дело с нелинейными звуковыми волнами
и еще вернемся к вопросам взаимодействия волн на поверхности
жидкости,
7. Турбулентное движение жидкости. Закон
«двух третей»
При достаточно больших числах Рейнольдса движение жидкости
перестает быть ламинарным; та-к в трубах с rладкими стенками ла
минарное движение переходит в турбулентное при числах Re"-' 103.
27
В этом движении rидродинамические параметры 'О, р, р, т начинают
флуктуировать около С130ИХ средних значений, возникает переме
шивание жидкости li ее течеНllе ПРllобретает случайный характер.
Движение воздуха в атмосфере и воды в океане, коrда числа Рей
lIольдса велики (а они MorYT достиrать в определенных условиях
108), практически всеrда турбулентно. В технических задачах аэро
и rIlлромеханики чрезвычаЙно часто приходится встречаться с Ta
КИМ движением; числа Re и здесь MorYT достиrать значений 1 O
106, По этой причине исследованию турБУJlеНТНОСТII уделялось Bcer
да большое внимание. Однако хотя турбулентное движение, начи
ная с работ Рейнольдса, изучается 01(0,110 столетия и к настоящему
времени мы уже MHoro знаем об особенностях и закономерностях
этоrо движенил, нельзя еще сказать, что есть полное понимание
3Toro сложноrо физическоrо явления.
Далее нам придется рассматривать (rл. 7) задачи о распростра
нении звука в турбулентной среде, поэтому остановимся кратко на
основных современных представлениях о турбулентном движении
жидкости.
Вопрос о возникновении и раЗБИТИИ турбулентноrо движения
еще недостаточно выяснен, хотя несомненно, что он связан с Heyc
тойчивостью течения при больших числах Re из-за нелинеЙНОСТII
уравнений rидродинамики; на этом мы кратко остаНОВIIМСЯ ниже.
Для нас, однако, при изучении распространения волн в турбулент
пой среде большее значение будут иметь сведения об уже развитом,
установившемся турбулентном потоке, ero внутренней структуре
и динамических законш,;ерностях.
Большой успех в современных представлениях об уже развитом
турбулентном течении был достиrнут в 1941 r. А. Н. Колмоrоровым
и А, 1\1. Обуховым, которым принадлежит заслуrа создания общей
схемы механизма TaKoro турбулентноrо потока при больших числах
Рейнольдса, выяснения ero внутренней структуры и целоrо ряда
статистических закономерностей [12 14]. С тех пор развитие CTa
тистической теории турбулентности и связанных с ней эксперимен
1'013 привело к ряду существенных результатов, Подробное изложе-
ние современной статистической теории турбулентности и ее экспе
риментальноrо исследования дано в работах [l5 20]. Эта теория
оказалась важной для проблемы «турбулентность и волны» как для
распространения акустических волн в атмосфере и море, так и для
распространения электромаrнитных волн в атмосфере, ионосфере
и плазме. Здесь :vlbI оrраничимся кратким изложением лишь самых
основных сведений об этой теории, необходимых нам в дальнейшем.
В 1920 r, анrлийский rидромеханик и метеоролоr Л. Ф. РИ
чардсон высказал плодотворную rипотезу, которую называют rипо
тезой «измельчения» турбулентности, Он предположил, что в слу
чае атмосферной турбулентности, при движении больших масс B03
духа, по какой либо причине, например из за шероховатости по-
верхности, поток становится неустойчивым, образуются большие
пульсации скорости или вихри. Эти вихри черпают свою энерrию
из энерrии Bcero потока в целом, Характерные размеры этих вихрей
23
L TaKorO же масштаба, как и масштаб caMoro потока (внешнии мас-
штаб турбулентности), Но при достаточно больших масштабах дви
жения II скоростях потока эти вrrхри сами становятся неустойчивы
ми и распадаются на более мелкие вихри масштабов 1; числа Рей
нольдса для таких вихреЙ Rel vlliv, rде и l пульсании их ско-
рости, велики и они в свою очередь распадаются на более мелкие.
Этот процесс «измельчения» турбулентных неоднородностей ПрОДОk
жается все дальше и дальше: энерrия крупных вихрей, поступая
из энерrии потока, передается все более мелким в ихрям, впЛотЬ
до самых мелких, имеющих внутренниЙ масштаб [, коrда начи-
нает существенную роль иrрать вязкость ЖИДIЮСТИ (числа Re7 для
таких вихрей малы (Rel :J), движение их устойчиво). Энерrия
наименьших возможных вихрей превращается в тепло.
Эта rипотеза Ричардсона получила развитие в работах А. Н, К:ол
MoropOBa и ero школы.
В инерционной области масштабов пульсациЙ (L<I<L) можно
считать, Что вязкость не иrрает роли, энерrия просто перетекает
от больших масштабов к меньшим и диссипация энерrии единицы
объема жидкости в единицу времени е [Дж/(м 3 ,с)] есть некоторая
функция только изменения средней скорости и l на расстояниях
порядка 1, caMoro масштаба 1 и плотности р, т, е.
e e(vl' 1, р).
(7.1)
Из трех величин V l , 1 и Р можно составить только одну комбинацию,
имеющую размерrrость е:
8"'-'vp/l.
(7.2)
ИЗ этоrо соотношення можно оценить порядок изменения средней
скорости турбулентноrо движения на расстоянии порядка 1:
и l "'-' (el/p)1/3. (7,3)
Поскольку в рассматриваемом инерционном спектральном интерва
ле вихрей, начнная с внешнеrо масштаба L и кончая внутренним
масштабом 1 (rде определяющую роль иrрает вязкость), величина е
постоянна, то
и l === C/ 1 / 3 ,
(7,4)
rде С постоянная, которая для условий атмосферной турбулент-
ности и турбулентности в аэродинамической трубе (за решеткой)
имеет порядок 1 O l И растет с ростом скорости потО!,а и, Среднее
квадратичное разности скоростей в точках 1 и 2 (или так Ha3ЫBae
мая структурная функция Dv) в турбулентном потоке будет, Ta
ким образом,
Dv === (v 1 и2)2 == С 2 Т 2 / 3 , (7.5)
rде r расстояние между точками наблюдения 1 и 2. Это так на-
зьшаемый закон двух третей Колмоrорова Обухова (А. М, Обу
хов пришел к формулировке TaKoro закона из спектральных пред-
29
tтавлений), Следует заметlпь, Что к такому же закону поздl-Iее Прll
шли также Л. Онзаrер, К. ВаЙцзэкер I1 В. rеЙзенберr,
в проведенных рассуждениях, основанных насоображениях по-
добия и размерностей, предполаrается, что поток в целом не OKa
зывает ориентирующеrо влияния на вихри: поэтому движение вих
рей в инерционной подобласти спектра пульсаций можно прибли-
женно считать локально однородным и изотропным, о чем будет
идти речь также в rл. 7. По этой причине статистическую теорию
турбулентности называют теориеЙ локально изотропной турбу
лентности.
Закон «двух третей» относится I( турбулентному полю пульса-
ций, т. е. к векторному случаЙному по/по, и, вообще rоворя, СЛС
дует уточнить, с какими компонентами v в (7.5) мы имеем дело.
Пульсации температуры, которые также имеются в динамичес
ком турбулентном потоке (температурные неоднородности), пере-
мешиваются пульсациями поля СI(оростей, Для скалярноrо темпера-
TypHoro поля пульсаций также действует механизм измельчения
неоднородностей пульсациямп поля скоростей; размер наи:\!еньших
температурных неоднородностеЙ оrраничивается деЙствием тепло-
проводности, 'подобно тому KaI( в поле пульсаций скоростей 1\ШНИ
мальный l\тасштаб вихрей определяется вязкостью.
Для температурноrо поля пульсаций в динамическом потоке
А. М, Обуховым был получен закон «двух третей», иМеющий вид,
аналоrичный (7,5):
D T ==: (Т 1 Т 2)2 == В 2 r 2!з, (7.6)
rде В [К/см 1 / З ] постоянная, зависящая от скорости и.
В интервале внутренних масштабов {(этот интервал называют
интервалом равновесия) величина е будет функцией не только Vl,
( р, но и кинематической вязкости v [M 2 /CJ:
e==e(v7, р, Т, ")'
(7.7)
Тоrда единственной комбинацией, имеющей размерность [Дж/(м З 'с)],
будет такое выражение для е:
2 /
е,....,.. vP V l [2,
Соответственно
(7.8)
Dv == (Vl V2)2 == Ar 2 , (7.9)
rде А ==const, т, е. в этом случае имеет место квадратичная зависи-
мость Dv от ( (закон ТЭЙЛора) ,
Сам внутренний масштаб турбулентности [ можно оценить из
сООтношеНИЯ (7.4), считая, что (7.4) справедливо вплоть До [,....,..[
и условия Re7.......1:
[....... L Re!. з/4.
(7.10)
Полная картина поведения структурной функции поля скоростей в
зависимости от расстояния r между точками наблюдения изображе-
30
на на рис. 1.5. При малых масштабах пульсаций скорости, соот-
ветствуЮщих внутреннему масштабу Z: структурная функция D'V
подчиняется квадратичному закону Тэйлора D'V......r2 (интервал paB
новесия). При увеличении r функция DfJ подчиняется закону
«двух третей» (инерционный инТер-
вал; ero называют также инер-
ционной подобластью спектра пуль
саций); при дальнейшем увеличе-
нии {, коrда r......L, исходные поло-
жения перестают быть справедли
выми.
Отметим, что закон «двух тре-
тей» имеет место не только для Рис. 1.5. Структурная функция по
пульсаций поля скоростей и поля ля скоростей,
пульсаций температуры (рассмат-
риваемой как пассивная примесь), но также для пульсаций влаж
ности е, также рассма триваем ой как пассивная примесь *):
(e 1 e2)2 == const. {2/3;
B" ,*
r
(7.11 )
для пульсаций давления
(Pl Р2)2 == const. (4/3.
(7,12)
Таковы некоторые существенные для нас выводы, которые получе-
ны на основании rипотезы Ричардсона и соображений теории подо
бия и размерности или из спектральных представлений.
В законе «двух третей» следует обратить внимание на то, что
в нем берется среднее квадратичное разности скоростей в двух
точках потока, или так называемая «структурная функция» поля
скоростей. В этом заложен rлубокий смысл.
Если производить измерения (затIСЬ) пульсаций скорости или
Тбшературы в одной точке потока, то крупные неоднородности
будут иrрать большую роль, чем мелкие, и результаты ИЗ/о.1ерениЙ бу-
дут существенно зависеть от времени, в течение KOToporo эти изМе-
рения производятся. Эта трудность отпадает, если производить из
мерения разности скоростей в двух относительно близких точках
потока, т. е. следить за относительным движением двух близких
элементов потока, На эту раЗlIОСТЬ не будут влиять крупные вихри,
размер которых rораздо БО,ТIьше, чем расстояние между этими ДBY
мя точками.
В отличие от кинетической теории rазов, коrда можно в первом
приближении считать, что движение каждой молекулы не зависит
от молеку.'I, находящихся в непосредственноЙ близости от нее, в
турбулентном потоке де.'IО обстоит иначе. Соседние элементы жиk
кости имеют тенденцию принять то же значение скорости, что и
рассматриваемый элемент, если только расстояние между ними Ma
ло. Если рассматривать турбулентный поток как наложение пуль-
*) Влажность е и давление р имеют значение для проблемы распространения
в атмосфере радИОВОЛН и света (rл. 7).
31
саций (вихрей) различных масштабов, то расстояние между двумя.
близкими элеМентами будет сначала изменяться блаrодаря только
наименьшим вихрям. Крупные вихри будут просто переносить pac
сматриваемую пару точек (элементов) как целое, не стремясь их
разделить, Но как только расстояние между элементами жидкости
увеличится, в добавление к мелким в иrру вступают более крупные
вихри. Поэтому в турбулентном потоке ЖИJl,кости важным является
не столько перемещение caMoro элемента жидкости, сколько изме
нение ero расстояния от соседних элементов.
После Toro как мы познакомились с основными представлениями
о внутренней структуре разпитоrо турбулентноrо потока, вернемся
к вопросу о возникновении турбулентности, т. е. переходу от лами
HapHoro движения к турбулентному (в совре;\1енной литературе для
этоrо явления употреб,тяют сокращенный тсрмин «перехощ)).
Нелинейный процесс обмена энерrиеЙ между различными CTe
пенями свободы, по существу заложенныЙ в юдеЛИ каскадноrо
процесса преобразования энерrии Ричардсона и усовершенствован
ный А. Н. Колмоrоровым, привел Л. Д. Ландау к модели, в которой
этот переход связьrвался с возбуждением в rИДРОДИlIамической ('исте
ме все возрастающеrо числа степеней свободы. В такой интерпрета
ции перехода имеются определенные трудности. Шаr вперед в нх
преодолении был сделан А. М. Обуховым с сотрудниками [21, 22]
и А. С. Мониным [23] на основе теоретическоrо и экспеРliменталь
Horo исследования простейшей системы, обладающей общими свой
ствами уравнений rидродинамики (Iшадратичная неJlинейность и
законы сохранения). ТакоЙ системой является система с тремя CTe
пенями свободы (триплет), уравнения движения котороЙ совпадают
в соответствующей системе координат с уравнениями Эйлера в Teo
рии rироскопа. fидродинамической интерпретацией триплета может
служить «жидкое вращение)) в несжимаемой жидкости внутри Tpex
oCHoro эллипсоида, в котором поле скоростей линейно по коорди-
натам.
Элементарный механизм нелинейноrо преобразования энерrии
между различными степенями свободы в таком триплете, который
проверен эксперимента.71ЬНО, можно положить в основу для модели-
рования более сложных систем (каскад триплетов) для объяснения
каскадноrо процесса преобразоваНИ5I энерrни по cxe:vlc Ричардсо
на Колмоrорова Ландау. Можно надеяться, что на этом ПУТII
будут достиrнуты определенные успехи в ближаЙшеii перспсктиве.
Друrой путь в объяснеНИII перехода, развиваемыЙ в последнее
время, связан с тем, что стохастичность возможна ие только в Ис
ключительно сложных динамических системах, в которых абсолют
но точные начальные условия реально не :,юrут быть заданы, и по
этому возникает потребность в статистическом описании. Стало
ясно, что эти сложившиеС5I представления о природе хаоса не Bcer
да верны, Хаотическое поведение было обнаружено и в rораздо
более простых системах, в том числе в системах, описываем'ых Bcero
тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями первоrо
порядка [23, 24J. Несмотря на то, что это открытие сразу же стиму
32
лировало ряд исслеДований в области математической теории слож
Horo повеДения простых Динамических систем, лишь с сереДИНЫ се-
мИДесятых rодов оно привлекло внимание широкоrо Kpyra физи-
ков, механиков, биолоrов. Примерно в это же время хаос в простых
.системах был сопоставлен с проблемой возникновения турбулент-
ности. Далее стохастические автоколебания были обнаружены в са-
мых различных, порой весьма неожиданных областях, а их матема-
тический образ странный аттрактор (strange attractor) к Ha
стоящему времени занял заметное место в J<ачественной теориИ Ди-
намических СИстем наряду с широко известными аттракторами
состояниями равновесия и преДельными циклами. В какой мере это
направление будет способствовать развитию теории перехода, П<)-
Fil еще не вполне ясно,
fлава2
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В rАЗАХ И жидкостях.
РЕЛАКСАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
1. Звуковые волны бесконечно малой амплитуды
в идеальной среде
в этой rлаве мы рассмотрим распространение звуковых волн
бесконечно малой амплитуды в rазах и жидкостях. Звуковыми или
акустическими волнами называются волны, существование KOTO
рых обусловлено упруrими силами, возникающими при деформиро
вани и среды. Бесконечно малыми принято называть возмущения,
для которых с высокой степенью точности справедлив принцип cy
перпозиции. В классической акустике изучалось распространение
именно таких возмущений. Соrласно современной классификации
эти вопросы составляют предмет линейной акустики. В приближе
нии линейной акустики СКОрОСl'Ь распространения любоrо возмуще-
ния не зависит от величины этоrо возмущения.
Напомним основные соотношения линейной акустики покоя
щейся среды. Звуковая волна сжатия и разрежения характеризуется
рядом изменяющихся во времени и пространстве параметров. Это
амплитуда избыточноrо, или звуковО20 давления р' ==С P Po' rде Р
давление в возмущенной среде, а Ро среднее или равновесное
давление. Друrой величиной, характеризующей звук, является KO
лебательная скорость частиц жидкости или rаза v. Отметим, что
колебательная скорость в большинстве рассматриваемых в акусти
ке задач значительно меньше скорости распространения возмуще
ний С (скорости звука), Даже для очень снльноrо звука шума pe
активноrо самолета v'" 1 O lM/C, в то время как скорость звука
в воздухе с",340 м/с. Поэтому акустическое число Маха MaK==cv/c
обычно MHoro меньше еДИНИЦLI, Звуковая волна сопровождается
также отклонением плотности р' ==cP PD от ее paBHoBecHoro значе-
ния Р о '
В этом параrрафе мы будем иметь дело с идеальной средоЙ, для
котороЙ спраВедлиВЫ уравнения rидродинамики идеальной жидкос
ти (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.11). Подставляя выражения р==ро+р',
+ ' б ,. ,. 2
Р==СРо Р И v в эти уравнения и прене реrая членами "'р , Р , v.
и ВЫШе, получим
a'D 1, др' .
дТ== fJ; Vp, у+Ро dIV v=oO,
р' == :Р р' ==С у..&.. р' == с2р'.
Р Ро (1.1 )
34
В акустике идеальных rазов и жидкостеJ'i rot 'lI-:-с=(), И поэтому можно
ввести скалярный потенциал скорости 'lI===v<P. Тоrда первые два
уравнения (1.1) запишутся в виде
p'== poJ<p/Jt, Jp'/ Jt+POV2<p===O, (1.2)
откуда, принимая во внимание третье уравнение (1.1), найдем BOk
новое уравнение для потенциала скоростей:
J 2 (p/Jt 2 c2y2<p === О, (1,3)
rде по (1.1) с,.." V УРо/Ро ' Волновому уравнению вида (1.3) YДOB
летворяют также и друrие акустические величины р', 'lI и р'.
Простейшим видом волновоrо движения является плоская волна:
возмущение среды в этом случае ОДlIомерно, II волновое уравнение
принимает вид
J2rp/Jt2 c2 д 2 <р/дх 2 О.
(1.4)
Ero решение представляет собой две плоские волны произвольноrо
вида, распространяющиеся в положительном и отрицательном Ha
правлениях:
<р =='111 (x ct) +'112 (x+ct).
(1.5)
Форма этих волн со временем не изменяется, т. е. волны являются
стационарными. Из решения (1.5) следует, что константа с имеет
смысл скорости распространения этих волн, т, е. скорости звука.
Для плоской монохроматической волны, распространяющейся
в положительном направлении оси х, примем
<р (х, t) === <Ро ехр [i (шt kx)],
( 1.6)
rде k===ш/с===2л / л 60лновое число, л длина вОЛНbl. Из (1.2) по
лучаем значение звуковоrо давления:
р' === Ро J<p/Jt == ipo ш<р == p ехр [i (шt kх)], (1.7)
rде р === iрош<ро амплитуда звуковоrо давления.
Для колебательной (акустической) скорости получим
'lI == у<р === д(р/дх === - ik<p === V o ехр [i(шt kх)],
(1.8)
Из (1.7) и
rде vo=== ik<po аМШlИтуда колебательной скорости,
(1.8) видим, что р' и v СОf3J1адают по фазе н что
v === р' /рос.
(1.9)
Мы получили основное соотношение для плоской rармонической
волны, связывающее между собой акустические величины р', v
с акустически,и соnротивление,и среды рос. Можно показать, что
соотношение (1.9) оказывается справедливым и для любой друrой
формы профиля волны бесконечно малой амплитуды, а не только
для волны rармоническоЙ. Хотя в действительности нет идеаЛЬНЫХ
плоских волн, формулой (1.9) приходится очень часто пользоваться
для проведения оценок или приближенных расчетов.
2"
35
Звуковое поле, создаваемое i1JIOCl<of! rармоl1ическоЙ волноЙ,
кроме параметров р', р', V, можно характеризовать также колеба
тельным смещением из положения равновесия . Если считать,
что V==V O sin «(J)t kx), то
..c= V dt "= vu(J) 1 cos (<ot kx) == vo<o 1 sin (<о! kx л)2), (1.1 О)
откуда следует, что отстает по фазе от v на л/2. Для ускорен:ия
имеем
дv/дt == <ov== <OV O cos (<ot kx) ==fUV o sin ((!)t kх+л/2), (1.11)
т, е, ускорение опережает v по фазе на л/2.
Для энерrеТl!ческой характеристики звуковоrо поля плоской
волны вводят понятие UHmeHcиBNoCmU звука 1 (средняя плотность
потока звуковоЙ энерrии), которая дается формулой
1 == p 2 /2р о с == cpov /2, (1.12)
или, используя эффективные значения Р фф == -( р,2 , Vэф ф == -( v 2 ,
имеем
J ,2 2
== Рэфф/РоС == СРоVэфф'
rДе чертой сверху обозначено среднее значение за период Т.
Приведем для справок одномерное волновое уравнение в лаr
ранжевых координатах (см. 1 rл. 1). Для баротропноrо движения
р==р (р) и, учитывая, что дp/дa===c др/да, получим
др д2 ( Щ ) 2
да === PoC да2 1 + да .
( 1. 13)
Из (1.9) следует
д2 2 ( Щ ) 2 д2
iJt2 сл 1 + да да 2 == О,
(1.14)
илп
д2 ( РСЛ ) 2 д2 == О
дt 2 Ро да 2 .
(1.15)
Это уравнение отличается от волновоrо уравнения в эйлеровых
координатах тем, что вместо с здесь присутствуют локальная CKO
рость звука с л и сжатие Р/Ро' В случае, если среда подчиняется
уравнению Пуассона, формула (1.14) преобразуется к виду
д2 2 ( 1 + Щ ) ('I'+ 1) д2 == О
Jt2 С да да2'
(1.16)
2. Скорость звука и поrлощение в rазах
и жидкостях
Остановимся сначала на определении скорости звука в rазах.
Формула для адиабатической скорости звука (лапласова скорость)
с == VYP7P *), х орошо оправдывающаяся на опыте, получена в
*) Индексы «О», обозначающие, что ДЛЯ величин р и р берутся их равновесные
зна'IеIIИЯ, для простоты будем опускать в тех случаях, коrда смысл р и рочевиден,
36
ПреДполОжеНии аДliабатичности процесса распространеr-tия. При
этом считается, что между участками сжатия и разрежения в волне
температура не успевает выравниваться.
В первом приближении значение с не зависит ни от частоты
звука, ни от ero амплитуды, хотя при определенных условиях такие
зависимости имеются; об этом подробно будет идти речь в 3 и
4 этой rлавы и в rл. 3. Зависимость скорости от температуры для
идеальных rазов можно найти, используя соотношение р/р == RT/ t,
откуда с=" V yRT/[t , с'" V T, rДе Т абсолютная температура,
R rазовая постоянная, а [! молекулярная масса. Для воз-
духа С возрастает примерно на 0,6 м/с при увеличении Т на 1°С;
значение с при нормальном атмосферном давлении и температуре оос
составляет с==3,33 .102 м/с. В рамках принятых предпо.'южений ско-
рость звука не зависит от давления, IIОСКОЛЬКУ в формулу для с дaB
ленпе и плотность входят в виде отношения р/р. Приведенная выше
формула для С получена феноменолоrически, на основе термодинами
ческоrо уравнения состояния rаза н уравнений rидродинамики; еще
раз подчеркнем, что она выведена при условии ИДеальности среды
и при числе Маха MaK I, Отметим, что из кинетической теории ra
зов следует, что v",lv T , Т. е, что кинематическая вязкость имеет
порядок произведения длины волны свободноrо пробеrа молекул
1 на среднюю скорость их тепловоrо движения V T . Поскольку ско-
рость звука имеет величину порядка средней скорости движения
молекул rаза C"'V T , то v==lvT"'lc. Это соотношение представляет
собоЙ «акустическую» интерпретацию длины свободноrо пробеrа.
Естественно, что rоворить о распространении звука имеет смысл
только при I<л; при л",1 rидродинамические уравнения не допус-
кают осциллирующеrо решения и необходимо микроскопическое,
а не феноменолоrическое рассмотрение.
Вычисление С на микроскопическом уровне на основе кинетичес
кой теории проводилось мноrими авторами, с чем подробно можно
ознакомиться в [I, 2J. в случае одноатомноrо идеальноrо rаза (Kor
да взаимодействием молекул можно пренебречь) еще Лоренц [1]
на основе кинетическоrо уравнения Больцмана нашел уравнение
для скорости распространения малоrо возмущения функции pac
пределения в первом приближении, оrраничиваясь членами первоrо
порядка по lIa (1 длина свободноrо пробеrа молекул rаза и а
расстояние, на котором плотность изменяется заметным образом).
При этом для скорости распространения этоrо возмущения им была
получена формула с 2 ===5/ з RТ/[t, что совпадает с выводами MaKpo
скопическоrо рассмотрения.
Даже для одноаТОМНоrо rаза теоретическое нахождение С пред-
ставляет собой сложную задачу, которая решается лишь приближен-
Но. При нахождении С для двухаТОМНоrо rаза на основе rазокинети-
ческоrо рассмотрения следует пользоваться модельным представле-
НИем. При решении задач по теоретическому вычислению С нужно,
кроме учета тепловоrо движения, сделать определенные предПоло-
жения о характере столкновений молекул, учесть распределение
37
скоростей в тепловом движении, нецентральные удары, вращение
молекул при соударениях и т. д. TaKoro рода задачи относятся к
молекулярной и статистической физике; по этим вопросам имеется
обширная литература [1, 21.
ЖИДКОСТИ занимают промеЖУТОЧное положение между тверды-
ми телами и rазами, обладая, в отличие от твердых тел, лишь ближ
ним порядком. Теория жидкоrо состояния не разработана в такой
степени, как для rазов и твердых тел (кристаллов). По этой причи
не теоретические расчеты скорости звука в жидкостях, основанные
на молекуЛярных представлениях, оказываются в еще меньшей CTe
пени обоснованными, чем для реальных rазов, Имеются только Эl\'!
пирические и полуэмпирические выражения для с в жидкостях,
дающие связь между с и такими макроскопическими параметрами,
как р, Т.
Представляет интерес нахождение с для смесеЙ жидкостей и опре
деление с для растворов. Все эти вопросы достаточно подробно из
ложены в моноrрафиях по молекулярной акустике [1 3].
Поскольку скорость звука с определяется структурой среды и
взаимодействием между молекулами, измерение с дает существен
ные сведения о равновесной струКтуре rазов или жидкостей. Изме
рения с представляют собой важный метод опредеЛеНИЯ термодина
мИческих веЛИЧИН адиабатической ( aA (Jp/Jp)s/p == 1/рс 2 ) И изо
термической ( из==У аА) сжимаемостей (в посЛеднем случае при
дополнительном измерении теплоемкости при постоянном объеме C ,).
Отметим также, что по данным измерений с оказывается воз
можным судить О составе rазовых смесей (ультразвуковые rазоана
лизаторы) и смесей жидкостеЙ, в том ЧИСЛе растворов, При нали
чии потоков смесей точность измерения с понижается блаrодаря TYP
булентному характеру движения. Однако определение флуктуаций
скорости звука можно использовать для изучения турбулентноrо
движения, о чем будет, в частности, идти речь в rл. 7.
По мере распространения звуковой волны амплитуда ее умень-
шается. Это связано с рядом причин: с убылью плотноСти энерrии
волны вследствие увеличения поверхности, занимаеМой фронтом
волны (сферические, цилиндрические и вообще расходящиеся вол
ны), поrлощением энерrии волны вследствие диссипативных про
цессов, вызываемых вязкостью и теплопроводностью среды, pac
сеянием на неоднородНОСТЯХ. Для плоской беrущей волны убыль
ее амплитуды из за процессов диссипации характеризуется коэффи-
циен.том пО2лощен.ия а, который показывает, на каком расстоянии
амплитуда волны (например, звуковое давление р') убывает в е раз,
т. е.
р' 0== p ехр ( ax).
(2.1 )
Относительная убыль амплитуды на единицу расстояния будет
а == p-' l dp' jdx (2.2)
(амплитудный пространственный коэффициент поrлощения). Вели
чина а может быть определена также как убыль энерrии волны,
38
распространяющейся со скоростью с за единицу времени:
а == I Е " (2cE) 1 == I EI' (2I) 1,
(2.3)
rде Е плотность энерrии волны, поrлощаемой за единицу Bpe
мени, Е pv /2 полная энер2UЯ звуковой волны, усредненная за
период времени Т; двойка в знаменателе (2.3) появляется из за
квадратичной зависимости энерrии от амплитуды.
Для Toro чтобы определить, от каких параметров среды и волны
зависит коэффициент поrлощения а, следует учесть все диссипатив-
ные проuессы, происходящие при распространении звука в среде
[4, 5]. При учете вязкости и теплопроводности в волновое ypaBHe
ние (1.3) должен быть добавлен диссипативный член. Для ero Ha
хождения мы должны использовать уравнения rидродинамики вяз-
кой теплопроводящей жидкости. Выпишем эти уравнения для слу
чая распространения звука, коrда скорость v есть акустическая
,2 ,2 2 б
скорость и коrда квадратичными членами р , р , v можно прене
речь, т, е. будем рассматривать линейный случай,
Эти уравнения, соrласно (1.2.1), (1.2.8) и уравнению состояния
р==р (р, 5), будут
== Vp + V2V + ( 11' + 11 ) Vvv,
at ро ро ро 3
др + d . О Т 'as Л Т '
7ft РО I V V == , ро о дl == XL1 ,
р' == ( ) s р' + ( : ) р 5' == с 2 р' + ( : ) р 5'.
(2.4)
Два последних уравнения можно свести к одному уравнению для
р', в которое, кроме члена с 2 р', войдет также член, определяемый
теплопроводностью Х. Воспользуемся тем, что Т'==(дТ/др)ор',
rде Т==То+Т', и, принимая во внимание уравнение (1.2) и то,
что v==Vf{!, получим, соrласно третьему уравнению системы (2.4),
для изменения (приращения) энтропии 5' соотношение
, х ( дТ ) d .
5 == T дР s IVV.
(2.5)
При подстановке 5' в четвертое уравнение системы (2.4) появится
необходимость вычислить коэффициент T 1(Jp/J5)p(JТlJp)s. Для ero
вычисления воспользуемся некоторыми теРМОДllнаМIIческими соот,
ношеШIЯМИ, справеДЛИВЫМII для Iщеальноrо rаза. Так, используя
уравнение состояния для идеальноrо rаза pV'='RTm/l,t, можно вы-
числить (Jp/J5)p==1,t lpR (JT/J5)p==pRT/C v l,t (здесь использовано ра-
венство (J5/JT)p==CvT 1). С друrой стороны, как известно из термо-
динамики, (JT/Jp)s===T (JV/JT)p/C p и так как (JV/JT)p==Rm/pl,t,
то (JT/Jp)s===TRm/Cppl,t. Используя эти соотношения, получаем
для р' (четвертое уравнение системы (2.4) с учетом равенства
Rm/'.J.===Cp Cv) выражение
р' === с 2 р' X (1/Cy l/С р ) div v.
(2.6)
;)9
Заметим, что имеется неI<оторая неПОСJIедовательность в наших
рассуждеНИЯХ занимаясь изучением влияния ВЯЗКОСти и тепЛО
проводности на поrлощение звука, мы, тем не менее, пользуемся со-
отношениями, которые справедЛИВЫ для идеальной среды. Исполь
зование этих соотношений возможно лишь при малом влиянии
вяЗКОСти и теплопроводности на распространение звука, т. е, коrда
поrлощение звука на расстоянии, равном длине волны Л, мало и
ал l. В большом числе акустических задач это условие выпол
няется.
Пользуясь полученным выражением (2.6) и считая по прежнему,
что rot 'lI==0, можно показать, что уравнение Навье Стокса при
мет вид
Ро д'll/дt == c 2 V'p' + bV 2 'l1,
rде
(2,7)
(2.8)
для потен
(2.9)
ь == 4/ з 'YJ + ч' + Х (l/Cv l/С р )'
из уравнений (2.4), (2.7) получим уравнение, которое
циаЛq скорости можно записать в виде
д 2 <р 2 2 Ь д 2 О
at2 C V ЧJ 'Ро"дl V ЧJ .
Это волновое уравнение описывает распространение волн беско-
нечно малой амплитуды в среде с диссипацией, но без учета диспер-
сии; диссипативный коэффициент Ь считается здесь не зависящим
от частоты,
Будем рассматривать случай плоской rармонической волны и
искать решение этоrо уравнения в виде ЧJ==ЧJоехр[i (wt kx)]. Под
ставляя это значение в (2.9), получим для волновоrо числа k сле
дующее выражение:
k==!:!!.. ( l i ) .
с 2р о с3
Полаrая k==kl ik2 и принимая во внимание, что
ехр [i (wt kx)] == ехр (iwt) ехр ( ikx),
ехр ( ikx) == ехр ( iklX) ехр ( k2X),
(2.10)
приходим К выводу, что величина k z , или мнимая часть волновоrо
числа k, I1редставлнет собой коэффициент ПОI'лощения волны. Та-
ким образом, получаем для волны, беrущей в положнтельном Ha
правлении х (принимая во внимание (1.7)),
р' == p ехр ( 2 :;З х) ехр [i (wt kx)], (2.11)
т. е. амплитуда звуковоrо давления р' для плоской волны убывает
е расстоянием х в соответствии с коэффициентом поrЛощения
Ьы 2 ы 2 [ 4 , ( 1 1 ) ]
а == 2рос2 == 2росЗ '3 'YJ + 'YJ + Х С v С f' .
4Q
(2, 12)
Подчеркнем, что коэффициент поrлощения пропорционален квад-
рату частоты звука и диссипативным коэффициентам '1'], '1']' их.
Впервые эта формула была получена Стоксом без учета теплопро-
водности х, влияние которой затем учел Кирхrоф. Хотя Стокс и
понимал роль и значение объемной вязкости '1']', тем не менее вклю-
чение ее в (2.8) впервые было сделано, по видимому, только Рэ-
леем [5J. Поэтому обычно формулой Стокеа КUРХ<Jофа называют
формулу для а. без учета 11':
(1)2 l 4 ( I 1 ) I
а. 2рос:! '3 Т] + х с v С р .
(2.13)
Выражение для а. получено нами на основе волновоrо ypaBHe
ния (2.9). Это же выражение для а. можно получить друrим путем,
используя уравнение (1.2.12). Для этоrо следует воспользоваться
известными термодинамическими соотношениями для прира-
щения температуры Т' в звуковой волне, распространяющейся в
жидкости СО скоростью с и имеющей колебательную скорость v:
т' == cvT/Cp (здесь ==(дV/дТ),/v коэффициент тепловоrо рас-
ширения), и выражением для разности теплоемкостей С p C v ==
==P 2C2CV/Cp. В случае плоской rармонической волны (v==
==vosin ((J)t kx)) E== Tos леrко находится, и поскольку E pv /2,
то с помощью TpeTbero уравнения (2.4), используя определение
коэффициента поrлощения (2.3), получаем формулу (2.12) [6].
При взrляде на формулу (2.12) или (2.13) возникает вопрос:
как получается, что при распространении плоской звуковой волны,
коrда, казалось бы, сдвиrовые напряжения отсутствуют, прояв-
ляется СДвиrовая вязкость? Дело здесь заключается в том, что в
плоской акустической волне нет чистой деформации BcecTopoHHero
сжатия. Сжатие происходит только по одной координате, вследст
вие чеrо отдельные элементы среды, кроме сжатия, испытывают
еще и сдвиrи. В результате и получается, что в компоненту тензора
вязких напряжений a x, которая определяет а. в случае плоской
продольной волны, в соответствии с формулой (1.2.4) входит сдви-
rовая вязкость (J х==(4/з'1']+'I']')дv/дх.
3. Дисперсия и поrлощение звука. Экспериментальные
исследования
Уже первая попытка провести экспериментальную проверку
формулы Стокса Кирхrофа для коэффициента поrлощения, cдe
ланная по предложению П. Н. Лебедева ero учеником Н. П. He
клепаевым в 1911 r. [7], показала, что для воздуха в диапазоне час
тот 120 4000 кfц поrлощение звука в два с лищним раза больше,
чем это следует из формулы (2.13). В 1925 r. Пирс [8] в США, ис-
пользуя разработанный им точный метод измерения сrюрости и
поrлощения ультразвука в rазах (известныIй ультразвуковой интер-
ферометр Пирса), обнаружил в уrлекислом rазе заметную диспер-
41
Сlfю звука и аномальное повеДение КОЭффIщиента поrлощения fJ за-
висимости от частоты.
С этоrо времени в большом количестве проводятся эксперимен
тальные и теоретические работы по исследованию дисперсии и поr-
лощения ультразвуковых волн в rазах, а затем и в жидкостях, сре-
ди которых следует отметить работы Кнезера [9] и Бикара [10],
К настоящему времени накопилось очень большое количество ра-
бот по измерению скорости и поrлощения ультразвука в rазах, в
смесях rазов, жидкостях, смесях различных жидкостей, растворах,
электролитах, проведенных при разных физических уСЛОВIIЯХ (TeM
пература, давление, плотность, фазовые переходы и т. д.), Резуль-
таты этих измерениЙ важны не только для изучения молеI<УЛЯРНЫХ
свойств rазов и жидкостей, но также широко используются в Tex
нике для контроля протекания различных технолоrических про
цессов (по изменению скорости и поrлощения звука). Методика
этих измерений хорошо отработана и изложена во мноrих учебни-
ках, поэтому мы не будем ее описывать, Отметим только, что на
ультразвуковых частотах современные импульсные, фазовые и в
особенности импульсно-фазовые методы позволяют получить OTHO
сительную ошибку f..c/c", 10 7 1O 8, а абсолютное значение с из
мерять с точностью '" 1 o 4 %, Аппаратурная точность может быть
выше, однако точность измерения скорости оrраничивается TPYk
ностью поддерживать неизменными физические свойства среды (TeM
пературу, плотность, однородность, отсутствие потоков и т. д,)
И неоднородностями акустическоrо поля; абсолютное значение а
в области ультразвуковых частот можно измер ять с ошибкой 2 5 %.
Трудности в определении коэффициента поrлощения звука по pe
зультатам измерений также состоят в необходимости детальноrо
учета неоднородности излучаемоrо акустическоrо поля, дифрак
ционных эффектов, неизменности физических свойств среды. Для
rазов измерения на частотах выше несколькихМfц (при нормальном
атмосферном давлении и комнатноЙ температуре) затруднены из за
очень большоrо поrлощения.
Чтобы иметь представление о порядке величин поrлощения,
приведем значения a/f2 для некоторых rазов и жидкостей при нор-
мальном атмосферном давлении и температуре 20 0 С в меrаrерцевом
диапазоне частот:
rазы I а/Р. I Жидкости a/f'.
I О 1з с'/см IO 17 с'/см
I
Воздух I 1,85 Вода 23
Водород 3,58 Ртуть 6
rелий 2,96 rлицерин 2500
Азот 1,35 Водород (Н 2 ) 5,6
Кислород (17 К. 44 мrц)
1,68 rелнн 231
(4 К, 15 мrц)
42
Заметим, что в жидкостях, как правило, поrлощение значитель
но меньше, чем в rазах (например, в воде а примерно в 1000 раз
меньше, чем в воздухе).
Измерения поrлощения звука а в rазах и жидкостях акустичес
кими методами в области ультразвуковых частот дают возможность,
соrласно формуле (2.12), определить объемную вязкость 11', если
известна сдвиrовая вязкость 11 (значение которой рассчитывается
или находится друrими, неакустическими методами) и известны па
раметры, соответствующие условиям измерениЙ, т. е. ш, р, С, %,
входящие в формулу для аА,
а. При этом в большом 5
числе случаев вклад % в а
для rазов имеет существен
ное значенпе, тоrда как для
неметаллических жидкос
тей вклад теплопроводнос-
ти в значение а не так Be
лик (примерно на порядок
меньше, чем вклад от влия-
ния 11 и 11'). Ультразвуко
вые измерения 11' по раз-
ности измеренноrо а и BЫ
численноrо по значениям 11
и IIараметров эксперимен
та, по существу, являются
единственным (косвенным)
методом измерения объем
ной вязкости. В отсутствие
релаксационных процессов
(см. ниже), значение 11 и
11' для мноrих простых
жидкостей примерно рав-
ны. Для одноатомных rазов
а эксп практически совпадает
со значением а==акл> вычисленным соrласно формуле (2,13), т. е. при
11' C О. Мноrочисленные измерения С и а в MHoroaToMHbIx rазах по-
казали, что экспериментальные значения а оказываются существен-
но большими, чем вычисленные по формуле Стокса Кирхrофа
(2,13), т. е. что имеется заметное, так называемое сверхстоксово
послощен.ие. Так, в СО 2 на частоте 300 кТ'ц было обнаружено резкое
повышение поrлощення а;::::;20а кд . Интересно, что вблизи этоЙ часто
ты наблюдалась заметная дисперсия скорости звука: в диапазоне
частот (1 2,8) .1 ОБ [Il С изменяется от с о ==258,9 м/с (значение COB
падает со значением, вычисленным по формуле Лапласа) до с оо ==
=== 271 м/с. На частотах '"'-' 106 [ц И выше величина поrлощения снова
совпадает со значением, которое дает классическая теория. Экспери
ментал ьные зависимости ал и С в rазе CC1 4 от частоты [11 J представ
лены на рис. 2,1. Отметим уже здесь, что на частоте, [де имеется
максимальная дисперсия, наблюдается и максимум поrлощения
/
/
k.. CI:f'5' '<>0
F 00
осУ
0000 00:)7
41 « «",)Л
// tr,лл,
(),О/ 8
10
с, м/с
ЛШ
1
J0 7
ш 8
ш 'о ;; rц
J0 8
а)
140
0000000
оосР
ooo
co JJ JAf/c
"1)'
о c", l1o,'Oд/c
!20
100
108
ш 7
ш 8
6)
108 ;; Л;
Рис. 2.1. Поrлощение (а) и скорость (6) зву-
ка в rазе CC1 4 при p 1 атм [11],
43
звука. Обратим внимание на то, что если скорость ЗВУI{а в указан-
ном диапазоне частот меняется примерно на 10%, то поrлощение
больше чем на порядок. В жидкостях, rде также имеется дисперсия
звука и аномальное, или сверхстоксово поrлощение, такое различие
в поведении с и а. оказывается еще более существенны f.
Здесь мы лишены ВОЗМОжности детально рассматривать весь or
ромный экспериментальный материал по измерению с и а. в rазах
при различных частотах и отсылаем читателя к имеющейся литера
туре по этому вопросу и з].
Один из первых результатов по IJзмерению скорости звука и п()
rлощения на ультразвуковых частотах в жидкостях, в которых бы-
ли зафиксированы дисперсия и аномальное поrлощение, помимо уrю
мянутой работы [10], содержится в статье [121. Была обнаружена
дисперсия ультразвука в уксусной кислоте и аномальное CBepx
стоксово поrлощение в таких орrанических жидкостях, как мура-
вьиная кислота, бензол, толуол.
Для маловязких жидкостей диапазон частот акустических волн,
в котор.ом можно исследовать с и а., в настоящее время простирается
до 10]0 [ц, т. е. в жидкостях мы можем прямыми акустическими Me
тодами изучать распространение пшерзвуковых волн. ДЛЯ ЭТОI'О
разработан целый ряд методов rенерации высокочастотноrо ультра
звука и rиперзвука, К числу таких методов принадлежит и так на-
зываемый метод Баранскоrо [13], в котором используется возбуж
дение и прием упруrих волн при помощи резонатора СВЧ колеба-
ний (в резонатор помещают торцы пьезоэлектрическоrо стержня).
Применяются также тонкие пьезоэлектрические и пьезополупровод
никовые пленки [14, 15].
Разумеется, вследствие сильноrо поrлощения звука даже в та-
ких маловязких жидкостях, как вода, спирты и т. д., при обычных
температурах частоты выше 109 [ц использовать уже трудно; изме-
рения приходится проводить на очень малых расстояниях (порядка
десятков сотен микрометров) и работать с достаточно интенсив
ными волнами,
Очень плодотворным для исследования распространении rипер-
звука оказался метод изучения тонкой структуры линии рэлеев
cKoro рассеяния света на дебаевских упруrих волнах в жидкости.
Эrот метод сыrрал большую роль в указанных исследованиях еще
до Toro, как развились прямые акустические методы изучения pac
пространения rиперзвука в жидкостях и твердых телах; он ПрОДОk
жает использоваться с применением лазеров и в настоящее время,
Л. И. Мандельштам [16] и независимо от Hero Л. Брюллюэн
[17] предсказали, что на тепловых флуктуациях плотности в жид-
кости (полаrая, что тепловое движение представляет собой супер
позицию упруrих или дебаевских волн) должна наблюдаться
тонкая структура рэлеевской линии рассеяния света; в нашей ЛИте-
ратуре этот эффект называют м.андельшmaм. брюллюэновскuм. рассея
нием. (МБР); подробнее об этом эффекте будет rовориться в rл. 13.
Это рассеяние света на неоднородНОСТЯХ плотности в силу Ma
лости длин световых волн').. и малости скорости звука по сравнению
44
со скоростью света можно рассматривать как ero отражение от
пространственных решеток движущихся со скоростью звука изме-
нениЙ плотности, которые образуются дебаевскими волнами. Обна
ружить можно только те рассеянные световые волны, для которых
выполняется известное условие БРЭ<J<Jа
2пл sin ((Pv/2) == Лев' (3.1)
rде СРр уrол между направлениями падающеЙ и рассеянной волн,
Л длина волны звука и п показатель преломления среды. По
скольку пространственные решетки из оптических неоднородностей
(возникающих из за флуктуаций плотности) меняются во времени
с частотой дебаевскоrо звука, то ПРОИСХОДит модуляция интенсив-
ности рассеянноrо света. Эта модуляция проявляется в том, что в
рассеянном свете, кроме частоты fо==Сев/Л ев . rде Сев скорость
света, появляются смещенные частоты + Q==f fо== + с/л, rде С
скорость дебаевских волн, или скорость звука. Получающееся
относительное изменение частоты будет
f..f/fo == + Qjfo == + (с/л) лсв/с сп ,
(3.1 ),
(3.2)
или, ПРИНl1мая во внимание брэrrовское условие
f..f/fo === + 2п (С/ССВ) sin (СРр/2).
Смещение частоты может быть объяснено и чисто кинемаТl1ЧССКИ;
сдвиrи частотЫ происходят из-за доплеРОВСI<оrо эффекта при рас-
сеянии света на движущихся решетках флуктуации плотности. Это
так называемый дублет
Мандельштама Брил-
люэна; смещенные спект-
ральные линии находятся
слева и справа от несме-
щенной спектральной ли
нии. Несмещенная линия,
теорию происхождения KO
торой дали Л, Д. Ландау и
[. Плачек [18J, появляется
вследствие флуктуации энт-
ропии (для некоторых ЖИk
костей, например дЛЯ BO
ДЫ, эта линия может отсут-
ствовать). Все три линии,
или триплет, образуют так
называемую тонкую cтpYK
туру линии рэлеевСКО<JО
рассеяния. Спектральная
линия МБР слева от цeHT
ральноЙ линии, имеющая частоту fo Q, носит название стоксо-
вой компоненты, а справа от {о' имеющая частоту fo+Q aHтиcтOK-
совой компоненты. Эффект МБР был впервые неэависимо обнаружен
опытах Е. Ф. [росса [19] и т. с. Ландсберrа и Л, И. Мандель
45
(3.3)
[
"
42
17,1
о, 1 17,2
. А ТМБ, см- 1
lJ
Рис. 2.2. Распределение иитенсивности в тон-
кой СТРУКТУр'е рассеянноrо света (He Ne-
лазер, 6328 А) в CCl 4 В зависимости от pac
стройки спектроскопической частоты /l,fМБ==
==fМБ fМБп. Штриховыми линиями показаны
расшифрованные контуры всех трех компо-
нент,
штама [20], которые были проведены с кристаллом кварца. В даль
нейшем [21] была т,акже обнаружена тонкая структура линий рэле
eBcKoro рассеяния в жидкостях.
На рис. 2,2 показаны спектр световой волны (триплет МБР) и
схематичное распределение интенсивности в тонкой структуре ли
нии рассеяния света Не Nе лазера с л ев ==0,63 мкм В четыреххло
ристом уrлероде [22]; свет поляризован в плоскости, перпендику
лярноЙ к плоскости рассеяния. Следует отметить, что, после Toro
как в качестве источника света начали применяться rазовые лазе
ры, оказалось возможным (блаrодаря большоЙ спектральной плот-
ности KorepeHTHoro излучения света) не только определить I10ложе
ние спектральных линий рассеяния Мандельштама Бриллюэ
на, но и измерить их полуширину. Эта полуширина бfМБ линии
связана с поrлощением следующей формулой:
6fМБ == са/ЛСев
(3.4)
(fМБfcМ l] спектроскопическая частота,
ческой спектроскопии, tМБ== w/2лс ев == l/л),
связана с а выражением
применяемая в опти
Полуширина в rерцах
бt ас/л.
(3.5)
Так, для четыреххлористоrо уrлерода измереннее значение бfМБ==
==17.10 З Cl\C 1 И а==16.10 3 CM l. Таким образом, определение по
тонкой структуре бt (зная СР р ' Q, с, п и Сев) дает возможность, co
rласно формулам (3.4) или (3.5), определить а.
Изучение МБР производится экспериментально rлавным обра
зом для уrлов ЧJI.'...""Л/2, что соответствует частотам "" 1010 rц (co
rласно условию Ьрэrrа).
Исследования тонкоЙ структуры линии рэлеевскоrо рассеяния
в ряде жидкостей показали, что для таких жидкостей, как бензол,
четырех хлористый уrлерод, сероуrлерод и т. д., имеет место замет
ная дисперсия скорости на rиперзвуковых частотах. Так, при 20 0 С
скорость ультразвука в бензоле составляет 1324 м/с, а скорость rи
пер звука 1470х20 м/с; относительное изменение скорости
(Дсlc) 1 O l== 10%.
Обнаружение Е. Ф. [россом тонкой структуры рэлеевскоrо pac
сеяния в жидкостях было вначале непонятным; в самом деле, полу
ченные результаты означали, что на rиперзвуковых частотах, при
которых наблюдалось это явление, должно было бы Бы1 Ь выполне
но неравенство ал l, поскольку только при выполнении этоrо ус-
ловия можно rоворить о распространении упруrих волн *). Однако
экстраполяция данных ультразвуковых измерений для величин а
*) Вообще rоворя это не совсем точно. И при ал 1 имеется (хотя и весьма
слабый) волновой процесс. Так обстоит дело, например, с быстро затухающимн
сдвиrовыми волнамн в вязкой жидкости, о '/ем будет идти речь в 5 этой rлавы
(см. также Э 3 rл. 1).
46
По формуле (2.13) на rиперзвуковыIe частоты приводит к тому, что,
например, для бензола r:x,Л== 10.
Это противоречие было устранено в релаксационной теорин дис-
персии и поrлощения. К изложению этой теории мы и переходим.
4. Релаксация объемной вязкости
Поскольку сверхстоксово поrлощение н дисперсия звука были
объяснены рядом авторов, и прежде Bcero Кнезером [9], первона-
чально для мноrоатомных r?зов, мы также начнем рассмотрение с
rазообразных сред. Было показано, что причина этих явлений
заключается в релаксационном механизме передачи энерrии звука
при неупруrих соударениях молекул rаза из поступательных во
внутренние степени свободы молекул и обратно. Релаксационный
процесс представляет собой процесс запаздывания на конечный про-
межуток времени отклонения макроскопической системы от состоя-
ния термодинамическоrо равновесия или возвращения к этому со-
стоянию. При распространении звуковой волны в силу закона воз-
растания энтропии часть энерrии системы переходит в тепло. Как
будет пока за но, при этом должна наблюдаться дисперсия звука.
Качественно возникновение дисперсии в MHoroaToMHoM rазе мож-
но пояснить такими простыми рассуждениями, Полная энерrия Е
представляет собой сумму энерrий поступательноrо движения моле
кул (внешние степени свободы) Ek и энерrий внутренних (колеба
тельных и вращательных) степеней свободы молекул E i . COOТBeTCT
венно этому теплоемкость С v будет представлять собой сумму
теплоемкостей (для одноrо моля) C v k (внешние степени свободы)
и C v . (внутренние степени свободы). Если звук имеет низкую час
l
тоту и период Т существенно больше времени релаксации т (времени,
за которое отклонение Су k' Су i' Е k, Е i И т. д. от их равновесных
значений увеличивается или уменьшается в е раз), т. е. Т,?>т, то ус-
тановление равновесия между возбужденными иневозбужденными
молекулами успевает следовать за изменением давления в звуковой
волне. Формула для скорос ти звука п редставляет собой формулу
Лапласа: со === V ур/р === V'(C p/C v ) (р/р), или, так как Cp C ,===R,
c o === [ L ( I+ !R j J l/2=== [ L(1+ R )J l/2 (4.1)
Р С У1 Р \ Cyk+C Yi
(индекс «О» у С соответствует низким частотам).
Для высоких частот (Т т) равновесие между внешними и внут-
ренними степенями свободы молекул не будет успевать устанавли
ваться и Су. "'+ О. В этом случае
l
Co, [ (l+ c J J1/2, (4.2)
rде со<> значение скорости звука для высоких частот *), Как видно
*) Скорость с., называют высокочастотной скоростью звука, а скорость Co
соответственно низкочастотной скоростью звука.
47
ИЗ этих выражениЙ, С",,> СО , и, СJlедоМтелЫю, имеется измеНеЮIе ckO-
рости звука с частотоЙ, т. е. дисперсия.
Можно также качественно показать, что процессы обмена энер-
шеЙ между поступательными (внешними) и колебательными и вра-
щательными (внутренними) движениями молекул, приводят не
только к дисперсии, но также и к потере энерrии звуковой волны,
т. е. вызывают дополнительное так называемое молекулярное по-
rлощение звука.
Отмеченные здесь релаксационные процессы это процессы
колебательной и вращательноЙ релаксации; их часто называют
кнезеросскими nроцессами или термической релаксацией возБУЖ/l,е
ния внутримолекулярных колебаний, В rазах возможен также ряд
друrих процессов. Это так называемая трансляционная релаксация
установления максвелловскоrо распределения скоростей молекул
rаза (как это следует из кинетической теории rазов, она происходит
'Bcero за несколько столкновений частиц). Это также химические ре-
лаксационные процессы диссоциации и ассоциации в rазах под дей
ствием звука, коrда число частиц непостоянно. Возможен и ряд
пруrих релаксационных процессов.
Здесь мы не будем рассматривать различные виды релаксаций
в rазах на микроскопическом уровне, поскольку эти вопросы скорее
относятся к молекулярной физике и кинетической теории, чем к фи-
зической акустике, а сконцентрируем свое внимание на макроскопи
ческом (феноменолоrическом) подходе. Такой подход возможен не
только для rазов (rде можно, используя более или менее простые
модели, рассматривать вопрос об акустической релаксации и мик
роскопически), но и для жидкостей, для которых микроскопическое
рассмотрение (из за сложноrо строения жидкости и отсутствия раз-
работанной теории жидкоrо состояния) чрезвычайно затруднено и
может осуществляться только на основе сложных модельных пред
ставлений.
у кажем здесь только, что в жидкостях MorYT происходить раз
нообразные и весьма сложные релаксационные процессы: терми-
ческая релаксация (кнезеровские эффекты, возбуждения колеба
тельных и вращательных степеней свободы молекул), поворотно-
ИЗОJilерная релаксация, химическая релаксация. В акустической
волне может возникать под действием деформаций сжатия и сдвиrа
так называемая структурная релаксация. Под этим понимают из
менение ближнеrо порядка в расположении молекул, что приводит
к некоторой перестройке структуры жидкости. Все эти типы pe
лаксаций связаны в основном с объемной вязкостью, хотя CTPYK
турная релаксация может происходить и под действием сдвиrовой
волны в маловязких жидкостях на очень высоких частотах,
В жидкости MorYT наблюдаться сразу несколько различных релак
сационных процессов. .
Обсудим основные положения феноменолоrической релаксацион-
ной теория объемной вязкости, не обращаясь к каким-либо модель-
ным представлениям, а основываясь лишь на законах rидродинами
ки и законах неравновесной термодинамики; такая теория была
48
noctp6el-Iа впервые J1. И. Мандельштамом н М. А. JiеонтовичеМ
[23, 24].
Положим, что в релаксирующеи среде возникла объемная дe
формация. Эта деформация нарушает термодинамическое равно-
весие жидкости (или rаза). При этом модуль объемной упруrости
К == V др/ д V, или модуль BcecTopoHHero сжатия (величина, обрат
ная сжимаемости), изменяется, поскольку К (имея в виду возмож
ные релаксационные процессы в системе) зависит от скорости де-
формации. Подчеркнем, что здесь мы рассматриваем процессы релак-
сацrш, вызванные только объеМIIОЙ деформациеЙ, а не деформациеЙ
сдвиrа. Изменение К происходит от максимальноrо «динамичеСIюrо»
значения (быстрые деформации) К""' коrда установление paBHOBe
сия не успевает С,'Iедовать за изменением объема, до минимальноrо
(статическоrо) значения модуля объемной упруrости Ко (медленные
деформации), коrда установление равновесия полностью следует за
изменением объема. Соrласно принципу Ле Шателье, если система
внешним воздеЙствием выведена из состояния равновесия, так что
объем ее уменьшается (сжатие), то в ней начинаются процессы вос-
становления равновесия, которые приводят к уменьшению давления,
т. е. давление Р будет противодействовать деформации и др/др
будет уменьшаться. В равновесном состоянии (дp/дp)'o==C будет мень-
ше, чем в неравновесном состоянии; при быстрых деформациях (BЫ
сокие частоты) (др/др)"" ==C:'>C , С этим результатом мы уже по
знакомились выше при обсуждении формул (4,1) и (4.2). Мы можем
записать для изменения давления р', противодействующеrо объемной
деформации в случае быстрых деформаций, формулу
др' д i\V дв
(ft==К",,7Пv - K""дt, (4.3)
.
[де e Д, V/V объемная деформация. Во втором случае для мед-
ленных деформаций р' ==p ==Koe. Теперь рассмотрим сам процесс
восстановления равновесия; он приводит к уменьшению давления,
противодействующеrо деформации, В состояниях, близких к paB
новесию, скорость уменьшения давления можно считать пропор
циональной разности р' p , rде p равновесное приращение
давления при данной деформации. Тоrда
др' р' p р' KoE (4.4)
== т т
[де т время релаксации. Это уравнение часто называют уравне-
нием реакции (уравнением релаксации).
Теперь объединим (4.3) и (4.4), считая, что имеет место (вслеk
ствие малости отклонения системы от paBHoBecHoro состояния) ад-
дитивность изменения давления в среде для быстрых и медленных
изменений. Тоrда можно записать:
др'/д! == Као де/дt (р' Koe)/T. (4.5)
Мы получили так называемое уравнение Кельвина Фойста для
вязкоупруroй среды.
49
Это уравНение .\IOЖI!о т8.l{же записать в друrом Iшде, если !Звестl!
обозначение т== (c c3)/c3, rде c ==Kjp и cg==Ku/p:
др' р' 2 ( д Р ' 'р'\ 2 др'
дТ+ ===Co дТ+7) +тсодТ' (4.6)
Уравнение (4.6) линеаризованное уравнение состояния, дающее
связь между приращением давления и приращением плотности.
Более строrий вывод этоrо уравнения состоит в следующем [6].
В релаксирующей среде уравнение состояния можно записать в
виде
p p(p, S, ),
rде G некоторая «внутренняя» координаТ<l; ЭТО может быть CTe
пень возбуждения молекул, концентрация КОYIпонент в химической
реакции и т. д.
Считая Отклонение S от положения равновесия малым, изменение
G со временем можно представить в виде разложения в ряд по это
му малому отклонению
=== (G Go)/T + в (G 0)2/1;2 + . . _ (4.7)
Это уравнение, так же как и (4.4), называют уравнением реакции.
Поскольку ==o при s==Go, то «нулевоrо» члена в разложении (4,7)
не будет; считая, далее, процесс линейным, второй член разложения
в (4.7) отбрасываем. Представляем далее р== р (р, S, G) в виде разло
жения
р === ро+ ( )60 р' + ( ) Ро (G Go) + .. . , (4.8)
Мы пренебреrли в этом разложении малыми членами порядка f!2 и
выше, rде f!'"'-'v/c, р' /р, (G Go)/Go. в (4.8), кроме Toro, опущен член
с изменением энтропии S, поскольку это изменение представляет co
бой величину TpeTbero порядка малости по сравнению с изменением
давления (см. 1.1.19) *). Следует обратить внимание далее на то,
что So соответствует текущему значению плотности, т, е. что равно-
весное состояние So само есть функция плотности: So === So (р). Отсю
да, если обозиачить через 500 значение S в отсутствие возмущения
(предельно быстрые возмущения, коrда отклонение от paBHoBecHoro
состояния не успевает происходить), то
( ) ( !lP... ) + ( !lP... ) (4,9)
др I 60 др soo дs Ро др -
Из (4.8), имея в виду очевидное соотношение сб=== (др/др);о, полу-
чим
dp' 2dp' ( d P ) ds
dТ===codТ+ dI Ро dТ- (4.10)
Заменяя в (4.8) (G Go) на T dG/dt, используя уравнение реакции,
*) в [26] учтены члены порядка t2.
50
можно записать
( др \ , ( др ) d'S
Р==Ро+ дP) oP 't дf (10 (ff'
(4.11)
ИЗ этоrо соотношения н (4.9) исключим d /dt, В результате найдем
уравнение состояния для релаксирующей среды, дающее связь меж
ду приращением давления р' и приращением плотности р' в виде
(4.6). Интеrрируя это уравнение, получим [26]
t
, , r ( t t' ) dr' ,
Р ==c p +тСб .1 ехр ([tdt,
oo
(4.12)
rде учтено, что (др/др)с.оо сс'?ю и (с'?ю сg)/с ==т. Теперь можно pac
смотреть распространение звуковых волн в среде с релаксациеЙ.
Для этоrо воспользуемся линеаризованными уравнениями rидро
динамики для жидкости без диссипации и уравнением состояния
(4.12); тем самым мы учтем процессы релаксации, Из уравнений
непрерывности и движения при (v'V)v' ==0, исключая переменные
р' и v' из этих уравнений н (4,12), получаем волновое уравнение
t
д 3 р' 2' 2 r др' ( t t' \ ,
дf2 Co P mco J дТ ехр ) dt o.
oo
(4.13)
Это волновое уравнение для релаксирующих сред, в котором нали-
чие интеrральноrо члена, как это будет видно ниже, феноменолоrи
чески эквивалентно учету объемной вязкости 11'. Действительно, при
выводе (4.13) мы пользовались уравнениями rидродинамики He
вязкой жидкости, но оперировали с уравнением состояния (4,12),
учитывающим процессы релаксации. Отыскивая решение этоrо
уравнения в виде р'==А ехр ri(шt kх)], имеем для волновоrо числа
2 ш 2 ( iWT )
k ==""2 l m l+ ' .
СО !ШТ
Поскольку т== (с'?ю С )/Сб l, получаем
k == + [ 1 !!!:.... ш 2 т 2 i !!!:.... ШТ ]
Со 2 1 + ш 2 т 2 2 1 + ш 2 т 2 .
Из этоrо выражешш ПОЛУЧIIМ соотношения для с(ш)
( т ш 2 т 2 )
С == со 1 +"2 1 + ш2т2 ,
т ш 2 т 2
а == 2сот 1 +ш2т2 .
(4.14)
(4,15)
11 а ( ш) в виде
(4,1 б)
( 4. 17)
Вид кривых для с и а'А в зависимости от ш't изображен на рис. 2.3;
эксперимент (см. рис. 2.1) достаточно хорошо соrласуется с выраже-
ниями (4.16) и (4.17).
51
В проведенном рассмотрении мы имели дело с процессами ре-
лаксации, связанными только с объемными деформациями. Если не
рассматривать процессов теплопроводности, можно прийти к за
ключению, что решение волновоrо уравнения (4.13) учитывает влия-
ние релаксации только объемной вязкоСти 'Yj'; в уравнении состоя-
ния (4.6) возможная релаксация СДвиrовой вязкости не учитыва
лась.
Воспользуемся формулой (2.12), соrласно которой коэффициент
поrлощения за счет объемной вязкости равен
a ll ' == (J)2'Yj' /2рс Э .
Приравняем это значение коэффициенту поrлощения (4.17), полу
ченному при рассмотрении релаксации объемноЙ вязкости. Полу-
чим
11' == (c;, c ) ,p/(l + (J)2t'2).
( 4 . 18)
Мы Пр!lХОДИМ к заключению, что наличие релаксационных процес
СОВ в продольноЙ ЗВУКОВОЙ волне феноменo.rюrически эквивалентно
появлению объемной вязкости, заВИС5IщеЙ
от частоты.
При низких звуковых частотах ((0't-<1)
11' =='Yj == (c:, c ) тр, (4.19)
'Yj' стремится к нулю при (J) "'+ 00. Как ro
ворят, 'Yj' в этом случае «отрелаксирова
ла», Такое поведение объемн'ой вязкости
хорошо объясняет частотную зависимость
коэффициента поrлощения звука, измерен
ную в экспериментах !(см., например,
рис, 2.1).
Следовало бы обсудить вопрос о том, не будет ли коэффициент
теплопроводности х также подразделяться на два коэффициента.
Такое рассмотрение было проведено в [25J, rде показано, что если
учитывается релаксапия 11', то релаксацию х учитывать не нужно.
Полезно иметь представление о порядке величин для коэффи
циента поrлощения a ll ,/f2 за счет объемной вязкости. Для этоrо'
приведем ряд значений коэффициента поrлощения a'f'/f 2 из за дейст-
вия сдвиrовой вязкости 'yj и экспериментально измеренное значение
аП2 (поrлощение а",.If2 из за теплопроводности х для указанных
жидкостей примерно на порядок меньше, и поэтому мы ero не при-
водим); отличие экспериментально измеренноrо a/f2 от значения
aT/f следует отнести за счет действия 'Yj': .
52
C:} ::
coJL
т,
о 1
Рис. 2.3. Коэффициент
поrлощення и фазовая
скорость в релаксирую-
щеЙ среде.
rде 11' не зависит от частоты и пропорцио
нальна времени релаксации '. При высо-
ких частотах ((O't;=>l)
11' == (c:, c ) p/(0 2 -r;
(4.20)
)о
([)?:
Жидкость а 11 I1', a/I', Жидкость a f'. а/I'.
(10 = 2 оос) 10 17C'/CM IO 17 с'/см (10 = 2 оос) 1 O 17 С'/СМ I o 17 с'/см
теори я эксперимент теория экспери меит
Вода 8,5 23 Бензол 8,6 850
(1 220 мrц) (11 165 мrц)
Этиловый спирт 22 55 Уксусная ки- 17 2880
(lЗ 250 мrц) слота
(3,7 31 мrц)
Из приведенных данных видно, что поrлощение, вызываемое
объе'vIНОЙ вязкостью, может на два порядка и более превышать по.
rлощение, вызываемое сдвиrовой вязкостью.
Остановимся вкратце на общем вопросе о связи между дисперсией и поr.10-
щением. Для этоrо вернемся к выражению, дающему интеrральную связь между
р' и р' (см. (4.12». J'<10ЖНО показать, что после интеrрирования по частям оно
может быть переписано n виде
, 2, т 2
р coop СО
1
5 " ) ( { {' \ d '
р (t ех р ) Т,
(4.21)
ф
Запись уравнения СОСТl)ЯНИЯ среды в форме (4.12) и (4.21) lIолезна в том отношенин,
что она явным образом характеризует запаздывание реакцни среды на внешнсе
воздействие (в данном случае на изменение плотности р'). Тот факт, что верхниЙ
предел интеrрирования в (4,12) и (4.21) оrраничен значением {, является выраже-
нием принципа прuчuнностu, соrласно которому реакция среды в момент времени t
определяется воздействием в прошлом и настоящем, т, е. при {.;;;;,! (среда с па-
мятью), Использование уравнения реакции в простейшей форме (4.7) без учета
квадратичноrо члена привело к появлению экспоненциальноrо ядра в (4.21).
В общем случае среда описывается следующим линеаризованным уравнением
состояния *):
I
р' (r, {) '-== dt' х (r, r', t, {') р' (r', {') dr',
ф
(4.22)
в котором ИIlтеrрал по оGъему означает, что реакцня в точке r определяется сум-
мированием воздействий в различных ТОЧКi)Х пространства (r), т. е. имеется прост-
ра1LстВР.Нlтя /-IР.локаЛЫlOсть (соответственно уже упомпнутую зависимость реакции
()т воздействий J3 РiJзличные моменты BpeMeIlII часто lIазьiваlOТ вРР.,ИР.NI-IOtlNелокаль-
Nостью). Внд ЯДрiJ х (т, т', {, {') МОЖIIО определнть, конечн(), ТОЛL!,О с помощью
микроскопическоrо рассмотрения. Однако 11 фепоменолоrический подход нозволя-
ет получить весьма полезные сведения. В частности, из (4.21) леrко убедиться, что
ядро х убывает практически до нуля в течение xapaKTepHoro времени релакса-
ции т. Аналоrичные выводы можно сделать и относительно пространственноrо
спаДания х [27J. Можно показать, что х заметно отлично от нуля лншь В интер-
вале I r r' I,,;;;;;d, rlIe d характерный размерный параметр среды (длина свободноrо
пробеrа частиц, дебаевский радиус, постоянная кристаллической решетки и т. д.).
*) Для среды с нелинейным уравнением состояния до BToporo порядка вклю-
чительно величина - р'(2) С учетом только временной нелокальности описывается
выражением [26) .
t
р'(2)== S
t'
dt'
х и, t', t") (:' (1') р' и") dt".
ф a':I
53
Поскольку пространственнал нелокальность обычно проявляется лишь на очень
высоких частотах, мы не будем здесь на ней останавлнваться и перепишем (4.22) в
виде
t
р'== x(t t')p' (t')dt',
'"
(4.23)
Здесь учтено, что для стационарных сред х и, {') x (t t'), Для среды, описывае
мой уравнением реакции (4.7), из (4.21) и (4.23) следует, что
, 2 , тc ( { (' )
x(t t)==c {j(t t) 7exp .
(4.24)
Важные заключения о процессах, происходящих 13 среде, можно получить и Be
посредственно из (4.23), не обращаясь к конкретному виду х (t t'). В частности,
можно показать, что распространение звуковых волн 13 любой неоrраниченной
среде, описываемой уравнением ВИДа (4.23), всеrда сопровождается и поrлоще-
нием, и дисперсией. Более Toro, последние оказываются связанными весьма об-
щими интеrральными соотношениями, KOTopыe принято называть дисперсионными
соотношениями типа Крам.ерса Крониса,
Действительно, вводя обозначение ==t t' и переходя к фурье образам
в (4.23), получим
р' (00) == х (00) р' (00),
(4.25)
rде
'"
х (00)== х ( ) ехр иоо ) d
о
(4.26)
(используется 13ременная зависимость ехр ( ioo ». Функция х (00), представляю-
щая собоЙ характеристику среды, имеет смысл величины, обратной комплексной
сжимаемости, умноженной на плотность. Нет-
1т w' рудно убедиться, что х (ш) аналитична 13 13epx
ней полуплоскости комплексноrо переменно-
ro ш. В самом деле, подстановка oo==Re 00+
+i Im (й 13 (4.26) покаЗЫ13ает, что мнимая добав-
ка к w только улучшает сходимость интеrра-
ла в этом выражении. Воспользуемся теперь
теоремой Коши для аналитическqй функции
f(oo)==x(w) x(oo). Соrласно этой теореме
интеrрал
Рис. 2.4.
ния при
UJ Re ш'
Контур интеrрИрО13а
вычислении интеrра-
ла (4.27).
1== r f (w') dw'
) w' (O
'с
(4.27)
равен нулю, если И!lтеrрирование производится по замкнутому контуру С, изоб-
раженному на рис. 2.4, Устремляя радиус дуrи контура в интеrрале (4.27) к
бесконечности и учитьшая, что при этом функция f(w')==[x(w') x(oo)]---+O, по-
лучим
'"
1 == ,( w' dw' iлf (00) О.
oo
-
(4.28)
Взятие действительной и мнимой частей от (4.28) дает следующие дисперсионные
соотношения, связьшающие Ref(w) и Imf(w):
ф
Ref (w)== 5
ф
1т f (00')
doo',
оо' оо
'"
ImтW)==
ф
Re f (w')
00' оо doo', (4.29)
54
rде Ин1'еrраJ1ь! f10нимаюt я n смысле rЛаВItоrо значення. ПОСКОЛЬКУ Кlшl1Мkсная
фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в paCCMaTplIBaeMoii среде
с памятью, связана с х(ш) простым дисперсионным уравнением
с (ш) == у х (ш) , (4.30)
то дисперсионные соотношения Крамерса Крониrа (4.29) и (4.30) остаются
справедливыми и для Величин с(ш) соо и ,/с(ш) исоо. С учетом симметрии
функции '/с(сй), а именно l/c( ro)==[I/c(w)] * (звездочкой обозначено комплек-
ное сопряжение), вытекающей непосредственно из условия вещественности х ( ),
интересующие нас дисперсионные соотношения дЛЯ ФУНКЦIIИ q>(w) I/c(w)
I/c(oo) можно переписать с помощью IIнтеrралов по фнзическоil области частот
(О, 00) [28]
ос!
R [1/ ( . ) 1/ ( )] 2 5 . (1)' Iт [1/с(ю')J' d '
е с <О С 00 == (1) ,
л (и'2 _(и
О
(4.31)
ф
Iт [I/c (ш)] == 2ш С Re[l/c(w') '/С(оо)] dw'.
л j ш'2 ш2
О
Соотношения (4.31) показывают, что в неоrраниченной среде, описываемой урав-
нением состояния (4.23), распространение звуковой волны всеrда сопровождается
поrлощением (мнимая часть '/с(сй)) и дисперсией (действительная часть '/с(ш)),
которые связаны между собой. Подчеркнем тот факт, что приведенный вывод ДIIC
персионных соотношений (4.29) опирается только на аналитичность и оrраничен-
ность функции х (ш) в верхней полуплоскости сй, которые обусловлены условием
причинности и стремлением среды к состоянию термодинамическоrо равновесия.
Справедливость соотношений (4.31) для функции <p(w)==I/c(w) I/coo, характе-
ризующей волновой процесс в среде, кроме Toro, обусловлена наличием достаточно
простой связи (4.30) между с (w)"и х (сй), не приводящей к нарушениям аналитич-
ности с(сй) или '/с(сй), в более сложных случаях, например для электромаrнит-
ных волн в анизотропной плазме [29] или для нормальных звуковых и электро
маrнитных волн в слоистых средах [30], связь между параметрами среды и волно-
выми параметрами приводит к нарушению аналитичности последнИХ, и дис-
персионные соотношения в общем случае не имеют места.
5. Релаксация сдвиrовой вязкости в жидкостях
При сдвиrовых деформациях вязкой жидкости в ней возникают
вязкие напряжения а, подчиняющиеся закону Ньютона (ньютонова
жидкость) :
ди д ( д ) д ( д ) де
а== 'Il ду == У] ду дt ==У] дt ду , == У] п.
(5.1 )
Здесь e==д /дy изменение уrла, т. е. деформация сдвиrа,
перемещение точки с вертикальной координатой у по направлению
оси х, а ди/ду изменение скорости v с координатой у, Вспомним,
что по закону [ука a==f.Le, rде f.L модуль сдвиrа. Таким образом,
для ньютоновой жидкости напряжения пропорциональны не самой
деформации, как это имеет место для твердых тел, а скорости изме
нения деформации, и, следовательно, сколь уrодно малые силы MO
rYT вызвать сколь уrодно большие деформации, если продолжи-
тельность действия силы достаточно велика.
В 3 rл. 1 рассматривалась задача о rармонических колебаниях
поrруженной в жидкость плоской стенки (с частотой 1j)==2nf в своей
55
nJIOСI<ОСТИ . Было покйзаИо, 41'0 ВИу'tр6 жидкости расnростраНЯIO'tСЙ
вязкие, или сдвиrовые, волны, скорость которых св == V 2чш/р,
поrлощение сх в ==2л//\в и для которых а==iШ1]В (при rармонических
колебаниях стенки).
Комплексный вязкий или сдвиеовый и.мnеданс ZB такой ньютоно
вой жидкости определяется выражением
ZB:==: рев == рш/ k B , (5.2)
rДе kB"""kBl ikB2==ckBl icxB волн овое чи сло для вязких, или сдви
rовых, волн, а по (1.3.7) k B == V i(I)Р/Ч. Подставляя значение k B
n (5.2), получаем
ZB == (l + i) V лfРll == R B + iX B . (5.3)
Таким образом, для чисто ньютоновой жидкости действительная и
мнимая части импеданса ZB совпадают.
Реальные жидкости, однако, далеко не в полной мере являются
ньютоновыми жидкостями, т. е. не полностью текучи. Даже такая
относительно мало вязкая жидкость, как вода, при приложении к
ней резких напряжений (удар быстро двиrающимся стержнем по
струе воды [31 J или попадание в струю пули) становится хрупкой
и «раскалывается», т, е. имеет большую упруrость формы. С друrой .
стороны, стальной шарик, падающий на кусок вара, упруrо OTCKa
кивает от Hero, а если ero положить на тот же кусок вара, он Mek
ленно в Hero поrружается. Эти простые факты наrлядно показыва
ют наличие сдвиrовых напряжений даже в маловязких жидкостях
и их зависимость от скорости, с какой происходят деформации;
с друrой стороны, длительные деформации, приложенные к неко-
торым телам, кажущимся твердыми, приводят к образованию Mek
ленноrо течения.
Измерения на ультразвуковых частотах сдвиrовоrо импеданса
в ряде вязких жидкостей, растворах полимеров, жидких кристал
лах и т. д. И ero зависимости от частоты также не дают соrласия
с представлением об этих жидкостях как о ньютоновых жидкостях,
для которых RB==X B . Из экспериментов следует, что при повышении
частоты мнимая часть импеданса Х В становится меньше, чем R B ,
и, имея на некоторой частоте максимум, Х В при дальнейшем росте ш
обращается в нуль, т. е. в пределе на высоких частотах импеданс
становится действительным, как и в упруrой среде.
Впервые Максвелл, занимаясь вязкоупруrими свойствами rаза,
предсказал релаксационный характер СДвиrовоrо поведения жид-
кости. Он предположил, что на низких частотах сдвиrовая упру-
rOCTI> на фоне текучести почти не иrрает роли, т. е. что жидкость
практически не имеет упруrости формы. На высоких частотах, по
теории Максвелла, основную роль иrрает упруrость формы, а те-
кучесть имеет меньшее значение. Сейчас можно считать установлен
ным, Что скорость, С которой рассасываются (релаксируют) сдви
rOBbIe напряжения, возникающие в жидкости под действием
внешних сил, на низких частотах пропорциональна величине этих
56
напряжениЙ
da/dt == а/т,
(5.4)
rде 't время релаксации. На высоких частотах, КОI'да ОТКJlOнения
от состояния равновесия не успевают происходить,
da/dt==/t""dB/dt, (5.5)
rде /t"" модуль сдвиrа (чистая упруrость) на бесконечно высоких
частотах. Максвелл предположил, что имеется аддитивность вяз
кой и упруrой составляющих сдвиrовой деформации и что реоло
rическое уравнение, связывающее между собой а, а, в и т имеет
вид (.модель Максвелла)
da/dt == (1/т) а + /t"" dB/dt. (5.6)
При rармонических сдвиrовых колебаниях из (5.6) получим
Ч. 5
а == ) + iw't в == /tB, ( .7)
т. е. а и в связаны между собой комплексным модулем сдвиrа /t.
При ffi't О (низкие частоты) a==iffiY]B==Y]B поведение жидкости
чисто вязкое; ПрИ ffi't 00 (высокие частоты) а==У]в/т== /-L""B пове-
дение жидкости чисто упруrое. Таким образом, возвращаясь к сдви
rOBoMY импедансу, найдем, что он будет равен
Хв == V p == (iffiPll/( 1 + iffiT)/!2.
При ffiT О ZB Zo == V iffiPll , а при ffiT 00 ZB Z"" == V P/t"" .
В диапазоне O<ffiT<OO сдвиr фаз между а и в изменяется от п/2 на
низких частотах до нуля на высоких,
Для более точноrо описания экспериментальных зависимостей
Х (u)) и R (ш) были предложены более сложные реолоrические свя
зи между а и в, в том числе с несколькими временами релаксации.
Экспериментальные исследования релаксаПИIl сдвиrовои вяз
кости в жидкостях не MorYT проводиться методом пропускания вяз
ких или сдвиrовых волн через слой жидкости, который применяется
для продольных волн, из-за сильноrо их поrлощения и акуст ческо
ro рассоrласования с твердым излучателем и приемником попереч
ных колебаний.
Впервые Мэзон [32J начал исследования распространения CДBH
[овых волн в жидкостях, сначала используя крутильные колеба
ния кристалла в жидкости, а затем вместе с Мак Скимином [33J,
правильно применив и.мпедан.сн.ый .метод измерения при отражении
сдвиrовых ультразвуковых волн, распространяющихся в твердом
теле, от исследуемой жидкости, Принцип измерения состоит в cpaB
нении амплитуды А и фазы (Р отражеНН&IХ волн от чистой полиро-
ванной поверхности буферноrо (например, кварцевоrо) стержня,
и значениями А и ер, которые получаются, если нанести на эту по-
верхность слой исследуемой жидкости, толщина KOToporo из-за
СИ.l!Ьflоrо поr,лощения f/ I1меет ЭЩlчеЩIЯ. При использовании ИМ-
о7
пульсноrо режима излучения число прохождений сдвиrовых волн
через буферный стержень стараются иметь возможно большим, что
бы точность измерений была достаточно высокой. Полный комплекс
ный импеданс исследуемой жидкости связан с импедансом KBapцe
Boro буферноrо стержня (линия задержки) Z выражением
ZB == Zo 1 I , / ехр ( iqJ)
1 +/ ' I ехр ( iqJ)
, , . х
Zo ==RB+t в'
1+,
(5.8)
[де Ir I модуль коэффициента отражения и ер сдвиr фазы,
'== Irl ехр ( iep). Комплексный импеданс ZB удобно представить
4 через величину D ==a B /k B1 ==а в л в /2:rt ==авс в / 0. Посколь
ку волновое число для вязких волн
k B == k B1 ia B == k B1 (1 ia B / k B1 ) == k B1 (1 Ш),
+ t
то комплексная скорость Св находится из выражения
J
k B == 0/С в == 0 (1 Ш)/С В ;
ё в == с в /( 1 Ш).
2
,t
1
Отсюда характеристическое волновое сопротивление
Z РСВ рсв (i+Ш)
в РСв 1 Ш 1 + D2 ==
== R B + iX B == I ZB I i' z,
(5.9)
Рис. 2.5. Схе-
ма установки
нз: [де D==tg,\,z' IZB I==РС в (l +D2) t/..
лексноrо им- Заметим, что величина D, поскольку максималь-
педанса и ное значение ,\,;==45° (так как разность фаз между (j
динамических И f, меняется от л/2 до нуля), меняется в пределах
сдвиrовых D б Q /
свойств жид- 0< <1; она связана с до ротностью ==л ав/\; выра-
кости по от- жением D== (2Q) 1. ИЗ выражений для импеданса ZB
ражению имеем все связи между коэффициентом отражения r==
ультразвуко- == Irl ехр ( i(p), действительной R B и мнимой Х В частя.
вых сдвнrо Z (
вых волн от ми в, скоростью Св И поrлощением а в aB==Dk B ).
слоя жид!(о- Следует отметить, что импедансный метод, вообще
СП!. rоворя, осложняется необходимостью проводить из
мерения весьма незначительных сдвиrов фазы при отражении от ис
следуемой ЖИДКОСТИ; при этом, естественно, возникают трудности,
связанные с имеющейся нестабильностью сиrналов как на aKYC
ТIIческой стороне, так и в радиотеХЮIчеСКIIХ цепях. Заметим, что.
применяя дпфференциальный метод (используя две идентичные
линии задержки), оказывается возможным существенно повысить
точность измерений.
Схема установки для измерения этих величин приведена на
рис. 2.5. Пьезопреобразователь 1 излучает импульсы сдвиrовых
волн 2 в кварцевый стержень 3, которые далее отражаются от по-
лированноrо торца этоrо стержня, смоченноrо исследуемой жид-
костью 4, и принимаются тем же преобразователем. Вначале уста-
новку проверяют на известной жидкости, например воде, которая
58
До Частот 1010 [ц не имеет релаксационных своЙств и остается пыо-
тоновой ЖИД}\ОСТhЮ.
Для проведения указанных измерений требуются очень чувст-
вительные и стабильные приборы, В самом деле, например, на час-
тоте 40 Мfц изменения фазы при нанесении на поверхность воды при
длине буферноrо стержня 1,3 см даже для 50 ro эха составляют
около 10 rрадусов, следовательно, для получения искомых величин
ZB с ошибкой порядка 10% нужно обеспечить разрешающую спо-
собность всеЙ YCTaHoBКlI по фазе на одно отражение порядка ] 0 7
(полныЙ HaGer фазы при 50 отражениях ,......, 106 rрадусов). Разреше-
ние по амплитуде должно обеспечивать I1змерения <О,] дБ [33].
Конечно, для более вязких жидкостей, чем вода, требования к точ-
ности измерений уменьшаются,
На достаточно низких частотах все жидкости ведут себя как
ньютонова жидкость: D 1, сх в л в ==с2л И Св == V 2Ш)j/Р (отметим,
что на этом основан ультразвуковоЙ метод измерения сдвиrовои
вязкости 'I'}).
Уже в первые rоды работами Мэзона и Мак Скимина [32, 33]
были обнаружены релаксационные зависимости D (ш) и Св (ш), от-
личные от ньютоновых, прежде Bcero в расплавах металлов и поли
мерах. Они были описаны удовлетворительно для расплавов метал-
лов моделью Максвелла и для полимеров моделью Максвелла с ДBY
мя временами релаксации.
Интересные исследования переохлаждающихся орrанических
жидкостей, в которых вязкость в небольшом интервале температур
ниже температуры плавления изменяется на несколько порядков,
провели Бэрлоу, Лэмб и Матесон [34]. Для этих жидкостей они эм-
пирически нашли следующую модель:
Z;l == Z;i + (Р/1оо) 1/2, (5,1 О)
rде
ZN == (РС в ) (1 + i)/2 == (рш'l'}/2)1(2 (l + i),
(5.11)
/100 сдвиrовый модуль упруrости на частотах шт 1. В дальней
шем эта модель была модернизирована, Измерения сдвиrовой вяз
кости проводились ими до частот 3 ffц и в этом диапазоне результа
ты хорошо соrласовались с расчетами,
В 1967 r. И, Л. ФабеЛИНСI\ИЙ с сотрудниками ([351, см. также
[36]) наблюдали тонкую структуру крыла линии Рэлея в молеку-
лярном рассеянии света в салоле, которая была ими объяснена как
результат рассеяния света на сдвиrовых тепловых флуктуациях в
жидкости; в дальнейших исследованиях это объяснение подтверди-
лось.
Как в [34], так и в [35] значения /100 определялись из аппроксима-
ции экспериментальных результатов к самым низким температурам,
rде Ш't l и определяющей является релаксационная сдвиrовая уп
pyroCTlJ.
Измерения, проведенные для жидкоrо салола прямыми акусти-
ческими методами в диапазоне от 500 до 3000 Мfц [36], дали частот
59
I-:IыIe зависимости Ir 1, каЧест!зеНН6 ьhисыIаю1.цнесяя моделью Макс-
велла с двумя временами релаксации.
Как уже rоворилось, акустические характеристики сильновяз-
ких жидкостей не MorYT быть объяснены обычной релаксационной
теорией с одним временем релаксации. В работе [37] показано, что
если считать время релаксации,...", Vffi, что, однако, никак не соrла-
суется с релаксационной теорией, то результаты расчетов а (0) и
с ((О) получаются близкими к экспериментальным результатам, по
лученным ряд()м авторов. Следует отметить, что впервые указали
на зависимость а от частоты как v;;; в сильновязких ЖИДКОСТЯХ
И. [. Михайлов и С. Б, fуревич [38, 39]. Эти авторы проводили из
мерения на продольных волнах в канифоли, ВЯЗ,кость которой из
менялась при изменении температуры в определенном интервале
температур. Ими была отмечена указанная заВИСIIМОСТЬ а от 0.
Для жидкостей с малой вязкостыо теоретические соображения
предсказывают, что релаксация сдвиrовой вязкости может быть свя-
зана лишь со структурной перестроЙкой жидкости и возникает лишь
на очень высоких частотах, Для таких жидкостеЙ, как, например,
Boдa, на частотах не ниже 1011 [ц; однако до сих пор эксперимен-
тально релаксации сдвиrовой вязкости воды не обнаружено.
6. Акустическая спектроскопия
Релаксационная теория и экспериментальные методы изучения
быстропротекающих неравновесных процессов в rазах и особенно в
жидкостях служат важным «инструментом» исследования. Эти ме-
тоды сильны, там, rде проявляются коллективные взаимодействия.
Особенно MHoro ценных сведений о протекании неравновесных про-
цессов они дают для теории жидкоrо состояния. В rлавах, IIосвящен
ных физической акустике твердоrо тела, мы еще встретимся с раз
нообразными релаксационными процессами, имеющими место при
распространении звука в твердых телах.
На основе изложенной релаксационной теории объемной и сдви-
rовой вязкостей предпринимаются мноrочисленные попытки соз-
дать акустическую спектроскопию rазов и ЖИДКостей. Хотя в этом
направлении имеются определенные достижения, все 'же следует
сказать, что если чувствительность в изменении с и а к добавлению
примесей к той ИЛИ иной среде достаточно велика (,,-, 1 % примеси
может экспериментально обнаруживаться), то разделение несколь-
ких релаксационных процессов, определение двух или нескольких
времен релаксации (например, в смесях жидкостей, в химических
реакциях) встречают большие затруднения. Друrими словами, раз-
решающая способность акустической спектроскопии невелика. Так
как поrлощение звука, как об этом rоворилось в 3, измеряется дo-
вольно rрубо, а дисперсия звука обычно мала, тО даже в случае
двух процессов с близкими временами релаксации можно лишь оце-
нйть порядок величины релаксационных параметров среДЫ ([1],
с. 229). Вместе с тем изучение поведения 11' и нахождение т, в oco
60
&1Нlос'rИ 13. Широком IНitеj)Jз8JJе изменения llaCToTbI (име51 11 l3иду ма-
лую разрешающую способность), дает MHoro сведений для понима
ния физических механизмов протекания молекулярных процессов
в средах. Так, например, акустическими измерениями с и а удается
получить сведения о структурной релаксации даже для таких жиk
костей, время структурной перестройки в которых чрезвычайно
мало ("" 10 l] с); друrими способами получить такие сведения не
удается (2].
Еще раз подчеркнем, что измерение caMoro значения объемной
вязкости 11' и ее зависимости от частоты и различных физических
условий возможно только акустическим методом. Встречаются TaK
же случаи, коrда акустические методы исследования процессов pe
лаксации MorYT способствовать обнаружению caMoro релаксацион-
Horo механизма, дают возможность проводить измерения Xapal{
терных времен 11 внутренних параметров. Tal(, например, наблю
дается сильнее увеличение поrлощения звука из за фЛУIпуаций
концентрации вБЛIIЗИ критической точки расслаивания в ряде pac
творов. В некоторых растворах с критической точкой сосуществова-
ния при концентрющи С С крит И при Т Т крит , как известно,
средний квадрат флуктуаций концентрации сильно увеличивается.
Измерения в определенной области частот коэффициента поrлоще-
ния звука а показывают, что а.. при этом также сильно увеличива
ется, что дает возможность определить время релаксации. Опти-
ческие методы в этом случае хотя и позволяют обнаруживать само
явление рассеяния, но не дают определения величины флуктуаций
концентрации, тоrда как акустические методы это позволяют cдe
лать [40, 41], правда, с небольшой точностью.
Значение '1')' и ее зависимость от различных физических условий,
по видимому, MorYT иrрать существенную роль в приложениях, в
частности в физико-химических технолоrических процессах. Пер
спективными являются комбинированные методы использования
оптической и акустической спектроскопии.
Одна из интересных попыток разделения вкладов различных Me
ханизмов релаксации в дисперсию и поrлощение, прежде Bcero, для
выделения колебательной (<<кнезеровской») релаксации, состоит в
предложении использовать метод коrерентной активной спектроско
пии комбинаuионноrо рассеяния света; в (421 тео етически pac
смотрен этот вопрос.
Предлаrаемый метод активноЙ Сllектроскопии состоит r;j зондиро
вании населенностей различных колебательных уровней молекул,
которые промодулированы звуковой волной (точнее, сопровождаю
щими эту волну изменениями температуры Т' из-за адиабатичности
процесса распространения звука). Рассеяние света носит при этом
коrерентный характер, что приводит к высокому уровню детекти-
pOBaHHoro cBeToBoro сиrнала, а также к ero высокой направлен-
ности из за брэrrовских условий.
Зондирующее оптическое излучение частоты ы рассеивается в
антистоксову область ы а на KorepeHTHblx внутримолекулярных KO
лебаниях со звуковой частотой Q. Эl и колебания в збуждаются
61
биением ИlIтеНсивНых световых Волн накаЧkИ (,)1 И (1)2, Tal{ чtо (OJ
ы 2 ==о. Среда же дополнительно возбуждается звуком частоты ы'.
Имеем
Ы а == UJ + (Ы 1 "---- UJ 2) + UJ 1 .
Излучение антистоксовой компоненты происходит в направле
нии, определяемом условием фазовоrо синхронизма:
ka == k+ (k] k2) + q.
Здесь волновые векторы k a , k, k], k z относятся I( соответствующим
частотам света, а волновоЙ вектор q к звуковой частоте.
Условие синхронизма можно интерпретировать как брэrrовское
условие для KorepeHTHoro антистоксова сиrнала с частотой Ы а на
беI'ущеЙ фазовоЙ решетке, образован
ноЙ звуковоii вол нои с волновым BeK
тором q. Интенсивность антистоксовой
волны Ы а дает сведения о модуляции
разности населенности возбужденноrо
уровня с частотой Q и OCHoBHoro со-
стояния.
Использование предлаrаемоrо ме-
тода требует, однако, выполнения
условий, при которых «истинность»
состояний среды не нарушалась бы
световоЙ накачкой.
В этой rлаве мы познакомились
с релаксационноЙ теорией объемной
и сдвиrовой вяз костей в наиболее простом виде для одноrо
времени релаксации, Эта теория дает возможность качественно
объяснить полную зависимость поrлощения а/ю2 от ln ю. Эта зави-
симость изображена на рис. 2.6 [39J. Она дает общее представление
о том, какое поведение может иметь а(ю)/ю2 для такой жидкости,
как, например, бензол.
При низких частотах, коrда ют l (область 1) постоянная поrло
щения определяется как сдвиrовой, так и объемной вязкостями и
не зависит от частоты, В области 2 происходит релаксация 11', и
коэффициент поrлощения падает; область 3 соответствует положе-
нию, коrда Т]' <<отрелаксировала», и коэффициент а определяется
лишь значением т] и а/ю2 вновь не зависит от частоты, Наконец,
в области 4 происходит релаксация сдвиrовой вязкости т], вызван
ная, например, структурной перестройкой жидкости. Наконец, об
ласть 5 соответствует случаю, коrда «отре.тrаксировала» и сдвиrовая
вязкость.
Хотя такая картина весьма упрощена, для общеrо представле-
ния о релаксационных явлениях в жидкостях она полезна.
Вернемся к вопросу о релаксации сдвиrовой вязкости. Как мы
О'N\1ечали, зависИмость а от частоты продольноrо звука в жидкой
канифоли "" V{;) [381. Авторами [38} высказано предположение,
что эта зависимость может быть объяснена наличием локально
«/ы 2
а:'1/ Ы!?
/ы"
z
Рис. 2.6. Зависимость поrлоще
ния а/ш2 от IП(j) с учетом релак
сации как объемной, так и CДBH
rовой вязкостен.
62
вкрапленных в такую вязкую жидкость микроскопических HeOДHO
родностей. Они основывали свое предположение на результатах
р боты М. А. Исаковича [43], который развил теорию поrлощения
звука в микроскопически неоднородной среде, состоящей из от-
дельныIx кристаллов, и учел теплообмен между ними. В этом случае
должна получаться такая же зависимость а. '" Vffi.
Эта идея о микроскопически неоднородной вязкой жидкости была
развита М. А. Исаковичем и И...А. Чабан [44, 45] применительно к
построению феноменолоrической теории сильно вязких жидкостей,
считая их микронеоднородными средами с диффузионным обменом
между компонентами, Жидкость в этой теории считается двухфаз-
ной микронеоднородной средой типа .эмульсии, компоненты кото-
рой характеризуются внутренним параметром S, равновесное зна-
чение KOToporo меняется при изменении давления, Друrими сло-
вами, высказывается предположение, что разные компоненты жид-
кости это неупорядоченная фаза и поrруженные в нее области
(кластеры) относительно упорядоченной фазы, между которыми
происходят диффузионные релаксационные процессы при отклоне-
нии состояния от paBHoBecHoro.
ТаI<ая rипотеза дает возможность построить молекулярную тео-
рию сильновязких жидкостей с одним временем релаксации, кото-
рая в принципе объясняет ряд не находящих пока объяснения экс ?е-
риментальных фактов, в частности пропорциональность 't '" У' ш,
Прямых экспериментов, которые указывали бы на справедли-
вость такой модели сильновязких ЖИДI<остей, пока еще нет, хотя
результаты [46J, по-видимому, соrласуются с ней.
Сделаем одно общее замечание. При изучении релаксационных
явлений все рассмотрение сводил ось к изучению скорости звука и
поrлощения; именно поrлощение звука в первую очередь характе-
ризует особенности протекания HepaBHoBecHoro релаксационноrо
процесса. Вместе с тем, если изучать протекание неравновесных
процессов при помощи достаточно интенсивных акустических волн,
мы Rстретимся с качественно иными закономерностями, которые MO
rYT быть существенными в получении новых сведении о протекании
релаксационных явлений. Мы имеем в виду эффекты нелинеЙноrо
поrлощения и rенераЦIIИ rармоник, о чем будет идти речь в rл. 3 и
4. В особенности, по-видимому, это будет иметь значение для даль-
нейшеrо развития нелинеЙной неравновесной термодинамики.
отметим еще, что для физичеСI<ОЙ акустики интересен вопрос
о том, каковы особенности распространения звука в зависимостн
от частоты и амплитуды в релаксирующих средах. Эта задача яв
ляется прямой. Обратная задача по данным акустических изме-
рений (скорости звука, ero поrлощения, нелинейных особенностей
распространения) выяснить физические механизМы и получить дaH
ные об особенностях неравновесных процессов в изучаемой среде.
Эта последняя задача принадлежит уже скорее к области, которой
занимается неравновесная термодинамика, а в применении к жид-
костям теория жидкоrо состояния.
63
в заКJIlочение этоrо параrрафа заметим, что изучение поведения
ч' может иметь и достаточно неожиданные прикладные значения.
Так, например, в [47] описаны весьма интересные акустические
эксперименты, показывающие, что, 'изменяя свойства смазочных
масел при помощи различных к ним присадок, можно менять для
них значения 1']', Этими присадками удается направленно изменять
значение 1']' и тем самым создавать смазочные материалы с заданны-
ми диссипативными свойствами; значение же 11' сравнительно леr-
ко контролировать акустическими методами, о которых шла речь
в настоящей rлаве. Следует, однако, заметить, что здесь еще не
совсем ясно, какова роль 11' для тонких слоев смазки на сравни-
тельно низких частотах, при которых процессы смазки имеют место,
и не иrрают ли роль друrие факторы такие, как наличие ВЯЗКИJ\
волн, акустические пристеНОЧН!:>Iе вихревые течения и т. д,
rлава3
ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ rАЗОВ
И ЖИДКОСТЕЙ
1. Плоская волна конечной аМПЛИТУДbI
в rазе и жидкости в отсутствие диссипации
В задачах линейной акустики амплитуда волны считалась на-
столько малой, что присутствие волны не влияло на свойства среды
в той степени, чтобы их изменение сказывалось на распространении
друrой волны, Выполнялся принцип суперпозиции возмущений;
волны не взаимодействовали между собой, распространяясь незави-
симо.
Такое положение, однако, представляет собой идеализацию. Дa
же для сколь уrодно малых амплитуд волн принцип суперпозиции
не выполняется. Вопрос лишь в том, насколько существенно в той
или иной задаче проявление Всеrда имеющейся нелинейности в ис
ходных уравнениях движения и в уравнении состояния. Коrда не-
обходимо учитыва1Ь конечность амплитуды упруrой волны и ста-
новятся заметными отклонения от принципа суперпозиции, возни
кает большое число разнообразных нелинейных эффектов, К их
числу можно отнести искажение формы вначале синусоидальной
волны и образование rармоник, превращение такой волны в пило
образную волну, возникновение комбинационных частот (в случае
распространения нескольких волн), нелинейное поrлощение, раз-
личные параметрические эффекты, рассеяние звука на ЗВУI<е, транс-
формацию спектра интенсивных шумов, взаимодействие сиrнала с
шумом, акустические течения, радиационное давление, кавитацию
и мноrие друrие. Весь этот Kpyr вопросов принято называть нели-
нейной акустикой.
В этой rлаве изложены основные принципиальные положения из
Bcero теперь уже orpoMHoro количества нелинейных явлений, эф
феК1'ОВ, приложений, которые исследованы и продолжают исследо
ватьсЯ. Теоретические основы нелинейной акустики это часть
общей теории нелинейных волн быстро развиваlOщейся области
современной фИЗИI<и, изучающей общие вопросы распространения
волн конечной амплитуды на поверхности жидкости, волн в плаз-
ме, мощноrо лазерноrо излучения в оптически пелинейных средах
и т. д. В настоящее время имеется уже обширная литература, от-
носящаяся к различным разделам теории нелинейных волн, в том
числе и к нелинейной акустике и 11 J; по ходу изложения даются
необходимые ссылки на ориrинальные статьи, обзоры и моноrрафии.
3 р, А. КраС!\ЛРНl!кое. Б. 1:3. Kpl>111QlJ
оБ
Рассмотрим распространение плоской звуковой волны в rазе
или жидкости без учета диссипации. Исходными уравнениями слу
жат: уравнение движения идеальной жидкости, которое для OДHO
MepHoro движения (вдоль оси х) запишется в виде
р (дv/дt +v дv/дх) == др/дх, (1.1)
уравнение неразрывности
р дv/дх + v др/дх == др/дt
(1.2)
и уравнение состояния
др/др == с 2 (р) == f (р),
(1.3)
[де с (р) скорость звука, являющаяся функцией плотности.
В rл. 2 считалось, что акустические скорости v малы и членом
('lIV)'lI, как членом BToporo порядка малости, можно пренебречь.
Тоrда из уравнений (1.1) и (1.2) леrко получалось обычное волновое
уравнение, описывающее процесс распространения плоской волны.
Не будем теперь пренебреrать нелинейным членом v дv/дх и по-
пытаемся решить систему уравнений (1.1) (1.3). Впервые такое
решение было найдено Риманом в 1860 [. [12] решение Рим.ана.
Пользуясь (1.3), исключим давление Р из уравнения (1.1). По
.'1учим
+v ':':'
дt дх Р дх'
Следуя Риману, введем функцию
О' (р) == (с/р) ф.
(1.4)
( 1.5)
Очевидно, что
да ..:... др др да
дх р дх ре дх ' дt
е др
Р дt '
(1.6)
Уравнения (1.2) и (1.4) MorYT быть теперь записаны так:
да + да + == О + [ди + да ==0
Dt v дх с дх ' дt v дх с дх .
(1.7)
Произведя сложение и выЧитание этих уравнениЙ,
д д
7ft (O'+v) + (с +v) ах (O'+v) == о,
а d
дl (O' v) (c v)дX (O' v) ..==0.
получим
( 1,8)
При O'== + V уравнения (1.8) сводятся к уравнениям
ди ди о
дt + (с + v) дх == .
(1.9)
Каждое из этих двух уравнений описывает распространение возму-
щения (волну); одно из них распространяется в положительном
направлении оси х, друrое в напра!ЗлеНЩI ( x), Заметим, одна-
65
ко, что если в случае волновоrо уравнения для линейной задачи
общее решение состояло из суммы двух волн, движущихся В про
тивоположных направлениях, то в рассматриваемом случае CYM
мировать возмущения нельзя, поскольку возможно нелинейное
взаимодействие волн, распространяющихся навстречу друr друrу.
В формуле (1.9) сл===с + v локальная или местная скорость
звука, являющаяся функцией х. Т ким образом, в какой либо точке
профиля волны в области сжатия к скорости звука С прибавляется
еще определенное значение- колебательной скорости звука; в об
ласти разрежения будет вычитаться определенное значение v.
Учтем теперь нелинейность уравнения состояния. Соrласно (1.1)
имеем
2 ( дP ) ( p ) V I 2 ( P ) V 1
С l' со .
др.\ Ро Ро ро
( 1. 1 О)
Здесь везде индскс «О» означает равновесное сuстuяшl( ; s энтрu
пия; рассматриваются адиабатические процессы, s===const, Таким
образом,
С == СО (p/po)(V I)/2.
Подставляя это значение с в выражение для функции Рима на
получим
Р Р
(J == 5 с (P dp == со 5 ( ) (v I)/2 d: ==
Р. Р.
== [( k. ) (V I)/2 1 1 == ( ' 1 ) === + v,
,\, 1 ро ,\, 1 со
(1.11)
(1.5),
(1.12)
откуда c===co + V(I' 1)/2.
С учетом выражения (1.12) локальная скорость (сл===с + v), фи-
rурирующая в уравнении (1.9) и учитывающая вклад как нелиней-
ности уравнения движения, так и нелинейности уравнения состоя-
ния, примет вид
с л == СО + v + v (1' 1)/2 == со + ev, (1.13)
rде е== (1'+ 1)/2, Уравнение (1.9) примет вид
дv/дt + (со + ev) дv/дх === О
(1.14)
(рассматриваем только волну, идущую вправо). Нелинейность ypaB
нения движения изменяет скорость распространения возмущения на
величину v (см. 1.9)), а нелинейность уравнения состояния на
величину (1' 1)v/2. Конечно, это условное разделение, поскольку
уравнения решаются совместно. Отметим, что для воздуха 1'== 1 ,40
и (1' 1)/2 20%, тоrда как для воды 1'==7 и (1' 1)/2 300%.
Для волны, беrущей в положительном направлении х относи-
тельно неподвижной системы координат, возмущение движется со
скоростью
с л (v) ==co+ev == со (1 +ev/c o )'
3"
(] .15)
67
Это СIШрОС1Ъ распространения возмущения среды 11' неподвижной
системе координат. Отметим, что если для линейной rармонической
Bo,тrHЫ и==и о sinffi (t x/c), то в рассматриваемом с.тrучае, соrласно
(1.15),
v==vоsiПffi(t х/(со+еv)). (1.16)
Как видно, скорость перемещения точек профиля волны различна.
Точки профиля, для которых и>О, движутся со скоростями С>С о
(области сжатия). При и<О имеем с<с о (области разрежения). По-
этому начальный профиль волны будет искажаться. Удобно следить
за этим искажением, двиrаясь вместе с волной СО скоростью со
(сопровождающая система координат). В этой системе координат
v те ТОЧКИ профиля, для которых и==О
(<<нули» волны), будут неподвижны; дру-
"ие точки будут ДВИI'аться с относитель-
пой скоростью еи. На рис, 3.1 показана
llоследовательная деформация профиля
llервоначально (при t==O) синусоидаль
ной волны. Волна.. постепенно будет
менять форму профиля, искажаться, и
профиль приобретет пилообразную фор
му. Естественно, что такой процесс ис
.J;' tco кажения будет происходить лишь до
момента времени образования KpYToro
пилообразноrо профиля, называемоrо
временем образования разрыва t p (слабая
периодическая ударная волна), посколь
ку «захлестывание» волны произойти не
.J;' tco может; в противном случае в один и
тот же момент времени каждый из трех
rидродинамических параметров (и, рили
р) имел бы разные значения, что не имеет
смысла. По достижении пилообразной
формы волна далее будет быстро зату
хать вследствие сильной диссипации,
происходящей в тонком Слое в OKpeCT
ности фронта такой волны.
Обращаясь к рис. 3.1, можно видеть, что заштрихованные пло
щади при и>О и и<О равны друr друrу (что доказывается точно);
этим пользуются для определения профиля волны после Toro, как
она начинает «захлестываться». Волна, описываемая уравнением
(1.14), носит название простой волны. Обычно простой волной назы
вают одномерную беrущую в одном направлении нелинеиную волну
(в этом смысле простая волна есть обобщение беrущей линейной
волны на нелинейный случай), в которой каждая из переменных
поля (в акустическом случае это и, рили р) может быть выражена
через одну из друrих переменных, например р==р (и), р==р (и),
с==с(и). Понятие простой волны является общим и для нелинейных
волн друrой физической природы. Это понятие, как, впрочем, и
ll)
О)
v
8)
Рис. 3.1. Изменение профиля
ПЛОСКОЙ волны конечной aM
плитуды по мере ее распрост
ранения: а) t O, б) t== t 1 , в)
t== t p >t 1 ; t p время образо
вания разрыва.
68
мноrие друrие понятия теорИИ нелинейных tюлн, обладает своист-
вами универсальности (как это имеет место и в теории нелинейных
колебаний для сосредоточенных систем различной природы).
На основании проведенноrо расчета можно, зная форму ВОJЩЫ
в момент времени t, построить форму волны для времени t+Llt.
Такой процесс можно проводить только
до",момента образования ударноrо фрон-
та. Удобно характеризовать «OCTaHOB
ленную» волну уrлом в между осью абс
цисс и нашей кривой v, или коэффициен
том т=== tg в. Будем рассматривать сину-
соидальную волну vо==vоsiп ((f)t kx) и
проводить операции с одним полуперио
дом синусоиды, расположенным над
осью абсцпсс. Тоrда .начальный наклон
кривоЙ
то === дv/(Jх === (2л/А) v o '
v
ь
() :c tCu
Рис. 3,2. Точка а на профиле
скорости «остановленной»
волны, двиrаясь со скоростью
БV, совпадает с точкой Ь че
рез время t p (время образо-
вания разрыва).
Через время t p волна с начальным HaK
лоном то приобретает вертикальный передний фронт (рис. 3.2).
Отсюда
то == tg 80 === ЬО/аЬ == v/€vt p , t p == l/€т o '
Следовательно, примененное построение формы волны можно прq-
водить только для времени t tp'
Выразим время образования пилообразной волны через ампли-
туду давления РО' Из (1.16) и (1.17), учитывая, что для плоской вол-
ны v o == ро/рос о , получим
t р ==лр о с о /2€nро. (1.18)
Расстояние, на котором образуется разрыв,
t ЛРоС л I Nл
Х р == с о р == 2влро == 2лвМ ак == kBM aK == .
( 1.17)
(1.19)
Здесь N== (2Л€Мак) 1 число длин волн, на протяжении кото-
рых образуется разрывный передний фронт; очевидно, N зависит
от параметров среды и от величины начальноrо возмущения, М ак ==
o==vo/c o акустическое число Маха *).
Теперь можно записать крутизну переднеrо фронта в зависи-
мости от пройденноrо волной расстояния:
m==mоЮ х/хр), (1.20)
Отсюда видно, что если расстояние измеряется в еДИНИЦах 1.., то
искажение будет одинаковым и не будет зависеть от амплитуды дав-
ления, чаСТQТЫ и природы rаза или жидкости.
*) Поскольку в этой rлаве и в дальнейшем мы в основном будем иметь дело с
акустическими, или колебательными, скоростями и, везде, rде это не вызывает
недоразумения, мы будем опускать индекс «а к» у акустических чисел Маха и
Рейнольдса.
69
Запишем равнение римановской простой волны (1.14) в со-
провождающен сиСтеме координат. ДЛЯ ЭТОI'О следует переЙТII от
х и t к новым переменным.
х' ==Х, "(== t x/co'
(1.21 )
В этих переменных
ди ди дх' ди дт ди
дf == дх' дТ+ дт дf == дт '
ди дР дх' ди дт ди I ди
дх == дх' ах + дТ дх == дX' C; дт
(аналоrичные соотношения имеют место для величин р и р), Поль-
зуясь этими выражениями, уравнение (1,14) запшuем в виде
1 ди ( и ) - йи ( с" ) йс' v йи
сдТ+ 1+8и- д>; 1+1::7 дx, 87 ()T ==0, (1.23)
о о . о со
( 1,22)
Считая, что M==v/co l и что ди/дх' l (изменеиие IIрОфИЛЯ волны на
длине волны мало), можно пренебречь членом (8и/с о )ди/дх' и ПОJIУЧIIТЬ
ди и == О (1.24 )
дх с5 дт
Эта запись уравнения простой волны в сопровождающей системе
координат часто применяется в нелинейной акустике. Уравнение
(1.24), в отличие от уравнения риМaflО8СКОЙ волны (1.14), уже не
является точным (в paMI<ax предположениЙ, положенных в основу
вывода (1.13)), поскольку при ero выводе использовалось лишь
второе приближение. Впрочем, ценность точноrо решения Рима на
оrраничена тем, что оно относится к идеализированному случаю
отсутствия диссипации.
Отметим также, что в лииейном случае, коrда 8==0, ди/дх==О и,
следовательно, профиль волны не изменяется, линейная волна в
рамках сделаниых предположений (отсутствие затухания, волна
плоская) стационарна, В нелинейном случае профиль волны меня
ется волна нестационарна. Эволюция профиля простой волны в
зависимости от проходимоrо ею расстояния (или времени распросТ
ранения) может быть проанализирована и друrими методами, из
которых существенную роль иrрают методы rеометрических пост
роений, в том числе метод характеристик, Характеристиками назы-
вают траектории движения возмущений скорости v в плоскости x't.
Для линейных волн характеристикой служит уравнение t x/co==
===const, и все характеристики являются параллельными линиями,
поскольку профиль при распространении не меняет своей формы
и волны стационарны. Для простых волн семейство характеристик в
координатах х, 't определяется формулой
't == "(o (X/Co) 8М/(1 + еМ).
Искажение формы волны можно описывать и в спектральном пред-
ставлении; очевидно, искажение эквивалентно образованию rap
моник, При распространении синусоидальной волны с частотой ш,
70
из за нелинсI"Iных процессов в среде образуются волны с частотоl'i
2(0), 3ш и т. д., т. е. с расстоянием х спектр волны меняется.
Рассмотрим образование rармоник в основной волне, имеющей
при х==о синусоидальную форму. Оrраничимся для простоты второй
rармоникой. Имеем, разлаrая в ряд выражение для V по (1.16),
V==VоSiпш ( t + х ,, ! VоSiпш ( t +ех +...\ (1.25)
со Ее, СО со )
членами порядка выше и/с в aprYMeHTe синуса пренебреrаем. Обозна-
чим СРо==(о) и x/co), СРl==шхеv i сg. Разлаrая (1.25) в ряд и считая, что
и c, cos CPl l, sin cpl cpl' получим с учетом формулы для синуса
суммы двух уrлов
V == и о sin ш (t х/с о ) + шхе (иoи/c ) cos ш (t х/с о ),
откуда
['о sin w (t x/co)
и== ?
1 ШХЕ (ио/с;;) С05 W и x/co)
Разлаrая далее знаменатель в ряд и оrраничиваясь двумя члена-
ми разложения, имеем
Vсо VоSitlш ( t \+(Uх ( ) 2Siп2(J) ( t 1. (1.26)
со ) 2 со со )
Таким образом, наряду с основным колебанием пuявилась втора я
rармоника с амплитудой
и О2 == (шхе/2) (Vо/Со)З' (1.27)
Относительная величина второй rармоники, являющаяся мерой He
линейноrо искажения, для звуковоrо давления определится форму-
лой (с учетом соотношения для плоской волны)
Роз/ РОl == (шхеj2) (POl/P O Cg), (1.28)
[де РОl амплитуда давления основной волны (первая rармони
ка) и Роз то же для второй rармоники,
Соrласно этому выражению Р02 растет пропорционально пробе
ry волны х, частоте ш, нелинейному параметру среды е и интенсив-
ности звука, В действительности явление происходит сложней, чем
это описывается формулой (1.28). Во-первых, амплитуда основной
волны будет уменьшаться с ростом второЙ и более высоких rapMo-
ник, что здесь не учитывалось. Во-вторых, сама втораЯ rармоника
Роз должна отдавать часть энерпш на образование собственных выс-
ших rармоник. Все это связано с той идеализацией, которая с са-
Moro н.ачала была положена IЗ основу нроведенноrо рассмотрения,
Кроме Toro, пренебреrалось процессами диссипации.
Вернемся теперь снова к уравнению (1.12). При f1== (p po)/po==
== (p po)/po l из Hero можно получить соотношения между па
раметрами в волне конечной амплитуды. Оrраничиваясь величина-
ми EТoporo порядка малости по I-L, приведем ряд соотношений, кото-
рые понадобятся нам в дальнейшем. Запишем их для простой вол
ны, распространяющейся !3 ПОЛОЖrlТелыщм направлении оси х.
71
При этом величины I1epBOrO 1I0рядка малости будем отмечать ok
ним штрихом, BToporo двумя штрихами. Эти соотношения ока-
зываются такими (см., например, [2, 17]):
, СО'
V == p ,
Ро
" Со" + в 2 со "
v == p p,
Ро 2 Ро
v, L
РоСо '
"р" в р'2
v
РоСо 2 (2в 1) РоРоСо '
( 1.29)
или
Р ' == v'
СО '
" Ро" (B 2) рои"
р == v
СО 2 C '
р' == Puco v ' ,
" " + в ,2
Р == PoCov 2" PoV .
(1.30)
Таким образом, в отличие от плоской волны бесконечно малой амп
литуды, во втором приближении линейные соотношения между дaB
лением и плотностью становятся неверными. Из приведенных фор
мул следует, что при условии постоянства массы (р' ==0, р" ==0)
в звуковом поле во втором приближении имеются постоянные co
ставляюrцие скорости и давления
v" == (e 2) v" /2c o ,
2
p"==(e l)pov' ==(c: I)E.
(1.31)
( 1.32)
2
Величина E==pov' при условии сохранения количества жидкости
в звуковом поле представляет собой сумму кинетической и потен-
циальной энерrий в простой волне среднюю по пространству
плотность:!,.звуковой энерrии простой волны (подробнее см. [2]).
2. Экспериментальные методы исследования
Точное решение для плоской синусоидальной волны конечной
амплитуды, распространяюrцеЙся в r.азах и жидкостях без учета
диссипации, было получено Риманом более 100 лет назад. Однако
экспериментальное обнаружение искажения формы волны и изме-
рения амплИТУДЫ второй rармоники (ее зависимость от расстояния,
нелинейноrо параметра, начальной интенсивности, частоты и др.)
были сделаны сравнительно недавно. Л. Л. Мясников [13] экспе
риментально исследовал явление искажения в трубе, заполненной
rазом, создавая в ней интенсивные звуковые плоские СШIусоидаль-
ные волны, В жидкостях первые эксперименты для плоских сину-
соидальных волн достаточно большой интенсивности были проведе-
ны на ультразвуковых частотах в работах 114, 151. Было обнаружено
искажение формы синусоидальной у излучателя звуковой волны по
мере ее распространения и превраrцение ее (при определенных ин
тенсивностях) в слабую периодическую пилообразную ударную ВОЛ
ну, а также возникаюrцее при этом нелинейное поrлоrцение, Было
показано, что нелинейные свойства жидкости иrрают суrцественную
роль при распространении даже не слишком ннтенсивноrо звука
вопреки распространенному представлению о несуществещfOC'l'И
72
/'3ЛияиИй Не,пинеиности уравнений двИжеНИя и состояний жНДl<осtи
на процесс распространения звука,
Остановимся кратко на методах, которые широко применяются
для изучения особенностей распространения плоских волн конеч
ной амплитуды в жидкостях и rазах (подобные методы применяются
также и для твердых тел; см. rл. 11).
На рис. 3.3 представлена блок схема таких экспериментов с
использованием спектральноrо метода.
[енератор r 00 синусоидальных колебаний ультразвуковой час-
тоты ш модулирует я reHepaTopoM прямоуrольных импульсов rg
y
/1", Л 2 (,)
!;"
1Wr
JLn
r Q
fI
Y z."
Рис. 3,3. Блок схема установки для измерений искажения профиля синусоидаль-
ной волны конечной амплитуды.
с частотой повторения Q (выбор Q определяется расстоянием L,
на котором проводятся измерения (обычно это 50 1000 [ц)), Им
пульсы С частотой повторения Q и несущей синусоидальноЙ часто-
той ш имеют продолжительность _, которая выбирается из условия
_ T, rде Т время распространения волны на длине L, и чтобы
переходные процессы, возникающие в элементах установки (в oco
бенности в резонансном усилителе, настроенном на вторую rapMo
нику несущей, т, е, на 2ш), успевали закончиться в течение Tpex
четырех колебаний несущей частоты ro.
TaKoro рода импульсы с reHepaTopa r 00 подаются на фильтр
пробку ФП 2оо , не пропускающей возможную вторую rармонику от
reHepaTopa. Далее импульсный сиrнал подается на кварцевую плас
тинку И 00 (имеющую резонанс на частоте ro), помещенную в кювету
с водой.
Волна второй rармоники в жидкости принимается кварцевым
приемником П 2ОО с собственной частотой 2ro. После этоrо приемника
стоит фильтр пробка ФП оо , которая не пропускает частоту ro (KBap
цевая пластинка в воде с собственной частотой 2ro имеет широкую
полосу пропускания и может принимать частоту ro). После фильтра-
пробки сиrнал 2ro попадает далее на резонансный усилитель .У 2оо ,
настроенный на частоту 2ro. После усилителя импульсный сиrнал
2ro подается на индикатор И, например на осциллоrраф. Передви-
rая приемник П 2ОО относительно излучающей кварцевой пластинки
И 00' мы увидим (рис. 3.4), что амплитуда второй rармоники, буду-
чи равной нулю вблизи caMoro излучателя, увеличивается, дости-
rая максимума на некотором расстоянии ХСТ (это расстояние назы-
73
вают раССl1l0янuелt сmабu.Лl1эацuи), и далее начинает уменьшаться.
ЭТО уменьшение происходит вследствие затухания как основноЙ вол
ны ш, так и волны второй rармоники. Отметим, что, для Toro чтобы
выполнялось условие плоской волны, описываемый экспеРИl\!ент
должен проводиться в «прожекторной зоне» излучателя, т, е. на
расстояниях L<R2/л, rде R ради
ус излучателя и л длина волны,
соответствующая частоте ш.
На рис. 3.4 штриховой линией
проведена прямая, которая COOTBeTCT
пует зависимости Р2Ы (х) соrласно pe
шению (1.28). Как видно, на рассто-
яниях Х<Х СТ ' коrда затухание еще
не иrрает определяющей роли, экспе
римент находится в хорошем соrласии
с теорией.
Это дает возможность на таких
расстояниях по формуле (1.28), зная
Ро, ш,. р, С, Х, определять нелинейный параметр е rаза или жид-
кости. Такой «нелинейный» акустический метод является в на-
стоящее !время одним [из наиболее удобных и точных методов
P'. >
:С СТ :r:
)
Рис. 3.4. Поведение амплитуды
давления второй rармоники Р2Ы
синусоидальной волны конечной
амплитуды с изменением расстоя
ния х от излучателя. Штриховая
прямая решение (1.28).
Рис. 3.5. Изменение формы ультразвуковой волны в воде (частота 1 мrц, интен-
сивность 5 .10 3 Вт/м 2 ) В зависимости от расстояния от излучателя: 2; 10; 20; 48 см,
Излучение производилось в течение 1 2 с. Приемником служила помещенная
в наполненный .трансформаторным маслом корпус кварцевая пластинка диаметром
25 мм с резонансной частотой 11,5 мrц.
измерения f, и поведения f, в зависимости от определенных физиче
ских условиЙ, например от температуры и от давления.
74
Описанный кратко спектральный метод IIсследования нелиней-
ных искажений формы волны представляет собоЙ весьма чувстви-
тельный метод. Используя ero, можно производить измерения
также амплитуды третьей и более высоких rармоник. Отметим, что
при измерениях, например, в воде не требуется иметь дело с
особенно большими интенсивностями. Так, при подаче на KBapцe
вую пластинку около 100 В она излучает в воду звук с интенсив
ностью около 1 0 5 Вт/м 2 , При этом можно работать с усилителем,
имеющим коэффициент усиления не более 103.
Друrой метод изучения нелинейных искажений состоит в Ha
блюдении формы волны при помощи широкополосной аппарату
ры приемника и усилителя. Так, при измерениях в воде на ульт
развуковой частоте 1 мrц желательно иметь собственную частоту
приемноЙ кварцевоЙ пластины не менее 10 мrц и усилитель, про-
пускающий частоты в полосе до 10 .МI'ц. На рис. 3,5 приведены oc
циллоrраммы формы плоской ультразвуковой волны в воде на час-
тоте 1 мrц синусоидальной у излучателя (x O) (интенсивность
волны 5 .10 3 Вт/м"). При удалении 2«, CM 1
приемной кварцевой пластинки от излу r
41
чателя видно, как волна принимает IIИ
лообразную форму. Следует обратить 4015
внимание, рассматривая эти осцилло 405
rраммы (фотоrрафин получены с экрана
катодноrо осциллоrрафа), что пилооб 4Ш5
разная волна несимметрична; нижняя ее (!0005
половина несколько меньше по Ш\lПли ' п; % r 5 10 15 20 х, см
туде и более плавная. Кроме Toro,
имеются небольшие оспилляции в Bepx ЗО
ней части оспиллоrраммы; они вызваны, 20
по видимому, либо недостаточной шири
ной полосы пропускания приемноrо
тракта, либо явлением дисперсии, обус
ловленной наличием пузырьков rаза в
воде ([1], с, 97), Заметим, что на боль
ших расстояниях (>20 см) амплитуда
ВОJIНЫ заметно убывает.
Объяснение причины несимметрич-
ности формы пилообразной волны, по
видимому, также может быть связано с
образованием кавитационных пузырьков
в воде при прохождении интенсивной
ультразвуковой волны и с явлением
дисперсии, вызванной наличием этих пузырьков rаза в воде, либо,
наконец, с особенностями распространения оrраниченноrо пучка
волн конечной амплитуды. Отметим, что продолжитеJIЬНОСТЬ улыра
звуковоrо импульса, или время «экспозиции» было порядка секунды.
. Измерения поrлощения волн конечной амплитуды показали,
что коэффициент поrлощения не является величиной постоянной.
Напомним, что в линейной акустике коэффициент поrлощения оп-
10
5
1!l 15 20.х, см
Рис. 3.6. Зависимость коэффи
циента поrлощения по энер
rии и относительной ампли
туды второй rармоники плос
кой синусоидальной ВОЛНЫ
конечной амплитуды от pac
стояния от излучающей KBap
цевой пластинки при услови
ях, соответствующих рис. 3.5.
75
ределяется из выражения. для амплитуды А ==А о ехр ( CXoX) Il
cxo==const. На рис. 3.6 показано поведение коэффициента поrлоще-
ния поэнерrии плоской синусоидальной (у излучателя) волны ко-
нечной амплитуды 2сх в зависимости от расстояния, измеренноrо в
дистиллированной воде на частоте ультразвука 1 Л1rц и при ин-
тенсивности 5 .10 3 Вт/м 2 [16]. Из этоrо rрафика Видно, что при yBe
личении х величина 2сх увеличивается от значения 2сх о , COOTBeTCT
вующеrо коэффициенту поrлощения волны малой амплитуды, до
максимальноrо значения при x 12 см, а затем падает, стремясь вновь
к значению 2сх о . На нижнем рисунке показано отношение амплитуд
второй и первой rармоник (в процентах относительно амплитуды
волны основной частоты) в зависимости от расстояния от излуча-
ющей кварцевой пластинки. В приведенном эксперименте поrлоще
ние ультразвуковых волн более чем в 100 раз превышает поrлощение
волн малой амплитуды. Видно, что максимум поrлощения совпадает
с максимумом амплитуды второй rармоники, т, е. примерно с об-
ластью наибольших искажений формы волны (расстояние стаби
лизации волны конечной амплитуды). Из сказанноrо следует, что
блаrодаря нелuН,ейН,ому послощеН,uю не имеет смысла использовать
слишком большие мощности излучения (верхним пределом служит
также пороr образования кавитации, если только продолжитель
ность ультразвуковоrо импульса не мала).
Измерение сх при интенсивных ультразвуковых волнах можно
проводить различными методами (калориметрический, оптический
и друrие [2]).
3. Плоская НeJlинейная волна в среде с диссипацией
Мы обсудили, как проявляется диссипация в экспериментах
по искажению звуковых волн и по нелинейному поrлощению. Pac
смотрим теперь кратко теорию распространения волны конечной
амплитуды в среде с диссипацией. В такой среде процессы зависят
уже от двух безразмерных чисел Маха и Рейнольдса, Нелинейные
эффекты для плоской волны обычно проявляются при числе Рей
нольдса, не слишком малом, таком, чтобы диссипаI(ИЯ не моrла
помешать развитию нелинейности, определяемой числом Маха. Oco
бенно существенны искажение формы плоских синусоидальных волн
и rенерация rармоник в маловязких жидкостях на ультразвуковых
частотах при Re>l. При распространении ПЛОСКОй волны в жид-
кости, обладающей диссипативными свойствами, ПрОllесс «YKPy
чения» будет происходить иначе, чем в среде, rде диссипация OT
сутствует. При искажении волны, блаrодаря квадратичной зависи-
мости поrлощения от частоты, более высокие rармоники затуха-
ют сильнее и процесс искажения тормозится потерями. Ясно, что
поrлощение в такой волне должно быть значительно больше, чем
для волны малой амплитуды.
Точноrо решения задачи о распространении плоской нелиней
ной волны в среде.с диссипацией, в отличие от случая идеальной
среды, не найдено. Поэтому приходится прибеrать к приближенным
76
методам. Оrраничиваясь членами BToporo порядка малости, пола
rая и===и' +и", р===ро+р' +р" (квадратичное приближение), можно
найти решение задачи непосредственно методом возмущений. Од-
нако такие решения применимы обычно на расстояниях, малых по
сравнению с длиной образования разрыва.
Имеются также приближенные решения уравнений rидродина
мrrки вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости, представляю-
щие аналоr простых волн, беrущих в одном направлении. Такие
волны называют Iшазипростыми. Уравнения для них можно полу-
чить, если учесть нелинейные члены BToporo порядка малости, а
коэффициенты вязкости и теплопроводности считать членами пер-
Boro порядка малости. Линейные диссипативные члены будут тоrда
BToporo порядка малости, анелинейные диссипативные члены
TpeTbero порядка малости, которые можно опустить. В рамках Ta
Koro приближения эволюция слабозатухающей нелинейной волны
описывается уравнением (1.14), правая часть KOToporo уже не нуль,
как для простой Волны в среде без диссипации, а содержит член,
учитывающий потери: (Ь/2ро) д 2 и/дх 2 , Выпишем это уравнение пол-
ностью (более подробно о ero выводе см. в [1 J):
ди ди Ь д 2 и
N+(co+eV) ax == 2ро дх2 ' (3.1)
В сопровождающей системе координат (х, т) это уравнение запи-
сывается в виде
ди 8 ди Ь д 2 и
и ==
дх c д. 2pocg д. 2 .
(3.2)
Если диссипация отсутствует, то правые части (3,1), (3.2) обраща-
ются в нуль и мы приходим опять К уравнениям для простой вол-
ны. Уравнение (3.2), описывающее поведение квазипростой волны,
носит название уравнения Бюрсерса [18J. Оно обладает замечатель-
ным свойством: при помощи подстановки Хопфа Коула [19]
ь д
и== д In ер (х, .) (3.3)
8РоСо .
ero удается преобразовать в линейное уравнение типа теплоrrРОВОk
ности:
дЧJ д 2 ЧJ
дх 2poc д. 2 ,
(3.4)
которое, как известно, имеет точное решение. Уравнение Бюрrерса
приближенное; оно в ПРI!нципе дает возможность детально (во B'IO-
ром приближении) проследить за эволюцией плоской нелинейной
Волны в среде с диссипацией.
Так, на основе уравнений (3.1) или (3.2) MorYT быть решены за
дачи об- эволюции профиля исходной синусоидальной или неперио
Дической волны по мере ее распространения и даны ответы на во-
просы, какова ширина фронта возникающей слабой ударной вол
ны, каково добавочное (нелинейное) затухание и т. д.
77
Решения уравнения Бюрrерса MorYT быть получены при Re l,
Re 1 и Re 1, что является существенным достоинством метЬда,
Хотя получение точных решений уравнения Бюрrерса и оказы-
вается возможным, в ряде случаев это представляет довольно rpo-
Моздкую процедуру.
Остановимся кратко на приближенных решениях. Рассмотрим
сначала случай Re 1 и M 1 и воспользуемся методом последова
тельных приближений. Полаrая и и'+и"+. . ., причем и"/и' 1,
найдем из (3.2) для первоrо приближения
ди' Ь д 2 и'
д == 7f2 ' (3,5)
х 2росо т
rде b!2po a/w2 ao постоянная поrлощения волны малоЙ амп
литуды. Если при х==о задана rармоническая волна и v (О, t)==
==vosin wt, то решение получается в виде (2.2.1), с которым мы уже
имели дело раньше,
Уравнение для BToporo приближения будет иметь вид
ди" Ь д 2 и" е, ди' wv х .
--------Т =="'2и == e 2СХ sшw't. (3.6)
дх 2росо дт СО дт 2
Отыскивая решение этоrо уравнения в виде и" ==и (х) sin2w't', по
лучим для v (х) обыкновенное неоднородное дифференциальное урав-
нение
dv/dx + 4аи == (еи щ2с ) ехр ( 2ax).
(3.7)
Считая, что при x o имеется только волна частоты ш, а вторая rap
моника отсутствует, получаем решение уравнения (3.6) в виде
и" (х, т) == (еv ш/ 4ас о ) (e 2CXX e 4СХХ) sin 2ш't'. (3.8)
Коrда диссипапия в среде отсутствовала ( 1 rл. 3), то, соrласно
формуле (1.27), вторая rармоника возрастала пропорционально х.
В рассматриваемом случае диссипативной среды на расстоянии cтa
6ИЛИЗGЦИИ xcr == 1п V2'/a (rде нелинейный рост компенсирует-
ся диссипацией) имеется максимум для амплитуды второй rapMo-
ники; некоторое расстояние искаженная волна проходит, не меняя
своей формы, после чеrо ее амплитуда начинает убывать, так как
подкачка энерrии из основной волны становится меньше, чем дисси
пативные потери. Заметим, что на расстояниях х, коrда ах> 1,
и" "'-'ехр ( 2ax), тоrда как линейная волна частоты 2w убывает быст
рее. Это происходит из за непрерывноЙ подкачки энерrии от первой
rармоники во вторую.
Друrое интересное решение уравнения Бюрrерса, которое может
быть получено без обращения к точному общему решению этоrо
уравнения, соответствует Re?:,> 1, В этом случае можно воспользо
ваться поэтапным рассмотрением процесса ЭВШIЮЦИИ волны. OTMe
тим сначала, что в сопровождающеЙ систеые координат формула
(1.25) записывается в виде
. ( х еМ )
v==vоs!Пw 't+C;;- I+ем '
78
Если ВОСПОЛЬЗОllа'IЪСЯ Малостью М и сохранить лишь линейные
по М члены в этом выражении, то тоrда во втором приближении
получим
v == v siп (() (т + хм/со),
Если в соответствии с (1.19) ввести безразмерное раССТОЯНrrе, paB
ное числу длин образования разрыва a==x/xp==e(()voxc , то это BЫ
ражение запишется в виде
v==v o siп ((()т + av/v o )'
При ма.пых х волна мало отличается от простоЙ волны и решение
совпадает с тем, которое мы записали для v ВЫШе.
Коrда волна переходит в пилообразную, она стабилизируется на
некотором расстоянии Х СТ ' поскольку при таких х конкуренция He
лИНейности и диссипации вносит примерно одинаковый вклад в
эволюцию формы волны. В этом случае в уравненИИ Бюрrерса мож
но пренебречь производной av/ax, и упрощенное уравнение
ev av ==O
дт + 2рсо дт 2
(3.9)
после двухкратноrо интеrрирования по т дает
v == V o th (е Re (()т),
(3.1 О)
rде' V o постоянная интеrрирования. Решение (3.10) описывает
стационарное возмущение, распространяющееся в нелинейной дис
сипативной среде без изменения своей формы. Это возмущение пред-
ста!Jляет собой слабую ударную волну (скачок скорости от vo
до +v o ) с конечной шириной фронта, равной б (е Re) l.
Точное решение уравнения Бюрrерса дается выражением (реше
ние Хохлова) [20, 21]
V== l а [ (()т+лth ( T )], л (()т л. (3.11)
Безразмерная ширина фронта, как можно показать, в области CTa
билизации волны описывается формулой 6== (1 +а) (леRе) l; ши
рина зависит от расстояния a==kxeM. Убывание амплитуды пило
образной волны при а>л/2, как это следует из (3.11), дается фор
мулой
v==v o (1 +a) l.
(3.12)
Как ВИДно, при a==kxeM==kxev o cr; 1 '?P1 амплитуда волны не зависит
от V O ' Это означает, что образование пилообразной волны (в силу ее
большоrо поrлощения) оrраничивает передачу через среду большой
мощности, какой бы эта мощность у источника (при х==О) ни была.
После Toro как пила образовалась, она быстро затухает, Формула
(3,11) допускает разложение в ряд Фурье (решения Фая) [22];
ао
1 . ( h ln(l+a)
V == V o eRe SlП n(()'t) s 2е Re '
n=!
(3. 13)
79
которое дает возможность при больших Re (малые 8) проследИть
з;\ поведением rармоник.
Нелинейный коэффициент затухания пилообразной волны, оп
ределяеМЫlI формулой (3,12), при достаточно БО.JIЬШОЙ интенсивно
стlI исходноЙ волны И не слишком малом Re может в таких мало-
вязких жидкостях, как вода, спирты, в меrаrерцевом диапазоне
частот на один два Ilорядка превышать коэффициент затухания
волн малой амплитуды /Х, Этот нелинейный коэффициент, соrласно
(3.11), имеет величину /Хнл""/Х Re и может HaMHoro превышать /Х.
Так, наПрИМер, на частоте 1,5 Мfц и при интенсивности 50 Вт/см 2
aHД 10 2 /Х [16]. В [1, 2] проводится подробное рассмотрение затро
нутых здесь вопросов, в частности приводятся решения в виде reo
метрических построений для определения эволюции профиля He
линейной волны, выражения для амплитуд rармоник uолее высоких
номеров, чем второй.
4. НелинеЙНbIе плоские ВОЛНbI в среде с дисперсией
До сих пор рассматривались плоские нелинейные акустические
волны в идеальной недисперrирующей среде и в среде с диссипа
цией, В акустике дисперсия не иrрает такой большой роли, как в
оптике, в волнах на поверхности жидкости и в волнах в плазме, тем
не менее с ней часто приходится
встречаться. Так, например, в rл. 2
мы уже имели дело со слабой диспер-
сией среды, коrда рассматривали ре-
iIаксационные явления. Далее мы
познакомимся с друrими волновыми
системами, rде проявляется диспер
сия, жидкость с пузырьками воз-
духа, квазидисперсия при распрост
ранении звука в твердых телах, дис
персия в волноводах и т. д. ECTeCTBeH
но, возникает вопрос, какие новые
особенности появляются при распро
странении ,нелинейных волн в среде
с дисперсией.
Наrлядную картину проявления
характерных черт при распростра
нении плоской нелинейной волны в дисперrирующей среде
можно проследить, изучая капиллярные волны конечной амплиту
ды на поверхности жидкости 123J. Эти волны, о которых речь шла
в rл. 1, имеют скорость распространения с == V ak/p , т, е, эти вол
ны дисперrирующие. С друrой стороны, для таких волн сильно вы-
ражены нелинейные явления блаrодаря нелинейности уравнений
движения. Например, на рис. 3.7 показана форма профиля капил-
лярной волны, полученная теоретически [24] при различных OT
ношениях амплитуды волны а к ее длине л.
.:c tCIl
Рис. 3.7, Теоретическая форма
профиля капиллярной волны KO
нечной амплитуды при различ
ных отношениях амплитуды вол
ны к ее длине л {24].
80
Беrущие кiшиллярные Iюлньi SYei'i<o iЮзбудить в СОСУДё с воДои
прИ помощи леrкоrо (алюминиевоrо) бойка Б (рис, 3.8) длиноЙ не-
сколько сантиметров (так, чтобы на длине боЙка укладывалось с дe
сяток длин волн для получения плоской волны), ШIеющеrо се-
: i о
I l
I 'Н
I I
r J
I
5 I
I
--1......
,Н
ф
с
[]
у
Рис, 3.8. Блок-схема установки для изучения нелинейных свойств капиллярных
волн.
чение в виде призмы, вершина которой касается поверхности воды.
Боек прнкрепляется к диффузору неболr,шоrо звуковоrо динамика
Д, возбуждаемоrо звуковым reHepaTopoM зr. Для преобразования
капиллярноЙ волны в элект-
рическиЙ сиrнал можно ис
пользовать поляризованный
электрод, В воду поrружает
ся медная пластинка Пл, а
поверхности воды касается
тонкая железная проволочка;
на проволочкуu,\\ пластинку
подается поляt' ,,\,1?'ющее нап
ряжение несколько вольт
от батареи Б, При периоди
чес ком поrружении проволоч
ки под действием капилляр
ной волны сопротивление
промежутка между электрода
ми изменяется, в результате
чеrо возникает переменное Ha
пряжеНИе. Принятый сиrнал
пропускается через фильтр
Ф и усиливается усилителем У. Наблюдение нелинейных эффек-
тов проводится В ближнем поле, коrда волну можно считать
плоской. Используются частоты 60 300 [ц и амплитуды волн
......, 1 0 2 см; однородность волновоrо поля леrко контролировать при
помощи стробоскопическоrо освещения. Заметим, что на описанной
установке леrко проводить точные измерения скорости капилляр
ных волн по фиrурам Лиссажу.
На рис. 3.9 показана зависимоть амплитуды второй rармоники
'12 (при частоте первой rармоники, равной 80 [ц) от расстояния до
источника волны х. Видно, что эта амплитуда испытывает прост-
112,о5
30
10
о
о
1,5
3;0
1,5х, ей
Рис. 3.9. Пространственные осцилляции
амплитуды второй rармоники нелииейной
капиллярной волны.
81
ранстпеНJlые ОLЦlIЛЛЯЦli1I, ОтмеТI1М, что фазовая скорость ВТОР0l1
rармоники, соrласно формуле С == V crk/p , на 26 % (в воде) превы
шает скорость первой rармоники, т. е. дисперсионное число п==
== (СШ 'С2ш)/сш==оО,26 (в релаксационной теории (rл. 2) дисперсион-
ное число т определялось несколько иначе: т== (c c )/c ; здесь
С ш фазовая скорость основной волны и С 2Ш волны второй rap
моники.
Из приведенноrо примера видно, что именно различие в CKOpO
стях первой ffi и второй 2ш rармоник приводит к таЮIМ ОСЦИЛЛЯlщям,
в отличие от случая среды без дисперсии.
Здесь уже нет СИНХРОIIизма между основной волноЙ и ее rapMo
никами. По этой причине и возникают пространственные биения aMn
литуды второй rармоники 2ш, которые видны на рис. 3.9. Можно
показать [1], что пространственный период этих биений определя
ется выражением Ll2==о2лlk2 kll \ rде k1==ffi/C uJ и k 2 ==Оffi/С 2ш (ве-
личину 2 называют длиной косеренmносmи).
Таким образом, коrда имеется дисперсия, для амплитуды BTO
рой rармоники нарастающеrо решения в пространстве нет. Заме
тим при этом, что значение 2' полученное экспериментально для
капиллярных волн (рис. 3.9), совпадает с указанным теоретическим
значением.
Мы уже rоворилИ, что в акустике чаще приходится сталкивать
ся с более слабой дисперсией, чем в только что рассмотренном при
мере каПИЮJЯрНЫХ волн. Слабой обычно называют такую диспер
сию, влияние которой мало сказывается на изменении формы про
филя волны на длине волны л или за период волны Т.
При наличии дисперсии поведение коэффициента нелинейноrо
затухания сильно отличается от случая, коrда дисrтерсии нет. Здесь
из-за отсутствия синхронизма между раЗЛИЧНЫМ1\r",'+-ЧJмониками He
линейное затухание уже не проявляется в такой степени, как при
отсутствии дисперсии, коrда волна из за накапливания нелинейных
эффектов превращается в пилообразную.
Таким образом, в случае распространения плоских нелинейных
волн в среде с диссипацией и дисперсией к безразмерным числам
М и Re добавляется дисперсионное число о== (С(i) С2Ш)/СШ' т. е, те-
перь уже имеются три безразмерных числа: М, Re и О. Поправку к
фазовой скорости можно определить из закона дисперсии, который
мы запишем в виде
(J) === kc (k).
(4.1)
При k==2л/л ----+ О значение С (k) стремится к постоянной величине
Со, которая фиrурирует в обычном волновом уравнении. Так, Ha
пример, для rравитационных волн на rлубокой воде С (k) == V g/k
(см. rл. 1), а для волн на мелкой воде при kh ----+ О Со === V gh , rде h
rлубина водоема. Полное выражение для фазовой скорости имеет
вид с 2 (k)==o (g/k)th kh. Следовательно, при малых kh
с (k);:::; V gh [1 (1/6) (kh)2]==co[1 (1/6) (kh)2]. (4.2)
82
Отсюда следует, что в сопровождающеЙ системе координат, движу-
щейся со скоростью со' (j)== cohk /6. Таким образом, при малых k,
учитывая только первый член разложения, закон дисперсии можно
записать в ВИде
(j) cok k3,
(4.3)
rде для рассматриваемоrо случая rравитационных волн ==coЫ6;
эту величину принято называть параметром дисперсии. Для капил
лярных ВОЛН, дЛЯ которых с (k) == V crk/p , в (4.3) будем иметь знак
«+» (отрицательная дисперсия). Поскольку мы рассматриваем
малые поправки как нелинейные, так и дисперсионные, можно счи
тать их аддитивными, и для получения правильноrо закона дис
персии в уравнении простой волны (чтобы получить частоту (j)==
== k ) следует добавить член с третьей производной ВдЗv/дL3.
Мы получаем, таким образом, приближенное уравнение, описы-
вающее распространение одномерной нелинейной волны в диспер
сионной среде, которое в принятых нами обозначениях имеет
вид
ди fи ди В д 3 и О
дх д. д. 3 .
(4.4)
Это уравнение впервые было получено в 1895 r. двумя rолланд-
скими rидродинамиками KopTeBeroM и де Вризом [25] (которые BЫ
вели ero в применении к изучению волн на мелкой воде); по этой
причине ero принято называть уравнением Кортевеса де Бриза
(КдВ) .
Интерес к этому уравнению появился вновь после Toro, как
было показано, что оно описывает нелинейные волновые процессы
в нелинеЙной оптике, в плазме, в ряде задач нелинейной акустики.
Если, кроме нелинейности и дисперсии иrрает роль такЖе и дисси-
пация, то тоrда уравнение (4.4) дополняется членом, учитывающим
затухание волны, и оно переходит в уравнение Кортевеса де
Бриза Бюрсерса (КдВБ):
ди fV ди д 2 и д 3 и
д 2 д ao д 2 д 3 == О.
Х Со. Т Т
(4.5)
Как уравнение (4.4), так и (4.5) справедливы при М, D, аЛ l, т. е.
для сред с малыми нелинеЙностями, дисперсией и затуханием на
длиНе волны.
Одним Нз возможных применений уравнения KopTeBera де
Врнза Бюрrерса в акустике служит рассмотрение задачи о рас-
пространении волны конечной амплитуды в такой слабо дисперrи-
рующей среде, как, например, среда с релаксацией. Здесь, однако,
в общем случае уравнение имеет более сложныЙ вид, поскольку по-
rлощение в среде с релаксациеЙ уже может не квадратично зависеть
от частоты. Мы не имеем здесь возможности заниматься этими инте-
ресными вопросами. Отметим лишь, что нелинейное уравнение (4.4),
как и уравнение (3.2), имеет точное решение. Есть еще ряд нелиней-
83
ных дифференциальных уравнениЙ в частных ПРОИЗВОДl!ЫХ, описы-
вающих волновые процессы, которые имеют точные решения. Это
. уравнения для нелинейных стационарных волн оrибающей [26],
для трехволновых процессов (аналоrичные уравнениям Эйлера для
движения rироскопа [27J). уравнение синус-fордона и некоторые
друrие. Разработан мощный метод решения таких уравнений
метод обратной задачи рассеяния [28], иrрающий в определенных
случаях такую же роль для решения нелинейных уравнений в част-
ных производных для консервативных систем (типа уравнения (4.4)),
V какую Иrрает метод Фурье при HHTer-
1 / рировании линейных уравнениЙ в част-
ных производных с постоянными коэф-
() фициентами (см. подробно [29, 30]). Од-
1 () z но из в?зможных" точных стацион!рных
:zчс о решении нелинеиных уравнении для
v Ь а) консервативных дисперrирующих сред,
1 в том числе (4.4), представляет собой
..,,/ так называемую уединенную волну, IIЛИ
() I солumон.. В настоящее время специфичес
10 1 Z кая волновая механика солитонов доста-
(J .J: tco точно де!ально разработана [30J.
Однои из интересных и важных oco
бенностей поведения солитонов служит
то обстоятельство, что они локализова
ны в пространстве и, образовавшись,
уже не меняют свою форму в нелиней-
ной среде; именно конкуренция нелиней
ности и дисперсии ПрИЕОДИТ к возмож-
ности сохранения формы солитонов. Со-
литоны MorYT образоваться при распрост
ранении периодической пилообразной
ударной волны в нелинейной среДе с
дисперсией. Блаrодаря тому, что пило
образная волна имеет крутой переДНИЙ
фронт, т. е. боrата rармониками, из-за дисперсии появляются oc
П,илляции ее формы, возникает тенденция к рассыпанию ее на со-
литоны.
Так, на рис. 3.10 показан пример распада на солитоны пилооб
разной волны, образовавшейся в нелинейной среДе с дисперсией,
приведенный в работе [31 J. На рис. 3.1 О, а показана синусоидаль
ная волна, которая после прохождения расстояния, paBHoro рас-
стоянию образования разрыва Хр, изменяет свою форму (3.10, б).
Блаrодаря тому, что волна имеет крутой передний фронт, т. е. бо-
raTa rармониками, из за дисперсии начинается ее отличие от «пи-
лы», переходящее к рассыпанию на солитоны. После 1'oro как волна
проходит расстояние 3,6хр, видна уже совокупность отдельных
солитонов (рис. 3.10, в); их максимальные амплитуды лежат на
ОДНОЙ прямой. Далее траектории солитонов пересекаются, так как
солитоны с БОльшей амплитудой движутся быстрее.
v
,.,
1
()
Рис. 3,10. Образование ПИЛо-
образной волны в среде с
дисперсией и распад ее на
солитоны.
84
5. Сферические и цилиндрические нелинейные волны
Если записать уравнения rидродинамики вязкой теплопроводя-
щей жидкости в цилиндрических или сферических координатах, то
оrраничиваясь вторым приближением, можно получить нелинейное
уравнение, аналоrичное уравнению Бюрrерса для сферических и ци-
линдрических волн. В сопровождающей системе координат r и т эти
одномерные уравнения имеют вид
ди пи 8 ди Ь д 2 0
дf + 2, c и д-с == 2pocg дт2 , (5.1)
rде r радиальная координата и п==О, 1, 2. При п== 1 это уравнение
описывает нелинейную цилиндрическую волну и при п==2 сфери
ческую; п==О соответствует уравнению Бюрrерса для плоской BOk
ны. Проведено подробное рассмотрение эволюции профиля сфери
ческих и цилиндрических волн [32, 33], возможности образования
пилообразных возмущений, динамики ширины ударноrо фронта,
нелинейноrо затухания и друrих вопросов. Мы здесь остановимся
только на некоторых важных сторонах распространения таких воз
мущений.
Если цилиндрические и сферические волны раСХОДЯЩИеся, то
нелинейные эффекты проявляются значительно слабее, чем для
плоской волны. Здесь вступает в силу rеометрический фактор и
плотность энерrии волны, приходящаяся на единицу площади вол
HOBoro фронта, убывает. Если произвести для сферически симмет-
ричных волн (п==2) замену u==иr/r o и z==ln (r/r o ) , а для цилиндриче-
ски симметричных волн (n== 1) замену u==и(r/ro)'/o и z==2 (r/ro)'/o, то
получаются уравнения
ио U ди ==...!!..!:.2.... eZ д 2 и (5.2)
д z c д-с 2c po д-с 2 '
.!:... u ди д 2 11 (5.3)
дz c д-с 4c poro д-с 2 .
Здесь ro исходный радиус волновоrо фронта. Отличие этИХ
уравнений от уравнения Бюрrерса для плоской волны состоит
в том, что для сферических расХодящихся волн как бы увеличивает-
ся (экспоненциально нарастает с z) эффективная «вязкость» (в схо-
дящихся волнах эта «вязкость» экспоненциально убывает). В цилин-
дрических расходящихся волнах «вязкость» линейно растет с z
(в сходящихся линейно убывает с z). Такие качестВенные рас-
суждения полезны, но не совсем точны, поскольку при получении
(5.2) и (5.3) мы ПрОIlзвели нелИнейные преобраЗ0вания координат.
Отметим также, что для сферических и цилиндрических волн нель-
зя ввести число Рейнольдса так, чтобы оно не зависело от расстоя-
ния.
Рассмотрим сферическую нелинейную волну. Если число Re
в лико (большая интенсивность, большое е, малая диссипация),
то правую часть уравнения (5.2) можно опустить, и 'тоrда мы будем
иметь дело с обычной плоской нелинейной волной, только описывае-
85
мой друrими перемеННЫМII II и z, 1, В этом случае может образовать
ся сферическая пилообразная волна, если только Rе;З> 1 вплоть до
caMoro образования разрыва. Безразмерное расстояние в длинах
образования разрыва для плоской волны определяется формулой
fJ==kxeM. Тоrда из сравнения уравнений (5.2) и дv/дх (е/сЮv av/at==
==0 получаем, что для сферической волны fJсф==kzuоuiсо, И поэтому
расстояние образования разрыва
r р == r о ехр (1/а о ), (5.4)
rде ao==ekroM. Поскольку ао""",и о , rде и о амплитуда исходноЙ вол
ны, то отсюда следует, что при уменьшении и о расстояние rp экспо
ненциально растет.
Если же чИсло Re не слишком велико, то можно воспользоваться
методом последовательных приближений. Мы здесь приведем OKOH
чателЬный результат: при rраничных условиях v/l (ro, t) ==0 и и' (r о' t) ==
==и о siп wt при ехр z l +z (z l), т, е. на малых расстояниях от
источника, получаем в переменных r, L решение
" аоио,о 1 , [ 2 ( )] ' 2
v == 2 п ехр а о r ro srn шт.
, '0
(5.5)
Как видим, амплитуда второй rармоники сферической нелинейной
волны растет не по линейному закону, как в плоской волне, а
......,lп (rlro) , т. е. достаточно медленно, что происходит Из за сфериче-
cKoro расхождения волны.
Проводя подобные рассуждения для цилиндрической paCXOДH
щейся волны, получим, что разрыв (при достаточном Re l) обра
зуется на расстоянии
rp==ro (l + 1/2а о )2.
(5.6)
Применяя метод последовательных приближений, получаем для
второй rармоники слабой нелинейноЙ ЦИЛИНДрИческой волны, что
и" пропорционально V r/ro :
и" == a o у o ( v ;0 1) ехр [ 2ao (r r о)] siп 2шт, (5.7)
Подводя итоr рассмотрению расходящихся сферических и ци
линдрических волн, мы видим, что нелинейные эффекты для них
выражены существенно слабее, чем для плоских волн.
Совсем друrая ситуация будет в сходящихся сферических или
цилиндрических волнах. В этом случае rеометрический фактор бу
дет действовать в направлении усиления нелинейных эффектов,
С таким положением часто приходится встреЧ'аться в ультразвуко
вой технике и физике ультразвука при использовании фокусирую-
щих сИстеМ. В природных условиях также MorYT возникать эффекты
фокусировки звука, наПрИl\Iер в rидроаКУС1ических задачах.
При малых интенсивностях сферической волны в формуле (5.5)
раССТОЯНИе r будет уже не в числителе, а в знаменателе И при YMeHЬ
шении r возникает разрыв. Применение метода последовательных
приближений при рассмотрении сходящихся волн оrраничено, KO
86
неЧНО, условием, чтобы ОТIюшение второй rармонИlШ I< первоЙ было
существенно меньшим единицы. Для сферических волн расстояние
образования разрыва определяется при этом формулой
rp == ro ехр ( 1/0'0)' (5.8)
а для цилиндрической волны
rp==ro(1 1/20'0)2.
(5.9)
6. Оrраниченные пучки
До сих пор рассматрнвались одномерные неЛI1Нейные волны.
Естественно, что теория неОДIIOмерных возмущениЙ, хотя ее ПрlI
кладное значение несомненно, становится существенно более Слож-
ной. Определенные успехи достиrнуты при изучении оrраниченных
пучков в нелинейной среде. Уравнение во втором приближении,
учитывающее нелинейные свойства средЫ и искажение волн OДHO
временно с дифракционной расходимостью пучка, имеет вид [34]
д ( др' f, , др' ) c ' ( 6 1 )
дт 75X p Р дТ- 2' .lP, .
о о .
rде .lP' ===д 2 р' /ду2+д 2 р' /д?2 «поперечный» лапласиан. Для дву-
MepHoro пучка .lP' ===д 2 р' /ду2, Х направление расп fJостранения.
Это уравнение называют уравненирм' Хохлова Заболоtnской, Оно
выведено в предположении, что поперечная компонента скорости
V V имеет порядок f-L'/', rде f-L=== plpo===p' /po l; тем самым учитывает
ся расходимость пучка. Изменения всех параметров волны поперек
пучка происходят быстрее, чем вдоль (их имеет порядок р), и при
выводе этоrо уравнения предполаrается, что
и, p'==Fv,p'(f-LХ, f-L1/2y, 't==t x/co)' (6.2)
Таким образом, «оrраШIчеIШОСТЬ» пучка совместно с нелиней
ностью должна привести к медленным изменениям формы волны не
только вдоль направления распространения, но н поперек Hero.
Точноrо решения уравнения (6.1) не получено; оно исследуется
аснмптотическими методами и при помощи численных методов.
Приближенные решения удобно получать, вводя безразмерное чис
ло [36], назовем ero в честь Р. В. Хохлова числом Хохлова (Х):
Х ( !:.... \ 2 ( 6 3 )
2п 2 ЕМ " а) , .
rде а ширина пучка и л длина волны основноЙ частоты. Чис-
ло Х характеризует относительный вклад нелинеЙных и дифракци-
онных эффектов в искажение профиля волны, подобно тому как
акустическое число Re ОТНОСИтельный вклад нелинейных и дис
сипативных процессов. Если Х "'"* О, преобладают нелинейные эф
фекты И дифракцию можно не учитывать, если Х"'"* 00, основную
роль иrрают дифракционные эффекты. Мы не имеем возможности
вдаваться здесь в подробности обсуждения нелинейной теории orpa-
ниченных пучков (см. подробное изложение вопроса в [1, 11]).
87
ОтМетиМ лишЬ, ЧТО в безразмерi:rЬiх переменных Q==p/po. 0''''''
==В(ЙРХ/СРо' 8==:(йт, s==y/a уравнение (6.1) для ПJIоскоrо пучка
будет иметь вид
д [ aQ aQ ] х a 2 Q
де дiJ Qдe == Т д1;2 .
(6.4)
В предельном случае Х"'"* 00, т. е. Коrда- rлавными являются
дифракционные эффекты, можно проанализировать уравнение (6.4),
отыскивая первое приближение по малому параметру Х 1. Результат
показывает, что reнерация rармоники в оrраниченном пучке замет-
НО отличается от Toro, как это ПрОИСХОДИТ в ПЛОСКОЙ волне. Вначале
при малых расстояниях от источника амплитуда второй rармоники
на оси ПУЧI<а растет линейно с расстоянием так же, как и в пло-
ской волне. Но далее дифракция приводит к стабилизации этой aM
плитуды, после чеrо амплитуда уменьшается; имеет место (в неко-
'Торой области расстояний) аналоrия с тем, как ведет себя амплитуда
второй f'армоники в диссипативной среде.
В случае малых чисел Х "'"* о сильно сказывается нелинейпость
и в меньшей степени дифраIЩИЯ. Здесь НУЖНО учесть в получающих-
ея уравнениях члены с Х не более чем в перВОЙ степени; при этом
удается получить решение задачи.
Учет диссипации в уравнении (6.4) в еще большей степени
усложняет ero решение. В настоящее время численным методом ре-
шены задачи по применению уравнения (6.4) к анализу формы не-
линейных дифраrирующих волн, поведению rармоник в простран
стве и ряд друrих (подробнее см. [11, 37]).
rлава 4
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АНТЕННЫ
1. Взаимодействие нелинейных волн
Вернемся снова к плоским нелинейным волнам в средах без
дисперсии и рассмотрим случаи, коrда в среде распространяется
не одна, а несколько таких волн. Но прежде отметим следующий
важный факт: нелинейное взаимодействие плоских волн конечной
амплитуды в средах без дисперсии происходит эффективно лишь
в том случае, коrда эти волны распространяются в одном и том же
направлении, т. е. КQллинеарно.
Прийти к такому выводу проще Bcero, если рассмотреть трех-
волновое взаuм.одейсrruзuе: дВе волны с частотами (01 и (02 И волновыми
числами k 1 ==W 1 /C1 и k 2 ==W 2 /C 2
рождают третью волну (0.7, k з ==
==Wз/С з , rДе С 1 , С 2 , С З соответ-
ствующие скорости этих треХ
волн. На квантовомеханическом
языке можно представить плос-
кие волны (01, k 1 И (02, kjJ как
фононbt с энерrиями fz.w 1 , N(О 2 и
квазиимпульсами hk 1 . hk 2 . В
случае слияния двух фононов
образуется результирующий фо
нон (оз, kз (при (01==W 2 это рождение второй rармоники). Хотя
понятие фонона как кванта упруrой энерrии возникло в примене-
нии к твердым телам (кристаллам), ero можно использовать также
применительно к жидкостям и rазам.
На рис. 4.1 IIредставлено такое взаимодеЙствие, при котором
должны быть выпоЛнены УСЛОВIIЯ сохранения энерrии и квазиим-
пульса фононов (так называемые условия синхронизма для трехвол-
HOBoro взаимодействия)
N .
k;r kz
r «
k{
'!)
k;r
r «
1ft
Рис, 4.1. Условия синхронизма для
трехволновоrо взаимодействия: а) k 1 +
+k2 kз, U>J.+ОО2==ООз; б) k1 k2==kз,
ОО1 0)2 ООз'
(Oi + (02 == (0з, k i + k 2 ===' k3.
(1.1)
Из приведенноrо rеометрическоrо построения следует, что
( ООЗ ) 2 ( 001 ) 2 + ( 002 \ 2 + 2 ool 002
== ) cosr:J.,
Са C C I Сl С З ".
(1.2)
89
Для недrrсперrнрующеЙ среды [\ C2' C:1, I! это равенство может
быть выполнено лишь Прl! условии a O, т. е. если все три волны
I<оллннеарны, Подчеркнем, что этот выол,' ОТIЮСIlТСЯ только К пло
СIШМ волнам, но отнюдь не к оrраниченным пучкам, I<оrда MorYT
иrрать роль дифракционные эффекты.
Итак, рассмотрим взаимодействие двух квазипростых волн, pac
пространяющихся в одном и том же направлении х. Приведем CHa
чала формулу (с точностью до EТoporo приближения), часто приме-
няющуюся в экспериментальных ИСС,'Iедованиях, для случая, коrда
при x o излучаются две плоские волны разных частот (О1, (О2 И ам-
плитуд "'01' "'02 I",(x O, t) tr01 siп (()1t+V 02 siп O)ztJ:
2 2
( ) . + . l'0lt:k 1 x . 2 1'0 2(',11 2Х . 2
VХ,'t==V 01 SШ0)1' V02SШ(()2't 2 SIП(()1't 2 sm(()2't
Со Со
eU01VOZ,(CU1 +CUz) х " [( + ) ] (',['011.'02 ( Ш 1 CUz) Х . [( ) ] (1 3)
2 5IП (()1 (()2 't 2 S1П (()1 (()2 Т. .
2со 2со
Видно, что, кроме вторых rармоник 20)1 и 2(()z, возникают суммар-
ные и разностные комбинационные частоты. В действительности,
Еонечно, возникают rармоникн и комбинационные частоты и более
ВЫСОЕИХ IIОрЯДКОВ. Их можно описать, решив задачу более точно.
Рассмотри .1 тенерь подробнее процесс rенерации разностной
частоты при взаимодеЙствии двух rармонических волн в ДИССlIна-
тивной среде; пусть
V (х == О, т) == [' О1 cos (()1Т + [' О2 cos 0)2Т'
Проанализируем вначале случаЙ, коrда Re l и можно пользо-
ваться методом последовательных приближений, Тоrда, полаrая
['==си' +и"..., получим решение уравнения первоrо приближения
(3.3.5) для и' в виде
и' ==и 01 ехр ( a01X) cos 0)1т+и 02 ехр ( a02X) cos (()2Т' (1.4)
Подставляя значение и и' +и" +... , коrда и' определяется по (1.4),
в уравнение Бюрrерса (3.3,2) и сохраняя в нелинейном члене co
ставляющие только с разностной частотой Q==C(()1 (U2' получим
уравнение
ди" д 2 и" (',Q(.'01 (.'02 [ Ь 2 2 1 ..... 1 5
д ao д 2 2 ехр ((()1+(()2)X SII1 't. ( . )
х , 2со 2р о со
Решение ::;I1'oro уравнення для и" с rраНИЧНЫJ\l условием и" o
при x o будет
,, [ ь (ш + ы ) х Ь E' ] pocOeQ1.'011.'02 .' п ( 1. б)
v == eXp 3 ехр ( 2 2 ) 5111 ,T.
2ро Со 2росо Ь Ш1 + Ш2 Q2
Видно, что при малых х амплитуда растет пропорционально Х и
достиrает максимума при
( oo +oo; ) 2c po
xrnax==ln b(w +w Q2)'
после чеrо она начинает убывать.
( 1.7)
!)()
При Re 1 можно не УI:{ИТЫlЗatь ДИССlш<:JТl1вных пропессов и ре-
шение для и" дается формулой (1.3); при этом член, содержащий Q,
принимает вид
и"::::: (eQvOlv02/2c ) Х sin Q-r.
Подобным же образом можно решить задачу о распространении
аМПЛИТУДНО J\.ЮДУJIированноrо I'армоническоrо сиrнала конечной
амплитуды ([1], с. 104)
v == и о (l + т sin Q't sin (lН), (1.9)
rде т коэффициент модуляции, Волна с частотоЙ ш взаимодей
ствует с бо]{овыми частотами ш + Q 11 возникает, в частности, волна
разностной частоты ш ш+Q==Q,
Рассмотренные задачи о взаимодеЙствии волн иrрают важную
роль в теории парзметрической lIеЮlНеi'шоiI антенны, о ]шторой речь
будет идти дальше.
К числу интересных проблем относится также задача о I{()JIЛИIIе
арном взаимодействии слабоrо монохроматическоrо сиrнала с ин-
тенсивной волной; эта волна может быть rармонической, но может
представлять собой и интенсивный шум, В работах [1 4] показа
но, что такое взаимодействие в среде без дисперсии может быть
причиной дополнительноrо затухания звуковоrо сиrнала (поrлоще
ния звука звуком),
Проанализируем этот процесс более детально. Рассмотрим при
помощи уравнения Бюрrерса взаимодействие двух плоских колли
неарных волн, коrда они задаются на входе в неюшейную среду
в виде
( 1,8)
v (О, 't) == А О1 cos ш1't + А О2 cos шz't, (1,10)
rде через Ао[ и АО2 обозначены величины и О1 и V oz . Эти волны взаимо
действуют между собой в процессе распространения и рождают
цеJIЫЙ спектр комбинационных частот суммарные (Ш 1 +(1)2) и раз
ностные (Шl Ш2) частоты, rармоники частот Ш 1 и Ш 2 И т. д. На
первом этапе исследования следует оrраничиться изучением дина
мики амплитуд волн только основных частот Шl, ш 2 , а также CYM
марной и разностной частот, При этом наиболее простые аналити
ческие результаты, дающие соrласие с экспериментами, можно по
лучить уже в рамках трехчастотноrо приближения, Четырехчастот
ное приближение решения уравнения Бюрrерса, естественно, дает
более точные результаты, Ero можно искать в виде
4
v (Х, 't) == L [Ak (х) ехр (iШ k 't) + к, с.],
k=:l
(1,11)
rде А k(x)==Bk(x) ехр [iSk(X)J комплексные амплитуды, изменяю-
щиеся по мере распространения волн в среде и ШЗ==Шl Ш2' Ш 4 ==
===Ш 1 +Ш 2 , а rраничное условие задается выражением (1,1 О), Здесь
Bk' Sk действительные амплитуды и фазы.
Рассмотрим случай, коrда Ш1 слабая высокочастотная rармони-
ческая волна; мощная монохроматическая низкочаСТОТЮIЯ волна
91
имеет частоту Ш 2 , Tal< что Шl Ш2' Задачу можно решать в прибли-
жении заданrюrо поля, считая, что А 2(x)==A o ==const.
Расчеты предсказывают характерные осцилляции амплитуд волн
основной Шl И комбинационной частот с расстоянием, что является
результатом интенсивноrо обмена энерrией между волнами. Период
этих пространственных осцилляций L или расстояние между двумя
последовательными минимумами амплитуд может быть оценено с по-
мощью результатов, полученных в четырехчастотном приближении.
Наиболее просто выражение для L получается при I:'Re 2 ?> 1, В этом
случае
что хорошо соrласуется с результатами численноrо решения.
Амплитуда слабоrо высокочастотноrо сиrнала блаrодаря вза
имодеЙствию с интенсивноЙ низкочаСТОТIIОЙ волной испытывает
значительное дополнительное затуха
ние. Характерно, что зависимость В 1 ,
В 2 и В4 от начальноrо сдвиrа фаз по-
ЯВЛ5Iется только при условии Ш 2 ==
== ш 1 /2 == Шl Ш 2 (шl;>ш 2).
На рис. 4.2 представлена блок-схе-
ма установки по исследованию колли-
HeapHoro взаимодействия слабоrо
ультразвуковorо сиrнала (12 мrц,
10 lo 10 8 BT/M 2 ) с интенсивными
низкочастотными возмущениями в во-
де [5]. В качестве последних исполь
зовался низкочастотный непрерывный
сиrнал частоты 1 мrц и интенсив-
ностью порядка 10 4 Вт/м 2 или ин
тенсивный шум в полосе 600 кrц
2 мrц с интеНСИЕНОСТЬЮ порядка
3 .10 4 BT/M 2 , что соответствует сред-
неквадратичному значению колеба-
тельной скорости ,....,4,6 .10 2 м/с.
В кювете с водой 1 размещался низкочастотный пьезокерамиче-
ский излучатель 2 и высокочастотный излучатель 3 (пластинка
кварца Х-среза). Излучатель 2 возбуждается или с помощью низко-
частотноrо reHepaTopa синусоидальных сиrналов 5 или с помощью
мощноrо reHepaTopa шума. Излучатель 3 возбуждался reHepaTopoM
синусоидальных сиrналов7. Все измерения проводились в импульс-
ном режиме. Модулятор 6 с реrулируемой временной задержкой
обеспечивал задержку высокочастотноrо импульса на время, необ-
ходимое для прохождения низкочастотным акустическим сиrналом
от преобразователя 2 до преобразователя 3.
Различные частотные компоненты спектра принятоrо сиrнала
изучались с помощью спектр анализатора 9, на который подавался
сиrнал, принятый плоским кварцевым преобразователем 4. Для
8
g
'/
z 3
Рис, 4.2, Блок-схема установки
по исследованию взаимодействия
слабоrо высокочастотноrо ультра
звуковоrо сиrнала (12 мrц)
с интенсивными низкочастотны-
ми возмущениями (1 мrц и шу
мом в полосе 600 кfц 2 Мfц).
92
L == V'2 :n:с /еШIАо,
(1.12)
4
выделения 3l<устичеС1ЮfО сиrнала ИЗ серии nрИliЯТЫХ ИМnУJlЬсов
было применено стробирующее устройство 10,
Акустическая «ловушка», установленная в конце кюветы, ис-
ключала появление сиrналов, отраженных от ее стенок, С целью
предотвращения переrрузки входных усилительных каскадов мощ
ным низкочастотным сиrналом, а также для повышения чувстви
тельности приемной аппаратуры были использованы электрические
фильтры.
На рис, 4.3 изображены rрафики изменения с расстоянием ам-
плитуды волны 12 мrц с начальным значением колебательной ско-
рости В 1 (0)==8 .10 4 м/с в случае 8,(.7:)
ее взаимодействия с мощной 8 j (?)
волной 1 мrц, амплитуда коле 1
бательной скорости которой
В 2(0) =0=8 .1 O :] м/с. Крипая 1 cooт
ветствует затуханию волны
12 мrц в отсутствие мощrrой вол
ны 1 мrц, кривая 3 при ее на-
личии (непрерывные лииии
теория, соответствующие точки 2 0,5
И 4 эксперимент). Заметим, что
блаrодаря хорошему совпадению
формулы (1.12) с экспериментом
можно определять нелrшейный
параметр жидкости е, производя
измерения L.
Подобноrо рода эксперимен о
ты по поrлощению звука зву-
ком в морских условиях на pac
стояниях порядка 100 м и часто
тах 68 кfц и 244 кfц (колли
неарное распространение) BЫ
полнены в [6], rде получены
аналоrичные результаты.
Мы показали, что в отсутствие дисперсии плоские волны вза-
имодействуют лишь при их коллинеарном распространении. В свя
зи С этим возникает вопрос: может ли происходить процесс рассея-
flUЯ звука на звуке, или, точнее, комбинационноrо рассеяния звука,
Под таким нелинейным рассеянием принято понимать возникно
вение акустическоrо поля комбинационных частот при пересечении
двух оrраниченных пучков с частотами волн (й1 и (й2 вне их области
взаимодействия (естественно, что в самой области пересечения вза
имодействие будет происходить), Такое рассеяние может иметь
место, если размер области пересечения достаточен для Toro, чтобы
в этой области возникла комбинационная волна (Ul:!::(US' С друrой
стороны, этот размер должен быть не слишком велик по сравнению
с длиной Волны комбинационной частоты, чтобы возникала дифрак
ция комбинационной волны из области пересечения пучков. Задача
о комбинационном рассеянии звука на звуке привлекала внимание
. 2
10.1
10
20
30
10
50 .т, Сл!
Рис, 4.3, Простраиственные осцилля
ции высокочастотноrо слабоrо сиrнала
(f1 12 Мfц, 81(0)==8 .10 4 м/с),в отсут-
. ствие взаимодействия и, 2) и при вза
имодействии (3, 4) с мощиой волиой
(/2== 1 Мfц, 82(0)==8 .1O 2 м/с).
93
мноrих исследователей. Теория и эксперименты по рассеянию звука
на звуке в жидкости рассматривались в работах [1, 7 11], Этот эф
фект достаточно мал, и экспериментально ero трудно исследовать.
Сложно, например, отделить именно этот тип рассеяния, связан
ный с дифракцией комбинационной волны, от возможных компонент
поля (с теми же комбинационными частотами), которые в экспери
менте возникают из-за наличия лепестков у характеристик направ
ленности излучателей частот Ш1 и Ш2' При пересечении лепестков
MorYT появиться коллинеарные компоненты полей Ш1 и Ш2, что
приведет к эффективной rенерации коыбинационных частот, Кроме
Toro, такие частоты возникают при модуляции, коrда лепестки по-
падают на колеблющиеся излучатели; имеются и друrие сложности
проведения TaKoro рода экспериментов.
Если среда обладает дисперсионным!! СIюйстваМII, УСЛОВlIе син
хронизма (1.2) может БЫПОЛНЯТЬСН и при УI'Лl:lХ а, отличных ОТ нуля,
и нелинейное рассеяние звука может ПРUlIСХUДИТЬ не только из за
paccMoTpeHHOI'o качественно дифраКЦИUННОI'О эффекта для комбина
ционных волн. Такое рассеяние звука на звуке может иметь место
в релаксирующей среде, rде имеется дисперсия; теоретически этот
вопрос рассмотрен в книrе [1Т, с, 124,
Как мы увидим в rл. 10, 11, в твердых телах, блаrодаря разли
чию в скоростях продольных и поперечных волн (<<квазидисперсия»),
комбинационное рассеяние звука на звуке наблюдается эксперимен
тально и при косых взаимодействиях, поскольку и при а*О усло
вие синхронизма (1.2) будет выполнено,
2. Стоячие нелинеиные волны И резонаторы
До сих пор мы имели дело с нелинейными волнами в неоrрани
ченной среде. Однако, в физической акустике большое значеиие
имеет распространение волн в оrраниченных объемах резонаторах,
трубах, волноводах, образцах твердых тел, В таких системах воз-
никают стояч.ие волны, Например, в резонаторах с большой доброт-
ностью нелинейность приводит к появлению дополнительных резо-
нансов. Сами нелинейные явления блаrодаря большой добротности
проявляются на резонансных частотах при весьма малых амплиту-
дах, а добротность резонаторов может падать с увеличением ампли-
туды вынуждающей силы.
Если теория нелинейных волн, беrущих в одном направлении,
получила большое развитие и здесь были разработаны достаточно
мощные методы анализа (основанные на использовании уравнений
типа Бюрrерса), то для решения задач о стоячих нелинейных вол
нах такие методы разработаны в значительно меньшей степени, До-
статочно сказать, что вопрос об отражении и преломлении волн KO
нечной амплитуды еще недостаточно изучен. Законы отражения
и преломления основываются на принципе fюйrенса, в основу KO
Toporo положен принцип суперпозиции, а он не выполняется для
волн конечной амплитуды,
94
Законы отражения неШlНейных упруrих волн 01 rрашlЦ стано-
вятся, вообще rоворя, несколько (а в ряде случаев и существенно)
иными по сравнению с линейноЙ теорией. Например, если пилооб
разная волна падает нормально на абсолютно мяшую стенку, то,
поскольку фаза волн давления меняется при этом на :n:, скачок дaB
ления переходит в скачок разрежения, Пилообразная волна стано-
вится неустойчивой, и разрывы сrлаживаются, В друrих случаях
наоборот, нелинейные эффекты подчеркиваются.
Рассмотрим сначала линейные собственные колебания (стоячие
волны) для случая двух абсолютно жестких параллельных стенок
(бесконечныЙ импеданс) [12, 131, находящихся на расстоянии пл/2
(п==l, 2, 3, ..,) друr от друrа (условие резонанса), Если при t==o
v"'-'siп kx, то для v у стенок, т. е. при х==о и х l==пл/2, имеется
узел и значения v равны нулю (узлы колебаний при любых п и при
любых временах t). Наоборот, звуковое давление р' на стенке будет
иметь пучность и узел посередине между стенками, На рис. 4.4 пред-
ставлены распределение скоростей и распределение давлений в
стоячей волне между стенками через 1/8 периода (п == 1).
Что изменится, если мы будем иметь дело с нелинейными коле
баниями и волнами при тех же условиях? Эту задачу можно решать
как для иростых, тЗl, и для квазипростых волн как задачу о распро
страняющихся навстречу двух таких волнах. Б,/!аrодаря тому, что
эти волны движутся навстречу друr друrу, нелинейноrо взаимо
действия в области между стенками эти воЛны не испытывают (уrол
а в (1,2) равен л, и эффекта накапливания искажения нет), Однако
каждая из встречных волн искажается независимо; кроме Toro, они
связаны условиями на I'раницах. Рассмотрение этой задачи приво
дит к тому, что форма профиля колебательной скорости v изменяет
ся со временем, приобретая пилообразную форму (подробнее см.
[12]), т, е. в решении задачи есть нарастающие во времени члены.
НеСI(ОЛЬКО иначе выrлядит форма профиля давления о'.
На рис. 4.5 покзsюю, как изменяется распределение v и р'
в нелинейной стоячей волне между двумя абсолютно жесткими стен-
каr.ш, Так же, как для линеЙноrо случая (рис. 4.4), на рис. 4.5 че-
рез 1/8 периода представлены MrHoBeHHbIe формы профиля v и р'.
Отметим, что если узлы для v остаются все время на стенках, то
узлы р' смещаются (<<беrают») по х, что нужно учитывать в ряде экс-
lIерш.тентов с большими (1мптrтудаМII ПрlI испо,/!ьзованни ШIТерфс
рометров со стоячими волнами.
За;щча о вынужденных стончих колебаниях конечноii аМIIЛИТУ
ды трубы, открытоЙ с ОДН(ЛО конщ!, решал ась в [141 метолом после
довательных приближений в переменных Лаrранжа, Если s (а, t)
смещение поршня, Ро невозмущенная плотность среды, р (а, t)
и р (а, t) плотность и давление, то для адиабатическоrо распро
странения звука p==Po(p/poYV И волновое уравнение в переменных
Лаrранжа будет, соrласно (1,1.8) и (1.1.9),
д2 c д2
д72 (1 +a /aa)1'+1 да2 == О,
(2.1 )
95
rде C l'po!po' Пuлю"ая =c ' + " +,.. , rдс " второе приближе
ине, получим решение уравнения (2.1) для первоrо приближения
'== o cOSC:S( ;ll) coswt. (2.2)
Считалось, что I\Оордината поршня a O, а uткрытыЙ конец трубы.
iимеет координату a==L. rраничные условия приняты в виде
S o == So соз <ut, (as' jaa)a=L == О. (2,3)
Условие резонанса будет тоrда Иметь вид
(2ЛjЛ) L == kL == (2п 1) лj2 (п == 1,2, 3, ...). (2.4)
Из (2,1) нетрудно получить уравнение BToporo приближения для 1;".
v
о)
Рис. 4.4. Распределение
скоростей (а) и давлении
(й) в стоячеи волне беско-
нечно малоЙ амплитуды
между двумя жестким!!
стеиками через 1/8 перио-
да. Число восьмых перио-
да обозначеио цифрами
O 8.
v
0;8
о)
Рис, 4.5. Распределение
скоростей Са) и давлснии
(6) в стоячей волне конеч-
ноII аМIIJIИТУДЫ между
двумя жесткими стенками
через 1/8 периода. Число
восьмых периода обозна
чеио цифрами O 8,
Подставляя в правую часть этоrо уравнения выражение для 1;'
из (2.2) и СЧflТаЯ, что rраничные условия для s" будут
S o == (a "jaa)a L == О, (2.5)
96
получаем выражение для ". Из этоrо решения, которое из-за ero
rромоздкости мы здесь не выписываем, следует, что, помимо обыч-
ныХ «линейных» резонансов, имеются еще «нелинейные» резонансы,
при которых не выполняются условия применимости метода после-
довательных приближений, Эти условия «нелинейных» резонансов
таковы:
kL == (2n 1) nj4.
(2.6)
в точках, удовлетворяющих этим условиям, " 00, а значения '
конечНЫ. Физический смысл отмеченных <<нелинейных» резонансов
состоит в том, Что одна из частот, возникающая из-за нелинейности,
совпадает с одной из собственных частот резонатора. Если акусти-
ческий резонатор имеет высокую механическую добротность, нели
нейные эффекты вблизи резонансов при внешнем возбуждении мо-
rYT проявляться при очень малых амплитудах, Для реальных резо
иаторов, у которых добротность оrраничивается потерями на вяз-
кость и теплопроводность, нелинейные явления зависят, как и в
случае беrущих волн, от числа Рейнольдса. В [15] показывается,
Что в качестве числа Рейнольдса для резонаторов в виде слоя, с ok
ной стороны KOToporo происходит возбуждение, а друrая сторона
механИЧескИ свободна, можно взять
Re == k okLQ,
(2.7)
rде Q==aU2 добротность резонатора, а коэффициент поrло
щения среды, Sо==Vо/Ш амплитуда колебательноrо смещения.
Пользуясь этим числом, можно заранее сказать, насколько су-
щественными будут нелинейные эффекты вблизи резонансов. При
Re;;?;l амплитуда колебаний на удвоенной частоте вблизи от лИней
ных резонансов сильно растет как и в ,тrинейном резонаторе; т, е.
здесь возникают также Нl:линейные резонансы, При Re 1 нелиней-
ные эффекты оказываются несущественными,
Задача о вынужденных нелинейных колебаниях резонатора с
комплексным rраничным ИМпедансом аналоrичным методом pac
смотрена в [16].
Хотя метод последовательных приближений и дает возможность
найти «нелинейные» резонансы и определить критерии роли нели-
нейных эффектов для резонаторов с высокой добротностью, он не
может быть применен для задач, rде нелинейные эффекты в СТоЯ
чих волнах достаточно сильно J'ыражены. Не может этот метод
дать ответ и на вопрос о том, каково поведение добротности резона-
тора вблизи резонансов. В [18, 19] разработан метод для решения
задач взаимодействия встречных, достаточно интенсивных периоди
ческих нелинейныХ волн, являющийся обобщением метода медленно
изменяющеrося профиля,
Это обобщение сводится к тому, что в уравнениях Бюрrерса
в сопровождающих координатах проводится усреднение по быстро
переменным функциям, описывающим встречные волны (двиrаю
щиеся друr относительно друrа с двойной скоростью звука и взаи-
модеЙСТВУIQщие только на rранице). '
4 13. А. I\РЯСIIЛЬНИlЮВ, 13" В. крылон
97
в I\ачестве иллюстрации развитоrо метода на рис. 4.6 приведен
результат расчета собственных колебаний слоя с двумя абсолютно
()'J ражаЮЩIlМИ стенками (нелинейный резонанс), Показаны стоячие
ВШJНЫ колебательноЙ скорости через равные интервалы времени
M, (1 9)T/8 при различных значениях параметра r1 e(i)votl2co'
Как видно из рис. 4.6, прослеживается эволюция возмущения
на одноЙ нз собственных частот резонатора при больших числах
Рейнольдса. Рост rармоник высоких HO
меров приводит к образованию пилооб-
разной волны; узлы скорости, как и в ли-
нейном случае, остаются неподвижными,
тоrда как узлы шютности и пучности
давления перемещаются между узлами
скоростей, а у колебательной скорости
возникает дополнительный узел беrу-
щий разрыв. Коrда разрыв движется
вдоль резонатора, то уменьшается ero
положительная часть, а отрицательная
увеличивается и к друrому узлу CKO
рости этот разрыв при обретает противо-
положную полярность, На rраницах ре-
зонатора возникают резкие Перепады
давления, тем большие, чем круче фронт
.g
волны; для нахождения ero ширины He
обходимо учесть процессы диссипации.
Этот учет осуществляется при помощи
уравнений Бюрrерса для каждой из
встречных волн. При больших значениях
времени ударный фронт постепенно pac
ширяется и стоячие волны снова стано-
вятся rармоническими,
В процессе образования ударной
волны при собственных колебаниях pe
зонатора увеличивается нелинейное поr-
лощение и добротность резонатора па-
дает, Последняя достиrает минимума в
момент образования разрыва.
В случае вынужденных колебаний He
линейноrо резонатора под действием рас-
пределенной внешней силы уравнения для
прямой F 1 И обратной F 2 волн сводятся К неоднородным уравнениям
Бюрrерса, решения которых выражаются через функции Матье [19J,
ЭТО решение даЕТ возможность ПрОСЛtдить, как устанавливаются вы-
нужденные колебания D резонаторе, какова стационарная форма
этих колебаний. Потери энерrии, возникающие при образовании
rармоник из за нелинейности, компенсируются энерrией, отбирае-
мой от источника. Это приводит к стабилизации профиля СТОЯЧИХ
волн (рис, 4.5, а), При этом добротность при ВЫНуждеННЫХ коле-
баниях, так же как и в случае собственных колебаний, непостоянна;
о
а)
о
о
8)
Рис. 4.6. Эволюция возмуще-
ния t,lc'o на одной из собст-
венных частот резонатора в
С.1учае больших чисел Рей-
I10льдса при различных зна-
чениях параметра, xapaKTe
ризующеrо Иi лииейность за-
дач!! 1\==еюu о tI2с о : «(1 (а),
1 (6), л/2 (6). Расчет про-
веДен для жестких стенок
[18, 19]. Число восьмых пе-
р!!одз обозначено цифрами
1 9.
98
!
t
t
она определЯется амп,'lИТУДОЙ вынуждающей снлы и уменьшаетс>i
с увеличением амплитуды установившихся колебаНIIЙ, Указанный
метод дает возможность найти также резонансные кривые неЛИНей-
Horo резонатора. К задачам о нелинейных колебаниях в резонаторах
примыкает задача о распространении акустических волн конечной
амплитуды в акустических волноводах [201. Здесь поле удается
представить как сумму полей двух неЛIшеi'rных волн, беrущнх под
уrлом друr к друrу.
Однако разработанный метод IIспользованин ураВl1ений Бюр-
repca для встречных (или беrущих под уrлом) волн с дополнитель-
ным усреднением уравнений по быстропеременным функциям пока
что не обобщен для rраниц резонаторов н волноводов, имеющих
произвольное значение импеданса,
3. Параметрические процессы в нелинейных волнах.
Параметрическая излучающая и приемная антенны
В нелинейной теории колебаний и ее приложениях (в особенно
сти в радиотехнике) параметрические процессы при использовании
достаточно интенсивных периодических изменениЙ сосредоточенных
параметров (емкости, индуктивности) позволяют осуществить уси-
ление слабых колебаний и создать параметрические усилители
и параметрические rенераторы, Подобным образо:vI обстоит дело в
нелинейных системах с распределенными l1араметрами, в которых
также можно осуществить параметрическое усиление и j"енерацию.
Это с успехом делается в радиофизике и оптике. В акустике же полу-
чены менее значимые результаты.
Пожалуй, наибольшее значение имеет задача о треХЦGстОlr1НОЛt
nараметрич.еском взаимодействии; вообще дл я парамеТРIlческоrо
усиления или rенерации необходимо участие по краЙнеЙ 'vIepe трех
волн. Одна из этих волн волна накач.ки с частотой (1)з, друrая
слабая волна сиенала (если речь идет о параметрическоiVI усилении)
с частотой Ш 1 и третья волна разностноЙ частоты (о) " . . так
называемая холостая волна. Для этих трех волн до/окно выполнять-
ся ссотношение
Ш З == Ш 1 + Ш 2 ,
(3,1 )
представляющее собой закон сохранения энеРПIИ фононов; именно
отсюда следует необходимость участия в параметричеСIЮМ процессе
холостоЙ волны.
Для Toro чтобы между этими волнами (будем считать их плоски-
ми) происходило нелинейное взаимодействие в среде без дисперсии
такой, как жидкость или rаз, все эти три волны должны I)аспро
страняться в' одном и том же направлении и k з ==k 1 +k 2 . Перекачка
энерrии волны накачки в слабую волну (волну сиrнала) представ-
ляет собой рш;nадныu процесс, в отличие от nроцесса СЛИЯНlJЯ типа
rенерации второй rармоники,
На языке фононов мощная волна накачки или фонон (tJз pac
падается на два фонона Ш 1 и Ш 2 , т. е. ШЗ Ш 1 +Ш 2 (если u)l==
==ш 2 ==ш з /2, то этот процесс называют вырожденны/н) ,
4. 99
НаправлеЮlе lIереIi.ачки энерl'ИИ Ullрсделяс I'C5J СООfl1fLOUf{'нuями
М тли Роу (для снстем без диссипации) между параметрами
взаимuдействующих волн, выражающими закон сохранения энер-
rии, Мы не будем подробно заниматься этими вопросами, укажем
только, что параметрический процесс является порОсО8ЫМ; усиление
наЧllнается с uпределенноrо значения амплитуд. В этом процессе
важное значение имеют также фазовые соотношения между вол
нами W з , Ш 1 , Ш ,
Если А 1, А 2, А 3 амплитуды параметрически взаимодействую
щих волн, ТО в дифференциальной форме соотношения Мэнли
Роу для волн с частотами Ш1, Ш 2 , w з , распространяющихся в не-
дисперrирующей среде с одинаковыми скоростями, имеют вид
d I А 1 1 2 / Ш 1 ==d I А212/Ш2'== dl А з I2/ wз , (3.2)
Эти соотношения показывают, что энерrия из высокочастотной вол
ны накачки W З распределяется между волнами Ш 1 и Ш 2 В отношении
d I A112/d I А 2 1 2 ===W 1 /W z , (3.3)
откуда следует, что преобразование частоты вверх по спектру про-
Исходит эффективнее, чем преобразование частО1Ы «вниз», И при
w 1 /w 2 <:g1 приращение энерrии низкочастотной волны мало. Теория
трехволновоrо параАtетрuческосо усиления в приближении задаНlIоrо
поля с учетом диссипации, сснованная на использовании уравнения
Бюрrерса, подробно изложена в [1]. Эта теория приводит к выводу
О том, что амплитуды А 1 . и А 2, т. е. амПirитуды сиrнала и холостой
волны, при больших х будут нарастать экспоненциально, начиная
с пороrовой амплитуды накачки
A OP '== (счхz) 1/2 Ф(W 1 (U2)1/2 8, (3.4)
rде а1 и а2 коэффициенты поrлощения волн с частотами Ш1 и ш 2 .
При Аз>А ОР амплитуды А 1 и А 2 экспоненциально нарастают,
и следует пользоваться теорией с учетом истощения энерrии волны
накачки при больших х.
Наиболее существенным отличием параметрическоrо усиления
в нелинейной акустике от подобноrо процесса, например в нелиней
ной оптике, служит то обстоятельство, что в последнем случае
имеется сильная дисперсия и волна накачки слабо убывает с рас-
стоянием, В акустическом же слунае мощная волна накачки при
Re 1 (коrда Ii должно было бы иметь место достаточное усиление)
превращается в пилообразную, быстро затухает и параметрическое
усиление становится все более слабым. Если считать, что процесс
усиления может происходить до расстояния образования разрыва
Хр, то можно оценить коэффициент усиления, Для этоrо отметим,
что если не учитывать диссипацию и рассматривать простые волны,
амплитуда колебательной скорости волны сиrнала Ш 1 ' из за взаимо
Дей(твия с волной накачки на начальном этаПе увеличивается со'
rлзсно и], с. 156 (рассматриваем для простоты вырожденный случай
Ш 1 == (() 2 == (() з/2)
А 1 (х) == Al (О) ехр (е<о1Аз (О) x/2cg).
(3.5)
100
Отсюда коэффициен'f усилеl-IИЯ f1араметрическоtо усилителя Кп. у.
будет
К п . у......... Al (Х р )/ Al (О) == ехр (<u 1 /2<u з ) ;:::; 1,28. (3.6)
Отметим, что наиболее эффективный режим параметрическоrо
усилителя имеет место как раз при ШI==ш 2 ==ш з /2; он наиболее эф
феl<ТIlВен, в частности, 11 по той причине, что при этом «холостая
волна», в КCJторую также перекачпвается энерrпя, ЯI3ляеТС51 OДHO
временно сиrналом. Однако даже в этом наиболее блаrоприятном
случае К п . у. лишь немноrим бо,rrьше единицы.
Имеются IЮПЫТКll создаl ь параметрические УСПJНпели, вводя
в среду llСl{усственную дисперсию (наllример, вода с пузырьками;
об этом будет идти речь в rл.
6); при волноводном распрост
ранеНllИ нелинеЙноrо звука
также можно рассчитывать
на создание эффективноrо I1a
раметрическоrо усилителя.
Таким образом, парамет-
рический УСlIлтель в нели-
нейной акустике пока еще ма-
ло перспеКТl!вен. Ситуация
может измениться, если удаст-
ся создать подходящую дис Рис. 4.7. Схема излучающеЙ параметри-
ческой йнтенны.
перrирующую среду с малым
затуханием или использовать
взаимодействия акустических волн с волнами друrой природы.
Перейдем теперь к анализу физических принципов работы таких
интересных не,1инейных систем, как параА-lетрuческuе иЗЛУЧаЮЩllе
и пpUeJI1.Hble антенны. В этих антеннах излучающими или приеМНЬj'
ми элементами служит сам объем нелинейной среды, в котором про
исходит взаимодействие волн.
К 1960 r., в основном блаrодаря работам [2, 14, 15], было пока-
зано, что в ультразвуковом диапазоне частот даже при незначитель-
ных интенсивностях звука rенерация rармоник и комбинационных
частот в малоI3ЯЗКИХ жидкостях (таких, например, как вода) бла
l'одаря их нелинейным свойствам проявляется весьма сильно. Это
натолкнуло Вестервельта [21 24J и независимо от Hero В. А, Зве-
рева]] А. И. Калачева [25 ,29] на мысль о ВОЗМОЖНОСПI создания
парамеТРIlчеСIШХ излучающих и приемных антенн.
На рис. 4.7 []оказаиа схема излучающей иараметрической ан-
тенны, Две интенсивные волны с близкими частотами Ш 1 и Ш 2 , рас-
пространяясь в одном наIlравлении, взаимодействуют между собой.
Наряду с рядом комбинационных частот возникает и разностная
частота Q== IШ1 Ш21 Шl' Ш 2 . Так, в качестве <U 1 и Ш2 дЛЯ воды ВЫ-
rодно использовать частоты примерно до 100 кfц, Если, например,
ш I ==100 кfц, <й 2 ==99 кfц и Q==1000 [ц, то волна частоты Q поrло-
щается значительно слабее, чем несущие Ш 1 и Ш 2 . Эта волна может
пройти значительно большее расстояние, чем волны Ш 1 и (1)2' Эффек
'II J}]Щ ]))))
101
тИвность такои излучающей распределеннои антенны весьма не-
велика (порядка 1 % мощности первичных волн в наилучшем случае
может преобразоваться в волну частотЫ Q). Тем не менее такая aH
тенна обладает рядом весьма ценных свойств, вследствие чеrо она
нашла важные применения в rидроакустике. К числу таких свойств
относится прежде Bcero узкая характеристика направленности
волнЫ разностной частоты Q; эта характеристика определяется не
апертурой излучателей несущих частот Ш j и ш 2, а объемом области
взаимодействия, наподобие Toro, как это имеет место в антенне бе
rущей волны в радиотехнике. Такая антенна при относительно Ma
лых размерах излучающих устройств (Ш j , Ш 2 ) дает возможность
получать достаточно узкую характеристику направленности. Кроме
Toro, параметрическая антенна обладает исключительно интересным
свойством она не имеет боковых лепестков, наличие которых
типично для линейных антенн.
Здесь мы должны сделать важное замечание. В рамках общепринятой ра-
диофизической терминолоrии истинные параметрические процессы распада фоно-
нов WЗ-+Wj+ Ы2 (процессы усиления) всеrДа являются пороrовыми, т, е. начинают
идти в том случае, коrДа амплитуда волны накачки IАзl превышает некоторое
пороrовое значение A OP (см. (3.4)), зависящее от уровня диссипации в среДе.
При этом амплитуда сиrнальной волны IAjl растет в пространсrве по экспоненци-
альному закону от HeKoToporo малоrо, но обязательно ненулевоrо значения (в
реальных усилителях уровень сиrнальной «затравки» должен превышать уровень
шумов). По экспоненциальному закону при больших х растет и амплитуда «хо-
лостой» волны IA21, которая на входе усилителя может равняться нулю.
С друrой стороны, в параметрических излучателях звука происходит reHepa-
ция разностной, а в приемниках (см, ниже) суммарной частоты при нулевом
rраничном условии. Как мы ВИДели ранее (1.1), rенерация комбинационных 'Iac-
тот в плоских волнах идет без пороrа, от нуля и по линейному закону (эффекты
дифракции лишь несколько «подправляют» ero).
Таким образом, картина paccMoTpeHHoro выше процесса параметрическоrо
усиления и физика волновых взаимодействий в параметрических излучателях и
приемниках существенно различны. Эта oroBopKa необходима, поскольку в лите-
ратуре в обоих случаях процессы называют параметрическими, вкладывая в это
слово различный смысл. Собственно rоворя, взаимодействия в параметрических
антеннах с радиофизической точки зрения нельзя называть параметрическими,
поскольку амплитуды накачки и «сиrнала» на частотах Wj, Ы2 сравнимы. Тем не ме-
нее этот термин прочно утвердился среди акустиков, употребляется в сотнях работ
и является общепринятым; вряд ли сейчас имеет смысл настаивать на изменении
сложившейся терминолоrии.
На рис. 4.8 представлены характеристики напраВ,lIенности пер-
вичноrо (а, 6) и вторичноrо (6) излучения в воде для частот 418 кrц
(а), 482 кrц (6) и 64 кrц (разностной частоты Q) при диаметре излу
чателя 2а==7,5 см [29]. Хорошо видно отсутствие- дифракционных
лепестков излучения на частоте Q. Отметим, наконец, что парамет
рическая антенна обладает свойством широкополосности (условно
от нуля [ц), поскольку модуляция разностной частоты осуществ
ляется модуляцией высоКочастотных несущих.
Названные факторы иrрают большую роль во все увеличиваю
щемся интересе к такой антенне, в особенности со стороны rидро
акустиков. В мелком море (шельф) при использовании параметри-
ческой антенны значительно меньшую роль Иrрают как донная, так
и поверхностная реверберации, поскольку антенна не имеет лепест-
102
ков и позволяет возбудить в мелком море только одну нулевую
моду [30].
В тех случаях, коrда существенна малоrабаритность и, с друrой
стороны, не имеют особоrо значения потери энерrии, такая антенна
(блаrодаря ее широкополосности и поэтому хорошим свойствам
для передачи кодированных сиrналов) находит все бол ьшее приме-
нение. Одно из таких применений поиски под слоем донных
отложений (блаrодаря направленности на разностной низкой
частоте "'-' 1 000 rц и в силу малоrо поrлощения в этом слое низких
частот) раЗ,/Iичноrо рода объектов труб, кабелей и т. д. Интересна
еще одна особенность параметрической излучающей антенны. Она
заключается в том, что блаrодаря близости частот несущих (йl и (й2
ШО 110 1110 21l 0 21l' 11l' 110 ШО И' 211 0 1110 Il' 1110 00
а)
с}
в)
Рис. 4.8, Характеристики направленности первичноrо (а, 6) и вторичноrо (в)
излучения параметрической антенны [29],
и малости Q флуктуации скорости звука в морской среде мало вли-
яют на работу такоЙ антенны, они не «разрушают» поле такой
антенны.
Весьма интересной является теория параметрической излуча
ющей антенны в силу ее необычноrо физическоrо принципа. Здесь
мы не можем вдаваться в подробное изложение этой теории [26]
и отметим только основные ее положения,
Прежде Bcero следует отметить, что строrой теории такой антен-
ны пока не существует, поскольку пока нет точноrо решения задачи
нелинейной теории дифракции. Существующие приближенные тео-
рии Можно разбить на три класса.
Первый, наиболее простой способ рассуждений, который при-
нято называть приближением плоских волн [31], состоит в следую-
щем. Рассматривается коллинеарное распространение плоских ин-
тенсивных нелинейнЫХ волн с учетом диссипаТИВJlЫХ процессов,
так как это было сделано нами выше ( 1 этой rлавы). При Re l,
т. е. при слабом проявлении нелинейных эффектов, можно восполь
зоваться решением уравнения Бюрrерса (интересуясь прежде Bcero
разностной частотой Q) методом последовательных приближений.
Амплитуда волны частоты Q, как мы rоворили, растет пропорцио-
нально х и достиrает максимума на некотором расстоянии Х 1 , после
чеrо сильно сказывается диссипация. Эффективность параметриче-
CKoro преобразования определяется как отнощение максимальной
103
амплитуды скорости и!I(Х 1 ) 1\ амплитуде первичных волн и о и OKa
зывается равноЙ
х == V!J (х 1) jv o == (Q/(I)) Re.
(3.7)
посколы\y ш/ >l и Re l, то x l, 11 в этом случае lIараметриче
с!шя. излучающая антенна неэффективна.
В случае Re 1, коrда нелинейность существенна, антенна будет
эффеl\1'ИВНО работать до расстояния, коrда образуется пилообраз-
ная форма ВОЛНЫ при ''r;==(ekM) I. До образования разрыва при х р
v(x)/Q;:::;вQv x/2c , (3.8)
и максимальное значение и!.! будет при х==х р , Тоrда эффективность
преобразования, в отличие от (3.7), будет
Х == VQ](xp)/v o . Q/2(1). (3.9)
Отсюда видно, что нельзя брать большое снижение по частоте. При
х==х р антенна начинает работать в режиме насыщения и, как видно
IiЗ полученноrо выражения (3.9), Х не зависит от е (по этой причине
в таком режиме искусственное увеличение е не должно приводить
К повышению х). Примененный метод в приближении плоских волн,
конечно, не дает возможности получить какие-либо сведения о xa
рактеристике направленности излучения: для этоrо следует pac
сматривать по крайней мере двумерную задачу в частности,
параметричес!\Ое взаимодействие в оrраниченных пучках.
Приведем общий вид решения для oceBoro распределения ампли
туды VQ, которое получается при TaKoro рода рассмотрении [26]:
иа == ио:n:е МЛ 1 V (х, L з , lз. Ф, L D ). (3,10)
Здесь "' длина волны разностной частоты, и о амплитуда Ha
качки, V Нf l\оторая функция oceBoro распределения и о от YKa
занных в скобках параметров, L з == 1/a(j) длина затухания накач
ки частоты (1), 1з== 1/ао длина затухания частоты Q, ф==(I)jQ,
L o ==(I)a 2 /2c o длина дифракции (здесь 2a диаметр излучателя
первичных волн).
Подробный разбор вида функции V дан в [27], а частично о пре
дельных случаях шла речь выше.
Следующий шаr в уточнении решения это представление
о параметрнческой антенне, состоящей из оrраниченных пучков
нелинейных волн, как о распределении в зоне взаимодействия
интенсивных нелинейных волн с частотами (1)1 и (1)2 вторичных
источников и решение задачи излучения такими источниками.
По существу, такая теория, впервые разработанная Вестервельтом
[221,. это решение задачИ о рассеянии звука на звуке с учетом
дифракции комбинационной волны в области взаимодействия волн
с частотами (1)1 и (1)2 (см. также [101).
Рассмотрение задачи основано на неоднородном волновом урав-
нении для давления во втором приближении р", которое можно
101
!10ЛУЧНТЬ нз уравнениЙ I'ИДрОДl!llаМЙЮI!
д p" 2 i)2р" е д 2 р' ()
co дх 2 PoC дta == 4л . (3.11)
rде р' звуковое давление исходной волны (первое приближение),
Q/4л плотность источников,
Это уравнение решается обычным методом запаздывающих по-
тенциалов, причем r!Нтеrриропание (для нахождения вторичноrо
поля) ведется 110 всей облас ПI взаИi\юдействия первичных волн. Для
узкоrо I(оллимированноrо пучка ФУНКЦИЯ V (х, О) дЛЯ дальнеrо поля
иМеет вид
v ( Х в ) == З L з / 1
, 2Xi\
4 (2лL з ) " 4 8 ] ]/2
А SIЛ 2' '
(3. 12)
и Ulирина характеристики направленности 8 н , которую можно
2 u
определить из условия уменьшения и!;! в два раза, для длиннои ап
теппы (/<I?;>;\' А длина полны частоты Q) равн(]
Он == V А/лL з , (:1.13)
Хотя теория Вестервельта и построена при иреДП'Jложениях, кото-
рые сильно оrраничивают ее применение, все же она сыrрала боль
шую роль в- развитии теории параметрических излучающих антенн.
Кроме TOI'O, ее основные результаты (в чаетности, вывод о том, что
ДJIЯ таIШХ антенн отсутствует «изрезанность» характеристики Ha
правленности) оправдываются на эксперименте (за исключением
TOI'O, что теория не дает правильно уровня амплитуды разностной
частоты Q и величины 8 п ). К числу оrраничений этой теории от-
носится таI(же неучет дифракции первичноrо поля. Теория поетро
ена только для BToporo приближения и, следовательно, применима
только для маломощных первичных полей; ближнее поле вторичноrо
излучения не рассматривается, а это важно для оптимизации
антенн [26, 2t;, 321.
Большое число работ было посвящено уточнению теории Веетер-
вельта (учет поперечноrо распределения вторичных источни!юв,
сферически расходящихся параметрических антенн и т. д,), О кото-
рых мы здесь не имеем возможности rоворить.
Более точная теория параметрических излучающих антенн, прин-
ципиально отличающаяся от теории Вестервельта, была разрабо-
тана на основе точноrо волновоrо расчета нелинейных взаимо-
действий в дифраrирующих пучках в работах р, В. Хохлова и ero
ученИ!(ов. Использование метода медленно изменяющеrося профиля
волны в сопровождающей системе координат, наряду с методом па-
раболическоrо уравнения Леонтовича Фока, приведшеrо, как
известно, к новой области теории так называемой кваЗИЩIТике
(области, промежуточной между волновой и rеометрической ОПТИ
. кой акустикой), позволило получить упрощенные уравнения,
описывающие поведеf{ие оrраниченных пучков неюrнейных волн
(о чем шла речь в rл. 3). Весь этот Kpyr вопросов подробно изложен
в книre [261.
105
Нелинейпые параметрические взаимодействия в Ж1IДI<ОСТ5IХ IJ
rазах MorYT быть использованы и для приема слабых сиrналов.
Принцип действия приемной параметрической антенны приведен
на рис. 4.9. Излучатель 11 частоты ffi (накачка) создает достаточно
узкий пучок интенсивных звуковых волн. Слабый сиrнал частоты
Q ffi падает под некоторым уrлом е к оси пучка. В области пере
сечения с полем накачки происходит нелинейное взаимодействие
волн ffi и Q. При этом возникают комбинационные частоты ш 2
и ffi+Q, которые вместе с час
тотой накачки ffi реrистриру
ются приемником П, Фильтр
Ф, настроенный на одну из
боковых частот, выделяет эту
частоту, которая далее уси
J1ивается усилителем У, тем
самым обеспечивая парамет
рический прием,
Приходящий издалека сла
Рис. 4.9, Приицип Действия приемной бый сиrнал Q практически
параметрической акустической аитенны. представляет собой плоскую
волну. Что же касается на-
качки, то в «прожекторной зоне» мы имеем дело с плоскими волна
ми частоты (й, а при больших расстояниях, чем а2/л, с волнами
расходящимися.
Для наиболее простоrо случая плоских волн в среде без дис
персии может иметь место только коллинеарное взаимодействие.
Поэтому ясно, что максимум направленности приемной параметри-
ческой антенны должен быть ориентирован обратно направлению
распространения волны накачки.
Однако уrол е, при котором возможен параметрический прием
даже при идеально плоских волнах, не будет равен нулю. Имеется
так называемый уеол пара.м.еmрuческоео захвата, при котором Вза-
имодействие (а значит, и прием) также возможно. Ero можно опре-
делить из условия, чтобы пространственный период осцилляций
X амплитуды волны частоты Q был меньше Л/2 (поскольку при
x>A/2 изменится направление перекачки энерrии из волны на-
качки в волну сиrнала).
Можно показать, что уrол параметрическоrо захвата в среде
без дисперсии при двух взаимодействующих плоских волнах с час
тотами (й 1 и (J) 2 определяется соотношением [1 J
e == 2лс о (Ш1 (2)/ШlШ2 L вз , (3.14)
rде L вз длина взаимодействия волн, Покажем это, имея в виду,
что соотношение (3.14) понадобится нам и в дальнейшем. Положим,
что под уrлом е встречаются две плоские волны с амплитудами
звуковоrо давления Р1 и Р2 И суммарное поле в первом приближении
пу дет
р' == Р1 sin [Ш1 (t x/co)] +
+ Р2 sin [Ш2 (t xcos e/co ysin е/с о )]== А + В. (3.15)
106
.
I!IIIIIIIII I. H
Нелинейные источники определятся тоrда членами, пропорцио-
нальными
р'2==А2+В2+
+ 2PIP2 sin [Ш 1 (t x/co)] sin [<U 2 (t x cos e/co У sin е/со)]. (3.16)
Здесь мы выписали член 2АВ, поскольку в этом члене присутствуют
комбинационные частоты. Для разностной частоты из члена 2АВ
получаем
PiP2 cos [(<Ul Ш2) t (<Ul Ш2) Х cos е/со +Ш 2 уsiп е/со)] ==
===PIP2 cos[(<U 1 Ш2) t kxx+kyY]. (3.17)
При э том
k == V k + kZ == V (Ш 1 Ш2 cOS е)2 + Ш 2 sin 2 е л/со ==
\ V Ш + ш 2ШIШ2 cos е. (3.18)
Для малых уrлов cos e;:::;1 e2/2 и
k;:::; Wl W2 W 1 w 2 8 2
СО 2со (Wl (2)'
(3.19)
Расстройка (пространственная осцилляция)
Wlw 2 8 2
Ik kрезl== k== 2 ( ) '
СО Cl)l .CI)2
(3.20)
Набеr фазы, приводящий к существенному изменению направления
перекачки энерrии, определится из условия kLвз==л (1/2 длины
волны). Отсюда
ШIШ2е:Lвз/2со (Ш 1 <U2) == Л,
(3.21 )
и мы получаем выражение (3.14) для е:. в рассматриваемом случае
приемной параметрической антенны <Ul Ш2==Q, откуда следует,
что е з v Л/L вз , Эта оценка совпадает с шириной характеристики
направленности для параметрической излучающей антенны в мо-
дели Вестервельта, как это и должнобыть, поскольку как в случае
излучающей, так и в случае приемной антенны мы имеем дело с поч-
ти коллинеарным взаимодействием (см. также [27, 28]).
Хотя сам принцип создания приемных параметрических антенн
чрезвычайно интересен, в осуществлении такой антенны имеются
определенные трудности, например трудности борьбы (из-за широ-
кополосности антенны) с помехами, которые (в особенности на низ-
ких частотах) всеrда имеются в море, если иметь в виду применение
таких антенн в rидроакустике.
Теория приемных параметрических антенн разработана в еще
меньшей степени, чем теория излучающих. Здесь также возникают
вопросы (как и в теории последних) нахождения характеристик
направленности, оптимизации антенны и т. п. [28],
107
4. Статистические явления при распространении
нелииейных акустических волн
До сих пор мы имели дело с реrулярными нелинейными волнами
и их взаимодействиями; случайные процессы при этом не рассмат-
ривались, Вместе с тем статистические явления при распростране-
нии нелинейных волн часто встречаются и имеют большое значение
в физической акустике.
К таким явлениям можно отнести нелинейную трансформацию
спектра интеНСИВНОrо шума при ero распространении внелинейной
среде, коrда из-за взаимодействий спектральных компонент этоrо
шума происходит перекачка энерrии как в низкочастотную, так [f
в высокочастотную части спектра (так назьшаемая аКУСlllllцеская
турбулентность). Друrим rrримероМ может служить послощснuе
звука IUУМОЯ, коrда слабый монохроматический сиrнал, распростра-
няясь в широкополосном шуме, из за взаимодействия с ним испы-
тывает поrлощение; энерrия сиrнала «отбирается» шумом. Отметим,
что даже поrлощение звука за счет вязкости и теплопроводности,
о котором шла речь в rл. 2, можно считать именно результатом TaKO
ro взаИ'\юдействия акустическоrо сИrнала с шумом, который в дaH
ном случае есть не что иное, как спектр тепловых фононов или упру
rих дебаевских волн. Об этом будет идти речь при рассмотрении
поrлощения упруrих волн в твердых телах. Укажем еще на один
эффект уширение спектральных линий rармоник исходноrо узко-
полосноrо возмущения при распространении случайно модулиро
ванной звуковой волны конечной амплитуды.
Теоретическое рассмотрение статистических задач внелинейной
акустике следует разделить на два класса. В первой rруппе задач
акустическое поле (узкополосный шум, интенсивный шум с широким
спектром, смесь сиrнала и шума и т. д.) задается на входе в нели-
нейную среду и ставится вопрос, как по мере распространения
статистические характеристики поля будут изменяться. Вторая
rруппа это коrда в самой среде имеется случайное акустическое
поле (например, шум, поле турбулентных пульсаций и т. д.) И В та-
кой среде распространяются либо реrулярные волны конечной aM
плитуды, либо случайные нелинейные волны. Распространение зву
ковых волн малой амплитуды в турбулентной среде будет нами pac
смотрено в rл. 7.
Отметим существенное отлИчие в постановке задач о детермини
рованных сиrналах на входе в нелинейную среду и сИrналов слу-
чайных. В первом случае в решении задачи о поведении реrулярных
сиrналов, таких, например, как несколько монохроматических He
линейных звуковых волн,. необходимо учитывать фазовые соотноше-
ния между этими волнами, поскольку именно они определяют даль
нейшую картину взаимодействия. Во втором случае такие фазовые
соотношения не иrрают роли.
Кроме указанных статистических задач, связанных с распро-
странением нелинейных волн, к статистической нелинейной акус-
тике относятся, ВQобще rоворя, также задачи о reнерации ИНТ -
108
СИвноrо звука и шума. Рассмотрение этоrо вопроса ПРОБедено,
например, в [12],
Одна из первых задач по нелинейной статистической акустике,
относящаяся к трансформации спектра нелинейных шумовых БОЛН,
была рассмотрена Л, К. Зарембо [331. Далее ряд основных резуль-
татов в изучении первоrо класса задач был получен О. В. Руденко
и А. С. Чиркиным [341.
РаССМОТI:ИМ сна;ала наиболее прос;,тую задачу о распр стране-
нии плоскои случаино модулированнои квазиrармоническои волны
или узкополосноrо случайноrо процесса [341, который на входе в не-
линейную среду (х==О) можно записать для колебательной скорости
v в виде
v и) == и п ( J, t) sin [O)ol + (r (Q, t)],
(4.1)
!'де и о и <р случайные !едлснно измеНЯIOщиеся (Q/UJo J) ампли
туда и фаза.
Уравнение ПРОСТOl"r волны, описывающее поведение нашеrо сиr
нала, в сопровождающей системе координат y==t x/co' х имеет вид
av 8 av
дх == 7 и дУ " (4.2)
Как можно теперь подойти к решению задачи об изменении с рас-
стоянием профиля ВОЛНЫ, заданноrо при Х=:=О выражением (4,1)? Мы
не будем проводить здесь подробное решение этой задачи, которое
изложено в [1], и укажем лишь путь получения TaKoro решения,
а также кратко остановимся на обсуждении результата.
При условии Q/O)o l, которое означает, что искажением и о
и <р можно пренебречь за характерное время Q l, можно показать,
что решение уравиения для простой волны (4.2) в сопровождающей
системе координат будет иметь вид
V(8, z)==A(8)sin[8+zV+<p(8)], (4,3)
rде V==v/O', А==ио/О', 0'== V V 2 , а 8==0)0у, z==eO)oO'x/c безразмерные
координаты, Решение V (8, z) этоrо уравнения дается рядом Бессе
ля Фу6uнu:
V(8, z)== 2J n [nzA (8)] sin {п[8+<р(8Ш,
.:.... п z
n=l
что позволяет записать корреляционную функцию сиrнала V (8, z)
для любоrо значения О и z в виде
В(т, z)=:V(8, z)V(8', z),
(4.4)
rде т и 8' связаны выражением
8' == 8 + О)ОТ ==0)0 (t xlco) + О)ОТ == 0)0 (t + T X/Co). (4.5)
Найти В (т, z) оказывается возможным для стаuионарноrо rayc-
СОБскоrо (нормальноrо) процесса, для KOToporo известно выражение
ПОЯВJ1Я19щейся при ЭТQМ в БЫ ражеfIИI1 для В (т, z) четырехмерной
109
функции распределения [35J. Если наЙдены В (" z), то, полаrая
далее . О, дЛЯ интенсивности случайноrо сиrнала можно иайти
(имея в виду, что для случайноrо сиrнала 1(N),,, v 2 ==a2, а для дeTep
минированноrо сиrнала 1(5) ",vg/2 при одинаковых интенсивностях
исходных волн) выражения для интенсивности rармоник Ih S ) и I f),
которые мы здесь не приводим [1].
Полученные выражения позволяют сделать существенные вы-
воды о том, каково будет различие в процессе возникновения и po
ста rармоник детерминированноrо сиrнала и случайноrо узкополос
Horo сиrнала, Результат получается, вообще rоворя, несколько
неожиданным. Так, если исходные DОЛНЫ имеют одинаковую
интенсивность 1, то оказывается, что rармоники узкополосноrо
случайноrо сиrllала растут быстрее (а исходная волна случайноrо
сиrнала истощается сильнее), чем для детерминированноrо сиrнала.
Объяснение этоrо результата состоит в том, что в случайном
сиrнале всеrда найдутся большие по амплитуде выбросы, Д"lЯ кото-
рых нелинейность проявляется сильнее; нелинейные эффекты ока-
зываются более чувствительными к выбросам rayccoBcKoro шума,
Отметим, что в нелинейной оптике также имеет место подобный
эффект [36]. Экспериментально при малых z этот эффект подтверж
дается; эксперимент приводит к такому результату: Ih N )/ IhS);::::;n!,
rде n номер rармоники, что также следует из теории [37J.
Задав фОр:\1У линии начальноrо сиrнала при х===О, 1. также зная
КОррЕ'ЮIIlИОННУЮ функцию В (1', z) (например, для стационарноrо
т-ауссовскосо процесса), можно далее решать различные задачи по
случаЙным нелинейным волновым процессам такие, как задача
о «раснлыванию> спектральных линий (что удается сделать и для
l(иссипативных нелинейных сред), о ширине спектральной линии
rармоник шума, построить общую теорию нелинейной эволюции
спектров случайных звуковых полеЙ в отсутствие диссипации, pac
lMoTpeTl> вопрос о взаимодействии модулированных волн [38, 39].
5. Поrлощение звука ШУМОМ. Акустическая
турбулентность
Рассмотрим вопрос о взаимодействии rармоническоrо сиrиала
с шумом, в частности вопрос о поrлощении звука шумом. Положим,
Что мы имеем на входе в нелинейную среду (х==О) возмущение S (1])
в виде
s (1]) === N (11) + s (1]),
Здесь S (1]) rармонический детерминированный сиrнал: S (1])===
.===А sitl Ш о 1], а N (11) шум. Шум будем считать нормальным и N ===
===0; ero интенсивность ",а 2 === и 2 ( а == ( и 2 дисперсия шума).
Не останавливаясь на довольно сложном выводе [1, 39], при-
ведем выражение для интенсивности спектральной линии сиr
нала в зависимости от 00 и от проходимоrо сиrналом и шумом
110
расстояния х:
S (ш, х) == А2 ехр [ (ec аш о х)2] 2J 1 ( . T Awo х) б (CU ШО). (5.1)
2 щ A x
rде А начальная амплитуда сиrнала.
Это выражение показывает, что при нелинейном взаимодеЙствии
монохроматическоrо сиrнала S с шумом в среде без дисперсии, aM
плитуда убывает, во первых, по причине I'енераЩI!I rapMoHHK CHr
нала (второй сомножитель в (5.1); он Может иметь значение ЮIlIIЬ
для интенсивноrо сиrнала) И, BO BTOpЫX, Из за не.'!ИlIейноrо вззнмо-
действия с шумом (экспоненциальный множитель); как сиrнал, так
и шум заданы на входе в нелинейную среду при Х'==О и «ИZJ.ут
вместе».
Положим, что сиrналЬная волна имеет малую интенсивность.
Тоrда процесс rенерации rармоник сиrнала можно не принимать во
внимание; уменьшение амплитуды сиrнала будет определяться
лишь экспоненциальным членом; энерrия сиrна/lа перекачивается
в шум.
Формулу (5.1) можно применить для решения задачи о поrло-
щении звука шумом [39J. Предположим, что поле шумов изотропно
распределено по среде с полной объемной плотностью шума Е
'==р о о2, Сиrнал частоты шо распространяется по такой среде с шумом,
но эффективно с волной шо взаимодействует только часть от Е, paB
ная Е д'Q/4л, Величина д'Q'==л8 2 выражается через телесныЙ уrол
параметрическоrо захвата 8;, который определяется фОр;\1УЛОЙ
(см, (3,14))
в 2лсо I шо::!: ffi '/ХШШ О ' (5.2)
В данном случае х характерный размер области взаимодействия.
Рассматриваемый здесь механизм поrлощения из-за нелинеЙ
Horo взаимодействия волн аналоrичен (на макроскопическом языке)
тому, который при водит К поrлощению звука в кристаллах.
Действительно, забеrая вперед, заметим, что в кристаллах
поrлощение звука возникает rлавным образом Из за взаимодействия
звуковых фононов с высокочастотными тепловыми фононами ш,
для которых ш??шо случай Ахиезера [40] (случай шо ш, коrда
длина свободноrо пробеrа звуковоrо фон она [3 больше, чем тепло
Boro [ф, осуществляется при нИзких температурах (rл. 10); это
случай Ландау Румера [41J).
При условии ш шо ИЗ (5.2) получаем 8 ==2ЛС/Хffiо, и показа
тель экспоненты в (5,1) приводится к формуле Ахиезера [40J: за!(()н
убывания интенсивности приобретает вид
1 ...... ехр ( в 2 Е з ffiб 1'х ) == ехр ( ах), (5,3)
2росо
rде Е объемная плотность энерrии шума и l' характерное
время релаксации или, то же самое, время синхронноrо взаимо
действия волны с шумом. Поскольку сиrнальная волна и тепловая
дебаевская волна не идут вместе бесконечно долrо, при выводе BЫ
111
раження для а, соrлаСIlО (5.3), учтено Bpl:'!\151 ЖlI J!Ш теШlOвоrо фрОIl
та 't (вытекающее из (5.1) значение )1t;"EffioI2cgpo ушюжено на отно-
шение ffio't/Jt [1]),
Такой подход примени:м для выяснения вопросов об aHOMaJlbHOM
поrJIощении звука в тех случаях, коrда оно вызывается наличием
внешнеrо (CTopoHHero) шума в среде. В общем случае плотность
энерrИИ шума Е состоИт из части, обусловленной внутреннИми
шумами Евн, и CTopoHHero шума Ест, происхождение KOToporo
имеет различные причины. В этом случае
bы е"Е ст 2
а==авн+а ст , aBH== ' aCT== 2 3 ffio't. (5,4)
2росо росо
Поrлощение, вызванное сторонними шумами, будет заметно, ес-
тественно, коrда аст>а ВII или Ест>Ытв"'.
Рассмотрим в качестве примера распрuстранение звука в ПОk
водном звуковом канале для низких звуковых частот < 1 04 [Ц,
rде как раз, ПО ВИД!lМОМУ, имеет место этот случай [42].
Известно, что уровень динамических шумов океана в канале
весьма высок; в силу способности шумов накапливаться в канале
их полная энерrия на весь спектр может быть оценена величиной
порядка ECT;:::::;2.10 4 эрr/см 3 .
В отличие от спектра тепловых шумов в твердых телах, шумы
в канале сосредоточены rлавным обраЗОi\'l На низких частотах, и из
формулы (5.2) следует приБJ1иженно, что G 2ЛС/Хffi. В этом случае
E2f:'cr 3 т (ы) 5 5
aCT== ffio H. ( . )
2росо w
Как видно, а ст зависит от структуры ШУМОЕоrо спектра. ЕCJШ
положить, ЧТО't (ы) определяется длиной затухания и равно (aCTCO) ]'
то вместо (5.5) найдем
f 2
2ЛЕ {3/2 \' d УЕ df
aCT V 2ро сБ о " УУ '
'.
rде проведено интеrрирование по частотам { ffi/2л. В качестве
пределов естественно выбрать верхнюю rраницу {2 распределения
dE/df, довольно резко спадающеrо при {2 порядка 102 [ц. Нижняя
rраница {l лежит в области порядка единиц rерц; именно для этиХ
частот длина волны сравнима с толщиной канала и сказывается
волноводная дисперсия,
Можно положить, соrласно имеющимся данным, dE/df Ec,/f2==
сопst в области 0<f<f2' dE/df O при f>f2; интеrрируя, получим
а ст == 2 V Ест lп ( ) п/ 2 . (5.7)
V 2ро со f 2 f 1
(5.6)
Как видно, результат слабо зависит от t 2/t], поэтому положим
ДJ1Я оценки {2 200 [Ц, {] 5 [Ц. Поскольку для воды е===(у+ 1)/2;:::::;
;:::::;4, co 1,5 .10 Б см/с, формула (5,7) дает известный в rидроакустике
112
Э \Illlr'lIчеСI\ИЙ реЗУЛЬ1'ат
[ Ь j U О4 { "!-.
(ХСТ Д /км ;:::;;, о -,
rде {о берется в кrц.
Интересно отметить, что, помимо описанной модели, дающей
правильную частотную зависимость { /2, можно оценить друrие
возможные модели для 1; (ш). В большинстве случаев при f о;:::; 103 [п
получается значительная величина (Хст' соответствующая экспери-
ментально наблюдаемоЙ по порядку величины. Это, IIO ВИДИМОМУ,
лишний раз свидетельствует в пользу rипотезы шумовоrо механиз:vш
поrлощеНИ5I звука в океане.
Как мы уже тмечали (см. также работы [33, 38, 39, 43J), в нели-
неЙной среде взаимодействие ультразвуковых сиrналов с II1I1енснв-
ным акустическим шумом
сопровождается ярко BЫ
раженными явлениями пе
рераспределения энерrии
по спектру, При взаимо-
деЙствии с низкочастотным
шумом наблюдается силь
ное уменьшение интенсив
ности спектральной линии
сиrнала, но, кроме этоrо,
возникают новые спект-
ральные КОJ\lПлексы вблизи
сиrналыюй частоты ш о ' а
также вблизи разностных,
суммарных и друrих KOM
бинационны,у компонент
сиrнала и шума. Если при
этом считать, что спект-
ральная линия сиrнала
имеет делыаобразный вид,
и пренебречь вкладом в
интенсивность линии E(J)o,
который дают спектральные комплексы, возникшие у ее подножия,
то величина дополнительноrо затухания сиrнала L13 запишется,
соrласно (5.1), в виде
L1з[дБ]==4,3(вс;2ашох)2, (5.9)
В это выражение входит единственный параметр, характеризующий
шум: ero интенсивность 02, В действительности, однако, спектраль-
ная линия сиrнала всеrда имеет конечную ширину, а e слияние со
спектральным комплексом, образовавшимся в процессе взя.I1модей
ствия у основания линии, приводит, по сути дела, к образованию
Hr! ой линии возросшей ширины (рис. 4.10), В большинстве случаев
ЭТа линия должна рассматриваться как единое целое и расчленить
ее на отдельные составляющие не представляется возможным. Имен
н f) поэтому все расчеты, связанные с определением дополнительноrо
....
(5,0)
3 =o
(и1
(ио
3 " !PA ,
&1 &0 Ы1 (,)0 UJ o tUJ 1 UJ
S t ',,=x,>x,
I
. (и! &O Ы, &0 &0+&1 (()
&
Рис. 4.10. Поведение спектральной линии
сиrнала при ero взаимодействии с шумом
на различных расстояниях х от оси излуча-
теля.
113
затухания сиrнала вследствие нелинейноrо взаимодействия с шумом,
должны вестись с учетом вклада, который дают в энерrетический
спектр S (ш о ) комплексы, возникшие в процессе взаимодействия.
При этом результаты расчетов будут уже существенным образом
зависеть от вида спектра шума и, в частности, от ero ширины.
Характерно, что деформация спектральной линии сиrнала при
взаимодействии приводит к тому, что соотношение между интенсив
ностью невозмущенной линии Ero o и пиковым значением спектраль
ной плотности S (ш о ) в процессе cOBMecTHoro распространения сиr-
нала и шума постоянно меняется, Не остается постоянным соотно-
шение между аналоrичными величинами Еnыоны! и S (nШо::f:kшl)
и для боковых спектральных комплексов произвольноrо порядка
(здесь шl центральная частота спектра шума n, k==l, 2, ..,).
Таким образом, расчет энерrетических характеристик процесса
взаимодействия EnrooHro, должен производиться отдельно от рас-
чета значений спектральной плотности S (nШо:f:kш1). В эксперимен
те определение величины E nroo 1:. k (j), может быть произведено путем
измерения полной интенсивности акустическоrо излучения в ДOCTa
точно узкой частотной полосе, содержащей внутри себя либо спект-
ральную линию сиrнала, либо спектральный комплекс k ro ПОРЯk
ка. Как правило, «вырезание» необходимоrо частотноrо диапазона
проходит в электрической части приемноrо тракта (с помощью Ka
коro либо полосовоrо фильтра). Чаще Bcero изучение спектральных
характеристик акустических процессов производится спектроана
лизаторами, позволяющими наблюдать целиком всю спектральную
картину в исследуемом диапазоне частот, В этом случае приходится
иметь дело с изучением энерrетическоrо спектра процесса и измере-
нием значений спектральной плотности S (ш). Величина дополни
тельноrо затухания сиrнала определяется здесь по пи'ковому значе-
нию спектральной плотностИ на частоте сиrнала S (ш о )' Достаточно
простые выражения для величины дополнительноrо затухания
сиrнала, определяемоrо таким образом, в случае шума, имеющеrо
спектр rауссовой формы, приведены в [5,44J, При этом, если оба
Взаимодействующих возмущения слабо отличаются от узкополос
ных, то величина затухания L1 з полностью определяется двумя
параметрами уо==(еаш о х/с о )2 и р==L1ш о !L1ш 1 , rде а среднеквадра-
rLчное значение колебательной скорости низкочастотноrо возму-
J..!,ения, ш о частота слабоrо высокочастотноrо сиrнала, х pac
стояние взаимодействия, L1ш о и L1Шl ширина спектра высокочас-
TOTHoro и низкочастотноrо возмущений соответственно. Величина
L1 з заключена при этом между значениями 6 ==4,3yo и L1 1)==L1 0)
10 Ig 10(170)'
Сопоставление теоретических и ЭI(спериментзльных данных по
изучению зависимости L1 з от безразмерноrо параметра 170 проведено
на рис. 4.11 [44J. Вместо одной теоретической кривой здесь изобра
жена целая область (отмеченная штриховкой), соответствующая
расширению интервала теоретических значений L1 з из за dшибки
в измерении интенсивности шума. Две кривые, оrраничивающие
данную область, представляют собой результат машинных расчетов
114
Аз при отклонении '\'0 от среднеrо значения на величину, соответст-
вующую ошибке в определении 02 в одном случае в сторону увели-
чения, в друrом в сторону уменьшения. Прямая отражает зави-
симость вида А з ==4,3,\,0. Экспериментальные данные получены
путем измерения величины дополнительноrо затухания сиrнала при
различных значениях интенсивности шума, частоты сиrнала, про-
тяженности участка взаимодействия.
Проведенные эксперименты [5,44J показали, что даже в случае
весьма узкой спектральной линии сиrнала расчеты необходимо
проводить с учетом конечноii ши
рины линии. Коrда отношение .d ,Q5
Аш о ! АШ 1 составляло 0,15 и менее, ЗО
расхождение между экспернмен
тальными даННЫ'\1!1 и теоретичес
кими расчетами, проведеННЫМ!I в
приближении бесконечно узкой 20
спектральной линии, доходило до
35 дБ при ,\,0 12. Учет конечной
ширины спектральной линии сиr
J!Jш
нала снизил отмеченное расхож-
дение до ВЕ:ЛliЧИНЫ 4,5 5 дБ. Oc
тавшееся расхожденпе следует, IIО
видимому, отнести за CifeT диф
ракционных явлении во взаимо-
действующих пучках, а также
некоторой оrраниченности Teope
тическоrо IIодхода, не учитываю
щеrо образования разрывов в про-
цессе распространения высокоам-
плитудных выбросов низкочастот
1I0ro шvма,
Во всех расчетах имеется к TO
му же lIекоторая непоследователь-
ность. По существу, рассматривается одномерный процесс, а вместе
с тем, вводя yro,1J Ilараметрическоrо 3пхвата, мы m'Ходим от этоrо
предположения. Тем не менее такой нестроrий подход, как было
наказано, ЭКСIIf риментально хорошо подтверждаеlСЯ. Kpol\;e Toro,
он приводит I< известным ФОРМУ,1Jам Ахиезера, соrласующимся с
экспериментальными данными.
Имеются друrие пути рассмотрения задачи о нелинейном взаимодействии
монохроматическоrо сиrнала с ШУ lОм, позволящие получить решение для трех-
MepHoro случая. Один путь это использоваrше rамильтонова подхода (подроб
нее об этом см. статью [45]). В рассматриваемой задаче каноничеСI(И переменные
и rамильтониан определены. Следовательно, можно использовать квантовомехани-
ческую аналоl'ИЮ для описания процесса. Записав известные коммутационные
соотношения для каионических переменных, можно определить операторы рож-
Деиия и уничтожения элементарных возбуждений акустическоrо поля. rамиль-
Тониан взаимодействия содержит комбииацию каиоиических переменных в сте-
пеии выше второй. Поэтому элементарные возбуждения в результате действия
Возмущения, определяемоrо иелииейностью, с некоторой вероятностью MorYT
переходить из одиоrо состояния в друrое. Эта вероятиость вычисляется, если из-
о
.5'
Ji:
J!J
Рис. 4.11. Дополнительное затуха-
ние сиrиала при взаимодействии с
шумом в зависимости от парамет-
ра '\'0 (l'awox/c )2: 1 интервал
значениЙ 1'1з, рассчитанный теорети
чески; 2 зависимость вида Д3
4,3,\,0; 3 экспериментальные точ-
ки l44].
115
вестен явный вид rамнльтониана, Учитывая полученное выражение для вероЯТ
ности перехода, не представляет труда построить кинетическое уравнение, опи-
сывающее эволюцию интересующей нас моды во времени и, следовательно, опре
делить характерное время релаксации.
Еслн речь идет о взаимодействии высокочастотноrо сиrнала с низкочастотным
шумом, то для времени т;l получаем выражение
т;l .:::о 4:п(Е(рс2) (ro /ro), (5.10)
Здесь (00 частота сиrнала, Е плотность энерrии шума, локализованноrо в
окрестности частоты ш (оо. В противоположном случае, коrда (o (oo, имеем
т;l 4:п (Е/рс 2 ) (O , (5,11)
,\\UrKHO 11СПОЛLзоваlЪ н друтоЙ подход. Если С'IИтать шумовое поле заданным, то
ero у.,обно racoraTp!lBalI, как большой резервуар, энерrня ко'юроrо велика по
сравнениlO с 3НС)JПIсi1 pe!'ymIpHoi'r волны. Тоrда З;lДз'rа свсдется к линеЙноЙ
задаче о раСllj1щ'траIlСНlIИ звуковоii волны n стаТИСТIIческн неоднородной среде,
созданиоi>, lIlУЩЩ [' устойчивой во пременн. !\МПЛИТУДi\ волны, распространя
ющейсЯ IJ ВЫДС:IСННОМ напраВ.lении, слаrается, вообще rопоря, нз трех частей:
ее средней величины, флуктуаuионной добавки и шумовой компоненты, Принимая
во вннмание корре.lяционные характеристики шума, можно получить уравнение
для усредненной амплитуды волнр!, которое позволяет получить самосоrласован
ное решен!!е, а не попр авку к невозмущенному состоянию. Для коэффициента
ПОr.'10щения удается получить приведенные выше выражения. Однако здесь
имеетсЯ возможность учесть влияние времени корреляцин на процесс, затуха
ния [46]. '
Методом малых возмущений в [47] рассматривалось взаимодействие сиrнала
с изотропньтм шумом. Представляет интерес результат расчета величины «pacce
яиноrо» поля / s, спектральные компоненты KOToporo сосредоточены в области
суммарных и разностных частот взаимодействующнх акустических возмущеннй.
При (О (Ош этот результат дается выражением
(00
/ $ e2 (O х 5 Е ro) dro, (5.12)
о
rде вычисляемая постояииая и Е ((О) плотность эиерrии изотропиоrо
шума.
Кроме задачи о взаимодействии слабой реrулярной акустиче
ской волны с шумом, представляет интерес задача о динамике He
линейной эволюuии caMoro спектра интенсивноrо шума, происходя
щей из за взаимодействия ero отдельных компонент, Эволюция
зависит от нелинейных свойств среды, от расстояния, которое этот
шум проходит, от вида caMoro спектра и интенсивности ero компо
нент. Эта задача первоначально рассматривалась в [33] для среды
без дисснпации и в 143] при малой нелинеЙIIОСТИ. Было выяснено,
что Д.'IЯ широкополосноrо исходноrо спектра спектры всех rармоник
перекрываlOТСЯ, и если, например, начальный спектр S (ш, О) cocpe
доточен вблизи ш==О, то ОН С расстоянием деформируется: на низких
частотах спектральная плотность уменьшается, а на высоких воз
растает. В том же случае, коrда максимум спектральной плотности
находится на частоте ffi=FO, спектральная плотность возрастает каК
на более высоких частотах, так и параме рически подкачивается
к низким частотам.
Задачи, относящиеся к нелинейНой трансформации широкопо-
лосных спектров, ПРИНЯТQ цаЗQlвать акустцчеСКQЙ турбулеНТНЩ:ТЪJQ.
!16
Здесь особенно интересно получить ответ на вопрос о том, I<акую
форму приобретает вид спектра широкополосноrо шума в paBHOBec
ном случае.
В задаче о нахождении paBHoBecHoro спектра акустическоЙ TYP
булентности следует учитывать совместнее действие двух факторов.
С одной стороны, нелинейные эффекты возникают блаrодарл иска-
жению каждоЙ из волн и росту амплитуд rармоник (эффект самовоз-
деЙствия). С друrой стороны, происходит перераспределение энер
rНИ по спектру Б результате нелинейноrо взаимодействия волн. При
Э'1О\1 мы И:Vlеем дело с начальным интенсивным ШУМОМ с ШlIрОКИМ
спектром ансамбле;;1 ШlOских акустических ПрОДОiJЬНЫХ волн,
роспростраIlЯЮЩИХСЛ во всевозможных напраВJIенпях; сюю Бза-
имодеikтвие IIpOHCXOJrHT лишь в узком конусе, ОIlределяс\IOМ YI''nOM
пара :еТрIiчеСI(()rо захвата.
Предположим сначала, что эффекта саМОЕоздеЙСТЕ!!Н мы не учи
тываем. TorJIa можно считать, что все rармонические волны HeKOp
релированы. Предположим, что возбуждение волн происходит на
сравнительно низких частотах и что действует эстафетный механизм
передачи энерrии от низких частот к высоким без потери энерrии
(aIJa.l0rично механизму Колмоrорова Обухова перекачки энерrии
13 инерционном интервале ( 7, rл. 1) в статистической теории турбу-
ленпюсти) и лишь на высоких частотах в иrру вступает вязкость.
В этом случае В. Е. Захаровым и Р. З. Саrдеевым [48] было пока-
зано, что можно найти вид энерrетическоrо спектра в инерционном
интервале. Закон спадания спектральной плотности энерrии в зави
снмости от волновоrо вектора k имеет вид
E k ,...., k 3/2, (5.13)
В акустических нелинейных средах, коrда типичным является слу-
чай отсутствия дисперсии, при больших акустических числах Рей-
нольдса происходят процессы rенерации rармоник и образования
пилообразных волн. Для таких волн уже нельзя пренебреrать эф-
фектами корреляции между rармоническими составляющими, как
это предполаrалось в [48]. Б, Б. Кадомцев иВ. И. Петвиашвили [49]
обратили внимание на это обстоятельство и пришли к заключению,
что для ансамбля пилообразных волн вид спектральной плотности
энерrии дается выражением
Ek ,...., k 2. (5.14)
Если одновременно учесть оба указанных неЛИIIейных эффекта (и
процессы перемешивания, и процессы самовоздействия в широком
спектре слабонелинеЙных акустических волн), можно показать [501,
что перемешивание приводит к размытию фронта пилообразных
волн, В инерционном интервале частот спектр системы разбивается
на две области, В первой области rлавную роль иrрает спектр пило-
образной волны и закон спадания спектральной плотности энерrии
соответствует зависимости (5.14). Вторая же область характери-
зуется законом спадания (5.13). Ряд друrих интересных задач в об-
!IЩСТИ статистической не./1инейной акустики описан в [51, 52],
fлава5
РАДИАЦИОННОЕ ДАВЛЕНИЕ. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
1. Радиационное давление. Общие сведения
Кроме переменных величин, таких, как давление, колебатель-
ная скорость и смещение, в звуковом поле возникают постоянные
силы. К таким силам относится радиационное давление, которое TaK
же называют давлением звуковоrо излучения [1 3J.
Давление излучения характерно для волн любой природы, в том
числе для электромаrнитных волн (вспомним давление света). Ero
ПРОИСХОiкдение связано с изменением в некотором объеме (напри
мер, у препятствия или вследствие поrлощения волн на пути их
распространения) среднеrо по времени переносимоrо волной им
пульса. ОтличИе звуковоrо радиационноrо давления от давления
света состоит в том, что волновое уравнение для световых волн ли
нейно (если не рассматривать задач нелинейной оптики, имеющей
дело с мощным лазерным излучением), тоrда как в акустике, даже
при относительно небольших интенсивностях звука, возникают He
линейные эффекты (см. rл. 3, 4), которые в ряде случаев ПрИХОДИТСh
принимать во внимание.
Кроме Toro, в акустических задачах поверхность препятствия,
на которую падают звуковые волны, может испытывать колебания
под действием волн, и при определении радиационноrо давления
часто требуется учитывать эти движения. Возникает необходимость
принимать во внимание целый ряд обстоятельств: каково акустиче-
ское поле и вид звуковой волны; какова rеометрия задачи в сво-
боДl-lOМ ли пространстве имеется акустическое поле или это прост-
ранство оrраничено; каково препятствие, на которое падают вол-
ны поrлощает оно звук или отражает и в какой степени; нужно ли
учитывать нелинейные свойства среды или можно оrраничиться
линейной акустикой; велико или мало препятствие по сравнению
с длиной звуковой волны и в какой степени следует учитывать pac
сеяние волн на этом препятствии; существенную ли роль иrрают дИс
сипативные свойства среды и т. д.
В эйлеровых координатах при изменении импульса волны сила,
действующая на некоторый фиксированный объем V, определяется
потоком импульса через неподвижную поверхность S, оrраничи
Бающую этот объем (см, (1.1.24)):
р. == Т.. N ) dS ..... т . / dS
1 'f lJ 'f 1 .
S S
ЩI
Здесь Ти определяется по (1,1.22): Tij p6ij+PViVj; р звуковое
давление, пj внешняя нормаль к поверхности S. Обратим вни
мание на то, что выражение для тензора Т i.i взято здесь без учета
тензора вязких напряжений а;/, и, таким образом, все дальнейшее
изложение, пока не будет oroBopeHo особо, относится к идеальной
жидкости.
Для нахождения постоянной составляющей силы Р;, возникаю
щей в звуковом поле, т. е. (по определеНlIЮ) силы радиационноrо
давления Р;, следует взять среднее по времени от F i :
P.== P .== rh T ..п.dS ( 1.1 )
1 1 :f l}} .
S
Это выражение имеет общий вид и в нем должно быть учтено изме-
нение импульса, которое вызывается поrлощением волны, Вообще
rоворя, следует учитывать и изменение импульса волны, вызванное
различными друrими причинами, в том числе дифракцией и рассея
нием на препятствии, а также нелинейными эффектами (если, Ha
пример, падающая волна имеет искаженную форму профиля вслед
ствие нелинейноrо отражения и взаимодействия падающей и отра-
женной волн [4Т).
Сила раДИационноrо давления, или просто радиационное дaB
ление, есть величина векторная, зависящая от направления норма-
ли к площадке dS по отношению к направлению распространения
звука, Она представляет собой интеrрал от свертки тензора плот-
ности потока импульса с единичным вектором нормали к I1сверх
ности. Эту силу шrorда называют радиациОННblJИ напрЯJ/сеНUСJI или
натяжением (так как ее величина зависит от ориентации площадки
относительно направления распространения волны), хотя название
это (вообще rоворя, более правильное) и не привилось.
Для плоских rармонических волн, распространяющихсн 110 оси
Х (<<неоrраниченный» пучок волн), получаем из (1,1.22)
[ P+ Pи О ]
Т;! == о р о .
о о р
( 1.2)
Из (1.1) и (1.2) следует, что радиационное давление, если даже
не учитывать нелинейности уравнений движения и состояния, т. е.
в линейной акустике, представляет собой величину квадратичную
по переменным поля. Поэтому необходимо принимать во внимание
величины BToporo порядка малости, не обращающиеся в нуль при
усреднении по времени,
Если оrраничиться первым приближением для р и v (считая,
Что p p' +р", v v' +v"" штрих означает первое приближение и два
штриха второе), то, поскольку для rармонической волны р' ==0,
из (1.1) и (1. 2) следует, что радиационное давление на полностью
поrлощаI?щее препятствие действует вдоль направления распростра
119
!lЕ'I1Itя волны и paBIl\J (на e)JJIIl!I1ry IIJIOщаДII)
Р == P O V'2 == 2Ek '
( 1.3)
rде Е к средняя по времени плотность кинетической энерrии.
Выражение для среднеrо значения плотности ПОТОЕа импульса во
втором приближении T Y запишется в виде
l ? I () с,'2 О
/ I1 UI.-
(2)
T ij == О р"
О О
О ]
О .
р" -
(1.4)
(2)
Во втором приближении, как это следует из (1.4), тензор Ttj.
может быть представлен как ср!ма двух теНЗ0РОВ, ОДИН из которыХ
Т:ij== [ " :" ] ==8iJ P" (1.5)
О о р"
есть дополнительное rидростатическое давление, обязанное своим
происхождением нелинейности rидродинамичеСЮIХ уравнений.
Если в звуковом поле плоской волны масса постоянна н р" О,
то, сOl ласно (3.1.32), вспоминая, что e (1'+ 1 )/2, получим
р,, == (У 2 l) po v'2 ==(e 1)p ov'2 ,
[ (e 1) ро и'2 + р ;;11;] О О J l
(2)
Ти == о (e 1)poи'" О '
О О (e 1)po и'2
Это значение T ') показывает, что среднее rндростатическое давле
ние в ПЛОСI{ОЙ волне Из за нелинеЙНОСТII уравнений будет больше на
величину (e 1)(J ov,2 (эффект «поджатия»).
Если, однако, учитывать оrраниченность ЗВУl\Овоrо пучка, то
поджатие будет иметь место до тех пор, пока статическое давление
в пучке не станет равным rидростатическому давлению в среде, rде
пучка нет. Поэтому радиационное давление пучка на полностью по-
rлощающее препятствие оказывается равным
Р пч == т х Х ==P O V'2 == 2Ек == Е . (1.7)
Такое давление в свободном пространстве с учетом оrраниченности
пуч!{а называют ланжевеновСКU_ll или ланжевен-брuллюэновскuм дaB
лением радиации. Друrими словами, это давление, создаваемое
пучком, коrда последний окружен невозмущенной жидкостью,
В выражении (1.7) мы считаем, что среднее значение кинетической
энерrии равно среднему значению потенциальной энерrии; в общем
случае этоrо может и не. быть; подробно этот вопрос рассмотрен.
Б [2]. Естественно, что если препятствие полностью отражает звук,
то
(1.6)
Р пч == E ,
( 1.8)
120
ТаКИМ образом, даВJlение в оrраниченном пучке беrущих волн не
равно давлению шюскоii волны, rде ,давление на поrлощающую
стенку, СОI ласно (1.3) (1.6), есть
РПJJ==еЕ. (1.0)
Нелинейный параметр f, для жидкостеЙ IIрннимает значения 4 12,
поэтому отличие Р пл от давления в оrраниченном пучке Р пч (в
котором статическое давление выровнялось, став равным давле-
нию в невозмущенной звуком среде), как мы видим может быть
велико. Тем не менее экспериментальноrо доказательства эффекта
поджатия, насколько нам известно, пока не получено, хотя Te()pe
тичеСIШ этот вопрос достаточно ясен. РадиаЦllОIIIIOе }[зпленш' I3 IIe
оrраниченном пучке (1.7) можно назвать рэлссвСl\ll-ll ()пвЛСl-lllСМ 131,
хотя более принято, следуя Рэлею, называть рэлееВСКIIМ радиаци
онное давление на полностью отражающую стенку в жеСl кой трубе
(см, ниже).
Проведем теперь рассмотрение радиационноrо давления в ла-
rранжевых I(оординатах. Такой подход удобен для решения задачи
о нахождении радиацнонноrо давления на сферу (см. 2). На тело,
помещенное в озвучиваемую невязкую среду, действует сила
F== 1 pdS,
s (т, ')
Уравнение поверхности S (r, t), оrраничивающей тело, в общем
случае зависит от времени, так как в звуковом поле тело может
увлекаться окружающей жидкостью и совершать колебательные
движения как поступательноrо, так и раднальноrо типа (например,
пузырек в жидкости). Радиационное давление есть постоянная co
ставляющая силы (1.1 О), т. е. сила, усредненная во времени за
период колебаниЙ звуковоrо поля.
При непосредственном усреднении выражения (1,10) встреча
ЮТ Я некоторые сложности, связанные именно с усреднеН\1ем дви-
жения rраничноЙ поверхности. Чтобы избежать их, введем среднее
равновесное положение rраницы S и перепишем итеrрал (1.10) в
следующем виде:
(1.1 О)
F== 1 pdS vpdV.
\:
S
Интеrрирование по движущейся поверхности 5 (r, () в (1. 10) заме
нено здесь интеrрированием по неПОДВИЖIЮЙ поверхности 5, а
оставшаяся разность интеrралов по поверхностям 5 (/', t) и 5 пре-
вращена, соrласно теореме raycca, в объемный интеrрал. При малой
амплитуде колебаний 6 точек rраничноЙ IювеРХНОСТII объем у,
заключенный между поверхностями S (r, t) н 5 , может быть приб
лиженно записан как dV s dS; здесь при переходе считается, что
dS от времени не;зависит. При этом dV/dt==w dS, [де w== коле-
бательная скороёть поверхности тела. Воспользовавшись далее
уравнением движеШIЯ Эйлера и совершив неСЛОЖIIые преобразо
121
(1.11)
вания, получим, что с точностью до квадратичных членов сила
P 1 Pds 1 pv(wdS) :t S pvdV,
s s v
Усреднение выражения (1.12) по вреМени не представляет теперь
труда. Принимая во внимание, что среднее значение производной
по времени от любой величины, принимающей конечные значения,
равно нулю, получим после усреднения (1.12)
Fi 1(рбij+Р ViWj )dSj' (1.13)
s
( 1.12)
Заметим, что при отсутствии массообмена на поверхности тела
нормальная скорость точек rраницы равняется нормальной скорости
движения прилеrающих частичек жидкости и W dS==v dS, В этом
случае выражение (1.13) совпадает с традиционными формулами
для радиационноrо давления, полученными с помощью усреднен-
Horo тензора плотности потока импульса Тi j==рби+ р ViVk , соrласно
(1.1). Отметим, что из вывода формулы (1.13) следует, что она верна
лишь при малых амплитудах колебаниЙ поверхности и справеДЛI1
ва с точностью до квадратичных членов.
Произведя все дальнейшие выкладки именно с точностью до
квадратичных членов, найдем теперь среднее значение давления.
Для этоrо выпишем уравнение Эйлера с точностью до величин BTO
poro порядка малости по полю и усредним ero по времени. При этом,
соrласно замечанию о среднем значении производной по времени,
член Ро dv;l dt выпадает и полученное равенство допускает интеrри-
рование. В результате получаем, что
р== Ро + Рд + p /2poco P ov /2, (1.14)
rде Ро статическое давление в жидкости, а Рl и Vl решения
линейной задачи. Постоянная интеrрирования Рд находится, как
обычно, из rраничных условий. Ее наличие Описывает поджатИе
среДЫ, т, е. возникновение дополнительноrо статическоrо давления
за счет динамических факторов, о чем уже шла речь выше. Подста-
вим выражение (1.14) в формулу (1.13) и, положив w===v, получим
окончательное выражение для силы радиационноrо давления, оди-
наково справедливое как для беrущих, так и для стоячих волн:
F i == 1 [Ро ViV j + (Рд + p / 2po C Po v / 2) б ij ] dS j . (1.15)
s
При зarшси выражения (1.15) учтено, что интеrрирование стати-
ческоrо давления Ро по всей замкнутой поверхности S ввиду ero
постоянства дало нуль. Заметим, однако, что аналоrичное интеrри
рование динамическоrо поджатия Рд по всей поверхности в общем
случае дает результат, отличный от нуля. Это возможно лишь
D случае разрывных решений, коrда на разных участках поверх-
IIОСТИ константа Рд принимает различные ЗНачения.
122
Рассмотрим в качестве примера несколько простых случаев.
Пусть в трубе на расстоянии L от начала координат находится
массивный неподвижный диск, радиус KOToporo равен радиусу
трубы R. Взяв rраничные условия в виде v(O)==v(L)==O и положив
R Л, запишем решение линейной задачи в виде нормальных
волн: при O x L
v' ==v sin kx cos wt, р' == voc o cos kx siп (0(; (1.16)
при x L
v' ==0, р' ==0,
rде k== w/со==лп/ L. Радиационная сила, действующая на диск,
в этом случае равна, соrласно формуле (1.15),
F х ==5 [рд+ р'2 (L)/2poc ]; (1.17)
rде 5==лR2 площадь диска. Решение (1.16) линейной задачи
оказывается здесь разрывным при x==L и значения р' (L) и Рд бе
рутся в формуле (1.17) с внутренней Сl0рОНЫ диска, поскольку на
ero внешней стороне эти величины равны нулю. Постоянную ин
теrрирования рд найдем из уравнения состояния вещества (aДH
абата Пуассона (1.1.11)), которое с точностью до членов BToporo
порядка малости по полю можно записать в виде
1 ( ) 1 ..... ( ) 2
P;:::::;Po+ P Po + 2 4 P Po .
СО Со
( 1.18)
Усредним это выражение по времени и проинтеrрируем по х от О
дО L. При этом учтем, что ввиду постОянства массы вещества внутри
трубы интеrрал от ПЛотности сохраняется и
L L
pdx== Ро dx.
о о
Подставив в полученное равенство среднее давление в форме (1.14),
найдем искомое значение динамическоrо поджатия; КОнстанта Р.l
дается выражением
L
y 1 1 S ( ) y 1 "2
pд== Р х == PoVo'
2соро L 8
о
Используя это значение константы, перепишем (1,17) в окончате<rrь
ном виде
( 1,19)
Рх::::::О 5 (8/4) P O V'2 .
(1.20)
Эта формула для радиационной силы, действующей на неподвижный
диск в трубе с постоянной массой rаза, была получена впервые
Рэлеем [5J. Как видно из вывода (1.20), решение линейной задачи
оказалось здесь разрывным. Особенно существенным является то
обстоятельство, что на противоположных сторонах диска поджа
тие рд принимало различные значения. Полный интеrрал от рд по
123
2аМКIlУТOI"' поверхности (по обоим сторонам диска) в этом c,rrY4a
оказа.rн.:я отлIlчны!\ от нуля. Подобные решения в аналоrичных
задачах, коrда динамическое поджатие среды оказывается отличным
от нуля и разным на противоположных сторонах тела, нриводят к
давлению звука, которое, как уже упоминалось, называется рэле
евским.
Однако в 60ЛЬЦIIIнстве случаев линейное решение задачи ока-
зывается непрерывным. Но даже в случае ero разрыва ДОПОJIНlIте.'IЬ-
ное поджаТJlе среды Рд зачастую постоянно вдоль всей поверхности
Тела. В этом случае динамическое поджатне Рд ЭIшивалентно деЙ
СТВIIIО стаПlчеСJ<О!'О давления Ро JJ не ОI<азывает на тело НIII<aKOI'O
ВЛИННШI, ИнтеJ'Р,:IЛ от Рд по замкнутой поверхности обращается в
нуль и выражение (1.15) принимает вид
); r ,,'2 р'2 j -
Fi== POJ' ViVj =-:--бij бij dS j .
s 2 2ro c o
Давление звука, испытываемое телом в этом случае, как мы знаем,
называется ланжевеНОВСЕИМ.
Рассмотрим случай падения ПЛОСКОI! волны и exp [i(kX ffit)]
на диск, IlOперечные размеры KOToporo значительно больше длины
звуковоЙ волны. Если диск расположен в открытом пространстве,
то из условия на бесконечности следует, что динамическое поджа-
тие отсутствует, т. е. Pдccc o И радиационное давление определяется
формулой (1.21), Если звуковая волна полностью поrлощается, то
за телом в области тени р' ===и' ===0, а перед ним p'2/2Poc ===POи'2/2.
В этом случае
(1.21)
F х == po и 2 (О) S == ES ,
(1,22 )
rде Е===р о и}/ 2+ р'2/ 2Р о С о ==Р о и'2 (О) плотность энерrии. Если тело
неподвижно, а волна полностью отражается, то и' ===2и siп kx cos ffit и
Р", == р'2 (О) S/2poc == ро и'! S == 2 ES .
( 1.23)
в этом случае скорость имеет только одну компоненту и х и выраже-
ние для силы (1.21) можно представить в более простом виде:
Fx S( El E2 )'
r де Е 1 И Е 2 ПЛОТJIости энерrий на ПРОТИIюположных сторонах
диска. Если диск шrеет толщину а, ero плотность pl, а скорость
звука в нем С1, то
РХ == 2S E (l + 4р2!(l P2)2 sin2ka) 1,
( 1.24)
rде Р o=pocolplcl' При Р 1 диск ведет себя как абсолютно отражаю-
щее тело, и F х 2 SE , В случае, если диск поrлощающий, то Е 2 ===0
И F x==S E , т. е, мы получаем те же формулы, с которыми имели
дело ранее.
Таким образом, радиационнсе давление есть величина KBaдpa
тичная ОТНосительно переменноrо звуковоrо давления и ero значе-
124
ниеР невелlll{о даже для относительно l1н.тенсlшных акустических
волн, поскольку обычно MaJIO само значение Зl3уковоrо давления.
Так, паПРlIмер, для интенсивности звука в воде 10 3 Вт/м 2 ампли
туда звуковоrо давления р==5.10 3 Па, тоrда как радиационное
давление на полностью поrлощающую стенку составляет Bcero
р== 102 Па. Тем не менее измерение радационноrо давления произ
водится без особоrо труда и представляет собой метод абсолютноrо
определения интенсивности звука (плотности потока энерrии), если
воспользоваться тем, что До'1Я плоской волны интенсивность 1 и
средняя I!ЛОТНОСТЬ ЭlIерI'ИИ Е связаны соотношеIшем 1 , Ec . Эти
измерения IIрОIlЗВОДЯТСЯ при помощи устроЙств, называемых pa
дuометрш1U (наlJример, леrкий отражающий звук днск, подвешен
ный на коромысле с радиусом, заметно большим длины звуковой
волны). Имеется большое разнообразие в конструкции радиометров
как для rаза, так и для жидкости, и здесь мы не будем на этом оста-
. навливаться. В условиях эксперимента следует иметь в виду необ-
ходимость различноrо рода поправок; в особенности большое зна-
чение имеет учет влияния акустическоrо течения в звуковом поле
( 4), под действием КОТОРОI'O радиометр может испытывать допол-
нительное отклонение.
Перейдем теперь к рассмотрению сил радиационноrо давления
на препятствия. РасС\ютрим сначала простой случай, коrда плоское
препятствие достаточно велико по сравнению с длиной звуковой
волны и в свою очередь площадь сечения S пучка, падающеrо HOp
мально на препятствие, достаточно велика и S '),2. В этом случае
сила F х для полностью поrлощцющеrо или полностью отражающеrо
препятствия в направлении распространения волны определяется
сОответственно по (1.22) или (1,23) с учетом Toro, что I==Ec,
При падении пучка под уrлом 8 к нормали к полностью поrло-
щающему препЯТСТВИЮ, соrласно (1.1),
F== S' E cos8, (1.25)
rде S' проекция площади звуковоrо пучка на препятствие. Раз
лаrая эту силу на нормальную F n ==S' Е cos 2 8 и танrенциал ьн ую
Ft==S' Е cos е sin 8 и пользуясь тем, что S' ==S/co s8, имеем Fn ==
==S E cOs е, Ft== SE sin О, откуда Fx ==V F + F == SE,T. е, дей
ствующая сила 13 IIаIIравлении распространения волны на IIОЛНОСТЬЮ
поrдощающес IIреI ятствие не зависит от утла падения. Для случая
идеальноrо отражателя в направлении х деЙствует радиационная
сила F= 2SE cos 2 О.
Интерес.но отметить, что при падении звуковоrо пучка на rpa
ницу раздела двух сред (например, несмешивающихся жидкостеЙ
с различными ПЛотностями Р1, Р2 И скоростями звука С1, С2) и ча-
стичном отражении и преломлении (при Р1С1;::::;;Р2С2, но С1=1=С2) может
возникнуть интересное явление, состоящее в том, что при нормаль-
ном падении. из за различия плотностей энерrии (C1=F C 2) , 'Р п ==
== ES (1 c1/C2) И возникает радиационная сила, направление которой
125
заВВсl1Т от знаI>:а (C2 C1)' При C2 C1>0 эта CII.lJa направлена к источ
нйку звука! В таком же направлений происходит деформацйя по-
верхности. Это явление наблюдалось в [6]. Заметим также, что вспу-
чивание поверхности жидкости под воздействием падающеrо из
жидкости на эту поверхность улыразвуковоrо пучка, а также об
разование улыразвуковоrо фонтана также объясняются действием
сил радиационноrо давления.
В такой простоЙ постановке можно раССЧlIтать радиащюнные
силы, деЙствующие на частично отражающую и частично поrло-
щающую Ш1ОСКОlIараллельную пластину, и определить рэлеевское
дав.тн ние в стоячей волне между двумя неПОДВИЖНЫМII стенками
[5, 71.
Задача о нахождении F значительно усложняется, если препятст
вие имеет конечные размеры, хотя и большие л, и следует учитывать
дифракцию. Таким образом, радиационная сила будет зависеть от
формы препятствия. Имеется ряд решенных задач для препятствий
симметричной конфиrурации для жесткоЙ и сжимаемой сферы,
на которую Падает плоская волна (случай идеальной жидкости),
на диск и полоску. ЭТИ вопросы достаточно подробно изложены
в [2]; там же приведены ссылки на ориrинальные работы.
2. Радиационная сила давления звука
на взвешенные сферические частицы
Остановимся на задаче о радиационном давлении в друrом пре
дельном случае, коrда «взвешенные» В среде препятствия (частицы)
малы по сравнению с длиной звуковой волны л. Для простоты
оrраничимся рассмотрением препятствия в виде шара радиуса R1'
причем R1 л. Решение такой задачи в определенной степени про
ясняет физический механизм поведения пузырьков в звуковом
поле, а также явление левитации (см. ниже). Этому решению посвя-
щено MHoro работ, однако нельзя сказать, что здесь все выяснено
даже в простейшем случае отсутствия в среде вязкости,
Будем в решении этой задачи следовать формализму, разви-
тому в [8], Пусть в сжимаемой идеальной жидкости радиально
и поступательно колеблется сжимаемый шар радиуса R1' Сила,
действующая на Hero, может быть записана в виде
S S [ дер и 2 1 ( д(р ) 2 ]
p pds==p дТ+2 2с2 дТ ds.
5, (1) 5, (1)
(2.1)
Здесь интеrрирование производится по движущейся поверхности
81 (t), а изменение давления р дается обобщенным интеrралом Бер-
. нулли. Стенка пузырька испытывает как радиальное, так и осцил-
лирующее движение со скоростью v; она связана с потенциалом <р
выражением v== V<p, Сжимаемость жидкости учтена в квадратич-
ном приближении по амплитуде падающеrо поля; здесь р плот-
ность, с скорость звука в жидкости,
126
Для TOrO чтобы найти радиационное давление на шар, следует,
как мы знаем, усреднить F за период звуковоrо поля. Поскольку
:t S rp ds == S ds + S V'rp (V'rpn) ds, (2.2)
5, (1) 5, (1) 5, (1)
а среднее по времени значение полной производной от величины,
которая во времени оrраничена, равно нулю, получим, соrласно
(2,1) и (2.2),
S S [ и2 1 ( д<р ) 2 ]
F р (ds v) V'rp + р 2 2с 2 '(j[ ds,
50 So
(2,3)
rде интеrрирование теперь уже ведется по неподвижной поверх
ности So (значение S и) в положении равновесия); это возможно
сделать, поскольку мы раничиваемся лишь квадратичным при
ближением. Вычисление F для плоской rармонической волны было
проведено в [8Т. Здесь мы наметим путь решения (полученноrо
В, Н, Алексеевым [9]) для произвольной формы падающей волны,
не обязательно плоской или стоячей, т. с. при произвольном виде
потенциала падающеrо поля (Р! (r). При переходе I\ частному случаю
плоской волны при этом получаются известные результаты для pa
диационной силы давления, ПРl1веденные в [8, 10]. Коrда же вблизи
шара имеется rраница или друrой шар, более общее рассмотрение
задачи приводит, как мы увидим, 1\ появлению добавочноrо члена
к силе радиационноrо давления, который определяет взаимодей
ствие двух шаров или шара с rраницей. Оказывается, что rидро
динамические СИЛЫ взаимодеЙствия между колеблющимися в жид-
кости частицами, наХОДЯЩIiМИСЯ в звуковом поле, есть не что ИНое,
как силы радиационноrо давления, возникающие из за рассеяния
звука, т. е. результат интерференции падающеrо на шар звуковоrо
поля и поля рассеяния от друrоrо шара.
Для вычисления F следует воспользоваться решением дифрак
ционной задачи о рассеянии звуковой волны произвольной формы
на малом шаре.
Потенциал падающеrо поля ЧJi (r) в общем виде можно предста
вить разложением в ряд Тэйлора в окрестности шара с центром в
точке r1 [11 Т
, д<р \
чJ; (r) чJ,. (r 1 ) + (r r1)a ( д I +
Ха / rl I
1 ( . д 2 <р )
+ 2 (r r1)a (r r1)t3 д д . (2.4)
Ха ХВ r,
Как обычно, GG, пробеI'ают значения 1, 2, 3, и по дваждЫ повто
ряющимся индексам производится суммирование. В (2.4) предпо-
лаrается, что множитель ехр (iffit) опу!.з,ен и что rp удовлетворяет
волновому уравнению V 2 rp+k 2 rp==O.
Полаrая r r1==p1== IР1Iп, т. е. вводя относительную координату
1)1, после проnеденИя необходимых преобразований можно записать
127
(2.4) В тз!,ом Вlце:
k2p
Ч'i (r)::::::; l T ЧJi (r 1 ) +
+ \ 1 дс!, , ) I р; ЗПlаП1t3 даВ ( д cp; )
Р1 пш д I 3 2 д д '
Ха, " Ха, xl3 "
Это представление потенциала есть не что иное, как разложение ер
по мулыиполям (первый член представляет собой монополь, вто-
рой диполь и третий квадруполь), записанное в общем вИде в
случае произвольной симметрии падающеrо поля. При R1 Л
можно оrраничиться только этими тремя членами.
В области вне шара ВОЗНIII\ает еще рассеянное поле с поте!щиа-
лоу! ЧJs (r) так, что !JрИ Ir r11 Rl ![()л!юе значение потенциала
ер (r) будет: ер (r)=ccq;, (r)+cps (r).
Потенциал рассеянноrо поля ЧJs(r) можно представить анало-
rично (2.5) в ВИде
) Ah k I А h k ) I А Зпtaп1jЗ aaj3 h k
eps(r::::::; о( Р1)' а,па 1( Р1 +3 aj3 2 2( pJ, (2.6)
(2.5)
rде 11" (z)== ( Z)" (z 1дiдz)" охр (iz)/z, kp1 ==2 сферические функции
Ханкеля.
Внутри шара при Ir r11 R1 потенциал ср запишется при 'Р11<
<Rl (t) аналоrично (2.5)
( k ) pi (Зпtaп1j3 a a j3 \
СРш (r)::::::; 1 6 Рl В + Рl п 1а,Ва, + 3"' \ 2 ) ВаВ, (2.7)
rдe k ш волновое число для шара (здесь и в Дальнейшем индекс
«ш»' относится К шару),
Неизвестные постоянные А, Аа, A aj3 , В, Ва, Baj3 определяются
из rраничных условий, соответствующих равенству нормальных
скоростей и,==дер/д, и давлений внутри и вне шара при Ir r11==Rl:
дер/дr == дерш/дr, Р дср/д! == Рш дсрш/дt, (2.8)
rдe ер==СРi+ЧJs, а Р и Рш плотности жидкости и шара.
Не приводя вычислений шести коэффициентов А и В, отметим,
что коэффициенты В и Ва, имеют простой физический смысл, На
rранице шара Ir r1(t)I==R1(t) нормальная скорость частиц сфе-
ры равна проекции на нормаль скорости перемещения самой rpa-
ницы и
aep/ar=="R 1 +W 1 P1'
(2.9)
rде W1 вектор скорости поступательноrо движения Шара. Из
(2,9) следует, что Ва есть компонента вектора W 1a ;'1<7. (t) скорости
поступательноrо перемещения шара как цело!'о. Коэффициенты В
и Ва определяются выражениями
R.l== l/зk RlВ' Ba==wa" (2.10)
т. е, В имеет смысл величины, пропорциональной скорости радИ
альноrо движения шара. Постоянные В, Ва, В щ : опредеЛЯ'!{'Т(f!
128
выражениями
В ( ) 1 + (ikR 1 )3j3
<p; r 1 рш/р+(ikR 1 )2(I+ikR 1 )3j3 '
В ( дер; ) [ 1 + (ikR 1 )3 Р Рш 1
а дХа , р+2рш 3 р+2РшJ'
в ( a 2epj ) 5р [ . 1 + 2ikR 1 Рш Р ]
a.fJ aXaaxfJ ,2р+3рш 45 3рш+2р .
Для нахождения F а выражение (2.3) полезно записать в таком
общем виде:
F 0. == Р S [ пfJ :Х: :X + a. д : д 2; ( У] ds. (2.12)
5.
Используя rраничные условия (2.8), определив значения В,
Во.' B afJ и переходя к потенциалу BHYTpeHHero поля <Рш' получим,
используя (2.7) и производя интеrрирование, окончательное выра-
жение для силы радиационноrо давления звука на малый шар:
F ==.!лR p[ k2 ( 1 + 2 РШ З p C ) Re ( BB' )+
а 9 1 ш Р р2с2 а
+i- (з Р; +2) ( Р; 1) Re (3Bl'B 1' BaB 1') J. (2.13)
(2,11 )
rде Re означает взятие действительной части соответствующих
выражений с учетом формулы BBa ==1/2Re(BB ); Рш, с ш соот-
ветственно плотность и скорость звука в материале шара, а коэф-
фициенты В, Во., Bav выражаются через потенциал падающеrо
поля <Р j и ero производные,
Первый член в (2,13) при сш/с О (пузырек в жидкости, коrда
сжимаемость шара велика) Имеет наибольшее значение и, при-
няв во внимание выражения дЛЯ В, Во., B afJ (2.11) и (2,1), после
ряда преобразований получаем для радиационной силы:
F а == 4/з 'ЛR (у' р)" == v v р .
(2.14 )
При Рш ?> р (твердый шар), rлавный вклад в Ра дает второй член,
тоrда как первый член представляет собой поправку на сжимае-
мость шара.
Если на шар падает rармоническая плоская волна, то оказыва-
ется, что для радиационной силы давления из (2.13) получаются из
вестные выражения, найденные в [8]. Так, для поля плоской беrу-
щей волны, падающей на шар, имеющий плотность Toro же порядка
величины, что и жидкость, т, е, Рш/Р 1, в направлении волновоrо
вектора действует сила
F == (2л (kR 1 )6 2E/ pk 2 ) рФ (Л, а),
rде Л==рш/р, а==сш/с и
Ф(Л, а)== (1 +1 2A ) 2 {(л I.t У + (Л I)2}.
(2.15)
(2.16)
5 п. А. КраСИЛЬИИIЮВ. в. В. Крылов
129
Формула (2.15) при (10==00 представляет собой известную формулу
КиН2а [121 для радиационной силы, действующей в направлении
распространения плоской rармонической волны на жесткую сферу.
При Рш/Р'" (kшRl)2 I, что соответствует случаю пузырька,
находящеrося в жидкости,
2л 2Е (kR 1 )2
F == pk2 (kR])2 + [1 (шо/ш)2) '
(2.17)
rде ЮО == VЗАСш/Ri резонансная частота пузырька.
Сила F достиrает наибольших значений в поле стоячих волн.
Полаrая <Р; (r)o==<pпcos kr cos ffit и используя (2.11), получим для
твердых шаров
F == 4лЕ kR sin 2kr о ( рш + (2/3) (Рш р) \ (2.18)
р + 2рш 3Рш С ш )
и для пузырьков
F == 4лЕ (R 1 /k) sin 2kro (l ю /(2) [О ш3/(2)2 + k2a2] 1, (2.19)
rде Е ==pk 2 (<Р11,)2/4 плотность энерrии стоячих волн, Следует еще
раз подчеркнуть, что в случае стоячих волн р", (kRl)3, тоrда как в
поле беrущих волн р", (kRl)6. Поскольку kRl I, то F значительно
больше для стоячих волн.
То обстоятельство, что в поле стоячих волн имеет место YДBoeH
ная пространственная периодичность, приводит к двум возможным
положениям равновесия узлам и пучностям в стоячей волне.
Анализ показывает, что если Рш>Р, то частицы собираются в пуч-
ностях скорости, а если Рш< Р в узлах скорости, что экспери
ментально подтверждается.
Случай воздействия звука на твердые малые частицы в воздухе,
кроме значения для задачи о коаrуляции аэрозолей, имеет интерес
для задач, связанных с возможностью удерживать непроводящие
немаrнитные тела небольших размеров во взвешенном состоянии в
поле силы тяжести (и тем более в состоянии невесомости) при по
мощи сил радиационноrо давления в стоячих волнах.
Под действием силы радиационноrо давления малые частицы
массы т приходят в движение и собираются в узлах звуковоrо
давления в стоячей волне. Они MorYT находиться там в подвешенном
состоянии, если эта сила достаточна для Toro, чтобы уравновесить
силу тяжести mg. Такое «подвешивание» частиц в звуковом поле и
фиксация их в определенных зонах называется акустической леви
тацией. Напрнмер, в поле стоячей волны при частоте t==20 кrц и
интенсивности звука 10 4 Вт/м 2 в условиях земной rравитации MO
жет левитировать сфера с радиусом 0,4 см и Массой 2 r.
Это явление используется при создании акустических левитато
ров устройств, предназначенных для установки и фиксации в
определенных положениях жидких и твердых образцов заданной
формы.
130
Акустическа левитация IШХОДИТ применение, например, в Ta
ких процессах, как бестиrельная варка стекла, выращивание крис
таллов, литье из различных компонент. Особенно полезной она
может оказаться в космической технолоrии, в условиях HeBeco
мости.
Любой левитатор имеет, как правило, источник звука (один
или несколько) и рефлектор, помещенные в экспериментальную
камеру, в которой MorYT также размещаться наrревательные эле
менты, тепловые экраны, устройства ввода и вывода образца и дру-
rие конструктивные элементы.
В левитаторе формируется звуковое поле, которое должно
обеспечивать устойчивое удержание образцов при изменении внеш-
них условий (например, температуры).
Как показывают эксперименты, акустичеСIюе поле в левитаторе
это всеrда Iюмбинация ближнеI"О поля излучатеЮI и поля стоячих
волн, что ведет !( образованию в объеме
камеры cTporo оrраниченных областей,
так называемых энерrетических «ям», В
которых происходит устойчивая фикса
ция образцов с размерами, меньшими
Л/2. На рис. 5.1 схематически показано
распределение звуковоrо давления и по
ложение взвешенных частиц в так назы
ваемом одноосевом левитаторе [13], co
стоящем из поршневоrо излучателя pa
диусом р в две длины волны в воздухе и
с плоским рефлектором, помещенным на
расстоянии пл/2. Плоскости минималь
ной потенциальной энерrии, в которых
фиксируются образцы, почти совпадают
с плоскостями минимальноrо звуковоrо
давления, нормальными к оси излуча
теля, В rоризонтальной плоскости зоны
устойчивой левитации также совпадают
с областями МIJнимальноrо давления,
которые образуют аксиально симметричные кольцевые зоны BOKpyr
оси; имеются более сложные конструкции.
rлубина и пространственное распределение потенциальных ям
в левитаторе зависят от мноrих факторов, в том числе от поrло
щения звука в объеме камеры, от настройки системы излучатель
рефлектор на резонанс, которая может меняться при изменении
температуры в камере, от наличия отражений от стенок и элементов
конструкции.
Возможны и друrие способы формирования звуковых полей с
rлубокими и стабильными энерrетическими ямами, например при
использовании фокусирующих излучателей и отражателей. Такие
левитаторы выrодны с энерrетической точки зрения, так как они
дают возможность концентрировать акустическую энерrию в опре
деленных зонах.
5"
z
4 J
d\AJ
,
r
Рис. 5.1. Распределение зву
KOBoro давления и положе
lIие взвешенных частиц в
одноосевом левитаторе; 1
ПОРШllевой источник звука,
2 отражатель, 3 плос-
кости минимальноrо давле
ния, 4 взвешенные частицы.
131
3. ВзаимодеЙствие двух сферичеtких частиЦ
в звуковом поле
Общая формула для силы радиационноrо давления звука на Ma
лый шар (2.]3) позволяет рассмотреть более трудную и интересную
задачу о взаимодействии двух сферических частиц в звуковом поле.
Общий путь решения этой задачи таков. Положим, что исходный шар
радиуса R 1 имеет координату rl, а на расстоянии L Ir2 rll от
этоrо шара имеется друrой шар с радиусом R 2.
В рассматриваемом случае падающее поле ЧJi (r) в окрестности
первоrо шара можно представить как суперпозицию исходноrо
поля !jJ 0) (r) без учета BToporo шара и поля, рассеянноrо от BToporo
шара: qJi"==qJ O)+(ps (r r2),
Рассеянное поле от BToporo шара состоит нз суммы сферических
волн, образованных в результате рассеЯIIИЯ на втором шаре как
исходной волны <р<?>, так и MHoroKpaTHo перерассеянных волн на
первом шаре. Оrраничиваясь однократным рассеянием, можно
записать qJs (r r 2) аналоrично (2.6), т. е.
cp l) (r) == qJs (r r 2) == Aho (k I r r 21) +
I + Aaf3 (зпап баf3 )
+Aaпahl(klr r2) 3\ 2 h2(klr r21). (3.1)
Коэффициенты А, Аа, Aaf3 определяются из rраничных условий
).!JIЯ qJi (О), взятых на поверхности шара с центром в точке r 2 . Далее,
разложив этот потенциал в ряд Тэйлора в окрестности первоrо
шара в точке rl, можно найти (через производные от ЧJ?) (rl») значе
ния коэффициентов В, Ва, Baf3' Эти коэффициенты в приближении
однократноrо рассеяния выразятся в виде
В "== В(О) + ВШ, Ва == B ) + B ), Baf3 == B:: + B A, (3.2)
rде B(O);::::;qJ O)(rl), В(1);::::;ЧJ 1) (rl)' Здесь индексы (О) означают вели
чины коэффициентов, соответствующИХ падающему полю, а индек
сы (1) рассеянному полю, Эти значения коэффициентов далее
следует подставить в (2.13). Сила ра представится в виде двух со-
ставляющих. Первая, в которую будут входить произведения вида
B(O)B ), B )B Ь, представляет собой рассмотренное выше радиа
ционное давление невозмущенноrо звука, падающеrо на частицу.
Вторая же составляющая, которая определяется произведением
коэффициентов B(O)Bg), B(1)B ), есть не что иное, как сила взаимо
действия между двумя частицами F83'
Эта сила имеет довольно сложный вид, но ее выражение упро
щается для случая, коrда Rl L л. Результат расчета показывает,
что для случая двух пузырьков в жидкости, коrда можно считать
рш/р --+ О и с ш / с --+ О В квадратичном приближении получается сле-
дующий результат:
F 83 === (2/9) nR pk Re (B(O)B l». (3.3)
Вычисляя коэффициенты В(О) и Bg), А (О) (r 2), а также отбрасывая
члены, имеющие порядок величины L/л и R 1 /л, найдем, что между
1..?2
Д8УМЯ пузырhками действует сила притяжения
F вз == 4л (R R /L2) R lR 2 P,
(3.4)
rде р== (r 2 rl)/ Ir 2 rll единичный вектор, направленный вдоль
линии, соединяющей центры двух пузырьков,
R 1 , 2 == ((P O) /R 1 , 2) [ (ш /ш2) + 1 + ikR], 2] 1. (3.5)
МЫ получили известный аналоr (аналоr в том смысле, что эта сила
(3.4) написана для колеблющихся частиц в звуковом поле) формулы
для силы Бьеркнеса [] 4, ] 5J, которая представляет собой радиаци-
онную силу, испытываемую пызырьком за счет рассеяния волны от
друrоrо пузырька, Из формулы (3.3) следует, что РВЗ есть результат
интерференции падающей волны с рассеянной волной 'Ps (r2 r]).
В случае твердой частицы большее значение имеет второй член
в (2.]2) и при Rl<f;L<f;л
F вз а (2;15) лR (3рш 2р) (рш/р 1) Re (B )B »), (3.6)
причем члены, имеющие порядок L/л, Rl/Л' отброшены.
Вычисления, которые мы здесь не приводим, дают такую фор-
мулу для F вз :
F вз == (тR /и). 3л [Р W 1 W 2 + W 1 (Р W 2 ) +
+ W2{pW]) 5p(PW])pW2]' (3.7)
Здесь введена относительная скорость W] ,2 ==w] ,2 a== (2/3) (]
РШ/Р)Wl,2' rде w1,2; V==B )2; V' и== <;;CPlO) колебательная скорость
в точке нахождения частицы.
Если шары твердые (рш?>р) и находятся в воздухе, то скорость
поступательноrо движения таких шаров можно положить равной
нулю w], w 2 О И W 1 2== a, Формула (3.7) переходит в извест
ную формулу КёНИi3а [] 61 для силы взаимодействия двух неподвиж
ных шаров в rидродинамическом потоке несжимаемой жидкости,
движущейся с постоянной (или колебательной) скоростью а:
F вз == (3/2) лр (R Щ/L4) и 2 (1 + 3 cos а),
(3.8)
rде уrол а образован направлением скоростей осциллирующих
шаров с линией, соединяющей центры шаров.
Из (3.7) следует, что F в з имеет тензорный характер; кроме сил,
действующих вдоль линии, соединяющей центры частиц, имеется
поперечная сила, которая разворачивает частицы друr относительно
друrа. Имеются зоны притяжения и зоны отталкивания при опре-
деленных конусах взаимодействия. Если линия, соединяющая
центры шаров, направлена вдоль распространения звуковой волны,
они отталкиваются друr от друrа, если же перпендикулярно,
ИМеет место притяжение.
На рис. 5.2 построен конус взаимодействия с центром в точке
нахождения первоrо шара и осью х, ориентированной вдоль На-
133
правления падающеrо поля.
пересекает ось х под уrлом а о ,
условия 3 cos2ao 1,
Частицы внутри конуса взаимодействия при а<а о отталкива-
ются от первоrо шара, а частицы вне этоrо конуса притяrиваются
к нему. Поперечная сила, как это следует из (3.8), стремится BЫ
вести частицы из области отталкивания в область притяжения
(телесный уrол отталкивания оказы
вается примерно в 1,3 раза больше
области притяжения), На рис. 5.2
стрелками показаны направления сил
взаимодействия. Как уже rоворилось,
.т формула (2.13) была получена в пред
1I0ложении R1<f;L<f;л. Если расстоя
ние между часпщамн L становится
сравнимым с Л, то следует учитывать,
что частицы MorYT совершать коле
бания в противофазе, да и вообще
сама задача о нахождении радиаци
онной силы взаимодей ствия становит
ся сложнее.
При малых расстояниях между
частицами в реальной жидкости начи
нает иrрать роль вязкий поrраничный слой BOKpyr частиц;
в проведенном рассмотрении вязкость вообще не учитывалась.
Коrда Rl или L меньше длины вязкой волны лв V 2'\'/ш , вяз
кость иrрает существенную роль и формула (2.12) уже непримени
ма. При Rl< }B радиационная сила может возрасти на несколько
порядков [17], поскольку вязкий слой увеличивает эффективный
радиус частиц, а в знаменателях (3.4) и (3.8) и расстояние между
частицами L присутствует соответственно во второй и в четвертой
степенях.
Для случая коrда L<л в и вязкие слои частиц перекрываются, в
[18] подсчитана сила взаимодействия частиц в режиме вязкоrо
обтекания. Результат расчета не совпадает с выводами, получаю-
щимися из (2.13); впрочем, TaKoro совпадения и не следовало ожи
дать, так как исходные предположения при выводе (2,13) были иные
(в частности, отсутствовала вязкость). Из этих расчетов следует,
что коrда ось узкоrо конуса взаимодействия совпадает с направле
нием падающеrо поля, имеет место притяжение частиц, тоrда как
из (2.13) следует, что должно быть отталкивание. Если вязкие слои
частиц не перекрываются, но Rl<f;л в , силы взаимодействия сильно
увеличиваются [18], хотя закон их иной,
Как видно из проведенноrо рассмотрения, rидродинамические
силы взаимодействия есть проявление сил радиационноrо давления
рассеянноrо звука. В ряде обзоров для пояснения возникающих в
звуковом поле сил взаимодействия вводят силы Бернулли. Как
видно, для этоrо нет достаточных оснований,
Рис. 5.2. Конус взаимuдействия
и направления сил, действую
щих на частицы, находящиеся
на сфере 52 при различных поло
жениях частиц (A IV) по OTHO
шению к исходному шару.
134
Образующая поверхности конуса
величина KOToporo определяется из
В решении задач по радиационному давлению на малые частицы
прИ интенсивных звуковых волнах, коrда форма волны близка J{ пи-
лообразной, следует, естественно, учитывать нелинейные эффекты.
Такие задачи, насколько нам известно, пока еще не рассматривались.
в свободном неоднородном звуковом поле в отсутствие пре-
пятствий и rраниц радиационные силы вызывают движение rаза и
жидкости. Импульс волны, передаваемый за счет поrлощения звука
в среде, идет на образование течення. В начальной стадии после
включения звука происходит ускоре-
ние среды, приводящее к установле
нию стационарноrо движения rаза
или жидкости, Это движение назы
вают акустическим течением или aKYC
тическим ветром, На рис 5.3 показан
характер акустическоrо течения на
частотах улыразвуковоrо диапазона
(несколько М[ц). Такое течение при
нято называть эккартовским, посколь
ку ero теория была развита Эккар
том 120]. Как видно из рисунка, Из-
лучающая пьезоэлектрическая плас-
тинка занимает только часть поверхно
сти кюветы, заполненной жндкостью. При включении звука жидкость
в сосуде начинает приходить в движение. Ero нетрудно наблюдать,
если поместить в жидкость HeMHoro алюминиевоrо порошка и сбоку
осветить жидкость через прозрачную стенку кюветы. По прошест-
вии HeKoToporo времени движение жидкости устанавливается и
имеет вид течения с противотоком. Такое акустическое течение было
бы невозможно, если бы пьезопластинка закрывала всю левую по
верхность кюветы (или трубы), так как тоrда не было бы противо-
тока жидкости и не вьтолнялся бы закон сохранения массы. Однако,
вообrце rоворя, в случае неоднородноrо распределения амплитуды
по фронту волны незначительное акустическое течение в принципе
возможно, а вблизи стенок, в поrраничном слое, оно возникает и в
случае однородноrо по фронту звуковоrо поля (см, ниже). Из рнс. 5,3
следует, что масштаб вихрей эккартовскоrо течения порядка объема
кюветы и он существенно больше длины звуковой волны л; радиус
ультразвуковоrо пучка также значительно больше л.
Имеются друrие типы акустических течений, связанных с Ha
личием rраниц и препятствий. В сущности они были известны зна
ЧИтельно раньше эккартовскоrо течения, коrда ультразвуковые
волны еще не были получены. Впервые Фарадей еще в 1831 r. наб
ЛЮД8Л стационарные вихревые потоки воздуха над колеБJIющейся
мембраной. К течениям около препятствий обычно относят два вида
акустических течений. Одно из них связано с именем Рэлея, созда-
теля ero теории (рэлеевское течение) [21]. ЭТО течение возникает вне
4. Акустические течения
f
2
1-
3
"
Рис. 5.3. Эккартовское течение
в трубе: 1 излучатель, 2
ультразвукuвой пучок, 3 зву
копоrлотиrель, 4 жидкость.
135
поrраничноrо слоя между двумн стенками; ero масштаб больше
размера вихрей в поrраничном слое, а сами вихри имеют масштаб
порядка А.
Третий вид акустическоrо течения, имеющий большое значение
в задачах интенсификации процессов Macco и теплообмена, это
акустические потоки в тонком акустическом поrраничном слое, тол
щина KOToporo порядка длины вязкой волны Ав;::::; (21]/ШР)';" Это
течение проявляется в большей степени в звуковом диапазоне, так
как на ультразвуковых частотах Ав очень мало. Масштабы вихрей в
акустическом поrраничном слое меньше А, так что такое течение
имеет малые масштабы. Теория таких мелкомасштабных течений в
поrраничном слое впервые была разработана Шлихтинrом [22, 23];
их часто называют Ulлuхтuн.20вСКU tU. Отметим, что скорость всех
этих трех типов акустических течений даже при сравнительно боль
шой интенсивности звука обычно мала по сравнению с колебатель-
ной скоростью в звуковой волне. Однако в небольшом числе экспе
риментов по возбуждению эккартовскоrо течения очень интенсив
ным звуком эти скорости были сравнимы по величине. Подробные
сведения о всех трех видах акустических течений имеются в обстоя
тельных обзорах [24, 25J.
Здесь мы кратко остановимся лишь на эккартовском течении,
являющемся наиболее характерным, и найдем из простых сообра
жений скорость потока на оси улыразвуковоrо пучка в направлении
распространения звука (координата х); более строrий подход
описан в [24, 25J.
Для нахождения приближенноrо значения скорости стационар-
Horo течения и о на оси звуковоrо пучка в трубе радиуса r'J3>A, конец
которой закрыт полностью поrлощающей стенкой, поступим c.rre
дующим образом, Если звуковой пучок однороден по сечению, то,
полаrая, что на ero rраницах скорость потока равна нулю, можно
воспользоваться формулой Пуазейля для скорости жидкости на оси
трубы:
U 0== /1PR 2 ;41]x. (4.1)
Здесь R радиус пучка, /1Р разность статических давлений
в двух сечениях, находящихся друr от друrа на расстоянии х.
Так как при малых скоростях течения жидкость можно считать
несжимаемой, то разность давлений /1Р на участке /1х представляет
собой изменение радиационноrо давления пучка вследствие поrло-
щения звука. Поэтому, если учесть поrлощение звука по амплитуде
а, то получим
/1Р == Е (O) E (х) == Е (0)[1 exp ( 2ax)], (4.2)
rде Е (х) средняя по времени плотность энерrии волны (см. 1),
Считая, что для маловязких жидкостей при малых х в большин
стве случаев ax l, найдем /1Р;::::;2 Е (О)ах и из (4.1) получим окон.
чательно
U о == Е (О) aR 2 /21] == loR 2 a/21]c, (4.3)
rде 10 интенсивность звука в начрльном сеч нии пучкр при х==О.
3Q
Из roro выражения следует, что скорость течеН!IЯ на оси пучка
пропорциональна начальной интенсивности звука и коэффициенту
поrлощения а. Скорость и о не меняется с расстоянием х; течение
одномерно, поскольку рассматривается область, rде ax ].
Формулу для скорости акустическоrо течения на оси звуковоrо
пучка, если вспомнить основные соотношения для плоской акусти-
ческой волны и==р/рс и I==Р2/2рс, а также выражение для коэффици
ента поrлощения а==Ь(l)2/2рс\ rде Ь==4Ч/З+11', можно записать в
виде (не учитывая влиянин теплопроводности)
loR2(jJ2 loR2(jJ2 ( 4 ' )
U о == 4рос 4 1] Ь == 4рос 4 1'] 3' 11 + 11 . ( 4.4)
Как видно из этоrо выражения, измеряя и о , в принципе возмож
но определить а и отношение сдвиrовой вязкости к объемной, хотя
этот метод не отличается большой точностью. При таких измерениях
необходимо учитывать влияние всех имеющихся для звука потерь,
в том числе возможное рассеяние звука на неоднородностях среды.
Измерения нужно проводить, принимая во внимание дифракцион
ное расхождение пучка и не используя слишком больших амплитуд
звуковоrо поля, чтобы нелинейные явления не иrрали заметной
роли.
Если исследуются акустические течения в такой жидкости, как,
например, вода, для которой a==25.]0 1 M l, 1l==]0 3 Kr/(M'c),
с==] ,5 .] 03 м/с, то на частоте ] мrц при интенсивности ] 0 4 Вт/м 2
иo 10 2M/C, тоrда как колебательная скорость в волне при этом
составляет 10 1 м/с. При больших значениях 10, (1), а и R ско-
рость акустическоrо течения увеличивается, начинают иrрать роль
нелинейные эффекты, связанные с нелинейностью уравнений rИk
родинамики, и теория существенно усложняется.
Экспериментальное исследование всех видов акустических
течений производилось различными методами, один из которых co
стоит в наблюдении движения визуализирующих частиц (алюмн
ниевый порошок, друrие взвешенные частицы в жидкости, частицы
дыма в воздухе и т. д,) при специально выбранном способе освеще-
ния. Красивый метод наблюдения линий тока в акустическом тече
нии удается применить на rранице двух несмешивающихся жиk
костей [26].
137
rлава 6
АКУСТИЧЕСКАЯ КАВИТАЦИЯ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЗВУКА В СРЕДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ
1. Общие сведения
Мощное звуковое поле в жидкости порождает маленькие паро-
rазовые пузырьки, которые под действием этоrо поля MorYT расти
захлопываться и вызывать такие эффекты, как химические реакции,
эрозия, звуколюминесценция и излучение звука (шума) в широкой
полосе частот. Эти эффекты характеризуют физическое явление,
называемое акустической кавитацией. rидродинамическая кавита
ция, или образование и захлопывание пароrазовых пузырьков (по
лостей), или образование разрывов в жидкости в местах локальноrо
понижения давления при обтекании тел, течений в трубах, в кильва
терной струе и т. д., отличается только способом возбуждения и
имеет MHoro общеrо с явлением акустической кавитации.
Важность исследования кавитации была понята в начале наше
ro века, коrда судостроители столкнулись с быстрым разрушением
корабельных винтов из за кавитационной эрозии. Первое математи
чес кое описание поведения кавитационной полости в жидкости было
дано Рэлеем в ] 9] 7 r. []]. Предложенная им модель сферической
пустой полости, захлопывающейся в несжимаемой жидкости, по
моrла частично понять эрозионное действие кавитационных пузырь-
ков. Дальнейшие исследования акустической кавитации были выз
ваны широким использованием звука и ультразвука в технолоrи
ческих процессах, rде кавитация является одним из сильно дейст
вующих факторов, а также необходимостью повышения мощности
акустических преобразователей в rидроакустике, rде кавитация
ставит предел максимальной интенсивности звука, излучаемоrо
акустическими антеннами.
В общих чертах акустическую кавитацию можно представить
себе следующим образом. В фазе разрежения звуковой волны на
имеющихся в жидкости микропузырьках образуется разрыв в виде
полости, которая заполняется насыщенным паром и диффундирую-
щим в нее растворенным rазом, В фазе сжатия пар конденсируется,
а имеющийся в полости rаз подверrается сильному адиабатическому
сжатию. В момент захлопывания давление и температура rаза
достиrают больших значений, что порождает в близкой окрестности
пузырька импульс BbIcoKoro давления. Акустическая кавитация
представляет собой эффективный механизм концентрации энерrии.
При кавитации относительно низкая средняя плотность энерrии
138
звуковоrо поля трансформируется в высокую плотность энерrии в
малоМ объеме внутри и вблизи захлопывающеrося пузырька. Пол-
ная энерrия захлопывающеrося пузырька невелика, однако сфери
ческая сходимость пузырька приводит к образованию очень боль
тих локальных плотностей энерrии, а следовательно, высоких TeM
ператур и давлений.
Теория образования, роста и захлопывания rазовых пузырьков
(сазовая кавитация) первоначально развивалась для несжимаемой
идеальной жидкости для случая одиночноrо сферическоrо пузырька.
Далее были уточнены уравнения динамики пузырька с учетом сжи
маемости, вязкости и теплопроводности, конечности амплитуды
колебаний стенки пузырька, Наконец, в этой теории был произве
ден учет несферичности колебаний пузырька, в особенности вблизи
ero резонансных частот и при достаточно больших амплитудах
звука, Было показано, что несферичность колебаний и возникнове-
ние струек жидкости у захлопывающихся пузырьков, если они
находятся вблизи твердой поверхности, является одной из причин
кавитационной .эрозии твердых тел. Теоретические исследования
далее стали развиваться применительно к динамике паровых пузырь
ков (паровая ка.випшция) , которая имеет MHoro общеrо с динами-
кой rазовоrо пузырька, однако имеются и существенные различия.
Большая часть теоретических работ посвящена теории движе
ния ОДиночноrо пузырька, тоrда как в экспериментальных исследо
ваниях и приложениях приходится иметь дело rлавным образом с
кавитационной областью, т. е, совокупностью большоrо числа взаи-
модействующих пузырьков, различающихся своими размерами,
Распространение звука в rетерофазных средах, таких, напри
мер, как жидкость с пузырьками rаза или пара, кавитационная об
ласть, кильватерная струя, верхние слои океана, содержащие бо
льшое количество rазовых пузырьков различноrо радиуса, криоrен
ная жидкость, содержащая паровые пузырьки, и т. д., отличается
особенностями: rазовые, паровые или пароrазовые пузырьки приво-
дят К рассеянию звука, вызывают увеличение поrлощения звука
и дисперсию.
Акустическая кавитация и распространение звука в пузырьковой
(и вообще rетерофазиой) среде представляет собой большую и слож-
ную область исследований, имеющую существенное прикладное
значение. В этой rлаве будут затронуты только основные аспекты
акустической кавитации: динамика rазовых и паровых пузырьков,
кавитационная область, кавитационая прочность жидкостей, явле
ния, сопровождающие кавитацию, а также ряд вопросов распро
странения акустических волн в жидкости с пузырьками,
2. Динамика одиночноrо rазовоrо пузырька
в акустическом поле
Все наблюдаемые при ультразвуковой кавитации явления свя-
заны с существованием и хар,!ктерным поведением кавитационных
Полостей или пузырьков в поле ультразвука. Поэтому изучение
139
движения пузырьков одна из основных задач исследования
ультразвуковой кавитации.
Мноrочисленные экспериментальные и теоретические исследова
ния кавитации в обычной, недеrазированной воде привели к выводу
о том, что при амплитудах звука, меньших примерно ] 04 Па, oCHOB
ную роль иrрают rазовые пузырьки, т., е. пузырьки, движение KOTO
рых определяется внешним акустическим давлением и состоянием
rаза внутри пузырька, Более подробное рассмотрение кавитации
мы начнем с вывода уравнений, описывающих динамику одиночных
пузырьков и получения их простейших решений.
Рассмотрим поведение одиночноrо сферическоrо пузырька радиу-
са R (t), совершающеrо пульсации в идеальной несжимаемой жидко-
СТи. Введем полярные координаты, начало которых совместим с цeH
тром пузырька. В этом случае потенциал <jJ удовлетворяет уранне-
нию Лапласа V2<jJ 0. Сферически симметричное решение этоrо
уравнения имеет вид
<jJ A/r, '> R,
(2.] )
rде константа А находится из rраничноrо условия равенства дaB
лений и нормальных скоростей частиц жидкости и rаза на поверх-
ности r R. Так как v(R) (д<jJ/дr)R (д<jJ'/дr)R, R, rде штрихи
означают, что соответствующие величины относятся к внутренней
части пузырька, то
A R2k
(2.2)
и искомый потенциал равен <jJ R2J .Ir. Подставляя это значение
потенциала в интеrрал Бернулли:
д<р + +.Е. р (00) == const (2.3)
дt 2 Р Р ,
получим для f;;;;;R уравнение
RR + (3/2) R 2 == [р (r) р (оо)]/р,
(2.4 )
rде р (00) давление при I' 00.
Впервые это уравнение, как и ero решение для простейшеrо
случая постоянноrо давления на бесконечности, коrда Ро (00)
==const (Ро rидростатическое давление) были получены Рэлеем
[] J. Полаrая, что р (R)==O, т. е. что внутри пузырька вакуум, из
уравнения (2.4) нетрудно найти выражение для скорости захлопы-
вания пустой полости:
v 2 == (2ро/3р) (RиR3 ]),
(2.5)
rде Ro радиус пузырька в начале захлопывания.
Вводя замену переменных R==R o X 1 / 3 , преобразуем это уравнение
к виду
(dx/dt)2 == (6Po/pRg) хl/3 (1 x),
откуда можно получить выражение для времени захлопывания
140
пу той полости:
I
M R / r dx
о V 6ро.1 х'/6 (1 x) 1/2
О
==. R / р l' (5/6) r (1/2)
о V 6ро r (4/3)
== 0,915R o V Р/Ро '
(2.6)
rде r rамма функция,
Рассмотрение модели заХЛОlIывающейся пустой полости показы-
вает, что сферическая сходимость пузырька может приводить к
очень большим скоростям движения (в приближении несжимаемой
жидкости v----+oo) , Давления Ртах' развиваемые во время захлопы-
вания, Pmax==(4i3)po(R тr /R)3 и при R----+O стремятся к бесконечности.
Такие большие давления, которые, соrласно упрощенной теории
(не учитывается сжимаемость rаза в пузырьке, не учитываются по
тери), должны возникать при захлопывании полости, привели к
казавшемуся вначале очевидным объяснению возникающей эрозии
корабельных винтов, Однако такое объяснение имеет определенные
трудности (см. 4).
Перейдем теперь к поведению пузырька, наХОДЯЩеrсся в жиk
кости в звуковом поле. Чтобы получить уравнение пульсаций пу-
зырька для этоrо случая, сделаем ряд предположений. Соrласно
условию равенства давлений при r==R (t) имеем
17' (R) == 17 (R) +2a/R. (2,7)
Здесь величина 2a/R (а коэффициент поверхностноrо натяжения)
представляет собой капиллярное давление Лапласа, которое оказы
вает искривленная поверхность пузырька на имеющийся в нем
rаз, Что касается ус.'Товия на бесконечности, то будем считать, что
вдали от пузырька rидростатическое давление равно 170' а на пузы
рек падает плоская звуковая волна pтexp[(i (kr (J)t)]. Если длина
звуковой волны л в жидкости, которую мы считаем иесжимаемой,
MHoro больше радиуса пузырька R, то поле в ero окрестности можно
приблизительно считать однородным:
17 (r) == 170 + Рт COS (Ot. (2.8)
Подставив значения давлений (2.7), (2.8) в уравнение Рэлея (2.4),
получим уравнение Нолmинса Непайреса 121:
р' (R) == 170 + Рт cos шt + 2a/R + р (RR + (3;2) R2), (2.9)
Это уравнение нелинейное и аIlалитическоrо решения не имеет.
Если давление rаза в пузырьке подчиняется уравиению Пуассона
17' (R)==Po(Ro/R) Y, ero решения MorYT быть получены либо приб
лиженными, либо численными методами, При малых амплитудах
уравнение (2.9) можио линеаризовать; при больших амплитудах
можно получить решения численно. На рис. 6,1 для примера пред-
ставлены численные решения, описывающие адиабатические пуль-
сации rазовоrо пузырька в воде при rидростатическом давлении
170== 105 Па и при превышающей частоту собственных пульсаций
пузырька частоте возбуждающеrо поля [3]. Пара метром представ
141
ленноrо семейства кривых является амплитуда давления Рт (в
105 Па). Внизу показано изменение во времени давления ультразву-
ковой волны. Штриховкой показаны области, характеризующие
структурную неустойчивость уравнения. В этих областях качест-
венная структура решений существенно меняется при незначитель-
ном изменении величины Рт' При pт 2 .10. Па пузырек не захлопы-
вается в течение 1 ro периода, а пульсирует MHoroKpaTHo; эта ам-
плитуда близка к пороrовой. При большей амплитуде звука скоростй
захлопывания увеличиваются и приближаются к скорости звука,
поэтому модель несжимаемой жидкости не приrодна для описания
50
R/RQ
1ОО
p 5 Ю б blt
blt
Рис. 6.1. Численные решения для адиабатических пульсации rазовоrо пузырька,
начальныи размер KOToporo R 10 4 см; частота возбуждзющеrо поля 500 к[ц.
конечной стадии захлопывания, Решение более точных уравнений
дает возможность оценить давления и температуры внутри пузырька
на конечной стадии захлопывания, При этом необходимо учитывать
не только сжимаемость жидкости, но и ее теплопроводность, вяз
кость, а также ионизацию fаза внутри пузырька. Так, например,
если для пузырька Ro 5.10 :\ см 11 pт 106 Па, то на конечной
стадии захлопывания давление rаза внутри пузырька достиrает
109 Па, а температура 6000 К [4], Такой пузырек излучает в воду
импульс давления, который при распространении за счет нелиней-
ных свойств жидкости превращается в ударную волну амплитуды
'" 108 Па. ВозникновеНIIем этих ударных волн частнчно можно объяс-
нить кавитационную эрозию.
Пульсации кавитационных пузырьков экспериментально обычно
исследуются с помощью скоростной киносъемки. Так, для частоты
ультразвука 15 кrц прнменялась частота съемки 60000 кадров
в секунду [3]. Приведенные результаты показывают, что ypaBHe
ffие Нолтинrа Непайреса хорошо описывает пульсации rазовоrо
142
пузырька прИ уме;:>енных аМплитудах зву({а. ОДf-lа(\О nриведеШIЫе
rрафики, рассчитанные для амплитуд давлений до 2.107 Па, имеют
лишь иллюстративный характер, поскольку при таких значениях
звуковоrо переменноrо давления поведение rазовых пузырьков в воде
уже не может описываться уравнением (2.9). Как уже было сказано,
это уравнение выведено без учета потерь при колебаниях пузырька;
не учитывались сжимаемость, вязкость и теплопроводность. Кроме
Toro, не учитывалось, что скорость стенки пузырька на конечной
стадии захлопывания может быть сравнима со скоростью звука в
воде и даже превышать ее. Учет сжимаемости в лииеЙном приближе-
нии приводит к более сложному уравнению так называемому
уравнению Хэрринrа Флинна [41, а учет конечности амплитуд
скорости стенки пузырька к уравнению Кирквуда Бете (см.
[3, 5]). Здесь мы не будем на этом останавливаться.
Рассмотрим аналитически линейные решения уравнения (2.9)
и обсудим их физический смысл.
Введем собственную сжимаемость пузырька соrласно равенству
К п == (l/V) dV/dp' == (3/R) dR /dp', V == (4/3) лR3. (2,10)
Из этоrо определения сжимаемости следует, что в линейном приб-
лижении (по полю рт) амплитуда колебаний пузырька
Rlс= (1/3)КпRор , (2.11)
rде R;:::::;;Ro+RlexP ( iUJt), р' ==рт + p exp ( iUJt); в общем случае
величина К п комплексная и ее мнимая часть определяется различ
Horo рода потерями (см. ниже). Подставляя это значение амплитуды
Rl в линеаризованиое уравнение (2.9), получим величину давления
rаза в пузырьке на поверхности r==R (t):
р' == Prп/q. (2.12)
Здесь множитель q учитывает резонансные свойства пузырька в
жидкости:
q== 1 (Кп/3) (pUJ2R +2a/Ro)'
(2.13)
Введем теперь поиятия резон.ан.сн.ой частоты пузырька из условия
q==O:
== { 1 ( 3 RеКп 2а )
ш о R ,
о р IК п l2 ЯО
(2,14 )
и затухан.ия б
б == 1т Кп/I К П \2 pUJ2R ,
(2.15 )
после чеrо выражение для амплитуды колебаний Rl можно перепи
сать в следующем виде:
R Рm/р оо2Я о (2.16)
1 w /w2 1 il\
в :,Тих же обозначениях величина рассеянноrо поля p== p дЧJ/дt
в окрестности пузырька запишется как P==tl/r, rде амплитуда
143
рассеяния [61
11 === 2 Ro .
ыo/oo2 1 i&
Заметим, что учет сжимаемости жидкости заставляет вместо реше-
ния (2.1) писать qJ===Aexp (ikr)/r. Поэтому в сжимаемой жидкости
рассеянное поле РВ (r) записывается как
Ps (r) == (f1/r) ехр (ikr). (2,18)
При этом амп.lIитуда рассеяния t1 имеет формально тот же ВИД, что и
прежде (2,17), за исключением Toro, что значение затухания l) (2.15)
приобретает дополнительное малое слаrаемое kR. Учет вязкости
жидкости при радиальных колебаниях пузырька сводится только к
изменению rраничноrо условия (2.7), которое будет теперь BbIr ля-
деть так:
(2. 17)
р' (R) == р (R) + 2a/R + 41lR/R.
(2.19)
с учетом кинематической вязкости и сжимаемости жидкости зату-
хание l) перепишется теперь в виде
l) == 3 1т Кл 2v
2Я 21 К 12 + kRo+ Я2оо ' (2.20)
роо о л О
а выражение (2,14) для резонансной частоты W o формально остается
без изменений.
Из полученных формул (2, ]5) (2.20) видно, что окончательное
решение задачи о поведении пузырька в жидкости под действием
звука сводится в конечном счете к нахождению собственной сжи-
маемости пузырька Кп. Для нахождения К П необходимо привлечь
уравнение состояния вещества (rаза) и ряд новых уравнений или
сделать дополнительные предположения о физическом характере
процесса сжатия, В дальнейшем будем считать, что вещество внутри
пузырька подчиняется уравнению идеальноrо rаза pV==RTт//l
и рассмотрим вначале ряд предельных случаев при а === О.
Если радиус пузырька велик по сравнению с длиной тепловой
волны в rазе л'т""V 2х/w , [де х==х/рС[) коэффициент температуро
проводности, то пузырек можно считать теплоизолированным. Ero
поведение в этом случае можно считать адиабатическим, при этом
pV'I'==const. В этом случае сжимаемость К п ==1/роу==1/рс 2 , [де
y==Cp/C v и К П является действительной величиной. Затухание l)
определяется в этом случае исключителЬно вязкими и акустиче
скими потерями. Резонансная частота W совпадает в этом случае с
формулой Миннаерта для резонансной частоты rазовых пузырьков
[7]:
U)O==R01V '\'Po/p, а==О.
(2.21 )
в друrом предельном случае Ro V 2x/U) пузырьки можно считать
изотермическими и сжимаемость К П найти из уравнения р V ==const .
В этом случае К п == 1/ро является действительной величиной и за-
144
1'ухание (2.20) определяется таКЖе ТОJlЬКО 3t<Yctl-lчесЮiМI1 и вязкиМИ
потерями. Заметим, что если в первом случае акустические потери
вносили наибольший вклад в выражение для б, то во втором слу
чае, т. е, при Ro V 2X/(i) , наибольший вклад в б для rаза вносят
вязкие потери.
В промежуточном случае R о;::::; v" 2х/ (i) процессы теплопередачи
ОI(азываются существенными для динамики пузырька и для нахож
денИЯ сжимаемости К П необходимо решать дополнительную CHCTe
му уравнениЙ, учитывающую перенос тепла через rранrщу ro==R (t).
Точный расчет коэффициента К П в этом случае дает следующее
ero значение:
К === [ ] + i ( 1 )( /] fll ) k2Roctg.k2Ro I r ] ( 2.22 )
П 2 2 У Х У 2 О ,
ре .
rде k ;::::;i(i)/X тепловое число, а y===R/V 2X/(i) безразмерный
радиус пузырька, выраженный в толщинах тепловоrо слоя, /11===
=== (4/З)v+ч l /р,
r === х [I (i 1) у] (2 23)
о х [I (i 1) у] +х [k 2 ЯО ctg k 2 ЯО 1] . .
Предельные случаи R о лт И R о лт дают для выражения (2.22)
значения К П ' совпадающие с ранее полученными выражениями.
Отметим, что введение резонансной частоты соrласно формуле
(2.] 4) возможно лишь в том случае, если отсутствует частотная
дисперсия сжимаемости К П ' Лишь только в отсутствие зависимости
К П от (i) (или ее слабой зависимости) выражения (2.]2) и (2,]9)
достиrают cBoero максимума (резонанса) на частоте шо, определяе-
мой фор "'улой (2, ]4). В общем же случае для нахождения резонанса,
т. е. максимальных значений, достиrаемых амплитудой рассеяния
tl и амплитудой /RII, необходимо взять их производные по (i) и
приравнять нуЛю. При этом оказывается, что в ряде случаев при
колебаниях пузырька возможно существование BToporo резонанса
при малых R о, частота KOToporo отлична от резонансной частоты
(2.] 4) [8, 91; дополнительный резонанс имеет очень полоrий MaK
симум,
Затухание колебаний пузырька происходит за счет теплопро
водности rаза (тепловые потери), вязкостИ жидкости и за счет
акустическоrо переизлучения (радиационные потери). Приведенные
соотношения позволяют оценить вклад в затухание указанных трех
факторов. Так, на частоте ]0 кrц для воздушных пузырьков в воде
с радиусами в пределах от 0,002 до 0,2 см, т. е. для пузырьков,
радиус которых меньше резонансноr.о радиуса, основное влияние
оказывает теплопроводность, а для пузырьков, радиус которых
больше резонансноrо, сжимаемость жидкости, т, е. радиационные
потери, вязкие же потери на этой частоте роли практически не
Иrрают.
Вообще в диапазоне частот от самых низких и до частот порядка
]00 кrц для воздушных пузырьков в .воде радиуса Ro;::::;]0 2 см
ОСНовной вклад в затухание колебаний пузырька вносят тепловые
145
и радиационные По'l'ери. (ЗаметИМ, Что доtJроТНоС'tЬ пузьФы<ов f'ю-
рядка десяти, т. е, она невелика,)
Если затухание колебаний 6 пузырька представить в виде cyM
мы трех частей: затухания за счет теплопроводности 6 t , вязкости 61]
и переизлучения 6" так что 6==6t+61]+6r, то формулу (2.20) и вы-
ражения (2.22) и (2.23) удобнее записать в таком виде []01:
(i) [ y(sh2y+sin2y) (ch2y cos2y) ]
6t==3(1' 1) (i)2 y2(ch2Y Los2y)+3(y l)y(sh 2y sin2y) ,
(2,24)
2v 2л
61] . Rr;2, 6, ,..... R о'
(о) '"
Из приведенных соотношений видно, что в качестве параметра ин
тенсивности теплообмена выступает соотношение между радиусом
пузырька и длиной тепловой волны в rазе y R o/v 2х/ ш , этот же па-
раметр влияет и на показатель политропы в уравнении состояния
rаза, Потери на вязкость определяются квадратом отношения
длины вязкой (сдвиrовой) волны (см. формулу (3,10) rл. 1) к радиу-
су пузырька, а на излучение отношением R о к длине звуковой
волны л и близостью частоты звука к резонансной частоте,
При умеренных амплитудах звука можно теоретически обьяс-
нить интересное и имеющее достаточно общий характер явление
рост радиуса пузырька в звуковом поле, В случае rазовоrо пузырька
этот рост обусловлен так называемой выпрямленной, или односто-
ронней диффузией rаза в пузырек. Кратко это явление можно опи-
сать следующим образом. Как известно, скорость диффузии раство-
peHHoro в воде rаза пропорциональна rрадиенту концентрации (за
кон Фика, аналоrичный закону Фурье для теплопроводности):
ql == D'VC, (2.25)
rде ql масса rаза, протекающеrо в секунду через единицу по-
верхности, D коэффициент диффузии и С концентрация paCTBO
peHHoro в воде rаза, Закон Фика выполняется на rранице пузырька;
концентрация rаза в жидкости на rранице равна концентрации
насыщения Си (р) при давлении rаза в пузырьке в данный момент
времени и меняется в течение звуковоrо периода, Вдали от пузырька
концентрация будет постоянной СО, зависящей от предыстории
состояния воды. Если вода была подвержена специальной подrотов
ке (длительному кипячению, вакуумированию и т. д.), то концент-
рация rаза HaMHoro ниже насыщенной при давлении ро, т, е, co
Си (Ро)' Если вода находилась в длительном контакте с воздухом
или друrим rазом, то концентрация rаза будет близка к насыщенной
Со==Си(Ро)' Во втором случае в течение времени, paBHoro части
периода звука (полупериод сжатия), концентрация rаза Си будет
больше Со и rаз из пузырька будет диффундировать в rлубь жидко-
сти и растворяться в ней; во время друrой части периода, коrда
пузырек расширяется, Си<С о и rаз, наоборот, диффундирует из
rлубины жидкости к rранице и выделяется в объем пузырька
(рис. 6.2). При этом средний за период поток rаза в пузырек может
146
быть отличен от нуля. rазообмен пузырька идет приблизительно с
постоянным объемом жидкости, При этом диффузия rаза из пузырька
идет через маленькую поверхность и с малым rрадиентом KOHцeHT
рации, поскольку толщина слоя
жидкости, участвующей в rазооб
мене, больше (шелл эффект), а диф
фузия rаза в пузырек идет через
большую поверхность и больший
rрадиент. Таким образом, коrда
концентрация pacTBopeHHoro rаза
СО близка к СИ (Ро), средний поток
rаза, диффундирующеrо за период
в пузырек, будет отличен от нуля,
масса rаза в пузырьке будет расти
и ero радиус будет увеличиваться
[] О.
Не приводя rромоздких выкладок, напишем конечное выраже
ние для скорости роста массы rаза т в пузырьке [I2J:
dm (8/3) лDСоR о (Рт/ро)2 4 DR С ( ] )
dt (I 1;2)2+1;2d2 л о о Си'
,..--- ....
" ....
/ ....
I '
I \
I \
I I
\ I
\ I
, /
.... /
.... /'
....... "...
а) tfJ
Рис. 6.2. Увеличение радиуса rазо
Boro пузырька в звуковом поле:
а) Фаза сжатия (СН>С О ); б) фаза
разрежеиия (Си < Со).
(2,26)
[де (ш/шо)2, d ]/Q=O(i)'Y]/Kn, Q добротность колебаний пу-
зырька. Первое слаrаемое обусловлено выпрямленной диффузией
rаза в пузырек, второе статической диффузией, возникающей
при отличии концентрации pacTBopeHHoro в воде rаза от насыщенной.
Поскольку изменение площади поверхности пузырька максималь
но на резонансе, то и выпрямленная диффузия максимальна при COB
падении частоты с резонансной.
Если Со<С и ' то, приравняв правую часть формулы (2.26) нулю,
получим выражение для поросовосо давления роста пУЗblрька р:п
вследствие выпрямленной диффузии:
р:п 2 == (3/2) Рб (1 C о/с и) [( 2---:-:- ])2 + 2d2]. (2,27)
Как видим, р:п зависит от степени приближения к резонансу и от
добротности пузырьков. На резонансе оно минимально:
PI min == (3/2) P (1 Со/Си)/Q2. (2.28)
Мноrочисленные эксперименты [] 3 15J надежно подтвердили
теоретические выводы и выявили ряд дополнительных эффектов, в
частности ускорение роста пузырьков при возбуждении на ero по
верхности капиллярных волн,
3. Динамика одиночноrо napOBoro пузырька
В 2 мы имели дело с динамикой rазовоrо пузырька в звуко
вом поле. Часто, однако, приходится встречаться с чисто паровы
ми пузырьками. К таким случаям относится возникновение паро
вых пузырьков в криоrенных жидкостях таких, как жидкий азот,
кислород, rелий. Паровые пузырьки возникают и в воде при КИПе
147
нии, rде также мы встречаемся (при наличии звука в воде, которая
находится в состоянии кипения либо близком к нему) е паровой ка-
витацией.
Естественно рассмотреть сначала, как это было сделано и в случае
rазовой кавитации, динамику одиночноrо паровоrо пузырька
[16 19J.
При ра.ссмотрении движения паровых пузырьков необходимо
учитывать теплообмен между жидкостью и пузырьком, а также испа
рение и конденсацию на rранице жидкость пар. Теория пульса-
ции паровоrо пузырька строится так же, как и rазовоrо, Здесь сле
дует только добавить к уравнениям движения и непрерывности урав-
нение переноса тепла и учесть особенности rраничных условий на
поверхности, разделяющей паровой пузырек с жидкостью.
Для упрощения задачи будем считать жидкость несжимаемой.
Пусть жидкость имеет температуру ТО и испытывает давление
Рнп (То)+/l.р, rде Рнп давление насыщенных паров и /l.р сла
бое статическое «пережатие», такое, что при отсутствии звука «па
разитное» кипение жидкости отсутствует. Считаем также, что пузы
рек находится в однородном переменном поле давления Pmcoswt,
поскольку 'A R.
Напишем уравнения rидродинамики в сферических координатах
для двухфазной средЫ для жидкости 11 для пузырька. В качестве
уравнения состояния используем соотношение (здесь и далее мы
следуем работе [20]) F (р, р, Т) o или в дифференциальном виде:
(l/p) dp=== dp a/T, (3.1)
а в качестве уравнения переноса тепла уравнение
рС р ( д;; +v T) co=div(xV'n+a/T +(Jik a ;: . (3.2)
Здесь
со= p l (др/др)т, а/ со= p l (др/дТ)р'
На колеблющейся стенке пузырька r R и) сИстема уравнений
для каждой фазы должна удовлетворять rраничным условиям,
следующим из законов сохранения массы, импульса и энерrии:
р [k v (R)] р' [k v' (R)] j,
p'(R, t) (J;r+j2/p'co=p(R, t)+2(J/R (Jrr+j2/p, (3.3)
jLn + j- 2(J/pR
. a , L I....!!... ( R2:!:5!..... ) со=х ( дТ ) x' ( дТ' ) .
/ 7+ pp'B'Utk + 2р' R2 dt dT ar R (1) ar R (/)
Здесь и далее штрихами обозначены параметры пара. В отличие от
случая rазовоrо пузырька, здесь имеются члены с потоком массы пара
j/p, поскольку в случае паровоrо пузырька частицы вещества,
участвующие в теплообмене, несут с собой определенную массу,
импульс и эНерrию. Кроме Toro, в (3.3) присутствуют тензоры вяз-
ких напряжений, которые привносят добавочное давление на по
верхности раздела. Здесь в (3.3) VZk скорость испарения вещества
148
. в вакуум, j== (4лR2) ldМ' /dt поток массы пара через поверх-
ность и L H теплота парообразования.
Выписанные rидродинамические уравнения и rраничные усло
вия учитывают как Неоднородность температуры и давления внутри
пузырька, так и неравновесность процесса испарения жидкости
внутри caMoro пузырька. При Этом неравновесность считается сла
бой и скачком температуры на rранице раздела фаз I1Т==Т .y'
пренебреrается. Выражение для потока массы далее можно взять
из уравнения Терца Кнудсена (см. [21 ]):
j == p' 'V 1k [Рин (Т) р' (р'Т')], (3.4)
[де Рин (Т) давление насыщенноrо пара, взятоrо при температу
ре жидкости у поверхности раздела фаз, Отметим, что для идеаль-
Horo rаза скорость испарения Be rцecTBa в вакуум [22]
V 1k ;V р' /2лр' ,
прилипания молекул пара к поверхности
(3.5)
rде а.. вероятность
жидкости.
Задача о движении паровоrо пузырька в поле звуковых волн
состоит теперь в решении выписанных уравнений с использованием
rраничных условий (3,3) и выражения (3.4).
Второе из уравнений (3.3), связывающее давление в жидкости
у поверхности пузырька с давлением пара внутри пузырька, вместе
с друrими уравнениями движения дает возможность вывести урав-
нение типа Нолтинrа Непайреса.
Решая совместно уравнение Навье Стокса, уравнение непре
рывности, уравнение состояния, уравнение переноса тепла, урав-
нение с учетом rраничных условий (3.3) и уравнение rерца Кнуд-
сена (3.4), получаем в линейноМ приближении выражение для амп-
литуды колебаний радиуса пузырька
R == R + Rl ехр ( iшt), Rr == PтRKH/3q,
(3.6)
[де R средний радиус пузырька.
Мы не будем выписывать довольно rромоздкое выражение для
получающейся сжимаемости паровоrо пузырька KH== (l/V')a1 / ' !др'.
Отметим, что величину q в результате решения можно записать
так:
2
q 1 (2a/R+4i(J)YJ+p(i)2R )К н /3. (3.7)
Эта величина учитывает резонансные свойства паровоrо пузырька.
Она представляет собой отношение амплитуды давления звуковоrо
поля к амплитуде переменноrо давления внутри пузырька: q==
==pт/p (R ).
Прежде чем перейти к анализу полученных решений, поясним,
откуда у паровоrо пузырька возникают резонансные свойства.
Массой образующеrося осциллятора является, как и в rазовомпу-
зырьке, присоединенная масса жидкости, а упруrостью избыточ-
ное давление, ВОЗI:Iикающее в пузырьке при изменении ero размеров.
Однако при медленном изменении размеров паровоrо пузырька дав-
149
ление пара в пузырьке будет соответствовать давлению насыщенноrо
пара при температуре жидкости на rранице пузырька. ЛИШНИЙ пар
будет конденсироваться на стенке пузырька, и избыточноrо дав-
ления (т, е. возвращающей силы осциллятора) не возникает; таким
образом, при медленных движениях упруrость napoBoro пузырька
равна нулю, При быстрых движениях тепло, выделяющееся при
конденсации лара, не успевает рассеяться в жидкости; жидкость
на rранице пузырька наrреется и Harpeel пар в пузырьке. Вследст
вне этоrо давление пара в пузырьке будет соответствовать уже дaB
лен ию насыщенноrо пара при более высокой температуре, т, е.
возникнет возрастающая сила. При еще более высокой скорости
движения стенки пузырька, приближающейся к скорости испарения
y.1O ; Па
IO J
10.8 10 5 10 ; 10 ] 10-2 jO 1 J!f, СAI
Рис. 6.3. Зависимость функций отклика у===! Rrl/ RPm от радиуса пароВЫХ пу-
зырьков для различных частот: кривая 1 400 [ц, 2 2 кrц, 3 10 кrц,
4 50 кrц, 5 250 кrц, б 1,25 мrц,
1
жидкости в вакуум Vlk, пар не будет успевать конденсироваться, и
ero состояние будет отличаться от paBHoBeCHoro; ero давление будет
превышать давление насыщенноrо пара. Это превышение будет
источником второй составляющей возвращающеЙ силы; при этом
свойства паровоrо пузырька приближаются к свойствам rазовоrо.
Таким образом, упруrость (сжимаемость к п ) паровоrо пузырька
существенно зависит от частоты воздействия и радиуса пузырька и
имеет достаточно сложный вид.
Используя получающиеся в линейном приближении решения,
можно рассчитать функцию отклика у== IRrll Rp т системы паровой
пузырек жидкость. fрафик такой функции для воды при темпе
ратуре 150°С при разных частотах звуковоrо поля приведен на
рис. 6.3 [23].
Обратим внимание на то, что функция отклика при не слишком
малых радиусах паровых пузырьков имеет два резонанса. Один из
этих резонансов, коrда радиус пузырька большой, описывается
формулой Миннаерта; добротность пузырька при этом достаточно
велика. С увеличением частоты звука эта добротность уменьшается,
а сам максимум передвиrается в сторону меньших радиусов. Второй
резонанс связан с поверхностным натяжением пузырька. Наличие
15Е)
двух резонансоВ ДМ! l1аровых ПУЗЫРЬКОВ BnepBbIE' бы,тю отмечеНО
в 19J,
Если решать исходную полную систему уравнений пульсаций
паровоrо пузырька во втором (квадратичном) приближении, то
можно убедиться, что действие звуковоrо поля на паровой пузырек,
кроме Toro, что оно вызывает вынужденные колебания пузырька,
приводит также к постепенному увеличению erO среднеrо радиуса.
Здесь мы сталкиваемся с явлением, имеющим сходство е явлением
Ii'/R('
2IJ
ZO
4О
5О
йJt/J!Л:
10
о
Рис, 6.4. Пульсация паровоrо пузырька в жидком азоте: кривая 1 соответствует
амплитуде звуковоrо давления pт O,35 .10. Па, 2 Prп=O,4 .10. Па и 3 pт
O,5.IO. Па.
выпрямленной диффузии rаза в пульсирующий в звуковом поле пу-
зырек ( 2). Это явление получило название направленной или вып-
рямленной теплопередачи (рост средней массы в пузырьке и рост
ero радиуса).
Основной причиной роста среднеrо радиуса пузырька является,
кроме paccMoTpeHHoro выше механизма шелл эффекта (для более
крупных пузырьков), поrлощение механической энерrии звука или,
друrими словами, работа сил поля над пузырьком. Величина этой
энерrии зависит от вязкости и теплопроводности пара, вязкости
и теплопроводности жидкости, параметров, определяющих интенсив-
ность испарения конденсации, и, естественно, от амплитуды и
частоты звука, В квадратичном приближении формула для скорости
роста среднеrо радиуса пузырька выrлядит следующим образом
[23J:
[ 2 '"
dR Х Рт 2а дТ .
([[" , I 1 2 L А; (R, ю) ( Ар+ ) ( Т ) ]
р LR q i= 1 R Р а
(3.8)
151
Здесь p пер жа'rВе, (аТ/дР)а ПрОНзМДtIа.s1 ЭДоJiЬ 1\рИВои.
фазовоrо равновесия жидкость пар, А i коэффициенты, свя
занные с различными механизмами поrлощения звука,
Как }шдно из формулы (3.8), скорость роста пузырьков зависит
от тоrО,насколько близок пузырек к резонансу (насколько мал фак-
тор q). Существует амплитуда звука р:п, которую можно назвать
пороrоМ роста; если амплитуда звука больше чем р:п, то пузырек
растет, если меньше, то растворяется. На рис. 6.4 приведен пример
численноrо расчета на ЭВМ [24] роста паровоrо пузырька в жидком
азоте при То==77,35 К, т. е. температуре кипения при нормальном
давлении. Начальный радиус пузырька составлял Ro==5 .10 4 см,
пережатие Ар==0,25.1 05 Па, ро=== 1 ,2 .1 O Па, частота f== cu/2л ==
==50 кfц. Из приведенных rрафиков видно, что при периодических
пульсациях паровоrо пузырька в звуковом поле средний радиус
пузырька растет блаrодаря рассмотренному выше эффекту выпрям
ленной теплопередачи и что коrда радиус пузырька превышает ero
резонансные значения, скорость роста заметно уменьшается и pa
диус приближается к некоторому асимптотическому значению.
Явление роста паровых пузырьков в поле ультразвука находит
применение в разрабатываемых ультразвуковых пузырьковых ка-
мерах для исследования частиц высоких энерrий [25J.
4. Асимметричное захлопывание кавитационных
пузырьков в жидкости
Основное внимание при теоретическом изучении динамики ка.
витационных полостей уделялось получению сферически симметрич-
ных решений уравнений, описывающю\: движение пузырька при
учете различных физических параметров: сжимаемости жидкости,
тепломассообмена, вязкости, высокотемпературных явлений в сжа-
том rазе и т. д.
При попытке воспользоваться этими решениями для объяснения
кавитационной эрозии возникает противоречие между пред осыл-
ками теории и реальными условиями эксперимента. Действительно,
в теории используется решение, полученное для одиночноrо пузырь
ка в безrраничной жидкости. Если из полученных решений оценить
давления, возникающие в жидкости при захлопывании пузырька
[26], то получается, что эти давления порядка 108 Па на расстоянии
r==2R и быстро падают при увеличении r. Таким образом, чтобы
пузырек ПРИj.захлопывании был способен разрушить KOHCTPYK
ционные материалы, он должен находиться на расстоянии, меньшем
2R, что конечно, противоречит условию безrраничной жидкости,
при котором строилась теория пульсаций пузырьков. Объяснение
кавитационной эрозии должно опираться на решение уравнений
динамики кавитационных полостей, которое получено при условии,
что коллапсирующий пузырек расположен вблизи твердой стенки.
Впервые на необходимость учета влияния близкой стенки на
динамику пузырька указали . Корнфельд и Л. Суворов еще в
1944 r. в работе [27, 281, посвященной экспериментальному исследо-
152
ванию кавитационноЙ эрозии, вызванной акустической кавитацией.
Используя прерывистое искровое освещение кавитационнЫх пузырь-
ков (частота звука 7,5 кfц), ими было установлено, что при росте
амплитуды колебаний пузырьки вблизи стенки теря-
ют свою сферическую форму и становятся полиrо
нальными. Авторы предположили, что при этом возни-
кают моды поверхностных колебаний высших ПОРЯk
ков, С ростом амплитуды число rраней растет, Что YKa
зывает на возбуждение мод более высоких порядков.
При больших амплитудах звука пузырьки теряют
правильную форму и съемка сбоку показывает, что
внутри пузырьков возникают микроструи (рис. 6.5),
Эти эффекты представляют собой частный случай
проявления неустойчивости поверхности раздела сред
с различной плотностью, так называемой fiеустойчu
вости Рэлея Тэйлора. Ярким примером такой не-
устойчивости служит неустойчивость rраницы раздела
ртути и ВОДЫ в случае, коrда ртуть находится сверху.
в этом случае любое длинноволновое возмущение по
верхности приводит К ее разрушению. Действительно,
рассмотрим плоскую rраницу раздела двух жидкос ,
тей, из которых тяжелая лежит сверху, а леrкая
снизу, Рт>Рд (рис. 6.6). В случае возмущения поверх-
ности длиной Х образуется ее проrиб, Если длина
возмущения поверхности и ее проrиб одноrо порядка,
то на массу опустившейся жидкости действует сила
тяжести, равная (Рт Рд)х3g (g ускорение своБОk
Horo падения). Для устойчивости необходимо, чтобы
эта сила была меньше силы поверхностноrо натяже
ния (и/x)x2 иx, направленной вверх и восстанавли-
вающей форму поверхнос ти. Однако п ри условии
Х> Х КР V a/(PT Рд) g (4.1)
"" /=:
"", / :=
ш
Рис.6.5.Уда-
ры кумуля-
тивных стру-
ек о твердую
стенку при
неустойчиво-
сти кавита-
ционноrо пу-
зырька под
действием
звуковоrо
поля.
восстанавливающая сила оказывается меньше силы тяжести и все
ш длинноволновые возмущения длиной Х>Х КР
оказываются неустойчнвыми,
В случае YCKopeHHoro движения rрани
цы раздела двух сред в отсутствие силы
тяжести роль ускорения g может иrрать
ускорение rраницы. Коrда это ускорение
направлено от леrкой жидкости к тяжелой,
то форма rраничной поверхности оказы
вается также неустойчивой. В случае пу-
зырька радиуса Ro под действием звуковоrо
поля длина возмущения Х может оказать-
ся порядка ero радиуса x Ro, а при колебаниях пузырька уско-
рение равно R::::::w 2 R/)R' rде R/)R==Rr амплитуда колебаний
радиуса пузырька. Подставляя эти значения параметров в формулу
(4.1), ПОЛУЧ)1М, что сферическая фОРМi1 пу;зъrррка устойчива
Рис. 6.6. НеустоЙчИl!UСТЬ
rраницы раздела тяжелоЙ
и леrкой жидкостей.
!Q3
только при условии
') /
Ro<v U/Pu:N)R.
(4.2)
Потеря сферической устойчивости пузырька может произойти
на последней стадии захлопывания, Коrда движение жидкости к
центру пузырька замедляется из-за противодействия сжатоrо rаза,
а также на начальной стадии расширения. Только в этих случаях
ускорение rраницы пузырька направлено от rаза к жидкости. Более
строrий расчет [29] основан на анализе условий роста амплитуды
сферической rармоники с пс==2, коrда форма пузырька задается
в виде
'"
r== R (t) + апУ п ,
n",1
(4,3)
rде У" сферическая функция порядка п. Опуская rромоздкие
выкладки, приведем окончательное выражение для условия устой-
чивости:
R < [ ( 3+ )] 1!3 ( 1 + L ) ;:::; [ ] 1!3. (4.4)
о 5pcu 2 Б R 2р 5pcu 2 Б R
Подставив {jRc==R 1 /R o из выражения (2.16) и возведя полученное
выражение в куб, ,получим
Rt < (24cr/5ш 2 р) 31'po /r(62 1)2+d262 Р,7/,
или, обратив это выражение, найдем
Рт < (24u/5ш 2 р) зrРоV(62 1)2+d262Rо3. (4,5)
Из выражения (4.5) видно, что амплитуда звука, при которой
сферическая форма пузырька становится неустойчивой, минималь
на, если радиус пузырька становится резонансным. Тоrда выраже-
ние (4,5) можно упростить:
< 24а Зf Ро б 24а 1 .
Рт 5 я 3 5Я Q Pт,
pcuo о О
[де {j и Q введенные ранее затухание и добротность,
Леrко показать, что для паровоrо пузырька пороr несферичности
будет выражаться точно такой же формулой. Оценка для воздуш-
Horo пузырька в воде с радиусом Roc==10 2 см дает р;'с== 3,5:102 Па,
т, е. достаточно малую величину. Вопрос об экспериментальной
проверке формулы (4.6) пока еще не нмеет прямоrо ответа. Но в
большинстве работ отмечается, что в кавитационной области ПрIl
достаточном времени озвучивания почти нет пузырьков размера
резонансноrо или больше, что находится в соответствии с этой фор
мvлой,
. Вопрос об асимметричном коллапсе пузырьков в звуковом поле
пока теоретически не решен. Из экспериментальных работ можно,
кроме вышеупомянутой работы М, Корнфельда и Л, Суворова,
отметитЬ работу И. Х. Брантона [30]. в ней приведены результаты
скоростной съемки пузырьков, захлопывающихся в кавитацион-
(4.6)
154
ной облаСТI1 300 ваТТНоtо ультразвуковоrо nреобразоватеМI не
частоте 18 кrц. Эксперименты показали, что пузырьки при асим-
метричном захлопывании образуют кумулятивную струйку, Ha
правленную к близлежащей твердой поверхности, Скорость этой
струйки достиrает 200 м/с, а диаметр приблизительно 0,1 диаметра
пузырька, Оценка давления в момент удара такой струи в твердую
стенку дается формулой p pcи, rде C CKOpOCTЬ звука в жидкости и
и CKOpOCTЬ струи [31]. Для экспериментов Кор нфельда, Суворова
и Брантона p 3. 1 08 Па. Таким образом, такая струйка может
быть одним из факторов, вызывающих эрозию.
5. Кавитационная область и пороrи кавитации
в экспериментах с акустической кавитацией всеrда имеют дело
с кавитационной областью [32, 331, т. е. совокупностью взаимо-
действующих кавитационных пузырьков, Мноrие свойства кавита
ционной области при умеренных
б p Па
амплитудах звука можно о ъяс
нить исходя из результатов ис
следования свойств одиночных
пузырьков.
Рассмотрим поведение rазо-
вых пузырьков различных ради-
усов при различных амплитудах
звуковоrо поля. Для этоrо пост
роим rрафик зависимости пороrа
роста пузырьков р;" от R (см, ш1
(2.27)) при фиксированной час
тоте (J) (рис. 6.7, кривая 1) [34],
Кривая 1 делит плоскость (p;,R) ,1ОЗ
на две области: / область роста
пузырьков и / / область paCT
ворения. Если начальный радИус
пузырька попадает в область J,
например при амплитуде р;"о
правее точки С, то такой пузы
рек будет расти вследствие вып
рямленной rазовой диффузии,
и ero радиус увеличивается, пока не достиrнет точки D, являющей-
ся асимптотической, Пузырьки, начальные радиусы которых по
падают левее точки С, должны растворяться в жидкости, а пузырь
ки с радиусами правее точки D будут убывать и стремиться к точ
ке D. Таким образом, кривая АО является пороrом роста пузырьков
вследствие выпрямленной rазовой диффузии, кривая ОБ кривой
асимптотических радиусов. Скорость роста пузырьков зависит от
Toro, насколько амплитуда звука превышает пороr роста при дaH
ном радиусе R , Поэтому максимальную скорость роста имеют
резонансные пузырьки. В случае стационарной кавитации можно
1О С
1
л
о
,102
JO 4 10 .' 10 Z ш 1 R, СЛ!
Рис. 6.7. Пороr роста пузырьков (кри
вая 1) и пороr развития сферической
неустойчивости (кривая 2),
155
trЬkазатЬ, Чtо распредеJrеliие пУЗbrРЬkОВ tro размерам обраТIiО Пр6-
порu.ионально скорости роста пузырьков: п( R )",-,l/R [34J, Таким
образом, в кавитационной области мало или совсем нет резонансных
пузырьков, что подтверждается экспериментом [35], На рис, 6.8
даны распределения пузырьков по значениям радиусов в воде,
полученные экспериментально при колебаниях ультразвуковоrо
концентратора на частоте 22 кfц, Проводилось фотоrрафирование и
дальнейшая статистическая обработка с использование микроскопа,
(
t
t
T/ 15 NhЖ
n,...r-, n.........n,..., п............,..,
r"I .....,
.......... . nn 21
.......... 2 ......
30
40
о
142
t'
0,4
,
о, 17 J?, NN
Рис. 6.8, Распределения пузырьков по размерам в воде, полученные эксперимен-
тально при комнатной температуре и при разных амплитудах колебаний И торца
ультразвуковоrо концентратора. Стрелкой указано резонансное значение радиу-
са пузырьков,
Как видно из рис. 6.8, на резонансной частоте заметен провал в
функции распределения п (Р..), т. е, имеется «просветление» кавита-
ционной области; резонансные пузырьки быстро «уходят» из области
резонансных размеров. Отметим, что одновременно инезависимо
такой же результат был получен в [36], Авторы этой работы эффект
просветления объясняют иначе, считая, что здесь определяющую
роль иrрает коаrуляция пузырьков, вызываемая силами Бьеркне
са, хотя, как мы знаем из rл. 5, силы Бьеркнеса не всеrда приводят
к эффекту слипания пузырьков.
Второй фактор, влияющий на распределение пузырьков по
размерам, это потеря пузырьком сферической устойчивости. По
156
por сферичесkоЙ устоЙчивости На hJIOсkости (p , R) дается по (4.5)
кривой 2 (рис. 6.7). Слева от кривоЙ пузырьки устойчивы, справа
нарастают капиллярные волны и может возникнуть кумулятивная
струйка, приводящая в итоrе к разрушению пузырька на большое
количество маленьких пузырьков. Часть этих пузырьков имеет
размер больше критическоrо (справа от точки С) и они будут расти.
Таким образом, в кавитационной области возникаетсамовоспроиз
водящийся процесс образования и роста пузырьков. Если средИ вновь
образующихся пузырьков есть такие, размер которых превышает
размер пузырьков в жидкости до начала воздействия звука, то воз
никает rистерезис, т. е, кавитация пропадает при амплитудах звука,
существенно меньших, чем пороr кавитации.
Кривая 3 на рис. 6.7 обозначает предеЛ применимости указан
ных аналитических решеНI!Й, При этих амплитудах пульсации
пузырька соизмеримы с ero размером; пузырьки существуют только
один два периода звука и разрушаются, образуя новые зародыши
кавитации и производя физико химические эффекты, сопровож
дающие кавитацию. Примеры поведения пузырьков при таких
амплитудах были приведены на рис. 6.1; эти решения полной
системы уравнений получены численными методами,
Численными методами можно исследовать сильно нелинеиные
явления в кавитационной области, например излучение кшзuтацu
ОННОсО шума. Спектр этоrо шума состоит из дискретных rармони
ческих и субrармонических составляющих и «белоrо» шума, Одним
из механизмов излучения rармонических составляющих является
возбуждение собственных пульсаций пузырька при совпадении
частоты ero резонанса с rармониками OCHoBHoro тона fp пf, rде
f p резонансная частота пузырька, f частота звука, возбуж
дающеrо кавитацию, п 1, 2, 3, ".
Пример возбуждения собственных пульсаций был нами даН на
рис. 6.4, относящемся к динамике паровоrо пузырька в жидком азо
те. Вторым ИСточником rармоник являются импульсы высокоrо
давления, излучаемые при сферическом и несферическом коллапсе
пузырька, дающие сплошнои спектр кавитационноrо шума [34, 37],
rармонические компоненты возникают вследствие Toro, что импуль
сы высокоrо давления возникают периодически; сплошная часть
спектра обусловлена разбросом моментов захлопывания пузырька в
течение фазы сжатия звука. Вклад в сплошную часть спектра дает
также излучение на собственных частотах пульсации вновь обра
зующихся пузырьков при несимметричном коллапсе. В спектре
кавитационноrо шума обращает на себя внимание присутствие
субrармонических составляющих на частотах пf/2, пf/3" , . Me
ханизм их излучения до сих пор до конца не выяснен; субrармони
ческие компоненты эффективно используются в эксперименте как
индикаторы акустической кавитации.
К нелинейным эффектам, возникающим при кавитации, относит-
ся и падение волновоrо сопротивления ре кавитирующей жидкос-
ти. Это связано, во первых, с уменьшеним плотности среды при
образовании пузырьков, BO BTOpЫX, со значительным увеличением
157
t}f. ИМii мостl-I, nосkолЬку при i'ЮЗRl1kновеЮНI кзвйтАциИ СжИМае-
мость среды определяется пузырьками rаза и пара, а не сжимае-
мостью жидкости, При интенсивной кавитации волновое сопротив-
ление уменьшается в десятки раз [32, 36, 39], и это необходимо учи-
тывать при расчете и конструировании ультразвуковых преобра-
зователей для жидкости. Увеличение сжимаемости приводит и к
понижению скорости звука в кавитирующей жидкости, причем это
снижение может быть очень значительным, с 1500 до 10 12 м/с,
Нелинейные пульсации пузырька приводят также к различным
физико химическим явлениям, Одно из них Кйf3итационная эро-
зия. Она возникает вследствие различных механизмов. Первый
это воздействие кумулятивных струек, возникающих при асиммет-
ричном коллапсе пузырьков рядом с твердой поверхностью, о чем
шла речь в 4. Эти струйки направлены I{ твердой поверхности, в
которой возникает «зеркальное» отображеПIJе пузыры\'а, пульсирую-
щее синфазно с исходным. Второй механизм это скоростноЙ на-
пор пузырька, а точнее жидкости, окружающеЙ поступательно
движущийся по направлению к стенке пузырек, При захлопывании
присоединенная масса пузырька (можно показать, что для посту-
пательноrо движения она равна половине массы жидкости в объеме
пузырька) резко уменьшается, и из-за сохранения импульса CKO
рость увеличивается. При уменьшении радиуса в 1 О раз скорость
увеличивается в 1000 раз и достиrает ,.....300 м/с. Скоростной напор
дается выражением p==pv 2 /2,..... 108 Па, и это воздействие имеет
длительность 0,1 Т, [де Т период звука. Третий механизм эро
зии обусловлен вязкими силами, вызывающими сдвиrовые напря
жения в металле и возникающими вследствие растекания жидкости,
вытесняемой из пространства между твердой поверхностью и CTeH
кой расширяющеrося пузырька, Напряжения, которые при этом
возникают, ,.....108 Па и длятся они ,.....0,5 Т. Как известно, прочность
конструкционных материалов по отношению к сдвиrовым напря
жениям на порядок меньше, чем к напряжениям сжатия. Еще один
эрозионный механизм обусловлен ударными волнами, возникаю-
щими в окружающей пузырек жидкости при ero захлопывании, их
амплитуда ,.....108 Па [4].
Коrда поверхность шероховата, и в ней уже возникли каверны
или лунки, эрозия резко усиливается, Возникает еще один Mexa
низм эрозии, обусловленный расширением пузырьков, попавших
в эти лунки. Расширением пузырьков, попавших в трещины покры
тий и заrрязнений или в места отслоений покрытий, обусловлена
высокая эффективность ультразвуковой очистки,
Эффективным методом увеличения кавитационной эрозии явля-
ется повышение статическоrо давления в жидкости. Поскольку MaK
симальная амплитуда звука в кавитационной области редко пре
вышает (0,4 0,6) Ро, то повышение статическоrо давления позво-
ляет увеличить амплитуду звука, действующеrо на пузырек, и,
следовательно, существенно увеличить скорость захлопывания пу
зырьков, Повышение' статическоrо давления дО 5 IO атм ПРИВОДИТ
к увеличению скорости эрозии на 2 3 порядка.
158
Такие же механизмы действуют и при воздействии мощноrо ульт
развука на живые орrанизмы. При возникновении кавитации (а по-
por кавитации для мяrких тканей близок к пороrу кавитации воды)
в живой ткани происходят разрывы и разрушения. Это открывает
возможность с помощью фокусированноrо ультразвука воздейство-
вать на rлубинные структуры орrанизма, например опухоли, не
производя хирурrических вмешательств [40, 41].
Высокие давления и температуры, возникающие внутри захло-
пывающеrося пузырька, вызывают в пузырьке ионизацию rаза и
образование свободных радикалов, инициируя химические реакции,
идущие обычно при высокой температуре. HarpeB rаза ведет к ero
свечению; кавитация ответственна за СОНОАю.м.инесценцию све-
чение кавитационной области, что также может служить для целей
индикации кавитации.
Остановимся теперь на вопросе о зародышах кавитации. Чистая
жидкость имеет пороr кавитации (теоретически r 42]) 108 Па,
Зародыши в ней MorYT возникать только вследствие rетерофазных
флуктуаций. Но реально кавитационная прочность жидкостей, в
том числе и воды, редко превышает 10. Па, что означает, что в жиk
кости присутствуют достаточно крупные стабильные пузырьки [a
за, Общепринятой rипотезой, объясняющей их возникновение и
длителЬное существование, является следующая. В очищенной воде,
деrазированной и профилырованной, количество пузырьков нич
тожно мало, и ее прочность может достиrать около 3.107 Па [33].
Под действием космическоrо излучения молекулы воды распада
ются, образуя водород и кислород, которые растворяются в воде.
Через некоторое время их концентрация возрастает до такой CTe
пени, что из за флуктуаций MorYT образоваться пузырьки размера
ми ;:::::;2 .10 6 см. На поверхность этих пузырьков попадают молекулы
поверхностно активных веществ, которые Всеrда, хотя и в малом KO
личестве, присутствуют в жидкости. Мономолекулярный слой Ta
ких веществ на поверхности пузырька полностью останавливает
диффузию rаза из пузырька в жидкость, и даже в жидкости, rде
концентрация pacTBopeHHoro rаза HaMHoro меньше насыщенной,
такой пузырек будет жить длительное время. Броуновское движе
ние пузырьков приводит к их столкновению и слиянию. Таким обра
зом, возникают более крупные пузырьки, которые и обусловливают
реальную кавитационную прочность жидкости. Зародышами ка-
витации MorYT служить и твердые несмачиваемые частички, а также
rазовые включения в трещинах и порах твердых поверхностей.
В некоторых жидкостях, например в жидком rелии и водороде, за
родышами кавитации ЯВ,IJЯЮТСЯ паровые пузырьки, возникающие
либо на теплых поверхностях вследствие локальноrо вскипания,
либо на треках пролета ионизующих частиц космическоrо излуче
ния. ЭТо открывает возможности применить акустическую кавита-
цИю для реrистрации ионизующеrо излучения [29],
В заключение этоrо параrрафа вернемся к вопросу о зависимости
Пороrовоrо давления в воде от размера пузырька и приведем при-
мер, относящийся к паровой кавитации (вблизи резонансных разме-
159
ров пузырька поведение паровоrо и rазовоrо пузырьков .пОЧТJ1
одинаково). На рис. 6,9 приведена зависимость пороrовоrо давлении
роста паровых пузырьков [20, 23] в воде при температуре 150 0 с
при нулевом пережатии от размера зародыша при различных ча-
стотах ультразвука. Следует при этом отметить, что на самой кривоЙ
* р:п ( R) пузырек испытывает вынуж-
Р т , атм
денные стационарные колебания,
не изменяя своих среднИХ разме
ров. Внутри областей, rде постав-
лены цифры пузырек растет, а в не-
которых пределах области слева
от минимальноrо значения р:п(R)
он захлопывается. Штриховая пря-
мая соответствует так называемому
блейковскому пороrу кавитации с
паровыми зародышами [41: РтО=С
== !J.p+2cr/ R. Из приведенных [ра
фиков можно сделать вывод, что
при отсутствии пережатия жиk
1!Т.5 кость начинает кипеть при значе-
1fT" !(J J ш 2 ш 1 1. if, СМ ниях статических пороrов давления
выше, чем это дает формула для
блейковскоrо пороrа. Из приведен-
Horo рисунка видно также, что
минимальные пороrовые значения
линейно растут с повышением час-
тоты. Этот факт хорошо известен;
как rазовая, так и паровая кави-
тация тем труднее возбуждается
(при прочих равных условиях), чем выше частота звуковоrо поля.
В технолоrических применениях кавитации используют частоты
ультразвука, как правило, не превышающее 26 30 кrц.
Подробные сведения о последних работах в области акустической
кавитации в разлнчных ее аспектах можно почерпнуть в [43, 44J,
1
10
1O 1
"
"
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
"-
1!l Z
lO J
jO ./
Рис. 6.9. Зависимость пороrовоrо
давления роста паровых пузырьков
в Боде при температуре 150 ос от
размера паровоrо зародыша при
различных частотах ультразвука:
1 400 rц, 2 2кrц, 3 10 кrц,
4 50 кrц. 5 250 кrц, 6 1.25
мrц.
6. Распространение звука в среде с пузырьками
Результаты, полученные в предыдущих параrрафах, позволяют
рассмотреть интересную и важную в практических приложениях
задачу о распространении звука в жидкости, rде имеется множество
пузырьков.
Мы видели, что при падении звуковой волны на одиночный пу-
зырек последний, совершая вынужденные колебания, частично по-
rлощает звуковую энерrИЮ за счет потерь на вязкость и теплопро
водность, а частично переизлучает (рассеивает) падающую на Hero
волну. Если же в жидкости имеется MHoro пузырьков, то каждый нз
них находится в поле как падающей, так и рассеянных волн
от соседних пузырьков, которые создают поле Mf!OrOKpaTHoro pac
сеяния.
160
Проблема рассеяния во,!Н имеет первостепенное значение во мно-
rих разделах физики; мы с ней встречались уже в rл. 2, коrда речь
lUЛа о рассеянии Мандельштама Бриллюэна; она будет встре-
чатьсЯ нам и дальше [6, 45, 46J.
Изучение особенностей рассеянноrо волновоrо поля часто явля-
ется единственным способом получить сведения о физических свой-
ствах среды (вспомним рассеяние рентrеновских лучей в кристал-
.лах).
Введем сначала понятие о полном сечении рассеяния Os частицы,
с которым нам далее придется неоднократно встречаться. Величина
Os определяется из соотношения: полная энерrия, рассеянная части
цей (пузырьком) 4nr21s (здесь r расстояние от-центра пузырька),
равна энерrии падающей волны интенсивности 10' проходящей
через площадку размером 0s, перпендикулярно к направлению
падающей волны, т, е.
. 4nr2Is==oslo,
(6.1 )
откуда и находится Os. Поскольку площадь поперечноrо сечения пу-
зырька радиуса R равна nR2, то тоrда, если бы вся падающая энер-
rия рассеивалась пузырьком во всех направлениях, вся эта рассе-
янная энерrия была бы равна nR2/o. Отношение o.lnR2 определяет
количество рассеянной энерrии в долях энерrии падающей. Следует
при этом заметить, что при резонансе, коrда частота падающеrо поля
совпадает с собственной (резонансной) частотой пузырька, сечение
рассеяния Os может значительно превосходить rеометрическое
поперечное сечение пузырька (для случая пузырька в воде на
несколько порядков).
При падении плоской звуковой волны р",ехр (ikr) на единичный
пузырек, радиус KOToporo MHoro меньше длины звуковой волны Л,
полное поле вблизи рассеивателя можно представить в виде суммы
двух членов:
Р (r) Рт ехр (ikr) + '1Рт ехр (ik I r rll)!/ r rll, (6.2)
rде r] координата центра пузырька, а 11 амплитуда рассеяния.
При R л амплитуда рассеяния 11 сферически симметрична и не
зависит от уrла падения 8; ее значение выражается формулой (2.17).
Пусть теперь в жидкости имеется не один, а множество пузырь-
ков. Будем считать, что радиус пузырьков R MHoro меньше длины
распространяющейся волны л и что л HaMHoro больше среднеrо
расстояния L между пузырьками, т. е. что л L R. Пузырьки
сферически симметричны, а их центры неподвижны. Это дает нам
возможность исключить из рассеянных волн динольные и более вы-
сокие компоненты излучения. В этом случае волновое поле Р (r) в
среде с N пузырьками можно записать по аналоrии с (6.2) в виде
суммы первоначально распространяющеrося поля плоской волны и
множества рассеянных волн монопольноrо типа, т. е.
( N ,
Р (r) == Р т \ ехр (ikr) + t:1 1 n ехр ri: rr:-(n 1) ) , (6.3)
6 В. А. КраСИJJЬНИ ков, В. В. КрыпО6
161
rде ' n координаты центров n-х пузырьков. Неизвестные коэф-
фициенты fn, как и в случае одиночноrо пузырька, должны нахо-
диться из rраничных условий, имеющих место на поверхности
Ir rn I==R n каждоrо из пузырьков. В дальнейшем для простоты
будем считать, что радиусы всех пузырьков одинаковы и равны R.
При принятом условии )"-';рL':;рR задачу нахождения неизве.
стных коэффициентов fn можно значительно упростить. Оказы-
вается, что в этом случае приближенное значение коэффициентов
fn выражается просто через произведение амплитуды рассеяния
fl на одиночном пузырьке и амплитуды падающеrо поля р; (r) на
[ й пузырек, взятой в точке rz, rде
( N )
. ех ik , ,
pi(r) == Рт ехр (ikr) + f n Р I(r rn I n 1) ,
п*'
(6.4)
rде [== 1, 2,. . ., N. Действительно, полное поле р (r) вблизи любоrо
из N пузырьков можно представить как в форме (6.3), так и в виде
суммы падающеrо на [ й пузырек поля р; (r) и рассеянной волны
pHr). При условии kR l падающее поле pf(r) вблизи [ ro пузырька
мало меняется, ero можно считать пространственно квазиоднород-
ным и приближенно заменить эффективной плоской волной с амп-
литудой p И. в этом случае по аналоrии с задачей рассеяния
плоской волны на одиночном пузырьке можно считать, что полное
поле р (r) вблизи [-ro пузырька имеет вид
р (r) == р; (r) + Рl (r,) == p (r) + р; (r,) t, ехр (ik I r r,I)/1 r r,l. (6.5)
Сравнивая теперь выражения (6.2) и (6.5). находим значения неиз
вестных коэффициентов в (6.3), fz==flpj(r[). Далее подставим най-
денные значения коэффициентов fn в формулу (6.3) и получим, что
полное поле
p(r)==Pm(eX P (ikr)+ f1 tl eXP( ::irnl ) p (rn)), (6.6)
rде коэффициенты p (r n ) находятся в свою очередь из решения
системы (6.4).
Однако прежде чем переходить к решению системы уравнений
(6.4) п (6.6), обратим внимание на то, что в реальных жидкостях
пузырьки расположены ПРОИЗВо.IJЬНЫМ, случайным образом. По-
этому и искомая величина р (r), а с ней и коэффициенты р; (rl) бу-
дут представлять собой. случайные величины, зависящие от ансамб-
ля конфиrураций {r N } месторасположений пузырьков. При Ma
лейшем движении пузырьков и изменении их месторасположения
значение p(r) также меняется и при этом произвольным образом.
В подобных случаях интересуются обычно не мrновенными и точ-
ными значениями случайных величин, а их статистическими харак-
теристиками. Соответственно и мы при изучении структуры волно
Boro поля в жидкости со множеством пузырьков будем ЩlТересовать-
162
....
ся в первую очередь 31IаЧенI1ем среднеr о поля Р (r) , а также билиней-
ной корреляционной функцией вида р* (r 1 )p(r 2 ) (здесь звездочкой
обозначено комплексное сопряжение).
Если каждый из N пузырьков занимает в объеме V любое равно-
вероятное положение независимо от друrих рассеивателей, то ycpeд
нение любой случайной величины Р (r) по ансамблю конфиrураций
{rN} должно производиться по следующему правилу [47J:
p(r) == Sp(r1' ' 2 , ..., r N )dr 1 ... dr N . (6.7)
Усредним теперь уравнение (6.6) соrласно правилу (6.7), сделав
при этом предположение, что падающее на I й пузырек поле p (r)
не зависит от координат I-ro рассеивателя (/. Если при этом OKa
жется вдобавок, что рассеяние на каждом из пузырьков мало, то
среднее падающее поле вблизи любоrо нз N пузырьков можно заме
нить на приближенно равное ему полное среднее поле р (r). Оценка
справедливости этих предположений будет приведена ниже. После
подобных замечаний и соответствующих операций получаем сразу
уршзненuе Дайсона для среднеrо поля, или так называемое уравне-
ние самосоrласованноrо поля:
' k t S ехр (ik I r r' i) ,
р (r)==pm ехр (t () + 1 п I r r' I Р (, ) dr ,
(6.8)
rде n==N /V плотность распределения пузырьков. Напомним,
что обычно (как и в данном случае) под самосоrласованным полем
понимают поле взаимодействия данной частицы со всеми частицами
системы, усредненное определенным образом по системе этих ос-
тальных частиц, действия на данную частицу всех остальных ча-
стиц приближенно заменяются. их усредненным действием. Урав-
нение (6.8) можно записать также и в дифференциальной форме.
Подействовав оператором Д+k 2 на обе части интеrральноrо уравне-
ния (6,8), получим уравнение
(д + k 2 + 4лпt 1) Р (r) == О, (6.9)
которое можно рассматривать как аналоr уравнения rельмrольца,
с некоторым эффективным волновым числом
k фф == k 2 + 4лпt1' (6.10)
Так как амплитуда рассеяния t1 представляет собой комплексную
величину, действительная и мнимая части которой зависят от <u,
то скорость распространения звука в жидкости с пузырьками будет
обладать дисперсией и поrлощением, поскольку действительная
часть ВОЛIlOвоrо числа, как всеrда, определяет скорость распростра-
нения волны, а комплексная часть числа ее затухание. Затуха-
ние звука, -являясь функцией от <u, складывается из поrлощения в
Чистой жидкости без пузырьков и затухания, вызванноrо MHoro-
кратным рассеянием ВОЛfI на пузырьках:
а==lmkэфф Imk+(2лп/k) Imt!'
(6.11)
163
6-
Из приведенной формулы для коэффициента поr.пощения можно
по казать, что влияние пузырьков в жидкости на поrлощение в Hei!
ультразвука велико. Для случq.я rазовых пузыры\Ов в воде деталь-
ный расчет и оценка были проведены довольно давно [48] для целей
пщроакустики, rде количество пузырьков, в особенности в поверх
Ностных слоях океана, существенно влияет на распространение аку-
стических сиrналов. Такие оценки и сравнение с наблюдениями
продолжают проводиться и в последнее время [49].
Здесь мы fIриведем друrоЙ случаЙ влияния rазовых пузырьков
на примере экспериментально наблюдаемых явлений в жпдководо
родной ультразвуковой пузырьковоЙ камере 1251. Для случая жид
I(oro водорода To 27 К на частоте 40 кfц наблюдаются паровые
пузырьки, раднус которых R,.....2 .10 2 см и концентрация n,.....10 CM 3;
резонансная частота таких пузырьков {о,.....100 кfц, т. е. для них
ro<ro о ' При этих условиях, соrласно (6.11), можно получить, что
a,.....10 ;} CM l. Это значение примерно на четыре порядка превы
шает коэффициент поrлощения чистоrо жидкоrо водорода, не coдep
жащеrо пузырьков, для KOTOpOI'O a,.....10 7 CM l [50], Еще большее
затухание будет, естественно, иметь место в случае резонансных
пузырьков. Следует отметить, что влияние rазовых пузырьков
на поrлощение обычно оказывается несколько БОльшим, чем влия
ние паровых пузырьков. Заметим также, что для указанноrо слу
чая паровых пузырьков в жидком водороде скорость звука меняется
приблизительно на 1,5 %.
Отметим, что при выводе уравнений (6.8) и (6.9) для среднеrо
поля р (r) мы пренебреrли корреляцией падающеrо поля p (r) с
координатой caMoro центра рассеивания rl' Как видно из уравнения
(6.4), это в общем случае не так, и подобное пренебрежение возмож
но лишь В первом приближении при решении системы уравнений
(6.4) методом итераций. Учитывая корреляцию лишь в первом
приближении, можно получить обобщенное уравнение для caMocor-
ласованноrо поля р (r) . Эффективное волновое число в этом случае
содержит добавку [51, 52]:
k;фф ==' k 2 + 4nnf 1 (1 + i (2n/ k) nт,
(6.12)
малость которой будет служить критерием справедливости ypaBHe
ний (6.8) и (6.9) самосоrласованноrо поля. Так как по предположе-
нию L4;,л, rде L,.....n 1!3 среднее расстояние между пузырьками,
то из условия малости величины (2n/k)nlflI 2 ,..... (л/L) Ifll 2 / L2 следует,
что поправка к эффективному волновому числу (6.1 О) мала при
условии Ifll4;,L. Так как IflI 2 ,.....os, rде Os поперечное сечение pac
сеяния, то физический смысл малости рассматриваемой поправки и
справедливости уравнений (6.8) и (6.9) состоит в неперекрываемо-
сти сечений рассеяния на пузырьках, т. .е. малой плотности n.
Выражения (6.10) и (6.12) для эффективноrо волновоrо числа
были получены в предположении, что рассеяние на каждом пузырьке
носит сферически симметричный характер и поэтому описывается
полностью только монополем. Однако в том случае, коrда пузырьки
164
совершают, помимо радиальных колебаний, еще и осцилляции или
коrда kR не мало, то в рассеянном поле от каждоrо из пузырьков
с.одержатся еще и мультиполи высших порядков. При условии L<{?
рассеянное поле вдали от пузыIькаa можно записать, как и ранее,
в форме (6.2). Однако, в отличие от рассматриваемоrо случая, aM
плитуда рассеяния f\ ЯВ.1Jяется теперь уже функцией от уrла 8.
При распространении плоской волны в жидкости с пузырьками в
этом случае выражение для эффективноrо волновоrо числа модифи
цируется и принимает следующий вид [53]:
k;фф == k 2 (1 + 2:ттп[ 1 (0)/ k2)2 (2:ттп! 1 (n)/ k 2 )2, (6,13)
rде [1 (О) и [1 (:тт) амплИТУДЫ рассеяния на пузырьке вперед и назад,
т. е, при уrлах 8==0, л соответственно.
В приближении отсутствия корреляции между падающим на
пузырек полем и координатой ero местоположения можно так же
леrко получить уравнение и для билинейной корреляционной функ-
ции:
р* (r\) р (r 2 ) == р* (r\) р (r 2 ) +
+ 1 [ 2 Is еХР(ikЭФФlr\ r'l) ехР(ikэффlr2 r"l) *(') (') d '
n \ I '1 I " / р r р r r.
r\ r r2 r
(6.14)
Положив в уравнении (6.14) r \ == r 2, найдем замкнутое уравнение
для средней интенсивности звуковой волны р (r)2 .
Общий вид уравнений (6.8) и (6.9) справедлив для нахождения
среднеrо поля в жидкости не только с пузырьками, но и в произ-
вольной жидкой среде с рассеивателями любой природы. В частных
случаях конкретизируется только вид амплитуды рассеяния f\.
Однако рассеяние на пузырьках, помимо специфическоrо резонанс-
Horo характера амплитуды fl, обладает еще и рядом своих особен-
ностей. Уравнения (6.8) и (6.9), а также следующие из них выраже-
ния (6.10), (6.12) и (6.14) были получены в предположении заданноrо
распределения пузырьков, А именно, при выводе уравнений предпо-
лаrалось, что радиус всех пузырьков одинаков и неизменен, а рас-
пределение пузырьков в пространстве однородно. Обобщение на слу-
чай наличия известноrо распределения пузырьков по радиусам и в
пространстве несложно и приводит к следующей модификации
уравнения (6,8):
р (r) == Рт ехр (ikr) + S ехр 1( ;'lr' /) f\ (R) n (r', R) р (n dr' dR.
(6.15)
Однако, как было показано ранее, воздействие звуковоrо поля на
жидкость с пузырьками приводит в ряде случаев к росту их сред-
Них размеров, т. е. к изменению функции распределения пузырьков
по их размерам. Поэтому при коротких звуковых посылках, коrда
время длительности импульса мало по сравнению с характерным
временем роста средних размеров пузырьков т, оказываются спра-
165
ведливымl1 nриведеНlIые ВЫШе ФОРМУЛЫ. В том же случае, КЬrда
время т сравнимо или больше временной продолжительности звуко-
Boro ИМпульса, происходит перераспределеlIие пузырьков по разМе
рам, а также их пространственная переrруппировка. При ЭТОМ про-
исходит самоустановление среднеrо поля в соответствии с изменяю-
щимся распределением пузырьков, которое в свою очередь YCTaHaB
ливается от распр остраняющеrося значения р (r) . Уравнение для
среднеrо поля р (r) в этом случае можно также формально записать в
дифференциальной форме (6.9), Однако оно теперь не замкнуто, так
как коэффициент fl!!удет уже не постоянным, а функцией среднеrо
раДиуса п узырьк а R, значение KOToporo в свою очередь зависит от
величины Ip (r) 12. Поэтому для нахождения среднеrо поля в СЛУЧdе
перераспределения пузырьков по. их размерам уравнение (6.9)
необходимо дополнить. системой уравнений, состоящей из уравне-
ния роста пузырьков R ==F (Jp (r) 12), и уравнением (6.14) для среднеЙ
интенсивности Ip (r) 12 .
Рассмотрим теперь случай распространения звука при установ-
лении предельноrо стационарноrо режима. Как известно, rазовые
или паровые пузырьки в звуковом поле MorYT расти в среднем, если
амплитуда звуковоrо давления превышает определенную величину,
При падении амплитуды звука ниже пороrовоrо значения все пу
зырьки в конце концов растворяются. Поэтому ясно, что вдали от
источника звука, коrда амплитуда р (r) упадет ниже минимальноrо
пороrовоrо значения за счет поrлощения звука на пузырьках, все
далеко расположенные друr от друrа пузырьки растворятся. А вбли
зи от излучателя образуется пузырьковая область с четко выражен
ной rраницей. Что касается близлежащих пузырьков, то некоторые
из них, имеющие слишком маленький радиус, растворят ся, а дру-
rие, радиус KOTOpЬ превышает критическое значение Rl' будут
расти до значения R 2, которое определяется пороrовым значением
jpl2 в данной точке. Однако еще до установления стационарноrо
самосоrласованноrо распределения пузырьков по размерам в про
странстве R (Ip (r) 12) может возникнуть ряд особенностей.
Мы.уже познакомились с тем, что при больших скоростях дви-
жения поверхности пузырьков может возникнуть их сферическая
неустойчивость. Если время развития неустойчивости слишком
мало, то пузырьки MorYT разрушиться и превратиться в rруппу
маленьких пузырьков, часть из которых захлопывается, а друrая
часть будет снова расти. При этом возможно установление стацио-
HapHoro динамическоrо режима саМО80зоБНО8ляющейся ка8итации.
Функция распределения пузырьков по размерам будет тоrда иметь
вид
!!:.JR) ==const/R (R, / р (r) /2) , (6.16)
rде верхний предел R определяется радиусом пузырька, при котором
наступает сферическая неустойчивость. Поско::rьку при подходе
к резонансу значение колебательной скорости R резко возрастает,
166
в области резонанса и за ним может наступить дробление растущих
пузырьков, Именно в этом случае возможно наступление режима
самовозобновляющейся кавитации с функцией распределения пу-
зырьков по размерам типа (6.16). .
В области резонанса значение средней скорости роста R также
достиrает максимума. Поэтому в окрестности резонанса в COOTBeT
ствии с формулой (6.16) в кавитационной области устанавлива-
ется распределение пузырьков по размерам с минимумом вблизи их
резонансных радиусов. А так как в поrлощение звука (6.11) вносят
наибольший вклад резонансные пузырьки, а их становится все мень-
ше и меньше, то с течением времени в любой точке пространства
вблизи излу чател я должен наступать эффект просветления. Амп
литуда звука р (r) возрастает за счет уменьшения ero поrлощения на
резонансных пузырьках в результате их быстроrо уменьшения в
функции распределения (6.16) на резонансных и вблизи резонанс-
ных частот; этоr результат обсуждался нами в 5.
Однако, помимо установления стационарноrо динамическоrо
режима самовозобновляющейся кавитации, возможно установление
стационарноrо режима с неизменным предельным распределением
пузырьков по размерам. Если время развития сферической He
устойчивости велико по сравнению со временем достижения пу
зырьком ero асимптотических размеров или сама неустойчивость
даже и не возникает, то окончательное распределение пузырьков
o размерам устанавливается в соответствии с пороrовой кривой
R ==F( R, ,рп
Оценки для плоской rеометрии показывают, что вблизи излуча
теля в этом случае устанавливается кавитационная область с четКо
выраженной rраницей, длина которой составляет [51 J
1 k lп (p/p*)/4nпt ,
(6.17)
rде значение р* приближенно соответствует минимальной пороrовой
амплиту-ч-е, а ' взято при радиусе пузырька, найденном из COOTHO
шения R ==F{R., IpI2) ==O,
Отметим, что проведенное рассмотрение оказывается справеk
ливым также и для паровых пузырьков, только в этом случае изме
няется коэффициент рассеяния fl и необходимо учесть процессы,
связанные с теплопередачей.
Проведенное рассмотрение линейной задачи о распространеНИI!
звука в жидкости с пузырьками основано на «микроскопическом»
ПОДходе. Исходя из динамики поведения ОДиночноrо пузырька в
жидкости в поле звуковой волны, методом теории рассеяния (при
определенных упрощающих предположениях) были получены фор-
мулы для дисперсии и поrлощения звуковых волн в такой среде.
Изложенное решение задачи распространения звука в жидкости с
пузырьками является, пожалуй, наиболее общим и последователь-
Ным с физической точки зрения, хотя обобщение этоrо метода: на
lю,лfIl?I RЩI Чfюft амплитуды еще не проведено,
!!!7
Имеется друrоЙ ПОДХОД, основанный на rидродина ШI{е rOMoreI'-
ной среды (roMoreHHoe приближение). Модель такой среды представ-
ляет собой смесь жидкости и rаза, состоящеrо из пузырьков; число
пузырьков на расстоянии порядка длины звуковой волны считается
достаточно большим (длинноволновое приближение). Учитываются
процессы теплообмена между воздухом в пузырьке и жидкостью.
Для такой системы записываются уравнения движения и непрерыв-
ности, причем для связи между давлением rаза в пузырьке и объе-
мом пузырька (уравнение состояния) используются решения (2,24),
В линейном случае решение задачи о распространении плоской зву-
ковой волны в такой rомоrенной среде приводит, естественно, к тем
же результатам, которые получены выше методом рассеяния,
Особый интерес представляет развитие TaKoro rидродинамиче-
cKoro подхода для случая, коrда задача о распространении звука
решается для волн конечной амплитуды, т, е, с учетом нелиней-
ности, Рассматриваемая rомоrенная среда обладает, вообще rоворЯ,
значительной нелинейностью, и поэтому изучение особенностей
распространения звука в такой среде привлекает особое внимание.
Нелинейность в этой среде проистекает в основном из за нелиней
ности уравнения состояния жидкости с пузырьками, Нелинейность
же самих rидродинамических уравнений движения иrрает значи-
тельно меньшую роль (на 3 4 порядка).
Если привести «нелинейное» обобщение теории колебаний rазо
Boro пузырька в жидкости, о которой у нас речь шла выше, то можно
получить уравнение состояния смеси (считая Р/Ржо малым пара
метром; здесь Ржо равновесное давление в жидкости и Р
акустическое давление) [54]. На основе этоrо уравнения состояния
можно определить эффективный показатель адиабаты смеси, т. е.
ее нелинейный параметр у*, выражение для KOToporo было получено
впервые в [55]. Этот нелинейный параметр оказывается на нескольКо
порядков больше, чем нелинейный параметр чистой воды. Так,
например, при объемном содержании воздуха в воде в отсутствие
звука Vo 2 .10 4 этот нелинейный параметр y* 5700 (!), Ясно, что
при таких БО,/IЬШИХ значениях у* нелинейные эффекты проявляются
чрезвычайно сильно, большим становится инелинейное поrлощение
[56J.
На основе нелинейноrо уравнения состояния, полученноrо в
[54], для длинноволновоrо акустичеСI{оrо возмущения в смеси жиk
кости с распределенными по размерам пузырьками rаза получены
и исследованы модельные уравнения в случае адиабатических и
изотермических колебаннЙ пузырьков; определены зависимости
скорости и поrлощения от частоты в области низких частот. Там
же рассмотрены процессы образования акустической волны с ча
стотой второй rармоники и волны разностной частоты, что имеет
значение для работы rидроакустических параметрических антенн,
Приведенные здесь результаты относились к узкополосным ЭВУ-
КOBbIM сUrналам, Для широкополосных сиrналов уж нельзя orpa
ничиться предельными случаями либо адиабатическото, либо ИЭО
теРМfIче j{оrо процессов, и дщтаточtIо ПРОСТl>Iе методы решеЩIЯ по
168
лУЧ io!Цltхся с.flOжtlых уравнении, KOTopbIe можно было бы ЙСС.f'lМЬ.
вать аналитическими или численными методами, еще не разрабо-
таны; для среды с пузырьками различных радиусов пока такая
задача вообще не решалась,
Для модели rомоrенной среды С одинаковыми радиусами пузырь
ков и без учета процессов теплообмена исследование методами COB
ременной теории нелинейных волн, частично рассмотренными нами
в rл. 3 и 4, было проведено в [57, 58]. Для такой упрощенной модели
был найден ряд интересных результатов: получено уравнение
Бюрrерса KopTeBera де-Вриза, найдены акустические соли-
тоны, проведены эксперименты, результаты которых достаточно
хорошо совпали с предсказаниями теории [60, 61]. В [62] рассмот-
рены стационарные волны произвольной амплитуды. Здесь мы не
имеем возможности детально останавливаться на большом Kpyre
этих интересных работ по нелинейной акустике жидкостей с пузырь-
ками.
rлава7
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ЗВУК
1. Введение. Общие сведения
До сих пор мы имели дело с распространением звука в ОДНОРОk
ных покоящихся средах. Вместе с тем в природе н в технике мы ча-
сто встречаемся с турбулентным движением, основные сведения
о котором даны в rл. 1. Представляет большой интерес вопрос о
характере распространения звука в турбулентных средах, таких,
как атмосфера или море, в которых блаrодаря большим масштабам
движения числа Рейнольдса велики и движение среды практически
всеrда турбулентно,
Турбулентность приводит к флуктуациям rидродинамических
параметров, В атмосфере к возникновению случайных полей
пульсаций скорости потока и, температуры ТО! плотности Рп' дав-
ления Рп' влажности е и т. д. Эти пульсации вызывают флуктуации
показателя преломления n среды и скорости распространения волн
(для света иrрают роль Рп И ТО! дЛЯ радиоволн СВЧ диапазона
Рп' е и Т п , для звука и, Т П и е). Для наrлядности можно преk
ставить, что все пространство, занятое турбулентным потоком,
случайным образом заполнено слабыми неоднороДНОСТЯМИ показа
теля преломления в виде выпуклых и воrнутых, т. е. фокусирующих
и дефокусирующих, линз самых различных масштабов, наклады-
вающихся друr на друrа.
Флуктуации n в турбулентной среде приводят к ряду интерес-
ных явлений при распространении через такую среду звуковых
волн, радиоволн и света. К их числу относятся флуктуации фазы
и уrла прихода волн, амплитуды или уровня сиrнала, рассеяние
волн и друrие.
Задачи распространения звука в турбулентной среде иrрают
существенную роль в атмосферной акустике и rидроакустике; элект-
ромаrнитных волн в атмосфере в атмосферной оптике, распро
странении лазерноrо излучения, радиосвязи, астрономии. Мы 06.
судим лишь наиболее простые акустические задачи из всей этой
большой проблемы, которую можно назвать «турбулентность
и волны»,
Первые работы по влиянию случайных неоднородностей атмосфе
ры на распространение звука и электромаrнитных волн были BЫ
полнены довольно давно. Еще в конце 30-х rодов [1, 21 при изучении
распространения звука при ветре было обращено внимание на то,
170
что принимаемый сиrнал подвержен изменениям замираниям
или фэдинrам, Средний уровень сиrнала уменьшается при прохож
денИИ волной заметноrо расстояния и зависит от скорости ветра,
что можно было отнести не только к влиянию рефракции, но и к по-
терям энерrии за счет рассеяния. В [3, 4} интерференционным MeTO
дом были проведены первые систематические измерения флуктуа
ций фазы и было выяснено, что они зависели от скорости ветра и
частоты звука. Далее эти работы были продолжены как в экспери
ментальном, так и в теоретическом направлении [4 7]; в них ис
следованы и флуктуации уровня сиrна,тrа.
Большое значение для решения проблемы «турбулентность и
волны» сыrрали как развитая в эти rоды статистическая теория ло
кально изотропной турбулентности, закон «2/3» Колмоrорова
Обухова ( 7, rл, 1), так и выявление микроструктуры развитоrо
турбулентноrо потока на основе непосредственных измерений в aT
мосфере. Эти работы способствовали дальнейшему развитию теории
волн в турбулентной среде и решению ряда прикладных задач.
Работы в этом направлении продолжают развиваться как в области
эксперимента, так и в области теории и мноrообразных приложений.
В настоящее время приобретает все большее значение метод им
пульсноrо зондирования атмосферы звуковым лучом на основе
наблюдения рассеяния звука на неоднородностях коэффициента
преломления [8]. Теория рассеяния волн [9, 10], использующая со-
временные представ,тrения о структуре турбулентности, открывает
возможность, используя эффект рассеяния радиоволн на звуковом
импульсе, дистанционно определить характеристики атмосферы.
Метод рассеяния звука используется также и для изучения неодно-
родностей в толще морской воды, в том числе внутренних волн.
Таким образом, исследование распространения звука в среде
со случайными неоднородностями является интересной задачей фи
зической акустики и вместе с тем оказывается важным для решения
обратной задачи из данных по акустическому зондированию по
лучать сведения о турбулентном и неоднородном состоянии aTMO
сферы и океана. В этой rлаве мы не имеем возможности остановить
ся на важной задаче rенерации звука турбулентным потоком;
первые важные результаты в этой области были получены в [I 1, 121.
2. Приближение rеометрической акустики
Рассмотрим сначала наиболее простой случай распространения
звука в среде с флуктуациями пока зателя преломления в при6лиже
1-щи с.еометрической акустики [71. Это приближение справедливо
по крайней мере при выполнении двух условиЙ. Первое состоит в
том, что масштабы неоднородностей 1 должны быть значительно
больше длины звуковой волны: Л. О втором условии будет CKa
зано ниже.
Если не учитывать средней скорости ветра в атмосфере (которая
приведет к сносу звука и появлению доплеровскоrо сдвиrа в часто-
те), а интересоваться только влиянием пульсаций скорости и темпе-
171
ратуры, то распространение звуковых волн в слабо неоднородной
среде может быть описано волновым уравнением для потенциала
a2Cf!/at2 c2(r) V 2 Cf!==O. (2.1)
Здесь скорость звука с зависит от координат r===- {х, у, z}; зависи-
мость с от времени учитывать не будем, считая, что турбулентные
пульсации «заморожены», т. е. что rидродинамические характери-
стики среды по сравнению с периодом звуковой волны изменяются
медленно.
Сами неоднородности среды будем считать слабыми, что в усло
виях атмосферы или моря всеrда имеет место; так, в условиях
атмосферы f..L===- с/с обычно не
превышает значений 10 'J .10 4
(для моря это отношение еще
меньше). Поэтому полаrаем, что
С==С о (l+f..L). (2.2)
10: L I
l I n l z
U =:==.::=Jt=:==: H %l
trd и
Как уже rоворилось в 7 rл. 1, f..L
Рис. 7.1. Пояснение смысла малости определяется турбулентными
дифракционной поправки ad [. пульсациями BeKTopHoro поля
скоростей и скалярноrо поля
температуры; вклад каждоrо из этих случайных полей в флук-
туационные явления при распространении звука в такой среде
примерно одинаков.
Решение уравнения (2,1) при условии (2.2) может быть прове-
дено методом малых возмущений в предположении, что потенциал Cf!
можно разложить в ряд по степеням малоrо параметра f..L [131:
(2,3)
CjJ == СРо + СР! + . . .
Этот метод, однако, можно применять лишь в случае достаточно
протяженных неоднородностей 1 (чтобы не было заметноrо набеrа
фазы, сравнимоrо с л), т. е. коrда не только I л, но и 1 V Lл.
Последнее условие вытекает из следующих простых рассуждений
(рис. 7.1). Если на препятствие масштаба 1 падает плоская волна,
то для Toro, чтобы по прохождении пути L «тень» этоrо препятствия
была не размыта, необходимо, чтобы дифракционное уширение, ко-
торое при малом уrле дифракции аd;:::::;л/I составляет adL, было мало
по сравнению с 1. Таким образом, аdL;:::::;лLlI ), откуда и следует
условие малости дифракционной поправки I V лL . Но величи
на V лI. есть, как известно, радиус первой зоны Френеля, поэтому
второе условие примеНИМОСТII rеометрическоrо приближения форму-
лируется так: необходимо, чтобы радиус первой зоны Френеля был
существенно меньше масштаба неоднородностей. ,
О том, насколько существенно выполнение TaKoro условия, МQЖ
но видеть из Toro, что даже для света с длиной волны л;:::::;10 см
в условиях турбулентной атмосферы с внутренним масштабом 1;:::::;
;:::::;1 см, начиная с расстояния L;:::::;100 м, условие I V Lл уже не
выполняется.
172
Представим потенциал <р квазиплоской rармонической вuлны
в виде
<р==Ао(х, у, z)exp{i<o[t S(x, у, z)/c]}, (2.4)
rде S (х, у, z) == ndL (n показатель преломления среды) ве-
личина, пропорциональная фазе, фазовая функция или эйконал;
эйконал связан с фазой е соотношением е== (ffilc)S ==kS. Подставим
это значение <р в (2.1), Проведя дифференцирование <р по координа-
там и времени и приравняв действительные и мнимые части, полу-
чим два уравнения
п2')'}V2Ao +п2 (VS)2==0 2V1пА о VS+V 2 S==О. (2.5)
4л 2 Ао ' ,
Для не слишком искривленных волновых поверхностей (заметим,
что лапласиан ,,2Ао характеризует кривизну поверхности), т, е.
для случая плавных неоднородностей, ,, 2 А / Ао имеет порядок, не
больший l/л; поэтому первый член при "л О (предельный переход
к rеометрическоЙ акустике) в первом уравнении (2.5) можно опу-
стить, и мы получаем
(VSJ2 п2, 2vlпАоvS+v2S==0. (2.6)
Первое уравнение есть уршзненuе эйконала, выражающее собой
nринциn Ферма. Ero смысл состоит в том, что расстояние между
двумя последовательными волновыми фронтами обратно пропорци-
онально локальному показателю преломления. Второе уравнение,
связывающее фазовую и амплитудную функции, имеет смысл урав-
нения сохранения энерrии вдоль лучевой трубки.
Вследствие пульсаций u и Т" в атмосфере S, Ао и п будут под-
вержены случайным изменениям. Положим, что
S==5+S', 1пАо lпАо+'ф, п==п tп', (2.7)
rде S', 'ф и n' случайные отклонения от средних значений. Под-
ставим (2.7) в (2.6) и, пренебреrая членами BToporo порядка мало-
сти, такими, например, как 2Vф v S', и принимая во внимание
уравнения для средних значений величин lп Ао и S, получим
VS' == п', V1/1VS == (1/2) V 2 S'. (2.8)
Поскольку n 1 и, как это следует из уравнения эйконала, V S 1,
случайное изменение лоrарифма амплитуды 1/1 в точке х (для направ-
ления х вдоль луча) и случайные изменения эйкона.тJа соответствен-
но будут
х
'ф == 1/ 2 V 2 S' (х') dx',
'0
х
S' == n' (х')Дх'.
"о .
(2.9)
Интеrралъi при этом берутся' вдоль евозмущенноrо луча,
Кратко остановимся на том, как можно найти среднее квадра-
тичное значение флуктуаций фазы для условий, коrда ратистиче-
173
ские свойства турбулентности известны. Учитываем изменение ско-
рости звука с только за счет влияния составляющей пульсаций ско-
рости ветра и==и", вдоль направления распространения волны х.
Соrласно выражению (2.9) для S', а также связи эй конала S с фа
зой (8==ffiS/C), для флуктуации фазы в точке расположения прием-
Н ника П, находящеrося на расстоянии L от
излучателя, можно получить (имея ввиду,
что f..L==Llc/c==u/c l)
П1 1<
Рис. 7.2. К расчету
среднеrа квадратична-
[а значения флуктуа-
цнЙ фаЗbl между двумя
приемниками .
'
, .
L L
f) (ПJ==ffi S + dx :::::; r udх+сопsf. (2.10)
с и с .)
О О
Считая, что 8==0, найдем 82. Для флук
туаций фазы после прохождения волной pac
стояния L получаем
L L
ё2:::::; C у 55 и (х) и (х') dxdx'. (2.11)
о о
L
Двойной интеrрал может быть леrко сведен к
однократному, Замечая, что корреляционная
функция для статистически однородных
флуктуац ий зависит только от разности между точками х и х', т. е.
u (х)а (х')==В (x x')==B (r), и что эта функция четная и В (r)==B ( r),
мы можем записать
L L L L ll L
в (x x') dx dx' == 2 dч В (ч) d == 2 В (1']) (L t)) dч.
00 о о о
Если радиус корреляции значительно меньше L, то окончательно
имеем
'"
82 (2Lk 2 /C 2 ) В (r) dr.
о
(2,12)
Отметим, что из (2,12) следует пропорциональность дисперсии флук-
туаций фазы иВ == JI В2 корню квадратному из проходимоrо волной
расстояния L.
Измерения V В2 в реальных условиях (при конечных L) не при
водят, однако, к постоянным значениям V В2 , поскольку крупные
неоднородности звуковой волны MorYT вносить относительно боль-
ший вклад в значение В2 , чем мелкие. rораздо более «устойчивым»
в статистическом смысле является среднее квадратичное значение
разности фаз между двумя приемниками П 1 и П 2' На рис. 7.2
изображен макет звукопеленrационной установки. Звук частоты ffi
от излучателя И принимается двумя приемниками П 1 и П 2, находя-
щимися друr от друrа на расстоянии Ь (база приемной системы).
174
Для простотыI считаем, чТЬ paccTOtIHlle L между центром uазы 11 H3
лучателем велико по сравнению с Ь, и тоrда yro.тr а между осью сис-
теМЫ и направлениями ИП! и ИП 2 будет малым [7].
Если пространство между излучателем и приемниками запол-
нено случайными неоднородностями, то разность фаз Ll8==8 (Пl)
8 (П 2) сиrналов в точках расположения приемников П 1 и П 2 бу
дет флуктуировать. Естественно, что среднее значение флуктуа-
ций Ll8 для изотропной турбулентности будет равно нулю. Най
дем ср еднее квадрати чное значение флуктуаций разности фаз
и8 == V [11 (Пl) 11 (П 2)]2 сиrналов двух приемников для случая f.t
==и/с< ::). Учитывая изменение скорости ЗВУКd только за счет ВЛIIЯ
пия пульсациЙ ll, направленных вдоль луча И П 1 (И П 2), получим
для фазы звука в точке расположения приемников, соrласно (2.1 О),
L
LlI1==I1(Пl) 8(П2)=== ((f)/с2) (Ul U2)dx, (2.13)
о
rде значение сопst по левому и правому лучу считаем одинаковым.
Тоrда
L L
(М)2 == ((f)/C 2 )2 Llu Llu' dx dx',
о о
(2.14)
rде
Llu==ul u2' Llu'==u,, u2"
(2.15)
в силу предполаrаемой из отропнос ти поля пульсаций и, на OCHOBa
нии закона «двух третей» (Ul 1l1,)2==C pf:13' и Toro, что (как следует
из этоrо соотношения) .
( ) 1 / С 2 2/3 + t
и 1 и,' === 2 vp"" сопs,
(2.16)
найдем
Llu Llu' === и 1 и,' + И 2 И2' ИIИ2' И2И" ==
== 1/2C (p , + P; ' P ;' p : ,) == C;,pi/. ' + C pi " (2.17)
rде Р1,l' и Рl,2' определяются соrласно рис. 7.2. Учитывая, что при
малых а cos2a==1 a2, tg 2 a==a 2 , получим
p ",==(x x')2(1+a2), (2.18)
ri,2' == (x x')2 + (х + х')2 а 2 . (2.19)
Подставляя Р1,l' и Рl,2' из (2.18) и (2.19) в (2.17) и далее в (2.14),
получаем
L L
(Ll8 )2 == «(f)/C2)2C 5 S {[(x x')2 + а 2 (х + x')2]
о О
(x x')2/3(l+a2)1/3}dxdx'. (2.20)
При малом уrле a(b L) интеrрирование можно выполнить при-
ближенно. ДJJЯ среднеrо квадратичноrо значения флуктуации
17р
рязпоrти фаз получаем следующую формулу:
ае == -V «' e)2 == const ((J)/C) CvLl/2b5/ ,
(2.21)
Рис. 7.3. Схема расположения ба-
зы из двух прием ников, определя-
ющих флуктуации уrла прихода
волны.
rде const IIMeeT значение порядка единицЫ, а C v r8K называемая
характеристика поля пульсаций скоростей, пропорциональная ин-
тенсивности турбулентных пульсаций. -
Аналоrичное рассмотрение можно провести и для влияния поля,
пульсаций температуры. При этом получается в точности такая же
формула, поскольку и в этом случае используется закон «2/3», от-
личающийся лишь тем, что C v за-
меняется на характеристику темпе .
ратурных пульсаций ВТ (см. Т
rл. 1). Вклад полей u и Т" в ае}
оказывается приблизительно оди-.
наковым.
Проведенное рассмотрение яв
ляется весьма rрубым; в нем не
учитывается векторный характер
поля скоростей, уrлы а считались
Подробное изложение этоrо Kpyra вопросов содержитсЯI
I
ь
>-I П z
малыми.
в [14].
Отметим здесь, что нам удалось получить формулу для а8
в явном виде через значение характеристики турбулентности C v '
параметров звуковоrо поля (О, С, параметров задачи L и Ь при том
непременном условии, что мы воспользовались конкретным видом
структурной функции полей пульсаций скоростей и температур
турбулентной среды. Эта функция использовал ась в виде закона
«2/3» Колмоrорова Обухова.
Первые эксперименты, проведенные в 1941 r. [4], в области час-
тот звука килоrерцевоrо диапазона и низкочастотноrо ультразвука
20 кrц не только подтвердили характер зависимости ае от ui, L, Ь,
но и позволили оценить значение характерйстики турбулентности
C v ' т. е. использовать акустический метод ДТ1я исследования атмо-
сферной турбулентности. JfO значение C v оказалось для даuных
условий акустическоrо эксперимента несколько меньшим, чем
значение, определяемое методом микроанемометра, широко приме.
няемоrо малоинерционноrо прибора для измерения скорости и на-
правления ветра. Если при этом учесть, что в формуле (2.21) учиты-
вались лишь флуктуации скорости и не принималось во внимание
поле пульсаций температуры (а оно, как отмечалось, дает примерно
такой же вклад в значение флуктуации фазы), то соответствие ре-
зультатов акустическоrо метода измерения C v и метода микроанемо-
метра становится еще более близким.
Нужно сказать, что хорошее совпадение результатов измерений
C v ' полученных разными методами, свидетельствует о правильно-
сти основ теории и о возможности развития подобноrо подхода при-
менительно к волнам друrой природы, распространяющимся в тур-
булентной cpeдe, радиоволнам и свету.
176
Эти рабо'l'Ы дал\{ толчок развитию u()ЛЬUЮfО раЗМJlа радиофи-
зики «волны И турбулентность» r14 20J.
Полученная формула (2.21) для иEl дает возможность 'выяснить
источник ошибок при работе звукопеленrатора. Пусть направление
на источник звука составляет уrол а с направлением базы Ь
(рис. 7.3). Тоrда в невозмущенном потоке разность фаз на концах
базы будет
в == (21tЬ/Л) cos а.
(2.22)
Если теперь под влиянием турбулентности фаза получает случайное
изменение БEl, то
ба::=:::; (Л/2:rТЬ) БEI sin l а.
При значениях а л/2 имеем
ба::=:::; (л/21tЬ) бв.
(2.23)
(2.24)
Аналоrичное соотношение будет иметь место для средних квадратич
ных ошибок:
иа::=:::; (л/21tЬ) ив,
или, если воспользоваться формулой для ив,
иа::=:::; (const/21t) CvLl/2b 1/6.
(2.25)
(2.26)
Из этой формулы следует, что иа не зависит от длины волны зву
ка л и в очень малой степени зависит от базы. В рамках справеДЛII
вости rеометрическоrо приближения эта формула подтверждается
экспериментами.
При распространении монохроматической звуковой волны в турбулентном
потоке должно несколько увеличиваться среднее значение частоты звука, а
сама спектральна,я lИ.НИЯ Сllrнала должна несколько размываться, Эти явлення
удается описать, ИСПОЛ!.,ЗfЯ rамильтонов подход (см. 5 rл. 4, с. 115).
Мы уже rовори.тИ, что понятие фонона или кванта упруrоrо возмущения,
обычно используемое в физике твердоrо тела, можно распространить также на
rазы и жидкости. В результате действия возмущающих факторов (поля пульсациЙ
скоростей) число фононов в заданном состоянии может изменяться с течением вре-
мени: фононы MorYT приходить и уходить из данноrо элемента фазовоrо простран-
ства. Может оказаться, что в результате действия внешних случайных нестацио-
нарных возмущений функция распределения фононов, а следовательно, и средняя
энерrия фонона будут изменяться со временем монотонным образом, В частности,
средняя энерrия может возрастать, В этом случае мы можем rоворить об YCKope
нии фононов,
Здесь имеется аналоrия с известным эффектом Ферми статистическоrо yc
корения частиц. Еще в 1949 r" занимаясь проблемой происхождения космиче-
ских лучей высоких энерrИЙ, он высказал идею об ускорении заряженных час
тиц, движущихся среди случайных маrнитных полей 121]. Эта идея получила раз-
витие и была распространена, в частности, на случай ускорения неЙтральных час-
тиц (Фотонов, нейтрино) при их движении в плазме.
Основная часть задачи об ускорении фононов заключается в том, чтобы вы-
числить вероятность их перехода из заданноrО элемента фазовоrо пространства.
Для определения этой вероятности следует определить операторы рождения и
уничтожения фононов, для чеrо необходимо корректно построить rамильтониан
звуковоrо поля на основе введения соответствующих канонических переменных.
Из этоrо rамильтониана должны следовать уравнения движения среды.
Найдя rамильтониан для звука в турбулентной среде, можно получить кинети'
ческое уравнение для функции распределения фононов и, используя выражение
177
длii сriеК1'рaJ1Ы10ru fензора 1<орреЛЯЩiН пульсаЦIIН поля скоростей D турбуjteНТ'
ном потоке, раССЧlIтать ускоренне фононов в турбулентноЙ среде [22]. в результа-
те расчета удается получить выражение для изменення (увеличения) средней
частоты ф в зависимости от пройденноrо звуковой волной расстояния.
Уравнения rеометрическоrо приближения (2.9) дают возмож
ность найти среднее квадратичное флуктуации лоеариф.ма а.мплиту
ды [23]. Соrласно определению S' имеем
х
V 2 S' === ди + r ( д 2 /: I д 2 /: ) dx,
с дх с J и!I I rJz.
о
Подставляя это выражение для лапласиана S' в (2.9) и ннтеrри-
руя один раз, найдем
L
1)1=== (и l и l ) 5( L x' ) [ д2и(Х') + д2и(х') ] dx' ( 2.27)
2с о L 2с ду 2 iJz 2 '
О
откуда величина 1)12, в соответствии с (2,27), будет равна
L
1)1 2 '" 55 (L ) (L ' ) [ д' и (х) , д 2 и (х) ] [ д2и (х') + д2и (х') ] d d '
'" 4 " Х х д о т д 9 д ,., д ' 2 Х х.
с- У" Z" !I " z
о
(2.28)
Считая турбулентность изотропной, получим
L L
.1,2 '" 5 5 (L ) (L ' ) [ д2и (х) д 2 и (х') + д2и (х) д 2 и (х') ] d d '
'!' '" 2с2 Х Х ду 2 ду'2 iJz 2 iJZ'2 Х х.
о о
(2,29)
Дальнейшее вычисление можно провести, еслк :зють В явном виде
корреляцию вторых производных пульсациv. скорости. Результат
вычисления -{ 1)12, основанный на ряде упрощающих предположений
с учетом закона «двух третей», приводит к зависимости
-{ 1)12 L3/2. (2.30)
Существенно, что среднее квадратичное значение флуктуаций ам-
плитуды, соrласно формуле (2.30), пропорционально L3/2,
Эксперименты, поставленные по изучению флуктуаций уровня
3BYKoBoro сиrнала, показали [5, 6], что такая закономерность co
блюдается в атмосферных условиях (приземный слой) лишь при
малых L; при увеличении L зависимость { 1)12 от I приблизительно
'" L; налицо явное расхождение с теорией.
Принципиальная неточность в вычислении у ЧJ2 связана, оче-
видно, с использованием приближения rеометрической акустики.
Ясно, что расхождение с теорией может быть устранено, если ре-
шать задачу более cTporo, используя не rеометрическую, а волновую
трактовку, коrда учитыва ся дифракционные эффекты.
178
3. Приближенны и учет дифракционных поправок. Метод
плавных возмущении
Учесть дифракционные эффекты можно приближенно на основе
более общих уравнений, чем уравнения rеометрической акустики.
Это можно сделать с помощью метода пЛШ3Нblхвозмущенuй. Идея Me
тода в применении к задаче о рассеянии звука и света полем турбу-
лентных неоднородностей была развита А, М. Обуховым [24J, Отме-
тиМ, что аналоrичный подход был ранее использован С. М. Рытовым
при решении задачи о дифраКЦИII света на ультразвуке [25J.
Введем комплексную функцию [13]:
x(r)==B(r)+i1n(A/Ao), (3.1)
rде е (r) фаза. Воспользуемся для потенциала ер представлением
ер (r, t)==Aoexp [i (ffit xr)] и подставим это значение в уравнение
(2.1), т. е. в начальной стадии поступим так же, как и в 2 при
получении уравнений (2.5). Но не будем теперь переходить к пре
делу л --+ О В этих уравнениях, а найдем уравнения для комплекс-
ной функции Х. Тоrда получим
(VX)2 + iV 2 x == ko (1 + f..L)2, ko == 2л/л о == Ю/С О ' (3.2)
Заметим, что для невозмущенноrо звуковоrо поля X Xo kox, Если
далее положить Х==Хо+Х' и подставить это значеНIIе в (3.2), то,
пренебреrая членами, в которых содержатся (VX')2, получим OCHOB
ное уравнение метода плавных возмущений:
2 (VX' "Хо) + iV 2 Х,' == 2f.tk .
(3.3)
Оно оказывается линейным относительно возмущения комплексной
фазы х'. Так как членами (\,х')2 мы пренебреrали, необходимо,
чтобы на расстояНИях порядка л относительные изменения волно
Boro поля были незначительны. В этом смысле и оправдано назва-
ние этоrо метода как метода плавных возмущений.
Если в уравнении (3.3) опустить дифракционный член iV 2 x',
то мы снова возвращаемся к уравнениям (2,8).
Для учета дифракционных эффектов можно, вообще rоворя,
пользоваться более простым уравнением, чем (3.3):
ду,' . ( д2х' д2х' \ 2
2ko дх + l , д у 2 + дz2 ) == 2f..Lk o ,
(здес.ь д 2 /д у 2+д 2 /дz 2 == 'Y «поперечный» лапласиан), решение KO
Toporo записывается в виде
(3.4)
'k 2 L ф
х' (х, у, z)== !2 S 55 ехр [ 2:: 26) J (X 5) 1f..L(5, У), )d5d11d ,
о ф
(3.5)
rде р== (112+ 2)1/2. Для турбулентноrо поля f..L (х, у, z) представляет
собой случайную функцию координат и для вычисления 8'2==
179
::=(Ф/С) 2ё'2 и 'ф2 ::=[lп (А/А о )]2 следует решать статистическую за-
дачу.
Одной из наиболее важных характеристик поля пульсаций
f..L ( х, у, z)==f..L ( М) служит корреляционная функция В (М 1 , М 2)==
== f..L (М 1)f..L (М 2)' которая, если случайное поле значе ний f.t из о
тропно, зависит от расстояния между точками М 1 И М 2, а f.t (х, у, z) ==
==0. Сами величины корреляционных функций следует брать из'
эксперимента, учитывая, что при больших r В ---+ О. В качестве В
часто берут rауссовскую корреляционную функцию В (r) f..L2 х
Х exp( r2/21 ) или экспоненциальную функцию В (r)== f..L2 e xp ( r/lo)'
Более обоснованно с физиче ской точки зрен ия пользоваться струк.
турными функциями D (r)==[f..L (r+p) f..L (р)Р, которые связаны с кор-
реляционной функцией в (r) соотношением D (r)==2B (0) 2B (r).
При экспериментальном определении D (r) отпадает трудность
выделения среднеrо уровня. Использование вместо В функции D
имеет еще то преимущество, что значение этой функции естественно
вытекает из теории локально-изотропной турбулентности (см. 7
rл. 1).
Как мы видели выше ( 2), для среды со случайными неоднород'
ностями определение иВ и и'ф сводится к использованию уравнений
для фазы и лоrарифма амплитуды, возведению их в квадрат, после-
дующему усреднению и использованию функций В или D для дан-
ной турбулентной среды.
Более точная теория, основанная на методе плавных возмуще
ний, учитывающая дифракционные эффекты, соrласно уравнению
(3.4) при использовании корреляционной функиии rayccoBcKoro
типа дает для флуктуаций эйконала S'2 и лоrарифма амплитуды 1{12
следующие выряжения [13]:
S'2 (2л2) (lL; л 2 ) (1 +Di'l aTctg D 1 ),
'Р2 == [In (А/ Ao)]2 (2л)2 ,...2 (lL;л 2 ) (1 Dl1 aTctg D 1 ).
Здесь D 1 ==лLl21, S' == 5 ,...dx, In (А/Ао) == (1/2) 5 ,,2S' dx.
Если L<1!;L кр ==2л/2/л (это соответствует условию 1 V лL) и
D 1 <1!;1 (малые расстояния), то мы получаем формулы rеометриче
cKoro приближения:
S'2 (2л)2 2 f..L2 Ll/Л 2 , 1{12 ==[lп (А/Ао)]2 (л/3) ,...2 (L;1)3. (3.7)
(3.6)
в ДРУI'ОМ же предельном случае (L / KP' D l l) имееМ
S'2 (2л)2 f..L2 Ll/л 2 , 1{12 ....:I 1n (А/Ао)]2 (2л)' ,...2L . (3.8)
Из сравнения формул для s'2 для ЭТИХ двух пр едельных случаев
следует, что S'2 из (3.7) отличается от S'2 из (3.8) лишь численным
множителем 1/2, тоrда как пропорциональность L сохраняется.
С друrой стороны, значения 1{12 и характер зависимости 1{12 от рас-
180
стояния L в случаях (3.7) и (3.8) сильно разнятся. Если в трактовке
rеометрической акустики '\12 .......L3, то С учетом дифракционных эф
фектов '\12 .......L. На рис. 7.4 представлен результат эксперимента [5]
по измерениям V '\12 на частотах звуковоrо диапазона, Таким об
разом (см. также [6]), учет дифракционных эффектов для объясне
ния флуктуаuий амплитуды приводит к соrласию эксперимента с
теорией.
Пользуясь методом плавных возмущений, можно решать задачи
о рассеянии волн на неоднородностях показателя преломления; об
этом будет идти речь далее.
Если принять структурную функцию показателя преломления
(а не пользоваться корреляционными функциями, не имеющими
достаточноrо физиче скоrо обоснован ия) в виде
[n(Ml) n(M2)]2==H2r2/3, (3.9)
rде Н структурная характеристика поля пульсаций п, можно
рассчитать средний квадрат флуктуаuий амплитуды звука, исполь-
зуя уравнение (3.4). Получаетс я формула
'}/ '\12 == v []п (A/Ao)]2 ==O,28H2k 7/l2Lll/l2,
приведенная в [14]; она хорошо соrласуется с данными измерений
[5, 6].
Приведенный способ учета дифракционных поправок методом
плавных возмущений позволил получить удовлетворительное COB
падение с экспериментами, cor
ласно которым флуктуации сред-
Hero I<вадратичноrо значения
лоrарифма амплитуды звука в
турбулентной среде растут при-
мерно пропорuионально прохо-
димому волной расстоянию L.
Вместе с тем при больших рас-
стояниях флуктуации волновоrо
поля становятся значительными.
Возникают, как принято [ово-
рить, сильные флуктуации и ме-
тод плавных возмущений уже
становится неприменимым,
. Теория сильных флуктуаций
волновоrо поля в турбулентной
среде получила развитие по ряду
направлений. Одно из них ра:щи
валосьВ. И. Татарским [14} на ос-
нове использования методов тео-
рии МНО20кратноео рассеяния, разработанноrо в квантовой теории
поля. Друrой путь, так называемый локальный метод, был предло-
жен Л. А. Черновым [16]. Этим методом удается получить диффе
181
0,5
0,4
0,2
о 10 се J(} 1(] .f5 J(] о(] 07 8(] L, м
Рис. 7.4. Зависимость V от расстuя-
ния L. Данные измерений на частотах
' 5000 [ц (кружки н треуrольники)
и ' 3000 [ц (квадратики. крестики,
черные точки), получены в раЗЛИ'lные
дии.
ренциальное уравнение параболическоrо типа, используемое в тео-
рии дифракции и распространения волн, решение KOToporo дает
возможность не оrраничиваться только первым приближением
в методе малых возмущений, но учесть приближения более высо-
Koro порядка, Условия применимости этоrо уравнения состоят в
том, ЧТО должны выполняться неравенства 2пl!лс==kt';Р 1 (l мас-
штаб неоднородности), ap/2k 1, rде ар коэффициент рассеяния
по интенсивности, и что можно пренебречь рассеянием в направле-
нии, обратном направлению падающей волны.
Следует отметить, что локальный метод может быть применен
и к обычному волновому уравнению [26]. Метод называется локаль
ным, поскольку предполаrается, что на любом участке слабоне
однородной среды можно выбрать расстояние ().Х в направлении
распространяющейся волны, коrда одновременно выполнены два
условия: во первых, ().xiPl и изменение поля на этом расстоянИИ
мало и, BO BTOpЫX, можно оrраничиться первым приближением
метода малых возмущений применительно к параболическому урав-
нению. В локальном методе не накладываются оrраничения малости
на величину TaKoro изменения поля вдоль [, Выше шла речь о рас-
пространении плоских волн. Вместе с тем в ряде задач, например
в задаче об усреднении апертурой приемной акустической антенны
флуктуирующеrо сиrнала, прошедшеrо через турбулентную среду
(если применяется фокусирующая система), приходится встречать-
ся со сферическими волнами. Возникает, таким образом, задача о
распространении сферических волн в среде'со случайными неодно-
родностями [14, 16].
4. Задача о рассеянии звука на турбулентности
На турбулентных атмосферных неоднородностях, обусловлен-
ных пульсациями скоростей и температуры, происходит рассеяние
звука, Впервые задачу о рассеянии звука полем пульсаций CKOpO
стей рассмотрел в 1941 [. А. М. Обухов [9]. В ero работе предпола
rалось, что распространение плоской звуковой rармонической вол
ны описывается уравиением для потенциала ер в виде (в отличие от
(2.1) )
V2ep c тер:=: О,
(4.1 )
rде Dtc==alat+(иV) оператор полной производной, и вектор
скорости потока. Считалось, что можно воспользоваться именно
тarшм упрощенным волновым уравнением акустики движущейся
среды. С точностью до членов BToporo порядка малости по tc==ulc
уравнение (4.1) можно записать в виде
2 l д2<Р 2 ( д<Р )
V ер с2 дt2 с 2 иV дt .
(4.2)
Разумеется, уравнение (4.2) справедливо лишь при целом ряде пред-
положений, в частности при условии, что характерный пространст-
182
в нный масШтаб звУkовой волнЫ зНачИте.1iЫIO меньше, чем масштаб
потока. Кроме Toro, в этом уравнении не учитываются IIмеющиеся
в турбулентной атмосфере пульсации температуры Т п' которые
также должны дать соответствующий вклад в рассеяние звука.
турбулентность при этом считалась «несжимаемой» и поrлощением
звука пренебреrалось, т. е. исходными являлись уравнения rидро
динамики идеальной жидкости.
А. С. Мониным [101 получено уточненное волновое уравнение
для случайно-неоднородной среды с учетом одновремеНlIоrо влия
ния полеЙ пульсаЦIlЙ u и ТП при тех же предположениях, о которых
шла речь выше,
Будем считать, что все акустические величины, в том ЧIlсле
акустическая скорость vзависят от времени посредством множителя
ехр ( iffit), Турбулентность предполаrаем «замороженной», хотя
пульсации скорости ветра u и температуры ТП зависят от времени,
однако их частоты малы по сравнению с частотой звука ш. Кроме
Toro, как и в 3, считаем, что справедлива линейная акустика. При
этих предположениях волновое уравнение для распространения
звука в среде со случайными неоднородностями показателя прелом
ления с точностью до членов первоrо порядка и, ТП имеет ВlIД (BЫ
вод этоrо уравнения можно найти в [10, 14, 15])
2 П + k2П ( Т п дП ) 2 ( 'и. дП ) ( 4,3 )
V aXi Т aXi iroaXiaXj, I aXj .
Здесь П величина, пропорциональная акустическому давлению
р', п==р'/росg==р'/уро, ро+р'==р, rде Ро внешнее давление
Ip' /Pol l.
Поскольку п==п о + п s , rде ПО падающее и П S рассеянное
поля, для ПО справедливо уравнение V2По+k2По==О, При оrрани
чении линейными членами по П s , и, ТП из (4.3) нетрудно получить
уравнение, описывающее рассеянное поле в БОрНО6СКОМ прuближе
нии (в приближении однократноrо рассеяния):
r72П + k2П == ( Т n дП о ) 2 ( и. дП о \ ( 4.4 )
V s s дХi Т aXi iroaxiaXj !aXj)'
Пр'авую часть этоrо уравнения можно считать источником рассеян-
Horo поля. Для больших расстояний r, таких, что лr Ц, rде л
длина волны звука и Ls размер рассеивающеrо объема (зона ди
фракции Фраунrофера или дальняя зона), можно использовать
известное решение уравнения (4.4) для Пs(r). Это решение, выра-
женное через соответствующую функцию rрина, имеет следующий
вид:
n (r ) == Aoe filr kn.k. S eiqr' [ Тп (r') + 2п. ui (r') ] d 3 r'. (4,5)
s 4лr J J Т 1 СО
V
Здесь q==k kn разность волновых векторов падающей и рассе-
янной волн, Ао амплитуда падающеrо поля, n==r/lrl единич-
ный вектор в направлении рассеяния, i, j индексы суммирования.
183
Вьфа}Кение С10Д ИН'IНралом в kмдратныIx скооках предстаВJrЯ т
собой флуктуацию ПОI(азате.rrя преломления п' (r). Обозначив объем-
ный I:IнтеI'рал в (4.5) через а, получим ....
Aoe ikr .
П S (r) == 4лr kп;kp,
О:= S п' (r') ехр (iqr') dJr'.
11
(4.6)
(4.7)
в дальнеЙ зоне рассеянное поле близко к полю плоской волны и,
как можно показать [141, для средней интенсивности рассеянноЙ
1ю.1НЫ следует
ls == (роф2)n П S (r) п; (r);
(4.8)
плотность потока энерrии падающей волны определяется выраже
нием
lo==poc Ao/2. (4.9)
Для вычислени я l" нужно, таким образом, знать функцию корреля-
ции Пs(r)П;(r). В выражение дл я п s , соrла сно (4.5), входят функции
Tn(r) и Ui(r) и при нахождении Пs(r)П;(r) необходимо знать Koppe
ляции для флуктуаций Т n И иi' В случае изотропной турбулентно
сти корреляцию ме жду полями Т П и иi буде м считать отсутствую-
щей, а корреляции T n (rl)T n (r2) и Иi(rl)Иj(r2) MorYT быть выражены
через структурные функции соответственно скалярноrо поля пуль-
саций ТП и BeKTopHoro поля пульсациЙ и (закон «2/3», см. rл. 1).
В свою очередь эти структурные функции MorYT быть представлены
для статистически изотропной турбулентности через спектральные
плотности [14].
В задачах рассеяния обычно пользуются эффективным сечением
рассеяния. Введем эффективное сечение (рассеяние из единицы pac
'сеивающеrо объема V в единицу телесноrо уrла стерадиан) сле
дующим образом:
a s (8s)==!sr 2 (loV. (4.10)
Здесь 6" уrол рассеяния, т. е. уrол между направлением падаю-
щей волны k и направлением вектора рассеянной волны n rllr 1.
Отметим, что поскольку cos 6 s ==(kllkl)n, то Ik knl==q==2klsin (6 s /2) I
и в рассеяние на уrол 6" rлавным является вклад от тех неоднород-
ностей, которые образуют синусоидальную дифракционную решет
ку, период которой 1 (6s) удовлетворяет условию Брэrrа:
1 (8 s ) == 10/21 sin ( 8 s /2) 1. (4.11)
На основании формул (4.6) (4.9) и вычисления Пs(r)П;(r),
которое мы здесь не приводим (оно тщательно выполнено в [14]),
можно получить, соrласно (4.10), следующее выражение для эф-
фективноrо сечения рассеяния:
a s (6 s ) == (щ2) k 4 cos 2 6s [Ф Т (2k sin (8s/2)) T 2+
+ cos 2 (8 s /2) Еа (2k sin (8s/2») 1t lCo2 2k I sin (B s /2) ' 2]. (4.12)
184
Здесь фт II Е и спектральные функции, соответствующие корре-
ляционноlj функции показателя преломления и относящиеся к TeM
пературному полю и полю пульсаций скорости. В случае примене-
иия результатов теории локально изотропной турбулентности, Kor
да пространственные периоды решетки 1 (88) лежат в инерционном
интервале, т. е.
(2л/L о ) < 2ksiп (8../2) < (2л/l iп )
(4.13)
(L o внешний и liп внутренний масштабы турбулентности),
выражения для трехмерной спектральной плотности теыператур
Horo поля Фт(Х) и спектральной плотности энерпш турбулентности
Еи(х) имеют вид (в системе CrC) [14]
Фт (х) == 0,033B}x 11/3, Е" (х) == О, 76C2E2/3x 5/3. (4.14)
Здесь Вт характеристика температурноrо поля пульсаций, вхо-
дящая в закон «двух третей», С пОстоянная порядка единицы,
f' диссипация энерrии единицы массы за единицу времени и х==
==2л/1 пространственный волновой вектор.
В результате вычислений получаем формулу
0'.. (8..) ==
== 0,38k 1 / 3 cos 2 8.. (2 sin (8 ../2)) J 1/3 [С 2 ё 2 / 3 со 2 cos 2 (8../2) + О, 13B}T 2].
(4.15)
и важным выводам. Из нее
Эта формула приводит к интересным
следует, в частности, что
рассеяние «назад» (8 s ==л:),
поскольку множитель
cos 2 (8s/2) при 8..==л об-
ращается в нуль, имеет
место лишь на температур-
ных неоднородностяХ ТП,
При уrле 8 s ==л/2 cos 2 8s==0
и, таким образом, рассея-
ние в этом направлении
отсутствует как на поле
пульсаций температуры,
так и на поле пульсаций
скоростей и. На рис. 7.5
приведены индикатрисы
рассеяния в полярных Ко-
ординатах, соответствую-
щие этоЙ формуле. Они
дают наrлядные представ РИс. 7.5. ИНДllкатрисы рассеяния в поляр
ных координатах, соответствующие формуле
ления о рассеянном поле. (4.15).
Индикатриса 1 COOTBeTCTBY
ет функции fl(8 s )== 10 Ig{cos 2 8s[sin (8s/2)] 11/saol} (рассеяние на Тп),
а 2"",:"",Функции {2==10 Jg {cos 2 esfsin (es/2)] 11/3cos (8s/2)Gt O (рассея
ние на u);при этом' fi(8 s ==л)==а о . На рис. 7 5, такйм образом,
110каЗЩI JIЩl.IЬ характер З31Н1.симости O's от os; чtIСJIО8ые значения
185
при этом не даются. На самом деле рассеяние на Т п значительно
(на псрядOI<) слабее, чем рассеяние на и. С этим связано наЛИ'}!Iе
множителя 0,13 во втором члене (4.15); впрочем, метеоролоrические
условия здесь иrрают существенную роль,
Все изложенное относилось к рассеянию звука на турбулентных
неоднородностях в атмосфере. В океане также имеется турбулент-
ное движение, поскольку rидродинамические числа Рейнольдса Re
блаrодаря большим масштабам движения MorYT Бы1ьь очень велики.
Мы уже отмечали, что для условий морской среды основные преk
ставления локально изотропной теории турбулентности в довольно
широких пределах выполняются. Поэтому развитая теория рассея-
ния может быть применима для условий моря и океана. Она с успе
хом была Использована для вертикальноrо зондирования как aTMO
сферы, так и для изучения по rлубине неоднородностей толщи
морской среды.
5. Эксперименты по рассеянию звука
на турбулентных неоднородностях
Первые эксперименты по изучению рассеяния звука атмосфер-
ной турбулентностью были проведены в 1959 и 1962 rr. [8] на срав-
нительно высоких звуковых частотах 10 11 кrц, Они прово-
дились В импульсном режиме; рассеяние звука от объема V (рис. 7.6)
воспринималось приемником, KOHCTPYK
цИЯ KOTOporO была такой же, как И
излучателя (электростатические или KOH
денсаторные излучатели И и приемни
ки П). Размеры их были 100 х 120 см 2
л и ширина характеристики направлен-
ности по половинной мощности состав-
ляла несколько rрадусов. Расстояние от
И до П равнялось 20 80 м (высота pac
сеивающеrо объема V над землей 12 м).
Эксперименты привели к резулыа
там, которые спустя некоторое время
хорошо были объяснены теорией рассея
ния, изложенной выше и приводящей к
формуле (4.15). Это относится как к dб
солютным значениям u s (8 s ), так и к зави-
симости u.s(t:)s) от условий состояния атмосферы (IlOдробнее см. [141).
БольшоЙ шаr вперед в экспериментальном исследовании явле-
ниЙ рассеяния и вообще в атмосферной акустике был сделан в
1968 r. [28, 29], коrда были использованы сравнительно низкие
.звуковые частоты 1000 [ц и ниже, позволившие при входной
мощности 0,5 кВт (196 двухваттных динамиков с диаметрами около
20 см) зондировать атмосферу до высот 1,5 км, а в дальнейшем и до
3 км. В этой установке излучатель (он же был и приемником) по-
сылал импульс вертикально вверх. Излучение и прием произво
дились в одной точке. Выход с УСИЩ1Т Л5I (требо!3а,IIOСр ПОВрIСИТр
J1
1«
Z(} 8(}AI
Рис. 7.6. Схема проведения
измерений по рассеянию (им
пульсный метод) на атмосфер
ной турбулентности (рассея
ние из объема V, образующе
rося при пересечении харак-
теристик направленности из
лучателя И и приемника П).
1/)6
I
I ) u
отношение сиrнал, шум подавался на записывающее УСТрОI1СТВО.
Наблюдалась картина изменчивости состояния атмосферы в реаль
ном масштабе вреМеJiИ. Как уже было сказано, рассеяние назад в
этой системе происходит преимущественно из за рассеяния на TeM
пературных неоднородностях; поэтому измеряется профиль В;
(заметный вклад вносит также рассеяние за счет наличия водяных
паров, содержание которых зависит также от Т). Проносящиеся под
действием ветра температурные неоднородности рассеивают звук,
и запись дает хорошее представление об их характере.
По существу, мы имеем cBoero рода «эхолот» (сонар), используе-
мый для измерения rлубины моря. Только в случае эхолота дви
жется судно и записываются неровности дна; в рассматриваемом же
случае зондирующее устройство (которое мы будем называть эхосо
наром) неподвижно, а мимо Hero движутся (проносятся) неоднорОk
ности температуры II влажности в атмосфере.
TaKoro рода наблюдения в ОIlределенной cTeIleIlII заменяют Me
теоролоrические радиозонды. С друrой стороны, они дают непре
рывную и длительную во времени картину состояния атмосферы
(наличие внутренних волн, слоистости атмосферы и т. д.).
Имеются работы, в которых сопоставляются данные, получае-
мые с «эхосонара», С данными оптичеСIШI'О зондирования атмосферы
лучом лазера. Широко применяется радиолокационная техника для
получения данных по рассеянию СВЧ на звуковом луче эхосонара,
так называемый радuоакустuческuй сонар [27 29] (радиоакустиче
ское зондирование). Основой этоrо метода служит дифракция зон
дирующеrо, беrущеrо со скоростью света радиоимпульса на звуко-
вом ИМпульсе, представляющем собой дифракционную решетку.
Максимум рассеяния радиоволн при этом будет в том случае, коrда
длина радиоволны Ар и длина волны звука А удовлетворяет брэrrов
скому условию л. р ==2л. sin (8)2), Прrr этом рассеянные волны скла
дываются синфазно, происходит отражение СВЧ импульса от всей
движущейся дифракционной решетки.
Система акустическоrо зондирования может быть применена и
для исследования неоднородностей показателя преломления, BЫ
званноrо турбулентностью в море, в том числе для исследования
внутренних волн. Используя усовершенствованный эхолот, можно
«рассматривать» слабые сиrналы рассеяния звука от HeOДHopOДHO
стей морской воды (изменение плотности, температуры, скорости
звука, солености [30]). Весь этот цикл работ наряду с данными,
полученными друrими методами, показал, что об атмосфере и об
океане лишь в самом rрубом приближении можно rоворить как
о средах, [де имеется изотропная турбулентность. В действитель
ности обе эти среды являются существенно анизотропными, rлавным
образом слоисто анизотропными; турбулентные неоднородности ока-
зываются вытянутыми преимущественно в направлении потока,
представляя собой образования в виде «лепешек» или «блинов» [31].
Следует думать, Что такие представления об особенностях поля
турбулентных пульсаций составят обширное поле дальнейших
исследований по проблеме «турбулентность и волны».
Часть 11
ВОЛНЫ 1,\. ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
rлава8
ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА ИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1. Основные сведения из теории улруrости
Во второЙ части книrи мы рассмотрим акустические волны в
твердых телах, характеризующихся различными физическими свой
ствами упруrой анизотропией, пьезоэффектом, наличием носите
лей электрическоrо заряда, маrнитоупруrостью, внутренней CTPYK
турой и т. д. Однако, прежде чем переходить к изучению TaKoro
рода сложных систем, естественно ознакомиться с наиболее простым
случаем классическим идеально упруrим изотрош;ым твердым
телом (диэлектриком). Под идеально упруrим будем подразумевать
твердое тело, в котором отсутствуют пластические деформации.
Иными словами, при снятии силовой наrрузки тело приходит в пер
воначальное состояние (отсутствие механическоrо rистерезиса).
Феноменолоrически такое тело может быть описано в рамках теории
упруrости хорошо разработанноrо раздела механики сплошных
сред (см., например, [1 J). Ниже приведены основные сведения из
теории упруrости, необходимые для понймания дальнейшеrо изло
жения. Несмотря на то, что в настоящей rлаве мы оrраничимся рас-
смотрением волн бесконечно малой амплитуды в рамках линейной
акустики, в целях методическоrо единства здесь приведены и неко-
торые сведения из нелинейной теории упруrости изотропных TBep
дых тел. '
Рассмотрим безrраничное твердое тело, положение каждой
точки KOToporo до деформирования характеризуется ее радиус-
вектором r. Пусть в результате деформирования тела некоторая
точка М, описываемая радиус вектором rM, переместится в ПOJIоже
ние М', которому соответствует радиус-вектор rM. Смещение им
точки М относительно первоначальноrо положения определяется
выражением UMo==rM r М' В то же время бесконечно близкая к точ-
ке М точка N с координатами r N в результате деформирования зай-
мет положеiше N', описываемое радиус-вектором rN' Изменение
расстояния между точками М и N, очевидно, может служить xapaK
теристикой процесса деформирования. Так, если до осуществления
188
деформирования
ds 2 ::::: I r,\I rN 12:::::dxi +dx + dx :::::dxz *),
то псс.1Jе деформирования
ds'2 == I rM rN 12 == I rM + иM rN иN 12 ==
== (dx 1 + dU 1 )2 + (d.x 2 + dU 2 )2 + (dх з + du з )2 === (dX i + dU i )2.
Так как вектор САlещения и===r' r является функцией координат
t'i**)' то dlli (дlli/дХk)dХk И изменение расстояния определяется
с,тlеДУЮЩ\il\l выражениеvt:
dS'2 ds2 == 21l ik dXi dx k ,
rде
и. === ( дщ + дllk + дll 1 д Щ ) (1. 1 )
Ik 2 \дХk дх, дXjдХk'
Тензор и; k называется тензором деформацuu. Очевидно, тензор
llik симметричен, т. е. Uik===Uki' Обратим внимание на то, что llik
нелинейно зависит от производных вектора смещения. Поскольку
TaKoro рода нелинейность не связана с физическими свойствами тела,
ее принято называть сеОАtетрuческоu нелuнеuностью. В большинстве
случаев деформации llik малы по сравнению с единицей, поэтому
нелинейная добавка в выражении (1.1) представляет собой величину
BToporo порядка малости. В линейных задачах этой добавкой прене-
бреrают и оперируют с линеаризованным тензором деформаuии
Uik===1/2(дu;lдХk+дUk/дХi)' В таком приближении из (1.1) следует,
что ДlIаrональные компонентЫ тензора Uik величины и н , и 22 ,
. U зз представляют собой относительные удлинения (dx; dx;)/dXi
вдоль соответствующих осей, а недиаrональные компоненты (при
i=l=k) половины уrлов сдвиrа выделенноrо элемента объема тела
в плоскостях x1X 2, Х 2 Хз И х1хз. След тензора сумма диаrональных
компонент Uii представляет собой относительнсе изменение объ
ема тела ии=== (dV' dV) idV. В соответствии со сказанным величины
Uik при i===k называют деформацuямu растяженuя (сжатuя), а при
i=l=k деформацuямu сдвиса.
Перейдем теперь к рассмотрению сил, возникающих в твердом
теле при ero деформировании и стремяIЦИХСЯ вернуть тело в пер
воначальное ПО,rюжение. Эти силы называются внутренни.ми наnря-
женuямu или сила.МU уnрусости. Они обусловлены взаимодействием
между соседними частицами тела и имеют молекулярную природу.
В макроскопическом смысле эти силы являются близкодействую
щими; они передаются непосредственно путем контакта между
соседними точками тела.
Для описания сил внутренних напряжениЙ введем понятие TeH
зора напряжений. С этой uелью рассмотрим в упруrом теле некото-
*) По иидексам, повторяющимся дважды, производится суммирование..
**) Очевидио, коордииаты Х; представляют собой лаrранжевы коордииаты,.
а Х{ эйлеровы (см. rл, 1). В теории упруrости обычно используются лаrран
жевы координаты Xi.
189
рыи объем V, оrраниченный поверхностью П, и предположим, ЧТО
этот объем испытывает силовое воздействие со стороны частиц тела,
находяЩИХСЯ вне ero. Поскольку эти силы являются близкодейству
ющими и передаются только через поверхность П, величина силы,
действующей на элемент поверхности dП, пропорциональна dIl;
полная сила, действующая на выделенный объем V, будет выражать
ся через интеrрал по П, с друrой стороны, полная сила, действую-
щая на объем V, может быть представлена в виде объемноrо инте
rрала F dV. Соrласно векторному анализу оба предстаВления эк-
вивалентны, еслн вектор F является днверrеIIциеЙ HeKoToporo TeH
зора BToporo paHra, т. е.
Р !' == даik/дхk. (1.2)
При этом сила, деЙствующая на объем V, может быть записана в виде
даik/дХ k dV == 1 a п ,12 k dlI, (1.3)
rде nk вектор единичной внешней нормали к поверхности dП.
Тензор а ik называется тензором напряжений. Очевидно, величина
а iknkdП представляет собой i ю компоненту силы, действующей на
элемент поверхности dП со стороны частиц, лежащих вне объема V
(соответственно сила внутренних напряжений, действующая на эле-
мент dП со стороны объема V по третьему закону Ньютона будет
равна аiknkdП). Так, в прямоуrольных координатах X 1 , Х 2 , ХН
компонента aik есть i я компонента силы, действующей на единич-
ную площадку, перпендикулярную к оси Xk. Можно показать [1],
что тензор aik симметричен, т. е. aik aki' Заметим, что при равно-
мерном всестороннем сжатии тела, находящеrося под давлением р,
тензор напряжений имеет вид aik p6ik' Знак « }} обусловлен
выбором внешней нормали к поверхности П.
Выпишем основные уравнения теории упруrости. Статическое
уравнение равновесия
даik/дХ k == О
(1.4)
следует из условия равенства нулю сил внутренних напряжений,
действующих на каждый элемент объема (Fi O)' При учете сил тя-
жести pg (или любых друrих объемных сил) уравнение равновесия
будет иметь вид
даik/дХ k + pgi == о;
(1.5)
здесь р плотность, gi i я компонента ускорения свободноrо
падения. Приравнивая силу даiklдХk+рgi силе инерции, т. е.про-
изведению массы единицы объема тела (ero плотности) на ускорение
Ui, получим динамическое уравнение равновесия, или общее (с учетом
силы тяжести) уравнение движения упрусой среды:
Рu'i==даik/дХk+рgi' (1.6)
Внешние силы, приложенные непосредственно к поверхности
тела (эти силы обычно и вызывают деформирование), учитываются
190
в rраничных условиях для уравнений (I.4) (I.6), Пусть внешняя
.сила, действующая на е}l,ИНИЦУ площади поверхности тела, равна fi.
Тоrда на площадку dП действует сила fidП, В равновесии эта сила
должна компенсироваться силой внутренних напряжений, дейст-
вующих со стороны объема тела IJikпkdП. Таким образом, rpa
яичное условие, которое должно выполняться на всей поверхности
тела, подверженноrо воздействию внешних близкодействующих
сил, имеет вид
IJikпk === fi'
(1.7)
Перейдем теперь к определению уравнений состояния изотроп-
Horo упруrоrо тела или к установлению связи между напряжениями
(Jik и деформациями Uik. Такая связь может быть записана феноме-
нолоrически с помощью термодинамических потенциалов, В коор-
динатах недеформированноrо тела
IJik == (a<f} /aUik)S == (дЧ!/дujk)т, (1.8)
rде <f} внутренняя энерrия тела, S энтропия, Ч! свободная
энерrия, отнесенные (в отличие от rидродинамики) к единице объ
ема, Т температура. Выражения (1.8) получаются из известных
термодинамических соотношений
dJl==TdS+aikdu ik , dЧ!== SdТ+IJikdUik. (1.9)
Поскольку распространение акустических волн сопровождается
обычно адиабатическими деформациями, будем оперировать с BHYT
рен ней энерrией . .
Представим внутреннюю энерrию изотропноrо твердоrо тела <f1
в виде ряда по степеням инвариантов тензора деформации. Нетруд-
но убедиться, что если в разложении <f1 оrраничиться членами не
выше BToporo порядка по Uik, то независимых инвариантов будет
Bcero два, например H ; и U k' Поскольку при Uik===O должно быть
IJik==O, то члены с первыми степенями по Uik будут отсутствовать
(см. (1.8)), В результате выражение для <f1 примет вид
<f} == <f} 0+ (л/2) U i + f.tU k' (1.1 О)
Здесь л и f.t постоянные Ламе, являющиеся характеристиками
данноrо тела. В дальнейшем нас будет интересовать только та часть
внутренней энерrии, которая зависит от деформации потенци-
альная энерrия. Поэтому, не оrраничивая общности, будем считать
С 0 О=СО, Дифференцируя <f} по Ни и ПОЛУЧIlМ, соrласно (1.8),
IJik==ЛUllбik+2f.tUik' (1.11)
Если произвольную деформацию Uik представить в виде суммы
деформаций чистоrо сдвиrа (сумма диаrональных компонент paBH
нулю) и BcecTopoHHero сжатия:
Uik == (Uik l//jikUll) + l//5,.k U ll'
то связь между напряжениями и деформациями можно записать
также Б виде
IJik == КUZЛ'k + 2/-1 (Uik l/i\kUll)'
( 1.12)
191
Величина К, связанная с постоянными Ламе соотношением К '==
===л+2/з L, называется модулем BcecTopoHHero сжатия. Величину ,....
называют также модулем СДБиrа, Наличие ненулевоrо знаЧения ,....
rоворит о том, что твердое тело, в отличие от жидкостей, наряду с
объемной упруrостью обладает и упруrостью формы. Из условия
устойчивости упруrоrо тела (условия минимума энерrии <8 при
Uik===O) следует, что постоянные К и f.L всеrда положительны, Если
разрешить (1,11) или (1.12) относите.тrьно и; k, то можно получить
связь компоненты Uik с компонентами aik' Например, из (I.12)
следует
Uik == (1/9К) бikа u + 1/ 2f.L (aik 1 /sбikа и)' (1.13)
Выражения (1.11 ) (I.13) представляют собой варианты математи
ческой записи закона rYKa, Таким образом, изотропные твердые
тела характеризуются только двумя независимыми постоянными,
которые называют модулямu уnрусости. Это MorYT быть, например,
постоянные Ламе л и f.L или величины К и l. Пользуются также
друrими парами модулей упруrости, удобными для использования
в тех или иных конкретных задачах. Это модуль Юнrа Е и модуль
сдвиrа f.L, а также широко используемая в теории упруrости пара
модуль Юнrа Е и коэффициент Пуассона а. Последний дает связь
между относительным продольным растяжением (сжатием) упруrоrо
стержня и ll и ero поперечным относительным сжатием (растяжением)
. и 22 при приложении к стержню однородной в поперечном направ
лении растяrивающей (сжимающей) силы ft, приходящейся на еди
ницу площади (однородные деформации): U22 allll' Связь между
парами К, f.L и Е, а такова:
Е=== з tl1 ' а'== 2З( ) ' К=== З(l!:2G) , !-!== 2(1 a) ' (1.14)
Если подставить в (1,14) выражение К через л и L, то нетрудно по
лучить аналоrичные соотношения и между друrими парами моду-
лей упруrости, Заметим, что вследствне положительности К и !
из BToporo равенства (1,14) следует, что 1 a 1/2. На самом деле
коэффициент Пуассона'изменяется в более узких "реде.rlах по cpaB
нению со значениями, вытекающими из условия упруrой устойчи
вости. А именно, всеrда 0 a 1/2. Это означает, что продольное
растяжение теда сопровождается ero поперечным сжатием, а не pac
ширением. Из неравенства а;;:?:О вытекает инеравенство л;;:?: О, по
скольку л===Еа/(1 2а)(I +а), Таким образом, все названные упру
Пlе модули есть величины положительные.
До сНх пор мы оrраничивались рассмотрением линейной связИ
между компонентами aik и Uik, учитывая только члены не выше
второй степени в разложении внутренней энерrии по компонентам
тензора деформации Uik. По этой причине упруrие модули л и f.L,
а также К, Е, а называют лuнейнымu модулямu или модулямu ynpy
еости второео порядка. Если в разложении <8 по степеням Uik OCTa
вить еще и кубичные члены, то для изотропноrо твердоrо тела мож
но получить [1, 21
rC == f.LU7k + (Kj2 f.L/3) и 1 + l/зАUikUilUkl + BU7kUn + l/aCu11' (1.15)
192
Как видно, в выражеНИII (1.15) появляются еще три постоянных ко-
эффициента А, В и С. Так как они стоят при I<убичных членах
разложения rfJ, их называют htoдулями третьесо порядка или He
линейными модулями упрусости (иноrда коэффициентами Лан-
дау). Из выражения (1.15) следует, что, cTporo rоворя, связь меж
ду напр яжениями и деформациями может считаться линейной только
при бесконечно малых деформациях Uik. Поскольку в разложении
(1.15) присутствуют пять упруrих модулей, то соответствующую
этому приближению нелинейную теорию упруrости называют пяти
константной теорией [3], Наряду с введенными выше нелиней-
ными модулями А, В, С в литературе используются также несколь-
ко отличающиеся от них коэффициенты Мэрнаrана, названные так
в честь американскоrо физика, который одним из первых начал за
ниматься нелинейными проблемами теории упруrости [4]. COOT
ношения между коэффициентами Мэрнаrана и модулями А, В, С
приведены в работах [2, 5], в которых можно найти также значения
модулей упруrости BToporo и TpeTbero порядков для ряда твердых
тел.
При переходе к нелинейной теории упруrости необходимо, pa
зумеется, использовать полное выражение для тензора деформации
(1,1) . Уравнения (l.4) (l.6) в нелинейной теории упруrости оста-
ются в силе. За это, однако, приходится расплачиваться тем, что
напряжения 0ik в общем случае должны определяться по отношению
к деформированной, а не к исходной поверхности, как мы делали
выше. В нелинейной теории 0ik называют механическими напряже
ниями, чтобы отличить их от так называемых термодинамических
напряжений t ik , определяемых в координатах недеформированноrо
тела. CTporo rоворя, в выражения (1.8) и (1,9) входят именно TepMO
динамические напряжения. Поэтому, для Toro чтобы замкнуть ypaB
нения движения уравнениями состояния, необходимо использо
вать связь между 0ik и t ik . в линейном случае, однако, crih tih,
вследствие чеrо в настоящеЙ rлаве мы не будем делать различий
между этими величинами. Более подробно о нелинейной теории
упруrости rовориrся в rл, 11, посвященной нелинейной акустике
твердых тел.
2. П)Юдольные и поперечные волны в ИЗ0Т)ЮПНОМ твердом теле
Твердые тела, в отличие от жидкостей, наряду с объемной упру
rостью характеризуются также упруrостью по отношению к сдви
rOBbIM деформациям. Поэтому картина упруrих волн R твердых Te
лах значительно боrаче, чем в жидкостях. Уже в неоrраниченной
твердой среде MorYT существовать не только продольные, но и по
перечные волны, обусловленные сдвиrовой упруrостью. Наличие
rраниц раздела приводит к появлению новых типов распространяю
щихся возмущений поверхностных и rраничных волн, волн в пла
стинах, стержнях и т. д. При описании свободных волновых
движений изотропной твердой среды будем исходить из общеrо
7 в. А. КраСИЛЬИИI<ОВ. В. В, КРЫЛОВ
193
уравнения движения в отсутствие объемных СIlЛ:
PUi==acrik/aXk' i, k==l, 2, 3. (2.1)
Считая процесс распространения волн адиабатическим, что для
большинства твердых тел справедливо до частот ,....., 1 011 1 012 [Ц,
добавим к (2.1) линеаризованное уравнение состояния (закон [ука,
см. (1.11)). После подстановки (1.11) в (2.1) нетрудно получить
следующее уравнение:
.. д 2 и,. a2Ui
РИ i == (л + f.t) дх' дх" + f.t дх2 ,
1 1< k
которое удобно переписать в векторной форме:
ри == (л + f.t) grad div и + f.t l1и.
(2.2)
Если воспользоваться векторным тождеством:
l1и == grad div U rot rot и,
то от (2.2) леrкоперейти к равносильному уравнению:
ри == (л + 2f.t) grad div и !! rot rot и,
(2.3)
(2.4)
к анализу KOToporo мы и перейдем ниже.
Мы уже пользовались тем, что для любоrо кусочно дифференци
pyeMoro BeKTopHoro поля и по теореме rельмrольца справедливо
представление в виде суммы потенциальноrо и z и соленоидальноrо
(вихревоrо) U t полей:
U==U1+Ut,
(2.5)
rде rot Uz==O и div ut==O, причем это представление единственно.
Очевидно, выражение (2,5) эквивалентно представлению вектора
в виде суммы rрадиента HeKoToporo скаляра ер и ротора HeKoToporo
вектора '1'. При этом u!==grad ер и Ut==rot '1'.
Подстановка (2.5) в (2.4) дает
ри' l + pu't == (л + 2f.t) grad div Ul f.t rot rot U t ,
сткуда в силу единственности разложения вектора и на потенци-
альную и соленоидальную части находим
ри 1 == (л+2f.t) grad div U 1 , pii t == f.trot rot U t .
Применяя тождество (2.3) к векторам Uz и U t , получим окончательно
следующие волновые уравнения для Uz и Ut:
iil C I1Ul==O'
iit cll1Ut == О,
(2.6)
(2.7)
в которых через сz==[(л+2f.t)!рJ1/2 и C t ==(f.t/p)1/2 обозначены скорости
распространения потенциальных и вихревых возмущений. ЭТИ CKO
рости называют также продольной и поперечной скоростями звука,
а соответствующие им волны продольными и поперечными. Упо
194
тре6ляются также термины «волны сжатия расширения» и «сдви-
rOBbIe волны», так как первые связаны с изменением объема: div u(=I=
#,0, а при распространении вторых изменения объема не происхо
дит: div Ut==O. В частности, для плоских волн, т. е. для волн, в ко-
торых деформации зависят только от одной из пространственных
координат, например от х, имеем UI==U x и Ut==U!I.z' Нетрудно убе
диться, что в силу положительности л и f.t всеrда справедливо Hepa
венство С; > V2 Ct, Для rармонических полей (Ul,t(r, t)==
o==Ul,t(r)exp ( iшt)) от уравнений (2.6) и (2,7) можно перейти к
уравнениям rельмrольца для UZ,t:
I1U 1 + kFU 1 == О, I1U t + kiU t == О,
rде kz==ш/сz, kt==Ш/С t волновые числа продольной и поперечной
волн.
Заметим, что сама возможность разделения волн в твердом теле
на продольные и поперечные связана с ero однородностью и изо-
тропностью. В неоднородной среде такое разделение в общем случае
уже не может быть проведено [6]. То же относится и к волнам в ани
зотропных средах [1, 7].
Часто удобно иметь дело не с самими физическими полями, а с
потенциалами, через которые эти поля выражаются с помощью
дифференциальных операций, С одним из таких представлений мы
уже встречались при обсуждении выражения (2,5). Перепишем ero
в виде u==grad ep+rot '1' и получим уравнения для потенциалов ер
и '1'. Очевидно, при выводе можно исходить непосредственно из (2.4),
проводя выкладки, аналоrичные сделанным выше, Более разумно,
однако, сразу воспользоваться уже полученными уравнениями для
Uz и U t , учитывая, что uz==grad ер, а ut==rot '1'. При этом из (2,6)
следует равенство
grad ( cll1ep) ==0,
интеrрируя которое по координатам, найдем
C l1ep == О.
(2.8)
Переходя к этому уравнению, мы отбросили аддитивное решение
в виде некоторой функции от времени, не дающей вклада в волно
вое движение среды. Аналоrично для BeKTopHoro потенциала:
rot ( Ci 11'1') ==0.
После интеrрирования получаем
c;I1'1'==O. (2.9)
Здесь мы отбросили аддитивное решение в виде суммы функции от
времени и HeI<OToporo потенциальноrо вектора. Последний обычно
Считают равным нулю, налаrая требование соленоидальности для '1',
т. е. div '1'==0; в силу неоднозначности потенциалов это всеrда мож-
но сделать. Упрощение, достиrаемое за счет введения потенциалов,
состоит в уменьшении числа решаемых уравнений. Дейст ительно,
7. 195
слй ПОЛЯ смещений описываются двумя tеl<торнымй волновыми.
уравнениями (2.6), (2.7) и двумя условиями калибровки, то поля
потенциалов двумя волновыми уравнениями: скалярным (2.8)
и векторным (2.9), дополненными одним условием калибровкн
div 'i' o, аналоrичным кулоновской калибровке в электродинами-
ке. Еще большее упрощение достиrается в тех случаях, коrда поля
обладают той или иной симметрией. Особенно просты уравнения
в потенциалах для плоскоrо движения. Пусть, например, частицы
движутся в плоскости Х, Z. При этом отлична от нуля только Y KOM
понента BeKTopHoro потенциала 'Ф!}==с'Ф и
д д д д
Ux== ax az ' Uz== az + дх ' (2.10)
Анализ волновых движений сводится при этом к решению двух CKa
лярных уравнений для и 'Ф.
3. Отражение и преломление п)Юдольных
и поперечных волн
Выше мы рассматривали волны в однородном безrраничном про-
странстве. Наличие неоднородностей значительно усложняет aHa
лиз. Однако именно с неоднородными средами чаще Bcero при-
ходится иметь дело. Простейшими и в то же время важными моде-
лями неоднородностей являются ераницы раздела, описывающие
резкое изменение параметров среды на малом участке пространства.
В этом случае расчет значительно упрощается, так как в каждой
из однородных областей можно пользоваться соответствующими
волновыми уравнениями. Полученные решения «сшиваются» С по-
мощью rраничных условий, выражающих собой непрерывность Ha
пряжений и смещений на rраницах раздела. Для свободной поверх
ности rраничное условие следует из условия механическоrо paBHO
весия, заключающеrося в равенстве нулю суммы сил, действующих
на поверхность. Отсюда а iknk==O, rде nk вектор единичной нор-
мали к поверхности, В случае абсолютно жесткой rраницы rранич
ное условие имеет вид и;==О, Для rраницы, допускающей скольже
ние, должно быть ип==сО и sxп==cO, rде sj==aikn k .
Мы рассмотрим наиболее важный случай плоских rраниц раз
дела. Отражение и преломление плоских волн в твердых телах
происходят по более сложным по сравнению с жидкостью законам.
Это связано с существованием в твердой среде как продольных, так
и поперечных волн. Поэтому при падении на rраницу раздела чисто
продольной или чисто поперечной волны результирующие поля,
вообще rоворя, содержат как продольные, так и поперечные волны.
Очевидно, характер волны не меняется при нормальном падении
или в случае падения под произвольным уrлом поперечной волны
rоризонтальной поляризации, вектор смещения которой пар алле-
лен rранице раздела; это следует из условий симметрии задачи, Co
отношения, определяющие направления отраженной и преломлен
ной волн, также MorYT быть получены из соображений симметрии,
196
соtласно которым касательные к поверхности раздела Компоненты
k волновоrо вектора kl,t не должны изменяться, т. е.
k==const. (3.1)
Выражение (3,1) представляет собой общую запись закона Снеллu
уса, из которой, в частности, следует, что направления отражения
и преломления лежат в плоскости падения. Расписывая (3,1) для
случая падения на rраницу раздела продольной волны, волновой
вектор которой k[ составляет уrол 8 с нормалью (рис, 8.1, а), полу
чим
k l SlП 8 == k l sin е 1 == k; slП 8; == kt siп 8t == k; sin 8;. (3.2)
Таким образом, как и следовало ожидать, для продольной волны
х
z
х
л! I
I
а)
6J
Рис. 8,1. Взаимодействие продольной (а) и поперечной (6) волн с rраницей раз-
дела.
уrол отражения 8[ равен уrлу падения 8, а уrол преломления 8;
определяется равенством
sin 8i/sin 8== kl/k; == c;/c l , (3.3)
ничем не отличающимся от случая жидкости. Для образующейся на
rранице поперечной волны (только в этом случае можно удовлетво
рить rраничным условиям) Изменяется как уrол преломления 8;,
так и уrол отражения 8 t :
siп 8 t /siп 8 == kl/k t , sin 8;/sin 8 == kl/k;. (3.4)
В случае падения поперечной волны вертикальной поляризации
(рис. 8,1, б) приведенные выше выводы остаются в силе, а COOTBeTCT
вующие выражения, связывающие уrол падения с уrлами отраже
ния и преломления, получаются из (3.2) (3.4) взаимной заменой
индексов 1, t,
Для расчета величин коэффициентов отражения и преломления
необходимо полностью решать rраничную задачу. Сделаем это для
важноrо частноrо случая отражения волн от свободной rраницы,
Будем рассматривать падение продольной волны или поперечной
Волны, поляризованной в плоскости падения, волны вертикальноЙ
197
поляризации. При отражении поперечной волны с rоризонтальной
поляризацией, как уже упоминалось, трансформации волн не про
исходит и законы отражения и преломления принципиально не OT
личаются от случая жидкости, В частности, коэффициент отражения
от свободной rраницы для смещений при этом всеrда равен единице.
Пусть на rраницу падает rармоническая продольная волна
(рис, 8. 1, а), характеризуемая потенциалом CPin ==ехр !i (kx v ,z)], rде
k==k x и vz==(k7 k2)1/2, множитель ехр( iшt) опущен. Отраженную
продольную волну можно записать в виде CPref== V llexp [i (kx+vzz)J,
rде V II коэффициент отражения продольной волны. Аналоrично
для отраженной поперечной волны 1)1ref== Vztexp !i (kx+vtz)J, rде
'11 t== (kl k2)1/2. fраничные условия имеют вид а zz==O, а xz==O.
Выражая а zz и a xz через СР и 1)1 с помощью закона [ука (1.11),
запишем с учетом (2.8) и (2.9)
[ 2 ( д 2 ЧJ a 21jJ ) ]
azzrz o== !.1 L k tCP+2 \ aX2 aXaZ z=o O,
[ 2 ( д2ЧJ a 2 1jJ \ J
axzlz o=== fL ktф 2 axaz az2 ) z=o ==0.
Подставляя выражения СР===СР;n+СРте! и 1)1==1)1те! В (3.5), получим
(k1 2k2) V ll + 2kvtVlt === (k 2k2), 2kvlVll (k 2k2)Vlt === 2kv 1 ,
(3.5)
откуда
4k2V1Vt (k 2k2)2 4/1\'1 (k 2k2)
V/I === 4k2V1Vt+(k 2k2) 2' V/t === 4k2V1Vt+(k7 2k2)2 ' (3.6)
Аналоrичные выражения для коэффициентов отражения нетрудно
получить и в случае падения поперечной волны вертикальной поля
ризации (рис, 8,1, б):
4k2V1Vt (kF 2k2)2
V tt === 4k2V1Vt+(k 2k2)2 ,
4kVtЩ 2k2)
V u === 4k2V1Vt+ (k' 2k2)2 '
(3.7)
От формул (3,6) и (3.7) часто переходят к записи, содержащей
только уrлы падения *). Для этоrо достаточно разделить числители
и знаменатели на k 4 и воспользоваться законом Снеллиуса. Мы,
однако, не будем здесь останавливаться на этой простой процедуре,
предоставляя ее читателю в качестве самостоятельноrо упраж
нения,
Интересная особенность процессов отражения продольных и по
перечных волн заключается в наличии уrлов падения 8, для которых
V ll === Vtt==O, т. е тип волны при отражении полностью трансфор-
мируется. Соответствующие уrлы находятся из решения уравнения
4k 2 v tVt (k 2k2)2===0, получающеrося приравниванием нулю числи
телей выражений для Vtz и V tt в (3.6) и (3.7), относительно k. Это
уравнение имеет не более двух корней [8], соответствующих двум
*) Необходимо помнить, что выражения (3.6) и (3,7) представляют собой ко-
эффициенты отражения для потенциалов. Чтобы перейти непосредственно к сме-
щениям, следует воспользоваться формулами (2.10).
198
возможным уrлам падения (по аналоrии с оптикой их часто назы
ваюТ Уела.ми Брюстера). Число корней зависит от коэффициента Пу
ассона среды о: при 0>0,264 действительные корни отсутствуют,
при 0;:::;0,264 имеется один корень, а при 0<0,264 два корня, co
ответствующих уrлам Брюстера 81 и 82' Например, для продольной
волны в материале с коэффициентом Пуассона 0===0,25 имеем 81===
===60°, 82===77°13'. Для поперечной волны в том же материале 81===
==30°, 82===34°19'. Рассмотренное явление используется на практике
для трансформации продольной волны в поперечную и наобо от.
Друrая интересная особеннссть наблюдается при отражении
вертикально поляризованной поперечной волны, если уrол падения
последней превышает так называемый критический уrол 8 кр ==
==arccos (kzlk f ). Этот случай аналоrичен полному внутреннему
отражению в жидкости [8]: отраженная продольная волна CTaHO
вИТСЯ при этом неоднородной волной, экспоненциально убывающей
в направлении положительных z, а модуль коэффициента отражения
поперечной волны IV tt I становится равным единице.
4. Поверхностные волны Рэлея
Обратимся снова к задаче о паденИИ продольной и поперечной
волн на свободную rраницу твердоrо тела. Здесь может возникнуть
необычная ситуация. Как следует из формул (3.6), (3.7), отраженные
волны имеют бесконечные амплитуды при
4k2vlvt+(kl 2k2)2==0. (4.1)
Разделив это уравнение на k 4 и решая ero относительно YJ==k/k,
нетрудно показать, что на физическом листе римановой поверхно
сти YJ оно имеет лишь один нетривиальный вещественный корень YJo,
причем этот корень лежит между О и 1. Последнее означает, что
падающие и отраженные волны являются неоднородными, так как
их следы, или проекции волновоrо движения на выбранную ось
ось х, распространяются медленнее продольных и поперечных волн.
Уrлы падения и отражения оказываются при этом комплексными,
а сами волны затухают в направлении нормали к поверхности. По
скольку амплитуды отраженных волн принимают бесконечные зна
чения при конечных амплитудах падающих ВОЛН,получающееся
отраженное поле можно интерпретировать как самостоятельную
поверхностную волну сложной структуры, существующую в TBep
дом теле [8]. Рассматривая потенциалы отраженных волн как по
тенциалы искомой поверхностной волны, в соответствии с форму-
лами (3.6) представим их в виде (отбрасывая общие знаменатели
у коэq:фициента отражения)
ер == А 1 [ 4kRqs (ki 2kk)2] ехр (ikRx qz),
1р == 4iA 1 k R q (kl 2kk) ехр (ikRX sz),
(4,2)
rДе А 1 произвольная амплитуда поверхностной волны, q===
::, (k k )1/2, s=== (k k )1/2, k R ==k/'YIo действительный корень
199
уравнения (4,1), которое обычно записывают в форме
(2k2 k')2 4k2 (k2 kпl/2 (k2 kl)1/2 == О. (4.3)
Это уравнение носит название уравнения Рэлея, впервые предска
завшеrо существование поверхностных волн в твердом теле [9],
а сами эти волны называют рэлеевскими. Воспользовавшись (4.1),
можно упростить выражение в квадратных скобках (4.2) и, COKpa
тив на 2 (2kk k')2, переписать cr и 1jJ в более простом виде:
А 2iAlkRq . k
ЧJ== lexp(ikRx qz), 1jJ== 2k2 k2 exp([ RX sz). (4.4)
R t
Таким образом, рэлеевская волна распространяется вдоль поверх-
ности с фазовой скоростью СR==ш/k R , меньшей скорости сдвиrовой
объемной волны. Значение CR зависит от коэффициента Пуассона
среды а и монотонно изменяется от О,87с! при а==О до О,96с ! при
а==0,5 (рис. 8.2). Амплитуды потенциалов рэлеевской волны свя-
заны соотношением
rpj1jJ == i (2kk kШ2kRq.
Переходя от потенциалов к смещениям, получим
их == A1k R [exP( qZ) 2k: k' ехр ( sz) ] ехр [i (kRX i ) ],
U z == A1q [ех р ( qz) 2k k' ехр ( sz) ] ехр (ikRx).
Видно, что амплитуды их и U z убывают в слое то,rrщиной [""'Л R ==
==2п/k п , т, е. волна оказывается существенно поверхностной, По
скольку компоненты смещений в рэлеевской волне сдвинуты по
фазе на п/2, траекториями дви
жения частиц являются эллипсы.
В используемой нами системе KO
ординат (рис. 8.1) вращение частиц
(относительно наблюдателя, рас-
положенноrо за плоскостью ри
сунка) происходит против часо-
вой стрелки при распространении
волны в положительном направ
лении оси Х.
МЫ подошли к понятию поверх
ностных волн, исходя из задачи
об отражении. Более прямым и
строrим подходом является непо-
средственное отыскание решения
поставленной краевой задачи в
виде поверхностных волн [9 12]. Вследствие важности этоrо
подхода для рассмотрения друrих типов поверхностных волн мы
воспроизведем основные ero черты. Задача при этом состоит в
1,00 /,
cR/C 1
0,.95
0,.90
О,!М
О 0,125 0,25 0,375 0,:;
Рис. 8,2. Зависимость относитель
ной скорости рэлеевской волны от
коэффициента Пуассона среды,
200
б
нахождении решения волновых
д 2 ЧJ д 2 ЧJ о
дх2 + az l + k/<p ==0,
уравнений
д 2 ф д 2 ф 2
дх 2 + az 2 + kt Ф О,
затухающеrо по rлубине тела и удовлетворяющеrо rраlШЧИЫМ усло-
виям O'zzlz=o==O и O'xzlz=o==O. Будем искать ero в виде
<р==А 1 ехр (ikx IZ), 1jJ==Bl ехр (ikx tz), (4.5)
rде А 1 и В 1 пока не определенные комплексные константы, а
/== (k2 k )1/2, t== (k2 k )1/2. Очевидно, при записи решения для
поверхностных волн в виде (4.5) априорно предполаrается, что k 2 >
>k >k . Ниже мы увидим, что это действительно может иметь Me
сто. Непосредственной подстановкой леrко проверить, что выраже
ния (4.5) удовлетворяют волновым уравнениям. Подставляя (4,5)
в rраничные условия (3.5), получим соотношения между А 1 И В 1 ,
используя которые леrко найти окончательные выражения для
искомых потенциалов, совпадающие с полученными ранее форму
лам и (4.4). При этом величина k==k R , удовлетворяющая записан
ному выше неравенству, определяется из уже знакомоrо нам xapaK
теристическоrо уравнения Рэлея.
Остановимся вкратце на некоторых свойствах рэлеевских волн.
Прежде Bcero отметим, что они имеют MHoro общеrо с волнами на
поверхности жидкости, Действительно, в обоих случаях частицы
движутся по эллипсам, лежащим в сасuттальной плоскоrтu,
т, е. плоскости, проходящей через волновой вектор и нормаль к
поверхности, а амплитуды смещений частиц экспоненциально убы-
вают с rлубиной *). Общность становится особенно заметной, если
при решении задачи о волнах Рэ.rrея учесть влияние силы тяжести
[10] или сил поверхностноrо натяжения [13], Для ультразвуковых
частот влиянием силы тяжести можно пренебречь и дисперсионное
уравнение для волн Рэлея приобретает вид
(2k2 k )2 4 (k2 kпl/2 (k2 kпl/2 k2 (Y$IIt) (k2 k')1/2 k k2 == О,
(4.6)
отличающийся от (4.3) наличием дополнительноrо члена, обуслов
ленноrо поверхностным натяжением твердоrо тела Ys, Нетрудно
убедиться, что в предельном случае f1 ""'+ О (или kt""'+ 00), COOTBeTCT
вующем идеальной жидкости, из (4,6) следует дисперсионное ypaB
нение для чисто капиллярных волн в сжимаемой жидкости:
(й2 == (Y$lp) k 3 (l k /k2p/2.
Отсюда при л""'+ 00 (или k/ ""'+ О) получается известное дислерсион
ное уравнение для капиллярных воли в несжимаемой жидкости
(1.6.8):
(й2 == (у 8 IР) k 3 .
(4.7)
*) Влияние сдвиrовой упруrости у твердых тел приводит, однако, к тому.
что направление вращения частиц в рэлеевской волне непосредственно иа поверх
Ности противоположио иаправлению вращения частиц в волне иа поверхности
Жидкости ,
201
В общем случае проИЗВоJIЬtlоtо твердоtо тела [lOверхностное натя-
жение приводит к слабой дисперсии скорости рэлеевской волны
[13), Что, по видимому, может быть использовано для эксперимен
тальных оценок величины поверхностноrо натяжения твердых тел.
Поверхностный характер рэлеевских волн отчетливо проявляет-
ся в их зависимости от rеометрии поверхности. Наиболее важной
и простой иллюстрацией этой зависимости являются рэлеевские
волны на кривых поверхностях (10), в частности волны на круrовых
цилиндрических поверхностях, распространяющиеся в направле
нии, перпендикулярном к образующей [10 12, 14]. В этом случае
потенциалы ер и 'ф rармонических волн ищутся в виде
ер, 'ф == А2' B 2 J р (k1,tf) ехр (ipe)
для выпуклоrо цИЛИндра и
(р, 'Р == А;, В;Н1 1 ) (kl. tr) ехр ире)
для BorHYToro цилиндра, rде J 1) функция Бесселя порядка р,
О полярный уrол, а уrловое волновое число р связано с k очевид
ным соотношением k pIR, rде R радиус цилиндра, Н1 1 )
функция Ханкеля первоrо рода порядка р. Подстановка ер и 'ф
в rраничные условия, записанные в полярных координатах, дает co
ответствующие дисперсионные уравнения, из которых следует, что
скорости рэлеевских волн на цилиндрических поверхностях отли-
чаются от их скорости на плоской поверхности. В частности, для
rладких поверхностей, т. е. при kR,?>l, справедлива приближенная
формула [11 J
/ ==kR(l Ao/kRR), (4,8)
rде k R волновое число рэлеевской волны на плоскости, А о""" 1
положительная константа, зависящая от коэффициента Пуассона
среды. Нетрудно видеть, что для выпуклс,rо цилиндра (R>O)
скорость рэлеевской волны увеличивается по сравнению с ее ско-
ростью на плоскости, а для BorHYToro (R<O) уменьшается. Для
BorHYToro цилиндра характерно также слабое затухание за счет
излучения в объем среды [I 1, 12), не описываемое выражением (4.8).
Если кривизна достаточно велика, т. е. kR I, то объемное излу
чение становится интенсивным и имеет место в обоих случаях. Этот
факт важен для понимания процессов рассеяния рэлеевских волн
на топоrрафических неоднородностях [15 17} и, в частности, их
распространения вдоль шероховатой поверхности [I 8 201, иrраю
щей для рэлеевских волн роль случайно неоднородной среды. В об-
щем случае поверхностей произвольной формы приближенное ана-
литическое решение может быть получено при kPmln 1, rде Pmin
минимальный радиус кривизны. При этом фазовая скорость рэлеев
ской волны зависит от двух радиусов кривизны поверхности
вдоль и поперек траектории распространения [21, 22J. Интересно,
что кривизн в общем случае приводит к анизотропии скорости
рэлеевской волны (свойством изотропии обладает только поверх
ность сферы). Поэтому будет наблюдаться отклонение вектора rруп
202
повой скорости от вектора фазовой скорости, Это имеет мести, Ha
пример, при распространении поверхностной волны под произ
вольным к образующей KpyroBoro цилиндра уrлом [22J. Если pa
диусы кривизны поверхности зависят от координат, то рэлеевская
волна будет испытывать рефракцию, отклоняясь в область с боль
шей кривизной аналоrично световым волнам в поле тяrотеющих
масс. Это явление используется в так называемых топоrрафических
Еолноводах [23].
Рэлеевские волны, будучи наиболее распространенным типом
поверхностных акустических волн, иrрают важную роль в сейсми
ческих явлениях [10], так как они расходятся при распространении
от источника возмущения только в двух измерениях и поэтому за
тухают """,r 1/2 обратно пропорцион.ально корню из проходи-
Moro волной расстояния. Волны меrаrерцевоrо диапазона широко
используются в поверхностной дефектоскопии [11, 12, 24] и в aKYCTO
электронных устройствах обработки сиrналов [25 29J. rиперзву
ковые рэлеевские волны используются при изучении физических
свойств поверхности твердоrо тела [30J.
5. Друrие типы поверхностных волн
Помимо рэлеевских волн, рассмотренных в 4, известны и дру-
rие типы поверхностных волн в твердых телах [12, 31]. Коснемся
наиболее важных из них *). Прежде Bcero следует назвать поверх
ностные волны в кристаллах [32, 33]. В настоящее время cTporo до-
казано существование поверхностных волн в большинстве направ-
лений любых срезов кристаллов [34, 35]. Анизотропия упруrих
свойств последних в обrцем случае приводит к тому, что плоская
поверхностная волна имеет три компоненты смещения, а ее волно-
вой вектор не совпадает по направлению с вектором rрупповой
скорости * *). Лишь для симметричных направлений кристалла
векторы rрупповыХ и фазовых скоростей коллинеарны, а TpaeKTO
рии частиц лежат в саrиттальной плоскости. Такие поверхностные
волны, весьма схожие с рэлеевскими волнами в изотропном твердом
теле, обычно называют волнами рэлеевскосо типа [32J. Типичным
примером является волна, распространяющаяся в направлении Z
У-среза пьезоэлектрическоrо кристалла ниобата лития. Заметим,
что в пьезоэлектрических кристаллах поверхностная волна обычно
сопровождается квазистатическим электрическим полем, что Haxo
дит применение в различных акустоэлектронных устройствах об-
работки сиrналов. Влияние пьезоэффекта приводит в ряде кри
сталлов к существованию чисто сдвиrовых поверхностных волн
[36, 37], называемых волнами Туляева Блюштейна. Эти волны,
в отличие,:"от рэлеевских, слабо неоднородны. Распространяясь со
скоростью' C Ct, они спадают с rлубиной на расстоянии [""",K;;:k t l,
rде К ЭМ коэф фициент электромеханической связи, характери-
*) При этом иам придется иесколько выйти за рамки оrраиичеиий, сделаи
ных в начале rлавы, упомянув о волиах в пьезоэлектрических кристаллах.
* *) Более подробио о поверхиостиых волнах в кристаллах rоворится в rл. 9.
203
зующий «силу» пьезоэффекта (обычно 1;::::::50 100Лt). По этой при-
чине волны rуляева Блюштейна менее подвержены влиянию ae
совершенств поверхности и представляют иtlтерес для акустоэлек
тронных устройств, работающих в СВЧ диапазоне [38, 39], Волны
аналоrичноrо вида MorYT существовать и внепьезоэлектрических
средах при наличии внешних по
лей электрическоrо (за счет HaBe
денноrо пьезоэффекта [40, 41]) и Mar-
нитноrо (действие силы Лоренца на
электроны в металлах [42]). При этом
имеется возможность управления rлу-
биной локализации волн с помощью
изменения величины прикладываемых
полей.
К важной разновидности поверх
ностных волн относятся волны Л явQ
[43, 44] в СЛОИСтой системе (рис, 8.3),
Рис. 8.3. Система «слой полу состоящей из упруrоrо ПОJlупростран
пространство». ства и слоя, скорость поперечных
волн в котором C t1 меньше их CKOpOC
ти В полупространстве C t 2' В такой системе MorYT существовать
чисто сдвиrовые поверХностные волны, описываемые выражениями
и == { Аз cos [51 (h+ z)]exp (ikx), h < z < О,
у Аз cos (5 1 h) ехр (ikx 52Z), z> О,
rде 5,==(k:1 k2)1/2, S2==(k2 kЫ1/2, ktt,2==ffi/C t l, 2, а волновое число k
определяется из дисперсионноrо уравнения
tg (5 1 h) == f.t252/f.t1S1' (5.1)
При условии Ctl<C t2 (замедляющий слой) это уравнение имеет
действительные корни k n , лежащие в пределах kt2<kn<ktl' т, е.
фазовая скорость волн Лява больше скорости поперечных волн
в слое, но меньше их скорости в полупространстве, Из (5.1) также
следует, что волны Лява обладают дисперсией. Это понятно, так
как рассматриваемая слоистая система характеризуется размерным
параметром толщиной слоя h. CTporo rоворя, волны Лява не
являются истинно поверхностными волнами, поскольку их сущест
вование обусловлено слоистой средой. В этом смысле они похожи
на волны в приповерхностном звуковом канале в океане [8], т. е.
представляют собой один из видов нормальных волн в твердой
слоистой среде, Различные корни k n дисперсионноrо уравнения (5.1)
характеризуют соответствующие нормальные волны (моды), Число
такиХ мод тем больше, чем больше величина kt2h. Иноrда под BOk
ной Лява понимают просто низшую моду, которая существует при
всех толщинах слоя, в том числе и при kt2h О. Волны Лява, так
же как и волны Рэлея, часто наблюдаются при землетрясениях,
поскольку земная кора имеет слоистую структуру, В последнее
время их стали использовать для создания дисперсионных линий
задержки.
204
z
В системе «слой полупространство» MorYT существовать и по
верхностные волны, поляризованные в саrиттальной плоскости
[45 47T. Такие волны называют обобщенными волнами Лэмба [47J,
taK как в предельном случае Р2 О, т. е., в отсутствие полупрост
ранства, они переходят в известные нормальные волны Лэмба
в пластинках 01, 12, 44, 47Т, При Ctl<Ct2 дисперсионное уравнение
для обобщенных волн Лэмба, как и в случае волн Лява, имеет ко-
нечное множество корней k п , соответствующих различным распро
страняющимся модам, При достаточно малой толщине слоя су-
ществует только одна мода, которая превращается в волну Рэлея
при kt2h О. Следующая по порядку мода носит название волны
СеЗG8Ы.
В отличие от волн Лява, низшая мода обобщенных волн Лэмба
может существовать и в том случае, коrда скорость поперечных
а)
о)
Рис. 8.4. Слоистые волноводы поверхностных волн: а) волновод с замедляю
щим слоем, б) волновод с ускоряющим слоем.
волн в слое больше поперечной скорости звука в полупространстве.
Скорость обобщенных волн Лэмба в такой системе выше скорости
волн Рэлея, распространяющихся вдоль поверхности однородной
среды. Для этоrо случая характерно наличие верхней частоты от-
сечки [6], выше которой поверхностная волна излучает энерrию
в объем среды. Эта частота соответствует равенству скоростей обоб-
щенной волны Лэмба и сдвиrовой волны в полупространстве Ct2'
при нарушенИи KOToporo, т. е. при C>Ct2' имеет место «черенков
ское» излучение энерrии в полупространство, В случае замедляющеrо
слоя всеrда C<CR<C t 2 и излучение отсутствует. Обобщенные волны
Лэмба широко используются в акустоэлектронике для создания
волноводов поверхностных волн, действующих по общему принципу
открытых волноводов [29, 46J. При этом употребляются как замед-
ляющие, так и ускоряющие слои (рис. 8.4),
Кроме волн, существующих на rранице твердоrо тела с BaKYY
мом, известны также поверхностные волны на rранице двух сред.
CTporo rоворя, такие волны правильнее было бы назвать сранич.
ными. К простейшей разновидности таких волн относятся волны
вертикальной поляризации, распространяющиеся вдоль rраницы
твердоrо тела с жидкостью, или волны Стоунли [8Т. Эти волны не
обладают дисперсией и распространяются со скоростью, меньшей
скорости звука в жидкости, спадая экспоненциально при удалениИ
от общей rраницы. Отметим, что дисперсионное уравнение Стоунли
.ямеет также комплексный корень, соответствующий отходящей СТ
205
rраницы волне в жидкости и экспоненциально неоднородной волне
в твердой среде [8, 12, 311. При Рж О, rде Рж плотность жид
кости, эта система волн вырождается в рэлеевскую волну. Таким
образом, контакт с жидкостью или rазом приводит к затуханию по-
верхностной волны за счет «черенковскоrо» излучения из твердой
среды, Подобная поверхностная волна, а также рассмотренная выше
обобщенная волна Лэмба в системе с ускоряющим слоем являются
примерами так называемых волн утечки (Jeaky wa\'es) [31], сущест
вующих также в ряде направлений кристаллов и на воrнутых ци-
линдрических поверхностях ( 4). Возвращаясь к волнам типа
Стоунли, отметим, что они MorYT существовать и на rранИце двух
твердых сред, если плотности и упруrие постоянные последних
удовлетворяют определенным соотношениям [12, 31, 47]. Из rранич-
ных волн с rоризонтальной поляризацией можно упомянуть обоб-
щения волн rуляева Блюштейна на случай двух пьезоэлектриче-
ских кристаллов, разделенных тонкой щелью (связанные волны [y
ляева Блюштейна, или щелевые волны [48, 49]). Существование
TaKoro типа волновоrо движения обусловлено связью за счет взаим
Horo проникновения квазистатических электрических полей в кри
сталлы.
Целый ряд типов поверхностных волн сбусловлен чисто reoMeT-
ричеСКИМII факторами. В работах [50,51] показано, что на выпуклых
цилиндрических поверхностях твердых тел, креме волн рэлеевскоrо
типа, MorYT существовать и нерэлеевские поверхностные волны с по-
ляризацией в саrиттальной плоскости. У ЭТИХ волн продольная ком-
понента ведет себя так же, как и смещения в рэлеевской волне,
спадая с rлубиной по экспоненциальному закону, Сдвиrовая же
часть аналоrична волне типа «шепчущей rалереи»; она убывает
с rлубиной, осциллируя. Такие волны получили наименование
волн смеишнносо типа [21]. Их скорость несколько выше скорости
сдвиrовых волн и асимптотически приближается к ней с увеличе
нием радиуса цилиндра. В выпуклых цилиндрах существуют чисто
сдвиrовые поверхностные волны, поляриаованные параллельно
поверхности [51]. Поскольку отражение rоризентально поляризо
ванных сдвиrовых волн аналоrично отражению волн в жидкости,
такие поверхностные волны, разумеется, ничем не отличаются от
звуковых волн типа «шепчущей rалереи», исследованных еще Рэ
леем [52].
Похожая аналоrия, но уже с электромаrнитными волнами в Me
таллической rребенке имеет место и для сдвиrовых поверхностных
волн [53, 541, распространяющиХСЯ вдоль периодически неровной
rраницы твердоrо тела (рис. 8.5). Действительно, волновые ypaBHe
ния и rраничные условия в обоих случаях выrлядят одинаково.
Поэтому на основании известноrо решения для электромаrнитных
волн (см. [53, 54]) можно сразу сделать вывод, что в рассматривае-
мой системе может распространяться поверхностная волна, фазовая
скорость которой определяется выражением
C==C t [1 + (аП)2 tg S (kh)] 1/2,
206
\
справедливым при kl l. ЛеrКО видеть, что при определенном выбо-
ре параметров а, 1 и h скорость поверхностной волны с может быть
существенно меньше С/.
Следует сказать о так называемых «линейных» волнах [55, 56],
распространяющихся вдоль ребер упруrиХ клиньев (рис, 8.6). Эти
волны представляют новый класс волновых движений сплошной
среды, сосредоточенных вблизи rраниц поверхностей. Упоминание
о них в данном параrрафе кажется нам оправданным по той причине,
что, во первых, эти волны весьма схожи с поверхностными, и, BO
вторых, они еще неДОСТdТОЧНО изу
чены, чтобы составить предмет
самостоятельноrо обсуждения, AHa
лиз этих волн весьма сложен
и производится rлавным образом
численными методами. Расчеты
Jr
Рис. 8.5, rребенчатая структура на
поверхности твердоrо тела.
Рис, 8,6. Антисимметричные коле-
бания ребра клииа.
показывают, что произвольное поле вблизи ребра клина, как и во
всяком волноводе, представимо в виде суммы мод, распространя-
ющихся вдоль ребра со своими фазовыми скоростями. НаиБОJ ее
важными с практической точки зрения представляются низшие ан-
тисимметричные моды клина (рис. 8.6). Их амплитуды быстро спа
дают при удалении от ребра, так что практически вся энерrия вол-
ны оказывается сосредоточенной вблизи линии острия. Именно по
этой причине волны подобноrо типа принято называть линейными
или клиновыми. Эти волны бездисперсионны, так как клин xapaKTe
ризуется только уrлом раскрыва СХ к , а не линейными размерами,
Скорость клиновых волн уменьшается с уменьшением СХ к и может
оказаться на порядок ниже С/ при CXK 5 100. Физически это по
нятно, поскольку антисимметричные волны в остром клине схожи
с антисимметричными колебаниями тонкой пластинки. Последние
же, называемые также низшими антисимметричными модами Лэмба
или просто изrибными волнами (подробнее см. 6), как известно,
отличаются низкой фазовой скоростью, стремящейся к нулю при
уменьшении толщины пластинки [1],
Наконец, нужно упомянуть о поверхностных волна,<, существо
вание которых обусловлено механизмами нелокальности поля, свя-
занными с микроструктурой среды [57]. в рамках классической
механики сплошных сред эти волны не MorYT быть получены. Так,
например, влияние дискретности кристаллической решетки приво-
207
дит К существованию в центросимметричных кристаллах слабо He
однородных чисто сдвиrовых поверхностных волн [58] *) или к MO
дификации друrих типов волн, в частнсстИ волн rуляева Блю-
штейна (см. [59]). Использование нелокальных моделей СПЛОШНЫХ
сред позволяет предсказать существование сильно неоднороднЫХ
поверхностных волн, спадающих по амплитуде на rлубине порядка
межатомноrо расстояния в решетке [57]. Существование слабо He
однородных сдвиrовых поверхностных волн может быть обусловлено
также наличием адсорбированных атомов [60].
Рассмотренные типы поверхностных волн в твердых телах, разу
меется, далеко не исчерпывают всё мноrообразие встречающихся
в природе ситуаций. Особенно это относится к волнам в слоистых
системах. Применительно к ним описанные слои с резкими rрани
цами должны рассматриваться как прсстейшие модели, То же самое
можно сказать и о большинстве друrих ;еханизмов, приводящих
к существованию поверхностных акустических волн.
6. Волны в пластинках и стержнях
Наряду с поверхностными волнами важную роль в приложениях
иrрают волны, распространяющиеся в средах с двумя и более CBO
бодными rраницами. Простейшими ПРИN,ерами таких волн являют
ся волны В изотропных пластинках и стержнях [1, 11,44, 47,61,
62] * *).
Под пластинкой будем понимать упруrую среду, оrраниченную
двумя свободными поверхностями x + Ь. Поле потенциалов CMe
щениЙ в пластинке должно удовлетворять уравнениям (2.8), (2.9)
и rраничным условиям при x + b:
О'хх == О, О'ух'==О, O'xz==O. (6.1)
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнениям
(2.8), (2.9) можно удовлетворить, если выбрать решение в форме [61]
<р == (А cos ах + в sin ах) ехр [i (1'z (i)t)],
'Фх == (С cos x + D sin x) ехр [i (1'Z (i)t)],
'Фу==(Е cos x+Fsin x)exp[i (1'z (i)t)],
'Фz== (а cos x+H sin x) ехр [i (I'z (i)t)],
(6.2)
rде а, и l' связаны друr с друrом соотношениями
а 2 + 1'2 == (i)2/c , 2 + 1'2 (i)2jC{.
При этом выражения для упруrих смещений в пластинках
мают вид
u == дч> a'l/'y u -71pz + a'l/'x u aqJ + a'l/'y
х дх az' у ах дZ ' z az ах'
(6.3)
прини
(6.4)
*) с феноменолоrической точки зрения [30] эти волны обусловлены измене-
ниями силовых констант в приповерхностном атомарном c. oe,
**) О волнах в кристаллических пластинках можно п '( читать в работах
[63, 64].
208
В записи (6.4) учтено, что потенциалы <р и 'Ф не зависят от у, Если
теперь подставить (6.2) (6.4) в rраничные условия (6.1) с учетом
закона [ука, нетрудно получить характеристическое уравнение
для нормальных волн в пластинке, левую часть KOToporo можно
представить в виде произведения четырех детерминантов:
I iy cos b cos вь 1 . [ в siп b iy siп f,b I
2 cos b h cos b h sin b 2 siп ВЬ Х
Х ! acosab fCOS b l ' l gCOS b dCOSab j ==O. ( 6.5)
d sln аЬ g sJп b f siп b а sJп аЬ
Здесь 'введены обозначения: а===[(л+2/l)а 2 +ЛI'2], d===i .2I'а, {===
===i .2/l1' , g===1'2 2, h===il' . Уравнение (6.5), очевидно, удовлетво
ряется при четырех независимых решениях, коrда каждый из дe
терминантов обращается в нуль. Последнее СОО1ветствует четырем
СОВОКУПНGСТЯМ волновых движений, представляющим собой семей
ства нормальных мод пластинки. Выпишем эти семейства в после
довательности, соответствующей порядку произведения детерми
нантов в (6.5).
Семейство 1:
А, В, С, Е, Р, Н===О, D, G=I=O,
и х ==0,
U у == ( G + il'D) (sin x) ехр [i (I'Z ffit)], (6.6)
U z == О.
Семейство 11:
А, В, D, Е, Р, G==O, С, Н =1=0,
и х == О,
и'l == ( H + il'C) (cos x) ехр [i (I'Z ffit)], (6.7)
и == О,
Семейство 111:
В, С, D, Е, G, Н ==0, А, F =1= О,
и х == ( aA sin ax il'F sin x) ехр [i (I'Z ffit)J,
U ==0, (6.8)
у
U z == ( p cos x+ il'A cos ах) ехр [i (I'Z ffit)].
Семейство IV:
А, С, D, Р, G, Н==О, В, Е =1=0,
и х == (аВ cos ax il'E cos x) ехр [i (I'Z ffit)],
И у ==0, (6.9)
U z == ( E sin x+ il'B sin ах) ехр [i (I'Z ffit)J.
Напомним, что дисперсионные уравнения для волн этих семейств
представляют собой равенства нулю соответствующих детерминан-
тов в (6,5).
209
Волны семейств 1 и 11 называют flОрмалы{ыми SН волнами *),
так как смещения у них перпендикулярны к направлению распро-
странения и параллельны поверхностям пластинки. При этом
решение вида (6.6), очевидно, представляет антисимметричные
У.оды, а (6. 7) симметричные, Семейства 111 и IV соответствуют
более сложным видам волновоrо движения. В частности, входящие
в них волны содержат как продольные, так и поперечные смещения,
которые все лежат в саrиттальной плоскости, т. е. в плоскости, про
ходящей через направление распространения и нормаль к поверх
нсстям пластинки. Очевидно, в семействе 111 вектор смещения сим
метричен относительно плоскости x o, а в семеЙстве IV антИ-
симметричен. По этой причине волны этих семейств соответственно
называют продольными нормальными вОлнами и изсибными волнами.
Их также называют симметричными и антисимметричными волнами
Лэмба, MHoro сделавшеrо в исследовании этих волн.
Перейдем теперь к более подробному обсуждению некоторых
типов нормальных волн в пластинках. Для антисимметричных
SН волн дисперсионное уравнение
I iy СОБ b Ь С03 b I == О
2 cos b iy С05 b
имеет три решения: 1) o, 2) y2+ 2 0 и 3) cos b O. Так как
первое решение тривиальное, а второе соответствует нераспростра
няющейся волне, то с физической точки зрения интересно толЬко pe
шение 3), которое удовлетворяется последовательностью чисел
Ь==(n 1/2)л, n==1, 2, 3, (6.10)
Аналоrично для симметричных SH -волн
b == qл, q == О, 1, 2, (6. 11 )
С учетом уравнений (6.3) из (6.1 О) и (6.11) нетрудно получить выра-
жение для фазовых скоростей с антисимметричных н симметричных
SН-волн
с [ n2р2 ] 1/2
ct == 1 (UJbjCt) 2 '
rде p n 1I2 для антисимметричных волн и p q для симметричных
волн. Из уравнения (6.12) следует, что SН-волны в пластинке об
ладают дисперсией и характеризуются наличием критических
частот, ниже которых соответствующие моды становятся нераспро-
страняющимися. Критическая частота отсутствует только у низшей
(нулевой) симметричной моды, которая существует во всем диапа
зоне частот от О до 00. Заметим, что SН-волны в пластинках близки
по своим свойствам к нормальным волнам в жидких волноводах,
оrраниченных жесткими стенками.
Волны Лэмба более сложны для анализа, так как соответствую-
щие трансцендентные дисперсионные уравнения MorYT быть разре-
(6.12)
*) От аиrлийских слов «shear hоrisопtаl»,
210
шены лишь численно. Для симметричных (продольных) мод диспер
сионное уравнение можно записать в виде
tg b . 4 (,\,Ь)2 фЬ) (аЬ)
tg аЬ [('\'ЬР ( b)2P ,
а для антисимметричных (изrибных) в виде
tg b [(,\,Ь)2 фЬ)2р
tg аЬ == 4 (,\,Ь)2 фЬ) (аЬ) ,
(6.13)
(6.14 )
Рассмотрим некоторые предельные случаи. Пусть длина волны рас-
пространяющейся моды MHoro больше толщины пластинки. При
этом а.Ь, b l и из уравнений (6.13), (6,14) нетрудно получить BЫ
ражения для предельной СКОрОС1Н низшей симметричной (продоль-
ной) волны в пластинке
Cs (2Ct/CI) V c c , (6.15)
а также для скорости низшей антисимметричной (изrибной) моды
Са [4/ 3C (уЬ)2 (l c /r )]1 /2. (6.16)
Заметим, что выражения (6.15), (6.16) можно получить и более
простым способом, если сразу считать пластинки бесконечно TOH
кими [1]. в друrом предельном случае, при малых длинах волн,
скорости обеих мод, низшей .
" " C/C t
симметричнои и низшеи анти
симметричной, стремятся к 2
скорости рэлеевской волны
С я' Физически это вполне Cs/Ct
очевидно. rрафики зависимос 1
тв скоростей Св и Са двух Ca/Ct
указанных низших мод от
величины уЬ изображены на /l Z -1 Ii !J vb
рис. 8,7, Видно, что при ма- ,.
лых уЬ или при низких часто- Рис, 8.7. Дисперсионные кривые для двух
тах скорость изrибной моды низших лэмбовских мод В пластинках.
Са стремится к нулю,
Остановимся теперь вкратце на упруrих волнах в стержнях.
Общее решение этой задачи, аналоrичное решению для пластин,
в настоящее время неизвестно. Однако имеется ряд частных точных
решений для некоторых случаев отношения ширины стержня к тол
щине и несколько приближенных решений [1, 61 J. В частности, для
очень тонких (по сравнению с длиной волны) стержней удобно непо
средственно исходить из соответствующих приближенных уравне-
ний движения [I J. Для случая растяжения стержня уравнение дви-
жения имеет вид
a 2 U Z р a 2 u z
az 2 Е 7fi2 O,
rде Е введенный ранее модуль Юнrа. По этой причине продоль-
ные волны в стержнях часто называют юн.еовскuмu. Их фазовая
211
скорость, очевидно, равна (Е/р)1/2, т. е. она меньше скорости про-
дольных волн в неоrраниченной среде. Для uзcuБНblХ волн в таких
стержнях уравнения движения срединных точек имеют вид [11
рПх==Еl у д 4 х/дz4, рПу==Еl х д 4 у/дz 4 , (6.17)
rде П площадь сечения стержня, а Ix и 111 моменты инерции
площади поперечноrо сечения стержня относительно проходящих
через ero плоскость осей х и у. Моменты определяются выражени
ями 1 х == у2 dП и 1 у == х 2 dП аналоrично обычному определению
момента инерции с той разницей, что вместо элемента массы под ин-
теrралом стоит элемент поверхности dП. Подстановка в уравнения
(6.17) решений, записанных в форме
х,....., ехр [i (yz wt)], у""'" ехр [i (yz wt)],
приводит к следующим соотношениям между частотой и постоянной
распространения:
ш==у2 (Еl у /рП)1/2, ш==у2 (Еlх/рП) 1/2
соответственно для колебаний вдоль осей х и у. При этом фазовые
скорости определяются выражениями
с(х) == 2у (Е 1 у/рП) 1/2 , с(у) == 2у (Е l,jрП) 1/2.
Кроме продольных и изrибных волн, в тонких стержнях MorYT также
распространяться крутUЛЬНh!е волны, удовлетворяющие ypaBHe
нию [Il
GJ 2 rp' /Jz 2 == рl J 2 rp' /Jt 2 ,
rде 1 == (х 2 + у2) dП момент инерции сечения стержня OTHO
сительно ero центра инерции, G так называемая крутильная
жесткость стержня, rp' уrол кручения. Очевидно, крутильные
волны бездисперсионны, а их скорость распространения равна
V G/p/.
fлава9
ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОАКУСТИКИ
1. Плоские упруrие. волны в кристаллах.
Уравнение Кристоффеля. КваЗИПРОДО.1lьные
и квазипоперечные волны
Изучение упруrих волн в кристаллах, или, более точно, в MOHO
кристаллах, имеет фундаментальное значение для физики твердоrо
тела и представляет собой основу мноrих современных научных
направлений квантовой акустики, акустоэлектроники, aKYCTO
оптики и т. д, Если rоворить о традиционных приложеииях акусти
ки твердоrо тела ультразвуковых линиях задержки и фильтрах,
то здесь использование монокристаллов позволяет существенно по-
высить рабочие частоты соответствующих устройств, так как зату
хание звука в этом случае значительно меньше, чем в изотропных
телах, обычно представляющих собой поликристаллы.
Волновые явления в кристаллах, т, е. в средах с ярко выражен
ной анизотропией целоrо ряда физических свойств, характеризуют-
ся более сложными закономерностями по сравнению с изотропным
случаем. Это леrко показать уже на примере диэлектрических кри-
сталлов, не обладающих пьезоэффектом или маrнитоупруrостью.
Линеаризованное уравнение состояния кристалла (обобщенный за
кон [ука) в этом случае имеет вид
аи === CijklUkl,
(1.1 )
rде Сщ/ тензор упрУ2их модулей, uk/ (1/2)(JUk/JX1+auzlJXk)
линеаризованный тензор деформации, Как и при рассмотрении
упруrих волн в изотропном теле, под СиН будем подразумевать ади
абатические значения модулей упруrости. Подстановка выражения
(1,1) в общее уравнение движения
PUi =-== JCJi//JX j
дает
.. 1 д ( aUk aUI )
PUi=='[Ci/kl ax; aXl + aXk '
откуда с учетом симметрии тензора Cijk/ по индексам k и 1, вытекаю
щей из симметрии тензора Uk /, получаем следующее уравнение
движения:
PUi==Ci/kl д 2 u l /дХ j JX/I'
(1.2)
213
Это уравнение можно также записать в более компактной форме
PU/==Cijk/U/, jk, которой мы будем в дальнейшем широко пользо-
ваться. Будем искать решение этоrо уравнения в виде монохрома-
тических плоских волн
Ui == U oi ехр [i (kaxa wt)], (1.3)
rде Uoi==const. Подставляя (1.3) в (1.2), получим
PW 2 U oi ==CijklkjkkUOI' (1.4)
С помощью соотношения uо/ бi/Uо/ это уравнение можно переписать
в виде
(Сijklkjkk рw2бil) U ol == О. (1.5)
Если ввести обозначение ri/==Cljk/пjпh, rде пj направляющие
косинусы волновоrо вектора k или компоненты вектора волновой
нормали, то (1.5) удобно переписать так:
(r il рv2бil) U OI == О, (1.6)
rде v==w//kj пока не определенная фазовая скорость *). YpaBHe
ние (1.6), или, точнее, систему треХ однородных алrебраических
уравнений относительно неизвестных и О /, обычно называют уравне-
нием Крuстоффеля, Как известно, система однородных уравнений
имеет нетривиальные решения только в тем случае, если опреде
литель, составленный из коэффициентов при U OI , равен нулю:
I ril рv2бill ==0. (1,7)
Выражение (1.7), представляющее собой характеристическое ypaB
нение для упруrих волн в кристаллах, очевидно, определяет собст
венные значения симметричноrо тензора ri/. Из условий упруrой
устойчивости кристалла следует, что этот тензор, называемый также
m.eНЗ0РОМ Крuстоффеля, должен быть положительно определенным
[J 3J. Из этоrо в свою очередь вытекает, что все три собственных
значения тензора r / / величины pvim) тоже положительны, Та-
ким образом, в любом направлении произвольноrо анизотропноrо
кристалла MorYT распространяться три плоские волны с различными
скоростями и(m)' Подставляя поочередно каждый из корней Pi! т)
В уравнение (1,6), найдем значения соответствующих смещений
и T>' или собственных векторов тензора r и, При этом В силу OДHO
родности уравнений (1.6) для каждоrо т определяются, конечно,
только соотношения между тремя компонентами и T). Все три собст
венных вектора и Т', соответствующие разным т, взаимно opToro-
нальны, причем в общем случае они расположены под некоторым
уrлом как к волновой нормали пj, так и к плоскости, к ней перпен-
дикулярной. По этой причине в кристаллоакустике обычно не ис
пользуется представление смещений с помощью скалярноrо и BeK
TopHoro потенциалов, столь распространенное при изученииlволн
в изотропных твердых телах.
*) В кристаллоакустике фазовую скорость принято обозначать буквой v,
чтобы не путать ее с упруrими модулямн Cijkl'
214
Принята следующая классификаЦIIЯ: еслИ
вектор смещения волны близок по направле
нию к волновой нормали, то волна называ
ется квGЗuпродолыlOU; если же вектор смеще
ния почти перпендикулярен к волновой нор-
мали, то волна называется квазuпоперечной.
Обычно в кристаллах вдоль произвольноrо
направления п распространяется одна KBa (1;,
зипродольная волна с вектором смещения
и Ш и две квазипоперечные с векторами Рис. 9.1. Векторы см е-
смещения и(2) и и(3) (рис. 9.1). Лишь в oco щений для упруrих
б волн в кристаллах: u(l}
ых направлениях кристаллов, соответствую соответствует квази-
щих плоскостям И осям симметрии, возможно продольной волне, и(2)
распространение так называемых чuстых и и(3} квазипопереч-
волн, векторы смещения которых либо сов- ным.
падают по направлению с k, либо перпендикулярны к нему, На-
помним, что в изотропном твердом теле такая ситуация имеет
место для любоrо направления распространения.
:lJ
k
(1;z
2. Влияние симметрии упруrих свойств
на распространение волн. Пример расчета
для кубическоrо кристалла
Остановимся вкратце на основных упруrих свойствах кристал
лов, которые нам понадобятся в дальнейшем. Прежде всето заме-
тим, что из выражения для внутренней, или потенциальной энерrии
деформированноrо кристалла [3, 4]
tfJ ==с п == 1/2CijklUijUkl
следует, что из-за симметрии тензора деформации Ии произведение
UijUkl не меняется при перестановке индексов i с j, k с l и пары ij
с парой kl. Тензор модулей упруrости Cijkl, очевидно, обладает теми
же свойствами. Поэтому в общем случае он имеет не 34===81 различ-
ную компоненту, а только 21. Указанная симметрия позволяет
пользоваться матричной записью закона [ука CJi===CijUj, тде Uj
деформация в одноиндексном обозначении; i, j=== 1, 2, . . , , 6, и пере
ход от одной системы обозначений к друrой осуществляется заменой
пары ij на т соrласно схеме
11 1
22 2
33 3
32==23 4
31==13 5
21===12 6.
Физическая симметрия кристалла приводит к дальнейшему умень-
шению числа упруrих постоянных. Рассмотрим, например, кубиче
ский кристалл и предположим, что за оси координат выбраны оси
симметрии четвертоrо порядка. Повернем кристалл на 900 вокрут
оси Х а *) так, что X 1 ---+- Х 2 , Х 2 ---+- Xl' Ха---+- Ха. Поскольку KOM
*) Здесь и далее оси системы координат, совпадающие с кристаллоrрафиче
сКими осями, будем обоз начать большими латинскими буквами.
215
поненты теНЗОРОfJ при переходе к новым координатам преобразуют
ся, как произведения координат, получим, что С2 222 С 1111 . Так
как рассмотренный поворот есть преобразование симметрии, ТОС 2222 "'"
"=С 1111 . Аналоrичным образом леrко убедиться, что С 122 3 С 21 13, но
С 2 113 .C1223' Поэтому, чтобы удовлетворить требованиям симмет
рии, необходимо, чтобы соблюдалось тождество С 1 22З===С 2 113 == О'
Рассматривая преобразования симметрии относительно друrих
осей, можно убедиться, что кубический кристалл имеет Bcero три
независимых упруrих модуля С 11 , С 12 , С 44 . Матрица Си при этом
принимает вид
С11 Си CI2 О О О
С12 ClI С12 О О О
С12 Си C1l О О О
О О О С44 О О
О О О О С44 О
О О О О О С44
Прежде чем перейти к анализу распространения волн 13 конкрет-
ных кристаллах, напомним основные сведения о широко распростра-
ненном в кристаллоrрафии методе обозначений кристаллоrрафиче
ских осей и плоскостей с помощью индексов Миллера (см., напри
мер, [5]). Метод основан на том, что положение R любоrо узла кри-
сталлической решетки (рис. 9.2, а) выражается через три основные
у
у
а)
х
о)
Рис. 9.2. к: объяснению
кристаллоrрафических обозначений:
[121]; б) плоскость (111),
а) направление
трансляции aI, а2, аз (не обязательно ортоrональные) в виде R===
'с=mа1+па2+раз, rде т, п, р любые целые числа, называемые
компонентами вектора R относительно базиса а 1 , а 2 , аз.
Ясно, что любое. кристаллоrрафическое направление, т. е. Ha
правление прямой, проходящей по крайней мере через два узла pe
шетки, можно характеризовать узлом, лежащим в начале коорди-
нат (нулевые значения т, п, р) и ближайшим узлом, пересекаемым
данной прямой. Соответственно кристаллоrрафическое наП f авление
определяется вторым узлом и обозначается символом [тпр . Компо--
ненты т, п, р в данном случае называются индексами Миллера дан.
но,'о кристаллоrрафическоrо направления. Например, кристалло
rрафические оси координат имеют следующие индексы Миллера:
216
Xl [lOOl, X2 [0101, Хз [оОlJ, Если какая либо из компонент
т, n, р отрицательна, то над соответствующей цифрой ставится чер
точка.
Для обозначения кристаллоrрафических плоскостей использу
ются наименьшие ненулевые компоненты отрезков, отсекаемых pac
сматриваемыми плоскостями на кристаллоrрафических осях KOOp
динат (рис. 9.2, б), соответственно величины т, n, р (предпола-
rается, что плоскость находится на минимальном расстоянии от
начала координат, но не проходит через Hero). При ЭТОМ индексами
Л\иллера данной кристаллоrрафической плоскости называются Be
личины f-t===lIm, v===lIn, л===lIр, а сама плоскость обозначается сим
волом (f-tvл). Например, координатные плоскости имеют следующие
обозначения: YOZ (100), ZOX (010), ХОУ (001).
Проанализируем теперь распространение плоских волн в KY
бическом кристалле. Для простоты вычислений будем рассматри
вать направление симметрии [110]. Такой выбор направления за
дается значениями п 1 ==п 2 ==1/V2', n з ==О. Нетрудно убедиться, что
в рассматриваемом случае ненулевые компоненты тензора Кристоф
феля ril===C;jklпjnk равны r l1 ===(C l1 +C'14)/2, r 12 === r 21 === (с 12 +с 44 )/2,
r 22=== (с l1 +с н )/2, r зз===С 44 , и уравнение (1.7) расщепляется на два
уравнения:
I rll pи2 r 12 1 ==0 (2.1)
1\2 r22 pv2 '
r 33 pи2 == О, (2,2)
Решение (2.1) дает pV 1)===(Cl1+C12+2c44)/2, pV 2)===(CIJ C12)/2, а из
(2,2) следует рvrз)===с44. Подстщroвкой каждоrо из найденных собст
венных значений в (1.6) леrко убедиться, что корню pVrl) COOТBeTCT
вует вектор смещения, направленный вдоль оси [I10J, т. е. волна
является чисто продольной. Корням pVZ2) И РVZ З ) соответствуют поля
ризации в направлениях [110] и [001], т, е. волны чисто поперечны,
В отличие от случая изотропноrо твердоrо тела, скорости попереч
ных волн в рассматриваемом случае уже не равны друr друrу, ины
ми словами, поперечное вырождение снимается. Если формально
потребовать равенства скоростей и(2) и V(з), то, как нетрудно видеть,
необходимо положить
С 44 == (C Il C12)/2.
(2,3)
При этом имеем только два независимых упруrих модуля, т. е.
переходиМ к изотропному твердому телу. К условию (2.3) можно
прийти и из более простых соображений [4], потребовав, чтобы MO
дули упруrости не зависели от поворотов кристалла на любой уrол.
Это требование выполняется, если C;jkl представимы в виде C;jkl===
===M;/)kl+f-t (б;kбjl+бilбjk), rде л и f-t уже знакомые нам упруrие
постоянные Ламе. Независимые модули упруrости изотропноrо куби
ческоrо кристалла выражаются через них в виде cl1===2f-t+Л, с 12 ===л.
Таким образом, распространение упруrих волн в кристаллах
описывается относительно просто только для симметричных направ
лений в кристаллах. В общем случае для произвольноrо направле
217
ния распространения и для кристаллов, менее симметричных, чем
кубические, расчет волновых характеристик достаточно rромоздок,
В настоящее время такие расчеты, тем не менее, проделаны с по-
мощью ЭВМ практически для всех интересных направлений и целых
плоскостей кристаллов всех семи синrоний (см. [2Х). Например, на
рис, 9.3 изображены уrловые зависи
мости фазовых скоростей всех трех уп
руrих волн для плоскости (100) куби
ческоrо кристалла KBr (класс т3т) [5].
Леrко видеть, что характер этих зависи
мостей, описывающих анизотропию фа-
f/!!!!j зовых скоростей упруrих волн, отражает
симметрию кристалла, В частности, ВПОk
не отчетливо заметно, что ось [001 J яв
ляется осью симметрии четвертоrо ПОРЯk
ка, Направление [J 10Х на рис. 9.3 COOT
ветствует разобранному выше случаю.
Коснемся теперь некоторых особых
направлений распространения упруrих
волн. Для плоскости (100) кубических
кристаллов (рис. 9.3) такими направле
ниями являются [010] и [100], для кото-
рых скорости поперечных волн равны. По аналоrии с кристаллооп-
тикой такие направления называются акустическими осями. Вдоль
них, так же как и в ИЗОТропном TB PДOM теле, возможно распростра
нение поперечных волн с произвольной поляризацией. Акустиче-
скими осями являются, например, оси TpeTbero, четвертоrо (в том
числе и уже УПОМЯНУтые направления
[010] и [100]) и шестоrо порядка в куби-
ческих кристаллах, оси Z (или С) *) в TeT
раrональных, rексаrональных и триrо
нальных кристаллах. Кроме Toro, ими
MorYT быть и несимметричные направле-
ния, если соответствующая комбинация
упруrих модулей такова, что обеспечи-
вается равенство скоростей двух квази
поперечных волн. В процессе проведения
акусти ческих экспериментов обычно ста-
paюTcя направлять волны вдоль HanpaB
лений высокой симметрии, которыми, в
частности, orYT быть и акустические
оси, Это связано с тем, что структуры
волн в таких случаях оказываются наиболее простыми. При некото-
рой разориентации вектора волновой нормали относительно сим
метричноrо направления в полной мере начинают проявляться
особенности, характерные для анизотропных кристаллов. Напри
мер, в случае малых отклонений волновоrо вектора относительно
(ш о]
Рис. 9.3. Зависимости фазо
вых скоростей упруrих волн
для плоскости (100) кубичес
Koro кристалла KBr.
Рис. 9.4. Преобразование ли
нейно поляризованной волны
в эллиптически поляризован
ную и затем снова в линей-
но поляризованную при от-
клонении вектора волновой
нормали от акустической оси.
*) Общепринятые кристаллоrрафические обозначения (см.. напримеР,lIБ]).
218
акустической оси скорости двух сдвиrовых волн уже не равны друr
друrу, и в общем случае задания начальной поляризации, COOTBeT
ствующей возбуждению обеих квазипоперечных волн, возможно cy
ществование колебаний с эллиптической и круrовой поляризация
ми [6J (рис. 9.4),
3. ПОТОК энерrии. Фазовая и rрупповая скорости
Друrой характерной особенностью, проявляющейся при рас-
пространении акустических волн вдоль несимметричных направле-
ний в кристаллах, является отклонение потока энерrии волны от
вектора волновой нормали. Ввиду важности этоrо явления оста-
новимся на нем несколько более подробно.
Выразим сначала поток энерrии через напряжения и смещения,
Как известно, механическая энерrия Е элемента объема V, на-
ходящеrося в поле акустической волны, представляет собой сумму
кинетической и потенциальной энерrий:
Е==} 5 puJl;dV ++ 5 ai/u;/dV,
v v
а изменение Е в единицу времени:
Е == 5 ри;и; dV ++ 5 ; (аиИи) dV
j/ V
определяет поток энерrии в объем V или из Hero. Так как
д д ..
д! (а;/ии) == д! (C;/kZUkZUij) ==2C;/kZ U kZ u i/==2aiju;j,
то
Е == (ри;й; + a;ju;j) dV,
v
откуда с помощью уравнения движения pUi aij, j получаем
Е== r ( и.а.. . + a..u.. ) dV ( 3.1 )
j 1 ,}.} '} '} .
V
Если учесть, что выражение в правой части (3.1) есть не что иное,
как
5 д .
дх. (a;ju;) dV,
V }
и заменить интеrрирование по объему (3,1) интеrрированием по по-
верхности, то совершенно очевидно, что
Ё == a{jU{n j dS. (3,2)
s
Поскольку поверхностный интеrрал в (3.2) описывает суммарный
поток энерrии в объем V через замкнутую поверхность S, то j-я
219
компонента потока из объема (вектор Умова Пойнтинrа) есть
Р} == UjjUj. (3.3)
Если через <8 мех обозначить плотность механической энерrии, то
закон сохранения (3.2) можно, очевидно, записать и в дифференци-
альной форме:
ё мех +P j , j==O,
представляющей собой cBoero рода уравнение непрерывности для
энерrии.
Рассмотрим теперь плоскую .волну
Uj==1/2UOjexp[i(kjXj wt)]+K. с.
Плотность кинетической энерrии при этом
<Ь\ == 1/2 рю2и , sin 2 (kjx; wt),
(3.4)
а плотность потенциальной энерrии
<8 П == 1/2CjjklkjkkUOjUOI sin 2 (kjXj wt).
(3.5)
Сравнивая (3.4) и (3.5) с уравнением Кристоффеля (1.6), нетрудно
получить известное волновое соотношение
<8 к ==<8 п .
(3.6)
Среднюю по времени плотность энерrии <8 м ех , очевидно, можно
тоrда записать в форме
р 1 / 2 2
(9 мех 2fXU Uoi.
Поток энерrии для плоской волны, в соответствии с (3.3), имеет вид
Р} == CjjklUklUi == WCijklklUOkUOi siп 2 (kjXj wt),
или после усреднения по времени
Р} == 1/2WCijklkIUOkUOi'
(3.7)
с друrой стороны, поток энерrии можно представить следующим
образом:
Р л (8)
j == (9 MexVj ,
rде v 8) скорость переноса энерсuu. Из выражений
с учетом (3.4) и (3.6) нетрудно получить
(8) .<:
Vj ==CijkIUik/PVl'
Заметим теперь, что rрупповая скорость волны и}8'>, описывающая
распространение волновоrо па кета и определяемая как
v<p == aw/ak j ,
соrласно уравнению (1.6), равна
v<r> ==Сijklби/РVk'
(3,8)
(3,7) и (3.8)
(3.9)
220
Таким образом, в paccMoTpeHlIoM СJIучае кристаJIJIа без rюrерь ско-
рость переноса энерrии совпадает с rрупповой скоростью*). Направ-
ление rрупповой скорости и соответственно направление переноса
энерrии волны, как это следует из (3.9), в общем случае не совпадает
с вектором фазовой скорости, Можно показать, что совпадение
возможно для направлений симметрии кристалла и для некоторых
«случайных» направлений, определяемых конкретными соотноше-
ниями упруrих модулей,
Подставляя в (3,9) выражение для Cijk//P из уравнения Кристоф-
феля (1.6) Сijk//р==-v2бil/пjпk' получим полезное соотношение
vjg)пj==-V, из Koтoporo следует, что проекция rрупповой скорости
на направление волновой нормали совпадает с модущ'м фазовой
скорости, т. е. сама rрупповая скорость по абсолютной величине
не меньше фазовой.
Описанное явление отклонения вектора rрупповой скорости от
фазовой, или, что то же, несовпадение акустических лучей с направ
лением волновой нормали, приводит к ряду специфических эффек
тов, мноrие из которых аналоrичны соответствующим эффектам в
кристаллооптике [2J. Следует, однако, отметить, что с точки зрения
физических проявлений анизотропии акустика кристаллов значи-
тельно боrаче, чем кристаллооптика. Это понятно хотя бы из Toro,
что упруrие свойства кристаллов описываются тензором четвертоrо
paHra, а оптические только BToporo. К существенному разнооб
разию акустических явлений приводит и широкий количественный
разброс в величинах упруrих модулей даже для кристаллов ОДlIна
ковой симметрии. Все эти факторы необходимо учитывать при
rrроведении акустических экспериментсв и в практических прило
жени ях.
4. Волны в пьезоэлектрических кристаллах.
Коэффициент электромеханической связи
Наличие пьезоэффекта в ряде кристаллов приводит к тому, что
соответствующие механические и электрические величины уже не
являются независимыми. Этот факт име{'т важное значение для
ряда приложений, rлавным образом для электромаrнитноrо воз
буждения акустических волн.
Линеаризованное уравнение упруrоrо состояния кристалла с
учетом пьезоэффекта (прямоrо) может быть записано в виде (см.,
например, [4 6, 8, 9J)
аи ==CijklUkl ekijEk, (4.1)
rде Е k вектор напряженности электрическоrо поля, е), ij пьезо
тензор, симметри чный по индексам i, i **). За счеl обратноrо ПЬезо-
*) Если диссипация существенна, то rрупповая скорость уже не равна ско-
рости переноса энерrии; подробнее см. [7].
**) с помощью рассуждений, аналоrичных изложенным в 2, леrко убедить
ся, что в центросимметричных кристаллах все тензоры нечетных paHroB равны
нулю. Таким образом, пьезоэффект возможен только в кристаллах без центра
симметрии.
221
эффекта это уравнение оказывается связанным с уравнением состоя-
ния для индукции
D. == 8..Е, + е " k U jk
I '}} '} ,
(4.2)
rде 8и тензор диэлектрической проницаемости. К уравнениям
(4.1) и (4.2) следует добавить механическое уравнение движения
PU,.==fJ;j,j
(4.3)
и уравнения Максвелла, которые мы здесь запишем в векторной
форме:
rot E== ( +) В, rotH == (+) ь, div D==O, div в==о; (4.4)
добавив к ним erцe одно уравнение состояния
B==ft'H. (4.5)
Выписанная довольно rромоздкая система уравнений (4.1) (4.5)
полностью описывает линейные механические и электромаrнитные
процессы в пьезоэлектриках. Можно по казать [6, 9], что в общем
случае в пьезоэлектрических кристаллах MorYT распространяться
в одном направлении пять волн смешанноrо типа, характеризующих-
ся как механическими переменными, так и электромаrнитными.
Это соответствует трем возмущенным акустическим волнам, распро
страняющимся со скоростями, несколько большими соответствую-
щих скоростей без учета пьезоэффекта, и двум возмущенным электро-
маrнитным волнам, скорости которых практически не меняются.
Поскольку, однако, параметр возмущения имеет порядок и/c",10 o,
rде v скорость акустической волны, а С скорость света, то при
решении акустической части задачи в большинстве практически
важных случаев (но не во всех *)) волновым характером электро
маrнитноrо поля можно пренебречь, рассматривая ero в квазиста
тuческом приближении. При этом задача сводится к решению сис
темы
rotE==O, divD==O (4.6); (4,7)
и уравнений (4.1) (4.3). Из уравнения (4.6) следует, что электри-
ческое поле должно быть потенциально, т. е,
E;== CP.i' (4,8)
Подставляя далее (4.1) в (4.3) и учитывая (4.2), получим
Ри; ==C/jkIUkl. ; ek;jcp, kj' (4.9)
С друrой стороны, из (4.2), (4,7) и (4.8) следует
8 [ .т .. + е " k U ' k ,== О. ( 4.1 О )
JI,,} 1) 1,1
Пользуясь симметрией тензора модулей упруrости и пьезотензо-
ра по индексам k, 1 и j, k соответственно, вытекающей из симметрии
*) Например, при рассмотрении rраничных явлений ( 5).
222
тензора деформации, уравнения (4.9) и (4.1 О) можно переписать в
виде
РИi==СijlIlИk,lj еkijftJ, ik,
8ijftJ, ij + еijkИj, ki == О.
(4.11)
(4.12)
Таким образом, переменные в пространстве электрические поля
возбуждают акусткческие волны, и наоборот, rрадиенты деформа-
ций приводят к появлению электрических полей. Если искать ре-
шение (4,11) и (4.12) в вИде плоских волн смещений и электрическоrо
потенциала, то нетрудно получить модифицированное уравнение
Кристоффеля для смещений:
(ril РVЧ)il) Иоl==О, (4.13)
rде r;I'==Cijklпjпk+(ekijпjпkelтпптпn)/f!pqпrпq' Таким образом,
скорости волн меняются. Как мы увидим ниже, пьезоэффект, вообще
rоВОрЯ, увеличивает скорость упруrих волн. Заметим, что из (4.12)
следует, что потенциал ftJ распространяется с той же скоростью, с
которой распространяются упруrие деформации. Симметрия уrло.
вых зависимостей фазовых скоростей упруrих волн под влиянием
пьезоэффекта может, разумеется, меняться. Отметим также, что в
плоской волне вектор электрическоrо поля Ei ftJ,i всеrда opHeH
тирован вдоль направления волновой нормали, так как пространст-
венные вариации потенциала в плоской волне имеют место только
в этом направлении.
С количеСтвенной стороны влияние пьезоэффекта на распростра-
нение упруrих волн удобно характеризовать с помощью безразмеr,.
ной величины коэффициента электромеханической связи К ЭМ '
Ero можно определить следующим образом [51. Рассмотрим задачу
о статическом равновесии тонкой пьезоэлектрической пластинки
толщины а с металлическими обкладками, характеризующейся Ha
личием однородных напряжений (J ц. в такой системе электрический
потенциал ftJ, очевидно, зависит только от одной координаты z,
отсчитываемой по нормали к пластинке. Поскольку в качестве
независимых переменных мы будем использовать аи и Ei,== пiftJ,z,
уравнения состояния пьезоэлектрическоrо кристалла удобно
записать в виде [5, 61
D i == 8ijп j ftJ, z + dUk(Jlk,
И ij == п k dkijftJ, z + S ijkl(J kl'
(4.14)
(4.15)
Здесь пj вектор единичной нормали к поверхности пластинки,
направленный от нижней стороны пластинки к верхней, S/jkl'==
C JI модули упруrой податливости, dтij eklтCkl j соот-
ветствующим образом определенные пьезоэлектрические коэффици
енты, или пьезомодули. Из условия статическоrо равновесия
аи, j O следует, что в толще пластинки механические напряжения
(J/j однородны и определяются усилиями (Jijпj и (Jljпj, приложен
ными к ее стенкам, Из уравнения Di,i O вытекает, что ftJ,zz O,
т. е. ftJ линейная функция z, следовательно, деqормации также
223
однородны. Пусть обкладки пластины разомкнуты. Тоrда из элект-
рических rраничных условий следует, что niDi O. Учитывая это,
из (4.14) получим
ЧJ, z == n, d U k.(flk./ n i 8 ijn j.
(4.16)
При этом разность потенциалов между двумя обкладками равна
U CfJ(O) CfJ(a) aCfJ,z' Подстановка (4.16) в (4.15) приводит к
следующему выражению для тензора деформации:
Иij == [Sijk.l nk. dk.ijn j d ш /n i 8ijn i] (Jlk.' (4. 17)
Величина в квадратных скобках (4.17), очевидно, иrрает роль изме-
HeHHoro из за влияния пьезоэффекта тензора упруrой податливости
Sijkl' Жесткость пластинки при этом увеличивается, что вполне
понятно, так как работа сил, прикладываемых к обкладкам пластин
ки, идет теперь не только на увеличение энерrии упруrой деформа-
ции:
cf} п == 1/ 2 (JijИij == 1/ 2 (Jij S ijkl(Jkl 1!2 ((Jijn k d"ij)2/8ijпinj,
но и на увеличение энерrии электрическоrо поля:
<f}эл ==1/28ij E i E j == 1/28jjCfJ, zniCfJ, zn j == 1/2 ((fijn k dkjj)2/8ijnjnj'
Нетрудно видеть, что деформация уменьшается ровно настолько,
чтобы связанное с этим уменьшение упруrой энерrии компен
сировало увеличение энерrии электрическоrо поля. Величина
<f) эл/ (<f) п +<f}эл) определяет долю механической работы AMex <f} п +<f}эл,
перешедшей в электрическую энерrию, Квадратный корень из этоrо
соотношения как раз и называется коэффициентом электромехани
ческой связи:
К ЭМ == ({} э,,/А мех )1/2.
Таким образом, в соответствии с вышесказанным
К 2 (аиП" dkij)'Z
9М (Eijninj) (SijkIUijGkl) . (4,18)
С помощью соотношений Sijkl===Cit11 и dk;j===ehlтcii11 выражение
(4,18) можно переписать следующим образом:
К 2 (ukl n k e k.lm)2 9
эм (еijЩПj) (СijklUijUkд (4.1 )
Несмотря на то, что в выражения (4,18) и (4.19) входят величины
(J ij или И;j, определяемый с их помощью коэффициент электромеха
ниче<.:кой связи, очевидно, не зависит от абсолютных величин аи, И/j
и представляет собой характеристику материала. Будучи скаляром,
величина КВ" зависит, однако, от направлений воздействия и реак-
ции, Численньrе значения К вм обычно достиrают ",О, 1 0,3, но для
некоторых синтетических пьезоэлектриков, например для ниобата
лития, KBM 0,7.
Вернемся теперь к уравнению (4.13), определяющему скорости
упруrих волн в пьезоэлектрических кристаллах, Леrко заметить,
224
что компоненты модифицированноrо тензора Кристоффеля ri[
с учетом изложенноrо можно переписать в виде
ri[ ==Cijklпjпl (1 + Юм),
Так как квадраты скоростей v 2 упруrих волн, распространяющихся
в рассматриваемом направлении кристалла, пропорциональны ri[,
то относительное увеличение скорости L1v, обусловленное пьезо-
эффектом, будет определяться выражением 2L1V/VO+(L1V)2/V ==K:M'
rде V o значение V без учета пьезоэффекта. Для малых К;М отсюда
получаем соотношение
К;М == 2L1v/v o ,
(4.20)
позволяющее экспериментально определять значение к: м по изме-
нению СIСОрОСТИ упруrих волн в пьезоэлектрической среде.
5. Отражение и преломлен ие упруrих волн
на rраницах раздела
Рассмотрим отражение и преломление упруrих волн в кристал-
лах. Чтобы не заrромождать изложение деталями, связанными с
учетом электрических или маrнитных переменных, рассмотрим
диэлектрический кристалл без пьезоэффекта и маrнитоупруrости.
В этом случае, так же как и в изотропных средах, rраничные усло
вия выражают непрерывность напряжений и смещений на rраницах
раздела. Закон Снеллиуса (см. 3
rл. 8) также остается справедли-
вым. При изучении rраничных яв
лений в кристаллах удобно ввести
понятие вектора рефракци'и т(q)=== '
===n/v(Q)' rде n единичный вектор
волновой нормали, индекс q обоз-
начает тип волны. В терминах т
закон Снеллиуса, очевидно, при
мет вид
т <7,,>c == const,
:z:
1I
z
Рис. 9.5. Совокупность отраженных
и преломленных волн для случая
падения сдвиrовых волн (т{2, 3))
из изотропноrо тела на rраницу с
кристаллом,
rде тИ!С касательная к rрани
це раздела компонента вектора
рефракции, Волны, образующиеся
при отражении и преломлении,
леrко определить с помощью простоrо rрафическоrо построения из
секущих пл()скостей и сечения поверхностей рефракции m(q),
проходящеrо через проеКции тИ!С и нормаль к rранице раздела.
Воспользуемся, например, построением, изображенным на рис. 9.5
для системы из изотропноrо тела (среда 1) и кристалла (среда 11)
[1, 2]. Волновые векторы совокупности падаЮЩей (1), отраженных
(R) и преломленных (Т) волн при этом определяются точками пере-
сечения сечения поверхностей рефракции и двух параллельных вер-
8 в. А. I(раСНЛЬННJ{ОП. В. В. Крылов
225
тикальных плоскостей, проведенных на расстояниях т/ кас==т ! sin8z
от плоскости х==о. Видно, что картина отраженных и преломленных
волн даже в рассмотренном случае простых диэлектрических крис
таллоВ достаточно разнообразна, В частности, при увеличении уrла
падения 8! в принципе может возникнуть четвертая преломленная
волна, определяемая пересечением секущей плоскости с поверхнос-
тью рефракции т?>. При дальнейшем увеличении 8! пересечения с
т > уже не наступает и соответствующая волна становится HeOДHO
родной (как и отраженная продольная волна в среде 1). Числовые
значения коэффициентов отражения и преломления MorYT быть оп-
ределены при подстановке выражений для допускаемых законом
Снеллиуса отраженных и преломленных волн в rраничные условия,
Подробности вычислений можно найти в моноrрафиях [1, 6, 9 11 ]
и приведенной там литературе.
Отметим, что из-за отклонения вектора потока энерrии в кристал-
лах, или направления луча, от вектора волновой нормали может
оказаться, что в среде 11 касательная
составляющая преломленноrо луча будет
направлена в сторону отрицательных х
(если пользоваться построением рис.
9.5). TaKoro рода «аномальное» поведение
преломленной волны характерно для
акустики анизотропных сред (подробнее
см. [2]).
Приведем еще один интересный при
мер, иллюстрирующий отличие процес-
сов отражения упруrих волн в крис-
таллах от изотроп Horo случая. Пусть
свободная rраница кристалла располо-
жена параллельно акустической оси,
не являющейся направлениеМ высокоЙ
симметрии. Для ряда таких осей возможна так называемая внутрен-
няя коническая рефракция [2, 5, 61, заключающаяся в том, что при
повороте поляризации распространяющихся вдоль них сдвиrовых
волн вектор Умова Пойнтинrа описывает конус (аналоrичное яв-
ление известно и в кристаллооптике). Рассмотрим случай, коrда
волновая нормаль падающей сдвиroвой волны ориентирована вдоль
оси симметрии TpeTbero порядка триrональноrо кристалла (ось Z),
являющейся акустической осью, а вектор поляризации повернут
приблизительно на 450 относительно поверхности (рис. 9.6) [12].
При этом вектор rрупповой скорости ориентирован под уrлом к
поверхности и волна с ней взаимодействует. Решение соответствую
щей rраничной задачи и экспериментальное исследование показыва-
ют [12J, что вектор поляризации отраженной волны Toro же типа,
что и падающая, поворачивается на 900 относительно первоначаль-
ной ориентации. Это соответствует тому, что нормальная составляю-
щая вектора Умова Пойнтинrа меняет знак, т. е. поток энерrии
отраженной волн'ы отходит от поверхности (рис. 9.6). Сказанное
нужно иметь в виду при проведении акустических экспериментов,
у
xf
Рис. 9.6. Поворот вектора по
ляриэации сдвиrовой волны
при отражении в условиях
конической рефракции.
226
таК как исполЬзоБаНlIе изотропных представлении, соrласно korO-
рым в рассматриваемом случае скользящеrо падения оrраниченноrо
волновоrо пучка влияние rраницы вообще не должно сказываться,
может привести к тому, что полезный сиrнал не будет принят.
Если один из rраничащих кристаллов обладает пьезоэффектом,.
то наряду с механическими rраничными условиями необходимо учи-
тывать rраничные условия для электромаrнитноrо поля, заключаю.
щиеся в непрерывности касательных компонент напряженности элек-
трическоrо поля и нормальных компонент индукции, Построения
рис. 9.5 в этом случае следует дополнить поверхностями рефракции
для электромаrнитных волн, которые практически стяrиваются в
точку из-за больших значений фазовых скоростей света. Это означа
ет, что распространяющиеся электромаrнитные волны при падении
акустических волн на rраницу раздела возникают только в том слу
чае, коrда падение нормально (при отклонении падающей волны
от нормали электромаrнитные волны становятся неоднородными).
Справедлива и обратная ситуация возникновение преломлен-
ных и отраженных акустических волн в случае нормальноrо паде-
ния электромаrнитной волны, Рассмотренные явления MorYT быть
использованы для прямоrо возбуждения н детектирования rипер-
звука электромаrнитными волнами СВЧ-диапазона. Однако эф
фективность TaKoro преобразования по порядку величины равна
v/c""10 5, т. е. довольно мала [9] *). Более эффективным оказы-
вается возбуждение rиперзвука стоячими электромаrнитными вол-
нами, которое обычно осуществляется с помощью СВЧ-резонаторов
18,131.
6. Поверхностные волны в кристаллах
Об основных особенностях распространения поверхностных акус-
тических волн в кристаллах уже упоминалось в rл. 8 при обсужде-
нии типов поверхностных волн.
Здесь мы остановимся на этом более
подрсбно, оrраничившись для про-
стоты случаем однородных кристал
лев без пьезоэфq:екта.
Выберем систему координат с
осью Х з , направленной по внешней
нормали к плоской поверхности
кристалла (рис. 9.7), и будем ис
кать решения уравнения (1.2) в
Рис. 9.7. rеометрия задачи о pac
виде волн с прямолинейным фрон- пространении поверхностных волн.
том, убывающих в направлении от-
рицательных Хз. Иными словами, предположим, что решения
XJ
*) Теоретически при определенном очень малом отклонении направления
падения акустической волны от нормали, при котором возбуждаемая электро
маrнитная волна еще не становится неоднородной, эффективность преобразования
может быть порядка единицы [9]. Однако, как указывают сами авторы [9], экспе-
риментально этот эффект нереализуем.
8*
227
явля тся линейными комбинациями членоВ вида
U i == U oi ехр [ik (11 1 X 1 + п 2 Х 2 + пзх з vt)],
(6.1)
которые удовлетворяют уравнению (1,2) и однородным rраничным
условиям при Хз==О [14]
..... j п. ==0
V l J .
(6.2)
Очевидно, решения (6.1) будут носить характер поверхностной вол
ны только В том случае, если величина пз в каждом члене линейной
комбинации будет иметь отрицательную мнимую часть, обеспечива
ющую необходимое убывание амплитуды, Поэтому для поверхност-
ной волны удобно считать, что волновой вектор k имеет только по
верхностные компоненты kпl' kп 2 , и рассматривать ехр (iпзХа) как
амплитудные множители. Даже в том случае, коrда пз содержит
и действительную часть, формально можно считать, что волновой
вектор параллелен свободной поверхности. Если теперь выражение
(6.1) с заданными пl и п 2 I10дставить в (1.2), то получим то же самое
характеристическое уравнение, что и в случае объемных волн:
I rij бijрv21 ==0, (6.3)
в котором, однако, величина пз заранее не определеНd. ПОскольку
характеристики поверхностных волн поддаются аналитическому рас-
чету лишь для небольшоrо числа высокосимметричных срезов и
направлений в кристаллах [14, 15J, имеет смысл сразу перейти к
общей формулировке задачи, обычно используемой при численном
решении. В этом случае удобно рассматривать (6.3) не как ypaBHe
ние третьей степени относительно v 2 с параметроМ па, а как уравне-
ние шестой Степени относительно па с параметром v 2 . Так как коэф
фициенты перед степенями пз в (6.3) действительны, то в общем
случае для каждоrо значения v это уравнение имеет три пары ком-
плексно сопряженных корней (в случае изотропной среды все кор-
ни чисто мнимые). Корни, лежащие в верхней полуплоскости KOM
плексноrо переменноrо па, соответствуют волнам, нарастающим с
rлубиной, и поэтому должны быть отброшены. В соответствии со
сказанным решение для поверхностной волны запишем в виде ли
ней ной комбинации членов (6.1), каждый из которых имеет одинако-
вую фазовую скорость, но различные ЗНdчения пз, равные корням
уравнения (6.3):
3
Ui == cnи 1> ехр [ik (п1X 1 + п 2 Х 2 + п n)Ха vt)]. (6.4)
n=l
Величины UШ> В (6.4), разумеется, должны быть нормированными
собственными векторами уравнения (1.2), соответствующими соб-
ственному значению v 2 и корням п\r'>. Коэlj:фициенты Сп И значение
скорости v, пока выбранное нами произвольно, определяются из
rраничных условий (6.2), которые можно записать в форме
(Jaj == CajklUk. 1 == О.
(6.5)
228
п одстановка предполаrаемоrо решения (6.4) в rраничные усло-
вия (6.5) дает систему трех однородных уравнений относительно
неизвестных коэффициентов Сп' Необходимым условием существо-
вания нетривиальноrо решения этой системы является обращение
в нуль ее определителя, содержащеrо девять членов:
d mn ==СтSklиЩ>пln>,
rде пin) == п1tп n)==п2. ПОСКОЛЬКУ величины d тn полностью определя
ются выбранным значением v-, т, е. оказываются заданнЫМИ, весьма
маловероятно, что определитель сразу' же обратится в нуль. По
этому в общем случае приходится подбирать последовательные
значения фазовой скорости v до тех пор, пока требуемое равенство
не будет выполняться с необходимой степенью точности. В рамках
описанноrо подхода с помощью ЭВМ выполнена большая часть рас-
четов скоростей и амплитуд поверхностных волн для различных на-
правлений и срезов кристаллов.
Отметим, что при использованной нами постановке задачи соб
ственные векторы иЮ>, отвечающие выбранному значению скорости v,
MorYT быть комплексными. В общем случае это приводит К комплекс
ности определителя rраничных условий Итп 1. в процессе же осу-
ществления итерационной процедуры необходимо обращать в нуль
и действительную, и мнимую ero части. Причем совершенно неоче-
видно, что действительная и мнимая части MorYT одновременно об-
ратиться D нуль при одном и том же значении v. По этой причине
в первых работах по поверхностным волнам в кристаллах рядом
авторов (см., например, [14]) было высказано предположение,
что такое совпадение оказывается случайным, так что поверхностные
волны не существуют в произвольно выбранных направлениях по
верхности кристалла. Однако численные расчеты и эксперименталь-
ные исследования показали, что практически во всех исследованных
направлениях различных кристаллов всеrдя существует значение v,
соответствующее поверхностной волне. Таким образом, оказывается,
что действительная и мнимая части опредеЛитеЛЯ rраничных усло-
вий так взаимосвязаны, что обращение в нуль одной из них влечет
равенство нулю друrой. Не так давно этот факт был подтвержден
аналитически, и тем самым были CTporo доказаны существование и
единственность решений в виде поверхностных волн в кристаллах
[16 18], в том числе и в пьезоэлектрических [181, для произволь-
Horo направления, за исключением некоторых особых направлений,
в которых rраничные условия MorYT быть удовлетворены чисто сдви-
rовой объемной волной, О существовании или несуществовании
поверхностных волн вдоль таких особых направлений результаты
[1 6 18] ничеrо не rоворят. Имеются как примеры существования
(например, рэлеевская волна в изотропном твердом теле или волна
рэлеевскоrо типа в направлении [100] ПЛОСКОСти (001) кубических
кристаллов [14]), так и примеры несуществования (направление Х
У-среза пьезоэлектрическоrо кристалла триклИItной симметрии,
rраничащеrо со средой с нулевой диэлектрической проницаемостью
[18]). Таким образом, для большинства направлений в кристал.тrах
229
изложенная итерационная процедура расчета параметров поверхно-
стных волн является вполне обоснованной.
Выясним некоторые характерные особенности поверхностных
волн, связанные с анизотропией, опираясь на результаты числен
ных расчетов для кубических кристаллов [14J. Как уже указывалось,
матрица модулей упруrости для кубических кристаллов имеет те
же ненулевые компоненты, что и изотропное тело (Сll==С22==СЗЗ'
С 12 ==С 1З ==С2З' С Н ==С 55 ==С 66 ), но для последнеrо С Н == (С1I С12)/2. Та-
ким образом, величина
V, ошн. ео
U
48
1'] == 2c H /(Cil C12)'
lj
.s
/J
fillll]
IJ, zJl!1il
называемая фактороht анизотропии, служит критерием отличия
упруrих свойств кристалла от свойств изотропной среды. PaCCMOT
рим распространение поверхностных волн на плоскости (001)
кристалла никеля (1']==2,38). Расче
ты показывают, что в направлении
[100] скорость поверхностной вол-
ны равна 2910 м/с, а ее амплиту-
ды смещений лежат в саrиттальной
плоскости и' спадают с rлубиной,
осциллируя (из за наличия дейст
вительных частей у п n»). Волны
с такой структурой, напоминаю
щие поверхностные волны Рэлея
в изотропном твердом теле, обыч-
но называют волнами рэлеевскоrо
11l ftlll] типа, Заметим, что в этом же нап-
равлении со скоростью 3832 м/с
может распространяться и чисто
сдвиrовая объемная волна, поляри-
зованная параллельно плоскости
поверхности. Таким образом, на-
правление [100] в рассматривае
мом случае, как уже упоминалось,
является особым. При отклонении вектора k на некоторый уrол в
от направления кристаллоrрафической оси [100] в полной мере Ha
чинает сказываться влияние анизотропии. Во-первых, волна имеет
все три компоненты смещений, в соответствии с (6.4), и, BO BTOPЫX,
вектор rрупповОЙ скорости отклоняется от вектора волновой HopMa
ли. Уrловая зависимость скорости v поверхностной волны пред-
ставлена на рис, 9.8. В направлении [11 О] «медленная» объемная
волна т 2, скорость которой при этом совпадает со скоростью по-
верхностной волны, снова удовлетворяет rраничным условиям.
В эту волну вырождается поверхностная волна в данном направле-
нии. Но при этом появляется новая поверхностная волна рэлеев-
CKoro типа (обозначена крестиком на рис. 9.8), фазовая скорость
которой больше скорости сдвиrовой волны (подобная ситуация воз-
можна только в кристаллах). При отклонении от направления [110]
эта волна становится затухающей вследствие излучения в объем
III
ZIl
JIl
Рис. 9.8. Скорости кваэипопереч-
ных Т 1 и Т2' поверхностной S и
псевдоповерхностной PS волн в слу
чае распространения вдоль плоскос
ти (001) никеля. В волне Т 2 смеще
ние параллельно плоскости (001).
230
среды и, CTpOrO rоворя, не является поверхностной. ПО этой причи-
не волны TaKoro типа называют волнами утечки или пceвдoпoвepx
ностными волнами (см. rл. 8).
Для кристаллов с 11<1 (например, дЛЯ КСI 11==0,375) наиболее
медленной объемной волной в плоскости (001) является волна Т 1
С вектором смещения, перпендикулярным этой плоскости. Такая
волна, очевидно, не удовлетворяет rраничным условиям и поэтому
поверхностная волна всюду существует, не вырождаясь в объемную.
Псевдоповерхностная волна в этом случае отсутствует, и в направ
лен иях [1001 и [1101 распространяются волны рэлеевскоrо типа.
Если rоворить о влиянии анизотропии на характеристики поверх-
ностных волн вне указанных осей, то оно выражено более слабо,
чем в случае 11> 1 .
7. Учет дискретности кристаллической решетки.
Акустическая активность и друrие эффекты,
обусловленные микроструктурой
До сих пор, рассматривая распространение волн в кристаллах,
мы не принимали во внимание дискретную структуру кристалли-
ческой решетки. Так можно поступать до тех пор, пока длина aKYC
тической волны л остается MHoro большей, чем постоянная решетки а,
или до частот'"'"' 1 00 rrц. Выше этоrо предела дисперсионные кри-
вые, получаемые из уравнений классической теории упруrости,
уже плохо соrласуются с микроскопическими расчетами, базирую
щимися на уравнениях динамики решетки, Поэтому, если OCTaBaTЬ
ся в рамках феноменолоrических моделей механики сплошных сред,
то уравнения состояния кристалла необходимо модернизировать
для учета дискретности среды, макроскопически проявляющейся в
нелокальности ее реакции на приложение переменноrо в пространст
ве внешнеrо воздействия. Это можно сделать с помощью так называе
мой нелокальноu теории упруеости [191, представляющей собой
феноменолоrическое обобщение классической механики сплошной
среды, Одно уравнение состояния элемента сплошной среды, опи
сывающее как пространственную, так и временную нелокальность,
уже приводилось нами при рассмотрении релаксационных процес-
сов. Если не учитывать временную нелокальность (которая, в Част
ности, ответственна за диссипацию энерrии в среде), то для твер-
доrо тела нетрудно получить с,Т(едующее уравнение состояния
(нелокальный закон rYKa):
CJ i ! (r) == Ci!/<l (r r') и/<, 1 (r') dr', (7.1)
v
rде ё Ukl ядра нелокальных упруrих модулей. Вид зависимостей
Cjjkl (r r') определяется обычно либо экспериментально, либо пу
тем сравнения с результатами динамической теории решетки. Из
общих соображений, однако, ясно, что ё;jkl заметно отличны от
нуля лишь при Ir r'l a, т. е, а служит характерным размерным
пара метром среды.
231
Если поле Uk достаточно медленно изменяется в простраНстве,
то от общей интеrральной связи (7.1) можно перейти к уравнению
СОС10ЯНИЯ в дифференциальной форме, разлаrая Uk l(r') в степенной
ряд в окрестности точки r' ===r. Если в разложении оrраничиться
только нулевым членом ряда, то получим обычное локальное соот-
ношение
(]/! (r) =-СljklUk, 1 r),
(7.2)
rде, очевидно,
С {jkl == ё/ jk1 (r) dr.
v
Учет последующих членов дает
(]/! (r) == C{jklUk. 1 (r) + b{jklmUk, 1т (r) +d/jklmпUk, lmп (r), ..., (7.3)
rде b{jklm == \ ё{jkl (r) Х т dr, и т. д. Леrко"заметить, что bijklт""'" 'с!а,
\/
dOklтn,...",!c!a2 И т. д., rде 'с!===тах !CiJkll. в большинстве практи-
чески интересных случаев ряд (7,2) быстро сходится и для описания
всех возникающих эффектов обычно бывает достаточно оrрани
читься двумя первыми неисчезающими членами. О моделях, ОПlI
сываемых конеЧНЫ:\1 числом членов ряда (7,2), иноrда rоворят как о
моделях сред со слабой npocтpaн.cmвeн.н.oй дисперсией. Несмотря на
то, что при обычно используемых ультразвуковых и rиперзвуковых
частотах члены с высшими производными от Uk довольно малы, они
приводят к качественно новым эффектам при распространении волн
в кристаллах, которые вполне наблюдаемы и MorYT быть использо-
ваны для уточнения феноменолоrических уравнений состояния
кристалла.
Одним из таких эффектов является акустuческая активн.ость
[2, 5, 19 23] акустический аналоr оптической активности [24],
заключающаяся в возникновении эллиптической поляризации плос
ких волн при их распространении в кристаллах без центра симмет-
рии. В таких кристаллах материальные тензоры нечетных paHroB
отличны от нуля, в частности bOk1т=l=O. Для описания эффекта аку-
стической активности в уравнении состояния (7.3) в случае нецентро-
симметричных кристаллов (их также называют акустически актив-
ными или rиротропными) достаточно оrраничиться двумя первыми
членами. При этом подстановка (7.3) в уравнение движения (1,2) дает
pu'j C{jklUI, jk + b/jklmUI, jkm' (7.4)
Представляя решение (7.4) в виде плоских волн (1.3). получим так
называемое уравнение Кристоффеля для акустически активных
кристаллов:
(C{jklnjnk + ib{jklmnjnkkm pv2fJ{l) и О1 === О,
которое можно переписать в виде, аналоrичном (1.5):
(r;l pv2fJit) и ое -- О,
(7.5)
(7.6)
232
rде ril Cijklпjпk+ibijklтпjпkkт модифицированный тензор
Кристоффеля. Таким образом, влияние I'ИрОТрОПИИ IIрИВОДИТ к
появлению чисто мнимой добавки к невозмущенному тензору Крис-
тоффеля, Так как поrлощение в среде по прежнему отсутствует,
то комплексный тензор l ;l должен быть эрмитов, т. е. мнимая ero
часть должна быть антисимметричной по первым двум парам ин
дексов [5]. в этом можно убедиться и непосредственно с помощью
(7.2) и (7.3). Поскольку собственные значения эрмитова тензора
есть величины действительные, то, как и ранее, условие нетриви
альноrо решения уравнения (7.6)
Ir;l pv26ill ==0 (7.7)
дает три действитеJiЬНЫХ значения ри 2 , При этом, однако, собствен
ные векторы и о { получают мнимые добавки, означающие, что все три
собственных волны будут эллиптически поляризованы (в большинст
ве случаев со слабой эллиптичностью ,...."ka). Количественный pac
чет описанноrо явления для несимметричноrо направления распро
странения акустической волны можно выполнить методом возмуще-
ний, используя в качестве решения нулевоrо приближения в (7,6)
значения pи и и ), полученные без учета пространственной диспер
сии [5]. Для направлений высокой симметрии расчеты MorYT быть
проделаны непосредственно [21, 22], Например, для оси Х 3 кубичес-
ких кристаллов, являющейся одновременно и акустической осью,
следующее из (7.7) дисперсионное уравнение для чисто поперечных
волн имеет вид
I C44 pи2 ib 543 k 3 1 ==0.
ib543k3 С44 ри 2
(7.8)
Здесь использована обычная одноиндексная форма записи bijklт
ПО первым двум парам индексов. Решение (7.8) дает два значения
фазовой СК(JРССТИ и == (С44::f::Ь54skз) / р, которым соответствуют волны
круrовой поляризации с противоположными направлениями враще
ния, Следовательно, волна с первоначально заданной линейной по-
ляризацией при прохождении расстояния 1 будет поворачиваться на
уrол ф==1/2(1jl(l/v lIv+). В первом приближении по Ь54skЗ/С44
получим Ф==w2fрЬ 54s /2с: 4 . Таким образом, вдоль «симметричных»
акустических ссей акустическая активность выражена наиболее
ярко и леrче Bcero доступна наБЛIсдению. ПО этой причине ПОД aKYC
тической активностью часто понимают именно вращение плоскости
поляризации волны при ее раСПРОС'Iранении вдоль акустических
осей.
Первое непосредственное наблюдение акустической активности
было осуществлено сравнительно недавно [23] (о послеДующих экс-
периментальных работах см. [5, 22]) на частотах 1 ,05 1 ,40 ffц.
При этом скорость вращения составляла 3 5 рад/см, а направление
вращения было противоположным по отношению к направлению
оптическоrо вращения для Toro же случая.
Друrим качественно новым эффектом, обусловленным влиянием
дискретности решетки, является существование чисто СДвиrовых
2ЗЗ
поверхностных волн в кристаллах с центром симметрии *). Эти
волны, амплитуды которых спадают с rлубиной ,...",ak 2 , первоначаль-
но были предсказаны с помощью динамической теории кристалли
ческой решетки [25, 26], Последующие расчеты, выполненные в
рамках феноменолоrической модели [27J, показали, что рассмотрен-
ные поверхностные волны MorYT быть описаны, если в уравнении
состояния (7.2) учесть тот факт, Что из за наличия свободной rpa-
ницы интеrрирование по нормальной координате проводится толь
ко по половине действительной оси. При этом локальные модули
упруrости в приповерхностном атомарном слое толщиной ,...",а OKa
зываются меньшими по сравнению с модулями в объеме кристалла.
Расценивая это уменьшение в смысле макроскопических поверхност
ных эффектов по fиббсу [28], можно получить модифицированные
rраничные условия для упруrих напряжений в объеме среды, ОТJlИ-
чающиеся от классической записи aijnj O дополнительными «по-
верхностными» членами ,...",ak. Решение rраничной задачи для ypaB
нений (1.2) с описанными rраничными условиями и прmюдит к су-
ществованию чисто сдвиrовых поверхностных волн. Более общий
случай, учитывающий также наличие начальноrо напряженноrо сос-
тояния в приповерхностном атомарном слое (которое может быть
описано с помощью понятия о поверхностном натяжении в смысле
fиббса) и изменение расстояния между соседними атомными плос
костями вблизи свободной rраницы, рассмотрен в работах [29, 30].
Причем в [30] проанализировано влияние поверхностных эффектов,
связанных с дискретностью, на отражающие свойства поверхности
и показано, что при падении как продольной, так и сдвиrовой волн
(речь идет об изотропном случае) соответствующие коэффициенты
отражения получают аддитивные добавки ,...",ak. Из-за малости этих
добавок (ak,...", 1 o на частотах ,...", 1 О ffц) влияние дискретности pe
шетки на отражение более или менее заметно может проявиться толь-
ко В исчезновении нулевоrо отражения при брюстеровских уrлах.
Например, в случае падения продольной волны это имеет место
для коэффициента отражения V a . При этом в общем случае существу
ют два рассчитываемых стаНдартным образом брюстеровских уrла
(см. rл. 8), для которых V ll имеет ненулевые минимумы. Если в
оптике похожее исчезновение нулевых эффектов при отражении
изучалось экспериментально еще Рэлеем (см. [31 ]), то в кристалло-
акустике такие эксперименты, по-видимому, еще не проводились.
Между тем, так же как и эксперименты с rиперзвуковыми поверх-
ностными волнами, они моrли бы дать ряд полезных сведений о
структуре приповерхностноrо aToMapHoro слоя.
В сложных кристаллических решетках возможны и друrие эф-
фекты, связанные с микроструктурой среды. Прежде Bcero сюда
следует отнести появление новых типов волн на очень высоких
*) Об этих волнах уже вкратце упоминалось при обсуждении типов поверх-
ностных волн. Случай кристаллов без центра симметрии более сложен для ана-
лиза из"за влияния rиротропии. Кроме Toro, в них возможен пьезоэффект, в ряде
случаев приводящий к существованию чисто сдвиrовых поверхностных волн [y
ляева Блюштейна.
234
частотах (00.......1013 [ц [32, 33J) так называемые оптические ко-
лебания (rл. 10). Для их феноменолоrическоrо описания необходим
учет внутренних степеней свободы среды [19 J. Отметим, что непосред-
ственный микроскопический расчет эффектов, связанных с внутрен-
ними степенями свободы для произвольных направлений в кристал-
лах оказывается rроМоздким и требует различных упрощающих
предположений, зачастую далеких от реальности. Феноменолоrи-
ческие же нелокальные теории, занимающие промежуточное положе
ние между классической механикой сплошных сред и атомарными
моделями, значительно облеrчают анализ.
f л а в а 10
поrЛОЩЕНИЕ И СКОРОСТЬ ЗВУКА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ТЕПЛОВЫМИ ФОНОНАМИ
И ДИСЛОКАЦИЯМИ. АКУСТИЧЕСКАЯ ЭМИССИЯ
1. Введение. Общие сведения
В rл. 2 были обсуждены вопросы распространения звука в
жидкостях и rазах, рассмотрены явления поrлощения и дисперсии
звука, а также основы релаксационной теории. Для твердых тел
эти задачи значительно сложнее, хотя и для жидкостей, коrда они
rетерофазны или находятся в турбулентном движении, эти задачи
трудны и здесь имеются свои нерешенные проблемы (rл. 6, 7).
Строение твердых тел чрезвычайно разнообразно; в них MorYT
распространяться различные типы упруrих волн, которые взаимо-
действуют между собой. Если твердое тело имеет оrраниченные
размеры, то, кроме объемных, возникают еще различные типы по
верхностных волн, о чем шла речь в rл. 8.
Наиболее простой случай, который поддается теоретическому
рассмотрению, это задача о распространении упруrих волн в изот
ропном твердом диэлектрике без примесей и дефектов. ФОр;viЗльно
к вопросу о поrлощении звука в таком диэлектрике можно подоЙти
феноменолоrически, основываясь на методе определения потерь
энерrии звука за счет действия диссипативных сил BHYTpeHHero
трения (вязкости) и теплопроводности, как это было сделано для
жидкости в rл. 2. Проводя подобные рассуждения, можно получить
формулы для коэффициентов поrлощения плоских продольных и
поперечных rармонических волн a/,t TaKoro же вида, как формула
(2.2.12) [1 J. О таком макроскопическом подходе для определения
а ц будет идти речь в 2.
Полученные таким методом выражения для коэффициента по-
rлощения а дают в некоторых случаях правильный порядок вели
чины, но, как правило, а все же не совпадает с экспериментальны
ми данными; зависимость а от частоты Q (a",Q2) обычно, в особен
ности при относительно высоких ультразвуковых частотах и низ
ких температурах, не подтверждается. .
Большое развитие теория поrлощения звука в твердых телах
получила после важной работы Л. Д. Ландау и Ю. Б, Румера [2]
(1937 r.), которые впервые решили задачу о нахождении а для крис-
таллическоrо диэлектрика при низких температурах и высоких час-
тотах. Они положили в основу теории представление о трехфонон-
236
ных взаимодействиях: например, звуковой фонон, взаимодействуя с
тепловым фононом, поrлощается им и в результате взаимодействия
рождается третий фонон. Эта теория, основанная на квантово-
механическом подходе, соответствует случаю, коrда QT 1 (rде
т время жизни тепловоrо фонона) или длина волны звука Л
значительно меньше длины свободноrо пробеrа тепловоrо фонона lф.
Друrой предельный случай QT l сравнительно низкие уль-
тразвуковые частоты и относительно высокие (например, комнатные)
температуры был рассмотрен в фундаментальной работе
А, И. Ахиезера [3] в 1938 r. Это рассмотрение основано на MaKpOCKO
пическом подходе с использованием кинетическоrо уравнения
Больцмана,
Разработанные методы rенерации и приема rиперзвуковых час
тот [4, 5] позволили провести измерения а в зависимостИ от частоты
и от температуры в ряде кристаллических диэлектриков. Первые из
мерения TaKoro рода с использованием метода Баранскоrо (см. rл. 2)
проведены Боммелем и Дрансфельдом [6] и Якобсеном [7] в крис
таллах кварца на частотах порядка 109 rц и температурах от rелие
вых до комнатНЫХ. Эти измерения в основном подтвердили теорию
Ландау и Румера, но были обнаружены и расхождения. Так, на-
пример, если по теории Ландау Румера поrлощаться должны
только поперечные волны, то эксперимент показал, что продоль
ные волны испытывают примерно такое же поrлощение.
Экспериментальные работы по rиперзвуку получили далее боль
шое развитие, Эти работы дали важный метод исследования фонон-
Horo спектра твердых тел зондированием узкополосным rиперзву
ковым сиrналом, Следует вообще сказать, что понятие фононов в
физике твердоrо тела одно ИЗ основных, а кинетика фононных
систем важна для построения теории твердых тел. В то же время
фононные системы изучены значительно слабее, чем системы из та-
ких квазичастиц, как электроны, дырки и экситоны. Такое положе
ние сложилось, с. одной стороны, из за большой практической важ
ности проводящих возбуждений (к которым было привлечено боль
шее внимание, чем к фононам), а с друrой Из за трудностей в
rенерации и особенно в приеме волн rиперзвуковых частот 181.
Существенное значение для развития физики фононов имело
также и то обстоятельство, что rиперзвуковые частоты находят
большое практическое применение в линиях задержки радиолока-
ционных сиrналов, в фильтрах и различных элементах обработки
радиосиrналов.
Развитие теорий Ландау Румера и Ахиезера шло дальше в
направлении выяснения причин расхождения теории Ландау Py
мера для L волн, учета анизотропии, уточнения правил отбора при
трехфононных взаимодействиях, вычисления дисперсии звука.
Получили объяснение роль дефектов в кристаллах диэлектриков
и роль оптических ветвей в поrлощении звука; была развита теория
поrлощения и дисперсии для поверхностных звуковых волн. В раз-
витии теорий как Ландау Румера, так и Ахиезера большую рол ь
сыrрали работы Саймонса, Вудруфа и Эренрайха, Мариса, Херрин-
237
ra, fуревича и ряда друrих авторов (см. обзор Мариса [9J, а также
[4, 5, 10]).
Большое значение в понимании процессов поrлощения и диспер-
сии сыrрали попытки объяснить характер поведения поrлощения
в промежуточной области между предельными случаями Q I
и Q't I.
Отметим, что в кристаллических диэлектриках наличие дефек-
тов (например, дефектов внедрения при нейтронном облучении об-
разца или леrировании образца примесями) приводит в ряде случаев
к уменьшению а при комнатных температурах, что может иметь
значение для практических приложений.
Наличие дефектов в виде дислокаций приводит к ряду интерес
ных явлений при распространении ультразвуковых волн в кристал-
лах, в том числе к ряду резонансных и релаксационных явлений,
к так называемому дислокационному поrлощению и дисперсии [11
14], Вопросов воздействия интенсивных звуковых и ультразвуковых
колебаний на такие процессы в кристаллах металлов, как диффу
зия, циклическое деформационное упрочнение и усталость, мы не
будем касаться и оrраничимся лишь линейной задачей о дислока-
ционном поrлощении звука, Поскольку в параrрафе о дислока
ционном поrлощении речь идет о дислокациях и их влиянии на
распространение звука, здесь же кратко затронут вопрос об aKY
стической эмиссии явлении излучения звука при движении и
анниrиляции дислокаций, зарождении и развитии трещин от микро-
до макроскопических масштабов, Акустическая эмиссия в последнее
время находит большое практическое применение, однако теория
явления пока недостаточно развита.
2. Поrлощение звука в изотропных диэлектриках
Рассмотрим задачу о нахождении коэффициента поrлощения
звука а в изотропном диэлектрике, Задача эта решается аналоrично
тому, как она решалась в rл,2, коrда речь шла о нахожденииа
для плоской rармонической волны, распространяющейся в rазе
или жидкости (см. вывод формулы (2.2.12)). Удобнее это сделать,
поль уясь определением коэффициента поrлощения соrласно (2,2.3):
а== IEI/2c E. Для Е имеем
Е == р и 2 d V,
(2,] )
rде при рассмотрении rармонической продольной волны и==и х ==
==uocos(kx Qt), uy==uz==O смещения в такОЙ волне, распрост
раняющейся по направлению оси х.
При этом уже из простых соображений ясно, что коэффициенты
поrлощения для продольных аl и поперечных a t волн должны раз-
личаться. Действительно, в продольной волне, как указывалось в
2 rл. 2, деформация представляет собой комбинацию изотропноrо
сжатия и сдвиrа, тоrда как в поперечной волне деформация состоит
из чистоrо сдвИrа. В соответствии с этим в продольной волне, кроме
238
поrлощения за счет вязкости или BHYTpeHHero треlШЯ, может про-
исходить выравнивание температуры между областями сжатия II
разрежения. Следовательно, к потерям на внутреннее трение долж
ны добавляться потери на теплопроводность. Таким образом, KO
эффициент поrлощения аl будет функцией 11, 11' и х, тоrда как a t
должен быть функцией только 11. Для нахождения аl по формуле
(2.2.3) заметим, что, соrласно термодинамике,
Е == (дЕ/дS)рS == TS, (2.2)
и, принимая во внимание (1.2.12) и (2.2), а также то, что мы pac
сматриваем изотропное твердое тело, имеем
E== (x/T) (VT)2dV 211 (Uik (1/3)6ikUll)2dV 11' u ldV. (2.3)
Теперь следует найти vТ===дl::.Т/дх rрадиент изменения темпе-
ратуры l::.T==T To в звуковой волне. Условие адиабатичности
при распространении звука СОСТОит в том, что с точностью до чле
нов первоrо порядка по тензору деформации
S (Т о) == S (Т) + K Ull' (2.4)
r.7J.e То некоторая заданная температура, а тело находится при
температуре Т, мало отличающейся от То; коэффициент тепло-
Boro расширения. Это выражение получается, если во внутренней
энерrии тела, соrласно (8.1.10), учесть еще член K (Т To)иll' pac
сматривая деформацию тела с учетом изменения температуры. В
(2.4) величина К модуль объемноrо или BcecTopOHHero сжатия
(модуль объемной упруrости), связанной со сжимаемостью Х co
отношением X===K l.
При малой разности температур l::. Т между участками сжатия и
разрежения S (T) S (То) можно разложить в ряд по этой разности.
С точностью до членов первоrо порядка малости имеем
S (T) S (То) ==(T To) (дS/дТо)v == (Су/Т) (Т To), (2.5)
откуда
l::.T ==Т To == (T K/Cy) ии.
Так как скор ость продо льных волн Сl определяется формулой
(см. rл. 8) cl==V(K+4 )/3p, откуда
К == И 4с /3) р, (2.6)
то
l::.T== (T p/Cp) (c : C ) .
(2.7)
Можно показать [1 J, что адиабатическое К и изотермическое К иэ
значения модуля BceCTopoHHero сжатия, связанные соотношением
К иэ == (Су/С р ) К, (2.8)
Мало отличаются ДРуr от друrа, и это различие мы далее чаС10 при
Нимать во внимание не будем, если не будет сделано специальных
239
oroBopoK. Поэтому для твердых диэлектриков Cv;:::::,Cp;:::::,C. Опреде-
лив !::.Т, можно теперь вычислить первый член в выражении (2.2),
в котором
(VT) dV == (дt!Т/дх) dV.
(2.9)
Теперь, пользуясь выражением для ux(x,t) и проводя усреднение за
пе риод звука, находим, соrласно (2.1), Е, а по (2.9) и (2.3) определя
ем /EI. В результате этих вычислений получаем, что
(1. == [( .!. + , )+ XT P2Cl ( 1 4с; ) 2 ] .
Z 2 3 311 11 С 3 2
рс! Р С!
ДЛЯ поперечных волн, распространение которых происходит по
оси х, смещения в волне будут их==О uy==uYOcos (kx "?t), и;==
==UZocos (kx Qt), и в тензоре деформации UikHe равными нулю будут
компоненты
и ху . 1/2Uoyk sin (kx Qt), u xz == 1/2UOZk sin (kx Qt). (2.11)
Вычисления дают для коэq;фициента поrлощения поперечных волн
(l.t::::::;11Q2/2pc . (2.12)
Подобное рассмотрение можно провести и для анизотропноrо крис-
таллическоrо диэлектрика [10].
Проведем теперь обсуждение полученных формул для (1.1 И (l.t.
В rл. 2 мы отмечали, что формула для (1. (2.2.12) хорошо подтвержда
ется в эксперименте как для жидкостей, так и для rазов с соответ-
ствующими для них значениями коэффициентов 11, 11', х и значе-
ниями друrих параметров, входящих в эту формулу. При наличии
релаксационных процессов теория также удовлетворительно описы-
вает экспериментальные данные, по краЙней мере для случая одно-
ro времени релаксации,
Не так обстоит дело в акустике твердых тел. Даже для изотроп-
ных диэлектриков формулы для (1.1 И (l.t далеко не всеrда находятся
в соrласии с. экспериментом. Не подтверждается в большом числе
случаев и квадратичная зависимость (1. от частоты, следующая из
полученных формул; на высоких звуковых частотах В.ряде диэлект-
риков наблюдается 'линейная зависимость (1. от частотЫ Q. На низ
ких звуковых частотах зависимость от Q вообще может OTCYTCTBO
вать. При низких температурах наблюдаются особенности в поведе-
нии (1., о которых будет идти речь в 4. Тем более осторожно следует
применять формулы (2.10) и (2.12) для твердых тел недиэлектри-
ков. Все эти отклонения от изложенной теории в поведении (1. объяс-
няются, с одной стороны, чрезвычайно большим разнообразием
исследуемых образцов твердых тел (диэлектрики, металлы, полу-
проводники, кристаллы и аморфные тела), с друrой стороны их
предысторией, методом получения (ковка, плавление, кристаллиза
ция), наличием в кристаллах примесей, дислокаций и дефектов,
сложноrо состава (например, сплавы металлов) и т. д. Кроме Toro,
в формулы (2.1 О) и (2.12) входят зна чения величин вязкостей 'Il и 'Il' ,
240
(2.10)
которые нельзя измерить так просто, как для rазов и жидкостей.
В таблицах физических величин (см., например, [15]) 1') и 1')' для
твердых тел вообще не приводятся; имеются лишь данные по вHyт
реннему трению. В принципе существует связь между внутренним
трением и вязкостью. Однако мноrие авторы в понятие BHYTpeHHero
трения включают различноrо рода потери, которые к определению
вязкости не имеют прямоrо отношения. Например, при измерениях
BHYTpeHHero трения в образцах твердых тел резонансным методом
иноrда используют общее понятие добротности Q, с которым мы име
ли дело в rл. 2 и 6, коrда занимались колебаниями пузырьков.
В заключение этоrо параrрафа кратко остановимся на поrлоще
нии рэлеевских поверхностных волн [16]. Поскольку структура
рэлеевской волны (см. rл. 8) представляет собой комбинацию волно-
вых фронтов продольной и поперечной неоднородных волн, то вол-
новые числа k/, kt и k R В упруrоЙ среде с малыми потерями на длине
волны можно записать в виде
k l ==k; + ik; ==k; (1 + icx/),
kt == k; + iki == ki (1 + icxt), (2.13)
kR, == kR, + ik'R == kR, (1 + icxR,) ,
rде a;==k'i/k;, a;==k't/k;, aR.==kf/kR. малые вещественные поправ-
ки, численно равные деленным на 2л коэq;фициентам затухания на
длине волны, Подставляя значения k/, kt и k R В характеристическое
уравнение Рэлея (8.4.3) и приравнивая нулю действительную п
мнимую части, можно получи:rь выражение ДJIЯ коэq:фициента поr
лощения рэлеевской волны а R, выраженнсе комбинацией сх/ и cx t '
которое мы здесь не приводим (см. (161). Отметим только, что, как
правило, сх R оказывается при прочих равных условиях несколько
больше, чем коэффициент поrлсщения для поперечноЙ волны CXt.
3. Некоторые сведения о колебаниях
кристаллической решетки и фононах
Для более детальноrо рассмотрения поrлощения звука в идеаль-
ном бездефектном диэлектрическом кристалле необходимо использо-
вать основные представления о динамике решетки TaKoro кристалла
[17, 181.
Тепловое движение в твердом теле это колебания атомов отно-
сительно cBoero положения равновесия; ero удобно описывать в
виде rаза квазичастиц фононов. Тепловые фононы, или дебаев
ские кванты упруrой энерrии, каждый из которых представляет
собой упруrую плоскую rармоническую волну с энерrией 'Лш (ш
частота тепловоrо фонона), и квазиимпульсом hk (k волновой
вектор) имеют широкий спектр энерrий, или частот (ero часто назы
вают фононным спектром). Наинизшие частоты фононов или COOT
ветственно наибольшие длины упруrих волн, определяются размера
ми образца, наивысшие частоты расстоянием между соседними
атомами (параметром решетки а). При 'А,.."а ('А длина волны
241
тепловоrо фонона) фононный спектр естественно обрывается. На
рис. 10.1 показан спектр фононов Z(w), следующий из теории теп
лоемкости Дебая (штриховая кривая), и экспериментально полу
ченный спектр для Li [19] (сплошная кривая). Изрезанность спектра
Li связана с тем, что в упрощенной теории Дебая не учитывается
анизотропия кристалла (подробнее см. [19]).
На рис. 10.2 показано, как проявляются тепловые колебания
решетки на низких частотах спектра, коrда длины тепловых упруrих
волн сравнимы с размерами образца (образец брусок кристалла
сеrнетовой соли среза Х-45 0 с размерами 4,7хО,5хО,7 см 3 ) [20].
z
1\
/(
// I
,/' I
,/
,.-
,/
Рис, 10.1. Идеализированный деба-
евский спектр (или плотность фонон-
HЪiX состояний) (штрнховая кривая)
и спектр для Li, нзмеренный экс.
периментально [19).
(u
I
Ш[}
I
15[} r, )(fL{
[) ,) 5[}
Рис. 10.2. Спектр тепловых шумов
пьезобруска сеrнетовой соли среза
Х 450. характеризующнй низкочас
тотный спектр фононов.
Дебаевские продольные волны, имеющиеся в образце, блаrодаря
пьезоэлеКТРИ,ческому эффекту создают переменные напряжения V
на металлических обкладках образца. Таким образом, на электри
ческой стороне воспроизводится спектр частот t этих волн. В спект-
ре всеrда найдутся такие частоты, при которых на длине образца
укладывается нечетное число половин длин дебаевских волн. В этом
случае возникают резкие резонансные выбросы электрическоrо на-
пряжения. Для Toro чтобы эти выбросы обнаружить, нужно подсо€-
ДИНИТЬ обкладки образца к специальному усилителю, предназна-
ченному для исследования тепловых шумов, и выход с этоrо усили-
теля подать на спектроанализатор.
Напомним основнЫе предположения, которые сдела.'I в своей
теории ]Хебай. Они состоят в том, что упруrий спектр обрезается
на частотах Wmax==W D , что можно приближенно экстраполировать
линейную зависимОсть W от k на высокие частоты, и, наконец, что
можно принять распределение ОСЦИЛЛяторов по частотам в COOT
ветствии с формулой Планка. Поскольку для N атомов в решетке
кристалла имеется 3N осцилляторов (степеней свободы), спектр
фононов должен быть оrраничен частотой Дебая W D так, чтобы об-
(J}D
щее число осцилляторов было равно 3N, т. е. Z (w)dw==3N, rде
о
242
z (ro) число осцилляторов в интервале dro. Заметим, что теория
Jlебая относится к случаю, коrда в элементарной ячейке кристал
ла содержится один атом. Важной величиной является так называе
мая характеристическая температура Дебая e D , которая опреде-
ляется выражением fi,roD==kБе D , rде k Б постоянная Больцмана.
e D может быть Рdссчитана по данным для упруrих постоянных cooт
ветствующеrо кристалла. Отметим, что температура Дебая e D
указывает на степень жесткости и звукопроводности кристалла.
Чем выше e D , тем более звукопроводен кристалл; например, для
кварца eD 400 К, а для TaKoro
кристалла, как РЬ, eD 100 К. От- rи, rLi
метим также, что чем больше для
кристалла e D , тем он более «линеен»
(rл. 11).
В курсах по динамике решетки
кристаллов [21, 22] подробно пока
зывается, что колебания ДByxaTOMHO
ro кристалла (т. е. кристалла, в эле
ментарной ячейке KOToporo находятся
два атома различной массы т и М) 2,J'!IJ .# 1
состоят из двух семейств ветвей коле
баний, или мод. Наиболее высокочас
тотные представляют собой оптичес
кие ветви (для продольных колебаний
обозначим их через LO и для попе
речных через ТО). В оптических
ветвях колеблющиеся атомы т и М
при k O испытывают смещения друr относительно друrа при He
изменном расстоянии между атомами с одинаковыМи массами.
Коrда же расстояния при колебаниЯХ между одинаковыми aTO
мами изменяются, то колебания более низкочастотны (начиная с
нулевых частот); такие ветви колебаний называют акустическими
(LA продольная, Т А поперечная акустическая ветвь). Коро-
че rоворя, акустические дебаевские колебания представляIOТ собой
смещения элементарной ячейки как Цe.ТIоrо, тоrда как оптические
колебания (при k O) отвечают деформациям внутри ячейки, коrда
ее центр тяжести почти неподвижен. В качестве примера на рис. 10.3
приведена экспериментальная зависимость ro от k (дисперсионная
кривая) [9]. Измерения [23] проводились методами рассеяния мед-
ленных нейтронов при низких температурах Т==219 К в флуориде
натрия (NaF1,). На рис, 10.3 мы обратим внимание на то, что как
акустические, так и оптические ветви обладают дисперсией, и что
для акустических ветвей при близких к нулю k имеется прямая про
порциональность между ro и k. Отметим также, что хотя частоты
оптических колебаний и лежат значительно выше акустических,
они все же MorYT пересекаться (на приведенной диаrрамме при
k 2 .107 CM l), Для более сложных ячеек, состоящих из большоrо
числа атомов, область пересечения TO и LA колебаний может
быть более четко выраженной и при меньших k, Впрочем, и для срав-
k
IJ
45'11J fi-:
Рис. 10.3. Дисперсионная кри
вая для фононов, распространя
ющихся в флуориде натрия [9).
Две поперечные акустические
ветви соответствуют направле
нию [100).
243
нительно простых кристаллов, например для кристалла TiO'2'
разрешенные зоны для акустических и оптических фононов пересе
каются в весьма широком интервале частот. Этот эффект может иметь
значение в теории поrлощения звука, так как оптичеСIше колебания
также вносят вклад в а 1241 (подробнее см. 5),
Представление о нормальных тепловых колебаниях решетки как
о rазе невзаимодействующих фононов оказывается недостаточным,
чтобы правильно объяснить такие коллеj{ТIIВные кинетические
явления, как теплопроводность, тепловое расширение твердых Te.1J
и поrлощение звука. Для TaKoro объяснения в физике твердоrо Te
ла (об этом на макроскопическом ЯЗЬ!Iсе
шла речь Б rл. 8, коrда rоворилось о моду-
лях TpeTbero порядка и об анrармоничности
решетки) учитываются процессы фОIiОIi-фО
IiОliliО20 взаИiНодействия фононы испыты-
вают неупруrие соударения между собой;
при СТОЛIшовении двух фононов может
рождаться третий фонон (процесс СЛИЯIiИЯ)
или, наоборот, фонон может распадаться
на два фонона (распадliЫЙ процесс) *).
Соответствующие диаrраммы так называе-
мых треХфОIiОliliЫХ nроцессов нами приводи-
лись в rл, 4, MorYT происходить процессы
слияния и распада большеrо числа фоно-
нов, чем три, например в процессе MorYT
участвовать четыре фонона. Четырехфонон
ный процесс соответствует при макроско-
пическом описании уже модулям четверто-
ro порядка (члены четвертоrо порядка в разложении внутренней
энерrии по компонентам тензора деформации).
Аli2ар,иОIiИЧliость решетки атомов вызывается асимметрией по-
тенциальной ямы взаимодействия. На рис. 10.4 показана схема
зависимости потенциальной энерrии взаимодействия от расстояния
между двумя нейтральными атомами в решетке. Именно aHrapMo-
ничность решетки диэлектрическоrо кристалла приводит к микро
скопическому описанию затухания в нем звука, к правильному объ
яснению процесса теплопроводности с конечным сопротивлением
передачи тепла, а также к объяснению тепловоrо расширения
твердых тел.
Напомним еще, что тепловые фононы в равновесном состоянии
твердоrо тела подчиняются статистике Бозе Эйнштейна. Напри
мер, функция распределения фононов 121 с волновыми векторами k 1
и поляризацией J 1 имеет вид
(k J ) { hro (k 1 , J 1)
121 l' 1 == ехр kБ т
LJ
а
Za J'a
IJ
Рис. 10.4. Потенциальная
энерrия и (х) взаимодей-
ствия атомов линейной це'
почки. Равновесное coc
таяние приближенно оп-
ределяется минимумом
, кривой.
.т
} 1
1 .
(3.1)
Для дальнейшеrо полезно отметить порядки величин, относя
щиеся к тепловы м и звуковым фононам. Среднее значение частоты
*) Более детальио об этом будет идти речь в rл. 11.
244
(О тепловых фононов определяется из выражения
t;;;; kБТ, (3.2)
справедливоrо при hffiD>kБТ, rде ffi D максимальная частота
в спектре. Заметим, что при более высоких значениях Т основной
rруппой фононов, участвующих в кинетических процессах, будет
rруппа, соответствующая Максимальной плотности фононных состоя
ний В спектре фононов. Эксперимент показывает, что ниже T 10 К
тепловые фононы практически не вносят заметноrо вклада в поrло
щение звука, а даже при этой температуре ffi 1,31 .1012 c 1,
Следует отметить, что наивысшее значение полученных в настоя
щее время искусственным образом звуковых частот Q составляет
около 100 ffц. Методом тепловых И.мпульсов при низких температу-
рах удается несколько продвинуться в сторону еще более высоких
частот, При этом используется наrревание импульсом света от лазе
ра продолжительностью 10 100 нс, импульсом тока или СВЧ из
лучения тонкой ( 10 7 см) соединенной с кристаллом металличе-
ской пленки размером порядка 1 мм 2 , что позволяет получить
широкополосный звуковой импульс (неIшrерентные фононы). В IIС
пользовании этоrо метода имеются, однако, существенные тру ДНОС-
ти. Они связаны как с некоrерентностью излучаемоrо поля фононов,
так и с трудностью их детектирования [8]. Таким образом, звуковые
частоты Q, которые сейчас возможно получать, в общем при темпе
ратурах выше 40 50 К существенно ниже, чем среднее значение
частоты тепловых фононов, несмотря на большие успехи экспери
мента, Иными словами, обычно
Q ffi kБТ/h.
(3.3)
Среднее время жизни тепловых фононов т (или средняя длина lф
свободноrо пробеrа) обычно подсчитывается по формуле для тепло
проводности х:
x>=Cc 2 Tj3, (3.4)
rде с средняя скорость фононов, С теплоемкость решетки.
Порядок величины т таков, что, например, для кварца при темпе
ратуре Т;::::::: 10 К T;:::::::10 7 с, а при 80 l( т;::::::: 3 .10 11 с. Таким образом,
условие Q1, == 1 для кварца выполняется приблизительно при 40 К
на 1 ffц, а на 10 ffц при 80 К. Это значит, что условие Q l,
которое MbI далее будем использовать в теории Ландау Румера,
соответствует случаю T eD'
При столкновениях фононов должны выполняться опреде.тrенные
условия сохранения. Если сохраняется энерrия и квазиимпульс
фононов:
tю. ::f: tип 1 0== tип 2 ,
hk::f: hk 1 == hk 2 ,
(3.5)
то процессы называют нор.мальнь!..М.u или N процессами.
В теории теплопроводности показывается, что такими процесса
ми нельзя объяснить конечное значение тепловоrо сопротивления;
тепло при одних только N процессах моrло бы распространяться и
245
без наличия rрадиента температуры, и оно распространялось'бы
по образцу диэлектрика со скоростью звука. Пайерлс [251 объяснил
эту трудность тем, что блаrодаря периодической структуре кристал-
ла имеются также так называемые nроцессы neреброса (U процессы),
при которых сохраняется энерrия, но закон сохранения квазиим-
пульса видоизменяется; он выполняется лишь с точностью до векто-
ра обратной решетки g:
hQ::f:: hW 1 == hw 2 , ftk::f:: hk 1 == !ik 2 + hg.
U-процессы оказываются существенными при распространении
акустических волн не слишком высоких частот в кристаллических
диэлектриках при относительно высоких, например комнатных,
температурах, коrда QT l. Кроме N- и U-процессов, в кристаллах
с примесями или точечными дефектами MorYT быть также процессы,
связанные с упруrим рассеянием звука на дефектах; такие процессы,
следуя [9], будем называть Е процессами. В Е-процессах участвуют
два фонона; для них выполняется закон сохранения энерrии hWl==
==!iw 2' Частота не изменяется, но изменяется волновой вектор и
(возможно) поляризация. Таким образом, в этих процессах закон
сохранения квазиимпульса не выполняется, но число фононов co
храняется. Е процессы вместе с и или N-процессами MorYT иrрать
определенную роль в поrлощении и дисперсии звука ультразвуко-
вых частот,
4. Взаимодействие звуковых волн
с тепловыми фононами. Микроскопическое рассмотрение.
Низкие температурЫ и rиперзвуковые частоты
Теперь, после Toro как мы напомнили основные необходимые
нам сведения о фононах и их взаимодействиях, можно перейти к
нахождению поrлощения ультразвуковых волн в диэлектрических
кристаллах. Ниже мы будем следовать работе Мариса [9] и в ос-
новном использовать ero обозначения,
Можно найти коэффициент поrлощения звука, если определить
скорость, с которой убывает число фононов звуковой моды. Напри-
мер, в результате столкновения звуковоrо и тепловоrо фононов зву-
ковой фонон исчезает и образуется третий фонон. TaKoro рода про-
цессы с макроскопической точки зрения вызываются анrармонич-
ностью колебаний кристаллической решетки.
В rл, 2, коrда речь шла о релаксационной теории, мы пользо.
вались уравнением релаксации (2.4.7):
== (s so)/'t',
rде s и so некоторое релаксирующее значение какоrо либо пара-
метра, например концентрации примеси, являющеrося функцией
плотности, и ero равновесное значение (которое само есть функция
плотности) и т время релаксации. Если через образец диэлектри-
ческоrо кристалла пустить звук, то к числу n (k, J) тепловых равно-
Be CHЫX фононов ", J -й моды (здесь k волновой вектор звуковой
246
волны J.I J ее ИНДекс по.тrЯРJ.Iзации) добавятся звуковые фононы
этой моды И полное число фононов k, J Й моды будет N (k, J).
Поrлощение звука представляет собоЙ кинетический релак
сационный процесс. В рассматриваемом случае роль S будет иrрать
величина N (k, J); величина n (k, J) эквивалентна so, и уравнение,
связывающее N (k, J), n(k, J) и 'т, будет иметь вид уравнения релак
сации для N (k, J):
dN(k, J)/dt [N(k, J) n(k, J)]/'t(k, J). (4.1)
Зная время релаксации 't (k, J), можно определить пространствен-
ный коэффициент поrлощения а по амплитуде; он связан с 't COOT
ношением
a;::[2't(k, J)c(k, J)] l.
( 4.2)
Таким образом, задача нахождения а сводится к определению
't (k, J), что в свою очередь сводится к вычислению dN (k, J)/dt.
Для нахождения dN (k, J)/dt нужно вычислить вероятность пере
хода кристалла в единицу времени из HeKoToporo начальноrо
состояния l'Фi> с энерrией Е i В KaKoe TO конечное состояние <'Фj I
с энерrией E j , в котором число звуковых фононов убывает или воз
растает из за взаимодействия с тепловыми фононами, Предположим,
что rлавный вклад дают те переходы, в которых N (k) изменяется
только на единицу (первый порядок теории возмущений; переходы
с изменением числа фононов на два будут относиться ко второму
порядку теории возмущений и т. д.). Вычисление dN (k, J)/dt про
изводится по хорошо известным правилам квантовомеханической
теории возмущений применительно к набору rармонических осцил
ляторов. При чисто rармонических колебаниях решетки, Т.е. коrда
отсутствуют взаимодействия фононов, никаких релаксационных
процессов, конечно, происходить не будет и поrлощение звука будет
отсутствовать. Однако из за анrармонических эффектов появляется
некоторая добавка .9t int К rамильтониану rармоническоrо кристал
Ла, которую можно при определенных условиях рассматривать как
малое возмущение. Тоrда, соrласно основному соотношению теории
возмущений [26],
dN (k, J)/dt ==2л + I <'Ф/1.9t 1пt I 'Фi> 12 б (Ei E/)
2л f I <'Ф/1.9t 1пt I 'Фi> 12 б (Ei E/). (4.3)
Знаки + и у сумм означают суммирование по всем конечным
состояниям ('Фj 1, имеющим в ветви k, J число фононов, соответст-
венно больше или меньше на единицу, чем N (k, J), т. е. N (k, J)+ 1
и N(k, J) l,
Для дальнейшеrо вычисления dN (k, J)/dt нужно определить
явное выражение для .9t 1nt ' Это выражение, как и необходимые
вычисления, мы здесь приводить не будем, отсылая читателя к ра-
ботам [2, 4, 5, 9], rде они подробно описаны. Отметим лишь, что в
выражение для .9t int входят операторы рождения и уничтожения
247
фононов И параметры, связанные с анrармоничноетью решетки
через модули TpeTbeI'o II более BbIcoKoro (если это необходимо) по
рядка. Вычисления с учетом (4.1) (4.3) ПРИводят к такому BЫ
ражению для коэффициента поrлощения, если принять во внимание
только трехфононные взаимодействия:
rt. 8NQ; J) L O) {/Ф(k, J; k 1 , j1; k2' j2)/2X
, k.k. 1 2
i ,i,
Х (п 1 п 2 ) б (k+ k 1 k2) б (Q +ffi1 ffi2)}' (4.4)
Здесь N число ячеек кристалла, п 1 и п 2 определяются распреде
лением Бозе Эйнштейна (3.1), (О] и ffi 2 частоты тепловых
фононов, близкие по значению друr к друrу, Q частота звука,
Ф (k, J; k!, j]; k2' j2) некоторая функция, характеризующая
параметры анrа:рмонической связи кристалла. Наличие дельта-
функций б (k+k1 k2) и б (Q+ffi1 ffi2) в (4.4) означает необходимость
выполнения законов сохранения энерrии и квазиимпульса кристал-
лической решетки (3.6).
В выражении (4.4) учтен только вклад в ПОI'лощение от Столкно-
вени й, в которых звуковой фонон k, J сливается с тепловым фоно
ном k], j], порождая Третий тепловой фонон k 2 , j2 и], j2 Индексы
поляризации тепловых фононов). Здесь пренебреrается вкладом в
поrлощение от столкновений, в которых звуковой q:,OHOH k, J рас-
падается на два друrих фон она k], j] и k 2 , j2' поскольку такой pac
падный процесс, как нетрудно показать, дает существенно меньший
вклад в поrлощение. Подобным же образом можно рассмотреть че
тырехфононные процессы, роль которых в некоторых случаях, на.
пример в нахождении закона дисперсии, оказывается заметной. От-
метим, что можно получить общее выражение для :W int И Ф для слож-
ной ячейки, состоящей из нескольких атомов [9J,
Заметим также, что зависимость коэффициента поrЛощения от
амплитуды звука D проведенном рассмотрении Не учитывается, т. е.
рассматривается линейная теория поrлощения, ПО этому поводу
следует сделать следующее замечание, Сам по себе трехфононный
процесс представляет собой (так же, как и ero феноменолоrическая
трактовка в теории упруrости, основанная на введении в рассмот-
рение модулей TpeTbero порядка) нелинейное явление. Однако метод
Dассмотрения задачи как при Q't l, так и при Q't l ведется в пер
БОМ ПОрЯДке теории возмущений, что не дает возможности найти
зависимость а от амплитуды исходноrо ЗВуковоrо сиrнала (см. по
этому поводу [10J), По этой причине наСтоящая rлава предшествует
rлаве о нелинейных явлениях при распространении волн конечной
амплитуды в тВердых телах (rл. 11), rде, 'как и в rл, 3, для простоrо
случая изотропной среды вопрос о нелинейном коэффициенте поrло-
щения обсуждается.
Метод теории возмущений при наХОЖдении а для поrлощения,
вызванноro трехфононным взаимодействием, впервые был развит
Ландау и Румером еще в 1937 r. [2] заДОЛrо до Toro, как были ocy
248
ществлены первые эксперименты по измерению зависимости а от Q
и Т при rиперзвуковых частотах и низких температурах.
Этот метод при соответствующем развитии дает Возможность
определить также дисперсию звука и учесть анизотропию кристал-
ла, что в [2} не обсуждалось. На языке фононов дисперсия звука
получает наrлядное истолкнование. Если взаимодействия фононов
нет (не учитывается анrармоничность), то фазовая скорость звука
c(k, J):=Q(k, J)/2л[kl. (4.5)
(В (4.5) и далее в этом и следующем параrрафах вместо обычно при
меняемоrо волновоrо вектора jkl==Q/c, следуя [9J, мы пишем 2лlkl.)
При неупруrом столкновении звуковоrо и тепловоrо фононов энер-
rия начальноrо состояния кристалла получит, по сравнению с ее
значением при отсутствии взаимодействия фононов, поправку; в
частности, энерrия может увеличиться, следовательно, возникнет
изменение Q и, соответственно по (4.5), изменение фазовой скорости
звука c(k, J). Эта поправка может быть вычислена, так же как и а,
стандартными методами теории возмущений. Мы здесь не приводим
получающеrося rромоздкоrо выражения для дисперси.и скорости
звука.
Перейдем к обсуждению формулы (4.4) для а, полученной в paM
ках трехфононноrо взаимодействия. Прежде Bcero отметим, что эта
формула получена на основе микроскопическоrо подхода (фонон-
ные представления, квантовомеханическое рассмотрение). Пределы
применимости TaKoro рассмотрения состоят в том, что длина CBO
бодноrо пробеrа фонона lф==сr: должна быть значительно больше
длины звуковой волны Л; lф Л, т. е. Q l.
Это означает, что на пути свободноrо пробеrа тепловоrо!фонопа
lф укладывается MHoro длин ЗВУI{QВЫХ волн; происходит непосред-
ственное взаимодействие звуковоrо и тепловоrо фононов. В pac
Сl\'Iатриваемом случае это означает также, что энерrия и импульс
тепловоrо фонона MorYT быть определены достаточно точно, и они
при изменении энерI'ИИ и импульса на величину поrлощенноrо зву
KOBoro кванта не попадают в область квантовомеханической неоп
ределенности.
Если время жизни тепловоrо фонона 't' (k, j), то неопределенность
по энерrии TaKoro фонона будет h/'t'(k, j), Поскольку энерrия зву
KOBoro фонона равна hQ, то это значит, что h/'t' !iд, откуда, кстати,
и следует условие Q l, указанное выше.
Это условпе может быть выполнено при высоких звуковых час-
тотах rиrаrерцевоrо диапазона и при достаточно низких температу
рах. При этих условиях процессы переброса (U-процессы) оказы-
ваются несущественными и в чистых (без примесей и дислокаций)
диэлектриках основной вклад в а и в дисперсию скорости вносят
N процессы.
Отметим, что во всем проведенном выше рассмотрении взаимо
действие между самими тепловыми фононами явным образом не
учитывается, непосредственно учитывается только взаимодействие
между звуковыми и тепловыми фононами.
249
Итак, рассматриваем случай: звуковой фонон (Щ + тепловой
фонон (ш 1 ) === тепловой фонон (ш 2 ). Обращаясь к формуле (4.4),
проведем обсуждение ее для случая изотропноrо диэлектрика. Мы
уже обращали внимание на то, что пределы применимости этой фор-
мулы соответствуют случаю Qф 1. Однако более тонкие рассужде-
ния, с учетом необходимости выполнения соотношения неопределен-
ности энерrия время, показывают, что эти формулы справедливы
при Q't-+oo (уже п ри Q't 100 наблюдается отклонение от положен
ных в основу вывода этой формулы предположений).
Отметим еще раз условия, коrда выражением (4.4) можно поль-
зоваться. Эти условия таковы: 1. Q Wl' Ш 2 , Q't-+OO. 2, Шl Ш2'
3. Q kBT/h. пl n2. Эти условия позволяют в (4.4) заменить пl n2
на п 1 (nl + 1 )tiQ/kBT. Действительно, на основании TpeTbero условия
ехр (hQlkBn можно разложить в ряд, оrраничившись первым чле-
ном hQ/kBT. Если далее принять во внимание, что W 2 ===Wl+ Q и yc
ловие nl n2, то получается указанная выше замена, Кроме Toro,
поскольку Шl Ш2' то В (4.4) 1Iш 1 ш 2 можно заменить на 1Iш , В pac
сматриваемом случае при низких температурах U процессы слабо
выражены, k очень мало и волновые векторы kl> k 2 лежат в основном
внутри первой зоны Бриллюэна, и, таким образом, выполняется
закон сохранения квазиимпульса: k 1 +k===k 2 . Для И30тропноrо ди
электрика можно поэтому записать (4.4) в виде
n (kBn 1 fi2
rx == 8Nc (k, J) Х
XL. IФ(k, J; k p jl; k kl' j2)12nl(nl+1)6(Q+Wl W2), (4.6)
k, 0)1
j ,. j.
rде суммирование производится по всем направлениям kl> причем
ero, очевидно, можно заменить интеrрированием.
Выражение для Ф(k, J; k 1 , jl; k kl' j2) при jl===j2' Т.е.коrда
тепловые фононы «1» и «2» имеют одинаковую поляризацию, может
быть упрощено и представлено через симмеТРИ30ванную комбинацию
констант fрюнайзена js, характеризующую «усредненную» aHrap-
моничность решетки диэлектрика, в виде [9]
Ф(k, J; k 1 , 1'i; k kl' Ы:::: 4nikУ2(fll' 1'l)w;M I/2 (4.7)
(М масса элементарной ячейки). Заметим, что поскольку k мало,
то
w 2 ==w(k i +k, jl)==w(k 1 , il)+kдw(k i , jl)/дkl Wl+2nkVl' (4.8)
rде 'lJ 1 ==-'lJ (k 1 , Ы rрупповая скорость фонона k 1 , 1'1' Тензор констант
fрюнайзена, через который выражается 1'8,
I's(kl' jl)==УЩ' (k 1 , I'I)ea.(k, J)kf>k l, (4.9)
определяется как
( k . ) 1 дО) (k 1 , it)
I'а{! i, 11 == O)(kl' it) дllаf>
250
Выражение (4.7) даже для изотропноrо диэлектрика все же OKa
зывается достаточно сложным. Хотя мы рассматриваем случай
низких температур и U процессы не принимаем во внимание, orpa
ничиваясь только акустической ветвью и имея дело лишь с N про-
цессами, все же требование выполнения законов сохранения энер-
rии и квазиимпульса (3.5), а также необходимость знания модулей
TpeTbero порядка (а они пока известны не для мноrих кристаллов),
делает задачу обычно трудно разрешимой.
Необходимость выполнения законов сохранения (3,5) приводит
к тому, что между звуковым фононом и тепловыми фононами, а они
MorYT быть продольными (L) и поперечными (Т) (в последнем случае
еще возможны два типа поляризации), не все взаимодействия MorYT
иметь место.
Вообще rоворя, выполнение условий сохранения (3.5), спра-
ведливых как для процессов слияния (знаЕ +), так и для процессов
распада (знак ), предполаrает KorepeHTHoCTb фононов. Учет конеч-
ности времени жизни фононов несколько расширяет возможные раз
решенные взаимодействия или, как часто rоворят, делает правила
отбора менее строrими. Более подробно о правилах отбора см. [9, 10]
иrЛ.11.
Укажем два наиболее важных типа взаимодействий. Это
L + L L,
T+L L.
(4.1 О)
(4.11)
При вычислении коэффициента поrлощения ан, L' обязанноrо
взаимодействию (4.10), оказывается, что наибольший вклад в а и , L
дает такой процесс, коrда все три продольных фонона движутся
в одном направлении. Для этоrо случая коэффициент rрюнайзена
ys(k 1 , il)== (c1l1+3cl1)/2cl1 (4.12)
и
n 3 f;,g ( k Б Т ) 4 ( Сll1+ ЗС l1 ) 2
ан, L 240 pc 6.J. С '
1 '" 11
(4,13)
rде Cl1 и С1l1 упруrие модули BToporo и TpeTbero порядка в при-
нятых нами сокращенных обозначениях Браrrера (см. 2 rл. 9),
Напомним, что для изо:rропноrо твердоrо тела имеется ( 1 rл. 8)
два независимых упруrих модуля BToporo порядка и три модуля
TpeTbero порядка. В сокращенных обозначениях (см, rл. 9), если
за эти три модуля выбрать СВ1, С1l2, Сl2З' то имеется такая связь:
С Н1 == С 222 == С азз ,
C 112 == С НЗ == С 122 == С 1ЗЗ == С 22З == С 2зз ,
С 144 == C 2 f>. ::; С 366 == 1/ 2 (Cl12 C123)'
Са. == С Н6 == С 244 == С 268 == С 344 == С З .. == 1/4 (С 1Н Cli2)'
(4.14)
Для процесса (4.11)
а == n 3 f;,g ( kБТ ) 4' ( СНi Сli2+3СН С12 ) 2 Сll С44
П. L 240pCtC' 1;, СН С11 .
(4.15)
251
Эта формула впервые была получена в работе Л. Д. Ландау и
Ю. Б. Румера [2]. Значения Сl11, С112 даны в [27,28]. Имеются расче
ты а н для друrих типов взаимодействий [9]; например, показывает-
ся, что процесс T+T T приводит к результату а тт , T O, рассчи-
тано значение a LТ . L и т. д. Учет анизотропии кристалла сильно yc
ложняет задачу (в том числе нахождение правил отбора), и, за ис-
ключением некоторых случаев, точные аналитические выражения
для а получить не удается. Оказывается возможным найти правила
отбора, используя метод rеометрических построений [29, 9, 101.
В работах [9, 101 детально обсуждаются дисперсия скорости звука и
а:, ilPjCJI
1: J
б'
4- 2
;:
т,к
I
О 10 J!l 50 7(} 90 110 IJ(}
Рис. [О.5. Поrлощение L-воли в кварце (вдоль оси Х) в зависимости от температу-
ры при различиых частотах [7]; кривая 1 0,5 rrц, 2 1, 3 1,44, 4 3,9,
5 9,4 и б 24.
ее роль в поrлощении, обсуждается вклад в поrлощение распадных
процессов, роль четырехфононных процессов и т. д,
Проведенное рассмотрение относилось к случаю Q't oo. В дейст
вительности же это условие не выполняется для диапазона частот,
который может быть достиrнут в экспериментах; реально имеет место
условие Q 1. Не приходится удивляться, что ряд выводов, полу
ченных при таком рассмотрении, не совпадает с данными экспери
мента.
В основном, однако, теория Ландау Румера и ее дальнейшее
развитие нашли экспериментально хорошее подтверждение, На
рис. 10.5 приведены измеренные [71 зависимости поrлощения
продольных волн в кварце от температуры при различных зна-
чениях частот. Видно, что поrлощение начинает резко падать
,1РИ Т =Е; 50 К, причем с повышением частоты крутизна спада за
метно растет. Оба этих эффекта находятся в соrласии с теорией.
Укажем на ряд отклонений данных эксперимента от теории,
соответствующей случаю Q't oo. Так, во-первых, соrласно экспе-
рименту al и a t примерно одинаковы [30 32J, тоrда как теория
дает для аl весьма малое значение, поскольку взаимодействие
252
L+L L может быть 1'ОЛЬkО kоллинеарным. 3ависнr.юсть IY. от TeM
пературы (при ПОНIIжении температуры) значительно более крутая,
чем от Т4; она доходит до р [30, 34J. Наконец, зависимостЬ а от
частоты оказывается несколько более слабой, чем линейная [31 341.
Причины этих расхождений теории с экспериментом изучались
рядом авторов. В работах Саймонса [35, 36] и Лlариса [31, 32]
рассматривался случай, коrда QT 1 и учитывалось соотношение
неопределенностей энерrия времЯ, т. е. рассматривалась не ди
раковская дельта функция, а «раз !3занная» ФУНКЦИЯ (механизм,
аналоrичны;l «параметрическому захвату», см, 3 I"Л. 4),
В этих работах предполаrается, что закон сохранения энерrии
при СТОЛIшовении фононов ВЫПОЮIяется с точностью ii/L1+fi/T2 И
б (Q +(0\ (o)2) """'""-+ J.. r 2 +(g 2 )2 ' r 12 == 2 1 ( + ) . (4.16)
n 12 001 OO2 't'1 't'2
Проводя вычисления (4.4) с такой «размазанной» дельта функцией
с выбором постоянной fрюнайзена в виде
у; (LL, L) == ( Cll :Cll ) 2 (4.17)
(что оправдано по причине Toro, что при минимальном уrле между
Q и (0)1 функция r 12 ДОJIжна иметь наименьшее значение), можно
найти коэффициент поrлощения а и , L' Этот коэффициент дается
:Выражением
а == n 2 fi,g ( kBT ) 4 ( С 1l1 +ЗС ll ) 2 t 1 ( 2Qr ) .
н, L 12()pc fi, С11 g
В пределе при QT OO эта формула переходит в (4.13).
Выражение (4,18) для а и , L дает тот же порядок величины, что
и формула (4.11) для aТL,L'
Более деталЬНО эти тонкие вопросы изложены в [9], rде pac
сматриваются при Q l также влияние дисперсии, анизотропии и
причина более крутой зависимости а от Т.
(4.18)
9 5. Взаимодействие звуковых волн с тепловыми
фононами. Макроскопическое рассмотрение. Высокие
(комнатные) температуры и ультразвуковые частоты
Содержание 4 относилось К высоким rиперзвуковым частотам
(Q 109 [ц) и низким температурам; поrлощение звука рассматри-
валось как результат непосредственноrо взаимодействия звуковоrо
и теПЛОБоrо фОНОНОБ.
к.ак подойти к решению задачи о нахождении а и f:..c/c для дру-
roro крайнеrо случая низких ультразвуковых частот и высоких
температур (для большинства веществ это температуры >50 К),
т. е. коrда выполняется неравенство QT l (А lф), Решение этой
задачи впервые было получено А, И. Ахиезером [3].
Рассмотрение здесь основано на использовании кинетическоrо
уравнения Больцмана для rаза фононов. фононный rаз в идеальном
253
диэлектрике находится в состоянии термодинамическоrо раВНОl3есий,
и распределение фононов по энерrиям'представляет собой распре
деление Бозе Эйнштейна. Звуковая волна рассматривается как
внешняя вынуждающая сила, действующая на систему тепловых
фононов и нарушающая ее термодинамическое равновесие; связь
между этой силой и системой фононов осуществляется через зависи
мость частоты тепловых фононов от переменной (происходящей с
частотой звука) деформации, вызываемой звуком. В результате пе-
ременной деформации система тепловых фононов выводится из COCTO
яния равновесия и стремится далее вернуться к этому состоянию
за счет столкновений между тепловыми фононами; действует меха-
низм релаксации. Как при всяком релаксационном процессе, со-
провождающем распространение звука, возникает поrлощение
звука и ero дисперсия. Таким образом, здесь, как и при paCCMOTpe
нии в 4 случая Q't' 1, происходит взаимодействие звуковorо фоно
на с тепловым фононом, но не непосредственно, а со всем ансамблем
тепловых фононов; последние же взаимодействуют между собой,
уменьшая отклонение от термодинамическоrо равновесия, вызванно
ro звуком,
Для Toro чтобы, основываясь на этой идее, провести расчет коэф-
фициента поrлощения звука (подробно см. [9, 101), нужно найти
связь между напряжениями, деформациями и мrновенным числом
тепловых фононов N (k', j) моды k', j, Эту связь можно найти сле-
дующим образом: запишем энерrию tf} ф фононов В единичном объе
ме (V объем Bcero кристалла) в виде
tf}Ф==V \ i[N(k', Л+ 1 1 2 ]fuo(k', i). (5,1)
Определим нулевую деформацию как состояние кристалла, в
котором отсутствуют внутренние напряжения (иu==О), а распреде-
ление фононов k', j й моды описывается равновесной планковской
функцией n(k' ,п. Таким образом, если
N (k', j) == ехр [fi(J) (k', j)/k B Т 1 ] 1 == п (k/, j)
И <J ij==O, то ии===О. Здесь fi(J) (k', j)12 энерrия нулевых колебаний
решетки при абсолютном нуле температуры, (J) (k', Л частота теп
ловых фононов с волновым вектором k' и индексом поляризации j.
Тензор напряжений <J ih. определяется (см. (8,1.8)) соотношением
<J jj == дtf} /дио == д (tf} ф + tf} п)/дии, (5.2)
rде lt п механическая потенциальная энерrия, зависящая от де-
формации, которую запишем в виде *)
СП == C'l}Uij + 1/ 2C'l}k/UjjUkl + . . . (5.3)
Соrласно (5.2) имеем
(Jij == C'l} + C'l}k/U kl + Е [ N (k' j) + J fi a 'j) + . . " (5.4)
k
"') в данном случае, очевидно, линейный по Щj член разложения Сп отличен
от нуля (ср. с выражением (8.1,10».
2М
rде мы пренебреrли второй производной от (U по компонентам тензо
ра деформации; заметим, что производные берутся при ич==о,
Из (5.4) следует тоrда, что
т 1 [ (k ' . ) + ] -/с. ды (k', j) .
Cij == v n ,} 2 n дЩj
k'. j
(5,5)
Теперь (5.4) запишется в виде
т + 1 [N (k ' } ' ) n (k ' , } ' )] /= ды :,; j) .
G ij == Cijk/Ukl V , n
k'. j
(5.6)
Величину N (k', j) п (k', j) (неравновесную добавку) обозначим
через f:..N (k', j), Мы получили искомую связь между тензором Ha
пряжений, деформациями и величиной f:..N (k', j) отклонением
в распределении фононов от ero paBHoBecHoro значения.
Теперь пустим через нашу фононную систему звук. Для смеще
ния в звуковой волне и! уравнения движения запишутся в виде
( 1 r л. 8)
рд2Ui/дt2 == дGij/дх j . (5.7)
В (5,6) тензор деформации определим в пренебрежении квадратич
ным членом (дuz/дх/) (дuz/дХj) (см. (8.1.1)), т. е.
ии == (дui/дХ j + дu j /дх i )/2. (5.8)
Будем искать решение системы уравнений (5.6) (5,8) в виде
плоской rармонической волны
и !' == иое; (k, J) ехр [i (2лkх Q't)], (5.9)
N(k', j)==n(k', j)+f:..N(k', j)ехр[i(2лkх Q't)], (5.10)
rде е; компоненты вектора поляризации; е; и f:..N не зависят от
t и х,
Подставляя (5.9) и (5.10) в указанную систему уравнений, coc
тавляя детерминант при коэффициентах поляризации е; и прирав
нива я ero нулю, можно найти Q'. Находя же мнимую часть волно
Boro числа
а; == Im [Q' jC (k, J)],
(5.11 )
получим (индекс «/» у k здесь означает декартову компоненту)
а; == [ rr:Aei (k, J) k l ] L ды (k', j) Re [ !::"N (k', j) ] (5.12)
pV' 'c (k, J) k'. j дии ио'
а также поправку к скорости звука I1c, которую мы здесь не приво-
дим [9].
Имея в виду определение коэффициента и тензора rрюнайзена
по (4,9), выражение (5.12) запишем в виде
А (k ' . ) (k ' . ) R [ !::"N (k', п ] ( 5 1 3 )
а; == 2pVc 2 (k, J) fj У s ,} (U ,} е Ии . .
255
Таким образом, задача нахождения а состоит теперь в том, чтобы
найти неравновесную добавку IJ.N(k', Л, возникающую под действием
звука. Для этоrо можно воспользоваться кин.етическим урмн.ен.ием
Больцман.а. Это уравнениЕ' для неравновесной функции распределе-
ния N (k', J) применительно к нашей фононной системе имеет вид
aN :" f) +Vi (k', j) aN ;: j)
1
a(J)(k',j) aUij aN(k',j) == ( aN(k',j» ) (5.14)
2л au,'j дх k ak k at столк'
rде Vi скорость фонона (rрупповая скорость); (дN (k', j)lдt)СТОJlК
так называемый ин.теерал столкн.овен.ий, определяющий изменение
N (k', j) вследствие взаимодеЙствия частиц лруr с npyroM; 'DдNlдх оз-
начает изменение функции распределения из-за прихода и ухода
частиц в элемент объема х, k' в результате движения частиц, а третий
член в левой части (5,14) в результате действия вне'шней силы.
С учетом (5.9) и (5.10) уравнение (5.14) сводится к выражению
(дN (k', j)fдt)стOJIК == { iIJ.N (k', j) [Q 2лk'D (k', j)] +
+4л2ио(kБТ) lfuп(k', j)n(k', j)[n(k', j)+1],\,s(k', j)kx
х [k'D (k', т ехр [i (2лkх Qt)], (5.15)
rде Q' мы заменили на Q, считая возникающую поправку к частоте
звука малой и полаrая, что фононы не меняют своей поляризации.
Можно показать, что если в уравнении Больцмана отбросить
столкновительный член, то звуковая волна не будет испытывать
поrлощения и а==О, как и должно быть,
В рассматривае:vroм случае Q't' l, как показано в ряде теорети
ческих работ, в бездефектных диэлектриках основной вклад в по
rлощение звука вносят U-процессы. Если 't'и среднее время между
U процессами удовлетворяет неравенству Q't'[ l, но имеет конечное
значение (случай Q1U 0 не приводит к поrлощению звука про
цесс настолько медленный, что восстановление равновесия полнос-
тью следует за изменением деформации в волне), то вычисление а
можно на основе уравнения (5.15) провести следующим образом.
Это можно сделать (формальное решение) путем разложения функ-
ции распределения фононов в ряд по собственным функциям ин
теrрала столкновений [37, 38); этот метод не требует каких либо
предположений о форме интеrрала столкновений в уравнении Больц
мана,
Друrой путь решения задачи состоит в принятии упрощающих
предположений при расчете интеrрала столкновений [39), При
Q't'u O
N(k', j)==Nu(k', п=={ехр (Лffi (k', j)jkБТl) I} l. (5.16)
При Qт- u конечном, но 1 предполаrается, что N (k, j) релаксирует
к (5.16) и, таким образом,
[дN(k', j)lat]CTOJlK== [N(k', j) Nu(k', j)]/Tu, (5.17)
rде Тu не зависит от k'. i.
256
Полаrая
Tl == т + LlT о ехр [i (2пkх Ш)]
(5.18)
и подставляя это значение локальной температуры с использова
нием (5.17) в уравнение Больцмана (5.15), получаем для добавки
к неравновесному распределению LlN (k', j) выражение
LlN ( k', . ) (fi,w (k', j)/kBT) п (k', j) [п (k', j) + 1] Х
I l iTu[Q 2nkv(k',j))
Х {2ЛiU о kуs (k', j)[1 + 2лikv (k', j) 1:u] + Jo }. (5.19)
Используя теперь выражение (5.13) для а, а также выражение для
удельной теплоемкости единицы объема
С == д frt [ п (k', j) + ] 7uu (k', Л,
получим в первом приближении по QT l
CTQ2 TU , . 2 ' . 2
а== 2pc-3(k, J) {ys(k ,/) ys(k ,/)}+
СТт u
+ 2pc 3 (k, J) ys(k',j) [2лkv(k',j)]2. (5.20)
По ученная формула состоит, как и (2.10), из двух членов:
первыи характеризует потери на внутреннее трение, а второй
потери на теплопроводность. Обратим внимание на то, что J(ОЭффИ
циент поrлощения из за потерь на внутреннее трение пропорцио
нален квадрату частоты звука, квадрату параметра анrармонич
насти (коэффици ент rрюн айзена) и температуре Т. Второй член про
порционален Т, 1'$ (k' ,л2 и зависит от k и rрупповой скорости V.
Заметим, что поскольку 1:U,,-,T l, то а оказывается не зависящим
от температуры, что подтверждается экспериментально [6].
Как в этом, так и в предыдущем параrрафах были даны основные
представления о теории решеточноrо поrлощения звука в чистых
или идеальных диэлектриках, т. е, в диэлектриках без дислокаций,
без примесей и точечных дефектов в виде вакансий и внедрений.
Это поrлощение, как мы видели, вызывается анrармоничностью pe
шетки и объясняется при Q 1 трехфонноным взаимодействием
(механиз.м Ландау Румера); при Q1: l поrлощение объясняется
механизмом Ахиезера. Здесь следует подчеркнуть два обстоятель
ства, С одной стороны, важен вопрос о том, каково взаимоотноше-
ние этих двух теорий и как должна видоизменяться теория поrло
щения звука для СJlучая QT"-' 1, т. е. для промежуточноrо случая.
Друrой вопрос это вопрос о том, как определяется а для реаль-
ных диэлектрических кристаллов, имеющих примеси или точеч-
ные дефекты, Оба эти вопроса являются предметом пристальноrо
внимания как теоретиков, так и экспериментаторов.
Остановимся сначала на первом из них. В [40] было показано,
что и для Q l оказывается ВОЗМОжным применение метода Кине
тическоrо уравнения Больцмана, хотя, как об этом rоворилось в
9 в. А. Красильнниов, В. В. Крылов
257
начале параrрафа, этот eTOД имеет пределы прuменl'IМОСТИ при
выполнении условия Q't 1. Полученное кинетическим методом BЫ
ражение для а совпало с результатом, вытекающим из применения
метода трехфононноrо взаимодействия. В дальнейшем оказалось, что
точка зрения ряда авторов на то, что два подхода для двух предель
ных случаев C l и Q't l не MorYT быть едиными, требует уточ
нения. Выяснилось, что условия л 2л с/ы< Iф 'tс А 2лс/Q, KO
торые определяют применимость кинетическоrо уравнения, можно
смяrчить и тем самым снять оrраничение на величину Q't [9,10].
Если выполняется неравенство 1iQ kБ Т, что имеет место всеrда
(по крайней мере при существующих экспериментальных возмож
ностях) для случая монохроматическоrg цуrа ЗВУКOJ;шх волн, по
скольку Q:;;;10 11 [ц, а (0),...., 1012 1013 (т. е. ). A), то поrлощение а
при любых Q't можно рассматривать на основе кинетическоrо ypaB
нения, если учесть, что функция распределения N (k', п, кроме за
висимости от k, t, имеет также зависимость от координат r. Можно
по казать [411, что при любых Q't поrлощение звука описывается
единым выражением типа ахиезеровскоrо, но с резонансным знамена
телем: резонансные слаrаемые при Q't oo соответствуют переходам
Ландау Румера. В промежуточной области дело обстоит слож
нее ни тот, ни друrой механизм по отдельности не определяют
поrлощения звука, так что зависимости а от Т и Q должны опреде
ляться из анализа общеrо выражения для а.
Сделаем несколько замечаний по второму вопросу о роли
примесей и точечных дефектов в диэлектрическнх кристаллах в
поrлощении звука, Это тем более важно, так как на практике
приходится иметь дело с реальными кристаллами, почти все,rда
содержащими большое количество дефектов структуры, В этом
случае картина по сравнению с «1\!Зтрицей» (идеальным кристаллом)
существенно усложняется.
Под словом «примесь» мы будем понимать просто дефект массы,
т. е, оrраничимся рассмотрением простых примесей замещения,
не содержащих внутренних степеней свободы. к.ороче rоворя, об
судим лишь изотопическую модель дефекта, считая изменение си
ловых постоянных незначительным. Обычно в теории превалирует
именно такая постановка задачи, либо малое изменение силовых
постоянных учитывается в рамках теории возмущений.
Хорошо известно, что внедрение примесей в кристаллическую
решетку может привести к значительному изменению колебатель-
ных свойств кристалла [17], Наличие примесей сказывается как на
спектральных характеристиках, так и на характеристиках pac
сеяния квазичастиц. В том случае, коrда концентрация примесей
невелика, а массы примесных атомов отличаются от массы атомов
решетки незначительно (так, что не возникают локальные и квази
локальные колебания), то можно считать, что фононный спектр
примесноrо кристалла в целом подобен спектру матрицы, Тоrда
фононные состояния хорошо определены и их можно характеризо
вать соответствующим образом перенормированным законом диспер-
.258
сии и КОliечным временем жизни. Как правило, в этом случае можно
оrраничиться лишь исследованием характеристик рассеяния в сис
теме фононов, поскольку незначительная перенормировка в спектре
не приводит к существенныIM эффектам.
В рамках указанной модели вопрос о поrлощении акустических
волн в примесных кристаллах исследовался в ряде теоретических
и экспериментальных работ [41 49]. Был выявлен ряд качествен
но новых по сравнению с матрицей особенностей в поrлощении
звука в примесных кристаJlлах.
Во первых, при внедрении примесей определенноrо сорта KO
эффициент поrлощения У!I:еньшается по сравнению с матрицей.
B BTOpЫX, поrлощение продольных и поперечных акустических
волн существенно по разному реаrирует на наличие примесей в
кристаллах. В третьих, появляется ряд специфических зависи-
мостей на частотных и температурных характеристиках коэффи
циента поrлощения, причем разных для ПрОДОЛЬНоrо и попереч-
Horo звука.
Наличие примесей сказывается на поrлощении акустических
волн двояким образом. Во-первых, примеси непосредственно рас-
сеивают звуковую волну; BO BTOpЫX, они рассеивают тепловые
фононы и тем самым изменяют их вклад в поrлощение звука [43].
Если первый эффект незначителен, то второй оказывается сущест
венным, если фононы чаще р'ассеиваются на примесях, нежели
друr на друrе. Как мы уже знаем, в соответствии с теориеЙ Ахиезера
a,,,,,QZ't, rде 't некоторое среднее время жизни фононов. Тоrда,
казалось бы, коэффициент поrлощения должен уменьшаться при
внедрении примесей, так как это уменьшило бы время жизни фо
нонов. Действительно, если время релаксации фононов в матрице
1:j, а время релаксации фононов при рассеянии на примесях "С о , то в
соответствии справилом Маттиссена (см. [19]) полное время будет
иметь вид
l l + l ("'\2 I( + )
't =='tf "С о , a,"" 'to't/ "С о "с/,
Следовательно, при увеличении концентрации примесей поrлоще-
ние должно уменьшаться и в пределе Q 1:0--+0, а--+О, Однако было
показано [44], что роль примесей не сводится только к появлению
дополнительноrо канала рассеяния тепловых фононов и что такая
простая трактовка ведет к противоречию с экспериментальными
результатами. А именно: для проверки столь интересноrо факта,
как уменьшение поrлощения, в работе [47] было исследовано пОrлО-
щение продольноrо звука частоты 649 мrц в rерманий кремниевом
сплаве при 300 К. Для направления распространения [100] пОrлО
щение в Geo,os Si O ,97 было только на 13% меньше, чем в чистом KpeM
нии, Изменение B't может быть определено независимо по измерению
теплопроводности % при использовании приближенноrо выраже
ния %===Cc 2 't/3. Теплопроводность сплава была в 8,5 раза меньше,
чем в чистом кремнии, и, таким образом, "с, определенное этим ме-
тодом, щ!но не подходило для объяснения ультразвуковых экс-
периментов.
9.
259
Для объяснения этих разноrласиЙ в работе (441 был рассмот'рен
вопрос о поrлощении акустических волн в кристалле, содержащем
столь большое количество примесей, что выполнялось условие:
'to "'j; g't'O "'j l. Оказалось, что в этом случае поrлощение про-
дольноrо звука вовсе не зависит от "'о' Физической основой для этоrо
результата послужили: следующие соображения.
Так как рассеяние фононов на примесях является почти упру-
rим, то оно само по себе не в состоянии привести систему фононов
к полному термодинамическому равновесию, после Toro как она была
возмущена звуковой волной. Таким образом, коrда выполнено yc
ловие "'o j, мы можем рассматривать релаксацию фононов к состоя
нию термодинамическоrо равновесия в два этапа.
1. rруппы фононов, принадлежащие одной изоэнерrетической
поверхности, приходят к взаимному равновесию за время """'о'
2. Эти различные rруппы фононов приходят в равновесие за
время ""1:(, завершая восстановление полноrо термодинамическоrо
равновесия.
Поскольку первый этап происходит очень быстро (1:o 1:j), oc
нов ной вклад в поrлощение продольноrо звука дает второй этап,
и, таким образом, поrлощение не зависит от 1:0'
Так как поперечный звук не изменяет полной энерrии фононной
системы, то для Toro, чтобы система пришла в равновесие, достаточ
но только упруrих процессов, т. е. первоrо этапа.
Таким образом, основной вывод заключается в том, что про
дольные волны относительно нечувствительны к наличию примесей
в кристалле (возможные вариации коэффициента поrлощения звука
связаны с перенормировкой упруrих модулей и плотности кристал
ла), в то время как для поперечноrо звука a O при g1:o O. Отме-
тим, что, как замечено в [241, этот вывод справедлив в тех случаях,
коrда времена фонон фононной релаксации изменяются слабо при
внедрении примесей. Однако это не всеrда так. Экспериментальные
результаты [49} свидетельствуют о том, что "'! сильно зависит от
концентрации примесей. В этом случае неоправданным будет Bl;>I-
130Д об относительной нечувствительности поrлощения продольных
волн к наличию примесей в кристалле.
Таким образом, можно считать, что основные качественные осо-
бенности поrлощения акустических волн в примесных диэлектри-
ческих кристаллах, наблюдаемые в ряде экспериментов, находят
объяснение в рамках сравнительно простых теоретических моделей.
Однако так обстоит дело в случае кристаллов достаточно простой
структуры. Действительно, все перечисленные работы относятся,
по существу, к кристаллам с простой элементарной ячейкой, Дело
в том, что непосредственное взаимодействие акустической волны с
оптическими фононами, как правило, детально не анализируется,
хотя обобщение, например, теории Ахиезера на этот случай извест-
но' [9J. в сравнительно простых кристаллах ролью оптических фо-
нОНОВ в поrлощении звука действительно можно пренебречь даже
в области температур, rде засе;JIенности оптических мод немалы.
Это связано с тем, что времена релаксации для оптических фононов
260
в идеальных кристаллах меньше соответствующих времен для aK)
С.тических фононов, и они не Вf/ОСЯТ сколько нибудь существенноrс.
вклада в поrлощение; нарушение равновесия в системе оптических
фононов, возникающее при прохождении звуковой волны, неве-
лико.
Все же иноrда влияние оптических фононов следует учитывать.
Так, в работе [23} предполаrается, lflO наличие ряда низколежащих
оптических ветвей врутиле (Ti0 2 ) является причиной интенсивноrо
. взаимодействия между акустическими и оптическими фононами,
что приводит к эффективноЙ релаксации фононноrо распределения
в системе акустических фононов и сравнительно малой величине
коэффициента поrлощения звука в рутиле. Таким образом, опти
ческим фононам отводится роль дополнительноrо канала релакса
ции активных в поrлощении звука акустических фононов. Прямое
поrлощение звука из за I3заимодействия с системоЙ оптических
фононов при этом не учитывается.'
Однако, как показано в l24], существуют кристаллы, в которых,
по видимому, В широкой области температур, за исключением ca
мых низких, непосредственным взаимодействием исходной aKY
стической волны с оптическими фононами пренебреrать нельзя.
К таким кристаллам следует отнести сложные кристаллы с боль
шим количеством атомов на элементарную ячейку, напри ;ер крис
таллы типа алюмоиттриевоrо rpaHaTa (У зАI.О 12 , 160 атомов в эле
ментарной ячейке). Наличие большоrо количества низколежащих
оптических ветвей приводит к реЗКGМУ возрастанию плотности коле
бательных состояний кристалла, начиная с энерrий, соответствую
щих оптическим фононам. Вероятно, уже при температурах жиk
Koro азота непосредственное влияние оптических фононов на по-
rлощение звука в таких кристаллах должно быть значительным, а
при более высоких температурах и доминирующим. Практически
этот вопрос, которому посвящена работа [24], является важным,
открывая пути для поиска кристаллов с малым а при комнатных
температурах.
6. Дислокационное поrлощение и дисперсия звука.
Акустическая эмиссия
В конце 5 мы обращали внимание на то, что если в реальном
кристалле имеются точечные дефекты, то они MorYT иrрать сущест
венную роль в поrлощении звуковых волн, причем влияние точеч
ных дефектов на распространение звука может иметь место не
только на высоких ультразвуковых или rиперзвуковых частотах,
о чем шла речь в предыдущем параrрафе, но и на низких частотах.
На частотах Q 1fц в объемно центрированных кубических кри-
сталлах, например в карбонильном железе, наблюдается так на-
зываемая релаксация'Снука пик BHYTpeHHero трения, вызываемая
атомами внедрения (уrлерод, азот), растворенными в кристалле
[12J; имеются и друrие низкочастотные релаксационные процессы.
Реальные кристаллы наряду с точечными дефектами имеют также
261
Jlинейные дефекты, так называемые дислокации, представляюfцие
собой линии, ВДоль которых нарушено правильное расположение
атомных плоскостей. Эти нарушения совершенства решетки кри-
сталла имеют макроскопические размеры (порядка 10 3 10 6 см)
и чрезвычайно разнообразны по своему rеометрическому виду,
числу их в единице объема кристалла и размерам, энерrетическим
свойствам, типам взаимодействия между собой и т. Д. ОНИ иrрают
опреДеляющую роль в таких важнейших физико механических свой-
ствах кристаллов, как упруrость, пластичность и прочность. При
Q б:. распространении звука в кристаJI-
лах дислокации под действием
d\ О О перем нных напряжений в акусти-
J V U ческои волне испытывают специфи.
L:"\ О О О ческие воздействия, в результате
V которых, в частности, возникают
явления ПОI'лощения и дисперсии
звука, Изучение Дислокационноrо
поrлощения и дисперсии акустичес-
кими методами, с одной стороны,
представляет собой один из весь-
ма полезных методов исследования
самой дислокационной структуры кристаллов в зависимости от тех
ИJIИ иных физических условий, а с друrой стороны представляет соб
ственно акустический интерес, Напомним, что одним из факторов,
мотивировавших необходимость введения понятия дислокаций,
явились работы Френкеля и Конторовой (см., например, [50]),
в которых была впервые предложена модель дислокации, называе-
мая в настоящее время их именем. В этих работах, в частности,
приближенно было рассчитано, что для Toro, чтобы сдвинуть Bepx
ний ряд атомов вдоль нижнеro ряда (рис. 10.6), нужно приложить
скалывающее статическое усилие, величина KOToporo имеет порядок
I1CK (b!a) !l/2л, rде!l модуль сдвИrа, а величины а и Ь (близкие
по значению) обозначены на рисунке *). Для таких металлов, как
медь и серебро, I1 cK ;::::;!l/30, Однако экспериментальное значение
величины I1 ск оказалось на MHoro порядков ниже (I1 ск ;::::;
;::::;10 4 10 5!l реальный предел текучести). Такое большое раз
личие было в дальнейшем объяснено теорией дисклокаций. Заметим,
что для бездислокационных кристаллов, обладающих большим зна-
чением скалывающеrо напряжения (тонкие кристаллические волок.
на или «усы»), указанное теоретическое значение I1 ск близко к экс.
периментальному. Изучение дислокаций в настоящее время за-
нимает обширную область физики кристаллов; теория дислокаций
подробно изложена в ряде учебных пособий и моноrрафий [1, 17,
Бl 55].
Имеется целый ряд характерных типов дислокаций, из кото.
рых наиболее простыми и важными являются так называемые Кр8е-
вая и винтовая дислокации.
"') Здесь и ниже мы будем иноrда 'пользоваться безындексными обозначения-
ми ДЛЯ напряжений и деформаций, понимая под о' и и одну из компонент O'ij и Uij'
I(
Рис. 10.6. Скалывающее напряже
ние при скольжении двух слоев
атомов.
262
На рис. 10.7, а схематически показано строение идеальноrо кри
сталла в виде параллельных атомных плоскостей. Коrда одна из
плоскостей в кристалле обрывается внутри Hero, край этой пло
скости образует так называемую краевую дислокацию (рис. 10.7, б).
На рис. 10.7, в дана схема винтовой дислокации, коrда внутри кри-
сталла не оканчивается ни одна из атомных плоскостей; эти пло-
скости приблизительно параллельны и кристалл представляется
в виде одной плоскости, которая образует винтовую поверхность.
Коrда эта поверхность выходит на внешнюю плоскость кристалла,
дислокация обрывается, возникающая ступенька имеет толщину
aToMHoro слоя. Дислокации MorYT представлять собой сложные
кривые, которые либо замкнуты в виде петель, либо разветвляются,
.
а)
f)
е)
Рис. 10.7, Схема, поясняющая краевую и винтовую дислокации: а) идеальный
кристалл в виде семейства атомных плоскостей; б) кристалл с краевой дислока-
цией; в) кристалл с винтовой дислокацией,
но должны выходить на поверхность кристалла, Такие дислокации
образуют ряды или сетки и разделяют кристалл на отдельные про
странственные ячейки в виде решетки. Дислокации закрепляются
на точечных дефектах (относительно слабые закрепления, которые
MorYT отрываться под действием звуковой волны) и в точках пере
сечения сеток (сильные закрепления), в которых отрыва дислокации
под деЙствием не слишком интенсивноrо звука не происходит.
С удалением от дислокаций сопутствующие им локальные упруrие
напряжения убывают; сами дислокации относительно леrко MorYT
двиrаться в кристалле в плоскостях скольжения, вызывая пла-
стическую деформацию. Этому движению, однако, препятствует
связь между атомами, взаимодействие с друrими соседними дисло-
кациями и примесные атомы. В ряде случаев при больших деформа
циях возникает значительное число дислокаций, При распростране-
lши звука в кристалле упруrие напряжения в плоскостях сколь
жения вызывают колебания дислокаций. При этих колебаниях име
ют место взаимодействия с тепловыми фононами, за счет чеrо часть
энерrии звука теряется; возникают дислокационное поелощение и
дисперсия звука дополнительно к решеточному поrлощению, pac
смотренному в предыдущих параrрафах этой rлавы.
В настоящее время принято различать три механизма, лежа
щиев основе взаимодействия звука с дислокациями. Это cтpYH
ный механизм, еисmeрезисный механизм и релаксационный меха-
низм. На рис. 10.8 [54J схематически представлена модель, иллю-
стрирующая выrибание закрепленной дислокационной линии
«струны», В зависимости от механическоrо напряжения 0', действую-
263
щеrо на дислокацию в плоскости скольжения. На этом рис).'нке
[П длина петли (lп 10 3 10 6 см, т. е. от сотен до тысяч aTOM
ных расстояний), возникающей из-за закрепления дислокации на
примесныХ атомах, и Lc длина, определяемая пересечением сетки
дислокаций. При увеличении напряжения (J' линии петель выrиба
ются, при некоторых (J' возникает отрыв и на закреплениях сеткой
происходит раз.'dножение дислокаций путем так называемоrо ме-
ханизма Франка Рида.
При приложенных переменных напряжениях, имеющихся в зву-
ковой волне, кроме деформации, вызванной упруrими силами, по
является добавочная дислока
ционная деформация. В приве
денной струнной модели, впер-
вые предложенной Келером [55]
и усовершенствованной [ранато
и Люкке [54, 56J, в случае ди-
намических деформаций (звук)
из за демпфирования колебаний
петли (струна в ВЯЗКQЙ среде)
возникает фазовый сдвиr между
напряжением и деформацией.
Следовательно, возникает по-
rлощение ЗI3ука и изменение ero скорости (в теории дислокациЙ
дисперсию скорости принято называть дефектом модуля). Это по
rлощение имеет резонансный характер и максимально в области
резонансной частоты Qo, зависящей от длины петли. Предполаrает
ся, что потери при колебаниях пропорционаЛЫIЫ скорости движе
ния петель.
Описанная «струнная» модель движения дислокаций сильно
упрощена. В ней не учитывается статистическое распределение ди
слокаций по длинам их петель, да и простая аналоrия между коле-
баниями струны и движениями дислокации является rрубой идеа
лизацией. Имеются трудности в определении понятия дислокаци
oHHoro натяжения, связанные с энерrетикой отрыва дислокаций от
точек закрепления, учетом взаимодействия между отдельными ди
слокациями и т. д, Одно из наиболее серьезных критических заме
чаний состоит в том, что эта модель дается на уровне представлений
об упруrости сплошной среды, тоrда как наиболее точные резуль
таты, естественно, следует ожидать от микроскопической модели,
Тем не менее струнная модель пока представляется одной из наиболее
пенных в теории дислокационноrо поrлощения звука.
Приведем, следуя [54, 56], пример расчета поrлощения If Днспер
сии звука для струнной одели. Для TaKoro расчета исходим из
уравнения движения, которое запишем в виде
д2a;дX2 p a 2 u;at 2 == О,
j {) DФ
t1
Рис. 10.8, Стадии выrибания (и OTpЫ
ва от точек закрепления) дислокацион
ной линии под действием приложен-
Horo напряжения 0'.
причем считаем, что деформация
U-=U/,+Ud,
264
(6.1)
(6.2)
rде Ие упруrая деформация, подчиняющаяся закону rYKa
(и е , ,==а/р !l модуль СДВИl'а), и Ud дислокационная деформация;
В теории дислокациЙ показывается, что дислокационная деформа-
ция от петли длиной [п в кубе единичных размеров, равна lb, rде
'п
1..[ 1 s(y)dy (6.3)
о
среднее смещение дислокации, и направление вдоль линю!
ДИС.'юкации (рис. 10.9), Ibl абсолютное значение так называемоrо
ве.ктора сдвиrа, или вектора Бюреерса. Этот вектор представляет
собой вектор (рА.==Ь на рис. 10.10), который следует провести для
замыкания концов контура Бюреерса данной дислокации. Контур
,
/] [п У
Рис. 10.9. Дислокацион
ная петля длины lп,
С 3 0
А F
JJ Е
Рис. 10.10. Расположение атомов в кристаJIJJе <.:
краевой дислокацией. Атомы схематически представ-
лены в виде кубиков, F А==Ь вектор Бюрrерса;
точки центры кубиков. ABCDEP контур БIOр
repca.
же Бюрrерса предстаВ.'lяет собой кривую (ABCDEF на рис. 10.10),
проведенную в идеальном кристалле BOKpyr линии дислокации.
В случае краевой дислокации Ь соответствует дополнитеЛЬНО IУ
межплоскостному расстоянию, связанному с JiИшней плоскостью;
он направлен перпендикулярно к линии дислокации кристалла,
В случае винтовой дислокации Ь представляет собоЙ шаr винта;
он параллелен линии дислокации.
Если через L обозначить общую длину дислокационных ,цвижу
щихся линий В единице объема, то
'п
Ud==(Lb/[n) (Y)dy. (6.4)
о
Величину L [M ] называют плотностью дислокаций. Коrда все
дислокации параллельны, L есть число дислокационных линий,
l1рОХОДЯЩИХ через единичный плоский слой толщины [11' перпен-
дикулярный к дислокациям: [==Nln> rде N число линий дисло-
каций (принимаем для упрощения распределение по длинам для
одной системы скольжения в виде дельта-функции, что, конечНО,
представляет собой сильную идеализацию).
Уравнение колебаний закрепленной дислокационной петли будет
. Aa2s/at2+Bas/at Ca2s/ay2=aba. (6.5)
265
Здесь 6 6 (х, у, t) и rраничные УСЛО!ЗИЯ !З точках закрепления
(x, О, I)"", (x, 1,1);;;;:00 (рис. 10.9), A==pb2 эффективная масса
на единицу длины. Второй член в (6.5) представляет собой силу co
противления на единицу длины; эта сила считается пропорциональ
ной скорости, третий член присутствует за счет натяжения изоrну
той дислокации. Правая часть Ьа есть внешняя сила, приходящаяся
на единицу длины и создающая сдвиrовое напряжение. Величина С
в (6.5) дается выражением
C-=2!lЬ jл(l ап), (6.6)
rде а п коэффициент Пуассона.
Уравнения (6.1) (6.5) сводятся к системе уравнений
lп
д a р дЗа Lpb д З ('
дх 2 7if2 == z;: 'at2 j (у) dy,
о
д2 д д2
А дf2 + в дt С д у 2 == Ьа
(6.7)
с выписанными выше rраничными условиями дЛЯ S. При наличии
звука частоты Q ищем решения, для которых а представляет собой
периодическую функцию времени, не зависящую от у. Считая, что
дислокационные линии перпенДИКУЛЯрНЫ к направлению распро-
С1 ранения звука, запишем а в виде
а:=а о ехр ( ax) ехр [Ю (t Xjc)]. (6.8)
Решение (связь между а и ) получается в виде ряда, который мы
здесь выписывать не будем и оrраничимся лишь первым членом,
так как он вносит основной вклад в результат; этот член имеет вид
4Ьа sinny ехр [i(Qt 60)]
=- пА [(Q Q2)2+(Qd)2]1/2 '
(6.9)
rде
d..B/A, Qо...(л/ц (CjA)1/2, tg бо==Qdj(Щ QU), (6.10)
Поrлощение а (Щ и скорость с(Щ при этом даются выражениями
Q 1 2 Qd
а (О)== 2с n o'l1 (Q Q )2+(Qd)2 ' (6.11)
с (О) "'С о [1 2 0 1 (Q 2r (Qd)2 J. (6.12)
co==(fA.jp)l/ , 2==л2СjА, 0==8fA. Ь2j1tЗС. (6.13)
Если выразить потери звуковой энерrии не через а, а через декре-
мент затухания (для частоты f Qj2л), связанный с а известным
соотНошением
А == БWj2W a (Q) 2nc;Q
(6.14)
266
(W энерrия, запасенная за период, и б W потери знерI'ИИ за
период), то из (6.11) получим
2
11 0 Ll п 0/00
== [I (0/Oo)2j2+(QjOo)2/D"
rде введено обозначение D==Qo/d коэффициент демпфирования и
учтено соотношение ==lпQо. Зависимость декремента от Q при-
ведена на рис. 10.11. Из этоrо рисунка видно, что при малом демпфи-
ровании (это соответствует D}> 1) пропорционально Q вплоть до
2
А/Аои п
(6.15)
:lJ = flJ:i
и!
1О
1
ш 2
1
1IJ 2 я/я(/
1/Т
11J 8 .
11J -j
Рис. 10.11. Декремент 11/ oll в зависимости от частоты при различных значениях
постоянной демпфирования D (длины петель lп одинаковы),
резонансноrо значения Qo. При подходе к резонансу (острота MaK
симума зависит от степени де!\шфирования) пропорциональна
Q l и при удалении от резонанса ,"""Q 3. Напомним, что резонан
сное значение частоты равно
Qо (л2СI[2А)1/2. (6.16)
Рассматриваемые потери имеют место (при типичных параметрах
задачи) в диапазоне частот порядка десятков меrаrерц и выше, что
соrласуется с экспериментом,
Если ввести время релаксации ==Вl lл2С, то нетрудно убе-
диться, что при Q2/Q <1 и при Q2-т;2;?1 резонанс сильно демпфиро
ван (это, по видимому, обычно имеет место для металлов высокой
чистоты); выражение (6.15) переходит в
== оLl Q-Т;/(l + Q2-т;2). (6.17)
Как видно, выражение (6,17) для имеет вид релаксационной кри-
вой. Для очень низких частот, коrДа Q2/Q 1 и Q2-т;2 1,
=- оLВl Q;л'С, (6.18)
т. е. декремент пропорционален Q и [ .
261
Полученные фОРМУ.1Ы для рассмотренных величин (выражения
(6.11) (6.18)) проверялись мноrими авторами экспериментально,
11 приведенный путь расчета d (или a,/Q и с(Щ) уточнялся. Труд-
ность экспериментальной проверки теории, основанной на струнной
модели движения дислокаций в поле звуковой волны, состоит в
том, что в теорию входит MHoro параметров ип, ь, В, А, с, L и
т, д.), определить более или менее точные значения которых пред
ставляет значительные трудности. Так, для Toro чтобы соrласовать
данные для d (Q), получающиеся из теории, с экспериментальными
результатами, приходится задавать средние значения для ПЛОтно
сти дислокаций L;:::::;106 107 CM 2, B;:::::;10 3 10 5, [п;:::::;10 3 10 6
и т. д. Эти значения не MorYT быть точно измерены. Качественный
характер приведенных теоретических зависимостей, тем не менее,
оправдывается на эксперименте. Хотя в саму теорию заложено MHoro
упрощающих предположений, описанная модель колебаний за
крепленной дислокации, имеющей вид струны в вязкой среде, в
общих чертах, по впдимому, следует считать правильной.
Рассмотрение закрепленноЙ дислокации относилось к случаю,
KorAa амплитуда ее колебаний была мала и отрыва дислокации
от ее точек закрепления на пересечении сеток не происходило.
При достаточно больших деформациях и в случае облеrчения воз
можности отрыва дислокации такой отрыв происходит и тоrда воз
никает поrлощение, которое зависит от амплитуды деформации.
Можно показать в этом случае, используя формулы (6.4) .
(6.13), что для низких частот (включая килоrерцевый диапазон)
связь между дислокационным сдвиrовым напряжением и дислока
ЦИОННОЙ деформацией практически не зависит от частоты; дислока
ционная деформация прямо пропорциональна приложенному Ha
пряжению и зависит от длины петли. Поскольку при некотором (J'
возникает процесс отрыва (рис. 10,8), в результате чеrо меняется
дщша петли [п, дислокационная деформация нелинейна. Теорию
аМШIИтудно зависимоrо BHYTpeHHero трения, основанную на учете
отрыва дислокаций от точек закрепления, в литературе принято
называть систерезиеной теорией.
Остановимся теперь кратко на третьем механизме взаимодей
ствия звука с дислокациями, который, как это экспериментально
установлено, имеет чисто дислокационное происхождение и релак
сационную природу , Речь идет о пиках BHYTpeHHero трения (rлав
ным образом в rранецентрированных кристаллах металлов таких,
как медь, свинец, серебро, платина, никель) при температурах
обычно около одной трети температуры Дебая 8 D и ниже, называе.
мых пиками Бордони (в честь итальянскоrо ученоrо, открывшеru
их в 1954 r. [571) и иrрающих в изучении дислокационной CTPYKTY
ры кристаллов металлов важную роль. Бордони изучал внутреннее
трение в наклепанных образцах ряда rранецентрированных кри
сталлов металлов на частотах 1 0 40 кrц в интервале от 4 К до
комнатной температуры и обнаружил пик BHYTpeHHero трения.
В дальнейшем, вследствие важности обнаруженноrо явления"
268
появилось большое количество экспериментальных работ. На
рис. 10.12 в качестве примера, xapaKTepHoro для поведения пика
Бордони, представлены экспериментальные результаты полученные
[581 методом изrибных колебаний на частоте 1100 [ц (по измерению
BHYTpeHHero трения в поликристаллической меди в зависимости
от степени деформации). Мноrочисленные эксперименты показали!
что пик Бордони имеется как в монокристаллах, так и в поли-
кристаллах; в хорошо отожженных образцах пик пропадает, а
Q< 10" 12 I.jо'
30
20 I
20
10
10
ШО Л)() 100 200
11) Т, )( о) 7;К
Il 10/ fl< /().,
8)
10
10
100
200
т,!(
<v
Рнс, 10.12, Пики BHYTpeHHero треннн (пики Бордони) В поликристаллическон
меди [58] при различной холодной деформации: а) 0,1 %, б) 0,5%, в) 2,2%, с) 8,4%.
после деформации в холодном СОСТОянии вновь появляется. Это
обстоятельство свидетельствует о том, что наблюдаемый пик внут-
peHHero трения вызывается движением дислокаций. Ни примеси,
ни rраницы зерен на появление пика влияния не оказывают.
Природа пика связана с дефектами, возникающими в самом процес-
се деформации. Высота пика резко возрастает до деформаций
порядка 2 3%, после чеrо при дальнейшем увеличении деформации
она не меняется (происходит cBoero рода насыщение). Имеется ряд
характерных зависимостей от температуры образца. Чем выше ча
стота звуковых колебаний, тем выше температура, при которой на-
блюдается пик Бордони; эта температура мало зависит как от KO
личества примесей, так и от величины деформации. Амплитуда коле-
баний мало влияет на высоту пика и на температуру ero появления.
Как видно из рис. 10.12, имеется обычно дополнительный пик MeHЬ
шей высоты.
269
Такое большое число ОСQбенностей, характерных для поведения
пика Бордони, привело к тому, что до настоящеrо времени не'по-
строено удовлетворительной теории, которая объясняла бы все
свойства этоrо пика. Несомненным является только то, что пики
имеют дислокационную природу; имеется вполне удовлетворитель-
ная качественная теория [59, 60] пиков Бордони. Что же касается
количественноrо описания этих пиков, то здесь предстоит еще боль-
шая теоретическая работа,
Одним из перспективных направлений развития теории пиков Бордони
является так называемая mеория дислокационных nереёибов. В [59] сделано пред-
положение, что пик Бордони вызывается релаксационным процессом и возникает
вследствие термически активируемоrо дви
жения дислокаций, дислокационной ре-
лаксации.
Предполаrается, что пики Бордони
вызываются движением дислокаций через
барьеры Пайерлса, имеющиеся в решетке
кристалла. На рис. 10.13 изображено
расположение так называемых долин (об
ласти Umin) и барьеров (области и тах )
ПаЙерлсll. для дислокации, На этом же
рисунке изображена потенциальная энер-
.rия дислокации. Выражение
U (у) и о (1 COS 2лу/а)
представляет собой потенциал Пайерлса;
и о высота потенциальноrо барьера.
На дислокации, лежащей в произвольном
направлении в плоскости скольжения
(обычно она представляет собой плоскость
наиболее плотной упаковки атомов
вдоль этоrо направления потенциальнаЯ
энерrия на единицу длины имеет мини
мум), будут образовываться переrибы, ши
рина которых порядка 10 50 атомных
расстояний. На качественном уровне объ-
яснить механизм релаксации, который
был бы ответственным за образование пи
ков Бордони, можно следующим обра
зом. Для Toro чтобы переместить дислока
цию, расположенную вдоль направления
плотной упаковки в ее плоскости сколь-
жения, на одно межатомное расстояние
(без учета тепловых флуктуаций), необходимо приложить напряжение сдвиrа
ар (напряжение, или сила ПаЙерлса). За счет тепловоrо движения, при темпера
туре т дислокация, образуя переrибы, будет периодически переходить из одноЙ
потенциальноЙ ямы в друrую (рис. 10.13); это MorYT быть или боковые движения
переrибов (они происходят при меньших напряжениях), или образование новых
переrибов.
Если частота звука Q больше частоты образования пары переrибов в линии
дислокации Qп, то возникновение переrиба не приводит к дополнительноЙ дефор-
мации и к потерям энерrии звука. Если Q Qп, то переrибы находятся в состоянии
тепловоrо равновесия и потерь энерrии звука также не происходит; потери возни-
кают при Q Qп.
Количественная теория, основанная на описанной идее, разрабатывалась
рядом авторов; подробное ее изложение содержится в [59, 60] и особенно в [61].
В настоящее время, однако, еще не представляется возможным достаточно полно
объяснить псе разнообразные особеННОСТJf поведения пиков Бордони.
I
I
I
1 I
I
I
I
I
I
I
I
I
I I
I I I I I 1
2( и(y) J.
...L ?'1 1.. 1.. 1..
Ja Xa a r а 20. J{l У
Рис, 10.13. Схематическое представ
ление формы линии дислокации (1),
возникающеЙ под действием напря
жения ПаЙерлса ар (без соблюде-
ния масштаба, поскольку ш>а и
иo ap). U (у) потенциальныЙ
рельеф ПаЙерлса (2).
27а
Остановимся кратко на весьма интересном и важном явлении
так называемой акустической эмиссии, поскольку это явление в
значительной степени связано с дислокациями,
Акустической эмиссией принято называть излучение акустиче
ских волн, сопровождающее некоторые виды необратимых прев
ращений в твердом теле. Различают три основных типа механиз
мов этой эмиссии: 1) механизмы, связанные с пластической дефор-
мацией (движение дислокаций, скольжение rраниц доменов в ep
ромаrнетиках и сеrнетоэлектриках и т. п.); 2) фазовые переходы,
в частности мартенситные прев
ращения в стали; 3) образование
'и развитие трещин.
Несмотря на то, что с различ
ными проявлениями акустичес
кой эмиссии исследователям
пришлось столкнуться уже дo
вольно давно, первые система
тичеСКl1е эксперименты, посвя
щенные ее изучению, были про
деланы немецким ученым Кай
зером лишь в 1950 r. (см. [62,
63]). Опишем кратко основные
черты акустической эмиссии.
Схема эксперимента по наблюдению эмиссии весьма проста
(рис. 10.14). Волны, возбуждаемые развивающимся дефектом (ис
точником эмиссии), претерпевая различные изменения на rраницах
обра;ща и на друrих статических неоднородностях, достиrают при
емника звука (чаще Bcero это пьезоэлектрический преобразователь),
электрический сиrнал с Koтoporo сбычно поступает на схему обра
ботки. Снимаемый с пьезопреобразователя сиrнал имеет вид слу
чайной последовательности радиоимпульсов, соответствующих OT
дельным событиям вспышкам акустической эмиссии. Централь
ная частота радиоимпульсов определяется в основном резонансными
свойствами преобразователя. Простейший принцип обработки сиr
нала эмиссии, применяемый в большинстве существующих MeTO
дик, состоит в следующем: радиоимпульс после усиления попадает
на пороrовое устройство, выделяющее ero на фоне посторонних
шумов.
Это же пороrовое устройство формирует из радиоимпульса
последовательность видеоимпульсов счета (рис. 10.15), которые
затем поступают на счетные устройства. Ясно, что такая схема обра
ботки использует лишь небольшую часть информации, заключенной
в последовательности импульсов акустической эмиссии. В частности,
используется информация о nОЛНОА1. числе вспblшек эмиссии, которое
пропорционально числу импульсов счета N, и о числе вспышек,
приходящихся на единицу времени (",-,Н) скорости эмиссии.
Тем не менее и с помощью данной простейшей схемы удается сде-
лать ряд важных физических наблюдений.
2
3
1
Рис, 10.14. Схема наблюдения акусти
ческой эмиссии: 1 образец, 2
источник, 3 приемник звука.
271
Рассмотрим, например, типичную зависимость числа импулы;ов
счета N и скорости N от деформации при пластическом деформиро-
вании образца (рис. 10.16). Видно, что максимум скорости (интен-
сивности) акустической эмиссии приходится на начало пластиче
cKoro течения материала. Качественно такое поведение вполне по-
нятно, так как именно в этот момент имеет место наибольшая ак-
тивность YCKopeHHoro перемещения скоплений дислокаций. С дpy
rоЙ стороны, известно, что элементарными актами, вызывающими
излучение при пластическом деформировании, чаще Bcero и служат
процессы YCKopeHHoro движения (торможения) дислокаций. Кроме
Рис. 10.15. Формирование импульсов сче
та акустической эмиссии.
6
е, ".
РИс. 10.16. Закономерности акусти
ческой эмиссии при пластичесКом
деформировании образца,
Toro, в ряде случаев существенную роль Mory't иrрать аннипiля-
ция дислокаций разных знаков, сопровождающаяся излучением
звука, прохождение дислокациЙ через неоДНОрОДНОСТИ и выход
их на поверхность (разновидности переходноrо излучения) [65].
Последовательной теории акустической эмиссии при IIластиче-
ском деформировании, которая моrла бы связать статистические
характеристики излучаемоrо акустическоrо поля с параметрами дe
формирования для различных материалов, в настоящее время не
существует. Тем не менее закономерности элементарных актов излу-
чения, сопровождающеrо различные виды движения отдельных ди
слокаций и их скоплений, в том числе и УПОМЯНУ1:ые выше процессы,
достаточно хорошо изучены [52, 65, 66]. Соrласно этим работам при
описании создаваемых движущимися дислокациями звуковых по-
лей удобнее пользоваться вектором колебательной скорости Vi==Ui,
а не вектором смещений Иi' С учетом сказанноrо излучение, созда
ваемое системой произвольно движущихся дислокаций, может быть
описано с помощью следующеrо неоднородноrо уравнения, выте-
кающеrо из основных уравнений кристаллоакустики (см. rл. 9):
pv;(r, t) c;klmvm.kl(r, t)==I(r, t). (6.19)
Здесь вектор fi (r, t)==Ciklmi,m k (r, t) иrрает роль объемной силы,
i'm (r, t) компоненты тензора плотности потока дислокаций,
пропорциональные скоростям дислокационных линий V р и их
векторам Бюрrерса Ь [52]. Например, для системы из N параллель
272
ных дислокаций, пересекающих перпендикулярную к ним единич-
ную площадку, jlrп==NelkpTkbmV'p, rде 't единичный вектор, ка-
сательныЙ к линии дислокации, e 1kP тензор Леви Чивита. OTMe
тим, что тензор jlrп определяет скорость локальной пластической
деформации среды. Поле напряжений, зависящих от времени, опре-
деляется соотношением
I
(Jik(r, t)==C ik1rп [Vrп,l(r, t')+ilrп(r, t')]dt',
'"
(6.20)
которое отличается от закона [ука (9.1,1) в областях локализацин
дислокацнонных потоков. Уравнения (6.19) и (6.20) должны быть
дополнены условиями излучения, и если рассматривается оrраничен
ное тело, соответствующими rраничными условиями. В частно-
сти, для свободной поверхности (с учетом (6.20)) должно быть
(Jik (r, t) nk==O. (6.21)
Решение краевой задачи (6.19) (6.21) может быть записано стан-
дартным образом с помощью соответствующей функции rрина
аи (r, r', t t') или динамическоrо тензора rрина
t
vi(r, t)== dt' d3r'Gij(r, r', t t')fj(r', t'). (6.22)
'"
Выражение для аи (r, r', t t') в случае неоrраниченной изотроп
ной среды имеет вид
1 , ( ) f I ' ) 3пinj {jij
Gij(r, t)== 4лр """"\te(t c ,3 +
т=l. t ' rп
+ б ( t )[ (n.n. б..)+ Crп Ct б.. J}
C / C rп '/ '/ CI Ct 1/ '
rде е ( ) функция Хэвисайда, п==r/r, а знак « » у суммы озна-
"( )
чает, что берется разность слаrаемых с т===l и т== t: """" a(Тn> =:о
m=l, t
==a\l) a(t). Для упруrоrо полупространства со свободной rраницей
даже более простая, чем G ij (r, r', t t'), функция аи (r, r', Ш), пред-
ставляющая собой спектральную плотность функции аи (r, r', t t'),
имеет только интеrральное (спектральное) представление в k-прост-
ранстве и в координатном пространстве относительно просто выра-
жается в квадратурах лишь в дальней зоне (см. также 4 rл, 12).
Из выражения (6.22) видно, что акустическое поле Vi (r, () nOk
ностью определяется законом движения скоплений дислокаций
{! (r, t). В дальней зоне, т. е. для расстояний " MHOrO больших ха-
рактерной длины излучаемых волн 'A""C 1 , tL<d>/V, rде L<d) размер
участка с движущимися дислокациями, а V их характерная
скорость, и при условии j н==О, означающем, что движение дисло-
каций не сопровождается нарушением сплошности среды, поле
273
излучения определяется выражением [52]
с, Ф п,;l (n).. ( t ..!...... )
V i (r, t) == 2'"''''::'''' 8 D kS с'
лr m=/,t С т т,
Здесь индекс т принимает значения l и t, соответствующие про-
дольным и поперечным волнам, ФШs(п)==ninknS, ф )s(п)==
==(1/2) (бikns+бiSnk) ninknS' Тензор Dks==Skbs, rде S вектор,
перпендикулярный к дислокационной петле и численно равный
площади петли, называется meн.зором дuслокацuон.н.о о .'r10MeIima
рассматриваемой области. Можно показать, что тензор D ks связан
с тензором j ks соотношением
(6.23)
bkS(t)== d3rjkS(r, t).
(6.24)
Таким образом, излучение системы дислокаций, движущихся в He
оrраниченной среде, в соответствии с (6.23) отлично от нуля лишь
в том случае, если вторая производная по времени от их дислока-
ционноrо момента не равна нулю, Соrласно соотношению (6.24)
и определению тензора j ks это означает, что дислокации должны дви
rаться с переменной скоростью. Отметим, что с подобным условием,
известным также из электродинамики (тормозное излучение), при
ходится встречаться и при рассмотрении излучения движущихся
лазерных пучков постоянной интенсивности ( 7 rл. 13).
В случае анниrиляции двух дислокаций противоположных зна-
ков, движущихся ДО слияния равномерно, скорость каждой из них
можно представить в виде v(t) e( t)V, rде e(s) функцияХэ-
висайда, описывающая факт анниrиляции при t O. Вычислив с по
мощью этоrо выражения значение jj ks, можно по формуле (6.23)
рассчитать сопровождающее анниrиляцию звуковое излучение.
Более сложным образом описывается излучение при выходе ди-
слокаций на поверхность. Изменение тензора j ks со временем здесь
нужно учитывать не только в уравнении движения (6.19), но и в
rраничных условиях (6.20), (6.21). Значительные неудобства сВя
заны также со сложностью записи тензора [рина Ои для полупро-
странства. Расчеты показывают, что при выходе на поверхность
винтовой дислокации возникающее излучение не отличается от
излучения, сопровождающеrо анниrиляцию двух дислокаций про-
тивоположных знаков рассматриваемой дислокации и ее зер
кальноrо изображения. При выходе на поверхность краевой ди
слокации наряду с объемными волнами излучаются и поверхност-
ные (рэлеевские) волны. Более подробно об этих вопросах можно
проЧИ1'ать в работе [66Т и приведенной в ней литературе (об экс-
периментальных исследованиях описанных механизмов излуче
ния звука движущимися дислокациями см. [52, 67, 68]).
В хрупких материалах процесс наrружения и соответственно
деформирования твердоrо тела обычно сопровождается возникно-
вением микротрещин, которые в этом случае являются основными
источниками акустической эмиссии на начальных стадиях разруше-
ния. Возникновение трещины в упруrо напряженном теле означает,
274
ЧТО В соответствующей области твердоrо тела образуется НQвая по
верХНОСТЬ, свободная от напряжений, которая определенным обра
зом смещается в пространстве, стремясь к положению статическоrо
равновесия. Этот процесс перехода к равновесному состоянию со-
провождается довольно интенсивным звуковым излучением с широ
кой полосой частот от инфразвука до 2 3 мrц [63J. Наиболее
важная особенность акустической эмиссии при росте трещин coc
тоит в том, что с увеличением скорости докритическоrо роста Tpe
ЩI!НЫ, что является предвестником полноrо макроскопическоrо
разрушения тела, интенсивность эмиссии резко возрастает и продол
жает увеличиваться вплоть до разрушения. Использование акусти-
ческой эмиссии в качестве метода контроля позволяет заблаrовре-
менно уменьшить наrрузку на объект. Например, в случае цикли
ческих наrрузок, распространенных на практике, типичная зависи
мость скорости акустической эмиссии N от числа циклов наrрузки
имеет вид, изображенный на рис. 10.17, Точка 1 на рис. 10.17 COOT
ветствует появлению видимоЙ трещины в испытуемом образце.
it
10
JO
50 /{U/f.llbI x/(JJ
Рис. 10.17. Зависимость скорости акустической эмиссии от числа циклов наrрузки
при росте усталостной трещины.
Скорость акустической эмиссии при этом составляет примерно по-
ловину от максимума, соответствующеrо полному разрушению
(образованию маrистральной трещины) точка 2. Аналоrичный
вид имеет и зависимость скорости эмиссии от времени наrружения
при статической наrрузке. Величина статической наrрузки при
этом, разумеется, должна быть меньше критическоrо значения,
при котором наступает MrHoBeHHoe разрушение. Так же, как и в
предыдущем примере, скорость акустической эмиссии в этом слу-
чае растет вплоть до полноrо разрушения. Схожесть поведения
эмиссии в обоих случаях объясняется действием общеrо для них
механизма усталостноrо разрушения.
Аналоrично случаю пластическоrо деформирования, акустиче-
ская эмиссия при хрупком разрушении изучена пока тОЛько для
275
элементарных процессов образования и развития трещин (см.
[69 75]). При этом предполаrается, что твердое тело подвержено
воздействию внешних статических или динамических усилий, под
влиянием которых и происходит движение трещины, сопровождаю
щееся излучением. На береrах трещины и на свободной поверхно
сти тела должны выполняться rраничные условия ОТСУТСТВlIЯ нор-
мальных напряжений. НачаJlьные условия обычно считаются нуле
ВЫМI!. Исходную задачу об излучении трещины в упруrо напряжен
ной среде удобно представить в виде суперпозиции двух задач
(что можно сделать в линейной IIOCTaHoBKe) задачи о напряженном
теле без трещины, К010рая в данном случае не представляет инте
реса, и задачи о ненапряженном теле с трещиной (с ней мы и будем
иметь дело), к береrам которой прикладываются некоторые усилия,
определяемые из условия обращения в нуль выражения fJijnj для
суммы двух упомянутых задач. Напряжения аи, действующие на
береrах трещины во второй задаче, таким образом, равны по Be
личине и противоположны по знаку напряжениям, которые были
бы на месте локализации трещины в ее отсутствие. Для описания
процесса излучения звука трещина ш можно использовать nрин
цип rюйсенса для твердых тел, математическая запись KOTOporO
для rармонических во времени внешних полей в случае трещин, не
меняющих своей длины (будем рассматривать для определенности
двумерныЙ случай), имеет вид
и т (r, w) ==
=== [npijGim(r, r', ш) пjСijk.tUi(r', ш)Gtт.k.(r, r', ш)]d2.
.z
(6.25)
Здесь точка наблюдения r лежит внутри замкнутоrо контура 2,
llj внешняя нормаль к контуру, G iт (r, r', ш) функция rрина.
Если трещина расположена в rлубине упруrоrо полупространства,
то контур 2' проходит по бесконечной полуокружности, по по-
верхности полупространства и по береrам разреза, проходящеrо
вдоль кривой, совпадающей со срединной поверхностью трещины.
Так как вследствие условий излучения интеrрал по бесконечной
полуокружности обращается в нуль, интеrрирование в (6.25) фак
тически проводится только по береrам разреза, проходящеrо через
трещину, и вдоль rраницы полупространства. Заметим, кроме Toro,
что из за rраничных условий на свободной поверхности первое сла
raeMoe в (6.25) при интеrрировании вдоль свободной поверхности
исчезает. Если же в качестве G iт использовать функцию rрина для
полупространства, то выражение (6.25) еще более упростится и CBe
дется к интеrралу только по береrам разреза. Как мы уже пвори
ли, величины аи на поверхности трещины определяются значения-
ми внешних прикладываемых к телу усилий, т. е. они известны.
Значения же и,. на береrах разреза, описывающие динамику paCKpы
тия трещИНЫ, при этом должны быть определены каким либо обра
зом по известным аи. Решению той сложной задачи динамики тре-
276
щин посвящена обширная литература (см., например, [76J) , на
которой мы здесь не будем останавливаться. Заметим, однако, что
определить и; можно, в частности, и с помощью решения интеrраль-
Horo уравнения, получаемоrо из (6.25) при стремлении точки Ha
блюдения r к поверхности трещины. Коrда значения Иi определены,
вычисление полей всех волн, возбуждаемых трещиной, в том числе
и поверхностных волн, может быть осуществлено посредством ннте-
rрировання (6,25) и взятия обратноrо преобразования Фурье. За
метим, что контур !l' не обязательно IlрОВОДИТЬ по оБОIlМ береrам
разреза, проходящеI'О через плоскость трещины. Для трещин, на-
ходящихся в неоrраниченrюй среде, ero можно провести вдоль ОД-
Horo из береrов разреза, после чеrо замкнуть бесконечной полуок-
ружностью. За счет разумноrо выбора функциЙ [рина при этом полу
чаются те или иные упрощения в вычислениях. Подробнее об этих
вопросах можно прочитать в работе [72], в которой также описаны
особенности вычислений для с,тrучая распространяющихся трещин,
Расчеты показывают, что при воздействии нормальных растя
rивающих напряжениЙ a(t) aoe (t) (rде в (t) функция Хэви
сайда, моделирующая процесс MrHoBeHHoro образования трещины)
на разрез СIIЛОШНОСТИ постоянной длины 21, находящийся в Heorpa-
пиченном теле, излучаются продольные и поперечные цилиндриче-
ские волны, характеризующиеся соответственно радиальными н
танrенциальными смещениями и , и Ив (в полярной системе коорди
нат r, в с уrлом в, отсчитываемым от направления нормали к тре-
щине). Приближенные выражения для спектральных плотностей
И r (r, в, ш) и ив (r, в, ш), справедливые в дальней зоне, при этом
имеют вид [721
ur(r, е, (0)==
i .!!!.....!
iao12e С[ .sin 1 sin ( 1 sIn е J
С[ Cl , Х
w w
п2рс l lsin е
С! С[
( C \ ( 2ni \1/2 i r
Х \2 cr siп 2 e 1 Л W ') е С[ ,
" С[ I
(6.26)
Ив (r, в, ш)
i l
iao12e С[ . sin 1
С[
W
n2pC2Ct 1
z С[
sin ( 1 sin е) . 2в ( 2ni ) j t r
S1П е .
1 sin е r
Ct Ct
Из (6.26) следует, что в рассматриваемом случае излучение обладает
направленностью, зависящей от длины трещины. Если трещина Ha
чинает саl'40ПРОИЗВОЛЬНО расти (это возможно при условии, что дей
ствующие' в окрестности трещины Статические напряжения а о
превышают критическое напряжение разрыва для трещины данной
длины [76J), то в окружающее пространство также излучаются
277
продольные и поперечные волны. Для модели трещины, растущей
от нуля симметрично в обе стороны при постоянных значениях ско-
рости У, меньших скорости рэлеевской волны, выражения для спек-
тральных плотностей ur(r, е, ш) и ив (r, е, ш) принимают вид
и, (r, е, ш)==
. 2 V . ( 2 ) ( 2л:i 1/2
[. (10 "1 V 2 2 С
== л2рс со2 ( cl sin 2 e 1) 2 C sin 2 e l r )
[ '
е С[
,
(6,27)
,(о
ив (r, е, ш) == i. 2(1°2 V2 ( V; sin2 e 1 ) \in2e ( . 2Л:i ) 1/2 е' с; '.
л: 2 pC [Ct со 2 Ct r
Ct
Таким образом, в отличие от отдельно движущихся дислокаций,
распространяющаяся трещина излучает и в том случае, коrда ее
вершины движутся с постоянными дозвуковыми скоростями, Ha
правленность излучения при этом выражена слабо. Если формально
предположить, что скорость V может быть больше С[ или C t , то
появляется еще один механизм излучения, аналоrичный черенков
скому [721. Однако поскольку при обычных режимах статическоrо
наrружения скорость V не может превышать скорости рэлеевской
волны [761, такая возможность является чисто умозрительной. Если
распространяющаяся трещина проходит вблизи какой либо Heoд
нородности, например друrой трещины меньшеrо размера, то в
дополнение к излучению, описываемому выражениями (6.27),
появляется переходное излучение двюкущейся трещины [731. При
образовании трещин на поверхности твердоrо тела наряду с объем-
ными волнами весьма эффективно возбуждаются и волны Рэлея, так-
же обладающие направленностью излучения, Соответствующие BO
просы рассмотрены в работах [74, 7БI:
Описанные закономерности излучения звука при некоторых эле-
ментарных актах движения твердоrо тела, разумеется, дают лишь
весьма поверхностное представление о полной картине явления.
В целом акустическая эмиссия оказывается сложным физическим
процессом, тесно связанным с движением дислокаций, кинетикой
разрушения *) и т. д., причем зачастую она оказывает сильное об-
ратное влияние на вызвавшие ее процессы. Например, акустическое
излучение, возбуждаемое движущейся трещиной, оказывает воз-
действие на закон движения самой трещины [71 I. ТО же самое, по
видимому, можно сказать и о движении дислокаций. Трудность
интерпретации реrистрируемых сиrналов акустической эмиссии
в реальных, т. е. в оrраниченных, образцах усуrубляется также
весьма сложной структурой излучаемоrо волновorо поля, поскольку
при ней MorYT возбуждаться любые типы волн, которые существуют
..) о некоторых попытках установлении связи параметров акустической !мис-
сии С кинетикой разрушения можио прочитать в [63, 64).
278
в твердом 'I'еле, в том числе поверХНОС'I'ньrе волНЫ 1I волны в nЛQ.CТИI1
ках. Указанные факторы являются причиноЙ Toro, что теоретиче-
ское изучение акустической эмиссии еще далеко до завершения [77],
Практические применения акустической эмиссии чрезвычайно
разнообразны. Однако rлавной областью применения акустической
эмиссии в настоящее время является неразрушающий и оператив-
ный контроль инженерных конструкций и сооружений. Основным
достоинством методов неразрушающеrо контроля с использованием
акустической эмиссии, делающих их особенно ценными, является
тот факт, что эта эмиссия сопровождает только развивающиеся,
т. е. наиболее опасные дефекты. Друrая привлекательная сторона
применения акустической эмиссии связана с тем, что источником
звука, и притом довольно мощноrо, в этом случае являются сами
дефекты, блаrодаря чему задача обнаружения и локализации дефекта
(источника акустической эмиссии) значительно облеrчается [63, 64].
В частности, для этой цели MorYT использоваться методы, ранее
развитые в сейсмолоrии, например метод трианrуляции. Большая
практическая ценность акустической эмиссии вызвала резкий
всплеск активности исследований в этом направлении, rлавным обра
зом экспериментальных, в результате чеrо за относительно короткий
период времени методы контроля, основанные на акустической эмис
сии, получили широкое распространение в тех областях, rде выход
изделия из строя мечет за собой катастрофическое разрушение.
К наиболее важным областям использования акустическоЙ эмис-
сии относятся ядерная энерrетика, морской и воздушный транспорт,
трубопроводы. Разумеется, весьма велико значение ее и для чисто
физических исследований, так как сиrналы эмиссии MorYT дать важ
ные сведения о динамике дислокаций, закономерностях движения
'lрещин, кинетике разрушения и т. д.
fлава 11
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА ТВЕРдоrо ТЕЛА
1. Введение. Общие замечания
В rл. 3 и 4 мы познакомились с нелинейными явлениями в rазах
и жидкостях при раСl!ространении в них акустических волн KO
нечной амплитуды. Эти явления были связаны снелинейностью
уравнений движения и состояния. Как мы уже обращали внимание
в rл. 8, в теории упруrости изотропноrо твердоrо тела также имеют
место подобноrо рода неЛИI1ейнссти. По этой причине распростра
нение упруrих волн в твердых телах должно приводить к явлениям,
аналоrИчным изученным в rл. 3 и 4: rенерации rармоник, взаимодеЙ
ствию волн, нелинейному поrлощению и т. д. Вместе с тем, поскольку
в твердых телах MorYT существовать несколько типов волн (про
дольные, поперечные, поверхностные), нелинейные эффекты здесь
более мноrообразны. Качественно новые нелинейные явления можно
наблюдать, если от изотропных диэлектриков перейти к случаю
анизотропных кристаллов, кристаJ1ЛОВ, обладающих 11 ьезоэффек-
том, и н особенности полупроводниковых и ряда маrнитоупорядочен
ных !СрИС"lалЛОВ.
В этой rлаве мы сначала рассмотрим наиболее простые задачи,
отнссящиеся к распространению звуковых волн в изотропных TBep
дых диэлектриках.
Нужно иметь в виду, что конечные деформации в волне невели
ки и максимальные напряжения имеют порядок нескольких Н/см2,
тоrда как напряжения, при которых возникаЮl' остаточные дефор
мации, начинаются пластические течения для таких металлов, как
никель, сталь и т. д., порядка тысяч Н/см 2 . Таким образом, изме
нения параметров среды лежат, как это принято rоворить, в упру-
rой области, коrда остаточные деформации и напряжения отсутст-
вуют.
Во первых, весь этот Kpyr задач интересен с акустической точки
зрения, поскольку в твердых телах проявляются новые особенно
сти распространения упруrих волн. BO BTOpЫX, он представляет
большой интерес для физики твердоrо тела; методы нелинейной аку-
стики дают возможность изучать тонкие вопросы взаимодействия
тепловых фононов, моделируя эти взаимодействия на искусственно
полученных кorерентных фононах. Как мы видели в rл. 10, aHrap
моничность решетки, которую можно исследовать, изучая нелиней
ные акустические эффекты, иrрает важную роль в таких кинетиче
280
ских явлениях, как теплопроводность и поrлоrцение звука в TBep
дЫХ телах. Кроме Toro, о большом значении этой части физической
акустики можно судить по мноrочисленным техническим ПРИJIоже
ниям,
После появления работы Л. Д. Ландау и Ю, Б. Румера [IJ, о KO
торой мы подробно rоворили в rл. 10, выяснилась роль анrармонич-
ности решетки в поrлощении звука. Позднее З. А. fольдберrом была
сделана важная работа [2] по исследованию распространения пло
ских волн конечной амплитуды в изотропном твердом теле. Однако
первые эксперименты на коrерентных фононах, доказывающие яв
ление трехфононноrо взаимодействия, в частности rенерацию rap
моник в волнах конечной амплитуды, были выполнены только в
1962 [, r3 6J, Вслед за ними появилась серия экспериментальных
и теоретических работ по изучению решеточной нелинейности MeTO
дами нелинейной акустики, а также ряда нелинейных акустических
эффектов сначала в изотропных твердых Te.'IaX, затем в MOHO
кристаллах диэлектрИIЮВ и металлов. Сюда относятся IIССilедова
ния взаимодействий волн конечноЙ аМIIЛИТУДЫ, в том числе KOM
бинационное рассеяние звука на звуке r7 IIJ, rенсрация rармонИI<
в волнах Рэ.ТIея [12 14J, неюшеЙные резонансы в аКУСТIIчеСIШХ
резонаторах с большоЙ добротностью [l5 18J, выяснение роли
остаточных напряжениЙ в распространении волн конечноЙ амшIИ
туды [19, 20J, влияния поrлощения [21] и т. Д.
Изучение нелинейных акустических явлений в I<рнсталлзх ПрIJ
вело к обнаружению ряда новых нелинейных эффектов [22J, к
которым можно отнести rенерацию запрещенных (с точки зрения
классической нелинейной теории упруrости) rармоник в сдвиrо-
вой волне, нелннейные поляризационные эффекты, акустические
нелинейные явления в пьезополупроводниках, в 'частности влия
ние так называемой концентрационной или токовой нелинейности
(см., например, rл. 12). В настоящей же rлаве мы оrраничимся изу
чением влияния на волны конечной амплитуды только решеточной
нелинейности. Мы рассмотрим здесь также кратко эксперименталь
ные методы изучения нелинейных акустических явлений в твердых
телах.
2. Основные сведения из нелинейной теории упруrости
С методами феноменолоrическоrо описания нелинейноrо пове
дения изотропных твердых тел мы уже познакомились в rл. 8,
В частности, приводилось выражение для BHYTpeHHei! энерrии изо
тропноrо твердоrо тела с точностью до членов TpeTlJero порядка по
степеням тензора деформащ!И. Ниже мы рассмотрим эти вопросы
более подробно, I(асаясь в основном тех аспектов нелинейной теОРИ!l
упруrости, которые имеют непосредственные приложения к волно-
вым задачам. Имея в виду потребности дальнейшеrо изложения,
начнем обсуждение. с более общеrо случая пьезоэлектрическоrо
кристалла. При этом в качестве термодинамическоrо потенциала,
определяюrцеrо вид нелинейных уравнений состояния, удобно выб-
281
рать так называемую электрическую энтальпuю Тuббса Н, которую
можно записать в виде ряда по степеням полевых переменныХ 122J:
роН == 1/2СijkIИ/jИkl + l/оСiik'l rИijИk1Иqr
1/ 2 8 тп Е тЕп 1/ 08 тпр Е тЕ пЕ p emljE тUij
1/2emijkIEmuijUkl 1/zt Т1IпijЕ т Е п И/j + . . . (2.1)
При этом мы не будем делать различий между изотермическими и
адиабатическими значениями коэффициентов разложения (2.1),
так как обычно они отличаются не более чем на 2 3%. Здесь Po
плотность кристалла до деформирования, CijhZ и Ci}hlqr упруrие
модули BTOpOrO и TpeTberO порядков, 8 тп И 8 тпр коэффициенты
линейной и нелинейной диэлектрической проницаемости, emi} и
emijhl линейные инелинейные пьезокоэффициенты, tffiТli} KO
эффициенты электрострикции, иij тензор деформации, Eт BeK
тор напряженности электрическоrо поля. Уравнения состояния
для тер.м.о()uнамuческuх напряженuй tij и электрической индукции
D m леrко по.'1учить посредством дифференцирования потенциала Н:
t/j == Ро дН/дИij, D m == Ро дН/дЕт' (2.2)
Необходимость введения термодинамических напряжений t ij В
нелинейной теории упруrости [23, 24] связана с тем, что обычно ис-
пользуемые механические напряжения (J ij определяются по OTHO
шению к площади деформированноrо тела, в то время как дефор-
мация по отношению к недеформированному состоянию, Для
устранения этоrо несоответствия в термодинамике и вводится сим-
метричный тензор tij, определяемый по отношению к площади пер-
воначально недеформированноrо тела. Очевидно, в линейном при-
ближении iij==aij, однако при описании нелинейных эффектов раз-
ницу между tij и аи необходимо учитывать.
Подстановка (2.1) в (2.2) дает с точностью до квадратичных чле
нов
t ij == [СЩl + 1/2 (Сijkl rИqr ерijkIЕ р)] Иkl
[enij+ 1/2 (enijqrUqr+ tnpf.iE p )] Е п ,
(2.3)
D т == [e mkl + 1/2 (етklqrИqr + t mPkl E р)] И kl +
+ [8 тп + 1/2 (f mnqrUqr + 8 тпр Е р)] Ер.
Нетрудно видеть, что величины в квадратных скобках в данной
записи имеют смысл модифицированных линейных модулей (rл. 9).
Нелинейные акустические эффекты в твердых телах принято
подразделять на статические (распространение волн при воздей
ствии на I{ристалл постоянных механических или электрических Воз
мущений) и динамические (rенерация rармоник, или искажение
формы волны, и взаимодействие волн). При описании нелинейных
акустических свойств кристаллов принято различать сЛедующие три
состояния среды [2зJ: 1) недефОРМИРО8анное (естественное) состоя
ние координаты Xl лаrранжевы координаты (см. также rл. 1);
2) начальное деформированное равновесное состоянuе (при воздей-
282
C1'Bilil 1!Неl1IlIИХ статических возмущений) координаты X i ; 3) со-
стояние в данный момент (характеризующее распространение зву-
ка) координаты х;. В зависимости от Toro, какая из переменных
х', Х или Х считается независимой, уравнения движения имеют раз-
личный вид. В частности, в переменных eCTecTBeHHoro состояния,
в которых вектор смещения определяется выражением lli==X; X;,
а тензор деформации иij==1/2[ди;lдХj+ди/дх;+(дUkд/х;) (диklдХj)J,
для закона сохранения массы (уравнения непрерывности) имеем
Ро/Р == J == detl J ij I ' (2.4)
rде Jij==дх;/дХj матрица преобразования от переменных Х; К
переменным х;, Р плотность среды в деформированном состоянии.
Выражая в механическом уравнении движения pu;==a;j,j величины
р и аи через Ро и t ij В соответствии с формулой (2.4) и соотношением,
связывающим механические и термодинамические напряжения
(см., например [23J): ajk==(l/J)X;'. rxj. qt q " rде запятая означает
дифференцирование по Х;, получим
рои! ===Ри. j'
(2.5)
rде Р и==Х;. qt jq так называемый тензор напряжений П иолы
Кирхеофа. Этот тензор, очевидно, не симметричен, Можно показать
[23, 24], что он «сопряжен» rрадиентам смещений, т. е. (иРо)Ри==
==дН/д (aUi/aXj) (см. также [5]), в то время как тензор термодина
мических напряжений 'и «сопряжен» компонентам тензора дефор-
мации (см. первое соотношение (2,2)).
Уравнения движения для электромаrнитноrо поля (уравнения
Максвелла) в квазистатическом приближении, но с учетом движе
ния частиц среды, как известно, сводятся к выражениям
aD O)/ax; ==:0,
Е<О1 ==: дер/дх;,
(2.6)
(2.7)
в которых индексы «О» означают, что соответствующие переменные
определены в координатах х;, в то время как Е; и D;, входящие в
уравнения состояния (2.3) в координатах Xi' Связь между ними
дается формулами [24]
D<O) .,..2.... дх, D. Е. дХI E O)
1 JaXj J' l""""aXj J'
С учетом (2.8) уравнения (2.6) и (2.7) нетрудно преобраЗОr!ать к виду
aDj/axj==O, (2.9)
E j == дер/дх j , (2.10)
(2.8)
т. е. уравнения электростатики не меняются при переходе к коорди-
натам Х!.
Выписанная система уравнений, включающая уравнения дви-
жения (2,5), (2.9), (2.10) и уравнения состояния (2.3), полностью
описывает нелинейные акустические эффекты в пьезокристаллах
в квазиетатическом приближении.
283
в качестве nepBol'o примера, иллюстрирующеrо использование
этих уравнений, рассмотрим статическиЙ нелинейный эффект
распространение волн малой амплитуды внепьезоэлектрическом
кристалле, к которому приложено постоянное во времени и одно-
родное в пространстве внешнее механическое напряжение [23].
Для этоrо разложим величину Pij(Xi) в степенной ряд по U k . ,===
===д (Xk X k)lдХ1В окрестности начальноrо состояния:
Ри (Х;) Pij (Х) == АiщИ k , ,. (2.11)
Здесь и далее знак «"'» будет означать, что соответствующая вели
чина берется в начальном состоянии. Подставляя соотношение
(2.11) в уравнение (2.5), можно получить линеаризованное отно-
сительно И; уравнение движения в естественных координатах:
Poiii == Аijk,д2Иk/дх, дх j . (2.12)
Для перехода к уравнению относительно начальных координат обе
части (2.12) следует умножить на Р/Ро=== 1/ J и сделать подстановку
дiдХj=== (дХ 8 iдХj) дlдX s' При этом уравнение (2.12) принимает вид
Ри; == Вismrд2Иm/дХs дХ п
(2.13)
rде
1 дХ r дХ s
B ismr ==.....",... А. " . д д == Oirл rJ sr +C isrлr '
J 1т J Xj Х,.
(2, 14)
В выражении (2.14) через ё isтr обозначены коэффициенты, стоящие
перед компонентами линеаризованноrо тензора деформаций и st ===
с:=1/2(диslдХt+дИt/дХs) в разложении тензора механических напря
жениЙ в окрестности начальноrо состояния
( дU ) дu j дu i
(Jij ==ао 1 дX +a is ax s +a jS DX s +cijstUst.
Лепю видеть, что по своей форме уравнение (2.13) совпадает с обыч-
ным линеЙным волновым уравнением, описывающим распростра-
нение упруrих волн в кристаллах. Разница состоит лишь в том,
что при ненулевых начальных напряжениях a sr величины Bisтr.
вообще rоворя, оказываются менее симметричными по сравнению
с линейными упруrими модулями недеформированноrо кристалла,
Физически это вполне очевидно. В случае rармонических плоских
волн от уравнения (2.13) можно перейти к уравнению типа Крис-
тоффеля, в котором роль тензора Кристоффеля будет иrрать тен-
зор Bisтrпsпr' Собственные значения этоrо тензора рс 2 опредеЛяют
значения скоростей С(т) акустических волн в однородно наrружен-
ном кристалле.
Леrко понять, что измерение зависимостей скоростей с{fЛ) от
значений приложенных внешних сил может использоваться для
экспериментаJrьноrо определения упруrих модулей TpeTlJero по-
рЯДКа, соответствующих естественному состоянию среды (см. урав-
нение (2.3)), которые, очевидно; входят в величины ё;отт' .чтобы
284
получить искомую связь, следует воспользоваться разложением тер-
модинамических напряжений в окрестности начальноrо состояния
O
t "'т == t km + Ckтpq (Upq Upq) + . . . ,. (2.15)
rде тензоры t km , l km И u pq ' U pq обычным образом определяются в
естественных координатах [23, 24J, и учесть соотношение
с. == дХiдХsдХтдХr ёJkрq.
Ismr J DXjDXk DXpDX q
Сравнивая выражение (2.15) с уравнением остояния (2.3), можно
связать величины C sтr Н, следовательно, Cisтr С модулями упру-
rости BTOpOrO и TpeTberO порядков и значениями прикладываемых
механических напряжений. Мы, однако, не будем на этом останав-
ливаться, отсылая читателн к специальной литературе по экспери
ментальному овределению модулеЙ упруrости TpeTbero порядка
[7, 22 28J. Об измерении нелинейных пьезоэлектрических I\ОЭф
фициентов можно прочитать в работе [29].
Отметим, что изменения скоростей акустических волн при внеш
них воздействиях, обычно пропорциональные величине воздействия,
MorYT использоваться и в практических целях: например, для изме
рения давления, деформаций, напряженности электрическоrо поля;
для анализа распределения механических напряжений в среде и
т. п. Этим вопросам посвящена обширная литература (см., например,
[30, 30). Точность измерений можно повысить, если использовать
закономерности поляризационных эффектов для акустических
волн в кристаллах, !!одверженных статичес!(Им внешним воздей
ствиям, в частности возникновение Э.lлиптической поляризации у
сдвиrовой волны ври ее распространении вдоль акустической оси.
Подробнее об этом можно прочитать в монorрафиях [28,.32].
3. Взаимодействие упруrих волн конечной аМПЛИТУДbI
в изотропном твердом теле
Перейдем теперь к динамическим неЮIНейным эффектам, Ha
чав с более простоrо случая изотропных твердых тел. Будем счи-
тать, что статическое воздействие отсутствует, вследствие чеrо мож-
но оперировать с переменными eCTecTBeHHoro состояния. Проана
лизируем сначала случай, коrда акустические волны конечной
амплитуды распространяются в одном и том же направлении(коллu
неарное 8заuмодействuе). Для этоrо мы должны исходить из урав-
нения движения (2.5) и уравнения для внутренней энерrии изо
тропноrо твердоrо тела, упруrие свойства KOToporo определяются
пятью модулями упруrости уравнение (8.1.15). Тензор P ik при
этом можно выразить либо через термодинамические напряжения
t ik, лиБЬ" определить непосредственно путем дифференцирования
термодинамическоrо потенциала (8.1.15) по rрадиентам вектора сме-
щений (см. 2).
р. дС
Ik д (дщ/дХk)
285
;Хифференцируя, получим
( дUi дUk ) ( К 21-1 ) дие д
Pik==fl д>:k + дх; 3' дХе ;k+
+ ( + ) ( дие + дUk дщ + дщ д Щ ) +
fl 4 дх; дХk дХе дХе дХk дХi
+ ( К 21-1 + В) [( ' дие ) 2 tз;k+2 дщ д e ] +
2 3 I дX rп дХk дХе
+..i. дllkдUl +в ( ' дUlдUrп д. +2 дUkдUl ) ' +c ( ) 2д.. (3.1)
4 дХе дХi дX rп дХе Ik дХi дХе дХе Ik
Из уравнений (2.5) и (3.1) найдем
д 2 щ д 2 щ ( 1-1 ) д2ие
РОдf2 fl дХk К+з- дхlдХi ==tF i ,
(3,2)
[де:JF i компонента объемной «нелинейной» силы, представляющая
собой величину BToporo порядка малости относитеJIЬНО rрадиентов
смещений:
tF i == ( fl +..i. ) ( д2 e !.!!:1. + д2 ! дщ + 2 д 2 щ дие ) +
4. дХk дХi дч дХе дХе дХk дХk
+ ( К +J::+ +B ) ( дие + д2Uk дИi )
3 4 . дХi дч дХk дХе дХk дХ е
( K+ 2[t +B ) д2 i дие + ( + В ) ( д2Uk дие + ) +
3 _ дХk дХе 4 дх, дХk дх; дх; дХk дХе
д2Uk дие
+ (В + 2С) дХi дХk дХе . (3.3)
Воспользуемся теперь методом последовательных приближений,
представляя смещение в виде
и и'+и((+ ...
(и( первое приближение, и(( второе приближение; и(( и'). Под-
ставляяя и в (3.2), получим уравнение первоrо приближения:
д 2 иl д 2 и{ ( J.t ) д2и/
Ро дt2 fl дx К+-з дXeдX{ O' (3.4)
и уравнения BToporo приближения:
д2Ul д 2 и'! I 1-1 ) д2и; I
Po7fi2 fl дx (К +з дХlдХi ==tF i (и), (3.5)
rде tF; (и') объемная сила, вызванная смещениями первоrо приб
лижения.
Уравнения (3.4) обычные однородные уравнения движения,
определяющие величины и/. Уравнения же BToporo приближения
(3.5) дают нам возможность исследовать, как под действием упру
тоЙ волны конечной амплитуды происходит (и происходит ли вооб-
ще) reнерация rармоник продольной и поперечной волн.
'21!б
Пусть в твердом теле имеется плоская волна, раСIJространяющая
ся по оси Х, вектор смеЩения которой
и (х, t) ==: 'и 1 (х, t) + jU 2 (х, t) + ku з (х, t). (3.6)
Индексы 1, 2, 3 соответствуют смещениям по осям х, у, Z.
ИЗ уравнений (3.4) следует тоrда, что уравнения первоrо при-
ближения будут представлять собой три волновых уравнения,
одно для продольно й волны L со скоростью распространения С[===
==: y ( к + (..t) ! Ро и два для поперечных волн Т с различными по-
ляризациями и скоростью Ct == V (..t/Po ' Эти волны соответствуют ли-
нейной акустической задаче; они не взаимодействуют между собой.
Ltля BToporo приближения при заданном условии будем иметь
уравнения [2]
д 2 и; 2 д 2 и; д2и ди А ( д2и ди; д2и ди )
at2 Cl дх2 == l дх2 (jX+1"1 дх2 ах+ дх 2 дХ '
д 2 и; с 2 д 2 и; == А ( д2и дa + д2и ди; )
at 2 t дх2 I"t дх 2 дх дх 2 дх '
д 2 и; с 2 д 2 и; == А ( д 2 и; ди + д2и ди; )
at 2 t дх2 1'1 дх 2 дх дх 2 дх '
(3.7)
(3.8)
(3.9)
rде
C == (К + 4[t/3)/Po' C == (..t/Po,
l == 3С 1 + (2А + 68 + 2С)/ро,
t == C + (А;,2 + 8)/ро.
(3. 1 О)
Рассмотрим теперь различные случаи.
1. Пусть в первом приближении имеется только одна продоль-
ная волна. При этом система уравнений (3. 7) (3.9) перейдет в
одно уравнение (так как и =#00, и; ===и .==со):
д 2 и; 2 д 2 и; д2и ди
at2 C / дх 2 == l дх2 7fX' (3.11)
Решение этоrо уравнения для нулевоrо 'начальноrо условия имеет
вид (если при х===о и (о, t)==cu o cos шt)
" Рl xkfu5 [ 2 ( t k )]
и 1 == -----в cos ш lХ ,
С/
rде kz===ш/сz. Для скорости смещения (колебательноЙ скорости)
будем иметь
(3.12)
" Р 1 (J) 2' [2 ( .. k )]
и 1 == 2'" """2 хи о srn ш. lХ .
С/ 4с/
Здесь и о === шu о . Сравним это выражение с (3.1.27); находим, что
r == [/c1 == 3+ (2А + 68 + 2С)/р о с'. (3.14)
Таким образом, для твердых тел нелинейным параметром вместо
'1' будет величина r. Отметим, что значение r для твердых тел (Me
287
(3.13)
таллы, щелочно-rаллоидные кристаллы) колеблется от 3 до 14
(порядок тот же, что и для жидкостей). Но скорость С[ в твердых те-
лах больше, чем в жидкостях, и поэтому при прочих равных усло-
виях амплитуда rармоники в твердых телах по крайней мере на по-
рядок меньше, чем в жидкостях.
2. Пусть теперь в первом приближении имеется только попереч-
ная волна, поляризованная в направлении оси z: a ==и;==О, u;=I=O.
Из уравнении (3.7) (3.9) следует тоrда, что
д2u;/дt2 с д2u;/дх2==0, (3.15)
т. е. что и; удовлетворяет однородному волновому уравнеЮIЮ.
Поскольку, однако, при хс""О и (O, t)==O, отсюда тождествеIШО
следует и; ===0. Таким образом, при распространении плоской
поперечной волны в изотропном твердом теле rармоникитакой
волны не образуются. Физический смысл этоrо будет oroBopeH ниже.
Заметим, что полученный результат позволяет утверждать, что в
изотропном твердом теле две коллинеарные поперечные волны с раз-
личными частотами также не взаимодействуют между собоЙ. Одна'
ко в рассматриваемом случае, соrласно уравнению (3.7), попереч-
ная волна вызывает во втором приближеюш появление продоль
ноН во,пны:
д 2 и; 2 д 2 и; д 2 и; ди
"'"(j(i" С[ дх2 == I't . дх2 дХ .
(3.16)
Если смещеНI!Я и; заданы на rранице х==о прп t", О в виде синусои-
дальной поперечной волны:
и; (О, t) === a о COS(J)t,
(3.17)
то решение уравнений первоrо приближения будет
a (х, t) == a о COS (ш! ktx), (3.18)
тде kt===(J)/Ct. Подставляя (3.18) в (3.16) и ПРИЮIмая во внимание,
что a (О) ==0, найдем
и"== (Bl+c7 c1)ыи siп [( k k ) x ] cos [ 2(J)t ( k +k ) х ] . ( 3.19 )
1 4c [(C[lcl)2 1] 1 [ 1 [
Как видно из этоrо выражения, амплитуда пояВ}шшейся второй
rармоники испытывает биеrrия в пространстве с пространственным
периодом
x == ЛС[/(J) (a 1) == 1.[/2 (a 1),
(3.20)
rде а===с/с 1 . Такие пространственные биения происходят из-за
квGзuдuсперсuu, состоящеii в том, что Cl И С 1 разтrЧIIЫ; СИНХРОНИЗl,i
между поперечной волной первоrо приближения и rенерrrруемоЙ
продольной волной BToporo приближения (вторая rармоника про-
дольной волны) отсутствует.
3. Рассмотрим теперь случай, коrда в первом приближении од-
новременно имеюуся и продольная, и поперечная волны. Такая
ситуация обычно и реализуется в экспериментах с пьезокварцевой
88
пластинкой. Здесь возникают: rармоники продольной волны, про-
дольная сложная волна, вызванная поперечной волной, и попереч-
ная сложная волна (она имеет пространственную модуляцию с перио-
дом порядка длины продольной волны). Подробнее с этим случаем
можно познакомиться в [5].
При выводе формул, описывающих rенерацию rармоник, нами
не учитывал ось поrлощение звука. Если ero учесть, то для ампли-
туды rармоники получим [21]
u" и ( ) .!:..k2 exp( 2a(i)x) exp( c.t2(i)X) ( 3.21 )
1 2(i) Х 8 /и о 2r.x(i) r.x2(i) ,
rде a(i) и a 2 (i) . коэффициенты поrлощепия первой и второй rapMo-
ник продольных волн. Как видно из этой формулы, линейный рост
амплитуды второй rармоники с расстоянием Х имеет место только
при малых Х, при которых (3.21) переходит в (3.12). На расстоянии
Х СТ == (1п 2)/2a(i) вторая rармоника достиrает максимума и при даль
нейшем увеличении Х начинает убывать.
Подобным же образом рассматривается задача о rенерации звука
комбинационных частот суммарной и разностной Шl + Ш2, воз-
никающих при коллинеарном распространении rармонических волн
конечной амплитуды. Приведем для справок получающиеся форму
лы, поскольку они часто используются в экспериментальных иссле-
дованиях:
и " r k (l) k (l) ехр ( Ct(i)r =F O':(i),) x exp ( tX(i), :1: (i),X)
(i) :1: (i) == (i)r (i),u(i)ou(i)o .
l' 8 1 2 r.x(i)r ::!: c.t(i). r.x(i), :1: (i).
(3.22)
в отличие от rазов и жидкостей, в твердых телах, поскольку в
них MorYT распространяться два типа объемных волн продоль-
ные и поперечные, кроме коллинеарноrо взаимодействия, которое
мы до сих пор рассматривали, возможны взаимодействия nри nере-
сечении волн, или оrраниченных звуковых пучков, под уrлом, зна-
чительно б6льшим уrла параметрическоrо захвата (см. rл. 4, а
также rл. 10).
Запишем уравнения сохранения энерrии и квазиимпульса фо-
нонов условия синхронизма или резонансные условия, с кото-
рыми мы имели дело в rл. 4 и 10:
Ш 1 + Ш 2 == ш з ,
k 1 + k 2 == k з .
Второе из этих условий можно записать, соrласно рис.
I k з 12 == 1 k 1 12 + I k 2 , 2 + 2/ k 1 11 k 2 ! cos а.
(3.23)
(3.24)
4.1, в виде
(3.25)
Уrол рассеяния у, под которым направлен волновой вектор рас-
сеянной волны k 8 , находится из условий (3.23) и (3.24). Он определя-
ется выражением
tg '1' == Ьс 1 с;1 sin а/(I +Ьс 1 с;1 cos а), (3.26)
rде Ь==Ш 2 /(fJl, а С 1 и C2 скорости распространения волн 1 и 2.
10 в. А. КраСИЛЬИИRОВ, В. В. Крылов
289
Рассмотрим в качеС'све примера случай, коrда имеется взаимо-
I ействие типа L((01)+T((02) L((Ol+(02)' Тоrда из (3.23),' (3.26)
II (3.25) нетрудно' найти, что
cOsa== 1/а+(Ь/2а) и a2), (3.27)
tg l' == аЬ sina/(l +аЬ cosa), (3.28)
['Де a С[ С/. Посколыч l<cos a<l, то рассмотренное взаимодей
ствие возможно лишь в том случае, коrда для отношения частот Ь
выполняется условие 0<b<2/(a 1). Подобным же образом можно
рассмстреть и друrие разрешенные типы взаимодействия плоских
[СJJИ, или фононов.
Отметим, что проведенные рассуждения дают возможность лишь
установить, возможен ли данный тип взаимодействия, а также опре-
делить уrол рассеяния, и не решают вопроса об амплитуде рассеян-
ной волны. Для нахождения интенсивности рассеяния необходимо
решать задачу о вероятности взаимодействия фононов. Эта задача
без учета поrлощения решалась в [7J для случая коллимированных
пучков и источников рассеянноrо поля, имеющихся только в обла
сти пересечения пучков. Рассмотрение показывает, что амплитуда
смещения в рассеянной волне оказывается пропорциональной k 3
(BCIIOMHHM, что рост амплитуды второй rармоники ",-,k2) , т. е. что
рассеяние оказывается особенно сильным в области высоких ча-
стот, Друrой ваЖI:IЫЙ вывод состоит в том, что рассеяние оказывается
тем эФl:ективнее, чем ближе по частоте взаимодействующие волны.
Это се стоит В сorласии с тем известным фактом, что ультразвуковые
волны, частоты которых значительно ниже частоты, rде число теп
ловых дебаевских фононов максимально (1012 1013 [ц), непосред-
ственно не взаимодействуют с тепловыми фононами и что в этом
случае действует механизм Ахиезера, о чем подробно rоворнлось в
rл. 10. Более подробное рассмотрение теории комбинационноrо рас-
сеяния см. в 171 и [5].
В rл. 10 мы коротко останавливались на тех условиях синхро-
низма, выполнение которых возможно для L и Т волн. Сделаем
здесь еще несколько замечаний по этому поводу.
Отметим, что, например, взаимодействие Т ((01)+ т ((O2
Т ((01 + (02) разрешено cor ласно условиям синхронизма; однако
во втором приближении, как было показано ранее, вторая rармони-
ка сдвиrовой волны при этом не rенерируется. Не будет поэтому и
rенерации комбинационных частот. Таким образом, MorYT встре-
чаться случаи, коrда, несмотря на выполнение условий синхро
lIизма, взаимодействия волн не будет. Таким образом, условия
(3.23) и (3,24) являются необходимыми, но отнюдь не достаточными.
Анализ показывает, что наряду с разрешенными коллинеарными
взаимодействиями L ((Ol)+L ((02) L ((01 + (02) разрешенными явля-
ются еще такие неколлинеарные взаимодействия:
L ((01) + т «(02)............ т «(01 (O2)' т ((1)1) + т (ш 2 ) L (Ш 1 +( 2 ),
L ((01) + L ((02) т (Ш 1 (2), L (ш 1 ) + т ((02) L (Ш 1 (2)'
L ((Oi) + т (ш 2 ) ........ L ((I)i +(02)'
(3.29)
290
Заметим, что мы пока "мели дело только с одними акустическимИ
волнами и рассматривали только фонон фононные взаимодействия.
Значительно более разнообразны взаимодействия звуковых волн с
волнами друrой физической природы, Имеются взаимодействия
фонон электронные, фонон фотонные, фонон маrнонные, но о них
мы будем rоворить в rл. 12 14.
4. Нелинейные акустические эффекты в кристаллах
По сравнению со случаем изотропных твердых тел нелинейная
акустика кристаллов отличается большей сложностью и мноrообра
зием, что объясняется как анизотропией упруrих свойств кристал
лов, так и возможностью взаимодействия акустических волн с поля
ми друrой физическоЙ природы. Мы кратко опишем основные He
линейные эффекты, акцентируя внимание на тех из них, которые
характерны именно для кристаллов и не встречаются в изотропных
твердых телах. При этом из соображений простоты будем оrраничи
ваться рассмотрением непьезоэлектрических кристаллов, за исклю
чением тех ситуаций, коrда наличие пьезоэффекта принципиально
необходимо для осуществления тех или иных взаимодействий, Ha
пример акустической волны с электрическим полем, Будем, кроме
Toro, считать, что статические воздействия на кристалл отсутствуют,
и можно использовать для ero описания переменные eCTecTBeHHoro
состояния ( 2). Тоrда из уравнения движения (2.5) и уравнения
состояния (2.3) нетрудно получить следующее нелинейное волновое
уравнение:
РоИ i === (Cijkl +Cljk /qr И ,/. r) и k , jl'
(4.1 )
rде C;jk/qr===C" iklqr +Ciil/jkr +CilrqO jk+Cikl{/O jr'
Поскольку нелинейности кристаллов обычно малы, а их reoMe
трические размеры оrраничены, в большинстве случаев при реше
нии уравнения (4.1), так же как и в случае изотропных твердых тел,
достаточно оrраничиться приближением эадаННО20 поля. При этом,
полаrая, что решение имеет вид
иi===иi+иi+..., (4.2)
rде и; решение первоrо приближения, получим после подстанов.
ки (4.2) в (4.1) линейное ОДНородное уравнение для поля первоrо
приближения:
РоЙ; СijkIИ , j/ == О
И линейное Неоднородное уравнение для поля BToporo приближения:
рои'; С ijkIИ , il == С;jklqrИ , rИ . j/'
(4.3)
Уравнение (4.3) описывает процессы rенерации второй rармоники
и взаимодействия акустических волн в непьезоэлектрических кри-
сталлах, В частности, для описания rенерации второй rармоники
положим, что решение первоrо приближения имеет вид собственной
10. 291
волны (см. r л. 9):
llk == UoPk m ) cos (ffit k m)Xq), (4.4)
rде Pk m ) единичный вектор поляризации волны, определяемый
из решения уравнения Кристоффеля (9,1,6) для собственноrо зна
чения PoC m)' т== 1, 2, 3. Подстановка (4.4) в (4.3) дает
.." "1 / 2 k 3 N <m) . [ 2 ( t k <m) )] (4 5)
POUj CijklUk. lj == 2 и о <т) i slП L ffi q x q , .
rде N m)==cijklqr Pkm)p m)njnlnr так называемый вектор вынужда
ющей силы. В своих основных чертах (4.5) напоминает уравнение,
описывающее rенерацию второй rармоники в изотропных твердых
телах. Аналоrично изотропнпму случаю (см, (3.12)), решение ypaB
нения (4.5), отвечающее нулевым начальным условиям, в случае
синхронизма отражает линейное возрастание амплитуды второй rap
моники пой поляризации (п 1, 2, 3) с расстоянием [32]
и == J /Bk m)r(mn)xug cos [2 (ffit k(m)x)J. (4.6)
В выражении (4.6) через и обозначены компоненты вектора CMe
щений второй rармоники в системе координат, связанной с rлавными
осями тензора Кристоффеля r ik , Х координата, отсчитываемая
вдоль направления вектора n, который, вообще rоворя, не совпадает
с осями указанной координатной системы, r(mn)==PтiNim)/poc т
нелинейный параметр, описывающий эффективность rенерации,
Ртi матрица, составленная из единичных собственных векторов
p m) тензора Кристоффеля. Индекс п в r(mn) соответствует поляри
зации rармоники, а т поляризации волны основной частоты.
Например, в случае rенерации второй rармоники продольной вол
ны, распространяющейся вдоль основных осей кубических кри
сталлов, r(mn)== r(ll)==r==3+C 1 11/C ll ,
Характерной особенностью rенерации rармоник в кристаллах
оказывается то, что нелинейный параметр r(mn) является сущест
венно анизотропной величиной. Кроме Toro, в кристаллах возможна
rенерация второй rармоники сдвиrовых волн, Напомним, что в
изотропных телах ( 3) симметрия тензора упруrих модулей TpeTьe
ro порядка запрещает rенерацию второй сдвиrовой rармоники, по
крайней мере в совершенных материалах. Для некоторых направле
ний в кристаллах rенерация вторых rармоник сопровождается ин
тересными поляризационными эффектш'/и, связанными с тем, что
условия синхронизма MorYT выполняться для обеих квазипопереч
ных волн ортоrональных поляризаций [33]. Такими направлеНlIЯМИ,
очевидно, являются акустические оси. Например, для оси сИМмет
рии TpeTbero порядка триrональных кристаллов (кварц, ниобат ли
тия), являющейся акустической осью, компоненты вектора BЫ
нуждающей силы N rJ имеют вид
N rJ == С 444 sin 2<р, N<J);==: С 444 cos 2<р,
rAe <р уrол между осью z и вектором смещения сдвиrовой волны.
Леrко видеть, что при повороте вектора смещения в основной волне
на уrол <р вектор смещения волны удвоенной частоты поворачивается
292
на n/2 2cp. В KaKoI"I TO мере ЭТо напоминает явление внутренней KO
нической рефракции (см. 5 rл. 9), при которой вектор потока энер
rии также поворачивается на двойной уrол, Подобное сходство
объясняется тем, что оба эффекта квадратичны по амплитудам волн
(подробнее см. [34Т).
rенерацией сдвиrовых rармоник в кристаллах объясняется и
возможный в них особый тип нелинейноrо искажения формы упру
rой волны [35] *). Как известно, в изотропных твердых телах pac
пространение волны в нелинейной среде сопровождается YKPy
чением ее фронта и в конечном итоrе превращением волны в пило
образную. На языке фурье преДС1'авлений это означает, что ее
спектр оuor"ащаетсН ВЫСIШIМИ rар:JОНIШаМII. В кристаллах наряду с
у
z
Рис. 11.1. Искажение формы сдвиrовой
волны в кристалле, связанное с reHe
рацией rармоник ортоrональной поля-
ризации. Точками обозначен отрезок
косинусоиды, лежащий в плоскости
y o. сплошной и штриховыми кривы
ми обозначены участки профиля вол
ны, лежащие соответственно выше и
ниже плоскости y o.
L
{i)
/,
х'
Рис, 11.2. Дисперсионная диаrрамма,
иллюстрирующая типы коллинеарных
взаимодействий акустических волн в
кристаллах.
описанным классическим типом неШ1Нейных искажений изменение
формы волны может быть связано и с rенерацией rармоник, BeKTO
ры смещения которых ортоrональны смещению основной волны. Ta
кая ситуация может иметь место в уже рассмотренном случае re
нерации сдвиrовых rармоник при распространении волны вдоль
осей симметрии TpeTlJero порядка триrональных кристаллов. Ha
пример, при ориентации вектора поляризации основной волны вдоль
оси z (уrол ( равен нулю) поляризация rармоники, как видно из
выражения для вынуждающей силы N ТJ, оказывается ориентиро
ванной вдоль оси у. Появление rармоники с ортоrональной поля
ризацией сказывается в том, что профиль смещений в сдвиrовой
волне выходит из плоскости y O и при обретает вид «ломаной
спирали» (рис. 11,1).
Чрезвычайно мноrообразны явления, возникающие при взаи-
модействии в к ристаллах акустических волн различных частот.
*) В работе [35] имеются неточности в rрафической интерпретации этоrо
воп роса.
293
в этом леrко убеДИ1 ься хотя бы на примере коллинеарных взаимо-
действий, в результате которых rенерируются BO HЫ суммарноЙ или
разностной частот, Если в случае изотропноrо твердоrо тела yc
ловия синхронизма разрешают коллинеарные взаимодействия толь
ко для волн одноrо типа, то в кристаллах, блаrодаря наличию трех
скоростей упруrих волн, возможны 10 типов коллинеарных взаимо
действий, причем каждый из них реализуется в трех вариантах [32].
Проиллюстрируем сказанное с помощью дисперсионной диаrрам
мы, на которой отложим линии, соответствующие фазовым CKOpO
стям продольной L, быстрой сдвиrовой РТ и медленной сдвиrовоЙ
ST волн в кристаллах (рис. 11.2), распространяющихся в положи
тельном и отрицательном направлениях оси х (индексы «+» и « »).
Рассмотрим один из десяти возможных типов взаимодействий
для волн L+, РТ + и ST +. Очевидно, что возможны следующие ва-
рианты взаимодействия этих волн.
1, FT+==L++ST+, ш з ==ш 2 +ш 1 , Ik з l==lk 2 1+lk 1 I, Нетрудно по
казать, что соотношение частот двух взаимодействующих полн
Ш 2 /Ш 1 должно при этом удовлетворять условию
ш 2 fШ 1 == С L (CFТ CST)/CST (C L CFТ)'
Аналоrично для двух друrих вариантов
2, ST+==FT++L+, ШЗ==Ш2 Шl' Ikзl==lk21 lkll:
Ш 2 /Ш 1 == c FТ (c L CST)/C[. (CFТ CST)'
3, L+==FT++ST+, ШЗ==Ш2 Шl, Ikзl==lk21 lkll:
Ш 2 /Ш 1 == c FТ (c L CT)/CT (c L CFТ),
Друrие типы коллинеарных взаимодействий реализуются для волн,
распространяющихся как в положительном, так и в отрицательном
направлениях оси х. Некоторые из них наблюдались эксперименталь
но в работе [36].
Неколлинеарные взаимодействия акустических волн в кристаk
лах также отличаются большим разнообразием по сравнению со
случаем изотропных твердых тел. Так, если в изотропной среде
возможно пять типов неколлинеарных взаимодействий, как это мы
видели в 3, то в кристаллах их число Достиrает 21. Из них в 13
случаях возбуждаются волны разностной частоты и в 8 случаях
суммарной [32, 37]. Кроме Toro, в случае достаточно сильной ани
зотропии возможны еще три типа взаимодействий с образованием
волн разностной частоты. При этом обе взаимодействующие и pac
сеянная волны принадлежат к одной дисперсионной петви *).-
Последнее весьма схоже со случаем преломления акустической вол..
ны на rранице двух сильно анизотропных кристаллов, rде возможно
образование двух преломленных волн, также принадлежащих Ok
ной дисперсионной ветви ( 5 rл. 9).
Большой интерес для приложений представляют взаимодей
ствия акустических волн с квазистатическими электрическими по
*) На возможность таких взаимодействий впервые указал В. Е, Лямов [32J.
294
лями В кристаллах, Механизмы TaKoro взаимодействия MorYT быть
различными. В частности, в пьезоэлектрических кристаллах rлав
ную роль иrрает нелuнейный пьезоэффект (см. уравнения (2.3)).
Не вдаваясь в детали расчета, поясним основные черты взаимо
действия звука и электрическоrо поля с помощью дисперсионных
диаrрамм (рис, 11.3). На рис. 11,3, а изображен процесс встреч-
носо взаuмодействuя двух однотипных акустических волн с одина
ковыми частотами ffi (вырождеiтое взаuмодействuе). При этом pe
зультирующий электрический сиrнал частоты 2О) постоянен в про
странстве (kз О), и, следовательно, не удовлетворяет дисперсионно-
му уравнению (несuнхронный процесс). По этой причине он может
существовать только во время взаимодействия двух встречных волн.
Диаrрамма на рис. 11.3, а иллюстрирует и друтой процесс, а именно
взаимодействие поля удвоенной частоты с одной из акустических
волн (с волновым числом k или k).IПри это:v! происходит ceHepa
ЦUЯ «обратной» волны (знак
волновоrо числа меняется на
противоположный) или, как
часто rоворят, имеет место 06-
ращенuе волновосо фронта.
Эффект обращения волны
в пьезокристалле полезио по
ясиить и непосредственно,
без использования диспер
сионных диаrрамм. В самом
деле, как следует из уравие
иий состояния (2.3), выраже
ние для упруrих напряжений в этом случае содержит нелинейный
член бt ij eijklт UklEт, rде eijklт постоянные нелинейноrо пьезо
эффекта. Если ukl""'sin (kX ffit) и Eт,,-,sin 2ffit, то из элементарной
триrонометрии следует, что в бt ij имеется слаrаемое, пропорцио
нальное cos (kX+ffit). Очевидно, оно и вызывает rенерацию обрат
ной волны. Впервые указанный эффект был предсказан в [38J. Как
выясиилось впоследствии, именно rенерацией обратной волны обу
словлено явление «двухимпульсноrо» электроакустuческосо эха
(более принято понятие «фОНОННОсО эхш», наблюдаемоrо в MOHO
кристаллах и кристаллических порошках [39 461, Например, при
подаче на кристалл LiNЬО з импульса продольной акустической вол
ны с частотой 550 мrц и после приложеиия к нему через время
"Си импульса электрическоrо поля на частоте 1100 мrц появляется
серия эхо сиrналов, если время "Си удовлетворяет условию "Си
:::::::(2п+1) ис, п O, 1,2, . ." rде L длина кристалла, с CKO
рость звука [431. Первые эхо сиrналы появляются вскоре после
действия поля, однако сиrнал максимальной амплитуды (истинное
эхо) наблюдается в момент времени t 2"C. Амплитуды сиrналов эха
пропорцион.альны произведению амплитуд задающих импульсов
в соответствии с параметрической природой процесса, Явление фо
HOHHoro эха наблюдалось во мноrих работах для различных типов
волн и в разных кристаллах и порошках. В частности, эхо на по-
(и
й)
z{U)!!
йУ, A'
(,))К
(и, A' !J, Zk
(,))К
k
о)
k
а)
Рис. 11.3. Типы взаимодействий акустичес-
ких волн в кристалле с электрическим
полем.
95
верхностных волнах в LiNЬО з наблюдалось в работе [44]. Причина
образования фононноrо эха в монокристаллах заключается в co
rласовании фаз акустических волн в пакете после обращения их во
времени электрическим полем накачки. Если речь идет об эхо в
порошках, то здесь ero причиной является, по видимому, соrласо
вание фаз колебаний отдельных частиц порошка после приложения
импульса накачки [45].
На рис. 11.3, 6 изображен друrой возможный процесс, проис
ходящий при встреЧНом взаимодействии акустических волн: (() (()==o
и k ( k)==2k. В этом случае результирующий электрический сиr-
нал постоянен во времеrrи, но изменяется в пространстве с периодо\'l
л/k, Очевидно, OIIИсанrIЫЙ процесс может использоваться для за
поминания акустических си?налов. Рассмотренные несинхронные
взаимодействия представляют интерес для разработки нелинейных
устройств обработки ДаННЫХ, Подробнее об этом будет rовориться
в rл, 12. Там же будут рассмотрены нелинейные акустические эф
фекты для объемных и поверхностных волн в пьезоПолупроводНико
вых кристаллах, в которых основным механизмом взаимодействия
является токовая нелинейность электронной плазмы полупровод
ника. По порядку величины токовая нелинейность обычно HaMHoro
превосходит упруrую, пьезоэлектрическую и стрикционную He
линейности, поэтому интерес к исследованию нелинейных эффектов
в ПьезополупроводникаХ, в частности различных видов волновых
взаимодействий [47, 48], в настоящее время достаточно велик.
В заключение обсудим некоторые особенности нелинейных aKY
стических эффектов, сопровождающих структурные фазовые пере
ходы в кристаллах [22Т. Как известно, степень симметрии структуры
принято характеризовать с помощью параметра порядка rJ Be
личины, тождественно равной нулю в высокосимметричной фазе и
отличной от нуля в низкосимметричной фазе (например, в ферро
маrнетике роль параметра порядка иrрает намаrниченность).
Л. Д. Ландау и И, М, Халатников предположили, что вблизи точки
фазовоrо перехода Т==Т С в изотропном случае термодинамиче
ский потенциал Ф, например внутренняя энерrия, может быть пред-
ставлен в виде разложения (см., например, [49])
Ф(и, rJ) ==фо (И)+l'р (Т, U)rJ2+ p(U)rJ4+..., (4.7)
rде для простоты записи опущены тензорные индеКСЫ. Коэффициент
l' р в (4,7) линейно зависит от температуры l' р ==1' рО (Т Т с), а коэф
фициент p от температуры не зависит. При этом параметр порядка rJ
удовлетворяет следующему кинетическому уравнению:
;] == L K дФlд11,
(4,8)
описывающему релаксацию 11 к равновесному значению. Здесь
L K феноменолоrический кинетический коэффициент. Для описа
ния распространения звука уравнения (4.7) и (4.8) нужно ДОПОk
нить механическим уравнением движения рUi==даiklдХk и учесть
связь aik и Ф. Совместное решение этих уравнений в линейном
296
приближении позволяет получить выражение для волновоrо числа
звука, в которое входит вре.МЯ релаксации паРШlстра порядка ниже
температуры фазовоrо перехода
't == [LK,\,po (Te T)] l. (4.9)
Из (4.9) следует, что т быстро растет при T Te' Рост '1 в свою очередь
приводит к резкому увеличению затухания звука а (в низкочастот
,!ом нределе a,,-,wtт) и к дисперсии фазовоЙ скорости.
Отметим, что коэффициент поrлощеНИ51 имеет максимум прн
rемпературе, близкой, но несколько Меньшей Те' При Т>Т е пара
rv.eTp IlOрядка в рамках используемой модели равен нулю и aHOMa
лшr n З,1'! ухашш отсутствуют. ПОХОЖIJМ образом rзе,'(ет себя и прrr
ращеШJ(; фазовоЙ скорос'!и Ди (в НИЗI\ОчаСТОТIJOМ rrредеJlе Ди,,-,
,,-,ш т ). iV1НОI'ОЧИСЛСШlые эксrrерНмеIПЫ но IJз;vrерению линейноrо
ПОI'лощеНIJЯ " ДIJспеРСИIJ звука в окрестности фазовых переходов
[\ кристаллах в осиовных чертах подтверждают результаты изло
женной простейшей теории, однако при Т> Т е обычно наблюдается
значительное избыточное затухание, не предсказываемое теорией.
Для объяснения этих отклонений было предложено несколько уточ
ненных вариантов релаксационной модели Ландау и Халатнико
ва, основные сведения о которых можно почерпнуть в обзоре [49].
ОсобыЙ интерес представляет распространение звука в тех Ha
правлениях кристалла, в которых при фазовом переходе на из
менеииях волновых характеристик существеино скщзывается изме
HeHJle пли обращение в нуль некоторых как линейныХ, так и нели
иейиых упруrих модулей, связанное с изменением структуры кри
сталла. Характер этих изМенений зависит от Toro, является ли
:::вязь деформаций с параметром порядка в высокосимметричной фа-
зе линейной или квадратичной, В первом случае соответствующие
модули BToporo и TpeTbero порядков стремятся к нулю в точке фа
зовоrо перехода, причем по довольно сложному закоиу. В случае
квадратичной зависимости при переходе в высокосимметричную
фазу модули упруrости BToporo порядка должны испытывать CKa
чок, а модули TpeTbero порядка оставаться неизмениыми. Экс
перименты по наблюдению вторых rармоник, однако, показывают,
что эффективность их rенерации резко возрастает вблизи точки фазо-
Boro перехода [50]. Этот факт не может быть объяснен на основе
простой релаксационной теории. Улучшить положение можно,
если включить в рассмотрение пространственные флуктуации пapa
метра порядка в окрестности точки фазовоrо перехода (см. [22]),
которые можно описать посредством введения в разложение TepMO
динамическоrо потенциала (4,7) добавочноrо члена (grad rj)2. Учет
пространственных флуктуаций дает возрастание модулей упруrости
TpeTbero порядка по закону (Т Tc)'X, rде x== (1/2 3/2) критиче-
ский индекс, значение KOToporo определяется симметрией кристалла.
Однако и флуктуационные поправки не приводят к полному соrла
сию с экспериментами, которые показывают, что наблюдаемые кри-
тические индексы обычно больше теоретически предсказываемых.
Таким образом, необходимы дальнейшие уточнения теоретических
297
представлений о природе структурных фазовых переходов. Изу
'Iение нелинейных акустических эффектов при фазовых переходах,
безусловно, может способствовать проrрессу в этой области.
5. Экспериментальные методы исследования
нелинейных явлений в твердых телах
и некоторые результаты этих исследований
Разнообразие экспеРИ'\1ентаЛЫIЫХ методов исследования aKY
стических нелинейных явлений в твердых телах настолько велико,
а заслуживающие внимания интересные научные результаты Ha
столько мноrочисленны, что На:\1 прндет я лишь очень кратко OCTa
новиться на этих вопросах.
Как уже было отмечено в 1, первые эксперименты по обнару
жению нелинейных явлений в твердых телах были выполнены в
[3, 41 и относились к наблюдению
rармоник в продольной волне.
Эти измерения, так же как н по-
добные измерения в жидкостях,
о которых шла речь в rл. 3, про
водились спектральным методом.
На рис. 11.4 приведена кривая
зависимости амплитуды (напряже
ние V 2 на приемной кварцевой
пластинке) второй rармоники
50 IШl 1Ш 200 .z; см 10 мrц от расстояния до из
лучателя в маrниево алюминиевом
сплаве при напряжении на из-
лучателе (кварцевая пластинка Х
среза) 1000 В. Измерения прово
дились импульсным методом; осо-
бые предосторожности были предприняты, чтобы резонансный уси
литель не переrружался прямым сиrналом 5 мrц. Для этоrо во
входной цепи усилителя, HacTpoeHHoro на частоту второй rapMo
ники, необходимо поставить фильтр пробку на эту частоту и ис-
пользовать приемную пластинку, имеющую резонанс на второй
rармонике. Измерения проводились на образцах различной длины
(до 50 см) при сохранении условий эксперимента неизменными.
Как видно из рис. 11.4, импульсы второй rармоники по мере про
хождения волной расстояния от излучателя возрастают, достиrа
ют максимума (расстояние стабилизации, определяемое выраже
нием Х СТ == (In 2)/2а(()) и затем, вследствие преобладающеrо влияния
диссипативных процессов, убывают, Расчетная интенсивность зву
ка в этих экспериментах составляла около 1 Вт/см 2 , амплитуда зву
KOBoro давления около 6 атм и амплитуда колебательной скорости
около 1,7 см/с.
Подобноrо рода эксперименты по наблюдению и измерению
rармоник (второй и более высоких номеров) в продольной волне;
а также волн комбинационныIx частот при коллинеарном распро.
Vя,мВ
,JO (\
20.
10 ''>....
f .1 ....
о
Рис. 11.4. Зависимость амплитуды
второй rармоники продольной вол
ны В маrниево алюминиевом сплаве
от расстояния до излучателя.
298
странении проводились далее во мноrих изотропных твердых Te
лах и кристаллах на различных частотах вплоть до rиrаrерце
вых частот. Спектральный метод наблюдения rармоник и комбина-
ционных частот, по-видимому, является наиболее точным и чувст
вительным.
Измерение содержания rармоник в твердых телах дает в прин
ципе возможность определения адиабатических модулей TpeTbero
порядка. Знание этих модулей необходимо в ряде задач физики TBep
доrо тела; эти модули, как и модули более высокоrо порядка, на-
чинают иrрать все возрастающую роль в техническом материало
ведении. Об особенностях определения этих модулей и об их чис
ленных значениях для большоrо числа кристаллов и изотропных
твердых тел можно прочитать в [5, 6, 22], Поскольку рэлеевские
поверхностные волны не обладают дисперсией, а интенсивность
их может быть получена достаточной, измерение амплитуд rармоник
и комбинационных частот таких волн, возникающих из-за решеточ-
ной нелинейности, может быть осуществлено без особых трудностей
[12 14J.
в работе [51] спектральным методом в изотропном твердом теле
была обнаружена rенерация второй сдвиrовой rармоники в сдвиrо-
вой волне конечной амплитуды, которой не должно было бы быть
соrласно пятиконстантной нелинейной теории упруrости, Эта rap
моника при прочих равных условиях оказывается существенно (на
порядок и более) меньшей по амплитуде, чем rармоника продольной
волны, но наблюдать ее несложно. В ряде случаев, в особенности
если образец представляет собой кристалл с выраженными пластиче
скими свойствами и на Hero оказывается локальное воздействие
(например, приложение сосредоточенной силы), а также в случае,
коrда поперечный звук распространяется вдоль плоскости леrкоrо
скольжения, эффект rенерации такой запрещенной rармоники зна-
чительно возрастает.
Далее было выяснено, что сдвиrовая rармоника возникает ВСЛtk
ствие появления асимметрии упруrих свойств в направлениях CMe
щений в поперечной волне (<<запрет» на rенерацию второй сдвиrовой
rармоники при этом снимается). В случае однородноrо изотроп-
Horo твердоrо тела члены с четными степенями сдвиrовых деформа
ций в обобщенном законе rYKa отсутствуют, тоrда как при наличии
остаточных деформаций и напряжений в таких телах (которые уже
не MorYT считаться однородными и изотропными) такие члены по-
являются. В кристаллах же, как об этом rоворилось в 4, reHepa '
ция сдвиrовых rармоник может происходить из за анизотропии упру-
rих свойств по различным направлениям.
В [52, 53Т теория rенерации сдвиrовых rармоник строится на
основании модели, в которой учитывается смещение дислокаций
в поле упруrой волны. Следует обратить внимание на то, что ис-
следование поведения «запрещенной» сдвиrовой rармоники в прин-
ципе может дать полезные сведения о несовершенстве структуры
твердых тел о дефектах в кристаллах, наличии остаточных де-
формаций If цапрящеНIfЙ,
299
в [19] рассчитаны амплитуды сдвиrовых rармоник в твердом теле,
r де имеются случайные и периодические изменения внутренних Ha
пряжений. Дальнейшие исследования показали, что эффект reHe
рации сдвиrовых rармоник представляет интерес для контроля YCTa
постных изменений материалов, находящихся под циклической
иаrрузкой; сдвиrовые rармоники оказываются значительно чув
ствительнее к внутренним напряжениям, чем продольные rapMo
Иики. В [54] показано, что изменение сдвиrовой rармоники начи-
налось с числа циклов, составляющих около 10% от числа циклов,
при которых металлический образец разрушался. Продольная rap-
моника изменялась лишь непосредственно перед разрушением,
8o({tJ)
х
,]
а)
о)
Рис. 11.5. Схема экспериментальной установки (а) и пояснение принципа наблю-
дения rенерации rармоник акустических волн оптическим методом (6).
На частотах СВЧ диапазона представляют интерес оптические
методы изучения нелинейных акустических явлений в твердых
прозрачных телах. На рис. 11.5, а изображена схема установки
для исследования rенерации rармоник продольных волн в кристал
ле кварца [551. Свет от неподвижноrо rелий-неоновоrо лазера 4
падает на исследуемый прозрачный кристалл 2, который может пе-
редвиrаться вдоль направления распространения звука, сохраняя
уrол падения света неизменным (используется брэrrовская дифрак-
ция света на ультразвуке). Этот свет дифраrирует на продольной
ультразвуковой волне (использовались частоты от 500 мrц и выше;
применялся импульсный метод) под уrлом ев, удовлетворяющим
условию Брэrrа sin е в с==л/2Л, rде л длина волны света и Л
длина волны звука (рис, 11.5, 6), Поскольку уrол ев зависит от А,
возникающие при распространении ультразвуковой волны rapMo
ники MorYT быть исследованы независимо, если производить изме
рения под уrлами ев(ш), ев (2ш), . . , Изменение амплитуды rapMo
ники с расстоянием находится путем передвижения резонатора 1
с кристаллом 2 !относительно неподвижных источников света 4
и фотоумножителя 3. При малом отношении интенсивностей дифра-
rированноrо света к падающему, интенсивность дифраrированноrо
света прямо пропорциональна интенсивности падающеrо света 10
и не зависит от частоты акустических rармоник (U Щ и и(2) амп-
литуды смещения звука основной частоты fJ второй rармоники).
300
Поэтому такой метод дает прямое определение относительной ин
тенсивности rармоник и отпадают мноrие трудности, связанные с
настройкой и калибровкой преобразователей. На рис. 11.6 преk
ставлены результаты измерения содержания rармоник при распро-
странении продольной волны основной частоты 1==62 Мfц в кри
сталле кварца по оси Z в зависимости от расстояния. Как видно,
амплитуда второй rармоники достиrает (при электрической мощ
НОСТИ в импульсе 1 10 Вт) около 20% от амплитуды основной ча-
стоты, т. е. форма волны существенно искажена (Lo расстояние
образования разрыва).
В 4 шла речь о нелинейных поляризационных эффектах в
кристаллах. Экспериментальные исследования таких эффектов до-
статочно своеобразны II сложны, пос- и м ,
) Oтll. еи.
кольку эксперименты со сдвиrовымн вол-
нами часто требуют особых IIриемов 17,3
осуществления акустическоrо контакта 17,2
с образцом, а изменение поляризации из- 0,1
лучателя относительно приемника свя-
зано с определенными трудностями, 1,1J/i
Коллинеарное взаимодействие волн
применяется для исследования поведе-
ния нелинейных свойств твердых тел,
подверrнутых тем или иным физико-
механическим воздействиям. Нелиней- 1,1J1
ные свойства в значительиой степеии
отражают, как мы уже отмечали выше, (J,1J1J5
структурные характеристики этих тел.
Одним из интересных применений
является нелинейный акустический ме-
тод исследования фазовых переходов
BToporo рода в пьезоэлектрических и
сеrнетоэлектрических кристаллах, В 4
кратко rоворилось о теории таких пере-
ходов. Экспериментальные методы!и ре-
зультаты исследований поведения амп-
литуд комбинационных частот при фазовых переходах BToporo
рода описаны в [50, 56 58].
Исследования фазовых переходов в кристаллах IIьезо и cerHe-
тоэлектриков методами нелинейной акустики MorYT дйть ряд полез-
ных данных для понимания физических процессов, происходящих
вблизи температуры Кюри. Эти методы оказываются более чув-
сrвительными к изменению параметров перехода, чем обычные ли-
нейные Методы, при помощи которых измеряется скорость и поrло-
щение звука. На рис. 11.7 в качестве примера показано поведе-
ние продольной волны суммарной частоты в зависимости от бли-
'юсти температуры образца КН2Р04 в точке Кюри Т c== 1510c.
Через образец вдоль оси Z пропускаются две волны с частотами:
t1 == U>1 /2л ==8,5 Мfц и '2==U>2!2л==22 Мfц; измеряется амплитуда
ВОJЩЬf суммарной частоты, которая определяется формулой (3.22).
301
IJ 17,4 0,8 1,2
Рис. 11.6. Зависимость амп
литуд U(n) второй и высших
rармоник продольной волны,
распространяющейся вдоль
оси Z кристалла кварца, от
расстояния до излучателя.
Из рис. 11.7 ВИДНО, что волна суммарной частоты сильно растет
по амплитуде при Т;:::::;Т с (ср. с выводами 4).
Такое аномальное поведение, по видимому, объясняется взаимо-
действием звуковой волны с пространственно-неоднороднымИ флук
туациями параметра порядка, Hapac
тающими вблизи перехода. Подробнее
об этом можно прочитать в обзоре [22].
При вынужденных колебаниях нелинеЙ
ных резонаторов, если одна из возникаю-
щих в результате нелинейнпсти частот
совпадает с одной из собственных час
тот, можно ожидать возникновения oco
() J (T 1c),K бенностей нелинейных резонансов [15
18].
На рис. 11.8 приведена блок схема для
наблюдения явления «детектирования»
модулированноrо акустическоrо сиrнала
нелинейной упруrостью резонатора, BЫ
полненноrо в ВИДе металлическоrо стерж-
ня, Модуляционный метод изучения не-
линейностей в образцах из твердых стержнеЙ с большой акусти
ческой добротностью весьма чувствителен и позволяет наблюдать
нелинейное взаимодействие упруrих волн при таких интенсивностях
звука и ультразвука, которые еще недавно
относили исключительно к области линей
ной акустики.
На приведенной блок схеме; J низ
кочастотный МОДУЛЯТОр I'енератор с боль
шоЙ стабильностью частоты. Сиrнал с MO
дулятора подается на reHepaTop высокой
частоты 2, Модулированный сиrнал далее
проходит через фильтр-пробку 8, настроен-
ный на частоту модуляции. После этоrо
фильтра сиrнал подается на пьезопреобра
зователь 5 (кварцевая пластинка Х -среза),
прикрепленный к стержню 6. В стержне
распространяются компоненты спектра MO
дулированноrо сиrнала Ш, UJ + Q и т. д,
в результате нелинейноrо взаимодействия
этих компонент спектра между собой выде-
ляется низкая частота частота модуля
ции, т. е. происходит детектирование на
нелинеЙной упруrости стержня. Если час-
тота модуляции совпадает с одной из собственных частот стержня,
имеет место резонанс. На блок-схеме 7 ферромаrнитная тонкая
пластинка, приклеенная к стержню (если этот стержень немаrнитен),
8 бесконтактный маrнитоэлектрический приемник, 9 УСИJIfI:'
тель, 10 осциллоrраф, 4 и J J вольтметры, При больщой
добротности стержня детектированный сиrнал достаточно велик.
lIы,+6J z ' отн. eQ.
ЗIJ
2IJ
JIJ
IJ
g
Рис. 11.7. Зависимость амп-
литуды продольной волны
суммарной частоты в крис-
та,1Ле КН 2 РО 4 (распростра
нение вдоль оси 7) от TeM
пературы: Tc'== 151 0 С
температура Кюри.
302
7
8
Рис. 11.8, Блок-схема yc
тановки для наблюдения
«детектирования» модули-
pOBaHHoro акустическоrо
сиrнала внелинейном
стержневом резонаторе.
Амплитуда акустически детектированноrо сиrнала зависит Не
только от совпадения частоты модуляции с собственной частотой
стержня, НО в случае, если затухание несущей частоты на ДЛIIне
стержня мало, также и от этой несущей частоты.
) U' лjz. R
:
,
I
I
[J
lt
(
'- ,
2lt (j)/'/С !
Рис. 11.9. Зависимость амплитуды продольных колебаний на частоте Q для двух
алюминиевых стержней от несущей частоты.
На рис. 11,9 IIоказаны расчетные зависимости амплитуд про
дольных колебаний стержня длины L на частоте Q от несущей ча
стоты для двух алюминиевых стержней, L===25 см (кривая 1) и
L===75 см (кривая 11), штриховая и пунктирная кривые экспе
риментальные результаты (а===2 .10 3 l/см).
Виден характерный тройной «резонанс». Он связан с тем, что в
спектре излучения есть три частоты несущая и две боковые:
максимумы соответствуют условию, коrда стержень, кроме резо
нанса на частоте Q, резонирует еще II на несущей или боковых
частотах.
Приведенные здесь результаты соответствуют акустическому
числу Рейнольдса ReaK===aok /a(i);::::;0,05 (здесь U() амплитуда
смещения, kl волновое число основной волны, аш коэффициент
затухания). Обнаружение нелинейных эффектов при такой малой
нелинейности оказывается возможным блаrодаря резонансному
методу измерений и высокой добротности стержня (около 105).
Подобные измерения были сделаны и на стоячих поперечных вол-
нах. Изложенная методика блаrодаря своей простоте и высокой
чувствительности находит применение для изучения нелинейных
свойств твердых тел и измерения модулей упруrостИ TpeTbero по-
рядка [5, 6, 22]. .
Пока мы имели дело с нелинейным искажением и взаимодей
ствием волн, распространяющихся в одном направлении. Сделаем
теперь несколькО замечаний по экспериментальной методике ис
следования взаимодействий волн, пересекающихся под уrлами, при
которых возможно комбинационное рассеяние звука на звуке.
На рис. 11.1 О показана схема эксперимента по наблюдению
рассеяния звука на звуке [9 11 1. На пьезокварцевую пластинку
заз
И 1 подается напряженне от reHepaTopa r 1 IIМПУЛЬСОВ с частотой
повторения импу.1ЬСОВ 50 [ц и частотой заполнения импульсов (He
сущей частотоЙ) Ш 1 . Пусть пластинка излучает в образец, имеющий
вид KpyroBOro диска, поперечные ультразвуковые волны с частотой
W 1 . На пластинку И 2 С reHepaTopa r 2 подается напряжение частоты
Ш 2 , и она излучает непрерывно поперечные волны. Волны от излу
чателей И 1 и И 2 пересекаются под уrлом а и между ними в области
пересечения пучков происходит взаимо
действие. Из законов сохранения импуль-
са и энерrии следует ( 3), что в данном
случае возможен такой уrол рассеяния
1', под которым может свободно распро
страняться рассеянная продольная BOk
на (в рассматриваемом случае будет ocy
ществляться взаимодействие Т (W 1 ) +
+ Т (w 2 )---+L (W 1 +W 2 ), одно из разрешен-
ных взаимодействий (3.29). Два «попе-
речных» фонона анниrилируют, в резуль-
тате чеrо рождается (<продольный» фонон
суммарной частоты, Опыт показывает,
что такой тип взаимодействия действи-
тельно существует и хорошо наблю
дается. Пластинка П;принимает продоль
ную волну суммарной частоты L (Шl+Ш2), электрический сиrнал
от которой через фильтр пробки Фl и Ф2 для частот Ш 1 и Ш 2 co
ответственно и усилитель У поступают на осциллоrраф (буквами
М и В 1 , В 2 обозначены импульсный модулятор и вольтметры).
Конечно, амплитуда этой волны очень мала по сравнению с амп
литудами исходных волн Т (ш 1 ) и т (ш 2)' поэтому на опыте прихо
дится встречаться с трудностями при ее обнаружении, Однако
амплитуда волны L(W 1 +W 2 ) быстро увеличивается с ростом Ш 1 И
Ш2 И С ростом области взаимодействия волн этих частот, о чем шла
речь в 3 этой rлавы.
Рис. 11.10. Схема экспеJlИ
ментальной установки по наб-
людению рассеяния звука на
звуке.
r л а в а 12
АКУСТОЭЛЕКТРОНИКА
э 1. Общие сведения
Акустоэлектроника относительно новая область физиче
ской акустики и электронИI(И. Она объединя' как фундаменталь
ные вопросы акустики твердоrо тела, так .1Х мноrочисленные
приложения, rлавным образом к системам , работки сиrналов и
физике твердоrо тела, Как самостоятельное направление акусто-
электроника оформилась к концу 60-х rодов, хотя отдельные pa
боты, посвященные различным аспектам применения акустических
волн (rлавным образом объемных) в электронике, в частности в
линиях задержки и электромеханических фильтрах, появлялись
и раньше [1 3]. В этих традиционных прнложеннях использова-
лись, однако, лишь два свойства акустических I30ЛН . малая CKO
рость, составляющая лишь "....., 10 i) от СКОРОСТII электромаrнитных
волн, и относительно низкое затухание на длину волны. Лишь с
появлением эффективных методов возбуждения высокочастотных
(от 10 м:rц до 3 ffц) поверхностных акустических волн (ПАВ),
в особенности с изобретением встречно штыревоrо преобразователя,
позволяющеrо эффективно возбуждать и принимать ПАВ в пьезо
электрических кристаллах, стало возможным rоворить об aKYCTO
электронике в том широком смысле, в котором она понимается
сейчас. Последнее обусловлено следующими особенностями уст-
ройств на ПАВ. Во первых, это те же малая скорость и зату
хание повеРХНОС1НЫХ волн; BO BTOpЫX, интеrральность исполнения
большинства устройств на ПАВ, позволяющая использовать для
их изrотовления rотовую технолоrию, разработанную ранее для
интеrральных микросхем; в третьих, доступность тракта ПАВ,
энерrия которых сосредоточена вблизи поверхности, и связанная с
этим возможность эффективноrо управления характеристиками этиХ
волн с помощью всевозможных электрических и механических внеш-
них воздействий, Наконец, мноrие акустоэлектронные устройства
обладают поистине уникальными свойствами. Если еще учесть их
хорошую воспроизводимость, высокую надежность, то всеобщий ин-
терес к акустоэлектронике станет вполне понятным. Литература
по акустоэлектронике весьма обширна, Ей посвящено свыше пяти
тысяч ориrинальных статей, множество обзоров (см., например,
[4 81), несколько моноrрафий [9 14] и специальных выпусков
журналов [151, (16]. Мы, разумеется, не будем пытаться осветить все
305
связанные с ней вопросы, а остановимся лиШЬ на тех, которые преД-
ставляются узловыми или практически наиболее важными,
Прежде чем переходить к более подробному изложению, пере
числим основные достижения акустоэлектроники на настоящий
момент. Среди устройств обработки сиrналов прежде Bcero следует
назвать полосовые фильтры проМежуточных частот на ПАВ. Бла
rодарЯ возможности получения практически любой частотной
характеристики в рамках одноступенчатоrо технолоrическоrо
процесса миниатюрные фильтры на ПАВ быстро завоевали попу-
лярность среди разработчиков радиоаппаратуры и заняли видное
место в радиолокационных системах, вычислительной технике,
телевидении и т. д, Друrими важными устройствами стали резона
торы и резонаторные фильтры на ПАВ, позволившие поднять ypo
вень рабочих частот стабилизированных ими reHepaTopoB до rи
rаrерцевоrо диапазона. Заметную роль в аппаратуре специальноrо
назначения иrрают соrласованные фильтры на ПАВ дЛЯ баркеров
ских сиrналов, иначе называемые устройствами кодирования и
декодирования. Широко развились и интеrральные аналоrи Tpa
диционных ультразвуковых линий задержки линии задержки на
ПАВ. Использование ПАВ позволило довольно просто реализовать
так называемые искусственные дисперсионные структуры с любым
законОМ дисперсии, которые сейчас с успехом используются при
создании соrласованных фильтров для частотно модулированных
сиrналов, так называемых фильтров сжатия импульсов.
Все перечисленные устройства просты в исполнении и, следова
тельно, достаточно надежны. Их основными элементами являются
тонкие металлические электроды, нанесенные на rладкую поверх
ность пьезоэлектриков и в некоторых случаях рассеИRщощие He
однородности типа канавок, вытравленных на той же I:JClбочей по
верхности кристалла. В соответствии с терминолоrией, принятой
в электронике, такие устройства часто называют пассивными. К aK
тивным относятся устройства усиления ультразвуковых волн, в
том числе и ПАВ, за счет передачи энерrии дрейфующих электронов
волне, различные устройства, использующие параметрическую Ha
качку, rенераторы и т, д. В особую rруппу объединяются устройст
ва, принцип действия которых основан на нелинейном взаимодей
ствииволн между собой или с электрическими, маrнитными и
механическими полями. Сюда относятся устройства свертки и Koppe
ляции, записи и считывания оптических и акустических изобра
жений, различноrо вида датчики давления, электрическоrо и Mar
н итноrо полей, акустические модуляторы лазерных пучков *)
и т. д.
Если rоворить оприменении акустоэлеК1РОНИКИ к физике TBep
доrо тела, то здесь следует назваlЬ использование развитых в ней
методов для опреде.т:ения различных параметров твердых тел
для измерения концентраций и подвижнсстей носителей заряда в
*) Последние обычно выделяются в отдельную область акустооптику.
Более подробио об этом rоворится в rл. 1З.
З06
полупроводниках и металлах, для оценок параметров приповерхно
CTHoro слоя, констант взаимодействия и т. д, Важную роль aKYCTO
электронные методы в последнее время иrрают и в эксперименталь
ных исследованиях фазовых переходов, в том числе в тонких плен
ках.
Следует отметить, что далеко не все возможности акустоэлектро
ники в полной мере реализованы. В частности, усилители, исполь
зующие взаимодействие звука с электронами (блаrодаря TaKoro
рода взаимодействию возник сам термин «акустоэлектроника»),
пока уступают по своим показателям устройствам на интеrральныХ
микросхемах. Устройства нелинейной обработки сиrналов также
нуждаются в совершенствовании. Но если rоворить об акустоэлек
тронике в целом, то можно не сомневаться, что уже сейчас она за
ни мает видное место в современной радиофизике и физике lвердоrо
тела. В следующих параrрафах, в значительной степени посвящен
ных прикладным вопросам, мы обсудим физические основы функ
ционирования rлавных структурных элементов и поясним принципы
действия основных акустоэлектронных устройств.
э 2. Возбуждение и детектирование поверхностных
волн. Встречно штыревой преобразователь
До сих нор в этой книrе мы мало интересовались вопросами воз-
буждения и IIриема звука *), рассматривая акустические волны
как нечто заданиое. Одиако в акустоэлектронике поверхностных
волн вопросы возбуждения и h
приема иrрают осиовополаrаю
щую роль, так как от этоrо зави
сят эффективность и избиратель-
ные свойства соответствующих
устройств. Поэтому мы кратко
обсудим основные методы воз
бужденин и приема ПАВ, rлав
ным сбразом рэлеевскоrо типа.
В УС'Iройствах на ПАВ, ис-
r!ОЛЬЗУЮЩIIХ пьезокристалличес
кие подложки, для возбуждеиия 11 приема чаще BCeI'O применяется
встречно штыревой, или электродный преобразоваmель, впервые
1I0дробно описанный в 1965 r. Уайтом и Волтмером [17] (см. также
[4 22]). Типичная линия задержки на ПАВ с передающим и прием
ным встречно штыревыми преобразователями (ВШП) изображена
на рис. 12.1. При подаче на электроды любоrо из преобразователей
электричеСКОI'О напряжеНIIЯ, изменяющеrося с частотой (1), в прн
леrающих к электродам участках кристалла за счет пьезоэффекта
возникают механические напряжения, приводящие к возбуждению
Рис. 12.1. ЛИНИЯ задержки на ПАВ с
двумя встречно'штыревыми преобразо'
вателями,
*) Исключение составляет 6 rл. 10, посвященныЙ излучению движущих,
си НеМОlIохромаТllчеСкllх ИСТОЧНIIКОВ, в том чllсле дlIСЛQкаций и Трещин.
307
как объемных, так и поверхностных волн. Если штыри расположе-
ны периодически, то при (f)0==(f)00==2лv/d или при л d (rде d пе
риод, или расстояние, между двумя ближайшими штырями одной
полярности; v и л скорость и длина ПАВ) поверхностные волны,
излученные отдельными штырями в обе стороны, складываются в
фазе и, следовательно, возбуждаются наиболее интенсивно. На
аналоrичном принципе основана и работа ВШП в режиме приема.
Если пренебречь влиянием конечной ширины штырей, то частотную
характеристику периодическоrо ВШП МОжно представить как ха-
рактеристику эквидистантной антенной решетки. Очевидно, что
количество N элементов решетки при этом соответствует числу пар
штыреЙ. А:vшлитуда А ((,)) поверхностной волны, излученной ВШП,
будет иметь ш!;(
А ((f)) Ао Р + ехр (i(f) djv) + . . . + ехр [i (N 1) (J) d/v]}, (2.1)
rде А o амплитуда волны, возбуждаемой парой штырей. Используя
формулу для суммы rеометрической проrрессии и учитывая соот-
ношения (f)O==(f)u+ (f) и (f)u0== 2лv/d, выражению (2.1) можно придать
вид
А А . А slп (Nл/1w/ооо)
((f)) 0== N о ехр (tNЛtl(f)/(f)о) N ' (/1 / ) .
slЛ Л 00 000
Для модуля нормированной частотной характеристики а ((f))0==
О==А ((f))/NA u получим
I а ((f)) I 0== I slп (Nл/1ОО/ООо) 1 .
N slп (л/1оо/roo)
Для больших N имеем
I ( ) I 0== I siп (Nл/1ОО/ООо) I
а (f) Nл/1w/roo.
Относительная полоса nроnускания по уровню 3 дБ при этом опре
деляется выражением 2 (f)/(f)0;:;::;1/N, а добротность QaK;:;::;N.
Для анализа эффективности возбуждения ПАВ встречно ШТЫ
ревым преобразователем удобно воспользоваться эквивалентной
электрической схемой, справедливой в окрест-
ности резонансной частоты (f)o (рис, 12.2). Здесь
CO статическая емкость электродов решетки,
C s и L.. эквивалентные емкость и индуктив
ность, описывающие резонансные свойства ВШП,
Ru сопротивление излучения, определяющее
мощность Рак 0== IIJ2Ro/2 излучаемых ВШП по-
верхностных волн; 1 электрический ток,
протекающий через ВШП. На центральной час-
тоте преобразователя (f)o импеданс последова-
тельной цепи, состоящей из СВ и LB' равен нулю,
и полный импеданс определяется только соп
ротивлением излучения Ro и емкостЬю СО' В YKa
занном приближении эта схема не отличается
от хорошо известной эквивалентной схемы преобразователя объем-
ных волн l3J. ПараметрЬ1 :щвивалентНОЙ CXeMpr встреЧНQ-штыревс.;о
З08
1:1::
Вн,
Рис. 12.2. Простей.
шая эквивалентная
схема встречно'
штыревоrо преобра.
зователя,
(2.2)
преобразователя, а именно, величины СО, С.. L8 И Ro, MorYT быть
определены как экспериментальным путем, так и в результате реше-
ния соответствующей весьма сложной краевой задачи. Необходи
мые для этоrо уравнения можнп найти в rл. 9.
Теории ВШП посвящено большое число работ, мноrие из KOTO
рых отражены в моноrрафиях [8 14, 22]. Мы оrраничимся лишь
кратким качественным обсуждением этоrо вопроса.
В частности, расчеты показывают, что величина статической
емкости ВШП Сп определяется выражением
СО == FSpbN, (2.3)
rле Ь .. длина электродов ВШП, ep эффективная днэле[\Триче
ская проницае:vIOСТЬ кристалла, представляющая собой комБИlIа
цию НЗ КОМПОнент тензора диэлектрической проницаемости, F (l!I1l)
безразмерная функция отношения ширины электродов 1 к расстоя
нию между соседними электродами m==d/2 [9, 11]. Для сопротивле
ния излучения нмеет место следующая зависимость:
Ro == [2(J)oepbK;MN2] 1, (2.4)
Iде Кзм (2f1v/v)1/2 коэффициент электромеханической связи в
выбранно направлении поверхности кристалла, и разность
скоростей ПАВ на свободной и металлизированной поверхностях,
..fl' (l/m) безразмерная функция от l!m. Обратная пропорциональ
ность сопротивления излучения величине N2 отражает тот очевид.
ный факт, что в приближении слабой электромеханической связи
K;"N l (а именно в этом приближении получена формула (2.4))
мощность возбуждаемых поверхностных волн пропорциональна N2.
Величины lJs и СВ определяются из соотношений (см. (2.2))
Ls RoN/(J)o, C s l/RoN(J)o. (2.5)
Сравнивая выражения (2.3) (2,5), нетрудно получить следую
щее полезное соотношение: K;M Cs/ (Cs+C o ).
Для обеспечения полноrо преобразования мощности электри
ческоrо сиrнала, поступающеrо от reHepaTopa, в мощность излу-
чаемых акустических волн, необходимо осуществить электрическое
соrласование ВШП с внутренним сопротивлением reHepaTopa Rr,
в роли KOToporo обычно выступает коаксиальная линия передачи
с волновым сопротивлением 50 Ом. Для этоrо нужно удовлетворить
известному равенству Rn == R r> что можно сделать, например,
за счет изменения величин Ь и N, и компенсировать статическую
емкость СО включаемой параллельно или последовательно с ВШП
внешней индуктивностью Lo. При выполнении указанных условий
эффективность преобразования "1, определяемая как отношение
мощности возбуждаемых акустических волн Рак к подводимой на
ВШП электрической мощности Р эJJ , В принцип может достиrать
единицы.
Так как включение соrласующей индуктивности ПРИБОДИТ К
некоторому сужению результирующей полосы частот эффективной
работы ВШП, желателыю подобрать величину N таким образом,
309
чтобы ширина полосы была максимально возможной. Например,
при параллельном включении соrласующей индуктивности, уДовлет
воряющей условию (J)oLoO== 1/юоС о , относительная полоса пропуска-
ния электрической цепи, образуемой элементами Lo, СО !I Ro, оп-
ределяется выражением (2 (J)/(J)о)зл== UQз." rде Qз.,С (J)оСоRо. Ве-
личину Qэл принято называть электрической добротностью co
rласованноrо ВШП. С учетом выражений (2.3) и (2.4) получаем
(2 (J)/(J)о)э.,........К мN, т. е. с ростом числа электродных пар полоса
электрической цеШI увеЛИЧJIв(]ется. Полоса же пропускания, опре-
деляемая резонансными свойствами ВШП (ее часто называют «aKY
стическои» полосой, в отличие от «э.тrектрической» полосы, опреде
ляемои контуром Lo, Со, Ro), как мы видели выше, равна 1/Q зк о==
==1/N. Таким образом, при малых N полоса пропускания соrласо
BaHHoro ВШП определяется электрической полосой, а при больших
N акустической. Очевидно, что существует некоторое оптималь
ное число пар электродов N опт , определяемое из условия (2 (J)/(J)о)зло==
о==(2 (J)/(J)п)зк, которое обеспечивает максимальную полосу эффек
тивной работы cor ласованноrо ВШП в выбранном направлении
и материале. Леrко видеть, что N ОПТ........ V 1/ К;М ' Более точное
выражение имеет вид [9, 11 J NОПТ::::::V л/4К;м , Например, для
возбуждения ПАВ в направлении Х У среза кристаллическоrо
кварца K M::::::O,0018 и N опт ::::::18, а для направления Z У-среза кри
сталла ниобата лития (YZ LiNbOa)K M::::::O,05 и N опт ::::::4.
Следует помнить, что величина N определяет не только значение
полосы пропускания ВШП, но и влияет на условие электрическоrо
соrлаСОвания через Ra, Поэтому после определения N ОПТ необхо
димо обеспечить выполнение равенства Ra::::::Rr с помощью выбора
длины электродов Ь. Так, для paccMoTpeHHoro выше случая кристаk
лическоrо кварца соответствующее значение длины Ь ОПТ :::::: 19л, а
для УZ LiNЬОз Ь ОПТ ;:::::; 1 08л. Чрезмерное уменьшение Ь нежела
тельно, так как это приводит к уменьшению прожекторной зоны и
к увеличению дифракционной расходимости возбуждаемой поверх
ностной волны. Такая ситуация может иметь место для очень сла
бых пьезоэлектриков, например для кристалла окиси бериллия [llJ.
Для этоrо кристалла N oJlT ::::::256 и Ь опт ::::::1л, Чтобы избежать этих
нежелательных явлений, в ряде случаев приходится прибеrать к
использованию соrласующеrо трансформатора.
Если при возбуждении ПАВ не преследовать цель получения
аффективноrо преобразования в максимально широкой полосе
частот, то можно обойтись и без соrласующей индуктивности, YMeHЬ
шая сопротивление излучения Ro не за счет увеличения Ь, а путем
увеличения N. Так как Ro........1I((I)a1<;MbN2), а (li(J)oC o )........(1/(J)obN),
то при достаточно больших N, а именно, IIрИ K MN I, значение
R а становится сравнимым с 1 I ЮоС а и эффективность преобразования
существенно возрастает, достиrая нескольких десятков процентов.
Для otLeHol< порядка величины 1'] преобразователя, работающеrо без
соrласующей индуктивности, можно пользоваться простой фор
мулой, полученной с помощью линейной аппроксимации полной за-
310
висимости 1J (N) в окрестности точки переrиба и справедливой при
Ro>Rr' т. е, для не очень длинных электродов:
11 BK;M N . (2.6)
Здесь В (l/m) безразмерная функция от l/m, имеющая макси-
мум, равный четырем, при l/т== 1/2, и обращающаяся в нуль при
l/m==O и Zim== 1. Из выражения (2.6) следует, что в рассмотренном
прнближешш Ч не зависит ни от Rr, ни от длины электродов Ь,
н для получения достаточно эффеКТIIвноrо преобразования необ
ходимо только увеличивать значение N,
Например, в случае ПАВ, распространяющейся в направлении
оси Х У среза кристалла кварца, для эффективноrо возбуждения
(11"'-' 1) необходимо N",-, 140. Для направления Z У среза кристалла
LiNЬО з должно быть N ",5, что близко к значению N опт , обеспе
чивающему максимальную полосу работы ВШП в соrласованном
режиме (см. выше). Это rоворит о том, ЧТО в сильных пьезоэлектри
ках отсутствие соrласующей индуктивности не приводит к значи
тельному ухудшению эффективности преобразования.
Следует напомнить, что все приведенные выше соотношения
являются приближенными. Особенно это относится к сильным пьезо
электрикам, в которых существенную роль иrрает неучтенное в
(2.1) (2.5) взаимное влияние электродов друr на друrа, переизлу
чение и рассеяние энерrии. Подробное обсуждение этих вопросов
можно найти в работах 119 22J и приведенной там библиоrрафии.
Технолоrия нанесения встречно-штыревых преобразователей
на поверхность обычно опирается на фотолитоrрафические методы.
Место расположения преобразователя вначале покрывается тонкоЙ
металлической пленкой (например, путем BaKYYMHoro напыления).
Затем на пленку наносится фоторезист, на который через фотома
ску экспонируется рельеф преобразователя. После этоrо в резуль
тате травления IlолучаетсЯ нужная структура. С помощью оптиче
ских методов засветки фоторезиста удается получить минимальную
ширину штырей'" 1 мкм (оrраничение за счет дифраКЦIIОННЫХ иска-
жениЙ), что соответствует основноЙ частоте ВШП порядка 1 2 ffц.
Для изrотовления более высокочастотных преобразователеЙ при
rодны методы электронной или рентrенолитоrрафии.
Сказанное относил ось к возбуждению и приему ПАВ непо
средственно на поверхности пьезоэлектрическоrо звукопровода,
являющеrося одновременно и средой распространения волны, и
устройством п'реобразования электрической энерrии в механиче
скую, Именно этот способ из-за своеЙ высокой технолоrичности и
возможности построения планарных устроЙств получил наиболь
шее распространение в акустоэлектронике. В ряде случаев, ok
нако, использование дороrостоящих пьезокристаллов нецелесооб
разно и необходимы (особенно в исследовательских целях) друrие
методы возбуждения высокочастотных поверхностных волн.
К наиболее известным методам возбуждения и приема ПАВ в
непьезоэлектриках относится так называемый метод клина
(рис. 12,3, а), принцип действия KOToporo заключается в перекачке
311
энерrии объемноЙ волны в энерrию связанноЙ с ней волны утечки
на rранице подложки и клина. Последняя затеllI преобразуется в
рэлеевскую волну [23]. Пусть в клине возбуждается продольная
объемная волна с длиной Л V ' Если уrол клина е несколько больше
вир, rде вир удовлетворяет равенству Av/sin 8"р==С А , т. е. длина сле
да объемной волны в клине близка к длине рэлеевской волны в
подложке, то эффективность перекачки оказывается максимальной
и при соответствующей длине 1, основания клина (L 1 JIl k 1) Teope
тически может достиrать около 80%. Более простая трактовка
процесса возбуждения ПАВ методом клина, базирующаяся на при
ближении заданноrо поля, состоит в рассмотрении IIижней ]IЛОСКО
сти ](лина ]Ш]( ПСРИО)\IIчес]ю!i LIIстемы мехаНllчески х I13IIряжениii,
создаваемых IIадающеii I30JIНОЙ [241. В этом IIрнбтIжении эффек
тивность максимальна IlpII o 0,,1"
Эффективный метод вuзбуждении и детектирuвания ПАВ был
Ifредложен А, [. Соколинским [24]. 'Он зак.тrючается в создании
а)
!J)
[Рис, 12.3. Возбуждение и детектирование ПАВ с помощью Кi1Ина (о)
!I rребенки (6).
пространственно периодических наrрузок на поверхности с по-
мощью находящейся с ней в акустическом контакте металлической
rребенки (рис. 12.3, б), В силу симметрии устройства, как и в случае
ВШП, поверхностные волны излучаются в обе стороны от rребенки.
Описанные выше преобразователи блаrодаря своей мобильности
удобны для экспериментальных исследований с поверхностными вол
нами, К их недостаткам следует отнести прежде Bcero плохую Tex
нолоrичность.
В некоторой степени свободен от этоrо: метод, предложенный
Хэмфрисом и Эшем [25], в котором используется рассеяние объем
ных волн в поверхностные и обратно на периодических неоднород-
ностях, обычно в виде канавок, вытравленных на поверхности
(рис, 12.4). Такой метод оказывается достаточно технолоrичным и
может быть использован даже в пьезоэлектриках для возбуждения
поверхностных волн rиrаrерцевоrо диапазона (вплоть до 10 rrц
[261). При этом он обладает определенным преимуществом перед
ВШП малой чувствительностью к дефектам изrотовления. ПОk
робное исследование этоrо метода проводилось теоретически и
экспериментально в работе [27] и теоретически в работах [28 30].
312
Перспективным для экспериментов в физике твердоrотела яв
ляется возбуждение ПАВ модулированным по интенсивности ла
зерным излучением. Основным преимуществом этоrо способа явля
ется ero бесконтактность и возможность широкой перестройки ча-
стоты за счет изменения частоты MOДY J.
ляции лазерноrо пучка. Основным Me
ханизмом возбуждения обычно оказы ЛАВ
вается тепловое расширение среды при
поrлощении в ней CBeToBoro излучения
так называе.YIЫЙ теР:\IооптичеСIШЙ Mexa
НИ3:vI. ЭффекТI!ВНОСl'Ь возбуждения MO
жет быть значительно увеличена, если
засветку сделать пространственно пе-
риодической. Экспериментально описан
ный способ исследовался в работах [31, 32] для импульсной засветки
и в работе [33] для случая rармонической модуляции лазерноrо
излучения. Теоретически этот вопрос изучался в работе [34]. (По
дробнее о термооптическом возбуждении rоворится в 7 rл, 13.)
El
Рис. 12.4. Возбуждение и при
ем ПАВ за счет рассеяния на
пеРНОДИ'IССКНХ lIеОДНО[10ДIIOС
тях.
3. Линии задержки и фильтры, использующие
встречно-штыревые преобразователи
fПростейшая линия задержки, состоящая из пьезокристалличе-
ской подложки с двумя нанесенными на нее встречно-штыревыми
преобразователями (см. рис. 12.1), уже рассматривалась нами.
При подаче на любой из одинаковых преобразователей радиоим
пульса с частотой заполнения, равной центральной частоте IIреобра
зователей, на выходе появится электрический сиrнал, который будет
задержан на время т пробеrа поверхностной волны от передающеrо
преобразователя до приемноrо. При этом, однако, не весь излучае
мый сиrнал будет принят вследствие двунапР(]fjленности излучателя
и из за наличия отражений от приемноrо преобразователя. Так,
если поверхностная волна попадает на приемный ВШП, соrласо
ванный с электрической наrрузкой, то только половина падающей
энерrии будет принята. Четверть отразится и четверть пройдет че
рез преобразователь.
Сказанное леrко пояснить с помощью матриц рассеЯflИЯ S,
сопоставляемых каждому ВШПJ8]. ДЛЯ этоrо рассмотрим ВШП как
устройство с тремя входами двумя акустическими, которые обо-
значим индексами 1 и 2, и одним электрическим, обозначаемым ин-
дексом 3. Напомним, что матрица рассеяния связывает амплитуду
сиrнала, приходящеrо на какой-либо из входов, с амплитудами всех
выходящих сиrналов. Из симметрии ВШП следует, что энерrия,
падающая на соrласованный электрический вход 3, распределяется
поровну между двумя акустическими входами 1 и 2 (двунаправ-
ленность). Из обратимости ВШП следует, что и, наоборот, два аку-
стических сиrнала одинаковой амплитуды и фазы, приходящие на
входы 1 и 2, дадут на выходе 3 электрический сиrнал удвоенной
мощности. Отсюда следует, что в общем случае для несоrласован
313
Horo электрическоrо входа матрица рассеяния должна иметь внд
Soo= [ :: : 1 ; : ] . (3.1)
::f: 513 813 5зз
Поскольку внутри преобразователя энерrия не исчезает If не Ha
капливается, матрица S должна быть унитарной, т, е.
SS* == 1. (3.2)
При соrласованном электр"ческом входе (5зз 0) IIЗ (3.1) 11 (3.2) BЫ
текает
21 51з12 1, I S111 2 +1 51212+1 513 ]2== 1, S13 (S;l + S;2) o o, (3.3)
откуда нетрудно получить
I Slз1 2 == 1/2, 1 sl11 2 + 151212 == 1/2, 1511 12 == 1 S12/ 2 == 1/4. (3.4)
Если входным сиrналом является сиrнал акустическиЙ, IlрИ
ходящий на вход 2 с аМI!ЛИТУДОЙ а 2 , то для выходных сиrналов
получим b1==S12a2' U2==SllCl2, Ьа'С5JЗа2' Из соотношений (3.4) как
раз и следует, что bi==a /4, b ' a !4, b a /2, Если еще учесть,
что при возбуждении ПАВ rrоловина излучаемой мощности теря-
ется из за акустическоrо излучения в противоположном направле
нии, то очевидно, что общие вносимые потери в линии (без учета
потерь на распространение ПАВ) дЛЯ первоrо снимаемоrо с ВШП
ВЫХОДноrо электрическоrо сиrнала составляют 6 дБ. Отраженный
сиrнал, испытав вторичное отражение на передающем ВШП, оче.
видно, также будет принят на выходе как ложныu ЭХО-И.мпульс,
причем ero амплитуда будет только на 12 дБ ниже амплитуды основ-
Horo задержанноrо сиrнала. Так как обычио ложные эхо импульсы
не желательны, необходимо принимать меры по снижению их уровня.
Это может быть достиrнуто, например, при помощи рассоrласова-
ния ВШП по электрическим выходам. Однако при этом возрастают
общие потери для OCHOBHoro задержанноrо сиrнала. Аналоrичный
эффект достиrаf'ТСЯ и в том случае, еСЛII нанести на подложку зву-
копоrлощающую пленку или использовать материалы с большим
затуханием ПАВ.
Более эффективным средством борьбы с описанными ложными
сиrналами, называемыми также СИ2наламu трехкратНО20 прохож
дения, является использование однонаправленных ВШП [9]. По
следние представляют собой систему из двух обычных ВШП, pac
положенных последовательно вдоль иаправления распространения
ПАВ и смещенных друr относительно друrа на расстояние (п+
+ 1/4)"-, rде п== 1, 2 . . . Если выIокочастопIыыe напряжения, пода-
ваемые на каждую из секций, сдвинуты по фазе на + л/2, то систе
ма становится однонаправленной, так как в зависимости от знака
фазовоrо сдвиrа поверхностные волны, возбуждаемые отдельными
ВШП, будут складываться в фазе при распространении в одну CTO
рону И В противофазе в друrую. То же самое можно сказать и о
работе однонаправленныx ВШП в режиме приема.:Почти вся посту
314
лающая l1а вшп энерrия ПАВ преобразуется в этом случае в энер
rию электрическоrо сиrнала, а коэффициенты отражения II про
хождения ПАВ через ВШП весьма малы. В результате в линии с
двумя однонаправленными ВШП достиrается почти полное подав
ление сиrналов тройноrо прохождения и, кроме Toro, значительно
снижаются полные вносимые потери, Основным недостатком OДHO
направленных ВlllП является необходимость использования фазо
вращателеЙ, что IIрИВОДИТ к усложнению КОI!СТРУКЦIШ устроЙства.
Существуют 11 друrне методы борьбы с ЛОЖНЫМИ эхо импульсаМII
(см., например, 135, 36J).
Частотная характеристика линии задержки на ПАВ в OTCYT
ствие ложных отражений практически полностью определяется
встречно штыревыми преобразователями. Зависимость затухания
ПАВ от частоты обычно менее существенна. Тем не менее в BЫCOKOKa
чественных линиях задержки она должна ПРИНJIматься во внимание,
если времена задержки достаточно велики (,......100 мкс и выше).
Типичные значения времен задержки в малоrабаритных устройст
вах на ПАВ оrраничены размерами кристаллических подложек и
составляют 1 20 мкс *). Вблизи нижней rраницы этоrо диапазона
линии задержки на ПАВ можно использовать как полосовые фИЛЬ!ll
ры * *), частотные характеристики которых определяются пронз
ведением двух ВШП, Если оба ВШП одинаковы, то результирую
щая частотная характеристика будет иметь максимум на централь
ной частоте ВШП, а относительная полоса пропускания будет равна
1/2N, rде N число пар электродов в каждом ВШП. Если резо
нансные частоты ВШП отличаются, то получающееся устройство
эквивалентно радиотехническому фильтру из двух расстроенных
контуров.
rораздо более широкие перспективы реализации практически
любых частотныХ характеристик открывает возможность исполь-
зования апериодических ВШП с амплитудным взвешиванием вклада
каждоrо электрода (например, в результате изменения ero длины).
Сказанное леrко понять, если воспользоваться предложенной в pa
боте [37] простой моделью, в которой ВШП представляется в виде
набора бесконечно тонкиХ (дельтаобразных) источников. Тоrда
импульсную характеристику неэквидистантНО20 преобразователя
со взвешиванием можно представить в форме (приемный ВШП счи
тается широкополосным)
N
h(t)== ( l)"А"б(t t,,),
,,= N
(.3,5)
rде Aп амплитуды излучаемых каждым электродом импульсов,
пропорциональные величине перекрытия соседних электродов, tп
время задержки импульса от п ro электрода на выходе ВШП. Об-
*) При необходимости время задержки может быть значительно увеличе
но за счет использования сложных траекторий лучей ПАВ (см., например,
обзор [7J).
**) Постоянная задержка т, как известно, ие иrрает существенной роли
в процессе фильтрации.
315
Щ чl1сло импульсов в последоtзателыюсти, очевидно, равно 2N + 1.
Частотная характеристика ВШП, или ero передаточная функция
Н (О)) определяется как преобразование Фурье от (3.5):
N
Н(О))== ( l)"Aпexp( iO)tп),
n= N
Если t" I1To (To d/2v задержка между соседними электродами),
т. е. преобразователь периодический с периодом d, то
cп
ф
Н((о)::::::::Тоl A(t)exp[ i((iJ O)o)tJdt,
(3.6)
rJLe О)о л./То '2J1v/d центральная частота IIреобразователя. Ta
ким образом, частотная характеристика эквидистантноrо преобра
зователя представляет собой преобразование Фурье от закона взве
шивания электродов. В частности, для преобразователя без I3зве
шивания (А (t)==const), полаrая пределы интеrрирования от T
дО Т, rде T==NT o ==Nd/2v, из (3.6) нетрудно получить выражение
(2.2) для модуля частотной характе-
ристики ВШП в случае больших N.
Ясно, что в рамках используемой мо-
дели весь процесс синтеза заданной
частотной характеристики Н (ш) сос-
тоит в определении закона взвешива
ния, т. е. в вычислении обратноrо
преобразования Фурье от Н (0)).
На рис, 12.5 изображен полосо-
вой фильтр на ПАВ с частотной
характеристикой, близкой к прямо-
уrольной. Функция взвешивания на
одном из ВШП при этом имеет форму sin х/х. Отметим, однако,
что описанным способом можно синтезировать только симметрич
ные частотные характеристики, пескольку в этом случае соответ-
ствующее преобразование Фурье дает вещественные функции А (t).
В противном случае А (t) содержит неустранимую мнимую часть,
которую невозможно реализовать с помощью простоrо взвешива-
ния эквидистантных электродов. При этом целесообразны иные
методы синтеза, например с использованием апериодических ВШП.
Выше рассматривался один из простеЙших способов взвешива
ния (IIЛИ аIlодизации) электродов ВШП посредством изменения
перекрытия. Основной ero недостаток в том, что IIрИ IIрохожде-
нии поверхностной волны через штыри различной длины ее фазо
вый фронт вследствие изменения скорости на металлизированной
поверхности перестает быть плоским. В результате частотная ха-
рактеристика фильтра искажается. Один из эффективных мето-
дов борьбы с этим явлением состоит в использовании «холостых»
электродов, не соединенных с источником электрическоrо напряже
ния. Возможно также раздельное питание электродов постоянной
длины через вспомоrательную встречно-штыревую систему со взве-
! I I
I
Рис. 12.5. Полосовой фильтр на
ПАВ с прямоуrольной частотной
характеристикой.
316
[
WИМнием последней за счет перекрытия. Эта вспомоrательная
система располаrается параллельно рабочим электродам, и связь
между ними осуществляется через межэлектродные емкости так
называемое емкостное взвешивание электродов [9J.
Если величину взвешивания электродов А п поддерживать по
стоянной, но изменять расстояние между электродами, то нетрудно
получить так называемый дисперсионный фИЛblпр, или фильтр сжа
тия импульсов, временная задержка тв котором будет зависеть от
частоты сиrнала (рис. 12.6), Такие фильтры используются при об-
работке частотно модулированных сиrналов различных видов. Ha
пример, в случае JIIIнеЙIюrо чаСТОТНО l\ЮДУЛl!рО!Jанноrо СIIrнала с
крутизной девна1\IIОННОЙ характеристики Yd время t n в выражении
для импульсной характеристики (3,5) должно меняться по закону
[11 J
t" =0= fol"rd + [(fo/l'd) 2 + пl"rd]I/2,
rде fO"""(O o /2n центральная частота. При этом фильтр обладает
требуемой линейной частотной хараК1еристикой и квадратичной фа
зовой. При подаче линейноrо частотно-модулированноrо сиrнала
на соrласованный с ним дисперсионный фильтр на выходе фильтра
будет формироваться узкий импульс большой амплитуды. С друrой
стороны, импульсная характеристика рассматриваемоrо фильтра
представляет собой линейный частотно-модулированный СИI'нал.
Если отдельные rруппы шты
рей располаrать на некотором pac
II@
РИс. 12.6. Дисперсионный фильтр
на ПАВ с апериодическим ВШП.
I]+ШII
Р ис. 12.7. Cor ласованный фильтр для
фазоманипулированных сиrналов,
стоянии друr от друrа и определенным образом менять их поляр-
ность (рис. 12.7), то импульсная характеристика получившеrося
фильтра будет представлять собой последовательность радиоимпуль
сов, начальные фазы которых НрЮIИмают значения «О» или «л» В
зависимости от заданноrо кода, ПолучаЮЩИЙС5I сиrнал принято
называть фазоманипулированным или баркеровским. Ясно, что
при ero подаче обратно на рассмотренную систему штырей, которая,
очевидно, соrласована с рассматриваемым сиrналом, все импульсы
просуммируются в фазе и на выходе будет принят один результи
рующий импульс большой амплитуды. Подобные устройства в на-
стоящее время широко используются в системах кодирования и
декодирования.
Наряду с описанными основными типами фильтров на ПАВ, ис
пользующих избирательные свойства встречно штыревых преобра
317
зователей, существуе1 множество их модификации, предназнэчен-
ных для выполнения тех или иных конкретных функций< Подробнее
об этом можно прочитать в обзорах и моноrрафиях [4, 7, 9 16, 37J.
4. Рассеяние поверхностных волн. Резонаторы
и фильтры на основе отражательных структур
Важную роль в акустоэлектроН!ше иrрают взаимодействия
ПАВ с раЗЛl1чноrо ВIща неОДНОРОДНОСТ5lМII подложки, в чаСТНОСТII
рассеяние на периодических и квазипериодических совокупностях
неоднородностей поверхности, представляющих собой дифракци-
онные реUlетки дЛЯ ПАВ. Еще в 1967 r. [38] было предложено ис-
пользовать периодические решетки в качестве распределенных oт
ражателей ПАВ IIрl! создапии мноrоотводных линий задержки.
Позднее были разработаны более сложные структуры, у которых
%
. .". . ...". ," . . .
'// '//:1 :1
а) о) tV
Рис. 12.8. Типы рассеивателей ПАВ: а) канавки, б) метаЛлические или ДИ9лект
рические полоски, в) неоднородности, получаемые внедрением примесей,
отражательная способность изменял ась по желаемому закону, по-
зволяя формировать требуемую амплитудно-частотную характери
стику решетки и создавать высококачественные полосовые фильтры
[39] и фильтры сжатия частотно модулированных импульсов [40],
В настоящее время одним из наиболее важных приложений дифрак
ционных решеток ПАВ, работающих в режиме отражения, стали
резонаторы на поверхностных волнах 141 J, в которых решетки
выполняют ту же роль, что и зеркала в интерферометре Фабри
Перо. Периодические решетки пока являются единственным сред-
ством, обеспечивающим высокий коэффициент отражения ПАВ,
практически приближающийся к единице.
Физическая природа рассеивателей поверхностной волны может
быть различной. Они MorYT использовать изменение rеометрии
поверхности (канавки); локальное «закорачивание» электрическоrо
поля на поверхности пьезоэлектриков или инерционную наrрузку,
действие которой добавляется к rеометрическому и электрическому
факторам (металлические или диэлектрические полоски на поверх-
ности твердоrо тела); введение примесей в подложку с помощью
ионной импЛантации или диффузии и т, д, На рис. 12.8 изображены
периодические решетки, сформированные рассеивателями описан-
ных выше типов.
Первые работы, в которых исследовалось рассеяние ПАВ на
различных дефектах поверхности, были выполнены в конце 50-х
rодов [42, 43] применительно к нуждам сейсмолоrии и ультразву
ковой поверхностной дефектоскопии, С появлением акустоэлект-
ронных устройств активность исследований в этой области значи-
318
тельно увеличилась (см., например,. [44 47J) и были получены
мноrочисленные данные для различных видов рассеивателей.
С целью пояснения физики процесса рассмотрим рассеяние
рэлеевской волны на одиночной неоднородности типа канавки на
поверхности твердоrо тела. Неоднородности подобноrо рода, Ha
зываемые топоrрафичеСIШМИ, широко распространены на практике
вследствие BblcoKoro качества основанных на них устройств и про
стоты изrотовления. Пусть на канавку падает нормально rармони-
ческая рэлеевская волна (рис. 12.9), амплитуды смещения которой
равны ui O ) (х). Полное поле смещений Ui в YHpyroM полупростран
стве должно удовлетворять ypaBHe
нию движения (9.1.2) и однородным
rраничным условиям на свободной
поверхности
а п" == fJ nt == О,
.zz
(4,1)
,/
ПАВ
rде п и t единичные векторы HOp
мали и касательной к поверхности.
Причину рассеяния рэлеевской вол
ны на канавке можно пояснить теYJ
что в областях с большой кривизной' поверхности (по сравнению с
волновым числом) поле одной падающей волны не может удов-
летворить rраничным условиям (4.1). В результате этоrо появ
ляется отраженная рэлеевская волна, а в rлубь среды излучаются
продольные и поперечные объемные волны. Если рассеивающее
препятствие достаточно мало, т. е. функция f(Xl), описывающая
форму препятствия, удовлетворяет условиям /f(Xl)kl l и /f' (Xl)/ l,
то в большинстве случаев рассеянные поля MorYT быть рассчи
таны с помощью первоrо (борновскоrо) приближения теории воз
мущений,
Воспроизведем основные идеи расчетов, опираясь на работу
(45), в которой наличие свободной rраницы учитывается путем
введения зависящих от координат упруrих констант
Рис. 12.9, fеометрИЯ задачи О
рассеянни ПАВ на топоrрафичес
КОЙ неоднородности.
Cijkl(X)==Cijkle[X2 f(Xl)], (4.2)
rде е (Х 2 ) ступенчатая функция Хэвисайда. При малых f(x 1 )
выражение (4.2) может быть разложено в степенной ряд по f(Xl),
коэффициентами KOToporo будут производные от соответствующих
обобщенных функций:
C ijkl (х);;= C ijk1 е (X2) f (Х 1 ) Cijkl б (X2) ' . . (4.3)
Подставляя (4.3) в уравнение движения (rраничные условия (4.1)
при этом удовлетворяются автоматически), получим следующее
уравнение для rармоническоrо во времени вектора смещений и" (х):
Цk (х) Uk (х) == Vik (х) Uk (х), (4.4)
rде
Ц%) (х) == (J)2б ik + p l (дсi%//дхj) д/дх ! + р lсi /д2/дХjдХl
319
невозмущенный оператор, соответствующий однородному полу-
пространству, C}%ZO==C ijkI 8 (х 2 ), V ik (х) описывающий препят-
ствие оператор возмущения, связанный с последующими членами
ряда (4.3). Ero мы для краткости не будем выписывать. С помощью
тензора rрина G jk , удовлетворяющеrо уравнению
Цо,] (х) G jk (х, х') 0== 8i/) (x x')
(4.5)
(см., например, [481), выражение (4.4) можно привести к эквива-
лентному интеrродифференциальному уравнению:
сп
И i (х) ='= И О) (х) Gij (х, х') V/ 1 (х') It 1 (х') !х,=о dx , (4.6)
x
rде компоненты иi ОJ (х) представляют собой решение (4.4) без пра-
вой части и описывают рэлеевскую волну, распространяющуюся
вдоль свободной поверхности х 2 0==0. Борновское приближение к
решению Иi (х) получается, если в интеrрал (4.6) вместо Иi (х')
подставить И О) (х'). При этом величины (Vjzи О») 'х,=" о под инте
rралом имеют смысл поверхностных наrрузок, и вычисление pac
сеянных полей в полупространстве сводится к известной задаче
Лэмба о возбуждении упруrих волн в оrраниченной твердой среде
[48J. Чтобы не допускать превышения точности, в выражении для
V j 1 (х) следует также оrраничиться только членами первоrо порядка
по f и {', Последующие итерации уравнения (4.6) (одновременно с
удержанием членов более BbIcoKoro порядка в Vj/ (х)) в принципе
позволяют определить и все высшие (постборновские) приближения.
Однако для решения этой задачи уже требуются численные методы,
так как определяемый из (4.5) тензор rрина G jk даже для изотроп
Horo полупространства представим лишь в виде интеrралов, KO
торые MoryT быть вычислены аналитически только для больших
расстояний от источника рассеяния. Ряд полезных заключений об
эффектах высших порядков можно, тем не менее, сделать на ос-
новании общих закономерностей рассеяния поверхностных волн
[49, 50J,
Первые подробные расчеты рассеяния ПАВ рэлеевскоro типа
на топоrрафических неоднородностях в рамках первоrо приближе
ния теории возмущений были проделаны Туаном с сотрудниками
(см. [44J) дЛЯ изотропноrо твердоrо тела. При ЭТОМ были получены
аналитические выражения для коэффициентов отражения рэлеев
ской волны и для диаrрамм рассеяния в объем среды, Рассеяние
рэлеевских волн на неоднородностях типа канавок и полосок при
наклонном падении впервые рассматривалось в работах r 46, 51 J.
Наибольший интерес с точки зрения приложений рассеяния
ПАВ в акустоэлектронике представляют отражательные решетки,
базовыми элементами которых являются рассмотренные выше эле
ментарные рассеиватели. В случае нормальноrо падения ПАВ на
решетку ее период d, или расстояние Между центрами двух cocek
них рассеивателей, выбирается равным "л/2, rде "л длина ПАВ,
320
При этом поля, рассеянные каждой неоднородностью в обратном
направлении, складываются в фазе (брэrrовское отражение) и
при достаточно протяженных решетках наступает почти полное
отражение ПАВ. В этом случае rлавным источником потерь при
отражении оказывается рассеяние в объем среды. К счастью, как
раз при d л/2 потери на объемное рассеяние минимальны, так как
для объемных волн, излучаемых по нормали к поверхности, эле
ментарные рассеиватели решетки действуют в противофазе.
1<оэффициент отражения ПАВ от решетки можно рассчитать
матричным методом [41, 52Т, автоматически учитывающим MHoeo
кратные перерассеяния ПАВ на элементах решетки. Каждому pac
сеивателю при этом сопоставляется четырехкомпонентная матрица
рассеяния (излучение в объем среды не учитывается). Затем с no
мощью каскадноrо перемножения матриц, соответствующих OT
дельным рассеивателям, опреде,rrяется общий коэффициент отраже-
ния. Блаrодаря простоте и наrлядности матричноrо метода с ero
помощью были впервые получены все основные результаты по Teo
рии распределенных отражателей ПАВ [41 Т. В частности, было
показано, что модуль коэффициента отражения от решетки Bыpa
жается формулой
R == th (Nr),
(4.7)
rде N число канавок в решетке, а r модуль коэффициента
отражения от одиночной канавки, который может быть рассчи-
тан с помощью выражения (4.6). Если канавка имеет прямоуrоль-
ный профиль (при этом (4.6) справедливо лишь в борновском при
ближении), то r==2 с sin (kl) Ыл, rде" h и l соответственно высота
и ширина канавки, а с безразмерная постоянная, зависящая от
упруrих свойств среды. Например, для канавки, вытравленной
перпендикулярно к направ,rrению Z У среза кристалла ниобата
лития (расчет в квазиизотропном приближении) значение с равно
0,34. Из (4.7) видно, что при Nr oo имеет место R I, а при Nr 1
выражение для R приобретает вид R==Nr, В последнем предельном
случае MHoroKpaTHoe рассеяние не иrрает роли и суммарная отра-
женная волна представляет собой сумму волн, отраженных каждой
канавкой решетки.
Более строrий метод анаЛИза отражательных решеток, OCHOBaH
ный на известном в интеrральной оптике методе связанных мод,
был развит в [29, 30, 53Т, В работах [54, 55] для РLlсчета рассеяния
ПАВ на решетке использовался модифицированный .метод возму
щений, основанный на специальном выборе нулевоrо приближения
к решению, При этом, в частности, была решена задача об отра-
жении рэлеевской волны от решетки при наклонном падении с
учетом MHoroKpaTHoro рассеяния [55Т,
Простейшим и в то же время наиболее важным для практики
устройством, использующим отражение ПАВ от периодических
решеток, являются резонаторы на ПАВ, образованные двумя
отражательными решетками, ТЙпичная конструкпия TaKoro резо
11 13. А, !(расилыIиоп,' В. 13. !(Р',IЛОВ 321
натора представлена на рис. 12,10. Основное преимущество резо
наторов на ПАВ перед обычными кристаллическими резонаторами
на объемных волнах состоит в том, что изrотовление последних
для частот свыше 30 мrц вызывает значительные технолоrические
трудности. В то же время изrотовление резонаторов на ПАВ,
работающих на частотах до 1 2 rrц, является довольно несложным
д лом и может быть осуществлено с помощью фотолитоrрафии,
Эrо позволяет использовать резонаторы на ПАВ в качестве BЫCOKO
стабильных эталонов частоты, узкополосных фильтров rиrаrерце-
Boro дrrапазона, высококачествен
ных фильтров на основе связанных и ''''
л,и
резонаторов и т. д. О
Центральная частота резона-
тора на ПАВ определяется из
обычноrо условия для интерфе
ромеТРОЕ типа Фабри Перо,
ry
'"
12,5
25
о, 995
1,005 f'/f'o
1
Рис. 12,10. Резонатор на
ПАВ: 1 встречно.штыре
вые преобразователи, 2
отражательные решетки.
Рис. 12.11, Характеристика пропус
кания резонатора на ПАВ [41]:
fo v/2d 68.5 Мfц, N 200, h/л
0.014.
состоящеrо в том, чтобы в эффективной длине резонансной полости
Lвфф L+2рп> rде Рп л/4r rлубина проникновения ПАВ в
решетку, укладывалось целое число полуволн. При этом частотный
интервал между двумя соседними резонансами полости опреде-
ляется выражением i1t v/2Lвфф, rде v скорость ПАВ, По
скольку сами отражательные решетки также обладают резонанс-
ными свойствами, так как относительная полоса заrраждения
решетки пропорциональна 11 N, то из всех резонансов полости pe
ально существуют один или два. Эти особенности резонатора на
ПАВ весьма наrлядно иллюстрируются рис. 12.11, на котором изоб-
ражена типичная характеристика пропускания резонатора с OT
ражателями в виде системы канавок [41] для случая достаточно
длинной резонансной полости (L 101d). Видно, что потери npo
пускания П близки к нулю вне полосы заrраждения решетки и
достиrают значительной величины внутри этой полосы, за исклю-
чением частот двух попадающих в нее резонансов полости. Побоч-
ный резонанс, очевидно, может быть выведен из полосы заrражде-
ния за счет сокращения длины резонансной полости или путем
уменьшения полос заrраждения решеток.
322
Добротность Q резонаторов на поверхностных волнах опреде-
.1яется суммарными потерями ПАВ соrласно выражению
Q l>== Qil,
i
rде Qi добротности, обусловленные i-MH механизмами потерь.
К этим механизмам относятся потери распространения, вызванные
термоупруrим и вязкостным затуханием ПАВ в материале под-
ложки и возбуждением звуковых волн в воздухе, находящемся в
контакте с подложкой; дифракционные потери; потери за счет про-
ПУСI,ания ПАВ отражательными решетками и потери, обусловлен
ные рассеянием в объем среды, Добротность, определяемую только
термоупруrимн и вязкостными потерями, принято называть доб
ротностью . штсрuала Qm' Она, очевидно, является предельно
достижимой добротностью резонатора. Например, для подложек
из УZ LiNЬОз и SТ кварца величины Qm на частоте 100 мrц со-
ответственно равны 105 и 6.104 [56J. Дифракционные потери не
иrрают существенной роли в резонаторах на ПАВ, поскольку они
леrко MorYT быть сделаны пренебрежимо малыми за счет увели
чения ширины пучка ПАВ. Потери пропускания ПАВ отражатель
ными решетками также чрезвычаЙно малы при достаточно большом
чИс.rrе рассеивателей, например при Nr== 3 5, Потери на объем-
ное рассеяние оказываются наиболее серьезной причиной оrрани
чения добротнос rи резонаторов на ПАВ; однако они MorYT быть
значительно снижены за счет уменьшения величины h/л, или rлу-
бины канавок при соответствующем увеличенин их числа. Именно
при очень малых h/Л(,....,,10 2) были ДОСТИrнуты значения добротно-
стеЙ в несколько десятков тысяч, что на используемых частотах
приближалось к добротностям материала [57, 58). Отметим, что
наиболее высокодобротные резонаторы на ПАВ, изrотовленные к
настоящему времени [55 58], имели отражательные решетки в
виде канавок. Решетки TaKoro типа обладают наименьшими дис
персионными искажениями, а качество поверхностей канавок,
обычно получаемых методом ионноrо травления, оказывается
очень высоким. Резонаторы, имеющие решетки из отражающих
металлическиХ или диэлектрических полосок, характеризуются
существенно меньшими значениями добротностей, что связано, во-
первыХ, с наличием довольно сильной дисперсии,. вызываемой по-
лосками, которая приводит к искажениям фронта поверхностной
волны при ее прохождении через решетку. Кроме Toro, в протяжен-
ных металлических полосках, расположенных на поверхности
пьезоэлектриков, имеют место омические потери, также снижающие
добротность резонаторов,
Друrим важным применением рассеивающих структур ПАВ
являются дисперсионные фильтры, образованные канавками. Хотя
для создания дисперсионных фильтров MorYT использоваться и
апериодические встречно штыревые преобразователи ( 3), уст-
ройства на основе рассеивающих структур оБЛdдают более высо-
кими показателями, так как они свободны от целоrо ряда искажений
11. 323
поля 1'1/\8 1401. Нап рЮlер, коэффициеНJп сжаltlия чаСI7l(JI7l/'lо /ноду
ЛllровШlflЫХ 1l.1lпульсов, щ)едстаВJlЯЮЩ!! 1 собои ПрUИЗ1JеДСНl1е по
ЖЮ,I IIР()ПУСI\ШШЯ фИЛI,тра па 113MeHeHlle ДJштеJIЬНОСПl ::Jадержки,
у фIIJIЬТрUВ С отражательныtllII решетками оказывается ::Jначительно
Еыше, чем у фlIЛЬТрОВ с апеРИОДllческими НШll, и к настоящему
врсУ.еНII До('тиrает десятков тысяч.
ТII!IIIЧНЫ,", ЛlIсперСI!ОННЫЙ фильтр с О1'ражатеЛЬНЫМII решет
ками изоuражен на рис, 12,12, Принцип деflСТВИЯ el'U основан 11a
изменеШI!! Врбrени задержки с частотоЙ. Расчет передаточных
хараl\Теристик таких фильтров в ПрIlН
ципе ничем не отличается от СJlУЧШI
фи.'IЬтров С ВШП. JVlноrократвые отра-
жения, которые в даННОtll случае Iiеже
латеJ1ЬНЫ, и друrие эффекты высших пи-
рядков обычно оказываются i\JаJIЫМИ, и
иt\1И можно либо пренебречь, лиБОКОl'<l
пенсирuвать их с помощью простых эм
ппрических приемов !4CJJ. Потери за счет
ИЗJlучения объемных волн не иrрают в
дисперсионных фильтрах значительноЙ
рОJJИ, поскольку в большинстве случаев
они не приводят к ухудшению переда-
точной функции устройства, а влияют
лишь на общие вносимые потери складывающиеся, в основном из
потерь прохождения поверхностной волны через решетки.
Рассеивающие структуры llAB MorYT с УСIlехом применяться
и для создания полосовых фильтров. Однако работ, l!Освященных
этому вопросу, относительно HeMHoro (см. обзор l40J). ПО Вl-lДи
мому, это объясняется тем, что полосовые фильтры на отражатель
ных решетках не имеют существенных преимуществ перед устрой-
ствами на ВШП (см. 3) и MorYT конкурировать с последними
лишь в тех случаях, коrда условия эксплуатации накладывают
какие-либо оrраничения на выбор материалов подложек или к xa
рактеристикам фильтров предъявляются повышенные требования.
Отметим, что привлекательной особенностью всех приборов с от-
ражательными решетками является то, что в принципе они не Tpe
буют пьезоэлектрических подложек. Это позволяет с большей
свободой подходить к выбору материаJIа подложек для удовлетво-
рения различных специфических требований, например обеспечения
высокой температурной стабильности.
Рис.., 12.12. Дисперсионный
фильтр на ПАВ с отража-
тельными решетками: J
входноЙ вшп, 2 отража
тельиые решетки, 3 вы-
ходной В шп.
5. Усиление звука дрейфом носителей
в пьезополупроводниках и слоистых структурах
Ранее мы оrраничивались в основном случаем диэлектриче-
ских материалов. Наличие свободных носителей заряда приводит
к ряду новых важных для практики акустических эффектов, в част-
ности к дополнительному (акусmОЭЛRкmронному) поелощению или
усилению звуксвых волн. Ниже мы кратко обсудим основные черты
324
этих нвлений на примере lIьезополупроводникоl3ЫХ 1<ристаЛЛ08,
в которых взаимодействие звука с носителями (э.rrектронами""ПРО-
водимости и дырками) осуществляется в основном через пьезоэф-
фект, Друrие механизмы взаимодействия, в том числе связь через
деформационный потенциал, при этом rораздо менее существенны,
по крайней мере для частот ниже 1011 [ц.
Теоретически взаимодействие звука со свободными носите-
лями заряда (акусiпОЭЛl!юпРОflflое взаим.одейспюие) наиболее просто
описывается в двух предельных случаях соотношения ВОлновоrо
числа звука k и длины свободноrо пробеrа носителей le: kle l и
kle' l. В первом случае звуковую волну можно рассматривать как
классическиЙ объект, создающий возмущения плотности электрон-
HOI'O rаза (rидродинамическая модель), во втором необходимо
квантопое рассмотрение отдельных ЭЛl!ктрОfl фОflОflflЫХ взаим.одей-
ствий. Поскольку неравенство kle l обычно выполняется вплоть
до частот ,....." 1010 [Ц, в дальнейшем изложении мы оrраничимся
rидродинамическим приближением. Для упрощения выкладок
будем также считать, что акустическая волна распространяется в
одном из симметричных направлениЙ пьезополупроводниковоrо
кристалла и вследствие этоrо является либо чисто продольной,
либо чисто поперечной,
Поскольку электрическое поле, сопровождающее упруrую волну
в неоrраниченном пьезоэлектрике, направлено вдоль вектора вол-
новой нормали (в дальнейшем будем считать, что последний ори
ентирован вдоль оси х), то задачу можно рассматривать как одно-
мерную [59J. При этом уравнения состояния пьезокристалла ( 4
rл. 9) удобно записать в виде (опуская векторные и тензорныIe
индексы)
а === си' eE, (5.1)
D===eu';-еЕ, (5.2)
rде а, и' ди/дx, Е и D упруrое напряжение, деформация, на-
пряженность электрическоrо поля и индукция, и механическое
смещение, а с, е и е соответствующие данному направлению и
типу волны компоненты модулей упруrости, пьезомодулей и ди-
электрической проницаемостИ. Iiапример, в случае распростране-
ния сдвиrовоЙ волны в базисной плоскости кристаллов CdS или
ZnO (с поляризацией вдоль rексаrональной оси) С===С 1з1з , е===е113'
К уравнениям (5,1) и (5.2) следует добавить механическое уравнение
движения
рй === да/дх,
уравнение дЛЯ ИНДУКЦИИ (уравнение Пуассона)
дD/дх=== qп,
уравнение непрерывности для плотности
ронов *)
(5.3)
(5.4)
заряда свободных эле кт-
дjjдх=== qп
(5.5)
"'1 Мы предполаrаем, что рассматривается собственный полупроводник
n-типа, Однако результаты справедливы и для подвижных дырок.
325
й уравнение для тока
j == q (по + n),...,Е + qffl) дn/дх,
rде р плотность кристалла, q заряд электрона, ,..., и ffI) под-
вижность и коэффициент диффузии, n==nо+п концентрация
электронов, по концентрация в отсутствие звуковой волны.
Предположим теперь, что в ваправленин х к кристаллу при-
ложено внешнее постоянное электрическое поле 1;'0' создающее в
нем дрейф электронов (рис. 12.13). Тоrда I10лное электрическое
поле можно представить в виде Е==Ео+Е. Такой же вид, очевидно,
примет и выражение для индукции D=ccDo+D и т. д. Решение си-
стемы (5.1) (5,6) будеы искать в виде
ПЛоских волн, полаrая, что все nepe
менные представимы в форме
y(т)==A(т)exp[i(kx ffit)]. (5:7)
Подставляя выражения вида (5.7) в урав-
нения (5.1) (5.6) и пренебреrая неJiи
нейным членом ,..."пЕ в (5.6), что можно
сделать для малых интеНСивностей зву
ка, придем к системе шести линейных
однородных алrебраических уравнений
относительно постоянных А (т), rде
т ==1, 2, , . ., 6. Приравнивая нулю определитель этой системы,
получим дисперсионное уравнение для распространяющихся в
пьезополупроводнике акустических волн. В приближении слабой
электромеханической связи K;M==e2/c€ 1 дисперсионное уравне-
ние приобретает особенно простой вид:
k==k(u)== [ l К;М ( 1 (j)c/UY\' . )]
и о 2 (J)c/UJY+(j)/(j)DY I'
[де введены следующие обозначения: ffic==noq,...,/€ частота релак-
сации nроводим.ости, ffiD==V /ffI) частота диффузии электронов,
1'== 1 +,...,Eo/v o == l vd/vo nара.иетр дрейфа, v o == (с/р)'/. CI(Q
рость звука в пренебрежении пьезоэффектом, V d скорость дрейфа
электронов. Очевидно, зависИМОСТЬ k (ffi) имеет типично релаксаци
онный характер. Разделяя действительную и мнимую части (5.8),
нетрудно получить выражения для скорости V и затухания а звука:
{ 1 К;М 1 + «(j)c/y 2 (j)D) [1 + (j)2/(j)c(j)D] }
v==v o + 1+((j) /y2(j)2)[I+((j)2/(j)c(j)D)2]2 , (5.9)
(j) К;М Ыс/уы
a
и о 2 1+(ы /y2ы2)[1 + «(j)2/(j)c(j)D)2j2'
J
Eo
Рис. 12.13. Распространение
звуковой волиы В пьезопо
лупроводниковом кристалле
при наличии дрейфа носите-
лей: 1 акустический вход,
2 акустический выход.
(5.6)
(5.8)
(5.1 О)
Выражения (5.9) и (5.10) были впервые получены в работах XaT
сона и Уайта [601 и Уайта [611 (см. также обзоры [59, 2, 63]).
Наиболее интересными в (5.9) и (5.1 О) представляются зависи-
мости V и а от параметра дрейфа l' (рис. 12.14 и 12.15). При 1'==0
326
скорость V имеет минимум, близкий к v o , что леrко пояснить с
помощью понятия об эффективной частоте звука I'Ш, распространя-
ющеrося в движущейся среде (доплеровское смещение частоты).
В самом деле, при 1'==0 эффективная частота равна нулю и элект-
роны успевают прийти в равновесие со звуковой волной, экрани
руя сопровождающее ее электрическое поле. При 11'1 1 эффек
тивная частота достаточно велика. Поэтому пьезоэффект не ком-
пенсируется и скорость волны близка к значению V o (1 + К: м /2),
как в случае пьезодиэлектрика,
Зависимость затухания от l' также можно пояснить с помощью
понятия об эффективной частоте, если, кроме Toro, воспользо-
ваться представлением о волнах с отрицательной энерrией {59,
Vd O vd=VO jVd=J Vj= и о
t J k, /2 I
I
I
",'" t
,
J' r
z [J 1 ! Z О ! !
Рис. 12.14, Зависимость скорос-
ти звуковых волн в пьезополу-
проводнике от параметра дрейфа.
Рис. 12.15, Зависимость затуха
ния (усиления) звука в пьезо
полупроводнике от параметра
дрейфа,
64,65). При 1'<0 эффективная частота отрицательна, что в данном
случае rоворит об отрицательности энерrии волны. Этому как раз
соответствует тот факт, что имеющееся при 1'>0 электронное зату-
хание (а>О) сменяется на усиление (а<О) при 1'<0, т. е. при Vd>V O '
Нулевое значение а при 1'==0 rоворит о том, что в этом случае
электроны, успевая отрелаксировать, экранируют пьезоэффект
и не взаимодействуют со звуком. С микроскопической точки зре
ния электронное поrлощение и усиление звука объясняются пере
дачей энерrии и импульса от фононов к электронам и наоборот,
Максимумы усиления и затухания (рис. 12.14 и 12.15) достиrаются
при 1.1' 1== (ш)ш)+ (ш!ш D ),
Несколько иной подход к изучению взаимодействия акустиче
ских волн со свободными носителями был развит Блёткьером и
Куэйтом [641 (см. также [65)), которые исходили из представления
о связанных волнах колебаний решетки и пространственноrо за
ряда, по аналоrии с теорией электромаrнитных усилителей беrущей
волны. При этом были получены аналоrичные результаты.
В проведенном рассмотрении мы использовали наиболее npo
стую модель, в которой предполаrалось, что акустическая волнct
меняет плотность n лишь у электронов проводимости. Однако, как
показали Хатсон и Уайт [601, звук нарушает распределение элект-
ронов также на донорных и акцепторных уровнях в энерreтической
327
щели. CJIE'/J,OBaТl'JllJHO, TO.r!bKO часть пространственно[() зо r нда,
создаваеМОI'О волной, будет подвижна, Поэтому выражение (5.6)
для плотности тока следует заменить на
j ==q (no+fn) E +qDf дn/дх,
rде f в IIростеЙШIIХ случаях действительное число, лежащее в
пределаХ от О до 1. Ero часто называют фактором ловушек, Отмечен
ный эффект уменьшает эффективность взаимодействия звуковой
волны с электронами и снижает коэффициент усиления (или зату-
хания) звука. Кроме Toro, зависимость а от у перестает быть ан-
тисимметричной [59J.
Экспериментально эффект усиления звука дрейфом носителей
впервые наблюдался в кристалле CdS [66J, в котором эл('ктроны
проводимости создавались путем ero подсветки ртутной лампой.
Дрейфовое напряжение прикладывалось к торцевым плоскостям
кристалла посредством омических контактов. При изменении Ha
пряженности ускоряющеrо поля от 200 В/см до 1600 В/см Ha
б,/Iюдалось затухание и усиление звука (при Ео> 700 В/см), зави '
симости которых от Ео были в полуколичественном соrласин с
расчетами по формуле (5.10), На частоте 45 Мfц было получено
максимальное усиление около 70 дБ/см (при Ео==1100 В/см н ш)ш==
== 1 ,2). Длина образца CdS составляла 7 мм. В описаННО:VI экспери
менте во избежание переrрева образца за счет рассеяния свободных
электронов на колебаниях решетки (омических потерь), не учтен
Horo в теории, дрейфовое электрическое поле подавалось в виде
импульсов длительностью 5 мкс, следующих с большой СКБаж
ностью, т. е. усилитель Mor работать только в импульсном режиме.
Друrой характерной особенностью было наличие BbIcoKoro уровня
собственных шумов усилителя, rенерирующихся вследствие асим
метрии уровней усиления и затухания относительно направления
распространения волны (рис. 12.15). Эти недостатки снижают аен-
ность описанноrо устройства как усилителя электрических сиr
налов.
Более перспективным оказывается усиление поверхностных волн,
Одно из преимуществ состоит в том, что взаимодействие ПАВ с
носителями может происходить в тонком приповеРХНОСТIIOМ слое
(",,-,л), в результате чеrо переrрев снижается и возможна работа
уснтпеля в непреРЫВIIОМ режиме. Известно два основиых ',OH
структивных варианта: усилители ПАВ на монолитном III)езоrIOЛУ-
ПРОВОДНlIке [67, 68] н усилители на базе слоистой структуры из
пьезодиэлектрика и ПОЛУПрОВОДlшка, предложенные Ю. В, I уля
евым и В, И. Пустовойтом [69J *), В последнем случае взаимодей
ствне электронов полуп{.оводника с ПАВ, распространяющеЙся в
основном в диэлектрике, осуществляется посредством ЭКСIIOнен
циально спадающеrо электрическоrо ПОЩI волны, проникающеrо в
полупроводник, Описанная слоистая система обладает рядом дo
'") Статья [69] была также ОДНОЙ из первых работ, в которых щла речь
об использозании ПАП ДJ/Я обработки сиrнаJJОВ.
328
стоинств, ОДНО iJЗ которых СОСТОIlТ В том, что оказывается возмож
ныы сочета'J ь си, ьные пьезоэлеКJ рlJIШ типа ниобата лития с «xo
рошими» полупроводниками (обладающими большими fL) и полу
чать высокие коэффициенты усиления, Ниже речь будет идти только
об усилителях, использующих слоистую структуру.
Одна из наиболее популярных разновидностей усилителей
подобноrо типа, так называемая система с воздушным зазором
[70], преДСТilвлена на pJJC, 12,16, 3
Теория усиления и электронноrо
затухания ПАВ в С, оистых CTPYJ\ТY 1
рах с ПРИНЩШJJальной стороны не от- \ t
личаетсн от случан объеМJJЫХ IЮЛН J[
хар.пер.шуетен лнщ 60ль",е;; услож +
неJJJJОСТЫО, СI3язаIllJO[! с необходимос :2
u 1
тью учета I'раIJlJЧJJЫХ условии на CBO
бодных rJOверхностях IIолупроводника Рис. 12.16. Усиление ПАВ в
J! пьезоэлектрика [70 72]. Усиление слоистой системе (<пьезоэлект
рик воздушный зазор полу
В этом СJlучае также наступает при проводник»: 1 ВШП, 2
,\,<0, т. е. при Vd>V O ' rде под Vd по пьезоэлектрическая подложка,
нимается скорость дрейфа электронов 3 полупроводник, в качестве
В полупроводнике, а через и о обозна KOToporo часто используется
ПА б тонкая ПОЛУПРОВОДlIиковая плеlI
чена скорость В I3 пр ене режении ка, нанесенная на твердую ос.
пьезоэффектом. J<:сли не учитыва'J ь нову, 4 разделительные прок-
влияние диффузии, то выражение дш! лаДКlI.
коэффициента усиления ПАВ на еДIIН!ЩУ длины в слоистuЙ систе,,1е
«пьезоэлеr<трик воздушныЙ зазор
Nш,G,об ПОJ1УПРОВОДНИЮ> можно записать
в виде [70, 72Т
20 54,6 K M У (fJed/e,,) ехр ( 2/i11э)
а о T y2+(l\1crd/I'O)2
10 (5.11)
rде К;М 2 и/иo , коэффициент
электромеханической связи в pac
C!\-IатриваемоlVI направлении pac
пространения ПАВ, л длина
волны ПАВ, <Je===llп o проводи
l\ЮСТЬ полупроводника, d тол
щина потока электронов в полу
проводнике, 100 диэлектрическая
проницаемость вакуума, h э тол'
щина воздушноrо зазора, М
безразмерная функция от kh з , воз-
растающая ,...",th (kh з ) при khз оо.
Зависимости коэффициента уси
ления G усилителя (длиноЙ 5 мм)
на основе кремния и ниобата лития [72] от дреЙфОIюtо напряжения
Ео для частоты 140 Мfц изображены на рис. 12.17. На ЭТGМ же
рисунке приведены расчетные и э!\сперllменталыlеe значения KO
о
o,5
1,0
Ео, ffB
'10
Рис. 12.17. Коэффициенты шума и
усиления сиrнала усилителя с воз
душным зазором на основе кремния
и ниобата лития [72]. Сплошные
кривые теория, штриховые
эксперимент,
:129
зффициента шума усилителя N Ш' При этом hз==оО, 13 мкм, d==oO,56 мкм,
,...,==800 см 2 /(В .с), ad==2,5 .10 e С, ловушками захвачено 10% элект
ронов. Видно, что экспериментальные результаты прекрасно со-
rласуются с теоретическими. Это rоворит оправильном понимании
принципов работы устройства и о ero высоком качест.ве. Следует,
однако, заметить, что даже для достаточно хороших материалов
типичные значения коэффициента шума усилителей ПАВ COCTaB
ляют 8 10 дБ, что несколько хуже соответствующих показателей
у транзисторных усилителей. Уровень диссипируемой мощности в
усилителях ПАВ также оказывается выше, а к. п, д. ниже,
чем у транзисторных усилителей, По этим' причинам акустоэлект
ронные усилители пока не MorYT конкурировать с последними. Ok
нако, по мере Toro как характеристики усилителей ПАВ будут улуч
шаться, они, по видимому, cMorYT найти разнообразные примене-
ния. О достижениях в этом направлении можно прочитать в статьях
[73 761,
6. Волновые взаимодействия, обусловленные токовой
нелинейностью. Акустоэлектрический эффект
В 5 мы пренебреrали нелинейным членом ii Ё в уравнении
для тока (5.6), В результате выражения для коэффициентов элект-
pOHHoro поrлощения и усиления получились не зависящими от
амплитуды звуковой волны, На самом деле подобная зависимость
экспериментально наблюдается, например, в оrраничении коэф
фициента усиления при больших интенсивностях звука или в яв
лении насыщения, Величина q!!п.E, которую обычно называют
токовой, а также кон.цен.трацион.н.ой н.елин.ейн.остью *), ответст-
венна и за описание ряда друrих эффектов, связанных с нелиней-
ными взаимодействиями волн, в том числе параметрических взаи
модействий и акустоэлектричеСIюrо эффекта.
НелинеЙные теории для акустических волн в пьезополупро-
водниках развивались мноrиМи авторами (см., например, [77 811),
При этом удалось достичьхорошеrо понимания мноrочисленных
тонких эффектов, сопутствующих процессам усиления, rенерации
и параметрическоrо взаимодействия звуковых волн. Мы не имеем
возможности подробно остановиться на этих интересных, но дo
вольно сложных теориях. Ниже будут обсуждены лишь два про
стейших нелинейных эффекта rенерация второй rармоники [79,
80, 821 и акустоэлектрический эффект [83]. Несмотря на простоту,
эти два эффекта дают представление о нелинейных явлениях в
полупроводнике, по крайней мере в тех случаях, коrда ампщпуды
звуковых полей MorYT считаться малыми. .
Для анализа этих эффектов от системы уравнений (5.1) (5.6)
удобно перейти к системе двух уравнений относительно а и D [82].
'") Наряду стоковым мехаиизмом в полупроводиике действуют и друrие
(решеточиые) мехаиизмы нелинейности [77] (см. также rл. 11). Однако анн
обычио на 2 3 порядка слабее.
330
Если решение последней искать методом последовательных прибли
жений, т. е, в виде 0'==0'1+0'2+' . . и D==D 1 +D 2 +. . ., rде 0'1==
==А 1 ехр Щklх (Оt)] и Dl==ВlехрЩklх (Оt)] решение линейноrо
приближения, то для 0'2 И D 2 получится следующая система урав-
нений, описывающая процессы коллинеарных трехволновых взаи-
модействий:
2 : 22 [O' + ( ) 1/2 К эм D 2 ] ==0,
д 2 .(ос [D2 ( f ) 1/2 К ЭМ 0'2] + D д; 2 ==
fL ( дD 1 дD ) [ D . ( ' е ,1/2 К ] (6.1)
2в дХ + дХ 1 с) ЭМО'I.
Поскольку квадратичный (нелинейный) член во втором уравнении
(6.1) имеет компоненты с различными временными зависимостями,
соответствующими процессам (01+(02 и (O1 (O2' система (6,1) опи
сывает оба интересующих нас эффекта.
При (01==(02==(0 член с частотой 2(0 ответствен за rенерацию
второй f'армоники акустической волны. Соответствующее решение
о' 2 определяется при этом в виде суммы общеrо решения однородной
системы, отвечающей уравнениям (6.1), т. е. линейноrо приближе
ния, и частноrо решения неоднородной системы:
== С [ . (k 2 t)]+ 4Re (k]) FR ехр [i (2klX 2oot)] ( 6 .2)
0'2 ехр t 2 Х (о k2 4k2 ,
2 1
rде С постоянная, зависящая от начальных условий, k 2 ==k (2(0),
а F R определяется выражением
F == ( ) 1/2 К ЭМ {fL/2e) k 1 B 1 [В 1 (е/с) К эм А 1 ]}
R Vo е/ i.2oo+ooc+4k D .
Отметим, что решение (6.2), описывающее поле второй rармоники
волны, можно обобщить на случай присутствия внещнеrо дрей-
фовоrо поля, а также захвата части носителей на ловушках. Для
этоrо нужно величины (Ос' (OD И А 1 заменить на (0;== (О)"У, (OD==(i)D"Y/f
и A ==Alt/"Y'/', rде "У параметр дрейфа, а f действительный фак-
тор захвата (ловушек).
Анализ выражения (6.2) в общем случае rромоздок, поэтому
приведем только результат для амплитуды второй rармоники Ав
величины 0'2 при малых х и начальном условии А 2 I х =о==0 [82]:
A 2 ==rAix, (6.3)
rде
r I FR I fLK M Re (k 1 ) ООс/ОО { i + (OO/OOD)2 } 1/2
А; 4vo (се)I/2 {1 + [ООс/ ОО + oo/ooD]2} 1 + [ooc/2oo+2oo/ooD]2
нелинейный параметр, характеризующий эффективность reHe-
рации rармоники. Сравнивая выражение для r с формулой (5.10),
нетрудно убедиться, что область изменения r на оси частот прак-
тически совпадает с областью электронноrо затухания. Это и не-
331
удивительно, так как в обоих случаях процессы зависят от эф-
фективности акустоэлектронноrо взаимодействия, носяrцеrо релак
сационный характер. При возрастании х амплитуда второй rapMo
ники ведет себя по разному, в зависимости от Toro, насколько
сильно сказывается влияние электронноro затухания и дисперсии.
При w/wv l влиянием дисперсии можно пренебречь, и ампЛитуда
А 2 достиrает максимума при определенном Х==Х ст ' Дальнейшее
увеличение Х характеризуется тем, что экспоненциальное затуха
ние преобладает над линеЙНЫ/l! ростом и значение А 2 постепенно
уменьшается до нуля, В случае O)/wv l влияние дисперсии CTa
новится более существенным !I в зависимости А 2 (х) появляются
осцилляции [82].
Обратимся теперь к разностному процессу 0)1 0)2' При 0)1 ==с о) 2==
== W соответствуюrций постоянный нелинейный член в (6.1) описы
вает появление акустоэлектрическоrо тока
дD* ( ( ) 1/2 ) ]
iаЭ == Re l дх 1 D 1 : К эм а 1 ,
(6.4)
или акустоэлектрuчеСI\lUf. эффеюп, являющийся твердотельным aHa
лоrом акустическоrо течения в жидкости. Пользуясь линейной
связью между амплитудами индукции В 1 и упруrоrо напряжения
А1' выражениями для акустоэлектронноrо затухания а1 (см. (5,10))
и интенсивности 11==voA /c основной rармоники акустической BOk
ны, приведем формулу (6.4) к выражению
iаэ == 2/!ctJi/Vo, (6.5)
называемому соотношенuе.ff. Вайнрайха [59, 83]. Таким образом,
при а1>0 (затухание) ток iаэ представляет собой поток электро-
нов, движущихся в направлении распространения звуковой волны,
Энерrетическая трактовка состоит в ТОМ, что звуковая волна пере
дает свой импульс и энерrию электронному rазу. При а 1 <0 (уси-
ление), наоборот, электроны передают энерrию и импульс волне,
в результате чеrо первоначальный дрейфовый поток замедляется
и дрейфовый ток уменьшается на величину iag, направленную
против распространения звуковой волны. Этот факт приводит к
зависящему от интенсивности уменьшению усиления звука при
11'1< (Wc/W)+ (ш/О)v), т. е. при малых надкритичностях (рис. 12.15).
ПропорционалыIOСТЬ аI(устоэлектрическоrо тока интенсивности
звуковой волны и электронному затуханию с успехом использу-
ется в измерительных целях [841.
Нелинейные явления для поверхностных волн независимо от
вызывающих их механизмов нелинейности в основных чертах
схожи с аналоrичными явлениями для объемных волн [85 87].
Здесь, однако, появляется и ряд новых эффектов, обусловленных
неоднородностью поля ПАВ по rлубине. В частности, в пьезопо
.rупроводниковых кристаллах и слоистых структурах «пьезоэлект
рик П9ЛУПРОВОДНИЮ>, наряду с рассмотренным выше продоль
Hbl.М акустоmоком., для поверхностных волн, вследствие наличия
нормальной к поверхности КОМПQцеНТЬj электрическоrо поля, су.
332
ществует и акустоэлектрический ток, перпендикулярный к поверх
ности кристалла и к направлению распространения волны, или
поперечный акустоток [87]. При этом соотношение Вайнрайха Ka
чественно выполняется для обоих токов. К друrим интересным
нелинейным эффектам относятся rенерация объемных волн при
взаимодействии встречных ПАВ и rенерация ПАВ при взаимодей
ствии объемных и поверхностных волн [88, 89], Подчеркнем, что в
результате концентрации энерrии ПАВ в тонком приповерхностном
слое ,.....:л все нелинейные эффекты выражены значительно сильнее,
чем в случае объемных волн. Этот факт используется при создании
целоrо класса нелинейных устройств на ПАВ, предназначенных
для обработки сиrналов. Обсуждению принrщпов работы HeKOTO
рых из них посвящен 7.
9 7. Нелинейные акустоэлектронные устройства
на поверхностных волнах
На процесс усиления звука нелинеЙность оказывает вредное
влияние, приводя к уменьшению коэффициента усиления и вслеk
ствие этоrо к оrраничению дина:vшческоrо диапазона усилителей.
Но нелинейные [явления MorYT
быть обращены и на пользу в
устройствах обработки сиrна
лов, использующих различные
взаимодействия акустических
ВОДН с электрическими и меха-
ническими полями и между co
бой. Вследствие своей высокой
эффективности в большинстве
устройств используется токовый
механизм нелинейности, обус-
ловленный взаимодействием зв y
ковой волны С электронами. В
настоящее время [70] наиболее
существенным применением не
только нелинейных акустоэлект
ронных явлений, но и взаимодеЙСТВИЙ звука с электронами вообще
являются конвольверы на ПАВ, или устройства свертки и корреля
ции, принцип действия которых основан На встречном взаимодейст
вии двух поверхностных волн (рис. 12,18). Конструкция типичноrо
КОНвольвера, использующеrо ТОКОВЫЙ механизм нелинейности по
лупроводника, в сущности не отличается от конструкции усили
теля ПАВ на основе слоистых структур (ср. рис. 12.16). Если на
входы 1 и 2 TaKoro устройства подаются амплитудно модулиро
ванные электрические сиrналы с частотами заполнения (J)1 и (J)2
(обычно (J)1==(J)2==(J) см. ниже), то в пьезоэлектрике возбуждаJOТ
ся две встречные поверхностные волны, временные М/iOlkитеЛf{
которых удобно записать в виде
А ! (t.;....x/v) ехр [l(J)i (t x/u)], А 2 [t + (x L)/v] ехр {iЮ 2 [t (x.....;..L)/v]},
ззз
J:
4-
Рис, 12.18. Акустоэлектронный кон-
вольвер на базе слоистоЙ системы с
воздушным зазором: 1 пьезоэлект
рик, 2 полупроводник, 3 разде
лительные прокладки, 4 заземлен
ный электрод.
rде L расстояние между входами 1 и 2. Сопровождающие эти
волны неоднородные электростатические поля Ё ! и Ё 2, проникая
в полупроводник, создают там, в соответствии с уравнением (5.6),
нелинейные составляющие тока на частотах (1)1:1:(1)2, 2(1)! и (1)2'
В произвольной точке полупроводника ток на частотах (1)1:1:(1)2,
который и будет нас интересовать, определяется выражением
iПJl == q (n 1 Ё 2 + n 2 Е 1 ).
(7.1)
Из (7.1) ясно, что вследствие симметрии задачи вклад в нелиней
ный ток iHJI будут давать только поперечные составляющие полей
Е 1 и Ё 2 , направленные перпендикулярно к поверхности, поэтому
использование поверхностных волн в данном случае принципи-
ально. На частотах Ш 1 + Ш 2 нелинейный ток iHJI в свою очередь
создает в рассматриваемой системе электрический потенциал, KO
торый может использоваться для реrистрации сиrналов встречноrо
взаимодействия ПАВ. В частности, на частоте (1)1+ШZ электриче
ский потенциал принимает вид
ер ==СА ! и xM А 2 (t (x L)/v) ехр {i[((1)1 +( 2 ) t ((1)i (1)2) x/v]} ,
(7.2)
rде С комплексная константа, учитывающая эффективность
нелинейноrо взаимодействия и электрический импеданс слоистой
системы. Суммарный потенциал со всех точек поверхности полу-
ПрОВОДНИКа, который в дальнейшем будем обозначать через и,
очевидно, зависит от фазовых соотношений между потенциалами в
отдельных точках, В случае пространственной зависимости вида
(7. ) наибольший электрический сиrнал может быть зареrистри-
рован с помощью обычноrо встречно штыревоrо преобразователя с
периодом d==n/k з , rде k з === (Ш1 Ш2)lv. В вырожденноМ случае
(1)i==Ш 2== (1), или kз==О, представляющем наИQОЛЬШИЙ интерес для
приложений, поле ер не зависит от х и для ero реrистрации может
использоваться простой конденсаторный съем с помощью двух
сплошных металлических пластин (рис. 12.18), Суммарное напря-
жение на выходе устройства будет при этом определяться интеr-
рированием (7.2) по длине !т металлической пластины:
1",
и (t) == С ехр (2iшt) S А 1 (t )А2 (t + X L ) dx. (7.3)
о
Детальная теория устройств описанноrо типа, позволяющая рас-
считать константу С в зависимости от различных факторов, была
развита в работах [90, 91].
Если пространственная протяженность модулирующих импуль-
сов А 1 и А 2 меньше длины пластины 1т, то пределы интеrрирования
в (7.3) можно с'читать бескон чными. Если, кроме Toro, сделать
очевидн'ую замену переменных Т== t x/v, означающую переход
I< системе координат, связанной с волной, распространяющейся
3Зl
Вправо, то выражение (7.3) можно переПI1сать в в'нде
""
U=:Mexp(2i(i)t) Al(T)A2(2t T........T)dT, (7.4)
ф
rде T==L/v время задержки волны, соответствующее ее прохож-
дению между двумя входами, М перенормированная константа
взаимодействия. Выражение (7.4) весьма блl!ЗКО к интесралу
свертки и отличается от последнеrо тем, что выходной сиrнал в
(7.4) задержан на время Т, которое мы в дальнейшем не будем
выписывать, и является функцией от 2t (т. е. сжат по времени в
два раза), поскольку относительная скорость двух встречных ПАВ
равна 2и. Последнее, впрочем, несущественно для обработки cHr
налов. Выбирая величину А z таким образом, чтобы А z (т)==а (' T),
можно реализовать так называемую функцию корреляцuи
00
и,..... Al(T)G(T 2t)dT.
(7.5)
'"
Вычисление корреляционных функций, особенно функций авто-
корреляции, соответствующих G (T)==A 1 (т), иrрает важную роль
в процессах оптимальной обработки СИеналов (см., например, [11,
92]). При этом в роли функции Al (т) обычно выступает принима
емый сиrнал,
Простейшими устройствами, осуществляющими операцию (7,5),
являются пассивные фильтры различных типов, в том числе и
фильтры на ПАВ, описанные в 99 3 и 4. В таких фильтрах роль функ
ции а(т) выполняет импульсная характеристика фильтра h( T)==
==А 1 (т), определяемая выбранной rеометрией электродов или pac
сеивающих неоднородностей, Преимущество конвольвера перед
пассивными фильтрами заключается в том, что вследствие возмож
ности оперативноrо управления видом функции G (т) за счет при-
ложения опорноrо электрическоrо сиrнала он представляет собой
адаптивное устройство, нужное для мноrих приложений.
Полные вносимые потери П конвольВера, учитывающие как
эффективность нелинейноrо преобразования, так и потери на
возбуждение и детектирование ПАВ, очевидно, зависят от уровня
опорноrо сиrнала G (т). Их принято измерять в размерных едини-
цах децибелах на милливатт (сокращенно дБм): .
п== 101g(Рз/РiэРzэ)'
rде Р З мощность сиrнала свертки, Р iэ И Р zэ мощности входных
электрических сиrналов. Определенная таким образом величина П,
как нетрудно видеть, представляет вносимые потери устройсmва
при мощности опорноrо сиrнала, равной 1 мВт. Для удобства
описания эффективности нелинейноrо преобразования, кроме Be
личины П, вводят еще внутренние потери
П нп == 10 19 (РЗ/РlаРzа) ,
335
[де P 1a 11 P a МОЩIIОСТИ взаимодеiiствующих aJ(устических волн.
Типичные значения П нп для устройств на базе СJIOИСТЫХ CTPYJ<ТYP
типа «пьезоэлектрик воздушный зазор полупроводник» В Ha
стоящее время составляют (40 60) дБм. Для конвольверов, ис
пользующих упруrий или пьезоэлектрический механизмы нелиней-
ности ПВ!I== (60 80) дБм. Эффективность нелинейноrо взаимодей
ствия может быть существенно повышена, если использовать узкие
пучки или волноводы ПАВ. В этом случае при постоянной входной
электрической мощности интенсивность ПАВ возрастает пропорцио
нально l/Я п , [де Я П ширина пучка, и соответственно Р З увели-
чивается '" I!Я . ДЛЯ уменьшения Я п , кроме волноводов ПАВ,
M()rYT применяться также мноrополосковые ответвители [93J.
Одним из недостатков, препятствующих использованию кон-
вольверов в системах помехоустойчивоrо радИоприема, является
необходимость подачи опорноrо сиrнала одновреМенно с принима
емым, время прихода KOToporo, вообще rоворя, неизвестно *).
В принципе эта трудность может быть преодолена за счет исполь-
зования мноrоканальноrо приемноrо устройства, каждый из KaHa
лов KOToporo рассчитан на определенное время прихода. Но COBep
шенно ясно, что такой вариант далеко не лучший. Более сущест
BeHHoro проrресса здесь удается достичь, используя возможность
запоминания акустических сиzналов на центрах захвата электронов
в полупроводнике [94, 95J.
Для пояснения принципа запоминания обратимся снова к
выражению (7,1), описывающему взаимодействие двух встречных
ПАВ, но будем теперь интересоваться током на разностной частоте
ШI Ш2' Электрический потенциал будет при этом определяться BЫ
ражением типа (7..2), в котором, однако, скобки (ШI + (2) и (ШI Ш 2)
поменяются местами, При ШI == Ш 2== Ш это даст постоянный во
времени потенциал, который будет промодулирован в пространстве
с волновым числом k з ==2ш/u==2k, Возникшее постоянное поле соз-
даст на центрах захвата электрический заряд (соответствующий
форме электрическоrо сиrнала), который при снятии поля, т. е.
после прохождения двух ПАВ, будет рассасываться за счет диффу-
зионных процессов. Время запоминания пространственноrо заряда,
или длительность акустической памяти, очевидно, будет опреДt
ляться временем релаксации заряда для центров захвата в полу
проводнике, Типичные времена запоминания колеблются от не-
скольких сотен микросекунд до нескольких миллисекунд при KOM
натных температурах [6J. Этоrо вполне достаточно для мноrих
приложений. Дополнительное охлаждение полупроводника по
зволяет увеличить память до мноrих часов и даже дней.
Запомненный сиrнал может быть считан в виде ПАВ при подаче
на центральный электрод электрическоrо импульса на удвоенной
частоте. При этом в обе стороны от центральноrо электрода будут
распространяться две поверхностные волны удвоенной частоты.
*) Это общий недостаток приемных систем с адаптивной корреляционной
обработкой [92].
336
З(JIJ() :I!llаlI!l(' aI()'СТIlчеСЕ1!Х L'I!Пlil<'!О13 1()/1( : (С) Щ('(I B"! III'l':1 пс
только В результате встречнOI'О взаимодеiктвия двух ЛАВ l b, УБJ,
но и при взаимодействии одной поверхнсстноЙ волны частоты (о
с электрическим полем частоты (о, подаваемым на центральный
электрод [94]. В этом случае на поверхиости полупроводника
возникает постоянный пространственный заряд, которому cooт
ветствует волновой вектор kз (IJ/v k. Запомненный сиrнал при
этом может быть считан с выходной пластины в виде электриче
cKoro напряжения при подаче ПАВ частоты (о с одноrо из ВШП.
Формы считываемых сиrналов в обоих вариантах записи представ
ляют собоЙ ФУШЩШI свертки или I\орреilЯЦIШ оrибающих запомне!l
Horo СlIrнала G со считывающим ;1. Например, при зarlllСII за счет
взаимодействия ПАВ с полем частоты (() форма выходноrо снrнала
при подаче считывающей ПАВ слева Оllределяется выражением
rso
U==Yexp(i(Ot) G( x/v)A(t x/v)dx,
rso
которое после замены T t xiv сводится к корреляционной функ
ции считывающеrо сиrнала А и заПОМlIенноrо сиrнала а:
00
U '" А (т) G (T t) ат.
oo
(7.6)
При подаче считывающей ПАВ на друrоii ВШП, производя замену
T t+ х/и, IIОЛУЧИМ функцию свертки заlЮ.Уlненноrо сИ!'нала со
считывающим:
rso
U '" G (т) А (t T)dT.
oo
(7.7)
Заметим, что если в качестве считывающих сиrналов подавать
короткие, дельтаобразные импульсы, то выражение (7.7) будет
описывать первоначально запомненный сиrнал, а (7.6) перво
начальный сиrнал, обращенный во времени. Иными словами, вы-
ходные сиrналы в этом случае будут представлять собой импульс
ные характеристики, аналоrичные импульсным характеристикам
соответствующих пассивных фильтров.
Конвольвер с памятью, как и любой пассивный фильтр, может
обрабатывать принимаемые сиrналы независимо от времени их
прихода (но, разумеется, в пределах длительности памяти). К co
жалению, эффективность таких устройств, использующих два по-
следовательных акта нелинейноrо взаимодействия, или четырех
волновые nроцессы, пока еще довольно мала. В лучших образцах
Поп составляет 90 дБм. При существенном повышении эффектив-
ности можно надеяться, что корреляторы с памятью найдут широкие
применения в адаптивных системах помехоустойчивоrо радио-
приема.
Среди друrих возможных применений нелинейных устройств
,на ПАВ следует назвать системы считывания оптических изображе-
337
пий, которые MorYT быть реализованы на основе конвольверов
[70, 97, 98J. Принцип действия таких устройств леrко пояснить
на их простейшей разновидности, базирующейся на уже знакомой
нам конструкции слоистоrо полупроводниковоrо конвольвера (рис.
12.18).
Предположим, что на поверхность полупроводниковой пла-
стины с помощью объектива спроецировано одномерное оптическое
изображение, МОДУЛИРУЮЩее равновесную плотность свободных
носителей по закону по (х). Тоrда, в соответствии с общей теорией
полупроводниковоrо конвольвера и выражением (7.3), при подаче
на встречно штыревые преобразователи двух электрических сиr-
налов с частотами ro результирующий сиrнал свертки будет иметь
вид
ф
U==Pexp(2irot) Al(t X/ТJ)A2[t+(x L)/ТJ]пo(x)dx.
ф
Пусть теперь один из сиrналов, например A 1 , имеет форму дельта-
функции Аl (t)==6 (t), а друrой А 2 (t) представляет собой длинный
единичный прямоуrольный импульс. В результате выходной сиrнал
примет вид
U == Р ехр (2irot) по (vt),
т. е. на временной развертке со скоростью ТJ будет отображаться
оптическое изображение по (vt), Если «сканирующий» дельта-им
пульс ПАВ достаточно узок и по поперечной координате вдоль
поверхности, то, осуществляя каким либо образом перемещение
пучка ПАВ вдоль этой координаты, можно реализовать считывание
двумерных изображений. Это представляет интерес для создания
плоских передающих телевизионных трубок. О друrих возможных
приложениях нелинейных устройств на ПАВ к обработке сиrналов
можно прочитать в обзоре [99J.
Разумеется, кроме использования в радиофизических системах,
нелинейные акустоэлектронные устройства MorYT применяться и в
чисто физических исследованиях свойств кристаллов, особенно
полупроводников, например для измерения плотности поверхност-
ных состояний [9О или времен релаксации поверхностноrо заряда
на ловушках [95, 96J. В последнем случае измерение зависимости
амплитуды сиrнала памяти от времени задержки считывающеrо
Импульса, которая, вообще rоворя, отличается от экспоненциаль-
ной, позволяет оценить энерrетическую структуру поверхностных
состояний полупроводника.
r л а в а 13
АКУСТООПТИКА
9 1. Введение
Во второй rлаве мы уже обсуждали явление взаимодействия
света со звуком, приводящее к рассеянию звука на дебаевских
волнах в жидкости. В настоящей rлаве мы рассмотрим этот вопрос
подробнее.
Современные представления о природе взаимодействия с/Зета
со звуком СЛОЖИЛI1СЬ под влиянием пионерских работ Л. И. MaH
дельштама н Л. Бриллюэна (см. [Щ, которыми впервые было преk
сказано существование тонкой структуры рэлеевской линии рас-
сеяния. Эти работы послужили стимулом к открытию в 1932 r.
Дебаем и Сирсом и независимо от них Люка и Бикаром (см, [2J)
явления дифракции света на ультразвуковых волнах в жидкости.
С тех пор было опубликовано большое число как теоретических,
так и экспериментальных работ (см. моноrрафию [1] и обзоры [3
5]), посвященных различным аспектам рассеяния света на звуке,
в том числе и изучению с ero помощью тепловых возбуждений в
жидкостях и твердых телах. В результате этих исследований было
получено MHoro физически важных результатов. В частности, yдa
лось экспериментально обнаружить сверхстоксово поrлощение и
дисперсию звука в жидкостях.
В 60 x rодах появление мощных источников KorepeHTHoro све-
та ,пазеров способствовало ускоренному развитию акустоопти-
ческих исследований. Был установлен ряд новых эксперименталь-
ных закономерностей, например открыто стимулированное рассея-
ние света на тепловых акустических колебаниях вынужденное
рассеяние Мандельштама Бриллюэна. Потребности лазерной
техники стимулировали развитие акустических методов управ-
ления лазерным излучением и акустооптической обработки сиrна-
лов [4 7J. Широкий размах получили работы по визуализации
звуковых полей [8J и акустическоЙ rолоrрафии [9, 10]. В последнее
время к этим областям прибавились также акустооптика жидких
кристаллов, лазерная rенерация звука [11 J и фотоакустическая
спектроскопия [12].
Все эти явления, о которых пойдет речь, мы будt:м называть
акусmооnmuческu.мu. Акустооптика понимается здесь в широком
смысле как направление /З физической акустике, изучающее любые
взаимодействия света со звуком, в том числе и через посредство
339
тепловоrо расширения среды при поr.'Iощении света (термооптиче
ский механизм лазерной rенерации звука 11 фотоакустическая
спектроскопия). Включение обсуждения двух последних явлений
в данную rлаву позволяет составить более цельное впечатление о
взаимопроникновеНIIИ оптики и акустики. При таком широком
взrляде на акустооптику следовало бы упомянуть и об интенсивно
развивающихся в последнее время оптических методах реrистрации
и возбуждения тераrерцевых фононов (см., наприМер, [13]). Однако
вследствие выраженной I<вантовой при роды этих эффектов они
здесь не рассматриваются.
2. Дифракция Света на звуке. Раман натовский
и брэrrовски й режимы
ДифраКl{IIIО, или рассеяние света на звуке феноменолоrически
можно описать, если Б уравнениях состояния среды учесть нели
нейные перекрестные . члены, отвечающие электромаrнитному полю
и упруrим дефор;v;ациям. Электромаrнитная и акустическая волны
должны при ::IТОУ! удовлетворять соответственно уравнениям MaK
свелла и механическому уравнению движения. Единственный
перекрестный член, отвечающий за взаимодействие, появляется в
уравнении состояния для индукции, которое будет теперь выrля-
деть следующим образом (см. также (11,2.3)):
D i == (e i + fijklUkl) Е i + eijkUjk, (2.1)
rде в1 ! тензор диэлектрической проницаемости, {О", тензор
электрострикции, еи" пьезомодули. Член {ij"IU"1 можно pac
сматривать как изменение беij диэлектрической проницаемости,
вызванное звуковой волной. Величину беi] часто записывают
через связанные с {ипl фотоупруеие коэффициенты Pklтп: БВij==
о о О u (
== BikeiZPklтnuтn, своиствах симметрии тензоров iJkl и pij"l
можно прочитать, например, в моноrрафиях [4, 14].
При обсуждении теории мы оrраничимся случаем изотропных
твердых тел или жидкостей *). При этом пьезоэффект отсутствует
и из уравнений Максвелла и соотношения (2.1) нетрудно получить
волновое уравнение для электрическоrо поля [4Т:
1 д 2
!1Е == с2 7fi2 (еЕ),
(2.2)
Величину е здесь нельзя выносить из-под знака дифференцирова
ния, так как она меняется под действием акустической волны. Даль
нейшее упрощение будет состоять в том, что электромаrнитную
волну мы будем считать слабой, а акустическую достаточно ин-
тенсивной. При этом изменение интенсивности звука, обусловлен
ное взаимодействием со светом за счет механизма электрострикции
*) в случае жидкостей в тензорах fiikl и PiJkl ОТЛИЧНЫ от нуля только диаrо.
нальные компоненты, '.':.. .
340
(см, также (11,2.3)),
аи == CiJkIUkl 1/2fi}kl EkEI (2.3)
пренебрежимо мало и можно пользоваться приближение;.! заД3ШIOI'О
звуковоrо поля.
Решение поставленной задачи может быть получено Разаич,
ными методами, например с использованием функции l pIaIa 15]
(как это обычно делается при анализе рассетшя 3ЬУЮl на ЗВ)'Н:С
[15J) или с помощью непосредственноrо исслеДОВаШ! 51 ,'(lfфферешш
аЛЬНОI'О уравнении (2.2) с учетом краевых ус.1UlШЙ На rpal!iIllaX
пересекающихся ПУЧI\ОВ. Оl','(авая ДaIIL траЮЩIiII 11,:3 Ь, 1 б 191,
будем I1ридерживаТI,СН llUC'leAHero flYIII, IIpe;J)fO,:!aI'illi, ЧIО \[l).IYJIJ!'
руемую звуком Дll::mс!прнческую IJроницаеМ()СII, cpe,'J,L! с' (х, [)
можно представить в юrде волны, распростраН5НощеI"IСЯ ;ЗДОJ1Ь
оси х:
8 (х, [) == 80 + 08 siп (Ш Кх + Ор),
(2,4)
rде Q и К чаСТO'Iа и волновое число звука, Ор I10СТОЯННЫЙ
фазовый сдвИI'. В соответствии с теоремой Флоке решение для Е
будем ИСКаТЬ в внде
Е === ехр [i(wt пok (z cos е +х sin 8))] х
rде w и k частота и вuлновое число световой волны, С\)п (z) ,
медленно изменяющиеся функции, пo==8 /2 средниЙ коэффициент
преломления среды, О yroJ1 падения света, отсчитываемыЙ от
нормали к звуковому пучку ШIl
рины L (рис. 13.1). Из выраже
ния (2.5) следует, что п Й член
суммы, ИJ1И, что то же, п iI диф
ракционный порядок сдвинут по
частоте на величину nQ относи
тельно частоты падающеrо света
ю. С точки зрения неJIинейноrо
преобразования частоты этот
факт вполне очевиден. Более
простая (кинематическая) ero
трактовка состоит в ТОМ, что
перемещение волновых фронтов
звуковой волны приводит К до-
плеровским СДВиrам частоты рассеянноrо света, причем значениям
п?;;2 соответствует MHoroKpaTHoe рассеяние.
Подставляя выражения (2.4) и (2.5) в волновое уравнение
(2.2), для rраничноrо условия фо Iz o=== 1 и Фп Iz ==O нетрудно
получить следующую систему связанных укороченных уравнений
относительно Фn, описывающую перераспределение энерrии' па-
дающеrо света между нулевым и высшими дифракционными
341
'"
( L Фп(z)ехр[iп(Qf Кх)], (2.5)
п= 00
Lвеп
\IJ
х
38Yti
У?
Рис. 13.1. llадение плоской электро-
маrнитной волны на двумерНЫЙ зву-
КОВОЙ пучок.
порядками (для б р == О):
д: п + 2: [Фп i Фп+l] == i (n 21X) Фп' (2.6)
Здесь и== (1/2) (б8/е о )kn о L, 1X== no (k/К)siп е, Q==K2L/nok.
Система уравнений (2.6) впервые была получена индийскими
физиками Раманом и Натом в 1935 r. Полное решение этой системы
получить сложно. Поэтому анализ проводят в двух предельных
случаях: Q l и 1, интересуясь в основном малыми значениями
коэффициента перед Фп В правой час
йJ+ZQ ти (2.6), так как именно при этом
йJ + g условии происходит наиболее эффек-
тивная перекачка энерrии из нулево
ro порядка в дифракционные.
Рассмотрим сначала случай Q l.
Поскольку число дифракционных по
рядков п, которые нужно учитывать,
обычно не превышает десятка, первое
слаrаемое в правой части (2,6) пренеб
режимо маЛО вследствие малости Q.
Это, однако, не относится ко второму
слаrаемому ""IX, которое даже для малых уrлов е может быть
достаточно большим из-за большой величины k/ К при Q l, что
в большинстве случаев отвечает частотному диапазону Q/2Jt 1 00
Мfц, В результате систему уравнений (2.6) можно переписать в
несколько более простой форме:
дФп v [ Ф Ф 1 .пQаф
дz + 2L n 1 n+l == ' ---т п'
СtJс/Т!
fl)
>- йJ
1
I
йJ Q
fU ZSJ
3ВУН
РИС, 13.2. Дифракция Рамана
Ната.
которая допускает точное решение [161:
Фп == ехр ( i п z ) J п [ : siп z ]
Здесь J n функции Бесселя п ro Порядка. Полаrая z==L, для
нормированных интенсивностей дифракционных порядков 1 п == /Фп 12
получим
1 == J 2 [ s!n (Qa/2) ]
n п V Qa/2 '
При нормальном падении света на звуковой пучок значение IX
равно нулю и из (2.7) следует
In==J (v), (2.8)
(2.7)
т. е. интенсивность падающеrо света довольно равномерно распре-
деляется по дифракционным порядкам (рис, 13.2). Описанный
режим ,цифракции при Q l получил наименование раман-натов-
СКО20.
Обсудим теперь случай 1. Как нетрудно видеть, нулевые
значения правой части уравнения (2.6) при этом MorYT иметь место
342
ля п 2a.==O, В частности, для п=== + 1 отсюда следует- a.==:i:: 1/2.
Более высокие значеЩiЯ п, как будет видно из дальнейшеrо, в дан-
ном режиме дифракции можно не учитывать. При а.== 1/2 система
(2.6) принимает вид
дФо v Ф о д д Ф z 1 + 2 V L Ф О == О. ( 2.9 )
дZ 2L 1 ,
Решение (2.9) дает следующие значения нормированных интенсив
нестей 10 и 11:
1 Q == cos 2 (vj2) , 11 == sin 2 (Vj2).
(2.10)
Таким образом, из (2.10) следует, что при v==л энерrия полностью
перекачивается в первый дифракционный порядок. Это подтверж-
дает высказанное выше предположение о возможности оrраничения
в (2.6) значениями п 1, Более
точные расчеты, выполненные чис-
ленными методами [16J, показыва Свет
ют, что почти полная пере качка lQ,bl
(98%) дестиrается уже при Q==15.
Выражая а через уrол е, HeTpYk
но убедиться, что условиям а==
=== + 112 соответствует формула
2п o k sin в == К,
(2.11 )
Звр"
представляющая собой известное Рис. 13.3. Дифракция Брэrrа.
условие брэееовскоео рассеяния,
Дифраrированный луч при этом, разумеется, отражается ПОД тем
же yr лом е относительно нормали к волновому вектору звука
(рис. 13.3). Такой режим дифракции принято называть БРЭ220вскиJft.
Он характерен для высокочастотных акустических ВОЛII и(или)
для ШИрОI<ИХ звуковых пучков. Вообще же, rоворя о I'раницах
реализации paMaH HaTOBcKoro и брэrrовскоrо режимов, следует
отметить, что условия Q l и Q l, использованные в приведенном
анализе, оказываются слишком сильными. Численные расчеты
показывают, что дифракция принимает раман натовский характер
уже при Q O,5 и брэrrовский при Q 10. О различных аналити-
ческих подходах к исследованию дифракции света на звуке при
этих условиях можно прочитать в работах [17 19].
С точки зрения квантовой теории рассеяние света на звуке
можно рассматривать как неупруrое столкновение фотонов с фоно
нами, при котором происходит либо уничтожение фотона и рож-
дение фон она (рассеяние с понижением частоты, или стоксово pac
сеяние), либо уничтожение фонона и рождение фотона (рассеяние
с повышением частоты, или антистоксово рассеяние). При этом .за-
коны сохранения энерrии и импульса фотонов и фононов имеют вид
liш :1:::.lig == liоо', lik :1:::.Ii/( == lik'.
(2.12)
343
I1cCI\OJ1l,!\Y Q (I),TO Ы (1)1 П I( 1/. Но Tor;13 I!:< ВТОрOI'О уран,
пен Ш] (2.12) следует ) словие (2.]]) GрЭПСБСКUI'О ра сеяш!я. Это
естествепно, так как соотношения (2.12) выполняются для плоских
ЕОЛН.
3. Дифракция света на поверхностных
акустических волнах
Осuбенности дифрющии света на поверхностных ю, УC'llIчеСКJIХ
волнах (П/\.В) состоят в TO '!, что СБЯЗЬ rежду упруrИl\l н Э.lектро
NшrНИТНЫI\! IЮЛЯl\Ш осуществтIетс}! в этоы случае не только через
"iехаШI3 1 ФОТОУИРУНК'III, !l0 11 за счет ИСI\(\жеJIJIi'1 поверхности, со'
IIРОьОЖ;(\ЮЩIIХ распространение lIAB r20, 211. Кроме топ), HplI
ЭТОМ возможна дифраЮll151 ЮII\ IIplI нрохождеН!II1 спета СIШОЗЬ
повеРХflОСТЬ l,ристаJlла, 'IaK 1I при отражеliПII от нее. Из-за резкоrо
СllадаШIЯ аМIIJiНТУД I1АВ с РIубllJIОЙ дифракция в большинстве
случаев нос!!т раман наТОВСЮIЙ хараюер (ВПЛОТЬ дО частот ,.....1 rrц)
даже д,71Я плоских фронтов ПАВ. В частности, при нормальном
IJадеIШП света на поверхность с распрос раняющеЙся вдоль нее
ПОЕСрХПОСТlюii волно!j уrлы е', определяющие первые дифракцион
!.! ные ПОрЯДI\Н, как для прохожде
",, , .. . . I!ИЯ, так и для отражения Ollpeдe
\' t/р?/ш' Л5IЮТСЯ НЗ выражения sin в' = ;./Л,
1\31\ и в случае объемных волн, rAe
'. , .. ДЛИна во.тшы света в среде
ШJИ в вакууме, A . длина ПАВ.
Расчет интенсивностей дифраl\
ЩlOнных порядков в случае ди
q.ракции на ПАВ более сложен.
Это связано с тем, что необходимо
учитывать влияние обоих механиз
l\IОВ рассеяния света на ПАВ [6,
20], Однако если псверхность liдеально отражающая (например,
металлическая), то влияние волнистости превалирует и расчет уп-
рощается. В самом деле, если ПJlOская световая волна интенсивно.
СТII 10 отражается от ВОЛНI1СТОЙ поверхности (рис. 13.4), то фронт
отраженной волны таl\же становится волнистым с амплитудой, IЗ
два раза превышающеЙ амплитуду рельефа поверхности, равную
амплитуде нормальной составляющей ПАВ f20J. Тоrда в COOT
ветствии с теориеЙ Рамана и Ната (см. (2.8)) и с учетом Toro, что
параметр v в (2.8) представляет собой изменение фазы света,
проходящеrо через звуковой пучок, можно записать выражение
для интенсивностей дифракционных порядков света, отраженноrо
ОТ поверхности с распространяющейся вдоль нее ПАВ:
/ п//о J (2'6k); (3.1)
Рис. 13.4. Отражение ПЛОСКОЙ еве,
ТОВОЙ ВОЛНЫ от волнистоЙ поверх.
ности.
здесь J n функция Бесселя порядка п, '6 амплитуда' возвыше-
ний поверхности, k волновое число света. Формула (3.1) качест
венно описывает дифракцию и на оптически прозрачных телах,
344
но, чтобы получить правильные количественные ОЦЕ' 1 11\ !! , J3 ЭТЩI
случае необходимо учитывать также IIзменеliliЯ фа:ш, (}()УС"10ВЛЕ'Н-
ные фотоупруrим механизмом. Можно ПОКLlзать, (см., II3IiрЮlер,
[6]), что вклады искаженной поверХНОС'II! и ФO'lоунруrостн, вообще
rоВОрЯ, оказываются одноrо порядка н их СООТНGшенне опреде-
ляется только оптичесКими и фотоунруrими своЙствами cpeilLI, так
что для конкретных сред оно может оказаться раЗ"1ИЧНЫМ. НсНIри-
мер, эксперимент показывает, что для рэлееВСI;('Й ВОJIНЫ, раСI1РО
страняющейся вдоль направления Х У-среза ];РJlстаЛЛllческоrо
кварца, как для отраженноrо, так II
ДЛЯ прошедшеrо света влияние вол-
нистости более существешю [22]. Тео-
рия дифракции света на поверхност
ных волнах, учитывающая оба меха-
низма, изложена в моноrрафии [211.
Если интересоваться случаем па-
дения узкоrо cBeToBoro пучка, в част
ности лазерноrо, то можно показать,
что в условиях скользяrцеrо паденИЯ
света на поверхность дифракция очень
похожа на случай объемных волн, По этой причине описанный про
цесс иноrда называют обоемной дифракциеЙ на ПАВ [211. Особеl!
ности, отличающие ее от чисто объемноrо случая, состоят в TO:VI, что
изменения диэлектрической проницаемости, обусловленные звуко
вой волноЙ, неоднородны по rлубине, а наличие свободноЙ по
верхности приводит к отражению дифраrированных пучков в объем
среды,
Следствием неоднородностиj' звуковоrо поля оказываеТС}1 то,
что вблизи поверхности преимущественным является. pa:VIaH HaTO-
ВСIШЙ режим дифракции, а в более rлуБОКОl\1 слое, rде изменение
псказателя преломления с rлубиной не столь значительно, реали-
зуются I1ромежуточный и брэrrовский режимы.
Особоrо внимания с точки зрения ПРИЛОh<ениi'I заСJIУЖIlваст
дифракция поверхностных световых волн (ПСВ) Ila пучке ПАВ! 21].
Поскольку поверхностные световые волны MorYT 'существовать
только в слоистых структурах, поверхность кристалла должна
быть покрыта пленкой, образующей для них полново;(. Одна из
простеЙШIi х конструкций, в которых возможио !lа6лю) ение ДIIф
раJЩIШ fЮJ3ерхности световых волн на ПАВ, пре.:(ставлена на рис,
J 3.5. t<.:ЛJl толщина пленки MHoro меньше длины ПАВ, то дефор
мации в ней можно считать однородными и дифракционный процесс
весьма схож с процессом дифракции света на объемных волнах,
являясь ero планарным аналоrом. Режимы дифракции здесь также
можно характеризовать с помощью параметра
Q==K2L1п o k.
Рис. 13.5. Брэповская дифрак-
ция ПОБерхностных световых
волн на поверхностных акусти
'IССКИХ волнах.
В частности, при Q l осуществляется брэrrовский режим диф-
ракции поверхностных световых волн на ПАВ, широко исполь-
зуемыЙ в устройствах интеrральной оптики.
345
4. Рассеяние Мандельштама Бриллюэна
на тепловых колебаниях
Рассеяние света на тепловых акустических колебания х [1, 3, 4)
в принципе ничем не отличается от рассеяния на KorepeHTHblx
звуковых волнах. Однако ero математическое описание несколько
более сложно, так как тепловые возбуждения обладают широким
спектром частот и волновых векторов, в результате чеrо рассеяние
происходит во всех направлениях. Так же, как и в случае Kore
рентных световых волн, при рассеянии на тепловых колебаниях
наблюдается смещение частот дифраrированноrо света. Это смеще
нне впервые было предсказано Мандельштамом и Бриллюэном
именно для рассеяния на звуковых волнах тепловоrо происхожде-
ния, что и послужило причиной называть ero мандельштам-БРИk
люэновСКИli/ рассеянием (МБР), в ОТЛlU:Iие от рассеяния на непод-
вижных неоднородностяХ рэлеевскоео рассеяния, происходящеrо
без сдвиrа частоты [1]. в экспериментах с жидкuстями обычно на-
блюдаются две смещенные линии мандельштам бриллюэновскоrо
рассеяния: стоксова линия, имеющая более низкую частоту по
сравнению с частотой падающеrо света (см. также 2), и антисток
сова линия, характеризующаяся более высокой частотой. Для
твердых кристаллических тел как правило наблюдаются три
стоксовы и три антистоксовы компоненты в соответствии с тремя
типами акустических волн в кристалле одной квазипродольной
и двумя квазипоперечными. При наличии свободноЙ поверхности
в результате рассеяния на теплuвых поверхностных волнах в спектре
рассеянноrо света MorYT появиться и дополнительные линии.
Так как частоты тепловых колебаний при исследованиях MaH
дельштам-бриллюэновскоrо рассеяния обычно находятся в преде
лах rиперзвуковоrо диапазона, для Hero характерен брэrrовский
режим дифракции. При этом частоты рассеянноrо света равны
ш' == (J) :f: Qj (К) (4.1)
н уrол EI определяется из соотношения (2.11), которое для рас-
сматри аемоrо случая удобно переписать в виде
2и } (к) sin EI/Qj (/() == с/пош.
(4.2)
в выражении (4.1) знаки «+» и « » соответствуют двум возможным
направлениям распространения тепловых мод, характеризуемых
индексом поляризации j (квазипродольная и квазипоперечные мо-
ды), Vj фазовая скорость j-й моды, с скорость света в вакууме,
К волновой вектор звука, Из (4,1) и (4.2) леrко получить BЫ
ражение для относительноrо сдвиrа частоты:
(ш' ш)М ==:!: Qj (К)М == :::!:: (2п о /с) и } (к) sin е ==
== :::!:: (2п о /с) и } (к) sin (ЧJ/2) ,
в котором через ЧJ==2е обозначен уrол рассеяния. Нетрудно ВИ
деть, что по положению дублетов маIIдельштам БРИJIJIюэновскоrо
З4fi
рассеяния в эксперименте МОЖНО определить скорость звука в
эаданном направлении.
Кроме значений частот ш', большой интерес с точки зрения
интерпретации экспериментальных данных представляют спект
ральные распределения интенсивностей дублетов, Для их расчета
нужно знать автокорреляционную функцию для рассеянноrо света
Es (К, t + т) Es' (1<, t) ==
т
== lim (2f) 1 Es(K, t+T)E;(K, t)dt, (4.3)
т '" T
по которой с помощью преобразования Фурье, в соответствии с
теоремой Винера Хинчина, леrко определить и интересующее
нас спектральное распределение интенсивности S (К, ш'). Так как
рассеянное электрическсе поле Ев пропорционально деформациям,
вызванным звуковыми волнами, то автокорреляционная функция
(4.3), очевидно, будет пропорциональна автокорреляционной функ
ции для упруrих смещений в кристалле. Последнюю же можно
записать в форме
и(К, j, t+T)и *(K, j, t )==
==IU(K, j)12ехР[::i=Юj(К)т]ехр[ rj(К)Т], (4.4)
rде и амплитуды звуковых колебаний, r j временное затуха
ние звуковых волн, или, на квантовом языке, обратное время
жизни фононов. В рамках классическоrо описания, справедливоrо
при hQj (К) kБТ' средняя энерrия одной моды (k Б постоянная
Больцмана)
Ej (к) ==р Qy (К) I и(к, j) 12 (2 (2л)3jV)
равна kБТ, откуда следует, что
!иск, j)12 ==Vk Б Т/[2 (2л)з pQ'(K)], (4.5)
rде V объем кристалла. Учитывая (4.4) и (4.5) в выражении для
автокорреляционной функции рассеянноrо света (4.3) и вычисляя
фурье-образ (подробнее об этом можно прочитать, например, в
моноrрафии [4]), нетрудно получить формулу для нормированной
функции спектральноrо распределения интенсивности рассеянноrо
света
, I м (К, j) [2 { r j (к)
S(K, ш)== й7(К) [(U' «(U Qj(K))j2+I'7(K) +
J
rj(X) } { "......iM(K, т2 } l
+ [(U' «(U+Q'(к))J2+r2,(К) 2л О2(К) ,
J 1 j f
(4.6)
rде М вектор, определяющиЙ направление рассеяния и завися
щий от упруrооптических коэффициентов среды. Первое слаrаемое
в фиrурных скобках (4.6) соответствует стоксовым компонентам
347
fJ<1ссеЯIIIlЯ, а второе аIlТ]JСТОJ;С()ВЫЫ. Н аIlОМНИМ, что в с J1УЧ<1l'
неоrраНIIченнО! о крнстаЛJШ имеется 1 ри дублета, отвечающпе Tpe 1
значениям индекса j. Леrко заметить, что обе компоненты мандельш-
там бриллюэновскоrо рассеяния имеют лоренцеву форму с xapaK
терной шириной fj (К), пропорщюнальной временному затуханию
акустических волн или обратноыу времени жизни фононов. Ин
тересно отметить, что в рамках классическоrо рассмотрения, с
!10:>fОЩЬЮ 1\0Tol1oro получено выражение (4.6), интенсивности сток-
совой И аНПIСТОJ(СОВОЙ компонент одинаковы, При 1iJJ./?zk Б Т клас-
сичеСI<ое раСС\lОтрС'ние перестает быть справедливым и необходимо
JfСIIOЛЫЮI3ал, Iш,l!IТ()НЫЙ IЮДХОД. О()ычно ЭТО иыеет leCTO дЛЯ T 3 К.
Аиа:ш:; IIOf\i13f,1]3iJl' 1 , ЧI(J U IшаIlfOIюii области интенсивности СТОК-
C0J30ii I! (] 111 J[СТОКСО!з0Й КШ!llOнент перестают быть равными. А имен
но, ИIlтеНСIНJfIОСТЬ СТОКСОН0й (низкочастотной) JIИIШИ при Т o не
зависит от температуры *), а интенсивность антистоксовой линии
стре:\штся к нулю, Это объясняется тем, что процесс создания фо
нона за счет уничтожения фотона ВО:Jмтl,еп и в отсутствие фононов,
т. е. при низких температурах. в то время как рождение фотонов
в результате уничтожения фононсв, очевидно, невозможно без их
наличия.
5. Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
С появ.'тениеЛI лазеров С1 ало возможным проводить эксперимен-
ты с NlOЩНЫМ!! IIуч/(ами KorepeHTHoro света. При этом было обна-
ружено (Чиао, Таунс и Стойчев [23]), что при превышении интен-
сивностью света HeKoToporo пороrоВоrо значения наблюдается уве-
личение стоксовои линии в спектре мандельштам-бриллюэновскоrо
рассеяния, сопровождающееся rенерацией мощной звуковой волны.
Описанное явление, раIlее предсказанное теоретически (см. обзор
[24]) и представляющее собой одну из разновидностей процессов
параметрическоrо усиления, получило наименование 8blнужденносо
рассеяния МанделышпаJvta Бриллюэна (ВМБР). Теория ero, как
макроскопическая, так и квантовая, развивалась мноrими aBTO
рами [3, 4, 24].
Наиболее прост для анализа коллпнеарный случай, соответст-
вующий уrлам рассеяния О и 1800. При этом возбуждаемая звуко-
вая волна распространяется в направлении падающеrо cBeToBoro
пучка. Пос/шльку 13 изотропных средах вследствие условий СИН-
хронизма реаJIизуеТС5J только второй случай или случай обратноrо
рассеЯНIIЯ света, он 11 будет рассматриваться ниЖе.
Пусть интенсивная световая волна падает на кристалл длины L
в направлении оси х:
En == 1/2Eon ехр [i ((J)t kx)] + к. с. (5.1)
Волну, рассеянную в обратном направлении, в соответствии с
*) Имеется в виду неНОРМИРОВ8НН8Я интенсивность.
348
ТСО}1НС1! брЭПОПСlюrо pnC'Ce\lIIl111 Ы())!,!lO заI!IIСnТ1, В вl!Де
Ер ==)/2Еорехр [i (ffi't +k'X)]+R, С., (5.2)
а вызвавшую рассеЮIlIе акустическую волну С деформацией и
вид которой не будем конкретизировать, в форме
11==(1/2)й'оехр[i(Qt Кх)]+к. с.
(5.3)
Пр!! этом ДJIЯ частот и BO, HOBЫX чисел всех трех волн выполняются
обычные соотношения С!!НХрОН!!зма .
(!) .. (1)' + & , /l == k' +1(.
Так как мы ::.щеСI> имеем At'JIO с мощной элеКТрUillаI'ШJТIЮЙ волноЙ,
необходимо учесть ее воздеЙствие на звук. .н непьезоэлектриче
ских кристаЮIах это воздеЙствие описывается электрострикцион
ным членом в ураВIIении состояния (2.3), в котором теперь следует
счиrать Ei Ein+Eip' Подстановка (5.1) и (5.2) в (2.3) приводнт
!\ тому, что упруrие напряжения, а следовательно, и деформац\ш
будут содержать члены с суммарными и разностными частотами.
Интересующий нас член с частотой Q и волновым числом К имеет
вид
ои' == (1/2) aE(jr.E pexp [i (Qt KX)]+K. с.,
! де а постоянная. РаССi\jатривая леформацию ои' как заданную,
нетрудно получить волновое уравнение дЛЯ ЗВУIШ (для определен
ности будем считать ero продольным)
а'!.u 1 дЗu д З (6u')
дХЗ С1 '
(5.4)
rде Сl скорость продольной акустической волны. Выражение в
правой части (5.4), таким образом, представляет вынуждающую
силу, за счет котороЙ и происходит rенерация звука. ПОJIаrая
далее, что амплитуда падающей световой волны, или волны. lIа ,
качки, постоянна *), а амплитуды деформации 'й о и рассеЯННОiО
света Еор являются меДJ ННЫМИ функциями Х, с учетом выписаlIноrо
выше выражения для 6и', получим из (5.4) укороченное уравнение
дЛЯ Й О в приближении заданноrо поля накачки:
дио/дх == i (aj2) КЕопЕ;р. (5.5)
Здесь а введенная выше !IOСТШIНная, зависящая от коэффициен
тов электрострикции. Уравнение, описывающее воздействие
упруrих деформаций на распространение электромаrнитной волны,
уже выписывалось нами в (см. ( . ) при описании дифракции
света на звуке в приближении неизменной амплитуды звука. По
скольку оно не меняется и при учете изменения амплитуды звука,
мы непосредственно воспользуемся соответствующим брэrrовскому
*) Это можно сделать вследствие большой интенсивности падающеrо света.
Об учете нзменения Еоп см., например, [IJ.
349
режиму укороченным уравнением (второе уравнение (2.9)), которое
с учетом используемых здесь обозначений можно переписать в виде
дЕ;р/дх == i (Ь/2) k' Е;пио, (5.6)
rде Ь постоянная, зависящая от коэффициентов электрострик-
uии, Из (5,5) и (5.6) JierKO получить линейное уравнение для и.
д2u !дx2== (1/4)abKk'EonE ilo (5.7)
и анаJIоrичнсе ураВIiение ДЛЯ Е;р, к()торое мы не будем выписывать.
Сбщее решение (5.7) имеет вид
Й о (х) == А ехр (irx) +В ехр ( irx), (5.8)
l'де l' === (Ю,')!!2 (аЬ 2с)!!2( 4л 1)1/2, 1 ==cEonE;n/8n интенсивность
падающеrо излучения, с скорость света в вакууме, А и В по
стоянные, определяемые из rраничных условий. Последние состоят
в равенстве нулю амплитуды рассеянноrо света на противополож
ном торце кристалла E p(L)==O, Тоrда из (5.5) и (5.8) следует
Й о (х) == й О (О) cos [r (x L)]/cos (rL). (5.9)
Подставляя (5,9) в (5.5) и учитывая выражение для r, получим
для амплитуды рассеянноrо света
Е* ==i ( ) 1!2 ( ) I!2 ( Е;п ) 1/2 u 51" [r (x L)] .
Ор к. \ас Еоп о COs (rL)
Из формул (5.9) и (5,10) следует, что как звук, так и рассеянный
свет усиливаются при распространении *), причем усиление про
исходит в противоположных направле
ниях (рис. 13.6). Хотя соrласно (5.9) и
(5.10) усиление имеет место при любых
интенсивностях накачки, на 'самом деле
этоrо не происходит, так как в прове
денном анализе не были учтены aKYC
тические и оптические потери. Учет
этих потерь, в частности акустических
(ехр ( alx)), приводит к тому, что ве-
личину r в решении ехр (irx) следует
заменить на
iJ P1 Ерр, fl1l1l/. ei!.
Рнс. 13.6. Пространственные
изменения амплитуд звука и
рассеянноrо света при вы-
нужденном мандельштам-
бриллюэновском рассеянни
(обратное рассеяние).
(5.10)
r'==ia!/2 + i(a'/4 r2)lJ2.
В результате усиление будет иметь место
только в том случае, коrда интенсивность
волны накачки превысит некоторое поро-
rOBoe значение, соответствующее равенству 2r==al' Интересно отме-
тить (см. (5,9) и (5.10)), что при rL==n/2 (или, с учетом затухания, при
*) Если падающая световая волна не плоская, а, например, представляет
собой расходящийся пучок, то наряду с усиленнем происходит н обращение формы
волновоrо фронта рассеянной световой волны (пучок становится сходящимся).
Подробнее об этом явлении и ero применениях можно прочитать в статье [25] ,
350
l e (r' L)==.1t/2) величины ;;0 (х) и Еор (х) обращаются в бесконеч-
ность. Это означает, что они MorYT иметь Конечные значения, при
ио (0)==0, т. е. возможна rенерация звука и рассеянноrо света (вре-
менная неустойчивость). Обратим внимание, что rенерация В дaH
ном случае происходит в отсутствие резонатора, так Как обратная
вязь осуrцествляется рассеянной в обратном направлении свето-
вой волной.
Остановимся вкратце на случае рассеяния света в прямом Ha
правлении, который может быть реализован в кристаллах. Можно
показать [I J, что при этом обе волны
экспоненциально нарастают в прямо",! цо,ЕОР' 0/1111. и.
направлении, как изображено на рис.
13.7 (пространственная неустоЙчивость).
fенерация в этом случае возможна
только тоrда, коrда среда помещается в
резонатор.
Таким образом, с помощью выну ж-
денноrо мандельштам-бриллюэновскоrо
рассеяния можно rенерировать довольно
интенсивные rиперзвуковые волны
(вплоть до частот .......,1011 [ц). Это пред-
ставляет значительный интерес для экс-
периментальных исследований, так как
возбуждение столь высокочастотноrо зву-
ка обычными методами затруднительно
и во мноrих случаях невозможно. Однако
эффективность rенерации звука при этом
относительно невелика; Например, при мощности падающей CBe
товой волны 106 МВт/см 2 интенсивность rенерируемоrо звука с час
тотой 60 ffц составляла......., 1 кВт/см 2 [23J. Тем не менее вследствие
наличия мощных лазеров (как в приведенном выше примере) такой
метод rенерации мощных акустических волн успешно используется
в rиперзвуковых исс.lедованиях, в частности при изучении нели-
нейных явлений.
6. Акустооптика жидких кристаллов
Рис. 13,7, Пространственные
изменения амплитуд звука
и рассеянноrо света при BЫ
нужденном манделъштам
6рнллюэновском рассеяннн
(прямое рассеяние).
Внимание, уделяемое в последнее время изучению акустооп
тических свойств жидких кристаллов, обусловлено целым рядом
уникальных свойств последних прежде Bcero значительной оп
тической анизотропией и малой вязкостью жидких кристаллов,
в особенности находящихся в нематической фазе [26 32J. Указан-
ные свойства приводят к тому, что даже при относительно слабых
акустооптических возмущениях на rранице жидкокристаллическоrо
слоя rрадиенты скорости, связанные с вязкими волнами в жидких
кристаллах, ДОСlиrают больших значений, что существенно сказы-
вается на изменении ориентации молекул. Это в свою очередь
Rызывает эффективную модуляцию света, проходяrцеrо через жид-
351
!<окристаллическую ячейку. Среди друrих возможных применений
аКУСТООIIТllческнх взаимодеЙствиЙ в жидких кристаллах, rлавным
образuм холестеРIIческих, следует назвать их использование для
В!Iзуа.1изации звуковых полей, в частности для восстановления
акустических rолоrрамм [8 IO, 26J. Существенный интерес преk
ставляет также наличие в смектических кристаллах долrовременной
памяти [32J, которая может применяться для записи акустических
сиrналов.
Типичная конфиrурация жидкокристаллической ячейки, ис
!lользуемоЙ в качестве акустооптических затворов и модуляторов
света [26 3IJ, приведена на рис. 13.8,
ПовеРХНОСТII прозрачных пластин обычно
обрабатываются таким образом, что в OT
сутс'! вне внешнеrо воздействия молекулы
жидких кристаллов орш'нтируются по HOp
мали к поверхности rомеотропная ори
Е'нтация. При механическом воздействии на
одну из прозрачных пластин, например
на нижнюю, в ней MorYT возбуждаться
объемные акустические волны как сдви-
rовой, так и продольной поляризаций, а
также поверхностные акустические волны.
В результате в прилеrающем'к пластине
слое жидкоrо "кристалла возбуждаются
звуковые и вязкие волны, приводящие'к"изменепию показателя пре
ломления кристалла. Механизм воздействия звуковых волн на пока-
затель преломления через изменение плотности в данном
случае ничем не отличается от обычноrо фотоупруrоrо механизма
в жидкости ( 2) и вызывает дифракционные эффекты Toro же по
рядка. Вязкие же волны приводят к изменению ориентации молекул
жидких кристаллов, т. е. к эффекту, характерному для твердых
тел. В нематических жидких кристаллах, например в кристаллах
МББА, влияние вязких волн оказывается rораздо более сущест
венным [26, 29]. Поэтому при теоретическом рассмотрении звуко
выми возмущениями в них обычно пренебреrают. Изменение ори
ентации молекул, или, что то же, ориентации оптической оси жиk
ких кристаллов сказывается на прохождении через слой жидких
кристаллов неоБЫЮIOвенных лучеЙ. которые в данном случае и
образуют дифракционную картину
Соrласно феноменолоrичеСIШМ расчетам, выполненным для слу"
чая воздействия на слоЙ жидких кристаллов стоячих поверхност
ных акустических волн типа fуляева Блюштейна [27J, дифра
rированное поле при этом имеет несколько максимумов различной
интенсивности, что напоминает дифракцию Рамана Ната. Воз-
действие на нематический жидкий кристалл поверхностной волны
рэлеевскоrо типа анализировалось в работе [29} также с учетом
только сдвиrовых колебаний. Определялась так называемая «cpek
няя прозраЧIIОСТЬ», или средняя интенсивность прошедшеrо света
(НОр\lflр(Jf\3Нllая по тношеНIIЮ к падающему) для системы, состоя
3
. '
1 . . . ./
3
t C8e1l7
Рис. 13.8. Жидкокристал
.'шческая ячейка: 1 оп
тически прозрачные плас
тинки, 2 слой жидкоrо
кристалла, 3 скрещен-
ные поляроиды,
.152
щей из слоя жидких кристаллов и двух скрещенных николей, не
пропускающей свет в отсутствие возмущения. Соrласно проведен
БЫМ оценкам для частоты 6 Мfц и амплитуды смещений на rранице
""" 10 B см (интенсивность волны"'" 1 Вт/см 2 вблизи rраницы) CpE'д
няя прозрачность оказалась равной "'" 1O 8. На низких частотах
("",10 кfц), коrда колебания пластины можно было рассматривать
как ее поступательные перемещения, средняя прозрачность при
тех же мощностя механи I/Imax; %
ческих колебании (ампли
туды смещений "",IO 4 см) 100
составила "'" 10 3, Отметим,
что переменная составля
ющая проходящеrо света
в ни?кочастотном режиме
и при умеренных модули
рующих мощностях изме
нялась с двойной частотой
механических колебаний
[27J, что отражает зависи
мость коэффициента пре
ломления от интенсивнос
ти последних,
Экспериментально этот эффект наблюдался в работе [30], Кри
вые для интенсивностей постоянной и переменной составляющих
света, прошедшеrо через слой жидкоrо кристалла и два скрещенных
николя, от амплитуды смещений пластины, полученные в этой
работе, приведены на рис. 13.9, В отсутствие возбуждения и при
очень малых колебаниях фотоприемник на выходе системы реrист
рировал слабую высокочастотную составляющую, связанную с
шумами лазерноrо излучения. При превышении амплитудой CMe
щений /; HeKoToporo значения /;п (на частоте 296 [ц Gп 1,2 мкм)
в прошедшем свете наблюдалась составляющая с удвоенной часто
той модуляции, величина которой возрастала с ростом /;. По дo
стижении максимума спектральный состав переменной составля-
ющей прошедшеrо света менялся, что можно было наблюдать По
искажению профилей осциллоrрамм. Для постоянной составляющей
наблюдалась во MHoroM аналоrичная картина. TaKIIM образом,
зависимости переменной (на двойной частоте) и постоянной состав-
ляющих света, прошедшеrо через ячейку, при достаточно больших
оказываются существенно нелинейными и характеризуются рез
кими максимумами. Последующие исследования [31 J показали, что
наличие максимумов постоянной составляющей и составляющей
с двойной частотой объясняется перекачкой энерrии прошедшеrо
света в rармоники с более высокими номерами. Этот факт, по-види
мому, может представлять интерес с точки зрения создания нели-
нейных акустооптических устройств на жидких кристаллах.
Весьма перспективным представляется использование жидких
кристаллов для визуализации акустических полей [8, 26]. С этой
целью обычно применяется эффект селективноrо отражения света
12 В. А. КраСИ.IIЬНИI\ОВ, В. В. КРЫЛОВ
Яl
10
1 Z 3 -1 5 б 7 8 , Д!Ш
Рис, 13.9. 3авнсимости переменной (1) и пос
тоянной (2) составляющих света, прошедше-
ro через жидкокрнсталлическую ячейку со
скрещенными поляроидами, от амплнтуды
смещения 'одной из пластин [30],
353
ОТ жидких кристаллов, находящихся в холестерической фазе. Как
известно, в этой фазе жидкий кристалл обладает спиральной CTPYK
турой, шаr которой и определяет частоту отраженноrо света в
соответствии с брэrrовским условием. Кристалл, освещенный
белым светом, при этом кажется окрашенным, причем цвет окраски
cyrцecTBeHHo зависит от температуры, которая определяет период
спиральной структуры. Например, при изменении температуры на
2 ос цвет отраженноrо света может измениться от KpacHoro До rолу
боrо полный цветовой переход. Если холестерический жидкий
кристалл привести в контакт со средой, в которой распространя
Ются акустические волны, например поверхностные, то в результате
по['лощения последних в кристалле устанавливается стационар
ное распределение температуры, соответствующее распределению
интенсивности звуковоrо поля, Получившуюся картину изоб
ражение звуковоrо поля леrко наблюдать при освещении жиk
Koro кристалла белым светоМ.
Основная трудность, стоящая на пути использования жидких
кристаллов в качестве индикаторов звука, состоит в больших
временах установления звуковых изображений в известных образ
цах кристаллов (обычно они составляют несколько секунд), Это
препятствует применениям жидких кристаллов для визуализации
быстро изменяющихся акустических полей. То же самое можно
сказать и относительно использовdНИЯ жидкокристаллических
ячеек в качестве акустооптических модуляторов, поскольку MaK
симальные частоты модуляции обратно пропорциональны временам
релаксации. Существенный проrресс в этой области, очевидно,
связан с поиском новых быстрорелаксирующих жидких кристаллов,
Это, однако, не относится к области использования жидких кри-
сталлов в качестве запоминающих устройств [32J, rде большие
времена релаксации, наоборот, желательны.
7. Некоторые применения акустооптических взаимодействий
1. Измерения параметров акустических полей. Использование
акустооптических взаимодействий для измерения параметров аку-
стических полей является одной из наиболее важных областей их
применений [I 8J. Причиной тому, наряду с универсально\тью
и бесконтактностью, служит то обстоятельство, что с их помощью
можно определять практически все параметры звука длину
волны, интенсивность, поrлощение и т. д, MHoro важных экспери
ментальных результатов, касающихся распространения и взаимо
действия KorepeHTHbIx и тепловых акустических волн в различных
средах, получено именно оптическими методами *). Конкретные
способы и методики акустооптических измерений довольно MHoro
образны, однако все они базируются на закономерностях дифрак
ции света на звуке ( 2 4). Например, в случае раман натовской
дифракции длину звуковой волны можно определить по доплеров
*) Частично мы с этим уже встречались в r л. 11.
354
скому сдвиrу частот ИJJ.И tlO yrJJ.aM отклонения дифракционных
максимумов света в соответствии с выражением (2.5), а амплитуду
смещений по их относительным интенсивностям (см. (2,7) и (2.8)).
Поrлощение проще Bcero оценить путем сканирования уз им све-
товым пучком вдоль направления распространения звуковои волны.
Вполне очевидны и основные принципы измерений при брэrrов
ской дифракции формулы (2.10) и (2.11), Об измерениях пара-
метров акустических фононов методоМ рассеяния Мандельштама
Бриллюэна уже rоворилось в 4.
fлавным недостатком акустооптических методоВ измерения па
раметров является тот факт, что они оrраничены rлавным образом
llllop)lO/JJfa
Ввул
Свет
tJlfJltlH
Рис. 13.10. Визуализация звука методом TeMHoro полЯ.
оптически прозрачными средами. Исключение составляет случаи
поверхностных волн ( 3), измерение параметров которых может
производиться в отраженном свете и условие оптической rrрозрач-
ности не является обязательным. Более подробно о методах и'
приборах акустооптических измерений можно прочитать в цити.
рованной выше литературе,
2. Визуализация звуковых полей, Задача визуа,J1изации аку.
стических полей часто возникает при исследовании закономерностей
излучения, дифракции и нелинейных взаимодействий звуковых
волн, а также в различных практических приложениях медицин
ской диаrностике, неразрушающем контроле, подводном звуко-
видении, сейсморазведке и т, д. К простейшим способам визуали-
зации относится так называемый шлuреfl метод, или метод теМНоео
поля (см., например, [8J), использующий раман-натовскую дифрак-
цию света на звуке (рис. 13,10). В такой системе в отсутствие зву-
KOBoro поля экран остается темным, а при распространении звука
появляются светлые детали, соответствующие дифракционным
максимумам. Расстояния от ультразвуковorо пучка до линзы и от
линзы До экрана обычно выбираются равными удвоенному фокус-
ному расстоянию линзы. При этом на экране получается перевер--
нутое неувеличенное изображение «проекции» звуковоrо поля.
В качестве примера приведем визуализацию шлирен-методом звуковоrо поля
в системе, состоящей из жидкости (воды) и прямоуrольноrо стеклянноrо стержня,
в котором возбуждался оrраниченный пучок поперечных ультразвуковых волн ,
[33, 34J. В качестве излучателя применялась пьезокварцевая пластинка У среза"
(частота 2,9 М[ц); использовались как непрерывный, так и импульсный режимы.
Из приведенных в [33, 34] фотоrрафий следует, что в воде визуализируется звуко
вое поле, представляющее собой совокупность «лучей», уходящих от стержня.
На рис. 13.11 схематически показана получающаяся при этом картина в случае
12.
355.-
импульсноrо ре>hима излучения. ЭлемеНТарное объясНение nОЛУЧёННОЙ КартИНЫ
звуковоrо поля в жидкости заключается в том, что в рассматриваемом стержне
наряду с поперечными волнами всеrда присутствует компонента продольных волн;
это является следствием как частичНОй rенерации продольных волн кварцевой
пластинкой У среза, так и краевых эффектов, имеющих место на rранице стержня.
Таким образом, вдоль плоской rраницЫ стержня, помещенноrо в воду, беrут «ис'
точники звука», связанные с поперечными и
продольными волнами, распространяющимися
со скоростями Ct и Сl (то обстоятельство, что
между rраницей пучка и поверхностью стер-
жня продольные и поперечные волны не
визуализируются, связано с малостью соот-
ветствующих фотоупруrих постоянных стекла
по сравнению с водой), Интерференцией волн,
излучаемых указанными lIсточниками в BO
ду, И объясняется появление наблюдаемых
«боковых лучей». Отметим, что если одновре-
менно пучок продольных и поперечных волн
одной и той же частоты и интенсивности
заполняет все сечение стержня, то наблюдае-
мая картина «боковых лучей» становится зна-
5 ...-A':: чительно более отчетливоЙ; это соответствует
высказанному предположению.
На рис, 13.12 представлено rеометричес
кое построение, поясняющее описанную выше
специфическую интерференционную картину
в воде [35]. На этом рисунке LL' поверх
ность стержня, соприкасающаяся с водой,
OB ct'r; и ОА СI't расстояния, проходимые
соответственно поперечными и продольными
источниками вдоль LL' от точки О за время
"(, ОР ОQ сж't расстояния от этой точки,
проходимые возникающей волной в воде со
скоростью звука в воде сж' НетруДНО сделать
вывод, что L..POQ L..BN A (ММ' являет
ся биссектрисой уrла BNA). Из треуrольни
ков ANB и MNB видно, что r l' OTKY
да уrол 8, под которым вследствие интерференции распространяется (по отноше-
иию к поверхности стержня LL') результирующий фронт в воде ММ', будет
равен 8 900 ( t+ l)/2. Для условий эксперимента [33, 34] Сt З,8 .105 см/с,
c/ 5,97 .105 см/с, СЖ 1,48 .105 см/с, Это соответствует уrлу e 71025', что соrла-
суется с результатом эксперимента, который дает 8 72°ЗО'::t:3°.
То обстоятельство, что визуализируемое звуковое поле в воде имеет вид «лу
'чиков» С пространственным периодоМ
Л/Лt. ЛlЛt
tJ.L I Лt Лll sш е I Лt Лll '
/
4 /
Рис. 13.11, Схематическая Kap
-тина визуализируемоrо звуко
lюrо поля при возбуждении по-
;перечных волн в твердом стерж
не, находящемся в жидкой cpe
де: 1 стеклянный стержень,
2 вода, 3 ультразвуковой
пучок поперечных волн, 4
«боковые лучи», 5 фронт «бо
KOBoro излучения», е уrол,
образуемый нормалью к фрон
ту И поверхностью стержня.
rде Л/ и Лt соответственно длины продольных и поперечных волн в стекле,
объясняется пространственнЫМИ биениями, происходящими из за различия CKO
ростей распространения С/ и Ct.
Особоrо упоминания заслуживает метод прямой визуализации
ультразвуковых излучателей или рассеивателей с помощью брэr-
rовсКОЙ дифракциИ света, предложенный Корпелем (см., например,
{9, 10, 36]), Этот метод занимает как бы промежуточное положение
между классическими методами визуализации и акустической
толоrрафией, будучи весьма близкИм к последней. Ввиду важности
и ориrинальности метода поясним ero на простом примере (рис.
13,13). Пусть точечный источник О излучает коrерентный свет, а
:356
точечный источник S звук, Если уrлы пересечения ер между
'лучами света и фронтами ЗВУКОВЫХ волн удовлетворяют условию
брэrrовскоrо отражения (sin ер==л/2А), то отраженные световые
лучи пересекутся в точке 51, которая представляет собой МНимое
L А
['
Рис. 13.12. fеометрическое построение, поясняющее наблюдаемую волновую
картину (рис. 13.11) как результат интерференции волн в жидкости.
изображение источника звука S, Если источник не точечный, то
ero оптическое изображение будет уменьшенным в Л/л раз.
Существует и множество друrих акустооптических .метоДОВ ви
зуализацин звука, в частности методы, использующие оптическое
сканирование и отражение белоrо света
от жидких кристаллов (96). Подробнее
об этом можно прочитать в обстоятельных
обзорах [8, 36, 37].
3. Восстановление акустических rоло- О
rpaMM. Как известно, классическая схема
rолоrрафическоrо процесса, например, в
оптике, включает два этапа: запись ин-
терференционной КартиНЫ, образованной
предметным и опорным пучками на KaKOM
либо квадr;атичном (реаrирующем на ин-
тенсивность) прие; tf!ике излучения (фото-
пластинка, термопластик, жидкий крис
талл) создание сОЛОЦШr/},;Ы, и ('читывание записанной интерфе-
ренционной картины с помощью onopHoro пучка с целью получе-
ния ВИДИl\10rо TpeXMepHoro изображения предмета восстановле--
ние солосраммы. В GТличие от оптики, в акустике возможны и
линейные приемники (например, микрофоны, пьезопреобразователи
и т. п,), сохраняющие информацию как об амплитуде, так и о фазе
волны. Поэтому в акустической rолоrрафии наряду с классичес-
кой схемоЙ записи и считывания возможен и друrой способ rоло-
rрафирования без опорноrо пучка [9, 10, 38 40]. BOCCTaHOB
ление акустических rолоrрамм при этом может осуществляться
различными методами, В частности, широкие возможности откры-
вает использование для этой цели быстродействующих ЭВМ,
Мы оrраничимся рассмотрением описанной выше классической
XeMЫ rолоrрафии, так как именно в этом случае для восстаНОЕле-
ния акустических rолоrрамм широко применяются оптические
методы. В качестве квадратичноrо приемника акустическоrо излу
s
Рис. 13.13. Схема прямой
визуализации источников
звука по методу Корпеля.
357
чения, так же как и в оптике, MorYT служить фотопластинки, тер-
мопластические пленки, жидкокристаллические слои и т. п. Од.
нако по целому ряду причин, в частности из за высокой чувстви-
тельности и малой инерционности, чаще Bcero используется для
этой цели свободная поверхность жидкости [38 40J.
Простейшее rолоrрафическое устройство, основанное на этом
принципе записи, изображено на рис. 13.14. В целях упрощения
при пояснении принципа работы устройства опорную и предметную
волны будем считать плоскими
[39]. Предположим также, что
направление падения предмет
ной волны, так же как и опор
ной, составляет уrол е с HOp
малью к поверхности жидкости.
Пусть поле смещений опорной
волны на поверхности жидкос-
ти х==о описывается выраже
нием
и о == ехр [i (Ш +Kz sin е)],
z
Рис. 13.14. Схема акустической rоло
rрафии, использующая изменение по
BepXHocTHoro рельефа жидкости: 1
объект, 2 предметный звуковой пу
чок, 3 опорный звуковой пучок, 4
звуковой reHepaTop,
а поле предметной волны
ип==А ехр [i (Qt Kz sin е + CPs)],
(7,1 )
rде А ==А (z) и CPs==CPs (z) величины, определяемые рассеивающим
объектом. В результате действия радиационноrо давления, созда
BaeMoro предметной и опорной волнами, поверхность жидкости
получает постоянное смещение (рис. 13.14), которое в первом
приближении определяется выражением
==aA cos(2Kzsine cps)+bA,
rде а и Ь постоянные, зависящие от акустических параметров
жидкости и величины поверхностноrо натяжения. Таким образом,
в результате интерференции опорноrо и предметноrо пучков на
свободной rранице жидкости создается поверхностный рельеф
акустическая солосрамма с зашифрованной в нем информацией
о рассеивающем объекте. Если на сформированный рельеф напра
вить коrерентный световой пучок, то в отраженном свете будут
присутствовать дифракционные максимумы различных порядков.
Полаrая, что поле (след) падающей световой волны на поверх
ности жидкости имеет вид
E in == ехр [i (wt + kz siп )]
и рассматривая для простоты поверхностный рельеф как статиче
скую фазовую дифракционную решетку, для отраженноrо света
получим соотношение
Е ref '" ехр (i (wt + kz siп + kaA cos (2К z siп е СР s))),
358
которое с учетом тождества
ф
ехр (ip cos 6) == inJ п (р) ехр (in6)
n= ф
можно переписать в виде
сх>
E ref ,..., i"J п (kaA)exp {i [wt + kz (sin + 2n (К;k) sin e) ncps]}'
п== со
Полученное выражение представляет собой сумму дифраrирован
ных плоских волн (дифракционных порядков), распространяющих
ся относительно оси х под уrлами 6п ===arcsin[sin +2n(K/k)sin eJ.
Эти волны, как можно видеть, дают действительное и мнимое изо
бражения объекта, Чтобы убедиться в этом, будем считать, что все
дифракционные порядки, кроме nepBoro, отсекаются с помощью
ножевоЙ диафраrмы. Тоrда с учетом Toro, что в случае малых kaA
справедливо соотношение J 1 (kaA)::::::kaA/2, для E ref получим
E ref ,..., i (kaA/2) ехр ( iqJs) ехр [i (wt + kz sin 6+1)] +
+ i (kaA/2) ехр иЧJ s)exp [i (wt + kz sin 6 1)]' (7.2)
Сравнение (7.2) с выражением для поля предметноЙ волны (7.1)
показывает, что первый член в (7.2) соответствует деЙствительному
изображению предмета, а второй мнимому. Уrловое расхож-
дение между двумя изображениями приблизительно равно 4 (K/k) х
х sin G/cos ,
Заметим, что отношение Its===K/k определяет наклон всех ди-
фраrированных лучей (см. выражение для <),,). Так KaI< для звуко
Boro диапазона частот fL;l"" 1 03, то расстояние от rолоrраммы до
изображения объекта сильно увеличится (во столько же раз). Само
изображение при этом исказится, так как ero продольные размеры
также увеличатся в fL;l раз. Такое искажение в принципе может
быть скомпенсировано, если размеры rолоrраммы уменьшить в m s
раз, например путем фоторепродуцирования (это равносильно
уменьшению длины звуковой волны), В этом случае поперечные
размеры предмета уменьшатся также в m s раз, а продольные в
m fLs, Леrко видеть, что неискаженное изображение предмета в
принципе может быть получено при m s ===fL;l. Однако сформиро
ванное таким образом изображение оказывается настолько малым,
что с ним неудобно работать. Поэтому предпочтительнее избрать
компромиссное решение l<m s <fL;\ отвечающее умеренным раз
мерам изображения и приемлемым искажениям [40J. К сожалению,
при фоторепродуцироваНИI1 теряется ОДНо из основных преиму
ществ, присущих рассмотренной схеме rолоrрафическоrо процесса,
использующей изменение рельефа водной поверхности получение
изображений в реальном времени. По этой причине акустическое
rолоrрафирование часто производится без коррекции искажений,
связанных с различными длинами световых и акустических волн.
4. Оптическая rенерация звука и фотоакустическая спектроско-
пия. Об одном из методов оптической rенерации высокочастотноrо
звука (методе вьшужденноrо рассеяния Мандельштама Брил
359
люэна) уже rоворилось 13 5, Ниже мы остановимся на тепловой или
термооптuческой 2ен.ерации звука, осуществляемой за счет тепло
Boro расширения среды при поrлощении в ней оптическоrо излу-
чения, Частота rенерируемоrо звука при этом определяется часто-
той амплитудной модуляции падающей световой волны; обычно
она существенно меньше, чем в случае вынужденноrо рассеяния
Мандельштама Бриллюэна. Отметим, что тепловой механизм
иrрает преобладающую роль при малых интенсивностях падающеrо
света [I 1]. По Этой причине он оказывается наиболее распростра
ненным в природе и технике. С практической точки зрения OCHOB
ные достоинства термооптической rенерации звука заключаются в
бесконтактности и возможности широкоrо управления параметраМи
акустичеСIюrо сиrнала. Эти факторы оказываются важными для
целей эксперш\:ентальной физики и техники связи.
Процесс термооптической rенерации описывается механическим
уравнение1 движения, уравнением состояния с учетом тепловых
эффектов и уравнением тепловоrо баланса, учитывающим ввод
тепловой энерrии, выделившейся в среде при поrлощении света *).
В случае жидкости в пренебрежении вязкостью и теПJ\(>ПРОВОДНО
стЬЮ (которые обычно несущественны) эта система может быть
сведена к линеаризованному волновому уравнению для ЗВУКОБоrо
давления с правоЙ частью, описывающей действие терМООППIче
cKoro источника (см., например, [11]):
1 д 2 р Х дQt
t1p "'2 дt2 == C дt.
Сж р
(7.3)
Здесь х коэффициент объемноrо тепловоro расширения среДЫ,
С р удельная теплоемкость при постоянном давлении, Qt==
== di\' F функция, описывающая плотность тепловой энерrии,
выделяющейся в среде за единицу времени, p интенсивность
поrлощаемоrо cBeToBoro излучения,
При рассмотрении конкретных задач, в чаС1 ности о возбуж
дении звуковых импульсов на rранице раздела вода воздух, ypaB
нение (7.3) должно быть дополнено rраничньп,:и н начальными yc
ловиями, Анализ различных интересных для прш<тики ситуациЙ
проводился во мноrих рабыах (см., например, [41, 42]). В част
ности, при падении КБазимонохроматическоrо cBeToBoro пучка с
интенсивностьЮ
! (х, у, t) ==! (х, у)[l + т cos Ш], t О,
на свободную rраницу ЖИДКССТI1 (рис. 13.15) функш:я Qt имееl
вид [411 .
Qt (r, () == Q t (r) (l +mcos Qt),
rде Qt==A (т) /!! (х, у) ехр ( /!Z), Z O. Здесь т индекс lV:одуля
ции, Q частота модуляции падающеrо света, А 'т) коэq:фициент
*) Эта энерrия--, очевидно, должиа быть достаточно мала.
360
прохождения света из воздуха в жидкость, lL коэффициент по
rлощения света в жидкости.
Для установившеrося режима (rенерация монохроматическоro
звука) получается следующее выражение, описывающее амплитуду
и уrловое распределение звуковоrо полй в дальней зоне:
(Т) mхс ItК2 cos 8 f
p(ro):=::A 2лС р r о W f.l2+K 2 cos 2 8 (е, <р),
(7.4 ).
rде р амплитуда звуковоtо давления, ro радиус вектор точки
наблюдения, W мощность падающеrо света (в частности, мощ
ность лазера), К ==Q/с ж , е уrол между осью z и вектором ro
(см. рис. 13.15), <р уrол между осью х и проекцией ro на пло
скость х, у, величина t(e, <р) определяется формулой
f (е, <р):=:: W l J (х, у)ехр [ iK sin е (х cos <р + у sin <р)] dx dy.
Диасрамма направленности термооптическоео излучателя, оче
видно, представляет собой произведение двух последних сомножи
телей в (7.4). Для распределения интен-
сивности света J (х, у) по rayccoBY закону
J (х, y)===Ioexp[ (x2+y2)/a21 выражение для
t(e, <р) принимает вид
t(e, <p)==exp( K2a2sin2e/4). (7.5)
Из (7.4) и (7.5) следует, что при узких ra-
уссовых световых пучках (Ka l) диаrрам
ма направленности имеет максимум при
е==о, если К"" 1 1, или при e==arccos (",,/К),
если К"" l>I, В пределе K",, l 1 диаrрамма
принимает вид, характерный для излучения
диполя (рис. 13.16, а), что физически вполне очевидно. В друrом
предельном случае K",, l 1 звук излучается практичеСIШ вдоль-
поверхности (рис, 13,16,6). Для широких световых пучков (Ka 1)
х
(J
l
т"о
Рис. 13,15. rеометрия за
дачи термооптическоrа'
возбуждения звука.
w
.
а)
-О)
в}
Рис. 13.16. ДИ'Н'раммы направленности звука, излучаемоrо термооптическим;
источником [11].
излучение становится узконаправленным с максимумом в направ-
лении оси лазерноrо пучка (рис. 13.16, в). Уrловая расходимость-
излучаемоro звука при этом пропорциональна 11 Ка, как и в любом
плоском излучателе. Отмеченные закономерности, разумеется, не
являются спецификой rayccOBa распределения интенсивности па--
361'
.дающеrо света. Поэтому в основных чертах они справедливы для
любых оrраниченных световых пучков.
Пользуясь формулой (7.4), нетрудно рассчитать эффективность
meр.мооптической' сенерации 1'], определяемую как отношение пол-
ной мощности излучаемоrо звука к мощности падающеrо света
[41J. В частности, для широкоrо cBeToBoro пучка (1(ф1) с raycco-
вым профилем распределения интенсивности эффективность опре-
деляется выражением
С ж [ A(T)тXf.lK ] 2
1']== Р 2C p (f.l2+K2) /0'
rде р плотность жидкости, Таким образом, величина 1'] пропор
циональна интенсивности падающеrо света, Как и следовало ожи
дать, максимальная эффективность 1']тах достиrается при условии
1(==[1, Оценки показывают, что для воды 1']тax 5 .10 12/o, rде
/0 берется в Вт/см 2 . Таким образом, при наличии мощных лазеров
термооптнческая rенерация звука оказывается перспективной не
только для экспериментальных исследований, но и для вполне
практических целей, Вопросы, связанные с влиянием различных
природных факторов, в том числе поверхностноrо волнения и He
однородности жидкости, на процесс rенерации, обсуждались в
работах [43 45]. Излучение звука движущимися вдоль поверх
ности световыми пучками анализировалось в статьях [46 48J.
Имеющиеся экспериментальные результаты по термооптической
rенерации звука в жидкости достаточно полно отражены в обзоре
[11] .
Остановимся теперь вкратце на термооптической rенерации
акустических волн в твердом теле *), Основные особенности, OT
личающие этот случай, заключаются в том, что, кроме объемных
продольных волн термооптический источник в твердом теле воз-
буждает объемные сдвиrовые, а также поверхностные волны [49].
Возбуждение последних наиболее эффективно в том случае, коrда
характерный размер cBeToBoro пучка близок к длине поверхност
ной волны. С увеличением ширины пучка эффективность возбуж
.дения объемных сдвиrовых и поверхностных волн резко падает и в
объем излучаются в основном продольные волны, как и в случае
жидкости,
Заметим, что облучение поверхности именно светом, очевидно,
не принципиально, так как тепловое расширение может быть BЫ
звано передачей энерrии к среде от любых видов излучений и ча
стиц потоков электронов, протонов и т. п. fенерируемые при
этом звуковые волны MorYT использоваться для реrистрации ча-
стиц. В частности, большой интерес представляет возможность
реrистрации нейтрино с помощью системы акустических приемни
ков, охватывающей протяженную акваторию Мировоrо океана
Международный проект ДЮМАНД. Связанные с этим исследова-
ния сейчас широ ко проводятся (см., например, [50, 511).
*) Об экспериментальных работах rоворилось в rл, 12 при обсуждении мето-
.дов возбуждения поверхностных волн.
362
Большую ПJ актическую ценность представляет использование
термооптическои rенерации звука для исследования оптических
спектров поrлощения различных веществ. С этой целью исследу
емое вещество обычно помещают в замкнутый объем, открытый д.lIЯ
CBeTa, фотоакустическую ячейку (рис, 13,17), Подверrая иссле
дуемый объект воздействию амплиту ДHO
модулированноrо cBeToBoro излучения, пе
рестраиваемоrо по несущей частоте, напри
мер, с помощью монохроматора, о спектрах
поrлощения можно судить по уровню KO
лебаний микрофона, находящеrося внутри
замкнутоrо объема. Характерные размеры
объема обычно MHoro меньше длины волны
возбуждаемоrо звука, поэтому место pac
положения микрофона не существенно,
Впервые эта идея была осуществлена Бел
лом для замкнутоrо объема rаза еще в
1881 r, (см. обзор [11J) и с тех пор с успе
хом применялась для изучения спектров по-
rлощения различных rазов. В подобном методе, впрочем, не был
особой необходимости, так как rазовые спектры леrко поддаюТ(,я
исследованию обычными фотометрическими методами. Лишь в
A/Arnar
1
llJlJ
45
.4817
541J
5ZIJ
С86'т
Выхоо
z
1
Рис. 13.17. Фотоакусти
ческа я ячеЙка: 1 иссле
дуемыЙ образец. 2 мик-
рофон.
180
880 k, НЛI
Рис, 13.18. Спектры поrлощения кристалла NdСl з [12]: сплошная линия фото-
акустическиЙ спектр NdС1 з (порошок), штриховая линия спектр. полученный
фотометрическим методом.
последнее время в связи с потребностями биолоrии и химии опи
санный метод спектральноrо анализа, получивший наименование
фотоакустическая спектроскопия (ФАС), стал интенсивно разви-
ваться применительно к исследованиям спектров жидкостей и
твердых тел [12, 52 54J. В этой области преимущество ФАС перед
традиционнЫМИ методами спектральноrо анализа состоит в том,
что она позволяет исследовать оптически непрозрачные вещества,
в том числе порошки и живые тканИ.
363
Кроме чисто спектроскопических исследований, с помощью
фотоакустической спектроскопии можно изучать тепловые свой-
ства твердых тел и порошков, а также проводить измерения спект-
ров излучения источников света 021. В последнем случае в каче-
стве поrлощающеrо свет объекта детектора излучения ис-
пользуют вещество с широким спектром поrлощения, например
уrольный порошок. Теоретический анализ изменения давления в
ячейке при поrлощении света проводился в работах [53, 541. Об
экспериментальных работах, посвященных измерениям спектров
поr лощения различных всществ, можно прочитать в статье [121.
В тех случаях, коrда вещества оптически прозрачны, спектры, из-
меренные с помощью фотоакустической спектроскопии, оказыва-
ются весьма похожими на спектры, измеренные классическими
методами. В этом леrко убедиться из рис, 13.18, на котором изоб-
ражены спектры поrлощения, снятые методом фотоакустической
спектроскопии и фотометрическим методом для кристалла NdС]з
[12]. Видно, что результаты, полученные обоими способами, хо-
рошо соrласуются между собой, за исключением областей слабоrо
поrлощения, Наличие фона, xapaKTepHoro для фотоакустической
спектроскопии, объясняется переотражениями проходящеrо через
объект света на стенках ячейки, .
5. Управление лазерным из.rrучением и акустооптические про
цессоры. Акустическое воздействие на параметры лазерноrо из
лучения, в частности амплитудная или частотная модуляция, обыч-
но осуществляется посредством дифракции света на звуке как в
paMaH HaTOBCKOM, так и в брэrrовском режимах [5 7, 19]. При
этом используется пространственное разделение световых лучей,
соответствующих различным дифракционным порядкам. Соrласно
формулам (2.8) и (2.1 О), в обоих режимах может быть обеспечена
100%-ная амплитудная модуляция как дифраrированноrо, так и
прошедшеrо света (в последнем случае требуется определенный
выбор параметра и). Эффективность модуляции, характеризую-
щая уровень управляющей акустической мощности, зависит от
упруrооптических коэффициентов используемых материалов. Ана-
лиз показывает, что для кристаллов с высоким акустооптическим
качеством (Те0 2 , Аs 2 S з и др. *)) при прочих равных условиях
требуются меньшие управляющие мощности, чем в лучших электро-
оптических модуляторах [61. Совершенно новые возможности
открывает модуляция лазерноrо излучения поверхностными акусти-
ческими волнами {2О. Высокая концентрация энерrии поверх-
ностной волны вблизи rраницы делает модуляцию достаточно эф-
фективной даже при использовании материалов сневысоким упру-
rооптическим качеством.
В ряде приложений, например в проекционном телевидении,
необходимы устройства управляемоrо отклонения, или сканиро-
вания, cBeToBoro пучка дефлекторы, Управление величиной уrла
*) Об особениостях акуетооптическоrо взаимодействия в аиизотропиых крис-
таллах см. [55].
Зб4
отклонения с помощью звуковоrо воздействия может быть осуществ-
лено за счет изменения частоты управляющеЙ акустической волны.
Для более низких частот звука в целях отклонения cBeToBoro пучка
может использоваться и обычная рефракция света на неоднорОk
ности коэффициента преломления, создаваемой стоячей звуковой
волной (так называемые срадиентные дефлекторы). В этом случае
величина уrла отклонения пропорциональна мощности волны [6].
Способность ультразвуковых волн отклонять световые пучки
может быть использована и для обработки сиrналов, Предложено
MHorO разновидностей предназ-
наченных для этоrо устройств .
акустооптuческuх процессоров
[5 7, 21, 56J, которые способны Свет
осуществлять фильтрацию сиr ...........,..
налов, в том числе их сжатие
во времени, вычисление функ
ций свертки и корреляции, aHa
лиз спеК1ра и т. д. Следует, Ok
нако, отметить! что области при
менения акустооптических про-
цессоров пока оrраничены вслеk Рис. 13.19. АкустооптическиЙ: фильтр
ствие их недостаточной KOHKY сжатия ЛЧМ сиrналов.
рентоспособности (по парамет
рам и технолоrичности) с существующими, например, акустоэлект
ронными устройствами.
Например, сжатие ЛЧМ сиrнала во времени может быть осу-
ществлено с помощью устройства, изображенноrо на рис, 13.19.
Принцип действия ero основан на том, что уrлы рассеяния света,
прошедшеrо через различные участки звуковоrо поля, обратно
пропорциональны длине волны звука, Поэтому весь дифраrиро
ванный свет практически одновременно попадает на вход фотопри-
емника, что и влечет за собой сжатие ЛЧМ-сиrнала, Коэффициенты
сжатия для устройств подобноrо типа составляют ,....., 100 [6, 56J.
Для сравнения вспомним, что в акустоэлектронных фильтрах с
апериодическими отражательными решетками (см. 4 rл, 12) этот
параметр достиrает нескольких десятков тысяч, Используя нели-
нейность характеристики фотоприемника, можно получить функ-
цию свертки двух противоположно направленных акустических
сиrналов [571, Для этоrо на кристалл нужно направить пучок
света и ВЫДелить с фотоприемника дифраrированный световой сиr-
нал на двойной частоте, Соrласно [57] вносимые потери устрой-
ства, использующеrо дифракцию на поверхностных акустических
волнах, составляли 44 дБм, что вполне сопоставимо с эффективно-
стью акустоэлектронных устройствtвертки на основе токовой не-
линейности (см. 7 rл. 12). Для повышения конкурентоспособности
акустооптических процессоров необходимы дальнейшие поиски
материалов с высокими фотоупруrими свойствами. Определенные
возможности здесь открывает использование взаимодействия света
с волнами пространственноrо заряда, сопровождающеrо распро-
365
t Лl/М-СI/Шtl/1
странение акустических волн в пьезополупроводниках [58]. Такое
взаимодействие наиболее эффективно для инфракрасноrо диапазона
частот света, rде оно превалирует над обычным механизмом фото
упруrости.
6. Акустолюминесценция кристаллов. Недавно было обнаружено
новое нелинейное акустооптическое явление [59] акустическая
волна сверхпороrовой интенсивности может вызвать свечение кри
сталла, Это явление было названо акустолюмuнесценцuей, по
скольку энерrия, необходимая для возбуждения люминесценции.
tАЛ
а)
5S 4 (}
8)
Рис. 13.20. Схемы экспериментов по изучению акустолюминесценции (АЛ)
кристаллов CdS(a), NaC! (6) и спектры акустолюминесценции (в) для двух образ
цов CdS кривые 1 и 2 и образца NaC! кривая 3. На сХеме (а): 1 образец
CdS, 2 металлические электроды, 3 тефлоновая пленка, 4 индиевые KOH
такты съема акустоэлектрическоrо тока. На схеме (6): 1 образец NaC!, 2 I! 3
пьезопреобразователи.
I
7()()
I
5()()
I
8()() .л., IIИ
подводится к кристаллу акустической волной *). Схема экспери-
мента и вид спектров люминесценции приведены на рис. 13.20,
взятом из работы [61]. в пластине пьезоэлектрическоrо кристалла
CdS (1, рис, 13.20, а) ультразвук возбуждался за счет собственноrо
пьезоэффекта при приложении к электродам 2 напряжения и (ш)<
от reHepaTopa, Между кристаллом и электродами были вставлены
диэлектрические тефлоновые пленки 3 толщиной 5 мкм, которые
предотвращали инжекцию носителей заряда из электродов в кри-
сталл. Наиесенные на пластину омические электроды 4 позволяли
реrистрировать акустоэлектрический ток I аэ (см. 9 6 rл, 12), воз
никающий при освещении полупроводниковоrо кристалла CdS.
По величине 1 аз можно было рассчитать интенсивность ультразву
ка. В случае непьезоэлектрических кристаллов (рис, 13,20, 6)
ультразвук возбуждался внешними пьезопреобразователя!vIИ 2, 3.
Спектры акустолюминесценции кристаллов CdS (1, 2) и щелочно-
rалоидноrо кристалла NaCI (3) показаны на рис, 13,20, в.
*) Явление акустолюминесценции было предсказано в теоретической pa
боте [60].
3бб
Соrласно [511 механизм ОПисанной акустолюминесценции яв
ляется собственно дефектным, Он заКЛЮчается В том что ультра
звук сверхпороrовой интенсивности ( l ВТ/см 2 для CdS и 10 Вт/см2
для NaC!) rенерирует в кристалле оптически аКТИвные ТОЧечные
дефекты типа вакансий и межузельных атомов, Например, Для CdS
это будут доноры в запрещенной зоне межузельный Cd и BaKaH
сия S, а также акцепторы в валентноЙ зоне межузельная S и
вакансия Cd. Излучательные переходы электронов из доноров (или
зоны проводимости) на акцепторы (или в валентную зону) как раз
и дают излучение акустолюминесценции. Собственно дефектный
механизм акустолюминесценции косвенно подтверждается в ряде
экспериментов по исследованию влияния ультразвука сверхпоро
rовой интенсивности на акустоэлектронные своЙства CdS, а также
на уменьшение электромеханической связи, на спектры отражения
и пропускания CdS, на спектры фотолюминесценции ДOHOpHO
акцепторных пар и др. Прямым подтверждением является наблю
даемое на опыте размножение дислокаций в CdS, NaC! и КС! при
наrружении кристаллов ультразвуком сверхпороrовой интенсив
ности *). fенерация точечных дефектов при этом производится
движущимися В поле ультразвука дислокациями.
Еще одной разновидностью люминесценции кристаллов явля
ется так называемая акустоинжекционная люминесценция. Она
возникает при распространении пьезоактивной ультразвуковой
волны вдоль металлизированной поверхности пьезоэлектрика, Нор-
мальная к поверхности составляющая сопровождающеrо звук
электрическоrо поля, которая не обращается в нуль, приводит
К инжекции носителей заряда из металлическоrо покрытия в кри
сталл. Если металлизация выполнена так, что возможна инжекция
электронов и дырок (металлизация индием или rаллием кристаллов
CdS), то ультразвук будет инжектировать электроны и дырки из
TaKoro покрытия в кристалл, так как пьезоэлектрическое поле
знакопеременно. Излучательная рекомбинация этих электронов и
дырок и дает излучение акустопнжекционной люминесценции. В экс
периментах акустоинжекционная люминесценция наблюдалась в
CdS, металлизированном In и In Ga.
С практической точки зрения акустоинжекционная люминесцен-
ция перспективна для создания различных оптоэлектронных и
акустоэлектронных устройств. С научной стороны интересна соб-
ственно дефектная акустолюминесценция, с использованием которой
можно по новому изучать свойства точечных деcj:ектов в кристаллах.
*) о размножении дислокацИЙ см, также 6 rл. 10,
т лава 14
ВОЛНЫ В МАrНИТОУПОРЯДОЧЕННЫХ КРИСТАЛЛАХ
1. Основные сведения о маrнитоупорядоченных кристаллах
В настоящей r лаве мы кратко рассмотрим некоторые особен
ности распространения волн в маrнитоупорядоченных кристаллах.
Интерес к этой проблеме связан, во первых, с тем, что изучение
маrнитных и упруrих колебаний атомов в таких кристаллах пред-
.ставляет собой физическую основу мноrочисленных методов воз
буждения звука маrнитным полем, BO BTOpЫX, некоторые свойства
различных типов волн в маrнитоупорядоченных кристаллах пер
.спективны для использования в устройствах обработки сиrналов.
Хотя rлавное внимание ниже мы уделим квазиакустическим вол
нам, т. е. волнам, переносящим в основном механическую энерrию,
будут затронуты и основы теории спиновых волн, Ознакомление
с особенностями этоrо специфическоrо вида волновоrо движения
в маrнитоупорядоченных кристаллах необходимо для понимания
свойств акустических колебаний,
Характерной чертой маrнитоупорядоченных кристаллов, отли-
"чающей их от кристаллов диа и парамаrнетиков, является нали
чие у них упорядоченной ориентации маrнитных моментов атомов,
приводящей к существованию постоянноrо маrнитноrо момента
даже в отсутствие внешнеrо маrнитноrо поля [I 8J. Это обуслов-
лено тем, что между атомами TaKoro кристалла, которые, как и
атомы парамаrнетиков, обладают собственными маrнитными MO
ментами (последние имеют в основном спиновую природу), сущест
вует сильное обменное взаимодействие, В состояние маrнитной
упорядоченности в принципе может перейти любой парамаrнитный
кристалл, если значение энерrии обменноrо взаимодействия пре
вышает среднюю энерrию тепловоrо движения kБТ.
Все маrнитоупорядоченные кристаллы принято подразделять
на три rруппы ферро.маснетuкu, антuферромаснетuкu и феррu
маснетuкu (или феррuтЬt). Ферромаrнетики обладают наиболее
простой структурой, так как маrнитные моменты всех атомов
ориентированы параллельно (рис, 14.1, а). Величина маrнитноrо
момента кристалла при этом равна арифметической сумме Mar-
нитных моментов атомов. Структура антиферромаrнетиков слож
нее. В простейшем случае маrнитные моменты соседниХ атомов
в них ориентированы антипараллельно друr друrу и суммарный
маrнитный момент кристалла равен нулю (рис, 14.1,6) (обычно
flмеющийся остаточный, маrнитный момент обусловлен слабыми
368
силами необменноrо происхождения, вызывающими незначи
тельные отклонения моментов атомов от антипараллельности),
Антиферромаrнитную структуру можно рассматривать как COBO
купность двух вложенных друr в друrа одинаковых маснитных
подрешеток с противоположно направленными маrнитными MOMeH
тами, Ферримаrнетики по своей структуре сходны с антиферромаr-
нетиками, но отличаются от последних тем, что их маrнитные ПОk
решетки состоят из атомов разных сортов и характеризуются раз
личными маrнитными моментами, так что суммарный момент у них
существенно отличен от нуля и по порядку величины сравним с MO
ментами подрешеток (рис. 14.1, в),
м М ! М ! ,
lIiHi IJIJIl iЧ 1
t
п)
М Е
о)
8)
Рис, 14.1. Типы MarHIfTHbIX структур.
Энер2ИЯ об.меННО20 взаимодействия Еоn по порядку величины
равна q2/a 10 20 Дж, rде q заряд электрона, а постоянная
решетки, характеризующая расстояние между соседними атомами,
10 1 степень перекрытия волновых функций взаимодейст
вующих атомов. Сопоставляя данное значение обменной энерrии
с энерrией тепловorо движения k B Т, получим оценку температуры
перехода кристалла в маrнитоупорядоченное состояние '" 1 000 ОС,
соrласующуюся с данными экспериментов. В случае ферромаrне
тиков температуру перехода называют температурой Кюри Т с, а
в случае антиферромаrнетиков температурой Нееля Т N'
Кроме обменных взанмодействий, вносящих основной вклад
в упорядочение ориентаций маrнитных моментов атомов, важную
роль в физике маrнитоупорядоченных кристаллов иrрают и взаимо
действия иноЙ природы. Одним из них является маrнитное взаимо
действие между атомами с отличными от нуля маrнитными MOMeHTa
ми так называемое диполь дипольное взаимодейсtnl3ие, или ма2нит
ное дипольное взаимодеЙСtnl3ие, Величину связанной с ним энерrии
можно оцепить выражением Ед t /а3, rде !tB qlt/2mc Mar
нетон Бора, по порядку величины совпадающий с маrнитным MO
ментом атома. С учетом Toro, что п/2та близко к скорости движе
ния v электрона по орбите, выражение для Е д можно переписать
в виде Ед (v/с)2Еэл",10 'Еэл, [де Еэ., q2/а энерrия электро-
статическоrо взаимодействия. Таким образом, энерrия маrнитноrо
дипольноrо взаимодействия, которое из за наличия множителя
(и/с) 2 принято называть релятивистским, на три порядка меньше
энерrии обменноrо взаимодействия Еоб 10 lЕэл. Несмотря на
это, маrнитное дипольное взаимодействие ответственно за ряд
13 в. А. КрасильнИlЮВ, В, Б, КРЫЛОВ 369
свойств маrнитоупорядоченных кристаллов. В частности, оно вно-
сит существенный вклад в установление направления спонтанноrо
маrнитноrо момента кристалла относительно кристаллической pe
шетки, так как энерrия Е д зависит от ориентации маrнитных MO
ментов атомов относительно прямой, проходящей через их центры
(отметим, что обменная энерrия практически не зависит от взаим-
ной ориентации маrнитных моментов атомов и кристаллической pe
шетки). В результате этоrо маrнитные моменты атомов спины,
оставаясь параллельными вследствие действия обменных сил, CTpe
мятся ориентироваться относительно кристаллической решетки
таким образом, чтобы энерrия Е д была минимальной, т, е, кристалл
обладает так называемой ма2нитокристаллической, или ма2нитной
анизотропией. Направление, вдоль KOToporo спонтанно ориенти
руются спины атомов, называется направлением или осью леrкоrо
намаrничивания (их может быть несколько), а соответствующий тип
Маrнитной анизотропии называется анизотропией типа «ле2кая ось».
Возможны и более сложные типы анизотропии, в частности aHи
зотропия типа «ле2кая плоскость». В последнем случае направле
ния леrкоrо намаrничивания образуют плоскость, расположенную
перпендикулярно к оси анизотропии. Друrим типом взаимодейст
вия, который также иrрает важную роль в формировании маrнито-
кристаллической анизотропии, является спин-орбитальное взаимо
действие, которое, как и маrнитное дипольное взаимодействие, про
порционально (и/с)2, т. е. относится к релятивистским. Обуслов-
ленную перечисленными механизмами часть полной энерrии
маrнитоупорядоченноrо кристалла, зависящую от направления, при
нято называть энеР2ией ,МG2нитной анизотропии W a . Именно энер
rией W a В значительной степени определяется маrнитоупруrое
взаимодействие, или маrнитострикция.
С феноменолоrической точки зрения маrнитоупорядоченные
кристаллы описываются с помощью вектора нама2ниченности М,
представляющеrо собой маrнитный момент единицы объема крис
талла, и так называемоrо эффеКfпи НО20 Ма2нитНО20 поля Н зфф ,
:оделпрующеrо все силы, действующие на маrнитный момент со
стороны друrих атомов (в том числе немаrнитные обменные силы) и
со стороны внешнеrо поля. Если учитывать только обменные силы,
то эффективное поле можно представить в ВИде
Н зфф , Н(е) + Н об Н(е) + лwм,
[де H(e) внешнее маrнитное поле, а Ноб==t.-wМ так называе-
мое обменное, или молекулярное поле, Л W постоянная Вейсса,
пропорциональная энерrии обменноrо взаимодействия. Порядок
величины Н об леrко оценить, приравнивая энерrию атома, на KO
торый действует поле Н об , к энерrии тепловоrо движения при TeM
пературе перехода кристалла, например ферромаrнетика, в маrнито-
упорядоченное состояние !tBH об kв Т с' Полаrая Т C 1000 ос, по-
лучаем Ho6 107 Э, т, е, обменное, а значит, и эффективное поля
оказываются очень большими.
370
2. Спиновые волны в ферро и антиферромаrнетиках
Существование спиновых волн (открыты Блохом в 1930 r.) в
маrнитоупорядоченных однодоменных кристаллах (обычно на.rш
чие доменов в таких кристаллах снимается внешним маППIТНЫ:-'I
полем) обусловлено характерной для них сильной корреляциеЙмеж
ду ориентациями спинов отдельных атомов, блаrодаря чему изме
нение ориентации спина в одной точке пространства распространя
ется в друrие оБJIасти в виде волн (рис. 14.2). С феноменолоrичесICОЙ
А"
Рис. ] 4.2. Спиновые волны в линеiiноii цепочке атомоIЗ.
точки зрения спиновые волны можно описывать с помощью вектора
намаrниченности, или, что то же, плотности маrнитноrо момента
M(r, t). Уравнение движения для плотности маrнитноrо момента,
определяющее ero изменение со временеС\1, имеет следующий вид
(см" наПРИС\1ер, [1 J):
дМ(r, t)lдl==g[М(r, t)хНэфф(r, t)]. (2.1)
Здесь g===2ft Б /ii так называемое rиромаrнитное отношение,
ftБ MarHeToH Бора, Н эфф эффективное маrнитное поле, дей
ствующее на маrнитный момент, которое формально можно ввести
с помощью функциональной производной от полной маснuтной
энеРеUU W м маrнитоупорядоченноrо кристалла по вектору HaMar-
ниченности
Н эфф === 6W,;.I6 М.
(2.2)
Если внешнее маrнитное поле постоянно и обменная связь между
атомами в кристалле отсутствует (случай парамаrнетика), т. е.
Н об ===0, то уравнение (3,1) будет описывать вращение (прецессию)
вектора намаrниченности М относительно направления внешнеrо
поля H e) с частотой wo==gH e), которая называется частотой мае-
нитноео резонанса. Модуль вектора М и ero проекция на направле
ние маrнитноrо поля при этом сохраняются, что соответствует co
хранению маrнитной энерrии W )=== MH e).
При наличии обменной связи между атомами в кристалле, а
именно этот случай и будет нас интересовать, необходимо ПОЛIlО-
СТЬЮ выписать выражение для Н эфф , что мы проделаем для случая
ферромаrнитных кристаллов, При изложении этоrо вопроса мы бу
дем следовать моноrрафии [1 J, по возможности придерживаясь
принятых там обозначений.
Рассмотрим сначала случаЙ ферромаrнетика. Выражение для
маrнитной энерrии при этом можно записать в виде
W и == {Р(М, дМilдХk)+1/8л(н(т»)2 мн е)}dr, (2.3)
v
13.
371
rде величина F (М, дМ;/дх k ) под интеrра.irом опИсывает плотностЬ
энерrии обменноrо, маrнитноrо дипольноrо и спин орбитальноrо
взаимодеЙствий, второЙ член характеризует только энерrию Mar
нитноrо дипольноrо взаимодеЙствия (величина н(т) представляет
собой поле, создаваемое маrнитными моментами атомов так на-
зываемое поле размаrничивания), а третиЙ член энерrию ферро
маrнетика в стороннем постоянном маrнитном поле н&е). Функция F
имеет вид
( дМ; \ 1 дМ дМ 2
F М, д J 2 а;k д д +wa (M)+t (М),
. Xk I Х, Xk
(2.4 )
rде aik""T c a 2 /f.!- Б М обменные постоянные, t(M2) некоторая
функция от М2, отвечающая в основном энерrии обменноrо взаимо-
деЙствия, Щ, (М) плотность энерrии маrнитноЙ анизотропии.
Для одноосных ферромаrнетиков W a (M)== (1!2) (Мn)2, rде n
единичныЙ вектор, направленный вдоль оси анизотропии, а по-
стоянная, которая может быть как положительноЙ, так и отрица-
тельноЙ. В случае >O ферромаrнетик обладает анизотропиеЙ типа
(<леrкая ось» (энерrия W M МИНИмальна при Mlln), а в случае
В<О «леrкая плоскосты> (энерrия W м минимальна при M n)
(см., например, [6]). Заметим, что выражения (2.3) и (2.4) для
маrнитноЙ энерrии ферромаrнетика, cTporo rоворя, справедливы
только для статических полеЙ. Однако ими можно пользоваться
и тоrда, коrда величины нет) И М медленно изменяются со вре-
менем, При этом в уравнениях Максвелла удобно переЙти к при-
ближению маrнитостатики:
rotH(m) ==0, div(н(т)+4лМ)==0.
(2.5)
Из (2.2) (2.4) можно получить выражение для эффективноrо Mar
нитноrо поля
н HCi) + дР
эфф дМ дХk д(дМ/дХk) ,
откуда
Н Н т дШа 2 Mt ' (М 2 ) + д2М
эфф дМ a;k дХj дХk '
(2.6)
rде H(п==H(т)+H&e) маrнитное поле внутри кристалла.
Интересуясь малыми колебаниями плотности маrнитноrо MO
мента М и маrнитноrо поля н(;) относительно равновесных значе
ниЙ Мо и H&i), представим их в виде
М (r, t) == МО + т (r, t), нт (r, t) н&;) + h (r, t). (2.7)
Будем искать решения для т (r, t) и h (r, t) в виде плоских rармони
ческих волн;
т (r, t) == m(ш, k) ехр [i (kr wt)],
h (r, t) == h (ш, k) ехр [i (kr wt)].
ПОДС1ановка (2.8) в (2.7), (2,6) и (2,1) позволяет. получить сле
дующее линеЙное соотношение между компонентами т (ш, k)
372
(2.8)
иh(w,k):
mj(w, k)==xij(w, k)hf(w, k),
(2.9)
rде тензор Хи, называемый тен.ЗОРОЛI высокочастотн.ой масн.итн.ой
восприимчивости ферромасн.етика, зависит от g, Мо, H l), аи, и
взаимной ориентации веКТОров k и МО' Подстановка (2.7),
(2.8) с учетом (2.9) в (2.5) позволяет получить дисперсионное ypaB
нение для спиновой волны
k 2 + 4лk j k j Х ii (ш, k) == О.
(2.10)
Раскрывая Хи (ш, k), можно показать, что при ak2 1, rде а мак-
симальное значение аи (это соответствует частотам ........1011 [ц), вы-
ражение (2.1 О) существенно упрощается:
w(k) gMoajjkikj (2.11)
и в изотропном случае принимает вид
w (k) (gM o aja 2 ) (ak)2. gН пб (ak)2,
(2.12)
rде а постоянная решетки.
Схематическое изображение дисперсионной зависимости для
спиновых волн, соответствующей уравнению (2.10), представлено
на рис. 14.3. Видно, что при малых k
частота w мало отличается от (i) (О), KO
торую называют частотой ферромасн.и-
тн.осо резон.ан.са. С возрастанием k зна-
чение w раСlет квадратичным образом
соrласно формулам (2.11) и (2,12). OT МО)
метим, что волны с векторами k, COOT
ветствующими области ш........ш (О), в ли-
тературе часто называют масн.итоста
тическими [9, 101. Свойства их сильно
зависят от состояния rраниц кристалла.
Отметим, что для спиновых волн
(тепловых или KorepeHTHbIx) на квантовом языке употребляют
термин масн.он. квант маrнитной энерrии, подобно тому как
для дебаевских волн и коrерентных акустических волн использует
ся термин фон он квант упруrой энерrии. MarHoHbI, так же как
и фононы, подчиняются статистике Бозе Эйнштейна и вносят свой
вклад в теплоемкость и теплопроводность маrнитоупорядоченных
кристаллов.
Затухание спиновых волн происходит как в результате взаимо-
действий волн между собой, так и с дефектами и тепловыми колеба-
ниями кристаллической решетки, Мноrочисленные механизмы
затухания MorYT быть учтены феноменолоrически. Для этоrо в урав-
нение для намаrниченности (2.1) нужно добавить аддитивный ре-
лаксационный член R, который, в частности, можно задать в фор-
ме r11
(,)
k
Рис. ] 4.3. Дисперсионная
зависимость для спиновых
ВОЛН В ферромаrнетике.
R == Т:IIНаФФ ... т: 2 1 [n х ln х Н аФФ ]],
(2.1::\)
371
rде Тl И Т2 константы с размерностыо времени, Решая уравне-
ние (2.1) с учетом (2.13) для одноосноrо ферромаrнетика в случае,
коrда маrнитное поле направлено вдоль оси леrкоrо намаrничива-
ния, можно показать, что вектор М прецессирует с затуханием,
приближаясь к своему равновесному значению Мо. Параллельная
по отношению к внешнему маrнитному полю и перпендикулярная
составляющие добавки т== M Mo релаксируют при этом с различ
ными временными декрементами соответственно l/T 1........1/'[1 и
lIT2........l/'[I+liT2. Величины Т 1 и Tz называют продольн.ым и попе-
речн.ым времен.ами релаксации н.амаz.н.иЧ€н.н.ости.
Нетрудно получить линейное соотношение между h и m с уче
том диссипации, по форме совпадающее с (2.9). Однако величины
Хи в этом соотношении получат комплексные добавки в знамена
телях. В результате функция w (k), соrласно (2.10), тоже станет
комплексной, причем деЙствительная часть w (k) будет описывать
частоту, а мнимая временное затухание.
Остановимся теперь вкратце на распространении спиновых волн
в антиферромаrнетиках, Маrнитная энерrия антиферромаrнетика
может быть записана в виде, аналоrичном (2.3), однако COOTBeTCT
вующие плотности энерrии будут теперь за'висеть от маrнитных MO
ментов подрешеток М 1 и М 2 . Для некоторых антиферромаrнетиков
к величине W a нужно добавить дополнительное слаrаемое WD==
==d ([М 1 Х M 2 Jn), впервые введенное И, Е, Дзялошинским. Здесь
d константа TOro же порядка, что и . Наличие эиерrии WD при
водит к тому, что в отсутствие внешнеrо маrНИТlюrо поля маrнитные
моменты подрешеток М 1 и М 2 ориентированы не точно противопо
ложно друr друrу и полный момент антиферромаrнетика отличен
от нуля. По этой причине такие среды называют ан.тиферромаz.н.е
тиками со слабым ферромаz.н.етuзмом. Поскольку, однако, энерrия
W D , так же как и Е Д' имеет не обменную, а релятивистскую приро-
ду, этот остаточный маrнитный момент очень мал. Тем не менее
в ряде случаев ( 5) ero роль значительна.
Для феноменолоrическоrо описания спиновых волн в антиферро
маrнетиках необходимо использовать уравнения движения HaMar-
ниченности для каждой из подрешеток. В простейшем случае таких
уравнений будет два:
дМl/дt==g[М1ХН Ф]' дМ2/дt==g[М2ХН Ф]' (2.14)
rде Н Ф и Н ф эффективные маrнитные поля, действующие на
маrнитные моменты Мl и М 2 И определяемые с помощью COOTHO
шений
H == БW м/БМl. Н ф== БW м/БМ2'
(2 . 15)
Поступая далее аналоrично случаю ферромаrнетиков, можно полу
чить по форме совпадающее с (2.9) линейное соотношение между
компонентами cYMMapHoro nepeMeHHoro маrнитноrо момента анти
ферромаrнетика m (00, k)==ml (ш, k)+m 2 (ш, k) и маrнитноrо поля
h (00, k). Тензор 'Ки (ш, k) будет теперь, однако, иметь друrой вид.
Спектр спиновых волн в антиферромаrнетиках можно определить
374
по известным Xij «(о, k) из общеrо дисперсионноrо уравнения (2.1 О)
которое справедливо как для ферро , так и для антиферромаrнеl'и
ков. В отличие от ферромаrнетиков, в антиферромаrнетиках задан-
ному волновому вектору k соответствует не одна, а две частоты,
т. е. имеются две ветви спиновых волн. Друrое отличие прояв-
ляется в том, что для больших волновых чисел частоты обеих спи-
новых волн пропорциональны не квадрату волновоrо веКтора, а
ero первой степени.
3. Маrнитоупруrие волны
Рассматривая распространение спиновых волн в 3, мы не учи
тывали их связи с упруrими волнами в кристалле. Такая связь,
однако, часто оказывается существенной и приводит к ряду инте-
ресных физических эффектов, в частности к существованию Mar
нитоупруrих волн, т. е. волн, переносящих как маrнитную, так и
механическую энерrию [1 7].
Для феноменолоrическоrо описания ма2liитоупРУ2020 взаимо
действия необходимо ввести в рассмотрение плотность полной по
тенциальной энерrии маrнитоупорядоченноrо кристалла СПОЛИ'
Последняя может быть представлена в виде суммы плотностей Mar-
нитной энерrии См, механической энерrии С и так называемой
маI'иитоупруrой энерrии С МУ' Именно энерrия С МУ характеризует
связь между маrIIИТНЫМИ и механическими колебаниями кристалла.
Если оrраничиться раСС'VIотрением .lIинейных волновых явлений, то
обычио достаточно принять во внимание ТОльКО первый член раз
ложения маrнитоупруrой энерrии по степеням тензора деформаЦИII
и вектора намаrничениости. При этом в случае ферромаrнетика С МУ
принимает вид
Сму ЬijkIИijМkМI' (3,1)
rде Ь ип1 тензор маrнитоупруrих постоянных. Эти постоянные OT
вечают за линейную маrнитоупруrую связь, или линейную Mar
нитострикцию. Часто в литературе используется несколько иное
определение маrнитоупруrих постоянных b;j"I M2b;j"[. При этом,
очевидно, С My biil' [Ии (М ,,1М) (М / М).
Дифференцируя С ПО,Ш ПО компонентам тензора деформации, мож-
но получить уравнение состояния для механических напряже-
ний аи, в которое, кроме деформаций, теперь войдут компоненты
вектора намаrниченности. Вычисляя функциональную производную
от полной потенциальной энерrии по вектору намаrниченности,
МОЖНО получить выражение для эффективноrо поля Н эфф , в которое
наряду с вектором намаrниченности войдут и деформации. К этим
уравнениям нужно добавить уравнение движения намаrниченности
(2.1), механическое уравнение движения (8.2.1) и уравнения MaK
свелла в маrнитостатическом приближении (2.5). Полаrая далее,
что смещения и, а также малые отклонения маrнитноrо момента т
и поля h относительно положений равновесия Мо и H&i> распрост-
раняются в пространстве в виде плоских волн и, т, h,....,exp[i (kr
379
(Ut]), из названных ураl3нений можно получить законы дисперсии
ДЛЯ связанных маrнитных и упруrих возмущений.
Не вдаваясь в подробности соответствующих довольно rромозд
ких вычисл ний, приведем сразу конечные результаты, оrраничив
шись для простоты случаем одноосноrо кубическоrо ферромаrне
тика, изотропноrо относительно своих упруrих свойств. Такой'
ферромаrнетик имеет Bcero две независимые маrнитоупруrие по
стоянные: [ bl1l1 и t , Ь 2З2З [3Т. Будем, кроме Toro, предполаrать,
что возмущения распространяются вдоль оси анизотропии (ось Z),
вдоль которой направлено и внешнее маrнитное поле. При этом
линеаризованные уравнения для циркулярных компонент тc!:
mx + imy и uc!: ux + iuy и компоненты u z векторов т и и имеют
вид [1 31
[ш =f= (us (k)] тс!: + iktgM uc!:,
[ш2 ш; (k)] ис!: ikt (Mo/po) тс!:,
[(U2 (UHk)] u z О,
(3.2)
rде (u s (k)==gM о (В +ak 2 ) частота (дисперсионное уравнение)
спиновой волны, а (U[(k)==c[k и cot(k) ctk частоты продольных
и поперечных упруrих волн.
Таким образом, вдоль оси анизотропии MorYT распространяться
продольная и циркулярно поляризованные поперечные волны. Из
TpeTbero уравнения (3.2) видно, что фазовая скорость волн про
дольных смещений совпадает с С [. Это rоворит о том, что в выбран
ном направлении продольные волны практически не взаимодейст-
вуют со спиновыми. Что касается поперечных волн, то из первых
двух уравнений (3.2) нетрУДIIO получить два дисперсионных ypaB
нения:
[со 2 Ш (k)] [(u (us (k)] 1')gMo(U (k) О,
[ш2 Ш7 (k)] [со +(us (k)] + 1')gMo(U (k) О, ,
(3.3)
rде 1')==t2M /PoCl........10 5 10 4 малый параметр, определяющий
связь между упруrими II СПИНОБЫМИ волнами. Если 1') 0, то ypaB
нения (3.3) дают частоты (дисперсионные уравнения) двух попереч
ных и спиновых волн. При 1')=;60 анализ (3.3) удобно провести в сле-
дующей последовательности. Пусть I(UAk) (Ut (k)I 'Yj(Ut (k). Тоrда,
пользуясь малостью 1'), нетрудно получить следующие выражения:
(u С== (Ut (k) [ 1 { 1') ffis (kf Offit(k) 1 '
. 2 '
( k ) [ 1+ gMoffi/(k) ]
(u (us 11 ffis(k)(ffi;(k) ffil(k)} ,
(3.4)
которые определяют частоты, или дисперсионные уравнения Mar
нитоупруrих r:юлн соответственно с правой и левой круrовыми поля
ризациями. За СЧет разности этих частот при заданном k, очевидно,
возможно вращение плоскости поляризаЦЩi щшей}ю поляризован
7б
ной ПОI1еречноt! волны 12, 3] *). Из ураВНений (3.4) ВИДНО, что в рас.
смотренном случае левополяризованная волна сильнее взаимодеЙ
ствует со спиновой, чем правополяризованная (знак «+» в (3.4»,
Пусть теперь (f)s(k)"'(f)t (k). Тоrда нетрудно показать, что
разность частот левых KpyroBblx волн и (f) s И (f)t пропорциональна
1')'/', в отличие от paccMoTpeHHoro выше случая, коrда имеет место
пропорциональность первой степени 11. Поскольку 1') 1, связь
упруrих волн со спиновыми при (J)s"'(f)t наиболее ярко выражена.
По этой причине область частот и волновых векторов, лежащих
в окрестности точки (f)s(ko)==(f)t (ko), наЗЫвается областью ,ма2н.ито
акустичеСКО20 резон.ан.са.
Дисперсионные кривые для всех типов волн, распространяю
щихся вдоль оси анизотропии ферромаrнетика в маrнитостатиче
ском приближении изображены на (и
рис. 14.4, Видно, что в данном случае
имеется четыре дисперсионные ветви,
что и следовало ожидать в COOTBeTCT
вни с общими представлениями о свя-
занных волнах. Ветвь 1 отвечает "e
взаимодействующей со спиновой си
стемой продольной звуковой волне,
а ветвь 3 поперечной маrнитоуп
руrой волне с правой круrовой по
ляризацией, слабо взаимодействую
щей со спиновой волной, Кривые 2 и 1\0 1\
4 при k>k o отвечают взаимодействую Рис. 14.4. Дисперсионные кри-
щим поперечной маrнитоупруrой вол вые маrнитоупруrих волн в фер-
не с левой круrовой поляризацией и ромаrнетике.
спиновой волне, При k<ko ситуация меняется на обратную
ветвь 2 соответствует спиновой волне, а ветвь 4 звуковой. Вол
ны 2 и 4 часто называют связан.н.ыми .масн.итоупРУ2ИМИ волн.ами.
Подчеркнем еще раз, что каждая из распространяющихся волн
характеризуется при этом как упруrими смещениями, так и Mar
нитными моментами, причем, как следует из (3.2), доля «маrнит
ной части» в упруrой волне и доля «механической части» в спино-
вой особенно значительны (одноrо порядка) при (f)s(k)"'(f)t (k), т, е.
в области маrнитоакустическоrо резонанса. Таким образо1vi, возбуж
дение звука с помощью маrнитных колебаний и, наоборот, спиновых
волн посредством механических колебаний наиболее эффективно
при (f)s (k)", (f)t (k), Частот маrнитоакустическоrо резонанса, очевид-
но, две. Одна из них, низшая, практически совпадает с (f) (О) и для
типичных параметров, используемых в эксперименте, составляет
",10 ffц. Вторая частота лежит в области частот, близких к пре
дельным частотам колебаний кристаллической решетки, Таким об
разом, явление маrнитоакустическоrо резонанса может быть ис
пользовано для rенерации rиперзвука.
*) в ряде случаев возможны и чистые линейно поляризованные маrнито
упруrие волны (см, [3]).
377
lIрактически это осуществJIяется следующим образом. В ферро-
маrнитном материале с помощью СВ Ч резонатора возбуждается
спиновая волна, которую на rиперзвуковых частотах возбудить
проще, чем звуковую. Если напряженность постоянноrо l\Iаrнитноrо
поля уменьшается в направлении распространения, то значение k
спиновой волны будет расти и в соответствИИ с рис. 14.4 волна пз
спиновоЙ в конце концов п реврап1ТСЯ в звуковую. Подобным же
образом можно осуществить и прием rIIперзвуково{{ волны [11, 121.
Как И в случае немаrнитных диэлектриков, вдоль rраннц :\1ar-
нитоупорядоченных кристаллов MorYT распространяться пoвepx
ностные ма2нитоупРУ2ие волны [13 16], в том числе волны рэлеев
cKoro типа [13, 14], чисто сдвиrовые маrнитоупруrие волны [151,
аналоrичные волнам fуляева Блюштейна в пьезоэлектриках, и
чисто СДВИrовые волны, распространяющиеся вдоль rраницы между
двумя кристаллами [16]. в последнее время поверхностные маrни
тоупруrие волны начинают использоваТЬС\l в устроЙствах обра
ботки сиrналов.
4. Затухание маrнитоупруrих волн
Затухание маrнитоупруrих волн представляет собой сложный
процесс. Он определяется взаимодействиями волн двух подсистем
упруrой и маrнитной, причем в общем случае необходимо учиты-
вать как взаимодействия внутри каждой подсистемы фонон
фононные, MarHOH MarHoHHbIe взаимодействия, так и взаимодейст-
вия между двумя подсистемами [21. Однако в пределаХ широкоrо
диапазона температур взаимодействия внутри каждой из подсистем
выражены значительно сильнее, чем взаимодействия между ПОk
системами. Поэтому при феноменолоrическом описании затухания
маrнитоупруrих волн можно пользоваться приближением, в кото-
ром затухание за счет маrнон-фононных взаимодействий не учиты
вается. Для простоты будем, кроме Toro, считать, что в релакса
ционном члене (2.13) отсутствует слаrаемое, описывающее изме
нение величины маrнитноrо момента, т. е. 1/'1==0. Затухание
упруrих волн будем описывать с помощью изотропноrо тензора
вязкости
1]iklт == (1]1 21]t) 8ik 8 1т + 1]t (8и 8 kт +8 iтn 8 k1 ),
Если считать, что маrнитоупруrая волна распространяется
вдоль оси анизотропии, то от дисперсионных уравнений (3.3) для
рассмотренных выше циркулярно поляризованных поперечных
волн можно перейти к более общим дисперсионным уравнениям,
учитывающим диссипативные процессы [1J:
[ы 2 Ы1 (1 i8 t )] [w ws (1 i8 s )]
1]gMowH1 i8 s (l + (ws w)/2fgMo)] == о, (4 1)
[ш 2 Ш1 (1 i 8 t )] [ш + w s (1 + i 8 s)] .
1]gMow [1 + i8s (1 + (w s +w)/2fgM o )] == о.
378
Здесь б s M l , б t == Ч! бsf М 02 . Как уже отмечалось в 3,
g 0'[2 РОС! PoCt
Продольная волна, распространяющаяся вдоль оси анизотропии, не
взаимодействует со спиновой подсистемой, поэтому для нее времен-
ной декремент затухания у/ определяется так же, как и в чисто
упруrом случае, т. е.
1'[ о[ш[/2, (4.2)
rде б/С W)1/РоС7. Для определения декрементов затухания маrнито-
упруrих волн необходимо найти мнимые части корней дисперсион
ных уравнениЙ (4.1) при заданном значении волновоrо вектора k.
Так же, как и в 3, при решении этих уравнений целесообразно
различать два случая соотношений между частотами w s (k) и Ш! (k).
В частности, при (()s(k)........(()t (k), т. е. в окрестности маrнито-
акустическоrо резонанса, для частот связанных маrнитоупруrих
волн, отмеченных цифрами 2 и 4 на рис. 14.4, можно получить
Ш 2 .С= (().> + ш, (б s + бt).
+[ 2gМочшs (1 iб s ) Ш (Ot б s )2] 1/2 ,
i (4,3)
(04 ш.> 2(j)s(бs+бt)+
+ + [2gMol1ws (1 iб s ) Ш (б t б s )2] 1/2.
Из (4.3) следует, что в случае достаточно сильной связи между Mar
нитной и упруrой подсистемами, а именно, при 'У);Р(бt бs)2, дeKpe
менты затухания маrнитоупруrих волн равны и определяются BЫ
ражениями У2==У4==w s (б s +б t )/2, Если же связь мала по сравнению
с затуханием, т. е. 1l (бt бs)2, то У2==w s б s и У4==Wtб,. Интересно
рассмотреть случай, коrда решеточные потери значительно меньше
потерь в спиновой системе, т. е. бt:о(;чбs. Вдали от резонанса для
декрементов поперечной волны с левой кру.овой поляризацией
У1! и спиновой волны У1.> имеем
Уи == (1/2)'У)бi.оtg М о ( ш.> )2 ' У.> == бsw s ,
(j)t (j)s
а при резонансе У2==У4==б s (()/2. Таким образом, при бt "'lОs
затухание звука в окрестности маrнитоакустическоrо резонанса
возрастает в 1/1] раз, т. е. на несколько порядков, Если выпол-
няется обратное соотношение бs:о(;fJб t , то У2==У4==б t w/2 и в 1/ч
раз увеличивается затухание спиновой волны. Экспериментально
увеличение поrлощения звука вблизи резонанса наблюдалось во
мноrих работах (см., например, [3, 17, 18, 19J,
5. Нелинеиные эффекты
Количественное описание нелинейных эффектов в маrнитоупо
рядоченных кристаллах может быть получено, если в разложении
полной энерrии W учесть члены TpeTbero порядка малоСТи по поле.
379
вым переменным. Последн'ие и будут в основном определять как
волновые взаимодействия внутри каждой из подсистем, маrНИТliОЙ
и упруrой, так и взаимодействия между волнами разных подсистем,
Выше уже отмечалось, что эти взаимодействия иrрают важную роль
в процессах затухания маrнитоупруrих волн, Кроме 1'oro, они
представляют существенный интерес для различных практических
приложений [8]. Мы остановимся здесь на нелинейных эффектах в
упруrой подсистеме, т. е. будем интересоваться rлавным образом
квазиакустическими волнами [20 22]. Поскольку, однако, упруrая
и спиновая подсистемы являются связанными, нелинейные свой
ства упруrой подсистемы, тем не менее, существенно зависят от
«маrнитной» нелинейнссти и зачастую именно нелинейные <:войства
маrнитной подсистемы оказывают определяющее влияние на не-
линейное поведение упруrих волн. Подобная ситуация, в частности,
имеет место для антиферромаrнетиков с анизотропией типа «леrкая
плоскость», например, для кристаллов rематита (а Fе20з) [23, 24],
Ии' итн. со.
3
1
2
3
2
1
fJ 4ии IifJO 11,3
Рис. 14.5. Амплитуда первоrо прошедшеrо через кристалл звуковоrо импульса
(1) и амплитуда импульса второй rармоники (2) в зависимости от величины
маrнитноrо поля [25].
Особенностью этих кристаллов, делающей их полезными для
различных практических применений, является то, что нелиней
ность, вносимая маrнитной подсистемои в упруrую, в них очень
велика [24]. Ситуация здесь как качественно, так и количественно
аналоrична случаю токовой нелинейности в пьезополупроводниках,
рассмотренной в rл, 12, Различие СОСТGИТ в том, что в антиферро
маrнетиках эквивалентные упруrие модули велики в области час
тот, начиная от нуля и кончая rиrаrерцевым диапазоном, в то время
как электронная подсистема дает существенный вклад в упруrую
нелинейность только в окрестности частоты релаксации проводи
мости. Можно rюказать [24], что в антиферромаrнетиках обуслов-
зsо
ленная маrнитной подсистемой не.7Jинейная добавка в разложении
тензора напряжений аи по степеням деформаций ПРОПQрциональна
величине
Де иЛ b (Н Е! Мо)2 ((f)so!g) 4,
которая и определяет значения эквивалентных нелинейных упру-
rих модулей, Здесь НЕ так называемое эффективное поле меж
подрешеточноrо обменноrо взаимодействия, М 0=== 'М 10 1===1 M201, а
(f)so частота антиферромаrнитноrо резонанса, при малых внеш
них полях Н<е) пропорциональная величине (Н{е)Н D )I/',rде H D
поле Дзялошинскоrо ( 2). Значение ДС НЛ дЛЯ антиферромапiетиков
типа а Fе20з настолько велико, что обусловленные маrнитной
подсистемой нелинейные упруrие модули в диапазоне значений
внешнеrо маrнитноrо поля н(е) (около 1 кЭ) на 2 3 порядка
превосходят соответствующие решеточные нелинейные модули.
Описанная выше сильная нелинейн ость упруrой подсистемы
имеет место в широком диапазоне частот, т. е. носит нерезонансный
характер, Столь же сильное увеличение нелинейных свойств упру-
rой подсистемы, обусловленное влиянием спиновой подсистемы,
существует в кристаллах железо-иттриевоrо rpaHaTa и марrанец
цинковой шпинели в окрестности маrнитоакустическоrо резонан-
са [2БJ, На рис. 14,5 представлена наблюдавшаяся в работе [251 за
висимость амплитуды первоrо прошедшеrо через кристалл импульса
сдвиrовой упруrой волны, распространяющейся вдоль направле
ния [ОО1} кристалла железо иттриевоrо rpaHaTa, и амплитуды вто-
рой rармоники упруrой волны от слабоrо внешнеrо маrнитноrо
поля Н(е), Частота волны составляла 30 мrц, Видно, что в OKpeCT
ности резонанса, сильно уширенноrо
вследствие малости н(е), наблюдается
увеличение как поrлощения звука,
так и амплитуды второй rармоники
акустической волны. Оба этих эффекта
обусловлены сильной связью, сущест
вующей между упруrой и маrнитной
подсистемами вблизи резонанса (в
данном случае имеется более полная
аналоrия с акустоэлектронными по
rлощением и нелинейностью). На
рис. 14.6 показана зависимость эф !l 2!l/l 4!l/l
фективноrо нелинейноrо параметра #,3
r для rенерации второй rармоники Рис, 14.6. Зависимость величи-
ны нелинейноrо параметра для
от величины маrнитноrо поля, pac rенерации второй сдвиrовой rap
считанная по экспериментальным за- моники в железо-иттриевом rpa-
висимостям рис, 14.5 с учетом зату нате от величины прикладывае-
. хания основной волны, Видно, что в Moro маrнитноrо поля [25J,
окрестности резонанса значение r возрастает на . 2 3 порядка по
сравнению с величиной нелинейноrо параметра вдали от резонан
са r о' Качесrвенно похожие результаты наблюдались и для Mapra-
нец-цинковои шпинели.
r/l'o
8 Ш}
.///0
ЛИТЕРАТУРА
к славе 1
1, Ландау Л. Д., Лllфlll1iЦ Е. J\I1. Механика сплошных cpeд. M.: rостехчздат.
1953.
2. КОЧИН Н. Е., l(llбель Н. А., Розе Н. В. Теоретическая rидромеханика. М,;
Л.: Физыатrиз, ч. 1, Н, 1963.
3, Бэтчелор Дж. Введение в динамику ЖИдкости: Пер. с анrл. М.: Мир, 1973.
4. Лэмб Х. rидродинамика: Пер. с анrл. М.; Л.: rостехиздат, 1947.
5. Заре.мбо Л. К, КраСllлышков В. А. Введение внелинейную акустику.7"' М,;
Наука, 1966.
б. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1967,
7. СретеNС/ШЦ Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.
8. Стокер Дж. Волны на водс: Пер. с aHrJI. М.: ИЛ, 1959.
9. ЛайтХllЛЛ Дж. Волны в жидкостях: Пер. с анrл. М.: Мир, 1981.
10. Филлипс О. Динамика BepxHero СJIОЯ океана: Пер. с анrл. Л.: rидрометео
издат, 1980.
11. Красильников В. А., Павлов В. H. Изв. АН СССР: сер. физ. атм, и океана,
1976, т. 12, с. 424.
12. Колмосоров А. H. ДАН СССР, 1941, т. 30, с. 249; т. 32, с. 19.
13, Обухов А. M. ДАН СССР, 1941, т. 32, с. 22; Изв. АН СССР: сер, reorp.
и rеофиз., 1941, т. 5, с. 453; 1949, т. 13, с. 58.
14. Обухов А. М., Дслом А. M. ПММ, 1951, т. 15, с. 3.
1.'). Монин А. С., Дслом А. М. Статистическая rидромеханика. М,: Наука,
1965; ч, 1, 1967, ч. Н.
16 Татарский В. Н, Распространение волн в турбулентной атмосфере, М.:
Наука, 1967.
]7. Турбулентность, принципы и применения / Под ред. В. В, Струминскоrо.
,\1.: Мир, 1980.
18. Gэтчелор Дж. Теория однородной турБУJIентности: Пер. с анrл./ Под ред.
А. М. Обухова. М.: ИЛ, 1955.
19, rурвич А. С., Кон А. Н., Миронов В. Л., Хмелевцев С. С. Лазерное излуче-
ние в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1976,
20. Атмосферная турбулентность: Сб. статей / Под ред. В. И. TaTapcKoro.
Труды ин та физики атмосферы АН СССР, 1962, N2 4.
21. Обухов А. M. Вестн. Моск. YH Ta: сер. физ, астрон., ]978, т. ]9, с. 109.
22. rледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А, М. Системы rидродинамическоrо
типа и их применения / Под ред. А. М. Обухова М.: Наука, ]981.
23, Монин А. C. УФН, 1978, т. 125, с. 97.
'24. Рабинович М. H. УФН, 1978, т. ]25, с. 123.
к славе 2
]. Михайлов Н, r., Соловьев В, А" Сырников Ю. П. Молекулярная акуСТИКа,
М.: Наука, ] 964.
2. Физическая акустика / Под ред, У. Мэзона: Пер. с анrл./ Под ред. И. [. Ми-
хайлова. М,: Мир, ]968, т. 2, ч, А,
3. Matheson А. J. Molecular acoustics. L.: Wiley, 1971.
4, Stokes О. O, Caтbridge Transactions, 1845, У. 8, р. 287.
5, Р/Jлей. Теория звука: Пер. с анrл. /Под ред. С. М, PЫTOBa, М.: rостехиздат,
1955.
: '2
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных cpeД. М.: rосrехиздаr,
1953.
Т. Нек.леnаев Н. ЖРФХО, 1911, т. 43, с. 101,
Ь, PierceG. W, Proc, Amer. Acad, Boston, 1925, у. 60, р, 117.
9. Kneser А. J. Апп. d. Phys, (5), 1931, у, 11, р, 761,
10. Biquard P. Comt, rепd" 1931, у. 193, р. 226; 1933, У. 197, р. 309.
11. Hinsch B. Acustica, 1961, у. 11, р. 230.
12. Bazulin P. Sow. Phys" 1935, у. 8, р, 354,
13, БаранClШЙ К. H. Кристаллоrрафия, 1957, т. 2, с, 299.
14. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б, Ультразвуковые методы в физике твердоrо
тела: Пер, с анrл. /Под ред. И, [. Михайлова и В, В. Леманова. М,: Мир,
1972.
15. Такер Дж., Рэмnmон В, rиперзвук в физике твердоrо тела: Пер. с анrл, /Под
ред, И, [. Михайлова и В. А. Шутилова, М.: Мир, 1975,
16. Мандельшmам Л. И. ЖРФХО, 1926, т, 58, с. 381.
17. Brillouin L. Апп. de Phys., 1922, у, 17, р. 88,
18. Landau L., Placzek O. Sow, Phys., 1934, т. 5, с. 172.
19. Gross E. Z. Phys" 1930, у. 63, р, 687.
20, Ландсберi! r. С, Вступ, статья к кн. К. Кольрауша «Спектры комбинацион-
Horo рассеяния», Избр, TPYДЫ. М.: изд-во АН СССР, 1958, с. 355.
21, Gross E. Nature, 1930, у. 126, р. 201, 400, 603.'
22. Фабелuнскuй И. Л, Молекулярное рассеяние CBeTa. М,: Наука, 1965, с. 317.
23. Мандельшmам Л, И., Леонmовuч М. A. ЖЭТФ, 1937, т. 7, с. 438,
24. Леонmовuч М. A. Изв. АН СССР: сер. физ., 1936, т. 5, с. 633.
25. Леонmовuч М, А, ЖЭТФ, 1936, т. 6, с. 561.
26, Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики.
М,: Наука, 1975.
27, Асрановuч В. М., ruнзбурi! В. Л. Кристаллооптика с учетом пространствен-
ной дисперсии и теория экситонов. 2-е изд., перераб, М.: Наука, 1979,
с. 32,
28. ruн.зБУРi! В, Л. Акуст. Ж., 1955, т. 1, с, 31.
29. ruнзбурi! В, Л., Мейман Н, н. ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 243.
30. Крылов В, В, Вестн. Моск. ун-та: сер. физ, астрон" 1982, т. 23, с. 42,
31. Корнфельд М. И. Упруrость и прочность жидкостей. М.; Л.: rостехиз-
дн, 1951,
32. Mason "7. P. Amer. Soc. Mech. Eng., 1947, у. 69, р. 359.
33. Моор Р., Мак Скимин r. В кн.: Физическая акустика/Под ред. У. Мэ-
зона и Р, Терстона: Пер. с анrл./Под ред. И. Л. Фабелинскоrо. М.: Мнр,
1973, т. 6, с. 203.
34. Barlow А. J. Lamb J. МаЙеsоn А. J. Proc. Roy. Soc. Lond. А, 1966,
у, 292, р. 322. '
35. Старунов В. С" Тисанов Е. В., Фабелuнскuй И. Л. Письма в ЖЭТФ, 1967,
т, 5, с, 317.
36, Баранскuй К, Н" Север r. А., Велuчкuна Т. C, Письма в ЖЭТФ, 1971,
т. 13, с. 52.
37, Крuвохuжа С. В., Фабелuнскuй И. Л. ЖЭТФ, 1966, т. 50, с, 3,
38, Мuхайлов И. r" rуревuч С, Б. ЖЭТФ, 1949, т, 19, с. 173.
39. Мuхайлов И. r. Распространение ультразвуковых волн в жидкостях.
Л,: rостехиздат, 1949.
40. Мuхайлов И, r, Вестн. лrУ: сер. физ, и хим., 1947, .Ne 3, с. 5.
41. Шахnаронов М. И., Шорошев Ю. r., Алuев С. С. и дp. Письма в ЖЭТФ,
1968, т. 7, с, 401,
42. rладков С. М., Коротеев Н, И, Акуст. Ж" 1979, т. 25, с. 213.
43. Исаковuч М. A, ЖЭТФ, 1948, т, 18, с. 386,
44. Исаковuч М. А., Чабан И. A. жЭТФ, 1966, т. 50, с. 1343,
45. Чабан И. A, Акуст. Ж., 1980, т, 26, с. 228.
46. Бердыев А, А., Мухамедов В. А" Троuцкuй В. М., Хемраев Б. Акуст, Ж.,
1981, т, 27, с. 481, .
47. Михайлов И. r" rромаlC08CКUЙ Д. r., Маринин В. Б. и дp. ДАН, СССР,
1982, т, 266, с. 335.
383
К 2лаве 3
1. Руденко О. В., Солуян С, Н, Теоретические осноВЫ нелинейной акустики.
М,: Наука, 1975.
2. Зарембо Л. К., Красuльнuков В. А. Введение в нелинейную акустику, ft\..
Наука, 1966,
3. Уuзем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с анrл./Под ред. А, Б, Ш...
бата. М,: Мир, 1977.
4. Лайmхилл Дж. Волны в жидкостях: Пер. с анrл, М.: Мир, 1981.
5. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976.
6. ВиНО2радава М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. М..
Наука, 1979.
7. Карnман В. Н. Нелинейные волны в дисперrирующих cpeдax. М.: Наука,
1973,
8. Веуе, R. Т. Nопliпеаr Acoustics U. S. Gоvеrпmепt рriпtiпg оШсе, Naval
See Systems Соmтапd, U. S, А., 1975,
9. Мощные ультразвуковые поля/Под ред. Л. Д. Розенберrа. М.: Наука,
1968,
10. Зарембо Л. К. Теоретические основы нелинейной акустики: Учебное посо-
бие. TaraHpor: Изд. TaraHporcK. радиотехнич. ин-та, 1976,
11. Новикав Б, К., Руденко О. В., Тимошенко В. Н. Нелинейная rидроакустика.
Л,: Судостроение, 1981.
12. Юеmаnn B, G6ttiпg. АЬhапdl., 1860, у. 8. (Русский перевод: Риман Б.
Сочинения. М.: rостехиздат, 1948.)
13, Мясников Л. Л. ЖТФ, 1938, т. 8, с, 1846.
14, Зарембо Л. К, КрасиЛbl-lUков В, А" Шкловская-Корди В, B. ДАН СССР,
1956, т. 109, с. 485, с. 731; Акуст. Ж., 1957, т. 3, с. 29; J. Acoust. Soc. Amer.,
1957, у. 29, р, 642,
15, Бурав В. А., Красильников В. A. ДАН СССР, 1958, т. 118, с, 920,
16, Бурав В, А" Красильников В. A, ДАН СССР, 1959, т, 124, с, 571,
17. Шутилов В. А. Основы физики ультразвука. Изд. Ленинrрадск, ун-та,
1980.
18. Burgers J. M. Ad".Mech., 1948, у. 1. (Русский перевод. В сб,: «Проблемы
механики»/Под ред. Р. Мизеса и Т. KapMaHa. М.: ИЛ, 1955.)
19. Hopf E. Сотт, Рше AppI, Math" 1950, у. 3, р. 201.
20. Солуян С. Н., Хохлов Р. B. Вестн. Моск. УII,та: сер, физ. астрон., 1961,
N2 3, С, 52. .
21. Blackstok D. T. J. Acoust, Soc, Amer., 1964, у. 36, р. 534.
22. Fay R. D. J, Acoust, Soc, Amer., 1931, v. 3, р. 222.
23. Зарембо Л. К" Красильнuков В. А" Тхай Тхань ЛОН2. ДАН СССР, 1970,
т. 192, с. 548; Krasilnikov V, А" Thai-Thanh-Loпg, Zarembo L, K. Nature,
1970, у. 227, р, 1128,
24, Crapper а. D, J. Fluid Mech., 1957, у, 2, р, 532,
25. Korteweg D. J., de Vries a, PhiI. Mag., 1895, (5), у, 39, р, 422.
26, Fледзер Е. Б., Должанскuй ф, В" Обухав А, М. Системы rидродинамическоrо
типа и их применения/Под ред. А, М. Обухова. М.: Наука, 1981.
27, Островский Л. A. ЖЭТФ, 1968, т. 54, с. 1235,
28. Gardner С. S" атееn J. М,, Kruskal М. D" Miura R. M. Phys. Rev, Lett"
1967, у. 19, р, 1095.
29. Кунин Н, А, Теория упруrих сред с микроструктурой, М,: Наука, 1975,
rл. 5 (написанная В, Е, Захаровым), с. 226.
30, Захаров В, Е" Манаков С, В" Новиков С, П" Пиmаевскuй Л. П. Теория co
литонов: метод обратной задачи /Под ред, с. П. Новикова. М,: Наука,
1980.
31. Zabusky N, J., Kruskal М, D, Phys. Rev. Lett"1965, у, 15, р, 240,
32. НаУ20ЛЬНblX К, А" Солуян С. Н., Хохлов Р. B. Вестн. Моек. YH Ta: сер.
физ, астрон., 1961, N2 3, С, 52.
33. Науzольных К, А" Солуян, С. Н., Хохлов Р, B, Вестн. Моек, YH Ta: сер.
физ. астрон" 1962, N2 4, С, 54.
34. Заболоmская Е, А., Хохлов Р. B. Акуст, Ж., 1969, т. 9, с, 54,
35. Кузнецов В. П. Акуст. Ж., 1970, т. 16, с. 155.
384
36. Руденко О. В., Солуян. С, И., Хохлов Р. B. В КН.: ТРУДЫ VIIl ВсесОlOзн.
акуст. конф. Секция M. М. 1973, с. 21.
37, Бахвалов Н. С" Жuлейкuн Я. М" Заболотская Е, А. Нелинейная теория
звуковых пучков. М.: Наука, 1982.
К славе 4
1. Руденко О. В., Солуян с;. И, Теоретические основы нелинейной акустики.
М.: Наука, 1975, .
2. Westeп'elt Р. J. J. Aco\lst. 50С. Amer., 1975, У. 57, р. 1352; 1976, У. 59, р. 760.
3. Реп/оп Р. H. J. Acoust, 50С. Лmеr., 1972, У. 51, р. 284.
4. Красuльнuков В. А" Тасунов Е. Я. Вестн. Моск. ун-та; сер. физ, астрон"
1978, т. 19, с. 99.
5. Буров В. А., Красuльников В. А., Тасунов Е. Я. lbid" с. 53.
6. Moffet М. В., Kcпrad W. L., Сатиоп L. P. J. Лсоust. 50С. Amer" 1978,
У. 63(4), р. 1048.
7. 'v7estervelt Р. J. J. Лсоust. 50С. Лmеr., 1957, У. 29, р. 199.
8. пеап [" W. J. Acoust. 50С, Amer., 1960, У, 34, р. 1039.
9. Laпvstad V., Tjotta S. J. Лсоust. 50С. Amer., 1960, У. 34, р. 1645; 1963, У. 35,
р. 929.
10. Зверев В. А., Калачев А. И. Акуст. Ж., 1968, т. 14, с. 214; 1969, т. 15, с. 369.
11. Веует R. Т. NOlllillear Acoustics. О. 5. Gоvеrпmеllt рriпtiпg оШсе, Nava1
5ее 5ystems Сотmапd, U5Л, 197.5.
12. Зарем.бо Л. К, КраСllЛЫil1ков В. А, Введение в нелинейную акустику. М.:
Наука, 1966.
13. Эйхенвальд А. A. УФН, 1934, т. 14, с. 554.
14. Зарем.бо Л. K Акуст. Журн., 1967, т. 13, с. 298.
15. Зарем.бо Л. K Лкуст. журн., 1970, т. 16, с. 58,
16. Воронина Л, С., Зарем.бо Л. K Акуст. Журн., 1975, т. 21, с. 378.
17. Канер В. В" Руденко О. В., Хохлов Р. B. Акуст. ЖУРН., 1977, Т, 23, с, 756,
18. Канер В, В., Руденко О, В., Хохлов Р. B. В КН.: Материалы симпозиума
«Нелинейные волны деформацию>, Таллии, 1978, т. 2, с. 82,
19, Канер В. В., Карабутов А, А., Руденко О. B, В кн.: Нелинейная аку-
стика. rорький: Изд. ИПФ АН СССР, 1980, с. 98.
20. Канер В. В., Руденко О. B. Вестн. Моск. yH Ta: сер. физ. астрон., 1978,
т. 19, с. 78.
21, Westervelt Р, J. J. Acoust. 50С, Amer., 1960, У, 32, р. 934.
22. Westervelt Р. J. J. Acoust. 50С. Amer., 1963, У. 35, р. 539,
23, Зверев В. А., Калачев А, И., Акуст. Ж., 1958, т. 4, с. 321.
24, Belleп J, L., Веует R, T. J. Acoust. 50С. Amer., 1962, У. 34, р. 1051.
25. Berktay Н. О. J. 50und, Vibr., 1965, У. 2, р. 435.
26. Новиков Б. К, Руденко О. В., Тим.ошенко В, И, Нелинейная rидроаку-
стика. Л,: Судостроение, 1981.
27, Зарем.бо Л. K, УФН, 1979, т. 128, с. 713,
28. Зарем.бо Л, К, Теоретические основы нелинейной акустики: Учебное посо-
бие, TaraHpor: Изд, TaraHporcK. радиотехнич. ИН-та, 1976,
29. Наусольных К. А" ОстР08СКUЙ Л. А" Сутин А. M. В КН.: Нелинейная
акустика. rорький: Изд. ИПФ АН СССР, 1980, с. 9,
30. Muir Т. a. lп: 1974 U1trаsопiс 5уmр. Proc, Mi1waukee, Wisk, U5A. N. У.,
1974, р, 603,
31, Наусольных К, А., Солуян С. И., ХОХЛ08 Р. B, Акуст. Ж., 1963, т, 9, с. 192.
32. Зарем.бо Л, К" Красильнuков В. A, В кн,: Труды Уl Междунар. симп. по
нелин. акустике. М,: Изд-во Mry, 1976, ч. 1, с, 290.
33. Зарем.бо Л, K. Акуст. Ж., 1961, т. 7, с. 189,
34, Руденко О. В" Чuркuн А. C, Акуст. Ж., 1974, т. 20, с, 290,
35, Рытов С. М, Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966.
36. Ахм.анов С. А., Чuркuн А. С, Статистические явления в нелинейной оптике.
М.: Изд во Mry, 1971,
37. Perпet п. Р., Рауnе R. C. J. 50und, Vibr. r 1971, У. 17, р. 383.
38, Руденко О. В., Чuркин А, C, ДАН СССР, 1974, т. 214, с. 1045.
39, Руденко О. В" Чиркин А, C. ЖЭТФ, 1974, т. 67, с. 1903.
385
40. Ахuезер А, И. ЖЭТФ, 1938, т. В, с, 1318.
41. Ландау Л. Д., Румер Ю. Б. В КН.: Сб. трудов акад. Л. д. Ландау. М,:
Наука, 1969, т, 1, с. 227.
42. Красuльнuков В, А., Руденко О. В., Чuркuн А, C. Акуст, Ж., 1975, т. 21,
с. 124,
43. Кузнецов В. П, Акуст. Ж., 1970, т, 16, с. 155,
44. Буров В. А., КраСUЛЬНU1wв В. А., Тасунов Е. Я. В КН.: Проrрамма и Te
эисы 4.А Всесоюзи. конф, по методике и технике ультразвуковой спектро-
скопии. Вильнюс, 1980, с. 33.
45. Павлов В. И. Акуст. Ж., 1976, т. 22, с. 580,
46, НаусольнblX К. А., Рыбак С. А Акуст, Ж., 1976, т. 22, с. 735.
47, Westervelt Р. J. J. Acoust, So . Аmет., 1976, У. 59, р. 760,
48, Захаров В. Е., Сасдеев Р. З. ДАН СССР, 1970, т, 192, с, 297.
49. Кадомцев Б. Б., Пеmвuашвuли В, И. ДАН СССР, 1973, т. 208, с. 794,
50. Наусольных К, А" Рыбак С. A, ЖЭТФ, 1975, т, 68, с, 78,
51. Fурбаmов С. Н" Дубков А, А., Малахов А. H. ЖЭТФ, 1977, т. 72, с, 456.
52. Fурбаmов С. Н" Саичев А. И. В КН.: Нелинейная акустика. rорький:
ИЭД, ИПФ АН СССР, 1980, с. 108,
к славе 5
1. Westervelt Р. J. J, Acoust. Soc. Атет., 1951, У. 23, р. 312.
2. Зарембо Л, К., Красильников В. А. Введеиие в нелииейную акустику. М,:
Наука, 1966.
3. Шуmилов В. А. Основы физики ультразвука, Л.: Изд-во лrу, 1980.
4, Островский Л. A. Акуст, Ж., 1968, т, 14, с. 82.
5, Hertz а" Mende H. Z. Physik, 1939, В. 134, S. 354.
6. Rayleigh. Phi1. Mag., 1905, У. 10, р. 364,
7, Fольдберс З. А., Наусольных К, A. Акуст, Ж" 1963, т, 9, с. 28,
8. Yosioka К., Kawasima Y. Acustica, 1955, У. 5, р. 167,
9. Алексеев В, H. Акуст. Ж., 1983, т. 29, с. 129.
10, FopbКOB Л. П. ДАН СССР, 1965, т, 140, с. 88.
11, Компанеец А. C, Теоретическая физика. М.: rостехиэдат, 1957, с. 125.
12, Кing L. V. Ртос. Roy, Soc., 1936, У, 153 А, р. 1,
13, Whymark R. R. Ultrаsопiсs, 1975, У, 13, р. 251,
14. Bjerkness С. A. Compt. rепd" 1867, У. 84, р. 1222, 1309, 1446, 1493.
15. Казанцев В. Ф. ДАН СССР, 1959, т. 129, с. 64,
16. K6nig W. Z. Phys. Chem. Unterr,, 1895, У. 8, р. 191.
17. Широкова Н. A, В кн.: Физические основы ультразвуковой технолоrии
/Под ред, Л. Д. Розенберrа. М.: Наука, 1970, с. 641.
18. Тимошенко В. И. Акуст. Ж" 1970, т. 16, с, 570.
19. Миронов М, A. Акуст, Ж., 1976, т, 22, с, 941,
20. Eckart C, Phys. Rev., 1948, У. 73, р, 68,
21. Рэлей. Теория звука: Пер. с анrл. /Под ред. с. М. PЫTOBa. M.: rостехиздат,
1955.
22, Schlichting H. Phys. Z., 1932, у, 33, р, 327.
23, Щлuхmинс F. Теория поrраничноrо слоя: Пер. с HeM, М,: ИЛ, 1956,
24. Зарембо Л. K, В КН.: Физика и техника мощноrо ультразвука /Под ред.
Л. Д. Розенберrа. М.: Наука, 1968, с. 87.
25. Ниборс B. В КН.: Физическая акустика /Под ред. у, Мэзона: Пер. с анrл.
!Под ред, И. [. Михайлова. М.: Мир, 1969, т. 2, ч. Б, с. 302,
26, Зарембо Л, к., Шкловская-Корди В, B. Акуст. Ж" 1957, т. 3, с, 373,
к славе б
1. Rayleigh. Phi1, Mag" 1917, У. 34, р, 94, '
2. Noltingk В, Е., Neppiras Е, A, Ртос. Phys, Soc. Lопd" 1950, У. 63В, р. 675;
1951, у, 64В, р, 1032,
3. Акуличев В. A. В кн,: Мощные ультразвуковые поля /Под ред. Л, Д. Ро-
зенберrа.;:---- М.: Наука, 1968, с, 131.
4, Флинн F. В КН.: Физическая акустика /Под ред. у, Мэзона: Пер. с анrл.
/Под ред, Л. Д, Розенберrа М,: Мир, 1967, т. 1, ч, Б, с. 7.
386
S. Пернuк А. д. Проблемы кавитации. Л.: Судостроение, 1966.
6, Морс ф, М" Фешбах r, Методы теоретической физики: Пер. с анrл. М.:
ИЛ, 1960, с, 462.
7. Minnaert M, PhiJ. Mag" 1933, У. 16, р. 235,
8, Macedo J. С" Jang М. J. J, Арр1. Phys" 1972, У. 11, р. 1124.
9, Хабеев Н. C. Акуст. Ж., 1975, т. 21, с. 815.
10. Devin C. J. Acot1st. 50С. Amer., 1959, У. 31, р. 1654,
11, HsiefrD. Y., PlessetM. S. J. Acot1st. 50С. Amer., 1961, У, 33, р.206.
12. Neppiras Е. A. U1trasonics, 1980, У. 18,р. 201,
13. Eller А. J. J. Acot1st. 50С. Amer., 1965, У. 37, р. 493,
14, Eller А. J. J. Acot1st. 50С. Amer., 1975, У, 57, р. 1, 1374.
15. Gould R. K. J. Acot1st. 50С. Amer., 1974, У, 56, р. 1740.
16. Plesset М. S., 7.wick S. A. J. Арр1, Phys., 1954, У. 25, р, 493,
17. ТТатте! О. T. J. Appl. Phys., 1962, У. 33, р, 1662.
18. Алексеев В. H. Акуст. Ж., 1975, т. 21, с, 497.
19. Акулuчев В. A. Кавитация в KpHoreHHbIx и кипящих жидкостях, М.:
Наука, ] 978.
20. Акулuчев В. А., Алексеев В. Н., Юшuн В. П. Акуст. Ж., 1979, т. 25, с, 801.
21, Нuсматулuн Р. И. Основы механики reTeporeHHbIx cpeд. М.: Наука, 1978.
22. Ландау Л. Д., Лuфшuц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.
23, Алексеев В. Н., ЮШU/i В. П. Вопросы судостроения: сер. акустика, М.:
Изд. ЦНИИ "Румб», 1979, .Ng 12, с. 59.
24. р.озова r. А., ЮШllН В. П. В кн. Нелинеиные волновые процессы в ДBYX
фазных cpeдax. Новосибирск: Наука, 1977, с, 380.
25. Акулuчев В. А., rребеннuк В. r., Жуков В, A. ДАН СССР, 1974, т. 216,
с. 517.
26. Plesset М. S, Phil. Тrапs. Roy. 50С, Lond., 1966, У. А260, р, 240,
27. Корнфельд М., Суворов Л. J, Аррl, Phys., 1944, У. 15, р. 495,
28. Корнфельд М. Упруrость и прочность жидкостей. М.; Л.: rостехиздат, 1951.
29. Plesset М, S., Mitcfrell Т. P. Quart, Аррl, Math., 1956, У. 13, р, 419,
30. Брантон И, X, В кн.: Неустановившиеся течения с большими скоростя
ми, М,: Наука, 1973, с, 139.
31. Ландау Л. Д., ЛUфШUЦ Е. М. Механика сплошных cpeд, М,: rостехиздат,
1953.
32. Розенберс Л. Д. в кн.: Мощные ультразвуковые поля /Под ред, Л, Д. Ро-
зенберrа. М.: Наука, 196/j, 22С
33. Сиротюк М. r, Ibid., с. 167.
34. Алексеев В. Н" Юшuн В. П, В кн.: Тезисы докл. 2-/\ Всесоюзн. симп. по
акустоrидродинамике и акустооптике. Суздаль, 191:10, . 3 ,
35. Юшин В, П. В кн.: Тезисы докл. Всесоюзн. конф. по взаимодействию ульт
развука с биолоrической средой. М.: 1983, с. 46.
36. Кобелев Ю, А., Островскuй Л. А., Сутин А, M. Письма в ЖЭТФ, 1979,
т. 30, с. 423.
37. Зарембо Л, К., Красильнuков В, A. Введение в нелинейную акустику.
М.: Наука, 1966.
38. Кuкучu Е. Ультразвуковые преобразователи: Пер. с анrл, М.: Мир, 1972.
39, Панов А. П. В кн.: Научные труды МИСиС. М,: 1981, .Ng 132, с. 82,
40, Fry F. J. Iп: U1trаsоtlпd: Its аррliсаtiопs iп mеdiсiпе апd biology /Ed. F. J.
Fry. Ney York Amsterdam: Elsevier, 1978, pt 2, р. 689.
41. rаврuлов Л. Р., Цирульнuков Е. М. Фокусированный ультразвук в физио-
лоrии и медицине. Л.: Наука, 1980,
42, Зельдовuч Я, Б. ЖЭТФ, 1942, т. 12, с, 525.
43, NeppirasE. A, Physics Reports: А Rev. 5ect. of Phys.Lett., 1980, У. 61, р, 163.
44. Саvitаtiоп and Iпhоmоgепеitiеs iп Uпdеrwаtеr Acoustics /Ed. W. Lauterborn.
Proc. First Iпt. Conf. Gбttiпgеп, FRG, 1979, Веr1iп Heidelberg New
York: 5pringer Verlag, 1980,
45. Рытов С. М" Кравцов Ю. А., Татарскuй В, И. Введение в статистическую
радиофизику, Ч, Н. Случайные поля, М,: Наука, 1978.
46. Исuмару А. Распространение и рассеяние волн в случайио неоднороДНЫХ
средах: Пер. с анrл. /Под ред. В, И. TaTapcKoro, М.: Мир, 1981, ч. 1, ч, 2.
47. Foldy L. L. Phys. Rev" 1945, У. 40, р. 107.
387
48, Физическце основы подводной акустики: Пер. с анrл, /Под ред. В. И. Мя-
сищева. М,: Сов, радио, 1955.
49, Loиik A. 1п: Саvitаtiоп апd. 1пhоmоgепеtiеs iп Uпdеrwаtеr Acoustics. /Ed.
W. Lauterborn. Proc. First 1пt, Conf. Gоttiпgеп, FRG, 1979. Веrliп Hei-
delberg New York: Springer Ver]ag, 1980, р. 211.
50. Берсман Л. Ультразвук: Пер. с нем. /Под ред. В, С. rриrорьева и Л. Д. Ро-
зенберrа. М.: ИЛ, 1956,
51. Алексеев В. Н. К теории паровых пузырьков в звуковом поле. Канд. ДHCC.
М.: Акуст. ин-т АН СССР, 1979.
52. Алексеев В. Н., Юшин В. П. В кн.: Вопросы судостроения: сер. aKYCT.
М.: Изд. ЦНИИ «Румб», 1979, С. 69.
53. Watefmaп Р. С., Тте! R. J. Math. Phys., 1961, У. 2, р. 512.
54. Кобелев Ю. А., Островский Л. A. В кн.: Нелинейная акустика. Теоретиче-
ские и зкспериментальные исследования. rорький: Изд. ИПФ АН СССР,
1980, с. 143.
55. Остроумов Т, А., Дружинин Т. А., Крячко'В. М., Токман А. C. В кн.:
Тезисы ДОКЛ. 6-ro Междунар. симп. по нелинейной акустике. М.: Изд-во
Mry, 1975, с. 166.
56. Остроумов Т, А., Дружинин Т. А., Крячко В. М., Токман А. C. В кн.:
Нелинейные волновые процессы в двухфазных cpeДax. Новосибирск:
Изд. ин-та теплофизики СО АН СССР, 1977, с. 12.
57. Тасенко В, Т., Накоряков В. Е" Шрейбер И. P. 1bid" с. 17,
58. Тасенко В. Т., Накоряков В. Е., Шрейбер И, P. Акуст. ж., 1979, т. 25,
с, 681.
59, Накоряков В. Е., Соболев В. В" ШреЙбер Й. P. Изв, АН СССР: Механика
жидкости и rаза, 1972, N 5, с. 71.
60, Кузнецов В. В" Накоряков В. Е., Покусаев Б. Т., Шрейбер И. P. Письма
в ЖЭТФ, 1976, т. 23, с. 194,
61, Кузнецов В. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Т., Шрейбер И. P, В кн.:
Нелииейные волновые процессы в двухфазных cpeдax. Новосибирск: Изд,
Ин-та теплофизики СО АН СССР, 1977, с. 32.
62. rончаров Т. В., НаусОЛЬНblХ К, А., Рыбак С, A. ПМТФ, 1976, N 6, с. 90.
К славе 7
1, Dahl Н., Devic O. Nature, 1937, У. 139, р. 550.
2. Sieg H. E]ektrische Nachr. Techn., ]940, У. 17, р, 193,
3, Бовшеверов В. М., Красильников В. A, ДАН СССР, 1941, т. 30, с. 44.
4, Красцльников В, A. ДАН СССР, 1945, т. 46, с. 108; 1953, т. 88, с. 657.
5. Красцльников В. А., Иванов-Шиц К. M, ДАН СССР, 1949, т. 67, с. 639;
Вестн. Моск. YH Ta; сер. физ, астрон., 1950, с, 57,
6, Сучков Б, A. Акуст. ж., 1958, т, 4, с. 85.
7, Красцльников В. A, ДАН СССР, 1945, т. 47, с, 486; Изв. АН СССР: сер.
reorp. и rеофиз., 1949, т, 13, с, 33.
8. Каллистратова М. A. ДАН СССР, 1959, т. 125, с. 69.
9. Обухов А, M, ДАН СССР, 1941, т, 30, с, 611.
10. Монин А. C. Акуст. ж" 1961, т. 7, с, 457,
11. Lighthill М, J, Proc, Roy. Soc. London, 1952, У, 211 А, р, 564,
12. Lighthill М. J, 1bid" 1954, У, 222 А, р, 1.
13. Красильников В. А" Обухов А, M. Акуст, ж., 1956, т, 2, с, 107,
14. Татарский В, И. Распростраиение волн в турбулентной аТМО'сфере. М.:
Наука, 1967,
15, Монин А. С., Яслом А, М. Статистическая rидромехаиика. Ч. II. M,:
Наука, 1967.
16, Чернов Л. А, Волиы в случайно неоднородных cpeдax. М.: Наука, 1977.
17. Рытов С, М., КРalJцов Ю. А" ТатарскиЙ В, И. Введение в статистическую
радиофизику. Ч, II. Случайные поля. М.: Наука, 1978.
18, Барабаненков Ю. Н., Кравцов Ю, А" Рытов С. М., Татарский В. И. УФН,
1970, т, 102, с. 3. -
19. Атмосфериая турбулеитность: Труды Ин та физики атмосферы АН CCCP.
М.: 1962, N2 4.
388
20. Некоторые проблемы современной физики атмосферы: Труды Ин та физики
атм феры АН CCCP, М.: Наука, 1981.
21, Ферми Э. Научные TPYДЫ. М,: Наука, 1972, т, 2, с, 439,
22, КрасиЛЬНllков В, А., ПавЛ08 В, И, ЖЭТФ, 1975, т, 68, с. 1797,
23, КрасильниК06 В. A. ДАН СССР, 1947, т. 58, с. 1353,
24. Обухов А. M. Изв. АН СССР: сер, rеофиз., 1953, с. 155,
25. Рытов С. M. Изв. АН СССР: сер. физ., 1937, с. 223.
26. Алексеев В. Н., Фролов В. M. Акуст, ж., 1972, т' 18, с. 506.
27. McAllister L. a. Atmos. Теп. Phys., 1968, У. 30, р. 1439.
28. Browп Е. Н., Hall F. F. Jr. Rev. Geoph. апd 5расе Phys" 1978, У. 16, р. 47,
29. Бовщеверов В. M, В кн.: Некоторые проблемы современной физики атмо-
сферы: Труды Ин-та физики атмосферы АН CCCP. М,: Наука, 1981, с, 26.
30. Proпi J. R., Аре! J. R. J. Geoph. Res., 1975, У. 8, р. 1147,
31. Сазонтов А. r, Изв. АН СССР: сер. физ. атмосф. и океана, 1979, т. 15,
с. 820,
к славе 8
1. Ландау Л, Д., Лифшиц Е. М. Теория упруrости. М.: Наука, 1965.
2. Зарембо Л. К, Красильников В, А. Введение в нелинейную акустику, М,:
Наука, 1966.
3. Н080жuлов В. В. Основы нелинейной теории упруrости. М.: rостехиздат,
1948.
4. Murпahaп F. D. finite delormatioIl 01 ап elastic solid. N. У.: J. Wiley, 1951.
5. Зарембо Л, К, Красильнuков В. A. УФН, 1970, т. 102, с. 549.
6. Завадский В. Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и BOk
HOBoдax. /11..: Наука, 1972.
7. Такер Дж" Рэмптон В. rиперзвук в физике твердоrо тела: Пер. с анrл'
/Под ред. И. [. Михайлова и В. А. Шутилова. М.: Мир, 1975.
8, Бреховск'uх Л. М. Волны в слоистых cpeдax. M.: Наука, 1975.
9. Rayleigl!. Ртос. London Math, 50С., 1885, У. 17, р. 4.
10. Ewiпg W. М., Jardetzky W. 5., Press F. Elastic waves in Jayered media.
N. У.: McGra\v-Нil1, 1957.
11, Викторов И. А, Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея
и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966.
12. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.:
Наука, 1981, .
13. Красильников В. А., Крылов В. B. Акуст. ж., 1979, т. 25, с. 408.
14. ВцктОР08 И. A. Акуст. Ж., 1974, т. 20, с. 199.
15. Бреховских Л. M. Акуст. Ж" 1959, т. 5, с. 282.
16. Капе J., 5репсе J. Geophysics, 1963, У. 28, р. 715.
17. Parekh J. Р., Тиап Н. 5. J, Аррl. Phys., 1977, у, 48, р, 994.
18. Jlразаков Е. И., Фальковскutl Л, A, ЖЭТФ, 1972, т. 63, с, 2297,
19. Maradudiп А. А" Mills D. L. Аппаlеs of Physics, 1976, У. 100, р, 262.
20. Крылов В. В., Лямов В. E. ЖТФ, 1979, т. 49, с, 2514,
21. Бабич В. М., Молотков И. A. В кн.: Итоrи науки и техники, Т, 10.
Механика деформируемоrо тела. М.: ВИНИТИ, 1977, с, 5.
22, Крылов В. B. Акуст. Ж., 1979, т. 25, с, 754.
23, Morrisoп J, A. J. Math, Phys., 1975, У. 17, р. 958.
24. ВыБОРН08 Б. И. Ультразвуковая дефектоскопия. М.: Металлурrия, 1974.
25. Кайно r., Шоу Дж. УФН, 1974, т. 113, с, 157.
26. Дрансфельд К, Зальцманн E. В кн.: Физическая акустика /Под ред. У. Мэ-
зона и. Р. Терстона: Пер. с анrл. /Под ред, И. [. Михайлова, М,: Мир,
1974, т. 7, с. 250,
27, Каринский С. С, Устройства обработки сиrналов на ультразвуковых по'
. верхностных волнаХ. М,: Сов. радио, 1975,
28. Лямов В. Е., СулеймаН08 С, X. В кн,: Упруrие поверхностные волны.
Новосибирск: Наука, 1974, с, 22,
29. Поверхностные акустические волны устройства и применения. тИИЭР,
1976, т. 64, N2 5 (тематический выпуск).
30. КрасильниК06 В, А" КРЫЛ08 В. B, Акуст. ж" 1980, т. 26, С. 732,
389
31. Викmoров Н, A. AКY T, Ж., 1979, т. 25, с. 1.
32. Фарнелл Дж. В КН.: Фнзическая акустнка./Под ред. У. Мэзона н 1->, Tep
стона: Пер. с анrл, /Под ред. И. Л. Фабелинскоrо. М.: Мир, 1973, т, 6,
со 132, .
33, Кессених r. r., Шувалов Л. A. Крнсталлоrрафня, 1978, т. 23, со 1134.
34, Lothe J" Barпeи D. M. J. Appl. Phys., 1976, У. 47, р. 428,
35. Любuмов В. Н., Альшuц В, Н., Лоте E. Кристаллоrрафия, 1980, т. 25,
со 330.
36. rуляев /О. B. Письма в ЖЭТФ, 1969, т, 9, со 63,
37. Bleustein J. L. Appl. Phys. Lett., 1968, у, 13, р. 412.
38. Морозов А. Н., Землянuцын М. A. В кн.: Упруrие поверхностные волны.
Новосибирск: Наука, 1974, с. 64.
39. Анисимкин В. Н., Морозов А, H, Письма в ЖТФ, 1976, т. 2, со 426.
40, Gulyaev Уи. V., Plessky V. P. Physics Lett., 1976, у. 56А, р. 491.
41. Бурлак r. Н., Коцаренко Н. Я., Кошевая С. B. ФТТ, 1976, т. 18, со 1222.
42. Викторов Н, A. ДАН СССР, 1975, т. 221, со 1060.
43. Ляв А. }\1атематическая теория упруrостн. М,; Л,: ОНТИ, 1935.
44. Новацкuй В. Теория упруrостн, М.: Мнр, 1975.
45, БОсданов С. В., Левuн М. Д., Яковкuн Н, Б. Акуст. Ж., 1969, т, 15, со 12.
46. Tiersten Н. F. J, Арр1, Phys., 1969, у. 40, р. 770.
47, Allld В. A. Acoustic fields апd \vaves iп solids. N. У.: J. Wiley, 1973.
48, rуляев /О. В., Плесскuй В. П. Акуст. Ж., 1977, т. 23, с. 716,
49. Балакирев М. К., rорчаков А. B. ФТТ, 1977, т. 19, со 613,
50. Бреховских Л. M. Акуст. Ж., 1966, т. 12, со 374.
51. БреховСКllХ Л. M. Акуст. Ж" 1967, т. 13, со 541.
52. Рэлей. Теория звука: Пер. с анrл, /Под ред. С. М. PЫTOBa. М.: rостехиздат,
1955, т. 2.
53, Auld В. А., Gagnepain J. J., Тап M. Electron Lett., 1976, у. 12, р, 650,
54. rуляев /О, В., Плесскuй В. П. Письма в ЖТФ, 1977, т. 3, со 220,
55, Lagasse Р. Е., Mason 1, М., Ash Е. A. ШЕЕ Тrапs, Sonics and U1trasonics,
1973, у. 20, р. 143.
56, Datta 5., Hunsinger В. J. Phys. Rev., 1977, у, 16В, р. 4224,
57. Кунин Н. А. Теория упруrнх сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975,
58, Aldredge а. P. Phys, Lett., 1972, у, 41А, р. 281,
59. Вужва А. Д. ФТТ, 1979, т, 21, со 2157.
60, Masri Р., Dobrzynsky L, J. Phys, Chem. Solids, 1973, у, 34, р. 847.
61. Микер Т., Мейтцлер A. В кн,: Физическая акустика /Под ред. У, Мэ
зона: Пер. с анrл. /Под ред. Л. Д. Розенберrа. М,: Мир, 1966, т, 1, ч, А,
с, 140,
62, rРU/iче/iКО В. Т., Мелешко В, В, rармонические колебания и волны в упру
rих телах. Киев: Наукова думка, 1981.
63, Боровков О. В., Кучеров Н. Я. Укр, физ. Ж., 1972, т. 17, с. 1980.
64, Бурлuй П. В., НЛЬU/i П, П" Кучеров Н. Я, Укр. фнз, Ж., 1978, т, 23, с. 1756.
К славе 9
1. Федоров Ф. Н, Теория распространения упруrих волн в кристаллах. М,:
Наука, 1965.
2. Александров К. C. в КН.: Проблемы современной кристаллоrрафии, М,:
Наука, 1975, со 327. .
3. Ландау Л. Д., Лuфшuц Е. М. Теория УIIруrости. М.: Наука, 1965.
4. Най Дж. Физические свойства крнсталлов: Пер. с анrл. /Под ред, Л. А. Шу
валова, М.: Мир, 1967,
5. Сиротип /О, Н., Шаскольская М, П. Основы кристаллофизики, М.: Наука,
1979,
6. Лямов В. Е, Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействня aKy
стических волн в кристаллах, М.: Изд-во Mry, 1983.
7. Элайсез М" rарсuа Молuнер Ф. в кн,: Физическая акустика /Под ред,
У. Мэзона: Пер. с анrл. /Под ред. В. В. Леманова. М.: Мир, 1973, т. 5,
с. 192.
3'10
8, 1'акер Дж., Рэмптон В. I'ипеРЗВУk iJ физике твердоrо тела. Пер. с анrл.
/Под ред. И. [. Михайлова и Б. А. Шути" ова. М.: Мир, 1975.
9. Балакирев М. К., Fилинский И. А, Болны В пьезокристаллах, Новоси-
бирск: Наука, 1982, .
10. Musgrave М, J. Р. Crystal Acoustics. San Frапсiskо: Acad. Press, 1970.
11. Auld В. А, Acoustic fie1ds апd \vaves iп solids. N. У.: J. Wiley, 1973,
12, Кошкина Е, Н., ЛЯМ08 В. Е., Малштова Т. A. Кристаллоrрафия, 1978,
т. 23, с. 1274.
13. БараНСКllU К. H. ДАН СССР, 1957, т. 114, с. 517.
14. Фарнелл Дж. Б кн.: Физическая акустика /Под ред. У. Мэзона и Р. Тер.
стона: Пер. с анrл. /Под ред. И. Л. Фабелинскоrо. М.: Мир, 1973, т. 6, с. 139.
15. Currie Р. K. Quart. J. Mech, Appl. Math., 1979, у. 32, р. 163.
16. Lothe J., Barпett D. M. J. Аррl. Phys., 1976, у. 47, р, 428.
17. АльиlUЦ В. Н., Лоте E. Кристаллоrрафия, 1978, т. 23, с, 901.
18. Lothe J., Barпett D. M. Wave mоtiоп, 1979, у. 1, р. 107,
19. Куют И. А. Теория упруrих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.
20. Андронов А. A. Изв. вузов: сер. радиофизика, 1960, т. 3, с. 645.
21, Portigal D. L., Burstein E. Phys. Rev., 1968, у. 170, р. 673.
22. Вужва А. д., ЛЯМ08 В. E. Кристаллоrрафия, 1977, т. 22, с. 131.
23. Pine А. S. Phys. Rev., Б, 1971, У. 2, р. 2049.
24. АсрановllЧ В. М., Fинзбурс В. Л. Кристаллооптика с учетом пространствен.
ной дисперсии и теория экситонов. М.: Наука, 1979,
25. Aldredge О. P. Phys. Lett., 1972, у. 41А, р. 281.
26. Fельфсаm И. M. ФТТ, 1977, т. 19, с. 1711.
27. Крылов В. B. Кристаллоrрафия, 1982, т. 27, с. 791,
28, Бенсон F., Юн K. Б кн.: Межфазовая rраница rаз твердое тело /Под
ред. Э. Флада. М.: Мир, 1970, с. 172.
29. КраСllльнuков В. А., Крылов В. B. AKYCT. Ж., 19ЕО, т. 26, с. 732.
30. Красильников В. А., Крылов В. B. Б кн.: Материалы Х1 Бсесоюзн. конф.
по акустоэлектронике и квантовой акустике. Душанбе: Дониш, 1981,
ч. П, с. 160.
31. М аNдельшmам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой
механике. М.: Наука, 1972, с, 392.
32. Марадудин А., МОNтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристалли.
ческой решетки в rармоническом приближении. М.: Мир, 1965.
33. КосеВllЧ А. М. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука,
1972.
К славе 10
1. ЛаNдау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теориl'l упруrости. М.: Наука, 1965.
2. Landau L., Rumer O. Phys. Z. (USSR), 1937, Бd. 11, S. 18 (перевод:
Ландау Л. Д. Собр. Tp. М.: Наук,!, 1969, т. 1, с. 237).
З. Ахиезер А. И. ЖЭТФ, 1938, т. 8, с. 1318.
. Труэлл Р" Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердото
тела. М.: Мир, 1972.
5. Такер Дж., Рэмnmон В, rиперзвук в физике твердото тела: Пер. с анrл.
/Под ред, И. [, Михайлова и Б. А. Шутилова. М.: Мир, 1975.
5. Ваттеl Н. Е., Dransfeld K. Phys. Rev. Lett., 1959, у. 2, р. 298; 1960,
у, 117, р. 1245.
7. Jacobsen Е, H. 1п: Quапtum Еlесtrоп. Symp. Proc. High. View. N. У.,
1959, р. 468.
8. Новости физики твердото тела. Бып. 5. Физика фононов больших энерrий.
Сб. статей (пер. с анrл.). М.: Мир, 1976.
9, Maris Н. J. 1п: Phys. Acoustics /Ed. W, Р. Маsоп а. R. N. Тhrustоп. N, У.;
L.: Acad. Press, 1971, у. 8, р. 280.
10. Fуревич В. Л. Кинетика фононных систем. М.: Наука, 1980.
11, Рейсленд Дж. Физика фононов: Пер. с анrл. /Под ред, [. С. Жданова. М.:
Мир, 1975.
12. Новик А., Берри Б, Релаксационные явления в кристаллах: Пер. с анrл.
!под ред. Э. М, Надторното и Я. М. Сойфера. М.: Атомиздат, 1975.
391
13, Влияние дефектов на ':Bo/J:cTBa твердыХ "rел, В кн, Физическая акусtиl<:(\
/Под ред. У. Мэзона: Пер. с анrл. /Под ред. Э. М. НадrорНоrо. М.: Мир,
1969, т. 3, ч. А.
14. Применения физической акустики в квантовой физике и физике твердоrо
тела. В кн.: Физическая акустика /Под ред. У. Мэзона: Пер, с анrл, (Под
ред. Л. [. Меркулова, Л. д, Розенберrа, В, А. Шутилова. М.: Мир, 1969,
1970, т. 4, ч. А и Б.
15. Таблицы физических величин. Справочник под ред. И. К. Кикоина. М.:
Атомиздат, 1976.
16, Викторов н: А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.:
Наука, 1981.
17. Косевuч А. М, Физическая механика реальных кристаллов, Киев: Нау-
кова думка, 1981.
18. Кuттель Ч, Введение в физику твердоrо тела. М.: Наука, 1978.
19. 3айман Дж. Электроны и фононы: Пер. с анrл. (Под ред, В. Л. Бонч-Бруе-
вича, М.: ИЛ, 1962.
20. Тончаров К. В., Красuльнuков В. A. Изв. АН СССР: сер. физ., 1956, т. 20,
с. 231.
21. Марадудин А., МОNтролл Э., Веасс Дж. Динамическая теория кристалли
ческой решетки в rармоническом приближении. М.: Мир, 1965.
22. Леr1бфрllд Т. Микроскопическая теория мехаНИческих и тепловых свойств
кристаллов. М.; Л.: Физматrиз, 1963.
23. Pomerantz M. P!JYs. Rev. 1973, у. В8, р. 5828.
24. Туляев 10. В., Коэорезов А. Т., КраСUЛЬНllков М. В. ЖЭТФ, 1983, т. 85,
с. 243.
25. Паr1ерлс Р. Квантовая теория твердых тел. М.: ИЛ, 1956.
26. Ландау Л., Лuфшuц Е. Квантовая механика, ч. 1 М.; Л.: rостехиздат,
1948.
27, Зарембо Л. К., Красuльнuков В. A. УФН, 1970, т. 102, с. 549.
28. Зарембо Л. К., Красuльнuков В. А., Сердобольская О. Ю. В кн.: Нелиней.
ная акустика, rорький, Изд. ИПФ АН СССР, 1980, с. 189.
29. Herring C. Phys. Rev., 1954, У. 95, р. 954.
30. De Klerk J. Phys. Rev., 1965, У. А139, р. 1635.
31. Maris Н. J. Nature, 1963, у. 198, р. 876.
32. Maris Н. J. Phil. Mag. 1964, у, 9, р. 901.
33. Cicarello 1. 5., Dransfeld к. Phys. Rev., 1964, У. А134, р. 1517.
34. Nava R., Arzt R., Ciccrello 1. 5., Dransfeld K. Phys. Rev., 1964, У. A134,
р. 581,
35. 5imons 5. Proc. Phys. 50С. LопdОIl, 1963, У. 82, р. 401.
36. 5imons 5. Proc. l-'hys. 50С. Lопdоп, 1964, У. 83, р. 74.
37. Maris Н. J. Phys. Rev. 1969, у, 188, р. 1303.
38, Maris Н. J. Phys. Rev. 1969, У. 188, р. 1308.
39. Woodrutf Т., Ereпreich H. Phys. Rev., 1961, У. 123, р. 1553.
40. 5imons 5. Proc. Phys. 50С., 1967, У. 91, р, 759.
41, Лосачев Ю, А., Моr1жес Б. Я, ФТТ, 1973,т. 15, с. 2888.
42. Miller Р. B. Phys. Rev., 1965, У. 137, р. 1937,
43. Туревuч Л. Э., Шкловскur1 Б. Н. ЖЭТФ, 1967, т. 63, с. 1726,
44. Maris Н. J. Phys. Rev., 1968, у, 775, р. 1077,
45. Туляев Ю. В., Козорезов А. Т. ЖЭТФ, 1982, т. 82, с. 1551.
46. Fitzgerald Т., Chick В. В., Truell R, J. Appl. Phys., 1964, У. 35, р. 1639.
47. Keller К. R., J. Аррl. Phys" 1967, У. 38, р. 3777,
48. Ахматов А. Н., Тазuзова Т. А., Нванов С. Н. и дp. ФТТ, 1977, т. 19,
с.308.
49. Туляев Ю, В., HeaNoe С, Н., Козорезов А, Т. и дp. ЖЭТФ, 1983, т. 84, с. 672.
50. Френкель Я. Н., Конторова Т. A. ЖЭТФ, 1938, т. 8, с. 1349.
51. Коттрелл А. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Ме-
таллуРrиздат, 1958.
52. Косевuч А. М. Дислокации в теории упруrости. Киев: Наукова думка,
1978,
53. Халл Д. Введение в дислокации: Пер. с анrл, (Под ред. В. Н. Быкова....:.... М.:
Атомиздат, 1968.
392
54. Tpaltamo А., Люкхе K. в КН.: Ультразвуковые методы исследования дис-
локаций: Пер. с анrл. /Под ред. Л. [. Меркулова. М.: ИЛ, 1963, с. 27.
55. КосЫет J. S. In: Imperfections in Nearly Perfect Crystals. N. У., 1952,
р. 197.
56. Транато А., Люкке К. Струнная модель дислокации и дислокационное
поrлощение звука. СМ. [14J, ч. А, с, 261.
5'1. Bordoni Р. O. J. Acoust. Soc, Amer" 1954, У. 26, р. 495.
58. Нuблетт Д. ПИК Бордони В rранецентрированных кубических металлах,
СМ. [13J, с. 99.
59. Зесер А., Донт Т., Пфафф Ф. Механизм низкотемпературной механической
релаксации в деформированных крнсталлах, СМ. [54J, с. 75.
60. Зе?ср А., Шuллер П. Переrибы иа днслокациях и их влияние на внутреннее
трение в кристаллах. СМ. [54J, с. 428,
61. Лоте Дж. Аспекты теории подвижности дислокаций и BHYTpeHHero тренин.
СМ. [14J, с. 119. .
62. Drouillard Т. F. Accoustic emission. А bibIiography \vith abstracts. N. У ;
L.: IFI /P1enum, 1979.
63. Трешltuков В. А., Др060т Ю. Б. Акустическая эмиссия. М.: Изд. CTaHM\J-
тов, 1976.
64. Артюхов В. И., Вакар К. Б., Макаров В. И. и др. Акустическая эмиссия 11
ее применение для неразрушающеrо контроля в ядерной энерrетике/Под
ред. К. Б. BaKapa. М.: Атомиздат, 1980.
65. Бойко В. С., Нацик В. Д. Элементарные I\ИС,10каЦИОНIIЫС механизмы аку-
стическоЙ эмиссии. В К!I.: Элемеюарнцс процессы пластической дефор-
мации кристаллов. Киев: Наукова думка, 1978, с, 159.
66. Нацик В. Д., Чuшко К. A. АI(УСТ. ж., 1982, т. 28, с. 381'.
67. Бойко В. С., Тарбер Р. И., Кuвшuк В. Ф., Кривенко Л. Ф. ЖЭТФ, 1976,
т. 71, с. 708.
68. Бойко В. С., KpUaeltKO Л. Ф. ЖЭТФ, 1981, т. 80, с. 255.
69. Маслов Л. A. ПМТФ, 1976, М2 2, С. 160.
70. Achenbach J. n., Harris J. O. J. Appl. Mech., 1979, У. 46, р. 107,
71. Rose L. Я. F. Iпt. J. Fracture, 1981, У. 17, р. 45.
72. Крылов В. B, Акуст, Ж., 1983, т. 29, с. 790.
73. красuлыtковв В. А., Крылов В. B. В кн.: Материалы XII ВсесоlOЗН. конф.
по акустоэлектронике и квантовой акустике. Ч. 2. Саратов, 1983, с. 341.
74. Крылов В. В., Поltомарев Е. П. Ibid., с. 343.
75. Крылов В. В., ПоltОАtGрев Е. П. В кн.: Х Всесоюзн. акустическая конф.
Доклады, Секция H. М., 1983, .с. 85.
76. Черепанов Т. П. Механика хрупкоrо разрушения. М.: Наука, 1974.
77. Lord А, Е. J. Iп: Phys. Acoust, /Ed. W. Р. Masoп, R. N. Thurstoп. N. У.:
Acad, Press, 1981, У. 15, р. 295.
К славе / /
1. Landau L., Яите, O. Phys. Z. (USSR), 1937, Bd. 11, S. 18. (Перевод: Лан-
дау Л. Д. Собр. Tp. М.: Наука, 1969, т. !, с. 237.)
2. Тольдбере З. A. Акуст. Ж., 1960, т. 4, с. 307.
3. Красuльнuков В. А., Тедройц А. A. Вестн. Моек, YIHa, сер. 3, 1962, N'2 2,
с. 92.
4. Тедройц А. А., Красuльнuков В. A. ЖЭТФ, 1962, т. 43, с. 1592.
5. ЗареА!бо Л. к., красuлыtковв В. А. Введение в нелинейную акустику. М.:
Наука, ] 966. .
6. Зарембо Л. к., КраСllЛЬНUК08 В. A. УФН, 1970, т. 102, с. 549.
7, Joпes О. L., Kobett D. Я. J. Acoust. Soc. Amer., 1963, у. 35, р. 5.
8. Rollings F. R. Аррl. Phys. Lett., 1963, У. 2, р, 147.
9, Rolliпgs F, R., Taylor L. Н., Todd Р. H. Phys. Rev., 1964, У. 136, р, 597.
10, Тунь-Сю Фэнь,Зарембо Л. К., КрасuльнU/wв В. A. Акуст. Ж., 1965, т. 11,
с. 112.
11. Тунь Сю Фэнь, Зарембо Л. К., Красuльнuков В. А. ЖЭТФ; 1965, т. 48,
с. 1598.
12. Rischbieter F. Acoustics, 1965/1966, У. 16, р. 75; Acoustics, 1967, У. 18, р. 109.
393
13, Lopen Р. O. J. Appl. Phys., 1968, У. 39, р. 5400.
14. КрасuльнtlКов В. А., Лямов В. Е., Солодов Н. Ю. Вестн. Моск. ун-та: сер,
физ. и астрон., 1970, М9 4, С. 470.
15. Зарембо Л. К., КраСUЛЫ-lUков В. А., Случ В. Н., Сухаревская О. Ю. Акуст.
ж" 1966, т. 12, с. 486.
16. Сухаревская О. Ю. Вестн. Моск. ун-та: сер. физ. и астрон., 1967, М9 2, С. 96.
17. Зарембо Л. K. Акуст. ж., 1970, т. 12, с. 486.
18. Зарембо Л. К., Сердобольская О. Ю. Вестн. Моск. ун-та: сер. физ, и астрон.,
1970, М9 1, С. 62.
19. Зарембо Л. К., Прохоров В. M. Акуст. Ж., 1975, т. 21, с. 198.
20. Зарембо Л. К., Шкловская-Кордu В. B. ФТТ, 1970, т. 12, с, 3649.
21. Полякова А. Л. ФТТ, 1964, т. 6, с. 65.
22, Зарембо Л. К., Красuльнuков В. А., Сердобольская О. Ю. Нелинейная аку-
стика кристаллов и некоторые ее приложения. В кн.: Нелинейная аку-
стика. Теоретические и экспериментальные исследования. rорький: Изд.
ИПФ, 1980, с. 189.
23. Терстон Р. Распространение волн в жидкостях и твердых телах. В кн.:
Физическая акустика/Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966, т. \, ч. А, с. 13.
24. Thurston R. N. 1п: Haпdbuch der Physik, У. V1, a/4/Ed. С. Truesdell. Ber-
liп; Heidelberg; New York: Sprit1ger Verlag, 1974, р. 110.
25. Seeger А., Buck O. Zs. Naturforsch., 1960, Bd. 15а, S. 1056.
26. Bateтan Т. В., Mason W. Р., McSkiтin Н. J., J. Арр!. Phys., 1961, У. 32,
р. 928.
27. Nakagawa У., УатапоисЫ К., Shibayaтa K. J. Арр1. Phys., 1973, У. 44,
р. 3969.
28. Fузь А. Н., Махорт Ф. F., Fуща О. Н. Введение в акустоупруrость. Киев:
Наукова Думка, 1977.
29. Коробов А. Н., Лямов В. E. ФТТ, 1975, т. 17, с. 1448.
30, Nalaтwar А. L., Epstein M. J. Арр1. Phys., 1976, У. 47, р. 43.
31. Ридер, Каллен. ТИИЭР, 1976, т. 64, с. 226.
32. Лямов В. Е. Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия аку-
стических волн в кристаллах. М.: Изд-во Mry, 1983.
33. Ермuлuн К. К., Красuльнuков В. А., Лямов В. Е., Прохоров В. M. фТТ,
1973, т. 15, с, 2251.
34. Бражкuн Ю. А., Лямов В. E. ФТТ, 1980, т. 22, с. 2520.
35. ЛЯАtoв В. E. ФТТ, 1981, т. 23, с. 1483.
36. БраЖКllН Ю. А., Коробов А. Н., Красuльнuков В. А., Лямов В. E. ФТТ,
1976, т. 18, с. 1746.
37. Ермuлuн К. К., Лямов В. Е., Пятакав П. A. ФТТ, 1973, т. 15, с. 3226,
38. Чабан А. A. ФТТ, 1967, т. 9, с. 3334.
39. Попов С. Н., Крайнuк Н. H. ФТТ, 1970, т. 64, с. 3022.
40. Кессель А. Р., Сафuн Н. А., Fольдман А. M. ФТТ, 1970, т. 12,
с. 3070.
41. Копвuллем У. Х., Смоляков Б. П" Шарuнов Р. З. Письма в ЖЭТФ, 1971,
т, 13, с. 558.
42. Shiren N. S., Melcher R. L., Garrod D. К., Kazyaka Т. C, Phys. Rev, Lett.,
1973, У. 31, р. 819.
43. Юшuн Н. К" Леманов В. В., АсИiиев Б. A. ФТТ, 1974, т. 16, с.. 2789.
44. Бондаренко В. С., Соболев Б. В., Бочков Б. F., Зуев В. E. Письма в'ЖЭТФ,
1976, т. 23, с. 317.
45. Korpel A. J. Appl. Phys., 1978, У. 49, р. 6125.
46. Левuн В. М., Чернозатонскut1 Л. А. ЖЭТФ, 1970, т. 59, с. 142.
47. Левlill В, М., Пустовойт В. H. ФТТ, 1976, т. 18, с. 3023.
48. Ермtlлuн К. К., Лямов В. Е., Фuльчакоз Н. Б. ФТТ, 1981, т. 23, с. 29 .
49. Fарланд K. В кн.: Физическая акустика/Под ред. у, Мэзона и Р. Тер-
CTOHa. M.: Мир, 1974, т. 7, с. 61.
50. Зарембо Л, К., Красuльнuков В. А., Сердобольская О. Ю., Сериков В. H.
ФТТ, 1974, т, 16, с. 3578.
51. Fедройц А. А" Зарембо Л. К., Красuльнuков В. A. ДАН СССР, 1953, т. 150,
с. 515.
52. Нikata А., Elbauт C. Phys. Rev., 1966, У. 144, р. 469.
394
53. Труал Р., Эльбаум Ч., Чик Б, Ультразвуковые методы в физике твердоrо
тела: Пер. с анrл. М.: Мир, 1972.
54. Ермuлин К. К., Зарембо Л. К., Краcuльнuков В, А. и дp. ФММ, 1974,
т. 38, с. 880.
55. Richardson В. А., Thoтpson R, В., Wilkinsoп С. D. J. Acoust. Soc. Amer.,
1968, У. 44, р. 1608.
56. Самулёнис В. И., Кунuселuс В. Ф., Fиршковuчус М, Н. ЖЭТФ, 1972, т. 61,
с. 1941.
57. Засрай Н. П., Зарембо Л. К, Сердобольская О. Ю. ФТТ, 1977, т. 19,
с. 1333.
58. Засрай Н. П., Сандлер Ю. М., Сердобольская О. Ю. ФТТ, ]981, т. 23, с. 379,
К славе 12
1. Мазон .Y. В кн.: Физическая акустика/Под ред. У. Мэзона: Пер. с анrл.
;Под ред. Л. Д. Розенберrа, т. !, ч. A. М.: Мир, 1966, с, 566.
2. Мей Дж. !bid., с. 489.
3. Ма:юн .У. lbid., с. 398.
4. .Уайт ТИИЭР, 1970, т. 58, с. 68.
5, Кайно F., Шоу Дж. УФН, 1974, т. 113, с. 157.
6. Лямов В. E. В кн.: УЛьтразвук. Маленькая энцнклопедия. М.: Сов.
энц., 1979, с. 42.
7. Мейнс, Пейдж ТИИЭР, 1976, т. 64, с. 81.
8. Дрансфельд К., Зальцманн E. В кн.: Физическая акустика/Под ред. У. Мэ-
зона и Р. Терстона: Пер. с анrл./Под ред. И. r. Михайлова М.: Мир, 1974,
т. 7, с. 250.
9. Морозов А. И., Проклов В. В., Станковскuй Б. А. Пьезоэлектрические пре-
образователн для радиоэлектронных устройств. М.: Радио и связь, 1981.
10. Дьелесан Э., Руайе Д. Упруrие волны в твердых телах. Применение для
обработки сиrналов: Пер. с франц./Под ред. В. В. Леманова. М,: Наука,
1982.
11. КариН(:кий. С. С. Устройства обработки сиrналов на ультразвуковых по-
верхностных волнах. М.: Сов. радио, 1975.
12. Речuцкuй В. И. Акустоэлектронные компоненты. М.: Сов. радио, 1980.
13. Поверхностные акустическне волны /Под ред. А. Олинера. М.: Мир, 1981.
14. Фильтры на поверхностных акустических волнах. Расчет, технолоrия и
применение/Под ред. r. Мэттьюза. М.: Радио и связь, 1981.
15. Special issue оп microwave acoustic signal processing. ШЕЕ Tra!1s.: SO!l.
Ultrason, 1973, У. 20, N2 2.
16. Поверхностные акустические волны устройства н применения. ТИИЭР,
1976, т. 64, N2 5 (спец. выпуск).
17. White R., Voltmer P. Арр1. Phys. Lett., 1965, У. 7, р. 314.
18. Coquin О. А., Тiersten Н. P. J. Acoust. Soc. Amer., 1967, у. 41, р. 921.
19, Fорышнuк Л. Л., Кондратьев С. H. Радиотехника и электроника, 1978,
т, 23, с. 151.
20. Fuлuнскuй И. А" Попов В. B. Радиотехника и электроника, 1978, т. 23,
с. 392.
21. БuрюК1JВ С. В., Fорышнuк Л. Л. ЖТФ, 1980, т. 50, с. 1647.
22. Балакuрев М. к., Fилинскuй И. А. Волны в пьезокрнсталлах. Новоси-
бирск: Наука, 1982.
23. Fулжв Ю. В., Плесскuй В. П., Тен Ю, A. В кн.: Материалы'Х! Всесоюзн.
конф. по акустоэлектронике и Квантовой акустике. Душанбе: Дониш,
1981, ч. 1, с. 106.
24. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэ-
лея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966.
25. Hamphryes R. Р., Ach Е. A, ElectroI1, Lett., 1969, у. 5, р. 175.
26. Yamanish.i М., Ameda М" Kawamura Т, et a1. Еlесtrоп. Lett., 1976, у, 12,
р.317.
27. Ахромеева И. Д., Крылов В. B. Акуст. ж" 1977, т. 23, с. 510.
28. Лапин А. Д. Акуст. Ж., 1978, т. 24, с. 703.
29. Fулжв Ю. В., Плесскuй В. П. ФТТ, 1979, т. 21, с, 3470.
395
ЭQ. rуляев ю. В., kурач Т. Н., плеССКllй 8, П. Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29,
с. 563.
31, Lee R. Е., White R, M. Арр1. Phys. Lett., 1968, у, 12, р. 12.
32, Ledbetter Н, М., Moulder J, C, J. Acoust. Soc, Amer., 1979, у. 65, р. 840.
33. AS/t Е. А., Dieulessaint Е., Rakouth H. Е1есtrоп, Lett., 1980, у. 16, р. 470.
34. Крылов В. В., Павлов В. И. В кн.: Материалы Х! Всесоюзн. конф. по аку-
стоэлектронике и квантовоЙ акустике, Душанбе: Дониш, 1981, ч. 1,
с.200.
35. Lewis М. P. E1ectron. Lett., 1972, у. 8, р. 553.
36. Пасхин В. М., Сандлер М. С., Свешников Б. В. ЖТФ, 198/, т. 51, с. 2595,
37. Танкрuлл, Холланд. ТИИЭР, 197/, т. 59, с. 62.
38, Tseng С. C. J. Appl. Phys., 1967, у. 38, р. 4281.
39. Melngailis J., 5mith J. М., Cafarella J. H. !п: !ЕЕЕ Ultrаsоп. Symp. Proc.
Воstоп, Mass, 1972, р. 221.
40. Уильямсон. ТИИЭР, 1976, т. 64, с. 159,
41. Белл, Лll. ТИИЭР, 1976, т. 64, с. 171.
42. Бреховских Л, M. AKYCT. ж., 1959, т. 5, с. 282.
43. Gilbert Р., Knopoff L. J. Geophys. Research, 1960, у. 65, р. 3437.
44. Parekh J. Р., Тиаn Н. 5. J. Арр1. Phys., 1977, у, 48, р. 994,
45. Maradudin А. А., Mills D. L. Апп. Physics, 1976, у. 100, р. 262.
46. Бирюков С. В., rОрЫШНllК Л. Л. Акуст. ж., 1977, т. 23, с. 461.
47. 5imons D. A. J. Acoust. Soc. Amer., 1978, у. 63, р. 1592.
48. Graff К. Р. \Vave mоtiоп iп e1astic solids. Oxford: Сlаrепdоп Press, 1975.
49. Крылов В. B. Акуст. ж., 1980, т. 26, с. 214.
50. Крылов В. B. Акуст. ж., 1981, т. 27, с. 261.
51. Бuрюков С. B, Акуст. ж., 1980, т, 26, с. 494.
52. Li R. С. М., Melngailis J. ШЕЕ Тrапs. Sоп. UItrаsоп, 1975, у. 22, р. 189,
53. Тааn Н. 5., Parekh J. P. !ЕЕЕ Тrапs. Sоп. UItrаsоп., 197-7, у. 24, р. 384.
54. Лаnuн А. Д. Акуст. ж., 1980, т. 26, с. 104.
55. Лаnuн А. Д. Акуст. ж., 1979, т. 25, с. 766.
56. и R. С. М., Alusow J. А" Williamson R. C. !п: !ЕЕЕ UItrаsоп. Symp.
Proc. Los Апgеlеs, Са., 1975, р. 279.
57. Li R. С. М., Alusow J, A. Е1есtrоп. Lett., 1977, у. 13, р. 520,
58. Tanski W. J. !ЕЕЕ Тrапs. Sоп. UItrаsоп., 1979, у. 26, р. 93.
59. Мак-Фu ДЖ. В кн.: Физическая акустика !Под ред. У. Мэзона: Пер. с
анrл. !Под ред. Л. [. Меркулова иЛ. Д. Розенберrа. М.: Мир, 1969, т. 4,
ч. А, с. 12.
60. Hutson А. R., White D. L. J. Арр!. Phys., 1962, у. 33, р. 40.
61. White D. L. J. Аррl. Phys., 1962, у. 33, р. 2547.
62. Пусmовойm В. И. УФН, 1969, т. 97, с. 257.
63. Lemanov V. V., Jlisavsky Уи. V. Ferroe1ectrics, 1982, у. 42, р, 77.
64. Blotakjaer К., Quate С. P. Proc. ШЕЕ, 1964, у. 52, р. 360.
65. Сmuл М., Вюраль Б. Взаимодействие волн в плазме твердоrо тела. М.:
Атомиздат, 1973.
66. Hutson А. R., МсРее J. Н" WhiteD. L. Phys. Rev. Lett., 1961, у, 7, р. 237.
67. White R. М., Voltтer Р. W. Аррl. Phys. Lett., 1966, у. 8, р. 40.
68. Викторов И. A. Акуст. ж., 1966, т. 12, с. 251.
69. rуляев Ю. В., Пусmовойт В. И. ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 2251,
70. Кайно. ТИИЭР, 1976, т. 64, с. 188.
71, Gueret P. J. Appl. Phys., 1971, у. 42, р, 3040.
72. Кino О. 5., Coldren L, A. Арр1. Phys. Lett. 1973, У. 22, р. 50.
73. Coldren L. А., Кino О, S. Арр1. Phys. Lett., 1973, у. 23, р. 117.
74, БОсданов С. В" Боярский А. М., Левин М. Д., Яковкuн И. Б. ФТП,
1973, т. 7, с. 1604.
75. Колдрен, Шоу. ТИИЭР, 1976, т. 64, с. 30,
76. УатаnоисЫ к., 5ЫЬауата K. Jарап J. Appl. Phys., .1977, у. 16, р. 492,
77. Красuльников В. А., ЛЯА/ов В. E. Акуст. ж., 1973, т. 19, с. 801.
78. rуревичВ. Л. ФТТ, 1963, т. 5, с, 1222.
79. Tell B. Phys. Rev., 1964, у. 136, р. 772.
80. Маито R., Wang W. C. Phys. Rev., 1970, у. !В, р. 638.
81. rуляев Ю. B. ФТТ, 1970, т. 12, с, 415.
396
2. Можаев В. r:, Солооов И. Ю. Вести. Моск. ун-та: сер. фиэ, и астрон., 1980,
т. 21, с. 46.
R3. Такер Дж., Рэмnтон В. rиперзвук в физике твердоrо тела. Пер. с анrл, /Под
ред. И, [, Михайлова и В. А. Шутилова. М.: Мир, 1975.
84. Morozov А, 1., Zern1ya/litsin М. А., Anisimkin V. I. Phys. 5tat. 501., 1972,
У. 14, р. 339.
8.'). Красильников В. А., Лямов В. Е., Солодов И. Ю. Изв, АН СССР, 1971,
т. 35, с. 944,
86. rуляев Ю. В., Денисенко В. B. ФТТ, 1972, т. 14, с. 1475.
87. rуляев Ю. В., Карабанов А. Ю., КМllта А. М. н дp. ФТТ, 1970, т, 12,
с, 2595.
В8. Пятаков П. А., Лямов В. E. ФТТ, 1975, т. 17, с. 752.
139. Padmor Т. С., Stegeman О. 1. J. Аррl. Phys., 1976, У. 47, р. 1209.
90. otto О. W. J. Appl. Phys., 1974, у. 45, р. 4373.
9J. Gautier Н., Кino О, s. ШЕЕ Тrапs.: 50П. Ultrаsоп., 1977, У. 24, р. 23.
92. Финкельштейн М. И. Основы радиолокации. М.: Сов. радио, 1973.
93. Дефрануль, Марфельд. ТИИЭР, 1976, т, 64, с. 218.
94, Bers А., CafareZZa J. H. Аррl. Phys, Lett., 1974, У. 25, р, 133.
95. Коршак Б, А., Лямов В. Е., Солодов И. Ю. Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 23,
с. 438.
96. Коршак Б. А., Лямов В. Е., Солодов И. Ю. Мнкроэлектроника, 1977, т, 6,
с, 331.
97. Quate С, P. ШЕЕ Тrапs.: 50П. Ultrаsоп., 1974, У. 21, р. 283.
98. Luukkala М., Merilainen P. Electron, Lett., 1974, У. 10, р. 80,
99, Коршак Б. А., Лямов В. Е., Солодов И. Ю" ЕлеНСКllй В. r. Зарубежная
радиоэлектроника, 1981, N2 1, с. 58.
К i!лаве 13
1. Фабелинский И, Л. Молекулярное рассеяние CBeTa. М.: Наука, 1965.
2. БеРi!ман Л. Ультразвук и ero применение в науке и технике: Пер. с нем.
/Под ред. В. С. rриrорьева и Л. д. Розенберrа. М.: ИЛ, 1956.
3. Флери П. В кн.: Физическая акустика /Под ред. У. Мэзона и Р. Терстона:
Пер. с анrл. /Под ред. И. Л. Фабелинскоrо. М.: Мир, 1973, т, 6, с, 13.
4. Такер Дж., Рэмnтон В. rиперзвук в физике твердоrо тела: Пер. с анrл.
/Под ред. И. [. Михайлова и В. А. Шутилова. М.: Мир, 1975.
5. Дамон Р., Мэлони В., Мак-Масон Д. В кн.: Физическая акустика /Под
ред. У. Мэзона и Р. Терстона: Пер. с анrл, /Под ред. И. [. Михайлова. М,:
Мир, 1974, т. 7, с. 311,
6. rуляев Ю. В., Прок.лов В. В., Шкердин r. H. УФН, 1978, т. 124, с. 61,
7. Левин В. М., Пустовойт В. И, В кн.: Ультразвук. Маленькая эициклопе-
дия....:..... М.: Сов, энц., 1979, с. 31.
8. Хейран М. Е. ТИИЭР, 1979, т. 67, с. 10.
9. Ахмед М., Ван к., Мидерелл A. 1bid., с. 25.
10. Акустическая rолоrрафия: Пер. с анrл. Л.: Судостроение, 1975.
11. ЛямшевЛ. М., Седов Л, B. AKYCT. ж., 1981, т. 27, с. 5.
12. Лямов В. Е., Мадвалиев К., Шихлuнская Р. Э. Акуст. ж., 1979, т. 25, с. 427.
13. Renk К. p, Iп: Ultrason. 5утр. Proc., New Orleans, La., 1979, р. 427.
14. Най Дж. Физические свойства кристаллов: Пер. с анrл. /Под ред. Л, А. Шу-
валова. М.: Мир, 1967.
15. Зарембо Л. К., КраСllльников В. А. Введение в нелинейную акустику. М.:
Наука, 1966.
16. Klein W. R., Cook В. D. ШЕЕ Trans, 50П. Ultrason., 1967, У, 14, р. 123.
17. Борн М" Вольф Э. Основы оnтики. М.: Наука, 1973.
18. Рытов С. M. Изв. АН СССР сер. фиэич., 1937, N2 2, С, 222,
19. Мустель Е. Р., ПарЫi!ин В. Н, Методы модуляции и сканирования CBeTa.
М.: Наука, 1970. .
20, Дрансфельд К., Зальцманн E. В кн.: Физическая акустика /Под ред. У. МВ-
зона иР. Терстона: Пер. с анrл. /Под ред. И. [. Михайлова, М.: Мир, 1974,
т. 7, с. 250.
397
21. 51ковкин И. Б., Пеmров д. В. Дифракция света на акустических поверхност
иых волнах. Новосибирск: Наука, 1979.
22. Salzmann Е., Weismann D, J. Арр1. Phys., 1969, У. 40, р. 3408.
23. СЫао R. У., Townes С. Н" Stoichett В. P. Phys. Rev. Lett., 1964, У. 12,
р. 592.
24. Старунов В, С" ФабелиНСКllЙ И. Л. УФН, 1969, т, 98, с. 441,
25. Зельдович Б. Я., Носач О. Ю., Поnовичев В. И. и дp. Вестн. Моск. ун-та,
сер. физ. астрон" 1978, т. 19, с. 137.
26. Каnустин А, П, Экспериментальные исследования жпдких кристаллов.
М.: Наука, 1978.
27. Кондратенко В. к., Фарэmдllнов М. М., Чувыров А. H. ФТТ, 1975, т. 17,
с. 795.
28. Barto/ino R., Bertolotti М., Scudieri Р. et al. J. Арр 1. Phys., 1975, У. 46,
р. 1928.
29. Кожевников Е. Н., Чабан И. A. Акуст. Ж., 1975, т. 21, с. 900.
30. Королев Ю. Н., Яковенко r. H. Акуст. Ж., 1977, т. 23, с. 783.
31. Свет В. Д., Яковенко r. H. Акуст. Ж., 1980, т. 25, с. 151.
32. Каnустина О. А., ЛуnаНОIi В. Н., Чалая r. C. Акуст. ж, 1978, т. 24, с. 136.
33, Макаров В. И. Акуст. Ж., 1972, т. 18, с. 325.
34. Макаров В. И. Акуст. Ж., 1974, т. 20, с. 794.
35. Буров В. А., Красильнuков В. А., Павлов В. И. Акуст. Ж., 1982, т. 28,
с.324.
36. Ахмед М., Уэйд r. ТИИЭР, 1979, т. 67, с. 170.
37. rресуш П. Звуковидение: Пер. с анrл. (Под ред. В. Д. CBeTa. М.: Мир,
1982.
38. Мюллер. В кн.: Применения rолоrрафии: Пер. с анrл. М., Мир, 1973,
с. 44.
39. Олдрuдж. В кн.: Методы неразрушающих испытаний: Пер. с анrл. М.:
Мир, 1972, с. 153.
40. Свет В. Д. В кн.: Ультразвук. Маленькая энциклопедия. М.:Сов.
энц., 1979, с. 89.
41. Божков А. И., Бункин ф, B. Квантовая электроника, 1975, т. 2,
с. 1763,
42. Карабуmов А. А., Руденко О. В., Череnецкая Е. Б. Акуст, Ж., 1979, т. 25,
с. 383.
43. Божков А. И., Бункин Ф. В., rbIpaeB Л. Л. Квантовая электроника, 1976,
т, 3, с. 1494.
44 Касоев С. r., Лuсовская М. r., Лямш в Л. М., Седов Л. B. Акуст. Ж., 1979,
т. 25, с. 401.
45, ЛЯМШf!8 Л, М" Седов Л, B. Акуст. Ж., 1978, т, 24, с, 906.
46. Божков А, И., Коломенский Ал. A. Квантовая электроника, 1978, т. 5,
с, 2577,
47. Лямшев Л. М., Седов Л. B. Акуст. Ж., 1979, т. 25, с. 906,
48. Красцльнuков В. А., Павлов В. И. Доклады АН СССР, 1981, т. 256,
с.370,
49. Крылов В. В., Павлов В. И. Акуст. ж., 1982, т. 28, с. 836.
50. Аскарьян r. А., Долсошеuн Б. A, Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 28, с. 617.
51. rолубниЧllЙ П. И., КалюжНЫЙ r. С., КОРЧUКС8 С. Д, И дp. Письма в ЖТФ,
1981, т. 7, с. 272.
52, Rosencwaig A. Physics Today, 1975, У. 28, р. 23.
53. Rosencwaig А., Gersho A. J. Арр1. Phys., 1976, У. 47, р. 64.
54. Nordhaus О., Pelzl J. Арр1. Phys., 1981, У. 25, р, 221.
55. Леманов В. В., Шакuн О, B. ФТТ, 1972, т. 14, с. 229.
56. Свет В. Д. Оптические методы обработки сиrналов, М.: Энерrия, 1971.
57.. Лин, Уайm, Уuлкuнсон. ТИИЭР, 1976, т, 64, с. 258.
58, Проклов В. В" Шкердuн r. Н., rуляев ю. B. ФТП, 1974, т. 6, с. 1915.
59. Осmровский И. В., Рожко А. Х" Лысенко В. H. Письма в ЖТФ, 1979, т. 5.
с. 910.
60. rуляев Ю. B. ФТТ, 1967, т. 9, с. 431,
61. Осmрооскuй И. B. Письма в ЖЭТФ, 1981, т, 34, с. 463.
398
К елаве 14
1. Ахиезер А. И., Барьяхтар В. F., Пелетминский С. В. СпиНовые ВОЛны.
М.: Р.аука, 1967.
2. Такер Дж., Рэмnmoн В. rиперзвук в физике твердоrо тела: Пер. с анrл /
Под ред. И, [. Михайлова и В. А. Шутилова. М.: Мир, 1976. .
3. Ле Кроу Р., Комсmoк P. В кн.: Физическая акустика / Под ред. У. Мэзо-
на: Пер. с анrл. / Под ред. И. Л, Фабелинскоrо М.: Мир, 1968, т. 3, ч. Б,
с. 156.
4. Штраусс B. В кн.: Физическая акустика / Под ред. У. МэЗОна: Пер. с
анrл.! Под ред. Л. [. Меркулова и В. А. Шутилова М.: Мир, 1970, т. 4,
ч. Б, с. 247.
5. Киттель Ч. Введение в физику TBepAoro тела: Пер. с анrл.! Под ред. А. А.
[усева М.: Наука, ]978.
6. Смоленский F. А., Леманов В. В, Ферриты и их техническое применение.
Л.: Наука, 1975.
7. Яковлев Ю. М., Fенделев С. Ш, Монокристаллы ферритов в радиоэлектро-
нике. М.: Сов. радио, 1975.
8, Моносов Я. А. Нелинеиный ферромаrнитный резонанс. М.: Наука, 1971.
9. Damon R. W., ЕshЬш:h J. R. J. Phys. Chem. 501ids, 1961, У. 19, р, 308.
10, Мi/lе, N. D. J. Phys. stat. 501. (а), 1977, У. 43, р. 593.
11. Fончаров К. В., Красцльнцков В. А., Jlчасткuн В. И. ФТТ, 1967, т. 9,
с. 3384.
12. Auld В. А. Iп: Appl. 50lid 5tate 5ciel1ce. Acad. Press.: N.Y.: 1971, У. 2,
р. 2.
13. Scott R. Q" Mills D. L. Phys. Rev. В, 1977, У. 15, р. 3545.
14. Fончаров К. В., Маматова Т. А., Иванец А. A. Вестн. Моск. ун-та: сер.
физ. астрон., 1977, т. 18, с. 62.
15. Parekh J. Р. Еlесtrоп. Lett., 1970, У. 6, р. 430.
16. Camley R. Е., Maradudin А. A. Appl. Phys. Lett., 1981, У. 38, р. 610.
17. Леманов В. В., Павленко А. В., rрuшмановскuй А. И. ЖЭТФ, 1970, т. 59,
с. 712.
18. Fрuшмановскuй А. И., Юшuн Н. К., БОсданов В. Л. и дp. ФТТ, 1971, т. 13,
с. 1833.
]9. FaHH В. В" ЗаЗУfЮв Л. T. ФТТ, 1973, т. 15, с. 671,
20. Давыдов Л. Н., Спальнuк З. A. ФТТ, 1974, т. ]6, с, 1710.
21. Полякова А. Л. Акуст. Ж., 1976, т. 22, с. 427.
22. Мирсаев И, Ф., Нuколаев В. В., Талуц F. F. ФММ, 1978, т. 45, с. 490.
23. Дuкштейн И. Е., Тарасенко В. В., Шавров Б. T. ЖЭТФ, 1974, т. 67, с. 816.
24. Ожосuн В. И., Пре06раженскuй В. Л. ЖЭТФ, 1977, т. 73, с. 988.
25. Зарембо Л. К., Карnачев С. H. В кн.: Материалы XII Вс€союзн. конф. по
акустоэлектронике и квантовой акустике. Ч. 2. Саратов, 1983, с. 50.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ *)
Адиабата Пуассона 11
Акустическая rол.оrрафия 357
левитация 130
Акустические оси 218, 226. 233
ветви колебаний 243
Акустолюминесценция 366
Акустооптические дефлекторы 364
процессары 365
ВзаИМодействие акустоэлектронное :125
встречиое 295, 333
вырожденное 295, 334
треХВОЛlJовое 89
ф(jнон фононное 244
Вектор смещени я 189
Волны вязкие 20. 56
rравитационно'капилляриые 26
rуляева Блюштейна 203
изrибиые 21 О
клииовЫе 207
крутнльные 212
Лэмба 21 О
Лэмба обобщеиные 205
Лява 204
ма'rнитостатическис 373
нормальные продольиые 210
SH 210
простые 68
стационарные 70
Стоуили 205
температурные 2 О
ударные 12
утечки 206, 231
щелевые 206
Юиrовские 211
Выпрямленная теплопередача 151
rеиерация обратиой волны 295
Давление звуковое 34
ланжевеновское 120
рэлеевское 121
Закон rYKa 192
обобщенный 213
Запоминание акустиЧеских сиrналов 295,
336
ИЗЛУЧение звука днслокациями 272
трещинами 276
Маrионы Э 7:1
Маrнитоакустический резонанс 377
Механизм Ахиезера 257
Лаидау Румера 257
МОДУJ\И упруrости 192, 215, 282
Односторонняя диффузия 146
Оптические ВетВи колебаний 243
Отражательные решетки ПАВ 320
Пики Бордони 268
Рассеяние звука на звуке 9:1, 290
Резоиаторы На ПАВ 321
Решенне Римаиа 66
Сила Бьёркиеса 133
Скорость звука адиабатическая 11, 36
высокочастотная 47
Скорость колебательная 34.
Солитои 84
Соотиошенне Вайнраiiха 332
Соотношеиия К:рамерса КРОllиrа 54
Мэнли Роу 100
Тензор деформации 189
напряжений 190
Пиалы Кирхrофа 28:1
термодинамических НЗПр51ЖЕ'IIИЙ 193,
282
Тi?рмооптичеСI(ПЯ rснераЦИЯ ЗВУI<.а 35У
V,'лы Брюстера 199, 234
Уравнение Бернулли 17
Больцмаиа кинетическое 256
Бюрrерса .77
rерца Кнудсена 149
Дайсана 163
движения упруrой средЫ !90, 194, 213
Кельвина Фойrта 49
KopTeBera де Вриза s:;
Навье Стокса 14, 19
непрерывностИ 1 о, 13
Нолтннrа Непайреса 141
переноса тепла 16
Рэлея 140, 200
Хохлопа ЗаболотскоЙ 87
эйконала 173
Эйлера 9. 1:1
Условия синхроннзма 89, 289
Устройстна свертки и корреляцин 333
считыРанИя оптических изображений 337
ФИЛЬТРЫ дисперсионные 317, 323
полосовые 315
Флуктуации амплитуды 178
фазы 1 74
Формула Кёl!иrа 133
Книrа 130
Миннасрта 144
.. Стокса Кврхrофа 41
Фотоакустическая спектроскопия 363
ЭлектроакустичеСhое эхо 295
с'фlj;ектнвное ма,'нИтное поле 370
*) НастоящиЙ предметный указатель Дополняет оrлавление кииrи, ие пов-
торяя ero. Термииы и понятия, отраженные . оrлавлеиии. в указатель не
включены.
ОfЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
6
ЧАСТЬ 1.
ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ И rАЗАХ
r л а в а 1. Некоторые вопросы rидродинамики 9
1, Идеальная жидкость . , . . , . . , 9
2. Вязкая Ц, теплопроводящая жидкость 14
3. Примеры точных решений . . . . . 17
4, Законы подобия. Безразмерные числа в rидродинамике . 21
5. Приближенные решения уравнений вязкой жидкости при (jоль
ших и малых числах Рейнольдса. ПоrраничныЙ слоЙ . 23
6. Волны иа поверхности жидкости . , , , , , . . . . 25
7. Турбулентное движение жидкости. Закон «двух третей» . 27
r л а в а 2. Звуковые волны в rазах н жидкостях. Релаксацнонная теория 34
1. Звуковые волны бесконечно малой амплитуды в идеальной среде 34
2. Скорость звука и поrлощение в rазах и жидкостях. . . . , " 36
3, Дисперсия и поrлощение звука. Экспериментальные исследования 41
4. Релаксация объемной вязкости . '. , , , . . 47
5. Релаксация сдвиrовой вязкости в жидкостях . . . , 55
6. Акустнческая спектроскопия . . . . . . . 60
r л а в а 3. Основы нелинейной акустики rазов и жидкостей 65
1. Плоская волна конечной амплитуды в rазе и жидкости в OTcyТCT
вне диссипации ..'. . . . , . . . . , , . . 65
2. ЭкспеРljментальные методы исследования 72
3. Плоская нелинейная волна в среде с диссипацией 76
4. Нелинейные плоские волны в среде с днсперсиеЙ 80
5. Сферические и цилиндрические нелинейные волны 85
6. Оrраннченные пучки , . . . . . . '.' . . . . , 87
r л а в а 4. Взаимодействия нелинейных акустических волн. Параметри
ческие аитеииы .,.........". 89
1. ВзаимодеЙствие нелинейных волн , . . , . . . , . . . . . .. 89
2. Стоячие нелинейные волны и резонаторы . . . . . . . . . .. 94
3. Параметрические процессы в нелинеЙных волнах. Параметрическая
излучающая н приемная антенны . , . . , . . . . . , , 99
4. Статнстическне явления при распространении нелинейных aKyc
тнческих волн . . . , . . . , . . , , . . . . . 108
5, Поrлощение звука шумом. .Акустическая турбулентность 110
r л а в а 5. Радиациоииое давлеиие. Акустические течеиия 118
1. Радиацнонное давление, Общие сведения . . . . , 118
2. Радиационная сила давления звука на взвешенные сферические
частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3. Взаимодействие двух сферических частиц в звуковом поле 132
. 4. Акустические течеиия . . . . . . . . , , , . . . . . . ' 135
t' л а в а 6. Акустическая кавитация. Распространеиие звука в Сре)l,е
с пузырьками , . . . . , . . , . . , . , . ,
1. Общие сведения , , . , . , ' . , ,
2. Динамика одиночноrо rазовоrо пузырька в акустическом поле
3. Динамика однночноrо паровоrо пузырька . , . , . . , .
s 4. Асимметричное захлопывание кавитационных пузырьков в жидкости
5. Кавитационная область и пороrи кавитации . .
6. Распространение звука в среде с пузырьками .
r л а в а 7. Турбулентность и звук .
1.
2.
р.
4.
5.
Введение. Общие сведения . . . . , .
Приближение rеометрической акустики ..
Приближенный учет дифракционных поправок. Метод плавных
возмущений , , , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . .
Задача о рассеянии звука на турбулентности. ........
Эксперименты по рассеянию звука на турбулентных HeOДHOpoд
ностях . . . . . . , . . . , ' . . . . . . . . , . . . . . . .
Ч А С Т Ь !I, ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАх
r л а в а 8. Лииенная акустика изотропных твердых тел .
1, Основные сведения из теории упруrости. ., . , .
2. Продольные и поперечные волны в изотропном твердом теле
3. Отражение и преломление продмьных н поперечных волн
4. Поверхностные волны Рэлея
5. Друrие типы поверхностных волн .
6. Волны в пластинках и стержнях .
r л а в а 9. Осиовы крнсталлоакустнки . .
1.
2.
р.
4.
5.
6.
р.
Плоские упруrие волны в кристаллах. Уравнение Кристоффеля.
Квазипродольные и квазипоперечные волны . .
Влияние симметрии упруrих свойств на распространение волн,
Пример расчета для кубическоrо кристалла " ..,.'
Поток энерrии. Фазовая и rрупповая скорости . . . . ,
Волны в пьезоэлектрических кристаллах. Коэффициент электро
механической связи . , . . . . . . . ., .....
Отражение и преломление упруrих волн на rраницах раздела
Поверхностные волны в кристаллах . . . . . . . . . . . . . ,
Учет дискретиости кристаллической решетки. Акустическая актив
ность и друrие эффекты, обусловленные микроструктурой ,
138
138
139
147
152
155
160
170
170
171
179
182
186
188
188
193
196
199
203
208
213
213
215
219
221
225
227
231
r л а в а 10. Поrлощеиие и скорость звука в твердых телах. Взаимодейст
вие с тепловыми фононамн и дислокациями. Акустическая эмнссия 236
1. Введение. Общие сведения . . . , , . , . . . . . . , , ., 236
2. Поrлощение звука в изотропных диэлектриках . . . ., 238
3. Некоторые сведения о колебаниях кристаллической решетки и
фононах . . , . . , , , , , . . . . , . . . , . . . . , .. 241
4. Взаимодействие звуковых волн с тепловыми фононами. МИКро
скопическое рассмотрение, Низкие температуры и rиперзвуковые
частоты . , . . , . , . , , , . , . , . . , . . . . , . , .. 246
5, Взаимодействие звуковых волн с тепловыми фононами. MaKpo
скопическое рассмотрение. Высокие (комнатные) температуры
и ультразвуковые частоты " ................ 253
6. Дислокациониое поrлощеиие и дисперсия звука. Акустическая
эмиссия . . . . . . . . . . . 261
r л а в а 11. Нелииейиая акустика твердоrо тела . . 280
1. Введение. Общие замечания . . . , 280
2. Основиые сведення из нелиненнон теории упруrости 281
51 3. Взаимодействие упруrих волн конечной амплитуды в изотропном
твердом теле , . , . . . . . . , , . . . . . , . . . , . . ,
5i 4. НелинеЙlIые акустические эффекты в кристаллах . . . . . .
5i 5. Экспериментальные методы исследования нелинейных явлений в
твердых телах и некоторые результаты этих исследований
r л а в а 12. Акустоэлектроника . , . . . . , . , . .
5i 1. Общие сведения . . . . . . . . . . . , . . .
2. Возбуждение и детектирование поверхностных волн. Встречно
штыревой преобразователь " . . . . . . . . . , . , . .
5i 3. Линии задержки и фильтры, использующие встреЧНО II1тыревые
преобразователи . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
5i 4. Рассеяние поверхностных волн. Резонаторы и фильтры на основе
отражательных структур . . . . . . . . , . . . . . . . , .
5. Усиленне звука дрейфом носителеЙ в пьеЗОПОЛУПРОВОДIlIlках и
слО!:стых структурах . . . , , . . . . . . . . . . . , . . . .
6. Волновые взаимодеЙствия, оБУСЛОВЛСlшые токопой нслинеiiностью.
А[(устоэлектрическнй эффект '" . . " ........
7. Нелинейные акустоэлектронные устройства на поверхностных
волнах . . , . . .
r л а в а 13. Акустооптнка
1. Введение . . . . .
2. Дифракция света на звуке. Раман натовский и брэrrовсКИЙ режимы
3. Днфракция света на поверхностных акустических волнах . . .
4. Рассеяние Мандельштама Бриллюэна на тепловых колебаниях
5. Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
6. Акустооптика жидких кристаллов . .. ........
7. Некоторые применения акустооптических взаимодействий
r л а в а 14. Волны в маrннтоупорядоченных кристаллах
1. Основные сведения о маrнитоупорядочениых кристаллах
2. Спиновые волны в ферро и антиферромаrнетиках
3. Маrнитоупруrие волны . . . , .
9 4, Затухание маrнитоупруrих волн
9 5. Нелинейные эффекты
Литература
Предметный указатель
285
291
298
305
305
307
31з
318
324
330
333
339
339
340
344
346
348
351
354
368
368
371
375
378
379
382
400