В.М. АЛЕКСЕЕВЫМ. ГАЛЕЕВ, В.М. ТИХОМИРОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОПТИМИЗАЦИИ
в
Уважаемый читатель!
Вы открыли одну из книг, изданных в серии «Классический
университетский учебник», посвященной 250-летию Московско-
го университета. Серия включает более 150 учебников и учеб-
ных пособий, рекомендованных к изданию Учеными советами
факультетов и Редакционным советом серии.
Московский университет всегда славился своими профессо-
рами и преподавателями, воспитавшими не одно поколение сту-
дентов, впоследствии внесших заметный вклад в развитие нашей
страны, составивших гордость отечественной и мировой науки,
культуры и образования. Юбилей Московского университета —
выдающееся событие в жизни всей нашей страны и мирового
образовательного сообщества.
Высокий уровень образования в Московском университете
в первую очередь обеспечивается высоким уровнем написанных
выдающимися учеными и педагогами учебников и учебных по-
собий, в которых сочетаются как глубина, так и доступность
излагаемого материала. В этих книгах собран бесценный опыт
методики и методологии преподавания, который стал достоянием
не только Московского университета, но и других университетов
России и всего мира.
Издание серии «Классический университетский учебник» на-
глядно демонстрирует тот вклад, который внес Московский уни-
верситет в классическое университетское образование в нашей
стране.
Решение этой благородной задачи было бы невозможным без
активной помощи со стороны издательств, принявших участие
в издании книг серии «Классический университетский учебник».
Мы расцениваем это как поддержку ими позиции, которую зани-
мает Московский университет в вопросах образования и науки.
Ректор Московского университета
академик РАН, профессор
В. А. Садовничий
Серия
КЛАССИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
основана в 2002 году по инициативе ректора
МГУ им. М.В. Ломоносова
академика РАН В.А. Садовничего
и посвящена
250-летию
Московского университета
КЛАССИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
Редакционный совет серии:
Председатель совета
ректор Московского университета
В.А. Садовничий
Члены совета:
Виханский О.С., Голиченков А.К., Гусев М.В.,
Добренькое В.И., Дониов А.И., Засурский Я.Н.,
Зинченко Ю.П. (ответственный секретарь),
Камзолов А.И. (ответственный секретарь),
Карпов С.П., Касимов Н.С., Колесов В.П.,
Лободанов А.П., Лунин В.В., Лупанов О.Б.,
Мейер М.С., Миронов В.В. (заместитель председателя),
Михалев А.В., Моисеев Е.И., Пушаровский Д.Ю.,
Раевская О.В., Ремнева М.Л., Розов Н.Х.,
Салецкий А.М. (заместитель председателя),
Сурин А.В., Тер-Минасова С.Г.,
Ткачук В.А., Третьяков Ю.Д., Трухин В.И.,
Трофимов В.Т. (заместитель председателя), Шоба С.А.
В.М. АЛЕКСЕЕВ, Э.М. ГАЛЕЕВ, В.М. ТИХОМИРОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОПТИМИЗАЦИИ
ТЕОРИЯ. ПРИМЕРЫ. ЗАДАЧИ.
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
У»
Рекомендовано Учебно-методическим Советом по математике и механике
УМО по классическому университетскому образованию
в качестве задачника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по группе математических направлений и специальностей
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2005
УДК 519.6
ББК 22.18
А 47
Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник
задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: Учеб, пособие. — 2-е
изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с. - ISBN 5-9221-0590-6.
В книге собрано примерно 700 задач на отыскание экстремумов для
конечномерного случая, для задач классического вариационного исчисления,
оптимального управления и выпуклого программирования. Содержатся эле-
менты функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого
анализа.
В книге приведены теория, необходимая для решения задач, и примеры. Ос-
нову решения всех задач составляет единый принцип, восходящий к Лагранжу.
Часть задач приведена с решениями. Имеется большое количество трудных
задач, которые могут быть использованы в качестве курсовых и дипломных
работ.
Для студентов вузов по специальностям «Математика» и «Прикладная
математика», а также для аспирантовji научных работников.
ISBN 5-9221-0590-6
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© В. М. Алексеев, Э. М. Галеев,
В- М. Тихомиров, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................... 5
Введение
ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА В ТЕОРИИ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
0.1. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами (9).
0.2. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями (12).
Упражнения (18).
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ЗАДАЧИ
С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
§ 1.	Элементы функционального анализа и дифференциального
исчисления.................................................... 20
1.1.	Нормированные и банаховы пространства (20). Упражне-
ния (21). 1.2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального
анализа (23). Упражнения (24). 1.3. Леммы (25). 1.4. Определения
производных (26). Упражнения (28). 1.5. Основные теоремы диф-
ференциального исчисления в нормированных пространствах (28).
Задачи ....................................................... 32
§ 2.	Гладкие задачи .......................................... 35
2.1.	Элементарные задачи (35). 2.2. Гладкая конечномерная задача
с ограничениями типа равенств (37). 2.3. Гладкая задача с равенст-
вами и неравенствами (общий случай) (39). 2.4. Примеры (40).
2.5.	Необходимые условия высших порядков. Достаточные усло-
вия (42). 2.6. Примеры (46). 2.7. О методе Ньютона (47).
Задачи........................................................ 47
§ 3.	Элементы выпуклого анализа .............................. 52
3.1.	Основные понятия (52). 3.2. Основные теоремы и формулы
выпуклого анализа (53). Упражнения (58).
Задачи ....................................................... 58
4
Оглавление
§ 4.	Выпуклые задачи ....................................... 60
4.1.	Принцип Лагранжа в выпуклом программировании (60).
4.2.	Теория двойственности (62). 4.3. Линейное программирова-
ние (65). 4.4. Выпуклый анализ и теория экстремальных задач (65).
Задачи ..................................................... 72
Глава II
КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 5.	Элементарные задачи классического вариационного исчисления 73
5.1.	Задача Больца (73). 5.2. Простейшая задача классического
вариационного исчисления (77). 5.3. Примеры (80). 5.4. Задачи
с подвижными концами (84). 5.5. Необходимые условия высших
порядков и достаточные условия. Теорема Боголюбова (88). 5.6. Тео-
рия поля. Уравнение Гамильтона-Якоби (90). 5.7. Примеры (95).
Задачи ..................................................... 97
§ 6.	Изопериметрические задачи ............................ 105
6.1.	Принцип Лагранжа для изопериметрических задач (105).
6.2.	Необходимые условия высших порядков и достаточные усло-
вия (109).
Задачи .................................................... 113
§ 7.	Задачи со старшими производными ...................... 115
7.1.	Необходимое условие первого порядка (115). 7.2. Необходимые
условия высших порядков и достаточные условия (118).
Задачи .................................................... 121
Глава III
ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
§ 8.	Задача Лагранжа ...................................... 124
8.1.	Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа (124).
Задачи .................................................... 130
§ 9.	Ляпуновские задачи.................................... 132
9.1.	Элементарная задача оптимального управления (132). 9.2. Прин-
цип Лагранжа для ляпуновских задач (133).
Задачи .................................................... 135
§10.	Задачи оптимального управления....................... 137
10.1.	Принцип максимума Понтрягина (137). 10.2. Принцип макси-
мума и необходимые условия минимума в классическом вариаци-
онном исчислении (151). 10.3. Достаточные условия минимума в
классическом вариационном исчислении (157).
Задачи..................................................... 167
Оглавление 5
Глава IV
СВОДНЫЙ ОТДЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ
§11.	Сводный отдел ....................................... 170
§12.	Разные задачи........................................ 180
12.1.	Некоторые теоремы анализа и алгебры (180). 12.2. Некото-
рые неравенства (184). 12.3. Неравенства для производных (187).
12.4.	Геометрические неравенства (189). 12.5. Полиномы наилучше-
го приближения (191).
Ответы, указания и решения ................................ 194
Список литературы ......................................... 252
Список обозначений ........................................ 253
Предметный указатель ...................................... 254
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке этого издания были внесены лишь минимальные
изменения. В основном мы ограничились лишь исправлением замечен-
ных опечаток.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Роль методов оптимизации в экономике, технике, естествознании
и самой математике огромна. Поэтому в наше время математическое
образование немыслимо без элементов теории оптимизации.
Теория оптимизации переживает период бурного развития. Всего
лишь четверть века тому назад в курсах математики касались лишь
двух ее разделов — экстремумов функций многих переменных и вариа-
ционного исчисления. За эти годы сформировались новые дисципли-
ны — выпуклый анализ, линейное и нелинейное программирование, оп-
тимальное управление. Ныне они находят свое место в курсах высшей
математики втузов и университетов. Создание этих дисциплин должно,
без сомнения, внести новое в преподавание как традиционных разделов
теории экстремальных задач, так и некоторых частей классического и
функционального анализа.
Цель этой книги — способствовать тому, чтобы методы теории
экстремальных задач заняли достойное место в современном матема-
тическом образовании.
Мы рассчитываем на то, что задачник будет использован и в обыч-
ных технических вузах, и в технических вузах с углубленным курсом
математики, и в университетах. Нам представляется, что при любом
уровне преподавания математики должно найтись место для элементов
теории экстремальных задач. В нашем задачнике представлены важ-
ные разделы этой теории: в § 2 — математическое программирование,
в §§ 5-7 — классическое вариационное исчисление, в § 10 — опти-
мальное управление. Эти параграфы являются основными в задачнике.
Пункты «Постановка задачи» и «Правило решения» названных параг-
рафов, а также примеры, разобранные в них, не требуют для своего
понимания никаких специальных знаний, кроме основ математического
анализа. Вместе с тем они дают возможность решать большую часть
задач этой книги. Таким образом, решать основную массу задач можно,
Предисловие к первому изданию
7
опираясь лишь на минимальный курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления.
В вузах с углубленным изучением математики могут быть использо-
ваны теоретические разделы перечисленных параграфов, относящиеся
к необходимым условиям экстремума. Этот материал мы старались
тщательно отработать методически. При доказательствах использу-
ются лишь основополагающие факты классического анализа, среди
которых важнейшее место занимают теоремы об обратной и неявной
функции.
Все остальное в теоретической части книги рассчитано на препо-
давание в университетах. § 1 посвящен базовым понятиям и теоремам
функционального анализа, с помощью которых доказываются важней-
шие теоремы теории экстремальных задач. На них же основывается
выпуклый анализ. Основам выпуклого анализа посвящен § 3. Роль
выпуклого анализа в общей теории экстремальных задач раскрывается
в §§ 4, 9. Этот материал можно использовать в специальных курсах.
§ 8 посвящен общей задаче классического вариационного исчисле-
ния — задаче Лагранжа.
Материал § 12 призван показать, как можно использовать элементы
теории экстремальных задач в курсах алгебры, анализа, геометрии,
а также в различных исследованиях теоретического и прикладного
характера.
Несколько слов об особенностях этой книги. Главная ее особен-
ность состоит в том, что она построена на единой методологии,
основывающейся на общем принципе исследования экстремальных за-
дач, восходящем к Лагранжу. Сам принцип излагается во введении.
Освоив его, можно приступать сразу к решению задач любого раздела.
Сводный отдел (§11) как раз и приспособлен для такой методики
решения экстремальных задач.
Вторая важная особенность состоит в том, что мы стремились дать
исчерпывающее исследование задач. Поэтому в задачнике большее,
чем обычно, внимание уделено достаточным условиям.
И наконец, мы всюду, где это возможно, старались подчеркивать
плодотворность новых методов теории — выпуклого анализа, вы-
пуклого программирования и оптимального управления.
В задачнике около 700 задач. Практически все они снабжены
ответами. Часть задач приведена с решениями.
При написании книги нашел отражение опыт преподавания курсов
оптимизации на механико-математическом факультете МГУ. Задачник
примыкает к учебному пособию «Оптимальное управление», написан-
ному В.М. Алексеевым, В.М. Тихомировым и С. В. Фоминым (Наука,
1979 г.). Но, в отличие от этого пособия, задачник рассчитан на
более широкую аудиторию. Поэтому в важнейших частях изложение
материала независимо от упомянутого пособия.
Работа над задачником едва лишь началась, когда в расцвете своих
творческих сил скончался В. М. Алексеев, очень много сил отдавший
8 Предисловие к первому изданию
разработке и постановке на механико-математическом факультете лек-
ционных курсов и семинарских занятий. Общий замысел этой книги
и ее план принадлежат В. М. Тихомирову, теоретические разделы яви-
лись плодом нашего совместного труда, в составлении и подборе задач
большая доля принадлежит Э. М. Галееву.
При работе над разделом «Задачи» мы использовали материалы
из архива В. М. Алексеева, «Сборник задач по оптимальному управ-
лению», написанный Э.М. Галеевым, А.Г. Кушниренко и В.М. Тихо-
мировым (ротапринтное издание МГУ, 1980 г.), сборник из 100 задач,
подготовленный В. М. Алексеевым и В. М. Тихомировым для фран-
цузского издания учебного пособия, материалы некоторых учебников
и задачников (из тех, что приведены в списке литературы в разделе
«Учебники и учебные пособия») и некоторые ротапринтные издания
по оптимизации, любезно присланные нам их авторами, в частности,
пособия Казахского, Киевского и Ярославского университетов.
Мы рады выразить свою благодарность сотрудникам кафедры об-
щих проблем управления механико-математического факультета за
большую и разностороннюю помощь, особенно — М. И. Зеликину,
С. В. Конягину и А. В. Фурсикову. Мы благодарны также студентам
и аспирантам кафедры — настоящим и бывшим — способствовав-
шим улучшению книги. И в первую очередь — Ю. А. Александрову,
С. А. Аюнцу, А. П. Буслаеву, Динь Зунгу, Б. Лудереру, Г. Г. Магарил-
Ильяеву, Е. Б. Пекарю и А. А. Петросяну.
Мы будем очень признательны за любые замечания и предложения,
относящиеся к замыслу, плану и содержанию книги.
Э, М. Галеев, В. М, Тихомиров
Введение
ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА
В ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
0.1. Основные понятия, связанные с экстремальными задача-
ми. С задачами на максимум и минимум мы сталкиваемся еще в школе.
Рассмотрим для примера две планиметрические задачи.
Задача 1. Найти на данной прямой такую точку, чтобы сумма
расстояний от нее до двух заданных точек была минимальна (рис. 1).
Задача 2. Вписать в круг прямоугольник наибольшей площади
(рис. 2).
Первая задача — это задача на минимум, вторая — на максимум.
Слово maximum по латыни означает «наибольшее», слово minimum —
«наименьшее». Оба эти понятия — максимум и минимум, наиболь-
шее и наименьшее — объединяются единым термином экстремум (от
латинского extremum, означающего «крайнее»). Иногда употребляют
слово оптимальный, от латинского optimus, что означает наилучший,
совершенный. Таким образом, задачи 1 и 2 — это экстремальные за-
дачи, или задачи оптимизации. Теорию задач на отыскание наиболь-
ших и наименьших величин называют или теорией экстремальных
задач, или теорией оптимизации, или иногда теорией оптимального
управления. При употреблении последнего термина обычно предпола-
гается связь задач с практическими приложениями.
Задачи 1 и 2 сформулированы словесно, без формул. Экстремальные
задачи, возникающие в естественных науках или на практике, обычно
10
Введение
ставятся именно так — словесно, в содержательных терминах той
области, где данная задача возникла. Чтобы можно было восполь-
зоваться теорией, необходим перевод задач на математический язык.
Этот перевод называется формализацией. Одна и та же задача может
быть формализована разными способами, и простота решения зачастую
сильно зависит от того, насколько удачно она формализована.
Осуществим формализации задач 1 и 2. Начнем с задачи 1. Напра-
вим ось Ох по заданной прямой, а ось Оу проведем через точку А (см.
рис. 1). Пусть координаты точек А и В таковы: А = (0, а) и В = (d, Ь);
координата точки С = (ж, 0). Тогда мы приходим к следующей задаче:
найти минимум функции	___________
f(x) = а2 + х2 + У&2 + (d-x)2
по всем х € R.
Формализуем задачу 2. Пусть окружность описывается уравнени-
ем х2 + у2 = г2. Направим оси Ох и Оу параллельно сторонам пря-
моугольника и обозначим через (х, у) координаты вершины прямо-
угольника, лежащей в первом квадранте (см. рис. 2). Тогда площадь
прямоугольника равна 4ггг/. Получаем такую задачу: найти максимум
функции fo(x, у) = 4ху при условиях
fi(х, у) = х2 + у2 - г2 = 0, f2(x, г/) = х > 0,
/з(я, у)=у^О.
Нетрудно убедиться, что условия х 0, у 0 излишни, и задача
найти максимум 4ху при условии х2 + у2 = г2 эквивалентна задаче с
неравенствами.
Любая формализованная задача устроена аналогично. Она включа-
ет в себя следующие элементы: функционал f: X R (X — область
определения функционала) и ограничение, т. е. подмножество С С X.
Поясним некоторые встретившиеся здесь обозначения и термины:
R — это расширенная действительная (вещественная) прямая, т. е. со-
вокупность всех действительных чисел, дополненная значениями +оо
и -оо; запись F: X —> Y означает, что отображение F имеет область
определения X, a F(x) для каждого элемента х из X лежит во
множестве У; слово «функционал» мы употребляем для отображений
в расширенную прямую R. Таким образом, формализовать экстремаль-
ную задачу — это значит точно описать ее элементы /, X и С.
Для формализованной задачи употребляется запись
f(x) —> inf (sup); х G С.	(з)
Точки х G С называются допустимыми. Если С — X, то задача на-
зывается задачей без ограничений.
Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на минимум,
заменив задачу f(x) —> sup, хеС, задачей f (х) —> inf, х е С, где
f(x) = —f(x). И, наоборот, задачу на минимум можно аналогичным
Принцип Лагранжа в теории экстремальных задач И
образом свести к задаче на максимум. Для определенности в тех случа-
ях, когда формулировки необходимых условий экстремума в задачах на
минимум и максимум разные, будем выписывать их только для задачи
на минимум. Если необходимо исследовать обе задачи, то будем писать
f(x) extr; х ЕС.
Приведем формализованные записи задач 1 и 2. Задача 1 (X = С =
=R):	I—	/-----------
f(x) = yja2 + x2 + yb2 + (d-я)2 inf.	(з^
Задача 2 (X — здесь двумерная плоскость, обозначаемая R2):
4ху —> sup; х2 4- у2 = г2, х 0, у 0.	(зг)
Для задачи 2 имеется, как было сказано выше, другая формализация:
4ху sup; х2 + у2 = г2.	(з?)
Задача (з0 — задача без ограничений, задача (32) — с ограничением
С = {(я, у) е R2 | х2 + у2 = г2, х 0, у 0}, задаваемым в виде ра-
венств и неравенств, задача (з'2) — с ограничением типа равенства.
Допустимая точка х называется абсолютным (или еще говорят
глобальным) минимумом (максимумом) в задаче (з), если f(x) f(x)
для любого х G С (соответственно f(x) < f(x) &ля любого х Е С).
При этом мы пишем х Gabs min з (abs max з). Абсолютный минимум
(максимум) задачи будем называть решением задачи. Величина /(£),
где х — решение задачи, называется численным значением задачи
(иногда для сокращения говорим просто значение задачи). Эту вели-
чину будем обозначать S3 или Smin(Smax).
В задаче 1 абсолютный минимум х, определяющий искомую точ-
ку С = (£, 0), характеризуется, как известно из геометрии, тем, что
острые углы, образованные отрезками [АС] и [СВ] с осью Ох, рав-
ны («угол падения равен углу отражения»); значение задачи S31 =
= д/(а + Ь)2 + d2.
В задаче 2 искомым прямоугольником является квадрат (попробуй-
те доказать это геометрически); это соответствует решению х = г!\/2,
у = т1у/2, S32 = 2г2.
Кроме глобальных экстремумов будем также рассматривать локаль-
ные экстремумы. Дадим их строгое определение. Пусть в задаче (з)
X — нормированное пространство. Говорят, что точка х доставляет
в задаче (з) локальный минимум (максимум), и пишут х G loc min з
(loc max з), если х Е С и существует 6 > 0 такое, что для любой
допустимой точки х, для которой ||х — х|| < 6, выполняется неравенст-
во f(x) f(x) (f(x)	f(x)). Иными словами, если х G loc тшз
(loc max з), то существует окрестность точки х такая, что хЕ
Е abs min з' (abs max з') в задаче
f(x) inf (sup); xeCQ^.	(3')
12
Введение
Теория экстремальных задач дает правила нахождения решений
экстремальных задач. В большинстве своем эти правила выделяют
некоторое подмножество точек, среди которых должно содержаться
решение задачи. Это множество точек, которое мы называем критичес-
ким, возможно, несколько шире, чем множество абсолютных и даже
локальных экстремумов. После нахождения всех критических точек
надо выделить из них решения.
Найдем критические точки, локальные и абсолютные экстремумы в
следующей задаче.
Задача 3.
f(x) = ж3(з:2 — 1) —> extr; —1 х 2	(33)
(рис. 3).
Абсолютный экстремум в задаче может достигаться на концах
отрезка или во внутренней точке. Если экстремум достигается во
внутренней точке, то в этой точке производная должна равняться нулю,
т. е.
/'(х) = о 5ж4 - Зх2 = О I € {-х/з75. О, х/З/5}.
Таким образом, имеем 5 критических точек: х\ = -1, х2 = —^/3/5,
Х3 =0, Х4 = -УЗ/5, Х$ = 2, ИЗ КОТОрЫХ ТОЧКИ Х2, Х3, Х4 являются
стационарными. Из графика функции f (см. рис. 3) видно, что
Х4 G loc min 33; #2, #5 в loc шах 33; Х4 € abs min 33; х3 € abs max 33.
0.2. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями.
Сущность принципа Лагранжа состоит в редукции задач с
ограничениями к ряду задач более простой структуры (в большинстве
случаев — к задачам без ограничений).
Прежде чем переходить к описанию этого принципа, покажем на
примере задачи 1 (п. 0.1), как следует поступать с задачами без огра-
ничений. Функция f в формализации (зО из п. 0.1 задачи 1 дифферен-
Принцип Лагранжа в теории экстремальных задач
13
цируема. Из курса дифференциального исчисления известна теорема
Ферма, согласно которой, если точка х доставляет локальный экстре-
мум дифференцируемой функции /, то выполнено соотношение f(x) —
— 0. Имеем
f'(x) = х — d — x
\/а2 4- х2 \/& + (d — я)2
Уравнение /'(гг) = 0 имеет единственное решение х, при котором как
раз и выполнено соотношение «угол падения равен углу отражения»
(см. рис. 1):
= "7g====?f	C0S*’1 = C0S^2	= ^2-
у/а2 4- х2- yjlr 4- (d — х)2
Из сказанного вытекает, что если абсолютный минимум существу-
ет, то им может быть лишь точка ж; другие точки не могут быть даже
локальными минимумами. Можно доказать, что в задаче (з0 минимум
действительно существует. (Доказательство «теоремы существования»
решения в (зО осуществляется, как и в большинстве подобных слу-
чаев, с помощью теоремы Вейерштрасса — см. далее п. 1.2.1.) Таким
образом, задача (зО решена и х есть ее решение.
Все вышесказанное дает повод наметить план действий для ре-
шения задач без ограничений и при наличии некоторых простейших
ограничений (такого рода задачи мы далее называем элементарными).
1.	Формализовать задачу.
2.	Выписать необходимые условия экстремума.
3.	Найти все критические точки.
4.	Отыскать решения среди критических точек (например, доказав,
что решение существует, и перебрав значения функционала в критичес-
ких точках) или показать, что решения нет.
Принцип Лагранжа — это правило исследования задач с ограниче-
ниями путем сведения первоначальной задачи к отысканию и иссле-
дованию критических точек некоторой элементарной задачи. Покажем,
в чем состоит принцип Лагранжа, на примере конечномерных задач с
ограничениями типа равенств.
Рассмотрим задачу (X = Rn)
/о(х) -* extr; f\{x) = 0..... fm(x)	= 0,	(з)
где х = (яь ...,zn). Здесь ограничение задается системой равенств
С = {х е Rn | fi(x) =0, г — 1,	, т}. Функционал /о и функции /ь
задающие уравнения связи fi(x) = 0, будем предполагать непрерывно
дифференцируемыми (иначе говоря, такими, что все их частные произ-
водные первого порядка непрерывны).
Посмотрим, как предлагал решать эту задачу сам Лагранж. Он
пишет: «Можно высказать следующий общий принцип. Если ищется
максимум или минимум некоторой функции многих переменных при
условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая
14
Введение
одной или несколькими функциями, то нужно прибавить к функ-
ции, экстремум которой ищется, функции, задающие уравнения связи,
умноженные на неопределенные множители, и искать затем максимум
или минимум построенной суммы, как если бы переменные были
независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям
связи, послужат для определения всех неизвестных».
Воспользуемся правилом Лагранжа (несколько уточнив его). Пер-
вое, что нужно сделать согласно Лагранжу, это «прибавить к функ-
ции, экстремум которой ищется, функции, задающие уравнения связи,
умноженные на неопределенные множители». Составим функцию
т
% = ^(х, Л) = £ А<Л(х), А = (Ао.........Аго),
г=0
которую будем называть функцией Лагранжа. Числа А* называются
множителями Лагранжа. Первое уточнение состоит в том, что и
функция, экстремум которой ищется, домножена на неопределенный
множитель. Если не сделать этого уточнения, то рецепт Лагранжа
может оказаться неверным (см. далее пример 1). При этом в задаче
на минимум следует брать До 0, в задаче на максимум брать Ао <5 0.
Второе, что необходимо сделать согласно Лагранжу, это «искать
максимум или минимум построенной суммы, как если бы переменные
были независимы». По замыслу Лагранжа, следовательно, надо рас-
смотреть задачу
_$f(z, А) extr (по х)	(зэ)
(мысленно зафиксировав А).
Задача (зэ) проще, чем исходная, так как здесь ограничений нет.
Она относится к классу элементарных. Не будем искать ее максимумы
и минимумы (ибо может оказаться, что ее максимумы и минимумы не
имеют отношения к максимуму и минимуму исходной задачи — см.
далее пример 2). Поступим несколько иначе, будем искать стационар-
ные точки в задаче (зэ), т. е. напишем для элементарной задачи (зэ)
необходимое условие минимума или максимума, выражающееся все в
той же самой теореме Ферма. Согласно этой теореме должны удовлет-
воряться уравнения
&х(х, А) = 0 <=> ^(хь ..., яп, Ао, ...» Ат) = 0,
г = 1, ..., п
(в которых не все множители Лагранжа равны нулю). Полученные п
уравнений, дополненные т уравнениями связи, и «послужат для опре-
деления всех неизвестных». В самом деле, хотя неизвестных (х, А) на
одно больше, чем количество уравнений, но надо учесть то обстоя-
тельство, что множители Лагранжа можно умножать на любое число,
отличное от нуля. И именно в силу этого число уравнений равно числу
неизвестных. В подобных случаях мы будем говорить о полноте набо-
ра условий для определения стационарных точек. Надо иметь в виду,
Принцип Лагранжа в теории экстремальных задач 15
что наибольший интерес имеют те случаи, когда До / 0, ибо при До =
= 0 соотношения принципа Лагранжа указывают лишь на некоторую
вырожденность ограничений (от которой зачастую легко избавиться)
и оказываются не связанными с функционалом. Решения полученных
уравнений (J^. =0, i = 1, ..., n, fj(x) = 0, j = 1, ..., т) и образу-
ют совокупность стационарных точек.
Таким образом, для решения задачи (з) следует:
1.	Составить функцию Лагранжа:
т
А)= ^А^(х).
г=0
2.	Выписать необходимые условия экстремума:
^Х(х, А) = 0	= О, з = \,...,п.
7=о	1
3.	Найти стационарные точки, т. е. допустимые точки, являющиеся
решениями уравнений п. 2, в которых не все A;, i = 0, 1, ..., т, равны
нулю. При этом бывает полезно рассмотреть отдельно случаи До = О
и До / 0. Во втором случае можно в задаче на минимум положить До
равным единице или любой другой положительной константе, в задаче
на максимум — равным минус единице или любой другой отрицатель-
ной константе.
4.	Отыскать решения среди всех стационарных точек или доказать,
что решений нет.
Описанная процедура и называется принципом Лагранжа. Этот
принцип применим не только к задаче (з), но и к очень широкому
кругу экстремальных задач. Большинство задач из этого задачника
можно решить с помощью этого принципа. Но при этом важно иметь
в виду следующее:
а)	Принцип Лагранжа применим, вообще говоря, не всегда. В при-
мере 3, приведенном ниже, решение задачи существует, но принцип
Лагранжа к нему не приводит.
б)	Сфера применимости принципа Лагранжа достаточно широка.
Иногда к задаче нельзя применить имеющуюся теорему, однако прин-
цип Лагранжа (примененный без обоснования) тем не менее приводит
к некоторым точкам, подозрительным на экстремум, из которых можно
выделить решение.
Решим теперь с помощью принципа Лагранжа задачу 2 п. 0.1.
1.	Рассмотрим более простую формализацию (з^) (где множитель 4
при функционале отброшен):
ху —> sup; х2 4- у2 — г2 — 0.
Составим функцию Лагранжа:
& = Аох^ 4- Ai(z2 4- у2 - г2).
16
Введение
2.	Выпишем необходимые условия:
= О, = 0 <=> Хоу + 2А1ГЕ = 0, Xqx + 2Х\у = 0.
3.	Найдем стационарные точки. Если До = 0, то Ai / О (ибо не все
множители Лагранжа равны нулю) и, значит, х = у = 0. Но тогда усло-
вие х2 + у2 = г2 не удовлетворяется. Следовательно, в случае До =
= 0 стационарных точек нет. Положим До = — 1. Необходимые условия
переписываются в виде
у = 2Д1Ж, х = 2Xiy.
Из этих уравнений определяются 4 стационарные точки:
(г/у/2, г/д/2), (г/\/2, -r/\/2), (-r/\/2, r/V2), (-г/\/2, —г/\/2).
4.	Максимальное значение доставляют точки (г/\/2, г/у/2) и
(—г/\/2, — г/\/2). Соответствующие прямоугольники являются
квадратами. Обе точки действительно являются решениями, но
это необходимо еще обосновать. Для обоснования можно сослаться
на теорему Вейерштрасса о существовании решения в задаче. Можно
поступить и по-другому. Пусть х = (г/л/2 + а), г/= (г/х/2 + ^) и
х2 + у2 = г2. Тогда а2 + (З2 = -2(q + fl)r/\/2 и, следовательно,
ху = (r/y/2 + a)(r/v^4- (3) = г2/2 + а(3 — а2/2 — (32/2 г2/2,
т. е. (f, у) — (т/\/2, г/у/У) есть решение задачи. Аналогичные рассуж-
дения можно провести и для второй точки.
Ответ. Решением задачи является квадрат.
В общем случае принцип Лагранжа применяется так:
1.	Формализовать задачу к виду
f(x, и) inf; F(x, и) = 0, и €
/: X х W R, F: X х У, где X и Y — нормированные прост-
ранства. Это — задача с ограничениями типа равенств, параметризо-
ванных некоторым множеством У/. Еще можно сказать, что это задача
с ограничениями типа равенств и включений.
Составить функцию Лагранжа:
& = &(х, и, у*, До) = XQf(x, и) + F(x, и)),
где у* — элемент сопряженного пространства У*.
В функцию Лагранжа ограничения типа включений и е W не
входят.
2.	Для задач
%\х, и, у*, До) inf (по х),
и, у*, Ао) —> inf, и е
выписать необходимые условия.
3.	Найти критические точки, т. е. допустимые точки, являющиеся
решениями уравнений п. 2, в которых г/* и Ао одновременно не равны
нулю. При этом удобно бывает рассмотреть отдельно случаи До = 0
Принцип Лагранжа в теории экстремальных задач
17
и До 0. Во втором случае можно положить До равным единице или
любой другой положительной константе.
4.	Отыскать решения среди всех критических точек или доказать,
что решения нет.
В заключение приведем те три примера, о которых говорилось
выше.
Пример 1 (показывает, что в правиле множителей Лагранжа не
всегда можно полагать Ло = 1).
fo(xb ^2) = inf; fi(xb х2) = xf — х% = 0 (X = R2).
Функции fo и fi непрерывно дифференцируемы. Легко понять, что
решение задачи х — (0, 0). Если прямо следовать Лагранжу, то надо
составить сумму — xi + A(rrf _ <^2^ и далее решать уравнения
=0, &Х1 = 0 <=> 1 + ЗДх2 = 0, —2Дх2 = 0.
Но эти уравнения несовместны с уравнением связи х$ ~ х% — 0.
Пример 2 (показывает, что экстремум функции Лагранжа как
задачи без ограничений может не совпадать с экстремумом исходной
задачи с ограничениями).
/о(^ь я2) = х| - xi inf;
fi(xi, ^2) = xi + xj = О (X = R2).
Ясно, что решение задачи х = (О, 0). Функция Лагранжа: ££ =
= До(х^ - xj) + Д(х1 + ^i). Необходимое условие экстремума:
X, - о, = -До 4- Д(1 + Зх?) = 0, 2Дох2 - 0.
Если До = 0, то Д / 0 и, следовательно, 1 + 3xf = 0 — противоречие.
Значит, До 7^ 0. Полагаем До = 1. Тогда функция Лагранжа примет вид
Jz? = х2 — xi + Д(Х1 + Xi).
Однако ни при каких Д эта функция в точке х = (0, 0) не имеет даже
локального минимума.
Пример 3 (показывает, что принцип Лагранжа при несоблюдении
определенных условий может приводить к неверным результатам).
Пусть
X = Y = /2, f (х) - xi 4- х2/2 4- ... 4- xn/n 4- ...,
Г(х) = (хь х2/2, ..., хп/п, ...)
(х = (xi, ..., хп, ...)).
Рассмотрим задачу
f (х) -+ inf; F(x) = 0.
Здесь х = О есть единственный допустимый элемент, следовательно,
он и является решением задачи. Если предположить, что существуют
множители Лагранжа До Е R и у* е 1%, не равные одновременно нулю
и такие, что для элементарной задачи
БИБЛИОТЕКА 1М
U Г V
18
Введение
выполнено необходимое условие минимума &(х, До, г/*) (теорема Фер-
ма), то
Ло, у*) = О <=> Ао = -У\, .... А0 = -у„,
где ?/* = (уь ..., уп, ...) е liy поскольку изоморфно 1% (КФ,
гл. IV, § 2). Но эти условия противоречивы: либо До / 0, тогда
у* = (-До, ..., —До, ...) либо До = 0, тогда у* = 0, т. е. оба
множителя Лагранжа равны нулю. Здесь 1% — пространство всех
последовательностей х = (жь ..., хп, ...), для которых ||ж|| =
/ ОО	\ 1/2
= ( 52 Ы2 < 00, /2 ““ пространство, сопряженное к /2 (КФ,
\ п=1	'
ГЛ. IV, § 2).
Упражнения. В упр. 1-8 привести примеры задач без ограниче-
ний об экстремуме бесконечно дифференцируемых функций одной или
двух переменных, в которых выполняются указанные ниже требования.
1.	Абсолютные максимум и минимум достигаются в бесконечном
числе точек.
2.	Функционал ограничен, абсолютный максимум достигается, ми-
нимум — нет.
3.	Функционал ограничен, но абсолютные минимум и максимум не
достигаются.
4.	Функционал ограничен, имеет критические точки, но абсолютные
минимум и максимум не достигаются.
5.	Функционал ограничен, имеет локальные максимумы и миниму-
мы, но глобальные максимум и минимум не достигаются.
6.	Имеется единственный локальный экстремум, не являющийся
глобальным.
7.	Имеется бесконечное число локальных максимумов, но нет ни
одного локального минимума.
8.	Ограничение функции, заданной на плоскости, на любую пря-
мую, проходящую через начало координат, имеет в нуле локальный
минимум, но вместе с тем начало координат не является точкой
локального минимума.
9.	Можно ли утверждать, что если функция одной переменной име-
ет в какой-либо точке локальный минимум, то в некоторой достаточно
малой окрестности этой точки слева от точки функция убывает, а
справа возрастает?
10.	Пусть функция f определена и дифференцируема на Rn, удов-
летворяет условию lim f(x) = +00 и f'(x) имеет единственный
|х|—>оо
нуль х. Доказать, что х является точкой абсолютного минимума функ-
ции f.
11.	Пусть каждый функционал на некотором множестве X дости-
гает своего абсолютного минимума. Доказать, что X —• конечное
множество.
Принцип Лагранжа в теории экстремальных задач 19
Формализовать упр. 12-17.
12.	Найти кратчайшее расстояние от заданной точки (1, 2) на плос-
кости до прямой 2xi + 3x2 = 1-
13.	Найти кратчайшее расстояние от заданной точки в трехмерном
пространстве до заданной плоскости.
14.	Вписать в круг треугольник с наименьшей суммой квадратов
сторон.
15.	Найти на плоскости точку, сумма расстояний от которой до трех
заданных точек минимальна.
16.	Разделить заданное положительное число на две части так,
чтобы произведение произведения этих частей на их разность было
максимальным.
17.	Среди полиномов степени п со старшим коэффициентом, равным
единице, найти полином, имеющий наименьшую норму в !])•
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
И ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
§ 1.	Элементы функционального анализа
и дифференциального исчисления
Многие факты, отмеченные в этом параграфе, содержатся в книге
АТФ. Поэтому мы будем иногда ограничиваться лишь формулировками
теорем.
1.1.	Нормированные и банаховы пространства.
1.1.1.	Основные определения. Линейное пространство X называ-
ется нормированным, если на X определен функционал || • ||: X —> R,
называемый нормой и удовлетворяющий условиям:
а)	||х|| >0 Vx е X и ||х|| = 0 <=> х = 0;
б)	||ах|| = |а| ||х|| Va е R, Vx е X;
в)	||xi + х2|| < ||xi|| + ||х2|| Vxi, х2 G X.
Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно на X, мы пи-
шем || • ||х. Две нормы в X || • || j и || • ||2 называются эквивалентными,
если существуют такие положительные константы С\ и С2, что
Cihlh	ЧхеХ.
Всякое нормированное пространство становится метрическим, если
в нем ввести расстояние р(х[, х2) = ||rci — Полное относительно
введенного расстояния пространство называется банаховым простран-
ством.
1.1.2.	Примеры банаховых пространств.
Пример 1. Конечномерное пространство Rn, состоящее из векто-
/ п ч 1/2
ров х = (х\, ..., хп), с нормой |яг| = ( 52	)
4=1	/
П р и м е р 2. Пространство С(К, Rn) непрерывных вектор-функ-
ций яг(-): К Rn, заданных на компакте К, с нормой ||ж(‘)||о —
= max|z(t)|.
teK ! v 71
Пример 3. Пространство Cr([to, *i], Rn) г раз непрерывно диф-
ференцируемых вектор-функций □;(•): [t0 , ti] -* Rn, заданных на ко-
нечном отрезке [to, ti] С R, с нормой
||х(.)||г =max{||x(-)||o, .... ||х«(.)||о}.
§ 1. Элементы функционального анализа
21
Пример 4. Пространство 1%, состоящее из последовательностей
оо
х = (хь ..., хп, ...), для которых ^2 xi < °0’ с нормой, задаваемой
/ ОО К 1/2	1=1
формулой ||х|| =	.
1.1.3.	Произведение пространств. Пусть X и Y — нормированные
пространства. Декартово произведение X х Y можно превратить в
нормированное пространство, введя норму
ll(s, 2/)||ххУ = max{||z||x, \\у\\у}
(легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются). Возможны и
другие эквивалентные нормировки (см. далее у пр. 8).
Отметим очевидное утверждение: декартово произведение бана-
ховых пространств банахово.
1.1.4.	Сопряженное пространство и сопряженный оператор.
Совокупность X* всех линейных непрерывных функционалов
на нормированном пространстве X образует сопряженное к X
пространство. Оно является банаховым пространством относительно
нормы ||х*||х* = sup (х*, х), где (х*, х) означает действие на х
Ikllx^i
функционала х* (КФ, гл. IV, § 2). Пространство, сопряженное
к конечномерному пространству Rn, изоморфно Rn. Скаляр-
ное произведение двух векторов у = (у\, ..., уп) € Rn и х =
п
= (хь ..., хп) € Rn представляется в виде суммы (у, х) = 52 У*хг-
п	^=1
Та же сумма 52 У*х* будет обозначаться нами просто как ух, если
г=1
у е Rn*, х е Rn; при этом следует х считать столбцом, у — строкой
(и тогда ух есть не что иное, как произведение матриц).
Пусть X и Y — нормированные пространства и Л е -S?(X, У) —
линейный непрерывный оператор из X в У. Тогда можно определить
сопряженный оператор Л*: У* —> X* такой, что (Л*т/*, х) = (у*, Лх)
Vx е X (КФ, гл. IV, § 2).
Для линейного непрерывного функционала на произведении про-
странств имеет место следующая очевидная
Лемма. Всякий функционал Л € (X х У)* однозначно предста-
вим в виде
(Л, (х, у)) = (х*, х) + (т/*,т/), где хЧХ* и у* eY*.
Упражнения.
1.	Выяснить, какие из перечисленных ниже функций двух перемен-
ных и при каких значениях параметров задают норму в R2:
а)	Х(х) = (|xi|p 4- |х2|р)1/р, р > 0;
22
Гл. I. Предварительные сведения
б)	N(x) = |ацЯ1 + а12х2| + |a2iXi + а22я2|;
в)	N(x) =тах{|ац2Г1 + al2x2{,	+ «22а;2|};
г)	N(x) = (a,iirr? + 2а\2х\х2 4-а22я|)1/2.
2.	Доказать, что нормы |а7| = (я2 +xffl2 и ЦжЦоо =max{|zi|, |х2|}
эквивалентны.
3.	Доказать, что если || * || — норма в Rn, то единичный шар в
этой норме В = {я е Rn | ||х|| < 1} является замкнутым выпуклым
ограниченным центрально-симметричным множеством, для которого
центр — начало координат — является внутренней точкой.
4.	Доказать, что если множество В является замкнутым выпуклым
ограниченным центрально-симметричным множеством в Rn, для ко-
торого центр — начало координат — является внутренней точкой, то
существует такая норма, при которой В будет единичным шаром.
5.	Доказать, что все нормы в R2 эквивалентны.
6.	Доказать, что все конечномерные нормированные пространства
банаховы.
7.	Построить пример нормированного, но не банахова пространства.
8.	Доказать, что если (X, || • ||х) и (У, || • ||у) — нормированные
пространства, то ||я||х + \\y\\Y и (||я||х + ||?/||у)1/2 — эквивалентные
нормы в X х У.
9.	Пусть нормированное пространство X состоит из непрерывных
1
на отрезке [0, 1] функций с нормой Ця(-)|| = J |z(£)| dt. Принадлежит
о
ли линейный функционал (ж*, х(-)) = я(0) пространству X*?
10.	Чему равна норма ||ж||, х е R2, если единичный шар задается
неравенствами:
а) В = {(si, х2) | -ai х\ аь —а2 х2 а2};
б)В = ((хьх2)|4 + 4< Ь -Ь1 ^371
I I af	J
11.	Привести пример двумерного подпространства С([0, 1]), единич-
ным шаром которого является единичный круг (или иначе: рассечь еди-
ничный шар пространства С([0, 1]) плоскостью так, чтобы в сечении
был круг).
12.	Пусть X = R2. Найти норму пространства, сопряженного
(X, || • ||), если норма в X задается соотношениями:
a)	N(x) = (|a:i|2 4- |з72|2)1/2;
б)	N(x) = max{|zi|, |a72|};
в)	N(x) = (|zi|p 4- |я2|р)1/р, Р > 1;
г)	N(x) = (aj jх^ 4- 2ai2xtx2 4- a22z2)I/2,
ап > 0, йцй22 — а22 > 0.
§ 1. Элементы функционального анализа	23
1.2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального ана-
лиза.
1.2.1. Теоремы Вейерштрасса о достижении максимума и ми-
нимума. Чаще всего будет использована следующая основная
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на непустом
ограниченном замкнутом подмножестве конечномерного прост-
ранства достигает своих абсолютных максимума и минимума (Н,
т. 1, с. 235).
Выделим простое следствие из этой теоремы, которое часто будем
использовать.
Следствие. Если функция f непрерывна на Rn и lim f(x) =
|х| —*оо
= +оо ( lim f(x) = — оо), то f достигает своего абсолютного
v|x|—>оо
минимума (максимума) на любом замкнутом подмножестве Rn.
Напомним, что множество А в метрическом пространстве называ-
ется компактом, если из всякой последовательности элементов из А
можно выбрать сходящуюся к элементу из А подпоследовательность
или (равносильное определение) если из всякого покрытия А откры-
тыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограничен-
ное и замкнутое подмножество конечномерного пространства является
компактом.	__
Функция /: X —> R, заданная на метрическом пространстве X,
называется полунепрерывной снизу (сверху), если для любого С мно-
жество {re € X | f(x) С} ({ж € X | f(x) С}) замкнуто.
Следующая обобщенная теорема Вейерштрасса применима ко мно-
гим задачам вариационного исчисления и оптимального управления.
Теорема Вейерштрасса (обобщенная). Полунепрерывная
снизу (сверху) функция f, заданная в метрическом пространст-
ве X, достигает минимума (максимума) на всяком компакте,
содержащемся в X. В частности, f достигает своего минимума
(максимума) на всем X, если для некоторого С множество
{х | f(x) С} ({ж | f(x) С}) непусто и компактно (АТФ, п. 3.1.5).
Теорема Вейерштрасса и следствие из нее сразу вытекают из этой
обобщенной теоремы.
1.2.2. Теоремы отделимости. Введем понятия отделимости и стро-
гой отделимости двух множеств. Пусть А и В — некоторые подмно-
жества нормированного пространства X, X* — сопряженное к X
пространство (пространство линейных непрерывных на X функциона-
лов). Говорят, что функционал х* е X* разделяет множества А и В,
если
(х*, х) (я*, у) ЧхеА и Чуе В.
Функционал х* Е X* строго разделяет множества А и В, если суще-
ствует £ > 0 такое, что
(я*, х) (х*, у) — £ ЧхеА и Чу е В.
24
Гл. I. Предварительные сведения
В первом случае множества Аи В называются отделимыми, во втором
случае — строго отделимыми.
В конечномерном случае функционал х* можно отождествить с
вектором из Rn. Равенство (ж*, х) = 0, где х* / 0, (3 е R, определяет
в Rn гиперплоскость, т. е. линейное многообразие размерности n — 1.
Поэтому отделимость множеств А и В означает существование гипер-
плоскости, делящей Rn на две части (полупространства), в одной из
которых находится множество А, а множество В расположено в другой.
Сформулируем теоремы отделимости для конечномерного случая.
Теорема 1 (первая теорема отделимости в конечномерном слу-
чае). Пусть А — непустое выпуклое множество в Rn, не содержащее
точки b е Rn. Тогда точку Ь можно отделить от множества А.
Теорема 2 (вторая теорема отделимости в конечномерном слу-
чае). Пусть А — непустое замкнутое выпуклое множество в Rn
и b — точка, не принадлежащая А. Тогда точку b можно строго
отделить от А.
Из теоремы Хана-Банаха (КФ, гл. IV § 1) выводятся следующие
теоремы отделимости в произвольном нормированном пространстве.
Теорема 1' (первая теорема отделимости). Пусть X — норми-
рованное пространство. Если множества А С X и В С X выпуклы,
непусты, не пересекаются между собой и при этом А открыто,
то существует ненулевой функционал х* Е X*, разделяющий мно-
жества А и В (КФ, гл. IV § 1; АТФ, п. 2.1.4).
Теорема 2' (вторая теорема отделимости). Пусть X — нормиро-
ванное пространство, А С X — непустое замкнутое выпуклое под-
множество их € X — точка, не принадлежащая А. Тогда найдется
ненулевой функционал х* е X*, строго разделяющий х и А, т.е.
такой, что sup(z*, х) < (я*, х) (АТФ, п. 2.1.4).
хеА
Упражнения.
1.	Привести пример ограниченной непрерывной функции на ограни-
ченном подмножестве прямой, для которой нижняя и верхняя грани не
достигаются.
2.	Привести пример ограниченной непрерывной функции на замкну-
том подмножестве прямой, для которой нижняя и верхняя грани не
достигаются.
3.	Пусть X — некоторое подмножество прямой, не являющееся
компактом. Доказать, что найдется такая непрерывная на X функция,
нижняя грань которой не достигается.
4.	Привести пример функции, полунепрерывной снизу, но не непре-
рывной.
5.	Являются ли компактами следующие множества:
а)	полуинтервал [а,Ь);
g /. Элементы функционального анализа 25
б)	последовательность точек на прямой хп — 1/n, п = 1, 2, ...;
в)	подмножество прямой В = Q [п, п4- 1/п];
п=1
г)	в пространстве 12 эллипсоид Э =
оо
X = {xfe}fc>i е Z2 I Ё k2xl
fc=l
6.	Привести пример ограниченного замкнутого множества, не явля-
ющегося компактом.
7.	Привести пример нормированного пространства X и непрерывно-
го функционала /: X —> R такого, что f(x) —> +оо при ||я|| —> оо, но
нижняя грань функционала не достигается.
8.	Доказать, что в конечномерном пространстве задача о крат-
чайшем расстоянии от точки до замкнутого множества всегда имеет
решение.
9.	Привести пример банахова пространства X, его замкнутого под-
пространства L и точки х, не принадлежащей этому подпространству,
таких, что задача о наикратчайшем расстоянии от точки до подпро-
странства не имеет решения.
10.	Отделить точку (2, 3) от эллипсоида я2/4 4- у2/9 = 1.
11.	Доказать, что в первой теореме отделимости можно взять вы-
пуклые непустые множества А и В такие, что int А 0 и int А П В —
= 0.
12.	Показать, что в первой теореме отделимости условие откры-
тости отбросить нельзя.
1.3.	Леммы. В теории экстремальных задач весьма часто приме-
няются следующие четыре леммы, являющиеся следствиями из теорем
отделимости и теоремы Банаха об обратном операторе (КФ, гл. IV § 5).
1.3.1.	Лемма о нетривиальности аннулятора.
Напомним что аннулятором А1- подмножества А линейного прост-
ранства X называется множество тех линейных функционалов I на X,
для которых {I, х) = 0 Ух е А. Отметим, что А1 всегда содержит 0 €
еХ*.
Лемма. Пусть L — замкнутое подпространство нормированно-
го пространства X, причем L / X. Тогда аннулятор содержит
ненулевой элемент (АТФ, п. 2.1.4).
В конечномерном случае эта лемма означает, что если L — собст-
венное подпространство в Rn (т. е. L Rn), то существуют чис-
ла aj, ...» ап, не равные одновременно нулю и такие, что а\Х\ 4-... +
+ апхп =0 Мх = (хь ..., хп) е L.
1.3.2.	Лемма о правом обратном операторе. Пусть X и Y —
банаховы пространства, Л — непрерывный линейный эпиморфизм X
на Y (Л е J^(X, У), 1тЛ = У). Тогда существуют отображение
М: Y —» X (вообще говоря, нелинейное и разрывное) и константа
26 Гл. I. Предварительные сведения
С > 0, удовлетворяющие условиям: AM = /у, ||Л4у||	<7||з/|| для
всех у EY (АТФ, п. 2.1.5).
1.3.3.	Лемма о замкнутости образа. Пусть X, У, Z ~ банаховы
пространства, А : X —>Y и В: X —> Z — линейные непрерывные опе-
раторы. Равенство Сх = (Ах, Вх) определяет линейный непрерывный
оператор С: X —> У х Z.
Лемма. Если подпространство Im А замкнуто eY и подпрост-
ранство В Кег А замкнуто в Z, то подпространство Im С замкнуто
eYxZ (АТФ, п. 2.1.6).
1.3.4.	Лемма об аннуляторе ядра регулярного оператора. Пусть
X uY — банаховы пространства, А: X Y — линейный непрерыв-
ный эпиморфизм. Тогда (Ker А)1 =1тА* (АТФ, п. 2.1.7).
Оператор, являющийся линейным непрерывным эпиморфизмом, на-
зывается регулярным.
1.4.	Определения производных.
1.4.1.	Производная Фреше. Пусть — окрестность точки х =
= (£1, ..., хп) в Rn, F — отображение из в Rm, F = (Fb ..., Fm).
Говорят, что отображение F дифференцируемо в точке х, если су-
ществует матрица А = (А^), i = 1, ..., т, j = 1, ..., п, такая, что
F(x + h) = F(£) + Ah + г(й),	(1)
где
Ah = Xijhj.........rW = o(|ft|)
J=1	/ n \ 1/2
<=> lim |г(Д)|/|Д| =0, \h\ = fehty .
Если функция F дифференцируема, то, как легко показать, матрица А
составлена из частных производных
А^ = А. 2 1	г=1,...,т, j = l,...,n.	(2)
\ CJXj /
Ее обозначают F'(J). Матрица (2) называется матрицей Якоби. Если
т = п, то определитель матрицы Якоби называют якобианом отобра-
жения F в точке х.
Пусть X и У — нормированные пространства, U — окрестность
точки х. Отображение F:	У называют дифференцируемым по
Фреше в точке х и пишут F Е D(x), если существуют линейный
непрерывный оператор А из X в У (A Е -&(Х, У)) и отображение г
некоторой окрестности х в У такие, что
F(x + h) = F(£) + Ah + r(h),	,
1|г(Л)||= o(||M>-
§ 1. Элементы функционального анализа
27
Оператор Л называется производной Фреше и обозначается F'(x).
Соотношения (1') можно кратко записать так:
F(f + h) = F(x) 4- F'(x)[h] + o(h),
понимая o(/i) как элемент пространства У, для которого ||о(Л)|| = o(h)
при ||Л|| —> 0. Через F'(f)[/z] обозначено значение отображения F'(x)
на элементе h. Если в каждой точке х из открытого множества
отображение F е D(x) и отображение х -+ F‘(x) непрерывно, то мы
пишем FeC[(W).
1.4.2.	Строгая дифференцируемость. Пусть отображение F диф-
ференцируемо по Фреше в точке х. Оно называется строго дифферен-
цируемым в точке х (при этом пишут F Е SD(x)), если для любого
с > 0 найдется такое 6 > 0, что для всех х^ и х%, удовлетворяющих
неравенствам ||zi — £|| < 5, ||ж2 - £|| < 5, выполнено неравенство
||F(ii) - F(x2) - F'(x)[xi - ж2]|| < £||®1 - ®2||-
Уже в одномерном случае SD(x) / D(x) (см. упр. 5).
1.4.3.	Вариация по Лагранжу и производная по Гато. Пусть
снова X и У — нормированные пространства, — окрестность
точки х в X, F: —> У. Говорят, что F имеет в точке х вариацию
по Лагранжу, если для любого h € X существует предел
6F(x, h.) = F'(x, h) = lim +	.	(1)
При этом отображение h —> 8F(x, h) называют вариацией no Лагран-
жу. Если существует такой оператор Л € -S?(X, У), что 8F(x, К) =
= ЛЛ, то говорят, что F дифференцируемо по Гато в точке х. Тогда
оператор Л называется производной Гато отображения F в точке х
и обозначается F^(x). Таким образом, если F дифференцируемо по
Гато в точке х, то для любого фиксированного h
F(x + Xh) = F(x) + XF'(x)[h] + r(h, A),	(2)
где \\r(h, A)|| = o(A) при A 0.
Ясно, что из дифференцируемости по Фреше следует дифференци-
руемость по Гато. Уже в двумерном случае эти два понятия разли-
чаются (см. упр. 4). Из дифференцируемости по Гато по определению
вытекает существование первой вариации по Лагранжу. И снова (уже
в двумерном случае) эти понятия различны (см. упр. 3).
1.4.4.	Производные высших порядков. Пусть — окрестность
точки х = (fi, ..., fn) в Rn, f: —> R — функция, определенная и
непрерывно дифференцируемая на . Говорят, что функция / дважды
дифференцируема в точке х, если существует квадратичная форма Q
такая, что
fix + h) = fix) + /'(£)И + 1 Q(h) + r(h),
где r(h) = о(|Л|2) <=> Ит(|г(Л)|/|Л|2) =0.
h—>0
28 Гл. I. Предварительные сведения
Квадратичная форма определяется симметричной матрицей (д^),
г, j — 1, п, которая составлена из частных производных .
uXiuXj
Переходим к бесконечномерному случаю. Пусть X и Y — нормиро-
ванные пространства, % С X — открытое подмножество. Если отобра-
жение f: % —» Y дифференцируемо в каждой точке х е %, то опреде-
лено отображение х -* f'(x) множества в пространство Г£(Х, У).
Поскольку ^{Х, У) также является нормированным пространством,
то можно ставить вопрос о существовании второй производной
у)).
Для hi е X f"(x)[h\] е J2f(X, У). Возьмем h2 G X; тогда определе-
но /"(гг)[Л1, h2] = /"(^)[/ii][/i2]- Таким образом, определено линейное
по каждому аргументу отображение /"(я): X х X Y. Аналогично
определяются производные высших порядков.
Теорема (о смешанных производных). Если для отображения
f:W-+Y существует вторая производная f"(x), то для всех
h\f h2 е X
ff(^)[h\,h2]=fff(x)[h2, hi]
(АТФ, п. 2.2.5).
Упражнения. 1. Привести пример непрерывного отображения,
не имеющего в фиксированной точке производной ни по какому на-
правлению.
2.	Привести пример отображения, имеющего производную по любо-
му направлению, но не имеющего вариации по Лагранжу.
3.	Привести пример отображения, имеющего вариацию по Лагран-
жу, но не имеющего производной по Гато.
4.	Привести пример отображения, имеющего производную по Гато,
но не имеющего производной по Фреше.
5.	Привести пример отображения, имеющего производную по Фре-
ше, но не строго дифференцируемого.
1.5. Основные теоремы дифференциального исчисления в нор-
мированных пространствах. Приведем несколько теорем, наиболее
часто используемых для решения экстремальных задач.
1.5.1.	Теорема о суперпозиции. Пусть X, Y, Z — нормиро-
ванные пространства, % — окрестность точки х в X, У —
окрестность точки у в Y, <р(х) = у, ф: V —> Z, f = ф о(р: %
—> Z — суперпозиция отображений ipuif).
Тогда, если ф дифференцируемо по Фреше в точке у, а р в
.точке х дифференцируемо по Фреше (дифференцируемо по Гато,
имеет вариацию по Лагранжу), то f обладает в точке х тем же
§ 1. Элементы функционального анализа
29
свойством, что и <р, и при этом соответственно
Ш=ф\у)ву>'(х),
6f'(x, h) = ^'(y)[fy(x, 7i>] Vh e X.
Если ф строго дифференцируемо в у, a (p строго дифференци-
руемо в х, то f строго дифференцируемо в х (АТФ, п. 2.2.2).
Теорема о суперпозиции не имеет, вообще говоря, места, если ф
дифференцируемо лишь по Гато.
1.5.2.	Формула Тейлора. Если f^(x) существует, то
f(x + h) = /(х) + f'(х)ЭД + | f"(x)[h, h] + ...
... + l/(n)(x)[b,...,fc] + r(/i),
где ||r(/i)|| = o(||h||n) при h->0 (АТФ, п. 2.2.5).
1.5.3.	Конечномерные теоремы об обратной и неявной функ-
ции. Теорема Люстерника. Теорема о касательном пространстве.
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции). Пусть
С Rn — окрестность точки х = (х\, ..., хп\ F: W —> Rn —
отображение класса F(x) = у. Тогда, если якобиан отобра-
жения F в точке х отличен от нуля, то существуют такие е > О,
8 > 0 и К > 0, что для любого у из шара \у — у\ < 6 существует
единственное х в шаре |ж — ж| < е такое, что F(x) — у и при этом
|х - х|< К\у - у|.
Замечание. Мы привели теорему об обратной функции в той
форме, в которой она будет в дальнейшем у нас использоваться.
Обычно доказывают больше, в частности, что гладкость обратного
отображения будет такая же, как и гладкость прямого, и формулу
Следствие (конечномерная теорема о неявной функции). Пусть
cRfc xR5 - окрестность точки (х, у) = (х\, ..., Хк, у\, ... , ys),
Ф: —> Rs, Ф(£, у) = 0, Ф2/(ж, у) — обратимая матрица. Тогда
существуют К > 0, 8 > 0 и такое отображение <р: В(х, 8) —> Rs
о
класса Сх(В(х, 6)), что
Ф(гг, (pix)') — 0, <р(х) = у, |(/?(х) “ у\ К\х - £|.
<1 Положим п = k + s, z = (х, у) (х G R\ у € Rs), F(z) =
= (х, Ф(г)). Тогда функция F в точке z = (х, у) будет удовлетворять
требованиям теоремы об обратной функции, ибо
Фх(?)’
.0
F\z} =
2 В. М. Алексеев и др.
30
Гл. I. Предварительные сведения
есть невырожденная матрица. По теореме об обратной функции су-
ществуют такие <5 > 0, £ > О и К > 0, что если |£ — + \г]\ < S, то
найдется единственная пара (х, у), для которой |я - ж| + \у - у\ < е и
F(x, у) = (£, т?) <=> х = Ф(я, у) = т/,
к ~ г1 + \У “ У\ ' х\ + |т?|).
Положив ту = 0, получим, что если |я — £| < 5, то имеется единствен-
ное у = ц>(х), \у ~ у\ < е, для которого
F(x, <р(х)) = (х, 0) <=> Ф(х, <р(х)) = О,
\у-у\	>
Замечание. Из формулы для производной обратной функции
немедленно следует, что
</(*) = -[Fy(x, v?(x))]_,[Fx(x. <р(х))].
Теорема Люстерника. Пусть X, Z — банаховы пространст-
ва, е ^(£, X), F: % ->Z. Если F е SD(x) и F'(x) является
эпиморфизмом, то существуют окрестность U точки х, чис-
ло К >0 и отображение <p: U —> X такие, что
F(x + (р(х)) = F(£),
||9?(x)||</f||F(x)-F(x)||.
О Доказательство этой теоремы основано на модифицированном
методе Ньютона.
А) Не ограничивая общности, считаем, что х = 0 и F(x) = 0. Вы-
берем е > 0 столь малым, что В(0, е) С & и
IIF(x') - F(x") - F'(0)(x' - х")||	± ||Ж' _ ж"||	(1)
при ||х'|| < е, ||х"|| < £ (это возможно, поскольку F G SD(x)), где
константа С > 1 взята из леммы о правом обратном операторе (п. 1.3.2)
для оператора М, являющегося правым обратным к F'(0). Положим
для х G U = В(0, S):
£n+1=£n-M(F(£n)). n^O, 6 = х,	(2)
где 6 столь мало, что ||х|| + C||F(x)|| < е/2 при ||х|| < 6.
Б) Докажем по индукции, что ||£n||<£ Vn>0. Очевидно, что
||£о|| = ||х|| < е/2. При п = 1 из (2) и леммы о правом обратном опера-
торе получаем оценку
||6 -х|| = ||MF(x)|| C||F(x)||,	(3)
откуда ||61| < £/2.
Пусть ||6|| <£ при г = 0, 1, .... k (к^ 1). Выведем отсюда, что
II&+1II < £- Для * = 0, 1.к из (2) имеем
г(о)(б+1-б)+лео=о,	(4)
откуда
§ 1. Элементы функционального анализа
31
(2)	(4)
||6+1 - 611 с C||F(6)|| = C||F(6) - F(6-i) -
(i)	1
-ло)(б-б-0 < |ii6-6-iii =►	(5)
116+1 "6К 2'116 — х|| < 2-I~’£, i=l,...,fc. (5')
Отсюда в силу неравенства треугольника получаем
||6+iII — II6+1 - 6 + 6 _ 6-i + • • • + 6 - 6 + 6II <
H6+i - 6ii + H6 - 6->n + • • • + H6 - €i n + H6 ii <
£/1,1, , 1 \ , £ ^
<2k2 + 4+”-+2sl + 2 <£-
Таким образом, мы получили, что ||6+i||<£> откуда по индукции
следует, что ||6|| < £ Vn > 0.
В) Из неравенств (5), (5') следует, что ||6+т - б|| ||6+1 -
- 6|| (I + | + • • • + 2^т) < 2Ц6+1 - 611	||6 - х|Н 0 при п -
—» оо, т. е. {6}п>о — фундаментальная последовательность и, значит,
она сходится в силу банаховости X. Обозначим ip(x) = lim 6i тогда
п—*оо
116 — х|| ||6 - 6-111 + 116-1 — 6-21| + ••• + ||6 — 611 +
(5')	/11	\
+ 116-ХЦ	116-^1|(2^т + рт + ..-+ 1) ^2||6-х||.
Переходя к пределу, получаем
(3)
\№) - х|| 2||6 - х||	2C||F(x)|| = K\\F(x) ||,
причем
(3)
||V>(x)||^M+2||6-a:|| <£•
Отсюда и из (1) вытекает, что F непрерывна в точке ip(x), и поэтому
из (4)
F(V>(x)) = lim F(6) = - lim F'(0)(6+i - 6) = 0. t>
n—»oo	n—*oo
Пусть X — нормированное пространство, M — некоторое его под-
множество. Элемент h е X называется односторонним касательным
(полукасателъным) вектором к множеству М в точке х е М, если
существуют £ > 0 и отображение г: [0, е] X такие, что
а)	х 4- th + r(t) € М Vt € [0, е);
б)	IKWII = ПРИ +°-
Вектор h называется касательным к множеству М в точке х,
если векторы h и —h являются односторонними касательными век-
торами к М в х. Множество всех касательных векторов к М в
точке х обозначается Т^М, множество односторонних касательных
2*
32
Гл. L Предварительные сведения
векторов Т£М. Очевидно, что Т$М и Т^М — конусы. Если мно-
жество Т$М является подпространством в X, то оно называется каса-
тельным пространством к М в точке х.
Во многих случаях, в том числе и представляющих значительный
интерес для теории экстремальных задач, множество касательных век-
торов может быть найдено при помощи такого следствия из теоремы
Люстерника.
Теорема (о касательном пространстве). Пусть X, Z — банаховы
пространства, W G 0(х, X), F: & —> Z, F е SD(x) и Ff(x) — эпи-
морфизм, М = {х е X \ F(x) = F(x)}. Тогда
TsM = KerFf(x).
<1 А) Пусть h € Т$М, г(-) — отображение из определения касатель-
ного вектора. Так как F G SD(x), то при малых а
F(x) = F(x + ah + r(a)) = F(x) 4-aFf(x) [Л] 4- o(a).
Отсюда aF(J)[/i] 4- o(a) =0 и, значит, F'(J)[/i] = 0, т. e. T^M C
cKerF'(J).
Б) Пусть h G KerF'(S). Положим r(a) = p(x + oih), где p — отоб-
ражение, построенное в теореме Люстерника. Тогда
F(x 4- ah 4- r(a)) = F(x),
||r(a)|| = \\p(x + ah)\\ < K\\F(x + ah) - F(x)\\ =o(a),
t. e. he T$M. >
Задачи
В задачах 1.1-1..26 исследовать отображения на дифференцируе-
мость по Фреше и найти производные в случае дифференцируемости.
1.1.	f : Rn Rm, f(x) = Ax, A — матрица порядка m x n.
1.2.	(P) /: X Y, f(x) = Ax, X, Y — нормированные прост-
ранства, A E -2f(X, Y).
1.3.	f: R2 R2, f(x\,	— (x\x2, Xi 4-z2), x = (1, 2).
1.4.	/: RnR, f(x) = £x?.
i=l
В задачах 1.5-1.9 H — гильбертово пространство.
1.5.	f(x) = (a, х), а€Н.
1.6.	f(x) = {x, х}.
1.7.	(Р) /: Н - R, /(х) = ||х|| = УМ.
1.8.	/: Н\{0} —> Н, /(г) = г/|М|.
1.9.	f: Н —> R, /(х) = (Ах, х), А — самосопряженный линей-
ный непрерывный оператор.
1.10.	f t ^2([0, 1])-R, /(x(-)) = jx(t)y(t)dt yGJ^([O. 1]).
о
§ 1. Элементы функционального анализа
33
1.11.	/: С2([0, 1]) R,
1.12.	/: jgf2([O, 1]) R,
1.13.	/: j$f2([0, 1]) —> R,
1.14.	/: С([0, 1]) -> R,
1.15.	/: С([0, 1])->R,
/(*(•)) = Jx3(t)dt
О
о
/(®(-)) = (p2(f) dtj.
f(x(-)) = х(О).
/(х(-))=х2(1).
1.16. (Р) /: С([О, 1]) - R, /(х(-)) = х(0)х(1).
1.17.	f:	С([О,	1]) -> R,	/(х())	=	|х(0)|.
1.18.	f:	C([0,	1})—R,	/(х(-))	=	еж(0).
1.19.	ft	С([0,	lj) R,	/(x(-))	=	sinx(l).
1.20.	/: C([0, 1])	C([0, 1]), /(x(-)) = cosx(-).
i
1.21.	ft C([0, 1]) R, /(x()) = J|x(t) | dt,
о
x(t) = at2 + bt + с, a, b, c G R,
m))=?
1.22.	f t C‘([0, 1]) - C([0, 1]), /(x(-)) = yi+m
1.23.	f: C([0, 1]) - C([0, 1]), f(x()) = y(t, x(t)), ^(.) g C‘(R2).
1.24.	ft C'([0, 1])-R, /(x(.)) =px(t))dt, ^(-) G C‘(R).
1.25.	(P)/: C([t0, ti])-> R,
/(a:(.)) = ^(x(to),x(t1)))) ^(.JgC’CR2).
1.26.	f t ti])-R,
*1
/(x(-)) = |Lit, x(t), i(t)) dt, £(•) g C1 (R3).
4
В задачах 1.27-1.29 указать точки, где функции /: Rn —> R не
дифференцируемы по Фреше.
/ п к 1/2
1.27.	f(x) = ( Ё х?) . 1.28. fix) = max
1.29.	fix) = f |х4|.
t=l
В задачах 1.30-1.37 найти норму линейного непрерывного функцио-
нала на пространстве X.
1.30.	(Р) Х = С([0, 1]),
1
(я*, х(-)) = х(0) + Зрг(£)dt — 4х( 1).
о
34
Гл. I. Предварительные сведения
1.31.	X = С([0, 1]), {х*, х(-)> = -i(O) + j x(t)dt.
1/2
1.32.	X = С([0, 1]), f
{х*, х(-)) = jx(t) sin Trtdt - xQ).
о
1.33.	X = C([0, 1]),
n	1
{x*, x(-)) = £pfcx(rfe) + L(t)x(t)dt,
fc=i	о
0<T(	... <t„ < 1,
Pl...Pn€R, q(’) € C([0, 1]).
1.34.	X = I2, (x*, x) = xj/2 + x2/4 + x3/8 + ... + xn/2n + ...
1.35.	X = I2, (x*, x) = (xi - x2)/2 + (хз - X4)/4 + ...
...(x2n_i - x2n)/2n + ...
I
1.36.	(P) X = _5%([0, 1]). (x*. x(-)) = |x(t) sinTrtdt
0
1/2	1
1.37.	X = J?2([0, 1]), (x*.x(-)) = j x(t) dt — 2 J x(t) dt.
0	1/2
1.38.	Л: I2 —>l2, Ax = (x2, X3.....xn, ...),
где x— (xi, x2, ...), Л* =?
1.39.	Л: I2 —> I2, Ax = (xi, 0, x2, 0, хз, 0, ...),
где x = (xi, x2, ...), Л* =?
В задачах 1.40-1.54 найти касательные множества Т$М или Т~М
к множеству М в точке х.
1.40.	М = {(хь х2) е R2\ R4 | х2 + х2 1}, х = (0, 1),
Т^М, Т^М=?
1.41.	М = {(xi, х2) е R2\ БД. | х? + х| 1}. х = (0. 0),
TSM, т£м=?
1.42.	M = {(x1,x2)gR2|x2 = x3},	х	=	(0,0),	Т2+М=?
1.43.	M = {(xi,x2)gR2|x^x|},	х	=	(0, 0),	ТхМ =7
1.44.	М = {(xi, х2) € R2 | х2 х|},	х	—	(0, 0),	Т%М =?
1.45.	М = {(xi, х2) е R2 | xix2 = 1}, х = (2,
TSM=?
1.46.	М = (х = (хь ..., х„) € Rn| £х? = 1), х = (1, 0.0),
ТхМ =?
§ 2. Гладкие задачи
35
1.47.	М =	= (х]..xn) е R" | 52 xl = 1 j. х = (®ь  • •. хп),
ЪМ=?
1.48.	М = {х(-) G Cn([0, 1]) |	= x<n)(t)}, х = Cn([0, 1]),
Т2М=?
1.49.	(Р) М = {х(-) е С([0, 1]) 11sinx(t) dt = 2/ttJ, x(t) = nt,
T~M=?	°
1.50.	M = {x(-) 6 C([0, 1]) | sinx(O) = cosx(l) = 0}, x(t) = nt/2,
TSM=?
1.51.	M — множество рациональных чисел, Т$М = ?
1.52.	(Р) М = (о, 1 1	1, .. Л с R, х = О, Г?+М=?
I 2 п J	х
1.53.	М = {0,1,1,...,± ...}cR, х = 0, Т+М=?
1.54.	М = (о, 1,1...1	...jcR, х = О, Т-+М=?
12 n! J	х
§	2. Гладкие задачи
2.1.	Элементарные задачи.
2.1.1.	Постановка гладкой элементарной задачи. Пусть /: R—>
—> R — функция одной действительной переменной, обладающая неко-
торой гладкостью, т. е. определенными свойствами дифференцируе-
мости. Гладкой элементарной задачей без ограничений называется
задача об отыскании экстремумов этой функции:
/(я)—>extr.	(з)
Аналогичная задача без ограничений возникает при отыскании
экстремумов функционала /, обладающего некоторой гладкостью и
определенного в нормированном пространстве X.
2.1.2.	Правило решения.
1.	Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з).
2.	Выписать необходимое условие f{x) = 0.
3.	Найти стационарные точки, т. е. решения уравнения f(x) = 0.
4.	Отыскать решение среди стационарных точек или доказать, что
решения нет.
2.1.3.	Теорема Ферма.
Теорема 1. Пусть f — функция одного переменного, определен-
ная в некотором интервале, содержащем точку х, и дифференци-
руемая в точке х.
36 Гл. I. Предварительные сведения
Тогда, если х есть точка локального экстремума функции f, то
Г(х)=о.	(1)
<1 Допустим, что хЕ loc min/, но /'(£)=а/0 и, для опреде-
ленности, а < 0. Задав г — |а|/2, найдем из определения производной
такое 6 > 0, что при 0 < \h\ < 6
f(x + h) = f(x) + ah + r(h), \r{h)\ < |a| • |/i|/2.
Тогда для 0 < h < 8 получаем
f(x + h) = f(x) + ah + r(h) < f(x) -[-ah-]- |a|h/2 =
= /(£) - l<W2 < /(£),
t.e. x loc min/. Полученное противоречие доказывает теорему. Ана-
логично теорема доказывается для случая х е loc max/. >
Теорема 1' (аналог теоремы Ферма для нормированных прост-
ранств). Пусть X — нормированное пространство, Е 0(Х),
х Е%, f: W —> R и функционал / имеет вариацию по Лагранжу
(дифференцируем по Фреше) в точке х.
Тогда, если х Е loc extr/, то
6f(x,x) = 0 УхЕХ (/'(£) = ()).	(1')
<1 Если х Е loc extr/, то Ух Е X точка нуль является локальным
экстремумом функции одного переменного: А <р(Х; x)d= f(x + Хх).
Пользуясь определением вариации по Лагранжу и соотношением (1),
получим 8f(x, х) — 0. В силу произвольности х приходим к (1'). Если
функционал / дифференцируем по Фреше в точке х, то в этой точке
он имеет вариацию по Лагранжу. Поскольку х Е loc extr/, то из уже
доказанного следует, что эта вариация равна нулю. Отсюда f'(x) = 0
в силу определения дифференцируемости по Фреше (п. 1.4.1). >
Из теоремы 1 следует, что если точка х доставляет локальный
экстремум дифференцируемой в точке х функции нескольких пере-
менных: /: Rn —> R, то все частные производные функции / в этой
точке обращаются в нуль, т. е.
f(x) = 0	= ... =	= 0.
дх\	иХц
2.1.4.	Элементарная задача линейного программирования.
В § 4 мы познакомимся с выпуклыми задачами, частный, подкласс
которых образуют задачи линейного программирования. Здесь будет
рассмотрена самая простая из задач этого класса. Она интересна тем,
что при ее рассмотрении мы познакомимся с важными условиями
экстремума, возникающими в задачах с неравенствами, — условиями
неотрицательности и дополняющей нежесткости.
§ 2. Гладкие задачи
37
Элементарной задачей линейного программирования называется
следующая задача:
£a^-.inf, xi 0, г=1,...,п (X = Rn). (з)
г=1
Теорема. Для того чтобы точка х — (х\, ..., хп) доставля-
ла абсолютный минимум в задаче (з), необходимо и достаточно,
чтобы были выполнены:
а)	условия дополняющей нежесткости aiXi =0, i = 1, ..., п;
б)	условия неотрицательности i = 1, ..., п.
Доказательство этой теоремы совершенно очевидно.
2.2.	Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа ра-
венств.
2.2.1.	Постановка задачи. Пусть : Rn R, г = 0, 1, ..., m, —
функции п переменных, отображающие пространство Rn в R. Конеч-
номерной экстремальной задачей с ограничениями типа равенств
называется следующая задача в Rn:
/о(я) extr; fi(x) = 0, i = 1, ..., т.	(з)
Далее считаем, что все функции fa обладают определенной гладко-
стью.
2.2.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
т
Л) = £\ЛСг).
£=0
2.	Выписать необходимое условие:
т
-^(ж, А) = 0 <=> XifiXj (х) = 0, j = 1...п.
»=о
3.	Найти стационарные точки, т. е. допустимые решения уравнений
п. 2, в которых не все множители Лагранжа Ao, Ai, ..., Am равны
нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи До =
= 0 и До / 0. Во втором случае можно положить Ао равным единице
или любой другой положительной константе в задаче на минимум и
равным минус единице или любой другой отрицательной константе в
задаче на максимум.
4.	Отыскать решение среди всех стационарных точек или доказать,
что решения нет.
Замечание. В правиле множителей Лагранжа для задач с огра-
ничениями типа равенств можно, вообще говоря, не обращать внима-
ния на тип экстремума и, убедившись, что Ао / 0, полагать До равным
любой отличной от нуля константе. Для задач, где присутствуют
неравенства и включения, знак До существен.
38
Гл. /. Предварительные сведения
2.2.3.	Правило множителей Лагранжа.
Теорема. Пусть X = Rn, G &{Х), х , fit & —> R, г =
= О, 1, ..., т, — непрерывно дифференцируемые функции на мно-
жестве Ш {условие гладкости). Тогда, если х есть точка локаль-
ного экстремума в задаче (з), то существует ненулевой вектор
А = (До, А1, • • -, Ат) такой, что
Х(£, А) = 0	= 0, j = 1.....n 4=Ф	= 0.
3	г=0
(1)
т
В соотношении (1) &{х, А) = £	функция Лагранжа
г=0
рассматриваемой задачи, а Ао, А|, ..., Ат — множители Лагранжа.
<1 А) Обозначим через Л линейное отображение из Rn в Rm+1,
определяемое соотношением
Лг = ((/о(^). х)...*>) <=► Л(®1.............хп) =
........
\ 41	L/vc/J	/
J=1	j=l
Возможен один из двух случаев: 1) Л отображает Rn в собствен-
ное подпространство L пространства Rm+1; 2) Л отображает Rn на
все Rm+1.
Б) Если реализуется случай 1), то по лемме об аннуляторе в ко-
нечномерном пространстве (п. 1.3.1) найдутся числа Ао, Аь ..., Хт, не
все равные нулю и такие, что
т	т
^Xiyi = o ЧуеЬ^^ХМ№’х> = °
г=0	г=0
и теорема доказана.
В)	Покажем, что случай 2) невозможен. Действительно, если об-
раз Л есть все пространство, то ранг соответствующей этому отобра-
жению матрицы Л =	)<=о т также Равен т + 1 • (Этот факт
прямо следует из известной в алгебре теоремы Кронекера-Капелли.)
Тогда по теореме о ранге существует минор матрицы Л порядка {т +
+ 1) х (m+ 1), отличный от нуля. Допустим для определенности, что
этим минором является минор, составленный из первых тп + 1 столб-
цов матрицы Л:
det
Г3/о(£)
дх\
dfm{x)
. dxi ’
dfo{x) -
dfm{x)
diEm+l -
= det M ^0.
§ 2. Гладкие задачи
39
Положим
Ф(хЬ ...»	= (Ф0(хЬ •••, Ятп+1), •••, Фтп(яь •••, Ят+1)) =
= (/о(^1 > • • • , ^тп-Н, ^тп+2, • • • > хп) ~~ /о(2')>
/1 (Х1, . . . , 37m+i, Хт+2, . . . , Жп), ...» /т(^1 > • • • > ^тп+1» ^т+2> • • • > ^п))>
Ф отображает некоторую окрестность точки (хь ..., хт+\) € Rm+l
в Rm+f и является (в силу условия гладкости теоремы) непрерывно
дифференцируемым отображением в этой окрестности. При этом
/дФ»(£ь ..., Жт+1)\
\ dxj Д=(?.................т
J	->=1 . т.
= detM/0.
По теореме об обратной функции (п. 1.5.3) существуют £0 > 0 и кон-
станта К > 0 такие, что Vse[—£о, £о] найдется вектор (xi(s), ...
..., жт+1(£)), для которого
Ф(Х1 + Х1(е), ..., £т+1 + ят+1(е)) = (е, 0, ..., 0) <==>
4 fo(xl И" 2?1(в), • • • , З'тп-М 4” ^тп+1(^)» ^m+2> • • • > хп) /о(^) =
4”	(^)» • • • » ^m+l 4" ^m+1 (^), ^771+2» • • • > хп) = 0,
i = 1, ..., т,
zm+l	\ 1/2
и при этом (	х1(е)} С A'|s|. Из написанных соотношений сра-
' г=1	'
зу следует, что вектор (xi 4- xi(s), ..., xm+i 4- xm+I^£), xm^ ... ^£n)
является допустимым в задаче (з) и что вектор (х\, хп) =х не
доставляет задаче экстремума, ибо вблизи от него существуют до-
пустимые векторы, на которых функционал принимает значения и
большие, и меньшие, чем /о(£)« >
Замечание. Из соотношения (1) следует, что если векторы
f[(x), ..., /го(£) линейно независимы, то Ао / 0.
2.3.	Гладкая задача с равенствами и неравенствами (общий
случай).
2.3.1.	Постановка задачи. Пусть Ху Y — нормированные прост-
ранства, F: X У, fi: X —> R, i = 0, 1, ..., т. Гладкой задачей с
равенствами и неравенствами называется задача
/oW -* inf; F{x) = 0, Л(ж)^0, г = 1,...,т,	(з)
если отображение F и функционалы fi обладают некоторой глад-
костью.
2.3.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
тп
^{х, у*, Л) = 22Х&(х) + {у*, Г(х)),
1=0
где у* & Y*, А = (До, ..., Ат) — множители Лагранжа.
40
Гл. 1. Предварительные сведения
2.	Выписать необходимые условия:
а)	стационарности
т
У\ А) = 0 4=> £ Шх) + (F'(*))V = 0,
£=0
где (F'(z))* — оператор, сопряженный к отображению F'(x): X У;
б)	дополняющей нежесткости
А{/г(£) = 0, i = 1, ..., m;
в)	неотрицательности
Аг 0, г = 0, 1, ..., т.
3.	Найти критические точки, т. е. допустимые точки, удовлетворя-
ющие необходимым условиям п. 2 с множителями Лагранжа А и у*,
одновременно не равными нулю. При этом бывает полезно отдельно
рассмотреть случаи Ао = 0 и До / 0. Во втором случае можно поло-
жить До равным единице или любой другой положительной константе.
4.	Отыскать решение среди критических точек или доказать, что
его нет.
2.3.3.	Необходимые условия экстремума.
Теорема. Пусть X, Y — банаховы пространства (условие ба-
наховости), с ^(Х), х € F: % —> У, fa % R, fi € SD(x),
i = 0, 1, ..., m, F e SD(x, У) (условие гладкости) и F'(x)X замкну-
то в Y (ослабленное условие регулярности).
Тогда, если х есть точка локального экстремума в задаче (з), то
существуют вектор А е Rm+l и функционал у* € У*, не равные
одновременно нулю и такие, что выполнены условия:
а)	стационарности
т
&х(х, у*, Л) = О AJ'(x) + (F\x)Yy* = 0;
г=0
б)	дополняющей нежесткости
Xi fax) = 0, i = 1, ..., т;
в)	неотрицательности
Аг 0, i = 0, 1, ..., т.
Доказательство см. в АТФ, п. 3.2.4, а также п. 4.4.1.
2.4.	Примеры.
Пример 1. f (х) = ах2 + Ьх + с extr (а / 0).
Решение. 1. Применяем правило решения гладких задач без
ограничений (п. 2.1.2).
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: f'(x) = 0 <=> 2ах + b =
= 0.
3.	х = — Ъ/(2а) — стационарная точка.
§ 2. Гладкие задачи
41
4.	Если а > 0, то f(x) —► +оо при |я| —> оо. По следствию из
теоремы Вейерштрасса (п. 1.2.1) решение задачи существует. В силу
единственности стационарной точки
х = -Ь/(2а) € abs min, Smjn = с - b2/(4a), 5max “ 4-oo.
Аналогично,
a < 0 <=> x — —b/(2a) € abs max, 5max = c — b2/(4a), Smjn — — oo.
Пример 2. я2 + ж2 —> extr; x4 + x* == 1.
Решение. 1. Применяем правило решения гладких задач с огра-
ничениями типа равенств (п. 2.2.2). Функция Лагранжа: ££ = A0(xf 4-
+ х%) 4-	+^2 ” О-
2.	Необходимое условие:
Г£х = 0 <=> Ao^i + 2AiX} = 0, Ао#2 + ЗА^ = 0.
3.	Если Ао = 0, то Ai / 0, значит, из предыдущих уравнений xi =
= Х2 = 0 — точка не является допустимой. Полагаем Ао = 1. Тогда
Si =0, Х2 = ±1, или S2 = 0, X] — ±1, или S2 О, Si / 0, следова-
тельно, S2 = S| = —l/(2Ai), т.е. [Si| = |S2| = 2”1/4.
4.	По теореме Вейерштрасса существуют решения задач на мини-
мум и максимум. Рассматривая значения функционала в стационарных
точках, получаем
Smin = 1, {(±1, 0)» (О»	£ abs min,
Smax = \/2, {(±2-1/4, ±2“1/4), (±2~1/4, Т2-1/4)} € abs max.
Пример 3. ж2 4- я! + inf; 2хi — Х2 4- х3 < 5, х\ 4- Х2 4- х3 —
= 3.
Решение. 1. Применяем правило решения гладких задач с огра-
ничениями типа равенств и неравенств (п. 2.3.2). Функция Лагранжа:
& = Ао(я2 4- ж2 4- я2) 4- Ai(2xi - х2 4- х3 - 5) 4- A2(xj 4- х2 4- х3 - 3).
2.	Необходимые условия:
а)	стационарности
= 0 <=> 2Aqx 1 4" 2Аj 4- А2 = О,
&Х2 — 0 3Aqx2 4- А2 — Ai =0,
= 0 <=> 2Ао^з 4- Аз 4- Aj =0;
б)	дополняющей нежесткости Aj (2хi - х2 4- х3 — 5) = 0;
в)	неотрицательности Ао > 0, Ai 0.
а)
3.	Ао = 0 ==> Aj = А2 = 0 — все множители Лагранжа — нули.
Положим Ао = 1 /2. Предположим Ai / О =Д> 2xi - х2 4- х3 — 5 = 0.
Выражая хь Х2 и х3 из условия а) через А| и А2 и подставляя их
42 Г/. Предварительные сведения
в уравнения х\ 4-^2 + х$ = 3, 2rri — х% 4- х$ — 5 = 0, получим Ai =
= —9/14 < 0 — противоречие с условием в). Пусть Ai = 0. Тогда хi =
= Х2 = хз = 1 — критическая точка.
4.	Функция f(x) = а>| 4-	4” стремится к 4-оо при |ж| —> 4-оо,
значит, по следствию из теоремы Вейерштрасса (п. 1.2.1) решение зада-
чи существует, а в силу единственности критической точки решением
может быть только она. Итак, х = (1, 1, 1) € abs min, Smjn = 3.
Пример 4. (Ах, х) —> inf; (х, х) = 1 (х е Rn, А —	—
симметричная матрица).
Решение. 1. Существование решения х очевидно из теоремы Вей-
ерштрасса, ибо сфера S’1""1 = {я е Rn | |х|2 =f (х, х) = 1} компактна.
Функция Лагранжа:
JSf = Ао(Аг, х) 4- Ai (х, х).
2.	Необходимое условие:
&х(х, Ао, Ai) = 0 <$=> АоАг 4- Aix = 0, Aq > 0.
3.	Если Ао = О, то Ai/О, значит, из уравнений п. 2 £ = 0, что
противоречит уравнению связи (х, х) = 1. Положим Ао = 1. Тогда
Ах =-Х[Х. Таким образом, решением является собственный вектор
матрицы А.
4.	Домножив соотношение Ах = —Aj£ на х, получим, что S3 — — Аг,
иначе говоря, решением задачи на минимум будет собственный вектор
матрицы А, соответствующий наименьшему собственному значению.
2.5.	Необходимые условия высших порядков. Достаточные
условия.
2.5.1.	Одномерный случай в задаче без ограничений.
Теорема 1. Пусть f — функция одного переменного, опреде-
ленная в некотором интервале, содержащем точку х, и дважды
дифференцируемая в точке х.
Необходимые условия экстремума. Если х есть точка
локального минимума (максимума) функции f, то
/'(£) = 0, /"(£)> 0 (/"(ж) 0).
Достаточные условия экстремума. Если
/'(х) = 0, Г(х)>0 (/"(£) <о),
то х — точка локального минимума (максимума) функции f.
<1 Докажем теорему для случая минимума. Случай максимума
доказывается аналогично.
Из определения двукратной дифференцируемости следует, что
f(x + x)^f(x’) + f,(x)x+^f"(x)x2 + r(x'),	(J)
r(x)/x2—*Q при X —> 0.
§ 2. Гладкие задачи
43
Необходимость. Поскольку хе loc min/, то, во-первых, по
теореме Ферма (п. 2.1.3) f(x) = 0; во-вторых, существует 6 > 0 такое,
что из неравенства |я| < 6 вытекает f(x + х) — /(£)	0. Поэтому из
формулы (1) f(x + х) — f(x) = | f"(x)x2 4- r(x) 0 при |х| < 6. От-
сюда
f"{x) = 2 lim Л* + *)~ Л*) о.
х->0	X2
Достаточность. Выберем S настолько малым, чтобы в разло-
жении (1) было |r(z)|	~ f"(x)x2 при |х| < 5. Тогда в силу условий
f'(x) = 0 и /"(£) > 0 получаем
f(x + х) - f(x) = f"(x)x2 + г(х) | fff(x)x2 0.
Значит, х е loc min /. >
В одномерном случае можно дать почти исчерпывающий анализ
вопроса о том, является ли данная точка х локальным экстремумом
или нет.
Теорема 2. Пусть f — функция одного переменного, опреде-
ленная в некотором интервале, содержащем точку х, и п раз
дифференцируемая в точке х.
Необходимые условия экстремума. Если х есть точка
локального минимума (максимума) функции f, то либо f'(x) =
= ... =	(х) = 0, либо
y'(£) = ..> = y(2m-l)(J)=0>	f(2m)^>()	(y(2m)^<0) (Q
при некотором т 1, 2т < п.
Достаточные условия экстремума. Если выполняется
условие (1), то х — точка локального минимума (максимума)
функции f.
<1 По формуле Тейлора для функции, п раз дифференцируемой в
точке х, имеем следующее разложение:
f(x+х) =	xk+r(x)>
fc=0
—» 0 при x —> 0.
xn
Необходимость. При n=l необходимое условие экстремума
следует из теоремы Ферма (п. 2.1.3). Пусть, далее, п > 1. Тогда либо
f(x) = ... = f(n}(x) — 0, либо /'(S) = ... = f^~}\x) = 0, f^(x) / 0,
I < п. Возможно одно из двух: I нечетно или I четно. В первом случае
положим </?(£) = f(x + ^), £ е R. Тогда
₽«) = /(«) + £	£-о)
k=l '	q
44 Гл. I. Предварительные сведения
дифференцируемая в нуле функция. Поскольку х € loc min/, то
О е looming. По теореме Ферма <р'(0) = f^{x)/l\ = 0. Полученное
противоречие показывает, что I должно быть четным: I == 2m. Поэтому
из формулы Тейлора
f(x + x)-/(£) =	+И (х),	(
0 при х 0.
х2т	к
Так как /<2тп>(х) /0, то отсюда выводим, что f(2Tn\x) >0 при хе
е loc min/ и /(2rn)(x) < 0 при х € loc max/.
Достаточность. Поскольку /'(х) = ... =/(^“^(х) =0, /(2т)(х)/
/ 0, то по формуле Тейлора
f(x + х) - f (х) =	х2т + г2(х),
0 при х -+ 0.
х2т
Следовательно, если f(2rn\x) > 0, то f(x + x) - /(х) > 0 при доста-
точно малых х, т.е. хе loc min/; если f(2m\x) < 0, то f(x + x) —
— /(2) 0 при достаточно малых х, т. е. х е loc max/. >
2.5.2.	Задача без ограничений (общий случай).
Теорема. Пусть X — нормированное пространство, Ш £
£ ^(х, X), /:	R, / е Г>2(х).
Необходимые условия экстремума. Если х е
€ loc min (max) /, то
/'(х) = 0, /"(х)[х, х]>0 (/"(х) [х, х] ^0) ЧхеХ.
Достаточные условия экстремума. Если /'(£)=0 и
f"(x)[x, х] > Of||ar||2 (f'(x)[x, х] — а||х||2) ЧхеХ (1)
при некотором а > 0, то х е loc min (max) /.
<1 По формуле Тейлора (п. 1.5.3)
f(x + x) = f(x) + /'(х)[х] + | ff(x)[x, я] + г(х),
||г(х)|| = о(||х||2).
Докажем теорему для случая минимума. Случай максимума анало-
гичен.
Необходимость. Поскольку х е loc min /, то, во-первых,. по
теореме Ферма (п. 2.1.3) /'(f) — 0; во-вторых, f(x + Ах) — f(x) 0
при достаточных малых А. Поэтому в силу формулы Тейлора
А2
/(х + Ах) - /(х) = у f"(x)[x, х] + г(Ах) 0
при малых А. Отсюда /"(х)[х, х] 0 Vx е X.
§ 2. Гладкие задачи
45
Достаточность. Так как f'(x) = 0, то по формуле Тейлора в
силу условия f"(x)[x, х] > а||х||2 имеем
f(x + х) - f(x) = 1 /"(£)[z, ж] + r(x) > | ||х||2 + г(х) > О
при достаточно малых х. Следовательно, х е locmin /. О
Неотрицательная определенность второй производной для функ-
ций п переменных означает неотрицательную определенность мат-
(&f(x)\ w /1Ч
рицы 1 —7 ). Условие (1) называется условием строгой положи-
тельности (отрицательности) второй производной в смысле Фреше
функционала /.
Отметим, что в конечномерных пространствах условие положитель-
/ d2f(x) \
нои определенности матрицы (7 ), т. е. условие
\ UXi OXj /
V	hih3;> °	= hn)&Rn, h/0,
* * CfXi OXj
гарантирует строгую положительность второго дифференциала (и зна-
чит, является достаточным условием минимума в стационарной точке).
В бесконечномерных пространствах это не так (пример см. в АТФ,
п. 3.1.1).
Положительная и отрицательная определенности матрицы устанав-
ливаются с помощью критерия Сильвестра.
Теорема (критерий Сильвестра). Матрица А является поло-
жительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда,
когда все ее главные миноры det Аь где Аь = (&ij)i у=1, fc = 1, ..., п,
положительны ((—l)fc det Ak >0, k = 1, ..., n).
Доказательство этого утверждения приведено в п. 12.1.2.
2.5.3.	Гладкая задача с ограничениями типа равенств.
Теорема. Пусть X — банахово пространство, Щ € 0(х, X),
fi‘. % —> R, fi е Z)2(J) О SD(x), г = 0, 1, ..., т, векторы f-(x), i =
= 1, ..., т, линейно независимы.
Необходимые условия экстремума. Если х е loc min з в
задаче
fQ(x)^inf; fi(x)-0, i = l,...,m,	(з)
7П
то для функции Лагранжа &(х, А) = £ -WtCO найдется вектор
г=0
А = (1, Ль ..., Хт) такой, что
-$?х(х, А) = 0, &хх(я, А)[я, х]^0
Vz € L = {х е X | (f'(x), х) = 0, i = 1, ..., т}.
Достаточные условия экстремума. Если существует
вектор А = (1, Ai, ..., Ат) такой, что выполнено соотношение
46
Гл. I. Предварительные сведения
&х{х, А) =0 и для некоторого а > 0
-$?Хх(х> А)[я, ж] a||z||2 VrreL, х / 0,
то х € loc min з.
(Более общий результат см. в АТФ, п. 3.4.1, и далее в п. 4.4.5.)
2.	6. Примеры.
Пример 1. f (х], х2) = х] + х% — (#i + х2)2 extr.
Ре	шение. 1. Очевидно, что Smax = +оо, а из следствия теоремы
Вейерштрасса вытекает, что минимум в задаче достигается.
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: f'{x) = 0 <=> 2я| =
= xi + х2, 2х^ “	+ х2-
3.	Решая эти уравнения, находим стационарные точки (0, 0), (1, 1),
(-1, -1).
4.	Выпишем матрицы вторых производных в этих точках:
_ /d2f(£)\2 =Г 12^-2	—2 1
Х'	\dxtdxj) i,j=i	—2	12х2 — 2
Ai = 4(0, 0) =
10 —2
А2 = 4(1, 1) = 4(—1, -1) =	.
Матрица —А[ является неотрицательно определенной, значит, точ-
ка (0, 0) удовлетворяет необходимому условию второго порядка на
максимум, но непосредственное рассмотрение функции f вблизи этой
точки показывает, что (0, 0) loc extr. Матрица А2 является по-
ложительно определенной, следовательно, по достаточному условию
точки (1, 1) и (-1, —1) являются точками локального минимума, а
поскольку минимум существует, то они доставляют и глобальный
минимум.
Ответ. (0, 0) loc extr; {(1, 1), (— 1, —1)} € abs min.
Пример 2. f{x) = {Ax, x) + 2{b, x) + c-> extr (A =	—
обратимая симметричная матрица).
Стационарная точка здесь одна: f'(x) = 0 <=> Ах + b = 0 <=> х =
— —А~[Ь. Применяем достаточные условия. Имеем /"(2)[h, h] =
= 2{Ah,h). Значит, для того, чтобы выполнялось х € loc min
необходимо, чтобы матрица А была неотрицательно определена
(А > 0). Но по условию А обратима, т.е. х € loc min => А > 0. С
другой стороны, если А > 0, то для некоторого а > 0 {Ах, х) а||х||2
и, значит, lim f{x) = —оо. Тогда по теореме Вейерштрасса минимум
IkIHoo
существует и, следовательно, х е abs min. Аналогично доказывается,
что х е abs max <=> А < 0.
§ 2. Гладкие задачи
47
2.7. О методе Ньютона. Для того чтобы решить задачу без огра-
ничений, нужно найти стационарные точки, т. е. решения уравнения
F'(x) = 0. Для решения таких уравнений существует один замечатель-
ный прием, принадлежащий Ньютону. Метод Ньютона рекуррентный.
Для числовой функции F: (a, b) —> R
он состоит в том, что последователь-
ные приближения ищутся по формуле
Zn+i = хп - (Г'(яп))_1Г(яп), п О,
(1)
где за нулевое приближение берется
некоторая достаточно близкая к кор-
ню х точка яо- Геометрический смысл
этого метода иллюстрирует рис. 4.
Метод Ньютона может быть пе-
ренесен на уравнения в банаховых
пространствах. Для отображения F
окрестности банахова пространства X в банахово пространство Y
можно написать соотношения, являющиеся полным аналогом соотно-
шений (1); следует лишь под (Г'(жп))""1 понимать оператор, обратный
к оператору F'(a;n). Однако вычисление (F'(xn))“l в бесконечно-
мерном случае обычно бывает весьма трудоемким делом. Поэтому в
бесконечномерном (да и в конечномерном также) случае при реше-
нии операторных уравнений пользуются модифицированным методом
Ньютона, Видоизменение состоит в том, что вместо последовательно-
сти (1) рассматривают последовательность, определяемую формулой
Zn+i = хп - {F\^)yXF(xn\ п 0.	(2)
Здесь, как мы видим, участвует лишь один обратный опера-
тор (F'^o))""1,	Модифицированным методом Ньютона мы
пользовались при доказательстве теоремы Люстерника. Некоторые
подробности о методе Ньютона содержатся в КФ, § 3 гл. X.
Задачи
Решить задачи 2.1-2.20.
2.1.	х2 — ху + у2 — 2х 4- у extr.
2.2.	ху 4- 50/я + 20/?/ —> extr.
2.3.	х2 — у2 — 4х + 6?/ —► extr.
2.4.	5я2 + 4ху + у2 — 16ж — 12г/ —» extr.
2.5.	Зя2 4- 4ху 4- у2 — &г — 12?/ -+ extr.
2.6.	х2 4- х% 4- х2 — #1^2 + х\ — 2а?з extr.
2.7.	3rriХ2 — х2Х2 — extr.
2.8.	4х 4- Зу	extr; х2 4- у2 = 1.
2.9.	х2 4- у2	extr; Зх 4- 4у — 1.
2.10.	еху extr; х 4- у = 1.
48
Гл. I. Предварительные сведения
2.11.	5х2 + 4ху + у2 —> extr; х + у = 1.
2.12.	Зя2 + 4ху + У2 —> extr; х + у = 1.
2.13.	xy2z3 —> extr; х + у + z = 1.
2.14.	xyz —» extr; х2 + у2 + z2 = 1, х + у + z = 0.
2.15.	xyz —> extr; х2 + у2 + z2 1.
2.16.	£ я? —> extr; 52 xi 1-
г=1	г=1
2.17.	52 xi CXtF, 52 Х1 1-
£=1	£=1
2.18.	2х2 + 2xi + 4x2 — Зхз extr; 8хi — 3x2 + Зхз С 40,
—2X1 + х2 “ х3 = “3, Х2 0.
2.19.	ех,~Х2 — xi — Х2 extr; xi+x2^1, xi 0, Х2 0.
2.20.	3^2 — 1 Ixi — 3x2 — хз extr; х\ — 7хг + Зхз 4-7^0,
5xi + 2x2 — ^з^2, хз > 0.
2.21.	(Р) Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение
их произведения на разность было максимально (задача Тартальи).
2.22.	Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, ес-
ли сумма длин его катетов равна заданному числу (задача Ферма).
(Этой задачей Ферма иллюстрировал свой метод нахождения миниму-
мов — теорему Ферма — в 1638 г.)
2.23.	На стороне ВС треугольника АВС найти точку Е так, чтобы
параллелограмм ADEF, у которого точки D и F лежат соответственно
на сторонах АВ и АС, имел наибольшую площадь (задача Евклида).
(Это — единственная задача на экстремум в «Началах» Евклида.)
2.24.	На некоторой фиксированной грани тетраэдра берется точка,
через которую проводятся плоскости, параллельные трем оставшимся
граням. Выбрать точку таким образом, чтобы объем полученного па-
раллелепипеда был максимальным (обобщенная задача Евклида).
2.25.	Задача о полиноме Лежандра второй степени:
I
J (t2 + x\t + X2)2dt inf.
-i
2.26.	Задача о полиноме Лежандра третьей степени:
1
| (t3 4- X\t2 4- X2t + Хз)2СЙ inf.
-i
2.27.	Среди всех дискретных случайных величин, принимающих п
значений, найти случайную величину с наибольшей энтропией.
(Энтропией совокупности положительных чисел pi, ...,рп, в сумме
п
равных единице, называется число Н = - 52 Pilnpi.)
г=1
§ 2. Гладкие задачи
49
2.28.	Найти закон преломления света на плоской границе двух
однородных сред, пользуясь принципом Ферма, согласно которому свет
из одной точки в другую попадает за кратчайшее время.
2.29.	Вписать в круг прямоугольник максимальной площади.
2.30.	Вписать в круг треугольник максимальной площади.
2.31.	(Р) Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса,
найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера). (Эта задача
была поставлена и решена Кеплером геометрически в «Стереометрии
винных бочек» — 1615 г.)
2.32.	Вписать в единичный шар конус наибольшего объема.
2.33.	Среди конусов, вписанных в шар единичного радиуса, найти
конус с максимальной боковой поверхностью.
2.34.	Вписать в единичный шар пространства Rn цилиндр наиболь-
шего объема 9 (обобщенная задача Кеплера).
2.35.	Вписать в шар пространства Rn прямоугольный параллелепи-
пед наибольшего объема.
2.36.	Вписать в единичный шар пространства Rn конус наиболь-
шего объема 9-
2.37.	Вписать в трехмерный шар тетраэдр наибольшего объема.
2.38.	(Р) Вписать в шар пространства Rn симплекс наибольшего
объема.
2.39.	Среди треугольников данного периметра найти треугольник
наибольшей площади.
2.40.	Среди всех n-угольников, имеющих заданный периметр, най-
ти n-угольник наибольшей площади (задача Зенодора).
2.41.	Вписать в круг n-угольник наибольшей площади.
2.42.	(Р) Дан круг радиуса единица. На диаметре АВ дана точ-
ка Е, через которую проведена хорда CD. Найти положение хорды,
при которой площадь четырехугольника ABCD максимальна. (Задача
предлагалась на Всесоюзной математической олимпиаде школьников в
1980 г. в г. Саратове.)
2.43.	Найти в треугольнике такую точку, чтобы сумма отношений
длин сторон к расстояниям от этой точки до соответствующих сторон
была минимальной. (Задача предлагалась на Международной матема-
тической олимпиаде школьников в 1981 г. в г. Вашингтоне.)
2.44.	(Р) Вписать в круг треугольник с максимальной суммой
квадратов сторон.
2.45.	(Р) Даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести
отрезок, имеющий концы на сторонах угла, так, чтобы полученный
треугольник имел наименьшую площадь.
9 В задачах 2.34 и 2.36 возможны различные формализации, связанные
с разным пониманием терминов «цилиндр» и «конус». У нас, далее цилиндр
в Rn — произведение (п — 1)-мерного шара на ортогональный отрезок, конус
в Rn — выпуклая оболочка (п — 1)-мерного шара и ортогонального ему
отрезка.
50
Гл. I. Предварительные сведения
2.46.	(Р) В задаче 2.45 минимизировать периметр треугольника.
2.47.	Найти наибольшую площадь четырехугольника с заданными
сторонами.
2.48.	(Р) Среди сегментов шаров, имеющих заданную площадь
боковой поверхности, найти сегмент наибольшего объема (задача Ар-
химеда).
2.49.	На данной прямой найти точку С, чтобы сумма расстояний-
от С до точек А и В была минимальной (задача Герона).
2.50.	Среди всех тетраэдров с данными основанием и высотой
найти тетраэдр с наименьшей боковой поверхностью.
2.51.	Среди всех тетраэдров с заданными основанием и площадью
боковой поверхности найти тетраэдр наибольшего объема.
2.52.	Среди всех тетраэдров, имеющих заданную площадь поверх-
ности, найти тетраэдр наибольшего объема.
2.53.	На плоскости даны три точки: х\, Х2 и х$. Найти такую
точку xq, чтобы сумма квадратов расстояний от xQ до х\, Х2, хз была
минимальной.
2.54.	В пространстве Rn задано N точек: хь ... t xn и N положи-
тельных чисел: т\, .... т^. Найти такую точку xq, чтобы взвешенная
сумма с весами тг квадратов расстояний от xq до хь ..., х^ была
наименьшей.
2.55.	Решить задачу 2.54 при условии, что искомая точка xq при-
надлежит единичному шару.
2.56.	Решить задачу 2.54 при условии, что искомая точка xq лежит
на единичной сфере.
2.57.	Найти расстояние от точки до эллипса. Сколько нормалей
можно провести из точки к эллипсу (задача Аполлония)?
2.58.	Решить задачу Аполлония для параболы.
2.59.	Решить задачу Аполлония для гиперболы.
2.60.	Найти расстояние от точки в пространстве Rn до гиперплос-
кости.
2.61.	(Р) Найти расстояние от точки до гиперплоскости в гильбер-
товом пространстве.
2.62.	Найти расстояние от точки в пространстве Rn до прямой.
2.63.	Найти минимум линейного функционала 1(х) = £ агхг на
единичном шаре.	i=1
2.64.	В эллипс х2/а2 + у2/Ь2 = 1 вписать прямоугольник наиболь-
шей площади со сторонами, параллельными осям координат.
2.65.	В эллипсоид х2/а2 4- у2/Ь2 4- z2/<? = 1 вписать прямоуголь-
ный параллелепипед наибольшего объема с ребрами, параллельными
осям координат.
2.66.	На эллипсоиде х2/а2 4- у2/Ъ2 4- z2/(? = 1 найти точку, наибо-
лее удаленную от начала координат.
§ 2. Гладкие задачи
51
2.67.	(Р) Доказать неравенство для средних степенных:
| —----1	[ —------1 , —оо <р о оо, р /О, q / 0.
\ п	I	\ п	1
2.68.	Доказать неравенство:
(521Ж<1Р) /Р < (izw’) l4’ 0<9^Р^оо-
2.69.	Доказать неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим:
/ "	\ 1/п SXi
(Пх0 г- Vx;>0, i=l, ...,п.
г=1
2.70.	(Р) Доказать неравенство Гёльдера:
1 + 1 = 1. Ю.
г=1	г=1	г=1
2.71.	Доказать неравенство Минковского:
г=1	г=1	г=1
В задачах 2.72-2.76 методом Ньютона решить уравнения с задан-
ной начальной точкой xq.
2.72.	ех — 2 = 0, х0 = 1.
2.73.	5х2 + 2rrj0^2 ~ 2rr 1 ггз + 4х| + 4х2хз +	+ 2xi + ^2 + хз = О,
х0 = (1, 1, 1).
2.74.	4xj — 2х\х2 + 2х2хз + Зх^ + 2х2 — xi 4- х2 — х3 = О,
x0 = (U -1, -1).
2.75.	Gx^ + 4rr 1<Г2 — 2хiх3 + 5х2 + 6х2хз + 4x1 + 3xi —
—2х2 +	= 0, Xq = (2, 1, 1).
2.76.	(2xi + х2 + х3)2 + (xi + х2 - х3)2 + (xi - х2 + Зх3)2 = О,
х0 = (-1, 1, -1).
2.77.	Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравне-
ния х4 — Зх2 + 75х — 10000 = 0 с пятью верными знаками.
2.78.	Найти по методу Ньютона наименьший положительный ко-
рень уравнения tgx = х с точностью до 0,00001.
2.79.	Вычислить с точностью до 0,0005 единственный положитель-
ный корень уравнения х5 — х — 0,2 = 0.
52
Гл. I. Предварительные сведения
§ 3. Элементы выпуклого анализа
3.1.	Основные понятия.
3.1.1.	Выпуклые множества и функции. Пусть X — веществен-
ное линейное пространство. Множество А с X называется выпук-
лым, если из условия х\, х2 € А следует, что [xi, х2] = {я | х — ах\ +
+ (1 - а)х2, а е [0, 1]} с А. Пустое множество выпукло по определе-
нию. Множество К С X называется конусом, если из х е К следует,
что ах € К Ча > 0. Выпуклые конусы — это конусы, являющиеся
выпуклыми множествами.
С каждой функцией f: X R, принимающей значения в расши-
ренной области действительной прямой, связаны два множества:
dom/ = {х | /(х) < +оо},
epi/ = {(а, х) е R х X | а f(x), х е dom/},
называемые эффективным множеством и надграфиком (эпиграфом)
функции /.
Функция / называется выпуклой, если epi / — выпуклое множест-
во в R х X. Функция, у которой dom / / 0 и /(х) > —оо Vx, назы-
вается собственной. Функцию р: X —> R будем называть выпуклой
однородной, если epip — выпуклый конус в R х X.
Простейшие свойства выпуклых множеств и функций, а также ряд
сопутствующих понятий (выпуклая, коническая, линейная и аффинная
комбинации и оболочки, выпуклый многогранник, симплекс и т. п.)
описаны в АТФ, § 2.6. Напомним только два обозначения: conv А —
выпуклая оболочка и cone А — коническая оболочка множества А.
Пусть X — нормированное пространство, X* — к нему сопряжен-
ное. Пересечение всех выпуклых замкнутых множеств, содержащих
данное множество А, называется выпуклым замыканием А и обозна-
чается conv А. Функция /, определяемая условием epi/ = epi/, на-
зывается замыканием /, а функция сот f, задаваемая соотношением
epi conv / = conv epi /, называется выпуклым замыканием f. Таким
образом, conv / есть наибольшая из выпуклых замкнутых функций, не
превосходящих /. Функция / называется замкнутой, если / = f.
3.1.2.	Основные операторы. Особенность выпуклых объектов со-
стоит в возможности их двойного описания — в основном и сопряжен-
ном пространствах. В выпуклом анализе известно несколько преобра-
зований, связанных с такого рода двойными описаниями. Важнейшие
среди них — операции сопряжения для функций и конусов, поляры
для множеств и субдифференцирования для выпуклых однородных
функций.
Преобразованием Лежандра-Юнга-Фенхеля функции f, или
функцией, сопряженной с /, называется функция на сопряженном
§ 3. Элементы выпуклого анализа
53
пространстве:
Функция
= sup ((х*, х) - /(х)).
X
r*(x) = sup«x*,x)-r(x*))
X*
называется второй сопряженной к f. Из определения сопряжен-
ной функции следует неравенство (я*, х) f(x) + /*(ж*), называемое
неравенством Юнга.
Полярой множества А называется следующее множество в X*:
Л° = {х* б X* I (х*, х) < 1 Vx б А}.
При этом А°° — {х б X | (х*, х) 1 Vx* б А0}.
Сопряженным конусом к конусу К называется конус в X*:
X* = {х* е X* | (х\ х) > О Vх е К}.
При этом X** = {х е X | (х*, х) > О Vz* е х0}.
Субдифференциалом выпуклой однородной функции р называется
следующее множество в X*:
Субдифференциалом выпуклой функции f в точке х называется
следующее множество в X*:
df(x) = {z* 6 X* | {х*, х - х) f(x) - /(£)}.
Таким образом, если f выпукла и однородна, то df = 9/(0).
Пусть А — подмножество X. Важную роль в выпуклом анализе
играют следующие функции:
а)	индикаторная функция
оА(х) = { ,	. А
[ +оо, х £ А;
б)	функция Минковского
f 0, —ах е А V а > 0,
рА(х) = оо, -ах £ A Va > 0,
k inf {а > 0 | а-1 х е Л} в остальных случаях;
в)	опорная функция
sA(x*) = sup (я*, х).
х£А
3.2. Основные теоремы и формулы выпуклого анализа.
В этом пункте всюду X — нормированное пространство, X* — его
сопряженное.
3.2.1.	Теорема инволютивности. Напомним, что оператор назы-
вается инволютивным, если его квадрат является единичным опера-
тором.
54
Гл. I. Предварительные сведения
Теорема, а) Для того чтобы для собственной функции f имело
место равенство f** — f, необходимо и достаточно, чтобы f была
выпукла и замкнута.
б)	Для того чтобы для непустого множества А имело место ра-
венство А00 = А, необходимо и достаточно, чтобы А было выпукло,
замкнуто и содержало нуль.
в)	Для того чтобы для непустого конуса К имело место
равенство К** = К, необходимо и достаточно, чтобы К был вы-
пуклым и замкнутым.
Утверждение а) называют теоремой Фенхеля~Моро.
3.2.2.	Двойственность опорной функции и субдифференциала.
Теорема, а) Для того чтобы для некоторой однородной функ-
ции р имело место соотношение sdp = р, необходимо и достаточ-
но, чтобы р была выпуклой и замкнутой.
б)	Для того чтобы для множества А имело место соотноше-
ние dsA = А, необходимо и достаточно, чтобы А было выпукло и
замкнуто.
3.2.3.	Основные формулы субдифференциального исчисления.
Обозначим (/i V /2)(я) = max{/i(x), /2(^)}-
Теорема 1. а) Пусть /i и /2 — выпуклые функции на X и в
некоторой точке х, где /2 конечна, функция fa непрерывна. Тогда в
любой точке хЕХ имеет место формула
d(fi+f2)(x)=dfl(x) + df2(x).
б)	Пусть /1 и fa — выпуклые непрерывные в точке х функции
на X и fa(x) — fa (х). Тогда имеет место формула
V /г)(£) = conv (dfi(x) Udf2(x)).
(Для выпуклых однородных функций х = 0, а формулы приобре-
тают вид
д(р\ +Р2) = dpi + др2 и д(р\ Vp2) = conv (dpi Udp2).)
Утверждение а) называют теоремой Моро-Рокафеллара, утверж-
дение б) — теоремой Дубовицкого-Милютина. Этот последний ре-
зультат допускает значительное усиление, принадлежащее в оконча-
тельной форме В. Л. Левину.
Теорема 2 (об очистке). Пусть Т — компакт, (t, х) —> fat, х) —
функция на Т х Rn, выпуклая и замкнутая по х при каждом t,
полунепрерывная сверху по t при каждом х 6 Rn и такая, что
функция х fat, х) непрерывна в х при любом t ЕТ. Положим
fax) = max/(i, х), Tq(x) = {t € Т | fax) = fat, ж)}. Тогда всякий эле-
I	г
мент у е О fax) представим в виде у =	г$е г n + 1,
г	г=1
«г > 0, $2 а» = 1, у» € dxfati, х) (субдифференциал по х), ti Е Tq(x),
i=i
i = 1, ..., г.
§ 3. Элементы выпуклого анализа
55
3.2.4. Основные формулы выпуклого анализа. Исчисление вы-
пуклых множеств и функций включает в себя ряд формул, связываю-
щих введенные в п. 3.1.2 преобразования с операциями над множест-
вами и функциями. Определим сначала некоторые наиболее употреби-
тельные операции.
Операции над функциями.
1)	Сумма: (/, + /2)(х) = f\(x) + f2(x).
2)	Конволюция: (/i ф/2)(а;) = inf + /2(^2) I х\ + х2 = я}.
3)	Максимум: (/1 V f2)(x) = max(/1(я), f2(x)).
4)	Выпуклая оболочка минимума: (/1 conv A f2)(x) — min{a/i(a;i) +
+ (1 - a)fz(x2) I 0 a 1, ax\ + (1 - a)x2 = x}.
Операции над множествами.
1)	Сумма: Ai + А2 — {я | х = х\ + х2, х\ Е Ль х2 е А2}.
2)	Конволюция: Ai = (J (aAi П (1 - а)А2).
3)	Выпуклая оболочка объединения: Ai conv U А2 — conv (Ai U A2).
4)	Пересечение: Ai П А2.
Операции над выпуклыми однородными функциями. Помимо тех
операций, которые имеют место для функций, введем еще одну:
pi Vp2 = sup {api ф (1 - а)р2 | 0 а 1}.
Операции над конусами. Здесь имеются те же операции, что и в
случае множеств, но при этом надо иметь в виду, что для конусов
конволюция равносильна пересечению, а выпуклая оболочка объеди-
нения — сумме.
Результаты, относящиеся к операции сопряжения для функций,
выделим в виде теорем, а остальные сведем в таблицу.
Таблица
<9(pi + рг) — др\ + др2,	д(р\ V р2) = др\ conv U др^ д(р\Чр2) = др\ Ш др2,	д{р\ conv А рг) = др\ П др2\ s(Ai + А2) = $Ai + sA2,	s(Ai П А2) — sA\ conv A sA2 = sAi ф sA2, s(Ai ЕЭA2) sAi VsA2,	s(Ai conv U A2) — sA\ V sA2\ (Ai + A2)° = A?EJA2,	(Ai П Л2)° =* A?conv U A2; (Ai Ш A2)° = A° 4- Al	(Ai conv U A2)° = А? П Al p(Ai + A2) pAi VpA2,	p(Ai П A2) = pAi V pA2, p(Ai Ш A2) = pAi + pA2,	m(Ai conv U A2) = pAi conv A A pA2 = pAi ф pA2; (Ki + к2у = к; n tf2*. (Ki n к2у K[ + K2*. Мы пишем =, если равенство имеет место без дополнительных допуще- ний, и если оно имеет место лишь при некоторых требованиях относи- тельно непрерывности функций или наличия внутренних точек множеств.
56
Гл. L Предварительные сведения
Теорема, а) Пусть f\ и /2 — функции на X. Тогда (/1 Ф/2)* =
= /* + /2 • Если же fi и f2 — выпуклые собственные функции и
существует точка х, в которой /2 конечна, a fi непрерывна, то
(/1+/2)*==/Г®/2*-
б) Пусть fi и f2 — функции на X. Тогда (/1 conv Л /2)* =
= У* V /♦. Если же f\ и f2 выпуклы, конечны и непрерывны на X,
то (fi V /2)* = fi conv Л /2*.
3.2.5. Доказательство теорем. Все утверждения, сформулирован-
ные в этом пункте (за исключением теоремы об очистке), мы редуци-
руем к теореме о свойствах преобразования Лежандра-Юнга-Фенхеля
(пп. 3.2.1 и 3.2.4).
Для удобства полезно обозначить /* через If, AQ — через я А, К* —
через аК. Далее, I, к, а, д, s, у и 8 рассматриваются как операторы,
действующие на соответствующих объектах. Например, I переводит
функции на X (X*) в функции на X* (X), тг переводит множества
из X (X*) в множества X* (X), д переводит выпуклые однородные
функции на X (X*) в множества из X* (X) и т. д.
Приведем несколько простейших формул, связывающих введенные
операторы (А — множество, р — выпуклая однородная функция, К —
конус):
1.	16 Ad= sA.
2.	lyA = 8яА.
<1 (1уА){х*) =f sup {{x*, x) — inf {a | a > 0, x/a € A}) =
// * \ \ J °’ e 7r"4’
= sup sup r, x) — a) = < ,	* . л
aI+°°’ X $ ^A. >
3.	0 e A ==> sA — yirA.
<3 0 € A => sA(x*) 0. Если sA(x*) = 0, то весь луч ax* при-
надлежит поляре и, значит, утгА(х*) = 0. Пусть sA(x*) > 0. Тогда
Va > 0 => sA(x* /а) = a-lsA(a;*), т. е. sA(x*) = inf {а | (х*/а, х)
I Ух е тгА} == уяА(х*). >
4.	Ip = 8др.
<1 lp d= sup ((я*, х) —р(х)) =
= f 0,	(Х*,х}^р(х) \/х, sg
1 +00, в остальных случаях
5.	аК = -кК.
6.	sK =f 8аК.
7.	5кК =f sK.
Пусть Ai и А2 — множества в X. Тогда из определений легко
выводятся равенства:
8.	<5(А1 + А2) = 5А] ф 8А2.
9.	5(Ai П А2) = JAj V 6А2 — (5А.1 4- 8А2.
10.	5(Ai conv U А2) = conv А 8А2.
§ 3. Элементы выпуклого анализа
57
Запишем теперь символически результаты теорем пп. 3.2.1 и 3.2.4,
касающиеся оператора Г.
l2f=f,	(1)
/(/1+/2) = //1Ф72.	(2)
Ц/i Ф/2) = Z/14-/Л.	(3)
К/1 V /2) = Ifi conv Л lf2,	(4)
I(fi conv Л /2) = Ifi V If2.	(5)
В (2)-(4) мы также пишем =, если равенство имеет место без
дополнительных допущений, и й, если нужно наложить некоторые
требования относительно непрерывности функций /1 и /2. (Утверж-
дение (1) доказано в АТФ, п. 2.6.3; см. также [13], с. 186. Утвержде-
ния (2)-(5) доказаны в [13], с. 188-194.)
А теперь выведем из выписанных соотношений некоторые из сфор-
мулированных теорем, предоставив читателю доказать остальные.
Теорема п. 3.2.1.
<1 Пункт а) есть теорема Фенхеля-Моро (1). Необходимость пп. б)
и в) очевидна. Докажем достаточность.
б)	Пусть А выпукло, замкнуто и содержит нуль. Тогда
<5тг2 А = I/mtA = IsA = 126А Ш 5А => А00 = А. (6)
в)	Пусть К — выпуклый и замкнутый конус. Тогда
а2К = (-7г)(-тг)К = тг2К = К. >
Теорема 1 п. 3.2.3. Докажем пункт а) теоремы для выпуклых
однородных функций.
8	л	3.
<1 <5(Эр1 + др2) == 8дрх ф бдр^ == 1р\ Ф 1р2 —
з.	4
= l(p\ +Р2) = 8д(рх + р2). >
Для неоднородных функций результат теоремы 1 п. 3.2.3 следует
из того обстоятельства, что для выпуклых функций df(x) = др, где
p(s) = f'(x, х) — lim(f (х 4- ах) — /(5))а-1 (подробности см. в [13],
с. 207, 208).	“10
Докажем теперь несколько формул из таблицы.
А) Пусть рх и р2 — две конечные и непрерывные на X выпуклые
однородные функции. Тогда д(рх V р2) = дрх conv Л Эр2.
4	4.	4
<1 8д(рх V р2) = l(pi V р2) = lp\ conv Л 1р2 =
= 5дрх conv Л 6др2 == 8(дрх conv U 0р2). >
Б) Пусть и А2 выпуклы и int А] А А2 / 0. Тогда s(Ai А А2) =
= sA\ ф $А2.
1	q	(2)
<1 $(А1 А А2) = 18(А\ А А2) = 1(8 А\ + 8А2)
(2)	,
— 16А[ ф I8A2 — sAj ф «А2. С>
58
Гл, I. Предварительные сведения
В) Пусть К\ иК?- выпуклые конусы и int/G Г1К2 / 0. Тогда
(К^К^К^+К;.
<] 5tt(Ki А К2) = s(Ki А К2) * sKi ф sK2 =
= SirKi Ф 6тгК2 = 5(irKi + пК2). о
Остальные формулы доказываются аналогично.
Упражнения.
1.	Доказать, что конус К является выпуклым тогда и только тогда,
когда из условия х\, Х2 € К следует, что xi + Х2 е К.
2.	Доказать, что для выпуклости собственной функции f
необходимо и достаточно, чтобы неравенство Йенсена /(ах]+(1 —
— а)х2) otffxi) + (1 - а)/(х2) выполнялось Vxi,x2eX,
е [0, 1].
3.	Доказать, что функция р является выпуклой однородной на
пространстве X тогда и только тогда, когда р(ах) = ар(х) Va>0,
Vx е X и p(xi + х2) р(х\) +р(^г) Vxb ^2 £ X.
4.	Доказать, что не существует выпуклой ограниченной функции,
определенной на всей прямой и отличной от константы.
5.	Доказать, что любая выпуклая функция, конечная на всей пря-
мой, непрерывна.
6.	Доказать, что сопряженная функция является выпуклой и зам-
кнутой.
7.	Доказать, что функция, сопряженная к собственной функции,
также является собственной.
8.	Доказать, что поляра множества А С Rn является выпуклым и
замкнутым множеством в Rn.
9.	Доказать, что субдифференциал выпуклой однородной функции
является выпуклым и замкнутым множеством в Rn.
10.	Доказать, что индикаторная функция выпуклого множества яв-
ляется выпуклой.
И. Доказать, что функция Минковского выпуклого множества яв-
ляется выпуклой однородной.
12. Доказать, что опорная функция множества является выпуклой.
13. Показать, что условие выпуклости в п. а) теоремы п. 3.2.4 явля-
ется существенным.
Задачи
3.1.	Выяснить, при каких значениях параметров данные функции
являются выпуклыми:
а)	/(х) — ах2 + Ьх + с; б) /(х) = ае2х + Ьех 4- с;
в)	/Са, х2) = (|®i|р + k2|p)I/p, Р > 0;
г)	f(xit х2) = ацх] + 2ai2xtx2 + а22х|.
3.2.	Выяснить, являются ли выпуклыми следующие функции:
a)	f(x) — rrlnrr + (1 — х) 1п(1 — х), х 6(0,1);
б)	f (х) = inf {if + х| | ii + х2 = х}.
§ 3. Элементы выпуклого анализа
59
3.3.	Найти сопряженные функции от следующих функций одного
переменного:
а) ех\ б) ах2 4- Ьх + с; в) \х\р /р, р > 0;
г) <5{0} — индикаторная функция множества А = {0};
Д) % Ь]; е) f(x) = |-1пяг’ х>°<
L J 4 7	[ +оо, х < 0.
3.4.	Найти сопряженные функции от следующих функций многих
переменных:
a) aiX] +	6) an^i + 2ai2^i^2 + a22x^ B) eaiXi+a2X2;
г) 8B, где В = {(si, x2) e R2 | |xi/a\\p +	1}, P > 1;
Д) /(^i, .xn) = max{zi, xn}.
3.5.	Найти вторые сопряженные функции от следующих функций:
а) д/рг[; б) (х2 — I)2; в) sin а;; г) 1/х2\
д) |х| + |z - а|; е) ||х| - 1|.
3.6.	Найти сопряженную функцию от функции /: С([0, 1]) —► R,
/«))- may(i).
3.7.	Найти поляры следующих множеств на плоскости:
а)	А = {(-1,-1). (-1, 1). (1,-1), (1.1)};
б)	А = {(хь х2) | xf +	< 1};
в)	треугольник с вершинами в точках (1,0), (—1/2, ±д/3/2);
г)	Вр = {(хь х2) | |xi|p + |х2|р 1}, Р> 1;
д)	А = {(xi, х2) I rf/al + xl/a% 1}.
3.8.	Вычислить субдифференциалы следующих выпуклых однород-
ных функций одной переменной:
а) |х|; б) max {я, 0}; в) тах{—х, 0}.
3.9.	Вычислить субдифференциалы следующих выпуклых однород-
ных функций многих переменных:
def / п \ 1/2
а) kl = ( 52	’ б) max в) max xi>
\j—1	/	t=l...n
r) max{0, (a, x)}, a G Rn.
3.10.	Вычислить субдифференциал следующей выпуклой однород-
ной функции в пространстве С([0,1]): /(#(•)) =
3.11.	Найти субдифференциал нормы (как выпуклой однородной
функции) в нормированном пространстве.
3.12.	Найти субдифференциал df(x) следующих выпуклых функ-
ций:
а)	X — R, f(x) = max {ех, 1 — гс}, х = 0;
б)	X = С([0, 1]),	= max |x(t)|, x(f) = sin37rt.
^€[0» 1]
3.13.	Найти функцию Минковского для треугольника с вершинами
в точках (1, 0), (—1/2, ±\/3/2).
60
Гл. 1. Предварительные сведения
3.14.	Найти сопряженную функцию от функции Минковского.
3.15.	Привести пример выпуклой замкнутой функции f и точки х
таких, что \f(x)| < оо, df(x) = 0.
3.16.	(Р) Доказать, что если /: Rn R и при этом f*(s) = f(x),
то f(x) - |х|2/2.
3.17.	(Р) Доказать, что если поляра множества в евклидовом прост-
ранстве совпадает с самим множеством, то это множество является
единичным шаром.
3.18.	Привести пример выпуклой, но не замкнутой функции.
3.19.	Показать на примере, что суперпозиция двух выпуклых функ-
ций не всегда выпукла.
3.20.	Показать на примере, что конволюция двух выпуклых замк-
нутых функций не всегда является выпуклой замкнутой функцией.
§ 4. Выпуклые задачи
4.1.	Принцип Лагранжа в выпуклом программировании.
4.1.1.	Постановка задачи. Задачей выпуклого программирования
(или выпуклой задачей) называется следующая экстремальная задача:
/о(^) inf; fi(x) 0,	х е А. (з)
Здесь fii X —> R, i = 0, 1, ..., т, — выпуклые функции (функцио-
налы), отображающие некоторое линейное (не обязательно норми-
рованное) пространство X в расширенную прямую, А — выпуклое
подмножество в X.
Поскольку из выпуклости функции f не следует, вообще говоря,
выпуклость функции —то существенно, что (з) — задача не макси-
мизации, а минимизации.
Точка х называется допустимой в (з), если х € А и fi(x) С 0, г =
= 1, ..., т.
Лемма. Пусть X — нормированное пространство. В выпуклой
задаче локальный минимум является и глобальным.
<1 Пусть х е loc min з. Это означает, что существует окрестность
точки х такая, что —оо < fo(x)	/о(я) для любой допустимой точ-
ки х е %. Возьмем произвольную допустимую точку х. Тогда при
достаточно малом а > 0 вектор х = (1 — а)х + ах € % и является
допустимым. Следовательно, по неравенству Иенссена /оС?)	/о(я)
(1 - а)/0(2) + откуда /о(£)	>
Поэтому в дальнейшем в выпуклых задачах мы, говоря «минимум»,
имеем в виду абсолютный минимум.
4.1.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
7П
А) = ^А^(х).
г=0
(Ограничение х е А в функцию Лагранжа не включается.)
§ 4. Выпуклые задачи
61
2.	Выписать необходимые условия минимума:
а)	принцип минимума
Л) =	Л);
б)	условие дополняющей нежесткости
Xifa(x) = 0, г = 1, ..., т;
в)	условие неотрицательности
Aj > 0, г = 0, 1, ..., т.
3.	Найти критические точки, т. е. допустимые точки, удовлетворяю-
щие условиям п. 2. При этом бывает полезно рассмотреть отдельно
случаи Ао = 0 и До / 0. Во втором случае можно положить До равным
единице или любой другой положительной константе. Если выпол-
няется условие Слейтера, т. е. существует точка х е А, для которой
fi(x) < 0, г = 1, ..., т, то До / 0.
4.	Если критическая точка найдена при До / 0, то она является
решением задачи. Если она найдена при До = 0, то требуется дополни-
тельное рассмотрение того, доставляет она минимум или нет.
Правило решения выписано в соответствии с принципом Лагранжа.
Соотношение а) показывает, что необходимые условия минимума функ-
ционала в задаче с ограничениями являются необходимыми условиями
минимума функции Лагранжа, в которую включены все ограниче-
ния, кроме ограничения типа включения. Условия б) и в) являются
обычными условиями дополняющей нежесткости и неотрицательности,
присущими принципу Лагранжа в задачах с неравенствами (см. § 2).
4.1.3.	Теорема Куна-Таккера.
Теорема. 1. Пусть X — линейное пространство, fa: X —> R,
г == 0, 1, ..., т, — выпуклые функции на X, А — выпуклое подмно-
жество X.
Тогда, если х является решением задачи выпуклого программи-
рования, то найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа А =
= (Ао, А1, .. •, Ат) такой, что выполняются:
а)	принцип минимума для функции Лагранжа
min&(х, А) = J2?(£, А);
х^А
б)	условие дополняющей нежесткости
Xifa(x) =0, г = 1, ..., т;
в)	условие неотрицательности
Аг > 0, i = 0, 1, ..., т.
2.	Если До / 0, то условия а)-в) достаточны для того, чтобы
допустимая точка х была решением задачи.
3.	Для того чтобы До / 0, достаточно выполнения условия Слей-
тера, т. е. существования точки х G А, для которой fa(x) < 0, г =
= 1, ..., т (АТФ, п. 1.3.3).
3 В. М. Алексеев и др.
62 Гл. L Предварительные сведения
4.1.4.	Задачи без ограничений. Выпуклой задачей без ограниче-
ний называется следующая задача:
/(х) -* inf.	(з)
Здесь /: X -»R — собственная выпуклая функция, отображающая
некоторое линейное пространство X в расширенную прямую.
Теорема (аналог теоремы Ферма). Для того чтобы точка х
доставляла в задаче (з) абсолютный минимум, необходимо и до-
статочно, чтобы выполнялось соотношение
О € df(x).
<3 Необходимость, хе abs min з => f(x) — fix) 0 = (0, х —
— х) ==> 0 € df(x).
Достаточность. О € df(x) => f(x) — f(x) (0, х — х) = О =>
=> х е abs min з. >
4.2.	Теория двойственности.
4.2.1.	Двойственность экстремальных задач. В предыдущем па-
раграфе говорилось о том, что выпуклые объекты допускают возмож-
ность двойного описания. В частности, это относится и к выпуклому
программированию. Основной принцип построения двойственной зада-
чи состоит в следующем. Пусть нам дана задача минимизации
f(x) —> inf, х е X,	(з)
где X — некоторое линейное пространство, а /: X —>R -- функция
на X. Ее включают в класс подобных задач, зависящих от некоторого
параметра (который мы обозначим через у), пробегающего другое
линейное пространство Y, Иначе говоря, рассматривают серию задач
F(x, у) -+ inf, х е X,	(з(г/))
где F: X х Y R, F(x, 0) = f(x).
Функцию F называют возмущением f, а серию {з(г/)} — возмуще-
нием (з). Разумеется, возмущения можно выбирать самыми разными
путями и в зависимости от этого будут получаться различные двой-
ственные задачи. Стараются подобрать возмущение так, чтобы функ-
ция F была выпуклой. Численное значение задачи (з(у)) обозначают
через S(y) и называют S-функцией серии {з(г/)}.
Лемма 1. Пусть функция (х, у) —> F(x, у) выпукла на произ-
ведении линейных пространств X и Y. Тогда S-функция S(y) =
= inf F(x, у) также выпукла на Y.
X
<1 Это — простое следствие определений; см. АТФ, п. 3.3.2. >
Предположим теперь, что функция S замкнута в нуле, т. е.
S**(0) = S(0). Это предположение, разумеется, выполнено не всегда,
но очень часто можно опереться на следующий результат.
§ 4. Выпуклые задачи
63
Лемма 2. Пусть X — нормированное пространство, f : X —> R.
а)	Для того чтобы собственная выпуклая функция была замкну-
той в некоторой точке, достаточно, чтобы она была непрерывной
в этой точке.
б)	Для того чтобы выпуклая функция была непрерывной во
внутренней части своего эффективного множества, достаточно,
чтобы она была конечной в некоторой точке этого множества
и ограничена сверху в некоторой окрестности этой точки (АТФ,
п. 2.6.2).
Итак, пусть S выпукла и замкнута в нуле. Вычислим сопряженную
функцию 5*, предполагая, что X и Y — нормированные пространства,
а х*, у* — Их сопряженные. Имеем
S*(y*) d= sup {{у*, у) - 5(у)) = sup ({у*, у} - inf F(x, у)) =
У	у	х
= sup sup ({у*, у) - F(x, у)) = sup «у*, у) - F(x, у)) =
У х	(х, у)
= sup ((0, х} + (у*, у) - F(x, у))	F*(0, у*).
(*» у)
Отсюда S(0) = 5**(0) =f sup(—F*(0, ?/*)).
у*
Таким образом, численное значение (з) оказывается равным чис-
ленному значению следующей задачи:
<р(у*) -> sup, у* € У*,	(з*)
где <р(у*) = —F*(0, у*), (з*) называют двойственной к (з) по отноше-
нию к возмущению {з(?/)}. Мы пришли к следующей схеме:
(з) /(я)-» inf;	</>(у*)-> sup,	(з*)
(з(у)) Г(я, т/)inf; Ф(х*, у*) = -Г*(я:*, у*) sup, (з*(х*))
f(x) = F(x, 0),	<^(у*) = Ф(0, г/*).
Если S выпукла и замкнута в нуле, то значения прямой и двойст-
венной задач совпадают. Зачастую двойственная задача проще исход-
ной, а иногда у двойственной существует решение, в то время как у
прямой решения нет. Далее мы применяем описанный метод к общей
задаче выпуклого программирования.
Равенства 5(0) = 5(0) = 5**(0) основывают обычно на теореме
Фенхеля-Моро, о которой говорилось в п. 3.2.1.
4.2.2. Теорема двойственности для задач выпуклого програм-
мирования. Пусть X и Y — нормированные пространства, fa: X
—> R, i = 0, 1, ..., т, — выпуклые функции на X, Л — линейный
непрерывный оператор из X в Y, Ac X — выпуклое множество, Ь е
€ У, ai € R, i = 1, ..., т.
Задачу
/о(я) —> inf; fa(x) < ai,	Ax = b, х е А, (з)
з*
64
Гл. I. Предварительные сведения
F(x\ a, rf) —
включим в семейство задач
f0(x) inf;	(з(а, ij))
fi(x) 4- ai < aif г=1,...,т, Лх4-ту = Ь, x e A.
Семейство {з(а, rf)} является возмущением задачи з = з(0, 0). По-
ложим
/о(^), если /г(гг) 4-ЛгЛг, Ах + 7] — Ьу X € А,
4-оо в остальных случаях.
(1)
Тогда з(а, rf) можно записать в виде элементарной задачи
(з(а, ту)) <=> F(x; a, rf) -» inf (по х € X).
Численное значение з(а, ту), т. е. inf fo(x), при указанных огра-
ничениях обозначим через S, S: R™ х Y -+ R, и будем называть
5-функцией:
5(а, rf) = inf F(x; ау rf).
X
Лемма 1. При сделанных выше допущениях функция F(x‘t a, rf),
определяемая равенством (1), выпукла на X х Rm х Y (АТФ,
п. 3.3.2).
Отсюда и из леммы 1 предыдущего пункта следует выпуклость
5-функции семейства {з(а, ту)}.
т
, A G R™,
5*(А, ) =
Лемма 2. Сопряженная функция к S-функции семейства
{з(а, г?)} имеет вид
-м(ш+:
-Ьоо, А / Rip
<1 По определению,
5*(А, ту*) = sup ((А, а) 4- (ту*, ту) — inf F(x\ a, ту)) =
(о.п)
= sup ((А, а) 4- (ту*, ту) — F(x\ а, ту)) =f
d= sup ((A, a) + (rf, 7)) - fo(x)) =
x^A, AxA-rj=b
X	ТП
sup< -/oW - E “ ai) ~ &*> Ax -
xEA <	£=1
A e Rip,
, 4-oo, A Rip,
что и требовалось. l>
Таким образом, в соответствии с общим правилом п. 4.2.1 получаем
двойственную задачу
у?(А, ту*) — inf ту*, 1, А) —> sup,	А 0, ту* е У*,
§ 4. Выпуклые задачи
65
где Л = (Аь ..., Am), ^(х, if, 1, А) = fQ(x) + £ М/»(ж) ~ “•) + (‘Ч*.
Ах~Ь).	г-1
Теорема двойственности. Если S-функция семейства
{з(а, г})} непрерывна в точке (0, 0), то для любых (а, 77) €
Е int (dom S)
S(at 77) = sup ((A, a) + <77*, 77) + ¥>(A, 77*)).
A^O, т|*€У*
<3 Теорема сразу вытекает из сказанного в предыдущем пункте, а
также лемм 1 и 2. >
4.3.	Линейное программирование. Важным классом выпуклых
задач являются задачи линейного программирования, в которых ищут-
ся экстремумы линейных функционалов при ограничениях типа ра-
венств и неравенств, задаваемых также линейными функционалами:
(с, х) —> sup (inf); Ах b (Ах > Ь), х 0,	(з)
где х е Rn, с е Rn, b е Rm, А — матрица со столбцами а1, ..., ап,
аг G Rn, неравенства понимаются как координатные.
Теория задач типа (з) разработана детально и глубоко. О тео-
ремах существования и двойственности для (з) см. АТФ, § 3.3.
Основным методом решения задач линейного программирования явля-
ется симплекс-метод. Теория линейного программирования изложена
в книгах [6, 7, 11, 14] и др. В задачнике [12] имеется большое
количество задач по линейному программированию.
4.4.	Выпуклый анализ и теория экстремальных задач.
4.4.1.	Необходимые условия первого порядка в задаче с нера-
венствами. Рассмотрим задачу
fo(x) inf; fa{x) 0, i — 1, ..., т, F(x) — 0,	(з)
где fa: ^-^R, г = 0, 1,...,тп, F:	У, € 0(X), X и Y -
нормированные пространства. Функция Лагранжа этой задачи имеет
вид:	ТП
Щх, А) =	+ {у*, F(x)), А = (а, у*) Е Rm+l х У*.
г=0
Теорема. Пусть в (з) X и Y — банаховы пространства, fa Е
Е SD(x), F е SD(x, Y) и ImF(x) — замкнутое подпространство.
Тогда, если х Е loc min з, то существует ненулевой множитель
Лагранжа А = (а, г/*) € Rm+1 х У* такой, что выполнены’.
а)	условие стационарности &х(х, А) =0;
б)	условие дополняющей нежесткости aifa(x) = 0, г > 1;
в)	условие неотрицательности оц^Ъ, г 0.
<1 Положим F'(x) = Л, fa(x) = х*,	0. Не ограничивая общ-
ности, можно считать, что fa(x) =0, г 0. Действительно, если
fo(x) 0, то следует рассмотреть функцию /о(я) =	— fo(x), а
66 Гл. L Предварительные сведения
если <0, то это ограничение можно отбросить, ибо если х €
€ loc min з, то очевидно, что х е loc min Зо, где io-е ограничение от-
брошено. Таким образом, можно считать, что условие дополняющей
нежесткости выполнено (следует положить А; =0 для тех i 1, для
которых fi(x) / 0).
А) Вырожденный случай. 1mA есть собственное подпрост-
ранство У. Тогда по лемме о нетривиальности аннулятора найдется
у* / 0 такой, что
(?/*, Лх) = 0 Vu<=>AV=0<=>^(2, А)=0,
где А = (0, у*).
Б) Пусть Л отображает X на У. Рассмотрим вспомогательную
задачу
max (я,*, х) —> inf; Кх = 0.	(з')
О^тп г 1
Лемма. 0 G abs min з'.
ОО Пусть 0 abs minз'. Это означает, что имеется элемент х,
для которого (я*, х) < 0, Лх = 0. Но тогда по теореме Люстерника
найдется функция г(-): [—Ао, Ао] —* X такая, что ||r(t)||/f	0 при t
—> 0 и F(x + tx + r(t)) = 0, значит,
fi(x + tx + r(£)) — t{x*, x) + o(t) <0, i 0,
для достаточно малых t, что противоречит условию, согласно которому
£elocmin3. >>
В) Результат теоремы следует из цепочки равенств, являющихся
следствием теорем выпуклого анализа и леммы об аннуляторе ядра
регулярного оператора:
0 е abs minз' <=> 0 е тах(ж*, х) + 5КегЛ) =
= дтах(я*, х) + ctf КегЛ = conv ..., х*т} + (КегЛ)х 4=>
<=^3y*eY*, aeR?+’, $>< = 1, f;ajx; + AV = 0->
г=0	г=0
Следствие. Пусть при условиях гладкости теоремы опера-
тор Fr(x) сюръективен. Тогда множество множителей Лагранжа
(	т	т	-ч
л = {А - (а, у*) I а Е R?+1, Е at = 1, £	+ (F'(x))*y* = о}
1	г=0	i=0	J
является непустым выпуклым компактом.
« Непустота следует из п. В) доказательства теоремы. Рас-
смотрим симплекс 52 “ iQ е R™+1	= 11 и отображение <р’.
m
52	Х*> задаваемое формулой (р(а) = 52 По определению,
г=0
§ 4. Выпуклые задачи
67
(а, У*) = Ас Л <=> <p(oi) + Л*г/* = 0. В силу замкнутости Im Л* и ра-
венства Кег Л* = {0}
(Л* € КегЛ* => (Л*Л*, х) = 0 Чх=> (h*t Ах) =0 Vx => h* = 0)
применима теорема Банаха.
По теореме Банаха отображение Л*: У* —> Im Л* имеет обратное,
значит, подмножество А*-1 </?(£) компактно, а значит, компактно и
множество {(а, у*) € Л} = {(а,	| а е S}. Выпуклость JI
очевидна. »
4.4.2.	Теорема двойственности в задаче о кратчайшем расстоя-
нии. Пусть X — нормированное пространство, А С X — непустое
выпуклое множество. Величина
рА(х) = inf {||х - СИ | С е Л}
называется расстоянием от точки х до множества А.
Теорема. Величина рА(х) допускает следующее двойственное
представление:
рА(х) = sup {(ж*, х) — sA(x*) | ||z*||	1}.
< Из определения конволюции сразу следует, что рА(х) =
= (N ® 8А)(х), N(x) — ||х||. Применяя теорему Лежандра-Юнга-
Фенхеля о преобразовании конволюции и формулу IN = 8В*У
где В* — шар сопряженного пространства, получаем, что 1р =
= 8В* 4- sA. Вследствие того, что рА ограничена сверху и снизу
(0 < рА(х) < ||я — £0||, где £о — произвольная точка из А), функция рА
непрерывна всюду на Ху и, значит, по теореме Фенхеля-Моро
(М)(х) = Ц1р)(х) =f sup {(х*, х) - зЛ(х*) I X* е В*}. >
4.4.3.	Лемма о сопряженном конусе и лемма Хоффмана.
Лемма. Пусть X и Y — банаховы пространства, A: X—>
—> У — линейный сюръективный оператор из X в Y, х*, ..., х* —
элементы сопряженного пространства X* иЗх€ КегЛ, (я*, х) <
< 0 V i (условие Слейтера). Пусть
К = {я | (я*, х) < 0, i = 1, ..., s, Ах = 0}.
Тогда
К* = [х* е X* I х* + '£aix'i + А*у* =0,	> 0, у* € У*}.
г=1
<1 Обозначим П; = {я | (я*, х) < 0}. Тогда int П, / 0 и К =
s
= р|ПгПКегЛ. Применив теорему о конусе, сопряженном к
г=1
пересечению конусов, и лемму об аннуляторе ядра регулярного
оператора, получим
68
Гл. I. Предварительные сведения
a (Q Пг А Кег Л) =	4- сг(Кег Л) =
г~'	1-1	= — (conv {xf, ..., х„} 4- Im Л*). >
Замечание. Утверждение леммы верно и без условия Слейтера
(см. АТФ, п. 3.3.4).
Лемма Хоффмана. Пусть выполнены те же условия, что и
в лемме о сопряженном конусе. Тогда для функции расстояния от
точки х до К справедливо неравенство
S
рК(х)^С^(х*,х}+ + \\Кх\\).
г=1
<1 Применив формулу об опорной функции пересечения, формулы
зПг = 5сопе^ и формулу конволюции индикаторных функций, по-
лучим
sK = s Пг А Кег л) = ф зП; ф s Кег Л =
г=1
= ф 5{сопех*} ф <51шЛ* = <5|гг*|х* G cone {х*, ..., х*} 4- 1тЛ*}.
г=1
Следовательно, по теореме двойственности для рК получим
рК(х) = sup {(х*, х) | х* = ^щх* + Л*у*, щ > 0, ||х*||	11.
г=1
Подпространство L = lin {xf, ..., х*} 4- Im Л* замкнуто как сумма
конечномерного пространства и замкнутого, Im Л* = (Кег Л)1, анну-
лятор всегда замкнут. Значит, L банахово. Оператор Ai: Rs х У* —>
—> L, Ai(a, 2/*) = 52	+Л*?/*, линеен, непрерывен и сюръективен,
г=1
отображает R5 х У* на L. По лемме о правом обратном существует
Mi’.L—> Rs х У* такое, что	||Mix*||	С||х*||. Тогда,
если ||х*|]	1, то ЦЛ11Х*||R5ху* =f 52 la*l + II?/*II	Таким образом,
г=1
в выражении для р можно считать, что 0 < оц < С, ||у*|| С, откуда
рК(х) sup	+ Л*у*, х) 10 а» С, ||у*||	<
г=1	s
Ж>+ + ||Л:С||)- >
г=1
4.4.4.	Лемма о минимаксе. Пусть X и У — банаховы прост-
ранства, Л: X —* У — сюръективный оператор, х* € X*, г = 1, ..., з,
а е R5. Определим функцию S: Rs х У —> R равенством
S(a, у) = inf max (а< + (х*. х)).	(1)
Лж+у=0
§ 4. Выпуклые задачи
69
Лемма. Если max (я? х) 0 для любого х G Кег Л, то величи-
на S(a, у) допускает следующее двойственное представление :
5(а, у) = sJI(a, у) = sup atai + (у*> У> | (а- У*) е Л}-
г=1
где	5	$
Л = {(а, 2/*)€Rsxy*|aeR;,	= £aX+AV = o|.
г=1	г=1
При этом inf в (1) достигается на некотором (быть может, не
единственном) х = х(а, у) и существует такое С > О {не зависящее
от а, у), что при подходящем выборе х(а, у)
||£(a, у)КС(|а| + ||у||).
Первая часть легко следует из теорем выпуклого анализа. О второй
части см. АТФ, п. 3.3.4.
4.4.5.	Необходимые условия высших порядков и достаточные
условия в задаче с неравенствами. Здесь продолжается исследование
задачи п. 4.4.1. При этом далее используются обозначения, введенные
ранее: я*, Л, Л.
Теорема (Левитин-Милютин-Осмоловский). Пусть в задаче (з)
п. 4.4.1 X и Y — банаховы пространства, fi е D2(W), Fe
eD2^, Y) и ImF'(£)=Y.
Необходимое условие минимума. Если х G loc min з, то
для любого вектора h Е К = {х \ {х*, х) 0, i = 0, 1, ..., т, Ах =
= 0} выполнено условие неотрицательности
А) [Л, h] 0.
Достаточное условие минимума. Если Л / 0 и выполнено
условие положительности с некоторым а > 0:
A)[h, h] a||h||2 Vh G К,
A£ Л
то х е loc min з.
Непустота множества Л, а также его компактность и выпуклость
были доказаны в п. 4.4.1.
^Необходимость. Снова считая, что fi (х) = 0, i 0, рассмот-
рим задачу
f(x) = max (fo(x), ..., fm(x)) inf; F(x) = 0.	(3i)
Лемма. Если x G loc min 3, mo x G loc min Зь
ОО Если x loc min з>, то Vs > 0 ||se — £|| < s,
F(xe) = 0, fi{x£) <0, i 0 ==> x £ loc min 3. > >
70
Гл. I. Предварительные сведения
Пусть h е К. Положим
<4 = ^'@)[h,h], y = ±F"(x)[h,h],
%(h) = i max^xxfx, А)[Л, Л].
Рассмотрим задачу
max ((я?, х) + ai) -* inf; Nx 4- у — 0.	(зг)
О^л^тп
Вследствие сюръективности оператора Л и леммы из доказательства
теоремы п. 4.4.1 max (ж*, х) 0 \fx Е КегЛ, т. е. к задаче (32) при-
О^г^тп
менима лемма о минимаксе. По лемме о минимаксе найдется элемент
£ = обладающий свойствами
max £)+ai) = <l!(h).
О^г^тп
По формуле Тейлора в силу соотношений ЛЛ = 0, Л£ + у = 0 полу-
чаем при t > 0
Fix + th + t2C) = F(x) + tF'(x)h + t2F'(x)£ +
+	A]+O(t2)=O(Z2).
Согласно теореме Люстерника существует отображение U
X окрестности точки х такое, что F(x 4-	= 0 и, кроме того,
||<р(х)|| K||F(x)||. Полагая r(t) = <р(х 4- th 4- £2£), получим:
4- th 4-t2% 4- r(t)) = О,
||r(t)|| K\\F(x+ th + t2g)\\ = o(t2).
Тогда, применив формулу Тейлора к fa и используя (1), получаем
(вспомнив, что (х*, h) О, г 0)
f(x+ th + t2£ + r(t)) — max (<(я*,/г) + f2((x*, £) + а<) +
О^г^т
4-	o(t2) t2 max ((#*, £) 4-	4- o(t2) = £2Ф(/г) 4- o(t2) < О
0(л<Ст
при малых t, если допустить, что Ф(Л) < 0 в противоречии с леммой.
Необходимость доказана.
Достаточность. Покажем, что существует 5>0 такое, что
условия
A(S4-/z)^0, г^О, F(x + h) = 0	(2)
противоречивы при ||Л|| <S, Л / 0. Из этого сразу будет следовать,
что х е loc min з. Итак, пусть вектор h удовлетворяет условиям (2) и
||/г|| < Тогда по формуле Тейлора
fa(x + Л) = (х*, h) + 1 f‘'(x)[h, h] + п(/1), i > 0,
F(2+ Л) = Ah + A F"(x)[h, Л] + r(h),
§ 4. Выпуклые задачи
71
и, полагая
1 f?(x)[h, /г] + г<(Л), i > 0, у = 1 F"(x)[fc, h] + г(/г),
получим
«, h) +а^ = fi(x + h) 0, г > О, ЛЛ + ^/ = О; (3)
при этом
iMKcdiM2.	(4)
Рассмотрим задачу
({х*, х) + aj —> inf; Кх + У = 0.	(зз)
тп	пг
Из равенства £2 ai(xi» х) + (Л*у*, х) = 0,	> О, £	~ 1 вытека-
г=0	г=0
тп
ет, что аДж*, х) = 0 Vx е Кег Л. Отсюда max (я*, х) 0 Vx е
г=0	О^г^тп
€ Кег Л, и, значит, к задаче (зг) можно применить лемму о минимаксе.
В итоге получим
(3)
max /<(х + /г) = max ((х^, h) + aJ > min max ((x? x) +a.) =
V ' O^rn ’ '	' Ai+9=0 0^m	’	'	’
m
= Аел 12 A^ft’ + $2а<г<(Л) +	Г(М}- (5)
i=0
Расстояние от h до конуса К оценим по лемме Хоффмана и затем
по (4):
пг
PK(h) < с2{ £ (х?, h)+ + ||ЛЛ||}	Сз||Л||2
4 »=о
(мы воспользовались тем, что если (х*, h} + а» < 0, то (х?, h)+	|а<|,
и равенством ЛЛ = -у; см. (3)).
Таким образом, h = hi + h2, где hi б К, a ||h2|| Сз||^||2. Пусть <52
выбрано так, что из ||Л||	<52 следует С3Ц/1Ц 1/2. Тогда
НМ НМ - ИМ ЦЛ||(1 - Сз||М) > ЦЛЦ/2
и, значит,
||Л2|| 4(73||Л1||2.	(6)
Наконец отметим, что из следствия теоремы п. 4.4.1 вытекает, что
если А € Л, то ||tz*||	С4. Пусть £3 настолько мало, что из ||Л|| J3
следует неравенство
m
|£ат(Л) + <у\ г(Л))| I ||Л,||2.	(7)
г=0
Теперь соединим воедино условия теоремы (2), (5), (6) и (7),
обозначив С5 = тах||^ж(2, А)||:
72
Гл. L Предварительные сведения
> I ИМ2 - 4С3с5||М3 - 8<ЭДим4 - f НМ2 > о,
если только из ||Л|| < 8 min(5i, 5з) следует неравенство
4С'3О5||Л1||3 + 8С'|С’<||Л1||4 < ^||Л1||2.
Получили противоречие: 0 f(x + h) > 0. >
Задачи
4.1.	(Р) х2 4- ху + у2 + 3|гг 4- у — 2| -» inf.
4.2.	х2 + у2 + 2 max (я, у) —> inf.
4.3.	х2 + у2 + 21/(2: — а)2 + (у — Ь)2 inf.
4.4.	х2 + у2 + 2а|гг 4- у — 11 -* inf (а > 0).
4.5.	Найти расстояние от точки (£1,	£з) До конуса хз
4.6.	Найти расстояние от точки (£1, ...» £п), лежащей вне эллип-
соида х2/а2 4-... 4-	/а2	1, до этого эллипсоида.
4.7.	(Р) Найти минимум линейного функционала в пространстве 12
на границе эллипсоида с длинами осей, монотонно стремящимися к
нулю. Всякая ли точка границы эллипсоида имеет нормаль, т. е. может
служить точкой экстремума линейного функционала?
4.8.	Найти расстояние от точки xQ, лежащей вне эллипсоида в
гильбертовом пространстве, до этого эллипсоида (обобщенная задача
Аполлония). Эллипсоидом в гильбертовом пространстве называется об-
раз единичного шара при таком линейном отображении пространства в
себя, что замыкание образа всего пространства при этом отображении
совпадает со всем пространством.
4.9.	Среди полиномов вида t2 + x\t + x2 найти полином, имеющий
наименьшую норму в пространстве С([— 1, 1]).
4.10.	Вписать в единичный круг треугольник с максимальной взве-
шенной с положительными весами суммой квадратов сторон.
4.11.	На каждой из сторон заданного треугольника найти по такой
точке, чтобы образованный треугольник имел минимальный периметр
(задача Шварца).
4.12.	(Р) Найти в плоскости такую точку, чтобы сумма расстояний
от нее до трех заданных точек была минимальной (задача Штейнера).
4.13.	Найти такую точку в плоскости, чтобы сумма расстояний от
нее до четырех различных точек была минимальной.
4.14.	Найти такую точку в плоскости, чтобы взвешенная сумма
расстояний с положительными весами от нее до трех различных точек
была минимальной (обобщенная задача Штейнера).
4.15.	Найти в плоскости такую точку, чтобы сумма расстояний до
вершин правильного многоугольника была минимальной.
Глава II
КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 5. Элементарные задачи классического
вариационного исчисления
5.1.	Задача Больца.
5.1.1.	Постановка задачи. Задачей Больца называется следующая
экстремальная задача без ограничений в пространстве непрерывно
дифференцируемых функций С1 ([to, tj]) (кусочно-непрерывно диффе-
ренцируемых функций АТС1 ([to, tj)):
^(ж(-)) = JjD(t, i(t))dt + /(x(to), x{t\)) —> extr. (з)
to
Здесь L = L{t, xy x) — функция трех, a I = 1{xq, rri) — функция
двух переменных. Отрезок [t0, tj предполагается фиксированным и
конечным, -оо < to < ti < +оо. Задача Больца является элементарной
задачей классического вариационного исчисления.
Функцию L называют интегрантом, функцию I — терминантом,
а функционал SS — функционалом Больца.
Будем говорить, что функция £(•) € Crl([t0, tj) доставляет {сла-
бый) локальный минимум {максимум) задаче (з), или, что то же
самое, функционалу & в пространстве С1 ([to, tj), и писать £(•) е
G loc min з (loc max з), если найдется 5 > 0 такое, что для любой
функции я(-) е С4([t0, tj), для которой ||х(-) -£(-)||1 < 5, выполнено
неравенство
(Ж))^Ж))).
Напомним, что если х{^) е С1 ([to, tj), то
||x(-)||i = max max {|x(t)|, |i(t)|}.
При решении задач вариационного исчисления мы употребляем да-
лее термины «абсолютный экстремум» или «глобальный экстремум». В
эти термины можно вкладывать стандартный смысл, согласно которому
найденная функция имеет экстремальное значение функционала среди
всех допустимых функций (а у нас допустимые функции принадле-
жат С1 или КСХ). Однако, как правило, функции, доставляющие абсо-
лютный экстремум в Сх или КСХ, доставляют абсолютный экстремум
и среди более широкого класса функций — среди всех абсолютно
непрерывных функций, на которых функционал определен.
74
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
5.1.2.	Правило решения.
1.	Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з) п. 5.1.1.
2.	Выписать необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера
Li(t) + Lx(t) = 0 Lx(t, x(t), j(t)) + Lx(t, x(t), j(t)) = 0
di	CLL
(решения уравнения Эйлера называются экстремалями);
б)	условия трансверсальности
Дг(^о) fco 4—^хо(*^(^о)» ^(^1)),
= Lxi	^(й), ^(й)) = ^(^(й))’ Я'(й))*
3.	Найти допустимые экстремали, т. е. решения уравнения Эйлера,
удовлетворяющие на концах условиям трансверсальности.
4.	Доказать, что решением является одна из допустимых экстрема-
лей, или показать, что решения нет.
Набор условий для нахождения слабого локального экстремума
является полным. Действительно, уравнение Эйлера - дифференциаль-
ное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две
неизвестные константы. Для определения этих констант имеются два
уравнения — условия трансверсальности.
Мы сформулировали правила решения для одномерной задачи
Больца. Укажем на необходимые изменения, которые следует внести
в правило решения задачи Больца для векторного случая.
Пусть в задаче (з) п. 5.1.1 х(-) = (#((♦), ...» хп(-)), L = L(t, #i, ...
..., хп, ii, ..., in) ~ функция 2n -f- 1 переменных, I = 1(хы, ..., XQn,
хп, ..., x\n) — функция 2n переменных. Необходимые условия в
векторной задаче Больца состоят из системы уравнений Эйлера
-^Li4(t) + La:i(t) = 0, г=1,...,п,
и условий трансверсальности, задающихся системой уравнений
» = 1...n, к = 0,1.
Доказательство теоремы, касающейся необходимых условий экст-
ремума, проводится в следующем пункте для одномерной задачи. Век-
торный случай тривиально редуцируется к одномерному.
5.1.3. Необходимые условия экстремума.
Теорема. Пусть % — открытое множество в пространст-
ве R3, L:	> R — интегрант, определенный на и непрерывный
в % вместе со своими частными производными Lx и Lx, У —
открытое множество в пространстве R2, I: У R — терминант,
определенный и непрерывно дифференцируемый на У, £(•) — непре-
рывно дифференцируемая на [to, й] функция такая, что
(t, x(t), x(t)) € Vt G [t0, tj и (i(t0), x(t[)) E
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 75
Тогда, если £(•) доставляет слабый локальный экстремум в
задаче Больца, то е С1 ([to, tj) и выполнены:
а)	уравнение Эйлера
б)	условия трансверсальности
Li(tk) = (-l)fcU, fc = 0, 1.
<1 Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов.
А) Определение вариации по Лагранжу. Пусть х(-) е
€ С1 ([t0, tj). Поскольку £(•) е loc extr з, то функция одного перемен-
ного:
*i
<^(А) = «^('г(-) + Агс(-)) = jL(t, £(*) + Az(t), x(t) +
to
+ Ai(t)) dt + i(J(to) + Az(to), z(ti) + Az(ti))
имеет экстремум при A = 0. Положим F(t, A) = L(t, £(t) + Xx(t),
J(t) 4- Ai(t)). Из условий гладкости, наложенных на L, #(•), х(-),
следует, что функция у>(А) дифференцируема в нуле. Действительно,
функции F и Fx непрерывны в некотором прямоугольнике [t0, tj] х
х [—Ао, Ао], и, значит, по известной теореме из анализа можно
дифференцировать под знаком интеграла (Н, т. 2, с. 107). Но тогда
по теореме Ферма у/(0) = 0. Дифференцируя функцию и полагая
А == 0, получаем
¥>'(0) = Пт +	d=lf &£(£(.), Х(-)) =
= | (Lx(t)x(t) + Li(t)i(/)) dt + TXox(to) + Txtx(ti) = 0 (1)
to
tiD-
Таким образом, мы вычислили вариацию по Лагранжу функционала
Больца и выяснили, что необходимым условием слабого локального
экстремума этого функционала в £(•) является равенство нулю его
вариации.
Б) Лемма Дюбуа-Реймона. Пусть на отрезке [to, ti] функ-
ции ао(-) и ai(-) непрерывны, и пусть для любой непрерывно диффе-
ренцируемой функции х(-}, для которой х(фф) — x(t\) = 0, выполнено
равенство	*
| (ai (t)i(t) + ao(t)a:(t)) dt = 0.
to
Тогда функция ai(-) непрерывно дифференцируема и
-^+a0(t) = °.
76
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
« Возьмем функцию р(-) € С1 ([to, tj) такую, что p(t) = a0(t) и
tj	t,
Jp(t)dt = jai(t)dt. Тогда для любой функции х(-) € С1 ([to, ti]), для
to	t0
которой x(to) = x(tj) = 0, по условию леммы должно выполняться
равенство
t|
О = J (di (t)i(t) + ao(t)rc(t)) dt = jai (t)i(t) dt +
to	*0
tl	tj
+ jx(t)dp(t) = j(ai(t) - p(t))x(t) dt. (2)
*0	*0
Выберем функцию т(-) G C1 ([to, ti]) такую, что x(t) = ai(t) — p(t),
5(to) = 0. Тогда в силу выбора функции р(-)
tj	tj
£(tj) = jx(t) dt = J(ai (t) — p(t)) dt = 0.
to	to
Значит, для функции z(-) = х(-) должно выполняться равенство (2),
ti
т. е. |(ai(t) — p(t))2dt = 0. Из последнего соотношения следует, что
to
ai(t) sp(t), т.е. ai(-) е ^‘([to, ti]), ~ (t) = a0(t) = 0. t>>
В) Завершение доказательства. Равенство (1) выполняется
для любой функции я(-) € С1 ([to, ti]), а значит, и для всех функ-
ций х е Cq([to, *1]) = {я(-) € С*([t0, tj) | z(t0) = ar(ti) = 0}. Следова-
тельно, из (1) вытекает, что
tj
j(£i(t)i(t) + Lx(t)x(ty)dt = 0 Vz(-) eCo([to, tj).
to
По лемме Дюбуа-Реймона L±(-) G C1 ([to, ti]) и
-±1ь(е) + £хю = о.	(3)
Интегрируя по частям в равенстве (1) (оно стало возможным в силу
доказанного включения L±(-) G C*([to, ti])) и учитывая (3), получим
ti	л
J(Lx(t)x(t) + Li(t)i(t))dt + ^;ox(to) +?XiX(ti) =
*'	ti
= [(Lx(t) -	dt + x(t)Li(t)| +TXox(to)+
j	at	Ito
«0
+ ^,x(ti) = (Li(ti)+fxl)x(ti) + (-ii(to) +TXe)x(t0) = 0 (4)
Vx(.) G C’([to, ti]).
§ 5Л Элементарные задачи классического вариационного исчисления 77
Подставляя в (4) последовательно x(t) ~t~tQ и x(t) — t — t\, придем
к условиям трансверсальности L±(to) = lXQ и L±(t\) = — ?Ж1. >
Замечание. Отметим, что эти три этапа доказательства теоремы
будут в той или иной форме встречаться при доказательстве и дру-
гих теорем классического вариационного исчисления и оптимального
управления.
5.1.4.	Пример.
1
1.	&(х(-)) = j(i2 — х) dt 4- я2(1) -* extr.
о
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера — ~ L± + Lx = 0 2х + 1 = 0;
at
б)	условия трансверсальности
Ьх(0) = /ж(0), ^(1) = -/х(1)^х(0) = 0, ±(1) = -гг(1).
3.	Общее решение уравнения Эйлера: x(t) = —12/4 + C\t + Из
условий трансверсальности находим, что С\ = О, С% = 3/4. Таким об-
разом, имеется единственная допустимая экстремаль x(t) = (3 - t2)/4.
4.	Покажем, что она доставляет абсолютный минимум в задаче.
Действительно, если /г(-) G С1 ([to, tj), то
1 1 1
<^(х(.) + Л(-)) - <^(®(-)) = ftShdt + pt2dt -fhdt +
ООО	n
+ 2£(1)/i(1) + /i2(1).
Интегрируя по частям и учитывая, что x(t) = (3 — /2)/4, получим
^(х(-) +	- ^(х( )) =	+ V)hdt+
О
I	1
+ jA2dt + 2x(l)/i(l) +/г2(1) = |/i2<ft + /i2(l) >0.
О	о
Ответ. x(t) = (3 — t2)/4 G abs min, Smax = +oo.
5.2. Простейшая задача классического вариационного исчис-
ления.
5.2.1.	Постановка задачи. Простейшей задачей классического
вариационного исчисления называется следующая экстремальная за-
дача в С1 ([to, t\]) (или в КС1 ([to, ti])):
ti
<S?(x(-)) = jl/(t, x(t), %(t))dt —» extr;	(з)
to
x(t0)=x0, x(tl) = Xb
L
78
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
Здесь L = L(t, х, х) — функция трех переменных, называемая интег-
рантом. Экстремум в задаче рассматривается среди функций х(~) е
*1]), удовлетворяющих условиям на концах, или краевым
условиям x(to) = xq, x(t\) = х\, такие функции называются допусти-
мыми.
Будем говорить, что допустимая функция £(•) доставляет слабый
локальный минимум (максимум) в задаче (з), и писать х(*) е loc min з
(loc max з), если существует 8 > 0 такое, что для любой допустимой
функции х(-), для которой ||я(-) — £(-)||1 < 8, выполняется неравенство
^(х(.)) >	(^(х(-)) < ^(х(.))).
Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном ис-
числении традиционно рассматривается сильный экстремум. При этом
несколько расширяется класс функций, на которых рассматривается
функционал Экстремум в задаче (з) ищется среди функций #(•),
принадлежащих классу КС*([to, ti]), т. е. среди кусочно-непрерывно
дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям на концах.
Будем говорить, что допустимая функция £(•) eKCl([to, й]) дос-
тавляет сильный локальный минимум (максимум), если существует
6 > 0 такое, что для любой допустимой функции х(*) € КС1 ([(о, *1]),
для которой ||ш(-) — £(-)1|о < 8, выполняется неравенство
^(х(.))	^(х(.)) (^(х(.)) < ^(х(.))).
Ясно, что если ?(•) е С1 ([to, й]) доставляет сильный, то она до-
ставляет и слабый экстремум. Поэтому для таких функций необхо-
димое условие слабого экстремума является необхрдимым условием
сильного, а достаточное условие сильного экстремума является доста-
точным условием слабого.
5.2.2.	Правило решения.
1.	Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з) п. 5.2.1.
2.	Выписать необходимое условие — уравнение Эйлера:
-^Li(t) + Zx(t) = O.
3.	Найти допустимые экстремали, т. е. решения уравнения Эйлера,
являющиеся допустимыми функциями.
4.	Доказать, что решением является одна из допустимых экстрема-
лей, или показать, что решения нет.
Это правило находится в полном соответствии с принципом Лагран-
жа. Покажем это соответствие.
1. Функция Лагранжа задачи (з) имеет вид
& — До я, х) dt + /ios(to) + pix(t[).
to
2. Необходимые условия экстремума в задаче & extr являются
необходимыми условиями экстремума в задаче Больца и записываются
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 79
следующим образом:
Ao(-^Li(t) + Lx(t)) =0,
AoLi(tfe) = (-l)feMfc. fc = 0, 1.
3, 4. Если Ao = 0, то из условий трансверсальности следует, что
/Zfc=0, fc = 0, 1. Это противоречит тому, что не все множители
Лагранжа равны нулю. Полагаем Ао = 1 и приходим к уравнению
Эйлера, а условия трансверсальности не информативны, они дают воз-
можность отыскать неизвестные множители Лагранжа //о и дь кото-
рые нам в принципе не нужны. Осталось найти допустимые экстремали
и выбрать из них решение или показать, что решения нет.
Набор условий для нахождения допустимой экстремали является
полным. Уравнение Эйлера — дифференциальное уравнение второго
порядка. Его общее решение содержит две неизвестные константы.
Для определения этих констант имеются два уравнения — условия
на концах. Таким образом, чаще всего допустимая экстремаль единст-
венна.
Мы сформулировали правило решения для одномерной простейшей
задачи классического вариационного исчисления. Укажем на необходи-
мые изменения для векторного случая.
Пусть в задаче (з) п. 5.2.1 rr(-) = (rriжп(-))» L = L(t, xi, ...
..., хп, ., in) — функция 2n + 1 переменных. Необходимые усло-
вия в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений
Эйлера
-^bi<(t)+Lx<(t)=o, » = i.......п-
Доказательство теоремы, как и в п. 5.1.3, проведем в п. 5.2.3 в
одномерном случае, ибо векторный тривиально к нему редуцируется.
5.2.3.	Необходимое условие экстремума.
Теорема. Пусть W — открытое множество в пространст-
ве TL3, L : —> R — интегрант, определенный на и непрерывный
в вместе со своими частными производными Lx и L±, £(•) —
непрерывно дифференцируемая на отрезке [to, й] функция такая,
что (t, x(t), x(t)) € Vt € [to, ti].
Тогда, если £(•) доставляет слабый локальный экстремум в
простейшей задаче классического вариационного исчисления, то
L±(*) € С1 ([t0, tj) и выполнено уравнение Эйлера
-^Li(t) + Lx(f) = 0.
<1 Рассуждаем совершенно аналогично тому, как мы рассуждали
в п. 5.1.3. Пусть х(-) G Co([t0, ti]). Тогда х(-) + Аз:( ) — допустимая
функция VA е R. Положим у>(А) = ^(х(-) + Ах(-)). Из условия £(•) €
G loc extr з следует, что О G loc extr <р. Пользуясь дифференцируе-
80 Гл. II. Классическое вариационное исчисление
мостью функции в нуле и выражением для вариации функционала
из п. 5.1.3, получаем *
9?'(0) =	х(-)) = J+ bx(t)x(t)) dt = О
Vx(-)ecj([to,ti]).
Из леммы Дюбуа-Реймона следует, что Д±(-) € С1 ([to. ti]), и вы-
полнено уравнение Эйлера. >
5.2.4.	Интегралы уравнения Эйлера. Если интегрант L =
= L(t, ж, i) не зависит явно от одной из переменных, то уравнение
Эйлера сводится к более простым уравнениям.
1.	Если интегрант L = L(t, х) не зависит явно от £, то уравнение
Эйлера сводится к уравнению
Lx{t) = 0.
2.	Если интегрант L = L(ty х) не зависит явно от ху то имеет место
интеграл импульса
L±(t) = const.
3.	Если интегрант L = Цх, х) не зависит явно от ty то имеет место
интеграл энергии (оба названия интегралов взяты из классической
механики)
xL±(t) — L(t) = const.
5.	3. Примеры. В этом пункте на примерах рассмотрим различные
соотношения между решениями простейшей задачи классического ва-
риационного исчисления и экстремалями.
Пример 1 (допустимая экстремаль существует, единственна и
доставляет глобальный экстремум).
I
1.	<^(я(-)) = ji2 dt —> inf; х(0) = 0, s(l) = 1.
о
2.	Уравнение Эйлера: х = 0.
3.	Общее решение: х = C\t 4- С2. Единственная допустимая экстре-
маль: х = t.
4.	Экстремаль доставляет глобальный минимум в задаче. Действи-
тельно, пусть х(-) е С1 ([0, 1]), я(0) = 0, rc(l) = 1. Тогда
/г(-) = т(.) - т(.) G С'([0, 1]) = {*(•) е С*([0, 1]) I z(0) = z(l) = 0},
1	111
^(х(-)) = ^(х(-) + Л(-)) - j(l + h)2dt = Jdt + 2^hdt + jft2dt =
О	ООО
1
= ^(£(-)) + |А2Л^^(х(-)).
О
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 81
В этом примере все обстоит самым благополучным образом. В
дальнейших примерах встречаются различные осложнения.
Пример 2 (допустимая экстремаль существует, единственна,
доставляет слабый, но не доставляет сильного экстремума).
I
1.	<^(я(-)) =	—> inf; я(0) = 0, я(1) = 1.
о
2.	Уравнение Эйлера: — 3±2 = 0 <=> 3i2 = С <=> х = const.
3.	Общее решение: х = C\t + С%. Единственная допустимая экстре-
маль: x — t.
4.	Экстремаль доставляет слабый локальный минимум. Действи-
тельно, пусть /г(-) е Cj([O, 1]). Тогда
1	111
^•(х(.) + Л(-)) = |(1 + Л)3 dt = |dt + з|А dt + ]7i2(3 + h) dt =
О	ООО	!
= ^(x(-))+jA2(3 + A)dt.
О
Отсюда видно, что если ||/z(-)||i < 3, то 3 + А(£)>0 и, значит,
<^(2(-) 4- /г(-)) > ^(£(-)), т. е. £(•) е loc min.
Покажем, что £(•) не доставляет сильного экстремума. Рассмотрим
последовательность функций
—^п,	t € [0, 1/п),
t
О, t е [1/п, 1/2], hn(t) = jpnCr) dr, п^2,
о
2/^/n, t e (1/2, 1].
Легко понять, что Лп(0) =/in(l) = 0 и ||^п(-)||о —> 0 при п—>
—> оо. Положим Жп(-) — £(•) 4- Ап(-)« Получим последовательность
функций {яп(-)}, Для которых Яп(0) = 0, яп(1) = 1, > хп(>) —> £(•)
В С([0, 1]) и
1	1	1/п
*^(хп(-)) = 1 + 3jp2 dt + р3 dt = 1 + j (Зп - п3/2) dt 4-
оо	о
4- j	4—= -~\/п 4- 0(1) —> — оо при п оо,
т. е. Smjn — оо.
Пример 3 (экстремаль существует, единственна, доставляет гло-
бальный экстремум, но не является непрерывно дифференцируемой
функцией).
82
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
1.	^(я(-)) = р2/3£2<Й inf; я(0) =0, я(1) = 1 (пример Гиль-
о
берта).
2.	Уравнение Эйлера: ~(2t2/3i) = 0 <==> t2/3x = С <=> х = Ct-2/3.
3.	Общее решение: х — C\tx/3 4- С%. Единственная экстремаль,
удовлетворяющая условиям на концах: х = t1/3.
4.	Ясно, что экстремаль не является функцией класса С1 ([0, 1]),
так как £(•) С([0, 1]). Покажем тем не менее, что она доставляет
глобальный минимум в задаче среди всех абсолютно непрерывных
функций я(-), удовлетворяющих краевым условиям, для которых ин-
теграл & конечен. Действительно,
*	,	//-2/3	,\2
^(х(.)) =	+ />(•)) = /*2/3 (V-+ h) dt =
0	9 1	1
= <^(х(-))	+ l^hdt + [t2/3h2dt > <^(z(-)).
О	о
Пример 4 (решения задачи и допустимой экстремали не суще-
ствует даже среди абсолютно непрерывных функций).
1
1.	^(гс(-)) = р2£2<й inf; z(0) = 0, rr(l) = 1 (пример Вейер-
штрасса). 0
2.	Уравнение Эйлера: (2i2i) = 0 <==> t2x — С <=> х = C/t2.
3.	Общее решение: х = C\/t + СУ Экстремали, удовлетворяющей
краевому условию гс(О) = 0, не существует.
4.	Очевидно, что <f7(a;(-)) > 0 и для любой абсолютно непрерывной
функции ж(-) <^(^(-)) > 0- Покажем, что нижняя грань в задаче равна
нулю. Рассмотрим последовательность допустимых функций xn(t) =
— arctg nt/ arctg n. Имеем
I	2	!/n	1
^(xn(-)) = t2 ..	" dt	_ d\ 2	0.
J (1-bn2t2)2arctgzn J arctg2 n J n2t2 arctg2 n
Пример 5 (допустимая экстремаль существует, единственна, но
не доставляет экстремума).
Зтг/2
1.	^(а?(-)) = J (х2 — х2) dt inf; я(0) ==	== 0.
о
2.	Уравнение Эйлера: х 4- х = 0.
3.	Общее решение: х = С\ sin14- С2 cost. Единственная допустимая
экстремаль: х = 0.
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 83
4.	Рассмотрим последовательность функций xn(t) ~ — sin—.
п 3
Очевидно, что хп — допустимые функции и хп(-) —> £(•) = О
в С1 ([0, Зтг/2]), но при этом
Из примера 5, в частности, видно, что уравнение Эйлера — необхо-
димое, но не достаточное условие экстремума. Мы вернемся к обсуж-
дению этого примера в п. 5.7.
В заключение приведем еще один важный пример задачи, где нет
решения.
Пример 6.
1
^(ге(-)) = j((l — i2)2 +ж2)Л —> inf; я(0) = 0, я(1) 0.
о
Нижняя грань функционала равна здесь нулю. Чтобы убедиться в
этом, достаточно рассмотреть минимизирующую последовательность
функций из KC^fO, 1]):
t
xn(t) = J sign sin 2тгпт dr, n = 1, 2, ...
о
Функции zn(-) равномерно стремятся к нулю, и |in(*)| = 1, за исклю-
чением конечного числа точек, т. е. <У(хп(-)) —> 0. С другой стороны,
1
если xo(t) = 0, то <^(яо(-)) = 1, а если x(t) ф 0, то <^(я(-)) рг2<й >
о
> 0. Таким образом, нижняя грань функционала не достигается ни на
одной допустимой функции.
Раскроем причины отсутствия решений в рассмотренных примерах.
То, что в примере 2 численное значение задачи равно —оо, объясняется
тем, что овыпукление интегранта тождественно равно —оо (см.
далее п. 5.5.3 — теорему Боголюбова). Пример 3 показывает, что прост-
ранства С1 и КС{ не являются естественными для данной задачи и
наводят на мысль (идущую от Гильберта), что задачу следует, вообще
говоря, исследовать в «своем» пространстве. Причина же негладкости
решения в этом примере и отсутствия решения в примере 4 связана с
нарушением условия Лежандра (обсуждение примеров 3 и 4 продол-
жается далее в задачах 9.10 и 9.11; об условии Лежандра см. п. 5.5).
Отсутствие решения в примере 5 объясняется тем, что на экстремали
имеется сопряженная точка (об этом см. п. 5.6). О примере 6 см.
п. 5.5.3.
84
Гл. //. Классическое вариационное исчисление
5.4.	Задачи с подвижными концами.
5.4.1.	Постановка задачи. Задачей с подвижными концами на-
зывается следующая задача в пространстве С!(Д) х R2:
<^(я(-), to, *1) = J^(t, x(t))dt + ^о(^о, ^(to), z(ti)) extr;
*	(з)
z(t0), ti, = 0, i = 1, m.	(1)
Здесь Д — заданный конечный отрезок, L — L(t, x, x) — функция
трех, a = V^o, ^o, ti, si) — четырех переменных, to, ti e Д. В от-
личие от задачи Больца и простейшей задачи классического вариаци-
онного исчисления, концы отрезка интегрирования являются подвиж-
ными и, следовательно, решение задачи включает в себя некоторую
функцию £(•) и тот отрезок [to, tj, на котором она рассматривается.
Значения функции х(-) в точках to и ti в общем случае могут быть и
не заданы. Частным случаем (з) является задача, в которой один из
концов to или ti — подвижный, а другой закреплен.
Тройка (я(-), to, ti) называется допустимой в (з), если х(-) 6
€ С^Д), to, ti е int Д, to < ti, и выполняются условия (1) на концах.
Будем говорить, что допустимая тройка (£(•), to, ti) доставляет
слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з) (в пространст-
ве С^Д) х R2), если существует 6 > 0 такое, что для любой другой
допустимой тройки (х(-), to, ti), для которой |to - to| <5, |ti - tj < 6
и ||rr(-) - £(•)||cl(A) < выполняется неравенство
<^(z(-), *o,	*o, *1)
(<^(x(-), t0, ti) <^(2(-), *o, *i))<
При этом будем писать (£(•), ^о, ti) € loc min з (loc max з).
Отметим, что если (£(•), to, ti) € loc extr з, то любая допустимая
тройка (a;(-),to, ?1) такая, что ограничение х(-) на [to, ti] совпадает
с £(•), также будет доставлять локальный экстремум. Поэтому при
выписывании ответа в (з) достаточно задавать х(-) только на [to, ti].
5.4.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
_£f(;r(-), *о, ti, А) = fAo£(t, xt x)dt +	x(tQ), t>, rc(ti)),
4	г=0
где А = (Ао, Ai, ..., Am) е Rm+1 — множители Лагранжа.
2.	Выписать необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера
-^Aobi(i) + AoLx(i) = O;
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 85
б)	условия трансверсальности по х:
Ао-^х(^о) =	=	,
т
где I - l(to, х0, ti, Ж1) =	Хо, tb xi);
i=0
в)	условия стационарности по t0,
=	— АоЬ(^о) 4" У2 + ^ix^X^to)) = О,
£=0
т
&tx = о 4=> AOL(F1) + ^2	+ V’ixiz(t'i)) = о
г=0
(условия стационарности выписываются только для подвижных кон-
цов).
3.	Найти допустимые экстремали, т. е. решения уравнения Эйлера,
являющиеся допустимыми функциями и удовлетворяющие условиям 6),
в) с вектором множителей Лагранжа А, не равным нулю. При этом
бывает удобно отдельно рассмотреть случаи Ао = 0 и Ао / 0. Во
втором случае можно положить Ао равным единице или любой другой,
отличной от нуля константе.
4.	Найти решение среди допустимых экстремалей или доказать, что
решения нет.
Покажем, что правило решения сформулировано в соответствии с
принципом Лагранжа. Действительно, составим функцию Лагранжа
&(x(-), to, ti, А) = Aoji(t, х, х) dt + У^ A^fa, x(to), ti, rc(tj)).
to	i=0
Из задачи -^(ж(-), to, ti, A) —> extr по я(-) (задача Больца) вытека-
ют необходимые условия а), б), а из задачи ^f(S(-), to, ti, А) —> extr
по to, ti (элементарная гладкая задача) вытекают необходимые усло-
вия в).
Набор условий для определения тройки, доставляющей экстремум,
является полным. Действительно, общее решение дифференциаль-
ного уравнения второго порядка — уравнения Эйлера — содержит
две неизвестные константы интегрирования. Множители Лагранжа
Ао, Ai, ..., Ат определены с точностью до умножения на константу,
следовательно, содержат т неизвестных. Таким образом, включая два
подвижных конца интегрирования, имеем т + 4 неизвестных. Для
их отыскания у нас есть также т + 4 уравнений: т условий в(1)
п. 5.4.1, 2 условия трансверсальности и 2 условия стационарности
по tk, k = 0, 1.
5.4.3.	Необходимые условия экстремума. В этом пункте приве-
дем доказательство необходимого условия экстремума для следующего
86
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
частного случая задачи с двумя подвижными концами:
ъ
^(гг(-), to, tj = j£(t, х(^)»	-* extr;	(з)
*0
^(io) = V’o(to). x(ti) = v?i (ti).
Общий случай рассмотрен в п. 8.1.3.
Теорема. Пусть С ^(R3), L: —> R, LeC1^), х(-) G
е С”(A), (t, x(t), 2(t)) g Vt e A, % e 0(tit R), <pit % -* R, y?f e
e	x(ti) = <р^, i = 0, 1.
Тогда, если (x(-), to, ti) G loc extr з, то выполняются:
а)	уравнение Эйлера
-^Li(t) + Lx(t) = o vte(t0, ti];
б)	условия трансверсальности
L(ti) = Li(ti)(x(ti) - <pi(ti)), i = 0, 1.
Нетрудно видеть, что эти условия трансверсальности эквивалентны
условиям трансверсальности п. 5.4.2 с учетом условий стационарности
по t0 И tj.
<1 Уравнение Эйлера выполняется в силу теоремы п. 5.2.3, ибо х
доставляет также локальный экстремум функционалу ST при фикси-
рованных краевых условиях x(ti) = x(tj), i — 0, 1. Докажем условие
трансверсальности на правом конце — в точке tp Доказательство
условия трансверсальности на левом конце — в точке t0 — проводится
аналогично.
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций x(t, С) =
= x(t) + C(t - to) и функцию двух переменных С') = z(ti, £) “
- <р[ (ti). По условию, V>(ti» 0) = #(ti) “ ^1(^1) — Далее, ^с(*ь 0) =
= tj - to 7^0. По конечномерной теореме о неявной функции (п. 1.5.3)
существует непрерывно дифференцируемая функция t] —> C(ti) такая,
что C(t])=0 и z(ti, C(ti)) = ^(ti); при этом C"(ti) = (</>i(ti) -
-£(Г]))/(Г1 - to).
Положим
A(tx) = &(х(-, C(t\)), to, tx) =
= jl(t, x(t) + C(ti)(t - to), x(t) + C(ti)) dt.
to
Поскольку (x('), to, ti) e loc extr з, то t\ € loc extr А. Отсюда по тео-
реме Ферма (п. 2.1.3) A'(t\) = 0. Дифференцируя функцию A(t\) в
точке ti =?ь имеем
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 87
____ ~
О = L(t\) + Cf(tx) j(Lx(t)(t — to) + Lx(t)) dt.
Интегрируя по частям с учетом уравнения Эйлера и подставляя вы-
ражение для получаем условие трансверсальности на правом
конце:	?
О =	) + C\tx)( j (£x(t) - Lx(t)} (t - ?o) dt +
+ (tL ) =L(ti) + (^i(ti)	>
Ito /
T
5.4.4.	Пример,	T) = j(i2 -x + V)dt extr; rc(O) = 0.
о
Решение. 1. Функция Лагранжа:
т
— jAo(i2 — + l)dt + Arc(O).
о
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера для интегранта L = Ao(i2 — х + 1):
-±Ьь+Ьх = 0 <==> Ао(2£ + 1) = 0;
6)	условия трансверсальности по х для терминанта I = Ах(0):
Ьх(0) = ^х(0)>	^i(T’) = +(Т)
<=> 2Ао£(О) — А,
2A0i(f) = 0;
в)	условие стационарности по Т (выписываем только для подвиж-
ного конца):
&т(Т) = 0 <=> A0(i2(f) - х(Т) + 1) = 0.
3.	Если Ао = 0, то из б) следует, что А = 0 — все множители
Лагранжа оказались нулями. Положим Ао = 1. Тогда из а) вытекает,
что £ = —1/2. Общее решение этого дифференциального уравнения:
х = -t2/4 + Cxt + С2. Поскольку ж(0) = 0, то С2 = 0. Для определе-
ния неизвестных С\ и Т имеем два уравнения: х(Т) = 0 и х2(Т) -
— х(Т) + 1=0. Решая эту систему уравнений, находим, что Т = 2,
С1==1.
4.	В задаче имеется единственная допустимая экстремаль х =
= —t2/b + ty рассматриваемая на отрезке [0,2]. Покажем, что
(£(♦), Т) loc extr. Действительно, для функции x(t) = t-12 /4
88
Гл. //. Классическое вариационное исчисление
^(х(-),Т) = |(я2 -x+l)dt =
0	т
О
При Т, близких к Т = 2, значения функционала Т) могут быть
как меньше <^(х(-), Г), так и больше ^(х(-), Т).
Возьмем последовательность пар xn(t) ~t, Тп — п\ тогда ^(хп(-),
Тп) -оо при п —> +оо. Значит, Smin = -оо. Очевидно, что 5тах =
— +оо.
5.5.	Необходимые условия высших порядков и достаточные
условия. Теорема Боголюбова.
5.5.1.	Простейшая задача. Рассмотрим простейшую задачу
^(х(-)) = Jb(t, х, х) dt inf; x(to) = xo, x(ti) = xi, (з)
to
где L: -> R, e ^(R2n+1).
Будем далее предполагать, что интегрант L по меньшей мере
принадлежит классу С2(^). Пусть х(-) € C2([to, й], Rn) — экстре-
маль (з), т. е. на х(-) удовлетворяется уравнение Эйлера.
Будем говорить, что на х(-) выполнено условие Лежандра, если
Lxx(t) 0 Vt е [to» tj, и усиленное условие Лежандра, если Lii(t) >
>0 V € [to, tj.
При наших допущениях относительно гладкости интегранта L
функционал & имеет вторую производную в точке х(-) следующего
вида О:
tl
— j((Ax, х) + 2(Сх, х) + (Вх, x))dt, (1)
to
где A(t) = L±±(t), B(t) = Lxx(t), C(t) = Lxx(t).
Уравнение Эйлера для функционала т. е. уравнение
(Ах + С*х) + Сх + Вх = 0,
называется уравнением Якоби для исходной задачи на экстремали х(-).
h г	т ( d‘L v т
9 Следует иметь в виду при этом, что LXx =	=
/	\ п
= ( д—х—)	, а для матрицы D =	справедливо {Dx, у) =
\uXiOXj / i,j — l
== dijXjyi.
i.j = l
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 89
Пусть на х(-) выполнено усиленное условие Лежандра. Точка г
называется сопряженной к точке to» если существует нетривиальное
решение h уравнения Якоби, для которого h(to) = h(r) = 0. Говорят,
что на £(•) выполнено условие Якоби (усиленное условие Якоби), если
в интервале (to, t\) (полуинтервале (to, tj) нет точек, сопряженных
с t0.
Уравнение Якоби — это линейное уравнение второго порядка, ко-
торое (из-за усиленного условия Лежандра) можно разрешить отно-
сительно второй производной. Пусть H(t, to) — матричное решение
уравнения Якоби с условиями H(to, t0) = 0, H(to, to) невырождена
(обычно полагают H(tQ, to) = I). Очевидно, что точка т является
сопряженной к to тогда и только тогда, когда матрица Н(т, to) является
вырожденной. Это дает аналитическое средство находить сопряженные
точки.
Если — V х Rn, V = ^(Rn+1) и функция х —> £(t, х, х) вы-
пукла (строго выпукла) V (t, х) е V, то говорят, что интегрант L —
квазирегулярен (регулярен) на V.
Теорема 1. Необходимые условия слабого минимума.
Пусть в задаче (з) интегрант L удовлетворяет условию гладкости
L е С3(^). Если х(*) G С ([to, tjj, R ) и доставляет слабый мини-
мум (з), то функция х(-) должна быть экстремалью, на которой
удовлетворяются условия Лежандра и Якоби,
Достаточные условия сильного минимума. Пусть =
= V х Rn, V е ^(Rn+1), интегрант L е С4(W) и квазирегулярен
на V, Тогда, если х(-) е C3([to, tj, Rn) и при этом х(-) — допусти-
мая экстремаль, на которой удовлетворяются усиленные условия
Лежандра и Якоби, то х(-) доставляет сильный минимум зада-
че (з).
Для квадратичных функционалов вида (1) задача может быть ис-
следована до конца.
Теорема 2. Пусть в (з) функционал имеет вид (1), причем мат-
рицы А и С непрерывно дифференцируемы, матрица В непрерывна и
выполнено усиленное условие Лежандра A(t) > 0 Vt G [to, tj. Тогда,
если не выполнено условие Якоби, т.е. в интервале (to, ti) есть
сопряженная точка, то нижняя грань в задаче равна —оо. Если
выполнено усиленное условие Якоби, то допустимая экстремаль
существует, единственна и доставляет абсолютный минимум.
5.5.2.	Задача Больца. Рассмотрим задачу Больца
£8(х(-)) = jjD(t, х, x)dt + l(x(to), x(t\)) —> inf,	(з)
to
где Lt R, <% e ^(R2n+1), l: У -> R, Г € ^(R2n).
90 Гл. II. Классическое вариационное исчисление
Теорема 1. Необходимые условия слабого минимума.
Пусть в задаче (з) интегрант L и терминант I удовлетво-
ряют условию гладкости L е С3(&), I 6 С2(У). Если х(-) €
е С2([^о, *i], Rn) и доставляет слабый минимум (з), то на
удовлетворяются уравнение Эйлера, условия трансверсальности,
Лежандра и Якоби, а если выполнено усиленное условие Якоби, то
квадратичная форма Р + Q должна быть неотрицательна. Здесь
Q = Q(x0, X]) =	Х}), (х0, Xi)],
P = P(xQ, £1) = (Л(^1)(Яо(^1)^о + Hi(ti)x}), Z1) -
- (Л(£о)(Яо(*о)яо + Hi(to)xi), Xq) +	xi) - (C*(i0), xQ, xq),
A(t) = L±x(t), C(t) = Lxx(t),
Hi — матричное решение уравнения Якоби с условием = 8ijl,
i, j = 0, 1.
Достаточные условия сильного минимума. Пусть % —
= V х Rn, V € ^(Rn+1), интегрант L еС4(^) и квазирегулярен
на V. Тогда при условии, что х(-) € C3([to, й], Rn), на х(-) удов-
летворяются уравнение Эйлера, условие трансверсальности, уси-
ленные условия Лежандра и Якоби и форма P + Q положительно
определена, то х(-) доставляет сильный минимум задаче (з).
И здесь выделим случай квадратичных функционалов в отдельную
теорему.
Теорема 2. Пусть в задаче (з) интегральный функционал
имеет вид (1) п. 5.5.1, причем матрицы А и С непрерывно диф-
ференцируемы, а В непрерывна, терминант 1(xq, xj = (ахо, xq) +
+ 2(7x0, x\) 4- (j$xi, xi), где a, /3,	— матрицы размера nxn.
Пусть, кроме того, выполнено усиленное условие Лежандра
A(t) > 0.
Тогда, если в интервале (to, ti) есть сопряженная точка; то зна-
чение задачи равно — оо. Если же выполнено усиленное условие Якоби
и матрица Р + Q, введенная выше, неотрицательно определена, то
допустимая экстремаль есть х(-) = 0.
Теоремы 1, 2 пп. 5.5.1, 5.5.2 будут доказаны в § 10. Там же будет
выведено необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума.
5.5.3.	Теорема Боголюбова. Читатель мог заметить, что в наших
теоремах необходимые и достаточные условия различны: квазирегу-
лярность не фигурирует в необходимых условиях, но присутствует в
достаточных. Из нижеследующей теоремы вытекает, что с теоретичес-
кой точки зрения интегранты в задачах вариационного исчисления
можно считать квазирегулярными: заменяя интегрант его квазирегу-
ляризацией, т. е. овыпуклением по производным, мы получаем новую
задачу, у которой имеется то же самое численное значение, что и у
первоначальной.
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 91
Теорема. Пусть Е O(R2n+1), L: W R — непрерывный ин-
тегрант, L(t, х, •) — вторая сопряженная (в смысле выпуклого
анализа (см. п. 3.1.2)) функции х L(t, х, х),
_________
<^(х(-)) =	х> x)dt “> inf; z(to) = хо, x(tj) = xi, (з)
to
— простейшая задача с интегрантом L. Тогда численное значение
в задаче
ti
<^(х(-)) = jb(t, х, х) dt—»inf; x(to) = xq, x(ti) = Xj, (з)
to
совпадает с численным значением задачи (з). Более того, для любой
функции х(-) Е С1 ([to, ti]), xfa) = xq, x(t\) = xi, существует после-
довательность {xn(-)}n>i такая, что хп(‘)	х(-) в пространст-
ве C([t0, tj]) и lim ^(xn(-)) = <^(х(-)).
п—юо
Из сформулированной теоремы немедленно вытекает, что численное
значение в примере 2 п. 5.3 равно —оо. В примере 6 того же пункта
невыпуклость интегранта явилась причиной несуществования реше-
ния. Там же была построена последовательность функций, сходящаяся
к функции, тождественно равной нулю, со значениями интегралов,
стремящимися к численному значению задачи. Подобный метод при-
меняется и при доказательстве теоремы Боголюбова.
5.6. Теория поля. Уравнение Гамильтона-Якоби.
5.6.1.	Поле, функция наклона поля и S-функция. Пусть
ti
to
есть функционал простейшей задачи классического вариационного ис-
числения и х(-) — некоторая экстремаль этого функционала из се-
мейства экстремалей {х(-, А)}, х(-, А) 6 С1 ([to, tj, Rn), с параметром
А Е Л Е ^(Rn).
Будем говорить, что х(-) окружена полем экстремалей x(t, А),
если существует окрестность G графика — {(t, x(t)) Е Rn+J 11 Е
G [to, tj]} такая, что для любой точки (т, £) из этой окрестности
имеется единственная экстремаль семейства, проходящая через эту
точку. Точнее, существует функция A:G—>Rn, А = А(т, £), клас-
са C‘(G) такая, что х(т, А) = £ <=> А = А(т, £). Функция u: G —> Rn,
и(т, О =	^(t, А(т, £))|	, называется функцией наклона поля.
Если существует такая точка (t*, х*), что x(t*, А) = х* для всех
А € Л, то говорят, что х(-) окружена центральным полем экстре-
малей. Точка (t*, х*) называется центром поля, семейство x(t, А) —
центральным полем экстремалей.
92 Гл. 11. Классическое вариационное исчисление
1Т°
Пример.^(х(-)) = J (^2 ““ я2) & (гармонический осциллятор),
о
Экстремали этого функционала имеют вид x(t) = С\ sint +
+C2cost. Совокупность экстремалей x(t, А) = Asint есть центральное
поле экстремалей с центром в точке (0,0), включающее, в частности,
экстремаль х(Г) ~ 0, покрывающее полосу 0 < t < тг. Функция наклона
поля и(т, £), 0 < т < тг, вычисляется так: надо взять экстремаль
поля, проходящую через точку (т, £) (т.е. ^sinf/sinr), и вычислить
производную этой экстремали в точке т. Таким образом, и(т, £) =
= £ctgr.
В п. 10.3.1 будет доказано, что если LeC4(^), #(•) е
е С3([*о, *i], Rn) — экстремаль функционала ST и выполнены
усиленные условия Лежандра и Якоби, то экстремаль £(•) можно
окружить (центральным) полем экстремалей.
Отметим геометрический смысл сопряженной точки при п=1.
Сопряженная точка — это точка пересечения «бесконечно близких»
экстремалей. А именно, если рассмотреть центральное поле экстре-
малей гг(-, А), удовлетворяющее условиям я(£*, А) = £(£*), £(£*, А) =
= £(£*) + А, то сопряженные точки — это точки пересечения экстре-
мали с огибающей полученного семейства. Иначе говоря, надо решить
уравнения хд(^, А) — 0. Подробнее об этом см., например, в [1, с. 67].
Пусть ж(«, А) — центральное поле, окружающее экстремаль £(•)
функционала ST. Положим
S(r, е) = jL(t, x(t, А(т, £)), x(t, А(т, £)))<й.
t*
Эту функцию называют S-функцией центрального поля х(-, А).
В п. 10.3.1 будет доказано, что (при указанных выше допущениях на
гладкость L и £(•)) дифференциал функции S имеет вид
ds{r, о = -я(т, е) dr+(р(т, о, в®,
где р(т, С) = Li(r, С, и(т, £)), Н(т, С) = (р(т, С), u(t, £)) - L(r, С,
и(т, <)).
В рассмотренном выше примере (гармоническом осцилляторе) для
е2
введенного там центрального поля 5(т,	= у ctgr.
5.6.2.	Основная формула Вейерштрасса. Пусть /: Rn —> R —
дифференцируемая функция п переменных. Функцию
^(х, х') - fix') - /(х) - (/'(х), х' - х)	(1)
назовем функцией Вейерштрасса, соответствующей /. Геометриче-
ский смысл & таков: £{х, х'} — это разность в точке х' между
значением / и значением аффинной функции, касательной к графику /
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 93
в точке х. Отсюда ясно, что если f выпукла, то
<?(х,	Ух, х' eRn.
Можно показать, что верно и обратное.
Пусть L интегрант функционала & простейшей задачи класси-
ческого вариационного исчисления. Функция
<^(t, х, и, х) = L(ty х, х) — L{t, ж, и) — х, и), х — и) (1')
называется функцией Вейерштрасса функционала SF. Из сопоставле-
ния (1) и (1') видно, что <?(t, х, -,-,) — функция Вейерштрасса функ-
ции х L(t, х, i), где t, х играют роль параметров.
Из сказанного следует, что квазирегулярность (регулярность) инте-
гранта L в области V (п. 5.5.1) равносильна тому, что
<^(t, х, и, х) О (<?(t, х, и, х) > 0, х / и)
V(t, x)eVt (u, i)eR2n.
Пусть экстремаль х(‘) окружена центральным полем экстрема-
лей ж(-, А) и х(-) е КС* ([to, tj, Rn) — некоторая функция, график
которой расположен в достаточно малой окрестности графика Г^, и
при этом	£(t0) = x(to),	x(t\)	= x(t\).	Тогда
ti	tj	tj
JdS(t,	x(t)) = JdS(t, x(t)) d=	J(-H(t, x(t)) +
to	t0	to
tl
+ (p(t, x(t)), x(t)))dt j(L(t, J(t), £(t))—
to
- (p(t, x(t)), x(t)} + (p(t, 2(t)), £(t)))dt = 5\£(-)).
Отсюда
<^(x(.)) - <^(x(-)) = j^(t, z(t), i(t))dt-
«0
ti	tj
— JdS(t, x(t)) = j(L(t, 2r(t), i(t)) — L(t, rc(t), u(t, rr(t)))—
- (x — u(t, x(t)), Li(t, z(t), u(t, x(t)))))dt =
ti
=	^(0»	ж(0)» x(ty)dt,
to
Эту формулу называют основной формулой Вейерштрасса.
В рассмотренном выше примере (гармоническом осцилляторе) для
2(t) = 0, to < тг получаем тождество
1 т°	1 т°
^(®(-)) = 2 J (±2(*) “ dt = J “ ct8 У + £)а:(<))2 dt’
о	о
4 В. М. Алексеев и др.
94
Гл, IL Классическое вариационное исчисление
имеющее место для любой функции #(•) G /i7C'l([to, tj]), я(0) =
= х(То) = 0, если только г настолько мало, что То + е <
5.6.3. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби. Пусть ST —
функционал, определенный в п. 5.6.1, с регулярным интегрантом L,
Тогда соотношения
p(t, х) = Lx(t, х, u(t, ж)),
—H(t, х) = L(t, х, u(tit х)) — (p(t, ж), u(t, z)),
полученные в п. 5.6.1, означают, что преобразование Лежандра-Юнга-
Фенхеля функции х L(t, х, i), которую мы обозначим J^(t, х, р),
обладает тем свойством, что J^(t, ж, p(t, х)) = H(t, х). Но это значит,
что S’-функция центрального поля удовлетворяет уравнению
+ J^ft, х, dS^\ = 0.
dt	\ ox /
Это уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби. Этому
уравнению удовлетворяют многие S-функции, построенные по другим
полям (не обязательно центральным).
В рассмотренном выше примере (гармоническом осцилляторе) урав-
нение Гамильтона-Якоби приобретает вид
dt
0.
Якоби принадлежит метод нахождения общего решения уравнения
Эйлера с помощью интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби.
Теорема Якоби. Пусть семейство функций S'(t, х, а), зави-
сящее от параметра a G Rn, удовлетворяет в некоторой окрест-
ности точки (to, ^о) уравнению Гамильтона-Якоби
dS(t, х, а)
dt
+ I t, x,
dS(t, x, а)\ _ q
dx I
для всех значений параметра а в некоторой окрестности точки ао.
Если функция S дважды непрерывно дифференцируема в некото-
рой окрестности V С R2n+1 точки (t0, х0, ао) и пРи этом в этой
Id2S I
z Q - ± 0, то соотношения Sa = 0 представля-
ох da |
ют в некоторой окрестности точки to общее решение уравнения
Эйлера [2, с. 95].
В рассмотренном выше примере (гармоническом осцилляторе) ищем
полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в виде S = g(t) + f(x).
Тогда
g'(t) + |(z2 + z'2^)) = 0 =S> g(tj =	+ аь
f(x) = ^\/а2 — z2dz + аг-
О
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 95
Из уравнения Sa = /3 получаем
/3 =	+ JV»2 - z2dz 4- aj => х = Csin(t 4-7).
о
Мы получили общее решение уравнения Эйлера.
5.	7. Примеры.
Пример 1.
TQ
j(i2 - x2)dt -> inf; т(0) = О, ж(Т0) = С Т0<0
о
(гармонический осциллятор).
Решение. 1. L — х2 - х2.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера х + х = 0.
3.	Общее решение уравнения Эйлера: x(t) = С\ sint 4- С2 cost.
4.	Применим достаточные условия. Условие Лежандра выполнено,
ибо L±± = 2 > 0. Проверим выполнимость условия Якоби. Уравнение
Якоби здесь совпадает с уравнением Эйлера. Решение h уравнения
Якоби с условиями Д(0) = 0; Л(0) ± 0 есть h(t) = .A sin А / 0.
Точки — сопряженные с точкой нуль — нули уравнения sint=0.
Ближайшая к нулю точка — сопряженная точке to — это тг.
Ответ. Из теоремы 2 п. 5.5.1 следует, что если То < тг, то x(t) =
= £ sin t/sin То € abs min; если To > тг, то Smin = —00. При To = тг, £ =
= 0 допустимые экстремали имеют вид x(t) = Csint, Smm = 0; при
0 <Smin = ~оо.
Пример 2.
То
| (х2 + х2 + 2хJя2) dt —* extr;
о
ЯЧ(0) = X^Ot Xi^To) Х{\, i = 1,2.
Решение. 1. Интегрант: L = х2 4-х2 + 2a?ix2.
2.	Необходимое условие — система уравнений Эйлера
X । X^j «Г2 Xj Xf —— «Г |,	Х% —— •
3.	Общее решение системы уравнений Эйлера: xj(t) = С\ sht +
4- С2 cht4- Cr3sint4” С4 cost, ®2(t) = C\ sht4- C2 cht — Cssint— C4 cost.
4.	Применим достаточные условия. Условие Лежандра выполнено,
ибо матрица А = I — единичная. Система уравнений Якоби совпадает
с системой уравнений Эйлера. В качестве H(t, 0) возьмем матрицу
sh t sin t
sht — sin t
4*
96
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
При этом
det 7/(0, 0) = [
1
-1
00,
det/f(t, 0) = —2shtsint.
Сопряженные точки: т = кя, к е N.
Ответ. При То < тг существует единственная экстремаль, достав-
ляющая абсолютный минимум; при То > тг Smin = -оо. Случай То = тг
требует дополнительного исследования, Smax = оо.
Пример 3.
тг/2
J (х2 - х2) dt + ая2(0) 4- /Зх2 4- 2737(0)2:^^ —> inf.
о
Решение. 1. Интегрант: L — x2-x2; терминант: /—aJ72(O)4-
4- (Зх2(тг/2) 4- 2'угг(0)гг(тг/2).
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера х 4- х = 0;
б)	трансверсальность по х:
£(0) — ая(0) 4- 7з;(7г/2), ±(тг/2) = —(Зх(к/2) — 737(0).
3.	Общее решение уравнения Эйлера: х(Г) = Ci.sint + С% cost.
Допустимые экстремали: если (7 — I)2 — а/3 0, то x(t) = 0; если
(7 - I)2 - а(3 = 0, то получается семейство допустимых экстремалей,
зависящее от параметра.
4.	Применим достаточные условия. Усиленное условие Лежандра
L±± = 2 > 0 выполнено, и, более того, интегрант L квазирегул ярен.
Уравнение Якоби совпадает с уравнением Эйлера. Решением урав-
нения Якоби h 4- h = 0 с краевыми условиями h^/2) = 0, /iq(0) =
— 1 и /ц(0) = 0,	(тг/2) — 1 являются функции /г0 = cost, h\ = sint.
Квадратичная форма Р 4- Q имеет вид
P + Q =
2а
27-2
27-2
2/3
Эта форма положительно определена при а > 0 и а/3 — (7 — I)2 > 0,
не является неотрицательно определенной при а < 0 или а > 0
и а(3 — (7 — I)2 < 0.
Ответ. а > 0 и а/3 — (7 — 1 )2 > 0 =Ф> x(t) = 0 Е abs min;
а > 0 и а/3 - (7 — I)2 < 0 или а < 0 => x(t) loc extr; 5min =
= —00;
а > 0 и а/3 - (7 - I)2 = 0 или а — 0 и а/3 — (7 — I)2 > 0 =>
требуется дополнительное исследование.
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 97
Задачи
Решить задачи Больца 5.1—5.7.
1
5.1.	j±2(ft 4-4е2(0) — 5х2(1) —> extr.
о
1
5.2.	j(i2 + ж2) dt — 2я(1) sh(l) —» extr.
о
7Г
5.3.	j(i2 + х2 — 4rrsint) dt 4- 2е2(О) + 2х(тг) — ж2(тг) extr.
о
к/2
5.4.	J (х2 — х2) dt + я2(О)	4-4x^j ех^г‘
о
Го
5.5.	(Р) j (х2 + х2) dt + arc2(То) -* extr.
о
I
5.6.	+ x\Xz)dt + Х\(0)372(1) + гi(1 )x2(0) —> extr.
о
5.7.	j2i(ti + г) dt + 3z2(l) — x2(e) — 4x(e) —> extr.
1
В задачах Больца 5.8-5.10 найти допустимые экстремали,
з
5.8.	^4х2х2 dt + rr4(0) — 8ж(3) —> extr.
о
I
5.9.	^exx2dt 4- 4ех^ 4- 32е“х(1) —> extr.
о
1
5.10.	jef+1(i2 4- 2х2) dt 4- 2з?(1)(гс(0) 4-1) -* extr.
о
Решить простейшие задачи классического вариационного исчисле-
ния 5.11-5.80.
I
5.11.	ji2 (ft—» extr; з?(0) = 1, rr(l)~O.
о
Го
5.12.	ji2(ftextr; rtr(O) = 0, x(Tq) = £.
0
1
5.13.	j(rr — x2) dt —* extr; x(0) = x(l) = 0.
0
98
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
То
5.14.	| (х2 — x)dt —> extr;
о
1
5.15.	j(х2 + tx) dt —> extr;
о
i
5.16.	J(t2rr “ t2) dt -» extr;
о
To
5.17.	—» extr; x(O) •
о
3/2
5.18.	| (i3 + 2x)dt extr;
о
To
5.19.	J (i3 — x2)dt extr;
о
To
5.20.	j (x3 + x2) dt extr;
о
5.21.	[ti2 dt —> extr; x(l)
x(0) = 0, x(Tq) = e.
z(0) = z(l) = 0.
z(0)=x(l)=0.
= o, x(T0)=e
x(0) = 0,	=
x(0) = 0, х(Го)=е.
x(0) = 0, x(T0) = £.
= 0, x(e) = 1.
5.22.	j(l + t)x2dt —» extr; z(0) = 0, x(l) = l.
о
5.23.	|(^t2 + 2x)dt extr; z(l) = 1, x(e) = 0.
i
5.24.	j(x — tx2) dt extr; z(l) = 1, x(e) — 2.
i
2
5.25.	jt2x2dt extr; rr(l) = 3, x(2) —1.
i
з
5.26.	j(t2 — l)x2dt —> extr; я(2)=0, ж(3) = 1.
2
5.27.	J(2rr — t2x2)dt —> extr; #(1) = e, x(e) = 0.
i
i
5.28.	^x2x2 dt extr; x(0) = 1, x(l) = \/2.
о
§ 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 99
5.29.	(Р) [rft-+extr; я(0) = 1,	i
J X	\ О / У
о
1
5.30.	|еж£2Л extr; ж(0) = 0, х(1) = 1п4.
о
1
5.31.	j(i2 + хх + 12trr) dt —> extr; ir(O) = z(l) = 0.
о
5.32.	e j(tx2 + xx) dt	extr;	x( 1) = 0, x(e) = 1. i
5.33.	i j(t2i2 + 12x2) dt —» extr; ir(O) = 0,	rr( 1) = 1 (пример Гиль-
берта).	0
5.34.	j (x2 + x2) dt extr; x(-1) = x(l) = 1.
-i
5.35.	J (x2 + 4x2) dt extr; x(—1) = -1, x(l) = 1. -i
5.36.	i j(x2 + x2 + 2x) dt	extr; x(0) = x( 1) — 0. 0
5.37.	i j(x2 + x2 + tx) dt —> extr; x(0) = x( 1) =0. 0
5.38.	i j(4xsint — x2 — x2) dt —» extr; z(0) = z(l) = 0. 0
5.39.	i j (x2 + x2 + &x sh 2t) dt	extr; z(0) = x(1) = 0. 0 To
5.40.	j (i2 +x2 — 4xsint)dt extr; rr(O)=O, x(Tq) == 0 To
5.41.	j (x2 + x2 + 6x sh 2t) dt —> extr; x(0) = 0, x(Tq) = 0
5.42.	i j(i2 +x2 +4zsht)<ft extr; x(0) — —1, x(l) —0. 0 To
5.43.	J (i2 4-z2 +4xsht)dt extr; x(0) = 0, x(Tq) = 0
100
Гл. И. Классическое вариационное исчисление
5.44.	J(i2 + х2 4- 4хchi) dt —> extr; я(0) = rc( 1) = 0.
о
т0
5.45.	j (х2 + х2 4- 4хchi)dt -» extr; х(0) = 0, x(Tq) =
о
к/2
5.46.	j (х2 — x2)dt extr; х(0) = 1, 37~
о
*/4
5.47.	j (4х2 — х2) dt extr; rr(O) = 1, z(^J=O.
о
*/4
5.48.	j (i2 — 4x2) dt —> extr; z(0) = 0,	= — 1.
о
3w/4	/4
5.49.	j (i2 — 4x2) dt —> extr; x(0) = 0, x(-^-j=—l.
о
*/2
5.50.	j (2x 4- x2 - x2) dt -+ extr; z(0) = x\^ j = 0.
о
з~/2	/q
5.51.	j (x2 — x2 — 2x) dt -> extr; rr(O) = 0,
о
K/2
5.52.	j (i2 — x2 — tx) dt —> extr; x(0) = z= 0.
о
5.53.	j (x2 — x2 4- 4x sh t) dt	extr; я(0) =	— 0<
о
To
5.54.	j (i2 — x2 4- 4x sh t) dt extr; x(0) = 0, x(Tq) = £.
о
K/2
5.55.	j (6x sin 2t 4- x? — x2) dt -* extr; x(0) = x J = 0.
о
To
5.56.	j (x2 — x2 — 6x sin 2t) dt extr; z(0) = 0, z(To) — 6
о
K/2
5.57.	j (4xsint + x2 ~ x2)dt extr; z(0) =	— 0-
о
372	/3 \
5.58.	J (x2 — x2 — 4xsint) dt extr; j;(0) = rrf-yj = 0.
о
§ 5, Элементарные задачи классического вариационного исчисления 101
5.59.	тг/2 j (i2 — х2 + 4х cos t) dt —> extr; n	®(0) = zQ) = o.
5.60.	и тг/2 J (x2 — x2 + 4x cos t) dt —> extr; Q	x(°)=°,	=
5.61.	3ir/2 j (x2 ~ 4x cos t — x2) dt —> extr; о	x(0)=0, *(y)=-y
5.62.	To j (i2 - x2 + 4x cos t) dt —> extr; 0	x(0)=0, x(T0) = e.
1
5.63. 5.64. 5.65.	j (i2 + 3x2)e2t dt - 0 j(x2 — x2)e2tdt 0 To J (x2 — x2)e2t dt - 0		-> extr; z(0) = 1, z(l) = e. extr; x(0) = 0, x(l) = e.
			
			
			» extr; x(0) = 0, x(Tq) = £.
			
5.66.	i j sin x dt - 0	-> extr;	x(0) = 0, ®(1) = |.
5.67.	i J cos x dt  0 To	-> extr;	x(0) =0, x(l) = 7Г.
5.68.	J sinidt 0 To	—» extr;	x(0) = 0, x(To) = e
5.69.	J cos idt 0 T0	—* extr;	x(0) = 0, x(T0) = C
5.70.	J xe* dt - 0 To	> extr;	®(0) = 0, x(To) = e
5.71.	j (i5 + 5z) dt extr; z(0) = 0, x(Tq) = £. 0		
5.72.	(P) (1 -	x2)2 dt -	extr; z(0)=0, z(l)=£.
о
102
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
То
5.73.	j (i2 — хх3) dt —> extr; x(0) = 0, x(Tq) = 0 (исследовать
о
на экстремум допустимую экстремаль x(t) = 0).
5.74.	j(±2 — 4i3rc + 2fcr4) dt —> extr; x(0) = 0, or( 1) == 0 (иссле-
o
довать на экстремум допустимую экстремаль x(t) = 0).
5.75.	j dt -» extr; rr(O) = 1, zQ) =
0
5.76.	j dt —» extr;	z(l)=l.
1/2
у----
5.77.	j —df —> extr;	x(to) = xq, x(ti) = xj
<0
(zo >0» xi > 0).
To
5.78.	j x i/l + x2 dt extr; x(TQ) = x(-Tq) = £ (задача о мини-
-То
мальной поверхности вращения).
'fSL+^dt
J y/Х
to
-* extr; x(tQ) = xq, x(t\) = x\
(xq > 0, xi > 0) (задача о брахистохроне).
To
5.80.	j y/x + h y/1 +x2 dt inf; rc(O) — 0, x(Tq) =
о
В задачах 5.81-5.86 найти допустимые экстремали.
1
5.81.	j(£2 + т2 — 2x\x2)dt —> extr; х\ (0) = 2:2(0) = О,
о
2:1(1) — sh 1, 2:2(1) = — sh 1.
1
5.82.	j(2:2 + 2:| 4- 2xfX2) dt extr; 2:1 (0) = 2:2(0) = 0,
0
2:1(1) = 2:2(1) = sh 1.
1
5.83.	J(^i±2 +xix2)dt —> extr; 2:1(0) = 2:2(0) — 1,
0
£1(1) = e, r2(l) = l.

§ 5.	Элементарные задачи классического вариационного исчисления 103
тг/2
5.84.	j (£1^2 -x{x2)dt —» extr; xj(0) = х2(0) = 0,
о
5.85.	J(dri±2 + 6xit+ I2x2t2)dt extr;
^1(0) = z2(0) = 0, xi(l) = z2(l) = 1-
K/2
5.86.	j (x2 + 2xl + ^3 + 2a?ix2 + 2я2яз) dt —> extr;
о
rri(O) = rr3(O) == 1, z2(0) = -l,	x2^j=0,
/7Г\
Решить задачи с подвижными концами 5.87-5.107.
I
5.87.	jx2dt —> extr; rc(O) = 1.
о
i
5.88.	Ji2dt 4- ая2(1) —> extr; я(0) = 0.
о
т
5.89.	ji2 dt extr; ж(0) = 0, T + x(T) + 1=0.
о
т
5.90.	Ji2 dt extr; х(0) = 0, (Т - 1)х2(Т) + 2 = 0.
о
т
5.91.	ji3 dt —» extr; Т + х(Т) = 1, я(0) = 0.
о
I
5.92.	j(i2 + х) dt extr; я(1) =0.
о
т0
5.93.	(Р) j (х — х2) dt —> extr; я(0) = 0.
о
т
5.94.	j(i2 + х) dt extr; х(0) = 1.
о
т
5.95.	j(х2 + х) dt extr; х(Т) = Т.
о
т
5.96.	j(i2 + х) dt extr; я(0) = 0, х(Т)=£.
о
104
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
т
5.97.	|(ж2 4- х) dt extr; ж(0) = 0, х(Т) = Т.
о
т
5.98.	|(ж2 + х + 2) dt extr; х(0) = 0.
о
тг/4
5.99.	| (ж2 — ж2) dt —► extr; ж(0) = 1.
о
т0
5.100.	| (ж2 — ж2) dt —> extr;	ж(0) = 0.
о
тг/4
5.101.	j (ж2 — ж2 + 4ж cos t) dt extr; ж(0) = 0.
о
7Г/2
5.102.	j (ж2 — ж2 + 4ж sin t) dt —> extr; ж^~^=0.
тг/4
1
5.103.	|(ж2 + ж2) dt extr; ж(0) = 1.
о
i
5.104.	|(ж2 + ж2 4- 4жзЬ^) dt —> extr; ж(0) = 0.
о
1
5.105.	|(ж2 4- х2 + 4жсЬ£) dt —> extr; ж(1) = 0.
о
I
5.106.	(Р) |(ж2 4- ж2) dt — ж2(1) —> extr; ж(0) = 1.
о
т
5.107.	|(ж2 4- ж2) dt —> extr; ж(0) — 0, х(Т) = 1.
о
В задачах 5.108-5.115 найти допустимые экстремали.
т
5.108.	J(ж2 4- х2) dt —> extr; ж(Т) 4- Т — 1 — 0.
о
т
5.109.	j(ж2 4- х2) dt extr; ж(0) = 0, Т 4- х(Т) 4-1=0.
о
т
5.110.	|д/1 4- i2cft extr; ж(0) = 0, Т2х(Т) = 1.
о
5.111.	dt -> extr; z(0) = 1.
О
g 6. Изопериметрические задачи 105
5.112.	|^l±^dt-»extr; a:(0) = 1, T-x(T) = l.
0
T0
5.113.	Jrr	—» extr; x(Tq) = £.
о.
5.114.	J(-1-^ — 21x2)dt extr; ^(l) = j?2(l) = 1.
о
5.115.	j(-1-_ x\x2^dt extr; zi(0) = z2(0) = 1*
о
В задачах 5.116-5.120 выписать уравнение Гамильтона-Якоби.
5.116.	Jydt 5.117. |J(i2+z2)dt. 5.118. |J(i2-x2)dt.
5.119.	|хРуТ+±2<й. 5.120. Je* dt.
В задачах 5.121-5.126 найти общее решение уравнения Эйлера,
решая уравнение Гамильтона-Якоби.
5.121.	|ji2dt. 5.122. |J(i2 + x2)dt. 5.123. iJ(i2-x2)dt.
5.124.	J^^^dt. 5.125. x/T+i2dt.
5.126.	(P) jv/t2 + x2v<r+i2dt.
§ 6. Изопериметрические задачи
6.1.	Принцип Лагранжа для изопериметрических задач.
6.1.1.	Постановка задачи. Изопериметрической задачей
(с закрепленными концами) в классическом вариационном исчис-
лении называется следующая задача в пространстве С1 ([to, tj)
(или КС1 ([t0, ti])):
<^(ж(-)) = J/o(t, x(t), x(t))dt —► extr;
to
(з)
tl
^(x(-)) = jfj(t, x(t), i(t))dt = i = l,...,m;	(1)
to
rr(t0) = XQ, x(t\) = X\.
(2)
106 Гл. II. Классическое вариационное исчисление
Здесь /t:R3—> R, i==0, 1, ...» m, — функции трех переменных.
Константы ль ..., ат — заданные фиксированные числа.
Ограничения вида (1) называются изопериметрическими. Функ-
ции /i, i = 0, 1, .... т, называются интегрантами. Функции ж(-) е
е C'1([to, ti]), удовлетворяющие изопериметрическим условиям (1) и
условиям на концах (2), называются допустимыми.
Будем говорить, что допустимая функция £(•) доставляет в за-
даче (з) слабый локальный минимум (максимум), и писать х(-) €
е loc min з (loc max з), если существует 8 > 0 такое, что для любой
допустимой функции #(•), для которой ||х(-) — £(-)||1 < выполняется
неравенство
^о(х(-)) > ЭД-)) (<^«)) ^о(?('))).
6.1.2.	Правило решения.
1.	Составить лагранжиан:
ТП
L = L(t, х, х, А) = ^2 Ai/i(t, х, i), А = (Ао, Аь ..., Ат).
£=0
2.	Выписать необходимое условие экстремума — уравнение Эйлера
для лагранжиана L*.
т	т
-±Lx(t) + Lx(t) = o^-± (£	+ V Xifix(t) = о.
аь	аь \	/	«
г=0	г=0
3.	Найти допустимые экстремали, т. е. допустимые решения уравне-
ния Эйлера для лагранжиана L при векторе множителей Лагранжа А,
не равном нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи
Ао = 0 и Ао 0. Во втором случае можно положить Ао равным единице
или любой другой, отличной от нуля константе.
4.	Отыскать решение среди найденных допустимых экстремалей
или доказать, что решения нет.
6.1.3.	Правило множителей Лагранжа.
Теорема. Пусть — открытое множество в пространст-
ве R3,	> R, i = 0, 1, ..., т, — функции, непрерывные в
вместе со своими частными производными fix и fa (условие глад-
кости), х(-) Е С1 ([to. tj), (t, x(t), x(t)) Vt G [to, tj.
Тогда, если функция x(-) доставляет слабый локальный экстре-
мум в изопериметрической задаче (з), то найдутся множители
Лагранжа Ао, А|, ..., Ат, не все равные нулю и такие, что для
т
лагранжиана L = 52 х> х) выполнено уравнение Эйлера
г=0
Если выполнено условие регулярности, состоящее в том, что функ-
ции fix(t) + fix(t), i = 1, ..., т, линейно независимы, то Ао 0.
§ 6. Изопериметрические задачи
107
Эта теорема является очевидным следствием теоремы п. 2.3.3, где
сформулирован принцип Лагранжа для задач с равенствами и нера-
венствами. Однако мы даем ниже ее непосредственное доказательство.
<1 А) Вычисление вариаций по Лагранжу функцио-
налов «^. Напомним, что согласно §1 вариацией по Лагранжу
функционала & в точке £(•) называется функционал ж(-) —> <5«^(£(-),
я(-)), определяемый по формуле ^«^(х(-), #(•)) = lim(<^(x(-) + Аж(-)) -
— <^(х(-)))/А. Фактически вариации интегральных функционалов ва-
риационного исчисления были вычислены нами в пп. 5.1.3, 5.2.3. При-
меняя дифференцирование под знаком интеграла, аналогично тому, как
это было сделано выше, приходим к формуле
5^(2( ), х(-)) =	+ fix(t)x(t)) dt,
«о
i = 0, 1, ..., m.
Б) Построение конечномерного отображения и выде-
ление вырожденного и регулярного случаев. Рассмотрим
следующее линейное отображение пространства C^([to, ti]) = {я(-) €
€ С1 ([t0, ti]) | x(to) =x(ti) = 0} в Rm+I:
- (5«%(x(.), x(-)), здэд, so,*(•)))•
Возможны два случая:
а)	отображение А является отображением на все Rm+1, т. е. Im А =
= Rm+l (регулярный случай);
б)	отображение А является отображением на часть Rm+1 (вырож-
денный случай).
В) Доказательство теоремы в вырожденном случае.
Образ линейного пространства при линейном отображении является,
как известно, подпространством. Значит, в вырожденном случае Im А
есть собственное подпространство в Rm+1. Но тогда по лемме о
нетривиальности аннулятора в конечномерном пространстве (п. 1.3.1)
найдутся такие числа Ао, Ai, ..., Am, не все равные нулю, что
т
У2 ^Zi = 0 Z = (^0, , • • • , zm) Е Im А.
г=0
Теперь, если вспомнить определение оператора А и выражение
для 5^(£(-), я(-)), то получим
t| т
J	+ ^»(t)x(t)))dt = о
*о г=0
Vx(-)eC^([t0. *>])•
108
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
Но тогда из леммы Дюбуа-Реймона (п. 5.1.3) следует, что	€
е С1 ([to, tj) и, значит,	’-0
+f;wfe(t)=о.
г=0	г=0
Г) Невозможность регулярного случая. Выберем ajj(-) €
G Cq([t0, tj) так, чтобы Axj(-) = ej, где eo = (1, 0, ..., 0), ..., em —
= (0....0, 1) — канонический базис в R’n+I. Рассмотрим отображе-
ние Ф окрестности нуля из Rm+* в Rm+I:
Ф(Д) = (^о(А), /?1.Pm), ^1(А), 01...0т),
• •  > Рт(0О> Pl, • • • t Pm)),
Г*е
<pi(Po, Pi...Pm) = <^(®(-) +i = 0, 1, .... m.
j=0
Нетрудно проверить, что функции непрерывно дифференци-
руемы и при этом
= 5^(х(-), х,(-)) = 5ij,
Ф(0) = («о, «1..am)d=z, а0 =f <%(£(•)).
По теореме об обратной функции (п. 1.5.3) существуют обратное
гладкое отображение Ф-1 и константа К > 0 такие, что
|ф-1(г)|^/ф-2|
при малых z — z. В частности, для любого достаточно малого по
модулю е найдется такой вектор /3(е) = (0о(е)./W£)), что 0(e) =
= Ф-|((«о + £, «1..«т)), т.е.
¥>о(/3(е)) = а0 + £ ^ ^о(х(-) + ^Д,(е)ху(-)) = ^(х(-)) + е,
j=0
<?Ж£)) = оч «=>	+ ^^(Ф>(-)) = “«, г = 1, .... т,
>=о
и при этом
\(3&\ = \$-\aQ + €, аь...,ат)|^Ш
Получилось, что в любой окрестности функции £(•) (в пространст-
ве С!([^оЛ1])) существует допустимая функция (а именно £(•) 4-
m
+ S	ПРИ достаточно малом е), для которой значение функ-
i=°
ционала как больше, так и меньше, чем <%(£(•)). Пришли к противо-
речию с допущением, что £(•) € loc extr. >
§ 6. Изопериметрические задачи
109
6.1.4. Пример.
1	1
> extr; Jrrdt = 0, х(0) = 0, ят(1) = 1.
о	о
Решение. 1. Лагранжиан: L = Ао£2 4- Хх.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера
4"	= 0	—2Aqt 4" А — 0.
3.	Если Ао = 0, то А = 0 — все множители Лагранжа — нули. В
этом случае допустимых экстремалей нет. Положим Ао = 1 /2. Тогда
х — Х. Общее решение: х = C\t2 4- C2t + С3. Неизвестные констан-
ты Сь С2, Сз находим из условий на концах и изопериметрических
условий
гг(О) = О <==> С3 - О, Л
х(1) = 1 <=> G 4-G = 1,	С1=3,
11	Z "К	1	’
jxdt = O^ j(Cit2 + C2t)dt = O<5=i> у + у =0 I С2 = -2.
0	0	)
В задаче имеется единственная допустимая экстремаль х = 3t2 — 2t.
4.	Покажем, что £(•) доставляет абсолютный минимум. Действи-
тельно, возьмем допустимую функцию я(-); тогда х(-) - £(•) = Д(-) е
1
G C(j([O, 1]) и |/idt = O. Далее,
О
1 1 1 1 1
<У(я(-)) — <^ (£(•)) = j(£ 4- h)2dt — pr dt = |2'r/i<ft 4-|А2бЙ > 2
о	oooo
Интегрируя по частям, получим
1	i	i 1	i
^xhdt = pcd/i = £(£)/&(£) |o—pr/zdt = — 6 ^hdt = 0.
oo	oo
Таким образом,	^(£(-)) для любой допустимой функ-
‘ 2 г
ции #(•). Нетрудно получить, что 5min = £ dt = (6t — 2)2dt = 4.
о о
Ответ. Функция £ = 3t2-2t доставляет в задаче абсолютный
минимум; значение задачи 5min = 4; очевидно, что 5тах = 4-оо.
6.2. Необходимые условия высших порядков и достаточные
условия.
6.2.1. Теория. Рассмотрим изопериметрическую задачу
^о(ж(-)) inf; ^(яг(-))=аг,	г=1,...,т;
rc(fo) - xq, x(t\) = Х\у
по
Гл. И. Классическое вариационное исчисление
где
«1
<^(ж(-)) = х, i)dt, i = 0, 1, т,
to
<^e^(R3).
Будем далее предполагать, что интегранты fi по меньшей мере
принадлежат классу С2(^<). Пусть £(•) е C2([to» *d) — экстремаль
задачи (з) с Aq — 1, т.е. на ней выполнено уравнение Эйлера для
тп
интегранта L == /о + £ ^ifi с некоторыми множителями Лагранжа А*.
i==1
Говорят, что на £(•) выполнено условие Лежандра (усиленное условие
Лежандра), если
(Lii(t)>0) Vte[t0, ti].
При наших допущениях относительно гладкости интегрантов fi
ti
функционал ^(х(-)) = ^Ldt имеет вторую производную по Фреше в
точке х(-):
ti
ЛГ(х(-)) = .Г'(£(-))[х(-), *(•)] = J(Ae2 + 2Схх + Вх2) dt,
to
где A(t) = Lii(t), C(t) = Lxx(t), B(t) = Lxx(t).
Если x(-) e loc min з, то по необходимому условию второго порядка
в задачах с равенствами (п. 2.5.3) функция х(-) = 0 е abs min в задаче
гг(-)] - inf; Ш)М)1 = 0;
x(tQ) -x(t\) =0.
Правило множителей Лагранжа, примененное к этой задаче, приво-
дит к уравнению
\	(Ах + Сх) 4- Сх + Вх +	= 0,
г=1
где gi(t) = — fix(t) 4- fix(t)- Это уравнение называется (неоднород-
ным) уравнением Якоби для (з) на экстремали £(•).
Пусть на экстремали £(•) выполнено усиленное условие Лежандра.
Точка т называется сопряженной к точке to, если существует нетри-
виальное решение h неоднородного уравнения Якоби, для которого
j^(i)/i(t) dt — 0, г = 1, ..., ?n, h(to) == h(r) = 0.
to
Говорят, что на х(-) выполнено условие Якоби (усиленное условие
Якоби), если в интервале (to, tt) (полуинтервале (to. tj) нет точек,
сопряженных с to-
§ 6. Изопериметрические задачи
111
Дадим аналитическое средство нахождения сопряженных точек для
случая, когда функции gi, i = 1, ..., т, линейно независимы на отрез-
ках [ть, Ti], to То < Л С й- Пусть ho — решение однородного урав-
нения Якоби (pi = 0, i = 1, ..., т) с краевыми условиями /го(^о) = О,
A-o(to) = 1;	~ решение неоднородного уравнения Якоби с = 1,
Pi = 0, г j, и краевыми условиями hj(tQ) = hj(to) = 0, j = 1, ..., m.
Нетрудно понять, что точка т является сопряженной тогда и только
тогда, когда матрица
Я(т) =
Ло(т) ... hm(r)
Т	т
dt . . .
to	to
является вырожденной.
Теорема 1. Необходимые условия слабого минимума.
Пусть в задаче (з) интегранты г = 0, 1, ..., тп, удовлетворяют
условию гладкости fi € Cf3(<2<). Если £(•) 6 C2([to, tj) доставляет
слабый минимум (з) и при этом имеет место условие регулярности,
заключающееся в линейной независимости на любом отрезке [to, т],
[т, tj] при любом г функций
5i(t) =	fix («) + fix(t), i = 1.m,
mo x(-} — экстремаль задачи (з), на которой удовлетворяются
условия Лежандра и Якоби.
Достаточные условия сильного минимума. Пусть =
= V х R, V € ^(R2), интегрант £ = /о +	€ С4(^) квазире-
гулярен для всех (t, х) € V и на допустимой экстремали £(•) 6
€ C3([to, tj) задачи (з) выполнены усиленные условия Лежандра,
Якоби и условие регулярности. Тогда х(-) доставляет сильный ми-
нимум.
Теорема 2. Пусть в задаче (з) функционал «Я) квадратичен'.
tj
^о(х(-)) = J (A)i2 + Bqx2) dt,
- to .
функционалы линейны:
ti
= (aii + bix) dt, i = 1, ..., m,
112
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
причем функции Ао, аь ..., непрерывно дифференцируемы,
функции Bq, bi, bm непрерывны и выполнены усиленное условие
Лежандра и условие регулярности. Тогда, если не выполнено условие
Якоби, т.е. в интервале (Iq, t\) есть сопряженные точки, то
нижняя грань в задаче равна —оо. Если выполнено усиленное условие
Якоби, то допустимая экстремаль существует, единственна и
доставляет абсолютный минимум.
6.2.2. Пример.
То	То
1.	J (£2 — х2) dt —> inf; j х dt — 0, я(0) = x(Tq) = 0.
о	о
2.	Необходимое условие — правило множителей Лагранжа: х + х -
- А = 0.
3.	Общее решение уравнения п. 2 с условием я(0) = 0 есть x(t) =
= Asint + B(cost - 1). Среди допустимых экстремалей всегда имеется
допустимая экстремаль x(t) = 0.
4.	Применяем достаточные условия п. 6.2.1 (теорема 2). Условие
Лежандра выполнено: Ао = 2 > 0. Проверим выполнимость условия
Якоби. Уравнение Якоби здесь совпадает с уравнением Эйлера. Реше-
ние До однородного уравнения с условиями ^о(О) = 0, Ао(О) = 1 есть
sint. Решение h\ неоднородного уравнения £ + я + 1 = 0 с условиями
= Л1(0) = 0 есть cost — 1. Матрица H(t) имеет вид

ho(t) hi(t)
t	t
sint
1 — cost
cos t — 1
sin t — t
Таким образом, сопряженные точки — это решения уравнения
det H(t) = 2 — 2 cos t — t sin t = 0 <$=> sin t/2 = 0, t/2 = tg t/2.
Ближайшая к нулю сопряженная точка: t\ = 2тг.
Ответ. Из теоремы 2 п. 6.2.1 следует, что при То < 2тг £(•) =
= 0 — единственная допустимая экстремаль, доставляющая абсолют-
ный минимум, Smin = 0; при Tq > 2тг Smin = — оо. Можно показать,
что при Tq = 2тг допустимые экстремали имеют вид z(t) = Csint и
они доставляют абсолютный минимум, £тш = 0.
Примечание. Рассмотренную задачу заменой у = х, у(0) = 0
можно свести к задаче со старшими производными:
То
I (у2 - у2) dt - inf; 3/(0) = у(0) = у(Т0) - у(Г0) = 0,
о
а ее можно исследовать методами п. 7.2.2.
§ 6. Изопериметрические задачи
113
Задачи
Решить изопериметрические задачи 6.1-6.17.
1 6.1. Ji2 dt —> extr; о	i prd£ = O, a:(0) = 1, z(l) — 0. 0
i 6.2. ji2 dt —> extr; 0	i j\rdt = 3, rr(O) = 1, rr(l) = 6. 0
i 6.3. ji2 dt —> extr; 0	I jta<tt = O, x(0) = 0, x(l) = 1. 0
i 6.4. ji2 dt —► extr; 0	i jtxdt = 0, a? (0) = — 4, a:(l)=4. 0
i 6.5. Ji2 dt —> extr;	i	i ^xdt = 1, Jfcr<ft = O, rr(O) = rc(l) = 0.
0	0	0
6.6. ji2 dt extr;	pr<ft = —ltxdt = —2, x(0) = 2,
0	0	0 x(l) = —14.
6.7. ji2 dt —> extr;	prcostdt=^, ж(0) = 1, 1г(7г) = —1.
0 1T	0 7Г
6.8. ji2 dt extr; 0	Jxsint<tt = O, т(0) = 0, ге(тг) = 1. 0
6.9. Jar sin tdt —> extr;	j±2dt = -~, rr(O) — О, я(тг) = тг. A	A	
u 7Г	и 7Г	7Г
6.10. (x2dt —> extr;	Lrcostcfc = — ; Lrsintdt = тг + 2,
j 0	J	"	J 0	0 х(0) = 2, гс(7г) = 0.
6.11. I$2dt extr; 0	jxe~tdt = ef x(l)=2, x(0) = 2e4-l. 0
i 6.12. ^x2dt —> extr; 0	i =	я(0) = 0, z(l) = I. 0
1	1	2 6.13. (P) J(i2 + x2) dt —> extr; pre* dt = 0	0	
я(0) = 0, я(1) = е.
114
Гл. //. Классическое вариационное исчисление
1	1	-2 6.14. f(i2 + x2) dt —► extr;	pre"”* dt =	, t(0) = 0,
° ° *(!) = ;
2	2	7 6.15. (P) jt2i2 di—> extr; ^txdt = -, z(l) = 1, t(2) = 2. 1	1
2	2 6.16. jt3i2 dt —* extr; fxdt = 2, t(1) = 4, t(2) — 1. 1	1
1	1 6.17. (P) Ji2 di extr; ^x2dt = 1, т(0) = t(1) = 0. 0	0
В задачах 6.18-6.25 найти допустимые экстремали.
7Г	ТГ
6.18. J(i2 — x2)dt —> extr; prcostdt = 1, x(0) — я(тг) = 0.
о	о
тг/2	7г/2
6.19.	J (х2 — х2) dt —> extr; Jrrsintdt= 1, т(0) =	= 0.
о	о
То	То
6.20.	(Р) J xdt-> extr; J \/1 +i2 dt — I, x(~Tq) = x(Tq) = О
-To	-т0
(задача Дидоны).
To ________ т0
6.21.	j x x/1 + x2 dt -» extr; j x/1 + x2 dt = I,
~T°	~Т°	x(-To) = x(T0) = 0.
6.22. jiji2dt - 0	extr; Jxidt= 1, Xi(O) = ti(1) — 0; 0	1 Ja?2 dt = 0, t2(0) — 0, t2(1) = 1. 0
1 6.23. jiii2 dt - 0	1	1 -♦ extr;	dt = jta:2 dt = 0, 0	0 371(0) = T1(1) = z2(0) = 0, T2(l) = I.
1	1
6.24.	j(#i + X2) dt -» extr; jijx% dt = 0,
о	0
Ti(O) = £2(6) = 0,	ti(1) = 1,
1	1
6.25.	jt(Ti — x%)dt —► extr; ^i^dt = —
°	яч(О) = x2(0) = t2(1) — 0,
t2(1) = -3.
Ti(l) = 2.
§ 7. Задачи со старшими производными
115
§ 7.	Задачи со старшими производными
7.1.	Необходимое условие первого порядка.
7.1.1.	Постановка задачи. Задачей со старшими производными
(с закрепленными концами) в классическом вариационном исчислении
называется следующая задача в пространстве Cn([to, ti]):
SF(#(•)) — jb(t, x(t), i(t), ..., x(n\t))dt —> extr;	(з)
*0
fc-0, 1, ...,n-l, J = O, 1.	(1)
Здесь L: Rn+2 —> R — функция n + 2 переменных. Функция L на-
зывается интегрантом. Функции х(-) G Cn([to, t|]), удовлетворяющие
условиям (1) на концах отрезка [to, tj, называются допустимыми.
Будем говорить, что допустимая функция £(•) доставляет в (з)
слабый локальный минимум (максимум) в пространстве Cn([to, й]),
если существует 8 > 0 такое, что для любой допустимой функции я(-),
для которой ||гг(-) - £(•)||cn([to,ti]) < выполняется неравенство
^(т(.)) > ^(£(-)) (&(*()) с ^(2(-))).
и будем писать при этом J(-) е loc min з (loc max з).
7.1.2.	Правило решения.
1.	Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з) п. 7.1.1.
2.	Выписать необходимое условие — уравнение Эйлера-Пуассона'.
fc=0
3.	Найти допустимые экстремали, т.е. решения уравнения Эйлера-
Пуассона с заданными краевыми условиями.
4.	Доказать, что решением является одна из допустимых экстрема-
лей, или показать, что решения нет.
7.1.3.	Уравнение Эй л ера-Пу ас сон а.
Теорема. Пусть € ^(Rn+2), L:	» R — интегрант, яв-
ляющийся непрерывной функцией вместе со своими производными
по х, х, ..., х(п) (условие гладкости), (t, x(t), x(t), ..., x№(t)) €
Vt G [to, ti].
Тогда, если функция £(•) доставляет локальный экстремум в
задаче со старшими производными (з) в пространстве Cn([to, tj),
то выполнено следующее уравнение*.
(* ’ *	+ Lx<n-2)(t) \.. Л + Lx(t) = 0.
Если допустить, что Lx(k)(-) e Ck([tQ, tj), fc = 0, 1, ..., n, то по-
лучим уравнение Эйлера-Пуассона.
116 Гл. И. Классическое вариационное исчисление
<1 А) Определение вариации по Лагранжу. Дифферен-
цируя под знаком интеграла так же, как мы это делали в пп. 5.1.3,
5.2.3, 6.1.3, приходим к следующей формуле:
<W(0- *(•)) =
to &=0
Б) Усиленная лемма Дюбуа-Реймона. Пусть ад.(-) €
е C([to, 11]), к = 0, 1, ..., п, и для любой функции € Cn([to, tj]),
=0, j = 0, 1, ..., n — 1, i = 0, 1, выполняется равенство
J(f>fe(t)x(*)(t))dt = O.	(1)
t0 lc=Q
Тогда на отрезке [to, tj непрерывно дифференцируемы функции
an(‘),	ап(') + ttn—1 (*)» ~~ [~~dt	&n~	"I” an~ 2’
и выполняется равенство
0 ’ *	an(^) + an-i(t) \ + an-2(0) • • •) + «о(0 = 0-
etc \	\ etc \ CtC	/	/	/
« Рассмотрим следующую систему из п линейных дифференци-
альных уравнений:
-ро + ао = 0,
-pi -po + ai =0,
-Рп-1 -Рп-2 + ап-1 =0.
Система (2) легко решается с помощью последовательного интег-
рирования уравнений, начиная с первого. При этом функция pn-i(-)
определена с точностью до многочлена степени n— 1. Подберем этот
многочлен таким образом, чтобы для функции рп-1(*) выполнялись
соотношения
|^-т)к(р„_1(т)-ап(т))</т = 0, А: = 0,1.......п-1.	(3)
*0
Рассмотрим функцию р(-), определяемую по формуле
У(0 = (w_ j)'; J “ Т)П *(Pn-i (т) - оп(т)) dr.
*0
Из определения функции г/(-) вытекает, что = pn_i(-) — ап(-)
и y^(to)=O, fc = 0, 1, ..., n-1. В силу условий (3) ?/fc)(ti)=0,
fc = 0,	1, т.е. */(•)€ Cq ([to Л1])- Следовательно, для у(-)
выполняется соотношение (1). Таким образом,
°=/(EpfcWy(fc)w
t0 fc=0
g 7, Задачи co старшими производными 117
о=J (22 a*: Wj/(fc) w) =
to fc=0
= j (E	+ (Pn-i(t) - yW(t))yW(t))dt.
t0 fc=0
Заменяя в последнем интеграле ajb(-) на их выражения из систе-
мы (2), получим
+ Epfe(t)y(fe+1)W-(y(n)W)2)dt =
к=°	t] п-1	, t,
=J(E^w^(fc)w)dt -1 (y(n)W)2^-
t0 fc=0	to
Учитывая, что y^(t\) = 0, к — 0, 1, ..., n — 1, i = 0, 1, из послед-
*i
него соотношения следует, что J(?/n)(t))2dt = 0. Поэтому y(n\t) =
*0
= 0 и, значит, Pn-i(^) = an(t). Из последнего уравнения системы (2)
вытекает, что ап(-) € С1 ([t0, *i])- Аналогично, из (2) следует непрерыв-
ная дифференцируемость остальных, указанных в лемме функций и
справедливость дифференциального уравнения. > >
Очевидно, что лемма Дюбуа-Реймона из п. 5.1.3 является частным
случаем усиленной леммы Дюбуа-Реймона.
В) Завершение доказательства. Мы предположили, что
£(•) G loc extr з. Тогда из определения локального экстремума следует,
что функция <р(А) =	+ Ая(-)) имеет локальный экстремум в
нуле и, значит, </(0) =f 5^(х(-), □;(•)) = 0. В силу произвольности
я(-) € Q([*o, й]) получаем, что
х(-)) =0 Vz(.)eC£([t0,ti]).
Теперь, если сопоставить вид первой вариации S<F(x(-), х(-)), вы-
писанный в п. А), с усиленной леммой Дюбуа-Реймона, то получится
утверждение теоремы, о
7.	1.4. Пример.
I
|#2€Йextr; я(0) == i(0) == я(1) = 0, i(l) = 1.
о
Решение. 1. Интегрант: L = х2.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера-Пуассона
Ls(t) - Li(t) + Lx(t) = 0	x&(t) = 0.
Civ	(1Ъ
118 Гл. И. Классическое вариационное исчисление
3.	Общее решение уравнения Эйлера-Пуассона: x(t) = C\t3 4-
4- C%t2 4- C$t + Сд. Неизвестные константы С\, С<^ С3, С4 определяют-
ся из краевых условий
2г(0) = 0 => С4 — О,
i(0) = 0 => С3 = О,
=	=	1	Cl = 1,
i(l) = I =► ЗС| + 2С2 = 1 J	С2 = -1.
Значит, в задаче имеется единственная допустимая экстремаль х —
= t3-t2.
4.	Покажем, что она доставляет абсолютный минимум в задаче.
Действительно, если h(-) е Cq([0, 1]), то
1	lit
+ /г(-)) = j(J + h)2dt = pr2(tt 4-	4- j/i2dt.
0	000
С помощью двукратного интегрирования по частям, учитывая, что
/г(0) = Л(1) = А(0) = Л(1) — 0, получаем
fxhdt — jxdh, =	jx h dt — — jrr dh = —	= 0.
00	00	0
Следовательно,
^(x(.) + &(•)) = ^(x(-)) + р<й > ^(£(-))>
0
1	1
Smin = jx2 dt = j(6i - 2)2 dt = 4.
0	0
Ответ. Функция x = t3 — t2 доставляет в задаче абсолютный
минимум, Smin = 4, Smax = 4-00.
7.2.	Необходимые условия высших порядков и достаточные
условия.
7.2.1.	Теория. Рассмотрим задачу со старшими производными:
«I
•)) = |L(t, х, х, ..., х^) dt —► inf;
to
x(k\tj) = Xj, k = 0, 1, ..., n — 1, j = 0, 1,
где L:	R, e ^(Rn+2).
Будем далее предполагать, что интегрант L по меньшей мере при-
надлежит классу С2п(^). Пусть £(•) е C2n([t0, tj) — экстремаль (з),
т. е. на ней выполнено уравнение Эйлера-Пуассона.

§ 7. Задачи со старшими производными
119
Говорят, что на £(•) выполнено условие Лежандра (усиленное
условие Лежандра), если
Дг(п)х(л) W 0 (Lx(n)x<n)(t) >0) Vt е [to, ti].
При наших допущениях относительно гладкости интегранта L
функционал & имеет вторую производную в точке £(•):
^"(ЭД)[*(’).	(*(•)).
где
(t)»
(О
Уравнение Эйлера-Пуассона для функционала Ж называется уравне-
нием Якоби для (з) на экстремали £(•).
Для квадратичного функционала, имеющего «диагональную» форму
= (1')
t0 fc=0
уравнение Якоби приобретает вид
п	, Jxfc
£(-l)fe(A) (Afcx«) = 0.
fc=0
Пусть на #(•) выполнено усиленное условие Лежандра. Точка т
называется сопряженной к точке to, если существует нетривиаль-
ное решение h уравнения Якоби, для которого hW(t0) = h^(r) =
= 0, i = 0, 1, ..., п — 1. Говорят, что на х(-) выполнено условие Якоби
(усиленное условие Якоби), если в интервале (to, t\) (полуинтерва-
ле (to, tj) нет точек, сопряженных с t0.
Уравнение Якоби — это линейное уравнение 2п-го порядка, которое
(из-за усиленного условия Лежандра) можно разрешить относительно
старшей производной. Пусть hj(-), ..., hn(-) — решения уравнения
Якоби, для которых H(to) = 0, a H^(tQ) — невырожденная матрица,
где
H(t) =
h}(t) ...hn(t)



Очевидно, что точка г является сопряженной к to тогда и только тогда,
когда матрица Н(т) является вырожденной. Это дает аналитическое
средство нахождения сопряженных точек.
120 Гл. //. Классическое вариационное исчисление
Пусть % = V х R, где V е ^(Rn+1). Мы назовем интегрант L:
V х R —> R квазирегулярным на V, если функция х^ —> L(t, х, ...
...,	выпукла V (t, xf ..., х^п~^) е V.
Наконец, мы скажем, что £(•) е KCn([to, ti]) доставляет сильный
минимум в (з), если найдется г > 0 такое, что для любой допустимой
функции х(-) е KCn([tQ,ti]) такой, что ||х(«) - £(-)||с— «([й),й]) <
выполнено неравенство <^(я(-)) > ^('г(-)).
Теорема 1. Необходимые условия слабого минимума.
Пусть в задаче (з) интегрант L удовлетворяет условию гладкости
L € Cn+2(<2f). Если £(•) € С2п([to, tj) и доставляет слабый мини-
мум в (з), то функция х(-) должна быть экстремалью, на которой
выполнены условия Лежандра и Якоби.
Достаточные условия сильного минимума. Пусть W =
= V х R, V G ^(Rn+1) и в дополнение к условию гладкости интег-
рант L квазирегулярен на V.
Тогда, если £(•) € C2n([to, t1]) и при этом £(•) — допустимая
экстремаль, на которой выполнены усиленное условие Лежандра и
усиленное условие Якоби, то £(•) доставляет сильный минимум в
задаче (з).
Теорема 2. Пусть в (з) функционал имеет вид (Iх), Ль(-) €
G Cfc([to, t1]) и выполнено усиленное условие Лежандра (An(t) > 0
Vie [to, ti]).
Тогда, если не выполнено условие Якоби, т. е. в интервале (to, tj)
есть сопряженная точка, то нижняя грань в задаче равна —оо. Если
выполнено усиленное условие Якоби, то допустимая экстремаль
существует, единственна и доставляет абсолютный минимум.
Теоремы 1, 2 будут доказаны в § 10. Там же будет выведено необ-
ходимое условие Вейерштрасса для сильного минимума.
7.2.2.	Пример.
То
1.	J (х2 — ж2) dt —> extr; я(0) = i(0) = я(7о) = £(7о) = 0.
о
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера-Пуассона "х + х = 0.
3.	Общее решение уравнения Эйлера-Пуассона: x(t) = C\sint +
4-С2 cos t + Cst + C^ Среди допустимых экстремалей всегда имеется
допустимая экстремаль x(t) = 0.
4.	Применяем достаточные условия п. 7.2.1 (теорема 2). Усиленное
условие Лежандра выполнено: L^x(t) = 2 > 0. Проверим выполни-
мость условия Якоби. Уравнение Якоби здесь совпадает с уравнением
Эйлера-Пуассона. Положим
h\(t) = 1 — cost, Л2(0 = sint — t,
1 — cos t sin t — t
sin t cos t — 1
h2(t) _
Ai(t) h2(t)
я(«) =

§ 7. Задачи со старшими производными
121
Тогда Я(0) = О,
detff(O) =
/11(0) МО)
А 1(0) М°)
/0.
о
-1
1
о
Таким образом, сопряженные точки — это решения уравнения
detH(t) = 2(cost — 1) + tsint = 0 <=> sin ~ = 0, - = tg |.
Ближайшая к нулю сопряженная точка: t\ = 2тг.
Ответ. Из теоремы 2 п. 7.2.1 следует, что при То < 2тг £(•) = 0 —
единственная допустимая экстремаль, доставляющая абсолютный ми-
нимум, 5min = 0; при То > 2тг Smin = —оо. Можно показать, что при
То = 2тг допустимые экстремали имеют вид x(t) = С(1 — cost) и все
они доставляют абсолютный минимум, Smax = +оо.
Задачи
Решить задачи со старшими производными 7.1-7.27.
1
7.1.	Ji2dt extr; яг(О) = i(0) = i(l) = 0, я(1) = 1.
о
1
7.2.	Ji2dt extr; х( 1) = i(l) = я(0) = 0, £(0) = 1.
о
1
7.3.	J(£2 - 4&r) dt extr; я(1) = i(l) = 0, я(0) = 1, £(0) = -4.
о
1
7.4.	|(4&г — я2) dtextr; я(0) = i(0) = 0, ят(1)= 1, i(l) = 4.
о
7.5.	j(24trr — x2)dt extr; я(0) = i(0) = rc(l) = 0, я(1) =
! о
7.6.	[(х2 - 24tx)dt —> extr; я(0) = i(0) = 0, я(1) = |, i(l) = 1.
J	о
о
7.7.	|(я2 — х2) dt extr; ж(0) = 0, ±(0)= 1, ж(тг) = 8Ьтг,
о
£(тг) = сЬтг.
7.8.	|(ё2 — x2)dt extr; я(0) — i(0) = О,
— ch 7Г + 1, i(7r)=sh7r.
То
7.9.	(Р) J (х2 - х2) dt -> extr; х(0) = i(0) = х(Т0) = х(Т0) = 0.
О
122
Гл. IL Классическое вариационное исчисление
7.10.	|(ё2 — х2) dt extr;
о
То
7.11.	J (£2 + 4х2) dt —> extr;
о
1
7.12.	j(i2 +4я2)сЙ extr;
о
7.13.	j(i2 + 4я2) dt extr;
о
тг/2
7.14.	J (£2 — х2) dt extr;
о
7.15.	J(i2 — х2) dt extr;
о
i
7.16.	J(£2 + x2) dt extr;
о
i
7.17.	j(£2 + i2)dt extr;
о
To
7.18.	j (£2 + x2) dt extr;
о
t(0) = i(0) = 0,
х(тг) = sh?r, ±(тг) = сЬтг + 1.
z(0) = ±(0) = 0,
x(Tq) = Co, t(To) = Ci •
x(0) = —1, i(0)=0,
£(тг) = shTr, х(л) = ch?r.
x(0) = i(0) = гг(тг) — 0, £(тг) = sh?r.
x(Q) = i(0) = 1,
чюч. *®=°-
z(0) = i(0) = х(7г) = 0, я(тг) = 1.
x(0) = 1, i(0)=0,
rc(l) = ch 1, i(l) = sh 1.
x(0) = 0, i(0) = 1,
z(l) = sh 1, i(l) = ch 1.
z(0) = i(0) = x(TQ) = i(T0) = 0.
. >4» V»
i
7.19.	je-ti2 extr; z(0) = 0, i(0) = 1, z(l) = e, i(l) = 2e.
о
i
7.20.	je~*a;2 dt —* extr; z(0) = i(0) = 1, x(l) = i(l) = e.
о
i
7.21. j(t+ 1)ж2<й
о
extr;
i
7.22. j(t + l)2x2
о
—> extr;
x(0) = i(0) = 0, x(l) = 1,
z(0)=0, ж(1)=1п2,
i(O) = l,
i(l) = 2.
®(1) =
fl 7. Задачи co старшими производными 123
7.23.	j(t + l)tx2dt —> extr; ж(1)=0, i(l) = 1,
i
x(e) = e, x(e) = 2.
7.24.	j(t+ l)3i2 dt —> extr; x(Q) = 1, ж(1) =
0 1
i(O) = -l, i(l) = 4’
7.25.	ji‘2 dt —> extr; x(0) = i(0) = i(0) =0,	x( 1) = 1,
о
i(l) = 3, £(1) = 6.
i
7.26.	ji’2 dt —> extr; z(0) = i(0) = i(0) =0, x(l) = 1,
0	i(l) = 4, £(1) = 12.
i
7.27.	jfi’2 + x2) dt extr; x(0) = £(0) = 0, i(0) = 1,
о
i(l) = ch 1, t(1) = jj(l) = sh 1.
В задачах 7.28-7.30 найти допустимые экстремали.
7.28.	j (х2 — х2) dt extr; ж(0) = i(0) —	~
о
х(5)=х(°)=х(^) = 1.
7.29.	J(’i’2 — х2) dt —► extr; х(0) = х(0) = £(0) = £(тг) = О,
о
е(тг) = тг, £(тг) = 2.
7.30.	|(*i’2 — х2) dt —► extr; я(0) = i(0) = £(0) = О,
о
гг(тг) = £(тг) = sh?r, ±(тг) = сЬтг 4-1.
Глава III
ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ
§ 8. Задача Лагранжа
8.1.	Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа.
8.1.1.	Постановка задачи. Задачей Лагранжа называется
следующая экстремальная задача в пространстве Н = С*(Д, R”) х
х (7(Д, Rr) х R2:
^о(я(-)> “(•)• *0. Мinf;	(з)
Ф(ге(-), u(-), t0. ti) = i(t) - <p(t, ar(t), u(t)) = 0,	(1)
^(х(-), u(-), to, ti) 0, i = l,	(2)
u(-), to, ti) = 0, i = m' + 1, ..., m,	(3)
где
*i
^i(x(-), u(-), to, ti) = |fi(t, X, u)dt + i[>i(t0, ar(to), tj, x(ti)),
f0
i = 0, 1, ..., m.
Здесь Д — заданный конечный отрезок, tQ,ti е Д, /i:RxRnx
х Rr R — функции n 4- г 4-1 переменных, : R х Rn х R х Rn
—> R — функции 2п + 2 переменных, R х Rn х Rr Rn — вектор-
функция п + г + 1 переменных.
Ограничение (1) называется дифференциальной связью, вектор-
функция я(-) = (zi(•),..., яп(-)) ““ фазовой переменной, вектор-
функция u(-) = (iq(*), ..., ur(-)) — управлением.
Четверка (z(-), u(-), to, ti) называется управляемым процессом в
задаче Лагранжа, если х(-) е С^Д, Rn), u(-) е С(Д, Rr), t0, ti £
EintA, to < ti, и всюду на отрезке [to, ti] выполняется дифферен-
циальная связь (1), и допустимым управляемым процессом, если эта
четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены
ограничения (2), (3).
Допустимый управляемый процесс f = (£(•), u(-), to, t\) называется
оптимальным (в слабом смысле) процессом, или слабым минимумом
в задаче (з), если существует такое 8 > 0, что для любого допустимого
управляемого процесса £ = (х(-), iz(-), to, tj), удовлетворяющего усло-
вию ||f — f ||н < 6, выполнено неравенство <^о(£) > ^о(£)-
§ 8. Задача Лагранжа
125
8.1.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
-S?(x(-), u(-), t0, ti; р(-), А) = AJi(t, х, и) +
to 0	т
+ p(t)(x - (p(t, Ху U))jdt + У^Аг^г(^О, x(tQ)y x(fi)),
i=0
A-(Ao, Ab..., Am), p(.)ECl([t0,ti], Rn*).
2.	Выписать необходимые условия оптимального в слабом смысле
процесса £ = (£(♦), 2(-)» ^о> F):
а)	стационарности по х — уравнение Эйлера:
+ LxW = 0	-pWMt) v* e [Fo, Fj]
i=0
для лагранжиана
m
L -	Xy u) +p(t)(i - ip(ty Xy u));
t=0
б)	трансверсальности no x:
m
b(tfc) = (-1)*L(M <=>p(tfe) = (-l)fe£Mil(tfc), k = 0,1,
i=0
для терминанта m
l = ^2^i(to, x(t0), ti, x(t\));
i=0
в)	стационарности no u:
bu(t) = O<=>52^«-^u(t)-p(t)^u(t) = O Vt e [to, ti];
i=0
г)	стационарности no
m
Л=о^(-1)к+,£А£М)+
i=0 m
+52	+ ^«(tk)2^))=°- к=°>1
t=0
(условие стационарности no tk выписывается только для подвижных
концов);
д)	дополняющей нежесткости:
Аг^г(Г) =о, i - 1, ..., m';
е)	неотрицательности:
Xi 0, i == 0, 1, ..., т'.
5 В. М. Алексеев и др.
126
Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
3.	Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполня-
ются условия п. 2 с множителями Лагранжа Л и р(-), одновременно не
равными нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи
Ао — 0 и До / 0. Во втором случае можно положить До равным единице
или любой другой положительной константе.
4.	Среди всех найденных в п. 3 допустимых экстремальных процес-
сов отыскать решение или доказать, что решения нет.
Предлагаем проверить, что правило решения составлено в полном
соответствии с общим принципом Лагранжа, о котором говорилось во
введении.
Набор условий для нахождения оптимального процесса является
полным. Действительно, для определения неизвестных функций я(-),
р(-), Ц-) мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1)
п. 8.1.1 и условий б), в). Выражая из последнего (разумеется, когда
это можно сделать, например, если выполнены условия теоремы о
неявной функции) и(-) через х(-) и р(-), мы получаем систему из 2п
скалярных дифференциальных уравнений. Ее общее решение зависит
от 2п произвольных постоянных и еще от множителей Лагранжа А*,
среди которых т независимых. Добавляя сюда еще t0 и ti, получаем
всего 2n + m + 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2п
условий трансверсальности б), тп условий дополняющей нежесткости и
заданных ограничений (3) п. 8.1.1 и два условия стационарности по
Таким образом, число неизвестных совпадает с числом уравнений.
(Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное
обстоятельство не гарантирует.)
8.1.3.	Необходимые условия экстремума.
Теорема Эйлера-Лагранжа. Пусть £ = (£(•),?£(•), to, t[) —
оптимальный (в слабом смысле) процесс в задаче Лагранжа и
при этом функции fa, i — 0, 1, ..., т, ip и их частные производ-
ные по х и и непрерывны в некоторой окрестности множества
{(t, x(t), u(t)) 11 e [Fo, Fl]}, a i>i, i = 0, 1, ..., m, непрерывно диффе-
ренцируемы в окрестности точки (to, S(to), й, £(ti)) (условие глад-
кости).
Тогда найдутся множители Лагранжа А = (Ао, ...» Ат) и р(-) €
е c"([F0, Fi], Rn* ), не равные одновременно нулю и такие, что для
функции Лагранжа ££ (п. 8.1.2) выполнены условия'.
а)	стационарности по х:	т
p(t) + p(t)(px(t) =
б)	трансверсальности по х:
р(^о) — P(tl) =
в) стационарности по и:
ТП
Ai fiu(t) р(^)^и(с — 0‘,
г=0
§ 8. Задача Лагранжа
127
г)	стационарности по
fc = O, 1;
д)	дополняющей нежесткости:
A^(f) = O, г=1,...,т';
е)	неотрицательности:
Аг > О, i == О, 1, ..., тп'.
< Рассмотрим следующую задачу с ограничениями типа равенств и
неравенств в пространстве Е:
^о(С) inf; Ф(£) = О,
^(0^0, г=1,...,т',	(5)
= 0, г = m' + 1, ..., m.
Отображение Ф при этом действует в пространство Y = С(Д, Rn).
Тогда £ доставляет локальный минимум в задаче (з).
Покажем, что для задачи (з) выполняется принцип Лагранжа для
гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств, и выпишем
согласно теореме п. 2.3.3 необходимые условия экстремума.
Действительно, банаховость пространств S и Y вытекает из утвер-
ждения о банаховости произведения банаховых пространств (п. 1.1.3).
Гладкость отображений и Ф доказана в АТФ (§ 2.4). Там же
получены формулы для производных:
+ fiuV) dt + fi(ti)ri - fi(to)TO +
«О
+ V’tto'ro + V’«t1n +V>ix(to)/i(t0) +	+
+ Йх(4о)®(^о)го +	)£(ti)Ti, i = 0, 1, ..., m,
Ф'(Г)Ы = W) ~	- £u(t)v(t),
где r] = (/i(-), v(-), t0, ti) e =.
Замкнутость образа отображения Ф'(£) имеет место в силу того, что
образ Ф'(£)Е просто совпадает с У. Действительно, взяв произвольное
у(-) е Y = С(Д, Rn), положим v(-) = 0, то = п — 0. Уравнение
Ф'(£)[Л(-).О, о. 0] =у( )
эквивалентно системе п линейных дифференциальных уравнений
/i(t) — Px(t)h = y(t) с непрерывными коэффициентами. Оно имеет
решение Л(-) = С[ (Д, Rn)	в силу теоремы существования для
линейных систем.
Таким образом, все условия теоремы п. 2.3.3 выполняются. Со-
гласно этой теореме найдутся множители Лагранжа А = (До, ..., Ат),
г/* е У*, одновременно не равные нулю и такие, что для функции
Лагранжа задачи (з)
5*
128 Гл, HI. Задача Лагранжа и оптимальное управление
у*, А) =^(х(.), u(-). to, tf,y*, А) =
= K^Aif^t, х, u)^dt + l(t0, x(t0), tit x(ti)) + y*o$
«0	i=0
выполняются условия стационарности
^ = 0<=>^ж = 0,	jg^fc =0, fc = 0, 1,
дополняющей нежесткости и неотрицательности.
узр-1ттДля доказательства теоремы покажем, что равенство
= 0 эквивалентно а) и б); условие = 0 эквивалентно в), а из
соотношения % tk — 0 следует г).
Расшифруем условие стационарности по х. Имеем
0 =-2?x[h(-)] =	+Гх(«о)Л(Го) +Z(tl)h(t\) + (У*< h ~ <Pxh},
т
где q(t) = £ AJix(t).
i=0
Определим функцию р(-) из условий
р(0 = -p(t)<px(t) + q(t),	p(t\) =	(!)
В силу теоремы существования и единственности решения задачи
Коши для линейной неоднородной системы (АТФ, п. 2.5.4) р(-) опреде-
ляется нашими условиями однозначно. С другой стороны, для любых
а е Rn и у(-) е С([Го, ?i], Rn) можно однозначно определить функ-
цию h по условиям
A(t) = <px(t)h(t) 4- y(t),	= a.	(2)
Но тогда в силу (1), (2) имеем
ti	*i
j(p(t)/i(t))‘dt = p(ti)h.(ti) -p(to)h(to) = j(p(t)^(O + p(t)h(t)) dt =
to	-	to
= | (~p(t)ipx(t)h(t) +	q(t)h(t) +p(t)^x(t)/i(t)+
to	t]
+ p(t)y(t)) dt = j (g(t)/i(t) + p(t)y(t)) dt.
*0
tl
Выражая из последнего соотношения ^q(t)h(t)dt и подставляя по-
to
лученное выражение в условие стационарности по х, получим тождест-
во по а е Rn и у(-) G С([<о, ti], Rn):
О = — Jp(t)j/(t)dt + {у*, з/(-)) 4- Gx(to) - p(to))a.
to
§ 8. Задача Лагранжа
129
ti
Отсюда следует, что (у*, р(-)) = jp(t)y(i) dt, txW> = p(ta). Таким обра-
г°
зом, & = и, значит, условие г) выполняется.
Расшифруем теперь условие стационарности по и, учитывая вид г/*:
t| т
to ®=0
Vv(.) e C([t0, tj, Rr).
Отсюда по лемме Дюбуа-Реймона (п. 5.1.3) вытекает справедливость
условия в), о	¥
8.1.4. Пример.
ir/2
j и2 3 dt —> extr; х + х = и, я(0) = i(0) =0, х = 1.
о
Решение. 1. Приведем задачу к виду задачи Лагранжа п. 8.1.1,
сделав замену переменных х\ = х, х% = х:
7Г/2
j и2 dt —> extr;
о
ii=x2, ±2=U-Xi, £1(0) = я2(0) = о, х1(тр = 1-
Функция Лагранжа:
7Г/2
& = j (Ао^2 +pi(ii -^2) + £2(^2 +^1 - u))dt +
0
+ Л!Х1(0) + А2ГГ2(0) + А3Х1 (0.
2. Необходимые условия:
а) система уравнений Эйлера для лагранжиана L = A0iz2 -
-ж2) +Р2(%2 4-^1 “ и):
+LXi=0, г = 1, 2 <=> -pi +р2 =0, -р2 -р\ =0;
б) трансверсальность по х для терминанта I = Aix 1 (0) + Д2^2(0) +
+ Азгг3(7г/2):
Р1(0) = А1, р2(0) = А2, р1(^) = -А3, р2(т0=О;
в) стационарность по и:
Lu — 0 <=> 2Aoiz — Р2 = 0.
3. Если Ао = 0, то из в) следует, что р2 = 0; тогда из а) р\ =
= 0, и, значит, в силу условия б) Ai = Л2 = А3 = 0 — все множители
Лагранжа — нули. Итак, при До = 0 допустимых экстремалей нет.
130 Гл, HI. Задача Лагранжа и оптимальное управление
Положим Ло — 1/2. Из системы уравнений Эйлера вытекает, что р% +
4-р2 = 0. Общее решение этого дифференциального уравнения: р2 —
= C'sint 4- С cost Поскольку р2(тг/2) = 0, то р2 = С cost. Значит, по
условию стационарности u = Ccost. Таким образом, получили диф-
ференциальное уравнение х + х = С cost. Общее решение: х = (Ci +
+ C'2t)sint + C,3cost. Неизвестные константы G, Сг, Сз определяются
из заданных условий на концах. Единственная допустимая экстремаль-
/2	4	\
ная пара: (£(•), 2(-)) = ( —tsint, —cost).
4. Покажем с помощью непосредственной проверки, что (£(•),
й(-)) € abs min. Возьмем такие функцию #(•) и управление и(-), чтобы
пара (£(•) + х(-), u(-) + и(-)) была допустимой. Для этого надо взять
функцию х(-) е С2([0, 7г/2]), я(0) = i(0) = гг(тг/2) = 0, и управление
и = х 4- х. Имеем
^(х(-) + ж(-), «(•) + О) - «^(£(), «(•)) =
7Г/2	тг/2	тг/2
= 2 j ии dt + j и2 dt 2 j и(х + х) dt.
ООО
Интегрируя по частям в последнем интеграле с учетом условий на
концах функции гг(-) и управления {?(•), получим
- Г/2	"f2 ~ а а Г/2 V - а
и(х + х) dt = ui	4- (хи — их) dt = — их + (u + и)х dt = 0.
оо	о
Таким образом, <f7('r(-)+ #(•), {£(•) +u(-))	^('г(-), u(-)) и, следова-
тельно, (х, и) Е abs min, 5max = 4-оо. Действительно, возьмем после-
довательность пар хп(-) = £(•) + пх(>), ип(-) = и(-) + тш(-), и = х + х,
где х(-) — некоторая функция из С$([0, тг/2]) такая, что х 4- х / 0 (на-
пример, x(t) = t2(t - тг/2)2, и = х 4- х)\ тогда &(хп(*)у ип(-)) +оо.
Задачи
Решить задачи Лагранжа 8.1-8.21.
I
8.1.	ju2dt extr;
о
1
8.2.	^u2dt —► extr;
о
i
8.3.	ju2dt —> extr;
о
i
8.4.	^u2dt —> extr;
о
x — x	= и,	x(0)	= 1.
z — x	= и,	x(0)	= 1, i(0) = 0.
x — x	= u,	z(0)	= sh 0, x( 1) = ch	1,
i(l) = ch 1 + sh 1.
x — x = ut x(O) = ±(0) = 0,
x(l) = sh 1, i(l) = ch 1 4- sh 1.
§ 8. Задача Лагранжа
131
7Г/2
8.5. | u2dt extr; х + х = u, х(0) = 1.
о
тг/2
8.6. j u2dt extr; х + х = и, ж(О) = О, = 1.
о
7Г/2 8.7. j u2dt extr; о	x + x = u, x(O) = x(^j=O,
7Г/2	II |C4 O* II H S3 II H 4-
8.8. j u2dt —> extr;	
и	лр z(O) = O, i(O) = -| 7Г/2	2 8.9. j u2dt 4- z2(O) —» extr; x 4- x = u. n	
тг/2	extr; x + x = u, x	= 1.
8.10. j u2df 4-tf2(O) о	
7Г/2	—»extr;	x + x = u,	=
8.11. j u2dt 4- z2(0) о	
тг/2	—> extr; x + x = u, z^)=i(O) = O,
8.12. ju2df + x2(O)	
0 1 8.13. |u2dt + i2(0) - 0	> extr; x — x = u.
1 8.14. ju2dt 4- i2(0) — 0	> extr; x — x = ut x(0) = 1.
1
8.15. ju2dt + i2(O) —> extr; х — х = и, ж(О) = х(1) = О,
0	я(1Н1.
7Г/2
8.16.	j u2dt 4- х2(О) -* extr; х + х~и, х(О) = О, = 1-
о
1
8.17.	j(x2 + u2)<ft —> extr; i —x + 'u, x(l) = 1.
о
i
8.18.	j(ir2 + 2u2)dt extr; i = ~~4-u, rc(O) = 1.
о	v
132	Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
В задачах 8.19, 8.20 выписать экстремали и уравнения для опреде-
ления всех неизвестных констант. Определить характер доставляемого
экстремума.
1
8.19.	j(x2 + u2)dt —> extr; х + у/2х = и, х(0) = 1.
о
1
8.20.	j(x2 + u2)dt —> extr; x-\/2x = u, х(0) = 1.
о
T
8.21.	ju2dt + x2(T) —> extr; x + x = u, x(0)=l.
о
В задачах 8.22, 8.23 найти допустимые экстремали.
*/2
8.22.	j и2 dt + х(0) —> extr; х + х = и, х(0) = О, x^j = 1.
о
1
8.23.	(Р) j(х2 + у2) dt —> extr; ху — ух = 1, х(0) = О,
x(l)=sinl, 2/(0) = 1, 2/(l) = cosl.
§ 9. Ляпуновские задачи
9.1.	Элементарная задача оптимального управления.
9.1.1.	Постановка задачи. Пусть — произвольное множество
из Rr, <р: [to, ti] х Rr —> R. Задача в пространстве АТС1 ([to, ti], Rr):
ti
J(w(-)) = |V(t, u(t)) dt —> inf; u(t) 6	(з)
*0
называется элементарной задачей оптимального управления.
9.1.2.	Правило решения. Для решения задачи (з) следует при
каждом t € [to, t J найти такое u(t), что
<p(t, u(t)) = min <p(t, n).	(*)
Это u(-) и будет решением. Соотношение (*) назовем принципом
минимума для (з).
9.1.3.	Необходимое и достаточное условие экстремума в эле-
ментарной задаче оптимального управления.
Теорема, а) Пусть в задаче (з) функция р непрерывна
в [to, ti] х W. Если функция доставляет абсолютный минимум
в задаче (з), то для любой точки непрерывности функции й(-)
выполнено соотношение
nun<£>(t, и) = p(t, u(t)).	(1)
§ 9. Ляпуновские задачи
133
б) Пусть й(-) кусочно-непрерывна и в точках непрерывности и(-)
выполнено соотношение (1). Тогда {£(•) € abs min з.
Замечание. Утверждения, аналогичныё а) и б), оказываются вер-
ными, если термины «кусочно-непрерывна» и «для любой точки непре-
рывности» заменить на термины «измерима» и «почти всюду».
<1 Докажем утверждение а) от противного. Пусть существу-
ют т (где и(-) непрерывна) и v € % такие, что </?(т, v) < (р[т, и(т)).
Вследствие непрерывности функций t (p(t, v) и t (p(t, u(t)) (в
окрестности точки т) найдется такой интервал Д = [т — <5, т + 5], что
<p(t, v) < <p(ty u(t)) при t € Д. Положим u(t) = u(t) при t £ Д и
u(t) = v при t € Д. Тогда /(й(-)) < /(?£(•)) вопреки минимальнос-
ти и(-). Утверждение б) очевидно.
Об измеримом случае см. в АТФ (п. 4.3.3). >
9.2.	Принцип Лагранжа для ляпуновских задач.
9.2.1.	Постановка задачи. Пусть Д — заданный отрезок числовой
прямой (конечный или бесконечный), — произвольное множест-
во из Rr, fi\ Д х Rr —> R, X — линейное пространство, дг: X —>
R — функции, выпуклые для i = 0, 1, ..., mf и аффинные для i =
= mf + 1, ..., m, А С X — выпуклое множество.
Экстремальную задачу
^b(u(-)) + £to(z) = j/o(t n(t)) dt + g0(x) -»• inf;
^(«(•)) + 9i(x) =
г	f < 0, i=l,..., mf.
= pi(1. «(<))*+9iW I	.... (3)
Д	’
x e A, u(t) e
называют ляпуновской задачей, К ним сводятся линейные задачи
оптимального управления (АТФ, п. 4.3.1).
9.2.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
тп
^(«(•), х, Л) =
г=0
2.	Выписать необходимые условия:
а)	принцип минимума по и и х:
min V Xifi(t, и) = V Xifi(t,	(*)
i=0	г=0
m	m
min V XiQi{x) = Y2 Aigi(x);	(**)
г=0	i=0
134 Гл. I1L Задача Лагранжа и оптимальное управление
б)	дополняющей нежесткости:
Л;(^(й(-)) +gi{x)) = 0, i = 1, ..., т'\
в)	неотрицательности:
Аг 0, i = 0, 1, ..., т'.
3.	Найти допустимые экстремали, т.е. допустимые х и и(-), удо-
влетворяющие необходимым условиям п. 2 с множителями Лагранжа,
не равными одновременно нулю. При этом бывает удобно отдельно
рассмотреть случаи Ао — 0 и Ао / 0. Во втором случае можно поло-
жить Ао равным единице или любой другой положительной константе.
4.	Отыскать решение среди найденных допустимых экстремалей
или показать, что его нет.
Выписанные условия находятся в полном соответствии с принципом
Лагранжа. Действительно, в соответствии с идеей Лагранжа следует
рассмотреть две задачи:
-S?(u(-), х, А)	inf; u(t) G ,	(3i)
х, А)	inf; х G А.	(з2)
Задача (3i) — это элементарная задача оптимального управления.
Соотношение (*) есть не что иное, как принцип минимума для (31),
а соотношения б), в) и (**) — не что иное, как принцип Лагранжа
для {з2) (напомним, что в точности эту задачу мы исследовали в § 4).
9.2.3.	Необходимые и достаточные условия.
Теорема. Пусть функции fit Д х Rr R — непрерывные,
дг\ X —♦ R — выпуклые для i = 0, 1, ..., т' и аффинные для г =
= mf + 1, ..., m, А С X выпукло, У — совокупность измеримых
отображений и:	, для которых функции t fi(t, u(t)) сум-
мируемы на Д.
Необходимые условия. Если пара (и(-), 5?) является
решением задачи (з) п. 9.2.1, то найдется ненулевой вектор А =
= (Ао, Ai, ..., Ат) такой, что выполнены соотношения а)-в)
п. 9.2.2.
Достаточные условия. Если (й(-), х) G У х А и существует
ненулевой вектор (Ао, Aj, ..., Am), Ао / 0, такой, что выполняются
соотношения а)-в) п. 9.2.2, то (и(-), 2) € abs min з (АТФ, п. 4.3.3).
9.2.4.	Теорема двойственности. Здесь мы ограничим себя задача-
ми вида
Я)(и(-)) = J/о(*. w(0)dt inf;	(з)
A
^(u(-)) — j/i(t u(t))dt 0, it(-) Gy, i = 1, ..., m.
A
§ 9. Ляпуновские задачи
135
Это — частный случай задачи (з) п. 9.2.1, когда gi = 0 и т — т'.
Включим (з) в семейство задач
<F0(u(-)) -> inf;	+ а; 0.	(з(о?))
Определим S-функцию задачи (з(а)) равенством
S(a) = inf {<^o(u(-)) I Л WO) +	0, п(.) е Г}, а е Rm.
Теорема двойственности для ляпуновских задач.
Пусть Д — отрезок, в R {конечный или бесконечный), % —
сепарабельное топологическое пространство, функции fit Ах W
—> R, г = 0, 1, непрерывны, У — совокупность измеримых
отображений u:A-+W таких, что функции t fi{t, u{t))
суммируемы на Д. Если функция а —> S{a) непрерывна в точке
а = 0, то для любого а € int dom S
где $(t, и) = inf
m
Задачи
Решить задачи 9.1-9.7.
i
9.1.	j {x3 — 3t4rr) dt extr.
-i
i
9.2.	J(z2 + tx) dt extr; x(0) = xq, я(1) = Я1.
о
9.3.	j (t2x + x3/3 — a2x) dt extr.
To
9.4.	j (Gatx — x3) dt extr.
о
i
9.5.	It2x2dt extr; z(0) = 0, rc(l) = 1.
о
9.6.	j cos2 tx2 dt extr; ir(0) = 0, гг(тг) = 1.
о
i
9.7.	(P) j y/tVhVTVi^dt^inf; x{0) = 0, x(i)=£.
о
136
Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
Методом двойственности найти численные значения задач 9.8-9.12.
I 2
9.8.	(Р) |у dt inf; х = х + иу х(0) = 0, х(1)=£.
о
1 -2
9.9.	jy dt —> inf; z(0) = i(0) = О, я(1) = 6. i(l)=&.
О
9.10.	(Р) [t“^dt-> inf; i(0) = 0, х(1) = £ (а>0, /?>1)
О
(обобщенный пример Вейерштрасса; частные случаи: пример 4 п. 5.3,
задачи 5.21, 5.25, 9.5).
9.11.	dt -+ inf; (^(t) > 0), :r(0) = 0, x(l) = f (част-
О
ный случай — задача 9.6).
х(0) = гг( 1) — 0.
9.12.	j-у »inf; ^xdt
о	о
Решить задачи 9.13-9.16.
9.13.	Среди неотрицательных функций х(-), заданных на отрез-
ке [0, 1], принимающих нулевые значения на концах и ограничиваю-
щих заданную площадь, найти кривую минимальной длины (задача
Дидоны).
9.14.	(Р) Доказать неравенство Карлсона:
(	К(/)(рг2<й) (^t2x2 dt),
г	г I
имеющее место для любой функции х(-) из	Для которой
^t2x2dt < оо, где I = R или R+, K(R+) = тг2, /f(R) = 4тг2.
I	1
9.15.	jx2 dt —> inf; x(0) = x(0) = 0, х(т^) =
о
0 < T\ < ... < Tm < 1, G R, к = 1, ..., m
(задача о сплайнах).
9.16.	(P) Среди плотностей вероятности р(-) случайных величин
с нулевым математическим ожиданием и заданной дисперсией найти
плотность с максимальной дифференциальной энтропией (задача Шен-
нона).
Отметим, что большинство задач § 8 может быть решено сведением
их к ляпуновской задаче.
§10. Задачи оптимального управления
137
§ 10. Задачи оптимального управления
10.1.	Принцип максимума Понтрягина.
10.1.1.	Постановка задачи. Задачей оптимального управления
(в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в прост-
ранстве КС'(Л, Rn) х #С(Д, Rr) х R2:
^o(z(-), w(’)> ^о, й) inf;	(з)
x(t) = <p(t, x(t), u(t)),	(1)
u(t) € Vt € Д,	(2)
^(z(-), -u(-), Л), £i)	0,	m',	(3)
^(z(-), it(-), to, t\) = 0, i = mf + 1, ..., m,	(4)
где
ч
*o> t\) = j/i(*, x(t), u(t))dt +
fo
+ V^o,	i = 0, 1, ..., m.
Здесь Д — заданный конечный отрезок, to, ti € int Д, t0<ti,
Д : R x Rn x Rr —> R — функции n + r+1 переменных, ^:Rx
x Rn x RxRn -> R — функции 2n + 2 переменных, ip: R x Rn x
x Rr Rn — вектор-функция n + r + 1 переменных, — произволь-
ное множество из Rr. Частным случаем задачи (з) является задача, в
которой один из концов или даже оба закреплены.
Вектор-функция х(-) называется фазовой переменной, it(-) —
управлением. Уравнение (1), называемое дифференциальной связью,
должно выполняться во всех точках непрерывности управления it(-) на
интервале (to, tj (это множество в п. 10.1 будет обозначаться через Т).
Четверка (rr(-), tz(-), to, t\) называется управляемым процессом в
задаче оптимального управления, если х(-) € КС'(A, Rn ). «(•)€
е КС(А, Rr) и выполняются дифференциальная связь (1) и ограниче-
ние типа включения (2). Управляемый процесс является допустимым,
если, кроме того, выполняются соотношения (3) и (4).
Допустимый управляемый процесс £ = (£(•), й(-)> ^о, ti) называется
(локально) оптимальным (или еще говорят оптимальным в сильном
смысле процессом), если существует 5 > 0 такое, что для всякого до-
пустимого управляемого процесса £ = (rr(-), tt(-), ^о, ^1), для которого
*0, tl) - (£(*)’ *0, £l)||c(A,Rn)xR2 < <5,
выполняется неравенство ^о(С) ^о(С)-
138 Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
10.1.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
-5? = |	х, и) + p(t)(i - <p(t, х, +
«о «=о
+ У2а^(<0. x(tQ), ti, x(ti)), A = (Ao, Ab Am),
t=0
p(-) e KC*([to, t,], Rn*).
2.	Выписать необходимые условия оптимальности процесса £ =
= (£(•), u(-), t0, ti):
а)	стационарности по x — уравнение Эйлера:
m
Li(t) + Zx(t) = 0 <=ф p(t) = £ XMt) - p(t)£x(t)
i=0
для лагранжиана
L =	xt u)+p(t)(x - (p(t, x, u));
i=0
б)	трансверсальности no x:
ТП
Li(tk) = (-l)feU pfc) = (-l)fc£Mixt, к = 0, 1,
i=0
для терминанта
m
I = l(to, xo, tit £i) =	ti, ^i);
£=0
в)	оптимальности по и — принцип минимума в лагранжевой форме:
min L(t, x(t), x(t), u) = L(t, x(t), x(0, u))
m
<=>	^(0» u)	=
Ue<2<	i=0	m
=	®(*). «(*)) -pGM*. *(*)> “(*))
i=0
или в гамильтоновой (понтрягинской) форме в виде принципа макси-
мума:
тахЯ(£, x(t), иу p(t\) = H(tt x(t)t u(t), p(t)),
где
m
H(t, x, ut p) = p<p(t, x, u) — ^2 Aj/i(t, x, u)
i=Q
— функция Понтрягина;
§10. Задачи оптимального управления 139
г)	стационарности по
т	т
Л = о <=> (-i)fe+1£ Xififa) + +$ixlMtk)) = о <=^
£=0	г—О
H(tk) = (-i)*+irtJk, fc = 0, i
(условие стационарности выписывается только для подвижных кон-
цов);
д)	дополняющей нежесткости:
Аг«^г(О — 0» г = 1, ..., т';
е)	неотрицательности:
Аг > 0, г = 0, 1, ..., т .
3.	Найти допустимые управляемые процессы, для которых выпол-
нены условия п. 2 с множителями Лагранжа А и р(-), одновременно не
равными нулю. При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случаи
Ао = 0 и Ао / 0. Во втором случае можно положить Ао равным единице
или любой другой положительной константе.
4.	Отыскать решение среди найденных допустимых экстремальных
процессов или показать, что решения нет.
Можно показать, что описанное выше правило решения находится
в полном соответствии с принципом Лагранжа снятия ограничений.
10.1.3.	Необходимые условия экстремума.
Теорема (принцип максимума Понтрягина). Пусть £ = (£(•),
и(-),	^1) — оптимальный процесс в задаче оптимального управ-
ления, функции fi, i—0, l,...,m, <р и их частные производ-
ные по х непрерывны в множестве У х , где У — некоторая
окрестность множества {(t, x(t)) | t G [£о, ti]}, а функции ф^, i =
= 0, 1, ..., т, непрерывно дифференцируемы в окрестности точ-
ки (to, x(to), t\, x(t\)) (условие гладкости).
Тогда найдутся множители Лагранжа А = (Ао, Аь ..., Ат),
р( ) G	ti], Rn* ), не равные одновременно нулю и такие, что
для функции Лагранжа (п. 10.1.2) выполнены условия’.
а)	стационарности по х — уравнение Эйлера:
i>(t) + p(t)$х (t) = fx (t) v t e T,
где	тп
f(t, x, u) = ^Аг/Д^, x, u);
i=0
б)	трансверсальности no x:
p(^o) — fco> p(^i) = —lx\>
в)	оптимальности no u:
f(t, x(t), u) — p(t)<p(t, x(t), u) f(t) — p(t)<p(t) Vt eT,
140 Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
г)	стационарности по £&, к = 0, 1,
~/(to) + h0 + ^хо^(^о) = 0, f(t\) + hi +	— 0;
д)	дополняющей нежесткости:
Ai^*(f) =0, i = 1, ..., m';
е)	неотрицательности'.
А; > О, i — О, 1, ..., т'.
10.1.4.	Доказательство принципа максимума Понтрягина для
задачи со свободным концом. Приведем формулировку и доказатель-
ство принципа максимума Понтрягина для частного случая задачи
оптимального управления — задачи со свободным концом и закреп-
ленным временем:
«1
^(-)) = j/(t, x(t), u(t)) dt + V>(z(ti)) -+ inf; (з)
to
i(t) =	x(t), u(t)), u(t) € x(tQ) = xq.
Теорема. Пусть (£(•), u(-)) — оптимальный процесс в задаче
оптимального управления (з), функции f,ipuux частные произ-
водные по х непрерывны в множестве Г где У — некоторая
окрестность множества {{t, x(t)) | t G [to» й]}, ф Е D(x{t\)) (усло-
вие гладкости), % — произвольное множество из Rr.
Тогда выполняется условие оптимальности по и:
f(t, x(t), и) — p(t)<p(t, x(t), и)
VtGT,	(1)
где ph) — единственное решение дифференциального уравнения
p(t)+p(t)^(t) = K:(O Vt G Т	(2)
с краевым условием
=	(3)
Отметим, что множитель Лагранжа До при функционале ока-
зывается равным единице, а условие трансверсальности по z(to)
несущественно.
Единственность решения уравнения (2) с краевым условием (3)
следует из теоремы существования и единственности решения задачи
Коши для линейных систем (АТФ, п. 2.5.4).
<1 А) Игольчатые вариации. Зафиксируем точку г ЕТ, эле-
мент v Е и такое малое число а 0, что [т -- а, т] С Т.
Управление
u(£), t [т — а, т),
v, t Е [т — а, т),
^a(t) —
§ 10. Задачи оптимального управления 141
назовем элементарной (игольчатой) вариацией управления и(-).
Пусть xQ(t) — решение уравнения x(t) = <p(t9 x(t), ua(t)) с началь-
ным условием x(to) = х0. По локальной теореме существования (АТФ,
п. 2.5.2) функция ха(‘) определена при а < а0 в некоторой окрест-
ности точки но из леммы 1, формулируемой ниже, следует, что на
самом деле вектор-функция ха(-) определяется единственным образом
на всем отрезке [to, ti]. Вектор-функция называется элемен-
тарной (игольчатой) вариацией функции х(-), а пара иа(-
•)) — элементарной вариацией процесса (х(-), и(-)). Пару (т, v),
определяющую эту вариацию, будем называть элементарной иголкой.
Б) Лемма 1 (о свойствах элементарной вариации). Пусть (т, v) —
фиксированная элементарная иголка. Тогда существует число ао >
> 0 такое, что [т — ао, т] С Т и для любого а Е [0, ао] выполнено
следующее:
1)	функция ха(-) определена на всем отрезке [to, tj; при этом
xa(t) = x(t) Vtefto, Г-а], Ika(-)-x(-)||c([to,t|])-4 0
при а —> 4-0;
2)	xa(t) — x(t) = ay(t) 4- ra(t) Vt e [т, tj, причем sup	>
t^r.h] a
—> 0 при a -+ 4-0;
3)	функция y(-) кусочно-непрерывно дифференцируема на [т, tj и
удовлетворяет дифференциальному уравнению
2/W =	е [г, ti] П Т	(4)
с начальным условием
у(т) = (р(т, х(т), v) — (р(т) = А<р(т, v).
Доказательство леммы следует из двух основополагающих фактов
теории обыкновенных дифференциальных уравнений: локальной тео-
ремы существования и теоремы о непрерывной дифференцируемости
решения по начальным данным. Мы не приводим их здесь, отсылая к
АТФ, п. 1.5.4.
В)	Лемма 2 (о приращении функционала). Пусть (т, v) — фикси-
рованная элементарная иголка, х(а) = &(ха(-), иа(-)). Тогда функ-
ция х(') дифференцируема справа в нуле и
х'(+°) = /(т> 2(т). v) - Лт) - р{т)у{т).
« Используя теорему о среднем для числовых функций, правило
дифференцирования под знаком интеграла и лемму 1, получим
142
Гл. 1П. Задача Лагранжа и оптимальное управление
х'(+°) =	—2^91— iim 1| lf(t, xa(t), ua(t))dt-
о—++0	Ot	л~>4-0 Ot \ J
x‘o
- J/(t, x(t), u(ty)dt\ + limo=
to	'	<*~+
\ ( T \
=	j (/G> xa(t), v) - f(t))dt + |(/(t, xa(t), u(t)) - f(t))dt\ +
'T — Ot	T	'
tl^
+	= Ж Ж)> v) - 7(T) + ]A(*)j/W dt + #(Ж)М*1)-
Выражая fx из уравнения (2) и учитывая уравнение (4), имеем
»i	»1
\fx(t)y(t)dt = |(p(t) + p(t)ipx(t))y(t) dt =
т	т
ti	*1
= J(p(0y(*) + dt = (p(t)y(t))dt = р(*1М«1)-р(т)у(т).
T	T
Подставляя найденное значение	в выражение для хЧ+О), с
т
учетом условия (3) получим искомое представление. >>
Г) Завершение доказательства. Из леммы 1 следует, что
если а е [0, ао]» то ^а(')) ~ допустимый управляемый процесс
и ха(-) равномерно стремится к £(•). Поскольку (£(•)» и(-)) — опти-
мальный процесс, то при малых а > О
^(Ха(’), «а(-)) > ^(2(‘). “(О) «=► Х(«) > Х(0)-
Отсюда по лемме 2 х'(+0) > 0, и из выражения для х'(+0) и у(т)
вытекает, что
/(г, £(т), и) —р(т)ф(т> v)
f(r)-р(т)^(т) VteT и Vv€^,
т.е. выполняется соотношение (1).
Переходим к доказательству принципа максимума в общем случае.
10.1.5. Вспомогательные утверждения и построения.
А)	Лемма о центрированной системе. Пусть К — ком-
пакт, {Ка}а£ъ — система замкнутых подмножеств К, любая
конечная подсистема которой имеет непустое пересечение (цент-
рированная система). Тогда пересечение всех множеств систе-
мы {/СаУасй непусто.
ОО Обозначим через	дополнение к Ка в К (ба — К\Ка). То-
гда открыто в К. Если Р| Ка = 0, то \J 0а = К, т.е.
§ 10. Задачи оптимального управления
143
есть открытое покрытие компакта К. По определению компакта можно
т	тп
тогда найти такие eq, ат, что |J = К. Но тогда П^ =
г=1	г=1
= 0 в противоречии с определением центрированной системы. Значит,
А К* £ 0. »
об*
Б) Игольчатые вариации. В предыдущем пункте мы смогли
обойтись одной иголкой. Здесь это невозможно и приходится рас-
сматривать наборы (пакеты) иголок. Переходим к определению таких
пакетов.
Пусть (£(•), u(-), to, ?i) — оптимальный процесс. Выберем е>0
столь малым, чтобы из е-близости графиков и Гх для допусти-
мого процесса (ж(-), tt(-), t0, *i) вытекало неравенство <^0(х(-),
и(-), *о, *1) >	^(-), *о, Fj). Продолжим и(-) на отрезок [Fo
t\ +е] константами u(to) и и(Т[).
Включим процесс (£(•), u(-), to, t\) в конечно-параметрическое се-
мейство вариаций. Для этого фиксируем натуральное N и два на-
бора: Т = (Т1, . . . , Лу), Го < Л Т2 TN < tl (л е Т С (to, Fl),
где Т — множество точек непрерывности и(-)), и v = (vi,...,v^,
Vi е %. Пусть а = (eq, ..., aw), &i 0. Через |а|i будем обозначать
N
|а^|. Положим
i=i
Wa(t) = u«(t, Т, v) =
f	N
u(t), t e [to ti +s]\ U Ai,
~ £=1
.vit te^i, A; = [л — (N ~ i)|a|i — а;, П - (N -i)|a|i).
Некоторые точки л могут совпадать. Однако полуинтервалы (имею-
щие длины а») выбраны так, что они не пересекаются и при малом |а| i
лежат в Т, Рассмотрим решение уравнения
х = <p(t, X, Ua(t))
с начальным условием x(tQ) = жо, где точка (to, л>) находится в
е-окрестности точки (to, x(to)). Это решение обозначим х^-), где 77 =
= (to, xq, аь . •., gn) € RAr+n+1.
В)	О системах дифференциальных уравнений. Рассмот-
рим задачу Коши
х — F(t, х), x(to) = xq,	(1)
где F: G Rn (Ge ^(R х Rn)) — непрерывная и непрерывно диф-
ференцируемая по х функция. Тогда, если х^) — решение этой
системы, график которого содержится в G, определенное на от-
резке [t0, ti], то найдутся такие 6 >0 и окрестность G\ графика
вектор-функции х(-), что для любого (to, хо) существует
единственное решение Х(-, to, хо) задачи Коши (1), определенное
144 Гл. 1П. Задача Лагранжа и оптимальное управление
на [to — 5, tj +5], функция (t, to, xq) w X(t, to, xo) непрерывно диф-
ференцируема в области (t0 - 6, ti + 6) x Gj и при этом
(t, to, Xq)| = Jl(t, to),
9x0	lx0=*(to)
(t, to, x0)|	_	=-Jl(t, t0)F(t0, x(to)),
uto	lx0=x(t0)
где Q(t, to) — фундаментальная система решений уравнения в ва-
риациях:
— Q(t, t0) = Fx(t, x(t))Sl(t, to), fi(t0, to) = I-
Это — классическая теорема о существовании и непрерывно диф-
ференцируемой зависимости решений дифференциальных уравнений от
начальных данных (АТФ, п. 2.5.6).
Г) Лемма об игольчатой вариации. Пусть N, т = (ть ...
• • . , Tn), to < 71	TN < /1,	7; Е Т, V = (г?1, . . . , Vtf), Щ ,
фиксированы. Тогда существует такое во > 0, что если 0 < |а| j <
< £о, l^o — £(^о)| < £о, Ко ~ to\ < £о, то С Т и, кроме того,
1. Траектория xv(-) определена на отрезке [to — £о» ti + £о], а
КС) - J(-)llc([to-so,ti+Eo],R-) “"° nPU ^-^=(*0, ^(to), 0, ..., 0).
2. Отображение (t, rj) = (t, tQ, xq, ot\, ..., a^) —* ^(t) продолжа-
ется до непрерывно дифференцируемого отображения в некоторой
окрестности (t\, fj) = (ti, to, x(t0), 0, ..., 0), и при этом
=n(t,rfe)A¥>(rfe,vfc),	(2)
ootk \Г]=Г)
=fi(t,to),	(3)
OXq \r]=ri
^1 ^-fi(t.FoWo),	(4)
OlQ 177=77
(5>
где £l(t, to) — фундаментальная система решений уравнения в ва-
риациях:
tl(t, to) — $x(t)£l(t, to), £l(t, to) = I.
Наметим путь доказательства леммы. Формула (2) составляет со-
держание леммы о свойствах элементарной вариации из предыдущего
пункта. Действительно, если зафиксировать to = to, %о = ^(to) и по-
ложить а = (0, ..., а, ..., 0) (число а является fc-й компонентой век-
тора а), то 7] становится зависящим только от а, а х^-) превращается
в ха(') из предыдущего пункта. Тогда очевидно, что утверждение 3)
§10. Задачи оптимального управления
145
леммы о свойствах элементарной вариации и формула (2) означают
одно и то же. Формула (5) сразу следует из определения. Предполо-
жим теперь, что {£(•) непрерывна. Тогда формулы (3) и (4) вытекают
из теоремы о дифференцируемой зависимости решений от начальных
данных, сформулированной в В). Если же £(•) кусочно-непрерывна,
то нужно применить теорему из В) несколько раз на каждом участке
непрерывности и мы получим (3) и (4). Подробнее см. в АТФ, п. 4.2.6
и далее, а также п. 1.6.6.
10.1.6.	Завершение доказательства. Снова фиксируем N и
(т, v) G TN х
А)	Редукция к конечномерной задаче. Обозначим
z = (*ь rf) = (* 1, *о, Яо, «1, ..., aN), z G RN+n+2,
положим
Fi(z) = Fifa, tQ, z0, ai, ..., aN) =
ti
= |/i(t ^(t),	Xq, tj, ^(tj))
и рассмотрим задачу
-Fb(z) —> inf; F{(z)	0, i = l,...,m', Fi(z) = 0,
i = mf 4- 1, ..., m, a > 0.	3t,v
В силу леммы об игольчатой вариации Fi G С1 (IV), где W —
окрестность точки z = (ti, to, x(to), 0, ..., 0) в RN+n+2.
Лемма. z = (t\, rf) = (t\, to, 5(to), 0, ..., 0) G loc min з™.
« Пусть e выбрано так, что из ^-близости графиков Гж и (где
(я(-), it(-), to, *i) — допустимый процесс) следует неравенство ^0(я;(-),
it(-), *о, М) Ж), ^(’)> *1)- Выберем теперь е0 так, чтобы из
соотношений 0^ |a|i <	|to-to|<£o, ко - £(to)| < £о по п. 1
леммы об игольчатой вариации следовало, что график ГЖт) лежит
в ^-близости от графика Г*.
Выберем так, чтобы из \z — z] < £i следовали неравенства |a|i <
< £о, Ко — *о| < £о, ко — £(to)| < е0. Тогда получается, что если z —
— (tj, т]) будет допустимой точкой в (з^) такой, что \z — z\ <£i, то
Fq(z) Fq(z). [»
Б) Применение правила множителей Лагранжа к за-
даче (з™). В силу доказанной леммы и теоремы о правиле множи-
телей Лагранжа для гладкой задачи с равенствами и неравенствами
(п. 2.3.3) найдутся множители Лагранжа Ао, ..., Am, , Руу, не
все равные нулю (А« = АДт, v), Fi —	v)) и такие, что для функ-
ции Лагранжа	т
~ Y/Pjaj
i=0	j = 1
L
146
Гл. 1П. Задача Лагранжа и оптимальное управление
выполнены условия стационарности — 0), неотрицательности
(А, > 0, г — 0, 1,	т',	j =	и дополняющей
нежесткости (XiFi(z) = 0, i = 1, ..., mf). Положим
f(t, х, и) =	х, и)у
i=Q
т
l(t0, Xq, ti, Ж1) =	Xq, *1, Zl)>
t=0
р(*)=52Aipi^)’
i=0
где Pi(-) — решение системы
Pi(t) +	= fix(t)
с краевым условием pi(t\) = Из этих определений и определе-
ния для Q(t, to) следует, что
+ p(t)<px(t) = 7x(t), p(ti) =	(1)
^(p(t)n(t,to))=7x(W-*o).
ti	N
= [7(t, x4, Ua)dt + l(t0, Xq, tj, X,(tl))
4	i
Распишем условия стационарности функции Лагранжа в точке z,
учитывая лемму о приращении функционала и формулы (2)-(5) преды-
дущего пункта:
I = ^f(Tk, Vk) - p(Tk)A<p(Tk, Vfc) - ~рк = О,
OOtk \z=z
k=l,...,N, (2)
= [Lw ^^1 jt +L0 +?XI _ =
lz=z J дхо	дхо
to
= p(/i)Q(/i, to) ~p(^o) + Ixq	^o) = —p(M +L?0 = 0»
(3)
^1 ^-/(io) + j/xW^| A + h+t?^-
Oto \z=z	J	Oto l?7=?7	Oto
to
?7=?7
= -/(to) -p(?i)^(ti, to)<p(io) + p(to)ip(to) + 1^ -lXl^(ti, to)<?(to) --
= ~/(M + P^o)^(to) + 7to = 0. (4)
§10. Задачи оптимального управления
147
Яй) +?tt + lxt) = /(ti) + ltt -p(ti)^(ti) — 0. (5)
Очевидно, что A 0, ибо иначе из определений f,p и соотно-
шений (2) следовало бы, что /1 = 0, что невозможно. Умножением на
положительную константу нормируем вектор А так, чтобы А^ = 1.
Итак, доказано, что существует единичный вектор А такой, что
выполнены соотношения (1)-(5) и, кроме того,
XiFi(z) = 0	А^(£) = 0, i=l.......т',	(6)
Xi > 0, £ = 0, 1, ..., т'.	(7)
В)	Окончание доказательства. Рассмотрим в пространст-
ве Rm+1 подмножества K(r, v), v е , те Т, компактной сферы
z I m	х
S = < А А? = 1 к, состоящие из тех векторов А, для которых вы-
I I о	7
полняются утверждения а)-е) теоремы о принципе максимума Понт-
рягина, причем в п. в) взято t = т, и = v. Из определения множест-
ва К(т> v) нетрудно вывести, что они замкнуты. В силу условий (1)-
(7) любое конечное пересечение множеств	fc=l, ...,7V,
непусто. По лемме о центрированной системе все множества К(т, v)
имеют непустое пересечение. Значит, существуют ненулевой вектор
А = (Ао, ..., Ат) и функция р(-) е 1ГС'1 ([to, t\], Rn*) такие, что вы-
полняются утверждения теоремы а)-е) с условием оптимальности,
выполняющимся для любых т еТ, v
Замечание. Принцип максимума доказан в пространстве
KC\[tQ, tj, Rn) х KC([tQ, ij, Rr) x R2.
Незначительные изменения доказательства позволяют обосновать его
в пространстве
W^dto, ti], R") х tj], Rr) x R2.
10.1.7.	Примеры.
Пример 1.
4
^(jr(-)) = j(^2 + x) dt |i| 1, #(0) = 0-
о
Решение. 1. Приведем задачу к виду задач оптимального управ-
ления, введя управление и(-):
j(u2 4- х) dt -+ inf; х = и, и €[—1,1], гг(О) = 0.
о
Функция Лагранжа:
££ = J(Ао(и2 + х) + р(х — и)) dt + Az(0).
о
148
Гл. Ш. Задача Лагранжа и оптимальное управление
х —
2.	Необходимые условия:
а)	уравнения Эйлера для лагранжиана L = Ао(и2 4- х) +р(± - и):
~~~т, Lx 4- Lx — 0 <==> р = Ло’,
at
б)	трансверсальность по х:
Li(tk) = (-l)fc£(M, к = 0, 1 <=> Р(0) = А, р(4) = 0;
в)	оптимальность по и:
min ^(Лои2 — ри) = Xqu2 — ри.
3.	Если Ао = 0, то из а) р = 0 и из б) р = А = 0 — все множители
Лагранжа оказались нулями. Полагаем Л© = 1 - Тогда из а) р= 1 и
из б) р = t - 4. Из условия в) следует, что
_ fsignp, |р/2| > 1, Л [-1,	0 t < 2,
U=b/2,
Из начального условия находим непрерывную функцию
-t,	0 t 2,
t2/4 - 2t + 1, 2 t 4.
4.	Здесь возможно несколько путей доказательства того, что х е
е abs min. Во-первых, можно сослаться на теорему существования
из п. 10.3.5 и единственность критической точки. Во-вторых, можно
сослаться на то, что наша задача выпуклая, а для задач выпуклого
программирования необходимые условия минимума при Ао / 0 явля-
ются достаточными (п. 4.1.3). Наконец, возможна непосредственная
проверка. Проведем ее. Пусть J(-) + rr(-) — допустимая функция.
Интегрируя по частям с использованием того, что гг(О) = 0 и x(t) =
= (t - 4)/2, 2 t 4, получим
4
^(х(-) 4-х(-)) = j((S + х)2 + х + x)dt =
°	'44
^2xxdt 4-	— 4) =
оо	о
4	4
x(t) = <
4
О
°	4
2
О	О
ибо на участке [О, 2] х 0. Итак, х € abs min.
Пример 2.
Т -» inf; |х|^1, х(О)=Сь *(О)=&, х(Т) = х(Т)==0
(простейшая задача о быстродействии).
§10. Задачи оптимального управления
149
Решение. 1. Приведем задачу к виду задач оптимального управ-
ления п. 10.1.1, сделав замену переменных х\=х, Х2 = х и вводя
управление и = х:
Т —> inf; Х[=Х2, Х2 = и, it €[-1,1], a?i(0)=£i,
*2(0) =	х1(Т) = х2(Т)=0.
Функция Лагранжа:
т
— j(pi (ii - х2) + p2(i2 - u)) dt + Х0Т +
+ A](xi(0) - £i) + A2(x2(0) -£2) + АзХ1(Т) + Х4Х2(Т).
2.	Необходимые условия:
а)	уравнения Эйлера для лагранжиана L = pi(ij - х2) + р2(х2 — и):
- ^Ь^+Ьх,=0, i = 1, 2 4=Фр1 =0, р2 = ~Р1=>
=^p2(t) = Ct + Ci;
б)	трансверсальность по х для терминанта J = А0Т + Ai(xi(0)-
- 6) + ^2^2(0) - £2) + АзХ1(Т) 4- А4х2(Т):
Р1(0)-Аь р2(0) = А2, Р1(Т') = -Аз, р2(Т) = -А4;
в)	оптимальность по и (не зависящие от и слагаемые не выпи-
сываем):
min (-p2(t)u) = -P2(t)u(t) => u(t) = signp2(t) при p2(t) / 0;
ue[-i, 1]
г)	стационарность no T\
— 0 <==> Ao 4- А3ГГ1 (T) 4- A4i2(T) = 0.
Учитывая то, что
*1(Т) = 0, A4 = -p2(T), p2(T)u(T) = |p2(T)|,
получаем = 0 <=> Ao — |p2(T)I-
3.	Если Ao = 0, то из г) следует, что Р2^Т} — 0. При этом р2 не
может быть тождественным нулем, ибо иначе все множители Лагранжа
были бы нулями. Значит, из а) p2(i) — C(t — Т), а тогда из в) сле-
дует, что u(t) = 1 или = Множество начальных условий,
соответствующих таким управлениям, описывается уравнением
-у/2£1,
6^0,
6 <0
^2 =

= -l^x2(t) = T-t, Xi(t) = -(T-12/2) => %/2 = -С,; слу-
чай и = 1 аналогичен).
150 Гл. HI. Задача Лагранжа и оптимальное управление
Если же ^2 / </>(£1), то Ао / 0, и мы полагаем До = 1. Тогда из г)
вытекает, что |р2(Т')| = 1, т.е. имеются две возможности:
p+(t) = C(t-T) + l, p^(t) = C(t-T)-1.
Этим возможностям в силу в) соответствуют такие управления:
u+(t) = { [’
0 t < г,
г < t с т,
О t < т,
т < Т.
и = { —1
Рассмотрим траектории, соответствующие оптимальным управлени-
ям и и~ на плоскости (я?], называемой фазовой плоскостью
(рис. 5).
Для тех значений t, для которых u(t) = 1, имеем
/2	'Г2
х2 = 1 =* it = х2 = 14- С => XI = - + Ct + С" =	+ С.
Таким образом, фазовая траектория, соответствующая этим значени-
ям t является куском параболы х\ = х^/2 + С. Направление движения
/р а	по такой параболе определяется
из условия возрастания х2, так
как в этом случае х2~ 1. Ана-
логично получаем, что для тех
тг	значений t, для которых u(t) =
—\—\“—V-> >> х = фазовая траектория — ку-
сок параболы xi = —х^/2 + С, а
направление движения определя-
ется из условия убывания х2, так
как ±2 — “1-
Рис. 5.	Укажем теперь то место на
фазовой плоскости (ari, х2)у где
должно совершаться переключение управления. В искомую точку (0, 0)
(гг(Т’) = х(Т) = 0) мы должны попасть не более чем с одним пере-
ключением, двигаясь по фазовой траектории по разрешенному направ-
лению. Совокупность начальных условий, соответствующих управле-
ниям и+(-) и и“(-), описывается неравенствами £2 > ¥>(&) (Для и+(’
•)) и £2 < <Х£1) (Аля u~G)) (см- рис. 5). Переключения совершаются
на кривой ^2 = ^(6)- При этом, как нетрудно видеть, для каждого
начального условия имеется единственная фазовая кривая, приводящая
в точку (0, 0).
Поскольку всегда |±21 = 1 на оптимальной траектории, то х2 = |t| +
+ С и, значит, время движения Т = Varx2.
4.	Покажем, что оптимальная траектория, начинающаяся в точ-
ке (fi, &), доставляет решение задаче. Пусть этой траектории соот-
ветствует управление и(-) (для определенности ?/“(•)), функция £(•) и
время Т. Предположим, что имеется некоторый другой управляемый
процесс (#(•), Ц-), Т ^Т. Доопределим функцию □;(•) нулем на
отрезке [Т, Т].
§ 10. Задачи оптимального управления
151
В силу условий на левом конце функции £(•) и ж(-) в точке т можно
представить в виде
т
х(т) = |(т - s)^(s) ds + &Г + Cl •
о
Поскольку S(s) = 1	£(s) Vs G [О, т), то
т
х(т) —х(т) = j(r — s)(l — £(s))ds > О,
о
причем равенство здесь возможно только, если во всех точках непре-
рывности £(s) = 1, а тогда x(t) = x(t) Vt G [0, т].
Аналогично, с учетом условий на правом конце можно представить
функции х(-) и ж(-) в точке т в виде
f
я(т) = J(s — T)i(s) ds.
т
Так как £(s) > — 1 = £(s) Vs G (г, T), то
t
J(t) — я (т) = j(s — т) (— 1 - £(s)) ds 0,
r
причем и здесь равенство возможно лишь, если £(s) = -1 и x(t) =
= x(t) Vte[r,f].
Таким образом, имеем, что х(т) = х(т) и, следовательно, x(t) =
= x(t) \/t G [О, Т]. Отсюда Т = Т.
10.2.	Принцип максимума и необходимые условия минимума
в классическом вариационном исчислении. В этом пункте будет
рассказано о необходимых условиях минимума для задач, изучавшихся
в §§ 5-7. Все необходимые условия минимума будут выведены из
принципа максимума.
10.2.1.	Простейшая задача. Докажем необходимость в теореме 1
п. 5.5.1 и в дополнение к этому покажем, что если £(•) доставляет
сильный локальный минимум в задаче, то выполнено необходимое
условие Вейерштрасса
x(t), x(t), iz) > О Viz G Rn, Vf G ^о» й]-
(Определение функции Вейерштрасса было дано в п. 5.6.2.)
А) Условие Вейерштрасса для сильного минимума. Фор-
мализуем задачу (з) п. 5.5.1 как задачу оптимального управления
j£(t, х, u)dt —> inf; х = и, x(to) = xq, x(t\)=x\.	(з')
to
Из условия, что £(•) доставляет сильный минимум в (з) п. 5.5.1,
следует, что пара ($(•),{?(•)), где u(t) = x(t), является оптимальным
152 Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
процессом в (з'). Согласно принципу максимума Понтрягина найдутся
множители Лагранжа До, Ль Аг и р(-) G КТ?1 ([io, ti], Rn), не равные
одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа
Jzf = J(AoL(t, х, и) + (p(i), х — и)) dt + Aix(to) + Аг:г(й)
*0
выполняются условия:
а)	стационарности по х — уравнение Эйлера: р = AoLx(t);
б)	трансверсальности по х: pfto) = Аь p(ii) = —Аг;
в)	оптимальности по и:
XoL(t, x(t), и) — (pft), и)
XoL(t) - (p(i), x(t)) У и е Rn, Vi € [io, ii]-
Если Ao = 0, то из в) вытекает, что р = 0, а из б) — что все
множители Лагранжа — нули. Значит, Ао / 0. Полагаем Ао = 1. Тогда
из в) следует, что pft) = L±ft), и условие в) с Ао = 1 и p(i) = L±ft)
оказывается не чем иным, как условием Вейерштрасса.
Б) Уравнение Эйлера и условие Лежандра. Поскольку
£(•) G loc min з, то для любой функции xf-) G ([i0, ii], Rn) функ-
ция <р(А) =	+ Ах(-)) имеет локальный минимум в нуле. Тогда
по необходимому условию минимума функции одного переменного
(п. 2.6.1) <р'(0) = 0 и <р"(0) 0. В п. 5.2.3 было показано, что первое
условие равносильно выполнению уравнения Эйлера на функции £(•),
а второе условие эквивалентно (п. 5.5.1) неотрицательности функцио-
нала	tl
j^(x(-)) = j((Ar, х) + 2 (Ci, х) 4- (Вх, x))dt
«о
Vx(-) G C‘([t0> ti], Rn),
где
A(t) = Lii(t), C(t) = Lxx(t),
B(t) = Lxx(t).
Неотрицательность означает, что 'г(-) = 0 доставляет абсолют-
ный минимум в задаче
Jffxf-)) —> inf; xfto) = x(ti) = 0	(з")
в пространстве С1^, ti], Rn).
Поскольку в простейшей задаче классического вариационного ис-
числения с непрерывным интегрантом абсолютные минимумы в прост-
ранствах С1 и КС1 совпадают (ибо у кусочно-непрерывной функции
можно «сгладить углы» — см. АТФ, п. 1.4.3), то xf-) доставляет
в (з") и сильный минимум. Значит, в силу уже доказанного п. А)
для задачи (з") на экстремали х(-) выполнено условие Вейерштрасса,
которое в данном случае сводится к неравенству (Aft)u, и) 0 Vu G
е Rn <==> Aft) 0. Утверждение Б) доказано.
h(t) — <
§10. Задачи оптимального управления 153
В) Условие Якоби. Пусть, наконец, условие Якоби не вы-
полнено и существует т е (to, ti) такое, что имеется нетривиаль-
ное решение Л(-) уравнения Якоби, для которого fo(to) = h(r) = 0.
Отметим, что из нетривиальности решения Л(-) однородного линейного
дифференциального уравнения второго порядка с условием Л(т) = 0
вытекает: Л(т) / 0. Положим
h(t), t € [t0, т],
0, t т.
Так как /г(-) удовлетворяет уравнению Якоби, то
ЛГ(Л(-)) = j(-(4К + C*h)'+ СК + Bh, h)dt = 0.
*0
Таким образом, J^(h(-)) = 0, а это означает, что Л(-) доставляет
(наряду с функцией ж(-) =0) сильный минимум в (з").
И снова применяем принцип максимума (к экстремали /г(-)).
Согласно принципу максимума найдется непрерывная вектор-функ-
ция р(-), для которой
p(t) = 2(A(t)h(t) + C*(t)h(^
Поскольку при t > т h(t) = 0, то р(т) = 0, откуда А(т)/г(т) =
= 0 => h(r) = 0 (ибо А(т) обратима из-за усиленного условия
Лежандра). То есть решение fc(-) уравнения Якоби обладает
тем свойством, что h(r) = h(r) = 0 => ft(t) = 0. Мы пришли к
противоречию, ибо Л(т) 0. Таким образом, условие Якоби выполнено.
Замечание. Отметим, при какой гладкости интегранта и экстре-
мали могут быть выведены доказанные утверждения.
Уравнение- Эйлера и условие Вейерштрасса выводились при пред-
положениях: L и Lx непрерывны в условия Лежандра и Якоби —
при допущении L е С2(^), Ьц(-), Lxi(-) и Lix(-) е С1 ([£<>, Ъ]. Rn)-
Все условия выполняются, если допустить, что L € С3(^), х( ) е
€ C2([t0, ti], Rn).
10.2.2.	Задача Больца. Пусть в задаче
*!
^(ж(-)) = Jb(t, х, x)dt -F i(#(to), rc(ti)) —> inf
to
интегрант L : —> R (^ € ^(R2n+1)) и терминант l: У —> R
(У e ^(R2n)) удовлетворяют следующему условию гладкости: L €
е С3(^<), I е С2(Г). Тогда, если £(-) € C2([t0, tj, Rn) и £(-) €
€ loc min з, то выполнены:
154
Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
а)	система уравнений Эйлера L±(t) + Lx(t) = 0 и условия
трансверсальности = (—1)г i = O, 1;
б)	условие Лежандра Lxx(t) О;
в)	если имеет место усиленное условие Лежандра, то удовлетво-
ряется условие Якоби, согласно которому в интервале (to, ti) нет
точек, сопряженных с to;
г)	если удовлетворяется усиленные условия Лежандра и Якоби,
то квадратичная форма Р + Q, где
Q(xo, *1) = x(ti))[(ж0. а?1)(х0, Х0],
Р(х0, xj = <Л(<1)(Яо(*1)я:о + Я1(й)х1), ц)-
- {A(to)(Ho(to)xo + Hi(t0)xi), х0) + (C*(ti)xb х\) - (C*(t0)x0, x0),
a Hi(-) — решения уравнения Якоби с краевыми условиями =
= 6ijl, i, j = 0, 1 (6ij — символ Кронекера), должна быть неотрица-
тельна.
<1	Необходимость а) была установлена в п. 5.1, необходимость б)
и в) немедленно следует из теоремы п. 10.2.1. Докажем г). По условию
в (з) выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби.
Рассмотрим фундаментальную матрицу Ф(-, to) решений уравнения
Якоби, т.е. матрицу решений, удовлетворяющую условиям 4>(t0, to) =
= 0, $(t0, to) = I. Вследствие того, что выполнено усиленное усло-
вие Якоби, матрица $(t, to) невырождена при t е (to, tj. Положим
Hj(t) = $(t, t0)$(ti, t0)~l. Тогда = 0,	= I. Аналогичным
образом построим матрицу Hq: #o(to) = Д #o(*i) = 0-
Тогда x(t, xq, zi) — HQ(t)xQ + H[(t)x\ будет решением уравнения
Якоби с краевыми условиями x(ti, xq, xi) — xit i = 0, 1. Вычис-
лим	xq, #i)), где
Jf(x(-)) = j((Ai, x) + 2{Cx, x) -I- (Bx, x))dt,
*o
A = Lxx(t), 2C = L*±x(t) + Lxi(t), В = Lxx(t).
Имеем	t,
J?(x(-, xq, xi)) d= | (Ai + С*:г, dx) +
‘°	4|	.ti
+ j{Bx + Cx, x) dt — (Ax + C*x, x)| = P(xq, rci).
В силу того, что для всякого #(•) е С1 ([t0, ti], Rn) должно быть верно
неравенство
J2	I
^(•)+a*('))L=
= jf(x(-)) + Q(x(to), x(t{)) = (Р + Q)(x(to), x(tx)) > 0,
приходим к г), о	t
I
i-
§10. Задачи оптимального управления 155
10.2.3.	Изопериметрическая задача. Докажем необходимость в
теореме 1 п. 6.2.1. Формализуем задачу (з) п. 6.2.1 как задачу опти-
мального управления
ti	ti
я,	—> inf;	= а,,	/ n
to	to	'
£=1,	± — it, x(tQ) = Xq, x(ti)=X[.
Функция Лагранжа:
tj~
S£ = ^Ldt 4- Oqx^q) + O[x(t[),
to
где	m
L =	L = L + p(x - u).
i=0
Выпишем необходимые условия минимума в соответствии с прин-
ципом максимума:
а)	уравнение Эйлера:
-^Lx(f) + t(t)=O;	(1)
б)	условия трансверсальности:
p(to)=0o, р(й) = -вь	(2)
в)	оптимальность по и:
min (L[t, x(t), и) — ри) = L(t) — рх.	(3)
u€R
Из (3) и теоремы Ферма следует, что
= Ш	(4)
Если допустить, что Ао = 0, то из (1) и (4) получим
m
г=1
т. е. линейную зависимость функций
/гх(0»	— 1» • • • ,
Но в условиях теоремы была оговорена их линейная независимость,
откуда Xi = 0, i — 1, ..., т, и, значит, p(t) = 0 => 0О — 0[ = 0. Все
множители Лагранжа оказались нулями, что противоречит утвержде-
нию принципа максимума. Значит, Ао / 0 и можно считать, что Ао = 1.
Тогда (1) и (3) с учетом (4) приводят к уравнению Эйлера и условию
Вейерштрасса для задачи (з) п. 6.2.1. Двукратное дифференцирование
по и в (3) доказывает условие Лежандра. Осталось обосновать необхо-
димость условия Якоби.
Применим теорему о необходимых условиях второго порядка для
бесконечномерной задачи с равенствами (п. 2.5.3) к задаче (з) п. 6.2.1.
'I
156 Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление |
В соответствии с этой теоремой из того, что £(•) доставляет минимум
в задаче (з) п. 6.2.1 в пространстве Cl(to, ti), следует, что численное
значение вспомогательной задачи
= j(Ах2 + 2Схх + Вх2} dt —> inf;
*0	(Зв)
j(ai(t}x 4- bi(t)x) dt — 0, x(to) = x(t\} = 0, i = 1, ..., m,
t° Л	Л
где A — Lxx, В — LXx> C ^ix> — fix> bi — fixi равно нулю.
Допустим теперь, что существуют такие точка те(£о, М» чис-
ла /xi, ..., цт и функция /г(-), что
—(Ah 4- Ch} 4* Сh 4- Вh 4" Pi(—bi 4" bi} — 0,
т	*=1
j (&ih 4- bih} dt = 0, h(to} = h(r} = 0.
*0^
Тогда функция h, равная h при t г и равная нулю при t > т,
оказывается допустимой в задаче (зв) и при этом = 0 (последнее
получается, если произвести интегрирование по частям). Теперь следу-
ет применить принцип максимума к задаче (зв) и экстремали h. Тогда
получим, что существуют такие функция р(-} и числа r/j, ..., Pm, что
—р + Ch + Bh 4-
г=1
р = Ah 4- Ch 4- У2 ^iai ~ 0*
тп	г=1
Но тогда на [т, tj £ Vi(—bi 4- bi} — 0, откуда вследствие требования
г=1	_
теоремы о регулярности получаем, что щ — 0, и далее приходим к
противоречию, подобно тому, как это было проделано в п. 10.2.1.
10.2.4. Задача со старшими производными. Наметим план до-
казательства необходимости в теореме 1 п. 7.2.1; рассуждения здесь
подобны проведенным в трех предыдущих пунктах.
Формализуем задачу (з) п. 7.2.1 как задачу оптимального управ-
ления	tl
j/(t, х\, rr2, ..., хп, и} dt —> inf;	(з')
to
1 == Х2, • • • , Хп— 1 —	•Ei-}-1 (tj) — ^ij ,
i = 0, 1, ..., n — 1, j = 0, 1.	!
Функция Лагранжа:
ti	n— 1	n—1 1
= [ (Ao/ +	- £i+i) + Pn(i« -	+ V VpijZi+i(<,)•
to	«=1	i=0 j=0
i
§10. Задачи оптимального управления
157
Выписав необходимые условия в соответствии с принципом макси-
мума Понтрягина и убедившись в том, что Ао не может быть равным
нулю, приходим к уравнению Эйлера-Пуассона и условию Вейерштрас-
са. Продифференцировав условие оптимальности по и(-) дважды по и,
приходим к условию Лежандра. Далее следует рассмотреть квадратич-
ную задачу
*(•)] - inf; xW(ty) = О,
г = О, 1, .... n- 1, j = 0, 1.	1 ’
Если допустить, что х(-) = О G abs min з", но существует нетри-
виальное решение Д(-) уравнения Якоби (т.е. уравнения Эйлера-
Пуассона задачи (з")), обращающееся в нуль вместе со всеми про-
изводными до порядка n - 1 в t<, г = 0, 1, то можно показать, что
функция /i(t), равная h(t) при t < г и обращающаяся в нуль при t > т,
является решением задачи (з"). Применение принципа максимума
Понтрягина к задаче (з") и экстремали /г(-).приводит к противоречию,
ибо Мп)(-) в точке т, с одной стороны, должна быть непрерывна, а с
другой — разрывна.
10.3. Достаточные условия минимума в классическом вариа-
ционном исчислении. В этом пункте будет рассказано о достаточных
условиях минимума для задач, изучавшихся в §§ 5-7. Эти условия
выводятся на основе единой методологии, состоящей из построения
поля, введения S-функции, вычисления ее дифференциала и вывода
основной формулы Вейерштрасса.
10.3.1. Простейшая задача. <1 Докажем достаточность в теореме 1
п. 5.5.1.
А) Построение центрального поля. Распишем уравнение
Эйлера
- ~ Lx(t, х, х) + Lx(t, х, х) — 0 <=>
<=> х, х)х + Lxx(t, х, х)х + Lxt(ty х, х) - Lx(t, х, х) — 0.
Так как выполнено усиленное условие Лежандра, т. е. неравенство
Lxx(t) > 0 Vt G [to, ti], то в силу непрерывности функции Lxx (напом-
ним, что L е С4(&)) найдется такое
G ^(R2n+I), С VxRn,
(t, J(t), S(t)) G Vt G [to, ti],
что Lxx(t, xt x) > 0 V(t, xt x) G Значит, в области уравнение
Эйлера равносильно системе, разрешенной относительно производных
X = у, у — Ф(^ я, у),
где $(t, х, у) = L^(tt х, y)(Lx(t, х, у) - Lxt(t, х, у) - Lxx(t, х, у)у).
В силу предположенной гладкости интегранта функция Ф (дваж-
ды) непрерывно дифференцируема, и, значит, по локальной теореме
6 В. М. Алексеев и др.
158 Гл. III. Задача Лагранжа и оптимальное управление
существования (АТФ, п. 2.5.2) и глобальной теореме существования
и непрерывной зависимости решения от начальных данных (АТФ,
п. 2.5.5) найдутся такие е > 0 и 6 > 0, что
а)	решение £(•) продолжимо на отрезок [to -е, ti 4-е];
б)	для любого А € R" (|А| < 6) на отрезке [to — £, ti 4-е] определено
решение х(-, А) уравнения Эйлера с начальными данными ®(t«) =
= £(t*), i(t«) = J(t,) + А, где t* — некоторая точка из интерва-
ла (t0 - е, to).
По теореме о дифференцируемой зависимости от начальных данных
(АТФ, п. 2.5.7), функция
(t, А) -> x(t, А) = (®i(t, Ai, .... An).xn(t, Ai.An))
непрерывно дифференцируема. Покажем, что экстремаль £(•) окружена
центральным полем экстремалей {ж(-, А)} (определение этого термина
см. в п. 5.6.1).
Дифференцируя функцию А —» x(t, А) по А, полагая А — 0 и обоз-
НЭЧаЯ	XA(t,A)L0^H(t,tJ
(Hi, (t, Q = 9%д’.А) | А=о. *. J = 1.п) .
получаем (поскольку t —»x(t, А) — это экстремаль для любого А,
|А| < <5)
0 3 ЭХ (“Я Li^ х^' А)>	А)) + Ь’(<> х{*' А)’ i(t’ А))) L
=>	t.) + Lix(t)H(t, t»)) +
4- Lxi(t)H(t, t») + Lxx(t)H(t, t») == 0.
Получилось, что матрица Я(-, t») удовлетворяет уравнению Якоби.
При этом выполнены следующие начальные условия:
H(t.,t.) = ^a:(t„A)|	= ^-£(tJ = O,
UA	lA^O UA
H(t., t.) = A i(t., А)|л=о=	(j(t,) + А) ~ I.
Пусть H(t, to) — матричное решение уравнения Якоби с условиями
H(to, to) =0. H(t0, t0) = I. Поскольку выполнено усиленное условие
Якоби, то не существует нетривиального решения h уравнения Якоби,
удовлетворяющего условиям h(to) = Л(т) = 0, to < т < t| (п. 5.5.1).
Таким образом, усиленное условие Якоби равносильно невырожденно-
сти матрицы H(t, t0) при любом t е (to, ti]. Но тогда снова в силу гло-
бальной теоремы существования и непрерывной зависимости решения
от начальных данных (АТФ, п. 2.5.5) (для уравнения Якоби, которое
тоже, очевидно, сводится к разрешенной системе первого порядка) при
достаточной близости t« к to матрица H(t, t*) будет невырожденной
для любого t е [to, tj.
§ 10. Задачи оптимального управления
159
det'J'/(t, 0) = det
~ detH(t, t,) / 0.
Рассмотрим отображение Ф(4, А) = (t, x(t, А)) в некоторой точ-
ке (?, 0), t € [to, й]- Имеем
Г J О'
xt(l, 0) x\(t, 0)
Значит, по теореме об обратной функции найдется такое 6 = 6(t) > О,
что если только |? — т| < 6, |С — х(t)| < 6, то существует единственное
А = А(т, £) такое, что
Ф(т, А(т, £)) = (т, О <=Ф х(т, А(т, О) =
В силу компактности графика Г$ = {(t, x(t) 11 G [to. й]} можно най-
ти одно do такое, что для любой точки (т, £),	- £(т)| < do. сущест-
вует (и как нетрудно понять — единственное) А == А(т, £), при котором
х(т, А(т, 4)) = При этом гладкость функции А такая же, как глад-
кость х, т.е. С2. Построение центрального поля, окружающего экст-
ремаль, закончено. Остается положить u(r, £) = J^:r(t, А(т, £))|
Б) S-функция и ее дифференциал. Положим
S(r, {) = |L(t, x(t, A(r, О), i(t, А(т, e)))dt.
Функция (т, £) —♦ S(r, £) называется 8‘функцией. Вычислим
ференциал. Имеем по определению
х(г, А(т, £)) = С.
х(т, А(т, £)) = u(r, £).
Дифференцируя под знаком интеграла, используя непрерывность хх,
вытекающую из того, что х G С2, получим
“ = j (Lx(t, x(t, А(т, £)), x(t, А(т, $))), xA(t, А(т, £))Ае(т, <)) dt +
ее диф-
(1)
(2)
+ j{ЦЦ, x(t, A(r, £)), x(t, А(т, $))), ±л(Й А(т, £))Ае(т, $)dt.
Интегрируя второе слагаемое по частям (используя (2), то, что гг(-, А)
есть экстремаль, а также то, что ®а(й, А(т, С)) = 0), получим
5^2 « (£±(т, е, и(т, О), хх(т, А(т, С))А€(т, О).
Но из (1) следует равенство ®а(т, А(т, C))Af(r, $) = I, откуда окон-
чательно имеем
^»^c«(T.e))-P(r.e).
6*
160
Гл. IIL Задача Лагранжа и оптимальное управление
Аналогично,
= С и(т, 0)4-
+ x(t, А(т, 0), i(t, А(т, 0)), хх(т, А(т, 0)Аг(т, 0)+
+ x(t, А(т, 0), x(t, А(т, 0)), xx(t, А(т, 0)Ат(г, 0» dt =
= £(т, С, и(т, 0) - (Ь4(т, С, и(т, 0), и(т, 0)	-Я(т, 0.
Здесь после интегрирования по частям с учетом (2) следует принять во
внимание тождество хт(т, А(т, 0) 4- хх(т, А(т, 0)Ат(т, 0 = 0. Итак,
dS(r, 0 = (р(т, 0, d0-ff(r, 0dr.
В) Основная формула Вейерштрасса. Пусть % — одно-
связная окрестность графика экстремали £(•), покрытая центральным
полем экстремалей я(-, А), и #(•) е KC\[tQ, tj, Rn) — любая функ-
ция, график которой расположен в этой окрестности; при этом x(tQ) =
= x(tQ), x(ti) = Тогда
5(tj, Я1) — S(to, Xq) =	x(t)) =
to
tl	tl
= Jd5(t, 2(0) d= |2(0) + (p(t,	=
to	to
ti
= J(L(t, 2(0, 2(0) -	2(0, 2(0), 2(0)4-
to	tl
4- (I>i(t, 2(0, 2(0), 2(0)) dt = jL(t, £(0> 2(0) dt = <^(2(-)).
to
Отсюда
tl	t!
^(x(-)) - ^(x(-)) = Jb(*, X(t), x(t))dt-^dS(t, x(0) =
to	to
tl
= j(L(t, x(t), i(t)) — L(t, x(t), u(t, #(£)))—
to
— (Lx(t, x(t), u(t, x(t))), i(t) — u(t, x(t))))dt —
ti
= x(t)y u(t, x(t)), x(t))dt.
to
Эту формулу называют основной формулой Вейерштрасса.
Г) Достаточные условия. Из квазирегулярности иитегран-
та следует, что если (t, х) € V, то <£*(£, тг, u, i) > О V (и, х) € Rn х
xRn. Если теперь выбрать лежащей внутри V, то из формулы
§10. Задачи оптимального управления
161
Вейерштрасса немедленно последует, что для любой функции х(-) е
€ АТС1 ([to, ti], Rn), график которой лежит в	«^(ж(-)),
т. е. £(•) доставляет сильный минимум.
Докажем теорему 2, т. е. исследуем задачу
+ (з,}
*0
z(t0) = ^0, z(ti) = Xi.
А) Пусть не выполнено условие Якоби. Тогда по теореме 1 и
лемме о скруглении углов (АТФ, п. 1.4.3) существует функция £(•) е
е С1 ([t0, t>], Rn), e(t0) = £(ti) = 0, для которой (£(•)) < О- Но тогда
(q£(-)) —> —оо при a —> 4-oo, t. e. 5min = -oo.
Б) Пусть выполнено усиленное условие Якоби и H(t, т) — матрич-
ное решение уравнения Эйлера задачи
J^(x(-)) —»inf; rc(to) — x(t\) = О,
удовлетворяющее условиям Я(т, т) = 0, Я(т, г) = I. Из усиленного
условия Якоби вытекает, что матрицы H(t, t0) и H(t, tj невырожде-
ны для t е (to, ti] и [t0, ti) соответственно. Положим
Hi(t) = H(t,	t0), ^o(t) = H(t,	t0.
Тогда Hi(tj) = 6ijl, i, j = 0, 1, и, значит, x(t) = Ho(t)xo 4- H\(t)x\ —
допустимая экстремаль в (з'). Эта экстремаль единственна, ибо если
бы х(-) была другой допустимой экстремалью, то у = х — х было
бы нетривиальным решением уравнения Якоби с условиями y(to) =
—	= 0, а это противоречит усиленному условию Якоби.
Пусть теперь ж(-) — любая функция из КС?1 ([t0, tj], Rn), rr(t0) =
= x(ti) =0. Поскольку £(•) — экстремаль, то нетрудно вывести, что
JT(£(-) 4- х(.)) = ^(х(-)) 4- ^(х(-)).
Семейство функций х(-, А) = Я(-, t*)A, где t* настолько близко
к to, что матрица Я(^ t*) невырождена при to t ti (см. доказа-
тельство теоремы 1), есть поле, покрывающее всю полосу to t М.
Функция наклона этого поля:
u(t, х) —H(t, t*)ff~l(t, t*)x.
Отсюда по формуле Вейерштрасса (см. п. В) доказательства теоремы 1)
*1
(z(-)) = |(A(t)(i - H(t,	t.)x), X -
ибо A(t) > 0 по условию. Значит, JT(x( ) + x(-)) > J^(x(-)). t>
Далее (для задачи Больца, изопериметрической задачи й задачи со
старшими производными) мы не приводим всех рассуждений детально,
а указываем лишь на существенные новые моменты.
162	Гл. 1П. Задача Лаеранжа и оптимальное управление
10.3.2. Задача Больца. <1 Докажем достаточность в теореме 1
п. 5.5.2. Из условий теоремы, подобно тому, как это было проделано
при доказательстве теоремы 1 п. 5.5.1, показывается, что существу-
ют малые окрестности Vo и V точек £(t0) и x(ti) такие, что для
любых Со 6 Vo, Ci е V\ существует единственное решение уравнения
Эйлера х(-, Сь Сг), Для которого x(t<, Со> 6) = Сь * = 0. !•
Тогда, если график х(-) лежит в малой окрестности графика х(-), то
#(х(-)) = ^(х(-)) + Ш ®(А)) = Л®(’)) -	®(М)) +
+ &(х(; X(t0), ®(*1))) + КЖ(Й))> ®(А)) “
» ^(х(-)) - ^(х(-, x(t0), х(«1))) + Ф(х(М. *(А)). (1)
гАе
Ф(Со, 6) » Jx(t, x(t, Со, 6). ®(t. Со. h))dt + 1(Со, е).
Производя дифференцирование под знаком интеграла в этой формуле,
затем интегрируя по частям с использованием того, что {х(-, Со, Ci)} ~
это семейство решений уравнения Эйлера, и, наконец, повторно диф-
ференцируя, получим
Ф"(£о, ®i)ko, ®i] = (P + Q)[x0, ®i].
Теперь следует воспользоваться тем, что по формуле Вейерштрасса
‘1
^(х(-)) - ^(х(-, x(t0), ®(«i))) ® l^dt 0.
Вследствие положительной определенности P + Q, если (x(to), x(t|))
лежит в малой окрестности (х(<о), ®(й))> то Ф(х(<о), x(ti)) > Ф(®(^о)>
x(ti)) и мы приходим к тому, что требовалось:
||х(-) - х(-)||с>([to.til.R") < S =*	> #(*(•))•
Теорема 2 доказывается аналогично теореме 2 п. 5.5.1. t>
10.3.3. Изопериметрическая задача. <) Докажем достаточность в
теореме 1 п. 6.2.1. Пусть х(-) — экстремаль задачи (з) п. 6.2.1 и д ==
= (Дь .... рт) — соответствующие множители Лагранжа. Обозначим
f = (А...../т).
А) Построение центрального поля. Распишем уравнение
Эйлера для лагранжиана L(t, х, х, р) « /о(<,	«) + (м> /(^ х> в
виде системы
х, х, д) -J- xr х, pi) = 0 >’—
ФМ-xsy, у = Ф(£, X, у, р), (1)
$(t, х, у, р) = L^(t, х, у, p)(Lx(t, х, у, р)-
- £it(t, х, у, р) - Lix{t, х, у, р)у).
§ 10. Задачи оптимального управления
163
Так можно сделать в некоторой окрестности графика экстремали х
при р, достаточно близких к Д, вследствие выполнимости усиленного
условия Лежандра.
По теоремам из теории дифференциальных уравнений (локаль-
ной теореме существования, теоремам о непрерывной н непрерыв-
но дифференцируемой зависимости от начальных данных и парамет-
ров) найдется е > 0 такое, что для любых А, р таких, что |А| < е,
|д - Д| < е, решение х(-, А, р) уравнения Эйлера (1) с начальными
данными x(t*, А, р) = x(t»), i(t«, А, р) £(*♦) + А будет определено
на [to, ti] при t*, близком к to, t* < to-
Положим
р(т, А, р) = (yi(r, Х,р), ,.., ут(т, А, р)),
т
yi(r, А, р) J/i(t, x(t, А, р), x(t, A, p))dt, i = I.m.
Из усиленного условия Якоби выводится (проверить это), что найдется
такое 6 > 0, что если только т € [to, ti], |£ — х(т)| < 3, |т/ - 77(7) | < 3,
то существуют единственные А я» А(т, £, г/), р » р(т, С, т?) такие, что
х(т, А(т, £, 7?), р(т, t 7?)) = С
у(т, А(т, £, 7?), р(т, С Г])) * 7?
и при этом функции А и р обладают нужной гладкостью. Этим закан-
чивается построение поля. Функция
«(т, 6 т/) = ~x(t, А(т, г}), р(т, t »/))|t=r
называется функцией наклона поля х(-, А, р).
Б) S-функция и ее дифференциал. Положим
S(t, С. т?) = j/b(t А, р), x(t, A, p))dt,
t*
А ~ А(т, £, 77), р р(т, С, т?).
Имеем по определению
S(r, £, 77) + (р(т, (, 77), 77) « jL(t, x(t, А, р), i(t, A, p),p)dt,
* 4
А = А(т, С, 77), р = р(т, С 77).
Дифференцируя по С и применяя выкладки, подобные проведенным в
предыдущем пункте, получим
9S(t,	77) (др{т, 77)	\
\ di 'V
= Li(r, с и(т, i, п), р(т, i, 7?)) +
=>	T?) = Li(T, i, u(t, i, 77), p(t, i, Tl)).
164
Гл. IIL Задача Лагранжа и оптимальное управление
Аналогично,
9S^dT = L^T’ и(Т’ ^т’	~
- Li(r, и(т, 7]), ц{т, С »?))и(т,	Г]).
Наконец,

В) Основная формула Вейерштрасса. Пусть а = (аь...
t
yi(t) =	x(s), x(s))ds. Тогда, если yi(ti)-ait x(tj) =
to
= хл, i = 1, ..., m, 7=0, 1, to
J J ’ ’ tj
S(ti, xi, a) — S(to, xq, 0) = jdS(t, x(t), y(t))
to
и, следовательно,
ti
^(x(-)) - <^(x(-)) =	z(£), ?(*)>	3/W)> x(t))dt,
to
где
x(tj) = x(tj) — Xj, j = 0, 1,
yi(t) = ]/(«, x(s)> i(s))ds, yi(ti) = ai,
to
<£(1, x, y, u, x) = L(t, x, x, p(t, x, y))—
— L(t, x, u, p(t, x, y)) — (i — u)L±(t, x, u, p(t, x, y)),
L(t, x, x, p) = /o(^» x, x) + {p, f(t, x, i)).
Г) Достаточное условие в теореме 1 п. 6.2.1 немедленно следует из
квазирегулярности интегранта.
Теорема 2 доказывается подобно теореме 2 п. 5.5.1. >
10.3Л. Задача со старшими производными. <1 Докажем доста-
точность в теореме 1 п. 7.2.1.
А)	Построение центрального поля. Расписывая уравнение
Эйлера-Пуассона
п лк
£(-1)^^)(*, X, х...........х(")) = 0
Jb=O
и используя усиленное условие Лежандра, сводим его к уравнению
2п-го порядка, разрешенному относительно старшей производной. Это
дает возможность построить n-параметрическое семейство x(t, Л) =
= x(t, Л|, ..., Лп) функций, удовлетворяющих уравнению Эйлера-
Пуассона и краевым условиям
x(k^(t*, Л) = x(k\t*), к = 0, 1, ..., п — 1,
x(k)(t*, А) =	+ Afc_n+i, к = п, ..., 2п - 1.
§10. Задачи оптимального управления
165
Продифференцируем функцию А x(t, А) по А в точке А = 0 и
обозначим
Чк-> = ВД(М‘) = ^и-
Рассмотрим матрицу
H{t) =
hi(t) ... hn{t)
.../4n_,)(t)
Тогда из условий (1) получим, что ff(t*) = 0, Я^(4») = /. Из уси-
ленного условия Якоби следует, что при t«, близком к to, t* < to,
матрица H(t) невырождена Vt е [to, tj. Это дает возможность найти
экстремаль, для которой
ж(к)(т, А) =&, k = 0, 1...п-1,
причем по (г, £), С = (Со, • • •, Cn-i), где |£fe - JW(t)| < 5, величина
А = А(т, £) определяется однозначно. На этом заканчивается построе-
ние поля. Остается положить
«(т- С) = Л(т- О)|1=/
Б) S-функция и ее дифференциал. Положим
S(t, О = Jl(t, x(t, А(т, О), i(t, Л(т, £)), ..., xW(t, А(т, e)))dt.
Дифференцируя под знаком интеграла, приходим к формулам
= Pk(r, С), к = о, 1, .... п — 1,
= —Я(т, С),
где
Pk(r, С) = Lxw(T, с, и(т, О) - Lx(k+I)(t, С, и(т, C))|t=r+ • • •
й) bx(„)(t,e,u(T,o)|t=T,
-Я(т, О = L(T, е, и(т, О) - ^pfc(7, №.
fc=0
В)	Основная формула Вейерштрасса. Она приобретает
вид
- ^(^(’))=	^(0» • • •
..., ^n"l)(t), u(t, x(t), ..., п/п-1)(£)), x(n\t))dt,
166
Гл. 1П. Задача Лагранжа и оптимальное управление
где
£(t, я?, и, i) = L(t, t, i) — L(t, J, u) — (i — и)£х(п)(<, x, u),
(xq, xi, .... xn_i).
Г) Достаточное условие. В теореме 1 п. 7.2.1 оно немедленно
следует из квазирегулярности интегранта. о
Теорема 2 доказывается, как и теорема 2 п. 5.5.1.
10.3.5. Об одной теореме существования. Оптимальное управле-
ние предоставляет новые возможности для исследования классических
задач. Продемонстрируем это на примере простейшей задачи
ч
^‘(i(-)) s f£(£, х> ®)	х(№ “ хо< ж(^1) xi (з)
^0
с дополнительным ограничением |£| < А.
Теорема. Пусть в (з) интегрант L определен и непрерывен
в R2n+*, квазирегулярен в Rn+* х Rn. Тогда, если существует до-
пустимая функция, то решение задачи (з) существует (решением
будет функция, удовлетворяющая условию Липшица с констан-
той Л).
<) Пусть	— минимизирующая последовательность. Из
условий агп(<о) — яо. |®| < А вытекает компактность {®п(-)}п>1 в
пространстве С([£о. й]. Rrt). Значит, можно считать, что а:п(-) равно-
мерно сходится к х(‘). При этом х(-) абсолютно непрерывна. Используя
то, что L — выпуклая по х функция, и слабую сходимость хп(-) к «(•),
легко выводится, что
< Пт ^(®«(0).
П^-»СЮ
т. е. что х(-) — решение задачи. >
Эта простая теорема зачастую позволяет полностью исследовать
простейшую задачу классического вариационного исчисления, минуя
теорию достаточных условий. Поясним это. В п. 5.5 было рассказано,
что с теоретической точки зрения можно считать интегрант квазире-
гулярным. Если интегрант квазирегулярен, то можно наложить «при-
нудительное» ограничение |£| А. Тогда по теореме существования
решение задачи (з) (при достаточно большом Л) существует. Зна-
чит, можно применять принцип максимума Понтрягина. Как правило,
этот принцип выделяет конечное число решений хД*. А),.... х,(-, А).
Среди них отбираем то, для которого функционал S? минимален.
Пусть «1 (•, А) и будет этим решением. Далее следует изучить поведе-
ние величины ^>(А) = ^(х\(-, А)). Если <р(А) —» —оо при А—> +оо,
то Smin -оо. Если же <р ограничена снизу, то следует рассмотреть
lim rrj(-, А) х(‘) (такие пределы обычно существуют), и мы при-
А-*+оо
ходим к решению задачи. Этим приемом мы пользуемся при решении
задач.
§ JO. Задачи оптимального управления
Задачи
167
10.1. j г sin t dt -»extr; |i| < 1, ®(±tt) = 0.	
—К 7ж/4 10.2. | xsintdt -»extr; |i| < i, аг(0)=0. To 10.3. (P)	inf; |i| > A, i(0)=0, r(To)=e (Л<0).	
0 4 10.4.	|(i2 + x) dt -> extr; |i| I, x(4) « 0. 0 To 10.5.	f (i2 + x) dt —> extr;	|i| < 1, x(0) = 0. 0 To 10.6.	| (x2 + x) dt extr; |i| < 1, x(0) — 0 T 10.7.	J(i2 + x) dt —► extr;	|i| < 1, x(0) = 0 To 10.8.	j (i2 + t) dt —> extr; |i| < 1, x(To) = 6 0 To	
10.9. J (i2 + x) dt —> extr; |£| < 1, x(0) — 0,	z(7o)=O.
0 T 10.10. j(i2 + x)dt extr; |i| < I, x(0) « 0,	
0 To 10.11.	J (i2+ x2)dt-* extr; |i| C 1, ж(0)=^. 0 i 10.12.	^xdt -* extr; |£| < 2, x(0) = i(0) 0. 0 i 10.13.	pctt —> extr; |i| < 2, x(l) i(l) 0. 0 i 10.14.	^xdt extr; |x| < 2, x(0) = i(l) -0. 0 2 10.15.	jxtft —> extr; |£| < 2, x(0) + x(2) - 0, 0	i(2) « 0.
168
Гл. И1. Задача Лагранжа и оптимальное управление
2
10.16.	jxdt	—> extr;	|x|	2,	x(0) + x(2) = 0, i(0) = 0.
	0 1			
10.17.	I jxdt 0	—> extr;	|x|	2,	r(0) + x(l) = 0, i(0) + x( 1) = 0.
10.18.	2 jxdt	—» extr;	|x|	2,	x(0) = i(0) = x(2) = 0.
	0			
10.19.	2 \xdt	—> extr;	|x| < 2,	i(0) = i(2) = x(2) = 0.
О
2
10.20.	(Р) Ixdt —>• inf; |х| 2, х(0) = х(0) = х(2) = 0.
о
4
10.21.	jxdt -* extr; |х|	2, х(0) + х(4) = 0, х(0) = х(4) = 0.
о
10.22.	Т -4 inf; |х| < 2, x(—I) = 1, x(T) = -l,
x(-l) = x(T)=O.
10.23.	T-> inf; |x|<2, x(-1) = -1, x(T) = l,
x(—1) = x(T) = 0.
10.24.	T —»inf; |x| < 2, x(O) = x(T) = O, x(0) = 1, x(T) = 3.
10.25.	T-> inf; -l^x^3, x(O) = l,
x(0) = x(T) = 0, x(T) = —1.
10.26.	T -4 inf; —3^x^l, x(0) = 3,
x(0) = x(T) = 0, x(T) = -5.
10.27.	T -4 inf; 0 x 1, x(0) = £b x(0)=&.
x(T) = x(T) = 0.
10.28.	T -4 inf; |x| < 1. x(0) = £b i(0) =	x(T) = O.
10.29.	T -4 inf; |x| sC 1, x(0)=£b x(0) = &, x(T) = 0.
10.30.	j |i| dt inf; 2°	x —2,	x(0) = 0, x(2) = -l, x(2) = -2.
10.31.	J|rr| dt inf; 0	x > —2,	x(0) = x(0) = 0, x(2) = -3.
10.32.	2 j|i| dt inf; 0	x —2,	x(0) = x(2) = 0, x(2) = 3.
10.33.	2 j|^| dt —> inf; 0	x 2,	x(0)=0, x(2) = l, x(2) = 2.
10.34.	2 f|£|2 dt —> inf;	x 2,	x(0) = 1, x(0) = -2, x(2) = 0.
о
§10. Задачи оптимального управления
169
1
10.35.	—> inf; 0	is: 24,	х(0) = 11, t(1) = i(l) = 0.
10.36.	2 рЁ2 dt —> inf;	Ж > 6,	x(O) = i(O) = O, x(2) = 17.
	0		
10.37.	i рЁ2 dt —> inf;	1*1 1.	x(O) = i(O) = O, *(1) = -^|
	0		
10.38.	z(2) —> extr;	1*1 < 2,	2 ji2dt = 2, t(0) = 0.
			0
		To	
10.39.	z(7o) —> extr;	J x2dt	= 2, |i|	1, z(0) = 0.
		0	
10.40.	(P)K4F	+	—> inf;	z(l) = £.
о
То
10.41.	j (ху — ух) dt —> sup;
о
т0
10.42.	J (ху — ух) dt sup;
о
То
10.43.	j (ху — ух) dt —> sup;
о
То
10.44.	j (ху — ух) dt —> sup;
о
т0
10.45.	j (ху — ух) dt —> sup;
о
Ю.46. I	inf; х >
J 1+ж2
о
мическая задача Ньютона).
х(О)=х(То), ?/(0) = 2/(Г0),
т2 + у2 1 •
(х -£)2 +у2	1,
z(O) = x(To), ?/(O) = ?/(To).
ЙЛ (!/<
х(0) = х(7Ь), у(0) = у(Г0).
|i| 1, Ы < 1, х(0) = х(То).
у(О) = у(То).
1*1 + Ы 1. *(0) = х(То).
У(О)=!/(ГО).
О, я(0) — 0, х(7о) = С (аэродина-
10.47. jx2dt -+ sup;
О
экстремали).
|i| < 1,	я(0) =0 (найти допустимые
Глава IV
СВОДНЫЙ ОТДЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 11. Сводный отдел
।
11.1. ji2di-♦extr; ®(1) = 1.
О
11.2. |(i2 - x)dt - extr
о
i
11.3.	J±2 dt —► extr; |i| < 1, x(0)^0, ®(1)==C
о
To
11.4,	| (i2 - x) dt extr, x(Q) ® 0,
о
To
11.5,	J (i2 - x) dt extr; x(O) — x(Tq) == 0.
To
11,6.	|(i2 -x)dt -> extr; |i| C 1, z(0)^0.
о
To
11,7.	j (i2 - x) dt -* extr; |i| < 1, x(0) x(Tq) « 0.
о
т
11.8.	J(i2 ~ x) dt extr; |x| < 1, x(0) = 0,
о
т
11.9,	j(i2 — x)dt—> extr; |i| < 1, x(0) == 0, x(T) = 0.
о
1 11.10. ji2 dt -♦ extr; 0	I jxdt 1. 0
i 11.11. |i2dt —♦ extr; 0	i jxdt= 1, x(0) = 0. 0
1 11.12. ji2dt —» extr; 0	i l%dt = 1, x(0) = x(l) = 0. 0
§11. Сводный отдел
171
ПЛЗ» ji2dt -4 extr; 0	jta(ft = 1, x(0) — 0. 0
i 11Л4. ji2 dt -4 extr; 0	i Jtrr dt = 1, x(0) = x(l) = 0. 0
1 11.15. ji2dt -4 extr; 0	i #(0)==l. 0
i 11.16. ji2 dt —> extr; 0	i	i Jrr dt = Jia? dt = 0, z(0) = 1. 0	0
1 11.17. ji2 dt -* extr; 0	1	1 Jo; dt = ^txdt = 0, ж(1) = 1. 0	0
11.18. ji2(ft —> extr; 0 T	prtft =* jtxdt 0, x(O) = 0, ж(1)=1. 0	0 T
11.19. j±2 dt -4 extr; 0 T	Jcc dt — 1, x(Q) = 3.
11.20. p2 <ft-» extr; 0	x(T) = l. 0 fl-
11.21. ji2dt -* extr; 0	jx sin t dt = 1, x(0) » 0. 0
11.22. |i2 dt extr; 0 fl	jxsintdt —1, x(0) — х(тг) = 0. 0 It	It
11.23. ji2 dt —> extr; 0 fl-	jxsintdts=l, jxcostdt = 0, x(0) — 0. 0	0 1t	1Г
11.24. ji2<ft -* extr; 0	pcostdt = p psinteft =-2, ж(0) = 0. 0	0
11.25. ji2 dt —* extr; 0	Jxetdt= I» rr(O) — 0. 0
i 11.26. ji2(ft extr; 0 e—1	i pre*(ft = I, rr(O) = z(l) s= 0. 0
11.27. | (t + l)i2 dt + 2x(0)[x(e - 1) + 1]-+extr. 0	
т
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
2
11.28. ^t2x2 dt — 2х( 1) + х2(2) —> extr.
1
11.29. j(ix2 + 2x)dt- I	> extr;	x(l) =0.
11.30. j(tx2 + 2x)<ft-	> extr;	x(l) = x(e) = 0.
1 »/2 11.31. j (х2 — х2 — 2х) dt — 2		i T СЧ 1 o4 СЧ H
и To 11.32. |(x2 + x2)dt->	extr;	x(To)=C
0 T 11.33. |(x2 + x2)dt-~*	extr;	х(Г)=С
0 To 11.34. j (i2 + x2)dt —»	> extr;	ix|<i, x(T0)=e.
0 T 11.35. j(x2 + t2) dt	extr;	l±i c i, *(T)=e.
0 To 11.36. j (i2 + x2) dt -и	► extr;	x(0) = 0. x(T0) = £.
0 T 11.37. |(x2 + x2)dt->	extr;	x(0) = 0, x(T) = C
0 To 11.38. |(x2 + x2)dt—i	► extr;	|x|	1, x(0)=0, x(T0) = 6
0 T 11.39. j(i2 + t2) dt —> 0	extr;	|x|Cl, x(0)=0, x(T) = C.
11.40. j(x2 — x2)dt	extr;	|x| < 1. x(0)=0.
0 7t/2 11.41. j (x2 — x2) dt -	-» extr;	x(0) = 0, x(0 = l.
0 Зтг/2 11.42. J (x2 — x2)dt	—> extr;	|x| < 1, x(0) = x(^)=0.
о

§ 1L Сводный отдел
173
То
11.43.	J (х2 — х2 — 4х sin t) dt —> extr; я(О) = 0, x(Tq) = f.
о
To
11.44.	(P) J (i2 — x2)dt —> extr; |i| < 1, x(O) = 0.
о
To
11.45.	f (x2 — x2) dt extr; |i|	1, rr(O) = x(Tq) = 0.
11.46. ji2<ft -» 0	extr;	jrr2 dt = 1. 0
1 11.47. 0	extr;	1	1 jx2dt= 1, prdt = O. 0	0
1 11.48. 0	extr;	1 pr2tft=l, z(0) = 0. 0
z(l) = 1 (x > 0).
11.49. J dt -» extr;
0
11.50.	[-----dt extr; rr(O) = rr(l) = 1 (x > 0).
J x
0
T —
11.51.	dt —» extr;	ж(0) = 1, 2T + x(T) = 2
(.	i
11.52.	xdt-*extr; jx/1 + x2dt = z(l) = O.
о	о
о	о
11.53.	j xdtextr; jx/1 +±2dt =	x(—1) = 0.
-i	-i
(x > 0).
11.54. J (-J.—.--?. +x\X2^dt extr; ^i(O) = я2(0) = 1.
0
тг/2
11.55. J (x2 + х% + 2x\X2)dt —» extr; rri(O) = ж2(0) = 0,
о
1 11.56. J±i±2 dt -и 0	1 1 ► extr; jxi dt — |хг dt = 0, xi(0) = X2(0) = 0) 04(1) = 1, 0:2(1) = 2.
174
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
1
11.S7. р’Л-» 0	extr;	®(0) »s®(0) as 0, ®(1) ~ 1.
1 11.58. j®2dt-^	extr;	®(0) = ®(1) =0, ®(0) = l.
0 1 11.59. j®2dt -♦ 0	extr;	i(0)=i(0)^0, i(l) = l.
1 И.вО. |x2dt —> extr, 0		®(0) = ®(l) = 0, 4(0) = -l, i(l)«l.
i 11.61. [(®2-48®)<Й-		♦ extr; ®(0) =i(l) = 0,
0		
11.62. j(®2 — 48®) dt - 0		♦ extr; ®(0) = ®(0) — ®(1) = 0.
i 11.63. j(®2-48x)<tt- 0		4 extr; ®(0) = i(Q)=r(l) = i(l) = 0.
1 11.64. |*(®2 4-48®) dt —» extr; ®(0)=0, ®(1)«1.		
0 11.65.jtx2dt-	> extr;	x(l) = e4-|, ®(e) = ~-, ®(1)=1.
11.66. jt®2dt-	+ extr;	®(1)^0, ®(1) = 1, 4(e) = 2.
1 11.67. jt®2dt - 1	4 extr;	®(l) = 0, 4(1) «=1, ®(e) = e, ®(e) «=
11.68. jt2®2 dt 1	-4 extr;	®(1) = — 1,	®(e)=®(l) = e.
11.69. jt2®2dt 1	-4 extr;	®(l)«=0, 4(1) = 1, i(e)»|.
11.70. jt2x2dt 1	-»extr;	®(l)«s0, ®(е) = ®(1) = 1, ®(e) =
11.71. jt3x2dt 1	-»extr;	®(1) =«	®(e)	|, ®(e) =
11.72. jt3®2dt	-4 extr;	®(1) = 1, ®(1) = —1, ®(e) =—Др
§11. Сводный отдел
175
?	1
11.73.	Jt3i2dt —* extr; ®(1) — 1, i(l) = -1, ж(е) s
i(e) - -1.
11.74.	|(x2 + 4x2) dt -+ extr; ®(0) = i(0) » 0, i(?r) =₽ вЬтг.
о
11.75.	|(i2 + 4®2) dt -♦ extr; x(0) — i(0) 0, ®(?r) ® slur.
11.75.	I (i2 + 4®2) dt - extr; ®(0) » i(0) « x(ir) = 0,
i(ff) — shTr.
11.77. Г (®2 - ®2) dt -» extr.
т
11.78.	0 w/2	extr.
11.7».	J (x2 — x2)dt - 0 It	-extr;	=
11.80.	j(x2 — x2)dt -=» 0	extr; ®(0) « 1.
11.81.	j(i2 — x2)dt —> 0 1Г	extr; i(0) ~ 1.
11.82.	|(®2 —x2)dt —> 0 1Г	extr; ®(?r) ss 1.
11.83.	j(x2 -x2)dt -* 0 ir/2	extr; x(it) = 1.
11.84.	J (£2 — x2) dt - 0 Я/2	-»extr; ®(0) » 0,
11.85.	j (i2 — x2} dt - 0 1Г	- extr; i(0) = 0,
11.86.	f(®2 -r2)dt —»	extr; ®(0) = 0,
x
i(7r) = 1.
x2 - x2)dt —> extr;
i(0) = 0,
1.
1.
x(?r) = 1.
о
176	Гл. IV.	Сводный отдел и приложения
11.88.	j(£2 — x2)dt	extr; х(0) = х(тг) = 0, i(0) = 1.
	0 7Г	
11.89.	J(£2 — x2)dt	extr; я(0) = я(тг) = 0, £(тг) — 1.
	0 7Г	
11.90.	j(i;2 — x2)dt	extr; я(0) = 1, i(0) = ±(тг) = 0.
	0 7Г	
11.91.	J(£2 — x2)dt	extr; i(0) = ±(тг) = 0, гс(7г) = 1.
	0 тг/2	
11.92.	J (£2 — x2)dt - о	-» extr;	= 1. х(0) =	= 0.
	тг/2	
11.93.	j (x2 — x2) dt -	extr;	= 1,
	0	i(0) = х(0) =	=0.
11.94.	j(i2 — x2)dt	extr; я(0) = я(тг) = 0, £(0) = 1,
	0	гг(тг) = — 1.
11.95.	j(£2 + x2)dt 0	extr; я(0) = 0, я(1) = sh 1, i(l) =chl.
11.96.	i j(x2 +x2)dt	extr; я(0) = — sh 1, i(0) = ch 1,
	0	x(l)=0.
11.97.	j(£2 + x2)dt 0	extr; z(0) = £(0) = 0, i(l)=shl.
11.98.	i j(£2 + i2)di	extr; i(0)=shl, e(1) = £(1)=0.
	0 тг/2	
11.99.	j (x2 — x2) dt -	-> extr; z(0) = 0,	1
	0	II к I<n •H к |<м + II к |<м H
	7Г/2	
11.100. J (i2-i2)dt		extr; x(G) = i(0) = 0,	= 1-	'
	U 7t/2	
11.101	. J (x2 — x2) dt	—> extr;	rr(0) = i(0) =	— 0,
	0	II "кТсч R
§11. Сводный отдел
177
4
11.102. j х dt —> extr; |ё| 2, я(0) = я(4) = 0. 0		
4 11.103. Jxdt- 0 4 11.104. Jxdt - 0	extr; extr;	|x|	2, z(0) = i(4) = z(4) = 0. |x|	2, x(0) = i(0) = z(4) = i(4) = 0.
1 11.105. Jxdt- 0	-> extr;	i pr2 dt = 1, z(0) — x( 1) = 0. 0
1 11.106. Jxdt- 0	extr;	i pr2 dt = 1, z(0) — i(0) = ж(1) = 0. 0
1 11.107. Jxdt- 0	-> extr;	i Ji2 dt = 1, jr(O) = i(0) — rc(l) = i(l) = 0. 0
I 11.108. Jx2 dt 0	extr;	i prdt = 1, z(0) = 0. 0
1 11.109. Jx2 dt 0	extr;	i Jar dt = 1, x( 1) = i(0) = 0. 0
1 11.110. Jx2 dt 0	—> extr;	i jxdt = 1, z(0) = i(0) = i(l) =0. 0
I 11.111. Jx2 dt 0	—> extr;	i fxdt = 1, z(0) = i(0) = rc(l) = i(l) = 0. 0
I 11.112. Jx2 dt 0	—> extr;	i pr2 dt = 1, x(fi) = i(0) = 0. 0
1 11.113. Jx2 dt 0	—> extr;	i pr2 dt = 1, z(0) = i(0) = z(l) = i(l) = 0. 0
I 11.114. Jx2 dt 0	—> extr;	i	i	i pr2 dt = 1, ^xdt = ^xdt = 0. 0	0	0
11.115. Jx2 dt	extr;	lx2dt=l, prdt = O, t(0) =x(1),
О	О	О
±(О) = ±(1).
178
Гл. IV, Сводный отдел и приложения
Т 11.116. Т—> extr; ji2dt==4, i(0) = 0, i(0) « 1, i(T) =» — 1.	
11,117. T -+ 11.118. T- 11.119. Т-»	extr;	1, z(0)—i(0) = 0, i(T)==l, 0 T -extr; Jx2dt = l, s(0) «i(0) = x(T) = 0, i(T) = l. 0 T extr; pr2dt = 4, i(0) «« i(0) = 0,
	° (	®(T) = 1, x(T) = 2.
11.120. 4(1)	—> extr; Ji2 dt 4, x(0) = i(0) = r(l) = 0. 0
11.121. x(l)	1 -+extr; pr2dt = 12, i(0) = i(0)=i(l)=0. 0
11.122. pi'8 0	dt —»extr; ®(O) = i(O) =s i(0) = 0, i(l) = 1,
0	dt—>extr; z(0) = i(O) = i(0), «(1)«1.
11.124. ji’2 11.125. pi’2 0	dt -- extr; ®(0) i(0) » £(0) = 0, i(l) = 1. dt —»extr; x(0) = i(0) s £(0) = i(l) = 0, x(l) s= I.
11.126. j	i’2 di —> extr;	x(0) =c i(0) = i(0) = i(l) = £(1) = 0,
0 1	x(l) = l.
11.127. j	i'2dt extr; x(0) = i(0) = £(0) =i(l) = i(l) = 0,
0 11.128. (P)	i(l) = 2. Пусть x(-) абсолютно непрерывна, i(-) € 4г([0. 1]) и
ж(0) = 0; тогда имеет место точное неравенство
о	Q
где X — минимальный корень уравнения <^о(2 \/А) = 0, &о — функция
Бесселя [19, с. 437].
§ 11. Сводный отдел
179
11.129.	(Р) Пусть х(-) локально абсолютно непрерывна, £(•) 6
е L2(R+) и х(0) — 0; тогда имеет место точное неравенство (нера-
венство Гильберта) ж ж
j^-dt < 4 J±2 dt
о	о
[19, с. 212].
11.130.	Пусть ж( ) абсолютно непрерывна, i(-) € 2^([0, 1]) и
ж(0) = 0. Тогда имеет место точное неравенство
о	о
[19, с. 437].
11.131.	Пусть х(-) абсолютно непрерывна на [0, 1], i(-) G £г([0, 1])
и ®(0) = 0. Тогда имеют место Следующие точные неравенства ([19,
с. 438]):
0	0	о	о
11.132.	Пусть яг(-) абсолютно непрерывна на [0, 1], i( ) G Ьг([О. 1])
и х(0) =i(l) = 0. Тогда имеет место точное неравенство
f (2 — t)xz
1 _2
ItTRO
О
dt	5 j®2
о
11.133.	(Р) Пусть ж(-) локально абсолютно непрерывна, £(•) G
e£p(R.+), р> 1, и i(0)=0; тогда имеет место неравенство (нера-
венство Харди)
1т dt С f '' ~ । J j" |i|p dt.
о	/ о
т
11.134.	(Р) [(1 +s|i|)dt -8 inf; |£| < 1, х(0) = х0, ±(0) = v0,
о
х(Т) = х(Т) = 0 (е > 0). (При е ~ 0 получается классическая задача
т
о быстродействии. Величина e||i| dt характеризует расход топлива на
о
поездку. Функционал здесь таков, что мы вынуждены одновременно
экономить время и топливо.)
т
11.135.	(Р) j(l 4- £f(x)) dt inf; |f| < 1, ж(0) x0, i(0) «= v0,
0
x(T) = x(T) = 0 (e > 0); f — четная выпуклая функция.
2тп+1	2m 4-1	2тп4-1	2пг+1 Л
11.136.	£ х{ -8 inf; £ Xi= £ xj^Q, £ ж?-1.
i=l	4=1	4=1	«=1
180
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
11.137.	Сто положительных чисел xi, ..., ящо удовлетворяет усло-
виям х2 + ... + Xjoo > 10000, xi + ... + яцю < 300. Доказать, что сре-
ди них найдутся три числа, сумма которых больше 100.
11.138.	Среди неотрицательных тригонометрических полиномов
вида x(t) = 1 4- 2pi cost 4-... 4- 2рп cos nt найти полином с наиболь-
шим коэффициентом р\.
11.139.	Пусть х(-) — невозрастающая функция на полупрямой;
тогда для любого а > 0 справедливо неравенство Гаусса
J х dt <	J t2x(t) dt.
а	О
11.140.	Пусть х(-) принадлежит £г(Н+). а ее производная абсо-
лютно непрерывна и	ё(-) е	тогда
рЛ<2(рЛ)'/!(рЛ),/г
ООО
(неравенство Харди-Литтльвуда-Полиа).
11.141.	я(0) sup; J (x2(t) + (х^(t))2 dt 1.
о
I
11.142.	J|u|p dt —> inf; x + их = 0, ж(0) = ж(1) = О,
0	£(0) = 1 (р>1).
I
11.143.	j|u| dt inf; т +	= rc(O) = я(1) = 0, i(0) = 1.
о
§12. Разные задачи
12.1.	Некоторые теоремы анализа и алгебры.
12.1.1.	Основная теорема алгебры.
Теорема. Каждый полином с комплексными коэффициентами
степени, не меньшей единицы, имеет комплексный корень.
<1 Пусть p(z) = а0 + a\z 4-... + anzn — полином степени n > 1, у
которого ап / 0. Рассмотрим элементарную задачу
/(z) = |p(z)|2 -»inf; z e С,	(3)
где С — множество комплексных чисел.
Лемма. Решение задачи существует.
<< В силу неравенства треугольника для модулей имеем
/(z) = |p(z)|2 d= |^2afc2fc| (|an||z|n-	) =
Jb=O	fc=0
= |a2||z2’‘|(l+O(l/|z|))->+oo
§ 12. Разные задачи
181
при z -* +оо. Остается лишь сослаться на следствие из теоремы
Вейерштрасса. »
Пусть z — решение задачи (з). Не ограничивая общности, можно
считать, что z = 0 (иначе мы рассмотрели бы полином q(z) — p(z -
- £)). Тогда
/(0) f(z) ~ lao + aiz + ... + anzn\2 \/zeC.
Если ао = 0, то точка z = 0 была бы корнем полинома и все было
бы доказано. Пусть ао / О из — тот номер, для которого ai = ...
... = as_] = 0, as / 0. Зафиксируем ( — eie и рассмотрим задачу
<?(*) = /(/<) -* inf.
Из наших допущений следует, что 0 е abs min tp. При этом
¥’(fe)(°) =	^|<=0=	(«о + a,stseise + O(is+1))x
x(ao + aZe-is0+O(«s+I))=O, к = \..........s-1,	(1)
</(0) = 2(s!) Re (aoa4eis(?) = 2(s!)|a0| |a,| cos (s0 + -y).	(!')
Применим к задаче необходимое условие минимума (п. 2.6.1).
Согласно ему s должно быть четным и при этом <^W(0) > 0. Из выра-
жения (Iх) видно, что С всегда можно выбрать так, чтобы у?^(0) < 0.
Значит, 0 loc min <р и, значит, ао должно быть нулем. £>
12.1.2.	Критерий Сильвестра. При формулировке условий выс-
ших порядков приходится определять, является второй дифференциал
функционала положительно определенной квадратичной формой или
нет (п. 2.5.2). В конечномерном случае критерий положительной опре-
деленности дается известной теоремой Сильвестра. Покажем, что эта
теорема является простым следствием теоремы Ферма для многомер-
ных задач без ограничений.
Напомним, что симметричная матрица А=(а<у)^^1 называет-
ся положительно определенной, если квадратичная форма Q{x) =
т
= {Ах, х) = 52 O'ijXiXj положительна для любого ненулевого вектора
г=1
х е Rm. При этом пишут А > 0. Определители detAjb где Ак =
—	fe—l,...,m, называются главными минорами матри-
цы Л. Квадратичную форму {Акх, х) {х е Rfc) обозначим Qk(x) (Q =
= Qm).
Теорема Сильвестра. Матрица А положительно определена
тогда и только тогда, когда ее главные миноры положительны.
Для матриц первого порядка утверждение теоремы оче видно. Пусть
оно доказано для матриц порядка п— 1 (п>2). Докажем его для
матриц порядка п.
Лемма. Пусть det Ак > 0, к = 1, ..., п — 1. Тогда Ап > 0 тогда
и только тогда, когда det Ап > 0.
182 Гл. IV. Сводный отдел и приложения
<j<j Рассмотрим экстремальную задачу
Qn(yi.....Уп-1. 1) ~f(y) = (Лп-ь у) + 2(а„, у) +апп -* inf, (з)
У = (УЬ •••. Vn~i) 6 Rn-1,
где ап = (апЬ ..., ann_i). Это — гладкая задача без ограничений.
Решение у задачи (з) существует. Действительно, по предположе-
нию индукции Лп-1 > 0, Вследствие того, что определитель непрерыв-
но зависит от элементов матрицы, при малых £ > О матрица Лп-1 —
-eln_\ (где Zn_i — единичная (п— I)-мерная матрица) будет также
положительно определенной и, значит,
((Лп-| - sln~\)y, у) > О У у G Rn~l => (Лп-ц/, у) > €|t/|2.
Отсюда в силу неравенства Коши-Буняковского /(у) е|«/|2 -
- 2|an | |у| - |ann| -* +оо при |^| -»+оо, т. е. можно применять
следствие из теоремы Вейерштрасса.
2. Необходимое условие — теорема Ферма — приводит к равенствам
/'(V) = 0 <=> Ап-\у + а„ = 0.
3. В силу единственности стационарной точки у = -A~Ltan G
G abs min з, откуда значение задачи
~ f(.y) 35 у) + апп =- ®ПП — (°Ш Лп_]йп)-
Разложим определитель матрицы Лп по последнему столбцу:
П-1
det Д.п = dnn det yin— i	>
i=l
и, далее, каждый определитель Д<,	1,n- 1, - по последней
строке. Тогда	п )
det Ля Опп det An—i 4-	* Ауи3п<1уп,
г,
Если теперь воспользоваться определением обратной матрицы к Лп-ь
то приходим к формуле
det Ап = det An_j(ann + (а„, Л"!^,»)).
Значит, доказано, что S3 == det Ап/det An-i.
Таким образом, если Лп > 0, то
0 < Qn(17i...Уп-i, 1) = f(yi.....Уп-i) = S3=^- det А„ > 0.
Если же det Ап > 0. то для вектора х = (х\..хп-ь 0) / 0 полу-
чается неравенство Qn(x) > 0 по предположению индукции. Для век-
тора х = (ij....хп), хп / 0, обозначим у = (xi/xn.....xn_i/xn) и
получим
Qn(x) = ж2/(у) х2/(у) = хгп det An/det Ап_| > 0,
а это означает положительную определенность А. »
Теперь критерий Сильвестра выводится очень просто. Пусть Ап >
> 0. Тогда очевидно, что An-i > 0 и, значит, по предположению
$ 12. Разные задачи
183
индукции det Ак > 0, к = 1...п — 1, откуда по лемме следует, что
det Ап > 0. Если же det Ак > 0, к = 1...п, то из леммы сразу
вытекает, что Ап > 0. >
12.1.3.	Расстояние от точки до подпространства.
Теорема. Пусть X — гильбертово пространство, х°......хк —
линейно независимые элементы из X. Тогда расстояние р от точ-
ки х° до подпространства, натянутого на х*....хк, выражается
формулой
р - (det ((я’, a^J^^o/detCC®*, а^))^=1)‘/2.
< Рассмотрим экстремальную задачу
-♦inf, £ = (6,....&)€Rfc.	(з)
Это — гладкая и выпуклая задача. Имеем
= e+2(Ofe, е+ь,
где
Ак = «яЛ	ак = ((х°, х')..{х°,	хк)),
b = (х°, х°).
Заметим теперь, что в точности эту самую задачу мы решали в
п. 12.1.2. Там было показано, что S3 — detAfc+i/detАк, где At+i =
=	Остается лишь учесть, что S3 = р1. t>
Замечания. 1. Определители det Ак и detА«.+1 называются опре-
делителями Грама.
2.	В § 2 были рассмотрены частные случаи этой теоремы, когда
были найдены расстояния до прямой и гиперплоскости.
12.1.4.	Приведение квадратичной формы к главным осям.
Пусть >1 ==	— симметричная матрица (ву=а^) и Q(x) »
п
— (Ах, х) = 22 aijxixj “ квадратичная форма, соответствующая мат-
рице А. ‘"7”1
Теорема. В пространстве Rn существует ортонормированный
базис fi,.... fn, в котором форма Q допускает представление
д(х)^^(х,^.
t==l
В базисе	матрица формы Q диагональна. Направления
вдоль векторов fa называются главными осями формы Q, а переход
к базису / — приведением формы к главным осям.
Подробное доказательство этой теоремы и ее обобщений средства-
ми теории экстремальных задач см. в [13, с. 274-277].
184
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
12.2. Некоторые неравенства.
12.2.1.	Неравенство Вейля.
Тёорема. Пусть I — это прямая R или полупрямая R+,
функция x(t} локально абсолютно непрерывна, причем x(t) и t • x(t)
принадлежат Тогда имеет место неравенство
fx2dt < /<(/)( |72я2сй) ! ^ji2dt) ,	(1)
I	ii
где 7f(R) = 4, K(R+) = 2; неравенство точное и достигается для
x(t) = Bexp(-Ai2), А > 0 (см. [19, с. 199]).
Неравенство (1) для I = R выражает принцип неопределенности в
квантовой механике. Докажем (1) для / = R+. Случай I = R анало-
гичен.
<1 1. Рассмотрим экстремальную задачу
j х2 dt	inf; | (t2 — 1 )x2 dt = 1	(з)
о	о
и применим к ней принцип Лагранжа (хотя для бесконечного отрезка
он в этой книге не обоснован). Функция Лагранжа:
= j (Aoi2 + Ai (t2 — 1 )z2) dt.
о
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера: — Ao# + Ai (t2 - 1 )rr = 0;
б)	трансверсальность: ±(0) = 0.
3.	Если Ао = 0, то х = 0, что противоречит изопериметрическому
условию. Значит, уравнение Эйлера сводится к следующему: х +
+ Ai(l - t2)x = 0. Непосредственно можно убедиться, что функция
<p(t) = exp (—12/2) удовлетворяет этому уравнению с Ai = 1 и условию
трансверсальности в нуле, причем tp(t) / 0 Vt € R+.
4.	Семейство функций x(t, А) — Ау>(£) образует поле экстремалей,
удовлетворяющее условию трансверсальности и покрывающее полу-
плоскость t 0.
Выпишем равенство, соответствующее основной формуле Вейер-
штрасса (п. 10.3.1):
(2)
| (i2 - (1 - t2)x2) dt = j (x - gg x) dt = |
Справедливость его нетрудно получить непосредственно, интегрируя
по частям.
Из (2) следует, что численное значение задачи равно единице и что
решение ее доставляет функция x(t) = Сехр(-г/2), где С выбрано
из изопериметрического условия
C2j(l -t2)e~t2dt= 1.
О
§12. Разные задачи
185
Подставив теперь в (2) вместо x(t) функцию 7/(t/a), получаем
j£2(т) dr - a2 jу2(т) dr 4- a4 jт2у(т) dr О Vа > 0.
ООО
Применив условие неотрицательности квадратного трехчлена, при-
ходим к (1). >
12.2.2.	Обобщенное неравенство Вейля *).
Теорема. Пусть р> 1, s > 0, функция x(t) локально абсолютно
непрерывна на R+, причем функции x(t) и ts/p-{x(t) принадле-
жат LP(R_|_). Тогда имеет место неравенство
j ts-1|a:|p dt (tp's|x|pdty/P ( j |i|p dt) ’/P,
R+	R+	R+	(О
l/p+l/p'=l.
p-Ь s - 1
Неравенство точное и достигается для x(t) — Bexp^—At р-1 j
(см. [19, с. 199], где (1) доказано для х 0).
<1 1. Рассмотрим экстремальную задачу
J(|s|p — ats~{|s|p + btps|s|p)dt —> inf.	(з)
о
Это — задача Больца, правда, на бесконечном интервале. Применим
к ней принцип Лагранжа (хотя ранее задачи Больца на бесконечном
интервале мы не рассматривали).
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера:
—(|s|p-1 signs) — ats~x|s|p_ 1 signs 4- btps|s|p“1 signs = 0;
б)	трансверсальность: s(0) = 0.
3.	Ищем решение уравнений п. 2 в виде p(t) = exp (—1&). Функ-
ция р удовлетворяет условию трансверсальности при /3>1. Если
подставить функцию р в уравнение Эйлера, то получится, что оно
удовлетворяется при = 1 4-s/(p — 1) (/? > 1), a = s/3p-1, Ь = (р-
- 1)/Зр.
4.	Семейство функций s(t, А) = Xp(t) образует поле экстремалей,
удовлетворяющее условию трансверсальности и покрывающее полу-
плоскость t^0. Выпишем равенство, соответствующее основной фор-
муле Вейерштрасса (функция наклона поля u(t, s) = p(t)x/p(t) —
= -(3tP-xx)-.
-(p- l)0ptp'*)\x\p)dt =
0
9 Этот пункт написан А. В. Брухтием.
186
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
~ J (1®1Р ~ luG> 1)1Р — Р(® _ и(Ъ ХУ) |«(t ®)|₽~l signu(t, x))dt. (2)
о
Это равенство также можно проверить непосредственно.
В силу выпуклости функции £ —»|4|₽ при р > 1 выражение |®|р —
- |u|p-p(i —u) |«|р-1 sign и неотрицательно, откуда и из (2) следует
неравенство
J(|±|1’ - (s/3p-4e-' - (р - l)/3^p'e)|af)dt >0	1 +	(3)
О
Подставив в (3) вместо x(t) функцию y(t/a), получаем
| |p|pdr - гз(Зр~1 | тв“* |у|р dr+
0 ° , *? ,
+ zp/3p(p-l)]т4р|у|рdr О Vz>0, (4)
где z^ap+s~l.	°
Для завершения доказательства нужно доказать следующую лемму.
Лемма. Пусть А, В и С — положительные числа, р* > 1. Тогда,
если для любого z > О выражение f(z) ~ Azp' — Bz + С неотрица-
тельно, то	i/г <_п
В<р|/рр'|/р,Л|/',С1/р = В = /(2), г=(Д) Р ’
l/p+1/p'^l.
<1< 1. Рассмотрим экстремальную задачу
/(г) = Агр'“Яг + C^inf, ОО.	(з')
Решение z этой задачи существует по следствию из теоремы Вейершт-
расса, ибо lim /(z) « оо. Ясно, что z 0 0 (ибо /'(0) < 0).
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: f'{z) = 0.
3.	Стационарная точка 2 единственна: j'(z) ~ 0 <=> z —
( в
I * пг тп* тт I
\р*А/
4.	В силу единственности стационарной точки z € aba min з' и,
следовательно (так как f(z) > 0 по условию),
о</(г)~Д)1/(₽“°+С^В^В. >>
Применение леммы к (4) с
А = Вр(Р - О Jrp'*|p|pdr,
©О	®	GJO
В	C=j|p|pdr
о	о
немедленно приводит к (1). t>
§ 12, Разные задачи
187
12.3.	Неравенства для производных.
12.3.1.	Неравенство Бернштейна. Для любого тригономет-
рического полинома #(•) степени п имеет место неравенство
||i||c([-ж,<]) < n||a:||c(pir.ir])'
Неравенство точное и достигается на функциях Asin (nt + 7).
Доказательство этого неравенства средствами теории экстремаль-
ных задач см. в [18, с. 109].
12.3.2.	Неравенство А. А. Маркова. Для алгебраического поли-
нома г(') степени п имеет место неравенство
1к11с(н, id < п2Ыс(н, ip.
Неравенство точное и достигается на полиноме Чебышева
A cos (n arccost).
Доказательство неравенства средствами теории экстремальных за-
дач см. в [18, с. 109],
12.3.3.	Одно неравенство для производных на полупрямой.
Теорема. Пусть Z = R или Z = R+, функция х(-) принадле-
жит L2(I), ее первая производная ±(-) локально абсолютно непре-
рывна на I и вторая производная £(•) принадлежит Тогда
имеет место точное неравенство
Далее будет описана экстремальная функция в неравенстве (1) (т. е,
функция, на которой это неравенство обращается в равенство), когда
I = R+. Случай I = R доказывается аналогично.
<1 1. Рассмотрим экстремальную задачу
°° 2
|S-dt-»inf; ±1=2:2, хя — и, |w| < 1, i|(0) = l. (3)
о
Это — задача оптимального управления и одновременно задача вы-
пуклого программирования. Используя ограниченность вторых произ-
водных и слабую полунепрерывность снизу функционала, нетрудно
доказать, что решение £(•) задачи (з) существует. В силу строгой вы-
пуклости функционала оно единственно. Функция Лагранжа задачи (з)
имеет вид
+pi(^i -®г) 4-рг(*2 ~+ д|(®1(0) - I).
о
2.	Необходимые условия:
а)	система уравнений Эйлера:
-pi + А02!| = 0,	-р2 - pi = 0;
б)	трансверсальность по х: pi (0) = щ, рг(О) = 0;
в)	оптимальность по и: sup рг« — P2u(t).
188
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
Замечание. Вследствие того, что задача рассматривается на
бесконечном интервале, требуется обоснование выписанных соотноше-
ний. Это нетрудно осуществить предельным переходом, рассматривая
ограничение задачи на конечный интервал [О, Т] и затем переходя к
пределу при Т -+ Ч-оо. При этом оказывается, что р2 Е Li(R+).
3.	Если До = 0, то из а) и б) следует, что p2(t) = и поскольку
pi / 0, то либо u(t) = 1, либо u(t) = -1. Но ни то, ни другое невоз-
можно, так как х\ е L2(R+). В итоге соотношения из п. 2 сводятся к
следующему (если р2 обозначить через р и положить До = 1):
р = —£, х — signp, р(0) = О, £(0) = 1.	(2)
Следствием (2) является интеграл
т2
£p-|p| + y = 0 VteR+.	(3)
Действительно, если продифференцировать левую часть (3) с уче-
том (2), то получится нуль, т. е. правая часть — константа. Но из соот-
ношений х € L2(R+), х е Loo(R+), р е Li(R+), р е L2(R+) следует,
что хр е Li(R+), поэтому слева — суммируемая на R+ функция и,
значит, константа справа может быть только нулем.
4.	В силу того, что в задаче выпуклого программирования необхо-
димые условия минимума с До / 0 являются и достаточными, любое
решение уравнений (2) приводит к решению задачи (з), а из единствен-
ности этого решения следует и единственность решения системы (2).
Пусть т > 0 — такая точка, что р(т) — 0, х(т) / 0. Тогда непосред-
ственно убеждаемся, что функции
(х(т))-1х(Л/ЖтЛ^ + т),
(х(т))-2 sign х(т)р (-/|х(т)| t + т)
удовлетворяют (2). Значит, имеют место равенства
l(t) = (^(т))-1^ (vW)l « + г),
(4)
p(t) =	sign х(т)р	t + r).
Из соотношений (2)—(4) нетрудно вывести, что существует такая точ-
ка ti, что p(t) > 0, t € (0, ti), p(ri) = 0, я(т1) < 0, p(ti) < 0. Отсюда
и из (2)-(4) следует, что x(t) = — p2x(p(t — ti)) и на [0, ti] x(t) =
= —t2/2 — at + 1, где p = ((a2 — 2)/(a2 + 2))1/2, ti = a(l + p) и a —
единственный корень уравнения
АО - А) +1 - у (1+А))2+0(1+А)) = 2е,
о
_2\ >/2
р(О = (^г+г)
на (\/2, 2).
§12. Разные задачи
189
Таким образом, экстремальная функция £(•) такова, что ее вторая
производная х принимает значение (—l)fc на интервале (ть n+i), к =
fc-i
= 0, 1, ..., то = 0, тк = ti V p“s, x(t) = 0 при t Иш п.
s=0	fc^°°
Простая проверка показывает, что наилучшая константа в (1) имеет
ВИД
K(R+) = ||£||-4g+). >
Задача (з) для случая I = R без привлечения методов теории
экстремальных задач была решена В. Н. Габушиным. На полупрямой
(с использованием конструкций теории экстремальных задач) эта за-
дача была решена Г. Г. Магарил-Ильяевым.
12.4.	Геометрические неравенства.
12.4.1.	Неравенство Адамара. Пусть X = j-i — произволь-
ная квадратная матрица порядка п. Тогда имеет место нера-
венство
(detX)2 П(№>2)-
Доказательство, основанное на теории экстремальных за'Лач, см. в
[13, с. 444].
12.4.2.	Задача о центре тяжести.
Теорема. Через любую точку, лежащую внутри выпуклого
тела, расположенного в конечномерном пространстве, можно про-
вести гиперплоскость так, чтобы эта точка оказалась центром
тяжести сечения.
<1 Докажем теорему для выпуклого ограниченного тела в Rn+1
с гладкой границей. Общий случай легко сводится к этому. Обо-
значим рассматриваемое тело через А. Не ограничивая общности,
можно считать, что заданная точка, принадлежащая intA, является
нулем пространства Rn+1. Введем обозначения: Sn — единичная сфера
пространства Rn+1; € Sn;
Г(о>) = {х е Rn+1 | {х, и) = 0}
—	гиперплоскость, проходящая через нуль и ортогональная си;
П(а>) = {хе Rn+1 | {х, w) > 0}
—	полупространство, ограниченное гиперплоскостью Г(о>) и содержа-
щее вектор V(o>) — объем тела АпП(о>).
Рассмотрим экстремальную задачу
V(cu) inf, w е Sn.	(з)
Функция V непрерывна, Sn — компакт, и, значит, существование
решения следует из теоремы Вейерштрасса. Пусть Q — решение (з),
Г(<3) — экстремальная гиперплоскость и е\, ...,еп — базис в этой
гиперплоскости. Обозначим через Ц подпространство, натянутое на
7 В. М. Алексеев и др.
190
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
векторы еь ..., ef-i, .....еп. Сечение S’* подпространством Lj- —
это окружность, которую обозначим Oi. Она содержит вектор ш. Выбе-
рем в качестве параметра на Oi угол <р, отсчитываемый в обе стороны
от вектора ш. Пусть — это вектор из Oi, образующий угол <р с ш,
-тг < <р < Я, и = V(Ui(<p)).
Рассмотрим экстремальную задачу:
I.	Pit.1?) -♦ inf; — тг < <р я.	(з<)
Вследствие гладкости границы тела А функция р< будет гладкой.
2.........Необходимое условие минимума — теорема Ферма: р'(0)=0.
Вычислим, чему равна величина p'i(O). Подпространство L, делит
гиперплоскость Г(<Э) на две части. При повороте гиперплоскости на
угол скр объем пересечения ЛГ1П(а><(с^>)), примыкающий к одной из
частей, увеличится, а к другой — уменьшится. Пусть du Л... Л dxn —
элемент n-мерного объема в Г(ш), сосредоточенного около точки х —
= (#1.....о:п). При повороте на угол dip этот элемент — (п+ ^-мер-
ный объем, равный Ixijdxckp. При этом в одном из полупространств
нужно взять знак плюс, а в другом — минус. Суммируя эти величины,
приходим к соотношению
Pifckp) = pi(0) + ( J Xidxi Л... Adxn^ckp + o(d<p).
Г(О)ПЛ
3,	4. Таким образом,
и> € abs min з =$ j Xi dx\ Л... Л dxn =0, i = 1....n,
Г(2)Л
т. e. 0 — это центр тяжести Г(о>) П A. t>
Замечания. 1. Если А — конус, то можно доказать, что сечение,
описанное в теореме, единственно. Значит, в случае конуса мы прихо-
дим к неравенству
V(A П П(ш)) > У(А П П(ш)) Vw € Sn,
где w — тот вектор из S”, при котором заданная точка есть центр
тяжести.
2.	В § 2 были рассмотрены частные случаи этой теоремы, когда А —
угол на плоскости и трехгранный угол в R3.
12.4.3.	Неравенство Юнга.
Теорема. Для любого ограниченного замкнутого множества А,
расположенного в R”, имеет место следующее неравенство между
диаметром 0(A) множества А и радиусом R(A) описанного шара:
0(A) > ^2(n* R(A).
Доказательство, основанное на теории экстремальных задач, см.
в [13, с. 431].
§ 12. Разные задачи
191
12.5. Полиномы наилучшего приближения. В первых трех
разделах этого пункта речь идет о полиномах, наименее уклоняющихся
от нуля. Через Tnq обозначим полином степени п со старшим коэф-
фициентом, равным единице, наименее уклоняющийся в метри-
ке Lg([— 1, 1]), т.е. решение следующей задачи:
||tn + V xktk^ ||	—> inf.
12.5.1.	Полиномы Лежандра.
Теорема. Имеет место следующее равенство:
1п2^>	(2п)?	(2п)!	’
где Рп(-) ~ полином Лежандра,
Решение задачи, основанное на теории экстремальных задач, см.
в [18, с. 93].
12.5.2.	Полиномы Чебышева.
Теорема. Имеет место следующее равенство:
Tnoo(t) =	cos (n arccost).
Полином Tnoo(t) называется полиномом Чебышева, Этот результат
немедленно следует из теоремы об альтернансе — п. 12.5.4.
12.5.3.	Полином Чебышева второго рода.
Теорема. Имеет место следующее равенство:
Т — ^k+ico(0 __ sin((n+ 1)arccost)
п+1 -	2-УГ^?	•
Полиномы Тп\ называют полиномами Чебышева второго рода.
Решение задачи, основанное на теории экстремальных задач, см.
в [18, с. 96].
12.5.4.	Теорема об альтернансе. Для того чтобы полином р(*)
степени п — 1 наименее уклонялся от непрерывной функции х(;) в
метрике пространства C([to, tj), необходимо и достаточно, чтобы
нашлось s^n-bl точек, в которых я(-)—р(-) принимает, чере-
дуясь, свои максимальное и минимальное значения.
Напомним, что полином наименьшего уклонения в C([to, t|]) опре-
деляется соотношением
||х(-)-Р(-)1|с([«о.М)=	lla;(-)-p(-)llc([to.tl])-
<1 Необходимость. 1. Рассмотрим задачу
/(х) = max f(t, х) = ||ж() - р(-)|| = max Lr(t) + Vxfetfe-1| -> inf.
192
Гл. IV. Сводный отдел и приложения
Функция f(-) — выпуклая, непрерывная и растет на бесконечности.
Значит, по следствию из теоремы Вейерштрасса решение х задачи
существует.
2. Необходимое (и достаточное) условие: 0 € df(x).
3. Применяем теорему об очистке. Согласно этой теореме, если
О е df(x), то найдется з п + 1 точек to п < т2 < ... < rs tj, з
чисел Ai,...,As и з векторов у, € дх/(т\, ж) таких, что /(т», ж) =
= ||х(.)-р(-)|| и
=	£>У< = 0.	(1)
г=1	г=1
Вследствие того, что /(г,, ж) / 0, субдифференциал совпадает с
производной. Дифференцируя /(т,, ж) по ж в точке ж, получаем
yi = sign^fo)..................т7~1).	(2)
Из (1) и (2) вытекает, что система
A. sign (ж(т<) - р(г<))'г* = °. к = °, 1.« - 1.	(3)
«=1
имеет нетривиальное решение и, значит, s = п + 1. Рассмотрим поли-
п +1
ном n(t) = {j (t — ri). Применяя теорию вычетов, получаем, что если
г=1
контур Г охватывает [to, ti], то
О —	= 2тггУЛ t>k
откуда немедленно следует, что А» sign (ж(т»)-р(т,)) == аП'(т,). Из
последней формулы видно, что знаки х(т,) — р(т,) либо совпадают, ли-
бо противоположны знакам П'(^), которые чередуются. Итак, нашлось
nd-11 точек Ti < ... < тп+1, для которых |ж(т;) -р(п)| — ||ж(-) -р(-)||
и знаки ж(т;) -р(ъ) чередуются.
Достаточность. Пусть в точках to Tj < т2 < ... < ts ti,
з > n + 1, функция ж(-) — р(-) принимает, чередуясь, максимальное и
минимальное значения. Если допустить, что для некоторого р(-) € &п
11*0 -p(-)llc([to,tiD < ll*0-P0llc([«»,ti])-
то окажется, что величины р(т<)-р(т<) являются попеременно то
отрицательными, то положительными. Но тогда по теореме Ролля
производная р — р должна иметь не менее п нулей. Этого, однако,
не. может быть, поскольку р-ф — полином степени не менее n- 1;
получили противоречие, из которого следует требуемое. >
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
К введению
l.X = R, /(x) = sinrr. 2. X = R, /(я) = 1/(1+я2).
3. X = R, f(x) = arctg х. 4. X — R, f(x) = (arctg x)3.
5.	X = R, f(x) = arctg x • sin ж.
6.	X = R2, f(x) = x2 — rr2 + 2e“xi.
7.	X = R2, f(x\, X2) = sinX2 — x^.
8.	X = R2, /(rci, X2) = (#i — #2X^1 ~ Szl)-
9.	Нет. Рассмотреть функцию
/(x) = <
x2(2 + sin-Y x 0, v
\ x)	X = R.
0,	x = 0,
12.	X = R2, /0(хь x2) = л/(1-х1)2 + (2-х2)2 -> inf;
/1 (xj, x2) = 2xi + 3x2 - 1 = 0.
13.	X = R3,	____________
/o(xi, x2, x3) = V(x - £1 )2 + (x - £2)2 + (x3 - &)2 -»inf;
/i(xi, x2, x3) = 01X1 + a2x2 + a3x3 = b = 0 -$=> |x- £| -* inf;
(a, x) = b.
14.	X = R2, |x* — x2|2 + |x2 — x3|2 + |x* — x3|2 —» inf; |x‘|2 = 1,
x’ = (x,, Xj), i = 1, 2, 3.
15.	x=r2, |x-e'i + |x-e2i + |x-e3binf; e = (£.$).
i = 1, 2, 3 — заданные точки.
16.	x(a — 2x)(a — x) —> sup, 0 x a.
17.	x = Rn, j (tn + £ xktk-^2dt -»inf.
К упражнениям § 1
К п. 1.1. 1. Функция N задает норму при следующих значениях
параметров:
а) р 1; б) и в) ацС122 “ ai2a2i 0; г) ап > 0, аца22 О*
2. Эквивалентность норм следует из неравенства ||ят||оо С Ы С
^^||х||оо.
8 В. М. Алексеев и др.
194
Ответы, указания и решения
С
4. Следует положить [[х|| = inf {t > 0 | x/t € В}.
7. Например, пространство непрерывных на отрезке [0, 1] функций
ормой ||х(.)|| = f[x2(t)dt) — нормированное, но не банахово.
о
9. Нет, ибо функционал не является ограниченным.
+ х|.
6)H=max(^J
11. Надо взять, например, линейную оболочку функций /i(t) =
= sin27rt, /2(t) = соз2тг£. Тогда |]rri/i(-) + x2/2(-)llc([o,i]) =
12. a) ([jo |2 + Ы2)1/2; б) fen | + |y2|;
в) (Ы’ + Ы’)'7’. l/p+l/g=l;
г) (Ь11У1 + 26|2j/ij/2 + Ь22Уг),/2> гДе в ~
Ь12
i>22
Ьи
i>12
= А-',
ац ai2
Й12	Й22
К п. 1.2. 1. f(x) = x, C = (-1, 1).
2. X = R, /(rr) = arctgx.
z .	(0, x 0,
4-/W = {l, x > 0.
5.	а) Нет; б) нет; в) нет; г) да.
6.	Единичный шар в пространстве 1% (и вообще — в любом беско-
нечномерном пространстве).
7.	Следует, например, вписать в единичный шар пространства /2
бесконечное число В(хпу р),	1, непересекающихся шаров фикси-
рованного радиуса р и положить
(М-i.
/(®) =	(1 - 1 /п)(||х - хп|| - р),
х е B(xnt р),
0 в остальных случаях.
Тогда нижняя грань функционала f равняется -р, но не достигается
ни в какой точке.
1
9.	X — С([— 1, 1]), L = j ^x(t)signtdt = о|, x(t) = t.
Ответы, указания и решения
195
10. Можно рассмотреть, например, функционал 1(х,у) = х + у.
12. Рассмотреть в пространстве 12 компактный эллипсоид А =
= {я = {Xfc}fc>l € 12 | 52	1} И ЛУЧ В = {Ж = {Xfc}fc>l е 12 |
Xk — t/k, t > 0, k = 1, 2, ...}.
К п. 1.4. 1. /:R-»R, /(rr) = resin х = 0.
2. /: R—»R, У(х) = |х|, х = 0.
3. /:R2-»R в полярных координатах х — (яь х%) = (rcos<^,
г sin ср) определяется равенством /(ж) = г cos3^?, х = 0.
1,
О
х2
5./:R-»R,	= С '
4. /: R2 R, f(x) = <
#1 = ^2» х2 > О,
в остальных случаях,
х рационально, Л
х иррационально,
х = (0, 0).
1.1.	f'(x)[ж] = Ах, X = (si, ..., хп).
1.2.	Решение. Производную Фреше находим по определению:
f(x + х) — f(x) — А(х + х) = Ах = Ах => f'(x)[я] = Ах.
о 1 ‘
1.3.	Г(х)[х] = Ах, >1= 2 4 ’
1.4.	/'(£) [ж] = 2(£, х) - 2 xixi-
£=1
1.5.	f'(x)[ж] = (а, х). 1.6. .f(£)[x] = 2(ж, х).
1.7.	Решение., Отображение f является суперпозицией отобра-
жений	д‘ Н —> R, д(х) = {xt х), <^:R-^R, <p(t) = y/t.
По теореме о суперпозиции при х О
f(x) [rr] =	= (2. x)/vT= {x, x)/||x||, t = g(x).
1.8.	/'(s)[x] = x/||x|| — x{x, x)/||x||3. 1.9. /'(®)[ar] = 2(Ax, x).
1.10.	/'(£(•))[x(-)] = ^x(t)y(t) dt.
0
1.11.	f(x(-))[x(-)] = 3jx2(t)x(t)dt.
0
1	1
1.12.	/'CeG))^-)] = 2jx(t)dtjrc(t)dt
о	о
1	\2*
1.13.	= 6Q£2(t)dtj jx(t)x(t)dt.
о	о
8*
196
Ответы, указания и решения
1.14.	/'(*(•))[*(•)] = ®(0). 1.15. ГШЖ)] = 2х(1)х(1).
1.16.	Решение. Производную Фреше находим по определению:
/'(*(•) + х(-)) - /(х(-)) = (х(0) + х(0))(х(1) + х( 1)) -
— х(0)х( 1) = х(0)х( 1) + х( 1 )х(0) + г (х),
г(х) = х(0)х(1) =о(||х||с([0,1]))=Ф- /'(х(-))[х(-)]=х(0)х(1) + х(1)х(0).
1.17.	х(0) О =>• /'(х(-))[х(-)] = ж(0) signx(O),
х(0) = 0=^ОД)).
1.18.	//(5(-))[;г(’)] =а:(О)е®(0). ' 1.19.	= ®0)cosx(l).
1.20.	/'(*(•))[*(•)] = —jr(-) sinS(-).
i
1.21.	= J^(t)signx(t)dt
о
1.22.	f'(£(•)) Ш] = i(t)x(t) / y] \ +x\t).
1.23.	/'(£(•))[z(-)] = <fix(t, x(t))x(t).
1.24.	f(x(.))[x(.)]=p(x(t)Mt)<«-
0
1.25.	Решение. Отображение f является суперпозицией отобра-
жений f = kog, д: C([to, ^i])	R2, <7(я(-)) — WM» ^(*1))» R2
—> R, k(r\, тг) = ^(ть тг). По теореме о суперпозиции
/'(£(•))[*(•)] = fc'(r)[5'(x(.))[x(.)]], т = 5(х(-)),
£'(т)И =	+ <рт,(т2)т2,
д'(х(-))[х(-)] = (x(t0), x(t,)) => /'(®(-))[®(-)] =
= 4>xW@(to), x(ti))x(t0) + </?x(t|)(x(to), x(ti))x(ti).
‘i
1.26.	/'(x(-))[x(-)] = |(Lx(t, x(t), x(t))x(t) +
**>	+ Lx(t, x(t), x(t))i(t)) dt.
1.27.	x = 0. 1.28. {x | IxJ = |xj| для некоторых i / j}.
1.29.	{x — (xi, x2,	, xn) | xix2 ...xn = 0}.
1.30.	Решение. Возьмем последовательность функций
Г1,	tG[O, 1-1/n],
M.)ec([o.i1):xn(t)={2„(l^bl, (e
Поскольку ||xn(-)||c([0.11) = 1. TO ||x‘|| JimJx*, xn(-)) = 8. С дру-
гой стороны, очевидно, что ||х*||	8. Итак, ||х*|| — 8.
п	р
1.31.	3/2. 1.32. 1+2/тг. 1.33. £ |pfc|+j|g(t)|dt. 1.34. 1/г/З.
1.35.	х/2/л/З.	fc=1 0
Ответы, указания и решения
197
1.36.	Решение. В силу неравенства Коши-Буняковского
/!•	„	\1/2/г <,	\ 1/2	г-
{х*, х) П sin2 irtdt) Hx2(t)dtj => ||х*||	С другой
о	о
стороны, ||х*|| > {х*, у/2 sinTrt) = 1 / \/2. Так как ||\/2sinлТ||д2([0> ф =
= 1, то ||гс* || = 1/>/2.
1.37.	У^/2-
1.38.	Л‘:/2 -»*2. Л*у = (0, у{, у2, ...), у = (t/l, У2, ...).
1.39.	Л*т/ = (т/i, у3, .... у2п-1, ...), у = (yi, у2.уп, ...).
1.40.	TSM = {0}, T2+M = R1.
1.41.	Т2М = R+ xR_, Т^М = R2\R2+.
1.42.	cone{(0, 1)}. 1.43. {0}. 1.44. R2. 1.45. lin{(4,-1)}.
1.46.	lin{e2, en}, e\, en — стандартный базис.
1.47.	|x — (xi,.... xn) 6 Rn | 52 xi%’i = o}-
1.48..............lin{l, t.....t”"1}.
1.49.	P ешение. Рассмотрим отображение F: C([0, 1])—>
-» R, F(x(-)) = Jsinx(t) dt. Тогда M = {x() e C([0, 1]) | F(x(-)) =
0
= F(£(-)) = 2/тг}. Легко проверить, что F удовлетворяет всем
условиям теоремы о касательном пространстве и F'(2(-))[a:(-)] =
1
= Jx(t) cos£(f) dt. Согласно этой теореме Т^М = Ker F'(£(-)) =
о	1
= |я(-) € С([0, 1]) j jir(t)cos7rtdt = о}.
1.50.	{h(-) е (7(10, 1]) | Л(0) = Л(1) = 0}. 1.51. R.
1.52.	Решение. По определению вектор h = 1 является одно-
сторонним касательным вектором к множеству М в точке х = О,
если 35 > 0 и отображение г: (0, 5) —> R такое, что а + г(а) € М
и г (а) = о(а) при а —> 0. Положим для а € (0, 1):
3—»	а	{ о ( —।-ГТ )» “) ’
п	\2 \п	п 4-1 / п/J
.1	( 1	1 Л ,	1
Q п+Г а \п+Г2\п пЧ-1/j
Тогда а 4- г (а) е Л/, lim	lim - + - ( --Ц-) = 0.
а->0 а п->4-оо 2 \п	п4-1/
Таким образом, 1 е Т}М => Т~М = R+.
1.53.	{0}. 1.54. {0}.
198
Ответы, указания и решения
2.1.	(1, 0) € abs min, ^rnin '—	Smax — “bOO.
2.2.	(5, 2) G loc min, Smjn - —oo, Smax = +oo.
2.3.	Smin = —oo, Smax = +oo, стационарная точка: (2, 3) loc extr.
2.4.	(-4, 14) € abs min, Smax = +oo.
2.5.	Smin = -oo, Smax = +oo, стационарная точка: (8, -10)
loc extr.
2.6.	(—2/3, —1/3, 1) € abs min, Smin = —4/3, Smax — +oo.
2.7.	(1, 1) € loc max, Smax = +oo, 5mjn = -oo, (0,0), (0,3),
(3, 0) loc extr.
2.8.	(—4/5, —3/5) € abs min, (4/5, 3/5) € abs max, Smax = —
-^min — 5.
2.9.	(3/25, 4/25) € abs min, Smjn = 1/25, Smax = +oo.
2.10.	(1/2, 1/2) € abs max, 5max = e1/4, 5min = 0 не достигается.
2.11.	(—1/2, 3/2) e abs min, Smax = +oo.
2.12.	Smjn — oo, Smax — +oo.
2.13.	(1/6, 1/3, 1/2) € loc max, (t, 0, 1 — t) e loc max Vt > 1 и t <
< 0, (t, 0, 1 — t) e loc min V0 < t < 1, Smax = +oo, Smin = —oo.
2.14.	{(1/л/б, 1/л/б, -2//б), (1/^6, —2/v/6. 1//6),
(—2//б, 1/Л l/л/б)} G abs min,
{(-1//6, -1//6, 2//б), (-1//6, 2//б, -1//6),
(2/76, -1//6, — 1 />/б)} € abs max,
Smax = ~Smin = 1/(3 \/5).
2.15.	{(-1//3, -1//3, -l/x/3), (1/УЗ, 1/л/З, —1/л/3),
(l/v/3, —l/x/3, 1//3), (—1/ч/3, 1/5/3, 1/л/З)} е abs min,
{(1/л/З, 1/л/З, 1/л/З), (1/л/З, -1/V3, -1//3),
(-1//3, 1//3, -1//3), (—1/>/3, -1//3, 1//3)} е abs max,
Smax = -Smin = 1/(3/З).
2.16.	(0, ..., 0) 6 abs min, Smm — 0,
(±n-1/4, .... ±n-1/4) G abs max, Smax = y/n.
2.17.	(0, ..., 0) G abs min, Srain = 0,
{(±1, 0..............0), ..., (0, .... 0, ±1)} G absmax, Smax = 1.
2.18.	(—2, 0, 7) G abs min, Smax = +00 (xn = (—n, 0, 2n + 3)).
2.19.	(0, 1) G abs min, (1, 0) G abs max.
2.20.	(0, 1, 0) G abs min, Smax = +00.
2.21.	Решение. 1. Формализация: /(x) = x(8 — x)(8 — 2x) —>
-♦ sup; 0 x 4. По теореме Вейерштрасса решение х существует.
Ясно, что х / 0 и х / 4, ибо /(0) = /(4) = 0, а функция f принимает
и положительные значения.
2,	Необходимое условие — теорема Ферма: f'(x) = 0.
Ответы, указания и решения
199
3.	f'(x) = 0 <=> Зх2 - 24 г 4- 32 = О =► х = 4 - 4/х/З.
4.	В силу существования решения и единственности стационарной
точки х е abs max.
Ответ. Одно число равно 4 — 4/\/3, другое 44-4\/3-
Тарталья выразил ответ так: «Число (т. е. 8) надо разделить попо-
лам, квадрат этой половины, увеличенный на треть этого квадрата,
равен квадрату разности обеих частей». Действительно,
42 + 42 /3 = 64/3 = ((4 + 4/Тз) - (4 - 4/д/З )2.
2.22.	Равнобедренный треугольник.
2.23.	Точка Е — середина [ВС] (решение см. в АТФ, п. 1.2.2).
2.24.	Центр тяжести зафиксированной грани.
2.25.	t2 - 1/3 6 abs min.
2.26.	t3 - 3t/5 6 abs min. Общий случай см. в § 12.
2.27.	р = (pi, ..., рп) Е abs max, р\ = ... — рп = 1 /п.
2.28.	В точке преломления выполнен закон Снеллиуса: Q1 =
sina2
=----, где ai — угол падения, а2 “ угол преломления, V] и v2 -
V2
скорости света в средах (см. АТФ, рис. 13).
2.29.	Квадрат. 2.30. Правильный треугольник.
2.31.	Решение. Формализация: V(x) = 7гят(1 — х2/4) —> sup,
О х 2 (х — высота цилиндра). Далее, рассуждения аналогичны
рассуждениям в задаче 2.21.
Ответ. Высота цилиндра равна 2/\/3.
2.32.	Высота конуса равна 4/3.	2.33. Высота конуса равна 4/3.
2.34.	Радиус основания равен ((n- IJ/n)1/2. 2.35. Куб.
2.36.	Высота конуса равна 1 Ч-1 /тг.
2.37.	Правильный тетраэдр. 2.38. Решение. 1. Формализация:
V(xi - е, ..., хп - е) - det	-> sup; |xi|2 = 1, i = 1, ..., n,
где e = (1, 0, ..., 0), Xi = (x?, ..., x?)t yj = xj, если j > 1 и у} =
— x\ — 1. В силу компактности множества допустимых элементов по
теореме Вейерштрасса решение существует. Функция Лагранжа: ££ =
= A0V +А £м<|я:,|2.
2.	Необходимое условие:	= 0 АоК£ + p&i = 0.
3.	Если допустить, что Ао = 0, то для to, Для которого / О,
получилось бы, что х^ = 0, что противоречит |ят<01 = 1. Положим Ао =
= 1. Производная определителя по некоторой строке — это вектор,
составленный из алгебраических дополнений к элементам этой строки:
VXi = (А|, ..., А”) — Д. При этом (Aj, х$ — е) = 0, i / j, ибо это ска-
лярное произведение есть детерминант матрицы с двумя одинаковыми
200 Ответы, указания и решения
строками. Значит, из п. 2 следует, что вектор Xi ортогонален всем
векторам Xj — е, j / i => Xi ± Xj — хь, j, k / i. Но тогда (xi, Xj) =
= (xiy Xk} и, значит,
|x< - %|2 = 2 - 2{xiy Xj} — 2 - 2{xi, xk} ~ |£* - Xk|2;
далее,
(Ji, Xj - e} = 0 => (xiy Xj) == (xit e) =>
=> |S, - e|2 = 2 - 2(xit e) —2- 2{xit Xj} =	- zj2.
Таким образом, у экстремального симплекса все ребра равны.
Ответ. Правильный симплекс.
2.39.	Правильный треугольник. 2.40. Правильный многоугольник.
2.	41. Правильный многоугольник.
2.	42. Решение. 1. Формализация: 1 - a2 sin2 у? sin <р -» sup;
О <р 7г/2 (а = |О£|, угол СЕВ обозначен через у?, а площадь
четырехугольника, вписанного в окружность, равна полупроизведению
диагоналей на синус угла между ними). Делаем замену asm(p = y/z
и приходим к задаче f(z) = z(l — z) sup; 0 С z < а2. По теореме
Вейерштрасса решение z существует.
2.	Если 0 < z < а2, то необходимое условие — теорема Ферма:
/'(?)=0.
з.	/'(г) = 0 4=^ z = 1/2.
4.	В силу существования решения одна из критических то-
чек {0, 1/2, а2} доставляет абсолютный максимум в задаче. Сравнивая
значение функции f в этих точках, находим решение.
Ответ. Если 0^а^1/\/2, то z = a2, т.е. <р = тг/2; если
1/\/2 а 1, то z = 1/2, т.е. <$? — arcsin—
а у2
2.	43. Центр вписанного круга.
2.	44. Решение. 1. Формализация:
/(гь х2) = |гЕ1 - r2|2 + |ri - е|2 + |Г2 - е|2 -> sup;
|xi|2 = |х2|2 = 1 (е = (1,0), aj.eR2, i = 1, 2, |ж| =	круг
единичного радиуса). Функция Лагранжа:
% = А0/(хь i2) + Ai|xi|2 + А2|х2|2.
2.	Необходимое условие:
_5?Х| = 0 <=> А0(х 1 - х2	+ Xi - е) + A^i	= О,
&х2 = О 4=3- Ао(х2 - Xi	4- х2 — е) + А2х2	— 0.
3.	Если	Ао = 0, то А] = А2 = 0,	все множители	Лагранжа	—	ну-
ли. Полагаем Aq = -1 =3- (2 - Ai)xi	= т2 + е, (2 — А2)з:2 = xj + е	=>
Ответы, указания и решения
201
(подставляя х2 из первого уравнения во второе) ((2 — Ai)(2 - Аг) —
— 1)^1 = е(3 — Аг) => либо #1 = ±е, либо Ai = Аг = 3 => х\ + ^г =
= —е. Получаем с точностью до переобозначения экстремали: 1) xi =
= жг = ±е; 2) xi =—х2 = е; 3) xi = (—1/2, \/3/2), х2 = (—1/2,
-х/З/2).
4.	В силу компактности множества допустимых элементов по тео-
реме Вейерштрасса решение существует. Максимум функционалу до-
ставляет третья экстремаль.
Ответ. Правильный треугольник.
2.	45. Решение. 1. Пусть М — заданная точка, лежащая внутри
угла АОВ, точки С и D лежат на лучах О А и ОВ соответственно
и М G [СР]. Проведем через М прямую, параллельную О А; точку
пересечения ее с ОВ обозначим через F. Пусть длина OF равна а,
длина FD есть х. Легко подсчитать, что площадь треугольника OCD
равна /с(а 4-а?)2/х, где к — некоторый коэффициент пропорциональ-
ности. Рассмотрим задачу
5(ж) = к --------> inf; я > 0.
X
Вследствие того, что S(x) непрерывна и S(x) 4-оо при х +оо и
х —> 0, решение х существует по теореме Вейерштрасса.
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: S' (х) = 0.
3.	S'(£) = 0 <=> х = а.
4.	В силу единственности стационарной точки х G abs min.
Ответ. Искомая прямая обладает тем свойством, что ее отрезок,
заключенный между сторонами угла, делится заданной точкой попо-
лам. (Способ построения: |РО| == 2|OF|.)
2.	46. Решение. 1. Пусть М — заданная точка, лежащая внутри
угла АОВ, точки С и D лежат на лучах ОА и ОВ соответственно,
М G [С, D] и величина угла CDB равна р. Обозначим через р(р)
периметр треугольника OCD. Рассмотрим задачу
р(р) —> inf; у?о ?г,
где р$ — величина угла АОВ.
Вследствие того, что р непрерывна и р(р) —> 4-оо при р = р$
и р —> тг, решение р задачи существует по теореме Вейерштрасса.
Кроме того, как нетрудно убедиться, функция р непрерывно диф-
ференцируема. Мы не выписываем самой функции р, так как нам
нужна лишь ее производная, а эту производную нетрудно вычислить,
исследовав приращение р(р 4- dp) — р(р).
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: р'(р) = 0.
3.	Проверить, что
р'(£) = Zi(14- cos^)/sin 9? — l2(\ — cosy?)/sincp,
где l\ = |CM|, l2 = \DM|,	— это угол OCD (рис. 6).
202
Ответы, указания и решения
4.	В силу единственности стационар-
ной точки fi е abs min. Геометрический
смысл соотношения р'(£) = 0 состоит в
следующем: перпендикуляр к CD, про-
веденный в точке М, пересекается с
биссектрисами внешних углов С и D
в одной точке О; иначе говоря, вневпи-
санная окружность в треугольник OCD
проходит через точку М.
Ответ. Надо провести окружность
через точку М (большего радиуса из двух возможных), касающуюся
сторон угла, и затем провести отрезок [С, D], касающийся этой окруж-
ности.
2.47.	Площадь четырехугольника, вписанного в круг.
2.48.	Решение. 1. Формализация: V\(R, h) = 7гЛ2(Я — Л/3)
sup; 2irRh = а, 0 h 2R (R — радиус шара, h — высота
сегмента, а — заданная площадь боковой поверхности). Исключая R,
приходим к задаче
^(Л) = Y"2? -*8up:
(последнее неравенство следует из того, что h < 2R => а тгД2).
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: Vr(h) = 0.
3.	V'(h) = 0 h = уД/2^,
4.	По теореме Вейерштрасса решение h задачи существует. Ясно,
что и h у/а/я, ибо V(0)=0, a V(y/a/n) = а^/а/б^/тг <
< V(y/a/2n) = а у/а/3 \[2^я. Значит, а = 2яЬ?; отсюда, h = R.
Ответ. Искомый шаровой сегмент — полушар.
2.49.	Если точки лежат по разные стороны от прямой, то искомая
точка есть пересечение прямой АВ с данной. Пусть точки лежат по
одну сторону от прямой. Отразим одну из них, например точку А,
симметрично относительно заданной прямой. Получим точку А'. Пере-
сечение прямой А'В с заданной и есть искомая точка С.
2.50,	2.51. Вершина тетраэдра должна проектироваться в центр
круга, вписанного в основание.
2.52.	Правильный тетраэдр.
2.53.	xq = (zi + ^2 + яз)/3 — центр тяжести треугольника х\,
х2, х3.
/ N у ,N
2.54.	xq = 52 mixij /12 mi ““ Центр масс.
Ответы, указания и решения
203
/ N ч / N
2.55.	Обозначим х = ( £ mi%i) /12 т*- Если |я|	1, то xq = х\
если |ж| > 1, то т0 = х/|ж|.
/ N Ч / N
2.56.	Обозначим х = I 52 mixi) /12 ш«- Если х = 0, то xq — лю-
бое; если X ф 0, ТО Xq = х/|х|.
2.57.	Из точки с координатами (£i, к эллипсу x2/aj 4-х2/а2 =
= 1 (ai > аг) можно провести четыре нормали, если эта точка лежит
внутри астроиды (£iai)2/3 + (^г)2/3 = (а2 — а|)2/3; три нормали, если
эта точка лежит на астроиде (за исключением вершин); две нормали в
остальных случаях.
2.58.	Из точки с координатами (£ь £2) к параболе у = ах2 (а > 0)
можно провести три нормали, если точка расположена выше кривой
£2 = 3 • 2-4/3а“1/3^3 + две нормали из точек на этой кривой,
кроме точки (0, 2“la“l); одну нормаль из точек ниже этой кривой и
точки (0,
2.59.	Приведем ответ для гиперболы	= 1. Из точки
с координатами (£i, £2) можно провести три нормали к ближайшей
ветви гиперболы и одну к дальней, если (£iai)2/3 — (£2а2)2/3 > (а2 +
+ а|)2/3; две нормали к ближайшей ветви и одну к дальней из
точек (£ь £2), для которых последнее неравенство обращается в ра-
венство, исключая точки (о,	из всех остальных точек плос-
кости можно провести по одной нормали к каждой ветви гиперболы.
2.60.	Расстояние от точки х = (хь ..., хп) до гиперплоскости
52 №i = b равняется 152 <№i “ Д /12 •
г=1	4=1	V £=1
2.61.	Решение. 1. Пусть гиперплоскость задана уравнением
(а, х) — Ь —0 ((а, х) — скалярное произведение векторов а и х).
Рассмотрим экстремальную задачу
|х — xq|2 —> inf; (a, х) — b = 0 (а / 0).
Функция Лагранжа: ££ = у |х - xq|2 4- А (а, х).
2.	Необходимое условие: Ао(х — хо) 4- Аа = 0.
3.	Если Ао = 0, то а = 0 — противоречие. Полагаем Ао = 1; тогда
х = xq — Ха, А = ((a, xq) — b)/{a9 а).
4.	Непосредственной проверкой можно убедиться, что
х е abs min, Smjn = ((a, xq) — b)/(a, a).
Искомое расстояние равно |(a, xq) - b|/|a|. Эта тема исследуется также
в§ 12.
204 Ответы, указания и решения
2.62.	Расстояние от точки х до прямой at + b, a, b € Rn, равняется
(|£ — Ь|2 — ((х — Ь, а)/|а|)2)*/2.
2.63.	х = —а/|а| G abs min, l(x) = |а|.
2.64.	Стороны прямоугольника: у/2а, у/2Ь.
2.65.	Стороны параллелепипеда: 2а/\/3, 2Ь/>/3, 2с/\/3.
2.66.	(±а, 0, 0) € abs max, если а > b > с.
2.67.	Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
п	п
^2 |х»|р —> sup;	=	(1<Р<9> а>0).
г=1	г=1
Множество допустимых элементов компактно, функционал непреры-
вен, значит, то теореме Вейерштрасса решение х задачи существует.
Функция Лагранжа:
& = Ао]Г Np + а( £ Iх*I’ - °’)-
г=1	г=1
2.	Необходимое условие - стационарность по х\
= 0 <=> Аор|£г|р"1 sign^ +	1 signJj = 0, 1 i n.
3.	Ао = 0 => А / 0 х — 0 не является допустимым элементом в
задаче. Положим Ао = -I => либо Xi = 0, либо = (Ад/р)1/^-9).
4.	Максимум функционала достигается в критической точке. Пусть
у критической точки отлично от нуля ровно к координат; тогда у этих
координат |2г| = ak~x/q. При этом
Smax(a) = (F max fc1"^9 = apn}~p'q.
<1 Выведем из решения экстремальной задачи требуемое нера-
венство.
А)	р > 1. Пусть 22 kd9 = аЧ- Тогда
г=1
(Е ix<ip/n)1/Р=n-,/p(Z |x<ip) */Р n",/p(s-»(a))1/p =
г=1	г=1	п
= n~{Ipanxlp~xjq = an~x^q —	•
г=1
Б) р — 1. Неравенство получается предельным переходом в нера-
венстве п. А).
В)	0 < р < 1. Положим yi = |zi|p. Тогда
___________________Ответы, указания и решения___________________205
(22kii7n)1/p = (52ы/п)1/р < ((52 I^i^/n)”7’)17’ =
г=1	г=1	£=1	п
" £=1
Г) р < g < 0	0 < -q < -р =. (А), Б). В))
г=1	£=1	г=1
= (13к.1’/п)’/’.
г=1
/ n	\ 1/p
Д) Устремляя p к 0, получаем, что lim ( V |x»|p/n)	=
/ n ,1/n	p-*oVi=i '
= ( П lx«lJ	> 0ТКУДа. если p < 0 < q, to
(f /P < (П1-И)7 (kil’/7l/9- >
2.68.	Неравенство доказывается, как и в 2.67. 2.69. Эта задача
является частным случаем задачи 2.67 (см. п. Д)).
2.70.	Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
Xjaj —> sup; |ж*|р = У (р>1,	6 R, b > 0).
i=i	i=i
Множество допустимых элементов компактно, функционал непреры-
вен, значит, по теореме Вейерштрасса решение задачи существует.
Функция Лагранжа:
= Ао^з^ + А^ |зч|р.
г=1	г±=1
2.	Необходимое условие — стационарность по х:
&Xi = 0 <=> Aottj + Ар|£г |р“1 sign Я; =0, г — 1, ..., п.
3.	Ао — 0 А 0 => х = 0 не является допустимым элементом.
Положим Ао = -1. Тогда из п. 2 Xi = /i|a*|p,_ 1 signa*, Х/р+Х/р' = 1.
n	/ n f\~i/p
Поскольку 52 l*Mp = b7’, to p — b{ 52 ladp I
t=i	m=i 7
4.	Критическая точка единственна, значит, х е abs max, Smax(b) =
/ п	f\ -\/р'
= 52 ladp )	• Таким образом,
«s™ ((£ w)l/F) = (f ы-у'Ч f
г=1	г=1	г=1	г=1
Случаи р = 1 и р = +оо получаются предельным переходом.
206
Ответы, указания и решения
2.71.	Решение выводится из экстремальной задачи
1*4 + J/i|р -* sup; Y^\xi\p = ap,
i=l	i=l
^|yi|p = 6₽ (р>1, а>0, Ь>0).
i—l
2.77.-10,261. 2.78.4,49343. 2.79.1,045.
К упражнениям § 3
13. Пусть /1 и /2 — функции на прямой, заданные равенствами
fi(x} = I |rr| - 1|, f2(x) = |х|. Тогда
( ы, ЯЫ={Х.	М >	г ш = 1;	[ оо,	|у| 1. Ii/I > и	
(/.+Л)Н = {‘Н_Ь	|ж| |ж| >	(л+/2)*(з/) =	ГЫ-1. 1 00,	11/1 ^2, 11/1 >2.
С другой стороны,		(о,	М<1,		
(Г + /2*)(у) =			2,	
		1 оо,	|у| > 2.		
Таким образом, преобразование Лежандра-Юнга-Фенхеля суммы
невыпуклых функций (функция fa невыпукла) может не совпадать
с инфимальной конволюцией сопряженных функций, даже если
исходные функции всюду непрерывны.
3.1. а) а >0; б) а > 0, b > 0, с — любое; в)р^1;
г) <Хц > 0, 011^22 ~ °12	0 ИЛИ Ац = U12 — 0, 022	0.
3.2 а) да; б) да.
'y(lny-l), у>0,
3.3. а) Г (у) =	О,
+оо,
б) а < 0 => /*(у) е 4-оо;
У = 0,
У < 0;
а = 0 =$• f*(y) = 5{Ь} - с;
а > 0 => /*(у) =	~ с;
т:С1
в) р > 1 ==> /*(у) = \у\р'/р'< i/p+ ^/р' =!;
Р = 1 =* Г(у) = <5[-1, 1]; о < Р < 1 => /‘(у) = 5{0};
г) /*(у) = 0; д) /*(у) = max {ay, by};
е) ГЬ)={ tri
У о,
У < о.
Ответы, указания и решения
207
О-Ц = ®12 = ^22 — 0
3.4.	a) <5{(ац аг)} — Ь;
б) ац > 0, аца22 - af2 > 0 => /*(г/) = {А~ху, у)/4;
ац > О, аца12 — а|2 = О или ац=а12 = О,
г/)/4, у е Im А,
+оо,	у Im А;
>/*(у) = <ф)};
Г (у) = <
/*(т/) = +°° в остальных случаях, где А =
Д) Г (у) = <
ац а^ .
a2i агг
' А(1пА — 1), (уь у2) = А(аь а2), А > О,
в)Г(у) = <0, у = 0,
+оо в остальных случаях;
Г) /*(у) = (|aiyi|pZ + ia2y2lp')I/p', l/p' + 1/р = 1;
О, у»>0, г = 1........п, £}у< = 1,
«=1
d-oo в остальных случаях.
I (х% —	1'7*1	1
3.5.	а) /“(х) = 0; б) /“(х) = М J "
10, |х| < 1;
в)/**(х) = -1; г)/**(х) = 0; д) /**(х) = |х| + |х - а|;
е) /**(х) =
||х|-1, |х| > 1,
О, |х| < 1.
3.6. /*(х») =
1
О, (х*, х(-)) = jx(t)d/4(t), где д(0) = 0 и при
о
этом д(-) — непрерывная справа (кроме, быть
может, нуля), монотонно возрастающая функция
вариации единица,
k +оо в остальных случаях.
3.7.	a) |yi| + |у2|	1; б) |yi|2 + |у2|2	1;
в)	треугольник с вершинами (—2,0), (1 ±\/3);
г)	Вр- = {(уь у2) | |yi|p' + |у2|р' < 1, 1/р+ 1/р' = 1};
Д) (aiPi)2 + (a2y2)2	1.
3.8.	а) [-1, 1]; б) [0, 1]; в) [-1, 0].
3.9.	а)|у|<1; б) £ |yi| 1;
в) = 1> 3/i^O; i = l,	г) [0, а].
1=1
208
Ответы, указания и решения
3.10.	{х* | {х*, х(-)) = jx(t) dp.(t), где /х(0) = 0 и при этом /х(-) —
о
непрерывная справа, монотонно возрастающая функция (кроме, быть
может, нуля) вариации единица}.
з.11.	В‘ = {х*еХ*|||х‘||х. ^1}.
3.12.	а) [-1, 1];
б)	{х* е С*([0, 1]) | (х‘, х( )) = ж*(1/6) - д2х(1/2) + рз*(5/б),
/Х« > О, /X] +Д2 +МЗ = 1}-
3.13.	max{xi + л/Зхг, xi — ч/Зхг, — 2xi}. 3.14. (/хА)* = 6А°.
3.is.	/w=(-vTri?’ !*!<’• г=±1.
[+оо,	|х| > 1,
3.16.	Решение. Из неравенства Юнга и условия сразу следует,
что |х|2/2 /(я). Переходя к сопряженным функциям и пользуясь
тем, что => <р* приходим к противоположному неравен-
ству f(x) |ж|2/2, откуда и следует требуемое.
3.17.	Решение. Из условия сразу следует неравенство {х, у) < 1
Vx, у € А, откуда из однородности получаем |гг|2 < р2А(х) => В С А,
где В — единичный шар. Переходя в последнем неравенстве к сопря-
женным функциям, приходим к противоположному включению.
{О, И < 1,
1, к| = 1,
оо, |гг| > 1.
3.19. f(t) = e-t, д(х)—х2, fog~e~x2.
3.20. /1(2:1, x2) = <JAi(34, x2), /2(^1, x2) = 5А2(Ж1, x2),
Ai = {(жь ^2) | Ж1 > 0, x2^ 0, X]X2	1},
A2 = {(a?i, x2) I x\ < 0, z2 > О, Ж1Ж2	-*1}.
4.1.	Решение. Эту задачу можно решить, раскрывая модуль. Но
мы ее решим с помощью субдифференциалов.
1.	Функция f(x, у) = х2 + ху + у2 + 3|ж + у — 2| является выпук-
лой (в этом легко убедиться, используя критерий Сильвестра).
2.	Необходимое и достаточное условие экстремума: 0 е df(x, у).
3.	О е 0/(я, у) <=> (2х + ^/, 2у + х) + За = 0, где
( (1.1).
а = -(1, 1),
U-(1.1).(1.1)1.
х + у > 2,
х + у < 2,
х + у = 2.
Если х + у >2, то О G df(x, у) +=+ 2х + у 4- 3 = 0, х + 2у + 3 =
= 0 =з> х + у = —2 =$ решений нет. Аналогично показываем, в
случае х + у <2 также стационарных точек нет. Если х + у = 2, то
Ответы, указания и решения
209
2х 4-г/4-За = 0,	2г/4-я 4-За = 0, а € [— 1, 1] => х = у — 1, а =
= —1 — единственная критическая точка.
Ответ. (1, 1) 6 abs min.
4.2.	(-1/2, —1/2) е abs min.
4.3.	а2 4- b2 1 => (a, b) Е abs min;
а2 4- Ь2 > 1 => (а/\/а2 4-Ь2, Ь/\/а2 4- Ь2) € abs min.
4.4.	0 < а 1/2 => (а, а) G abs min;
а > 1/2 => (1/2, 1/2) Е abs min.
4.5.	/3 — £3 4-	+ Й 0 => (0, 0) 6 0 abs min;
/? > 0 =Ф- Шу/2^ + ф,	+	P/V2) € abs min.
4.6.	Xi =£iai/(a? + X), i — 1.n, где A — единственный поло-
п
жительный корень уравнения £	4- А)2 = 1.
г=1
4.7.	Решение. 1. Формализация:
оо
(а, х) —> inf; ^а:|/Ь| = 1 (а 6 а / 0, I 0 при к —> 4-оо).
/е=1
Функция Лагранжа:
- Ао(а, х) + А^х|/Ь|.
fc=i
2.	Необходимое условие: S£x = 0 <=>• Аоаь + ЧХхь^ = 0, к =
= 1, 2, ...
3.	Если Ао = 0, то А 0 и, следовательно, из п. 2 Хк — 0, к =
= 1,2,... Получили точку, не лежащую на границе эллипсоида. Поло-
жим далее Ао = 2; тогда а*, + Ххк/Ь2 = 0 А / 0 => хк = —akbl/X.
ОО
х е границе эллипсоида => ^2 ак^к =	1^ ~
к=\
4.	Очевидно, что точка с координатами
доставляет абсолютный минимум функционалу, а нормали возможны
лишь в подпространстве Л-1^, где А: {^}	{х^/Ь^.}.
4.8.	Smin = Iko -£||. где С = Ау, у = (Л*Л + А/)-1Л*х0. А -
единственное положительное решение уравнения ||(Л*Л + А/)Л*хо|| =
= 1.
4.9	t2 — 1/2 € abs min.
210 Ответы, указания и решения
4.10.	Если возможно построение треугольника с длинами сто-
рон 7П17П2, mowii, mom2 и а\, а2 — углы между сторонами с дли-
нами 77117712, 7По7П1 И 77117772, 777о 7772 СООТВеТСТВеННО, ТО уГОЛ МеЖ-
ду векторами £1 ие=(1,0) (вершины треугольника х\, х2, е) ра-
вен тг —Qi, а угол между х2 и е равен тг — а2. Если построение
невозможно, то £i — х2 = —е или £1 = —е, х2 = е.
4.11.	В остроугольном треугольнике искомыми точками являются
основания высот. В прямоугольном и тупоугольном треугольниках
треугольник минимального периметра вырождается в высоту, прове-
денную к большей стороне.
4.12.	Решение. 1. Формализация:
f(x) — |ж — х1| + |х — х2| + |ж — х3| inf
(хг = (хр ^2), i = 1, 2, 3, х = (xi, х2У).
Получили выпуклую задачу без ограничений. В силу того, что f(x)
+00 при |х| —> +оо, из следствия теоремы Вейерштрасса следует,
что решение задачи х существует.
2.	Необходимое условие экстремума: 0 е df(x).
3.	Возможно одно из двух: а) х / х', i — 1, 2, 3;
б)	х Е {хх t x2t х3}. В случае a) df(x) = ж + Д—+
|Ж ~~ X I KE — X I
д»_.
+	= 0, т.е. три единичных вектора, направленные из х в ж1,
я2 и я3, равны в сумме нулю. Отсюда вытекает, что из точки х
отрезки [ar1, rr2], [аг1, ат3] и [х2, я3] видны под углом 120°. Если все
углы треугольника меньше 120°, то такую точку х легко построить. Ее
называют точкой Торричелли. Рассмотрим случай б). Перенумеруем
точки хг так, чтобы х = хх. Из необходимого условия получим, что
п + (х — гг2)/|5т — ж2| + (х — я3)/|'г — я3| = 0, где п е д|я| при х = О,
т.е. |тг| 1. Итак, сумма двух единичных векторов, направленных
из хх в х2 и х3, в сумме с вектором, по модулю не превосходящим
единицы, равна нулю. Отсюда следует, что угол я2^1^3 больше или
равен 120°.
4.	Вследствие того, что условие 0 G df(x) является достаточным
условием экстремума, приходим к такому ответу: если все углы тре-
угольника меньше 120°, решением задачи является точка Торричелли;
если один из углов треугольника больше или равен 120°, решение
задачи совпадает с вершиной этого угла.
4.13.	Если точки образуют выпуклый четырехугольник, то искомая
точка — это точка пересечения диагоналей; если четырехугольник не
является выпуклым, то искомая точка — вершина с максимальным
углом.
Ответы, указания и решения
211
4.14.	После формализации
з
/(я) = 7Пг|я — ж1) (mi >0, i = 1, 2, 3)
i=i
следует применить необходимое и достаточное условие минимума 0 е
€ df(x) (минимум, как нетрудно показать, существует). Расшифровка
полученного условия приводит к следующему ответу: пусть существует
треугольник с длинами сторон, равными mi, тпг, тз, и пусть ощ —
углы этого треугольника, образованные сторонами с длинами mi и mj.
Проведем дуги окружностей, из точек которых отрезки [хг, х*] видны
под углами % - (соответственно). Если эти дуги пересекаются внут-
ри треугольника, то построенная точка является искомой; если же дуги
пересекаются вне треугольника или если не существует треугольника
с длинами сторон т\, т^ и тз, то решение задачи совпадает с одной
из вершин треугольника.
4.15.	Центр многоугольника.
5.1.	х = 0 — единственная экстремаль, и х € loc extr, S*min = — оо
(хп — п), Smax — +оо.
5.2.	cht € abs min, Sm&x = +oo.
5.3.	e* + sint G abs min, 5max = d-oo.
5.4.	sint +cost locextr, Smin = — oo (xn = n), Smax = +oo.
5.5.	Решение. l.L = x2 + x2, l~ax2(To).
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: x — x = 0;
б)	трансверсальность: ±(0) = 0, x(Tq) = — oix(Tq).
3.	Общее решение уравнения Эйлера: х = С] cht + C^sht. Допус-
тимые экстремали: х\ = 0, а — любое, х2 = С cht при а = — th То.
4.	Рассмотрим условия второго порядка. Условие Лежандра (Ьц =
= 2 > 0) выполнено; более того, интегрант регулярен. Нетрудно
убедиться также в том, что выполнено усиленное условие Якоби.
Проверим определенность квадратичной формы Q + Р. Имеем h\ =
= sht/ shT0, to0 = sh(7o “ t)/shT0. Матрица Q + P имеет вид
‘2cth7o -2/sh7o
-2/sh7o 2a + 2cthTb ’
Из критерия Сильвестра следует, что матрица формы Q + P поло-
жительно определена при а > -th То, неотрицательно определена при
а = th То и не является знакоопределенной при а < — th То.
Ответ, а > — th То => х = О е abs min, Smjn = 0;
а — — th То => С cht Е abs min VC e R, Smjn = 0;
a < — th To ==> x = 0 loc min, 5mjn — —oo (xn = ncht); 5max —
= +oo Va.
5.6.	x\ = x2 = 0 loc extr, Smin = —oo, SmgiX = 4-oo.
Указание. Воспользоваться теоремой Боголюбова.
212
Ответы, указания и решения
5.7.	Int + 1 € abs min, Smax = +oo.
5.8.	xi =	x2 =
5.9.	21n(t+ 1). 5.10. -e7(e3 + 1).
5.11.	(1 — t) 6 abs min, 5max = H-oo.
5.12.	&/Tq e abs min, 5max = +oo.
5.13.	(t —t2)/4 € abs max, Smin = —oo.
5.14.	-t2/4 + (£/T0 + To/4)t 6 abs min, Smax = +oo.
5.15.	(t3 — t)/12 6 abs min, Smax = +oo.
5.16.	(t —t4)/24 G abs max, 5mjn = —oo.
5.17.	x(t) =&/Tq — единственная экстремаль,
£ > О => x G loc min, £ < 0 => x G loc max,
£ = 0 => x £ loc extr,
V£ x — не сильный loc extr, Smin = — oo, Smax = 4-oo.
5.18.	x = (2t/3)3/2 — единственная экстремаль,
x £ loc extr, Smin = — oo, 5max = +oo (ср. c 5.71).
5.19.	x-tt/T^ — единственная экстремаль,
£ > To/3 =Ф х G loc min, £ < To/3 => x G loc max,
£ = To/3 => x loc extr,
V£ x — не сильный loc extr, Smin = —oo, Smax = H-oo.
5.20.	x = &ITq — единственная экстремаль,
£ > -To/3 => x G loc min, £ < —To/3 => x e loc max,
£ = —To/3 => x loc extr,
V£ x — не сильный экстремум, 5min = — oo, Smax — +oo.
5.21.	Ini G abs min, Smax = +oo.
5.22.	(ln(t + l))/ln2 G abs min, Smax = +oo.
5.23.	t — elnt G abs min, Smax = +oo.
5.24.	Int + E abs max, Smin = +oo.
5.25.	4/t — 1 G abs min, Smax = +oo.
5.26.	(ln(3(f - !)/(£ + 1)))/ln(3/2) G abs min, Smax = +oo.
5.27.	e/t — Int G abs max, Smin = —oo.
5.28.	x = y/t + 1 G abs min, Smax = +oo.
Указание. При доказательстве минимальности можно воспользо-
z .х2 f d х2\2
ваться тем, что (хху — I —	1 .
\ ДС /
5.29.	Решение. 1. L — x/x2.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера (интеграл энергии)
х/х2 = С.
3.	Общее решение уравнения Эйлера: х = (C\t + С2)2. Имеются две
допустимые экстремали: х\ = (t — I)2, Х2 = (t — 2)2/4.
Ответы, указания и решения
213
4.	Вторая экстремаль окружена полем; поэтому х2 доставляет силь-
ный локальный минимум. На первой экстремали не выполнено усло-
вие Якоби, ибо близкие экстремали пересекаются при t=i. Значит,
х\ £ loc extr. Из теоремы Боголюбова следует, что Smin = — оо, 5тах =
= 4-00.
5.30.	2 In (t 4- 1) 6 abs min, Smax — 4-oo.
5.31.	t3 -1 E abs min, Smax = 4-oo.
5.32.	In t G abs min, Sma,x = 4-oo.
5.33.	t3 G abs min, Smax = 4-oo.
5.34.	cht/ch 1 G abs min, Smax = 4-oo.
5.35.	sh2t/sh2 6 abs min, 5max = 4-oo.
5.36.	(e* 4-	4- e) — 1 G abs min, Smax = 4-oo.
5.37.	(sht/2sh 1) —1/2 G abs min, Smax = 4-oo.
5.38.	sint — sin 1 sht/sh 1 E abs max, Smjn = —oo.
5.39.	sh2t — sh 2 sht/sh 1 G abs min, Smax = 4-oo.
5.40.	sin t 4- (£ — sin To) sh r/sh Tq e abs min, Smax = 4-oo.
5.41.	sh 2t 4- (£ — sh 2To) sh t/ sh Tq € abs min, Smax = 4-oo.
5.42.	(t — 1) ch t G abs min, Smax = 4-oo.
5.43.	t ch t 4- (£ — Tq ch Tq) sh t/ shTo € abs min, Smax = oo.
5.44.	(t — 1) sh t G abs min, Smax = 4-oo.
5.45.	((£/ shTo) — Tq 4-t) sh t E abs min, 5max = +oo.
5.46.	cost G abs min, Smax = 4-oo.
5.47.	cos2t G abs max, Smjn = —oo.
5.48.	sin2t G abs min, Smax = 4-oo.
5.49.	Smin = —oo, Smax = 4-oo; тг/2 — сопряженная точка =>
не выполнено необходимое условие Якоби => допустимая экстремаль
sin 2t loc extr.
5.50.	cost 4- sint — 1 G abs max, Smin = —oo.
5.51.	Smin = -oo, Smax = 4-oo; тг — сопряженная точка => не
выполнено необходимое условие Якоби => допустимая экстремаль
cost — sint — 1 loc extr.
5.52.	(Trsint — 2t)/4 G abs min, Smax = 4-oo.
5.53.	sht — (shTr/2)sint G abs min, Smax = 4-oo.
5.54.	О < To < тг => sht 4-sint(£ — shTo)/sinTo G abs min; тг —
сопряженная точка => при Tq > тг не выполнено необходимое условие
Якоби => допустимые экстремали loc extr; Tq = тг => при £ =
= sh7r х = sht 4- Сsint G abs min VCgR, при £ / sh7r допустимых
экстремалей нет и Smin = —оо, 5max = 4-оо.
5.55.	sin2t G abs max, Smin = —oo.
5.56.	О < To < тг=^ x = (£/sinTo- 2cosTq) sint + sin2t G abs min;
тг — сопряженная точка =Ф> при То > тг не выполнено необходимое
214
Ответы, указания и решения
условие Якоби => допустимые экстремали loc extr, Smjn = —оо;
То = it => при £ = О х = sin2t + Csmt € abs min VCeR, при £ О
допустимых экстремалей нет и Smin = —оо, Smax — +оо.
5.57.	tcost G abs max, Smin = —oo.
5.58.	Smjn = сю, Smax = +oo; тг — сопряженная точка => не
выполнено необходимое условие Якоби => допустимая экстремаль
tcost £ loc extr.
5.59.	t sin t — (tt/2) sint € abs min, Smax = +oo.
5.60.	tsint 6 abs min, 5max = -Foo.
5.61.	тг — сопряженная точка => не выполнено необходимое
условие Якоби ==> допустимая экстремаль t sin t loc extr, Smin =
— OO, Smax “ “pOO.
5.62.	0 <Tq <7T => (£/ sin To — To) sint + tsint e abs min; тг — со-
пряженная точка => при То > тг не выполнено необходимое условие
Якоби => допустимые экстремали не принадлежат loc extr, Smjn =
= —оо; То = тг => при £ = 0 (t + C)sint е abs min V С е R, Smin =
— —тг; при £ 0, Smin = —оо, Smax — +оо.
5.63.	е* 6 abs max, Smax — -Foo.
5.64.	te2-t € abs max, Smjn = —oo.
5.65.	t£e*”T°/To € abs min, 5max = -Foo.
5.66.	Smjn = — 1, Smax = -Fl, S = 7rt/2 € abs max.
5.67.	Smjn = — 1, Smax = -Fl, x = irt € abs min.
5.68.	5mm — —^0, ^max — "FTq;
2kir < f/To < тг + 2fc?r, k e Z => x = ^t/T^ € loc max;
—тг + 2&7Г < f/То < 2&7Г, k G Z =4* x e loc min;
не выполнено необходимое условие Вейерштрасса => в обоих слу-
чаях х — несильный loc extr; £/Tq = кя, k e Z => требуется допол-
нительное исследование.
5.69.	5min = -To; Smax = -FTo;
7t/2 + 2&тг < £Tq < Зтг/2 + 2fc?r, k e Z ==> x = (t/T^ 6 loc min;
—7t/2 + 2&7Г < £/To < 7t/2 + 2fc?r, k 6 Z ==> x € loc max;
не выполнено необходимое условие Вейерштрасса => в обоих слу-
чаях х — несильный loc extr; ^/То = тг/2 -F fc?r, k € Z => требуется
дополнительное исследование.
5.70.	$тш = “ОО; 'S'max = 4"ОО;
^0 > -С/2 => х = ft/To € loc min;
То < —f/2 => х е loc max;
не выполнено необходимое условие Вейерштрасса в обоих слу-
чаях х — несильный loc extr; То = —£/2 => требуется дополнитель-
ное исследование.
5.71.	Smin — оо, Smax = -Foo,
Ответы, указания и решения
215
е 4Т05/4/5 => £1 = 4((t + С)5/4 - С5/4)/5 е loc min,
С —4Т^/4/5 => х2 = 4 (С5/4 - (t + С)5/4)/5 е loc max,
где С определяется из уравнения 4((Т0 + С)5/4 - С5/4)/5 = |^|. Если
С = 0, х loc min (проведите исследование самостоятельно). Необ-
ходимое условие Вейерштрасса не выполнено, так что в обоих слу-
чаях х — несильный loc extr. При |£| < 4Т^4/5 допустимых экстрема-
лей нет.
5.72.	Решение. 1. По теореме Боголюбова численное значение
задачи совпадает с численным значением простейшей задачи с теми
же краевыми условиями и интегрантом
ГМ-/0’
L()	1(£2-1)2, |х|^1.
2.	Необходимое условие для интегранта L — уравнение Эйлера —
имеет интеграл х = const.
3.	Общее решение уравнения Эйлера: х — C\t 4- С2.
4.	Единственная допустимая экстремаль х = £t доставляет abs min
в новой задаче (возможна непосредственная проверка),
9 _jo, iei<i,
|£| >L
В первоначальной задаче экстремаль £t доставляет loc max при |£| <
< 1/л/З и loc min при |f| > 1 /\/3; при |£| < 1 эта экстремаль не до-
ставляет сильного минимума, ибо условие Вейерштрасса не выполнено.
5.73.	Краевым условиям удовлетворяет экстремаль х = 0. Но она
не является решением задачи: по теореме Боголюбова Smin = —00,
‘Smax = +ОО.
5.74.	Краевым условиям удовлетворяет экстремаль х = 0. На этой
экстремали выполнены достаточные условия слабого минимума, ибо
поле x(t, А) = А окружает экстремаль и условие Лежандра выполнено:
= 2 > 0. Необходимое условие Вейерштрасса также выполнено,
ибо функция х2 + 2ti4 выпукла. Сильного минимума, однако, нет.
Достаточно взять ломаную (t; k, h) — kt/h при 0 t < h и fc(l —
- t)/(l — h) при h < t 1 и для любого к > 0 подобрать h > 0 так,
что J(x(-, к, /г)) < 0.
5.75.	V1 — t2 € abs min, Smax = +00.
5.76.	y/2t — t2e abs min, Smax = +00.
5.77.	Допустимая экстремаль — дуга окружности с центром на
оси t, проходящая через точки (to, ^0) и (tb а?]) доставляет abs min,
‘Smax 4*00.
Указание. В задачах 5.75-5.77 допустимую эстремаль легко
включить в поле экстремалей, покрывающее полуполосу tQ <	t\,
х > 0; интегрант регулярен. Основная формула Вейерштрасса приводит
к тому, что допустимая экстремаль доставляет abs min.
216 Ответы, указания и решения
5.78.	Экстремали в задаче — цепные линии х = С ch (t 4-D)/С.
Константа D в задаче равна нулю, а константа С должна быть
определена из уравнения С ch То/С = Если теперь а определить
из системы уравнений г — cthr, а = shr, то при |£/7о| > а имеются
две допустимые экстремали; при |£/7о| = имеется одна допустимая
экстремаль; при |£/То| < а допустимых экстремалей нет. Подробное
исследование задачи содержится в [13, с. 427].
5.79.	Экстремаль записывается в параметрической форме следую-
а2	а2
щим образом: х = у (1 — cost), t = у (т — sinr) 4- с. Константы а и с
однозначно отыскиваются из начальных условий. Допустимая экстре-
маль может быть включена в поле экстремалей, покрывающее поло-
су to t>, х > 0; интегрант квазирегулярен. Основная формула
Вейерштрасса приводит к тому, что допустимая экстремаль доставляет
abs min, Smax ~ 4-оо.
5.80.	Экстремали, удовлетворяющие начальному условию я(0) =
= 0, имеют вид x(t, а) = at + *	t2. Уравнение огибающей это-
го семейства имеет вид х = — h + t2/(4/i) (в баллистике эта кривая
носит наименование кривой безопасности). Если точка (То, £) лежит
вне кривой безопасности, допустимой экстремали нет; если эта точка
лежит на кривой безопасности, допустимая экстремаль единственна;
под кривой безопасности имеются две допустимые экстремали. При
этом верхняя (навесная) экстремаль имеет пересечение с огибающей,
т.е. сопряженную точку внутри (0, То), и, значит, не дает сильного
экстремума. Нижняя дает сильный минимум. Вопрос об abs min тре-
бует дополнительного исследования.
5.81.	х = (х\, £2) = (sht, — sht) е abs min, Smax = 4-oo.
5.82.	£ — (£i, £2) == (sht, sht),
Smin = — 00 (xn(t) == £(t) 4- (sinTrnt, — sinTrnt)),
Smax = +00 (xn(t) = £(t) + (sin7rnt, SHlTTnt)).
5.83.	x = (£1, £2) = (ее, e~*),
Smin = —00 (xn(t) = £(t) + (sinTrnt, — sinTrnt)),
Smax = +00 (xn(t) = £(t) + (sinTrnt, sinTrnt)).
5.84.	£ = (£1, £2) = (sint, — sint),
Smin = -OO (xn(t) = £(t) + (sin2nt, - sin2nt)),
Smax = +°o (xn(t) = £(t) 4- (sin2nt, sin2nt)).
5.85.	£ = (£1, £2) = (t4, t3),
Smin = —00 (xn(t) == £(t) + (sinTrnt, — sinTrnt)),
Smax = -Foo (xn(t) = £(t) + (sinTrnt, sinTrnt)).
5.86.	£ = (£1, £2, £3) = (t + cost, — cost, cost - t),
Smin = —00 (xn(t) = £(t) 4- (0, —nsin2t, 0)),
Smax = +00 (xn(t) = £(t) 4- (0, nsin2t, 0)).
Ответы, указания и решения
217
5.87.	х = 1 6 abs min, Smax = +оо.
5.88.	а > — 1 => х = 0 € abs min,
а = — 1 => х = Ct € abs min VC e R, Smin = 0;
Q < — 1  > Smin = —OO, 5max = +OO.
5.89.	T = 1, x = — 2t G abs min, 5max — +oo.
5.90.	T = 1/2, x — ±4t e abs min, Smax = +oo.
5.91.	5min = —oo, Smax = +oo, x = 0 loc extr.
5.92.	(t2 — 1 )/4 e abs min, Smax = +oo.
5.93.	Решение. 1. Функция Лагранжа:
To
% = j Ao(z — i2) dt + Arr(O).
о
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: 2Ao# + Ao = 0;
б) трансверсальность: — 2Aoi(O) = A, Xqx(Tq) = 0.
3.	Ao = 0 => A = 0 — допустимых экстремалей нет. Полагаем Ао =
= 1. Общее решение уравнения Эйлера: х = —t2/4 + C\t + С2. Единст-
венная допустимая экстремаль: х = t(2To -t)/4.
4.	Непосредственной проверкой убеждаемся, что х е abs max.
Действительно, если h(-) е С1 ([0, То]), h(0) = 0, то
т0	т0	т0
/(£(•) + Л(-)) - J(x(-)) = fhdt- f2xhdt- fh2dt =
0	0	о
To	Tq Tq	To
= j (22 + 1 )h dt - 2 j/i|o°- j h2 dt = - j h2 dt 0.
0	0	0
Очевидно, что Smin = —oo.
5.94.	<Smin — —oo (xn(t) — 1 t, Tn — ti), Smax — +oo.
Допустимая экстремаль: x = t2/4 - t + 1 (T = 2) loc extr.
5.95.	Smjn — —oo (xn(t) = (t2 ?i2)/4 + ?i, Tn = ti), 5max = +oo.
Допустимая экстремаль: x = t2/4 — 8 (T = 8) € loc extr.
5.96.	‘S'min =r OO
/ f-t, O^t^l,	\
xn(t) = < -1, l^t^n-1, Tn=n, I.
[(f+l)(t —71+1) — 1, 71— l^t^nj
Допустимая экстремаль: x = t2/^ (T = 2 f > 0) loc extr,
'S'max — +OO.
5.97.	‘S'min = OO (Tn(t) — (t Tlt)/4 + t, tn = 71), <Smax == +OO«
Допустимая экстремаль: x — t2/4 - (1 + y/5)t (T = 8 + 4\/5)^
loc extr.
218
Ответы, указания и решения
5.98.	Smin — 00 (^п(^) — Гп — ^)> Smax — 4"00.
Допустимая экстремаль: х = t2/4 - у/21 (Т = 2 у/2) loc extr.
5.99.	cost + sint € abs min, Smax — 4-oo.
5.100.	Smax = To < тг/2 => x = 0 e abs min,
To — тг/2 => Asint 6 abs min VAeR; Smin = 0,
To > 7t/2--Smin ~ OO.
5.101.	(t — 7t/4 — l)sint € abs min, Smax = 4-oo.
5.102.	(t — тг/4 + 1) cost 6 abs max, Smm “ —oo.
5.103.	t 1) 6 abs min, Smax = 4-oo.
ch 1
5.104.	tcht — sht (sh 1 + ch l)/ch 1 6 abs min, Smax = 4-oo.
5.105.	tsht — th 1 ch 1 € abs min, Smax = 4-oo.
5.106.	Решение. 1. Функция Лагранжа:
i
& ~	“ Аоя2(1) 4- A(z(O) — 1).
о
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: Ao(£ - x) = 0;
б)	трансверсальность: 2Aoi(O) = A, Ao±(l) = Aoz(l).
3.	Ao = О =Д> A = 0 — допустимых экстремалей нет. Полагаем Ао =
= 1. Общее решение уравнения Эйлера: х = С\ sht + C2cht. Един-
ственная допустимая экстремаль: х = cht + sht = е*.
4.	Покажем, что х е abs min. Действительно, для квадратичного
функционала легко проверить, что
J(2(.) + х(-)) = j($(-)) + J(x(-)) Vx(-) e Cl([0, 1]), x(0) = 0.
Формула Вейерштрасса приводит к тождеству
1	1
|(х2 + х2) dt = |(х — xcth t)2 dt + cth lx2(l)
о	о
Vx(-) eC’QO, 1|), x(0) = 0.
Отсюда J(x(-)) > 0 Vx(-) e C^QO, 1]), x(0) = 0; поэтому /(£(•) +
+x(-))	/(£(•))• Очевидно, что Smax = +oo.
5.107.	Допустимых экстремалей нет.
^min ~ 1 (^n ~ sht/ shTn, Tn — n), Sma,x == 4"OO-
5.108.	f = 2shTcht, T — единственное решение уравнения
sh2T + T=l.
5.109.	x = — 2chTsht, T — единственное решение уравнения
sh2T = T+l.
5.110.	x = t/V^, f = 21/6. 5.111. x = \/2 — (t — I)2.
5.112.	x = х/2-(<- I)2, T = 2.
Ответы, указания и решения
219
5.113.	Экстремали в задаче — цепные линии вида Cch^. Пусть а
о
определяется из уравнений а = shr, т = cthr. Тогда, если |£| < аТо.
то экстремали нет, |£| = olTq => экстремаль одна, |£| > аТЬ => име-
ются две экстремали.
- . « л	(cost cost\
5.114.	X = (жь Х2) = I -7, -7 ).
v 7 \cosl cost/
5.115.	х = (5?ь £2) = (cost + tg 1 sint, cost 4-tg 1 sint).
5.116.	g + |(^)2 = 0. 5.117.	)2 - a?2) = 0.
5.,	,g. £ + 1 ((£)’ +	= 0. 5.119. V + V = X.
dt 2\\dx)	)	\dt) \dxj
- ton OS t dS , dS dS „
5Л2О-й + аГ1па;-&=0-
Указание. В задачах 5.121-5.125 следует искать решение урав-
нения Гамильтона-Якоби в виде g(t) + f(x).
5.121.	Ci + (72t. 5.122. Cisht + С2cht. 5.123. Cj sint + C2cost.
5.124.	t = Jc2-(x-C2)2. 5.125.t-a[	=/3.
v	J v s p ~ a
5.126.	Решение. Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид
Ищем его решение в виде
S = | (t2 sin а — 2tx cos a — x2 sin a).
Общий интеграл уравнения Эйлера согласно теореме Якоби имеет вид
^ = 1/3.
да 2
откуда получаем
t2 cos а + 2tx sin а — х2 cos а — /3.
6.1.	3t2 — 4t + 1 € abs min, 5max = +oo.
6.2.	3t2 + 2t + 1 € abs min, 5max = 4-oo.
6.3.	(5t3 — 3t)/2 e abs min, 5max = +oo.
6.4.	5t3 + 3t — 4 € abs min, Smax = +oo.
6.5.	60t3 - 96t2 + 36t 6 abs min, Smax ~ +00.
6.6.	—10t3 — 12t2 4- 6t + 2 e abs min, Smax = +00.
6.7.	cost € abs min, Smax = +00.
6.8.	(t — 2sint)/7r e abs min, 5max = -boo.
6.9.	t + sin t e abs max, t — sin t € abs min.
6.10.	2sint 4- cost 4- 1 € abs min, 5max = 4-oo.
6.11.	2ех~^ 4-1 — t € abs min, Smax = 4-00.
220
Ответы, указания и решения
6.12.	2(1 — е*)/(е2 - 4е + 3) + (е — 1 )t/(e — 3) е abs min,
'S'max “ 4"СЮ.
6.13.	Р ешение. 1. Лагранжиан: L = Ао(#2 + х2) 4- Ххе*.
2.	Уравнение Эйлера: 2А0(-# + х) 4- Хе1 = 0.
3.	Ао = 0 =Д> А — 0 — все множители Лагранжа — нули. Полагаем
Ао = 1/2 => х — х = Хе1. Общее решение: х = С\е* 4-	+ C^te*.
Единственная допустимая экстремаль: х = te*.
4.	Непосредственной проверкой убеждаемся, что tel е abs min,
5rnax = 4~ОО.
6.14.	е abs min, Smax = 4-oo.
6.15.	P ешение. 1. Лагранжиан: L = X^t2x2 4- Xtx.
2.	Уравнение Эйлера: —— (2Aot2#) 4- Xt = 0.
3.	Ao = 0 A = 0 — все множители Лагранжа — нули. Пола-
гаем Ао = 1/2 => t2x = Xt2/2 + С ==> х = А/2 + C/t2. Общее реше-
ние: х = C\t + Cz/t 4- С3. Единственная допустимая экстремаль: х = t.
4.	Непосредственной проверкой убеждаемся, что t е abs min,
'S'max = +ОО.
6.16.	4/t2 Е abs min, Smax = +00.
6.17.	Решение. 1. Лагранжиан: L = Ао#2 4-Az2.
2.	Уравнение Эйлера: Ao# - Хх = 0.
3.	Ао = 0 А = 0 — все множители Лагранжа — нули. Пола-
гаем Ао = 1 => х = Хх. Общее решение: а) А > 0 ==> х = С\е^1 4-
+ С2е"^*;
б)	А = 0 => х = C\t +
в)	А < 0 => х = С\ sin\/^At 4- C^cosx/^At В случаях а) и б)
допустимых экстремалей нет. В случае в) имеется бесконечное число
допустимых экстремалей х = \/2 sinfcfrt, к = ±1, ±2, ...
4.	Абсолютный минимум доставляет функция х = ±у/2 sin7rt, что
следует из тождества
i	1
j(i2 — 7Г22Г2) dt = J(# — 7Г ctg irtx)2 dt
о	о
Vx(-) € (^([О, 1]), х(0) = ж(1) = 0,
являющегося следствием основной формулы Вейерштрасса. В справед-
ливости тождества можно также убедиться непосредственной провер-
кой. Smin = 7Г2, Smax = 4"ОО.
4	8
6.18.	—tsint 4- Csint VCeR. 6.19. -tcost.
7Г	7Г
Ответы, указания и решения.
221
6.20.	Решение. 1. Лагранжиан: L = Ao^4- xJV+tf.
2.	Уравнение Эйлера: —	-д== + Ао = 0.
3.	Ао = 0 => либо А = 0 и тогда все множители Лагранжа —
нули, либо х = const. Тогда из условий на концах и изоперимет-
А»с
рического условия следует, что х = О, I = 27о- Ао — 1 => ..	=
V1 + £2
= t + Ci ==> х = —=£X£L==. Общее решение: (t + Ci)2 + (х +
iV'A2 - (t + Ci)2
+ С?)2 = А2. Из условий на концах следует, что С\ = 0.
4.	При 2Т0 < I яТ0 имеется единственная (с точностью до знака)
экстремаль, являющаяся дугой длины I окружности, проходящей через
точки (±То. 0), с центром на оси х. При I < 2Т0 и I > тгТо экстремалей
нет.
6.21.	I < 2То — экстремалей нет,
I = 2Т0 => х = О,
(t	Т \
ch — — ch , где коэффициент С > 0 опреде-
G	С/ /
ляется единственным образом из уравнения 2Csh^ = I.
с
6.22.	х\ = -6t2 4- 6t, х2 = 3t2 — 2t — допустимая экстремаль,
^min “ ОО> ^max — 4"ОО.
6.23.	£1 = 0, х2 = 5t3/2 - 3t/2 — допустимая экстремаль,
*^min = ~~ОО, ‘S'rnax = 4"ОО.
6.24.	х} — (£}, х*2) = (3t2 — 2t, 3t2 — 6t), x2 = (f|, £|) = (-3t2 4-
+ 4t, —3t2) — допустимые экстремали,
«Smin = —OO, 5max = 4-00.
6.25.	x[ = (xj, x2) — (3t — t3, t3 — t), x2 = (£2, £2) = (t3 +1, —t3 +
+1) — допустимые экстремали,
^min = —00, 5max = -|-OO.
7.1.	3t2 — 2t3 e abs min, Smax = +00.
7.2.	t(t - I)2 e abs min, Smax = +00.
7.3.	t4 - At3 4- 6t2 - At + 1 e abs min, Smax = 4-oo.
7.4.	t4 e abs max, 5min = — oo.
7.5.	t2(t3 — 2t 4- 1)/10 € abs min, Smjn = —oo.
7.6.	(t5 4- 3t3 — 2t2)/10 6 abs min, 5max = +oo.
7.7.	sht E abs min, Smax = 4-oo.
7.8.	chi — cost G abs min, 5max = 4~oo.
7.9.	Решение. l.L = x2-x2.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера-Пуассона х — х = 0.
h\ /12
h\ /12
222 Ответы, указания и решения
3.	Общее решение уравнения Эйлера-Пуассона: x = Cisint4-
+ С2 cos 14- С3 sh t 4- C4 ch t. Если ch Tq cos Tq 1, то имеется
единственная допустимая экстремаль 5 = 0. Если chTocosT0=l,
то х = C((shT0 - sinT0)(cht - cost) - (chTo - cosT0)(sht - sint)).
4.	Применим достаточные условия экстремума. Условие Лежандра
(ixx(t) = 2 > 0) выполнено; более того, интегрант регулярен. Прове-
рим выполнимость условия Якоби. Уравнение Якоби совпадает в задаче
с уравнением Эйлера-Пуассона. Положим
hi — cht — cost, Л2 = sht — sint,
ch t — cos t sh t — sin t
sh 14- sin t ch t — cos t
[2 01
Тогда Я(0) = 0, Я(0) = о 2 ~ невыР0ЖАенная матрица. Сопря-
женные точки определяются соотношением
detH(t) = 0 <==> (cht — cost)2 — (sh21 — sin2t) = 0 4=> costcht = 1.
Ближайшая к нулю точка: ti 6 (Зтг/2, 2тг).
Ответ. Tq t\ => х = 0 Е abs min,
'S'min =0; Tq > tj -> ‘Smin = ‘Smax ~ 4"OO.
7.10.	sht — sint e abs min, 5max = 4-oo.
7.11.	Ci shtsint 4- ^(chtsint — shtcost) E abs min,
_ 2£o sh To sin To — \/2 £1 (ch To sin To — sh To cos To)
1	sh2T0 - sin2 To	’
(J — & sh ^0 s*n ^0 ~ &(ch To sin Tp + sh Tp cos Tq) .
2“	sh2 To-sin2 To
‘S'max ~ +°°.
7.12.	—chtcost € abs min, 5max = 4-oo.
7.13.	—sintsht € abs min, Smax = 4-00.
7.14.	14- cost e abs min, Smax = 4-oo.
7.15.	(1 — cost)/2 E abs min, 5max = 4-oo.
7.16.	cht e abs min, Smax = 4-oo.
7.17.	sht E abs min, 5max = 4-oo.
7.18.	5(t) = 0 E abs min, Smax = 4-oo.
7.19.	tel E abs min, Smax = 4-oo.
7.20.	e* E abs min, Smax = 4-oo. 7.21. t2 € abs min, Smax — 4-00.
7.22.	ln(t 4-1)6 abs min, Smax = 4-00.
7.23.	tint E abs min, Smax = 4-oo.
7.24.	l/(t 4-1)6 abs min, Smax = 4-oo.
7.25.	t3 E abs min, Smax = 4-oo. 7.26. t4 E abs min, Smax = 4-oo.
7.27.	sht E abs min, 5max — 4-00.
7.28.	1 — cost. 7.29. t — sint. 7.30. sht — sint.
Ответы, указания и решения
223
8.1.	(x, u) = (cht + Csht, 0) e abs min VCeR, 5max = -Foo.
8.2.	(x, u) = (cht, 0) e abs min, 5max = -Foo.
8.3.	(x, u) = (tcht, 2 sht) € abs min, Smax = -Foo.
8.4.	(x, u) = (tsht, 2cht) € abs min, Smax = +oo.
8.5.	(x, u) = (sint + Ccost, 0) € abs min VC € R, 5max = +oo.
8.6.	(x, u) = (sint, 0) € abs min, 5max = +00.
8.7.	(2, u) = (tcost, —2sint) € abs min, Smax = -Foo.
8.8.	(x, 2) = ((t — sint, 2cost) € abs min, Smax = -Foo.
8.9.	(x, u) = (Csint, 0) 6 abs min VC e R, Smax = +00.
8.10.	(J, u) = (sint, 0) 6 abs min, 5max = -Foo.
O 11	/-2(t-F 2) cost 4sint\	o
8.11.	[X, u) = —Ч-Т"2------’ e abs nun, 5max = “Foo.
v 1	\	4 + 7Г 4 4- тг /
019	/(2t7r + 4?r) cos14-(4t — 2тг)sint 8cost — 47rsint\
O.IZ. \X, U) —	4 —	_ >n-2	»	4 — 4^ — 7J-2 J
G abs min,
4 — 4тг — %2
'S’max — +00.
8.13. (J, u) = (Ccht, 0) € abs min VC € R, 5max — +00.
8.14. (2, u) = (cht, 0) € abs min, Smax = 4-00.
о 1 e _ /3tsh 1 cht 4- (tsh 1 — tch 1 — sh 1 — 2ch l)sht
V 7	1	sh2 4-sh2l-3
6sh 1 sht4-2(sh 1 — ch 1)cht\ .
------------^—0------L---) € abs mm,
sh2 4-sh2l- 3--------)
(44-2t)sint 4cost\	,
’ TTT ) E abs min’ Smax = +00.
4 4“ 7Г 4 4“ 7Г /
/ y/2 ch \/214- sh \/21 sh \/21
'S’max “ 4“OO.
G abs min,
sh(t — 1)
mm,
‘S'max — “l"OO.
8.18.	(5, и
‘S'max ~ 4"OO.
8.19.	(x, u) e abs min, где x = (C\t + C2) cht + (Crf, 4- C4) sht, u =
= H\/2i, неизвестные константы Сь C2, C3, С4 определяются из
условий х(0) = 1, u(0) — u(l) = 2(1) = 0; Smax = +00.
8.20.	(x, и) € abs min, где x = (C\t + C2) cht + (C$t -F C4) sht, и =
— x — >/2х, неизвестные константы C\, C2, C3, C4 определяются из
условий т(0) = 1, 2(0) = 2(1) = 2(1) — 0; 5max — -Foo.
8.21.	Smin = 0, (x, u) = (cost — ctg Tsint, 0) e abs min VT / fc?r,
k = 1, 2, .Smax = -Foo.
. . 1 Л
sin t, - COS t J .
224
Ответы, указания и решения
8.23.	Решение. 1. Перейдем к полярным координатам х = г sin у?,
y = rcos(p. Тогда х = г sin 4-cos у = rcoscp — гфзтшр и, сле-
довательно, ху — ух = г2<р = 1, х2 4- у2 = г2 4- г2ф2 ~ г2 + ф. Таким
образом, получили стандартную задачу Лагранжа
ju2 dt —* extr;
1	и
ф — -^2^ г —и, г(0)=г(1)=1, <^(0) — 0, у>(1)=1.
Функция Лагранжа:
& =+Р2(^-^))^ + А1г(0) +
4- А2г(1) 4- Аз^(0) 4- А4у?( 1).
2.	Необходимые условия:
а)	система уравнений Эйлера:
-^ + Д. = 0, -^-Lli> + L!fi = Q^-p2 + 2pir-3 = 0, р, = 0;
at	at
б)	трансверсальность по т и
Р1(О) = Аз, р1(1) = -А4, р2(0) = Ai, рг(1) = -А2;
в)	стационарность по и: 2Xqu - р2 = 0.
3.	Если Ао = 0, то из условий п. 2 следует, что все множите-
ли Лагранжа — нули. Положим Ао = 1/2. Из условия стационар-
ности по и и уравнений Эйлера получаем следующее дифферен-
циальное уравнение: г - С/г3 = 0 => rr — Сг /г3 = 0 => г2 4- С/г2 =
= С'. С другой стороны, rr - С/г2 = 0. Отсюда (г2/2) = г2 4- rr = С'
и, следовательно, г2 = C\t2 4- C2t 4- С3. Из начальных условий нахо-
---т-тт----г = 1, ТО А = 0, ЗНЗЧИТ, r(t) = 1, S(t) — t.
14-At(l -1)	K	'
Ответ. Единственная допустимая экстремаль: х = sint, у = cost
9.1.	t2 Е loc min, — t2 e loc max, Smjn = —oo, 5max = 4-oo.
9.2.	Численное значение Smin = —1/12 и достигается на последо-
вательности функций
Xq 4-£1П£,
= -*/2>
0 t Tin,
Tin t Т2п,
Х[ +S2nt, Т2П t 1,
где Si = 1 или £i = — 1 в зависимости от хо и х,, а т,п — абсциссы
точек пересечения прямых xq + £int и —1/2.
Ответы, указания и решения	225
9.3.	у/а2 — t2 G loc min, —y/a2 — t2 G loc max, Smin = —oo, 5max =
— +oo.
9.4.	—y/2at G loc min, y/2at G loc max, Smin = —oo, Smax = 4-oo.
Замечание. В задачах 9.1-9.4 loc min и loc max — это локаль-
ные минимум и максимум в пространстве С.
9.5.	Smin = 0 достигается на последовательности xn(t) =
( nt, 0 t 1/п,
= 11, 1/п С t С 1-
9.6.	Smin = 0 достигается на последовательности, подобной постро-
енной в 9.5.
9.7.	Решение. 1. Формализуем задачу как ляпуновскую:
I	______ 1
jVt + h \/1 + и2 dt —* inf; ju dt =
о	о
Функция Лагранжа:
1
Я = J(A0 Vt + h \/1 +u2 - Au) dt.
О
2.	Необходимое условие:
х G abs min => inf (Ao y/t + h у/\ +u2 — Xu) =
= Ao 4" Д 1 4- u?(t) — Xu(t).
3.	Если Ao = 0, то из n. 2 следует, что A = 0 —- противоречие.
Полагаем Ao = 1. Далее решаем задачу
y/t +~h у/1 + u2 — Хи inf.
Эта задача имеет решение, если |А| y/h и при этом u(t) =
= A/Vt + Л — А2. Если А = y/h, приходим к неравенству
л/t + Л \/1 + и2 — y/hu (t 4- h)/Vt — y/hy/h/уД. (1)
Пусть теперь ж(-) — любая допустимая функция при £ > 2 y/h, и = х.
Интегрируя (1), получаем неравенство
^(•)) > Vh(^-2y/h) + J(2Vht).	(2)
4.	При |£|	2 y/h решением является
x(f) = Af . dt .
' ’ Jx/t + Л-А2
где А подобрано так, чтобы выполнялось условие
х{ 1) = С = 2А(\/1 + Л — А2 - >/Л2 - А2)
9 В. М. Алексеев и др.
226
Ответы, указания и решения
(при этом |А|	\/Л). Если же |£| > 2y/h, то значение задачи, как это
сразу следует из (2), достигается на последовательности
{nt,	0 t < тп,
£ — 2 y/h + 2 у/hi,
где тп — точка пересечения прямой х = ht и кривой х = £ — 2 y/h +
4- 2 y/ht. Таким образом, можно сказать, что при |£| > 2 y/h имеется
обобщенное решение
£(t) = £ — 2 y/h 4- 2 у/hi.
9.8.	Решение. 1. Формализуем задачу как ляпуновскую:
ju2/2dt —> inf; |е~ги(т)<£г = |
о	о
t
(ибо х = х + и, ж(0) = 0 => x(t) = |е*”ги(т) dr).
о
2.	Необходимое условие:
inf (Xqu2/2 — Xe~lu) = Aou2(t)/2 — Хе~1и(1).
3.	Если Ao = 0, то из n. 2 следует, что A = 0 — противоречие.
Полагаем Ao = 1. Тогда u(t) = Ае~*,
f _	£
le Tu(r) dr = E/e => A = -—y.
J x	'	shl
о
4.	Вследствие того, что необходимое условие при Ао 0 является
достаточным, u(t) = e~l € abs min.
9.9.	Smin- 6^-6^ + 2$.
9.10.	Решение. Задача сводится к следующей ляпуновской:
j dt inf; ju dt = £.
о	о
Значение этой задачи обозначим S(£). Очевидно, что S определена и
конечна на всей прямой. Применим метод двойственности. Имеем
5*(т?) d= sup(£j? - 5(C)) = sup (с»? - inf {{Mr- dt | |wdt = c}) =
€	^00
Jr7 0
0
sup! ut}-----jdt =
J u X P /
0
0
Ответы, указания и решения
227
Таким образом,

откуда
1< а<(з-,,
/3- 1 - а &	Р ’
{О,	а > /
-у > а < А
В последнем случае решение задачи: x(t) =
(О,	^£Li([0, 1]),
9.11. Smin — <
у>-'^1([0, 1]).
\ 0
9.12.	Указание. Формализовав задачу следующим образом:
р/2/2<Й —► inf; у(0) = 2/(0) = у(1) = 0, у(1) = <
о	t
О
сводим ее к 9.9. Smjn = 6£2.
9.13.	Указание. Задача допускает естественную формализацию
1
j V1 + х2 dt	inf;
о
i
^xdt = сг, х(0)=х(1) — 0, х>0.
о
Нетрудно понять, что если решение {£(•) нижеследующей ляпуновской
задачи , ___ !	j
j1 + u2 dt —» inf; judt = O, j(l — t)udt = a
о	oo
t
окажется таковым, что x(t) = |й(т) dr > 0 Vt, то x(-) окажется реше-
о
нием задачи Дидоны, ибо
1 1 1
и = у, х = jxdt = а 4=^ j(l — t)udt = a, judt = О,
оо	о
х(0) = х(1)=0.
Далее следует применить рассуждения, аналогичные рассуждениям,
приведенным при решении задачи 9.7.
Ответ. При а тг/2 решением является окружность с центром на
прямой t = 1/2; при а > тг/2 «обобщенным» решением является полу-
окружность (t — 1/2)2 + х2 = 1/4, х > 0, «приподнятая» на величину
(а - тг/2)/2.
9*
228
Ответы, указания и решения
9.14.	Решение. Докажем неравенство для R+ (для R все анало-
гично).
1.	Рассмотрим ляпуновскую задачу
— jzdt-^inf; jx2dt = a2, J t2x2 dt = b2 (a > 0, b > 0).
R_|_	R-j_	R4-
Функция Лагранжа:
= j (—Aqx 4- А1Ж2 4- X2^x2)dt.
2.	Необходимое условие экстремума:
x e abs min => —Aq£(£) 4- AiS2(t) 4- А2^2ж2(^) =
= min (—Aqx 4- Ai#2 4- А2^2х2). (1)
3.	Ао = 0 => х = 0 — противоречие. Полагаем Ао = 1. Тогда из (1)
получаем
2 а3/2Ь3/2	,
*(*) = -/= ЙТ727 е abs min
(в силу достаточности (1) при Ао / 0) и при этом j
откуда	R+
t2x2
R+
что и требовалось.
9.15.	Указание. Следует рассмотреть ляпуновскую задачу
1 1
u2 dt —> inf;	(jic —	dr = fc = 1, ..., m,
о	о
доказать существование в ней решения (которое следует из сла-
бой полунепрерывности снизу нормы и слабой компактности шаров
в Ьг([О, 1])) и применить необходимое условие в ляпуновской задаче.
Ответ. Решением является интерполяционный сплайн с условием
х(0) = i(0) = 0, т.е. функция из С2, являющаяся полиномом третьей
степени в интервалах (тк, П+i) и интерполирующая заданные значе-
ния.
9.16.	Решение. 1. Рассмотрим ляпуновскую задачу
Jp(z)inp(z)cta —> inf; рггр(я) dx =	г=0, 1,2
R	R
(ао = 1,	= 0, с^2 — ст2, р^О).
Функция Лагранжа:
4- Aip 4- А2гр + А3х2р) dx.
Ответы, указания и решения
229
2.	Необходимое условие:
р(-) G abs min ==> imn (Aoplnp 4- Aip 4- A2xp + A3£2 3p) =
= АоЯ^) lnp(z) 4- А1Я^) 4- А2а;р(а;) + А3гс2р(ж).
3.	Ао = 0 => Xi — 0, i = 1, 2, 3, — противоречие. Полагаем
Ао = 1 => (plnp 4- Aip 4- А2жр 4- Х3х2р)'р=^х) = 0 =>
=> р(х) = ехр (а 4- Ьх 4- аг2),
причем с < 0 (иначе Jpdz = +оо). В итоге получаем
R
р(х) = (1/2тгсг)1/2ехр(—х2/(2а))
(гауссова плотность).
4.	В силу достаточности необходимых условий в ляпуновской зада-
че при Aq / 0 р(-) G abs min.
r 7Г 4-t,
10.1.
G abs max.
t — 7Г,
—7Г	t —тг/2,
|t| < тг/2,
тг/2 t < 7Г,
x E abs min, —J E
10.2. x =
-t,
t — 7Г/2,
t 7t/4,
t > 7Г/4,
x G abs min,
—x E abs max.
x = <
10.3. Решение. 1. Формализация:
To
J |u| dt inf; x = u, A, x(0) = 0, t(7q) = £ (A < 0).
Функция Лагранжа:
To
= J (АоЫ 4- p(x - u)) dt 4- Aiz(O) 4- A2(t(£0) - £)•
о
2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: p = 0 Ф=> р = р0 =
= const;
б) трансверсальность по х: р(0) = Ai, р(7о) = — А2;
в) оптимальность по и: min(Ao|tt| — ри) = Ао|й| -ри.
и^А
3. Если Ао = 0, то ро / 0 (иначе все множители Лагранжа — нули).
Пусть ро > 0; тогда min (— рои) = —оо и условие оптимальности по и
и^А	t
невыполнимо. Если же ро < 0, то из в) следует, что и = А, т. е. х = At,
и, значит, допустимая экстремаль возможна лишь, если £ = ATq. При
£ < ATq нет ни одной допустимой функции. При £ > ATq в случае
Ао = 0 также нет допустимых экстремалей.
Положим Ао = 1. Тогда из условия оптимальности по и: если
ро > 1, то условие в) невыполнимо; если ро = 1, то в качестве и(-)
230
Ответы, указания и решения
можно взять любую неотрицательную функцию; если — 1 <ро < 1» то
и = 0; если ро = — 1, то £?(•) — любая функция, удовлетворяющая нера-
венству А С u(t) 0; наконец, при р0 < “1 и = А. Таким образом, для
£ < ATq допустимых функций нет; для £ = ATq имеется единственная
допустимая функция — экстремаль x(t) = At\ при АТо < С < 0 допу-
стимой экстремалью служит любая монотонно убывающая допустимая
функция; при £ — 0 имеется единственная допустимая экстремаль х =
= 0; наконец, если £ > 0, то любая монотонно возрастающая функция
является допустимой экстремалью.
То	То
4. Из соотношения jidt = £ следует неравенство |£| j |i| dt, об-
о	о
ращающееся в равенство на любой допустимой экстремали. Значит,
любая допустимая экстремаль доставляет abs min.
10.4. х — <
t2/4-
t-4,
3,
0	t	2,
2	t	4,
x e abs min,
4 — t e abs max.
10.5. To 2 => j - ф e abs min;
To > 2 => x = <
-t,
(t-r0)2/4+l-T0,
0 < t 5% To - 2,
To - 2 t < To,
x e abs min, t 6 abs max.
~	+c.
10.6. Tn > 2 =4> x =
|(t-To)2/4+l+£-To.
x e abs min;
T0^2=>2=(t-r0)2/4 + e~T02/4Gabs min,
10.7. ‘S’min ~ OO (тп(^) “ £ t, Tn — n),
'S’max “ +°O (xn(t) = £ d" t, Tn — Tl).
£ ^ 0 => допустимых экстремалей нет;
О < £ ^ 1 ==> x = t2/4 - vTt + £ — допустимая
= 2vT; '
0 < 150b - 2,
To - 2 t To,
t + £ G abs max.
экстремаль, T =
£ > 1 => допустимая экстремаль
'-t + C
< (t-e-i)2/4,
1,
C - 1 < t < f,
T =!+£•
10.8. To 2 =» x = t2/4 + £ - 7q/4 e abs min;
r	J^+i+e-To,
о 2	’У" x — x
|t + £-T0,
x G abs min, -t + To + £ G abs max'. - - ~
0 t < 2,
2 < t To,
Ответы, указания и решения
231
=4- х = t(t — То)/4 G abs min;
' -t,	0 t To/2 - 2,
< (t-T0/2)2/4+l-T0/2, To/2-2^i^To/2 + 2,
t — Tq,	Tq/1 + 2 t si To,
x G abs min,
O^t^To/
Ж [T0-f, TQ/2^t^
10.10. Smjn = oo, Sm&x
лей нет;
О
х е abs max.
допустимых экстрема-
=> допустимая экстремаль х = t2/4, Т = 2
допустимая экстремаль
#min — <
t2/4,
t- 1,

10.11. |£| cth То
X =
-£=r ch(t — To) G abs min,
СП io
£ > cthTo => x =	______
(csignech(t-To), iei-vT+c2<tt0,
x G abs min, где C > 0 — корень уравнения Csh(|£| — л/1 + С2 — То) =
= — 1; £ + t е abs max.
10.12.	—t2 G abs min, t2 G abs max.
10.13.	— (t — I)2 G abs min, (t — I)2 G abs max.
10.14.	t2 — 2t G abs min, 2t — t2 G abs max.
10.15.	(t - 2)2 - 2 G abs min, 2 — (t - 2)2 G abs max.
10.16.	t2 — 2 G abs min, 2 — t2 G abs max.
10.17.	t2 — t G abs min, t — t2 G abs max.
-t2,	0	2 - \/2,
10.18. х =
10.19. х =
x € abs min, — x G abs max.
t2-2,
—(t —2)2, 1 <t ^2,
x G abs min, —x G abs max.
10.20. Решение. 1. Формализация:
2
pr i dt —> inf;
о
±i = a?2, ^2 —	|u|^2, xi(0) = ^(O) = жг(2) = 0.
232
Ответы, указания и решения
Функция Лагранжа:
2
J(Aorr 1 +Р1(±1 - х2) +Р2(^2- u)) dt + Airr 1 (0) + А2я2(0) + Аз^г(2).
о
2.	Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера: — р\ + Ао =
= 0, -р2 - Р\ = 0;
б)	трансверсальность по х: pi(0) = А>, pi(2) = 0, р2(0) = А2,
Рг(2) = -А3;
в)	оптимальность по и\ min — р2и = —р2и.
Из условий на концах вытекает, что
тимых экстремалей нет. Положим
бк .	(*~2)2
==> pi = t - 2 р2 =--------
3.	Если Ао = 0, то из а) следует
pi(t) = const pi(t) = 0 ==> p2(t) = 0 => p2(t) = const / 0 ==>
A u(t) = ±2 => X = ±t2 + Cit + c2.
в этом случае допус-
а0 = 1Д» pi = t + с
Из условия оптимальности
по и следует, что и = 2signр2. Поскольку при й = const допустимых
экстремалей нет, то остается рассмотреть случай, когда управление и
на отрезке [0, 2] имеет переключение в некоторой точке г. Из
выражения для р2 видно, что это может быть только в том случае,
когда функция р2 меняет знак в точке т с минуса на плюс. Итак,
_ Г—2, 0 t т,
и = <
(2, т < t 2.
Дважды интегрируя функцию и, находим
-2, 1
+ 62,
t2 + Сз£ + С4,
- Ь‘!.
1
Неизвестные константы и точка т находятся из условий непрерыв-
ности х и х в точке т и условий на концах.
4.	Покажем с помощью непосредственной проверки, что х €
е abs min. Возьмем функцию ж(-) такую, что £(•) + #(•) является
допустимой. Интегрированием по частям с использованием соотноше-
НИЙ р(2) = 0, р = -1, х(0) = i(0) = i(2) = 0	= р2 =	)
приходим к тождеству
2	2	2
j —pxdt = — рх\ц + рт|о — ^pxdt = jx dt,
О	0	0
Ответы, указания и решения
233
откуда следует, что	2
+ я(-)) -	= j " pxdt О,
о
поскольку p(t) < 0; x(t) О
t G [1, 2].
[-Л
10.21. х = <{ (£ —2)2 —2,
х € abs min, — х Е abs max.
при t е [0, 1] и p(t) > 0, x(t) 0 при
1 t 3,
10.22.
10.24.
10.25.
10.26.
' -t2 - 2t,
* t2 — 2t,
-t2 + 1,
(\/3t —4)2/2—1,
-1 t ^0,
Os$t< 1,
T = 2 | € abs min.
/ _ J-3t2/2 + 3,
- |(t - 8/л/3)2/2 - 5,
T = 1 ) 6 abs min.
О Д -	4 \
J T = — \ E
G abs min.
o^2/V3, f =
2/-/3 t 8/л/З, y/3J
E abs min.
10.27. Синтез задачи изображен на рис. 7.
10.28. £2 О => (я = -t2/2 +	+ Сь Т = &) € abs min,
£2 < 0 => (х = t2/2 + £2^ + £1, Т = —£2) Е abs min.
10.29.6 > 0 =^(x = -t2/2 + C2i + 6. f = £2 + ^2 + 2£i)€
E abs min,
£1 < 0 => (x = t2/2 + £2^ + £1, T = -£2 + ^/£2 - 2£i) G abs min,
£1=0 T = 0 G abs min.
234
Ответы, указания и решения
	0,	0	sj 1.	
10.30. х =	i	<2,	x E abs mm.
10.31. х = <	' -t2,	0 sC -2t + l, 1	t 1, t^2,	x E abs min.
10.32. х = <	'2t, 3 - (t - 2)2,	OsCt sj 1	1, 2 x E abs min.
10.33. х = <	'0,	0^ (t-1)2,	1, t<2,	x E abs min.
10.34. х = <	p 1 ►— N3 — О /А /А	1, t 2,	x E abs min.
10.35. х = <	8i3 * * * * — 18t+ 11, 12(t — I)2,	oo 1/2 s:	^!/2.	. i x E abs mm.
10.36. х = <	' -t3 + 6t2, 3t2 + 3t- 1,	oo^ 1 О <	2* x € abs min.
10.37. х = <	' -t2/2, t3/3 -12 +1/4	- 1/24,	0^t^l/2, л , I€absmin
10.38. t € abs max, —t e abs min.			
10.39. To <	2 => допустимых функций нет;		
To 2 => x	= t у/2/Tq G abs max,		—x E abs min.
10.40. Реш	ение. 1. Формализация:		
i 0	2.2	\ + М)л	-♦ inf;	x '= ut z(l) = £.
Функция Лагранжа:			
	4(Ao(^+i„i)+ 0		p(x — u)^dt + Ae(1).
2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: —р + Xqx == 0;
б) трансверсальность по х: р(0) = 0, р(1) = —А;
в) оптимальность по и: .
2	/ -^2	\
min(Ao( + М ) -Р11) = -М + |«|) -ри.
u€RA \	/	/ X *	/
Ответы, указания и решения
235
3. Если Ао = 0 ==> Р = 0 ==> А = О, все множители Лагранжа —
нули. Полагаем Ао = 1 в задаче на минимум ==>
|р| < 1.
1,
р^ -1.
Поскольку р(0) = 0, то u(t) = 0 при малых t. Значит, x(t) = С = const,
а из условий а) и б) p(t) = Ct при этих t. При t = 1 /\С\ модуль p(t)
становится равным единице. Это точка переключения управления.
Пусть |р| > 1; тогда и = р ==> х — х = 0. Из непрерывности и = х на-
ходим, что х = Cch(t- 1/|С|). Константа С определяется из условия
х(1) = £. Очевидно, что Smax = +оо.
4. Допустимая экстремаль: |£|	1 => а^п =	|£| > 1 =*
ГС,	0<t^l/|C|,
|cch(t-1/|С|), l/|C|OsU,
где С определяется из уравнения Cch(l — 1/|С|) = £. В силу выпук-
лости задачи Jmjn € abs min.
10.41.	Оптимальная траектория — окружность радиуса Т0/(2я).
Решение этой задачи и задач 10.42-10.45 см. в АТФ, п. 1.6.4.
10.42.	Оптимальная траектория — эллипс (ж2 + у2)1/2 — Су = const.
10.43.	Оптимальная траектория — эллипс (x/b)2 + (у/а)2 = R2.
10.44.	Оптимальная траектория — квадрат |ж| + |у| = const.
10.45.	Оптимальная траектория — квадрат |ж| = const, |у| = const.
10.46.	х — — ?(1п- + и2 + 7 a4') + ^р, t+2и + и2\
2\ и 4/8	2\и	)
р < 0, — кривая Ньютона. Решение см. в АТФ, с. 1.6.2.
t
10.47.	Допустимые экстремали: xn(t) — j sign cos (2n + l)^rdr,
n = 0, ±1, ... При этом xq € abs max. 0
11.1.	x = 1 € abs min, S^n = 0, Smax = +oo.
11.2.	x — —(t2 + 3)/4 loc extr, Smin = —oo (xn(t) = n), Smax =
= +oo.
И.З. ici>i =$> допустимых функций нет.
|C|	1 ==> 5max = 1 достигается на любой ломаной (|i(t)| = ±1 вне
точек излома), соединяющей точки (0, 0) и (1, С);
Smin = С2. & С abs min.
11.4.	(2tTo —12)/4 € abs min, Smin = -To3/12, Smax = +oo.
11.5.	(tTo - ^2)/4 € abs min, 5min = -Tq /48, Smax = +oo.
236
Ответы, указания и решения
11.6.	То 2 =Ф £min = (2tT0 - f2)/4 е abs min, Smin = -Т03/12;
ft,	0 < t < То - 2,
T0>2=>xmin = <To_i_(f_To)2/4( To_2^t^To,
к
£min € abs min, £max = -t 6 abs max, Smax = To + Tq/2.
11.7.	To 4 =$ xmin - (tT0 -12)/4 e abs min, Smin = -T^/48;
{t,	0 t sC To/2 -	2,
To/2 - 1	- (t - T0/2)2/4,	To/2 - 2 О	T0/2 +	2,
To -t,	To/2 + 2 t	To,
v .	f-t, O^t^To/2,
^min £ abs Ш1П, 2?max — \	m la / 4. / t ^max £ abs IJiaX,
[t —10,	10/^ $ *	10,
Smax = T0 + T2/4.
11.8.	Допустимых экстремалей нет.
Smin = —OO (я(£) = t =£• T) =T — T2/2 —* —oo при T —>
-+ +oo или x(t) = £min(t) — допустимая экстремаль из ответа к за-
даче 11.6).
Smax = +оо (x(t) = -t => J(x(-), Т) = Т + Т2/2 -* +оо при Т -*
-> +оо).
Smin — OO (x(t) —
11.9.	Допустимых экстремалей нет.
t, 0 < t Т/2;
T-t, T/2^t^T,
J(x(-), Т) = Т - Т2/4
или x(t) = x(t) — допустимая экстремаль из ответа к задаче 11.7
=> J(x(-), Т) -+ -оо при Т -+ +оо).
/	f-t,	O^t^T/2,
Smax = +oo (j*(0 = |t_r	T/2^t^T,
=> J(x(-)> T) = T + T2/4 -> +oo при T-^+oo).
11.10.	x = 1 e abs min,
S'min = o, Smax = +oo (xn(t) = (2n + 1) sinTr(2n + l)t)-
11.11.	3t — 3t2/2 e abs min,
Smin = 3, Smax = +oo (xn(t) =	(2n + 1)sinTr(2n +1)^.
11.12.	6t — 6i2 G abs min,
S’min = 12, Smax = +0O (xn(t) =	(2n + l)sin7r(2n + l)t).
11.13.	15i/4 — 5t3/4 e abs min, S'min = 15/2, Smax = +oo.
11.14. 15(t —13)/2 € abs min, Sm;n = 45, Smax = +oo.
Ответы, указания и решения
237
2(t 4- sint)/(37r) G abs mm.
2 .	,	.
-smt G abs mm.
7Г
—..""a-к fl — cost — (t 4- sin t)') G abs min.
16 — Зтг2 \	4	'/
cost — 1 G abs min.
2(e* — et— l)/(e2 — 4e 4- 1) E abs min.
2(te — t — e* 4- 1 )/((3 — e)(e — 1)) G abs min.
In (t 4- 1) — 1 € abs min.
1 /t 4- 1 /2 G abs min.
t — elnt — 1 G abs min.
t 4- (1 — e) In t - 1 G abs min.
11.15.	Smax - 4-оо, 5t3/8 - 15t/8 + 1 е abs min, Smin = 15/8.
11.16.	Smax — 4-oo, — 20t3/3 4- 14t2 — 8t 4- 1 € abs min, Smin = 8.
11.17.	Smax = 4-oo, 20t3/3 — 6t2 4- 1/3 G abs min, Smjn = 8.
11.18.	Smax = 4-oo, 10t3 — 12t2 4- 3t G abs min.
11.19.	x(t) = 3 (T = 1/3) G abs min, Smax — 4-oo;
имеется еще одна допустимая экстремаль 3(t - I)2 (Т = 1).
11.20.	x(t) = 1 (Т = 1/3) G abs min, 5max = 4-oo;
имеется еще одна допустимая экстремаль t2 (Т = 1).
11.21.	Smax = 4-ос,
11.22.	5max = 4-оо,
11.23.	5max = 4-оо,
11.24.	Smax — 4-ос,
11.25. Smax — 4"OO,
11.26. Smax = 4-оо,
11.27. Smax = 4“OO,
11.28. Smax = 4~оо,
11.29. Smax = 4"OO,
11.30. Smax = 4-ос,
11.31. Smax = 4~оо, Smin = —оо (xn(t} — n),
x = cost — 1 loc extr.
11.32.	Smax = +oo, Gabs min. Smin = ^thT0-
11.33.	£ = 0 => x(t) = 0 (T > 0 — любое) G abs min;
£ / 0 => допустимых экстремалей нет.
Smin - o (x(t) = =ф J(x(-), T) = f? th T 0 при T o),
Smax = 4-00 (x(t) = £ ==> /(я(-), T) = £2T —» 4-00 при T —> 00^.
11.34.	|£| cthTb ==>	€ abs min;
ch 1q
sign£^-,	0	t	r,
x = b s shr
£ 4- (t - To) sign£, r	t	To,
x Gabs min, где т отыскивается из уравнения |£| — cthr — т4-То.
х = £ — (t — То) sign£ G abs max.
11.35.	£ = 0 => ?(t) = 0 (T > 0 — любое) G abs min;
£ / 0 => допустимых экстремалей нет.
Smin = 0, Smax = 4"OO,
(x(t) = £ => J(x(«), T) = £2T	0 при T 0 и J(x(-\ T) 4-oo
при T 4-oo).
lei > cthTo
238
Ответы, указания и решения
^min
11.36.	(£ sh t)/ sh To e abs min Smin = f 2 cth To, 5тах = +oo.
11.37.	f = 0 => x(t) = 0 (T > 0 — любое) 6 abs min;
£ / 0 =4* допустимых экстремалей нет.
^min “ t ‘Smax = 4~OO
(T(t) = (fsht)/shT=> J(x(«), T) = f2cthT->f2 при T —* 4-oo и
J(x(-), T) -» 4-oo при T -» 4-0).
11.38.	|f | > To => допустимых функций нет.
lei thTo =* e abs min, Smin = £2cthT0>
snlo
^•sign£,	0 t t,
— chr
£ +(t-To)sign£, r<t^T0
(т — корень уравнения To + th г — t = |£|), £mm € abs min,
9	— l£l I th3r
*min — I? I + -3--3—.
(tsigne,	O«U^(To + £)/2, ~	.
Xmax"U + (To-0signe, (To + ^)/2^t^To, x"”“eabsmax-
11.39. £ = 0 => x(t) =0 (T > 0 — любое) € abs min;
£ 0 => допустимых экстремалей нет.
|£| < 1 => Smin = £2,
x =	=*. J(x(.), T) = £2 cthT £2 при T +oo;
|£| > 1 Smin = KI3/3 + KI - 1 /3> x(t) = ?min(t) ИЗ ответа к за-
даче И.38 => J(x(-), Т) -+ Smin при Т +оо.
Smax =
Т -»+оо).
Ч-оо при
tt 0	t	t,
cost
--: , T	t	7Г
SUIT
(т — решение уравнения TtgT = —1), Jmjn € abs min,
'S’min ~ “^/З, S’max = 7Г.
11.41. sin t e abs min, Smjn = 0, 5max — 4-oo.
11.40.
11.42. £ = ±{
t,
cos (t — Зтг/4)
sin (т — Зтг/4) ’
Зтг/2 — t,
Зтг
Т
(т — корень уравнения Зтг/2 = 2т 4- 2arctgT~l) G abs min,
‘S’min ~ “2т3/3, Smax == Зтг/2.
11.43. To <л => -—T°sint + tcost e abs min;
sin To
To = тг =Ф> при f = —Tri cost 4- Csint 6 abs min VCeR;
__________________Ответы, указания и решения________	239
То > тг => допустимые экстремали loc extr и Smin = —оо;
'S’max — Н~ОО.
11.44. Решение. 1. Формализация:
То
J (и2 — х2) dt	extr; х = и, и €[—1,1], ж(0) = 0.
о
Функция Лагранжа:
То
Jzf = J (Ао(и2 — т2) + р(х — u)) dt 4- Ая(0).
о
2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: — р — 2Аож — 0;
б) трансверсальность по х: р(0) == А, р(Т0) = 0;
в) оптимальность по и: min (Aqu2 — ри) = Aqu2 — рй (Aq > 0 в
|и|^1
задаче на минимум, Ао 0 в задаче на максимум).
3. Если Ао = 0, то все множители Лагранжа из-за необходимых
условий п. 2 равны нулю. Положим Ао = 1/2 в задаче на минимум.
Тогда из условия оптимальности по и
f sign р,	|р| > 1,
и = <
1р>	1р1 1-
Рассмотрим поведение экстремальных траекторий на плоскос-
ти х, р (рис. 8).
I. |р|	1 => р = —х, х — р => рр + хх = 0 => р2 + х2 = С.
Движение происходит по окружностям с постоянной угловой ско-
Рис. 8
240
Ответы, указания и решения
ростью. Направление движения определяется при р > 0 из условия
роста х\ при р < 0 — из условия убывания х.
II. |р|	1 => р = —х, х — ±1 => х — ±(t + С') р —	+
+ С")2/2 + С = тх2/2 + С.
Движение происходит по параболам. Направление движения опре-
деляется при р > 1 из условия роста ж; при р < — 1 — из условия
убывания х.
Оптимальное движение начинается на оси р(х(0) = 0) и заканчива-
ется на оси х (р(7о) = О); x(t) = 0 — допустимая экстремаль \/Tq.
При Tq = (к — 1/2)тг, к е N, допустимыми экстремалями являются
также функции x(t) = Сsint, |С|	1. Пусть (к — 1 /2)тг <TQ < (к +
+ 1/2)тг; тогда существует к экстремальных траекторий хп, состоя-
щих из 2п — 1 «четверть оборотов», п = 1, 2, ..., к. Учитывая условия
х(0) = 0, x(Tq) - 0 и непрерывность функций х и х, получаем
ft,
|*| SS Tn
^min(n) = i 0 -J- r2 sign£ COS (t — Tq/(2tI — 1)),
Tn |t| <
To
2n- Г
k далее антипериодично,
где rn — корень уравнения (2п — 1)(тп + arctgrn *) = Tq, п = 1, ..., к.
Нетрудно видеть, что
t
Smax = Tq (хп (t) — j sign sin 27ГПТ dr^ .
0
4. В силу компактности ограничений и непрерывности функци-
онала решение задачи на минимум существует. Вычисляя значение
функционала на^экстремалях хп, находим J(xn(-)) = (2п—	>
Ответ. То <	=> х = 0 е abs min, Smjn = 0;
То =	=4- Сsint € abs min VIC] < 1, Smin = 0;
лп ~ 7Г
4J > 2
t,
\/1 + T2 cos(t — Tq),
к
x € abs min (т — корень уравнения r ctg (Tq - т) = 1, те
T3
‘S’min = Sma>x = Tq.
о
Ответы, указания и решения
241
11.45. То < тг => £ = 0 е abs min, Smin = 0; То = тг => С sin t е
€ abs min V|C| 1, 5min = 0;
Tq > 7Г
71 + T2 cos(^-To/2),
, To — t,
0 t < t,
T To - T,
TQ - t t To,
x = ± <
= 1, лежащий на
x G abs min (r — корень уравнения r tg
[To 7Г To1\
отрезке	J;
2	( f	\
Smin = - j r3, Smax = To (xn(t) = I sign sin 2тгпт dr\.
0
11.46. £ = ±1 € abs min, Smin — 0, Smax = ±oo. Допустимыми
экстремалями являются также функции x(t) = ±72 cos?rfct, k e N.
14.47.	±72 cos7rt € abs min, Smin = тг2, Smax = ±oo Допустимы-
ми экстремалями являются также функции ±72 cosTrfct, k = 2, 3, ...
11.48.	Допустимые экстремали: £& = ±72 sin (1 /2 ± fc)?rt, k € Z,
x\ € abs min.
Указание. Существование решения можно доказать, вводя при-
нудительное ограничение |i| A; Smin = тг2, Smax = ±оо.
11.49.	Smax = ±оо, 72 — t2 G abs min.
11.50.	Smax = ±oo, 71 — t2 ± t € abs min.
11.51.	Smax = ±oo, 72 - (t — I)2 € abs min (f=l~v%^)-
11.52.	7Г — t2 € abs max, —Vl — t2 6 abs min.
11.53.	vT — t2 G abs max, —71 — t2 e abs min.
11.54.	Smax = +00, x — \x\>x<l) = I—e abs mm’
11.55.	Smax = ±00, x = (Si, S2) = (sin — sint) e abs min.
11.56.	Smax = ±00, Smin — —00.
Допустимая экстремаль: х = (3£2 — 2t, 6£2 - 4t).
11.57.	Smax = ±00, (3t2 — t3)/2 e abs min.
11.58.	Smax — ±00, t —12/2 e abs min.
11.59.	Smax = ±00, t2/2 € abs min, Smin = 1-
11.60.	Smax =	±00,	t2	— t e abs min, Smjn = 4.
11.61.	Smax =	±00,	t4	— 2t3 ± t e abs min, Smm = —24/5.
11.62.	Smax =	±00,	t4	— 5t3/2 4- 3t2/2 € abs min,	Smin = —9/5.
11.63.	Smax =	±00,	t4	- 2t3 ± t2 e abs min, Smin	— —4/b.
11.64.	Smax = ±00, 2f3 — t4 e abs min.
11.65.	Smax = ±00, t2/2 — et(lnf — 1) € abs min.
242
Ответы, указания и решения
11.66.	Smax = 4-оо, tint € abs min.
11.67.	Smax = +oo, tint G abs min.
11.68.	Smax = +oo, (t 4- e) Int — t G abs min.
11.69.	Smax = 4-oo, Int G abs min.
11.70.	Smax = 4-oo, Int G abs min.
11.71.	Smax = 4-oo, e/(2t) 4- Int G abs min.
11.72.	Smax = 4-oo, 1/t G abs min.
11.73.	Smax = 4-oo, 1 /t G abs min.
11.74.	Smax = 4-oo,
th 7r(cht sin t — sh t cos t)/2 — sh t sin t G abs min.
11.75.	Smax = 4-oo, ch t sint — sh t(th7r sin14- cos t) G abs min.
11.76.	Smax = 4-oo, chtsint — shtcost G abs min.
11.77.	Допустимые экстремали:
cos To ch To / 1 => S = 0 loc extr,
cosT0chTo = 1 => x = C((chT0 — cosT0)(sht 4- sint)-
—(sh To — sin To) (ch 14- cos t)) loc extr;
^min — “OO, <5 max — 4"00.
11.78.	Допустимая экстремаль: x(t) = О (T > 0 — любое)
loc extr; Smin = —oo, Smax = 4-oo.
11.79.	Smax = 4-oo;
(sint 4- sht)/2 4- (1 — sh	(cost 4- cht)/(2 ch 0 loc extr;
^min — —OO.
11.80.	Smax ~ 4"00, Smin ~ 00’,
(cos t 4- ch t — --"hY" (sh * 4" sin О) /2 loc extr.
11.81.	Smax “ 4-00, Smin “ “OO;
(sin14- cth cost —	—0\ A loc extr.
\	2	sh тг 7 /
11.82.	Smax — 4-00, Smin ~ ~OOJ
(sh 4- sin t) — ch t — cos t) /2 loc extr.
11.83.	Smax ~ 4-00, Smin — °o;
(1 4-ch я) (cht 4-cost)	sht 4-sint
----£ extr.
2 sh тг	2
11.84. Smax = +00, (sint)/2 + (sht)/^2sh	abs min.
11.85. Smax = +oo, 5min = -oo;	loc extr.
2shi 2
11.86.	Smax = +oo, x =	$ loc extr; Smin = -oo
Z СП 7Г Z
(xn(t) = x(t) + n((cht — cost) —	। (sht - sint))У
Ответы, указания и решения
243
11.87.	Smax = +оо; х =	£ loc extr; 5min = -оо
(xn(t) = x(t) + п^сЬ(тг — t) + cost —	{(sh(%— 0 + sinf
11.88.	Smax = d-oo; sint 6 abs min, Smm = 0.
11.89.	Smax = -boo; — sin t G abs min, Smin = 0.
11.90.	Smax — +°°; % = cost loc extr, Smjn = “OO
(xn(t) = x(t) + n^cht — cost — (sht ~ sinf
11.91.	Smax = -boo; x = — cos t loc extr; Smin — —oo
(xn(t) = x(t) -bn(ch(7r — t) -b cost — (sh(?T — t) + sint^
11.92. Smax = +oo; sint G abs min, Smin = 0.
11.93.	Smax — -boo;
-bsh(sint — sht)/2-bch— (cht — cost)/2 G abs min.
11.94.	Smax = -boo; sint G abs min.
11.95.	Smax = +oo; sh t G abs min.
11.96.	Smax ~ +oo; sh(t — 1) G abs min.
11.97.	Smax = +oo; cht — 1 G abs min.
11.98.	Smax — -boo; 1 — ch(t - 1) G abs min.
11.99.	Smax = +oo; t + sin t G abs min.
11.100.	Smax = +oo; 1 — cost G abs min.
11.101.	Smax = -boo; 2(sint — cost — t + 1 )/(4 — тг) G abs min.
11.102.	Smax — “Smin = у J £(t) = t2 — 4t G abs min,
—x G abs max.
11.103.	Smax = —Smin = 32(2 - T2)/3;
л ' t2 + (8-8 V2)t,
X =
(—(t —4)2,
x G abs min, — x G abs max.
0^t^2v/2,
2x/2^tO,
11.104.	Smax — — Smin — 4;
x =
-t2.
(t - 2)2 - 2,
-(t-4)2,
OOU
1 Si t 3,
3 < t 4,
x e. abs min, — x G abs max.
11.105.	Smax — Smin — 1/(2 >/30);
x = \/5 (t* — 2t3 +1)/(2 >/6) G abs max, —x G abs min.
11.106.	Smax = Smin = ~ 7=i
x = \/5 (t4/3 — 5t3/6 +12/2) G abs max, —x G abs min.
244
Ответы, указания и решения
11.107.	Smax — Smin — z-J
12 у D
x — \/5t2(t ~ 1 )2/2 € abs max, —x 6 abs min.
11.108.	Smax = 4-oo; 2t e abs min, 5min = 0.
11.109.	Smax = +oo; 5(f4 — 6f2 4- 5)/16 G abs min, Smin = -y.
11.110.	Smax = +oo; 15t2(t — 2)2/8 G abs min, Smjn = 45.
11.111.	Smax = -boo; 30t2(t — I)2 G abs min, Smjn = 720.
11.112.	Smax = +oo;
C((sha;t — sinart)(cha> + coscv) + (cosort — chort)(sho; + sincv)) G
E abs min
(и > 0 — минимальный корень уравнения ch и cos о; — — 1, константа С
определяется из изопериметрического условия); Smin = оА
11.113.	Smax = 4-ос;
C((chcv — cos о?) (short — smart) — (shcv — sin a?) (ch art — cos art)) E
E abs min
(a> — минимальный положительный корень уравнения ch w cos w = 1, С
находится из изопериметрического условия); Smin = aA
11.114.	Smax = +оо;
х = C((shart 4- sin art) (ch a; — cosa>) — (chart + cos art) x
x(sha> — sin a?)) E abs min
(a; — минимальный положительный корень уравнения ch ш cos a; = 1,
i
С определяется из условия Jar2 dt = 1); Smjn = aA
о
11.115.	Допустимые экстремали: Xk = sin{2^kt + 7) V7ER,
x\ E abs min; Smin = (2тг)4, Smax - +00.
11.116.	Smax = 4-oo; ar = Z(l— t) (T = 1) E abs min.
11.117.	Smax = +00; x = t2/2 (T = 1) E abs min.
11.118.	Smax = +00; x = t3/16 — t2/4 (T = 4 E abs min.
11.119.	Smax = +00; x = t2(T = 1) € abs min.
11.120.	t3 — t2 E abs max, t2 — t3 E abs min.
11.121.	3t3 — 2t3 E abs max, 2t3 — 3t3 E abs min.
11.122.	Smax = 4-oo:
11.123.	Smax = 4-oo:
11.124.	Smax = +00:
11.125.	5max = 4-00:
11.126.	5max = +00:
11.127.	5max = +00;
t3/2 — t4/8 E abs min, Smin — 3.
(t2 + 2t + 2)/5 € abs min, Smin = 0.
(t5 - 5£4 4- 10t3)/6 E abs min, Smjn = 20.
(8t5 - 25t4 4- 20t3)/3 E abs min, 5mjn = 320.
6t5 - 15t4 4- 10f3 G abs min, Smin = 720.
t3(t — I)2 E abs min, Smin = 36.
Ответы, указания и решения
245
11	.128. Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
j (ж2 — А	^f; я(0) = О-
о
2.	Уравнение Эйлера: х + Xx/t = 0; условие трансверсальности:
i(l) = 0.
3.	Решение, удовлетворяющее условию трансверсальности, име-
ет вид p(t) = y/i Wy/Xt), где — функция Бесселя. При этом
<%(2\/Л) = 0 => </(1) = 0 и р не имеет нулей на [0, 1].
4.	Из основной формулы Вейерштрасса приходим к формуле
ff,(2 y/At) \2
проверяемой непосредственно и приводящей к нужному неравенству.
Замечание. Здесь необходимое условие использовалось в обста-
новке недостаточной гладкости, но оно привело к цели. То же касается
и других задач цикла.
11	.129. Р ешение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
I (±2 ~ inf; = °’
R-+
2.	Уравнение Эйлера: х +	= 0.
3.	Уравнению Эйлера удовлетворяет функция p(t) — y/t
(непосредственная проверка).
4.	Экстремаль р (недопустимая, ибо р I/2(R+)) приводит к фор-
муле
J (i2 -	=J (* -	=к* - ю2*	- °,
о	о	о
проверяемой непосредственно (скажем, для гладких финитных функ-
ций) и приводящей к нужному неравенству.
11	.130. Указание. Приемом, использованным при решении зада-
чи 11.129, вывести тождество (p(t) = \Д lnt/е2 — допустимая экстре-
маль)
Г/-2	я2 A (Л	^(О^А2^ ГЛ	tot) \2 ,,
К1 - ₽)л -111 - д = ]г~аь,(</еИ
0	0	о
проверяемое непосредственно и приводящее к нужному неравенству.
11	.131. Указание. Приемом, использованным при решении за-
дачи 11.129, вывести тождество (p(t) = t(2-t) — допустимая экстре-
маль)
246 Ответы, указания и решения |
[ / «2	2х2 \ ,	г/.	Г/.	2(1— t) \2,
К® “ t(2^t)) dt ~ К® “ ~^j~) dt~ J(®~ t(2-t) х) dt'
проверяемое непосредственно и приводящее к нужному неравенству.
б) Поступить аналогично а) с <p(t) — te-t.
11	.132. Указание. Поступить аналогично предыдущей задаче с
<p(t) = t(l -t).
11	.133. Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
К|*|р_(^)Р|тГ)<й~Ип£; х(°)=о-
2.	Уравнение Эйлера: (|гг|р~1 signi) +	1 х = 0.
3.	Ищем решение уравнения Эйлера вида <p(t) = ta и получаем, что
4.	Основная формула Вейерштрасса приводит к тождеству
приводящему к нужному неравенству.
Пример. При р = 4 имеем следующее тождество:
=К* - W++> »• - °-
о	о
Т
11	.134. Решение. (С. А. Аюнц). 1. |(1 +£|u|)dt —»inf; i\=X2,
о
Х2 — и, |u|	1, Х](0) = Xq, Z2(0) = Vo, Х[(Т) — Х2^Т) = 0. ФуНКЦИЯ
Лагранжа:
т
& - |(Ао(1 +£lul) + pi (£1 -ж2) +p2(i2 - u))dt +
+ Aj(0) — гео) + А2(ж2(0) ~ vo) + fnxi(T) + р2х2(Т).
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: pi = 0, р2 +pi = О
(4=Ф p2(t) = at + b);
б)	принцип максимума: max(p2(t)u - Aoe|ti[) = p2(t)u(t) — Ao£|u(t)|;
|u|Cl
в)	трансверсальность: р2(0) = А2, pi(0) = Ль р2(Т) = —д2, pi(T) =
= -М|;
г)	стационарность ^Ст'. Aq( 1 +e|u(T)|) + p2u(T) = 0.
3.	p2(t) = 0 ==> все множители Лагранжа равны нулю, т. е.
рг(-)	0. Если Ао — 0, то из б) и в) => |р2(Т)| = 0 => р2(Т) = 0, т. е.
j
Ответы, указания и решения
247
p2(t) = a(t - f) => u(t) = 1 или u(t) = -1. Итак, Ao = О => '(x0, v0) G
G Г = {(ari, x2) | xi = i|/2, Xi 0, или <ei =-я|/2, ж2 0}. Если
(io, fo) Г, то Ao / 0 и полагаем Ao = 1.
Из экстремальной задачи p2(t)u — e|u| —> sup; |u|	1, получаем
°-	|P2(i)|/£^l,
signp2(£), |P2(<)|/f> I-
u(t) =
Условия трансверсальности с учетом
l+e|u(f)|-p2(f)u(f)-O.
Отсюда следует, что случай и(Т) =
= 0 невозможен, т. е.
|u(f)| = 1 =► |p2(f)| = 1 + е.
4. Опишем синтез в этой^задаче.
Возможны два случая: р2(Т) = 1 +
+ £ и р2 (Т) = - (1 + е). Рассмот-
рим только первый. Случай вто-
рой аналогичен. Из рис. 9 ясно, что
траектория состоит из трех частей:
того, что Ао= 1» таковы:
вначале (t € [0, т']) управление рав-
но -1, затем (t е (г', т)) оно равно нулю и, наконец, в конце (t €
е [т, Tj) u(t) = 1. Из подобия треугольников АВС и BDE получаем
(т-т')/(Т-т) = 2е. Обозначим Т-т через 7. Тогда второе перек-
лючение происходит, когда х2 = —7, х\ = 72/2. При первом переклю-
чении Х2 также равно 7 (ибо между переключениями ускорение равно
нулю), a xi = 72/2 + 2^72 (ибо аппарат двигался со скоростью —7,
время движения 2^7). Получаем, что кривая первых переключений
имеет вид xi = (2е+ 1/2)гг|, х2 0. Синтез изображен на рис. 10.
Рис. 10
248
Ответы, указания и решения
т
11	.135. Решение. (С. А. Аюнц). 1. |(1 + £f(u))dt -♦ inf; =
о
= Х2, X2 = U, |u| < 1, ГС1(О) = ГЕО, Х2(О) = V0, Х| (Т) = Х2(Т) = 0.
Функция Лагранжа:
т
& = J(AO(1 +£/(«)) + Pi (£1 -Х2) +p2(i2 -u))dt +
о
+ A|(xi(0) -х0) + А2(х2(О) - vo) + Pixi(T) + Р2Х2(Т).
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: pi = 0, р2 +pi = О
(<=> p2(t) = at + b);
б)	принцип максимума: max (p2(t)u — A0£f(u)) = p2(t)u(t)—
|u|^l
—Aos/(u(t));
в)	трансверсальность: p2(0) = A2, pi(O) = Ai, Pz(T) = -p2,
Pi(T) = -pi;
г)	стационарность Jz?r: Ao(l + e/(u(f))) + p2u(T) = 0.
3.	p2(t) = 0=> все множители Лагранжа — нули, т. е. р2(-)
= 0. Если Ао = 0, то из б) и в) => |р2(Т)| = 0 => р2(Т) = О, т.е.
p2(t) == a(t — Г) => u(t) = 1 или u(t) = — 1. Итак, Ао = 0 => (хо, v0) е
е Г = {(хь х2) | xi = х|/2, х2 0, или xi = —х|/2, х2 0}. Если же
(х0, vq) Г, то Ао / 0 и полагаем Ао = 1. Далее предположим для
простоты, что f строго монотонна. Общий случай требует лишь
некоторых уточнений. Рассмотрим экстремальную задачу
e/(u) — p2(t)u —> inf; |u|	1.
Решив ее, получим
u(f) =
signp2(t),
iP2(0|
|p2(/)| > e/'(l),
где g(y) = (/'(у)) ’. Условия же трансверсальности с учетом того, что
Ао = 1, таковы: 1 + e/(u(T)) - р2(Т)и(Т) = 0. При этом возможны два
случая:
а') и(Т) - signp2(T); тогда из б) => 1 +е/(1) = |Р2(Т)| =» 1 +
+ £/(1) > £/'(1);
б') и(Т) =д(р2(Т)/£; тогда из б) /*(р2(Т)/£) = 1/£, где f* — пре-
образование Лежандра-Юнга-Фенхеля /.
4.	Рассмотрим сначала первый случай, когда р2(Т) = 1 +£/(1) >
>£/'(1) (рис. 11) (вариант, когда р2(Т) = — 1 — £/(1), аналогичен).
Ответы, указания и решения
249
Из рис. 11 ясно, что траектория
состоит из трех частей: начальной
части (t € [0, т']), когда управле-
ние равно минус единице, средней
части (t G (т', т)), когда управле-
ние по модулю меньше единицы,
и третьей части (t е [г, Т]), когда
управление равно единице и точ-
ка (x\(t), x2(t)) движется по кри-
вой Г.
Вся траектория восстанавлива-
ется по двум параметрам: г и Т.
В частности, т' определяется из подобия треугольников АВС и BDE:
= ТТ77^ГГ~л7Тй’ УпРавление ЭД на участке [т', т] рав-
но	a p2(t) = е/'(1) + -————=LL222, при этом,
Х2
Рис. 12
как это легко усмотреть из выписанных формул, точки, где происходят
переключения Cei(t'), х2(т'У), зависят от одного параметра 7 = Т - т,
образуя кривую Г'. Синтез схематично
изображен на рис. 12.
Рассмотрим теперь второй слу-
чай, когда 1 +е/(1) е/'(1). Тогда из
п. 3 следует, что р2(Г) ==	1(1/е) =
= f) =p^L е/'(1). Пусть р > 0. Тог-
да, зафиксировав Т как параметр, опи-
шем совокупность точек (xi(T),х2(Т)),
из которых можно попасть в начало ко-
ординат, не переходя на режим ±1. Име-
ем (рис. 13) верхнюю и нижнюю прямые:
250________________Ответы, указания и решения_______________
p+(tf) = -£/'(l)+fclM,
p-(t,f) = -£/'(i) + fc^O.
Положим ^(t, f) = g(p*(t, f)/€), $(T) = ju^t, f)dt, £±(Г) =
f	0
= j(T — t)u±(t, T)dt. Тогда искомое множество лежит между кривыми
о
Т -> (£/"(Т), С^(Т)) иТ-*({| (Г), С2 (Т)). Сепаратрисой служит дви-
жение, когда p2(t, р)=р. Синтез схематично изображен на рис. 14.
11.136.	х = ( 1 /у/2^,, ..1/л/2гп, -1 /у/2т, ..., -1/У2т, 0 ) €
т	т	е	abs min.
11.137.	Указание. Формализовать задачу: xi + х2 + хз inf;
xl + ... + х2100	10000, xi + ... + Ж1оо 3, Xi > Х2 > хюо О,
и применить принцип Лагранжа;
11.138.	Указание. По теореме Рисса неотрицательный полином
по косинусам представляется в виде x(t) = |хо + це*4 +... + xnemt|2,
откуда следует, что задача допускает следующую формализацию:
п—1	п
-*sup; ^2xk = l-
k=0	k=0
Ответ, pi = cos----
n + 2
11.139	. Указание. Формализовать задачу:
j(l —	dt —* inf; Jt2x(t) dt 1, x = ut — A u 0,
о	о
и применить принцип Лагранжа.
Ответы, указания и решения
251
11.140	. Указание. Применив принцип Лагранжа к задаче
j х at —» sup; J (х + х ) dt < 1,
о	о
прийти к следующей формуле, являющейся следствием основной фор-
мулы Вейерштрасса:
j (£2 — х2 4- х2) dt = j (х 4- х + x)2dt +
о	о
а затем вместо x(t) подставить y(at)y а > 0.
11.141	. При n—1 x(t) — е~1\ при п = 2
x(t) = cos
^а,пек^, где к, -
При произвольном п функция £(•) имеет вид
корни уравнения к2п = (—1)п+1, лежащие в левой полуплоскости, a а^п
являются решением некоторой системы линейных уравнений.
11.142	. Функция £(•) симметрична относительно прямой f = 1/2;
на отрезке [0, 1 /2] эта функция является обратной к функции t =
X
г dz	v 4- 1	,
= J-_Q —а константа к определяется из условии
о v
задачи.
11.143	. Решения задачи не существует. Если наложить «прину-
дительное» ограничение |и| Л, то при А > тг2 решение будет иметь
вид
ft	О^^т(Л),
J-t	1-т(Л)^*^1.
Переходя к пределу при А —* +оо, получим, что численное значение
задачи равно четырем и обобщенное управление есть иОб(^) =
= 4<5(i—1/2), а обобщенным решением будет = при
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия
АТФ. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С. В. Оптимальное управ-
ление.— Мл Наука, 2005.
Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. — Мл
Эдиториал УРСС. 2000.
КФ. Колмогоров А. Н, Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа. — Мл Наука, 2004.
Зор. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — Мл Наука, 1981.
Н.	Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 1 и 2. — Мл Наука,
1975.
1.	Ахиезер НИ. Вариационное исчисление. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-та,
1981.
2.	Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. — Мл Наука, 1965.
3.	Блисс ГА. Лекции по вариационному исчислению. — Мл ИЛ, 1950.
4.	Буслаев В. С. Вариационное исчисление. — Лл Изд-во ЛГУ, 1980.
5.	Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. — Мл
Изд-во МГУ, 1974.
6.	Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. — Минск: Изд-во
БГУ, 1981.
7.	Гасс С. Линейное программирование. — Мл Физматгиз, 1961.
8.	Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — Мл Физматгиз,
1961.
9.	Гюнтер Н.М., Кузьмин P.O. Сборник задач по высшей математике. Т. 1
и 2. - Мл ГИТТЛ, 1957.
10.	Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому ана-
лизу. — Мл. Наука, 1968.
11.	Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпуклого
программирования. — Мл. Наука, 1976.
12.	Заславский Ю. Л. Сборник задач по линейному программированию. — Мл
Наука, 1969.
13.	Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — Мл Наука,
1974.
14.	Краснов М.Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисле-
ние. — Мл Наука, 1973.
15.	Карманов В. Г. Математическое программирование. — Мл Наука, 1975.
16.	Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процес-
сов. — Мл Наука, 1976.
17.	Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — Мл Мир, 1973.
18.	Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. — Мл Изд-во
МГУ, 1976.
19.	Харди Г. Г, Литтлъвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. — Мл ИЛ, 1948.
20.	Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — Мл
Мир, 1979.
21.	Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального
управления. — Мл Мир, 1974.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
{ж | Р(х)} — множество элементов х, обладающих свойством Р(х)
х(-) — обозначение, которым подчеркивается, что х(-) является элементом
функционального пространства
F°G — суперпозиция отображений G и F: (F°G)(x) = F(G(x))
R = R U {—oo, +00} — расширенная числовая прямая
R£ — неотрицательный ортант в Rn, R£ = {ж = (хь ..., хп) G Rn |
Xi 0, i — 1, ..., п}
В(х, г) = {2/1 ||х - 2/|| О} — замкнутый шар с центром х радиуса г
В(х, г) = {у | || х - 2/11 < г} — открытый шар с центром х радиуса г
ТХМ (Т^М) — множество касательных (односторонних касательных)
векторов к множеству М в точке х
X* — пространство, сопряженное с X
(х*, х) — значение линейного функционала ж* на элементе х
Ах = {ж* е X* | (х*, х) = 0 Vx G А} — аннулятор множества А
-£f(X, У) — пространство линейных непрерывных отображений прост-
ранства X в пространство У; отображения из ^f(Rn, Rm) могут отождеств-
ляться с матрицами этих отображений
I — единичный оператор (матрица)
А* — оператор, сопряженный с оператором А, (Л*2/*, х) = (2/*, Ах)
9/ G ^(Х) — множество 9/ открыто в пространстве X
9S G О(х, X) — множество 9/„ содержащее элемент х, открыто в X
C([t0, *1]) — пространство непрерывных функций на отрезке [to, й] с нор-
мой ||х(.)||о = max |o:(t)|
tGlto.tiJ
Cr([t0, tj) — пространство г раз непрерывно дифференцируемых функций
на отрезке [to, ti] с нормой ||x(-)||r = тах{||х(-)||о, ||х(-)Цо, • • •, lk(r)G)llo}
КС ([to, ti]) — пространство кусочно-непрерывных на отрезке [to, ti] функ-
ций, т. е. имеющих не более конечного числа разрывов первого рода (в точках
разрывов существуют конечные пределы слева и справа)
6F(x, •) — вариация по Лагранжу отображения F в точке х
F € Dk(x) — отображение F дифференцируемо по Фреше к раз (fc > 1) в
точке х
F е SD(x) — отображение F строго дифференцируемо по Фреше в точке х
dF(x) — субдифференциал функции F в точке х
х G abs min (abs max, abs extr) — x доставляет абсолютный минимум
(максимум, экстремум) в задаче
х G loc min (loc max, loc extr) — x доставляет локальный минимум (мак-
симум, экстремум) в задаче
53 — численное значение задачи (з)
(Р) — задача, приведенная с решением
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аннулятор 25
Вариация по Лагранжу 27
Вектор касательный 31
— односторонний (полукасательный)
31
Дифференцируемость по Гато 27
—	по Фреше 26
—	строгая 27
Задача Аполлония 50
—	Архимеда 50
—	Больца 73
—	выпуклого программирования 60
—	двойственная 63
—	Дидоны 114, 136
—	Евклида 48
—	изопериметрическая 105
—	Кеплера 49
—	Лагранжа 124
—	линейного программирования 65
—	ляпуновская 133
—	Ньютона аэродинамическая 169
—	о быстродействии 148
—	оптимального управления 132
—	о центре тяжести 189
—	простейшая классического вариа-
ционного исчисления 77
—	со старшими производными 115
—	с подвижными концами 84
—	Тартальи 48
—	Ферма 49
—	Шеннона 136
Иголка элементарная 141
Игольчатая вариация управления 141
--функции 141
Интеграл импульса 80
—	энергии 80
Интегрант квазирегулярный 89
— регулярный 89
Конволюция 55
Конус сопряженный 53
Критерий Сильвестра 45, 181
Лагранжиан 106
Лемма Дюбуа-Реймона 75
------ усиленная 116
— об аннуляторе ядра регулярного
оператора 26
—	об игольчатой вариации 144
—	о замкнутости образа 26
—	о минимаксе 68
~ о нетривиальности аннулятора 25
—	о правом обратном операторе 25
—	о приращении функционала 141
—	о сопряженном конусе 67
—	о центрированной системе 142
—	Хоффмана 68
Максимум (минимум) 9
—	абсолютный 11
—	локальный 11
—	сильный 78
—	слабый 73
Метод Ньютона 47
--модифицированный 53
Множество выпуклое 52
—	эффективное 52
Множители Лагранжа 14
Надграфик 52
Неравенство Адамара 189
—	Бернштейна 187
-	Вейля 184
—	Гёльдера 51
—	Гильберта 179
—	для производных на полупрямой
187
Предметный указатель
255
Неравенство для средних степенных
51
—	Йенсена 58
—	Карлсона 136
—	Маркова 187
—	между средним арифметическим и
средним геометрическим 51
—	Минковского 51
—	Харди 179
—	Харди-Литтл ьвуда-Полиа 180
—	Юнга 53
Оболочка выпуклая, коническая 52
Оператор инволютивный 53
—	регулярный 26
—	сопряженный 21
Пакет иголок 143
Поле экстремалей 91
-- центральное 91
Полиномы Лежандра 48, 191
—	Чебышева 191
—	Чебышева второго рода 191
Поляра 53
Преобразование Лежандра-Юнга-
Фенхеля 52
Принцип Лагранжа 12, 15
—	максимум Понтрягина 139
Субдифференциал 53
Теорема Боголюбова 90
—	Вейерштрасса 23
—	двойственности 62, 134
—	Дубовицкого-Милютина 54
—	Куна-Таккера 61
—	Моро-Рокафеллара 54
—	об альтернансе 191
—	об очистке 54
—	основная алгебры 180
Теорема отделимости вторая 24
--- первая 24
—	существования 166
—	Фенхеля-Моро 54
—	Ферма 35
—	Эйлера-Лагранжа 126
—	Якоби 119
Терминант 73
Точки допустимые 10
—	критические 12
—	сопряженные 89
—	стационарные 14
Уравнение Гамильтона-Якоби 94
—	Эйлера 74
-Эйлера-Пуассона 115
Условие дополняющей нежесткости
37
—	Лежандра 88
—	неотрицательности 37
—	Слейтера 61
—	стационарности 85
—	трансверсальности 74
—	Якоби 89
Формула Вейерштрасса основная 93
Функция Вейерштрасса 92
—	выпуклая 52
		однородная 52
—	замкнутая 52
—	индикаторная 53
—	Лагранжа 14
—	Минковского 53
—	наклона поля 91
—	опорная 53
—	полунепрерывная снизу 23
—	собственная 52
S-функция 91
Учебное издание
АЛЕКСЕЕВ Владимир Михайлович
ГАЛЕЕВ Эльфат Михайлович
ТИХОМИРОВ Владимир Михайлович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОПТИМИЗАЦИИ.
ТЕОРИЯ. ПРИМЕРЫ. ЗАДАЧИ
Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет Е.А. Королевой
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 03.08.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 17,9. Заказ № 3786.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИ
имени М.В. Ломоносова
ЗБТ
А-470
Классический университетский учебник
ISBN 5-9221-0590-6