ленинградский ордена ленина
и ордена трудового красного знамени
государственный университет имени а. а. Жданова
Л. Д. ФАДДЕЕВ, О. А. ЯКУБОВСКИЙ
ЛЕКЦИИ
ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-МАТЕМАТИКОВ
Издательство Ленинградского университета
Ленинград 1980

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
УДК 530.145
Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по
квантовой механике для студентов-математиков. Учеб.
пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 200 с. Ил.— 15.
В основу книги положены лекции, которые в тече-
течение ряда лет читаются студентам математических спе-
специальностей математико-механического факультета Ле-
Ленинградского университета. От имеющихся учебников
квантовой механики книга отлнчаетая тем, что она
ориентирована в основном на математическую аудито-
аудиторию. В связи с этим большее внимание уделяется об-
общим вопросам квантовой механики и ее математиче-
математическому аппарату. По-йному, чем это принято в физиче-
физической литературе, излагаются основы квантовой меха-
механики, подробно опнсана взаимосвязь квантовой н клас-
классической механик, включены параграфы, посвященные
применению теории представлений групп и математиче-
математическим вопросам квантовой теорнн рассеяния.
Кроме студентов-математиков книга может быть
полезной также студентам, специализирующимся по
теоретической физике, которым она позволит взглянуть
на квантовую механику с новой для них точки зрения.
20203,20402-024 Я0,7П4020000 ® ИзДательство
* 076@2)-80 80-80Л704020000 Ленинградского
университета,
1980 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие является подробным конспектом лекций,
которые читаются на математико-механическом факультете
Ленинградского государственного университета для студентов
математических специальностей. Программа курса квантовой
механики была разработана первым из авторов, который и чи-
читал этот курс в 1968—1973 гг. В последующие годы курс кван-
квантовой механики читался вторым автором. Разумеется, за эти
годы курс несколько изменился, однако цель его осталась преж-
прежней— дать изложение квантовой механики с точки зрения бо-
более близкой студенту-математику, чем это принято в физиче-
физической литературе. Мы учитываем, что студенты не изучают
общей физики. Естественно, что в курсе, предназначенном ма-
математикам, мы стремились к более аккуратному, чем это при-
принято, изложению математических вопросов квантовой меха-
механики, но мы не стремились к полной математической строгости,
так как строгое изложение ряда вопросов потребовало бы
существенного увеличения объема курса.
В литературе на русском языке существует только одна
книга, преследующая те же задачи. Это книга известного аме-
американского математика Дж. Макки «Лекции по математическим
основам квантовой механики». От книги Макки настоящие лек-
лекции существенно отличаются как по способу изложения основ
квантовой механики, так и по подбору материала. Кроме того,
настоящие лекции предъявляют несколько меньшие требования
к математической подготовке студентов. Тем не менее мы мно-
многое заимствовали как из книги Макки, так и из классической
книги фон Неймана «Математические основы квантовой ме-
механики».
В основе подхода к построению квантовой механики, при-
принятого в лекциях, лежит утверждение, что квантовая и класси-
классическая механики являются различными реализациями одной
1* 3

и той же абстрактной математической структуры. Особенности
этой структуры выясняются в первых параграфах, посвящен-
посвященных классической механике. Эти параграфы являются неотъем-
неотъемлемой частью курса и пропускать их при чтении нельзя, тем
более, что материал этих параграфов практически не пересе-
пересекается с материалом курса теоретической механики. Логиче-
Логическим завершением такого подхода к построению квантовой
механики является параграф, посвященный взаимосвязи кванто-
квантовой и классической механик и предельному переходу от кван-
квантовой механики к классической.
При отборе материала параграфов, посвященных приложе-
приложениям квантовой механики, мы старались выделить те вопросы,
которые связаны с постановкой интересных математических
задач. В связи с этим большое внимание уделяется задачам,
связанным с теорией представлений групп, и математическим
вопросам теории рассеяния. В остальном подбор материала со-
соответствует традиционным учебникам, посвященным общим во-
вопросам квантовой механики, например, книгам В. А. Фока или
П. Дирака.
Авторы благодарны В. М. Бабичу, который прочел рукопись
и сделал ряд ценных замечаний.

§ 1. Алгебра наблюдаемых классической механики
Рассмотрим простейшую задачу классической механики —
задачу о движении материальной точки (частицы) с массой m
в силовом поле V(x), где \{х\,Х2,х3)—радиус-вектор частицы.
Сила, действующая на частицу,
Основными физическими характеристиками частицы яв-
являются ее координаты х\, х% х% и проекции вектора скорости
v@i, 02|0з). Все остальные характеристики есть функции от х
и v, например, импульс р = mv, момент импульса |=хХр =
= тх у v, энергия частицы Е = mv2/2 + V(x).
Уравнения движения материальной точки в форме Ньютона
имеют вид
m*L = -™, *-у. A)
dt дх dt v '
В дальнейшем удобно вместо скорости v в качестве основной
переменной использовать импульс р. В новых переменных
уравнения движения записываются таким образом:
jtp_ _ _ dV_ dx_ р_ т
dt ~ дх ' dt ~~ т.' к*>
о р дН dV дН и Р2 i т// \ д,
Замечая, чт0 ^- = ^-, ^г = -^г, где Н = ш + 1/(х)-функ-
ция Гамильтона для частицы в потенциальном поле, мы прихо-
приходим к уравнениям в форме. Гамильтона
jix_ _ дН_ dp_ _ _ дН_ -оч
dt ~ dp ' dt ~ дх ' \6>
Из курса теоретической механики известно, что широкий
класс механических систем и, в частности, консервативные

системы описываются уравнениями Гамильтона
дН . дН • л л / л \
i^wr р1==~-щ-' 1==1'2 п- D)
Здесь qi и pt — обобщенные координаты и импульсы, Я =
= H(qu. ..,qn\pu-..,pn)—функция Гамильтона, число п на-
называется числом степеней свободы системы. Напомним, что для
консервативной системы функция Гамильтона Я совпадает
с выражением для полной энергии системы в переменных qi
и pi. Выпишем функцию Гамильтона для системы N материаль-
материальных точек, попарно взаимодействующих между собой
Здесь в качестве обобщенных координат q взяты декартовы
координаты частиц, число степеней свободы такой системы
n = 3N, Vij(x.i — Xj) есть потенциал взаимодействия t-й и /-й
частиц. Зависимость Уц только от разности х(- — х/ обеспечи-
обеспечивает выполнение третьего закона Ньютона. (Действительно,
сила, действующая на t'-ю частицу со стороны /-й частицы,
^^*>) Потенциалы 1Л(х<) описывают
;/ 7Гдх
взаимодействие t-й частицы с внешним полем. Первое слагае-
слагаемое в формуле E) — кинетическая энергия системы частиц.
Для произвольной механической системы все физические
характеристики есть функции от обобщенных координат и им-
импульсов. Мы введем в рассмотрение множество St всех веще-
вещественных, бесконечно дифференцируемых функций* f(qi,...,qn;
Pi,-. ¦¦, рп), которые будем называть наблюдаемыми. Множество
наблюдаемых %, очевидно, является линейным пространством
и образует вещественную алгебру с обычными для функций
операциями сложения и умножения. Вещественное 2га-мерное
пространство с элементами (qu..., qn; рь..., рп) называется
фазовым пространством и обозначается через Ж. Таким обра-
образом, алгебра наблюдаемых классической механики есть алгебра
вещественных гладких функций, задаваемых на фазовом про-
пространстве Ж.
Мы введем ниже в алгебре наблюдаемых еще одну опера-
операцию, которая связана с эволюцией механической системы. Для
простоты все дальнейшее изложение ведется на примере си-
системы с одной степенью свободы. Уравнения Гамильтона в этом
случае имеют вид
4 = -Qf P = -~df- H = H(q,p). F)
* Мы не обсуждаем вопрос о введении топологии в алгебре наблюдае-
мыл. К счастью, большинство физических вопросов от этой топологии не
зависит.
6

Задача Коши для системы F) и начальных условий
имеет единственное решение
q = q(qo, po, t), p = p(qo, po, t). (8)
Для сокращения записи точку фазового пространства (q, p)
иногда будем обозначать через ц, а уравнения Гамильтона
записывать в виде
|1 = о(ц), (9)
где v(\i) — векторное поле этих уравнений, сопоставляющее
каждой точке \i фазового пространства вектор v с компонен-
дН дН
dp ' dq
Уравнения Гамильтона порождают однопараметрическую
коммутативную группу преобразований фазового пространства
в себя *
где Gt\i есть решение уравнений Гамильтона с начальным ус-
условием Gt\i\t=0 = ц. Справедливы равенства:
t+s = UtUs — Us<Jt, bt = U-t. A0)
В свою очередь преобразования Gt порождают семейство пре*
образований алгебры наблюдаемых в себя
где
Utf (n) = ft(ii) = f (Gt\i). A1)
В координатной записи функция ft(q,p) определяется следукь
щим образом:
ft(qo, Po) = f(q(qo, Po, t), p(q0, po, t))- A2)
Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетво-
удовлетворяет функция ft(q,p). Для этого продифференцируем тожде-
тождество fs+t(ii) = ft(Gsii) по переменной s и положим s = 0,
ds
dt
ds
* Мы предполагаем, что уравнения Гамильтона с начальными условиями
G) имеют единственное решение на всей вещественной оси. Легко построить
примеры, в которых глобальное решение и соответственно группа преобразо-
преобразований Gt не существуют. Эти случаи не представляют интереса, н мы их не
рассматриваем.

Таким образом, функция ft(q,p) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
?!?1L?L?1L3
dt dp dq dq dp
и начальному условию
ft(q,p)\t-o = f(q,p)- (И)
Уравнение A3) с начальным условием A4) имеет единствен-
единственное решение, которое может быть получено по формуле A2),
т. е. для построения решений уравнения A3) достаточно знать
решения уравнений Гамильтона.
Уравнение A3) может быть переписано в виде
%- = {H,ft), A5)
где {Я, ft} — скобка Пуассона функций Я и ft. Для произволь-
произвольных наблюдаемых fag скобка Пуассона определяется фор-
формулой
У' g> dp dq dq dp '
а в случае системы с п степенями свободы
U, §i-Zj{dPi dqt dq. dp.)'
Перечислим основные свойства скобок Пуассона:
1) {f,g + Щ = {f, g} + l{f, h) (линейность);
2) {f,g) = — {g,f) (кососимметричность);
3) {f, {g,h)} + {g, {h,f}}+{h, {f,g}} = 0 (тождество Якоби);
4) {f,gh)=g{f,h) + {f,g}h.
Свойства 1), 2) и 4) прямо следуют из определения скобок
Пуассона.' Свойство 4) показывает, что операция «скобка Пуас-
Пуассона» есть дифференцирование алгебры наблюдаемых. Действи-
Действительно, скобка Пуассона может быть переписана в форме
где Xf = -^--^ d~d линейный дифференциальный опера-
оператор первого порядка, и свойство 4) принимает вид
Свойство 3) может быть проверено дифференцированием, од-
однако его можно доказать следующим рассуждением. Каждое
слагаемое двойной скобки Пуассона содержит множителем вто-
вторую производную от одной из функций по одной из переменных,
т. е. левая часть 3) есть линейная однородная функция от вто-

рых производных. С другой стороны, вторые производные от h
могут входить только в сумму {f, {g, h}} + {g, {h,f}} =(XfXg —
— XgXj)h, а коммутатор линейных дифференциальных опера-
операторов первого порядка является дифференциальным операто-
оператором первого порядка, поэтому вторые производные от h в левую
часть 3) не войдут. В силу симметрии левая часть 3) вообще
не содержит вторых производных, т. е. равна нулю.
Скобка Пуассона {/, g) вводит в алгебру наблюдаемых
структуру вещественной алгебры Ли *. Итак, множество наблю-
наблюдаемых обладает следующей алгебраической структурой. Мно-
Множество % является:
1) вещественным линейным пространством;
2) коммутативной алгеброй с операцией fg;
3) алгеброй Ли с операцией {f, g).
Две последние операции связаны соотношением
В алгебре наблюдаемых 5t есть выделенный элемент—функ-
элемент—функция Гамильтона Я, роль которой — описание изменения наблю-
наблюдаемых со временем
4t хл< its-
Покажем, что отображение Не Я->-Я сохраняет все опера-
операции в %:
т. е. является автоморфизмом алгебры наблюдаемых. Проверим
для примера последнее утверждение. Для этого достаточно
убедиться в том, что уравнение и начальное условие для ht есть
следствие уравнений и начальных условий для функций ft и gt
= {{Я, ft}, gt} + {ft{H, gt}} = {H, {ft, gt)} =
Здесь были использованы свойства 2) и 4) скобок Пуассона.
Далее,
lt=o
Теперь наше утверждение следует из единственности решения
уравнения A3) с начальным условием A4).
* Напомним, что линейное пространство с бинарной операцией, удовле-
удовлетворяющей условиям 1)—3), называется алгеброй Ли.
9

§ 2. Состояния
Понятие состояния системы можно связать непосредственно
с условиями эксперимента. Всякий физический эксперимент сво-
сводится к измерению численного значения наблюдаемой для си-
системы, поставленной в определенные условия, которые можно
назвать условиями эксперимента. Считается, что эти условия
могут воспроизводиться многократно, однако мы не предпола-
предполагаем заранее, что при повторном проведении эксперимента из-
измерение даст то же самое значение наблюдаемой. На вопрос,
с чем связана неопределенность в результатах эксперимента,
возможны два ответа.
1) Число условий, которые фиксируются при проведении
экспериментов недостаточно для того, чтобы однозначно опре-
определить результаты измерения наблюдаемых. Если неоднознач-
неоднозначность возникает только по этой причине, то по крайней мере
в принципе эти условия можно дополнить новыми, т. е. поста-
поставить эксперимент более «чисто» и тогда результаты всех изме-
измерений будут определены однозначно.
2) Свойства системы таковы, что при повторных экспери-
экспериментах наблюдаемые могут принимать различные значения, не-
независимо от числа и выбора условий эксперимента.
Разумеется, если имеет место 2), то недостаточность усло-
условий может лишь усугублять неоднозначность результатов экс-
экспериментов. Подробно 1) и 2) мы обсудим после того, как
научимся описывать состояния в классической и квантовой
механике.
Мы будем считать, что условия эксперимента определяют
состояние системы, если при многократном повторении опыта
при этих условиях возникают вероятностные распределения для
всех наблюдаемых. В этом случае мы будем говорить об изме-
измерении наблюдаемой f для системы, находящейся в состоянии ш.
Более точно: состояние ш на алгебре наблюдаемых % сопо-
сопоставляет каждой наблюдаемой / вероятностное распределение
ее возможных значений, т. е. меру на вещественной оси R.
Пусть f — наблюдаемая, Е — борелевское множество на ве-
вещественной оси R. Тогда определение состояния ш может быть
записано
U Е^щ(Е).
Напомним свойства вероятностей меры
0<cof(?)<l, ©f@) = O, cof(R)=l, A)
если Ei(]E2 = 0, то &f (?i U ?2) = ©f (E{) + щ (Е2).
Среди наблюдаемых могут встретиться функционально зави-
зависимые, поэтому необходимо наложить условие на вероятност-
вероятностные распределения таких наблюдаемых. Если наблюдаемая ф
есть функция от наблюдаемой f, ф = ф(^), то это утверждение
10

подразумевает, что измерение численного значения наблюдае-
наблюдаемой /, которое приводит к значению /0, одновременно является
измерением наблюдаемой ф и дает для нее численное значение
фо = ф(/о). Поэтому щ(Е) и «>cp(f)(?) связаны соотношением
B)
ф(/) ,
где ф~' (Е)—прообраз множества Е при отображении ф.
Выпуклая комбинация вероятностных мер
щ (Е) = acolf (?) + A - a) co2f (E), 0 < a < 1 C)
удовлетворяет свойствам A) для любой наблюдаемой / и соот-
соответствует состоянию, которое мы будем обозначать
со = ао)! + A — а) со2. D)
Таким образом, состояния образуют выпуклое множество.
Иногда выпуклую комбинацию D) состояний coi и сог называют
смесью этих состояний. Если для некоторого состояния со из
D) следует, что «м = «2 = со, будем говорить, что состояние со
не раскладывается в выпуклую комбинацию других состояний.
Такие состояния называются чистыми, все остальные — сме-
смешанными.
В качестве множества Е удобно выбирать интервал веще-
вещественной оси (—ооД]. По определению щ(%) = щ((—ооД])
и является функцией распределения наблюдаемой / в состоя-
состоянии со. Численно cof (Я) равна вероятности получить значение,
не превосходящее Я при измерении наблюдаемой / в состоя-
состоянии со. Из A) следует, что функция распределения со/(Я)—не-
со/(Я)—неубывающая функция Я, щ(—оо)=0, G>f( + °°)— 1.
Математическое ожидание (среднее значение) наблюдаемой
/ в состоянии со определяется формулой *
Заметим, что знание математических ожиданий для всех
наблюдаемых эквивалентно знанию вероятностных распреде-
распределений. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функ-
функцию от наблюдаемой 9 (Я — /), где 9(х)—функция Хевисайда:
Нетрудно понять, что
cof (Я) = (9 (Я -/)|со>. E)
* Обозначение (f|w) для среднего значения наблюдаемой не следует
путать с часто используемым в квантовой механике обозначением Дирака
для скалярного произведения векторов (<р|ч|>).
11

Потребуем выполнения следующих, естественных с физиче-
физической точки зрения условий для средних значений наблюдаемых:
1) <С|> С
) |>
2) <f-fte|<D> = </|<D> + *<?|<D>, F)
3) <РМ>^0.
Если такие требования введены, то реализация алгебры на-
наблюдаемых уже сама определяет способ описания состояний.
Действительно, среднее значение есть линейный положитель-
положительный функционал, определенный на алгебре наблюдаемых St.
Общая форма такого функционала:
</!<»>= \f(p, q)dna(p,q), G)
о*
где dHa (р, q) — дифференциал меры на фазовом пространстве,
а интеграл берется по всему фазовому пространству. Из усло-
условия 1) следует, что
\\ia(p, ?) = |ie(¦*)=!. (8)
Мы видим, что состояние в классической механике описы-
описывается заданием вероятностного распределения на фазовом
пространстве. Формулу G) можно переписать в виде
q)pa(p, q)dpdq, (9)
о*
т. е. мы приходим к обычному в статистической физике описа-
описанию состояния системы при помощи функции распределения
Ри(Р» q)< которая в общем случае является обобщенной поло-
положительной функцией. Условие нормировки функции распреде-
распределения имеет вид
\, q)dpdq=\. A0)
о*
В частности, легко видеть, что чистому состоянию соответ-
соответствует функция распределения
р(<7, p) = b(q — q0)б (р — р0), A1)
где б(х) — б-функция Дирака. Соответствующая мера на фазо-
фазовом пространстве сосредоточена в точке до, Ро, и чистое состоя-
состояние определяется заданием этой точки фазового пространства.
По этой причине фазовое пространство Ж иногда называют
пространством состояний. Среднее значение наблюдаемой /
в чистом состоянии <о
</И = /(<7о, Ро). A2)
12

Эта формула непосредственно следует из определения б-функ-
ции
/ (<?о, Ро) = \f (<?> P)b(q — <?о) б (р — po) dq dp. A3)
Обычно в курсах механики ограничиваются изучением чис-
чистых состояний, а смешанные состояния с функцией распреде-
распределения отличной от A1) рассматриваются в статистической
физике. Введение с самого начала в теорию смешанных состоя-
состояний оправдывается следующими обстоятельствами. Формули-
Формулировка классической механики на языке состояний и наблюдае-
наблюдаемых наиболее близка к формулировке квантовой механики
н позволяет единообразно описывать состояния механики
и статистической физики. Такая формулировка позволит нам
в дальнейшем детально проследить за предельным переходом
от квантовой механики к классической. Мы увидим, что в кван-
квантовой механике тоже существуют чистые и смешанные состоя-
состояния, причем при предельном переходе чистое квантовое состоя-
состояние может превращаться в смешанное классическое, поэтому
предельный переход проще всего описывается при единообраз-
единообразном рассмотрении чистых и смешанных состояний.
Выясним теперь физический смысл смешанных и чистых
состояний классической механики и найдем причину, по которой
результаты опытов необязательно определяются однозначно
условиями эксперимента.
Рассмотрим смесь состояний <»i и «2
со = аа>1 + A—а) «2, 0<а<1.
Для средних значений, очевидно, справедлива формула
A4)
Формулы A4) и C) допускают следующее толкование. Утверж-
Утверждение о том, что система находится в состоянии со, эквивалентно
утверждению, что система с вероятностью а находится в состоя-
состоянии о)! и с вероятностью A—а) в состоянии а>2. Заметим, что
такое толкование возможно, но не является необходимым.
Простейшее смешанное состояние является выпуклой ком-
комбинацией двух чистых
Р(<7, P) = o.b{q —
Возможны смеси п чистых состояний
Р(<7. Р)=?М(9 — qi)b{p — Pi), O|>0,
Зресь а,- может быть истолковано как вероятность реализации
чистого состояния, задаваемого точкой фазового пространства
qi, pi. Наконец, в общем случае для функции распределения
13

можно написать
Р (<?> Р) = \р (<7о, Ро) 6 (Я — Яо) 6 (р — Ро) с?^о rfpo-
Такая запись приводит к обычному в статистической физике
толкованию функции распределения: \p(q,p)dqdp есть ве-
Q
роятность обнаружить систему в чистом состоянии, изображае-
изображаемом точкой из области Q фазового пространства. Еще раз под-
подчеркнем, что в таком толковании нет необходимости, так как
чистые и смешанные состояния могут быть описаны в рамках
единого формализма.
Одной из важнейших характеристик вероятностного рас-
распределения является дисперсия
<(/-№»21<о> = <№>-</И2. A5)
Покажем, что смешивание состояний приводит к увеличению
дисперсии. Более точная формулировка этого утверждения со-
содержится в неравенствах
+ A-а)Д*/, A6)
,? + A — а) AajA^g, A7)
причем знаки равенства имеют место только при условии, что
средние значения наблюдаемых в состояниях «м и «2 совпа-
совпадают
В ослабленной форме A6) и A7) можно записать в виде
b*J>min(&lf, Ду), A8)
Acof Atog > min (AcJAto.g, АИ2/ДИ!^). A9)
При доказательстве используется элементарное неравенство
V(x) = a + {1— а)х2 — (а + A -а)хJ^0, —оо<х<оо, B0)
причем <рA) = 0, ф(х)>0 при хф\. B1)
Используя A4) и /20), имеем
— а)<Р1а>2> - [а
а (р |<d,> + A - а) </2 !со2> - а (f |со,J - A - а) </ |со2>2 =
14

Неравенство A6) доказано. Неравенство A7) является след-
следствием A6). Действительно,
- а) Д^д) >
/Д»^ + A - а) ДИ!/ДИ,?]2
Для чистых состояний
р (?, p) = b(q — q0) б (р — р0),
= /(<7о. Ро).
т. е. для чистых состояний классической механики дисперсия
равна нулю. Это значит, что для системы в чистом состоянии
результат измерения любой наблюдаемой определен одно-
однозначно. Состояние классической системы будет чистым, если
условия эксперимента фиксируют к моменту измерения значе-
значения всех обобщенных координат и импульсов. Ясно, что если
макроскопическое тело рассматривать как механическую си-
систему из N молекул, где N имеет обычно порядок 1023, то ника-
никакие условия реального физического эксперимента не фиксируют
значений q$ и р0 для всех молекул и описание такой системы
при помощи чистых состояний является бесполезным. Поэтому
в статистической физике изучаются смешанные состояния.
Подведем некоторые итоги. В классической механике суще-
существует бесконечное множество состояний системы (чистые со-
состояния), в которых все наблюдаемые имеют вполне опреде-
определенные значения. В реальных экспериментах с системами из
огромного числа частиц возникают смешанные состояния. Ра-
Разумеется, такие состояния возможны и в экспериментах с про-
простыми механическими системами. В этом случае теория дает
только вероятностные предсказания.
§ 3. Теорема Лиувилля
и две картины движения в классической механике
Этот раздел мы начнем с доказательства важной теоремы
Лиувилля. Пусть Q — некоторая область фазового простран-
пространства Jt. Обозначим через Q(^) образ этой области под дей-
действием фазового потока, т. е. множество точек Gi[i, цеО. Пусть
V(t) — объем области Q(t). Теорема Лиувилля утверждает, что
dV(t) __n
~df~ — ()-
Доказательство:
V(t)= \ ф=
\
15

Здесь через D(Gtii)/D(n) обозначен определитель Якоби пре-
преобразования Gt- Для доказательства теоремы достаточно пока-
показать, что
при всех t. При ^ = 0 равенство A) очевидно. Покажем теперь,
что
dt
При t = 0 формула B) проверяется непосредственно
d D(Gtv)
dt
= Г D {д, p) D {д, Р) 11 =
t=o L ?> (<7, р) * D (g, p) J |(«о
/ dq . d_
I Ял ' "р\
При t ф 0, дифференцируя тождество
D{\i)
по s и полагая s = 0, получим
d D (G^) \dD (G,GtV) I
Таким образом, равенство B) справедливо при всех t. Теорема
доказана.
Рассмотрим теперь эволюцию механической системы. Нас
интересует зависимость от времени средних значений наблю-
наблюдаемых </!«»>. Возможны два способа описания этой зависи-
зависимости или две картины движения. Мы начнем с формулировки
так называемой картины Гамильтона. В этой картине зависи-
зависимость от времени наблюдаемых определяется уравнением
A.15)*, а состояния от времени не зависят
dfj do
Среднее значение наблюдаемой / в состоянии со зависит от
времени по формуле
{ft И = \ ft (I*) P (|i) rf|i = \ / (GtV) p (|i) rfji C)
J J
или подробнее
</t I ®> = \ / (У (Qo> Po. t), p (ft, Po. t)) p (q0, po) dq0 dpQ. D)
м
* При ссылке на формулу из предыдущих параграфов номер соответ*
ствующего параграфа вводится перед номером формулы,
16

Напомним, что q(qo>PoJ) и p(qo,pv,t)—решения уравнений Га-
Гамильтона с начальными условиями q\t=0 — q0, р|(=0 = р0.
Для чистого состояния p(q, р) = 8(<7 — <7оN(р — р0), и из
формулы D) следует, что
</< И = /-(<? (<?о, Ро, t), P(qo> Po, 0).
Это обычная формула классической механики для зависимости
от времени наблюдаемой в чистом состоянии *. Из формулы D)
ясно, что состояние в картине Гамильтона определяет вероят-
вероятностное распределение начальных значений q и р.
Альтернативный способ описания движения получится, если
в C) сделать замену переменных Gtn-^ц. Тогда
м
¦м
Здесь использовано равенство A) и введено обозначение
р*(ц) = p(G-tn). Нетрудно понять, что рг(,и) удовлетворяет
уравнению
W = -{H'pi)' {5)
которое отличается от A.15) знаком перед скобкой Пуассона.
Вывод уравнения E) буквально повторяет вывод уравнения
A.15), а разница в знаке возникает за счет того, что G-t[i
удовлетворяет уравнениям Гамильтона с обращенным време-
временем. Картина движения, в которой зависимость от времени со-
состояний определяется уравнением E), а наблюдаемые от вре-
времени не зависят, называется картиной Лиувилля:
Уравнение E) называется .уравнением Лиувилля. Из самого
способа введения картины Лиувилля очевидно, что
Эта формула выражает эквивалентность двух картин движения.
Средние значения наблюдаемых зависят от времени одинаково,
а разница между картинами только в способе описания этой
зависимости. Заметим, что в статистической физике обычно
используется картина Лиувилля.
* В курсах механики обычно рассматриваются только чистые состояния.
При этом не делается различия между зависимостью от времени абстракт-
абстрактной наблюдаемой в картине Гамильтона и изменением ее среднего значения.
17

§ 4. Физические основы квантовой механики
Квантовая механика — это механика микромира. Явления,
которые она изучает, в основном лежат за пределами нашего
чувственного восприятия, поэтому не следует удивляться ка-
кажущейся парадоксальности законов, управляющих этими яв-
явлениями.
Основные законы квантовой механики не удается сформули-
сформулировать как логическое следствие результатов некоторой сово-
совокупности фундаментальных физических экспериментов. Иными
словами, до сих пор неизвестна формулировка квантовой меха-
механики, основанная на системе проверенных на опыте аксиом.
Более того, некоторые из основных положений квантовой меха-
механики принципиально не допускают опытной проверки. Наша
уверенность в справедливости квантовой механики основана на
том, что все физические результаты теории согласуются с экс-
экспериментом. Таким образом, на опыте проверяются только след-
следствия из основных положений квантовой механики, а не ее
основные законы. С этими обстоятельствами связаны, по-ви-
по-видимому, главные трудности, возникающие при первоначальном
изучении квантовой механики.
Такого же характера, но, очевидно, гораздо большие труд-
трудности стояли перед создателями квантовой механики. Экспери-
Эксперименты со всей определенностью указывали на существование
особых квантовых закономерностей в микромире, но ни в коей
мере не подсказывали форму квантовой теории. Этим можно
объяснить поистине драматическую историю создания кванто-
квантовой механики и, в частности, тот факт, что первоначальные
формулировки квантовой механики носили чисто рецептурный
характер. Они содержали некоторые правила, позволяющие вы-
вычислять измеряемые на опыте величины, а физическое истолко-
истолкование теории появилось после того, как в основном был создан
ее математический формализм.
При построении квантовой механики в настоящем курсе мы
не будем следовать историческому пути. Мы очень коротко
опишем ряд физических явлений, попытки объяснить которые
на основе законов классической физики приводили к непреодо-
непреодолимым трудностям. Далее мы попытаемся выяснить, какие
черты описанной в предыдущих параграфах схемы классиче-
классической механики должны сохраниться в механике микромира и от
чего можно и нужно отказаться. Мы увидим, что отказ только
от одного утверждения классической механики, а именно от
утверждения, что наблюдаемые есть функции на фазовом про-
пространстве, позволит построить схему механики, описывающую
системы с поведением, существенно отличным от классического.
Наконец, в последующих параграфах мы убедимся, что по-
построенная теория является более общей, чем классическая ме-
механика, и содержит последнюю как предельный случай,
18

Исторически первая квантовая гипотеза была выдвинута
Планком в 1900 г. в связи с теорией равновесного излучения.
Планку удалось получить согласующуюся с опытом формулу
для спектрального распределения энергии теплового излучения,
выдвинув предположение о том, что электромагнитное излуче-
излучение испускается и поглощается дискретными порциями — кван-
квантами, энергия которых пропорциональна частоте излучения
? = /ко, A)
где со = 2nv, v — частота колебаний в световой волне, a h =
= 1,05 X Ю~27 эрг-с — постоянная Планка*.
Гипотеза Планка о световых квантах позволила Эйнштейну
дать чрезвычайно простое объяснение закономерностей фотоэф-
фотоэффекта A905 г.). Явление фотоэффекта состоит в том, что под
действием светового потока из металла выбиваются электроны.
Основная задача теории фотоэффекта — найти зависимость
энергии выбиваемых электронов от характеристик светового по-
потока. Пусть V — работа, которую нужно затратить на выбива-
выбивание электрона из металла (работа выхода). Тогда закон сохра-
сохранения энергии приводит к соотношению
где Т — кинетическая энергия выбитого электрона. Мы видим,
что эта энергия линейно зависит от частоты и не зависит от
интенсивности светового потока. Кроме того, при частоте
со < V/h (красная граница фотоэффекта) явление фотоэффекта
становится невозможным, так как Т ^ 0. Эти выводы, основан-
основанные на гипотезе о световых квантах, полностью согласуются
с опытом. В то же время по классической теории энергия вы-
вырванных электронов должна зависеть от интенсивности свето-
световых волн, что противоречит результатам экспериментов.
Эйнштейн дополнил представление о световых квантах,
введя импульс светового кванта по формуле
р = Ак. B)
Здесь к — так называемый волновой вектор, имеющий направ-
направление распространения световых волн; длина этого вектора k
связана с длиной волны Я, частотой со и скоростью света с со-
соотношениями
Для световых квантов справедлива формула
* В старой литературе формула A) часто записывается в виде Е = hv,
постоянная h, входящая в последнюю формулу, очевидно, отличается от h
формулы A) множителем 2п.
19

являющаяся частным случаем формулы теории относительности
для частицы с массой покоя т = 0.
Заметим, что исторически первые квантовые гипотезы отно-
относились к законам излучения и поглощения световых волн, т. е.
к электродинамике, а не к механике. Однако вскоре стало ясно,
что не только для электромагнитного излучения, но и для
атомных систем характерна дискретность значений ряда физи-
физических величин. Опыты Франка и Герца A913 г.) показали, что
при столкновениях электронов с атомами энергия электронов
изменяется дискретными порциями. Результаты этих опытов
можно объяснить тем, что энергия атомов может иметь только
определенные дискретные значения. Позднее, в 1922 г. опыты
Штерна и Герлаха показали, что аналогичным свойством обла-
обладает проекция момента количества движения атомных систем
на некоторое направление. В настоящее время хорошо известно,
что дискретность значений ряда наблюдаемых хотя и харак-
характерная, но не обязательная черта систем микромира. Так, на-
например, энергия электрона в атоме водорода имеет дискретные
значения, а энергия свободно движущегося электрона может
принимать любые положительные значения. Математический
аппарат квантовой механики должен быть приспособлен к опи-
описанию наблюдаемых, принимающих как дискретные, так и не-
непрерывные значения.
В 1911 г. Резерфордом было открыто атомное ядро и пред-
предложена планетарная модель атома (опыты Резерфорда по рас-
рассеянию а-частиц на образцах из различных элементов пока-
показали, что атом имеет положительно заряженное ядро, заряд
которого равен Ze,rjieZ — номер элемента в таблице Менделеева,
а —е — заряд электрона, размеры ядра не превышают 10~12см;
сами атомы имеют линейные размеры порядка Ю-8 см). Пла-
Планетарная модель атома противоречит основным положениям
классической электродинамики. Действительно, двигаясь во-
вокруг ядра по классическим орбитам, электроны, как всякие
ускоренно движущиеся заряды, должны излучать электромаг-
электромагнитные волны. При этом электроны должны терять свою энер-
энергию и в конце концов упасть на ядро. Поэтому такой атом не
может быть устойчивым, что, конечно, не соответствует дей-
действительности. Одна из основных задач квантовой механики —
объяснить устойчивость и описать структуру атомов и молекул
как систем, состоящих из положительно заряженных ядер
и электронов.
Совершенно удивительным с точки зрения классической ме-
механики представляется явление дифракции микрочастиц. Это
явление было предсказано де Бройлем в 1924 г., который пред-
предположил, что свободно движущейся частице с импульсом р
20

и энергией Е в каком-то смысле соответствует волна с волно-
волновым вектором к и частотой ю, причем
т. е. соотношения A) и B) справедливы не только для свето-
световых квантов, но и для частиц. Физическое истолкование волн
де Бройля было дано позднее Борном, и мы его пока обсуж-
обсуждать не будем. Если движущейся частице соответствует волна,
то независимо от того, какой точный смысл вкладывается в эти
слова, естественно ожидать, что это проявится в существовании
дифракционных явлений для частиц. Впервые дифракция элек-
электронов наблюдалась в опытах Девиссона и Джермера в 1927 г.
Впоследствии явления дифракции наблюдались и для других
частиц.
У
L±_
hi
Рис. 1.
Покажем, что дифракционные явления несовместимы
с классическими представлениями о движении частиц по траек-
траекториям. Рассуждение удобнее всего провести на примере мыс-
мысленного эксперимента по дифракции пучка электронов на двух
щелях*, схема которого изображена на рис. 1. Пусть электроны
от источника А двигаются к экрану Б и, проходя через щели /
и // в нем, попадают на экран В.
Нас интересует распределение электронов по координате у,
попадающих на экран В. Явления дифракции на одной и двух
щелях хорошо изучены, и мы можем утверждать, что распре-
распределение электронов р(у) имеет вид а, изображенный на рис. 2,
если открыта только первая щель, вид б (рис. 2), — если от-
открыта вторая и вид в, — если открыты обе щели. Если предпо-
предположить, что каждый электрон двигался по определенной клас-
классической траектории, то все электроны, попавшие на экран В,
можно разбить на две группы в зависимости от того, через
какую щель они прошли. Для электронов первой группы со-
совершенно безразлично, открыта ли вторая щель, и поэтому их
* Такой эксперимент является мысленным, так длина волны электронов
при энергиях, удобных для дифракционных опытов, не превышает 10~7 см,
а расстояние между щелями должно иметь тот же порядок. В реальных
экспериментах наблюдается дифракция на кристаллах, которые как бы яв-
являются природными дифракционными решетками.
21

распределение на экране должно изображаться кривой а; ана-
аналогично электроны второй группы должны иметь распределе-
распределение б. Поэтому в случае, когда открыты обе щели, на экране
должно получиться распределение, являющееся суммой распре-
распределений а и б. Такая сумма распределений не имеет ничего
общего с интерференционной картиной в. Это противоречие
показывает, что разделение электронов на группы по тому при-
признаку, через какую щель они прошли, в условиях описанного
эксперимента невозможно, а значит, мы вынуждены отказаться
от понятия траектории.
Сразу же возникает вопрос, а можно ли так поставить экс-
эксперимент, чтобы выяснить, через какую щель проходил элек-
электрон. Разумеется, такая постановка эксперимента возможна,
fly)
г
9 (У)
Рис. 2.
для этого достаточно поместить источник света между экра-
экранами Б и В и наблюдать рассеяние световых квантов на
электронах. Для того чтобы добиться достаточного разрешения,
мы должны использовать кванты с длиной волны, по порядку
не превосходящей расстояния между щелями, т. е. с достаточно
большой энергией и импульсом. Наблюдая кванты, рассеянные
на электронах, мы действительно сможем определить, через
какую щель прошел электрон. Однако взаимодействие квантов
с электронами вызовет неконтролируемое изменение их импуль-
импульсов, а следовательно, распределение электронов, попавших на
экран, должно измениться. Таким образом, мы приходим к вы-
выводу, что ответить на вопрос, через какую щель прошел элек-
электрон, можно только за счет изменения как условий, так и окон-
окончательного результата эксперимента.
На этом примере мы сталкиваемся со следующей общей осо-
особенностью поведения квантовых систем. Экспериментатор не
имеет возможности следить за ходом эксперимента, так как это
приводит к изменению его окончательного результата. Эта
особенность квантового поведения тесно связана с особенно-
особенностями измерений в микромире. Всякое измерение возможно
только при взаимодействии системы с измерительным прибо-
прибором. Это взаимодействие приводит к возмущению движения
системы. В классической физике всегда предполагается, что
22

это возмущение может быть сделано сколь угодно малым, так
же как и длительность процесса измерения. Поэтому всегда
возможно одновременное измерение любого числа наблю-
наблюдаемых.
Детальный анализ процесса измерения некоторых наблю-
наблюдаемых для микросистем, который можно найти во многих
учебниках по квантовой механике, показывает, что с увеличе-
увеличением точности измерения наблюдаемых воздействие на систему
увеличивается и измерение вносит неконтролируемые изменения
в численные значения некоторых других наблюдаемых. Это
приводит к тому, что одновременное точное измерение некото-
некоторых наблюдаемых становится принципиально невозможным.
Например, если для измерения координаты частицы использо-
использовать рассеяние световых квантов, то погрешность такого изме-
измерения имеет порядок длины волны света Ах ~ К. Повысить точ-
точность измерения можно, выбирая кванты с меньшей длиной
волны, а следовательно, с большим импульсом р = 2nhjl. При
этом в численные значения импульса частицы вносится неконт-
неконтролируемое изменение Ар порядка импульса кванта. Поэтому
погрешности измерения координаты и импульса Ах и Ар свя-
связаны соотношением
Ах Ар ~ 2nh.
Более точное рассуждение показывает, что это соотношение
связывает только одноименные координату и проекцию им-
импульса. Соотношения, связывающие принципиально возможную
точность одновременного измерения двух наблюдаемых, назы-
называются соотношениями неопределенности Гейзенберга. В точ-
точной формулировке они будут получены в следующих парагра-
параграфах. Наблюдаемые, на которые соотношения неопределенности
не накладывают никаких ограничений, являются одновременно
измеримыми. Мы увидим в дальнейшем, что одновременно
измеримыми являются декартовы координаты частицы или
проекции импульса, а неизмеримыми одновременно — одно-
одноименные координаты и проекция импульса или две декартовы
проекции момента количества движения. При построении кван-
квантовой механики мы должны помнить о возможности существо-
существования неизмеримых одновременно величин.
Теперь после небольшого физического вступления попы-
попытаемся ответить на уже поставленный вопрос: какие особенности
классической механики следует сохранить и от чего естественно
отказаться при построении механики микромира. Основными
понятиями классической механики были понятия наблюдаемой
и состояния. Задача физической теории—предсказание резуль-
результатов экспериментов, а эксперимент всегда есть измерение не-
некоторой характеристики системы или наблюдаемой при опре-
определенных условиях, которые определяют состояние системы.
Поэтому понятия наблюдаемой и состояния должны появиться
23

в любой физической теории. С точки зрения экспериментатора
определить наблюдаемую — значит задать способ ее измере-
измерения. Наблюдаемые мы будем обозначать символами а, Ь, с, ...
и пока не будем делать никаких предположений об их матема-
математической природе (напомним, что в классической механике
наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве). Множе-
Множество наблюдаемых, как и прежде, мы будем обозначать
через 31.
Разумно предположить, что условия эксперимента опреде-
определяют по крайней мере вероятностные распределения результа-
результатов измерения всех наблюдаемых, поэтому определение состоя-
состояния, данное в § 2, разумно сохранить. Состояния по-прежнему
мы будем обозначать через ю, соответствующую наблюдаемой а
вероятностную меру на действительной оси через а>а{Е), функ-
функцию распределения наблюдаемой а в состоянии ю через (оа(Я)
и, наконец, среднее значение наблюдаемой а в состоянии ю че-
через <ю]а>.
Теория должна содержать определение функции от наблю-
наблюдаемой. Для экспериментатора утверждение, что наблюдае-
наблюдаемая Ь есть функция от наблюдаемой a (b = f(a)) означает,
что для измерения Ь достаточно измерить а, и, если в результате
измерения наблюдаемой а получится число ао, то численное
значение наблюдаемой Ь есть bo — f(ao). Для соответствующих
а и f(a) вероятностных мер справедливо равенство
D)
для любых состояний (о.
Заметим, что всевозможные функции от одной наблюдае-
наблюдаемой а измеримы одновременно, так как для измерения этих
наблюдаемых достаточно измерить наблюдаемую а. В дальней-
дальнейшем мы увидим, что в квантовой механике этим примером
исчерпываются случаи одновременной измеримости наблюдае-
наблюдаемых, т. е. если наблюдаемые Ь\, Ь% ... измеримы одновременно,
то найдется такая наблюдаемая а и такие функции Д, /2, ••.,
что Ь\ = f\(a), b2 = f2(a)
Среди множества функций f(a) наблюдаемой а, очевидно,
определены f(a) = ka и /(а) = const, где Я — вещественное
число. Существование первой из этих функций показывает, что
наблюдаемые можно умножать на вещественные числа. Утверж-
Утверждение, что наблюдаемая есть константа подразумевает, что ее
численное значение в любом состоянии совпадает с этой кон-
константой.
Попытаемся теперь выяснить, какой смысл можно придать
сумме а + Ь и произведению ab наблюдаемых. Эти операции
были бы определены, если бы у нас было определение функции
от двух наблюдаемых f(a,b). Здесь, однако, возникают прин-
принципиальные трудности, связанные с возможностью существо-
существования неизмеримых одновременно наблюдаемых. Если а и Ь
24

измеримы одновременно, то определение f(a, Ь) совершенно
аналогично определению [(а). Для измерения наблюдаемой
f(a,b) достаточно измерить наблюдаемые а и Ь, и такое изме-
измерение приведет к численному значению f(ao,bo), где а0 и b0 —
численные значения наблюдаемых а и Ь соответственно. Для
случая неизмеримых одновременно наблюдаемых а и Ь не су-
существует никакого разумного определения функции f(a,b). Это
обстоятельство заставляет нас отказаться от предположения,
что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве
f(q,p), так как у нас есть физические основания считать q и р
неизмеримыми одновременно и искать наблюдаемые среди ма-
математических объектов иной природы.
Мы видим, что определить сумму а -\- Ь и произведение ab,
используя понятие функции от двух наблюдаемых, можно
только в том случае, если они одновременно измеримы. Однако
возможен другой подход, позволяющий ввести сумму в общем
случае. Мы знаем, что вся информация о состояниях и наблю-
наблюдаемых получается в результате измерений, поэтому разумно
предположить, что состояний достаточно много, чтобы по ним
можно было различать наблюдаемые, и аналогично наблюдае-
наблюдаемых достаточно много, чтобы по ним можно было различать
состояния.
Более точно мы предполагаем, что из равенства
справедливого для любого состояния ю, следует, что наблюдае-
наблюдаемые а и Ь совпадают *, а из равенства
справедливого для любой наблюдаемой а, следует, что совпа-
совпадают СОСТОЯНИЯ (Oi И @2.
Первое из сделанных предположений дает возможность
определить сумму наблюдаемых а-\-Ь как такую наблюдае-
наблюдаемую, для которой справедливо равенство
<a + 6|<o) = <a|<o) + <6|(o> E)
при любом состоянии (о. Сразу заметим, что это равенство
является выражением известной теоремы теории вероятностей
о среднем значении суммы только в случае, когда наблюдае-
наблюдаемые а и Ь имеют общую функцию распределения. Такая общая
функция распределения может существовать (и в квантовой
механике действительно существует) только для одновременно
измеримых величин. В этом случае определение суммы по фор-
формуле E) совпадает со сделанным прежде. Аналогичное опре-
определение произведения невозможно, так как среднее от произ-
* Это предположение позволяет считать, что наблюдаемая задана, если
каждому состоянию сопоставлено вещественное число,
25

ведения не равно произведению средних даже для одновре-
одновременно измеримых наблюдаемых.
Определение суммы E) не содержит никакого указания на
способ измерения наблюдаемой а + Ь по известным способам
измерения наблюдаемых а и Ь и в этом смысле является не-
неявным.
Чтобы дать представление о том, насколько понятие суммы
наблюдаемых может отличаться от обычного понятия суммы
случайных величин, мы приведем пример наблюдаемой, которая
будет подробно изучена в дальнейшем. Пусть
Н — — 4- ——
" 2^2"
Наблюдаемая Н (энергия одномерного гармонического осцил-
осциллятора) есть сумма двух наблюдаемых, пропорциональных квад-
квадратам импульса и координаты. Мы увидим, что эти последние
наблюдаемые могут принимать любые неотрицательные чис-
численные значения, в то время как значения наблюдаемой Н
должны совпадать с числами ?л= (п+1/2)ю, где п = 0, 1,2,...,
т. е. наблюдаемая Н с дискретными численными значениями
является суммой наблюдаемых с непрерывными значениями.
Таким образом, на множестве наблюдаемых 31 определены
две операции: умножение на вещественные числа и сложение;
тем самым множество 31 становится линейным пространством.
Поскольку на 31 определены вещественные функции и, в част-
частности, квадрат наблюдаемой, то возникает естественное опре-
определение произведения наблюдаемых
а о b = ¦
Отметим, что произведение а ° Ъ коммутативно, но, вообще го-
говоря, не ассоциативно. Введение произведения а о Ь превращает
множество наблюдаемых 31 в вещественную коммутативную
алгебру.
Вспомним, что алгебра наблюдаемых классической меха-
механики содержала еще лиевскую операцию — скобка Пуассона
{f,g}. Эта операция появилась в связи с динамикой системы.
С введением такой операции каждая наблюдаемая Н порож-
порождает семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых:
где Uif = ft; ft удовлетворяет уравнению
и начальному условию
Напомним, что отображение Ut является автоморфизмом
вследствие того, что скобка Пуассона обладает свойствами
26

лиевской операции. Тот факт, что наблюдаемые в классической
механике являются функциями на фазовом пространстве, здесь
роли не играет. Мы предположим, что и алгебра наблюдаемых
квантовой механики имеет лиевскую операцию, т. е. каждой
паре наблюдаемых а, Ъ сопоставляется наблюдаемая {а, Ь) со
свойствами:
{а, Ь} = - {Ь, а},
{ка + b, с) = \{а, с) -\-{Ь, с],
{а, Ь о с} = {а, Ь) о с + Ь ° {а, с},
{а, {Ь, с}} + {Ь, {с, а}} + {с, {а, Ь}} = 0.
Кроме того, предположим, что связь лиевской операции с ди-
динамикой в квантовой механике такая же, как и в классической.
Трудно представить более простой и красивый способ описа-
описания динамики, кроме того, однотипное описание динамики
в классической и квантовой механике позволяет надеяться на
то, что мы построим теорию, содержащую классическую меха-
механику как предельный случай.
Фактически все наши предположения сводятся к тому, что
при построении квантовой механики разумно сохранить струк-
структуру алгебры наблюдаемых классической механики, но следует
отказаться от реализации этой алгебры функциями на фазовом
пространстве, так как мы допускаем существование неизмери-
неизмеримых одновременно наблюдаемых.
Наша ближайшая задача — убедиться в том, что существует
реализация алгебры наблюдаемых, отличная от реализации
классической механики. В следующем параграфе мы приведем
пример такой реализации, построив конечномерную модель
квантовой механики. В этой модели алгебра наблюдаемых 31
есть алгебра самосопряженных операторов в n-мерном ком-
комплексном пространстве С". Изучая эту упрощенную модель, мы
сумеем проследить за основными особенностями квантовой тео-
теории. В то же время, дав физическое толкование построенной
модели, мы увидим, что она слишком бедна, чтобы соответство-
соответствовать действительности. Поэтому конечномерную модель нельзя
рассматривать как окончательный вариант квантовой механики.
Однако усовершенствование этой модели — замена С" на ком-
комплексное гильбертово пространство будет представляться
весьма естественным.
§ 5. Конечномерная модель квантовой механики
Покажем, что алгебра наблюдаемых 31 может быть реализо-
реализована как алгебра самосопряженных операторов в конечномер-
конечномерном комплексном пространстве С".
Векторы пространства С" будем обозначать .греческими бук-
буквами 1, ц, <р, if>, ... . Напомним основные свойства скалярного
27

произведения:
О (i, ч>) = Сф71),
2) (I + М, Ф) = (?, Ф) + я. (л, Ф), A)
3) (|, 6) > 0 при \ф 0.
Здесь Я, — комплексное число.
Векторы е\ еп образуют ортонормированный * базис
в С", если
(ei, e,) = bth B)
где б,/ — символ Кронекера.
Разложение произвольного вектора | по векторам базиса
е\, ..., е„ имеет вид
l=?liet, limited. C)
Вектор | однозначно определяется числами ?i, ..., %п
g**(Sl In)-
Если выбран базис, то тем самым выбрана конкретная реали-
реализация для векторов или задано представление. Пусть еь ...
..., еп — базис, тогда векторы
fUtkek, f=l, 2 п D)
тоже образуют базис, если матрица U = {Utk} обратима и
E)
Матрица, для элементов которой справедливо равенство E), на-
называется унитарной. Переход от одного базиса к другому есть
унитарное преобразование.
Если выбрано представление, то для скалярного произведем
ния справедлива формула
A. r\)=ttir\i- F)
Операторы в заданном базисе представляются матрицами
A++{Aik}, Atk = {Aek, e,). G)
Действительно, пустьг)=Л?, тогдац{ — (Al,'e{) — [ А ? \kek, et )—
\ /г = 1 /
п п
^= И 1к(Авь, ei)*=Yj Aik%k. Оператор А* называется сопряжен-
k—\ k-l
* В дальнейшем слово «ортонормированный» мы часто будем опускать,
так как другие базисы мы ие рассматриваем.
18

ным оператору А, если для любой пары векторов ?, и г\ спра-
справедливо равенство
(At, л) = (S, А\). (8)
Очевидно, что Аш = Аы- Оператор называется самосопряжен-
самосопряженным, если А* = А. Для самосопряженного оператора Л;* =
= Aki. Непосредственно из определения сопряженного опера-
оператора следуют равенства
(ЛЯ)* = В* А*, (аАУ = аА\ (9)
где а — комплексное число.
Построим реализацию алгебры наблюдаемых. Пусть 91 —
множество самосопряженных операторов в С". В дальнейшем
самосопряженные операторы мы часто будем называть наблю-
наблюдаемыми. На множестве операторов обычным образом опре-
определены операции сложения и умножения на число. Если Лей,
В<=Я, ieR, то (Л + В)еЯ и ЯАеЕ$, так как (Л + ?)* =
= А -}- В и (ЯЛ)* = КА. Естественно эти операции считать опе-
операциями сложения наблюдаемых и умножения на число.
Следующая наша задача — научиться строить функции от
наблюдаемых. Можно предположить, что здесь годится обычное
определение функции от оператора. Это предположение мы
сможем оправдать после того, как научимся строить вероятно-
вероятностные распределения для наблюдаемых в квантовой механике.
Тогда мы сумеем проверить формулу af(A)(E) = ю^(f-1 (Я)), эк-
эквивалентную общему определению функции от наблюдаемой,
данному в предыдущем параграфе.
Напомним, что существует несколько эквивалентных опре-
определений функции от оператора. Если для f(x) на всей веще-
вещественной оси справедливо разложение в степенной ряд
то f(A) определяется формулой
л=0
(Ю)
A1)
Второе определение использует существование у самосопря-
самосопряженных операторов собственного базиса *
t = 1 п.
* Напомним, что собственные числа самосопряженного оператора веще-
вещественны, а собственные векторы, соответствующие разным собственным зна-
значениям, ортогональны. Если собственное значение имеет кратность г, то ему
соответствует г линейно-независимых собственных векторов, которые всегда
можно выбрать ортонормированными.
29

Здесь ф,- — собственные векторы, (ф/, ф/) = 6,-/, а а,- — собствен-
собственные значения оператора Л. Для определения линейного опера-
оператора /(Л) достаточно определить результат действия f(A) на
векторы базиса. По определению
HA)<pt = f(ai)<t{. A2)
В собственном базисе матрица А диагональна, и на диаго-
диагонали стоят собственные значения, т. е. Ац = а(б,,-. В этом же
представлении [f(A)]tj = f(atNti. Заметим, что вещественной
функции соответствует самосопряженный оператор,-т. е. ДЛ)е
el
Операция А°В определяется формулой D.6), которая для
самосопряженных операторов имеет вид
Самосопряженность оператора А°В очевидна.
Нам осталось построить лиевскую операцию. Для этого рас-
рассмотрим коммутатор операторов А и В [А,В] = АВ — ВА. Опе-
Операция [АВ] обладает следующими свойствами:
1) [АВ] = -[В,А],
2) [А + \В,С] = [АС] + Ь[В,С\,
3) [Л, В с С] = [А, В] о С + В о [Л, С], ( '
4) [Л, [В, С]] + [В, [С, А]} + [С, [А, В]} = 0.
Все эти свойства проверяются непосредственным вычислением.
Заметим, что свойство 3) справедливо и для несимметризован-
ного произведения. Действительно,
[Л, ВС] = ABC — ВС А + ВАС — ВАС = [Л, В] С + В [А, С].
Мы видим, что коммутатор обладает свойствами лиевской опе-
операции, но [Л, Б] не является самосопряженным оператором,
т. е. [А,В]шк. Однако выражение (i/h)[A,B], которое отли-
отличается от коммутатора чисто мнимым множителем i/n, удовле-
удовлетворяет всем требованиям. Отметим, что алгебры 31, построенные
с разными постоянными h, неизоморфны друг другу. Выбор h
может быть сделан только после сравнения теории с экспери-
экспериментом. Это сравнение показывает, что константа h совпадает
с постоянной Планка. В дальнейшем мы будем использовать
обозначение
{Л, B)h={[A, В] A5)
и называть {A,B}h квантовой скобкой Пуассона.
30

Интересно отметить, что в классической механике мы могли
бы вместо
(f д) — d/ dg df dg
Xh g) dp dq dq dp
определить скобку Пуассона равенством
»' ё> а\др dq dq dp
где а — вещественная постоянная. Нетрудно видеть, однако, что
новое определение скобки Пуассона в классической механике
приведет к алгебре изоморфной исходной. Действительно, заме-
замена переменных р = д/l а I p'> Q = sign а д/l а I Я возвращает нас к
старому определению.
Важную роль в квантовой механике играет след оператора
ТгЛ. По определению
п п
ТгД=?л„ = ?(Де„ et).
Напомним основные свойства этой операции. След не зависит
от выбора базиса. В частности, если взять собственный базис
оператора А, то
п.
Тг А = Z аь
т. е. след является суммой собственных чисел. Если а; — крат-
кратное собственное значение, то оно входит слагаемым в сумму
столько раз, какова его кратность.
След произведения двух операторов не зависит от порядка
сомножителей
В случае большего числа сомножителей допустима их цикли-
циклическая перестановка под знаком Тг
Тг ABC = Tr ВС А.
След самосопряженной матрицы — вещественное число, так как
собственные значения ее вещественны.
§ 6. Состояния в квантовой механике
В этом параграфе мы покажем, как задаются состояния
в квантовой механике. Напомним, что мы сохранили определе-
определение состояния, приведенное в § 2. Там же было показано, что
задание вероятностных распределений эквивалентно заданию
средних значений для всех наблюдаемых. Рассуждения, кото-
которые привели нас к этому результату, сохраняют свою силу
31

и в квантовой механике, так как они не использовали конкрет-
конкретной реализации алгебры наблюдаемых классической механики.
Задать состояние — это значит задать функционал <с»|Л> на
алгебре наблюдаемых 31 со следующими свойствами:
2) <Л2|<о>>0,
3) <С|о> = С, [)
4) (А\о) = (А\е>).
Свойство 1) мы уже обсуждали. Свойство 2) выражает тот
факт, что для наблюдаемой Л2, которая по своему смыслу не-
неотрицательна, среднее значение не может быть отрицательным
числом. Свойство 3) утверждает, что среднее значение наблю-
наблюдаемой С в любом состоянии совпадает с этой константой. На-
Наконец, по свойству 4) средние значения вещественны. Таким
образом, состояние в квантовой механике есть положительный,
линейный функционал на алгебре самосопряженных операто-
операторов 31. Общая форма такого функционала
<Л|а>> = ТгМЛ, B)
где М— оператор в С", удовлетворяющий условиям:
1) АР = М,
2) (М1,1)>0, C)
3) ТгМ=1.
Оператор М называется матрицей плотности и играет в кван-
квантовой механике ту же роль, что и функция распределения
р(<7, р) в классической.
Покажем, что свойства матрицы плотности — следствие
сформулированных выше свойств функционала усреднения
<Л|©>. Действительно, из вещественности функционала <Л|а>>
следует
= Z AkiMh = 7r AM* = Tr AM.
i, k=\
Полагая X = Ai-\-iA2, где At и A% — самосопряженные опера*
торы, получаем из последнего равенства
Тг ХМ = Тг ХМ\
где X—произвольный оператор в С". Из произвольности one»
ратора X сразу следует свойство 1).
Теперь используем положительность функционала <Л|а)>
32

Положим А = Рл, где Рл.— оператор проектирования на нор-
нормированный вектор ц (НцН = 1),
Для вычисления следа удобен любой базис, в котором первый
базисный вектор совпадает с ц (ei = t\,e2,...,en), тогда
Тг Р2ЦМ = Тг РпМ = (Мг\, л) > 0.
Мы видим, что положительность матрицы плотности является
необходимым условием для положительности функционала
<Л|ы>. Достаточность проверяется следующим образом:
п п
Тг А2М = Тг AM А = X (AMAeh et) = Е (Л1Лв„ Aet) > 0,
так как каждое слагаемое под знаком суммы неотрицательно.
Наконец, условие нормировки матрицы плотности TrM= J
сразу следует из свойства 3) функционала.
Таким образом, мы показали, что состояния в квантовой
механике описываются положительными самосопряженными
операторами со следом, равным единице. (Напомним, что
в классической механике состояние задается неотрицательной
функцией p(q,p), нормированной условием \p(g, p)dqdp= l.J
Любой оператор М со свойствами A8) описывает некото»
рое состояние системы, т. е. между множеством состояний
н множеством матриц плотности М существует взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие
со -«->¦ М.
Если Mi и Mi — операторы со свойствами C), то очевидно, что
их выпуклая комбинация
M = aMi + (l — a)M2, 0<а<1
также обладает этими свойствами и, следовательно, соответ-
соответствует некоторому состоянию
со = асо, + A — а) со2.
Мы видим, что множество состояний в квантовой механике яв-
является выпуклым.
Всем требованиям к матрице плотности удовлетворяет одно-
одномерный проектор Рф, (||i|)|| = 1). Действительно,
2) (Р«?, I) = (Е, Ю (*, ?) = I (I, *) Р > 0,
3) Тг Р^ = (-Ф, -ф) = 1.
В конце параграфа мы покажем, что состояние Рф не рас-
раскладывается в выпуклую комбинацию других состояний, т. е.
2 Зак. 330 33

является чистым. (Напомним, что в классической механике
чистое состояние имеет функцию распределения p(q,p)=
= 6(<7 — <?оN(р — Ро)-) Заметим, что чистое состояние опреде-
определяется заданием вектора т!р, однако между чистыми состоя-
состояниями и векторами нет взаимно-однозначного соответствия, так
как если г|/ отличается от т!р численным множителем по модулю
равным единице, то Р^' = Р^,. Таким образом, чистому состоя-
состоянию соответствует класс нормированных на единицу векторов,
отличающихся друг от друга множителем eia, где aeR.
Вектор т!р обычно называют вектором состояния, а простран-
пространство, в котором действуют самосопряженные операторы (на-
(наблюдаемые), пространством состояний. Пока в качестве прост-
пространства состояний мы взяли пространство С".
Покажем, что любое состояние в квантовой механике яв-
является выпуклой комбинацией чистых состояний. Для этого
заметим, что М, как всякий самосопряженный оператор, имеет
собственный базис
Разложим произвольный вектор % по этому базису и подей-
подействуем на него оператором М,
п
I = ? (I. Фг) Ф»>
В силу произвольности |
D)
Все числа ц; неотрицательны, так как они являются собствен-
собственными значениями положительного оператора. Кроме того,
^1 = 1 и, следовательно, состояние М действи-
действительно является выпуклой комбинацией чистых состояний Рф..
Для среднего значения наблюдаемой в чистом состоянии
<j>*r-*Pq формула B) принимает вид
(Л |ю> = (Л1|>,1|>), || ф 11=1. E)
Для случая смешанного состояния оо-«-*М== Х^'^ф* имеем
<ЛИ=ЕМЛф,->Ф;)- F)
34

Эта формула показывает, что так же как и в классической
механике, утверждение о том, что система находится в сме-
смешанном состоянии М = ]Г"_ цгРф равносильно утверждению,
что система с вероятностями \ц, i=l, ..., п находится в чис-
чистых состояниях Рф .
В заключение этого параграфа докажем, что состояние, опи-
описываемое матрицей плотности М = Р^, является чистым. Нам
нужно показать, что из равенства
Pt = aAf, + (l-a)Afs, 0<а<1 G)
следует, что Mi — М2 = Р^.
При доказательстве используем, что для положительного
оператора А и произвольных векторов ф и| справедливо нера-
неравенство
| (ЛФ, -ф) Р< (ЛФ, Ф) (Л-ф, -ф). (8)
Из (8) следует, что Л<р = 0, если (Ац>, <р) = 0. (Неравенство (8)
есть условие положительности формы Эрмита: (А (дар + Ьг|з),
Щ + 6г|)) = (Л<р, q>)aa + (Aq>, г|з)а& + (Лг|э, q>)ab + (Aty, $)bb ^ 0,
где а и Ь — комплексные числа.)
Обозначим через Ж\ подпространство, ортогональное век-
вектору г|), тогдаР^,ф = 0, если (ре^|, Используя положительность
операторов М\ и М2 и G), имеем
0 < a (Af ,ф, Ф) < а (Af ,ф, ф) + A - а) (AJ-Ф, ф) = (Р+ф, ф) = 0,
т. е. М[ф = 0. Используя самосопряженность Mi, получим для
произвольного вектора |
(М,ф, © = (ф, Мх%) = 0, ф е Жи
поэтому Mil = С|г|з и, в частности М[г|з = C^ty. Здесь С| — кон-
константа, зависящая от вектора %. Произвольный вектор g можно
представить в виде
I = (Е, Ф) * + Ф, Ф s 5»„
поэтому MiE = C^P^, т. е. Mt = C^P,j,. Наконец, из условия
Тг М, = 1 получаем, что С^=\, следовательно, Mi — Рф и
М2 = Р^.
Можно проверить и обратное утверждение. Если состояние
является чистым, то существует вектор \feC", II г|? II = 1 такой,
что М = Ру.
§ 7. Соотношения неопределенности Гейзенберга
В этом параграфе мы покажем, как соотношения неопреде-
неопределенности, которые упоминались в § 4, следуют из математиче-
математического аппарата квантовой механики, и дадим их точную фор-
формулировку.
2* 35

Рассмотрим дисперсии двух наблюдаемых Л и В в состоя-
состоянии оз. Напомним, что дисперсия наблюдаемой определяется
соотношением
МА = (со | (А - Лср) р) = <ю | А2) - (со | АJ,
где Лср = (со|Л}. Через АаА мы обозначаем
Соотношения неопределенности утверждают, что для любого
состояния со справедливо неравенство
Дв^ДвВ> f | ({И, B}J<d>|. (I)
Соотношения неопределенности достаточно доказать для
чистых состояний. Для смешанных состояний они будут следо-
следовать тогда из неравенства B.17), которое справедливо и в кван-
квантовой механике, так как его вывод не зависит от реализации
алгебры наблюдаемых.
Начнем с очевидного неравенства
((А + АхВ) ф, (А + гаВ) ф) > 0, ||ф || = 1, аб«,
Раскрывая левую часть, получим
(Л2г|з, Ч>) + а2 (В8^, г|з) - га ((ЛВ — ВЛ) $, if) > 0.
Используя определение квантовой скобки Пуассона E.15)
и формулу для среднего значения наблюдаемой в чистом со-
состоянии со <-> Р^ F.5), перепишем последнее неравенство
в виде
(Л2|и) + а2(В2|со)-аЛ({Л, В}л|а>>>0
при любом aeR», следовательно,
Соотношения неопределенности A) непосредственно следуют
из этого неравенства, если сделать замену А-*-А — Лср,
В->В —Вср и учесть, что {А, В}^= {(А - Лср), (В —Всв)'}л.
Соотношения неопределенности показывают, что дисперсии
двух наблюдаемых могут обратиться в нуль одновременно
только в том случае, когда среднее значение скобки Пуассона
равно нулю. Для коммутирующих наблюдаемых {A,B}h — 0
и правая часть равна нулю для всех состояний. В этом случае
соотношения неопределенности не накладывают никаких огра-
ограничений, и такие наблюдаемые являются одновременно изме-
измеримыми. В дальнейшем мы увидим, что действительно суще-
существует принципиально возможный способ одновременного изме-
измерения таких наблюдаемых. Наиболее сильные ограничения
накладываются на пары наблюдаемых, для которых
<{Л, В}й|ы> ф 0 для всех со, например, если {Л, В)h = const.
В этом случае не существует состояний, в которых дисперсии
36

обеих наблюдаемых равны нулю. Мы увидим в дальнейшем,
что для одноименных координаты и проекции импульса
где / — единичный оператор. Соотношения неопределенности
для этих наблюдаемых принимают вид
т. е. в природе не существует состояний, в которых координата
и одноименная проекция импульса имеют одновременно вполне
определенные значения. Это утверждение справедливо как для
смешанных, так и для чистых состояний, поэтому чистые со-
состояния квантовой механики в отличие от чистых состояний
классической механики не являются состояниями с нулевой
дисперсией всех наблюдаемых.
Мы можем теперь вернуться к вопросу, поставленному
в начале § 2: чем можно объяснить неоднозначность результа-
результатов экспериментов. Мы видели, что в классической механике
такая неоднозначность связана только с условиями экспери-
эксперимента. Если в условия эксперимента включить достаточное
число предварительных измерений, то мы сможем быть уве-
уверены, что система находится в чистом состоянии и результаты
любого эксперимента полностью детерминированы. В кванто-
квантовой механике ответ на этот вопрос оказывается совершенно
другим. Соотношения неопределенности показывают, что не су-
существует даже принципиальной возможности поставить экспе-
эксперимент так, чтобы результаты всех измерений были определены
однозначно условиями эксперимента. Мы вынуждены, таким
образом, считать, что вероятностный характер предсказаний
в микромире связан с физическими свойствами квантовых
систем.
Эти выводы кажутся настолько неожиданными, что интерес-
интересным представляется вопрос о возможности введения в теорию
так называемых «скрытых параметров». Можно предположить,
что описание состояния системы при помощи матрицы плот-
плотности М = Р^ не является полным, т. е. кроме Р^ следовало
бы задать значения каких-то параметров* х («скрытых пара-
параметров»); тогда описание станет достаточным для однозначного
предсказания результатов .любого измерения. Вероятностный
же характер предсказаний в состоянии со*-*Рф тогда можно
объяснить тем, что нам неизвестны значения скрытых парамет-
параметров и по ним существует какое-то вероятностное распределение.
Если обозначить состояния, задаваемые парой (Р^, х) через <лх,
* «Скрытые параметры» х можно рассматривать как элементы некото-
некоторого множества X. Относительно физической природы этих параметров мы
не делаем никаких предположений, так как она безразлична для дальнейших
рассуждений.
37

то наше предположение сводится к тому, что состояние со есть
выпуклая комбинация состояний а>х. Мы знаем, что Р^ не рас-
раскладывается в выпуклую комбинацию операторов со свой-
свойствами матрицы плотности, т. е. состояниям ю* не соответ-
соответствуют никакие операторы М. Способ описания состояний
в квантовой механике определяется выбором алгебры наблю-
наблюдаемых. Предположение о том, что существуют состояния, ко-
которым не соответствуют никакие матрицы плотности, застав-
заставляет нас отказаться от утверждения, что наблюдаемые есть
самосопряженные операторы, т. е. отказаться от основного
предположения квантовой механики. Таким образом, мы ви-
видим, что введение скрытых параметров в квантовую механику
невозможно без коренной перестройки ее основ.
§ 8. Физический смысл собственных значений
и собственных векторов наблюдаемых
В этом параграфе мы рассмотрим вопросы, касающиеся фи-
физического толкования теории. Прежде всего мы должны на-
научиться строить функции распределения для наблюдаемых
в заданном состоянии. Мы знаем общую формулу
^А(Х) = ф{Х-А)\ч>), A)
где Q(x) — функция Хевисайда. Чтобы построить функцию от
наблюдаемой 0(^ — Л), рассмотрим уравнение
Только для простоты рассуждений пока предположим, что все
собственные значения различны, т. е. спектр оператора А про-
простой, и занумеруем собственные значения в порядке их возрас-
возрастания а\ < ... < ап. Через Яф, обозначим операторы проек-
проектирования на собственные векторы. Введем оператор
(значок i под знаком суммы принимает значения, удовлетво-
удовлетворяющие условию at =sC X). Покажем, что
РЛ(*) = В&.-А). C)
Для проверки этого равенства достаточно убедиться, что опе-
операторы РА (X) и 9(X — А) одинаково действуют на базисные
векторы ф(, Используя определение функции от оператора,
имеем
38

С другой стороны,
Последнее равенство написано с учетом того, что Рф ф/ —
= б;уфу и оператор Рф появится под знаком суммы только при
условии X^at. Легко проверить, что Рл(^)—проектор, т. е.
Р*а(^) = Ра(^) и Рл(Л) = Р„(Л). Очевидно, что Рл(^) = 0 при
X < ai и Рд(Я)=1 при ^ ^ а„. Оператор Рл(^) называется
спектральной функцией оператора А.
Теперь нетрудно получить явный вид для функции распре-
распределения с»л Щ, со •«-*• М,
И = Т
окончательно
сол(А.)= ? (МФ„ Ф/). D)
Напомним, что (Мфг,ф?)^0. Мы видим, что юл(^)—кусочно-
постоянная функция, имеющая скачки при значениях К, совпа-
совпадающих с собственными числами, и непрерывная в этих точках
справа. График ее изображен на рис. 3.
¦ а1 аг а3 щ. .. ап^ ап X
Рис. 3.
Из вида функции распределения следует, что отличной от
нуля является вероятность получить значение наблюдаемой А,
совпадающее только с одним из собственных чисел. Вероятность
Wi при измерении получить значение at равна величине скачка
функции юл(^) в этой точке
Wi = (МФь ф?). E)
Сумма Wt, как и следует ожидать, равна единице, так как
39

Для чистого состояния со ¦*-* Р^. формула E) принимает вид
^«К*,Ф1)Р. F)
Наконец, если система находится в состоянии Рф , т. е. в чис-
чистом состоянии, определяемом одним из собственных векторов
наблюдаемой А, то по формуле F) Wi = 8ц В таком чистом
состоянии при измерении наблюдаемой А с достоверностью
получится число сц.
Пока мы предполагали, что оператор А имеет простой
спектр. Обобщение полученных результатов на случай кратного
спектра, когда собственному значению сц соответствует не-
несколько собственных векторов <р[', <р<?', ..., ср^ труда не пред-
представляет. Достаточно заменить проекторы Рф. на операторы Pi,
проектирующие на собственные подпространства, соответствую*
щие собственным значениям а*
Тогда вероятность при измерении наблюдаемой А получить
значение at в общем случае определяется формулой
Г, = ^(Мф4*>,фИ, G)
а в случае чистого состояния
Теперь мы получили возможность показать, что обычное
определение функции от оператора согласуется с данным в § 4
понятием функции от наблюдаемой. Действительно, операторы
А и f(A) имеют общую систему собственных векторов
а число 2*_i (MyfK фГ) одновременно является вероятностью
при измерении получить значение at для наблюдаемой А
и f{ai) для наблюдаемой f(A). Отсюда сразу следует, что
cof М)
= со„(Г
Заметим еще, что в состояниях, определяемых собственными
векторами А, наблюдаемые А и ЦА) одновременно имеют
вполне определенные значения а, и Да^) соответственно.
40

Мы можем следующим образом подытожить результаты, ко-
которые связывают математический аппарат теории с ее физиче-
физическим толкованием.
1) Наблюдаемая А в состоянии со ¦«-*• М имеет среднее зна-
значение
и функцию распределения
<оА(К) = Т
Для чистого состояния М = Р$, || г|) 11=1
2) Множество собственных значений наблюдаемой А совпа-
совпадает с множеством возможных результатов измерения этой на-
наблюдаемой.
3) Вероятность Wi получить в результате измерения наблю-
наблюдаемой А число, совпадающее с одним из ее собственных зна-
значений, вычисляется по формуле G) в общем случае и по
формуле (8) для чистых состояний.
4) Собственные векторы наблюдаемой А определяют чистые
состояния, в которых наблюдаемая с достоверностью принимает
значение, равное соответствующему собственному числу.
Мы видим, что построенная модель удовлетворяет многим
физическим требованиям к механике микромира, сформулиро-
сформулированным в § 4. Она допускает существование неизмеримых одно-
одновременно наблюдаемых и объясняет соотношения неопределен-
неопределенности. В рамках этой модели естественно описываются наблю-
наблюдаемые, имеющие дискретное множество значений. С другой
стороны, мы видим и ограниченность такой модели. Любая
наблюдаемая не может иметь больше, чем п значений, где
п — размерность пространства состояний С" и, следовательно,
эта модель не позволяет описать наблюдаемые с непрерывным
множеством значений. Поэтому трудно предположить, что та-
такая модель может описывать реальные физические системы.
Однако эти трудности не возникнут, если перейти к п = оо
и в качестве пространства состояний взять комплексное гиль-
гильбертово пространство, а наблюдаемые считать самосопряжен-
самосопряженными операторами в этом пространстве. Выбор пространств
состояний для конкретных физических систем и правила по-
построения наблюдаемых для них мы обсудим в § 11, а пока про-
продолжим изучение нашей конечномерной модели. Конечномерная
модель удобна для нас еще тем, что мы не сталкиваемся с чисто
математическими трудностями спектральной теории неограни-
неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом прост-
41

ранстве. Заметим, что основные положения этой теории были
разработаны фон Нейманом именно в связи с потребностями
квантовой механики.
§ 9. Две картины движения в квантовой механике.
Уравнение Шредингера. Стационарные состояния
В этом параграфе мы обсудим вопросы динамики кванто-
квантовых систем. Основное предположение уже по существу было
сделано в § 4, когда мы говорили о необходимости введения
лиевской операции в алгебре наблюдаемых квантовой меха-
механики и о ее связи с динамикой. Поэтому мы прямо начнем
с того, что постулируем так называемую картину Гейзенберга.
Эта картина является аналогом классической картины Гамиль-
Гамильтона. Так же как и в классической механике, в этой картине
наблюдаемые А зависят, а состояния со •«-»¦ М не зависят от
времени
° <*>
Здесь Н — оператор полной энергии системы, являющийся ана-
аналогом функции Гамильтона классической механики. Оператор
Н иногда называют оператором Шредингера. Форма записи
картины Гейзенберга точно такая же, как картины Гамильтона,
только в правой части стоит квантовая скобка Пуассона вместо
классической.
Как и в классической механике, уравнение
«Ш = {Н,А(()}„ B)
вместе с начальным условием
A(t)\t.0 = A C)
задает однопараметрическое семейство автоморфизмов алгеб-
алгебры наблюдаемых 9t.
Зависимость среднего значения от времени определяется
формулой
<Л @ | ю> = Тг Л (О Л1.
Уравнение B) с начальным условием C) имеет единственное
решение, которое может быть записано в виде
А(*) = ё*ШАе"*Ш.' D)
42

Действительно,
*±P-*=-L[H, A(t)] = {H, A(t)lh.
Выполнение начального условия очевидно.
Оператор U(t) — e h , который появился в записи реше-
решения D), называется оператором эволюции. Оператор эволюции
является унитарным оператором вследствие самосопряженно-
самосопряженности оператора Н
Множество операторов U(t) образует однопараметрическую
группу
+ /2), U~l (t) = U(-1).
Если наблюдаемые Н и А коммутируют, то {H,A}h = 0 и сред-
среднее значение наблюдаемой А не зависит от времени. Такие
наблюдаемые называются квантовыми интегралами движения.
В квантовой механике существует вторая эквивалентная
картина движения, являющаяся аналогом классической кар-
картины Лиувилля. Для того чтобы сформулировать эту картину,
преобразуем формулу для среднего значения
(Л (t) | и) = Tr U* (t) AU @ М = Tr AU (t) MU* (/) = Tr AM (/) =
где ш (/) <-+ М (t) = U @ MU* (t) E)
и M(t) является единственным решением уравнения
™?L = -{H,M(t)}h F)
с начальным условием
M(t)\t=0 = M. G)
Мы пришли к так называемой картине Шредингера. В этой кар-
картине зависящими от времени оказываются состояния
По самому способу введения картина Шредингера эквива-
эквивалентна картине Гейзенберга, так как зависимость средних зна-
значений наблюдаемых в этих картинах является одинаковой.
Теперь рассмотрим зависимость от времени чистых состоя-
состояний в картине Шредингера. Согласно общей формуле E)
43

Подберем зависимость вектора состояний ty(t) от времени так,
чтобы выполнялось равенство
Проверим, что этому условию удовлетворяет
Ф (/) = ?/(/)*.¦ (9)
Пусть | — произвольный вектор, тогда
= (I, Ф @) Ч> (/) = (g, ?/ @ Ю ?/(/)* =
= U (О (?Г @ 6, Ю ф = ?/ (/) Pt ?/* @1 = />„, (/) g.
Таким образом, зависимость от времени вектора ij)(/) по
формуле (9) гарантирует правильную зависимость от времени
чистого состояния. Заметим, что (9) не следует и не может
следовать с необходимостью из E), так как вектор состояния
определяется состоянием с точностью до множителя по модулю,
равного единице. Несмотря на это, в квантовой механике всегда
считается, что зависимость векторов состояния от времени
определяется формулой (9). Отметим, что эволюция не меняет
нормировки вектора состояния,
IIФ (О II = 11* II,
так как U(t) — унитарныйГоператор.
Вектор ty(t) удовлетворяет уравнению
^p A0)
и начальному условию
Уравнение A0) называется уравнением Шредингера и является
основным уравнением квантовой механики.
Рассмотрим теперь состояния, которые в картине Шредин-
Шредингера не зависят от времени. Такие состояния называются ста-
стационарными. Очевидно, среднее значение любой наблюдаемой
и вероятности ее определенных значений в стационарных со-
состояниях от времени не зависят. Условие стационарности сразу
следует из F) и имеет вид
{Я, М}А = 0. A1)
Рассмотрим чистые стационарные состояния. Из A1) имеем*
* Заметим, что из независимости Р^ф от времени отнюдь не следует,
что вектор ч|)(/), удовлетворяющий уравнению Шредингера, не зависит от
времени.
44

Подействуем левой и правой частями этого равенства на век-
вектор ф (О
Число Е — (#г|) (t), г|) (t)) = Tr Рщ)Н от времени не зависит, и
мы видим, что при любом t вектор ^ (t) является собственным
вектором оператора Я с собственным значением Е. Поэтому
уравнение Шредингера для вектора ty(t) принимает вид
"' dt
Решение этого уравнения:
-±Et
= i>{Q)e h . A2)
Таким образом, чистые стационарные состояния — это со-
состояния с определенной энергией, и вектор, определяющий та-
такое состояние, зависит от времени по формуле A2).
Уравнение
иногда называют стационарным уравнением Шредингера. Ос-
Основные задачи квантовой механики сводятся к решению этого
уравнения. Числа Eit согласно общему физическому толкова-
толкованию, есть возможные значения энергии (энергетические уровни)
системы. Состояние, соответствующее наименьшему значению
энергии Е\, называется основным состоянием системы, осталь-
остальные состояния — возбужденными. Если известны собственные
векторы ф,- оператора Я, то легко может быть построено реше-
решение задачи Коши для уравнения Шредингера
Для этого достаточно разложить вектор ^ф по собственному
базису оператора Я
и использовать формулу (9). Тогда мы получим решение за-
задачи Коши в виде
^{t)=tci^e~~Eit. A3)
Эту формулу называют обычно формулой разложения решения
уравнения Шредингера по стационарным состояниям.
46

В заключение этого параграфа получим соотношение неоп-
неопределенности время — энергия. Полагая в G.1) В = Н, имеем
dA
Вспоминая, что в картине Гейзенберга —гг = {#, Л}л и исполь-
зуя очевидное равенство —т-,
перепишем в виде
dt
dAcp _/dA
со), соотношение A4)
1 Амп ^ — jj—
И
rf^cp
Введем промежуток времени AJA — AaA/\—j-
За время Д@^ среднее значение наблюдаемой Лср смещается
на «ширину» распределения АИЛ. Поэтому Ди^ есть харак-
характерное для состояния со и наблюдаемой Л время, за которое
функция распределения ом (А,) успевает заметно измениться. Из
неравенства
следует, что множество значений Аи^ Для всевозможных на-
наблюдаемых Л в состоянии <и ограничено снизу.
Полагая Д^=МДИ^4 и обозначая Дю# через АЕ, получим,
А
что для любого состояния (о справедливо неравенство
AEM^h/2. A5)
Это и есть соотношение неопределенности время — энергия.
Физический смысл этого соотношения существенно отличается
от смысла соотношений неопределенности G.1). В формуле
G.1) ДИЛ и AfflB — неопределенности в значениях наблюдае-
наблюдаемых Л и В в состоянии со в один и тот же момент времени.
В соотношении A5) Д? — неопределенность энергии, и она от
времени не зависит, a At характеризует время, за которое успе-
успевает заметно измениться распределение хотя бы одной из на-
наблюдаемых. Чем меньше величина At, тем больше состояние <и
отличается от стационарного. Для сильно нестационарных со-
состояний А? мало и неопределенность энергии АЕ должна быть
достаточно велика. Наоборот, если АЕ = 0, то At = оо. В этом
случае состояние является стационарным.
§ 10. Квантовая механика реальных систем.
Перестановочные соотношения Гейзенберга
Мы уже упоминали о том, что построенная конечномерная
модель слишком бедна, чтобы соответствовать реальности, и что
ее можно усовершенствовать, взяв в качестве пространства
состояний комплексное гильбертово пространство Ж, а в каче*
46

стве наблюдаемых — самосопряженные операторы в этом прост-
пространстве.
Можно показать, что основная формула для среднего зна-
значения наблюдаемой А в состоянии <и сохраняет свой вид
A)
где М — положительный самосопряженный оператор в Ж со
следом, равным единице.
Для любого самосопряженного оператора может быть по-
построена спектральная функция Рд(А.), т. е. семейство проекто-
проекторов со следующими свойствами:
1) РЛ(Л)<РЛ(и) при k<v, т. е. PA(k)PA([i) = PA(k),
2) РА(к) непрерывен справа, т. е. lim PA(ц) — РА(Я,),
ц -> А.+0
3)Рл(-оо)= lim PA(k)=0, РЛ(оо) = /,
Я, -» —оо
4) РА(к)В = ВРА(Х), если В —любой ограниченный опера-
оператор, коммутирующий с А.
Вектор ф принадлежит области определения оператора А
В(Л), если
кЧ (РА (к) ф, ф)< ОО
— оо
и тогда
оо
Лф= \ к dPA(k) ф. B)
— оо
Функция от оператора f(A) определяется формулой
оо
f(A)<f= \ f(X)dPA(k)cf. C)
— ОО
Область определения этого оператора D(f(A)) есть множество
элементов ф, для которых
Спектр самосопряженного оператора представляет собой
замкнутое множество точек вещественной оси, состоящее из
всех точек роста снектральной функции Рл(к). Скачки этой
функции соответствуют собственным числам оператора Л,
а РА(к-\-0)—Ра (к — 0) есть проектор на собственное под-
подпространство, отвечающее собственному числу к. Собственные
числа образуют точечный спектр. Если собственные векторы
образуют полную систему, то оператор имеет чисто точечный
спектр. В общем случае пространство может быть разбито
4?

в прямую сумму ортогональных и инвариантных относительно Л
подпространств Ж\ и Жъ таких, что в первом оператор А имеет
чисто точечный спектр, а во втором не имеет собственных век-
векторов. Спектр оператора в подпространстве Жг называют не-
непрерывным.
Из основной формулы A) следует, что функция распреде-
распределения наблюдаемой А в состоянии со •«-*¦ М в общем случае
имеет вид
D)
а для чистых состояний М = Р^
<МЛ)«=(Р„(ЛI>,1>). E)
В отличие от конечномерной модели функция (ОаЩ не обяза-
обязательно является функцией скачков. Множество допустимых
значений наблюдаемой А совпадает с множеством точек роста
функций сод(Х) для всевозможных состояний со. Поэтому можно
утверждать, что множество возможных результатов измерения
наблюдаемой А совпадает с ее спектром. Мы видим, что тео-
теория позволяет описывать наблюдаемые как с дискретным, так
и непрерывным множеством значений.
Теперь наша задача — описать правила выбора пространств
состояний и научиться строить основные наблюдаемые для
реальных физических систем. Здесь мы будем описывать кван-
квантовые системы, имеющие классический аналог. Задача ставится
следующим образом. Пусть мы имеем классическую систему,
т. е. заданы ее фазовое пространство и функция Гамильтона.
Нужно найти квантовую систему, т. е. построить пространство
состояний и оператор Шредингера так, чтобы между классиче-
классическими наблюдаемыми (функциями на фазовом пространстве)
и квантовыми наблюдаемыми (операторами в пространстве со-
состояний) было установлено взаимно-однозначное соответствие
f ¦*-*¦ Af. При этом функции Гамильтона должен соответствовать
оператор Шредингера. Это взаимно-однозначное соответствие
ни в коем случае не может быть изоморфизмом fg-*-l-+ Af о Ag,
{f, g}-*-/-*-{A[, Ag}h (именно поэтому квантовая механика отли-
отличается от классической), но должно становиться изоморфизмом
при А->0 (что обеспечит предельный переход квантовой меха-
механики в классическую). Обычно квантовые наблюдаемые Л;
имеют те же названия, что и классические f. Заметим, что мы
не должны исключать возможности существования квантовых
систем, не имеющих простого классического аналога. У таких
систем могут быть наблюдаемые, которым не соответствует ни-
никакая функция обобщенных координат и импульсов.
В полном объеме правила соответствия и предельный пере-
переход в классическую механику будут описаны в § 14. Пока мы
установим такое соответствие только между наиболее важными
43

наблюдаемыми и покажем, как строится пространство состоя-
состояний для простейших систем.
Рассмотрим сначала материальную точку. Ее фазовое прост-
пространство шестимерно и точка в нем определяется заданием трех
декартовых координат q\, q% q% и трех проекций импульса р\,
Pi, рз. Нетрудно сосчитать классические скобки Пуассона для
любой пары из этих наблюдаемых
{<&,<7/} = 0, {Pi,pl} = 0, {Pi,q,} = bt,h i,/=1,2,3.
Для частицы в квантовой механике мы введем шесть наблю-
наблюдаемых Qi, Q2) Qz, Р\, Рг. Рз, У которых квантовые скобки Пуас-
Пуассона имеют те же значения
{Q/,Q/}* = 0, {Pt.Pfa^O, {Pi,Q,}h = l6ll, F)
где / — единичный оператор. Эти наблюдаемые будем называть
координатами и проекциями импульса.
В дальнейшем мы сумеем оправдать такое сопоставление
операторов координатам и импульсам следующими обстоятель-
обстоятельствами. Изучив наблюдаемые, определенные соотношениями
F), мы увидим, что они обладают многими свойствами класси-
классических координат и импульсов. Например, для свободной час-
частицы проекции импульса являются интегралами движения,
а средние значения координат линейно зависят от времени
(равномерное прямолинейное движение).
Далее, соответствие щ -*-»• Qi, pt -¦-* Pi, i = 1, 2, 3, явится
для нас основой для построения общего соответствия f(q,p)-*->-
¦*-»¦ А[. Определенные таким образом квантовые наблюдаемые,
в том числе координаты и импульсы, при предельном переходе
превращаются в соответствующие классические наблюдаемые*.
Наконец, правила соответствия / ¦*-*¦ А/ делают теорию вполне
конкретной, и ее результаты могут проверяться в эксперимен-
экспериментах. Именно согласие теории с экспериментом следует считать
окончательным оправданием предположения F) и всей кван-
квантовой механики.
Условия F) называются условиями квантования Гейзен-
берга. Из этих условий и формулы G.1) сразу следуют соотно-
соотношения неопределенности Гейзенберга для координат и импуль-
импульсов. Эти соотношения мы уже обсуждали.
Часто формулы F) записываются для коммутаторов
[Q/.Q*] = 0, [P,,Pk] = 0, [Q,,Pk] = ih6jk. G)
Эти соотношения называются перестановочными соотношениями
Гейзенберга.
* Точный смысл этою утверждения обсуждается в § 14.
49

Имеет место замечательная теорема Неймана — Стоуна. Мы:
сформулируем ее без доказательства *.
У системы соотношений G) существует единственное непри-
неприводимое представление операторами в гильбертовом простран-
пространстве (с точностью до унитарного преобразования).
Напомним, что означает неприводимость представления..
Обычно используют два эквивалентных определения:
1) представление соотношений G) называется неприводи^
мым, если не существует оператора, отличного от кратного еди-
единичному С/ и коммутирующего со всеми операторами Q; и Рг,
2) представление называется неприводимым, если не суще-
существует в Ж подпространства 36 ъ, инвариантного относительно
всех операторов Q* и Р*.
Проверим эквивалентность этих определений. Если суще-
существует инвариантное относительно Q,- и Р< .подпространство Жъ,
то проектор на это подпространство Ржа коммутирует с Qf и Pt
и, очевидно, РЖйФСи
Если есть оператор А Ф CI, коммутирующий со всеми Q,
и Pit то А*, а значит, и A -f А* коммутируют с % и Р,. Поэтому
с самого начала можно считать А самосопряженным. Самосоп-
Самосопряженный оператор А имеет спектральную функцию Рд(Х), ко-
которая при некотором к отлична от нуля и CI. Оператор Рл(Х)
коммутирует с Q-, и Р,-, и, следовательно, подпространство Ж§,
на которое он проектирует, инвариантно относительно Qi и Р,-.
Из теоремы Неймана — Стоуна следует, что если мы найдем
какое-либо представление перестановочных соотношений Гей-
зенберга и докажем его неприводимость, то все остальные не-
неприводимые представления будут отличаться от него унитар-
унитарным преобразованием.
Мы знаем, что физическое толкование теории основано на
формуле для среднего значения <Л|со> = ТгЛМ. Правая часть
этой формулы не меняется при унитарном преобразовании всех
операторов. Поэтому физические результаты теории не зависят
от того, какое из унитарно эквивалентных представлений мы
выбираем.
§11. Координатное и импульсное представления
Опишем наиболее часто используемое в квантовой механике
так называемое координатное представление. Иногда его назы-
называют представлением Шредингера. В этом представлении в ка-
качестве пространства состояний для материальной точки выби-
* Приведенная формулировка не является точной, так как имеются тон-
тонкости, связанные с неограниченностью операторов Р и Q, которые мы не
обсуждаем. Подобные трудности не возникнут, если вместо самих операторов
Р и Q рассматривать ограниченные функции от этих операторов. Точную
формулировку теоремы Неймана — Стоуна мы приведем в § 13.
§9

рается пространство L2(R3) квадратично интегрируемых ком-
плекснозначных функций <р(х) = <f(xi,x2,х3). Скалярное произ-
произведение определяется равенством
(фь Фг) = \ Ф1 (х) Ф2 (х) dx. A)
Операторы Q; и Р/, /= 1, 2, 3 вводятся формулами
B)
Это неограниченные операторы, что соответствует физическому
смыслу наблюдаемых, так как численные значения координат
и импульсов неограничены. На области D, образованной беско-
бесконечно дифференцируемыми функциями, убывающими быстрее
любой степени, определены сами операторы Q; и Р; и любые их
целые положительные степени. Очевидно, область D плотна
в Ж. Можно показать, что операторы Q, и Р,- имеют единствен-
единственные самосопряженные расширения по замыканию. Симметрия
этих операторов проверяется просто. Например, для Pi и любых
функций о|> е D, феД интегрируя по частям, имеем
= \
Х\=— <
-\
(х) Г , , ч h <5я|> (х)
Проверим перестановочные соотношения A0.7). Первые два
из них очевидны, а третье следует из равенств
PkQiV (х) = — -щ (х,Ф (х)) = — вмф (х) + Х/ А __ ф (X)t
Q/РаФ (х) = х, — -^- ф (х).
Таким образом, мы действительно построили представление
соотношений A0.7) линейными операторами. Неприводимость
этого представления мы докажем позже.
Приведем еще один пример представления (импульсное
представление). В этом представлении пространство состояний
Ж тоже является комплексным пространством L2(R3) с эле-
элементами ф(р), а операторы Q,- и Р;-, /= 1, 2, 3 определяются
следующим образом:
Q/Ф (р) =/А ^-Ф(р),
^/Ф (Р) = Р/Ф (Р).
51

Перестановочные соотношения A0.7) проверяются так же,
как для координатного представления, и так же доказывается
неприводимость. По теореме Неймана — Стоуна эти представ-
представления унитарно эквивалентны, т. е. должно существовать уни-
унитарное преобразование*
w
ф(х)->ф(р),
при котором операторы, определенные формулами C), превра-
превращаются в операторы B). Нетрудно видеть, что таким преобра-
преобразованием является преобразование Фурье
D)
R'
±
± i
Ф (Р) = (-г^-) 2 \ е~тРХ Ф Ш*. E)
3
Унитарность преобразования Фурье следует из равенства
Парсеваля
\\cp(x)?dx=\\cp(P)\2dp.
R3 R"
Применяя оператор —-sr~ K выражению D), получим
Мы видим, что при унитарном преобразовании W оператор
—--т—превращается в оператор умножения на переменную pj.
Аналогично проверяется, что
w д
) -> ih -щ ф (р).
Таким образом, мы проверили унитарную эквивалентность ко-
координатного и импульсного представлений.
Выпишем формулы преобразования интегральных операто-
операторов при переходе от координатного к импульсному представ-
* Мы сознательно используем один и тот же символ для обозначения
разных функций ф(х) и ф(р), так как обе эти функции представляют один
и тот же вектор состояния ф.
52

лению:
= \ Л(х, у)ф(у)^у,
Л(р <р) = (ш)
) т
== \ Л (р, q) ф (q) dq,
где Л (р, q) = (^ K J е"Рх Л (х, у) Д"У dx dy. F)
Если оператор в координатном представлении является опе-
оператором умножения на функцию /(х), то его можно рассматри-
рассматривать как интегральный с ядром
Л(х,у) = /(х)б(х-у).
В импульсном представлении ядро такого оператора зависит
только от разности переменных и имеет вид
х)ДХ(Ч-Р>^х. G)
Формулы преобразования от импульсного представления
к координатному отличаются знаком в показателях экспонент
А <х> у) = Ы/гK S е^А (р> q) е^
R>
и если Л (р, q) =? F (р) б (р — q), то
Выясним теперь физический смысл функций ф(х) и ф(р),
которые обычно называют волновыми функциями. Начнем
с волновой функции в координатном представлении ф(х).Вэтом
представлении операторы Q,- (i = 1, 2, 3) есть операторы умно-
умножения на переменные х,-, т. е. координатное представление яв-
является собственным для операторов Q,-. Чтобы пояснить это,
сделаем небольшое математическое отступление.
Задать функциональное представление гильбертова прост-
пространства Ж — это значит задать взаимно-однозначное соответ-
соответствие между векторами этого пространства и функциями веще-
53

ственной переменной ф-*->ф(х) и задать меру на вещественной
оси dtn(x) так, что
(ф. Ч>) = \ Ф (х) ?(х) dm (x).
R
Значения функции ф(х) могут быть комплексными числами или
функциями от других переменных, т. е. являться элементами
какого-то дополнительного пространства, и q(x)ty(x) тогда обо-
обозначает скалярное произведение в этом дополнительном прост-
пространстве. В первом случае представление называется простым,
а во втором — кратным. Две функции ф(х) следует считать
равными, если они отличаются только на множестве т-меры
нуль.
Представление называется спектральным для оператора А,
если действие этого оператора сводится к умножению на неко-
некоторую функцию f(x)
Лф-<->/(х)ф(х).
Представление называется прямым или собственным для
оператора А, если f(x) = x,
Спектр оператора А может быть описан как носитель функции
распределения меры. Скачки меры соответствуют собственным
числам. Если мера абсолютно непрерывна, то спектр непре-
непрерывный.
Напомним, что в конечномерном пространстве С" мы назы-
называли собственным для оператора А такое представление, в ко-
котором векторы ф задавались коэффициентами разложения ф,-
по собственному базису оператора А. Пусть спектр оператора Л
простой
Вектору ф можно сопоставить функцию ф(а'), такую, что
ф(а,) = ф,- (значения функции ф(х) при х ф а,- выбираются
произвольно). Функцию распределения меры выберем кусочно-
постоянной с единичными скачками при х = at. Оператор Л
тогда можно задать формулой
так как эта запись эквивалентна обычной
/фЛ /«1Ф1
\Ф«.
54

Кратному собственному значению а< соответствует несколько
собственных векторов. Мы можем ввести функцию ср(х), значе-
значение которой в точке а< есть вектор с компонентами ф^, k= 1,
2 п. В этом случае представление будет кратным, и крат-
кратность его равна кратности п собственного числа at.
Мы видим, что оператор в собственном представлении яв-
является аналогом диагональной матрицы в С".
В собственном представлении оператора А легко описать
функцию f(A)
ff) A0)
В частности, для спектральной функции оператора РА(к)=
0(Я Л) формула A0) дает
Спектр оператора А будет полностью описан, если для опера-
оператора А удастся построить его спектральное представление. Пре-
Преобразование, которое переводит данное представление в спект-
спектральное, называется спектральным преобразованием.
Вернемся к координатному представлению. Мы видим, что
оно действительно является собственным кратным представле-
представлением для трех операторов Qi, Q% Q3:
Значение ф(х^ есть вектор дополнительного пространства,
в данном случае функция от переменных х$ и х3. Скалярное
произведение определяется формулой
(ф. t) =
т. е. в координатном представлении мера т(х) есть лебегова
мера, носитель ее функции распределения — вся вещественная
ось, а значит, спектр координаты непрерывный и заполняет
всю ось.
Функция распределения координаты Qi в чистом состоянии
со-«г-*-Рф имеет вид
X
откуда следует, что
— ^ ф (хь х2, х3) Ф (xi, x2, х3) dx2 dx3
есть плотность функции распределения координаты Q\. Анало-
Аналогично записываются выражения для плотности функций рас-
распределения Q2 и Q3. Естественно ожидать, что |ф(^)|2 есть
55

плотность общей для всех координат функции распределения,
т. е. вероятность найти частицу в области Q трехмерного прост-
пространства определяется выражением \ | ф (х) ]2 dx. Это утвержде-
а
ние мы проверим в разделе, посвященном системам коммути-
коммутирующих наблюдаемых.
Импульсное представление является собственным для трех
операторов Pi, Рг> -Рз, и |(р(р)|2 есть плотность общей для
трех проекций импульса функции распределения.
Мы можем теперь с новой точки зрения взглянуть на соот-
соотношения неопределенности для координат и импульсов. Мы
видим, что эти соотношения объясняются известным свойством
преобразования Фурье. Чем сильнее концентрируется функ-
функция ф(х) и тем самым уменьшаются неопределенности коорди-
координат AtoQi, тем сильнее расплывается Фурье-образ ср(р) и увели-
увеличиваются неопределенности импульсов ДшРл
§ 12. «Собственные функции» операторов Q и Р
Рассмотрим теперь уравнения для собственных векторов опе-
операторов Q и Р. Для простоты записи рассмотрим частицу
с одной степенью свободы. В координатном представлении эти
уравнения имеют вид
*<Р*. (х) = *оФ*, (х), A)
Т И фр ^ = рфо (х) №
Решая эти уравнения, получим
Ф,0(х) = б(х-хо), C)
(Первая формула сразу следует из свойства б-функции
хб(х) = 0, вторая очевидна. Выбор нормировочных констант бу-
будет ясен из дальнейшего.)
Хотя «собственная функция» оператора координаты ф*„(х)
есть обобщенная функция, а фр(х) — обычная функция, их объ-
объединяет то, что они обе не являются квадратично интегрируе-
интегрируемыми, т. е. не принадлежат пространству L2. Собственных
функций в обычном смысле слова у операторов Q и Р нет.
Чтобы понять, как функции ф« (х) и ф„ (л:) связаны со спект-
спектром операторов Q и Р, вспомним, какой смысл имеют собствен-
собственные векторы в С". Задача о нахождении собственных чисел
и собственных векоторов матрицы А связана с задачей о диаго-
нализации этой матрицы подобным преобразованием или,
иначе говоря, с преобразованием оператора из некоторого ис-
56

ходного представления в собственное. Для самосопряженного
оператора Л в С" всегда существует базис, составленный из соб-
собственных векторов
А% = а;ф(, (фь <fk) = bik.
Собственные векторы мы ищем в исходном представлении,
в котором
Компоненты вектора | в собственном представлении оператора
А вычисляются по формуле
h = Aу Ф() = Zj tkqtt • E)
Мы видим, что матрица, составленная из чисел, сопряжен-
сопряженных компонентам собственных векторов Uik = уТ, осуществляет
спектральное преобразование
Матрица U является унитарной, так как
п п п
2j UikUkj = 2j UikUik = Aj ф* ф* = (Ф/, Фг) = б(/.
k-l k=l fc-1
Если мы формально в E) заменим фг на фр и ?/ на |(р),
то получим
| (р) = (|, Фр)
7 ipx
или
Эта формула нам уже знакома. Мы видим, что функция
U(p, х) = фр(х) является ядром унитарного оператора, пере-
переводящего координатное представление в импульсное (собствен-
(собственное для оператора Р). Так же может быть истолкована
и «собственная функция» оператора координаты Q. Координат-
Координатное представление является собственным для оператора Q, по-
поэтому оператор, осуществляющий спектральное преобразование,
должен быть единичным, а ф*„ (х) = б (х — х0) является ядром
единичного оператора.
На этих примерах мы видим, что «собственные функции»
непрерывного спектра, хотя и не являются собственными эле-
элементами в обычном смысле слова, но их связь со спектральным
преобразованием остается такой же, как и для собственных
векторов в конечномерном пространстве.
57

Заметим, что существует конструкция, позволяющая при-
придать решениям уравнения
точный смысл собственных векторов даже для случая, когда (р\
не принадлежат Ж. Для этого вводится более широкое прост-
пространство Ф* zd Ж, элементами которого являются линейные
функционалы, определенные на некотором пространстве ФсЖ
Пару пространств Ф и Ф* удается построить так, чтобы каждый
самосопряженный оператор в Ж имел в Ф* полную систему
собственных векторов. Собственные элементы оператора А, при-
принадлежащие Ф* и не принадлежащие Ж, называются обобщен-
обобщенными собственными элементами. Если оператор А имеет про-
простой спектр, то для любого о|з е Ф имеет место разложение по
собственным элементам
$«,. G)
Преобразование Фурье может быть истолковано как разло*
жение по собственным функциям оператора имлульса (рР(х):
Нормировочная константа A/2я/*)'/а в выражении для собствен-
собственной функции импульса соответствует условию нормировки
(х) qy(x) dx = 6(p- />')• (9)
Эта формула — следствие известного интегрального представ»
ления для б-функции:
\ A0)
В двух последних формулах интегралы понимаются в смысле
главного значения. Формула (9) есть аналог равенства
(<Р*> <Р*) = 6«*
для собственных векторов дискретного спектра.
Построим теперь спектральную функцию оператора им-
импульса. Только в этом месте мы используем для спектральной
функции букву П, чтобы не путать ее с оператором импульса.
В импульсном представлении оператор ПР(А) есть оператор
умножения на функцию
68

Перейдем к координатному представлению. Используя формулу.
A1.9) для одномерного случая, получим
Пр (X) (х, у) = ^L- J 9 (к - р)
R
к i к
1 Г -т-р(х-у) С —-
~ ~^п \ е "Р — \ Фр W Фр (У) "р.
— oo —oo
Производная от спектральной функции по параметру X на-
называется спектральной плотностью. Ядро этого оператора
имеет вид
ж Пр (К) (х, у) = Ф, (х) Ф, {у) =
2я/г
Мы видим, что это аналог проектора на одномерное собствен-
собственное подпространство.
§ 13. Энергия, момент импульса
и другие примеры наблюдаемых
Перейдем теперь к изучению более сложных наблюдаемых.
Наша задача сопоставить произвольной классической наблю-
наблюдаемой f(p,q) ее квантовый аналог А;. Хотелось бы положить
Af = f(P, Q) но не существует общего определения функции
от некоммутирующих операторов. Например, уже не понятно,
какой из операторов Q2P, QPQ или PQ2 следует сопоставить
классической наблюдаемой q2p. Однако для наиболее важных
наблюдаемых указанных трудностей вообще не возникает, так
как эти наблюдаемые являются суммами функций от коммути-
коммутирующих между собой компонент Q\, Q2, Q3 и Pi, P2, Рз.
Приведем некоторые примеры.
Кинетическая энергия частицы в классической механике
т Р\ + Pi + Рз
Соответствующий оператор кинетической энергии имеет вид
2т
и в координатном представлении
иг
О)
59

d2 d2 д3
где Л = —5"-| 5" Ч о—оператор Лапласа. В импульсном
дх\ дх% дх3
представлении оператор Т есть оператор умножения на функцию
Точно так же легко ввести оператор потенциальной энергии
V(Q\,Q2, (?з). В координатном представлении V является опе-
оператором умножения на функцию
1/ф(х) = У(х)Ф(х), B)
а в импульсном — интегральным оператором с ядром
Оператор полной энергии (оператор Шредингера) определяется
равенством
Н = Т+ V.
Запишем подробно уравнение Шредингера
1Н*з&-=нш C)
В координатном представлении уравнение Шредингера для
частицы является дифференциальным уравнением в частных
производных
^^L^J) + V(x)^(K,t), D)
а в импульсном — интегродифференциальным
R'
Рассмотрим наряду с D) уравнение для комплексно-сопря-
комплексно-сопряженной волновой функции
- ih a*gr г) = - JL Д^(хТ7) + У (х) WJ). E)
Умножая уравнение D) на of, уравнение E) на о|з и вычитая
одно из другого, получим
U 2 ti2
($ Лг)з * Л^ = ~" l^T div ^ grad ^ ~
или HJJi + divj=O, F)
где j =-«^(i|> grad ajj — ojj grad ip).
60

Уравнение F) является уравнением неразрывности и выра-
выражает закон сохранения вероятности. Вектор j называется век-
вектором плотности потока вероятности. Из уравнения F) видно,
что вектор j имеет следующий смысл: \ jndS есть вероятность
s
того, что частица пересечет поверхность 5 за единицу времени.
Важную роль и в классической, и в квантовой механиках
играет момент импульса. Эта наблюдаемая в классической ме-
механике является вектором, проекции которого в декартовой
системе координат имеют вид
h = ЯгРг — ЪРъ
к = ЯъР\ —
В квантовой механике проекциями момента импульса являются
операторы
L QP-QmPi. G)
Здесь k, I, m — циклическая перестановка значков 1, 2, 3.
В правую часть G) входят произведения только разноименных
координаты и проекции импульса, т. е. произведения коммути-
коммутирующих операторов. Интересно заметить, что операторы Lk
имеют одинаковый вид в импульсном и координатном пред-
представлении
Lfeqp (х) = — fxi -j-x хт ~\ ф (х),
V U (8)
т i \ h С д
Lk<$> (Р) = — (
Свойства операторов Lk будут подробно изучены ниже.
Квантовая механика описывает, конечно, и более сложные,
чем материальная точка, системы. Так, для системы из N ма-
материальных точек пространством состояний в координатном
представлении является пространство* L2(R3W) функций от N
векторных переменных ф(хь ... ,xN). Оператор Шредингера для
такой системы (аналог функций Гамильтона A.5)) имеет вид
Физический смысл слагаемых здесь тот же, что и в классиче-
классической механике.
* В дальнейшем мы увидим, что для тождественных частиц пространство
состояний 36 совпадает с подпространством Ls cr L функций с определен-
определенной симметрией.
61

Рассмотрим еще два оператора для материальной точки, ко-
которые окажутся полезными при обсуждении взаимосвязи кван-
квантовой и классической механики
A0)
У (у) ==e-i(tJiQi+tj,QJ+o,Ci)) (Ц)
где и(«ь«2, «з) и \{v\, v2, v3) — вещественные параметры. Опе-
Оператор V(v) в координатном представлении является операто-
оператором умножения на функцию
Выясним теперь смысл, оператора U(u). Для простоты рас-
рассмотрим одномерный случай
?/(«) = е-*«р.
Обозначим ф(ы, х) = e~iuP(f (х). Дифференцируя у (и, х) по пара-
параметру и, имеем
дл:
Чтобы найти функцию <р(и,х), нужно решить это уравнение
с начальным условием
Единственное решение, очевидно, имеет вид
Мы видим, что оператор U(u) в координатном представле-
представлении есть оператор сдвига аргумента функции ф(л;) на вели-
величину —hu. В трехмерном случае
?/(и)ф(х) = Ф(х-ий). A2)
Операторы U(и) и V{v) являются унитарными вследствие
самосопряженности операторов Ри Р2, Р% и Qb Q2, Q3. Найдем
перестановочные соотношения для операторов U(u) и V(v).
В координатном представлении имеем
V (v) U (и) ф (х) = е-'Чхф (х — и/г),
С/ (и) V (v) ф (х) = е~iv<»- иЛ»ф (х - и/г).
Из этих равенств сразу следует, что
?/(u)l/(v) = l/(v)C/(u)eivuft. A3)
63

Разумеется, соотношения A3) не зависят от представления.
Отметим еще формулы
т. е. множества операторов U(u) и V(v) образуют группы. Обо-
Обозначим эти группы через U и V.
Теперь мы можем дать точную формулировку теоремы фон
Неймана. Ограничимся для простоты системой с одной сте-
степенью свободы.
Теорема. Пусть U и V — однопараметрические группы уни-
унитарных операторов U (и) и V(u), действующих в гильбертовом
пространстве Ж и удовлетворяющих условию:
U (и) V(v)=V (v) U (и) ешн. A4)
Тогда Ж можно представить в виде прямой суммы
..., A5)
где каждое Ж1 переводится в себя всеми операторами И (и)
и V(v) и каждое Ж{ можно отобразить унитарно на L2(R) та-
таким образом, что операторы V(v) переходят в операторы т|э (*)->¦
—>- e~ivxty (х), а операторы U(u) переходят в операторы i|5(.v)-^
—*ty(x — uh).
Можно говорить о том, что в пространстве Ж действует
представление соотношений A4) унитарными операторами.
Если это представление неприводимо, то сумма A5) содержит
только одно слагаемое.
В заключение этого параграфа докажем неприводимость ко-
координатного представления для Р и Q.
Пусть К—некоторый оператор, коммутирующий с Q и Р
Из второго равенства следует, что
Применяя операторы в обеих частях равенства к произвольной
функции ф(л:), получим
^ К {х, у) у (у — uh) dy=\jK{x — uh, у) qp (у) dy.
R R
Замена у — uh-*у в левой части позволяет переписать это ра»
венство в виде
К (х, у + uh) <f{y)dy=\jK{x — uh, у) qp (у) dy.
k R
В силу произвольности ф
К(х,у + uh) = K(x — uh, у),
63

откуда видно, что ядро К(х,у) зависит только от разности
х — у, т. е.
K{x,y) = k{x-y).
Теперь используем перестановочность оператора К. с операто-
оператором координаты
xk {х — у) ф (у) dy= jj ? (x — у) уу (у) dy,
—оо
откуда следует, что
(x-y)k(x-y) = Q.
Решение этого уравнения имеет вид
k(x — y) = c6(x — у),
а функция, стоящая в правой части, есть ядро оператора С/.
Итак, мы показали, что любой оператор, коммутирующий
с Q и Р, кратен единичному.
§ 14. Взаимосвязь квантовой н классической механики.
Предельный переход от квантовой механики к классической
Известно, что поведение макроскопических систем хорошо
описывается классической механикой, и квантовая механика
при переходе к макрообъектам должна приводить к тем же
результатам. Критерием «квантовости» поведения системы мо-
может являться сравнительная величина характерных для си-
стемы численных значений наблюдаемых, имеющих размерность
действия, и постоянной Планка Л = 1,05 • 10~27 эрг-с. Если
постоянная Планка пренебрежимо мала по сравнению со зна-
значениями таких наблюдаемых, то система должна иметь клас-
классическое поведение. Формально переход от квантовой механики
к классической может быть описан, как предельный переход
при * h -*¦ 0. Разумеется, при таком предельном переходе спо-
способы описания механических систем остаются различными
(операторы в гильбертовом пространстве не могут превра-
превращаться в функции на фазовом пространстве), но физические
результаты квантовой механики при Л—»0 должны совпадать
с классическими.
Мы опять рассмотрим систему с одной степенью свободы.
Изложение будет вестись по следующему плану.
* Здесь есть аналогия со связью между релятивистской и классической
механиками. Релятивистскими эффектами можно пренебречь, если характер-
характерные для системы скорости v много меньше скорости света с. Формально пе-
переход от релятивистской механики к классической можно рассматривать как
предельный переход при с-*-оо,
64

Сначала вещественным функциям на фазовом пространстве
f(p,q) мы сопоставим по некоторому правилу самосопряжен-
самосопряженные операторы Af, (f-*-Af).
Далее мы найдем формулу обращения, позволяющую по
оператору Af восстановить функцию f(p,q), (Af-*~f). Тем са-
самым будет установлено взаимно-однозначное соответствие
между вещественными функциями на фазовом пространстве
и самосопряженными операторами в Ж, (/—*~А{)- При этом
справедливой оказывается формула
^ О)
м
Наконец, мы найдем, какие функции на фазовом простран-
пространстве соответствуют произведению Af°Ag и квантовой скобке
Пуассона {Af,Ag}. Мы увидим, что эти функции не совпадают
с произведением fg и классической скобкой Пуассона {f, g}, но
в пределе при h -> О стремятся к ним. Таким образом мы убе-
убедимся, что алгебра наблюдаемых квантовой механики неизо-
неизоморфна алгебре наблюдаемых классической механики, но при
Л-*-0 взаимно-однозначное собтветствие f¦*-*¦ Af становится
изоморфизмом.
Пусть квантовая система с оператором Шредингера Н нахо-
находится в состоянии М, и пусть Af — некоторая наблюдаемая для
этой системы. Описанное взаимно-однозначное соответствие
позволяет сопоставить операторам Н, М и Af функцию Гамиль-
Гамильтона H(p,q), функцию pi(p,q) и наблюдаемую f(p,q). Введем
P(P>q\== Pi(P> q)/2nh. Из формулы A) следует, что
= 1. B)
¦\f(p,q)p{p,q)dpdq. C)
Формула B) показывает, что функция p(p,q) имеет пра*
вильную нормировку, а формула C) утверждает, что в пределе
при /г->0 среднее значение наблюдаемой в квантовой меха*
нике совпадает со средним значением соответствующей класси-
классической наблюдаемой *. Далее пусть эволюция квантовой си-
стемы описывается картиной Гейзенберга и соответствие
Af (t) ¦*-*¦ f(t) установлено для произвольного момента времени t.
* Еще раз подчеркнем, что левая часть в C) не совпадает с правой при
А # 0, так как произведению MAf соответствует функция, отличная от
f(p, q)P[(p, q). Кроме того, заметим, что функция p(p,q) при h Ф 0 может
быть не положительной, т. е. не соответствовать классическому состоянию,
но в пределе прн Л-»-0 из C) следует, что р(р, q) удовлетворяет всем требо-
требованиям к классической функции распределения.
3 Зак. 330 65

Покажем, что При й->-0 классическая наблюдаемая f(t) пра-
правильно зависит от времени. Оператор A[(t) удовлетворяет урав-
уравнению
^ip. = {H,Af(t)}h. D)
Из линейности соответствия f *-* Af следует, что 7*"*"*""^/"'
кроме того, при h-*0 {H, Af}h •«-> {Н, f}, поэтому при /г->0
классическое уравнение
является следствием квантового уравнения D).
Перейдем к подробному изложению. Рассмотрим некоторую
функцию f(p,q) и обозначим через f{u,v) ее преобразование
Фурье *:
~ '"" du dv> ^
u,v) = ~\f (q, p) e^e1*» dq dp. F)
Преобразование Фурье вещественной функции f(p,q) обладает
свойством
f(u, O)«=f(-a,-o). G)
Для построения оператора Af, соответствующего функции
f(p,q), хотелось бы заменить переменные q и р в E) на опера*
торы Q и Р. Сразу, однако, неясно, в каком порядке следует
писать некоммутирующие множители V(v) и И {и), перестано-
перестановочные соотношения для которых имеют вид
U (и) V(v)=V (v) U (и) elhm. (8)
Естественный (но отнюдь не единственный) рецепт, обеспе-
обеспечивающий самосопряженность, был предложен Г. Вейлем и
имеет вид
^\fe * dudv. (9)
ihuv
Появление дополнительного множителя е 2 связано с неком*
мутативностью V(v) и U(u) и обеспечивает самосопряженность
* Мы опускаем fe оговорки, которые следовало бы сделать, чтобы все
дальнейшие преобразования стали вполне строгими.
66

оператора А;. Действительно, используя G) и (8), имеем*
ihuv
(и, v) U* (и) V* (v) e 2 dudv —
-
dudv =
ihuv
' (v) U (u)e 2 du dv = A;.
В конце этого параграфа мы проверим, что по формуле (9)
функциям f(q) и f(р) соответствуют операторы f(Q) и f(P)
в полном согласии со сделанными прежде предположениями.
Найдем теперь формулу обращения. При вычислении следа
оператора К мы будем пользоваться формулой
[{x,x)dx, A0)
где К(х,у)—ядро оператора К- Найдем ядро оператора
V{v)U(u). Из формулы
V (v) U {и) ф (х) = е~ ivxq> (х — uh)
следует, что ядром интегрального оператора V{v)U(u) является
функция
V (v) U (и) (х, xf) = e-<'°*6 (x~uh — xr).
По формуле A0) имеем
оо
TtV(v)U(u)= \e-ivxt>(—uh)dx = -=^b(v)b(u). A1)
Проверим, что формула обращения имеет вид
ihuv
f(u,v) = hrrrAfV(-v)U(~u)e 2 . A2)
Для этого сосчитаем правую часть равенства, используя (8)
и A1),
ihuv
TrAfV(-v)U(-u)e 2 =
ihu'v' ihuv
)e 2 V(—v)U(—u)e 2 du''dv'' =
* В дальнейшем в написании интеграла по я-мерному пространству мы
опускаем символ R".
3* 67

iTr S / <"'' «О V(v')V(-v)U(u')U(-u)e^" ' +w-2u v)du'dv'=
_L Tr J f («', oO F (• - o) U («' - «)
± J f> (l/f ,0 б @/ _ 0) б (B/ _ B) ef ^'+«-«-'-) rfB, rf0, e
Положим в формуле A2) и = v = О
С другой стороны,
и мы убеждаемся в справедливости формулы A).
Теперь нам осталось найти по формуле A2) функции на
фазовом пространстве, соответствующие AfoAg и {Af,Ag}h,
и убедиться, что при Л->0 эти функции стремятся к fg и {f,g}.
Сначала найдем функцию F(p,q), соответствующую несиммет-
ризованному произведению AfAg. Для ее Фурье-образа имеем
thuv
hlt AfAgV{-v)U{-и)е1 =
f 2 X
ihu,v, ihuv
XV(v2)U(u2)e 2 V(-v)U(-u)e 2 =
h Tr (^-J J dux dvi du2 dv2 f (ы„ t>i) g (u2, v2) X
X exp Г-д- («!»! + «2»2 + uv + 2ait»2 — 2«it> — 2u2v)\.
Окончательно
dUl dt>1 dUi dv^ ("lJ v^> & (> °2)б ^' + °2 — f) X
A3)
Показатель в экспоненте был преобразован с учетом стоящих
под знаком интеграла б-функций. Напомним, что преобразовав
ние Фурье Ф(ы, v) произведения двух функций Ф{р, q)=*
68

— f (P> Q)g(P> Я) есть свертка преобразований Фурье сомножи-
сомножителей
Ф(и, v) =
== ~Шг S dUl dZ>l dUz dV2^ ^"b Vl^ ^> V^ б (^1 + ^2 — f) 6 («1 +  — «).
Функция F {и, v) отличается от функции Ф (и, v) множителем
-j-(u,v1-u2vl) который стоит под знаком интеграла. Этот мно-
житель зависит от порядка операторов Af и Ае, поэтому опе-
операторам AfAg и АеАг соответствуют разные функции на фазо-
ih ,
г> i г. -5-(«ifi-«2Oi) ,
вом пространстве. В пределе при п —> 0 е2 -> 1 и
F{p,q)-+<$>{p,q). Разумеется, это утверждение справедливо
и для функции Fs(p,q), соответствующей симметризованному
произведению Af °Ле.
Обозначим через G(p,q) функцию, соответствующую кван-
квантовой скобке Пуассона
{Af, Ag}h = -j (AfAg - AgAf).
Из формулы A3) получаем
G(u,v) =
dUl dVl du2 dv$ (Uu Vl) & ^> ^ б (Vi + V2 — V)X
X б («i + и2 - и) Ye2 — e2 J —
«= -^ J rf«i rft»i du2 dv2f («i, t»i) ^ («2. «2) б @i + fl2 — 0) X
X a (mi + ы2 — ы) sin -5-(«20i — «102)
и при Л->0
G {U, V) -> —^ ^ rf"l rft)> rf dtJ (t)l ~ "l°2) ^ ("b ^l) ^ («2. 02) X
X a (vi + 02 — 0) a ( + «2 — «)•
Интеграл, стоящий в правой части, является преобразованием
Фурье от классической скобки Пуассона
it <Л — df dg 3/ dg
и» ^;— а/, а? дд др >
* * df df
так как преобразованиями Фурье производных -j- и ^j яв-
являются функции —ivf и — iuf соответственно.
Таким образом, мы проверили все утверждения, сделанные
в начале параграфа.
69

В заключение приведем несколько примеров вычислений по
формулам этого параграфа.
Найдем формулу для ядра оператора Af в координатном
представлении. Используя формулу
V (v) U (и) (х, х') = е~1™Ь (x-uh- x%
получим
ihuv
Af(x,x') = -^ Jf (и, v)e-ivxb{x-uh-x')e 2 dudv,
Покажем, что /(<?) ¦«-»¦/(Q)- Для такой функции на фазовом
пространстве
f (и, V) = -^ \ f (q) el*W dqdp^f (о) б (и).
Здесь через f(v) обозначено преобразование Фурье функции
одной переменной f(q). Далее по формуле A4)
1X1
а оператор с таким ядром является оператором умножения на
функцию f(x). Точно так же в импульсном представлении легко
проверить, что f(/7)-<-> f(P).
Получим явную формулу, по которой можно найти класси-
классическое состояние, соответствующее пределу чистого квантового
состояния при h ->¦ 0.
Используя формулу обращения, найдем pi(q,p), соответ-
соответствующую оператору Р ф> и построим p(q,p)==f>jBnh). Век-
Вектор rf считаем заданным в координатном представлении.
Из формулы
V (-v) U (-и) Р? (х) = el*x \ I (*') W) ЛеЧ (* + uh)
следует, что
V (-v) U (-и) Р^ (х, х1) = е'™у (х + uh) t|> (x'),
ihuv
ihuv
t 2 dx.
70

Если ввести функцию *
F (х, и) = -—¦ lim ф (* + «Л) Щ, A5)
то р (к, ») = $ е'0*/7 (лг, ы) dx
есть Фурье-образ классической функции распределения, соот-
соответствующей пределу состояния Р$ при h ~* 0. Для самой функ-
функции распределения р (q, р) справедлива формула
)du. A6)
Пусть ¦ф(х)—непрерывная функция и не зависит от h как
от параметра. Тогда
и Р(р, <?) = 1
Такому квантовому состоянию в пределе ft->0 соответствует
состояние покоящейся частицы с плотностью функции распре-
распределения координаты ||()|2
p
Пусть ty(x) = (p(x)e h , где ср(л:) от h не зависит и непре-
непрерывна. В этом случае в пределе при h—»-0 мы придем к клас-
классическому состоянию с функцией распределения
Р(Р. <?) = 1ф(?I2б(р —Ро)-
На этих примерах мы видим, что чистому состоянию квантовой
механики в пределе при ft-vO может соответствовать смешан-
смешанное классическое состояние.
§ 15. Одномерные задачи квантовой механики.
Свободная одномерная частица
В § 15—20 мы рассмотрим одномерные задачи квантовой
механики. Функция Гамильтона для частицы с одной степенью
свободы в потенциальном поле имеет вид
Этой функции Гамильтона соответствует оператор Шредингера
* Этот предел не всегда является тривиальным, так как в физически
интересных случаях функция 1|э(х) обычно зависит от Л как от параметра
(см. пример ниже).
71

Для свободной частицы V = 0. Мы начнем с изучения этой про-
простейшей задачи квантовой механики. Найдем спектр оператора
Шредингера
Уравнение для собственных векторов имеет вид
?* = ?Ф B)
или в координатном представлении
2т dx* —hV- {6)
Удобно использовать систему единиц, в которой h = 1 и т =
= 1/2. Тогда уравнение B) при Е > 0 принимает вид
ф" + &2ф = 0, k2 = E, k>0. D)
Последнее уравнение имеет два линейно-независимых решения
Мы видим, что каждому значению Е > 0 соответствует две
собственных функции оператора Я. При Е < 0 уравнение C)
не имеет ограниченных на всей вещественной оси решений. Та-
Таким образом, спектр оператора Шредингера A)—непрерыв-
A)—непрерывный, положительный, двукратный.
Функции E) одновременно являются и собственными функ-
функциями оператора импульса Р — — irr-, соответствующими соб-
собственным значениям ±k. Заметим, что функции E) не принад-
принадлежат L2(R) и поэтому не являются собственными функциями
в обычном смысле. Для записи последующих формул удобно
считать, что —оо < k < oo, k = ± -у/Е. Тогда оба решения E)
имеют вид
'1*- F)
Нормирующий множитель в F) выбран из условия
(k-k/). G)
R
Столь же просто получаются решения уравнения B) в им*
пульсном представлении. При т = 1 уравнение B) имеет вид
р^ = к*Ъ, (8)
'а его решениями являются функции
Ф* (Р) = b{p-k)/k = ± л/Е. (9)
72

Нормировка функций (9) выбрана такой же, как и функций F),
Для того чтобы выяснить физический смысл собственных
функций ф*, построим решение нестационарного уравнения
Шредингера для свободной частицы
при начальном условии
¦ @)=Ф,||ф|| = 1.
Проще всего эта задача решается в импульсном представ'
лении
Очевидно, что
В координатном представлении это же состояние описы-
описывается функцией
{р) е' {РХ~"Ч) dp = Sф {k) ф* {x)e~im dk-
R R
Легко проверить, что нормировка функции i|>(*, t) не зависит
от времени
Формулу A0) можно рассматривать и как разложение ре-
решения уравнения Шредингера ф(х, t) по стационарным состоя-
состояниям, т. е. как обобщение формулы (9.13) на случай непре-
непрерывного спектра. Роль коэффициентов Сп здесь играет функ-
функция ф{&).
Состояние, описываемое функциями ф(х, t) или ф(р, t),
имеет наиболее простой физический смысл в том случае, когда
ф(р) отлична от нуля в некоторой малой окрестности точки р0.
Состояния такого типа обычно называют волновыми пакетами.
График функции |ф(р)|2 изображен на рис. 4.
Напомним, что \ty(p, t) |2 = |ф(р) |2 есть плотность функции
распределения импульса. Тот факт, что эта плотность не зависит
от времени, есть следствие закона сохранения импульса для.
свободной частицы. Если распределение |ф(р)[2 сосредоточено
73

в окрестности точки ро> то состояние ф@ может быть истол-
истолковано как состояние с почти точно заданным импульсом.
Функция \ty(x, t)\2 есть плотность функции распределения
координаты. Проследим за ее эволюцией во времени. Прежде
всего из теоремы Рима на — Лебега * следует, что для глад-
гладкой ф(р) i|) (x,t)-*O при \t\—* оо, поэтому стремится к нулю
¦ф(д;, t)\2dx, взятый по любой конечной области веществен-
ной оси ?2. Это значит, что при |<|->-оо частица уходит из лю-
любой конечной области, т. е. движение инфинитно.
Для того чтобы более подробно проследить за движением
частицы при больших \t\, используем метод стационарной
фазы. Этот метод применяется для
асимптотического вычисления интегра-
интегралов вида
х A1)
а
Р
при N-+oo. Для случая гладких функ-
функций f(x) и F(x) и при наличии одной
точки стационарности х функции }(х)
в интервале (a,b) (f (х)= 0, {"(х)Ф0) имеет место фор-
формула
/ (N) - (^упщ) 2 F (х) ехр № (х) + Щ- sign f" (x)) + О (±).
A2)
Перепишем выражение для ty(x, t) в форме
Верхний знак в экспоненте соответствует t > 0, нижний t < О,
найдем асимптотику функции i|)(x, t) при t-*±oo по формуле
A2). Точка стационарности находится из условия
• Теорема Римана — Лебега утверждает, что \ [ (х) еШх dx-*• 0 при
— оо
N->-<x>, если функция f(x) кусочно-непрерывна и абсолютно интегрируема иа
всей оси —оо < х <С оо.
74

откуда/5 =-27~ • Далее f"(p) = -t-2 и при ^-
Ч^) A3)
где % — вещественная функция, вид которой для дальнейшего
неважен.
По предположению функция ср(р) отлична от нуля только в
малой окрестности точки р0, поэтому | я|)(х, О I2— Ф (7") Щ\ ~^~
+ О(—rjA отлична от нуля только вблизи точки х = 2p$t. Из
этого соотношения видно, что область, в которой отлична от
нуля вероятность найти частицу, перемещается вдоль оси х
с постоянной скоростью v = 2ра, т. е." остается справедливой
классическая связь между импульсом и скоростью р = то
(напомним, что мы положили т — 1/2). Далее из асимптоти-
асимптотического выражения для |ф(л;, t)\2 ясно, что для корня из дис-
дисперсии координаты Аах при больших значениях |t| справед-
справедлива формула
Аих 2? 2 Аир 11\
или АщХ ^ Aav 111.
Это означает, что область, в которой велика вероятность обна-
обнаружить частицу, передвигаясь вдоль оси х, будет расплываться
со скоростью АщУ.
Нетрудно понять без всяких вычислений, что поведение клас-
классической свободной частицы, находящейся в состоянии с нену-
ненулевыми дисперсиями координаты и импульса, будет точно
таким же. Таким образом, квантовая механика приводит практи-
практически к тем же результатам для свободной частицы, что и клас-
классическая. Единственное отличие состоит в том, что в квантовой
механике, согласно соотношению неопределенностей, нет со-
состояний с нулевыми дисперсиями координаты и импульса.
Отметим еще некоторые формальные свойства решения
уравнения Шредингера для свободной частицы. Из соотноше-
соотношения A3) следует, что
т. е. при любых х имеет место неравенство
где С — некоторая константа. Естественно ожидать поэтому, что
вектор ty(t) слабо стремится к нулю при |f|->oo. Проще всего
это утверждение доказывается в импульсном представлении.
76

Для произвольного век-гора feL2(k) имеем
Последний интеграл стремится к нулю при |/|->оо по теореме
Римана — Лебега.
В координатном же представлении слабая сходимость
к нулю ф(^) имеет очень простой смысл. Постоянный вектор /
задается функцией, которая заметно отлична от нуля лишь
в некоторой конечной области Я, а область, в которой отлична
от нуля функция ty(x, t), расплываясь, уходит на бесконечность.
Поэтому (Ф@,/)->0 при |;|->-оо.
Проверим, что асимптотическое выражение A3) для функ-
функции ф(х, t) имеет правильную нормировку. При | ^ | —»¦ оо имеем
§ 16. Гармонический осциллятор
В классической механике гармоническим осциллятором на-
называется система с функцией Гамильтона
Параметр <а > 0 имеет смысл частоты колебаний.
Оператор Шредингера соответствующей квантовомеханиче'
ской системы имеет вид
Мы используем систему единиц, в которой т = 1, h = 1. Наша
задача найти собственные векторы и собственные значения опе-
оператора Н. Мы решим эту задачу, используя только перестано-
перестановочные соотношения Гейзенберга для операторов Р и Q и не
переходя к конкретному представлению. Для этого введем
операторы
1 ((oQ-гР).
Используя соотношение Гейзенберга
[Q,P] = i, C)

получим
ша* = \ (co2Q2 + Р2) + -f- (- QP + PQ) = Н + !
"Г <QP ~ PQ) = Я ~ Т
или
Н = ш*а+-^-. E)
Из D) и E) сразу находим перестановочное соотношение
для операторов а и а*
[а,а*] = 1. F)
Из F) легко проверяется по индукции, что
[а,(аТ] = я(аТ-'- G)
Наконец, нам потребуются перестановочные соотношения опе-
операторов а и а* с Я. Для вычисления коммутатора [Н,а] до-
достаточно умножить формулу D) на а справа, E) на а слева
и найти разность полученных выражений
[Н, а] = — аа. (8)
Аналогично
[Я, а*] = (оа\ (9)
Перейдем теперь к изучению спектра оператора Я. Пред-
Предположим, что существует хотя бы одно собственное значение Е
оператора Я. Соответствующий собственный вектор мы обо-
обозначим через i|)?. Покажем, что собственные значения Е огра-
ограничены снизу. Вектор ф? по условию удовлетворяет уравнению
Н = Е^е, которое может быть с учетом E) переписано в виде
Умножая это равенство слева на i|)?, получим
откуда сразу следует, что Е ^ со/2, причем знак равенства воз-
возможен только при условии а^Е = 0. Из выражения E) для Я
видно, что если некоторый вектор я|> удовлетворяет условию
аф = 0, то он является собственным вектором оператора Я, со-
соответствующим собственному значению со/2.
Покажем, каким образом можно по произвольному собствен-
собственному вектору фя построить новые собственные векторы. Под-
Подсчитаем выражение На^Е, используя (8):
= (Е — со) аф?.
77

Из последнего соотношения видно, что либо ая|>? является соб-
собственным вектором, соответствующим собственному значению
Е — со, либо ая|>? = 0. Если аф>? Ф 0, то вектор а2ф? либо соб-
собственный с собственным значением Е — 2<а, либо а2ф>? = 0. Та-
Таким образом, по произвольному собственному вектору ф? может
быть построена последовательность собственных векторов фя,
а^Е, ..., аы$Е, соответствующих собственным значениям Е,
Е — со, ..., Е — N<s>. Эта последовательность, однако, не может
быть бесконечной, так как собственные значения оператора Н
ограничены снизу числом со/2. Поэтому существует такое N ^ 0,
что aN^E ?= 0, aN+i^E = 0. Обозначим вектор aN^E через i|H.
Этот вектор удовлетворяет уравнениям
а<фо = О, #фо = уФо- A0)
Мы видим, что предположение о существовании хотя бы
одного собственного вектора i|)? эквивалентно предположению
о существовании вектора ф0, удовлетворяющего A0). Вектор ф0
описывает основное состояние осциллятора, т. е. состояние
с наименьшей энергией со/2.
Посмотрим, как действует оператор а* на собственные век-
векторы оператора Н. Используя (9), получим
Обратим внимание на то, что а*ф? не может быть нулевым
вектором. Действительно, из выражения D) для оператора Н
видно, что вектор, удовлетворяющий уравнению а*я|> = 0, яв-
является собственным вектором Н с собственным значением
—оэ/2, что невозможно, так как Е ^ <о/2. Поэтому из A1) сле-
следует, что а*ф? является собственным вектором оператора Н
с собственным значением (? + <о). Аналогично (а*Jфя—соб-
(а*Jфя—собственный вектор с собственным значением (? + 2со). Начиная
такое построение с вектора фо, мы получим бесконечную после-
последовательность собственных векторов фо, а*фо, •••, (я*)"Фо, •••,
соответствующих собственным значениям оэ/2, со/2 + со, ...
..., (п+ 1/2) со, ... Пусть вектор ф0 нормирован || фо II = 1- Вы-
Вычислим норму вектора (а*)"фо
II (а*)Ч0 II2 = ((аУФо, (аТ*>) = (Фъ а" (а*
При вычислении использовалось перестановочное соотношение
G) и равенство A0).
Таким образом, последовательность нормированных соб-
собственных векторов оператора Н можно задать формулой
фя = -^=-(аТ*о. « = 0,1,2, ... A2)
78

Ортогональность векторов ф«, соответствующих различным соб-
собственным значениям, следует из общих соображений, но может
быть проверена и непосредственно
(Фй. ¦Фп) = ¦¦ / -' (Фо. ак(а*)"ф0) — 0 при k ф п.
Последнее равенство получается из формул G) и A0).
Обсудим теперь вопрос о единственности вектора фо. Натя-
Натянем на ортонормированную систему векторов фп гильбертово
пространство Ж. Элементы феЖ имеют вид
пг<°°- A3)
В этом пространстве мы получим реализацию перестановочных
соотношений Гейзенбера, если положить в соответствии с B)
а + а* п лАЗ>а*)
/V2 '
Соотношение C) тогда является следствием формулы F).
Пространство Ж инвариантно относительно действия операто-
операторов Р и Q (точнее, относительно ограниченных функций f(P)
и F(Q), например, О (и) и V(v)) и не содержит подпространств,
обладающих тем же свойством. Поэтому представление опера-
операторов Q и Р формулами A4) в Ж неприводимо.
Если в некотором представлении существует два вектора фэ
и фо> удовлетворяющих уравнению A0), то наряду с Зв может
быть аналогично построено пространство Ж' по вектору фо- Это
пространство будет инвариантным относительно Р и Q, т. е.
представление, в котором существует более одного решения
уравнения A0), будет приводимым.
§ 17. Задача об осцилляторе в координатном представлении
В предыдущем параграфе мы чисто алгебраическим путем
нашли спектр оператора Шредингера для осциллятора. Было
сделано только одно предположение, что существует хотя бы
один собственный вектор оператора Н. Это эквивалентно суще-
существованию решения уравнения афо = 0. Покажем, что в коор-
координатном представлении действительно существует единствен-
единственное решение этого уравнения. Запишем операторы а и а* в ко-
координатном представлении
а =
л/2со \ dx )'
79

Уравнение aif>o= 0 принимает вид
Разделяя переменные, получим
—jp. = _ ах их
и Фо (х) = Се 2 .
Постоянная С находится из условия нормировки
Этому условию удовлетворяет С = (со/яI/4, и нормированная
собственная функция для основного состояния имеет вид
Собственные функции для возбужденных состояний ф„'(л;)
находятся по формуле A6.12) с учетом B)
ах*
— — I e~ 2
Очевидно, что эти функции имеют вид
где Рп(х) — полином n-й степени. Можно показать, что Рп(х) =
= Нп(л/ах), где Нп(Ъ)—полином Чебышева — Эрмита. Изве-
Известно, что система функций Hn(Qe 2 полна в L2(R). Это
утверждение, вообще говоря, следует из неприводимости коор-
координатного представления и результатов предыдущего пара-
параграфа.
Функция |фп(#)|2 является плотностью функции распреде-
распределения координаты в п-и состоянии осциллятора. Интересно
сравнить это распределение с соответствующим классическим
распределением. Решение классической задачи об осцилляторе
имеет вид
x(t) = A sin (<о^ + ф), C)
где А — амплитуда колебания, а <р — начальная фаза. Энергия
колебаний может быть вычислена по формуле
F_?_ , ©2х2

и равна gA42/2. Соответствующая плотность функции распреде-
распределения координаты имеет внд
F(x) = 6(x-x(t)). D)
Ясно, что стационарное состояние квантового осциллятора ни
при каких условиях не может переходить в классическое чистое
состояние, задаваемое формулой C). Естественно предполо-
предположить, что пределом квантового состояния будет классическое
смешанное состояние, являющееся выпуклой комбинацией C)
F(x)
-А
Рис. 5.
со случайными фазами (р. Для такого состояния плотность функ-
функции распределения координаты получается усреднением D)
Л
2я 2
If If
F (х) = 2^г \ 6 (A sin (со* + ф) — х) dtp = — \ 6 (A sin ф — х) dtp —
или короче
1
я V
6(Л2
'А1'
—
1
'¦ —
х'}
X2
0,
1
¦'(-Л, А),
'¦{-А, А),
Графики функций F(x) и |г|)п(^)|2 приведены на рис. 5 для
достаточно большого п при условии, что* Еп = h(n + 1/2)со =
= и2Л2/2. При п -> оо квантовое распределение будет стре-
стремиться к классическому. Условие п-*<х> при заданной энер-
энергии Е может быть выполнено, если h -> 0.
Отметим важное отличие функций F(x) и |г|?л(л:) J2. Функ-
Функция F(x)=0 при [л:|>Л, т. «у классическая частица всегда
находится между точками —А и А (в классически разрешен-
разрешенной области). Функция |г|>л(л:)|2 ПРИ |*|>Л в нуль не
обращается. Это означает, что квантовая частица может быть об-
обнаружена с конечной вероятностью в классически запрещенной
* Здесь мы для удобства явно выписываем постоянную Планка А, не
считая, что А ¦= 1.
81

области. Для произвольного потенциала V(x) эта область опре-
определяется из условия, что полная энергия Е < V(x), что соот-
соответствует отрицательным значениям классической кинетиче-
кинетической энергии.
§ 18. Представление состояний одномерной частицы
в пространстве последовательностей /2
Согласно результатам § 16 любой вектор фе5^ может быть
разложен в ряд по собственным векторам оператора энергии
гармонического осциллятора
Каждый вектор фе5^ однозначно определяется последова-
последовательностью коэффициентов {Сп}, т. е.
Ф — {Сп}-
Пусть г|> ¦<->{?„}, тогда в силу ортонормированности системы
(а*)п
векторов о|>„ = __ г|>0
¦ynl
(ipj ф) =
Посмотрим, как действуют операторы в таком представле-
представлении. Для этого достаточно построить операторы а и а*. Пусть
Ф -*->¦ {Сп}, аф *-^ {C'Jf. Нам нужно выразить С'п через Сп. Это
можно сделать следующим образом:
Е(а*)п *~* " in*\n-i
Сп —т=- гЬ0 =
-ул!
A)
При вычислении использовались соотношения [а, (а*)п] =
= п(а*)п~\ аг|>о = 0, последнее равенство получается при за-
замене значка суммирования п-*п-\-\. Из A) видно, что
<^ = Уп+1С„+1- B)
Аналогично
82

Поэтому, если а
C)
Формулы B) и C) становятся особенно наглядными, если
использовать матричные обозначения. Будем записывать по-
последовательность {Сп} в виде столбца
С,
Тогда операторы а я а* могут быть записаны при помощи мат-
матриц
о о
о о
V2 о :
0 л/3 !
л/Г
1- D)
Проверим, что такая запись эквивалентна соотношениям B)
и C). Действительно,
л/Г с,
V2 С2
Уз с3
что совпадает с формулой B); аналогично проверяется связь
формул C) и D). Для операторов а и а* в представлении D)
сразу же проверяется перестановочное соотношение [а,а*]= 1.
Собственные векторы оператора Н в этом представлении имеют
вид
11 0] 0
0
0
0
V*
0
0
0
V2
0
0 .4
0 •}
V3 : j
п
0
1 С
1 ;
о
Очевидно, что вектор а|>о удовлетворяет уравнению аг|>о = 0.
Операторы а* я а часто называют операторами рождения
и уничтожения возбуждения. Эти названия объясняются тем,
что оператор а* превращает состояние с энергией Е в состояние
83

с большей энергией Е -\- к>, а оператор а — состояние с энер-
энергией Е в состояние с энергией Е — и (основное состояние ij>o
оператор а аннулирует). Иногда вводят так называемый опе-
оператор числа возбуждений N = а*а. В нашем представлении он
имеет вид
N-
Собственные значения этого оператора совпадают с порядко-
порядковым номером возбужденного состояния г|>п.
Выпишем, наконец, операторы Я, Р и Q в рассматриваемом
представлении
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
о •
0 '
з :
Я = act* a +
в)
2
0
0
0
3
0
о •
о ;
5
E)
¦у/® (а — а*)
1л/2
г-v'2
О
-VI
о
о
о
¦ V2
О
0
V2
0
-л/з
0 .
о :
У3"
о :
F)
л/2в7 л/2в)
о Vi о о
0 л/2 О
О д/2 0 л/3
О 0 л/3 О
G)
Из этих формул видно, что Я представляется диагональной
матрицей, т. е. рассматриваемое представление является соб-
собственным для оператора Шредингера гармонического осцилля-
осциллятора. Далее, сразу видно, что Р и Q — самосопряженные опе-
операторы, и легко можно проверить выполнение перестановочного
соотношения [Q, Р] = i.
В связи с представлением состояний в пространстве 12 хоте-
хотелось бы несколько слов сказать о первоначальной матричной
формулировке квантовой механики Гейзенберга. На начальном
этапе развития квантовой механики основной была задача
84

о нахождении допустимых значений энергии системы. Рецепт,
предложенный Гейзенбергом применительно к системе с одной
степенью свободы, состоял в следующем. Рассматривалась
классическая система с функцией Гамильтона H(q,p) =
= р2/2т + V(q). Строились самосопряженные матрицы Q и Р,
удовлетворяющие соотношению [Q, Р] = i (такие матрицы оп-
определены неоднозначно). Далее строилась матрица # =
= Р2/2т-\- V(Q). Последний этап состоял в диагонализации
этой матрицы, причем собственные значения матрицы Н отож-
отождествлялись с допустимыми значениями энергии.
Формулы F) и G) дают пример матриц Р и Q, удовлетво^
ряющих перестановочным соотношениям Гейзенберга. Эти мат-
матрицы подобраны так, что матрица оператора Н для осцилля^
тора сразу является диагональной. Однако для произвольного
Н нельзя обойтись без этапа диагонализации.
Мы видим, что формулировка Гейзенберга по существу
совпадает с современной формулировкой квантовой механики,
если в качестве пространства состояний взять пространство k.
§ 19. Представление состояний одномерной частицы
в пространстве целых аналитических функций 3)
Рассмотрим множество функций комплексного переменного
вида
п=0
Это множество функций 3> становится гильбертовым простран-
пространством, если скалярное произведение определить формулой
. B)
Интеграл берется по комплексной плоскости и d\i(z) = dxdy.
Проверим, что функции zn/-y/n\ образуют ортонормирован-
ный базис в 3). Для этого вычислим интеграл
оо 2я
Urn = \ zn~z™e-\ z l! dfi (z) *= | рф \
о о
о о
При пф m Imn = 0 за счет интегрирования по ф. При п — т
имеем
85
Inn = 2n J p2«+ie-p2 dp = я J
о о

Eta*I1
может
Cn — , qp «->¦ f (z). Соб-
n
ственные векторы осциллятора г|>га представляются базисными
функциями zn/-y/n\.
Посмотрим, как действуют операторы а и а* в таком пред-
представлении. Используя выкладки, которые привели нас к фор-
формулам A8.2) и A8.3), мы можем записать векторы аф и аф*
в виде
Эти векторы представляются функциями
Cn—7=^ = -—
л/п\ dz
п
т. е. для операторов а и а* мы получили представление
d »
Выпишем соответствующие формулы для операторов Q,
Ри Н
Все основные соотношения ([a, a*] = l, [Q, P] = i, Яа|з„ =
«= со Г/г + -jJ г|)„J могут быть легко проверены в таком пред-
представлении. Построенное представление может оказаться удоб-
удобным, если изучаемые наблюдаемые есть полиномы от Q и Р.
§ 20. Общий случай одномерного движения
В предыдущих параграфах мы рассмотрели две одномерные
задачи квантовой механики — задачи о свободной частице н
о гармоническом осцилляторе. Свободная частица дает нам
пример системы с непрерывным спектром для оператора Шре-
86

дингера, а гармонический осциллятор — с чисто точечным
спектром. В большинстве реальных физических задач спектр
оказывается более сложным. Рассмотрим задачу о спектре опе-
оператора Шредингера
при весьма общих предположениях о потенциале.
Обычно силы, действующие на частицу, заметно отличны от
нуля в какой-то конечной области на оси х и стремятся к нулю
при |дг|-*оо, поэтому наиболее часто встречаются потенциалы
V(x), которые стремятся к постоянным значениям при *->
-* ±°°. Для простоты рассуждений мы ограничимся случаем,
Рис. 6.
когда потенциал строго равен постоянным при х~<С—а и при
х > а. Используя произвол в определении потенциала, одну из
этих постоянных всегда можно считать равной нулю.
Рассмотрим уравнения Шредингера
V + E$ = V(x)$ A)
при условии, что V(x)— непрерывная функция на вещественной
оси, и V(x)=0 при x<— a, V(x)= V<, при х > а. Для опре-
определенности будем считать, что Vo > 0. График потенциала изо-
изображен на рис. 6.
При х < —а и х > а уравнение Шредингера A) упрощается
г|/' + ?г|> = 0, х<-а, B)
' УоИ = 0, х>а. C)
При любых значениях Е существует два линейно-независимых
решения уравнения A), которые мы обозначим через г|>1 и \|J.
Общее решение этого уравнения
D)
87

При изучении спектра оператора Я нас интересуют либо квад-
квадратично интегрируемые решения уравнения A), которые яв-
являются собственными функциями оператора Я, либо решения,
ограниченные на всей вещественной оси. При помощи послед-
последних может быть описан непрерывный спектр оператора Я.
Рассмотрим теперь три случая.
1) ?<0.
Уравнения B) и C) перепишем в виде
-ф" — х2г|> = 0, х < — а, х2 = — Е > О, х > О,
ц," — Ц-ф = 0, х > а, х2 = - (Е - Vo) > О, х, > 0.
Линейно-независимыми решениями этих уравнений являются
функции е±кх при х <—аи e±KiX при х > а. Поэтому произ-
произвольное решение D) уравнения A) в области х<—а имеет
вид C[e~KX + С'2екх, а в области х > а — С(е~^х -f C{e^x. Здесь
С[, С'г, С" и С'{ — некоторые постоянные, линейно зависящие
от С\ и С2 формулы D). Решение а|з будет квадратично инте-
интегрируемым при условиях С'\ = 0 и С'( = 0. Уже одного из этих
условий достаточно для того, чтобы а|з была определена с точ-
точностью до численного множителя. Из условия С[ — 0 может
быть найдено отношение коэффициентов С\ и С2, которые бу-
будут зависеть от параметра Е,
Аналогично из условия Сг'^О получим
Квадратично интегрируемое решение ty будет существовать
только при тех значениях Е, для которых
Корни этого алгебраического уравнения, если они существуют,
являются собственными значениями оператора Я. Из приведен-
приведенных соображений естественно ожидать наличие простого точеч-
точечного спектра при Е < 0.
2) 0 < Е < Vo.
Уравнения B) и C) запишем в виде
¦ф" -f Уг2г|> ==; 0, х<— а, k2 = E>0, k>0,
4>"-x24> = 0, х>а, х2 = -(?-К0)>0, х,>0.
Линейно-независимыми решениями являются функции e±ikx при
х < —а и е±к'х при л: > с. Сразу видно, что квадратично ин-
интегрируемых решений нет, а ограниченное решение может быть
88

построено, если выбрать C\ld так, чтобы ty имела вид С'(е~ях
при х > а. Поэтому в интервале О < Е < Vo спектр является
простым непрерывным.
3) Е > 1/0.
В этом случае оба уравнения B) и C) имеют осциллирующие
решения (e±ikx- при х < — а и e±ik'x при х > a, k\ = E— Vo),
поэтому любое решение уравнения A) является ограниченным,
а квадратично интегрируемых решений нет. Спектр оператора Н
при Е > Fo — непрерывный, двукратный.
На рис. 6 собственные значения оператора Н изображены
горизонтальными линиями, обычной штриховкой показана об-
область простого непрерывного спектра, а двойной штриховкой —
область двукратного спектра.
Обсудим физический смысл решений уравнения A). Квад-
Квадратично интегрируемые решения описывают стационарные со-
состояния с энергией, равной собственному значению. Эти функ-
функции экспоненциально убывают при |х| —>-оо, поэтому вероят-
вероятность обнаружить частицу вне некоторой конечной области
близка к нулю. Ясно, что такие состояния соответствуют финит-
финитному движению частицы. Собственные функции непрерывного
спектра непосредственного физического смысла не имеют, так
как они не принадлежат пространству состояний. Однако с их
помощью могут быть построены состояния типа волновых па-
пакетов, которые мы рассматривали для свободной частицы. Эти
состояния могут быть истолкованы как состояния с почти за-
заданной энергией. Изучение эволюции таких состояний показы-
показывает, что они описывают частицу, которая при | ^ ] —»- оо уходит
на бесконечность (инфинитное движение). К этому вопросу мы
еще вернемся, когда будем изучать теорию рассеяния.
В классической механике, как и в квантовой, при Е < О
движение является финитным, а при Е > 0 — инфинитным. При
О < Е <С Vq частица может уйти на бесконечность по одному
направлению, а при Е > Vo — по двум. Обратим внимание на
то, что кратность непрерывного спектра совпадает с числом
направлений, по которым частица может уйти на бесконеч-
бесконечность.
На примере частицы в одномерной потенциальной яме рас-
смотрим вопрос о классическом пределе квантовых стационар-
стационарных состояний. Для вычисления предела A4.15) удобно исполь-
использовать асимптотический вид решения уравнения Шредингера
при /г->0. Методы построения асимптотических решений урав-
уравнения Шредингера при к-*0 носят название квазиклассических
методов. Мы применим один из таких методов — метод Вен-
целя, Крамерса, Бриллюэна (ВКБ).
Уравнение Шредингера запишем в виде
4>" + *-J(*4 = 0. E)
89

Здесь, как и прежде, мы используем систему единиц, в которой
Т \ S(*) dx I, получим уравнение
для функции g(x)
ihg'-g2 + E-V = 0. F)
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по сте-
степеням h/i
Подставляя G) в E), имеем
- Ё (t)V-, -IE (т)" «*- - «s+? -v=»•
га=1
Приравнивая коэффициенты при (h/i)n, получим систему
реккурентных уравнений для функций gk(x):
g\ = E-V, (8)
Из (8) находим go(x)
Здесь р(х) при Е ^ У (л:) есть классическое выражение для
абсолютной величины импульса частицы с энергией Е в поле
V(x). При ? < V(x) функция р(х) становится чисто мнимой.
Полагая п = 1, из (9) получаем
Ограничиваясь этими членами разложения G), получим асим»
птотический вид при /г->0 для двух линейно-независимых ре»
шений уравнений Шредингера
A0)
при р(х)фО. Функции A0) иногда называют ВКБ-решениями
уравнения Шредингера.
Точная теория метода ВКБ довольно сложна. Известно, что
ряд G) в общем случае расходится и представляет собой асим-
асимптотический ряд. Конечное число членов этого ряда позволяет
построить хорошее приближение для функции ty, если постоян-
90

ную Планка h можно считать достаточно малой в условиях кон-
конкретной задачи.
В дальнейшем будем считать, что потенциал V(x) = О при
|*| ^ а и пусть Е < 0. Предположим, что при min V (х) < Е < 0
X
имеется две точки х\ и х2 (—а ^ х\ < *2 <| а), удовлетворяю-
удовлетворяющие условию Е — V(x) = 0. Это так называемые точки пово-
поворота, в которых частица, согласно классической механике ме-
меняет направление движения на противоположное. Нетрудно
понять, что в классически запрещенной области (х < х\ или
х > х%) одно из ВКБ-решений экспоненциально возрастает,
а второе — затухает при удалении от точки поворота в глубь
запрещенной области. При |х|>а ВКБ-решения совпадают
с точными и имеют вид e±ttx,. где Е = —%2. Вспомним, что соб-
собственная функция дискретного спектра оператора Н экспонен-
экспоненциально убывает при х->±оо. При ft->0 собственная функция
в разрешенной области должна совпадать с некоторой линей-
линейной комбинацией ВКБ-решений Ci\fi •+• С2$2- Построение такой
линейной комбинации является сравнительно сложной задачей,
так как ВКБ-решения теряют смысл в точках поворота. Можно
показать, что условия убывания функции ф(х) при х-*—оо
выполняются, если
(X
-| \p(x)dx + ^\ + O{h). A1)
(
Аналогично из условий убывания при х->+оо следует, что
Эти два выражения для ф(х) совпадают, если
я = 0, 1, 2, ... A3)
Условие A3) определяет собственные значения энергии в ква-
квазиклассическом приближении и соответствует правилу кванто-
квантования Бора — Зоммерфельда в старой квантовой теории.
Перейдем к вычислению классического предела квантового
состояния. Предел при ft->0 можно находить при различных
условиях. Можно, например, рассмотреть состояние, соответ-
соответствующее собственному значению энергии Е„ при фиксирован-
фиксированном значении числа п из условия A3). Легко видеть, что тогда
En~*-V0 = minV(х) при ft->0 и в пределе получится состояние
х
покоящейся частицы на дне потенциальной ямы. Мы разберем
более интересный случай: ft->0, n-*oo, а энергия Е остается
постоянной. (Заметим, что в данном случае интеграл в левой
91

части A3) от ft не зависит и ft->0, пробегая некоторую после-
последовательность значений.) Подставляя в формулу A4.15) асим-
асимптотическое выражение A1) для \|з {х), получим
F<*• «) = 4rlimt(A; + Mft)tW =
*я ft-»o
(x+uh
(x+uh .
i- [ p(x)dx + ^\
x+hu
— cos 11- ^ p(x)rfx + -|- ^p(x)rfx+YJ .
\ X, X\ / J
Все нормировочные множители мы обозначаем буквой С. Пре-
Предел второго слагаемого в смысле обобщенных функций равен
нулю, поэтому
F Iх» ")= 77*Гcos ^р ^ "^
Используя A4.16), найдем функцию распределения для пре-
предельного классического состояния
00
р (q, р) = -?— J е- {Р" cos (p (q) и) du =
-О©
00
Окончательно получим
— 00
Состояние, описываемое функцией р(д,р), имеет очень про-
простой смысл. В этом состоянии плотность функции распределе-
распределения координаты обратно пропорциональна классической ско-
скорости частицы, а импульс частицы в точке q с равной вероят-
вероятностью может принимать два значения ±p(q). Формула A4)
была получена для разрешенной области. Нетрудно таким же
способом проверить, что в запрещенной области p(q,р)= 0.
§ 21. Трехмерные задачи квантовой механики.
Трехмерная свободная частица
Оператор Шредингера для свободной частицы в координат-
координатном представлении имеет вид
92

Уравнение для собственных функций (при h = 1, т = 1/2)
-Дф = ?2ф, ? = ?2>0 B)
имеет решения
з
Нормировочная константа выбрана из условия
Мы видим, что спектр оператора Н является положитель-
положительным, непрерывным, бесконечнократным. Каждому направлению
вектора к соответствует собственная функция C) с собствен-
собственным значением k2. Поэтому собственных функций столько,
сколько точек на единичной сфере.
Решение задачи Коши для нестационарного уравнения Шре-
дингера
4
как и в одномерном случае, легче всего получить в импульсном
представлении:
л0( ^ (Р) 0)=
Очевидно, что
Переходя к координатному представлению, получим
2 S ^(p) ei {рх~РЧ) dp =
Так же, как и в одномерном случае, функции ф(х, t) или
ф(р,/) описывают инфинитное движение частицы с независя-
независящей от времени функцией распределения импульса. Используя
метод стационарной фазы, можно показать, что область, в ко-
которой велика вероятность обнаружить частицу, перемещается
с классической скоростью v = 2po (мы считаем, что носитель
функции ф(р) сосредоточен в окрестности точки ро). Справед-
Справедлива оценка
где С — некоторая постоянная. Наконец, как и в одномерном
случае,
Нт (|, -ф @) == 0
для любого | г Ж
93

§ 22. Трехмерная частица в потенциальном поле
Оператор Шредингера для частицы в потенциальном поле
в координатном представлении имеет вид
Важность задачи о движении частицы в потенциальном поле
объясняется тем, что к ней сводится (как и в классической
механике) задача о движении двух тел. Покажем, как это
делается в квантовой механике. Рассмотрим систему двух час-
частиц с массами т\ и т2, взаимодействие между которыми опи-
описывается потенциалом V(x\ — Х2). Запишем оператор Шредин-
Шредингера этой системы в координатном представлении
Здесь Ai и Дг—операторы Лапласа по координатам первой
и второй частиц соответственно.
Введем новые переменные
v miXi +т2х2
* = mi + mt • х —Xl-x2,
X — координаты центра инерции системы, а х — относительные
координаты. С помощью простых вычислений получим выраже-
выражение для Н в новых переменных:
Здесь М = mi + т^ — полная масса системы, а ц = mim2/(mi -f
-f- m%) — так называемая приведенная масса. Первое слагаемое
в Н может быть истолковано как оператор кинетической энер-
энергии центра инерции системы, а оператор
является оператором Шредингера для относительного движе*
ния. В уравнении
переменные разделяются, и решения такого уравнения можно
искать в виде
Функции ф(Х) и i|)i(x) удовлетворяют уравнениям (А = 1)
-L Дф, (х) + V (х) ih (х) = e,4i (х),
94

Причем Ё — ъ-\-ъ\. Первое из этих уравнений имеет решения
задача сводится к решению второго уравнения, которое по
форме совпадает с уравнением Шредингера для частицы с мас-
массой ц в потенциальном поле V(x). Отметим, что спектр опера-
оператора Н является всегда непрерывным, так как непрерывным яв-
является спектр оператора — ~Щ~^-
Наиболее важным случаем задачи о движении частицы в по-
потенциальном поле является задача о движении в поле силового
центра. В этом случае потенциал V(x)=F(|x|) зависит только
от |х| = г. К задаче о центральном поле сводится задача двух
частиц, если потенциал взаимодействия зависит только от рас-
расстояния между частицами. Прежде чем переходить к рассмот-
рассмотрению этой задачи, мы изучим свойства момента импульса
и некоторые вопросы из теории представлений группы враще-
вращений, что позволит нам явно учесть сферическую симметрию
задачи.
§ 23. Момент импульса
В квантовой механике операторы проекций момента им*
пульса определяются формулами
A)
Введем еще одну наблюдаемую, которая называется квад-
квадратом момента импульса
L2 = L\ + Lt + Ll B)
Найдем перестановочные соотношения для операторов L\,
Z-2, Z-з и L2. Используя соотношения Гейзенберга [Q,, Рн] =
= i8,k и свойства коммутаторов, получим
[I,, Z*] = [Q2P3 ~ Q3P2, Q3P\ - Q1P3] =
= Q2P1 [Р3, Q3) + Q1P2 [Q3, Р3] = i (QА - Q2P1) = 1I3.
Таким образом, операторы L\, L2, 1з удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
[Li, L2] ==iLs,
[L2,L3]^iLu C)
[L3, L{\ = iL2.
95

Нетрудно проверить, что все операторы L\, L% L3 коммути-
коммутируют с L2
[L,, L2] = 0, j= 1,2,3. D)
Действительно,
[Lb L2] = [L,, tf + L
= [L,, L2] L2 + L2 [L,, L2] + [Lb L3] L3 + L3 [Lu L3] =
= iL3L% -f" 1L2L3 — 1L2L2 — iL3Li = 0.
При вычислении использовались свойства коммутаторов и фор*
мулы C).
Из перестановочных соотношений C) и D) следует, что
проекции момента импульса не являются одновременно изме»
римыми величинами. Одновременно измерены могут быть квад*
рат момента импульса и одна из его проекций.
Выпишем операторы проекций момента импульса в коорди»
натном представлении
д д
^-*^
д д
x
Нетрудно убедиться, что операторы L\, L2, L3 действуют
только на угловые переменные функции г|)(х). Действительно,
если функция ф зависит только от г, то
L&(г) = /(х2-^ - *,^) ф(д» + х\ + xt) =
= W (x\ + x\ + xl) (ха • 2х, - х, • 2х2) = 0.
Для дальнейшего полезной окажется формула
которую мы тоже проверим в декартовых координатах. Для
этого вычислим оператор —L2, используя обозначения х, у, г
для проекций х:
д д V
96

Учитывая соотношения
д д . д , д
dV_ 2_^!_ I i. <.
<?x2 ' " ду2 дг2 дх " ду
у ду dz ' *"л дг дх '
получим -^^(iy^'A
§ 24. Группа вращений
Обозначим через G совокупность всех вращений простран-
пространства. R3 вокруг начала координат. Каждое вращение g e G
порождает линейное преобразование трехмерного пространства
где теперь мы буквой g обозначили матрицу ||#/*||, которая
называется матрицей вращения. Хорошо известно, что g яв-
является ортогональной матрицей и detg= 1. Верно и обратное:
каждой такой матрице соответствует определенное вращение.
Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять вращения
и их матрицы. Группа вещественных ортогональных матриц
третьего порядка с определителем, равным единице, называется
группой SOC) или группой вращений.
Существует несколько способов параметризации вращений.
Так, в теоретической механике часто используются углы Эй-
Эйлера. Для наших целей наиболее удобно задавать вращение
вектором а = па (|п|= 1), который направлен по оси враще-
вращения п и длина которого а равна углу поворота. При этом счи-
считается, что направление вращения и направление вектора а
образуют правый винт, и угол поворота а не превосходит я
(О^а^я). Если откладывать векторы а от Одной точки, то
их концы будут заполнять шар радиуса п. Различным внутрен-
внутренним точкам этого шара будут соответствовать различные вра-
вращения, а диаметрально противоположным точкам границы —.
одинаковые вращения.
Таким образом, группа вращений топологически эквива-
эквивалентна шару, у которого отождествлены противоположные
точки границы.
Установим связь между группой вращений и алгеброй Ли
кососимметрических матриц третьего порядка.
Матрица А называется кососимметрической, если А' = —А.
Произвольная кососимметрическая матрица задаётся тремя
4 За к. 330 97

параметрами и имеет вид
(О а12 ап'
— #12 U #23
— #13 — #23 U
Совокупность кососимметрических матриц становится алгеб-
алгеброй Ли, если в качестве лиевской операции взять коммутатор
[Л,В]. Это утверждение следует из свойств коммутаторов
и равенства [А,В\' = — [Л,В]. Последнее проверяется непо-
непосредственно:
[Л, В]' == (АВ - ВА)' = В'А' - А'В' = ВА-АВ = - [А, В].
В качестве образующих алгебры Ли удобно выбрать мат-
матрицы
/О 0 0\ / 0 0 1\ /0 -1 О'
А{= 0 0 -1 , Л2= 0 0 0, Л3= 1 00
\0 1 0/ \—1 0 0/ \0 0 0-
Любая кососимметрическая матрица может быть представлена
в виде
Л (а) = а,\А\ + а2А2 + а3А3.
Найдем перестановочные соотношения для матриц А\, Л2
и Л3
[Ль А2} = А1А2 —
и искомые соотношения имеют вид
[Аи Л2] = Л3,
[Л2, Л3] = Л,, A)
[Л3, А1] = А2.
Непосредственно может быть проверена формула
[Л (а), Л(Ь)] = Л(аХЬ).
Рассмотрим матрицу е0^3. Для того чтобы получить явное
выражение для этой матрицы, вычислим целые степени мат-
матрицы А3
1 0 0
98
= 0-10 =-

Раскладывая е™-4* в ряд получим
() ( )i
n-0 ft-1 ft-l
= /-f/з (cos a — 1) + j43sina
(cos a —sin a 0\
sin a cos a 0 I.
0 0 1/
Мы видим, что eaAj является вращением вокруг третьей оси
на угол а, т. е. g@, 0, а) = еаЛ). Аналогично проверяется, что
g(a, О, 0) = еаЛ| и g@, а, 0) = еаЛг. Для вращений вокруг оси
координат мы будем использовать сокращенное обозначение
gi(a), 1= 1, 2, 3.
Инфинитезимальными образующими группы вращений на-
зываются матрицы :
Используя формулы для вра-
щений вокруг осей координат, получим
_^ dg(ai, 0, 0) I _ аеа'л
,0 5а1 L,—0 5а'
5ai
Аналогично
dg(a)
да2
а-0
а=0
== /13-
Мы видим, что кососимметричные матрицы А\, А% Л3 яв-
являются инфинитезимальными образующими группы вращений.
Теперь мы легко можем получить формулу для произволь-
произвольного вращения g(na). Очевидно, что произведение вращений
вокруг одной оси п на углы аир есть вращение на угол a -f p
вокруг той же оси:
Дифференцируя это тождество по р и полагая Р = 0, получим
(Mi + п2А2 + п3А3) g (na) = -^ g(na).
Мы нашли дифференциальное уравнение для g(na), которое
нужно решить при начальном условии g(nO) = /. Единственное
решение этой задачи имеет вид
g (na) = exp [(«i Ai + гцАъ + гцАг) a]. B)
§ 25. Представления группы вращений
Представлением группы вращений G в гильбертовом прост-
пространстве & называется отображение W, которое каждому эле-
элементу g группы G ставит в соответствие ограниченный линейный
4* 99

и непрерывно зависящий от g оператор W(g) в простран-
пространстве & так, что выполняются условия
) ()
2) W(gig2)=W(gl)W(g2). ,
В условии 1) слева / означает единичное вращение, а справа —
единичный оператор в 8'. Из условий 1) и 2) сразу следует, что
Представление называется унитарным, если унитарны опе-
операторы W(g), т. е. W*(g)= W-i(g).
В теории групп доказывается, что любое представление
группы вращений эквивалентно некоторому унитарному пред-
представлению, поэтому можно ограничиться изучением унитарных
представлений.
Напомним два эквивалентных определения неприводимого
представления:
1) представление называется неприводимым, если не суще-
существует оператора, отличного от С/, который коммутиро-
коммутировал бы со всеми операторами W(g);
2) представление называется неприводимым, если в прост-
пространстве 8 не существует подпространства S'o, инвариант-
инвариантного относительно действия операторов W(§).
Легко построить представление группы вращений в прост-
пространстве состояний частицы 5^ = L2(R3). Для этого определим
операторы W(g) формулой
W(g)^(x) = <p(g-*x). A)
Условие 1) определения представления очевидно, условие 2)
проверяется следующим образом:
W (g,g2) Ф (х) = ф(§Г2-'ЯГ1Х) = W (Я,) Ф (g;l*)=W (gl) W (g2) ф(х).
Операторы W(g) отображают Ж на Ж взаимно однозначно,
поэтому для проверки унитарности достаточно убедиться, что
они сохраняют норму вектора ф:
IIW (g) ФII2 = \ I Ф(?~'х) \Чх = $ | ф (х) |2dx = || ф||2,
R1 R'
где использовано равенство det|f=l. Покажем, что справед-
справедлива формула
B)
Здесь мы обозначили W(g(&)) через №(а), Lu L2, L3 — проек-
проекции момента импульса. Для доказательства формулы B) рас-
рассмотрим сначала вращение вокруг третьей оси и покажем, что
Ws(a) = e-iL'a
или, что эквивалентно,
ф(Я3-1(а)х) = е-^аф(х) C)
100

при произвольной 1|з(х)еЖ Мы проверим справедливость по-
последнего равенства, если убедимся, что функции в левой и пра-
правой частях его удовлетворяют одному и тому же уравнению
с одинаковыми начальными условиями.
Функция
( ) iL{)
очевидно, удовлетворяет уравнению
д\|> (х, а) .j
да ~~ ~ tLz
. а)
или подробнее
аг|)(х, а)
да
Функция, стоящая в левой части C), которую мы обозна-
обозначим через if>i(x, а), имеет вид
tyi (х, а) = ф (х\ cos а + х2 sin а, — хх sin а + х2 cos а, лг3).
Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению D):
d\bi dib , . , ч . д\к , . к
——- = -^- (— Xi sin а + х2 cos а) + —- (— хх cos а — х2 sin а),
откуда следует справедливость D) для функции tyi (x, a). На-
Наконец, обе функции удовлетворяют одинаковому начальному
условию
ф(х, 0) = ф1(х, 0) == * (х).
Таким образом, операторы вращений вокруг осей координат
имеют вид
W,(a) = e-tLia, j=l, 2, 3. E)
Инфинитезимальные операторы представления сразу находятся
из формулы E)
д W (а)
да
1
а=0
dW, (a)
да
a=0
Далее, буквально повторя^ рассуждения, которые привели
нас к формуле B4.2), мы получим B). Обратим внимание на
то, что операторы —/L,- имеют те же перестановочные соотно-
соотношения, что и матрицы Ah /= 1, 2, 3. Действительно, из
[Li, U] = iL3
следует, что
[—iLu —iL2] = — iL3.
101

В теории групп доказывается, что перестановочные соотно-
соотношения между инфинитезимальными операторами представления
не зависят от выбора представления. Более того, если какие-
либо операторы в некотором пространстве <S удовлетворяют
тем же перестановочным соотношениям, что и инфинитезималь-
ные образующие группы, то они являются инфинитезималь-
инфинитезимальными операторами некоторого представления, действующе-
действующего в &.
Применительно к группе вращений это означает, что если
мы найдем операторы М\, Мг, М3, удовлетворяющие соотно-
соотношениям: [Mi,M2] = М3, [М2, М3] = Mi, [M3, Mi] = М% то мо-
можем построить представление W по формуле
W (а) == ехр {ахМх + а2М2 + а3М3).
§ 26. Сферически-симметричные операторы
Оператор А называется сферически-симметричным, если он
коммутирует со всеми операторами W(g) представления группы
вращений.
Очевидно, что оператор А является сферически-симметрич-
сферически-симметричным, если [A, Li] = 0, i — 1, 2, 3.
Приведем примеры сферически-симметричных операторов.
1) Оператор умножения на функцию f(r). В самом деле, мы
видели, что операторы момента импульса действуют только на
угловые переменные. Поэтому Ltf(r)ty (х) = f(r)Lfty (х) при про-
произвольной if e Ж.
2) Оператор L2. Сферическая симметрия этого оператора
следует из полученных ранее соотношений [L2, /,,-] = 0, t=l,
2, 3.
3) Оператор кинетической энергии Т= — ~п~^- Сфериче-
Сферическая симметрия этого оператора сразу видна в импульсном
представлении, в котором он является оператором умножения
на функцию р2/Bт). Операторы момента импульса L,- в им-
импульсном представлении имеют точно такой же вид, как и в ко-
координатном.
4) Оператор Шредингера для частицы в центральном поле
как сумма двух сферически-симметричных операторов.
Обратим внимание на то, что из самого существования сфе-
сферически-симметричных операторов, отличных от С/, следует
приводимость построенного представления группы вращений
в пространстве состояний Ж.
Выясним теперь особенности спектра оператора Шредингера
в центральном поле, связанные с его сферической симметрией.
Пусть г|з — некоторый собственный вектор, соответствующий
102

собственному значению Е
Тогда
HW (g) ф = W (g) Яф = EW (g) ф,
откуда видно, что вектор W(g)ty тоже является собственным
вектором Я, соответствующим тому же собственному значению.
Мы видим, что собственное подпространство Же оператора Я,
соответствующее собственному значению Е, является инва-
инвариантным относительно вращений (т. е. относительно действия
операторов W(g)). Представление W группы вращений в прост-
пространстве Ж индуцирует представление We в подпространстве Же
g-*WE{g), где WE{g) — ограничение оператора W(g) на под-
подпространство Же (в дальнейшем мы будем пользоваться обо-
обозначением W(g) и для операторов WE{g))- Могут предста-
представиться два случая: либо представление, индуцированное в Же,
является неприводимым, либо Же содержит инвариантные от-
относительно W(g) подпространства меньшей размерности, и
тогда это представление будет эквивалентно прямой сумме не-
неприводимых представлений *.
Мы видим, что кратность собственного значения сферически-
симметричного оператора Шредингера всегда не меньше раз-
размерности некоторого неприводимого представления группы вра-
вращений и в первом из упомянутых случаев совпадает с этой
размерностью.
Появление кратных собственных значений энергии в физике
называют вырождением, а такие энергетические уровни вы-
вырожденными. Если в каждом из собственных подпространств
индуцированное представление неприводимо, то говорят, что
оператор Я не имеет случайных вырождений. В этом случае
кратность спектра полностью объясняется выбранной симмет-
симметрией задачи. При наличии случайных вырождений, возможно,
существует более богатая группа симметрии уравнения Шре-
Шредингера. Именно так обстоит дело с оператором Шредингера
для атома водорода, который, как мы увидим, имеет случайные
вырождения относительно группы вращений.
Заметим, что у сферически-симметричного оператора Я
с чисто точечным спектром существуют собственные значения
сколь угодно большой кратности. Действительно, в этом слу-
случае Ж представимо в виде
* Здесь мы используем известную из теории групп теорему:
Пусть задано унитарное представление g^>-w(g) группы вращений в
гильбертовом пространстве S. Тогда существуют конечномерные подпро-
подпространства &\, &г, ..., инвариантные относительно W(g), в каждом из кото-
которых представление W неприводнмо. Этн подпространства попарно ортого-
ортогональны, и их сумма есть все $х т. е. S = $\ ФсГг® ... »
103

С другой стороны,
Ж = Ж\ ф Ж^ Ф • • • >
где через Ж» обозначены подпространства, в которых дей-
действуют неприводимые представления группы вращений. Изучая
такие представления в § 30, мы увидим, что среди Жп имеются
подпространства сколь угодно большой размерности. Но для
любого Жп хотя бы одно из пересечений Жп П ЖЕк ф 0 и тогда
содержит Жп целиком, поэтому собственное значение Ек имеет
кратность не меньшую, чем размерность * Жп-
Если система не имеет случайных вырождений, то собствен-
собственные значения оператора Я можно классифицировать с по-
помощью неприводимых представлений группы G в том смысле,
что каждое собственное подпространство Же является и соб-
собственным подпространством соответствующего представления.
Поэтому важной представляется задача о нахождении всех не-
неприводимых представлений группы вращений. Этим вопросом
мы займемся в следующих параграфах.
В заключение этого параграфа заметим, что такую сравни-
сравнительно простую задачу квантовой механики, как задача о дви-
движении в центральном поле, можно было бы решать вообще не
привлекая теории групп. Наша цель на этом примере показать,
как применяется теория групп при решении квантовомеханиче-
ских задач. Микромир (атомы, молекулы, кристаллические ре-
решетки) весьма богат различными видами симметрии. Теория
представлений групп позволяет с самого начала явно учесть
эти свойства симметрии, и зачастую только подход, основанный
на теории групп, позволяет получать важные результаты для
очень сложных систем.
* Очень простым примером сферически-симметричного оператора с чисто
точечным спектром является оператор Шредингера для трехмерного гармо-
гармонического осциллятора
P]+Pl + Pl ^(Ql + Ql + Ql)
Я=+
или в координатном представлении
Задача разделением переменных сводится к одномерному случаю и для соб-
собственных значений получается формула
Еп1Пгп, = («1 + Ч + пз + у) ш> nv п2> Ч = °- L 2- • • •
Каждой тройке чисел ni, n% п3 соответствует собственный вектор фп,П2„,.
Видно, что кратность собственных значений Е прн ?-<-оо растет неогра-.
ниченно.
104

§ 27. Представление вращений
унитарными матрицами второго порядка
Мы построим представление группы вращений G, действую-
действующее в пространстве С2. Для этого введем три самосопряжен-
самосопряженные матрицы со следом, равным нулю,
/О 1\ /0 -i\ /1 0\
ai = li о)' a2 = l/ о> "'"lo -\У
Эти матрицы называются матрицами Паули. Вычислим пере-
перестановочные соотношения для этих матриц:
i 0 \ /-/0\ /1 0
~ь)-\ 0 J = 24o -J
т. е. [аь аг] = 2шз. Аналогично проверяется, что
[сг2, a3] = 2/cri, [а3, а,] = 2ш2.
Нетрудно видеть, что матрицы — ioj/2, /= 1, 2, 3 имеют пе-
перестановочные соотношения такие же, как инфинитезимальные
образующие группы вращения Л/:
2 ' 2 \~ 2 •
Поэтому можно построить представление g-*-U(g):
U (g) = ехр [— j (aja, + о2а2 + сг3й3)] • A)
Следует отметить, что это представление не является представлением в
обычном смысле слова, так как вместо
U(gi)U(g2)=U(g,g2) B)
мы будем иметь
U(gi)U(g2)=oU(glg2), C)
где о = ±1. В этом нетрудно убедиться на простом примере, сосчитав про-
произведение U(gi)U(g2), где gi = Яг есть вращение на угол я вокруг оси х%
В то же время по формуле A) единичному элементу группы соответ-
соответствует {/@, 0, 0)=/. Отображение g-+U(g), удовлетворяющее C) при
|о|= 1, называется проективным представлением с мультипликатором. Если
мы все-таки захотим сохранить B), то должны будем считать, что каждому
вращению соответствует две матрицы U, отличающиеся знаком. В физике
такого рода представления называют двузначными. Эти представления играют
в квантовой механике такую же важную роль, как и обычные. В дальнейшем
мы не будем подчеркивать это различие. Заметим еще, что появление та-
такого рода представлений объясняется тем, что группа вращений неодно-
связна.
Выясним свойства матриц U(g). Унитарность этих матриц
очевидна, так как at — самосопряженные матрицы. Нетрудно
105

видеть, что определитель этих матриц равен единице. Действи-
Действительно, U(g) имеет вид eiS, где S — самосопряженная матрица
со следом, равным нулю. Эту матрицу всегда можно привести
к диагональному виду подобным преобразованием и она примет
Ко -
ви<а I J • Соответственно диагональный вид матрицы
/ еа 0 \
будет I _ _а I. След и определитель инвариантны относи-
относительно подобного преобразования, поэтому det U(g)= I.
Найдем общий вид унитарных матриц с определителем, рав-
равным единице. Запишем условие унитарности:
/а Ь\/а с \ /аа-\- bb ac + bd\
\ с "•ч#7 d s ч ccl I db ее I dd*
Из равенства са + ^Ь = 0 находим, что d = —. Из условий
Ъ
det U = 1 и йй + 66 = 1 получим
ad — bc = = be — -{aa + bb)= = 1,
b b b
Таким образом, унитарные матрицы с определителем, рав-
равным единице, имеют вид
а
. — 6 а-
Группа таких матриц называется группой SUB).
§ 28. Представление группы вращений
в пространстве целых аналитических функций
двух комплексных переменных
В этом параграфе построим все неприводимые представле-
представления группы вращений. В качестве пространства представлений
мы выберем гильбертово пространство 2)% функций /(|, т))
(^еС,т|еС) вида
оо
со скалярным произведением
(Лг) = -?г\/(Е,Л)?A. Л)е-|5|'-!'Ч|
106

Точно так же, как в § 19, проверяется, что функций /П|Пг —
=
стве
образуют ортонормированный базис в этом простран-
Учитывая связь между группами
= ^„ „'*„
(fnn, /„„Л
SOC) и Si/B), мы можем строить представление группы
SU{2). В дальнейшем удобно /(?, г|) обозначать через /(?), где
?=( ) е С2, Отображение U—>W(U) определим формулой
d. A)
Мы будем эти операторы обозначать также через IF (а) или
W(g), а операторы вращений вокруг осей через W,(a), /— 1,
2, 3.
Чтобы получить выражение для W(g), найдем инфинитези-
мальные операторы представления, которые обозначим через
—iM,,j= 1, 2, 3
dWx (a)
а=0
/(?) =
da
a=0
1 эм
da
a=0
Здесь мы использовали определение A) и через ?(ос), г\{а)
обозначили составляющие вектора е2 ' ?. Последние производ-
производные вычисляются так:
поэтому
d
da
i
а,
a,.
a=0
dl(a)
da
a=0
i
2
a=0
dri (a)
da
a=0
В результате получим
Точно так же находятся операторы М2 и Мз. Выпишем выра-
выражения для этих операторов:
д , * д
B)
д д
107

Легко проверить, что операторы М,- имеют такие Же пере-
перестановочные соотношения, как операторы момента импульса,
а —iMj, }= 1, 2, 3 — как матрицы Aj, A2> А3. Для операторов
№(а) получим
W (а) = ехр [- i {Мха{ + М2а2 + М3а3)]. C)
Основное удобство пространства представления S)i состоит
в том, что оно очень легко раскладывается в прямую сумму ин-
инвариантных подпространств, в которых действуют неприводи-
неприводимые представления. Действительно, инвариантность некоторого
подпространства относительно операторов W{a) эквивалентна
инвариантности относительно действря операторов Mi, M2, М3.
Из формул B) видно, что такими инвариантными подпростран-
подпространствами являются подпространства однородных многочленов сте-
степени п = tii + ti2- Эти подпространства имеют размерность
n-f 1, п = 0, 1, 2, ... . Нам осталось показать, что такие под-
подпространства не содержат инвариантных подпространств мень-
меньшей размерности. Для этого введем операторы
М + = М! + Ш2 = — т) -^-,
! D)
и посмотрим, как они действуют на базисные векторы f
д
Mi — д
1 ! <Э|
<Э|
т. e. M+fnini = — V«i («2 + О fn,-i. n2+b ,-.
л V(i
Очевидно, что
MJon = 0,M_fno = 0.
Из формул E) ясно, что подпространства однородных много-
многочленов не содержат инвариантных подпространств меньшей раз-
размерности.
Покажем, что базисные векторы являются собственными
векторами оператора М3 и оператора М2 = М\ + М\ + My Имеем
т. е.
Для оператора М2 справедлива формула
I Л Л ^ X
108

Действительно,
М+М- = (Mi + Ш2) (М, - Ш2) = М] + Ml - i {MiMz - M2Mi) =*
= М2 - Ml + My
Далее имеем
м2/„,„г = {м+м_ + м1 -.Мз) /„,„, =
= ( V(«l + 1)«2 V«2(«l+ 1) + -J- («1 — «2J + J («1 — «2)) /пЛ,
М2/„,„2 = (-[ (л, + щТ + 1 (», + n2)) f„л. G)
Удобно переписать все полученные соотношения, заменив
значки п\, П2 на /, m по формулам
/ = -L2 > "I = — g-(«! — «2), •' = 0'Т' !> 2"
m = — j, — / + 1, ...,/,
или П\ — i — tn, щ = / + m.
Тогда формулы E) — G) принимают вид
M+f,m = - У(/ - т) (/ + т + 1) //.«+1, (8)
^) fj.„,_,, (9)
A0)
, A1)
где через f/m обозначена fnint — fi-m.j+m.
Новые значки / и m удобны тем, что каждому индексу /
соответствует представление размерности 2/+1, / = 0, 1/2,
1, 3/2, .... Такое представление обычно обозначают через Dj,
а / называют индексом представления. Формулы (8) — A0)
позволяют легко построить явный вид матриц Мь М2, М3 для
каждого Dj. Таким образом, мы построили конечномерные пред-
представления D/ группы вращений всех размерностей.
§ 29. Единственность представлений Ds
Докажем, что построенное неприводимые представления
Dj единственны (с точностью до эквивалентности). При дока-
доказательстве мы увидим, в какой степени спектр операторов мо-
момента импульса определяется их перестановочными соотноше-
соотношениями и как произвольное представление группы вращений рас-
раскладывается на неприводимые.
Пусть в «-мерном пространстве & определено некоторое не-
неприводимое представление, через —il\, —11%, —Иг обозначим
109

инфинитезимальные операторы этого представления. Они удов*
летворяют перестановочным соотношениям
Эквивалентность этого представления некоторому представ-
представлению Dj будет доказана, если мы покажем, что при подходя-
подходящем выборе базиса в <8 матрицы /*, k = 1, 2, 3 совпадают
с матрицами М*. Прежде всего заметим, что представление
группы вращений одновременно является и представлением ее
подгруппы, состоящей из вращений вокруг оси хз на угол а.
Эта подгруппа абелева, поэтому все ее неприводимые пред-
представления одномерны и имеют вид е~'т*а (относительно чисел
тк мы не будем делать никаких предположений, допуская
возможность «многозначных» представлений). Это значит, что
при подходящем выборе базиса в <8 матрица вращения вокруг
оси лгз имеет вид
e-im,a 0 .0
0
e-im2a ' 0
о
0. . . е
-imna
Таким образом, в <8 существует базис из собственных векторов
оператора /з,
J3em = mem. A)
Далее, из неприводимости представления следует, что оператор
/ =/i +/г +/з. коммутирующий со всеми Ik, k = I, 2, 3, дол-
должен быть кратен единичному в пространстве <§. Это возможно,
если все базисные векторы ет являются собственными векто-
векторами оператора Я, соответствующими одному и тому же соб-
собственному значению, которое мы обозначим через /(/+1) (эта
запись пока просто обозначение). Базисные векторы будем
обозначать через е,-т,
J2eim = i(i+l)e,m. B)
Введем операторы /± =
ливость следующих формул:
± И2. Легко проверить справед*
[Р, /±] =
C)
D)
E)
но

Найдем границу возможных значений \т\ при заданном соб-
собственном значении /(/+ 1). Для этого, умножая на ejm равен-
равенство
(Л + Л) е1т = (/ (/ + 1) - т2) е,т,
получим
((A + Ji)eim,elm) = j(j+l)-m2-
Левая часть неотрицательна, поэтому
|m|<V/(/+D- F)
Из соотношений C) и D) следует, что
J2J±ejm — j (j + \)J±eJm, J3J±ejm — (т ± 1) J±ejm.
Поэтому векторы /±e;m (если они ненулевые) являются соб-
собственными векторами оператора Я с собственным значением'
/'(/'+1) и оператора /3 с собственными значениями т±\.
Таким образом по произвольному базисному элементу ejm мо-
может быть построена цепочка собственных векторов с одним
и тем же собственным значением оператора Я и с собствен-
собственными значениями пг\, ту + 1 /лг оператора /3. Через ту
и т2 мы обозначили наименьшее и наибольшее собственные
значения соответственно. Существование ту и т^ следует из
неравенства F), цепочка собственных векторов должна обры-
обрываться в обе стороны.
Вычислим норму вектора /±еут, учитывая, что || е;т || = 1
и что /± = /Т,
II }±eim \f — (J*J±ejm, elm) = ((/' — /3V3) e,m, e]m) =
= /(/+1)-т(т±1) = (/Тт)(/±/п+1).
Поэтому мы можем написать
J±eim = ~ ¦y/U + m)(j±m+l)el m±1. G)
Эта формула позволяет по произвольному орту е1т строить-
новые орты eh m±\, удовлетворяющие всем требованиям. Знак
минус перед корнем написан из соображений удобства.
Мы пока еще не выяснили, какие значения могут принимать
числа / и т. Будем исходить из равенств
/_ек = 0, J+elm! = 0. (8)
Умножая эти равенства на /+ и на /_ и используя E), полу-
получим *
(Р -Р3+ J3)eimi = О, (Л -Ц- /3)е1т> = О,
или / (/ + 1) — т\ + т, === О,
/(/ + 1)-т| —mjj = O. (9)
Из (9) сразу получаем (ml + tn2) {т\ — та— \) = 0, Нам го-
111

дится одно решение этого уравнения mi = —гщ, так как mi 5=
^ mi. Далее mi—т^ — 2/лг — число целое или нуль.
Поэтому /л2 может принимать значения 0, 1/2, 1, 3/2, ... На-
Наконец, из (9) мы видим, что в качестве числа / можно взять /лг.
Мы получили, что собственные значения оператора /2 имеют
вид у(/ —j- 1), где / = 0, 1/2, 1, 3/2, .... а собственные числа т
оператора /3 при заданном / пробегают B/+ 1) значение: —/,
—/+ 1. •¦•, /—1. /• Числа у и т одновременно являются либо
целыми, либо полуцелыми. Еще раз подчеркнем, что эти свой-
свойства спектра операторов Я и / мы нашли, используя только
перестановочные соотношения.
Для завершения доказательства нам осталось убедиться в
том, что построенные собственные векторы образуют базис в &.
Это следует из неприводимости представления. Действительно,
подпространство &', натянутое на векторы e-im, т = —/,
—/+1, .-., /, будет инвариантным относительно операторов
Jkt k= I, 2, 3, а потому должно совпадать с <§, и размерность
представления я —2/+1- Формулы A) и G) показывают, что
матрицы Jk при таком выборе базиса совпадают с матри-
матрицами Мк.
Заметим, что мы заодно построили способ разложения про-
произвольного представления на неприводимые. Пусть в некотором
пространстве <§ действует представление группы вращений
—Uk и его инфинитезимальные операторы. Для того чтобы
выделить инвариантные подпространства, мы должны найти
общие решения уравнений
}2е,т = i (i + 1) eim, ]3ejm = mejm. A0)
Векторы e/m при заданном / и т = —/, —/+ 1, ..., / образуют
базис неприводимого представления размерами 2/+1. Задача
о нахождении общих решений уравнений A0) проще всего ре-
решается следующим обрезом. Сначала находится вектор ец,
удовлетворяющий уравнениям
J+вц = 0, 1фи = je!t
а затем для построения векторов е,-т используется формула
J-eim = — V(/ + rn) (j — от + \)еи т_„
которая позволяет по вц последовательно найти все век-
векторы в/т-
§ 30. Представления группы вращений
в пространстве L^S2). Сферические функции
В § 25 мы построили представление группы вращений в про-
пространстве состояний Ж = L2(R3) операторами
W(a) = ехр [— i
112

где L\, L2, L3 —операторы Момента импульса. Напомним, что
эти операторы действуют только на угловые переменные функ-
функции ^(х)е L2(R3), поэтому пространство L2(R3) удобно рас-
рассматривать как Z.2(R+)?g)-?2(S2). Здесь L2(R+) — пространство
квадратично интегрируемых функций f(r) с весом г2 на R+,
a L2(S2) — пространство функций г|з(п) = •ф (Э, ф), квадратично
интегрируемых на единичной сфере. Скалярные произведения
в этих пространствах вводятся формулами
(/ь /2) = \ r2h (r) h (r) dr, (Ь, Ф2) = \ Ь (n) я|з2 (n) dn,
0 s!
где c?n = sin 0 dQ dy — элемент поверхности единичной сферы.
Несколько громоздкие вычисления приводят к следующему
виду операторов момента импульса в сферических коорди-
координатах:
>s ф -й— ctg 0 sin ф -г- },
Ои Оф /
^ф
Операторы L+ = L\ ± iL2 в этих переменных имеют вид
Общие собственные функции операторов L2 и Ьг будем обо-
обозначать через Yim(n) (число / для операторов L принято обо-
обозначать через /). Уравнения L+Yu = 0 и L3Yu = lYti в сфери-
сферических координатах имеют вид
Из первого уравнения A) видим, что
У»/(в,ф) = е»/:1„ (В),
причем / может принимать только целые значения, / = 0, 1,
2, ... Второе уравнение A) йозволяет получить уравнение для
0. B)
Решая это уравнение, получим
U3

Заметим, что для каждого / существует одно решение уравне-
уравнения B). Итак, мы нашли, что
Уа F, Ф) = С sin'&?»<>>,
причем постоянная С может быть найдена из условия норми-
нормировки. Остальные функции Yim(n) могут быть вычислены па
формуле
У<"»-> In л. wl ¦Lf7e4lr +
VC + т) (I — т + 1) \ 38
Мы не будем проделывать соответствующих вычислений. Функ-
Функции Yim(n) называют нормированными сферическими функ-
функциями 1-го порядка. Для них может быть получено выражение
где функции
носят название нормированных присоединенных полиномов Ле-
жандра.
Итак, базис неприводимого представления в пространстве
L2(S2) состоит из сферических функций Yim(n) при фиксиро-
ванном / и т = —/, —/+1, ..., /. Пространство L2(S2) содер-
содержит подпространства неприводимых представлений всех нечет-
нечетных размерностей 2/-f-l (/ — целое) по одному разу. Теорема
о разложении представления группы вращений на неприводи-
неприводимые в данном случае эквивалентна утверждению о полноте
сферических функций в L2(S2). Любая функция г|>(п)е L2(S2)
может быть разложена в сходящийся ряд
*(n)=Z S ClmYlm(n). C)
Вспомним, что в пространстве 2J действовали неприводи-
неприводимые представления как четных, так и нечетных размерностей.
Пространство 2J можно представить в виде прямой суммы
SDl®SDI, где SDt и ?Dz —ортогональные подпространства чет-
четных и нечетных функций соответственно. В 02+, как и в L2(S2),
действуют представления только нечетных размерностей. Любой
элемент / (г) е SDt может быть представлен в виде
i
= E S c
l0l
tl-mnt+m
lm
E S clm } 1пъ
Ясно, что взаимно-однозначное соответствие
114

устанавливает изоморфизм между пространствами SDt и L (S ),
при котором
tl-m 1 + т
V(/ — m)l(/ + /n)!
Afft^*Lft, й=1, 2, 3.
В заключение этого параграфа рассмотрим представление
группы вращений в пространстве состояний L2(R3) = L2(S2)®
(g)L2(R+). Пусть {fn(r)} —произвольный базис в L2(R+). Тогда
{fn(r)Yim(n)} — базис в пространстве L2(R3), и любая функция
f(x)GL2(R3) может быть разложена в ряд
Ф(х)=?Е t CatJn(r)Ytm{Qt4>).
Из этой формулы видно, что L2(R3) также может быть раз-
разложено (причем многими способами) на подпространства, в ко-
которых действуют неприводимые представления группы враще-
вращений порядка B/+ 1), и каждое представление Di встречается
бесконечное число раз. Любое из инвариантных подпространств,
в которых действует неприводимое представление Dh есть мно-
жество функций вида / (г) ? CmYlm (9, q>), где / (г) <= L2 (R+).
т—1
§ 31. Радиальное уравнение Шредингера
Вернемся к изучению задачи о движении частицы в цент-
центральном поле. Будем искать решения уравнения
или, используя формулу B3.5),
Мы видели, что собственные подпространства оператора Шре-
Шредингера Н в случае отсутствия случайных вырождений должны
совпадать с подпространствами неприводимых представлений
Di, а при наличии случайных вырождений являться прямой
суммой таких подпространств. Ясно, что все независимые соб-
собственные функции оператора* Н можно построить, если мы бу-
будем искать их в виде
г|,(г,п) = /?,(г)У,т(п). B)
Эти функции уже являются собственными функциями опе-
операторов L2 и L3
115

а потому описывают состояния частицы с определенными зна-
значениями квадрата момента импульса и его третьей проекции.
Подстановка B) в A) дает нам уравнение для Ri(r)
-W + V (г) R, (О = ER, (г).
Введем новую неизвестную функцию
и уравнение для fi (r) примет вид
C)
Это уравнение носит название радиального уравнения Шредин-
гера. Обратим внимание на некоторые особенности уравнения
C). Прежде всего параметр т не входит в уравнение, физи-
физически это означает, что энергия частицы не зависит от проекции
момента на ось х3. Для каждого /
получается свое радиальное уравне-
уравнение. Спектр радиального уравнения
всегда простой (это можно дока-
доказать), поэтому случайные вырожде-
вырождения возможны, если уравнения C)
с разными / имеют одинаковые соб-
собственные значения.
Радиальное уравнение по виду
совпадает с уравнением Шредин-
гера для одномерной частицы
если ввести так называемый эффек-
эффективный потенциал
Рис. 7.
D)
Есть, однако, одно существенное отличие. Функция ^(х) опре-
определена на R, a fi(r) на R+, поэтому радиальное уравнение
эквивалентно одномерному уравнению Шредингера для задачи
с потенциалом V(x) при условии, что V(x) = оо при х < 0.
На рис. 7 изображены графики функций V(r), 1A-\-1)/Bцг2)
и Уэф(г). В качестве У (г) взят кулоновский потенциал притя-
притяжения —а/г (а > 0).
Выражение /(/+ 1)/Bцг2) может быть истолковано как
потенциал отталкивания, возникающий за счет центробежной
силы. Поэтому это выражение обычно называют центробежным
потенциалом.
116

В квантовой механике приходится решать задачи с самыми
различными потенциалами V(r). Наиболее важными из них,
по-видимому, являются кулоновский потенциал !/(/•) = а/г, опи-
описывающий взаимодействие заряженных частиц, и потенциал
Юкавы V(r) = g > который часто используется в ядерной
физике.
Обычно рассматриваются потенциалы, которые при г—*0
менее сингулярны, чем 1/г2-8 (е>0). В зависимости от пове-
поведения при г->оо убывающие (V(r)-*-0) потенциалы делятся
на короткодействующие V(r) = o (l/r2+8), е>0 и дальнодей-
ствующие, которые этому условию не удовлетворяют. Потен-
Потенциал Юкавы является короткодействующим потенциалом, а ку-
кулоновский потенциал — дальнодействующим. Спектр радиаль-
радиального оператора Шредингера
Я,—
хорошо изучен для весьма широкого класса потенциалов. В слу-
случае растущего потенциала V(r)->-oo при r->oo спектр чисто
точечный простой. В случае убывающего потенциала интервал
О < Е < оо заполнен непрерывным спектром, отрицательный
спектр дискретный. Для короткодействующего потенциала по-
положительный спектр простой, непрерывный, а отрицательный
состоит из конечного числа собственных значений.
Приведем простые соображения, позволяющие понять основ-
основные особенности спектра Hi. Для этого посмотрим, как ведут
себя решения радиального уравнения при г-*0 и г->оо. Если
при г->-оо пренебречь членом УЭф в радиальном уравнении, то
оно сведется к
-J-ff+ ?/, = (,
При Е > 0 это уравнение имеет два линейно-независимых ре-
решения e~ikr и ет, k2 = 2[iE > 0, k > 0. При Е < 0 линейно-
независимые решения имеют вид e~w и ew, к2 = — 2цЕ > 0,
и>0.
В случае г->0 можно надеяться, что мы получим правиль-
правильное поведение решений радиального уравнения, если в этом
уравнении из членов линейных по fi оставим наиболее сингу-
лярныи 2 г2 fi, тогда
4
Это уравнение имеет два линейно-независимых решения г*
и г<+'.
Теперь посмотрим, какие условия разумно наложить на реше-
решения радиального уравнения. Нас интересуют решения уравнения
117

Шредингера ¦ф(х)==-^-^-К;т(п). Функции а|э(х) должны быть
непрерывными в R3 и либо квадратично интегрируемыми,
либо ограниченными во всем пространстве. В первом случае
они являются собственными функциями в обычном смысле
слова, а во втором — с их помощью может быть описан непре-
непрерывный спектр.
Из непрерывности ^(х) следует условие /;@)=0. Поэтому
интерес представляет только такое решение радиального урав-
уравнения, которое при г-у 0 ведет себя, как Cr1+l. Это условие
определяет fi(r) с точностью до численного множителя. Далее
при Е <С О мы должны найти решение fi(r), которое при г-уоо
ведет себя, как Се~кг (в противном случае решение будет не-
неограниченным). При произвольном отрицательном Е эти усло-
условия оказываются несовместными. Те значения Е, для которых
удается построить решение, имеющее правильное поведение
в нуле и на бесконечности, и есть собственные значения.
При любом Е > 0 решение fi(r) является ограниченным, по-
поэтому достаточно, чтобы оно имело правильное поведение
в нуле. Спектр при Е > 0;—непрерывный.
Собственные функции дискретного спектра описывают час-
частицу, локализованную в окрестности силового центра, т. е. со-
соответствуют финитному движению. При помощи собственных
функций непрерывного спектра могут быть описаны состояния,
в которых движение частицы является инфинитным.
Собственные функции дискретного спектра радиального
уравнения мы будем обозначать через /«(г), где индексом k
нумеруются собственные значения Eki уравнения при данном I,
Собственные функции непрерывного спектра, соответствую-
щие энергии Е, будем обозначать через Jei
Для широкого класса потенциалов доказана полнота си»
стемы функций {fki,JEi} для каждого / — 0, 1, 2, ... Это зна-
значит, что для произвольной функции* f(r)e L2@, оо) справед-
справедливо представление:
где
оо оо
Ск = \ f (г)ТЛР) dr, С (?) = J / (г) Щ?) dr.
* Через L2@, оо) мы обозначили пространство квадратично интегрируе-
интегрируемых функций (без веса г2) на R+. Если / е L2@, оо), то R = — e L2 (R+).
118

Вернемся к трехмерной задаче. Функции дискретного спектра
имеют вид
и кратность собственного значения Еы равна 21 -\- 1 (при отсут-
отсутствии случайных вырождений). Для собственных функций не-
непрерывного спектра имеем
Кратность непрерывного спектра бесконечная, так как для про-
произвольного Е > О есть решения радиальных уравнений при
всех / и, кроме того, т = —/, —/ + 1» • • •. I-
Параметры k, l и т, которые определяют собственные функ-
функции точечного спектра, называются радиальным, орбитальным
и магнитным квантовыми числами соответственно. Эти названия
появились в старой квантовой теории Бора — Зоммерфельда,
в которой каждому допустимому значению энергии соответство-
соответствовала определенная классическая орбита (или несколько таких
орбит). Числа k и / определяли размеры и форму орбиты,
а число т — ориентацию плоскости орбиты в пространстве.
Число т играет существенную роль в магнитных явлениях,
этим объясняется его название.
Из полноты системы функций {fki,fEi} в L2@,oo) следует
полнота системы {"фл^т (х), гря/m (х)} в L2(R3). Для краткости
записи рассмотрим случай, когда точечный спектр у оператора Я
отсутствует. В этом случае произвольная функция ()
?2(R3 может быть представлена в виде
оо /
= Е Z
Ясно, что i|) определяется последовательностью функций
{Cim(E)}, поэтому мы получаем представление
в пространстве последовательностей функций.
Скалярное произведение в этом пространстве задается фор-
формулой *
оо I ор
(*ь Ъ) = ? ? \ CZ (E) CZ(E) dE.
/=0 m=—l О
Из того факта, что т^ешЫ) есть собственная функция операто-
операторов Я, L2 и Ьз, легко понять, что в построенном представлении
119

операторы Н, L2 и L3 действуют следующим образом:
HCtm(E) = ECtm(E),.
^Cim (E) = mClm (E).
Поэтому построенное представление является собственным для
трех коммутирующих операторов Н, L2 и L3. (Уравнения E)
не следует путать с уравнениями для собственных векторов.)
§ 32. Атом водорода. Атомы щелочных металлов
Атом водорода представляет собой связанное состояние по-
положительно заряженного ядра с зарядом е и электрона с за-
зарядом —е (е > 0 — абсолютная величина заряда электрона).
Поэтому потенциал V(r) имеет вид
„2
V(r) = -~.
Мы рассмотрим задачу о движении в поле
Такой потенциал соответствует атому водорода при Z — 1 и во-
дородоподобным ионам Не+, Li++, ... при Z = 2, 3, ... Опера-
Оператор Шредингера в координатном представлении имеет вид
где [I = тМ/(т -\- М) — приведенная масса, а т и М — массы
электрона и ядра соответственно. Задачу будем решать в так
называемой атомной системе единиц, в которой h = 1, (л== 1,
е2=1. Тогда радиальное уравнение Шредингера принимает
вид
— Y/1 vr) H 2P—'' —7'* ь'1'
Мы будем интересоваться дискретным спектром, поэтому
рассмотрим случай Е < 0. Удобно обозначить —2Е = у?. Тогда
Приведенные в предыдущем параграфе соображения о пове-
поведении решения при г—»0 и г->оо подсказывают, что решение
удобно искать в виде
fl(r) = rl + le-*'At(r). B)
120

Если мы сумеем найти Л/(г), представимую сходящимся сте-
степенным рядом
Л/ (r)=t a/, C)
с а о ф О, такую, что ft(r) удовлетворяет A), то будет обеспе-
обеспечено и правильное поведение fi(r) при г->0. Поведение f{(r)
при г—>оо, конечно, будет зависеть от асимптотики функции
Л/(г) при г—> оо.
Подстановку B) в уравнение A) удобно сделать в два
приема. Вводя функцию g
f = e-*'g,
имеем
Далее, полагая
получим
Ищем решение этого уравнения в виде ряда C)
(-0
Сделаем замену значка суммирования /-W+1 в первых двух
слагаемых в квадратной скобке, тогда
Приравнивая коэффициенты при степенях г, получим
„ кЦ + 1+D-Z
z{.+ l){. + 2l + 2)ai. D)
По признаку Даламбера видно, что ряд сходится при всех г.
Оценим поведение ряда с коэффициентами, определяемыми D)
при больших г. Асимптотика при г-*?оо, конечно, определяется
121

Коэффициентами при больших степенях, но тогда
2х
a
и
Таким образом, для решения fi при г->оо получим
(Разумеется, приведенное рассуждение можно было бы сде-
сделать более точным.)
Мы видим, что решение радиального уравнения, имеющее
правильное поведение при г->0, экспоненциально возрастает
при г->оо. Из формулы D) видно, однако, что существуют
такие значения %, что ряд будет обрываться на некотором
члене. В этом случае функция Л/ окажется многочленом, а ре-
решение ft {г) будет квадратично интегрируемым. Обозначим че-
через k номер старшего коэффициента, отличного от нуля, т. е.
аи ф 0, uk+\ — 0, k = О, 1, 2, ... Из A) видно, что это воз-
возможно, если
Z
% — %к1— k + 1+l "
Из формулы —2Е = у? получаем
Z2
E)
Ekl =
IJ
Параметр k является введенным ранее радиальным кванто-
квантовым числом. Мы видим, что собственные значения Еы зависят
только от п = & + /+!• Это число называется главным кван-
квантовым числом. Вспоминая, что & = 0, 1, 2, ... и / = 0, 1, 2, ...,
получаем: п— 1, 2, 3, ... Далее при заданном п квантовое
число / может принимать значения 0, 1, 2, ..., п — 1.
Итак, мы получили следующие результаты. Для собствен-
собственных значений Е справедлива формула
Еп = --§т> F)
а собственные функции имеют вид
^/т = ^~К«ГЛ„/('-)^т@>ф), G)
где Л„г — многочлен степени п — /—1, коэффициенты которого
находятся по формуле D), а0— из условия нормировки. Мы
видим, что число собственных значений бесконечно и имеет
точку сгущения Е = 0. Нетрудно определить кратность соб-
собственного значения Еп. Каждому Еп соответствуют собственные
функции tynim, различающиеся квантовыми числами / и ш, при-
122

чем / = О, 1, 2, ..., п — 1, а т = —/, —/ + 1 /. Для крат -
ности q получим
7Ё()
/=о
Кратность собственных значений для кулоновского поля оказы-
оказывается большей, чем в общем случае центрального поля, имеет
место дополнительное вырождение по /. Мы уже упоминали,
что это «случайное» вырождение объясняется наличием более
богатой, чем SOC) группы симметрии у оператора Шредингера
для атома водорода.
Посмотрим теперь, какую физическую информацию дает
нам решение уравнения Шредингера для атома водорода.
Прежде всего мы нашли допустимые значения энергии, которые
разумно привести в обычных единицах. Для этого достаточно
умножить выражение F) для Еп на атомную единицу энергии,
равную
^- = 4,36' 1(ГП эрг = 27,21 эВ.
Будем считать, что Z= 1, т. е. рассмотрим атом водорода,
тогда
Для энергии основного состояния атома водорода (п=1)
имеем
Абсолютная величина этой энергии называется потенциалом
ионизации или энергией связи электрона в атоме и равна ра-
работе, которую нужно совершить, чтобы вырвать электрон из
атома.
Формула (8) позволяет вычислить частоты спектральных ли-
линий атома водорода. Квантовая электродинамика подтверждает
гипотезу Бора о том, что частота спектральной линии опреде-
определяется по формуле
причем имеет место поглощение светового кванта, если атом
переходит из состояния с меньшей энергией в состояние с боль-
большей энергией и излучение при обратном переходе *.
* Спектр поглощения (темные линии на ярком фоне) возникает, если
световой поток непрерывного спектра проходит через.-. среду, содержащую
атомарный водород. Линии поглощения наблюдаются в звездных спектрах.
Линейчатый спектр излучения будет наблюдаться, например, если в среде с
атомарным водородом происходит электрический разряд: Тогда атомы водо-
водорода под действием электронных ударов будут переходить в возбужденные
состояния. Переходы нз уровни с меньшей энергией приведут к появлению
ярких линий:
123

Для частот спектральных линий имеет место формула
от„ = |р-(^-^)> п<т. (9)
Эта формула называется формулой Бальмера и была открыта
им чисто эмпирически задолго до создания квантовой механики.
Обратим внимание на зависимость частот ттп от приведен-
приведенной массы (х. В природе существует две разновидности водо-
водорода: обычный водород Н, ядром которого является протон
±
18
±
8
Серия Бальмера
п-1
Серия Лаймана
Рис. 8.
с массой М = 1836т (т — масса электрона) и в небольшом
количестве тяжелый водород — дейтерий D, ядро которого вдвое
тяжелее протона. Используя формулу |я = тМ/(т -\- М), легко
сосчитать, что |яо/|ян = 1,000272, т. е. приведенные массы очень
близки. Тем не менее точность спектроскопических измерений
(длины волн измеряют с точностью в 7—8 значащих цифр)
позволяет надежно измерить отношение юо/юн для соответ-
соответствующих линий. Это отношение получается тоже равным
1,000272 (для некоторых линий возможно расхождение в по-
последнем знаке). Вообще теоретически вычисленные по формуле
(9) и экспериментальные" значения частот совпадают с точ-
точностью в 5 значащих цифр. Имеющиеся расхождения, однако,
могут быть устранены, если учесть релятивистские поправки.
Наряду с переходами между стационарными состояниями
дискретного спектра возможны переходы из дискретного спектра
в непрерывный и обратные переходы; физически они соответ-
124

ствуют процессам ионизации и рекомбинации (захвата элек-
электрона ядром). В этих случаях наблюдается непрерывный спектр
поглощения или излучения *.
Спектральные линии водорода на спектрограммах группи-
группируются в серии, соответствующие определенному значению п
в формуле (9) и т — п-\-\, и + 2, ... Нескольким первым
сериям присвоены имена: серия Лаймана (п = 1), серия Баль-
мера (п = 2), серия Пашена (п==3). Линии серий Лаймана
лежат в ультрафиолетовой части спектра, первые четыре линии
серии Бальмера в видимой части спектра, линии серии Пашена
и последующих серий в инфракрасной части спектра. К концу
каждой серии линии сгущаются к так называемой границе се-
серии, за которой начинается непрерывный спектр.
На рис. 8 горизонтальными линиями изображены энергети-
энергетические уровни атома водорода, а вертикальными отрезками —
возможные переходы между ними. Заштрихована область не-
непрерывного спектра.
На рис. 9 схематично изображен вид спектральной серии,
пунктиром изображена граница серии.
Важными характеристиками атомов являются вероятности
переходов между состояниями. От вероятностей переходов за-
зависят интенсивности спектральных линий. Переходы бывают
спонтанные (самопроизвольные) с верхнего уровня на нижний
с излучением кванта, вынужденные (под действием светового
потока) и, наконец, переходы за счет столкновений с заряжен-
заряженными частицами. Формулы для вычисления вероятностей спон-
спонтанных и вынужденных переходов дает квантовая электродина-
электродинамика, переходы за счет столкновений изучаются в квантовой
теории рассеяния. Для вычисления всех этих характеристик
необходимо знание волновых
функций. Кроме того, знание вол- —
новых функций дает возможность
судить о размерах атомов, —
распределении заряда в атоме
и даже о форме атома. Напо- Рис- 9-
мним, что |t(x) |2 есть плотность
функции распределения коор-
координат. Под размером атома понимают размер той области,
в которой |г|)(х)|2 не является пренебрежимо малой. Ясно, что
размер атома — понятие условное.
Рассмотрим для примера основное состояние атома водо-
водорода (»=1, / = 0, т = 0). Учитывая, что У00(п)= const,
щ = 1, по формуле G) получим
* Слово «спектр» здесь используется в двух смыслах: спектр оператора
и допустимые значения частоты электромагнитного излучения.
125

Из условия нормировки находим постоянную С:
= | С F4n J e-2rr2dr = \ С |2л = 1,
Рис. 10.
откуда С = 1/-ул и
Легко понять, что
есть плотность функции распределения координаты г.. График
этой функции изображен на рис. 10. Максимум р(г) достигается
при го = 1, т. е. /"о==1 — наиболее
вероятное расстояние электрона от
ядра. В обычных единицах г0 —
= /г2/|яе2 = 0,529-10-8 см. Интерес-
Интересно отметить, что это число совпадает
с радиусом первой боровской орби-
орбиты. Мы видим, что размеры атома
водорода имеют порядок 10~8 см.
Под плотностью заряда в атоме
понимают величину —е|г|)(х)|2,
т. е. считают, что электрон за
счет быстрого движения около
ядра как бы размывается по объему атома, образуя электрон-
электронное облако.
Наконец, вид функции G) показывает, что при / Ф 0 плот-
плотность распределения координат не является сферически сим-
симметричной. Зависимость этой плотности от углов позволяет
говорить о форме атома в различных состояниях.
В этом же параграфе мы рассмотрим простую модель ато-
атомов щелочных металлов, основанную на предположении, что их
оптические свойства объясняются движением валентного элек-
электрона в некотором центральном поле V(r). Потенциал V[r)
можно записать в виде суммы двух слагаемых
V(r) = -f +VAr),
где первое слагаемое описывает взаимодействие электрона
с ядром, a V\ (r) может быть истолкован как потенциал взаимо-
взаимодействия электрона с распределенным по объему атома отрица-
отрицательным зарядом остальных электронов. Разумность такой
модели именно для атомов щелочных металлов станет понятной
только после того, как мы познакомимся со свойствами слож-
сложных атомов и таблицей Менделеева,
126

О потенциале V(r) мы знаем очень мало, но все же можно
утверждать, что
V [г) ^ —— при г -> оо
и V (г) ^ при г -> 0.
Первое условие следует из того очевидного факта, что при уда-
удалении валентного электрона на бесконечность он оказывается
в поле положительного однозарядного иона. Второе условие
вытекает из непрерывности потенциала объемного распределе-
распределения зарядов Vi (r).
В качестве модельного потенциала мы выберем
И(г) = -1--5-, а>0. (9)
Несмотря на то, что этот потенциал обладает правильным по-
поведением на бесконечности, он имеет иное, чем «истинный»
потенциал поведение в нуле. В то же время модельный потен-
потенциал правильно отражает тот факт, что при приближении
к ядру поле становится более сильным, чем кулоновское —1/г.
Мы предположим, что параметр а мал (в каком смысле, ука-
укажем ниже). Численные значения этого параметра для разных
атомов щелочных металлов разумнее всего выбирать из срав-
сравнения результатов расчетов энергетических уровней с найден-
найденными экспериментально.
Радиальное уравнение для такого потенциала решается
очень просто. Действительно, оно имеет вид
n+jft + fft—t^ft-^h^o. по)
Введем число V, которое удовлетворяет уравнению
) = 0
и условию lim l' — l, откуда получим /'= — 1/2 + V(^+ 1/2J —2а.
»0
а-»0
Уравнение A0) может быть переписано в виде
т. е. формально совпадает с уравнением для кулоновского
поля. Все это может иметь смысл только при условии, что
/(/+1)+1/4— 2а > 0. В противном случае мы получим для
V комплексные значения *.
* Можно показать, что при 1а —1A+ 1) > 1/4 радиальный оператор
Шредингера
и _ ' d2 j_ l V + ') ~ 2а '
'~ 2 dr2 + 2? г
становится неограниченным снизу.
127

Предположим, что а < 1/8, тогда условие 1{1-\- 1)+ 1/4 —
2а > 0 выполняется при всех I. Обычно /'"записывают с точ-
точ2
ностью до членов порядка а2, т. е.
' = ' I + 1/2 — ' ~ °1'
Тогда используя формулу E) при Z= 1, получим
р 1
Пи~ 2 {k + I - а, + IJ
или, вводя главное квантовое число п = k-\-1-\- 1,
?д/ = — 2 (я-а,J •
Из формулы A1) видно, что для потенциала (9) снимается
кулоновское вырождение по /. Уровни энергии Eni лежат
глубже, чем уровни атома водорода Еп, и с ростом п уровни Eni
и Еп сближаются. Формула A1) неплохо описывает уровни
энергии атомов щелочных металлов при соответствующем зна-
значении а. Эта формула была впервые получена Ридбергом на
основе анализа экспериментальных данных. Заметим, что для
атомов щелочных металлов главное квантовое число, как и для
водорода, принимает целые значения, но минимальное значе-
значение п равно не 1, а 2 для Li, 3 для Na, ..., так как состояния
с меньшим главным квантовым числом заняты электронами
внутренних оболочек атома (это утверждение станет понятным
после того, как мы познакомимся со строением сложных
атомов).
В заключение заметим, что рассмотренная модель иллюстри-
иллюстрирует полуэмпирический подход к решению сложных квантово-
механических задач. Такой подход состоит в следующем: вместо
того чтобы решать задачу в точной постановке, из физических
соображений строится упрощенная модель системы. Оператор
Шредингера для модельной задачи обычно зависит от парамет-
параметров, найти которые теоретически так же трудно, как и решить
задачу во всем объеме. Поэтому параметры находятся из срав-
сравнения результатов расчетов модельной задачи с эксперимен-
экспериментальными данными.
§ 33. Теория возмущений
В квантовой механике существует сравнительно мало инте-
интересных задач, которые допускают построение точных решений.
Поэтому важную роль играют приближенные методы. Часто
приближенные теории оказываются более ценными для пони-
понимания физических явлений, чем точные численные решения со-
соответствующих уравнений. Основные приближенные методы
квантовой механики основаны на теории возмущений и вариа-
вариационном принципе.
128

Опишем постановку задачи в теории возмущений. Пусть дан
самосопряженный оператор А, спектр которого известен. Тре-
Требуется найти спектр оператора В = Л + С при условии, что
самосопряженный оператор С в каком-то смысле мал. Мы не
уточняем, что подразумевается под малостью оператора С, так
как будет рассматриваться только формальная схема теории
возмущений. Подведение строгой базы под такую схему требует
решения ряда сложных математических задач.
Мы разберем случай, когда спектр оператора А чисто то-
точечный и начнем с задачи о возмущении простого собственного
значения. Введем однопараметрическое семейство операторов
Ле = Л-ЬеС. A)
Ясно, что Ао = А и А\ = В. Нам известны собственные векторы
*fn и собственные значения %п оператора А, которые удовлетво-
удовлетворяют уравнению
ЛЧ>„ = М>„. B)
Мы предполагаем, что спектр оператора А простой, т. е. каж-
каждому %п соответствует один собственный вектор г|)я.
Напишем уравнение для собственных векторов оператора Ае
ЛеЧ>е = М>е- C)
Основное предположение, которое мы сделаем, состоит в том,
что г|58 и Яе аналитически зависят от е, т. е. они могут быть
представлены в виде
Яе = Я<°> + еЯ<1> + е2Я<2> + .... D)
1|зе = i|j@) _|_ 81|,<1) _|_ е2г|)<2> + ... E)
Подставляя D) и E) в уравнение C)
(А + е
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, по-
получим систему уравнений
которую нам удобнее переписать следующим образом:
(Л -
(Л - Я<°)) t<2> = (Я<» - С) ф(» + Я<2>г|5<°>, F)
(Л — Я'0») t(n) = (^A) — СI|з(л-"+ ...
5 Зак. 330 129

Из первого уравнения F) следует, что i|)<0) является соб-
собственным вектором оператора А; из предположения о простоте
спектра следует *, что
Прежде чем обращаться к следующим уравнениям F), вы-
выберем условие нормировки вектора г|)е. Оказывается, что наи-
наиболее удобным является условие
l. G)
Мы считаем, что -ф<°> нормирован обычным образом || i|)@) || = 1,
поэтому условие G) эквивалентно условиям
(tA)> t@)) = 0, ..., №»>, г|><°>) = 0, .... (8)
Таким образом, поправки г|5A), ..., i|)(rt)> ... мы можем искать
в подпространстве, ортогональном к вектору i|)@) = г|зя.
Обратимся теперь ко второму уравнению F). Это уравне-
уравнение является уравнением второго рода с самосопряженным опе-
оператором А, и Я<0) является собственным значением оператора А.
Необходимым и достаточным условием существования решения
этого уравнения является ортогональность правей части этого
уравнения вектору t|5@). Из условия
сразу получаем, что
или подробнее
Формула (9) имеет очень простое физическое толкование. По-
Поправка первого порядка к собственному значению Кп совпадает
со средним значением возмущения С в невозмущенном со-
состоянии г|5„.
Посмотрим, что дает второе уравнение F) для вектора г|5A>.
Казалось бы, следовало написать
ф») = (А - Я<°)/)~' (Я<>) - С) t<°>. A0)
Однако эта формула нуждается в уточнении. Чтобы понять, по-
почему это так, рассмотрим подробнее оператор (А — XI) ~1, кото-
который называется резольвентой оператора А. Оператор А можно
записать в виде
А — УХР
* В дальнейшем следовало бы снабжать индексом и собственные век-
векторы i)jg, собственные значения Ле и Л' , 1|> . Мы этого не делаем для со-
сокращения записи.
130

где Рт — проектор на собственный вектор -ф т, т. е. Pmqj ==
= (ф,i|)m)i|)m. Тогда для оператора (Л— XI)-1 имеем
^Г=Т' (И)
т
Из формулы (И) видно, что резольвента теряет смысл при
% = К„, т. е. как раз при тех значениях параметра к, которые
нас интересуют. Вспомним, однако, что правая часть второго
уравнения F) ортогональна к ф<°> = ^„ и (г|)A), г|)<0)) = 0. По-
Поэтому на самом деле нам нужен не оператор (Л —Я/)-1, а опе-
оператор (Л — %1)~}Р, действующий в подпространстве, ортого-
ортогональном к г|)п. Здесь через Р обозначен проектор / — Р„, проек-
проектирующий на подпространство, ортогональное к вектору tf>n.
Оператор (А — Х1)~1Р может быть представлен в виде
тфп
он сохраняет смысл при % = %п. Вместо формулы A0) мы
должны написать
гр = (А - Я»»/) Р (Я<« - С) -ф<°>. A3)
Это выражение можно преобразовать следующим образом:
(А - V)-1 Р [(С$п, *„) i|)n - Сф„] -
= И - М я (Ря - /) сч>„ = - (А - к*)~' w:*»,
поэтому
1 A4)
Используя A2), получим
Рассмотрим поправки следующих порядков. Из условия ор-
ортогональности правой части третьего уравнения F) вектору
¦ф<°> сразу получаем
A6)
Используя вид i|)(I), находим явную формулу для второй по-
поправки к собственному значению %п
Мы не будем приводить подробных вычислений для if><2)
и последующих поправок if><n>, №\ Заметим только, что они
могут быть найдены с помощью формул Я<"> = (Оф*"-1', i|)<0)),
•ф(«) = (Л — А,(°>/)Р (правая часть уравнения F)).
5* 131

Обсудим теперь особенности теории возмущений кратного
собственного значения. Мы ограничимся построением поправки
первого приближения АA). Пусть %п = % (индекс п мы опус-
опускаем) является собственным значением оператора А кратно-
кратности q
i= 1, 2, ..., q.
Обозначим через Ж% собственное подпространство оператора А,
соответствующее собственному значению %, через Q — проектор
на это подпространство.
Обратимся снова к системе уравнений F). Из первого урав-
уравнения, как и раньше, следует, что Хт = X. Что касается векто-
векторов ф<°>, то мы можем лишь утверждать, что ф<°> е Жу,- Мы
покажем сейчас, что на векторы ф<0) накладываются дополни-
дополнительные ограничения, поэтому они в общем случае не совпа-
совпадают с собственными векторами яр,-. Действительно, второе
уравнение F) имеет решения, если его правая часть ортого-
ортогональна подпространству !№%, т. е.
Q (Л<» - С) ф<°> = 0.
Учитывая, что Qi|)@) = i|)<0), последнее уравнение можно пере-
переписать в виде
Q«W0) = А<»ф<°>. A8)
Мы видим, что ф(°> являются собственными векторами д-мер-
ного оператора QCQ, а ЯA) — его собственные значения. Прак-
Практически задача сводится к диагонализации матрицы g-го по-
порядка. Действительно, подставляя в A8) 'Ф@) = 2/=1^ф< и учи-
учитывая, что Q9=2/=i(9> 'Ф/)'Ф/. получим
Z Z о,
или
где Cji = (Сф,-, %). Матрица || С,/1| является самосопряженной,
поэтому всегда может быть приведена к диагональному виду.
Обозначим собственные значения этой матрицы через А*/'.
/=1, 2, ..., q. Кратному собственному значению % невозму-
невозмущенного оператора А соответствует q собственных значений опе-
оператора В = A -f- С, которые в первом приближении теории воз-
возмущений имеют вид X + hf\ } = 1, 2, ..., q. Обычно говорят, что
возмущение снимает вырождение. Разумеется, снятие вырожде-
вырождения может оказаться неполным, если среди чисел А/1' окажутся
одинаковые, т. е. оператор QCQ имеет кратные собственные
значения.
132

Пример. Рассмотрим систему с оператором Шредингера
H = -^-X7-aBU. A9)
Такой оператор Шредингера описывает атом водорода, поме-
помещенный в постоянное однородное магнитное поле, вектор ин-
индукции которого направлен по третьей оси *.
В качестве невозмущенного оператора разумно взять опе-
оператор
2, Т
т. е. оператор Шредингера для атома водорода, а
ЛЯ = - aBU
рассматривать как возмущение. С физической точки зрения АН
мало, так как магнитная сила, действующая на электрон атома
в достижимых магнитных полях, на несколько порядков меньше
кулоновской силы притяжения к ядру. Напомним, что собствен-
собственные функции оператора Но i|)«im(x) являются и собственными
функциями оператора L3
Матрица возмущения ЛЯ сразу оказывается диагональной,
и ее диагональные элементы равны —атВ Поэтому для энер-
энергии атома водорода в магнитном поле имеет место формула **
Епт = -^--аВт. B0)
Мы видим, что магнитное поле снимает вырождение по магнит-
магнитному квантовому числу т, однако остается характерное для
кулоновского поля вырождение по /.
* В электродинамике магнитным моментом частицы с зарядом е назы-
называется вектор
M = -i-xXv= -?— х X Р = ~- I.
2с 2cji y 2с(х
Здесь |х — масса частицы, v — скорость частицы, с — скорость света, 1 — мо-
момент импульса частицы. Функция Гамильтона частицы в однородном постоян-
постоянном магнитном поле В содержит дополнительное слагаемое —MB. Для ато-
атома водорода, помещенного в магнитном поле, направленное по третьей оси,
функция Гамильтона имеет вид
Соответствующий оператор Шредингера в атомных единицах совпадает с
A9) при а=\/2с.
** Приведенный пример является не совсем удачным, так как функции
^nim являются точными собственными функциями оператора Я с собствен-
собственными значениями B0).
133

Явление, состоящее в расщеплении уровней энергии атомов
в магнитном поле и в соответствующем расщеплении их спект-
спектральных линий, носит название эффекта Зеемана.
Интересно взглянуть на это явление с точки зрения теории
групп. Вырождение по т объясняется сферической симметрией
оператора Шредингера. Магнитное поле, направленное по оси
х3, нарушает такую симметрию. Группой симметрии оператора
Шредингера атома в магнитном поле является группа враще-
вращений вокруг третьей оси. Эта группа абелева и все ее неприво-
неприводимые представления одномерны. Поэтому наличие такой
группы симметрии не вызывает вырождения, любое вырожде-
вырождение будет случайным.
§ 34. Вариационный принцип
Рассмотрим функционал
Этот функционал имеет простой физический смысл: Е есть
среднее значение энергии системы в состоянии, задаваемом век-
вектором i|)/l|i|)||. Если г|) = t|5n, где ф„— собственный ^вектор опе-
оператора Я, соответствующий собственному значению Еп, то
Е = Е„. Вычислим вариацию функционала A)
Легко видеть, что условие стационарности функционала ?
6? = 0 B)
эквивалентно уравнению Шредингера
Я* = ?ф. C)
Действительно, из C) сразу следует B). Чтобы проверить об-
обратное утверждение, достаточно наряду с вариацией бг|) рас-
рассмотреть бф[ = /6if>. Тогда из условия B) следует, что
((Я - Е) jf,
. ¦)
n
и из произвольности 6i|) следует C).
Отметим еще одно важное свойство функционала Е. Для
любого вектора t{> е 5? Е ^ Ео, где ?0 — наименьшее собствен-
собственное значение, причем знак равенства имеет место только при
¦ф = Оф0. Это утверждение почти очевидно, так как среднее
значение энергии не меньше минимально возможного. Прове-
Проверим его формально для оператора Я с простым чисто точечным
спектром. Будем считать, что собственные значения занумеро-
134

ваны в порядке возрастания: ?0 < ?i < Е2 < ... . Подставляя
в A)^ = ЕГ-оСЛ> получим
так как ?га— ?э ^ 0. Знак равенства в D) достигается, если
Сп — 0 при га= 1, 2, ... В этом случае ф = С'о'Фо- Аналогично
проверяется, что
?ь если (ф, гр0) == 0,
?2, если (г|>, i|>o) = 0, (ф, ФО = 0, ( }
Свойство Е ^ Ео делает вариационный принцип особенно эф-
эффективным для расчета основного состояния системы. Подстав-
Подставляя в A) произвольный вектор феД мы получаем оценку
сверху для Ео; из двух значений функционала A) Е' и Е" бо-
более близким к Eq является меньшее. Использование свойств
E) для оценки Еп наталкивается на трудности, так как нам
неизвестны собственные векторы if>0, ¦ • ¦, ipn-i-
Существует вторая формулировка вариационного принципа,
которая утверждает, что уравнение Шредингера C) эквива-
эквивалентно условию стационарности функционала (Яф, ф) при
(t|)(t|))=l. Используя метод неопределенных множителей Ла-
гранжа, последнее условие можно записать в виде
Ч>)] = 0, F)
где Е — множитель Лагранжа. Эквивалентность F) и C) про-
проверяется так же, как эквивалентность B) и C).
Вариационные принципы могут использоваться двумя спосо-
способами для получения приближенных решений уравнения C).
Первый способ состоит в том, что приближенная волновая
функция ищется в классе функций определенного аналитиче-
аналитического вида, зависящих от нескольких параметров аь ..., а&.
Тогда Е = ?(«!,..., a,k), и параметры находятся из условий
дЕ (а,, ..., аЛ
да{ ~~U> *—1. <*.•••, *•
При втором способе приближенная собственная функция Я
для сложной системы (например, для атома), зависящая от
многих переменных if>(xi,x2,... ,Xn), строится при помощи не-
неизвестных функций от меньшего числа переменных (чаще всего
представляется в виде произведения -фi(xi)г|5 2(хг) . - - 1|)лг(хлг)
или линейной комбинации таких произведений). Из вариацион-
вариационного принципа находятся уравнения для функций фь ..., tyN.
135

С этим способом мы познакомимся, когда будем изучать слож-
сложные атомы.
Пример. Применим вариационный принцип для приближен-
ного расчета основного состояния атома гелия. Оператор Шре-
дингера для гелия в атомных единицах имеет вид
и 1 Л 1 А 2 2 I !
В качестве пробной функции возьмем *
¦ф(х,, х2, а) = е-аге~аг>.
Вычисления, которые мы не приводим, дают простое выраже»
ние для функционала
Е(а) = а2 g- a.
Минимум этого выражения достигается при а = 27/16, и при-
приближенное теоретическое значение энергии основного состояния
Ео = Е B7/16) = - B7/1 бJ ?* - 2,857
Экспериментальное значение ?оэксп = —2,90. Мы видим, что
такой простой расчет приводит к весьма хорошему согласию
с экспериментом. Как и следовало ожидать, теоретическое
значение Ео больше экспериментального.
Заметим, что е~аг является собственной функцией основного
состояния частицы в кулоновском поле —а/г. Поэтому прибли-
27
женная собственная функция е 1б является точной соб-
собственной функцией для оператора
Я'±Д ±Д Л?7
П ~ 2 Л1 2 Лг 16/-, 16г2 ¦
Взаимодействие между электронами в приближенном опера-
операторе Шредингера Н' учтено заменой заряда ядра Z = 2 на
Z' = 27/16, тем самым учтена экранировка ядра зарядом
электрона.
В заключение отметим, что при расчетах атома гелия ис-
использовались пробные функции с огромным числом парамет-
параметров и была достигнута такая точность, что имеющиеся расхож-
расхождения с экспериментом могут быть объяснены релятивистскими
поправками. Столь точное решение задачи об основном состоя-
состоянии атома гелия имеет принципиальное значение для квантовой
механики и подтверждает справедливость ее уравнений для за-
задачи трех тел.
* Выбор пробной функции можно объяснить тем, что функция е п 2п
является точной собственной функцией оператора Я—1/г12. Действительно,
если в И отбросить член 1/г12, то разделением переменных такая задача сво-
сводится к задаче о водородоподобном ионе, а, как было показано, собствен-
собственная функция основного состояния такого иона есть е~7-', где Z — заряд ядра.
136

§ 35. Теория рассеяния.
Физическая постановка задачи
Мы начнем с описания физической постановки задачи о рас-
рассеянии. Пусть пучок частиц сорта а, получаемый от ускорителя,
падает на мишень, состоящую из частиц сорта Ъ. Схема такого
опыта изображена на рис. 11.
Частицы а и b могут быть как элементарными, например,
электроны, протоны, нейтроны, так и составными, например,
атомы, молекулы, атомные ядра. Экспериментатор изучает фи-
физические характеристики частиц, вылетающих из мишени. Если
они отличаются от соот-
соответствующих характерис-
тик падающих частиц, то П-/ ^*
можно говорить, что час- -»-
тица а испытала рассея- *-
ние. а
Обычно стремятся вы-
выбрать такую толщину ми- Рис п
шени, чтобы достаточно
большое число частиц а
рассеялось на частицах & и в то же время, чтобы доля частиц а,
испытавших многократное столкновение, была пренебрежимо
мала. В этом случае для объяснения результатов экспериментов
достаточно изучить задачу о рассеянии частицы а на частице Ь.
Такая задача является задачей двух тел, если частицы а и b
элементарные, и задачей многих тел, если частицы а и b состав-
составные. Напомним, что задача двух тел отделением движения центра
инерции сводится к задаче о движении частицы в поле неподвиж-
неподвижного силового центра. Эта задача является простейшей задачей
теории рассеяния.
При рассеянии на силовом центре вследствие закона сохра-
сохранения энергии частица может изменить лишь направление сво-
своего движения. В этом случае говорят об упругом рассеянии.
При столкновении составных частиц возможны более сложные
процессы. Например, при столкновении электрона с атомом
водорода возможно упругое рассеяние (состояние атома не
меняется), рассеяние с возбуждением (электрон передает часть
своей энергии атому, который переходит в новое состояние)
и, наконец, ионизация атома электроном. Каждый такой про-
процесс называется каналом рассеяния. Рассеяние частицы на си-
силовом центре является одноканальным, а рассеяние составных
частиц обычно многоканальным. Если, однако, сталкивающиеся
частицы а и b находятся в основном состоянии и энергия их
относительного движения меньше энергии возбуждения, то
рассеяние будет одноканальным.
Основной характеристикой различных процессов рассеяния,
которая измеряется в экспериментах, является их сечение,
137

которое мы определим ниже. Процессом рассеяния мы называем
некоторое множество возможных результатов рассеяния. В этом
смысле процессами являются:
1) упругое рассеяние в элемент телесного угла dn, построен-
построенный около направления п;
2) упругое рассеяние на произвольный угол;
3) рассеяние в телесный угол dn с возбуждением мишени
с г-го уровня на k-й;
4) рассеяние с ионизацией мишени;
5) процесс, состоящий в том, что рассеяние вообще имело
место, и т. д.
Вероятность N какого-либо процесса рассеяния а на Ь за-
зависит от некоторой величины, которая характеризует точность
«стрельбы» частицами а по частице Ъ. Чтобы ввести такую
характеристику состояния налетающей частицы а, построим
плоскость, проходящую через точку, в которой находится рас-
сеиватель Ь, и перпендикулярную импульсу налетающей час-
частицы а. Вероятность dW пересечь площадку dS этой плоскости
для частицы а пропорциональна dS, т. е. dW = tdS. Ясно, что
вероятность N будет пропорциональна величине /, вычисленной
в точке, где помещен рассеиватель *.
Теперь естественным представляется определение сечения а:
N
0 = -.
Сечения перечисленных выше пяти процессов носят назва-
названия: 1) дифференциальное сечение упругого рассеяния, 2) пол-
ное сечение упругого рассеяния, 3) дифференциальное сечение
возбуждения, 4) сечение ионизации, 5) полное сечение. Понятие
сечения становится особенно наглядным, если предположить,
что имеет место полный детерминизм результатов рассеяния.
При таком детерминизме результат рассеяния определялся бы
той точкой поперечного сечения пучка, через которую прошла
бы частица при отсутствии рассеивателя. Процессу рассеяния
соответствовала бы тогда некоторая область в плоскости попе-
поперечного сечения, и сечение равнялось бы площади этой об-
области.
Перед теорией рассеяния стоят две задачи: по известным
потенциалам взаимодействия между частицами найти сечения
различных процессов (прямая задача) и по известным сечениям
получить информацию о взаимодействии частиц (обратная за-
задача).
В лекциях мы ограничимся изучением прямой задачи рас-
рассеяния частицы на потенциальном центре и начнем с простей-
простейшего одномерного случая.
* Рассеиватель Ь при этом считается удаленным, так как / характеризует
состояние свободно движущейся частицы а.
138

§ 36. Рассеяние одномерной частицы на потенциальном барьере
Изложение этого вопроса мы построим по следующему
плану. Сначала мы сформулируем так называемую стационар-
стационарную задачу о рассеянии. Для этого мы изучим решения урав-
уравнения Яг|) = ?Ч|) некоторого специального вида. Физический
смысл таких решений мы выясним позже, построив при их
помощи решения нестационарного уравнения Шредингера
г-^- = Яг|). Для простоты записи мы используем систему еди-
единицы, в которой h = 1, т = 1/2.
Оператор Шредингера в координатном представлении имеет
вид
H= — —+V(x) A)
Функцию V(x) мы будем считать финитной (V(x) — 0, \x\> a)
и кусочно-непрерывной.
Условимся называть области х < —а, х > а и —а < х < а
вещественной оси областями /, // и /// соответственно. Задача
о рассеянии является задачей об инфинитном движении час-
частицы. Такое движение возможно при Е > 0, и мы знаем, что
при Е > 0 спектр оператора Шредингера непрерывен. С мате-
математической точки зрения задачи о рассеянии являются зада-
задачами о непрерывном спектре оператора Шредингера.
Стационарное уравнение Шредингера, которое на всей ве-
вещественной оси имеет вид
упрощается в областях I я II
¦ф" _|_ k2^ = 0. C)
Уравнение C) имеет два линейно-независимых решения еШх
я e~ikx. Решения уравнения B) на всей оси могут быть по-
построены сшиванием решений в областях /—///. При сшивании
мы должны использовать условия непрерывности решений и их
первых производных в точках —а и а. Это накладывает четыре
условия на шесть произвольных постоянных, входящих в выра-
выражения для общих решений в областях /—///. Пятым условием
для этих постоянных является условие нормировки. Поэтому
могут быть построены линейно-независимые решения уравне-
уравнения B), которые в областях I я II имеют вид*
I II
ЫЛ, *), eikx + A(k)e~ikx, B{k)eikx,
1|>2(/г, х), D(k)e-{kx, e-lkx + C(k)eikx. ^
* Если потенциал не является финитным, но достаточно быстро убывает
при |jc|—>-" оо, то приведенные выражения для ф: и ^ в областях I и II
следует рассматривать как асимптотики функций \|)i и фг при дс->-±оо. Изу-
Изучать этот случай мы не будем.
139

Например, при построении решения if>i мы, используя произ-
произвольность одной из констант, полагаем равным нулю коэффи-
коэффициент при е~'кх в области //. Далее мы выбираем равным еди-
единице коэффициент при eikx в области /, тем самым определяя
нормировку функции t|)i. Коэффициенты А и В находятся из
условий сшивания вместе с постоянными тип, где m<pi+n<p2 —
общее решение B) в области //. Нетрудно убедиться, что усло-
условия сшивания приводят к линейной неоднородной системе урав-
уравнений для А, В, т и п с определителем, отличным от нуля, если
ф1 и фг линейно-независимы. Аналогично строится решение фг-
Линейная независимость решений i|)i и t|J следует из того, что
вронскиан этих решений не равен нулю.
Выясним свойства коэффициентов А, В, С и D. Для этого
заметим, что вронскиан W (q>v ср2) = ср^ — ф,ф2 решений ф1
и фг уравнения B) не зависит от х. Действительно, пусть ф1
и ф2 удовлетворяют B), тогда
Умножая первое из равенств на ф2, второе на ф1 и вычитая
одно из другого, получим
(ФФ
Используя это свойство, мы можем приравнивать врон-
вронскианы для любой пары решений в областях / и //. Выбирая
в качестве таких пар решений последовательно tfi, г|з2; фь tfi;
¦ф2, tj>2, и i|)i, % и используя равенства: W(e-'kx, eikx) = 2ik,
W(e±lkx,e±ikx) = b, мы придем к следующим соотношениям
между коэффициентами А, В, С и D:
В==Д E)
|ЛР + |ВР=1, F)
1ВР + |СР=1, G)
АВ + ВС = 0. (8)
(Например, в области / W($u^\)=—2ik(l—АЛ), а в обла-
области II W(^i,^i) = —2ikBB. Приравнивая эти выражения, полу-
получим соотношение F).)
Соотношения E) — (8) показывают, что матрица S, состав'
ленная из коэффициентов А, В = D и С
в с
является симметричной и унитарной. Эта матрица называется
матрицей рассеяния или просто S-матрицей. Мы увидим
в дальнейшем, что все физически интересные результаты могут
140

быть получены, если известна S-матрица, поэтому вычисление
ее элементов является основной задачей одномерной теории
рассеяния.
Рассмотрим вопрос о нормировке функций i|)i(A,х) mi!p2(k,x).
Имеют место формулы
оо
\ * 1 (*ь х) Ы*2. х) dx = О, ki > 0, 1ц > 0, (9)
Ч>1.2 (*1.*) f ,,2 (А2, X) rfx = 2яб (ft, - As), A0)
т. е. справедливы те же соотношения, что и для функций е'кх
и е~'**, и нормировка не зависит, от вида потенциала V(x).
Интегралы в формулах (9) и A0) понимаются в смысле глав-
главного значения. Мы проверим A0) для функции fi. Остальные
два соотношения проверяются так же. Подстановка функций
tyi{ki,x) и fi(^2,x) в уравнение B) приводит к равенствам
V (ft,, x) + ftf* (ft,, x) = 1/ (х) ф (А,, х), A1)
\\i" (k *Л -+- k2\\i (k y\ == V (x) ih (k x\ A21
(Мы не пишем индекс 1 в обозначении решения ifi для сокра-
сокращения записи.) Домножая A1) на i|)(&2>x), a A2) на
и вычитая первое из второго, получим
d
(f (A,, x), f (?2, х)) = (А^ — kf) -ф (Ар х) f (A2, х).
Интегрируя это равенство, будем иметь
N
, x), 1ЙЛ7Т))Г . A3)
Нас интересует предел в смысле обобщенных функций инте-
интеграла, стоящего в левой части A3), при Af-юо. Уже из фор-
формулы A3) видно, что этот предел зависит только от вида реше-
решений в областях I и II (для случая инфинитных потенциалов
только от асимптотики решений при х—>±°°).
После простых вычислений получим
х) ф (А2, х) dx =
141

Второе слагаемое но теореме Римана — Лебега стремится
к нулю (в смысле обобщенных функций). Подобное утвержде-
утверждение несправедливо по отношению к первому слагаемому, так
как оно сингулярно при k\ = k2. Сингулярная часть этого сла-
гаемого не изменится, если заменить A(k2) и B{k2) на A(ki)
и B{k\) соответственно*. Используя F), имеем
N
п О
\ "фх (k\, x) f I (k2, x) dx = -г г- sin (ki — k2) N + F (ku k2, N),
-N
где lim F (ku k2, N) — Q.
N-+00
Наконец, используя известную формулу
.. sin Nx x / \
lim — Tco yx)t
получим
/V
lim \ f [ (ku x) f i (k2, x) dx = 2яб (kx — k2),
что совпадает с A0).
§ 37. Физический смысл решений яр1 и яр2
Для того чтобы выяснить физический смысл решений i|n
и i|52, построим с их помощью решения нестационарного урав-
уравнения Шредингера
Рассмотрим решение уравнения Шредингера, построенное по
функции г|з 1 (k, x)
оо
ф1 (х, 0 = -4= 5 С (k) Ь (k, х) е-»'* dk. A)
Относительно функции С (k) мы предположим, что она отлична
от нуля в малой окрестности точки kQ. В этом случае ф[ (х, t)
имеет наиболее простой физический смысл. Кроме того, будем
считать, что
* Для этого достаточно, чтобы A (k) я В (k) были дифференцируемыми
функциями от k, что может быть доказано.
142

тогда из C6.10) следует, что
оо
J 1 ф, (х, t)\2dx=l,
— оо
т. е. решение qn(x, t) имеет правильную нормировку. Используя
сосредоточенность функции C(k) в окрестности точки k0 и не-
непрерывность функций A(k) и B(k), можно записать прибли-
приближенные выражения * для функции <$i(x, t) в областях / и //:
/: Ф1 (*, /) <* Ф+ (х, t)+ А (А„) ф_ (х, 0,
//: ф! (х, t)s*B (k0) ф+ (х, t),
ОО
ф. (х, t) = -±= \ С (k) e±ikx~ikH dk. B)
где
Функции ф±(х, t) являются нормированными решениями
уравнения Шредингера для свободной частицы и изучались **
в § 15. Там же были построены асимптотические выражения
для этих решений при ^—>±°°
Ф+ (х, /) = J— С(± —) е'п + О (—),
T±v V2I/I V It) \\t\)
где % — вещественная функция, вид которой для нас несуще-
несуществен. Из этого выражения видно, что функции ср±{х, t) при
| ^ | —*¦ оо отличны от нуля только в окрестности точек х = ±2kot.
Поэтому ф+ описывает состояние свободной частицы, движу-
движущейся слева направо со скоростью*** v = 2й0, а <р_ — частицу,
имеющую противоположное направление скорости (напомним,
что т = 1/2).
Теперь легко понять, какими свойствами обладает решение
ф1(х, t) при ^—>±оо. Пусть t->— 00. Тогда в областях 1 к II
имеем
/: ф; (х, /) = ф+ (х, /),
//: Ф,(х, /) = 0,
* Эти выражения можно считать сколько угодно точными, если интер-
интервал Д?, внутри которого С(?) сглична от нуля, сколь угодно мал. Однако
перейти к пределу, заменив C(k) на б-функцию, мы не можем, так как не
получим квадратично интегрируемого решения уравнения Шредиигера,
** Имеется несущественное различие в записи. Нам удобнее здесь счи-
считать k > 0, и знак импульса в экспоненте е±1кх выписывается явно. Кроме
того, интегрирование в B) можно распространить на всю вещественную ось,
так как C(k) == 0 при k < 0.
*** Более точно: со скоростью 2k0 перемещается область, в которой от-
отлична от нуля вероятность найти частицу.
143

так как при ?-»—с» ф_(х, /) — О при х <—а и ф+(х, /) = О
при х > а. Аналогично при /—» +оо
/: Ф,(х, О = Л(Ао)<р_(х, О,
//: ф, (х, /) = В (Ао) Ф+ (х, t).
Мы видим, что задолго до рассеяния (t->— oo) частица
с вероятностью, равной единице, находится слева от барьера
и движется по направлению к барьеру со скоростью 2Ао.
Вычислим вероятности Wi и Wi, обнаружить частицу при
t—*-\-<х> в областях / и // соответственно. Имеем
= \ A(kQ)\2 J \<p_(x,t)\2dx =
Замена области интегрирования / на всю вещественную ось
возможна, так как при /->+оо ф_(х, ^фО только в области /.
Точно так же проверяется, что
Графики функции \qn(x,t)\2 как функции от х при
изображены на рис. 12.
л—
-о
-а
Рнс. 12.
Таким образом, решение уравнения Шредингера <pi(x, t)
описывает частицу, которая до рассеяния приближается к по-
потенциальному барьеру со скоростью 2k0 и с вероятностью
\A(ku)\2 отражается от барьера или с вероятностью |B(feo)|2
проходит через потенциальный барьер *.
Обратим внимание на то, что результат не зависит от вида
функции C(k), важно только, чтобы интервал ДА, в котором
С (А) отлична от нуля, был мал. Физически это требование по-
понятно, если мы хотим экспериментально найти зависимость,
* В одномерной задаче понятие сечения теряет смысл. Всю информации?
о рассеянии содержат вероятности |Л|2 и \В\2.
144

на-пример, коэффициента отражения |Л(йI2 от k, должны
использовать частицы, находящиеся в состоянии с возможно
меньшей дисперсией k (состояний с" нулевой дисперсией не су-
существует). При конкретных расчетах коэффициентов отраже-
отражения и прохождения |Л(&)|2 и |В(&)|2 нет необходимости ре-
решать нестационарное уравнение Шредингера, достаточно найти
решение ^\{k,x). Заметим, что решение yz(x, t), которое можно
построить по функции ~§2{k,x), имеет такой же смысл, только
частица приближается к барьеру справа.
Вспомним свойства матрицы рассеяния S. Равенство В = D
приводит к равенству вероятностей прохождения через барье-р
в противоположных направлениях и, как можно показать, яв-
является следствием инвариантности уравнения Шредингера от-
относительно обращения времени. Равенства
|Л|2 + |В|2=1, |В12 + |С|2=1
выражают закон сохранения вероятности. Действительно, нор-
нормировка решений qn(x, t) и фг(^, t) от времени не зависит,
а при t—* оо имеем
lim [
<-»oo J
§ 38. Рассеяние на прямоугольном барьере
Рассмотрим конкретный пример задачи о рассеянии одно-
одномерной частицы на прямоугольном потенциальном барьере.
Пусть
О, | х | > а.
Уравнение Я^ = №¦§ в этом случае в областях /—/// имеет
вид
I и II: г|/' + k2^ = 0,
III: f" + <x2f = 0, A)
где a = V&2—^о (для определенности считаем, что а > 0
при k2 — 1/0 > 0 и — ia > 0 при k2 — Vo < 0).
Построим решение i|n(A, х). Это решение в областях /—///
имеет вид
I: еШх + Ae-ikx, B)
II: Beikx, C)
щ. пгеш-j-ne-lax.
145

Коэффициенты А, В, т, п находятся из условий непрерывности
функции ifi и ее производной в точках —а и а
e-ika ^_ Де1ка _ me-iaa _[_ neiaa^
k (e-ika — Aeika) = а (те~Ша — neiaa),
meiaa
a (melaa — ne~iaa) = kBeika.
Выпишем выражение для коэффициента В
P2i (ft-o)a _ <a - feJ P
4ak
Нетрудно проверить, что В -> 0 при выполнении любого из ус-
условий:
1) й->0, 2) Fo->°°. 3) a->oo, Й2< 1/0.
Наоборот, В-> 1 при выполнении одного из условий:
4) /г->оо, 5) Fo->O, 6) a-t-0.
Мы видим, что в предельных случаях 1)—5) результаты, полу-
полученные на основе квантовой механики, совпадают с классиче-
классическими *. На рис. 13 приведен график
функции \B(k)\2. Из графика видно,
что при некоторых конечных значе-
значениях k вероятность прохождения
|В|2=1. Интересно отметить, что
уравнения A) вместе с условиями B)
и C) описывают прохождение свето-
световых волн через прозрачные пластин-
ки. При этом \В\2 и |Л|2 пропорцио-
пропорциональны интенсивностям проходящей
Рис. 13. и отраженной волн. В случае |В|2 =
= 1, |Л|2 = 0 отраженная волна от-
отсутствует. Это явление используется для просветления
оптики.
§ 39. Рассеяние на потенциальном центре
Для задачи о рассеянии на потенциальном центре оператор
Шредингера имеет вид
H = -b+V(x). A)
(Мы снова считаем, что т = 1/2, А=1). В дальнейшем мы
обычно будем считать, что потенциал V(\)—финитная функция
* Согласно классической механике частица с вероятностью единица про-
проходит через барьер при Ь? > Vo и с вероятностью единица отражается при
/г2 < Vo.
146

(V(x) = 0 при |х|> а). Изложение построим по той же схеме,
что и в одномерном случае, т. е. сначала рассмотрим некоторые
решения стационарного уравнения Шредингера, а затем выяс-
выясним их физический смысл с помошью нестационарного уравне-
уравнения Шредингера.
Наша первая задача — сформулировать асимптотическое
(при г->оо) условие на решение уравнения
- Af(x) + I/(x)f(x) = Wx),
которое соответствует физической картине рассеяния и является
аналогом условий C6.4) для одномерной задачи. Естественно
ожидать, что одно слагаемое асимптотически будет соответство-
соответствовать частице, налетающей на рассеивающий центр по опреде-
определенному направлению, а второе — соответствовать рассеянной
частице, которая может иметь различные направления движе-
движения после рассеяния и удаляется от центра. Аналогами функ-
функций eikx и e~ikx в трехмерном случае являются функции eikr/r
и e~ikr/r. Поэтому разумно предположить, что частице до и
после рассеяния в асимптотике соответствуют слагаемые
e—ikr gikr
б (n -\- to) и S (k, n, to). Мы используем следующие
обозначения: к — импульс налетающей частицы, to = к/k, n =
= х/г, б(п — По) — б-функция на единичной сфере, определяе-
определяемая равенством
\ / (п) б (п — n0) dn = f (щ), dn — sin 6 dQ dq>,
s2
S(k, n, <a) — некоторая функция, которая, как будет показано,
содержит всю информацию о процессе рассеяния и которая
должна быть найдена при решении задачи. Мы увидим в даль-
дальнейшем, что функция S(k, п, ш) является ядром некоторого уни-
унитарного оператора S, который называется оператором рас-
рассеяния.
Мы приходим к следующей постановке задачи о рассеянии
на силовом центре: требуется найти решение уравнения
- Дф (х, к) + V (х) ф (х, к) = k2q (x, к), B)
которое при г->оо имеет асимптотику
Ф (х, к) = '^- б (п + ©) - ^- S (k, n, о) + о (i-) . C)
Обоснование такой постановки задачи может быть дано
только при помощи нестационарного формализма теории рас-
рассеяния, это будет сделано в следующем параграфе. Вопрос о су-
существовании решения уравнения B) с условием C) мы также
обсудим ниже. На этот вопрос, однако, просто ответить для
147

случая V(x)= 0. Покажем, что функция
которая, очевидно, является решением B) при К(х) —0, удов-
удовлетворяет и условию C), и найдем вид функции S(k, n, и) для
этого случая.
Мы ищем асимптотику функции г|)о(х, к) в классе обобщен-
обобщенных функций, поэтому должны найти асимптотическое выраже»
ние при г->оо интеграла
'= \ / (n
где /(п) — гладкая функция. Используя явный вид фо(х, к)
и вводя сферическую систему координат, полярная ось которой
направлена по вектору to, имеем
0
Интегрируя
2л
0
л
p J
0
no
ф ~
/(cose^)e"rcosesin
частям, получим
— / Ы w)eikrn
kr
i
-l
Ы
0 =
= ~
2л
\
0
1
dcp \
-
2л
-1
Еще раз проинтегрировав по частям, легко убедиться, что вто-
второе слагаемое имеет порядок ОA/г2), поэтому
2л
о
о—ikr „ikr
<f !
Таким образом, мы показали, что
f о (х, k) = If- б (n + с») - -^ б (n - с») + О (^г) . D)
Сравнивая D) с C), найдем функцию 5 для свободной
тицы
So (k, п, ю) = б (п — о)).
148

Используя D), можно переписать асимптотическое условие
C) в форме
Ч> (х, к) = -^г (>'<"¦«» + f (k, п, ш) 1^1) + о A) , E)
где функция /F,п, ш) связана с функцией SF, n, w) соотно-
соотношением
S(k, п, ю) = в (п-«о)+ -§-/(*, п,й). F)
Функция ДА, n, to) называется амплитудой рассеяния. Очевидно,
что f(k, n, to) = 0 при 1/(х)= 0. Мы увидим, что через эту функ-
функцию наиболее просто выражается сечение рассеяния.
Вместо асимптотического условия E) часто используют
Ч> (х, к) = е<*'« + f (к, п, ей) -^1 + о (-f). G)
которое приводит к более удобной нормировке функции
i|)(x,k).
Посмотрим теперь, какими свойствами обладает функция
S(k,n,to). Для изучения этих свойств удобным оказывается сле-
следующее вспомогательное утверждение.
Пусть функции 1|з 1 (х) и г}? 2 (х) удовлетворяют уравнению B)
и асимптотическим условиям при г->оо, которые можно один
раз дифференцировать по г
p—ikr „ikr
Ч>, (х) = Л! (n) 11— + Si (n) -V- +
р-Лг „ikl
г|J (х) = А2 (п) ^т- + В2 (п) ^- +
Тогда справедливо равенство
! (n) B2 (n) dn = J Л2 (п) В! (n) dn. (8)
s2 s.
Это утверждение легко доказывается при помощи формулы
Грина
\ (^Afc - %Af,) dx = J (f, -^ - f 2 -|^) <*2. (9)
я ая
ая
В качестве области интегрирования й следует выбрать шар
радиуса /? и перейти к предеду при /?->оо. Положим
p — ikr о&Г / 1 ч
ф, (х) = ф (х, к) = -^у- б (п + ©) - -— 5 (А, п, ©) + о (-1),
f2 (х) = ф (х, к') = ^т- б (п + ©0 - ^- S (Л, п, ©0 + о A),
х) = 1>(х, к') = - ^т- 5(Л, п, с/) + -^ б(п + ©') + о (!) ,
149

где к' = k&'. Применяя формулу (8) к функциям г)^ и if>2, по-
получим
S(k, —(»,(»') = 5 (k, — о/, га),
или, заменяя и на —to,
S (А, ©,©') = S (А,— ©', — ©). A0)
Эта формула является аналогом равенства В = Z) для одно-
одномерной задачи рассеяния и выражает тот факт, что значения
функции S для прямого (to'—>(») и обращенного во времени
(—ш ->—to') процессов столкновений совпадают. Можно пока-
показать, что это свойство (так же, как и симметрия S-матрицы
в одномерном случае) является следствием инвариантности
уравнения Шредингера относительно обращения времени.
Далее, применяя формулу (8) к функциям fi и грз, получим
S (А, п, «/) S (А, п, ©) dn = 8 (© — «/). (И)
Если рассматривать функцию S(&, n, ta) как ядро интеграль-
интегрального оператора в L2(S2)
S ф (©) = J S (k, <a, и') ф (ш') dw',
2
то формула A1) может быть переписана в виде
S*S = /.
Учитывая A0), из A1) следует, что справедливо равенство
5S* = /.
Из последних двух соотношений следует, что оператор S яв-
является унитарным.
Мы видим, что оператор S для задачи рассеяния на потен-
потенциальном центре обладает теми же свойствами, что и S-мат-
рица для одномерной задачи рассеяния. Из унитарности опе-
оператора S вытекает важное соотношение
, n, (a)|2dn = ^Im/(A,(»,(a), A2)
которое носит название оптической теоремы. Действительно,
используя F) и A1), получим
J [ б (п - ©0 - -Ц- /(А,п,ю')] [б (п - е») + -§- f (k, n, ©)] dn =
s,
= a (© - ©o + -|-[f (A, ©', ©) - f (k, ©, ©o] +
+ ^S /(A,n,©,)f(A, n,©0dn = б(©-©0.
Полагая <» = to', мы сразу приходим к формуле A2).
150

В § 42 мы увидим, что интеграл в левой части A2) совпа-
совпадает с полным сечением а для рассеяния частицы на потен-
потенциальном центре. Поэтому A2) можно переписать в виде
а = -j- Im f (k, <л, <л).
Эта формула связывает полное сечение рассеяния с мнимой
частью амплитуды рассеяния на нулевой угол.
Используя унитарность оператора S, легко показать, что
функции г|з(х, к), удовлетворяющие асимптотическому условию
G), имеют нормировку
ф (х, к) ф (х, к') dx = BлK б (к — к')- A3)
R3
т. е. нормированы так же, как решения для свободной частицы
е'кх. Чтобы проверить A3), умножим равенства
Дг|> (х, к) + кЦ (х, к) = V (х) ф (х, к),
Лг|з(х, к') + АгЧ(х, к') = К (х) г|з(x, к')
на г|з(х,к') и 1|з(х, к) соответственно, вычтем первое из второго
и проинтегрируем по шару радиуса R, тогда
R R
-•ф(х, k')AiMx, k)]dx.
С помощью формулы Грина это равенство можно переписать
в виде
\ * (х, к) Ч» (х, кО dx = -pl^ \ (^ (х, к)
ЛЕ.
где Sr — сфера радиуса R. Формула A3) получается из послед-
последнего соотношения переходом к пределу при R->oo, интеграл
в правой части считается с помощью асимптотического выра-
выражения для 1|з(х,к). Мы не приводим соответствующих выкла-
док, так как они буквально повторяют вычисления, которые
привели нас к формулам C6.9), C6.10).
§ 40. Движение волновых пакетов в поле силового центра
Построим с помощью функции 1|з(х, к) решение нестацио-
нестационарного уравнения Шредингера
151

вида
DУ \{k)*(x,k)e-4"'dk. A)
R>
Если функция С (к) удовлетворяет условию
J|C(k)|2dk=l, B)
то а|)(х, ?) вследствие C9.13) имеет правильную нормировку
R'
Как и в одномерном случае, разумно рассмотреть решение
с функцией С (к), сосредоточенной в малой окрестности точки
ко — fto<»o- По теореме Римана — Лебега при | ^| —* оо а|)(х, t)->0
и \ | ^(х, t) |2dx->0 для любой конечной области Q. Поэтому
а
функция ф(х, t) описывает инфинитное движение частицы. Нас
интересует поведение этого решения при |/|->оо и г—> оо
и мы можем заменить ^(х,к) в формуле A) ее асимптотиче-
асимптотическим выражением
ф(х, к) = ^- B-fr- б (п+сй)-^- 5 (ft, n, «)) + о (±
При г-> оо имеем
S:
- ^- 5 (ft, n, о)) ) е-«г^ = ъ (х, 0 + ф2 (х, О,
где -ф ] (х, ^) и г|J(х, t) соответствуют сходящейся e~tkr/r и рас-
расходящейся eikr/r волне в асимптотике.
Функция -фг (х, t) может быть переписана в виде
ftC(ft, —n)e-tkre-wtdk C)
(мы распространили интегрирование на всю вещественную ось,
положив C(ft,n) = 0 при ft<0). Вычисляя интеграл (З) мето-
методом стационарной фазы, получим
) (^) D)
через %, как всегда, обозначена вещественная функция, которая
нас не интересует.
152

Для того чтобы вычислить if>2(x,/), используем формулу
C9.6) для функции S
ф2 (Х> /) = — —щ [ kdk { da С (k, «) Гб (п - а) +¦
-оо Sj
оо
ikre-ikH = - ~^Щ \ Ш [С {k> П)
+ ?/(*. п> ] ^Щ \ [
— со
+ ^-С1(Л)/(Л>п,о0)]в'«'-*ч>. E)
Здесь мы ввели обозначение С{ (k)— \ C(k, a) da и, учитывая
s2
б-образность функции C{k, ca), заменили функцию f(A, n, са) ее
значением в точке са = сао. Интеграл в E) вычисляется методом
стационарной фазы
+ 4^c>(ir)Kir'n'<ao)]^ + 0(w)-
Наконец, учитывая б-образность функции Ci (/г) (она сосредо-
сосредоточена в окрестности точки /го), получим
F)
Из формул D) и F) видно, что г^ дает вклад в ф(х, ^)
только при t—*— оо, a ifJ — только при г!->-|-00- Для плотно-
плотности функции распределения координат |ip(x,i)|2 имеем
G)
t-++oo.. (8)
Из формул G) и (8) следует, что полученные асимптотиче-
асимптотические выражения для ф(х, t) имеют правильную нормировку при
^->±оо. (Проверка этого утверждения для случая /->—оо
тривиальна, а в случае ^->4"°° следует использовать формулу
C9.12).)
Вспоминая, что C(k,ca) отлична от нуля только в малой
окрестности точки &o<»o, a C\{k) — в малой окрестности точки k0,
153

мы видим, что при t-*-—оо плотность функции распределения
координат |г|з(х, /) |2 отлична от нуля в окрестности точки
r = —2kot, п =—(оо- При ^->+оо плотность | -ф (х, t)\2 отлична
от нуля внутри тонкого сферического слоя радиуса г = 2k0t.
Угловое распределение вероятности можно получить *, проин*
тегрировав (8) по переменной г с весом г2. Ясно, что первые
два слагаемых в (8) дают вклад в это распределение только
при направлениях, близких к са0. Угловое распределение по всем
остальным направлениям пропорционально \f(k0, n, ю.о) |2.
Теперь мы легко можем представить, как происходит дви-
движение частицы в состоянии, описываемом функцией г|з(х, t).
Задолго до рассеяния (t->—оо) частица со скоростью 2й0
\
v=2h0
приближается к рассеивающему центру, двигаясь по направле-
направлению са0. После рассеяния (t—> + «>) частица удаляется от рас-
рассеивающего центра с той же скоростью, причем она может
быть обнаружена в любой точке сферического слоя радиуса
г = 2kut с вероятностным распределением по углам, зависящем
от С (к) и f(ko, n, (»о). На рис. 14 заштрихованы области, в ко-
которых велика вероятность обнаружить частицу при ?->±оо.
Крест-накрест заштрихованы области, в которых эта вероят-
вероятность отлична от нуля и при отсутствии рассеивающего центра.
Три слагаемых в формуле (8) допускают следующее толко-
толкование. Интеграл по всему пространству от суммы первых двух
слагаемых W\ есть вероятность того, что частица пройдет мимо
* Мы не выписываем точных формул для углового распределения вероят-
вероятности, так как оно существенно зависит от вида функции С (к) и поэтому
не является удобной характеристикой процесса рассеяния (функция С(к),
соответствующая конкретному эксперименту по рассеянию, никогда не из-
известна). Подходящей характеристикой является сечеиие. Как мы увидим, се-
сечение оказывается нечувствительным к виду С (к), важно только, чтобы эта
функция была сосредоточена в малой окрестности точки ко. Физически это
требование означает, что импульс налетающей частицы должен быть почти
задан.
154

силового центра без рассеяния. Эта вероятность меньше еди-
единицы за счет второго слагаемого. Интеграл от третьего слагае-
слагаемого W2 есть вероятность рассеяния. Мы уже упоминали, что
асимптотическое выражение F) для г|з(х, t) имеет правильную
нормировку, поэтому
Мы видим, что решение уравнения Шредингера г|з(х>0>
построенное при помощи функции г|з(х, k), правильно описывает
физическую картину рассеяния. Это оправдывает выбор асим-
асимптотического условия для функции 1|з (х, к).
Отметим еще некоторые особенности решения г|з(х, t). Не-
Нетрудно видеть, что при t->—оо эта функция имеет такую же
асимптотику, как и решение уравнения Шредингера для сво-
свободной частицы
(Здесь С (к) та же функция, что и в интеграле A).) Действи-
Действительно,-расходящиеся волны eikr/r не дают вклада в асимпто-
асимптотику при t->—оо, а коэффициенты при e~ikrjr в асимптотиче-
асимптотическом выражении для функций eikx и ф(х, к) совпадают.
Покажем, что и при ?->+°° решение г|з(х, t) асимптотиче-
асимптотически стремится к некоторому решению уравнения Шредингера
для свободной частицы. Учитывая, что при t—>-+°° сходящиеся
волны e~ikr/r не дают вклада в асимптотику, получим
*(х> 1) = GiJ \с <к) *(х- k)e~ikH dk
3
R3
3 оо
-ik't —
О Si Sj
X °?L е-ш = _ ^y \&dk\ d<*' If- с (k, «>') б К - n) x
0 Si
Здесь
С (k) = С (k, e>) = J S {k, o), ca') С (k, caO d®'. (9)
155

Мы видим, что решение уравнения Шредингера ty(x,t) асим-
асимптотически стремится к решению ф(х, t) для свободной частицы
при t—>oo. Функция С (к), определяющая конечное состояние
свободного движения, получается из функции С (к), задающей
начальное состояние, в результате действия оператора S. Уни-
Унитарность оператора 5 обеспечивает правильную нормировку
ф(х,t), так как вследствие унитарности
C|C(k)|2dk=l.
§ 41. Интегральное уравнение теории рассеяния
Основу большинства подходов для построения решений
ф(х, к) и амплитуды рассеяния f(k, n, оа) составляет интеграль-
интегральное уравнение
ф (х, к) = е^ - ±- \ f*^"y|' " (У) * (У- к> *У> W
R1
которое часто называют уравнением Липпмана — Швингера.
Проверим, что решение этого уравнения удовлетворяет
уравнению C9.2) и асимптотическому условию C9.7)*. Дей-
Действительно, используя формулы
(Л + k2) е1к* = 0, (Л + k2) eikr/r = - 4лб (х),
получим
(Л + k2)^ (x, k) = 0 + \ б(х - у) V(y) t|> (у, k)dy=V(x)$(x, k).
R
Асимптотическое условие проверим для случая финитного
потенциала (У(х)= 0 при г > а). Имеем
х-у| = eHkr-kny) _|_
Поэтому для функции г|з(х, ft) получим
¦ф (х, к) = е'кх —j \ e~lknyV (у) ф (у, к) dy + О
R1
Сравнивая последнюю формулу с C9.7), мы видим, что реше-
решение интегрального уравнения имеет правильную асимптотику,
* Можно, конечно, проверить и обратное утверждение.
156

и, кроме того, получаем
/ (k, п, о) = — -~^ ^ e-ikn*V (х) а|) (х, ka) dx. B)
Формула B), в которой амплитуда рассеяния выражена через
решение уравнения A), часто оказывается полезной для при-
приближенного нахождения f(k, n, са).
Один из приближенных методов теории рассеяния основан
на использовании ряда итераций уравнения A)
оо
1|з (х, k) = Yj 'Ф " (х> к), C)
где
1|з@) (х, к) = е1кх, ф(п+1) (х, к) = — 4~ \ f " У, V (у) ^п) (у, к).
Ряд C) называется борновским рядом, подстановка C) в B)
дает борновский ряд для амплитуды рассеяния. Борновский
ряд для задачи рассеяния на потенциальном центре хорошо
изучен. Известно, например, что он сходится при условии
Известно также, что при этом условии на потенциал опера-
оператор И не имеет дискретного спектра. Если дискретный спектр
присутствует, то ряд C) сходится не при всех k. В то же время
при достаточно больших k ряд C) сходится для весьма широ-
широкого класса потенциалов.
Простейшее приближение для амплитуды рассеяния полу-
получится, если в B) вместо 1|з(х, к) подставить a|)@)(x, к) = е'кх
fB (k, n, ю) = — -^ e-ikn*V (x) eike>* dx.
R1
Это приближение называется борновским приближением. Точ-
Точное утверждение состоит в том, что при больших k
f(k, n, (n) — fB(k, n, a) = o(l)
равномерно по п и са.
Интегральное уравнение используется для математического
изучения задачи о рассеянии. При подходящем выборе функ-
функционального пространства это уравнение может быть сведено
к уравнению второго рода
157

с вполне непрерывным оператором. Поэтому для уравнения A)
справедливы теоремы Фредгольма. Для широкого класса по-
потенциалов показано, что соответствующее однородное уравне-
уравнение может иметь решения лишь при мнимых значениях пара-
параметра k (kn = tXn, яп > 0). Буквально повторяя вычисления,
приведенные в начале этого параграфа, легко убедиться, что
решение i|)ra(x) однородного уравнения удовлетворяет уравне-
уравнению Шредингера [—А + V (х)] г|зп (х) = — и^п (х) и имеет асим-
асимптотику 1|з„(х)=ё f(n)e-*nr/r, где f(n)—некоторая функция, опре-
определенная на единичной сфере. Это значит, что решения од-
однородного уравнения являются собственными функциями
дискретного спектра оператора Н. С помощью интегрального
уравнения A) была доказана полнота набора собственных
функций {i|3ra(x),ф(х,к)} оператора Н.
§ 42. Вывод формулы для сечения
Основной характеристикой процесса рассеяния частицы на
потенциальном центре является дифференциальное сечение.
В согласии с общим определением сечения дифференциальное
сечение da определяется формулой
da = — , A)
где dN — вероятность обнаружить частицу после рассеяния
(t—>оо) в элементе телесного угла dn, построенного около не-
некоторого направления п; / — вероятность пересечения свобод-
свободной частицей площадки единичной площади, ориентированной
перпендикулярно движению частицы. Эта вероятность опреде-
определяется в той точке, где находится рассеивающий центр. Обра-
Обратим внимание на то, что dN есть характеристика частицы в поле
рассеивающего центра, а /—характеристика свободной
частицы.
О состоянии о свободной частицы пучка известно довольно
мало. Действительно, известно, что частица имеет импульс,
приближенно равный к0 = &о<»о> известна дисперсия импульса
) A) (Л) А)
р р у
cP cp + (Лй2)ср + (А&з)сР; причем для того чтобы опыты
по рассеянию допускали простую интерпретацию, стремятся
использовать пучки частиц с малой дисперсией импульса. О ко-
ордина-тах частицы пучка известно обычно совсем мало. Но
все же известно, что в некоторый момент времени (который
можно принять за t = 0) частица находится в макроскопиче-
макроскопической области, расположенной между ускорителем и мишенью;
поперечные размеры этой области можно отождествить с диа-
диаметром пучка. Заметим, что существование такой области на-
накладывает согласно соотношению неопределенностей Гейзен-
берга ограничения на дисперсию импульса снизу.
158

При выводе формулы для дифференциального сечения мы
сделаем два предположения относительно малости корня из
дисперсии импульса, который будем обозначать через Aft:
1) Aft<ft0,
2) |f(ft,n,(»)-/(ft',n,(»')|<|/(ft,nce)|, если \k& — kW\<
<Aft.
В принципе этим требованиям всегда можно удовлетворить,
если /(ft, п, са)—непрерывная функция от k = ftoa (непрерыв-
(непрерывность функции f может быть доказана для широкого класса
потенциалов). Обычно на практике эти условия выполняются.
Однако встречаются случаи, когда при малом изменении пере-
переменной к происходит сильное изменение функции f(k, n, са) (слу-
(случай узкого резонанса). Величина Aft в конечном счете опреде-
определяется конструкцией ускорителя и практически не может быть
сделана как угодно малой. Поэтому в некоторых экспериментах
условие 2) может не выполняться. В этом случае нельзя при-
применять полученную ниже формулу для сечения.
Покажем, что при выполнении условий 1) и 2) дифферент
циальное сечение зависит от состояния налетающей частицы
только через ft0 и справедлива формула
da = \f(k0, n, ao)l2dn.
Наиболее общим состоянием для свободной частицы яв-
является смешанное, задаваемое матрицей плотности Mo(t), ко-
которую мы представим в виде выпуклой комбинации чистых
состояний
Mo(o = I>A(,)t 5X = i-
S s
Чистое состояние Яф {i) определяется волновой функцией
<ps(x, t), имеющей вид
з
Ф, (X, t) = (-^Y $ С, (к) вКкх-*Ч) dk.
R3
Можно утверждать, что заметный вклад дают только такие
чистые состояния, дисперсия импульса в которых не превосхо-
превосходит дисперсии импульса в состоянии MQ (t). Поэтому мы будем
считать, что все функции Cs(k) отличны от нуля лишь в малой
окрестности точки k0 = fto(»o и диаметр этой окрестности не
превосходит Aft. Мы не имеем никакой информации ни о кон-
конкретном виде функций* Cs(k), ни о весах as и не будем делать
относительно них каких-либо предположений.
* Разным функциям Cs(k) соответствует как различная форма, так и
различное расположение волновых пакетов в конфигурационном простран-
пространстве в некоторый момент времени. Пусть, например, некоторая функция
Cs(k) задает волновой пакет, центр тяжести которого (х(?))ср движется
вдоль оси Хз, направленной по вектору <й0 и проходящей через рассеивающий
центр. Тогда функции С; (к) = е lCs (к) будет соответствовать пакет, сме-
159

Вычислим сначала вероятность /. Выберем систему коорди-
координат с началом в силовом центре и осью х3, направленной по
вектору ело. Для чистого состояния срЛО вероятность /(s) проще
всего вычислить, используя вектор плотности потока вероят-
вероятности
оо
тогда /(S)= \ jf(x,t)
dt.
0
Вычисляя
получим
19-тт
i
1 г
BяK J
R3
R3 R3
1 с
R3
_ 1
При вычислениях
6(k2 — k
.( «ЭФ,
R3
ОО
'/k' \ d( (k " 1 •
R3
R3 R3
использовано
/2) =—F(k-
d<ts\\
% дхз' 1
s я
*з)С,(к)Св(
,(k)C,(kO*(
)C,(k',»(*'
равенство
- A') + б (й -[
k = 0
к 7 ^
^ B)
и условие A? <C k0, которое позволяет заменить (k3 + &з)/2? на 1.
Второе слагаемое в формуле B) вклада в интеграл не дает,
так как в области интегрирования k > 0 и k' > 0.
Для смешанного состояния М0@. очевидно,
7=Za*
щенный на вектор U; в конфигурационном пространстве (e'ku — это оператор
сдвига, записанный в импульсном представлении). Классическим аналогом
состояния <fs(x,t) (хотя и не вполне точным) можно считать состояние ча-
частицы, движущейся по прямолинейной траектории, проходящей через рассеи-
рассеивающий центр. Состоянию q>/(x, t) тогда соответствует траектория, проходя-
проходящая на расстоянии р от рассеивающего центра, равному проекции вектора щ
на плоскость поперечного сечения пучка. В классической теории рассеяния
расстояние р, па котором прошла бы частица от центра, если бы не было
взаимодействия, называется прицельным параметром.
160

Вычислим теперь dN. При вычислении мы должны исполь-
использовать матрицу плотности M(t), описывающую состояние, ко-
которое задолго до рассеяния (/->•—оо) асимптотически стре-
стремится к M0(t). Оператор M(t) можно записать в виде
где чистые состояния Рф да определены волновыми функциями
*•{t) = (шJ SdkCs(k) *(х> k)e~tm- C)
Ra
Плотность функции распределения координат в чистом со-
состоянии Рцу() есть |i|)s(x, t)\2 и для вероятности dN<-s) обнару-
обнаружить частицу при t-*oo в элементе телесного угла dn в со-
состоянии Pits(t) получим
оо
dN's) = lim dn \r2dr\ ф, (x, 0 |2. D)
*-»+«.
Мы знаем, что при /->оо частица уходит на бесконечность, по-
поэтому при подстановке C) в D) можно заменить т|з(х, к) ее
асимптотическим выражением, тогда
оо 3
)= lim dn\ r2dr
0
2
ПГЛ1 i o—ikH
j
_з_
Функция (у-J \dkC(k)eikx~ikH является волновым пакетом
RJ
для свободной частицы и отлична от нуля только в той части
конфигурационного пространства, где конечна вероятность об-
обнаружить нерассеянную частицу пучка, т. е. внутри узкого ко-
конуса, построенного около направления ©о- Для всех остальных
направлений вклад ,дает только расходящаяся волна и для
таких направлений
dN(s) = lim t|V \
dr
, n, <«>) eikr-ikH dk
2
E)
R3
Используя условие 2), можно заменить функцию f(k,n,<o) под
знаком интеграла ее значением в точке k = &о. о = соо и выне-
вынести за знак интеграла. Далее интеграл \ Cs(k)eikr~ik4 dk после
R3
интегрирования по угловым переменным вектора к становится
726 Зак. 330 161

одномерным волновым пакетом и как функция от г при t-*oo
он отличен от нуля только при больших положительных г. По-
Поэтому интегрирование по г в E) можно распространить на всю
вещественную ось. Тогда
>= lim -^ I/(^n.cuo) I2 X
oo
X \ dr \ dk J dk'Cs(k)CJk7jei<k-k')re-i<>k!-k'*> < =
-oo R3 R^
= dn I / F0, n, coo) p -щ? \ dk J dk'Cs (k) СДк7) б (^ ~
R» R3
Наконец, для смешанного состояния M(t)
или dN = dn\f(k0, n, щ) |2/,
откуда сразу получаем
da = |/F0, n, co0)l2dn. F)
В заключение заметим, что мы получили формулу F) для
всех направлений п, за исключением п = ©0. Сечение рассея-
рассеяния вперед не может быть определено формулой A), так как
вероятность обнаружить частицу при f-> 00 в телесном угле dn,
построенном около направления п = (оо, не пропорциональна /
(кроме того, мы вообще не можем отличить частицу, рассеян-
рассеянную вперед, от нерассеянной частицы). Когда говорят о сече-
сечении рассеяния вперед, всегда подразумевают экстраполяцию на
нулевой угол сечений рассеяния на малые углы. При таком
понимании для сечения рассеяния вперед справедлива фор-
формула F).
Для многих задач удобной характеристикой рассеяния ока-
оказывается полное сечение, которое определяется формулой *
§ 43. Абстрактная теория рассеяния
В этом параграфе мы будем строго придерживаться следую-
следующих обозначений. Оператор Шредингера для свободной час-
частицы обозначается через #о, оператор Шредингера частицы
* В классической механике полное сечение a = 00, если потенциал не
является финитным. Особенностью квантовой механики является конечность
сечения а для достаточно быстро убывающих потенциалов,
162

в поле через Н
H = HQ+V,
где V — оператор потенциальной энергии. Любое решение не-
нестационарного уравнения Шредингера для частицы в поле обо-
обозначается через -ф (t). Этот вектор однозначно определяется
своим значением при t = О, которое мы обозначаем через т|з,
т. е.
(напомним, что e~im — оператор эволюции).
Аналогично любое решение уравнения Шредингера для сво-
свободной частицы обозначается символом ср(/), а его значение
при t = О через ф,
Различные решения ф(/) могут снабжаться дополнительными
индексами. Соответствующие векторам ty(t), of, ф@> Ф волно-
волновые функции будут записываться как -ф (х, ^), -ф (х), ф(х, t)T
ф(х) в координатном представлении и ty(p,t), г|з(р), ф(р, t),.
ф(р) в импульсном представлении. Наконец, собственные век-
векторы оператора Н (если они существуют) будем обозначать
через /„, Н%п = Еп%п.
В § 40 мы построили решение уравнения Шредингера
¦ф (х, t) — e~mty (х), которое при t—»+оо асимптотически стре-
стремилось к некоторым решениям уравнения Шредингера для сво-
свободной частицы ф-р (х, /) = е~'Яо'ф-р (х), поэтому можно ожидать,
что для такого решения "§(t) справедливы равенства
lim [e-'mi|> —<г«Мф,[ = 0. A)
Физическую картину рассеяния можно представлять сле-
следующим образом. Задолго до рассеяния частица свободно дви-
движется вдали от рассеивающего центра, затем она попадает
в зону действия потенциала (происходит рассеяние) и, нако-
наконец, через достаточно большой промежуток времени движение
частицы снова становится свободным. Поэтому естественной
представляется следующая постановка нестационарной задачи
о рассеянии:
1. По произвольному вектору ф_ из пространства состоя-
ний Ж построить вектор -ф такой, что A) справедливо при
t-*- —оо.
2. По построенному вектору if> найти вектор ф+е J такой,
что A) справедливо при t-*~{-oo.
Вектор ty(t) = е~ш\р описывает такое состояние частицы,
которое в далеком прошлом совпадает с ф_(/) = е-'я°^р_ и при
t—»4-°° переходит вф+ (t) — е~1Н°1у+. Физика интересует связь
между векторами ф_ и <р+. Поэтому к пунктам 1 и 2 постановки
задачи можно добавить следующее.
7S6* 16Я

3. Показать, что существует такой унитарный оператор S,
что
ф+==5ф_.
Начнем с пункта 1. Поставим задачу несколько шире и по-
посмотрим, возможно ли по произвольным векторам ф_еЖ
и ф+е^ построить такие векторы if>, что A) справедливо при
i->-—оо и /->+°° соответственно (разумеется, векторы г|з, по-
построенные по ф_ и по ф+, не обязаны совпадать).
Переписывая A) с учетом унитарности оператора e~iHt
в виде
Пт Щ> —е"Ие-'я"'ф,1 = О,
мы видим, что поставленный вопрос сводится к существованию
•сильных пределов
Пт ение-м.* = ?/ B)
Операторы U±, если они существуют, называются волновыми
операторами. Если построен оператор U-, то вектор -ф = ?/_ф_
удовлетворяет пункту 1 постановки задачи.
Найдем простое достаточное условие существования волно-
волновых операторов. Рассмотрим оператор
вычислим его производную *
dt
Очевидно, что ?7@) = /, поэтому
t
U (/) = / + i \eimVe-iH^dt,
о
±оо
C)
Вопрос о существовании операторов U+ мы свели к вопросу
-о сходимости интегралов C) на верхнем пределе. Достаточным
условием сходимости C) является существование интегралов
D)
для любого фе^ (мы учли унитарность оператора ет). На-
Наконец, интегралы D) сходятся на верхних пределах, если для
* Обратим внимание иа запись производной, которая учитывает неком-
некоммутативность Я и Яо,
164

любого фе^
^1^ е>0, Ul-юо. E)
Посмотрим, для каких потенциалов выполняется E). В коор-
координатном представлении мы имеем оценку * для волновой
функции ф (х, /) = е~ш°*(р (х)
1ф(х,0К-т
равномерно относительно х. Тогда
|| Ve-^tp ||2 = \ | V (х) Ф (х, /) I2 dx < ~- J | V (х) |2 dx.
R' R3
Мы видим, что условие E) выполняется, если потенциал
квадратично интегрируемая функция. Разумеется, это условие
не является необходимым. Класс потенциалов, для которых су-
существуют U±, шире, но существуют потенциалы, для которых
нельзя построить волновые операторы. Важнейшим примером
такого потенциала является кулоновский потенциал V(r) =
= а/г. Причиной отсутствия волновых операторов для куло-
новского потенциала является его слишком медленное убыва-
ние на бесконечности. Решения уравнения Шредингера для ку-
лоновского потенциала не стремятся к решениям для свободной
частицы при ^->±оо (частица «чувствует» потенциал даже на
бесконечности). В связи с этим и нестационарная, и стацио-
стационарная постановки задачи о рассеянии в кулоновском поле тре-
требуют серьезной модификации. Асимптотический вид кулонов-
ских функций т|з(х, к) отличен от C9.7).
Вернемся к рассмотрению потенциалов, для которых суще-
существуют волновые операторы U± и обсудим пункт 2. Можно
поставить такой вопрос: для любого ли вектора ^^.Ж най-
найдутся векторы ф+ и ф_ такие, что A) справедливо при
Оказывается, что если у оператора Я существуют собствен-
собственные векторы %п, || %п || = 1, то для них равенство A) неспра-
несправедливо ни при каких ф+ и ф_. Действительно, в этом случае
легко можно сосчитать для произвольного феД || ф || = 1
* Эта оценка получается г»а основе метода стационарной фазы для
асимптотического вычисления интеграла ф (х, t) =( "о— ) \ ф(к)е <kx~*!" dk.
R'
Метод стационарной фазы можно применять, если <р (к) удовлетворяет
определенным условиям гладкости. Но множество гладких функций 2) плот-
плотно в Ж, а одераторы U{t) и ?/± ограничены, поэтому достаточно доказать
существование сильных пределов U(t) на множестве 3).
165

пределы
Hm \е-тгп-е-шМ= Hm
= Hm V|| %n f + || ф ||2 - 2Re е"'*»' (%n,
Мы учли, что
lim (х„, е-№'ф) = 0, F>
так как вектор е~'Яо'ф слабо стремится к нулю при ^->±°°.
Из физических соображений также легко понять, почему
состояние e~iHt%n не стремится асимптотически к некоторому
состоянию свободного движения при е~'Яо'ф. Вектор е~ш'%п
описывает состояние частицы, локализованной около рассеи-
рассеивающего центра, а вектор е~'Яо'ф при любом ipe^ — состояние
частицы, уходящей при t—*±oo на бесконечность.
Ясно, что A) несправедливо и для любого вектора % е J?,
где $ — подпространство, натянутое на собственные векторы %п
оператора Н. Будем называть подпространство 38 подпростран-
подпространством связанных состояний.
Итак, мы видим, что по произвольному вектору of, вообще
говоря, нельзя построить вектор ф4, удовлетворяющий A) при
/_>_|-оо. Для того чтобы выяснить, возможно ли по построен-
построенному вектору т|5 = ?/_ф_ найти ф+, нам потребуется изучить
свойства волновых операторов.
Обозначим через 31± области значений операторов U±. По-
Покажем, что &t±±.&.
Достаточно проверить, что векторы U+y ортогональны-
к собственным векторам %п для любого ipGj. Из F) получим
(U±v, Х„)==
= lim е'в»Че~'Я°'ф.ЭЬ,) = 0.
*-»±°°
Следующее свойство мы приведем без доказательства. Ока-
Оказывается, что
Я+ = Я_ = 91, &®$ = 3%. G)
Доказательство этого утверждения является наиболее сложным
в абстрактной теории рассеяния. Подпространство 91, совпа-
совпадающее с областями значений операторов U±, часто называют
подпространством состояний рассеяния.
Покажем далее, что операторы U± являются изометриче-
изометрическими. Действительно, из сильной сходимости оператора U(ty
при t—*±°° и унитарности этого оператора следует, что
(?/±Ф, С/±Ф) = lim (U (t) ф, U (/) ф) = (ф, Ф),
166

т. е. операторы U+ сохраняют норму вектора ф, и поэтому
U*±U± = I. (8)
Операторы 11+ являются унитарными только при отсутствии
собственных векторов дискретного спектра у оператора Н.
В этом случае операторы U+ отображают Ж на Ш взаимно
однозначно, и тогда наряду с (8) имеет место равенство
U±U*± = /. (9)
Если Н имеет дискретный спектр и i|> e 91, тогда найдутся
такие векторы ф+ и ф_, что
Домножая это равенство на U' и учитывая (8), получим
гЛьГДФ = Ф, •фей. (И)
С другой стороны, для х?=& и любого феЖ
поэтому
Любой вектор феЖ можно представить в виде
где Р—проектор на подпространстве связанных состояний 9$.
Таким образом, в общем случае вместо (9) имеет место ра-
равенство
U±U*± = I-P, A2)
поэтому при наличии дискретного спектра операторы U+ не
являются унитарными.
Наконец, покажем, что для любой ограниченной функции
f(s), sgR справедливо равенство
f{H)U± = U±f(H0). A3)
Переходя к пределу при tr&-±oo в равенстве
получим
emxU± = и±ет,хг
откуда сразу следует A3).
167

Вернемся к нестационарной задаче о рассеянии, постановка
которой была сформулирована в начале параграфа. Если для
некоторого потенциала V существуют волновые операторы U±
и справедливо G), то нестационарная задача о рассеянии имеет
единственное решение.
Вектор -ф находится для произвольного ф_еЖ по формуле
Вектор -ф е Я, поэтому согласно A0)
Ф+= ?/*+¦
или Ф+=^+^_ф_.
что можно переписать в виде
Ф+ = 5Ф_, A4)
где S = ?/+?/_.
Унитарность оператора рассеяния 5 следует из (8), A2) и оче-
очевидных равенств PU+ = 0. Действительно,
S*S = U'-U+U'+U_ = XT- (I — P)U- = I
и аналогично
SS* = I.
Далее из A3) следует, что
Sf(H0) = f(H0)S. A5)
Запишем A5) в импульсном представлении при f(s) = s
S(k, к') k'2 = k2S (k, k').
Мы видим, что ядро оператора 5 может быть записано
в виде
S(b,k')=2S(k'b'&r) b(&-k'2), k = b>, A6)
и соотношение A4) принимает вид
оо
ф+ (k, «) = ) do' J k' dk' — 'k 2k ф_ (k\ &') =
S2 0
= J S (k, w, ю') Ф_ (k, ©') d®'.
s,
Сравнивая эту формулу с D0.9), получаем, что функция
S(k, ©, (о')> введенная соотношением A6), совпадает с функцией
S(k, ю, со') из § 39. Эта связь между S-оператором нестацио^
нарной теории рассеяния и асимптотикой волновых функций
168

стационарной задачи о рассеянии может быть установлена, ко-
конечно, и в рамках строгой теории.
Существует простая связь между волновыми операторами
U± и введенными в § 39 решениями уравнения Шредингера
•ф(х,к). Напомним, что решение нестационарного уравнения
Шредингера ty(x,t), построенное по функции гр (х, к), имеет вид
-к) e~ikH dk-
Здесь мы обозначили функцию С (к) через ф-(к). Мы знаем,
что функция г|з(х, t) при t—*—оо асимптотически стремится к
3_
Ф_ (х, t) = (-2^J \ Ф_ (к) е'кже-**ч dk.
R3
Полагая в этих равенствах t = 0, получим
1 i
* <х) = (iJ ^ (х. к) Ф_ (к) Л, Ф_ (х) = (± J J е**ф_ (к) dk.
R» R3
Сравнивая эти формулы с of = [/_ф_, записанной в им-
импульсном представлении
получаем, что
U_ (к, к') = -^ \ е-**Ъ (х, к') dx.
\
Можно показать также, что
+ (k- к'^ = W \
3
Связь операторов [/+ с собственными функциями непрерыв^
ного спектра оператора Н становится особенно наглядной, если
выписать A3) при f(s) = s, (8) и A2) в импульсном пред^
ставлении
Я?Мр, k) = ^2f/±(p, k) A7)
(Я —оператор Шредингера в импульсном представлении),
U± (р, к,) U± (р, к2) dp = б (к, - к2), A8)
R3
t/± (р, к) t/± (р', к) dk + ? х* (Р)хЛрО = б(р - р'). A9)
7 За к. 330 16Э

Формула A7) показывает, что ядра операторов U+, рас-
рассматриваемые как функции от р, есть собственные функции не-
непрерывного спектра, соответствующие собственному значению
к2. Тогда A8)—'условие «ортонормированности» собственных
функций U+(p,k), а A9) — условие полноты систем {%„(р)>
tfk)>
§ 44. Свойства коммутирующих операторов
В этом параграфе мы рассмотрим свойства коммутирующих
операторов, еще раз обсудим вопрос об одновременной измери-
измеримости наблюдаемых и введем важное для квантовой механики
понятие полного набора коммутирующих наблюдаемых.
Для начала рассмотрим два самосопряженных коммутирую-
коммутирующих оператора А и В с чисто точечным спектром. Покажем, что
такие операторы имеют общий полный набор собственных век-
векторов. Пусть
, М#\ /=1. 2, ..., A)
По условию наборы векторов {ф^1} и {^Щ являются полными
в пространстве состояний Ж.
Обозначим через Жт собственное подпространство опера-
оператора А, соответствующее собственному значению Ят, через Рт
проектор на это подпространство. Аналогично введем Ж'п и Р'п
для оператора В. Из условия АВ = В А следует, что
РтР'п = Р'пРт- Введем оператор Ртп = РтР'п- Очевидно, что
Ртп — оператор проектирования на подпространство Жтп =
= ЖтГ\Ж'п. Если фе^тп, то он удовлетворяет обоим урав-
уравнениям A). Далее, Жтп -L Жт'п', если индекс тп отличен от
индекса т'п'. Пусть {ф^}, к=\, 2, ... — базис в подпростран-
подпространстве Жтп- Для того чтобы доказать полноту системы векторов
{^тп} k, т, п— \,2, ... я Ж, достаточно проверить, что не суще-
существует вектора ф е Ж, ф ф 0, ортогонального ко всем Жтп. Из
полноты набора собственных векторов оператора А следует,
что для любого ф ф 0 найдется номер т, для которого Ртф Ф 0.
Аналогично найдется номер п такой, что Р'пРт<$ фО, т. е.
Pmnty Ф 0 для любого (р^Ои некоторых тип.
Таким образом, мы показали, что {ф^} является базисом
в Ж, состоящим из общих собственных векторов операто-
операторов А и В.
Справедливо и обратное утверждение. Если два оператора
имеют общий полный набор собственных векторов, то они ком-
коммутируют. Действительно, пусть {ф^} — общий полный набор
170

собственных векторов операторов Л и В
Тогда ЛЯф<« =a,jyp<» и ДЛФ« =Ят(х„Ф^. Из полноты на-
набора следует, что АВу = BAq для любого феЖ
Доказанные утверждения справедливы для произвольного
числа попарно коммутирующих самосопряженных операторов
Аи ..., Ап, ... с чисто точечным спектром и с некоторыми ого-
оговорками для операторов с непрерывным спектром.
Имеет место также следующее утверждение. Если самосо-
самосопряженные операторы Аи ..., Ап попарно коммутируют, то су-
существует такой самосопряженный оператор R, что все опера-
операторы Аи t=l, 2, ..., п являются его функциями Л,-= Fi(R).
Для операторов с чисто точечным спектром построить такой
оператор R очень легко. Рассмотрим случай двух коммутирую-
коммутирующих операторов А и В. Они имеют общую полную систему
собственных векторов {<р^}, которые удовлетворяют уравне-
уравнениям B). Определим оператор R соотношениями
где г^п — вещественные различные числа. Очевидно, что R —
самосопряженный оператор с простым чисто точечным спект-
спектром. Введем теперь вещественные функции F{x) и G{x), удов-
удовлетворяющие условиям hm = F(rW?), \in — G (r^). Для значе-
значений х, не совпадающих с числами г<?п вид функций F{x)
и G(x) несуществен. Из определения функции от оператора
сразу следует, что А = F{R) и В = G(R). Общая теорема для
коммутирующих операторов Ль ..., Ап с произвольным спект-
спектром была доказана фон Нейманом.
Обсудим физические следствия сформулированных утверж-
утверждений для коммутирующих операторов. Напомним, что соотно-
соотношение неопределенностей Гейзенберга не накладывает никаких
ограничений на дисперсии коммутирующих наблюдаемых и
в этом смысле мы назвали их одновременно измеримыми. Мы
теперь можем уточнить понятие одновременной измеримости.
Последнее утверждение показывает, что для измерения числен-
численных значений коммутирующих наблюдаемых достаточно изме-
измерить одну наблюдаемую R, т. е. принципиально возможно при
единичном измерении узнать численные значения всех наблю-
наблюдаемых Ль ..., Ап. Из существования системы общих собствен-
собственных векторов следует существование' бесконечного множества
состояний, в которых все эти наблюдаемые имеют определенные
численные значения. Наконец, из результатов следующего па-
параграфа будет следовать, что можно построить общую функцию
7* 171

распределения численных значений одновременно измеримых
наблюдаемых для любого состояния.
Введем понятие функции от коммутирующих операторов А
и В. По вещественной функции }(х,у) можно построить само-
самосопряженный оператор /(Л,В), положив
где векторы ф<^ удовлетворяют B). Это определение согла-
согласуется с введенным ранее определением функции от одновре-
одновременно измеримых наблюдаемых.
Справедливым является следующее утверждение. Если опе-
оператор D коммутирует с любым оператором С, коммутирующим
со всеми операторами Ль ..., А„, [Ai,Ak] = 0, то оператор D
является функцией от этих операторов. При доказательстве
опять ограничимся случаем двух операторов с чисто точечным
спектром.
Пусть каждой паре собственных значений %т и \хп соответ-
соответствует один собственный вектор
В этом случае достаточно коммутативности оператора D с са-
самими операторами Л и В. Действительно, если [ДЛ] = 0
и фе^п, то и Офе^я, так как ADq> = DAy = XmDy. Ана-
Аналогично из условия [D, В] —0 получаем, что вместе с
ФеЖп и ОфеЖп. Поэтому, если tp <= Жтп, то Dy eЖтп. По
условию пространства Жтп одномерны и D<pmn лишь численным
множителем, может отличаться от фОТга, т. е. Dq>mn = ит„фотп.
Выбирая функцию f(x,y) такую, что ит« = /(^тДя), видим:
D = f(A,B).
Перейдем к более сложному случаю, когда подпространства
Жтп не являются одномерными
А<1 = K€l Bq.™ = ц„ф№>, /5=1,2,...
Рассмотрим совокупность собственных векторов, соответ-
соответствующих паре %т, Цп- Индекс тп для сокращения записи
опустим. Введем операторы С(/) и С(/7), определив их равен-
равенствами
где Жтп — ортогональное дополнение к подпространству Жтп-
Легко проверить, что все оператооы С(/> и С<"> коммутируют
172

с Л и В. Из условия [D, СЩ = 0 получим
D<p</> = DO»(f>(» = О'Юу
откуда следует, что ?>ф('> пропорционален
?ф(/> = и</у/>.
Покажем, что все числа х(/> совпадают
Таким образом, векторы ф^ являются собственными векто-
векторами оператора D, причем собственные значения от индекса k
не зависят ^ф„), — иот„ф^. Поэтому, как и в первом случае,
D = f(A,B).
Обратим внимание на то, что коммутативности оператора D
с самими операторами А и В здесь было бы недостаточно. Бо-
Более того, если из условия коммутативности оператора D с А
и В следует D = }(А,В), то можно утверждать, что каждой
паре собственных значений Хт и [in соответствует один соб-
собственный вектор (ртп. Действительно, если таких векторов не-
несколько, то всегда может быть построен оператор, коммути-
коммутирующий с Л и В и не являющийся их функцией. В качестве
такого оператора можно взять, например, оператор С('7).
Теперь мы можем ввести важное понятие о полной системе
коммутирующих операторов. Система самосопряженных опера-
операторов Ль ..., Ап называется полной системой коммутирующих
операторов, если
1) операторы Лг попарно коммутируют [Ai,Aj] = О, I, j— 1,
2, .... л,
2) ни один из операторов Л,- не является функцией от ос-
остальных,
3) любой оператор, коммутирующий со всеми Л,-, есть функ-
функция от этих операторов.
Из доказанных выше утверждений и условий 1) и 3) опре-
определения полного набора Ль ..., А„ следует, что существует
общая полная система собственных векторов всех этих опе-
операторов
причем каждой совокупности собственных значений а\, ..., ап
соответствует один собственный вектор фа а . Из условия 2)
следует, что последним свойством не обладает общая полная
система векторов для части операторов А\, ..., Ля. Фактически
условие 2) обозначает, что среди операторов Ль ..., Л„ нет
«лишних».
Если в результате измерений известно, что численные зна-
значения полного набора наблюдаемых Ль ..., Л„ в некотором
173

состоянии с достоверностью равны аь .... ап, то можно
утверждать, что это состояние описывается вектором фа а .
В заключение заметим, что если набор попарно коммути-
коммутирующих независимых операторов не является полным, то его
можно и притом многими способами дополнить до полного
набора.
§ 45. Представление пространства состояний
по полному набору наблюдаемых
Пусть дан полный набор операторов Аи ..., Ап с чисто
точечным спектром. Эти операторы имеют общий полный набор
собственных векторов <ра а , и каждому набору собственных
чисел соответствует один вектор сра а . Произвольный век-
вектор if e Ж может быть представлен в виде ряда
4> = а ?а Ф(а,,...,ап)>Фв1 пп, Ф(а„ ...,а„)=(Ф, <Pai „J
Эта формула определяет взаимно-однозначное соответствие
между векторами ф и функциями г[з (ai an), определенными
на спектре операторов А\ Ап,
1|>*-*1|)(аь ..., ап).
Очевидно, что
(Ь, М>г)= Z ¦Фх («1, .... a«)^2(ai ап),
Atylp*-+art(аи ..., ап),
т. е. построенное представление является собственным для всех
операторов Аи ..., Ап (действие этих операторов сводится
к умножению на переменную).
Функция i|)(ai,..., ап) называется волновой функцией. Чтобы
выяснить ее физический смысл, построим, как в предыдущем
параграфе, оператор R такой, что Ai~Fi(R), i=\, 2, ..., п,
R^ °n=\ «Л v
где Гах ап — различные вещественные числа и al = Fi(^ral ап).
Мы знаем, что |Л|), cpa a ^|2 = |ф(а1 ап)\2 есть вероят-
вероятность в результате измерения получить численное значение на-
наблюдаемой R, равное rav...an. Поэтому |i|)(ai,..., ап) |2 яв-
является вероятностью получить в результате одновременного
измерения наблюдаемых А\, ..., Ап значения а\, ..., ап.
Все эти результаты обобщаются на случай полного набора
операторов А\, ..., Д„ с произвольным спектром, Сформулируем
без доказательства теорему,
174

Теорема. Пусть дан полный набор коммутирующих опера-
операторов Ль ..., Ап. Тогда существует такое представление прост-
пространства состояний, что вектор фе^ представляется функцией
1|з(бь..., ап), определенной на некотором множестве & (а =
= (ai,..,,a,)ea). На множестве Я задана мера d\i{a) и ска-
скалярное произведение определяется формулой
= \ Ь (а) Фг (a) d\i (a).
Операторы А\, ..., Ап в этом представлении являются операто*
рами умножения на переменную
i ап), i=\, 2, .... п.
Функция |t|)(ai,..., ап) |2 есть плотность общей функции рас-
распределения для наблюдаемых А\, ..., Ап относительно меры
)
()
Выше мы уже имели примеры полных наборов коммутирую-
коммутирующих операторов и соответствующих представлений простран-
пространства состояний Ж.
Для бесструктурной частицы полный набор образуют опера-
операторы координат Qi, Q2, Qs- Этому набору соответствует коор-
координатное представление. Аналогично строится импульсное пред-
представление по полному набору Рь Р2, Рз- Полный набор обра-
образуют также операторы Н, L2, L3, где Н — оператор Шредингера
для частицы в центральном поле. Представление, соответствую-
соответствующее этому полному набору, описано в § 31. Для одномерной
частицы оператор Шредингера Н для гармонического осцилля-
осциллятора сам по себе представляет полный набор. Соответствующее
представление было построено в § 18.
§ 46. Спин
До сих пор мы считали, что электрон представляет собой
материальную точку с массой т и зарядом — е, т. е. является
бесструктурной частицей, пространство состояний которой Ж
может быть реализовано, например, как пространство L2(R3)
квадратично интегрируемых функций i|)(x). На основе такого
представления об электроне мы рассчитали энергетические
уровни атома водорода и получили результаты, которые с боль-
большой степенью точности совпадают с экспериментальными. Тем
не менее существуют эксперименты, которые показывают, что
подобное описание электрона не является полным.
Мы уже упоминали об опытах Штерна и Герлаха. Эти
опыты показали, что проекция на некоторое направление маг-
магнитного момента атома водорода в основном состоянии может
принимать два значения. В § 34 мы построили квантовую
наблюдаемую «проекция магнитного момента» заряженной
175

бесструктурной частицы и видели, что третья проекция магнит-
магнитного момента пропорциональна проекции момента импульса L3.
Из расчета атома водорода мы знаем, что численное значение L3
для основного состояния есть нуль. Поэтому и магнитный мо-
момент атома в основном состоянии должен равняться нулю. Это
противоречие может быть объяснено, если предположить, что
сам электрон имеет магнитный и механический моменты, проек-
проекции которых на некоторое направление могут принимать два
значения.
Собственный момент импульса электрона называют спином
в отличие от момента, связанного с его движением в простран-
пространстве, который обычно называют орбитальным моментом.
Существование наблюдаемой, численные значения которой
могут принимать два значения, приводит к необходимости счи-
считать, что электрон может находиться в двух различных внут-
внутренних состояниях, независимо от состояния его движения
в пространстве. Это в свою очередь приводит к удвоению
общего числа состояний электрона. Так, каждому состоянию
электрона в атоме водорода (без учета спина) соответствует
Два состояния, различающихся проекцией спина на некоторое
направление.
Если предположить, что не существует какого-либо дополни-
дополнительного взаимодействия, связанного со спином, то кратность
всех собственных значений энергии оказывается в два раза
больше, чем для бесспиновой частицы. Если же такие взаимо-
взаимодействия существуют, то вырождения, связанные со спином,
могут сниматься и произойдет расщепление энергетических
уровней. Опыты показывают, что такое расщепление действи-
действительно имеет место.
В § 32 мы описали модель атомов щелочных металлов, ос-
основанную на предположении, что валентный электрон атома
движется в центральном поле. Эта модель неплохо описывает
расположение энергетических уровней атомов щелочных метал-
металлов, однако ни сама модель, ни какое-либо ее усовершенство-
усовершенствование не могут объяснить наблюдаемое расщепление уровней
при / Ф 0 на два близких. Гипотеза о спине позволяет легко
объяснить это расщепление. В атомной физике существует еще
множество явлений, которые находят свое объяснение на основе
этой гипотезы. Мы увидим позже, что только удвоение числа со-
состояний электрона, связанное со спином, позволяет объяснить
длину периодов в таблице Менделеева.
Хотелось бы подчеркнуть, что гипотеза о спине электрона
является гипотезой о природе конкретной элементарной час-
частицы и не затрагивает общих принципов квантовой механики.
Аппарат квантовой механики оказывается приспособленным
для описания частицы со спином.
Мы начнем с построения пространства состояний для элек-
электрона. Без учета спина пространством состояний Ж в коорди-
176

натном представлении является пространство L2(R3). Введение-
спина требует расширения пространства состояний, так как
число состояний частицы со спином больше, чем у бесспиновой
частицы.
Удвоения числа состояний без изменения физического со-
содержания теории легко добиться, заменив пространство состоя-
состояний <3^=L2(R3) на Ms = L2(R3)C§) С2 и сопоставив каждой
наблюдаемой Л в М наблюдаемую Л (g) / в Ms-
Поясним это подробнее. Элементами пространства состояний
частицы со спином являются пары функций
( %\ (х) \
Скалярное произведение в пространстве Ms задается формулой
OF, Ф) = $ t|>i (x) ^(x) dx + U2(x)^(x) dx. B)
R3 R»
Будем использовать для наблюдаемых Л®/ в Ms те же обо-
обозначения и названия, что и для наблюдаемых А в М. Так воз-
возникают операторы координат Qu Qi Q3> операторы проекций
импульса Ри Р2, Pz и т. д., действующие в MS- Например,
p \If
Г J x " j
дх\
Каждому чистому состоянию ф(х) в М теперь соответствует
два ортогональных состояния в Ms
ф(х)
О
или любая их линейная комбинация. Ясно, что среднее значение
любой наблюдаемой Л в состоянии if будет равняться среднему
значению наблюдаемой Л®/ в состояниях Wi и Ч'г. Таким об-
образом, введя пространство Ms и ограничиваясь рассмотрением
наблюдаемых вида Л (g) /, мы действительно добились удвоения
числа состояний, сохранив все физические следствия теории.
В пространстве Ms, однако, наряду с наблюдаемыми Л (g> /
существуют и другие наблюдаемые, например, вида I(g)S, где
S — самосопряженный оператор в С2. Разумеется, в Ms суще-
существуют наблюдаемые, не представимые в виде Л ® / или /(g)S,
например, суммы или произведения таких наблюдаемых.
Рассмотрим наблюдаемые типа /0 5. Прежде всего оче-
очевидно, что любая такая наблюдаемая коммутирует с любой
наблюдаемой Л (g> / и не является функцией от наблюдаемых
такого типа. Поэтому в пространстве Ms наблюдаемые Qi, Q2,
177

Q3 не образуют полного набора коммутирующих наблюдаемых
и мы должны будем дополнить этот набор до полного.
Любой самосопряженный оператор S в пространстве С2
представим самосопряженной матрицей второго порядка и мо-
может быть выражен в виде линейной комбинации четырех неза-
независимых матриц. В качестве таких матриц удобно выбрать
единичную матрицу / и матрицы Паули О\, сгг, сг3:
0 1 \ /- 0 — / \ / 1 0 \
о)- a2 = U о)' аз = 1о -\У
Свойства матриц Паули обсуждались в § 27. Матрицы S/ =
= сгу/2, /= 1, 2, 3 имеют перестановочные соотношения, такие
же, как и для орбитального момента импульса
[Si, S2] = iS3, [S2, S3] = iSu [S3, Si] = iS2.
Мы видели, что перестановочные соотношения являются одним
из наиболее важных свойств операторов момента импульса.
Поэтому разумно отождествить операторы /<gM/, /=1,2,3
с операторами проекций спина *. В дальнейшем эти операторы
будем обозначать обычно через S). Операторы S,- имеют соб-
собственные значения ±1/2, которые и являются допустимыми
значениями проекций спина на некоторое направление **. Век-
/ф(х)\ /04
торы ^1 = 1 „ I и ЧГ2 = 1 . / ч I являются собственными век-
векторами оператора S3 с собственными значениями +1/2 и —1/2.
Поэтому эти векторы описывают состояния с определенным
значением третьей проекции спина.
Для дальнейшего нам удобно изменить обозначения и век-
вектор ?еЛ записывать в виде функции ^'(х, s3), где xeR3,
a s3 принимает два значения +1/2 и —1/2. Такая запись экви-
эквивалентна A), если положить
W (х, 1) = Ь (х), W (х, - у) = ф2
Из равенства
* Более глубокие соображения основаны на том факте, что для системы
со сферически симметричным оператором Шредингера операторы Lt -\- S,- яв-
являются квантовыми интегралами движения. Этот вопрос мы обсудим позже.
** Все формулы мы записываем в системе единиц, в которой h = 1.
В обычной системе единиц операторы проекций спина имеют вид Sj=(h/2) a/
и допустимые численные значения этих проекций равны ±h/2. Заметим, что
рри переходе к классической механике h ->- 0 и соответственно проекции спи-
спина стремятся к нулю. Поэтому спин является специфически квантовой на-
наблюдаемой.
178

следует, что
, S3),
т. е. оператор S3, так же, как и операторы Qi, Q2, Q3, является
оператором умножения на переменную. Мы видим, что по-
построенное представление пространства состояний частицы со
спином является собственным для операторов Qu Q2, Q3 и S3,
а эти операторы образуют полный набор коммутирующих опе-
операторов в Ms-
Теперь легко понять физический смысл функций ^(х, s3).
В соответствии с общим толкованием ^(х, s3) |2 есть плотность
функции распределения координат при условии, что третья
проекция спина имеет значение s%, a \ | W (x, s3) |2 dx есть ве-
роятность в результате измерения спина получить значение,
равное 5з.
Наряду с наблюдаемыми S\, S2, S3 можно ввести оператор
квадрата спина S2 = S\ -f Si + Si. Подставляя в это выражение
Sj=-<rOj и учитывая, что сг2 = /, получим S2 = -rI. Мы видим,
что любой вектор W e Ms является «собственным» для опера-
оператора S2 с собственным значением 3/4. Это собственное значение
можно записать в виде* s(s+l), где s= 1/2. Поэтому гово-
говорят, что спин электрона равен 1/2.
Построим представление группы вращений в пространстве
Ms- Напомним, что в пространстве М = L2(R3) действует пред-
представление вращений g операторами W (g) = e~i{Liai+L'a2+Lia\
а в пространстве С2 — операторами U(g) = e~i<Siai+s'ai+s*a>K
Отображение g—>Ws(g), где Ws(g) = W(g)(g) U(g) является
представлением в пространстве Ms- Представление Ws есть про-
произведение представлений W и U.
Операторы в Ms называются сферически-симметричными,
если они коммутируют со всеми операторами Ws(g). Если опе-
оператор Шредингера Н является сферически-симметричным, то
операторы Ws{g) и инфинитезимальные операторы
/ / /=1,2,3,
а=0
являются интегралами движения. Поэтому для системы со сфе-
сферически-симметричным оператором Шредингера справедлив за-
закон сохранения полного момента импульса, проекции которого
1 L+S
* В § 29 мы показали, что из перестановочных соотношений для мо-
момента импульса следует, что собственные значения оператора квадрата мо-
момента имеют вид /(/+1), где / — целое или полуцелое число. Это число
для оператора спина принято обозначать буквой s.
179

Заметим, что в общем случае сферически-симметричного
оператора Н нет законов сохранения орбитального и спинового
моментов по отдельности. Однако, если сферически-симметрич-
сферически-симметричный оператор Шредингера в 36s коммутирует и со всеми опе-
операторами W{g)(g)I, то он коммутирует со всеми операторами
l(g)lJ(g), и имеют место законы сохранения для наблюдаемых
Lj и Sj по отдельности. Примером такого оператора Шредин-
Шредингера является оператор Я0/, где Н — оператор Шредингера
для частицы в центральном поле.
§ 47. Спин системы двух электронов
Пространство С2, введенное в предыдущем параграфе, часто
называют спиновым пространством для электрона. Для системы
из двух электронов спиновым пространством является простран-
пространство C4=C2(g>C2. В пространстве С2 выберем базис, состоя-
состоящий из собственных векторов оператора S3 И+= ( 1 и ?/_ = I J
с собственными значениями 1/2 и — 1/2 соответственно. В ка-
качестве базисных векторов в пространстве С4 можно взять
векторы ифиУ, UW, ифи® и и(Ж\ где индексы A)
н B) нумеруют спиновые подпространства электронов.
Более удобным, однако, оказывается другой ортонормиро-
ванный базис, состоящий из векторов
7-
V2
Удобство нового базиса состоит в том, что векторы Wi, I = 1,
2, 3, 4 являются собственными векторами операторов
B)
3
Здесь оператор S3 есть третья проекция полного спина двух
электронов *, аналогичный смысл имеют операторы Si и S^.
Оператор S2 есть квадрат полного спина.
* В более точной записи S3 = — az® I -\-— I §§аг. Операторы а.®/и
Oj мы обозначаем в дальнейшем через о'-1' и о?' соответственно.
180

Для того чтобы проверить сформулированное утверждение
относительно векторов W,, /= 1, 2, 3, 4, найдем результат дей-
действия операторов <л, аг, а3 на базисные векторы U+ и {/_.
Имеем
^-GX)-G)-»-
Giu_ = u+,
a3f/+¦¦=?/+,
Используя эти формулы, получим
S3W, = 4" (^ + o
Наряду с B) имеют место формулы
&W, = 2WI, /=1, 2, 3,
s2r4 = or4. (;
Проверим формулу C) для вектора W3\
- т tW" + °'2>J + W" + ^У + (^ + ^з2>J] w3=
- [т7 + т (a<ll>a<l2> + a">a^ + a">(jf)] "^ ^")с/- + и~ и+>=
= -§- ^з +1" ^з + 4~ ^з - 4" ^з
Здесь мы использовали A) и равенства <т/ = /, /= 1, 2, 3. Та-
Таким образом, первые три вектора W\, W2 и W3 описывают со-
состояния, в которых квадрат полного спина системы из двух
электронов равен 2. Число 2 можно записать в виде 2 =
= S(S+O. гДе S = I, поэтому полный спин в этих состоя-
состояниях равен единице. Проекция полного спина в соответствии
с общими свойствами момента импульса принимает в этих со-
состояниях значения ±1 и 0. Вектор W^ описывает состояние
с полным спином, равным нулю. Иногда говорят, что в состоя-
состояниях W\, W2, W3 спины электронов параллельны, а в состоя-
состоянии Wi—антипараллельны.
181

Обсудим полученный результат с точки зрения теории
групп. Мы знаем, что в пространстве С2 действует неприводи-
неприводимое представление группы вращений операторами
U(g) = e 2 . Ясно, что отображение g-+U(g) =
= U(g) ® U(g) = e~^Siul+S2a*+Ssa) есть представление группы вра-
вращений в пространстве С4. Представление О является тензорным
произведением двух одинаковых представлений U, и оно приво-
приводимо. Согласно результатам § 29 пространство С4 представимо
в виде прямой суммы двух инвариантных относительно операто-
операторов 0(g) подпространств, в которых действуют неприводимые
представления. Первое из этих подпространств натягивается на
векторы W\, W2, Ws, а второе —на вектор Wa. Используя обо-
обозначения § 29, мы можем записать этот результат в виде
Заметим, что мы доказали частный случай теоремы о разло-
разложении тензорного произведения неприводимых представлений
группы вращений. Сформулируем эту теорему без доказа-
доказательства.
Пусть в пространствах &х и df2 действуют неприводимые
представления группы вращений D. и D,. Тогда тензорное
произведение представлений представимо в виде прямой суммы
неприводимых представлений
D/, ® D,, = ?>,/,-/,, Ф A/.-zj+i © ... © Dh+h.
Последняя формула называется разложением Клебша —
Гордана. Само разложение получается переходом от базиса,
составленного из векторов e/imie/2m2, m.k= — jk, — /*+1. ••¦>/*,
fe = l,2, где eikmk — собственные векторы операторов (у***J и Jp
к базису из векторов еи hm, J = | /', — j21, | Д — /21 + 1 А + /2)
М = — /, — / + 1, ...,/. Векторы e,jtJM являются собственными
для четырех коммутирующих операторов GA)J, GB)J
f=(/</> + /fО2 + W + 42)J + D1* + Л2>J, /з=Д° + Д2>.
Векторы ешм пред ставимы в виде
Индексы суммирования nik пробегают значения —jk,
—/ft + 1» •••. У*. k=l, 2. Коэффициенты разложения С в D)
называются коэффициентами Клебша — Гордана. Заметим, что
мы, переходя к базису Wh W2, Ws, W4, нашли эти коэффи-
коэффициенты для случая /i = /2= 1/2.
Из сформулированной теоремы следует также, что если
в некотором состоянии момент импульса /W имеет значение /i,
182

а момент /B> — значение /2, то полный момент / может прини-
принимать значения |/i — /2|, |/i — /г|+ 1, ..., }\ + h- Складывать
таким образом можно как орбитальные или спиновые моменты
для различных частиц, так и орбитальный и спиновой момент
для одной частицы.
В заключение этого параграфа отметим важное для даль-
дальнейшего свойство базисных элементов Wi, i = 1, 2, 3, 4. Для
этого запишем их, вводя спиновые переменные s^ и sf\ каждая
из которых может принимать два значения ±1/2
W, (s(», sf>) = U+ (s<'>) U+ (sf),
^з K». 42>) = -щ V+ № t/_ D2)) + u- D°)
^4 Dn. 42>) = -^ [^+ D°) t/. D2>) - u. Dn)
где f/
Из E) следует, что функции W\, W2, W3 являются симмет-
симметричными функциями от спиновых переменных
wt(sf\ 41») = ^D1). 42))> » = 1.2,3,
a Wi — антисимметричная функция
sy>)—^4D°. 42))-
§ 48. Системы многих частиц.
Принцип тождественности
До настоящего параграфа мы изучали в основном поведение
одной квантовой частицы. Пространством состояний частицы
без спина является в координатном представлении пространство
L2(R3), а для частицы со спином 1/2 — L2(R3)® С2. Естествен-
Естественным обобщением таких пространств на случай системы из
п частиц представляются пространство
L2(R3") = L2(R3)® ... ®L2(R3)
для частиц без спина и пространство
L2 (R3") ® С2" = L2 (R3) ® С2 ® ... ®L2(R3)®C2
для частиц со спином 1/2.
Сравнение теории с экспериментом показывает, однако, что
такое предположение о пространствах состояний систем из
п частиц оказывается справедливым только в том случае, когда
среди частиц системы нет одинаковых. При наличии одинако-
одинаковых частиц в поведении квантовых систем обнаруживаются
183

особенности, объяснение которых становится возможным на
основе так называемого принципа тождественности. Сразу за-
заметим, что принцип тождественности является новым принци-
принципом квантовой механики. Он не может быть выведен из других,
сформулированных ранее, основных положений квантовой меха-
механики и должен быть постулирован.
Будем обозначать одним символом Ж пространства L2(R3")
и L2(R3"H С2", а элементы этих пространств записывать в виде
W(l\,...,ln), где |<: = х('> — для бесспиновой частицы и
?. = (х<'\ s^>)—для частицы со спином, s^ — спиновая пере-
переменная г-й частицы. Для частицы со спином 1/2 переменные s^'
принимают два значения ± 1/2.
Скалярное произведение в пространствах Ж также можно
записывать единообразно
OF, Ф) =
подразумевая, что для частиц со спином интегрирование по пе-
переменным li есть интегрирование по пространственным пере-
переменным х<'> и суммирование по спиновым переменным s(j\
Прежде чем переходить к формулировке принципа тожде-
тождественности, рассмотрим группу перестановок Sn, которая назы-
называется также симметрической группой. Элементами этой группы
являются перестановки
/1, 2, .... п \
Я=Ц,/2, ...,/J'
а единичный элемент есть тождественная перестановка
/ = . 1,2, .... п-
Произведением перестановок я = ягла называется переста-
перестановка, которая получается в результате последовательного вы-
выполнения перестановок щ и п2.
Легко построить представление группы Sn в пространстве Ж
Введем операторы Ря, положив
Р«
Очевидно, Рп являются унитарными операторами и отображение
л—*Рп есть представление симметрической группы в простран-
пространстве Ж.
В пространстве Ж сразу выделяются два инвариантных от-
относительно операторов Ря подпространства. Это подпростран-
подпространство Жб симметричных функций, для которых
PnVfo, .-., Ы = Ч'Aл In)
184

и подпространство Жа антисимметричных функций
Aь •-.. In),
где через [я] обозначена четность перестановки я. Очевидно,
ЧТО Ж A _L Жз.
В случае двух частиц Ж = <Жч ® <5$s. Действительно, любая
функция W(|i,|2) может быть записана в виде
т (si. Sa) — 2 '
2=
= ^s(lu Ы + ЧаA\, W, где Уз^Жз, а Тде^.
В случае большего числа частиц имеются и более сложные,
чем Жз и ЖА инвариантные подпространства, однако интереса
эти подпространства не представляют. Принцип тождествен-
тождественности утверждает, что пространством состояний системы из
п одинаковых частиц является либо пространство Жа, либо
пространство Жз- Выбор одного из этих пространств в каче-
качестве пространства состояний зависит только от рода частиц.
Говорят, что частицы, состояния которых описываются сим-
симметричными функциями, подчиняются статистике Бозе ¦— Эйн-
Эйнштейна, а частицы, описываемые антисимметричными функ-
функциями, подчиняются статистике Ферми — Дирака. Первые на
зываются бозонами, а вторые — фермионами.
Оказывается, что статистика, которой подчиняются частицы,
определяется их спином. Частицы с целым спином (в.том числе
и без спина) являются бозонами, а часгицы с полуцелым спи-
спином— фермионами. В нерелятивистской квантовой механике
нет объяснения связи спина и статистики, отчасти эта связь
объясняется в релятивистской квантовой механике. Фермионами
являются электроны, протоны, нейтроны, спин которых ра-
равен 1/2, бозонами являются фотоны, спин которых равен еди-
единице, и мезоны, у которых спин равен нулю. Статистика состав-
составных тождественных частиц (например, атомных ядер) опреде-
определяется четностью входящих в их состав фермионов, так как пе-
перестановка одинаковых сложных частиц эквивалентна переста-
перестановке нескольких пар элементарных частиц. Так, дейтроны, со-
состоящие из нейтрона и протона, являются бозонами. Заметим,
что спин дейтрона целый *, так как спины протона и нейтрона
равны 1/2.
Выпишем оператор Шредингера для системы попарно взаи-
взаимодействующих частиц, находящейся во внешнем поле
и <x<i> -х<^-
Первый член есть оператор кинетической энергии системы
частиц, второй — описывает взаимодействие частиц с внешним
* Из экспериментов известно, что спин дейтрона равен единице.
185

полем, а третий — взаимодействие частиц между собой. Обратим
внимание на то, что массы всех частиц одинаковы, а потен-
потенциалы взаимодействия V(\) и U(x) не зависят от номеров час-
частиц. Вследствие этого оператор Шредингера Н коммутирует со
всеми операторами Рп, [Н, Ря] = 0.
§ 49. Симметрия координатных волновых функций
системы двух электронов.
Атом гелия
Электроны являются фермионами, поэтому волновая функ-
функция для системы двух электронов должна быть антисиммет-
антисимметричной
?& ) ЧЧБ Ы
Разложим функцию Ч^ь^г) по введенным в § 47 базисным
функциям Wx, W2, W3, Wi\
4
W (xOs*1», x<2>s<2>) = ? Wt (x"\ x<2>) Wt (s$\ sf). A)
Первые три слагаемых в этой сумме соответствуют состояниям
с полным спином единица, а четвертое описывает состояние
с полным спином нуль. Введенные соотношением A) функции
Ч^х^.х*2'), i=l, 2, 3, 4 называются координатными волно-
волновыми функциями в отличие от W(?,i, ?2), которую называют
полной волновой функцией. В § 47 мы видели, что Wt (s^\ sf>\
при i= 1,2,3 являются симметричными относительно переста-
перестановки спиновых переменных, W\ (s^, sf^ — антисимметричная
функция. Тогда из антисимметричности полной функции сле-
следует, что
ЦТ. (хB)) ХA)) = _ ЦГ{ (X(l)) XB))> j = 1, 2, 3,
т. е. координатные волновые функции для состояний со спином
единица являются антисимметричными, а для состояний со
спином нуль — симметричными.
Применим этот результат к атому гелия. Оператор Шредин*
гера для атома гелия в пренебрежении спиновыми взаимодей-
взаимодей*
ствиями имеет вид *
2 ' 2 2 п п "*" Г12
* В точной постановке задачи оператор Шредингера содержит члены,
зависящие от спина, однако вывод выражения для спинового взаимодействия
возможен только в релятивистской квантовой механике. Кроме того, для
атома гелия эти члены играют роль малых поправок и всегда учитываются
по теории возмущений.
186

Если ^(li, |г) является решением уравнения
то и координатные функции Ч^х*0, х<2)) удовлетворяют урав-
уравнению Шредингера с тем же собственным значением Е. По-
Поэтому задача сводится к отысканию решений уравнения
HW (хО, х<2>) = EW (х'1», х<2>) B)
в подпространствах симметричных или антисимметричных
функций. Ясно, что решений уравнения B) в каждом из таких
подпространств меньше, чем в пространстве L2(R6). Те значе-
значения Е, для которых уравнение B) имеет решение в подпрост-
подпространстве антисимметричных функций Чг(хA), х<2>), соответствуют
состояниям со спином единица, а те значения Е, для которых
существуют симметричные решения уравнения B), соответ-
соответствуют состояниям со спином нуль.
Мы видим, что уровни энергии атома гелия зависят от пол-
полного спина даже в пренебрежении спиновыми взаимодействиями
в операторе Шредингера. Эта зависимость является следствием
принципа тождественности и возникает через симметрию коор-
координатных волновых функций.
Можно доказать, что основному состоянию атома гелия со-
соответствует симметричная координатная волновая функция,
т. е. спин атома гелия в основном состоянии равен нулю.
Интересно отметить, что переходы с испусканием или погло-
поглощением квантов между состояниями с S = О и S = 1 оказы-
оказываются маловероятными. Поэтому оптический спектр гелия та-
таков, как если бы существовало два сорта гелия с S = О
и S=l, Первый сорт гелия называют парагелием, а второй —
ортогелием. Каждому энергетическому уровню парагелия соот-
соответствует одно спиновое состояние Wit а уровню ортогелия —
три спиновых состояния Wi, W2, W$. Поэтому состояния пара-
парагелия называют синглетными, а ортогелия — триплетными.
Учет спиновых взаимодействий приводит к расщеплению три-
плетных уровней энергии на три близких *.
§ 50. Многоэлектронные атомы.
Одноэлектронное приближение
Оператор Шредингера многоэлектронного атома или иона
с зарядом ядра Z имеет вид
* Можно показать, что такое расщепление происходит, если полный ор-
орбитальный момент двух электронов L Ф 0, поэтому расщепление наблюдается
не для всех триплетных уровней энергии.
187

Этот оператор записан в пренебрежении движением ядра и спи-
спиновых взаимодействий. Пренебрежение движением ядра слож-
сложных атомов вполне законно, так как поправки, возникающие
при его учете, на несколько порядков меньше погрешностей
современных методов расчета сложных атомов. Спиновые взаи-
взаимодействия практически всегда учитываются по теории возму-
возмущений, и их роль мы обсудим ниже.
Оператор Н соответствует нейтральному атому при Z = п,
положительному иону при Z > п и отрицательному иону при
Z <С п. Пространством состояний многоэлектронного атома или
иона является пространство ЖА антисимметричных функций
Wdi |г). Это пространство, как и в разобранном случае
двух частиц, распадается в прямую сумму пространств с опре-
определенным полным спином. Соответствующие координатные
функции удовлетворяют некоторым условиям симметрии, кото-
которые оказываются более сложными, чем в случае двух электро-
электронов, и мы их не будем описывать. Задача о нахождении спектра
оператора Н в Жа сводится к задачам о спектре оператора Н
в подпространствах Жк координатных функций с определен-
определенными условиями симметрии.
Спектр оператора Н в подпространствах Жк хорошо изучен
при Z ^ п. В этом случае спектр непрерывен на интервале
—fi ^ E <Z 00 с некоторым, вообще говоря, положительным fi
и состоит из бесконечной серии отрицательных собственных зна-
значений, накапливающихся к —ц. В различных подпространствах
значения fi могут быть различными. При этом дискретный
спектр в одном из этих подпространств может налагаться на
непрерывный спектр в другом. Таким образом, на части отри-
отрицательной полуоси спектр оператора Я смешанный, собствен-
собственные значения лежат на непрерывном спектре.
Случай Z < п исследован менее детально. Примеры пока-
показывают, что дискретный спектр может быть конечным или
отсутствовать. Отсутствие дискретного спектра означает, что
устойчивых состояний такого отрицательного иона нет. Из экс-
экспериментов, например, известно, что существует одно устой-
устойчивое состояние отрицательного иона водорода (Z = 1, п = 2).
Строго доказана только конечность дискретного спектра для
такой системы.
Задача о построении собственных функций оператора Н для
многоэлектронного атома является чрезвычайно сложной, так
как уравнение HW = EW не допускает разделения переменных.
Эта сложность связана с последним членом в операторе Н, учи-
учитывающим взаимодействие между электронами. Попытка учесть
этот член по теории возмущений приводит к плохим результат
там, так как взаимодействие между электронами имеет тот же
порядок, что и взаимодействие электронов с ядром.
Один из простых способов приближенного учета взаимодей-
взаимодействия между электронами состоит в замене последнего члена
188

в Н суммой 5] V(rt)> гДе потенциал V(r) может быть истолко-
ван как потенциал взаимодействия электрона с распределен-
распределенным по объему атома зарядом остальных электронов. Потен-
Потенциал V(r) называют самосогласованным, так как он зависит от
состояния атома, которое в свою очередь зависит от V(r).
п
Замена последнего члена в Я на ? V(rt) приводит "к при-
! = 1
ближенному оператору Шредингера
(=1
где U(r) = —Zlr-\-V(r). О потенциале U(r) априори мы мо-
можем сказать только, что
?/(r)as--f-. r-+0, U(r)e*-jr, r-+oo.
Мы увидим в дальнейшем, что существуют методы, позво-
позволяющие находить этот потенциал, однако для понимания струк-
структуры сложных атомов достаточно предположения, что Н может
быть довольно точно аппроксимирован оператором Н', а раз-
разность Н' — Н= W может быть учтена по методу возмущений.
Приближенное уравнение Шредингера
Я'^(|ь .... Ъп) = ЕЧ{\и ..., 1п) A)
допускает разделение переменных. Будем искать решения этого
уравнения в виде
?(?,, ..., У = МЫ ... *„(!„). B)
Подстановка B) в A) показывает, что если функции i|)i(|i), ...
• •-. t|)n(in) являются собственными функциями оператора Шре-
Шредингера для частицы в центральном поле V (г)
- y ДЧ>* (I) + U (г) Чь (|) = Ek^k (I), C)
то функция B) является собственной функцией оператора Н',
соответствующей собственному значению Е = Е{ -\- ... + Еп.
Функция B), однако, не удовлетворяет принципу тождествен-
тождественности. Полная волновая функция должна быть антисимметрич-
антисимметричной. Заметим, что если ^Р удовлетворяет уравнению A), то и
PnW является собственной функцией Н' с тем же собственным
значением Е. Поэтому в качестве собственной функции, удов-
удовлетворяющей принципу тождественности, следует взять
189

антисимметричную Комбинацию функций Рп^?, т. е.
D)
где С — постоянная, которая находится из условия нормировки.
Функция D) является антисимметричной, так как перестановка
координат эквивалентна перестановке столбцов определителя.
Функции B) и D) могут быть истолкованы следующим
образом. Функция B) описывает состояние системы электро-
электронов, в которой первый электрон находится в одноэлектронном
состоянии ifi, второй электрон — в состоянии t|J и т. д. Функция
D) соответствует состоянию системы, в котором п электронов
заполняют п одноэлектронных состояний и не имеет смысла
говорить о том, какой электрон в каком состоянии находится.
Заметим, что не для любого решения B) возможно построе-
построение функции D). Определитель D) отличен от нуля только
при условии, что среди функций i|)i, ..., г|зп нет одинаковых.
Этот результат называется принципом Паули и его можно
сформулировать следующим образом.
В одном и том же одноэлектронном состоянии не может
находиться более одного электрона.
Представление о состоянии отдельного электрона связано
с одноэлектронным приближением. Для произвольного состоя-
состояния системы волновая функция не представима в виде B) или
D), и понятие о состоянии одного электрона теряет смысл. Су-
Существует формулировка принципа Паули, не связанная с одно-
электронным приближением, однако в общей формулировке
принцип Паули теряет свою наглядность, и мы не будем при-
приводить такую формулировку. Отметим, что принцип Паули яв-
является следствием антисимметричности волновой функции
и справедлив только для фермионов.
Рассмотрим вопрос о классификации энергетических уров-
уровней многоэлектронного атома. Точный оператор Шредингера
для атома можно записать в виде
где ipc
a Ws описывает спиновые взаимодействия. Явный вид опера-
оператора Ws нам не понадобится. Расчеты атомов показывают, что
поправки, вносимые операторами We и Ws, довольно точно
могут быть найдены по теории возмущений, причем для атомов
первой половины таблицы Менделеева главный вклад дают
поправки, от We- Поэтому возникает возможность повторного
190

применения теории возмущений, т. е. сначала в качестве невоз-
невозмущенного оператора можно взять Н' и оператор We рассмат-
рассматривать как возмущение, а затем Ws рассматривать как возму-
возмущение оператора Н' + We-
Оператор Н' весьма богат симметриями, поэтому собствен-
собственные значения этого оператора обычно имеют довольно большую
кратность. Посмотрим, за счет чего она возникает. Собствен:
ные функции уравнения C) без учета спина классифицируются
тремя квантовыми числами п, I, т. Спиновые состояния можно
учесть, введя спиновое квантовое число т.„ принимающее два
значения ±1/2 по формуле
!t/+(s3), ms = ?,
U_ (s3), ms = — ^ ¦
Тогда собственные функции уравнения C) могут быть запи-
записаны в виде
^mms(x'<) = Wx)?/ms(S3). E)
Собственные значения уравнения C) зависят только от кван-
квантовых чисел п, I. Поэтому собственное значение Е оператора
Н' зависит от набора квантовых чисел пи/ для всех электро-
электронов. Этот набор квантовых чисел пи/ называется конфигура-
конфигурацией атома. Для записи конфигурации принято значениям
/ = 0, 1, 2, 3, ... сопоставлять буквы s, p, d, f, ... Тогда одно-
электронное состояние E) с л=1, 1=0 называют ls-состоя-
нием, состояние с п — 2, / = 1 2р-состоянием и т. д. Для атома
лития, например, возможны конфигурации (lsJ2s, (lsJ2p,
Is2s2p, ... В первой из этих конфигураций два электрона нахо-
находятся в ls-состоянии и один в 25-состоянии.
Совокупность состояний с одинаковыми квантовыми чис-
числами пи/ называется оболочкой. Состояния электронов одной
оболочки различаются квантовыми числами т и ms. Для обо-
оболочки с квантовым числом / число таких состояний равно
2B/+1), так как т принимает значения —/, —/+1, ..., /,
a ms = ±1/2. Оболочка, в которой заняты все 2B/+ ^-состоя-
^-состояний, называется заполненной. Заполненной оболочке соответ-
соответствует вполне определенный набор функций E). Для незапол-
незаполненной оболочки возможен различный выбор функций E), от-
отличающихся числами т и ms. Поэтому кратными оказываются
те собственные значения оператора Н', которым соответствуют
конфигурации, содержащие незаполненные оболочки. Напри-
Например, кратность собственного значения, соответствующего кон-
конфигурации (lsJBpJ, равна Сб=15, так как имеется шесть
2р-состояний, которые заняты двумя электронами.
Поправки от возмущения We могут быть найдены при диа-
гонализации матрицы этого возмущения, построенной при
191

помощи всевозможных функций D), соответствующих данной
конфигурации. Однако обычно в такой диагонализации нет не-
необходимости. В теории атомных ci/ектров доказывается, что
если заменить собственные функции D) для данной конфигу-
конфигурации их линейными комбинациями, которые являются соб-
собственными функциями операторов квадрата полного орбиталь-
орбитального момента импульса L2, квадрата полного спинового мо-
момента S2 и операторов L3, S3
L(L+ 1L?,
= MLW,
то матрица возмущения оказывается диагональной относительно
квантовых чисел L, S, ML, Ms, причем ее элементы не зависят
от чисел ML и Als- Таким образом, вырожденный уровень энер-
энергии, соответствующий конфигурации К, расщепляется на не-
несколько уровней, соответствующих возможным значениям L
и S. Совокупность BML + 1) BMs + 1) -состояний с заданными
конфигурацией и числами L я S называется термом *.
Учет возмущения Ws может быть сделан для каждого терма
по отдельности. При этом оказывается, что уровень энергии,
соответствующий терму, расщепляется на несколько близких
уровней. Совокупность этих уровней называется мультиплетом.
Можно показать, что состояния, соответствующие различным
уровням мультиплета, различаются квантовым числом /. Это
число характеризует собственные значения квадрата полного
момента импульса, являющегося суммой полного орбитального
и полного спинового моментов.
Наконец, каждому уровню мультиплета соответствует не-
несколько состояний, различающихся проекцией полного момента
М]. Это вырождение может быть снято, если поместить атом
в магнитное поле.
Мы видим, что классификация энергетических уровней слож-
сложного атома (конфигурация, L, S, J) соответствует иерархии
слагаемых оператора Шредингера Н', We, Ws-
§ 51. Уравнения самосогласованного поля
Описанный в предыдущем параграфе подход к изучению
спектра сложных атомов хотя и позволяет понять классифика-
классификацию энергетических уровней, но не является удобным для прак-
практических расчетов. Наиболее эффективным для этой цели яв-
* Если в незаполненных оболочках более двух электронов, то может
появиться несколько термов с одинаковыми конфигурацией, L и S. В этом
случае матрица возмущения We является квазидиагональной п для вычисле-
вычисления поправок первого приближения необходима ее диагонализация.
192

ляется Метод самосогласованного поля (метод Хартри — Фока),
основанный на применении вариационного принципа. В этом
параграфе мы расскажем об основных идеях этого метода.
В основе метода Хартри — Фока также лежит одноэлек-
тронное приближение. Волновая функция сложного атома
аппроксимируется либо произведением одноэлектронных функ-
функций W = \|)i (gi) ... i|>«(|rt) (принцип тождественности при этом
не учитывается), либо определителем
либо линейной комбинацией таких определителей. Из условия
стационарности функционала (HW,W) при дополнительном ус-
условии (Ч?, Y) — 1 получается система интегродифференциаль-
ных уравнений для одноэлектронных функций i|>i(x)> ..., \|)n(x).
Проиллюстрируем такой подход на примере атома гелия,
оператор Шредингера для которого имеет вид
—
г2
= Я,
(О
где
Будем искать приближенную волновую функцию в виде
Заметим, что условие
OF, 40 =
может быть заменено двумя условиями
B)
которые не сужают класса варьируемых функций. Функционал
(HW, W) имеет вид
:<2>. C)
193

Варьируя этот функционал по функциям \|)i и г|э2 при усло-
условиях B) и используя метод неопределенных множителей Ла-
гранжа, имеем
( [
D)
Мы получили систему нелинейных интегродифференциаль-
ных уравнений для функций i|>i(x) и г^2(х). Уравнения D) до-
допускают очень простое физическое толкование. Например, пер-
первое уравнение можно рассматривать как уравнение Шредин-
гера для первого электрона, который находится в поле ядра
и в поле, создаваемом зарядом второго электрона. Этот заряд
как бы размазан по объему атома с плотностью |\|J(x'2)) |2 (на-
(напомним, что заряд электрона е = 1), и интеграл во втором сла-
слагаемом D) есть потенциал такого объемного распределения
заряда. Отметим, что этот потенциал неизвестен и находится
при решении системы D), кроме того, в отличие от модели пре-
предыдущего параграфа каждый электрон оказывается в своем
потенциальном поле, зависящем от состояния другого электрона.
Уравнения D) были впервые предложены Хартри, который
написал их исходя из приведенных выше физических сообра-
соображений. Фок установил связь этих уравнений с вариационным
принципом, и им же было предложено уточнение метода Хартри,
учитывающее принцип тождественности. Уравнения Фока ока-
оказываются несколько сложнее, часть из входящих в них «потен-
«потенциалов» (обменные потенциалы) уже не допускает столь про-
простого физического толкования. Эти потенциалы возникают
вследствие свойств симметрии волновой функции.
При практических расчетах по методу Фока обычно с самого
начала ищут одноэлектронные функции г|и(Е) в виде функций
центрального поля ЪЫтщ (I) = —^ Ylm (n) U^ (s3).
Основные этапы расчета состоят в следующем. Сначала на-
находят выражение для волновой функции определенного терма
в виде линейной комбинации определителей. Далее состав-
составляется выражение для функционала (#?, W). Наконец, этот
функционал варьируется по радиальным функциям Rni(r) (тех-
(техника всех этих операций детально разработана). В результате
получается система интегродифференциальных уравнений для
функций одной переменной. Число неизвестных функций этой
системы равно числу оболочек изучаемой конфигурации атома.
Сравнение результатов расчетов с экспериментальными дан-
данными показывает, что точность вычисления энергетических
уровней легких атомов по методу самосогласованного поля со-
составляет около 5%.
194

§ 52. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
Периодический закон был открыт Менделеевым в 1869 г.
и является одним из важнейших законов природы. В основу
своей системы Менделеев положил тот факт, что если располо-
расположить элементы в порядке возрастания атомных весов, то эле-
элементы с близкими химическими и физическими свойствами пе-
периодически повторяются.
К моменту открытия периодического закона было известно
лишь 63 элемента, атомные веса многих элементов были опре-
определены неправильно и Менделееву пришлось их изменить *.
Ряд клеток таблицы Менделеев оставил незаполненными, счи-
считая, что им соответствуют еще неоткрытые элементы. Свойства
трех таких элементов были предсказаны Менделеевым с уди-
удивительной точностью. Наконец, в нескольких случаях Менде-
Менделеев отказался от строгого расположения элементов в порядке
возрастания атомных весов и ввел понятие об атомном но-
номере Z.
Открытый Менделеевым закон первоначально был чисто
эмпирическим. Никакого объяснения периодичности свойств
элементов во времена Менделеева не было, да и не могло
быть, ведь электрон был открыт Томсоном в 1897 г., а атомное
ядро—Резерфордом в 1910 г.
Объяснение периодического закона во всем объеме является
сложной задачей квантовой химии, однако понять природу пе-
периодичности свойств элементов можно уже в рамках упрощен-
упрощенной модели атома, описанной в § 50. Напомним, что эффектив-
эффективный потенциал для электрона в атоме V(r) не является куло-
новским и собственные значения одноэлектронного оператора
Шредингера зависят от квантовых чисел п и /. Расчеты пока-
показывают, что для типичного эффективного потенциала атома
собственные значения Eni возрастают в следующем порядке:
Is, 2s, 2р, 3s, Зр, 4s, 3d, Ар, 5s, 4d, 5р, ... Именно в таком по-
порядке происходит заполнение электронных оболочек атома
(в этом параграфе мы рассматриваем только основные состоя-
состояния атомов). Этот порядок, однако, не является строгим, так
как у каждого элемента свой эффективный потенциал и для
некоторых элементов возможны небольшие отклонения в по-
порядке заполнения оболочек.
Чтобы понять принцип, по которому происходит деление эле-
элементов по периодам, укажем на следующую особенность d- и
/-электронов, отличающую их от s- и р-электронов. Расчеты
показывают, что плотность функции распределения координат
|\|э(х)|2 для d- и f-электронов сосредоточена в области мень-
меньших размеров, чем для s- и р-электронов с близкими энергиями.
* Например, атомный вес цезия считался равным 92, Менделеев припи-
приписал ему значение 138 (современное значение 140),
195

Это значит, что d- и f-электроны в среднем находятся значи-
значительно ближе к ядру, чем s- и р-электроны. Поэтому элементы,
в которых происходит заполнение d- и особенно f-оболочек об-
обладают сходными химическими свойствами. (Химические свой-
свойства в основном зависят от состояний периферических электро-
электронов атома. Объяснение этого утверждения дает квантовая тео-
теория валентности.)
Первым элементом каждого периода таблицы Менделеева
является элемент, у которого начинает заполняться s-оболочка.
Все эти элементы, за исключением водорода, — щелочные ме-
металлы. Последним элементом каждого периода является эле-
элемент, у которого завершается заполнение р-оболочки (исклю-
(исключение представляет первый период, элементы которого, водород
и гелий, не содержат р-электронов). Последние элементы перио-
периодов являются благородными газами. Конфигурации атомов бла-
благородных газов состоят из заполненных оболочек. Можно пока-
показать, что соответствующие состояния преобразуются при вра-
вращениях по неприводимому представлению Do, т. е. являются
сферически-симметричными. Таким же свойством обладают по-
положительные однозарядные ионы щелочных металлов, конфи-
конфигурация которых совпадает с конфигурациями предшествую-
предшествующего благородного газа. Именно поэтому оптические свойства
щелочных металлов хорошо описывает модель валентного элек-
электрона в центральном поле.
Последовательность электронных оболочек разбивается по
периодам следующим образом:
I
II
III
IV
V
VI
VII
Is,
2s,
3s,
4s,
5s,
6s,
7s,
2p
3p,
3d,
Ы,
4/,
Qd,
4p,
5p,
5d, 6p,
5/, . .
2 элемента
8 элементов
8 -» —
18 -»-
18 -»-
32 элемента
Номера периодов обозначены римскими цифрами. Справа ука-
указано число элементов периода. Это число легко находится, если
вспомнить, что число одноэлектронных состояний с квантовыми
числами п и / равно 2B/+1). Например, число элементов
шестого периода равно 2+14+10 + 6 = 32. Номер периода
совпадает с главным квантовым числом заполняющихся s- и
р-оболочек.
Элементы, содержащие заполненные d- и /-оболочки (или
не содержащие таких оболочек), называются элементами глав-
главных групп. Элементы, в которых происходит заполнение d-
и /-оболочек, называются элементами промежуточных групп,
196

Элементы промежуточных групп имеют близкие химические
свойства, в особенности это справедливо для групп, в которых
происходит заполнение /-оболочек (оболочка 4/ заполняется
в группе редкоземельных элементов).
Отметим, что при заполнении d- и /-оболочек иногда наблю-
наблюдаются отклонения от указанного выше порядка. Например,
конфигурациями основных состояний атомов V, Сг, Мп яв-
являются CdKDsJ, CdM4s, CflfMDsJ соответственно (мы не
выписали конфигурацию заполненных оболочек, общую для
всех этих атомов (IsJBsJBpNCsJCpN). Оказывается, что
Rn
1 5 10 15 20 25 50 35 40 «5 50 55 60 65 70 75 80 В5 90 Z
Рис. 15.
конфигурация CdM4s для атома Сг энергетически более вы-
выгодна, чем CdLDsJ, которую мы приписали бы хрому, руко-
руководствуясь нашей моделью. Ясно, что это отклонение не может
быть объяснено в рамках модели, в которой эффективный по-
потенциал одинаков для всех электронов.
В заключение проследим за изменением энергии связи *
электрона в атомах. Этот параметр тесно связан с химическими
свойствами элементов и характеризует способность атомов «от-
«отдавать» электрон, вступая в химические соединения.
Вспомним, что эффективный потенциал атома U(r)^—\/г
при г-*оо и U(r)^—Z/r при г->0. Поэтому естественно ожи-
ожидать (и это подтверждается расчетами), что с увеличением Z
эффективный потенциал становится более сильным, т. е.
_ * Энергией связи называется абсолютная величина разности между энер-
энергиями основных состояний атома и соответствующего положительного одно-
однозарядного иона, иначе говоря, энергия связи равна минимальной работе,
которую нужно затратить, чтобы вырвать электрон из атома.
197

соответствующие одноэлектронные уровни энергии для после-
последующего атома лежат глубже, чем для предыдущего. Поэтому
энергия связи должна возрастать в ряду элементов, соответ-
соответствующем заполнению некоторой оболочки. Однако при пере-
переходе к заполнению следующей оболочки энергия связи может
падать. Особенно сильное падение энергии связи наблюдается
в начале каждого периода, когда начинает заполняться новая
s-оболочка. На рис. 15 нанесены экспериментальные значения
энергии связи для различных элементов. По горизонтальной
оси отложен атомный номер элемента Z. Из рисунка видно, что
для каждого периода минимальное значение энергии связи
имеют щелочные металлы, а максимальное—-атомы благород-
благородных газов. Химическая инертность благородных газов в значи-
значительной степени объясняется большой величиной энергии связи,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
§ 1. Алгебра наблюдаемых классической механики 5
§ 2. Состояния 10
§ 3. Теорема Лиувилля и две картины движения в классической меха-
механике 15
§ 4. Физические основы квантовой механики 18
§ 5. Конечномерная модель квантовой механики 27
§ 6. Состояния в квантовой механике 31
§ 7. Соотношения неопределенности Гейзенберга 35
§ 8. Физический смысл собственных значений и собственных векторов
наблюдаемых 38
§ 9. Две картины движения в квантовой механике. Уравнение Шредин-
гера. Стационарные состояния 42
§ 10. Квантовая механика реальных систем. Перестановочные соотноше-
соотношения Гейзенберга 46
§ 11. Координатное и импульсное представления 50
§ 12. «Собственные функции» операторов Q и Р 56
§ 13. Энергия, момент импульса и другие примеры наблюдаемых ... 59
§ 14. Взаимосвязь квантовой и классической механики. Предельный пе-
переход от квантовой механики к классической 64
§ 15. Одномерные задачи квантовой механики. Свободная одномерная
частица 71
§ 16. Гармонический осциллятор 76
§ 17. Задача об осцилляторе в координатном представлении 79
§ 18. Представление состояний одномерной частицы в пространстве по-
последовательностей U 82
§ 19. Представление состояний одномерной частицы в пространстве це-
целых аналитических функций 2) 85
§ 20. Общий случай одномерного движения 86
§ 21. Трехмерные задачи квантовой механики. Трехмерная свободная ча-
частица 92
§ 22. Трехмерная частица в потенциальном поле 94
§ 23. Момент импульса 95
§ 24. Группа вращений 97
§ 25. Представления группы вращений 99
§ 26. Сферически-симметричные операторы 102
§ 27. Представление вращений унитарными матрицами второго порядка 105
§ 28. Представление группы вращений в пространстве целых аналитиче-
аналитических функций двух комплексных переменных 106
199

§ 29. Единственность представлений Z), 109
§ 30. Представления группы вращений в пространстве /_2(S2) Сферические
функции 112
§ 31. Радиальное уравнение Шредингера 115
§ 32. Атом водорода. Атомы щелочных металлов 120
§ 33. Теория возмущений 128
§ 34. Вариационный принцип 134
§ 35. Теория рассеяния. Физическая постановка задачи 137
§ 36. Рассеяние одномерной частицы на потенциальном барьере .... 139
§ 37. Физический смысл решений ipi и грг 142
§ 38. Рассеяние на прямоугольном барьере 145
§ 39. Рассеяние на потенциальном центре 146
§ 40. Движение волновых пакетов в поле силового центра 151
§ 41. Интегральное уравнение теории рассеяния 156
§ 42. Вывод формулы для сечения 158
§ 43. Абстрактная теория рассеяния 162
§ 44. Свойства коммутирующих операторов 170
§ 45. Представление пространства состояний по полному набору наблю-
наблюдаемых 174
§ 46. Спин 175
§ 47. Спин системы двух электронов 180
§ 48, Системы, многлх, частиц. Принцип тождественности 183
§ 49. Симметрия. координатных волновых функций системы двух элек-
электронов. Атом гелия 186
§ 50. Многоэлектронные атомы. Одноэлектронное приближение .... 187
§ 51. Уравнения самосогласованного поля 192
§ 52. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева 195
ИБ №956
Фаддеев Людвиг Дмитриевич, Якубовский Олег Александрович
Лекции по квантовой механике
для студентов-математиков
Редактор Г. А. Григенч
Техн. редактор Л. А. Топорика Корректоры К. Я. Бенина, ?. Г. Павлова
Сдано в набор 10.08.79. Подписано к печати 19.01.80. Формат бОХЭО'Де- Бум. тип. № 2.
Уч. изд. л. 11,29. Печ. л. 12.5..Тираж 9774 экз. Заказ 330. Цена 35 коп.
Издательство ЛГУ имени А. А Жданова. 199164, Ленинград, Университетская иаб., 7/9.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам изда-
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198Э52, Ленинград, Л-52, Измайловский
проспект, 29