ББК 22.32
Б87
УДК 534.2+550.34
Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. —
М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. - 416 с. ISBN 5-02-014155-0
Посвящена теории распространения упругих волн в образованиях слоисто-
го характера как в искусственных структурах, употребляемых в ультразву-
ковой технике, так и в природных средах - океане, атмосфере, земной коре.
Дан вывод различных форм волнового уравнения и их точных решений. Описа-
ние упругих волн в твердом теле ведется на основе матричного формализма.
Рассмотрено влияние движения среды на звуковое поле. Излагается методика
построения асимптотических разложений волновых полей на основе эталонных
уравнений и эталонных интегралов. Значительное внимание уделяется физи-
ческой интерпретации результатов.
Для научных работников - физиков и геофизиков, а также для инженеров,
аспирантов и студентов старших курсов вузов.
Ил. 79. Библиогр. 555 назв.
Рецензент член-корреспондент АН СССР 2L4. Зверев
1604040000-039
Б 75-89 © Издательство "Наука".
053 @2) -89 Главная редакция
физико-математической
ISBN 5-02-014155-0 литературы, 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ
Некоторые обозначения 6
Предисловие 7
Глава 1
Уравнения для упругих волн. Решения в виде плоских волн 9
§ 1. Уравнения волновых полей в жидкости и твердом теле 9
1.1. Волновое уравнение для звука в слоистой жидкости (9).
1.2. Гармонические волновые поля A3). 1.3. Уравнения для упру-
гих волн в изотропном твердом теле A9).
§ 2. Плоские волны в дискретно-слоистой жидкости 25
2.1. Неоднородные плоские волны. Энергия звуковых волн B5).
2.2. Отражение плоской волны от границы раздела сред B7). 2.3. Ло-
кально реагирующие поверхности C3). 2.4. Отражение от плоского
слоя C4). 2.5. Коэффициенты отражения и прозрачности для про-
извольного числа слоев C8). 2.6. Учет относительного движения
слоев. Импеданс гармонических волн в движущейся среде D0).
§ 3. Отражение монохроматических плоских волн от непрерывно-слои-
стых сред: точные решения 47
3.1. Общие соотношения D7). 3.2. Построение "решаемых" про-
филей k(z) на основе вырожденного гипергеометрического уравне-
ния D9). 3.3. Профили, допускающие точные решения на основе
гипергеометрического уравнения E9). 3.4. Отражение плоской
волны от слоя Эпштейна F3). 3.5. Отражение плоской волны от
полупространства с линейным законом для квадрата показателя
преломления G0). 3.6. Другие случаи, допускающие точные ре-
шения при нормальном падении G8). 3.7. Среды с непрерывно-
слоистой стратификацией скорости звука, плотности и скорости
течения, допускающие точные решения (81) •
§ 4. Отражение плоских волн от границ твердых тел 89
4.1. Плоские волны в упругом полупространстве со свободной гра-
ницей (90). 4.2. Отражение от границы упругих полупространств
(94). 4.3. Отражение звуковой волны от произвольного числа
упругих слоев A00). 4.4. Поверхностные и "вытекающие" волны
на границе A07).
§ 5. Отражение звуковых импульсов 114
5.1. Общие соотношения. Закон сохранения интегрального импуль-
са A14). 5.2. Изменение формы импульса при полном внутреннем
отражении от границы двух однородных сред A18). 5.3. Полное
отражение импульса в непрерывно-слоистой среде A23).
§ 6 Универсальные свойства коэффициентов отражения и прозрачности
для плоских волн 126
6.1. Симметрия ло отношению к обращению направления хода волны
A26). 6.2. Аналитические свойства коэффициентов отражения и
прозрачности A31). 6.3. Неотражающие слои A38).
1' 3

§ 7. Звуковые волны в поглощающих и анюотропных средах 142
7.1. Учет поглощения волн A42). 7.2. Анизотропные упругие среды.
Волны Гуляева - Блюштейна A48). 7.3. Упругие свойства мелко-
слоистых сред A56).
Глава 2
Приближенные методы исследования волновых полей в неоднородных
средах 162
§ 8. Геометрическая акустика. Приближение ВКБ 163
8.1. Приближение ВКБ и его физический смысл A63). 8.2. Другой
вывод приближения геометрической акустики A71) •
§ 9. Звуковое .поле при наличии горизонтов поворота и резонансного
взаимодействия звука с потоком 174
9.1. Метод эталонного уравнения A74). 9.2. Звуковое поле в ок-
рестности точки поворота A78). 9.3. Отражение от "потенциаль-
ного барьера" A81). 9.4. Усиление звука в неоднородном потоке
A86).
§ 10. Отражение звука от среды с произвольным законом изменения
параметров 198
10.1. Уравнения для коэффициента отражения и импеданса звуковой
волны A98). 10.2. Отражение от тонкого неоднородного слоя B02).
10.3. Метод последовательных приближений для слабо отражающих
слоев B05). 10.4. Отражение от границ раздела в непрерывно-сло-
истой среде B09).
§ 11. Метод эталонных интегралов 217
11.1. Метод перевала B17). 11.2. Интегралы по вещественной пере-
менной B25). 11.3. Равномерные асимптотики интегралов B29).
Глава 3
Отражение и преломление сферических волн и волновых пучков 241
§ 12. Отражение и преломление сферических волн 241
12.1. Интегральное представление звукового поля B41). 12.2. Отра-
женная волна B44). 12.3. Преломленная волна B55). 12.4. Случай
резкого плотностного контраста. Отражение от импедансной границы
B59). 12.5. Слабая граница раздела B64). 12.6. Отражение от дви-
жущейся среды B71).
§13. Отражение ограниченных волновых пучков 278
13.1. Смещение остронаправленного волнового пучка при отражении
B79). 13.2. Падение пучка под углом, близким к критическому
углу полного отражения B83). 13.3. Поток энергии при полном
отражении B90). 13.4. Другие случаи отражения пучка B92).
§ 14. Боковая волна 297
14.1. Физический смысл боковой волны B98). 14.2. Лучевые пред-
ставления C01). 14.3. Область наблюдения боковой волны C06).
14.4. Боковые волны в слоистой среде C11). 14.5. Возбуждение
боковой волны направленным источником C16). 14.6. Случай
слабонеровной границы раздела C22).
Глава 4
Точечный источник в иепрерывио-слоистой среде 333
§ 15. Точная теория распространения звука в слоистой среде 333
15.1. Соотношения типа взаимности C33). 15.2. Точные решения
волнового уравнения для точечного источника C38). 15.3. Нормаль-
ные волны C45).

§ 16. Высокочастотные звуковые поля #352
16.1. Приближение геометрической акустики для сосредоточенного
источника C53). 16.2. Лучевая теория как предельный случай волно-
вой C58).
§ 17. Асимптотика поля в окрестности каустики 364
17.1. Поле в окрестности неособой точки каустики C64). 17.2.
Метод эталонных функций C69). 17.3. Фокусировка звука в окрест-
ности каустического острия и других особенностей лучевых струк-
тур C75).
Список литературы 387
Предметный указато» . 409

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Скорость звука с
Скорости сдвиговых волн и волн сжатия в твердом теле ct,cj
Фазовая и групповая скорости ср(,, cg
Частота волны to
Волновое число звука к = w/c
Горизонтальная компонента волнового вектора {
Звуковое давление р
Плотность вещества р
Температура То
Энтропия единицы массы So
Скорость течения v0
Колебательная скорость частиц v
Плотность потока акустической мощности I
Постоянные Ламе X, v
Вектор смещения и
Тензор деформации иу = 0,5 (Э(///Эду + Эму/Элу)
Тензор напряжений о^
Скалярный и векторный потенциалы упругих волн <р, Ф
Доплеровский фактор ^ = 1 - {vo/w
Показатель преломления л (г) = к(гIк0
Эффективный показатель преломления N<r) = 1п*(гHг(г) - {VAtJ] '
Коэффициенты отражения и прозрачности V, W
Матрица рассеяния 5
Л
Матричный пропагатор A(z, г0)
Угол падения волны в
Критический угол полного отражения 6
Нормальный импеданс Z
Вертикальная декартова координата z
Вертикальная координата в модифицированном волновом уравнении f
Знак комплексного сопряжения *
л гр
Транспонированная матрица В
Скачок функции/'на поверхности 5 {F]$
Знак приближенного равенства «•
Знак равенства по порядку величины »
Знак асимптотической эквивалентности ~

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая монография посвящена систематическому изложению
теории распространения звуковых волн в образованиях слоистого
характера. Это могут быть как искусственные структуры, исполь-
зуемые, например, в ультразвуковой технике (ультразвуковые
фильтры, линзы, линии задержки на поверхностных волнах и т.п.),
так и природные среды — океан и атмосфера, имеющие, как извест-
но, хорошо выраженную горизонтальную стратификацию. К этому
же кругу вопросов относится и распространение упругих (сейсми-
ческих) волн в земной коре.
Эти проблемы в свое время были довольно полно освещены в
книге Л.М. Бреховских "Волны в слоистых средах", второе издание
которой вышло в 1973 г. (-М.: Наука). С тех пор появилось
большое число новых публикаций. В связи с потребностями
практики и совершенствованием экспериментальной и вычисли-
тельной техники возникла необходимость детального теоретического
анализа влияния таких факторов, как стратификация плотности
жидкости, движение среды, отклонение ее параметров от строгой
слоистости, на распространение звука. Ряд интересных результатов
был получен в тех областях акустики, которые прежде считались
уже завершенными. По ряду причин, и в частности из-за притока
исследователей из смежных областей физики и из математики, в
последние годы заметно вырос круг лиц и организаций, занимаю-
щихся изучением распространения звука. Все это сделало необхо-
димым появление новой обобщающей работы по акустике слоистых
сред.
Поскольку книга "Волны в слоистых средах" получила широкое
распространение как в нашей стране, так и за рубежом, мы постара-
лись сохранить ее положительные стороны и элементы общей струк-
туры.' Однако "Акустика слоистых сред" в большей своей части
содержит новый материал, вообще не отраженный в монографи-
ческой литературе, а другая, также значительная часть, изложена
с новых позиций, с использованием более современных теорети-
ческих методов. Существенная доля изложенного материала принад-
лежит авторам и была ранее опубликована в ряде журнальных
статей. Результаты других авторов мы также старались излагать
в духе собственных представлений. Хотя книга посвящена собствен-
но акустическим волнам, большинство развиваемых в ней теорети-
ческих подходов и многие результаты непосредственно обобщаются
и на случай электромагнитных волн.

Попытка отразить весь существующий в литературе материал по
распространению звука в слоистых средах и смежным вопросам, по
крайней мере, удвоила бы и без того немалый объем монографии,
и мы от нее отказались. Однако приведенная в конце книги обшир-
ная библиография позволит читателю найти дополнительные сведе-
ния по многим вопросам.
Авторы пользуются случаем выразить благодарность С.В. Бурен-
кову. А.Г. Вороновичу, В.В. Гончарову и В.М. Куртепову, которые
принимали участие в обсуждении многих вопросов, рассмотренных
в монографии, а также Т.Н. Шокиной и Т.И. Цыплаковой, оказав-
шим большую помощь в оформлении рукописи.

Глава 1
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УПРУГИХ ВОЛН.
РЕШЕНИЯ В ВИДЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
В этой главе мы рассмотрим свойства упругих волн в жидкости и твердом теле для
простейшего вида волнового процесса. Изложение начнем с вывода общих уравнений,
которым подчиняются поля упругих волн. Особое внимание будет уделено гармони-
ческим плоским волнам, поскольку в виде их суперпозиции можно представить
волновые поля весьма общего вида. Чтобы заложить основу для исследования волн в
произвольных слоистых средах, в первой главе мы подробно рассмотрим те случаи,
когда удается построить точные решения волновых уравнений.
§ 1. Уравнения волновых полей в жидкости и твердом теле
Отправным пунктом теоретического анализа волновых нолей является
волновое уравнение, т.е. дифференциальное уравнение, которому удовлет-
воряют характеристики волны как функции пространственных координат
и времени, а также начальные -и граничные условия, выделяющие решение
волнового уравнения, соответствующее данной задаче.
1.1. Волновое уравнение для звука в слоистой жидкости. Обозначим
через v0, А>> Р значения скорости частиц, давления и плотности жидкости
без звуковой волны; через v ,p, р - значения тех же величин, привноси-
мые звуковой волной. Тогда полные значения v= v0 + v, р = р0 + р, р~ =
= р + р этих величин удовлетворяют уравнениям гидродинамики (уравне-
ниям Эйлера и непрерывности, см. [171]):
Ъ\ 1
+ (vV)v=--Vp, A.1)
at p
^ 0, A.2)
at
а также уравнению состояния среды, в котором в качестве независимых
переменных удобно взять плотность и энтропию:
P=P(P,S). A.3)
В многокомпонентной среде (например, в атмосфере или соленой морской
воде) величина р зависит также от концентрации различных примесей.
В уравнениях A.1) и A.2) t означает время, а Э/Эг + vV - полную произ-
водную по времени, т.е. скорость изменения физической величины в фикси-
рованной частице жидкости.
Распространение звука, пренебрегая теплопередачей и диффузией приме-
сей в многокомпонентной среде, можно считать адиабатическим процессом.
Тогда в движущейся жидкой частице значения концентрации примесей и 5

постоянны, и
? ***)
где
A.5)
как будет видно из дальнейшего, является скоростью звука.
Линеаризуя уравнения A.1), A.2) и A.4) но амплитуде волны, т.е.
подставляя в них v = v0 + v и, соответственно,/? и р, выделяя линейные
по v, p ир' члены (начальные значения Vo.Po и р удовлетворяют уравне-
ниям независимо), приходим к системе уравнений линейной акустики:
dip'
— Y + (W)v0 = Vp + —- V-Po, A-6)
dt p p
d
— p' + p'div v0 + div(pv) = 0, A.7)
dt
d - 2 d ' + 2 ' +2 f 8)
dt dt
Здесь d/dt = d/dt_+ v0V; с — невозмущенное волной значение скорости
звука; (с2)' = с2 —с2. Условия, которые нужно наложить на амплитуду
волны и диссипативные характеристики среды, чтобы были оправданы
переход к линейным уравнениям и предположение об адиабатичности, под-
робно проанализированы, например, в книге [128]. Практически эти усло-
вия выполняются в весьма широком диапазоне амплитуд и частот упругих
волн. Отметим, что акустические уравнения имеют одинаковый вид в
одно- и многокомпонентных средах. Состав среды сказывается только на
начальных значениях параметров.
Рассмотрим на основе уравнений A.6) — A.8) два наиболее важных
специальных случая. Пусть в отсутствие волны среда покоится: v0 = 0.
Тогда из уравнения A.1), записанного для начального состояния, следует,
что Vp0 = 0. Система уравнений A.6) — A-8) сильно упрощается. Исключая
из соотношений A.7) и A.8) величину dp' \dt, получаем
3v I
— =_ - Vp, A.9)
dt p
1 dp
divv + —r- — =0. A.10)
pc dt
Применяя к 'уравнению A.9) оператор div, а к A.10) — оператор d/dt
и вычитая результаты, находим
Э / 1 Эр\
dt\pc2 dt/
- замкнутое уравнение распространения звука в неподвижной неоднород-
ной и нестационарной среде. Если из уравнения A.11) найдено акустиче-
ское давление p(r , t), то не составляет труда найти и другие характеристи-
10

ки звукового поля. Так, скорость частиц можно определить из уравнения
A.9).
Другим важным случаем, когда система уравнений линейной акустики
сводится к одному уравнению, является слоистая среда. Так называют
среды, свойства которых зависят только от одной пространственной коор-
динаты и, возможно, времени. Важность этого класса неоднородных сред
обусловлена, с одной стороны, тем, что в большом числе геофизических
и технических задач среды действительно являются слоистыми или мало
отличаются от них. С другой стороны, ценность слоистых моделей заклю-
чается в сравнительной простоте их описания, позволяющей Достаточно
далеко продвинуть теорию звуковых волн.
Пусть невозмущенные ч параметры среды не зависят от декартовых
координат хну, которые будем называть горизонтальными, но могут
меняться в зависимости от вертикальной координаты z. Это случай пло-
скослоистой среды, который занимает центральное место во всем даль-
нейшем изложении. Для вывода волнового уравнения предположим, что
скорость невозмущенного течения горизонтальна и не зависит от времени.
При сделанных предположениях из уравнения A.1) следует Vp0 = 0. При-
нимая во внимание очевидные соотношения div v0 = 0, v0 Vp = 0 и исклю-
чая из системы уравнений A.6) - A.8) неизвестную величину р', получаем
соотношения (ср. с A.9) и A.10))
dv d\0 Vp
— + w = , A-12)
dt dz p
1 dp
—- — + divv=0, A.13)
pc2 dt
где w— г -компонента вектора v. Чтобы исключить из уравнений неизвест-
ные горизонтальные компоненты скорости v, применим к уравнению
A.12) оператор div, а к уравнению A.13) - d/dt. Вычитая результаты и
учитывая получаемое прямым дифференцированием равенство
div
dv d /^v0 \
iv div v = [ V) w,
dt dt \dt )
находим
d / 1 dp\ /v'p\ /d\0 \
— I—-— I — div t — }~2( V)w = 0. A-14)
dt \pc dt/ \p / \dz /
Чтобы исключить из A.14) неизвестную величину и» и получить замкнутое
уравнение для акустического давления р, продифференцируем соотношение
A.14) по t и используем z -компоненту уравнения A.12). Получаемое
при этом волновое уравнение в движущейся слоистой среде имеет вид
d Г d / 1 ф\ /Vp\] /d\0 \/1 Ър\
— — ( —г — )-div(—) +21 — V V- —)=0. A.15)
dt [dt\pc2 dt) Vp /J \dz )\p dz)
В слоистой среде без течения уравнение A.15) переходит в A.11).
Для трехмерно-неоднородной среды с произвольным течением волновое
уравнение не известно. Замкнутое уравнение для р удается, однако, полу-
чить в важном случае медленных течений (| v01 < с) [95].
If

При выводе волновых уравнений мы до сих пор предполагали, что на
жидкость не действуют сторонние силы. Учет их приводит к появлению
дополнительного слагаемого в правых частях A.1) и A.6). Сторонней
силой, всегда действующей на жидкость, является сила тяжести, играющая
важную роль в формировании стратификации c(z) и p(z) - не возмущен-
ных параметров в атмосфере и океане. Сила тяжести оказывает влияние
на распространение звука и непосредственно: волновые уравнения при
условии Vp0 ^ 0 не сводятся к A.11) и A.15). На низких частотах сила
тяжести обусловливает существование специфических акустико-гравита-
ционных волн, играющих важную роль в динамике-атмосферы и океана
(см. [54, 105, 531]). Однако на характерных для звука частотах/>, 10 Гц
влияние непостоянства статического давления р0 оказывается пренебрежи-
мо малым (см., например[54, 245]) , и мы не будем его учитывать в даль-
нейшем.
Волновые уравнения A.11) и A.15) описывают звуковые поля в неод-
нородной и нестационарной жидкости весьма общего вида. В различных
задачах полезны разные частные случаи этих уравнений. Простейшим явля-
ется случай однородной неподвижной стационарной среды (р = const,
с = const, v0 = 0). Тогда из уравнения A.11) получаем:
Э2р/Эг2-с2Др=0, A.16)
т.е. волновое уравнение в том узком смысле, в каком понимается этот
термин в математике [72]. Отметим два простых частных решения урав-
нения A.16):
Р i = f(pr/c - t), л2 = 1, л = const; A-17)
l-t), r=\r\. A.18)
Здесь f u F — произвольные гладкие функции. Единичный вектор л являет-
ся нормалью к плоскости, в которой остается неизменным аргумент функ-
ции / и, следовательно, звуковое uonepi. Волна вида A.17) называется
плоской. Она распространяется вдоль направления л со скоростью с, не
меняя своей формы и амплитуды. Волна р2 обладает сферической симмет-
рией: величина давления (и других характеристик звукового поля) в
каждый момент времени постоянна на сферах г = const. Такая волна
называется сферической (или, точнее, сферически-симметричной).
Система уравнений A.6) — A.8) пригодна для анализа звуковых полей
в безграничной неоднородной жидкости, если ее параметры являются
гладкими функциями координат и времени, и, следовательно, имеют
смысл все входящие в уравнения A.6) - A.8) производные. Зачастую
приходится сталкиваться с ситуациями, когда жидкость ограничена или
ее параметры скачкообразно меняются на некоторой поверхности. Тогда
уравнения A.6) - A.8) должны быть дополнены соответствующими
граничными условиями. Простейший вид они имеют для абсолютно жест-
кой и абсолютно мягкой поверхности 5. Первая, по определению, не дефор-
мируется под влиянием волны. Следовательно,
!>„(/) = о, res, A.19)
где и„ — нормальная к 5 компонента вектора скорости частицы в волне
относительно невозмущенной среды (мы учли, что (ио)л = 0 на 5). На аб-
12

солютно мягкой поверхности, также по определению, должно обращаться
в ноль полное давление:
p+po=0, rGS, A.20)
где 5 — форма, которую приняла абсолютно мягкая поверхность под
действием волны. Условие A.20) нелинейно по амплитуде звука. Для волн
малой амплитуды достаточно ограничиться линейным граничным условием.
Линеаризация соотношения A.20) особенно просто производится при
условии постоянства невозмущенного давления в среде (Vp0 = 0). По-
скольку величина р сама имеет первый порядок малости, а р0 удовлетво-
ряет граничному условию в отсутствие волны, то в линейном приближении
по амплитуде звука
A.20а)
На границе раздела двух жидкостей должны выполняться кинематичес-
кое условие, состоящее в равенстве нормальных смещений частиц, приле-
гающих к границе со стороны первой и второй жидкости, и динамическое
условие, состоящее в равенстве действующих на участок границы сил со
стороны обеих жидкостей (в противном случае непосредственно прилегаю-
щие к границе частицы двигались бы с бесконечным ускорением). В непод-
вижной жидкости (v0 = 0) с неподвижной невозмущенной границей эти
условия принимают вид равенства нормальных к границе компонент ко-
лебательной скорости и равенства акустических давлений по обе стороны
границы. Вводя обозначение [f]$ ДЛЯ скачка функции f(r, i) на поверх-
ности 5, граничные условия запишем в виде
[Vn]s = 0, [p]s = 0. A.21)
Для уравнения A.11) оба граничных условия нужно выразить через р,
так как скорость v не входит в уравнение. Используя соотношение A.9),
условия A.21) можно переписать в эквивалентном виде:
1г\ =0' [p]s = 0, A.21а)
где Э/Эи означает производную по нормали к 5.
Граничное условие A.19) на абсолютно жесткой поверхности, записан-
ное в терминах поля давлений, принимает вид
A.19а)
Условия на идеальных границах A.20а) и A.19а) иногда называют'гранич-
ными условиями, соответственно, первого и второго рода. Кроме гранич-
ных условий, в постановку задачи определения звукового поля входят
начальные условия. Если звуковая волна создается источниками, начавши-
ми работу в момент t = tn,jo начальные условия заключаются в равенстве
нулюр и Ър/btb момент t0 B0 всем пространстве.
1.2. Гармонические волновые поля. В средах, параметры которых не за-
висят от времени, можно уменьшить число независимых переменных в вол-
новых уравнениях, перейдя к спектральному представлению по времени:
P(r,t)= f p(r,G>)e-tutdG>, i = yfT. A.22)
— во
13

С целью упрощения выкладок мы будем использовать комплексную форму
записи гармонических волновых полей. При этом физический смысл сле-
дует придавать только их вещественной части. Для "элементарных" волн
р(г, со)е ~'ш' с гармонической зависимостью от времени уравнения A.11)
и A.15) упрощаются, так как взятие частной производной по времени
сводится к умножению на (-/со). Так, уравнение A.11) принимает вид
Ар(г, со) - V lnp(r)Vp(r, со) + к2р(г, со) = 0, A.23)
где к = со/с(л) - волновое число, со - частота. Волны фиксированной часто-
ты называют также монохроматическими.
Отметим, что уравнение A.23) описывает распространение звука и
в диспергирующих средах, параметры которых (например, скорость зву-
ка) зависят от частоты со. Уравнение A.11) в такой среде теряет смысл.
Монохроматические волны обладают неограниченной протяженностью
во времени. Поэтому для них не удается сформулировать начальные усло-
вия в том виде, как это было сделано в п. 1.1. Вместо них ставятся условия,
которым звуковое поле должно удовлетворять при г -*¦ °°. Эти условия
призваны отделить акустические поля, возбужденные заданными источни-
ками, которые мы считаем заключенными в ограниченной области, от при-
ходящих из бесконечности волн, соответствующих бесконечно удаленным
источникам и не имеющих физического смысла.
Один из способов выделить физическое решение задачи состоит во вве-
дении в рассмотрение малого поглощения звука в среде, которое всегда
реально существует. При г -* °° звуковое поле тогда, очевидно, должно
стремиться к нулю. Решение задачи о звуковых волнах в непоглощающей
среде при таком подходе рассматривается как предел при стремлении коэф-
фициента поглощения к нулю. Так поставленное условие на бесконечности
называют условием предельного поглощения.
Вместо того, чтобы обращаться к средам с поглощением, можно потре-
бовать, чтобы на больших расстояниях от области, занятой источниками,
поле состояло только из волн, убегающих на бесконечность. Конкретный
вид этого условия излучения зависит от специфики рассматриваемой зада-
чи. В частности, в однородной неподвижной среде условие излучения имеет
вид [72, § 30]
lim г —р(г, и) - ikp(r, и) = 0. A.24)
г-»~ \_ЪГ J
Условие излучения A.24) справедливо, только если волна переносит
энергию в том же направлении, в котором бежит ее фаза. В дисперги-
рующих средах, где с = с(со), в принципе возможна ситуация, когда фазо--
вая и групповая скорости различаются знаками. Тогда уносящей энергию
от источника будет волна, фаза которой бежит к- источнику; соответствен-
но, в соотношении A.24) знак перед к должен быть заменен на обратный.
Для определенности в дальнейшем, рассматривая проекции групповой
и фазовой скорости на какое-либо направление, будем считать их, если
не оговорено противное, имеющими один и тот же знак.
В слоистой стационарной среде волновые уравнения для гармонических
волн можно упростить далее по сравнению с A-23) и свести к обыкновен-
ным дифференциальным уравнениям, если перейти к спектральным харак-
14

теристикам давления p(r, t) не только по времени, но и по горизонтальным
координатам:
Р(Л")= 11*ЦГР(*,М<12Ь f = tti,fc,0). A.25)
— оо
Для "элементарных" волн p(r, t) = p(z, (, co)exp(/fr - iui) взятие всех
частных производных, кроме Ъ/Ъг, сводится к умножению на число, и урав-
нение A.15) принимает вид
Э2 Э Э
( { — 1пр02 —p(z,f,co) +
b b
ГТР(*, {,<*) 1пр0
oz bz bz
+ (*2/32-$2)p(z,?,co) = 0, A.26)
где
/?=l-fvo/w. A.27)
В уравнении A.26) коэффициент при Ър/bz имеет особенность при /3=0.
В области, где /3=0, происходит сильное взаимодействие звука с потоком,
носящее наименование резонансного [77, 251]. В случае медленных тече-
ний (v0 ^с), значение /3 близко к единице.
В отсутствие течения из уравнений A.23) или A.26) находим
Э2 Э Э
( ^
дz2 3z 3z
+ (*2-$2)p(z,f,a;)=0. A.28)
Уравнение A.28) дополняется граничными условиями A.21а). Получим
теперь граничные условия для уравнения A.26). В слоистой среде невоз-
мущенные звуком границы являются горизонтальными плоскостями.
В силу уравнения A.12) нормальная к границе z-компонента колебатель-
ной скорости равна
(Мы учли, что в гармонической звуковой волне полная производная по вре-
мени d/dt = Э/Эг + v0 V = -/со/3). С другой стороны, w равно полной про-
изводной по времени от вертикального смещения границы, которое должно
быть непрерывной функцией. Следовательно, кинематическое граничное
условие в данном случае записывается в виде
Г 1 Эр]
—-— =0. A.29а)
Во избежание недоразумений подчеркнем, что на границе z = const верти-
кальная компонента скорости частиц w испытывает скачок вместе с vo(z).
Неучет этого обстоятельства неоднократно приводил к ошибкам. (По это-
му поводу см. [184, 553]). Можно показать, что граничное условие A.29а)
соответствует непрерывности компоненты vn +vOn полной скорости частиц,
нормальной к возмущенной звуком границе. Когда v0 Ф 0, различие и„
и w имеет первый порядок по амплитуде звуковой волны, и пренебрегать
им нельзя.
15

Динамическое условие, как и в случае неподвижной жидкости, сводится
к требованию непрерывности акустического давления:
0. A.296)
При v0 = 0 равенства A.29а, б) совпадают с A.21а).
Отметим, что граничные условия A.29) можно было также получить
(при Р Ф 0) из уравнения A.26), рассматривая границу раздела как пре-
дельный случай гладких изменений параметров среды в тонком слое
(z, - е, zx + е) в окрестности границы z = zx. Действюельно, представляя
A.26) в интегральной форме
1 Ър
рР2 bz
г = z,
z = z. - е
-?
рр'
замечаем, что в силу ограниченности подынтегральной функции в правой
части
1 Ър
рР2 bz
1 Ър
рР2 Эг
0
z = z. - e
при е -*¦ 0. Отсюда следует граничное условие A.29а). Аналогично устанав-
ливается и условие A.296).
В однородной среде уравнение A.28) имеет общее решение
p(z, {, со) = А ({, со)ехр(/дг) + Z?({, co)exp(-i>z), A.30)
где
Дополненное фактором ехр[/({л - cor)] оно представляет собой две плос-
кие волны, распространяющиеся в направлениях, симметричных относи-
тельно горизонтальной плоскости. Эти направления распространения зада-
ются волновыми векторами кп = (?j, ?2> ±м)- Здесь и, как ив A.17), -
нормаль к фронту волны.
В равномерно движущейся (v0 = const) однородной среде уравнение
A.26) также имеет общее решение вида A.30), но дисперсионное урав-
нение волны, связывающее ее волновой вектор с частотой, усложняется
в сравнении с A.31):
' - ^ A32)
Рассмотрим волну A.30), A.32), положив 5 = 0. Обозначим через в угол,
образуемый волновым вектором с осью Oz, ось Ох направим вдоль векто-
ра v0. Тогда
H = qcosd, { = (<7sin0cosv>, qsmdsinip,0), A-33)
где q = qn - волновой вектор, у - угол между направлением течения
(ось Ох) и проекцией л на плоскость ху.
В этих обозначениях, как следует из дисперсионного уравнения A.32),
p(r, t) = Aexp[i(qr- cot)], q = k[l+smecosipv0/c]~l. A-34)
16

Фазовая скорость волны
Cph = I и/я I = I с + и0 sin9 cosip | = | с + v0Q/q I A -35)
равна по абсолютной величине сумме скорости звука в неподвижной сре-
де с и проекции скорости течения v0 на направление распространения.
Фазовая скорость, а вместе с ней и длина волны, максимальны при рас-
пространении волны по течению и минимальны при противоположном
направлении ее движения.
Запишем дисперсионное уравнение A.32) в векторном виде. Заметив,
4to?v0 =<7vo,M2 + ?2 =q2, получаем из A.32)
cj = qc+q\0. A.36)
Здесь q = | q I, если со > <7v0 и q = — | q | в противном случае. В такой форме
дисперсионное уравнение удобно для нахождения групповой скорости:
Эсо q
cg =-— = с- + v0. A.37)
bq q
В движущейся среде вектор групповой скорости, дающий направление
потока энергии, не параллелен, вообще говоря, вектору фазовой скорости
cph = I cph \ч11 Я I и имеет другую величину. Векторы cpt, и cg равны
только для волн, бегущих по течению или против него, т.е. когда ±v0 II q.
В среде с переменной скоростью звука с = c(z), но постоянной плот-
ностью и в отсутствие течения уравнение A.28) является одномерным
уравнением Гельмгольца:
Ъ2
— p(z,?,co) + (*2-S2)p(z.?,co)=0. A.38)
В этих условиях звуковое поле монохроматической волны в координатном
представлении р(г, со) подчиняется следующему из A.23) трехмерному
уравнению Гельмгольца
со) + А:2р(лсо)=0. A.39)
Большая часть теоретических исследований звуковых полей в неоднород-
ных средах заключается в построении точных или приближенных решений
уравнений A.38), A.39) и в исследовании их свойств в различных слу-
чаях. Целесообразно поэтому свести уравнение A.26), справедливое для
слоистой среды довольно общего вида, к уравнению Гельмгольца.
Проще всего эта цель достигается заменой искомой функции. Положим
*(z,^co) = p(z,{,co)/0(z,?,co)Vp^). A.40)
Уравнение A.26) преобразуется тогда в следующее:
3z2 I 2p/32 bz
= 0. A.41)
(ЧгТР
4\Р02 bz
Уравнение A.41) имеет вид A.38), но с некоторым эффективным волно-
2. Л.М. Бреховских "

вым числом. Поэтому оно оказывается весьма удобным средством иссле-
дования распространения звука в среде с плавными изменениями p(z)
и vo(z). Если же в жидкости p(z) или vo(z) на отдельных участках меня-
ются резко, то в уравнении A.41), как и в A.26). содержатся большие
и быстро меняющиеся коэффициенты, что сильно затрудняет применение
приближенных аналитических и численных методов решения.
Однако для гармонических волн в слоистой среде удается получить
уравнение распространения, не содержащее в своих коэффициентах произ-
водных от параметров среды, пригодное, в отличие от A.26) и A.41),
как при плавных, так и при скачкообразных изменениях этих параметров.
Этого удается достичь путем перехода к новой независимой перемен-
ной [94].
Когда р = const, v0 = 0, уравнение A.26) имеет желаемый вид A.38).
Нетрудно найти его общее решение при дополнительном условии со = О,
% = 0:
p = Az+B, A.42)
где А и В - постоянные. Когда р Ф const, v0 ? 0, но по-прежнему со = 0,
? = 0, общее решение уравнения A.26) имеет вид
+ B, A.43)
где
f(z) = po' f p(z'H2(z')dz', zo = const, A.44)
Po > 0 - нормировочная величина размерности плотности. Легко видеть,
что f(z) — монотонно возрастающая функция z. Сопоставление выраже-
ний A-42) и A.43) подсказывает переход к новой вертикальной координа-
те f (z) при рассмотрении звуковых полей в среде со стратификацией плот-
ности и скорости течения. Выполняя в A.26) замену переменной, при-
ходим к уравнению Гельмгольца
(к22?
с эффективным волновым числом, зависящим от скоростей звука и тече-
ния и плотности среды. Коэффициенты уравнения A.45) ограничены,
если только /3 Ф 0. Это уравнение удобно использовать, в частности, когда
параметры среды определены экспериментально и известны только в ко-
нечном числе точек, поскольку отпадает необходимость приближенного
вычисления производных от р и v0 для подстановки в коэффициенты
уравнений A.26), A.41).
В новой системе координат (х,у, f) граничные условия A.29) прини-
мают тот же вид, что и условия в обычных координатах в отсутствие стра-
тификации течений и плотности :
[рЬ = 0, [Эр/ЭГк = 0. A-46)
Такой характер граничных условий позволяет описывать распространение
звука в среде с кусочно-гладкими зависимостями c(z), p(z), vo(z) при
помощи уравнения A.45) в целом, т.е. без наложения условий сшивки
18

на горизонтах, где не существуют производные от p(z) или vo(z), входя-
щие в другие формы волнового уравнения. Выполнение условий A.46)
гарантируется тогда уравнением A.45) автоматически.
Как замена искомой функции A.40), использованная при выводе уравне-
ния A.41), так и замена вертикальной координаты A.44).примененная при
выводе A.45), в среде с течениями зависят от горизонтального волнового
вектора волны ?. Поэтому для звукового ноля в координатном представ-
лении р(г, со) получить дифференциальные уравнения, аналогичные A.41)
или A.45), вообще говоря, не удается. Однако в тех случаях, когда тече-
ние отсутствует @ = 1), использованные при преобразованиях замены
неременных перестают зависеть явно от частоты и волнового вектора зву-
ка. Это позволяет провести преобразование волнового уравнения, не пред-
полагая зависимость акустического давления от горизонтальных коорди-
нат гармонической. Для функции
Ф =р(г, со)/\/р(г) A.40а)
уравнение A.23) принимает вид
1 3/1 \21
* +l7Ap- 4tvvr = 0- A47)
Подчеркнем, что уравнение A47) справедливо для звука в трехмерно-
неоднородной среде. В свою очередь, уравнение A.11) заменой вертикаль-
ной координаты
f(z) = ро1 / p(z')dz' A.44а)
преобразуется в уравнение
Для применимости уравнения A.48) плотность среды не должна зависеть
от горизонтальных координат и времени. Скорость звука может быть
трехмерно-неоднородной и нестационарной. Уравнение A.48), как и A.45),
не содержит производных от параметров среды но пространственным
переменным и описывает звуковое ноле в среде с кусочно-непрерывными
параметрами.
1.3. Уравнения для упругих волн в изотропном твердом теле. Твердое
тело, в отличие от жидкости, обладает сдвиговой упругостью. Вследствие
этого в нем наряду с волнами сжатия возникают и сдвиговые волны. Иссле-
дование колебаний в упругих телах начнем с вывода волновых уравнений.
Основы теории упругости изложены, например, в книгах [54, 167).
Приведем здесь сведения, необходимые нам для дальнейшего изложения.
Деформированное состояние упругой среды можно описать вектором
смещений и (г, t), равным смещению частицы из ее равновесного положе-
ния г в момент времени t. Компоненты векторов здесь удобно обозначить
цифровыми индексами, т.е. г = (х, у, z) = (хг, х2, х3), и = (их, иг, иъ).
Возникающие при деформациях упругие силы характеризуются тензором
напряжений Оц(г, t), i, j - 1, 2, 3. Компонента оц тензора равна проекции
2* 19

на направление / силы, действующей на площадку единичной площади,
нормальную координате /. Связь между напряжениями и деформациями
в простейшем и наиболее важном случае локально-изотропного твердого
тела в линейном приближении по амплитуде деформаций дается законом
Гука:
Ъик / bit: Эм,- \
»„-* — *„*,(— *¦?). (..49)
Здесь и далее но дважды повторяющимся индексам подразумевается сум-
мирование; 5// = 1 при / = / и б у = 0 в противном случае. Отметим, что тен-
зор напряжений является симметричным: оу = Oji- Константы X и д, харак-
теризующие упругие свойства среды, носят название постоянных Ламе.
Когда величина д, называемая также модулем сдвига, обращается в нуль,
мы возвращаемся к случаю жидкости, не оказывающей сопротивления
сдвигу. При этом тензор напряжений выражается через давление в среде
формулой Оу = —pb{j.
Учитывая физический смысл тензора напряжений, второй закон Ньютона
для частицы твердого тела можно записать следующим образом (свойства
среды мы считаем не зависящими от времени):
Э2 Ъо„
Уравнение A.50) отражает тот факт, что частица иреобретает ускорение
под действием равнодействующей упругих сил, приложенных к ее грани-
цам. Подставляя соотношение A.49) в' A.50), приходим к уравнению
упругих-волн в локально-изотропном твердом теле:
Э2 Э
(Х--) + Ы + ) •
dxj \ дхк/ ьх,[ \dxj dx,J\
Уравнение A.51) часто удобнее использовать в векторной записи:
Э2м
р
dt
+ gradX.-divM + grad^ X rotu + 2(grad/i ¦ V)m. A.51a)
Косой крест означает здесь векторное произведение.
Уравнения A.51) и A.51а) имеют смысл, когда параметры Ламе явля-
ются дифференцируемыми функциями координат. Граничные условия,1
которым должны удовлетворять решения уравнений на поверхностях
раздела, зависят от вида контакта между граничащими телами и оказывают-
ся довольно разнообразными. Важнейшим является случай, когда грани-
чащие твердые тела жестко связаны ("склейка"). Тогда кинематическое
граничное условие сводится к непрерывности вектора и на границе. Дина-
мическое граничное условие состоит в непрерывности трех компонент
тензора напряжений ап/-, где / = 1, 2, 3, а и обозначает ось, совпадающую
в рассматриваемой точке с нормалью к границе.
Отметим, что граничных условий здесь оказывается уже не два, как на
границе раздела жидкостей, а шесть. Это связано с увеличением числа ти-
20

пов волн, которые могут возбуждаться в рассматриваемой среде: в силу
единственности решения физической задачи, число независимых граничных
условий всегда равно числу типов волн и, следовательно, числу подлежащих
определению амплитуд этих волн.
Если одно из граничащих тел абсолютно жесткое, то на его поверхности
должно выполняться равенство и = 0. На тензор напряжений никаких огра-
ничений не накладывается.
Когда твердые тела соединены так, что могут беспрепятственно про-
скальзывать одно относительно другого ("соединение со смазкой"), имеем
четыре граничных условия: [и„] $ = 0, [а„„] $ = 0, ап/ = 0,/ Ф п. Эти усло-
вия относятся, в частности, к границе твердого тела с невязкой жидкостью.
Когда твердое тело соседствует с вакуумом (свободная граница), остается
три граничных условия: ап/ = 0, /= 1,2,3.
Уравнение упругих волн в неоднородной твердой среде значительно
сложнее, чем, например, уравнение A.11) для звука в жидкости. Факти-
чески A.51а) представляет собой систему трех связанных скалярных
уравнений, каждое из которых но сложности близко к A.11). Связь ска-
лярных уравнений, как мы увидим ниже, соответствует непрерывному
преобразованию волн сжатия в сдвиговые и обратно при распространении
в неоднородном твердом теле. Сложность уравнения A.51а) увеличивает
ценность исследования частных случаев, когда общее уравнение упроща-
ется. Ряд интересных примеров сред, допускающих сведение уравне-
ния A.51а) к независимым скалярным волновым уравнениям, рассмотрен
в работе [394]. Слоистые среды специального вида, в которых волны
сжания и сдвиговые волны связаны, но какая-либо одна из них мо-
жет распространяться, не возбуждая другой, исследованы в работе
[120,гл. 2J.
В однородной упругой среде при использовании дифференциального
тождества
Да = grad(diva) - rot (rota)
уравнение A.51а) преобразуется в следующее:
Ъ2и Х + 2д
—— = grad (diva) - д rot (rot и). A.52)
дГ р
В самом общем случае вектор и можно выразить через скалярный <р и век-
торный ф потенциалы формулой
Заметим, что относительное изменение объема частицы при деформации
равно divM. Ясно поэтому, что в A.53) ноле смещений разделено на компо-
ненту, связанную с изменением объема частиц (щ), и чисто сдвиговую
компоненту ut.
Подставляя представление A.53) в уравнение A.52), получаем
д2и, Х+2д д2и, ц
± - Дм, + - ~Aut = 0- A-54)
dr р Эг р
Действуя на соотношение A.54) поочередно операторами div и rot и исполь-
21

зуя определение A.53), находим
(Ьщ Х + 2д \ /Э2
div() (
iv(— Дм,) = О, rot (—7 - А";) = О,
\bt2 р / \Эг2 р /
Следовательно, заключенные в скобки выражения равны некоторым векто-
рам, зависящим лишь от t. Считая, что щ и ut определены с точностью
до произвольного, зависящего только от времени вектора, приходим
к уравнениям
Э2
bt2
ь2
ul — cfAu1 = 0, с, = v(X + 2д)/р, A.55)
if-с2Аиt = 0, ct = y/nlp. A.56)
Таким образом, в однородном твердом теле волны сжатия и сдвиговые
волны распространяются независимо.
В силу соотношений A.53) потенциал допределен с точностью до произ-
вольной функции времени, а потенциал ф — с точностью до произвольного
потенциального ноля ф1 = grad/l(r, t). Учитывая это, из уравнений A.55)
и A.56) легко получить соответствующие соотношения для потенциалов:
— Ф — с2 Аф = 0, A.55а)
Э2
— ф-с2Аф = 0. A.56а)
Уравнения A.55) и A.56) аналогичны уравнению A.16), элементарные
решения которого были рассмотрены в п. 1.1. Выпишем решения A.55а)
и A.56а) в виде плоских волн (ср. с. A.17)):
<Р = f(nr/c,-t), л2 = 1, A.57)
ф = f(nr/ct-t), п2 = 1. A.58)
Величины с, и ct являются скоростями распространения соответствующих
волн. Поскольку всегда д > 0 и для реальных веществ X >0 [54, 167],
то в силу A.55) и A.56) имеем
c,>s/Jct. A.59)
Плоская волна A.57), как и плоская звуковая волна в жидкости A.17),
является продольной, т.е. смещения частиц в ней параллельны направлению
распространения. Действительно,
и, = grad v? = c^nfinr/ci- t),
d
где /(?) = /(?)• Плоская волна A.58) является поперечной, т.е.
22

смещения в ней перпендикулярны направлению распространения:
пи, = л rot ф = с, л(л X f(nr/c, - t)) = 0.
Остаток настоящего параграфа посвящен упругим волнам в плоско-
слоистой упругой среде. Случай сферически-слоистой среды затронут,
например в работе [4, гл. 9].
Рассмотрим, как и в п. 1.2, волны с гармонической зависимостью от
времени и горизонтальных координат:
ы(г, со) = u(z, f, co)exp[/(?r--соГ)|. A.60)
Ось Ох направим вдоль вектора ?. Тогда от координаты у поле не зависит.
Для функции u(z, (, со) уравнение A.51а) переходит в систему трех ска-
лярных обыкновенных дифференциальных уравнений:
ди3 9|i ] d Г ды,
dz dz
A.61)
э / ди2 \
-со2ри2 = ( Д ) — ДГМг. A-62)
dz \ dz /
2 _ Г Э ди, I Э Г Эм3
I dz bt J /dz [ dz
A.63)
Уравнения A.61)— A.63) перестают быть связанными, если волна распро-
страняется перпендикулярно слоям, т.е. если | = 0. Важнее, однако, за-
метить, что в произвольной слоистой среде уравнение A.62) отделяется
от, вообще говоря, связанных уравнений A.61) и A.63). Это означает,
что волны, у которых вектор смещения заключен в плоскости xz (волны
вертикальной поляризации) и волны с параллельными оси у смещениями
(волны горизонтальной поляризации) распространяются независимо. По
сейсмической терминологии последние волны обозначаются SM. Лия сдви-
говых волн вертикальной поляризации используется обозначение SV, а для
продольных - обозначение Р.
Опуская индекс 2 у единственной отличной от нуля компоненты век-
тора смещений и = @, и2, 0), рассмотрим SH -волны подробнее. Это — по-
перечные (сдвиговые) волны. В них отличны от нуля, как следует из
закона Гука A.49), только четыре компоненты тензора напряжений:
ои
A.64)
32 1
dz
Если ввести волновое число сдвиговых волн
kt = u>/ct = сол/р/д. A.65)
то уравнение S#-bohh A.62) становится аналогичным уравнению звуко-
вых волн в неподвижной жидкости A.28):
Э2 Э 1 Э , ,
—- и - — In - — и + (к]- |2)и = 0. A.62а)
dz oz д dz
23

Здесь аналогом акустического давления выступает смещение частиц, а
аналогом плотности жидкости - величина, обратная модулю сдвига. Более
того, используя соотношения A.64), легко убедиться, что переобозначе-
ние и -* р, 1/д -* р переводит граничные условия, которым удовлетворяют
5Я-волны на абсолютно мягкой, абсолютно жесткой границах и при
"склейке" твердых тел, в граничные условия A.19а), A.20а) и A.21а)
для звуковых волн соответственно на абсолютно жесткой, абсолютно мяг-
кой границах и граниде раздела жидкостей.
Как и уравнение A.28), заменой зависимой или независимой нере-
менных уравнение A.62а) 5#-волн можно свести к уравнению Гельм-
гольца. Так, переход к новой неизвестной функции
* = Vm"" A.66)
приводит к уравнению
3z2 [ 4\ц dz J 2ц dz
аналогичному A.41). Переход к новой вертикальной координате
Z
= До / M"'(z')^z', До = const, z0 = const A.68)
z»
приводит уравнение A.62а) к виду (ср. A.45))
Э2 , , /д \2
--и+(к2-?)(—)и = 0, A.69)
пригодному для описания SH-воли в среде с кусочно-непрерывными ха-
рактеристиками.
Таким образом, распространение сдвиговых волн горизонтальной поля-
ризации в слоистом твердом теле оказывается вполне аналогичным рас-
пространению звука в неподвижной жидкости.
Задача об упругих волнах вертикальной поляризации в .слоистой среде
описывается уравнениями A.61) и A.63). Заметим, что поскольку
jv-компонента вектора смещений и компоненты a2j, ) = 1, 2, 3, тензора
напряжений в этом случае тождественно равны нулю, при жестком соеди-
нении твердых тел имеем четыре граничных условия:
[о,зк = 0, [Оззк = 0, [ы,Ь = 0, [иэЬ = 0. A.70)
Для волн Р - SV векторный потенциал фможно выбрать так, чтобы он
содержал только одну ненулевую компоненту. Действительно, в волне
вертикальной поляризации отличны от нуля только х- и z-компоненты
вектора и,, не зависящие согласно A.53) от х- и z-комнонент вектора ф.
Поэтому последние без потери общности можно положить равными нулю:
¦ = @,*2,0). A.71)
Слоистое твердое тело при исследовании распространения волн/"— SV
весьма удобно моделировать набором однородных твердых слоев. Тогда
внутри каждого слоя волны сжатия и сдвига распространяются независи-
мо и описываются нарой скалярных (в силу соотношения A.71)) урав-
24

нений A.55а) и A.56а). Взаимное преобразование волн различных поля-
ризаций происходит только на границах. Связанные с этим вопросы будут
рассмотрены в § 4.
§ 2. Плоские волны в дискретно-слоистой жидкости
Дискретно-слоистая среда представляет собой набор однородных слоев
с плоскими границами. Дискретно-слоистая модель ценна не только отно-
сительной простотой звукового ноля в ней, но и широким распростране-
нием дискретно-слоистых или близких к ним сред в естественных усло-
виях и технических конструкциях. К тому же непрерывно-слоистую среду
можно трактовать как предел дискретно-слоистой при стремящейся к
нулю толщине отдельных слоев и одновременном росте их числа.
В настоящем параграфе будем рассматривать волны с гармонической
зависимостью от времени и горизонтальных координат p(z, (, со) X
X ехр[/({г - соГ)]. Аргументы функции р, а там, где это не может при-
вести к недоразумениям, и экспоненциальный фазовый множитель бу-
дем опускать. Поглощение энергии волн в среде учитывать пока не будем.
Влияние диссипации на звуковые поля будет рассмотрено в § 7. Этот
параграф мы начнем с обобщения понятия плоской волны.
2.1. Неоднородные плоские волны. Энергия звуковых волн. В опреде-
лении плоской волны A.17) мы считали л вещественным вектором. Для
монохроматических плоских волн от требования вещественности волново-
го вектора кп можно отказаться. Действительно, будем искать решение
волнового уравнения A.16) для звукового давления в неподвижной одно-
родной среде в виде
р - A e\p[i(qr- cof)|, А = const. B.1)
Подстановка в уравнение A.16) дает условие существования реше-
ния B.1):
«=•**. B.2)
Комплексный вектор q = qx + iq2, где qx и q2 вещественны, удовлетворя-
ет условию B.2), если
?.?2=0. q*-q\=k\ B.3)
Решение уравнения A.16)
р = А ехр[-<г2г + /«Г,г-ыГ)] B.4)
называется неоднородной плоской волной. Ее фронты (плоскости постоян-
ной фазы) перпендикулярны вектору q\, а амплитуда, в отличие от обыч-
ной плоской волны, меняется вдоль фронтов по экспоненциальному за-
кону. Амплитуда постоянна в плоскостях, ортогональных вектору q^.
В силу первого соотношения B.3), плоскости постоянной амплитуды и
постоянной фазы неоднородной плоской волны ортогональны, а ее фазо-
вая скорость
cph = со/<7, = со(*2+^Г1/2 <с
- меньше скорости однородных плоских волн.
25

Неоднородные плоские волны не могут существовать в безграничном
однородном пространстве, так как тогда звуковое давление растет бес-
конечно. Однако в ограниченных частях слоистых сред неоднородные
плоские волны встречаются довольно часто.
Предположим, что волновой вектор q лежит в плоскоаи xz. Вводя
угол в, образуемый им с осью г, однородную плоскую волну B.1) можно
представить в виде
р = А ехр \i(kz cos в+кх sm в соГ)|. B.5)
Неоднородная плоская волна B.4) также представима в виде B.5), но,
конечно, угол в оказывается комплексным. Например, при в = тг/2 - /а,
где а - вещественная величина, из B.5) получаем
р = А е\р (ikx ch a kz sli а - /со?). B.6)
Эта волна распространяемся в направлении х и экспоненциально убывает
в направлении г. Фазовая скорость волны срЬ = c/cha тем меньше, чем
больше коэффициент за1ухания волны в направлении оси г.
Рассмотрим, как переносят акустическую энер1ик> однородная и неодно-
родная плоские волны. Плотность акустической энергии К и вектор /ыот-
ности потока акустической мощности I соогвектвенно равны (см. [128,
гл. 4: 54, § 44])
е = /:к +/•:,, t:K = Ри2/2, /•:, = р2К2Рс2), B.7)
/ = ру. B.8)
Акустическая энер1ия состоит из двух частей: кинетической энергии дви-
жения частиц в волне /•"« и внутренней энср1ии ?'|, которую среда приоб-
ретает при деформации.
В монохроматических волнах частоты со .шергегические величины колеб-
лются с двойной частотой. Представляют интерес средние за период
значения плотности акустической энергии E-j и плотности потока
мощности // (индекс Т означает осреднение за период). В формулах
B.7) и B.8) подразумеваются вещественные части используемых нами
комплексных величин р и v. Воспользуемся тождеством:
|Re(fle iwt)Re(be lwt)]r = - \ab | cos(a /}) = - Kt(ab*), B.9)
где звездочка означает комплексное сопряжение, а а и /3 — аргументы
комплексных чисел а и Ь: а = | а \ ехр(/а), Ь = | Ь | ехр (//}). Из формул
B.7)- B.9) тогда получаем
Ет = p\v\2l4 + \p\2H4pc2) = (|Vp|2+*2|p|2)/Dpco2), -B.10)
I r = 0.5Re(p'v) = Bcop)in(p*Vp). B.11)
Средняя плотность акустической энергии в неоднородной плоской
волне B.4)
Ет = Bрсо2)"• q\\A\2 exp(-2q2r) B.12)
экспоненциально затухает в направлении q2. Как и в обычной плоской
26

волне, где
Ет = Bрс2у'\А\2, B.12а)
средняя плотность акустической энергии не меняется в направлении рас-
пространения волны. В точках с одинаковым значением амплитуды звуково-
го давления плотность энергии неоднородной волны выше, чем у одно-
родной, из-за большего значения амплитуды колебательной скорости.
Средние величины плотности потока мощности в неоднородной и обыч-
ной плоских волнах равны:
IT = {lupy'qAA |2ехр(-2?2г), B.13)
1Т = BрсГп\А |2, п = qjk, q2 = 0. B.13а)
Неоднородная волна является замедленной, но при одинаковых значениях
I p | поток мощности в ней больше, чем в однородной волне, из-за большего
значения Ет- 01метим, что хотя существует мгновенный поток энергии
в направлении q2 (в плоскости равной фазы), среднее значение потока
If направлено вдоль qx, т.е. ортогонально q2.
В равномерно движущейся однородной среде звуковое давление под-
чиняется уравнению, следующему из A.15):
c'2d2pfdt2 -Ар = 0, B.14)
которое так же, как и уравнение A.16), имеет решения в виде однород-
ных A.34) и неоднородных плоских волн. В неоднородных волнах ве-
щественная и мнимая части волнового вектора связаны уравнениями
-(?2vo/coJl =q\-q\,
- w) = q,q2.
Если q^ н q2 ортогональны вектору v0, то наличие течения никак не ска-
зывается на звуковой волне, и для неоднородных плоских волн остает-
ся справедливым все сказанное выше. При произвольной ориентации волно-
вого вектора и скорости течения ситуация становится сложнее. Так, при
?2vo ^ 0 и ?iVo ^ to плоскости равных фаз и равных амплитуд волны
перестают быть ортогональными.
2.2. Отражение плоской волны от границы раздела сред. Пусть из одно-
родной жидкости со скоростью звука с и плотностью р, занимающей верх-
нее полупространство z > 0, на границу z = 0 с другой однородной жид-
костью с параметрами с,, р,, занимающей нижнее полупространство z < О,
падает монохроматическая плоская звуковая волна частоты со (рис. 2.1).
Среды считаем неподвижными. Плоскость xz совместим с плоскостью
падения, содержащей в себе (по определению) как нормаль к границе
раздела, так и волновой вектор падающей волны. Обозначим коэффи-
циент отражения волны, определяемый как отношение комплексных
амплитуд отраженной и падающей волны, через V. Амплитуду падающей
волны условно примем за единицу. Тогда выражение для падающей
и отраженной волн запишутся в виде
Pi - exp[i&(x sin0 - z cos0)|, pr = Ve\p\ik(x sin0 +z cos0)], B.16)
Здесь к = ы/с,в —угол падения волны, составляемый волновым вектором
27

Рис. 2.1. Геометрия задачи об отражении и
преломлении плоской звуковой волны на
границе раздела
с осью z. Полное поле в верхней среде будет равно
Преломленная волна в нижней среде запишется в виде
р, = №exp[iA;i(x sin0, - z cos0j)J, к, = co/Cj , B.18)
где 0| - угол преломления, а величину W мы назовем коэффициентом
прозрачности границы. В литературе W называют также коэффициентом
пропускания или коэффициентом прохождения.
Величины К, И/и 0| определяются из условий A.21а) на границе раз-
дела. Поскольку граничные условия должны быть соблюдены при произ-
вольном значении горизонтальных координат, то волны с разными зна-
чениями горизонтального волнового век гора должны удовлетворять им
независимо. Поэтому падающая, отраженная и прошедшая волны имеют
одинаковые проекции волнового вектора на плоскость z = 0. Это обстоя-
тельство, являющееся, в сущности, прямым следствием инвариантности
слоистой среды относительно горизонтальных трансляций, уже было
использовано при записи отраженной волны. (Аналогично, в силу стацио-
нарности среды - неизменности ее во времени — падающая, отраженная
и преломленная волны имеют одну и ту же частоту.) Применительно к про-
шедшей волне из постоянства горизонтальной компоненты волнового век-
тора вытекает закон преломления Снелля:
к%\пв = fc1sin01. B.I9)
Его можно записать также в виде
,sin0/Sjn0, = n, B.19а)
где я = fci/fc = c/ci - показатель преломления. Мнемонически особенно
удобна такая форма записи закона Снелля:
c'x(z)sine(z) = const. B.196)
В дальнейшем мы часто будем использовать понятие импеданс *) волны
_lfL =
Z =
Ъг
B.20)
*)Точнее, так определенный импеданс Z называется нормальным. Если в B.20)
вместо нормальной к границе компоненты скорости взять ее полную величину, то
получим характеристический импеданс. Последнее понятие нам почти не понадобит-
ся в дальнейшем.
28

Для волн с гармонической зависимостью от горизонтальных координат
и времени в общем случае слоистой среды величина Z является функцией
z, со и {. Используя понятие импеданса, граничные условия (I.2I) можно
представить в эквивалентном виде:
Из условия непрерывности давления вытекает связь коэффициентов
отражения и прозрачности:
1 + V = W. B.22)
Обратимся теперь к условию непрерывности импедансов. С помощью
B.17), B.18) и B.20) находим импеданс волны в нижней среде
Z, = p,c,/cos0, B.23)
— величину, не зависящую от z, и импеданс суммарного поля падающей
и отраженной волн в верхней среде
Z = (pc/cos 0)[exp (-2/fcz cos 0) + K| /[exp(-2ifcz cos 0) - V\. B.24)
Приравнивая импеданс при z = 0, находим коэффициент отражения:
V = (Z, cos в - pc)l(Zx cos в + рс). B.25)
Из вывода ясно, что эта формула справедлива для коэффициента отраже-
ния от произвольного слоистого полупространства (z < 0), если только
найден его "входной" импеданс Z, при z = 0.
В рассматриваемом простейшем случае однородного нижнего полу-
пространства, используя формулу B.23) для Z\, находим
V = (m cos0 - п COS0, )/(m cos0 + ncoset), т = Pi/p, B.26)
или при учете B.19)
V = (т cos 0 - y/n2-sih2e )/(m cos 0 + у/п2 - sin20 ). B.27)
Если под корнем находится отрицательная величина, то выбор знака корня
вытекает из условия ограниченности поля преломленной волны B.18) на
бесконечности:
[1T1COS0, - lm(\/n2 -sin2в/п) > 0. B.28)
Формула B.25) записывается в наиболее простом и симметричном виде,
если воспользоваться импедансом падающей волны Z = pc/cos в:
V= (Zl-Z)l(Z,+Z). B.29)
Коэффициент прозрачности находим при помощи B.22):
W = 2Z, cos 0/(Z, cos 0 + рс) = 2Z, /(Z, + Z) B.30)
или
W = 2m cos 0/(m cos 0 + л cos 0i) = 2m cos 0 /(m cos в + y/n2 — sin20).
B.31)
Выражения B.26), B.27) и B.31) для коэффициентов отражения и
прозрачности называют формулами Френеля.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При нормальном падении волны
на границу (в = 0, =0) имеем
V = (т - я)Цт +л) = (ptct -pc)/(ptci +fic),
W = 2т/(т+я) * 2p,c,/(p,c, +pc).
Коэффициенты отражения и прозрачности зависят здесь не от скоростей
звука и плотностей сред в отдельности, а от произведений рс и ptCi, назы-
ваемых волновыми сопротивлениями или характеристическими импеданса-
ми сред.
В случае равенства скоростей звука, с = Ci(n = I), коэффициенты от-
ражения и прозрачности не зависят от угла падения:
V = (р, - рЖР\ +Р) = (и + О/О" + 0,
W* 2р,/(р,+р) = 2т/(т + 1). ^^
В случае, когда я ^= I, в -*¦ тг/2 (скользящее падение), получаем: V-*—l,
W -0.
Если угол 0 удовлетворяет условию m cos в = (я2 — siir'flI '2, то козф-
фициент отражения обращается в нуль. Это — any чай полной прозрачности
границы. Из последнего равенства находим для угла полной прозрачности
tg20 =г (m2~n2)l(n2~l). B.33)
Для того чтобы угол полной прозрачности был вещественным, необходимо
выполнение условия (т2 - я2)/(п2 - 1) > 0. Отсюда следует, что должно
выполняться одно из соотношений: либо 1 < я < т, либо 1 > я >т.
Прямое дифференцирование выражения B.27) показывает, что коэффи-
циенты отражения и прозрачности являются монотонными функциями в,
если я > У- Когда я < I, монотонность имеет место для углов при 0 < в <
<5 s агсяшя. При 5 < в < я/2 коэффициент отражения становится комп-
лексным - имеет место полное внутреннее отражение. Действительно,
учитывая B.28), формулу B.27) можно записать как
mcos0 + i(sin20 -n2I'2
B-34)
(яп'в-я2I'2
ip = -2arctg .
т cos0
Мы видим, что в этом случае | V | = I, т.е. отражение полное. Величина \р —
скачок фазы волны при отражении — является монотонной функцией
угла в. Фазовый сдвиг при отражении у(в), как мы увидим ниже (см.
§ 5, 13), обуславливает весьма интересные явления при отражении огра-
ниченных волновых пучков, а также звуковых импульсов.
При изменении значения угла падения в от критического угла полного
отражения Ь до я/2 модуль коэффициента прозрачности уменьшается от
двух до нуля. Сдвиг фазы преломленной волны относительно падающей
на границе раздела составляет половину от сдвига фазы при отражении:
W = | ff(exp(iii/2). В нижней среде, согласно B.18) и B.19а), при пол-
ном внутреннем отражении поле представляет собой неоднородную
30

плоскую волну
Pi = Wexp(iiz+ikx sin0), ц = fc(sin*0 - ,
B.35)
амплитуда которой экспоненциально затухает при удалении or границьь
Импеданс Zit согласно B.20), при этом будет чисто мнимой величиной:
Zj= — fcopi/p. В соогветсгвии с формулой B.13), при полном отраже-
нии преломленная волна не уносит энергию от границы: средний за период
векгор плогности потока мощности параллелен оси х. Энергия, приноси-
мая падающей волной, полностью возвращается в верхнюю среду в от-
раженной волне.
Коэффициент отражения V можно изобразить на комплексной плоско-
сти. Откладывая по осям абсцисс и ординат соответственно его веществен-
ную и мнимую части, мы получим для различных соотношений пара-
метров сред случаи а, б, в и г, изображенные на рис. 2.2. В случаях а и
б (я > 1) коэффициент отражения веществен. Поэтому его значения,
соответствующие различным углам в, укладываются на отрезок вещест-
венной оси. При этом в случае а при угле падения 0, определяемом
формулой B.33), коэффициент отражения обращается в нуль, в то время
как в случае б он при всех значениях 0 < в < тг/2 отрицателен и в
нуль не обращается.
Случаи виг (я < 1) соответствуют наличию полного внутреннего
отражения. Здесь при в > S - arcsin я точки, отвечающие комплексным
значениям коэффициента отражения, лежат на полуокружности единич-
ного радиуса. Это наглядно показывает, что коэффициент отражения ра-
вен по модулю единице; при изменении же угла в меняется лишь его
фаза. В случае г, в согласии с формулой B.33), при определенном в зна-
чение V обращается в нуль.
-i
-f
b8=Q
1
-i
i
S
0=6
e=8
Puc. 2.2. Коэффициент отражения иа комплексной плоскости для различных соотно-
шений параметров сред:
1 <c/ct <Pl/p (j); 1 <с/с,, pjp<cfcx (в);
c/ct < 1,с/с, < pjp (в); pl/p<c/cl < 1 (г)
31

Отметим свойства симметрии процесса отражения плоской волны по
отношению к обращению направления ее хода. Если для волны, падаю-
щей из верхней среды под углом в, угол преломления составляет в t, то при
падении из нижней среды под углом в t угол преломления в верхней среде,
как следует из B.19), равен в. Далее, если для волны, падающей под
углом в из верхней среды, коэффициент отражения равен V, то при па-
дении из нижней среды под углом 0,, как видно из формулы B.29), он
оказывается равным - V. В частности, если в - угол полного прохожде-
ния из верхней среды в нижнюю (У(в) = 0), то 0, - угол полного про-
хождения из нижней среды в верхнюю. Для коэффициент прозрачно-
сти W такое простое правило отсутствует, однако величина Wcosd/pc
(угол в, параметры рис должны быть взяты в среде, где распространя-
ется преломленная волна) оказывается в силу соотношения B.31) ин-
вариантной относительно обращения направления хода волны.
Как видно из формул B.18) и B.22). на границе раздела давление в
прошедшей волне будет в 1 + V раз больше, чем в падающей. Возьмем для
примера отражение звука от границы воздух - вода нри нормальном
падении из воздуха. Здесь р = 1,3 • 10~3 г/см3, р, = I г/см3, с = 333 м/с,
с, = 1500 м/с. По формуле B.27) получаем: V «= I. Таким образом, ампли-
туда давления в воде будет в два раза превышать амплитуду давления в
падающей волне. Наоборот, если волна падает из воды на границу ее с
воздухом, то, учитывая малость отношения pc/piCi, находим:
V = (pc-p,c,)/(pc+piCi) «= -I +2pc/p,c, « -I,
W = 1 + V « 2pc/p,<r, * 5,8 • КГ4,
т.е. амплитуда давления в прошедшей волне близка к нулю. Таким об-
разом, при переходе звуковой волны из одной среды в другую и обрат-
но отсутствует симметрия по отношению к значениям звукового давления.
Нет ее, как можно убедиться, и для скорости частиц в волне. Однако сей-
час мы покажем, что такая симметрия существует по отношению к нор-
мальным к границе компонентам вектора плотности потока мощности,
если нет полного внутреннего отражения.
В падающей волне (согласно формуле B.13а)) /, = cos в\р \2/2рс,
в прошедшей волне /1г = cos0,| px \212рхс\.Отношение
Л =ЛгД2 - [рс cos«^(p^coseMI W|2 B.36)
имеет смысл энергетического коэффициента прозрачности границы. Поль-
зуясь соотношением B.31) для И\ получаем
cos0 cosfl, fcosfl cosfli I
R » 4 + l- B.37)
pc pict I pc J
Последнее выражение симметрично по отношению к величинам, относя-
щимся к верхней и нижней средам, и поэтому не меняется при изменении
направления хода волны на обратное.
Мы получили соогношения симметрии исходя из явных выражений для
величин V и W. Однако эти соотношения не являются специфическим
свойством рассмотренной простейшей модели среды. В дальнейшем (§6)
мы обобщим их на случай относительного движения сред и докажем кх
32

справедливость для слоистых жидкостей весьма обшего вида, когда явные
выражения для коэффициентов отражения и прозрачности найти не уиаегся.
2.3. Локально реагирующие поверхности. Могут быть случаи, когда
импеданс границы Z, не зависит от угла падения волны. Например, до-
пустим, чго скорость звука в нижней среде много меньше, чем в верхней
(и = с/сх Р- 1), Тогда, используя закон преломления B.19а), получаем
cos0! - A - nsin26)''2 *-1, а для импеданса B.23) находим Z, ^р^]
при любом в.
В таких случаях можно сразу упростить* задачу об отражении, не рас-
сматривая поля в нижней среде, а вместо двух граничных условии B.21)
брать только одно, вытекающее из равенства импедансов на границе
(см. B.20)):
z = 0, Ър/bz + 7Р = 0, 7 = /wp/Z,. B.38)
Условие B.38) иногда называют граничным условием третьего рода или
импедансным граничным условием. (Условия первого и второго рода рас-
сматривались в п. 1.2). Для задачи об отражении плоской волны переход
от двух граничных условий к одному не имеет особой важности, так как
формула B.25), полученная довольно простым способом, справедлива
и без предположения о постоянстве Zt. В более сложных дифракционных
задачах, когда граница или фронт волны не плоские, переход к импедансно-
му условию может сильно упростить задачу.
Существует один интересный случай, когда импеданс Z] является по-
стоянным не приближенно, а точно. Пусть звуковая волна падает на гра-
ницу г = 0, ниже которой расположена совокупность узких канавок глу-
бины h, заканчивающихся неподатливой границей z --ft и имеющих не-
податливые стенки (гребенчатая структура, рис. 2.3). Ширину канавок
будем считать малой по сравнению как с длиной волны, так и с глуби-
ной h. Найдем импеданс Ъ\ этой гребенчатой структуры в плоскости 2 =0,
который по формуле B.25) определяет коэффициент отражения плоской
волны. Падающая звуковая волна будет возбуждать в канавках плоские
волны (как в узких трубах), бегущие в них в обоих направлениях. Мы
будем пренебрегать потерями анергии и>за трения на стенках. Тогда зву-
ковое давление в каждой грубке можно
записать как z ¦
р, = A exp(jfcz) + В exp (-iki).
На дне канавки должно выполняться
граничное условие A.19а), подстановка
в когорое pi из B.39) дает: А =
= В expBikh). Для импеданса на грани-
це тогда получаем z =0 из B.20) и B.39)
Z, = ipcctgkh B.40)
— величину, не зависящую от в.
Рис. 2 3. К определению импеданса гребенчатой
структуры
3. Л.М. Брековских
33

Импедансные граничные условия широко используются в архитектур-
ной акустике. Звукопоглощающий материал с открытыми вергикальны-
ми порами имеег не зависящий ог угла падения импеданс но той же при-
чине, что и гребенчагая структура. Условие B.38) может быгь применимо
и в атмосферной акустике. Так, в работе [349] экспериментальные дан-
ные для звуковых полей над различными видами поверхности - от свеже-
выпавщего снега до асфальта - удовлетворительно объяснены на основе
локальных граничных условий. Вообще, пользование не зависящим ог
угла падения импедансом законно во всех случаях, когда звуковое воз-
мущение в нижней среде не передается вдоль ее границы. Поэгому нор-
мальная скорость в каждой точке поверхности будет вполне определять-
ся значением давления в эгой точке. Поверхности раздела сред, удовлет-
воряющие эгому условию, называются локально реагирующими.
В гребенчатой структуре передача возмущения вдоль границы невоз-
можна из-за Наличия стенок трубок. В случае преломления волны на
границе двух однородных полупространств, когда с > с{, возмущение
не передается по нижнему полупространству вдоль границы, потому чго
преломленная волна уходиг ог границы почти нормально.
2.4. Отражение от плоского слоя. Представим себе, чго на плоский
слой толщины d (рис. 2.4) падает под некоторым углом плоская звуковая
волна. Среде, из которой падаег волна, слою и среде, в которую про-
ходит полна, мы присвоим соответственно номера 3, 2 и 1. Среды ), 2, 3
предполагаются однородными. Углы, образуемые направлением распро-
странения волны в каждой из сред с нормалью к границам слоя, обозна-
чим 0,, где / = 1, 2, 3- Плоскость падения волны, как и в п. 2.2, совместим
с плоскостью xz.
Коэффициент отражения от слоя, согласно формуле B.29), равен
К = (Zin-Zj)/Bin+Zj), B.41)
где
23= p3c3/cos03 B.42)
- импеданс плоской волиы в среде 3, Zin - подлежащий определению
"входной импеданс" слоя, т.е. импеданс на транице сред 2 и 3. Найдем
Zln, учитывая, что импеданс Z, при 2=0 нам известен (формула (.2.2.5)).
Как показано в п. 2.2, горизонтальная
компонента волиовото вектора одинако-
ва но всей слоистой среде. Поэтому,
аналогично B.19), имеем
k, sin 0i = к2 sin в2 - *э sin 0Э.
B.43)
Опуская множитель exp [/(Jfcjxsinflj -
-ыгI, дающий зависимость от гори-
зонтальной координаты и времени,
запишем звуковое поле в слое
Рис. 2.4. Система воли при отражении от слоя

(см. A-30)):
рг = A ехр(/*2г cos в2) + В exp(-/*2z cos в2). B.44)
Связь между постоянными А и В находим из непрерывности импеданса на
границе z = 0:
-1шргРАЪрг1ЪгI\г„ъ = Z,, или А/В = (Z, -Z2)I(Z{ + Z2), B.45)
где через
Z2 = р2С2/cos fl2 B.46)
обозначен импеданс плоской волны в среде 2. При г ~ d импеданс волны
B.44) равен искомому входному импедансу слоя. Учитывая B.45),
находим важную формулу
Zin = Z2(Zt - iZ2 tg vj)/(Z2 - /Z, tg *>), B.47)
позволяющую пересчигывать импеданс с одной границы слоя на другую.
В формуле B.47) мы обозначили
2 B.48)
— набег фазы плоской воины при распространении через слой.
Подсгавляя теперь B.47) в B.41), получаем для коэффициента отраже-
ния от слоя
_ (Z, +Z2)(Z2 -Z3)exp(-2^)t(Z,-Z2)(Z2+Z3)
(Z, +Z2)(Z2 +Z,)exp(-2f»+(Z, -Z2)(Z2-Z3) '
В частном случае, когда импедансы крайних сред одинаковы (Z| =Za),
формула B.49) может быть записана в виде
V ~(Z\- Z\ %Z\ + Z\ + 2iZxZ2 ctg *y B.50)
В другом случае, когда толшина слоя rf->0 или</#0, H0Z2 ~*Z\, из B.49)
получаем
+Z3)
- коэффициент отражения на границе однородных полупространств I и 3
(ср. с формулой B.29)).
Обратимся теперь к прошедшей волне в среде I. Звуковое давление в
ней Пуде! снова даваться формулой B.18), где необходимо найти коэф-
фициент VI. Из условия равенства поля в слое B.44) давлению в прошед-
шей волне на границе г = 0 имеем
W = А +#. B.51)
С другой стороны, записав падающую и отраженную волны в среде 3 как
exp(-/A3(z - J)cos03) И ^ехр|/Л3(г - rf)cos в3], получаем нз равенст-
ва давлений с обеих сторон границы:
1 + V - Лехр(/>) + Дехр(-;>). B.52)
Поделив B.51) на B.52) и воспользовавшись формулой B.45), находим
W = A +K)(cos^-/sin yZJZ,)'1. B.53)
3* *S

Подстановка выражения B.49) для4 V в B.53) дает
W = 4Z,Z2[(Z, -Z2)(Z2 -Z3)exp(i» +
+ (Z, +Z2)(Z2 +Z3)exp (-/»!-'. B.54)
При d -* 0 из B.53) получаем формулу B.22), а из B.54) - форму-
лу B.30). Когда d Ф 0, но Z2 -*Z,, соотношение B.53) даег W =
= A + К)ехр(/>), а B.54) - W = 2Z|expOV)/(Z, + Z3)- Эти соогноше-
ния отличаютЛ от выражений B.22) и B30), полученных в п. 2.2,
только фазовым множителем exp(/V). который своим происхожде-
нием обязан смешению начала отсчега фазы преломленной волны на
расстояние*/.
Интересен другой вывод выражения для коэффициента отражения.
Результирующую отраженную от слоя плоскую волну можно рассматри-
вать как супериозицию следующих волн (см. рис. 2.4): волны, отражен-
ной от верхней границы слоя (граница 3-2*. первым мы ставим номер
среды, откуда падает волна) (а), волны, проникшей через верхнюю
границу, прошедшей через слой, отразившейся затем от нижней границы
(границы 2-1), прошедшей снова через слой и, наконец, вышедшей из
слоя через его верхнюю границу 2-3 (Ь); волны, проникшей в слой, имею-
щей два отражения от нижней границы, одно - от верхней, прошедшей
дважды туда и обратно по слою и снова вышедшей из слоя (с) и т.д.
При каждом отражении от границы / - / изменение комплексной амп-
литуды волны дается множителем V,,, при прохождении границы - мно-
жителем Wtl; однократное прохождение слоя дает набег фазы*) <р. Здесь
у определена в B,48), а коэффициенты отражения и прозрачности отдель-
ных границ, в соответствии с результатами п. 2.2 (см. формулы B.22)
и B.29)), равны
V,, = (Z, - ZdliZ, +Z,), Vit = - Vlh WU = 1 + Vih
ij = 1,2,3. B.55)
Положим амплитуду падающей волны равной единице. Суммируя все
волны, из которых формируется общая отраженная волна, для ее ампли-
туды (т.е. для коэффициента отражения V от слоя), пользуясь формулой
суммы бесконечной геометрической прогрессии, находим
И= Из2 + Н/з2И21Н/2зехрB^) 2 [К23К21 ехрB/»]" =
п - 0
= И32 + Wjs УцЩз ехр B/»/[1 - К2 з К2, ехр B/»]. B.56)
После несложных преобразований, используя формулы B.55), получаем
У = [И32 + И21 expB*V)l/[l + КзгК21 ехр B/»]. B.57)
Точно таким же образом, суммируя все прошедшие волны, находим коэф-
фициент прозрачности слоя
W= Wa2W2,/[ехр(-I» + V3гУг, ехр0»]. B.58)
•)Для неоднородной плоской волны "фаза" <р - комплексная величина.

Если выразить V2l, V32, W2l и W32 через импедансы согласно B.55),то,
как нетрудно убедиться, формулы B-57) и B.58) переходят в B.49)
и B.54).
Для иллюстрации правильности результатов выше мы обращались к
частным случаям, когда слой фактически отсутствовал. Теперь рассмотрим
другие, более интересные частные случаи.
Полуволновый слой. Пусть набег фазы волны на толщине слоя равен це-
лому числу полупериодов,т.е.
^ = k7d cos 02 = /т, /=1,2 B.59)
При нормальном падении зто означает, чтоd a /Хг/2, где X i - 2ir/k2 — длина
звуковой волны в материале слоя. Подставляя B.59) в B.47), мы полу-
чаем для входного импеданса слоя Zln = Zj. Следовательно, коэффициент
отражения, согласно B.41), равен V = (Z\ - Z$)!(Zi + Z3). Таким об-
разом, полуволновый слой не оказывает никакого действия на падающую
волну; коэффициент отражения такой же, как если бы среды 3 и 1 сопри-
касались нелосредственно. В частности, если эти среды имеют одинаковые
импедансы (Zt SZ3), то коэффициент отражения равен нулю. Это свойст-
во полуволнового слоя позволяет использовать его как фильтр частот
или направлений.
Четвертьволновой просветляющий слой. Пусть теперь
у = k2d cos в2 ~ я/2 + я/, / - 0,1, 2,... B.60)
При нормальном падении волны и / = 0 зто означает d = X2/4. Формула
B.47) дает для входя» го импеданса Zjn=Z|/Zi- Следовательно, коэф-
фициент отражения, согласно B.41),будет равен
V =(Z\ -ZVZ3)I(Z\ +Z{Z3). B.61)
Полное прохождение имеет место при
Z, * (Z,Z3I/2. B.62)
Таким образом, отражение монохроматической волны на границе двух
любых сред можно целиком ликвидировать, поместив между ними чет-
вертьволновой слой с импедансом, равным среднему геометрическому
импедансов этих сред.
Применение слоистых систем как фильтров, "просветляющих" и зву-
коизолирующих покрытий, имеет многочисленные и весьма важные тех*
нические приложения (см. [52, гл. 2]).
Просачивание волны через слой. Пусть в слое скорость звука больше,
чем в среде, из которой падает волна. Если бы слой был бесконечно
толстым, то при углах падения, превышающих критический, в нем про-
исходило бы полное внутреннее отражение. Однако в случае конечной
толщины будет иметь место частичное проникновение волны через слой.
Это явление совершенно аналогично рассматриваемому в квантовой ме-
ханике явлению туннелирования частицы через потенциальный барьер.
Из B.43) мы имеем: sin02* k3k^1 $твг = сгс^ sin03- При 03 >
> arcsin (с3/с2) (угол падения превышает критический угол полного
внутреннего отражения) получаем sin 02 > 1, т.е. 02 - комплексный
угол, а плоские волны в слое являются неоднородными. При этом cos в2 =
37

= ±' \с\съг sin*03 - 11*'2. По формуле, аналогичной B.28), из двух зна-
ков перед / нужно взять плюс. (Заметим, что при другом выборе знака
выражения B.48), B.49) не дают правильного предельного перехода
lim V = К32). Таким образом, импеданс Z2 B-46) и величина <р B.49)
оказываются чисто мнимыми:
Z2 = - i\Zt I, IZi I - 9гсг(с\с;гsin203 - I)/2,
V ~ Пч>\, М = k2d(clcJsin2в3 - 1I/2.
Рассмотрим подробнее случай, когда по обе стороны слоя расположены
одинаковые среды. Тогда Z3 = 2, - вещественные величины, и из фор-
мулы B.50) получаем
V= |К|ехр(/0) = (Z?+|Z2|2)(|Z,P-Z?+2iZ,|Z2 Icthl^l)"'.
B.63)
Отсюда для модуля и фазы коэффициента отражения легко находим
\V\ = (Z2+|Z2|2)[(Z2-|Z2|2J+4Z2|Z2|2cth2M]-'/2, B.63a)
0 = arctg [2Z, IZ, I (ZJ - IZ2 |2 )"»cth I ^ |]. B.636)
Из B.63а) видим, что | V \ < 1, т.е. всегда имеется просачивание волны
через слой. При этом коэффициент отражения увеличивается с ростом
толщины слоя и I V I -* 1 при d -+<*>.
2.5. Коэффициенты отражения и прозрачности для произвольного числа
слоев. Представим, что между двумя полубесконечными средами, кото-
рым мы припишем номера 1 и п + 1, находится п — 1 однородных слоев
с номерами 2, 3, ... (рис. 2.5). Пусть на границу последнего слоя под про-
извольным услом 0n + i падает плоская звуковая волна. Требуется найти
амплитуду отраженной волны и волны, прошедшей в среду 1.
Найдем входной импеданс всей системы слоев Z^"K Для этого доста-
точно (и— 1) раз рекуррентно применить формулу B.47) - В самом деле,
положив в ней ZM* = Zx,d s d2 мы получим входной импеданс ZP^ на
верхней границе самото нижнего слоя
z
4
,(rr-t)
7(п-г>
''in
V
/7+/
n
n~1
n-2
p = z2 -J= ,
in z2-iz?h2
B.64)
где используются обозначения
щ = kjdj cos в),
„+,/*/) sin 0Я+Ь
I
I 2
>г
Zi =
j = l,2,...,n+l. B.65)
Рис 2.5. К определению коэффициентов
отраженю! и |ци>эрапностм системы слоев

Далее, производя в правой части B.64) замену Z.^1* -+Zl*\Z2 -*Z3,
s2 ~* s3, мы получим выражение для Z^ - входного импеданса второго
снизу слоя и т д. После того как будет найден ZJ"~' *, требуемый входной
импеданс системы определится формулой
Z<n"> = Zn(Z^~l)-iZnsn)l(Zn - iZ^K), B.66)
а коэффициент отражения- выражением,аналогичным B.29):
V = (Z.<n"> - Zn+,)/(Z?> +Zn +,). B.67)
Нетрудно видеть, что если в каком-либо из слоев / набег фазы <pj равен
целому числу полуволн, то такой слой никак не влияет иа отражение не-
зависимо от значения импеданса Zj. Выпишем теперь в явном виде вход-
ной импеданс для системы двух слоев (п = 3)
» Z Zl{Z2Z^s^ iZ^Z^ +Z>S>) B gg)
in 3 Z2(Zi-Z2s2s3)-iZl(Z3s2+Z2s>)
и для системы трех слоев (п = 4)
Z<n4> = MZJN, B.69)
где
М = Zx(Z2Zz-Z\s2sz - Z3Z4s2s4 - Z2Z4s3s4)-
- iZ2(Z2Z3s2 +Z3S3 +Z3Z4S4 -Z2Z4s2s3s4),
N = Z2{Z3Z4 - Z2Z4s2s3 - Z2Z3s2s4 -Z23s3s4)-
- iZx(Z3Z4s2 +Z2Z4s3 +ZjZ3s4 - Z3s2s3sA).
Легко проверить, что при равенстве импедансов каких-либо соседних слоев
формулы B.68), B.69) переходят в соответствующие результаты, получен-
ные ранее для меньших значений п.
Найдем теперь коэффициент прозрачности произвольной системы слоев.
Обозначим через Zj координату верхней границы слоя /. Тогда звуковое
давление в каждой из п + 1 сред может быть записано (всюду опущеи
фактор ехр[/(Лгп + 1 д: sin0n + i -ы/I)как
гу_,<2<гу, / = 2,3, ...,я + 1, гя+1 = +«>, B,70)
Ру- В, ехр[-/*,(г- 2j)cos0,], z < z,,
На границах слоев должно быть непрерывным давление, а также импеданс.
Значит,
=- /о>р/+,р/+,(Эр/+1/Эг)-' =Z,W>. B.71)
Подстановка сюда pj и p/+i из B.70) при учете соотношения гу+i - Zj '
= dj+t дает три уравнения на амплитудные коэффициенты Aj, Bj, Aj+i н

exp(- щ) = Aj+l + B/+,,
[A/ exp(ty) + Bt exp(- ty)l /[Aj exp(ty) - Bj exp(- ty)] *
(At+1 + Bh, )/D/+1 - Д/+1) - - Zfc(>/Z/+, . B.72)
Для единообразия записи формул мы используем здесь величины А\ - 0 и
li = 0. Разрешая два последних уравнения относительно Aj/Bj hAj+JBj+i
и подставляя найденные отношения в первое из уравнений B.72), находим
[> (Z<>> +Z/+1), B.73a)
= exp (- 2/ q) (Zfj? - Zy)/(Z<>> + Z,). B.736)
Придавая затем / последовательно значения / = 1, 2,. . . , и н перемножая
получающиеся из B.73а) уравнения, для коэффициента прозрачности,
равного по определению отношению амплитуд давления в прошедшей и
падающей волнах, в конечном счете получаем
W^BJBm* njexp0V/)(Zi<i()+Z/)/(Z1^)+Z/+1). B.74)
Аналогично через ?„+j можно выразить Bj в любом слое. Тогда Aj находим
по B.736), что завершает определение звукового поля во всей дискретно-
слоистой среде.
Заметим, что к рассматриваемой задаче можно было подойти иначе. Что-
бы полностью определить звуковое поле в среде с п - 1 однородным слоем
между двумя однородными полупространствами, достаточно, как видно
из соотношения B.70), найти 2w неизвестных амплитудных коэффициен-
тов: Aj, Bj (/¦ = 2, 3,,.., ri), В\ и -4n+i; (Амплитуда Bn+i падающей волны
в верхнем полупространстве считается заданной.) Условия A.21а) непре-
рывности давления и колебательной скорости на л границах между средами
дают 2л линейных уравнений для нахождения неизвестных Aj, Bj;
A, expOV,-) +fi/exp(- щ) = Л/+1 +В/+1, /= 1,2,..., л; Ах =0,
cos 0j[Aj exp(ity) - Bj exp(- ty)l = B.75)
Решение системы уравнений немедленно выписывается по обычным прави-
лам линейной алгебры. Однако изложенный выше метод с использованием
импеданса требует значительно меньше вычислений и намного более физи-
чески "прозрачен".
В технических приложениях слоистых систем наряду с вычислением
коэффициентов отражения и прозрачности большое значение имеет обрат-
ная задача - подбор параметров слоев, обеспечивающих заданные свойства
системы (например, близость коэффициента отражения от переходного
слоя к нулю в определенном угловом и частотном диапазоне). Эти вопросы
рассмотрены в монографии [52, гл. 2], ссылки на более поздние работы
можно найти в [284].
2.6, Учет относительного движения слоев. Импеданс гармонических волн
в движущейся среде. Задача об отражении плоской волны от движущейся
дискретно-слоистой среды оказывается значительно богаче по раэнообра-
40

зию физических ситуаций по сравнению с рассмотренной выше задачей
об отражении от неподвижной среды. Например, как мы увидим в дальней-
шем, в отдельных случаях коэффициент отражения оказывается большим
единицы; коэффициенты отражения и прозрачности зависят не только
от угла падения, но и от ориентации плоскости падения относительно те-
чения.
До недавнего времени отражение звука от движущихся дискретно-
слоистых сред обычно рассматривали как самостоятельную задачу. Ре-
шения были получены только при небольшом числе'слоев. Ряд работ
оказался ошибочным из-за неправильной формулировки граничных усло-
вий (см. п. 1.2). Мы не будем рассматривать отражение в движущейся сре-
де заново для границы двух полупространств, одного слоя и т.д., а пока-
жем, как переносятся на общий случай движущейся среды с произволь-
ным числом слоев результаты предыдущего раздела. Центральным момен-
том здесь будет обобщение понятия импеданса волны на движущиеся
слоистые среды.
В дискретно-слоистых средах на одной или нескольких границах может
скачкообразно меняться скорость течения. Хотя такие модели часто исполь-
зуются в акустике, следует иметь в виду, что течение со скачком (танген-
циальным разрывом) скорости является неустойчивым. Поэтому при
вычислении коэффициентов отражения и прозрачности для плоских волн
мы будем предполагать, что в среде, например в результате действия вяз-
кости, сформировалось устойчивое течение, которое отличается от задан-
ной дискретно-слоистой модели лишь в тонких по сравнению с длиной
волны звука переходных слоях в окрестности границ. Наличие тонких
слоев практически не сказывается на отражении и прохождении звука
(мы видели зто на примере однородного неподвижного слоя в п. 2.4;
для тонкого движущегося слоя с произвольной стратификацией скорос-
тей звука и течения, а также плотности соответствующие оценки будут
получены в гл. 2). Ниже мы будем пренебрегать влиянием пограничных
слоев, а также влиянием поглощения на отражение звука.
В движущейся слоистой среде с кусочно-непрерывными параметрами
звуковое давление в волне с гармонической зависимостью от горизонталь-
ных координат и времени подчиняется уравнению A.45):
B.76)
где координата ?(z) определена равенством A.44). Мы сохраняем здесь
обозначения п. 1.2. Граничные условия A.46), которым удовлетворяет
звуковое поле на плоскостях z ~ const, имеют тот же вид, что и в непод-
вижной среде. Представим их в эквивалентной форме, аналогичной B.21):
[рЬ-0, [Z]s = 0, B.77)
где
Z= const -р(Эр/Э?Г1 B.78)
Определенная таким образом величина Z обладает всеми свойствами им-
педанса в неподвижной среде, которые обусловили ценность этого понятия
в задачах, рассмотренных выше. Действительно, зта величина не зависит
41

от горизонтальных координат, времени и амплитуды волны; она непрерыв-
на на границах раздела. Значение постоянной, входящей в B.78), выберем
так, чтобы б отсутствие течения (v0 = 0,C= 1) соотношение B.78) перехо-
дило в B.20). Тогда, учитывая A.44), получаем
. B.79)
Или в обычных координатах:
B.79а)
Вообще, определение B.78) импеданса пригодно для волн любой природы,
если только соответствующее волновое уравнение представлено в виде
одномерного уравнения Гельмгольца и его коэффициенты не содержат
производных от параметров среды.
Импеданс гармонической волны в движущейся среде B.79) имеет яс-
ный физический смысл. Как уже отмечалось при выводе формулы A.29а),
вертикальное смещение т? частицы в волне следующим образом связано с
.?-компонентой ее колебательной скорости w и давлением:
w= (ры2^) dvldz.
Следовательно, с точностью до постоянного множителя импеданс равен
отношению акустического давления к вертикальной компоненте смещения
частицы в волне. По-видимому, впервые понятие импеданса было введено
в акустику движущихся сред (в дискретно-слоистой модели) в работе
[513] и независимо в работе [183), где было подчеркнуто значение поня-
тия импеданса для переноса результатов, полученных в случае неподвиж-
ных сред, на движущиеся.
Рассматривая задачу об отражении плоской волны от дискретно слоис-
той среды общего вида, сохраним принятые в предыдущем разделе геомет-
рические обозначения и нумерацию слоев (см. рис. 2.5). Плоскость паде-
ния волны, как и прежде, совместим с плоскостью xz. В слое с номером/
волновое уравнение имеет общее решение (см. формулы A.30), A.34))
Pj=Aj exp[ikj(z - zy_,) A +М/ sin в,)'1 cos 0,) +
+ Вi exp [- ikf(z - Zj_,) A + Mf sin Off1 cos 0,], B.80)
где 0j, как и в формуле B.70), означает угол падения вопны. Для крат-
кости мы обозначили
j B.81)
и опустили общий для всех слоев фазовый множитель, равный
ехр{/ [tyesin0yA + M/Sin0;)~1 - Ш]}. В этих обозначениях
Р) = 1 _ (v0/ to1 = A +Mf sin в,)'1. B.82)
Мы видим, что влияние течения на распространения звука происходит толь-
ко через проекцию вектора vo(z) на направление распространения фазы
волны. Углы 0j в разных слоях связаны условием равенства фазовых
скоростей следов волн на горизонтальных границах. Аналогично соотно-
шению B.196) имеем
апвДсуО +M/sin0;)]-1 =sin0n+,[cn+1A +Mn+1sin0n+,)]-1. B.83)
42

Обозначим через Zy импеданс плоской волны, г-компонента групповой
скорости A.37) которой в/-м слое отрицательна. По формулам B.79»),
B.80) и B.82) находим
2} = Р/ сДA +Л/у sin в,) cos в;]'*. B.84)
Используя равенство B.83), импеданс Z}- можно записать таким обра-
зом, что от скорости течения в слое ои будет зависеть только через угол 0у:
Z; = 2sin0n+1(cn+1A +Л/л+1яп0л+,))-1 pjcj(sin 20,)"'. B.84а)
Входной импеданс нижнего полупространства Z^J' равен Zj. Пересчет
импедансов на вышележащие границы слоев производится последователь-
ным применением формулы B.47) и цает (ф. B.66)) :
Z1^+1)=Z/+1(ZI<I')- *Zy+,S/+1)(Zy+1 - /Z^V,)-1, B.85)
где s,- = tgv>y. а набег фазы волны при прохождении слоя, согласно B,80),
равен
ц = к) d) cos в) A +Л/у sin fly) =
= *n+1sin0,,+1A +Mn+Isin0n+1)-Id'yctg0/. B.86)
По известным значениям входных импедансов на границах слоев коэф-
фициент отражения определяется при помощи формулы B.67), а коэффи-
циент прозрачности— формулы B.74).
Явные выражения для входных импедансов системы с одним, двумя и
тремя слоями даются соответственно формулами B.47), B.68) и B.69).
На движущуюся среду распространяются результаты исследования раз-
личных частных случаев, рассмотренных в предыдущих разделах настояще-
го параграфа (просачивание волны через слой, полувопновой и четверть-
волновой слои). Еще раз подчеркнем, что прежние формулы в случае дви-
жущейся среды несут в себе новое содержание. Например, поскольку фа-
зовый набег в слое, согласно B.86), зависиг от угла между векторами ( и
Vo, полуволновой спой подчеркивает при его прохождении в пучке моно-
хроматических плоских волн те, для которых
?>2 = *,A +M3sin flj^sin в3 • cl2 ¦ ctg в2 = h, /=1,2,... B.8?)
В случаях, когда скорость течения образует разные углы с осью х, в звуко-
вом поле за слоем подчеркиваются плоские волны с различными значе-
ниями угла падения 0 з-
Проанализируем подробнее отражение плоской монохроматической
волны от плоской границы раздела однородных дв ижущихся сред*). Из
формул B.29), B.84а) получаем
V= [p2c!sinB0,)-PidsmB02)/[p2c!sinB0,) +
binB02)]. B.88)
В такой форме записи течения сказываются на коэффициенте отражения
только через углы падения и преломления волны. Когда граничащие среды
являются газообразными, можно показать, что р2с2/(pic\) = "Уг/ть где
у - отношение тештоемкостей газа при постояйном давлении и постояином
*) Эта задач» исследовалась в работах [449,489].
43

объеме. Отражение на границе в силу принципа относительности должно
зависеть не от значений скоростей течения в обеих средах, а только от от-
носительной скорости. Коэффициент отражения B.88) удовлетворяет
такому требованию. Это становится очевидным, если преобразовать B.88)
при помощи соотношения B.83):
[1 -sin0,(u2 -»Ji)/c,] -p,c,cos02/p2c2cos0,
Y
+ P)Ci COS
где
. n (c2/c0sin 0,
Sin 02 = .
1 -sin 0,(u2 -u,)/ci
Здесь и ниже для краткости мы не пишем индексы 0 и х у значений скорос-
ти (иox/ s v0- Значение V не изменяется при одновременной перемене
знака sin0i и (и2 - vt). При исследовании коэффициента отражения для
определенности будем считать sin0, > 0. В системе координат, движущей-
ся вместе с верхней средой, это соответствует распространению следа вол-
ны в сторону х > 0. Чтобы получить коэффициент отражения V для всех
возможных углов падения, достаточно принять 01 >0 и придать относи-
тельной скорости v2 - Vi два значения: + | и2 - V\ I.
В неподвижной среде возможно обычное, т.е. частичное, и полное отра-
жение (соответственно |К|<1и|К|=1).В движущейся среде появля-
ется третий возможный режим - отражение с усилением (| У\> 1). Из
соотношения B.89) видно, что необходимым и достаточным условием пол-
ного отражения является неравенство |sin0j|r> 1. Полное отражение
происходит при таких углах падения, что
(«а - Vi - ca)/d < 1/sin 0, <(и2 - vt *<h)!ci. B.90)
Отражение с усилением имеет место, когда значение cos02 веществен-
но, т.е. если |sin02l< 1, и величина, заключенная в формуле B.89) в
квадратные скобки, отрицательна. Из этих условий находим диапазон уг-
лов падения, в котором I V \ > 1 ;
sin0, >с,/(и2-и,-с2)>0. B.91)
Поскольку sin0! < 1, то усиление возможно только при достаточно
большой относительной скорости течения в граничащих средах:
о,-»1>с,+с2. B.92)
Физически условия, из которых получена формула B.91), означают,
что: а) в нижней среде имеется обычная (однородная) плоская волна, т.е.
существует поток энергии вдоль оси г; б) v2, проекция скорости нижней
среды на направление ?, больше скорости следа волны c,/sin0, + и, на
границе раздела. В частности, если верхняя среда покоится, а скорость
нижней среды параллельна вектору (, отражение с усилением возможно,
когда движущаяся жидкость обгоняет перемещающийся по границе разде-
ла след волны.
Особым случаем отражения с усилением является резонанс - обращение
коэффициента отражения в бесконечность. Для этого должны быть удов-

летворены неравенство B.91) и уравнение
/_Pi?i_\ 2 Г j / c2 sin fl. у j
V РгСг / ' V с, - (и2 - и,) sin 0, / J
= A - шав,)сга [с, - (uj - »,)яп в,]1, B.93)
являющееся необходимым условием обращения в нуль знаменателя выра-
жения B.89) для коэффициента отражения. Соотношение B.93) является
алгебраическим уравнением шестой степени относительно sin0i и опре-
деляет резонансные значения угла падения.
Их удается найти явно, когда граничащие среды идентичны (pi = pj,
су = с2). Если ввести вместо sin0i пару неизвестных: а = sin'10t,b -
= М - sin0i (где М = (иа - >Ji)/Ci), то уравнение B.93) сводится
к системе
(в1 - Ь2 ) [(abf + ЪгЬ - М2 ] = 0, B.94)
решения которой отыскиваются элементарно. Резонанс возможен при
М > 2; при 2 < М < 23/2 существует единственный резонансный угол
падения
sine, = 1\М. B.95)
ПриЛ/>23'2 появляются еще два резонансных угла:
sin0t ж2ЦМ± [Мг +4-4A +M2I'2]'!2 ). B.96)
Отметим, что аналогично можно отыскать также резонансные угпы в более
общем случае, при ptc] = Ргс1> что для газов соответствует равенству
Усиление звука при отражении не противоречит закону сохранения энер-
гии: при отражении звуковая волна отбирает часть энергии потока. Други-
ми словами, энергия преломленной волны в движущейся среде в этих усло-
виях оказывается отрицательной. Конечно, строго говоря, наше рассмот-
рение перестает быть применимым буквально в случае падения волны под
резонансным углом. Это следует хотя бы из нарушения предположения о
малости возмущении среды звуком. Обращение коэффициента отражения
в бесконечность указывает на возникновение автоколебаний в системе,
Для обнаружения которых анализ коэффициента отражения плоских волн
часто оказывается очень удобным теоретическим средством [ 10].
Из неравенств B.90) и B.91) следует, что обычное отражение (| V\< 1)
Происходит при углах падения, удовлетворяющих неравенству
1 /sin в i > (t>2 - i>, + с2 )/с,. B.97)
В частности, если о, - v2 > с-г - clt то при всех положительных углах па-
дения | К|< 1. Коэффициент отражения обращается в нуль при углах
падения, являющихся (как следует из B.89)) корнями уравнения B.93),
удовлетворяющими неравенству B.97). Для идентичных граничащих сред
соответствующие значения 0, легко найти явно из системы B.94). Если от-
носительная скорость отлична от нуля, то соотношение V = 0 выполняется
45

-1
-2
~nl2 ~3n/fO - rt/tO 0 Я/W JnffO tt/2 8,
Рис. 2.6. Угловая зависимость модуля коэффициента отражеиия от границы идентич-
ных движущихся срез
-8,00-
-ЩОО
0,00 0,31 0tS3 Oj9t, Ш д 1,37
¦Рис. 2.7. Линии уровни коэффициента отражеиия V как функции угла падения и отно-
сительной скорости сред с равными значениями скорости звука. Заштрихована об-
ласть полного отражения, где величина V принимает комплексные значения. Форма
линий уровня не зависит от плотностей сред. Числовые значеиия У на рисунке отно-
сятся к случаю р, ¦ 2р,

при двух значениях 0,: при 0, * 0 и при
sin», = 2/{Л/+ [Л/2 +4+4A +А^)(/2]1'2}. B.98)
Заканчивая анализ коэффициента отражения плоской волны от границы
однородных движущихся сред, приведем в качестве иллюстрации зависи-
мость величины | И | от угла падения при Л/= ± 3 (рис. 2.6) и картину ли-
ний V - const на плоскости @Ь М) (рис. 2.7).
Некоторые случаи отражения плоских волн от движущейся среды,
когда между двумя полупространствами заключен однородный слой,
рассмотрены в работах [138, 513, 553]. Отражение звука тонкой упру-
гой пластиной на границе движущихся сред исследовано в работах [181,
184].
§ 3. Отражение монохроматических плоских волн
от непрерывно-слоистых сред: точные решения
Точные решения волновых уравнений в непрерывно-слоистых средах
существуют только для немногих видов стратификации среды, задава-
емой функциями с(z), p{z). а в движущейся среде - и функцией vo(z).
Однако они Представляют существенный интерес в качестве идеализирован-
ных моделей и первых приближений при решении практических задач,
для определения условий применимости приближенных методов и в дру-
гих целях. Этим объясняется неослабевающий интерес к выявлению стра-
тификации среды, допускающих точные решения волновых уравнений.
В настоящем параграфе мы рассмотрим отражение плоской звуковой
волны, падающей из однородной жидкости на непрерывно-слоистое жид-
кое полупространство. Этой задаче посвяшена обширная физическая и ма-
тематическая литература. Часть полученных результатов с той или иной
полнотой освешена в монографиях [52, 83, 103, 352, 540]. Необходимые
ссылки на оригинальные работы мы будем приводить по ходу изложения.
Сначала будем считать среду неподвижной. Это ограничение будет снято
в п. 3.7.
3.1. Общие соотношения. Пусть при z >0 среда однородна и характери-
зуется скоростью звука С\ и плотностью р\. В слоисто-неоднородном полу-
пространстве z < 0 скорость звука c(z) предполагается достаточно глад-
кой функцией z. а плотность среды - постоянной и равной рг. Из одно-
родного полупространства (верхней среды) падает монохроматическая
плоская волна единичной амплитуды
Pi " ехр (/(?*- Vк] -|2z)], *, =ы/с!, ? = Jfc,sin0, z >0. C.1)
Здесь временной множитель exp(-/w/) опушен, в - угол падения волны.
Геометрию задачи поясняет рис. 3.1.
Отраженную волну в верхней среде запишем как
Рг - Иехр[/«х+>/*?-$2гI. z>0. C.2)
Звуковое поле в нижней среде р(г, ш) = Ф(г) ехр(|?х) удовлетворяет
уравнению A.38), откуда получаем
— +(*2 -{2)Ф * 0, к = *(*)«-—, z<0. C.3)
dz* c(z)
47

x О
Рис. 3,1, Геометрия задачи об отражении
плоской волны от слоистого полупро-
странства (в) и профиль скорости звука
c(z) (б), в - угол падения
Физический смысл имеют только конечные значения р. Мы будем считать,
что уравнение C.3) имеет по крайней мере одно ограниченное решение.
Когда неоднородность среды сосредоточена в ограниченной области и
при г -* -о° скорость звука достаточно быстро (см. л. 3.2) выходит иа
постоянное значение, в глубине нижней среды звуковое поле вновь при-
обретает вид плоской волиы:
р = Wexp [i(?x -
ton
C.4)
Не зависящая от z величина W имеет смысл коэффициента прозрачности.
Если решение уравнения C.3), удовлетворяющее условию иа бесконеч-
ности, найдено, то коэффициент отражения можно найти по формулам
B.25), B.20):
v = 1
0 и форму-
C.6)
Из усповия непрерывности звукового давления на границе z
лы C.4) находим выражение для коэффициента прозрачности
W = A + К)Ф"'@) lim
Несмотря на видимую простоту одномерного уравнения Гельмгольца
C.3), найти его решения в квадратурах удается только в исключитель-
ных случаях. Общим приемом, позволяющим естественным образом
отыскивать практически все известные точные аналитические решения,
является метод сведения (редукции) уравнения C.3) при помощи заме-
ны зависимой и независимой переменных к какому-либо опорному диф-
ференциальному уравнению, решения которого известны. (О редукции
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка см., напри-
мер, [131, ч. 1, § 25].) В качестве опорных целесообразно брать уравне-
ния возможно более общего вида, т.е. содержащие в коэффициентах и,
следовательно, в решениях возможно бопыдее число «свободных пара-
метров.

Без потери общности линейное обыкновенное дифференциальное урав-
нение второго порядка можно записать в виде
d2W
—- f g(v)W= 0. C.7)
dv
Пусть для некоторой функции g(v) известна фундаментальная система
решений уравнения C.7), т.е. какая-либо пара его линейно независимых
решений. Выясним, для каких законов изменения скорости звука c(z)
решения уравнения C.3) можно выразить через решения уравнения C.7)
при помощи преобразования зависимой и независимой переменных в ис-
ходном уравнении:
Ф(г) = Q(z)W(v\ V - V(z). C.8)
Функцию J?(z) будем считать достаточно гладкой (фактически потребует-
ся существование и непрерывность производных j?(z) вплоть до третьей).
Будем считать dv/dz Ф 0; функция ij(z) - вообще говоря, комплексно-
значная.
Выполняя в C.7) замену переменных C.8), после ряда довольно гро-
моздких, но простых выкладок получаем уравнение, которому удовлет-
воряет функция Ф:
Ф" + {@,51ni?')" - [@,51nij')T + (v'Jg(v))<t> » 0. C.9)
Здесь и ниже штрихами обозначены производные от функции по ее ар-
гументу, в данном случае - по г. Функцию Q(z) мы выбрали так, чтобы
в уравнении C.9) коэффициент при Ф' был равен нулю:
Q - (т?'Г1/а. C.10)
Сопоставляя C.3) и C.9), мы видим, что решения уравнения C.3) можно
выразить через известные функции W(j}) для тех неоднородных сред, где
волновое число удовлетворяет соотношению
*2(z) = |2 + @,5 In т»')" - [@,5Inv')'? + (v'Jg(v) (З.П)
при каком-либо выборе функции ij(z). Для сред с к2 (г) вида C.11)
решение задачи об определении звукового поля сводится к поиску тако-
го частного решения уравнения C.7), что звуковое давление, найденное
с помощью C.8), удовлетворяет условиям на бесконечности.
Левая часть соотношения C.11) не зависит от угла падения волны.
Поэтому наклонное падение волны с произвольным % можно описать,
только когда правая часть содержит аддитивную произвольную постоян-
ную. Далее, в среде без дисперсии к «» со. Следовательно, рассмотреть от-
ражение немонохроматической волны (с фиксированным углом падения)
удается, только если правая часть C.11) содержит произвольную муль-
типликативную постоянную. Таким образом, для наших целей годятся да-
леко не любые функции t?(z) и g(v)- В дальнейшем для краткости мы
будем называть зависимости k(z) (профили волнового числа звука),
допускающие точные решения задачи об определении коэффициента от-
ражения плоской волны, "решаемыми" профилями.
3.2. Построение "решаемых" профилей к( х) на основе вырожденного
гипергеометрического уравнения [85, 86]. Рассмотрим случай сводимо-
4. Л.М. Бреховских 4?

сти уравнения C.3) к вырожденному гипергеометрическому, которое нам
будет удобно взять в форме уравнения Уиттекера:
*0. C.12)
d2W / I / 1-4
—_ + Г _ +_ +_
А?2 V 4 jj 4т?2
Другими словами, в уравнении C.7) мы положим
1-4тг
C.12а)
Здесь / и т - произвольные комплексные параметры. Решения уравнения
C.12) выражаются через вырожденные гипергеометрические функции,
в частности, через функции Уиттекера Wl<m(v) и M;,m(i?). Их свойава
подробно изучены в литературе но специальным функциям (см., например
B33, 240, 250]). Вырожденные гипергеометрические функции образуют
обширный дву.чнариметрический класс функций. При определенных зна-
чениях / и m он включае! широко используемые в математической физи-
ке цилиндрические функции, функции Лагерра и Вебера.
Возьмем класс -замен независимой переменной
r,(z)=gf(z). цФО, C.13)
где q — комллексиое число, f(z) - вещественнозначная функция. В силу
условий, наложенных на ij(z) при выводе соотношения C.11),/ являет-
ся гладкой монотонной функцией г. Для профилей к(г), заданных равен-
ствами C.11), C.12а) и (З.]3), коэффициент отражения удается выра-
зить через/(z), не конкретизируя ьид этой функции.
Возможны три случая, различающиеся поведением /(z) при z -> —°°.
Рассмотрим их последовательно.
1°. Urn
Из монотонности функции / следует при этом, что Вт /'= 0. Имею-
щее физический смысл ограниченное решение для Ф(г) получается тог-
да в силу C.10) только при условии Wivo) - 0. Следовательно,
Ф(*)= const (/'Г1'2 [W-,tm(-*ioWim(v)- W,,m(Vo)W_,,m(-V)l
C.14)
гДе Wti,m{tv) - функции Уиттекера. Они образуют фундаментальную
систему решений уравнения C.12) [250]. Решение C.13) нетривиаль-
но, т.е. Ф(г) ф 0, поскольку точка Vo не является особой для уравне-
ния C.12), а потому K//m(jj) н W_lm(-V), образующие фундаменталь-
ную систему решений, не могут обращаться в ней в нуль одновременно.
2°. v(~°°) - 0.
Если 2т не есть целое число, то в качестве фундаментальной системы
решений уравнения 0.12) удобно взять функции М,^т(т)), по-разному
ведущие себя в окрестности точки т? = 0 [250]:
C.15)
50

Если 2т - целое число, то функция М;,|т| остается решением уравнения
C.12), а фукция М,,_|т| не определе'на. Зная одно из решений уравне-
ния, Afit\m\(ri), другое, линейно независимое с ним решение, получаем
обычным образом [ 131, ч. 1, § 17]:
ЩЯ) = М,Лт\{ъ) ) М-]т Ju)du. C.16)
Отсюда,учитывая C.15), легко найти асимптотику функции М при i? -*0:
, i/2-iml 2|w i= 1,2,...,
М =* const! ... C.15а)
В случае | Re т \ > 0,5 только одно из решений М{> \ т \ и М, образую-
щих фундаментальную систему, обращается в нуль в точке v = v(-°°)-
Тогтд выбор решения г/рчшзвонится па основе требования ограниченности
f(z) точно так же, как при чсюкии 0< | i?(-°°) | < +о°. Наоборот, при
| Re m I < 0,5 любое решение ^'шв.'чшя C.12) обрзшасгся в нуль в точке
V -0, и для отбора имеющею фнлкеисий смысл решения нужно привлечь
дополнительные соображения. Из формул C.11). C.12а) следует, что за-
мена гп2 на т2 - г5 | т | 2, где 0 < 6 < 1, означает введение малой ноло-
жнтельно-миимой добавки к k2(z), соответствующей (как мы увидим
в § 7) появлению в среде поглощения звука Диссипация приведет к умень-
шению амплитуды поля, прошедшего в глубь неоднородной среды. Шнро-
тив, в нижней среде вдали oi границы поле, созданное излучателями, распо-
ложенными на z = - °°, позраает. Изложенные соображения позволяют
выделить при помощи формул C.15) и (З.Mа) физическое решение. Им
оказывается
C.17)
((-тг/2,7г/2], lRem|>0,5,
are m G<
l(-7i,0], | Re m |< 0,5.
3e.ij(—) = -.
Поскольку число q произвольно, не ограничивая общности, будем считать
для определенности, что !im /(z) =+<». В качестве фундаментальной
системы решений уравнения C.12) возьмем Щут (i?) и W_l<m(-r)). Эти
функции при г) -*°° ведут себя следующим образом [250]:
Wtm(i?)=exp(-i}/2)i}'[l+O(i}-1)], leigijl<*-6, «>0. C.18)
Если q - вещественное число, то формула C.18) дает асимптотику только
одного из решений, образующих фундаментальную систему. Тогда асимп-
тотика функции Уиттскера от отрицательного аргумента определяется по
асимптотике C.18) линейно независимого решения с положительным аргу-
ментом так же, как выше была получена формула C.15а).
При Req?:Q отбор физического решения волнового уравнения легко
осушествляется из требования ограниченности функции Ф в C.8). Рассмот-
рение случая Re q = 0 отличается от проведенного выше обсуждения случая
I Rew| <0,5 при 1} (-°°) = 0 лишь техническими деталями. Поэтому,
4* 51

не входя в подробности выкладок, приведем результат:
C.19)
I W-,,m(-1}), arg q 6 (-я, -ir/2) U [ff/2, я].
Таким образом, в совокупности формулы C.14), C.17) и C.19) дают
поле в слоисто-неоднородной нижней среде при произвольной замене вида
C.13). Коэффициент отражения плоской монохроматической волны для
любого профиля вида (З.П), где g определено C.12а), при фиксирован-
ных о? и % вычисляется при этом по формуле C.5).
Покажем теперь, что любой гладкий профиль вещественного кг (z)
может быть рассмотрен описанным способом за счет выбора параметров /,
т, q и функции /. Нам нужно показать, что соотношение C.11), рассмат-
риваемое как дифференциальное уравнение на функцию /(г) -rj(z)/q,
имеет решение при любой (гладкой) зависимости к1 (z), по крайней мере,
при некоторых /, т и q. Положим / =0, т «0,5 и q * 1. Тогда из C.11)
имеем более простое уравнение на/:
@,5 In/')" - [@,5 In/')']г - {fllf =к*~ ?. C.20)
Замена неизвестной функции по формуле
-2
/ U-2(u)du] C.21)
о
приводит C,20) к виду C.3):
U "(г) + (к2 - ?) Щг) - 0. C.22)
Уравнение C.3) имеет гладкие вещественные решения но самой постанов-
ке задачи; гладкость и монотонность /(г) видны непосредственно из со-
отношений C.21), C.22). Следовательно, при любой достаточно гладкой
функции к2(z) существует функция f(z), удовлетворяющая всем усло-
виям, наложенным при выводе соотношения C.11) и формул C.14),
C.17) и C.19).
Доказанная общность является, однако, во многом формальной: урав-
нение C.11) для функций г? (г) или/(г), вообше говоря, отнюдь не проше
исходного уравнения C.3). Тем не менее существует возможность на ос-
нове какого-либо закона изменения Л2 (г) с простой функцией/, более или
менее точно аппроксимирующего реальный случай, построить многопара-
метрическое семейство профилей, для которых задача решается точно.
Выбор значений параметров осуществляется югда из условия наилучшего
приближения конкретного профиля.
Перейдем к примерам профилей кг (z) из соотношения C.11), для ко-
торых точные решения можно получить в терминах вырожденных гипергео-
метрических функций. Мы рассмотрим последовательно три вида замен
/С)
)
А.Пусть -7r/2<arg<7<ir/2, /(z) «( I г I+*,)*, ЬФО. Из формул
C.11), C.12а) получаем
k\z) = |2 + 0,25 b\ I z I + гхуг [-</*( I z I + z,J* +
+ 4ty(|z|+2,N+fe-2 -4/й2). C.23)
При Ь>0 согласно формулам C.S), C.19) входной импеданс нижней
52

среды равен*)
Z= 2/wpjZ! {1 - Ь Mbqz\ [In Wl>m{qz\) ]') "l. C.24)
Выражение для Z при 2> < 0 отличается от C.24) лишь заменой W, т на
М1т. На возможность выразить решения для профилей, получающихся
иэ'C.23) при b = 1 и ft = 2 (для нормального падения) через функции Уит-
текера указывал Весткотт [545). Мы будем считать zt >0. При Zi <0
решения остаются формально справедливыми, но к2 обращается в беско-
нечность при конечных значениях z. В акустике такие ситуации не реали-
зуются. #
При ft = I из соотношения C.23) имеем
k7(z) = k$ +a,( Iz/z, I+ I)'1 +а2( Iz/z, I + I)'2, C.25)
где k\,ai иа2 - произвольные постоянные. Они связаны с входящими в
выражение C.24) параметрами /,т,q следующим образом:
lmчД2 - ?2 >0, C.26а)
t=atzjq, w = v/O,25 -c^zf. C.266)
Величина &2 имеет смысл волнового числа в глубине неоднородной среды
(z = -°°), координата zt задает вертикальный масштаб обиасти, занятой
неоднородностями. Мы видим, что отражение волны с любым значением ?
удается рассмотреть благодаря произвольности q. Свобода в выборе / и
т дает возможность произвольно задавать частоту волны. Профиль харак-
теризуется четырьмя параметрами. Для некоторых их сочетаний на рис. 3.2
» безразмерных координатах zji\ изображены зависимости к1 (z). Форма
профиля определяется значениями а.х на2. В частности, в неоднородной
среде скорость звука может иметь минимум или максимум. Как мы уви-
дим в гл. 4, при этом возникают условия для волноводного (в окрестнос-
ти минимума c(z)) и антиволноводного (в окрестности максимума c{z))
режимов распространения звука.
Для профиля вида C.25) особого рассмотрения требует случай ?2 =Jfc|.
Результат не может быть получен непосредственно по формулам C.24).
C.26а) и C.266), так как при выводе C.24) мы считали, что q ?=0. Если
а, -0, то входной импеданс легко получить предельным переходом q -+Q.
Однако при at =?0 переход к пределу осложняется стремлением к беско-
нечности (см. формулу C.266)) индекса / функции Уиттекера, входящей
в решение. Здесь оказывается полезным заметить, что если при % - ± к2 в
соотношении C.23) принять
ft =1/2, /=0, ю = ч/1 -4a2z2, q = 4y/-a,zt> C.27)
то мы вновь получим профиль C.25). Входной импеданс нижней среды по-
прежнему будет задан формулой C.24), в которую должны быть подстав-
лены значения параметров из C.27). Можно показать, что получающийся
при этом результат совпадает с пределом при q -+0 импеданса, найденного
для q ?=0. Отметим простое выражение для коэффициента отражения вол-
*) В этой и других формулах для входного импеданса иггрнх означает производную
по аргументу спсифункиин. в данном случае по qz^.
53

Рис. 3.2. Некоторые типичные профили волно-
вого числа, полученные при различных значе-
ниях свободных параметров в выражении
C.25)
ны, получающееся в случае % = ±к2,еч ~
C.28)
Рассмотрим поведение прошедшей в
нижнее полупространство волны при z -*
-*¦—«». Пользуясь формулами C.19),
C.18). C.26а) и C.266) и сохраняя толь-
ко главные члены разложения по степе-
ням I zt/z I, при % ?=±к2 имеем приближенное равенство
Ф(г) * const • ехр {/
- z) + 0,5 /<*,*,(*! - %2)'  In Iz (J.
C.29)
Аналогично,используя формулу C.21),при ? =±к2 находим
const -exp[-2 I tt»z,z|1/2}, а, <0, C.30а)
.const exp[2/|atz,z I1'2), а,>0. C.306)
Из формул C.18) и C.30) следует, что при одновременном выполнении
равенств ? =± к2 на, =0в глубине неоднородной среды с точностью до
поправок порядка 0A z \ "') звуковое давление р удовлетворяет соот-
ношению р* const -ехр(г|х) и не зависит от г.
Отметим отсутствие параметра а2 в выписанных выше главных членах
асимптотических разложений. Это естественно, поскольку слагаемое
а2 ( I z/zt I + I) в C.25) при больших I г I мало по сравнению с к*.
Слагаемое оц(\ z\z\ I + I) также мало, но связанные с ним эффекты,
накапливаясь, оказывают на поле определяющее воздействие. Мы видим,
что звуковое давление при z -*— °° имеет характер плоской волны только
при условии olv = 0. Стремление к2 (z) к Л| по закону k2(z)=kl +
+ О(| г | "') оказывается слишком медленным для того, чтобы можно
было ввести коэффициент прозрачности по формуле C.4).
При угле падения волны, большем критического угла 6, происходит пол-
ное отражение. Действительно, согласно C.26а) q становится веществен-
ным положительным числом. При положительных значениях своего аргу-
мента (считаем т вещественным) функция Уиттекера в соотношении
C.24) тоже вещественна. По формулам C.24) и C.5) тогда получаем:
ReZ = 0, I V\ =1. В том, что при 0>5 происходит полное отражение,
можно было убедиться также (для любого от), рассчитав среднюю за пе-
риод колебаний z-компоненту потока энергии в прошедшей волне. Из
формул B.11), C.29), C.30) следует, что поток акустической энергии
54

на z --°° отсутствует. Тогда равенство I V \ = 1 вытекает из закона сох-
ранения акустической энергии.
Плоские волны в среде вида C.25) рассматривались Рьгтовым и Юдке-
вичем [229) и Вэйтом [540]. В этих работах было принято, что оц =0, и
решения выражены в цилиндрических функциях. Используя связь послед-
них с функциями Уиттекера
[-i*Bv + 1)/4] W0,v(-2ir) [240].
Mr) = [24v+ >i<2V*1 Г*(» + I)r]-''2M0.,B/r) [250].
можно легко установить согласие*) нашей формулы C.24) с результата-
ми [540, гл. 3, § 3].
При* = 3/2 из формулы C.23) имеем
*2(z) = ?a - — <72(|z| + z,)- - /<7(lzl + z,)-'/2 +
16 4
+ - (l-9m2)(|z|+z,)-2. C.32)
4
В этом случае получить точные решения дл я произвольное значения % уда-
ется только при условии / =0, т = 1/3, когда к2 — линейная функция г.
Функция Уиттекера Мо^/3, входящая в формулу C.24) для входного
импеданса нижней среды, может быть выражена через час го используемую
функцию Эйри [240]:
^о,1/зDг3/2/3)= 2^г1'\(г). C.33)
Профиль к1 с линейной зависимостью от z широко используется для пост-
роения численных и асимптотических решений волнового уравнения в
слоисто-неоднородных средах общего вида. Точные решения для линейно-
го профиля мы рассмотрим ниже, в п. 3.5.
Отметим еще один случай, когда коэффициент отражения может быть
найден для любых углов падения. При b = 2 из формулы C.23) получаем
профиль
*2(z) = 0i +ft(lz/*i I* l)a ¦&(!*/*! l+l)'2. C-34)
где произвольные постоянные 01>0г и fo, характеризующие профиль, свя-
заны с параметрами l,m,q следующим образом:
m= 0.25 4/1-403*1 • C-35)
Наклонное падение может быть проанализировано благодаря произволь-
ности выбора /. Свобода в выборе q н т позволяет произвольно выбирать
частоту падающей волны и вертикальный масштаб неоднородностей среды
2\. Условие q=t=Q исключает в C.34) случай 02 =0. Этот случай, однако,
уже был рассмотрен нами выше; соответствующий лрофиль получается
из C.25) при <*! =0, к\ =0,,а2 =03. Для некоторых сочетаний парамет-
ров 0j н 0э характеризующая форму профиля C.34) безразмерная-вели-
чина [к2 (z) -0i]/0? представлена на рис, 3.3 в зависимости от безраз-
*) У Вэйта временной множитель выбран в виде exp(iwr), а у нас он предполагает-
ся равным exp(-/wr). Поэтому в [540) знак перед/ -всюду обратный).
55

мерной координаты z/:,. Отметим, что использовать профиль C.34) при
0з ФО для моделирования распространения звука в реальных условиях
целесообразно только в случаях, когда область с большими значениями
| zjz > I не сказывается существенно на формирование поля, поскольку при
z -*_оо функция k(z) в соответствии с C.34) имеет бесконечное предель-
ное значение, т.е. скорость звука с -*0.
При Рз =0 среди профилей семейства C.34) содержатся параболический
волновод (ft. < 0), исследованный, в частности, Иамадой [399], и парабо-
лический антиволновод (ft > 0), рассмотренный Мастеровым и Муром-
цевой [194]. В этих частных случаях входящая в формулу C.24) функция
Щ,-1/4(.Чг 1) может быть выражена через функцию Вебера (шраболичес-
кого цилиндра) Oj /_o s {у/ч2 i ) [240], которая и использовалась авторами
статей [194, 399]. В квантово-механической интерпретации величина к (г)
вида C.34) при /J3 =0 в зависимости от знака 02 соответствует потенциалу
гармонического осциллятора или параболическому потенциальному барье-
ру. Эти задачи подробно анализируются в курсах квантовой механики (см.,
например [196, § 23 и 50]).
В ряде работ изучалось нормальное падение волны на среду с волновым
числом вида
ki(z) = a(\zlzl I+1O. C.36)
Учитывая результаты анализа профиля C.25), будем считать здесь уФ —2.
Для произвольных 7 выбор / в виде степенной функций позволяет иссле-
довать лишь случай нормального падения волны. Если % ~ 0, то зависимость
C.36) получается из соотношения C.23) при
Ь = G+2)/2, / = 0, т = ±B+7)-\
yylzTy'2a1/2. C.37)
Свобода в выборе q позволяет рассмотреть отражение волн любой частоты.
**/*>
Рис. 3.3. Форма типичных "решаемых" профилей из семейства C.34)
Рис. 3.4. Примеры "решаемых" профилей, задаваемых выражением C.39)
56

Из формул C.24), C.31) для -у > -2 находим
Г1. C.38)
При-у<-2 в C.38) функцию Н \\\^у\ BB + ?) ~'ziorI/2) следует за-
менить на функцию 7_B+7)"' (~2B + г) ~*2хих1г). Получаемое при
этом соотношение, как и C.38), совпадает с результатами Вэйта (см.
E40, гл,3, §9]).
Б. Пусть в C.13)/=exp(-flz),-jr/2<arg^<7r/2. По формулам C.11),
C.12а) получаем "решаемый" профиль:
*2(z) = or, +a2 exp(-flz)+a3exp(-2flz), C.39)
для которого можно рассмотреть отражение волн с произвольными значе-
ниями угла падения и частоты. Возможные формы профилей из семейства
C.39) иллюстрирует рис. 3.4, где показана зависимость безразмерной вели-
чины k2ja3 от безразмерной координаты \a\z.
Когда z ->— оо, имеем /(г) -*+«>, если а>0и /(г) ->0. если а< 0. При
этом согласно формулам C.5), C.17) и C.19), входной импеданс слоисто-
го полупространства равен
-0,5 + <7Aп Щ,т (<{))'] "', а > 0,
Г', а<0.
Входящие в решение C.40) параметры выражаются через характеризую-
щие профиль C.39) постоянные следующим образом:
Q-2\/-<x3/a, 1 = а2/2ау/-а3, m = a~ly/%2 -at. C.41)
На возможность выразить решения для среды вида C.39) через функции
Уиттексра указывали разные авторы A31, 193,386,387]. Частный случай
а2 = 0, когда решения волнового уравнения выражаются через цилиндри-
ческие функции, для разных сочетаний параметров <*! и а3 подробно рас-
смотрен в монографии E40, гл. 3]. Используя выписанные выше форму-
лы C.31), связывающие функции Уиттекера с цилиндрическими функция-
ми, нетрудно установить согласие общей формулы C.40) с результатами
Взйта во всех рассмотренных в [540] случаях. Важным приложением точ-
ных решений для профиля C.39) при а2 = 0 стало их широкое применение
в численных расчетах для построения решений уравнения C.3) с произволь-
ной гладкой зависимостью к(z). При этом среда разбивается на слои, в
каждом из которых функция k(z) аппроксимируется профилем вида
C.39) (см. [1131).
В. Рассмотренные выше "решаемые" профили могут быть довольно раз-
нообразны. Однако обшей их чертой является наличие в неоднородной сре-
де не более чем одного экстремума скорости звука. Между тем, на практи-
ке нередко приходится сталкиваться с распространением волн в намного
более сложных слоистых средах, где может существовать несколько макси-
мумов и минимумов с(г) и, следовательно, несколько ангиволноводов
и волноводов.
Целесообразно поэтому указать еще один более сложный "решаемый"
профиль. Он порождается функцией f(z), задаваемой параметрически
57

соотношением
/= и2 - 1, z - -*, + 2(а - arcth u)/b. C.42)
Из C.42) следует, что при изменении г + zx от -«> до +°° функция/(г),
монотонно возрастая при Ъ > 0 и монотонно убывая при Л < 0, принимает
все положительные значения; f'(z) Ф 0. Профиль k(z) находим по форму-
лам C.11), C.12а) и C.42):
k\z) = atb2 - Ь2(«4 +а3 +6a2M'2 - 5в,«Г4Ув2, C.43)
где a-j (/ =1, 2, 3) - произвольные постоянные. Они связаны с параметра-
ми уравнения Уиттекера и величиной q соотношениями q - 8ef *'2, -jt/2 <
<arg q < jr/2, а_гакже
I/2
/ 4/ \
2q2U3 - — -lU
/ 4/ \ 1
2q2U3 - — -lUl,SJ . C.44)
"Решаемый" профиль C.43) имеет пять свободных параметров. Формулы
C.43) н C.44) свидетельствуют о том, что точные решения можно полу-
чить при произвольном угле падения волны, поскольку в правой части
C.43) имеется аддитивная произвольная постоянная. Мультипликативной
произвольной постоянной, которая позволили бы во всех точках изме-
нить к1 в одно и то же число раз, в формчле C.43) нет. Следовательно,
мы не можем исследовать зависимость коэффициента отражения от часто-
ты падающей волны.
Находя предел функции / C.42) при z •* -<» и используя формулы
C.5), C.17) и C.19) для входного импеданса иижией среды имеем
Ь>0,
Z * -2i<op2 ] C.4S)
[ ь<о.
Здесь значения /. /' и/" берутся при z ~ 0.
На рис. 3.5 представлено несколько типичных зависимостей к2 (г)
из семейства C.43). Анализ C.43) показывает, что при различных значе-
ниях аг и аъ скорость звука в неоднородной среде имеет экстремумы чис-
лом от нуля до трех. В последнем случае волиа в иижией среде может иметь
до четырех горизонтов поворота, т.е. значений г. при которых k(z) - %
и вертикальная компонента волнового вектора обращается в нуль.
Завершая описание слоисто-неоднородных сред, звуковое поле в
которых можно выразить через вырождениые гипергеометрические функ-
ции, сделаем одно замечание. Функции Д//,т и К^>т при определенных со-
отношениях между своими индексами / и т содержат в качестве частных
случаев ряд других специальных функций. Переход к более простым функ-
циям осуществляется за счет некоторого уменьшения числа свободных па-
раметров в выражении для "решаемого" профиля к (г). Особый интерес
блаюдаря значительному упрощению вычислений представляют те сочета-
ния индексов / и т. при которых М[п, или Wlm сводятся к элементарным
функциям. Отметим несколько таких случаев, используя результаты,
собранные в гл. 13 книги [240].
Волновое поле в кеиллородиой вреде выражается через функцию
Mi>m (qf), если f(z) ->0 при z -*—«>. Функция Mi >ro является элементарной

,z
a 5 3 z
Рис. 3.5. Типичные профили **'<*) из соотношения C.43) :анб- неоднородная среда
содержит два внутренних антиволновода; в - внутренний и приповерхностный волно-
воды, г - внутренние волновод и антиволновод. Штриховыми линиями показаны
арофилн которые могут быть получены нэ основных непрерывным иэмененнем пара-
метров
при каждом из следующих ниже сочетаний индексов:
2I= 1/2+т + я, т = ±1/4;
5)/
я + 1/2, т>0.
Здесь и = 0, 1,2,...; Ь Ф 0,-1,-2 1-й,
Аналогично, элементарные решения для любой гладкой замены пере-
менной/(z), удовлетворяющей условию/(г) -*+°° при г ->—°°, получают-
ся при следующих трех сочетаниях индексов, сводящих WiyM к элементар-
ной функции:
т = ±1/4;
3)/ = 2т + и + 1/2, т>0,
где по-прежнему л = 0,1, 2,...
3.3. Профили, допускающие точные решения на основе nmepreo-
метри чес кого уравнения. Гипергеометрнческим называют уравнение
d2F (a + j3+l)rj-7 dF a/?
- i Li—L — _ F = o, C.46)
dv tj(I-tj) drt tj(I.-tj)
Изложим кратко основные сведения о его решениях, которые потребуют-
ся нам в дальнейшем. Известно (см.,например [250, гл.14] и [240, гл, 15]).
что уравнение C,46) может быть удовлетворено следующим "гипергео-

метрическим рядом":
F, =
, afi a(a+lW+l) q(a + l)(« + 2)g(g + 1H + 2) 3"
7 l-2-T(T+D 1-2-3-7G+1X7 + 2)
C.47a)
Этот ряд сходится при | 771 < 1. Можно также показать, что вторым линей-
но независимым решением уравнения, сходящимся в круге | т?| < 1,
является ряд
F2 = vi~yF(a-7+ 1,^-7+ 1,2-7, tj). C.476)
Уравнение C,46) имеет три особые точки: ц - 0, 1, «*. Соответст-
венно, имеется три пары линейно независимых решений, причем каждая
пара этих решений сходится около "своей" особой точки, Так, вблизи
точки т?= 1 имеем фундаментальную систему решений
F3 = F(ot, 0, a + fi - у + 1, 1 - т>), C.48a)
^4-A-ч)*-в-^т-«.7-0, Т-а-0+1,1-4). C.486)
а вблизи точки tj = <*
F, = тГаЯ«, а-7+1, «-Д+1, 1/tj), C.49a)
F6 = т)-'Р(Р, Д-7+1,Д-а+1, 1/т?). C.496)
Каждое из зтих выражений представляет собой аналитическую функцию,
являющуюся решением уравнения C.46) во всей области сходимости со-
ответствующих рядов.
Методом аналитического продолжения любое из решений Fj (/ =
= 1, 2, . , . , 6) можно продолжить за границы области сходимости соот-
ветствующего ему ряда. При зтом мы в новой области получаем уже три
рещения — одно, продолженное из другой области, и два решения, давае-
мые формулами C.47) —C.49), Так как в каждой области уравнение
C,46) должно иметь ровно два линейно независимых решения, то между
этими тремя решениями существует линейная связь с постоянными коэф-
фициентами В дальнейшем мы используем лишь одну связь этого рода
Так, оказывается [240, 250], что если решение F5 аналитически продол-
жить в область 17?t < 1, то в этой последней области аналитическое продол-
жение выразится через F{ и F2 при помощи линейной комбинации
= Г(^+.)Г(,-7) ,
ГA0)ГA+а7)
ГA-0)ГA+а-7) ГG-0)Г(а) •
C.50)
где Г — гамма-функция.
Для функции
W= 4i72(i _ v-f*+9*t-yWF C,51)
гипергеометрическое уравнение записывается в виде C.7), причем
g(ri) = -rf 4*i + КгпA - г?) + KjiKl - tj) ], C.52)
60

где
4К, =7G-2), 4ЛГ, = 1-(о-РJ+тG-2),
4К3 = (а+0-7J -1. C'53)
Выражения C.11) и C.52) дают общий вид зависимостей k(z), для ко-
торых точное решение волнового уравнения может быть выражено через
гипергеометрические функции. Как мы уже отмечали выше, наиболее инте-
ресны те профили k2(z), где наряду с другими свободными параметрами
имеются аддитивная и мультипликативная произвольные постоянные.
Рассмотрим два вида замен независимой переменной T}(z), для которых
удается получить профили указанного вида.
А. Пусть т?(г) = -exp [a(z + г,)], а Ф 0. Тогда выражения C.11) и
C.52) дают
*2(z) = кЦ\ -Wexp [a(z + z,)](l +exp[a(z+z,)])-1 -
- AM exp [a(z + z,)] A + exp [a(z + z, )]) }, C.54)
где k0 и характеризующие форму профиля постоянные N и Л/ выражаются
через величины К\, Кг и Кг из C.53) при помощи равенств
*i - «2 - kl)a'2 - 1/4, Кг « -klNa'2, К3 = -4*g<T2 Л/. C.55)
Впервые отражение волн (при нормальном падении) от такой среды было
рассмотрено в 1930 г. Эпштейном [350]. Поэтому неоднородный слой
вида C.54) называют слоем Эпштейна, Точные решения в зтом случае
удается поаучить при произвольных значениях частоты и угла падения
волны.
Выразим параметры гипергеометрического уравнения а, 0 и у через
характеризующие слой параметры а, М и N. Из соотношений C.53) и
C.55) находим
а = 1/2 + у/\ - \6Mkla~2 + i | а Г1 (Vkl - 1? - у/kl ~ ? - Jfc^V),
0 = 1 /2
При извлечении квадратных корней выбирается то из значений, где мнимая
часть результата неотрицательна. Система уравнений C.53). C.55) имеет
и другие решения, но они не понадобятся нам при построении решений
волнового уравнения.
Для профиля волнового числа fc(z) вида C.54) точные решения в
терминах гипергеометрических функций могут быть получены при произ-
вольных комплексных значениях z,, а. М и ЛЛ С физической же точки зре-
ния соответствующие вещественным и мнимым значениям параметров за-
висимости k(z) могут отличаться кардинально. Так, при комплексных
значениях z, и вещественных а волновое число k(z) может обращаться
в бесконечность; при чисто мнимых а зависимость Лот z становится перио-
дической с периодом 2тг/| а |. Мы проанализируем решения в физически
наиболее интересном случае вещественных а иг,.
В зависимости от знака а возможны два случая.
61

1) а > 0. Тогда tj -> 0 при z -*¦ -°°. Общее решение уравнения C.3)
в соответствии с формулами C.8), C.10), C.51) имеет вид
Ф *exp((y-l)a(z + il)l2)ll+e*pla(*+*i)U(a*9*l~y)l2F' <3-57)
где F - общее решение гипергеометрического уравнения. Последнее при
I VI < 1 удобно записать как
C.58)
При tj -»• 0, как ясно из формул C.47), значение F, стремится к единице.
af2 = т?'~7[1 + O(v)\, Тогда для вертикальной зависимости звукового
поля в неоднородной среде достаточно далеко от границы получаем
Ф « AexpliJkl-Piz+z,)] +Дехр [-ijк% - %г (г + z,)J. C.59)
Здесь мы воспользовались выражениями C.56) для а, /3 и -у. При %2 < к%
первое слагаемое в правой части C.59) соответствует плоской волне,
бегущей из z = -°°. В нащей постановке задачи такая волна отсутствует.
При ?2 > к2 рассматриваемое слагаемое неограниченно возрастает при
z — ~°о. Следовательно, при любых ? необходимо положить А =0. Тогда
нз формулы C.57) получаем (с точностью до множителя) поле в ниж-
ней среде:
Ф = const • e»(»-T)(«+«i >/*[! +еа(г+ z« >| («**+»-т)/г х
XF(«-t+1, ff-T+1, 2-т,-*¦<•**•>), г<0. C.60)
Выписанное выражение позволяет вычислить коэффициенты отражения и
прозрачности по формулам C.5) и C.6).
2) д < 0- Тогда т? -¦ -°° при г -¦ -°°. В качестве обшего решения
пшергеометрического уравнения в C.57) удобно взять
F=AF5+BF6, . C.61)
Из формул C.49) следует, что при т? -»• -°° Ff = r}~ttU + ^(Ч1)}, ^« =
= tj~p[1 + O(rf1)]. Отбор решения, удовлетворяющего физическим требо-
ваниям, проводится виолне аналогично случаю а > 0. Из условий при
z -* —о° имеем fi = 0. В результате для вертикальной зависимости звуко-
вого поля в нижней среде получаем
Ф = СОГВ1 . е"G-1
XF(a, a-7+l, о /3+ 1, -е-а<г+г> >), г<0. C.62)
Выражения для коэффициентов отражения н прозрачности, следующие
из формуй C.60) и C.62), весьма громоздки. В и, 3.4 мы рассмотрим
отражение плоской волны or слоя Эпштейна при несколько другой поста-
новке задачи. Именно, будем считать, что волновое число меняется по за-
кону C.54) во всей среде, а не только при z < 0- Несмотря на некото-
рую потерю общности (результаты п. 3.4 могут быть получены из приве-
денных здесь результатов при р( * рг, к{ = &0 в пределе zx -* +°°), анализ
отражения от слоя Эшшейна. занимающего всю среду, представляет весь-
ма большой интерес ввиду простоты и обозримости результатов.
62

Б. Пусть т?(г) = ch~2a(z + г,), а Ф 0. Из формул C.11), C.52) тогда
получаем
k2(z) = kl[l+N<AC22a(z+zl)+Mch2a(z+zt)-s\\22a(z+zi)]. C.63)
Параметры к0, N,M можно выразить через величины Kt, Кг и К3 равенст-
вами
C64)
Л' = д2[3-8(А', -Кг+Кз)], М=-8аг(Кг - К, + Kj.).
Точные решения выражаются через гипергеометрическне» функции для
любых значений часточы и угла падения волны. Профиль C.63) был пред-
ложен Хедингом [386].
Как и в рассмотренном выше случае слоя Эпштейна, характер зависимо-
сти к2 от Z' для профиля C.63) будет качественно различным для вещест-
венных и комплексных значений параметра а. Так. при чистя мнимых а
волновое число k(z) является периодической функцией, а при веществен-
ных а оно имеет предел k{z)-*k0 npiu -*--<», Подробный анализ профилей,
принадлежат их семейству C.63) и различающихся значениями параметров
N, М, z | проведен в работе [ 103, гл. 3].
Когда а вещественно иг, > 0, кг(г) обращается в бесконечность в
неоднородной среде на горизонте z = - z,. Ограниченность к2 при всех
значениях z можно обеспечить, взяв Z\ комплексным. Так. при az i = /ir/4 +
+ <гс2 (где z2 вещественно), используя тождества sh(w + /я/2) = /ch«,
ch(u + Jtf/2) a/sh«, из C.63) получаем
k2(z) = kl[l -ATch2j(z+z2)-^sh2j(z+22)ch-22a(z+z2)]. C.65)
За счет выбора значений А'2 и К3 можно обеспечить вещественность коэф-
фициентов Л' и 04 в правой части C.65). Решения уравнения C.3), удов-
летворяющие физическим требованиям к поведению на бесконечности, для
неоднородного нижнего полупространства вида C.65) отбираются вполне
аналогично тому, как это бы.ю сделано для профиля Эпштейна, и мы не
будем останавливаться на лом вопросе.
Мы рассмотрели для гипергеометрического уравнения только два вида
замен независимой переменной. Существуют и некоторые другие функции
t}(z), приводящие к профилям k2(z), дотекающим точные решения при
произвольных углах падения и частоте плоской волны. Несколько таких
замен указано, например, в работе [103, гл. 3]. Однако никаких новых
профилей но сравнению с семействами C.54) и C.63) другие замены
переменной (из числа исследованных в литературе) не дают.
Отметим, что хотя рассмотренные выше семейства решаемых профилей
C.23), C.39). C.43), C.54) и C.63) не сводятся одно к" другому, они
имеют ряд общих частных случаев. Например, профиль вида k2(z) =
= А + В ch~2b(z + z0) содержится и в соотношении C.54) (при к\ = А,
ЛГ= 0,М- -В,а- 2b,zt - z0), и в соотношении C.65) (при к\ -A, N= - В,
M=Q,a- bj'2,z2 =z0).
3.4. Отражение плоской волны от слоя Эпштейна. Будем рассматривать
слоисто-неоднородную среду, распределение скорости звука в которой
63

таково, что квадрат волнового числа задается формулой C.54) при -°° <
< z < +°° и вешественном значении а. Плотность среды считаем постоянной.
Положим i\ = 0. а - - h < 0. В неограниченной среде эти предположения
не уменьшают общности, а сводятся к выбору начала отсчета на оси z
и упрощают обозначения. Формула C.54) принимает вид
k\z)lkl = I - Ле"*-A +е-*Т' - 4Ме-*3A +е~*г)-2. C.54а)
При больших значениях | z | волновое число выходит на постоянные значе-
ния: кг -*¦ кд при г -» +оо и к2 -* к\{ 1 — N) при z -*¦ -°°. Таким образом,
неоднородность среды сосредоточена фактически в некотором слое в
окрестное in z = 0, причем с ростом I z I отличия скорости звука в среде
от постоянного значения зкепоненциально убывают. Это позволяет сформу-
лировать задачу отражения плоской волны, не дополняя слоистую среду
однородным полупространством.
Будем считать, что при z -*¦ +•» задана плоская падающая волиа единич-
ной амплитуды
Pi = ехр[/(?* - koz cos 0O)]» sin 0о = |/*о» C.66)
здесь в0 ~ угол падения волны. Наличие неоднородного слоя приводит
к появлению при z -*¦ + °° отраженной волны
pr= Kexp[/ttjc+*0zcos(?o)]. C.67)
При z -*¦ - °° имеем прошедшую плоскую волну
р=
C.68)
где 0i —угол преломлении. Уигы падения и преломления связаны законом
Снелля: ко sin во = кх sin вх. Задача состоит в определении коэффициентов
отражения и прозрачности V и W.
На рис. 3.6 графически изображен квадрат показателя преломления
среды п2 =k2(z)/kl как функция z для двух случаев: М = О, Л'Ф 0 иМФ О,
;V= 0. Мы видим, что в первом случае формула C.54а) описывает "переход-
ный" слой, в котором показатель преломления or значения п = 1 при боль-
ших положительных z, плавно изменяясь, переходит к значению п = и„ =
— s/ I — Л' при больших отрица-
тсньных значениях z. Во втором
же случае мы получаем "симмет-
ричный" слой, в котором показа-
тель преломления является четной
функцией z. При зтом он обраща-
ется в единицу при больших удале-
ниях от средней плоскости г = 0 и
имеет наибольшее отклонение от
единицы при z = 0, где п2 в 1 - М.
По оси абсцисс на рис. 3.6 оказа-
лось удобным откладывать не ве-
Рис. 3.6. Формы переходного (/) и
симметричного B) слоев Эпштейна
bzfrn
-Oft
0,4
Ofi

личину п2, а величину п2, равную A-nJ)/.Y для переходного слоя и
(I - п2)/М - для симметричного слоя.
По оси ординат откладывается комбинация z/S Хо = bzj4n, где безмерная
величина
S = 2kjb C.69)
обычно называется относительной толщиной слоя. Простые расчеты показы-
вают, что в случае симметричного слоя его эффективная толщина (опреде-
ляемая как расстояние по оси z между точками по обе стороны от середины
слоя, в которых 1 - и2 равно половине значения этой величины в максиму-
ме, т.е. при z = 0), оказывается равной
/=0,28XoS. C.70)
Для переходного слоя / соответствует расстоянию по оси z между точками,
где 1 - п2 = qN и 1 -п2 = q~lNпри q= 0,85.
Формулы C.56) выражают параметры гипергеометрического уравнения
через характеристики неоднородного слоя и падающей волны. В обозна-
чениях п. 3.4 эти формулы принимают вид
о= 1/2 +</2 + id, + (/S/2)(cos 0O - Vl -NcosBt),
0= 1/2 + d2 + /</, +(/S/2)(cos0o+VT^Vcos0,), C.56a)
7= 1+ iS cos 0O.
Здесь вещественные числа d, и d2 определены равенством
2(d2 + /</,) = \Л -4S2M, dt>0. C.71)
Как мы видели в п. 3.3 (см. формулы C.61), C.62)), в качестве реше-
ния гипергеометрического уравнения для удовлетворения физическим
требованиям следует взять функцию F$, определенную соотношением
C.49а). Тогда при больших отрицательных z, учитывая равенства C.56а),
имеем
р = (- \)'аА ехр(/?х - iktz cos 0,), А = const. C.72)
При положительных значениях z, когда I т}| < 1, решение Fs переходит
в линейную комбинацию решений Ft и F2> коэффициенты которой приве-
дены в формуле C.50). Это позволяет легко проанализировать асимптоти-
ческое поведение решения волнового уравнения при z -> + <». Оказывается
(см. формулы C.58), C.59)), что при больших положительных z решение
Р\ соответствует плоской волне, бегущей в сторону положительных значе-
ний г, а решение F2 ~ плоской волне, бегущей в сторону отрицательных z.
Используя соотношения C.57)- C.59) и C.50), для звукового поля при
z -*¦ + °° получаем
Г(а-0+1)ГG- 1) 1
V - exp(/*ocos0oz) L C.73)
ГG-Р)Г(о)
Звуковое поле C.73) можно трактовать как суперпозицию падающей
5. Л.М. Бреховских 45

C.66) и отраженной C.67) волн. Сравнивая коэффициенты перед соот-
ветствующими экспонентами, определяем коэффициент отражения
Г1. C-74)
Аналогично, по формулам C.72) и C.73) определяем коэффициент проз-
рачности слоя
И/=ГA-0)ГA +о-7IГ(о-(?+1)ГA-7)Г1- C-75>
Таким образом, нам пришлось воспользоваться лишь предельными значе-
ниями гипергеометрических рядов. Мы видим в результате, что козффи-
циенты отражения и прозрачности для изолированного слоя Этитейна,
выражаются через Г-функции - функции одной переменной. Напомним,
что в п. 3.3 для границы слоя Этлтейна с однородной средой получались
значительно более громоздкие результаты, содержащие гипергеометриче-
скую функцию - функцию четырех переменных.
Проанализируем формулу C.74) отдельно для переходного и симмет-
ричного слоев Эпштейна.
А. В случае переходного слоя, т.е. .при М а О, NФ 0, из формул C.56а)
и C.71) получаем
d, =0, d2 = 1/2, о = I + (/5/2)(cosв0 - Vl -Ncoidy),
0 = 1 + («5/2)(cos в0 + VT^JV cos в,), C.76)
7= 1 +/Scos0o.
Выражение C.74) принимает вид
r(iS cos в о) Г(- (iSf2)(co$ в0 * \J\ ~ N cos в,))
Г(- iS cos 0о)Г((/5/2)(со5 во - V1 - N cos вt))
Бопее простое соотношение получается для модуля коэффициента отраже-
ния р = I V |. При его выводе мы воспользуемся следующими известными
свойствами Г-функции [240, гл. 6]:
Г(»О=1Г»Г, C.78)
Г»ГA - w) = тг/sinOrw), C.79)
r(l+w) = wr(w). C.80)
Здесь звездочка означает комплексное сопряжение, w — произвольное
комплексное число. Отметим, что при вещественных а из C.78) и C.79)
следует
I Г(ш)ГA ¦ id) I - I Г(- ш)ГA + ie) I = ir/sh(n | в I ). C.81)
Необходимо различать два случая: sin20o > 1 - N и sin20o < 1 — W.
(Для отрицательнь/х значений ЛГ всегда выполняется второе неравенство.)
В первом случае cos в% = i I cos вх I. Тогда числитель и знаменатель в пра-
вой части C.77) в силу C.78) являются комплексно-сопряженными велн-
66

чинами. Следовательно, р - 1, т.е. происходит полное отражение волны.
Во втором случае cos в\ — вещественное число. Используя тождество C.81),
получаем
sh [Or5/2I cos в0 ~\fT^Wcos 0, |]
г , . C.82)
sh [(?r5/2)(cos во + ч/ПГлГcos в,)]
Легко видеть, что при cos в \ Ф 0 здесь р < 1.
Выше мы отмечали, что I ~N = ni, где л« - показатель преломления
среды вдали от слоя со стороны, противоположной падающей волне (при
z -*¦ ~ °°). Поэтому условие полного отражения можно записать в виде
sin в0 > и„. C.83)
Найдем предел коэффициента отражения C.77) при стремлении толщи-
ны переходного слоя S к нулю. При w -*¦ 0 имеем ГA + w) ~*ГA) - 1;
в силу тождества C.80) Г(и>) = ГA + w)/w = W1 [1 + O(w)]. Используя
эти соотношения, из C.77) при S -+0 получаем
V = (cos в0 ~ \Л -N cos в, )(cos в0 + л/Г^/V cos в,)"'
— френелевский коэффициент отражения на границе однородных сред
с относительным показателем преломления V 1 ~ N = и„. (Напомним,
что плотность слоистой среды мы считаем в п. 3,4 постоянной величиной.)
На рис. 3.7 изображен модуль коэффициента отражения рот переходного
слоя как функция угла падения волны в0 для и« = 1,1 и 0,9 при различных
значениях отношения //Хо» гДе / — эффективная толшина слоя, определяе-
мая выражением C 70).Напоминаем, что волна предполагается падающей
из области z ¦=+<», где и = 1 и длина волны равна Хо. По оси абсцисс на
графиках отложены значения угла падения волны, по оси ординат - коэф-
фициент отражения, выраженный в децибеллах. Мы видим, что при увели*
чении толщины слоя коэффициент отражения резко падает. Так, в случае
нормального падения при увеличении толщины слоя / от 0,1 Хо до 5 Хо
20
60
too
200
300
400
500
80 в о, град О
20
60 ва,гра3
ХО-
ш-
500
а -20Щр
Рис. 3.7. Коэффициент отражения звуковой волны от переходного слоя в завнешиоств
от угла падения для различных толщин слоя: а - при л. = 1,1; б - при л»> " 0^9
5* 67

амплитуда отраженной волны при л« = 1,1 уменьшается от - 27 дБ (р =
= 4 КГ2) до -486дБ(р= 5 • IО'25J. Зависимость коэффициента огражения
От угла падения выражена тем резче, чем больше толщина слоя. При в0 ~* т/2
имеем р -М (Igp -> 0). В случае и» = 0,9 при в0 > 1,120 (что соответствует
во > 64° 10 ) имеет место полное отражение волны.
Б. Проанализируем теперь формулу для коэффициента отражения C.74)
в случае симметричного слоя, задаваемого формулой C.54а), в которой
принято N - 0, М Ф 0. По обе стороны слоя на достаточном удалении от
плоскости z ~ 0 значение показателя преломления обращается в единицу,
* середине слоя отличие и от единицы максимально: и3@) == л§ ~ I ~М.
Полагая в формулах C.56а) cos 0, = cos <fo, подставляя получаюшиеся
значения а, 0 и у в выражение C.74) и используя тождество C.79), для
коэффициента отражения получаем
Г (iS cos в0) . ,
nV(~iSсоав0) l V
X Г( d2 - idi - iS coseo\r(~ + rf2 + /of, - iScosOo). C.84)
42 /42 /
Отметим, что коэффициент отражения волны, нормально падающей на
симметричный слой толщины 50 с некоторым значением М = Af0, равен
коэффициенту отражения плоской волны с углом падения в0 ог слоя со
значениями параметров М = Мо cos260, S =50/cos 0<>. Действительно, при
такой замене М и S согласно формуле C.71) параметры S cos в0, d\ ид?2(
входящие в соотношение C.84), остаются неизменными.
Раесмогрим отдельно два случая.
В случае, когда АБгМ >1, согласно C.71) имеем д?2 = 0, 2dx -
= v45Jj1/-l. Для модуля коэффициента отражения при этом можно
легко получить выражение в элементарных функциях, если использовать
следствие тождеств C.78) и C.79):
I ГA - Ь + го)Г(Ь + га) I = я I sin пф + id) Г1 - «[crfta - cos'jr*]'1/J,
C.85)
где а и Ь вещественны. Из формул C.84) и C.85) для квадрата модуля
коэффициента отражения имеем
р1 = ctfvdx [ch ff(rf, +5cos0o)ch?r(ufI ~5cos0o)JM. C.86)
В случае, когда 4S2M< I, из C.71) получаем tf, * 0, 2rf2 ^y/T^4s4f.
Тогда из C.84) и C.85) следует, что
р1 = cos2nd2[ch1(nScose0) - cos'ndi]'1. C.87)
При М ->0 слой исчезает, среда становится однородной. При этом мы име-
ем d2 -*¦ 1/2 и согласно C.87) р -+ 0, чего и нужно было ожидать. Заметим,
что если в слое скорость звука меньше, чем в среде по обе стороны от слоя,
т.е. п0 > I, то М будет отрицательной величиной и при любой толщине
слоя S модуль коэффициента отражения будет задан формулой C.87).
Когда толщина слоя стремится к бесконечности, эта формула дает р -+ 0,
т.е. отражение исчезает (поскольку градиент показателя преломления
стремится к нулю).
68

Несколько сложнее обстоит дело "с предельным переходом S -»•«» в слу-
чае, когда п0 < 1, т.е если скорость в слое больше, чем в прилегающих
к нему средах. Здесь М > 0, и при достаточно большой толщине слоя S
мы должны пользоваться формулой C.86). При этом в свою очередь
нужно различать два случая:
l)di>Scos60; 2)d[<Scos0o. C.88)
В первом случае, фиксируя At и устремляя S к бесконечности, имеем
<*, » SMin = Syjl -nl, C.89)
ch^.-O.frexpnd,, C9Q)
В результате из C.86) получаем р -*¦ 1, т.е. имеет место полное отражение.
Во втором случае имеем
В результате при S -*¦ «» формула C.86) дает экспоненциальное убывание
коэффициента отражения с ростом толщины слоя, а также частоты волны:
р * exp[-2nS(cos0o - \Л - «о )]• C.91)
Заметим, что с учетом C.89) условия C.88) можно записать соот-
ветственно в виде:
1) sinв0 >по\ 2)sin0o <«о•
Как нетрудно видеть, первое из этих условий означает, что луч, соответст-
вующий плоской падающей волне, вследствие рефракции заворачивает
в слое и возвращается обратно в ту же среду, из которой падает волна.
Проникновение волны через слой осуществляется только благодаря тун-
нельному эффекту, аналогичному просачиванию частицы через потенциаль-
ный барьер в квантовой механике. При увеличении толщины слоя такое
просачивание ослабляется, и мы получаем полное отражение.
Интересно отметить, что при падении под углом sin0o = по, когда луч
заворачивает при г = 0 и толщина "барьера" становится нулевой, из фор-
мулы C.86) при S -+ °° имеемр2 -+ 1/2 (поскольку c\\v(dx -5cos0o)^ О»
т.е. отражается половина энергии падающей волны.
На рис. 3.8 значение -201gp изображено графически как функция угла
падения в0 для различных значений эффективной толщины слоя /, опреде-
ленной соотношением C.70), при и0 = 0,9 и 1,1.
Мы не занимались анализом коэффициента прозрачности W слоя. Обычно
в этом нет необходимости, поскольку в большинстве случаев представляет
интерес лишь величина | W |2, которая после определения р может быть
получена из закона сохранения энергии. Так. для симметричного слоя
|ич2 = 1-р2.
Один случай, тем не менее, заслуживает специального обсуждения. Опре-
делим коэффициент прозрачности симметричного слоя при М > 0, гл.
когда скорость звука в слое больше, чем в прилегающих к нему средах,
и при достаточно больших углах падения, когда происходит просачивание
волны через слой. Если 4БгМ>1, то согласно C.71) d2 = 0, 1dx =
4»

20 40
,град
SO е„,град
-20lqp
Рис. 3.8. Коэффициент отражения волны от симметричного слоя в зависимости от угла
падения для различных толщин слоя: о при л, =0,9; 6 ~прил0 •= 1,1
= y/4S2M~l. Из формул C.56а), C.75) имеем
И' = Г@,5 - iScoi в<> - idx )Г@,5 - /5 cos0o + idx) X
X '
J '' • C.92)
Используя тождество C.85), получаем простое Выражение для модуля
коэффициента прозрачности:
| W |2 =sh2(jrScos0o)[chjr(d, +Scos0o)chff(d, -Scosflo)]- C.93)
Легко проверить, что в сумме с величиной р2, определенной по форму-
ле C.86), значение | W |2 дает единицу, как и должно быть. При большой
толщине слоя E.-* <»), используя предельные выражения типа C.90),
получаем
( 1, sinflo <и0,
(H'l2* exp[-2vS(s/l-n20 -cos00)]. япво>по, C.94)
I
I 1/2, sin0О = "о-
Мы видим, что когда луч, соответствующий плоской волне, не проникает
в область отрицательных значений г, коэффициент прозрачности экспонен-
циально спадает при увеличении толщины слоя или частоты волны.
3.S. Отражение плоской волны от полупространства с линейным законом
для квадрата показателя преломления. Среди профилей волнового числа,
допускающих явные решения задачи об определении коэффициента отра-
жения от полупространства в терминах вырожденных гипергеометричес-
ких функций, в п. 3.2 была указана линейная зависимость к2 от z. Здесь
мы рассмотрим этот случай подробнее. Предварительно дадим сводку
основных свойств того специального вида вырожденных гипергеометри-
ческих функций — функций Эйри, через которые выражаются решения
волнового уравнения в рассматриваемом случае. Функции Эйри нашли
широкое применение в теории дифракции и распространения волн и неодно-
кратно используются в этой книге.
70

В полупространстве z < 0 с волновым числом вида
к2(г) = Цп2(г\ п2(г)«1±дг, «>0 C.95)
уравнение C.3) для вертикальной зависимости звукового поля записывает-
ся следующим образом:
— + (*о2-*2±*о2*г)Ф = О. C.96)
Введем вместо z независимую переменную t:
t = to т г/Я, t0 s H2 (?2 - jfc02), Я = (д*02 )"ш. C.97)
Тогда вместо уравнения C.96) получаем
" C.98)
Это уравнение носит имя Эйри; его решениями являются подробно иссле-
дованные и протабулированные (см. [262], [240, гл.10)] функции Эйри.
Два линейно независимых решения u(t) и v(t) уравнения C.98) могут
быть представлены как вещественная и мнимая части интеграла
Ф(?) = /exp(?j- -sAds, C.99)
/7 \ 3 /
где контур Г в комплексной плоскости s идет по лучу argj = —2 я/3 из
бесконечности к нулю и по вещественной оси - от нуля до бесконечности.
Интеграл C.99) сходится при всех комплексных значениях t и представ-
ляет собой целую трансцендентную функцию аргумента t. Легко проверить,
что функция Ф(?), определяемая этим интегралом, удовлетворяет уравне-
нию C.98). При t = 0 из C.99) имеем
2v^e
Ф@)= 2<э = 1,0899290710 + 1-0,6292708425,
-v... (ЗЛОО)
ф<°)= 7i =0,7945704328 -i 0,4587454481.
Ф(?) как целая трансцендентная функция разлагается в степенной ряд,
сходящийся при любых t. Этот ряд имеет вид
Ф(?)=Ф@)|
f t3 t6 1
ii+ + + ...
I 2-3 B 5)C-6) J
, \ t3 t* 1
+ /Ф @) 1 + + + ... =
I 3-4 C6)D-7) J
* Ф@) ? , /3" + 'Ф'@) 2л -—
n »0 я
t '
я 2.
П (Зт - 1Kт П ЗтCт + 1)
m = l ""* C.101)
В случае вещественных значений t обозначим
C.102)
71

где u(t) uv(t) - вешествепноэначные функции, являющиеся двумя линей-
но независимыми решениями уравнения C.98). Их разложения в ряды
(которые мы не выписываем) получаются сразу из C.101). Для вронскиа-
на с учетом формул C.100) имеем
u'(t)v(t)-u(t)v\t)=\ C.103)
Интегральные представления функций u(t) н u(f) легко получаются из
C.99). В часности, v(t) выражается интегралом Эйри:
»(*)- ж' / cos(jf ys/3)<fi. C.104)
Функции u(t) и u(i) определены также и для комплексных Л Они являются
целыми трансцендентными функциями. При этом имеют место соотношения
Ф@ - u(t) + iv(t), Ф(Ге") = u(-t) + iv(-t),
Ф(гс4я)= 2е"и(')> C.105)
Ф(Ге51Г|/3)= с'"/3[м(-Г)- iv(-t)]
Эти соотношения дают, в частности, выражения Ф(?) через вещественные
функции u(t) и v(t) на шести лучах- argf = ля/3, где л =0, 1, 2, 3, 4, 5.
Выпишем асимптотические выражения для функций Эйри и их произ-
водных. Для этого введем систему коэффициентов
„.11,-7 .П,»—Off—5)
'"" /«">" C.106)
д, =
1 "
72 ' 2
7
72' *'*
Тогда имеем:
При
u(i)
?>0, w = B
1 -2
G-
1 -2
/З)?3'
»• ?
п=1
•G2J
13)-5
•G2J
*« = -
П Fw + l)Fm-7)
и!G2)"
- ? bnw-"),
"жA+ ? (-1
n=i
-w A-2 (-1)\h--" ) ; C.107)
при
* Г /
и@"(-0"|/4 cos(
L \
w+ -)A+ 2 (-l
4
72

sin
4/ n=i
-2н
u@ = (-/r1/4fsinf w + -
\ 4/я=l
COS
\
l-2n
2 (-,]
n=l
.,1 - 2n
C.108)
Функции Эйри выражаются через цилиндрические функции порядка
±1/3 следующим образом:
при t>0, w = B/3I™
u(t) = Vi^/3 [/_ V3(w) + JV3(w)],
v(t) = 3 "•
при t<0, w =
u(t)
v(t)
C.109)
C.110)
B приложениях чаше встречается функция к@- На рис. 3.9 дан график
v(t)lv(O), причем и@) = 0,6293 (см. C.100)). Эта функция осциллирует
при t < 0 и быстро, монотонно спадает до нуля при t > 0.
u(i)fu@)
Рис. 3.9. График функции и(/)/о@)
73

4
6,78671
6,16331
5
7,94417
7,37218
Полезно также выписать значения нулей v(t) и «/(/). которые все лежат
при /<0. Обозначим и(->>/)= 0, v'(-x,)= 0 (где/= 1,2,...) и упорядочим
значения yt nxt ъ порядке возрастания. Значения нулей v(t) и v'(t) задают-
ся следующим образом;
/1 2 3
у, 2,33811 4,08795 5,52056
х, 1,01879 3,24820 4,82010
Обозначим
>-/ = (l,5w;J/3, x, = (l,5wjJ/3. C.111)
Тогда wt и w', приближенно (хотя и весьма точно даже при небольших /)
можно записать с помощью равенств
1\ 0,0884194 0,08328 0,4065
г - I /— —
,_/ 3\
0,1237872 0,07758 0,3890 C-112)
4/-3 D/-3V D/ - ЗM
Из второго из равенств C.105), следует, что функция Ф(/) имеет нули tt
(где / = 1, 2, 3, . . .) которые лежат на луче arg/ = я/3 и выражаются че-
рез y>i формулой
/,=Лехр(/я/3). C.113)
Аналогично, на том же луче функция Ф'(/) обращается в нуль в точках
*,=х,ехр(/я/3). C.114)
Функция u(t) и ее производная имеют нули на отрицательной части дейст-
вительной оси t, а также в секторах я/3 < arg/< я/2 и -я/2 <arg/< —я/3.
Подробные таблицы функций Эйри и связанных с ними величин можно
найти в книгах [234, 240, 262]. В справочнике [240], как и в ряде других
работ, вместо введенных В.А. Фоком обозначений и и и для функций Эйри
используются символы
Ai(f) = ff'1/au(f), Bi(f)Sff-1/au(f). (З.Ц5)
Вернемся к анализу отражения плоской волны от слоистого полупрост-
ранства с волновым числом вида C.95). Сначала будем считать, что показа-
тель преломления убывает при удалении от границы. Этот случай соответст-
вует верхним знакам в C.95) и C.97). Общее решение уравнения C.96)
имеет вид Ф = Au(t) + Bu(t). Из требования ограниченности поля при z -* °°
и с учетом C.107) получаем Л = 0. Тогда формула C.5) дает коэффициент
отражения
V= - [v\t0 )-id- v(t0)] / [i/(f0) + id¦ v(t0)], C.116)
где
d^kiHcos6(p2/pi) C.117)
- вещественное число, а в — угол падения плоской волны в однородном
полупространстве. Тот же результат следует из формул п. 3.2 (см. C.24)
74

и C.33)), где в принятых здесь обозначениях
<7 = D/3)Я-3'2, Zl=Ht0. C.118)
Когда плотности обоих полупространств равны, а скорость звука непрерыв-
на на границе, т.е. к^ = к0, из C.97) имеем
t0 = -fco#2cos20<O, d = yfl^. C.119)
Учитьшая вещественность функции Эйри v(t) при вещественных значе-
ниях аргумента, выражение C.116) для К можно переписать в виде
К=ехрA», ?>=-ff-2arctg[du(fo)/i/('o)]- C.120)
Отсюда видно, что мы имеем полное отражение от полупространства,
а у является фазой коэффициента отражения. Ниже, в гл. 2 мы покажем,
что при -t0 > I фаза у может быть получена и в приближении геометри-
ческой оптики, если только учесть добавочную потерю фазы волны я/2
в точке поворота z = zm, где
/ = 0, klazm = ?2 - kl, zm<0. C.121)
В точке поворота луч, соответствующий плоской волне, направлен горизон-
тально (параллельно границе z = 0).
Характер поля до плоскости поворота и за ней совершенно различен.
В случае zm < z < 0 зависимость звукового давления от z имеет осцилли-
рующий характер (область t < 0 на рис. 3.9). Размах осцилляции возрастает
при приближении к плоскости z = zm. При z < zm поле монотонно убывает.
Максимальное значение амплитуды звукового давления достигается при
z >zm на горизонте, где t = —jcx .
Перейдем к случаю возрастания показателя преломления при удалении
от границы. Теперь в формулах C.95) и C.97) нужно брать нижние знаки.
Для выбора решения уравнения Эйри, удовлетворяющего условиям на бес-
конечности, воспользуемся принципом предельного поглощения. Из фор-
мул C.108) следует, что при введении малого поглощения (т.е. при замене
к0 на ko(l + /tj), 0 < V ^ О только решение Ф = A [u(t) + iv(t)] стремится
к нулю ириг -*—°°. Тогда при помощи C,5) находим коэффициент отражения
V= Щи + iv) - i(u + iv')] [d(u + iv) + i(u + /i/)]-1. C.122)
Значения функций Эйри и их производных берутся здесь в точке t = t0.
При учете предпоследнего соотношения в C.105) тот же результат полу-
чается из формул п. 3.2 (см. C.24) и C.33)), где в рассматриваемом случае
q = _/D/3)Я/2, z, = -Ht0. C.118а)
Отметим, что при скользящем падении @ -* я/2) имеем d -* 0 и V-+ —1.
Полезно проанализировать соотношение C.122) в трех крайних случаях.
1) I fо I "^ 1 • Этот случай, как видно из C.97), реализуется при больших
градиентах скорости звука (а/к0 > 1) или при значениях угла падения в,
близких к 0,, где вх = arc sin (Ло/А:,). Здесь целесообразно воспользоваться
разложениями функций Эйри по степеням..аргумента. Согласно C.101)
имеем
75

Учитывая значения Ф@), Ф'(О) и /0. получаем из C.122) (с точностью до
членов порядка t$
r-
е
5" ГA/3) C-123)
3V3d ГB/3)
Если скорость звука непрерывна во всей среде, а плотность постоянна,
то при \t0 | <? 1 обязательно \d\ < 1, и предельное выражение C.123)
для коэффициента отражения можно упростить далее:
+ O(*o/3a/3cos26). C.123а)
2) /0 -* + <*>. Этот случай возможен только при условии к1 > %> к0,
т.е. когда в верхней части слоистого полупространства скорость звука
больше, чем в верхней (однородной) среде. Дополнительно нужно потре-
бовать медленность изменения показателя преломления (а/к0 мало).
Считаем, что угол падения в не слишком близок к в i.
Воспользовавшись асимптотическими разложениями C.107) функций
Эйри и их производных, получаем, что при t0 -*¦ +°° коэффициент отраже-
ния стремится к значению
_, d/fT0l (p2/p,)cose-Vsina0, -sin2б
V= ¦ = , C.124)
^o + 1 (Рг 191 )cos0 + Vsm2^! -sin20
т.е. к френелевскому значению коэффициента отражения на границе одно-
родных сред с параметрами klt Pi и А:о, р2- Этого следовало ожидать уже
хотя бы потому, что в рассматриваемом случае в нижнем полупространстве
волна является неоднородной и не проникает в слои, где отличие волнового
числа от А:о становится заметным.
3) /0 -* -°°. Этот случай реализуется при медленно меняющемся пока-
зателе преломления (а/к0 мало) и углах падения в < в^. Мы считаем опять,
что значения в не очень близки к б,. Сохраняя в асимптотических разло-
жениях C.108) функций Эйри наряду с главными членами поправки
порядка Wo1, где w0 = B/3)(-/0)Э/2. получаем
-5f/72w.)-(->.r(lt7f/72w.)I
(—/0) A +7//72w0)]
Если d Ф (~to)in , то члены порядка wol — малые поправки, и их можно
отбросить. Тогда вновь получается френелевский коэффициент отраже-
ния C.124). Однако при d = (-to)u2, когда френелевский коэффициент
отражения обращается в нуль, главные члены в числителе C.125) взаимно
уничтожаются, и мы находим
^p1)]-3. C.125a)
Таким образом, при отражении имеем место потеря фазы волны в я/2. Ког-
да А:, Ф к0 или р2 Ф Pi, френелевский коэффициент отражения может об-
П

ратиться в нуль только при вполне определенном угле падения (см. п. 2.2).
Если же параметры среды повсюду непрерывны (Л, = ко,р2 ~Р\), то фор-
мула C.125а) дает коэффициент отражения при всех углах падения, кроме
скользящих (для справедливости неравенства —t0 > 1 необходимо выпол-
нение условия a/k0cos39 <l). Модуль коэффициента отражения в этом слу-
чае можно записать в виде
,, dn
m-xii-
2 = 0
1
8ttcos30
C.126)
где X - длина звуковой волны в верхней среде.
Формулу C.125) можно рассматривать как высокочастотный предел
(со -* «>) коэффициента отражения при а - const. Мы видим, что в отсутст-
вие горизонтов поворота заметное отражение (| V\— 1) высокочастотной
волны происходит только от разрывов скорости звука или плотности.
Если такие разрывы отсутствуют, отражение определяется влиянием изло-
мов кривой c(z), т.е. разрывов первой производной. Коэффициент отра-
жения при этом оказывается намного меньше единицы и убывает с ростом
частоты, как со. Области слоистой среды, где параметры изменяются
плавно, вносят в отраженное звуковое поле весьма малый вклад. В п. 3.4
на примере слоя Эпштейна мы видели, что при бесконечно дифференци-
руемой зависимости c(z) в отсутствие горизонтов поворота значение коэф-
фициента отражения экспоненциально стремится к нулю с ростом со.
Заметим, далее, что согласно формуле B.27) на границе раздела двух
однородных жидкостей с одинаковой плотностью и близкими значениями
скоростей звука с и сх коэффициент отражения равен
cose - Vcos20 + (c/ci) 2 - 1 Ас/с
W 2 2cos20
где (Дс)/с s (с - Ci)lc — относительный перепад скорости звука. Мы счи-
таем здесь, что значение угла падения 0 не слишком близко к я/2 (cos20 >
^ \(c/ci)~2 — 1 |). Модуль коэффициента отражения C.127) будет совпа-
дать с C.126), если положить
Ac dn
dz
1
= 0 47TCOS0
или, поскольку п - Сх/с(г), с ^clt
Дс=( Y—) . C.128)
\47rcos0/ \dz / z - 0
Этот перепад равен изменению скорости в неоднородной среде на рас-
стоянии Az = Х/4тг, где X = X/cos0 — пространственный масштаб изменения
звукового поля по вертикали. Можно сказать, что волна "не замечает"
деталей профиля c(z) с вертикальным масштабом, много меньшим X.
Как мы увидим далее в гл. 2, свойства отражения плоских волн, кото-
рые мы отметили для среды специального вида, сохраняются при достаточ-
но произвольной стратификации параметров слоистых сред.
77

3.6. Другие случаи, допускающие точные решения при нормальном
падении. Построенные в предыдущих пунктах настоящего параграфа "ре-
шаемые" профили практически исчерпывают непериодические бесконечно-
дифференцируемые зависимости с(z), для которых известны явные точные
решения задачи об определении коэффициента отражения плоской волны.
Точные решения для многих периодических функций c(z) могут быть
получены из указанных выше профилей (см. п.п. 3.2 и 3.3). Некоторые
примеры были приведены в п. 3.3. Другие профили, не сводящиеся к по-
строенным выше, могут быть найдены аналогичным образом, если в ка-
честве опорного уравнения C.7) взять дифференциальное уравнение Матье
[131], для которого
#07) = acos2i7 + b. C.129)
Отметим, однако, что все сказанное выше относится к задаче об опреде-
лении коэффициента отражения при произвольных значениях угла паде-
ния в и частоты со. С другой стороны, как мы уже отмечали, решения
для фиксированных значений в и со легко могут быть получены для не-
ограниченного числа профилей при помощи соотношения C.11). Проме-
жуточной по сложности и физическому интересу является задача построе-
ния профилей, "решаемых" при произвольной частоте волны, но для фикси-
рованного угла падения. Простой и эффективный метод ее решения пред-
ложен Абрахамом и Мозесом [278]. В рамках нашего подхода этот метод
сводится к установлению в C.11) определенной связи функций g(ri) и tj(z) ,
которые раньше мы выбирали независимо.
Пусть для какой-либо функции ?1A7) и произвольного значения q из-
вестна фундаментальная система решений опорного уравнения
Э2
77%*)+ [Я2 +*iD)]WGj,?) = 0. C.130)
di72
Обозначим через w(i}) какое-либо нетривиальное вещественное решение
уравнения C.130) при q = 0. Для построения "решаемых" (в терминах
функций W" (т], q)) профилей выберем замену переменной так:
z(t?)=- fw-2(T}')dn', J?0=const. C.131)
Ясно, что z(ji) - монотонно убывающая функция. Поэтому заведомо
существует обратная ей функция tj(z), необходимая для построения реше-
ний волнового уравнения C.3) в терминах W(j], q). Из C.131) следует
d /dv\ d , d
— =( — )— = w(i7)—. C.132)
dz \dz / dr] dr]
Вычисляя при помощи этого соотношения входящие в C.11) производные,
находим "решаемый" профиль
*2(z) = w3(t7)w"(t0 + w4(t0[<?2 +gl(ri)] +?2- C.133)
Учитывая теперь, что w(t?) удовлетворяет уравнению C.130) при q = 0,
получаем окончательно для случая нормального падения (? = 0):
k(z) = qw2(V). C.134)

Профиль C.134) имеет мультипликативную постоянную q, что и поз-
воляет рассматривать отражение волн с произвольной частотой. Фактичес-
ки зависимость волнового числа от вертикальной координаты z задается
параметрически (к = к(т)), z = 2A7))равенствами C.134) и C.131). Ввиду
сложного способа задания профиля k(z) интерес представляют лишь те
gi A7), для которых w(rj) являются элементарными функциями.
•Рассмотрим пример. Пусть
gi(v)=-b2, b= const>0. C.135)
Тогда решения W(r), q) являются линейными комбинациями экспонент
ехр(±л/Ь2 - q2v)- Функцию w запишем в виде
w = /lexp(-bi7) + fiexp(bi7). C.136)
Выполняя интегрирование в C.131), находим
1 -expBbi7)
z+Zi= , Z!=const<0. C.137)
2b(A+B)[A+Be\pBbn)]
"Решаемый" профиль дается формулами C.134) и C.136),причем форму-
ла C.137) позволяет выразить т\, а следовательно, и к, через z явно:
ГГ A-BV Г1
k=-AqAB l\2ABb(z+Zi)+ -1 , z<0. C.138)
IL A+0 J )
Заметим,- что при А > -В > 0 волновое число ограничено во всей нижней
среде; при z -* -«> имеем k(z) -* 0.
Для определения коэффициента отражения плоской волны, нормально
падающей на слоистое полупространство с волновым числом C.138),
необходимо выбрать решение W(j], Я) опорного уравнения C.130),
дающее правильное поведение звукового поля при z -* — °°, т.е. при 17 -*Vo
(см. C.137)):
т?о = BЬ)1п(-Л/В). C.139)
Вертикальная зависимость звукового поля, согласно формулам C.8),
C.10), C.131), выражается через решение опорного уравнения следующим
образом
)lw{vi). C.140)
Поскольку w(Vo) ~ 0, то из условия ограниченности звукового поля сле-
дует W(i7o, q) = 0, что с точностью до постоянного множителя определяет
соответствующее решение опорного уравнения C.130), C.135). После
простых преобразований получаем
= const ¦ sh(>/b2 -q2(v - Vo))IMHv ~ Чо))- C.141)
Теперь коэффициент отражения К легко получить из соотношения C.5),
используя выражения C.132) и C.137), связывающие переменные ц
и z и производные по этим переменным. Формулу для V мы приводить
здесь не будем.
В работе [278] даны два других примера профилей k(z), допускающих
точные решения при произвольной частоте нормально падающей волны.
79

Эти профили задаются параметрически. В первом случае
C.142)
z(rj)= -i7th2a+a 1 th2 a[cth(ar] + a) - cthft],
где а и а - положительные постоянные, а параметр т] пробегает все неотри-
цательные значения. В тех же обозначениях во втором случае
C.142а)
a)- tha].
Профиль C.142) дает монотонное возрастание скорости звука от предель-
ного значения cjq~l th2a при z -* -°° до cjq~l при z - 0. В случае C.142а)
скорость звука монотонно убывает от значения cog'1 cth2a при z -* —°°
до значения coq'1 при z = 0. Для поля в слоистом полупространстве вида
C.142) и C.142а) и коэффициентов отражения в работе [278] получены
громоздкие, но содержащие только элементарные функции выражения.
Отметим, что совершенно аналогично случаям C.142) и C.142а) могут
быть рассмотрены и несколько более общие зависимости k(z), отличающие-
ся от приведенных выше сдвигом начала отсчета координаты z, который
приводит к изменению скорости звука на границе z = 0. Так, вместо вто-
рого из соотношений в C.142) можно брать
z(v)=-Zi -i7th2a+flth2a[cth(ai7+a)-ctha], zt>0. C.1426)
В последние годы получили развитие аналитические методы решения
одномерной обратной задачи для уравнения Гельмгольца, т.е. восстанов-
ления профиля k(z) по коэффициенту отражения или другим характеристи-
кам поля [122, 177]. В этих случаях, когда удается получить решения
для k(z) в замкнутом виде, этот метод обратной задачи в теории рассеяния
дает новые "решаемые" профили (см. [277, 408,487]). Хотя большинство
результатов сформулировано для уравнения Шредингера, они легко пере-
носятся на уравнение Гельмгольца. Следует отметить также интересные
обобщения профиля Эпштейна, предложенные Рауэром [484] и допускаю-
щие точные решения при нормальном падении волны.
Точные решения для звукового поля в непрерывно-слоистой среде весьма
общего вида удается получить, разбивая ее на слои, где профиль волнового
числа подчиняется одному из указанных в предыдущих пунктах законов
или считается постоянным. Этот прием используется многими авторами.
Встречаются сочетания слоев с k(z) разного вида или, чаще, с разными
значениями параметров Таким путем можно достичь удовлетворительной
аппроксимации практически любого реального профиля k(z), однако,
вообще говоря, нельзя построить бесконечно-дифференцируемый профиль.
Кроме того, при большом числе слоев результаты становятся громоздкими
и пригодны лишь для вычислений на ЭВМ.
Для случая нормального падения звуковой волны одна интересная зада-
ча с "составной" слоистой средой была решена еще Рэлеем [242, § 148в].
Рэлей рассмотрел отражение от слоя -L < z < 0 с линейной зависимостью
скорости звука:
- az), j = const. C.143)
При z = 0 слой граничит с однородным полупространством, где скорость
80

звука cit а при z = —L — с другим однородным полупространством, где
с = с2 = Ci(l + ab). Таким образом, скорость звука во всей среде изменяет-
ся непрерывно; плотность предполагается постоянной. При нормальном
падении (? = 0) звуковое давление р(г) = Ф(г) в слое подчиняется урав-
нению
Ф(г) = 0 C.144)
Общее решение этого уравнения легко найти:
ФB) = Л1A-д2)т' + Л2A -azf\ -L<z<0, C.145)
где
1 /I kf /I kf
«1.2= Г* V - - Т' lms/---—>0. C.146)
2 4 д 4 д
В Полупространстве z < —Z, звуковое поле представляет собой уходящую
от границы плоскую волну. Следовательно,
Ф= Wexp(-/cjz/c2), z<-L. C.147)
Приравнивая импедансы волн C.145) и C.147) при z = —L, находим
отношение коэффициентов Ах и А2:
C.148)
2 \ a / i \ a /
где
а=( — ) = exp 2V- - — In— . C.149)
\с, / \ 4 д Ci /
Далее обычным образом по формуле C.5) находим коэффициент отраже-
ния плоской волны:
i /'*, а + 1 / k~j\l
V= - — + / V- . C.150)
2\д а-1 4 д2/ * ^
Если бы среда состояла из большего числа слоев, перед получением коэф-
фициента отражения пришлось бы соответствующее чиаю раз, записывая
условие непрерывности импеданса, пересчитывать поле с нижней границы
слоя на верхнюю. Эта процедура вполне аналогична рассмотренной в п. 2.5
для дискретно-слоистой среды.
3.7. Среды с непрерывно-слоистой стратификацией скорости звука,
плотности и скорости течения, допускающие точные решения. До сих пор
в этом параграфе мы рассматривали неподвижные среды с постоянной
плотностью. Теперь мы откажемся от этого ограничения и будем задавать
плотность функцией р = p(z) и скоростью течения функцией v0 = vo(z).
Выше была достаточно подробно проиллюстрирована схема нахождения
коэффициента отражения по известной фундаментальной системе решений
дифференциального уравнения, которому подчиняется вертикальная зави-
симость звукового поля. Поэтому теперь для "решаемых" профилей мы
будем ограничиваться указанием соответствующих линейно-независимых
решений, не выписывая формулы для коэффициентов отражения.
6. Л.М. Бреховских 81

Рассмотрим сначала случай неподвижной жидкости со стратификацией
плотности. Волновое уравнение, которому удовлетворяет звуковое ноле
в неоднородной среде, удобно записать в виде A.47) или в виде A.48).
Тогда для вертикальной зависимости Ф(г) звукового давления имеем
обыкновенные дифференциальные уравнения:
/ Ф \ " Г , , р" / р' V 1 Ф
I ) + U -* + — - 3( —) = 0, C.151)
-~ +(—)(к2-?)Ф = 0, f(z) = po1 fpiz^dzi. C.152)
Штрихами в уравнении C.151) обозначены производные по г. Для сред
с плавной зависимостью параметров от z уравнения C.151) и C.152)
эквивалентны. В различных случаях мы будем использовать ту из форм
волнового уравнения, которая окажется удобней.
Выписанные выше уравнения C.151) и C.152), как и уравнение C.3),
являются одномерными уравнениями Гельмгольца. Их точные решения
можно построить в терминах решений опорного уравнения C.7), выбирая
каким-либо образом замену переменных 17 = t?(z) . Так, при произвольной
стратификации плотности решения уравнения C.151) можно выразить
через решения опорного уравнения для сред с волновым числом вида
Т~) - Т" +(O,5W)"-KO,51n4')'l2+(T?'Jjf(T?).
2р / 2р
C.153)
Это соотношение выводится вполне аналогично соотношению C.11) из
п. 3.1. Для любой стратификации плотности каждая (гладкая) функция
j](z) порождает "решаемый" профиль k(z). Отражение волн разных частот,
падающих под различными углами, можно рассмотреть только, когда
правая часть C.153) содержит произвольные аддитивную и мультипли-
кативную постоянные.
Добавку к квадрату эффективного волнового числа в уравне-
нии C.151), вызванную стратификацией плотности, можно записать так:
з(\ *<, C-154)
2р \2р/
где
«р=0,5Aпр)\ C.155)
Если известны точные решения для какого-либо профиля k(z) при р = р0
и при любых углах падения, то волновое уравнение можно будет точно
решить также для зависимостей p(z), удовлетворяющих соотношению
у -J =-аг, а = const. C.156)
Действительно, при этом из уравнения C.151) следует, что
(,V? )рЭРо C.157)
Ро
Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение C.156) для
82

функции у> является частным случаем уравнения Риккати (см. [131, часть 1,
§ 4]). В C.156) переменные разделяются, что позволяет легко найти реше-
ние уравнения и при помощи C.155) отыскать соответствующие функ-
ции p(z). После несложных преобразований получаем три зависимости
плотности от z (в полупространстве z < 0), при которых справедливо
соотношение C.157):
p = poexp[±2fl(z+z3)], C.158а)
p = posh-2fl(z+z3), C.1586)
p = poch-2a(z+z3). C.158в)
Здесь ро, a, z3 — произвольные постоянные. Константу размерности длины
мы обозначили z3, чтобы подчеркнуть ее независимость от значения zl в
формулах C.23), C.42), C.54) и от значения z2 в C.65). В случаях (а)
и (в) плотность среды не имеет особенностей в нижнем полупространстве
при конечных z. В случае (б) для этого нужно дополнительно потребовать
z3 < 0. Значение р можно сделать ограниченным при всех вещественныхz,
взяв z3 комплексным (ср. текст перед формулой C.65)). На среды со
стратификацией плотности вида C.158) немедленно переносятся результа-
ты п.п. 3.2 -3.5.
Рассмотрим на основе уравнения C.151) также изменение плотности
по закону
z1| + l)'3. C.159)
Распространение упругих волн в жидкости и твердом теле с такой страти-
фикацией плотности изучалось рядом авторов (см, [120,352] и приведен-
ную там библиографию). Добавка C.154) к квадрату эффективного вол-
нового числа в этом случае равна - 0@ + 2) (Iz/ZiJ+l) Dzi)-1. Инте-
ресно, что она обращается в нуль не только при 0 = 0, т.е. если р= р0, но и
при 0 = — 2. В последнем случае наличие стратификации плотнЬсти при лю-
бом c(z) сводится просто к домножению Ф(г) на y/p(z)lp0 - I z/zl | + 1
(см. формулу C.157), где теперь следует положить а = 0). Рассматривае-
мый случай содержится в качестве предельного и в C.1586) (при а -+0,
Ро -+0, Ров~2 -*const < °°).
Для "решаемых" через функции Уиттекера профилей k(z) из семейства
C.23), полученных в п. 3.2, выписанную выше добавку к квадрату эф-
фективного числа легко учесть. Это достигается простым изменением
значения параметра т уравнения Уиттекера. Поэтому полученные для про-
филей C.23) результаты переносятся на среды с изменяющейся по закону
C.159) плотностью. Например, в случае профиля C.25) влияние страти-
фикации плотности, кроме домножения Ф(г) на Vp(z)/po> состоит в за-
мене а2 наа2 - 0@ + 2)/Dz2) в формулах для поля в неоднородной среде.
Дальнейшие результаты удобно получать на основе уравнения C.152).
Обшее соотношение для профилей-волнового числа, позволяющих выра-
зить точные решения волнового уравнения через решения опорного урав-
нения C.7), выводится аналогично C.11) и имеет вид
** (*«•))= ? +(— Y(@,5 In tjT - [@,5 In т?')']2 + ЫУеШ • C.160)
\Ро/
6* 83

Здесь т} = »7(f) , поскольку именно f является независимой переменной
в уравнении C.152). Если p(z) Ф р0, то соотношение C.160) дает еше
одно, не совпадающее, вообще говоря, с C.153), семейство "решаемых"
профилей k(z). На примере профилей C.54) и C.65) из п. 3.3 мы пока-
жем, как соотношение C.160) в конкретных ситуациях позволяет нахо-
дить допустимые зависимости p(z) по "решаемым" (при р = Ро) профи-
лям c(z). Под допустимыми функциями p(z) мы подразумеваем такие,
при которых волновое уравнение, как и при постоянной плотности, можно
разрешить для любых со и ?.
Если взять то же опорное уравнение и ту же функцию т?, которые приве-
ли к "решаемому" профилю C.63), то соотношение C.160) примет вид
bS -chbf] +?2. C.161)
\Ро/
Выражение для квадрата волнового числа имеет аддитивную и мульти-
пликативную произвольные постоянные не только при р = Ро» но и при
p/po=-shbf, C.162)
а также при некоторых других зависимостях p(z). Рассмотрим случай
C.162). Вместе с определением f (z) (см. C.152)) выражение C.162)
дает простое дифференциальное уравнение связи f и z:
df/dz--sh if, C.163).
из которого следует, что
th(bf/2) = ехр [- b(z + z3)], z3 = const, C.164)
Ь,=-Ь. C.165)
Квадрат волнового числа как функция z дается выражением, следующим
из C.161) и C.164):
fc2(z)=^[l+iV1sh-2b1(z+z3)+Af1cthb1(z+z3)], C.166)
где &i, Ni, Mi — произвольные постоянные, связанные с параметрами А:о,
N, М (а через них - с параметрами гипергеометрического уравнения)
соотношениями
fc^^oJV+S2, tf, =*2/*?, М^к^М/к]. C.167)
Таким образом, для слоистой среды с профилями волнового числа C.166)
и плотности C.165), в обшей сложности характеризующимися шестью
произвольными постоянными, можно точно решить волновое уравнение
в терминах гипергеометрических функций. Отметим, что при М = My =0
профиль C.166) совпадает с "решаемым" при р = const профилем C.65).
Аналогично, можно предложить ряд стратификации плотности, при ко-
торых волновое уравнение можно решить точно для /t(z), заданного по
Эпштейну. При выборе того же (гипергеометрического) опорного урав-
нения и той же замены переменной т), которые привели к слою Эпштейна
C.54), соотношение C.160) дает
*2B(f)) = /—") *о[1 -ЛГе«*A +еа*у1 &Шeaf(l +eai)~2] + f.
\Ро/
C.168)
84

Правая часть C.168) приобретает произвольные аддитивную и мульти-
пликативную постоянные, если взять вертикальную зависимость плотнос-
ти в виде
р/Ро= l+eaf. C.169)
Восстанавливая при помощи C.152) зависимость f от z, получаем
p(z) = po[l +еа(г+г>)]-1) г, = const, C.170)
^(z)-*2 [I -JV,efl<z+z'>(l + ea<z+z'>)-1-4J)/1efl<z+z'>(l + efl<z+zi>)-2],
C.171)
где
l/k],Ml =A-N)k2o!4k\, C.172)
а также z i, p0 ид- произвольные постоянные . Для слоистой среды, задан-
ной соотношениями C.170) и C.171), коэффициенты отражения и проз-
рачности при падении плоской волны даются формулами, подробно ис-
следованными в п. 3.4. Нетрудно убедиться, что и при изменении плотнос-
ти по закону
p(z) = po[l+ea<z+z.>] C.173)
коэффициенты отражения и прозрачности для среды с A:2 (z), меняющимся
по Эпштейну, даются теми же формулами при надлежащем переобозначе-
нии параметров.
Обратимся теперь к случаю движущейся слоистой среды. Для вертикаль-
ной зависимости Ф(г) звукового давления из уравнения A.41) получаем
*,_,¦<*,,-.„.,._,
C.174)
Эффекты воздействия течений на звуковое поле описываются здесь вели-
чиной
0=l-fvo(r)/cj. C.175)
При нормальном падении ? = 0, и течение не сказывается на распростране-
нии звука. Если зафиксировать значения горизонтального волнового век-
тора f Ф 0 и частоты волны со, то по крайней мере при /3 Ф 0 для любых за-
висимостей v0 (z) и p(z) можно подобрать стратификацию скорости звука
таким образом, что уравнение C.174) будет иметь решение в элементар-
ных функциях. Например, при выборе
к2 (z) = {а1 + ? - BРр2 Г1(р(?)" + 3 [(р/32)'1Bр(?)]2} /Г2, а = const,
C.176)
общим решением уравнения C.174) будет функция
Ф(г) = Vp/3 [A exp(uzz) + В ехр(- iaz)]. C.177)
Допустим, что vo(z) и производные от р можно считать равными нулю
вне некоторого слоя, имеющего конечную толщину. Тогда при | z |->°° име-
ем к = к0,а = kocos6о, ? = kosineo, где к0 = ш/с0 - волновое число,в0 -
85

угол падения волны при больших значениях | z |. Полагая в C.177) А - О,
получаем решение в виде падающей из области z = + °° волны в отсутствие
волны отраженной. Рассмотрим пример: скорость течения направлена
параллельно оси Ох, величина ее равна vo(z) = моехр(- z2 /Ь2), плотность
среды постоянна. Распределение показателя преломления г? = к2 {z)jk%,
соответствующего неотражающей среде, находим по C.176):
2 C.176а)
0=1 - uoc5J sin 0оехр Г-— V
Зависимости vo(z) и п2 (z) для значений Mo/c<f 0,5, kob = 1, z > 0 пред-
ставлены на рис. 3.10. В общем случае при /3 -> 1 значение п2 -М. С ростом
в о возрастают вариации /3 и соответствующие неоднородности показателя
преломления п. При больших kob точка z = 0 становится единственным
экстремумом n(z).
В дальнейшем нас будут интересовать те гладкие профили скорости
течения, не зависящие от со и ?, для которых можно найти точные реше-
ния уравнения C.174) при постоянных значениях скорости звука и плот-
ности. Потребность в таких решениях возникает при исследовании рас-
пространения звука в тропосфере, где его рефракция часто бывает обус-
ловлена ветром и в меньшей степени - неоднородностью среды. Другую
область, где важны точные решения для движущейся непрерывно-слоистой
среды, составляют исследования взаимодействия акустических волн со
струями, возникающими, например, при работе реактивных двигателей,
при обтекании жидкостью или газом движущегося тела, а также в гидро-
динамических источниках звука.
Такие точные решения уравнения C.174) в замкнутом виде в настоя-
щее время известны только для единственного профиля течения — ли-
нейчого [77, 144]:
vo=/>+az. C.178)
В этом случае
/3 = a,(zj -z), a, = f«/w, zx = г, (со, 0 = (ы-**)/{«, C.179)
и уравнение C74) принимает вид
[(z - 21у1Ф]" + [k2a\(z - z,J - ? - 2(г - г,)][(г - z,) Ф] = 0.
C.180)
Эффективное волновое число в этом уравнении является частным случаем
семейства "решаемых" профилей C.34) @, = 0, l$3z2 = - 2, faz] -к2а\).
Как было показано в п. 3.2, для таких профилей эффективного волнового
числа решения волнового уравнения выражаются через функции Уиттеке-
ра, причем для уравнения C.180), согласно последнему из соотношений
C.35), индекс т функций Уиттекера равен ± 3/4. В этом частном случае
функции Уиттекера сводятся к.функциям параболического цилиндра. В § 9
мы подробно проанализируем решения уравнения C.180), в том числе в
66

z/b
2
-2
2
-1
1
—7
и
0
у
f
)
/
2
Рис. 3.10. Распределение скорости течения v0 (z) (a)
и соответствующий профиль показателя преломле-
ния п (г) (б) в неотражающей среде: 1 — отражение
отсутствует при угле падения в0 = ir/6; 2 ~ то же
при в0 = я/3
Рис. 3.11. Вертикальные зависимости проекций на
оси Ох и Оу скорости течения v0 C,183), допускаю-
щей точные решения волнового уравнения в одно-
родной среде, при различных значениях свободных
параметров. Для каждой из проекций на координат-
ные оси может быть выбрана независимо любая
из этих трех кривых
условиях резонансного взаимодействия звука с потоком, которое имеет
место при z i < 0.
В важном частном случае течений, медленных по сравнению со скоро-
стью звука (Ivd^c), уравнение C.174) можно упростить, отбросив
квадратичные по v0 члены и члены более высокого порядка. Будем для
простоты считать также плотность постоянной. Тогда получаем
[A -т)-1Ф]" + (к2 -Itfm-m"-?)[(\ -т)-1Ф] = 0, C.181)
где
m = l -0 = fvo(z)/w. C.182)
Уравнение C.181) широко применяется для исследования распространения
звука в атмосфере [104, 273], поскольку для ветра условие малости чис-
ла Маха vo/c всегда хорошо выполняется (ио/с <С 5 • 10~2). Задача отыска-
ния профилей uo(z)> приводящих при произвольных и> и f к точным
решениям уравнения C.181), является более сложной, чем отыскание
"решаемых" профилей k(z) для уравнения C.3), поскольку в уравнение
C.181) наряду с m(z) входит m"(z). Испытывая функции Vn(z) со к2 (z),
где в качестве к2 (z) берутся найденные в п.п. 3.2 и 3.3 "решаемые" профи-
ли для уравнения C.3), можно найти точные решения для двух семейств
87

зависимостей v0 (z) '¦
J +a2(z+z1) + a3 C.183)
и
vo(z)=ai expBoz)+a2exp(oz) + e3. C.184)
Здесь dj (где / = 1, 2, 3) — произвольные горизонтальные векторы, zx и
о - скалярные постоянные. Возможные вертикальные зависимости проек-
ции вектора v0, заданного формулой C.183), на произвольное горизон-
тальное направление показаны на рис. 3.11. Зависимость проекций v0
C.184) от z формально совпадает с функцией к2 (z) C.35). Поэтому
рис. 3.3 может служить иллюстрацией форм профилей (уо)х и (vo)y, по-
лучающихся при различных значениях параметров ву и о. Для профилей
течения C.183) решения уравнения C.181) выражаются через функции
параболического цилиндра, если (at =^0, и через функции Эйри, если
{a j = 0. (В последнем случае, как отмечалось выше, удается найти и реше-
ния точного уравнения C.180).) В однородной среде с течением C.184)
решения волнового уравнения выражаются через функции Уиттекера
W[ ^ и Mitti. В частном случае fa? = 0, когда они сводятся к функциям
Бесселя, звуковое поле исследовано в работе [273]. В слоистых средах
с медленными течениями C.183) и C.184) решения волнового уравне-
ния в известных специальных функциях можно получить [94] для ряда
других стратификации скорости звука и плотности среды, кроме случая
c(z) - const и p(z) = const. Мы на этом останавливаться не будем.
Профили течения C.183), C.184), для которых звуковое поле удается
найти точно (в указанном выше смысле), можно было получить также,
исходя из волнового уравнения в форме A.45). Сохраняя в A.45) только
линейные по т (т.е. по скорости течения) члены, получаем
2 +[к? -%2 + 2т(к2 -2?2)]Ф = 0. C.185)
Плотность среды для простоты мы считаем постоянной. Квадрат эффек-
тивного волнового числа в уравнении C.185), в отличие от уравнения
C.182), содержит только т, но не т". Однако координата
f =/ A - m(Zl )fdZl= z-l}m{z^ dzx +O(m2) C.186)
о о
зависит от горизонтального волнового вектора f и скорости течения. Это
затрудняет поиск "решаемых" профилей vo(z), пригодных при любых f.
В уравнении C.J85) слагаемое 2т(к2 - 2%2) мало по сравнению с it2 -
- ?2 в коэффициенте при Ф. Кроме того, при т < 1 {"(z) мало отличается
от z. Поэтому замена m{z (f)) на w({") в C.185) внесет не слишком боль-
шую погрешность, которая при определенных условиях будет того же по-
рядка, что и отброшенные члены порядка О(т2). Тогда на случай движу-
щейся однородной среды можно перенести все пригодные при любых и> и
? точные решения, найденные в п.п. 3.2 и 3.3 для неподвижной слоистой
среды с постоянной плотностью. Действительно, пусть для любых значений
bi и Ъг известно общее решение
Ф= Ъ А;Ф,(ЬиЬ2>г) C.187)
/=1
88

уравнения
d2 Ф/dz2 + [b ig(z) + Ъг ] Ф = 0. C.188)
Тогда для слоистого течения
v0 00 = ag(z\ a = const, C.189)
в однородной жидкости уравнение C.191) имеет общее решение
Ф = 2 А, Ф,B&»(*2 - 2? )/ы, к1 - %\ f(z)), C.190)
/= 1
которое в пределе малой скорости течения становится точным. В соотноше-
ние C.190) должно быть подставлено f(z), вычисленное по формулам
C.186) и C.189).
Укажем условия, при которых возможна замена w(z(f)) на w(f) в
уравнении C.185). Обозначим через т0 характерное значение \m(z)\,
L — пространственный масштаб изменения \0(z). До тех пор пока будет
выполняться условие If - z | <; /,, замена m(z (f)) на w(f) будет вносить
в коэффициент уравнения погрешность порядка k2ml\z \jL. Ею можно
пренебрегать по сравнению с к2 т до тех пор, пока
mo\z\IL<\. C.191)
Звуковая волна воспринимает свойства среды осредненно по масштабу
длины волны. Поэтому для резких изменений m(z), когда L •€ к'1, усло-
вие C.J91), требующее малости возмущения эффективного волнового
числа в точке, оказывается слишком жестким и должно быть заменено
на
кто\г\<1. C.191а)
Физический смысл требования C.191а) состоит в малости набега фазы
волны на пути f (z) - z.
§ 4. Отражение плоских волн от границ твердых тел
В этом параграфе мы будем изучать плоские упругие волны в дискрет-
но-слоистой среде, в состав которой входят однородные твердые слои.
Уравнения упругих волн и условия на границах были получены в п. 1.3.
Поскольку распространение сдвиговых волн горизонтальной поляризации
в слоистом твердом теле происходит независимо от распространения волн
вертикальной поляризации и формально вполне аналогично звуку в жид-
кости, в настоящем параграфе мы будем заниматься только случаем верти-
кальной поляризации. Тогда плоская монохроматическая упругая волна
в однородном твердом теле может быть задана, как показано в п. 1.3,
двумя скалярными функциями, i/> (x, z ) и ф(х, z ) :
^^е'^+^е-"», а =(*?-*2),*, = «/<:,, Ima>0, D J}
iHiM'^ + iM-'^.UM*2 -?2I/2,*, = w/c,, Im0>O,
где С; и ct — скорости волн сжатия и сдвиговых волн. Будем считать, что
волновой вектор лежит в плоскости xz. Общий для всех волн фактор
ехр [/(?* — cot)] для сокращения записи отбрасываем.
89

Выпишем выражения для смещения частиц и и упругих напряжений в
волне D.1). По формулам A.53) и A.71) получаем
/ Ъф Ъу \
и=[Ц* , 0, —+ /Ы D.2)
\ bz bz /
Из компонент тензора напряжений нам в дальнейшем понадобятся только
две. Подставляя D.2) в закон Гука A.49), после несложных преобразова-
ний находим
/ Ьр\ / Ьф\
D.3)
где обозначено
D-4)
4.1. Плоские волны в упругом полупространстве со свободной границей.
Пусть упругая среда занимает область z > 0; </>2 и ф2 имеют тогда смысл
амплитуд падающих на границу z = 0 продольной и поперечной волн, a </>i и
\pi - амплитуд отраженных волн. На границе должны обратиться в нуль
компоненты а3/ (/' = 1, 2, 3) тензора напряжений. Выражая эти условия
при помощи D,1) и D.3) через амплитуды волн, получаем
Фг) = О.
Уравнения D.5) позволяют найти амплитуды отраженных волн, которые
линейно выражаются через амплитуды падающих волн. Эту линейную
связь удобно записать в матричном виде
D.6)
vlt vttr
Л
причем S назьгаается матрицей рассеяния. Элементы матрицы рассеяния
имеют ясный физический смысл: Уц - коэффициент отражения продоль-
ной волны, он равен амплитуде <р t отраженной продольной волны, когда
падающая волна также продольная (ф2 = 0, $г = 1); У и ~ Ф\№г> когда
ф2 = 0, - это коэффициент трансформации продольной волны в попереч-
ную; аналогично Vtl имеет смысл коэффициента трансформации падаю-
щей поперечной волны в отраженную продольную; Vtt - коэффициент
отражения поперечной волны.
Из уравнений D.5), исключая \plt имеем соотношение (а/3 + 72)^i =
= (оф - у2)$2 - 2у^ф2- С другой стороны, из D.6) получаем ф^ = У/цр2 +
+ V11 ф2. Оба эти равенства должны быть справедливы при любых значе-
ниях 1/>2 и ф2. Следовательно,
2 2 2 D.7)
Аналогично определяются две другие компоненты матрицы рассеяния:
Vtt=Vn. У1( = 2<*у1(сф + у2). D.8)
Имеет место легко проверяемое соотношение
V},= V,,Vtt=l+VtlVlt, D.9)
ТО

или
det S= VnVu-VtlVlt=\. D.10)
Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов отражения и трансфор-
мации. При нормальном падении (? = 0, у = —°°), а также при скользящем
падении (о = 0 или 0 = 0) имеем Vn = Vtt = -1, Vtl = F/f = 0, т.е. происхо-
дит полное отражение как поперечной, так и продольной волн (со скачком
фазы на я) без трансформации их одной в другую. При условии
а0 = 72 D.П)
получаем, что
У и = У и =0, F;, = (a//3I/2, Vtt = -№?12. ¦ D-12)
т.е. отражение отсутствует. Продольная волна на границе полностью пере-
ходит в поперечную и наоборот. Для определения значения ? = ?0, соот-
ветствующего этому обмену поляризацией, из условия D.11) получаем
уравнение
Й(*? - ЙI/2(*? - Й) =(Й -*?/2J. D.13)
Ниже (в п. 4.4) мы увидим, что это уравнение имеет или два веществен-
ных корня, или не имеет ни одного.
Пусть при к; < ? < kt на границу падает поперечная волна. Тогда потен-
циал у будет неоднородной волной, экспоненциально убывающей при уда-
лении от границы:
2?I/2L D.14)
Коэффициенты отражения и трансформации для этого случая с использо-
ванием формул D.7) и D.8) можно представить в виде
Vtt =-e-'6, Vtl = 2/37[74 +№ -Л?)]-1'^
D.15)
tg -=07-4?-к}?12-
Поскольку \ Vtt\ = 1, то отражение полное. Этот случай аналогичен полно-
му отражению звуковых волн, рассмотренному в § 2, с той лишь разницей,
что теперь падающей является поперечная волна, а продольная волна соот-
ветствует преломленной звуковой волне. Здесь мы снова, как и в случае
звуковых волн, встречаемся с общей закономерностью: если на границе
задана периодичность процесса в виде ехр О'?х), то при ? > к (пространст-
венный период 2я/? меньше длины волны X) в полупространстве к этой
периодичности будут "припасовываться" экспоненциально затухающие
(неоднородные) волны.
Коэффициенты отражения и трансформации можно выразить через углы
di и dt, образуемые нормалями к фронтам продольной и поперечной волн с
осью z. При этом
$ = к, sin(9, = к, an6t, o = ^,cos(9/,
D.16)
0 = kt cos в(, у a —kt cos 20*/2 sin Bt.
91

Подставляя эти выражения в D.7), получаем, в частности,
У\\ = У и = (*/ cos 0; tg2 2@, - kt cos et)l(k, cos в, tg2 261 + kt cos 0,).
D.17)
Для углов обмена поляризащией 0/о и 0*о (когда Уц = Fff =0) имеем
уравнение
fc;cos0/otg2 2et0 = ktcos6t(i. D.18)
При этом 0/о и 6fo предполагаются связанными первым иэ соотношений
D.16).
На рис. 4.1 коэффициент Уц изображен по Аренбергу (см. работу
[285], из которой заимствованы также и последующие два рисунка),
как функция угла падения продольной волны 0; для разных значений
коэффициента Пуассона а. Последний,как извечно (см. [167,54]), связан
с постоянными Ламе А и /J, а также с отношением скоростей волн с,/с;
формулой
с\1с] = М/(Х + 2л) = A - 2а)/2A - а). D.19)
При а -*¦ 0,5 мы переходим к случаю жидкости, коэффициент отражения
от свободной границы которой при всех углах падения равен -1 (формула
B.26) при т - 0), что мы и видим на рис. 4.1. При а < 0,26 каждая кривая
дважды пересекает линию Vu = 0. Значения угла 0/о для точек пересече-
ния могут быть получены из; уравнения D.18).
На рис. 4.2 коэффициенты отражения поперечных волн Vtt (равный,
согласно D.8), Vn) изображен как функция угла падения поперечной
20
W
60
80 в1гград
Рис, 4.1. Зависимость коэффициента отражения продольных волн на свободной гра-
нице твердого тела от угла падения для различных значений коэффициента Пуассона
(его значения указаны около соответствующих кривых)
92

-о,ч-
-0,8-
0 10 20 30 ЬО в{,град
Рис, 4.2, Зависимость коэффициента отражения поперечных волн на свободной гра-
нице твердого тела от угла падения для различных значений коэффициента Пуассона
волны" dt. В сущности, это те же графики, что и на рис. 4.1, только по
оси абсцисс отложено 6t, связанное с fy первым из соотношений D,16).
При sin 0t > ct/ci = ki/kt из D,16) получаем % > kj, т.е. случай полного
отражения. Поскольку, согласно A.59), ctfcl < 2'2, то при 0, > я/4
будет иметь место полное отражение при всех возможных значениях а
(О < о < 1/2). На рис. 4.3 изображены характерные углы для рассматривае-
мого здесь случая при различных значениях а: углы обмена поляризация-
ми при падении продольной и поперечной волн и граничный угол полного
отражения поперечных волн.
0
0,50 у
Рис. 4.3. Характерные углы при отражении
сдвиговых волн от свободной поверхности
упругого полупространства: / - углы
обмена поляризациями; 2 - граничный
угол полного отражения сдвиговых волн
93

Выше была получена матрица рассеяния для потенциалов </> и ф, Однако
в эксперименте измеряются не потенциалы, а смещения и или скорости
v = — /от, В плоской продольной волне <р = i/)j exp [i(az + %х - u>t)]
амплитуда смещения (согласно D,2)) равна мг = кцр\. Аналогично для
поперечной волны имеем ut = к{ф\. Поэтому матрица рассеяния для сме-
шений или скоростей частиц имеет вид
л _ / Vn к^и/кЛ
" \ktvn/k, Vtt )'
D.20)
Другими словами, Vu и Vtt являются коэффициентами отражения не
только для потенциалов, но и для скоростей и смещений. Числовые же зна-
чения коэффициентов трансформации при переходе от потенциалов кл
другим характеристикам волны меняются. Отметим, что для матрицы S
D.20) по-прежнему справедливо соотношение D.10).
4.2. Отражение от границы упругих полупространств. В отличие от пре-
дыдущего раздела будем считать, что полупространство г < 0 занято не
вакуумом, а упругой средой, которую будем характеризовать величинами
с индексом I: Сц, ctl, Pi и т.д. В верхней среде потенциалы упругих волн
имеют прежний вид (см. D.1)), В нижней среде аналогично получаем
Принятые обозначения поясняет рис. 4,4, Из принципа суперпозиции сле-
дует, что амплитуды </>j, ф1, ft и фх волн, убегающих от границы, линей-
но связаны с амплитудами падающих на границу волн:
Vu Щ W
s=
Vu
Vu
и
и-
D.22)
Вместе с увеличением числа типов волн в задаче возрос и ранг матрицы
л л
рассеяния S (рис. D.6)). Компоненты S имеют ясный физический смысл:
V ц — коэффициент отражения про-
' z дольной волны, падающей иэ верхней
среды, V[t — коэффициент трансфор-
мации той же падающей волны в по-
перечную волну в верхней среде, Wu -
коэффициент возбуждения попереч-
ной волны в нижней среде падающей
из верхней среды продольной волной
и т.д.; тильдой обозначены аналогичные
коэффициенты при падении волны из
нижней среды.
Рис. 4.4. Система волн при отражении на гра-
нице упругих полупространств
94

Знание матрицы рассеяния позволяет найти отраженные волны в обоих
полупространствах при произвольной падающей плоской волне. Для
л
вычисления S фактически требуется определить восемь из шестнадцати
компонент матрицы: в силу симметрии задачи коэффициенты с тильдами
получаются из аналогичных коэффициентов без тильд переобозначением
с; ••—»-Cji, ct <—*ctl,p *-+f>\. Вид матрицы рассеяния определяется гранич-
ными условиями A.70) непрерывности вектора смещения и двух компо-
нент тензора напряжения. Выразим граничные условия при помощи фор-
мул D.2) и D.3) через амплитуды падающих на границу и уходящих от
нее волн;
fo & D-23)
+ Ф2)], D24)
D-25)
D.26)
Граничные условия D.23) — D.26) дают систему четырех линейных урав-
нений для определения четырех неизвестных ipit ф\, "^ и ф\. Из D.22)
видно, что для определения компонент матрицы S достаточно найти реше-
ния системы в двух случаях: </>2 = 1, Ф2 = $i = Ф2 = 0 и ф^ = 1, ^2 ~ $г ~
= Ф2=О.
Можно также переписать систему уравнений D.23) - D.26) в матричном
виде:
(-1 Уд 171
(-№ fi (-1/*
v<* (—l) ! ai
D.27)
л л л
Тогда S =jV7i7V2 и вычисление матрицы рассеяния сводится к нахождению
Л . Л
матрицы N\ , обратной к N\, и перемножению двух матриц.
л
При обоих подходах нахождение матрицы S требует простых, но доволь-
но громоздких выкладок, которые мы опускаем. Результат имеет вид
fixerly№i№?Wx, D.28)
tt = [A] -ffot-Ml +о,РГ1(В? -ffor^)*
1 ^?^2] Л, D.29)

2+ахр{1ВлВ2\А-\ Vtl - -fa'1 Vlt, . D.30)
Wu = ^Г2(^. -В2)А'\ Wtt = /fc?!r2Hi -((.^ЦПД''
D.31)
Wn = b2td~2(A2 +a1fi1-lB1)A-t, Wu = -k2nr\^~lA2 + В1)А~1.
D32)
Здесь обозначено
= (л2 -ту,Г1, В2 ^/Г'С^Г1 -«), D.33)
= р,/р, n = ct/cn, D34)
2. D.35)
В работе [505] даны подробные таблицы значений коэффициентов отра-
жения от границы раздела двух упругих полупространств для разных углов
падения и соотношений параметров сред. Графики угловых зависимостей
компонент матрицы S можно найти, например, в статье [554].
Матрица S обладает рядом универсальных свойств, вытекающих из
симметрии задачи и закона сохранения энергии. Отметим одно из них.
Известно, что при умножении столбца или строки матрицы на число q ее
детерминант увеличивается в q раз. Умножая первый и третий столбец мат-
Л
рицы Nj в D.27) на (—1У и затем вынося общие множители (-1)' из
второй и четвертой строк за знак детерминанта, легко можно показать,
Л Л
что в D.27) det Nx = det N2. Следовательно,
det5=l. D.36)
Равенство D.36), справедливое при любых параметрах граничащих полу-
пространств, может быть использовано для контроля вычисления коэф-
фициентов отражения и трансформации. Оно является прямым обобщением
равенств D.9), D.10), доказанных выше для случая отражения от свобод-
ной границы. Другие универсальные свойства матрицы рассеяния обсуж-
даются в § 6, см. также [410].
Рассмотрим подробнее важный специальный случай: отражение на грани-
це жидкого и упругого полупространств. Будем считать, что полупрост-
ранство z > 0 занято жидкостью. В ней распространяются только продоль-
ные звуковые волны. Потенциал </> приобретает более наглядный смысл:
из сопоставления уравнений A.53) и A.9) следует, что
Р = pwV. D.37)
где р - акустическое давление. Индекс / для величин, относящихся к про-
дольным волнам в жидкости, опускаем.
Чтобы получить коэффициенты отражения и трансформации волн на гра-
нице, следует перейти к пределу /i->- 0 в формулах D.28)-D.32). При
этом п ->-0, kt -*¦<*>, 7^ — °°,л27 ^¦-А;21/2|. Из соотношений D.28) и D.35)
находим коэффициент отражения звуковой волны, падающей из жидкости

на границу твердого тела:
V = [4тое2(а101 + ??)- о,*?,] [^nofta.ft +7?) + «i*?i]. D.38)
Для коэффициентов возбуждения продольных и поперечных волн в упру-
гом полупространстве из D.31) и D.32) имеем
W, = -4ar,^?1[4ma|2(a1/31 +тг?)+а,*?1],
W, = ai7f*»'|. D-39)
Коэффициенты V, Wi и И*, можно выразить через угол падения 0 звуковой
волны и углы преломления 0; и вг продольной и поперечной волн в упру-
гом полупространстве. Аналогично D.16) получаем
| = it sin 0 = кп sin 0; = кп sin 0,, D.40)
a = *cos0, at =кц cosOt> fa =ktl cosOt, ?, = -kn cos 20 ,/2 sin 0,.
D.41)
Из D.40) следует "закон преломления" (ср. B.196)):
sin 0c = sin e,crf = sin0,c,y. D.42)
Целесообразно также ввести следующее обозначения для импедансов:
Z = pc/cos0, Z, = picnlcoseh Z, = p,cn/cos0,. D.43)
Тогда выражения D.38) и D.39) примут вид
V = (Zrcos2 20f +Zt sin2 20, - ZXZi cos2 20, +Zt sin2 28, +Z)~\ D.44)
W, = 2pp\l Z, cos 20,(Z, cos2 20, + Z, sin2 20, + Z)'1, D.45)
Wt = -2pp{xZt sin 20, (Z, cos2 20, + Z, sin2 20, + Z)'1. D.46)
Проанализируем полученные формулы. При нормальном падении @ =
= 0/ = 0, = 0) имеем
V - (Z, - ZXZ, + Z), W,= 2/aZrfp, (Z, + Z)) "», ^, = 0. D.47)
Как и следовало ожидать, в этом случае сдвиговые волны не возбуждают-
ся. Твердое тело ведет себя, как жидкость с плотностью р\ и скоростью
звука Сц. Наоборот, при 0 = arcsin (c/y/2ctl), когда, согласно D.42),
0, = я/4, получаем
V ={Zt-Z*Zt+ZYl, ty = 0, Wt=-2pZt[px(Zt+Z))-\ D.48)
т.е. возбуждаются только поперечные волны.
В большинстве наиболее интересных случаев скорость звука с в жидкос-
ти меньше, чем скорость продольных волн Сц в твердом теле. Она может
быть также и меньше скорости поперечных волн с, j. Рассмотрим вначале
случай с, j < с < С/!. Из D.42) видно, что при sin0 >с/сд значение угла
0; будет комплексным. Значение же 0, вещественно при всех 0. Таким
образом, продольная волна в твердом теле будет неоднородной волной,
бегущей вдоль границы и спадающей при удалении от нее. Поперечная же
волна будет обычной плоской волной. Поскольку sin 0; > 1, то cos 0;
и, следовательно, Z/ - чисто мнимые величины. Из требования ограничен-
ности поля при z -*¦ -оо следует, что значение cos 0; должно быть положи-
тельно мнимым, а следовательно, Z; — отрицательно мнимым.
7. Л.М. Бреховских '7

Коэффициент отражения D.44) в этом случае запишется как
V = (Z, sin2 20, - Z - /1 Z|| cos2 2BtXZ, sin2 25, + Z- 11 Zf| cos2 20,))
D.49)
и, следовательно, будет комплексным. Квадрат его модуля равен
| К|2 = [(Z, sin2 20, -Zf +\Z,\2 cos" 20,] [(Z, sin2 20, +ZJ +
+ |Z,|2 cos" 20,]-». D.50)
При 0; # я/2 модуль коэффициента отражения меньше единицы, что можно
было ожидать и заранее, поскольку часть энергии уносится от границы
поперечной волной. Угол падения звуковой волны 0 = arcsin (с/сд)
является "критическим". При этом 0; = я/2, Z/ = °°, V = 1, Wt = 0, W/ =
= 2р[р1A-2с2,1/с21)Г1.
Теперь рассмотрим случай с < ctl < сц. При 0 < sin 0 < c/cl t, как вид-
но из D.42), значения углов 0; и 0Г будут вещественными, т.е. имеет место
обычное отражение на границе с вещественным и меньшим единицы коэф-
фициентом отражения. При "критическом" угле для продольных волн
0 = arcsin (с/сд) имеем 0; = я/2 и, согласно D.44), V = 1. Тогда Wt =0и
W/ Ф 0, т.е. в упругом полупространстве возбуждаются только продоль-
ные волны.
При с/сц < sin 0 < clcti значение 0, будет вещественным, а 0; — комп-
лексным, т.е. получаем случай, рассмотренный выше. Угол 0 = arcsin (с/с, j)
является "критическим" для поперечных волн. При этом 0, = я/2, Z, = °°,
V = (Zi - Z)/(Zi + Z) и | V\ =1. При 0 > arcsin (c/cti) комплексными
будут оба угла 0; и 0,. Это означает, что продольная и поперечная волны
в твердом теле являются неоднородными волнами, распространяющимися
вдоль границы. Значения Z; и Z, будут чисто мнимыми. Из D.42) видно,
что величины sin2 20, и cos2 20, вещественны при любых 0. Поэтому коэф-
фициент отражения запишется как
V= (I Z,\ cos2 20, + | Z,| sin2 20, - iZ)X
X(| Z,\ cos2 20, + I Z,| sin2 20, + iZJ1. D.51)
Ясно, что | V\ = 1, т.е. имеет место полное отражение.
Отметим, следуя работе [244], еще одно обстоятельство. Выражение
D.44) для коэффициента отражения можно записать в виде
V={Zb -Z)(Zb+Zy\ D.52)
где величина
Zb = Z, cos2 20, +Z, sin2 20, D.53)
представляет собой полный импеданс границы, обусловленный наличием
продольных и поперечных волн в нижней среде. При вещественных значе-
ниях углов 0; и 0, из формул D.42) и D.43) имеем
t = СП COS0,/c,! COS0; > Cn/ctl > \ff. D.54)
Следовательно, ZbIZl < 1; здесь равенство имеет место только при в( = 0
и 0, = я/2. Таким образом, при 0 < 0; <я/2 полный импеданс твердой гра-
ницы меньше, чем импеданс жидкости с теми же Pi и сц; т.е. учет возбуж-
98

дения поперечных волн при отражении соответствует некоторому как бы
размягчению границы. В работе [244] показано также, что при изменении
угла падения в, величина Zb изменяется меньше, чем импеданс эквивалент-
ной жидкости Zj, так что в некоторых случаях отражение от твердого тела
приближенно можно рассматривать как отражение от среды, характеризуе-
мой не зависящим от угла импедансом.
Выше были приведены выражения D.45) и D.46) для коэффициентов
возбуждения продольной и поперечной волн в нижнем полупространстве
звуковой волной в терминах потенциалов. Приведем теперь аналогичные
величины для других характеристик упругих волн. Согласно формуле
D.2), амплитуды смещений в плоских продольных и поперечных волнах
и, и ut связаны с амплитудами потенциалов ipi и i//j соотношениями щ =
= к л <р i, ut = kt j ф j. Используя D.37), находим амплитуды волн в нижней
среде:
щ = (Polo)pcn) Wh и, = (Po/wpcn) К, D.55)
где р0 - амплитуда давления в падающей звуковой волне.
Представляют интерес также выражения для нормальной к границе ком-
поненты вектора плотности потока мощности в отраженной волне в
жидкости I,, а также в продольной и поперечной волнах в твердом теле
// и/,:
/,// = I V\\ I,/I = PiP'1 tg0 ctgfl, I Щ\
D.56)
-1 tgв ctget\Wt\2.
Здесь / - нормальная к границе компонента вектора плотности потока
мощности в падающей звуковой волне. Два последних соотношения имеют
смысл соответственно только при вещественных значениях в, и в{. Когда
продольная (поперечная) волна в нижней среде становится неоднородной,
величина Ii(lt) обращается в нуль. Читатель может убедиться, используя
формулы D.42) -D.46), что во всех случаях соблюдается закон сохра-
нения энергии: / = /г + // + /*. На рис. 4.5,а семейство кривых / изобра-
жает по Эрджину (см. [351]) зависимость модуля коэффициента отраже-
ния \V\ от угла падения при pjp = 3, сп/с = 3 для трех случаев: при
Cn/ctl, равном 1,6 (кривая 1), 1,7 (кривая 2) и 1,8 (кривая 3). Кривые //
на рис. 4.5/г и кривые ///на рис. 4.5,б для тех же случаев изображают со-
ответственно зависимость (/;//)!'2 и (If/II!2.
Завершая рассмотрение отражения волн от границы жидкости и твер-
дого тела, приведем без подробного исследования формулы для остальных
компонент матрицы рассеяния на границе жидкого и упругого полупрост-
ранств. Поскольку в жидкости поперечные волны отсутствуют, то \j/t =
= ф2 - 0 и в рассматриваемом случае элементы второго столба и второй
строки матрицы S D.22) определять не нужно. Требуется найти шесть
коэффициентов, характеризующих соответственно процесс отражения
продольной и поперечной волн, падающих из твердого тела на границу с
жидкостью: Vu, Vu, Wlh Vu, Vu, Wtl. Искомые коэффициенты полу-
чаются из формул D.28)—D.32) после переобозначения входящих в фор-
мулы параметров сред: с;-<—> сп , с, <—>ctl, p <—»-/0j. Переход к пределу
/i -*¦ 0 производится так же, как и при выводе D.38).
7. W

UtH)
О 2п 40в,град 0 20 40' в,град
a S
Рис. 4.5. Зависимость энергетических коэффициентов отражения и прозрачности от
угла падения плоской волны из жидкости на упругое полупространство
Итак, коэффициент отражения продольной волны
Vn = [Z+Zt sin220, - Z, cos2 20,] [Z+Zt sin2 20, +Z, cos2 20,] 'l.
D.57)
Коэффициенты трансформации продольной волны в поперечную и в звуко-
вую волну в жидкости
V,t = -2 ctg в, sin2 0, A - V,i)/cos 2в„ D.58)
Wu = tg 0 ctg 0, A - F,,)/cos 20,. D.59)
Коэффициент отражения поперечной волны
Vtt = ~(Z+Zi cos2 20, - Z, sin2 20,) (Z +Z, cos2 26, +Z, sin2 201)'1.
D.60)
Коэффициент трансформации поперечной волны в продольную и в звуковую
волну в жидкости
Vtl = tg в, cos 20,A + Ff,)/2sin20,, D.61)
Wtl = tg 0 A + F,,)/2 sin2 0,. D.62)
Читатель может убедиться, что при Z -»• 0 формулы D.57), D.58), D.60)
и D.61) переходят в полученные в п. 4.1 соотношения для случая отраже-
ния от свободной границы твердого тела.
Энергетические соотношения при отражении упругих волн, падающих
из твердого тела на границу с жидкостью, проиллюстрированы в работе
Эрджина [351].
4.3. Отражение звуковой волны от произвольного числа упругих слоев.
Представим себе снова (как на рис. 2.5) систему из я - 1 слоев, ограничен-
ную снизу твердым, а сверху жидким полупространством. Из жидкого
полупространства падает на систему слоев плоская звуковая волна с еди-
100

ничной амплитудой и углом падения в. Скорость звука в жидкости равна с.
Требуется определить амплитуды отраженной волны и двух волн (про-
дольной и поперечной) в нижнем полупространстве. В каждом из слоев
возникает пара продольных волн (распространяющихся вверх и вниз
симметрично по отношению к горизонтальной плоскости) и пара аналогич-
ных поперечных волн. В нижнем полупространстве возникнут уходящие
вниз продольная и поперечная волны. Для всех волн характерен один и
тот же множитель ехр [/(?д: - cor) ], где
% = кип в = jfc,(z)sin0,(z) = kt{z) sin в t(z), D.63)
который мы для сокращения записи будем опускать.
На каждой границе, разделяющей твердые среды, должны выполняться
четыре граничных условия A.70). На границе верхнего слоя непрерывности
компоненты Uj смещения не требуется.
Прямой путь решения задачи заключается в составлении с помощью
всех граничных условий 4л — 1 линейных алгебраических уравнений от-
носительно неизвестных амплитуд такого же числа волн, включая и от-
раженную волну, а затем в решении этой системы методом обращения
матриц. Однако более рациональным, как и в случае отражения от систе-
мы жидких слоев, рассмотренном в п. 2.5, оказывается другой метод,
основанный на использовании рекуррентных формул, связывающих ампли-
туды волн в соседних слоях. Этот метод, предложенный Томпсоном [525]
и уточненный Хаскеллом [384], является частным случаем метода матрич-
ного пропагатора [37 Г . В настоящее время матричные методы широко ис-
пользуются, особенно в сейсмологии, в аналитических и численных исследо-
ваниях распространения упругих волн в слоистых средах. Ссылки на много-
численные оригинальные работы можно найти в обзорах [21, 537] и моно-
графии [4, гл. 5, 7]. Подробное обсуждение и сопоставление различных
вариантов матричного метода исследования упругих волн в слоистых сре-
дах проведено Молотковым в монографии [198].
Обозначим через Zj координату верхней границы слоя / = 1, 2, . . ., я.
В каждом слое потенциалы упругих волн имеют вид
*/-i>, z,_, < z < zf,
х/-1), Ima > 0, Im0 > 0,D.64)
причем a, 0, tp^ и \j/^Q внутри слоя постоянны. Нам нужно, предпола-
гая известным поле в /-м слое, найти его в слое / + 1. Для этого удобно
характеризовать поле не вектором <р, составленным из четырех величин
*Р\ ,2 и ^i ,2. который, как мы видели в п. 4.2, довольно сложно преобразу-
ется при переходе через границу, а так называемым вектором смещения-
напряжения
/(z) = (Ul,«3,a33,a31)T. D.65)
Здесь Т обозначает операцию транспонирования*), В силу граничных
условий A.70) вектор /(z) (в отличие от потенциалов) непрерывен на
л *)По определению, для матрицы В = { Ь,*}, составленной из элементов Ь/*,
В = { Ь/и). При транспонировании матрица-строка переходит в столбец, т.е. вектор.
101

границах. Связь между векторами ^>(z) h/(z) дается формулами D.2)
и D.3). В матричных обозначениях она имеет вид
Л
f(z) = B(z,Z/_l)ifi1 D.66)
где
2/itf
Для краткости мы обозначили
а = exp [ia(z, - z,_ j)], Ъ = exp [/0(г, - z,_,)]. D.68)
Здесь и далее символ [аи а2, а3, д4] используется для записи диагональ-
ной матрицы с элементами сц = й\Ьц.
Воспользовавшись постоянством <р внутри слоя, из соотношения D.66)
легко найти искомую связь векторов смещения-напряжения на двух со-
седних границах:
/(z,) =>>/(*,_,),
i<» = Щ, х,_{)В-\х,_и zb,) = L [а, а'1, Ь, Ь~1 ]L~l. D.69)
Элементы матрицы А^^ находятся из D.67) обычным образом. После
хотя и громоздких, но несложных операций, получаем
«и = я44 = 2sin20r • cosP + cos 20, • cosQ, P = a(z^-z/_i),
C = 0(?/-z/-i).
"i2 = Л34 = /(tg в/ -cos20r • sinP- sin 261 ¦ sin Q),
a\ 3 = Л24 = 1 sin Ot(cos Q-cosP)l(u>pct),
<*i 4 = Og 0, ¦ sin et ¦ sin P + cos 6t ¦ sin Q)/(copcr),
<»21 = Л43 = /"Bctg0; • sin^, • sin?- tg 0r cos 291 • sin Q), D.70)
'u2i = Д33 = cos 261 ¦ cosP + 2sin20r • cos Q,
пгъ- (ctg0; -sin0r -sinP + sin0r • tg 01 sin Q)/(upct),
дз1 = Д42 = ~2i(jjpct ¦ sin 0r cos 20r(cosQ - cosP),
Д32 = -copcr(tg 0; • cos2 20, • sin P + sin2 20, • tg 0r • sin Q)/sin 0r,
д41 = -copcr[4ctg0/-sin30r -$т 2
В соотношения D.70) должны быть подставлены значения параметров
р, ct, 0;, et, акр, соответствующие /-му слою. Если Cf/c > 1 и sin 0 >с/с[,
то, согласно D.63), sin5; > 1, т.е. 0/ - комплексная величина. В этом
случае удобно положить вг = тг/2 + /f, sin 0; = ch f, cos 0; = -/ sh f и при
расчетах пользоваться величиной f. Сказанное выше может быть отнесено
и к углу 0f, если ct/c > 1,
Последовательное применение формулы D.69) позволяет связать
значение вектора смещения-напряжения на границе сред 1 и 2 с его значе-
102

нием на границе сред и и и + 1:
/(*„) = i/(z,), А = >•-» • ... • i<3> -i<2>. D.71)
Внутри любого однородного слоя можно искусственно ввести дополни-
тельную границу на произвольном горизонте. Тогда формула D.71) ста-
новится справедливой для любых значений zn]\zx:
/(z) = A(z,z)f(z). D.71a)
Матрицу A(z, z) называют матричным пропагагором. Она позволяет "рас-
пространить" поле с горизонта z на горизонт z и обладает рядом замеча-
тельных свойств. Например, из D.71а) непосредственно следует, что
A(z, z) = A'1 (z, zK D.72)
A(z, z) = A(z, zo)A(zo, z), z < z0 < z. D.73)
Кроме того
deti = 1. D.74)
Действительно, согласно D.69), detyi"' = det[a, a'1, b, b'1] - 1 и тож-
дество D.74) следует из определения D.71).
Перейдем теперь непосредственно к задаче об отыскании коэффициента
отражения. Поместим начало координат в соответствии с рис. 2.5 на грани-
цу сред 1 и 2. Суммарное поле падающей и отраженной звуковых волн в
верхнем жидком полупространстве можно записать как
где V - коэффициент отражения, а = сое cos в. В нижнем, упругом полу-
пространстве z < 0 будут только уходящие от границы z = 0 волны с по-
тенциалами
I COS 0/, Pi — СОС;] tuai/j.
Систему уравнений для нахождения коэффициентов V, Wt и Wt получаем,
выражая f(zn) через потенциалы при помощи D.66) и D.71):
B(zn, zn) (V, 1, 0,0)г = АВ@, 0) @, W,, 0, Wt)T. D.77)
Используя явный вид D.67) матрицы В и равенство цу = — со2р/B1-),
справедливое в жидкости, из D.77) получаем
1 2{(Й'РЙ') |- D-78)
Индекс 1 имеют величины, относящиеся к упругому полупространству.
При определении коэффициентов Wlt hV мы не будем использовать ра-
венство перзых элементов векторов в левой и правой частях D.78), выра-
жающее непрерывность х-компоненты смещения, поскольку это условие
может . нарушаться на границе жидкости и твердого тела. Отношение
103

q = WtIWj найдем, приравняв значения четвертых элементов в D.78):
Ащ~ ctgfy • Ац2 + Щ\ кпcos 2fl/-sinfl/- Л43- 2/>(,*:risin0r-ctg0/-^44
q = .—
-ctg0f • Л41— АЛ2 + 2/Mi*fl cos0r- А^г+щхкг1 cos 291¦ snTu0f Л44
D.79)
Далее, используя вторую и третью компоненты векторного равенства
D.78),находим Wt:
W, = -2pu2ctg0{(pu2A21 +iaA3l)(\+qctget)-
-(рш2А22 +iaA32)(ct%e,-q)+viiktlsm~1etcos2et[(ipu>2A23 -
D.80)
Теперь уже легко определить коэффициент отражения. Мы выразим его
через входной импеданс системы твердых слоев Zin:
r=(Zln-Z)/(Z,B+Z). D.81)
Zin = 0о3ъ1ьзиз)жтжя. Z = pc/cosO. D.82)
Здесь Z — импеданс жидкого полупространства. Для входного импеданса
системы слоев из D.78)-D.80) находим
Е,- = a1Ml2-iu>2p1(cos2et-M;3+2sin2et-ctg0rMl4)-
- Я [Щз + /co2p,(sin 2в(М]3 - cos20rM/4)], / = 2, 3.
Здесь
Щк =А/к-А{1Алк/Али j = 2,3, Л = 2,3,4. D.84)
Формулы D.79)-D.83) полностью решают задачу об отражении звуко-
вой волны от системы произвольного числа упругих слоев. Заметим, что
задача об отражении плоской волны, падающей из упругого полупростран-
ства на систему слоев, решается совершенно аналогично [323]. Л
В этом случае нам необходимо определить матрицу рассеяния 5, связы-
вающую амплитуды волн, падающих на границы z = zn иг = zx системы
слоев из бесконечности, с амплитудами волн, уходящих на бесконечность:
(/1п + 1),ФAп + 1),/21),ФB1))Г = 5(/2п + 1),^2п + 1),/11),^11))г. D.85)
Матричную связь рассматриваемых амплитуд можно получить, выражая
векторы потенциалов через векторы смещения-напряжения при помощи
формулы D.66):
<+1)(+1)Г ?//><>> <1><>>г D.86)
D.87)
— известная матрица. Перегруппируем члены в четырех линейных уравне-
ниях, даваемых соотношением D.86), так, чтобы в левой части находились
величинц v\" + li, ф,(и + 1), </2° и*2'",|в правой -
104

\1 (ср. D.27)).•
Nyn.x) ф(П+1)^(О(фA))Г в?2(„(«ч>,*(«¦!>,^),^))г, D.88)
где
-1
О
О
. О
О
О
-1
О
си
сгг
съг
с* г
^14
^2 4
С34
С44
1 U U С31 Сзз
\0 -1 с41 с43/У
D.89)
л
Из соотношений D.85) и D.88) находим матрицу рассеяния S:
S =JVfIjV2. D.90)
В специальном случае, рассмотренном в работе [525], когда и верхнее,
и нижнее полупространства являются жидкостями, мы имеем q = WtIW{ -
= 0, 9t = 0 и, воспользовавшись обозначением Z\ = изр\ /di = Р\Сц /cos 0;,
из D.83) получаем сравнительно простую формулу:
Z]n = i(M32 — iuZiM33)/[u(M22 — iuZiM23)]. D.91)
Выпишем также соответствующие выражения для коэффициентов отра-
жения и прозрачности."
Х[Л/з2 — i(j)ZiM33 — (М22 — ib)Z1M23)iu>Z]~1, D-92)
W= —2ibiZ\PPilI[M32 — /coZ1Af33 — {M22 — /coZ1M2 3)/'coZ]. D.93)
Важный частный случай пластинки (т.е. однородного упругого слоя) в жид-
кости детально рассмотрен в монографиях [52, § 9-11; .54, гл. 5; 106,
гл. 4].
Отражение от дискретно-слоистой среды в случае, когда часть слоев яв-
ляется жидкими, может быть проанализировано на основе полученных
выше формул предельным переходом д;- ->0 для соответствующих/. Осо-
бенностью перехода к случаю жидкости является то, что не все компонен-
ты матрицы А *' * D.70) стремятся при д;- -> 0 к определенному значению.
Элементы дп = а44> а13 = <^24 ии14 сохраняют зависимость от Q, а пре-
делы sin Q и cos Q при kt -* °° не существуют. Однако в конечных выра-
жениях D.79)—D.83) для коэффициентов отражения и прозрачности
члены, содержащие Q, взаимно уничтожаются и переход к пределу осу-
ществляется беспрепятственно.
Если взять частный случай одного жидкого слоя толщиной d, заклю-
ченного между двумя жидкими полупространствами, то формула D.91)
должна совпадать с B.47). Действительно, в этом случае, учитывая, что
для жидкого слоя ct =0, 0t = 0, получаем
^32 = ^32 = — COp2C;2SinP/cOS0;, P= fyjtfcosfy, D.94)
Мзз = А33 = М22 = А22 - cosP, М23 = А23 = cosfl; ¦ tinPl(u>p2cl2).
105

В обозначениях § 2 имеем р2с/2/cos в{ = Z2, P = у, при этом подстановка
выражений D.94) в D.91) сразу приводит к B.47).
Приведем некоторые результаты расчета значений | V | для конкрет-
ных случаев, а также сопоставление их с экспериментом. На рис. 4.6,
заимствованном из работы [360], представлена зависимость модуля коэф-
фициента отражения звуковой волны от ее частоты / при нормальном
падении на трехслойную конструкцию, помещенную в воду. Конструкция
состояла из двух одинаковых слоев пластмассы с параметрами С; =
= 2100 м/с, р = 1,08 г/см3, d2 = d4 = 0,254 см, щель между которыми
толщиной d3 = 0,706 см была заполнена водой (с = 1500 м/с,р= 1 г/см3).
Сплошной линией показано значение коэффициента отражения, рассчи-
танное по формуле, аналогичной D.92), точки соответствуют экспери-
ментальной кривой. На рисунке четко проявляются эффекты интерфе-
ренции волн, отраженных на отдельных границах. Они ответственны, в
частности, за повторяющиеся после / = 126 кГц через каждые Д/ =
= 84 кГц резкие минимумы | V \. В целом между теоретической и экс-
периментальной кривыми имеется хорошее соответствие.
Существующие расхождения могут быть обусловлены искривленно-
стью границ конструкции, сложностью точного моделирования в экспе-
рименте падения плоской волны и т.д. Однако основную роль, по-види-
мому, играет погрешность в задании параметров сред, к значениям ко-
торых коэффициенты отражения и прозрачности весьма чувствительны.
Иллюстрацией служит рис. 4.7, взятый из работы [298], на котором пред-
ставлена зависимость коэффициента прозрачности W пластинки из плекси-
гласа (с, = 2650 м/с, d = 0,325 см, р = 1,19 г/см3), помещенной в воду,
от угла скольжения х = т/2 - в волны с частотой / = 193 кГц (здесь в —
угол падения плоской- волны). Треугольниками показана кривая, полу-
ченная экспериментально. Три остальные кривые найдены теоретически
Рис. 4.6. Частотная зависимость модуля коэффициента отражения звуковой волны
от трехслойной конструкции при нормальном падении: 1 - теоретическая кривая,
2 - эксперимент. Параметры конструкции приведены в тексте
106

20lQ \W\
0
-W
-20
-30
¦?•-.
5/7
Лс. ?.7. Зависимость коэффициента прозрачности от угла скольжения звуковой
волны для пластинки из плексигласа в воде: 1 - экспериментальная кривая; 2-4 -
расчетные результаты, полученные при различных значениях скорости сдвиговой
волны
при помощи соотношения, аналогичного D.93), для трех значений скоро-
сти сдвиговых волн: ct = 1100 м/с (точки), ct = 1250 м/с (штриховая),
ct = 1160 м/с (сплошная линия). Видно, что изменение ct всего лишь на
7% сильно меняет всю кривую | W(x) I • хотя качественно она и сохраняет
свой вид. При некоторых значениях х модуль коэффициента прозрачности
при изменении ct изменяется исключительно сильно (на 10 дБ и более).
Это позволяет исполь.зовать сравнение теоретических и эксперименталь-
ных зависимостей коэффициентов отражения и прозрачности для определе-
ния упругих параметров вещества пластины, в том числе и таких, прямое
измерение которых затруднено (коэффициенты поглощения продольных
и поперечных волн, скорость сдвиговых волн) [298].
4.4. Поверхностные и "вытекающие" волны на границе. Поверхностны-
ми называют волны, амплитуда которых быстро спадает при удалении
точки наблюдения- от некоторой поверхности (в слоистой среде — гори-
зонтальной плоскости). Поверхностные волны представляют большой ин-
терес в сейсмике, поскольку их амплитуда убывает с удалением от источни-
ка (из-за геометрического расхождения) значительно медленнее, чем у
обычных, объемных, волн. Не менее важны поверхностные волны в акусто-
электронике, где используются возможности влияния на поверхностную
волну в твердом теле на всей трассе ее распространения, а также факт за-
медленности поверхностных волн по сравнению с объемными. Поверх-
ностные волны, кроме того, широко используются в технике для нераз-
рушающего контроля поверхности и поверхностного слоя образца. Под-
робно ознакомиться с техническими приложениями поверхностных волн
можно по работам [69, 70, 76, 217, 486].
107

В настоящем пункте мы рассмотрим поверхностные волны с плоским
фронтом. Простейшая поверхностная звуковая волна может существовать
в однородном жидком полупространстве z > О при определенных свойст-
вах его границы z = 0. Акустическое давление в этой волне записывает-
ся как
р = exp(-az +i$x - iu>t), a > 0, ?2 -a2 = к2. D.95)
При удалении от границы звуковое давление в поверхностной волне экспо-
ненциально убывает, и ее можно отнести к классу неоднородных плоских
волн, рассмотренных в п. 2.1. Фаза волны распространяется вдоль границы
со скоростью
cph - ы/f = сA+а2к-2)-Ч\ D.96)
которая меньше, чем скорость звука с в свободном пространстве. По
этой причине поверхностные волны часто называют также замедленны-
ми волнами.
Поверхностная волна D.95) может существовать далеко не во всех
случаях. Она, например, не существует, если граница z = 0 является не-
податливой стенкой. Действительно, импеданс волны D.95) при z = 0
равен
(/ Эр \ icjp
Р/-Г-) = • D-97)
. / bz /r = 0 a
Импеданс же неподатливой стенки равен бесконечности.
Обозначим импеданс границы через Z,. Для выполнения граничных
условий, согласно D.97), иеобходимо, чтобы Z, = /сор/а. Физически гра-
ница с таким импедансом может быть осуществлена различными путями.
В частности, как видно из B.40), рассмотренная в п. 2.3 гребенчатая струк-
тура обладает таким импедансом при условии tg kh > 0. Подставляя B.40)
в D.97), мы находим основную характеристику поверхностной волны в
случае гребенчатой структуры:
a = к tg kh. D.98)
Разнообразные поверхностные волны могут существовать вблизи границ
упругих тел. Поверхностные волны вблизи свободной границы твердого
тела были впервые описаны Рэлеем [485] и носят его имя. Волны Рэлея
постоянно наблюдаются в сейсмологии. Рассмотрим их основные свойст-
ва. Из соотношений D.1) для потенциалов упругих волн видно, что волно-
вой процесс в полупространстве z > 0, сосредоточенный вблизи свободной
границы z = 0, возникает при выполнении условий
Im а > 0, Im 0 > 0, <р2 = Фг= 0. D.99)
Уравнения D.5) при этом вырождаются в систему
которая имеет ненулевые решения только при условии
а/3 = -72- D.101)
108

Это соотношение называется характеристическим (или дисперсионным)
уравнением. Оно позволяет найти горизонтальное волновое число %R
волны Рэлея.
Характеристическое уравнение можно получить также совсем из других
соображений. Из D.99) видно, что для существования поверхностной
волны необходимо, чтобы амплитуды i^ и i^i отраженных от границы волн
были конечными при нулевых значениях амплитуд падающих волн. Сле-
довательно, найденные в п. 4.1 компоненты матрицы рассеяния D.6)
при ? = ?я должны обращаться в бесконечность. Это требование при
учете формул D.7) и D.8) вновь приводит к уравнению D.101).
Нас будут интересовать вещественные решения ?д характеристи-
ческого уравнения. В этом случае, согласно D.1) и D.99), получаем
а = /•(& -к!)*12, 0 = i(& -k2tI'2. Обозначив далее
q = c\lc) = м/(Х + 2м), s = k2tl& = »%lc3t > 0, " D.102)
где vR — скорость волны Рэлея, мы перепишем уравнение D.101) в виде
4y/l~^ssfl~~sq = (s-2J. D.103)
После возведения в квадрат уравнение становится алгебраическим:
/(s, <7)=0, /(s, <7) = s3 -8s2 +B4-16<7)s-16(l - q). D.104)
Заметим, что уравнение D.13), если в нем ооозначить s~ fcr/?o> после
возведения в квадрат также сводится к D.104). Положительные корни
уравнения D.104), меньшие единицы, являются корнями D.101) и дают
значения скорости волны Рэлея. Корни D.104), большие единицы, явля-
ются решениями DЛ 1) и дают, как показано в п. 4.1, угол падения упру-
гой волны, при котором происходит обмен поляризациями.
В силу неравенства A.59) параметр q в D.104) принимает значения
0 <? < 1/2. Учитывая зю соотношение, легко убедиться, что
Э/
/@,<7) < 0, /A,<7) > 0, —- (s, (?) > 0 при s < 1. D.105)
9s
Следовательно, все корни уравнения D.104) положительны, причем в
интервале @, 1) имеется ровно один корень уравнения. Таким образом,
скорость рэлеевской волны является однозначной функцией параметров
упругого полупространства. Поскольку кубическое уравнение имеет или
один, или три вещественных корня, то в зависимости от значения q сущест-
вуют или два значения ?0. при которых происходит обмен поляризацией
при отражении, или ни одного.
Рассмотрим частный случай X = ц, q - 1/3 (см. D.102)). Кубическое
уравнение D.104) при этом имеет корни s ~ 4; 3,1547; 0,8453. Из них
первые два соответствуют случаю обмена поляризацией, а третий дает
для скорости волны Рэлея vR = 0,9194 ct.
Скорость рэлеевской волны не зависит от ее частоты. Она близка к
скорости ct сдвиговых волн в неограниченной среде, но несколько
меньше ее. Из уравнения D.104) можно получить
vR/ct = 1 -5/2-552/8 + 2953/16+ОE4), D.106)
где
5 = 1/[4C-4(?)] = A -оI [4A + а)] < 1/4, D.107)
109

а — коэффициент Пуассона. На рис. 4.8 изображена (по Кнопову [411])
зависимость отношения vR/ct от а. Предельные значения этого отноше-
ния составляют
о=0, « = 0,5:, vR/ct = 0,8741;
а = 0,5, <7 = 0, vR/ct = 0,9554.
Заметим, что приближенная формула D.106) в наименее благоприятном
случае о = 0 E = 1/4) дает vR/ct = 0,865 - значение близкое к точно-
му D.108)
Из соотношений D.1), учитывая D.99) и D.102), находим потенциалы
волны Рэлея:
(//2) (i - 2) A - s)~'/2 V. ехр (-
D.109)
где ?>i - произвольная постоянная (амплитуда волны). Отметим, что
потенциал \р убывает с ростом z быстрее, чем ф, и при %Rz > 1 волна
становится почти чисто сдвиговой. По формулам D.2), выделяя вещест-
венную часть, для компонент смещения получаем
D.110)
Видно, что Mi и м3 разнятся по фазе на четверть.периода. Следовательно,
траектории частиц представляют собой эллипсы с главными осями, па-
раллельными X И Z.
На рис. 4.9 по оси абсцисс отложены по Викторову (см. [69]) величи-
ны и1 и из.(без множителей sin(a>/ — I-Rx) и cos(art — %Rx)), отнесенные
Ofi в
0/i 0,6 Щ1ио,а51ио
Рис. 4.8. Отношение скорости волн Рэлея vR к скорости сдвиговых волн ct как функ-
ция коэффициента Пуассона о
Рис. 4.9. Зависимость горизонтальной и1 и вертикальной и, компонент смещения
в рэлеевской волне от вертикальной координаты z. Смещения отнесены к м0 - ампли-
туде вертикального смещения на границе, а координата z - к длине волны Рэлея \R
110

к амплитуде вертикального смещения на границе z = 0; по оси ординат —
значения т\\ц, где Хд = 27г/?д — длина волны Рэлея. Сплошные кривые
относятся к случаю а = 0,34, штриховые — к случаю а = 0,25. Видно, что
вертикальное смещение при отходе от границы вначале увеличивается,
затем достигает максимума и плавно спадает до нуля. Горизонтальная
компонента смещения при отходе от границы сначала уменьшается, потом
обращается в нуль, меняет знак, достигает минимума, а затем асимптоти-
чески приближается к нулю. Выражение для потока энергии в рэлеевской
волне и анализ его зависимости от коэффициента Пуассона можно найти в
статье [494].
Рассмотрим теперь поверхностные волны вблизи границы жидкого
(z > 0) и упругого (z < 0) полупространств. Характеристическое урав-
нение для определения горизонтальной компоненты волнового вектора
получим из условия V = °° (коэффициент отражения дается форму-
лой D.38)):
4та?а(а,0, + 7?) + <*i*?i = 0. D.111)
Обозначим аналогично D.102)
q = ch/cfu r = ch/c2, s = k*nl? = v2/c2tl, D.112)
здесь v — скорость поверхностной волны, Сц nctl — скорости продольных
и поперечных волн в упругом полупространстве, с - скорость звука в
жидкости. Тогда
а = Ml -sr)l'2lv, a, = /w(l-s<7)I/2/u, 0, = коA -s)ll2lv D.113)
и уравнение D.106) запишется в виде, аналогичном D.103)
4 Vl -sVl -QS - (s - 2J = (s2/m) V(l -«?)/A -sr). D.114)
В работе [84] показано, что уравнение D.114) всегда имеет решение,
для которого v<c, v <ctl; a,cti npi - положительно мнимые величины.
Тогда потенциалы волны убывают по мере удаления от границы как при
2 > 0, так и при z < 0, и волна является поверхностной.
Найдем такое решение уравнения D.114) в явном виде в случае, когда
упругое полупространство граничит со сравнительно разреженной средой
(например, с газом), так что можно считать выполненными условия
т — Pi/p ^ 1 и г = с||/с2 > 1. (О существовании таких волн у поверхно-
сти Земли и во льдах, плавающих по поверхности океана, см. рабо-
ту [480].) Поскольку мы ищем корень и < с, то s = v2/cji < 1. Разделим
обе части D.114) на A - sqI!2. Левую часть полученного уравнения,
не содержащую больших параметров, разложим по степеням s и ограничим-
ся первой степенью. Возводя затем все уравнения в квадрат, получаем
1 — sr = s2/4т2 A — qJ. Считая здесь сначала правую часть нулем, имеем
s = 1/г. В следующем приближении в правой части положим s = 1/г. Тогда
находим
rs = 1 - [2mr(l -q)]~2. D.115)
Для скорости поверхностной волны это дает следующий результат
v = ctlsxl2 « с[1 - l/(8mV(l -qJ)], D.116)
который несколько меньше скорости звука в верхней среде.
111

Из D.113) теперь находим
а « ik/[2m(l -q)], a, « ^ « #, D.117)
где А: = ш/с. Следовательно, убывание амплитуды потенциалов в верхней
и нижней средах при удалении от границы будет описываться экспонентами
ехр [-kz /B mr( I -q))], z>0 и exp(*z), z < 0. D.118)
Таким образом, в газе, поскольку тг > 1, амплитуда убывает при удале-
нии от границы очень медленно, в то время как в упругом полупространст-
ве весь волновой процесс сконцентрирован в слое толщиной порядка длины
волны в верхней среде. В горизонтальном направлении волна не затухает,
если не учитывать поглощение энергии в средах.
Волну с характеристическим уравнением D.114) иногда называют
волной Стонели [247, 306], поскольку она получается как частный слу-
чаи найденной Стонели поверхностной волны на границе двух упругих
сред.
Однако на границе раздела жидкого и упругого полупространства может
существовать еще и волна другого типа. Ее природу легче понять, если
снова предположить, что верхнее полупространство заполнено разрежен-
ной средой. Если бы это был вакуум, то на границе существовала бы волна
Рэлея. Теперь она, по-видимому, также будет существовать, только ее ско-
рость несколько изменится из-за реакции верхней среды. Однако, если эта
скорость будет больше скорости звука с в верхней среде, то волна станет
частично излучаться в верхнее полупространство и будет относиться к
классу "вытекающих" волн (leaky waves) (об этих волнах подробнее
см. статью Фелсена [261]).
В "вытекающей" волне в отличие от обычной поверхностной фазовая
скорость по определению не параллельна границе; амплитуда такой волны
убывает при продвижении в направлении распространения вдоль границы.
На рис. 4.10 изображены фронты волн в жидкости и в твердом теле (слева)
Жидкость
Рис. 4.10. Схематическое изображе-
ние "вытекающей" волны на грани-
це жидкости и твердого тела. В ле-
вой половине рисунка изображены
волновые фронты, в правой - ве-
щественные части волновых век-
торов
таю
и нормальные к ним вещественные части волновых векторов (справа).
Предполагается, что ослабление волны в горизонтальном направлении
(слева направо) мало. Мнимую добавку к волновому вектору поверхност-
ной волны, обусловленную оттоком энергии в жидкости от границы,
нетрудно найти из уравнения D.114). Наклон фронтов упругих волн
в нижнем полупространстве обеспечивает приток энергии к границе и
соблюдение энергетического баланса. Толщина линий, изображающих
волновые фронты, условно передает амплитуду волны. Интересно от-
112

метить, что при удалении в жидкость от границы по направлению нормали
к последней наблюдается увеличение амплитуды звука. Это объясняется
тем, что в более удаленных от гранищы точках волновое поле обусловлено
излучением более левых участков границы, где амплитуда волны больше,
чем в точках, лежащих правее.
"Вытекающая" волна сама по себе существовать не может хотя бы по-
тому, что ее поле при z -* °° не ограничено. Однако такого рода волны
появляются, как мы увидим в гл. 3;, при рассмотрении поля сосредото-
ченного источника в слоистой среде.- При этом возрастание амплитуды
волны с уходом от границы в некоторой точке прекращается и заменяется
потом у быв ание м [165].
Отметим, что вопрос о волнах Рэл'ея на границе раздела жидкости и
твердого гела рассматривался также в рэаботе [108].
На плоской границе двух упругих полупространств условием сущест-
вования поверхностной волны является! равенство
Д = 0, D.119)
где величина Д определена формулой D.35). Равенство D.119) можно
получить из требования обращения в бесконечность компонент матрицы
рассеяния D.22) (см. D.28) -D.32))) или как условие существования
ненулевого решения системы D.23)-D.26), когда уг = <^2 = <?2 = <^2 = 0.
Если D.119) допускает вещественно^ решение для %, удовлетворяющее
условию % > kt, % > ktl, то а, 0, ах ;и 0Х - чисто мнимые величины, и
такое решение будет соответствовать поверхностной волне. Ее основные
свойства впервые исследовал Стонели [519]. В дальнейшем этот вопрос
и, в частности, условия существования* волны Стонели рассматривался в
работах [320, 505, 509, 550] и др. В статье [372] построен график для
определения скорости волны Стонели три различных параметрах гранича-
щих сред. Легко показать (подобно гкереходу от коэффициента отраже-
ния D.28) к D.38)), что, келда одно из полупространств жидкое, урав-
нение D.119) переходит в D.111). В результате мы получаем рассмот-
ренный выше случай поверхностной в»олны на границе твердого тела и
жидкости.
Вдоль границы твердых тел, как и в;доль границы твердого тела с жид-
костью, могут распространяться различные типы "вытекающих" волн.
Хотя их амплитуда экспоненциально убывает с расстоянием, учет этих
волн иногда существен в задаче о по>ле точечного излучателя. Анализ
"вытекающих" волн для ряда случаев мо;жно найти в работе [473].
Уравнение для определения скоростги (и дисперсии) поверхностных
и "вытекающих" волн в случае, когда между жидким и упругим полу-
пространствами заключен ряд упругих или жидких слоев, в обозначе-
ниях п. 4.3 имеет вид (см. D.81))
Zin + Z = 0. D.120)
Детальный анализ таких волн проведен КСейлис-Бороком [137]; см. также
работы [172, 334, 525] и [4, гл. 7].
Выше мы считали контакт между граничащими твердыми телами жест-
ким (склейкой). При этом выполняются граничные условия A.70) не-
прерывности смещений и соответствующих компонент тензора напряже-
8. Л.М. Бреховских 113

ний. В некоторых случаях представляют интерес другие виды контакта,
в частности, соединение твердых тел с проскальзыванием. Изменение
граничных условий, естественно, оказывает сильное влияние на матрицу
рассеяния, возможность существования поверхностных волн и их характе-
ристическое уравнение. Расчет коэффициента отражения от системы твер-
дых слоев, часть из которых проскальзывает один относительно другого,
не требуется проводить заново: такой контакт формально описывается
введением бесконечно тонкого жидкого слоя на соответствующей границе.
Возможность существования поверхностной волны Стонели на границе с
проскальзыванием двух упругих полупространств исследована в рабо-
те [452]. Влияние вида граничных условий на зависимость скорости по-
верхностных волн от их частоты для ряда случаев рассмотрено в
статье [475].
§ 5. Отражение звуковых импульсов
В предыдущих параграфах мы рассматривали отражение монохромати-
ческих волн. Такие волны являются идеализацией. В настоящем параграфе
мы покажем, как полученные выше результаты могут быть использованы
для исследования волн с произвольной временной зависимостью.
5.1. Общие соотношения. Закон сохранения интегрального импульса.
Рассмотрим отражение импульса с плоским фронтом от плоской границы.
Для этого воспользуемся разложением немонохроматической волны на
гармонические с тем же углом падения, что и у импульса. Ограничимся
сравнительно простым случаем неподвижной жидкой среды.
Предположим для определенности снова, что плоскость падения совме-
щена с плоскостью XI (рис. 5.1). Импульс падает из полупространства
z > 0 на границу z = 0. Угол падения обозначим через 0. Тогда в общем
выражении A.17) для плоской волны имеем п = (sin 0, 0, -cosfl) и
Р< =/(Г), Г = (xsinO-zcosO)lc-t. E.1)
Вещественная функция / характеризует форму импульса, т.е. зависимость
Рис. 5.1. Падение немонохроматической плоской
волны на плоскую границу; ОВ - фронт падаю-
щей импульса
акустического давления в фиксированной точке от времени. Разложим
импульс по гармоническим волнам:
Pi = f ФМе'^ы. E.2)
— оо
В преобразовании Фурье E.2) функция Ф(и) имеет смысл спектральной
плотности импульса. Она выражается через /(f) при помощи обратного
преобразования Фурье:
E.3)
оо
114

Из соотношения E.3) и вещественности /следует
Ф'(ы) = Ф(-ы). . E.4)
Напомним, что звездочка означает комплексное сопряжение.
Физический смысл имеют только неотрицательные частоты. Поэтому в.
предыдущих параграфах мы считали ш 5» 0. В формуле E.2) можно было
бы ограничиться интегрированием но области и > 0 и добавлением к ин-
тегралу комплексно-сопряженной величины. Отрицательные частоты,
подобно комплексной записи волновых нолей, введены для удобства
выкладок.
Обозначив, как и ранее, коэффициент отражения плоской монохрома-
тической волны через F, отраженный импульс запишем в виде
+ оо
рг = / Ф(ш)У(ш,0)еш^Aш, f, = (x sinO+z cosO)/c-t. E.5)
Поскольку давление рт — величина вещественная, то аналогично E.4)
получаем
V(-u) = V (ы). E.6)
Отраженный импульс имеет в общем случае форму, отличную от формы
падающего импульса. Форма импульса не меняется, только когда V не
зависит от ш (из E.6) следует, что при этом V — вещественная величи-
на). Тогда коэффициент отражения как постоянная величина выносится за
знак интеграла, и
pr(x,z,t) = K/(f,). E.7)
Но так будет не всегда. Коэффициент отражения от границы раздела одно-
родных сред при ш > 0 дается формулой B.27) и не зависит от частоты.
Однако при и < 1 и sin 0 > п имеет место полное внутреннее отражение,
V является комплексной величиной, и V(— и) Ф V(ui). В результате
форма импульса изменяется. То же, вообще говоря, происходит и при
отражении от неоднородной среды.
Будем считать полупространство z < 0 слоисто-неоднородным. Пусть
при достаточно больших (—z) среда вновь становится однородной. Тогда
можно ввести коэффициент прозрачности Н'и записать прошедший импульс
по аналогии с E.5) в виде
Pr)= J 4>(w)W(a3,e)etw**dw, f2= (xsinel-zcosel)/cl - t, E.8)
— оо
где 01 — угол преломления, связанный с углом падения и скоростью
звука Ci в глубине нижнего полупространства соотношением sin 0t =
= (c1/c)sin0. Для коэффициента прозрачности W справедливо соот-
ношение, аналогичное E.6).
Следуя работе [46], докажем теорему сохранения полного импуль-
са: полный (интегральный) импульс в любой точке верхней среды равен
полному импульсу в любой точке нижней среды. Для некоторых ограни-
ченных случаев этот закон был сформулирован также в статье [357].
Недавно он был вновь доказан в работе [327]. Математически теорема
8* 115

выражается тождеством
T(Pt+Pr)dt= f ptdt, E.9)
— oo — oo
которое остается справедливым независимо от формы падающего им-
пульса и от выбора точек в пространстве, для которых берутся интегралы
в правой и левой частях равенства. Так, например, при полном внутреннем
отражении импульса максимальное значение давления, как мы увидим
ниже, будет убывать при углублении в нижнюю среду. Однако при этом
импульс растягивается во времени так, что его площадь, даваемая интегра-
лом в правой части E.9), остается постоянной при сколь угодно боль-
шом удалении от границы.
Доказательство тождества E.9) начнем с рассмотрения интегральной
величины падающего импульса. Интеграл по Г в бесконечных пределах
эквивалентен интегралу по f. Поэтому
/ p,dt = TPidi = }f Ф(ш)е1ь*</Г</ы. E.10)
_-оо —оо — оо
Но, как известно, имеет место соотношение (см., например [72, § 9])
), E.11)
где 5 (со) — функция Дирака, равная нулю всюду, кроме точки со = 0,
причем в этой точке она обращается в бесконечность. Функция Дирака
обладает свойством
/ ^(co)S(co)dco = ?»(()), E.12)
— оо
где (^(со) - произвольная непрерывная в нуле функция. Теперь из E.10)
получаем
+ ОО
/ ptdt = 2яФ@). E.13)
—- оо
Этот результат можно было предугадать и заранее, поскольку известно,
что площадь под кривой дается постоянной составляющей (соответствую-
щей со - 0) разложения этой кривой в ряд или интеграл Фурье.
Из соотношения E.6) видно, что вещественная часть коэффициента
отражения непрерывна при со = 0, а мнимая является нечетной функцией
со и при со = 0 испытывает разрыв. Для вычисления интегрального импульса
отраженной волны представим ее, исходя иэ E.5) и учитывая соотно-
шения E.4) и E.6),в виде
pr = f Re(<t>V)eiwiidu-2f Im (ФК) sin oof ,</co. E.14)
—¦«> о
Второе слагаемое в правой части E.14) является нечетной функцией f t
и при интегрировании по f i дает нуль. Интеграл но f t от первого слагае-
мого, где под интегралом стоит непрерывная при со = 0 функция, вы-
116

числяется так же, как для падающей волны, и оказывается равным
2яЯе [Ф@)К@)]. Аналогичное выражение с заменой V на W получает-
ся и для интеграла от преломленного импульса.
Таким образом, для доказательства E.9) достаточно убедиться в
справедливости равенства
4>@)+Rc[F@)<I40)| = Rc[W@L40)l.
Согласно E.4), величина Ф@) — вещественная. Поэтому последнее ра-
венство сводится к соотношению
1 + ReF@) = Re W@). E.15)
Однако при со -* 0 справедливо более общее равенство (для определенно-
сти считаем здесь со > 0),
I + V = W, E.16)
взяв вещественную часть от которого, мы и получаем E.15). Действи-
тельно, в случае отражения от границы раздела двух однородных сред
коэффициенты Р и If не зависят от частоты и равенство E.16) просто
следует из условия непрерывности звукового давления. В более сложных
случаях, когда отражение происходит от слоя или совокупности слоев,
для частоты со -* 0 (т.е. для бесконечной длины волны) вся эта совокуп-
ность будет представлять собой сосредоточенную систему, которая никак
не скажется на процессе отражения, и последний будет происходить так,
как будто бы среды, разделяемые этой совокупностью, соприкасались
непосредственно. Для дискретно-слоистой среды это можно видеть из
формул B.66), B.67) и B.74), которые показывают, что предельный
переход со -* 0 (Ay cos 0,- ->• 0) эквивалентен dj -* 0, где /' = 2, . . . , л, т.е.
исключению влияния всех промежуточных слоев.
Теорема сохранения полного импульса справедлива даже в значитель-
но более общих условиях, чем принятые при изложенном выше доказа-
тельстве. Тождество E.9) выполняется и там, где среда неоднородна.
Вообще, для возмущения длящегося конечное время, в трехмерно-неод-
породной жидкости полный импульс / p(r, t)dt не зависит от г. При
доказательстве будем исходить из уравнения A.9). Интегрируя по t, по-
лучаем
Г=+°° +оо
= V( / p(r.t)dt), E.17)
_«.
где v — колебательная скорость частиц. Согласно предположению о ко-
нечной длительности звукового сигнала можно считать скорость на бес-
конечных пределах равной нулю. Значит, равен нулю и градиент интегра-
ла. Отсюда вытекает утверждение теоремы.
К числу общих законов, выполняющихся при отражении плоского им-
пульса в слоистой среде, относится, конечно, и закон сохранения энер-
гии, который записывается в виде
S'z + Sr2 = Si, E.18)
где через S'z, Sr2 и Si обозначены компоненты интегральной по времени
117

плотности потока энергии по оси z соответственно в падающей, отражен-
ной и преломленной волнах. Величины S'2 и Sr2 имеют разные знаки.
Для падающего звукового импульса, учитывая формулу B.8) для век-
тора плотности потока мощности, имеем
Si = ГPi»**, E.19)
— оо
где Pi и vi2 - звуковое давление и компонента скорости по оси г в па-
дающей волне. Аналогично записываются также Sr2 и S{.
Для обоснования соотношения E.18) заметим, что вертикальные ком-
поненты потоков энергии в падающей и отраженной волнах аддитивны.
Действительно, из уравнения A.9) следует, что в плоской волне E.1)
vl2 = -(cos в lpc)Pi. E.20)
Поэтому в верхней среде вертикальная компонента вектора плотности
потока мощности B.8) равна
h = P"z = (Pi+pr)(cose/pc)(p{- pr) = PiVi2+prvr2. E.21)
Следовательно, левая часть E.18) дает интегральную плотность потока
энергии через границу в верхней среде. Тогда в случае отражения от
границы однородных сред E.18) вытекает из непрерывности плотности
потока мощности на границах, которая является очевидным следствием
граничных условий непрерывности р и и2. Если между однородными полу-
пространствами z > 0 и z < z, заключена совокупность слоев, следует
дополнительно принять во внимание, что в силу горизонтальной сим-
метрии задачи полный поток энергии через участок плоскости х = х0,
заключенный между горизонтами z =0 иг = z1( не зависит от х0. Ясно
также, что величины S'2, Sr2 и S'2 не зависят от горизонтальных коорди-
нат. Тогда из закона сохранения акустической энергии следует равенство
друг другу ее интегральных потоков через плоскости z = 0 и z = z, которое,
как показано выше, эквивалентно соотношению E.18).
Убедиться в справедливости E.18) можно также, разложив импульс
на гармонические волны и суммируя потоки энергии в последних.
При полном внутреннем отражении S'2 = 0, поскольку преломленный
импульс распространяется вдоль границы раздела и не уносит энергию в
область z ->¦ - оо. Из формулы E.18) при этом получаем S'2 + S2 = 0.
Подробное доказательство последнего соотношения см. в [17, с. 7] и [327].
5.2. Изменение формы импульса при полном внутреннем отражении
от границы двух однородных сред. Рассмотрим вслед за Фишером [357]
импульс, форма которого задается функцией (рис. 5.2)
= Лг/(г2+Г2), E.22)
где А - амплитуда, г > 0 - параметр размерности времени, характеризую-
щий ширину импульса. Спектральная плотность импульса легко опреде-
ляется по формуле E.3) и равна
Ф(ы) = 0,5 А ехр(-|со|т). E.23)
Из E.3) и E.12) видно, что спектральная плотность 5-импульса/(f) =
= 5(f) постоянна и равна 1/Bя). Следовательно, при г -*0 рассматривае-
118

Ac 5.2. Форма импульса, принятая при расчете
временной зависимости звукового поля
мый импульс E.22) с точностью до несущественного амплитудного мно-
жителя переходит в 5-импульс.
Если имеет место обычное, а не полное внутреннее отражение, то, как
мы видели, форма отраженного и преломленного импульсов совпадает с
формой падающего импульса. Учитывая формулы E.1), E.5) и E.8),
получаем
р;(х, z, г) = Ат{т2 + [(с sin в - г cosв)/с - г]2}, E.24)
pr(x, z,t)- AVt{t2 + [(x sin 0 +z cos0)/c - г]2}, E.25)
pt(x,z,t) = AWt{t2 + [(xsin01 - г cosfl,Ус, -t]2}'1, E.26)
где V и W — вещественные коэффициенты отражения и прозрачности.
В случае полного отражения V и W являются комплексными величина-
ми. Выделим в них, используя формулы B.22) и B.27), вещественную
и мнимую части (при ш > 0):
V = В + /С, W = (В + 1) + iC, В = (m2cos2d - s2)/(m2cos2в + s2),
С = -pm cos0/(m2cos20 +s2), t = (sin20 - n2I'2 > 0. E.27)
Тогда отраженный импульс при учете E.14) и E.23) запишется в виде
Pr(fi) = 0,5ЛВ 7 e-Tlwl + fwf'rfu-i4cf е-™81пыГ,</ы. E.28)
-оо О
Оба интеграла в последнем соотношении берутся без труда, и мы получаем,
подставляя значение ft из E.5),
АВт
Рг т2 + [(х sin 0 + z cos 0)/c - tf
АС[(х sin 0 + z cos в)/с - t]
E.29)
г2 + [(x sin 0 + z cos 0)/c - t]2
»
Таким образом, отраженный импульс состоит из двух частей, одна из ко-
торых передает форму падающего импульса. В частности для б-образного
импульса при т -*¦ 0 имеем
рг = ъАВЬ ((х sin 0 + z cosв)/с - i) -АС[(хяа в+zcos 6)/с - г]. E.30)
11»

Рассмотрим звуковую волну, прошедшую в нижнюю среду. В соотно-
шении E.8) для преломленного импульса при <о> 0 имеем
Га = (х sin в, )/с, - t - isz/c. E.31)
При отрицательных частотах для f2 нужно брать комплексно-сопряженное
выражение. Подставляя E.27) и E.31) в E.8),получаем
pt = -A(l+B) +f e-\u\(T-sz,c)+iwgdu}
2
-AC / e-"<T - **/c> sin a* du, E.32)
о
g = Г-(x sin 0,)/<:,. E.33)
После простых преобразований находим из E.32)
pt =A ((I + В) (г - zs/c) + С(х sin 0,/с, - Г)] X
X[(j-sz/cf + (х sin 0,/ci - О2]- E-34)
В случае г = 0 (падающий 5-импульс), согласно E.34), имеем
pt = A [C(x sin 0,/с, - Г) - (sz/c) (I +BIX
X[(sz/cJ + (jc sm0,/c, - ГJ]- E-35)
Мы видим, что преломленный импульс не совпадает по форме с падаю-
щим. В формулы E.34) и E.35) время t входит только в комбинации
(xsin0i)/ci - t. Следовательно, в нижней среде импульс распространя-
ется вдоль границы со скоростью c1/sin01, равной, согласно закону пре-
ломления, c/sin в - скорости распространения следа импульса в верхней
среде вдоль границы раздела. Интересно отметить, что по разные стороны
от прямой
г - sz/c + (г - xsin01/c1)(s/w?cos0) = 0 E.36)
акустическое давление в преломленном импульсе имеет разные знаки и
обращается в нуль на самой этой прямой.
На рис. 5.3 схематически изображена картина падающего, отраженного
и преломленного импульсов при t = 0. Падающий импульс предполагается
5-образным. На этом рисунке АА — граница раздела сред, ОВ — фронт
падающего импульса, задаваемый уравнением х sin в - z cos в = 0, OD -
фронт той части отраженного импульса, которая соответствует первому
члену в правой части E.30). Штриховка сплошными линиями с одной
стороны от OD и пунктиром - с другой стороны схематически отображает
второй член в правой части E.30). Пунктирная штриховка соответствует
отрицательному давлению, штриховка сплошными линиями — положи-
тельному. Поле убывает при удалении от линии OD, что соответствует
уменьшению густоты линий. Поле преломленного импульса везде, кроме
начала координат О, имеет конечную величину. На линии ОЕ, задаваемой
формулой E.36) при г = t = 0, поле обращается в нуль. В нижней среде
сплошными (Pt > 0) и штриховыми (pt < 0) кривыми показаны линии
уровня звукового давления. Их форма определена по формуле E.35).
Стрелками отмечены направления распространения падающего, отражен-
ного и преломленного импульсов.
120

Рис. 5.3. Схематическое изображение картины отражения и преломления 6 -образного
импульса. Штриховыми и тонкими сплошными линиями изображены кривые р = const
Отметим, что зависимость поля преломленной волны от координаты z
при х - сх f/sin в i, согласно E.34), имеет вид pt = А A + В) (г — sz/c)~l.
Та же зависимость получается при любых фиксированных значениях х и t и
при z -»¦ - оо. Таким образом, при удалении от границы поле спадает не по
экспоненциальному закону, как в случае гармонической волны, а значи-
тельно медленнее — обратно пропорционально величине удаления. Это
нетрудно было предвидеть заранее. Глубина проникновения звукового
поля при полном отражении монохроматической волны обратно
пропорциональна частоте. Поэтому характер спадания поля импульса
определяется поведением его спектральной плотности Ф(ш) на низких
частотах. Представляя поле E.8) в нижней среде в виде
оо
pt = 2Re{ Wf Ф(ш) exp [cosz/c + ito(x sin 0,/c, - t)] dw)
о
и разлагая Ф по степеням ш, легко убедиться, что амплитуда звуково-
го давления при z ->¦ - оо пропорциональна \z Г1, если Ф@) Ф 0; если
Ф@) = 0, но Ф'@) Ф 0, то \pt | =« \z Г2 и тд. Экспоненциальное спада-
ние амплитуды с ростом | z | имеет место для импульсов, у которых су-
ществует нижняя граничная частота ш0 > 0 такая, что Ф(ш) = 0 при
0 < со < ш0.
Если найдены прошедший pt и отраженный рг импульсы в случае, когда
форма падающей волны описывается 5-функцией: /(f) = Л5(?). то для
падающего импульса произвольной формы отраженные и прошедшие
звуковые поля выражаются интегралами свертки:
pt(x,z,t) = A'1 f
pr{x, z, f) = A'1 f dttpr(x, z, t- f,)pi(O, 0, 'i).
E.37)
E.38)
121

Эти соотношения вытекают из очевидного равенства
/ х г \
рЛх, z, f) = Pi @,0, t sin в + — cos в 1 =
V с с /
+- /х z \
- f dttb I - sin в cos0 - t + tx )Pi@, 0, tx)
-°° \c с /
и из принципа суперпозиции. При учете формул E.30) и E.35) тождест-
ва E.37) и E.38) сводят задачу определения отраженного и прошедше-
го импульсов в общем случае к интегрированию во временной области,
которое в некоторых случаях (для коротких импульсов) при числен-
ных расчетах оказывается проще (см. [514, 527]), чем интегрирование
в частотной области по формулам E.3), E.5) и E.8). Как правило,
однако, интегрирование по частоте является более предпочтительным.
Оно значительно облегчается применением алгоритма быстрого преобразо-
вания Фурье.
Выражения E.38) и E.30) показывают, что при полном отражении
импульс р, всегда состоит из двух частей, одна из которых повторяет
форму падающего сигнала, а вторая выражается преобразованием Гиль-
берта [146, гл. 8] от нее:
я'1 / [(х sin в +z cos 0)/c- t + tl]-lpi(O, 0, tl)dtx. E.39)
— оо
Из-за особенности при tt = t — (х sin 0 + z cos в)/с интеграл здесь пони-
мается в смысле главного значения.
Важно подчеркнуть, что все проведенное выше рассмотрение перено-
сится на другие случаи отражения от границ однородных сред (упругих
полупространств, упругого и жидкого полупространств, отражение от
свободной границы твердого тела), где, как и для границы двух жидко-
стей, коэффициенты отражения и трансформации волн при со > 0 не за-
висят от частоты.
В литературе можно найти исследования изменения формы импульса
при полном внутреннем отражении для рада таких падающих импульсов,
что преобразование Гильберта E.39) легко вычислить. Так, в работах
[327, 365] исследовано отражение и преломление "столообразного"
(ступенчатого) импульса, поле в котором имеет постоянную величину на
некотором интервале времени (tlt ti) и равно нулю вне этого интервала.
Ароне и Йенни [17] рассмотрели отражение экспоненциального импульса,
заданного при х = z = 0 уравнением
Р @,0,0= ( ' t<0' E.40)
Ьехр(-Хг), Х>0, t>0.
Эта функция неплохо описывает форму головного импульса при подвод-
ном взрыве. Теорию авторы сравнили с экспериментом по регистрации
взрывного импульса в слое воды, ограниченном сверху свободной поверх-
ностью, а снизу — дном. Отражение импульса, в котором экспоненциаль-
ному спаданию при t > 0 (как в E.40)) предшествует линейное нараста-
ние в течение "некоторого времени при t < 0, рассмотрено в работе [347].
122

Искажение формы квазимонохромаатического импульса (с прямоуголь-
ной или гауссовой огибающей) иссхледовано Кроном и Нутталом [343].
Подробный анализ проникновения неегармонической плоской волны в ниж-
нюю среду при полном отражении даш в статье Ж. Тьетта и С.Тьетта [527].
Последняя работа содержит полученшые численным интегрированием мно-
гочисленные иллюстрации, относящийся к квазимонохроматическим им-
пульсам со ступенчатой и гауссоюой огибающими, к импульсу вида
р (О, О, Г) =0 при t < 0 и р @, 0, t) = A sin cot при t > 0, а также к "столо-
образному" и гауссову импульсам.
Имеется также ряд работ, где рассматривалось отражение от других
видов границ раздела. Анализу искажения формы импульса в неодно-
родной упругой среде посвящена райота [332]. Отражение и прохождение
экспоненциального импульса через пластинку при нормальном падении
рассмотрено в работе [437]. Более сложный случай отражения звуково-
го импульса от слоя (с поглощением), разделяющего два однородных
полупространства, проанализирован с многочисленными примерами в ра-
боте [459]. На основе расчета (аналогичного изложенному в п. 4.3) коэф-
фициентов отражения и прохождения монохроматической плоской вол-
ны и соотношений E.37), E.38) в работе [514] рассчитаны отраженный
и прошедший через систему поглощающих упругих слоев звуковые сиг-
налы для случая "столообразного"падающего импульса.
К рассматриваемой задаче об искажении формы импульса при отражении
тесно примыкает вопрос о деформации сигнала, распространяющегося в
среде с дисперсией. Обзор работ по этому вопросу можно найти в моно-
графии [83, гл. 21, 22, 24] и в статье [67].
На примере выражения E.30) мы видим, что при полном отражении
в верхней среде звуковое давление отлично от нуля при любом значении
t, в том числе и до прихода падающего импульса. Другими словами, в
верхнем полупространстве распространяется волна-предвестник. Это,
однако, не противоречит принципу причинности. Плоский импульс в лю-
бой момент времени имеет контакт с границей. В месте контакта воз-
буждается боковая волна. Она распространяется вдоль границы раздела
быстрее следа падающей волны и обусловливает существование предве-
стника. (Подробнее о боковой волне речь пойдет в гл. 3.) Связь боко-
вой волны с предвестником становится особенно ясной, если рассмотреть
отражение нешюского импульса, который в начальный момент не имеет
контакта с границей, а касается ее лишь через некоторый промежуток
времени. Для импульса специального вида, совпадающего при t = 0 с
плоским импульсом E.22) в области z > / > 0 и равного нулю при z <
< /, отраженная и прошедшая волны найдены в работе [164]. Результат
удается выразить в элементарных функциях. В [164] показано, что по
истечении достаточно большого промежутка времени после того, как
импульс коснется границы, передний фронт боковой волны уходит на
большое расстояние от фронта падающего возмущения, а задний
фронт боковой волны формирует в верхнем полупространстве пред-
вестник.
5.3. Полное отражение импульса в непрерывно-слоистой среде. Прове-
денный выше анализ отражения плоских импульсов от границы разде-
ла однородных сред позволяет сделать ряд существенных выводов и об
123

отражении импульсов от непрерывно-слоистой среды при условии плав-
ного изменения ее параметров. Будем считать, что скорость звука и плот-
ность среды мало меняются на расстояниях порядка длины волны на ха-
рактерной для падающего импульса частоте. Тогда применимо прибли-
жение геометрической акустики, которое подробно рассматривается в
§ 8, 16, и коэффициент отражения плоской монохроматической волны
от полупространства z < 0 при наличии точки поворота равен V = ехр(/'<р),
где фаза (см. формулу (9.31)) имеет вид
о
<р = 2Л0 / n(z)cos0(z)</z-7r/2, ко = ш/с0. E.41)
Здесь о) > 0, с0 — скорость звука в полупространстве z > 0, n(z) =
= co/c(z) - показатель преломления, 0(z) - угол, образуемый волновым
вектором с осью z, т.е. угол падения волны. Первый член в правой части
E.41) дает набег фазы в геометрическом приближении при распро-
странении волны от границы z = 0 до плоскости поворота z = zm, где
cos 0(zm) = 0, и обратно. Формулу E.41) можно трактовать так: от плос-
кости z = 0 до плоскости z = zm и обратно волна распространяется без от-
ражения с обычным геометрооптическим набегом фазы, а в плоскости по-
ворота имеет место потеря фазы я/2 независимо от частоты. Для импуль-
са, распространяющегося к точке поворота, мы по-прежнему имеем ин-
тегральное представление E.2), где на этот раз
f = 4" sin0(z) - — / n(z,)cose(z,)dz, -t. E.42)
c(z) c0 о
По закону Снелля B.196) величина с sin 0 не зависит от z и равна
Со1 sin в0, где 0О - угол падения импульса на границу z = 0.
Заметим, что если имеется произвольный импульс с плоским фронтом,
заданный в виде разложения E.2) по гармоническим волнам, то умно-
жение спектральной плотности Ф(ш) на экспоненту ехр(нот), где т не
зависит от частоты, не изменяет формы импульса и лишь сдвигает его по
времени на т. Действительно, введение такого множителя под интеграл
в E.2) переводит функцию /(?) в некоторую функцию/, (?),где
/i (П = / Ф(") ехр [/и (т + ?)] doj = /tf + r),
что и требовалось показать. Следовательно, при распространении от z =
= 0 до z = zm импульс не изменяет своей формы. При обратном ходе,
от z = zm до z = 0, аналогичным образом импульс сохранит свой вид, каким
бы он ни оказался после прохождения точки поворота z = zm. Таким об-
разом, нам остается проанализировать лишь изменение формы при про-
хождении точки поворота или, как было видно выше, результат потери
каждой гармонической волной фазы я/2.
Соответствующий "коэффициент отражения" V = ехр(-/я/2) не зави-
сит (при ш > 0) от частоты. Этот случай уже был проанализирован в пре-
дыдущем пункте. В формуле E.27) следует положить В - О, С = -1. В
частности, для случая 5-образного импульса аналогично формуле E.30)
124

находим
А х I о
Pi = —, fi = — sin в - — [ / n(z,)cos0(zi)</zi +
+ / n(z,)cos0(z,)</z, ] - Л E.43)
Заметим, что полученный результат справедлив при любом законе n(z),
лишь бы имело место полное отражение и угол падения волны не был
слишком близким к я/2. Однако он выведен для плоской волны и при-
менять его к случаю ограниченного пучка или точечного источника необ-
ходимо с осторожностью.
В работе [529] Толстой сделал попытку объяснить на основе выра-
жения E.43) изменение формы 5-импульса, возбужденного точечным ис-
точником и распространяюшегося в приповерхностном волноводе. Послед-
ний характеризуется тем, что при удалении абсолютно отражающей плос-
кости z = 0 скорость звука увеличивается, и определенный класс лучей,
вышедших из источника О, поворачивает в среде и снова возвращается к
границе. На рис. 5.4 изображен один из таких лучей, поворачивающий на
горизонте z =zm.
Автор [529) считает, что на участке луча от излучателя до точки поворо-
та импульс сохраняет свою форму, а в окрестности точки поворота Т форма
импульса изменяется и принимает вид E.43) вследствие сдвига фаз всех
гармонических компонент на - тио/2\со \. Согласно E.43), звуковое дав-
ление отлично от нуля при всех значениях t. Для точечного источника, на-
чинающего работу при t - О, это противоречит принципу причинности.
Чтобы устранить такое противоречие, в работе [529] предполагается,
что соотношение E.43) справедливо только если f i < 0, т.е. после дости-
жения падающим импульсом горизонта zm, а если f i > 0, то рг = 0. Та-
кое предположение, однако, не спасает дело. Чтобы убедиться в этом,
Z=O
Рис. 5.4. Луч в непрерывно-слоистой среде
при наличии полного отражения
достаточно заметить, что нарушается закон сохранения интегрального им-
пульса: / pdt = А, на участке ОТ, а на участке 77? этот интеграл равен
бесконечности. Источником противоречий является неправомерное пере-
несение результатов, полученных для плоских импульсов, на случай то-
чечного источника. Кроме того, скачок фазы в —7г/2 на луче происходит
не в окрестности точки поворота, а при касании каустики (см. § 16, 17).
Последовательный анализ поля сосредоточенного импульсного источ-
ника в слоистой среде, в том числе при наличии каустик разных видов
и в условиях волноводного распространения, проведен в [316, 317, 328,
125

391, 533). Отражение сферического импульса от границы однородных
полупространств (жидких или упругих) рассмотрено в работах E32),
[4, гл. 6), [127] и других.
§ 6. Универсальные свойства
коэффициентов отражения и прозрачности
для плоских волн
Коэффициенты отражения и прозрачности для монохроматических плоских
волн обладают рядом универсальных свойств, не зависящих от вида слоис-
той среды. Рассмотрение этих свойств мы начнем с анализа связи коэффи-
циентов прозрачности для плоских волн, распространяющихся в жидкости
во встречных направлениях [94].
6.1. Симметрия по отношению к обращению направления хода волны.
Пусть неоднородная среда, скорость звука в которой равна c(z), плот-
ность p(z), а скорость течения vo(z), занимает слой z2 < z < zt между
полупространствами с параметрами ct, р,, v01 (z > z i ) и c2, p2, vO2(z < z2).
При наличии поглощения волновое число и плотность могут принимать
комплексные значения. Зависимость всех параметров среды от координаты
z будем считать кусочно-гладкой. Падающая из верхнего полупространства
плоская волна, согласно формулам A.30), A.32) имеет вид
In. „,
Как и ранее, мы используем обозначение /3=1— ?vo/cj. Принятое в F.1)
правило извлечения квадратного корня означает невозрастание амплитуды
волны в направлении распространения. В нижнем полупространстве обра-
зуется плоская волна с тем же значением горизонтального волнового
вектора{:
Pt=AW12(t)exp[itr-iv2(z-z2)],
F2)
Величина Wl2 имеет смысл коэффициента прозрачности слоя (по давле-
нию) при падении волны из верхнего полупространства.
Волновое уравнение в рассматриваемой задаче удобно взять в виде
A.45). Обозначая /i>2(f) какую-либо пару непрерывно дифференцируе-
мых линейно независимых решений этого уравнения, для звукового дав-
ления в неоднородном слое получаем
р=А ехр(|*г)[Д1/1(Г)+Д2/2(Г)], «z2)sf2 <?<f, =f(Zl), F.3)
где By 2 — неизвестные постоянные. Их можно определить из граничных
условий, записанных при f = ?i 2. Из формул F.1)-F.3) и A.46) имеем
, F.4)
В tf i tf2) + B2f 2 (f2) = - W, 2 v2 po l(p2 &).
Исключая из системы линейных уравнений F.4) величины В12 икоэффи-
126

циент отражения Vt, находим
РоЫ]} -', F.5)
где w = /, (f j) /У(Ы - Л'СЫЛСЬ) - вронскиан решений/, и/2. Он
не зависит от точки, в которой берутся значения функций /1>2 и их произ-
водных.
Из симметрии задачи ясно (и может быть подтверждено прямым вычис-
лением) , что выражение для коэффициента прозрачности W2 1 слоя при
падении плоской волны снизу получается из соотношения F.5) повсемест-
ной заменой индексов 1 <-*-2и знаков перед v 12- При таком преобразова-
нии величины, заключенные в F.5) в квадратные скобки, не изменяются,
a w переходит в —w. Таким образом, приходим к равенству
F.6a)
выражающему свойство симметрии коэффициентов прозрачности произ-
вольного неоднородного слоя. Если ввести, как и в и. 2.6, импедансы полу-
пространств Zj = ojpjEjfvj (/ = 1,2), то равенство F.6а) запишется ком-
пактнее:
Wl2(t)Zl(f) = W2l(QZ1(Q. F.66)
В неподвижной слоистой среде для справедливости соотношений F.6)
достаточно потребовать равенства модулей горизонтальных волновых
векторов волн, падающих из верхнего и нижнего полупространств, так
как коэффициент прозрачности не зависит от ориентации вектора | в го-
ризонтальной плоскости. При наличии течения направление горизонталь-
ного волнового вектора становится существенным. Для этого случая пол-
ные волновые векторы падающих из верхнего и нижнего полупространств
плоских волн, коэффициенты прозрачности для которых связаны соот-
ношением F.6) , изображены на рис. 6.1а, где сплошная кривая показывает
распределение скорости течения в слое. Аналогичное соотношение связы-
вает W{ 2 ({) и W2, (- {) (рис. 6.1 б), если при падении волны из нижнего
полупространства распределение скорости течения vo(z) заменяется на
- v0 (г) (другими словами, если происходит обращение потока).
Перейдем к рассмотрению энергетических коэффициентов прозрачности
слоя при падении волны сверху и снизу R12 и R2l. (Определение энерге-
тического коэффициента прозрачности дано в п. 2.2.) Для z-компоненты
среднего за период вектора плотности потока мощности в движущейся сре-
де справедливо соотношение (ср. B.11))
/2 = 0,5 Re(p•w/©=Bcjp0)"' Im(p*pf), F.7)
где w — вертикальная компонента колебательной скорости частиц [269];
[101, § 1.7]. Вычисляя при помощи F.1) и F.2) плотности потока мощ-
ности в падающей и прошедшей волнах в точках (х, у, zt) и (х, у, z2),
127

Рис. 6.1. К симметрии коэффициентов прозрач-
ности при обращении хода волны в движущейся
среде.
а - Волновые векторы плоских волн, коэффи-
циенты прозрачности которых связаны соот-
ношением F.6). Сплошными линиями со стрел-
ками показаны волновой вектор и его горизон-
тальная и вертикальная компоненты для волны,
падающей сверху; штриховыми - для волны,
падающей снизу. Профиль скорости течения
vo(z) в обоих случаях имеет вид, показанный
на рисунке.
б - То же для случая обращения потока. Волна,
падающая сверху, распространяется в среде
с профилем vo(z), показанным сплошными
линиями. Для волны падающей снизу, профиль
vo(z) показан штриховыми линиями
Рис. 6.2. Падающие и отраженные волны в за-
даче о рассеянии плоской волны на системе
упругих слоев
находим
Аналогично,получаем
*ai(O = IW21(OI2Re
i @1*
F.8a)
Re
РгРг
* Rs ( ) / Re I—
Wo// wo
F.86)
128

Когда значения р,-, C/ п Pj (/ = 1, 2) вещественны, из соотношения F.6)
вытекает равенство
Следовательно, если падающая и прошедшая волны во входной и выходной
средах являются однородными плоскими, то величина энергетического
коэффициента прохождения не меняется при изменении направления хода
волны на обратное. Для границы раздела однородных сред соотношения
F.6) и F.9) были получены в п. 2.2.
Предположим дополнительно, что поглощение звука отсутствует во всей
среде. Тогда в силу закона сохранения энергии сумма вертикальных ком-
понент векторов плотности потока мощности в отраженной и прошедшей
волнах равна вертикальной компоненте плотности потока мощности в па-
дающей волне, и из равенства F.9) вытекает, что | V, | = | Vг \. Таким об-
разом, при вещественных p(z), c(z) и uit2 модуль коэффициента отраже-
ния звука от произвольного неоднородного слоя не меняется при обраще-
нии направления хода волны.
Если имеет место полное внутреннее отражение, то одна из величин Vj
принимает вещественное, а другая - мнимое значение, и равенство F.9)
становится несправедливым. Когда полупространства являются поглощаю-
щими, соотношение F.9) выполняется только при условии
| Z, | Re(Zr') = ± I Z2| Ret?!1). F.10)
Таким образом, наглядный результат F.9) имеет более узкую область
применимости, чем соотношения F.6), связывающие коэффициенты
прозрачности слоя по давлению.
Соотношение F.9) для неподвижной дискретно-слоистой жидкости
было получено в статье [500]. Близкие вопросы рассматривались также в
[169, § 25], [253].
Для волн SH в твердом теле анализ аналогичен проведенному выше.
Соотнощение симметрии для коэффициентов прозрачности по смещению
частиц в волне записывается в виде
Wl2(i)Hi(p2b>2llh-?)lf2 = W2l(!i)lii(Pib>2llii -?)lf2, F-11)
где ц. - модуль сдвига. Если обозначить Zj = (ц/ц/ — %2 l<J2)~1l2nfl,
где / = 1, 2, то условием справедливости равенства F.9) по-прежнему
будет соотношение F.10).
Рядом свойств симметрии обладают компоненты матрицы рассеяния
плоской волны типа Р — SV в произвольном слоисто-неоднородном твер-
дом теле. Эти свойства изучались в работах [326, 364] для единственной
границы раздела и в работах [423, 410, 500] — для многослойной среды.
Рассмотрим систему из п - 1 однородного упругого слоя, заключенного
между упругими полупространствами (рис. 6.2). Для потенциалов смеще-
ний сохраним обозначения D.64). Отражение плоских волн полностью
характеризуется матрицей рассеяния S, связывающей в данном случае по-
тенциалы упругих волн, падающих на границы полупространств и уходя-
щих от этих границ:
(Л"+1), *Г!), 44 Ф{1))т=к4п+1\Ф[П+1)М1\Ф\1))Т. F.12)
9. Л.М. Бреховских 129

Принятые обозначения амплитуд волн поясняет рис. 6.2. Компоненты
Л
матрицы S имеют тот же смысл коэффициентов отражения, прозрачности
и трансформации волн, что и в формуле D.22).
Для полей с гармонической зависимостью от горизонтальных координат
и времени векторы смещения-напряжения на границах однородного слоя
связаны соотношением D.69): /(zy) = A^''f(Zj_x). В силу свойства
D.72) матричного пропагатора, элементы матрицы (А U^)'1 обратной
к А ('\ получаются из соотношений D.70) переменой знаков величиной
Q. Учитывая это обстоятельство и наличие в А^' повторяющихся элемен-
тов, легко проверить выполнение матричного равенства
F.13)
^
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
_l
0
0
где
1
О
О I- F-14)
О,
Пусть fx (z) и f2 (z) - два каких-либо вектора смешения-напряжения.
Тогда скалярная величина
F(z) = (fl(z))TMf2(z) F.15)
остается постоянной внутри слоя. Действительно, в силу F.13)
F(Zj) = (Л(' Vi (z/_ i ))ТМА (/)/г (z/_ i) =
= (/i (z/_ i ))r(i(/))r^4 (/>/, (z,-_,) = F(z,_,). F.16)
Поскольку функция F(z) вместе с векторами/1>2 непрерывна на границах
слоев, то из F.16) вытекает постоянство F во всей среде. Запишем это
свойство при помощи матричного пропагатора (см. D.71а)) :
(/i(?У)ТЩ2(z) = (/i(z)) (A(z, z))TMA(z, z)f2(z) = (fi(z))TMf2(z). F.17)
Векторы/j 2 (z^ могут быть заданы произвольно. Следовательно, в любой
дискретно-слоистой среде имеет место тождество
Л Л Л Л
АТМА=М, F.18)
обобщающее равенство F.13).
Инвариант F удобно выразить через потенциалы упругих волн. Из D.66)
и F.15) получаем
F=(<Pi(z))TN^(z), где N(z) = (L(z))TML(z\ F.19)
Л
матрица L определена в D.67). Прямое вычисление дает
О а О
0 0 0
0 0 0 -? | • F.20)
0 0 0 О/
130

Для продольной волны единичной амплитуды, падающей из верхнего
полупространства, вектор потенциалов имеет вид (см. рис. 6.2)
j(Va,l,Vlt,0f, z>zn>
<e, = { _ F.21а)
1@, W,,, 0, W,,f, z<z,.
Аналогично, при падении поперечной волны из верхней среды и продольной
и поперечной волн из нижней среды имеем
4>2={Vth 0, Vn, \)т,ъ=фп, 0, Wlt, 0)т,
Ч>4 = Фа, 0, Wtu Of F.216)
npnz >zn,
Я>2 = @, Wtl, 0, Wtt)T, *, = A, V,,, 0, VU)T,
V4 = @, V,i, 1, Vtt)T
npnz <zlt
Вычисляя по формулам F.19)-F.21) значения инварианта F для раз-
ных пар векторов <р,- (/ = 1, 2, 3, 4) при z = znu z =z l и приравнивая их,
находим соотношения симметрии для коэффициентов отражения, прозрач-
ности и трансформации волн:
вяК„+А,К|г = 0, a,Kf, + AKft = 0, F.22)
F.23)
F.24)
Wit. F-25)
Соотношения симметрии F.18), F.22)-F.25) были получены нами
для дискретно-слоистой упругой среды. Они справедливы, однако, при
произвольной зависимости параметров от z в слое z^ <z <zn, поскольку
непрерывные изменения параметров можно рассматривать как предел
дискретных изменений при стремлении толщин однородных слоев к нулю.
При выводе соотношений F.18), F.22) —F.25) мы нигде не предполагали
вещественности р и волновых чисел продольных и поперечных волн. Поэто-
му соотношения симметрии справедливы и в поглощающей среде.
В частном случае отражения от границы раздела однородных полу-
пространств матрица рассеяния была найдена в п. 4.2 явно. Формулы F.22)
показывают, что связь D.30) коэффициентов трансформации Vtt и Vu
является универсальной. Используя D.31) и D.32), после громоздких
преобразований можно убедиться в выполнении соотношений F.23) —
F.25) в рассматриваемом случае. Формула F.23) аналогична соотноше-
нию F.6), полученному для звуковых волн в жидкости. Формулы F.23)
и F.6) (в отсутствие течения) легко привести к одинаковому виду, если
учесть, что в F.6) фигурирует коэффициент прозрачности по давлению р,
а в F.22) - по потенциалу <р, причем р и <р связаны уравнением D.37).
6.2. Аналитические свойства коэффициентов отражения и прозрачности.
При исследовании поля точечного источника в слоистой среде методом
разложения по плоским волнам, который мы будем широко использовать
9* 131

в гл. 3 и 4, важно знать свойства решений одномерных волновых уравне-
ний, а также коэффициентов отражения и прозрачности как функций угла
падения или горизонтальной компоненты волнового вектора. Для одно-
мерного уравнения Гельмгольца эти свойства подробно рассмотрены в
математической литературе (см. [122, 177, 253]). В более общем случае
распространения звуковых волн в неподвижной жидкости со стратифика-
цией скорости звука с и плотности р ряд универсальных свойств коэффи-
циентов отражения и прозрачности был установлен Бреховских [44].
Пусть c(z) и p(z) ~ дифференцируемые функции, стремящиеся к зна-
чениям Ci,c2 yl Р\, рг соответственно при z ^ + °° и z ^ -°°,причемрФО
при всех z. Тогда, как показано в работе [44], звуковое давление р (?, z)
в слоистой среде, возникающее при падении плоской волны, является ана-
литической функцией ?. (О свойствах аналитических функций см. [116,
232] или любой другой курс теории функций комплексного переменного.)
Коэффициенты отражения У(%) и прозрачности W(?) плоской волны, па-
дающей из однородной среды на слоистое полупространство, являются
аналитическими функциями ? и не имеют существенно особых точек в ко-
нечной части комплексной плоскости ?. Рассматривая скачки с и ркак пре-
делы быстрых изменений гладких функций, сформулированные результа-
ты можно перенести на среды с кусочно-гладкими зависимостями плот-
ности и скорости звука от координаты z. В этом случае давление р как
функция z в ряде точек не имеет даже первых производных, но остается
аналитической функцией ?.
Наглядную иллюстрацию этих свойств звукового поля дают полученные
в § 2 результаты для дискретно-слоистых сред. Так, при отражении плос-
кой волны от границы однородных жидкостей звуковое поле B.17),
B.18) имеет разрыв производной bpjbz на границе раздела, но при всехг
давление р, а также коэффициенты отражения и прозрачности B.27),
B.31), - аналитические функции переменной % = ksinO = fcisinfli. Дока-
зательство аналитичности в общем случае мы дадим ниже, в § 10.
На комплексной плоскости ? функции р{%, z), V(?) и W{%) могут
иметь изолированные особые точки: полюсы и точки ветвления. В § 4 мы
видели, что полюсы коэффициента отражения связаны с поверхностными
и вытекающими волнами. Закон сохранения акустической энергии ограни-
чивает область возможного расйоложения полюсов на комплексной плос-
кости ?. Они возможны только при таких значениях ? = ?р, что вертикаль-
ные компоненты волновых векторов прошедшей на z = - °° и отраженной
волн имеют соответственно отрицательную и положительную мнимые
части, и эти волны затухают при | z | -*-°°. В противном случае отраженная
и прошедшая волны уносили бы от границы бесконечный поток энергии
при конечном притоке ее в падающей волне.
Покажем, что в непоглощающей среде, где к = cj/c(z) и значения p(z)
вещественны, все полюсы V и W лежат на вещественной оси ?. Пусть при
z > 0 среда однородна. На границу z = 0 слоистого полупространства падает
плоская волна ехр[/(?х - vxz)] единичной амплитуды. Обозначим
/(?. f) решение волнового уравнения
() (k?)p 0, iplfp{z)dz, F.26)
\p J
132

при z -*¦ — °° переходящее в убегающую от границы раздела плоскую волну*
единичной амплитуды:
Km [/(*,f)exp(ii»a*)]=l. F.27)
Тогда в нижнем полупространстве р = Wf{%, f) ехр(/{дс). При z > 0, где
f = z, имеем для давления
р = [ехр(- iV, ?) + Vexp(iV, f)] ехрОЭД F.28)
Для краткости мы обозначили
."/(*)=(*?-*2I/2, Imiv>0, /=1,2. F.29)
Коэффициенты отражения К и прозрачности W определяются из граничных
условий при f = 0:
Wa, 0) = 1 + К, Wf\H, 0) = - ft», A - V) F.30)
(штрихом обозначена производная по f). Из F.30) находим
ЩИ) = 2[/(*, о) + */'(*, о)/!»,Г1, V(Q=f(i, о) ^@ - i. F.3i)
Тогда %=\р является полюсом коэффициента прозрачности, если
=/«р, 0) + '/'«Р. 0)М = 0. F.32)
Величина %р одновременно будет и полюсом коэффициента отражения,
поскольку/(^р, 0) =?0. (Если предположить, что/Eр,0) =0,тоиз F.32)
получим/'(^р,0) = 0.1огда/(?р, f) = 0, а это противоречит F.27).)
Функция / *, комплексно-сопряженная с/(^р, f), удовлетворяет уравне-
нию
</2Г№2+(Pi/р№-(?)')/'=о.
Домножая это уравнение на -/, складывая его с домноженным на/'урав-
нением F.26), в котором р выражено через /(?р, f). и интегрируя по f,
получаем тождество
(/V - /'V) \+Л = (# - (VPf)l \f\2(Pilpfdt. F.33)
Из F.28) и F.31) следует, что V(%p) =«> и
/(^p,O = /(^p,0)exp0Vif), f>0. F.34)
Поскольку ?р - полюс, то, как показано выше, 1ту12(?р) > 0. Тогда,
согласно F.27) и F.34), lim (/*/'-/•'/) = 0 и по формуле F.33)
?р = (?рJ- Из положительности Im^!^ следует %2р > Ic\, %p > ^j. Ясно,
что если точка ? = ?р - полюс, то и точка ? = - ?р является полюсом. Таким
образом, мы видим, что полюсы коэффициентов отражения и прозрачности
лежат на вещественной оси парами, симметричными относительно начала
координат, и Vj (?р) = /| Vj (?р) |, / = 1, 2.
Покажем далее, что в непоглащающей среде все полюсы коэффициентов
V viW простые, т.е. существуют конечные пределы
Um (&-Zp)V и lim Qt-tyW.
133

Найдем производную dQ\d%. Из F.32) имеем
dQ&p)№ = <p{Q) + h>\l*{0)+i$V\3fXtp, 0). F.35)
Функцияi^(f) = Э/(?р, Н/Э? удовлетворяет уравнению
dVM2 + (Pi/p№-?P)* = 2?p(p1/pJ/(?P,f). F,36)
Обозначим/! решение уравнения F.26), имеющее асимптотику
= l. F.37)
Функции / и /i линейно независимы. Используя их, будем решать уравне-
ние F.36) методом вариации постоянных. Пусть
P, о. F.38)
Потребуем,чтобы
i4'/ + i4'i/i=O, F.39)
тогда уравнение F.36) сведется к уравнению
A'f'+A\f\*0. F.40)
Находя из F.39) и F.40) А' и А\, получим обшее решение уравнения
F.36):
t t
^Bf + BJt +2{pp>-1 (//p-2//idf-/, / p~2f2dt), F.41)
о
где В и /?! - постоянные, aw— вронскиан решений / и /i:
w = /'/,-/ri= const. F.42)
При f -»¦ — °° значение <^ вместе с/должно стремиться к нулю. Поэтому
Bt =0. Подстановка F.41) и F.35) при учете F.32) и F.42) дает
<Ю(аР№ = -2цр(ПиР,о)г1[ f (Plfipfdi:+iBVl)-lf\^,o)}.
F.43)
Как было показано выше, ijv^ (?p) — положительное число; в силу веше-
ственности условия F.27) и коэффициентов уравнения F.26) /(?р, f) -
вешественнозначная функция. Следовательно, квадратная скобка в F.43)
положительна и dQ(^p)/d^ - 0 только при % = 0. Однако эта точка не может
быть полюсом: Re у, @)= к1 Ф 0. Таким образом, все нули знаменателя в
выражениях для W и V простые, т.е. все полюсы коэффициентов отражения
и прозрачности простые.
Можно показать, что доказанные свойства полюсов: | ?р | > /:,, все полю-
сы простые и лежат на вещественной оси — сохраняются в случае, когда
нижняя среда ограничена поверхностью z = z i < 0 с вещественным импе-
дансом Z, не зависящим от %. Эта поверхность, в частности, может быть аб-
солютно мягкой или абсолютно жесткой.
В качестве примера рассмотрим полюсы коэффициента прозрачности
слоя Эпштейна C.75): W = Г A -0)ГA +а -7)/[Г (а -0+ 1)ГA -7)].
Величины а, 0, у выражаются через параметры слоя и падающей волны с по-
мощью соотношений C.56а). Гамма-функция Г (у) не обращается в нуль
134

и имеет полюсы в точках у = — I (где / = 0,1,2,... ), все ее полюсы прос-
тые (см. [240, гл. 6]). Для определения полюсов W имеем уравнения
l-fi = -l,l+a — ys-l, или при учете C.56а) :
1 -A -16мк^ь-2I'2-ib-1 [(kl -ц2I'2 +(kl-е- W2] = -ii,
F.44а)
1 +A - l6Mklb-2I'2 - ib~l [(k20 - ?)х'2 +(*g - ? - klNI'1] = - 21.
F.446)
Как обычно, подразумевается неотрицательность мнимых частей всех
квадратных корней. Величина Мк%Ь'2 вещественна. Поэтому действитель-
ная часть выражения, стоящего в F.446) слева от знака равенства, не
меньше единицы, и это уравнение не имеет решений. Рассматривая веще-
ственную и мнимую части выражения, стоящего слева от знака равенства
в F.44а), легко убедиться, что решение существует только для вещест-
венных значений A - 16МкЦЬ2I1г = 2d2, (?2 - klI'2 и (?2 + k20N ~
- kl) ll2. Следовательно, в соответствии с теорией все полюсы W(?) прос-
тые и лежат на вещественной оси ?, причем ?2 > kl, ?2 > kl A - ./V). Мы
увидим, что и точки ?2 = kl, %2 = kl (I - ./V) не являются полюсами.
Положение полюсов определяем, решая иррациональное уравнение
F.44а):
?2 = к\ + - (В - klN/Bf, B = b(d2-I- 0,5). F.45)
Решения существуют при таких значениях /, что
2K2d2-2k0\N\ll2lb-l. F.46)
Если правая часть F.46) отрицательна (например, при М - 0, N Ф 0), то
W не имеет полюсов вовсе. При определенных соотношениях параметров
слоя величина \2р в F.45) может принимать значения к\ и к\ A - TV). В
первом случае в C.75) одновременно с функцией Г A — ($) в бесконеч-
ность обращается и функция Г A - 7) = Г BЬ~1 (?2 - fco) l ). и коэффи-
циент W остается конечным. При ?2 Ф к\ знаменатель C.75) ограничен.
В F.45) величина %\ = к20 A - Л0 и отлична от kl при условии TV =
= - b2ko2 (I - 0,5 - d2J < 0. В этом случае, поскольку полюсы Г-функт
ции простые, значение W стремится к бесконечности по закону W <*> (?2 —
- kl A - N))~ ll2. Здесь мы сталкиваемся не с полюсом, а с другим типом
особенностей коэффициентов отражения и прозрачности — с точками
ветвления. Как мы увидим в гл. 3, точки ветвления связаны со специфи-
ческим дифракционным вкладом в поле сосредоточенного источника —
с боковыми волнами.
В случае неограниченной слоистой жидкости имеется четыре точки вет-
вления: % = ± к(± °°). Докажем это для коэффициента отражения от дис-
кретно-слоистой среды. Согласно B.70), V зависит от % через вертикаль-
ные компоненты волнового вектора v,- = (kj - i;2I'2 во всех слоях
(/ = 2, . . . , и) и в двух полупространствах (/ = 1 и / = и + 1). Величина
Vj входит только в формулы для Zj = oipj/vj и Sj = tg (Vjdj) (см. (-2.65)).
Поэтому зависимость V от Vj аналитическая и V не может иметь других
точек ветвления, кроме точек ? = + Лу ветвления самих величин Vj. Вфор-
135

мулу пересчета импедансов B.67) и, следовательно, во входной импеданс
Z\n^ системы Vj слоев входят четным образом: при перемене знака Vj
Zj -* - Zj, Sj -*¦ - Sj, a Zi1^ остается неизменным. Поэтому в окрестности
точки ? = kj коэффициент отражения можно разложить в ряд по четным сте-
пеням Vj, т.е. целым степеням (kj - ?2), и ветвления не возникает. Вер-
тикальные компоненты v^ и у„ + 1 волнового вектора в полупространствах
входят в B.70) только посредством Z, HZn+1. Поэтому в окрестностях
точек ? = ± ki разложение в ряд происходит и по четным, и по нечетным
степеням (к\ - i;2I'2. Следовательно, ? = ±.кх будут точками ветвле-
ния функции F(?). Аналогично, точками ветвления будут и ? = ±к„+1.
Например, френелевский коэффициент отражения B.27) в используемых
в этом пункте обозначениях имеет вид
V= [Pl(kl - ??'2 - рЛк\ - ?2I/2] [pi(*1 - ?У
Положение точек ветвления иллюстрирует сделанные выше общие утверж-
дения. Углы падения плоской волны, соответствующие этим точкам вет-
вления, равны я/2 и критическому углу полного отражения.
Если среда не бесконечна, а ограничена снизу плоскостью z =Z[ с им-
педансом Z(?), не имеющим точек ветвления (в частности, поверхность
z = Zi может быть абсолютно мягкой или абсолютно жесткой), то импе-
данс Z i не входит в формулу для F(?), и остаются только точки ветвле-
ния % =±кп+1.
В слоистой среде, заключенной между двумя имнедансными границами,
отношение р(?, z)/p(^y z0) при z0 = const как функция % вовсе не будет
иметь точек ветвления. При помощи предельного перехода можно пере-
нести доказанные результаты на среды с произвольными зависимостями
c(z), p(z) в слое между полупространствами.
Сходный анализ существования точек ветвления приведен в моногра-
фиях [260, гл.5], [352, гл. 4]. Представляет интерес другое доказательст-
во, где параметры жидкости между полупространствами сразу предпола-
гаются кусочно-непрерывными. Будем исходить из формулы F.5) для
коэффициента прозрачности и сохраним использованные в ней обозначе-
ния (для коэффициента отражения доказательство аналогично). Поскольку
среда неподвижна, 0(z) = 1. Пусть линейно независимые решения/l2(f)
волнового уравнения удовлетворяют начальным условиям
/i (Г 1) = 0. /,'(f,) = *0. /a tti) = 1, /2 (Г 1) = 0, *о = const. F.47)
Коэффициент при р в волновом уравнении A-45) является бесконечно
дифференцируемой функцией ?. Поэтому /^(И — решения начальных
задач (задач Коши) A.45), F.47) - будут регулярными функциями этого
параметра [131,ч. 1, § 5] .Формулы F.5) и F.47) дают
{/i(fa)-*0/a(fa)
- — [— *oPi/a(fc)+ — /i'(fc)PaH\ F-48)
откуда видно, что Wl2(?) имеет ровно четыре точки ветвления.
136

В дискретно-слоистой движущейся жидкости импеданс равен Zj -
= uPjPJ/vj, где Vj = (kffij - $аI/а, s, = tg(Vjdj) (см. п. 2.6). Зависи-
мость fy от х- и д'-проекций вектора ? = (?i, ?2,0) аналитическая. Поэтому
ветвления могут быть связаны только с нулями V/. Повторяя сказанное
выше для случая неподвижной жидкости, получим, что ветвления F(?)
и W(f) возникают при выполнении одного из условий:
k?PJ=S2, /=1,и + 1. F.49)
Пусть в нижней среде вектор v0 параллелен оси Ох, а ?2 = 0. Тогда ветвле-
ние будет при ?i = &i(fci uoi/ш ± I). В общем случае зависимость моду-
ля вектора ?, удовлетворяющего условию F.49), от угла у,- с вектором уе-
дается соотношением
± 1). F.50)
Для волн SH в твердом теле рассмотрение аналогично случаю неподвиж-
ной жидкости. Точками ветвления будут точки ? = ±kt 1; ±ktn + l, где kt —
волновое число сдвиговых волн.
л
Матрица рассеяния S упругих волн Р — SV дается формулами D.87) —
Л
D.90), причем матричный пропагатор A(zn + i,Zi) является произведением
л
матриц слоев вида D.70). Ветвление компонент матрицы S может возник-
нуть только из-за зависимости от ее величин а;-, 0/ - вертикальных компо-
нент волновых векторов продольных и поперечных волн в слоях и двух
полупространствах. Выражая компоненты матрицы слоя D.70) через ?,
а, 0 при помощи соотношений cos0; = oc/ki, cos6t = fi/kt и D.63), можно
убедиться, что все компоненты являются четными функциями а и 0. Матри-
Л Л
ца L D.67) содержит первые степени а и 0, в D.87) входят матрицы L,
соответствующие обоим полупространствам. Поэтому компоненты матри-
цы рассеяния упругих волн типа Р — 5Кв твердом теле имеют четыре пары
точек ветвления: % = ±kilt±ktl,±kln + i,±ktn + l. Этот результат иллюстри-
рует формулы D.28)—D.35), относящиеся к рассеянию на границе разде-
ла однородных упругих сред.
В слоистой среде, ограниченной однородными полупространствами,
все точки ветвления, как мы видели, имеют второй порядок. (Напомним,
что особую точку ?0 функции (? - SoI'" называют точкой ветвления
и-го порядка.) Если полупространства неоднородны, но их параметры
достаточно быстро стремятся к своим предельным значениям при | z | -*¦ °°,
то характер ветвления сохраняется. Например, для профиля Эпштейна,
где р = const, a c(z) при | z | -»¦ °° стремится к своим предельным значениям
экспоненциально, точки ветвления коэффициентов отражения и прозрач-
ности имеют второй порядок. При более медленном выходе упругих пара-
метров на предельные значения возможны и другие порядки ветвления.
Покажем зто на примере отражения звуковой волны от слоистого полу-
пространства z < 0 вида
/:3(z)=^+a2(l-z/z1)-2, z,>0, p(z) = p2 = const. F.51)
Параметры однородного полупространстваz> 0обозначим kl,pl. Входной
импеданс нижней среды для рассматриваемого случая был найден в п. 3.2.
137

Согласно формулам C.24), C.26), C.31), он равен
Z = Hop2 {-i- + ±.ын?\№ -VlTii)] l , F.52)
где
/n = @,25-o2z?)l/2. F.53)
Для упрощения выкладок ограничимся случаем 0 < т < 1.
Чтобы установить характер ветвления Z(?) при ? = ±А:2, на основе извест-
ного [240, гл. 9] представления функции Ханкеля
* }(*) = ~" [е - inmJ (?) J (z)J
sin m it
\ 2/ ;=o /!Г(/п +/ + 1)
выпишем главные члены разложения Z по степеням (к2 - ?2):
2г, Г(
aJm]} • F.55)
В частности, при а2 = 0, когда нижнее полупространство однородно, т = 1/2,
и из формулы F.55) получаем Z = ир2(к1 - ?2)/2 [1 +0((jfc| - ^Ш
что согласуется с точным значением: Z = p2c2/cos02 = ырг(к1 -
Соотношение F.55) показывает, что в зависимости от параметра т вход-
ной импеданс и коэффициент отражения могут иметь точку ветвления
любого порядка. Через а2 <* ш2 характер ветвления зависит от закона
изменения скорости звука в полупространстве и частоты волны.
6.3. Неотражающие слои. Выше, в п. 2.3 при исследовании коэффици-
ента отражения звуковой волны от однородного слоя, заключенного между
двумя полупространствами, мы видели, что для определенных сочетаний
импедансов сред полуволновой и четвертьволновой слои могут сделать
систему неотражающей. При заданных значениях частоты и угла падения
волны можно указать целый класс слоистых сред, для которых V = 0 [414].
Воспользуемся результатами п. 3.1. Плотность среды считаем постоян-
ной. В качестве модельного уравнения C.7) возьмем волновое уравнение
в однородной среде, т.е. положим
=*о= const, F.56)
а замену переменных запишем в виде
tj(z)= }[n\z)-sm40fndz, F37)
где n(z) - гладкая функция. Будем считать minn2(z) > sin20o. Согласно
формулам C.8) - C.10) функция
Ф(г) = А1Ф1 +А2Ф2, Ф1,2=(п2 -rin20o)~1/4exp(±;/:oT?(z))( F-58)
Alt2 - const,
13S

является общим решением уравнения
+ kt[ti2(z)-sin2во]Ф = 0, ц2 =п2
где
= {4[\n(n2 -sin2e0)]" -[(Щп2 -sin2в0))']2}/16Ц.
F.59)
F.60)
Функция Ф(г) дает вертикальную зависимость звукового поля в среде
с показателем преломления fi{z) при ? = А:о sin 0О; в0 имеет смысл угла
падения на горизонте, где /! = 1.
Пусть при z -*¦ ±°° величина n(z) принимает постоянные значения,а про-
изводные п достаточно быстро стремятся к нулю. В этих областях реше-
ния Ф[ иФ2 представляют собой плоские волны, 3* (z) = 0. Слой с показа-
телем преломления ц(г) является при частоте ш и угле падения в0 неотра-
жающим. В нем независимо друг от друга в противоположных направле-
ниях распространяются волны ф\ и Ф2. Значение &(z) зависит от частоты
и угла падения волны. Слой, не отражающий при одном значении в0, стано-
вится отражающим для другого в0. Отличие ^(z) от n(z) стремится к нулю
с ростом частоты.
В качестве примера рассмотрим случай, когда в0 = 0 и функция n2(z)
задается по Эпштейну, т.е. п2 = k2(z)/ko, где k2(z) берется из C.54а).
По формуле F.60) получаем
+(l-N)e~"z]~2, F.61)
где
.(*)- —
4Af)e"** - 6MNih( — ) -
F.62)
Величина S, пропорциональная толщине слоя, имеет то же значение, что
ив § 3 (см. C.69)).
На рис. 6.3 добавочный член &(z), сводящий отражение к нулю, изобра-
жен графически для исследованных в п. 3.4 случаев переходного (М = 0)
и симметричного (N = 0) слоев Эпштейна при 5 = 2, когда эффективная
толщина слоя составляет около половины длины волны. Для переходного
0 5-5 0 5
а Б
Рис. 6.3. График добавочного члена, сводящего к нулю отражение от переходно-
го (в) н симметричного (G) слоев Эпштейна
139

слоя (рис. 6.3, а) взято Л^= 1/2, для симметричного (рис. 6.3, б) М = -2.
Для всех других значений S величину <Р (z) можно будет получить из при-
веденных рисунков путем умножения ординат на B/SJ. Мы видим, что
и для симметричного, и для переходного слоев добавки к n2(z) невелики
даже при S = 2 и будут уменьшаться при увеличении S.
Пример неотражающей (для фиксированных значений частоты и угла
падения волны) движущейся среды был приведен в п. 3.7.
Существуют слоистые среды, на определенной частоте не отражающие
плоские волны в целом интервале углов падения. Пример такой среды
можно извлечь из результатов § 3. Квадрат модуля коэффициента отраже-
ния плоской волны от симметричного слоя Эпштейна при М < 0 дается
формулой C.87). Скорость звука в этом случае является четной функ-
цией z с минимумом при z = 0. Когда частота волны равна
u = O,5bco\L(L + l)IM\l/2, 1 = 0,1,2,..., F.63)
в C.87) costfdj = 0 и К=.О для всех вещественных значений угла паде-
ния во ¦ Здесь Со - скорость звука при \z \ -*¦ °°.
Из формул F.45), F.46) следует, что в рассматриваемом случае коэф-
фициент прозрачности W имеет полюсы в точках
sin0o = Z/ko = ±П + {L ~lf\M\l(L(L + 1))]1/2, / = 0,1 1- 1. F.64)
Эти точки будут и полюсами функции К(?) C.84). Если бы коэффициент
отражения был аналитической функцией ?, то из равенства V= 0 для всех ?
из интервала (-к0, ^о) следовало бы, что V = 0, и полюсы не могли бы
существовать. Неаналитичность К(?) C.84) не противоречит сказанному
в п. 6.2 об общих свойствах коэффициента отражения, поскольку там речь
шла об отражении плоской волны, падающей из однородной среды на полу-
пространство. Исходя из формулы C.62) можно показать, что в соответст-
вии с общей теорией V - аналитическая функция ?, когда скорость звука
меняется по Эпштейну в полубесконечном слое - °° < z < z0, а при z > z0
имеем с - const.
Представляют интерес неоднородные среды, не отражающие волны
любой частоты хотя бы при одном значении угла падения. В работе [487]
утверждается, что V = 0 для всех ш при нормальном падении волны на сре-
ду с профилем скорости звука, задаваемым параметрически равенствами:
c(z) = со cth2rj(z), z/ac0 = cthr? - т?, -°°<т?<0, F.65)
где а и с0 - положительные константы. При изменении т? от -°° до 0 коор-
дината z, монотонно убывая, принимает все вещественные значения. Когда
z -*¦ +°°, с -*¦ с0; когда z -*¦ —oot с -*¦ +°°. Плотность предполагается постоян-
ной.
Подстановкой р = ucthrj уравнение d2p/dz2 + u2c~2(z)p = 0, которому
удовлетворяет звуковое давление, приводится к виду
d2u/dn2 + (ш2а2 + 2chT?)u = 0, F.66)
F.66) является частным случаем уравнения, которому удовлетворяет
звуковое поле в неотражающем слое Эпштейна, рассмотренном выше. Вхо-
дящие в решение гипергеометрические функции для неотражающего слоя
сводятся к элементарным. Легко проверить подстановкой, что общим ре-
140

шением F.66) будет функция
и = A exp(/cjaTj)(/cja - thrj) + 5exp(-fcjaTj)(jcja .+ thrj), F.67)
те А и В - произвольные постоянные. Полагая В = 0, получаем
р = A (/cjacthrj - QexpO'cjarj). F.68)
При z ->+<», tj^I- z/ac0 и решение F.68) имеет асимптотику
a- l)exp(/cja),
соответствующую падающей со стороны z = +°° плоской волне в отсутствие
отраженной. Это послужило в работе [487] основанием для вывода о том,
что среда со стратификацией скорости звука F.65) будет неотражающей.
Однако решение F.68) не удовлетворяет условию ограниченности поля
при z -* - °°: | р | ~ | шаА/п \ -*¦ °°. Неограниченной оказывается и скорость
частиц v = (-//cjp)9p/9z. Имеющее физический смысл решение получится,
если потребовать и = О при т? = 0:
р = 2A (cos(cjaTj) - cjacthTjsin(cjaTj)]. F.69)
Выписывая асимптотику F.69) при z ->•+<», легко убедиться, что при всех
значениях а> имеет место полное отражение. Физически этот результат
очевиден, так как при z -*¦ —°° среда становится несжимаемой.
Пример слоистой среды, не отражающей звук любой частоты при опре-
деленном значении угла падения в - 0i, был построен в работе [94]. Пусть
полупространство z > 0, откуда падает плоская волна, однородно (с = сх,
р = Pi), а стратификация плотности в нижней среде описывается какой-
либо кусочно-гладкой функцией p(z), z < 0. Определим координату f,
как в F.26). Функцию c(z) выберем так, чтобы в волновом уравнении
OO-sin201]p = O F-70)
коэффициент при р принимал постоянное значение при -°° < z < +°°:
c(z) = Cl [sin20, +(p/piJcos201]-1/2. F.71)
Тогда решением уравнения F.70), удовлетворяющим условию излуче-
ния при z -* - оо, будет
(z)]. F.72)
Поскольку f = z при z > 0, в верхней среде F.72) представляет собой
падающую со стороны z = +°° волну; V- 0. Отраженное поле будет отсутст-
вовать и при падении под углом в i плоского звукового импульса с произ-
вольной зависимостью от времени. В частном случае 0, = 0 из F.71) по-
лучаем p(z)c(z) = Pi сi, т.е. при нормальном падении волны неотражающей
будет любая слоистая среда с постоянным значением волнового сопро-
тивления.
Полученный результат допускает наглядную интерпретацию в случае
дискретно-слоистой среды. Рассмотрим границу раздела каких-либо одно-
родных слоев. Параметрам верхнего слоя припишем индекс 2, а параметрам
нижнего - индекс 3. Угол падения волны 02 определяется из закона Снел-
ля: sin02 = (c2/ci)sm0!. Записывая F.71) отдельно для обоих слоев, после
141

простых выкладок приходим к равенству (ср. B.33))
\ -1).
Следовательно, на каждой границе раздела угол падения равен углу ее пол-
ной прозрачности, определенному в п. 2.2. Ни на одной из границ отраже-
ния не возникает. Отсутствие отраженного поля не связано с интерферен-
цией волн и поэтому имеет место для всех частот.
§ 7. Звуковые волны в поглощающих и анизотропных средах
До сих пор мы пренебрегали диссипацией энергии упругих волн. В дейст-
вительности всегда имеют место необратимые процессы, приводящие
к поглощению энергии волн и переходу ее во внутреннюю энергию среды.
Учет обусловленных этим эффектов составляет первую задачу настоящего
параграфа. Поглощение приводит не только к уменьшению амплитуды
сигнала по мере распространения, но и меняет его форму; оно может
существенно сказываться на коэффициентах отражения и прозрачности.
В предыдущих параграфах, рассматривая распространение волн в твер-
дом теле, мы считали его локально изотропным. Эффекты анизотропии,
т.е. различия свойств среды в разных направлениях, наиболее существенны
в кристаллоакустике, а также в сейсмике. Анизотропия горных пород
обусловлена, в первую очередь, действием силы тяжести. Не имея возмож-
ности остановиться в деталях на акустике анизотропного твердого тела,
мы лишь опишем ее основы и на примере пьезозффекта проиллюстрируем
те качественно новые по сравнению с изотропной средой явления, которые
могут сказываться на распространении упругих волн в кристаллах. Отно-
сительно подробно будет рассмотрен только случай трансверсально-изо-
тропной среды (см. п. 7.2). Он важен для анализа упругих свойств мелко-
слоистых сред. Так называют среды, состоящие из большого числа одина-
ковых относительно тонких слоев. Системы такого рода встречаются
в сейсмике, в устройствах звукоизоляции. К ним относятся многие компо-
зиционные материалы, получающие все более широкое распространение
в технике.
7.1. Учет поглощения волн. При выводе волнового уравнения в § 1 мы
считали распространение звука в жидкости адиабатическим процессом.
Наличие вязкости и теплопроводности приводит к необратимому переходу
звуковой энергии во внутреннюю, нарушая тем самым адиабатичность.
В смесях и растворах дополнительным источником необратимости являет-
ся диффузия. Ее роль в поглощении звука обычно мала, и мы не будем
принимать диффузию во внимание. Будем считать также, что в отсутствие
звука среда неподвижна.
При учете сил вязкости уравнение Эйлера A.9) записывается в виде
[171, § 15J
dt Ьхк ' G.1)
dv, dvk
2 \ dv,
3 /дх,.
к дх(
Индексы /, к, I принимают значения 1, 2, 3. Величины т? и f положительны.
142

Их называют козффициентами вязкости или, соответственно, первой (сдви-
говой) и второй (объемной) вязкостью. Они могут зависеть от частоты
звука. Тогда уравнение G.1) имеет смысл только для монохроматичес-
ких волн. В принятом нами линейном по амплитуде волны приближении
плотность энтропии жидкости S = S + So удовлетворяет уравнению
[171, § 49]
Здесь f = То + Т - температура среды, So и То - значения S и f в отсутст-
вие волны, к > 0 — коэффициент теплопроводности. В качестве независи-
мых термодинамических величин, как и в п. 1.1, возьмем энтропию и плот-
ность. Тогда в силу уравнения состояния
~ P~S, G-3)
,PS- G.4)
Если в G.2) положить к = 0, то уравнение G.3) сведется к приведенному
в § 1 уравнению состояния в форме A.8), где в рассматриваемом сейчас
случае VРо = Vo = 0. Уравнения G.1) —G.4) вместе с уравнением непрерыв-
ности A.7) образуют замкнутую линейную систему для определения семи
неизвестных: p,vhp',TnS.
В однородной среде полученная система уравнений допускает решения
в виде плоских волн. Пусть зависимость акустических величин от коорди-
нат и времени задается множителем exp [i(kjXj - cjf)]. Тогда, предпола-
гая р' ^0 и исключая из уравнений G.1) и A.7) v{, находим
р шМ • ,/ 4 \ 1 1
Ч- = —Г 1+** ( Г+ -V ) • G.5)
р к2 [ \ 3 /шр J
С другой стороны, если выразить р через р'при помощи G.2)-G.4), то
после простых преобразований получим
р ч / п 'ш ст Ч
— =с2 -к2(с2 -с2т)( к2 — ) . ' G.6)
Р V X с2 /
При выводе мы воспользовались тождеством (дТ/др)^(дБ/дТ)~ =
= — (Э 5 /Э р ) ~ = 1 — с2т/с2 и обозначили
Х=к/рСр, Cp'
G.7)
Здесь х - температуропроводность, Ср - удельная теплоемкость при посто-
янном давлении, с и ст, как будет видно из дальнейшего, - скорости зву-
ка в предельных случаях, когда его распространение является адиабатичес-
ким или изотермическим процессом (с и ст - величины одного порядка,
причем с > ст).
Приравнивая правые части G.5) и G.6), получаем дисперсионное урав-
нение связанных со сжатием волн в однородной вязкой теплопроводящей
143

среде:
,, Г со2 со2 / 4 \ /WI fco3
[с]. РХС\ 3 / X 1 ХС
0. G.8)
Не составляет труда выписать решения ±Л[, ±Лц этого биквадратного
уравнения. Они соответствуют двум типам волн. Вещественная часть к
определяет значение фазовой скорости cPh = co/ReA:, а мнимая— коэффи-
циент затухания волны. В направлении быстрейшего ослабления амплиту-
да волны затухает в е раз на расстоянии 1/lmfc.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если теплопроводность отсутст-
вует (х~*0), уравнение G.8) дает единственное конечное решение
со Г /со / 4 \ Г1'2
*1= - М- -T(f+ ТЧ) • G.9)
с L рс \ 3 / J
В наиболее распространенном и важном случае, когда вязкость и теплопро-
водность отличны от нуля, но малы (х < с2/со, f + 4т?/3 < рс2 /со), имеем
/со / 4 \ 1 , ,
//со3\1/2 1
V хс / *,
1/2 1 //со \1/2 G.10)
()
Если теплопроводность велика, а вязкость мала (х ^ с2/со, f + 4т?/3
•< рс2/со), то получаем
со Г /со / 4 \ /ст-
к= _ 1+ --r(f+ -т,)+
сг L 2рс2т\ 3 / 2сох J
1/2с (
//со
V X
/со\1/2сг
) —
Во всех перечисленных случаях учет необратимых процессов дает малую
положительно-мнимую добавку к волновому числу кг звуковой волны
Другим эффектом необратимости является дисперсия — зависимость
фазовой скорости звука от частоты. Так, если величины х, f и т? не зависят
от частоты, то с ростом со скорость звука, согласно G.10) и G.11), убывает
от с до с?- (К тому же эффекту приводит и увеличение теплопроводности
при фиксированном значении со.) Поскольку каждая монохроматическая
компонента импульсного сигнала распространяется со своей скоростью,
его форма будет изменяться при распространении.
Наряду со звуковыми волнами в среде возможны "тепловые" волны
с волновым числом кн. Кроме того, существуют "вязкие" волны, которые
не связаны со сжатием среды: р = 0. В них согласно уравнению непрерыв-
ности G.1) ktvj = 0, т.е. это поперечные волны. Они могут иметь две неза-
висимые поляризации. Из р = 0 и уравнений G.3) - G.5) следует: р ='S =
~ Т= 0. Из G.1) получаем дисперсионное уравнение "вязких" волн:
k* = i сор/т?. G.12)
144

В "вязких" и "тепловых" (последние называют также температурными
волнами [128, §19]) волнах Refc«= 1тЛ, поэтому они сильно неоднородны.
В твердых телах имеются дополнительные источники необратимости
при деформации: пластичность, дрейф вакансий в кристаллах, взаимодейст-
вие с тепловыми фононами и т.д. Общей теории поглощения звука в упру-
гих средах, пригодной для всего их разнообразия (от горных пород до
металлов и пластмасс), не существует. Диссипативные процессы обычно
описывают феноменологически, заменяя в законе Гука упругие постоян-
ные операторами, зависящими от времени. Для изотропного вязко-упруго-
го тела наиболее общая связь малых деформаций и тензора напряжений
имеет вид [31]
3()) G.13)
дхк \ bj Э /
Для монохроматических волн интегро-дифференциальные операторы
Л
5/@ превращаются в функции от -/со, которые принимают, вообще
говоря, комплексные значения. Обозначая X = B1(-iui)/Bl(-iu)), p =
= B3(-iu>)/Bl(-iu>), соотношение G.13) можно привести к обычной запи-
си A.49) закона Гука, но с зависящими от частоты и комплексными X и д.
Часто предполагают, что вязкие силы в твердом теле, как в жидкости,
пропорциональны скоростям деформаций [167, § 34]. Это соответствует
следующему выбору операторов fi): Z?i s i, B2 =X+ (f - 2т?/3)Э/Эг, В3 =
= rid/dt. При таком выборе диссипативные части тензоров напряжений
в G.1) и G.13) полностью совпадают, а учет вязкости сводится к замене
постоянных Ламе X и д на X + /соBт?/3 — J) и д — /cjtj. В случае малой
диссипации (т? < /i, f < X) для волновых чисел продольной и поперечных
волн получаем, как и в п. 1.3,
1/2
G.14)
Наличие диссипации не меняет обсуждавшихся в § 1 граничных условий
на поверхностях контакта упругих сред. Конечно, остается без изменений
и уравнение движения A.50). Поэтому на слоистые вязкоупругие среды
полностью переносятся все полученные в § 1, 4 и 6 результаты, лишь зна-
чения X и /i повсюду следует считать комплексными. В частности, для ком-
понент матрицы рассеяния на границе двух вязко-упругих полупространств
можно пользоваться выражениями D.28) —D.32). Применимость резуль-
татов, аналогичных полученным в § 4, для вязко-упругих сред неоднократ-
но подтверждалась экспериментально (см., например [298] ). Хотя аналити-
ческие выражения для плосковолновых коэффициентов отражения, транс-
формации и прозрачности сохраняются, но благодаря комплексности Хиц
они существенно меняют свое поведение, например, как функции угла па-
дения. Подробный анализ зависимости этих коэффициентов от угла падения
и параметров вязко-упругих сред можно найти в работе [248, гл. 1], в ко-
торой собран значительный расчетный материал.
10. Л.М. Бреховских 145

На границах сред с диссипацией, как показывает анализ формул § 4,
модуль коэффициента отражения V может быть больше единицы. Реаль-
ность этого явления до сих пор оспаривается некоторыми авторами, оши-
бочно видящими здесь противоречие с законом сохранения энергии (о дис-
куссии такого рода см., например, работу [287], где обоснована возмож-
ность того, что I V | > 1 для звуковой волны, падающей из поглощающей
жидкости на границу идеально упругого твердого тела). В жидкости отра-
жение звука с | VI > 1 не нарушает закон сохранения энергии благодаря
неаддитивности потоков энергии в отраженной и падающей волнах. Дейст-
вительно, пользуясь формулой B.11), легко убедиться, что в звуковом
поле с гармонической зависимостью ехр[/(?лг - со?)] от горизонтальных
координат и времени при вещественных со и ? вертикальная компонента
12 вектора плотности потока мощности равна разности значений /z в падаю-
щей и отраженной волнах и, следовательно, пропорциональна величине
1 - | V \2 только при вещественном к2, т.е. в непоглощающей среде.
Рассмотрим, следуя [68], отражение плоской волны типа S V от плоской
свободной границы вязко-упругого тела. Будем считать, что значение X
вещественно, a /i = /io(l - ie), где /i0 и е также вещественны, 0 < е< 1.
Коэффициент отражения Vtt дается формулами D.7), D.8). В отсутствие
поглощения (е = 0) при кх < ? < kt отраженная продольная волна неодно-
родна, | Vn | = 1. Обусловленная диссипацией поправка к значению Vn в
первом приближении по" е имеет вид
/ЬУи
\ 3/i
X [(а-Ь)Bа-3) + 2Ь2Bа- 1)A -а)], G.15)
где для краткости обозначено: а = ?\к], Ъ = к)Ik]. В G.15) коэффициент
при е должен вычисляться при е = 0. В силу неравенства с\ > 2с\ имеем
Ь < 0,5. Поскольку в рассматриваемой нами области углов падения Ь < а <
< 1, то при а < 0,5 выражение в квадратных скобках и отношение bVnIVtt
отрицательны. Если 0,5 < а < 1, то выражение в квадратных скобках яв-
ляется монотонно возрастающей функцией Ъ, которая при Ъ = 0,5 прини-
мает значение (а - 1/2) (а - 2) < 0- Поэтому при 0,5 < а < 1 и любых физи-
чески реализуемых значениях Ъ отношение bVnIVn > 0 и, следовательно,
I Vtt + 5 Frt | > 1. Например, при а = 0,9; Ь =0,17; е = 0,05 расчет по форму-
ле G.15) дает | Vtt +SVtt \ = 1,34.
Покажем, что поток энергии, тем не манее, направлен к границе раздела.
Вертикальная компонента вектора средней за период плотности потока
мощности в гармонической волне равна [54, § 12] /z = 0,5Яе(аз/Эм,/Эг).
На свободной границе z = 0 имеем 12 = 0 в силу граничных условий a3i = 0.
Выражая /г при помощи формул D.1)-D.3) через компоненты матрицы
рассеяния D.6), после простых выкладок при z > 0 получаем
(V
tt
146

1 ,
X = — ektz-$z.
В фигурных скобках значения а, 0, у, Vn и Vn взяты при е = 0. Мы видим,
что Ъ1г\Ъг < 0, следовательно, 12 <0 во всем верхнем полупространстве,
что и требовалось показать. В работе [68] аналогичный анализ проведен в
более общем случае отражения волны SV от границы жидкости и вязко-
упругого тела.
Распространение монохроматического звука в поглощающей жидкости
часто описывают на основе волнового уравнения A.23), заменяя в нем к2
комплексной величиной. Для однородной среды такой подход является
точным. Однако в общем случае это не так. Например, на границах раздела
решения уравнения A.23), имеющего второй порядок, можно подчинить
лишь двум граничным условиям, а в случае вязкой теплопроводящей жид-
кости независимых граничных условий будет восемь: как и в твердом теле,
должны быть непрерывны три компоненты тензора напряжений, скорости
частиц, а также температура и нормальная к границе компонента кЪТ/Ъп
плотности потока тепла. (В противном случае согласно уравнениям G.2)
и G.3) на границе обращалась бы в бесконечность плотность энтропии, а
вместе с ней и давление.) В случае, когда теплопроводностью можно пре-
небречь (к -+0) для тензора напряжений в вязкой жидкости из G-1)-G.3)
и A.7) получаем
/ 2 \ Эм, / but buk \
Otk =\рс- /ы? + — «от? )8tk /сот? ( -— + —— ), G.17)
V 3 / дх, \Ъхк Ъх{/
что совпадает с законом Гука A.49) при X = рс2 + /соBт?/3- f ), ц. - -icorj.
Таким образом, вязкую жидкость можно рассматривать как упругую среду
с комплексным значением X и чисто мнимым /i. Аналогом продольных'
волн в твердом теле являются звуковые, а сдвиговых - вязкие волны.
В вязких жидкостях при отражении от границ звук частично трансфор-
мируется в быстрозатухающие вязкие волны. Этот процесс описывается
матрицами рассеяния, исследованными в § 4. Поглощение звука в слоистой
среде обусловлено, таким образом, двумя процессами.
Во-первых, это объемное поглощение, имеющее место и в однородной
среде. Оно уменьшает амплитуду волны пропорционально величине
ехр(—L ImA;), где L — пройденный в вязкой жидкости путь. Показатель
экспоненты содержит (в случае малой вязкости) т? и f в первой степени.
Такое поглощение наиболее существенно в плавно-слоистой среде.
Во-вторых, вблизи границ происходит дополнительная диссипация
энергии, которую называют иногда "поглощением Константинова"*).
Наиболее ярко этот эффект проявляется при распространении звука в
узких трубах и тонких слоях. Матрица рассеяния содержит первые степени
вертикальной компоненты волнового вектора, поэтому "поглощение Кон-
стантинова" пропорционально, вообще говоря, величине \ к2 — %2\~^2 «
«= \kt\~l ^т?1/2. Поскольку вязкость, как правило, мала, второй механизм
•) Более справедливо было бы связывать это поглощение с именем Кирхгофа,
который рассматривал близкие вопросы значительно раньше.
10* 147

диссипации может доминировать даже в слоях, достаточно толстых по
сравнению с длиной звуковой волны. Этот механизм остается неучтенным
при использовании волнового уравнения с комплексным значением к2.
К аналогичным эффектам приводит и наличие теплопроводности: отражаясь
от границ, звуковая волна порождает быстрозатухающие "тепловые" вол-
ны, уносящие часть акустической энергии. Подробнее о "поглощении
Константинова" см. обзор [173] и указанную в нем литературу.
7.2. Анизотропные упругие среды. Волны Гуляева - Блюштеина. При ма-
лых деформациях тензоры напряжений о^ и деформаций ик1 связаны
линейно:
Ъик ди,
j G.18)
Тензор четвертого ранга Сцк1 является характеристикой вещества и назы-
вается тензором модулей упругости. Соотношение G.18) обобщает закон
Гука A.49) на произвольные анизотропные среды. В силу симметрии тен-
зоров Off и ик1 тензор Cjjki можно считать инвариантным относительно
перестановок индексов в первой и вторых парах; С//*/ = Cjtki = Сщк =
= Cjtik- Имеет место также симметрия относительно перестановки самих
пар [54, § 12]: Ctjkl = CkItj. Таким образом, из всех З4 компонент тензора
модулей упругости в самом общем случае анизотропной среды независимых
модулей оказывается на более 21. Чем выше симметрия среды, тем мень-
шим числом упругих модулей она описывается.
Уравнение движения упругой среды имеет вид A.50). Для плоских гар-
монических волн
и = v exp i(krijXj - cot), п,п; =1 G.19)
в однородной анизотропной среде из G.18) и A.50) получаем
(fy-pw'fc-'e,,)»,^, Г/,= Стщпк. G.20)
При выводе G.20) учтена симметрия тензора С/д/. Мы видим, что величи-
на роо2к~2 является собственным числом, а соответствующее значение v —
собственным вектором зависящей от направления распространения волны
матрицы Г. Условием существования ненулевых решений v системы урав-
нений G.20) является соотношение
det(r/7-pw2A:-25/,)=O; G.21)
называемое уравнением Кристоффеля. Оно определяет три допустимых
значения волнового числа к, а посредством этих значений — фазовую и груп-
повую скорости соответствующих волн. В анизотропной среде фазовая и
групповая скорости имеют, вообще говоря, различные направления и зави-
сят от ориентации волнового вектора кп.
По известному волновому числу из G.20) можно с точностью до норми-
ровки определить вектор v, который задает поляризацию волны, распро-
Л
страняющейся в направлении п. Из симметрии и вещественности матрицы Г
следует, что три плоские волны с одинаковым п всегда поляризованы во
взаимно перпендикулярных направлениях.
Для описания волн в вязко-упругом теле удобно разложить их на моно-
хроматические составляющие. Тогда, аналогично рассмотренному в п.7.1
148

случаю изотропной вязко-упругой среды, наличие диссипации проявится
только в том, что компоненты тензора С,-д/ будут комплексными и
частотно-зависимыми.
Общие вопросы теории упругости анизотропных сред рассмотрены в
книгах [167, 179] и др. Распространение волн в таких средах применитель-
но к кристаллоакустике и сейсмике освещено в монографиях [153, 215,
255]. О рзлеевских волнах в кристаллах различной симметрии см. [344,
495]. Различие направлений фазовой и групповой скоростей упругой вол-
ны и его следствия обсуждаются в [539]. О вычислении поля на луче в ани-
зотропной среде см. [322]. В работах [296, 512] определена зависимость
фазовой скорости от направления распространения волны в однородной
среде со слабой анизотропией. Распространение ультразвуковых пучков
в кристалле рассматривалось в [538]. Поверхностные волны в дискретно-
слоистом анизотропном упругом полупространстве со свободной границей
исследованы в работах [340, 341].
Мы остановимся подробнее на одном специальном случае анизотропии —
трансверсально-изотропной'среде. В твердом теле этого типа упругие свой-
ства изотропны в плоскости, перпендикулярной некоторому выделенному
направлению, которое мы совместим с осью z. Такие анизотропные среды
представляют значительный интерес для сейсмологии.
При смене направления оси х компонента м1;-, / Ф 1, тензора деформаций
меняет знак, но вследствие симметрии в горизонтальной плоскости состоя-
ние среды не изменяется. То же относится и к перемене направления оси .у.
Поэтому в выражении для упругой энергии (см. [54, § 12]) W =
= 0,5Qyfc/M,7Wfc/ члены, содержащие индексы 1 или 2 нечетное число раз,
должны отсутствовать. Замена индекса 1 на индекс 2 не меняет значения
модуля упругости. Поэтому в тензоре С,-д, остается шесть не равных нулю
различных компонент: С33зз, Cl3i3 - С2323, Сц33 = С223з, Сии -
- Сгггг. Ci2i2, Сц22. Не все они являются независимыми. Компоненты
Ujj, i, /=1,2, тензора деформаций должны входить в выражение для
энергии только в комбинациях иц + и22, и\г — uiiu22> инвариантных
относительно поворотов системы координат вокруг оси Ог. В результате
для трансверсально-изотропной среды имеем С1122 - С\ 111 — 2С\ 2 i 2
и плотность упругой энергии равна
W=Ciin(un + и22J + 4Cl2l2(u]2 -ЫцЫцЭ + СззззИзэ +
+ 2С113з(м11 +маа)мзз+4С131з(и15+и1з)- G.22)
Нетрудно показать [167, § 10], что теми же свойствами тензор Сцы обла-
дает в кристаллах гексагональной симметрии, имеющих ось симметрии
шестого (а не бесконечного, как в трансверсально-изотропной среде)
порядка.
Используя установленные свойства тензора модулей упругости, запишем
обобщенный закон Гука G.18) для трансверсально-изотропной среды:
опунции +(Сцц -2Cl2l2)u2J+Cll33u33, G.23)
Oi2=2Ci2l2ul2, G.24)
# G-25)
+С,,зз(Иц +2). G.26)
14?

Благодаря симметрии среды, выражения для других компонент оц легко
получить из приведенных выше. Для пяти упругих модулей, характеризую-
щих трансверсально-изотропную среду, удобно ввести сокращенные обозна-
чения: Сцц = Х+ 2ц, Сзззз = X' + 2ц, С1133 = X', С,212 = ц, C,3i3 =
=/Л Переход к изотропии (С,,,, =С33зз. C,3i3 = С,212,С,,3з =С,,22)
описывается тогда равенствами X = X', ц = // = /i". В этом случае формулы
G.23)-G.26), как легко убедиться, согласуются с законом Гука для
изотропной среды A.49).
Распространение упругих волн в трансверсально-изотропной среде имеет
много общего со случаем изотропного твердого тела. По-прежнему можно
выделить волны горизонтальной поляризации, которые распространяются
независимо от волн Р - SV. Это следует из уравнений G.20), где при п =
= (sin 0, 0, cos в) имеем
0 (X'
г=( о Msin2e+p"cos2e о
\(X'+/i")sinecose 0 /
G.27)
Здесь в — угол, a xz — плоскость падения волны. Решение уравнений G.20),
соответствующее 5Я-волнам, имеет вид
к2 =рш2(ц sin2 0+/i "cos2 в), v= @,1,0). G.28)
При изменении угла падения от 0 до тт/2 фазовая скорость волн SH изме-
няется от (/i"/p)!'2 до (/i/pI'2.
Обозначим к sin в = ?, к cos в = а. Тогда для определения возможных
значений вертикальных компонент волновых векторов волн Р - SV из
G.21) и G.27) получаем квадратное уравнение относительно а2. Его
решение имеет вид
аЬ = {-Ь + [Ь2 -4a/i"(X' + 2/i')]I/2}[2(X'+2/i')/iT1. G-29)
где
в = U2 (X + 2ц) - pw2 ] Ох"?2 - pw2),
Ь = ?2[(Х + 2м)(Х' + 2М') + (м"J -(Х'+м"J]-рсо2(Х' + ^' + /). V }
В изотропном случае а \ = рсо2 (X + 2/i) -{2, а\ = рсо2 //i - %2, т.е. реше-
ние а! соответствует продольным, а а2 — поперечным волнам. В дальней-
шем будем считать Im aj 2 > 0.
Поле смещений в волнах Р ~ S V в однородной трансверсально-изотроп-
ной среде описывается выражением
н = ехр[*(?х - cot)] [v<I)^1e/a«z +vBV2e-/a'2 +vC)(^3efa>2 +
+ v<4V4e-'a'z]. G.31)
Здесь tfj — постоянные, а векторы v^^ с точностью до нормировки опреде-
ляются из G.20):
(^,0,-^),
G.32)
= -/(,0, [pw2 -(X 2)?2 ]/?(X' "))г
150

В каждой из волн векторы смещений частиц имеют компоненты, парал-
лельные и перпендикулярные волновому вектору, т.е. даже в однородной
анизотропной среде продольные волны при распространении преобразуются
в поперечные и обратно.
Рассмотрим теперь волны Р - SV в дискретно-слоистой трансверсально-
изотропной среде. Зависимость полей от горизонтальных координат и
времени по-прежнему считаем гармонической- Будем предполагать, что
плоскость изотропии параллельна границам. Решение задачи об отражении
плоской волны от произвольного числа слоев легко построить, восполь-
зовавшись матричным методом [340, 520]. Введем, как и в § 4, вектор
смещения-напряжения / = (ц,, и3, о33, o3i)r. При выводе граничных ус-
ловий в § 1 мы не использовали вид закона Гука G.18). Поэтому и в ани-
зотропной среде вектор / остается непрерывным на границах с жестким
соединением твердых тел. Пусть горизонты z и z0 принадлежат одному
слою. Тогда из формул G.31), G.32), G.25) и G-26) после несложных
выкладок получаем
/()[,,](vh,^,^^) /(o)
G.33)
где квадратными скобками, как и в § 4, обозначена диагональная матрица:
/= [e'a1B-20))e-/e1<z-2,))e<e,(z-z0))e-«"eJ(z-z0)^ G.34)
il) ?'
G.35)
Соотношение G.33) аналогично формулам D.66) и D.67), подробный
вывод которых для изотропной среды приведен в § 4. Роль вектора потен-
циалов <р в однородном слое анизотропной среды играет вектор констант
(<Pi> <Л > Уз, <Л»)Т- Специфика анизотропной среды проявилась в виде мат-
л л
риц L и /, которые, однако, сохранили много общего с рассмотренным
в § 4 случаем. Нормировка векторов v^ G.32) была выбрана так, что
в изотропной среде формулы G.34) и G.35) переходят в D.67). В этом
можно убедиться, сравнивая матрицы поэлементно.
Соотношения G.33) — G.35) позволяют пересчитать значения вектора
смещения-напряжения с одной границы слоя на другую. Построение матрич-
Л ЛЛЛ
ного пропагатора из матриц А = LIL отдельных слоев и весь дальнейший
ход решения задачи совершенно аналогичны рассмотренному в п. 4.3 изо-
тропному случаю, и мы не будем их здесь повторять.
Построим матричное описание для волн SH в трансверсально-изотроп-
ной среде. Согласно G.28), для смещений в однородной среде имеем
«! =м3 =0,
и2 = ОМ"* + iM-«")exp[/ax - ыг)]. *i.2 = const,
0=[(Р^2)//] ( '
151

Для исключения угла падения и из дисперсионного уравнения в G.28) мы
использовали равенства ? = fcsrsinfl, 0 - kcosd. Из G.25), G.26) следует
а3з=0, а23 = 2Ci3i3«23 == ц"ди21дх3. Поэтому граничные условия
при жестком соединении тверфдых тел сводятся к непрерывности компо-
ненты и2 смещения частиц и кскомпоненты а2 3 тензора напряжений. В соот-
ветствии с этим выберем в вектор смещения-напряжения в виде / =
= (и2. 02 з)Г- Из формул G.36) ) получаем
/(zo)> G.37)
л л
где L и / — матрицы 2X2:
?ц =^12 = 1, L2l =-Z<22 = = »V'0, / = [exp//3(z-zo),exp(-//3(z-zo))].
л ллл G.38)
Матрица слоя, как и для волн РР - SV имеет вид А - LIL , но конкретные
выражения для матриц L и / в т том числе и их размерности, различйы.
В ряде случаев более удобныым оказывается другое представление матри-
л
цы слоя А — в виде матричной й экспоненты (нам это представление понадо-
бится при рассмотрении упрузугих свойств мелкослоистых сред). Пусть
+ ОО
функция F(x) имеет разложекение 2 апхп/п! в ряд Тейлора, тогда под
п-0
функцией от матрицы понимаетзтся сумма ряда
F(B)= ? а„Вп/п\ G.39)
п-0
Например,матрицу /из G.38) ъ можно записать в виде
1 = exp[(z - zo)m], m = [iB, -, -iB]. G.40)
Действительно, из определения я G.39) имеем
exp[(z-zo)m] = 2 [(z - z(z0)m]"/n\ =
n=o
= 2 [in(z - zo)npn/n I, (-/-/(z - zo)B)"/n!] =
n-0
= [exp//3(z -z0), exp(-i0(z - - z0))].
Пользуясь представлением СуG.4О) и легко проверяемым равенством
ллл ллл л ллл
(LmL~ )" =Lm"L~ ,цдя матрфицы слоя >1 = L1L получаем
i = exp[(z-zo)K], K=LmLL-1. G.41)
Вычисляя к при помощи соот»тношений G.38) и G.40), для волн 5Я на-
ходим
«и =«22=0, к12 = 1/м", кк21=ц!;2-рш2. G.42)
Представление G.41) сохрананяет силу и для волн Р - SV. Однако в этом
Л Л
случае т = [iai, -/a,, m2 , —iaia2 ], a L дается соотношением G.35). Расчет
152

по формуле G.41) приводит к компактному выражению (ср. G.35)):
«11 =«13 =«2 2 = *24 =«3 1 = *3 3 = К42 =«44 = 0, К12 = К34 = *'?,
'2л'), G-43)
В анизотропных средах наблюдаются весьма интересные явления, обус-
ловленные взаимодействием упругих волн с физическими полями другой
природы и не проявляющиеся в изотропной среде. Наибольшее практичес-
кое значение из них имеет пьезоэффект, используемый для преобразования
электромагнитной энергии в акустическую и обратно, на чем основаны
излучение и прием звука. Пьезоэффект заключается в том, что в кристаллах
определенных типов симметрии механические напряжения, возникающие
при помещении тела в электрическое поле, пропорциональны его напряжен-
ности. Такие вещества называют пье зоэлектриками. Имеет место и обрат-
ный эффект: при деформации пьезоэшектрика в нем появляется поле, про-
порциональное величине деформаций. Математически это выражается
равенствами [170, § 17]
G.44)
Dt = Doi + et,E, + Pl/ku,k. G.45)
Здесь Е и D - напряженность и индукция электрического поля, etj - тензор
диэлектрической проницаемости, Do = const -• вектор пироэлектрической
индукции, {Skij называют пьезотензором. Соотношение G.44) обобщает
закон Гука G.18) на случай пьезюэлектриков. Из симметрии тензора
напряжений следует инвариантность пьезотензора относительно перестанов-
ки второго и третьего индексов: 0klf/ = 0*/,-.Повторяя сказанное выше при
обсуждении тензора С,ук, трансверсально-изотропной среды, легко пока-
зать, что в кристалле, имеющем центр симметрии, любой тензор третьего
ранга равен нулю. В частности, 0к,у = 0, т.е. пьезоэффект отсутствует, в изо-
тропной среде.
Электромагнитные поля, возникающие при распространении упругих
волн в пьезоэлектрике, можно описывать уравнениями электростатики
rotE = 0, divD = 0, поскольку скорости этих волн много меньше скорости
света. Выражая напряженность Е чер>ез потенциал электрического поля ^:
Е = - Vtp, из уравнений A.50), G.44), G.45) и divD = 0 в однородной
среде получаем
еЧ
dx,dXj dxt
Заметим, что электрический потенциал обладает такой же периодичностью
во времени и пространстве, что и поле смещений. Для плоской гармони-
ческой волны
1 G-47)
153

система уравнений G.46) дает ф = 0/ук иу-ntnk/(elm л,лт) и
~ '* 'к G.48)
Г/к = Г/к + @/^И/И^)@рГкириг)/(е,ти,ит).
Величину q, определяемую равенством Г/к (l + q2) = f tk, называют коэффи-
циентом электромеханической связи. Как правило, <? значительно меньше 1.
В отсутствие пьезоэффекта q = 0 и G.48) переходит в G.20). Фазовая
и групповая скорости упругих волн в пьезоэлектрике определяются при
помощи уравнения Кристоффеля G.21), где Г1к следует заменить на flk.
Пьезоэффект не только сказывается на величинах скоростей упругих
волн в кристалле, но и приводит к появлению новых типов поверхностных
волн. Рассмотрим распространение поперечной поверхностной волны
в пьезоэлектрическом кристалле класса С6и, ограниченном плоскостью
z = 0, в направлении Ох, перпендикулярном оси симметрии кристалла Оу.
Тип симметрии кристаллов класса С6и относится к гексагональной синго-
нии. Они имеют шесть плоскостей симметрии, проходящих через ось сим-
метрии шестсго порядка. Поэтому их диэлектрический тензор диагоналей,
причем fi 1 = е3з = е; в пьезотензоре отличны от нуля только компоненты
02 2 2, 0i 12 = 0з 2 з - 0 и 0211 = 02 з з ; в тензоре модулей упругости С, г 12 =
= Сгзгз = ^> а компоненты, содержащие какой-либо индекс нечетное
число раз, равны нулю. (В обозначениях, которые мы использовали для
трансверсально-изотропных сред, С = //'.) Вектор Do направлен вдоль
оси кристалла: D0l - D03 = 0.
Поверхностную волну будем считать плоской. Тогда потенциал у
и единственная компонента смещения и2=и независятоту. Отличны от ну-
ля только компоненты и12 = 0,5Эм/Э*, и23 = 0,5Эм/Эг, а21 = СЪи/Ъх +
+ 0 3(^/3*, а23= СЭм/Эг + 0 Э^/Эг тензоров деформаций и напряжений.
При z <0, т.е. внутри пьезокристалла, уравнения G.46) дают
рЭ2м/Эг2 =(С + 02/е)Дм, Д(^ = 0е"Дм. G.49)
В вакууме над кристаллом, т.е. при z > 0, и s 0, а функция у удовлетворя-
ет уравнению Лапласа Д<^> = 0. На плоскости z = 0 должны выполняться
механические и электрические граничные условия. Первые состоят в ра-
венстве нулю напряжений аз/. Поскольку в рассматриваемой задаче а13 —
= а3 з = 0, то остается потребовать
Ь=о = 0. G.50)
На свободной границе пьезоэлектрика должны быть непрерьшными танген-
циальные компоненты вектора Е и нормальная компонента вектора D.
Это означает
[э^/э*]2=0 = о, (ea^/az-03M/az)z=_o = (awaz)z=+o. G.su)
Представляет интерес также другой случай, когда поверхность кристалла
электрически закорочена. Практически это достигается нанесением тонкой
металлической пленки, которая почти не влияет на граничные условия
для механических величин. Тогда для электрических величин остается
единственное граничное условие:
(Э^/Э*)г=о = 0. G.516)
154

Будем искать поверхностные волны с гармонической зависимостью
от х и t:
cor)]. G.52)
Тогда первое из уравнений G.49) дает
v = А, ехр(\/?2 - A:2z) + Л 2 ехр{-s/i,2 - *2z)>
fc2 s рсо2 (С + 02 /е), z < 0. G.53)
Амплитуда поверхностной волны должна стремиться к нулю при удалении
от границы. Поэтому следует считать ? > к и А2 = 0. Аналогично находим
электрический потенциал:
G-54)
U2exp(-$z), z>0
Подставляя G.52) —G.54) в граничные условия, для случаев свободной
и закороченной поверхности пьезоэлектрика находим соответственно
e1=-i41p/(e(e+l))ie2=i41p/(e+l),t = w/c1,
с2=С[1-Д2(е+1Г2]/рA-Д); (О "'
Здесь Ci и с2 - скорости поверхностных волн. Эти поверхностные волны,
распространяющиеся без дисперсии, называют волнами Гуляева — Блю-
штейна. Как правило, скорости других поверхностных волн в пьезоэлект-
рике не удается найти аналитически. В этом случае прибегают к численным
расчетам [435].
Если бы пьезоэлектрик не имел границы, скорость упругих волн можно
было найти из уравнения Кристоффеля. Полагая и2 = 0 и учитывая симмет-
рию кристалла, из G.48) и G.20) легко получить следующие соотношения:
Гш = Г/к, если /Ф 2 и к Ф 2;
Г12=Г23=0, Г22=С, Г22 =С + /32/е. ('
Мы видим, что пьезоэффект не сказывается на волнах, поляризованных
в плоскости xz, если их волновой вектор лежит в той же плоскости. Эти
упругие волны не возбуждают электрическое поле. Волна с Mi = м3 = 0
распространяется в кристалле со скоростью с3 = р~1/2(С + 02/еI/2 =
= [С/рA - а)]1'2. При 0 -»¦ 0 она переходит в обычную сдвиговую волну
горизонтальной поляризации, скорость которой с4 = (С/рI'2.
Поскольку а > 0, то скорости поверхностных и объемных волн удовлет-
воряют неравенству с* < Сз < с2 < С]. Обычно а «< 1. При этом все четыре
значения скорости близки: скорости C\,Ci и с3 отличаются друг от друга
на величины порядка а2 и от с* — на величину порядка а. Глубина про-
никновения поверхностной волны в пьезоэлектрик ls =*со~'(Сз~2 - cj2)
(где s = 1,2) велика по сравнению с длиной поверхностной волны. Глубже
проникает волна, удерживаемая закороченной поверхностью. В случае
свободной поверхности электрическое поле проникает и в верхнюю среду,
155

но затухает на расстояниях порядка длины волны. Существование поверх-
ностных волн Гуляева - Блюштейна целиком обусловлено пьезоэффектом.
При 0 -»¦ 0 имеем ls -*¦ -°° и поверхностные волны переходят в объемные
сдвиговые волны.
Подробнее о физических эффектах, связанных с распространением упру-
гих волн в пьезоэлектриках, и их приложениях читатель может узнать
из книг [24,180,290,486].
7.3. Упругие свойства мелкослоистых сред. Рассмотрим распространение
упругих волн в среде, плотность и параметры Ламе которой являются
периодическими функциями z с периодом h, малым по сравнению с длиной
волны. Этим вопросом занимались многие авторы (см. [224, 274,295, 299]
и другие). Весьма полный анализ случая, когда среда состоит из чередую-
щихся однородных слоев двух видов, был проведен Рытовым [227]. По-ви-
димому, наиболее общим и последовательным подходом к задаче является
матричный метод, примененный Молотковым [198]. Наше изложение будет
в основном следовать его работе.
В дальнейшем нам потребуется выражение для матрицы неоднородного
слоя упругой среды. Разобьем неоднородный слой толщиной h на п > 1
слоев, каждый из которых приближенно можно считать однородным.
Представляя матрицу каждого однородного слоя G.41) в виде разложе-
ния по степеням к, для матрицы неоднородного слоя получим
= Ел 2к/й/ + - 2 KfK,h,h,+ ..., G.57)
/=i 2/,/=i
где hj — толщина /-го слоя,/> /. Переходя к пределу п-*¦<*>, имеем
А=Е + fn(z)dz + /«(zOdz,/ K(z2)dz2 +
0 0 0
h zi zi
+ fK(zi)d*J *(.z2)dz2f K(z3)dz3'+... G.58)
0 0 0
Поскольку элементы матрицы k(z) ограничены, ряд G.58) сходится.
Действительно, пусть | к(к | < 6 при всех z, i и к. Тогда любой элемент
произведения N матриц к не превышает т^~18^, где т = 2 или 4 — раз-
л ч л
мерность матрицы к. Следовательно, для любого элемента матрицы А
ряд G.58) мажорируется разложением экспоненты e\p(m8h).
Система из п одинаковых слоев (периодов) общей толщиной Н' - nh
Л Л
характеризуется матрицей Ао = А". Представим ее в виде
A0=An=(E + n-lHB)n, 5 = 50+«-^5, +n~2H2B2 +...,
Во= fK(hu)du, G.59)
о
i /
о
156

1Л Л Л
В2 =fK(hu1)du1f K(hu2)du2f K
0 0 0
Будем предполагать, что матрица к(г) является функцией безразмерной
величины z/h. Это условие выполняется, например, когда период состоит
из набора однородных слоев и при изменении значения h толщины этих
слоев изменяются пропорционально Л, а остальные параметры от h не за-
л
висят. При сделанном предположении матрицы 5/ (/ = 0, 1, 2, . . .) от А
не зависят.
Л Л Л
В скалярном случае, когда Ао и В - не матрицы, а числа, в G.59) Ао -*¦
-*¦ ехр(#50) при п -*¦ °°. Покажем, что справедливо и аналогичное матрич-
ное равенство. Согласно G.59),
Л Л Л И~1
A0=Q" + — 2
П j=0
+ — Л2 " 2 Qf(B-B0)Q'(B-B0)Qn-i-l-2 + ..., G.60)
П /=О 1=0
АЛЛ Л Л
где Q = ?¦ + п~ НВ0. Разложим б по степеням Во, используя формулу
бинома Ньютона и легко устанавливаемое свойство биномиальных коэф-
фициентов :
/=о
п(п — 1): . :(и -/+ 1) иу
24(/-3)!
При достаточно больших п
2
7! 7! 2G-2)!
1+О(-) . G.61)
/=о /'! 2« /=о /!
- -) +О(п~2). G.62)
2и /
Л Л
Поскольку В - Во •" 1/и, главный член суммы второго и последующих
слагаемых в G.60) пропорционален и. Его оценка проводится аналогич-
но изложенному выше и приводит к соотношению [198, § 5.1]
и >,i=o (/+/+ 1)!
G.63а)
где ряд в правой части является сходящимся. В частном случае, когда пе-
157

риод симметричен (к (z) = к (А - z) ), имеем
Д, = fK(hu1)du1 / x(hu2)du2 =
О l-u,
= - // dUidu^hu^QiUi) = -?$. G.64)
2 о 2
Л
При этом поправка к предельному значению Ао в G.63а) обращается
в нуль. Расчет следующего члена поправки дает [198, § 5.) ]:
Л * Я3 - Я> + 1 Л.А 1
л л л л
Если 5] = Во/2, В2 - Во/6, то поправка имеет следующий порядок малости
по и, и т.д. В случае однородного периода поправки всех порядков
обращаются в нуль.
Сопоставляя формулы G.41) и G.63), мы видим, что в пределе п -»¦ °°
система из п одинаковых слоев суммарной толщиной Н описывается та-
кой же матрицей, как и однородный слой некоторой эффективной среды.
Пусть исходная среда трансверсально-изотропна и ее плоскость изотропии
горизонтальна. Для волн SH параметры эффективной среды (которые
будем обозначать буквами с тильдой) мы получим, приравняв элементы
л л
матрицы к для однородного слоя G.42) элементам матрицы Во. Они
будут равны при всех значениях ? и и>, если 1//Г" = < l/fi ">, Д = </;>, р =
= < р >, где угловые скобки обозначают усреднение согласно формуле
h
(f) = h-1ff(z)dz. G.65)
о
Аналогично, для волн Р - SV, приравнивая матрицу к G.43) соответствую-
л
щей матрице Во G.59), получаем еще три алгебраических уравнения связи
осредненных и эффективных параметров. Разрешая эти уравнения относи-
тельно упругих постоянных, находим окончательно
х'2 \ / х' V/ 1 V1
Выше мы рассматривали только гармонические плоские волны. Однако
мелкослоистая трансверсально-изотропная среда оказывается эквивалент-
ной однородной трансверсально-изотропной среде и для других волн,
поскольку в слоистой среде произвольное поле можно представить в виде
суперпозиции гармонических по горизонтальным координатам и времени
SH и Р - SV волн. Параметры эффективной среды однозначно определяют-
158

ся формулами G.66). Они не зависят от А. Пределы применимости
представления об эффективной среде можно определить, используя выра-
Л Л _
жения для поправочных членов в G.63). Если 5] Ф ВЦ2, то, не меняя
порядка величин, разность 5, - Bl /2 в G.63а) можно заменить на величи-
л
ну —Bq 12. При этом поправочный член сводится к простому выражению,
выписанному в G.62). Если исключить особые случаи, то поправкой
Л Л
Н2ВЦп — Н2к2/п можно пренебречь по сравнению с Е при условии Л/А<
< и", где X - длина волны (см. выражения G.42), G.43) для к). Если
Л Л
разность Bi - В о/2 мала, то при оценке поправочного члена нужно поль-
зоваться формулой G.636). Заменяя Во /6 - В2 на В?, для поправочного
члена по порядку величины получаем значение Н3Во/п2. Эта опенка приво-
дит к более мягкому, чем в общем случае, условию Л/А •< и'3 допусти-
мости замены многослойной системы на эффективную однородную
среду.
Существенно, что для перехода к эффективной среде требование стро-
гой периодичности исходной мелкослоистой системы может быть необя-
л
зательным. Матрицы 5/ (/ = 1, 2, . . .)лотдельных слоев входят только
в поправочные члены. Если матрицы Во G.59), выражающиеся через
интеграл по толщине слоя, для всех слоев близки, то система по-прежнему
будет эквивалентна эффективной среде G.66). В случае, когда различия
л
между Во в разных слоях имеют порядок 1/и, поправочные члены будут
того же порядка величины, что и в строго периодической системе. Напри-
мер, если каждый "период" состоит, в свою очередь, из набора более тон-
ких однородных или неоднородных слоев, то параметры эффективной
среды не будут зависеть от порядка чередования последних в индивидуаль-
ных "периодах".
Выясним, какой будет эффективная среда, когда исходная периодичес-
кая система - упругая локально-изотропная или жидкая. В первом случае
векторы смещения-напряжения для Р - SV и SH волн те же, что и в более
общем случае трансверсально-изотропной среды. Эффективные значения
упругих постоянных даются прежними формулами G.66), где под знаками
усреднения нужно положить А' = А, ц' = ц" = ц. Тогда
А = 2< \ц (А + 2ц)'1 > + < А(А + 2цУ1JК(\ + 2 ц)'1),
р=<р>, Д=<М>, ц' = {ц(Х + 2цУ1)/((\+211У1), G.67)
Д" = < 1//х >"', А' = < А(А + 2м)-'>/<(А + 2ц)-1).
Таким образом, мелкослоистую изотропную среду можно рассматривать
в среднем как однородную, но анизотропную. Подчеркнем, что эффектив-
ная среда может обладать совершенно иными свойствами, чем вещества,
составляющие период, если только значения их упругих параметров
не близки между собой. Например, пусть период состоит из однородных
изотропных слоев равной толщины с параметрами А] •< А2,^! ^^2» причем
^i/Mi = А2/м2. Из формул G.67) получаем Д « /и2/2, д' = Д" « 2(ii. По-
скольку Д > Д', то эффективная среда резко анизотропна.
159

Чтобы применить полученные результаты к жидкой периодической
системе, воспользуемся отмеченной в п. 1.3 аналогией между распростра-
нением звука в слоистой жидкости и волн SH в изотропном слоистом
твердом теле: они описываются одинаковыми уравнениями и граничны-
ми условиями, если установить соответствие по правилу р -*м2, р-*- 11ц,
с2 -»¦ ii/p. При этом компонента тензора напряжений а13 = цди2/Ьх3 пе-
рейдет в р Ър/Ъхъ, или согласно уравнению Эйлера - в icjv3, где v3 —'
вертикальная компонента скорости частиц. Поэтому для звука аналогом
вектора смещения-напряжения является величина/= (р, iojv3)T, а матри-
ца слоя равна А = exp[(z - zo)k], где аналогично G.42) имеем
«и = к22= 0, «12 =р, к21 = ($2 -*2)/р. G.68)
Следуя изложенной в п. 7.2 схеме, формулу G.68) можно было получить
и непосредственно из акустических уравнений A.12), A.13) и граничных
условий A.21).
Эффективная однородная среда описывается матричным пропагатором
Л л
A0(z,z0)= exp[(z -zo)Bp], где
Eo)n=EoJ2=O, E0)i2=<P>, 9)
EoJi=?2<P"'>-w2<l/pc2>.
Поскольку, вообще говоря, <р > Ф 1/<р"' >, эффективная среда не является
жидкостью подобно тому, как для системы изотропных упругих слоев эф-
фективная среда не изотропна. Эффективную среду G.69) можно будет,
однако, трактовать как жидкость, если рассматривать ее в другой системе
координат (х, у, z), где
z = qz, <? = «pMp-' >). G.70)
В силу неравенства Коши ~ Буняковского [146, § 4.6]) q > 1, так что
новая система координат получается из старой растяжением по вертикали.
л
Дифференцируя равенство f(z) = A(z,z0 )f(z0) по z, получаем
df(z)/dz=BoA(z,zo)f(zo) = Bof(z). G.71)
В новой системе координат вектор смещения-напряжения равен / =
= (р, iu>qv3)T, и G.71) записывается в виде df /dz - к/, или в виде
f (z) = exp[(z - z0)к ] / (z о), где
к,, =к22=0, к,2=<рм >"',
K2i=?2<P"'>-w2<l/pc2>.
Сравнивая G.68) и G.72), мы видим, что при описании в "растянутой"
системе координат эффективная среда будет жидкостью с плотностью
р = <р~' >~' и скоростью звукас = (<р~' И 1/рс2 >)".
Оставаясь в исходной системе координат, ту же эффективную среду
приходится рассматривать как обобщенную трансверсально-тотропную
жидкость [198, гл. 5], имеющую разные значения плотности по горизон-
тальным и вертикальной координатам. Такая обобщенная жидкость описы-
160

вается уравнениями
dv,/dt=-Piidp/dxi, 1=1,2;
Эи3/Эг=-р2-1Эр/Эх3; bvt/dxt + fl
которые при Pi=p2./3 = 1/PiC2 переходят в уравнения A.9), A.10) для
звуковых волн в жидкости; 0 имеет смысл сжимаемости. Обычным обра-
зом находим матрицу к для однородного слоя обобщенной жидкости:
к,,=к22=0, к12=р2, к21 = ?2/p,i -/3. G.74)
Сравнивая эти соотношения с G.69), еРидим, что эффективная среда явля-
ется обобщенной жидкостью с параметрами (р,> = <рм>~', р2 = <р>,
/5 = < 1 /р с2 >.
Полученные результаты позволякпт исследовать и поглощение волн
в мелкослоистых средах. Для периодической вязкоупругой системы (изо-
тропной или трансверсально-изотропнсой) эффективная среда будет опи-
сываться прежними формулами G.66)) > G-67), где на этот раз значения
упругих постоянных комплексны. В • частности, для вязкой жидкости
с пренебрежимо малой теплопроводное^™0»когда X = X = Хо -/cj(f — 2т//3),
11 = fi' - fi" = -jgjt/, эффективная средДа будет трансверсально-изотропным
вязкоупругим телом с чисто мнимыми i упругими модулями/Г и /Г и комп-
лексными X, X' и Д'. Эффективную ерреДУ того же типа получим, согласно
формулам G.66), и в случае чередоваания жидких и твердых слоев. Для
применимости этих результатов толщиина слоя жидкости Л, должна быть
достаточно малой по сравнению не толлько с длиной звуковой волны X, но
и с длиной "вязкой" волны G.12) Хи> = 2яBт//шрI/2 < X. Если вязкость
жидкости мала настолько, что Хи < Л,1 ^ X, а толщина твердого слоя по-
прежнему мала по сравнению с длинам^™ упругих волн в нем, то в первом
приближении вязкостью жидкости моэжно пренебречь. Такая задача рас-
сматривалась в [52, § 12.4], [198, § ;5.5]. Ее частным случаем является
определение эффективной среды для» упругой мелкослоистой системы
с контактом проскальзывания между г периодами [198, § 5.4]. Эффектив-
ные среды для периодических систем ' с различными типами анизотропии
найдены в [199].
Для построения эффективных средД могут быть применены и другие
подходы, например, вариационный [ЗОЛ ™- 4] или асимптотический метод
многих масштабов [28]. Эти математически более сложные подходы при-
менимы не только для слоистой, но и i в более общем случае трехмерной
периодической среды. Соответствующее процедуры осреднения описаны
в книгах [28, 30]. При их помощи удается также построить эффективные
среды для систем, где имеют место отклонения от строгой периодич-
ности [143], [28, гл. 3].
11.Л.М. Бреховскнх 161

Глава 2
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Точные решения волнового уравнения, как мы видели выше, удается получить толь-
ко в отдельных случаях. Поэтому основу исследования звуковых нолей в непре-
рывно-слоистых средах составляют приближенные методы. Они используют близость
стратификации рассматриваемой среды к той или иной точно решаемой модели. При-
ближенные аналитические выражения для коэффициента отражения плоской вол-
ны от непрерывно-слоистой среды удается получить, когда выполнено одно из трех
условий:
-неоднородный слой тонок по сравнению с длиной звуковой волны;
-отклонения параметров среды от постоянных значений малы;
- коэффициент отражения мал.
Эти задачи рассмотрены в § 10, где описаны методы последовательных приближений
для вычисления коэффицинта отражения.
Весьма полное исследование звукового поля с гармонической зависимостью от
горизонтальных координат и времени удается провести в среде, параметры которой
являются гладкими функциями координаты z и мало изменяются на расстояниях
порядка длины волны. В этом случае эффективны асимптотические методы: прибли-
жение ВКБ и обобщающий его метод эталонного уравнения, излагаемые в § 8 и 9.
В § 10 результаты распространены на среды, сочетающие плавные и скачкообразные
изменения параметров. Для понимания материала этой и последующих глав доста-
точно элементарных представлений об асимптотических оценках и асимптотических
разложениях. Ясное изложение этих вопросов можно найти, например, в книгах
[232. гл. 7]. [145] и др. Напомним три определения. Последовательность функций
<ps(w). s = 0, 1, 2 называется асимтотическоп при w -> а, если для любого s
оо
<ps+l(w) = o(>ps(w)) при w -> а. Тогда ряд Е as*ps(w). где а± постоянные.назы-
s=0
вается асимптотическим; он будет асимптотическим разложением функции f(w)
(в смысле Пуанкаре), если для любого S > 0 выполнено
S
f(w) - Е asfs(w) = o{<pJw))
S = 0 и
при w -*а. В частности, асимптотическим при w ->0 будет любой степенной ряд (ips =
= ws). Асимптотический ряд не обязательно является сходящимся.
В § 8 - 10 приближенные методы используются для расчета коэффициента отра-
жения плоской волны. Результаты, помимо самостоятельного интереса, имеют боль-
шое значение также и для решения задачи о поле точечного излучателя в слоистой
среде, поскольку сферическая волна может быть разложена на плоские. К краевой
задаче для одномерного волнового уравнения сводится и расчет звукового поля в
волноводе методом нормальных волн [52. гл. 7].
Методом разделения переменных звуковое поле произвольного источника в слои-
стой среде может быть представлено в виде интеграла по горизонтальным компо-
нентам волнового вектора от решений одномерного волнового уравнения. Основ-
ным способом аналитической оценки полей по их интегральному представлению
является асимптотический метод эталонных интегралов, излагаемый в § 11.
Широкое распространение получили численные методы расчета звуковых полей.
Реальные расчеты распространения волн с необходимой для приложений точностью
162

сегодня уже немыслимы без применения ЭВМ. Эффективные вычислительные ал-
горитмы в большинстве случаев удается получить благодаря учету физических особен-
ностей задачи и использованию соответствующих приближенных аналитических ре-
зультатов. Мы не имеем возможности остановиться здесь на численных методах акус-
тики подробнее. С наиболее употребительными способами решения одномерного вол-
нового уравнения и расчета звукового поля точечного источника на ЭВМ читатель
познакомится, обратившись к обзорам [113, 185]. Ряд дополнительных ссылок бу-
дет сделан но ходу изложения.
§ 8. Геометрическая акустика. Приближение ВКБ
Трудно переоценить значение геометрической акустики, или лучевого ме-
тода, в исследовании звуковых полей в неоднородных средах. Отвлекаясь
от природы рассматриваемых волн, этот подход часто называют также
геометро-оптическим приближением. Благодаря своей простоте и нагляд-
ности он широко применяется в прикладных исследованиях. Даже за пре-
делами своей применимости геометрическая акустика в большинстве
случаев позволяет качественно представить структуру поля и имеет боль-
шую эвристическую ценность. В этом параграфе мы будем рассматривать
волны с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и вре-
мени. В областях, где среда однородна, поле вырождается в одну или
две (встречные) плоские волны. Для этого круга задач лучевой подход
совпадает с приближением ВКБ. Аналогичные вопросы в случае точечно-
го источника звука рассматриваются в гл. 4.
Современное понимание лучевого подхода как приближенного метода
волновой теории берет начало с работ Дебая [111], Соболева [238] и Ры-
това [225, 226]. Основные идеи метода ВКБ восходят к Лиувиллю и Гри-
ну. В развитие этого подхода значительный вклад внесли Венцель, Крамере,
Бриллюэн, чьи имена дали название методу, а также Рэлей, Джеффрис и
другие.
Наше изложение геометрической акустики и метода ВКБ не претенду-
ет на полноту и математическую строгость. Читателю, заинтересованному
в них, рекомендуем обратиться к монографиям [19, 192, 201, 258, 265,
267]. Последовательное изложение основ лучевого метода и его много-
численных приложений к разнообразным физическим задачам, а также
обширная библиография содержатся в книге [151].
8.1. Приближение ВКБ и его физический смысл. Звуковое поле с гар-
монической зависимостью exp[j(?r - шГ)], { = (?ь ?2> 0) от горизон-
тальных координат и времени удовлетворяет волновому уравнению A.45).
Плотность р, скорости звука с и течения v0 в среде будем считать глад-
кими функциями г. Проекцию v0 на направление ? обозначим u(z). Вы-
делим в A.45) пропорциональный частоте волны множитель к0 = ш/с0:
Э2Ф/ЭГ2 + *2Л?Ф = 0, р = Ф(Г)ехр[1(?г-ыг)]. (8.1)
Здесь N играет роль эффективного показателя преломления стратифициро-
ванной движущейся жидкости. Выразим N через в0 = arcsin[?/fco0(zo)]i
N2 = (Po/p/32J[«2/32-(l+WoCo1sin0o)sin20o]> n = co/c(z),
(8.2)
0= 1 - и sin в0(с0 + и0 sin в0)-\ f = р f ptfdz. (8.3)
11* Ш

Здесь za - постоянная, fa, с0, и0 — значения соответствующих величин
на произвольно выбранном горизонте z0. В дальнейшем мы увидим,
что в0 имеет смысл угла падения волны при z = z0; N, f, 0 зависят от
угла падения волны, но не от ее частоты. При нормальном падении на сре-
ду с р = р0 координата f = z — za, а эффективный показатель преломле-
ния N совпадает с обычным показателем преломления п. Этот простой
случай полезно иметь в виду для понимания последующих результатов.
Звуковое поле зависит от частоты через безразмерный параметр k0L,
где L — характерный пространственный масштаб изменчивости среды.
При L -*¦ °° среда становится однородной, и решением (8.1) будут экспо-
ненты ехр(± Нс0Щ). Поэтому высокочастотное решение уравнения (8.1)
целесообразно искать в виде
Ф = exp(i*0 / qd$\ (8.4)
где q -*¦ ±N при k0L -*¦ °°. Нижний предел интегрирования мы не указы-
ваем, так как он повлиял бы только на нормировку Ф. Подстановка (8.4)
в (8.1) приводит к уравнению Риккати:
q2 -N2 = ikoldqld^. (8.5)
Его решение будем искать в виде ряда по степеням малой величины
q = 2 л (Г)*о'. (8-6)
/= о
Приравнивая в (8.5) коэффициенты при степенях к^1, получаем
(idym _ 1 m - 1
Последовательно находим^
^о = ±N, у, = -—
2 df • (8.8)
2 <*Г 2 df Ч^о
и т.д.
Отметим, что при вещественных N функции у2т вещественны и дают
вклад в фазу волны; функции 72m+i чисто мнимы и определяют ее ам-
плитуду. При N = ±i\N\ все ут принимают чисто мнимые значения. Огра-
ничиваясь первыми четырьмя членами ряда, из (8.6) и (8.8) получаем
Ф = N-Ч2 exp [-e/2 ± ik0 / A + e)Nd$], (8.9)
где
164

(8.10)
штрихами обозначены производные по z.
Обычно в качестве приближения ВКБ берется выражение (8.9), в ко-
тором е считается равным нулю. т.е.
Ф = N-1l2exp(±ik0 / Nd$) =
= (Ро/РР2)-1'2 I? - A +tWsin0o)-Jsin2 <Ч~1/4 X
X ехр{±/*„ /[n2/32-(l+uocosineo)-2sin2eo]1/2^}. (8.11)
Отметим, что для построения и исследования высших приближений ВКБ
для уравнения (8.1) удобно использовать его связь с нелинейным диф-
ференциальным уравнением Милна (см. работу [416] и указанную в ней
литературу) и особенно связь с эквивалентным последнему линейным
дифференциальным уравнением третьего порядка [239].
Чтобы выражение (8.11), построенное на основе формул для у0 и ух
(8.8), давало решение, близкое к точному, должны быть малы вклады
последующих приближений у2 и у3 в амплитуду и фазу волны. Сравни-
вая (8.9) и (8.11), получаем условия:
Г,
е «г 1, F(f,,f2) = к0 / eNdi < 1. (8.12)
Первое из них накладывает ограничения на величины первой и второй
производных N по f ¦ Ьо второе условие входит также интервал значений
?, в котором можно пользоваться формулой (8.11). Если предположить f2 -
— ?i ^ l/Nk0,TO второе условие будет более жестким,чем первое. Пусть
N я* 1, 0 * 1. Тогда неравенства (8.12) можно записать следующим образом:
klL2 > 1, \z2-zi\< k0L2. (8.13)
Мы видим, что для применимости приближения ВКБ параметры среды
должны мало меняться на расстоянии порядка длины волны. Вертикальный
размер области, где применима формула (8.11), ограничен, но велик по срав-
нению с пространственным масштабом L изменчивости среды.
Второе из неравенств (8.12) является не только необходимым, но и
достаточным условием применимости (первого) приближения ВКБ (8.11).
Пусть в интервале (?lt ?2) выполнено 0 < N2 < °о. Рассмотрим точное
решение W($) уравнения (8.1), которое в некоторой точке f3 ^ (?ii ?г)
совпадает с приближенным решением:
= Ф(Гз),
Предполагается, что в экспоненте в (8.11) выбран один из знаков. Вве-
дем обозначения
ИЧГ)=Ф(Г)[1+«1(ГI, (8.Н)
dW ... Г Г dN 1 +6, (f
— =±/Л0^1/2ехр( ±ik0 fNd$ )[1+52(Г)±/— 2к ?
Функции 612 (?) характеризуют отличие точного решения от ВКБ прибли-
165

жения. Их оценка была получена Олвером [463,464]:
1«1,2(ГI < ехр[2|^(Г,ГзI]-1. (8.15)
Аналогичная оценка доказана также и при N2 < 0 [463.464]; [258, гл. 2].
Величина F (8.12) пропорциональна к^1. Поэтому при фиксированном уг-
ле падения для достаточно больших со приближение ВКБ становится при-
менимым в любой среде, где параметры р, с, v0 являются гладкими
функциями z, a N не обращается в нуль и бесконечность. В одно-
родной среде F = 0 и (8.11) является точным решением волнового уравне-
ния.
При распространении звука в волноводе для нормальной волны фик-
сированного номера (/со является функцией частоты, и стремление со к
бесконечности не гарантирует применимости приближения ВКБ. Усло-
вие применимости словесно можно по-прежнему формулировать как
требование медленности изменения параметров среды по сравнению с
вертикальной зависимостью звукового поля. ВКБ-приближение оказы-
вается пригодным для описания нормальных волн достаточно высоких
номеров (см. [52, § 49], [79]).
На больших расстояниях от источника .становятся существенными на-
капливающиеся с расстоянием погрешности в фазе нормальной волны, вы-
численной в приближении ВКБ. При определении границ применимости ре-
шения по горизонтальным координатам существен учет интерференции
нормальных волн.Эти вопросы рассмотрены в [51], [52, § 45 и 48]. Ин-
тересные качественные оценки расстояний, на которых можно пользовать-
ся лучевым расчетом различных характеристик акустического поля в под-
водном звуковом канале в океане, приведены в работе [71].
Из выражений (8.2) и (8.10) следует, что формула (8.11) непримени-
ма в окрестности горизонтов, где выполнено одно из условий:
0<?с) = 0, (8.16)
n(zr)/3(zr) =
= ±A +uocolsin0o)sineo = ±?/*о- (8Л?)
В окрестности горизонта z = zc, как мы уже отмечали в п. 1.2, происходит
резонансное взаимодействие звука с потоком; z = zr - горизонт поворота
звуковой волны. Здесь обращается в нуль вертикальная компонента
(к2$2 - 52I'2 волнового вектора. Поведение акустического поля в
окрестности горизонтов zc и zr будет рассмотрено ниже, в § 9. Выясним
здесь, при каких z можно пользоваться приближением ВКБ при наличии
точек поворота и резонансного взаимодействия с потоком. Допустим, что
характерные пространственные масштабы изменчивости с, v0, p по по-
рядку величины совпадают и равны L, n(z) — 1, p(z)/p0 — 1.
Пусть в окрестности точки поворота \z - zr\ <Z L нет точек резонанс-
ного взаимодействия, так что /3(zr) — 1. Будем считать приближение ВКБ
применимым вне области | z - zr | ^ dr. О величине dr сделаем оправды-
ваемое дальнейшим расчетом предположение dr < L. Поскольку масш-
табом изменения N2{z) служит величина L, то во всей области \z - zr\<Z.d
можно заменить N2(z) первым необращающимся в нуль членом его тейло-
166

ровского разложения *) в окрестности zr:
N2(z) = a{z - zr) + O(d2r/L2), | a | * Г1.
Тогда из (8.10) получаем е ~ (k0LN3)~2. Каждое из неравенств (8.12)
приводит к условию
\z-zr\> (L/klI'3, или dr - (L/klI'3. (8.18)
Оно обеспечивает и выполнение неравенства (8.20), которое потребуется
нам в дальнейшем при физической интерпретации ВКБ-приближения.
Вертикальная протяженность области неприменимости лучевого под-
хода, согласно (8.18), велика по сравнению с длиной волны X = 2тт/пAк0,
но много меньше L. С ростом частоты волны эта область неограниченно
сужается: dr <* cj~2'3.
Если угол падения волны не мал (? =*А:0),то вблизи точки резонансного
взаимодействия zc нет точек поворота. Вновь предположим, что окрест-
ность \z - zc\ <C dc точки zc, в которой приближение ВКБ неприменимо,
узка по сравнению с L. Тогда в этой области/3 = b(z - zc) + O(dl/L2),
\b\=*L'1, а Щ2 = (.ip0yp(zc)k0)[l+O(dc/L)]. Из (8.10) получаем, что
е ** ^o2(z - zcy2. Согласно (8.12), условием применимости приближения
(8.11) при?^?0 будет
\z-zc\> ко1, или dc =* ко1- (8.19а)
Таким образом, dc < L и по порядку величины совпадает с длиной звуко-
вой волны вдали от точки zc.
При z = zc вертикальная компонента волнового вектора равна /?. Волна,
падающая под пологим углом (? =*к0), приходит на этот горизонт с экспо-
ненциально малой амплитудой. С другой стороны, при условии ?v0 = 0
уравнение (8.16) вообще не имеет решений. Поэтому при исследовании ре-
зонансного взаимодействия звука с потоком важен случай падения под
малым, но отличным от нуля углом в0, причем проекция и вектора v0
на направление ? не должна быть малой; u/v0 * 1. Тогда ?2 < к2), и в
окрестности zc, согласно (8.17), имеются две точки поворота. В этом до-
вольно специальном, но интересном случае анализ применимости при-
ближения ВКБ по-прежнему удается провести на основе неравенств (8.12).
Для малых углов падения при \z-zc \^dc\N = (рои//3р)[1 + 0(?2До02)]-
Из (8.10) получаем, что е — (k0L^2)'2. Условием применимости прибли-
жения (8.11) в этом случае будет
\z-zc\> (L/koI'2, или dc =* (L/koI'2. (8.196)
Поскольку здесь при выводе мы считали ?2 lk\ ^ 02(zc + dc), то оцен-
ка (8.196) относится к волнам с ? ^ (ko/LI12. Значение dc в (8.196)
значительно больше, чем в случае (8.19а), dc > dr, но, как и ранее,
dc < L. Расстояние от zc до двух ближайших точек поворота \z,- zc\ ^
=* %Llk0 ^ dc. Как и следовало ожидать, эти точки не попадают в об-
ласть (8.196), где можно использовать приближение ВКБ.
*)Если значение \а | мало, \а \ <L ' ,ио \d1N1/dz1 \ =< L ,то имеются две близ-
кие точки поворота, в этом случае рассмотрение проводится аналогично, но в ра>
ложенииЛ'2 нужно учитывать квадратичные по (z - zr) члены.
167

Перейдем к физической интерпретации полученного методом ВКБ
приближенного решения волнового уравнения. Выражение (8.11) пред-
ставляет собой совокупность двух волн, распространяющихся без взаимо-
действия в направлениях, симметричных относительно горизонтальной плос-
кости. Таким образом, в первом приближении геометрической акустики от-
ражение волн отсутствует. Выражение в экспоненте дает набег фазы волны
при распространении между горизонтами, служащими пределами интегри-
рования.
Предэкспоненциальный множитель обеспечивает выполнение закона
сохранения энергии. Подстановка (8.11) в формулу F.7) показывает,
что при jV2 > 0 средняя за период колебаний z-компонента вектора плот-
ности потока мощности /z, как и в плоской волне, не зависит от z и для:
двух встречных волн отличается только знаком. При ./V2 < 0, как и в
неоднородной плоской волне,/z = 0.
Решения (8.11) часто рассматривают в качестве локально-плоских волн
с медленно изменяющейся амплитудой. Чтобы такая интерпретация была
оправдана, должно выполняться приближенное равенство
... i
ЭФ/df * ± ikoN1'2 exp (± ik0 fNd$).
Производную ЭФ/df можно получить из (8.14), полагая Si = 62 = 0. Мы
видим, что амплитуду можно считать медленно меняющейся при условии
Bk0N2yldN/d$ < 1, (8.20)
которое, вообще говоря, не является необходимым для применимости
приближения ВКБ в форме (8.11). Например, при р = Ро, в0 = 0 и п =
= (а + bz)~2 (где а и Ъ — произвольные постоянные), имеем е = 0, соглас-
но (8.10), и формула (8.11) дает точное решение уравнения (8.1):
Ф= const •/j-1/2exp(:H-Jfcou-1/j1/2). (8.21)
Рассмотрим диапазон значений z, где п — 1. Амплитуда волны-(8.21)
медленно меняется по сравнению с фазой только при дополнительном
условии | Ъ | < к0, которое согласуется с (8.20). Однако если исключить
особые случаи, подобные (8.21), неравенство (8.20), как и первое из
условий (8.12), сведется к требованию k0L > 1 и будет выполнено в
области применимости приближения ВКБ.
Проанализируем звуковое поле в лучевом приближении подробнее. Пусть
вначале среда неподвижна. Ось Ох направим по вектору ?. Тогда общим
решением (8.1) в приближении ВКБ согласно (8.11) будет
p(x,z) = р1'2^2 -ап20оГ1/4[С,ехр(/*о/ V - sin2в0dz) +
+ С2 exp(-ffc0 / V - sin2вodz )] exp(f?x), (8.22)
*,
где z i, C\ vl Сг — произвольные постоянные. Подчеркнем, что стратифи-
кация плотности сказывается только на амплитуде волны. Рассмотрим
волны, получающиеся при С\ Ф 0, С2 = 0 и С\ = 0, С2 Ф 0. Их фронты (по-
верхности равных фаз) определяются уравнением
V(x, z) ' %х±к0] у/п2 -sin2 90dz = const. (8.23)
168

Введем удовлетворяющий закону Снелля B.196) угол 0(z)
= arcsin [?/0to"(Z))L Тогда волновой вектор, определяемый как гра-
диент фазы волны, равен
Q = (?,0,±*о(л2 -sin20oI/2) = *o«(z) (sin 0(z), 0, ±cos0(z)). (8.24)
Здесь 0(z) имеет смысл острого угла, образуемого волновым вектором с
осью Oz. В точке поворота 0(zr) = я/2. Заточкой поворота, где п < sin 0О,
угол 0 принимает комплексные значения. При вещественных 0 фазовая
скорость волны равна cph = tjq/q2 и совпадает-с местной скоростью звука:
cph = c(z). Из формул B.11) и (8.22) следует, что вектор плотности
потока мощности параллелен вектору q. Согласно (8.24) групповая ско-
рость cg = ди/dq = b[qc(z)\ /dq = cph.
Луч определяют как линию, касательная к которой в каждой точке па-
раллельна вектору плотности потока мощности. В неподвижной среде луч
ортогонален фронтам. Каждому из рассматриваемых решений (8.22)
можно сопоставить семейство параллельных лучей, образующих угол
0(z) с вертикалью.
Учтем теперь движение среды. Как видно из (8.11), стратификация
скорости течения сказывается и на амплитуде волны, и на ее фазе
Z . .—_
<p(x,z) = %х±к0 / \Jn2$2 -0 +UoColsin0o)~2sin20o<fc. (8.25)
z,
Волновой вектор q = Vi/> равен
Q = (S,0,±*0(n2/32 -(I +«oColsin0o)sin20oI/2) =
= k(z)P(z) (sin 0(z), 0, ±cos 0(z)) (8.26)
и образует с осью Oz угол
0(z) = arcsin[$/(*(zH(z))]. (8.27)
Из (8.26) следует, что q2 = k2f}2 = cj2c~2(z) A - flvo/wJ, отсюда имеем
w = <7(z)c(z)+9(z)v0(z). (8.28)
Дисперсионное уравнение (8.28), полученное в приближении ВКБ, имеет
тот же вид, что и дисперсионное уравнение A.36) в однородной движу-
щейся среде, но теперь q и v0 могут изменяться от точки к точке. Для
фазовой и групповой скоростей получаем выражения, аналогичные A.35)
и A.37):
*Ph(z) = "Ф2 = (Ф MVo<T2H. (8.29)
cg(z) = dcjlbq - v0 +cq/q. (8.30)
Здесь величины v0, с, q являются функциями z. Результат (8.29) впервые
был получен Рэлеем [242]. Доказательство равенства скорости распростра-
нения звуковой энергии в движущейся среде и групповой скорости съ
дано в [32]. Из (8.29) и (8.30) следует, что cg > cph. Модули и направле-
ния векторов cg и cph совпадают только при условии ±vol|?- В точке
поворота обе скорости направлены горизонтально.
Как и в неподвижной среде, каждой из двух волн (8.11) можно со-
поставить свою систему лучей. Все лучи образуют один и тот же острый
угол ф(г) с осью Oz. В пределах системы отдельный луч можно задать,
169

например, координатами (х0, у0) точки пересечения плоскости z = z0;
все лучи можно совместить друг с другом горизонтальной трансляцией.
В связи с отличием фазовой и групповой скорости в движущейся среде
приходится делать различие между законами преломления нормали к
волновому фронту v = q\q и касательного к лучу единичного вектора
т = fg/Cg. Вектор v{z) лежит в вертикальной плоскости, проходящей
через вектор ?. Угол, образуемый вектором v с осью Oz, дает форму-
ла (8.27). Если выразить в ней f через значение 0 на каком-либо фикси-
рованном горизонте z = z0, то закон преломления нормали к волновому
фронту выразится равенством
u(z)+c(z)/sin0(z) = и0 +co/sin0o = const. (8.31)
Для дискретно-слоистой среды этот результат был получен в § 2 (см.
B.86)).
Если вектор Vo не лежит в плоскости падения волны, то луч, соглас-
но (8.30), не является плоской кривой. Проекции вектора т на оси коор-
динат легко получить из (8.30) и (8.26):
t(z) = (с2 + v20 + 2си sin в)~' /2(с sin в + и, vOy, ±c • cos 0), (8.32)
где vOy - проекция v0 на ось Оу. Иногда бывает удобнее задавать единич-
ный вектор т с помощью углов ф между т и осью Oz и а между ( и проек-
цией т на плоскость ху (рис. 8.1):
т = (sin ф cos a, sin ф sin а, ±cos ф), (8.33)
Из (8.32) получаем
tg« = vOyl(c sine +u), cosi// = с -cos0(c2 +vl + 2cu sin в)'112,(834)
При стремлении скорости течения к нулю различие между v и т исчезает,
ф -*0,а равенство (8.31) переходит в закон Снелля B.196).
Компонента vOy(z) скорости течения не входит в уравнение (8.1) и не
сказывается на поле волны с гармонической зависимостью от горизонталь-
ных координат и времени, хотя при разных профилях vOy(z) в точку
{х, у, z) приходят разные лучи. Однако это не меняет поля, так как звуко-
вое давление на каждом луче системы имеет одно и то же значение.
Лучевой акустике слоистой или трехмерно-неоднородной движущихся
сред и ее применению для изучения звуковых полей в океане и атмосфере
посвящено большое число работ [32, 102, 212, 219, 271, 329, 375, 405,
Рис, 8.1. К определению направлений норма-
ли f к волновому фронту н касательной г к
лучу в движущейся среде

415, 454, 499, 523, 524, 535, 542] и ip. Полученные результаты и история
вопроса освещены также в обзорах |213, 315]. Поле точечного источника
в лучевом приближении мы рассмотрим в гл. 4.
8.2. Другой вьшод приближения геометрической акустики. Дадим дру-
гой вывод приближения геометрической акустики, что позволит дать
наглядную интерпретацию дальнейший приближениям. Этот подход был
предложен Бреммером. Мы будем следовать в основном работам [312, 313,
301], но несколько обобщим изложение. Оглнчие от метода, описанного
в п. 8.1, состоит в использовании сходящихся разложений вместо асимпто-
тического ряда (8.6).
Волновое уравнение (8.1) эквивалентно системе
/= ЭФ/df, Э//ЭГ = -к20А'2Ф. (8.35)
В неподвижной среде с р = const мокно считать f = z, N = п (z)cos 0(z).
Ниже мы ограничимся наиболее интересным случаем Л^2 >0. Будем искать
решение системы (8.35) в виде
ф = N-i /2[Xi еХр(/*0 fNdS) + Х2 exp(-i*o /ЛИГ)]. (8.36а)
о о
/ = ik0Nl'2[Xl ехр(;*0 /ЛИГ) - Х2exp(-i*o «)], (8.366)
о о
где Xj 2^) ~ новые неизвестные функции. Заметим, что при Xi 2 = const
(8.36а) является суммой решений (8.11). Подстановка (8.36) в (8.35)
приводит к системе уравнений первого порядка для Xi и хг-
(8.37)
Предполагая, что d(\nN)/dt; достаточно быстро стремится к нулю при
I ? I ~*"°°> запишем (8.37) в интегральном виде:
1 f dQnN) f
(Г) / ^(Г)B*
Х,(Г) / ггХ2(Г,)ер@
2 — «• of
(8.38)
1 f d(lnjV) f-
Х2(П = - / -~^- Xi (?i) exp Bi*o / ЛИ?a )*/?!-
2 + °° of о
Как мы видели выше, приближение геометрической акустики дает тем
лучший результат, чем медленнее изменяется JV(f). Поэтому множитель
d(lnJV)/of в правых частях (8.38) можно считать малым и решать систе-
му методом последовательных приближений. В нулевом приближении,
полагая правые части равными нулю, получаем
Х|О) = С,, хB0) = С2, С12= const, (8.39)
т.е. геометро-акустический результат. В формуле (8.36а) член, содержа-
171

щий Xj ¦> будет описывать волну, распространяющуюся в сторону отри-
цательных значений f ("прямая" волна), а член, содержащий х{ — волну,
распространяющуюся в сторону положительных f ("обратная" волна).
Заметим, что приближение (8.36), (8.39) отличается от (8.11), посколь-
ку в первом случае / равно ЭФ/df только приближенно. Рассматриваемые
приближения становятся эквивалентными при выполнении условия (8.20).
Для удобства дальнейших выкладок запишем уравнения (8.38) в виде
(8.40)
где 6 — (k0L) l — малый параметр, | Xi>2 | ^С 1. Последовательные итера-
ции приводят к решениям в виде рядов по степеням е:
), /= 1,2,
(8.41)
причем
i=o
(8.42)
При 1-1 выражения (8.42) свидетельствуют о том, что обратная волна
нулевого приближения дает в каждой точке пространства начало прямой
волне первого порядка х2'^ > и наоборот. Другими словами, волна нулево-
го приближения, испытывая вследствие неоднородности среды отражения
на любом горизонте, дает распространяющуюся в обратном направлении
волну первого приближения.
Рис. 8.2. Генерация вторичных волн
первичными
При некотором заданном значении f вторичная прямая волна Xj1*
получается в результате отражения первичной обратной волны Xj при
всех f i из интервала (f, +«>). Наоборот, обратная вторичная волна х\1^
получается в результате отражения волны х^°* на всех уровнях, для ко-
торых — то < f I < f • Схематически это изображено на рис. 8.2. Эти сообра-
жения относятся к генерации волн любого порядка /.
Последовательно применяя равенства (8.42), получаем явные выраже-
ния для х:'j B виде /-кратных интегралов. Выпишем эти выражения для
172

Х,(/) (где/=1,2,...):
Г,
Физически х{'^ и х^ нужно трактовать как волны, получающиеся в ре-
зультате /-кратных отражений в неоднородной среде на уровнях f i> f 2. • • •. ?/
и так далее
Г
Рис. 8.3. Последовательная генерация волн различных порядков в неоднородной среде
(см. (8.43)). Для получения полных выражений х\*\ производится ин-
тегрирование по всем возможным уровням отражений. Последовательная
генерация волн различных порядков схематически изображена на рис. 8.3.
Сходимость получающихся рядов (8.41) и (8.43) при достаточно боль-
ших значениях частоты со «= б доказывается в книге [265, гл. 3]. Необ-
ходимое и достаточное условие абсолютной сходимости рядов получено
в [288]. При падении на среду плоского 6-образного импульса (а не гар-
монической волны, как предполагалось выше) достаточным условием
абсолютной сходимости рядов рассматриваемого вида, т.е. рядов по
кратности отражения, является существование и ограниченность произ-
водной ЭЛ^/df [377]. В рассматриваемом нами случае движущейся жид-
кости со стратификацией скорости звука и плотности это условие будет
выполняться, если только ограничены производные c'(z), p'(z), Vq(z).
Лучшую сходимость рядов в случае падения кЪроткого импульса можно
объяснить тем, что в каждый конечный момент времени в формирова-
ние отраженного поля вносит вклад только ограниченная часть неод-
нородной среды. Применимость лучевого рассмотрения отражения б-им-
пульса для произвольной среды с гладкой зависимостью параметров от z
следует также и из того, что характерное значение со для такого импуль-
са равно бесконечности: в любом конечном интервале частот заключена
бесконечно малая доля его энергии.
Отметим также, что еще один способ приближенной трактовки отра-
жения волн от слоистых сред, когда в первом приближении получается
173

геометрическая акустика, изложен в работе [294]; о другом варианте
метода ВКБ, отличающемся от изложенных выше вторым и старшими
приближениями, см. работу [367].
Существуют многочисленные попытки модификаций метода ВКБ с
целью расширения границ его применимости, в частности, в области точки
поворота. В них или используются специальные функции вместо элемен-
тарных [291, 293, 134, 135, 123-125] или с самого начала авторы отказы-
ваются от сохранения точной асимптотики решений [388, 366, 358, 359,
555, 186, 300]. Во многих случаях физическая интерпретация этих реше-
ний является весьма затруднительной. Наиболее перспективным методом
описания поля в областях неприменимости геометрической акустики яв-
ляется, по нашему мнению, метод эталонного уравнения, к изложению ко-
торого мы сейчас и перейдем.
§ 9. Звуковое поле при наличии горизонтов поворота
и резонансного взаимодействия звука с потоком
В этом параграфе мы продолжим начатое в § 8 исследование звукового
поля в средах, параметры которых являются гладкими функциями z и
мало изменяются на расстояниях порядка длины звуковой волны. Будут
рассмотрены задачи, в которых приближения ВКБ недостаточно для описа-
ния поля. Идея используемого при этом математического метода восходит
к работам Лангера [420, 421].
9.1. Метод эталонного уравнения. Пусть при любых значениях к0 извест-
ны линейно-независимые решения W\ ^ уравнения
= 0, ' (9.1)
где Л/ =М(т?) не зависит от к0. В п. 3.1 показано, что функция
/(Г)- (dv/d$rli2W(v(t;)) (9.2)
является точным решением волнового уравнения (8.1) с эффективным
показателем преломления
(93)
т =D^)-1[2A')"(A')'J]
Здесь т? — произвольная гладкая функция f, производные по f обозначе-
ны штрихом. В общем случае по заданному профилю jV(f) найти из (9.3)
функцию Tj(f) не удается. Для высокочастотных волн m(f) мало. Поэто-
му приближенное решение волнового уравнения (8.1) можно получить,
определяя замену переменных из уравнения
т/ = [N2($)/M(r,(ml>2, или fMll2(r,)dv = /ЛЧГЖ- (9.4)
В этом случае т?(? ) не зависит от частоты. Отметим, что произведение при-
ближенного решения (9.2) на Л^1'2 зависит от ? только через фазовый
интеграл
174

(см. (8.2), (8.3)). Поскольку rfrj/rff --(Polpf)dr,ldz,B рамках приближе-
ния (9.2), (9.4) стратификация шютюсти среды сказывается только на
амплитуде волны; как и при лучевом подходе, величина /(f (z)) р (z)
не зависит от стратификации плотности . „
Поправка т (Г) в (9.3) будет мало!, если производная (In т? ) ограни-
чена. Из (9.4) следует, что для выпо^ения этого требования функция М
должна быть дважды непрерывно дифференцируемой, а нули и полюса
N\\) и Л/(тКО) должны совпадать. Сформулированные условия служат
для выбора функции сравнения М(п)- Если функции N (f) и М(Я)
имеют одинаковые особенности, то уэавнение (9.1) позволяет построить
высокочастотную асимптотику волноюго поля и называется эталонным
[114] по отношению к (8.1). Каждое .талонное уравнение позволяет найти
асимптотику звукового поля для целою класса зависимостей NЦ).
В ряде случаев приходится рассм-.тривать уравнения (8.1) и (9.U с
функциями М(г)) или ЛГ(Г), зависяцими также от к0. Например, такая
задача возникает, если угол падения .вуковой волны зависит от частоты.
Если M(v, к0) и ЛЧГ, к0) имеют коечные пределы Л/, (т?) и: ЛГ,(Г) при
к0 -оо До при построении асимптоти*ских решении М и N в (9.4) нужно
заменить на М, и ЛГ,. Разности М - Аг. и tf2 - М2 дадут дополнительный
вклад в невязку /я(Г, к0) коэффициентов волнового и эталонного урав-
нений. .
Для оценки близости точного и приближенного решении удобно перей-
ти от уравнения (8.1) к интегральному. Для этого введем функцию Грина
G(f. ? 1) точно решаемого уравнения:
ГГ.) = -б(Г- Г.)- (9-5)
Прибавляя к обеим частям уравнения (8.1) к%тФ и рассматривая правую
часть как неоднородность, получаем
">)- (9-6)
Полезно преобразовать это соотношение в интегральное уравнение с пере-
менным верхним пределом интегрирования. Функция Грина определена
равенством (9.5) с точностью до произвольного решения однородного
уравнения. Последнее выберем так, чЮ G = 0 при Г < Г.- Интегрируя обе
части (9.5) по Г от Г, - е до Г» + ^ и устремляя значение е к нулю, по-
м
лучаем
ЪС
При Г > Г.
Определяя неизвестные коэффициенты А1Л из (9.7), находим
где w =W2{dWddTi) - W^dW^ldri) = const - вронскиан, f > f,, rj -
rj, =rKfi).
t75

Потребуем, чтобы приближенное решение /(f ) (9.2) и точное решение
а также их первые производные принимали одинаковые значения в
некоторой точке f о:
Ф(Го) = «i = /(Го), Ф'(Го) = *2 = /'(Го)- (9.9)
Учитывая равенство G нулю при f i > f и обращение интегрального члена в
(9.6) в нуль при f = f о. получаем
Г
3 1). (9.Юа)
Легко проверить, дифференцируя (9.10а) по f и учитывая (9.5) и (9.7),
что функция Ф(?) удовлетворяет волновому уравнению (8.1) и началь-
ным условиям (9.9). Используя представление (9.8) функции Грина,
формулу (9.10а) можно записать следующим образом:
2 /Л
(9.106)
ip = (т?'I/2Ф.
Соотношения (9.10) представляют собой линейные интегральные урав-
нения Вольтерра (см. [72, гл. 4]) для функций Ф(?) и i/>(?)- Решения
уравнений можно получить методом последовательных приближений.
Построим итерационное решение для (9.106). В нулевом приближении
примем |/>@)(?) = (т/I/2/(О и положим
*(/)(Г) = *@)(Г) - *о / «tfi [т (Г. )/т?'(Г 1 )]^@)(Г.) *(Ч, rj,), /=1,2,...
fo
(9.11)
/-ю итерацию можно представить в виде суммы повторных интегралов:
= 2 /„(Г),
Р = О
/0 s
/. - (-
Г»
г
т? (м„)
(9.12)
где м0 = f, т?„ = т?(Ы|>), i" = 1, 2,...
Пусть функция #, образованная из решений эталонного уравнения,
ограничена: |?(т?ьтьI< А ?> = const. Тогда при
i
/ </«!
v\
(9.13)
176

где
^С\?о)= /Л^иСи,)/0)^,)/!»'^,)!. (9.14)
При ? < ?о в (9.13) функцию F(f, f0) нужно заменить на F(f0. ?)•
Из оценки (9.13) следует, что на любом конечном интервале f последова-
тельность итераций (9.11) равномерно по f сходится к решению интеграль-
ею
ного уравнения (9.10) ip= 2 /„(?)> причем
v = о
2 (k\D\F(X,M\vlv\ = ев - 2 67»!
В частности, полагая 1-0, для разности асимптотического (9.2) и точного
решений волнового уравнения получаем оценку сверху:
|Ф(Г)-/(Ш < |т?'Г1/2(ев-1). (9.16)
С ростом к0 величина W в (9.1) становится быстро изменяющейся
функцией г] и согласно (9.8) g(r], t?i) -»• 0 при к0 -> ». Так, при М = Аца
иа>| имеем W\r\)lW{ri) =» *§/<в+2> и/)» Are2/(О?+2) - Из (9.3) и
(9.14) видно, что kgF не зависит от к0. Поэтому при к0 -+<*> параметр Q
мал, последовательность итераций (9.11) быстро сходится, а разность точ-
ного решения и асимптотики (9.2) стремится к нулю. Достаточным усло-
вием применимости этой асимптотики будет
klD\F($,$0)\ <g 1. (9.17)
В частности, для степенной функции М(т?) величины / и Ф совпадает с точ-
ностью до множителя 1 + O((k0L)~2l(-a+2^), где L — характерный про-
странственный масштаб изменчивости среды. Последующие члены разложе-
ния Ф(?) по степеням \jk0 даются формулой (9.12). Их также можно по-
лучить, если искать решение уравнения (8.1) в виде Ф(?) =/(?)<7i(?) +
+ k^yf'(^)q2(^), где параметр у > 0 определяется видом эталонного
уравнения (9.1), а функции <7i,2(f) разлагаются в ряды по целым сте-
пеням \/к0 [420, 443]. Об этом методе решения волнового уравнения
речь пойдет в п. 17.2. В другом подходе [286] асимптотическое решение
ищется в виде (9.2), причем для rj(f) строится итерационное решение
уравнения (9.3), в котором (9.4) служит нулевым приближением.
Читателю, заинтересованному в более детальном изложении метода
эталонного уравнения, следует обратиться к математической литературе
[66, 114,201, 202,258,421,461].
Рассмотрим пример. Пусть во всем рассматриваемом интервале значе-
ний f эффективное волновое число jV(f) не обращается ни в нуль, ни в
бесконечность. Тогда в качестве функции сравнения можно взять постоян-
ную: М(?) = 1. Асимптотическое решение волнового уравнения имеет
вид (см. (9.2), (9.4))
/(Г) - ЛГ-^ГХД.ехрСЛо / ЛИГО+ЯаехрС-Ло /M/f,)]. (9-18)
12. Л.М. Бреховскнх 177

это совпадает с решением (8.11), полученным в приближении ВКБ. Не-
вязка в коэффициентах эталонного и волнового уравнений равна
т<$) = Dklyl[2(\nNf-((\nN)'f] = - 2N2 (f)e (f), (9.19)
где е(?) определено формулой (8.10). Теперь становится ясно, почему
требование малости е, возжкшее в § 8 при сравнении первого приближе-
ния со вторым и третьим, обеспечивает возможность пренебрежения по-
правками всех старших пр1ближений метода ВКБ. Функция Грина (9.8)
запишется в виде
ГОЛЧЫГ'^ть.ть),
1 (9-20)
, щ) = ~— sin ко(щ - т?2).
Пусть N2($) > 0, тогда в '9.17) можно положить D - кд1. Достаточным
условием применимости асимптотики (9.18) будет
ко ЛЛЧГ,Ое(Г.)МГ, <1. (9.21)
Легко убедиться, что оценка (9.16) в рассматриваемом случае совпадает
с (8.15).
9.2. Звуковое поле в окрестности точки поворота. Следующим по слож-
ности после рассмотренного выше примера будет случай, когда функция
JV2(f) ограничена и имеет (в рассматриваемом диапазоне значений f)
единственный нуль. Совместим с ним начало отсчета координаты f и будем
считать, что (JV2 @))' Ф 0. Из (9.4) видно, что для ограниченности 1/т/
необходимо обращение значения М в нуль при г\ = т?@). Простейшей функ-
цией сравнения, обладающей этим свойством, будет М = а\ц — г]@)],
где а = const. Полагая т?@) = 0, из (9.4) получаем
all2fvl'2dv = fNM. или т? = [3^(Г)/2я1/2]2/3, (9.22)
о о
где
f
о
Будем считать для определенности, что а> 0,N2 > 0 при f > 0 и Л^2 < 0
при f < 0. Функция l?(f) является трехзначной. Удобно выбрать такую
регулярную ветвь степенной функции, чтобы т? было вещественным при ве-
щественных f. Для этого примем arg \p (f ) G [0, 2тг). Тогда при f ~> 0 имеем
ip > 0 и г] > 0. При f < 0 N = i\N\ получаем <р = \<р |ехр(Зтг//2) и т? =
= |т;|ехр(/я). (Под степенью wa комплексного числа vv= |w|exp(;arg w)
мы подразумеваем, если не оговорено противное, что | w\a exp(ra arg w )).
Следовательно, замену переменных (9.22) можно записать в виде
т?(Г) = О lv(r)l/2a1/2J/5sgn Г- . (9.23)
Здесь sgn f = 1 при f > 0 и sgn f = -1 при f < 0.
Эталонное уравнение (9. ) в рассматриваемом случае легко сводится
к уравнению Эйри (см. формулы C.96)-C.98) при ?2 = Ао). Реше-
178

ния (9.1) представляют собой функции Эйри от аргумента — (к\аI1гг\.
Свойства этих функций были подробно описаны в п. 3.5. По формулам
(9.2), (9.23) находим асимптотическое решение волнового уравнения:
/(Г) = l3W2Ar3|1/6[?,w(-l 3^@/2 |2/3sgn Г) +
| 3*о*@/2 l2/3sgn Г)]. (9.24)
Если значение N2 положительно при ? < 0 и отрицательно при f > О, асимп-
тотика вертикальной зависимости звукового поля отличается от (9.24)
только знаком аргумента функций Эйри.
Вычисляя невязку m(f) по формулам (9.3) и (9.22), легко убедиться,
что она ограничена при всех f, в том числе в точке поворота ? = 0. Следо-
вательно, выражение (9.24) является равномерной (т.е. пригодной при
любых f) асимптотикой решения волнового уравнения. Функция g в
(9.8) равна
](-^or1/3. (9.25)
Мы учли здесь, что вронскиан функций Эйри ы(т?) и ч(т?) равен единице
(см. C.103)). Поэтому в (9.15) D "¦- *ё2/3 и, согласно (9.16), относитель-
ная погрешность асимптотики (9.24) не превышает O((k0L)~2/3). Можно
показать (см. п. 17.2), что справедлива и более сильная оценка: (9.24)
отличается от точного решения множителем 1 + O((k0L)~l). Подробное
исследование точности асимптотики (9.24) проведено в работах [463, 464].
Аргумент функций Эйри в (9.24) обращается в нуль в точке поворота
и мал в ее окрестности. При | f I < L величину JV(f) можно заменить в
(9.22) на (а^I<2[\ + 0(?Д,)],гдеа, = dN2 @)/</?=«Z, "\ тогда из (9.24)
получаем
(9.26)
К этому выражению можно было придти также из простого требования бли-
зости коэффициентов ^o^if [I + O(f/Z,)] и k%at] волнового и эталонного
уравнений. В другом предельном случае - при | f | > (L 1к\)' I3 аргумент
функций Эйри велик, и их можно заменить асимптотическими разложения-
ми C.107), C.108). Ограничиваясь главными членами асимптотик, по-
лучаем
/(Г)*
42 N2>0 .
A:ol^|)l, N2
(9.28)
В выражениях (9.27) и (9.28) нетрудно узнать ВКБ-решения (8.И). От-
метим, что условия их применимости согласуются с полученным в § 8 не-
равенством (8.18).
12* '"

Соотношения (9.26)-(9.28) представляют собой локальные асимптоти-
ки волнового поля. Поскольку (L/klI/3 < Z,, области их применимо-
сти пересекаются. В совокупности эти формулы дают высокочастотное
приближение для Ф при всех f. Они пригодны при любом знаке ах и до-
вольно удобны при численных расчетах, поскольку не требуют вычисле-
ния функций Эйри с большими аргументами и проще, чем (9.24). Ло-
кальные асимптотики не содержат весьма неустойчивых при расчетах
на ЭВМ неопределенностей вида 0/0 таких, как y/N3 в (9.24) при N->¦().
В аналитических исследованиях обычно удобнее пользоваться равномер-
ной асимптотикой, которая при всех f дается единой формулой (9.24).
Из формул (9.24) и (9.26) мы видим, что в окрестности горизонта
поворота ? = 0 имеется узкая по сравнению с L область If I ^ (L/klI/3,
где амплитуда поля зависит от частоты. С ростом со ширина этой области
сокращается пропорционально со~2/3, а амплитуда звуковой волны растет
пропорционально со1/6 и стремится к своему значению при со = °°, соот-
ветствующему лучевому приближению.
Если нас не интересует поведение поля вблизи точки поворота, то для
вертикальной зависимости звукового давления можно пользоваться ре-
шением в приближении ВКБ:
- I ^/2[С1ехР(^о^(Г)) + С2 ехр(-;*0*(Ш. ^2 >0. (9.29а)
' ( jV- »/2 [С3ехр(А:о I ^(Г) I) + С4ехр(-А:0 | ^(ГI I,  <0. (9.296)
Сравнение этих формул с соотношениями (9.27), (9.28) позволяет полу-
чить связь амплитудных коэффициентов С^ 2 в "озвученной" и С3 4 в
"теневой" областях. В первой области волны будут распространяющими-
ся, а во второй - неоднородными. Если N2 > 0 при ? > 0, так что i/>(f)
положительно в озвученной области, то эта связь имеет вид
С3 = С, + /С2, С4 = 0,5 (/С, + С2). (9.30)
Если N2 > 0 при f < 0, так что ip(f) < 0 в озвученной области, то связь
будет такой же, только величины С\ и С2 в (9.30) следует поменять
местами.
Проведенный анализ позволяет построить высокочастотные асимпто-
тики поля и в том случае, когда в среде имеется несколько горизонтов
поворота, если расстояние между ближайшими горизонтами поворота
велико по сравнению с (L/kl)ll3. В окрестности каждого горизонта по-
ворота поле описывается выражениями вида (9.26), а вдали от этих гори-
зонтов - ВКБ-формулами (9.27), (9.28). Число используемых локаль-
ных асимптотик можно сократить более чем вдвое, если в окрестности
каждой точки поворота описывать поле выражением (9.24). Сшивка этих
асимптотик производится в общей области применимости между горизонта-
ми поворота.
Как мы видели в § 8, в лучевом приближении волна распространяет-
ся без отражений, если нет точек поворота. Рассмотрим теперь отражение
от точки поворота. Пусть волна падает сверху, точка поворота находится
при ? = 0 и N2 < 0 при f < 0. Вдали от горизонта f = 0 поле описывается
формулами (9.29). Будем считать, что | <р | -к» при ? -»• -°°. (Если N до-
статочно быстро стремится к нулю при f ¦* — °°, то 11/> (— °°) I будет конеч-
180

ной величиной. В этом случае на бесконечности расположена как бы вторая
точка поворота, и ситуация близка к рассматриваемой ниже задаче об
отражении от "потенциального барьера"). Тогда из условия ограниченности
поля следует, что С3 = 0. По формуле (9.30) получаем Сх -~iC^,C2 =C4.
В (9.29а) слагаемое с амплитудой С\ представляет собой отраженную, а
с амплитудой С2 — падающую волну. Для отношения этих слагаемых,
имеющего смысл коэффициента отражения, получаем
V = (С,/С2) ехр
= ехр B/Л0 IN d$ - in/2).
о
(9.31)
Мы видим, что | V | = 1, т.е. волна полностью отражается от точки поворота.
Интегральный член в экспоненте в (9.31) представляет собой геометри-
ческий набег фазы при распространении волны от уровня f до 0 и обратно.
Слагаемое —in/2 дает потерю фазы в п/2 в точке поворота, не предсказывае-
мую лучевым приближением.
9.3. Отражение от "потенциального барьера". Если показатель преломле-
ния п (z) имеет минимум п = пт в некоторой точке im, то в неподвижной
среде для наклонно падающих волн с горизонтальной компонентой волно-
вого вектора % > копт эффективный показатель преломления будет обра-
щаться в нуль в двух точках zli2:zi<zm<z2 (рис. 9.1). В области
z, < z < z2 имеем N2 < 0, и волны являются неоднородными. Этот слой
служит как бы барьером на пути распространения звука из полупространст-
ва z < z! в полупространство z > z2 и обратно. По аналогии с квантовой
механикой мы будем говорить в этом случае об отражении от "потенциаль-
ного барьера". Когда ? < koitm, волна не имеет точек поворота. Однако
при значениях %, близких к копт, приближение ВКБ неприменимо в
окрестности вершины барьера z = zm, и происходит заметное отражение
звука, называемое "надбарьерным". Исследованию этих вопросов по-
священ ряд работ (см., например [64, 148, 204, 263, 409, 422], [169, § 23
и 50], [260, гл. 3]). Аналогичные эффекты имеют место и в движущейся
среде, но форма и высота "потенциального барьера" определяется здесь
наряду с n(z) профилем скорости течения vo(z). В этом разделе зависи-
Ч . *¦ V7 I в>
а \ 5
Рис. 9.1. К отражению от потенциального барьера в неподвижной среде: а - верти-
кальная зависимость показателя преломления; б - лучевая картина при наличии двух
горизонтов поворота
181

мость л и v0 от координаты z в окрестности точки zm мы будем считать
аналитической и предполагать, что /3(z) > 0.
Когда две точки поворота не близки, высокочастотную асимптотику
звукового поля можно получить по формулам п. 9.2. Они, однако, теряют
применимость при \zx — z21 -> 0. В этом случае нужно воспользоваться
функцией сравнения, имеющей два нуля. Простейшим эталонным урав-
нением требуемого вида будет
d2W/dV2 + kW (v2 - Vo) VT= 0. (9.32)
С аналогичным уравнением мы встречались в п. 3.2 (см. C.34) при /33 = 0).
Линейно независимыми решениями (9.32) являются функции параболи-
ческого цилиндра
W= D_Oi5 + la(±r,e-inl\2koaL2), a = -коацЫ2, (9.33)
описанные и протабулированные в работах [240, гл. 19], [140, 195, 250].
Иногда их называют функциями Вебера. Для определенности примем
а > 0. ?Если бы нас интересовал случай, когда N2 > 0 при z i < z < z2 И
N2 < 0 вне этой области, г.е. когда N2($) имеет максимум, следовало бы
воспользоваться тем же уравнением (9.32), но положить а - ±/|д|.)
В рассматриваемом случае замена переменных т?(? ) (см. (9.4)) прини-
мает вид
(9.34)
Мы обозначили f1>2 = f(zj,2). следовательно, A^(f 1,2) = 0. Выбор нижних
пределов интегрирования в (9.34) обеспечивает совпадение одного из
1 нулей функции сравнения Af(rj(f)) с нулем N($). Совпадение двух других
нулей (T?(fi)) = -tjo) можно обеспечить за счет выбора значения щ. Для
этого определим tj0 из уравнения
;лг(Г)# = / д(тг2 -nl)ll2dn = — вч2. (9.35)
Параметр а согласно (9.33) и (9.35) равен
а = - к0 fNd$ = - - }yJ?-kWpdz. (9.36)
ЯГ, ff г,
Легко проверить, что замена переменных (9.34) при условии (9.36) при-
водит к невязке т (f), ограниченной при всех f.
При отражении от барьера, когда точки f1>2 вещественны,N=i\N\ при
f, < f < ?2 ит}о>0 согласно (9.35), а < 0. Напротив, при "надбарьер-
ном" распространении ц\ < 0, а > 0. В этом случае минимальное значение
N2($) на вещественной оси N2($m) = УУ^, положительно. Но структура
линий уровня аналитической функции в окрестности седловой точки fm,
где (W2)' = 0, такова, что в комплексной плоскости f через fm проходит
182

кривая, на которой TV2 принимает вещественные значения, меньшие N%,
[232, § 45]. В формулах (9.35), (9.36) интегрирование ведется по этой
кривой между комплексными точками поворота f i = fj- Будем считать
N%, < 1. (При N^ = 1 функция N2($) может вовсе не иметь нулей в комп-
лексной плоскости.) Тогда точки поворота близки к f m, и для них легко
получить явную формулу
ясно, что | f 2 — f 11 ^ L. Из формулы (9.36) следует, что значение а намно-
го меньше k0L, но может быть велико по сравнению с единицей.
Согласно (9.2), равномерной асимптотикой вертикальной зависимости
звукового поля при наличии двух точек поворота является функция
f(f) = [ЛГ2(И/(т}2(И — T}n)]~1'4[^i/)_o 5 + * (т}е~'ж/4B&одI'2 +
т/12^-'—О 5 + fav/^ l.-^'^o''/ /I • \7'3t)
Можно показать, что /(f) отличается от точного решения лишь множите-
лем 1 + ^((fco^))- Замена функций параболического цилиндра в (9.37)
их степенными разложениями или асимптотическими представлениями
(см. [240, гл. 19] и [462]) дает различные локальные асимптотики.
В частности, когда а < 0 и | а \ > 1, асимптотика (9.37) переходит в две
асимптотики вида (9.24), имеющие общую область применимости между
точками поворота f! и f 2 •
Рассмотрим подробнее переход (9.37) в решения (8.11), полученные
в приближении ВКБ- Для этого необходимо знать представления функ-
ций (9.33) при больших значениях tj. Известна асимптотика
А, («0 =
(9.38)
наилучшее приближение может быть достигнуто, если первую формулу
использовать при argM G (--я/2, я/2), а вторую — с верхним знаком при
argM G (я/2, i] и с нижним знаком при argM G (—я, —я/2) [195, § 5].
Когда | v | > 1, значительно более широкую область применимости име-
ют так называемые разложения Дарвина (см. [240, гл. 19], [195]). Выпи-
шем главные члены разложения Дарвина для одной из функций параболи-
ческого цилиндра, фигурирующей в (9.37), для случая | tj/tj0 I > 1 '•
По \ По Vo
В = BкоаУ1/4 (-a)ta/2 ехр[;(я/8 - a/2) + яа/4], (9.39)
аг8(т?е3"'/4)е(_я/2,я/2),
183

E, =BJfcoa)~1/4(-a)fa/2exp[-/Cff/8+a)-3ffa/4], (9.40)
а)-1/4(-а)-'а/2ехр[/(я/8 +а/2)-яа/4] [ГA/2 -for)],
(_я, - tt/2) U (я/2, я)].
В сущности, разложения Дарвина представляют собой решения эталонно-
го уравнения (9.32) в приближении ВКБ, нормированные так, что при
\ц | ->«> они переходят в (9.38) . Пусть ко/а > 1. Вычисляя e(rj) по форму-
ле (8.10), где TV2 (tj) = д2 (tj2 - tjo) и используя неравенства (8.12), после
простых выкладок находим область применимости формул (9.39), (9.40)
для вещественных ц:
|тН>(*оаГ1/2, если |а|?1, (9.41)
1ч±Чо1>(М)/21вГ1/6. если а<0, |а|>1. (9.42)
При больших положительных значениях а формулы (9.39), (9.40), как и
следовало ожидать, пригодны при любых вещественных г\.
Если подставить в (9.37) главные члены разложений Дарвина для функ-
ций параболического цилиндра и учесть (9.34), то (9.37) перейдет в обыч-
ную ВКБ-асимптотику решения волнового уравнения. Поэтому неравенст-
ва (9.41), (9.42) определяют область применимости приближения ВКБ
в задаче с двумя точками поворота. Физический смысл этих условий прост:
когда точки поворота близки (|а| <; 1), как при отражении от барьера,
так и при надбарьерном распространении должна быть исключена окрест-
ность вершины барьера размером порядка (/ДоI'2; когда точки пово-
рота далеки, ограничения возникают только в первом случае. Приближе-
ние ВКБ неприменимо тогда в узких окрестностях горизонтов f 12. Поль-
зуясь (9.34), можно выразить условие (9.41) и (9.42) через значения фа-
зового интеграла. При этом они принимают однаковую и весьма простую
форму:
1*о / ЛГ(*)</П>1. (9.43)
fl,2
Перейдем к вычислению коэффициента отражения плоской волны от по-
тенциального барьера. Пусть волна падает из области f = +°°. За барьером,
при f -*¦ -°° должна быть только прошедшая волна; согласно (9.34), tj -+
-*¦ -°° вместе с f. Из (9.38) мы видим, что в (9.37) член, пропорциональ-
ный Ai, дает при tj -*¦ -°° волны, распространяющиеся в обоих направле-
ниях, а член, пропорциональный А2, только волну с фазовой зависимостью
ехр(/А:оД2т}2/2), бегущую в сторону f = — °°; следовательно, Ai = 0. По
формулам (9.34), (9.37), (9.39) и (9.40) получаем при этом вдали
184

от вершины барьера:
Л2ЛГ-1/2(Г)Дехр(-Л0 j^df), i<ii, (9.44a)
Г,
ехр(Л0 J Nd$) +
i
J Nd$)], ?>?2. (9.446)
Г,
Выражение (9.446) представляет собой суперпозицию падающей и отра-
женной волны, а (9.44а) - прошедшую волну. Величины V = Е\\Ег и W =
= В/Е2 уместно назвать коэффициентами отражения и прозрачности. Амп-
литуду и фазу отраженной и прошедшей волн вдали от слоя (fi,f2) мож-
но найти, умножив комплексную амплитуду падающей волны на V и W
и учтя соответственный набег фаз, даваемый формулами геометрической
акустики. Подставляй в выражение для V и W значения В и Е1>2 из (9.39),
(9.40) и пользуясь формулой C.85) для модуля гамма-функции комплек-
сного аргумента, находим
где х(<*) = ol - a In \а\ - 1т1пГA/2 - id). Величина х ~* 0 при условиях
а ^ 0 и |а| ^°° и, как показано в [451], допускает равномерную по а
оценку: 1х(а) I <0,095тг/2.
Некоторое представление о точности асимптотических результатов
(9.45) можно получить, сравнивая их с точными в случаях, когда послед-
ние известны. Так, в работе [451] проводится сопоставление с точным ре-
шением для профиля Эпштейна (см. п. 3.4). Приближенные решения (9.45)
достаточно хорошо совпадают с точными C.84), C.92), если b\0 <С 1.
Коэффициенты отражения и прозрачности по энергии равны
|-К|2 = [1+ехрBяа)], | W |2 = [1 +ехр(- 27га)]. (9.46)
В квантовой механике этот результат называют приближением Кембла.
Заметим, что | V(a) \2 = \W{ -a)\2. В случае надбарьерного распростра-
нения (а > 0) с ростом а коэффициент | V \2 становится экспоненциально
малым, а | W |2 стремится к единице. В пределе получается геометро-акус-
тический результат. При отражении от барьера (а < 0) в пределе | а \ -»¦ °°
получается тот же результат, что и при отражении от единственной точки
поворота. Если значение f таково, что а = 0 (две точки поворота сливают-
ся с вершиной барьера), то | V\2 = \ W |2 = 1/2, т.е. половина энергии про-
ходит, а половина отражается. При этом в точке zm луч, соответствующий
падающей волне, становится горизонтальным и дает начало лучам отражен-
ной и прошедшей волн. Первые поворачивают и уходят в сторону z = +°°,
а вторые — в сторону z - — °°.
При отражении от барьера лучи существуют в полупространствах z > zt
и z < zx. Связь лучей, соответствующих падающей и прошедшей волнам,
рассматривалась Марфи [451 ]. Исследуя отражение ограниченного зву-
кового пучка (см. §. 13), Марфи получил следующий результат (см.
рис. 9.1, б): для достаточного толстого слоя отраженный луч ОАВ выг-
185

лядит так- же, как и при одной точке поворота (включая потерю фазы
7г/2), но его амплитуда, естественно, не равна амплитуде падающего лу-
ча; "скачок" луча из А в С происходит без потери фазы, но с уменьше-
нием амплитуды и горизонтальным сдвигом, зависящим от длины волны.
В рамках геометрической акустики могут существовать только пада-
ющий и отраженный лучи. Подбарьерное просачивание звука представля-
ет собой дифракционный эффект, исчезающий в пределе к0 -*¦ °°. Лучи
при z < zi являются примером дифракционных лучей, о которых несколь-
ко подробнее речь пойдет в § 14. К интерпретации лучей прошедшей волны
можно подойти также [130] с позиций комплексной геометрической акусти-
ки [149], где лучи рассматриваются как кривые в комплексном пространстве.
9.4- Усиление звука в неоднородном потоке. При падении плоской вол-
ны на плавно-слоистую среду со стратифицированным течением коэффи-
циент отражения по модулю может превышать единицу. Рассмотрим этот
эффект сначала в модельном случае, допускающем точное решение зада-
чи. Пусть скорость звука и плотность во всей среде постоянны, а скорость
течения меняется с глубиной линейно: v0 = (az, 0, 0), а > 0. Предполагает-
ся, что при z = +°° задана падающая волна с гармонической зависимостью
exp[;(fr - w)l. Ч = (-?> 0> 0) от горизонтальных координат и времени.
Величина 0(z) = 1 — fvo/w = 1 - z/zc, где zc - —oj/l-a — горизонт, на кото-
ром скорость следа волны ck/l- равна скорости течения. Последняя при
к > ? больше скорости звука. Вертикальная компонента волнового век-
тора обращается в нуль в точках z12 = zc(l ±1-/к) (рис. 9.2).
Вертикальная зависимость акустического давления Ф(г) удовлетворя-
ет уравнению A.41), которое в данном случае имеет вид
Э2Ф/Эг2 + [?2я2'с~2(г - zcJ - ?2 - 2 (г -гс)~2]^ = О,
* = (г_гс)-1ф(г). (9-47)
Общее решение этого уравнения, как отмечалось в п. 3.7, выражается
Рис. 9 2 К задаче об отражении звука от среды с линейным профилем скорости те-
чения: а вертикальная зависимость величины fcC, Zii2 - точки поворота, zc -гори-
зонт резонансного взаимодействия; б - система лучей, соответствующих падающей,
отраженной и прошедшей волнам
186

через функции Уиттекера W^ _3/4 (т?), которые можно выразить также
[240, гл. 13] через функции параболического цилиндра:
у) + А21Р(а, у), y = ^^
y), v = -3/2 + ia. (9.49)
В том, что функции у'1 W(a, ±y) удовлетворяют уравнению (9.47), лег-
ко убедиться непосредственно, приняв во внимание соотношения (9.32)
и (9.33). Величина а, как будет видно из дальнейшего, характери-
зует прозрачность "потенциального барьера" zx < z < z2 для звуковой
волны.
Вдали от горизонта z = zc (при \у\ >\v\) звуковое поле (9.48), соглас-
но (9.38), представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся
в сторону положительных и отрицательных z:
)], z<zc, (9.50)
Ф(г)= {{A, -ie™A2)yv+2b-1 +
+ BTt)ll2(V + 2)r-1(-V)A2y-1-vb)[\+O(y-2)], z>zc, (9.51)
где b s exp[/<72(z - zcJ/4]. Амплитуда обоих слагаемых в фигурных
скобках в (9.50) и (9.51) пропорциональна величине l^l1'2. При z > zc,
/3 > 0. В этом случае первое слагаемое в (9.51), фаза которого растет при
уменьшении z, представляет собой падающую, а второе слагаемое — от-
раженную волну. Отношение коэффициентов при Ь и Ь'1 естественно наз-
вать коэффициентом отражения V. Используя формулу C.85) для вы-
числения \Г (-и) |, получаем
I V\= [1 +ехр(~2тга)]1/2| 1 +/ехр(-яа)/11А42 Г1. (9.52)
Отношение Ai/A~2 должно быть таким, чтобы функция Ф(г) удовлет-
воряла условиям при z -*¦ -°°. При 0(z) > 0 следовало бы потребовать
обращения в нуль коэффициента при yv + 2 b'1, т.е. амплитуды волны, фа-
за которой растет с ростом z. Однако в полупространстве z < zc, имеем
/3 < 0. Покажем, что в этом случае, наоборот, при z -*¦ — °° звуковое поле
не должно содержать волн, z-компонента фазовой скорости которых от-
рицательна.
Для простоты рассмотрим сначала отражение плоской волны, падающей
из неподвижной среды на однородное жидкое полупространство z < 0 со
скоростью течения v0 = (- м, 0, 0) = const. При z < 0 волновое уравнение
допускает существование двух плоских волн:
р = д, ехр [/(-?* - [iz - cot)] + д2 ехр[/(дг - ?х - ait)],
где ц = (к2A2 -?2)'/2,0= 1 - ?м/о>. Перейдем в систему координат хх -
= х + ut,y\ =y, Zi =z, движущуюся вместе с жидкостью. В этой системе
-juz, -
187

При 0<О в движущейся системе координат частота отрицательна, по-
этому направления z-компонент фазовой и групповой скоростей будут
противоположны направлению z-компоненты волнового вектора. Хотя в
волне с амплитудой ах волновой вектор направлен в сторону отрицатель-
ных z, возмущение фактически передается снизу вверх, что противоречит
принципу причинности. Следовательно, эта волна должна быть отброшена.
(По существу, это правило отбора решений уже было использовано в
п. 2.6, где предполагалось, что знак г -компоненты волнового вектора пре-
ломленной волны противоположен знаку /3.) При /3<0 для наблюдателя
в неподвижной системе отсчета вертикальные компоненты фазовой и груп-
повой скоростей преломленной волны имеют противоположные знаки.
Легко видеть, что и в плавно-слоистой среде при 0< 0 передача акусти-
ческого возмущения от одной жидкой частицы к другой в направлении
сверху вниз происходит только в волне с положительным значением z-ком-
поненты волнового вектора, поэтому в (9.50) следует положить А\ =0.
Отношение комплексных амплитуд прошедшей и падающей волны будем
называть коэффициентом прозрачности W. Из (9.50) и (9.51) имеем
I W | = \А2 - 'А 1 ехр (па) \/\А2 ехр(тга) + iA, I. (9.53)
Подставляя в (9.52) и (9.53) значение /li=0, получаем I К|2=1 +
+ ехр(— 2тга), I ИМ 2 =ехр(—2па). Таким образом, при отражении от
неоднородного потока звуковая волна усиливается. Если принять верти-
кальную компоненту плотности потока мощности 1г в падающей волне
за единицу, то в отраженной и прошедшей волнах значение 1г будет соот-
ветственно равно | V \2 и | W \ 2. Из равенства I V \ 2 = | W \ 2 +1 следует,
что усиление звука при отражении связано с притоком энергии из области
z = -°°. Величина | V \2 - 1 =ехр(-2тга) характеризует обмен энергией
между звуком и потоком. Она тем больше, чем меньше угол падения вол-
ны и чем больше величина Vu0.
Проведенный выше анализ относился к случаю — { II v0, причем волна
падала из области, где /3>0. Откажемся теперь от этого предположения.
Пусть вектор f образует угол </> с осью Ох. Направление f влияет на зву-
ковое поле посредством величины 0. Если cos </> < 0, то в выражениях для
zc и q нужно заменить а на -a cos </>. Все последующие формулы не изме-
няются (в частности, ot = %2/q2 --?c/Bacos^)). При cos^>0 звуковая
волна падает из области, где 0<О. Выражения (9.47) ~ (9.51) останутся в
силе, если заменить а на acos^. Амплитуда отраженной волны, согласно
(9.51), пропорциональна разности Л, - iA2 с\р(тта), амплитуда падаю-
щей - коэффициенту А2. В области z ->-«> (поскольку 0(z) > 0) следует
потребовать обращения в нуль коэффициента при b~l. В результате для
модуля коэффициента отражения вновь получаем I V \ 2 = 1 + ехр(-2тга) =
= 1 + 1 W \ 2. Наконец, если f v0 = 0, то течение не сказывается на распрост-
ранении звука и отражение отсутствует. При фиксированном значении у
коэффициент отражения как функция \ испытывает разрыв: I F|2=2
при ? -*¦ + (), | V \ - 0 при нормальном падении. Это связано с тем, что го-
ризонты поворота и резонансного взаимодействия существуют при всех
\ Ф0 и исчезают при % =0. Если бы скорость течения vo(z) была величи-
188

ной ограниченной при всех z, то коэффициент V был бы непрерывной
функцией ?.
Рассмотрим теперь отражение высокочастотного звука от слоистой сре-
ды с гладкими зависимостями c(z),p(z) и vo(z) общего вида. Будем
предполагать, что при z ->+«> плотность и скорости звука и течения выхо-
дят на постоянные значения, причем и0 (+°°) =0; в то время как A:(z)/?(z)
монотонно возрастает от значения Аг(-°°) Д(—°°) < - ? <0до Аг(+°°) /3(+°°) =
= Аг(+°°), причем 0' (z) Ф0. Тогда звуковая волна имеет единственный го-
ризонт z =zc, где /3(zc) = 0, и два горизонта поворота z± и z2, причем
Zy < zc < z2. Волна будет неоднородной в области zx < z < z2 ираспростра-
няюшейсяприг >z2 иг < zx. Волновое уравнение запишем в форме A.41):
]2}*=0,
(954)
Отметим, что, поскольку fv0 (zc)/u> ~ 1, производные Э'/З/Эг' в точке
z = zo как и аналогичные производные от с, р и v0, по порядку величины
составляют L ~'. Из равенств k(S\ г-г, 2 = *? следует I zIi2 — zc I =
= 0(%L/k). В области \ z -zc\ < L функции c(z),p(z) и v0 (z) можно
заменить степенными разложениями, тогда уравнение (9.54) примет вид
Ф " + [А:2/32 - ?2 - 2(z - zc)'2 - <c?(z - z,) + 0{L'2)\ * = 0,
Поведение коэффициента уравнения при z ^-г^. подчиняется следующему
правилу [66], полученному из решения задачи с учетом вязкости жидкос-
ти: zc следует заменить комплексной величиной zc - /6 sgn 0' (zc), где
6 -*+0. В дальнейшем будем предполагать, что %L > 1. (Физический смысл
этого условия заключается в том, что на горизонте zc число Маха течения
Л/ = ио (zc)/c(zc) мало по сравнению с kL > 1. При этом допускается как
случай М~ 1, так и М> 1.) Тогда в коэффициенте при ^ членами О (L ~г)
можно пренебречь но сравнению с ?2. Параметр к ~ (?/.) "' < 1 представ-
ляет собой отношение характерных вертикальных масштабов изменения
звукового ноля и среды в окрестности z -zc. Относительное значение сла-
гаемого «g (z -zc)~1 в коэффициенте уравнения (9.55) мало при всехг.
Однако пренебрегать этим слагаемым нельзя. Как будет видно из даль-
нейшего, его наличие существенно сказывается на решениях уравнения и
приводит к важным физическим следствиям.
Поскольку эталонное уравнение, допускающее точное решение в изучен-
ных специальных функциях и содержащее весь набор особенностей волно-
вого уравнения (9.54), нам неизвестно, то нет возможности построить
равномерную высокочастотную асимптотику звукового поля. Будем опи-
сывать его набором локальных асимптотик. Их структура зависит от зна-
чения параметров а, 2:
/ = 1,2, (9.56)
и
где ^р (и, и) — / (к2р2 — ? 2)' l2dz — фазовый интеграл. Параметры а;- поло-
и
жительны и по порядку величины равны ?2L/k.
189

Рассмотрим сначала случай а, 2 ^ 1- Можно показать (см. п. 8.1), что в
этом случае звуковое поле описывается формулами приближения ВКБ
везде, кроме узких окрестностей горизонтов z~zc,z = z1>2. В области
I z - zc\ < | Z[ 2 - 'с I в качестве эталонного возьмем уравнение Уиттеке-
ра C.12) и сделаем замену переменных t?(z) =- 2i*p(z,zc). Отметим,
чтот?(г) «2?(z -zc). Согласно C.9), C.12) функция
№) = (|т?72Г1/2[В,Й'|1м(т?G)) + В2Й'_4|Я(-т?G))], в, ,2 = const, (9.57)
где W± i>m — функции Уиттекера, является точным решением уравнения
2)
/=0. (9.58)
Если от =3/2 и / = -к/2, то, как легко убедиться, невязка коэффициен-
тов уравнений (9.55) и (9,58) равна O(L~2 +?2а~2) и ею можно пре-
небречь по сравнению с ?2, Следовательно, в рассматриваемой области
решение (9.57) является главным членом асимптотического разложения
ч>(г) по параметру %L > 1.
При \ т)\ > \ .функции Уиттекера можно заменить их асимптотиками.
В точке т? = О функции Wlrn (± т?) имеют логарифмическую особенность.
Поэтому коэффициенты асимптотики (они найдены в [385]) зависят от
arg 17, В рассматриваемой задаче в силу сказанного выше о смещении zc
с вещественной оси z значение arg 17 изменяется от 0 при z >zc до я при
z < zc. Учитывая это, на основе результатов [385], получаем из (9.57)
in \ _( . .
2 ^ (9.59)
(z<zc). (9.60)
Здесь функция /(z) выписана с точностью до множителя 1 + О(к 2 + I т?| -1).
Мы видим, что в области |~'<| z — zc | < lz12—zcl звуковое поле
имеет тот же вид, что дает приближение ВКБ. Физический смысл зависи-
мости результата от направления обхода точки zc мы поясним ниже.
При | z -zc | >. | z, 2 ~zc I слагаемые (z-zc) и «^(z-zj
в коэффициенте в волновом уравнении допускают оценку |2О(а) и
поэтому ими можно пренебречь. Следовательно, в окрестностях горизон-
тов поворота звуковое поле описывается обычными асимптотиками, содер-
жащими функции Эйри (см, п. 9,2), которые при I z -z, 2 I > (Lko2I/3
переходят в решения, полученные в приближении ВКБ:
f(*202 --?2)-1/4[2)|е1^г>г-) + 2J е-'***-2»)], z<z,, (9,61)
*)], z>z2. (9.62)
190

Связь коэффициентов ВКБ-решений (9.59) и (9.62), (9.60) и (9.61) выше
и ниже горизонта поворота дается формулами (9.30). Учитывая, что
y(z,zc) = tp(z,z x) —in ax 12 = i/>(z,z2) +/яа2/2,получаем
2), =/я, +— кВ^\епа>12 -\-В2 + -к(В1 +В2)]е-па>12,
1 ~Т K(Bl +^)|e-"e'/a-(/l»i - \кВ^^1\
V ' (9.63)
4 =-62A - — к
Как было показано вьпие, принцип причинности требует обращения в
нуль коэффициента^. Учитывая это, для коэффициентов отражения и
прозрачности после простых выкладок можно получить соответственно
| V\2=\3)jaL\2 =1+ехр[-7г(а, + а2)] + як ехр(- па2), (9.64)
| W\2 = |2),/2L12 =ехр[-тг(а, + а2)]. (9.65)
Здесь сохранены только главные члены разложений | V \2 и | W \ 2 по сте-
пеням малых параметров к и ехр(—яаг 2). По известным значениям^- с
помощью формул (9.26) — (9.29) нетрудно найти коэффициенты при
функциях Эйри в асимптотиках звукового поля для окрестностей горизон-
тов поворота.
При а, 2 -^ 1 между горизонтами z x и z2 отсутствует область, где спра-
ведливо приближение ВКБ, и изложенный выше подход не позволяет пост-
роить асимптотику поля. Поскольку аг 2 — ? 2L/k, то в силу предположе-
ния i-L > 1 при а12^1 заведомо имеем l-/k < 1, однако неравенства
%lk < 1 и а]2>1 могут выполняться одновременно. Таким образом,
анализ случаев %\к < 1 и aj >2 ^ 1 исчерпывает задачу.
Будем считать теперь, что !-/к < 1 (почти нормальное падение). В качест-
ве эталонного воспользуемся уравнением (9.47), переобозначив в нем не-
зависимую переменную: q(z —zc) =17. Замену переменной в эталонном
уравнении выберем так, чтобы пропорциональные со2 члены в коэффициен-
тах эталонного уравнения и уравнения (9.54) совпадали (см. (9.4)):
/ vV/4 -ad 17 = f(z, zc), или т? = 2a1 /2 sin т, (9.66)
о
где т +%sin 2т=<р{г, zc)/ia.
Выбор нижнего предела интегрирования по т? обеспечивает совпадение'
полюсов z =zc и t?(zc) =0 в эталонном и волновом уравнениях. Совмеще-
ния точек поворота z =z х и t?(z х) = -2а1'2 можно добиться путем выбора
соответствующего значения параметра а. Из (9.66) и при учете (9.56) полу-
чаем a =<*!. Аналогично, точки поворота z =z2 и т?(г2) -2а1'2 будут сов-
падать, если а=а2. Поскольку, вообще говоря, oti Фа2, то при z >zc и
191

z <zc приходится использовать разные замены переменной rj2,i (z), отли-
чающиеся параметром а.
Если к =0, то невязка коэффициентов волнового и эталонного уравне-
нений ограничена при всех z. Исходя из (9.66) можно показать, что по по-
рядку величины невязка не превышает значения k/1-L2 •€ k/L и стремится
к нулю при L -*-°°. Следовательно, главным членом высокочастотной асим-
птотики Ф (z) будет
T?i(z)) + ?2W(ai.e
z<zc,
(9.67)
z>zc,
(9.68)
Здесь Ej — произвольные постоянные.
Если к Ф0, то при z^>zc невязка содержит сингулярное слагаемое
-к ? (z - zc) ~l. В этом случае, несмотря на то, что к -+0 при L -*¦«>, резуль-
таты п. 9.1 позволяют гарантировать асимптотический характер решений
(9.67) и (9.68) только вне некоторой окрестности горизонта z =zc, размер
которой можно оценить из условия малости величины k!-(z —zc)~l по
сравнению с ?2 в коэффициенте в волновом уравнении: ? | z — zc \ > \\%L.
В окрестности горизонта z =zc формулы (9.67) и (9.68) проще всего
дополнить разложением M'(z) в ряд по степеням z — zc. Пренебрегая в
уравнении (9.55) членом O(L~2) по сравнению с ?2, получаем решения
вида (см., например [131, ч. 1, § 25.7])
gi=u2(l+ к и/4 + и2/10 + ...), (9.69)
g2 =(к/3)A -к2/4)#,(ы) In и - и-1A-ки12-и*Ц + ...),
где Fi и F2 — произвольные постоянные. Вследствие сингулярности коэф-
фициента уравнения в точке и = 0 одно из решений (#2) имеет особенность
при и = 0. Однако звуковое давление р<* /Зр1'2^ и производные др/dz и
d2p/dz2 остаются ограниченными. Поскольку при учете вязкости Im zc < 0,
то значение arg и при переходе от z > zc к z < zc возрастает на я. Учитывая
это, получаем
1ЯК / К2
— U - —
(9.70)
Решение (9.69) имеет общие с (9.67) и (9.68) области применимости:
? ? | z — zc | < 1. Для того, чтобы установить связь коэффициентов
•^1,2 с ^1,2 и ^з,4» представим функции параболического цилиндра в виде
разложений по степеням аргумента (см. [240, гл. 19]). Тогда для /(z)
192

(9.68) получим
CE4)B)()}, (9.71)
где
Пусть | к | «ё ? | z -zc | «§ 1. Тогда в (9.69) можно ограничиться первы-
ми членами рядов и пренебречь величинами к u3 In и и ки по сравнению
с и2. Из сравнения (9.69) и (9.71) ясно, что
Л ,2(и)» V'1 [W(a, п ехр(/я/4)) + W(a, т? ехр(-3/я/4))].
Условие сшивки решений при z>zc записьтается в виде
? Ыг
-3'2
-3 +^4) ^2 (9.73)
Аналогично, учитывая (9.70), при z <zc получаем
, 0)
(E+E) = F
—(l - —).
3 V 4/
(9.74)
С помощью формул (9.67) и (9.68) коэффициенты отражения и прозрач-
ности можно найти так же, как и в эталонной задаче с линейным профилем
течения v0 (z). Из принципа причинности следует Ех = 0. Для коэффициента
отражения получается формула, отличающаяся от (9.52) только тем, что
Ai/A2 заменено на Е3/Е^ и а - на а2. Модуль коэффициента прозрачности
равен
| W | = ехр [-7г(а, +За2)/4] \Е2 \\Е4 + iE3 ехр(-яа2) Г1. (9.75)
Исходя из (9.73) и (9.74), легко выразить F12 и ?3,4 через Е2. В част-
ности, получаем
к2/4)
Воспользуемся малостью отношения %jk для упрощения (9.76). Перейдем в
интегралах (9.50) для^ 2 к переменной 5 =А:0/?.Тогда
2? . (-1O' . dz
а, = (-1); / y/1-s2 ds ¦— . (9.77)
я 0 ds
Разлагая s по степеням z —zc, обращая получающийся ряд и подставляя
13. Л.М Бреховских 193

его в (9.77), находим
а, = -Ц-11 - (-1)' -^-г\2 - + W О(-Ц-Н (9.78)
2&Й I ЗпкВ \ к В / \к /I
где к, к', 0' и /3"берутся при z = zc. Отметим, что I a2 -at I —?а2/А:,
| Е3/Е^ I < 1. Из асимптотики гамма-функции при больших по модулю
значениях аргумента [240, гл. 6] следует, что Л (а) = 1 + О(а~2). Учитывая
это и сохраняя только первые степени величин (а2 — oti )/а2 и к , из формул
(9.76) и (9.72) получаем
Е3 1 Гехр(-яа,) -ехр(-яа2) як ,.,]
1ш-1=- —~ — + A+ехр(-21га2)Г1/2 .
Е< 2[ 1+ехр(-2яа2) 1/?(а2) Г FV J
(9.79)
Стой же точностью при помощи (9.52) и (9.75) находим
V\2 =
—V
аЛ
(9.80)
3/2
«1/
^ ГE/4-'^/2) |К|2. (981)
2/?(а2) ГE/4-к*2/2)
Когда а12 ^ 1, формулы (9.80) и (9.81) переходят в формулы (9.64) и
(9.65), полученные без предположений о малости ?/&. Таким образом, в
рассматриваемой задаче (9.80) и (9.81) определяют энергетические коэф-
фициенты отражения и прозрачности при любых возможных значениях па-
раметров. Если к =0 и at =а2, то I V \2 = 1 + \ W\2 =1 +ехр(-2яа!),
как и в эталонной задаче с линейным профилем v0 (z).
Отметим, что вертикальную зависимость звукового поля можно описать,
не обращаясь к функциям Уиттекера. Действительно, как мы уже видели
выше, области применимости асимптотик (9.67), (9.68) и степенного раз-
ложения (9.69) перекрывают всю среду при любых значениях 1-/к. Асимп-
тотики, основанные на функциях параболического цилиндра, позволяют
найти главный член разложения звукового давления по степеням 1/kL даже
при z =zc, однако для вычисления производной Эр/Эг в области I z~zc\ ^
^ 1/(?2L) необходимо использовать соотношения (9.69).
Обсудим физический смысл полученных результатов. Если величина к
(9.55) положительна, то при отражении звуковая волна усиливается. Это
объясняется двумя причинами. Во-первых, существует приток акустичес-
кой энергии из z = -°°. Это явление имеет место и при отражении от одно-
родной движущейся среды (см. п. 2.6). Оно обусловлено тем, что прошед-
шая в полупространство z <zc звуковая волна имеет отрицательную энер-
гию, т.е. энергия течения в отсутствие волны больше, чем при ее наличии.
194

Во-вторых, усиление звука связано с процессами, происходящими в окрест-
ности горизонта z = zc. Соответствующее слагаемое в (9.80) пропорцио-
нально к. Этот механизм усиления звука связан с резонансным взаимо-
действием между акустическими колебаниями и движением частиц жидкос-
ти в основном течении*). Он аналогичен усилению (или, в зависимости от
вида функции распределения частиц, затуханию) Ландау колебаний в плаз-
ме [10], [17L § 41].
Горизонт z =zc выделен тем, что в его окрестности проекция скорости
частиц на направление ? равна скорости следа волны. Поэтому в системе
отсчета, движущейся вместе с частицами, частота волны равна нулю и, в
отличие от других горизонтов, энергия, полученная звуком от течения, не
обращается в нуль при усреднении по периоду волны. Вследствие наличия
вязкости, хотя бы и сколь угодно малой**), жидкие частицы, обгоняющие
волну, замедляются и передают ей энергию; отстающие от волны частицы
ускоряются и отбирают у нее энергию. Суммарный эффект будет состоять в
усилении звука, если число обгоняющих частиц больше, чем число отстаю-
юших. Результат был бы обратным, если бы вязкость была отрицательной.
Этим объясняется зависимость V от направления обхода особой точки
7 = zc в волновом уравнении.
В отличие от описанного выше первого механизма усиления звука,
резонансное взаимодействие чувствительно к стратификации плотности
(см. (9.55)). Если р = const и v0 II ?, то резонансное взаимодействие приво-
дит к перекачке энергии потока в акустическую энергию при и (zc) < 0
При i>o(zc)>0, p'(zc) =0 акустическая энергия будет передаваться по-
току. При а, 2 ^ 1 основную роль в энергообмене звука и пото-
ка играет первый механизм; при любом знаке к получаем | V | 2 > 1.
С ростом угла падения увеличивается толщина "потенциального барьера"
(области zi <z <z2, где звуковая волна является неоднородной), и амп-
литуда прошедшей волны экспоненциально убывает. На первый план вы-
ходит резонансное взаимодействие; знак I V | 2 — 1 совпадает со знаком к .
Отметим, что в некоторых случаях проявляется третий механизм уси-
ления звука в потоке — изменение знака вязкой диссипации в движущейся
среде [10, 77].
Выше мы предполагали, что звуковая волна имеет две точки поворота.
Если проекция u(z) скорости течения на направление f удовлетворяет
неравенству u(z) < с (z) + со/?, то —? < А:/3< 0 при z < zc, и волна будет
иметь только один горизонт поворота z -1г > zc. В отсутствие резонансно-
го взаимодействия происходило бы полное отражение (| V\ =1), по-
скольку при z <Z2 волна неоднородна. Звуковое поле можно найти из
полученных выше (для случая двух точек поворота) асимптотик с по-
мощью предельного перехода ах -*¦+«>. В частности, для коэффициента от-
ражения из (9.64) находим
| V\2 =1 +якехр(-яа2). (9.82)
*) Поскольку течение стационарно, резонанс происходит при нулевой (в системе
отсчета, связанной с жидкими частицами) частоте звука.
**\ Бесконечно малая вязкость для монохроматических волн может приводить
к эффектам конечной величины потому, что с уменьшением вязкости растет время
установления колебаний.
13* 195

Практический интерес представляет задача об отражении от струи конеч-
ной толщины (ио^О при I z | -*¦«>). Будем предполагать, что функция
u(z) _имеет единственны! максимум u(zm) =um, причем произведение
A:(zH(z) возрастает приz>zm и убывает при z <zm. Если 0(zm) >0,
то поле можно найти, воспользовавшись результатами предыдущих разде-
лов. Пусть -? < k(zm)[(zm) < 0. Тогда звуковая волна будет иметь
два горизонта резонансною взаимодействия zcl>2 и два горизонта поворо-
та zi,2 (рис. 9.3, а). Ограничимся простейшим случаем, когда
I V(*i,zcl) I >1, I ?>(z,i,zc2) I >1, I ?>(zc2,z2) I >1, где фазовый
интеграл <р определен в ^9.56). При этом в окрестностях особых точек
z =z12 можно пользоваться локальными асимптотиками типа (9.26), в
окрестностях z =zci2 — типа (9.57), а во всем остальном пространстве
пригодно приближение ВКБ. Требуя, чтобы при z<z^ не было волны,
бегущей из z = -°°,и последовательно пересчитывая коэффициенты ВКБ-
асимптотик снизу вверх пс формулам (9.30) и (9.63), находим
I F| 2 = 1-ехр(-2| ^ fe.z,)
(9.83)
I W\ 2 = exp (-2 \* (z2. z )|), k(z)= tf'(z)l&(z) + p\z)/p(z)] {"».
Здесь сохранены только павные члены разложений по малым параметрам
exp (-M) ик.
В отсутствие резонансюго взаимодействия (к - 0) для модулей коэф-
фициентов отражения и 1розрачности получаются такие же выражения,
как и при отражении от ютенциального барьера в случае /3 (z) > 0 (см.
(9.46), где —7га = |i^(z2, 2j)] > 1). Из-за экспоненциального ослабления
волны в области z1 <z<22 основной вклад в энергообмен звука и потока
дает верхний горизонт резвнансного взаимодействия (z = zc2).
Аналогично может бьпь рассмотрен случай к (zm) 0(zm) < -? (см.
рис. 9.3,6), когда волна ииеет четыре точки поворота [77], а также другие
задачи с неблизко расположенными горизонтами поворота и резонансного
взаимодействия.
В качестве примера расмотрим усиление звука при отражении плоской
волны, падающей из однородной неподвижной среды на полупространство
z<0 с профилем скорости течения v0(z) = {и (z), 0,0), u(z) = ит [ 1 -exp(z//,) ].
(Скорость звука и плотность предполагаются постоянными во всем про-
странстве.) Тогда 0(z)= l-ijAr'A/ [l-exp(z//,)], где М = ит cos у/с, <р —
угол, образуемый вектором ( с осью Ох. Будем считать, что cos >p > 0,
так как при cos^<0 завгдомо | V\ < 1. Если A + М)'1 < %/к <М,
то волна имеет единствешую точку поворота, горизонт резонансного^взаи-
модействии отсутствует. Гри этом происходит полное отражение: | V\ =1.
Если М'1 < i-/k <(Af— 1), то существуют горизонты резонансного взаимо-
действия z = zc и noBopoTaz =z2. Величина | V\ 2 дается формулой (9.82).
При %/к >(М-1)'1 есть два горизонта поворота, z, иг2, причем z, < zc <
< z2, и | V\2 следует вычислять по формуле (9.80). Значения а12 (^)
для рассматриваемого экшоненциального профиля скорости течения уда-
ется найти аналитически.
Результаты расчета энергетического коэффициента отражения \ V\2
при kL = 500/я и трех значениях М представлены на рис. 9.4 для
196

z
Рис. 9.3. Вертикальная зависимость величины
кр при отражении звуковой волны от ограничен-
ной струи. Показаны горизонты поворота г = zj
(/ = 1, 2, 3, 4) и резонансного взаимодействия
г = zcj (/ = 1,2):
а — в окрестности горизонта zm вопна неод-
нородна; б — внутри струи есть область "прозрач-
ности" z3 < z < zA, где звуковые волны являют-
ся распространяющимися
Рис. 9.4. Зависимость усиления звука А =
= | V I2 - 1 неоднородным потоком от угла
падения волны в = arcsin (i/k) при различных
значениях числа Маха течения: М = 50; 5; 2.
Во втором случае для наглядности значение А
домножено на 5 • 1015, в третьем — на 10".
Параметр М определен в тексте
0,4
0,2
\М=50
М=2
0,02 0,2 0,5
1 4М
%/к> A + Л/) \ В случае М= 50 основной вклад в усиление звука в области
максимальных значений | V\2 дает приток энергии из z = —°°. Величина
I V\2 имеет резкий максимум вблизи угла падения, соответствующего,
минимальному значению о^ + а2. Усиление волны в случае М = 5 в основном
(а при М = 2 - исключительно) обусловлено резонансным взаимодействием
с потоком. Значение | V\2 максимально при таких углах падения, что а2
близко к своему минимальному значению. Зависимость | V\2— 1 от числа
Маха ит/с течения и азимутального угла у весьма резкая, так что для
изображения | V\ 2 — 1 на одном графике при различных М приходится брать
разные масштабы по оси ординат. Такс,| И|^ах= 1,47 приМ= 50, а еслиМ = 2,
то | V\ г—1 < 10~79 при любых (вещественных) углах падения волны.
197

Реально вследствие объемного поглощения звука, описываемого комп-
лексностью волнового числа Jt при М-\ < 1 никакого усиления звука
не будет.
Ранее в литературе усиление звука при отражении от сверхзвукового
потока, помимо случая дискретно-слоистых сред, о котором шла речь
в п. 2.6, рассматривалось для течения с тонким по сравнению с длиной
волны переходным слоем [251] или с профилем vo(z), близким к линей-
ному [144]. В последнем случае резонансное взаимодействие не принима-
лось во внимание. Глубокий анализ усиления звука в однородной среде
с течением постоянного направления был проведен в работе [77] в предпо-
ложении, что между горизонтами поворота и резонансного взаимодействия
есть область применимости приближения ВКБ, т.е. ai2 ^1 в наших обоз-
начениях.
§ 10. Отражение звука от среды
с произвольным законом изменения параметров
Как видно из § 3, точные решения задачи об отражении плоской волны от
слоистой среды существуют лишь для небольшого числа случаев. Хотя
исследование этих случаев имеет весьма большое значение и раскрывает
ряд важных закономерностей, это не снимает вопроса об исследовании
отражения звука от слоев, в которых зависимость параметров среды от
координаты z может быть произвольной.
Существенно также, что в реальных геофизических ситуациях параметры
среды не остаются постоянными, а испытывают с течением времени как
систематические изменения, так и изменения флуктуационного характера.
Необходимо знать, какое влияние оказывают эти изменения на коэффи-
циент отражения. Как было показано в п. 6.3, даже небольшие вариации
параметров среды могут существенно сказываться на коэффициенте отра-
жения.
Ряд результатов для слоисто-неоднородной среды общего вида был полу-
чен в работах [83, 109, 119, 120, 220, 294. 348, 367, 381, 392, 397, 427,
474, 481, 528, 540, 541] и др. Изложение в этом параграфе базируется на
работах авторов [44,45,94,374].
Пусть плотность среды, скорости звука и течения в ней даются функция-
ми p(z), c(z) и vo(~)- Предполагается, что при z -* + °° и z-* - °° пара-
метры среды стремятся к постоянным значениям, равным соответственно
Рь сь vOi ир2.с2,Уо2- Будем считать, что в среде нет точек резонанс-
ного взаимодействия с потоком. Всюду одинаковый фактор ехр [/(?/¦ -
-со г)] в выражении для поля мы для краткости будем опускать.
10.1. Уравнения для коэффициента отражения и импеданса звуковой
волны [44, 45, 94]. Пусть при z = +°° задана плоская волна, распространяю-
щаяся в сторону отрицательных z (падающая волна). В общем случае вол-
новое уравнение A.45) может быть удовлетворено только при допущении,
что при z = + оо существует также отраженная волна. Нашей задачей будет
отыскание отношения комплексных амплитуд отраженной и падающей
волн, т.е. коэффициента отражения V по модулю и фазе. При этом мы
не пойдем по обычному пути, предполагающему поиск решений волнового
уравнения и вычисление по ним коэффициента отражения. Вместо этого
198

мы получим уравнение, которому удовлетворяет сама искомая величина V
как функция вертикальной координаты. Зависимость коэффициента отра-
жения от ( будет входить параметрически.
Волновое уравнение для звукового поля в неоднородной движущейся
среде возьмем в виде (8.1)—(8.3). Вертикальные зависимости акустичес-
кого давления Фи г-компоненты смещения частиц в волне / связаны ра-
венствами (8.35). Для удовлетворения (8.35) введем формально понятие
о "падающей" (/) и "отраженной" (г) волнах при любом z, определив
их следующим образом:
где Ф| 2 ~ Две новые неизвестные функции. Заметим, что связь между
Фи / в каждой из волн такая же, как в приближении лучевой теории, когда
падающая и отраженная волны распространяются, не взаимодействуя друг
с другом (ср. A0.1) с (8.36) при условии (8.39)).
Определим коэффициент отражения для произвольного горизонта ра-
венством V = Фг (fV^i (S") - Несмотря на условность этого определения,
мы пока не будем вводить какие-либо приближения. Подставив в (8.35)
сумму падающей и отраженной велн A0.1): /= ik0N&i(V - 1), Ф =
= Ф, (I + V), получим уравнения
Э Э
/*0Wl>i(K- 1>=——[*i(I + У)]. —[#Ф,(К- 1)] =ik0N2(l + K)*i-
ЪК ЭГ A0.2)
Домножая первое уравнение на (К—1)/Ф, второе на (V + \)/Фх и склады-
вая результаты, приходим к уравнению Риккати для коэффициента отра-
жения:
ЭК ,1 9(ln/V)
— =2/*о^К + 7A-К2), y=-——L. (Ю.З)
ЭГ - ds
Ьсли в качестве вертикальной коордшаты взять z, уравнение A0.3) при
учете (8.2), (8.3) принимает вид
Л - У ),
bz "Ч ¦ *s '
1 Э и202 ~67*o
7i = In . A0.4)
4 bz р (г
В качестве граничного условия цля решения уравнений A0.3) или
A0.4), можно взять условие
Inn V = 0, A0.5)
г— —
поскольку при z -* - °° (позади нееднородного слоя) отраженная волна
отсутствует. В качестве граничного условия можно использовать также
задание V на некотором горизонте. Тж. если при г <zx среда однородна,
то V(zx) = 0; если при z =z^ расположена абсолютно жесткая или абсолют-
но мягкая граница, то K(zi) = ± 1.
1»

Можно получить уравнение Риккати также для импеданса. Определение
импеданса звуковой волны в движущей среде было дано в п. 2.6:
/др\~1 /ЭФЧ'1
Дифференцируя A0.6) по J, получаем
что при учете (8.1) дает искомое дифференциальное уравнение:
Когда импеданс рассматривается как функция координаты z, уравне-
ние A0.7) принимает вид
Если при z <z, среда однородна, граничное условие для Z состоит в ра-
венстве Z(zl) импедансу плоской волны, распространяющейся в сторону
отрицательных г. Не составляет труда задать граничные условия для Z
и в других случаях.
При помощи A0.6) можно выразить Ф черезZ:
Ф(Г) = ехр [-1ыр0 ) Z <Г,)с/Г1 ] , A0.9)-
So
где произвольная величина f0 определяет нормировку Ф. Таким образом,
если импеданс Z(f) найден, то звуковое давление во всей среде может быть
вычислено при помощи квадратуры. Пересчет импеданса Z(f) в коэффи-
циент отражения производится по формуле
, A0.10)
вытекающей из определений Z и V.
Мы видим, что линейное дифференциальное уравнение второго поряд-
ка (8.1) и нелинейные уравнения первого порядка A0.4) и A0.7) эквива-
лентны: зная решение одного из них, можно построить решения двух дру-
гих. В ряде задач именно уравнение Риккати оказывается наиболее удоб-
ным средством построения приближенных аналитических и численных ре-
шений. В качестве примеров использования последнего в численных расче-
тах звуковых полей в жидкости можно указать работы [362, 446]. Мат-
ричный аналог уравнения A0.8) применяется при расчетах полей упругих
волн в твердых телах с кусочно-непрерывной стратификацией параметров
[154, 249]. Далеко идущим обобщением изложенного выше перехода
от (8.1) к уравнению Риккати является метод погружения, сводящий реше-
ние краевых задай для волноивого уравнения к интегрированию нелинейных
дифференциальных уравнений первого порядка. Особенно эффективным
этот метод оказался при исследовании статистических задач [133, 142].
200

Вернемся к уравнениям A0.3), A0.4) для коэффициента отражения V.
Под V(z) мы понимаем отношение комплексных, т.е. включающих фазу,
амплитуд прямой и обратной волн. Так, например, если бы при некотором
z = z0 в однородной среде была расположена абсолютно отражающая плос-
кость, для которой V= 1, то при нормальном падении наш коэффициент
отражения был бы равен V(z) = e\p[2ikon(z - z0)]. Это выражение сразу
получается при интегрировании A0.4) при 7i = 0 и граничном условии
K(zo)=l. Нетрудно видеть, что если точку, для которой определяется
коэффициент отражения от неоднородного слоя, перенести из z = z, в: =
= z2 причем как z^, так и z2 лежат вне области, где имеет место заметное
отражение, то справедливо следующее соотношение между значениями V
в этих точках:
V(z2)= K(z1)exp[2//t0/(«2/32 - S2/*2,I'2 </z]. A0.11)
Согласно уравнению A0.3), производная Э K/9f ограничена, если пара-
метры среды не испытывают скачков. Пусть N ~ Ni при z > z0 и Л' = N2 Ф
Ф Nl при z < z0. Разделим обе части A0.3) на 1-К2 и проинтегрируем
но f:
Г(*,) + е dV Г(*,) + е NV 1 Г(*о) + «
/ 2/А / ^Г / d\nN.
/ 2/А:о / Г^Г+Г /
Г(*0)-е 1-У2 Г(*,)-е 1-К2 2 f(zo)-e
Заметим, что при К Ф 1 подынтегральное выражение в первом слагаемом
в правой части ограничено. Устремляя е к нулю, получаем тогда связь зна-
чений коэффициента отражения выше (К+) и ниже (V ) горизонта скачка:
- l) = Nl(V_ +l)!N2(V_ -1). A0.12)
В частности, если при z <z0 среда однородна (К_ = 0), то для К+ получа-
ется френелевское выражение К+= (Л', - N2)(Nl + Л^). Пользуясь
формулами (8.2), (8.3) и B.82), нетрудно убедиться, что V+ совпадает
с найденным в п. 2.6 коэффициентом отражения B.88) плоской волны
от границы однородных движущихся полупространств.
Заметим, что волновое уравнение (8.1), из которого мы исходим,
определяет только полное значение звукового поля. Разбиение же послед-
него на сумму падающей и отраженной волн, как это сделано выше, сопря-
жено с некоторой степенью произвола. Исключением являются лишь слу-
чаи однородной среды или среды с медленно меняющимися свойствами,
когда речь идет о главных членах высокочастотного асимптотического
разложения поля. Только тогда звуковое поле однозначно можно разло-
жить на волны, распространяющиеся в ту и другую стороны.
В неоднородной среде бегущей волной часто называют выражение вида
A (z)exp(;ip(z)), где А - амплитуда волны, а ^ - ее фаза. Однако это вы-
ражение, если только A(z) не является постоянной или медленно меняю-
щейся функцией, может с таким же успехом представлять собой и стоячую
волну. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример, указанный
Щелкуновым [501] .
Пусть мы имеем функцию
Ф(г) = cosbz + e exp(/iz). A0.13)
201

При е < 1 эта функция описывает волну, являющуюся в основном стоячей,
так как доминирует первый член. Однако это же выражение можно предста-
вить в виде
<J>(z) = /l(z)expOV(z)), A0.14)
где
A(z) = (cos2fo + 2ecosfo + е2I'2,
Тем самым, A0.13) как бы приобретает вид бегущей волны.
Поле в неоднородной среде в общем случае всегда можно представить
в виде A0.14), но разделить однозначно это выражение на сумму "падаю-
щей" и "отраженной" волн не представляется возможным. Более того,
такое разделение в общем случае не имело бы никакого физического смыс-
ла. Тем не менее, в литературе периодически появляются рецепты разбие-
ния поля на "прямую" и "обратную" волны. Критический разбор одного
примера такого рода можно найти в [511].
10.2. Отражение от тонкого неоднородного слоя. Для неоднородного
слоя, произведение толщины которого на вертикальную компоненту вол-
нового вектора падающей волны мало по сравнению с единицей, коэффи-
циент отражения можно вычислить, не делая предположений о характере
стратификации упругих параметров. В работах [44, 45] для этого в случае
неподвижной жидкости был предложен метод последовательных приближе-
ний. В последствии он был обобщен на случай отражения от слоя упругой
среды [190]. Однако обосновать сходимость этого метода удается только
для углов падения, не близких к я/2 или критическому углу полного отра-
жения. Ниже мы изложим другой подход к расчету поля в тонком слое,
пригодный при любых углах падения волны [374, 94].
Пусть между двумя однородными жидкими полупространствами с па-
раметрами pl clt v01 (z > 0) и р2, с2, v02 (z < - Н) находится слой, па-
раметры p(z), c(z) и vo(z) которого являются произвольными кусочно-
гладкими функциями. Для упрощения выкладок будем считать и01 =0.
Это предположение не ограничивает общности, поскольку переходом в
равномерно движущуюся систему координат можно обратить в нуль ско-
рость течения на любом горизонте.
Из верхнего полупространства на слой падает плоская волна с горизон-
тальным волновым вектором ?. В нижнем полупространстве звуковое
поле представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении отрица-
тельных значений z. Удобно выбрать нормировку так, чтобы амплитуда
этой волны была равна единице. Тогда для звукового давления в нижней
среде, согласно (8.1), имеем
р = ехр[-1*<М(Г +Го)+ '**¦], Г<-Го, A0.16)
здесь использованы обозначения
Г@ = Р2 / P(z,) /З2(z,)<fc,, Го = - f (- Щ > 0,
о
N\ =024(*202-S2), 02=l-{Vo2/'-*>- A0.17)
202

Внутри неоднородного слоя звуковое давление удовлетворяет урав-
нению
Э2Ф/ЭГ2 +(*2/32 -?2)(Р2/Р02JФ=О, -Го<Г<О. A0.18)
На границе слоя f = — f 0 должны выполняться условия непрерывности Ф и
ЭФ/Э$\ что при учете A0.16) дает
Ф(-Го)=1, ЭФ(Го)/ЭГ = -/*о^2. (Ю.19)
В верхнем полупространстве
Ф(Г) = A expiikoN, f) + В ехр(- ik^ f),
A°20)
Когда в слое найдено, коэффициенты отражения F({) и прозрачности
легко найти из условий непрерывности Ф и ЭФ/Э? при f = 0:
A0.21)
A0.22)
Уравнение A0.18) вместе с условиями A0,19) представляет собой на-
чальную задачу (задачу Коши) для определения Ф(?) в слое. Эта задача
эквивалентна интегральному уравнению
Ф(Г)= 1-7*0^2(Г+ Го)-*о / (S-u)N2*>(u)du. A0.23)
Г
Действительно, подставляя в A0.23) значение f = — fo, получаем гранич-
ные условия A0.19), а дважды дифференцируя обе части A0.23) по f, воз-
вращаемся к уравнению A0.18).
Соотношение A0,23) представляет собой интегральное уравнение Воль-
терра второго рода. Теория таких уравнений хорошо изучена (см., напри-
мер [72]). Они обладают ценным свойством: последовательные приближе-
ния всегда сходятся к решению уравнения. Точнее, итерационная после-
довательность
(Ю.24)
1=1,2,...
-fo
сходится абсолютно и равномерно по f к решению уравнения A0.23).
Для отклонения /-й итерации от точного решения Ф(?) справедлива оценка
[72, § 17] (см. также (9.15))
Д(/>= max |Ф@(Г)-Ф(Г)К\/Т+?Г 2 Q4s\, A0.25)
-fo<r<o j=/+i
где
Q= max |(*2/32-?2)(р/32Г2( / p02dzJ I. A0.26)
-W<z<0 -H
Используя конкретный вид ядра интегрального оператора в уравнении
A0.23) (его пропорциональность величине (f — u)) можно доказать более
203

сильную оценку:
д('><ч/ГТ2 f QslBs)l A0.27)
Из соотношения A0.27) следует, что для вычисления Ф(?) с достаточной
точностью при Q > 1 необходимо порядка Q1'2 итераций. Поэтому для
толстых слоев метод последовательных приближений A0.24) неэффекти-
вен. Напротив, при Q < 1 последовательность итераций быстро сходится.
Будем считать, что неоднородный слой тонок по сравнению с длиной
падающей волны, т.е. к^Н < 1, и что по порядку величины к^ — к2 —
=* *"(z), pi =* р2 =* p(z), /32 =x /3(z) — 1. Тогда в соответствии с A0.26) име-
ем Q =* (kiHJ < 1. Для тонких слоев / итераций позволяет найти поле с
точностью до О((к1НJ1+2). Проводя одну итерацию вида A0.24), после
простых преобразований получаем по формуле A0.21) коэффициент
отражения
'[1 - Vl(t)]
2k0N2
X f / — (V--y\dz-klN\ f ^—dz\ +O(kilH>), A0.28)
где
fo(f) = (Ni - JVa)/C/Vi +N2) A0.29)
— коэффициент отражения при нулевой толщине слоя. Для неподвижной
среды с постоянной плотностью этот результат был получен в [419]. В про-
тивоположном случае однородной движущейся среды для нескольких ти-
пов профилей скорости течения аналогичные результаты получены в [252].
Увеличивая число итераций, можно найти последующие члены разложе-
ния коэффициента отражения по степеням к^Н. Для случая неподвижной
среды вторая итерация дает:
jiAh { / к2 t2
+
+ О(кэН3). A0.30)
Здесь мы явно выделили зависимость от ?, использовав обозначения
М1=(к21Н)-1рг f dz[k2(z)-ki]
M2=(klH)-2 fdz(fp(u)du)[k2(z)-kl]
p(z)
1 о >\-РЧг)
— / <Ь- —— ,
Н -н PiP(z)
204

1 / о
H2 \-h
о dz
p2 / H2 -и p(z) о
Коэффициент отражения определяется интегральными характеристиками
распределения плотности, скоростей звука и течения в слое: волна как бы
осредняет параметры среды на расстояниях, малых по сравнению с соб-
ственным вертикальным масштабом. Если нет диссипации и не происходит
полного отражения, величина Vo — чисто вещественная, а поправка перво-
го порядка по к\Н к Vo оказывается чисто мнимой. Она сказывается толь-
ко на фазе V ({), т.е. наличие слоя влияет на отражение так же, как смеше-
ние отражающей границы.
В случае неподвижной среды, согласно A0.30), неоднородный слой
акустически характеризуется четырьмя величинами, не зависящими от час-
тоты и угла падения волны. Если ограничиться линейными по кх Н членами,
то таких величин останется только две: М\ и Мз- Для движущейся среды
первый интеграл в A0.28) необходимо вычислять отдельно для каждого
значения {, Поэтому угловая зависимость коэффициента отражения может
быть значительно сложнее, чем в случае неподвижных сред. Что же касается
зависимости V от частоты при фиксированном угле падения, то в линейном
приближении по Д^Яона характеризуется одним интегральным параметром
(см. A0.28), где % <л со, а величина /3 не зависит от частоты).
На этом мы закончим обсуждение формул A0.28) и A0.30). Более под-
робный анализ можно найти в [89,94].
В заключение используем интегральное уравнение A0.23) для обосно-
вания сформулированных в п. 6.1 утверждений об аналитической зависи-
мости от параметра звукового давления, а также коэффициентов отраже-
ния и прозрачности для плоской волны в неподвижной среде. Рассмотрим
на комплексной плоскости % (точнее, поверхности Римана) область | % | <
< ?о- Воспользуемся сходимостью итераций A0.24) при произвольной тол-
щине слоя. Заменим в оценке A0.25) величину Q на большую:
<2<<2о = max {(|А^| + Й)р-2(/ pdzJ}. A0.32)
-H<z<0 -H
Тогда из A0.25) следует, что последовательность Ф^''({, f) сходится к
решению Ф(?, f) абсолютно и равномерно по % из круга | % \ < ?0.
Функция ф(°) аналитически зависит от ?; фО определяется в A0.24)
через интеграл от ф('~') и поэтому также будет аналитической [226,
§ 16]. Тогда функция Ф(?, f) будет аналитична по % как предел равно-
мерно сходящейся последовательности. Значение ?0 было выбрано произ-
вольно, следовательно, Ф аналитична при всех конечных %. Аналитичность
коэффициентов отражения и прозрачности вытекает из A0.21), A0.22).
10.3 Метод последовательных приближений для слабо отражающих сло-
ев [45]. Запишем уравнение A0.3) в виде
— [ Кехр(- 2*о / NdU I = 7A - К2)ехр(- Шо f Ш{г ). A0.33)
Нижний предел интегрирования f 0 в экспоненте является произвольным.
Уравнение A0.33) с граничным условием A0.5) эквивалентно интеграль-
205

ному уравнению
ехр( - 2/*о / Ndti ) F(f)) = / r(l - V2) ехр(- 2ik0 f ЛИГ,)d{2,
f» °° Го A0.34)
которое мы снова будем рекшать с помощью итераций. Считая у малой ве-
личиной и пренебрегая в нуулевом приближении правой частью, получаем
У^ (f) = 0- Это соответствует (первому) приближению геометрической
акустики, в котором, как мны видели в § 8, волна распространяется в сре-
де без отражения.
Подставляя в правую частьь A0.34) V = 0 и обозначая
Г
2*о/ЛИГ1, A0.35)
Го
получаем в первом и последукющем приближениях
(Ю.36)
J
где т = 1, 2, ... В тех случаях, когда это удобно, в формулах A0.35),
A0.36) легко перейти к интегрированию по z при помощи равенства
Ро<# = pti^dz, следующего изз (8.3). Фактически интегрирование в A0.36)
проводится по толщине неодцнородного слоя. Если функция 7 (f) во всех
точках ограничена по величиине, что согласно формулам A0.3). (8.2) оз-
начает отсутствие мест, где iпараметры среды изменяются скачкообразно,
а также отсутствие точек i поворота или резонансного взаимодействия
(см. п. 8.1), то при т -*¦ °° »мы получаем сходящуюся последовательность
для K(f)- Это непосредствеенно следует из общих критериев сходимости
метода последовательных прриближений (см. [216, § 42], [265, гл. 3]).
Последовательность получаемых приближений сходится тем быстрее, чем
меньше абсолютное значение квадрата коэффициента отражения | У\2.
В частности, благодаря малоэсти у, быстрая сходимость имеет место для
сред с большим пространствеенным масштабом изменчивости к. Обобще-
ние метода на случай отражения от упругих слоев предложено в [ 191 ].
Рассмотрим среду, в котоэрой эффективный показатель преломления N
мало отличается от постоянноиго значения Л^ = [п\$\ - ?2&о2] Ро (Pi0i)~2:
2 1 1б|<П. A0.37)
Вклад в величину е могут даавать вариации плотности, скоростей звука и
течения или всех трех параметров вместе. Пусть точка f находится выше
неоднородного слоя. Тогда верхний предел интегрирования f в A0.36)
можно заменить на+°°,не иззменяя значения интегралов. Из первого приб-
лижения A0.36), интегрируя по частям, получаем
"<» ri(f^)-"(f)Aar A0.38)
В случае малых неоднорожностей \n(N2/Щ) = О(е). Ограничиваясь в
206

A0.38) главным членом разложения по степеням е и переходя к интегри-
рованию по не зависящей от свойств среды переменной z, при учете A035)
находим
t2 \I/21
^,e?-p-) I
I/21
I 2 A0.39)
Разность V^ — К^ пропорциональна е3 (см. A036)), поэтому при
достаточно малых е отличием К^1' от предела итерационной последова-
тельности можно пренебречь. Основная погрешность формулы A0.39),
таким образом, связана с отбрасыванием квадратичных по е членов в
A0.38).
Результат A0.39) называют борцовским (или рзлеевским) приближени-
ем для коэффициента отражения [260, гл. 3, § 5], [228, гл. 4]. В этом
приближении коэффициент отражения плоской волны пропорционален
плотности спектра <Г(к) возмущения e(z)
б(к) = -— 7 e(z,)e-'Kl««fclf A0.40)
2тг -¦»
взятой при к, равном удвоенной вертикальной компоненте волнового
вектора падающей волны:
2/ Ulle1'2 A0.41)
Условия применимости борновского приближения оказываются доволь-
но жесткими: помимо малости возмущения в точке (| е| < 1) следует тре-
бовать малости коэффициента отражения и возмущения фазы волны s (z) -
- 2/ii (z - z0) во всей среде. Два последних требования накладывают ог-
раничения на толщину неоднородного слоя.
Можно показать, что первое приближение A0.36) соответствует учету
однократных отражений в неоднородной среде (см. п. 8.2), последующие
же приближения ¦ двукратных и многократных отражений [52, § 25.5].
В качестве примера расчета коэффициента отражения методом последо-
вательных приближений рассмотрим нормальное падение волны на слой
- Н< z < 0, в котором скорость звука меняется линейно:
-Az\H\ A0.42)
Плотность считаем постоянной по всей среде. В полупространствах z > Ои
z < - Н скорости звука равны с, и с2 = сх A + А), т.е. на границах слоя
градиент скорости испытывает скачки. Точное значение коэффициента от-
ражения для этого случая дается формулой C.150). Сравним его с резуль-
татами расчетов в рамках второго приближения для обоих описанных выше
методов.
На рис. 10.1, а приведены результаты вычислений модуля коэффициента
отражения р = | V \ при А - - 1/2. По оси ординат отложена величина р в
натуральном масштабе, по оси аосцисс - к^Н в логарифмическом масшта-
бе. Кривая 1 рассчитана по точной формуле. Кривая 2, рассчитанная но ме-
207

0,80
Ofib
о*
0,1 В
ООП
1.3
2
-
-
II II
\
X
0,1 0,2 Ц5 1,0 2fi W А,Ок,Н
а
0,1 0,2 0,5 1,0 2,0 4,0 8jOk,H
б
Рис. 10.1. Сравнение результатов точжого (кривые/) и приближенного (кривые 2 и 3)
методов расчета коэффициента отражения для слоя с линейным профилем скорости
звука A0.42) в двух случаях: при.4 =-1/2 (а) ипри.4 = 6 (б)
тоду последовательных приближений для слабо отражающих слоев (фор-
мула A0.36)), при всех значеншях kiHпрактически совпадает с кривой 1
(отличие значений р не более, чем на 1%). По самой своей структуре метод
A0.36) хорошо приспособлен для отыскания положения нулей коэффи-
циента отражения. Полученные приближенно значения к\Н, для которых
V - 0, совпадают с истинными с тгочностью не меньше 0,02%.
При малых к\Н кривая 3, рассчитанная по формуле A0.30), дает значе-
ния р с высокой степенью точности. Однако последняя быстро уменьшается
и при к\Н = я/4 погрешность аоставляет уже около 1%. При дальнейшем
росте значений к\Н приближение A0.30), полученное в предположении
к1Н <С 1, дает неудовлетворительные результаты.
Рис. 10.1, б относится к случтю А = 6, когда градиент скорости звука
имеет существенно большее значение. Как и следовало ожидать, формула
A0.30) по-прежнему хорошо работает при малых kiH; если к^Н = я, от-
личие точного решения от пршближенного составляет 0,7%. Наоборот,
метод A0.36) дает значения р ,с погрешностью, меньшей 1% только при
kiH > 8,25, когда модуль коэффициента отражения становится достаточ-
но малым.
Методы последовательных пршближений A0.24) и A0.36) в известной
мере дополняют друг друга: первый способен учесть большие градиенты
и скачки параметров среды, но годится только при малой величине фазово-
го набега волны в слое; второй! отслеживает изменение фазы на больших
расстояниях, но плохо передает отражение от границ раздела внутри слоя.
Для расчета коэффициента отражения используются, помимо описанных
выше, и другие подходы. Так, в [260, гл. 3, § 5] в более общем виде, чем
в п. 10.2, и более подробно излюжен метод интегрального уравнения для
Ф(г) - вертикальной зависимости звукового давления. Этим методом
получен коэффициент отражения ш борновском (рэлеевском) приближении
для неподвижной среды с постояшной плотностью.
208

Оценку коэффициента отражения от среды с кусочно-непрерывными
параметрами можно получить, заменяя их значения средними по области
непрерывности величинами и сшивая получаюшиеся решения волнового
уравнения на границах раздела [241]. Такая оценка будет точной для дис-
кретно-слоистой среды и в общем случае годится для набора тонких или
слабонеоднородных слоев.
10.4. Отражение от границ раздела в непрерывно-слоистой среде. Приб-
лижение ВКБ и результаты метода эталонных уравнений дают весьма пол-
ное описание распространения волн в среде, параметры которой являются
достаточно гладкими функциями z и мало изменяются на расстояниях по-
рядка длины волны. На практике часто встречаются задачи, когда свойства
среды можно считать удовлетворяющими этим требованиям в отдельных
слоях, на границах между которыми испытывают скачок плотность, ско-
рости звука или течения или производные этих параметров. В акустике оке-
ана примером такой границы может служить поверхность морского дна.
По обе ее стороны среды часто считают непрерывно-слоистыми, но на самой
поверхности скорость звука и плотность разрывны. В сейсмике границами
рассматриваемого вида являются, например, Мохо и поверхность раз-
дела ядро-мантия. В таких случаях мы будем говорить о распространении
волн в плавно-слоистой среде с границами.
Даже если параметры среды являются весьма гладкими функциями г,
при численном моделировании распространения волн быстродействующие
алгоритмы удается получить, как правило, аппроксимируя среду набором
слоев, в каждом из которых точное или приближенное решение волнового
уравнения получено аналитически [53, 113, 185), [4, гл. 7, 9]. Если приня-
та кусочно-постоянная аппроксимация, на границах слоев разрывны сами
параметры. Той же точности результата при значительно меньшем числе
слоев позволяют достичь линейная и другие, более гладкие аппроксимации,
когда на границах слоен параметры остаются непрерывными, а скачок ис-
пытывают только их производные no z. Такие границы называют слабыми
границами раздела. Происхождение этого названия будет пояснено ниже.
Оно применяется также к границам, на которых скачок испытывают сами
параметры, но его относительная величина много меньше единицы.
Расчет коэффициента отражения от плавно-слоистой среды с границами,
в принципе, прост. Пусть, как и в и. 2.5, между двумя однородными жид-
кими полубесконечными средами, которым мы припишем номера 1 и
п + 1 находится п - 1 слой жидкости. Между границами z}(/ = 1, 2,.. ., п)
плотность pj (z), скорость звука с;- (z) и скорость течения v0/ (z) - гладкие
функции. Рассмотрим отражение плоской волны, падающей на границу zn
верхнего слоя. Обозначим ? горизонтальный волновой вектор, a Uj (z) —
проекцию Vo/(z) на направление ?. Эффективный показатель преломления
Nj (f) в каждом слое определен соотношениями (8.2), (8.3), где удобно
считать р0 = Pi. zo = Zi. Общее решение волнового уравнения в каждом
слое дается формулами § 8 и 9:
Ф/(П= л}1^}1^ л}2 ><*>}%), Л}я>2> = const. A0.43)
Если в слое нет точек поворота и резонансного взаимодействия, то ф^2»2)
представляют собой ВКБ-решения, если имеется единственная точка пово-
14. Л.М. Брсховских 209

рота, то Ф.A>2) выражаются через функции Эйри и тд. Решения Ф' • ',
вообще говоря, представляют собой асимптотические ряды по степеням
&01. В нижней среде (г < г,) имеется только уходящая от границы волна
Ф,(Г) = W exp(- ikoNx (). A0.44)
Для границ слоев по вертикальной координате f мы используем обозначе-
ния fy = f (Zj).
Коэффициент отражения будем искать тем же методом пересчета импе-
данса, который был использован в § 2 для дискретно-слоистой среды. Обоз-
начим ZS.J2 , как в п. 2.5, импеданс волны при f = fy. Эта величина имеет
смысл входного импеданса системы из/ — 1 слоев, лежащих на полупрост-
ранстве. Согласно A0.6), получаем
00.45)
При f = $i-i импеданс Z = Z\'n~1^, а при J = f;- имеем Z =z\$ . Выражая
с помощью A0.45) отношение Ay'lAy' через Z^~1' и подставляя это
отношение обратно в A0.45), после простых выкладок получаем формулу
для пересчета импедансов с нижней границы /-го слоя на верхнюю:
Zg> = /сор, [ в,Z,</-! > + в2 /сор, 1 [в3'сор, + a4zU- "у1, A0.46)
где
ЭФ}2>в>_,)
1
(r/)
«Э =
1 ) }(Г;- 1 )
_эфI)(Г/-1)
в4~ эг
Взяв ФУ1'2' (f) = ехр(± ikoNjtf — f/_i)) можно убедиться, что для одно-
родных слоев формулы A0.46) —A0.47) переходят в известный результат
B.66).
Входной импеданс нижнего полупространства, согласно A0.47), равен
г<„1> = ыр,/(*бЛГ1). A0.48)
Последовательно применяя формулу A0.46), находим Z\"\ Тогда коэф-
фициент отражения дается формулой B.67), где
ln + 1) A0.49)
- импеданс верхнего полупространства. Коэффициент прозрачности можно
рассчитать по формуле B.74). Если в формулах A0.48), A0.49) подУУ,
и vVn + 1 понимать Л^ (f,) и Nn+1 (fn), то проведенный выше анализ позво-
210

ляет найти звуковое поле и в случае, когда полупространства f > f n и f <
< f i = 0 сами являются плавно-слоистыми.
В плавно-слоистой упругой среде с границами вычисление матрицы рас-
сеяния удается провести аналогичным образом, обобщая подход, приме-
ненный в §4 для дискретно-слоистых сред. Этот вопрос освещен в [4, гл. 9].
Рассмотрим подробнее случай единственной границы между плавно-
слоистыми средами. Пусть она расположена при f = 0. Предположим для
простоты, что в окрестности границы нет точек поворота. Тогда по обе ее
стороны решения Ф^1'2^ A0.45) можно взять в ВКБ-приближении. Соглас-
но (8.9) .линейно независимыми решениями будут
Ф^>2)а)=ЛГГ*ехр[±1*0}A+е/)ад], /=1,2. A0.50)
о
Эти формулы дают ф|1<2) с точностью до множителя [1 + O((k0L)~2)],
где L - характерный пространственный масштаб изменчивости среды.
Величина et = О ((k0L) ~2) определяется формулой (8.10) при -V(f) = Nj(?).
Вычисляя по формулам A0.6) и A0.43) импеданс волны при f > 0 и
f < 0 и приравнивая полученные выражения на границе, получаем связь
четырех амплитудных коэффициентов А^1'2^
В этой и последующих формулах A0.53), A0.54), A0.61) и A0.62)
значения е^, JVlj2 и производных от Л^1>2 берутся при f =0. Второе уравне-
ние связи дается условием непрерывности звукового давления на границе:
ЛУ> +Л<2> = А2^ +Л2)- A0.52)
Пусть коэффициенты Л2 заданы, тогда из A0.51), A0.52) находим
1 АB))±
A0.53)
Эти выражения справедливы с точностью до членов порядка (k0L)'2.
Когда волна падет сверху, Afx' =0 в силу условия предельного погло-
щения при f -*¦ — °°. Если условно считать волну Ф[2', фаза которой увели-
чивается при уменьшении ?, падающей, а волну Ф^1) - отраженной, то от-
ношение Af-1'/АР) будет иметь смысл коэффициента отражения V при
f = 0. Такое определение коэффициента отражения будет вполне строгим,
если полупространство f > fj однородно. Из A0.51) получаем
Г / 1 bN\ 1 bN\\ 1 1
= ^A +ei)-./V2(l + e2) -( —- )
[ \N\ ЭГ N\ ЭГ / Aik0 J
V =
14* 211

L
"'
l ЭГ N\ d{ ) 4ik0 J
A0.54*
Отметим, что учет следующего члена разложения по степеням fcjj1 в A0.50)
(см. (8.9)) привел бы к появлению в A0.51) слагаемых O((k0L)'2), a
в A0.54) — O((k0L)~ ). Поэтому выражение A0.54) определяет коэффи-
циент отражения с точностьно до членов порядка (k0L)~2 включительно.
Рассмотрим три случая.
Пусть vVj Ф N2. Тогда с точностью до малых поправок порядка (k^L)'1
коэффициент отражения V = ((Л^ - N2) ( Nx + N2) , т.е. совпадает с фре-
нелевским коэффициентом отгражения. Другими словами, локально-плоские
волны A0.50) отражаются отг обычных границ раздела так же, как и плос-
кие волны от границы однородных сред. Если в верхней среде выше гори-
зонта f= 0 имеется точка поюорота f(zr) =fr, то при ? < ?г получаем
^м(?) = 'l^i(f)l> и волна прихсодит к границе с малой амплитудой. Выясним,
как влияет на звуковое поле; отражающая граница, расположенная за точ-
кой поворота. Еаш граница и точка поворота близки, для решений ФA-2)(Г)
нужно брать выражения, содержащие функции Эйри (§9). Мы рассмотрим
более простой отучай, когда вдля горизонтов z^ и zr выполнено неравенст-
во (8.18). Тогда при fr > Jf > 0 вертикальную зависимость звукового
поля можно представить в вида
'2[Bl ехр(-А:С0 /
Г
tr
+ Вг ехр(*0 / \NldS)]. A0.55)
f
Здесь экспоненциально затухаающая при удалении от точки поворота волна
с амплитудой Bi является "ппадающей", а волна с амплитудой В2 - "отра-
женной". Выше точки поворотха (f > f r) имеем
Ф(Г) = N-1'2 [B3 exp(i*0 jf Nd{) + Д4 ехр(-/Л0 / Nd()h СЮ.56)
Согласно (9.30), амплитудньые коэффициенты выше в ниже горизонта
поворота связаны равенствамии
l +О.512Ш
Коэффициент отражения на i горизонте ? = 0 был найден выше:
^@) = В2 ехр(к0 J \N\d1 Г)[Д, ехр(-*0
-». A0.58)
Выражая с учетом A0.57) отоношение Д3/Д4 через Д,/Д2, найдем коэффи-
212

циент отражения на горизонте f > f r:
в j Г 1 + /а / ? /ir\
— ехрB/*0 / Nd$) = - ехрB/7го JNdS- —),
A» fr * ~« V Гг 2 '
A0.59)
L ^~^2 ехр(-2*0 /' l^lrff). (Ю.60)
2 Nt +N2 о
В условиях применимости приближения ВКБ lor I < 1. Отличие коэффициен-
та отражения A0.59) и коэффициента отражения (9.31) от точки поворота
экспоненциально мало. Как и следовало ожидать, это отличие вообще ис-
чезает при Ni = N2 или ir -*¦ + °°. Если ниже границы ? = 0 величина N2
вещественна, т.е. волна уносит энергию к f = —°°, то \т а> 0 и из A0.59)
следует, что I F(f) I < 1.
Перейдем ко второму отучаю. Для слабых границ раздела в A0.54)
существен учет членов, малых по сравнению с единицей. Если при f =0
имеем Ni = N2, но ЭЛУЭ$" Ф aW2/9f (функции с, р к и непрерывны
на границе, но у одного или нескольких параметров скачком изменяется
градиент), то
8; k0N\
В этом случае значение коэффициента отражения пропорционально скач-
ку градиента квадрата эффективного показателя преломления и убывает
с ростом частоты. Значение это мало, поскольку в уаювиях примени-
мости приближения ВКБ k0L > 1, N\ >(k0L)~2/3 (см. (8.18)). Мы ви-
дим, что слабыми называют слабо отражающие границы. Отметим, что
при 0 = 1 формула A0.61) для границы однородной среды с полупрост-
ранством, где квадрат показателя преломления меняется по линейному
закону, переходит в результат C.125а), полученный в п. 3.5 из точного
решения задачи.
В третьем случае, когда на границе Л^ = N2, ЭЛ^/ЭГ = 9jV2/9f, но
a^j/af2 ^Э2УУ2/Э{, из A0.54) с учетом (8.10) получаем
1 / d2N\ d2N\\
V « —- ( -2 - -L).
\6k\N\ \ ЭГ2 ЭГ2 /
A0.62)
Коэффициент отражения пропорционален скачку второй производной
VV2. Он значительно меньше, чем коэффициент отражения A0.61), и быст-
рее стремится к нулю с ростом частоты. Учитывая в A0.50) соответствую-
щее число членов ряда (8.6), можно показать, что при условии непрерыв-
ности всех производных VV2, вплоть до blN2/b^1, и разрывности
g/+1 yV2/9f/+1 (/ = 0, 1, 2, . . . ) коэффициент отражения пропорционален
скачку (/ + 1)-й производной и обратно пропорционален произведению
yV2(fc0JVi)/ + ). (Аналогичный результат для неподвижных сред постоянной
плотности получен в [434], [260, гл. 3], [151, § 5]). Такие границы разде-
ла называют слабыми границами (/+ J)-ro порядка.
213

Когда параметры среды бесконечно дифференцируемы по г, все функции
ут в (8.7) непрерывны, и в приближении ВКБ волна распространяются
без отражения. На примере слоя Эпштейна в § 3 мы видели, что отражение
от бесконечно дифференцируемого профиля, вообще говоря, не равно
нулю, но с ростом со стремится к нулю экспоненциально (см., например
C.91)). Здесь проявляется различие точного и асимптотического решений,
даже если в последнем учитывается сколь угодно много членов ряда.
Результат можно было предвидеть заранее. Действительно, функция
ехр(— w~2) не равна сумме своего степенного ряда в окрестности w = О
(эта сумма есть тождественный нуль). Поэтому в приближении ВКБ, позво-
ляющем вычислить все коэффициенты ряда в разложении V по степеням
Icq1 , нельзя отличить от нуля коэффициент отражения вида ехр (—ak0L).
На слабой границе первого порядка выражения для коэффициента
отражения A0.61) и амплитуд волн A0.53) не содержат функций e;-{f). Од-
нако при f Ф 0 учет €j в выражениях A0.50) приводит к поправкам того
же порядка (k0L)-1, что и отражение от рассматриваемой слабой границы.
Используя понятия, введенные в п. 8.2, можно сказать, что амплитуда волн
первого порядка, образующихся при распространении падающей волны в
неоднородной среде, имеют значения, сопоставимые с амплитудой волны,
отраженной от слабой границы.
В тех случаях, когда приходится принимать во внимание отражение
от слабой границы второго порядка, выражения A0.50) становятся
недостаточно точными для описания звукового поля, и следует исполь-
зовать более точные формулы (8.9). При учете отражений от слабых
границ /-го порядка необходимо -сохранить 1+2 члена ряда (8.6).
К описанию поля в окрестности слабой границы в плавно-слоистой
среде можно было подойти и с другой стороны, взяв за основу уравнение
Риккати для коэффициента отражения A0.3) и воспользовавшись мето-
дом последовательных приближений из п. 10.3. Когда верхняя среда яв-
ляется однородной, для коэффициента отражения получаем формулы,
аналогичные приведенным выше (см. работу [52, § 25.7],в которой этим
способом рассмотрено отражение от полупространства с линейным законом
для квадрата показателя преломления). Однако в общем случае, когда
коэффициент отражения определяется в неоднородной среде, эти методы
дают различные результаты. Рассмотрим пример.
Как мы видели в п. 10.1, коэффициент отражения является непрерыв-
ной функцией координаты f, если эффективный показатель преломле-
ния N меняется непрерывно. В частности, функция V не испытывает скач-
ков на слабых границах. Поэтому при подходе на основе уравнения Рикка-
ти вообще бессмысленно говорить об отражении от какой-либо границы
(а не слоя), за исключением обычной границы раздела со скачком N. С дру-
гой стороны, непрерывность коэффициента отражения как функции
вертикальной координаты противоречит формулам A0.61) и A0.62).
Это противоречие послужило поводом для дискуссии (см. работы [52,
§ 25.7] и [83, гл. 4], в которых аргументируются противоположные
точки зрения).
На самом деле, противоречие между двумя подходами обусловлено
лишь различием в терминологии. Можно показать, что для полного звуко-
вого давления оба метода дают идентичные выражения. Используемые
214

же определения коэффициента отражения в неоднородной среде различ-
ны. Действительно, в п. 10.1 падающую и отраженную волны мы опреде-
лили при помощи A0.1), требуя взаимной пропорциональности верти-
кальных зависимостей давления и z-компоненты смещения частиц в каж-
дой из волн. В настоящем разделе мы различали эти волны по знаку волно-
вого вектора. Оба определения представляются естественными, однако
в неоднородной среде согласуются между собой только в первом прибли-
жении метода ВКБ. Так, в волне Ф[2' (f) (см. A0.50) ) вертикальная
зависимость z-компоненты смещения частиц согласно точному уравне-
нию (8.35) равна
^| 2) <10-63)
Это выражение согласуется с определением A0.1) отраженной волны толь-
ко в пренебрежении членами O((k0L)-1) по сравнению с единицей.
Сказанное выше лишний раз подчеркивает отмеченную в п. 10.1 услов-
ность разбиения звукового поля на падающую и отраженную волны в неод-
нородной среде. В конечном счете безразлично, какое из определений коэф-
фициента отражения использовать, если они различаются только на неод-
нородных участках среды. Здесь, в п. 10.4, определение падающей и отра-
женной волн по знаку фазы используется потому, что оно позволяет ла-
конично описать перестройку звукового поля в старших порядках прибли-
жения ВКБ на слабой границе раздела.
Во избежание недоразумений поясним также, что представление о вол-
нах, отражающихся только на обычных и слабых границах раздела, приме-
нимо лишь при условии k0L > 1, т.е. плавности изменения среды между
границами. Если в прилегающем к поверхности раздела тонком по срав-
нению с длиной звуковой волны слое сгладить функцию N(?) так, чтобы
все производные ./V были непрерывными, звуковое поле, как видно из ре-
зультатов п. 10.2, практически не изменится. Хотя граница исчезла, экви-
валентное отражение обеспечивается слоем с гладкими параметрами, пос-
кольку характерный вертикальный масштаб изменения N в этом слое
не велик по сравнению с к^1.
Влияние слабых границ раздела на поле точечного источника, рассчи-
танное в приближении геометрической актустики, проанализировано в ра-
ботах [1, 53, 448, 467, 469]. В статье [100] показано, что учет слабых
границ, возникающих при аппроксимации профиля скорости звука в океа-
ническом волноводе, позволяет существенно расширить границы приме-
нимости приближения ВКБ по удалению от источника.
В важном для приложений случае, когда в каждом слое можно поль-
зоваться приближением ВКБ и нас интересует только главный член высо-
кочастотных асимптотических разложений поля, общие формулы A0.46),
A0.47) значительно упрощаются. Полагая в A0.50) е;- = 0 и подставляя
ф/1<2) в A0.47),. находим коэффициенты 01,2,3,4 c точностью до множи-
теля [1 + O((k0L)'1 ]. После несложных преобразований формула перес-
чета импеданса A0.46) принимает вид
gV, A0.64)
215

где
A0.65)
Здесь Z^> (ZJ'*) - импеданс плоской волны в однородной среде, пара.
метры которой совпадают с параметрами слоя у его верхней (нижней)
границы, \р — набег фазы волны при однократном пробеге слоя.
Формула A0.64) очень близка к аналогичному результату B.66) для
дискретно-слоистой среды. В рассматриваемом приближении плавно-
неоднородный слой отличается от однородного слоя с той же величи-
ной фазового набега у тем, что свойства первого вблизи верхней и ниж-
ней границ, вообще говоря, различны, и он характеризуется двумя импе-
дансами,г^;) uZ^, а не одним импедансом Z, как в B.66).
Согласно A0.64) и B.67) коэффициент отражения от слоя (/ - 2),
заключенного между однородными и плавно-слоистыми полупростран-
ствами (/ = 1,3, см. рис. 2.4), равен
у
' ztz<» +z3z<» - /tg*<z<»>zj»> *z,z3) '
A0-66)
Он имеет полюсы при значениях f, определяемых из уравнения
. A0.67)
При этих значениях { звуковое по.че в системе имеет конечную величину
в отсутствие падающей волны. Оно будет поверхностной или вытекающей
волной для наблюдателя, расположенного вне слоя, или нормальной вол-
ной, если нас интересует поле в самом слое (см. п.н. 4.4, 15.3). A0.67)
представляет собой дисперсионное уравнение для этих волн. В случае аб-
солютно жестких (ZI>3 ** °°) или абсолютно мягких B1(з ** 0) границ
слоя оно принимает вид
kofN2(S)dS = kof(n202~}-2lklL7dz = nl, /=1,2,... A0.68)
о z,
Подробнее нормальные волны в плавно-слонстой среде рассмотрены, на-
пример, в [8J, E2, гл. 7J.
Результат A0.54) соответствует замечательно простому лучевому пред-
ставлению распространения волн в плавно-слоистой среде с границами:
лучи рефрагируют в слоях между границами без отражений; на границе,
где эффективный показатель преломления изменяется скачком от значе-
ния yVi до ;V2, падающий луч порождает отраженный и прошедший лучи,
причем отношения нх амплитуд к амплитуде падающего луча равно коэф-
фициентам отражения и прозрачности для плоской волны на границе раз-
дела однородных сред с параметрами Ni и УУг - Применим лучевые пред-
ставления к расчету коэффициента отражения от слоя. Суммируя комплек-
сные амплитуды лучей, испытавших различное число отражений от верх-
216

ней и нижней границ слоя и повторяя приведенные в п, 2.4 рассуждения,
получим формулу B,57) для коэффициента отражения от слот F =
= (^32 + У2,е2'*)A + ^эг^е2'*). Здесь коэффициенты отражения
луча V}2 от границы сред 3 и 2 и V21 от границы сред 2 и 1 равны
A0.69)
а фазовый набег у определен формулой A0,65). Легко проверить, что
подстановка A0.69) в B.57) дает тот же результат, что и полученная дру-
гим способом формула A0.66).
§11, Метод эталонных интегралов
Чтобы применить полученные выше результаты к исследованию поля
точечного источника звука, необходимо владеть методами анализа интег-
ральных представлений поля. В этом параграфе мы рассмотрим асимпто-
тические оценки интегралов вида
J = fexp[pf(w))F(w)dw, p>\. A1.1)
у
Здесь /(к-') и F(w) - аналитические функции комплексной переменной
и>; 7 - контур интегрирования в комплексной плоскости и>, который в
частном случае может охватывать только вещественные значения и>. Как
мы увидим в гл. 3 и 4, такие интегралы возникают при решении задачи о
звуковом поле сосредоточенного источника в слоистой среде методом раз-
деления переменных. Аналогичные интегралы появляются при исследо-
вании формы импульса, распространяющегося в диспергирующей среде,
дифракции волн на телах сложной формы, в квантовомеханической тео-
рии соударений и во многих других физических задачах.
Асимптотическим оценкам интегралов посвящена обширная литера-
тура [117, 145, 163, 166, 200, 202. 223, 257, 275, 309, 314, 345]. Прекрас-
ное нхчожение вопроса на физическом уровне строгости дано в работах
[261] и в [260, гл. 4]), Универсальным способом построения асимпто-
тик интегралов вида A1.1 > является метод этфтонных интегралов. Не
вдаваясь в строгие математические обоснования, мы опишем централь-
ную идею этого метода и его основные результаты.
Наиболее употребительным вариантом метода эталонных интегралов
является метод перенала. Иногда его называют также методом наискорей-
шего спуска или методом седло вой точки.
11.1, Метод перевала. Путь интегрирования в комплексной плоскости в
известных предсиах можно деформировать, ие изменяя значения интегра-
ла. Пользуясь зтнм, постараемся выбрать его так. чтобы только сравнитель-
но короткая его часть определяла значение интеграла A1,1). Тогда, как
мы увидим, подынтегральную функцню удается заменить на другую, более
простую, достаточно точно совпадающую с исходной на этом существенном
участке контура интегрирования.
Не ограничивая общности, величину р в A1,1) можно считать вещест-
венной и положительной. Выделим в /(и>) вещественную и мнимую час-
217

та: f(w) a /| (и>) + if2 (и>). Тогда экспонента под интегралом будет равна
ехр(/р/2 +p/i). Пусть контур 7 в A1.1) бесконечен. Новый контур интег-
рирования >| будет удовлетворять указанному выше требованию, если
/i имеет в некоторой его точке ws максимум и спадает насколько возмож-
но быстро или удалении от этой точки. Но мнимая и вещественная части
аналитической функции — в нашем случае /г и /\ — обладают тем свой-
ством, что в плоскости w линии быстрейшего спада одной из ннх являют-
ся линиями постоянных значений другой. Следовательно, контур уг дол-
жен совпадать с линией постоянной фазы /2 = const. В точке ws произ-
водная от fx равна нулю. Поскольку ws лежит на линии постоянной фазы,
равна пуню и производная от /2. Таким образом, точка ws может быть
найдена иэ уравнения
df(ws)IUw'O, A1.2)
ws называют точкой перевала. Итак, наиболее выгодный путь интегриро-
вания должен проходить через точку перевала по линин /2 = const. Такой
путь мы будем называть перевальным. Когда значение р велико, модуль
экспоненты в A1.1 )при удалении m точки перевала будет быстро спадать,
так что существенную роль будет играть только малая часть контура ин-
тегрирования, лежащая в окрестности ws.
Предположим временно, что точка перевала единственна, и
d2f(ws)lciw2 ФО, A1,3)
Легко видеть, что перевальный контур - это геометрическое место точек,
определяемое уравнением
f(w) = f(ws)-s2, -°°<s<+« A1.4)
Действительно, из A1.4) следует, что/, (и>) =/, (ws) - s2 </j (ws),f2 (и>) =
-fi iws) • Точка перевала соответствует s = 0.
const
Рис, 11.1. Линии уровня вещественной и мнимой частей показатели экспоненты в ок-
рестности точки перевала $ ¦ 0. Точками выделены области, где Re *' > 0
21В

feu;
Рис, 11.2. Преобразование исход- flmw
ного к онтура интегрирования у к
перевальному пути у,: wpj (/ с
= 1, 2, 3, 4) -лолюсы, wbj (j -
" 1, 2) - точки ветвления подын-
тегральной функции
Перейдем в интеграле A1.1)
к новой комплексной пере-
менной s с помощью уравне-
ния A1.4). Если выполняет-
ся условие A13), то s(w),
f(w(s)) и F(w(s)) -анали'
тические функции [232, § 32],
На плоскости s перевальный
путь интегрирования совпа-
дает с вещественной осью.
Разделим вещественную и мнимую части s: S - Si + /в2. Тогда / = f(ws) -
- (s\ — si) - listS-i. Отсюда следует, что в плоскости s линиями /, =
= const и fi = const являются два ортогональных друг другу семейства
гипербол (рис, 11.1). Вещественная ось s2 - 0 совпадает с перевальным
контуром; она является одной из линий /2 - const и перпендикулярна
линиям /| = const. Заметим, что через точку перевала s =0 проходит еще
одна линия fi = const, а именно мнимая ось (ij =0). Однако на этой ли-
нии /i имеет минимум при s - 0. Таким образом, линия Si = 0 — это путь
быстрейшего нарастания, а не путь спада/,.
Представим себе мысленно рельеф функции /i (sls s2) над плоскостью
s1( Si, Вблизи точки s = 0 этот рельеф будет иметь вид седла, так как по
обе стороны от нее вдоль вещественной оси он опускается, а в перпенди-
кулярном направлении - вдоль мнимой оси, поднимается, Проходя по ве-
щественной оси, мы сначала, при приближении к точке s = 0, поднимаем-
ся по рельефу, а затем, пройдя эту точку и как бы перевалив через хре-
бет, опускаемся. Поэтому точка s = 0 н называется точкой перевала. Иног-
да о ней говорят, как о седловой или стационарной точке.
Интеграл по контуру 7 согласно теореме Коши может быть заменен ин-
тегралом от той же функции, взятым по перевальному пути 7i • Возможно
только, что к нему придется добавить некоторые слагаемые, получающие-
ся при обходе особых точек, если они встретятся при деформации кон-
тура 7 в 7i- В частности, если нам придется обойти полюс, то добавится
вычет в этом полюсе; если подынтегральная функция многозначна, то,
возможно, нужно будет добавить интеграл по берегам проведенного соот-
ветствующим образом разреза. Например, в случае, изображенном на
рис. 11.2, интеграл по контуру 7 равен сумме интегралов по перевально-
му контуру 7 и контуру у2 вокруг разреза, а также вычетов в полюсах
и>р, и и>р2. Отметим, что разрез, связанный с точкой ветвления *vft2, и по-
люсы wp3, и>р4 не дают вклада в интеграл» Не рассматривая здесь всех этих
добавок, остановимся на вычислении интеграла по перевальному пути.
При помощи A1.4), интеграл A1.1) запищем в виде
/=ехр[р/(и>,)]
A15)
21»

Так как р велико, то под интегралом будут существенны только малые
значения s. Поэтому функцию ФE) целесообразно представить в виде ря-
да Тейлора:
(И.6)
1=0 ш
Используя интегральное представление Г-функции Г(м') = fsw~l e"~*ds,
получаем
т + ] \m +1/
(H.7)
Прит*1ия = 2«i четном
Подставим ряд A1.6) в A1.5) и поменяем порядок суммирования и ин-
тегрирования Все члены с нечетными степенями s при интегрировании
дадут нуль. Для интегралов с четными степенями s воспользуемся фор-
мулой A1.8). В результате получаем для / ряд по обратным степеням
большого параметра р:
fA1.9)
22lp'l\
Если функция Ф($) изменяется достаточно медленно по сравнению с зке-
понентой exp(-ps2), т.е. если ее производные достаточно малы, то в A1Э)
можно ограничиться одним или несколькими первыми членами.
Найдем в явном виде два первых коэффициента асимптотического ря-
да A1 .9). Разлагая / в A1.4) по степеням и = w - ws, получаем
V>,)«3 + 7/">,)«э + ^:/(IV)K)«4 +... =-Л (НЛО)
2 о 24
Обращая этот ряд, можно представить и в виде ряда по степеням s. Для
этого положим
и - y/-2lf"(wt)-s-(\ + «,s+«2«2+...). (ил)
Подставляя A1.11) в A1.10) и приравнивая коэффициенты при одина-
ковых степенях s, находим д; (где/ = 1, 2,., .)•
После простых выкладок из A1.11) и выражения A1.5) для Ф($),
rncdw/ds =dujds, получаем
./"/ \6 2F
5(Г'J
4(^"J"" 12(/")э F/'
Знак радикала в A1.12) определяется из соотношения A1.11), со-
220
Ф"(О) ш f F'f"
2Ф@) * L F(f"f

гласно которому при малых положительных значениях s имеем
argV-2//' (ws) » arg(u> - ws) s X» где х - угол между направлением
касательной к перевальному контуру -у, и Положительным направлением
действительной оси на плоскости и> при и> = ws.
Явное выражение для третьего члена в A1.9) и рекуррентные форму-
лы для последующих членов даны в [33].
Асимптотический ряд A1.9), вообще говоря, расходится. Наилучшее
приближение получается (см. [402, гл. 7]), когда ряд оборван на наимень-
шем члене, причем последний включается в сумму с множителем 1/2.
Рассмотрим теперь другой случай, когда инте1рал A1.1) берется по
полубесконечному контуру. Пусть контур у начинается в точке w = а и
уходит на бесконечность, причем подынтегральная функция стремится
к нулю или остается ограниченной при | w \ -> °°, w e у. Пусть далее а Ф
Ф ws. Продоформируем контур у к пути скорейшего спуска -уэ> проходя-
щему через точку а:
A1.13)
и учтем при необходимости вклады особых точек, расположенных меж-
ДУ У и 7э> На контуре >э мнимая часть функции / постоянна, а веществен-
ная часть /i = /i (a) - s </, (а); значение s = 0 соответствует начальной
точке контура у. Интеграл по >э равен
+«
J= fexp{pf(w)}F(w}dw
= F(w)dwlds.
Интегрируя по частям, имеем
1
Последовательно повторяя эту операцию и используя равенство dwjds =
= - 1//'(и>), получаем
1
Р
(l /I d\ / F(w) \|
= explp/(<,)] I 5_J_(___) (-^-M . A1.15)
O '+I \f (w) dw/ \f '() / |
Если a = ws, то для того чтобы ф($) бьща регулярной функцией, вмес-
то соотношения A1.13) следует использовать A1.4), где теперь 0 <s <
< +°°. В результате для интеграла по уг получаем выражение, отличаю-
щееся от A1.S) только заменой нижнего предела интегрирования на ноль.
Действуя, как при вьтоде A1.9), находим
/ = ехр[р/(и>,I Z Ф@@)Г (— )/BРA+1)/2'!). A1.16)
1 = 0 \ 2 //
Явные выражения для трех первых коэффициентов ряда A1.16) дают

формулы A1.12). Отметим, что главные члены асимптотических разло-
жений A1.16) и A1.9) отличаются только множителем 1/2.
Интеграл в конечных пределах можно представить в виде алгебраи-
ческой суммы интегралов по бесконечному и двум полубесконечным кон-
турам. Следовательно, его асимптотика сводится к комбинации формул
A1.9), A1.15) и A1.16).
К интегралам в конечных или полубесконечных пределах сводятся
вклады точек ветвления подынтегральной функции в A1.1). Пусть ра>
рез комплексной плоскости начинается в точке wb ветвления функции
F и уходит на бесконечность (см. рис. 11.2). Обозначим F, (и>) разность
значений F(w) на двух берегах разреза. Пусть в окрестности точки вет-
вления она представляется рядом
^t (w) = g(w) I -A,(w - wbf, A1.17)
/ = l
где /3 >0, g(w) - регулярная функция. В A1.17) отсутствуют члены с
целыми показателями 0/, поскольку такие слагаемые принимают равные
значения на обоих берегах разреза. В частности, при /3=1/2 разложение
A1.17) ведется по полуцелым степеням w - wb.
Интеграл вдоль разреза про деформируем к пути скорейшего спуска,
проходящему через wb. Если wh Ф ws> то переменную s будем определять
согласно A1.13); если wb - ws> то s определяется при помощи A1.4).
Тогда интеграл по берегам разреза равен (т = 0 в первом случае и m = 1
во втором)
Jb = / explpf(w)]F(w)dw = exp[pf(wb)) / exp(-psm+ 'L>(s)ds,
A1.18)
Разность w — wb разлагается в ряд по целым степеням s, начиная с пер-
вой. Поэтому Ф(«) представляет собой бесконечную сумму слагаемых
вида Blnsl0+n~l, где /, п - 1, 2,... Почленное интегрирование в A1.18)
легко провести, используя A1.7):
h = —Ц-«р[р/(нъ)] Z" ^„rf^Vfr + WK—»>. A1.19)
т +1 i i \m + l/
Выпишем главный член асимптотического разложения A1.19) при 0 < 1:
/dw
Jh =А, { —
)
s=o/
;(
m + 1 \m
где, как мы видели выше, (dw/ds)sS0 = -\ff\wb) при m = 0;
(dWlds)s-_0 = (_2//'>й))'/2 прит = 1.
Формулы A1.9), A1.15), A1.16) и A1.19) дают асимптотическое
разложение любого интеграла вида A1.1), имеющего единственную сед-
ловую точку ws, удовлетворяющую условию A1.3). (Такую седловую
222

точку называют простой). Метод перевала позволяет рассмотреть и бо-
пее сложные снучаи, когда в A1.1) имеется несколько перевальных точек
любого порядка. Точка ws называется перевальной точкой m-го поряд-
ка, если
d'f(ws)ldW = 0 (/ = 1,2,..., т),
dm*lf(ws)l<twm+l Ф 0. (
Рассмотрим интеграл A1.1) с такой перевальной точкой. Определим за-
мену переменной wE) формулой
- 5m + 1. A1.22)
Значение s = 0 соответствует точке w - ws. В окрестности s = 0 функция
w(s) является аналитической (см. [232, § 32]). В малой окрестности
точек w - ws и s = 0 функции /(и>) и sm* l = | s |m+ ' [cos((w + 1 )arg s) +
+ >sin((m + l)arg s)] имеют одинаковую структуру линий постоянного
уровня вещественной и мнимой частей. На комплексной плоскости s че-
рез перевальную точку проходит (т + 1) линия постоянного уровня ве-
щественной части sm+1, а именно s = аехр[/тгB/ + l)/2(w/ + 1)]. (Здесь
-«*> < ff< + °°, / = 0, 1,. . ., т). Они разбивают комплексную плоскость
на 2 (т + 1) секторов. Внутри каждого сектора величина Re sm-l"l имеет
определенный знак. Секторы cResm+ ' < 0 nResm + l >0 чередуются. Каж-
дый сектор содержит ровно один пуч s = \s \ ¦ expli'i;//(m + 1)], / = 0,
1,..., 2т + 1, на котором постоянное значение имеет величина Ims*1.
В секторах, где Res'" < 0, эти лучи являются линиями быстрейшего
роста f(w), а в секторах, rncResm+I > 0 (в "долинах"). линиями
быстрейшего спуска. Иллюстрацией сказанного при т = 1 служит
рис. 11.1, на котором секторы, где Re 5m+l >0, выделены точками.
Ксли контур у в A1.1) неограничен, то он уходит на бесконечность
по "долинам", иначе интеграл был бы расходящимся. Перевальный путь
интегрирования состоит из двух лучей быстрейшего спуска Г1>2< лежа-
щих в тех "долинах", по которым уходит на бесконечность у. Для вкла-
да каждого из лучей имеем
Jj =cxp[pf(ws)] f txp(-psm + 1№/(s)ds,
г/
dwj
Ф,E) =F(w)—-,./ = 1,2, A1.23)
as
причем J = J\ + Ji. Разлагая функции ФуE) в степенной ряд и исполь-
зуя A1.7), помучаем
+ - Ф<')@) / /+ 1 \
J, - exp [pf(ws)) I ' Г ( ) р" С+ »>/<* + '>. A1.24)
7 = 0 (/и+ 1)/! \т + 1 /
Вычисляя при помощи (П.21) и A1.22) производную dwffds \s =0. Для
Ф/@) в A1.24) получаем
Ф;@) = I-C" + l)!//(m + l)K)}l/(mM)F(w,). A1.25)
Выбор значения корня в A1.25) определяется геометрией перевального
223

контура. Как и в A1.12), его аргумент равен углу между направления-
ми касательной к перевальному контуру и положительным направлением
действительной оси на плоскости w при w = ws. Аргумент принимает, во-
обще говоря, различные значения для лучей Г! и Г2.
Рассмотрение интегралов по полубесконечным и конечным контурам
при наличии кратной точки перевала проводится, как и ранее. Когда ws Ф
Ф a, ws Ф wb, формулы A1.15) и A1.19) остаются неизменными. Когда
ws - а, число 2 в A1.16) нужно везде заменить на т + I. Если ws = wb.
то по-прежнему можно пользоваться формулой A1.20). подставив в нее
величину dw/ds\s^0 равную [-(m+ l)'//(m+J) (ws) | J/<m+ '>.
Когда функция / имеет несколько стационарных точек, исходный кон-
тур у следует преобразовать в контур, проходящий по путям быстрейшего
спуска через одну или несколько стационарных точек. Их вклад в асимп-
тотику интеграла дается суммой выражений вида A1.9). Определяющим
будет вклад той (или тех) седловой точки, где величина Re f(ws) дости-
гает максимального значения.
Использованное лри выводе A1.9) почленное интегрирование ряда
A1.6) становится не вполне законной операцией, когда существует не-
сколько перевальных точек. Действительно, в A1.5) функция 4>(s) =
= -2sF(w)lf'(w), определенная в окрестности ws, обращается в беско-
нечность в других стационарных точках. Поэтому радиус сходимости
ряда A1.6) конечен. Пусть ближайшей к s =0 перевальной точкой будет
s = s,. Тогда можно показать (см. [260, гл. 4, § 1]), что в A1.9) к пра-
вой части добавляется член порядка
exp[p/(wJ)]O(p-1exp(-p|sI |2)). A1.26)
экспоненциально малый при больших р.
Асимптотика интеграла A1.1) лри р -* +<*> определяется бесконечно
малыми окрестностями перевальных точек. Поэтому не обязательно
строить полный перевальный контур ylt найти который довольно затруд-
нительно для сложных функций f(w). Для асимптотической оценки ин-
теграла годится контур Г, совпадающий с линией быстрейшего слуска
только в окрестностях перевальных точек, где ее положение легко опреде-
лить. Там. где Г не совпадает с у\, должно быть выполнено только не-
равенство Re /(и>) < Re f(ws) - S, 5 > 0. Такой прием сильно упрощает
анализ многих конкретных задач (см. например [260, гл. 5]). Он ши-
роко применяется и при численных расчетах интегралов (см. [331. 491,
492,508] и др.).
Подведем некоторые итоги. Мы видим, что асимптотика интеграла
A1.1) при р -* *<*> представляет собой сумму вкладов критических то?
чек подынтегральной функции: стационарных точек /. полюсов и точек
ветвления Г. концевых точек контура у. Метод перевала позволяет по-
лучить полные асимптотические разложения интеграла A1.1) с любым
набором изолированных критических точек, когда функции F и / ана-
литические. Последнее условие в ряде важных случаев можно существен-
но ослабить (см. п. 11.2). В дальнейшем мы увидим, что вклады отдель-
ных критических точек имеют ясный физический смысл. В волновых за-
дачах обычно вклад стационарной точки соответствует полю, связанно-
224

му с лучом, точки ветвления - с боковой волной, полюсы — с поверхно-
стной, вытекающей или нормальной волной.
Что метод перевала не может дать, так это учет сближения критических
точек. Пусть, например, простая перевальная точка ws расположена вбли-
зи концевой точки а контура у. Асимптотика, полученная методом перева-
ла, равна сумме вкладов A1.9) стационарной точки и A1.15) точки w =
= а. Если р фиксировано, a ws -+а, то /'(а) -* 0, и соотношение A1.15)
теряет смысл. Однако при совпадении особенностей метод перевала приго-
ден. В нашем примере при ws - а асимптотика интеграла дается форму-
лой A1. 16). Когда ws # а и р -» +°°, всегда найдется достаточно большое
значение р, при котором можно пользоваться формулами A1.9) и A1.15).
Только при ws -а нужно использовать другую формулу - A1.16). Боль-
шим параметром в методе перевала, в сущности, является не р, а вели-
чина, характеризующая медленность изменения функций / и F в суще-
ственной при интегрировании окрестности критической точки. Напри-
мер, в A1.15) истинным большим параметром будет pf'(a) <* р(а - ws),
если / " и производные F порядка единицы. При сближении двух стацио-
нарных точек большой параметр — зто р\ s t |2 (см. A1.26)).
Асимптотическое разложение, полученное методом перевала, являет-
ся неравномерным по параметру (ws — а): оно дается разными форму-
лами при разных значениях параметра. Систематический способ получе-
ния равномерных асимптотических разложений в этом и других случаях
описан в п. 11.3. Ценность равномерных асимптотик состоит в том, что
они позволяют приближенно вычислить интеграл A1.1) при р> р0 и лю-
бых значениях параметра, а не только при р ¦* +°°.
11.2. Интегралы по вещественной переменной. Часто встречаются ин-
тегралы вида A11), в которых контур у представляет собой веществен-
ную ось ини ее часть. Примером их служат интегралы Лапласа, где у —
отрезок [а, Ь\, а функция / принимает на зтом отрезке вещественные
значения. Нас по-прежнему будет интересовать асимптотика интегралов
при р -> +°°. В сущности, мы имеем здесь вырожденный случай задачи,
рассмотренной в п, 11.1: исходный контур интегрирования совпадает
с путем быстрейшего спуска, Поэтому на интегралы Лапласа переносят-
ся все полученные выше результаты. Для их вывода не требуется дефор»
мировать контур интегрирования в комплексной плоскости. Следователь-
но, можно отказаться от требования аналитичности функций, считая 6vhk- .
ции / и F бесконечно дифференцируемыми в окрестностях точек а, о и
максимумов /(и>), и кусочно-непрерывными и ограниченными на интер-
вале (а, Ь), Если / и F или их производные терпят разрыв в конечном чис-
ле точек ahi = 1,...,/, то асимптотику интеграла легко получить, разбивая
отрезок [а, Ь\ на интервалы (a, «i), (a,, a2),..., (a/, b) и суммируя
известные асимптотики интегралов по этим интервалам. Так удается рас-
смотреть и случаи, в которых / достигает максимума в точке разрыва.
Большое значение имеет другой специальный случай, когда /(и>) -
= />(и>), функция (/> вещественна, у = [а, Ь]. В этом случае A1.1) назы-
вают интегралами Фурье. На контуре интегрирования постоянна веще-
ственная часть показателя экспоненты в A1.1), а не мнимая, как на пути
быстрейшего спуска. При больших р вещественная и мнимая части функ-
ции F(w)exp[ip<p(w)] сильно осциллируют, и две соседние полуволны
15. Л.М. Бреховских " 225

имеют близкие по величине, но противоположные по знаку площади.
Поэтому сумма таких площадей мала. Основной вклад в интеграл дают
конечные точки контура интегрирования, определяющие число полуволн
на отрезке [а, Ь\, и окрестность стационарных точек, где фаза меняется
медленнее всего.
Облечем эти качественные соображения в строгую форму. Пусть на
отрезке [а, Ь] имеется единственная стационарная точка wt, причем
*р" (ws) ^ 0, ws # а, Ь. Сделаем замену переменной по формулам
*( - *Ю + 0,5*"(w,MJ, Ф($) = F(w)dwlds,
Ф,(*) е [ф(*) _ Ф@I/ь
Отметим, что
dw!ds^0 « 1, s(a) < 0 < s(b). A1.28)
Интеграл A1,1) принимает вид
*(а)
j A1.29)
Pi = Г-р/(»*,).
Легко видеть, что
s(b) +~ *(о) +~ dexp(/p,j2)
/ ed'p»)*/* = / exp(ip,f»)rfi - ( / + / )
ГТГ~ / я \ i
¦ ¦ expf /-agnp, ) + — {j-I(e)exp[ip,j2(e)l -
I Pi I \ 4 / 2pj
- s-*(b)exp[ipts*(b)]} *О((йг). A1.30)
Интегрируя по частям в A1.29), при учете A1.30) получаем
/"*"" Г «я 1
/ = Ф@)л/- гехр ip>p(ws) + —sgnp, I +
I Pi I I 4 J
p[ip^(()| / exp(/p,s2L»i(*)di + O0»i"*). A1.31)
2p, ()
Функция Ф1 (i) не имеет особенностей. Поэтому интеграл в правой час-
ти A1.31) стремится к нулю при рх -***. Если Ф($) — достаточно глад-
кая функция, то последующие члены асимптотического разложения мож-
но лолучить, представляя ф', в виде ф", (s) = Ф', @) + *Ф2 (s) и повторяя
интегрирование ло частям. При помощи A1.27) выразим входящие в
226

A1.31) величины через значения функций F
( F(a) F(b)
J = -1 [()l
1 exp [jp^(a)l
Pis» (
Для справедливости A1.32) достаточно, чтобы функция F(w) была дваж-
ды непрерывно дифференцируемой. Результат A1.32) называют лервым
приближением метода стационарной фазы. Его можно было получить
также из A1.15) и A1.9), заметив, что леревальный путь пересекает ве-
щественную ось в точке w, под углом (я/4)sgn у " (w4). Если подынтеграль-
ная функция в A1.1) — аналитическая, то метод стационарной фазы
является частным случаем метода перевала.
Рассмотрим теперь асимптотику кратного интеграла Фурье
/= fd"wF(w)exp [ip>f(w)]. A1.33)
Здесь w = (w,, w2, . . . , wn) — п-мерный вещественный вектор, у> nF ~
достаточно гладкие функции, не имеющие особенностей. Интегрирование
ведется по всему пространству и предполагается, что подынтегральная
функция стремится к нулю при w -*<*>.
Пусть ws - единственная стационарная точка функции <р, т.«.
^=0, /»1,2,...,и. A1.34)
Будем считать стационарную точку простой. В ее окрестности <р является
квадратичной функцией компонент вектора и = w — ws:
>p(w) = <p(wt) + — 2 a\mufum + O(u*),
2 I, m=l
A1.35)
Л
Коэффициенты а/т можно рассматривать как компоненты матрицы А.
В многомерном случае стационарная точка будет простой (невырожден-
ной) , если det А Ф 0 (ср. A1.3)).
Как известно, любая квадратичная форма линейной заменой переменных
Л А
и = Bv, где В - квадратная матрица, может быть приведена к диагональ-
ному виду (см. [146, § 13.51)
" * * Л А
2 а1тщит = 2 q,vl причем П qr, = det>4(detBf. A1.36)
Выполняя в A1.33) замену переменных w = wt + Bv, приходим к интегралу
, „ (\р " Л
/ = | det В | exp [ip^w,)l fd" \Ф(у)ехр I — Z <?/W/у.
, - ./ ("-37)
15* 227

В одномерном интеграле
] A1.38)
функция Ф(у) согласно A1.37) имеет разложение
p(d3vf + d4vf) + O(pv* +u?), A1.39)
где dj(j ~ 1, 2, 3, 4) - коэффициенты порядка единицы. Интегрируя
A1.39) почленно, находим
//=12фя,\1 >2 exp [(Ar/4) sgn q,\ Ф\щ = Q [ 1 + О(р'})]. A1.40)
Нечетные степени и/ не дают вклада в интеграл // ввиду нечетности подын-
тегральной функции.
Последовательно применяя формулу A1.40) и учитывая A1.36), полу-
чаем асимптотическую оценку кратного интеграла A1.37):
- | det В\ {
/2тг У1'2
'(т-J
л
П я,
-1/2
A1.41а)
.) +7 2 s»1*- A1.416)
4 /= i
л
Коэффициент перед я/4 в лA1.41б) называется сигнатурой матрицы А.
Он не зависит от матрицы В, приводящей А к диагональному виду [146,
§ 13.51. Аналогично получается оценка кратного интеграла Лапласа, Я"
котором функция / имеет единственный максимум ws:
-(—У'2 I uctAr4*ftw,)*«»j[l +<?(-)]. A142)
В точке максимума qt < 0 при всех /. Последующие члены асимптоти-
ческих разложений /и 7 вычислены в [404). Если tp (w) имеет несколько
локальных максимумов, то каждый из них вносит в асимптотику вклад
A1.42). Определяющим является вклад точки с наибольшим значением <р.
Если ifi (w) в A1.33) имеет несколько изолированных стационарных точек
и все онн невырожденны, то асимптотика интеграла дается суммой выраже-
ний вида A1.41).
В кратных интегралах по ограниченной области критическими точками,
помимо стационарных точек показателя экспоненты и особых точек пред-
экспоненциального множителя, оказываются угловые точки границы об-
ласти и те точки на гладких участках границы, где grad у ортогонален ей.
Вклады в асимптотику интеграла этих критических точек определены в
[257, гл. 5].Об интегралах с близкими стационарными точками см.
[256, 438, 5361, [257, гл. 61. Случай стационарной точки вблизи границы
рассмотрен в [132], [257, гл. 6] • Для двумерных интегралов со стационар-
228

ной точкой вблизи угловой точки границы равномерные асимптотические
разложения получены в [12,34, 1321 •
11.3. Равномерные асимптотики интегралов. Возникающие в физичес-
ких задачах интегралы вида A1.1) помимо большого параметра р, как
правило, содержат несколько дополнительных параметров Ь ~ {b,-}, j -
= 1, 2, . . . ,N. При некоторых значениях Л = Ло может происходить слияние
критических точек под интегралом, что нарушает применимость метода
перевала при А * Ьо. В настоящем разделе мы получим равномерные, т.е.
пригодные при р > 1 и любых значениях А, асимптотики. Для этого сведем
интеграл A1.1) при помощи замены переменных w($),определяемой урав-
нением
Я*-) - ф), A1.43)
к более простому (эталонному) интегралу
7ts)rfs, A1.44)
правильно передающему поведение функций/ и F вблизи критических то-
чек и выражающемуся через известные функции. Если функция F(w) в
A1.1) имеет особенность (полюс или точку ветвления), то такую же осо-
бенность должна иметь функция T(s). Замена переменных должна пере-
водить особые точки T(s) в соответствующие особые точки F(w). Чтобы
локальные свойства подынтегральных функций в A1.1) и A1.44) совпа-
дали, w(s) должна быть регулярной функцией, производная которой
dw/ds = t'(s)/f'(w) не обращается в нуль и бесконечность (по крайней
мере, вблизи критических точек). Поэтому t (s) должна иметь столько же
стационарных точек и того же порядка, что и/(и»). Отметим аналогию со
сформулированными в п. 9.1 требованиями к выбору функции сравне-
ния в методе эталонных уравнений.
Начнем со случая, когда критическими точками в A1.1) являются прос-
тая перевальная точка ws и полюс wp, а интегрирование ведется по переваль-
ному контуру. Простейшим эталонным интегралом для этой задачи будет
, ds
fa («. Р,*р) = / exp (-Р*2) ; —- • A1.45)
Рассмотрим сначала случай простого полюса (п - 1). Согласно [240, с. 120],
при п = 1 эталонный интеграл равен
fa A, р, sp) = inexp (-ps2p) [erf (i V7 jp) + 1 ],
(l i.4oa)
Im sp > 0, v
где
erf и = B yfn ) / exp (-r* ) dt A1.47)
о
— хорошо изученный и табулированный при произвольных комплексных
значениях аргумента интеграл вероятностей (см. [240, гл. 7), [178,2761).
Пользуясь равенством fa(n, д Sp) =#¦?(«, Р> sp) из (И-46а) получаем
1, sp) e roexp(-psp) (erf (i\fpsp)~ l\, Imsp <0. A1.466)
229

При переходе sp через вещественную ось значение 3S • как видно яэ A1.46),
изменяется скачком:
p p (-ps2), lmsp = 0.
Величина скачка равна умноженному на 2ni вычету в полюсе s = sp. В
ряде дифракционных задач особый интерес представляет случай sp -
= | sp\ ехр (±/эт/4), когда [exp [p/(w,)] | = [exp [pf(wp)]\ (см., напри-
мер, [П])- Для таких значений sp интеграл вероятности выражается через
интегралы Френеля С и 5 от веществ енного аргумента [240, гл. 7] :
erf [л/й (I - 0 и/2] = A - О [<Э("> + iS(u)\. A1.48)
При больших значениях \и\ имеет место асимптотика [240, с. 122]
-s/T(l-erfu)Mexp(M2)=l+ 2 (-l)mBm - 1)!! Bм2)"т,
т = I
A1.49)
3»/4, |м|>1.
Подставляя A1.49) в A1.46), получаем при обоих знаках Im sp:
V'Y 1 \
-) (l + -+...), p\sp\3> I. A1.50)
kp / \ 2psp /
Тот же результат дает прямое применение к A1.45) нашей формулы A1.9).
Эта асимптотика, как мы видим, относится к случаю, когда полюс далек
от точки перевала.
Проанализировав эталонный интеграл A1.45), перейдем к отысканию
равномерной асимптотики исходного интеграла A1.1). Заменой перемен-
ных A1.4) он приводится к виду A1.5). В рассматриваемом случае
F(w) = a(w-wpyl +Fl(w), a= Urn [F(w){w - wp)], A1.51)
W -» Wp
F\ (w) — регулярная функция. Из равенства w(sp) - wp и A1.4) следует
A1.52)
Подынтегральную функцию в A1.5) разобьем на два слагаемых:
Ф,(s) = -2^, (w)//'(w) - a[25(/'(w)(w - wp))-x + (s
Отметим, что Ф| - регулярная функция s- Используя A1.9) и A1.45),
получаем тогда искомую равномерную асимптотику
2~2г 1
7л" J'
Здесь sp берется из A152); из A1.53) и A1.12) следует
Ф! @) = Pb»s) V-2//"(w,) + a/sp. A1.55)
Знак радикала в A1.52) выбирается так, чтобы обеспечить подобие в рас-
положении критических точек в исходном и эталонном интегралах. Это тре-
230

бование можно записать в виде
lim [(wp - ws)fsp] = dw/ds\ ->/-2//>,). A1.56)
Знак последнего радикала определяется так же, как в A1.12).
При условии
P\f(w,)-f(wp)\>\ A1.57)
можно воспользоваться асимптотикой A1,50) эталонного интеграла Тог-
да из A1.54) получаем, как легко убедиться, обычный результат метода
перевала A1.9). Неравенство A1.57) служит, таким образом, критерием
"достаточной удаленности" критических точек, предполагаемой в методе
перевала.
В случае полюса произвольного порядка N в A1.1) функцию Ф($) в
A1.5) представим в виде
Ф(*)= 2 ая(*-*р)-+Ф,(*), A1.58)
л = 1
где <&i — регулярная функция. Равномерной асимптотикой интеграла
A1.1) будет
Г N /n \»/2 +°° B1) 2"
/=exp[p/(w,)l [*x*n1tx(p.P.*p)+\-j Ъо*\ @Oл
A1.59)
sp определяется здесь так же, как при N = 1. Функция fa (я, р, sp) выра-
жается через 3^, A,р, sp) при помощи рекуррентной формулы
&(« + 1,Р, sp) = п ~—%(n,P,*p), n -1,2,... A1.60)
Э*р
Условием перехода к результатам метода перевала по-прежнему будет
A1.57). Явные выражения для Щ,ап и Ф| @) выпишем при N = 2:
A1.61)
lim F[w){w-WpJ,(ll.62)
Г) -(а2 -
При дифференцировании в A1.60) мы учли, что (erf и)' = 2я~''2 ехр (-и2)
согласно A1.47).
Перейдем к более сложной задаче о равномерной асимптотике интегра-
ла A1.1), имеющего одну простую перевальную точку ws и точку ветвле-
ния wb функции F(w). Локальная асимптотика, справедливая при условии
| Wj — hj, j < 1, была получена и подробно исследована в работах [41, 43],
[52, § 31]. Равномерная асимптотика построена в [307]; см. также рабо-
ты [236, 237, 326,551 ] и указанную там литературу.
231

Рассмотрим интеграл
У= / dw(w - wb fg{w) exp [ipa(w - wsK], |a | = 1, ([[-63)
где g (и») — произвольная регулярная функция. Под степенью а"
иого числа и - | и | ехр (/ arg и) мы подразумеваем | и | ^ ехр @0 аг<? и)>
—тг < arg ы < 7Г. На комплексной плоскости w такому определению соот-
ветствует разрез, показанный на рис. 11.3 при wb = b для двух во°зм°жных
, Imio
Рис. 11.3. Контуры иитеггрирования
Reto (кривые со стрелками) и ]расположе-
• L ние разреза для эталонны1"' интегра-
лов ^з и /¦, в случаях:- In» Л > О
ffi5> (Л; Imfc <0B)
знаков lm b. Предполагается, что подынтегральная функция вВ A1-63)
стремится к нулю при w-*<*> вдоль контура интегрирования. Моожно счи-
тать, например, что lm а > 0, a \g(w) | <C exp (aw2 ), 0 < a <+«<*• Эталон-
ным по отношению к A1.63) будет интеграл
%7(Р,Ь,&) = / ds(s-b? exp(ips2). A1-64)
ее
В дальнейшем нам потребуется также интеграл по охватываюшеп^У разрез
контуру 7j (см. рис. 11.3)
3^з(Р, Ь, 0) = / ds(s - b~f expO'ps2). A1-65)
Пользуясь интегральным представлением функций параболичес»-кого ци*
линдра [240, гл. 19] —
-t-
|args|<ff/2, A1.66)
легко выразить J^ и З^э через детально исследованную и табулир1Р°ванНУю
[140, 195,250] функциюDv:
expf- + —A -/3)
14 4
"J- О - а)]/)^), u^y/lp-be-3*1'4, A1-67)
|
12
%+ —
2 4
XBp)-('+<')/JZ)_I_C(vr276e31"/4), o-sgn(lmu). A1.68)
232

v
Рис 11.4. Модуль А (в) и фаза о (б) функции ¦ (v). Штриховыми линиями показаны
приближенные значения А и а, получающиеся при учете первых членов каждого из
слагаемых в асимптотических разложениях A1.69)
Здесь р принимает комплексные значения; lm р > 0. При переходе Ь через
вещественную ось интеграл $~2 испытывает скачок, равный ^3> посколь-
ку скачком меняется значение аргумента (s -Л)" при s < b.
Когда стационарная точка s " 0 и точка ветвления s = b в интеграле
A1.64) далеки, т.е. \ pb2 \ > 1, из асимптотики (9.38) функций парабо-
лического цилиндра получаем
(тг/р) ei7"\-bf [1 + /0@- 1)/4рй2 +О(р-2Й)],
|argM|<ir/2,
(П.69а)
+//?(?- Щ4рЬ2)+ О(р-2Ь-<)] +
)~1-1> exp(/pfi2 - гяг/3/2) [1 +
(р-2*-4)], | argм| > тг/2.
(II. 696)
Функция ч>(и) = exp (w2/2)D0 5 (VTe <ir/4u) при и = -о|р| 1/2 Re 6
передает зависимость #-2 от й (отношение ^2/ч> не зависит от й) в важ-
ном частном случае Re p > lm p, | Re b | > | lm й |, & = 0,5. При -Re p> Imp
ту же роль играет ч>'(и). Зависимость модуля А и фазы а функции ч> от и
показана на рис. 11.4. Мы видим, что асимптотика A1.69) удовлетвори-
тельно приближает модуль, когда | v \ > 1, а лри \v\ > 1,5 — фазу ч>.
Центральным моментом в построении равномерной по параметру
ws ~ wb асимптотики интеграла A1.63) является выбор такого приближе-
ния функции g(w), которое годилось бы в окрестностях обеих критичес-
ких точек. Положим
g(w) - g(wb) + \g(wt) - g(wb)] (w - wb)/(ws -wb)+r(w). A1.70)
233

Остаток r(w) обращается в нуль в обеих критических точках. Поэтому
r(w) - (w-w,)(w-wb)gl(w)t A1.71)
где ?i - регулярная функция. Следует ожидать, что интеграл от r(w) в
A1.63) будет мал. Действительно, используя A1.64) и интегрируя по
частям, получаем
(w) (w - wb)"exp [ipa(w - w,J ]. A1.72)
Ipa _.
Здесь Ь = wb - wa.
g7(w) = (E+ 1)*,(w) + (w - wb)*i(w) A1.73)
— регулярная функция. При помощи A1.67) выразим асимптотику через
функции параболического цилиндра:
-(•+«/2 ехр [м2/4 + /яA -0)/4 + |тг0A -о)/2] X
l + iT'fefw^-i^Wj,)] Dp+i(u)) [I +O(p"')],
и = л/2рд (w6 - ws) о ехр (-Зя//4), о = sgn lm(wb - ws). (П.74)
Оценка погрешности в A1.74) равномерна по параметру (w b - wt). Чтобы
получить последующие члены асимптотического разложения J, функцию
8г (w) A1 73) нужно представить в виде A1.70) и повторить выкладку,
Приведшую к A1.72).
Аналогично изложенному выше проводится рассмотрение и в общем
случае, когда показатель экспоненты в A1.63) равен р/(н>) и функция
f(w) имеет единственную простую седловую точку. Заменой переменных
A1.4) такой интеграл сводится к A1.63). Однако разрез на плоскости s
может иметь сложную форму. Возникает вопрос: как выбрать параметры
эталонного интеграла A1.64). чтобы обеспечить подобие в относительном
расположении контура интегрирования и разреза в эталонной и исходной
задачах? Ответ на этот вопрос дан в работах [87, 373]. Равномерная асимп-
тотика однозначно определяется по известной локальной асимптотике,
полученной методом перевала для изолированных критических точек.
В соотношении A1.74) при |г/| <С 1 значения функций параболическо-
го цилиндра - порядка единицы, а коэффициент при Dq+x равен О(р~ *'2).
Поэтому в фигурных скобках доминирует первое слагаемое. Напротив,
при | Wb — >vjl <i 1 оба слагаемых дают вклады одного порядка. При боль-
ших значениях I и I, пользуясь асимптотикой A1.69), получаем
¦' ехр (/v/4)*(w,)(w, - wbf [I + O(p~l)],
I arg u |< тг/2, |м|>1. A1.75а)
ехр (и/4)«К) К - wb)P [ 1 + О(р'1)] +
"l(-0)og(wb) [2pa(wb - ws~)] ~l-" ехр [ipa(wb - w,J -
l+C^p)], |argM|>*/2, |u|>l. A1.756)
Б правой части A1.75a) стоит главный член обычного вклада перевальной
234

точки (ср. A1.9)). Дополнительное слагаемое в A1.756) представляет
собой вклад точки ветвления, затрагиваемой при деформации контура
интегрирования к перевальному пути в случае | arg и I > л/2. Разность
значений подынтегральной функции в A1.63) на дальнем от вещественной
оси и ближнем берегах разреза равна (ср. A1.17))
F, (w) = g(w) (w - Wbf^W - е-'1) о = Но sin я/3 e~infiog(w) (w - wrf,
A1.76)
где (w -wb)P берется на дальнем берегу (см. рис. 11.3). Используя
A1.76), легко убедиться, что второе слагаемое в A1.756) в точности рав-
но рассчитанному методом перевала главному члену вклада точки ветвле-
ния A1.20), где следует положить/(w) = ia(w ~ w,J, m = 0, А2 =0.
Отметим, что полученные для интеграла A1.63) результаты справедливы
при произвольных значениях /3. При целых /3 > 0 никакой сингулярности
подынтегральной функции нет. В этом случае функции параболического
цилиндра Dp, />(?+! сводятся к элементарным. При целых отрицательных
(J подынтегральная функция имеет полюс. Формула A1.74) в явном виде
дает главный член равномерного асимптотического разложения инте-
грала с полюсом произвольного порядка. Функцию Dp с целыми отрица-
тельными индексами можно выразить через интеграл вероятностей [240,
гл. 7,19].
Получим теперь асимптотику интеграла в полубесконечных пределах
/ = / у^Яи-) ехр [1рф>)] dw, A1.77)
о
в котором подынтегральная функция стремится к нулю при w -> +<». Она
может иметь особенность в начальной точке контура и близкую к ней
простую перевальную точку vvj. Функции F и у будем считать регулярными
и предполагать, что стационарная точка ч> - единственная, a if - вещест-
венна при вещественных w. К интегралу вида A1.77) сводится интеграл по
берегам разреза. Из A1.65), A1.68) следует:
TV ехр [ip(w + bJ]dw = (-2/о sin п0)~1 *Э(Р, -Ь, 0) s
о *
= ГA +0)BрГ(|+(?)/2 ехр [1рЬг{2 + 1пф + 1)/4] X
X D-1 -(?( \f2P Ь ехр (-пг/4)). A1.78)
Введем в A1.77) новую переменную интегрирования]:
s = [2(rfw) - v>(w,))//(w,)]' I2 - Ь, где Ь = [2(*0) - ¦**-,))/*>,)]! '2'¦
A1.79)
Функция s(w) является регулярной, причем s@) = 0, s(wt) = -Ь,
ds (*V,) (dw - 1. Теперь интеграл A1.77) принимает вид
/= ехр [iprfw,)] / ds fg(s) ехр [ipa(s +bf], a - /(w,)/2,
о
g(s)« P(w)(w/sf dwjdt A1,80)
23S

Выделим в? (j) аналогично A1.70) существенную часть:
Подставим A1.81) в A1.80). Используя A1.78) в качестве эталонного
интеграла, получим, подобно A1.72),
/ = exp[ip<f>(ws) _ и2/4 + гяОЗ + 1 )/4] ГA + 0) Bро)-A+*>'2 X
/я/4), +_ A1.82)
2/4) Riu exp(M274) [1 *Л(иЬД\ ( }
A1.83)
Последующие члены асимптотического разложения J можно найти, пред-
ставляя функцию g2(s) = sg\ + (/3 + l)?t в виде A1.81) и повторяя
выкладки. Явные выражения для g@) и g(-b) легко получить из A1.80):
?@) = F@)[by"(wt)l<p'@)]9*1, g(-b) = F(ws) (™ws/b^f. A1.84)
По своей структуре асимптотика A1.82) повторяет A1.74). Поэтому
мы не будем останавливаться на анализе первой. Отметим только один
частный случай. Пусть /3 = 0. Тогда подынтегральная функция в A1.77)
регулярна, и критическими точками будут точка перевала и начало контура
интегрирования. Выражая функции параболического цилиндра через ин-
теграл вероятностей по формулам [240, гл. 7]
/>_ ,(«)« 0г/2)ехр<йа/4)[1 - erf(w/v/2)],
^-j(w) = ехр(-м2/4) - \fn\lu ехр(м2'/4) [1 - erf
(зти формулы легко получить, сравнивая A1.45) и A1.66)), имеем, со-
гласно A1.82)—A1.84),
-ч/2^ехР(-м2/2)/и] +iF@)exP(-u2/2)W@)> [i +00»"*)],
и = <Г'*/4 [2р(*@) - ф>,))] 1/2- A1.86)
Пользуясь определением (П.47) и асимптотикой A1.49) функции «f, не-
трудно убедиться, что при и ->0 выражение A1.86) для J сводится к
главному члену ряда A1.16) —асимптотики интеграла с седловой точкой
на конце контура интегрирования; при | и | -> «>, Ь>0-к главному чле-
ну A1.15) (единственная критическая точка—конец контура), а при
\и | ->°о, Ь <0 в A1.86) содержится и главный член вклада стационарной
точки A1.9).
Дадим краткий обзор других случаев «для которых построены равно-
мерные асимптотики. Когда под интегралом по бесконечному контуру
имеется две перевальные точки, эталонным служит интеграл
3^(Р> г)~ / exp[ip(i? + s3/3)]ufe = 2 / cosp(st +s3f3)ds, A1Л7)
выражающийся через функцию Эйри у(Гр2'3) (см. C.104)). Равномер-
ная асимптотика интегралов этого типа будет подробно исследована в
§ 17 в связи с теорией каустики. Интегралы с двумя седловыми точками
и более сложной, чем в A1.1), зависимостью от большого параметра,
236

возникающие при исследовании формы импульса, распространяющегося
в волноводе или в диспергирующей среде, рассмотрены в [382].
Когда интеграл A1.1) имеет три критические точки: wt, w2>w3> при-
чем w2 = (w, + w3)/2, - то асимптотическое разложение удается получить
в терминах функций параболического цилиндра, если все критические
точки - точки перевала [261,308,490], и в терминах функций Эйри, если
W, и w3 - стационарные точки, а н>2 - точка ветвления второго по-
рядка [35].
В следующем по сложности случае, когда стационарная точка распо-
ложена вблизи конца контура интегрирования и полюса, равномерную
асимптотику уже не удается выразить через известные специальные функ-
ции. Вводится новая функция - обобщенный интеграл Френеля:
G(x.y)»— 7 С2 +y'r1exp[f(f2 + У )ldr. A1.88)
2я х
свойства которого исследованы в работах [34,132], эффективный чис-
ленный алгоритм расчета предложен в [7]. Через эталонный интеграл
A1.88) выражается также асимптотика двумерного интеграла Фурье со
стационарной точкой вблизи угловой точки границы [12,34, 132].
Если вблизи конца контура интегрирования расположены две стацио-
нарные точки, эталонным будет интеграл
y(flp'/3,fp2/3) = p-1/3+f exp[ip(rt + s3/3)]<fe. A1.89)
а
называемый неполной функцией Эйри. Он также не выражается через
традиционные специальные функции. Простейшие свойства интеграла
A1.89) описаны в приложении к работе [12]; см. также [428,429].
Асимптотику интеграла A1.1) с двумя стационарными точками вблизи
полюса можно построить в терминах функции Эйри — Френеля
V(t, Ь) = /~(* - Ь) exp [i(s 3/3 + ts)] ds, lm b <0. A1.90)
— oo
См. в этой связи [12, 308].
Во многих задачах встречаются интегралы в бесконечных пределах с
регулярной подынтегральной функцией, обладающей многими точками пе-
ревала. Когда число близких стационарных точек больше двух, для построе-
ния равномерной асимптотики интеграла приходится вводить новые спе-
циальные функции. Так, в случае трех пеоевальных точек используется
интеграл Пирси [466]:
I(X, Y) = *fexp[i(Ys + Xs2 +s*)]ds. A1.91)
— oo
Асимптотика интеграла A1.1) с такой конфигурацией критических точек
получена в работах [52, § 45]; [156, 337, 472]. Она будет рассмотре-
на в § 17.
Классификацию всех возможных случаев расположения стационарных
точек и минимальный набор эталонных «Итегралов, позволяющий по-
строить равномерные асимптотики интегралов определенного класса,
дает математическая теория особенностей дифференцируемых отображе-
237

ний, которую часто называют также теорией катастроф [15, 16, 37, 82].
Построению асимптотических разложений интегралов различной кратности
со многими стационарными точками в терминах эталонных интегралов,
приложению результатов к различным физическим задачам и, в меньшей
степени, исследованию самих эталонных интегралов посвящено весьма
большое число работ. С состоянием вопроса можно ознакомиться по обзо-
рам [14,152,158,159,304].
Суммируя, отметим, что мы изложили систематический подход к по-
строению равномерной асимптотики интеграла вида A1.1). Его основными
этапами являются: а)выделение критических точек; б)выбор эталонного
интеграла, обладающего теми же и сходно расположенными критическими
точками; в)регулярная замена переменных w ~ w(s), приводящая показа-
тель экспоненты в A1.1) к виду, который имеет этот показатель в эталон-
ном интеграле; г)аппроксимация регулярной функции в интеграле по но-
вой переменной s, приводящая к нулевой погрешности во всех критичес-
ких точках. Этот подход в общем случае приводит, к асимптотическому
разложению интеграла A1.1) следующей структуры:
A1.92)
где ЗКр, Ь) ~ эталонный интеграл, являющийся функцией р и некоторого
набора параметров b - (bj), j s 1, 2.... ,N. Значения параметров b вы-
ражаются через значения /, F и их производных в критических точках.
Коэффициенты а0 и а, в A1 92) представляют собой ряды по целым степе-
ням 1 /р. В некоторых случаях изложенный подход удается обобщить на
интегралы вида A1.1), где функции / и F сами зависят от р (см., напри-
мер [382]).
Две критические точки wcl и wc2 дают в асимптотику интеграла вклад,
отличающийся от суммы вкладов изолированных критических точек, если
РI f(wci) ~ f(wc2 ) I <> 1 • При больших р отсюда следует: I wc, - wc2 \<1.
При произвольном расположении М точек wc- реализуется одна из следую-
щих ситуаций. Либо все М точек близки между собой: I wcf - wc( I *^ 1
(/, / = 1,... ,М), либо близки М - 1 точка, а одна точка изолирована, либо
есть группы (или группа), в которых близки т <М - 2 критических точек
и, возможно, имеются изолированные точки, либо все точки изолированы.
Поэтому полное асимптотическое разложение можно сконструировать
из локальных асимптотик, справедливых для М, М - 1,...,2 близких
критических точек, и формул метода перевала. Главные члены локальной
асимптотики можно получить, избегая этапы (в) и (г) вывода равномерной
асимптотики. Вместо них достаточно воспользоваться разложением/(и»)
и регулярной функции в предэкспоненциальном множителе в A1.1) по
формуле Тейлора в окрестности точки w = wcl с сохранением достаточного
числа членов. (Пример см. в п. 11.2). Значения параметров b выбираются
так, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях w - wci
в эталонном интеграле и A1.1).
' По причинам, указанным в п. 9.2, локальные асимптотики удобнее рав-
номерных при численных расчетах. С ростом необходимой точности
асимптотики по параметру р в тейлоровских разложениях нужно учиты-
вать все большее число членов, и структура локальной асимптотики быстро
238

усложняется. В аналитических исследованиях предпочтительно использо-
вать равномерную асимптотику вместо набора локальных, тем более что
последний при необходимости легко получить из первой.
Равномерную асимптотику A1.92) можно найти также методом асимп-
тотического сшивания (метод Урселла). В этом подходе зависимость па-
раметров b и коэффициентов а0, af- от / и F определяется из требования
перехода асимптотики A1.92) (во всех порядках по р) в формулы ме-
тода перевала при условии p\f(wct) ~ f(wcj) I ^* Ь когда критические
точки можно считать изолированными. Как показано в работе [490], этот
подход приводит к тем же результатам, что и изложенный выще метод.
Оригинальный способ построения асимптотических разложений интегра-
лов был предложен Франклином и Фридманом [363]. Его приложения к
интегралам разных типов см. в работах [363,516-518]. Этот способ, по-ви-
димому, не является столь универсальным и наглядным, как метод эталон-
ных интегралов, но в ряде случаев сравнительно просто приводит к
интересным результатам.
Проиллюстрируем идею Франклина и Фридмана на одном примере.
Пусть
2 -'
A1.93)
где г — вещественный неотрицательный параметр; к, г > 0. Точка ветвле-
ния 5=0 функции Ханкеля обходится в верхней полуплоскости s. Функцию
g(s) будем считать регулярной и четной: g(s) =#(-s). (Это предположение
не ограничивает общности. В силу равенства #0 (мехрО'я)) =• -#0 (и)
[240, гл. 9], интеграл от нечетной части функции g обратился бы в нуль.)
При ?= 1 интеграл A1.93) является табличным:
*[1] =Лехр(йЛ), R~(r2 +22)i/2. A1.94)
Найдем главные члены асимптотического разложения A1.93) при больших
значениях R. Решение этой задачи методом перевала дано в § 12. Здесь мы
пойдем другим путем. Заметим, что при g - A - j2)" интеграл A1.93)
можно вычислить точно:
Mr w* ™~ / J ™" \ — J ^^ I J / * \ ^^ * J
В частности,
Ф[1 -i2] = /?-rexp(j*/?) [cos2e-()U?)-2(jAJ?- 1)(] -3cos2tf)],
cos в =z/R. A1.96)
Пользуясь четностьюg(s), представим зту функцию в виде
g(s) = g(oi) +Ba) g'(a)(s2 —a2) + (i2 — ot2>fgi(s). A1.97)
По существу, соотношение A1.97) — это разложение g(s) по формуле
Тейлора. Выберем а так, чтобы основной вкладе A1.93) давал интеграл
от ?(<*). В отличие от метода эталонных интегралов, величина а не пола-
гается заранее совпадающей с какой-либо критической точкой, а отыски-
вается из условия обращения в нуль интеграла от первого поправочного
239

члена в (П.97): 4>[s2 — а2]*0. Следовательно,
а2 *1-ФA-52]/Ф[1] =sin20+(/W?)-2O*/?-l)(l-3cos20> A1.98)
Второй поправочный член » A1.97) дает в интеграл вклад порядка
яг - ft2)г ]. Пользуясь формулами A1.95) и A1.98), получаем
+ ЭAпч>[1])/Эг) ~ч>[1]0(/Г2/Г2 +zr2/kR4). A1.99)
Таким образом, подстановка A1.97) в A1.93) дает
*U1 ^g(a)R'ltxp(ikR) + O(k-tR-3 +zr2fkR5). A1.100)
Заметим, что в асимптотику Ф не вошли производные функции g.
Если при R -*¦ °° отношение г/г =< 1, то выражение A1.100) дает Ф с точ-
ностью до множителя l + O(l/kR), как и главный член асимптотики
метода перевала, и поэтому не представляет интереса. Напротив, если
г ->°° при фиксированном г или г -+<*> при фиксированном г, то A1.100)
дает ту же точность, что и два члена асимптотики метода перевала A1.9),
A1.12), но имеет значительно более удобный для вычислений вид.
Из вывода ясно, что результат A1.100) является точным для функций
g - А + Bs2. Мы воспользуемся им в гл. 3.

Глава 3
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН
И ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ
В теории распространения акустических волн необходимо учитывать, как правило,
конечную удаленность источника звука и от приемника, и от границ раздела сред.
Классической и простейшей задачей такого рода является задача о поле точечного
излучателя, расположенною на конечном удалении от плоской границы раздела двух
однородных сред. Другими словами, это задача об отражении и преломлении сфе-
рической волны. Ей посвящен § 12. Впервые эгу задачу шея электромагнитных волн
сравнительно полно рассмотрел Зоммерфельд (см. [126]), в дальнейшем поквниись
фундаментальные работы Вейля, Отта, Фока, Леошооича, Баньоса A74, 175, 543.465,
297]. В § 12 мы будем следовать, главным образом, своим работам D1-43, 88],
основанным на использовании и дальнейшем развитии идеи Вейля о разложении
сферической волны на плоские. Тем же методом удается рассмотреть и более сложную
задачу - об отражении ограниченного волнового пучка (§ 13). § 14 посвящен иссле-
дованию боковых волн, возникающих при отражении сферических волн и ограничен-
ных звуковых пучков от границы раздела.
Основное внимание мы сосредоточим на анализе отражения акустических волн
от границы жидких сред, в том числе движущихся.. Родственные задачи об огра-
жении и преломлении сферических волн на границе жидкости и твердого тела
или двух твердых полупространств рассмотрены в работах D. гл. 3], D8. §24),
1161, 215,235.2Ь8. 320, 389, 390, 445] и др. Более подробную библиографию читатель
найдет в монографиях D, 215, 326, 352).
§ 12. Отражение и преломление сферических волн
Трудность задачи об отражении и преломлении сферической волны на плос-
кой границе раздела двух сред обусловливается различием между симмет-
рией волны и границы (волна сферическая, граница плоская). Естественно
поэтому рещать задачу, разложив сферическую волну на плоские, теория
отражения и преломления которых была изложена в гл. 1 и 2.
12.1 Интегральное представление звукового поля. Звуковое давление в
сферической волне с произвольной зависимостью от времени дается форму-
лой A.18). Монохроматическую волну получим, если примем в A.18), что
F(t) = const exp (i'wt). Отбрасывая произвольный амплитудный множи-
тель и фактор ехр (-«ЧоГ),,монохроматическую сферическую.волну запи-
шем в виде р = Я'1 ехр(ik к), где fc = u(c,R = (х2 + у2 +z2I/2 (в §1 пос-
ледняя величина обозначалась через г). Временно предполагаем, что излуча-
тель находится в начале координат.
В плоскости z = 0 поле сферической волны будет иметь вид г ~х ехр (»'к г ),
где г - (х2 + у2 У'2 .Разложим зто поле в двойной интеграл Фурье по пере-
менным х и у:
U A2.1)
г —°°
16. Л.М. Бреховских 241

где
Перейдем к полярным координатам и обозначим
|=(??+fe2I/2,
A22.2)
Тогда
2т »
b)* fd<p /exp[ir(*-|cos( *_„))] /
0 0 0 *-
^s^-^. A2.2.3)
Мы считаем, что в среде имеется некоторое, хотя бы сколь угодно ммалое
поглощение, так что \тк > 0 и е1кг -> 0 при г -*¦«». Подставляя в A:12.3)
значение табличного интеграла, находим А(%х, %2) ~ iBir>/k2 — |2 2) "*.
Таким образом,
exp(/fcr) i
0 .. /i=V*^F,
г 2п —« /i
lnyiJ*O. A212.4)
Последнее выражение, описывающее поле в плоскости ху, нетру>удно
"продолжить" в пространство. Как известно, каждая фурье-компон#ента
при этом будет соответствовать в пространстве плоской волне. С форммаль-
иой стороны для такого "продолжения" достаточно в экспоненте под и интег-
ралом добавить член ± щг. Знак плюс (минус) соответствует точкам, л.лежа-
щим в полупространстве г > 0 (г < 0), и волнам, распространяющимися в
направлении положительных (отрицательных) z. При % > к плоская воюлна
является неоднородной (см. п. 2.1). Выбор знака корня \Jk2 — %2 из у<усло-
вия Imp > 0 обеспечивает ограниченность поля при \z\ -*¦ «>. Таким о(обра-
зом, имеем
Правильность проделанного здесь "продолжения" обосновывается тем, i, что
правая часть A2.5) удовлетворяет волновому уравнению (поскольку f ему
удовлетворяет подынтегральное выражение) и дает нужное значение шюля
при z = 0.
Выражение A2.5) и представляет собой разложение сферической воД)лны
по плоским. Экспонента под интегралом является плоской волной, напртрав-
ление распространения которой задается значениями компонент волнов>вого
вектора %х, ?2> psgnz. Направление осей координат в A2.5) может вь»ыби-
раться произвольно. Поэтому можно разложить сферическую волнуу на
плоские так, чтобы входящие в это разложение неоднородные волны згзату-
242

Рис. 12.1. Геометрия задачи об отраже-
нии и преломлении сферической волны:
S - источник, S, - мнимый источник,
Рт\Рх - точки наблюдения
хали не в направлении оси z, а в любом другом наперед заданном направле-
нии.
Мы рассмотрели случай гармонической сферической волны. Аналогичное
разложение для сферической волны общего вида A.18) дано в работе
[478]. В определенных областях пространства поле сосредоточенного источ-
ника можно представить в виде суперпозиции только однородных плоских
волн [218].При этом под интегралом по?, и?2 вместо Цц стоит обобщен-
ная функция.
Пусть теперь сферическая волна излучается в точке S на расстоянии г0 от
границы раздела двух однородных жидких полупространств. В дальнейшем
мы будем предполагать, чго начало прямоугольной системы координат
помещено на границе раздела под источником (рис. 12.1)- Разложение
падающей на границу сферический волны на плоские при этом будет запи-
сываться в виде A2.5), где вместо г следует взять z - z0. При z > 0 звуко-
вое поле складывается из падающей и отраженной волн:
р(Г, г, z0 )=/?-* exp(i*/?)+pr, R = [(z-z0J + r2]1/2. A2-<>)
Анализ поля отраженной волны рг и является: нашей задачей.
Каждая из плоских волн под двойным интегралом A2.5) при распрост-
ранении от излучателя до границы и от границы к приемнику в точке
(дг, у, z) набирает фазу %iX + %2y+ ц(г + z0). Амплитуда волны вследствие
отражения от границы должна быть умножена на коэффициент отражения
V (?) (см. B.27)). В результате для отраженной волны получаем
Pr
2*--
A2.7)
Коэффициент отражения плоской волны V не зависит от ориентации гори-
зонтальной проекции волнового вектора. Это позволяет свести интеграл
A2.7) к однократному. Переходя в A2.7) к полярным координатам
A2.2) и используя при интегрировании по \j/ тождество (см. [240, гл. 9) )
2ir
/ expl/t/cosfa-*))</* = 27г/0(ы), О2-8)
о
находим
' f
о
+ г0)].
16*
A2.9)
243

Правые части соотношений A2.5) и A2.7) часто называют интегралами
Вейля, а соотношения A2.9) - интегралом Зоммерфельда. Когда г Ф О,
последний целесообразно преобразовать, выразив функцию Бесселя Jo
через функции Ханкеля. Заметим, что К(-?) = К(?), ц(-%) = и (?)иУ0(м) =
= 0.5[Н^\и) - Н^\е'*и)] (см. [240,гл. 9|). Объединяя в A2-9) интегра-
лы от Hq1 \ и) и Яф1 \-и) в один, получаем
Р*ш - S ^"(|г)ехр[ф(г + го)|. A2.10)
2 — о° [i
Интегральное представление звукового поля в нижней среде (z < 0)
строится аналогично. Оно имеет вид
' +" (I) $d$
2-- ° р
A2.11)
где ^! - вертикальная компонента волнового вектора плоской волны
в нижней среде; кг = o>/cj - волновое число при z < 0; W - коэффициент
прозрачности B.31) для плоской волны.
Пользуясь формулой A2.10), можно рассчитать волну, отраженную
от произвольного слоистого полупространства, подставляя соответст-
вующий коэффициент отражения V{%). Подчеркнем, что рг зависит от сум-
мы возвышений источника и приемника над границей, а не от г и г0 в от-
дельности. Если V = Ко = const, как это имеет место, например, при отра-
жении от абсолютно мягкой или абсолютно жесткой границы z = 0, из соот-
ношений A2.7) и A2.5) следует:
A2.12)
*i=[fr**oK*r3]I/3.
Мы видим, что в этом случае отраженное поле представляет собой сфери-
ческую волну, исходящую из расположенного в нижней среде мнимого
источника Si (см. рис. 12.1). Точки S и 5, симметричны относительно
границы раздела.
12.2. Отраженная волна. Проанализируем звуковое поле в верхней
среде на больших по сравнению с длиной волны расстояниях /?i до мни-
мого источника 5i (см. рис. 12.1). Будем исходить из интегрального пред-
ставления A2.10). Наще изложение будет следовать в основном работам
[38, 41, 43, 88]. Воспользуемся асимптотическим представлением функ-
ции Ханкеля (см. [240, гл. 9))
—п<л1%и<2-п A2.13)
и перейдем к интегрированию по безразмерной переменной q = %jk. Она
связана с углом падения волны равенством q = sini). Диссипацию энергии
в среде будем учитывать, считая волновое число комплексным. Тогда
244

формула A2.10) гтринимет вид
ъ \\п +--ехр(-1<»)
_Z ) ехр(/я/4) / F(q)exp[\kR1 \f(q)\ dq, A2.14)
-•» exp(-to)
где а = exp(fo) = к/1 к |,
)=ia(qs\ne0 +A -q2)V2cos0o), 0o = arcsin(r//?1), A2.15)
I-.?2
A2.16)
В непоглощающей среде величина к - вещественная,а = 1.Так как вещест-
венная и мнимая части к2 в поглощающей среде положительны, то 0 <
< а < я/4. Волновое число в нижней среде kt = пк- ап\ к\, поэтому при
всех возможных значениях показателя преломления п в поглощающей
среде 0 <arg(arn) < я/4.
Поскольку по предположению Ar/?2 > 1, интеграл A2.14) целесообраз-
но анализировать при помощи метода перевала (§ 11). Точка перевала
qs удовлетворяет уравнению A1.2), которое в нашем случае имеет единст-
венное решениеqs = sin0o. В этой точке f(qs) = io,f"(qs)- -ialcos2ti0. Пере-
вальный контур 7 1 определяется уравнением A1.4):
= l+is2/a, _«.<,< + «,. A2.17)
Нетрудно показать, что контур 7i уходит на бесконечность, асимптотичес-
ки приближаясь к лучами = \q\ exp[j'Fo - a)]nq= \q\exp[i(n - 0O - «I-
Он пересекает вещественную ось q в двух точках. Одна из них — точка
перевала qs, а вторая лежит правее точки l/sin0Q и стремится к ней при
а->О (рис. 12.2).
Прежде чем приступить к оценке интеграла по 7i> рассмотрим детально
возможность замены исходного пути интегрирования 7 на 7»- Для этого
необходимо проанализировать, какие особые точки подынтегральной
функции могут встретиться на комплексной плоскости q при деформации
7 в 7i • Прежде всего, функция F(q) A2.16) имеет точку ветвления q = 0,
связанную с единственной особой точкой функции Ханкеля в A2.10) -
ее точкой ветвления в нуле аргумента. Для выделения регулярной ветви
следует провести разрез по лучу aig? = я. В A2.10) контур интегрирования
проходит по верхнему берегу разреза. Это означает, что контур 7, как и 7i,
проходит над точкой ветвления q = 0, и она не затрагивается при деформа-
ции у в 7i • Таким образом, разрез, связанный с точкой ветвления q - 0,
несуществен и на рис. 12.2 он не показан. Далее, функции F и /содержат
радикалы \J\ - q2, y/n2 - q2 , вследствие чего q = ± 1, ±п будут точками
ветвления. Коэффициент отражения при каждом q может принимать два
значения, в зависимости от того, какую комбинацию знаков корней мы вы-
берем. Проведем разрезы по линиям
2 2<» A2.18)
245

Рис 12.2. Преобразование исходного пущ интегрирования у к персваяьвому контуру у,.
Линиями с поперечными черточками показаны разрезы
Удобно говорить, как это всегда и делают, о четырех листах плоскости q
(образующих четырехлистную риманову поверхность), на каждом из ко-
торых функции / и F будут уже однозначными. На одном листе (назовем
его "верхним") ImarV»- q2 > О, Iniayl - q2 > 0; на другом
Imary/n2 — q2 < 0. Imarу 1 — q2 < 0; на третьем и четвертом листах знаки
выписанных мнимых частей противоположны. Листы римановой по-
верхности мы будем обозначать ++, +-, -+, — по знакам величин
и ImarVl - Я2- Листы соединяются по разрезам A2.18).
На разрезе, исходящем из точек q = +1 (или q= ±п), величина 1та\Д - q2
(или \та\/п2 -<72)остается непрерывной, a RearVl -q2(wi« Reay/n - q2)
меняется скачком.
В п. 2.2 мы видели, что выбор знака мнимой части рассматриваемых
радикалов определяет знак мнимой части вертикальной компоненты волно-
вых векторов преломленной |* |ar(n2 -q2I12 и отраженной |* |ar(l —q2)vl
волн. Из условия ограниченности звукового поля при \z\ -* °° следует,
что исходный путь интегрирования у лежит на "верхнем" листе ++. Из
рис. 12-2 видио, что перевальный контур может пересекать разрезы. В точке
пересечения контур должен покинуть верхний лист, чтобы избежать разры-
вов подынтегрального выражения. Если число пересечений разреза четно,
то контур возвращается на исходный лист, и деформация у в 7i не вызы-
вает затруднений. Появляются только связующие дуги \q \ = qc = coast,
лежащие в первом, втором и четвертом квадрантах (см. рис. 12.2), кото-
рые должны проходить в бесконечно далекой части комплексной плос-
246

кости. Хотя при qc -* +°° длина дуг растет, они не дают вклада в интеграл,
поскольку подынтегральное выражение на них экспоненциально мало.
Задача усложняется, когда число пересечений разреза нечетно. В этом
случае начало и конец контура 71 лежат на разных листах. Чтобы соеди-
нить перевальный контур интегрирования с исходным, нигде не пересекая
разрезы при конечных значениях q, путь 7i приходится дополнить охва-
тывающим разрез контуром 7г и тремя бесконечно удаленными дугами
(рис. 12.3). Последние опять не дадут вклада в рг. Интеграл же по берегам
разреза приводит к своеобразной боковой волне, которая своим существо-
ванием обязана точкам ветвления коэффициента отражения как функции q
(или %). Подробный анализ условий возникновения и свойств боковой
волны мы отложим до § 14.
Входящая под интеграл A2.14) функция F имеет в качестве особых
точек также полосы q = qp. Согласно A2.16), qp — это полюсы коэффи-
циента отражения, определяемые уравнением
m>/l-flp + V -Яр =0. A2.19)
Поскольку т > 0 (как отношение плотностей двух сред), то заранее ясно,
что полюса лежат на листах +- и -+. Из A2.19) находим
qp = ± [(т2 - п2I(т2 - 1I . A2.20)
На листах ++ и —, где мнимые части величин агA - qj,)V2 и а(п2 - qp)V2
имеют одинаковые знаки, в точках qp коэффициент отражения обращается
в нуль (см. формулы A2.20) и B-33)). Рассмотрим изображенный на
рис. 12.2 случай, когда контур 7i дважды пересекает первый иэ разрезов
A2.18) и не пересекается со вторым разрезом. При деформации контура
интегрирования лист +- не используется, а на листе -+ затрагивается толь-
ко заштрихованная на рисунке область. Дополним разрезы A2.18) кривы-
ми а2 (п - q2) = -М|, а1 A - q2)=-u2 (на рис. 12.2 они показаны штри-
Рис. 12.3. Преобразование контуров интегрирования в случае нечетного числа пересе-
чений перевального пути ti с размером. Штриховыми линиями со стрелками
показаны участки контура интегрирования, лежащие иа листе — +
247

ховыми линиями). Знак величины Imar2(я2 - q2) изменяется только при
пересечении образовавшейся линии 1таг2(я2 - q ) = 0. Аналогично, знак
Imar2(l — q2) изменяется только при пересечении построенной линии
Imar2(l - q2) = 0. В точке q = 0 имеем Imar2(я2 - ^2)>0, Imar2(l - д2)>0.
Поэтому в заштрихованной области Imar2 (я2 - g2)Imar2(l - q2) <0. С дру-
гой стороиы, согласно A2.19), получаем Imar2 (я2 - <$)Imar2(l - q%) =
= w?2[lm(l - qf,)]1 > 0. Мы видим, что полюс не лежит в заштрихованной
области к, следовательно, не затрагивается при деформации контуров,
интегрирования. Рассуждая аналогично, можно проверить, что полюсы
не затрагиваются и в других случаях.
Перейдем к оценке интеграла по перевальному пути 7i> которая дается
формулами A1.9), A1.12). Из A2,14)-A2.16), пренебрегая величинами
:дини]
iN 1
порядка | kRi Г2 по сравнению с единицей, получаем
1 - д2 Э2 V 1 -1д% ЪУ
2 bq2 2Ъ bq
A2.21)
11*1
2
bV \
ctge I
дв /,
<7=<7j 2 \двг оа / в = во
где в0 - угол зеркального отражения. Выражение A2.21) справедливо
при произвольной зависимости коэффициента отражения от переменной q
(или угла падения в). Подставляя в A2.21) явное выражение для коэф-
фициента отражения от границы однородных жидкостей, находим
m(l и)[2(« ) св0 - »ncos490 + V - я^восоьво&п* + sinJ0o)]
(wcose0 +\/и1-ап2»0I(я1 - sin2*?,K'1
A2.22)
В определенных областях пространства дополнительный вклад в отражен-
ное поле дает боковая волна (см. § 14)
p, = 2/sLn6exp[/A:/?,cos@o - 6)] {mkR2 [ sin б 0 cos 6 sin3 (б 0 - 6I V2OI-
A2.23)
В случае |1тя| <^ 1, Imar < 1 она наблюдается в области б0 > Re6 (где
6 = arcsum — критический угол полного отражения), если Ren < 1, и в об-
ласти в0 > arcsin(l/Re/i), если Ren > 1.
формулы A2.21)- A2.23) позволяют, как правило, вычислить два пер-
вых члена асимптотического разложения отраженного поля по обратным
степеням большого параметра \k\Rl, Использованный нами метод перевала
справедлив, если критические точки подынтегрального выражения изоли-
рованы, т.е. их окрестности, существенные при интегрировании, не пере-
секаются.
Случаи сближения критических точек требуют отдельного рассмотрения.
Многие из них представляют значительный физический интерес. Так, пере-
вальная точка qs = sin0o при скользящем падении, когда я/2 - бо ^ 1. или
z + z0 < г, близка к точке ветвления q = 1: при падении, близком к нор-
мальному, когда в0 ^ 1, или z + z0 ^ r, qs сближается с точкой ветвления
q - 0. Если Цтл| < 1, Re/i < 1, то перевальная точка близка к точке вет-
вления q - п, когда в0 ^ 6. Эти три особых случая будут рассмотрены
248

ниже, в п. 12.2. При п -*¦ О, что означает стремление к бесконечности ско-
рости звука в нижней среде, происходит слияние трех точек ветвления.
Мы не станем обсуждать эту ситуацию, поскольку ей трудно сопоставить
содержательную физическую задачу. Далее, при п -*¦ 1 происходит слияние
точек ветвления и полюсов. Особенности отражения сферической волны
от такой границы будут проанализированы в п. 12.5. Наконец, полюс может
приближаться к другим критическим точкам, когда т ^> 1 или т -^ 1
(см. п. 12.4).
Пусть значение qs = sin0o близко к единице. Функции/и /"имеют при
q = 1 корневую особенность, их производные по q обращаются в бесконеч-
ность и, формально, пользоваться методом перевала нельзя. Однако итого-
вые выражения A2.21), A2.22) не имеют никаких особенностей при
во ~* я/2 (мы считаем сейчас, что п не близко к единице). Так, при sinfl0 = 1
имеем N = 2т21A - п2). Это указывает на применимость полученных ре-
зультатов при скользящем падении. Действительно, A — q2I'2 при q =» 1,
как видно из A2.17), является регулярной функцией s и после замены
переменной интегрирования q на хв A2.14) подынтегральная функция
не имеет особенностей вблизи s = 0, так что использование метода перевала
в этом случае вполне законно.
Обратимся теперь к случаю малых значений угла зеркального отраже-
ния в0. На перевальном контуре экспонента ехр[| k\R \f{q)\ спадает в е раз
по сравнению со своим значением в точке перевала при \q - qs\ **=
* \2JkRif"(qs)\tl2. Поэтому при интегрировании существенна окрест-
ность qs с радиусом порядка \kRt Г. Если qs > \kRt Г1'2, т.е. г2 >
> Rtl\k |, то в существенной области аргумент функции Ханкеля в A2.10)
|?г| > 1, и переход к интегралу A2.14) законен. В противном случае,
т.е. при г2 <С Rl(\k\, перевальный контур проходит вблизи точки ветвле-
ния q = 0, и проведенные выше выкладки неприменимы. Интегральное
представление поля A2.10) вообще теряет смысл при г = 0, когда излу-
чатель и приемник лежат на одной вертикали. Будем поэтому исходить
из формулы A2.9) и воспользуемся одним из результатов § 11. Заметим,
что в силу отмеченной перед формулой A2.10) связи функций Ханкеля
и Бесселя определение величины ^A1.93) можно переписать в виде
+ ~ . qdq
= i* fg(q)ex.p(iky/l-q7x)J0(krq) . A2.24)
Сравнивая A2.24) и A2.9), мы видим, чторг будет равно Ф[К(^)|, еслиz
в A2.24) заменить на г + г0. Коэффициент отражения К является четной
функцией q и не имеет особенностей вблизи точки q - 0. Поэтому для
Ф[П можно воспользоваться асимптотикой A1.100). Таким образом,
при любых значениях в0 получаем
1/1
о{
, A2.25)
- 3cos20o).
В интересующей нас области r?[Rl/k\v2 соотношение A2.25) дает отра-
24?

жсниое звуковое поле с той же точностью, что и A2.21) в своей области
применимости. Поскольку sin20o ^ 1/1 kRt\, то, не ухудшая точность
результата, величину V(q0) в A2.25) можно заменить на К@) +
+ О,5ц\(Ъг Vjbq2)li=a. Если аналогично преобразовать формулу A2.21),
то с точностью до слагаемых O(\k\'7Ri ) результаты совпадут. Таким
образом, соотношениями A2.21) и A2.22) можно пользоваться и при ма-
лых б0. К тому же выводу можно придти, применив к интегральному
представлению A2.7) двумерный метод стационарной фазы (см. п. 11.2).
Значительно более сложной задачей оказывается анализ отраженного
поля вблизи критического угла полного отражения. При qs -* n величи-
на N A2.22) стремится к бесконечности. Причина неприменимости фор-
мул A2.21), A2.22) заключается в следующем. Прн их выводе мы поль-
зовались методом перевала, считая коэффициент отражения медленно ме-
няющейся функцией. Между тем, вблизи критического угла полного отра-
жения это не так. Функция V имеет точку ветвления при q - и, и произ-
водная (dV/dq)q-.,, обращается в бесконечность. Выделим в коэффициенте
отражения регулярную часть:
A2.26)
Функции К, 2{я) не имеют особеииостей в окрестности точки д = и. Обозна-
чим через P\{pi) часть отраженного поля, получающуюся при замене V
в A2.16) на Vl(V1 V<7 - п). Тогда р, = р! + р2. Асимптотика pj дается
обычными формулами A2.21), где надо положить V- К,. Для оценки р2
воспользуемся полученной в § 11 асимптотикой A1.74> интеграла со ста-
ционарной точкой вблизи точки ветвления.
Будем сначала рассматривать случай, когда при деформации контуров
интегрирования разрез, связанный с точками вегвления д - ±п, пересе-
кается четное число раз, и интеграл но исходному контуру у равен
интегралу по перевальному пути 7i- Тогда согласно A2.14)-A2.16)
можко записать
/ к \Уг / in\ +~
Рг -[ ) ехр(/'ЛЛ, + — I / g(s)(s-sb)v2exp(-\kR1\s)ds,
\2vr / \ 4/-~
д(д-п) y*dq Г, _/ 1 \1 A2.27)
dg Г / 1 M
ds \kRtJ\
Здесь зависимость q(s) определяется уравнением перевального конту-
ра A2.17), g(sb) = п. Интеграл A2.27) с точностью до обозначений совпа-
дает с рассмотренным в § 11 интегралом A1.63) при 0 = 1/2. Поэтому
для построения асимптотики р2 нам остается только вычислить входящие
в формулу A1.74) величины.
Из A2.17) имеем
I * - На sin2 (@О - 6)/2), g'(sb)f'(n) = - 2sb, ?'@) = [-2/Aft)]-
Знак корня в последнем равенстве следует выбрать гак, чтобы значение
250

) было равно углу -я/4 — а/2 между касательной к yt в точке
перевала и положительным направлением вещественной оси q. Знак $j,
определяется иэ условия q'(sb) -* q'@) при sft -*¦ 0. В результате получаем:
exP(-7ff//8)sin6(8/a)
3/4
[cos 6 cos3((б0-«)/2)] ' A2.28)
*@) _ m[(l/2)sin60cos6an(e0+6)r/2cos60cos2((e0-6V2)
g(sb) sin 6 (т2со&в0 + sin2 0O - sin26 )
Здесь значения g(sb) и А выписаны с точностью до множителя
Г1)].
Формула A1.74) содержит параметр о = ± 1, характеризующий относи-
тельное расположение контура интегрирования и раэреэа. В частном слу-
чае, когда раэреэ параллелен контуру интегрирования и уходит на беско-
нечность при Rew -»¦ -°° (как в случае A1.63)), параметр о определяется
знаком lm(wh - ws). В общем случае о следует выбирать так, чтобы при
увеличении расстояния между критическими точками асимптотика A1.74)
сводилась к вкладу перевальной точки, когда раэреэ не затрагивается
при деформации контуров интегрирования, и давала дополнительно вклад
точки ветвления в противном случае. Согласно A1.75а), вклад точки
ветвления отсутствует при Reu > 0, где и - -iosb\2kR1 \1П. С другой
стороны, в п. 14.3 гкжазано, что боковая волна отсутствует и отраженное
поле равно интегралу по окрестности точки перевала, когда точка q = п
лежит слева от контура yt. При \п — qs\ ^ 1 это условие можно записать
, в виде arg(n - qs) G (-я/4 - а/2. Зя/4 - а/2). На границах этого интервала
величина и становится чисто мнимой, внутри же интервала Reu > 0, если
а - 1. Подставляя найденные значения параметров в A1.74), получаем
23;2sin бехр [ikR, cos2 (@O - 6)/2) - 7/тг/8]
Рг~ m [sin0ocos6cos3(@o -
и = 2expCJr//4)(A:/?II/2sin(@o -
До сих пор мы считали, что интегралы по контурам 7 H7i равны, т.е.
число пересечений 7i с разрезом четно. Чтобы рассмотреть случай нечет-
ного числа пересечений, можно было бы вновь найти асимптотику интегра-
ла по перевальному контуру, при помощи эталонного интеграла A1.65)
вычислить асимптотику интеграла по охватывающему разрез контуру у2.
сложить результаты и убедиться, что для р2 вновь получается выраже-
ние A2.29). Однако можно обойтись и без выкладок, физически ясно
и может быть доказано на основе интегрального представления A2.9),
что звуковое поле является аналитической функцией 6. Поскольку левая
и правая части A2.29) - аналитические функции 6, то но принципу анали-
тического продолжения формула A2.29), доказанная при Reu > 0, спра-
ведлива и при Reu <0.
2S1

Формулы метода перевала дляр! и формулы A2.29) дляр3 дают равно-
мерную асимптотику звукового поля в окрестности критического угла пол-
ного отражения. Используя асимптотическое разложение (9.3$) функций
параболического цилиндра, нетрудно убедиться, что при \ и\ > 1, Reu > О
соотношения A2.29) переходят в A2.21), где под V (q) следует понимать
vi (Я) (Ч - п) 1/2 • При I "I > 1, Re и < 0 в асимптотике (9.3S) функции
Dy,2 00 появляется новое слагаемое, которое дает в звуковое пс>ле добавку
р, A2.23).
Наибольший интерес полученные результаты представляют в узкой ок-
рестности | 0О - 6 1^ I kR i\~l/2 критического угла полного отражения,
где обычные формулы A2.21) — A2.23) неприменимы. При \q ~ п\ < 1
имеем) Vtyjq- n\ < Vt (q) *>V (q) «s ^следовательно, основной вклад в
Рг> дает р i. Главный член асимптотики рг по-прежнему имеет вид
R~i K(sin60)exp (ikRi). Однако поправка будет не порядка (?Я,)~',как
в A2.21), а порядка (kR , )-'/4, т.е. значительно больше. Эту поправку дает
рг. При | «| ^ 1 значения функций параболического цилиндра порядка еди-
ницы, а коэффициент при D3,2 порядка (кЯ{)~Щ Используя известное раз-
ложение Dl/2(u) в ряд Тейлора (см. [240, гл. 19]) в интересующей нас
области получаем приближенно
4я 2
Пусть показатель преломления п веществен. Тогда с ростом /ч сокраща-
ется угловой, но возрастает поперечный линейный размер области | и\ ^ 1,
где неприменимы формулы A2.21), A2.23) и необходимо использовать
асимптотику A2.29).
Своеобразные черты поведению поля вблизи критического угла полного
отражения придает наличие поглощения, препятствующее сближению пе-
ревальной точки 4s с точкой ветвления q = п. При фиксированном рас-
стоянии /?! отточки наблюдения до изображения источника аргументы
функций параболического цилиндра в A2.29) по модулю не меньше вели-
чины 2| Л/? 1J1'2 sh |Im 6/2| . Если поглощение достаточно велико» так что
|fc/?oll/2llmn| >l, A2.30
то | ы| Р> 1 при любых й0, функции Di/2,D3/2 можно заменить их асимпто-
тиками и простые формулы A2.21) — A2.23) позволяют найти отраженное
поле во всей области Rl > Ro верхнего полупространства. Это явление
можно было предвидеть заранее, рассматривая угловую зависимость коэф-
фициента отражения плоских волн. Когда 1тл* 0, графики модуля и фазы
френелевского коэффициента отражения имеют изломы при 9 = 5. Учет
диссипации энергии в среде, как отмечалось в § 7, превращает Угловую за-
висимость V в бесконечно дифференцируемую (при вещественных в ).
Неравенство A2.31) показывает, при каких условиях функиик ^ (я) мож-
но считать достаточно медленно меняющейся для применимости метода пе-
ревала.
252

Полученные выше результаты позволяют вычислить отраженное звуко-
вое поле при | kR J > 1 и любых в0, если п tie слишком близко к нулю
или единице, а т -кнулю или бесконечности. Они описывают также пове-
дение рг при | kR! | -> °° для любых фиксированных т и и. Легко дать фи-
зическую интерпретацию математическим операциям, использованным при
выводе формул A2.21) и A2.29). Деформация первоначального пути ин-
тегрирования 7 в перевальный путь 7i означает, что поле составляется из
плоских волн, которые имеют в точке наблюдения одинаковую фазу, рав-
ную фазе волны с углом падения в0. Путь 7i i на котором фаза постоянна,
согласно общим свойствам аналитических функций одновременно явля-
ется контуром быстрейшего убывания амплитуды при удалении от пере-
вальной точки. Поэтому иокаэалось,что при анализе интеграла были сущест-
венны только участки перевального пути, близкие к qa> т.е. углы в , близ-
кие к в0- Это означает, что поле в точке наблюдения составляется преиму-
щественно из плоских волн, отраженных от границы под углами, близкими
к в0 — углу падения луча, построенного по законам геометрической аку-
стики. Вклад точки ветвления, как мы увидим в § 14, также допускает наг-
лядную лучевую интерпретацию.
В соответствии со сказанным, основным в выражении A2.21) для р, яв-
ляется первый член в скобках, дающий отраженную волну в приближении
геометрической акустики. Он остается главной компонентой поля и в об-
ласти в0 * 6, где формула A2.21) неприменима. Если ограничиться этим
членом, то в таком приближении сферическая волна отражается с тем же
коэффициентом отражения, что и плоская. Прочие члены в асимптотиках
A2.21) и A2.29), а также A2.23) можно рассматривать как поправки, ис-
чезающие при | к\ -* °°, но, однако, играющие в ряде случаев весьма су-
щественную роль.
В п. 12.1 мы видели, что поправочный член строго равен нулю, если
коэффициент отражения не зависит от угла падения. На границе раздела од-
народных жидкостей эта ситуация реализуется при п = 1, когда К =
=(т- l)/(m+ 1) = const. Выясним теперь, когда поправочными членами мож-
но пренебрегать при Уф const Если в0 близко к критическому углу
отражения, приближением геометрической акустики, согласно A2.30),
можно ограничиться при условии
|ЛЛ,|1/4> mM(tg6I/2. A2.32)
Это неравенство содержит большой параметр |fc/?il в дробной степени и,
следовательно, является очень жестким. Если поглощение в верхней среде
больше, чем в нижней (Imk > Imfc,), то в своей области наблюдения доми-
нирующий вклад в Рг может вносить боковая волная (см. § 14). Ясно так-
же, что именно "поправки" определяют отраженное поле, если 0О близко к
углу в = arctg [(/я2- п2)/(п2 - 1) ], при котором согласно B.33) коэф-
фициент отражения обращается в нуль.
В остальных случаях поправки к геометро-акустическому выражению
для рг малы при | kR х\ > 1. Они, тем не менее, могут составлять значи-
тельную часть полного звукового поля в верхнем полупространстве, если
главный член отраженной волны по амплитуде близок к падающей волне и
сдвинут по фазе примерно на п. Такая ситуация возникает вблизи границы
раздела. Обратимся сначала к случаю, когла излучатель или приемник (для
253

определенности будем считать, что первый) находится на границе раздела.
При этом z о - О, R = R ] (см. рис. 12.1), и условие малости поправочного
члена в выражении A2.21) по сравнению с суммой прямой волны
R'lexp(ikR) и отраженной волны Л K(sin0o) ехр(ЛЛ) , взятой в геомет-
рическом приближении, запишется
|/V| < \kRt [I + K(sin0o)] | = \2mkR, cos0o/(mcos,0o + V»1 -sin20o)|.
A2.33)
Так как значение | kR j j велико, зто условие заведомо выполняется, если
0О не близко к я/2. Когда 0о*"г/2, при учете A2.22) неравенство A2.33)
можно переписать в виде
Ufczl > И\/и2 - 1 (wcos0o + \/п2 - 1 у2 |. A2.34)
Таким образом, для применимости лучевой акустики необходимо, чтобы
возвышение приемника над границей раздела было достаточно большим по
сравнению с длиной волны. Это вывод сохраняет силу и тогда, когда
поправка порядка (W?()~J обусловлена не только пропорциональным АГ
слагаемым в выражении A2.21) для р,, но и боковой волной A2.23). В
случае приподнятого над границей излучателя следует величину z в A2.34)
просто заменить на z + z0. Действительно, если |А:|/?, > 1, то разность
фаз отраженной и падающей волн (ReA:) (Rj — Л) =*»2| k\zz$}r остается
малой по сравнению с единицей при значениях тг[2 ~ в о^,\ kR{\~1, ког-
да поправки к геометрической акустике перестают быть существенными.
Поэтому и при г 0 ф 0 остается в силе неравенство A2.33). Численные при-
меры, иллюстрирующие критерий A2.34) при различных значениях пара-
метров т и л, приведены в работах [129, 176].
Отметим, что порядок величины поправки к лучевому результату дляр,
также можно было оценить, исходя из принципа Гюйгенса и представлений
о зонах Френеля на отражающей плоскости [39]. При выводе формулы
A2.21) можно было избежать замены функции Ханк ел я под интегралом
ее асимптотикой, если применить к интегралу A2.7) двумерный метод ста-
ционарной фазы (см. п. 11.2). Этот подход имеет определенные преиму-
щества при вычислении последующих членов разложения рг по степеням
ijkR 1 [297]. Ряд существенных результатов, касающихся отражения сфе-
рических звуковых волн от границы раздела двух сред, читатель может
найти в работах [231,369,400,471,496, 551].
Многие авторы рассматривали отражение цилиндрической волны, воз-
буждаемой бесконечным источником в виде прямой, параллельной грани-
це (см., нзпример [260, гл. 5], [321]) . Таком источник можно рассматри-
вать как бесконечный набор равномерно распределенных точечных излуча-
телей. Пусть источником является прямая z = z0,дг = 0. Разложение цилинд-
рической волны на плоские легко получить, проинтегрировав обе части
A2.5) по у. Тогда для отраженной волны получается представление, анало-
гичное A2.10):
рг = i /V1 V(i)**.]>{i [ Ье* H(z + zo)]> d%, Ыц > 0. A235)
Анализ pr в этом случае повторяет проведенное выше исследование отра-
254

женного поля при падении сферической волны. Единственное отличие со-
стоит в том, что не возникает никаких особенностей при в0 ->О, н этот слу-
чай не требует специального рассмотрения.
12.3. Преломленная волна f43].-Среду, в которой находится излучатель,
мы называем верхней. Теперь нашей задачей является анализ поля в
нижней среде на больших по сравнению с длиной волны расстояних от ис-
точника. Для преломленной волны, как и для отраженной, в качестве пер-
вого приближения получается геометрическая акустика, а в последующих
приближениях - поправки к ней (иногда весьма существенные). Целесооб-
разно поэтому начать анализ с решения задачи в рамках лучевых представ-
лений, обоснование которых будет дано в § 16. В этом приближении поток
энергии направлен вдоль луча. Поэтому зависимость интенсивности звука
на луче от расстояния определяется законом расширения элементарной лу-
чевой трубки: квадрат амплитуды звукового давления обратно пропорцио-
нален площади ее поперечного сечения. Траектория луча в слоистой среде
подчиняется закону Снелля B.196). Коэффициенты отражения и прозрач-
ности границы раздела для луча, как мы видели в п. 10.4 (см. также
п. 16.2), те же, что и для плоской волны.
Для того чтобы получить результаты, которые будут нам полезны и в
дальнейшем, рассмотрим уравнение луча в непрерывно-слоистой среде с по-
казателем преломления n(z) = c(zo))c(z). Пусты =0, z=z0 - координа-
ты излучателя S, a Pt (r , z) - точка наблюдения. Если луч выходит из точ-
ки S под углом во к вертикали (рис. 12.4), то на произвольном горизонте
Рис 12.4. К лучевому расчету интенсив-
ности звука. S - источник, zr - гори-
зонт поворота луча, Р^ - точки наб-
людения
имеем sin 0(z) = я (г) sin 0О. Интегрируя равенство dr = tg0 (z)dz, на
восходящем участке траектории получаем
r@o,r)= / tg0(z)rfz = sin0o / [n2(z) -sin20o]
z. z.
A236)
Если между излучателем н точкой наблюдения луч поворачивает один раз на
горизонте zr, то выражение для г состоит из двух слагаемых:
r@o,z)= Sin0o I /' [и2 (z) - sin20o 1 ~1/2<fe I +
+ sin0o |/ [я2(z) -sin20o]-42dz\.
A2.37)
Наконец, если прн заданном 0О в среде есть две точки поворота, лежащие
2S5

выше и ниже z0; zr < z0 < z ^, то луч бесконечное число раз возвращается
на каждый горизонт, заключенный между zr~ и z,+, и г зависит также от
числа полных циклов луча. Длина цикла равна 2)@о) = 2[r@o, z}) -
-r@o,r~)],rfler@O)zj:) определяется формулой A2.36).
Перейдем к вычислению интенсивности звука. Пусть в точку Pi (r, z) по-
падает луч, вышедший из источника S под углом 0О (см. рис. 12.4). Луч с
углом выхода 0О + d00 прийдет в точкуР2 (г +dr,z), гдеdr -dd0 ¦ дг/дв0.
Сечение лучевой трубки в плоскости чертежа будет | МР{ \ - \ PtP2 |cos 0 =
± | dr/d0o I cos 0d0o. Если в плоскости z - const угловой раствор лучевой
трубки равен dp, то площадь ее поперечного сечения в точке Р{ будет
ds - т\ дг/дв0 | cos ddeody. Пусть источник ненаправленный, a U - его пол-
ная мощность. В нашу лучевую трубку излучается мощность dU =
= D7r)~li/sin0o<i?0o<j?v>. Следовательно, плотность потока мощности, или
сила звука,будет'
0оDтгг cos 0 | дг/дв0 |)"'. A2.38)
Если в непосредственной близости от точечного излучателя звуковое дав-
ление р - R'lexp[icjRlc(z0)], то, согласно' формуле B.11). V =
= 2я(рG0)с(г0))"'. С другой стороны, / = |р|2/Bрс). Подставляя значе-
ния I и U в A2.38), для амплитуды давления в точке приема получаем
"'. A2.39)
Применим теперь полученные результаты к задаче о падении сферичес-
кой волны на границу раздела однородных жидкостей. Поглощением энер-
гии будем пренебрегать. Через любую точку Р( в нижней среде проходит
один луч. Угол падения 0О связан с углом преломления 0( (см. рис. 12.1)
равенством nsin0] - sin0o, где n s Jtj/к = cjc\ ¦ Значение00 при заданном
расположении излучателя и приемника находится из уравнения пуча
o +z,tg0,, A2.40)
где z, = - г > 0 - расстояние от точки наблюдения до границы. Звуковое
давление в точке В на границе равно р (В) =W\SB \~lexp(ik]SB |), причем
коэффициент прозрачности W дается формулой B.31), где в нынешних
обозначениях 0 « 0О. Чтобы найти \р Р в точке Pi, нужно | р(В) I2 домно-
жить на отношение
[г@о,О)|дг@о,О)/Э0о l][r@o,z)|dr@o.z)/30o I]
площадей поперечных сечений лучевой трубки в точках 5 и Pi. Учитывая
набег фазы kz0jcos00 в верхней и Artz (/cos0, в нижней средах, получаем
после несложных преобразований
2т . Г sin 0о // z0
т cos0О +ncos0, L r ' \cos30e
f Г Zn 2,П \\
Xexp ft — + . A2.41)
\ L cos 0O cos0,JJ
Заметим, что Ipl можно вычислить также по формуле A2.39),если учесть,
что в нижнюю среду переходит только определяемая знергетическим коэф-
фициентом прозрачности B.39) часть акустической энергии, первоначаль-
но содержавшейся в лучевой трубке.
256

Точное значение звукового давления в нижней среде дает интеграл
"Т12.11). На больших по сравнению с длиной волны расстояниях от источни-
ка его целесообразно анализировать методом перевала. Мы не будем рас-
сматривать здесь особые случаи г -*0, п -*¦ 1, т -*0 или т ->°о. Если перейти
в A2.11) к интегрированию по переменной q = ij/Jt и заменить функцию
Хаикеля ее асимптотикой A2.13), подынтегральная функция будет иметь
единственную стационарную точку qs - sin0o- Из A2.40) видно, что 0 <
<<?* < 1. Qs <л Поскольку W = 1 + V, то полюсы и точки ветвления подын-
тегрального выражения в A2.11) будут расположены так же, как в A2.10).
Не приводя подробности исследования в комплексной плоскости, ко-
торое имеет совершенно такой же вид, как н в случае отраженных волн,
остановимся сразу на результатах расчетов и их физическом смысле. При
этом основной интерес представляют поправки к полученному выше ре-
зультату геометрической акустики.
Главный член вклада перевальной точки в точности равен A2.41). Как
и в случае отраженной волны, уточнение лучевых формул идет по двум
направлениям. Во-первых, учет второго приближения в методе перевала
добавляет к выражению A2.41) член порядка ОA/кг2). Во-вторых, добав-
ляется волна нового типа, аналогичная боковой волне в отраженном поле.
Такая вопна получается при интегрировании по беретам разреза. Она пере-
носит энергию от излучателя к приемнику существенно иным путем (SOPi
и SMPi на рис. 12.5), чем геометро-акустическая компонента поля. В случае
л < 1 смысл дополнительной волны особенно прост. Здесь она представляет
собой хорошо известную экспоненциально затухающую при углублении в
нижнюю среду волну, получающуюся при отражении луча SM, падающего
на границу по углом, большим, чем критический угол полного отражения
(sin/3 > п). В случае л > 1 дополнительная волна возникает вследствие
того, что неоднородные, экспоненциально затухающие noz плоские волны,
присутствующие в разложении исходящей vaS сферической волны, прелом-
ляясь на границе, дают в нижней среде обычные плоские волны, распростра-
няющиеся под всеми углами падения /3, удовлетворяющими условию
sin/З > 1/я.
Заметим, что в силу принципа взаимности звуковое давление в точке Pi
от источника, находящегося в точке S, будет равно давлению в точке 5,
0
1
8 ^\* m
а 6
Рис. 12.5. Пути проникновения волны в нижнюю среду дм случаев я > 1 («) н я < 1
(б). Системой горизонтальных черточек изображены неоднородные волны
П. Л.М. Бреховских 2S7

если источник поместить в точку Pt. Так, на рис. 12.5 случай (а) получится
из (б), если в последнем поменять местами излучатель и приемник. Следует
иметь в виду, что источник, дающий в верхней среде сферическую волну
единичной амплитуды R~'exp(ikR), будучи помешен в точку Pt , согласно
формуле A5.28) создаст волну mR~lexp(iktR). Пусть нам известно пре-
ломленное поле р (г, z, z i, т, к, kt) сферической волны единичной амплиту-
ды, падаюшей из верхней среды, как функция координат источника и при-
емника и параметров сред. Согласно принципу взаимности (см. и. 15.1),
при падении сферической волны единичной амплитуды из нижней среды
звуковое давление при г > 0 будет равно m'lp(r, zx, z, m~l, kt, к). В
справедливости этого легко убедиться также при помощи интегрального
представления A2.11) и выражения B.31) для коэффициента прозрач-
ности. Действительно, при переобозначении z0 *-+ - z, к *-*¦ kt,т+-+ Ijm
показатель экспоненты в A2.11) остается неизменным, a Wjfx переходит
в mWjpn.
Равномерные асимптотики преломления поля можно построить, поль-
зуясь формулами § 11. Мы выпишем окончательные результаты для случая
z0, zt< r, когда только и могут быть осуществленными поправки к лу-
чевой акустике. Пусть п > 1. Будем предполагать, что л/2 - во< 1,
^2 - II'2. Тогда вклад перевальной точки равен
2т Г cos 0О ни
U
+ z, л/«2 -sin20o)}, A2.42)
причем для угла 0О из A2.40) имеем »г/2 — 0О ^z^jr. Легко убедиться,
что при сделанных предположениях A2.41) переходит в первый член в
квадратных скобках в A2.42). При Во -+ njl, когда этот член, соответ-
ствующий геометрической акустике, исчезает, второй (поправочный) член
становится основным. К выражению A2.42) нужно добавить также диф-
ракционную волну, которую дает интеграл по берегам разреза:
2/и Г 1 cos/3 1
R [m(l-n2)kR юл/ sin2 0- 1 -in cos 0 J
Xexp [ Jt(in R -zoy/n2 sin2 0-1)]. A2.43)
Здесь R - (r2 + z\)' '2, tg0 = r/z,. Как мы видим, амплитуда дифракцион-
ной волны экспоненциально убывает при удалении излучателя от границы
раздела. Полное поле в нижней среде будет суммой р -р\ + ра- Если z0 =
= z, = 0, то звуковое давление р должно быть равно сумме давлений в
падающей и отраженной волнах. Используя A2.21) - A2.23), легко прове-
рить, что формулы A2.42) и A2.43) согласуются с результатами п. 12.2.
Чтобы найти преломленную волну при п < 1 в области я/2 - 0 i < 1,
zocos0! < Zi(l — и2I'2, нет необходимости проводить выкладки зано-
во. Достаточно воспользоваться принципом взаимности и произвести в
формулах A2.42), A2.43) переобозначения,указанные выше.
Основываясь на полученных соотношениях, найдем границы примени-
мости приближения геометрической акустики. При п> 1 из условия малос-
ти второго члена в квадратных скобках в A2.42) по сравнению с первым
258

получаем
кго>т\1-пг\-Чг. A2.44)
Заметим, что при увеличелии z0 стремится к нулю также величина pd
A2.43), что естественно, так как в лучевой акустике эта волна отсутствует.
При п < 1 условие применимости геометрической акустики отличается от
A2.44) заменой :0 наг, итна т~х. В случае п - 1 формула A2.41) яв-
ляется точной. Таким образом, для применимости лучевой акустики при
п > 1 необходимо, чтобы излучатель был достаточно удален от границы,
положение же приемника существенной роли не играет (напомним, однако,
что рассматривается случай | г | <$ г, z0 < г). При п < 1, наоборот, необ-
ходимо, чтобы достаточно далеко от границы располагался приемник.
Мы пренебрегали диссипацией энергии. Преломление сферической волны
с учетом поглощения исследовано в статье [40]. К рассмотренному в
п. 12-3 вопросу относится также работа [370].
12.4. Случай резкого плотностного контраста. Отражение от импедансной
границы- На границе раздела газа и жидкости отношение плотностей двух
сред m сильно отличается от единицы. Например, при падении волны из воз-
духа на поверхность воды m *«770. В случае, когда m > 1, как мы видели
в п. 12.2, полюс коэффициента отражения приближается к точке ветвления
q - 1, и полученные выше результаты для отраженной и преломленной волн
должны быть модифицированы. Учет влияния полюса коэффициента отра-
жения составляет первую задачу п. 12.4. Как и выше, мы будем предпо-
лагать, что значение п не слишком близко к единице.
Приближенной моделью отражения от среды с большим значением
плотности может служить отражение от границы с не зависящим от угла
падения импедансом Z, когда, согласно B25), коэффициент отражения
плоских волн равен
v{q) = (\Л - q1 - r?)/(Vl - q2 + v), V=pc/Z. A2.45)
Действительно, френелевский коэффициент отражения B.27) (для кото-
рого мы сохраним обозначение V) при m > 1 заметно отличается от едини-
цы только при в ^ я/2. В этом угловом диапазоне импеданс нижнего полу-
пространства Z!= p^/cosfl! = mpc(n2 - sin20)~'^2 * Z, где Z =
= mpc(n2 - l)'2, причем Z = - i\Z\ при n < 1, \Z j > pc. При таком
определении Z значения v и V близки при всех углах падения. Та же ап-
проксимация V (q) годится и в случае п > 1 (который имеет место, напри-
мер, при отражении звука от газонасыщенного или на дне пресноводного
водоема), поскольку cosfli = A - и sin20) '^2 «* 1 при всех д. Однако
основная практическая ценность модели границы раздела сред как поверх-
ности с постоянным импедансом состоит в том, что она позволяет опи-
сать отражение от почвы, стен зданий и других пористых сред, встречаю-
щихся в атмосферной и архитектурной акустике (см. п. 2.3). Анализ
отраженной сферической волны от импедансной границы является второй
задачей настоящего раздела.
Если m > 1, то френелевский коэффициент отражения испытывает
резкие изменения при q = sinfl, близких к единице (я/2 - в < 1). Так,
V * 1, еспи 1 - q ^> ш'2, но V = - 1 при q = 1. Поэтому для углов зеркаль-
ного отражения <?0 «* л/2, когда окрестность точки q = 1 попадает в суше-
17* 259

ственную для интегрирования область, полученная методом перевала фор-
мула A2.21) должна быть модифицирована. О неприменимости метода
перевала при т -* °° говорят и сами соотношения A2.21), A2.22). Из
A2.22) следует, что с ростом mN -> 0, если 0О Ф »г/2, и /V->°°, если во =
= я/2. Этот разрывный и расходящийся результат не имеет физического
смысла.
Выделим в коэффициенте отражения его предельное значение при т -*
->оо •
V(q) = 1 - 2Vrt2 -q2l(m y/T^q* *y/n2 - q2) A2.46)
При подстановке A2.46) в A2.10) вклад первого слагаемого вычисляется
точно. Вклад второго слагаемого можно совершенно аналогично выклад-
кам п. 12.2 свести к интегралу по перевальному пути yt, определяемому
уравнением A2.17):
ехр(Ш?,) / к \Ч* /in
Здесь Ф(«) выписано с точностью до множителя [1 + 0A fkRi)] (ср.
A2.14)). Если при деформации исходного контура интегрирования к yt
приходится обойти исходящий из точки q = n разрез, то в A2.47) нужно
добавить интеграл по его берегам. При т -> °° его оценка не имеет ни-
каких особенностей и приводит к обычному выражению A2.23) для боко-
вой волны, согласно которому р/ -> 0 при т -*¦<*>. Поэтому боковой вол-
ной в рассматриваемой задаче, как правило, можно пренебречь. Это мы и
будем предполагать. Как показано в п. 122, другие точки ветвления
подынтегральной функции несущественны. Однако при т > 1 вблизи точ-
ки перевала s = 0 может лежать полюс s (qp), где qp - 1 + A - п2) 12т2 +
+ 0(т'А) по A2.20).
Асимптотика интеграла с полюсом вблизи стационарной точки была
построена в § 11. По формулам A1.54) - A.55) и A1.46) после простых
выкладок получаем
'Змг \
— + Ш?,)Х
Bк1гУ'гт2у/п2 - 1 /м
+ erf«)} -
[B - 1у(тг ~ пг)] '
. A2.48)
и =VM,expC/jr/4)sin(@p - во)/2). ¦
Здесь sinflp = qp, так что вр ^»г/2 + (и2 - \I121т. Величину и2, пропор-
циональную /?, и характеризующую степень близости полюса и переваль-
ной точки, называют численным расстоянием. Формула A2.48) дает рав-
номерную асимптотику отраженного поля, пригодную для любых значе-
ний в0. При в0 = я/2, когда источник и приемник лежат на границе раз-
дела, для полного звукового давления получаем из A2.48), сохраняя
260

только главные члены no I /m,
1'к /^'A + erf м),
ы = е3"''4 ч/и(и2 - \)кг/т.
A2.49)
На абсолютно жесткой границе, соответствующей т - °°, мы имели бы
р = 2r'lexp(ikr). Множитель Y(u) (он фигурирует и в A2.48)) харак-
теризует дополнительное ослабление поля вследствие оттока энергии в
нижнюю среду и называется функцией ослабления; Y@) = 1, т.е. при дос-
таточно больших т ослабление отсутствует. При \и\> 1 по формулам
A1.47), A1.49) получаем Y = О(и~2 ). Подставляя зто равенство в A2.48),
видим, что с точностью до членов порядка O(k~2Rl2), которыми мы
пренебрегали при выводе A2.48), эта формула при больших численных
расстояниях переходит в A2.21). Отметим, что при т > 1 величина \и\
может быть порядка единицы или меньше, несмотря на то, что kR1 вели-
ко. Так, для приемника и излучателя на границе воды и воздуха (п ^
*0,22, г = Rt) |u|«*9-10~4 (kr)l>2. Отсюда видно, что условие |ы|>
> 1 может оказаться значительно более жестким, чем условие I kRi ]> 1.
Таким образом, явный учет полюса коэффициента отражения позволил
существенно расширить область применимости асимптотики звукового
поля.
Рассмотрим теперь отражение сферической волны от импедансной гра-
ницы. Для простоты будем считать среду непоглощающей. Граница z = О
предполагается пассивней, т.е. не усиливающей звуковые волны. Поэтому
вертикальная компонента вектора плотности потока мощности B.11) при
z - 0 должна быть направлена к границе раздела: /г <0. Используя опре-
деление импеданса B.20), перепишем это условие в виде 0 > 1Х =
= - |p|2ReZ/2u>, или ReZ >0. Граница будет полностью отражающей, если
ReZ = 0. (К тем же выводам можно было придти, анализируя коэффициент
отражения A2.45).)
Отраженная волна имеет интегральные представления: точное A2.10)
и приближенное A2.14)-A2.16), где V следует заменить на и. Уравнение
перевального пути 7i A2.17) не зависит от характера отражающей грани-
цы. Поскольку точка ветвления q = 0 функции Ханкеля несущественна, а
v(q) имеет только две точки ветвления q - ± 1, риманову поверхность
можно считать двулистной. В непоглощающей среде (а = 1) разрез проходит
по мнимой оси и отрезку [-1, 1 ] вещественной оси q (рис. 12.6). За исклю-
чением небольшого участка, показанного на рис 12.6 штриховой линией,
контур 7i лежит на верхнем листе. Поэтому деформация исходного конту-
ра интегрирования к 7i производится беспрепятственно, причем значение
интеграла по перевальному пути дает формула A2.21).Дополнительный
вклад в интеграл может дать полюс коэффициента отражения, если он
встретится при деформации контура. Положение поп юса определяется
уравнением
у/\ _ q2p - _ 7j, или qp = \/l - 7j2. A2.50)
Поскольку Re?j > 0, на верхнем листе, где Imvl - q2 > 0, полюс может
быть расположен только в I и III квадрантах, а на нижнем листе, где
Im y/l - q2 < 0, - только во II и IV квадрантах плоскости q. Следовательно,
затрагивается только полюс, лежащий в заштрихованной на рис. 12.6 об-
261

fef
Рис. 12.6. Деформация конту-
ров интегрирования в случае
отражения звука от нмпсданс-
ной границы в непогпощаю-
щей среде. П - область рас-
положения полюсов qp коэф-
фициента отражения, дающих
поверхностную или вытекаю-
щую волну. Поперечными
штрихам» выделен разрез.
Контур т искусственно сме-
щен с вещественной оси Q,
чтобы показать его располо-
жение относительно разреза
ласти П, находящейся на верхнем листе между контуром уг и веществен-
ной осью<7. Такой полюс возникает при условии Im Z > 0. Введем функцию
U(Qs, Яр)> равную единице, если qp E SI, и нулю - в противном случае. На
перевальном пути мнимая часть f(q) A2.15) постоянна. Используя этот
факт и рассуждая так же, как в п. 14.3, условиеqpE SI можно аналитичес-
ки записать в виде
lmf(qp)>l, Re<7p>l/sin0o, \mqp>0.
Вычисляя вычет в полюсе, получаем окончательно:
IN
A2.51)
1
X
1/2 / f
expjijAK.OfpSii
/Г
sin в0 + VI - <7р cos в0)
-W
+7jcos0o)(cos0e
A2.52)
A2.53).
Функция U(qs, qp) меняется скачком, когда полюс пересекает переваль-
ный путь 7i • Для qp, близких к 71, соотношение A2.52) требует уточнения.
Вычисляя интеграл по перевальному пути при помощи формул A134),
A1.46), получаем
ехр(/*Л,)
р, = г V sin@o) +
I rqp J
u = i{kR, [|'-Я<7р)]}'/2, 1ти>0.
Мы не выписываем здесь поправок порядка O((kRi)~l). В этом приб-
лижении отличие равномерной асимптотики A254) от результата метода
262
( /W?,+ иг } уД{\ + erf и)+ - ехр(- и2 )
\ 4/1 и )
°2'54)

перевала состоит в замене разрывного множителя 2jtll2U(qs,qp) во вкладе
полюса гладкой функцией от и, которая в A2.54) заключена в фигурные
скобки. Слагаемое и'1 компенсирует расходимость l>(sin0о) при qp •*
-+sin0o. Покажем, что если полюс достаточно удален от перевального кон-
тура, то рассматриваемая функция асимптотически переходит в 2я|'г1/.
Если qp G 7ь то argu = я/2; если qp S ?2,то argu< я/2. Пользуясь асимп-
тотикой функции erf A1.49), получаем в последнем случае, что множитель
в фигурных скобках с точностью до 0((&Л,)~3'2) стремится к 2я''2.
Наоборот, если ^^Пи лежит достаточно далеко от 7i. так что argu >
> Зя/4, асимптотикой A1.49) можно воспользоваться для функции-
erf (- и) = - erf и. С той же точностью получаем, что рассматриваемый
множитель стремится к нулю. Хотя формулы A2.52)- A2.54) были полу-
чены из интегрального представления, непригодного при г2 ^ Rt/k, легко
показать, что они, подобно соотношению A2.21) из п. 12.2, справедливы
при сколь угодно малых значениях в0. Равномерная асимптотика A2.54)
наиболее полезна при в0 я* я/2 и qp » 1, когда полюс близок к стационар-
ной точке и дает значительный вклад врг.
Перейдем к интерпретации полученных результатов. Соотношение
A2.52) показывает, что звуковое полер, состоит из суммы геометричес-
ки отраженной волны, амплитуду которой с точностью до членов поряд-
ка 0{\jkR\) можно было найти и из лучевых представлений, и дополни-
тельной волны ps с волновым вектором (kqp, k(\ - ЯрI^2)- Волна этого
типа присутствует и в поле точечного источника над границей сред с рез-
ким плотностным контрастом. В выражении A2.48) она представлена
членом я'^цехрц2 в фигурных скобках*). Как мы видели выше, lmqp>
> 0, Im\/l - Яр > 0. Поэтому \ps | ->0 при удалении точки наблюдения
на бесконечность. Поскольку Re<7p > 1 (см. A2.51)), эта волна будет
замедленной: ее фазовая скорость меньше скорости звука.
Особый интерес представляет случай Im<7p = 0, реализующийся на пол-
ностью отражающей границе с импедансом Z = /1Z |. На такой границе рг
будет поверхностной волной: \ps\ экспоненциально убывает при удале-
нии приемника от границы и медленно, пропорционально г~' '2 спадает при
увеличении горизонтального расстояния до источника, т.е в направлении
своего распространения. Вблизи границы при достаточно больших г поверх-
ностная волна является доминирующей компонентой отраженного по-
ля. Коэффициент ее возбуждения точечным источником тем больше, чем
ближе источник к поверхности, и спадает в е раз при удалении от границы
на расстояние г0 = 1/Jfc Im\J\ - q\ = \jk\ tj|. При | tj| < 1 эта высота много
больше длины звуковой волны. С поверхностной волной такого типа мы
уже встречались в п. 4.4. Если Re Z Ф 0, то значение ps экспоненциально спа-
дает в направлении распространения и рассматриваемая волна подобна
вытекающим волнам (см. п. 4.4), но на границе раздела она отдает, а не
получает энергию. В отличие от геометро-акустической компоненты поля
*) В этом случае о поверхностной волне можно говорить только при ограниченных
значениях и, поскольку при |и|> 1 она компенсируется слагаемым в A2.48), со-
держащим erf и. Такое отличие от задачи с нмпедансной границей обусловлено тем,
что полюс не пересекается при деформации контуров интегрирования, хотя и может
приближаться к ним.
263

волна ps наблюдается в ограниченной области пространства, определяемой
функцией U(qp, qs). Для поверхностной волны ее можно записать весьма
просто благодаря вещественности qp: U(qp, qs) = H(qp ~ \/qs), где#(г) s
= 0,5 A + sgnx) - функция Хевисайда. Таким образом, зта волна приходит
только в достаточно близкие к границе раздела точки наблюдения с z <
<r\ri\ ~z0.
Приемник лежит на границе области наблюдения волны ps, если полюс
qp попадает на контур 7i в комплексной плоскости q. В окрестности зтой
границы поверхностная волна сильно интерферирует с зеркально отра-
женной компонентой поля. Поведение звукового поля в переходной об-
ласти в окрестности границы области наблюдения волны ps описывает
формула A2.54).
Асимптотика отраженного поля при падении сферической волны с уче-
том возможного сближения полюса и перевальной точки впервые была
построена Зоммерфельдом A26, гл. 6] и впоследствии исследовалась мно-
гими авторами (см. [259, 264, 297], [260, гл. 5]). Чисто лучевая теория
звукового поля в воде от излучателя в воздухе изложена в [396].Точный
волновой расчет поля в воде в точке, лежащей на той же вертикали, что
и излучатель в воздухе, приведен в работе [544]. Отличие от лучевой
теории заметно лишь на таких частотах, когда удаление как излучателя, так
и приемника от поверхности воды не превышает длины волны. Отражение
сферической звуковой волны от пористой среды, моделируемой поглощаю-
щим жидким полупространством, рассматривалось в работах [355, 493];
в более ранних работах B89, 346] использовалась модель импедансной
границы. В статье [457] получено рекуррентное соотношение между коэф-
фициентами полного асимптотического разложения звукового поля в зтой
задаче, главным членом которого служит формула A2.54). Сопоставле-
ние теоретических результатов с экспериментальными данными и более
полную библиографию читатель найдет в работах [289, 457, 493].
12.5. Слабая граница раздела. Едва ли не самым сложным случаем задачи
о поле точечного источника, расположенного над плоской границей двух
однородных жидкостей, является отражение от границы раздела сред с
близкими значениями плотности, скорости звука и коэффициента погло-
щения, когда т «* 1, п «* 1. При этом попарно сближаются точки ветвления
<7=± \ и q = ± п коэффициента отражения, рядом с которыми могут на-
ходиться и полюсы qp A2.20).
Задача о слабой границе раздела представляет значительный физический
интерес. Например, изменение показателя преломления на границе вода —
морское дно может составлять малые доли процента [57]. Весьма мало
отличие значений т и п от единицы на границах водных масс в океане или
воздушных масс в атмосфере. Кроме того, в случае непрерывной стратифи-
кации отражение сферической волны от переходного слоя между средами с
близкими,значениями сир при довольно общих предположениях сводится
к отражению от слабой границы раздела [42]. Впервые возникающие при
п -> 1 особенности были отмечены в работе [41]. Когда т -+ 1, п -* 1 ампли-
туда звукового давления во всей среде стремится к 1//?, где R — расстоя-
ние от источника. В случае kR > 1 геометрическая акустика дает прелом-
ленную волну с достаточной точностью, и трудности возникают только при
вычислении поправок. Мы остановимся на исследовании отраженной волны.
264

Ее амплитуда мала, в проблемой является даже определение главного чле-
на асимптотики.
Выше, в п. 12.2 было получено условие A2.32) применимости лучевой
акустики для отраженной волны в окрестности критического угла полно-
го отражения. При п — 1, т <* 1 оно сводится к неравенству | kR t(n2 —1I >
> 1. Его можно получить также, потребовав, чтобы точка ветвления q = 1
не попадала в существенную для интегрирования окрестность |s|^ 1
перевальной точки. Если, наоборот, в0 не близко к 5 «*тг/2, то q = 1 не по-
падает в окрестность точки перевала и никаких особенностей не возникает.
В A2.22) имеем N -*0 при п -* 1. Поэтому полученный методом перевала
результат A2.21) в пределе переходит в точное решение ps = (т — 1)Х
X(m + O'/JT'expO&fli). Таким образом, нам остается исследовать случав
л/2 - в0 < 1. Эта задача была решена в работе [42].
Для анализа волны, отраженной от слабой границы раздела, естественно
разложить коэффициент отражения по степеням п2 - 1:
т
т + 1 ' ' "(т+1J
Последующие коэффициенты могут быть найдены при помощи рекур-
рентной формулы
(т2 - 1) В,(т) = тВ,A) - В,(т). A2.56)
Подставляя разложение A2.55) в A2.9), получаем
Р, = к 2 В,(п2 - lYQAkr, Hz +z0)),
' = ° A2.57)
ч- Г г / ч exP('wVl -q2)qdq
.v) = f J0(uq) . fa,
Так как радиус сходимости ряда A2.55) равен единице, то при выводе
A2.57) контур интегрирования должен проходить в области UK 1. Что-
бы удовлетворить этому требованию, точку q = 1 обойдем в IV квадранте
по полуокружности достаточно большого радиуса и снова вернемся на кон-
тур 7 (см. рис. 12.2). Поскольку подынтегральная функция не имеет полю-
сов на верхнем листе, переход к такому пути интегрирования производит-
ся беспрепятственно.
В получающихся интегралах Qi путь интегрирования можно сов-
местить с вещественной осью, от чего, конечно, значения Q, ие изме-
нятся. Перейдем к их вычислению. Как мы видели в п. 12.1, Qo- = (u2 +
+ v2)~ll ехр[|(м2 + и2I/2]. При у = 0 и любом / интегралы Qi явля-
ются табличными [240, гл. 11]. Они выражаются через функции
Ханкеля*.
/ . A2.58)
Дифференцируя Qt по и 21 раз, получаем d2lQi(u, «)/do21 =Qo(u, v).
265

Следовательно,
1 •» exp(iV«l + **) „ , 2l~l ,
B/-l)!o vVT?^ /=o A2.59)
Дифференцируя A2.59) no v, находим Ду = (ft)'1 dfQi/dv'\v=0 =
» (-!)'<?/-,/2 («. 0)//!. В частности, Э0, (и, 0)/д0 = (- ш/2)ЯоA) («)•
Ограничимся случаем достаточно малых | и2 — 1 |, так чтобы в соот-
ношении A2.57) для рг третьим и последующими членами ряда можно
было пренебречь. Тогда
Pr = (m~ l)(m + О-'ЛГ'ехрО'АЛ,) + кт(т + 1)~2(п2 - lH,(*r, k(z +z0)).
где по A239) A26О)
Qi(u, v) = f exp [iy/u2 +Г1] (и2 +12)-1 /2(o ~t)dt +
о
+ /e'"[l _(jr/2«)l/2e-iw/4], juj>l. A2.61)
Функцию Ханке л я в выражении для dQJdv мы заменили асимптотикой
A2.13). Остается исследовать интегральный член в A2.61). Интеграл от
второго слагаемого в круглой скобке вычисляется элементарно. Для
вычисления интеграла от первого слагаемого сделаем замену переменных
по формуле (и2 + t2 I/г - и - s2 :
f dt ехр(/ у/и2 + i1)/ у/и1 +12 =
о
= 2е'" У Ае"'/>/*2 + 2и, s0 ->/(«2 +»*I/а-и. A2.62)
о
В интересующем нас случае, когда ir/2 - 0О ^ Ь получаем sj =
1 /я \
= 2кЯ1$'т* - ( - — во 1 ^ и = WJisine0. Пренебрегая в A2.62) величи-
ной $2 по сравнению с 2и, величину Qi легко свести к интегралу вероят-
ностей A1.47). Окончательно получаем
ехр(Ш?,) fm-1 /тАЛ,(и2-1) , ^
рг { + [ 1 + y/nwew (erfw + i)l },
R i I m +1 (m +1) ¦ J
A2.63)
Если в верхней среде нет поглощения, то значение к вещественно и
erf w при помоши формулы A1.48) можно выразить через интегралы Фре-
неля от вешественного аргумента. Из формулы A2.58) хорошо видно, что
в A2.57) разложение фактически ведется по степеням АЛ, (и2 - 1).Следо-
вательно, соотношение A2.63) позволяет приближенно найти отраженную
волну при условии
|*К,A -п2)|«1, A2.64)
противоположном условию применимости асимптотик A230), A2.29).
Кроме того, при выводе A2.63) мы предполагали \кг \> 1, r>z+z0.
266

Относительное значение двух слагаемых в фигурных скобках в A2.63)
зависит от величины (т- 1)/(и - 1). Если при стремлении т иик едини-
це отношение (т - 1I (п - 1) остается конечным, что имеет место, напри-
мер, когда граница обусловлена скачком температуры в среде, то членом
(т - 1)/(т + 1) можно пренебречь. По своей структуре соотношение
A2.63) очень близко к A2.45). Это неудивительно. Легко проверить, что
френелевский коэффициент отражения A2.55) с точностью до квадра-
тичных по t членов совпадает с умноженным на (т - lj/(m + 1) коэф-
фициентом отражения A2.45) от поверхности с импедансом Z =
— Zf)CII — rft ) tft yl — П ) ,
Рассмотрим два предельных случая. Если я/2 ~ во< | АЛ, |~''2, то
| w\ < 1 и A2.63) дает не содержащее в0 предельное значение, причем для
достаточно малых 1 т - 1 | величина \рг\ <^гк(пг - 1)/4 не зависит от Rt.
В обратном предельном случае, если я/2 - в0 ^ |*/?,|~''2, (т.е.
k(z + ZoJ/Ri > 1), то | w\ > 1 и интеграл вероятностей можно заменить
его асимптотикой A1.49). Тогда из A2.63) находим
ехр(Ш?,) Гт-1 т(п2-
Рг "* ~
т + 1 2(т + 1JA - sin в0).
Это же выражение мы получим, разлагая в лучевом выражении рг =
- V(sineo)Ri1exp(ikRl) коэффициент отражения в ряд по степеням
и2 — 1 и ограничиваясь двумя первыми членами. Таким образом, в рас-
сматриваемом случае A2.63) переходит в результат геометрической
акустики.
Простые асимптотики звукового поля, содержащие только элементар-
ные функции, удается получить в случае z = z0 =0, т.е. для источника и
приемника, лежащих на границе раздела*) [230,.369, 471]. Мы не будем
заранее предполагать близость значений п и т к единице и проведем вы-
кладки в общем случае. Коэффициент отражения V (q) представим в виде
A2.26) и подставим его в A2.9). В интеграле от V2 сделаем замену пере-
менной q = пи. Тогда для полного звукового давления р = /?''ехр(/АЛ) +
+ р, при z =z0 = 0 получаем
« qdq 2ikm2{\ ~n2\
о vfiTV т2 -п2 ~{тг ~\)q
7
2
40
udu '2/*,ти2A ~и2)
-7=^ Ык}ги)— 2 \ ' A2.65)
Г—л т2 -п2 - (т2 ~ 1 )п2и2
Оба интеграла имеют форму A2.24). Множители, выписанные после функ-
ций Бесселя, (обозначим их g н g>) являются четными функциями пере-
менной интегрирования. Чтобы их можно было считать гладкими на кон-
туре интегрирования, будем предполагать, что мнимая часть показателя
преломления lm и Ф 0, хотя и может быть как угодно мала. Асимптотика
интегралов этого типа исследовалась в § 11. По формулам A1.98), где в
*) Известно также точное решение задачи B, гл, 3, § 7J.0ho выражается через не-
полные цилиндрические функции.
267

нашем случае R * г, в ~ я/2, и A1.100) находим
A +i/kr)exp(ikr)/r
- и2) - /(/п2 - 1) A
l +i/k1r)exp(iklr)/r
-п*)-гп2(т2 - 1)(
A2.66)
Этот результат был получен Стиклером [516]. Здесь первое слагаемое
соответствует волне, распространяющейся в верхней, а второе — в нижней
среде.
Значение соотношения A2.66) обусловлено его простотой и универсаль-
ностью. Оно может быть использовано для проверки более сложных асимп-
тотик, описывающих поле излучателя над границей. Можно убедиться,
что полученные в п.п, 12.2 - 12.4 результаты, а также формула A2.63)
переходят в A2.66) при в0 = я/2. Соотношение A2.66) описывает по-
ведение звукового поля при г -* °°. Оценка погрешности, однако, ничего
не говорит о том, как зависит область применимости формулы от аи и п.
При т > 1, п Ф 1, как следует из A2.49), для применимости A2.66)
должно быть велико численное расстояние, т.е. кг > т2 > 1. Из симметрии
задачи ясно, что лри т < 1 также должно выполняться жесткое условие
кг > т'2 > 1. Напротив, на слабой границе раздела соотношение A2.66)
применимо даже при умеренных значениях кг, поскольку при т = I и
любых и и г, а также при и = 1 и любых т и г A2.66) переходит в точные
результаты. Действительно, когда m = 1 или и = 1, g становится линейной
функцией от q1, a g, - от и2, и совпадение A2.66) с точным результатом
следует из замечания после формулы A1.100). Отметим также, что при
m — 1 и выполнении неравенства A2.32) соотношение A2.66) сильно
упрощается и переходит в следствие полученных методом перевала фор-
мул A2.21) -A2.23):
- 2'т* ех?0кг) 2/л2 exp(i/fc,r)
Р ~ и2-1 кг* т(п2 -1) к~У '
кг > 1, *,г ?> 1. A2.67)
Вернемся к анализу поля точечного источника, расположенного Над'сла-
бой границей раздела. Полученные выше результаты, как мы видели,
позволяют вычислить звуковое давление в отраженной волне в двух пре-
дельных случаях, - когда |и2 - J | мало или велико по сравнению с
(kRiY1. В промежуточном диапазоне расстояний, где kR, | п2 - 1 | - 1,
асимптотику лоля не удается выразить через известные специальные
функции. Обзор выполненных до середины 60-х годов работ, посвящен-
ных задаче о слабой границе раздела, в том числе - в случае улругих полу-
пространств, дан в статье [237]. Позднее Стиклер [516, 517] опубликовал
асимптотику поля отраженной слабой границей волны в терминах функций
параболического цилиндра. Этот результат, однако, является ошибочным.
В работе [99] показано, что в случае и ^ 1 подынтегральная функция в
A2.10) не удовлетворяет условиям гладкости, необходимым для при-
менимости использованного р [516, 517] метода асимптотической оценки
интегралов из статьи [363].
268

Асимптотику р, можно построить методом эталонных интегралов, если
ввести, исследовать и табулировать новую функцию, в интегральном пред-
ставлении которой могли бы сближаться перевальная точка, две точки
ветвления и, возможно, полюс, как в интегральном представлении
рт A2.14). Такой путь был намечен в работе [236], но он связан со значи-
тельными трудностями.
Между тем, оказывается эффективной прямая численная оценка волно-
вого поля по его интегральному представлению. Существенна также гиб-
кость численных методов - их способность единообразно трактовать целые
классы задач. Так, при расчете р численным интегрированием разложения
поля пО волнам с гармонической зависимостью от горизонтальных коор-
динат (в однородной среде — по плоским волнам) не представляет сложно-
сти учет произвольной направленности источника или приемника, наличия
набора слоев между полупространствами и Тд. Весьма сходные методы
применяются при вычислении поля точечного источника, расположенного
над границей раздела сред, в волноводе или антиволноводе [6, 99, 187,
188, 356, 426, 450, 502]. Разложение поля сосредоточенного источника в
упругой среде на гармонические волны с последующим численным ин-
тегрированием стало основным методом, используемым в современной
сейсмологии (см., например, 15, 356, 368, 417, 440, 502]; [4, гл. 9] и
другие).
Для численной оценки волнового поля, отраженного от границы раз-
дела, используются также интегральные представления другого типа.
Как мы видели выше, при падении сферической волны на границу с коэф-
фициентом отражения V(q) ~ const отраженное поле рг равно полю точеч-
ного мнимого источника. При отражении от импедансной поверхности или
границы раздела однородных сред поле рг также можно свести к полю
мнимого источника [126, 436, 540], [260, гл. 5]. Однако этот источник
в общем случае будет не точечным, а распределенным вдоль прямой в
комплексном пространстве. Суммирование вкладов элементарных точеч-
ных излучателей, составляющих мнимый источник, является эффективным
методом вычисления электромагнитного поля точечного излучателя, рас-
положенного над траницеи полупространства с большим значением диэлект-
рической проницаемости [436, 447, 483]. В акустике этот подход может
оказаться полезным для расчета поля, отраженного от границы сред с рез-
ким ллотностным контрастом.
Остановимся подробнее на численной оценке поля по его разложению
на плоские волны. Сделаем в A2.14) замену переменной и = v(q) по
формуле
<7sin0o +A -<jra)l/2cos0o= 1 -v2/a. A2.68)
Можно показать, что деформация контура интегрирования в комплекс-
ной плоскости v к прямой Im v ~ 0 не меняет значения интеграла A2.14).
На этой прямой экспонента под интегралом осциллирует, сохраняя постоян-
ным значение своего модуля. Это позволяет выразить отраженное поле
через интеграл Фурье:
к. \»/2
f
) t , f dvt,F
2-nr / -» dv
269

Ф(и»)
—~ , A2.69)
2w1/z
\2»r
+ F-
dv
Выделим в A2.69) интеграл в конечных пределах от ограниченной
функции;
,,=*<O)e-"'.|-i_
ч
Ф, =
Если выбрать Q так, что при | v \ >Q2 функция F A2.16) не имеет особен,
ностей, то интеграл по полуоси (Q, + <*>) в правой части A2.70) для боль-
ших значений \kR, | можно оценить метолом перевала. Для нахождения
интеграла Фурье в конечных пределах разработаны эффективные числен-
ные методы, основанные на алгоритме быстрого преобразования Фурье
(БНФ) 125]. Однократное применение этого алгоритма позволяет вы-
числить интеграл для целого набора значений \kR, |, Выделение интеграла
по бесконечному контуру и вклада сингулярной части подынтегральной
функции, допускающих аналитическую оценку, позволяет резко снизить
требования к вычислительным мощностям по сравнению с прямым вы-
числением интегралов A2.14) или A2.69) 199]. Представление A2.70)
отраженного поля хорошо приспособлено для вычисления р, на прямых
в0 = const. При других способах сведения A2.14) к интегралу Фурье
можно обеспечить эффективное вычисление горизонтальных, верти-
кальных и других разрезов поля.
На рис. 12.7, взятом из работы [99], различные асимптотики рг для
случая слабой границы сопоставлены с непосредственной оценкой от-
раженного поля по его интегральному представлению A2.70). Обе среды
предполагаются непоглощающими. В своей области применимости соот-
ношение A2.63) хорошо согласуется с численными результатами. Полу-
ченное при условии | р I ^ 1 > в рассматриваемом случае оно является доста-
точно точным при | v j <0,6, Результаты работ [516, 517] неверно описыва-
ют поведение поля при \v \ < 1, но начиная с | v | = 1,8 отличиями от
истинного значения \pr | можно пренебречь. Лучевое приближение рг -
= K(sin0o)^r'exp(/AJ?|) при I v \ ^ I дает сильно завышенные значения
амплитуды отраженной волны. Это связано с тем, что при рассматриваемых
0о и 5 в пределах диапазона углов падения, где сосредоточены плоские
волны, эффективно формирующие рг, величина i V | значительно умень-
шается по сравнению с | F(sin0o)| = 1. Асимптотика A2.21) - A2.23),
учитывающая угловую зависимость коэффициента отражения, дает
приемлемые значения рг вплоть до несколько меньших значений |р|,
чем лучевое приближение. Однако при дальнейшем уменьшении \v\ рас-.
270

2 4 6 8 v
Рис. 12.7. Сравнение асимптотических представлений отраженного поля с точным
расчетом для случая /и = 1, я/2 - 6 = jt/250, jt/2 - 0О = 3it/1000 н различных значений
v - (kR,L2 (тг/2 - 6). / - непосредственная оценка интегрального представления,
2 - асимптотика из 1516|, 3 - асимптотика A2.63), 4 - приближение лучевой акус-
тики, 5 расчет по формулам A2 21)-A2.23)
сматриваемая асимптотика приводит к еще более завышенным значе-
ниям | рг |, чем лучевое приближение.
12.6. Отражение от движущейся среды. Пусть нижняя среда, занимаю-
щая полупространство г < 0, движется относительно верхней среды и
находящегося в ней точечного источника со скоростью v0 = (v0, 0, 0).
Для анализа отраженного пои я, как и в случае неподвижных сред, раз-
ложим падающую сферическую волну на плоские. Тогда отраженная вол-
на будет иметь инте[ралыюе представление A2.7), куда входит найден-
ный в п. 2.6 коэффициент отражения V B.88). Сложность рассматри-
ваемой задачи состоит в том, что V зависит не только от величины го-
ризонтального ролнового вектора {, но и от угла ф (см. A2.2)), задаю-
щего ориентацию (. Это нарушает аксиальную симметрию поля и не
позволяет представить рг в виде одного кратного интеграла A2.9).
Перейдем в A2.7) к интегрированию по безразмерным переменным
ф и q = /
Коэффициент отражения
V(q, ф) exp [i
A2.72)
-Г
0 ~ 1 -Mn~lq со&ф, М =
-Г
A2.73)
271

имеет точки ветвления при q =±1, q = <7i,2 =n/(A/cos ф ± 1). Мы будем
предполагать М < 1, при этом точки ^ = — 1, q = ^2 не попадают на
путь интегрирования. По аналогии с A2.26) представим V в виде
V' Vt + V2 y/q^ql, A2.74)
fP[m\l-q*) + n2]-q*
1 ' /?и2О-<72)-«21+<72>
-2im[n+q(l +MCos Ф)]1'20 +Мcos фI/2
V =
И| и К2 не имеют особенностей при <? = q%. Обозначим рх(р2) и Ф|(Ф2)
компоненты рг и Ф, обусловленные слагаемыми V\ ¦(соответственно,
V2{q - qt)x ) в коэффициенте отражения.
Рассмотрим сначала лоле/?1. Интегральное представление Ф(ф) аналогич-
но исследованному в п. 12.2 методом перевала интегралу A2.14). Показа-
тель экспоненты в A2.72) имеет единственную стационарную точку
)
A2.75)
Когда cos(i^ — ф) > 0, точка qo лежит на контуре интегрирования. По фор-
мулам A1.9), A1.12), пренебрегая величинами порядка \kRD')i~2 по
сравнению с единицей, получаем (ср. A2.21))
U<1^) ЭК, 23g ЭК, 3qVt |
1 I 2 Э?2 2 d<7 8 Jq = qe" l ' '
При cos(^ - ф) <0 на ингервале интегрирования нет стационарных точек.
Асимптотику Ф] в этом случае можно найти по формулам A1.15), A1.16).
Поскольку подынтегральная функция в A2.72) обращается в нуль при
q = 0, разложение Ф1 начинается с члена (Ш(ф))~3^2 при cos(v? - ф) - О
и с члена (кЛ(ф))~2 при cos(^ — ф) < 0. Следовательно, диапазон значе-
ний ф, при которых <jr0 <0, дает пренебрежимо малый вклад в рг.
Интеграл, получающийся при подстановке A2.76) в A2.71), также
допускает оценку методом перевала. Стационарные точки показателя
экспоненты находятся из уравнения sin 2(ф — у>) =0. Из них на контуре
интегрирования лежит единственная стационарная точка, удовлетворяю-
щая условию q0 > 0: ф - <р. По формулам A1.15), A1.16) и A2.76)
находим два первых члена асимптотического разложения pt по сте-
пеням к'1:
IN I
.*-—J.
, d2V
A2.77)
272

Значения Л| и во определяются формулами A2.12) и A2.15). Если Vx не
зависит от ф, соотношение A2.77), как и следовало ожидать, переходит
в соотношение A2.21). Отметим, что результат A2.77) можно получить
также, применяя к интегралу A2.7) двумерный метод стационарной фазы,
изложенный в п. 11.2.
Оценку р2 — второй компоненты отраженного поля - не удается найти
методом перевала. Если в A2.76) заменить Vt на V2(q- Qi) 112,тоампли-
туда Л^ поправочного слагаемого обратится в бесконечность при значе-
нии фтаком, что Яо(Ф) - <7iDO- Для вывода асимптотики Ф2 необходимо
явно учесть возможность сближения стационарной точки и точки ветвления
под интегралом A2.72). Пользуясь равномерной асимптотикой A1.74) н
повторяя рассуждения, приведшие к формуле A2.29), находим
+ u2/4 _ 9tn/8j
71ё5у/*
т ( - cos3 sin35cos 5 ) (кЯ(ф))э/*
\п 2 /
m2sin в cos в cos2 [0,5 sin (в + 5)j sin 5 cos 5 j1'2
и2 [sin20 + (m2cos20 - n2) A -Л/n-'sin в cos фJ ] '
*- 5
M = 2е3"'/4(АЛ(ф))|/2яп . A2.79)
2
Здесь 5 = arcsin/jr^^), в = aTCsin<jro(tf0, Яо(Ф) > 0- Диапазон значен
ний ф, при которых <7о <0, дает в компоненту рг отраженного поля, как
и в р\, пренебрежимо малый вкпад.
Прежде чем перейти к дальнейшим выкладкам, по необходимости до-
вольно длинным, поясним их физический смысл. Как и в неподвижной
среде, поле р2 состоит из зеркально-отраженной составляющей, к которой
в определенных областях пространства добавляется боковая волна. (На-
глядная интерпретация последней на основе понятия о дифракционных
лучах дана в п. 14.2.) Вдали от границы области наблюдения боковой
волны рг можно найти, применяя для вычисления интегралов A2.71) и
A2.72) метод перевала. В равномерной асимптотике A2.78) интеграла
A2.72) это соответствует выполнению неравенства |м| > 1 во всей су-
щественной при интегрировании по ф области. Зеркально-отраженной
составляющей р2 и боковой волне в A2.71) отвечают стационарные точки
ф*= v? и ф~ #i, где #i определяется из уравнения A2.80). (Угол фх задает
азимутальное направление выхода из источника дифракционного луча, при-
ходящего в точку наблюдения. Угол у определяет азимутальное направле-
ние обычного, зеркально отраженного границей луча, который заключен
в вертикальной плоскости, проходящей через приемник и источник.)
Вблизи границы области наблюдения боковой волны, где поле р2 раз-
деляется на зеркально-отраженную составляющую и боковую волну, ста-
ционарные точки Фх н <р сближаются. Одновременно становится необ-
18. Л.М. Бреховскнх 273

ходимым использовать для Ф2 асимптотику, содержащую функции пара-
болического цилиндра. В этом случае интегрирование по ф удается про-
вести при помоши эталонного интеграла A2.83). Поведение звукового
поля в окрестности границы области наблюдения боковой волны, а также
равномерная асимптотика р2, справедливая при любых 90 и ^, описыва-
ются, как и при отражении от неподвижного полупространства, функция-
ми параболического цилиндра.
Перейдем к выводу асимптотики р2. Когда \и | > 1, функции Dv (и)
в A2.78) можно заменить их асимптотическим разложением (9.38),
Тогда при Rea > 0 формула A2.78) переходит в A2.76), где под Vl
нужно понимать V2(q - fl( )х'2. В интеграл A2.71) в этом случае основной
вклад дает окрестность стационарной течки ф ~ у. При | и { > 1, Re и < О
асимптотика Фг содержит дополнительное слагаемое с фазовым множите-
лем ехр[гкЯ(ф) + иг/2] = exp[/*tf(tf<)cos@ - 5) j. Показатель экспонен-
ты имеет стационарную точку ф - фх: Уравнение на ф\ при учете A2.75)
можно записать в виде
sin(<h -v) = [ctg6(*i)cos(*i -?>)-ctg0olS'(*i). A2.80)
Когда \и\ ? I, |(Э/Эф)Д,(иI at \Ъи/Ъф\ < \кЩф)\1'2. Поэто-
му, если значение ф не близко к стационарной точке ф- >р, то множитель
при exp[ikR(\p)] в A2.78) меняется медленно по сравнению с зкепонен-
той. Следовательно, основной вклад в интеграл A2.71) при \и \ ^ 1 вно-
сит окрестность точки ф - >р.
Рассмотрим сначала случай | в0 - 5(i^)| < 1. Из A2.80) находим
*1 - V +«'(*) Ы«2»о +E'(<р)JГЧ»о - *Ш +<>Wo ~ S(VI2)- A2.81)
Таким образом, | ф1 - >р \ < 1, и как при | и | ^ 1, так и при | и | > 1 весь
существенный при интегрировании диапазон значений ф заключен в малой
окрестности точки ф = у. Разложим и(ф) и Я(ф) по степеням ф~ >р. Для
вычисления главного члена асимптотики достаточно удержать в этих раз-
ложения.\ по два члена (и ^«(v?) + u'(v?) (ф- у), R «Д, A - 0,5 sin2 во X
X (ф - v>J)), а медленно меняющиеся функции заменить их значениями
при ф-ifi, S(if) =0O. Переходя к интегрированию по и, имеем
3 I +0A
sm* в 0 cos в
A2.82)
где Ъ = fctfiSm20o/2["'(Y>) Р» Д - nu'(v?)/2, | Д | > 1. Не меняя оценки
погрешности, интегрирование в A2.82) можно распространить на всю
прямую и ~ s ехр(-/л/4), - °° < s < + °°. Тогда A2.82) сводится к двум
известным интегралам [221, с. 163] вида
о . , _ «1
2Ь '
274

Полагая ег= ехр(—/л/4), после простых выкладок находим
23>2kn3exp[ikRl +1
Рг
A2'84)
Рассмотрим теперь другой случай: |u(v?)| > 1. |u(^i)l ^ I. Как пока-
зано выше, при этом р2 можно оценить методом перевала. Вклад стацио-
нарной точки ф~ >р в р2 можно вычислить по формулам A2.77), заменив
в них Vl на Vi(q - qxI^2. В сумме с A2.77) этот вклад дает геометро-
акустическую компоненту отраженного поля и поправку к ее амплитуде и
фазе порядка 1/fcft]. При #(v<i) > &D>\) появляется вторая стационар-
ная точка ф = ^». Она дает дополнительный вклад р{ в отраженное поле
(боковую волну):
Pi -
X exp
A2.85)
sin 5{ctg doE"- («')*ctg 5]+ cos(^- v?)[l+ E'JA+ 2ctg26) -«"ctg 5]}.
Пусть \в0 - 5(v?)| » 1, тогда |u(v?)| > 1. Если при этом |u(^i)| ^ 1,
то |0(^i) - НФ\)\ < 1 и согласно A2.80) \фг - ч> I < 1. Следова-
тельно,
10о -*(*I * I0(*i)-S(*,)+[0'(*i)-S'(*iI(^-*i)I < Ь
Полученное противоречие показывает, что рассмотренные выше два
случая- \в0 - 5(^I ^ I и \и(ф)\ > I, \и(Ф\)\ > I - исчерпывают зада-
чу. Три последних неравенства могут выполняться одновременно. Когда
углы в0 и 5(i) имеют близкие значения, легко найти явно приближенное
решение уравнения A2.80):
*, - * * [0о - S(*)l5'Шяп'0о + E V)J]• A2.86)
Отметим, что в этом случае знак разности 0(^) - 6(^i), определяющий
область наблюдения боковой волны, совпадает со знаком в0 — 5(^з). Под-
ставляя A2.86) в A2.85) и заменяя в A2.84) функции параболическо-
го цилиндра их асимптотикой (9.38), можно убедиться, что в обшей об-
ласти применимости метод перевала и соотношение A2.84) дают один и
тот же результат.
Полученные выше выражения для компоненты р2 отраженного поля
можно записать в виде единой формулы:
рг = ?,exp(f*/?, +"j/4){DI/2(H2) + (flj - \)игхD^2{u7)), A2.87)
где функции ^i>2' и и2 подлежат определению. При | «3 I > 1 из A2.87)
18* 275

и (9.38) имеем
Рг * Д,ехр(/*й,){^и]/2- 2-ЧЧ- и2Г3/2 exp(ui/2) [I - sgn(Reu,)]>.
A2.88)
Сравнивая фазы боковой волны в A2.85) и A2.88), находим
иг = )
A2.89)
Формула A2.88) будет давать правильные значения амплитуд геометро-
акустической части р2 и боковой волны, если
/ 2и»
1
cos sin
m sin d01 cos — sin3 б cos 6
I 2
'•[
A2.90)
Функции uO) иА(Ф) определены в A2.79). Выражения A2.87)-A2.90)
при | в0 - Чф)\ * 1 переходят в A2.84), а при М - 0, когда обе среды
неподвижны, сводятся к полученной ранее равномерной асимптоти-
ке A2.29).
Зависимость акустического давления от координат точки наблюдения
иллюстрирует рис. 12.8, построенный по формулам A2.77), A2.85).
При выбранных для расчета значениях параметров боковая волна от-
сутствует при любых в0, если у - -п. В этом случае р, сводится к зеркаль-
но-отраженной компоненте поля, Качественно отличная картина наблю-
дается при у = 0. Осцилляции | рг | обусловлены интерференцией зеркаль-
но-отраженной компоненты поля и боковой волны. При kRt < 50 послед-
няя дает основной вклад в рг. Периоды осцилляции амплитуды отражен-
ного поля различны при различных М, поскольку направление распростра-
нения боковой волны зависит от скорости течения в нижней среде.
При анализе отраженного поля рг A2.71) мы не принимали во внима-
ние полюсы коэффициента отражения. Если полюс затрагивается при дефор-
мации контура интегрирования в A2.72), то он дает вклад*) в рг. Его
можно найти, вычисляя методом перевала интеграл по ф от вклада полюса
в A2.72). Кроме того, выше предполагалось, что критический угол полно-
го отражения не близок к ir/2 (\кЯ(ф)(\ - sin 8(\р))\ > 1 при ф - <р и
ф - ф^). В противном случае при значении ф, дающих основной вклад
в рг, под интегралом A2.72) сближаются точки ветвления: q = qx и q * 1.
Тогда, а также при резком плотностном контрасте (т > 1 или т < 1)
необходимо специальное рассмотрение, аналогичное изложенному выше
для случая неподвижных сред.
Из работ, посвященных отражению сферической волны от движущейся
среды, следует отметить статью [73]. В ней двумерным методом стационар-
ной фазы вычислен главный член асимптотических разложений полей от-
*)Например, когда граница раздела неустойчива (об устойчивости течений см.
[171, гл. 3]), вклад полюса в рТ дает волны, излучаемые границей [ 196f.
276

Лс. 12.8. Амплитуда звукового давления прн отражении сферической волны от дви-
жущейся среды с параметрами п = 0,5; то = 0,1: М = 0,5 прн 0„ =и/3н различных рас-
стояниях от мнимого источника: а - полное отраженное поле р, прн распространении
звука по течению (<р = 0, кривая 7), против течения (^ = л, кривая 2) и в отсутствие
течения (кривая 3); б - роль различных компонент поля в формированнн рг прн
<Р - 0 G - зеркально-отраженная компонента; 2 - боковая волна; 3 - полное отра-
женное поле)

раженной и прошедшей волн. Он соответствует приближению геометри-
ческой акустики, в котором р, = F(sin в0, ч?)/?Г1 ехР0'*/?t). Ряд авторов
рассматривает поле не точечного, а линейного источника, параллельного
границе раздела. В такой постановке задача оказывается значительно про-
ще, поскопьку вне зависимости от движения среды отраженная и прошед-
шая волны представляются однократными интегралами. Анализ этих волн
в случае линеГжого источника, в том числе равномерно движущегося отно-
сительно верхней среды, проведем в работе [376].
§ 13. Отражение ограниченных волновых пучков
В гл. 1 мы рассматривали отражение плоских волн от слоистых сред. Одна-
ко плоская вопна является идеализацией. На практике приходится иметь
дело с более или менее ограниченным волновым пучком. Для исследо-
вания особенностей отражения ограниченных пучков мы применим ис-
пользованный в предыдущем параграфе метод разложения падающей волны
на бесконечную совокупность плоских вол». Исследованию распростране-
ния и отражения волновых пучков посвящена обширная литература [3, 110,
222, 305. 339, 395. 439, 479, 482, 502-504, 552 и др.]. Наше изложение
основано на работах [46, 90, 9 J ].
Пусть монохроматический волновой пучок падает из однородной жид-
кости (параметры р, с), занимающей полупространство г > 0, на границу
z = 0, причем поле pt падающей волны задано на некоторой плоскости
z ~ h > 0. Примем для простоты, что от координаты у звуковое давление
Pi не зависит (рис. 13.J). Разлагая р,-(х. Л) в интеграл Фурье и пристраивая
к каждой гармонической компоненте плоскую волну, получаем, как в
Рис, 13.1. Геометрия задачи об отражении волнового пучка. Изображены кривые рас-
пределения амплитуды поля по сечению пучка. Координата у перпендикулярна плос-
кости падения
278

п. 12.1, интегральное представление падающей волны при z < Л:
р,(х, г) = / Ф(<7) ехр{j*[qx + jl-q2(h - z)])dq, A3.1)
—в»
к +-
*(<?)- — / ft(*.A)exp(-i*vx)dr. A3.2)
2ir ——
Функция Ф(<7) имеет смысл спектра падающего пучка по плоским волнам,
определенного при z = Л. В дальнейшем для краткости мы будем называть
ф(<7) просто спектром. Отраженное поле будет иметь интегральное пред-
ставление (ср. A2.7))
pr(x.z) = f ФD)КD)ехр(/*[<?х + >/l -*2(* + *I>«*7. A3.3)
где ^(fl) — I ^(<7)l exP I'VW)] ~ коэффициент отражения плоской волны,
угол падения которой в •= arcsin q. Наша задача состоит в исследовании
отраженной волны A3.3).
13.1. Смещение остронаправленного волнового пучка при отражении.
Будем предполагать, что поле р,- представляет собой плоскую волну с
огибающей ФДх, z):
р,(х,г) = 4>;(x,z)exp{/*[xsin0o+(A-z)cos0o]}, A3.4)
где ч>,- -> 0 при | х | ->¦ °° и In Ф/ меняется на величину порядка единицы на
расстояниях Дх — w. Ширину пучка w считаем большой по сравнению с
длиной звуковой волны. Тогда спектр Ф{д) имеет максимум в окрестно-
сти q = q0 = sin0o и спадает до нуля при \q- qo\ ^ (kw)'1 Например,
при пропускании плоской волны через щель шириной 1а в непрозрачном
экране, совпадающем с плоскостью г =Л, приближенно имеем: Ф,-(х, Л) -А
в пределах щели и ^(х, Л)=0 вне ее. Для пучка с такой "столообраз-
ной" огибающей получим, согласно A3.2),
Ф(<7) = A [nka(q - qo)]~lsuika(q - q0). A3.5)
Когда | q -q0 | > (ka)'1, отношение Ф(<7)/Ф(<7о) мало. Мы видим, что
при Ли>> 1 волновой пучок является остронаправленным. При tv-*» он
переходит в плоскую волну, а Ф(<7) (с точностью до нормировочного мно-
жителя) стремится к 5(<7 -<7о)- Угол ^о будем называть углом падения
пучка.
Определим огибающую отраженного пучка равенством
Фг(х, z) = pr (x, z) exp [-ik(x sin в0 + (Л + z) cos 0O ] lV(q0).
Согласно A3.3)
Хехр {i* [(q -qo)x+ (Ф-q2 i- ч/l -ql)(h + z)]} dq. A3.6)
Рассмотрим случай, когда I V I мало меняется в пределах >глов паде-
ния, где сосредоточен спектр Ф(<7). При этом I V (q) I можно вынести за
знак интеграла при q =<7о- Функцииip(q) и A — fl2I/2 разложим по сгепе-
279

-<7о н ограничимся двумя первыми членами разложения. Тогда
х. г) = / Ф(<7)ехр{Л(<7 - qo)[x +*"V'('7o) - (Л +z)tg«0]) *
= *i(x + k'lf\q0) - z tg0o,O), A3.7)
где штрих означает производную от функции по ее аргументу. Таким об-
разом, на отраженной границе Уг(х, 0) =Ф/(х+ к~1у' (q0),0). Другими
словами, при отражении пучок смешается вдоль границы как целое на
величину [46]
Д(<7о) = - *~V(<7o) = -(* сояв0у1(Ьфв)втвш. A3.8)
В дальнейшем огибающая пучка перемещается вдоль луча с углом отраже-
ния 0О- В литературе формулу A3.8) часто называют классическим выра-
жением для смешения. Отметим, что теория смещения остроннправленного
пучка при отражении имеет много аналогий в теории распространения ква-
зимонохроматического импульса в диспергирующей среде (см., например
[83, § 21]). В § 16 будет показано, что смешение при отражении A3.8)
нужно приписывать и отдельным лучам.
Физический смысл величины А становится ясным после рассмотрения сле-
дующего простого явления. Пусть плоская волна exp{ik\fix-(l-q*L2z]}
падает на границу z = —Л, коэффициент отражения от которой равен
единице. Отношение отраженной волны к падающей при z = 0, равное
V= exp |2/ЛЛA -fl2I/2], можно рассматривать как коэффициент
отражения от плоскости z = 0. По формуле A3.8) находим A(q0) =
- 2/> tgd0; значение А равно горизонтальному смешению луча при
проходе его от плоскости z = 0 до плоскости z = -Л и обратно. В
рассматриваемом случае А можно было вычислить, конечно, без об-
ращения к формуле A3.8). Однако основную ценность полученный
выше результат представляет в случаях, когда лучевая концепция непри-
менима. Некоторые из них будут рассмотрены ниже.
Смешение при отражении испытывают волновые пучки различной физи-
ческой природы. Причиной смешения является зависимость фазы коэффи-
циента отражения от q, меняющая условия интерференции плоских волн
в отраженном пучке по сравнению с падающим. Для остронаправленного
пучка зависимость tp(q) проявляется как эффективное смешение отражаю-
щей границы в z-направлении на величину, зависящую от угла падения.
В отдельных случаях, как будет видно из дальнейшего, смешение при отра-
жении допускает и другие наглядные интерпретации.
Пусть волновой пучок падает на границу раздела однородных жидкос-
тей. Коэффициент отражения дается формулами B.27), B.34). Если пока-
затель преломления п > 1, то V вещественно и А = 0. При п< 1 смешение
А - 0 для углов падения в 0 < 5 = arcs in п. Когда в0 > 5, пучок испытывает
полное отражение, которое, согласно A3.8), сопровождается смешением
Д = 2тA -n2)tg0o(sin20o -«2)-I/2[*(m2cos20o +sin20o -л2)] "',
5<0о<тг/2. A3.9)
Значение А велико по сравнению с длиной волны при 0О ^в или 0О ^эт/2.
Отметим, что А -*¦ 0 при к -*ов.
280

Смешение при полном отражении, предсказанное еше И. Ньютоном для
световых корпускул, впервые наблюдалось в 40-х годах нашего столетия
Ф. Гоосом и X. Хенхен в оптических экспериментах. Его называют эффек-
том Гооса - Хенхен. Обширная библиография, описание истории вопроса,
детальный обзор теоретических и экспериментальных результатов, полу-
ченных к началу 70-х годов, и многочисленных областей применения этого
эффекта содержатся в D39].
В соответствии с A3.8) смешение пучка цри отражении будет значитель-
ным в тех случаях, когда фаза коэффициента отражения быстро меняется
с углом падения. Подставляя в A3.8) функция y(q), найденные для различ-
ных задач в гл. 1, можно найти величину смешения пучка. Так, коэффи-
циент отражения плоских волн на границе жидкости и твердого тела дается
формулой D.38). После простых выкладок получаем при ktjk<q <1
2А ЪВ
A310)
я -Г/** ^-V ti^fo Гг,/й Til v** ~
где
Здесь ?= А<7; Л/;, — волновые числа продольных и поперечных волн в твер-
дом теле. При 0 <q <k'lkt смещение А = 0. Формулу для A (q) в случае
kt < kq < kt, которую также нетрудно получить из A3.8) и D.38), мы не
выписываем. Отметим, что А -> °° при ? ->¦ kt и \ -*¦ к.
Обычно величина А значительно меньше единицы. Поэтому пучок испы-
тывает заметное смещение и при таком угле падения волны, что фазовая
скорость ее следа на границе, равная c\q, будет совпадать с vR - скоростью
волны Рэлея на свободной границе твердого тела (см. § 4). Действительно,
при ? =?к, где %ц = io/vR, ш — частота волны, vR — скорость волны Рзлея,
В(%) =0 согласно D.100), и, следовательно, А =» А'1, а при ? =А?к вели-
чина смешения А™ А. Используя обозначения D.110), из A3.10) полу-
чаем [504]
/ с \ 2\т , / r(rs~ 1)
А( Г-7, 7 [6(l-q)-2C-2q)s+s2W — '- .
\vR } n(l-qs) s(l-s) A3.10a)
Здесь X = 2n/k - длина звуковой волны в жидкости. Существует простая
связь смешения A3.10а) с затуханием "вытекающей" волны, рассмотрен-
ной в п. 4.4. (Это затухание обусловлено оттоком энергии волны в жид-
кость.) Дисперсионное уравнение D.109) имеет вид?(?)+М=0. При
малых А его решение \t =%R — iA/B' (%R) + О(А2). Следовательно,
Экспериментальное подтверждение результаты A3.10) и A3.10а)
получили в работе [504]. На рис. 13.2, взятом из работы [504], изображена
снятая при помощи теневого метода картина полного отражения монохро-
матического ультразвукового пучка частоты 16 МГц от границы ксилол —
алюминий для трех углов падения в 0 (значение в 0 растет слева направо).
На среднем изображении sind0 -vR/c и смещение отраженного пучка
относительно падающего хорошо заметно. Его не удается обнаружить на
крайних изображениях, где sin do ^vR/c. Длима волны в ксилоле на рас-
281

Рис. 13.2. Смещение ультразвукового пучка при отражении от границы ксилол -
алюминий
сматриваемой частоте Л = 0,08 мм. Смешение A(c/vr) в согласии с расчет-
ным оказывается равным 2,7 мм. По наличию смешения угол
0R = arcs in (с/ид) определяется настолько точно, что на этом принципе
может быть основано измерение скорости волны Рзлея (а также волны
Стонели), а значит, и упругих параметров сред. Этот способ применяется
для ультразвукового неразрушающе го контроля слоистых конструкций
[418].
Весьма большое смешение звукового пучка может возникать при отра-
жении его от пластинки, помешенной в жидкость, поскольку в этом случае
фаза коэффициента отражения меняется с ростом угла особенно быстро.
При зтом по отношению к падающему испытывают смешение и отражен-
ный, и прошедший пучки [S03].
Выражение A3.8) для смешения при отражении является точным, если
существует производная tp(q) и спектр пучка бесконечно узок. В случае
пучка конечной угловой ширины в A3.7) необходимо учитывать дальней-
шие члены степенного разложения y(q) и A -q2) ll2. Тогда простая фор-
мула A3.7), выражающая огибающую отраженного пучка через огибающую
падающего, взятую на границе раздела, больше не будет иметь места. Дру-
гими словами, при отражении реальный пучок не смешается как целое, а
деформируется [46]. Искажение огибающей происходит и при распростра-
нении пучка, оно тем больше, чем больше пройденное пучком расстояние.
Чтобы исследовать деформацию пучка, нужно задаться определенным ви-
дом спектра Ф(<7).
При отражении от границы раздела однородных жидкостей из-за особен-
ностей функции y(q) (точек ветвления) формула A3.9) дает раходяшиеся
разрывные значения смещения и неприменима для реальных пучков в сле-
дующих трех случаях: 1) когда угол падения пучка стремится к критичес-
кому углу полного отражения, в0 ->5; 2) р пределе скользящего падения,
когда в 0 ->¦ я/2; 3) на слабой границе раздела, когда значение показателя
преломления стремится к единице. Эти случаи, однако, весьма важны,
поскольку им как раз соответствуют наибольшие значения смещения. Ниже
282

мы рассмотрим отражение пучка в этих особых случаях, считая его угло-
вую ширину малой (kw > 1). но конечной.
13.2. Падение пучка под углом, близким к критическому углу полного
отражения. Как отмечалось выше, при отражении реальный пучок, вообще
говоря, не смешается как целое, а деформируется. Поскольку форма оги-
бающей может быть искажена при отражении пучка, необходимо конкре-
тизировать, что понимается подего смешением. Рассмотрим сначала смеще-
ние максимума огибающей Ам . Будем считать, что показатель преломле-
ния п не слишком близок к единице, а угол падения пучка в 0 - к я/2.
В случае остронаправленных пучков (kw> 1) значение коэффициента
отражения V(q) мало меняется в существенной области интегрирования в
A3.6). Вынося V(q) за знак интеграла при q =q0, получаем, что главные
члены разложений *г(дг,0) и Ф,(дг,0) по степеням (kw)'1 совпадают.
Следовательно, смешение мало по сравнению с w. Выразим Ам через
Фг (дг, 0), считая, что максимум Ф,- (х, 0) расположен в некоторой точке х0.
Для этого достаточно найти близкий к дг0 нуль функции
э id)
>0)}м — 4/r(x,0)j. A3.11)
Ъх ' \ Ъх
Пользуясь малостью отношения Ам /w, получаем
A3.12)
Предположим, что падающий пучок имеет спектр гауссова типа
Ф(?)»1(?)ехр [-*****(?)], A3.13)
где L (q) и g(q) - гладкие функции, причем последняя имеет единствен-
ный минимум при q=q<>,g"(Яо) *= 0. Нормируем Ф(<7) так, что g(q0) = 0,
^ (flo) = 1 • Будем считать, что lm L' (q0) - 0. Коэффициент отражения пред-
ставим в виде A2.26). Тогда по A3.6) имеем
Ч/Г(дг, 0) = -Ц- +fdQL • [К, + К2 • (Q - л)»/2 ] X
^(<7)
Xexp{-k2w2g+ikx(q-q0)+ikh[(l -q2?'2 -(I -ql)tf2]} . A3.14)
Большой параметр k2w2 стоит в показателе экспоненты. Интеграл от
Vt (q) можно оценить методом перевала (см. п. 11.1). Под интегралом
от V2 (я) точка ветвления q -п может сближаться со стационарной точкой
q - q0. Интегралы такого вида рассматривались в п. 11.3. Разлагая в A3.14)
медленно меняющиеся функции LVx,LVi, g, (l-q2I12 - A -floI
по степенямq —Qa и используя формулы A1.9) и A1.74), получаем
¦г(х.0)»
1 /я\|/2Г 11Л /и2 /я\ 1
— { —) Vt(«o) + Уг(Яо)B<*Г ' ехР(-Г * Т ) D4*iu) Г
i?o) V « / I \ 4 4 / J
283

Здесь х0 =А tgd0> Dtf2(u) - функция параболического цилиндра (см.
[240, гл. 19]),
а =*сг0 + ikh/B cos30o), «о =0,5
A3.16)
x)/2cr-;(«-<?<,)] •
Мы считаем, что значение й не очень велико и падающий пучок при рас-
пространении к отражающей границе слабо деформировался, т.е.
I а-а0 \< а0.
Согласно A3.15) отраженное поле состоит из двух частей. Одна имеет
ту же огибающую, что и падающий пучок. Вторая компонента ру своим
существованием обязана особенности (точке ветвления) коэффициента
отражения и выражается через функции параболического цилиндра. Она
содержит'в себе боковую волну, возбужденную пучком. Подробнее об этом
речь пойдет в п. 14.5. Отметим попутно, что соотношение A3.15) может
служить иллюстрацией упоминавшегося выше эффекта изменения огибаю-
щей пучка при его распространении. Если положить Vt = 1, V2 *=0, то
формула A3.15) будет давать огибающую падающего пучка ч>,(х, 0).
Функция | Ф; (х,0) I спадает в е раз при отклонении от оси пучка на вели-
чину x-x0=w(h)=2\a\lka^2=[2g"(q0)]tnw[l+k2h2K4alcos6e<))]4i.
С ростом А, т.е. пройденного пучком расстояния, увеличивается ширина его
огибающей, и волновой пучок "расплывается" в пространстве.
Дифференцируя A3.15) по х, после подстановки в A3.12) находим
к2"
aq)
A3.17)
2 -»•-'» ' "\4 4/ •'-" "jj v '
Здесь аргумент функции параболического цилиндра и берется при x-Xq.
Формула A3.17) позволяет вычислить смешение с точностью до множите-
ля 1 + О(АМ /и>). Более точный, но и более громоздкий результат приведен
в [90]. Если предположить отсутствие поглощения энергии волн в среде
и пренебречь деформацией пучка при распространении, то получим, что
а=а0, величины к и Vt(q0) вещественны, а «и V2(q0) чисто мнимы.
Используя тождество [240, гл. 19]
можно показать, что в этом случае для расчета смещения можно пользо-
ваться более простой формулой:
Дм(<7о)= ^'('7o)[*^o)](«i/2)l/2exp(-«?/4)^_1/2(Ul). A3.18)
где «, =kw[2g(n)]112 sgn(n-q0). В частности, при падении пучка под
критическим углом полного отражения
Г Г/2Г | 11/4
При условии, что kw\ n-q0 I > 1, функцию параболического цилиндра
можно заменить на ее асимптотику (9.38). Для до критического падения
284

пучка при 0< 6 - 0 0 < 1 это дает
Дм(<?о) = (*тГЧО -*2H -4oln)]-tBexpl-k2w2g(n)]. A3.19)
В обратном предельном случае закритического падения (при 0О >5) полу-
чаем классическое выражение A3.8).
Полученные выше соотношения показывают, что отклонения от A3.8)
проявляются в узкой переходной области углов падения — в окрестности
критического угла полного отражения: | 0О — 5 | ^ (kw) ~l. При докрити-
ческих углах падения вне переходной области смешение быстро спадает до
нуля. Внутри переходной области величина Ам принимает большие, но
конечные значения. Здесь смешение достигает своего максимума. Вблизи
критического угла проявляется "индивидуальность" пучка — смешение про-
порционально квадратному корню из ширины, его огибающей. Сказанное
иллюстрирует рис. 13.3. Максимум смешения (Ам )тах = 1,19 Дм (")
.достигается при <7о =л+0,77 [k2w2g"(ri)] "'/2. Этот результат относится
к весьма направленным пучкам, для которых изменение функции
(л-<70)''2 V'/V происходит намного медленнее, чем изменение щ (<70)
(см. A3.18)). При умеренных значениях kw имеют место небольшие изме-
нения положения и величины максимума угловой зависимости Ам .
Рассмотрим влияние малого поглощения звука в среде на смешение
пучка. Показатель преломления п и волновое число к теперь будут иметь
малые мнимые части. В зтом случае, повторяя вывод формулы A3.8),
получаем
Д(*.) = -lm[K'fo,)/(*Kfo,))]. A3.8а)
Влияние малого поглощения на смешение пучка проявляется только при
_ у
Рис. 13.3. Смешение максимума огибающей Дм остронаправленного пучка гауссова
типа в зависимости от величины и„ ¦ (<?„ - л) Bа0) '/2, нормированное на значение
Ам при и0 = 0 (кривая /); Дм °РН учете поглощения B); при одновременном уче-
те дифракции пучка в свободном пространстве и поглощения E); смешение пучка
согласно классической теории D)
»5

sin во "'Re я. Из формул B.34) и A3.8а) в этом случае следует
Л(<7о)=
1
Ren
+(ImnJ] »'2 -(Ren -qo)V12
mRe/t ll-(RenJ (Ren -qof +(ImnJ J
A3.20)
Угловая зависимость смешения представлена на рис. 13.4.
Для реальных пучков эффекты циссипацин и конечности ширины спект-
ра нужно учитывать одновременно. На рис. 13.S сопоставляются величины
смешения при q0 = Re n, вычисленные с учетом конечности ширины спектра
пучка (по формуле A3.17)) и без него (по формуле A3.20)). Конеч-
ностью угловой ширины спектра можно пренебречь даже при q0 = Ren,
если поглощение достаточно велико: kw | lm и | ^, 3. В акустических экспе-
риментах, как правило, выполняется неравенство kw\ lmn| < 1. На
рис. 13.3, построенном по формуле A3.17), показано, как влияет на за-
висимость Ам (q0) учет малого поглощения, а также учет дифракционного
расплывания пучка при распространении (последнее входит в A3.17) по-
средством величины а). Значения параметров выбраны равными
BаоI/21 1ти| =0,1 и h/(kw2 cos3 6) =0,1- Мы видим, что поправки
сушественны внутри переходной области и особенно — при докритических
углах падения. Напротив, в условиях применимости классической теории
поправки к Дм очень малы.
В ряде экспериментов по эффекту Гооса - Хенхен измерялся не сдвиг
максимума огибающей пучка, а смешение определенных средних величин.
0,6
ОА
0.2
-j -г -"/ о
Oft
1
з « о г 4
кш\\тп\
Рис. 13.4. Угловая зависимость смешения при отражении пучка с очень узким спект-
ром при учете диссипации, нормированная на величину Смещения при qt = Re n (/);
смешение Оеэ учета поглощения B)
Рис. 13.5. Смещение пучка при qa = Re n в зависимости от величины поглощения:
/ - величина Ам дли пучка гауссова типа с конечной шириной; 2 - смешение пучка
с очень узким спектром
286

Будем характеризовать пучок осредненным по периоду звуковой волны
квадратом звукового давления. Тогда координаты "центров тяжести"
х' и хг падающего и отраженного пучков на границе раздела сред даются
выражением
х'-г- / х | Ф, г(х, 0) |2 dxl / | Ф,-г(х, 0) \2dx. A3.21)
Величина Д с = х г — х' характеризует смещение пучка с произвольной оги-
бающей, не обязательно имеющей выраженный максимум. Если пучок сме-
щается как целое, то Дс = Дм , если же при отражении происходит дефор-
мация огибающей, то, вообще говоря, Дс Ф А^.
Выразим Дс через спектр пучка по плоским волнам. Заменяя Фг в выра-
жении I Фг | г =ФГ4'* интегральным представлением A3.6) и интегрируй
но х, получаем
7 I *r(x, 0)\2dx = 2j- J dq\A(q)\2,
A3.22)
+<" —2ff +<" \ А '(а) 1
/ х|*,(х,0)|2</х = — fdq\A(q)\2lm\—~ .
к2 -<- I A(q) J
Здесь A (q) = <&(q) V(q) exp [ikh(l -q2) ''2] - спектр отраженного пучка
по плоским волнам exp {ik [xq + г A — fl2I'2]} • Аналогичные интегралы
Ш>я падающего поля получаются из A3.22) заменой V(q) на 1.
Предполагая, что модуль коэффициента отражения мало меняется в
существенной области интегрирования, из соотношений A3.21), A3.22)
и A3.8) находим
Дс(<7о)= 7\A(q)\2Hq)dqi7 \A(q)\2dq. A3.23)
Если А мало, а 1т Ф(^) =0. то для справедливости формулы A3.23) нет
необходимости предполагать малость изменений I V (q) I. Важно подчерк-
нуть, что формула A3.23) дает смещение "центра тяжести" любых пучков
(в том числе — с широким спектром) при отражении от произвольной
слоистой среды. Эта формула имеет ясный физический смысл: смешение
Ас пучка с конечной угловой шириной получается суммированием
смешений A3.8) отдельных плосковолновых компонент (пучков с беско-
нечно узким спектром) с весом, который имеет данная компонента в раз-
ложении пучка по плоским волнам..
Вернемся к анализу смешения остронаправленных пучков на плоской
границе раздела однородных сред. Поскольку мы не рассматриваем здесь
предельный случай касательного падения, то значение Ф(<7) пренебрежимо
мало при <7> 1, и формулу A3.23) можно упростить:
Дея- 7 !¦(*)!VD")«W(* +7 \4>(q)V(q)\dq). A3.24)
287

Функцию у' (ц) при q>n, используя B.34), удобно представить в виде
-n2)[(l-q2)(q+n)]42l[m\l -q2)+q2 -п*],
(IJ.Z.D)
аналогичном A2.26). Под интегралом A3.24) функцию b{q) можно счи-
тать медленно меняющейся.
Когда падающий пучок задан своим спектром A3.13), вычисление ин-
тегралов в A3.24) производится так же, как и прн определении Ам, и
приводит к равномерному по углу падения выражению для смещения
"центра тяжести" волнового пучка, .отличающемуся от A3.18) только
заменой и, на 2*^2 t*x. Другими словами, смешение Ам пучка гауссова
типа совпадает со смешением максимума огибающей пучка того же типа,
но с шириной огибающей, большей в 21/2 раз. Поэтому максимальное зна-
чение Ас больше, чем максимальное значение Ам . Смещения Дс и Ам сов-
падают только при закритических углах падения вне переходной области,
когда деформация огибающей незначительна и пучок смещается как целое
В соответствии с классической теорией.
Рассмотрим теперь смешение при отражении пучка со столообразной
огибающей. Подставляя в A3.24) формулу A3.25) и спектр лучка A3.5),
обычным образом получаем равномерное по углу падения выражение для
смешения [90]
^ Ч1VMh{q> - n)J
A3.26)
где
, /=1,2. A3.27)
о
Функции/,(и) удается выразить через интегралы Френеля CnS (их свойства
описаны, например, в [240, гл. 7]):
2(каK'2 I , пи2
A3.28)
пи'
/2=(—-) < С(м) +ям25(м) + м cos *
\ 4м2 / К 2
S(u) - пигС(и) + и sin — j J ,
где и- 2 | Лдо/я 11'а. Здесь верхние знаки берутся при v < 0, а нижние -
при и > 0. Из соотношений A3.26) и A3.28) следует:
4 Г 2ая I1'2
с " Ът I ff*(l -n2) J
288
I " *" 2 Л'
/7гЛд\г'2 f , яч/2

При ка(п -Яо)>\
- [2ка(п -
-<7о)
X
A3.29)
При Ла(<7о - я) > I получаем Дс = Д. Зависимость смешения "центра тя-
жести" пучка от угла падения показана на рис. 13.6.
Асимптотические формулы для смешений Ам (q0) и Дс пучков некото-
рых других типов получены в [90].
Сопоставим формулу A3.26) с результатами по смешению максимума
огибающей и "центра тяжести" пучка гауссова типа. При закритических уг-
лах падения вне переходной области во всех случаях происходит переход к
классической формуле A3.8). Угловая ширина переходной области по
порядку величины равна отношению длины волны к ширине огибающей
пучка. Внутри переходной области смешение пропорционально квадратно-
му корню из ширины огибающей и универсальным образом зависит от па-
раметров отражающей границы. При во<Ь смещение мало (вне переход-
ной области). Характер стремления его к нулю с ростом S - в0 зависит от
спектра пучка. Из A3.12) и A3.24) следует, что в рассматриваемом случае
Дс(?о) " I *(") I 2. Дм (<7о) <у>\ *(") I ¦ Поэтому вместо весьма быстро-
го экспоненциального спадания смещения с ростом S - 0О для пучка гаус-
сова типа пучок со "столообразной" огибающей дает медленное степенное
убывание величины Дс (<70) • В переходной области и при докритических уг-
лах падения проявляется зависимость величины смещения от того, сдвиг
какой характеристики пучка исследуется, а также от вида спектра пучка.
В переходной области | Дс - Дм | /Дс ~ 1.
Смешение остронаправленных волновых пучков с углами падения,
близкими к 6, исследовалось экспериментально [282, 339, 378]. Результаты
этих работ качественно подтверждают сделанные выше выводы, однако не
могут быть использованы для детального количественного сопоставления
теории с экспериментом, поскольку в них не содержится необходимой
информации о спектрах использованных пучков. Представляется желатель-
ным проведение новых экспериментов по исследованию отражения волно-
-¦*
Рис 13.6. Смещение при отражении "центра тяжести" пучка со ступенчатой огибаю-
щей в зависимости от величины и0 - ka{q — п)/2я, нормированное на величину
2wi"' |2ne/(tt3fc(l -я2))! (кривая/); смещение пучка по классической теории B)
19. Л.М. Брехавскнх 289

вых пучков с углами падения, близкими к 5 (а также к я/2, см. п. 13.4),
где учитывались бы все факторы, существенно влияющие (согласно тео-
рии) на величину смещения.
133. Поток энергии при полном отражении. Средняя по периоду коле-
баний плотность потока акустической мощности через плоскость г = +0
в падающем и отраженном пучках согласно B.11) равна Iir(x) =
= + Bcjp) "'im^ , dp(,r/dz)z = 0. Положительным мы считаем здесь поток
энергии в направлении распространения пучка, т.е. в сторону отрицатель-
ных (положительных) z дня падающей (отраженной) волны. Пользуясь
интегральным представлением A3.6), можно записать 1Г (х) в виде
/г(х) = Re{ // Ф(<7)Ф*(ч) V{q) V* (г,)ч/l-^exp [ikx(q - ij) +
2рс —"
+ ikh(?J\-q2 - ч/l-U2)] dq d-q). A3.30)
Поток акустической мощности через перпендикулярную оси Оу полосу
единичной ширины на плоскости ху равен
/,э f lr(x)dx = n(pu,yl f \4>{q)V{q)\2s/\-q2dq. A3,31)
_«. -i
При вьшоде этого соотношения мы учли, что интеграл по х от подынтег-
рального выражения в A3.30) сводится к S(q - т?). Если в формулах
A3.31), A3.30) положить К= 1, получим поток мощности У,- и его плот-
ность//^) в падающем пучке. Когда спектр обращается в нуль вне отрез-
ка л <<? < 1, все плосковолновые компоненты и пучок в целом испыты-
вают полное отражение,^ =/,.
Плотность полного потока мощности при г = + 0 равна
7(х) = Bо)Р)-' lm[(Pi + prK(р/ + р;)/Эг] 2=0 = /,• (х) - /Г(х) + 1а (х).
A3.32)
Будучи квадратичной по амплитуде волны величиной, акустическая энер-
гия, в отличие от давления, не подчиняется принципу суперпозиции. По-
этому полная плотность потока мощности помимо /,- и /г включает допол-
нительное слагаемое
/а (х) =
-Bрс)-« Re{tf Ф(д)<р(п)ф-пг [V(q) - V (r,)\ ex.p[ikx(q - п)+ .
— то . i
+ ikh(y/l ~q2 -y/l -n2)]dqd-q), A3.33)
Описывающее неаддитивность потоков зиергии падающего и отраженного
пучков. Заметим, что / Ia(x)dx = 0. Поэтому роль /а(х), сводится к
— оо
перераспределению потоков энергии падающего и отраженного пучков
по границе раздела.
При полном отражении пучка в полупространстве г < 0 формируется
неоднородная волна. Звуковое давление в ней равно
Ре{х,г)=]b{q)[\ + V(q))exp[k(iqx - \z \y/q7 -n^dq. A3.34)
n
290

jfro+tfx)
Рис. 13.7. К составлению энергетического ба-
ланса для объема ABCDD'C'B'A'
Потоки энергии в верхней и нижней сре-
дах связаны законом сохранения энергии.
Обозначим через / (дг) средний за период
колебаний поток акустической мощнос-
ти через имеющий единичную длину вдоль
оси Оу участок полуплоскости дг = const,
г < 0. Рассмотрим объем ABCDD'C'B'A',
ограниченный полуплоскостями дг = дг0,
z < 0 и х = *o + dx, г < 0 и имеющий
единичную длину по оси Оу (рис. 13.7).
Сверху объем ограничен прямоугольни-
ком АВСД со стороной АВ = dx, лежа-
щим в верхней среде вблизи границы
раздела. В установившемся режиме сред-
ний за период поток акустической энер-
гии в объем должен равняться нулю. Учитывая, что ре -*¦ 0 при z -*¦ —°°,
и независимость поля от у, получаем I(xo)dx = / (дг0 + dx) - / (*о)> или
/(*)•= }'(х). Таким образом, изменение потока энергии в неоднородной
волне связано с притоком энергии из верхней среды.
Рассмотрим смещение "центра тяжести" пучка по потоку энергии
А? -J;1 7 xlr(x)dx - У,'1 7 xl,{x)dx. A335)
В случае полного отражения пучка по формулам A3.30), A3.31) полу-
чаем (ср. A3.24))
AE = -[j s/\ - q* ibiqrfviqW/lk j ф -д*)Ф(д))*<Ц. A3.36)
л л
Когда q0 Ф п и q0 Ф- 1, для остронаправленных пучков множитель <f>'(q)
можно считать медленно меняющимся по сравнению с |Ф(<7) |2 и вынести
из-под интегралов при q = q0. Тогда АЕ - Д. С другой стороны, поскольку
Jr = Jt, интегралы в A3.35) можно объединить в один. Выражая разность
/г - // через / (дг), имеем
xla(x)dx,
7 J(x)dx.
A3.37)
A3.38)
Вычисляя интегралы в A3.37), A3.38) при помощи формул A3.33),
A3.34) и B.11), вновь приходим к выражению A3.36). При этом для
Остронаправленных пучков
/ j(x)dxl f
cos*0o/(sin20о -я*).
A3.39)
19*
291

Многие авторы использовали расчет потоков энергии для теоретичес-
кого описания и интерпретации эффекта Гооса - Хенхен (см. [439) и ука-
занную там литературу). Однако они упускали из виду неаддитивность по-
токов знергии в отраженном и падающем пучках и вместо истинного значе-
ния смещения "центра тяжести" пучка по потоку знергии АЕ вычисля-
ли Д^-. Согласно A3.37) - A3.39), для остронаправленного пучка
&е(Чо) - A(q0)cos2e0 cos 6, значения АЕ и Д близки при 0О ~ 6. Раз-
личие двух результатов становится существенным с ростом 0О - 5 и осо-
бенно при скользящем падении, когда Д -><», а Дя -»0 при 0О -*я/2. Отли-
чие "энергетического" смещения от классического результата A3.8) поро-
дило длительную дискуссию [439,413,282,380,488,552,91 и др.).
Когда угол падения близок к критическому углу полного отражения,
вторым слагаемым в A3.37) можно пренебречь. В этом случае смещение
пучка допускает наглядную интерпретацию. Причиной смещения является
неполное отражение на этой стороне пучка из-за втекания знергии в полу-
пространство z < 0, где она переносится вдоль границы неоднородной вол-
ной, и отражение более сильное, чем полное, на другой стороне пучка из-за
возвращения энергии в верхнюю среду. Если углы 0О и 6 не близки, необ-
ходимо принять во внимание, наряду с неоднородной волной, и другой,
интерференционный механизм переноса знергии вдоль границы раздела
с одной стороны падающего пучка на другую. Легко понять, почему Д^ *
** А при во =* 6 и AElA -*¦ 0 при во "* "/2. Действительно, при малых значе-
ниях разности в0 — 6 > 0 глубина проникновения неоднородной волны в
нижнюю среду велика, а фаза коэффициента отражения, отличие которой
от нуля обусловливает "интерференционный" вклад в смещение, мала.
Поэтому в A3.37) доминирует первое слагаемое, АЕ «Д. Наоборот, при
в0 -*¦ я/2 глубина проникновения неоднородной волныjwana, а коэффи-
циент прозрачности W = 1 + Устремится к нулю. Тогда АЕ ->0; в A3.37)
доминирует второе слагаемое, связанное с неаддитивностью потоков
знергии.
Как мы видели в п. 13.2, при во * 6 звуковое давление в отраженном
пучке состоит из двух компонент: отраженной по законам геометрической
акустики (т.е. зеркально) и боковой волны. Смещение пучка при отраже-
нии в згой ситуации можно рассматривать как результат интерференции
геомегро-акусгической компоненты поля с боковой волной.
В целом эффект смещения пучка при отражении носит более общий
характер, чем возбуждение боковой волны или неоднородных волн в ниж-
ней среде. Например, в рассмотренном в п. 13.1 случае отражения от иде-
альной границы, расположенной при г = -ft, смещение пучка происходит
в отсутствие боковой и неоднородной волн.
13.4. Другие случаи отражения пучка. В п. 13.1 отмечалось, что класси-
ческая теория отражения ограниченных волновых пучков от границы двух
однородных жидкостей, помимо рассмотренного выше случая 0О х 6,
неприменима при скользящем падении пучка, когда 0О * я/2. В этом слу-
чае важную роль играет дифракция падающего пучка при распространении.
Если пучок с углом падения 0О составлен из плоских волн с углами паде-
ния из интервала @О -Д0, 0О + Д0), го при 0О < я/2 - Д0 смещение
дается классической формулой A3.8). Когда 0О > я/2 - Ад, в спектре
падающего пучка присутствуют плоские волны, несущие энергию как к
292

отражающей границе, так и от нее. Размер озвученного пятна по оси Ох
на границе стремится к бесконечности при во -+я/2. В результате дифрак-
ционного расплывания падающая на границу волна будет представлять
собой не остро направленный пучок, а цилиндрическую волну с относи-
тельно слабой амплитудной модуляцией. Ниже мы рассмотрим другой слу-
чай, когда в спектре падающего пучка представлены только плоские волны,
несущие энергию к отражающей границе, и неоднородные плоские волны.
Будем предполагать сначала, что показатель преломления не близок к
единице. Коэффициент отражения имеет точку ветвления при q = 1. Пред-
ставим его в виде, аналогичном A2.26):
1 - пг){\ ?)
" ' A3.40)
V3(q)
т2 -л2 -(то2 - 1)<г
Функции Vl3(q), в отличие от V(q), при q =* 1 являются медленно меняю-
щимися. В виду одинакового характера особенностей подынтегральных
выражений в A3.6) и A3.23) соответственно при q «л и q ~ 1, расчет
смещения пучка в случае скользящего падения оказывается аналогич-
ным проведенному выще вычислению смещений Дс и Дд* для пучков
с углами падения, близкими к б.
Пусть, например, пучок имеет спектр гауссова типа A3-13), q0 * 1.
Предполагая малой деформацию падающего пучка при распространении,
будем считать к2 h2 <kw. Тогда при вычислении огибающей при помощи
интеграла A3.6) можно заменить ехр{/?й[A - q1I'2 - A -<7оI/2П
первыми членами ее разложения по степеням kh. В результате интеграл
принимает вид, аналогичный A3.14). Проводя вычисления, как в п. 13.2,
для смещения максимума огибающей отраженного пучка относительно
максимума огибающей падающего пучка на границе раздела получаем
и2 ^kwy/Щ]). A3.41)
Здесь для простоты мы пренебрегаем поглощением звука в среде. Для
справедливости формулы A3.41) не требуется близости q& к единице,
но должно быть выполнено неравенство kw\n - q0 I ^ 1. Оно гарантирует,
что точка ветвления q = п не попадает в существенную область интегри-
рования. При 1 - <?о "^ 1 аргумент функции параболического цилиндра
и2 * kw[g"(q0)I12 хо!2, где Хо - я/2 - во - угол скольжения пучка.
Для смещения максимума огибающей падающего пучка при г = 0 по отноше-
нию к положению максимума при г = h аналогично A3.41) можно получить
В подробном анализе результата A3.41) нет необходимости, поскольку
при скользящем падении величина AM(qa)/A(q0) имеет в точности ту же
функциональную зависимость от uit как от -ui, при падении под углом
в0, близком к 6, когда 0 < в0 -6 (см. A3.18)). Отметим, что при
скользящем падении утловая ширина переходной области к результату
классической теории существенно болыце, чем при падении вблизи крити-
ческого угла полного отражения: Дх =• (Jfcw)'2 вместо Ав ^ (kw)~l.
При и2 > \, когда функцию параболического цилиндра можно заменить
293

ее асимптотикой, формула A3.41) дает Ам = Д. Интересно, что одновре-
менно Ah переходит в геометроакустический результат Ah = Actg0o.
Перейдем к анализу смещения "центра тяжести" пучка. Учитывая ве-
щественность коэффициента отражения V(q) при q > 1 и считая
bw(do - л) > 1, из общей формулы A3.23) получаем
ДД<7о) = [/ |Ф(?I2 A(q)dq)l[7' \*(я)У{я)\* X
л - —
Xexp(-2JfcAImN/l -q2)dq). A3.42)
Дифракция пучка при распространении сказывается лишь на знаменателе
в правой части A3.42). С ростом И смещение монотонно возрастает, пос-
кольку уменьшается вклад в полную интенсивность пучка на границе раз-
дела неоднородных волн, не испытывающих смещения при отражении.
Будем считать, что спектр падающего пучка на самой отражающей грани-
це дается выражением A3.13), т.е. положим я = 0. Выкладки в этом слу-
чае только обозначениями отличаются от приведенных в п. 13.2 и дают
равномерную по углу падения асимптотику для Ac(q0), совпадающую с
A3.41) при замене WHa 21'2 w.
Рассмотрим отражение волнового пучка от границы раздела сред с близ-
кими значениями скорости звука. Показатель преломления п <*> 1. Этот
случай наиболее труден для аналитического рассмотрения, поскольку про-
исходит сближение особых гочек q = п и q - 1 коэффициента отражения.
В зависимости от значения параметра Q = kw 11 - л | возможны три сущест-
венно различные ситуации: Q> \,Q<\,Q~ I.
Если Q > 1, го для любого угла падения выполнено одно из неравенств,
kw(\ - q0) > 1 или kw\n - q0 \ > 1, позволяющее воспользоваться полу-
ченными выше результатами. При п «* 1 коэффициент отражения изменя-
ется быстро: | V(q0)/V(q0) | > 1 и, согласно A3.18), A3.26) и A3.41),
смещение пучка при отражении может быть по величине сопоставимо с w.
Когда Q <\, спектр пучка Ф(?) в A3.42) можно считать медленно ме-
няющейся функцией по сравнению с функциями V(q) и Д(<7) и разложить
по степеням A — q). Тогда, принимая во внимание значения интегралов
m +1
-я
+-Г , /m-\
о L \m+ 1
<1344)
вычисляемых по явным формулам B.27) и B-34), получаем из A3.42)
Г 2A - л)/Э \ 1/f/m-iy
L m + l \bq /<i=iJ/L\m+l/
Г
—
294
г \Ьтг{\ -я) /тг + 1 \1
dq+ , г ,ча (-ГТ|пт-1) '

Для простоты считаем здесь Л = 0. Если отношение плотностей сред то не
близко к единице, а спектр Ф(?) является непрерывно дифференцируе-
мым, то относительная погрешность формулы A3.45) составляет O(Q*).
При т ~ 1 оценка знаменателя, использованная в A3.45), справедлива
только для умеренных значений kw{\ - q0). Тогда из A3.45) следует
дс0/о) = Зя/[4ЛA - п)\ >w. При kw(] - q0) > 1 по мере уменьшения
ФA) в знаменателе формулы A3.42) становится существенным вклад
участка области интегрирования q ~ q0, далекого от q = 1, и величина
Ас (<7о) спадает до нуля.
Расчет огибающей отраженного пучка и смещения ее максимума можно
провести методом, использованным в п. 12.5 в случае отражения сфери-
ческой волны. Он основан на разложении коэффициента отражения по
степеням A - и). В работе [90) этим методом исследовано отражение
пучка тауссова типа. Показано, что при | т - 1 | > Q величина смещения
\&м(Чо) I 3> Qwj (т - 1); его направление и существование нулей уг-
ловой зависимости А^ определяются параметром т. Деформация огиба-
ющей пучка при отражении оказывается столь большой, что Дс и Ам силь-
но отличаются по величине и по-разному зависят от ширины пучка w и па-
раметров сред. В случае \т - 1| <Q отраженное поле является весьма
слабым, его огибающая не похожа на огибающую падающето пучка, и го-
ворить о смещении максимума огибающей становится бессмысленным.
Попытки расчета поля отраженного пучка в случае Q — 1 как и при
анализе отражения сферической воины (см. п. 12.5), наталкиваются на
невозможность выразить встречающиеся интегралы через табулирован-
ные специальные функции. Здесь отражение пучка целесообразно исследо-
вать численными методами. Результаты расчета на ЭВМ смещения Дс для
п - 0,9999, т = 1 и т = 1,65 и различных значений kw приведены в [98].
В этой работе рассматривалось отражение пучков с гауссовой ^i(x, 0) =
= exp[-jc2/Dw;2)] и лоренцевой Ф^х, 0) = A +jc2/*v2) огибающими.
Предполагалось, что огибающие имеют одинаковую ширину на полови-
не высоты, т.е. iv = 2(ln2I'2 w. Угловая зависимость Ас для случая Q =
= 10 показана на рис. 13.8. При т - 1,65 ярко проявляется зависимость
смещения при отражении от формы пучка. Напротив, при т - 1 макси-
мальное значение Ас практически не зависит ни от формы, ни от ширины
пучка.
Сопоставление численных и аналитических результатов при Q > 1 по-
казывает, что приведенными выше асимптотическими формулами для
Ас можно пользоваться не только когда Дс <w, но и когда Ас *• и\ Пе-
реход от угловой зависимости Дс с двумя максимумами - при Хо * я/2 - 5
и при Хо "^ 1. характерной для пучков с Q> 1, к монотонной угловой за-
висимости Дс в случае Q < 1 происходит следующим образом [98]. Умень-
шение kw приводит к тому, что пики графика угловой зависимости сме-
щения становятся менее выраженными и сокращается область примени-
мости классической теории.
Когда т > 1, более выраженный пик графика Ас с Хо *0 постепенно
поглощает пик с Хо * я/2 - 5. Одновременно происходит приближение
Хо. соответствующего максимальному значению Дс, к нулю. Максималь-
ное значение Ас спадает сначала, как (kwI12, а затем быстрее, оказыва-
ясь при Q < 1 пропорциональным и\ Когда т ** 1, пики угловой завися-
295

16 -
8 ¦
IS 18 Хлград
Рис. 13-8- Угповая зависимость смещения при отражении пучка для Q < \. Кривые
/ и 2 - смещение Дс гауссова и лореицева пучков при т = 1,65; кривые 3 «г 4 - то-
же при т - 1
мости Ас имеют близкие значения и, становясь менее выраженными по
мере уменьшения kw, образуют "плато", постепенно расширяющееся в
сторону больших углов скольжения. Максимальное значение смещения
пучка сиачала уменьшается пропорциоиальио (kwI/*, а затем — медлен-
нее, выходя при Q < 1 на постоянный, не зависящий от к-' уровень.
Помимо смещения пучка вдоль границы и деформации его огибающей,
при отражении мотут происходить и другие дифракционные явления -
отклонения от закона зеркального отражения, которому подчиняются
плоские волны. Одно нз них - отличие углов падения и отражения. Под
углом отражения пучка вг понимают угол, образуемый нормалью к гра-
нице и лучом, на котором лежат максимумы огибающей |Фг(дс, z) |. Раз-
личие во и Ог обусловлено зависимостью модуля коэффициента отраже-
ния от угла падения. Для остро направленного пучка функция |Ф(</) I
имеет резкий максимум при q = sin0o. Произведение \&(q)V(q)\ дос-
тигает максимального значения при нектором qr - sin0r. Разность qT ~q^
мала для остронаправленных пучков и стремится к нулю при kw -*• «°.
Она приближенно равна
Яг -
- I
dq
если отличины от нуля величина | V\ и входящие в формулу производ-
ные. Знак разности вг - в0 определяется знаком производной dlVUdq
при q - q0. Например, для пучка гауссова типа исходя из интегрального
представления A3.6) нетрудно получить, что при докритическом падении
максимумы |Фг(х, z) | лежат на прямой х = х0 + z tg0r, где вг - во +
+ ^'(^о) [^(<7o)*2w2^"(</o)cos^o) "" > #0- Если коэффициент отраже-
ния при некотором q »qn обращается в нуль н q0 ~ Qn< то функция
296

\&(q)V(q)\ может иметь два максимума. Тогда отраженное поле рас-
щепляется на два пучка, каждый из которых характеризуется своим зна-
чением вг.
Отметим, что пучок электромагнитных волн наряду с сдвигом в плос-
кости падения, рассмотренным выше, при отражении испытывает расщеп-
ление на два пучка, смещенных влево и вправо из плоскости падения.
Это явление, получившее название эффект Фёдорова, связано с зависи-
мостью коэффициента отражения от поляризации падающей волны. Вели-
чина поперечного смещения, как правило, значительно меньше, чем сме-
щение пучка в плоскости падения [222,254, 310, 398,430].
Точка ветвления q = n в интегральном представлении отраженного по-
ля рг, как мы видели в п. 13.2, дает дифракционную компоненту отра-
женного поля — боковую волну. Также и q = — п является точкой ветвле-
ния коэффициента отражения. Ее вклад в рг содержит боковую волну,
след которой на границе раздела распространяется в отрицательном нап-
равлении оси Ох. Амплитуда этой волны пропорциональна Ф(— п) и, сле-
довательно, весьма мала для осгронаправленных пучков. Однако рассмат-
риваемая "обратная" боковая волна существенна в тех областях прост-
ранства, где она отделяется от зеркально отраженной компоненты рт.
"Обратные" волны других типов возбуждаются пучком при отраже-
нии от границ, для которых V(q) имеет полюсы, например, при отраже-
нии от пластины в жидкости. Детальное исследование возбуждения "вы-
текающих" рэлеевских волн пучком и его отражения от границы жидкос-
ти и твердого тела проведено в работах [3, 13, 279, 305, 383, 458, 479
и др.]. Отражению ультразвуковых пучков от систем, включающих один
или несколько жидких и упругих слоев, посвящены статьи [333, 338,
453,476 и др.).
Учет смещения при отражении играет важную роль в лучевом расчете
звукового поля в волноводе [52, гл. 6], [526). О различных подходах
к численному моделированию отражения волновых пучков см. [333,
455, 502]. Наряду с использованным нами методом представления зву-
кового поля в виде суперпозиции плоских волн, для теоретического опи-
сания отражения пучка применяется представление отраженного поля че-
рез интеграл по границе раздела от поля падающего пучка [118]. Гауссов
пучок при определенных условиях можно рассматривать как поле точеч-
ного источника, помещенного в точку с комплексными координатами
[479, 482). Несмотря на формальный характер такой аналогии, она ока-
зывается весьма полезной, поскольку позволяет найти величину смеще-
ния гауссова пучка при отражении, сдвиг угла отражения и т.д. путем
простого анализа хорошо известных асимптотик отраженного поля при
падении сферической волны.
§ 14- Боковая волна
Боковые волны, с которыми мы уже сталкивались ныще при рассмотрении
ряда задач, нарядус поверхностными и "вытекающими"волнами (см. п. 4.4)
являются типичной дифракционной компонентой звукового поля сосредо-
точенного источника.
297

14.1. Физический смысл боковой волны. В п. 12.2, исследуя отражение
сферической волны от плоской границы раздела однородных жидкостей
методом разложения падающего поля по плоским волнам, мы видели, что
в определенных областях пространства к интегралу по перевальному кон-
туру необходимо добавить интеграл (ср. A2.14))
Т~ ) ехР(-Т-) / W«P[l*«i!/(?)) dq. A4.1)
г-nr I \ 4 / 7l
Контур 72 проходит по берегам разреза, исходящего из точки ветвления
q = п (см. рис. 12.3). Функции/и F определены в A2.15) и A2.16). Вклад
Рь в отраженное поле обусловлен двузначностью функции V(q), стоящей
под интегралом A2.14). Оценим величину рь при | ЛЛ,| > 1. Коэффициент
отражения V(q) представим в виде A2.26). Функция К, (q) однозначна и
не даег вклада в интеграл по контуру yt. Поэтому имеем
/2к\Ч2 /йг\
РЬ = ( ) ехр ( — ) /F, (q)(q - я^ехр f I*/?, {f(q)) dq,
тг-п2 -(т2 -Цд2
\kRf/\
Функция Ft(q) не имеет особенностей на контуре тз- Интегралы вида
A4.2) рассматривались в п. 11.1. Будем считать, что стационарная точка
qs = sin0o показателя экспоненты не близка к точке ветвления q = п. Тогда
по формуле A1.20) после простых выкладок получаем pj, = pjf I +O(lfkRi)),
где Pi дается формулой A2.23). Отметим, что деформация контура интег-
рирования к пути скорейшего спуска, проходящему через точку ветвления,
которая была использована при выводе A1.20), для интеграла A4.2) не
встречает препятствий, поскольку на верхнем листе поверхности Рим ana,
где лежат оба контура интегрирования, нет полюсов подынтегрального вы-
ражения (см. п. 12.2).
Пусть поглощение энергии волн отсутствует и скорость звука в нижней
среде больше, чем в верхней. Тогда п < 1, а 5 = arcsin n - вещественный
угол. Обозначим L, = z0/cos5, L, = z/cosS, L = г - (z + z0) tg5. Геометри-
ческий смысл L и L1>2 поясняет рис. 14.1, где \SC\ = L^. \DP\ = L2,
| CD | = L. Легко доказать с учетом A2.15), что/?1 cos (в0 -В) - Li + L2 +
+ nh и R\ sin (в0 - 5) = Lcos5. Формулу A2.23) можно записать в виде
p, = 2ine\p[ik(Li *L2 +nL)][km(\ -n^rV2!3/.2]. A4.3)
Волна р, представляет собой вклад точки ветвления в асимптотику отра-
женного поля. Ее называют боковой волной. Выражение k(Lt +L2) + knL
может трактоваться как набег фазы по лучу SCDP (см. рис. 14.1), соеди-
няющему излучатель с точкой наблюдения. Этот луч состоит из отрезков
Li nL2i по которым волна распространяется в верхней среде под углом
я/2 - 5 к границе, и отрезка L, который волна проходит вдоль границы
со скоростью звука в нижней среде. На больших расстояниях, когда
г > (z + z0) tg5, имеем L =»r . На таких расстояниях амплитуда боковой
волны будет убывать, как 1/г г.
298

Рис. 14.1. К объяснению Природы боковой волны: S - источник, Р - приемник, S, ~
мнимый источник, SCDP - луч, соответствующий боковой волне
Рис. 14.2. Фронты волн различных типов в непоглощиощей среде: / ~ прямая, 2 - зер-
кально отраженная, 3 - боковая, 4 - преломленная
Поле р, пропорционально (-iu>) '. Как мы видели в § 5, это означает,
что при импульсном излучении, помимо различия во временах прихода,
временная форма сигнала, соответствующего боковой волне, будет отли-
чаться от формы сигналов падающей и отраженной волн. Она получается
интегрированием по времени сигнала прямой волны и имеет поэтому
менее четкое начало и более длинный "хвост". Указанные отличия четко
фиксируются в эксперименте и служат одним из признаков боковой волны
1356]
Как мы видим, выражение A4.3) теряет смысл, если и-»- 1, или L -*¦ О
(что равносильно в0 -*¦ В), или от -»¦ 0. Это обусловлено сближением крити-
ческих точек под интегралом A4.1). В первом и третьем случаях к точке
ветвления q = п приближается полюсу*A2.20) коэффициента отражения, а
во втором случае — стационарная точка qs = sin0o- В строгом смысле гово-
рить о боковой волне можно лишь при условии, что точка ветвления, даю-
щая в асимптотику поля вклад р1, удалена от других критических точек. В
противном случае компоненты поля, имеющие различную природу, как бы
Объединяются, и непосредственный физический смысл имеет только полное
поле. Иногда боковой волной называют не вклад точки ветвления, а весь
интеграл A4.1) по берегам разреза. Тогда боковую волну можно опреде-
лить и в указанных выше особых случаях. Несмотря на известную долю
содержащейся в нем условности, этим определением удобно пользоваться,
когда основной вклад в интеграл по берегам разреза дает окрестность
точки ветвления. Равномерная по L асимптотика /ц, содержит функцию
параболического цилиндра (см. A1.68)). При т-> 0 значение рь можно
выразить через интеграл вероятности. Случай слабой границы раздела
(л-* 1) рассмотрен в п. 12.5.
Поясним причины возникновения боковой волны. В точку К (см.
рис. 14.1), достаточно удаленную от излучателя S и расположенную'вблизи
границы раздела в нижней среде, волна падает двумя путями: SNK и SMK.
Луч SN падает на границу под углом, болыцим 5, и, полностью отражаясь,
создает в нижней среде экспоненциально затухающую при заглублении
волну. Луч SM преломляется на границе и попадает в точку К. Когда точка
смещается вправо, угол падения в этого луча растет и приближается к 5.
299

При 0-5 преломленный луч идет в нижней среде параллельно границе.
Волна, представляемая этим лучом, является источником боковой волны.
Действительно, она создает на границе возмущение с пространственным
периодом, равным длине волны в нижней среде Xj = 2nl(ksinB). Чтобы
граничные условия были выполнены, в верхней среде должна существовать
волна с направлением распространения, составляющим угол 6 с нормалью
к границе.
Согласно первому приближению геометрической акустики, луч с углом
падения 5 отражается полностью, и волне, распространяющейся параллельно
границе, следует приписать нулевую амплитуду. Однако во втором прибли-
жении, а также при волновом рассмотрении оказывается (см. п. 12.3) , что
эта волна имеет малую амплитуду, порядка \j(kr ) < 1 от амплитуды па-
дающей волны. Если падающая волна не сферическая, а плоская, то ника-
кой поправки к лучевому выражению для поля в нижней среде не возни-
кает, и боковая волна не возбуждается. Боковая волна представляет собой
нечто вроде ответвления преломленной волны и распространяется как бы
сбоку от основной трассы (лежащей в верхней среде), чем и объясняется
ее название.
Как видно из A4.3).,.фронт боковой волны дается уравнением L\ + L2 +
+ nL = nr +(l-n2)I/2(z+z0) = const. В плоскости xz - это прямая ли-
ния. В пространстве в силу цилиндрической симметрии задачи фронт будет
конинеским. На рис. 14.2 изображены фронты прямой, отраженной, боко-
вой и преломленной волн. Нижний край фронта боковой волны совпадает
с краем фронта волны, распространяющейся в нижней среде со скоростью
С| = с\п > с. Верхний край фронта боковой волны без излома переходит во
фронт зеркально отраженной волны,-которую можно представлять себе
исходящей из мнимого источника S\. Амплитуда боковой волны воз-
растает при продвижении по ее фронту от границы раздела к точке слияния
с отраженной волной, поскольку при этом уменьшаются г и L (см. A4.3)).
В случае импульсного излучения боковая волна приходит в точку наблюде-
ния раньше зеркально отраженной, а в части пространства - и прямой
волны.
Отметим, что выражения A2.23) и A4.3) дают поле боковой волны и в
случае п > 1 (с\ < с). При этом 5 = arc sin л будет уже комплексной величи-
ной. Экспоненциальный множитель в A4.3) при п > 1 принимает вид
ехр{ k[inr - (л2 - 1)''2(г + z0)]} . Амплитуда боковой волны \р,\ экспо-
ненциально убывает с ростом как z , так и г0. В верхней среде р1, следова-
тельно, будет неоднородной волной. С первого взгляда кажется, что в этом
случае в нижней среде не может существовать волна, распространяющаяся
вдоль границы раздела, так как при п> 1 происходит обычное преломление
(без полного отражения), и нормаль к фронту волны при преломлении
приближается к вертикали. Однако мы должны учесть, что точечный источ-
ник излучает также и неоднородные плоские волны. Та из них, волновой
вектор которой равен (кп, О, -1к(пг - 1) ), при преломлении в нижней
среде преобразуется в обычную плоскую волну, распространяющуюся
вдоль границы с волновым вектором (кп, 0,'0).
Часто боковые волны дают пренебрежимо малый вклад в полное поле, и
их можно не принимать во внимание. Однако в ряде задач учет зтих волн
300

имеет принципиальный характер. Перечислим основные случаи, когда роль
боковых волн существенна.
1) При импульсном излучении, когда сигнал боковой волны отделяется
по времени от других волн.
2) Если основная часть геометро-акустического поля уничтожается в
результате интерференции, боковая волна составляет значительную часть
полного звукового поля. Такая ситуация имеет место, в частности, вблизи
границы однородных сред из-за интерференции прямой и отраженной волн
(см. п. 12.2).
3) В анизотропной среде, где боковая волна попадает в области, не
доступные для обычных лучей [260, гл. 7, § 5].
4) В слоисто-неоднородных средах в условиях образования зоны тени.
На удалении от каустики в зоне тени боковая волна может доминировать
в звуковом поле [246, 353].
5) Когда излучатель и приемник расположены в сильно поглощающей
среде, граничащей со слабо поглощающей средой, боковая волна вносит
основной вклад в поле, поскольку значительная часть ее трассы, в отличие
от прямой и зеркально отраженной волн, проходит вне области сильного
поглощения.
6) В случае излучателя с острой диаграммой направленности геомегро-
акустическая компонента поля сосредоточена в узкой области. Боковая
волна засвечивает значительно более протяженную область, отделяясь от
более интенсивных компонент поля в пространстве (см. п. 14.5 и [318,
522]).
7) Исследование боковых волн и способов их выделения из полного
поля важно также в тех случаях, когда амплитуда этих волн сравнительно
мала, но именно из их характеристик можно извлечь информацию о пара-
метрах источника или среды распространения, которую трудно получить
другими способами. К этому типу задач относится широко применяемый
в сейсмической разведке "метод преломленных волн" [4, гл. 12].
Из работ по теории боковых волн следует в первую очередь отметить
статьи [43, 44, 80, 210, 237, 246, 307, 373, 390, 419, 444, 516, 522, 551],
а также обзоры [353, 521] и монографии [48, 260, 326]. Дополнительные
ссылки будут даны по ходу изложения. Подробная библиография содержит-
ся в работах [326, 353, 521].
14.2. Лучевые представления. Возникновение боковой волны легко
понять также, если учесть смещение лучей при отражении, рассмотренное
в пп. 13.1 и 16.2. Будем считать, что п < 1. Согласно A3.9), чем меньше
будет разность 0О - 6 > 0, тем больше сместится луч вдоль границы при
отражении. В результате исходящий из источника узкий пучок лучей с угла-
ми падения 6 < 0О < 6 + е, е -4 1 после отражения разойдется в совокуп-
ность лучей со смещениями 0 < Д < <», идущих почти параллельно. Эти
лучи и образуют боковую волну. Наряду с ней в каждую точку верхней
среды будет приходить и обычная отраженная волна. Ее представляют лучи,
испытавшие незначительное смещение при отражении. О связи смещения
лучей при отражении с боковой волной см. также [444].
Соответствующий боковой волне луч SCDP (см. рис. 14.1) можно по-
строить и на основе других соображений. Будем исходить из определения
луча как экстремали функционала акустической длины пути, т.е. кривой,
301

на которой фазовый набег принимает экстремальное значение. Среди соеди-
няющих источник и приемник кривых, не имеющих общих точек с грани-
цей раздела, минимальное значение фазовому набегу дает отрезок прямой
SP. Этот луч соответствует прямой волне. Фазовый набег по кривым,
имеющим единственную общую точку с границей, будет минимальным
на луче SBP, удовлетворяющем закону зеркального отражения. Не будем
лимитировать число общих точек виртуального луча и границы. Ясно, что
среди таких кривых минимум фазовому набегу может доставлять только
ломаная вида SMNP, параллельная границе часть MN которой лежит в ниж-
ней среде, где скорость звука больше. Угол 0 (см. рис. 14.1) находится
из условия обращения в нуль производиой по 0 от фазового набега на ло-
маной SMNP: (д/дв)к[п(г - zotg 0) + z0/cos 0] =0,- которое дает: в =8.
Аналогично получаем, что и участок NP ломаной должен образовывать
угол я/2 - 6 с границей. Следовательно, экстремалью функционала акусти-
ческой длины пути будет ломаная SCDP, которая существует при условии
г > (г + zo)tg 6, или L > 0. Таким образом, боковой луч SCDP представ-
ляет волну, испытавшую, в отличие от обычной, зеркально отраженной
волны, нелокальное взаимодействие с отражающей границей.
Лучевые соображения позволяют получить не только фазу боковой
волны, но и ее амплитуду. Действительно, уравнение луча с учетом смеще-
ния будет г@о) = (z + zo)tg Go + Д@о). где при 0О «6, согласно A3.9),
получаем Д@О) * Btg6I/2@o - 6)~1/2/(mA:cos6). Подставляя г@О)
в формулу A2.39), дающую амплитуду поля на луче, и учитывая,
что в нашем случае рс = p(zo)c(zo), 0=00^6, получаем |р,| =
= 2sin6/(A:wcos26(r Д3I'2), что совпадает с |р;| из A4.3), поскольку
L = А. Исторически лучевое описание боковой волны [41, 43] явилось,
по-видимому, первым использованием концепции особых, дифракцион-
ных лучей для решения физических задач. Впоследствии эта концепция лег-
ла в основу целого направления волновой теории — геометрической теории
дифракции [506,507,401, 36].
Целесообразно несколько обобщить наши выкладки, чтобы учесть стра-
тификацию параметров полупространства i < 0. Будем считать, что звуко-
вое поле имеет интегральное представление (ср. A2.14))
к\1'2
)
где 0 < у < \,яь — точка ветвления, функций ч>(<7) имеет единственную
стационарную точку q ~qs, ^>1,г(ч) - регулярные функции. Значения Oj,2»
Фи^ зависят от координат источника и приемника. Рассмотрим высоко-
частотную (к -к») асимптотику поля. Применяя к интегралу A4.4) метод
перевала, по формуле A1.9) находим вклад стационарной точки:
ps= [-2»/(г*"(^))]Ф(<7,)ехр[Л*(^)] [1 +О(к~1)]. A4.5)
Слагаемое О(к~1), которое мы не выписываем, с помощью A1.12) выра-
жается через производные Ф и ч> при q = qs- Если разрез, связанный с точ-
302

кой ветвления qb, при деформации исходного контура интегрирования к
перевальному пересекается нечетное число раз, то в асимптотику поля дает
вклад точка ветвления. Вычисляя разность значений Ф(ф) на берегах разре-
за, получаем при помощи A1.20)
р, = 2*Г-' (-7)Ф2(<7й) (к/гI'2 [-ЛФ \qb)] ~ 1~У X
X exp {ik*(qb)- /л/4 - /тгу sgn lm[k^'(qb)]} [1 + O(kl)]. A4.6)
Лучевую трактовку формул A4.5) и A4.6) удобно дать, предваритель-
но тождественно преобразовав подынтегральное выражение [58, § 4.4],
[87] так, что вместо Ф и ч> оно будет содержать функции
7)Ч.
Преобразование ^A4.7) переносит основную (при q » qb) часть зависи-
мости Ф от q на чл __
Пусть \а\ ^ 1, а к и qs ь вещественны. Тогда функция ч>'(<7) может
иметь один или два нуля. Одна стационарная точка существует во всех
случаях. Она близка к qs и дает в асимптотику интеграла вклад A4.5),
который может быть интерпретирован как поле обычного луча (см. п. 16.2).
Вторая стационарная точка существует при qb > qs или<7й < qs — в зависи-
мости от соотношения параметров; она близка к qb и дает в поле вклад
A4.6). Эту точку, следовательно, можно сопоставить боковому лучу.
Если разность qs — qb делается малой, то нули функции Ф'(<7) сближаются
и совпадают, когда точка наблюдения находится на каустической поверх-
ности — огибающей семейства лучей, которая отыскивается из системы
уравнений ч> '(q) = 0, ч> "(q) = 0, как и каустика обычных лучей, подроб-'
но рассматриваемая в § 17. Считая для определенности величину о вещест-
венной и имеющей тот же знак, что и ty"(qs), можно получить неявное
уравнение каустики в виде
qs-qb=B- 7) A - уI [A-7O<*/(**"(^))] ^~У)- A *-8)
По разные стороны поверхности A4.8) функция ч>(<7) имеет соответствен-
но одну и две стационарные точки, т.е. при переходе через эту поверхность
меняется число лучей, приходящих в точку наблюдения.
Из сказанного выше видна близкая аналогия поведения стационарных
точек, а значит, и геометрии лучей в двух случаях: при перемещении точки
наблюдения в окрестности каустики обычного и дифракционного лучей
(случай а) и гладкой или имеющей несколько точек заострения каустики
обычных лучей (§ 17) (случай б). Существует, однако, и качественное
отличие. В случае (а) каустика отвечает переходу  -*¦ 1" в числе лучей,
а в случае (б)/ при пересечении любой ветви каустики количество лучей,
приходящих в точку наблюдения, меняется на четное число [149,150, 261].
Рассмотрим пример. При отражении сферической волны от гра-
ницы однородных жидкостей согласно A2.15), имеем: у=\Ц, ч>(<7) =
= [<7sin0o + О - q2)ll2cose(>]Rl, qs = sin во, qb = sin6. Из A4.8)
получаем тогда уравнение каустики в полярной системе координат с цент-
ром в мнимом источнике: в0 - Ь = 3BиI/3A - ri2)~ll6BmkRi)~213.
303

Отметим, что форма каустики зависит от частоты звука. При Ri •+<*> имеем
в0 -*¦ 6. Однако расстояние от каустики до прямой 0О = 6 монотонно растет
с ростом R i. Каустику можно легко получить также, строя лучи с учетом
их смещения при отражении (рис. 14.3). На рисунке отсутствуют лучи
в области между каустикой и прямой в0 = 6- В дальнейшем мы увидим,
что эта область принадлежит к той окрестности каустики, где лучевые
представления неприменимы и подсчитывать число лучей бессмысленно.
Рис. 14.3. Образование каустики в резуль-
тате смещения лучей: S - источник. 5, -
мнимый источник. Каустика показана
жирной линией
При сближении критических точек qs и qb формулы A4.5) и4 A4.6)
перестают быть справедливыми. Обозначим через р2 значение интеграла
A4.4) при Ф! = 0. Равномерную асимптотику р2, пригодную при любом
расположении точек qs и qb, можно получить исходя из A1.74). Она
содержит функции параболического цилиндра. Не приводя вывода (он
вполне аналогичен выводу формулы A2.29)), выпищем результат:
_/2**\1/2 г и у+у Al_. J_Lf__
V г ) 2Яь [№{qh)\ еХР\4 17ГУ 2
А-\
A4.9)
и-= ехр
1/2
1/2
я))\
12*7
A4.10)
Параметр а = ± 1 выбирается гак, что для тех точек наблюдения, куда при-
ходит боковая волна, Re и < 0. Интеграл, содержащий Oi в A4.4), можно
оценить обычным методом перевала. Его вклад р^ в полное звуковое дав-
ление р отличается от A4.5) только заменой Ф на Фх. Все величины, входя-
щие в равномерную асимптотику поля р = р1 + р2, можно выразить через
амплитуды и фазы полей обычного и дифракционного лучей [373],
Используя результаты § 17, дадим краткую сравнительную характе-
ристику поведения поля в окрестностях каустик, образованных двумя
обычными лучами и обычным и дифракционным (боковым) лучами.
В первом случае поля, соответствующие лучам, имеют вблизи каустики
одинаковую амплитуду, которая стремится к бесконечности при приближе- •
нии к каустике (сосвещенной стороны). Во втором случае к бесконечности
стремится лишь поле- бокового луча, а старший член асимптотического
304

разложения по степеням к~1 поля обычного луча остается конечным.
В обоих случаях на каустике лучевые выражения для поля имеют разрыв
бесконечной величины, но содержат информацию, позволяющую построить
равномерное асимптотическое разложение, пригодное на каустике и в ее
окрестности- Амплитуда поля монотонна по одну сторону каждой из каус-
тик и осциллирует по другую (там, где есть два луча), но в первом случае
осцилляции значительно глубже. Ширина переходной зоны, где непримени-
мы лучевые представления и происходит переход от озвучеиности двумя
обычными лучами к неозвученной области, пропорциональна к~2^3. Во вто-
ром случае переходная зона также неограниченно сужается при росте часто-
ты, но медленнее - пропорционально А:'2. При этом на каустике не
возникает заметного усиления поля. Главный член асимптотического раз-
ложения совпадает с главным членом разложения поля обычного луча, но
поправка пропорциональна не ДГ1, а к~у12, т.е. значительно больше, чем
вдали от каустики. На каустике, образованной парой обычных лучей, ин-
тенсивность поля увеличивается пропорционально к1 ^.
Каустика обычного и дифракционного лучей не подпадает под класси-
фикацию на основе теории особенностей дифференцируемых отображений
(см. п. 17.3). К сожалению, во многих работах упускается из виду специ-
фика каустики, образованной при участии дифракционного луча, и пред-
принимаются попытки описать поле в ее окрестности функциями Эйри,
как в окрестности гладкой каустики обычных лучей. Примеры неудачных
попыток такого рода дают статьи [424, 526].
Боковая волна A2.85), возбуждаемая сферической падающей волной
при отражении от движущегося однородного полупространства, была
найдена в п. 12.6 асимптотическим анализом интегрального представления
поля. Концепция дифракционных лучей позволяет дать наглядную интер-
претацию и этому результату.
В слоистой движущейся среде, как показано в § 16, на луче сохраняет
постоянное значение горизонтальная компонента к\± волнового вектора
Arv, где v -(vj., !»з). Компонента v3 связана с v± и параметрами движущей'
ся среды уравнением эйконала A6.16), где в нащем случае с0 = с. Будем
считать, как ив § 12, что нижняя среда движется относительно верхней
среды и находящегося в ней источника со скоростью у0 =¦= {Мсх, О, 0), где
0 < М < 1. Обозначим через ф угол между ух и осью Ох. Тогда vj_ =
- sin в' (cos ф, sin ф, 0), где в - угол падения луча. Для значе-
ния р3 на преломленном луче из уравнения эйконала получаем v3 =
~ - [(я - М sin б cos фJ - sinJ0]I/2. Преломленный луч будет идти па-
раллельно границе, если v3 ~ 0. Угол падения такого луча обозначим Ь(ф).
Он зависит от азимутального угла ф: sin 6 (ф)~пЦ1 +Мcos ?). Отметим,
что для лучей с фиксированным значением ф I V\< 1 при в <8(ф),\ V\~ I
при в > 8(ф), т.е. 8(ф ) является критическим углом полного отражения.
Здесь V - коэффициент отражения A2.73).
В движущейся слоистой среде луч, вообще говоря, не является плоской
кривой. Согласно A6.18), преломленный луч параллелен вектору
То + civ/v. Траектория луча, падающего под критическим углом полного
отражения, показана на рис. 14.4. После преломления этот луч идет гори-
20. Л.М- Брехояских 305

эонтально под углом а к оси Ох, где
tga=sini/>/(iW+cosi/0. A4.11)
Волна, бегущая в нижней среде параллельно границе, излучает боковую
волну. После возвращения в верхнюю среду луч, как и на участке SC
(см. рис. 14.4), образует угол 6 ( ф ) с осью Oz, а его проекция на плоскость
ху — угол ф с осью Ох. Пусть цилиндрические координаты точки наблюде-
ния Р равны (г, <р, z). Обозначим через ф, угол выхода из источника луча,
Рис. 14.4. Проекция на плоскость
ху бокового луча при отражении
от движущейся среды
s
У
А
г
приходящего в точку наблюдения. Условие попадания луча в точку Р можно
записать в виде
= (z +20)tg6(i^1)cos ф\ +L
>=(z +zo)tg6(i//|)sin ^i +
где L - I CDI (см. рис. 14 4). Из этих уравнений можно определить фх.
Исключая L и подставляя tg a из A4.11), получаем
sinOh -^)=iW[sin^-ctgeosin i^itg5(^i)]. A4.12)
Нетрудно убедиться, что A4.12) равносильно уравнению A2.80), получен-
ному при асимптотической оценке интегрального представления поля и
определяющему ф1 в формуле A2.85) для боковой волны.
Найдем набег фазы на луче SCDP. Согласно A6.20), для этого следует
проинтегрировать скалярное произведение волнового вектора на элемент
длины дуги луча. Длина проекции луча на направление горизонтальной
компоненты волнового вектора равна г cos(v? — ф1) (см. рис. 14.4). От-
сюда для фазового набега имеем
k(z +z0)cos6(i^i) +Jtrcos(t?- #i)sin 6(ф|),
что совпадает с деленным на i показателем экспоненты в A2.85). Как и в
случае неподвижной среды, лучевые соображения позволяют вычислить
и амплитуду боковой волны, но мы не будем на этом останавливаться.
14.3. Область наблюдения боковой волны [88]. Характерной особен-
ностью боковой волны является то, что она существует лишь в части прост-
ранства, которая, как правило, не полностью совпадает с областью прост-
ранства, куда попадает компонента лоля, отраженная но геометро-акусти-
ческим законам. Совокупность точек, куда приходит боковая волна, бу-
дем называть ее областью наблюдения. Здесь, в п. 14.3 исследуется область
наблюдения боковой волны, создаваемой точечным источником в непод-
вижной слоистой среде общего вида при учете поглощения звука.
306

Сначала рассмотрим случай плоской границы однородных полу-
пространств. Отраженное поле имеет интегральное представление A2.14),
для анализа которого можно применить метод перевала (см. пп.12.2 и 14.1).
При этом задача об области наблюдения боковой волны сводится к
вопросу о том, при каких условиях связанный с неоднозначностью подын-
тегральной функции разрез, исходящий из точки q = п, при деформации
исходного пути интегрирования к перевальному контуру пересекается
нечетное число раз.
Рассматриваемый разрез определяется первым из уравнений A2.18),
а перевальный контур ?i — соотношением A2.17), которое удобно за-
писать в виде
> A4.13а)
Re/(<?,). A4.136)
функция f(q) определена формулой A2.15). Зададим кривую Т\ соотно-
шением
Im f(q) = Im f(qs), Re f(q)> Re f(qs). A4.14)
В совокупности кривые Ti и Fi образуют линию постоянного уровня функ-
ции Im f(q) и делят комплексную плоскость q на пять областей
(рис. 14.5). Величина \m\f(q) - f(qs)] отрицательна в областях I-III и
положительна в областях IV и V.
r,
Рис. 14.5. Комплексная ^-плоскость, разделенная на пять областей кривыми Г, и ?, :
у - исходный контур интегрирования, у1 - путь скорейшего спуска; С- разрезы,
вызванные точками ветвления q * in. Кривая Г, определена формулами A4.14)
20' ™

Пусть Re an < Re a, Im n > 0. Тогда точка q *n лежит слева от прямой
= Re д. Контур у3, охватывающий часть разреза, уходит на бесконеч-
ность в области V. Поэтому число пересечений разреза и нута быстрейшего
спуска Ti будет нечетным, а боковая волна будет наблюдаться, если
точка q - п находится в области I или 111. (Взаимное расположение прием-
ника и источника учитывается через величину qs = sin во, определяющую
форму кривых ji и Ti). Однако точка q ~ n не может принадлежать об-
ласти III, поскольку прямая Re aq = Re а расположена в IV, II и V частях
q-плоскости, и область III целиком лежит справа от этой прямой. Пусть.
q = sin в. Заметим, что кривая Re в ~ в0, проходящая через точку q =qs
пересечения у} и Г|, заключена в IV и V частях <?-плоскости. Это следует
из неравенства \mf(q) = Imacos@ - во) * ch(Im в) -Rea > lmf(qs).
Области I и II лежат по разные стороны кривой Re в = во. Следовательно,
критерий наблюдения боковой волны можно сформулировать следующим
образом:
Im/(«)<Rea, A4.15а)
sin(Re5)<sin0o. A4.156)
При наложенных нами на п ограничениях первое из неравенств выполня-
ется в I и II частях ^плоскости, второе - в 1 и V частях. В совокупности
эта неравенства служат необходимым и достаточным условием принад-
лежности точки q = л области I. Система неравенств A4.15) удовлетворяет-
ся, если у <б0 < я/2, где
sin-у= [Re аи Rea + Imn | Re ац | y/l + (Re л/Re рJ ] X
X [(Re лJ +(Ке»J--Aта)г]-К A4.16)
Здесь jut = A -л2I'2, Re/x > 0. При малом поглощении получаем у «
««Re6 + Im6, т.е. область наблюдения определяется только относительным
показателем преломления. В отсутствие поглощения у ~ 6, что соответ-
ствует изменению i от 0 до » в формуле A4.3)'для боковой волны.
Аналогично проводится исследование области наблюдения при других
значениях а и л; оно вновь приводит к формуле A4.16). В частности, если
нет поглощения и л > 1, то получаем: sin у - 1/л.
Граница области наблюдения боковой волны с учетом диссипации энер-
гии только в нижней среде, т.е. при а ~ 1, определялась в [260, гл. 5, § 3].
Для этого было использовано уравнение, совпадающее с A4.13а). Резуль-
тат Фелсена и Маркувица в наших обозначениях имеет вид у ~ Re 6 -
-arccos [l/ch(Im6)]. Вскоре мы увидим, что это выражение для у проти-
воречит требованию ограниченности звукового давления. Оно отличается
от соответствующего следствия формулы A4.16) знаком второго слагае-
мого из-за ошибочного, не удовлетворяющего неравенству A4.136) выбора
решения в [260].
Дадим наглядную физическую интерпретацию результата A4.16). Будем
считать для простоты, что в верхней среде поглощение пренебрежимо мало,
а скорость звука меньше, чем в нижней, т.е. а * 1, с < сх. Предположим так-
же, что в достаточно широком диапазоне частот фазовые скорости волн
равны групповым. На рис. 14.6 показана область, озвученная через время т
после качала работы излучателя, расположенного вблнэн границы раздела.
308

Рис. 14.6. Волновые фронты в слу-
чае источника близи границы раз-
дела: AM - лрямая и зеркально
отраженная волны. BN - прелом-
ленная и ВКг - боковая волиы;
BD - фронт боковой волиы в
отсутствие поглощения при тех же
скоростях распространения воли с
и с,; SA = SA/ = cr.SB = SN = с, г;
Кольцевой участок границы, представленный на рисунке отрезком АВ,
возмущен распространяющейся в нижней среде вдоль границы преломлен-
ной волной. Для выполнения граничных условий необходимо наличие вол-
ны и.над этим участком, причем горизонтальная проекция волнового векто-
ра каждой монохроматической компоненты этой волны равна kt. Это и
есть боковая волна. Вертикальная компонента волнового вектора равна кц.
Следовательно, фронт боковой волны является частью конической по-
верхности BK2Ki с углом наклона arctg(Re л/Re /х) = Re 6 к границе разде-
ла сред.
Мнимые части компонент волнового вектора боковой волны имеют
разные знаки: klmn > О, к1тц = - к Re n Im л/Reц < 0. Поэтому с
ростом г амплитуда экспоненциально спадает, а с ростом z - экспонен-
циально увеличивается. Последнее объясняется сокращением пути боковой
волны в поглощающей нижней среде. Чтобы лоле было конечным при
/?! ¦+ °°, область наблюдения боковой волны должна быть ограничена тре-
бованием Im(w + цг) > 0, или у > Re6, что эквивалентно неравенству
A4.156),а также A4.136) прид= 1.
Скорость распространения боковой волны Cj = c[(RenJ + (Re/xJ]/2 =
= с[1 + AтлJ + (Im/xJ] ~''2. При наличии поглощения с{ < с, так как
боковая волна в этом случае неоднородна. В результате на рис. 14.6 линия
ВК1 будет секущей для окружности AM. Дифракция приводит к диффузии
амплитуды вдоль фронта волны и поэтому запрещает его обрыв. Следова-
тельно, фронт боковой волны не может заканчиваться в точках К^ или К3,
а должен смыкаться с фронтом отраженной волны в точке Кг. Мы видим,
что в поглощающей среде сохраняется свойство боковой волны приходить
в точку наблюдения раньше зеркально отраженной компоненты поля.
Заметим, что уравнение A4.13а), а также неравенство A4.15а) выражают
равенство фаз боковой волны и недифракционной компоненты поля на
границе области наблюдения. Приравнивая фазы зеркально отраженной
монохроматической волны и боковой волны в точке Кг или времена при-
хода импульсных сигналов в точки В и Кг можно вновь получить (для
а- 1) результат A4.16).
309

Область наблюдения боковой волны для рассматриваемого случая по-
казана на рис. 14.7. Важным отличием от ситуации в отсутствие поглоще-
ния является существование ненулевой минимальной длины параллельного
границе раздела участка АВ: \ АВ | = zo(tg 7 - tg Re 5). Энергия боковой
волны поступает по проведенным сплошными линиями частям ломаных
SEDDlf SACCi и т.п. На поверхности ВКг - границе области наблюдения
боковой волны ее энергия передается зеркально отраженной компоненте
поля. Отметим, что при а Ф 1, 1тл < 0, т.е. в случае, когда диссипация в
верхней среде сильнее, чем в нижней, имеет место обратная ситуация: бо-
ковая волна на границе области наблюдения получает энергию. (В отсут-
ствие поглощения зеркально отраженная компонента поля не обменивается
энергией с боковой волной.) Ломаные SEFF,, SABBit SEDDi удовлетво-
ряют принципу Ферма - являются экстремалями функционала акусти-
ческой длины пути. Следовательно, это лучн. Однако энергия от источни-
ка посредством боковой волны передается или только по их части
(SEDD,) или вовсе не передается (SEFFi, SABBi). Этот факт иллюст-
рирует ограниченную применимость лучевых соображений для поглощаю-
щих сред.
В произвольной слоистой среде высокочастотное поле точечного ис-
точника также может быть представлено интегралом A2.14) или суммой
интегралов того же вида, но, конечно, с другими функциями F(q) и
f(q) (см. п. 16.2). Обозначим точку ветвления подынтегральной функции
через qb. Четность числа пересечений разреза при деформации контура
интегрирования меняется, когда точка q = qb попадает на путь скорей- •
шего спуска. Следовательно, при q~qh соотношения A4.13) являются
уравнением границы области наблюдения боковой волны для слоистой
среды весьма общего вида. Если подынтегральное выражение имеет по-
люс в точке q-qp, затрагиваемый при деформации контура интегриро-
вания, то при q-qp соотношения A4.13) служат уравнением границы
области наблюдения соответствующей полюсу дифракционной компонен-
ты звукового поля (например, поверхностной или вытекающей волны
при отражении от слоистого полупространства).
Рис. 14.7. Направления потока энергии в боковой волне (сплошные линии) прид-1,
с < с,: S - источник, S, - мнимый источник, ВК2 - граница области наблюдения
боковой вопкы
310

14.4. Боковые волны в слоистой среде. Рассмотрим возбуждение бо-
ковой волны точечным источником, находящимся над границей z=0
слоисто-неоднородного жидкого полупространства. Плотность и скорость
звука в нем обозначим ct(z) и p,(z). Будем предполагать, что ниже
некоторого горизонта z=zt среду можно считать однородной: kt(z) =
= к2 = к sin 5 Фк, Pi(z) = pa. Как показано в § 6, коэффициент отраже-
ния плоских волн V(q) будет иметь точки ветвления q = ±qb, где qb =
= кг1к. Обозначим ц ={q\ - <72I/2, Im/xX). Тогда V(q) = F(<7ft) + Вц +
2
Отраженное поле рг имеет интегральное представление A2.14). При
достаточно больших значениях kRt коэффициент отражения V(g) будет
медленно меняющейся функцией по сравнению с экспонентой. Тогда для
получения асимптотического разложения рг по параметру А/?, > 1 мож-
но применить метод перевала. Предполагая, что коэффициент отражения
в окрестности точки ветвления q-qb не имеет других особенностей,
аналогично изложенному в п. 14.1 выводу формулы A2,23) для боко-
вой волны получаем
р, = - iB sin 5 [sin3@o - S)sin 0o/cos 6]" 1/2(кЯ]у* X
X exp[;*/?!cos@O -5I [1 +0A/*/?,)]. A4.17)
С ростом горизонтального- расстояния г между источником и приемни-
ком амплитуда \р{\ убывает пропорционально г'2. Другая зависимость
|р,| от г при /•-><», согласно A4.6), возникает в тех редких случаях
(см. п. 6.2), когда при q=qb коэффициент отражения имеет точку вет-
вления порядка, отличного от второго. Влияние стратификации парамет-
ров слоистого полупространства на поле боковой волны A4.17) прояв-
ляется через значение величины В, которую будем называть коэффи-
циентом возбуждения боковой волны. Формула A4.17) позволяет вы-
числить поле боковой волны на больших расстояниях от источника по
известной угловой зависимости коэффициента отражения. Используя ре-
зультаты гл. 1 и 2, можно найти боковую волну при отражении от днскрет-
но-слоистой среды, тонкого по сравнению с длиной волны неоднородно-
го слоя, заключенного между однородными полупространствами, и в
некоторых других случаях.
Ввиду сложности задачи определения коэффициента отражения от
слоистого полупространства, полную зависимость V(q) удается найти ана-
литически лишь в немногих случаях. Значительно чаще (см. § 3) можно
отыскать звуковое поле в неоднородной среде при фиксированном угле
падения, равном 5. Целесообразно поэтому выразить В через поле плос-
кой'волны, падающей под критическим углом полного отражения. Та-
кое представление коэффициента возбуждения боковой волны полезно
также при численных расчетах, поскольку оно значительно сокращает
объем вычислений.
Чтобы учесть одновременно и плавные, и скачкообразные изменения
параметров среды, описание поля при г<0 будем вести в координатах
(х.уЛ) (см. п. 1.2),тде
hdz, 2<0. A4.18)
311

В верхней среде f = z. При падении плоской волны с горизонтальным вол-
новым вектором (kq,O) в полупространстве z < 0 формируется звуковое
давление р = /(f, q)exp(ikqx). Вертикальная зависимость поля подчиняет-
ся уравнению
Э2,//Э?2 +p2pfV) [*?(z)-*Vlf=O. A4.19)
Дифференцируя коэффициент отражения B.25), B.20) по ц, получаем
В=-2Иш@)у/\-\гь [ks/\ -q2bf(O,qb) +ibf{O,qb№\-\ A4.20)
где
?, яь) -
Здесь использовано обозначение /i (J) = (9/9^)/(f,4) | м _ 0.
Отметим, что bjbfi = — fiq~lbjbq. Дифференцируя обе части A4.19)
по ц и полагая ц = 0, мы видим, что функция /, (J) удовлетворяет урав-
нению A4.19) при q =qb- Следовательно, величина w является вронскиа-
ном и не зависит от J. Удобно вычислять w, взяв | J | достаточно большим.
При J < $(zi) имеем /(f, q) = const • ехр(-i^fp/p2), т.е. звуковое
давление является плоской волной, бегущей в сторону убывающих z, или
неоднородной волной. Подставляя/в A4.20), получаем [92]
-4l)ll2f(O,qb)+
A4.21)
Используя соотношение 9/9f = ppjt(z)d/dz, в итоговой формуле A4.21)
можно вернуться к обычным декартовым координатам. Аналогичный ре-
зультат в предположении постоянства плотности среды получен в [419].
Отметим, что при z -*¦ — °°, как следует из уравнения A4.19) и условия
ограниченности звукового поля, для выхода функции/(f, qb) на постоян-
ное значение, равное/(— °°,<7й). достаточно выхода волнового числа ki(z)
на уровень к2, а стратификация плотности при таких z оказывается не-
существенной.
Если полупространство z < 0, от которого отражается сферическая вол-
на, движущееся, то боковую волну на больших расстояниях от источника
можно найти так же, как в п. 12.6 была найдена боковая волна при отра-
жении от однородной движущейся среды. Скорость движения среды будем
обозначать vo(z). Пусть при z < Zi скорость течения постоянна, направле-
на вдоль оси Ох и имеет величину Мсг, причем | М \ < 1. Тогда коэффи-
циент отражения V(q, ф), где ф - угол между горизонтальной проекцией
волнового вектора и осью Ох, будет иметь точку ветвления при q = qb =
= sin 5 (ф), где qb - кг/к(\ + М cos ф). При таком значении q обращается
в нуль вертикальная компонента волнового вектора в полупространстве
z < z,. Коэффициент возбуждения боковой волны равен В -
= ЭК/Э/х 1^=0,^ = ^,- Здесь угол i?i, определяющий направление горизон-
тального участка бокового луча, является решением уравнения A2.80).
Чтобы найти поле боковой волны, нужно умножить р, A2.85) назначение
В, соответствующее заданной стратификации среды при z < 0, и разделить
на значение коэффициента возбуждения на границе однородных сред. По-
312

еледнее, согласно A2.73),равно
-2 / кг
В = -
Для вычисления коэффициента В в случае слоистого движущегося полу-
пространства предположим, что величина 0=1- (ь*оBI<^> где (ь -
= kqb(\(/1) • (cos ф |, sin ф \, 0), положительна лри всех г < 0. Это условие
означает, что проекция скорости течения на плоскость падения волны мень-
ше фазовой скорости c/qb следа звуковой волны на горизонтальной
плоскости, и позволяет описывать поле, формирующееся в нижней среде,
в координатах (х, у,?), где (см. п. 1.2)
t(q ]h z) ~ p Jpi(^H \Q> Ф* z)dz
о
,sin^,0). A4.23)
Если учесть, что при ц = 0 производная 9f/Эм = 0. то вычисление коэффи-
циента возбуждения боковой волны при отражении от движущегося полу-
пространства оказывается вполне аналогичным выводу формулы A4.21).
Результат отличается от A4.21) тем, что Pj следует заменить на
р2A +Mcos\l/i)~1, a f, qb и ? брать при ф = ф\.
В качестве примера обсудим возбуждение боковой волны точечным
источником звука, расположенным над границей со слоистым полупрост-
ранством 2<0, где uo(z) = O, Pi(z) = pj и
k\(z) = k\[\ +A(z2 -2)-TJ, z2>0, y>2, кг<к A4.24)
В этом случае задача определения поля в неоднородной среде, созданного
плоской волной, падающей на границу раздела под критическим углом
(q = кг Ik) эквивалентна рассмотренной в § 3 задаче о нормальном падении
плоской волны на среду с k2(z) = к\А(гг - z)~y. В п. 3.2 показано, что
при КОс точностью до нормировочного множителя
A4.25)
Для значения / в глубине нижнего полупространства имеем
/(—. qb) = (Au4lf2lr(\ +*). A4.26)
Подставляя A4.25) и A4.26) в A4.21), приходим к выражению
. 8M,4jy-cos8-t'2,w,-r-(l») . tp.
Когда у4 ¦* 0, рассматриваемая модель среды вырождается в случай плос-
кой границы раздела однородных полупространств. При этом A4.27) дает
тот же результат, что и полученная из явного вида френелевского коэффи-
циента отражения формула A4.22). (В последней в силу отсутствия тече-
ний нужно положить qb = кг/к.)
Обратимся к обратному предельному случаю плавно-слоистой среды, где
k2z2 > 1. Считая кг/к, [кг - к}@)]/к, р/рг и v величинами порядка едини-
цы и используя асимптотическое разложение функций Бесселя для больших
313

В
значений | и | B40, гл. 9]. находим
Л/ Zl°°S Pa
—
2
2
"Р
1
при 4 < 0.
A4.29)
В первом случае, когда скорость звука возрастает с глубиной и в неодно-
родной среде может существовать волновод, коэффициент возбуждения
боковой волны осцилляционно зависит от параметра А. Средняя величина
| В | растет с частотой пропорционально со2*. Поэтому \р{ [««со2", в то
время как на резкой границе раздела |р, [слсо. Во втором случае ско-
рость звука убывает с глубиной. Значение коэффициента возбуждения экс-
поненциально спадает прн увеличении частоты или | А |. Это обусловлено
экспоненциальной малостью поля f(z, дь) при больших (—z), где проис-
ходит формирование боковой волны, из-за экранирующего действия верх-
ней, сравнительно высокоскоростной части неоднородной среды.
Эффект экранировки (ослабления) боковой волны слоями с скоростью
распространения волн большей, чем в глубине нижнего полупространства,
имеет мести и в общем случае. При падении плоской волны под критичес-
ким углом полного отражения такие слои играют роль "потенциального
барьера", препятствующего проникновению звука вглубь неоднородной
среды, и при достаточно высоких частотах приводят к экспоненциальной
малости величины /(—°°, qb), входящей в числитель формулы A4.21),
ло отношению к величинам f(O,qb) иJtJ1 Э/"@,</ft)/9f ,входяшимв знаме-
натель. Об экранировке боковых волн см. также [155].
Задавшись тем или иным конкретным видом стратификации параметров
полупространства z < 0, можно получить для боковой волны выражения,
пригодные на более близких расстояниях от источника, чем A4.17). Напри-
мер, пусть между однородными полупространствами z >0иг < - Н
заключен однородный слой. Волновое число в нем обозначим к3- Коэффи-
циент отражения от полупространства z < 0 дается формулой B.60). Она
содержит expB»V), где у = (к \ -А:2^2I'2Я- набег фазы плоской волны
в слое. Чтобы считать коэффициент отражения V медленно меняющимся
по сравнению с экспонентой в A2.14), необходимо потребовать выполне-
ния неравенства г>Н\к\/к\ - 1 I'2.
Физический смысл этого неравенства состоит в том, что расстояние меж-
ду источником и приемником должно быть велико по сравнению с гори-
зонтальным расстоянием, проходимым внутри слоя лучом, падающим под
критическим углом, между двумя последовательными отражениями от
границы z - - Н. С другой стороны, коэффициент отражения можно пред-
ставить в виде ряда B.59) по кратности отражений от границы z = -Я.
Относя фазовый набег в показатель экспоненты в A2.14), легко вычислить
314

поля боковых волн, образовавшихся при одно-, двукратном и последую-
щих отражениях луча от границы z = -Н, во всей области их наблюдения.
Формула A4.17) дает результат интерференции этих парциальных боковых
волн при г > Н. Для случаев, когда в переходном слое между однородны-
ми полупространствами волновое число меняется с глубиной линейно,
квадратично или по закону k\(z) =k\ + fi(z+Zi)~' +С(г+2 ,)"г,анализ
боковой волны дан в [406,419].
Если в слоистой среде при z -> +°° скорость звука стремится к зна-
чениям С2,з. то существуют две боковые волны, в которых горизонталь-
ные компоненты волнового вектора ? равны соответственно co/cj и со/с3
[48, § 34.4]. При исчезновении неоднородности в полупространстве, со-
держащем источник, одна из боковых волн вырождается в прямую волну
/?~' ехр (/?/?). Если жидкость занимает полупространство z < Н, а при i - Н
расположена абсолютно мягкая, абсолютно жесткая или имледансная
граница, то остается только боковая волна с ? = со/сг. В условиях волно-
водного распространения звука на больших расстояниях от источника
амплитуда боковой волны \рх |, как правило, пропорциональна г [48,
§ 27.4 и 34.4]. Волна р, приобретает специфические черты, когда в ин-
тегральном представлении поля вблизи точки ветвления находится по-
люс подынтегрального выражения. Это происходит, когда частота звука
близка к критической частоте, при переходе через которую меняется
число распространяющихся мод (см. § 15 и [52, гл. 7]). В случае совла-
дения полюса и точки ветвления (т.е. на критической частоте) согласно
A4.4), 7=-1/2. Учитывая, что фазовый набег пропорционален расстоя-
нию, из A4.6) получаем: \pt | т. Переход от такой зависимости к обыч-
ному закону, \р, \у>г~2, по мере удаления полюса от точки ветвления
описывается при помощи интеграла вероятностей [80, 283], [52, § 37.3].
Значение I pt I спадает при удалении от источника быстрее, чем поле
нормальной волны, пропорциональное г'2. Поэтому обычно боковая
волна мало сказывается на звуковом поле в волноводе- Однако при
определенных условиях она может вносить заметный или даже опреде-
ляющий вклад в поле [515]. В частности, р, имеет существенное значе-
ние на частотах ниже критической для первой нормальной волны [57,
с. 95].
Боковая волна в слоистой среде со степенным или экспоненциаль-
ным профилями квадрата волнового числа, граничащей с однородным
полупространством, найдена в [246]. Скорость звука предполагалась не-
прерывной на границе г - 0 и монотонно убывающей при удалении от
нее. Источник и приемник расположены в неоднородной среде. Если
dki/dz Ф0 при z = 0, то вблизи границы образуется зона геометрической
тени, куда не проникает ни один луч (не считая дифракционного бо-
кового луча). Если dki/dz |2=0 = 0, то геометрической тени нет, но су-
ществует "эффективная" зона тени, граница которой изменяется с часто-
той [52, гл.9]. В зоне тени боковая волна является доминирующей ком-
понентой волнового поля. В другом случае антиволноводного распро-
странения звука — в среде, где квадрат волнового числа задан профи-
лем Эпщтейна C.54а) с N = 0, М>0,-боковая волна исследована в [58,
§83].
315

В литературе по геофизике боковые волны часто называют прелом-
ленными или головными волнами. В слоистой упругой среде, где распро-
страняются и продольные, и поперечные волны, существует несколько
типов боковых волн. Например, при отражении сферической звуковой
волны, падающей из жидкости на однородное твердое полупространство,
возбуждаются две боковые волны: одна проходит в твердом теле учас-
ток CD (см. рис. 14.1) как продольная, а вторая - как сдвиговая волна
вертикальной поляризации. Поле обеих боковых волн можно найти по
формуле (J4.17), подставляя соответствующие двум точкам ветвления
q-kijk и q = ktfk коэффициента отражения D.38)' значения 5 и В.
Анализ полной системы боковых волн, возбуждаемых точечным источ-
ником в упругой среде, состоящей из двух однородных полупространств,
дан в [390], [48, § 24.4].
Весьма важной для исследования боковых волн в неоднородных сре-
дах (как твердых, так и жидких) оказывается использование отмечен-
ной в п. 14.1 свази поля боковой волны со значением на границе разде-
ла поля преломленной волны в нижней среде, рассчитанным во втором
приближении лучевой теории. Благодаря этой связи можно избежать
асимптотической оценки интегрального представления поля к свести рас-
чет боковой волны к хорошо разработанным лучевым алгоритмам. Та-
кой метод последовательно применяется для анализа боковых волн в
различных сейсмических задачах в монографии [326], в которой собран
большой фактический материал и приводится обширная библиография ис-
следований боковых волн в слоистых твердых телах. Отметим, что для
применимости лучевого метода расчета р, необходимо только, чтобы была
плоской граница раздела, параллельно которой идет боковой луч. В осталь-
ном среда может быть не слоистой, а трехмерной плавно-неоднородной.
14.5. Возбуждение боковой волны направленным источником. При отра-
жении звука от границы раздела в боковую волну преобразуются лишь
компоненты ноля с углами падения, лежащими в узкой окрестности крити-
ческого угла полного отражения. Поэтому для эффективного возбуждения
боковой волны целесообразно использовать соответствующим образом
ориентированный источник с узкой диаграммой направленности. Чтобы
наиболее просто описать физические особенности возбуждения боковых
волн направленным источником, исследуем звуковое поле в однородном
жидком полупространстве z > 0, граничащем с другим однородным жид-
ким полупространством z < 0 с большей скоростью звука. Источник рас-
положен в верхней среде (г > 0). Эта задача рассматривалась в работах
[522,521,383,93 и др.].
Пусть на Границу раздела z = 0 падает остронаправленный звуковой
лучок. Как и в § 13, будем считать его поле не зависящим от декартовой
координаты у (см. рис. 13.1). Предположим, что на плоскости z - z0 > 0
падающий лучок имеет в разложении по плоским волнам спектр гауссо-
ва типа:
*(<7) = ?(<7)exp[-A:Iw?(<7-<71Jl, <7,=sin0,, <? = sin0, kw> 1, A4.30)
где g(q) - гладкая функция, w — характерная ширина огибающей пучка
при z = г0, в ~ угол падения плоской волны, в\ - угол падения пучка
(в § 13 мы обозначали его 0О). Отраженное поле согласно A3.3)
316

представляется интегралом
<14'31>
* = (Я - Qi? ~ i[xq +yfr^q* {z + zo)]lk2w
Введем в плоскости xz полярную систему координат с центром в точке
(О,-z0): x = R1su\e0,z = -zo + /?icos0o,rfle
Л, = [х2 + (z+zoJ]v2, fle«arctg[x/(*+*o)]. A4.32)
При описании поля можно считать, что один из углов в j и 0О неотрицате-
лен, а другой пробегает значения от -тг/2 до +п[2. Примем для определен-
ности, что в 1 > 0. Мы будем предполагать, что угол падения пучка не бли-
зок к тг/2.
Для анализа отраженного звукового поля вновь применим метод пере-
вала. Как и в случае точечного источника звука, боковые волны связаны
с вкладом точек ветвления q = ±п в асимптотику поля. Когда какой-либо
из разрезов, исходящих из этих точек, нечетное число раз пересекается
при деформации исходного контура интегрирования к перевальному, точ-
ка ветвления дает в асимптотику поля вклад, равный согласно A4.6)
р,= — ехр( — )(- -) 4>(±n)[kL+2ikzw2(n +*ШЛ]'3'2 X
X cxp[/*tf,cos@o+e)]. A4.33)
Здесь L = ±х - (z + zo)tg5. Верхние знаки соответствуют точке ветвления
q = п, нижние - q = -п. Мы видим, что фронты боковых волн наклонены
к границе под углом 5. При 01=^=0 амплитуда боковой волны, соответст-
вующей q = n, значительно превосходит амплитуду волны, соответствующей
q = -и, и достигает максимального значения при падении пучка под крити-
ческим углом полного отражения (sind ] = п). Если положить g (q) =
= /A - q2)'b2, w= 0 то A4.31) будет совпадать с интегральным представ-
лением поля A2.35) при падении цилиндрической волны. В этом случае —
случае ненаправленной падающей волны — выражение A4.33), взятое
при х >0 с верхним, а прих < 0 — с нижним знаком, отличается от боковой
волны A4.3), возбуждаемой точечным источником, множителем
ехр(/тг/4)BтгА:/лгI/2 и заменой г = (х2 + у2)Ь2 на |х|. Направленность
источника проявляется в соотношении A4.33), во-первых, в амплитуд-
ном множителе Ф(±и) — значении спектра при критическом угле полного
отражения и, во-вторых, в прибавлении к L величины iL0, где Lo =
- 2kw2(n + sind]), что существенно меняет зависимость \pi \ от координат
при \l[l0 | ^ 1. Волна A4.33) нигде не обращается в бесконечность, если
Lo Ф 0. Отметим, что значение Lo может быть велико по сравнению с шири-
ной огибающей пучка w.
Расположение стационарных точек подынтегрального выражения в
A4.31), геометрия перевального контура и, вследствие этого, область
наблюдения боковой волны и ее роль в формировании полного отраженно-
го поля рг зависят от параметра 5 = kRt/k2w2. Мы ограничимся анализом
двух предельных случаев: 5 > 1 и 5 < 1. Физически первый случай соот-
317

ветствует расположению точки наблюдения в зоне Фраунгофера относи-
тельно апертуры мнимого источника - пучка, заданного при z = -z0 и рас-
пространяющегося в сторону положительных г. Второй случай имеет место
в ближней зоне лучка, где еще можно пренебречь его деформацией при рас-
пространении. В работе [93] исследована асимптотика р„ пригодная для
углов падения 0О > @i - 5)/2 и любых S и Rt для пучка, который при
iq\< 1 имеет спектр Ф = g(q)exp[-2k2wгsin2(в/2 - 6^2), a npH\q\> \
спектр Ф монотонно спадает к нулю с ростом | q |.
Пусть S < 1. Стационарная точка q = qs показателя экспоненты в A4.31)
удовлетворяет уравнению
Я, -Я1 = iS[sin0o - qs(l - с?зу V2cos0o]. A4.34)
Оно имеет решение
qs =</, + /Ssin@o -0jV2cose, + 0(S2> A4.35)
Запишем уравнение перевального контура y1t проходящего через точ-
ку qs:
*(<7,) = -5cos@o -0i) + O(S3), A4.36a)
Re* (qs)*S2 sin2 @O - 01)l4cos2ei +O(S*\ A4.366)
Если 5 = 0, то 7i совпадает с вещественной осью q. Если 5 > 0, | q \ -*<*>,
то 7i асимптотически приближается к прямой q - q\ + ib, где, согласно
A4.36а), Ь = O,5Ssin0o + O(S2\ Для определения точки пересечения q =
=> iqt контура 7i с мнимой осью q формула A4.36а) дает уравнение 2qt
+ Scos0o(l +<7?I/2 = 'm *(?*)- Следовательно,
41 2cos@,/2)
и тогда имеем Re*(i^) * flf*. что удовлетворяет неравенству A4.366).
Аналогично отыскиваются точки пересечения контура уг с вещественной
осью q. При д( - тг/2 < 20О < в ( + я/2 существуют две точки пересечения-
qrl = sinB0o - 0,) + ОE) и qr2 = cos@o - 0i)/sin0o + O(S). При дру-
гих значениях 0О контур ух не пересекается с вещественной осью.
Изложенное выше позволяет проанализировать относительное распо-
ложение пути интегрирования fi и разрезов на комплексной плоскости q.
Пусть 0 < 0О < 0». В зтом случае Ь > 0, \mqs < 0, контур ух дважды пере-
секает вещественную ось q, причем qr2 > 1. Если 0О > 0J2, то значения
qrl и qt будут отрицательными (рис. 14.8). При деформации исходного
контура интегрирования к yt разрез, исходящий из точки q = и, не затра-
гивается. Разрез, исходящий из точки q = —и, пересекается дважды, если
-и < sin B0О - 0t)), и только один раз, если -и > sinB0o - 6t), (Мы пре-
небрегаем здесь поглощением звука и считаем Imw = 0.) В последнем
случае, т.е. при 20о <^| — 5, контур yt приходится дополнить контуром
интегрирования, охватывающим разрез, и точка ветвления q = —п дзет
в асимптотику рг вклад A4.33). Соответствующую боковую волну будем
называть обратной, поскольку в отличие от- йлосковолновых компонент
падающего пучка она распространяется в сторону отрицательных значе-
ний х. Если 0t/2 < 0О < 01, то qt > 0 и qrl > 0. Тогда разрез, связанный
318

у sfnfa
ib
<
X
\
c~
-c
Vi
\
n
sind,
1 / ""«
/
/
Рис. 14.8. Перевальный путь интегрирования у, в случае S < I, 0 < вв < в ,/2. Для
наглядности масштаб по оси ординат взят большим, чем по оси абсцисс. С - разре-
зы, вызванные точками ветвления q = in, 7 - исходный контур интегрирования.
Положение точек пересечения 7, с вещественной осью указано с точностью до вели-
чин 0E)
с точкой ветвления q = -и, не затрагивается при деформации контуров
интегрирования. Разрез, исходящий из точки q = п, при sinB60 - вх)>п,
т.е. при 20О > 0i - 5 будет пересечен лишь один раз, и точка ветвления
даст в асимптотику р, вклад A4.33) - прямую боковую волну.
Аналогично рассматриваются все другие случаи. Оказывается, что пря-
мая боковая волна наблюдается в области 0О > Я>\ = @i + 5)/2, а обрат-
ная - при 0О < ч>2 ~ @1 - 5)/2. Значения q>l 2 выписаны с точностью до
величин порядка 5. Ни в одной точке не могут существовать одновремен-
но обе боковые волны; в области </зг < 0о < Vi боковых волн нет. Отме-
тим, что в случае 01 > 5 обратная волна отлична от нуля при х = 0, т.е. в сло-
истой среде имеет место обратное рассеяние звука.
Помимо точек ветвления q = ±и, вклад A1.9) в рг, который мы обозна-
чим ps, дает стационарная точка q = q3. Учитывая формулы A4.36) для
получаем
ехР [/*/?,cos@o-0i) -
A4.37)
Эта компонента поля рг соответствует отражению пучка по законам геомет-
рической акустики. Легко видеть, 4To/?|Sin@o - 0!) равно кратчайшему
расстоянию от точки (х, г) до оси отраженного лучка х = (z + zo)tg0i.
Волна ps представляет собой лучок с гауссовой огибающей. Анализ показы-
вает, что при определенных условиях свой вклад в рг могут давать также
точки ветвления q = ± 1. Однако этими вкладами можно пренебречь, по-
скольку они экспоненциально малы по сравнению ср, и рг. Используя
319

формулу A1.74), при 5 •< 1 (как и в рассматриваемом ниже случае 5 > 1)
нетрудно построить асимптотику рг, описывающую ответвление боковой
волны от ps при 0О = ч>12 и переходящую при удалении от границ области
наблюдения в ps при q>7 < 0О < </з( и в ps + pt при 0О < </з2 и 0О > </з(.
Местоположение границ областей наблюдения прямой и обратной боко-
вой волн можно легко получить из наглядных физических соображений.
Как мы видели в п. 14.3, на границе области наблюдения пересекаются
фронты боковой волны и зеркально отраженной компоненты поля. При-
равнивая фазы &/?iCos@o ± 5) и kRlcos(eQ - в}), для границы области
наблюдения прямой боковой волны находим до = (#1 + 5)/2, для обратной
волны - 0О = @1 - 5)/2. Тот же результат был получен выше при асимпто-
тическом анализе интегрального представления поля. Теперь мы видим,
что он справедлив для любых остронаправленных пучков. Отметим, что
во всей области наблюдения обратной боковой волны ее фаза больше,
чем фаза ps. Для прямой волны это справедливо при 0t <5; при 0( > 5
фаза (и, следовательно, время распространения) боковой волны меньше,
чем у ps; фазы pt и р„ равны во всех точках, когда 0t = G, т.е. пучок па-
дает под критическим углом полного отражения.
Как правило, амплитуда боковых волн A4.33) мала по сравнению
с \ps\. Важным исключением является случай падения пучка под углом,
близким к критическому углу полного отражения*). Пусть 10i — 5 | ^ 5.
Тогда вблизи оси отраженного пучка @О » 0() превалирует зеркально
отраженная компонента поля. Однако величина \ps\ экспоненциально
спадает по мере удаления от оси, и на расстояниях d ^ w + Jtw2|0, - 5 |
от нее в глубине области наблюдения прямой боковой волны последняя
становится доминирующей компонентой звукового поля. (Например,
если *wm2/sin25 = 25 и01 = 5, то из A4.33) и A4.37) следует, что |р,\ >
> \ps\ при L > 3,3vv/cos5.) Прибольшихположительных L боковая волна,
в согласии с экспериментом [318], обеспечивает медленное, пропорцио-
нальное ?~3 спадание интенсивности поля.
Перейдем к анализу случая 5 = kR\/k2w2 > 1. Из уравнения A4.34)
находим стационарную точку показателя экспоненты в интегральном
представлении поля A4.31):
+2/S~Icos20o(sin0o- sin0,) + OE). A4.38)
Она дает в отраженное поле вклад
/ 2* У'2
р,=\ I <fr(sin0o)r(sin0o)cos0o Х
s20o ,1 lir
400I]
A4.39)
Исследование перевального контура интегрирования fi, проходящего через
*) Здесь и ниже, сопоставляя поля боковых волн и недифракционной компоненты
лоля, мы имеем "в виду точку, достаточно удаленные от границ области наблюдения
боковой волны, где последняя уже сформировалась и для ее лоля справедливо выра-
жение A4.33).
320

точку qs, оказывается вполне аналогичным анализу, проведенному
в пп. 12.2 и 14.3 при kw = О, т.е. 5 = «>. Точки пересечения 7i с вещественной
и мнимой осями в комплексной плоскости q при kw Ф 0 отличаются от най-
денных в § 12 на величины O(S). Единственным существенным отличием
является поведение 7i При Ifl I ^ 1. При kw Ф 0 контур ух асимптотически
приближается к прямой \rnq = O,5Ssin0o, а не к лучам arg<j = 0О - а. и
arg<7 = тг - 0О - л, как в § 12. Однако это не сказывается на числе пересе-
чений 7i с разрезами. Не повторяя здесь сказанного в пп. 12.2 и 14.3, сфор-
мулируем результаты.
Прямая и обратная боковые волны A4.33) наблюдаются, соответствен-
но, в областях во> q>i и 0О < </з2. где v?12 = ±5 + O(S). Мы пренебрегаем
здесь поглощением звука. Фаза боковых воли меньше фазы ps - зеркально
отраженной компоненты поля. Для прямой боковой волны отно-
шение амплитуд \pilps\ со (RJk2L3)v2e\p{k2w2 [(sin0i - sin0oJ -
- (sin0i - sin5J]}. Когда 0о - 5 >, (kw)'2InkL, основную роль играет
экспоненциальный множитель. Определяя знак показателя экспоненты,
находим, что прямая боковая волна будет давать основной вклад в отра-
женное поле во всей своей области наблюдения (за исключением сектора
О < 0о - 6 < (kw)~2lnkLI если угол падения лучка 0( < 6. При 0j > 6
отношение \pijps\ > 1, если sin0o > 2sin0i - sinS. Аналогично можно
убедиться, что обратная боковая волна будет давать основной вклад в рг
во всей своей области наблюдения (при условии \nkL < k2w2) за исклю-
чением узкой окрестности прямой 0О = —5.
Описанные выше закономерности поведения боковых волн на больших
расстояниях от источника являются универсальными в том смысле, что
они не зависят от конкретного вида спектра Ф(<7). Покажем это, не пред-
полагая больше, что источник является остронаправлениым волновым
лучком. Пусть в области \R - Ro | < и1, z0 > w находится распределенный
источник звука с плотностью F(R). Здесь R = (г. z), г= (x,y),R0 - (Го.^о),
'о ~ (хо>Уо)- Рассмотрим поле в удаленной точке наблюдения R, для кото-
рой выполнены условия
|r-ro|>*w2, L(/f,/fo) = lr-ro|-(z+zo)tg6>H'. A4.40)
Здесь L(Ry Ro) - зто длина пути в нижней среде боковой волиы, приходя-
щей в точку R от источника в точке Ro.
На основе принципа суперпозиции представим искомую боковую волиу
в виде суммы боковых волн A4.3), возбуждаемых элементарными точеч-
ными источниками:
p,(R)= f dR1F(R0+R1)Pl0(R;R0+R1), A4.41)
Л, < w
, ]Т 2, [irrolL^R^)] X
кт(\ - и )
A4.42)
Пренебрегая в силу условий A4.40) отличием \г - г0 - г, | от (г - г0 |
и L(R, Ro + Rx) от L(R, Ro) в предэкспоненциальном множителе под
интегралом A4.41) и разлагая показатель экспоненты по степе-
2J. Л.М. Бреховских 321

нямr%l\r- r0 I, получаем
(f"f° ) A4.43)
где
Ф(д) = fF(R0 +Rt)exp(-ihiRt)dRl
- спектр плотности рассматриваемого источника по плоским волнам,
характеризующий его направленность в дальней зоне в однородной среде
с параметрами верхнего полупространства.
В двумерном случае, когда плотность источника не зависит от коорди-
наты >", аналогично A4.43) находим (ср. A4-33))
(&пп/к3I>* Ф(дь)
Pl( mcos25[|jcl(z + z)
X ехрЬ — + к [ |х -xolsni5 + (z+z0)cos6
\[4
(И.44)
F(R0 + Rt)exp(-ikqR,)dx, dzt, qb =
Результаты A4.43) и A4.44) станут очевидными, если принять во
внимание, что на достаточно больших расстояниях от источника в разложе-
нии рг по плоским волнам спектр Ф(д) сгановится медленно меняющейся
функцией по сравнению с exp (ikqR). Ясно поэтому, что при отражении
звука от произвольного слоистого лолулрострэнства на больших расстоя-
ниях от источника влияние его направленности на боковую волну проявит-
ся лишь в домножении ее коэффициента возбуждения В A4.21) на Ф(<7&).
14.6. Случай слабонеровной границы раздела. Представление о слоистой
среде является идеализацией. При использовании боковых волн для реше-
ния прикладных обратных задач важно знать, как сказываются малые
отклонения от слоистости среды на звуковом поле. Мы рассмотрим боко-
вые волны вблизи неровной границы раздела двух однородных жидкостей.
Неровности -будем считать пологими и малыми по сравнению с длиной зву-
ковой волны. Случай слабоискривленной поверхности, когда неровности
могут быть велики, но имеют большой радиус кривизны, проанализирован
в [59, 62, 497]. Боковые волны вблизи ненлоской границы раздела рас-
сматривались также в работах [292,495].
Пусть граница раздела задана уравнением z = т?(г), г = (х, у). Парамет-
ры верхней среды (z > tj) обозначим р, с, нижней — pt, с,. Предполагает-
ся, что величины т = pt/p и л ^ c/ct порядка единицы, причем п < 1, т.е.
скорость звука в нижней среде больше, чем в верхней. Величину т? будем
считать случайной функцией координат. Приведем необходимые для даль-
нейшего понятия и результаты теории рассеяния волн на случайных поверх-
ностях [27), [58, гл. 9]. Функция т?(г) называется статистически однород-
ной, если < 7j(r)> не зависит от г (т.е. поверхность в среднем плоская),
а <Ч(''«)ч('2)) является функцией одной только разности г, - г2. Здесь
{ . . . ) означает усреднение по статистическому ансамблю (полному набо-
ру реализаций поверхности). Совместим среднюю плоскость с горизон-
322

том z = 0. Тогда < т}> =0. Связь значений т)(г) в двух каких-либо точках
характеризует функция корреляции W(rx - r2) s a~2Gj(r, )tj(/-2) ), где
a = <tj2 (г)) х'2 - среднеквадратичная высота неровностей. Из определе-
ния ясно, что W{r) = W(-r), W(Q) = 1. Пространственный масштаб / изме-
нения функции W{r) называют радиусом корреляции неровностей. В даль-
нейшем мы будем считать случайную поверхность локально-однородной,
т.е. будем предполагать, что статистическая однородность имеет место
вплоть до расстояний, больших по сравнению с /, но не обязательно при лю-
бых значениях г t -т2. При этом функция корреляции зависит не только от
гх - г2, но и от г, + г2, однако последняя зависимость является медленной.
Если ко < 1 я < (Vj. т?J > - а2//2 < 1, то рассеяние звука на поверхнос-
ти удается описать при помоши метода малых возмущений (ММВ), систе-
матическое изложение которого дано в монографии [27]. Представим зву-
ковое давление в виде p(R) = р0 (Л) * ps(R), где р<> - поле в отсутствие
неоднородностей, ps — рассеянное поле. В первом приближении ММВ
давление ps удовлетворяет уравнению Гельмгольца Aps + к2 (z)ps = 0,
где к2 (z) равно к2 при г > 0 и к2 - при z < 0 н граничным условиям
[27, гл. 4]
*, R =(r,z). (HAS)
О Vi(TjVLpo) + fc2('"-i2>?Po}li?=(r.o>. A4.46)
где V± = (Ь/дх, Ъ/ду, 0). Поскольку (tj) = 0, то в рассматриваемом приб-
лижении <ps) =0. Обусловленные рассеянием поправки к среднему полю
описываются последующими приближениями ММВ.
При падении плоской волны на статистически однородную случайную
поверхность среднее поле имеет вид
(ps) = const • exp (ifr) [exp (-/Vz) + V(() exp (ivz)],
A4.47)
где средний (когерентный) коэффициент отражения равен [75, гл. 2]
V =V($)-2vo2(mv+vl)-2x
Y.{mDtl -v]im-lJD22 +mi/,[Z)l2 - k2{\ -л2)]}. A4.48)
Здесь опушены члены, пропорциональные а4; Р| - (к2п2 - |2)''2, V —
фреиелевский коэффициент отражения от плоской границы,
/, * - 1, 2, »ш „(I1), „', = „, (I1), A4.49)
d, 2 - 2(v +*',)[*> - n2) - (m - \)U), d22 = »V,. A4.50)
Средний коэффициент отражения К зависит от свойств неровной поверх-
ности посредством спектра корреляционной функции W :
Щк) = Bя)'2 / W(r) exp (-itcr)dr. A4.51)
Отметим, что в силу четности W(г) спектр JV - вещественная четная функ-

ция. Характерным масштабом изменения W служит обратная величина
радиуса корреляции 1//.
Рассеяние волн на поверхности с малыми неровностями можно нагляд-
но интерпретировать следующим образом. Представим себе неровности
как некоторые тела, лежащие на плоской границе раздела однородных
сред. Рассеяние звука на этих телах можно описать действием расположен-
ных вблизи границы раздела источников, сила которых пропорциональна
звуковому полю в месте расположения тела и зависит от контраста между
параметрами тела и окружающей среды. Тогда неровная поверхность
будет распределенным по плоскости излучателем звука, и определение бо-
ковой волны оказывается во многом аналогичным задачам, рассмотренным
в п. 14.5.
Рассмотрим среднее поле, возникающее при падении сферической волны
Pi на случайную поверхность. Источник звука расположен в верхней среде
а точке R$ = @» 0, z0), z0 > 0. Разлагая падающую волну на плоские и
используя принцип суперпозиции, Получаем интегральное представление
ггереизлученного неровной поверхностью звукового поля:
От интегрального представления A2.7) поля, отраженного плоской грани-
цей раздела, правая часть A4.52) отличается только заменой френелевс-
кого коэффициента отражения К на V.
В общем случае анизотропной поверхности средний коэффициент отра-
жения V, в отличие от V, зависит не только от величины, но и от направле-
ния вектора (¦ djs A4.50) являются гладкими функциями f. Будем пред-
полагать, что и W(k) не имеет особенностей. Тогда К будет иметь точки
ветвления только при v = 0, vt = 0, т.е. при |/fc = 1, и. Интегральные пред-
ставления поля вида A4.52) исследовались в пп.12.6 и 14.4 в связи с отра-
жением от движущейся среды. Было показано, что для_ вычисления поля
боковой волны следует умножить pt A2.85) на k(dVldvt)f = fb, (/, =
= nkr/r и разделить на В A4.22). Таким образом после простых выкладок
для боковой волны в среднем поле получаем
<Р>/ = QPio{R\Rq\ Q=-0,Sm cosS(dV/dVl )f=fb, A4.53)
где Р/о(Я; Ro) определено в A4.42). Это боковая волна, возбуждаемая
на плоской границе раздела. При ( = (ь производная d^/dvt = —V\f% =0.
Поскольку DjS - гладкие функции (, то д?>/5/Эи, = 0 при vt = 0. Тогда
из A4.53) и A4.48), пренебрегая членами О (о4), находим
Q = ехр (о2ф) 2 - v2 - 2/>, ,/и») \i={b), („ = пкг/г. A4.54)
Если неровности изотропны, т.е. функция корреляции W(г, - г2) зависит
только от | Г| - г 21 , то Q не зависит от положения источника и приемника.
При выводе формулы A4.53) предполагалось, что V(() является мед-
ленно меняющейся функцией по сравнению с зкепонентой под интегралом
A4.52); К существенно меняется при изменении ( на величину порядка
min (к, 1//). Максимальным масштабом изменения экспоненты служит
(k/\R + Ro | ) '2. Поэтому полученным выражением для боковой волны
можно пользоваться,если к [г2 +• (z +z0J]l'2 > 1 +jt2/2.
324

Зеркально отраженная компонента среднего поля равна (ps) =
= V(krj\ R + Ro I ) I R + Ro I "' exp (/ k\ R + Ro | ). В асимптотике интеграла
A4.52) ей соответствует вклад стационарной точки t ~ ts- krl\R + Ro\.
Легко видеть, что |, = fc sin 0О, где 0О = arctg [rj(z + z0)] - угол зеркаль-
ного отражения.
Рассмотрим два предельных случая, когда радиус корреляции велик или
мал по сравнению с длиной волны. Пусть сначала kl > 1 (крупномасштаб-
ные неровности). При / -*°°, согласно A4.51), W(k) -+Ь(к\. Главный член
разложения Dls по степеням (kl) получим, заменяя W в A4.49) на
5-функцию. Тогда DIs(fb) = d/s((b, (b)l[mv(Sb))» и из A4.54) находим
q = exp(-k2a2 cos2»). A4.55)
Вычисляя К по формулам A4.48)-A4.50), нетрудно убедиться, что в рас-
сматриваемом случае V((s) = K(|s) exp (-2k2a2 cos2 $0). Таким обра-
зом, при рассеянии на крупномасштабных неровностях и боковая волна,
и зеркально отраженная компонента среднего поля ослабляются по срав-
нению со случаем отсутствия неровностей. Однако в условиях применимос-
ти ММВ ко < 1, и ослабление мало.
Более интересные результаты получаются в случае мелкомасштабных
неровностей (kl < 1). Для оценки Djs перейдем в A4.49) к интегрирова-
нию по к = {'-{. Представим v' в виде
»' = КИ+«1)в'«[1+«2 -к2 +2кО/Bк2)-(ф2/к4] +О(к3/К2).
A4.56)
Аналогичная формула для v\ отличается от A4.56) только заменой к2 на
k^rf-. Малая область к ^ к <1/1, где неприменимы разложения v' и v\
по степеням к/к и |/к, дает пренебрежимо малый вклад в интегралы
A4.49). Для D, 2 (() имеем
Di2 = [1 + O(kf)\ — fdKW(K)[b - (т - l)*fl,
т + 1
Ь = к2(т-пг)-(т- 1)|2. A4.57)
В силу A4.51) имеем Vj_ И'(г) = j / W(k)k exp (/кг) Ас. Поскольку вели-
чины И'(г) и Щк) вещественны, то /кPV(k) йк = 0, следовательно, Z)| 2 *
* 4Ь/(т + 1). Отметим, что при /я = 1 этот результат является точным.
Аналогично проводится и оценка Dx, (^), она дает
A4.58)
dx /к{ V «
()W()
оц 1Щк), «2 2lf(
I к к \|
где И| и1}- безразмерные коэффициенты порядка единицы, зависящие от
спектра неровностей. Если неровности изотропны, то
ог=/ / KzW(K)dK.
о
325

Подставляя значения D12 и Dtl в A4.54), находим множитель Q,
описывающий отличие боковой волны в среднем поле от боковой волны
в отсутствие неровностей:
(*V cos2 5Cm-l) ika2 cos5
<2 хр
I т +1 m(m +1)/
A4.59)
Заметим, что | Q\ > ) при /я > 1/3. Другими словами, при т> 1/3 неров-
ности усиливают боковую волну, а при га < 1/3 ослабляют ее, в то время
как зеркально отраженная компонента среднего ноля jipn любых m ослаб-
ляется неровностями. (На неилоской поверхности | V\ < I V\ из-за рас-
сеяния части энергии падающей волны в незеркальном направлении.)
По-видимому, впервые возможность усиления боковой волны в сред-
нем поле было отмечена в [425]. Если m = 1, то поправка к фазе боковой
волны мала по сравнению с | Q | — 1. При m Ф 1 в квадратных скобках
в A4.59) нреобладает второе слагаемое, narg Q— ко2/A cos5) >\Q\ -1.
В этом случае поправка к фазе боковой волны может иметь заметную вели-
чину, особенно при малом различии скоростей звука в верхней и нижней
средах.
Перейдем к анализу флуктуации поля р - <р) . В пренебрежении бо-
ковой волной флуктуации были исследованы в работе [27. гл. 4], из ко-
торой мы заимствуем методику расчета. Пренебрегая членами, пропорцио-
нальными о2, имеем р — <р) = ps, где ps — рассеянное иоле в первом
приближении ММВ. Рассмотрим сначала простейшую задачу, когда падаю-
щая волна является.плоской. Звуковое давление в отсутствие неровностей
равно
Ро = exp (/for) [ехр (-М1о)г) + К(|„)exp (iv(S0)z)\. A4.60)
Рассеянное попе в верхней и нижней средах будем искать в виде разложений
по плоским волнам:
[ J u(() exp [i((r + vz)\ d& z > О,
PS(R)={ A4.61)
U«i(Oexp[i(fr-i/,z)]</f, z<0.
Функции и и U\ определяются из граничных условий при z =0. Подставляя
A4.61) в A4.45) и A4.46), после простых преобразований находим
i(l-m) T^i^ido) ,"»-j
-п2 1
-1 ~"Т
т т
A4.62)
где
гЦк) = Bтг) /с?гтКг) exp (-/Vr) (I4.63)
- спектральная компонента неровностей. Будем предполагать, что рассеи-
вающая площадка, за пределами которой т)(г) = 0, заключена в круге
| г | < а с центром в точке х = у = 0. Размеры площадки велики но сравне-
нию с радиусом корреляции неровностей а Р1, в этом случае минимальный
масштаб изменения ^(к), согласно A4.63), имеет порядок 1/д.
326

Пусть точка R находится в зоне Фраунгофера относительно рассеиваю-
щей площадки, т.е. R >аA + ка) и kk > 1. Тогда в A4.61) и(() является
медленно меняющейся функцией по сравнению с зкспонентой, и для анали-
за интеграла можно применить метод перевала. Аналогично выводу форму-
лы A4.53) получаем поле боковой волны:
1 - т Г/я - и2 г@
[1 + К($)] ' ^
fi,= пг,{кп- - fo)k2
\ г /
[1 К($о)] пг
m I /я - 1 rk
A4.64)
Поле psi пропорционально компоненте спектра неровностей, соответствую-
щей перерассеянию падающей волны под углом б к вертикали в плоскос-
ти, содержащей ось Oz и точку наблюдения (ср. с формулой A4.43) для
боковой волны от объемного источника).
Мы видим, что на неровной границе раздела в отличие от плоской гра-
ницы боковая волна возникает даже при падении плоской волны. Иэ
A4.64) ясно, что боковая волна возбуждается в окрестности начала коор-
динат. Это легко было предвидеть исходя иэ картины случайных источни-
ков, размешенных на плоскости. В случае крупных неровностей (к! > 1)
можно предложить и другую, лучевую интерпретацию рассматриваемого
явления. Как отмечалось в п. 14.1, для возбуждения боковой волны на
плоской границе необходимо, чтобы фронт падающей волны имел конеч-
ную кривизну. Можно показать, что в лучевом приближении существенна
только относительная кривизна фронта и границы. При падении плоской
волны на неровную границу относительная кривизна отлична от нуля, что
делает возможным возбуждение боковой волны.
Среднее значение < psl) = 0. Интенсивность флуктуации поля боковой
волны равна <|р„(Л)|2> = <12, |?>| р/0(Л, 0)|2. Учитывая, что
<T)(«r) tj *(*)) = о2 W(k)S [27, гл. 4], гдеS — площадь рассеивающей площад-
ки, из A4.64) находим
Il-m [m-n* r@
2m lm-1 rk
f)][(j ) A4.65)
Отметим, что < | Qs | 2 > зависит не от координат точки наблюдения, а толь-
ко от ее азимута. Легко понять, почему <|р$/12) °° S. Действительно,
неровности на расстояниях, больших или порядка /, можно считать некор-
релированными. Поэтому рассеивающая площадка содержит большое чис-
ло некогерентных источников, каждый из котррых возбуждает парциаль-
ную боковую волну. Интенсивность суммарного поля пропорциональ-
на числу источников, которое, в свою очередь, пропорционально S.
Рассмотрим два предельных случая. Если kl > 1, то, как отмечалось
выше, спектр W(k) близок к 8(к). В этом случае боковая волна рас-
327

пространяется в направлении @. Она возбуждается, только если угол
падения плоской волны близок к критическому углу полного отражения
(I !о/*-л I ^ (*0 "' )• В случае kl < 1 величина W{rnkjr - @) * ЩО) -
** /2. Угловая зависимость < I G,|2> является медленной и описывается
множителем, стоящим перед к4 в A4.65). Интенсивность флуктуации
пропорциональна со2.
Перейдем к исследованию флуктуации боковой волны, возбуждаемой
точечным источником. Обозначим G(R, Ro) звуковое давление в точке Л
от источника, расположенного в точке Rq над плоской границей раздела.
По математической терминологии, G - функция Грина. Как показано в
п. 15.2, G - непрерывная функция приЛ ФЯа,причем \R - Ro \G(R,R0)->
-*¦ 1 при Л-»Л0.
[dG/dz]2=2e = (_1/4тО5(г-г„). A4.66)
Рассеянное поле ps будем искать в виде суперпозиции полей монопольных
и дипольных источников, расположенных в верхней среде вблизи границы
раздела:
pJR) ={fdri[G(R,Rl)At(rt) + A2(r,)dG(R,Rl)/dz,UZi=+0. A4.67)
Иэ граничных условий A4.45) и A4.46) при учете A4.66) находим
At - [A - w) Vj.(t?Vj. po) + ^(и2 - ш)рог) ],
47Г/Я A4.68)
А," — (l-m)Ti—— .
4»r dzi
Подставляя A4.68) в A4.67) и интегрируя слагаемое GVL (?iVip0) no
частям, получаем
1 Г и2 — m
fdAGk2
m
bG dp0 "]
- m)~- —
bz% dzt J
iPoj ( ) Tj(r,). A4.69)
m b d J
Вновь предположим, что рассеивающая площадка ?2 ограничена, но ее
размеры велики по сравнению с радиусом корреляции неровностей. Будем
рассматривать поле в точках R, которые не близки к границе области
наблюдения боковых волн, возбуждаемых всеми источниками в пределах
П (рис. 14.9). Можно считать, что на площадке п находится большое число
некогерентных рассеивателей с характерным размером / каждый. Будем
предполагать, что
\R0-nl>(k2P + 1)/*, {Я-г^Р^Р + l)/k при всех г, е П.
A4.70)
Эти условия означают, что точки Ro и R находятся в зоне Фраунгофера от-
носительно каждого рассеивателя на расстояниях от них, больших по срав-
нению с длиной волны. Тогда, как мы видели в п. 14.5, возбуждаемая не-
ровностями боковая волна psl может быть найдена суммированием боко-
328

вых волн от элементарных точечных источников, распределенных на J2.
Следовательно, ps{ получается изр, заменой С?(Л, Лi) tapl0(R\ Л|) под
интегралом A4.69). Тогда интенсивность флуктуации равна
\4/ п
где
Г= к2
m - п'
1о(г2)р/о(Л;г1)р;о(Л;'>2)Д
т - 1 Эро
-r2),
A4.71)
A4.72)
т т РоР/о РоРю <*zi <*2t
При рассматриваемой геометрии задачи боковая волна отделяется от других
z,
'в
а
В
Рис. 14.9. Геометрия задачи о флукгуациях поля боковой волны: S - источник. Р -
точка наблюдения. И — рассеивающая поверхность. Заштрихована окрестность
границы области наблюдения боковой волны, возбужденной источником в точке
Г на краю площадки П. Ширина окрестности границы области наблюдения I MN\ **
** тах.(к'1,B/к?'гу, SA - один из лучей падающей волны, АВР - боковой луч
компонент рассеянного поля своим направлением прихода в точку наблю-
дения и может быть выделена из суммарного звукового поля при помощи
направленного приемника (антенны).
Мы будем считать, что источник отстоит от границы на много длин волн
(kz0 > 1). В этом случае ро (г i) * A + V)\R0 -r^'1 exp (ik\R0 —r, |>»
где коэффициент отражения V берется при угле зеркального отражения.
Тогда при вычислении Т A4.72) можно дифференцировать только фазы
Ро и Piq, пренебрегая изменением их амплитуд. Возникновение psj можно
представлять следующим образом (см. рис. 14.9). В точке А на шерохо-
ватой границе падающая волна, идуюшая по лучу SA, рассеивается и часть
ее энергии распространяется в нижней среде горизонтально по лучу АВ,
не взаимодействующему с неровностями и дающему начало боковой волне
в верхней среде. Другими словами, в рассматриваемом случае psl являет-
ся результатом однократного рассеяния недифракционной компоненты
поля ро в боковую волну.
Для вычисления < I psl \2) перейдем к переменным rj и г3 = г! - г2 в
интеграле A4.71). Поскольку размеры рассеивающей площадки велики по
сравнению с /, интегрирование по гъ можно вести в бесконечных пределах.
В силу неравенств A4.70) множитель перед Wb (A4.71) является медлен-
329

но меняющейся функцией тг по сравнению с W(r3). Разложим его по
степеням гг, сохраняя в показателях экспонент линейные по г3 члены и
полагая rx ~ г2 в амплитудных множителях. Тогда после простых выкла-
док при учете A4.51), пренебрегая множителем 1 + О {{кг12 + 1) X
Xк~у [\R0-rx Г1 +1Л-Г! Г1]}, получаем
J f dr1M(r1)\R0 ~f\ \~2 f &гЩгз) ехР [гк(т + гф)г3]л
ft
R - r | Щк(а + nfi). A4.73)
h
Здесь 2
I 2m
2
A4.74)
» -(r, - ro)/|r, - Ло|, Э= ('i - r)f\ f! -r\. A4.75)
Отметим, что a(rj) равно синусу угла падения волны в точке (rlf 0).
Величина к (а + nft), служащая аргументом спектра W в A4.73), равна
изменению горизонтальной компоненты волнового вектора при рассеянии
в точке (г,, 0). Отметим, что, согласно A4.73), вклады волн, рассеянных
в различных точках О, в интенсивность флуктуации боковой волны адди-
тивны. Подынтегральное выражение быстро стремится к нулю приг3 ->°°.
Это позволяет применять формулу A4.73) и к неограниченным рассеиваю-
щим площадкам.
Рассмотрим несколько частных случаев.
а) Пусть размеры площадки О настолько малы, что |а(г,) - в(г2)|,
- Р(гг) I <? 1 + (к!)'1 при любых г1>2 ^ ^- ^ти условия будут вы-
полнены, если
(l+kl)a< min (|r-M, |Л0-г,|), A4.76)
г, en
где а — характерный размер рассеивающей площадки. Поскольку а > /,
неравенство A4.76) значительно жестче, чем A4.70). При сделанных пред-
положениях подынтегральное выражение в A4.73) можно считать неза-
висящим от г, и вынести из-под интеграла при каком-либо значении
г! ей:
<IP,i\2 ) = огМW(k(a+ nfi))S/lRo -r,\2. A4.77)
Здесь S - площадь неровного участка границы.
Положим для определенности гх =0. Пусть источник удаляется от рас-
сеивающей поверхности вдоль прямой Ro ~ 20(аA - а2)" ''2, 1), причем
а > п. При достаточно больших z0 (г0 = вA — а2)~ ''2 г0 ^ г) амплитуда
бокойой волны в отсутствие^рассеяния (p/ot * const(Лг©). Согласно
A4.77) <|р,/|2> ««const! »Йк2G25[2ог?'(Л, О)]. Следовательно, при
достаточно больших г о (т.е. при
г\ >rL3(R, 0) [Jfc4a2SU/(*(«
330

интенсивность флуктуации поля боковой волны велика по сравнению с ее
интенсивностью в отсутствие рассеивателей, а также с интенсивностью сред-
него поля боковой волны.
б) Предположим, что падающая волна является плоской. Тогда р0
определяется формулой A4.60). Чгобы найти интенсивность флуктуации
в этом предельном случае, в^) в A4.73) нужно заменить на %ojk и от-
бросить множитель \R0 - Г\ Г2 под интегралом. Если к тому же
площадка Я мала в смысле A4.76), то, согласно A4.77), <|р,/|2> =
= o2MW(?0 + kn(f)S. При сравнении этого результата с полученной ранее
формулой A4.65) следует положить гх - 0, так как при выводе A4.65)
предполагалось, что рассеиватели расположены в окрестности начала коор-
динат. Тогда {о + *и0 = (о - knrjr. Учитывая определение М A4.74) и чет-
ность функции W, легко убедиться в тождественности сопоставляемых
результатов. Следовательно, формула A4.65) справедлива при выполне-
нии неравенств A4.76), которые значительно слабее принятого при ее вы-
воде условия \R - /*! | > каг.
в) При рассеянии на мелкомасштабных неровностях (kl< \)
W(k(a + nfi)) в A4.73) можно заменить на W@) — /2. В этом случае соглас-
но A4.74) интенсивность флуктуации <|р^/|2> пропорциональна квадрату
Частоты звука.
г) Рассмотрим несколько подробнее рассеяние на крупномасштабных
неровностях (kl> 1). Поскольку W(k) « б (к), основной вклад в интеграл
A4.73) дает окрестность точки гх - г| , являющейся корнем уравнения
• (rJ'VnW^-O. A4.78)
Физически это объясняется тем, что при рассеянии на плавных неровнос-
тях боковую волну возбуждают лишь падающие волны с |{ - knfi\ ^
<: 1// < *. Отметим, что \а + пр\ ? (kl)'1 при |г, - rjj)|^|r - r0 I(W).
Из A4.75) ясно, что г, лежит на прямой, соединяющей точки г и г0:
г\'^ - г0 + у (г - г0). Для 7 легко находим
7 = z0tg5/|r-r0|, 7<1. A4.79)
Если 7 > 1, уравнение A4.78) не имеет решений. Вектор г| задает точ-
ку первого контакта дифракционного луча, соответствующего волне
Piq(t, Rq), с границей раздела. При у > I дифракционный луч не попадает
в точку (г, 0), и поэтому решений уравнения A4.78) не существует. В этом
случае, а также если точка г, лежит вне Я, амплитуда волны psl мала.
Ниже будем предполагать, что г}1* ? Я и расстояние от этой точки до гра-
й 1
ниц рассеивающей плошадки велико по сравнению с [г - r0 ()
Согласно A4.75), S(k(a + nfi)) = \\r - ro\y(l - 7)(*«)-1]25(»'1 - r\f)).
Подставляя это выражение вместо W в-A4.73) и используя A4.74) и
A4.79), легко получить
UPs,\2) = (kacos2Sf\Plo(R,Ro)\2(l-z0tgSnr-r0\), A4.80)
В отличие от случая мелкомасштабных неровностей- интенсивность флук-
туации не зависит от частоты- Подчеркнем, что формула A4.80) спра-
331

ведлива и тогда, когда неровности занимают всю плоскость г = 0, посколь-
ку волнаря/ формируется в окрестности точкн г\
С
\
Средняя интенсивность поля боковой волны при наличии неровностей
с точностью до членов, пропорциональных о3, равна
Второе слагаемое здесь обусловлено отличием среднего поля от р1о —
поля в отсутствие неровностей. Из формул A4.59) и A4.80) следует
К з — = cos'
2Cот- 1)
A4.81)
Таким образом, в случае kl > 1 вклады когерентной и флуктуационной
компонент рассеянного поля в изменение интенсивности боковой волны
по порядку величины совпадают. Если т >0,6 или т < 1/7, то |А'| < 1,
если т > 1/3, то (|р/|2) больше, чем Ip/ol2. т.е. рассеяние увеличивает
интенсивность боковой волны.
Отметим в заключение, что в случае источника, расположенного вблизи
границы раздела (kz0 ^ 1), величину р0 следует рассчитывать но форму-
лам A2.21) -A2.23). Если среднее поле близко к р0, исследование флук-
туации проводится аналогично изложенному выше, однако наряду с рас-
смотренным рассеянием геометро-акустической компоненты р0 становится
существенным рассеяние боковой волны р/0(г\, Ro) в боковую волну

Глава 4
ТОЧЕЧНЫЙ ИСТОЧНИК В НЕПРЕРЫВНО-СЛОИСТОЙ СРЕДЕ
В настоящей главе речь идет о поле сосредоточенного источника звука, помешенного
в слоисто-неоднородную жидкость. Рассматриваются, в частности, эффекты, обус-
ловленные движением среды. При этом, как и в предыдущих главах, течения предпо-
лагаются устойчивыми. Объем книги не Позволяет нам осветить близкий вопрос -
об упругих волнах от источника в твердом теле, но ло ходу изложения будут даны
ссылки, восполняющие этот лробсл. В § 15 описаны свойства симметрии звукового
поля относительно перестановки источника и приемника, справедливые в произволь-
ной слоистой среде. Указаны случаи, допускающие точное аналитическое вычисление
поля точечного источника. Из точного интегрального представления выделен дискрет-
ный спектр звукового поля. Анализу акустических вопи на основе лучевого метода
и его обобщений посвящены § 16 и 17. Все изложение существенно опирается на ре-
зультаты глав 13
§ 15, Тоадая теория распространения звука
в слоистой среде
В гл. 1 подробно исследованы не зависящие от вида слоистой среды свойст-
ва звуковых полей с гармонической зависимостью от горизонтальных
координат и времени, а также точные решения волнового уравнения
в тех случаях, когда их удается найти аналитически. В настоящем парагра-
фе аналогичные вопросы рассматриваются применительно к акустическим
полям, возбужденным сосредоточенными источниками звука.
15.1. Соотношения типа взаимности. Звуковые поля обладают опреде-
ленной симметрией относительно перестановки источника и приемника,
Если некоторая характеристика поля инвариантна относительно переста-
новки, то говорят, что эта физическая величина удовлетворяет принципу
(или соотношению) взаимности.
Чтобы учесть источники звука в системе акустических уравнений A,6) -
A.8), к правым частям уравнения Эйлера A.6) и уравнения непрерыв-
ности A.7) нужно добавить соответственно f/p и ра, где f на - объемные
плотности источников силы и объемной скорости [128, гл.9, 10]. Если/ =
= /05 (г - г0) или а = а0Ь (г - г0), то говорят о точечных источниках сипы
или объемной скорости. Запишем систему акустических уравнений, пред-
полагая Vp0 = 0, v0Vp = 0 (зти предположения справедливы в неподвиж-
ной трехмерно-неоднородной среде и в стационарной слоистой среде с го-
ризонтальным течением):
d\ -Vp f
— +(W)vo= +—, A5.1)
dt p p
dp'
+ dW(pv) = pfl, A5.2)
dt
333

dp „ dp'
— ¦ с2 — + c2vVp. A5.3)
dt dt
Действуя, как в п. 1.1, получаем из A5.1)-A5.3) волновые уравнения
для неподвижной среды
Э / 1 Ър \ Vp да f
— ( — )-div—- = -div— A5.4)
dt \pc2 bt / p bt p
и стационарной слоистой среды с горизонтальным течением
dt [dt W dt / р \ \dz /\о bz
d /da f\ /d\» \/j
= —(— -div-)+2(—-VI—. A5.5)
dt \dt p) \dz ) p
Здесь /з - z-компонента вектора/. От A.11) и A.15) волновые уравне-
ния отличаются только своими правыми частями.
В дальнейшем будем считать среду стационарной, а волны - монохрома-
тическими. Получим соотношение взаимности в неподвижной среде. Пусть
сосредоточенный в ограниченной области пространства источник а*;Л
/<;* создает звуковое давлениер^'\г),)'- 1, 2. Домножим уравнение A5.4),
записанное для р(|), на р<2* и вычтем из него результат умножения
того же уравнения для р \ Тогда
p<I>divp-|(VpB>-/<2>)-p<2>divp-I(Vp<I> -
A5.6)
Левая часть A5.6) тождественно равна
Проинтегрируем A5.6) по некоторому объему П. Интеграл от диверген-
ции сводится к интегралу но ограничивающей объем поверхности S, При
неограниченном расширении П, когда поверхность S становится бесконеч-
но удаленной, поверхностный интеграл обращается в нуль согласно принци-
пу предельного поглощения. Следовательно,
fd'rtfVpW - /<2М'>] = ;<*3г[*A)рB) - /<'М2>] A5.7)
где интегрирование ведется по всему пространству. В частности, для то-
чечного источника имеем
42)РA)(г2) - /<2)v<'>(r2) = 41}РB)(г,) - /^Чг,). A5.8)
Тождества A5.7), A5.8) выражают принцип взаимности. Для источни-
ка объемной скорости его обычно формулируют так: давление, создава-
емое в точке г2 источником, находящимся в точке г j, равно давлению,
создаваемому в г, таким же источником, помещенным в точку г2. В
случае точечного источника силы характеристикой поля, инвариантной
относительно перестановки приемника и излучателя, согласно A5.8),
334

оказывается проекция скорости частиц на направление силы. Отметим,.
что принцип взаимности справедлив и прн комплексном к2, т.е. в погло-
щающей среде.
В случае движущейся жидкости рассмотрение начнем с волн, гармо-
нически зависящих от горизонтальных координат; p(r) =p(z,{) exp(ffr).
Согласно A5.5), имеем
э
bz \
Гармонические волны можно рассматривать как спектральные компо-
ненты разложения исходного волнового поля в интеграл Фурье по горизон-
тальным координатам. Тогда а({) и /(f, z) — спектральные компонен-
ты функций а (г) и/(г), характеризующих источник.
Будем обозначать тильдой над буквой величины, относящиеся к среде
с "обращенным потоком", т.е. со скоростью течения - Ў<>(*) и неизмен-
ными профилями k(z),p(z). Поскольку P(-(,z) =0(f»z)>?(-{.*) Удов-
летворяет тому же уравнению A5.9), что и р({, г). Вновь вводя индекс
/ для обозначения источника и действуя, как при выводе A5.7), из A5.9)
находим
7" <
A5.10)
где и3 — z-компонента скорости. СогласноA5.10), для источника объем-
ной скорости с гармонической зависимостью exp(ifr) от горизонталь-
ных координат, сосредоточенного на некотором горизонте z = z0, теорему
взаимности можно сформулировать следующим образом. Звуковое дав-
ление, деленное на величину 0, зависящую от скорости течения на горизон-
те приемника, остается инвариантным относительно перестановки источ-
ника и приемника, если одновременно изменить на обратные направле-
ния векторов ( и vo(z). Аналогично можно выразить словесно теорему
взаимности для источников силы.
Соотношение взаимности для спектральных величин A5.10) справед-
ливо также, когда среда ограничена горизонтальными абсолютно мягки-
ми, абсолютно жесткими или импедансными границами. В этом случае
интегрирование ведется в пределах толщины слоя жидкости. Соотноше-
ние, аналогичное A5.10), справедливо также для pW* ((, z), v^* ((, z),
335

т.е. спектральных компонент .полей разных источников в одной и той
же движущейся среде.
При т0 = 0, интегрируя A5.10) по ( ы учитывая тождество
Я d\, й\г F, (Ч,z)F2 (f,z) = # dxdyF, (r)F2 (r), A5.11)
— о» —о»
справедливое для любых функций FY 2 (г) имеющих спектры Fl 2 ((, z),
мы получаем соотношение взаимности в координатное представлении.
Оно совпадает с A5.7). В движущейся среде переход к координатному
представлению приводит к более громоздким соотношениям. Даже для
точечного источника соотношение типа взаимности имеет, вообше гово-
ря, нелокальный вид, связывая р(г) и v(r) в точках расположения источ-
ников и в точках, лежащих выше по потоку [96]. Локальную формули-
ровку можно получить, перейдя к другим характеристикам звукового
поля. Так, вводя величину Ф(г) равенством р ~ДФ1A1 = (—ioy + Уо^)Ф,
для точечного источника объемной скорости из A5.10) и A5.11) находим
В тех случаях, когда член с dvo/dz не дает вклада в интегралы A5.10),
локальную формулировку соотношений типа взаимности для: точечного
источника удается получить и для имеющих непосредственный физический
смысл величин: давления р, смещения частиц D от траектории их дви-
жения в невозмущенном звуковом потоке и скорости v = dD/dt, Так,
при Vo = const равенства A5.10) и A5,11) дают
«^"). A5.12)
Это тождество отличается от A5.8) только тем, что второй источник ра-
ботает в среде с противоположным направлением течения. Заметим, что
D(Z, z) = /v(f, z)/co/5(f, z). Пусть точки Г] иг2 находятся в областях
локально однородного течения, где dy^jdz = 0. Тогда согласно A5.10)
н A5.11) для источника силы, т.е. при а^ - 0, имеем/ О©*2) (г^) =
= f ^D^1^ (г2)' Для источника вертикальной силы это соотношение
справедливо при произвольном расположении точек г1 2.
с Интересно, что полученные выше соотношения A5.8), A5.12) и дру-
гие без изменений переносятся на акустико-гравитационные волны [96].
Соотношения типа взаимности, устанавливающие перекрестную связь
между источниками и полями в средах, различающихся направлением
течения (например, A5.12)), называют теоремами обращения потока.
Долгое время было принято считать [270, 182, 29], что принцип взаимно-
сти в движущейся среде не выполняется, и альтернативой ему служит тео-
рема обращения потока. Покажем, что и для движущейся среды в неко-
торых случаях удается доказать соотношение взаимности, если надлежа.
щим образом выбрать физическую величину, характеризующую звуко-
вое поле. При этом соотношение взаимности и теорема обращения пото-
ка могут быть справедливы одновременно [96].
Рассмотрим звуковое поле в однородной жидкости с v0 = const. Об-
ласть SI, занятая ею, пусть будет ограничена цилиндрической поверхно-
стью 5 с образующей, параллельной v0. В частности, 5 мож«т состоять
из двух горизонтальных плоскостей. Ось Ох направим параллельно век-
336

тору v0. Звуковое давление, в соответствии с A5.5), удовлетворяет
уравнению
Эо</) а2 о<Л
шм
м
Ьх Ьх1
0J 1)л
к =—, М = —. A5.13)
с с
Здесь g(;) - плотность объемных источников. Предположим, что на по-
верхности S заданы импедансные граничные условия:
a(r,M)(nV)p<» + 7(r,Af)[p(/) - F<»(r)] = о, гЕ5, A5.14)
где п(г) - единичная внешняя нормаль к 5; F^ - поверхностная плот-
ность сторонних сил, приложенных к S.
Получим для этой задачи теорему обращения потока. Домножая урав-
нение A5.13) с / = 1 на рB) и вычитая из него результат умножения на
р (* * того же уравнения, записанного дляр^1^, находим
(,5.15)
Проинтегрируем A5.15) по объему ?1. Отбрасывая на основе принципа
предельного поглощения интегралы по бесконечно удаленным поверх-
ностям и учитывая граничные условия A5.14), получаем
/ Qp * J dsF<l\nV)pW - J
n s si
+ J diF<2)(wV)p(I). A5.16)
s
В таком виде и записывается теорема обращения потока.
Для вывода соотношения взаимности вычислим разность между резуль-
татами умножения волнового уравнения, записанного для рО, на
Е(х)р^ и умножения того же уравнения для р^ на Е(х)р^, где
Е(х) - пока что произвольная функция. Таким образом получаем
- М2 — \e(W (i) }
д
\e(p P
дх [ \ дх Ьх
Если положить
Е « ехр[2|Ш*/A -Л/2)], A5.18)
22. Л.М. Брехавских ЗЭ7

то интегрирование A5,17) по объему при учете граничных условий дает
f Q^Ep^2)d3r + f dsF^E(nV)p{2) =
n s
= f &2)EpWd3r + f dsF™E(nV)pV\ A5,19)
n s
Для точечных объемных источников QU) =Q^S(r - rj) в отсутствие
сил, приложенных к границам, теорема обращения потока A5,16) и соот-
ношение взаимности A5.19) записываются в виде
A5.20)
Таким образом, величина Ер, представляющая собой звуковое давление
с фазовой коррекцией, инвариантна относительно перестановки излуча-
теля и приемника в движущейся среде. Само же звуковое давление бу-
дет инвариантно, если одновременно с перестановкой изменить направле-
ние течения на обратное.
В рассматриваемой задаче теорема обращения потока (при бопее об-
щей формулировке граничных условий) впервые была доказана Лямше-
вым [182] и применена к исследованию излучения звука оболочками,
помещенными в поток.
Соображения взаимности широко используются при решении различ-
ных теоретических и экспериментальных задач (см. обзор [29])- В ка-
честве примера получим одно следствие тождества A5,19), полезное для
приложений. Пусть известно поле р*1* (г) точечного источника Q^ =
« <5(г ~ г2) (при F W = 0), Тогда решениерО задачи излучения зву-
ка колеблющейся границей выражается через решение задачи дифрак-
ции р*1* квадратурой:
рA)(га) * E~l(x2) J E(x)F<l\r)(nV)pB\r)ds(r). A5.21)
s
В задаче со случайно распределенными силами любые статистические мо-
менты рО при помощи A5.21) явным образом выражаются в квадра-
турах через статистические моменты F *' *,
15,2. Точные решения волнового уравнения для точечного источника.
Рассмотрим вначале задачу о возбуждении звукового поля точечным ис-
точником в однородной движущейся среде с т0 = const. Будем предпо-
лагать, что v о < с, а источник помещен в начале координат. Ось Ох на-
правим по вектору т0- Спектральная компонента р((, z) поля точечно-
го источника подчиняется уравнению A5.9), которое в данном случае
запишется:
A5.22)
Однородное уравнение имеет решения exp(±//iz), где м = (к2&2~S1I'2,
Условимся знак корня выбирать из условия ц > 0, если Im ц = 0, и ц =
= /| м I. если Re^=0. Решение неоднородного уравнения должно
представлять уходящие от горизонта z = 0 волны. Оно имеет вид
338

Р - /?i,iexp(ip|z |), соответственно, при z < 0 иг > 0, Пусть (/0)з = О,
Тогда, интегрируя A5.22) по z от —е до е и устремляя fe к нулю, на-
ходим условия сшивки решений на горизонте источника;
1Эр/Э2]г=0 = /B»)"а(ыррвв + f/o). ЬЬ = о = 0, A5.23)
Отсюда легко определить Bt 2> Решение неоднородного уравнения с 5'(г)
в правой части равно производной по z от решения уравнения с источ-
ником 8(z), В результате получаем искомое решение уравнения A5,22):
p(k,z) = (&п2цу1 [о}рао + t(f0 - paov<>) + р </0K sgnz]exp(i>|z |).
В координатном представлении *¦ ' '
p(r) = /rf2ft»(«.*)exp(tfr) =— [a;pfl0-i(ro-peoVo)V]^,
+ - , A5.25)
? = И dbdU -expl/fox+fey+nlzl)].
M
Интеграл г^ легко свести к известному интегралу A2.5). Для этого пред-
ставим цг = к1 A - ||ОО/"J - %г в виде м2 " Я1 - 1г - > где Я1 =
= **(! - Af») -1, к = 11 A -Л/1I'1 +*Л/A -М1)-1'г,М = У0/с, и пе-
рейдем в A5.25) к интегрированию по к, ?2:
(kMr \ +°°
-'¦^)яаае|/а
х ехр{
= ~2*iR{lexp{i[qR1 ~кМх(\ -
Л, = {х7 + A -Л^Х^+г2)]1/2. A5,26)
Подстановка A5.26) в A5,25) дает
4Я A5.27)
Чтобы получить поле источника, находящегося в точке г0, достаточно
заменить здесь г на г - г0. Для источника объемной скорости резуль-
тат A5,27) был получен в [214]. Другой подход к решению задачи состоит
в переходе в систему отсчета, движущуюся вместе с жидкостью [32, гл.З].
Тогда р (г) — поле движущегося источника в однородной покоящейся
среде. В случае сверхзвукового течения (М > 1), также рассмотренном в
[32, гл, 3] .структура поля качественно отличается от A5.27).
В неподвижной среде решение A5.27) упрощается;
R s \r\ * (jc1 +у2 +Z1I'1- A5.28)
Отметим, что в произвольной неоднородной среде соотношение A5,28)
описывает поведение поля при R -*¦ 0. Источник объемной скорости (мо-
нополь) возбуждает сферически-симметричную волну. Источник силы
22*
339

(диполь) можно заменить двумя бесконечно близкими монополями,
работающими в противофазе. В движущейся среде монополем называют
источник, создающий аксиально симметричное относительно направления
Vo звуковое давление р ~л % [32, гл. 3]. (Такой источник дает Q -
~ const ¦ S(r ~ /•<>) в уравнении A5.13).) Поверхностями постоянной
амплитуды для ^ являются эллипсоиды вращения R t * const, сжатые
По направлению т0. Волновые фронты будут неконцентрическими сфе-
рамн с центрами на оси Ох. Формула A5.25) показывает, что в движу-
щейся среде источник силы имеет дипольный характер, а источник объем-
ной скорости обладает монопольной и дипольной составляющими. Моно-
польное излучение дает комбинация источников силы и объемной скорости,
в которой/0 =/»ото.
В общем случае точечный источник с произвольной направленностью
приводит к появлению в правой части волнового уравнения линейной
комбинации S(г - г0) и производных различных порядков от <5(г ~ г0)
[72, § 8.4]. Пусть известно поле р(г, /•<>),созданноеисточникомб(г — /•<>)
(т.е. функция Грина). Поскольку левая часть волнового уравнения
не зависит от г0, поле источника (bl+m*n/bx'bymbzn) б (г - г0) лег-
ко найти, дифференцируя уравнение для р(г, г0) по координатам источ-
ника. Оно равно (-l)'+m+n(bl+m+n/dxtodyZdzZ)p(r, r0). В силу ли-
нейности волнового уравнения поле произвольного точечного источни-
ка, таким образом, выражается через р{г, г о) и производные от этой
функции. Поле произвольного распределенного источника выражается
объемным интегралом по г0 от р(г,г0) по области, занятой источником.
Поэтому в дальнейшем, рассматривая звуковое поле в слоистой среде,
мы сосредоточим внимание на функции Грина.
В непрерывно-слоистой движущейся среде спектральная компонен-
f) поляр (г, г 0), согласно A5,9), удовлетворяет уравнению
^ ^р0 (к? ?)р B»)«(z-z.)e-'«V A5,29)
bz1 bz bz
Из A5.28) видно, что при г ->г0 и v0 = 0 давление р(г,г0) имеет особен-
ность вида \р(г, г0) | « 1/Dя|г - г0 |). Характер особенности р((, z)
при г =z0 можно установить, интегрируя A5.29) по z в окрестности г0.
Подобно случаю однородной среды получаем (ср, A5.23))
[ ^ = B»)-аехр(-1*гв),1/>]„.,, = 0. A5.30)
Решение уравнения A5.29) должны удовлетворять определенным ус-
ловиям при z -*¦ ±<» или на границах, если пространство не безгранично
по z. Обозначим через PiJ(f. z) не равные тождественно нулю решения
однородного уравнения, удовлетворяющие, соответственно, условию
при z -*¦ —оо (или на границе, расположенной при г < z0) и условию при
z -> +°о (или на границе, раслоложенной при z > z0). Тогда p(f, z) =
= AiPx ((, z) при z < z0 ир((,г) = A2pi((,z) при z > z0. Значения по-
стоянных Al2 определяются условиями A5.30). В результате находим
z< ? min(z,z0), z> ? max(z, z0). A5.31)
340

Здесь w((, z) — вронскиан:
w sPi(fczK/»2(tz)/3z-ftaz)8p,(tzyaz. A5.32)
Мы предполагаем, что w Ф 0 *) при вещественных f. Дифференцируя
A5.32) по г и используя A5.29), легко убедиться, что (d/dz) (w/p(S2) -
я 0, т.е. это отношение зависит только от {. В частности, w - и>(?) в не-
подвижной среде с р = const.
Отметим, что p(f,z) можно выразить также через коэффициенты от-
ражения плоских волн и поля, возбуждаемые ими при отражении от слоис-
тых полупространств z > z0 и z < z0 [52, § 47.2].
Для искомой функции р(г, г 0), используя A5.31), получаем интеграль-
ное представление
*4fcz0) A5.33)
В неподвижной среде pi2 не зависят от ориентации вектора (. Перехо-
дя к цилиндрическим координатам A2.2) и повторяя рассуждения п. 12.1,
находим доя этого случая
A5.34)
где г =[(х-хоJ + (к—^оJ]1'2- Представление поля точечного источ-
ника через интеграл от решений одномерного волнового уравнения мож-
но получить и в трехмерно-неоднородной среде, если квадрат волнового
числа задается в виде суммы трех функций, каждая из которых зависит
только от одной координаты, и, следовательно, переменные в волновом
уравнении разделяются [55].
Во всех тех случаях, когда для произвольных значений ( удается найти
точные решения одномерного волнового уравнения (они рассмотрены в
§ 3), интегральные представления A5.33), A5.34) дают точные реше-
ния задачи о точечном источнике. Рассмотрим, например, неподвижную
среду со стеленным профилем плотности и линейным профилем скорости
звука:
A5.35)
Здесь к1 > О, Р| > 0, zx >0ив- постоянные. При z = 0 скорость звука
обращается в нуль. Будем рассматривать полупространство, в котором
*) Это условие будет заведомо выполнено, если учитывать диссипацию энергии
волн в среде. Оно необходимо для того, чтобы переход от координатного представле-
ния поля р(г) к спектральному р((, z) при помощи преобразования Фурье бып обос-
нованным. Там, где это не приводит к неопределенностям, от требования отсутствия
нулей w((,z) при вещественных значениях ( можно отказаться, рассматривая звуко-
вое поле в непогпошаюшей среде как предел поля в среде с диссипацией в случае,
когда последняя стремится к нулю.
341

скорость звука положительна, и примем z > 0, z0 > 0. Звуковые волны
с гармонической зависимостью от горизонтальных координат для среды
вида A5.35) рассматривались в пп. 3.2 и 3.7. Было показано, что р(?. z)
выражается через цилиндрические функции, и определены их парамет-
ры (см. C.26)).
Общее решение однородного уравнения для р(|, z) запишем в виде
т = [(а-И)г/4~ k\z\]l>2, Rent > 0.
Здесь Km и /m — модифицированные функции Бесселя [240, гл. 9] • Их
вронскиан равен
*«(V)'«00 " XmWmW a ЧУ- 05.37)
При у-*¦<*>
A5.38)
Ясно, что решение р2, удовлетворяющее условию ограниченности поля
при z -> +°°, получается из A5.36) при Аг - 0. Для выбора решения pt
необходимо рассмотреть поведение поля при z -> 0. При этом Кт(%2)
имеет логарифмическую особенность, a /m(?z) ~ Г"'A + m)(?z/2)*1
[240, гл. 9]. Вычисляя по формуле B.11) z-компоненту вектора плот-
ности потока мощности, можно убедиться, что лишь при Ах = 0 поток
энергии звукового поля A5.36) через поверхность z = 0 будет конечным.
При учете A5.37) легко определить вронскиан найденных решений. Под-
ставляя их в A5.34), получаем
/»(','.) = ¦^¦(*1+в/*в-1I'2 / ^Л(И/т(^<)/:т(?г>). A5.39)
2я о
Интеграл в правой части A5.39) является табличным. Взяв,его значение
из {221, с. 395] и обозначая Л, = [г2 + (z0 +zJ]I/2, находим
р(г,
R,+R
= 2. ехр 2iJk\z\ - -arth— . A5.40)
Первым из выражений для р{г, г0) удобно пользоваться при веществен-
ных, а вторым - для мнимых значений т. Для среды с р - const, т.е. при
а = 0, результат A5.40) был получен Пекерисом [470].
Частота сравнительно просто входит в формулы A5.40): kt </> oj, a
остальные параметры, кроме т, от oj не зависят. Это позволяет вычислить
преобразование Фурье по oj от p(r, r0) и тем самым найти звуковое дав-
ление в случае, когда источник излучает б-образный импульс. Оно состоит
из двух компонент: импульса 5(/ - т), где т - время распространения
звука от источника, и "хвоста", начинающегося при t ~т и медленно спа-
дающего при /->«>, давление в котором ограничено и выражается через
функцию Бесселя первого порядка. При переходе к однородной среде
342

амплитуда второй компоненты обращается в нуль. В предположении р *
3 const анализ импульсного излучения был проведен в работе [549]. Ис-
пользуя формулы A5.40), его легко распространить на случай плотности,
стратифицированной по степенному закону.
Для других неоднородных сред, помимо A5.35), точные решения вол-
нового уравнения с точечным источником в терминах элементарных или
изученных специальных функций неизвестны. В слоистой среде с квад-
ратичной зависимостью к2 от г удается представить р(г, г0) в виде ин-
теграла от элементарной функции [393]. Он значительно удобнее для
вычислений и асимптотического анализа, чем A5.34), где в рассматривае-
мом случае Pi.2(?")> как показано в п. 3.2, выражаются через функции
параболического цилиндра. Ниже в п. 15.2 мы в основном будем следо-
вать Холфорду [393].
Пусть р = const, у о — 0. Показатель преломления определим равенством
л(г) = k(z)/kl, Ar, = const. Волновое уравнение A5.4) сводится к урав-
нению Гельмгоньца Ар + к\пгр - 8 (г - г0). Его решение будем искать
в виде интеграла по контуру у, начинающемуся в точке s - 0 и уходяще-
му на бесконечность в комплексной плоскости s:
Р(г, г0) - / ехр [/*,/(г, г, г0, s)]*(s)ds. A5.41)
т
Подействуем на A5.41) оператором Д + к]п2:
Ар + к] пгр = / {[п1 - (V/J ] к\ + **, Д/ ) exv(ikxf)gds.
т
Если выполнены условия
и2 - WJ ' 2bf/ds, A5.42)
Д/* -ЭAп*)/Э$, A5.43)
то при любых Ат, вьфажение под интегралом будет полным дифференциа-
лом (-2iktds) (d/ds)?exp(/AT|/) н A5.41) будет удовлетворять вол-
новому уравнению,если#ехр(ikxf) -+0 npns ->0,°° на7.
Рассмотрим среду с показателем преломления
/i2(z) * N2 + q2z2. A5.44)
Функцию /, удовлетворяющую условиям A5.42), A5.43) будем искать
в виде квадратичной формы от координат, симметричной относительно
перестановки источника и приемника:
2 J г0J]. A5.45)
Подстановка A5.45) в A5.42) приводит к системе пяти обыкновенных
дифференциальных уравнений на коэффициенты "j(s):
N2 = 2Я*,, 4 = -а\, q2 - (аэ +««)' + (в,
E
(в, -в4)' « 4 - 4, (в, +«)' 3 («вJ
Она имеет два набора вещественных решений:
а, =-#
A5.47)
343

Из A5.43) находим g(s) - goqll2/(s + S2)sh1/2<jr(s + s3). Положим st *
»j, *jj =0и будем считать q > 0. Выберем верхний знак в выражении
для а3 - а4- (Из дальнейшего будет видно, что иной выбор знака не при-
водит к правильному поведению р при г ~*г0.) Тогда функции/ и g ана-
литически зависят от х и не имеют особенностей при Res > 0. Произве-
дение ?ехр (/*!/) -> 0 прн $->•+«> из-за множителя sh~1/2<7S Bg(s). При
s -> 0 функция / *=Л2/2$ и ^exp(i*|/) будет стремиться к нулю, если Аг,
имеет сколь угодно малую положительную мнимую часть. Поэтому кон-
тур 7 можно провести вдоль вещественной оси. Тогда
~ql'2ds
P(r,ro) = gof
{Г N2s г1 Я л 4s Я , Я*
'*» [~ + 5Г + 4 (Z " г°^ЙЬ 2 + 4 (Z +Zo) 2
A5.48)
Подынтегральная функция имеет особенность при s -0, благодаря кото-
рой при R -+0
- ds / R2\ ,г1Л/2п \112 ,
Р(г, го) ~go / ^7Г ехр^/Аг, —J =Л е"/4 ^—J Л Г1. A5.49)
Согласно A5.28) р(г,г0) ^-1/4яЛ приЛ-»-0. Поэтому следует положить
^о =(*/32 я3I'2 е3'/4. A5.50)
Таким образом, решение A5.48), A5.50) удовлетворяет волновому
уравнению при г Фг0, принципу, предельного поглошения и условию в ис-
точнике. Следовательно, формулы A5.48), A5.50) дают поле точечного
излучателя в слоистой среде с показателем преломления A5.44). Можно
убедиться, что при «7^0, когда среда становится однородной, полученное
решение сводится к сферической волне р(гг0) =-DяЛ) "'ехр(/Аг|Л^Л).
Решение для среды с пг (г) =N2 - I q I z2 строится аналогично изло-
женному выше. Его можно получить из A5.48), полагая q~i\ q\. При
этом гиперболические функции переходят в тригонометрические. Чтобы
подынтегральная функция не была сингулярной во внутренних точках
контура у, его следует сместить с вещественной оси в четвертый квадрант
комплексной плоскости s. В работе [393] полученные решения подробно
анализируются в случаяхволноводногоиантивдановодного распространения.
Там же построено аналогичное A5.48) точное решение для поля параллель-
ного оси Ох линейного источника в двумерно-неоднородной среде с пг =
Как предельный случай формула A5.48) содержит решение для линей-
ной зависимости п2 (z). Чтобы получить его, перейдем в сдвинутую вдоль
оси Oz систему координат: х\ =х,ух =y,zt -z - b/q2. Пусть в координа-
тах x1,y1,zl функция п2 описывается законом A5.44): п2 (z t) =N,2 +
+ q2z2, гдеЛГ|2 =N2 -b2/q2. Тогда в исходной системе координат/?2 (z) =
= ЛГ2 -2bz +q2z2. В пределе q-+0 получаем линейный профиль. Записы-
вая решение A5.48), A5.50) в координатах xl,qt,zl н устремляя q к
344

нулю, находим
X ехр{/*, J- (N2 +6(г +г„)) + —^ ^ - — JJ. A5.51)
Если известно поле точечного источника в среде с четной функцией
п1 (z) =tn2 (-г) (например, A5.48) для профиля A5.44)), то легко сконст-
руировать поле р в полупространстве с той же зависимостью пг (z), огра-
ниченном абсолютно мягкой или абсолютно жесткой плоскостью 2=0.
Действительно, пусть
Тогда р_ | г - 0 = 0, (Эр+/Эг) | г = 0 = 0. Ясно поэтому, что р_ (р+) дает поле
точечного источника в полупространстве с абсолютно мягкой (жесткой)
границей.
Используя результаты п. 3.7, легко представить в виде интегралов от
элементарных функций поля точечного источника в средах, где наряду
со стратификацией л2 по линейному или квадратичному закону имеется
стратификация плотности, описываемая одной из формул C.164). Однако
мы на этом останавливаться не будем.
15.3. Нормальные волны. На практике применяются различные способы
вычисления поля точечного источника, включая прямое численное интег-
рирование по формулам A5.34). Однако при наличии волновода чаше
всего из A5.34) выделяют главную часть — незатухающие или слабо зату-
хающие нормальные волны. Эта часть и будет в основном определять поле
. на больших расстояниях.
Сместим контур интегрирования во втором из представлений A5.34)
для р(г,Го) с вешественной осина бесконечную полуокружность в верхней
полуплоскости. На бесконечности функция //«/'' (?г) стремится к нулю.
Можно показать, что интеграл по бесконечно удаленным частям контура
интегрирования будет исчезать. В результате путь интегрирования "пови-
сает" на особых точках подынтегрального выражения, которые приходится
обходить при деформации контура. В качестве таковых прежде всего надо
учитывать полюсы ?/,/=1,2,..., местоположение которых определяет-
ся дисперсионным уравнением и»(?,г0) =0. Из сказанного после формулы
A5.32) ясно, что решения ?; дисперсионного уравнения не зависят от по-
ложения источника. Будем предполагать, что все нули вронскиана w прос-
тые. Тогда, сумма вычетов в полюсах равна
2«fo/3^1*A>fob A5.52)
Ее называют дискретным спектром поля, а отдельные слагаемые — нор-
мальными волнами или модами. Помимо, полюсов, особыми точками
подынтегрального выражения могут быть точки ветвления. Если при z ->
-++<», k(z) -*к 1J, то, как можно показать (см. п. 6.2), % =Аг,J будут точ-
ками ветвления. Тогда от них необходимо провести разрезы, и к правой
345

части A5.52) добавятся интегралы по берегам разрезов- Это так называе-
мый сплошной спектр, или боковые волны. О них речь шла в § 14.
Рассмотрим поле отдельной нормальной волны. При г =? 0 оно удовлет-
воряет волновому уравнению и условиям при z -*+«> (или на границах,
расположенных при z <z0 и z>z0). Отдельная мода не удовлетворяет
условию в источнике и вообще теряет смысл при г = 0. Поскольку
w(?,,z0) =0, то функции Pi,2(?/>z) оказываются линейно зависимыми.
Значит, Pt(?;.z) Удовлетворяет одномерному волновому уравнению
и обоим граничным условиям. В соответствии с математической термино-
логией Pt(?/.z) является собственной функцией, a ?j — собственным
значением оператора p(d/dz) (p~l d/dz) + к2 (г), взятого вместе с гранич-
ными условиями. Нормальные волны, для которых ?; вещественно, яв-
ляются незатухающими. В любом реальном волноводе их число конечно, фа-
зовая cph = co/ti и групповая cgadoj/d?jскорости мод зависятот их номера
/ и частоты.
Если жидкость ограничена идеально отражающими или импедансными
границами или I к | -*<« при I z | -+•*», то боковые волны отсутствуют,
и ряд A5.52) дает точное решение задачи о точечном источнике. В § 3 были
рассмотрены зависимости c(z),(i(z), для которых известны точные реше-
ния одномерного волнового уравнения для любых % (см. также [9, 121]).
Для них Pt,2(?iz) выражаются через известные специальные функции, а
дисперсионное уравнение сводится к алгебраическому. В ряде случаев его
решения удается найти явно. В задачу этой книги не входит сколько-нибудь
подробное изложение теории нормальных волн и полноводного распростра-
нения. Подробное исследование поля нормальных волн в дискретно-слоис-
тых волноводах, в среде с профилем Эпштейна, в волноводе и антиволново-
де с линейным и квадратичным профилями к2 (z) проведено в монографии
[52, гл. 5, 7-9]. В литературе рассмотрено также значительное число дру-
гих конкретных профилей fc2 (z). В общем случае для отыскания собствен-
ных функций и собственных чисел одномерного волнового оператора
используются асимптотические и численные методы [113, 185]. При этом
основную сложность представляет решение дисперсионного уравнения.
Некоторые общие свойства нормальных волн рассмотрены в [247,528].
Волноводы в твердом теле исследовались в работах [47,49,50,290,412;
4,гл.7 и др.].
Чтобы выделить нормальные волны в звуковом поле в движущейся
среде, будем исходить из интегрального представления A5.33). Будем
считать, что в среде имеется диссипация волн, хотя бы сколь угодно слабая.
Не ограничивая общности, положим х0 =у0 =0, перейдем к цилиндричес-
ким координатам A2.2) и обозначим
F(?,*,z,Zo)sPl(?,*,z<)p2(?,*,.z>)M?, *,z0). A5.53)
Тогда, опуская для краткости записи аргументы z и z0 у функции F,
имеем
71 / d*f $ Ж, *)ep[/?rcos(**>)]d?. A5.54)
4iT if-ir/2 о
Отметим важные для дальнейшего свойства подынтегрального выраже-
ния в A5.54). Поскольку в волновом уравнении и граничных условиях на
346

поверхностях раздела сред коэффициенты зависят от параметров ? и ^ана-
литически, мы будем считать, что функция F, определенная при ? > О,
допускает при любом фиксированном ф аналитическое продолжение иа
комплексную плоскость ? (возможно, с разрезами); полюсы ?=?/(^)
функции F | ^ = Const. a также вычеты в этих полюсах являются гладкими
функциями ф. Волновое уравнение, которому удовлетворяют функции
Pi,2 (?> &г)> и граничные условия инвариантны относительно одновремен-
ной замены ? на -? и ^на ф+ -п. Следовательно,
F(—?» Ф) ~ ^(?> Ф + "). A5.55)
В неподвижной среде волновое уравнение и граничные условия содер-
жат только ?2, и поэтому F - четная функция ?. В общем случае (т.е. при
v0 # 0) представим F в виде F(?, ф) =/-^ (?, ф) + ?F2 (?, ф), где
1
A5.56)
-четные функции ?.Согласно формулам A5.55) и A5.56),имеем
F,(f.*+w)-F1(fc<r), F,(f, Cr + я) = -F, ({,*)• A5.57)
Соотношения A5.57) позволяют сократить диапазон интегрирования по
фв A5.54) и представить звуковое поле точечного источника интегралом
где
о \ 2
и обозначено b —r cos(^ — у>).
Из формулы A2.9),взятой при V= 1, следует
1 sds
/ = 1,2
sin
A558)
A5.59)
A5.60)
0 VI -s2
Используя это тождество, преобразуем Фх
Ф, = — / F, si
д Г \ sds
ЪЬ I о ТТЛ1
A5.61)
Последний интеграл по | имеет тот же вид, что и в неподвижной среде
(см. A5.34)). В частности, множитель лри /о является нечетной функ-
цией ?. Действуя, как при выводе формулы A5.52), находим вклад вы-
четов в полюсах % = ^(ф)'-
Фг(ф) = г^[1НфП,(ф)В'(ЫФ)Ь), A5.62)
где суммирование ведется по полюсам, лежащим в верхней полуплос-
347

кости От Ь> 0); F<'> - вычет F,($, ф) в точке $ = 1
A5.63)
Интеграл Я(<?) выражается через интегральный синус и интегральный
косинус [221, с 177, с. 269]. Нам в дальнейшем понадобится только
асимптотика В при Keq -»•+«>: B(q) - ехр(й?) [1 + O(q~l )].(Ee легко
найти методом перевала, не вычисляя В(q) точно.)
Аналогично сводится к сумме вычетов интеграл A5.59) для Ф2. Он
равен
<'>A5.64)
Здесь Im ?j>0,F^ - вычет функцииF2(?, ф) в точке ? =
В неподвижной среде Фг(Ф) - 0, FJ1* и ?, от ф не зависят. В этом
случае, заменяя в A5.63) функцию Ханкеля ее разложением по степеням
аргумента [240, гл. 9] и интегрируя по s и по ф ряд почленно, можно убе-
диться, что формулы A5.58), A5.62) — A5.64) приводят к известному
результату A5.52). В движущейся среде при произвольных г интегриро-
вание в A5.58) не удается осуществить в явном виде.
Рассмотрим звуковое поле на больших расстояниях от источника
(?;Г Р- 1) в пределе бесконечно малого поглощения. Нас будет интере-
совать только главный член асимптотики дискретного спектра р(г, г0)
по степеням г. Заменяя интеграл В в A5.62) и A5.64) его асимптоти-
кой*), справедливой при больших значениях аргумента, при учете фор-
мулы A5.58) имеем
)Х /
=FJ'* +?,F^ - вычет функции F(J> в полюсе ? =?,(ф). Подын-
тегральное выражение в A5.65) представляет собой произведение быстро
осциллирующей экспоненты на медленно меняющуюся функцию. Поэто-
му основной вклад в интеграл по ф дадут окрестности стационарных
точек ф$ показателя экспоненты (см. л. 11.1). Общее уравнение стацио-
нарной точки A1.2) в рассматриваемом случае принимает вид
*,- A5.66)
Если направление течения образует постоянный угол ip0 с осью Ох, то
^г(ф) в силу волнового уравнения является функцией A/cos(^- ^0),
где М - характерное значение отношения vo(r)/c(r). Когда приемник
расположен относительно источника по течению или против него, т.е.
tp - tfo или \р = (?о ± я, то Э?,/д^= 0 при ф = <р, <р ± я, и уравнение A5.66)
*)Можно показать, что при ?//- > 1 узкие окрестности | ^ ± я/2 - ф | ? (f/r) ко-
иечиы.ч точек интервала интегрирования, где {jft ^ 1 и неприменима асимптотика
интеграла В, дают пренебрежимо малый вклад в р.
348

имеет не зависящие от / решения ф3 = у и ф3 = \р ± я. В отсутствие течения
это справедливо при любых *р. Если течение медленное (М <1), то ста-
ционарные точки фц отличаются от \р и \р ± я на величину порядка М.
Не требуя в дальнейшем малости Л/, будем предполагать для определен-
ности, что Re?j > 0 и что уравнение A5.57) имеет единственное решение
Фз = ф,, лежащее на интервале | ф— >р\ < я/2. Применяя метод стационар-
ной фазы и ограничиваясь главным членом асимптотики, по формулам
A5.53), A5.65) получаем
т— ) X
A5.67)
где
Если при некоторых / имеется два различных значения ф{, лежащих на
интервале I Ф - <р \ < я/2, то каждое из них дает свой вклад в сум-
му A5.67). Такая ситуация возникает, когда при двух разных направле-
ниях волнового вектора групповая скорость моды имеет одно и то же
направление. В неподвижной среде ф, - у, О(ф,) - 1 и A5.67) совпадает
с формулой A5.52), если в последней функции Ханкеля заменить асимпто-
тиками A2.13). plf2 в A5.67) являются собственными функциями опе-
ратора p02C/dz) [(р^2)Э/Эг) + fc*02, взятого вместе с соответствую-
щими граничными условиями. Они не зависят от компоненты vo(z),
ортогональной волновому вектору м?ды {f = Sj(^j) (cos ф,, sin i^j, 0).
Соотношение A5.67) показывает, что нормальная волна (в отличие
от луча, см. п. 16.1) прн распространении не выходит из вертикальной
плоскости, содержащей приемник и источник. Фазовая скорость моды
образует с этой плоскостью угол \[>f - \p. Связь ф/ и *р можно получить
из общего выражения cg = dco/df; для групповой скорости моды.
(Здесь и ниже dF/ba означает вектор с компонентами 3F/3fl/, гдед,- —
компоненты вектора а.) Пусть известно дисперсионное уравнение ы =
= oj(?, ф) (номер моды для краткости опускаем). Проекции групповой
скорости на оси ОхнОу равны
} — {"' sin ф I 1 ,
Ь% А \Ъф/1
Нормальная волна распространяется от источника под углом у к оси Ох,
для которого
A5.69)
Легко убедиться, что это соотношение эквивалентно уравнению A5.66)
стационарной точки.
349

Отметим, что определение зависимости поля моды от горизонтальных
координат эквивалентно известной задаче (см., например, [260, гл. 1])
о поле точечного источника в двумерной однородной, но анизотропной
среде с волновым числом tj(^). Анизотропия обусловлена течением.
Формула A5.67) соответствует использованию лучевого приближения
в двумерной среде.
Если A5.66) имеет два близких решения или стационарная точка
ф - ^i вырождена (О(ф/) -4 1 или О(ф/) — 0), то метод стационарной
фазы неприменим и для оценки интеграла по ф в A5.65) необходимо
использовать другие подходы, описанные в § 11. В этих случаях с
ростом г поле моды убывает не по закону г~112 как в A5.67), а мед-
леннее.
Некоторые авторы (см., например [213, 272]) для выделения дискрет-
ного спектра поля в движущейся среде сначала проводят в A5.54) ин-
тегрирование по ф методом стационарной фазы, сохраняя только глав-
ный член асимптотики, а затем полученный одномерный интеграл по %
сводят к сумме вычетов. Этот подход привлекает своей простотой, но
его нельзя признать удовлетворительным, поскольку отбрасываемые
поправки к первому приближению метода стационарной фазы как раз
при % = %i обращаются в бесконечность. В итоговых выражениях [213,
272] зто приводит к ошибочной замене ф{ в A5.67) на >р и D - на еди-
ницу.
Формулы A5.52) и A5.67) будут удобнее для аналитических и числен-
ных расчетов, если выразить производную dvf/di- через значения функ-
ций р, j при % - (•/. Рассмотрим для определенности распространяющие-
ся нормальные волны в полупространстве z < 0 со свободной границей
2=0. Будем считатьГчто при z < -Н среда однородна. В моде, распростра-
няющейся без затухания, нет оттока энергии на бесконечность. Следова-
тельно, функция Р\(%, z), удовлетворяющая граничному условию при
z -*¦ - °°, в области z < -Н при %, близких к %t, будет неоднородной плос-
кой волной. (Здесь и ниже для краткости мы не указываем в числе аргу-
ментов Pi,2,ii и 0 азимутальный угол ф - ф{, от которого зависит поле
в движущейся среде.)
Умножим волновое уравнение, записанное для Pi(?, z), на РгA;»> z)
и вычтем из него результат умножения на р((|, z) аналогичного уравне-
ния для рг(%(>z). Получаем тождество
Э Г р2Ьр{/дг p,dp2/dz } р,р2 \ %г
bz I
I Дп. Ь. Г I II
A5.70)
Проинтегрируем его по z от - °° до 0 и учтем; что pi,2 "* 0 при z -*¦ — **,
рг - 0 при z = 0. Тогда в левой части остается {-р,Эр2/dz[p^2({,z)]"'},=0.
Выражая ее через вронскиан A5.32), находим
bz I bz
350

т —Г IP W/.*.»-P W.zj||.
Дифференцирование A5.71) по ? при учете w(?,, z 0 ) =0 дает
/. z0)
A5.71)
(.5.72,
Вместо Pi,i(S|, r) введем отличающееся от них только постоянными
множителями aif2 решение/j(z) = а\Р\(%1,г) ~йгрг{%1> г), нормирован-
ное условием
A5.73)
Согласно A5.72), Эм'С!/, 2a)ld% - —2$i/ata2. Подставляя это равенство
в A5.52) и A5.67), находим окончательно соответственно для покоящей-
ся и движущейся среды
рСг.г.) - - - 2 /,Bо)/,(г)Я<Ч$,г). A5.52а)
Г
p(r.r0) = zh&ifi;,rD)~ * >2 Mzo)f,(z)exp\ Ц,г cos (ф-f) -
— ||1+О(-—н) . A5.67а)
Из тождества A5.71) вытекают соотношения ортогональности для мод.
Пусть % = %тФ %i- Тогда w(|, r0) = 0 и, следовательно,
¦ J*. ^r',UO-<.-=e,,z))!-0. (.5.74)
dz dz J
В неподвижной среде 0 = 1, и формулы A5.73) и A5.74) упрощаются:
РЫ fm p'lB)M2)fm(z)dz = д1т, A5.75)
где 81т — символ Кронеккера: Ъ\т =0, 1Фт; 8,т * 1, / = w.
Отметим, что аналогичные A5.72), A5.74)-, A5.75) реэулиаты можно
получить и в другом, также представляющем интерес случае, когда при
2 - 0 и z = -Н на звуковое поле наложены произвольные импедансные
граничные условия.
351

\р\,АЬ
Рис. 15.1. Амплитуда акустического поля в волноводе на горизонте источника г -
= -25 м иа частоте 200 Гц: / ~ звук распространяется по течению, 2 - против те-
чения, 3 ~ в отсутствие течения
На больших расстояниях от источника даже медленные течения, ха-
рактерные для Мирового океана, способны сильно повлиять на величи-
ну звукового поля, в первую очередь благодаря изменению фаз отдель-
ных мод и, следовательно, условий их интерференции. Это иллюстри-
рует рис. 15.1 [97], на котором показан горизонтальный разрез звуко-
вого поля в волноводе с билинейными профилями скорости звука и
скорости течения.' При расчете глубина моря принята равной Н = 200 м.
Плоскость z = 0 является свободной границей. Скорость звука линейно
растет от 1490 м/с при х - 0 до 1500 м/с при z -~И. В полупространст-
ве г < -Н скорость звука постоянна и равна 1500 м/с. Скорость тече-
ния параллельна оси 05с. у поверхности и0 = • м'с> ио(г) линейно
убывает до нуля при z = -Я/2. На большей глубине v0 - 0. Плотность
предполагалась постоянной во всей среде. Хотя число Маха течения
меньше 10~э, вызванные течением изменения интенсивности звукового
поля доходят на рассматриваемых расстояниях до 30 дБ.
§ 16. Высокочастотные звуковые поля
Этот параграф посвящен изложению основ лучевого метода и его обосно-
ванию на базе волновых представлений. Рассматриваются монохромати-
ческие волны в стационарной трехмерно-неоднородной движущейся среде.
Здесь, в отличие от гл. 2, мы не будем предполагать, что зависимость
352

поля от горизонтальных координат — гармоническая, и покажем, что мно-
гие результаты § 8 и 10 переносятся на общий случай. Более подробное
изложение геометрической акустики неподвижных (в том числе неста-
ционарных) сред и ее многообразных приложений читатель найдет в [151].
Ряд дополнительных ссылок дан в § 8. Особенности лучевой теории упру-
гих волн в твердом теле освещены в [324].
16.1. Приближение геометрической акустики для сосредоточенного
источника. Акустическое давление в произвольной неоднородной среде,
параметры которой мало меняются на расстояниях порядка длины звуко-
вой волны, целесообразно искать, разлагая амплитуду в ряд по обратным ¦
степеням волнового числа:
р(г,го)= ехр[1коф(г)\ 2 Am(r)(ik0)-m. A6.1)
т — О
Здесь к0 - значение к (г) в произвольно выбранной точке среды. Выраже-
ние A6.1) называют лучевым рядом или дебаевским разложением, функ-
цию ф(г) — эйконалом. Волновое число к0 является большим параметром.
Фактически разложение в A6.1) ведется по степеням безразмерной вели-
чины k0L, где L - характерный пространственный масштаб изменчивости
среды. Если скорость течения превышает скорость звука, то необходимое
для применимости геометрической акустики условие малости длины
вопны по сравнению с L может быть выполнено и при нулевой частоте
[171, §68].
Подставляя A6.1) в .волновое уравнение для неподвижной жидко-
сти A.23) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к0,
получаем
(ЩJ = п\ A6.2)
2V AoV 4>-A0V In рЧф+А0Аф = 0, A6.3)
2VA);Чф - A/V In рЧф+А(Аф = -Л/_1 +V^/_1Vlnp,
/ ~ i, z,...
Здесь n = k(r)jk0 — показатель преломления, формула A6.2) называется
уравнением эйконала, A6.3) и A6.4) - уравнениями переноса нулевого
и последующих приближений. Обозначим v = V^. Тогда уравнение эйко-
нала можно записать в виде #(v, г) - 0 (например, Н - v - п или Н =
= \a(v/n)). Функцию H(v,r) называют гамильтонианом. Уравнение A6.2)
представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого по-
рядка, относящееся к классу уравнений Гамильтона - Якоби [162],реше-
ние которых сводится к интегрированию системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений:
dr/dT = atf/Эт, dv/dr = -дН/dr, A6.5)
где т - некоторый вспомогательный параметр. Согласно A6.5) d^/dr »
= vdH/dv. Поэтому, если г(т) и v(t) известны, то вычисление ^сводит-
ся к квадратуре:
dr. A6.6)
Кривую г(т) называют лучом.
23. Л.М. Бреховских 353

Уравнения A6.5) можно конкретизировать, задавшись определенным
видом функции #0, г). Положим Н - 0,5 [»** - п2(г)], тогда дифферен-
циальные уравнения луча A6.5) принимают вид
dr/dr = v, A6.7)
dv/d7 = 0,5 Vn2(r). A6.8)
Согласно A6.7), касательный к лучу вектор drjdr параллелен V^h, сле-
довательно, ортогонален волновым фронтам — поверхностям ф — const.
Параметр т связан с длиной дуги луча s соотношением ds — I dr | - ndr.
Из A6.6) находим
/ »*№№ = ф(т0) + Jn(r(s))ds. A6.9)
Можно показать, что луч является экстремалью функционала
fvdH/dvdr, т.е. на луче значение эйконала, определяемого как интеграл
от п по кривой, соединяющей две фиксированные точки, экстремаль-
но [162].
В частном случае плоско-слоистой среды, когда п - n(z), из уравне-
ния A6.8) следует, что горизонтальные компоненты vi вектора v =
= (» "з) постоянны (не зависят от т). Следовательно, луч является
плоской кривой. Он лежит в вертикальной плоскости, проходящей
чере» источник и параллельной вектору у(т0). Обозначим острый угол,
образуемый вектором v с вертикалью, в(г). Тогда v± - v(z)sin0(z) =
= n(z)sinff(z), и из уравнения i*i = const следует закон Снелля B.296).
С его помощью легко найти в квадратурах траекторию луча (см. п. 12.3).
Пусть известно уравнение г - г(т, а, у), задающее координаты точки
на луче как функцию переменной г и параметров ану, характеризующих
направление выхода луча из источника. Найдем амплитуду поля на луче.
В уравнениях переноса, согласно A6.7), имеем V^V = (dr/dr)V = d/dr.
Умножая A6.3) на Aol>получаем
(djdi) In (Al/p) + div v = 0, или
АЦт) * ^(Mp-VoMOexp [ - / dxvvdT ]. A6.10)
По формуле Лиувилля [131, ч. 1, § 9] для решений линейной системы
уравнений A6.7) имеем div v- (<//</тIп?)(т),где
b(x,y,z) дг Г dr dr
/ = X
Э(т,а,7) дт [. Эа ду
— якобиан перехода от декартовых координат лс, j». z к лучевым коорди-
натам т, а, у. Крест означает векторное произведение. На луче якобиан
вместе с вектором г(т, в, у) являются гладкими функциями т. В нулевом
приближении геометрической акустики амплитуда поля на луче, таким
образом, равна
Ло(т)Ч \п\ Л0(т0). A6.12)
I />(то)^(т) J
354

Не составляет труда решить в квадратурах и уравнения переноса для высших
приближений A64).
Чтобы вычислить звуковое давление в заданной точке г, следует найти
луч, приходящий в эту точку, т.е. разрешить уравнения г(т, а, у) -г от-
носительно т, а, у, и подставить найденные значения лучевых координат
в формулы B6.9) и B6.22). Если окажется, что существует несколько
наборов решений т, а, у, то в точку наблюдения приходит несколько
лучей, и суммарное поле является суммой выражений A6.2), вычислен-
ных на каждом луче.
Плотность потока мощности звукового поля B6.2), согласно форму-
ле B.21), равна
/ = {2о>ру1Ы(рЧр) *= B/DCo)'1 \А0\7У[1 +0(*oI)l
_ . B6.23)
с0 = cj/ko.
В нулевом приближении поток энергии направлен вдоль лучей. Рассмотрим
бесконечно узкую трубку, образованную пучком близко идущих лучей.
Обозначим Jo(t) площадь ее поперечного сечения. Элемент объема луче-
вой трубки dV - dsda. С другой стороны, dV - \D(j)\dTdady. Поток
мощности в лучевой трубке согласно A6.12) и A6.2 3) в нулевом прибли-
жении постоянен:
I(T)do(T) = \D(T)A2o(T)\[2p(T)coVldady =
В п. 12.3 это утверждение было положено в основу вычисления силы звука
в слоистой среде.
Уравнения геометрической акустики трехмерно-неоднородной движу-
щейся жидкости можно вывести из системы A.6) -A.8). Скорость частиц
v и приращение плотности р будем искать в виде, аналогичном A6.1):
m о
A6.14)
[/*0*(r)] S Dm(r)(ik0)-m.
m = 0
Подставим A6.1) и A6.14) в систему A.6)-A.8). Приравнивая в этих
уравнениях коэффициенты при самой высокой (первой) степени к0,
получаем
A -vov/co)Bo-(pco)~lvAo, (I -vov/co)Do *= (p/co)vBo, ,^ .
, . in A6.15)
А0 - сUq.
Алгебраическая система A6.15) имеет нетривиальное решение при условии
[l-vo(rWco]2cSc-2(r)= v\ A6.16)
представляющем собой уравнение эйконала в движущейся среде. Прн
v0 s 0 оно переходит в уравнение A6.2). Вводя волновой вектор q * kov,
соотношение A6.16) можно переписать в виде
CJ =q(r)c(r)+q(r)vo(r), A6.16а)
совпадающем с дисперсионным уравнением A.32) звуковых волн в одно-
23* 355

родной движущейся*среде. Этого, конечно, следовало ожидать, поскольку
в лучевом приближении среду можно считать локально однородной. Для
групповой скорости звука et = boifoq из A6,16а) получаем
с% = v0 +cv/v. A6.17)
Аналогичное соотношение для слоистой среды было получено в п. 8.1.
Для решения уравнения эйконала в качестве гамильтониана возьмем
H(v, г) = 0,5 [v2 - с'2(с0 - *о"J). Из A6.5) вытекают дифференциаль-
ные уравнения луча в движущейся среде:
dr/di = vcjc, A6.18)
dv/dr = 0,5(г-о - yovfVc'2 - c(c0 - v0f) [(i>V)v0 +v X rot v0]. A6.19)
Мы видим, что касательная к лучу в каждой точке параллельна сс. При
v0 Ф 0 луч, вообще говоря, не ортогонален волновым фронтам ф = const.
Элемент длины дуги луча ds = \dr | = vc%c~ldi. Эйконал вычисляется
по формуле A6.6):
т *
\1>(т) = ф(т0) + / vcgvc'ldr - ф(То) + f vCgC^ds. A6.20)
Для вывода уравнения переноса в движущейся среде следует прирав-
нять члены, не зависящие от к0, в уравнениях, полученных при подстанов-
ке A6.1) и A6.14) в систему A.6)-A.8). Опуская простую, но длин-
ную выкладку (она подробно описана в [32, § 7]), приведем результат:
div(^o^g) = Ao(ceV)In рис3. A6.21)
Прн помощи A6.18) выразим производные от А% через djdr. Тогда
d\ / А20 \ /dr
Это уравнение вполне аналогично уравнению переноса в неподвижной
среде в форме A6.10). Применяя к A6.22) формулу Лиувилля, находим
Ао(т) - , . \ /' ;*; -- Ло(то). A6.23)
Здесь D(r) - якобнан A6.11) перехода от декартовых коордннат к луче-
вым. Физический смысл полученного результата состоит в том, что в
нулевом приближении геометрической акустики поток мощности в луче-
вой трубке сохраняется вдоль луча. Когда А0(т) найдено, амплитуды
скорости частиц и колебаний плотности в звуковой волне вычисляются
по формулам A6.15).
Проиллюстрируем вычисление звукового поля по формулам A6.20),
A6.23) на примере точечного источника в слоистой среде с горизонталь-
ным течением. Будем предполагать для простоты |voi>| < с0. Обозна-
чим rL = (x, у, 0). Согласно A6.19) и A6.16), имеем
vx = const, v3(z) - ± [(со - v0 Vlfc'2 ~ и\] Ч*.
Используя зти равенства, легко вычислить эйконал и найти законы пре-
ломления нормали к волновому фронту и касательной к лучу (см. п. 8.1).
356

Из A6.18) получаем drx jdz = (vvo/c + Vx)fv3. Подставляя сюда формулу
для v3 с верхним знаком, находим явное уравнение луча иа восходящем
участке траектории (ср. A2.36)):
f dz (cq-vovx)vq+vxc2
'i(z) = rx(z0) + f=
/ dz\ ~- + — tg« 1. A6.24)
z0 L COS0 IfjL J
Здесь 0(z) вычисляется по формуле (8.27). Время распространения звука
по лучу от точки г (z о) до точки г (z ) равно
в [(co-VoiaJ-с1!/*]1'2 «, ccosfl
A6.25)
Отметим, что луч будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей
через источник и приемник, только если направление v0 постоянно и
параллельно (или антипараллельно) вектору сл.
В качестве лучевых координат а и 7 в A6.11) возьмем две декартовы
компоненты вектора Cji . Равенство dvk /dr - 0 позволяет упростить общее
выражение для якобиана. При учете A6.18) имеем
_ э(*>У'г) _ Чх>У'2)
dr
Здесь с,J - проекция вектора vx на оси Ох и Оу или какие-либо другие
ортогональные оси в горизонтальной плоскости. Дифференцирование
уравнения луча A6.24) дает
U, c2vl zt c2vl
(i6-27)
Громоздкая выкладка, необходимая для вывода этого соотношения,
упрощается, если в качестве vx брать проекцию vk на направление
ri(z) - rx(zo)- Заметим, что в силу неравенства Коши - Буняковско-
го [146, § 4.6] якобианD(t) > 0 при z Фг0.
Как в п. 15.3, будем считать точечный источник монопольным и норми-
ровать его силу так, что в неподвижной среде вблизи источника р(г,г0) ~
— — 1 /D7Г \г -го|). Тогда в движущейся среде при г «г0, согласно A5.27),
звуковое давление р(г, r0) ~ -\j{AtiRi) , где Rx - {(* - х0J +
+ [1 - Uo(*oko2] [(У - УоJ + (г - zoJ]}1/2 и принято,чтос0 =c(z0).
Пусть точка т = т0 иа луче находится в малой окрестности точки г0, где
среду можно считать однородной. Тогда Rt = [z(t0) - zo]/i/j(zo),
^(To) - z0], D(t0) - (z(t0) - zo]2/vf(zo).
357

Подставляя эти значения в формулу A6.23), получаем окончательно
p(z) 1"»
A6.28)
где D(t) берется из A6.27). Как и следовало ожидать, величина Л0(т)
не зависит от выбора вспомогательной точки т = т0 на луче. При и0 з О
A6.28) переходит в полученную ранее формулу A2.39). Эйконал на-
ходим, переходя в A6.20) к интегрированию ло z:
2 codz 2 co</z
ФШ) в / (со -Vo^x) -; / . A6.29)
ев С 1>3 г, С COS в
Формулы A6.28) и A6.29) полностью определяют звуковое давление
в нулевом приближении геометрической акустики на восходящем участ-
ке траектории луча в движущейся слоистой среде. Легко убедиться, что
в однородной среде они переходят в точный результат A5.27). Чтобы
получить поле точечного источника объемной скорости и сторонней
силы, следует, как отмечалось в п. 15.2, подействовать на р(г, г0) опе-
ратором шра0 + (/0 - paovo)V. Для источника объемной скорости
(т.е. при /о = 0) на больших расстояниях от него наши формулы перехо-
дят в результаты Осташева [213], полученные из других соображений.
Соотношениями A6.27)-A6.29) можно пользоваться и на нисходящем
участке траектории луча, считая, что v3 < 0 и cos в < 0. Не составляет
труда вывести явные формулы и для лучей с точками поворота.
16.2. Лучевая теория как предельный случай волновой. В слоистой
среде результаты геометрической акустики можно получить, вычисляя
коротковолновую асимптотику точного интегрального представле-
ния A5.33) звукового поля. Переход от волновой теории к лучевой
имеет свои особенности в движущейся среде, а также при волноводном
распространении, когда лучи периодичны в пространстве и бесконечное
число раз возвращаются на горизонт источника. Чтобы не загромождать
изложение непринципиальными деталями, мы рассмотрим отдельно
поля монопольного источника в волноводе в неподвижной среде и в дви-
жущейся среде при неволноводном распространении.
Пусть источник расположен в точке г0 = @, 0, г0) в плавно-слоистой
среде, занимающей полупространство z > 0; c(z0) =c0. Профили скоро-
стей звука и течения таковы, что v\ = (с0 - vo"iJc - v\ является
монотонно убывающей функцией z. Это будет выполнено для всех на-
правлений выхода луча из источника, если с' > | Ъуо/Ъг | при любых
положительных г. Тогда лучи с j>3(:o) >0не имеют точек поворота, а
лучи с v$(zQ) < 0 или будут иметь единственную точку поворота z, < г0,
где i>3(zr) = 0, или однократно отразятся от границы г = О (рис. 16.1).
Будем считать известной функцией горизонтального волнового вектора
{ коэффициент отражения Ио(?) плоских волн, падающих на границу
z > 0 из однородного полупространства z > 0 с параметрами р = /»@),
c = e@\ vo=vo@).
358

Рис. 16.1 Три типа лучей в среде с монотонной за-
висимостью v1 (z). Штриховой линией показана
проекция на плоскость xz траектории луча при
г < 0 в случае, когда плавно-слоистая жидкость
занимает все пространство
В силу предположения о плавной зависимости параметров среды от z
для нахождения решений одномерного волнового уравнения р1>2({, *).
входящих в интегральное представление A5.33), можно применить ме-
тод ВКБ. который подробно рассматривался в гл. 2. Решение р2. пред-
ставляющее при z -* + °о уходящую волну, в приближении ВКБ имеет
вид (см. (8.11))
V'/' fl»l»il. A6.30)
Граничному условию ниже источника удовлетворяет другое ВКБ-решеиие
(см. пп. 9.2 и 10.4):
Pi (fcz)
Z>2,.
(-i*o
V{vL) exp (ik f ц dz )\,
A6.31)
Здесь V( Vi ) = P"o(*oух ), z i * 0, если при данном { у волны нет горизонта
поворота. В противном случае V = —i, z x = zr. Простой формулой A6.31)
можно пользоваться, если zr не близко к горизонту z и границе z = 0.
(При z *zr hz, *0 поле pi({, z) описывается более сложной асимптоти-
кой, содержащей V0(kQt>l ) и функции Эйри).
Формулы A6.30) и A6.31) определяют р, 2 с точностью до множителя
1 + О(ка1). Вычисляя с той же точностью w((, z0) и переходя к интегри-
рованию по Р| ,р 2, из A5.33) получаем
Р(г, г0) -
ik0
z>
x<
г,
A6.32)
K. /=1,2. A6.33)
Здесь Из | K|exp(/arg V), z> = max(z, z0), z< = mi n(z, z0). Модуль
коэффициента отражения в дальнейшем будем считать медленно меняющей-
ся функцией рх . Основной вклад в интеграл A6.32) при больших kQ дают
окрестности стационарных точек ух = **¦*' показателей экспонент. Они оп-
ределяются из уравнений д^у/дух = О, или r^r^v^, z, z0), где при
359

у * 1 и / = 2 соответственно
Ч + vo(co - Ў•гхI/(с4). A6.34)
Д("х) = 7- т—arg К A6.35)
«о "fi
При z > z0 соотношение A6.34) совпадает с уравнением A6.24) луча,
выходящего иэ источника вверх. При г < zQ A6.34) также является урав-
нением луча, который в этом случае будет нисходящим. Соотношение
A6.35) описывает траекторию луча, вышедшего иэ источника вниз и в
дальнейшем изменившего знак p3(z) вследствие рефракции или отраже-
ния от границы. Когда z, = zr, величина А равна нулю и луч состоит из
двух ветвей, восходяшей и нисходящей, аналогичных A6.34). В случае
отражения от границы (zt = 0) у луча появляется третье, параллельное
границе звено (см. рис. 16.1). Смещение луча вдоль отражающей границы
вполне аналогично смешению остронаправленного волнового пучка, кото-
рое рассматривалось в § 13. Величина А — 0, если граница2 =0абсолютно
мягкая или абсолютно жесткая. Сдвиг луча при отражении несуществен
при | dK/dVi I <C 1. Однако это неравенство выполняется далеко не всегда.
Если плавно-слоистая жидкость занимает все пространство, включая об-
ласть z < 0, и луч имеет точку поворота zr < 0, то коэффициент отраже-
ния дается формулой (9.31). Легко убедиться, что в этом частном случае
значение А равно горизонтальному смешению луча на его пути в полупро-
странстве z < 0 и может составлять много длин волн. В других случаях
применение формулы A6.35) приводит к интересным результатам,
дополняющим обычные лучевые представления о рефракции волн [56].
Вклад p*s^(r, Го) стационарной точки в асимптотику интеграла
A6.32) вычисляется по формулам A1.41). Роль большого параметра
играет к0. Согласно A1.36), в обозначениях настоящего параграфа
Idet^l •|tfitfarl'aexpliir(sgntfI + sgnq2)/4] = i[b{x, y)ld(yit ^Г1'2,
где x(t>i ) ny(vi ) определяются уравнением стационарной точки A6.34)
или A6.35). Для вклада стационарной точки функция ф, из A1.41) и
A6.32) получаем
A6.36)
Легко видеть, что предзкспоненциальный множитель совпадает с ампли-
тудой звукового давления A0(t(z)) A6.28) на луче, рассчитанной в пер-
вом приближении геометрической акустики. Величина tyi(v^), соглас-
но A6.33), A6.34) и A6.29), равна эйконалу ф(т(г)). Таким образом,
вклад стационарной точки функции ф) — это звуковое поле на прямом
луче. Аналогично рассматривается вклад стационарной точки функ-
360

ции i^2*. он отличается от A6.36) умножением левой части на I V^
заменой i^ на ф2 и дает поле на отраженном луче.
Формула A6.36) была выведена для случая z Ф zr. Однако и при z ==zr
она совпадает с результатами п. 16.1. Хотя fi(z) •* О при z -*zr, лучевое
поле, вообше говоря, остается ограниченным в точке поворота. Действи-
тельно, пусть dy2/dz Ф 0 при z = zr. Тогда из A6.27) видно, что при
z -* zr д(х, y)lb(vt, р2) -*¦ °° и D(i) принимает в точке поворота отлич-
ное от нуля конечное значение. При переходе через точку поворота меня-
ется знак и3. Меняет знак и якобиан д(х, у)/д(иг, р2), равный, соглас-
но A6.26), D(t)/u3. (В зтом можно убедиться непосредственно, дифферен-
цируя уравнение луча A6.35) no fi,2-) Появление -1 под корнем ком-
пенсирует домножение поля на величину V(u^) = -/. Таким образом,
амплитуда и фаза звукового давления на луче остаются непрерывными в
точке поворота.
Разрыв р*^(г, r0) возникает, когда zr обращается в нуль. Этот не
имеющий физического смысла результат связан с неприменимостью
формулы A6.31) в рассматриваемом случае. Анализ поля в окрестности
луча, касающегося границы, при и0 = 0 проведен в [403].
Перейдем к задаче о точечном источнике в волноводе. Пусть и0 = 0.
скорость звука имеет единственный минимум и неограниченно возрастает
при | z | -*¦ °о (рис. 16.2). Будем исходить из интегрального представле-
ния поля A5.34). Решения одномерного волнового уравнения, удовлет-
воряющие условиям на бесконечности, рассматривались в п. 9.2. Согласно
формулам (9.29) и (930), невысоких частотах
A6.37)
х_
Piil z> = (p/ji)l/2[exp Цко<Рг) - г ехр (-/fro</>2)J,
2
2 < z+(|), <Pi(z) = f fidz, A6.38)
где <i * (ri1 - <72I/2, z+ > z_ - горизонты поворота: «(zt) =q,q = ?/?<>•
Рис. 16.2. Профиль скорости звука и траектория луча в волноводе. Лучи AD, АС,
BD и ВС соответствуют N - 2 и комбинациям знаков ++,+-, -+ и — в форму-
ле A6.43). 5)(вв> - длина цикла луча
3*1

При z < z_(z > z+) решение P\{pi) экспоненциально мало при боль-
ших к0. Заменяя в A5.34) функцию Ханкеля ее асимптотикой A2.13),
с точностью до множителя 1 + О (ко1) получаем
) exp(---)S J dq °' 4\ X
\ 4/1-1—
<7P(z)/32ir3 I1'2
*A * 1)
где
2
g{z) - f pdz.
Пусть к0 имеет сколь угодно малую положительную мнимую часть. Тог»
да \exp(ikowo)\ < 1 и величину l/sinfcowo можно представить в виде
суммы геометрической прогрессии:
2sinA:owo 1 - exp B/*owo) m = о
Подставляя это разложение в A6.39), получаем двойную сумму
* " /к0 \1/2 ( /я \ +-
X expJiJtolfl/1 + wt +<2т + 1 )wo]>, A6.42)
каждое слагаемое которой можно оценить методом стационарной фазы.
Уравнения стационарных точек q = q, при различных / и т записываются
в виде
Э
г = r(qifz,zn), r(q,z,z0) = -—- [2Nwo±g(zo)±g(z)],
dq ¦
N = 0,1,2,... A6.43)
Согласно A6.40) и A2.36),величина
bq
есть горизонтальное расстояние, проходимое лучом с углом выхода из
источника 0О = aTCsin q на пути между уровнем z и нижней точкой поворо
362

та; величина-dwo/d<7 равна половине длины цикла луча Ж @в). Соотноше-
ние A6.43) является, таким образом, уравнением лучей, соединяющих
источник и приемник. Их взаимное расположение, соответствующее раз»
личным комбинациям знаков в {16.43), показано на рис. 16.2.
Рассмотрим подробнее, например, семейство лучей, отвечающее случаю
/ - 1. По формулам A6.40), A6.43) получаем
r(q,z,zo)= f «К«*-<1аГ1/2*+™®(в.).
*<
A6.44)
33" 2 f q(n*-q )~ ' dz, q ~ sin0o-
t_
Внутри семейства лучи различаются числом полных циклов т. Эйконал
на луче A6.44) равен
ф - ( / +2/и / )п co$~l6(z)dz - (J +2m / )п2(п? -q2)~1t2dz.
*< i_ *< *_
A6.45)
Вклад pW стационарной точки qs = sin4» в асимптотику интеграла
A6.42) находим по формуле A1.32):
рE) = _1 [ ° - /1 — Ц X
4* I rcos0(z)n(z) I | bq |J
X ехр(/[*;04/_гг/и + ^ Л - sgn -?-Ml. A6.46)
Значение dr/d<7 берется при <7 ^sinflo-C точностью до множигеля (—1/4я),
обусловленного различием в нормировке силы источника, амплитуда р^
совпадает с рассчитанной в п. 12.3 амплитудой поля на луче A2.39). Она
стремится к бесконечности при приближении к точке, в которой дг/dq ~ 0.
Ниже, в § 17 будет показано, что эта точка лежит на каустике. Согласно
A6.46), фаза p(J) в точке касания лучом каустики изменяется скачком
на я/2. В общем выражении A6.27) зтот эффект описывается изменением
знака якобиана D(t) на каустике. (Отметим, что в неподвижной слоистой
среде якобиан A6.26) простым образом связан с brjbq: D(t) =»
= Vjrq^brjbq.) При т = 0 фазар^1' совпадает с Jfco Ф- С ростом т разность
фазы и коф возрастает на я/2 при каждом касании каустики.
Аналогично изложенному выше можно получить результаты геометри-
ческой акустики в качестве высокочастотной асимптотики точного интег-
рального представления поля в приповерхностном волноводе [52, § 44],
в полупространстве со свободной границей и одним минимумом скорости
звука [8] и в других случаях. Если при заданном расположении источ-
ника в приемник не попадает ни один лу^ I.e. в интегральном представле-
нии нет вещественных стационарных точек qs < 1, то геометрическая акус-
тика дает нулевое значение поля р{г, г0) = 0 и нуждается в уточнении.
Последнее также можно получить из интегрального представления поля
E2, гл. 9). Об условиях применимости геометрической акустики см.
363

E2, § 45], A51, § 10]. Модификация лучевого метода, сохраняющая
применимость в окрестности каустики, излагается в следующем па-
раграфе.
§17. Асимптотика поля в окрестности каустики
В этом параграфе мы продолжим исследование высокочастотных звуко-
вых полей в плавно-слоистых средах. Будем исходить из интегрального
представления
1/2 +
— A7.1)
Как мы видели в ? 16 (см. A6.32) и A6.42)), акустическое давление,
создаваемое в неподвижной слоистой среде точечным монохроматическим
источником звука достаточно высокой частоты, представляется выражени-
ем A7.1) или суммой таких выражений, где г - горизонтальное расстоя-
ние между источником и приемником, z и z, - их вертикальные коорди-
наты, к0 - значение волнового числа в фиксированной точке слоистой сре-
ды, koq имеет смысл горизонтального волнового числа элементарной
гармонической (по горизонтальным координатам и времени) волны, из
которых складывается поле точечного источника.
Величина к0 в A7.1) является формальным большим параметром
(фактически <р имеет размерность длины, и истинный большой параметр
задачи безразмерен). Если функция F (ц) не имеет особенностей, переваль-
ные точки qs изолированы и значения <p(qs) вещественны, то асимптотику
звукового поля можно получить методом перевала, причем вклад в р
перевальной точки qs представляет собой звуковое поле на луче, задавае-
мом уравнением (см. п. 16.2)
' = '-B,21,<7,) = -(Э*/Э<7)<г = ,г,. A7.2)
Величина qs связана с углами скольжения луча иа горизонтах источника и
приемника соотношениями koqs = k(zt)cosxi = к(z)cosx•
17.1. Поле в окрестности неособой точки каустики. Лучевые формулы
дляр теряют смысл, когда
-O2W3<72L=<?i = 0. A7.3)
С геометрической точки зрения уравнения A7.2) и A7.3) определяют оги~
бающую семейства кривых A7.2), зависящих от параметра qs [146,
§ 17.1]. Огибающую семейства лучей называют каустикой или каустичес-
кой поверхностью. Определяя из уравнения A7.3) величину qs как функ-
цию z и z, и подставляя ее в A7.2), можно получить уравнение каустики
в виде т - гс (z, z |). Для точечного источника в слоистой среде каустика
является поверхностью вращения с вертикальной осью симметрии, прохо-
дящей через источник. Каждой точке каустики соответсгвует определенное
значение qs, характеризующее в то же время и луч, касающийся каустики
в данной точке. Если этот луч единствен, точка каустики считается неосо-
бой. Каустические поверхности без особых точек называют простыми.
364

Лучевая картина в окрестности такой каустики показана на рис. 17.1-
Обшим правилом является то, что простая каустика семейства лучей отде-
ляет область, куда лучи зтого семейства не попадают, от области, в каждую
точку которой приходят два луча: один, уже коснувшийся каустики, и
другой, только приближающийся к ней.
Многочисленные расчеты лучевых картин и связанных с ними каустик
в слоистых средах были проведены в связи с исследованием распростра-
нения звука в океане и атмосфере, а также ионосферного распространения
Рис. 17.1. Лучевая картина в окрестности не-
особой точки каустики
радиоволн. В различных случаях каустики найдены аналитическими мето-
дами для простых профилей скорости звука и численными — для более
сложных моделей сред. Значительное число примеров можно найти в
[52, гл. 6], [1, 53, 57, 58]. Топология каустик, образующихся при отра-
жении сферической волны от слоистых полупространств с линейной зави-
симостью скорости звука или квадрата показателя преломления от глу-
бины, а также при отражении от двухслойной среды с постоянными в обоих
слоях значениями градиента скорости звука, детально исследована в рабо-
тах [52, § 46], [74, 203]. Обзор результатов, полученных в других слу-
чаях, содержится в [151, § 13].
Неприменимость лучевых формул в окрестности каустики математичес-
ки можно объяснить сближением перевальных точек (значений qs, соот-
ветствующих разным лучам) под интегралом A7.1). На самой каустике,
согласно A7.3). перевальные точки сливаются. Чтобы найти поле в окрест-
ности каустики, нужно получить равномерную асимптотику интеграла
A7.1), справедливую при любом расположении заданного числа стационар-
ных точек. Для решения зтой задачи применим метод зталонн ых интегра-
лов, изложенный в § 11.
В случае неособой точки каустики в A7.1) могут сближаться две ста-
ционарные точки <7|i2: <р'(Я\ 2) = 0* На самой каустике обращается в нуль и
меняет знак в ее окрестности производная f>"(q). Третья производная
^"(ч) ^0 вблизи каустики. (В противном случае уравнение A7.2) для
стационарных точек имело бы больше двух решений в рассматриваемой
области пространства.) Стационарные точки будем нумеровать так, что
^(<7г) ^ ^(<7i) на озвученной стороне каустики. Из двух лучей, приходя-
щих в точку наблюдения, больший фазовый набег имеет луч, коснувшийся
каустики. По мере приближения к ней разность <p(q2) - t^fai) стремится
к нулю.
Эталонный интеграл с двумя седловымн точками A1.87) выражается
через функцию Эйри (о ее свойствах см. п. 3.5):
07.4)
Седловые точки s = ± (_ /) '/2 вещественны при / < 0 и чисто мнимы при
365

/ > 0. При / = 0, сливаясь, они дают вырожденную перевальную точку.
Для сведения интеграла A7.1) к эталонному положим р = к0 и сделаем
замену переменной q = q (s) согласно равенству
q). A7.5)
Следуя обшей схеме метода эталонных интегралов, параметры / и <р0 вы-
берем так, чтобы замена переменных переводила стационарные точки эта»
лонного интеграла в стационарные точки исходного.* <7i,2 =<7('i,2)> или
= ± Va(- 'K'2 + V>o. si,2 = М- tI'2. A7.6)
Отсюда получаем
2/ A7.7)
Случай / < 0 имеем, когда разность фаз ^(<72) -«^(<7i) вещественна, т.е.
в точку наблюдения приходят два вещественных луча; случай / > 0 -
когда разность ${яг) — <^(<7i) чисто мнима, т.е. точка наблюдения нахо-
дится на теневой стороне каустики. При таком выборе параметров, как
в A7.7),производная
v(t + s2W(q) A7.8)
является регулярной и не обращающейся в нуль функцией s. В дальнейшем
нам понадобятся значения dqjds в стационарных точках. Вычисляя пределы
по правилу Лопиталя, из A7.8) находим
Я\1,)"\21/Ь\я,)\4\ /=1,2, /*0,
ЯХО)-\2Ь"\Я1)\113. 1 = 0. <17-9>
Перейдем в A7.1) к интегрированию по s. Тогда
p(r,z,zt) =
= (fco/rI /2exp(iJt0^0 - Ar/4) *f ds Ф(«) exp [ikav{st + s3 /3)]. A7.10)
Функцию Ф(«) =F(q)dq/ds представим в виде
1/2ц +Л(«). A7.11)
Остаток R(s) обращается в нуль в обеих стационарных точках s(a2.
Поэтому
*Х 07-12)
гдеФ| - регулярная функция. При подстановке A7.11) в A7.10) интеграл
от первого слагаемого дает у-«(ук0, [),от второго — выражается через
Э#4/Э/, а вклад третьего слагаемого интегрированием по частям приводит-
ся к виду
A7.13)
34*

В результате получаем
р - (л/гI'2*?/бехр[;*0*0 -т/4] {[Ф(*,) + Ф(!2)] v(tk&3) -
-/(-/Г1/а*Ь 1/3[Ф(*|)-Ф(*01 «>'('*2'3)>[1 +О(*о'I. A7.14)
Чтобы найти дальнейшие члены асимптотического разложения, интеграл
A7.) 3) нужно преобразовать так же, как A7.10).
Когда стационарные точки далеки, т.е. кр \t\> 1, функции v и t/
в A7.14) можно заменить асимптотическими разложениями C.107) и
C.108). Сохраняя в них только главные члены, при учете A7.7) и A7.9)
получаем для / < 0
р *Bл/гI>2 {F(qt)exp [1к^(Я1)] |r'(qt)Г'/2 +
+ F(qt)exp[/*0?(<?з) - Аг/2] | r'(q2) Г1 '2 }. A7.15)
Эта асимптотика в точности соответствует результату, полученному в
п. 16.2 методом перевала. Мы видим, что вдали от каустики на ее озвучен-
ной стороне акустическое поле является суммой двух лучевых слагае-
мых; ЛО(^(<7|э2) представляет собой геометрический набег фазы вдоль
лучей. Луч, соответствующий стационарной точке Я%, целиком находится
в области применимости геометрической акустики. Для комплексной ам-
плитуды поля на нем A7.15) дает обычное геометро-акустическое выра-
жение. Луч, соответствующий q2, коснулся каустики. Как видно из
A7.15), пребывание в области неприменимости геометрической акустики
отразилось только в дополнительной потере фазы я/2.
В случае, когда / > 0, кУ31 > 1, т.е. на теневой стороне каустики, полу-
чаем из A7.14) и C.108)
1'2 ... Г 2 .,., иг
*(Sl} r p IIiWo ~ з к° ~ Т
1
Поле мало и экспоненциально убывает при удалении от каустики. Из двух
комплексных стационарных точек вклад в поле дает та, где Im^(^) > 0.
С точностью до слагаемого (- я/4) фаза поля та же, что и ^D1,2) при t =
= 0, т.е. в соответствующей точке на каустике.
Область 11 |-<C Jfco . где нельзя воспользоваться асимптотикой функции
Эйри, - зто неограниченно сужающаяся с ростом частоты окрестность каус-
тики. В ней | <72 - Я\ I "^ '>и медленно меняющиеся множители при вив'
в A7.14) можно заменить их значениями на каустике, т.е при q = q0 =
3,@):
2F'(<7o) fo'@)]2 + 2F(qo) q"@).
Согласно A7.3), имеемг(</) =r(qQ)+ 0,5r"(qQ) (q -q0J + O((q -q0K).
Используя зто равенство и A7.7), для аргумента функции Эйри получаем
кУЧъ»\ 2kllr\qo)\43[r-r(qo)]. A7.17)
Таким образом, в области неприменимости геометрической акустики поле
3*7

описывается локальной асимптотикой
В фигурных скобках доминирует первое слагаемое. Учет второго слагае-
мого позволяет рассчитывать поле в окрестности каустики с относительной
погрешностью, равной погрешности первого приближения геометрической
акустики вдали от каустики. Это слатаемое существенно для волн умерен-
ных частот. Из свойств функции Эйри следует, что при / < 0 поле имеет
осциллирующий характер. Максимальное значение \р | достигается в озву-
ченной области вблизи каустики при k^3t =* — 1,02. При / > 0 поле моно-
тонно спадает. В окрестности каустики интенсивность звукового поля зна-
чительно возрастает (пропорционально большому параметру ?о'3)< но
остается конечной. Фактически выражением A7.18) нужно пользоваться
только в малой окрестности каустики, а вне ее - использовать формулы
лучевого типа. Сравнивая значения функции Эйри и и главного члена ее
асимптотики для больших значений аргумента, легко убедиться, что сшив-
ка решений при Л2.'3/ - - 1 дает относительную погрешность 4%, а при
k\lzt = - 3 - уже 1,25%. Несколько выше погрешность сшивки на теневой
стороне каустики. При kVbt - 1 она составляет 9%, а при kVbt - 3 пог-
решность равна 1,8%. Об экспериментальном подтверждении формулы
A7.18) см. [26].
С каустикой рассматриваемого вида мы уже встречались в п. 9.2, где
объектом исследования было звуковое поле с гармонической зависимостью
от горизонтальных координат. Для такой волны лучи параллельны, пос-
кольку характеризуются одним и тем же значением q, и каустик, согласно
A7.3), представляет собой поверхность z * const, т.е. плоскость (гори-
зонт) поворота.
Чтобы рассчитать поле на каустике и в ее окрестности по формуле
A7.14), совсем необязательно предварительно иметь интегральное пред-
ставление A7.1). Пусть нам известны геометрические набеги фазы
ко<р(Я\,г) и амплитуды поля на двух лучах dl>2 ~ B»r/r)l'2Ffai,2)X
XI»"'D*1,2) I'2 (см. A7.15)). Фаза kOf>o и аргумент функции Эйри вы-
ражаются через геометрические набеги фаз формулами A7.7). Выражая
Ф(*1,г) чеРез^1.2 спомошыо A7.9), получаем при t <0
- гп/] [(
-d2)(-/Г1/4. A7.19)
Коэффициенты А и В принимают конечные значения, хотя и являются
произведениями стремящихся к нулю и к бесконечности величин. Соотноше-
ние A7 19) позволяет вычислить поле на озвученной стороне каустики, где
в каждую точку приходят два луча. На теневой стороне из-за быстрого спа-
дания поля представляют интерес только весьма малые значения /. В этой
368

области значения плавных функций координат; <р0, /, А и В - могут быть
получены экстраполяцией с озвученной стороны. Таким образом, решение,
найденное в приближении геометрической акустики, являясь само по себе
неудовлетворительным в окрестности каустики, содержит, тем не менее,
всю необходимую информацию для описания волновой картины в этой
области.
Условия применимости полученного выше равномерного асимптоти-
ческого разложения поля в окрестности каустики состоят, во-первых,
в требованиях плавности и малости изменения свойств среды на расстоя-
ниях порядка длины звуковой волны, что необходимо и для применимости
лучевой акустики вдали от каустики, и, во-вторых, в отсутствии других
особенностей лучевой структуры в окрестности каустики, где kV3\t |^C 1.
Так, формула A7.19) не работает в типичном для дальнего волноводного
распространения звука случае сближения каустики (см. [52, § 45]). Усло-
вия применимости асимптотики A7.19) рассматривались также в работе
[107]. Придать им количественную форму позволяет метод эталонных
интегралов. Именно, критические точки подынтегрального выражения в
A7.1) должны быть изолированы от qx и дг, а второй член асимптотичес-
кого разложенияр должен быть мал по сравнению с приведенным в A7.14)
и A7.19) главным членом. Соответствующие неравенства нетрудно выпи-
сать, используя материал §11. Так, малость второго приближения означает
выполнение неравенств (см. A7.11 )-A7.13)) kZl |Ф1(*1,2I "^ 1Ф(*|,2I-
О строгих оценках для отклонения р от асимптотики в одномерном случае
см. § 9.
Исследование поля в окрестности простой каустики имеет долгую ис-
торию, восходящую к статье Эйри [281], и обширную литературу. Помимо
большого физического интереса оно представляет значительную ценность
для приложений, поскольку геометрическая акустика, модифицированная
учетом особенности поля на простой каустике, позволяет описать высоко-
частотные звуковые поля в весьма широком круге задач. Рассматриваемой
проблеме посвящены работы [81, 361, 441, 442, 546 и др.]; она освещена
в монографиях [19, 52, 168 и др.]. Равномерное асимптотическое разложе-
ние интеграла с двумя близкими стационарными точками было получено
в [330, 256]. Волновое поле в окрестности каустики на основе равномер-
ной асимптотики, по-видимому, впервые было исследовано Кравцовым и
Людвигом [147, 150, 442]. Обобщение на случай распространения звуко-
вых импульсов рассмотрено в работах [206, 266,498].
17.2. Метод эталонных функций. Высокочастотное волновое поле в
произвольной плавно-неоднородной среде может быть представлено в виде
интеграла A7.1) методом канонического оператора Маслова [189, 192].
Поэтому формула A7.19) п. 17.1, прн выводе которой использовано толь-
ко существование интегрального представления, описывает звуковое поле
в окрестности простой каустики не только 8 слоистой, но и в трехмерно-
неоднородной среде.
Представляет, однако, интерес и другой подход, вообще не обра-
щающийся к интегральному представлению при построении асимпто-
тики поля. Именно этот метод эталонных функций (или эталонных
задач) был использован в упомянутых выше работах [147,442]. Он являет-
ся прямым обобщением геометрической акустики.
24. JLM. Бреховских 369

Звуковое поле при наличии простой каустики будем искать в в иде
A7.20)
/•о
где независящие от к0 функции координат источника и точки наблюдения
^о» 'о, Aj и Bj подлежат определению. Исходная форма решения A7.20)
выписана по аналогии с A7.19). При / = const. В, = 0 она совпадает с гео-
метро-акустическим анзацем (см. п. 16.1). Переход к лучевому решению
происходит также при достаточно больших значениях |/| (fc?/3|/|> 1),
когда функцию Эйри можно заменить разложениями C.107) и C.108).
Если / < 0, A7.20) дает асимптотически поле двух лучей, а при / > 0 -
экспоненциально малое поле, которое можно сопоставить комплексному
лучу:
2
] 2 Аехр<;*оиA)(/)|/^A)>,
1 = 2 L 3 ] 2
/<0, A7.21)
[1 + О(к? )] Я, ехр [ ik,L0 + у /3'Л j, / > 0, A7.22)
D,,2 - 0,5И0(- /Г1'4 ±В0(-
Для простоты будем считать плотность среды постоянной, а скорость
течений равной нулю. Тогда звуковое давление подчиняется уравнению
Гельмгольца
Ap + kln2(r)p = 0, A7.23)
где п - показатель преломления. Подстановка A7.20) в A7.23) приводит
к уравнению
v {i*oД<А> • А + # [я2 _ (V*, J + r(V/J ] А + АА +
+ 2*oV<oo (:VA +kotVf В)-ikoBtVtVB +BV(tVt)} -
- /*o ' /3v' {ik0A^B + jt2 [я2 - (V^0)a + /(V/J ] В + AB +
+ 2*0V^o(/VB - koA Vt) + iko(A A t + 2 V/ VA)} = 0. A7.24)
Здесь через А и В обозначены суммы рядов в A7.20). Приравнивая коэф-
фициенты при наивысших степенях к0 (к\ и к\' ), получаем
=0,
Vt V^o = 0. A7.25)
Поскольку Ао Ф 0, из системы A7.25) следует
пг = (V^oJ - t(VtJ, Vt V^o = 0. A7.26)
Приравнивая коэффициенты при степенях к\~1 и *о'3"'» / = О, 1, 2,...
и учитьшая A7.26), получаем систему зацепляющихся линейн-ых уравне-
370

ний для нахождения амплитуд A/, Bj:
+ А; Д^о -2tVtVBf- Bf V(/ V/) = - Af_,,
+2VtVA,+AlAt=-AB,_1, A7.27)
гдеЛ_, =B_t =0.
Первое из уравнений A7.26) аналогично уравнению эйконала п2 -
= (Vi^J. По физическому смыслу задачи последнее имеет два решения:
1i,2 (г) - которые, как и амплитуды полей различных приближений d\'\
на соответствующих лучах, мы будем считать известными. Для определен-
ности примем, что v>2 - Vi > 0, когда v? i,2 вещественны. Введем функцию
Л = 2(- /K'2/3. Из A7.26) тогда вытекает, что *р0± h являются реше-
ниями уравнения эйконала. Следовательно, решение системы A7.26)
можно выразить через известные функции v>i,2
Л = («Л - ^i )/2. A7.28)
Как и следовало ожидать, / обращается в нуль на каустике, где i^i =1^2-
Уравнения A7.27) аналогичны уравнениям переноса (см. п. 16.П и
переходят в них при t - const. Используя обозначения aj - (-f)~ Л/,
bj - (— /) Ч*В/, представим A7.27) в симметричном виде:
2 V^o Va, + af Д^о - 2VA Vb, - b, ДА = - (- t)~' '4 AA,_,,
2V^o Vb} + Ь/А^- 2VhVaj-a, ДА = - (-1I '4Д5/_,. A7.29)
Дня функций а0 **о из A7.28) и A729) получаем
, V(a0 +bo) + (ao+bo) Д^, = О,
О, A7-ЗО>
т.е. обычные уравнения переноса. Следовательно, амплитудные множители
нулевого приближения выражаются через лучевые амплитуды: д0 * Ьо =
° ,или
Нормировка решений уравнений A730) выбрана так, чтобы при удалении
от каустики звуковое давление р(к0,г) A7.20) переходило в лучевые
формулы, т.е. чтобы в A7.21), A7.22) выполнялись равенства?>, 2 =
= '#¦
Складьшая и вычитая уравнения A7.29), для функций а} ± bj получаем
уравнения, отличаюшиеся от A730) только наличием ненулевой правой
части - (- t)~xl*AAj-\ + (- /)|'4Дб/_1. Как и в п. 16.1, оба уравнения
переноса сводятся к обыкновенным дифференциальным. При известной пра-
вой части их решения выражаются через интеграл вдоль луча. Таким образом,
A7.31) и A7.29) позволяют последовательно найти в квадратурах амплиту-
ды всех приближений Af, В) в A7.20). Можно показать, что и в общем слу-
чае аргументы эталонных функций выражаются через решение уравнения
эйконала, а для амплитуду!;, В/ получаются обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения, решения которых можно выразить через лучевые амплиту-
ды <*</> [442,150,78].
Сопоставим полученные результаты с формулами п. 17.1. Сравнивая
A7.7) и A7.28), видим, что'оба подхода дают идентичные выражения для
24* 37t

?>о и аргумента функции Эйри. При t <0 величины rf1>2 «rfj^, и амплитуд-
ные множители Л и .S в A7.19) совпадают с амплитудами первого приб-
лижения Ао и Яо A7.31). При / > 0, как следует из определения величин
rf,>2 и соотношения A7.14), yt = /1/4(<*1 + d2), В = ///4 (d2 -rf,). Под-
ставляя зти выражения в A7.22), получаем Z), = ^exp (- ijr/4). Следо-
вательно, A7.16) и A7,22) дают одинаковые асимптотики поля на тене-
вой стороне каустики. Формулы A7.15) и A7.21) приводят к идентичным
асимптотикам поля на ее озвученной стороне. Из A7.28) видно, что допол-
нительный фазовый сдвиг — тг/2 имеет луч с эйконалом \рг - *р0 + Л > \р1.
В точке наблюдения \(>i больше значения эйконала на каустике <io> T-e-этот
луч уже коснулся каустики и удаляется от нее.
Некоторое время тому назад применительно к слоистой среде имела
место оживленная дискуссия [510, 530, 548] о том, где теряет луч фазу
я/2 - в точке поворота или при касании каустики. Возможно, этот вопрос
и не заслуживал бы упоминания, если бы ошибочная трактовка не встреча-
лась даже в очень солидных работах (например, в [247, гл. 2, 5]). Ясно,
что скачок фазы может происходить только в области неприменимости
лучевого подхода. Если точка поворота не лежит на каустике, то лучевые
выражения для звукового поля не имеют в этой точке никаких особен-
ностей. Следовательно, погеря фазы в гг/2 не может быть связана с точка-
ми поворота. Наиболее ярко это проявляется в однородной среде, где лучи
Прямолинейны, точки поворота отсутствуют, но при касании лучом каусти-
ки происходит обычный скачок фазы [168, § 59], [58, § 4.5]. То, что фазы
претерпевают скачок именно на каустике, мы видели и в п. 16.2.
Если луч касается каустик неоднократно, дополнительные фазовые
сдвиги складьшаются. Каустический сдвиг фазы может быть найден не толь-
ко из интегрального представления или равномерной асимптотики поля,
как это было сделано выше, но и другими способами: методом каноничес-
кого оператора [192] или путем обхода каустики в комплексном прост-
ранстве при помоши аналитического продолжения решений волнового урав-
нения [18]. В изотропной среде, когда лучевая структура поля имеет более
сложные особенности, чем простая каустика, а также в анизотропных сре-
дах каустический сдвиг фазы может принимать и другие, отличные от
(- я/2) значения [431> 208], [151, § 4]. В п. 17.3 будет рассмотрен один
пример такого рода: скачок фазы на луче, проходящем через фокус. Сдвиг
фазы на каустике, как правило, мал по сравнению с геометрическим набе-
гом фазы вдоль луча. Тем не менее этот сдвиг может существенно сказать-
ся на интерференционной структуре поля. Будучи частотно независимым,
сдвиг приводит к сильной деформации звукового импульса, бегущего по
лучу (см. § 5).
Важной составной частью построения асимптотики звукового поля ме-
тодом эталонных функций является исследование условий регулярности
полученного решения. Не углубляясь в этот вопрос (подробный анализ
см. в [19, гл. 2]), отметим только следующие основные моменты. Когда
<р0 (г) и / (г) являются гладкими функциями и V/ Ф 0, как в окрестности
простой каустики, величина ДА = - (-тI'^/ + (V/J/2(- ZI'2 стре-
мится к бесконечности при / -*¦ 0. Поэтому на каустике обращаются в бес-
конечность функции Д^1,2, входящие в уравнении переноса для амплитуд
372

^\, и сами амплитуды d^\, причем порядок сингулярности тем выше,
чем больше /. Соотношения 'A7.26), A7.28) как бы выделяют в эйконалах
регулярную (i^o) и имеющую корневую особенность (А) части. Коэффи-
циенты уравнений для амплитуд A7.27) не имеют особенностей на каусти-
ке. Поэтому A7.27) приводит к регулярным решениям Л/ (г), В,(г). Если
разность эйконалов для двух лучей, приходящих в точку наблюдения,
при приближении к каустике стремится к нулю не по закону | г — ^(<7о) I3'2,
как в рассмотренном выше случае (см. A7.17)), то функция/ (г), вообще
говоря, теряет регулярность, и для построения высокочастотной асимпто-
тики поля нужно брать отличную от A7.20) исходную форму решения.
Такие ситуации возникают в окрестностях более сложных каустик, о кото-
рых речь пойдет ниже.
Строгое математическое обоснование метода эталонных функций при
построении локальных асимптотик дано в работах [20, 319]. В рамках
рассматриваемого подхода (как правило, на физическом уровне строгос-
ти) решено большое число задач (см. [36, 147, 150, 205-211, 264, 280,
401, 432, 441, 442]). В качестве эталонных наряду с традиционными спе-
циальными функциями использовались упомянутые в § 11 новые специаль-
ные функции, а также другие функции, определяемые своими интеграль-
ными представлениями вида A1.1). Читателю, желающему подробно оз-
накомиться с методом эталонных функций, следует обратиться к книге
[19].
Этот метод с успехом используется также для асимптотического реше-
ния обыкновенных дифференциальных уравнений [420, 443]. Рассмотрим
в качестве примера звуковое поле волны с гармонической зависимостью
exp(ikoqx) от горизонтальных координат в окрестности точки поворота
в слоистой среде. Эта задача с других позиций рассматривалась в п. 9.2.
Решение будем искать в виде A7.20). Заметим только, что, если отказаться
от требования ограниченности/? во всем пространстве, функцию и в A7.20)
можно заменить на обшее решение уравнения Эйри atv + а2и (см. п. 3.5).
Эта замена не сказывается на справедливости соотношений A7.25) —
A7.31). Характер влияния движения среды и стратификации плотности
на поле вблизи точки поворота был выяснен в § 9. Поэтому здесь мы не
будем принимать эти факторы во внимание. Обозначим zr горизонт пово-
рота : п {гг ) *= q. Для определенности примем, что n(zr) > q при z > zr .
В рассматриваемом случае амплитуды Af-, Bjt d\'\ зависят только от
вертикальной координаты г; лучевые решения - зто решения в прибли-
жении ВКБ (см, § 8):
ft ,2 ¦ Qx Т / yfn2 - q2 dz, d<0) = d<0) = С(я2 - q2 )~ */4, С = const.
X' A7.32)
Из формул A728), A731) получаем
2/3
= qx, t = - { ф2 ~q2 dz sgn(zr - z),
0. A7.33)
Если n {zr) Ф 0, то f = O(z - z,.) и j40 принимает на горизонте поворота
373

конечное значение. В противном случае нужно брать отличную от A7.20)
исходную форму решения. Поскольку VifoVAj - VBjV^p0 - 0, А^о = 0»
уравнения A7.27) для амплитуду!/ и Я)- расшепляются:
itt'B'j + B/itt'f - А /_,, If А) + Aj t" • - Я,_,. A7.34)
Штрихом здесь обозначены производные по z. Поскольку Во = 0, второе
из уравнений A7.34) дает А\ = 0. Тогда из первого уравнения A7.34)
следует, что Вг = 0 и т.д. Вообше, ^42/ + 1 н^2/ = 0, / = 0, 1, 2, . . . Строго
говоря, соотношения A7.34) определяют амплитуды Aj, Bj с точностью до
произвольных решений соответствующих однородных уравнений. Мы пред-
полагаем, что на некотором горизонте заданы нулевые начальные значения
A2j+\, B2j- Это имеет место, например, при падении плоской волны на
слоистое полупространство. В обшем случае А\ (г) = const • Ао (г), где
значение константы должно выбираться так, чтобы удовлетворить гранич-
ным условиям.
Таким образом, равномерное асимптотическое разложение звукового
поля при наличии горизонта поворота принимает вид
р(к0, г) - const • k0l6exp(ik0qx) {[a,u(/fco'3) +
+f (-*?)-%>,) . (П.35)
/'0 '
Главный член в A7.35) в точности соответствует полученной методом
эталонного уравнения формуле (9.24). Учет следующего члена, пропорцио-
нального *о '32?i, при |/fc2/3l-^l (когда и ^ 1, v ^ 1) дает поправоч-
ный множитель 1 + О{к^А1ъ). Когда | tkV3 I > 1, этот множитель, соглас-
но C.107). C.108), равен 1 +О(ко '). При необходимости амплитуды
2?2/+ь Л а/ старших приближений можно легко последовательно отыскать
из уравнений A7.34).
Аналогично может быть построена равномерная асимптотика звукового
поля с гармонической зависимостью от горизонтальных координат в среде
с двумя горизонтами поворота, Для этого в исходной форме решения
A7.20) вместо функций Эйри нужно использовать функции параболиче-
ского цилиндра. Главный член асимптотики совпадает с (9.37), а коэффи-
циент при производной зталонной функции будет пропорционален ко'2.
Подчеркнем, что все три метода: эталонных уравнений, эталонных ин-
тегралов и эталонных функций — тесно связаны между собой. Решая одно-
мерное волновое уравнение методом Лапласа [131, ч. 1, § 19], исследова-
ние «го высокочастотной асимптотики можно свести к анализу интеграла
вида A1.1). Связь первых двух методов с третьим была проиллюстрирова-
на выше. Метод эталонных функций является довольно универсальным,
но мало наглядным. Во многих задачах ои позволяет сравнительно просто
вычислить коэффициенты асимптотического разложения интегралов и
решений дифференциальных уравнений, однако анализ условий примени-
мости полученного результата оказывается более сложным, чем в других ме-
тодах. Кроме того, заранее должна быть известна исходная форма решения.
374

17.3. Фокусировка звука в окрестности каустического острия и других
особенностей лучевых структур. Типичной особенностью каустических
поверхностей являются острия, или клювы. В сечении эта особенность
дает точку возврата каустики. Для точечного источника в слоистой среде
точки возврата образуют окружности, лежашие в горизонтальной плос-
кости. При волноводном распространении клювов может быть сколь
угодно много. Лучевая картина в окрестности точки возврата О каустики
показана на рис. 17.2. Каустика изображена жирными линиями. Выше
ветви ОА каустики через каждую точку проходит один луч (например, SS'),
касающийся ветви ОВ. Аналогично, ниже ОВ через каждую точку про-
ходит луч, касающийся ОА. Между ветвями ОА и ОВ через каждую точку
проходят три луча. Два нз иих касаются "ближней" ветви каустики, тре-
тий - дальней ветви. В точке О трн луча сливаются в один, который служит
обшей касательной для ветвей ОА и ОВ каустики.
Для исследования характера фокусировки высокочастотного звукового
поля применим метод эталонных интегралов. Чтобы решить задачу, нужно
построить асимптотику интеграла вида A7.1) с тремя перевальными точ-
ками q -q j,2,3- В вершине О каустического острия все три перевальные
точки сливаются, производная у" {q) обращается в нуль. Поэтому обычная
каустическая асимптотика A7.14) не годится для расчета поля в окрестно-
сти точки О.
Как отмечалось в п. 11.3, эталонным для задачи с тремя стационарными
точками является интеграл Пирсн A1.91):
/~ехр[i(s*+Xs2 + Ys)]ds.
A7.36)
ПриХ= У=0,согласно A1.7),/ = 0,5ехр (/*г/8) ГA/4) «* 1,813ехр(/тг/8).
Когда Y - 0, при помощи замены переменной s - u1/2 интеграл Пирси легко
выразить через функцию параболического цилиндра Z>_I/2((l-f )Xj2)
(см. A1.66)), которая может быть заменена функциями Бесселя порядка
±1/4 [240, гл. 19]. Прн Y Ф О интеграл Пирси не сводится к традиционным
специальным функциям. Линии уровня модуля и фазы / (X, Y) были рас-
считаны в [466]. Они показаны на рис. 17.3 и 17.4. Поскольку I(X, Y) -
- I (X, - У), показана только область Y > 0. В дальнейшем нам понадобятся
также производные Iх ^Ы/Ш и /у = Э//ЭУ. Для них линии уровня
построены в работах [115, 336, 337].
Рис. 17.2. Лучевая картина вблизи
точки возврата каустики. Смысл
координат X и Y поясней в тексте
375

5*321 0 1 234567s
Рис. 17.3 Модуль интеграла ПирсиДЛ', У) в окрестности точки касания каустик

-7 -в -5
s -г ~t о 1 г з
Рис. 17.4. Фаза интеграла Пирси (в градусах)

Для сведения интеграла A7.1) к A7.36) сделаем замену переменной
q s q (s) согласно равенству
<P(q) ~ 4>о -"(** + Xs2 + У*). A7.37)
Будем считать, что при вещественных q функция <р принимает веществен-
ные значения. Параметры X, Y и <р0 должны быть определены так, чтобы
стационарные точки <р переходили в стационарные точки s t 2 э правой части
A7.37):
,) - ЧХ> - "(*/ + Xs) + Ysf), / = 1,2,3; i> = sgn d\(q,)/ Э?4. A7.38)
Поскольку в окрестности каустического клюва сближаются только три
перевальные точки, то производная tfipjbq* в рассматриваемой области
не мала и, следовательно, не меняет знак. Величины S/ выражаются через
X и Y как корни кубического уравнения
4s3+2A5 +Г = 0 A7.39)
при помощи формул Кардано [146, § 1.81:
1 V3
*i =C, +C2. sli3 -- -(С, +Ci)±/ — (С, - С,).
A7.40)
С,»(ЛГ/6)»*<178)а.
Корни обладают очевидными свойствами
Si +sj +sj =0, S|s7 *s2s3 +S|s3 =X/2. stSjSj »-У/4. A7.41)
Два корня совпадают при условии Су - 0- Таким образом, соотношение
8*э+27Г2 =0 A7.42)
служит неявным уравнением каустики. В координатах (X, Y) она пред-
ставляет собой астроиду. При Сз < 0, т.е. между ветвями каустики, все
три корня действительны. При Сэ > 0 корни s2 и s3 - комплексно-соп-
ряженные величины. При X — Y = 0 мы имеем точку возврата каустики.
Чтобы производная q'(s) не обращалась в нуль, седловые точки q, необ-
ходимо нумеровать следующим образом. Когда все q, вещественны,
наибольшему <fy соответствует наибольшее 5/, а наименьшему <7у — наи-
меньшее Sj. Если <7, вещественно, a q2 = <73* > то * i вещественно, 52 = 5|,
причем sgn Im s2 - sgn Im q2 •
Наиболее сложной частью построения равномерной асимптотики оказы-
вается определение параметров эталонного интеграла. Чтобы избежать
решения системы трех иррациональных алгебраических уравнений, для
определения X, Y, <р0 целесообразно вместо подстановки в A7.38) гро-
моздких выражений A7.40) перейти к уравнениям, содержащим симмет-
рические функции корней [146, § 1.61 4„ = ? s]*, которые выражаются
через целые степени X и Y. Первое искомое уравнение получается сумми-
рованием трех уравнений A7.38), второе и третье - суммированием соот-
ветственно квадратов и кубов исходных уравнений. Входящие в результат
378

величины Ао, А,, . . . ,А12 легко вычисляются при помощи рекуррентной
формулы
4я + ,= -XAn_J2-YAn _3/4, п = 2,3,...; Ло =3, Л, =0, Л2 =-*,
A7.43)
вытекающей из A7-41). Действительно,
/=1
0-
После простых выкладок находим
27* Г2 = *4-24Д2,
A/288)X6 + A5/64)*3 Y2- (81/256) У4
A7.44)
A7.45)
A7.46)
где параметры
Я, -'/з I
вешественны как при вещественных
Подставляя A7.45) в A7.46),лолучаем
A7.47)
?>* (<7з)-
M<7/)-*i]2, Яэ»^
, так и в случае#(q2
— 2 ?iY-l г*4 в3 I2 = 2 э 1/3
16+ з 6/~3l4 + e2+eJ' 3-2)
A7.48)
Уравнение A7.48) эквивалентно двум квадратным, причем все вещест-
венные решения дает уравнение
/&У Д^ X2 1 _, т
V 4/ Э3246 2
A7.49)
Его коэффициенты являются непрерывными функциями параметров В2
и В%, Физический смысл имеют неотрицательные значения Л*2. Их дает фор-
мула
X2 =
^ (В2
3
BВ2 - Q
3
- QB2 + С2).
A7.50)
По известному значению X2 величина <р0 определяется из A7.44), а У2 -
из A7.45), если X2 Ф 0. При X2 = 0 из A7.46) следует, что Y2 =
= 16(— ByI'219. Знак У, как мы видели выше, несуществен. Что каса-
ется знака X, то его можно определить при помощи A7.45): sgnA" -
= sgn(A — 24Д2). Исключением будет только случай Я = 24Д2, соот-
ветствующий Y = 0. Здесь для определения знака X приходится обратить-
ся к исходным уравнениям A7.38) и A7.39). В рассматриваемом случае
379

X = - B4Д2)''4. если все три значения ^ (<?/) вещественны, н Х =
= B4Я2I'4,если^(<72)=**(<7з)-
После замены переменных q ~ q(s) интеграл A7.1) принимает вид
р = (*0/гI/2ехр(/Ло^о-iff/4) / ds*(s)ew{tko»(f + Xs2 *Ys)],
A7.51)
Как обычно, выделим в Ф(з) существенную при интегрировании часть;
,)Ы
E, - 5j)(S| - S3) (S2 - S,)(S2 -
- S,)(S-S,)
A732)
Остаток Л является регулярной функцией s и обращается в нуль в точ-
ках ^|,2,з- Поэтому регулярной будет и функция R, (s) такая, что
R(s)= 4E- 5,)E - s2)(s - 5Э)Л,E) = D5Э + 2Xs + У)Л|(«). A7.53)
Интегрируя по частям, находим
/ dsR(s)exp[ikov(s* + Xs2 + Ys)) =
—ел
= i(kovyl f dsR\ (s)exp[ikov(s* + Xs2 + Ki)]. A7.54)
Подстановка A7.52) в A7.51) при учете A7.36) и A7.54) дает (»> = 1):
Р = (Ло/г2I/4 ехр AЛо^о - /#/4) @, /(Jfc<5/2X, Jfc03/4 У) +
+ ik»ll*D2IY(kll2X,kZf* Y) + ik»1/2D3Ix (kxJ2Xtk%l* Y))\\ + O(tj')].
A7.55)
При p = - 1 функцию / в A7.55) следует заменить на комплексно-сопря-
женную величину /*, 1Х — на (-1*х),1у — на (~^у)- Коэффициенты ?>1,2,з
равны
X [(*, - i,)(i, - 5э)(*э - *i)]"', A7.56)
02 = [ФЫС2» -11)+Ф(»а)A| -«1) + Ф(*э)(*1 - s\))X
X [(«I -52)(*2-5Э)Eз -II)]"',
D3 =[ ФE,)($2 - 5Э) + ФE2)EЭ - 5.) + ФEЭ)E, - 52)J X
X [E, - s2)(s2 - s3)(s3 - s,))-1.
Здесь ?>1,2.э являются медленно меняющимися функциями координат
точки наблюдения и не зависят от к0. Они не имеют особенностей на каус-
тике. В ее точке возврата, как легко проверить,
01 = Ф@), D2 = - Ф'@), D3 = - 0,5Ф"@).
360

Следующий член асимптотического разложения р можно получить, за-
менивФE) в A7.55) наФ(*) + i(kov)'lR\ (s).
Вблизи каустического острия (X = О, Y = 0) в A7.55) доминирует сла-
гаемое, пропорциональное р,. Поэтому представление об амплитудной
и фазовой структуре поля в этой области можно получить по рис. 17.3
и 17.4, где каустика показана штриховой линией. Интенсивность звуко-
вого поля при X = Y = 0 пропорциональна большому параметру kxj2. Она
значительно выше, чем в неособой точке каустики, где |р|2 <*> к}/3. Мы
видим, что максимум интенсивности расположен не в самой точке воз-
врата, а при Y = 0, k\j2 X ** - 2. Интерференция тройки лучей слева от каус-
тики на рис. 17.3 и 17.4 обусловливает неравномерность поля в этой облас-
ти. Справа от каустики через каждую точку пространства проходит лишь
один луч, и поэтому поле изменяется в основном монотонно. Все входя-
щие в соотношения A7.55) величины: <р0, X, Y, r~^2Dlt2 э - ПРИ учете
равенства ФE/) = F(qf)\2(X + 6s ?)/./(<?,) Г Ч2 и формул A7.50) и
A7.40) выражаются через В/ и F(ql)\npl> (qt)\~l/2, / = 1, 2, 3, т.е. через
фазы и амплитуды трех лучей. Можно показать, что при удалении от точ-
ки X = Y = 0 асимптотика A7.55) переходит в сумму асимптотики A7.14)
и обычного вклада одного луча, а вдали от каустик — в сумму лучевых
полей (включающих каустический сдвиг фаз).
Равномерная асимптотика волнового поля в окрестности точки возвра-
та каустики впервые была построена, по-видимому, в работах [472, 337].
Ранее методом эталонных функций были получены алгебраические урав-
нения для определения значений аргументов интегралов Пирси и ампли-
тудных коэффициентов [442]. Отметим, что асимптотика A7.55), A756)
описывает также поле в окрестности фокуса цилиндрической линзы при
наличии аберрации. Подробнее об этом и об условиях перехода к геометро-
акустическим результатам см. [151, § 11].
Уже в рассмотренном выше случае каустического клюва определение
параметров X, Y, <р0 равномерной асимптотики из системы алгебраичес-
ких уравнений представляет нетривиальную задачу. Для большего числа
сближающихся перевальных точек решение соответствующих алгебраичес-
ких систем наталкивается на трудно преодолимые сложности, и приходит-
ся ограничиться локальной асимптотикой. Чтобы проиллюстрировать тех-
нику построения локальной асимптотики (см. § 11) в случае сложных
фокусировок звукового поля, получим ее для окрестности точки возвра-
та каустики не из A7.55), A7.56),а независимо.
Когда точка наблюдения находится в окрестности вершины каустичес-
кого острия, стационарные точки <7, 2)з близки между собой, а производ-
ная bi\plbqi мала. Целесообразно поэтому разложить tp(q) в ряд в окрест-
ности точкн.<7о.где bi\p{q0)lbqi =0:
a,=»(/?)"' ° ,
bql
\ A7.57)
Отметим, что а4 > 0. Поскольку <p(q) задано, q0 и коэффициенты at явля-
381

ются известными функциями координат точки наблюдения. Уравнение
замены переменной A7.38) запишется в виде (ср. A1.10))
Ys + Xs2 +54 = »lp(q0) - <А>] + ? a,(q - q0)'. A7.58)
Его решение будем искать в виде ряда
q -qo-bo *bvs*b2s2 +... A7.59)
Подставляя A7.59) в A7.58) н приравнивая коэффициенты при одина-
ковых степенях s, получаем бесконечную систему уравнений:
X-a2b\
0=2д26|
6| +a2Bb,b3 *b\)*aibA +boBa2b4 + \2a*b\b2 +5as6?) + ...,
6263) +
\0a5b\b2) + ....
A7.60)
Невписанные члены пропорциональны Ьо и старшим степеням Ьо.
В точке возврата каустики обращаются в нуль величины ах , а2,Ь0, X,
Y. Ограничимся вычислениями с точностью до квадратичных по д, н а2
членов. Для определения X, Y и ipo в этом приближении в первые три
уравнения A7.60) достаточно подставить значения 6, и Ь2 при ах =а2 =0,
которые легко отыскиваются из 5-го и 6-го уравнений. Приведем также
значение Ь3 при at =a2 = 0, которое понадобится нам в дальнейшем:
Ь, =я4-1/4, b2~-asl4al>2, Ь3 - Ge| - 8a,a6)l4all'\
'4 ' °
Пусть функция i^>(<7) задана, как в A7.1), а положение каустического ост-
рия определяется уравнениями г = rt,z = zt. В окрестности острия соглас-
но A7.57) а, «г - г, + 0, (z - z,),a2 ~/М* - г,),где/31J -постоянные.
Тогда уравнение каустик я A7.42) можно записать в явном виде
[D*402 - в,0,)<* - г,) - e,(r - г,)]3 + 63а|[г -Jrf + A(z- z,)]2 - 0.
A7.62)
Здесь значения коэффициентов д4 и as следует брать при г - rt, z = z,.
Для вычисления интеграла A7.51) функцию Ф($) также разложим по
степеням 5. Коэффициенты будем вычислять с точностью до линейных по
п\ и а2 членов. Из тождества A7.54) при Rt = 1 вытекает, что
+«
/ 53exp[iJfc0»;(s4 + Xs2 + Ys)]ds =
+»
= - / (Xsl2 + У/4)ехр [ikov(s* + Xs2 + Ys)]ds. A7.63)
—.00
382

Мы видим, что при малых X и Y интегралом от s3 можно пренебречь по
сравнению с интегралами от 1 и 5. Для первых трех членов разложения
Ф(х) при учете A7.59) имеем
\W F()oC ^^ A7.64)
Подстановка A7.64) в A7.51) приводит к локальной асимптотике зву-
кового поля в окрестности каустического клюва. Локальная асимптотика
сохраняет форму равномерной асимптотики A7.55), но параметры <р0,
Я" и У в ней определяются формулами A7.61), и коэффициенты Df —
соотношением
2=- [b\F'(?„) + 2b2F(q0)),
j A7.65)
По характеру сделанных при ее выводе приближений и по точности от-
носительно большого параметра к0, полученная асимптотика аналогична
формуле A7.18), относящейся к окрестности неособой точки каустики.
Если в последнем случае главный член асимптотического разложения вы-
ражается через низшую из необращающихся в нуль производных <Р - вели-
чину^'" (<7<>) — -r"(ffo)> т° аргумент X A7.61) интеграла Пирси зависит
не только от >р^^ (<7о). но и от >p^v^ (q0). В большинстве работ [302,
303, 335, 460 и др.], посвященных исследованию волнового поля в окрест-
ности точки возврата каустики, это важное обстоятельство осталось неза-
меченным. В разложении f(q) в ряд Тейлора авторы сохраняли только
пять членов вплоть до i^(iv) (q0) (q - <70L/24. Из выражения A7.61)
для X видно, что применимость формул, полученных таким образом,
ограничена случаем малых значений а$. Отбрасывание пропорциональ-
ных д5 и а6 членов в показателе экспоненты, согласно A7.65), приводит
также к ошибкам в определении коэффициентов D2 и /?з-
Локальная асимптотика волнового поля в окрестности точки возвра-
та каустики была корректио построеиа и исследоваиа в работах [156, 157],
где использовался отличный от примененного нами, ио эквивалентный
ему прием. Вместо разложения y(q) и q(s) в ряды, в [157] уравнение за-
мены переменной A7.37) дифференцировали по иабору параметров {ак},
от которых зависит значение интеграла A7.1), и вычисляли производ-
ные дХ/дак и Ъ Y/дак в точке возврата каустики. В качестве параметров
ак можно взять коэффициенты а1 и а2 или координаты точки наблюдения.
Рассмотренные выше простая каустика и каустика с острием, где в точ-
ке могут сливаться два или три луча, представляют собой два простей-
ших типа особенностей лучевых структур. Людвиг [442] свел к решению
алгебраических уравнений построение равномерной асимптотики волно*
вого поля в весьма общем случае каустик, где сливается произвольное чис-
ло лучей. Полная классификация каустических поверхностей, порождае-
мых бесконечно-дифференцируемыми функциями <р (q), была даиа тео-
рией особенностей дифференцируемых отображений (теорией катастроф)
383

[15, 16, 37, 82] иа основе понятия структурной устойчивости. Структурно
устойчивые каустические поверхности ие испытывают качествеииых изме-
нений под действием определенного класса возмущений, т.е. исходная
и возмущенная поверхности связаны взаимно однозначным отображением.
Прочие особенности лучевых структур лри возмущении распадаются на
структурно устойчивые.
Установлена связь между геометрией каустики и поведением волнового
поля в ее окрестности. Теория катастроф описывает эталонные интегралы,
соответствующие структурно устойчивым особенностям, и их основные
свойства. Эти интегралы - функции нескольких переменных, число ко-
торых равно коразмерности особенности т. Особенность с т = 1 — это
простая каустика, ст = 2- каустический клюв. При т = 3 возможны уже
три вида каустик. Мы ие будем останавливаться подробно иа описании
сложных каустик и их классификации. Этим вопросам посвящена обшир-
ная литература. Графические изображения структурно-устойчивых каус-
тик с т < 5 можно найти, например в [37, 158]. Методы и результаты вы-
числения соответствующих эталонных интегралов обсуждаются в обзоре
[159]. В явном виде равномерные асимптотики волнового поля при на--
пични каустик построены только для простой каустики и каустического
острия. Описанными выше методами в принципе возможно выразить ло-
кальную асимптотику поля в окрестности любой каустики через соответ»
ствующий эталонный интеграл и его первые производные. О современ-
ном состоянии вопроса можно судить по обзорным статьям [14, 152, 158,
304].
Классификация структурно устойчивых каустик и выяснение основ-
ных особенностей поведения высокочастотного волнового поля в их ок-
рестности явились значительным достижением математической физики
и имеют большое познавательное значение. Однако при решении приклад-
ных акустические задач асимптотические разложения поля в окрестностях
сложных каустик используются чрезвычайно редко. Это обусловлено тре-
мя факторами.
Во-первых, окрестности сложных особенностей занимают сравнительно
малую часть пространства. Если окрестность простой каустики, где не-,
применимы лучевые формулы, - это тонкий слой вокруг поверхности
в трехмерном пространстве, то асимптотику, полученную для окрестности
каустического клюва, нужно использовать вблизи кривой. К тому же
оценки интенсивности звука в таких областях можно получить из простых
физических соображений (см., например [151, § 10]).
Во-вторых, особенности волнового ноля повторяют структуру каустик
только в пределе бесконечно высоких частот. При конечных частотах,
как отмечалось в [159], [151, § 10], амплитудная и фазовая структура
поля более стабильны при развитии сложных каустических поверхностей,
чем их геометрия. Если kQL - большой параметр задачи, то формально
(k0L)v > J при любой положительной степени v. Фактически при конечных
частотах складывается иная ситуация. Так. отношение звукового давления
в точке возврата каустики к мавлению в ее неособой точке пропорционально
(k0LI^17 .Прнко1 = Ю3 эта величина составляет 1,78 и даже при k0L ==106 —
всего 3,16. Поэтому усиление поля вследствие сложной фокусировки
может быть далеко перекрыто другими факторами.
384

В-третьих, построение асимптотики и само итоговое выражение для
сложных каустик весьма громоздки. Для реальных вычислений по форму-
лам, содержащим эталонные интегралы, зависящие от двух и большего
числа переменных, необходимо обратиться к ЭВМ. Однако в этом случае
более простыми, гибкими и точными оказываются, как правило, другие
численные методы, позволяющие избежать как расчета эталонных интегра-
лов для каждого типа особенности, так и трудоемкой процедуры опреде-
ления параметров асимптотики.
Из численных методов отметим прямую оценку поля по его интеграль-
ному представлению (см. § 12), метод нормальных волн в волноводиых
задачах (см. § 15), гибридные подходы, где звуковое поле представляется
в виде смеси мод и не имеющих каустик лучей [65, 160, 354, 407], метод
параболического уравнения [112, 175, 243], а также метод суммирования
гауссовых пучков [22, 23, 477]. Под гауссовым пучком в зтом контексте
понимают высокочастотное асимптотическое решение волнового уравнения,
сосредоточенное в окрестности луча. Поля гауссовых пучков не имеют
особенностей на каустиках [19. 22]. О применении метода суммирования
гауссовых пучков к расчету волновых полей в неоднородной жидкости или
упругой среде, в том числе при наличии сложных фокусировок, см.[136,
141. 325, 379, 477], атакжеобэор [22]. Отметим, что в изотропной упру-
гой среде фокусировка поля в окрестности каустического клюва прояв-
ляется сильнее, чем в жидкости [22].
Структурно-устойчивые каустики отнюдь не исчерпывают типы особен-
ностей лучевых структур, возникающих в физических задачах. Это связано
с различием классов возмущений, которые рассматриваются в теории
катастроф и реализуются, вообще говоря, в конкретных физических зада-
чах. Например, структурно-неустойчивыми оказываются такие, обладающие
несомненной физической значимостью, объекты, как плоская и сферичес-
кая волны [151, 304]. Далее, не всегда выполняются условия достаточной
гладкости функции *р (г. z, Z\,q) в A7.1). В средах со слабыми границами
раздела, на которых испытывает разрыв градиент скорости звука, обра-
зуются разрывные (оборванные) каустики (см. [1, 428, 429, 448, 469]).
При переходе точки наблюдения через любую ветвь структурно-устойчи-
вой каустики количество приходящих лучей меняется на четное число. Как
мы видели в § 9 и 14, в случае каустики с просачиванием или каустики, об-
разованной при участии дифракционного луча, число приходящих лучей
меняется на единицу. Указанные образования не подпадают под классифи-
кацию на основе теории катастроф. Другие примеры см. в [151, § 4], [152].
Из исследований волновых полей в окрестности структурно-неустой-
чивых особенностей необходимо отметить равномерные асимптотические
разложения при наличии фокуса [1.39] и каустики с произвольным, но
неизменным порядком касания с лучами [207]. Геометрически такая
каустика представляет собой гладкую поверхность. Она возникает, в част-
ности, при падении плоской волны на слоистое полупространство, если в
окрестности точки поворота zt скорость звука удовлетворяет соотноше-
нию C2(z) - c2(zr) = О ((z - zr)a). Эталонными в этой задаче являются
функции Бесселя порядка B + а) (см. формулы C.36) - C.38)).
Качественно поведение звукового поля в окрестности такой каустики
подобно случаю простой каустики (он получается при а = 1), рассмотрен-
25. Л.М. Бреховских 385

ному в п. 17.1. Каустический сдвиг фазы равен (-тг/2). Основные отличия
заключаются в скорости спадания \р\ в неозвученной области и величине
усиления на каустике, которое пропорционально к'^1^г*аК Показатель
степени равен 1/6 в случае простой каустики (а * 1); он монотонно воз-
растает с ростом а и стремится к 1/2 при а-* °°. Ширина области непри-
менимости лучевых формул в окрестности каустики пропорциональна
Идеальный фокус представляет собой изолированную особенность
лучевой структуры - точку пресечения всех лучей определенного семейст-
ва. Размеры фокального пятна, где неприменимы геометро-акустические
формулы, пропорциональны к'о ¦ При пересечении фокуса фаза поля на луче
меняется на п. (Наглядная интерпретация происхождения фазового сдвига
дана в [311].) В окрестности идеального фокуса в трехмерном случае
достигается максимальная возможная степень усиления поля: отношение
| р\ в фокусе к| р\ вдали от него пропорционально к0- В слоистой среде в
поле точечного источника образуется не фокус, а фокальная линия. Это
окружность, лежащая в горизонтальной плоскости. В ее окрестности увели-
чение амплитуды поля пропорционально k^l7 . Такая особенность лучевой
структуры часто возникает при расположении источника и приемника на
оси волновода. Фокусировка звука на оси волновода с различных позиций
исследована в работах [52, § 43], [247, гл. 5] ,[60,61, 63, 456,468, 534,
547]-Когдав точку собираются только параксиальные, т.е. выходящие
из источника под малыми углами к некоторому заданному направлению,
лучи, фокальная линия вырождается в каустический клюв, и поле вблизи
нее описывается формулой A7.55).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I.Агеева Н.С Звуковое поле сосредоточенного источника в океане //Акустика
океана; Под ред. Л.М. Бреховскнх. - М.:Наука, 1974. - С 163-229.
2 АгрестММ., Максимов М.З. Теория неполных цилиндрических функций и их при-
ложения. - М.: Атомнздат, 1965. - 351 с.
3. Адлер Л., Б разил МА., Смит Дж. X. Перераспределение энергии гауссовского
ультразвукового пучка, отраженного от границы раздела жидкость - твердое
тело//Акуст. жури. - 1975. - Т. 21, № 1. - С 1-10.
4.Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы: Пер. с англ. -
М.: Мир, 1983. - Т. 1,2. -880 с.
5. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. Решение задачи Лэмба для вертикалыю-неодно-
родного упругого полупространства // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1976. -
№ 12.- С 11-25.
6. Алексеев Г.Г. О точном методе расчета поля в ел он сто-неоднородных средах //
Тр. Акуст. ни-та. - 1970,- Вып. 13, - С 17-21.
Т.Алимова Л.И. Эффективный численный алгоритм вычнепення обобщенного ин-
теграла Френеля // X Всес. акуст. конф. Секция А: Распространение н дифрак-
ция. - М.: Изд-е Акуст. нн-та. - 1983. - С. 69-72.
8. Алувэлья Д.С., Келлер Дж.Б. Точные н асимптотические представления звукового
поля в стратифицированном океане // Распространение волн и подводная акустн-
ка: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - С 20-75.
9. Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В. Квантовые системы с одинаковыми
спектрами энергии //Письма в ЖЭТФ. - 1984. - Т. 39, № 2. - С 78-81.
10. Андронов А.А., Фабрикант АЛ. Затухание Ландау, ветровые волны н свисток //
Нелинейные вояны. - М: Наука, 1979. - С 68-104.
11. Анютин А.П. Асимптотическая теория распространения радиосигналов в неодно-
родной плазме // Распространение радиоволн в ионосфере. - М.: Изд-с ИЗМИРАН,
1978. - С 19-28.
12. Анютин А.П., Боровиков В.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстро-
осциллнрующнх функций с особенностями внеэкспоненциального множителя. -
Препринт /ИРЭ АН СССР. - М., 1984. -№42 D14). - 53 с.
13. Арапов А.В., Гончаров B.C., ЯковкинИ.Б. Отражение звуковых пучков от грани-
цы раздела жидкость - твердое тело при угле падения, близком к рэпеевскому //
Акуст. журн. - 1986. - Т. 32, № 2. - С 238-241.
14. Арнольд В.И, Особенности, бифуркации и катастрофы // УФН. - 1983. - Т. 141,
№4. -С 569-590.
15. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде СМ. Особенности дифференцируемых
отображений. - Ч. 1: Классификация критических точек каустик и волновых
фронтов. - М.:Наука, 1983. - 304 с.
16. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде СМ. Особенности дифференцируемых
отображений, - Ч. 2: Монодромия и асимптотики интегралов. - М.: Наука,
1984. -335 е.
П. Ароне А., Йенни Д. Изменение формы звукового импульса при полном внутрен-
нем отражении //Распространение звука в океане: Пер. с англ. - М.: ИЛ. -
1951.- С 7-16.
18, Бабич В.М. Аналитическое продолжение решений волнового уравнения в ком-
плексную область и каустики // Вопросы динамической теории распространения
сейсмических волн. - Вып. 5. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. - С 145.
25* 387

19. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции корот-
ких волн. - М.:Наука, 1972. - 456 с.
20. Бабич В.М., Кирпинникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах днфракцнн. -
М.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 124 с.
21. Бабич В.М., Краукдис П.В., Молотков Л.А. Динамические задачи геоакустики //
Акуст. жури. - 1984 - Т. 30, № 5. - С. 693 -695.
22. Бабич В.М., Мологков Л.А., Попов М.М. Гауссовы нучкн, сосредоточенные в окре-
стности линий решения и их приложения. - Препринт /ИРЭ АН СССР. - М., 1984.
№24 C96). - 51 с.
23. Бабич В.М., Панкратова Т.Ф. О разрывах функции Грина смешанной задачи для
волнового уравнения с переменным коэффициентом // Проблемы математиче-
ской физики. - Т. 6. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1973. - С 9-27.
24. Балакирев М.К., Гилинскип И.А. Волны в льезокрнсталлах. - Новосибирск:Нау-
ка, 1982. - 239 с.
25. Баранат Р. Вычисление интегралов в теории оптической дифракции: Пер. с англ. //
Компьютеры в оптических исследованиях; Под ред. Б. Фрндена. - М.: Мир,
1983. -С 58-109.
26. Бархатов AM. Моделирование распространения звука в море. - Л.: Гндрометео-
нэдат, 1968. - 127 с.
27. Басе Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. -
М: Наука. 1972. -424 с.
28. Бахвалов Н.С.. Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. -
М.. Наука, 1984. - 352 с.
29. Белоусов Ю.И., Римский Корсаков А.В. Принцип взаимности в акустике и его
применение для расчета звуковых полей колеблющихся тел // Акуст. журн. -
1975. -Т. 21.№2,- С 161-172.
30. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. - М.:
Наука, 1983. -448 с.
31. Бленд Д. Теория линейной вяэко-упругостн: Пер. с англ. М.: Мнр, J965. - 200с,
32. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. - М.: Наука, 1981. -
206 с.
33. Божокин С.В-, Чобан ЭА. О вычислении коэффициентов асимптотического раз-
ложения интегралов типа Лапласа // ЖТФ. - 1984. - Т. 54, № 10. - С 1865-
1869,
34. Боровиков В.А. Метод стационарной фазы для двумерных областей с угловыми
точками //Мат. заметки. - 1984. - Т. 36, №5. - С 777-788.
35. Боровиков В.А., Владимиров Ю.В., Кельберт М.Я. Поле внутренних гравитацион-
ных волн, воэбувдаемых локализованными источниками // Изв. АН СССР.
ФАО, - 1984. -Т. 20, №6. - С 526-532.
36. Боровиков В А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. - М.: Связь,
1978. -247 с,
ЗТ.Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые росткн и катастрофы: Пер. с англ. -
М Мнр. 1977. - 208 с.
38. Бреховских Л.М. Распространение звука и радиоволн в слоях //Изв. АН СССР,
ttp. фнз. - 1946. - Т. 10, №5-6. - С 491-504.
39. Бреховских Л.М. Пределы применимости некоторых приближенных методов,
употребляемых в архитектурной акустикс //УФН. - 1947. -Т. 32,№4. - С 464-
476.
40. Бреховских Л.М. Поле преломленных электромагнитных волн в задаче о точеч-
ном излучателе //Изв. АН СССР. Сер. фнз. - 1948. - Т, 12,№3. - С 322-334.
41. Бреховских ЛМ. Отражение сферических волн от плоско* границы раздела двух
сред // ЖТФ. - 1948. - Т. 18, № 4. - С 455 -^72.
42. Бреховских Л.М. Отражение сферических волн от "слабых" границ раздела //
ЖТФ. - 1948, - Т. 18, №4. - С 473-482.
43.Бреховских ЛМ. Отражение и преломление сферических волн //УФН. - 1949. -
Т. 38, № 1.-С 1-41.
44. Бреховских Л.М. О Поле точечного излучателя в слонсто-неоднородной среде //
Изв. АН СССР. ttp. фнэ. - 1949. -Т. 13,№5. - С 505-545.
45. Бреховских Л.М. Отражение плоских вопи от слонсто-неодИородных сред //
ЖТФ. -1949. -Т. J9, №10. -С 1126.
388

46. Бреховских ЛЖ Отражение ограниченных волновых пучков н импульсов //
У«Н. - 1953. - Т. 50, №4. - С 539-576.
47. Бреховских Л.М. О дисперсионном уравнении для нормальных волн в слоистых
средах //Акуст. журн. - 1956. -Т. 2, №4. -С 341-351.
48. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Изд-во АН СССР, 1957. -
502 с.
49. Б реховских Л.М. О поверхностных волнах в твердом теле, удерживаемых кри-
визной границы. - Акуст. журн. - 1967. - Т. 13, №4. - С 541 -555.
50. Бреховских Л.М. О волноводных явлениях в твердых слоистых средах с непре-
рывно изменяющимися параметрами // Акуст. журн. - 1968. - Т. 14, № 2. -
С 194-203.
51. Бреховских Л.М. О некоторых лроблемах акустики океана // Изв. АН СССР,
ФАО. - 1968. - Т.4,№ 12. - С 1291-1304.
52. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - 2-е нзд. М.: Наука, 1973. - 343 с.
53.Бреховских ЛМ. Элементы теории звукового поля в океане //Акустикаокеана.
/Под ред. Л.М. Бреховских. - М.:Наука, 1974. - С 79-162.
54. Бреховских Л.М.. Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. - М.: Нау-
ка, 1982.-336 с.
55. Бреховских Л.М,, Елисеевнин В.А. О распространении волн в неоднородном вол-
новоде // Акуст. журн. - 1960. - Т. 6, № 3. - С 284-291.
56. Бреховских Л.М., Иванов И.Д. О расширении границ применимости лучевой тео-
рии при исследовании распространения волн в слоистых средах // Докл.
АН СССР. - 1952. -Т. 83, №4. - С 545-548.
57. Бреховских Л.М., Лысвнов Ю.П. Акустика океана // Физика океана. - Т. 2: Гид-
родинамика океана. - М.: Наука, 1978. - С 49-145.
58. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. - Л.:
Гндрометеоиздат, 1982. - 264 с.
59. Булдырев B.C. Интерференция коротких волн в задаче дифракции на неоднород-
ном цилиндре произвольного сечения // Изв. вузов. Радиофизика. - 1967. -
Т. 10, №5. -С 699-711.
60. Булдырев B.C. Асимптотика решений волнового уравнения, сосредоточенных
вблизи осн плоского волновода в неоднородной среде // Проблемы матем. фн-
знки. - Вып. 3. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. - С 5-30.
61. Булдырев B.C.. Поле точечного источника в волноводе // Тр. МИ АН СССР. -
Т. 65. - 1971.-С 78-102.
62. Булдырев B.C., Панин AM. Исследование функции Грнна в задаче дифракции на
прозрачном круговом цилиндре. И // ЖВМ МФ. - 1966. - Т. 6, № 1. - С. 90-105.
63. Булдырев B.C.. Панин А.И., Янсон ЗА. Вычисление поля на оси симметричного
волновода // Вопросы динамической теории распространения сейсмических
волн. - Вып. 14. - Л.:Наука, 1974. - С 84-93.
64. Булдырев B.C., Славянов СМ. Равномерные асимптотические разложения для
решений уравнений типа Ырёдингера с двумя точками перехода. 1// Вести. Ленингр.
ун-та. - 1968. - Т. 22, №4. - С 70-84.
65. Булдырев B.C., ЯворМ.И. Комбинированное представление Поля точечного источ-
ника звука в подводном волноводе и асимптотическое суммирование нормаль-
ных волн //Математические вопросы теории распространения волн. - Вып. 11. -
Л.: Наука, 1980. -С 66-83.
бб.Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1968. - 464 с.
Ы.Вайнштейн ЛА. Распространение импульсов // УФН. - 1976. - Т. 118, № 2. -
С 339-367.
68> Васильев В.А. О коэффициенте отражения поперечных волн в поглощающем твер-
дом теле //Акуст.журн. - 1977. -Т. 23,№2. - С 223-227.
69, Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и
Лэмба в технике. - М. Наука, 1966. - 168 с.
Ю.Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. - М.: Наука,
1981. -288 с.
71.Вировлянский А.Л. К вопросу о границах применимости геометрической опти-
ки в плоскослонстых волноводах // Изв. вузов. Радиофизика. - 1984. - Т- 27,
N«12.-С 1592-1594.
389

72. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - 3-е изд. - М-: Наука,
1976.-528 с.
73. ВойтС С. Отражение и преломленнесферических звуковых волн прн переходе из не-
подвижной среды в движущуюся//ПММ. - 1953. -Т. 17, №2. - С 157-164.
74. Волков И.И. Каустики лрн положительной рефракции в случае двухслойной сре-
ды // Акуст. жури. - 1973.-Т. 19, №4. - С 505-511.
75. Воронович А.Г. Рассеяние волн на неровных поверхностях сложного спектраль-
ного состава: Дне. ...д-ра физ. -мат. наук. - М.: Акуст. ин-т, 1987. - 279 с.
76.Выборное Б.И. Ультразвуковая дефектоскопия. - М.: Металлургия., 1974, -
240 с.
77. Гавриленко В.Г., Зелексон JJji, Усиление звука в неоднородном потоке // Акуст.
журн. - 1977. - Т. 23, №6. - С 867-872.
78. Газазян ЭД,, Иванян М.И. Равномерные коротковолновые асимптотические ре-
шения уравнений Гсльмгольца и Максвелла // Радиотехника н электроника. -
1984. - Т. 29, № 5. - С 830-835.
79. Газарян Ю.Л. Волноводное распространение звука для одного класса слоисто-
неоднородных сред // Акуст. журн. - 1957. - Т. 3, № 2. - С 127 -141.
80. Газарян ЮЛ. О поле точечного излучателя в слое, лежащем на полупростран-
стве //Акуст. журн. - 1958. - Т. 4, N«3. - С 233-238.
81. Газарян Ю.Л. О геометроакустическом приближении поля в окрестности неособого
участка каустики // Вопросы динамической теории распространения сейсмиче-
ских волн. - Вып. 5. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. - С 73-89.
82. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: Пер. с англ. - М-: Мир, 1984. - Т. 1. -
350 с; Т. 2. - 285 с.
83. Гинзбург ВЛ. Распространение электромагнитных волн в плазме. - М-: Наука,
1967. -684 с.
84. Гоголадзе В.П. Волны Рэлея на границе сжимаемой жидкой среды к твердого
упругого полупространства//Тр. сейсмол. ин-та АН СССР. - 1948. - N1 127. -
87 с.
85. Годин О.А. Об отражении плоских волн от слоистого полупространства //Докл.
АН СССР.-1980.-Т. 255, №5.-С 1069-1072.
86. Годин О.А. Примеры расчета отражения плоской волны от слоистых сред //
Вопросы дифракции электромагнитных волн. - М.: Иэд-е МФТИ, 1982. - С 107—
114.
87. Годин О.А. Каустика, образованная прн участии дифракционного луча // Акуст.
журн. - 1983. - Т. 29, № 1. - С 23-31.
88. Годин О.А. Боковые волны в средах с поглощением // Акуст. журн. — 1983. -
Т. 29, №2.-С 173-180.
89. Годин О.А. Об отражении волн от слоистой среды. Дне канд. фнэ.-мат. наук. —
М.: Акуст. ин-т, 1984. - 169 с.
90. Годин О.А. Дифракционная теория смешения ограниченных волновых пучков
лрн отражении. 1, 2 // ЖТФ. - 1984. - Т. 54, № 11. - С 2094-2104; 1985. -
Т. 55, № 1.-С 17-25.
91. Годин О.А. О причинах расхождения между результатами различных теорий эф-
фекта Гооса -Хенкен //Акуст. журн. - 1985. - Т. 31, № 1. - С 31-36.
92. Годин О А. Возбуждение боковой волны прн отражении сферической волны от
слоистого лолулространства //Акуст.журн. - 1985. - Т. 31, № 5. - С 597-600.
93. Годин О.А. Возбуждение боковых волн направленным источником. // Волны
н дифракция - 85. - Т. 1. - Тбилиси: Изд-во Тбнл. ун-та, 1985. - С 74-77.
94. Годин, О.А. О волновом уравнении для звукового лоля в жидкости со страти-
фикацией плотности // Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 276, № 3. - С 579-582.
Godtn О.А. A new form of the wave equation for sound in a general layered fluid //
Progress in underwater acoustics / Ed. N.M. Merklinger. - New York - London: Ple-
num Press. - 1987. - P. 337-349.
95. Годин О.А. Волновое уравнение для звука в среде с медленными течениями //
Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 293, N» 1. - С 63^7.
96. Годин О.А. Соотношения взаимности для волн в сжимаемой жидкости //Докл.
АН СССР. - 1987. - Т. 293, №3. - С 322-325.
97. Годин О.А., Моисеев А.А. Влияние движения водных масс на распространение
звука в горизонтально неоднородном океане //111 Съезд советских океаноло-
390

гов: Теэнсы докладов. - (Акустика н оптика). - Л.: Гндрометеонздат. - 1987. -
С 45-46.
98. Годин ОА., Прокопюк И.В. К теории смещения ограниченных волновых лучков
лрн отражении // Акуст. журн. - 1985. - Т. 31,№ 2. - С 178-185.
99. Годин О.А., Прокопюк И.В. Отражение сферической волны от границы сред с
близкими значениями параметров // Изв. АН СССР- ФАО. - 1987. - Т. 23, № 9. -
С 931-941.
100. Годин ОА-, Прокопюк И.В. О расчете акустического поля в океане методом ВКБ
при неаналнтической аппроксимацинн скорости звука // Акуст. журн. - 1988- -
Т. 34, №1. -С 49-54.
101. Голдстепн М.Е. Аэроакустика: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1981. - 295 с.
102.Голод О.С., Григорьева Н.С. Оценка влияния течения на лоле давления монохро-
матического точечного источника в однородном океане // Акуст.журн. - 1982. -
Т. 28, №6.-С 758-762.
103. Гончаренко A.M., Карпенко В.А. Основы теории оптических волноводов. —
Минск: Н аука и техник а, 1983. - 237 с.
104. Гончаров В.П. Излучение низкочастотного звука точечным источником в потоке
со сдвигом //Изв. АН СССР. ФАО. - 1984. - Т. 20, N»4. - С 312-314.
105. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере: Пер. с англ. - М.: Мир, 1978. - 532 с.
106. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих те-
лах. - Киев:Наукова думка, 1981. -284 с.
107. Грошев В.Я., Кравцов ЮА. О границах применимости асимптотических выраже-
ний в методе эталонных функций // Изв. вузов. Радиофизика. - 1968. - Т. 11,
№12.-С 1812.
108. Губанов А. Волны Рзлея на границе твердого тела н жидкости // ЖЭТФ. - 1945. -
Т. 15, №9.-С 497-502.
109. Гувер У.Р., Нагл А., Юбералл X. Реэонансы коэффициента отражения звука от дна
н их связь с параметрами дна // Акустика дна океана: Пер. с англ. - М.: Мир,
1984.-С 161-173.
НО. Гутман А.Л. Распространение гауссовского лучка в неоднородной плазме // Ра-
диотехника н электроника. - 1982. -Т. 27.№6. -С 1073-1081.
111. Дебай П. Полярные молекулы: Пер. с нем. - М.-Л.: ГНТИ, 1931. - С 183.
112. Де Санто ДжА. Теоретические методы в акустике океана // Акустик* океана;
Подред.Дж.Де Санто /Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. - С 16-90.
113. Ди Наполи Ф&., Девенпорт Р.Л. Численные методы подводного распространения
звука. - Там же. - с 91 -176.
114. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений
для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка //
УМН. -1952.-Т. 7, №6. - С 3-96.
115. Дронов И.Ф., Ипатов Е.Б., Лукин Д.С., Панкин ЕА. Табулирование дифракцион-
ных интегралов // Распространение радиоволн в ионосфере. - М.: Иэд-е ИЗМИ-
РАН. - 1978. - С 57-63.
116-Евграфов М.А. Аналитические функции. - Изд. 2. - М.:Наука, 1968. - 471 с.
И1.Евграфов МА. Асимптотические оценки н целыефункции. - М.: Наука, 1979. —
320 с.
Hi. Егорова Н.П., Третьяков О А. Исследование дифракции волновых пучков на
основе функции Грина краевой задачи // Радиотехника и электроника. - 1984. -
Т. 29, №2. - С 207-214.
119- Ерыиюв Н.М. Модификация метода многократных отражений в задачах прохож-
дения волн через слоистые неоднородные среды // Радиотехника н электроника. -
1981. - Т. 26, N» 3. - С 457-^62.
120. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волново-
дах. - М.: Наука, 1972. - 558 с.
121. Заславский О.Б., Ульянов В.В. Новые классы точных решений уравнения Шредив-
гера //ЖЭТФ. - 1984. -Т. 87,№5 (И). - С 1724-1733.
122. Захаров В.Е., Монаков СВ., Новиков СМ., Питаевский Л.П. Теория солнтоно»
(метод обратной задачи) / Под ред. СП. Новикова. - М.: Наука, 1980. - 319 с.
123. Зиглин С.Л. Достаточные условия быстрой сходимости итераций в так называе-
мом обобшеннном методе ВКБ // Радиотехника и электроника. - 1979. - Т. 24,
№ 1.-С 173-175.
391

124. Зиглин C.JI. О распространении обобщенного метода ВКБ на среды с существенно
нелинейно меняющимися параметрами // Радиотехника н электроника. - 1979. -
Т. 24.№ 10.-С 2131-2133.
125. Зиглин C.JI. Оценка скорости сходимости приближений для одного варианта
обобщенного метода ВКБ // Радиотехника и электроника. - 1984. - Т. 29, № 5. -
С 836-842.
126. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных фнэнкн:
Пер. с нем. - М.: ИЛ, 1950. - 456 с.
121.Иванов И.Д. Асимптотическое представление импульса, отраженного от границы
раздела сред // Акуст. журн. - 1981. - Т. 27, № 2. - С 234-242.
128. Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973. - 495 с.
129. Калинин А.В., Литвин А.Л., Пивоваров Б.Л., Цванкин ИЛ, О пределах примени-
мости формул лучевого приближения для расчета интенсивности акустической
сферической волны // Вести. Моск. ун-та. Геология. - 1978. - № 6. - С 76-81.
130. Калошин В.А., Орлов Ю.И. Об особенностях лучевой теории "просачивания" сфе-
рической волны через параболический плазменный слой // Радиотехника и элект-
роника. - 1973. - Т. 18,№ 10. - С 2028-2033.
131. Камке Э Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - 5-е
изд.: Пер. с нем. - М.: Наука, 1976. - 576 с.
132. Каратыгин В А., Розов В.А. Метод стационарной фазы для двойного интеграла с
произвольно раслоложенной стационарной точкой // ЖВМ МФ. - 1972. - Т. 12,
№6. -С 1391-1405.
133. Касты Дж„ Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике: Пер. с
англ. - М.; Мир, 1976. - 223 с.
134. Каценеленбаум Б.З. О так называемом обобщенном методе ВКБ // Радиотехника и
электроника. - 1977. - Т. 22, № 11. - С 2414-2417.
135. Каценеленбаум Б.З. По поводу статьи Бахара // Радиотехника и электроника. -
1982.-Т. 27, №7.-С 1451.
136. Качалов А.П., Попов ММ. Применение метода суммирования гауссовых лучков
для расчета высокочастотных волновых полей // Докл. АН СССР. - 1981. -
Т. 258, №5. С 1097 1100.
137. Кейлис-Борок В.И. Интерференционные поверхностные волны. - М.: Изд-во АН
СССР, 1960.-168 с.
138. Кикино Н.Г., Санников Д.Г. Отражение звуковых волн от движущегося плоско-
параллельного слоя // Акуст. журн. - 1969. - Т. 15, № 4. - С 543 -546.
139. Кинбер Б.Е, Новоселов СВ. Поле в окрестности фокуса // Радиотехника и эпект-
. роника. - 1985. - Т. 30, № 8. - С 1469-1482.
140. Киреева И.Е., Карпов КА. Таблицы функций Вебера. - Т. 1. - М.: Изд-е ВЦ АН
СССР, 1959. -XXIV.-341с.
141. Кириаков В.Х., Мальцев Н.Е. Вычисление звукового лоля в слоистом океане ме-
тодом суммирования гауссовых пучков // X Всес. акуст. конф. Секция А: Рас-
пространение н дифракция. - М.: Иэд-е Акуст. ин-та, 1983. - С 33-36.
142. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М..° Наука,
1986. - 256 с.
143. Козлов СМ. Осреднение дифференциальных операторов с почти периодическими
н быстроосциллнрующимн коэффициентами //Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 236,
№5. -С 1068-1071.
144. Колыхвлов ИИ. Усиление звуковых возмущений прн отражении от критического
слоя в сверхзвуковых потоках //Докл. АН СССР. - 1985. - Т. 280,N» 1. - С 95-
98.
145. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения: Пер. с аигл. - М.: Мнр, 1966. - 160 с.
146. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инжене-
ров. - 5-е изд.: Пер. с аигл. - М.: Наука, 1984. - 832 с.
147. Кравцов Ю.А. Об одной модификации метода геометрической оптики // Изв.
вузов. Радиофизика. - 1964. -Т. 7,№4. - С 664-673.
148. Кравцов Ю.А. Модификация метода геометрической оптики для волны, проса-
чивающейся через каустику // Иэв. вузов. Радиофизика. - 1965. - Т. 8, № 4. -
С 659-667,
149. Кравцов ЮЛ. Комплексные лучи и комплексные каустики // Изв. вузов. Радио-
физика. - 1967. - Т. 10.W9-10. - С 1283-1305.
392

150. Кравцов ЮЛ. О двух новых асимптотических методах в теории распространения
воли в неоднордиых средах //Акуст. жури. - 1968. - Т. 14, №1. - С 1-24.
151. Кравцов ЮЛ., Орлов ЮМ. Геометрическая олтика неоднородных сред. - П.:
Наука, 1980. -304 с
152. Кравцов ЮЛ., Орлов ЮМ. Каустики, катастрофы и волновые воля // У<№. -
1983. -Т. 141,№4.- С591-627.
153. Красильников ВЛ., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. - М.:Наука,
1984. - 400 с.
154. Краснушкин П.Е. Метод пересчета импеданса в задачах о волнах в упругих сре-
дах //Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 252, № 2. - С 332-335.
155. Крауклис П.В. Головные волны в среде с высокоскоростным слоем // Тр. Матем.
ин-та им. В.А. Сгеклова АН СССР. -Т. 45. - Л.: Наука, 1968. -С 98-105.
156. Крюковский А.С., Лукин Д.С К вопросу о поле в окрестности каустического
острия в ионосферном плазменном слое // Радиотехника и электроника. -
1981. -Т. 26,№6. - С 1121-1126.
157. Крюковский А.С., Лукин Д.С. Локальное асимптотическое описание электромаг-
нитного поля в окрестности каустического острия в плоскослоистой среде // Воп-
росы дифракции электромагнитных воли. - М.: Изд-е МФТИ, 1982. - С 40-45.
158. Крюковский А.С., Лукин Д.С, Палкин ЕЛ. Равномерные асимптотики интегра-
лов от быстроосциллирующих функций с вырожденными седловыми точками. —
Препринт /ИРЭ АН СССР. - М., 1984. - №41 D13). - 75 с.
159. Крюковский А.С., Лукин Д.С, Палкин ЕЛ. Специальные функции волновых ката-
строф. - Препринт /ИРЭ АН СССР. - М., 1984. - №43 D15). - 75 с.
160. Кудряшов В.М. Геометроволновой способ вычисления акустических полей в вол-
новоде // Акуст. жури. - 1976. - Т. 22, № 5. - С 724-728.
161. Купрадзе В Д., Соболев СЛ. Упругие волны на границах двух сред // Тр. Сейсмол.
ии-та АН СССР. - 1930. - № 10. - 23 с.
162. Курант Р. Уравнения с частными производными: Пер. с аигл. — М.: Мир. 1964. —
830 с.
163. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: Пер. с нем. - М.: ГИТТЛ,
1951.-Т. 1. -476 с; -Т. 2. -544 с.
164. Курин В.В., Немцов Б.Е., Эйдман В.Я. К вопросу об отражении пучка звуковых
воли от границы раздела двух жидкостей // Акуст. жури. - 1985. - Т. 31, № 1. -
С 62-68.
165. Куртепав В.М. Звуковое поле точечного источника при наличии в среде тонкой
бесконечной пластины (дискретный спектр) // Акуст. жури. - 1969. - Т. 15,
№4. - С 560-566.
166. Лаврентьев МЛ., Шаба г Б.В. Методы теории функций комплексного переменно-
го. -5-е изд. - М.: Наука, 1988.-688 с
167. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - 4-е изд. - М.: Наука, 1987. -
248 с.
168. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теория поля. - 6-е изд. - М.: Наука, 1973. - 504 с.
169. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 3-е
изд. - М.: Наука, 1974. - 752с.
170. Ландау ЯД., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - 2-е изд. М.: Н аука,
1982. -620 с.
171. Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - 3-е изд. - М.: Наука, 1986. - 736 с.
172. Левшин А.Л. Поверхностные и каиаловые сейсмические волны. - М.; Наука,
1973.- 176 с.
173. Легуша Ф.Ф. Эффект Константинова и поглощение звука в неоднородных сре-
дах //УФН. - 1984. ~Т. 144, №3. - С 509-522.
174. Леонтович МЛ. Об одном методе решения задач о распространении электромагнит-
ных воли вдоль поверхности Земли // Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1944. - Т. 8,
№1. -С 16.
175. Леонтович М.А., Фок ВЛ. Решение задачи о распространении электромагнитных
воли вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения // ЖЭТФ. -
1946. -Т. 16,№7. -С 557-573.
176. Литвин А.Л.. Цванкин ИД. Исследование некоторых типов неоднородных сейсми-
ческих волн //Изв. АН СССР. Физика Земли. -1981. -№ 4.- С 72-78.
177е Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитоиов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 296 с.
393

178. Люк Ю. Специальные математические функции к их аппроксимации: Пер. с
аигл. - М.: Мир, 1980. -608 с.
179. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. - М.-Л.: ОНТИ, 1935. -
674 с.
180. Лямов В.Е. Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия акусти-
ческих вопи в кристаллах. - М.: Изд-во МГУ, 1983. - 223 с.
181. Лямшев Л.М. Отражение звука от движущейся тонкой пластины // Акуст.
жури. - 1960. - Т. 6, № 4. - С 505 -507.
182. Лямшев Л.М. О некоторых интегральных соотношениях в акустике движущейся
среды//Докл. АН СССР. -1961. -Т. 138, №3. -С 575-578.
183. Лямшев Л.М. Об определении импеданса в акустике движущейся среды //Докл.
АН ОСО». - 1981.-Т. 261,№1. -С 74-78.
184. Лямшев ЛМ. К теории распространения звуковых волн в движущейся слоисто-
неоднородной среде // Акуст. жури. - 1982. - Т. 28, № 3. - С 367-374.
185. Мальцев Н.Е. Математическое моделирование звуковых полей в океане //Акус-
тика океана. Современное состояние. - М.: Наука, 1982. - С 5 -24.
186. Мальцев Н?. Об одной модификации метода ВКБ //Докл. АН СССР. - 1983. -
Т. 271,№5.-С 1108-1111.
1Н1. Мальцев Н.Е. Математическое моделирование звуковых полей в океане: Дне. ...
д-ра физ.-мат. наук. - М.: Акуст. ии-т, 1984. - 215 с.
\Ы.Мальцев Н.Е., Плоткин A.M. Применение дискретного преобразования Фурье для
вычисления звукового поля в слоистом океане // Волр. судостроения. Сер. Акус-
тика. - 1982. -Вып. 15. -С 68-74.
189. Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973. - 543 с.
190. Маслов В.П. Об отражении плоской звуковой волны от жидкого неоднородного
слоя, лежащего на улругом слоисто-неоднородном полупространстве // Акуст.
жури. -1981. -T.27,N«3.- C428-433.
191. Маслов В.П. О методах последовательных приближений в задаче отражения плос-
кой звуковой волны от ряда 'жидких и улругих слоев // Акуст. журн, - 1981. -
Т. 27, №6.-С 914-918.
192. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений кван-
товой механики. - М.: Наука, 1976. - 296 с.
193. Мастеров Е.П. К волросу о волиоводном распространении звука в слоисто-неод-
нородных средах // Акуст. журн. - 1959. - Т. 5, № 3. - С 332-336.
194. Мастеров Е.П., Муромцева В.Н. Об одном случае аитиволиоводного распростране-
ния звука в слоисто-неоднородных средах // Акуст. журн. - 1960. - Т. 6, № 3. -
С 335-339.
195. Миллер Дж.ЧЛ. Таблицы функций Всбера (функций параболического цилиндра):
Пер. с англ. - М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1968. - CXV1 + 143 с.
196. Миронов М.А. Воздействие гармонического источника объемной скорости на те-
чение с плоским тангенциальным разрывом (ллоская задача) // Акуст. жури. -
1975. -Т. 21,№1. -С 79-85.
197.Мищенко А.С., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод ка-
нонического олсратода. - М-:Наука, 1978. - 352 с.
198. Молотков Л А. Матричный метод в геории распространения волн в слоистых
упругих и жидких средах. -Л.: Наука, 1984. - 201 с.
199. Молотков Л.А., Хило А.Е. Эффективные среды для периодических анизотропных
систем // Зал. науч. семин. ЛОМИ. - 1983. - Т. 128. - С 130-138.
200.Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: Пер. с англ. - М.: ИЛ,
1958. - Т. 1. - 930 с; - I960. - Т. 2. - 886 с.
201. НапфэА. Методы возмущений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
202. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и слециальиые функции: Пер. с
англ. - М.:Наука, 1978. - 375 с.
203. Орлов ЮМ. О некоторых особенностях лучевой теории распространения цилинд-
рических и сферических волн в слабоиеоднородной плазме. 1,2// Изв. вузов. Ра-
диофизика. -1966. -Т. 9,№3. - С 497-506; №4.- С 657-665.
204. Орлов ЮМ. К волросу о лросачивании волны через каустику в параболическом
ллазменном слое // Изв. вузов. Радиофизика. - 1966. - Т. 9, № 5. - С 1036—
1038.
394

205. Орлов Ю.И. Модификация геометрической теории дифракции волн при наличии
каустики краевой волны // Радиотехник* и электроника. - 1976. — Т. 21, № 1. -
С62-71.
206. Орлов Ю.И. Простраиствеиио-времеииая дифракция имлульсов. Лекция иа V Всес.
школе ло дифракции и распространению воли (Челябинск, 1979) //Прямыеи об-
ратные задачи теории дифракции. - М.: Изд-е ИРЭ АН СССР, 1979. - С 5-144.
207. Орлов Ю.И. Волновое поле в окрестности каустики произвольного лорядка//Изв.
вузов. Радиофизика. - 1981. - Т. 24, №2. - С. 213-223.
208. Орлов Ю.И. Каустики с аномальным фазовым сдвигом//Изв. вузов. Радиофизи-
ка, - 1981. - Т. 24, № 2. - С 224-230.
209. Орлов Ю.И., Власов СА. Асимптотическое решение уравнений Максвелла в
окрестности края каустики // Изв. вузов. Радиофизика. - 1978. - Т. 21, № 5. -
С. 422-429.
210. Орлов Ю.И., Тропкин СК. Полутеневые дифракционные лопя в неоднородных
средах//Изв. вузов. Радиофизика. - 1981. - Т. 24, №3.-С 334-342; 1983. -
Т. 26, №1. -С 128-130.
211. Орлов Ю.И., Тропкин С.К. Размытые лолутеиевыс каустики // Изв. вузов. Ра-
диофизика. - 1981. - Т. 24. №11. -С. 1383-1391.
212. Осташев В.Е. Закон преломления звукового луча в стратифицированной дви-
жущейся атмосфере // Акуст. жури. - 1985. - Т. 31, №2. - С 225-229.
213. Осташев В.Е. Теория распространения звука в неоднородной движущейся сре-
де. (Обзор) // Изв. А» СССР. ФАО. 1985. - Т. 21, №4. - С 358-373.
214. Осташев В.Е. Об уравнениях для акустических и гравитационных воли в стра-
тифицированной движущейся среде // Дифракция и распространение воли. -
М.: Изд-е МФТИ. 1985. - С. 75-81.
215. Петрашень Г.И. Распространение воли в анизотропных упругих средах. - Л.:
Наука, 1980. - 280 с.
216. Петровский ИГ. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. - Изд. 6-е, ислр. - М.: Наука. 1970. - 279 с.
217. Поверхностные акустические волны -- устройства и применения // ТИИЭР. -
1976. - Т. 64. №5 (тематический выпуск).
218. Полищук ИМ. Обобщение интеграла Дебая и некоторые задачи, решаемые с
помощью такого обобщения//Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 279, №5. -
С. 1104-1109.
219. Полянская В.А. О влиянии поля скоростей течений в океане на раслростране-
иие звука // Акуст. журн. -1985. - Т. 31, N? 5. - С. 628-632.
220. Пресняков Л.П., Собелъман ИИ О распространении электромагнитных воли
в среде с переменным показателем лрепомлеиия // Изв. вузов. Радиофизика. -
1965. -Т. 8. № 1.-С 57-63.
221. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И Интегралы и ряды. Специальные
функции. - М.: Наука, 1983. - 75 I с.
222. Пунько Н.Н., Филиппов В,В. Расщепление падающего в условиях полного отра-
жения лучка в два пучка эллиптической поляризации // Оптика и слектро-
скопия. - 1985. - Т. 58, № I. -С 125-129.
223. Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. - Рига: Зииатие,
1974. -Т. 1. -390с; 1977. - Т. 2. - 463 с; 1981. - Т. 3. -370с.
224. Ризниченко Ю.В. О распространении сейсмических воли в дискретных и гетеро-
генных средах//Изв. АН СССР. Сер. геофиз. и географ. - 1949. - Т.13, № 2. -
С. 115-128.
225. Рытое СМ. О лереходе от волновой к геометрической оптике // Докл. АН СССР.-
1938. -Т. 18, №4-5. - С 263-266.
226. Рытое СМ. Модулированные колебания и волны // Тр. ФИАН- - 1940. - Т. 2.
№1. -С 41-133.
221. Рытое СМ. Акустические свойства мелкослоистой среды// Акуст, жури. -
1956.-Т. 2, N« 1.-C. 71-83.
228. Рытое СМ„ Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую раднофи-
ку. - Ч. II: Случайные попя. - М.; Наука. 1978. - 464 с.
229. Рытое СМ., Юдкееич Ф.С Об отражении электромагнитных волн от слоя с от-
рицательной диэлектрической постоянной // ЖЭТФ. - 1940. - Т. 10, № 8.
С 887-902.
395

230. Рязин ПА. Распространение звука и радиоволн в слоях//Новейшие исследова-
ния распространения радиоволн вдоль земной поверхности /Подред Л.И Ман-
дельштама, НД Папалекси М -Л ГИТТЛ, 1945 -С 101-144
231. Савельев А Я Эффект Константинова в некоторых задачах акустики // Акуст
журн - 1973 - Т 19, N«2 С 231-240
232 Сидоров ЮВ, Федорюк МВ, Шабунин МИ Лекции по теории функций комп-
лексного переменного - М Наука, 1982 - 488 с
233 Слеитер Л Дж Вырожденные гинергеометрические функции Пер с англ - М
Изц-е ВЦ АН СССР 1966 - 250 с
234 Смирнов А Д Таблицы функций Эйри и специальных вырожденных гипергео-
метрических функций для асимптотических решений дифференциальных урав-
нений второго порядка - М Изд во АН СССР, 1955 - 261 с
235 Смирнов В.И, Соболев С Л Новый метод решения плоской задачи об упругих
колебаниях // Тр Сейсмоп интл АН СССР - 1932 - Т 20 - 37 с
236 Смирнова Н С Вычисление волновых полей в окрестности особых точек 1//
Вопросы динамической теории распространения сейсмических воли - Л Иэд
воЛГУ. 1962 -Вып 6-С 30-59
237. Смирнова ИСК вопросу о вычислении волновых полей в области предельных
лучей // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн -
М - Л Наука, 1966 - Выа 8 - С 5-15
238 Соболев С Л Волновое уравнение в неоднородной среде // Тр Сейсмол ии-та
АН СССР. 1930 -№6 - 57 с
239 Соловьев ЕА Уравнение Милна и высшие порядки ВКБ приближения // Письма
вЖЭТФ - 1984 -Т 39, №2 -С 84-86
240 Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовиш, И Сгитан
Пер с англ - М Наука, 1979 - 832 с
241 Столярове Н, Филатов Ю А Отражение электромагнитных воли от неоднород-
ных слоев // Радиотехника и электроника - 1983 - Т 28, № 12. - С. 2330-
2335
242 СтрэттДжВ (Рэлей) Теория звука -Т2 -М Гостехиздат, 1955. - 476 с
243 ТаппертФД Метод параболического уравнения // Распространение волн и
подводная акустика Пер с англ -М Мир. 1980 -С 180-226
244 Тартаковский БД О переходе звуковых вопн через границы твердых и жидких
сред//ЖТФ - 1951.-Т 21, №9 С 1194-1201
245 Татарский В И К теории распространения звука в сертифицированной атмосфе
ре//Изв АН СССР ФАО - 1979 Т 15. №11 -С 1140-1150
246 Тинин МЛ О распространении вопн в слоистых средах // Изв вузов. Радио фи
эика -1973 -Т. 16, №4 -С 505-511
247 Толстой И, Клей КС Акустика океана Пер. с англ - М Мир, 1969. - 301 с
248 Трапезникова И А Прогноз и интерпретация динамики сейсмических волн. -
М Наука, 1985 - 112 с
249 Тютекин В В Нормальные волны твердых слоисто-неоднородных волноводов//
Акуст жури -1984 - Т 30, № 3 -С 373-379
250. Уиттекер Э Г, ВатсонДж Н Курс современного анализа Пер с англ. - М
Физмагггиз. 1962. - Т 1 - 343 с , 1963 - Т 2 - 515 с
251 Фабрикант А Л Резонансное взаимодействие звуковых воли с плоскопарал-
лельным потоком // Акуст журн - 1976 - Т 22, № 1 -С 107-114
252 Фабрикант А Л О возникновении автоколебаний в неравновесных системах с
потоками - Дис . канд. физ -мат наук -Горький ГГУ - 1980. - 192 с.
253 Фаддеев ЛД Обратная задача квантовой теории рассеяния//УМН - 1959. -
Т 14. №4 -С 57-119
254 Федоров ФИ К теории полного отражения // Докл АН СССР -1955 - Т 105,
№3 -С 465-468
255 Федоров ФИ Теория упругих волн в кристаллах - М Наука, 1965 - 386 с
256 Федорюк М В Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки в много-
мерном случае// ЖВМ МФ 1964 - Т 4. №4 - С 671 682
257 Федорюк MB Метод перевала -М Наука. 1977 368 с
258 Федорюк М В Асимптотические методы для линейных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений - М. Наука, 1983 - 352 с
396

259 Фейнберг Е Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. - М.:
Изд-во АН СССР. 1961 - 546 с
260 Фелсен Л, Марк у виц И Излучение и рассеяние волн Пер. с англ - М. Мир.
1978 -Т 1 - 546 L , Т 2 - 556 с
261 Фелсен Л Квазиоптические методы в дифракции // Квазиоптика Пер. сангл.-
М Чир, 1966 -С 11-62
262 Фок В А Таблицы функций Эйри -М Ииформ отд. НИИ 108 1946 -53 с
263 Фок В А Приближенная формула для дальности Горизонта при наличии сверх-
рефракции // Радиотехника и электроника - 1956 - Т 1. №5 С 560
264 Фок В А Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. -
М Сов радио, 1970 - 518 с
265 ФреманН, Фреман П У ВКБ приближение Пер с англ -М Мир, 1967 -168с
266 Фридлендер Ф Звуковые импульсы Пер с англ -М ИЛ, 1962 -232 с
267 Хединг Дж Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ) Пер с англ.-
М Мир. 1965 -238 с
268 Цванкин И.Д, Калинин А В Нелучевые явления при образовании обменных
сейсмических волн//Изв \Н СССР Физика Земли - 1984 №2 - С 34-40.
269 Чернов Л А Поток и плотность акустической энергии в движущейся среде //
ЖТФ -1946 -Т 16. №6 -С 733 736
270 Чернов Л А О кривизне лучей и принципе взаимности в акустике движущейся
среды //Тр комиссии по акустике АН СССР -1951 - Сб 6 - С 63-65
271 Чернов Л А Акустика движущейся среды // Акуст журн - 1958 - Т 4, №4 -
С 299-306
272 Чунчуэов ИП О поле точечного низкочастотного источника звука в атмосфе-
ре с неоднородным но высоте ветром // Акуст журн - 1984 - Т 30, №4 -
С 546-552
273 Чунчузов И П Поле точечного источника звука в приземном слое атмосферы//
Акуст жури - 1985 - Т 31 №1 -С 134-136
274 Шулъга Н А Основы механики слоистых сред периодической структуры -
Киев Hay кова думка, 1981 -200 с
275 Эрдейи А Асимптотические разложения Персангл -М Физматгиз, 1962. - 127 с
276 Янке Е, Эмде Ф Леш Ф Специальные функции Пер. с нем - 3-е ИЗД. - М
На>ка, 1977 - 342 с
277 Abrnlmm Р В. DeFacto В, Moses НЕ Two distinct local potentials with no bound
states can have the same scattering operator // Phys Rev Lett - 1981 - V. 46,
N26 - P 1657-1659
278 Abraham P В Moses H F Exact solutions of the one-dimensional acoustic wave equa-
tions foi several new velocity profiles Transmission and reflection coefficients // J
Acoust Soc Amer - 1982 - V 71, N 6 - P 1391-1399
279 Adler L deBilly M Quenttn G J Excitation of ultrasonic Ravleigh leaky waves at H-
quid-solid interface for general angle of incidence // J Appl Phys — 1982 — V 53,
N12 - P 8756-8758
280 Ahluwaba DS Uniform asymptotic theory of diffraction by the edge of a three-dimen-
sional body // SIAM J Appl Math - 1970 - V 18, N 2 - P 287-301
281 Avry G В On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic // Trans Cambr
Phil Soc - 1838 - V 6 - P 379-402
282 Akylas V, Kaur J, Knase! TM Longitudinal shift of a microwave beam at total reflec-
tion//Appl Optics - 1974 -V 13. N4 -P 742-743
283 Ammicht E Stickler D С Uniform asymptotic evalution of the continuons spectrum
contribution for a stratified ocean // J Acoust Soc Amer - 1984 - V 76, N 1. -
P 186-191
284 Andersson L-E Lundberg В Some fundamental transmission properties of impe-
dance transitions// Wave Motion -1984 -V 6, N4 - P. 389-406
285 Arenberg D L Ultrasonic solid delay lines // J Acoust Soc Amer - 1948. - V. 20,
N1 -P 1-26
286 Arnold JM Unified asymptotic theory of asymmetrical planar waveguides // J Acoust
Soc Amer -1981 -V 69, N 1 -P 17-24
287 At alar A On the reflection coefficient which exceeds unity // J. Acoust. Soc Amer, -
1981 -V 70, N4 -P 1182-1183
397

288. Atkinson F. V. Wave propagation and the Biemmer series // J, Math. Anal. Appl. -
1960. -V. 1, N 3-4. - P. 255-276.
289. Attenborough K., Hayek S.I,, Lawthet J.M, Propagation of a sound above a porous
half-space// J. Acoust. Soc. Amer. - 1980. - V. 68, N 5. - P. 1493-1501.
290. АиШ В.А. Acoustic fields and waves in solids. - New York: J. Wiley, 1973. - V. 1. -
423 p.; V. 2. -414 p.
291. Bahar E. Generalized WKB method with applications to problems of propagation in non-
homogeneous media// J. Math. Phys. - 1967. - V. 8, N 9. - P. 1735-1746.
292. Bahar E. Coupling between guided surface waves, lateral waves and the radiation fields
by rough surfaces. - Full wave solutions // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -
1977.-V. MTT-25.N11.-P. 923-931.
293. Bahar E. Radio wave propagation in critical coupling media: Comparison of the genera-
lized WKB and Katscnelenbaum's methods// Radio Science. - 1980. - V. 15, N 3. -
P. 573-579.
294. Bailey V.A. Reflection of waves by an inhomogeneous medium// Phys. Rev. - 1954. -
V.96, N4. -P. 865-868.
295. Backus G.E. Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering//J. Geo-
phys. Res. - 1962. - V. 67, N 11. - P. 4427-4440.
296. Backus G. Possible forms of seismic anisotropy in the uppermost mantle under oceans//
J. Geophys. Res. - 1965. - V. 70, N 14. - P. 3429-3439.
297. Baiios A. Dipole radiation in the presence of a conducting half-space. - New York etc.:
Pergainon Press. 1966. - 246 p.
298. Barnard G.R.. Bardin J.L.. Whiteley J.M. Acoustic reflection and transmission charac-
teiisticsfor thin plates// J. Acoust. Soc. Amer. - 1975. - V. 57, N 3. - P. 577-584.
299. Behrens E. Sound propagation in lamellar composite materials and averaged elastic
constants// J. Acoust. Soc. Amer. - 1967. - V. 42, N 2. - P. 378-387.
300.Beilis A. Convergence zone positions via ray-mode theory // J. Acoust. Soc. Amer. -
1983. -V. 74, N 1.- P. 171-180.
301. Bellman R, Kalaba R. Invariant imbedding wave propagation and the WKB approxi-
mation // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1958. - V. 44, N 4. - P. 317-319.
302. Berry M.V. Focusing and twinkling: Critical'exponents from catastrophes in non-Gaus-
sian random short waves // J. Phys. A: Math. Gen. - 1977. - V. 10, N 12. - P. 2061-
2080.
303. Berry M.V., Nye J.F., Wright F.J. The elliptic umbilic diffraction catastrophe // PhQ.
Trans. Roy. Soc. London. - 1979. - V. 291, N 1382. - P. 453-484.
304. Berry M. V., Upstitt C. Catastrophe optics; Morfologies of caustics and their diffraction
patterns // Progress in Optics. - V. 18. - Amsterdam: North-Holland, 1980. - P. 257-
346.
305. Bertoni N.L., Tamir T, Unified theory of Rayleigh-angle phenomena for acoustic beams
at liquid-solid interfaces // Appl. Phys. - 1973. - V. 2, N 4. - P. 157-172.
306. №>r MA. The interaction of Rayleigh and Stonely waves in the ocean bottom // Bull.
Seismol. Soc. Amer. - 1952. - V. 42, N 1, P. 81-93.
307. Bleistein N. Uniform asymptotic expansion of integrals with a stationary point near
an algebraic singularity // Comra Pure Appl. Math. - 1966. - V. 19, N 4. - P. 353-
370.
У0&. Bleistein N. Uniform asymptotic expansions of integrals with many nearly stationary
points and algebraic singularities// J. Math, and Mech. - 1967. - V. 17, N 6. - P. 533-
559.
309. Bleistein N.. Handelsman R. Asymptotic expansion of integrals. - New York: Holt,
Rinehartand Winston, 1975. - 425 p.
310. Boulware D.G. Phase-shift analysis of the translation of totally reflected beams // Phys.
Rev. D. - 1973,-V. D7.N8. - P. 2375-2382.
311. Boyd R. W. Intuitive explanation of the phase anomaly of focused light beams // J. Opt.
Soc. Amer. - 1980. - V. 70, N 7. - P. 877-880.
312. Bremmer H. The propagation of electromagnetic waves through a stratified medium
and its WKB approximation for oblique incidence // Physica. - 1949. - V. 15. -
P. 593-608.
313. Bremmer H. The WKB approximation as the first term of geometric-optical series //
Comm. Pure Appl. Math. - 1951. - V. 4. - P. 105-115.
Э9в

314. Brillouln L Sur line methode de calcul approchee de certaines integrates, dite methode
de col // Ann. 1'e'cole noim. sup». - 1916. - V. 33. - P. 17.
315.Brown E.H., Hall F.F. Advances in atmospheric acoustics // Rev. Geophys. Space
Phys. - 1978. - V. 16, N 1. - P. 47-110.
316. Brown M.G. The transient wave fields in the vicinity of the caustics // J. Acoust. Soc.
Amei,- 1986. - V. 79, N5.- P. 1367-1401.
317. Brown M.G,, Tappert F.D. Causality, caustics, and structure of transient wave fields //
J. Acoust. Soc. Amei. - 1986. - V. 80, N 1. - P. 251-255.
318. Bryant H.C. Lateral waves in a plane air-watei interface // J- Opt. Soc Araer. - 1973. -
V. 63, N8. -P. 1009-1013.
319. Buchal R.N., Keller J.B. Boundary layer problems in diffraction theory // Comm.
Pure Appl. Math. - 1960. - V. 13, N1. - P. 85-114.
320. Cagniard L. Reflexion et refraction des ondes seismiques progressives. - Paris: Gouthter-
Villarset Ge, 1939. - 255 p.
321. Condel S.M., Степсе C. Direct Fourier synthesis of waves in layered media and method
of stationary phase// J. Sound. Vibr. - 1981. - V. 74, N 4. - P. 477-498.
322. terveny V. Seismic rays and lay intensities in inhomogeneous anlsotropic media //
Geophys. J. Roy. Astron. Soc. - 1972. - V. 29, N 1. - P. 1-13.
323. derveny V. Reflection and transmission coefficients foi transition layers // Studja
Geophysica et Geodaetica. - 1974. - V. 18. - P. 59-68.
324. terveny V., Mohtkov LA, Psencik I. Ray Method in Seismology. - Praha: Univereita
Karlova, 1977.
325. terveny V., Popov MM., Psentik I. Computation of wave fields in inhomogeneous
media. - Gaussian beam approach// Geophys. J. Roy. Astron. Soc. - 1982. - V. 70,
yit-P. 109-128.
326. Cerveny K, Ravindra R. Theory of Seismic Head Waves. - Toronto: University Toronto
Press, 1971.-273 p.
327. Chambers L.G. The total reflection of a sound pulse of arbitrary form // Wave Motion. -
1980. - V. 2, N 3. - P. 247-253.
328. Chapman C.H. A new method for computing synthetic seismograms // Geophys. J. Roy.
Astron. Soc. - 1978. - V. 54, N 3. - P. 481-518.
529 Chessel C.I. Three-dimensional acoustic ray tracing in an inhomogeneous anisotropic
atmosphere using Hamilton's equations // J. Acoust. Soc. Amet. - 1973. - V. 53,
N I. - P. 83-87.
330. Chester C, Friedman В., Ursell F. An extension of the method of steepest descents //
Proc Cambr. Phill. Soc. - 1957. - V. 53, N 3. - P. 599-611.
331. Choy G.L. Theoretical seismograms of core phases calculated by a frequency-depen-
dent full wave theory, and their interpretation // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. -
1977. - V. 51, N 2. - P. 275-311.
332. Choy G.L,, Richards P.G. Pulse distortion and Hilbert transformation in multiply reflec-
ted and refracted body waves // Bull. Seismol. Soc. Amer. - 1975. - V. 65, N 1. -
P. 55-7 a
333- Claeys J.M., Leroy O, Reflection and transmission of bounded sound beams on half-spases
andthrough plates // J. Acoust. Soc. Amer. - 1982, - V. 72, N 2. - P. 585- 590.
334. Cochran M.D., Woeber A.F., De Breamecker J.C. Bode waves as normal and leaking
modes. Ill // Rev. Geophys. Space Phys. - 197a - V. 8, N 2. - P. 321-357.
335. Connor J.N.L. Catastrophes and molecular collisions // Molec. Phys. - 1976. - V. 31,
N1.-P. 33-55.
336. Connor J.N.L., Curtis P.R.- A method for the numerical evaluation of the oscillatory
integrals associated with the cuspoid catastrophes: Application to Pearcey's integral
and its derivatives // J. Phys. A: Math. Gen. - 1982. - V. 15, N 4. - P. 1179-1190.
337. Connor J.N.L., Farrefy D. Theory of cusped rainbows in elastic scattering: Uniform
semiclassical calculations using Pearcey's integral // J. Chem. Phys. - 1981. - V. 75,
N6.-P. 2831-2846.
338. Costa de Beau regard O., Imbert C, Levy Y. Observation of shifts in total reflection
of a light beam by a multilayered structure // Phys. Rev. D. - 1977. - V. D15, N 12. -
P. 3553-3562.
339. Cowan JJ., Ahicin B. Longitudinal and transverse displacements of a bounded micro-
wave beam at total internal reflection // J. Opt. Soc. Amer. - 1977. - V. 67, N 10. -
P. 1307-1314.
399

340- Crampin S. The dispersion of surface waves in multilayered anisotiopic media // Geo-
phys. J. Roy. Astron. Soc. - 1970. - V. 21, N 2. - P. 387-402.
341- Crampin S. A review of the effects of anisotropic layering on the propagation of seis-
mic waves// GeophysJ. Roy. Astion. Soc. - 1977. - V.49, N1.- P. 9-27.
342.Crampin S.. King D.W. Evidence for anisotropy in the uppet mantle beneath Eurasia
from the polarization of higher mode surface waves // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. -
1977.- V49.N 1,P.59-85.
343. Cron B.F., Nuttal А.И. Phase distortion of a plane wave caused by bottom reflection //
}. Acoust. Soc. Amer. - 1965. - V. 37, N 3. - P. 486-492.
344. Dieulesaint E.. Royer D. The relationship between surface wave displacement and
anisotropy on selected crystal structures // Rayleigh-Wave theory and application. -
Berlin etc.: Springer. - 1985. - P. 29-36.
MS. Dingle R.B. Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. - New York
etc.: Academic Press, 1973. - 521 p.
346. Donato R.J. Propagation of a spherical wave near a plane boundary with a complex
impedance //1. Acoust. Soc. Amer. - 1976. - V. 60, N 1. - P. 34-39.
347. Duykers L.R.B. Deformation of an exponential pulse with a finite rise time in the re-
gion of total reflection// J. Acoust. Soc. Amer. - 1965.-V. 37, N 6. -P. 1052-1055.
348. Eckart G. Etude des ecos des ondes acoustiquesdans le milieu stratifiede la troposphere //
Acustica. - 1952. - V. 2, N 6. - P. 256-262.
349. Embleton T.F. W., Pterey J.E., Daigle G.A. Effective flow-resistivity of ground sur-
faces determined by acoustical measurements // J. Acoust. Soc. Amer. - 1983. - V 74,
N4. -P. 1239-1244.
350.Epstein P. Reflection of Waves in an inhomogeneous absorbing medium// Proc. Nat.
Acad. Sci. USA. - 1930. - V. 16, N 10. - P. 627-637.
351. Ergin К Energy ratio of the seismic waves reflected and refracted at a rock-water boun-
dary // Bull. Seismol. Soc. Amer. - 1952. - V. 42, N 4. - P. 349-372.
352. Ewing W.M., Jardenky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. - New York:
McGraw-Hill, 1957. - 380 p.
35 3. Felsen L. Lateral waves // Electromagnetic wave theory. Proc. of a symposium held
at Delft, the Netherlands. Par. 1. - London etc.: Pergamon Press. - 1967. - P. 11-44.
354. Felsen L.B. Hybrid ray-mode fields in inhomogeneous wavaguides and ducts// i. Acoust.
Soc. Amer. - 1981. - V. 69, N 2. - P. 352-361.
355. Ftfippi P.J.T. Extended sources radiation and Laplace type integral representation:
Application to wave propagation above and within layered media // J. Sound Vibr. -
1983. -V. 91, N1.- P. 65-84.
356. Fisher D.A., Gardner G.H.F. Physical and numerical modeling of reflections from
interfaces and thin layers // IEEE J. Oceanic Engineering. - 1984. - V. OE-9, N 1. -
P. 3-11.
357. Fisher FA. Uber die Totalreflexfon von ebenen Impulswellen // Ann. Phys. - 1948. -
B. 2,H. 3-4, S. 211-224.
358. Floyd E.R. Phase integral approximations for calculating energy bands // J. Math.
Phys. - 1976. - V. 17,'N 6. - P. 880-884.
359. Floyd E.R. Modified phase integral appoximation for a more rigorous ray-tracing techni-
que // J. Acoust. Soc. Amer. - 1976. - V. 60, N 4. - P. 801 -809.
360. Folds D.L.. Loggins CD. Transmission and reflection of ultrasonic waves in layered
media // J. Acoust. Soc. Amer. - 1977. - V. 62, N 5. - P. 1102-1109.
361. Ford K.W., Wheeler J.A. Semiclassical description of scattering. Application of semi-
classical scattering analysis// Ann. Phys. (N.Y.). - 1959. - V.7, N 3. - P. 259-
322.
362. Franceschetti G. Scattering from plane layered media // IEEE Trans. Ant. Propag. -
1964. - V. AP-12, N6.-P. 754-763.
363. Franklin J., Friedman B. A convergent asymptotic representation for Laplace inte-
grals// Proc. Cambr. Phill. Soc. - 1957. - V. 53, N 3. - P. 612-619.
364. Frazier C. W. Discrete time solution of plane P-SV waves In a plane layered medium //
Geophysics. - 1970. - V. 35, N 2. - P. 197-219.
365. Friedlander F.G. On the total reflection of plane waves // Quart. J. Mech. Appl. Math. -
1948. - V. 1, N 4. - P. 376-384.
366. Froman N. Connection formulas for certain higher order phase-integral approxima-
tions// Ann. Phys. (N.Y.) - 1970. - V. 61, N 2. - P. 451-464.
400

367 Fromar. N, Frdman P О Exact formulas and phase-integral formulas, not involving
wavefunctions, foi expectation values pertaining to general potentials // Ann Phys
(NY)- 1985 - V 163. N 2 - P 215 226
368 Fuchs К, Mutter G Computation of syntetic seismograms with the reflectivity method
and comparison of observations // Geophys J Roy Astron Soc - 1971 - V 23,
N4 -P 417-433
369 Gardner CS Keller J В The field of a pulsed dipole in ал interface // Co mm Pute
Appl Math - 1962 -V 15. N2 -P 99-108
370 Ger/uoy E Refraction of waves from a point source into a medium of a higher velo-
city //Phjs Rev - 1948 -V 73,N 12 -P 1442-1449.
371 Gilbert F, Backus G Propagator matrices in elastic wave and vibration problems //
Geophysju. -1966 -V 31, N2 -P 326-332
372 Ginzbarg A S, Strwk E Stoncly wave velocities for a solid-solid interface // Bull.
Scismol Soc Amer - 1958 - V 48, N 1 - P 51-63
373 Godin О A On the high-frequenc> theory of lateral waves // Wave Motion - 1984. -
V 6, N2 -P 105 117
374 Godm О A On a modification of the wave equation for'8 layered medium // Wave
Motion - 1985 - V 7 N 6 - P 515-528
375 Gorman DA Wells R On caustics in a moving medium // J Acoust Soc Amet -
1983 - V 73, N 1 - P 363-365
376 Gottlieb P Sound source near a velocity discontinuity // J Acoust Soc Amer -
1960 -V 32,N9 -P 1117-1122
377 Gray SH On the convergence of the time-domain Btemmer series // Wave Motion -
1983 -V 5, N3 -P 249-255
378 Green M, Kirkby P, Ttmsit R S Experimental results on the longitudinal displacement
of light beams near total reflection//Phys Lett -1973 -V 45A.N3 -P 259-260
379 Gnkurov V E, Popov MM Summation of Gaussian beams in a surface waveguide //
Wave Motion -1983 -V 5, N 3 -P 225-233
380 Guirk MMe Carntgha С К An angular spectrum representation approach to the Goos-
Hanchen shift//J Opt Soc Amer - 1977 -V 67. N1 -P 103-107
381 Gupta R N Reflection of sound waves from transition layers// J Acoust Sot Amer -
1966 -V 39, N2 - P 255-260
382 Handclsman RA , Bletsretn N Uniform as>mptotic expansions of integrals that arise in
the analysis of precurcors//Arch Rat Mech Anal- 1969 -V 35,№4 -P 267-283.
383 Hants J О Pott J I u'th(.r studies ot the scattering of a Gaussian beam from a fluid-
solid interface // J Acoust Soc Amer 1985 -V 78, N3 -P 1072-1080
384 Haskell NA The dispersion ot surface waves in multilayered media// Bull Seismol
Soc Amer - 1953 - V 43 N 1 - P 17-34
385 Heading J The Stokes phenomenon and the Whittakei function // J Lond Math Soc -
1962 -V 37, N 146B) P 195-208
386 Heading J Refiactive index profiles based on the hypergeometric equation and the
contluent hypergeometrii equation//Proc Camb Phil Soc - 1965 - V 61, N 4 -
P 897-913
387 Heading J Propagation in ail inhomogeneous gyrational medium// Quart J Mech AppL
Math - 1969 - V 22, N 1 -P 75-86
388 Hecht С E, Mayer J E Extension of the WKB equation//Phys Rev - 1957 -V 106,
N6 -P 1156-1161
389 Heelan PA Radiation from a cylindrical source of finite length// Geophysics. - 1953 -
V 18, N 3 - P 685-696
390 Heelan PA On the theory of head waves//Geophysics - 1953 - V 18, N 4 -
P 871-893
391 Heyman E Felsen L В Non dispersive closed form approximations for transient propa-
gation and scattering of ray fields// Wave Motion - 1985 - V 7, N 4 - P 335-
358
392 Hmes CO Reflection of waves from varying media// Quart Appl Math - 1953 -
V 11,N 1 -P 9r3l
393 Holford Л L Elementary source type solutions of the reduced wave equation //J.
Acoust Soc Amer - 1981.-V 70. N 5 -P 1427-1436
394 Hook J F Sepaiation of the vec'toi wave equation of elasticity for certain types of
26. Л М Бреховских 401

inhomogeneous isotropic media // i Acoust Soc Amei, — 1961 - V 33, N 3. —
P 302-313
395 fforo\* itz В R , Tamtr T Lateral displacement of a light beam at a dielectric interface //
J. Opt Soc Amer - 1971 -V 61, N5 -P 586-594
3% Hudtmac A A Ray theory solution for the sound intensity m watei due to a point
source above it//J Acoust Soc Amei - 1957 -V 29, N 8 -P 916-917
397 Hufford С A A note on the wave propagation through an inhomogeneous medium//
J Appi Phys. - 1953 -,V 24, N 3 - P 268-271
398 Hugontn J P, Petit R Elude generale des deplacements \ la reflexion to tale// J Op-
tics - 1977 - V 8, N 2 - P 73-87
399 latnada R On the radio wave propagation m a stratified atmosphere // J Phys. Soc
Japan - 1955 - V 10, N 1 - P 71-79
400 Jngard U On the reflection of a spherical sound wave from an infinite plane // J Acoust
Soc Amei -1951 -V 23, N 3 -P 329-335
401 James G1. Geometrical theor> of diffraction for electromagnetic waves. — Stevenage-
Peter Peiegrinus, 1976 - 254p
402 Jeffreys H Asymptotic approximations - London Oxfoid University Press, 1962
144 p
403 Jones DK High-frequency refraction and diffraction in general media// Phil Trans.
Roy Soc London, Sei A - 1963 -V 255, N 1058 - P 34J-387
404 Jones D S Khne M Asymptotic expansion of multiple integrals and the method of
stationaiy phase // J MatTi and Phys. - 1958 - V 37, N 1 - P 1-28
405 Jones D S, Morgan J D The instability of a voitex sheet on a subsonic stream under
acoustic ladiation // Proc. Cambr Phil Soc - 1972 - V 72, N 3 - P 465-491
406 Jones H D Lateral waves fiom a continuous transition layer// 1 Acoust Soc Amer -
1974 - V 56, N4 - P 75-79
407 Kamel A H, Felsen 1 В Hybrid Green's function for SH motion in a low velocity
la>er // Wave Motion - L983 - V 5,N 1 - P 83-97
408 Kay I Moses И Е The determination of the scattering potential from the spectral
measure function III // NuovoQmento - 1956 - V 3, N 2 - P 276-304
409 Kazannajf N D Asymptotic theory of second order differential equation with two
simple turning points//Arch Rat Mech Anal-1958 -V 2, N 2 -P B9-150
410 Kennett В LN Kerry NJ Wood ho use J H Symmetries in the reflection and trans-
mission of elastic waves // Geophys J Roy Astron Soc - 1978 - V 52, N 2 -
P 215-229
4Ц KriopofJ L On Rayleigh wave velocities // BuJ) Seismol Soc Amer - 1952 -V 42,
N4 - P 307-308
4\2.Koch R A Penland С, Vidmar PJ , Hawker К Е On the calculation of normal mode
group velocity and attenuation//J Acoust Soc Amer - 1983 - V 73, N 3 -
P 820-825
413 Kodre A Strand J Models for the GoosHaenchen effect//J Opt Soc Amer -
1974 -V 64, N12 -P 1722-1723
414 Kofmk W Reflexion elefctromagnetischet Wellen an emer inhomogenen Schicht // Ann
Phys - 1947 -B I, H 1-3 -S 119-132
415 Kornhauser E T Ray theory for moving fluids // i Acoust Soc Amer - 1953 -V 25,
N 5 - P 945-949
416 Korsch HJ, Lawent И Mime's differential equation and numerical solutions of the
Schrodmger equation I Bound-state energies for single and double minimum potentials//
J Phys В AtMol Pliys- 1981 -V 14, N 2 - P 4213-4230
417 Kundu T, Mai А К Elastic waves in a multilayered solid due to a dislocation source//
Wave Motion -V 7 N 5 - P 459-471
418 Kundu T Mai А К , Weglein R D Calculation of the acoustic material signature of a
bKred solid //J Acoust Soc Amer - )985 -V 77, N 2 - P 353-361
419 iMng R H ShmovsJ Lateral waveb on diffuse interface of finite thickness//J Acoujt.
Soc Amer - 1970 - V 44 N I - P 242-252
420 linger R E The abvmptouc solutions of ordinary linear differential equations of the
sci-ond order, *nh special reference to a turning point // Trans. Amer Math Soc -
1949 -V 67 _P 461-490
421 Longer R E Asymptotic solutions of a differential equation m the theory of microwave
propagation//Comm Pure Appl Math - 1951 - V 3 - P 427-438
402

422, Longer R E The asymptotic solutions of a linear differential equation of the second
order with two turning pomts // Trans. Amer Math Soc - 1959. - V, 90 N 1 -
P 113-142
423 Lapwood E R, Hudson J A The passage of elastic waves through an anomalous region
HI - Transmission of obliquely incident body waves //Geophys J Royal Asuon Soc -
1975 -V 40,N2 - P 255-268
424 Lawrence M W Ray theory modeling applied to low-frequency acoustic interaction with
horizontally stratifted ocean bottoms//J Acoust Soc Amer - 1985 -V 78,N2 -
P 649-658
425 Lerche J, Hill N R A mean-field solution of the reflection of a spherical acoustic wave
from a rough interface//J Math Phys. - 1985 -V 26, N 6 -P 1420-1427
426 Leslie С В, Sorensen N R Integral solution of the shallow water sound field // i Acoust
Soc Amer -1961 -V 33, N3 -P J23-329
427 Lesser M В Uniformly valid perturbation series for wave propagation in an inhomo-
geneous medium // J Acoust Soc Amer - 1970 -V 47, N 5B) -P 1297-1302
428 Icici L Felsen L В On transition functions occuring in the theory of diffraction in
mhomogeneous media // i Inst Mjth Its AppL - 1967 -V 3, N 1 -P 76-97
429 /fie» L Felsen J В On incomplete Any functions and then application to diffraction
problems // Radio Sci - 1969 - V 4, N 10 - P 959
430 Levy Y Imbert С Amplification desdeplacements a la reflexion tocale // Opt. Comm -
1975 -V 13 N 1 -P 43-47
431.Z.CUK R M Asymptotic theory of wave propagation // Arch Ration Me eh. Anal -
1965 - V 20, N 3 - P 191-250
432 Lewis R M Blemem N, Ludwig D Uniform asymptotic theory of creeping waves//
Comm Pure App/ Math - 1967 - V 20, N 2 - P 295
433 Lewis RM Boersma J Un iform asymptotic theory of edgedif fraction//J Math Phys. -
1969 - V 10, N 12 - P 2291-2305
434 Lewis R M, Keller J В Asymptotic methods for partial differential equations The
reduced wave equation and Maxwell's equations - New York New York Univ Res.
Rep _ 1964 EM-194
435 Lim TC Farnell G W Character of pseudo surface waves on anisotiopic crystals// J
Acoust Soc Amer - 1968 - V 45 N4 -P 845-851
436 Lindell I V Al&nen E Exact image theory for the Sommerfeld half-space problem.
1 Vertical magnetic dipole - IEEE Trans Ant Propag - 1984 - V AP-32, N 2 -
P 126-133
437 Ltndh G The transmission and reflection of an exponential shock wave impinging on a
homogeneous elastic plate immersed in a liquid// Acustica - 1955 - V 5, N 5 -
P 257-262
438 Loh E Semiuniform asymptotic expansions of the diffraction integral // J Opt Soc
Amer -1980 -V 70, N 9 -P 1075-1079
439 Lotsch H К V Beam displacement at total reflection- the Coos Hanchen effect//
Optik - 1970/71 -V 32 N 2 - P 116-137, N 3 - P 189-204, N 4 -? 299-
319,N6 -P 553-568
440 Luco J E, Apsel R On the Green's functions for a layered half space 1,2 // Bull Seism.
Soc Amer - 1983 -V 73, N4 - P 909-951
441 Ludwig D Uniform asymptotic expansions for wave propagation and diffraction prob-
lems//SIAM Review - 1970 -V 12,N 3 - P 325
442 Ludwig D Uniform asymptotic expansions at a caustic // Comm Pure Appl Math -
1966 -V 19, N2 -P 215-250
443 Lynn R Keller J В Uniform asymptotic solutions of second order linear ordinary dif-
ferential equations with turning points//Comm Pure Appl Math - 1970 - V 23,
N 3 - P 379-408
444 Maecker H D» Grenze der Totalreflexron 1 Strahlenoptishe Naherung mit der Wolter-
schen Stiahldefimtion // Ann Physik -1952 - B. 10, H 1-2 -S 115-128
445 Magnuson A H Acoustic response in a liquid overlying homogeneous viscoelastic half-
space// J Acoust Soc Amer _ 1975 -V 57, N 5 - P 1017-1024
446 McKisik JM, Hamm D P New method for normal mode models of sound propagattoo
m the ocean//J Acoust Soc Amer -1976 -V 59, N 2 -P 294-304
447 Metwally A D , Mahmoud S F Error analysis of image representation for source near a
dissipative earth // IEEE Trans Ant Propag- 1982.- V.AP-3O.N5.- P. 1005- 1008
26' ««»

448 Mezzmo M J Ray acoustic model of the ocean incorporating a sound velocity pro-
file with a continuous second derivatives//J. Acoust Soc Amer - 1973 - V 53,
N2 P S81 589
449 AftfW J W On the reflection of sound jt an interface of relative motion // J Acoust
Sol Amer - 19Ч"» - V 29 N 2 P 226-228
450 Mook D R .f-nsk 0 > Oppenheim A V A h> brid numerical/analytic technique for the
computation of wave field» in stiatified media based on the Hankel transform // J
Acoust So,. Amer - 1984 - V '6, \ • -P 222-243
451 Murphy E L Ray representation of diffraction effects in the split beam sound field//
J Acoust Soc Amer -1968 - V 43, N 3 - P 610-618
452 Murty 6 5 Wave propagation at an unbonded interface between two elastic half-spaces//
J Acoust Soc Anier - 1975 - V 58 N 5 - P 1094-1095
453 Na>fch AH, Chtmerm DE Reflection of finite acoustic beams from loaded and
stiffened halfspaccs // J Acoust Soc Amer - 1984 - V 75, N 5. - P 1360-
1368
454 Ne*hall В К Jacvbson MJ Siegmann WL Effect of a class of random currents on
acoustic transmission m a ocean *rth linear sound speed//J Acoust Soc Amer -
1980 -V 67 N6 -P 1997-2010
455 Ng<H TDK Mayer WG Numerical integration method for reflected beamprofiles near
Ra\leigh angle //J Acoust Soc Amer - 1980 V 67, N 4 - P 1149 1152
456 hichoks N С Uberall H Normal-mode propagation calculations for a parabolic velocity
profile// J Atoust Soc Amer - 1970 - V 48, N 3 - P 745-752
457 Mobile MA, Hayek SI Acoustic propagation over an impedance plane//J Acoust
Soc Amer - 1985 -V 78, N 4 -P 1325-1336
458 Norm AN The influence of beam type on the back reflection of ultrasonic beam»
trom a liquid-solid interface // J Acoust Soc Amer. - 1984 - V 76, N 2 - P 621 -
629
459 Nutral A H, Cron BF Signal-waxeform distortion caused by reflection off lossy-layered
bottoms//J Acoust Soc Amer - 1966 -V 40, N 5 -P 1094-1107
460 Nye J F Optical caustics in the near field from liquid diops// Proc Roy Soc Lon
don - 1978 - V A 361, N 1704 - P 21-41
461 Olver FWJ Uniform asymptotic expansion of solutions of linear second order diffe-
rential equations ror large value of a parameter // Phil Trans Roy Soc London -
1958 - V A250, N 984 - P 479-517
462 Oher FWJ Uniform asymptotic expansions for Weber parabolic cylinder functions of
large order//J Research NBS -1959 -V 63B, N 2 -P 131-J 69
463 ОЫег FWJ Error bounds for the Liouville-Green (or WKB) approximation//Proc
Cambr Phyl Soc - 1961 - V 57, N4 - P 790 810
464 Olwer h WJ Srengler F Error bounds for asymptotic solutions of second order diffe
rential equations having an irregular singularity of arbitrary rank // Joum SI AM Numer
Anal 1965 -V B2 - P 244-249
465 Off H Reflexion und Brechung von Kugehvellen 1 Effekte 2. Ordnung//Ann Phys -
1942 - В 41 - S 443-466
466 Pearcey T The structure of an electromagnetic field in the neighbourhood of a cusp of
a caustic//Phil Mag -1946 -V 37, N 268 -P 311-317
467 Pedersen MA Acoustic intensity anomalies introduced by constant velocity gradients//
J Acoust Soc Amer - 1961 -V 33, N4 P 465-474
468 Pedersen MA Theory of the axialiay // J Acoust Soc Amer - 1969 - V 45, N 1 -
P 157-176
469 Pedersen M A , Gordon D F Comparison of curvilinear and linear profile approximation
in the calculation of underwater sound intensities by ray theory // J Acoust Soc
A met - 1967 V 41, N 2 - P 419-438
470 Pekern С L Theory of propagation of sound in a half space of variable sound velocity
undei conditions of formation of a shadow zone// J Acoust Soc Amer - 1946 -
V 18, N 2 - P 295-315
471 Pekeris СL Alterrwn 7 Radiation resulting from an impulsive current in a vertical
antenna placed on a dielectric ground// J Appl Phys -1957 -V 28, N11 -
P 1317-1323
All.Peregrine DH, Smith R Nonlinear effects upon waves near caustics//Phiios. Trans
Roy Soc London - 1979 -V A292.N 1392 -P 341-390
404

473 Phynney R.A Propagation of leaking interface waves//BulL SeumoL Soc Amei. -
1961 - V 51 N4 -P 527-555
474 Pierce J Я A no«e on the transmission line equation in terms of impedance // Bell
System Techn J - 1943 - V 32 - P 263-265
475 Pilarski A Ultrasonic wave propagation in a laveied medium under different boundary
conditions// Archiv Acoust - 1982 - V 7, N 1 - P 61-70
476 Fiona TJ Pitts I t Mayer M G Ultrasonic bounded beam reflection and transmission
effects at a liquid/solid plate/liqutd uitertace//J Acoust Soc Amer -1976 -V 59,
N6 P 1324-1328
477 Popoi MM A new method of computation of wave fields using Gaussian beams//
\*ave Motion - 1982 - V 4.N 1 -P 85-98
478 Pontsky H Extension of Weyl s integral for harmonic spherical waves to arbitrary wave
shapes//Co mm Pure AppL Math -1951-V4. N1-P33
479 Pott J Hants J G Scattering of an acoustic Gaussian beam from a fluid-solid interface//
J Acoust Soc Amer - 1984 - V 76 N 6 - P 1829-1838
480 Press F Orary A P, Oluer J Кип S An coupled flevural waves in floating ice//
Trnas Amer Geophys Union - 1951 -V 32.N 2 - P 166-172
481 Press F Ewtng M Propagation of elastic waves in a floating ice sheet // Trans Amer
Geophys Union -1951-V32N5-P 673-678
482 Ra J W Berront H L Felsen L В Reflection and transmission of beams at a dielectric
interface//SI AM J Appl Math - 1973 - V 24, N 3 P 396 413
483 Rahmat Santa У Mittra R. Parhamt P Evaluation of Sommerfeld integrals for lossy
halt space problems // Electromagnetics - 1981 - V 1, N 1 - P 1-28
484 Raner К Elektrische Wellen in einem geschlchteten Medium // Ann Phys. - 1939 -
В 35 H 5 - S 385-416
485 Ra\lcigh Lord (Strutt J W ) On waves propagated along the plane surface of an elastic
solid, Pioc London Math Soc - 1887 - V 17, N 1 - P 4-11
486 Ravkinhwave theory and appUcation/Ed С A Ash HGS Paige (Springer Series on
Wa\t Phenomena V 2) - Berlin etc Springer 1985 - 360 p
487 Rnzaiy M Determination of the wave velocity in an inhomogeneous mtdium from the
reflection coefficient // J Acoust Soc Amcr 1975 - V 58, N 5. - P 956-
963
488 Rhodes D J CarnigliaCK Measurement of the Goos Hanthen shift at grazing incidence
using Lloyd s mirror//J Opt Soc Amer 1977 V 67 N 5 - P 679-683
489 Rlbner H S Reflection transmission and amplification of sound by a moving medium//
J Acoust Sen. Amer - 1957 -V 29 N4 P 435 441
490 Rice SO Unitonn asymplotn expansions for saddle point inttgials - Application to
a probability distribution occuring in noise theory " The Bell Syst Tech J - 1968 -
V 47, N9 P 1971-2013
491 Richards, PG Calculation of body waves, for caustics and tunneling in core phases//
Geophys J Roy Astron Soc - 1973 - V 35, N 1-3 - P 243-264
492 Richards PG Weaklj coupled potentials for Jugh-frequency elastic waves in conti
nuosly stratified media // Bull Seismol Soc Amer - 1974 - V 64, N 5 - P 1575-
1588
493 Richards T L Attenborough К Heap N W Watx>n A P Penetration of sound from a
point source into a rigid porous medium// J Acoust Soc Amer - 1985 - V 78,
N 3 - P 956-963
494 Rose LRF On the energy radiated by Rayleigh waves// Wave MoOon. - 1984 - V 6,
N4 -p 359-361
495 Royer D Dieulesamt ? Rayleigh wave velocity and displacement in orthorhombic,
tetragonal, hexagonal and cubic crystals // J Acoust Soc Amer - 1984 - V 76,
N5 -P 1438-1444
496 Rudmck I The piopagation of an acoustic wave along a boundary//J Acoust Soc
Amcr 1947 - V 19, N 2 - P 348-356
497 Rulr В Relation between cieeping waves and lateral waves on a curved interface//
J Math Phys - 1967 -V 8, N9 -P 1785-1793
498 Sachs DA Silbiger A Focusing and refraction of harmonic sound and transient pulses
in stratified media // J Acoust. Soc Amer - 1971. - V 49, N 3B) - P 824-
840
499. Sanford ТВ Observations of strong current shears in the deep ocean and some lmpli-
405

cations on sound rays // J. Acourt. Soc. Amer. - 1974. - V. 56, N 4. - P. 1118-
1121.
500. Scfwrnhorst K.P. Propertie» of acoustic and electromagnetic transmission coefficients
and transfer matrices of multilayered plates// J. Acoust. Soc. Amer. - 1983. - V. 74,
N6.-P. 1883-1886. -
501. Schelkunoff S.A. Remarks concerning wave propagation in stratified media //Comm.
Pure Appl. Math. - 1951. - V. 4. - P. 117.
502. Schmidt H., Jensen F.B. A full wave solution for propagation in multilayered vtscoelastic
media with application to Gaussian beam reflection at fluid-solid interfaces// J. Acoust.
Soc. Amer. - 1985. - V. 77, N 3. - P. 813-825.
503.ScAocA A. Der Schalldurchgang durch Flatten // Acustica. - 1952. - B. 2, H. 1. -
S.l-16.
504. Schoch A. Seitliche Versetzung eines total reflektierten Strahls bei Ultraschallwellen//
Acustica. - 1952. - B. 2, H. 1. - S. 18-19-
505. ScholteJ.G.J The range of existence of Rayleigh and Stoneley waves // Monthly Notices
Roy. Astron. Soc., Geophys. Suppl. - 1947. - V. 5, N 3. - P. 120-126.
506. Seckler B.D., Keller J.B. Geometrical theory of diffraction in inhomogeneous media//
J. Acoust. Soc. Amer. - 1959. - V. 31, N 2. - P. 192-205.
501. Seckler B.D , Keller J.B. Asymptotic theory of diffraction in inhomogeneous media//
J. Acoust. Soc. Amer. - 1959 - V. 31, N 2. - P. 206-216.
508. Seismology: Body Waves and Sources/Ed. B.A. Bolt (Methods of Computational Phy-
sics - V. 12) - New York: Academic Press, 1972. - 391 p
509. Sezawa K., Kami K. The range of possible existence of Stoneley waves and some related
problems// Bull. Earthquake Res. lnst. (Tokyo). - 1939. - V. 17, N 1. - P. 1-8.
510l Silbiger A. Phase shift at caustics and turning points // J. Acoust. Soc. Amer. - 1968. -
V 44, N2.-P. 653-654.
511. Slwjter F.W. Arbitrariness of dividing the total field in an optically inhomogeneous me-
dium into direct and reversed waves// J. Opt. Soc. Amer. - 1970. - V. 60, N 1. -
P. 8-10.
512. Smirh M.L, Dahlen F.A. The azimuthal dependence of Love and Rayleigh wave pro-
pagation in a slightly anisotropic medium // J. Geophys. Res. - 1973. - V. 78, N 17.-
P. 3321-3333.
513. Steinmetz G.G, Singh J.J. Reflection and transmission of acoustical waves from a layer
with space-dependent velocity //J. Acoust. Soc. Amer. - 1972. - V. 51, N I. -
P. 218-222.
514. Stepanishen P.R., Strozeski B. Reflection and transmission of acoustic wideband plane
waves by layered viscoelastic media// J. Acoust. Soc. Amer. -. 1982. - V. 71, N 1. -
P. 9-21
515. Stickler D.C Normal mode program with both the discrete and branch line contribu-
tions// J. Acoust. Soc. Amer.- 1975. - V. 57, N4. -P. 856-861.
516. Stickler D.C. .Reflected and lateral waves for the Sommerfeld model// J. Acoust. Soc.
Amer - 1976.-V. 60, N5.-P. 1061-1070.
517. Stickler D.C. Application of a technique of Franklin and Friedman to some problems in
acoustics // Math. Methods and Applications of Scattering Theory/Ed. J. DeSanto,
A.W Saenz, W.W. Zachary (Lecture Notes in Physics. - N 130). - Berlin etc.: Springer,
1979.-P. 71-80.
518. Stickler D.C, Ammicht E. Uniform asymptotic evaluation of the continuous spectrum
contribution for the Pekeris model// J. Acoust. Soc. Amer. - 1980. - V. 67, N 6 -
P. 2018-2024.
5 19. Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two solids// Proc. Roy. Soc.
London.- 1924.- V. A106, N732. -P. 416-428.
520. Tdkeuchi H., Saito M. Seismic surface waves // Seismology: Surface Waves and Earth
Oscillations / Ed. B.A. Bolt (Methods in Computational Physics. - V. 11). - New
York: Academic Press, 1972. - P. 217-295.
521. Tamir T. Inhomogeneous wave types at planar structures. 1. The lateral wave // Optik. -
1972. - V. 36, N2.-P. 209-232.
522. Tamir Т., Oliner A.A. Role of the lateral wave in total reflection of light// J. Opt.
Soc. Amer. - 1969. - V. 59, N 8A). - P. 942-949.
52$. Thompson R.J. Ray theory for an inhomogeneous moving medium // J. Acoust. Soc.
Amer.- 1972.-V. 51, N5.-P. 1675-1682.
406

524. Thompson RJ. Ray-acoustic intensity in a moving medium. I, II // J. Acoust Soc
Amer. - 1974. - V. 55, N 4. - P. 729-737.
525. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid mateifcl// J
Appl Phys. - 1950. - V. 21, N 2. - P. 89-93.
526. TindSe C.T., Deane G.ff. Sound propagation over a sloping bottom using rays with
beam displacement // J. Acoust. Soc. Amer. - 1985. - V. 78, N 4. - P. 1366-
1374.
527. Tjotta J.N., Tjotta S. Transmission of a pulsed acoustic signal at a two-fluid interface//
J. Acoust. Soc. Amer. - 1983. - V. 73, N 3. - P. 826-834.
528. Tolstoy I. Note on the propagation of normal modes in inhomogeneous media// J.
Acoust. Soc. Amer. - 1955. - V. 27, N 2. - P. 274-277.
529. Tolstoy I Total internal reflection of pulses in stratified media//. J. Acoust. Soc.
Amer. - 1965. - V 37, N 6. - P. 1153-1 155.
530. Tolstoy I. Phase changes and pulse deformation in acoustics// J. Acoust. Soc. Amer. -
1968. - V. 44, N 3. - P. 675-688.
531. Tolstoy I Wave propagation. - New York: McGraw-Hill, 1973.
532. Town D.N. Pulse shapes of spherical waves reflected and refracted at a plane interface
separating two homogeneous fluids// J. Acoust. Soc. Amef. - 1968. - V. 44, N 1. -
P. 65-76.
533. Tsang L , Kong J.A. Modified modal theory of transient response in layered media//
J. Math. Phys. - 1979. - V. 20, N6. - P. 1170-1182.
534. Uberall H., Nicholas N.C Range focusing in deep ocean sound channel with parabolic
profile // J. Acoust. Soc. Amer. - 1968. - V. 44, N 5. - P. 1259-1261.
535. Ugincius P. Ray acoustics and Fermat's principle in a moving inhomogeneous medium//
J. Acoust. Soc. Amer. - 1972. - V. 51, N 5. - P. 1759-1763.
536. Ursell F. Integrals with a large parameter: a double complex integrals with four nearly
coincident saddle-points // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1980. - V. 87, N 3. -
P. 249-27 3.
537. Ursin B. Review of elastic and electromagnetic wave propagation in horizontally layered
media // Geophysics. - 1983. - V. 48, N8.-P. 1063-1081.
538. Vezzetti D.J. Propagation of bounded ultrasonic beams anisottopic media//l.AcouM.
Soc. Amer. - 1985. - V. 78, N 3. - P. 1072-1080.
539. Vlaar N.J. Ray theory for an aniso tropic inhomogeneous elastic medium // Bull. SeismoL
Soc. Amer. - 1968. - V. 58, N 6. - P. 715-724.
540. Wait J.R. Electromagnetic waves in strati Tied media. - New York: Pergamon Press,
1970.-608 p.
541. Ware J. A., Aki K. Continuousand discrete inverse-scattering problems in a Stratified
elastic medium. I. Plane waves in normal incidence//J. Acoust. Soc. Amer. - 1969. -
V.45.N4. -P. 911-921.
542. Warren CH.E. A note on the refraction of sound in a moving gas// J. Sound. Vita. -
1964.-V. 1.N2.-P. 175-178.
543. Weyl Я Ausbreitung elektromagnetischer Wellen uber einen ebenen Leiter//Ann.
Phys. - 1919. - B. 60. - S. 481-500.
544. Weinstein M.S. Wave solution for air-to-water sound transmission // J. Acoust. Soc.
Amer. - 1965. - V. 37, N 5. - P. 899-901.
545. Westcott B.S. Soluble profiles for inhomogeneous gyrational media// Quart. J. Mech.
Appl. Math. - 1979. - V 23, N 3. - P. 431-440.
546. White D.W., Pedersen M.A. Evaluation of shadow-zone fields by uniform asymptotics
and complex rays // J. Acoust. Soc. Amer. - 1981. - V. 69, N 4. - P. 1029-1059.
547. Williams A.O.. Home W. Axial focusing of sound in the SOFAR channel // J. Acoust.
Soc. Amer. - 1967. - V. 41, Nl.-P. 189-198. ,
548. Wood D.H No phase change in a constant gradient-medium // J. Acoust. Soc. Amer. —
1968. -V. 44, N4.- P. 1154-1155.
549. Wood D.H. Green's functions for unbounded constant gradient media // J. Acoust. Soc.
Amer. - 1969. - V. 46, N 5B). - P. 1333-1339.
550. Yamaguchi S, Sato Y. Stoneley wave - its velocity, orbit, and the distribution of
amplitude // Bull Earthquake Res. lnst. (Tokyo).- 1955. - V. 33. - P. 549.
551. Yanovskaja T.B. Uniform asymptotic representation of a field of reflected and head
waves // Proc. Roy. Soc. London. - 1969. - V. A313, N 1515. - P. 477-490.
407

552. Yasumoto K., Oishi Y. A new evaluation «f the Goos-Hanchen shift and associated
time delay // J. Appl. Phys. - 1983. - V. 54, N 5. - P. 2170-2176.
553. Yeh С A further note on the reflection and transmission of sound waves by a moving
fluid layer // J. Acoust. Soc. Amer. - 1968. - V. 43, N 6. - P. 1454-1455.
554. Young G.B., Braite LW. A computer program for the application of Zoepprhz'sampli-
tude equations and Knott's energy equations// Bull. Seismol. Soc. Amer. - 1976. -
V. 66, N6. - P. 1881-1885.
555. Zhang Renhe. Turning point convergence-zones in underwater sound channels. IL
A generalized ray theory // CM. J. Acoust. - 1982. - V. 1, N 1. - P. 23-24.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналогия между волнами SH н звуком
24, 160
Антиволновод S3. 315, 344, 346
Асимптотика локальная 180, 225, 234,
238, 274, 368, 381
- поля в окрестности горизонта пово-
рота 179, 374
каустики 367, 37ft 380
критического угла полного от-
ражения 252
-равномерная 179, 225, 230, 234,
236, 238. 251, 260, 262, 276, 304,
367, 374, 380
Асимптотический ряд 162
Асимптотическое раз пожен не 162
Борновское приближение 207
Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
122,270
Вектор плотности потока мощности 26,
118, 127, 146,169,355
- потенциалов 101. 151
- смещения-напряжения 101, 151, 152,
160
- смещения частиц 19. 42, 336
ВКБ-приближеиие 163, 180, 211, 359,
373
, условия применимости 165, 173,
178, 184,215
, физический смысл 167, 173
Волна боковая 123, 135, 224, 247, 248,
273, 276, 284, 297
- обратная 318
, физический смысл 298, 301
-"вытекающая" 112, 113, 132, 216,
225, 281, 297
- головная 316
- Гуляева - Блюштейна 154
- локально-плоская 168, 212
- монохроматическая 14, 145
- неоднородная плоская 25, 242, 291
-отраженная 27, 199, 201, 211. 215.
243
- плоская 12, 22
- поверхностпая 107, 132, 149. 216,
225, 263
Волна прошедшая (преломленная) 28,
54. 244.316
- Рэлея 108, 149, 281, 297
-Сгонели 112, 113
- сферическая 12, 241
, разложение на плоские волны
242
, цилиндрические волны 243
Волновод 53, 315, 344, 345, 352, 362,
369, 385, 386
- приповерхностный 125, 363
Волновое сопротивление среды 30
- число 14
комплексное 144, 147, 244, 335,
344, 362
эффективное 17, 18
Волновой иск юр 16
горизонтальный 15, 28, 127, 249
Волны вертикальной поляризации
(P-SV) 23, 89, 129, 137, 146, 150
- "вязкие" 144
-горизонтальной поляризации 23, 129,
137, 150
-нормальные (моды) 216, 225, 345,"
349
- отрицательной энергии 45, 194
- полгречные 22, 89, 144, 151
- продольные 22, 89, 151
- с гармонической зависимостью от
горизонтальных координат 15, 23,
170,269, 335,373
- "тепловые" 144
Вязкость 143
Гамильтониан 353, 356
Гамма-функцня 66, 134, 220
Геометрическая акустика 163, 170, 253,
353, 369 (см. также Лучевая теория)
комплексная 186, 370
Гильберта преобразование 122
Горизонт синхронизма (резонансного
взаимодействия) 15, 166, 186. 195
Граница абсолютно мягкая 13
жесткая 12
- импшансная (локальиореагкрующая)
33. 259
- пассивная 261
409

Граница раздела слабая 209. 213, 264,
385
Граничные условия 12, 114, 154
- - 1-го рода 13
- - 2-го рода 13
- - 3-го рода 33, 337, 351
- - в движущейся жидкости 15» 16,
18.41
- — неподвижной жидкости 13, 18,
29, 147
- —• твердом теле 20, 24
Гука закон 20, 145, 148, 153
Дебая разложение 353
Деформации тензор 148
Деформация импульса 115, 119, 372
Диполь 328, 340
Дисперсионное (характеристическое)
соотношение 16, 109, 144, Д16
звука в движущейся среде 16,
169, 355
нормальных волн 216, 345, 349
ловерхностньсх волн 109
Дифракция волнового пучка при от-
ражении 278, 282, 296
распространении 282, 284. 292,
294
Диэлектрической проницаемости тензор
153
Длина цикла луча 361, 363
Закон преломления 28. 97, 354
в движущейся среде 42, 170, 356
-сохранения полного импульса 115
Затухание плоских вол» 142
- поверхностных и "вытекающих"
волн 111, 263, 281
Зона ближняя 318
-тени 315, 363, 367
- Фраунгофсра 318, 327
Импеданс 28, 97, 127, 200, 216, 261
- входной 29, 104, 210
- в движущейся среде 42, 200
- нормальный 28
- характеристический 28, 30
Импедансное граничное условие 33
Интеграл быстро осциллирующий 225,
270
- Всйля 244
- вероятностей 229, 262, 266, 315
- Зоммсрфельда 244
- Пнрси 237, 375
- фазовый 174
- Эйрн 72
- эталонный 229, 232, 236, 274, 384
Интегралы Френеля 2*30, 288
, их обобщения 237
Интегральное представление поля 217,
241, 279, 324, 341, 343, 359, 262,
364
, использование в численных рас-
четах 269, 385
- уравнение 172, 175, 206
Вольтерра 176, 203
Источник звука 333, 340
- - линейный 254, 278, 317, 344
- - мнимый 244, 26?, 318
направленный 316, 322, 340
- распрецепенный 321, 340
- - точечный 215, 256, 269, 328, 333,
338
Каустика 303, 363, 364, 375, 383
- обычного и дифракционного лучей
303, 385
- простая 364,369
Каустический сдвиг фазы 125, 363,
367, 372
Каустическое острие (клюв) 375
Контур интегрирования перевальный
218, 245, 307, 318
- скорейшего спуска 221
Коэффициент возбуждения боковой
волны 311
-отражения 27, 48, 94, 97, 132, 185,
19&, 211, 215
средний (когерентный) 323
энергетический 99, 185, 194
- прозрачности (прохождения) 28, 48,
54,94, 127, 132, 185
энергетический 32, 99, 127, 185,
194
-трансформации боли 90. 94, 137
Критические точки подынтегрального
выражения 224, 228
изолированные 224
, физический смысл 224, 247,
263, 298, 345, 360, 364
Критический угол полного отражения
30,91,252,283, 305
Ламе постоянные 20, 145
Луч 169, 224, 353, 356, 362
- дифракционный 1 86, 273, 298. 302,
305,329,331
Лучевая теория L63. 168, 216, 25S,
302, 310, 316, 352 (см. также Гео-
метрическая акустика)
, условия применимости 254, 258.
353, 363, 367
Лучевой ряд 353
Лучевые координаты 354, 357
Матрица рассеяния 90, 94, 104, 129,
145
Матричная экспонента 152, 160
410

Матричный пропагатор 103, 151, 153,
156, 160
Маха число 42, 87, 271, 339, 348
Метод малых возмущений (ММВ) 323
- параболического уравнения 385
-перевала 217. 245, 272, 283. 317,
327, 348
, условия применимости 225, 231,
248
— погружения 200
- стационарные фазы 225
многомерный 227, 2S4» 273,
349, 360
— суммирования гауссовых пучков 385
— Томсона - Хаскелла 101
- эталонного уравнения 162, 374
— эталонных интегралов 162, 217, 229,
238. 366, 374, 375
Метод эталонных функций 369
Модулей упругости тензор 148
Монополь 328, 339, 357
- в движущейся среде 340
Напряжений тензор 19, 90, 142, 147,
148
Область наблюдения боковой волны
248,273,306,319
поверхностной или "вытекающей"
волны 264, 310
Огибающая волнового пучка 279
Ограниченные волновые пучки 241, 278,
316
остронаправленные 279
Отражение в поглощающей среде 145,
252,285
- звука от горизонта поворота 124,
180
границы раздела 27, 43, 96
движущейся среды
неоднородного полупространства
47
однородного слоя 34
пластинки 105, 282
"потенциального барьера " 37,
181,314
произвольного слоя 126, 198
системы слоев 38,43, 100
слоя Эпштейна 61, 63
тангенциального разрыва 43
при нормальном падении 30, 78
- незеркальное 280, 296, 297
- полное 30, 91, 98, 125
-сферической волны 241, 254, 261
- улругих волн вертикальной поляри-
зации в твердом теле 94, 104, 129,
137
Отражение упругих волн вертикальной
поляризации от свободной грани-
цы 90
горизонтальной поляризации 24,
129, 137
- цилиндрической волны 254
Плоские волны в анизотропной сре-
де 148
поглощающей среде 144
пьезоэлектрнкс 153
Плоскость падения волны 27
Плотность энергии волны 26
Поглощение звука 142, 147, 161
- упругих волн в твердом теле 145,
161
Показатель преломления 28
эффективный 163
Полуволновой слой 37
Полюсы коэффициентов отражения и
прозрачности 44, 132, 216, 247
Поляризация волны 23, 89, 144, 148
Потенциал смещений в улругой волне
векторный 21, 24, 101
скалярный 21, 96, 101
- электрический 153
Преломление плоской волны 28
- сферической волны 241, 244
Принцип взаимности 188, 257, 333
- причинности 123, 125, 188
- Ферма 302, 310, 354
Производная ма1ериапьная (полная) 9,
15
Прохождение полное 30, 85
Пьезотензор 153
Пьезоэффект 153
Радиус корреляции неровностей 323
Рассеяние звука 323
Резонансное взаимодействие звука с
лото ком 15, 166, 186, 195
Симметрия поля относительно переста-
новки источника н приемника 257,
333
- процесса отражения плоских волн
32, 96, 127, 129
Скорость групповая 17, 148, 154, 169,
346, 349
- в движущейся среде 17, 169, 356
- звука 10, 143
- поперечных волн в твердом теле 22
- продольных волн в твердом теле
22
-фазовая 17, 25, 148, 154, 169, 346
Смещение при отражении волнового
пучка 280
, классическое 280. 285
, максимума огибающей 283
. физические причины явле-
ния 280, 292
411

Смешение при отражении волнового
пучка, "центра тяжести" 287,
291
луча 186, 297, 301, 304, 360
Снелля закон 28, 354
Спектр волнового пучка 279, 287
- поля дискретный 346
непрерывный (сплошной) 315, 345
Спектральная плотность импульса 114
Среда анизотропная 142, 148, 3 50,
372
- дискретно-слоистая 25, 151
- диспергирующая 14, 143, 144
- мелкослоистая 142
- плавно-слоистая 165,174, 209
Среда плавно-слоистая с границами
209, 216
- трансверсалыю-изотропиая 149
Тангенциальный разрыв 41
Теорема обращения потока 127, 3 35,
336
Теория катастроф 237, 383 ;.
Точка ветвления 135, 219, 222, 225,
231, 237, 245, 250, 264, 272, 2.83,
298, 345
-перевала 218, 223, 365, 375
- поворота 58, 166, 178, 255, 358, 368,
372, 373, 385
-седловая 182, 219, 223
- стационарная 219, 227, 348, 359
Угол обмена поляризацией 91
- падения 28, 279
- полной прозрачности границы 30, 138.
142, 253, 296
- преломления 28
- скольжения 106
Уравнение волновое 9
в движущейся жидкости И, 27,
334
- - - неподвижной жидкости 10, 14,
19, 334
однородной среде 12, 21
узком смысле 12
Оля гармонических волн 15
модифицированное 17
- Гельмгольца 17
одномерное 17
- гинер геометрическое 59
- Кристоффеля 148,154
Уравнение непрерывности 9, 333
- Риккатн 33, 200
для коэффициента отражения L99,
214
Уравнение непрерывности для импеданса
200
- состояния 9, 143
- Уиттекера 50
- эйконала 353, 355
- Эйлера 9, 142, 333
--Эйри71,178, 236
- эталонное 175, 182, 190, 191
Уравнения гидродинамики 9
линеаризованные 10, 333
- луча в гамнльтоиовой форме 353
дифференциальные 354
в движущейся жидкости 356
явные в слоистой среде 357, 362
- переноса 353, 356, 371
- упругих волн в твердом теле 20
Усиление звука при отражений 44,
186, 194, 198
Условие излучения 14, 188
- предельного логлощения 14, 51, 75,
211,334
Флуктуации звукового поля 326
Фокус 381, 386
Френеля формулы 29, 212
Фронт волны 25, 168, 354
Функции Бесселя 55, 73, 88, 138, 243,
267. 313,342, 347, 375
- вырожденные гнпергеометрическяе
50, 88, 187, 190
- гипергеометрические 60
- неполные цилиндрические 267
- параболического цилиндра 86, 182,
183, 187, 232, 235, 251, 274, 284,
304,375
- симметрические 378
- Ханкеля 55, 73, 138, 239, 244, 265,
348
- Эйри 55, 70, 179, 359. 365
неполные 237
Функция Грина 175, 328, 340
- корреляции 323
- ослабления 261
- собственная 346, 349
-сравнения 175, 178, 182
Частота волны 12, 14
- критическая 315
Четвертьволновой слой 37
Численное расстояние 260
Эйконал 353
Эффект Гооса - Хенхен 281
- Федорова 297

Научное издание
Бреховских Леонид Максимович
Годин Олег Александрович
АКУСТИКА СЛОИСТЫХ СРЕД
Заведующий редакцией Н.А. Носова
Редактор Г.М. Карассва
Художественный редактор Л.Н. Романенкова
Гехническнйрсдактор С.В, Геворкян
Корректоры Н.П. Кругловй. Т.В. Обод, Т.А. Печко
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатаюшнх автоматах
ИБ№ 32777
Сдано в набор 12.09.88. Подписано к печати 1&.01.89 Т-05012
Формат 60 X 90/16. Бумага печатная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл.печ.л. 26.0. Усл. кр.-отт. 26.0. Уч..издл. 30,97
Тираж 2660 экз. Тип.эак.166. Цена 6р.5ОК.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071 Москва В-71, Ленинский праспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25