Текст
                    д. л. волковский
J
т у'
> О'
МЕТОДИКА
АРИФМЕТИКИ
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Допущено Наркомпросом РСФСР
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЯ
I Bvc» ■ Д:м v н п с ти ч
1 » \ А *! ■*
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА — 19о7


511 В 67 ••ряаованнг> «чоЬЛГЬ Ответ, редактор В. Т. Снигирев. Техн. редактор М. М. Хасина. Наблюдали за переизданием: редактор С. В. Филичев, техред Ю. Ю. Б ал ль Сдаио в набор 15/Х 1936 г. Подписано к печати 5/III 1937 г. Формат бумаги 62Х94/1В. Тираж 25.000 экз. Изд лист. 181/2- Бум. лист. У1/*. Авт. лист. 20,23. В 1 бум л. 100 ООО п. зн. Бумага Окуловской фабрики. Цена 2 р. 10 к., переплет 50 коп. У-2. Учпедгиз № 8630. Заказ № 289. Уполн. Главлита № Б-10569. Набрано и сматрицировано в 1-й Образцовой типографии Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига*, Москва, Валовая, 28. Отпечатано в 17-й фабрике , нац. книги Огиза РСФСР треста „Полнграфкнига*, Москва, Шлюз., наб., 10. ■ - •, i ; 1
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. Целые 'числа составляют основное содержание математики в начальной школе. Поэтому на изучение методики целых чисел надо обратить особое внимание. Чтобы учащиеся лучше усвоили нумерацию и действия с це¬ лыми числами, принято изучение целых чисел разделять на сле¬ дующие концентры (круги, разделы): 1) числа первого десятка; 2) числа второго десятка; 3) полные десятки первой сотни; 4) числа от 1 до 100; 5) числа от 1 до 1000; 6) числа любой величины. I. ЧИСЛА ПЕРВОГО ДЕСЯТКА. Для выделения в особый концентр чисел первого десяткд имеются следующие основания: 1) до 10 каждое число рассма¬ тривается как группа однородных единиц, тогда как в числах выше первого десятка приходится рассматривать число состоя¬ щим из двух или трех и более групп различных единиц (простых единиц, десятков, сотен и т.д.); 2) для каждого числа существуют особое название и особый знак (цифра); 3) здесь кладется основа таблиц сложения и вычитания, которые служат краеугольным камнем всех остальных действий; 4) разложение чисел на десятичные группы как основа счисления не может быть приложено к числам, меньшим десяти, а потому все действия над числом сводятся к счету. Так как определенные числовые представления создаются у детей сравнительно поздно и постепенно, то целесообразно в пределе первого десятка изучать каждое число в отдель¬ ности, переходя от одного числа к другому по их естественному ряду. При изучении каждого числа в отдельности дается пред¬ ставление о числе (восприятие числа). Первоначальное обучение должно быть в высшей степени конкретным, наглядным. Дети сначала должны производить непосредственное наблюдение над вещами и их числовыми отношениями. Затем надо переходить к изображению предметов (картинкам, ч еловым фигурам, чертежам). Далее можно переходить к таким упражнениям, где является на помощь воображение, т. е. к упражнениям над пред- !♦ з
метами, известными ученикам, но не находящимися перед их глазами. И, наконец, можно переходить к отвлеченному числу. § 1. ИЗУЧЕНИЕ ЧИСЛА 4. Приведем пример ознакомления детей с числом 4. Это озна¬ комление складывается из следующих моментов: 1. Построение числовой фигуры 4 и счет. Отложив на клас¬ сных счетах 3 шарика (на одной проволоке 2, а на другой 1), учитель спрашивает: „Сколько здесь шариков положено?" Затем учитель кладет четвертый шарик, помещая его под вторым шариком на следующей, пониже, проволоке. Тогда числовая фигура примет такой вид (рис. 1). „Сколько теперь шариков видите?" (4.) „Сосчитайте и покажите 1, 2, 3, 4 шарика". 2. В восприятии предметов участвуют зрение, слух и мускульное чувство. „Возьмите каждый в руки по 4 палочки или отложите по 4 кубика". 3. В восприятии предметов участвуют зрение и слух. „Смотрите и слушайте, сколько раз я ударю карандашом по столу". 4. В восприятии предметов участвует одно зрение. „Посмо¬ трите на классную комнату и назовите те предметы, которых в ней по 4". (4 стены.) 5. Упражнение с картинками. Дети открывают задачник по математике или картинки на особых листах бумаги и считают те предметы, которые нарисованы по 4. 6. Работа по воображению. „Каких частей тела у лошади по 4?" (4 ноги.) „Сколько крыльев у бабочки?" „Назовите 4 раз¬ личных животных, 4 различных птицы". 7. Отвлеченный счет. „Считайте от 1 до 4". (Один, два, три, четыре.) „Считайте назад от 4 до 1". (Четыре, три, два, один.) Примечание. Когда дети познакомятся с прямым счетом, тогда можно познакомить их с порядковым счетом: пер¬ вый, второй, третий и т. д. Этот счет имеет большое практи¬ ческое применение. Для детей, овладевших прямым счетом, порядковый счет не представляет затруднений. Во всяком случае, он легче обратного счета. 8. Место одного числа в ряду других чисел. „Какое число следует за двумя? за тремя? Какое число стоит перед четырьмя? Перед двумя? Перед тремя? Какое число находится между двумя и четырьмя? Между какими числами находится 3?" 9. Сравнение числа 4 с предыдущими числами. „Смотрите первую клеточку (рис. 2). Сколько в ней точек?" (3.) „В следую¬ щей (второй) клеточке сколько точек?" (4.) „Где больше точек: в первой или второй клеточке? Сколько точек в третьей кле¬ точке?" (2.) „Где меньше точек: во второй или третьей клеточке?" Рис. 1. 4
Сколько точек в четвертой клеточке?" (1.) „В какой клеточке больше всего точек?" (Во второй.) „Сколько их там?" (4.) яВ какой клеточке меньше всего точек?" (В четвертой.) „Сколько их там?" (1.) • • • • • • Ркс, 2. „Что больше: 4 палочки или 2 палочки? Что меньше: 3 кар¬ тинки или 4 картинки? Что больше: 2 или 4? Что меньше: 4 или 3? Какое число меньше 4, но больше 2? 10. Состав числа из меньших чисел. Это упражнение яв¬ ляется подготовительным к усвоению арифметических действий сложения и вычитания и облегчит усвоение результатов этих действий. Нет необходимости добиваться запоминания детьми состава каждого числа непременно из всех групп. До¬ статочно, если дети усвоят состав каждого числа из более лег¬ ких групп. Учитель на классных счетах откидывает 3. „Сколько шариков вы видите?" (3.) „Сколько шариков я прибавил к ним?" (1.) (Учитель прибавляет 1 шарик так, чтобы получилась знакомая числовая фигура 4.) „Сколько шариков теперь вы видите?" (4.) „Сколько же будет шариков — к 3 шарикам прибавить 1 ша¬ рик?" Отделив аккуратно карандашом на числовой фигуре 4 три шарика, учитель спрашивает: „Сколько шариков по правую сторону карандаша?" (1.) „Сколько шариков по левую сторону карандаша?" (3.) „Сколько всего шариков?" (4.) „Сколько же будет всего шариков—1 шарик да 3 шарика?" „Сколько шариков я закрыл рукой?" (1.) „Сколько шариков вы видите?" (3.) „Сколько же будет шариков — 4 шарика без 1 шарика?" „Сколько теперь шариков закрыл я рукой?" (3 шарика.) „Сколько шариков вы видите? Сколько же будет шариков — 4 шарика без 3 шариков?" 11. Загадки. Отгадайте загадки: а) „Под одной шляпой 4 брата стоят". (Стол.) б) „Четыре крыла и не птица, крыльями машет, а ни с места". (Ветряная мельница.) Письменные упражнения. Письмо 4 палочек. Положив на стол 4 кубика, 4 карандаша 4 книги, учитель спрашивает детей: „Сколько у меня здесь кубиков? А сколько карандашей? А сколько книг?" „А как записать, что вот здесь 4 кубика, а не больше и не меньше; что вот 4 карандаша, а не больше и не меньше; что вот здесь 4 книжки, а не больше и не меньше?" Дети, обозначавшие раньше числа 1, 2 и 3 палочками, сде¬ лают это без всякого затруднения. 5
1 Рисование числовой фигуры 4. „Мы сейчас отмечали 4 пред¬ мета 4 палочками; 4 предмета можно отметить по-другому: их можно отметить 4 точками, расположенными вот так“ (рис. 3). „Вместо точек мы будем рисовать кружочки: так удобнее". (Учитель рисует на доске.) „Нарисуйте по 4 кружочка у себя в тетрадях". Рисование числовой фигуры 4 может служить мате¬ риалом для самостоятельной работы детей. Знакомство с четырехугольником. Учитель рисует четырехугольник по частям в 4 приема. „Покажите и сочтите, сколько углов у этого рисунка". (У этого рисунка четыре угла, поэтому он называется четырехугольником.) „Вот один угол. Покажите остальные углы вы". (У этого рисунка четыре угла, поэтому он называется четырехугольником.) „Вот один угол. Покажите остальные углы вы. А вот стороны у четырехуголь¬ ника. Сколько сторон у него? Покажите их. Что в классе имеет вид четырехугольника?" (Потолок, пол, доска, стена, крышка стола.) „Нарисуйте у себя в тетрадке по 4 четырехуголь¬ ника". Рисование четырехугольника может служить материалом для самостоятельной работы детей. Можно поупражнять детей в рисовании носилок, стола и стакана в простейшем виде, ибо в начертание этих предметов входят те же самые линии, что в цифру 4. Рисование этих пред¬ метов может быть материалом для самостоятельного занятия детей. Далее идет знакомство с письмом цифры 4. § 2. ПИСЬМО ЦИФР. Характер письма цифр. 1. Начертание цифр должно быть простым и четким. Точно так же надо обращать большое внимание на правильное изображение цифр, ибо оно для четкости письма имеет еще большее значение, чем четкое изображение букв: ошибочное чтение в последнем случае легко поправимо, неправильное же чтение чисел ведет к очень неприятным последствиям. Простое, но правильное, четкое начертание цифр способствует более скорому письму их, а это имеет немалое значение. 2. Что касается порядка письма цифр, то здесь существуют два мнения: одни из методистов советуют обучать письму цифр в их естественной последовательности, начиная с 1; другие делят цифры на группы по трудности их начертания: к первой группе относят цифры — 1, 4, 7, различно их располагая, или так, как сейчас указано, или же так — 4, 7, 1; ко второй группе — О, 6, 8, 9 или же 2, 3, 5; к третьей группе — 2, 3, 5 или же О, 6, 9 и к четвертой группе — 8. Вторая группировка уместнее в том случае, если проходить цифры после изучения первого десятка, как это делают некото¬ рые методисты. При том же расположении материала, когда Рис. з.
изучается каждое число в отдельности, такой порядок менее уместен. Относительно обозначения числа 10 следует только показать, как это число пишется, не объясняя того, что означают —нуль, цифра на первом месте, цифра на втором месте, ибо это прежде¬ временно по своей трудности. 3. Приступая к письму цифр, учитель сначала сам должен показать на доске, из каких частей (элементов) состоит каждая цифра, изображая ее для этого по частям; затем он должен предлагать детям писать на доске цифры до тех пор, пока не убедится, что дети правильно пишут их; потом предлагает детям писать цифры в тетрадях, просматривая эти тетради (проходя между партами) и исправляя эти неправильности здесь же в классе. Приведем образец знакомства с цифрой 4. Письмо цифры 4. Так как печатное начертание цифр несколько отличается от письменного, то необходимо познакомить детей с тем и другим начертаниями, причем сначала с печатным, ибо для ребенка много легче узнать цифру глазами, чем написать ее. Это можно сделать так: „Как мы отмечали раньше 4 кубика, 4 карандаша, 4 книжки?" (4 черточками, 4 кру¬ жочками.) „Теперь научимся отмечать 4 каких-либо пред¬ мета по-другому, короче". Учитель показывает детям печатную цифру 4 (на особой картонке, по примеру букв), говоря: „Этот знак — цифра четыре. Повторите, как Рис. 4. я назвал?" (Цифра 4.) „Запомните ее". Затем учитель говорит: „Этим знаком отмечают 4 каких-либо предмета—4 чело¬ века, 4 лошади, 4 птицы, 4 тетради и т. д.; короче говоря, число 4. Смотрите, я покажу вам, сколько мальчиков сидит на скамейке, а вы прочитайте". Учитель показывает цифру 4. „Сколько же мальчиков сидит на скамейке?" Потом учитель, предупредив детей, чтобы они следили за ним, пишет цифру 4 по частям в 3 приема. Написав на доске прямую, несколько наклонную черту, учитель спрашивает, что он написал. (Прямую наклонную палочку.) Затем учитель к прямой наклонной черте присоединяет прямую лежа¬ чую черту. Наконец, к полученному знаку справа присоединяется прямая, несколько наклонная черта, и таким образом получается цифра 4. Написав цифру 4, учитель спрашивает детей: „Из скольких же частей состоит цифра 4? Какая 1-я часть?" (Прямая стсячая палочка.) „Какая 2-я?“ (Прямая лежачая палочка.) „Какая 3-я?“ (Прямая стоячая палочка.) (рис. 4). Это письмо на доске по частям цифры 4 делается учителем раза 2—3, чтобы дети прочнее запомнили те составные части, из которых образована цифра 4. Потом учитель спрашивает: „Похожа ли письменная цифра 4 на печатную?" Дети отвечают, что похожа. Затем учитель вызывает к доске нескольких детей (лучшего, среднего и плохого) писать эту цифру, пока не убедится, что они правильно умеют писать ее. Далее предлагает всем детям написать эту цифру в тетрадях по одному разу, смотрит, ходя между столами, тетради и указывает или же и сам исправляет 7
неправильности в письме. Потом заставляет детей писать эту цифру в тетрадях по нескольку раз. Письмо цифры 1. Эта цифра пишется в 1 прием: ведется прямая черта сверху вниз одинаковой толщины. Вот образец письменной цифры 1 (рис. 5). Письмо цифры 2. Для облегчения написания цифры /2 надо напомнить детям, что цифра 2 похожа на крю¬ чок для ужения рыбы. Затем учитель пишет на доске цифру по частям, говоря: „Вот я сперва веду тонкую черту сверху вниз, затем — тонкую черту снизу вверх, далее — черту сверху вниз с утолщением вверху и тонко внизу, т. е. полу¬ чается вот такая первая часть цифры 2“. После этого учитель пишет вторую часть цифры 2, волнистую линию, говоря: „Сперва я веду тонкую черту снизу вверх, затем толстую черту сверху вниз и, наконец, тонкую черту снизу вверх, т. е. получается вот такая вторая часть цифры 2“ (рис. 5). ?ис. 5. Затем учитель пишет цифру 2 в 4 приема: сперва тонкую черту сверху вниз, затем тонкую черту снизу вверх; далее черту сверху вниз с утолщением вверху и тонко внизу и, наконец, „хвостик" внизу (волнистую линию). Вот образец письменной цифры 2 (рис. 6). Начертание цифры 2 особенно трудно дается детям, 3 поэтому надо упражняться в письме ее возможно больше. Письмо цифры 3. Цифра 3 пишется в 3 приема: сна¬ чала верхний „крючок" (полуовал), затем нижний „крю¬ чок" (полуовал) и, наконец, точка у нижнего „крючка". Вот образец письменной цифры 3 (рис. 6). Рис. 6. Письмо цифры 5. Цифра 5 пишется в 3 приема: сначала средняя часть цифры (прямая стоячая черта), 5 затем нижняя часть (полукружочек) и, наконец, верхняя часть (прямая лежащая черта). Вот образец письменной цифры 5 (рис. 7). Письмо цифры 6. Цифра 6 пишется в 2 приема: сперва левый полукружок с продолжением вверх, при¬ чем черта ведется сверху вниз с утолщением посре- 6 дине; затем пишется правый полукружок без перерыва черты после написания левого полуовала. Вот образец письменной цифры 6 (рис. 7). Письмо цифры 7. Цифра 7 пишется в 2 приема: рис 7 сначала пишется волнистая линия, потом пишется пря¬ мая стоячая черта. Написав волнистую линию, учитель спрашивает детей: „В какой цифре встречалась такая черта?" (В цифре 2.) Написав прямую стоячую черту с утолщением внизу, учитель спрашивает: „А эта черта на какую цифру похо¬ жа?" (На цифру 1 ) „Еще в какой цифре встречалась эта черта?" (В цифре 4.) Так как учащиеся нередко так неотчетливо пишут цифру 7, что ее легко смешать с цифрой 4, то необходимо обра¬ тить особое внимание на письмо этих цифр, чередуя письмо их.
Вот образец письменной цифры 7 (рис. 8). Письмо цифры 8. Цифра 8 пишется в 2 приема: во- первых, пишут верхний левый полуовал, ведя тонкою черту снизу вверх, и верхний правый полуовал, ведя черту сверху вниз с утолщением (нажимом), во-вторых, нижний левый полуовал, ведя черту сверху вниз с нажи¬ мом, и нижний правый полуовал, ведя тонкую черту снизу вверх. Вот образец такого письма цифры 8 (рис. 9). Цифру 8 можно писать в 2 приема и так: во-первых, пишут верхний левый полуовал, ведя черту сверху вниз с нажимом, и нижний правый полуовал, ведя черту сверху с нажимом; во-вторых, нижний полуовал, ведя тонкую черту снизу вверх, верхний правый полуовал, ведя тонкую черту снизу вверх (рис. 10). И тот и другой способы начертания цифры 8 приме¬ нимы, но первый предпочтительнее. Письмо цифры 9. Цифра 9 пишется в 2 приема: сна¬ чала пишут левый полуовал, ведя тонкую черту снизу вверх, затем правый полуовал, ведя черту сверху вниз с продолжением ее за овал и с утолщением посредине. Вот образец письменной цифры 9 (рис. 10). Следует обратить внимание детей на то, что цифра 9 пишете* точно так же, как и цифра 6, с той только разницей, что у цифры 6 овал внизу, а у цифры 9 — Рис. 10. вверху. Письмо числа 10. Письмо этого числа сравнительно с преды¬ дущими числами представляет ту особенность, что каждое из предыдущих чисел обозначается одним знаком, а это число обозначается двумя знаками. На это надо обратить внимание детей, причем не следует входить в объяснение того, что озна¬ чает цифра на первом месте, что — на втором месте, что означает нуль. Это преждевременно для детей. Об этом будет речь при изучении полных десятков первой сотни. Теперь достаточно ограничиться сообщением, что число 10 пишется двумя знаками: сначала пишется цифра 1, потом пишется кружочек, который называется нулем. Письмо числа 10 не пред- / \ ставляет затруднения для детей, ибо оба знака встреча- / / j лись раньше: первый знак есть цифра 1, а второй знак / ( / (нуль) встречался при письме цифр 6 и 9. На сходство / нуля с овалами цифр 6 и 9 следует обратить внимание детей. Рис. 11. Цифру нуль можно писать в 2 приема: сначала пи¬ шут левый полуовал, ведя черту сверху вниз с нажимом, потом правый полуовал, ведя тонкую черту снизу вверх. Если число 10 пишется по клеткам, то надо писать его в Двух клетках, каждый знак в особой клетке. При письме числа Ю несколько раз в одной строчке после каждого числа надо оставлять промежуток в две клетки. Это способствует ясности письма. Смотри образец письма цифрами числа 10 (рис. И). 9
§ 3. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЕЛ ПЕРВОГО ДЕСЯТКА. В пределе первого десятка надо проработать только два дей¬ ствия: сложение и вычитание. Сложение и вычитание лучше про¬ ходить совместно, ибо, во-первых, через это вносится разно¬ образие в занятия, а во-вторых, этот прием более удовлетворяет одному из главных дидактических положений — постепенному пе¬ реходу от- более легкого к более трудному, так как несомненно, что, например, из 5 вычесть 1 гораздо легче, чем к 5 при¬ бавить 4; в-третьих, соответствует психологическим исследова¬ ниям и опытам, которые показали, что „контраст" (противополо¬ жение), существующий между противоположными представлениями и процессами, как-то: сложением и вычитанием, выражениями „и“, „без", умножением и делением и выражениями „раз" и „на", лишь способствует выяснению представлений1). Общий характер и план упражнений на сложение и вычита¬ ние в пределе 10 следующие: 1) сложение и вычитание на наглядных пособиях-предметах (кубиках, палочках, спичках и т. п.); 2) сложение и вычитание на числовых фигурах; 3) сложение и вычитание воображаемых предметов, т. е. пред¬ метов, знакомых детям, но не находящихся у них перед глазами; 4) сложение и вычитание отвлеченных чисел (5 -)— 4); 5) задачи с -условиями (задачи с текстом)2). Сложение и вычитание прорабатываются в такой методиче¬ ской последовательности: прибавление и отнимание по 1, по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, по 7, по 8, по 9. Прибавление и отнимание по 1 не представляет затруднения для детей, ибо эти операции основаны на знании того, какое число следует за другим числом и какое предшествует ему, а это знакомо ребятам из восприятия чисел. Впрочем при сложении предметов, когда приходится приба¬ влять один предмет, дети иногда, вместо того чтобы сразу ска¬ зать, сколько будет, считают сначала все предметы. Надо отучать детей от этого, поступая так: предположим, детям дано к 4 ку¬ бикам прибавить 1 кубик, и дети затрудняются сразу сказать, сколько будет; тогда надо спросить их, какое число следует за 4, и потом предложить сразу сказать, сколько же будет 4 ку¬ бика и 1 кубик. А можно поступить и так: показать числовую фигуру 5, в ко¬ торой 4 точки отделены от 1 точки чертой, и повести такую бе- 9 Л а й. Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактического опыта, перевод с немецкого под ред. Д. Л. Вол¬ ковского, М., нзд. 5-е, стр. 292—293. 2) Следует иметь в виду, что решение задач с текстом должно сопровождать всю работу по ознакомлению с тем нли иным математическим понятием и по созданию у учащихся прочных математических навыков. Во многих случаях ре¬ шение простых задач полезно предпосылать началу работы, так как задачи способствуют уяснению смысла арифметических действий и создают стимул у учащихся к работе. Поэтому задачи отнюдь не должны быть только завер¬ шающим моментом в проработке того илн иного раздела. Это замечание отно¬ сится и ко всем последующим разделам этой книги. №
P„v- Сколько точек по левую сторону черты?- (4.) .Сколько очек по правую сторону черты?- (1.) .Сколько всего точек?" (5) Сколько же будет кубиков — к 4 кубикам прибавить 1 ку¬ бик?" § 4 ПИСЬМО ЗНАКОВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ И ЗНАКА РАВЕНСТВА. При прибавлении и отнимании единицы своевременно позна¬ комить детей с письмом знаков сложения и вычита¬ ния и знака равенства. На первое время эти знаки лучше всего читать так: знак сложения — словом .прибавить", знак вычитания — словом .отнять", знак равенства — словом .бу¬ дет". Пример 4-)-1=5 надо прочитать так: .к четырем приба¬ вить один — будет пять". Пример 5 —1=4 надо прочитать так: „от пяти отнять один — будет четыре". Допуская на первых порах только выражение .прибавить" для сложения и .отнять" —для вычитания, мы ничего не имеем про¬ тив выражений: „и", .да", .приложить" и подобные—для сло¬ жения; .без", .отбавить" и подобные—для вычитания. Но только советуем вводить их не все сразу, а постепенно, ибо многообра¬ зие выражений, введенных сразу, не только не облегчит дела, а, напротив, затруднит его. Слово .сложить" лучше употреблять (но только не в первом десятке) в таком сочетании (8-J-9): .сложить восемь и девять", а не в (таком: .сложить восемь с девятью", ибо это выражение, как требующее постановки числительного в косвенном (твори¬ тельном) падеже, труднее для детей. Что касается иностранных слов „плюс" и .минус", то их лучше употреблять после знакомства со всеми словесными выраже¬ ниями для обозначения знаков сложения и вычитания, включая сюда и выражения: .на столько-то больше (меньше)", „увеличить (уменьшить) на столько-то", т. е. при сложении и вычитании чи¬ сел первой тысячи. Употребление слов „плюс" и „минус" желательно потому, что: 1) они кратки и не представляют трудности для детей, 2) обще¬ приняты в арифметической литературе всех стран и 3) обобщают собой все русские слова, употребляемые для выражения знаков сложения и вычитания. Знак равенства, подобно знакам сложения и вычитания, на первых порах лучше читать одним каким-либо словом, например словом „будет", а потом постепенно можно вводить выражения: .получится", „составляет", „равно", „останется" и т. п. Чтение и письмо знаков сложения, вычитания и равенства лучше сообщать в один урок. Если же этого нельзя сделать, то знак сложения лучше показать со знаком равенства, нежели со знаком вычитания, ибо обучение знакам сложения и равенства на одном уроке дает возможность лучше видеть связь между отдельными членами предложения, и арифметическое выражение будет представлять собою нечто цельное и законченное как в этимологическом отношении, так и в логическом. И в самом Деле, если мы возьмем выражение: 4-f-1 и прочтем его: „Че- П
тыре да один”, то это не будет целое предложение и, следо¬ вательно, в нем не будет мысли. Если же мы напишем: 4-f-I=5 и прочтем: „Четыре да один — будет пять", то здесь мы выска¬ зываем известное суждение, и здесь есть смысл, предложение, а также видна связь между отдельными членами предложения. Но как же следует обучать детей знакам сложения, вычитания и равенства? Приведем примерный урок. „К 3 кубикам прибавить 1 кубик. Сколько будет кубиков?" (К 3 кубикам прибавить 1 кубик—будет 4.) „Смотрите, как я за¬ пишу это. К трем (пишет цифру 3) прибавить (пишет знак сло¬ жения) один (пишет цифру 1) — будет (пишег знак равенства) четыре (пишет цифру 4). Смотрите, что я буду показывать, и слу¬ шайте, что я буду говорить, К трем (показывает цифру 3) при¬ бавить (показывает знак сложения) один (показывает цифру 1)— будет (показывает знак равенства) четыре (показывает цифру 4)“. При этом учитель делает ударение на словах „прибавить" и „бу¬ дет". Затем идет чтение этого детьми. Когда дети научатся безошибочно читать это, следует обра¬ тить их внимание на то, как пишутся знак сложения и знак равенства. „Смотрите, дети: вместо слова „прибавить" пишут прямой крестик. Вместо слова „будет" пишут две черточки ме¬ жду цифрами, вот так (показывает). Повторите, что пишут вместо слова „прибавить"? Что пишут вместо слова „будет"?" Затем по предложению учителя дети пишут пример на сложение со зна¬ ком сложения и знаком равенства. „Напишите: к одному прибавить три — будет четыре". Один ученик пишет на доске, а остальные — в тетрадях. Если ученик затрудняется написать весь пример, то надо написать его по ча¬ стям, вот так: „Что сначала напишете?" (Цифру 1.) „Пишите. Что потом напишете?" (Прибавить.) „Как напишете слово „при¬ бавить"? (Прямой крестик.) „Пишите. Что дальше напишете?" (Цифру 3.) „Пишите. Что дальше напишете?" (Будет.) „Как на¬ пишете слово „будет"? (Две лежачие черточки.) „Пишите. Что дальше напишете?" (Цифру 4.) „Пишите". Затем дети все напи¬ санное ими читают сразу. Далее ученики сами придумывают пример, причем один из них пишет его на доске, а остальные — в тетрадях, учитель же просматривает тетради, ходя между столами. Подобным же образом происходит обучение детей и знаку вычитания. „От 4 палочек отнимите 1 палочку — сколько палочек оста¬ нется?" (От 4 палочек отнять 1 палочку — останется 3 палочки.) „Короче это можно сказать так: от 4 отнять 1—будет 3. Смо¬ трите, дети, как я запишу это. От четырех (пишет цифру 4) от¬ нять (пишет лежачую черточку) один (пишет 1) — будет (пишет знак равенства) три (пишет 3). Смотрите, что я буду показывать, и слушайте, что я буду говорить. От четырех (показывает) от¬ нять один (показывает) — будет (показывает) три (показывает)". Дети читают это. „Что пишут вместо слова „отнять"?" (Вместо слова „отнять" пишут лежачую черту.) Остальное прорабаты¬ вается по примеру знака сложения. 12
Письмо знаков сложения, вычитания и равенства, подобно письму цифр, должно быть аккуратным. Знак сложения надо писать в виде не очень большого пря¬ мого крестика с чертами одинаковой толщины. Знак равенства следует писать двумя равноотстоящими оди¬ наковой толщины чертами, причем не надо очень сближать их и очень отдалять. Такое расположение знака равенства придает странам отчетливость. Что касается знака вычитания, то его нередко изображают или очень длинным или очень тонким. Но такое письмо некра¬ сиво. Знак вычитания следует изображать чертой достаточной толщины и достаточной длины, а при письме по клеткам его надо ставить по середине клетки. Образцы письма цифр и знаков см. на стр. 14, рис. 12. После ознакомления со знаком сложения и со знаком вычита¬ ния в отдельности полезно давать примеры на тот и на другой знак вместе. Делается это так. Учитель пишет на доске, положим, такой пример: 3 + 1 — 3 = 1, и читает его так: „К трем прибавить один, отнять три — будет один". Затем учитель дает детям другие примеры вроде этого; дети читают их. Далее дети сами придумывают такие примеры и пи¬ шут их. Полезно давать детям такие примеры, где цифры одни и те же, а знаки разные, таковы, например, 3+1; 3—1. Это способ¬ ствует более сознательному усвоению знаков действия. Также полезны такие примеры, где знаки действий пропу¬ щены и дети должны сами сообразить, какой знак надо поста¬ вить. Вот образцы таких примеров: 6 1=5 3 1=4 7 1=8 4 1=3 § 5. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ. Этими упражнениями на первых порах имеется в виду пре¬ жде всего приучить детей к арифметическому языку, к арифмети¬ ческому письму и чтению. И это имеет очень важное значение, ибо, как совершенно справедливо замечает Ушинский, „у мно¬ гих детей кажущаяся непонятливость к арифметике зависит от непривычки к арифметическому языку". Кроме того численные примеры являются важнейшим упраж¬ нением для самостоятельных занятий детей и помогают решению задач. Поэтому надо научить детей приемам решения этих при¬ меров. Пусть дан такой пример: 3 + 1 = . Учитель должен, во- первых, предложить детям прочесть его; во-вторых, спросить, сколько будет; в-третьих, написать на доске ответ, т. е. на доске Должно получиться такое равенство: 3+1=4, которое затем читается так: „К трем прибавить один — будет четыре". Пусть дан такой пример: 54-1 4-1 + 1= . Решая его, дети должны говорить так: „Пять и один — будет шесть, шесть и один — 13
будет семь, семь и один — будет восемь*. Этот последний ответ (восемь) они пишут после знака равенства. Все эти упражнения должны производиться при участии учи теля до тех пор, пока дети не научатся правильно читать и ре¬ шать их, а затем можно дать детям самостоятельно решать при меры из задачника. Для первого раза надо давать немного при меров, ибо, помимо правильного решения их, следует обращать большое внимание на аккуратное выполнение письменной ра¬ боты в тетрадях, что имеет воспитательное значение1). / + 2 3 6 9 2 5 X 7 3 5 9 • 9 — 8 1 5 • • 9 2 Рис. 12. При этом надо обращать внимание на следующее: обычно бывает так, что когда дадут детям для самостоятельной работы столбик численных примеров, то дети сначала спишут в свои тетради все эти примеры, а потом приступают к решению их, поэтому нередко случается то, что за недостатком времени дети не успевают решить многих примеров и, таким образом, время уходит не на главное — на вычисление, а на второстепенное — на процесс списывания. Поэтому мы советуем сказать детям, чтобы они списывали в тетради не сразу все примеры, а по одному, по мере решения их, т. е. сначала пусть спишут один пример (одну строчку) и *) При письме между строками цифр следует оставлять одну пустую строчку. 14
Йчас же решают его, потом списывают второй пример и сей¬ час же решают его и т. д. Располагать численные примеры на сложение и вычитание дети должны в строчку, т. е. так: 6+1 = 7 7-1=6 Когда дети приобретут достаточный навык в чтении и реше¬ нии сложных численных примеров, тогда надо читать и решать эти примеры не „по складам*, как это обычно делается, а „гра¬ мотно*. Возьмем такой пример: 2+3+3+2= Читать и решать его надо не так: „К 2 прибавить 3 —будет 5, к 5 прибавить 3 — будет 8, к 8 прибавить 2 — будет 10“, а так: „5, 8, 10“, т. е. называть только результаты сложения двух чисел. Это приучает детей к краткости речи, что составляет один из отличительных признаков математического языка. Когда дети научатся правильно и достаточно быстро писать цифры, а также достаточно быстро складывать и вычитать в пре¬ деле 10, тогда нет необходимости списывать в тетради числен¬ ные примеры, даваемые учителем для самостоятельной работы, а, напротив, в целях экономии времени и места, требовать от детей, чтобы они писали только одни ответы. Это последнее замечание, в целях рационализации работ, чем дальше, тем в большей степени должно выполняться, т. е. не только при изучении первого десятка, но и при изучении даль¬ нейших концентров на протяжении всех лет обучения в начальной школе. Прибавление по 2 советуем вести в таком порядке: 2+ 2, 4 + 2, 6 + 2, 8 + 2, т. е. к четному числу прибавлять по 2, а по¬ том так: 3 + 2, 5 + 2, 7 + 2, т. е. к нечетному числу прибавлять по 2, а не так: 2 + 2, 3 + 2, ..., 8 + 2, т. е. не прибавлять по 2 к числам в их естественном порядке возрастания, как это делает большинство методистов. Мы поступаем так по двум причинам: во-первых, потому, что счет парами (двойками) в большинстве случаев известен детям до поступления в школу, а во-вторых, потому, что если вести прибавление в последовательном порядке, т. е. так: 1 + 2, 2 + 2,..., 8 + 2, то дети, заметив, что ответы следуют Один за другим, т. е. так: 1+2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3=5 и т. д., могут называть их механически, не вычисляя. После такого прибавления надо предлагать детям прибавление вразбивку. Что касается прибавления и отнимания нескольких еди- н и ц, то это сначала выполняется путем постепенного прибав¬ ления и отниманич по единице, а затем путем прибавления и отнимания сразу двух или нескольких единиц. Так, например, 15
чтобы к 5 прибавить 4, сперва можно прибавлять по 1:5-)- 1=б] 6 —}- 1 = 7, 7 1 = 8, 8+1=9, а потом прибавлять по 5 + 2 = 7, 7 + 2 = 9. Если надо к 4 прибавить 5, то можно сделать так: 4 + 2 = 6,4 6 + 2 = 8, 8 + 1=9, или же так: 4 + 4 = 8, 8 + 1=9. Если потребуется к меньшему числу прибавить большее, на-j пример 2 + 8 = 10, то надо научить детей тому, что от перемены! мест слагаемых сумма не изменяется, показав это на наглядных] пособиях или на числовых фигурах, что 2+8 = 8+ 2, т. е. что] к 2 прибавить 8 будет столько же, сколько будет, если к 8 при-| бавить 2. Когда вычитаемое состоит из нескольких единиц, тогда при-j ходится вести счет отнимаемым предметам или единицам. Поясним сказанное примером. Пусть дано от 8 отнять 4. Учи-| тель ведет, приблизительно, такую беседу: „Возьмите 8 кубиков; как вы будете отнимать от них 4 кубика?“ (По 1 кубику.) „От-' нимайте по 1 кубику“. (От 8 кубиков отнять один кубик — оста¬ нется 7 кубиков, от 7 кубиков отнять 1 кубик — останется 6 ку-[ биков, всего отняли 2 кубика; от 6 кубиков отнять 1 кубик — останется 5 кубиков, теперь всего отняли 3 кубика; от 5 куби¬ ков отнять 1 кубик — останется 4 кубика, теперь всего отняли 4 кубика.) „Отнимание от восьми четырех по одному можно вести и ина¬ че, а именно — от 8 кубиков отнять первый кубик — останется 7 кубиков, от 7 кубиков отнять второй кубик — останется 6 кубиков, от 6 кубиков отнять третий кубик — останется 5 ку¬ биков, от 5 кубиков отнять четвертый кубик — останется 4 кубика. Но так отнимать долго. Как поскорее от 8 кубиков отнять 4 кубика?“ (Отнимать по 2 кубика.) „Отнимайте". (От 8 кубиков отнять 2 кубика — останется 6 кубиков, от 6 кубиков отнять 2 кубика — останется 4 кубика.) Сейчас мы указали приемы сложения и вычитания. Эти при¬ емы необходимы, но их недостаточно для прочного и скорого усвоения таблиц сложения и вычитания. Для этого надо позна¬ комить детей с числовыми фигурами, лучше всего, как показали данные экспериментальной дидактики, с числовыми фи¬ гурами немецкого педагога Лая. Эти фигуры следующие (рис. 13); Рис. 13- Поясним на примере, как надо пользоваться этими фигу¬ рами для усвоения сложения и вычитания. Возьмем числовую фигуру 8 (рис. 14). 16
If г»'»-» г Рис. 14. 7 + 1=8 1+7=8 8-1=7 8 — 7 = 1 6 + 2 = 8 5 + 3=8 2 + 6 =8 3 + 5=8 8-2 = 6 8 — 3 = 5 8 — 6 = 2 8—5 = 3 4 + 4 = 8 8 — 4 = 4. Учитель на классных счетах строит числовую фигуру 7. „Сколь¬ ко шариков вы видите?" (7.) „Сколько шариков я прибавил к ним?" (I-) (Учитель прибавляет 1 шарик так, чтобы получилась знакомая числовая фигура 8.) „Сколько шариков теперь вы видите?" (8.) „Сколько же будет шариков — к 7 шарикам при¬ бавить 1 шарик?" Отделив аккуратно карандашом на числовой фигуре 8 семь шариков так, как указано в этой книжке, учитель спрашивает: „Сколько шариков по правую сторону карандаша?" (1.) „Сколько шариков по левую сторону карандаша?" (7). „Сколько всего шариков?" (8.) „Сколько же будет всего шариков—1 шарик да 7 шариков? Что же больше — 7 шариков да 1 шарик или 1 шарик да 7 шариков?" „Сколько шариков я закрыл рукой?" (1.) „Сколько шариков вы видите?" (7.) „Сколько же будет шариков —8 шариков без 1 шарика?" . „Сколько теперь шариков закрыл я рукой?" (7 шариков.) \ „Сколько шариков вы видите? Сколько же будет шариков — 8 шариков без 7 шариков?" „Смотрите на числовую фигуру 8 и отвечайте. Сколько будет всего шариков — 7 шариков и еще 1 шарик? А сколько будет шариков — 8 шариков без 1 шарика? Сколько будет всего шари¬ ков— 1 шарик да еще 7 шариков? А сколько будет шариков — 8 шариков без 7 шариков?" „Сколько будет шариков — 8 шариков без 1 шарика? А сколько будет шариков — 7 шариков да 1 шарик?" „Сколько будет шариков— 8 шариков без 7 шариков? А сколько будет шариков—1 шарик да еще 7 шариков?" По образцу этого прорабатываются и остальные числовые ком¬ бинации на числовой фигуре 8 и на других числовых фигурах. Упражнения с остальными числовыми фигурами можно про¬ делать короче. Возьмем числовую фигуру 9 (рис. 15). „Сколько точек во всей этой фигуре?" (9.) „Сколько точек по левую сторону черты?" (8.) „Сколько точек по правую сторону черты?"(1 ) „Сколько будет — к 8 прибавить 1? К 1 при¬ бавить 8? От 9 отнять 1? От 9 отнять 8?" Рис. 15. § 6. БЕГЛЫЙ СЧЕТ. Одной из. важных целей обучения счислению в начальной •нколе являе^г^3^в|Цт<?Тр#б(^*Э0,йЯ%изводства -действий над числами. 2 ДЛ ВпГ*! Н''°*ИОМ»— I - .1,7 '■ Волковск‘'й.*э*а*ешщ* ^ ' г» - ш - • О.ЯЧ, 1
Весьма полезным средством для достижения этой цели служив так называемый беглый счет. Присутствие его в качестве] полезного элемента в арифметических упражнениях оправдывай ется, во-первых, требованием разнообразия материала, что состав! ляет один из необходимых педагогических принципов, во-вторых! той живостью и той занимательностью, которые доставляет детям] этот род упражнений, и, наконец, в-третьих, важностью устным вычислений, одним из видов которых является беглый счет. | Вот образец таких упражнений: 4-[— 2 — 3 1. 1 Учитель громко, ясно и медленно читает детям на первый порах так: „К четырем прибавить два (остановка), от получен-] ного числа отнять три (остановка), ко вновь полученному числу] прибавить один (остановка). Сколько будет?" ] Потом, когда дети привыкнут к таким вычислениям, можно' короче говорить, а именно так: „К 4 прибавить 2 (остановка)/ отнять 3 (остановка), прибавить 1. Сколько будет?" I Продолжительность остановки (паузы) будет зависеть от бы¬ строты вычисления детей. Сначала учитель берет примеры из 3 чисел (6-}-2— 4), потом' из 4 (3 + 2 + 1—3) и т. д. по мере успешности детей, но не1 более, как из 5 — 6 чисел, ибо большое количество чисел затруд-| ня;т детей. Спросивши ответ у одного, учитель не говорит! „верно" или „неверно", а обращается к остальным детям с вопро¬ сом: „У кого не столько?" Или же: „У кого столько же?" Так поступает учитель с той целью, чтобы не дать возможности неверно сосчитавшим детям повторять ответ с чужого голоса. В случае неверного ответа иногда можно и даже должно заставить неверно ответившего сосчитать вслух. Если, положим, неверно решен такой пример: 8 —2 —- 5 —[— 2, то ведется такая беседа: „Что я сначала сказал?" (К 8 прибавить 2.) „С только будет?" (10.) „Дальше что?" (От 10 отнять 5.) „Сколько будет?" (5.) „Дальше что?" (К 5 прибавить 2.) „Сколько будет?" (7.) Дети в большин¬ стве случаев повторяют такие примеры без затруднения. Беглым счетом следует заниматься по возможности каждый урок, но не более 5 минут, инше дети утомятся, ибо беглый счет требует от детей напряженной умственной работы. § 7. ЗАДАЧИ. Задачи должны брать свое содержание из жизни близкой и понятной для ребенка; материал задач должен быть интересным для детей данного возраста. Но это вовсе не значит, что содер¬ жание задач надо брать только из детской жизни: детей инте¬ ресуют не только их игры и забавы, но и все окружащее их — летящий аэроплан, пашущий трактор и т. д.; их живо интересует то, что делает их мать на фабрике, их семья на сельскохозяй¬ ственных работах в колхозе и т. п. Эти интересы детей надо использовать, чтобы, не ограничиваясь только „детскими" зада¬ чами, развернуть в задачах материал социалистического строитель¬ ства, выбирая из этого материала все доступное, понятное, посиль¬ ное и интересное ребенку. 18
Задачи, как правило, должны сопровождать всю работу по пмфметике; они должны быть использованы для введения в то или иное математическое понятие, дтя у п р а жн ен и я в на¬ выках и, что особенно важно, для применения теоретических знаний на практике. В пределе первого десятка надо решать только простые задачи, т. е. такие, которые решаются одним каким-либо действием, и притом это действие употребляется только один раз. Из нескольких видов (типов| задач, на которых выясняется смысл действия сложения, мы допускаем в пределе первого десятка только один вид задач, а именно такой: когда требуется найти число, равное данным числам, взятым вместе. Например: „В рабочей комнате 3 молотка больших да 5 малень¬ ких. Сколько всего молотков в рабочей комнате?" Из нескольких видов задач, на которых выясняется смысл действия вычитания, надо предлагать только два простей¬ ших вида: 1) Когда надо узнать, сколько останется, если из одного дан-1 ного числа вычесть другое данное число. Например: „У Коли было 8 коп., из них 5 коп. он истратил на тетрадь. Сколько копеек осталось у Коли?" 2) Когда по целому (сумме) и одной из частей (одному из слагаемых) требуется найти другую часть (другое слагаемое). Например: „В два дня дежурило 9 ребят; в один день дежурило 4 человека. Сколько ребят дежурило в другой день?" § 8. ИГРЫ. Математические игры нравятся детям и являются хорошим средством для поддержания интереса детей к занятиям по мате¬ матике. На первом году обучения этим играм надо уделять больше внимания, чем в другие годы обучения. Из многих математических игр мы укажем некоторые: общеизвестная игра в лото, в домино, в спички, в мяч, игра в счет без слов _ или игра в молчанку и др. В.;т игра в молчанку (рис. 1C). Круги с числами чертятся на доске или же на особом листе и кнопками прикрепляются к доске. Учитель молча рукой вызывает учеников по одному к доске, молча указывает те числа, которые надо сложить или над которыми надо сделать вычитание. Вызванный ученик, написав ответ на доске, идет на место, к доске вызывается другой ученик. Если ответ написан неверно, этот пример проделывается другим учеником. Такую игру с кругами надо проделывать в первый и во второй годы обучения, и не только на сложение и вычитание, но на Умножение и деление. Рис. 16. 2* 19
К математическим же играм надо отнести загадки с ч и о- лами и задачи-шутки. Загадки и задачи-шутки нравятся детям, освежают их и раз¬ вивают в них находчивость и сообразительность. § 9. ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ОТДЕЛЫ. В конце каждого раздела необходимо повторение этого раз¬ дела, за которым следует учет работы. Примеры для повторения должны заключать в себе: 1) все существенные моменты пройденного, 2) расположение материала] в постепенно нарастающей трудности, 3) связь между частями. Вот образцы для повторения сложения и вычитания в пре¬ деле 10: 1) 2 + 1 = 1+2 3-1 3 — 2 2) 6+1 = 1+6 7—1 7-6 3) 3+2: 2 + 3 5—2 5 — 3 4) 7 + 2 = 2 + 7 9 — 2 9 — 7 5) 5 + 3 = 3 + 5 8 — 3 8-5 6) 6 + 4 = 4 + 6 10-4 10-6 3+ 1 = 1 + 3 4—1 4 — 3 7+1 = 1+7 8 — 1 8-7 4 + 2 = ' 2 + 4 6-2 6 — 4 8 + 2 = 2 + 8 10 — 2 10 — 8 6 + 3 = 3 + 6 9 — 3 9 — 6 2 + 2 = 4-2 2 + 3 6 — 3 4 + 1 = 1 + 4 5- 1 5 — 4 8+1 = 1+8 9—1 9 — 8 5 + 2 = 2 + 5 7-2 7 — 5 3+3 = 6 — 3 4+4 8-4 7+3 = 3 + 7 10 — 3 10-7 4 + 4 = 8 — 4 5 + 5 10-5 5 + 1 = 1+5 6-1 6-5 9 + 1 = 1+9 10-1 10-9 6 + 2 = 2 + 6 8 — 2 8-6 4 + 3 = 3+4 7-3 7 — 4 5 + 4 = 4 + 5 9 — 4 9 — 5 -Н Ь2Н Ь3= 7—2—3= 8+2 - -3 = 4-J -3- -2 7-3 — 2 8 — 3 + 2 ЗН -2- -4 7-2-4 8+'2 - - 4 2- -4- -3 7 — 4 — 2 8 — 4-| \-2 3- -4- -2 7 — 2 — 5 8 — 3- -5 2- -3- -4 7 — 5 — 2 8 — 5- -3 С целью экономии времени, сил и места списывать при¬ меров не надо, а писать только одни ответы. 20
§ 10. УЧЕТ РАБОТЫ. Одной из форм учета являются контрольные письменные ра¬ боты, основная цель которых — подвести итоги работы и опреде¬ лить качество усвоения материала. Чтобы контрольные работы достигли лучших результатов, необходимо: 1. Давать контрольные работы по возможности чаще, лучше всего по прохождении каждого раздела, ибо при этом условии учителю лучше следить за продвижением класса в целом и каждого учащегося в отдельности и учащемуся следить за своим пгодвижением. 2. Чтобы контрольные работы заключали в себе существен¬ ные моменты пройденного. 3. Располагать материал в постепенно возрастающей трудности. 4. Обращать внимание не только на правильность, но и на скорость выполнения учетной работы детьми. Но здесь не надо впадать в крайность, ибо гонка за скоростью во чтобы то ни стало может повредить правильности выполнения работы. Время, отводимое для учета, должно быть в среднем для 1-го и 2-го классов не больше, как по 20 минут, для 3-го и 4-го классов не больше, как по 30 минут. Иначе дети утомляются, и учет теряет свою ценность. Учет должен начинаться и кончаться в одно время для всех учащихся. 5. Все примеры каждого учета учитель до урока пишет на доске. До начала учета эти примеры не показываются детям. 6. Необходимо делать анализ проверенных работ. Это дает учителю возможность узнать, кто какие ошибки и сколько сделал. А это, в свою очередь, дает учителю возможность правильно планировать и организовать дальнейшую работу учащихся. Учет знаний и умений детей надо производить на численных примерах и на задачах. Для повседневной практики одних контрольных работ недо¬ статочно: необходимо приучать детей к самопроверке. Само¬ проверка имеет воспитательное значение, ибо в жизни часто приходится проверять то или другое вычисление. Поэтому надо достигнуть того, чтобы самопроверка вошла у детей в привычку. Самопроверка происходит при помощи ответов, помещенных в учебнике, или же учитель сам дает детям ответы к решенным ими численным примерам и задачам, главным образом сложным и трудным, но посильным для детей. Но и этой самопроверки недостаточно для надлежащего учета работы детей: педагогу необходимо возможно чаще лично прове¬ рять работу каждого учащегося, а для этого необходимо делать проверку вне урока, беря тетради детей на дом. Правда, это несколько усложняет работу педагога, но зато через это достига¬ ются лучшие результаты. Чтобы проверка достигла лучших результатов, необходимо производить анализ проверенных работ. Анализ этих работ даст Учителю возможность лучше знать достижения и ошибки детей, 21
а, следовательно, дает возможность правильно планировать дал нейшую работу по математике1). Приведем несколько образцов учета работы. Вот материал для учета на сложение и вычитание в пределе 10 Сложен ие: 1- -2 = 5- -2 = зц -3 = 6- -4 = 5- -5 = 4- _2 7- -2 5- -3 3- -4 2- -6 6- -2 2- -3 7- -3 5- -4 4- -6 8^ -2 4- -3 2- -4 2- -5 3- -6 3- -2 6- -3 4- - 4 4- -5 2- -7 3 + 7 = 2 + 8 Вычитание: 2) 4 — 2 = 5 — 2 = 8- 3 = 6 — 4 = 9-4 = 9 — 5 6-2 7 — 2 10-3 8—4 6 — 5 8-6 8 — 2 9 — 2 5 — 3 10 — 4 8 — 5 10-6 10 — 2 4 — 3 7 — 3 5 — 4 10 — 5 3 — 2 6 — 3 9-3 7-4 7-5 3) 7 — 6 = 8 — 7 = 9-7 = 10 — 8 = 9 — 6 10 — 7 9 — 8 10-9 При учете с целью экономии сил, времени и места списывать примеров не надо, а надо писать только одни ответы. II. ЧИСЛА ВТОРОГО ДЕСЯТКА. Основания для выделения в особый концентр чисел второго десятка следующие: первое основание состоит в том, что в этом концентре дети впервые встречаются с десятичным составом чисел (с десятичной системой счисления); в пределе первого десятка дети знаке мились только с простыми единицами. Здесь дети впервые знакомятся с арифметическими действиями в соб¬ ственном смысле. А раз так, то является возможность и целесо¬ образность пользоваться при производстве действий приемами вычисления, основанными на разложении чисел на десятичные группы. Так, например, зная, что 14 состоит из 10 и 4, ученик вычтет 8 из 14 так: сначала отнимет 4, чтобы получить полный десяток (ибо так легче), а потом от 10 отнимет 4 и получит 6. Второе основание заключается в том, что в пределе чисел второго десятка заканчиваются таблицы сложения и вычи¬ тания, которые служат основой последу юших ступеней сложения и вычитания, равно как и таблиц умножения и деления. Третьим основанием являются особенности нумерации чи¬ сел второго десятка. Будучи составными, эти числа представляют собой особенность сравнительно с последующими составными числами первой сотни в том отношении, что в числах второго десятка (от II до 19 включительно) название единиц стоит ранее т) Высказанные здесь соображения об учете относятся и к проверке всех других разделов работы. 22
названия десятков (один-на-дцать, две-на-дцать,..., девят-на-дцать) и притом сливается с ним в одно слово, тогда как в последующих составных числах, начиная с 21, название единиц стоит после названия десятков и притом составляет два отдельных слова /двадцать один,..., двадцать девять; тридцать один,..., тридцать девять и т. д.). И, наконец, названия чисел первого десятка — простые ко¬ ренные слова, а названия чисел второго десятка — сложные, производные. Название этих чисел, их состав и их связь с названием чисел первого десятка должны быть объяснены детям, чтобы дети сознательно усвоили эти названия. § И. НУМЕРАЦИЯ ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛЕ 20. 1. Одним из важных вопросов нумерации чисел второго де¬ сятка является вопрос об образовании чисел от 11 до 20 соединением отдельных двух чисел. Этот вопрос прорабатывается так. а) „Возьмите 10 палочек, свяжите их в пучок; возьмите еще одну палочку. Сколько всего палочек вы взяли?" б) „Как назвать число в котором 1 десяток и 1 единица?" в) „Как назвать число, в котором 1 единица и 1 десяток?" г) „Произнесите это слово в три приема так: один-на-дцать". д) „В слове „одиннадцать" вместо какого слова употреблено „на?" (Вместо „да", „и".) „Вместо какого слова употреблено „дцать"?" (Вместо „десять".) То же самое, что с числом 11, проделывается с числами, на¬ чиная с 12 и кончая 19. 2. Другим важным вопросом нумерации является вопрос о разложении чисел второго десятка на десятичные группы, т. е. знание того, из скольких десятков и, сверх того, из сколь¬ ких единиц состоит каждое из чисел второго десятка. Если дети затрудняются ответить на вопрос, из скольких десятков и, сверх того, из скольких единиц состоит, допустим, число 13, в этом случае учитель употребляет такой прием: пред¬ лагает детям взять 13 палочек, из них 10 связать в пучок, и затем ведет такую беседу: „Десять палочек, связанных в пучок, как по- другому называются?" (Десятком.) „Сколько палочек осталось несвязанными?" (3 палочки.) „Как сказать, из скольких десятков и из скольких единиц состоит число 13?" (Число 13 состоит из I десятка и из 3 единиц.) При изучении нумерации чисел второго десятка учитель дол¬ жен обратить внимание детей на то, что при назывании чисел от II до 19 включительно сначала выговариваются единицы, а потом десяток, при письме же этих чисел, наоборот, сначала пишется Десяток, а потом — единицы. Путем сопоставления этого противоположения в названии и начертании чисел дети сознательнее, а следовательно и проч¬ нее усваивают устную и письменную тмерации чисел второго Десятка. Объяснить это детям можно приблизительно так. 23
„В слове .двенадцать" вы слышите название сначала чего — единиц или десятка?" (Сначала слышим название единиц — .две", а потом десятка — .дцать".) „А напишете цифрами сначала что — 2 единицы или 1 десяток?" .Еще в каких словах вы слышите сначала название единиц, а потом десятка?" (Тринадцать,..., девятнадцать.) „А напишете цифрами в этих числах сначала что — единицы или десяток?" При изучении устной нумерации, помимо упражнений в составе чисел из десятичных групп и в разложении чисел на десятичные группы, необходимы такого рода упражнения: 1) Считайте подряд: а) от 11 до 20; б) от 1 до 20. 2) Считайте обратно: а) от 20 до 10; б) от 20 до 1. 3) Считайте так: первый, второй,..., двадцатый. 4) Какое число следует за 2, 12? 4, 14? 6, 16? 18? 13? 5) Какое число находится перед 5, 15? 7, 17? 3, 13? 20? 16? 6) Какое число находится между 2 и 4, 12 и 14? 5 и 7, 15 и 17? § 12. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. Сложение и вычитание в пределе чисел второго десятка, по* добно сложению и вычитанию в пределе первого десятка и по тем же основаниям, лучше всего проходить совместно (см. стр. 10). Совместное прохождение сложения и вычитания удобнее всего разделить на две главные ступени: 1) Сложение и вычитание чисел второго десятка без пере¬ хода из одного десятка в другой (например: 10 + 4; 13+2; 5 + 12; 12 — 2; 16 — 4; 15— 10; 16— 12). 2)Сложение ивычитание с переходом из одного десятка в другой (например: 8 + 4; 15 — 7), Сложение и вычитание без перехода из одного десятка в другой. На этой ступени считаем наиболее целесообразным следующий распорядок упражнений: 1. а) 10+4; т. е. когда к полному десятку прибавляется несколько единиц. Этот случай сложения — самый легкий, ибо он находится в самой тесной связи с нумерацией: раз дети хоро- ' шо знают, что 14 состоит из 1 десятка и 4 единиц, то для них ничего не стоит сразу сказать, сколько будет 10 и 4. К этому же виду надо отнести и обратный случай сложения, т. е. когда надо к однозначному числу прибавить полный десяток (например: 6+10). Этот случай точно так же не затрудняет детей. А если бы и произошло это, то можно переставить слагаемые, что уже известно детям из предыдущего. б) Этому случаю сложения соответствует тот случай на вычита¬ ние, когда от двузначного числа, состоящего из десятка и единиц, отнимаются все единицы до полного десятка (напри¬ мер: 16—6 = 10). Это — самый легкий случай вычитания, ибо он | всецело основывается на знании того, что 16 состоит из 1 десятка и сверх того из 6 единиц. Если бы дети почему-либо затруд¬ нились сразу вычесть 6 из 16, то надо поступить так: .16 со¬ стоит из скольких десятков и сверх того из скольких единиц?" 24
(16 состоит из одного десятка и сверх того из 6 единиц.' Сколько же будет 16 без 6?“ (16 без 6 будет 10.) Сюда же надо отнести и тот случай вычитания, когда вычи¬ таемое есть 10 (например: 17—10). 2. а) 16 + 3; 4 + 12, т. е. к двузначному числу, состоящему из 1 десятка и нескольких единиц, надо прибавить однознач¬ ное и наоборот. ‘ Ближайшей подготовительной ступенью к этому случаю сло¬ жения является сложение в пределе 10. Поэтому весьма полезно предварять таким сложением этот случай сложения в пределе 20. Так, например, прежде чем сложить, допустим, 14 и 2, надо сначала сложить 4 и 2, а потом к 10 прибавить б. Если дети почему-либо затрудняются и так сложить, то надо поступить следующим образом: „В числе 14 сколько десятков и сверх того сколько единиц?" (В числе 14 один десяток и сверх того 4 единицы.) „Зная это, как же сложите 14 и 2?“ (Сначала сложить 4 и 2 — будет 6, потом сложить 10 и 6 — будет 16.) б) Когда от двузначного числа, состоящего из десятка и единиц, надо отнять несколько единиц, причем число отдельных единиц уменьшаемого больше вычитаемого. Например: 18—6. Сначала надо решать этот пример, не трогая десятка, т. е. таю 1) 8 — 6 = 2; 2) 10 + 2 = 12, а потом дети сразу отнимают подобные числа от всего числа. Подготовительной ступенью к этому служат следующие упраж¬ нения: 1) 5—2; 2) 15—2, т. е. сначала от однозначного числа отнимается однозначное число, а потом от двузначного числа, в котором число отдельных единиц (5) столько же, сколько и в уменьшаемом 1-го примера (5—2), а вычитаемое одно и то же (2). Если дети затрудняются так сделать, то надо поступить следу¬ ющим образом: „18 состоит из скольких десятков и сверх того из скольких единиц?" (18 состоит из 1 десятка и сверх того из 8 единиц.) „Зная это, как вы будете отнимать 6 от 18?" (От 8 отнять 6 — будет 2.) „Дальше что сделаете?" (К 10 прибавить 2—будет 12.) „Итак, от 18 отнять 6, сколько будет?" Надо достигнуть того, чтобы при решении таких примеров дети сразу отвечали, сколько будет. Если бы и этот прием почему-либо затруднил детей, то можно показать на палочках. Связав на глазах учеников 10 палочек в 1 пучок и приложив к нему 6 отдельных палочек, учитель ведет приблизительно такую беседу: „Вот здесь (показывая на 16 па¬ лочек) сколько всего палочек? Как вы отнимете от них 4 палочки? Будете ли вы развязывать пучок в 10 палочек?" (Нет, не будем.) „А от чего же вы отнимете 4 палочки?" (От 6 палочек.) „Сколь¬ ко палочек останется?" (2 палочки.) „А всего сколько палочек останется, когда вы .отнимете от 16 палочек 4 палочки?" (12 па¬ лочек.) „Когда вам дано от 17 отнять 5, будете ли вы трогать десяток?" (Нет, не будем.) „Как же вы отнимете 5 от 17?" (От 7 отнять 5 — останется 2, всего останется 12.) 3. а) 16 + 4, т. е. составление суммы, равной 20, которая образуется из двух чисел — из двузначного числа, состоящего #з 1 десфт.дц с несколькими единицами, и однозначного числа. 25
Этот случай, строго говоря, есть частный вид предыдущего случая на сложение (16 2); однако мы его выделяем, ибо он дается труднее детям, чем предыдущий случай. Это проделывается так: сначала складываются единицы (6 + 4 = 10), а потом десятки ^10 -f-10=20). б) 20—4, т. е. из 20 вычесть однозначное число. Если дети затрудняются сразу сделать это, то надо поступить так: 10— 4 = 6; 2) 10 + 6 = 16. 4. От двузначного числа надо отнять двузначное число. а) Например: 14 —12. Сначала это делается так: 1) 14 —10 = 4, 2) 4 — 2 = 2, а потом обращается внимание детей на то, что число десятков одинаково и у того числа, из которого вычитаем, и у того числа, которое вычитаем, а поэтому надо только из единиц вычесть единицы, т. е. от 14 — 12 = 4 — 2=2. б) 20—14, т. е. из 20 вычитается двузначное число. Делается это сначала так: 1) 20—10=10. 2) 10 — 4 = 6, а потом дети сразу вычитают одно число из другого. Сложение с переходом из первого десятка во второй. Это самый трудный и самый важный случай на сложение в пределе чисел второго десятка. Поэтому на него надо обра¬ тить особое внимание. Подготовительной ра¬ ботой к этому случаю служат следующие упражнения. 1. На числовых фигурах. Пусть дана чи¬ словая фигура (рис. 17). „Сколько в этой числовой фигуре черных кружочков? Сколько белых кружочков? Сколь¬ ко кружочков по левую сторону черты?” (10.) „Сколько кружоч¬ ков по правую сторону черты?" (2.) „Сколько всего кружочков?" (12.) „Как легче к 9 кружочкам прибавить 3 кружочка? Сколько кружочков вы прибавите сначала?" (1 кружочек.) „Почему же сначала надо прибавить один кружочек, а не 2 и не 3?" (Потому что мы тогда полечим десять.) „А почему надо получить сначала непременно 10?" (Потому что к 10 легко прибавить остальное.) „Дальше, сколько кружочков надо прибавить?" (2.) „Как вы узнали, что потом надо прибавить 2 кружочка?" (От 3 отнять 1 — будет 2.) Затем после ряда таких упражнений дети обыкновенно сразу разбивают второе слагаемое на 2 числа, т. е. на вопрос учителя: „Как вы прибавляете 3 кружочка к 9 кружочкам?" дети отвеча¬ ют: „Сначала прибавим 1; потом к 10 прибавим 2". Ввиду этого и вопрос: „Как вы узнали, что потом надо прибавить 2 кружочка?" является впоследствии лишним. 2. На отвлеченных числах. 1. 9+? = 10. Цель подобных упражнений — научить детей дополнять до 10, что необходимо для сложения двух однозначных чисел, сумма которых превы¬ шает 10. Дети должны это делать сразу и безошибочно.. 26 • • % • • • • • • О Гис. 17.
2. Предлагаются такие примеры, где даны 3 слагаемых, при¬ чем при сложении первых двух слагаемых получается полный десяток; например: 8-|-2-(-1. 3. Предлагаются такие же примеры, как и в первом случае, а затем два последних слагаемых заменяются одним; например: 8 -j— 2 —2 == 8 —|— 4 = ? Чтобы обратить внимание детей на замену двух последних слагаемых в левой части равенства (2 —|- 2) одним слагаемым в правой части равенства, можно сперва подчеркнуть эти числа, а потом предложить следующие вопросы: „Когда вы к 8 прибавите 2, к полученному прибавите еще 2, то как сказать по-другому: сколько всего прибавите вы к 8?“ (4.) „Сколько же будет 8 да 4? Как же вы прибавите 4 к 8, если вы сразу не можете сказать, сколько будет?" (Сначала прибавим 2.) „Почему прибавите 2, а не 1 и не 3?“ (Чтобы получить полный десяток.) „А потом сколько прибавите?" (2.) Вычитание с переходом из второго десятка в первый. Подобно сложению с переходом из первого десятка во вто¬ рой, этот случай вычитания самый трудный и важный из всех случаев вычитания в этом пределе, а потому на него надо обра¬ тить особенное внимание. Подготовительной работой к этому случаю служат следующие упражнения. 1. На числовых фигурах. Пусть дана числовая фигура (рис. 18). „Сколько в этой числовой фигуре черных кружочков, белых кружочков? Сколько кружочков по левую сторону черты? Сколько кружочков по правую сторону черты? Сколько всего кружочков? Как легче от 15 кружочков отнять 7 кружочков? Сколько кружочков вы отнимете сначала?" (5 кружочков.) Если дети не ответят на этот вопрос, то надо сказать: „Отнимите сначала белые кружочки по правую сторону черты. От 15 кружочков отнять 5 кружочков, сколько кружочков останется? Почему же надо отнять сначала 5 кружочков, а не 1, 2, 3, 4 или 6? А почему надо псл\чить 10, а не другое число?" (Потому что от 10 легко отнять остальное.) „Дальше, сколько кружочков надо отнять?" (2 кружочка.) „Как вы узнали, что потом надо отнять 2 кружоч¬ ка?" (От 7 кружочков отнять 5 кружочков — останется 2 кру¬ жочка.) Затем после ряда таких упражнений дети обыкновенно еразу разбивают вычитаемое на два слагаемых, т. е. на вопрос учителя: „Как вы отнимете 7 от 15?" дети отвечают: „Сначала отнимем 5; потом от 10 отнимем 2 — останется 8". Ввиду этого и вопрос: „Как вы узнали, что потом надо отнять 2 кру¬ жочка?" является впоследствии лишним. „Сколько будет 10 без 2?" (8.) „Итак, как вы отняли от 15 кружочков 7 кружочков?" (Сначала отняли 5 кружочков — получилось 10 кружочков; потом От Ю кружочков отняли 2 кружочка — получилось 8 кружочков.) 2. На отвлеченных примерах. 1) Предлагаются такие приме¬ ры, где дано вычесть два числа, причем от вычитания первого 27 • • • • о о о о е е • е о о о 1 Рис. 18.
числа получается полный десяток, например: 12— 2— 1 = ?2) Пред¬ лагаются такие же примеры, как и в первом случае, а затем оба Еычитаемых заменяются одним числом, например: 16 — 6 — 2 = = 16-8. Можно указать и другой способ вычитания для этого случая, а именно: разложение уменьшаемого на десятичные группы. Пусть дано: 12 — 5. Надо: 1) 12=10 + 2; 2) 10-5 = 5; 3) 5 + 2 = 7. Кроме числовых фигур хорошим наглядным пособием для объяснения сложения и вычитания с переходом через десяток слу¬ жат палочки. Пусть дано: 8 + 5. Дети кладут в одну кучку 8 палочек, в другую — 5. Из второй кучки берут 2 палочки, кладут их в пер¬ вую кучку, чтобы получить полный десяток; связывают 10 пало¬ чек в пучок; прибавляют к ним оставшиеся 3 палочки во второй кучке и таким образом находят требуемую сумму 13. Для выяснения вычитания поступают так. Пусть дано: 13 — 5. Дети берут 13 палочек, связывают 10 палочек в пучок, кладут рядом с пучком 3 палочки, от 13 палочек отнимают сначала 3 палочки, затем развязывают пучок и берут из него еще 2 палочки, остается требуемое число 8. Но можно сделать и так: развязать пучок, взять из него сразу 5 палочек, останется 5 палочек, к ним прибавить нетронутые отдельные 3 палочки, всего получится 8 па¬ лочек. Задачи на сложение и вычитание. Кроме указанных в пределе первого десятка видов (типов) задач, уясняющих смысл действия сложения и вычитания, свое¬ временно познакомить ребят с задачами и численными примерами, выраженными в косвенной форме. Эти задачи выясняют и углубляют понятие о различных видах сложения и вычитания. Задачи и численные примеры на сложение, выраженные в косвенной форме. Ввиду важности и сравнительной трудности этих задач следует обратить на них особое внимание в этом отделе. Иногда бывает, что дети подобные задачи решают не сложением, как то следовало бы делать, а вычитанием, ибо в условии задачи даются выражения, говорящие о вычитании, как-то: „осталось", „продал", „ушло" и пр. Для наведения детей на пра¬ вильный путь решения таких задач можно употребить следую¬ щий прием. Пусть дана задача: „Ваня заплатил за хлеб 12 коп., после покупки у него осталось 8 коп. Сколько денег было у Вани?" „Если Ваня заплатил за хлеб 12 коп., то эти деньги были у него?" (Были.) „Кроме того, у него осталось 8 коп., а эти деньги были у него с самого начала?" (Были.) „Как же узнать, сколько всего денег было у него?" (К 12 коп. прибавить 8 коп. — будет 20 коп.) После решения таких задач надо упражнять детей в решении примеров, выраженных в косвенной форме. Пусть дан пример: ? —8 = 6. Дети должны читать его так: „От какого числа надо отнять 8, чтобы осталось 6", а решать так: „К 8 прибавить 6 — будет 14“ или же: „К 6 прибавить 8—будет 14". 28
Полезно также заставлять записывать такие примеры со слов учителя и тотчас же решать их. Пусть прочитан учителем такой пример: „От какого числа надо отнять 7, чтобы получилось 6?* Один из учеников на доске, а остальные в тетрадях должны за> писать это так: ? — 7 = 6 и затем решить: „К 7 прибавить 6 — будет 13“, записав это так: 7-|-6=13. Задачи и численные примеры на вычитание, выраженные в косвенной форме. 1. Первый вид этих упражнений следующий: а) На задаче: „У мальчика было несколько копеек; когда он получил от отца еще 5 коп., то у него стало всего 20 коп. Сколько денег было у мальчика?" В этой задаче дано сложение, а решать ее надо вычитанием. Если дети затрудняются решать эти задачи, то надо употре¬ бить такой прием: „Когда у мальчика стало всего 20 коп.?" (Когда он получил от отца еще 5 коп.) „А раньше эти 5 коп. были у него?" (Нет, не были.) „Как же узнать, сколько копеек было раньше у мальчика?" (От 20 коп. отнять 5 коп. — будет 15 коп.) б) На отвлеченном примере: ? —5 = 15. Пример этот читается так: „К какому числу надо прибавить 5, чтобы получить 15?" 2. В этом виде упражнений можно различить следующий подвид. а) На задаче: „На столе лежало 7 ручек; когда на него положили еще несколько ручек, то всех ручек на столе стало 12. Сколько ручек положили на стол?" б) На отвлеченном примере: 7 -f-? = 12. Читаем этот пример так: „Сколько надо прибавить к 7, чтобы стало 12?" В этом виде упражнения (7-f-?=12), так же как и в пер¬ вом (? 4- 5= 15), дано сложение, а решать вопрос надо вычи¬ танием. В случае затруднения прием решения этой задачи такой: „Сколько на столе лежало ручек?" (На столе лежало 7 ручек.) „А сколько ручек стало на столе?" (На столе 12 ручек.) „Когда на столе стало 12 ручек?" (Когда на него положили еще несколько ручек.) „А раньше на столе было несколько этих ручек?". (Нет, не было.) „Как же узнать, сколько ручек положили на стол?" (От 12 отнять 7 — будет 5.) Если дети на вопрос: „Как узнать, сколько ручек положили на стол?" ответят: „К 7 прибавить 5 — будет 12", то надо упо¬ требить такой же прием, какой был употреблен при решении задачи на первый вид „о деньгах". 3. Второй вид упражнений, выраженных не в основной фор¬ ме, следующий: а) На задаче: „В шкафу было 15 ножниц, когда из него взяли несколько ножниц, то в нем осталось 6 ножниц. Сколько нож¬ ниц взяли из шкафа?" б) На отвлеченном примере: 18 — 7 — 7. Читается этот пример так: „Сколько надо отнять от 18, чтобы получить 7?" В этом виде упражнений даны уменьшаемое и остаток (кото¬ рый в вопросах, выраженных в основной форме, есть искомое), а вычитаемое является искомым, тогда как в вопросах, выра¬ женных в прямой форме, оно является данным. После задач 2 j
первого вида, выраженных в косвенной форме, решение задач этого вида не представляет затруднения для детей. В случае затруднения прием решения задач этого вида такой же, как и первого вида. 4. К примерам, выраженным в косвенной форме, следует от¬ нести упражнения, как говорят немцы, на разложение чисел. Вот образец этих упражнений: 16 = 12 ? Читается этот пример так: „16 равно 12 и какому числу?", а решается так: 16—12 = 4. 5. Можно показать еще такой вид упражнений, выраженных в косвенной форме: 15 = 20 — ? Пример этот читается так: „15 равно 20 без какого числа?", а решается так: 20—15 = 5. Полезно заставлять детей записывать под диктовку такие при¬ меры и тотчас же решать их. Понятия: „больше на столько-то“, „меньше на столько-то"1). 3iH понятия целесообразно выделить в особую группу. Что¬ бы они были лучше усвоены детьми, надо заменять их более понятными: вместо „больше на столько-то" говорить „л и ш не го столько-то", вместо „меньше на столько-то" говорить „н ехва¬ та ет столько-то". Выяснение этих понятий надо вести непременно на нагляд¬ ных пособиях, примерно, так. „Вот у меня на правой стороне стола 4 кубика и на левой стороне столько же (сколько же именно кубиков на левой сто¬ роне?), потом я кладу на левую сторону стола еще 2 кубика. Поровну ли кубиков на обеих сторонах сточа теперь?" (Нет, не поровну.) „На какой стороне больше кубиков? На сколько больше?" Если это выражение затрудняет детей, то надо спро¬ сить: „Сколько лишних кубиков на левой стороне? Почему на левой стороне стола больше кубиков, чем на правой?" (По¬ тому что мы положили на левую сторону лишних 2 кубика.) Вместо „два лишних кубика" по-другому можно сказать: „На два кубика больше": То же самое проделывают дети под руководством учителя на других наглядных пособиях (на шариках счет, на палочках и т. п.). Затем надо давать детям задачи вроде следующей: „Одному мальчику дали 12 листов бумаги, а другому дали сначала столь¬ ко же да потом 3 листа лишних. У кого из них больше листов и на сколько больше?" „Почему у второго мальчика листов больше, чем у первого?" (Потому что ему дали лишних 3 листа.) Когда дети хорошо усвоят понятие „на столько-то больше", тогда надо перейги к усвоению понятия „на столько-то меньше". Объяснение ведется приблизительно так: „Вот на правой сто¬ роне стола 5 кубиков и на левой стороне столько же. Я беру с левой стороны стола 2 кубика. Поровну ли кубиков на каждой стороне стола теперь? На какой стороне больше кубиков? На какой меньше? На сколько кубиков на правой стороне !) В случае затруднения знакомство с этими понятиями надо отнести к раз¬ делу „Числа в пределе 100*. 30
больше, чем на левой? Сколько кубиков нехватает теперь на левой стороне? На сколько кубиков на левой стороне меньше, чем на правой? Почему на левой стороне меньше кубиков, чем на правой?" (Потому что на левой стороне сначала было столько кубиков, сколько на правой, а потом мы взяли с левой сто- *оны 2 кубика.) Затем предлагаются задачи с этими выражениями, причем для лучшего усвоения эти выражения сопоставляются. Решать задачи на первое время надо так. Пусть дана задача: „У Пети в тетради 15 рисунков, а у Бори на 3 рисунка больше. Сколько рисунков у Бори?" „Что это значит, что у Бори рисунков на 3 больше, чем у Пети?" (Это значит, что у Бори столько же рисунков, сколько и у Пети, т. е. 15 рисунков да еще 3 рисунка лишних.) „Сколько же рисунков у Бори? Как вы узнали (сделали) это?" (К 15 прибавить 3 — будет 18.) „Как записать это?" Один из учеников пишет на доске, а остальные в тетрадях: 15 + 3 = 18. Возьмем задачу, где дано выражение „на столько-то меньше": „Петя сделал 15 флажков, а Оля на 6 флажков меньше. Сколько флажков сделала Оля?" „Что это значит: у Оли на 6 флажков меньше?" (Это значит, что у Оли нехватает 6 флажков.) „Сколько же флажков у Оли? Как вы узнали (сделали) это?" (От 15 флаж¬ ков отнять 6 флажков — будет 9 флажков.) „Как записать это?" (15-6 = 9.) Когда дети освоятся с этими выражениями, следует ограни¬ читься обычным вопросом, какой предлагается при решении про¬ стых задач: „Как узнать (сделать) это?" § 13. УМНОЖЕНИЕ. 1. Так как на данной ступени умножение можно рассматри¬ вать только как сокращенное сложение равных слагаемых, необходимо сперва упражнять детей в счете равными группами; лучше всего начать со счета двойками, как самого легкого и са¬ мого распространенного в жизни, а затем итти в таком порядке: счет пятерками, счет тройками, счет четверками, счет шестерками, счет семерками, счет восьмерками и девятками. 2. Для уяснения мысли об умножении, как о сокращенном сложении, необходимо начинать с таких примеров, где не 2 оди¬ наковых слагаемых (2 + 2; 3 + 3; 4 + 4; 5 + 5), а 4 или 5, по¬ том 3 и, наконец, 2, ибо если взять 2 одинаковых слагаемых, то у дегей не явится мысли о пользе замены сложения умноже¬ нием, если же взять 4 или 5 равных слагаемых, то дети „во¬ очию" убедятся в удобстве замены в этом случае сложения умно¬ жением, и для них ярче выступят особенности сложения и умно¬ жения. 3. Как начинать обучать умножению, поясним примерным уроком. „Возьми 2 кубика, еще 2 кубика, еще 2 кубика, еще 2 кубика и еще 2 кубика и клади всякий раз на стол недалеко друг от Друга; сосчитай, сколько всего кубиков будет, и запиши то, что 31
Ты прибавлял, и Сколько будет". (2-j— 2-f-2 + 2 + 2 — 10.) Такова должна быть запись со стороны детей. „По скольку кубиков каждый раз ты брал?“ (По 2 кубика.) „Сколько раз ты брал по 2 кубика?" (5 раз.) „Сколько же будет 2 кубика взять 5 раз?" (2 кубика взять 5 раз — будет 10 куби¬ ков.) „Как прочитать эту запись: 2 —2 —J— 2 —2 2 = 10?“ (2 да 2 да 2 да 2 да 2 будет 10.) „Так читать долго. Это можно про¬ читать короче: два взять пять раз будет десять. Это можно и записать короче: 2X5=10". (Учитель читает эту запись, пока¬ зывая пальцем на каждый читаемый знак и выделяя голосом слово „взять" и указкой знак умножения.) „Подробно мы писали с по¬ мощью прямого крестика: 2 —|— 22 —22= 10, а кратко — с помощью косого крестика1): 2X5 = 10. Запомните: косой крестик читается так: взять или же повторить. Прочтите эту запись". (2 взять 5 раз — будет 10.) „Прочтите по-другому". (2 повторить 5 раз — будет 10.) „Запишите подробно и кратко: 2 взять 4 раза, 2 взять 3 раза и т. п." После нескольких упражнений под руководством учителя уче¬ никам даются для самостоятельной работы примеры на сложение, которые должны быть заменены примерами умножения, и наобо¬ рот: примеры умножения должны быть заменены примерами на сложение. Вот образец таких примеров: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2Х5. 2Х5 = 2 + 2-[-2 + 2 + 2. Этими упражнениями имеется в виду сделать ясным для детей связь умножения со сложением. Эти примеры даются также с тою целью, чтобы дети лучше усвоили новые выражения „взять" и „повторить" (выражение „умножить" как не детское на этой сту¬ пени преждевременно), а также знак умножения. 4. Помимо этого указанные упражнения способствуют укреп¬ лению в детях умения добывать табличные результаты, если они будут забыты. Так, например, забыв, что 2X5=10, но зная, что эго равенство означает то же самое, что и равенство Знак умножения пишется двояко: или в виде косого креста, или в ви¬ де точки. Исторически знак умножения в виде косого креста появился ранее точки, и косой крест дети делают лучше, чем точку; при письме точки чернилами дети нередко делают „кляксы". Поэтому в первые два года обучения надо приучать детей писать знак умножения в виде косого креста, а с третьего года обучения можно вводить и точку, причем точку удобно ставить при умножении только отвлеченных чисел. Что же касается умножения именованных чисел, когда при сокращенной записи наименований ставится точка, то в этом случае точка как знак умножения выступает недостаточно четко и ясно, а потому и употреблять ее в данном случае не на^о. Так, вместо записи: 4 коп.-3=12 коп. следует употреблять такую запись: 4 коп.ХЗ = 12 коп. При письме косого креста по клеткам дети нередко проводят диагонали квадрата, что делает письмо знака ум¬ ножения нечетким. Поэтому надо приучать детей писать косой крест не во всю клетку, а в несколько уменьшенном виде. Что кчсается обозначения знака умножения в виде точки, то с целью чет¬ кости и ясности она должна быть, выражаясь типографским языком, достаточно жирна и ставить ее лучше не внизу строки, а посредине, т. е. не так: 5.8 = 40, а так: 5*8 = 40. 32
2_j-2 + 24-2-(-2 = 10, ученик всегда сам без посторонней по¬ мощи может добраться до того, сколько будет 2X5. Кроме того можно научить детей добывать табличные резуль¬ таты более скоро. Поясним это на примере. „Если вы сразу не скажете, сколько будет 2 взять 5 раз, то как вы будете считать?" (2 взять 2 раза — будет 4, еще 2 взять 2 раза — будет 4, 4 Д1 4 будет 8, всего 2 взяли 4 раза, 8 да 2 будет 10, всего 2 взяли 5 раз.) 5. С целью лучшего различения множимого и множителяJ) по¬ лезно предлагать детям указывать и называть, какое число надо повторить и сколько раз надо повторить это число. Пусть дан численный пример: 2X5. Учитель спрашивает: „Покажите и назовите, какое число надо взять?" (2.) „Сколько раз надо взять 2?" (5 раз.) С тою же целью при решении задач надо спрашивать детей, почему это, а не другое число надо взять несколько раз. Пусть дана задача: „В комнате 3 скамейки, на каждой ска¬ мейке сидит по 2 чел. Сколько всего людей сидят на скамейках?" При решении этой задачи учитель спрашивает детей: „Почему надо 2 взять 3 раза, а не 3 взять 2 раза, ведь все равно полу¬ чится 6?" Дети должны ответить так: „На 1-й скамейке сидело 2 чел., на 2-й — 2, на 3-й — 2, всего 3 раза по 2 чел., т. е. 6 чел." Лучшему же различению детьми множимого и множителя спо¬ собствует запись задачи на умножение сначала путем сложения, а потом путем умножения, так что запись сейчас приведенной задачи примет два следующих вида: 2-f2-f2 = 6, 2X3 = 6. Когда на вопрос учителя: „Как записать решение этой задачи?", дети выполняют первую запись, то учитель спрашивает: „Как записать это короче?" 6. Ту же цель преследуют и задачи, отличающиеся переста¬ новкой сомножителей. Таковы, например: „Стакан чаю стоит 3 коп., что стоят 2 стакана чаю?" „Если стакан чаю стоит 2 коп., то сколько стоят 3 стакана чаю?" Но помимо этого названными задачами имеется в виду пока¬ зать детям, что от перемены порядка сомножителей произведе¬ ние не изменяется, выражаясь, конечно, понятным для ребят языком: „2 взять 3 раза все равно, что 3 взять 2 раза". 7. С целью лучшего различения множимого и множителя при решении задач надо спрашивать детей, почему это, а не другое число надо взять несколько раз. 8. План работы на умножение, а, кстати сказать, и на Деление такой. Упражнения: 1) на наглядных пособиях-предметах; 2) на числовых картинках; !) Названия „множимое* и „множитель* на данноЗ ступени не сообщаются Детям. 3 Д. Л. Волковский 33
3) на воображаемых предметах; 4) на отвлеченных числах; 5) на задачах. Множимое остается постоянным, множитель изменяется. Счет двойками. Общий прием добывания результатов таб¬ лицы умножения в пределе чисел 2-го десятка сводится к знанию) таблицы умножения в пределе 10. Дети безошибочно должны уметь добыть таблицу умножения и только уже после этого запомнить ее. Поясним это на примере: „Сколько будет 2 взять 8 раз? Сначала сколько раз возьмете вы 2?“ (5 раз.) „Почему возьмете 5 раз?“ (Сразу получим пслный десяток.) „Потом сколько раз возьмете 2?“ (3 раза.) „Сколько будет?" (6.) „Что дальше сделаете?" (К 10 прибавить 6 — будет 16). „Сколько же будет 2 взять 8 раз?" (2 взять 8 раз — будет 16.) Счет пятерками. После счета двойками лучше всего начать со счета пятерками, потому что этот счет часто употребляется в жизни и кроме того он более скорый и легкий, чем счет трой¬ ками и четверками: в пределе 20 Есего 4 пятерки, и в случае затруднения в счете пятерками к услугам детей пальцы рук. Упражнение на числовых картинках. Рисуются 4 столбика по 5 кубиков в каждом. „Сколько столбиков кубиков на картинке?" (4 столбика.) „По скольку кубиков в каждом столбике?" (По 5.) „Сколько ку¬ биков в 2 столбиках? в 3 столбиках? в 4 столбиках?" „Смотря на столбики к}бикоз, считайте пятеоками так: 5, 10...‘ „Смотря на столбики ку'иков, считайте-пятерками так: 2 пя¬ терки =10, 3 пятерки = 15“ и т.д. „Смотря на столбики кубиков, считайте пятерками так: 20...5“ „Смотря на столбики кубиков, считайте пятерками назад так: 4 пятерки = 20...“ По примеру счета двойками и пятерками идет счет тройками, четверками и т. д. После проработки каждого случая умножения дети сами со¬ ставляют таблицу умножения, записывая у себя в тетрадях. Так, после проработки умножения 2 на 2, 3, ..., 10 дети составляют такую таблицу: 2X2 = 4 2X5=10 2 X 8=16 2 x 3 = 6 2X6 = 12 2 X 9=18 2X4 = 8 2X7=14 2X10 = 20 После проработки умножения 3 на 2, 3 10 составляют такую таблицу: 3X2= 6 4X3 = 12 6x 2=12 3X3= 9 4X4 = 16 6X3=18 3X4=12 4X5 = 20 7X2 = 14 3X5 = 15 5X2 = 10 8X2 = 16 3X6=18 5X3=15 9X2=18 4X2= 8 5X4 = 20 10X2 = 20 Г4
Множимое изменяется, множитель остается постоянным. Сюда относятся такие упражнения: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 X 2 2, 3, 4 X 5 2, 3, 4, 5, 6X3 2, 3 X 6 2, 3, 4, 5X4 2X7, 8, 9, 10 На этот порядок (вид) умножения дети составляют таблицу умножения по примеру приведенной выше таблицы, когда мно¬ жимое остается постоянным, а множитель изменяется. У у у— У У— / / 0 От перемены мест сомножителей произведение не изменяется. С этим свойством (свойством переместительности) умножения необходимо познакомить детей, ибо оно облегчает усвоение таблицы умножения. 1. Это можно объяснить детям с помощью действи¬ тельных предметов, например кубиков или палочек так. Пусть дано 3X4. Дети раскладывают кубики в 4 ряда по 3 кубика в ряд (рис. 19) и сосчитывают число всех кубиков двояко: 1) по рядам: 3 куби¬ ка -(- 3 кубика -}- 3 кубика -f- 3 кубика = 12 кубиков. Записы¬ вают это так: 3 4-3-f3+ 3= 12; 3X4 = 12. 2) по столбцам: 4 куби¬ ка-}-4 кубика-}-4 кубика = 12 кубиков. Записывают это так: 4-f4-}-4 = 12; 4X3=12. Отсюда дети делают такой вывод: 3 X 4=4 X 3 = 12. 0 0 Рис. 19. Рис. 20. 2. Со свойством переместительности умноже¬ ния можно познакомить детей графически с по¬ мощью (рис. 20) прямоугольника и примерно так: „Сколько квадратиков в одном столбике?" (4.) „Сколько квадратиков в 5 столбиках?" (20.) «Сколько же будет 4 взять 5 раз? Сколько будет 5 четверок? Запишите цифрами, что 5 четверок будет 20". 4X5 = 20 5 X 4 = 20 4 X 5 = 5 X 4 3* 35
„Теперь считайте квадратики по строчкам. Сколько квад¬ ратиков в верхней строчке?" (5.) „Сколько таких строчек во всем прямоугольнике?" (4.) „Сколько будет квадратиков в 4 строчках? Сколько же будет: 5 взять 4 раза? Сколько будет 4 пятерки" Запишите цифрами, что 4 пятерки будет 20". (5X4 = 20) „Смотря на квадратики, скажите же теперь: 5 четверок равны скольким пятеркам? 4 пятерки равны скольким четверкам? Что же можно сказать про 5 четверок и 4 пятерки?" (Они равны, одинаковы.) „Нарисуйте 15 квадратиков в одном четырехугольнике так, чтобы показать, что 3 пятерки равны 5 тройкам". (Дети рисуют по 5 квадратиков в каждой из 3 строчек.) В качестве самостоятельной работы можно давать детям такого рода упражнения: 2X6 = 6X2 = 12 2 X 8 = 8 X ? = 2 Х7 = 7 Х? = 2Х9=9Х?= 3X4 = 4X3 = 12 3 X 6 = 6 X ? = ЗХ5=5Х?= 4 X 5 = 5 Х? = Переместительным свойством умножения дети должны поль¬ зоваться тогда, когда их затрудняет большой множитель. Так, вместо 2x8 берется 8Х2 = 8-}-8 и т. п. Кроме того переместительное свойство дает возможность сократить число запоминаемых произведений в таб¬ лице умножения: всех произведений в каждом из двух видов таблиц 27, из них 12 произведений одной таблицы отличаются от 12 произведений другой таблицы только порядком сомножи¬ телей; таким образом, благодаря свойству переместительности умножения детям надо запомнить вместо 27 только 15 различ¬ ных произведений. Все отдельные случаи таблицы умножения, проработанные детьми на действительных предметах (<убиках, палочках, пуго¬ вицах и т. п.), весьма полезно закрепить навсегда в виде на¬ глядной графической таблицы. Рисунки должны быть по возможности просты и легки для выполнения. Так, например, наглядная графическая таблица для 2 может иметь, примерно такой вид (рис. 21): Ш ЕВ Ш Е ft гг ШШШШ 2X2 = 4 Рнс. 21. и т. д. всего 9 картинок произведений. 36 2X4 = 8 4X2 = 8
Таблица для 3 может иметь такой вид (рис. 22.): FPP h h h h РРР hhhh РРР h hhh 3X3 = 9 3X4=12 4X3 = 12 □ □□ □ □□ □ □□ □ □□ 3X5 = 15 5X3 = 15 О О о О о о о о о о о о о о о о о о 3; б; <6 = к з = = 18 = 18 Рнс. 22. И, наконец, таблица для 4 может иметь такие 2 картинки произведения (рис. 23)- О е 0 б Л Л д д О о о 0 Л Л д д 0 0 0 0 Л д д д 0 G 0 е Л д д д 0 0 0 0 4X4 = 16 4 5 XX ирь СП 11 II = 20 = 20 Рис. 23. Таким образом, всю наглядную графическую таблицу умноже¬ ния в пределе 20 можно составить из 15 отдельных картинок, иллюстрирующих 15 произведений. Такие таблицы составляет каждый ребенок в своей тетради, рисуя разные предметы парами, тройками, четверками и т. д. и подписывая под каждым рисунком полученный результат. Желательно, чтобы весь класс под руководством учителя составил большую классную наглядную таблицу умножения, подоб¬ ную приведенной, в одинаковом масштабе, наклеив отдельные рисунки на особом картоне. Упражнения идут вразбивку: 2X8, 3X5, 4X3 и т. п. 37
Задачи. При умножении в пределе 20 надо решать простые задачи тояько такого типа, когда требуется повторить число не¬ сколько раз, ибо это самый легкий тип задач на умножение. На первое время задачи на умножение должны быть форму¬ лированы так, чтобы характерное свойство умножения — повто¬ ри 1ь данное число несколько раз — было ясно выражено в усло¬ вии задачи. Например: а) „В кадку вливали 4 раза по 2 ведра воды. Сколько всего ведер воды влили в кадку?" б) „В комнате 5 скамеек. На каждой скамейке сидит по 3 маль¬ чика. Сколько всего мальчиков сидит на скамейках?" В этих задачах слова „каждый" и по „стольку-то" ясно ука¬ зывают на равенство данных частей, а в вопросе задачи ясно говорится о соединении всех этих частей в одно целое. Затем надо предлагать такие задачи, в которых указание на умножение выражено менее ясно, чем в предыдущих задачах. Например: „Лист бумаги стоит 2 коп. Сколько стоят 6 таких же листов бумаги?" § 14. ДЕЛЕНИЕ. В пределе 20 можно познакомить учащихся с обоими видами деления: с делением на части и делением по содержанию („деле¬ нием-измерением"). Но чтобы при этом не нарушить дидакти¬ ческого требования — давать детям зараз по одной трудности — можно деление по содержанию связать непосредственно с умно¬ жением, а деление на части вынести в особый раздел, также связывая его с умножением. Но следует иметь в виду, что не все методисты придерживаются такого взгляда: некоторые мето¬ дисты в пределе 20 знакомят учащихся только с делением на части, относя знакомство с делением по содержанию к дейст¬ виям над круглыми десятками. Деление на равные части. Деление в пределе 20 (деление на части) удобнее всего располагать в такой последовательности: деление на 2, на 4, на 3, на 5, на 6, на 7, на 8 и 9. Каждый случай этого дел.ния проделывается сперва на предметах, затем на числовых картин¬ ках, далее на воображаемых предметах, на отвлеченных числах и на задачах. Деление на 2 равные части, или пополам. Прием нахождения половины группы предметов следующий. Лучше всего начать с разложения на две рав-тые части двух предметов. Учитель вызывает к столу трех ребят, одному из них велит взять 2 карандаша (ореха, кубика и пр.) и раздать поровну двум ребятам. Ученик раздает им на виду всего класса по одному карандашу. „Сколько же будет, если 2 карандаша раздать поровну двум ребятам?" (2 карандаша раздать поровну двум ребятам — каждый ребенок получит по одному карандашу.) Затем учитель 33
предлагает тот же вопрос в другом виде: „Сколько будет 2 каран¬ даша разделить на 2 равные части?" (2 карандаша разде¬ лить на две равные части — в каждой части будет по одному каран¬ дашу-) ..Чему равна половина 2 карандашей?" (Половина 2 карандашей равна 1 карандашу.) После деления на 2 равные части группы предметов следует деление на числовой фигуре. „На сколько частей она раз¬ делена?" (На 2 равные части.) „По скольку кружочков в каждой части?" (По одному.) „Сколько же будет, если I 2 кружочка разделить на 2 равные части?" (2 кружочка разделить на 2 равные части — в каждой части будет по одному кружочку.) (Рис. 24.) Рис- 2}* Дал ее идет деление предметов, не находящихся налицо, но воображаемых, например: „Половина 2 булок — это сколько булок? Сколько яблок в половине 2 яблок?" Затем идет деление на отвлеченных числах: „2 разде¬ лить на 2 равные части — сколько будет? Чему равна половина двух? Сколько будет 2 разделить пополам?" После этого идет запись деления 2 на 2 равные части. Учи¬ тель пишет на доске: 2:2=1 и читает так: „2 разделить на 2 равные части будет 1“ (показывая каждый прочитанный знак), затем читают запись ученики. Потом учитель читает эту запись по-другому: „2 разделить пополам— будет один" и пред¬ лагает детям прочитать запись по-разному. Потом учитель предлагает другому учащемуся взять 4 каран¬ даша и разделить их на 2 равные кучки. Если дети почему-либо затрудняются сразу сделать это, то надо поступить так: „Как мы роздали 2 карандаша 2 мальчикам? Значит, сколько карандашей надо взять сначала?" (2 карандаша.) „По скольку карандашей придется на каждую кучку?" (По 1 карандашу.) „Положите по 1 ка¬ рандашу неподалеку друг от друга. Потом сколько карандашей надо взять?" (Еще 2 карандаша.) „По скольку карандашей еще придется на каждую кучку?" (По 1 карандашу.) (Дети приклады¬ вают эти 2 карандаша по 1 карандашу к прежним карандашам.) „Всего по скольку карандашей придется на каждую кучку?" (По* 2 карандаша.) „Значит, 4 карандаша разложить на 2 равные кучки — по скольку карандашей будет в каждой кучке?" (4 ка¬ рандаша разложить на 2 равные кучки—в каждой кучке будет по 2 карандаша.) „4 карандаша разделить на 2 равные части, по скольку будет в каждой части?" (4 карандаша раздетть на 2 равные части — в каждой части будет по 2 карандаша.) „Сколько будет — 4 карандаша разделить пополам?" (4 карандаша разделить пополам — будет по 2 карандаша в каждой половине.) Далее идет деление 4 на 2 равные части на числовой фигуре, на воображаемых предметах, на отвлеченных числах и на зада¬ чах и запись этого деления на доске и в тетрадках. Проделывает¬ ся это по примеру деления 2 пополам. Точно так же проделывается деление 6, 8 и 10 на 2 равные части. Можно указать и более скорый прием деления на 2 неко¬ торых чисел, например, 8.
„Разделите 4 пополам — сколько будет?0 (2.) „Сколько еще осталось разделить пополам?" (4.) „Разделите — сколько будет?" (2.) „Сколько всего будет?" (4.) Итак, 8 пополам — сколько будет?11 Этот пример нисколько не затрудняет детей, раз они хорошо усвоили прибавление и отнимание по 4. Когда дети усвоят этот прием деления пополам, тогда можно показать им другой прием, более краткий, пользуясь т абл и цей умножения г). Эту связь умножения и деления надо объяснить детям с помощью действительных предметов (кубиков, палочек и т. п.) и графически с помощью числовых фигур примерно так: „Возьмите по 2 кубика 3 раза и положите их в ряд неда¬ леко друг от друга. Сколько здесь кучек?" (3.) „По скольку кубиков в каждой кучке?" (По 2.) „Сколько же будет 2 кубика взять 3 раза?" (6 кубиков.) „Запишите это". (2 кубика Х3 = — 6 кубиков.) „Возьмите еще 6 кубиков. Разложите их на 3 равные кучки. По скольку кубиков будет в каждой части?" (По 2 кубика.) „Запишите это". (6 кубиков:3 = 2 кубика.) Дети пишут это под записью: 2 кубикаХ 3 = 6 кубиков. „Смотрите на кубики и скажите мне: если вы знаете, что вот здесь лежат 3 кучки кубиков по 2 кубика в каждой кучке и всего кубиков 6, то сколько будет кубиков в каждой кучке, если 6 кубиков разделить на 3 равные кучки?" (По 2 кубика.) На числовых фигурах связь умножения с делением можно объяснить так (рис. 25). „Сколько кружочков в каждом столбике?" (2.) „Сколько столбиков?" (3.) „Сколько будет кружоч¬ ков — 2 кружочка взять 3 раза?" (6 кружочков.) Под числовой фигурой дети пишут: 2 кружочка X 3 = 6 кружочков. Затем рисуется такая же числовая фигура под прежней число¬ вой фигурой и делится черточками на 3 рав¬ ные части. Числовая фигура примет такой вид (рис. 26). „Сколько здесь всего кружочков?" (6.) „На сколько равных частей они разделены?" (На. 3.) „По скольку кружочков в каждой части?" |По 2.) „Сколько же будет кружочков — 6 кружочков разделить на 3 равные части?" (2 кружочка.) Под числовой фигурой дети пишут: 6 кружочков:3 = 2 кружочка. „Смотрите на рисунок и скажите, если вы знаете, что 2 кру¬ жочка взять 3 раза будет 6 кружочков, то сколько будет кру¬ жочков— 6 кружочков разделить на 3 равные части?" !) Советуя пользоваться таблицей умножения для лучшего усвоения таблицы деления, мы не рассматриваем здес-> эти действия как обратные друг другу, ибо на данной ступени это для детей непосильно, а указываем лишь на возмож¬ ность их параллельного изучения, приблизительно погобно тому, как это было со сложением и вычитанием в пределе 20. Это значит что понятие о деле¬ нии выясняе1ся детям соьершенно самостоятельно, без всякого отношения к умно¬ жению с помощью указанных задач и упражнений. Производство же деле¬ ния, т. е. нахождение результатов действия, может быть прорабатываемо одно¬ временно и параллельно с умножением. 40 О о о о о О Рис. 26. о о о о о о Рис. 25.
После этого можно предложить детям вопрос в отвлечен¬ ной форме: „Если вы знаете, что 2 взять 3 раза — будет 6, то сколько будет — 6 разделить на 3 равные части?" Так прорабатываются остальные случаи связи таблиц умноже¬ ния и деления. После этого надо перейти к делению на 2 равные части чисел 2-го десятка. Это деление основано на знании деления на 2 рав¬ ные части в пределе 10 и на умении разложить числа 2-го десят¬ ка на десятичные группы (16 состоит из 1 десятка и 6 единиц.) А отсюда вытекает и прием деления чисел 2-го десятка на 2 равные части. Пусть дано 16 разделить на 2 равные части и дети затрудняются сразу сказать, сколько будет. „Что сначала разделить на 2 равные части?" (10.) „Сколько будет?" (5.) „Дальше что разделить на 2 равные части?" (6.) „Сколько будет?" (3.) „Дальше что сделаете?" (К 5 прибавить 3 — будет 8.) „Итак, 16 разделить на 2 равные части — будет?" (8.) „Повторите, как же вы делили 16 на 2 равные части?" Если бы дети затруднились ответить на 1-й вопрос („Что сна¬ чала разделите вы на 2 равные части?"), то тогда надо спросить: „Число 16 состоит из скольких десятков и сверх того из сколь¬ ких единиц?" и после этого спросить: „Как же вы разделите 16 на 2 равные части? Что сначала разделите?" Остальное по примеру предыдущего. Задачи. Здесь мы берем только один тин задач на деление: когда требуется разделить данное число на несколько равных частей, ибо это самый легкий вид задач на деление на части. На пеовое время задачи на деление должны быть формулированы так, что¬ бы характерное свойство деления „разделить данное число на несколько равных частей" было ясно выражено в условии задачи, т. е. в задачах были бы такие выражения: „разделить поровну", „разложить поровну" и т. п. Например: 1. „Учитель разделил 6 перьев между двумя учениками по¬ ровну. Сколько перьев досталось каждому ученику?" 2. „8 кубиков разложены на две кучки поровну. Сколько куби¬ ков в каждой кучке?" Затем надо предлагать такие задачи, в которых вовсе нет слов, явно указывающих на действие деления. Например: 1. „Молочница продала 10 кружек молока 2 покупателям по¬ ровну. Сколько кружек молока получил каждый покупатель?" 2. „2 тетради стоят 10 коп. Сколько стоит 1 тетрадь?" Дети нередко подобные зада1 и вместо деления решают сло¬ жением (5-j-5) или умножением (5X2). Чтобы навести детей на решение подобных задач делением, можно поступить так: „Пусть вот эти 10 кубиков заменяют 10 коп. Пусть один из вас купит 1 тетрадь, другой тоже одну. Поровну ли они запла¬ тят за тетради?" (Поровну.) „Что же надо сделать с 10 коп.?" (Надо разделить их на двоих.) „Значит, как же узнать, сколько стоит 1 тетрадь?" (10 коп. разделить на 2 равные части—будет 5 коп.) 41 Ч
Деление на 4 равные части. Дети берут 4 кубика и делят их на 4 равные части. „Сколько кубиков вы взяли?" (4.) „На сколько равных частей вы разделили их?“ (На 4.) „По скольку кубиков получилось в каждой части?" (По 1.) Деление 8 на 4 равные части производится так: „Возьмите 8 кубиков и разделите их на 4 кучки поровну. По скольку куби¬ ков вы будете класть в каждую кучку сначала?" (По 1.) „Сколько возьмете кубиков по 1?" (4.) „Сделайте это". Потом по скольку кубиков будете класть?" (Еще по 1.) „Сколько положите кубиков по 1?" (Еще 4.) Дети берут по кубику и прибавляют их к каждому положенному кубику. „Теперь по скольку куби¬ ков в каждой кучке?" (По 2.) „Сколько же будет кубиков — 8 кубиков разделить на 4 равные части?" (8 кубиков разделить на 4 равные части — будет 2 кубика.)') Чтобы разделить на 4 равные части числа 2-го десятка, надо уметь разложить каждое из этих чисел на- число 8 как наи¬ большее число в пределе 10, делящееся на 4, и на другое число, делящееся на 4. Так, чтобы разделить 12 на 4 равные части, дети должны 12 разложить на 2 числа — на 8 и 4 —и раз¬ делить на 4 сначала 8, а потом 4 и полученные числа сложить. Чтобы разделить 20 на 4 равные части, дети должны произвести 3 деления на 4 (8 + 8 -f- 4) и потом полученные 3 числа (2 —}— 2 1) сложить а можно и так: (12:4) + (8:4) = 3 4-2 = 5 или же так: (16:4) + (4:4) = 4+1=5. Деление на 3. Деление 3, 6 и 9 на 3 равные части прора¬ батывается по примеру деления на 4 равные части. Деление чисел 2-го десятка на 3 сводится к делению в пределе 1-го де¬ сятка, а именно: сперва делится 9 как наибольшее число в пределе 10, делящееся на 3, затем делится остальная часть дву¬ значного числа. Так, например, чтобы разделить 15 на 3, надо: 1) 9:3 = 3, 2) 6:3 = 2, 3) 3 + 2 = 5. Деление на 5. Деление 5 и 10 на 5 равных частей прорабатыва¬ ется по примеру деления на 4 равные части. Прием деления чисел второго десятка на 5 такой же, как и деления на 2, а именно: сначала число разлагается на десятичные группы, затем каждая группа делится на 5 и потом полученные числа складываются. Так, чтобы 15 разделить на 5, надо 15 разложить на 10 и 5, потом разделить 10 и 5 на 5, затем полученные числа (2 + 1) сложить. Деление на 6. Деление 6 на 6 прорабатывается по примеру деления 4 на 4 равные части. Деление чисел 2-го десятка на 6 сводится к делению 6 на 6. Если детям дано разделить, допу¬ стим, 12 на 6 и они затрудняются сразу сказать, сколько будет, то они должны сначала разделить 6 на 6, потом еще разделить 6 на 6 и затем полученные числа (1 и 1) сложить. О Можно класть в каждую кучку и по 2 кубика, если дети окажутся к втому подготовленными. Тогда ход работы сокращается вдвое. 43
Деление на 7, на 8 и на 9. Деление 14 на 7 сводится к деле¬ нию 7 на 7, деление 16 на 8 — к делению 8 на 8, деление 18 на 9 — к делению 9 на 9. После прохождения деления на равные части надо повто¬ рить все действия в пределе 20, а особенно таблицу сложения и вычитания с переходом через десяток, а также таблицу умно¬ жения и деления. § 15. СВЯЗЬ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ. Для лучшего усвоения таблиц умножения и деления в пределе 20 необходимо связывать эти таблицы друг с другом. Такого рода сопоставление умножения и деления следует проделывать и на задачах. 2X6 = 2X8 = 2X7 = 6X2 8X2 7X2 12 : 2 16 : 2 14 : 2 12 : 6 16 : 8 14 : 7 2X9 = 3X4 = 3X6 = 9X2 4X3 6X3 18 : 2 12 : 4 18 : 3 18 : 9 12 : 3 18 : 6 § 16. ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ. Сложные задачи в этом разделе решаются только в 2 дей¬ ствия в различном сочетании этих действий: умножение и деле¬ ние, умножение и сложение, деление и сложение, умножение и вычитание, деление и вычитание. Характер задач и прием их решения тот же, что и сложных задач на сложение и вычитание. Так как задачи на умножение и деление труднее задач на сло¬ жение и вычитание, то надо комбинировать задачи так, чтобы в каждую сложную задачу в 2 действия непременно входило или умножение или деление с другим действием или только умножение с делением. III. ПОЛНЫЕ ДЕСЯТКИ ПЕРВОЙ СОТНИ. Целью этого отдела служит знакомство детей с десятком как с новой единицей счета и выяснение того, что действия над полными десятками в пределе первой сотни требуют тех же при¬ емов, какие применялись к простым единицам. Будучи в самой тесной связи с первым десятком, третий кон¬ центр является повторением первого концентра, гбо в третьем концентре уже известная из первого десятка простая счетная единица облекается в новую форму, в сложную счетную единицу, объем понятия знакомых уже детям действий рас¬ ширяется. А такой способ повторения, в котором на знакомый уже раньше предмет устанавливается новая точка зрения, есть лучший способ повторения, 4?
§ 17. НУМЕРАЦИЯ ПОЛНЫХ ДЕСЯТКОВ ДО 100. • Нумерацию в пределе первой сотни мы разделяем на следую¬ щие методические ступени: 1) нумерация полных десятков до 100; 2) нумерация от 1 до 100. Устная нумерация полных десятков до 100. Прежде всего следует ознакомить детей с понятиями: деся¬ ток и единица; причем понятие „десяток" должно быть воспри¬ нято детьми как нечто цельное, как одна новая счетная еди¬ ница. ибо от усвоения этих понятий зависит успешность всех упражнений над полными десятками. Это всего лучше выяснить на палочках, связываемых детьми в пучки по десятку. Следует обратить внимание детей на выражение: „десяток" (палочек) и „десять" (палочек). Объяснить это можно так: „Когда вы возьмете 10 отдельных палочек, то это будет десять пало¬ чек, а когда вы сложите эти десять отдельных палочек в одну кучку или свяжете в один пучок, то это будет десяток палочек". Выяснив таким путем различие между „десятком" и „десятью", следует обратить внимание детей на то, что в коли¬ чественном отношении „десять палочек" и „десяток палочек" равны. Когда дети безошибочно усвоят счет десятками (один десяток, два десятка, ..., десять десятков), тогда следует спросить их (или, если не знают, сообщить им), как по-другому называется: „два десятка", „три десятка". Причем надо произносить на первое время эти слова раздельно в два приема: два (остановка)-дцать, три-дцать, чтобы этим, во-первых, дать намек детям на состав слов, а во-вторых, приучить детей к отчетливсму и пра¬ вильному произношению этих числительных, ибо иногда наблю¬ дается, что дети неправильно произносят название полных десят¬ ков, а затем спросить: „В словах „двадцать", „тридцать" вместо какого слова употребляется „дцать?" После выяснения состава слов названных числительных мы переходим к выяснению состава слов: „пятьдесят", „шестьдесят", „семьдесят", „восемьдесят", минуя слово „сорок", ибо название этого последнего слова для детей менее понятно, чем название предыдущих слов. Затем обращаемся к выяснению слов: „сорок", „девяносто" и „сто" как новых слов. Чтобы у детей прочнее закрепились названия полных десятков (двадцать, тридцать, ..., сто), учитель пишет на доске эти назва¬ ния, предлагая детям сначала прочитать их вслух, а потом списать себе в тетради. После этого идет прямой и обратный счет десятками с двоя¬ ким названием („два десятка", или „двадцать", и т. д.), а затем сопоставляется счет единицами со счетом десятками на палочк х, причем дети, взяв одну палочку, говорят: „Одна палочка", взяв, пучок в десять палочек, говорят: „Один десяток палочек" или „Десять палочек", и т. д. Отношение между счетными единицами (десятками и едини¬ цами), или иначе, раздробление десятка в единицы и пре¬ 44
вращение единиц в десятки, имеет большое значение как для дальнейшей нумерации, так и для производства действий над полными десятками. Ввиду этого на указанное упражнение надо обратить внимание детей. Весьма важно достигнуть того, чтобы дети безошибочно и сразу раздробляли десятки в единицы и превращали единицы в десятки. Чтобы дети прочнее усвоили обращение десятков в единицы и обратно — единиц в десятки, лучше всего показать это им на палочках. „Вот 4 пучка палочек, по 10 палочек в каждом пучке. Сколько это десятков палочек? Сколько это отдельных палочек? Сколько же единиц в 4 десятках?" „Вот 30 отдельных палочек. Сколько здесь десятков палочек? Сколько же десятков в 30 единицах?" Если бы дети затруднились превратить 30 единиц в десятки, то надо поступить так: „Берите по 10 палочек и связывайте их в пучки. Сколько вышло пучков? Сколько же десятков палочек в 30 отдельных палочках? Сколько десятков в 30 единицах?" Обращение десятков в единицы и обратно — единиц в де¬ сятки не представляет затруднений для детей, ибо они уже подготовлены к нему прямым и обратным счетом полными десят¬ ками. Для достижения лучших результатов в этих упражнениях, а также в целях разнообразия и приложимости их к жизни мы вво¬ дим раздробление гривенников в копейки и превращение копеек в гривенники. Здесь мы находим уместным познакомить детей с монетами — двугривенным, полтинником и рублем. Письменная нумерация. Ввиду того что здесь дети впервые встречаются с так называе¬ мым поместным значением цифр, т. е. что единицы стоят на первом месте, десятки — на втором месте, и это знакомство имеет большое значение для дальнейшей нумерации, мы обращаем особое внимание учителей на это. Можно вести дело так: записать на доске, допустим, число 5 и спросить детей, что написано на доске; дети говорят: „Пять", надо спросить: „Пять чего?" (Пять единиц.) Затем, не стирая 5, написать 50 и сказать: „Это написано число пятьдесят. Сколь¬ кими цифрами написано 5? Сколькими цифрами написано 50? Согласимся считать цифру справа первым местом, цифру слева — вторым местом и на нем будем ставить десятки. В числе 50 что стоит на втором месте?" (На втором месте стоит цифра 5.) „Что она обозначает?" (Она обозначает 5 десятков.) „Почему она обозначает 5 десятков?" (Мы согласились писать десятки на втором месте.) „Что стоит на первом месте?" (На пер¬ вом месте стоит цифра нуль.) „Для чего она поставлена после 5 справа?" (Чтобы показать, что нет отдельных единиц.) Далее в этом роде идут следующие упражнения: сначала учи¬ тель пишет на доске цифрами числа, а дети читают их и объ¬ 45
ясняют, а потом учитель диктует числа, а дети пишут их (на доске и в тетрадях) и объясняют. Что касается чтения и письма числа сто то объяснение этого наподобие предыдущего на данной ступени преждевременно; достаточно, если дети сумеют прочитать и написать его. § 18. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. Подготовительной ступенью к сложению полных десятков служит сложение единиц в пределе первого десятка. Сначала берутся такие примеры, где надо сложить два числа, сумма которых не превышает 10. Например, учитель спрашивает: „Сколько будет 4 и 2?“ Затем к этим числам присоединяются названия десятков; учитель спрашивает: „Сколько будет 4 де¬ сятка и 2 десятка (ударяя голосом на слове „десятка")?" И уже после этого учитель предлагает вопрос: „Сколько будет 40 и 23?" При такой постановке вопросов устанавливается тесная связь между сложением в пределе 10 и сложением полных десятков первой сотни, а для детей не представляет затруднений сложе¬ ние полных десятков. После таких упражнений следует прямо спрашивать: „Сколько будет, например, 50 и 30?" В случае, если дети затруднятся ответить на этот вопрос, надо повести дело так: „50 — это сколько десятков?" (5 десятков.) „А 30 — это сколько десятков?" (3 десят¬ ка.) „Сколько всего десятков — 5 десятков и 3 десятка?" (5 десят¬ ков и 3 десятка — будет 8 десятков.) „Как по-другому называются 8 десятков?" (Восемьдесят.) „Значит, сколько же будет 50 и 30?" (50 и 30-—будет 80.) Если же дети затрудняются ответить на вопрос: „Сколько будет 5 десятков и 3 десятка?", тогда надо употребить такой прием: „Сколько будет 5 и 3? А сколько будет 5 десятков и 3 десятка? А сколько будет 50 и 30?" В крайнем случае следует прибегнуть к пучкам палочек, свя¬ занных по 10 в пучке. „Сколько у меня вот здесь (учитель дтавит пучки палочек на видное место) пучков палочек?" (5 пучков.) Сколько отдельных палочек в каждом пучке?" (10 палочек.) „Сколько же десятков палочек в 5 пучках"? (5 десятков.) „Как это сказать по-другому?" (Пятьдесят.) „Сколько у меня вот здесь пучков палочек?" (3 пуч¬ ка.) „Сколько отдельных палочек в каждом пучке?" (10 ) „Сколько же десятков палочек в 3 пучках?" (3 десятка.) „Как это сказать по-другому?" (Тридцать.) „Сколько всего десятков палочек будет в 5 пучках и 3 пучках?" (8 десятков.) „8 десятков — как это сказать по-другому?" (80.) „Итак, сколько же будет 50 и 30?" (50 и 30 будет 80.) Примеры надо давать в постепенно возрастающей трудности: сначала надо брать такие примеры, где дано сложить 2 числа, потом Зит. д., причем при сложении двух чисел полезно со¬ блюдать такую последовательность: 1) идет прибавление по 10, 2) переставляются слагаемые, 3) складываются одинаковые числа, 46
4) первое слагаемое больше второго, 5) первое слагаемое меньше второго, 6) чередуются эти случаи. Характер упражнений на вычитание полных десятков, раз'о как приемы выполнения их, подобны упражнениям на сложение полных десятков. § 19. УМНОЖЕНИЕ. Умножение полных десятков, подобно сложению с вычита¬ нием, лучше ставить в сеязь с умножением в пределе 1-го десятка, объясняя дело так: „Сколько будет 2 взять 4 раза?" (2 взять 4 раза будет 8.) „Сколько будет: 2 десятка гзять 4 раза?" (2 десятка взять 4 раза — будет 8 десятков.) „Как по-другому назвать 8 десятков?" (Восемь¬ десят.) „Сколько будет: 20 взять 4 раза?" (20 взять 4 раза — будет 80.) Если при дальнейших упражнениях случится, что дети затруд¬ нятся, допустим, 30 взять 3 раза, то можно употребить следую¬ щий прием: „30 — это сколько десятков?" (3 десятка.)# „Сколько будет десятков: 3 десятка взять 3 раза?" (3 десятка взять 3 раза будет 9 десятков.) „Как по-другому называется 9 десятков?" (Де¬ вяносто.) „Итак, сколько же будет: 30 взять 3 раза?" (30 взять 3 раза — будет 90.) Если же сверх ожидания дети затруднятся сказать, сю лько будет десятков, если 3 десятка взять 3 раза, то следует предложить сначала вопрос: „Сколько будет 3 взять 3 ра¬ за?" А потом: „Сколько будет десятков: 3 десятка взять 3 раза?" и, наконец: „Сколько будет: 30 взять 3 раза?" В этом концентре мы стоим за умножение только на одно¬ значные числа, т. е. на 2, на 3, ..., на 9. Единственный случай, где мы допускаем в этом концентре умножение на двузначное число, — это умножение на 10, ибо этот случай не представляет затруднения для детей, если Еести объ¬ яснение его умело. Прием умножения числа на 10 состоит в том, что каждая еди¬ ница этого числа заменяется десятком. Пусть дано: 4Х Ю. „Сколько единиц в числе 4? Если я возьму вместо единицы (вот этой палочки) вот этот пучок из десяти палочек, вместо другой палочки — такой же пучок и заменю Есе отдельные 4 палочки пучками по десяти палочек в пучке, то сколько будет пучков на столе?" (4 пучка по 10 палочек в каждом.) „Сколько у меня было единиц?" (4 единицы.) „Сколько теперь десятков на столе?" (4 десятка.) „Заметьте: сколько было единиц, столько стало десятков. 4 десятка — сколько это единиц?" (40 единиц.) „Сколько же будет: 4 взять 10 раз?" (4 взять 10 раз — будет 40). § 20. ДЕЛЕНИЕ. Деление на равные части. Подобно сложеникг, вычитанию и умножению деление на рав¬ ные части полных десятков для лучшего усвоения ставится в сеязь с делением на равные части в пределе 10. 47
„Сколько будет 6 разделить пополам?" (б разделить norlo- I лам — будет 3.) „А сколько будет 6 десятков разделить попо¬ лам?" (6 десятков разделить пополам — будет 3 десятка.) „А сколько будет 60 разделить пополам?" (60 разделить пополам — будет 30.) Если случится, что дети затруднятся, допустим, 80 разделить на 4 равные ч.сти, то надо употребить такой прием: „80 — это сколько десятков?" (8 десятков.) „8 десятков разделить на 4 рав¬ ные части—сколько будет?" (2 десятка, или 20.) Если дети, сверх ожидания, затруднятся разделить 8 десятков на 4 равные части, тогда надо спросить их: „Сколько будет 8 раз¬ делить на 4 равные части?" В этом разделе мы допускаем деление полных десятков на равные части только при однозначном делителе, ибо деление полных десятков на равные части, превышающие один , десяток, т. е. деление на 20, на 30 и т. д. равных частей, по своей трудности преждевременно на данной ступени. Что же касается деления-измерения, то здесь, наобо¬ рот, мы допускаем только деление полных десятков на полные десятки, например, 60 на 20, ибо деление полных десятков на однозначные числа в смысле деления-измерения на данной сту¬ пени трудно для детей. Ввиду того что дети весьма часто смешивают деление на равные части с делением по содержанию, необходимо рассматри¬ вать оба вида деления сначала отдельно, а затем совместно, сравнивая их между собою. Деление-измерение (деление по содержанию). Деление-измерение надо отличать от деления на равные части. Это лучше_ всего сделать на задачах. Возьмем такую задачу: „Учитель роздал 10 перьев двум ученикам поровну. По скольку перьев получил каждый ученик?" Эту задачу можно охарактери¬ зовать так: в ней дано целое (10 перьев) и число частей (две части)—10 перьев раздать (разделить поровну между двумя уче¬ никами), а требуется найти, как велика каждая часть (по скольку перьев получил каждый ученик?). Возьмем такую задачу: „Учитель роздал 10 перьев ученикам по 2 пера каждому. Скольким ученикам роздал учитель перья?" В этой задаче дано целое (10 перьев) и величина каждой части (2 пера), а требуется найти число частей (скольким уче¬ никам розданы перья?). Различие этих задач в том, что в первой задаче число частей дано (данное), а во втором —число частей отыскивается (искомое); в первой задаче величина каждой части — искомое, а во второй — данное. \ Чтобы дети лучше поняли деление-измерение, надо рассмат¬ ривать его сначала особо от деления на равные части. Подобно тому как умножение на данной ступени рассматрива¬ ется как сокращенное сложение и подготовительным упражнением к умножению служит прямой счет равными группами, так и деле- 48
ние-измерение рассматривается как сокращенное вычитание и подготовительным упражнением к этому делению служит обрат¬ ный счет равными группами (двойками, тройками и т. д.). Чтобы выяснить детям понятие об этом действии, необходимо сделать это на задачах с помощью наглядных пособий примерно так. Учитель предлагает детям взять 8 палочек и разложить их парами. Ученики отделяют от 8 палочек по 2 палочки друг за другом и считают их парами: одна пара, две пары, три пары, четыре пэры. Проделав такое последовательное отнимание парами от 4, 6, 8 и 10 предметов, ученики под руководством учителя проделывают подобные упражнения над рисунками: кружочками, клеточками и т. д- Лучше всего эти рисунки располагать правильными фигу¬ рами: это облегчает счет. Допустим, надо 6 кружочков разделить на части по 2 кружочка в каждой части. Дети рисуют такую числовую фигуру: ®®®, разделяют ее на пары черточками так: ЦП® и сосчитывают число пар. Когда дети научатся безошибочно делить по 2 в пределе 10, тогда надо перейти с ними к делению по 2 в пределе 2 0, сперва ведя прямой1) и обратный счет по 2 на наглядных посо¬ биях, например на классных счетах, так: отложив 2 шарика на одной проволоке, ученики прибавляют к ним еще 2 шарика и говорят: „К 2 шарикам прибавить 2 шарика — будет 4 шарика, в 4 шариках 2 пары шариков; к 4 шарикам прибавить 2 шарика — будет 6 шариков, в 6 шариках 3 пары шариков" и т. д. до 20. Далее идет обратный счет парами: в 20 шариках 10 пар шариков, от 20 шариков отнять 2 шарика — останется 18 шариков, в 18 ша¬ риках 9 пар шариков, от 18 шариков отнять 2 шарика — останется 16 шариков, в 16 шариках 8 пар шариков и т. д. до 2 шариков. После этого можно указать детям другой, более скорый прием деления-измерения в пределе 20, а именно: числа в пределе 20, делящиеся на 2, разбиваются на 2 части; одна часть состоит из 10, а другая — из остальной части числа, каждая часть делится по 2, полученные числа складываются. Это лучше всего объяснить на задаче примерно так. Пусть дана задача: „16 карандашей надо раздать ученикам по 2 каран¬ даша каждому. Сколько учеников получат карандаши?" Дети с помощью учителя говорят, что для решения задачи надо узнать, сколько раз надо отнять от 16 карандашей по 2 карандаша, или иначе: надо 16 карандашей разделить по 2 карандаша. Чтобы скорее найти ответ, учитель говорит: „От 16 карандашей отнимать по 2 карандаша долго. Сколько карандашей вы можете сразу разделить по 2?" Дети могут сказать: „4, 6, 8, 10 карандашей". Учитель говорит им, что легче всего сначала разделить 10 каран¬ дашей по 2. „Разделите. Сколько учеников получат эти 10 каран¬ дашей?" (5.) „Сколько еще осталось нерозданных карандашей?" (6.) „Скольким ученикам можно раздать эти 6 карандашей?" (3.) *) Сначала идет прямой счет с той целью, чтобы сделать более легким обрат- йЬ1й счет. ^ Д. -П. Волковский 49
.Скольким же ученикам можно раздать все карандаши?" (8.) .Как вы узнали это?" (К 5 прибавить 3 — получится 8.) На первое время запись решения подобных задач можно де¬ лать так: 10 кар. :по 2 кар. = 5 (уч.) 6 кар. :по 2 кар. = 3 (уч.) 16 кар. : по 2 кар. = 8 (уч.) ’ а затем кратко в одну строчку так: 16 кар. :по 2 кар. = 8 (уч.). Когда дети усвоят таблицу деления по 2 в пределе' 20, тогда они записывают эту таблицу по порядку столбиком, начиная с 2 и кончая 20, у себя в тетрадях так: 2:по 2 = 1 4:по 2= 2 6: по 2 = 3 и т. д. 20:по 2= 10 По образцу деления по 2 дети прорабатывают деление по 3, по 4, по 5, по 6, по 7, по 8 и по 9. После этого все случаи деления приводятся в систему, т. е. составляется полная таблица деления по 2 в пределе 20. Что касается деления 40, 60, 80, 100 по 20, деления 60 и 90 по 30, деления 80 по 40 и деления 100 по 50, то оно прорабаты¬ вается также путем вычитания. Сопоставление деления на части и деления-измерения. 1. Для легкости проделываем это на числах 1-го десятка. .Возьмите 6 кубиков и разделите их на 2 равные кучки (на 2 равные части). По скольку кубиков будет в каждой кучке (в каж¬ дой части)?" (В каждой части будет по 3 кубика.) „Запишите это". (6:2 = 3.) „Возьмите другие 6 кубиков и расставьте их по 2 (по паре). Скотько вышло пар?" (3 пары.) „Вместо того, чтобы сказать: расставили 6 кубиков по 2 кубика, можно сказать: разделили 6 кубиков по 2 кубика. Записать это можно так: 6:по 2 = 3“1). !) Знак деления пишется или в виде двух точек, или в виде прямого угла, или в виде горизонтальной черты, отделяющей делимое от делителя, т. е. деле- 4 ние обозначится в виде дроби, например В начальной школе надо ограничиться О одним видом знака деления, лучше всего в виде двух точек; двоеточие более понятно детям, чем обозначение деления в виде дроби, так как последнее обо¬ значение вносит неясность в сознание детей, давая повод смешивать деление с дробью. При письме по клеткам дети весьма часто ставят точки на верхней и нижней сторонах квадратика, что делает письмо знака деления неясным. Поэтому надо писать точки так, чтобы они находились на равном расстоянии от горизон¬ тальных и вертикальных линеек и были достаточно жирны, чтобы глаз ясно и свободно видел их. 50
„Прочтите первую запись". (6 кубиков разделить на 2 равные части (или пополам) будет 3 кубика.) „Посмотрите на кубики, как разделены они в первый раз. Сколько здесь кучек?" (2 кучки.) „По скольку кубиков в каждой кучке?" (По 3 кубика.) „Что такое 6 (показывая на 6) в первой записи?" (6 — это столько всего кубиков, это целое.) „Что такое 2 (показывая на 2)?“ (2 — это столько частей, это число равных частей.) „Что такое 3 (пока¬ зывая на 3)?“ (3 — это столько кубиков в каждой части.) „Прочтите вторую запись". (6 кубиков разделить по 2 кубика, будет 3.) „Посмотрите на кубики, как разделены они во второй раз? Сколько здесь кучек?" (3 кучки.) „А прежде сколько кучек было?" (2 кучки.) „По скольку кубиков в каждой кучке?" (По 2 кубика.) „А прежде по скольку кубиков было в каждой кучке?" (По 3 кубика.) „Что такое 6 во второй записи?" (6 — это столько всего кубиков, это целое.) „А что такое 6 в первой записи?" (Тоже целое.) „Что такое 2 в этой (второй) записи?" (Это — столько кубиков в каждой части, это — как велика каждая часть.) „А что такое 2 в первой записи?" (Это — число частей.) „Что такое 3 в этой (второй) записи?" (Это — столько частей, это — число частей.) „А что такое 3 в первой записи?" (Это столько кубиков в каждой части, это — как велика каждая часть.) 2. После разложения поровну предметов полезно перейти к числовым фигурам. Изобразив на доске следующую числовую фигуру (рис. 27) и под ней цифровую запись, учитель предлагает детям прочесть. Дети читают так: „6 разделить на 3 равные части — будет 2", т. е. как деление на равные части. Затем это же изображение дети читают так: „6 разделить по 2 — будет 3“, т. е. как деление-измерение, и на Рис. 27. доске'следует такая запись: 6:по 2 = 3. Затем можно давать читать оба вида по числовым фигурам без цифровой записи под фигурой. Пусть дана числовая фигура (рис. 28.) „Сколько всего точек в этой числовой фигуре?" (8.) „На сколько частей разделены они?" (На 2.) „Сколько точек в каждой части?" (4.) Рис- 28, „Запишите это". (8:2 = 4.) „Как мижно прочесть то, что изоб¬ ражено в этой числовой фигуре, по-другому?" (8 разделить по 4 — будет 2.) „Запишите это". (8:по 4 = 2.) 3. После этого следует перейти к решению задач. Здесь надо брать только один тип задач на деление-измерение, когда требуется по целому и по данной части найти число частей. На первое время задачи на деление-измерение должны быть форму¬ лированы так, чтобы характерное свойство деления-измерения „разделить данное число по стольку-то" было ясно выражено в условиях задачи, т. е. в задачах были бы такие слова: „разде¬ лить по стольку-то", „разложить по стсльку-то“, „раздать по стольку-то" и т. п. Например: а) „Мама1 разделила 8 яблок между детьми. Каждый ребенок получил по 2 яблока. Скольким детям достались яблоки?" б) „Учитель роздал ученикам 12 листов бумаги по 3 листа каждому. Сколько учеников получили бумагу?" 4* 51 • • • • •• • • . .
Затем надо предлагать такие задачи, в которых вовсе нет слов, явно указывающих на деление-измерение, например: а) „Столяр делает 2 стула в день. Во сколько дней столяр сделает 8 стульев?" б) „Тетрадь стоит 10 коп. Сколько тетрадей по той же цене можно купить на 50 коп.?“ 4. Для лучшего усвоения обоих видов деления мы приводим задачи на тот и другой вид попарно, в то же время настоятель¬ но советуя делать запись этих задач с кратким наименова¬ нием. Поясним это на примере. Возьмем задачу на деление на равные части: „5 кг ягод стоят 20 руб. Сколько стоит 1 кг ягод?“ „Сколько же стоит 1 кг?" (4 руб.) „Как вы узнали (сделали) это?" (20 руб. разделим на 5 равных частей — будет 4 руб.) „Запишите это". (20 руб.:5 = 4 руб.) Возьмем задачу на деление-измерение. „Килограмм ягод стоит 4 руб. Сколько ягод дадут на 20 руб.?" „Сколько же ягод дадут на 20 руб.?" (5 кг.) „Как вы узнали (сделали) это?" (20 руб. разделить по 4 руб.— будет 5, значит, дадут 5 кг ягод.) „Запишите это". (20 руб.:4 руб. = 5.) „Можно записать и так: 20 руб.:4 руб. —5 (кг), т. е. название килограм¬ мов поставить в скобках". Если дети на вопрос: „Как вы узнали, что дадут 5 кг ягод?" ответят: „20 разделили на 4 равные части", то надо спросить: „Если мы 20 руб. разделим на 4 части, то в каждой части что получим?" (Деньги.) „А в задаче что спрашивается?" (Сколько ягод дадут.) „Как же тогда узнать, сколько ягод дадут?" (20 руб. разделить по 4 руб. — будет 5, значит, дадут 5 кг ягод.) § 21. ВОПРОСЫ НА УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ, ВЫРАЖЕННЫЕ В КОСВЕННОЙ ФОРМЕ. 1. Вот образец косвенной формы на умножение: а) На отвлеченном примере: ?:2 = 20. Пример этот читается так: „Какое число надо разделить на 2 равные части, чтобы по¬ лучить 20?" А решается так: „20 взять 2 раза будет 40". б) На задаче: „Третья часть вышины башни равна 20 м. Какой вышины башня?" Впрочем, косвенная форма речи в задачах на умножение не выступает так ярко, как в сложении и вычитании, равно как и так ярко, как в численных примерах на умножение. Полезно заставлять детей записывать под диктовку и тотчас же решать примеры на отвлеченные числа, выраженные в косвен¬ ной форме. Пусть прочитан учителем следующий пример: „Какое число надо разделить на 2 равные части, чтобы получить 40?" Дети должны записать его так: ?:2 = 40 и затем устно решить так: „40 взять 2 раза будет 80". 2. Образцы косвенной формы на деление могут быть сле¬ дующих видов: а)?ХЗ = 60. Читать подобные примеры надо так: „Какое число надо взять 3 раза, чтобы получить 60?" А решать так: „60 разделить на 3 равные части будет 20“. Б2
Задачи этого вида в первое время словами выражаются так: „Какую монету надо взять 5 раз для того, чтобы набрать 10 коп.?" (10 коп. :5 = 2 коп.) Затем можно предлагать задачи в другом более трудном изложении (см. „Методику арифметики", 6-й тип, а, стр. 167, решение простых задач на деление.) 6) 20X7 = 80. Читается это так: „Сколько раз надо взять 20, чтобы получить 80?“ А решается так: „80 разделить по 20 будет 4“. Задачи этого вида сначала словами выражаются так: а) „Сколько раз надо взять по 5 коп., чтобы набрать 20 коп.?“ б) „Сколько раз надо положить в ящик по 4 кг мыла, чтобы уложить 20 кг мыла?" Затем можно предлагать задачи в таком изложении (см. „Ме¬ тодику арифметики", 6-й тип, б, стр. 167) простых задач на деление. в) 40:? = 20. Читать это надо так: „На сколько надо разде¬ лить 40, чтобы получить 20?" А решать так: „40 разделить по 20 —будет 2". Задача: „Когда учитель разложил 80 книг на нескольких пол¬ ках, то на каждой полке оказалось по 20 книг. На скольких полках разложены книги?" 80 кн.:20 кн. = 4 (полки). г) 40:? = 2. Читать это надо так: „По скольку надо разделить 40, чтобы получить 2?" А решать так: „40 разделить на 2 равные части — будет 20". Задача: „Когда учитель разложил 80 книг по нескольку книг на каждой полке, то полок оказалось 4. По скольку книг поло¬ жил учитель на каждой полке?". 80 кн.:4 = 20 кн. § 22. ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ. Сложные задачи в этом разделе решаются только в 2 дей¬ ствия. Больше всего должно быть таких задач, в которых чаше встречается деление на равные части и деление-измерение, ибо дети часто смешивают эти два вида деления. Характер задач таков же, как и задач в пределе 20. Смысл решения последних двух примеров под буквами в) и г) для данного отдела разный. На примеры вроде такого: 40:? = 20, другими словами, на такие примеры, где частное — число двузначное (круглые десятки), надо смотреть как на деле¬ ние-измерение. А на примеры вроде такого: 40:? = 2, на такие примеры,где частное — число однозначное, надо смотреть, как на деление на равные части. IV. ЧИСЛА ОТ 1 ДО 100. На этой ступени проходится и заканчивается самая трудная и самая важная часть таблиц умножения и деления, которые являются продолжением предшествующих таблиц умножения и деления и основываются на знании таблицы сложения с вычита¬ нием, проходимой в разделе чисел от I до 20. Можно сказать, о?
что с изучением первой сотни весь „табличный мир”, т. е. твер¬ дое и безошибочное знание результатов сложения, вычитания, умножения и деления однозначных чисел (в таблице вычита¬ ния только уменьшаемое двузначное число, а в таблице де¬ ления только делимое двузначное число), находится во власти у детей. Расширение круга знакомства с десятичным составом чисел первой сотни дает возможность познакомить детей с общими приемами устного сложения и вычитания, как основывающимися на разложении числа на десятичные группы. Так, например, зная, что 37 состоит из 3 десятков и 7 единиц, а 26 — из 2 десятков и 6 единиц, ученик сложит эти два числа следующим образом: 1) 30 4-20 = 50; 2)74-6 = 13; 3) 504- 13 = 63 или же, после навыка в предыдущем, так: 1) 374-20 = 57; 2) 57 4-6 = 63 Правда, знакомство с общими приемами счисления было и в пределе чисел от 1 до 20, но здесь оно вследствие малой обла¬ сти чисел выступало недостаточно выпукло. С изучением первой сотни не следует спешить, ибо на знании первой сотни всецело основаны быстрота и навык в обращении С большими числами. § 23. НУМЕРАЦИЯ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 100. Устная нумерация. Счет до 100 должен начаться со знакомства детей с образо¬ ванием любых двузначных чисел, ибо, лишь зная образование двузначных чисел из совокупности десятков и единиц, дети могут сознательно производить счет чисел в пределе первой сотни. Образование чисел первой сотни проще и доступнее всего можно представить на палочках, связывая их по десяти в каждый пучок и беря отдельно несколько (не более 9) палочек. Учитель кладет на стол палочки, числом, например, 24 и ведет с детьми такую беседу. 1. а) Образование двузначных чисел соединением полных десятков с единицами. „Сосчитайте эти палочки. Сосчитав каж¬ дые 10 палочек, свяжите их в пучки. Сколько вышло пучков?“ (2.) „Сколько это отдельных палочек? Сколько палочек рядом с пучками? 20 палочек и 4 палочки — как назвать по-другому, коро¬ че?" (24 палочки.) „Как еще короче сказать?" (24.) б) Разложение двузначных чисел на десятки и единицы. Учитель кладет на стол, например, 4 пучка палочек, по 10 пало¬ чек в каждом пучке, и рядом с ним 2 отдельные палочки. „Сколько здесь всего палочек? Сколько здесь пучков палочек (десятков)? Сколько рядом с ними отдельных палочек (единиц)? 42 равно скольким десяткам и сверх того скольким единицам?" При разложении двузначных чисел на десятки и единицы следует обратить особое внимание на такие числа, которые §4
отчасти сходны по произношению и изображению одними и теми же цифрами. Таковы, например, числа 23 и 32, 56 и 65, 87 и 78. 2. Сопоставление счета от 10 до 20 со счетом от 20 до 100. Чтобы дети лучше усвоили нумерацию числа от 20 до 100, сле¬ дует сопоставлять ее со счетом чисел от 11 до 20. Путем сопо¬ ставления дети, с одной стороны, видят сходство в образовании чисел, а с другой стороны, усматривают различие в названии и начертании чисел; как мы уже ранее видели, во всех числах вто¬ рого десятка, начиная с 11 и кончая 19, при произношении числа сначала называются единицы, а потом десятки, при письме же этих чисел сначала обозначается десяток, а потом единицы; во всех же остальных двузначных числах произносятся и пишутся сначала десятки, потом единицы. 3. Прямой и обратный счет до 100. Мы советуем вести этот счет сначала по частям: сперва от 20 до 30 и обратно — от 30 до 20, а потом от 30 до 40 и обратно и т. д. Такой счет легче для детей, а особенно обратный, чем если вести его непрерывно от 1 до 100 и обратно. Сюда же следует отнести упражнения в таком счете: 21, 31, 41, ... 91; 22, 32, ... 92; 23, 33 и т. д., кончая 29, 39, ... 99. Пу¬ тем такого счета дети лучше узнают, что при счете двузначных чисел от одного любого десятка до другого любого соседнего десятка единицы повторяются в одном и том же неизменном порядке, что дает возможность сознательнее и прочнее усвоить нумерацию. При непрерывном счете как прямом, так и обратном детей почти всегда затрудняет переход через полные десятки, а имен¬ но-. сосчитав, например, до 59, дети нередко далее говорят: „пятьдесят десять", вместо того чтобы сказать „шестьдесят". При обратном же счете, дойдя, допустим, до 90, дети останав¬ ливаются, затрудняясь назвать „восемьдесят девять". Чтобы по¬ мочь детям, необходимо обратиться к палочкам. „В числе 59 сколько десятков и сверх того сколько единиц? Значит, сколько пучков палочек по 10 палочек в каждом пучке и сколько отдельных палочек надо взять, чтобы получить чи¬ сло 59? Прибавьте к 9 палочкам 1 палочку—сколько будет палочек? Сколько вот таких пучков можно сделать из них?" (1 пучок.) „Сколь со гсего пучков теперь?" (6.) „Сколько отдельных палочек в 6 пучках? Какое же число следует за 59?“ Допустим, что при обратном счете от 100 дети дошли до 90 и далее затрудняются назвать число 89. Тогда учитель берет 9 пучков палочек, по 10 палочек в каждом пучке, и ведет, пример¬ но, такую беседу с детьми. „Как от 9 пучков отнять 1 палочку?" (Надо один пучок раз¬ вязать и рзять из него 1 палочку.) „Про пучок говорят: „надо его развязать", а про десяток говорят: „надо его раздро¬ бить в единицы и взять одну единицу". Сколько пучков и сверх того сколько отдельных палочек осталось теперь?"(8 пуч¬ ков' и 9 палочек.) „Сколько это составит отдельных палочек?" (89.) „Какое же число находится перед 90?" 55
4. Место любого двузначного числа в ряду других дву¬ значных чисел. 1) „Какое число следует за 32?“ 2) „Какое число находится перед 46?“ 3) „Какое число находится между 59 и 61?“ 4) „Между какими двумя числами находится число 30?“ Письменная нумерация. Упражнения следующие. 1) Учитель пишет на доске цифрами числа и предлагает детям прочесть их, спрашивая у них объ¬ яснения, почему они прочли так, а не иначе. Делается это так, как было при прохождении нумерации в пределах чисел 2-го десятка. 2) Дети пишут цифрами число под диктовку учителя. Как в первом, так и во втором случае полезно: а) сопоставить нумерацию полных десятков и чисел 2-го десятка с любыми двузначными числами, как, например, 50, 15, 55; б) давать такие парные числа, которые пишутся одинаковыми цифрами, как, напри¬ мер, 25, 52. Это способствует более сознательному и прочному усвоению письменной нумерации чисел первой сотни.3) Кто-либо из детей называет какое-либо число и записывает его на доске, а остальные записывают у себя в тетрадях. § 24. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. Подобно ступени чисел от 1 до 20 в пределе чисел от 1 до 100 нужно проходить сложение и вычитание совместно, ибо совместное прохождение этих действий, с одной стороны, вносит разнообразие в занятие, а с другой стороны, более соответствует дидактическому началу — переходить от более легкого к более трудному. И в самом деле, после того как дети научатся скла¬ дывать такие случаи, как, например, 24 -[-3, им легче потом от 27 отнять 3, чем дожидаться, пока не усвоят всех случаев ело-1 жения — вплоть до самого трудного случая, например: 48-[-37. Наиболее целесообразно располагать упражнения на сложение и вычитание по следующим группам: A. Сложение и вычитание без перехода через десяток. Б. Сложение и вычитание в тех случаях, когда от сложения единиц получается число, равное десяти, и когда уменьшаемое состоит из полных десятков, а вычитаемое — число однозначное или двузначное. B. Сложение и вычитание с переходом через десяток. А. Сложение и вычитание без перехода через десяток. Здесь можно различить следующие случаи: 1. а) К полным десяткам прибавляются единицы, например 20-}-5. Этот случай нисколько не затрудняет дегей, ибо он осно¬ ван на знании нумерации первой сотни. Не затрудняет детей и обратный случай, когда надо к одно¬ значному числу прибавить двузначное, например: 4 -}- 50. 6) Этому случаю сложения соответствует тот случай вычи¬ тания, когда от двузначного числа надо отнять единицы. Так, например: 25 — 5. Он точно так же не представляет затруднения 56
для детей, ибо основан на умении разложить число на десятич¬ ные группы (25 = 20 + 5). 2. а) Второй случай сложения в этой группе — прибавление к двузначному числу однозначного без перехода через деся¬ ток. Этот случай основан на знании сложения в пределе 10. Поэтому надо поставить его в связь со сложением первого десятка. Сначала надо дать сложить однозначные числа, а потом дать двузнач¬ ное число. Например, сначала 5-[-2, а потом 25 -f- 2, 45 + 2, 65 + 2, 75 + 2, т. е. чтобы единицы во всех первых слагаемых были одни и те же (5), точно так же и во вторых слагаемых (2). Из этих примеров дети увидят, что при этом случае сложения изме¬ няются только единицы (5 + 2=7), а десятки остаются без пе¬ ремены (25 + 2 = 27; 45 + 2 = 47 и т. д.). Раз дети поймут прибавление однозначного числа к двузнач¬ ному, то не затруднит их и обратный случай — прибавление двузначного числа к однозначному (6 + 42). б) Точно так же соответствующий случай вычитания надо поставить в связь с вычитанием в пределе 1-го десятка, чтобы дети видели, что при этом случае вычитания изменяются только единицы, а десятки остаются без- перемены. Поэтому сначала надо проделать примеры в таком роде: 8 — 2, 28 — 2, 48 — 2, 68 — 2 и подобные. 3. а) Сложение двузначного числа с полными десятками (24 + 20, 40 + 35). Если дети затрудняютсл ответить на вопрос: „Сколько будет 24 и 20?“, то надо поступить так: „24 состоит из скольких десятков и сверх того из скольких единиц?" (Из 2 де¬ сятков и 4 единиц.) „Что же сначала надо сложить?" (20 + 20 = 40.) „Потом что сделаете?" (40 + 4 = 44.) „Итак, сколько же будет к 24 прибавить 20?" Точно так же к 40 прибавляется 35. Дети должны понять, что при этом случае складываются только де¬ сятки, а единицы остаются без изменения. Раз дети поймут это, то после нескольких упражнений они сразу делают сложение в подобных случаях. б) После указанного случая сложения будет понятен детям и соответствующий случай вычитания (45—20). Если бы дети затруднялись в вычитании этого случая, то, подобно случаю на сложение, надо уменьшаемое разложить на десятичные группы, т. е. на десятки и единицы. Пусть дано: 45 — 20. „Из скольких десятков и сверх того единиц состоит число 45? Как же вы будете отнимать 20 от 45?" (40 — 20 = 20.) „Потом что сделаете?" (20 + 5 = 25.) „Итак, сколько же будет 45 без 20?" в) Сюда же мы относим и тот случай вычитания двузначного числа из двузначного, когда число единиц уменьшаемого равно числу единиц вычитаемого. Пусть дано: 86 — 46. В случае затруднения надо разложить вычитаемое (46) на десятичные группы и вычесть сначала де¬ сятки (40), потом единицы (6). Следует обратить внимание детей на то, что в подобных примерах единицы в уменьшае¬ мом и вычитаемом одинаковые, а потому надо вычитать только десятки. 57
4. а) Сложение двузначных чисел, сумма единиц которых меньше десяти (46 + 32). В этом случае сложение можно делать двояко: 1) 40 + 30 = 70; 6 + 2=8; 70 + 8 = 78; 2) 46 + 30 = 76; 76 + 2 = 78. Первый прием легче второго, но зато длиннее. Следует приучить детей ко второму приему. В случае затруднения надо поступать так: „Число 32 состоит из скольких десятков и сверх того из скольких единиц?" (32 состоит из 3 десятков и 2 единиц.) „Как же вы сложите 46 и 32?“ (46 + 30 = 76; 76 + 2 = 78.) б) Вычитание из двузначного числа двузначного, когда число единиц уменьшаемого больше числа единиц вычитае¬ мого (58— 23). Подобно соответствующему случаю сложения, это вычитание можно делать двояко: 1) 50 — 20 = 30; 8 — 3=5; 30 + 5 = 35; 2) 58 — 20 = 38; 38 — 3 = 35. Второй прием короче и лучше первого. Поэтому надо при¬ учить детей ко второму приему. В случае затруднения поступить так же, как и при соответствующем случае сложения. Б. Остальные случаи сложения и вычитания без перехода через десяток. 1. а) Сложение двузначного числа с однозначным, когда сумма единиц слагаемых равна десяти (25 + 5, 7 + 43). Особен¬ ность этого случая та, что в нем единицы одного слагаемого дополняют до 10 единицы другого слагаемого. Надо достигнуть того, чтобы дети сразу находили сумму таких слагаемых. В случае затруднения можно поступить так: „Число 25 состоит из скольких десятков и сверх того из скольких единиц? Как же вы будете складывать 25 и 5?“ (5 + 5 = 10, 10 + 20 = 30.) Здесь полезно ввести счет пятерками до ста, что имеет практическое значение и вносит разнообразие в занятия. б) Вычитание из полных десятков однозначного числа (30-4). Этот случай сравнительно с соответствующим случаем сложения дети усваивают труднее. Поэтому следует воспользо¬ ваться пучками палочек. „Вот здесь 3 пучка палочек, по 10 па¬ лочек в каждом. Как вы отнимете от них 4 палочки?" (Развяжем 1 пучок и возьмем из него 4 палочки.) „Сколько палочек оста¬ нется в нем?" (6.) „А сколько всего палочек останется?" (26.) „Сколько же будет от 30 отнять 4?" 2. а) Сложение двузначных чисел, сумма единиц которых равна десяти (28 + 12.) Этот случай стоит в самой тесной связи с предыдущим и основан на разложении числа на десятки и единицы. Это сложение можно делать двумя способами: 1) 20+10 = 30; 8 + 2=10; 30+10 = 40; 2) 28+ 10 = 38; 38 + 2 = 40 (или же 28 + 2 = 30; 30+10 = 40). Следует приучить детей ко второму способу, как более скорому.
б) Вычитание из полных десятков двузначного числа (50 — 23). Прием выполнения этого случен основан на разложе¬ нии одного из чисел (в данном случае вычитаемого) на десятки и единицы и заключается в вычитании сначала десятков, потом единиц. В случае затруднения следует обратиться к пучкам палочек. вВ 50 сколько десятков? Возьмите 5 пучков, по 10 палочек в каждом пучке. А в числе 23 сколько десятков и сверх того сколько единиц? Сколько же сначала вы отнимете от 5 пучков?” (2 пучка.) „Сколько останется?” (3 пучка.) „Что дальше сде¬ лаете?” (От 3 пучков возьмем 1 пучок, развяжем его и возьмем 3 палочки, останется 7 палочек.) „А сколько всего останется?” (2 пучка и 7 палочек, или 27 палочек.) „Сколько же будет от 50 отнять 23?” Этот случай сложения и вычитания потруднее предыдущего. Поэтому на нем надо остановиться несколько дольше. В. Сложение и вычитание с переходом через десяток. Это самая трудная группа на сложение и вычитание в пре¬ деле 100. Поэтому на ней надо остановиться дольше. Здесь раз¬ личаются следующие 2 случая. 1. а) Сложение двузначного числа с однозначным, когда сумма единиц слагаемых больше десяти (28 + 4) и обратный случай (6 + 38). Этот случай сложения основан на дополнении двузнач¬ ного числа до полных десятков. Поэтому прежде чем давать складывать двузначное число с однозначным, надо упражнять детей в дополнении двузначных чисел до полных десятков, пред¬ лагая вопросы вроде следующих: 1) „Сколько в 28 недостает до 30?” 2) 47 и какое число составляют 50?” Усвоив это, дети должны сразу раскладывать другое слага¬ емое на 2 числа. Так, в примере (28 + 4) дети, зная, что в 28 недостает 2 до 30, сразу раскладывают 4 на два числа — 2 и 2, и затем сначала прибавляют 2 к 28, а потом к полученному при¬ бавляют еще 2. Для этого случая сложения можно указать и другой способ, который основан на знании таблицы сложения в пределе 20, так что, прежде чем складывать двузначное число с однозначным, надо дать сложить однозначное число с однозначным и затем уже двузначное с однозначным, причем, чтобы число единиц во втором" случае было то же, что и в первом. Так, например, после того как дети сложат 8 и 6, им дается сложить 28 и 6, 48 и 6, 68 и 6 и т. п. Первый прием (основанный на дополнении) легче второго, но надо познакомиться и со вторым, ибо этот последний пригодится для следующего случая сложения. Сюда же надо отнести счет равными группами, т. е. после¬ довательное прибавление однозначных чисел, начиная с 2 и кончая 9, например: 19 + 2... до 97 + 2; 19+3... до 96 + 3; 18 + 4... ,до 94 + 4 и т. д. Это развивает беглость счета. §9
б) Вычитание из двузначного числа однозначного, когда оно больше единиц уменьшаемого (43 — 8). Этот случай вычи¬ тания можно производить двумя способами. Первый способ состоит, так сказать, из 3 моментов: 1)43 — 3 = = 40, т. е. вычитаются единицы до полных десятков; 2) вычитае- - мое 8 разлагается на 2 числа — на 3 и на 5 (8 = 3 —{— 5); 3) 40 — 5 = = 35. Второй момент происходит очень быстро, так что, собст¬ венно, заметны 2 момента: 1) 43 — 3 = 40; 2) 40 — 5 = 35. Второй способ основан на знании таблицы вычитания в пре¬ деле 2.1. Поэтому упомянутому упражнению должно предшество¬ вать упражнение на вычитание в пределе 20. Так, давши пример: '2 — 6, учитель предлагает примеры: 42 — 6; 62—6; 82 — 6, т. е. такие, где встречается то же самое число единиц, что и в нер¬ вом примере (12 — 6). Решаются эти примеры так. Возьмем пример: 42 — 6. 1) 12 — 6 = 6; 2) 30 + 6 = 36. Когда дети усвоят это, надо давать примеры без подготови¬ тельных упражнений, а именно: 36 — 8. Дети мысленно разлагают 36 на два числа: 20 и 16, отнимают 8 от 16, полученное число прибавляют к 20; 1) 36 = 20 + 16; 2) 16—8 = 8; 3) 20 + 8 = 28. Обычно первый момент вычисления (36 = 20+16) делается сразу и мысленно. К этому же виду вычитания надо отнести последовательное вычитание однозначных чисел, начиная с 2 и кончая 9, например: 99 — 2... до 19 — 2; 100 — 5... до 10 — 5 и т. д. Это развивает быстроту счета. 2. а) Сложение двузначных чисел, когда сумма единиц больше десяти (48 + 26). Это самый трудный случай сложения в пре¬ деле 100. Поэтому на нем надо остановиться дольше. Этот случай сложения можно производить двояко. Первый способ основан на разложении двузначного числа на десятки и единицы. Он заклю¬ чается в том, что оба слагаемых разлагаются на десятки и единицы и. складываются сначала десятки, потом единицы и, наконец, полученные числа: 1) 40 + 20 = 60; 2) 8 + 6 = 14; 3) 60+14 = 74. Этот способ общий, основной. Поэтому он дол¬ жен быть усвоен детьми безошибочно. Когда дети освоятся с этим способом, надо показать им другой, более скорый, где приходится делать сложение 2 раза: 1) 48 + 20 = 68; 2) 68 + 6 = 74. Этот прием, хотя более скорый, чем первый, но труднее его. Кроме этих общих способов, весьма желательно познакомить детей со следующим частным приемом. Возьмем пример: 25 + 29. Частным приемом можно решить его так: 1) 25 + 30 = 55; 2) 55—1=54. Детям объяснить это можно так: „29 — это почти 30. А что легче прибавить к 25 — 30 или 29?“ (30.) „Прибавьте 30 к 25“. (25 + 30 = 55.) „Дальше что сделаете?" (55—1=54.) „Почему от 55 отнимают 1?“ (Потому что мы прибавили одну единицу лишнюю.) „Сколько же будет 25 и 29?“ 6Q
Этот прием весьма облегчает вычисление. Поэтому знаком¬ ство с ним желательно. б) Вычитание двузначного числа из двузначного, когда число единиц вычитаемого больше числа единиц умень¬ шаемого (42 — 26). Этот случай самый трудный в пределе первой сотни. Поэтому он требует особого внимания со стороны учителя и детей, а также значительного упражнения. Для этого случая надо употреблять такой прием: из первого числа (уменьшаемого) вычитаются десятки второго числа (вычи¬ таемого), а потом из полученного числа вычитаются единицы второго числа, т. е. так: 1) 42—20 = 22; 2) 22—6 = 16. Кроме рекомендуемого нами общего приема, желательно по¬ знакомить детей со следующим частным приемом. Пусть дано 46—19. Делается это так: 1) 46—20 = 26; 2) 26-4-1 = 27, а детям объясняется так: „19—это почти сколько?” (Почти 20.) „А что легче отнять от 46: 20 или 19?“ (20.) „Отнимите". (46—20=26.) „Дальше что сделаете?* (26-[-1 = 27.)*) „Почему вы прибавили единицу к 26?“ (Потому что мы отняли одну единицу лишнюю.) „Сколько же будет: 46 без 19?“. Примечание 1. Дети иногда указывают свои приемы вычисления. Такую самостоятельность детей надо поощрять, хотя бы эти приемы и не так быстро вели к цели, как указанные учителем. Одобрив такой прием, надо указать желательный прием. Есть много приемов вычисления, но не только нет необхо¬ димости знакомить со всеми ими детей, а напротив, не следует делать этого, ибо такое разнообразие приемов только сбивает детей, не давая возможности усвоить им главные приемы вы¬ числения. Примечание 2. Если при сложении подобных примеров дети забывают числа, то необходимо записывать их на доске. § 25. СОВМЕСТНОЕ ИЗУЧЕНИЕ СОСТАВНЫХ ИМЕНОВАННЫХ И ОТВЛЕЧЕННЫХ ЧИСЕЛ. Составные именованные числа надо изучать совместно с от¬ влеченными, ибо над первыми производятся те же самые действия, что и над последними. Принимая это во внимание, целесообразно изучать раздробление в связи с умножением отвлеченных чисел, превращение в связи с делением отвлеченных чисел, сложение составных именованных чисел в связи с превращением, вычитание составных именованных чисел в связи с раздроблением, умноже¬ ние составных именованных чисел в связи с превращением и деление составных именованных чисел в связи с раздроблением. Сложение и вычитание производятся только над двух¬ составными именованными числами, например рублями и ко¬ пейками, метрами и дециметрами, метрами и сантиметрами и т. п. !) Этот прием удобен тогда когда вычитаемое так называемое закругли- м о е число, т. е. близкое к полным десяткам. 61
Сложение и вычитание составных именованных Чисел в Пределе 100 по программе полагается прорабатывать без раздробления и превращения. Все вычисления производятся устно. Численные примеры лучше располагать столбцом, вот так: ,8 р. 45 к. , 12 р. 36 к. 9 р. 75 к. 24 р. 80 к. 4 р. 20 к. 15 р. 24 к. 5 р. 40 к. 12 р. 48 к. Вычисление можно начинать с высших и с низших наименований. Вычисление производится так. Возьмем первый пример. К 8 руб. прибавить 4 руб.—получится 12 руб.; 12 руб. пишем под чертой под рублями; к 45 коп. прибавить 20 коп.— получится 65 коп.; 65 коп. пишем под чертой под копейками. Итак, всего получится 12 руб. 65 коп. Так же можно рассуждать, начиная сложение с копеек. Окончательная запись примет такой вид: ,8 р. 45 к. ”Г4 р. 20 к. 12 р. 65 к. § 26. ТАБЛИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ В ПРЕДЕЛЕ 100. 1. Вопрос об обучении детей таблицам умножения и деле¬ ния — весьма важный вопрос в методике арифметики. Если це¬ лые числа составляют основное содержание математики в началь¬ ной школе, то таблицы умножения и деления занимают центральное место в области целых чисел. Без знания таблиц умножения и деления потребовалась бы громадная затрата времени и энергии для производства действий над большими числами. 2. Таблица умножения, равно как и таблица деления, прохо¬ дится в нашей методической литературе в двух разделах: в раз¬ деле „числа от 1 до 20“ и в разделе „чисел 1-й сотни“. Самая важная и трудная часть таблиц умножения и деления — это таблица умножения и деления в пределе 100. 3. Табличное умножение и деление можно изучать совместно, причем можно проходить их не по естественному ряду чисел, т. е. сперва на 2, затем на 3, далее на 4 и т. д., а по внутрен¬ нему сходству групп, т. е. а) умножение и деление на 2, на 4, на 8; б) умножение и деление на 3, на 6, на 9; в) умножение и де¬ ление на 5; г) умножение и деление на 7. Такие сродные группы помогают друг другу и облегчают усвоение таблиц умножения и деления. 4. Порядок изучения каждого случая таблиц умножения и де¬ ления такой: а) усвоение приема или приемов умножения и деления на наглядных пособиях; б) сопоставление каждого случая умно¬ жения с соответствующим случаем деления; в) упражнения в решении численных примеров; г) письмо на память каждого случая умножения и деления; д) решение задач для применения таблиц умножения и деления1); е) повторение предыдущего и пре¬ дыдущих случаев умножения и деления. !) Решение простых задач на умножение целесообразно предпосылать изу* чению каждого случая таблицы умножения. 62
Умножение 4. 1. Сначала идет прямой Счет четверками от 4 до 40 так: 4 да 4 = 8—взяли 2 четверки; 8 да 4=12—взяли 3 четверки; 12 да 4 = 16—взяли 4 четверки и т. д. до 40, т. е. до 10 четверок. Особенность этого упражнения та, что дети не только считают, но и называют результаты счета, стараясь запомнить их. После прямого счета тотчас идет обратный счет, начиная с 40. Запомнив, что 10 четверок составляют 40, дети от 40 отнимают 4—получается 36 и говорят: 9 четверок = 36; от 36—4 = 32, 8 четверок = 32 н т. д. до 4. Прямой и обратный счет чет¬ верками прорабатывается на таком наглядном пособии (рис. 29). Этот чертеж составлен так, что в каждом ряду находится по 10 квадратов, ибо это облегчает счет квадратов, давая ребенку возмож¬ ность сразу „глазами” найти конечный результат счета. Каждая пара квадратов имеет особый вид (одна четверка квадратов заштрихована, другая нет). Это сделано с целью удобства счета четверками при восприятии их зрением. Сосчитав, например, 9 четверок, ребенок сразу видит, что они занимают 3 полосы квадратов, по 10 квадратов в каждой полосе и еще 6 квадратов в 4-й полосе, т. е. 30 + 6 = 36. Подобный чертеж в увеличенном размере дети делают на бума¬ ге, первые четыре квадрата окрашивают в черный или красный цвет, следующие 4 квадрата не раскрашивают, следующие 4 квад¬ рата окрашивают в другой (красный или черный) цвет и т. д. 2. Затем идет групповой счет в таком порядке: 2 четверки составляют 8, еще 2 четверки составляют 8, 8 да 8 = 16, всего взяли 4 четверки; еще 4 четверки=16, 16 да 16 = 32; всего взяли 8 четверок,—т. е. сперва берется 2 четверки, затем 4 чет¬ верки и, наконец, 8 четверок, и получается такая часть таблицы: 4X2 = 8; 4X4=16; 4X8 = 32. Далее идет счет по 3 четверки так:3 четверки составляют 12, еще 3 четверки = 12, 12 да 12 = 24, всего взяли 6 четверок; еще 3 четверки=12, 24 да 12 = 36, всего взяли 9 четверок.— т. е. сперва берется 3 четверки, затем 6 четверок и, наконец, 9 чет¬ верок, и получается такая часть таблицы: 4X3=12; 4X6=24; 4X9 = 36. После этого берется 5 четверок и, наконец, берется 7 четверок так: (4 X 5) + (4 X 2) = 20 + 8 = 28, и получается такая часть таблицы: 4X5 = 20, 4X7 = 28. Г рупповой счет надо производить наглядно (графически) так: Пусть дано 4X8. На доске и в тетрадях дается такая запись: 16 16 4 + 4 + 4+4 + 4 + 4+ 4 + 4 = 4X8 = 32, 8 8 63
т. е. учитель на доске, а ученики в тетрадях в строчку пишут 8 четверок, из них две пары четверок подчеркивают, каж¬ дую пару особо, чтобы показать, что берем по две четверки, а под чертой пишется результат (8); затем над четырьмя чет¬ верками проводится дуга, чтобы показать, что взято 4 четверки, и над дугой пишется результат (16); затем над другими четырьмя четверками проводится дуга и пишется результат (16); далее скла¬ дываются 16 и 16, и после этого в строчку после знака ра¬ венства записывается сокращенно, что 4, взятое 8 раз, равно 32. Также графически проделывается групповой счет по 3 четверки: 24 4+Т+4 +4+4 + 4 + 4 + 4 -1- 4 = 4 X 9 = 36. 12 12 12 Деление по 4. 1. Сначала идет прямой счет четверками от 4 до 40 так: 4 да 4 составляют 8, в 8 две четверки; 8 да 4= 12, в 12 три четверки; 12 да 4 = 16, в 16 четыре четверки и т. д. до 40. После прямого счета тотчас идет обратный счет, начиная с 40. Запомнив, что в 40 десять четверок, дети от 40 отнимают 4— по¬ лучается 36, и говорят: в 36 девять четверок; 36—4 = 32, в 32 восемь четверок и т. д. до 4. 2. Затем идет такой прием деления: делимое разлага¬ ется на 2 слагаемых, из которых одно всегда 20, а другое — остальная часть делимого; каждое из этих слагаемых делится на 4 и полученные частные складываются, другими словами: деление по 4 в пределе 40 сводится к делению по 4 в пределе 20. Пусть дано 36:по 4. Надо: 1) 36 = 20+16; 2) 20:по 4 = 5; 3) 16:по 4 = 4; 4) 5 + 4 = 9. Этот прием деления н а г л я д н о (гра- ———————— фически) можно представить так (рис. 30). Рис. 30. „Вот прямоугольник из 32 квадрати¬ ков по 4 квадратика в каждом столбике. Сколько столбиков составят 20 квадратиков? Сколько столбиков составят остальные квадратики? Сколько столбиков во всем прямо¬ угольнике? Сколько же будет 32 разделить по 4? Как же вы разделили 32 по 4?“ 3. Деление по 4 надо связать с умножением 4. Например: „Если вы знаете, что 4, взятое 7 раз, будет 28, то сколько будет 28 разделить по 4?“. „Если вы забыли, сколько будет 36 разделить по 4, то вспомни¬ те, сколько раз надо взять 4, чтобы получить 36“. Умножение на 4. Для лучшего усвоения умножения на 4 надо пользоваться умножением четырех А для этого необхо¬ димо познакомить детей со свойством переместитель¬ ности умножения, сущность которого (свойства) заключается в том, что от перемены места сомножителей (множимого и множи¬ теля) произведение не изменяется (см. умножение в пределе 20, стр. 35). 64
детьми еще раз при умножении 4 X 7— 7 X 4 X 8= 8 X 4 X 9= 9 X 4 X 10 X Это свойство умножения надо проработать с графически по образцу того, как это сделано в пределе 20 (см. стр. 36 и 37). После наглядной (графической) проработки этого свойства надо упражнять детей в решении таких примеров: 4 х 2 = 2 X 4 = 8 4 X 8 = 3 X = 4 X 5 = 5 X = 4 X 6 = 6 X = Деление на 4 равные части. Это деление основано на знании таблицы деления в пределе 20 и состоит из 4, так ска¬ зать, моментов: разложения данного числа на 2 слагаемых, из которых одно всегда равно 20, деления каждого слагаемого на 4 и сложения полученных результатов. Пусть дано 32:4. Надо: 1) 32 = 20 + 12; 2) 20:4 = 5; 3) 12: 4=3; 4) 5 + 3 = 8. Сопоставление умножения на 4 и деления на 4 равные части. 1. Для лучшего усвоения таблицы деления надо сопоставлять ее с соответствующими случаями таблицы умножения. Например: „Если вы знаете, что 8, взятое 4 раза, равно 32, то сколько будет 32 разделить на 4 равные части? Если вы забыли, сколько будет 28 разделить на 4 равные части, то вспомните, какое число надо взять 4 раза, чтобы получить 28?“ 2. Когда будут пройдены все виды умножения и деления на 4, тогда для лучшего усвоения таблицы умножения и деления на 4 полезно сопоставлять эти виды, предлагая такого рода примеры: 6X4 = 8X4 = 4X6 4X8 24 : 4 32: 4 24:по 4 32:по 4 8X4 = 10X4 = 32 : 4 40 : 4 4X8 4ХЮ 32: по 4 40 : по 4 7X4 = 9X4 = 28 : 4 36 : 4 4X7 4X9 28 : по 4 36 : по 4 10X4 = 4ХЮ 40 : 4 40 : по 4 7X4 = 4X7 28 : 4 36 : по 4 Примечание. Такое сопоставление надо делать при умножении и делении и на остальные однознач¬ ные числа. 3. Чтобы оживить изучение таблиц умножения и деления, необходимо каждый случай Умножения и деления связы¬ вать с игрой в молчанку. Она 5 Д. Л. Волковский Рис. 31. состоит в следующем (рис. 24 . 31). 65
Круги с числами чертятся на доске или же на особом листе 1 и кнопками прикрепляются к доске. Учитель, молча, рукойвызы-И вает учеников по одному к доске, молча указывает те числа, П которые надо перемножить или разделить. Вызванный ученик, написав ответ на доске, идет на место, к доске вызывается другой. Если ответ написан неверно, этот пример решается другим учеником. Остальные случаи умножения и деления. Остальные случаи умножения и деления прорабатываются по образцу умножения и деления на 4. Поэтому мы подробно останав¬ ливаться на остальных случаях не будем, а укажем только осо¬ бенности приемов умножения и деления в некоторых случаях. Деление на 5 равных частей. Один из приемов деления на 5 равных частей основан на делении на 10. Пусть дано 30 разделить на 5. Объяснить это детям можно так: „В 30 сколько десятков? В одном десятке сколько пятерок?” (2 пятерки.) „Сколь¬ ко пятерок в 3 десятках?” (6 пятерок.) „Итак, сколько же будет 30 разделить на 5 равных частей?” (6.) Возьмем другой пример, состоящий из десятков с ёдини- цами, например, 35. „В 35 сколько десятков и сверх того сколько единиц?” (3 десятка и 5 единиц.) • „Сколько пятерок в одном десятке? Сколько в 3 десятках? Сколько всего пятерок в 35?” (7.) Деление по 7. Кроме прямого счета семерками от 7 до 70 и обратного счета семерками от 70 до 7 по примеру деления по 4 можно указать другой прием деления по 7. Для облегчения таблицы деления по 7 можно разбить ее на 2 части: первая часть кончается числом 35, а вторая обнимает область чисел от 35 до 70. 1. Первая часть основана на знании таблицы деления в пре¬ деле 20, т. е. на умении сразу разделить 14 по 7. Поэтому, чтобы разделить, например, 28 по 7, надо поступить приблизительно так: „Сколько семерок в 14?“ (2 семерки.) „Еще сколько осталось разделить по 7?” (14.) „Сколько же всего се¬ мерок в 14 да в 14, т. е. в 28?” (4 семерки.) Чтобы разделить 35 по 7, надо поступить так: „Сколько семерок в 70?” (10.) „А сколько будет половина 70?” (35.) „Если в 70 десять семерок, то сколько семерок в половине 70, т. е. в 35?” (5 семерок.) „Итак, сколько же будет 35 разделить по 7?” (5.) „Как легче узнать, сколько в 35 семерок?” (В 70 десять семерок, а в половине 70, т. е. в 35, в два раза меньше, т. е. 5 семерок.) 2. Что касается чисел, больших 35, то они при делении по 7 разлагаются на 2 слагаемых, из которых одно все¬ гда равно 35, а другое—остальная 1асть данного числа. Чтобы разделить, например, 56 по 7, надо поступить так'- „Сколько семерок в 35?” (5.) „Почему мы взяли 35, а не другое число?” (Потому, что его легко разделить по 7.) „Еще сколько осталось разделить по 7?” (От 56 отнять 35 —будет 21.) „Сколь¬ ко семерок в числе 21?” (3 семерки.) „Сколько всего семерок 66 Л
5 семерок да 3 семерки?* (8 семерок.) „Итак, сколько же семерок в 56?“ (8 се¬ мерок.) Деление по 7 графически можно представить так (рис. 32). „Вот прямоугольник из 35 квадрати¬ ков, по 7 квадратиков в каждой полосе. Сколько полос составят первые 14 квадрати¬ ков? (2.) „Следующие 14 квадратиков?” (2.) „Остальные квадратики?* (1.) „Сколько полос во всем прямо¬ угольнике?" (5.) „Сколько же будет 35 разделить по 7? Как же вы разделили 35 по 7?“ Умножение на 7. 1. Часть этой таблицы (3, 4, 5 X 7) основана на знании таблицы умножения в п ре д ел е 20. Так, что¬ бы умножить 3 на 7, надо сперва 3 умножить на 6, потом к полу¬ ченному (18) прибавить 3. Чтобы умножить 5 на 7, надо: 1) 5 X 4; 2) 5X3; 3) 20+ 15. 2. Часть таблицы (6, 7, 8, 9 X 7) основана на з н а н и и табли- лы умножения на 3. Так, чтобы умножить 7 на 7, надо: 1)7X3 = 21; 2) 21 +21 =42; 3) 42 + 7 = 49. 3. Если же дети хорошо знают таблицу умножения на 5, тогда можно основать умножение на 7 на этом случае умножения. Это лучше делать тогда, когда умножаются 6, 7, 8, 9 на 7. В этом случае каждое из этих чисел умножается сперва на 5, потом на 2 и затем полученные числа складываются. Пусть, например, да¬ но 6X7. Надо: 1) 6X5 = 30; 2) 6X2 = 12; 3) 30+12 = 42. Деление на 7 равных частей. Для облегчения усвоения табли¬ цы деления на 7 равных частей числа, делящиеся на 7, можно разбить на следующие 3 группы: 1) 14, 28 и 56, т. е. каждое по¬ следующее число больше предыдущего в 2 раза; 2) 21, 42 и 63, т. е. числа соответственно в 3, в 6 и в 9 раз больше 7; 3) 35 и 49. 1) Деление указанных чисел на 7 равных частей основано на знании таблицы деления в пределе 20, т. е. на умении сразу разделить 14 на 7 равных частей. Поэтому, чтобы разде¬ лить, например, 28 на 7 равных частей, надо поступить так. „Сколько будет 14 разделить на 7 равных частей?" (2.) „Еще сколько осталось разделить на 7 равных частей?" (14.) „Разде¬ лите. Дальше что сделать?11 (Сложить 2 и 2 — будет 4.) После 28 надо разделить на 7 равных частей 56, т. е. 28 да 28, получится 4 да 4, т. е. 8. И получается такая часть таблицы деления: 14:7 = 2; 28:7 —4; 56:7 = 8. 2) Далее делятся на 7 равных частей группа чисел: 21, 42, и 63. 21 разлагается на 2 слагаемых: 14 и 7, каждое слагаемое делит¬ ся на 7 равных частей и полученные частные складываются. 42 разлагается на 21 и 21, и каждое число делится на 7 равных частей, 63 разлагается на 21, 21 и 21, и каждое число делится на 7 равных частей. И получается такая часть таблицы деления на 7 равных частей: Рис. 32. 5* 21:7 = 3; 42:7 = 6; 63:7 = 9. 67
3) Затем делятся 35 и 49 на 7 равных частей. 35 разлагается на 28 и 7, или же на 14 + 14 + 7. 49 разлагается на 35 и 7, или же на 28 и 21, или же на 214-214-7, или же, в крайнем случае, на 14 4-14+14 4-7. И получается такая часть таблицы деления на 7 равных час¬ тей: 35:7 = 5, 49:7 = 7. Следует ли учить таблицы умножения и деления наизусть? Следует, но только это заучивание должно происхо¬ дить непременно после того, как дети овладели приемами усвое¬ ния таблиц умножения и деления, чтобы учащиеся могли в любой момент сознательно воспроизвести результат таблиц умножения и деления. Такое заучивание должно быть не механическим, а сознательным, так же, как и заучивание наизусть стихотворения, , разобранного и понятого детьми. В результате такого изучения таблиц умножения и деления дети должны достигнуть полной автоматичности и меха¬ ничности в пользовании этими таблицами. Повторение таблиц умножения и деления. При повторении этих таблиц сопоставление их не только желательно, но и необ¬ ходимо, ибо через это прочнее усваиваются названные таблицы. Ранее это сопоставление шло по частям. Теперь же идет общее повторение. При этом надо обратить внимание на то, что таблица умно¬ жения легче дается детям, чем таблица деления, и они доль¬ ше помнят первую, чем последнюю. А потому в случае, если таблица деления забывается, то для скорейшего отыскания ее надо пользоваться таблицей умножения, поступая таким об¬ разом. Пусть дети забыли, сколько будет 24 разделить на 3 рав¬ ные части. „Какое число надо взять 3 раза, чтобы получить 24?“ (8.) „Значит, сколько будет: 24 разделить на 3 равные части?" (8.) Пусть дети забыли, сколько будет 32 разделить по 4. „Сколько раз надо взять 4, чтобы получить 32?“ (8.) „Значит, сколько бу¬ дет 32 разделить по 4?“ (8.) При повторении таблиц умножения и деления весьма полезны численные примеры такого вида: Примечание. Для безошибочного знания таблиц умно¬ жения и деления надо повторять их не только в пределе 100, но и во всех остальных разделах чисел, т. е. в 3-м и 4-м классах. Сколько времени потребуется для усвоения таб¬ лиц умножения и деления? Ввиду чрезвычайной важности и трудности изучения таблиц умножения и деления с прохожде¬ нием их спешить не следует. j 1) 3X8= 2) 4X9 = 24 : 8 36: по 4 8X3 9X4 3) 5X7 = 7X5 35 : 5 24 : 3 36: по 9 35 : 7 68
Приблизительно можно установить срок от 1 i до 2 -j меся¬ цев: с сильным классом можно пройти эти таблицы в 1 со средним — в 2 и со слабым — в 2 ~ месяца. § 27. КРАТНОЕ СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ. Для лучшего усвоения кратного сравнения чисел проработку его надо располагать в такой методической последовательности: 1) сначала идут такие упражнения, в которых применимо выра¬ жение: „во столько раз одно число больше другого"; 2) по¬ том идут такие упражнения, в которых применимо выражение: „во столько раз одно число меньше другого": 3) сопоставляют¬ ся выражения: „во столько раз одно число больше другого" и „во столько раз одно число меньше другого"; 4) даются упраж¬ нения, в которых требуется узнать: „во сколько раз одно число больше или меньше другого"; 5) сопосташшются выраже¬ ния: „во сколько раз больше?" и „во сколько раз меньше?"; 6) наконец, идут упражнения на сопоставление разностного и кратного сравнения. Упражнения на кратное сравнение, подобно упражнениям на разностное сравнение, ведутся на наглядных пособиях (кубиках, шариках, палочках и т. п.), на задачах с условиями и, наконец, на отвлеченных числах. 1. Понятие „во столько раз одно число больше другого" выясняется примерно так: „Положите на левой стороне • стада 2 кубика, на правой стороне другие 2 кубика, да еще два ку¬ бика, да еще 2 кубика, т. е. 3 раза по 2 кубика. В этом слу¬ чае говорят: „на левой стороне два кубика, на правой — в 3 раза больше", или, иначе, „втрое больше". Сколько же кубиков на правой стороне стола? Как это узнать?" (2 ку¬ бика взять 3 раза — будет 6 кубиков.) „А как записать это?" (2X3 = 6.) Чтобы дети лучше усвоили эти выражения, подобные упраж¬ нения проделываются на других наглядных пособиях и с другими числами. Задачи с этими выражениями на первое время должны ре¬ шаться так. Пусть дана задача: „На столе лежат 3 цветных каран¬ даша, а черных в 4 раза больше. Сколько лежит черных каран¬ дашей?" „Что это значит, что черных карандашей в 4 раза больше?" (Это значит, что на столе 4 раза по 3 карандаша.) „Как узнать, сколько черных карандашей?" (3 взять 4 раза—будет 12.) „Как записать это?" (3>(4 = 12.) Образец упражнений на отвлеченных числах: „Какое число в 4 раза больше 3?" 2. Понятие „во столько раз одно число меньше другого" выясняется приблизительно так: „Вот у меня в одной руке 6 па¬ лочек, а в другой половина того, что в первой; вместо того что¬ бы сказать „половина", говорят: „в два раза меньше", или, по-дру¬ гому, „вдвое меньше". Сколько палочек во второй руке? Как 69
это узнать?" (6 палочек разделить пополам или на 2 равные части — будет 3 палочки.) „А как записать это?" (6:2 = 3.) Задачи с этими выражениями на первое время решаются так. Возьмем задачу. „В шкафу на верхней полке 9 книг, а на ниж¬ ней в 3 раза меньше. Сколько книг на нижней полке? Что это значит, что на нижней полке книг в 3 раза меньше, чем на верх¬ ней?" (Это значит что на нижней полке третья часть (или треть) того, что на верхней.) „Как это узнать?" (9 разделить на три равные части — будет 3.) „А как записать это?" (9:3 = 3.) Образец упражнений на отвлеченных числах: „Какое число в 3 раза меньше 15?" 3. Сопоставление выражений: „во столько раз больше" и „во столько раз меньше" прорабатывается на задачах и на отвлечен¬ ных числах, причем как в задачах, так и в численных примерах даются одни и те же числа. Например: а) Перо стоит 2 коп., тетрадь в 5 раз дороже. Сколько стоит тетрадь? Тетрадь стоит 10 коп., перо в 5 раз дешевле. Сколько стоит перо? б) Какое число в 4 раза больше 2? Какое число в 4 раза меньше 8? При решении задач и примеров с этими выражениями под¬ черкивается, что те задачи и численные примеры, в которых встречается выражение „во столько раз больше", решаются умно¬ жением, а те задачи и численные примеры, в которых встре¬ чается выражение „во столько раз меньше", решаются делением. 4. а) Понятие „во сколько раз больше и во сколько раз меньше" выясняется примерно так: „Положите на левую сторону стола 2 кубика, а на правую сторону 3 раза по 2 кубика. Сколько кубиков на правой стороне стола? Где больше кубиков? Во сколько раз больше кубиков на правой стороне стола, чем на левой? Как это узнать?" (6 кубиков разделить по 2 кубика — будет 3.) „А как записать это?" (6 кубиков:2 кубика = 3, или же 6: по 2 = 3.) „Во сколько раз меньше кубиков на левой стороне стола, чем на правой?" (В 3 раза.) „Как узнать это?" (6 кубиков раз¬ делить по 2 кубика — будет 3.) „А как записать это?" (6 куби¬ ков: 2 кубика = 3, или же 6: по 2 = 3.) „Во сколько же раз 6 кубиков больше 2 кубиков?" (6 куби¬ ков больше 2 кубиков в 3 раза.) „А во сколько раз 2 кубика меньше 6 кубиков?" (2 кубика меньше 6 кубиков в 3 раза.) „Если 6 кубиков больше 2 кубиков в 3 раза, то 2 кубика во сколько раз меньше 6 кубиков? Если 2 кубика меньше 6 кубиков в 3 раза, то во сколько раз 6 кубиков больше 2 кубиков?" б) На задачах упражнения с этими выражениями прораба¬ тываются по примеру знакомства с выражениями: „во столько раз меньше". Вот образец задачи: „Тетрадь стоит 5 коп., а книжка 20 коп. Во сколько раз дороже стоит книжка, чем тетрадь? Во сколько раз тетрадь дешевле, чем книжка?" в) Образец упражнений на отвлеченных числах: „Во сколько раз 2 меньше 12?" 70
5. При сопоставлении выражений: „во столько раз одно число больше другого" и „во сколько раз одно число больше другого" „во столько раз одно число меньше другого" и „во сколько раз одно число меньше другого" для лучшего усвоения их детьми задачи и численные примеры берутся с одними и теми же чис¬ ленными значениями. Например: 1. а) Ширина коридора 2 м, длина в 6 раз больше. Какова длина коридора? Длина коридора 12 м, ширина 2 м. Во сколько раз длина больше ширины? б) Длина коридора 12 м, ширина в 6 раз меньше. Какова ши¬ рина коридора? Длина коридора 12 м, ширина 2 м. Во сколько раз меньше ширина, чем длина коридора? 2. Образцы упражнений с численными примерами: а) Какое число в 4 раза больше 5? Во сколько раз 20 больше 5? б) какое число в 4 раза меньше 20? Во сколько раз 5 меньше 20? При решении задач и численных примеров на сопоставление указанных выражений подчеркивается, каким действием решается каждая задача и каждый численный пример. Особенное внимание надо обратить на сопоставление выражений: „во столько раз меньше" и „во сколько раз меньше". Задачи с выражениями „во столько раз меньше" решаются делением на равные части, а задачи с выражением „во сколько раз меньше" решаются деле¬ нием-измерением („делением по содержанию"). Дети при ответе на вопрос при решении задачи: „Как вы уз¬ нали?" должны давать точные ответы. Поясним примером. При решении ^задачи: „Длина коридора 12 м, ширина в 6 раз меньше. Какова ширина?"—дети на вопрос: „Как вы узнали, какова ширина коридора?", должны сказать: „12 м разделили на 6 равных частей — получили 2 ми. При решении задачи: „Длина коридора 12 м, ширина 2 м. Во сколько раз ширина меньше длины?"—дети на вопрос: „Как вы узнали, во сколько раз ширина коридора меньше длины?", должны ответить: „12 разделили по 2 м — получилось 6". § 28. ВНЕТАБЛИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ. Умножение двузначного числа на однозначное. Здесь возможны 3 случая: 1) умножение 10 (например Юх^); 2) умножение значащей цифры с нулем, т. е. 20, 30, 40, 50; 3) умножение двузначного числа, состоящего из десятка (или де¬ сятков) с единицами (например 12x8, 24x3). С первыми двумя случаями дети познакомились ранее. Теперь надо повторить эти случаи. Прием умножения двузначного числа на однозначное основан на разложении двузначного числа на десятичные группы, т. е. на десятки и единицы, и состоит в умножении сначала десятков, 71
а потом единиц на данное число и затем в сложении получен¬ ных результатов. Пусть дано 15X6. Надо: 1) 10 X 6 = 60; 2) 5 X 6 = 30; 3) 60 + 30 = 90. Как объяснить это детям, поясним на примере. Пусть дано 23 X 4. „Из скольких десятков и сверх того из скольких единиц состоит число 23?“ (Из 2 десятков и 3 единиц.) „Что сначала по¬ множите на 4?“ (Сначала помножим 20 на 4 — будет 80.) „Что потом помножите?" (3X4=12.) „Дальше что сделаете?“ (80+ 12 = 92.) Деление двузначного числа на однозначное. Здесь можно различить 4 случая: 1) деление полных десятков, причем число десятков делится без остатка (40:2); 2) деление полных десятков, причем число десятков не делится без остатка (30:2); 3) деление в том случае, когда и десятки и единицы в отдельности делятся без остатка (48:4); 4) деление в том случае, когда десятки в отдельности не делятся без остатка (42:3). С первым случаем дети уже познакомились при изучении пол¬ ных десятков. Теперь надо только повторить этот случай, ибо к нему да к табличному делению сводятся остальные случаи де¬ ления. Поясним это на примерах. Пусть дано: 1) 50:2; 2) 69:3; 3) 96:8. Надо: 1) 50 = 40+ 10; 40:2 = 20 2) 69 = 60 3) 93 = 80 9; 60:3 = 20 16; 80:8 = 10 10:2 = 5; 20 + 5 = 25. 9:3 = 3; 20 + 3 = 23. 16:8 = 2; 10 + 2=12. Детям объяснить это можно так: пусть дано 42:3. „Чтобы разделить 42:3, на какие 2 числа удобнее всего разбить (разло¬ жить) 42?“ (На 30 и 12.) „Почему же именно на 30, а не на дру¬ гое число?" (Потому что 30 можно сразу разделить на 3.) „Делите". (30:3=10.) „Дальше что будете делать?" (12:3 = 4.) „Дальше что будете делать?" (10 + 4=14.) „Как же легче всего 42 разделить на 3?" Приемы последовательного деления на 4, на 8, на 6 и на 9 равных частей. После прохождения внетабличного деления на однозначное число полезно познакомить детей с приемом последовательного деления двузначных чисел па 4, на 8, на 6 и на 9. Деление на 4 путем последовательного деления. Он со¬ стоит в том, что данное число делится сначала на 2, затем по¬ лученное число делится опять на 2. Это выясняется на полоске бумаги, на прямой линии. „Возьмите полоску бумаги, согните и разрежьте ее по изгибу пополам. Каждую половину разделите опять пополам. На сколько частей и на какие разделена полоска бумаги теперь?" 72
„Так, как вы разделили полоску бумаги на 4 равные части, разделите на 4 равные части число 28“. (28 разделить пополам — будет 14, 14 разделить пополам — будет 7.) „Итак, сколько же будет: 28 разделить на 4 равные части?" Деление на 8 путем последовательного деления. Этот прием состоит в делении данного числа на 2, полученного числа на 2, вновь полученного опять на 2. Пусть дано 64:8. Надо 64:2 = 32; 32:2 = 16; 16:2 = 8. Мы советуем проделать деление на 8 равных частей сперва полоски бумаги. „Возьмите полоску бумаги, согните ее пополам или на 2 рав¬ ные части и разорвите ее по изгибу; каждую половину разделите опять пополам, так, как вы делили целую полоску. На сколько частей и на какие разделена полоска бумаги теперь?" (На 4 рав¬ ные части.) „Разделите каждую четверть пополам так, как вы делили целую полоску и половину полоски. На сколько частей и на какие разделена полоска бумаги теперь?" (На 8 равных частей.) „Расскажите, как же вы Делили полоску бумаги на 8 равных частей". (Сначала целую полоску бумаги разделили пополам или на 2 равные части, затем каждую половину разделили пополам, наконец, каждую четверть разделили пополам.) „Сколько же раз мы делили полоску бумаги?" (3 раза.) „И всякий раз на сколько равных частей делили?" (На 2 равные части, или пополам.) Затем надо приступить к делению отвлеченных чисел, сказав детям: „По примеру того, как мы разделили полоску бумаги на 8 равных частей, разделите на 8 равных частей число 48. На сколько равных частей мы разделили полоску бумаги сначала?" (На 2 равные части.) „Разделите на 2 равные части, или пополам, число 48, сколько будет?" (24.) „На сколько равных частей мы разделили полоску бумаги затем?" (Опять на две равные части.) „А всего на сколько равных частей мы разделили полоску бумаги сейчас?" (На 4 равные части.) „Разделите на 2 равные части по¬ лученное число — 24, сколько будет?" (12.) „На сколько частей всего мы разделили число 48?" (На 4 равные части.) „На сколько равных частей мы разделили полоску бумаги далее?" (На 2 рав¬ ные части.) „На сколько всего равных частей разделили мы полоску бумаги?" (На 8 равных частей.) „Разделите опять на 2 равные части вновь полученное число 12, сколько будет?" (6.) „На сколько частей всего мы разделили число 48?" (На 8 рав¬ ных частей.) „Сколько раз мы делили?" (3 раза.) „И всякий раз на сколько делили?" (На две равные части.) „Записать это можно так: 48:8 = 48:2:2:2 = 6, или короче так: 48:8 = 6". Последовательное деление на 8 можно объяснить детям на прямой линии. „Проведите прямую линию1), разделите ее сперва на 2 равные части, потом каждую часть разделите опять на 2 равные части и, наконец, каждую четверть разделите опять на две равные части (рис. 33). Сосчитайте, на сколько равных частей вы разделите линию. На сколько равных частей !) Дети прово 1ят прямую линию и на-глаз делят ее на 8 равных частей. 7Я
г I ■ I всякий раз делили линию? Сколько раз 1 ' ' делили ее на 2 равные части?“ (3 раза.) р.,с_ зз. „По примеру этого разделите на 8 равных частей число 48“. Последовательное деление на 6. 1. Этот прием заключается в делении данного числа на 2 и полученного на 3 или же в де¬ лении данного числа сначала на 3, а затем полученного на 2. Так, например, чтобы разделить 24 на 6, надо 24:2=12; 12:3 = 4, или же 24:3 = 8; 8:2 = 4. При этом надо заботиться о том, что¬ бы дети соображали сами, когда легче данное число раз¬ делить сначала пополам или же на 3 равные части. Так, оче¬ видно, 24, 42 и 48 легче сначала разделить пополам, чем на 3 равные части, т. е. так: 24:2 = 12; 12:3 = 4, а не так: 24:3 = 8; 8:2 = 4. А число 30 и 36 легче сначала разделить на 3 равные части, чем пополам, т. е. так: 30:3 = 10, 10:2=5, а не так: 30:2=15; 15:3 = 5. 2. Прежде чем делить число на 6 равных частей, надо проделать с детьми деление полоски бумаги на 6 рав¬ ных частей. Учитель берет в руки две одинаковые полоски бумаги и ведет с детьми приблизительно такую беседу: „Равной ли длины обе полоски бумаги?11 (Равной.) „Про¬ верьте". (Дети проверяют путем наложения одной полоски на другую.) „Разделите одну полоску пополам. Каждую поло¬ вику разделите на 3 равные части. На сколько всего равных частей разделили вы полоску бумаги?" (На 6 равных частей.) „Как называется каждая часть, которую получили?" (Шестая часть.) „Возьмите вторую полоску бумаги. Разделите ее на 3. равные части. Каждую треть разделите пополам. На сколько всего рав¬ ных частей разделили вторую полоску бумаги?" (На 6 равных частей.) „Как называется каждая часть, которую вы получили?" (Шестая часть.) „Припомните, как мы делили первую полоску бумаги? Как сначала разделили?" (Пополам.) „Как потом разделили?" (Каж¬ дую половину разделили на 3 равные части.) „На сколько таких равных частей таким путем разделили полоску бумаги?" (На 6 равных частей.) „Так ли мы делили вторую полоску бумаги?" (Нет, не так.) „Как сначала разделили?" (Сначала разделили на 3 равные части.) „Как потом разделили?" (Потом каждую треть разделили попо¬ лам.) „На сколько всего равных частей таким путем разделили полоску бумаги?" (На 6 равных частей.) „Равной ли длины были обе целые полоски бумаги? Равной ли длины шестая часть первой и шестая часть второй полоски бумаги?" (Равной.) „Проверьте". (Дети проверяют путем наложе¬ ния одной полоски на другую полоску.) „Повторите, как же можно разделить полоску бумаги на 6 равных частей". (Сначала разделить пополам, а потом каж¬ дую половину разделить на 3 равные части, или же сначала разделить на 3 равные части, а потом каждую часть разделить пополам.) 74
3. Прием последовательного деления на 6 можно показать на двух прямых линиях так1). а) „Проведите прямую линию, разделите ее сперва на 2 рав¬ ные части, потом каждую часть разделите на 3 равные части. На сколько всего равных частей вы раз¬ делили линию?" (Рис. 34.) | | 1 | 1 1 | б) „Проведите другую такую же ли¬ нию, разделите ее сперва ка 3 рав- Рис- 34- ные части, потом каждую третью часть j | ) t j , j разделите на 2 равные части. На сколь¬ ко всего равных частей вы разделили рис. 35. линию?" (Рис. 35.) в) „По примеру этого разделите на 6 равных частей число 33*. (36:2:3 или 36:3:2.) Последовательное деление на 9. Этот прием заключается в де¬ лении данного числа на 3 и полученного опять на 3. Так, чтобы разделить, допустим, 63 на 9, надо 63:3:3, т. е. 63:3 — 21, 21:3 = 7. Для большей ясности прием последовательного деления на 9 надо проделать сначала на полоске бумаги, разделив ее сначала на 3 равные части, а затем каждую треть на 3 равные части, а потом уже перейти к делению отвлеченных чисел. Этот прием деления на 9 на отрезке прямой линии проделы¬ вается так. а) „Проведите прямую линию, разделите ее сперва на 3 равные части, затем каждую третью часть—опять на 3 равные части. Сосчи¬ тайте, на сколько всего равных частей вы разделили прямую линию" (рис. 36). j . ^ 1 j _т 1 _ j < ■ j б) „По примеру этого разделите на 9 равных частей число 36". (36:3:3.) Рис. 36. Умножение однозначного числа на двузначное. Здесь можно различить 3 случая: 1) умножение однозначного числа на 10 (6 X Ю); 2) умножение однозначного числа на круглые или полные десятки (4 X 20) и 3) умножение однозначного числа на двузначное — общий случай (2><32). 1. Умножение на 10. С этим случаем дети познакомились ранее, при изучении умножения полных десятков, равно как при изучении табличного умножения в пределе до 100. Здесь остается только повторить этот случай. 2. Умножение однозначного числа на круглые десятки. Этот случай можно выполнить двояко. Пусть дано 2 X 40. Надо 40 раз¬ ложить на 2 сомножитетя— на 10 и на 4 — и помножить 2 сначала на 10, а затем полученное помножить на 4(2X40 = 2X10X4 = = 80) или же помножить 2 сначала на 4, а потом полученное помножить на 10 (2X40 = 2 X4X 10 = 80). 0 Учитель сначала сам делит „на-глаз‘ на доске отрезок прямой линии на 6 равных частей, а затем то же самое по примеру учителя проделывают на доске дети. 75
Первый прием основан на умножении однозначного числа на 10 и на умножении полных десятков на однозначное число. Этот прием можно выяснить детям так: пусть дано 2 X 40. „Прочтите, что записано на доске". (2 взять 40 раз.) „40 двоек сразу взять вы затрудняетесь. Самое большое сколько двоек вы можете взять сразу?" (10 двоек.) „Сколько раз вы возьмете по 10 двоек?" (4 раза.) „Набирайте двойки по 10 и считайте". (10 двоек— 20, еще 10 двоек — 20, еще 10 двоек — 20, еще 10 — 20.) „Дальше, по скольку вы будете прибавлять?" (По 20.) „Прибавляйте". (К 20 прибавить 20 — будет 40, к 40 прибавить 20 — будет 60, к 60 прибавить 20 — будет 80.) „Так прибавлять по 20 долго. Как можно скорее сделать это?" (20 взять 4 раза — будет 80.) „По¬ вторите, как же легче 2 взять 40 раз". (2 взять 10 раз — будет 20, 20 взять 4 раза — будет 80.) „Записать это можно так: 2X40 = = 2X10X4 = 80. Запишите это у себя в тетрадях". Дети про¬ делывают это несколько раз и на других примерах, пока не усвоят, как следует. Второй прием основан на умножении однозначного числа на однозначное в пределе 10 и на умножении однозначного числа на 10. Учитель пишет на доске 4 столбца двоек, по 10 двоек в каждом столбце, и ведет с детьми, примерно, такую беседу: „Сосчитайте, сколько здесь всего двоек?" (40 двоек.) „Как узнать, сколько это всего единиц?" (2 взять 40 раз.) „Давайте считать двойками по столбцам. По скольку двоек в каждом столбце?" (По 10 двоек.) „Как узнать, сколько единиц в каждом столбце?" (2 взять 10 раз — будет 20.) „Как узнать, сколько единиц во всех столбцах?" (20 взять 4 раза — будет 80.) „Повторите, как же мы 2 взяли 40 раз?" (Сначала 2 взяли 10 раз, а потом 20 взяли 4 раза.) Учитель за¬ писывает этот прием на доске, а дети — в своих тетрадях, таким образом: 2X40 = 2X 10X4 = 80. „Мы так уже умножали 2 на 40. Теперь научимся по-другому умножить 2 на 40. Раньше мы считали двойками по столбцам, а теперь будем считать по строчкам. Сколько двоек в каждой строчке?" (4 двойки.) „Как узнать, сколько единиц в каждой строчке?" (2 взять 4 раза — будет 8.) „А сколько строчек?" (10 строчек.) „Как узнать, сколько единиц во всех строч¬ ках?" (8 взять 10 раз — будет 80.) „Повторите, как же мы сейчас умножали 2 на 40?" (Сначала 2 взяли 4 раза — полу¬ чилось 8, потом 8 взяли 10 раз — получилось 80.) Этот прием полезно написать под записью первого приема в таком виде: 2Х 40 = 2Х4Х 10 = 80. „Умножьте 2 на 40 так, как в первый раз умножали. Умножьте 2 на 40 так, как во второй раз умножали". Оба приема повто¬ ряются несколько раз на примерах (2X50; 2X30; 3X20; 3X30; 4 X 20; 5 X 20), пока дети не усвоят их, как следует. 3. Умножение однозначного числа на двузначное. Этот случай основывается на предыдущих случаях умножения и состоит: 1) в разложении множителя на 2 слагаемых — на десятки и еди- . ницы, 2) в умножении данного однозначного числа на каждое из слагаемых и 3) в сложении полученных результатов. 76
Пусть дано 4 X 25. Надо: 1) 25 = 20 + 5; 2) 4X20 = 80; 3) 4x5 = 20; 4) 80 + 20=100. Детям это объяснить можно так: „Из скольких десятков и сверх того из скольких единиц состоит число 25?“ (Из 2 десятков и 5 единиц.) „На что сначала помножите 4?“ (Сначала на 20.) „На что потом?" (На 5.) „Умножайте". (4 взять 20 раз — будет 80, 4 взять 5 раз —будет 20.) „Что дальше сделать?" (К 80 при¬ бавить 20 — будет 100.) „Повторите, как же мы умножили 4 на 25". Деление двузначного числа на двузначное. Здесь можно различить 3 случая: 1) деление на 10, 2) деление на полные десятки и 3) деление на двузначное число. С первыми двумя случаями (в виде деления-измерения) дети познакомились в первый год обучения, при изучении полных десятков, а с делением на 10 равных частей — при изучении деле¬ ния в пределе 100. Что касается деления на полные десятки, то оно может быть допущено здесь и в виде деления на равные части, но только не надо применять приема последовательного деления, ибо он труден на этой ступени. А надо пользоваться приемом подбора мно¬ жителя или множимого. Пусть дано 80 разделить на 20 равных частей. „Какое число надо умножить на 20, чтобы получить 80?. Сколько же будет: 80 разделить на 20 равных частей?" (4.) Если дети затрудняются так разделить 80 на 20, тогда можно поступить следующим образом: „В 80 сколько десятков?" (8 десятков.) „А в 20 сколько десятков?" (2 десятка.) „Какое число надо умножить на 2 (2 десятка), чтобы получить 8 (8 десятков)?" (4.) „Сколько же будет 80 разделить на 20 равных частей?" (4.) Этот же прием можно употребить и в применении к делению- измерению. Пусть дано 80 разделить по 20. „Сколько раз надо взять 20, чтобы получить 80?" (* раза.) „Сколько же будет 80 разделить по 20?" (4.) Точно так же подбором множителя производится деление дву¬ значного числа на двузначное. Пусть дано 88 разделить по 22. „Сколько десятков в 88?" (8 десятков.) „А сколько десятков в 22?" (2 десятка.) „Скотько раз надо взять 2 десятка, чтобы получить 8 десятков?" (4 раза.) „Сколько же будет 88 разделить по 22?" (4.) „Проверьте, верно ли это. Как это проверить?" (22 умножить на 4.) „Умножайте". (20X4 = 80; 2X4 = 8; 80 + 8 = 88.) Можно делитель округлять. Это удобно делать тогда, когда число единиц в делителе меньше или больше 5, особенно же, когда число их 1 и 2 или же 9 и 8. Если в делителе число единиц меньше 5, то удобнее взять делителя, не увеличивая числа десят¬ ков: так, если делитель 11, 12, 13, 21, 22, 23, то удобнее взять для первых трех чисел 10, а для следующих трех чисел 20. Если же в делителе число единиц больше 5, то удобнее увеличить число 77
десятков в делителе: так, если делитель 19, 18, 17, 29, 28, 27, то удобнее взять для первых трех чисел 20, а для следующих трех чисел 30. Пусть дано 95 разделить по 19. „19 — это почти сколько?" (Почти 20.) „Вместо 95 возьмем 90. Как легче разделить: по 19 или по 20?" (По 20.) „На сколько надо умножить 20, чтобы по¬ лучить 9СР" (На 4.) „Что теперь надо сделать?" (Посмотреть, не пол\ чнтся ли 4, если 95 разделить по 19.) „Как это проверить?" (19 взять 4 раза.) „Помножайте". (20X4 = 80, 80 — 4 = 76.) „Сколько еще осталось разделить?" (95 — 76= 19.) „Сколько будет: 19 разделить по 19?" (1.) „Сколько же будет: 95 разделить по 19?" (5.) Деление двузначного числа на однозначное с остатком. Так как это деление основывается на знании таблиц умножения и деления, то необходимо их повторить, сопоставляя друг с другом перед прохождением деления с остатком. А то обстоятельство, что степень трудности этого деления зависит главным образом от разнообразия остатков, получаемых от деления, побуждает нас проходить деление, следуя сначала естественному ряду чисел (2, 3, 4, 9), а потом вразбивку. При производстве деления с остатком возникает вопрос о том, следует ли ограничиться простым определением остатка (неполным частным) или же надо получать ответ в виде точного (полного) частного, т. е. целого числа с дробью. Некоторые методисты стоят за второй спос'об получения частного, смотря на него как на введе¬ ние в действия с дробями. Не считая этого невозможным, мы, однако, стоим за первый способ получения частного, как более простой и доступный детям. Что же касается второго способа, то мы находим более целесообразным познакомить с ним после того, как дети усвоят происхождение дроби от деления на части нескольких единиц. Хотя, с другой стороны, вполне допускаем обозначение этого частного, если только это происходит на на¬ глядных и практически осуществимых примерах, как, например, П/2 яблока, 23/4 часа и т. п. Деление на однозначное число с остатком полезно проделать по следующему плану. 1. Деление на однозначное число, начиная с 2 и кончая 9, всех чисел в пределе таблиц умножения и деления. 2. 4 X 7 -(-1 =? (читается так: „4, взятое 7 раз, и еще один, равно чему?") Зная это, детям не трудно решить стоящий под этим примером такой пример: 29:7=? 3. 5 X 7 -1— ? = 38. (Читается так: „5, взятое 7 раз, и еще какое число равно 38?“) Зная, что 5X7 = 35, детям легко сообразить, сколько надо прибавить к 35, чтобы получить 38. А умея решать такие примеры, дети не затруднятся решить и такой пример: 38:5=? 4. а) 45 — 3 = 6 X? (читается так: „45 без 3 равно 6, взятом у сколько раз?"); б) 38 — 6 = ?Х8 (читается так: „38 без 6 равно какому числу, взятому 8 раз?"). Зная, что 45 — 3 = 42, детям не- 78
г трудно Сообразить по таблице умножения, на сколько надо по¬ множить 6, чтобы получить 42. Точно так же, зная, что 38 — 6 = 32, дети легко сообразят, какое число надо помножить на 8, чтобы получить 32. 5. 60 = 7x8-)-? (читается так: „60 равно 7, взятому 8 раз, и'еще какому числу?0). Все виды этих упражнений надо начинать на наглядных по¬ собиях и потом уже переходить к отвлеченным примерам и за¬ дачам, причем надо брать упражнения с делением на равные части и делением по содержанию. Поясним это на примерах. „Возьмите 15 палочек и разложите их на 2 равные кучки. Сколько палочек будет в каждой кучке и сколько останется неразложенных палочек? Сколько же будет 15 разделить на 2 равные части и сколько останется?0 (15 раз¬ делить на 2 равные части — будет 7 и 1 в остатке.) На доске (снача¬ ла учителем) делается такая запись: 15:2 — 7 (остаток 1). „Возьмите 15 палочек и разложите их на равные кучки, по 2 палочки в каждой кучке. Сколько будет кучек и сколько останется неразложенных палочек? Сколько же будет: 15 разделить по 2 и сколько оста¬ нется?” (15 разделить по 2 — будет 7 и 1 в остатке.) По образцу этого проделывается деление на 3, на 4, на 9 на палочках (или кубиках, или другом каком-либо наглядном пособии). Деление на двузначное число с остатком. Это деление производится также, как и деление на двузначное число без остатка, путем подбора множителя. Пусть дано 75 разделить по 12. „Сколько, раз надо взять по 12, чтобы получить 75, и сколько останется?” (6 раз.) „Проверьте, верно ли это”. (12x6 = 72.) „Дальше что надо сделать?” (75 — 72 = 3.) „Сколько же будет: 75 разделить по 12?“ (6 и 3 в остатке.) Если дети затрудняются так делать, то можно поступить сле¬ дующим образом: „В 75 сколько десятков?” (7 десятков.) „А в 12 сколько десятков?” (1 десяток.) „Сколько — 70 разделить по 10?” (7.) „Проверьте, столько ли будет: 75 разделить по 12?” (12 X 7 = = 84; 7 — много, будет 6.) „Проверьте”. (12X6 = 72.) „Дальше что надо сделать?” (75 — 72 = 3.) „Сколько же будет: 75 разде¬ лить по 12?” (Будет 6 и 3 в остатке.) § 29. ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ. Здесь надо чаще давать более трудные типы простых задач именно типы 2-й и 3-й на сложение, типы 3-й, 4-й, 5-й на вычи тание, типы 2-й и 3-й на умножение, на деление 1-й, 2-й. 3-й Сложные задачи надо давать не только в 2 действия, но и в 3 причем задачи должны быть незамысловатые. Надо брать такие сложные задачи, в которых среди действий было бы обязательно или умножение, или деление, или то и другое вместе, причем надо чаще брать такие задачи, в которых сопоставляются выра¬ жения „больше или меньше на столько-то” и „больше или меньше 79
во столько-то раз", ибо эти выражения трудно даются детям, а путем сопоставления они лучше усваиваются. Вот вид такой задачи: „На заем второй класс собрал 10 рублей, первый в 2 раза меньше, третий на 3 рубля меньше второго. Сколько всего денег собрали 3 класса?" Точно так же полезно чаще давать такие задачи, которые решаются двумя способами — или в 2 действия или в 3 действия. Вот образец такой задачи: „Подводная лодка проходит в одну секунду на поверхности воды 6ж, а подводой — 4ж. На сколько большее расстояние пройдет подеоднэя лодка на поверхности воды, чем под водой, в 8 секунд?" Из типовых задач надо давать задачи на так называемое „тройное правило" и на время. Задачи на тройное правило надо брать самого легкого вида, т. е. когда дана прямая пропорциональная зависимость между данными и искомым и задача решается двумя различными дей¬ ствиями — сперва делением, затем умножением. Вот образец такой задачи: „3 тетради стоят 30 коп. Сколько надо заплатить за 7 тетра¬ дей по той же цене?" Назовем подобные задачи первым видом задач на простое тройное правило. Как приступать к решению этих задач и как записывать содержание и решение этих задач, см. стр. 184. Задачи на время. Здесь решается только один вид задач на время, когда промежуток времени между двумя событиями меньше суток, задачи решаются двумя различными действиями — сперва вычитанием, затем сложением. Вот образцы таких задач: 1. Занятия в школе начинаются в 9 час. утра, а кончаются в 1 час 30 мин. дня. Сколько времени продолжаются занятия в школе? 2. Детям вашего возраста полагается ложиться спать в 9 час. вечера, а вставать в 7 час. утра. Сколько времени полагается вам спать? Как решать эти задачи, см. стр. 195. В качестве подготовительных упражнений к решению этих задач служат следующие упражнения: Сколько времени пройдет: 1) от начала суток (полночи) до 9 час. утра? 2) от полдня (12 час. дня) до 8 час. вечера? 3) от полночи до 8 час. вечера? 4) от полночи до 8 час. утра следующего дня? 5) от полдня до 3 час. ночи? 6) от 6 час. утра до 8 час. вечера? V. ЧИСЛА ОТ 1 ДО 1С09. В области чисел до 1000 дети впервые встречаются со строго письменными вычислениями. Характерной особенностью строго письменных вычислений, в отличие от устных, является то, что устные вычисления начинаются с высших разрядов, а письменные — с низших, если не считать деления и одного из приемов умножения. 80
Числа до 1000 представляют собой первый класс—класс единиц, состоящий из трех разрядов: сотен, десятков и единиц, которые в дальнейшем повторяются во всех последующих классах: классе тысяч, миллионов и т. д. Для прочтения больших чисел мы их разбиваем на классы, отделяя по три цифры от правой руки к левой. Не овладев тысячей, нельзя понять состава больших чисел и производства действий над ними. § 30. НУМЕРАЦИЯ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 1000. Устная нумерация. Счисление до 1000, подобно счислению до 100, надо начинать с образования любых трехзначных чисел, ибо, лишь зная образова¬ ние трехзначных чисел из совокупности сотен, десятков и единиц, учащиеся могут сознательно производить счисление в пределе 1000. Образование чисел первой тысячи проще и доступнее всего можно объяснить детям на палочках, связывая их по 100, по 10 в каждый пучок и беря отдельно несколько (не более 9) палочек и пучков. Знакомство с сотней как с новой счетной единицей. Положив на стол много палочек (допустим 1234,чтобы показатьот- дельно тысячу, сотни, десятки и единицы) и вызвав к столу несколь¬ ко детей, учитель ведет с классом приблизительно такую беседу. „Считайте палочки по одной; когда наберете 10 палочек, то свяжите их в пучок. Все ли палочки связаны в пучки? Сколько палочек осталось несвязанными?" (4 палочки.) „Теперь считайте пучки, или десятки". (Один десяток, два десятка ... девять десятков.) „Когда наберете 10 пучков, или десяткзв, то свяжите их вместе в один большой пучок. Все ли пучки по 10 палочек в каждом связаны в большие пучки? Сколько осталось несвязан¬ ных пучков—десятков?" (3 пучка — 3 десятка.) „Теперь давайте считать большие пучки. Десять десятков — сколько это сотен? Значит, в большом пучке сколько сотен?" (Одна сотня.) „Сотнями считают так же, как и единицами и десятками: одна сотня, две сотни ... девять сотен. Считайте большие пучки, или сотни". (Одна сотня ... десять сотен.) „Когда наберете 10 больших пучков, или 10 сотен, то свяжите их вместе в один большой пучок. Все ли пучки по 100 в каждом связаны в самый большой пучок? Сколько осталось несвязанных больших пучков — сотен?" (Два пучка — две сотни.) „Теперь научимся называть группы сотен по-другому. Одна сотня — как сказать по-другому?" (Сто.) „Как назвать по-другому две сотни?" (Двести.) „3 сотни?" (Триста.) „4 сотни?" (Четыреста.) И т. д. до девятисот. „А как назвать по-другому десять сотен?" (Тысяча.) Примечание. Все эти названия (сто, двести, ... ты¬ сяча) учитель пишет на доске словами, а дети списывают к себе в тетради, запоминая их правописание. 6 Д. Л. Волковский 81
Образование трехзначных чисел соединением полных сотен и полных десятков с единицами. 1. Показывая 2 пучка по 100 палочек в каждом, 3 пучка по 10 палочек в каждом и 4 отдельных палочки, учитель спрашивает: „Как сказать, сколько здесь всего палочек?” (234.) 2. После этого идет .счисление на отвлеченных числах. „Как назвать число, в котором: 5 сотен, 6 десятков, 4 единицы?” (564.) 3. Когда дети научатся безошибочно называть числа, состоящие из всех трех разрядов — сотен, десятков и единиц, тогда надо упражнять их в составлении чисел, в которых пропущен один из разрядов — или десятки, или единицы: а) „Назовите число, состоящее из 5 сотен и 8 десятков”. (580.) „8 сотен и 5 десятков”. (850.) б) „Назовите число, состоящее из 1 сотни и 5 единиц”. (105.) „5 сотен и 1 единицы”. (501.) Разложение трехзначного числа на его десятичные группы (разряды) — сотни, десятки и единицы. 1. На наглядных пособиях. „Обозначьте палочками — большими пучками, маленькими пучками и. отдельными палочками—432”. (Ученик кладет на столе 4 больших пучка, 3 маленьких и 2 па¬ лочки.) „Почему надо так обозначать число 432?” (Потому что в нем 4 сотни, 3 десятка и 2 единицы.) „Обозначьте большими и маленькими пучками число 240. Обо¬ значьте большими пучками и отдельными палочками число 304”. 2. На отвлеченных числах. „Из скольких сотен, десятков и единиц состоит каждое из чисел: а) 123? (Из 1 сотни, 2 десятков и 3 единиц.) б) 980? в) 502?“. Прямой и обратный счет до 1000. 1. Мы советуем вести этот счет по частям: сперва от 100 до 200 и обратно — от 2С0 до 100, потом от 200 до 300 и обратно и т. д. от 900 до 1000. 2. При непрерывном счете, как прямом, так и обратном, и осо¬ бенно обратном, детей почти всегда затрудняет переход.через полные сотни, а именно, сосчитав, примерно, до 299, дети нередко далее говорят „двести сто”, вместо того чтобы сказать „триста”. При обратном же счете, дойдя, допустим, до 400, дети останавливаются, затрудняясь назвать число 399. Чтобы помочь детям, необходимо объяснить это на палочках или на денежных знаках по примеру счета до 100 (см. стр. 55). Место любого трехзначного числа в ряду других трехзначных чисел. 1. Какое число следует за каждым из чисел: а) 199? 299? 399? 9999 б) 989? 679? 569? 459? 349? 239? 129? 2. Какое число находится перед каждым из чисел: а) 209? 300? 400? 1000? б) 990? 880? 770? 650? 550? 430? 440? 220? 110? 82
3. Какое число находится между каждым из чисел: а) 299 и 301? 899 и 901? б) 189 и 191? 279 и 281? 369 и 371? 459 и 461? в) 551 и 549? 641 и 639? 731 и 729? 821 и 819? 4. Между какими двумя числами находится каждое из чисел: а) 200? 300?" 400? 900? б) 190? 280? 370? 460? 550? 640? 730? 820? 910? Упражнения на счетах. Учитель сообщает детям, что на первой проволоке кладутся единицы, на второй — десятки, на третьей — сотни, на четвер¬ той— тысячи. Затем учитель кладет на счетах различные числа в пределе 1000, а дети называют их, а потом дети под диктовку учителя сами кладут числа на счетах. При этом детьми дается объяснение, что положено то, а не другое число. Поясним это на примере. Положив, допустим, на третьей проволоке 5 шари¬ ков, на второй — 3, на первой — 2, учитель ведет с детьми, при¬ мерно, такую беседу: „Прочтите, какое число я положил на сче¬ тах?" (532.) „Почему так назвали его?" (Потому что на третьей проволоке положено 5 шариков; они обозначают 5 сотен, или 500; на второй проволоке положено 3 шарика; они обозначают 3 десятка, или 30; на первой проволоке положено 2 шарика; они обозначают 2 единицы, или 2.) Полезно предлагать класть различные числа, состоящие из одних и тех же цифр. Таковы, например, числа 259, 952, 529, 925, 295, 592. Точно так же предлагается детям самим придумать числа и положить их на счетах. Когда дети научатся безоши¬ бочно читать и класть на счетах числа, состоящие из сотен, десятков и единиц, тогда надо упражнять детей в умении читать и класть на счетах такие числа, в которых не назван или разряд десятков, или разряд единиц, или тот и другой вместе. Следует 'научить детей считать и класть на счетах деньги, сообщив им, что копейки (единицы копеек) кладутся на второй проволоке от низу, гривенники — на третьей проволоке, рубли — на пятой и т. д. проволоках (на пятой проволоке — единицы рублей, на шестой — десятки рублей). Письменная нумерация. Когда дети научатся безошибочно читать и класть числа на счетах, тогда надо перейти к письму чисел, ставя в связь счет на счетах с письмом чисел. * Дети легче читают, какое число положено на счетах, в том случае, когда положены шарики на всех проволоках, т. е. когда в данном случае есть единицы всех разрядов (таково, например, число 523), нежели тогда, когда на одной из проволок нет шари¬ ков (таковы, например, числа 690 и 40S). Поэтому надо начинать с примеров первого случая. Для лучшего усвоения нумерации трехзначных чисел следует сопоставить ее с нумерацией дву¬ значных чисел как уже знакомой детям. 6* 83
„Положите на счетах 45. На скольких проволоках вы положите это число?” (На 2 проволоках.) „Сколько шариков положено на вто¬ рой проволоке?” (4 шарика.) „Что они обозначают?” (4 десятка.) „Сколько шариков положено на первой проволоке?” (5 шариков.) „Что они' обозначают?” (5 единиц.) „Напишите число 45. Сколь¬ кими цифрами вы обозначили его?” (Двумя цифрами.) „Заметьте, на счетах положили это число на двух проволоках и напи¬ сали двумя цифрами; на второй проволоке положили 4 де¬ сятка, на втором месте написали сколько десятков?” (4.) „На пер¬ вой проволоке положили 5 единиц и на первом месте нависали 5 единиц". „Положите на счетах 246. На скольких проволоках вы поло¬ жите это число?” (На трех.) „Что обозначают 2 шарика на третьей проволоке?” (2 сотни.) „А сколькими цифрами вы напи¬ шете это число?” (Тремя цифрами.) „Что напишете на третьем месте?” (Цифру 2.) „Что она будет обозначать?” (2 сотни.) „На¬ пишите цифрами число двести сорок шесть”. Когда дети усвоят соответствие между обозначением чисел на счетах и письмом чисел, тогда надо перейти к письму чисел без помощи счетов, причем дети сами придумывают числа и объяс¬ няют, почем/ думают, что они написали то, а не другое число. После этого надо перейти к письму чисел, в которых нет или отдельных десятков, или отдельных единиц, или тех и других вместе. „Положите на счетах 980. На какой проволоке нет шариков? Почему? Что цифрами напишите на первом месте? Напишите цифрами это число”. Потом идет письмо подобных чисел без помощи счетов и объ¬ яснение, почему написано то, а не другое число. Затем по при¬ меру чисел, в которых нет отдельных единиц, упражняются в письме таких чисел, в которых нет отдельных десятков (таково, например, число 405), а потом таких чесел, в которых нет ни десятков, ни единиц вместе (таково, например, число 600). Наконец, переходят к письму тысячи. „Положите на счетах тысячу. На какой проволоке положен шарик?” (На четвертой.) „Почему нет шариков ни на третьей, ни на второй, ни на первой проволоках?” (Потому что нет отдельных сотен, десятков, еди¬ ниц.) „Сколькими цифрами вы напишете тысячу?” (Четырьмя.) „Что напишете на четвертом месте?” (Цифру 1.) „Что напишете на остальных местах?” (Нули.) „Почему?” (Потому что нет от¬ дельных сотен, десятков, единиц.) Разложение трехзначных чисел на слагаемые по разрядам. „Разложите (разбейте) число 468 по разрядам, иначе говоря, скажите, сколько в этом числе сотен, десятков и единиц?” (4 сотни, 6 десятков и 8 единиц.) „Записать это можно так: 468 = 4 сотням-)-6 десяткам+ 8 единицам”. (Дети записывают у себя в тетрадях и проделывают несколько подобных примеров.) Когда дети освоятся с этой записью, то можно предложить и такую запись: 468 = 400-f-608. 84
Можно давать и такие числа, в которых нет отдельных или единиц или десятков; таковы, например, 540, 607. Сюда же можно отнести и такое расчленение чисел: 564 = = 500 —)— 64; 564 = 560-(-4, а также такие упражнения, в которых требуется превратить копейки в рубли, сантиметры в метры. „Сколько рублей и копеек в 546 копейках? В 807 копейках?" Дети рассуждают так: „100 копеек составляют рубль, 500 копеек составляют 5 рублей, 546 копеек составляют 5 руб. 46 коп.“. „Сколько метров и сантиметров в 250 (460, 893, 124, 105, 706) сантиметрах?" Дети рассуждают по примеру предыдущего. Разложение трехзначных чисел на две группы, из которых в одной — все десятки числа, а в другой—единицы числа. Учитель кладет на стол 2 больших пучка, 3 маленьких и 4 отдельных палочки. „Прочтите, какое число я обозначил палочками?" (Двести тридцать четыре.) „На сколько групп разбито это число?" (На 3 группы.) „На какие?" (2 сотни, 3 десятка, 4 единицы.) „Сколь¬ кими маленькими пучками можно заменить один большой пучок?" (Десятью.) „Сколькими мал.нькими пучками можно заменить 2 больших пучка?" (Двадцатью.) „Замените. Сколько теперь всего стало маленьких пучков?" (23.) „Сколько это всего десят¬ ков?" (23.) „На сколько групп теперь разбито число 234?" (На две группы.) „Какая первая группа?" (23 десятка.) „Какая вторая группа?" (4 единицы.) „Сколько же всего десятков и сверх того единиц в числе 234?" (23 десятка и 4 единицы.) Записать это можно так: 234 = 23 десяткам-}-4 единицам. Сюда же надо отнести и такие числа, у которых нет отдель¬ ных единиц. Таково, например, число 450. Такие числа рассма¬ триваются только как группа десятков и читаются так: „450 со¬ ставляет 45 десятков", или же так: „В числе 450 сорок пять десятко'в". Записать эти примеры лучше всего так: 450 = 45 десяткам. Эти упражнения имеют большое значение как подготовительные к действию деления. Умножение и деление на 10 и на 100. Умножение и деление на 10 и на 100 надо проходить при изучении нумерации потому, что этот случай умножения и деле¬ ния находится в тесной связи с нумерацией, заключаясь в замене каждой единицы одного разряда соответствующей единицей дру¬ гого разряда. Пусть дано 56 умножить на 10. „Если каждую единицу заменить десятком, то что будет вместо единицы?" (Десяток.) „Вместо 56 единиц сколько будет десятков?" (56 десятков.) „56 десятков — сколько это будет единиц?" (5?0-) „Итак, 56 помножить на 10, сколько будет?" (530.) „Записать это надо так: 56 X 10 = 560. Какими цифрами написано число 5Ь?“ (Цифрами 5 и 6.) „Какими цифрами написано число 560?" (Циф¬ 85
рами 5, 6 и 0.) „Какая лишняя цифра в числе 560 сравнительно с числом 56?“ (Цифра 0.) „С какой стороны она приписана к числу 56?“ (С правой стороны ) „Итак, чтобы письменно по¬ множить 56 на 10, что надо сделать с числом 56?“ (Надо к числу справа приписать нуль.) Умножение на 100 сводится к замене каждой единицы сотней, а письменно — к приписыванию двух нулей справа от множимого. Объяснение ведется по примеру умножения на 10. Письменно это умножение выполняется так: 6X100 = 600. Деление на 10 сводится к замене каждого десятка единицей, а письменно — к отбрасыванию у делимого одного разряда: раз¬ ряда единиц. Деление на 100 сводится устно к замене каждой сотни еди¬ ницей, а письменно — к отбрасыванию у делимого двух разрядов: разряда десятков и разряда единиц. § 31. ДЕЙСТВИЯ НАД полными сотнями. Нель выделения в особый раздел действий над полными сот¬ нями та, чтобы показать, что действия над полными сотнями требуют тех же приемов, какие прилагались к простым едини¬ цам в пределе 10 и к полным десяткам в пределе первой сотни. Вот почему мы ставим в связь действия над полными сотнями с действиями над простыми единицами и полными десятками. Так, зная, что 4-}-2 = 6 и 40 4-20 = 60, ученик не затруд¬ нится сказать, сколько* будет 400 да 200; точно так же зная, что 8 — 3=5 и 80 — 30=50, ученик сразу скажет, сколько будет 800 — 300. То же самое надо сказать про умножение и деление. Если бы сверх ожидания дети затруднились сказать сразу, сколько будет, допустим, 500 да 400, тогда надо выполнить это действие на наглядных пособиях или поступить так: „500 — это сколько сотен?“ (5 сотен.) „А сколько ссггн в числе 400?“ (4 сотни.) „5 сотен да 4 сотни, сколько это всего сотен?' (9 сотен.) „Как назвать по-другому 9 сотен?* (Девятьсот.) „Ско лько же будет 500 да 400?“ (900.) Подобный же прием в случае затруднения надо прилагать и к остальным действиям. Упражнения на деление дети рассматривают как деление на равные части и как де ение по сотержанию. Так, примеры: 600:2; 800:200 дети читают двояко: 600 разделить на 2 равные части и 660 разделить по 2; 800 разделить на 200 равных частей и 800 разделить по 200. § 32. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛЕ 1000. Подобно сложению и вычитанию в пределе 100 мы проходим сложение и вычитание в пределе 1000 сначала со-местно устно и полуписьм.нно, смотря по трудности примера, далее — па сче¬ тах и, наконец, — письменно, сопровождая эту расоту решением задач. 1. Сложение и вычитание без перехода через сотню. 2. Сложение и вычитание с переходом через сотню. 86
Первую из этих групп в свою очередь можно подразделить на следующие подгруппы: а) сложение и вычитание десятков и единиц, б) сложение и вычитание сотен и десятков, в) сложе¬ ние и вычитание сотен, десятков и единиц. Вторую группу в свою очередь можно подразделить на под¬ группы: а) сложение и вычитание десятков и единиц, б) сложе¬ ние и вычитание сотен, десятков и единиц. Сложение и вычитание без перехода через сотню. Десятки и единицы. Сюда относятся все те случаи, когда одно из слагаемых или вычитаемое состоит или только из еди¬ ниц (например 200-(-4; 120 + 6; 805—5; 468—3), или только из десятков (например 400 + 20; 330 + 30; 234 + 40; 450 — 60; 570—30; 687—40), или же из десятков и единиц вместе (на¬ пример ЗСО+24; 403 + 25; 640 + 26; 527+ 32; 234—34; 456 — 55; 868—45). Эти случаи не представляют затруднения для детей, ибо они основаны на знании сложения с вычитанием в пределе 100, и здесь сотен не приходится касаться. Единственное затруднение представляют те случаи, когда от сложения десятков и е д и н и ц п о л у ч а ю тся круглые сотни (например 497+ 3; 675 + 25; 996 + 4; 985 + 15) и когда от полных сотен приходится отнимать единицы и десятки (например 600—3; 1000—8; 400—20; 1000—30; 800—75; 1000—16). В данном случае на отвлеченных числах поступают так: пусть дано 493 + 7, надо: 1)93 + 7 — 100; 2) 400+100 = 500. Чтобы сложить 996 и 4, надо: 1) 96 + 4=100; 2) 900 + 100 = 1000. Чтобы из 600 вычесть 3, надо :1) 600 — 100 = = 500; 2) 100—3 = 97; 3) 500 + 97=597. Чтобы из 1000 вычесть 16, надо: 1) 1000—100 = 900; 2) 100-16 = 84, 3) 900+84 = 984. Если дети забывают данные числа, то надо записывать их на доске, а вычисление следует производить устно. Так, например, на доске должна быть только такая запись: 645—23 = . и после устного вычисления можно написать ответ. Сотни и десятки. Сюда относятся такие случаи, когда в од¬ ном из двух данных (в одном из слагаемых или уменьшаемом, или вычитаемом) или в обоих данных есть кроме сотен также и де¬ сятки. Таковы примеры: 430 + 200; 620—300; 240 + 350; 870—560. При вычитании таких примеров: 630—200 надо обратить вни¬ мание детей на то, что следует вычитать только сотни, а десятки остаются без изменения. При сложении примеров вроде следующего: 460 + 230, надо поступить так: 460 + 200 = 660, 2) 660 + 30 = 690. Можно сло¬ жить и так: 1)400 + 200 = 600; 2)60 + 30 = 90; 3)600 + 90=690. Этим приемом можно погьзоваться при слабых познаниях детей. Но первый прием лучше, скорее. При вычислении примегов в; оде следующего: 1000—430, надо поступить так: 1) 1000—400 = 600; 2) 600—30 = 570. Сотни, десятки и единицы. Сюда относятся такие случаи, когда в одном из двух данных (в одном из слагаемых или в уменьшаемом, или вычитаемом) или же в обоих данных есть 87
кроме сотен также и единицы или же десятки и единицы вместе. Та¬ ковы примеры: 2044-400; 606—200; 345 4-200; 989—300; 450 + 320; 748—305, 876—420,345 4-320, 645 4-345. Этот вид упражнений требует умения складывать и вычитать полные сотни и десятки с единицами в пределе сотни, а с этим дети уже познакомились. Случаи, в которых в одном из слагаемых (4054-200; 567 4~300) или в вычитаемом (506—300; 845—400) нет десятков и единиц, требуют действия только над сотнями, десятки же с единицами остаются неприкосновенными. Случаи, в которых в обоих слагаемых и вычитаемом есть кроме сотен или только единицы или же десятки с единицами, требуют умения разложить одно из слагаемых и вычитаемое на десятичные группы и произвести сложение или вычитание пораз¬ рядно, начиная с высших разрядов. Так, пусть дано 2504-204, надо: 1) 250-]-2С0 = 450, 2) 450 + -|-4 — 454. Пусть дано 678—305, надо: 1)678—300 = 378; 2)378—5 = 373. Пусть дано 5234-346, надо: 1) 523 + 300 = 823; 2) 823 — + 40 = 863; 3) 863 + 6 = 869, или же 1) 500 + 300 = 800; 2) 20 — + 40 = 60; 3) 3 + 6 = 9; 4) 800 + 60 + 9 = 869. Первый способ более скорый. Второй способ лучше приме¬ нять при слабых познаниях учеников. Пусть дано 987—654, надо: 1)987-600 = 387; 2) 387—50 = 337; 3) 337—4 = 333. Такой способ легче, чем такой: 1) 9С0 — 600 = = 300; 2) 80—50 = 30; 3) 7—4 = 3; 4) 300 + 30 + 3 = 333, ибо в первом способе меньше чисел и они легче запоми¬ наются. Пусть дано 1000—456, надо: 1) 1000—400 = 600; 2) 600 — — 50 = 550; 3) 550—6 = 544. Здесь же можно пользоваться и частным приемом — округ¬ лением чисел. Так, когда нам дано 698 + 202, то мы можем: 700 + 202 — 2. Или, когда нам дано: 700 — 496, то мы можем: 700-500+4. Сложение и вычитание с переходом через сотню. а) Десятки и единицы с переходом через сотню. Все случаи на данную группу сложения можно подвести под три общих случая: 1) когда одно из слагаемых состоит только из единиц (96 + 8; 498 + 4); 2) когда одно из слагаемых состоит только из десятков (60 + 60; 85 + 50; 280 + 40; 467+ 60); 3) когда одно из слагаемых состоит из десятков и единиц, а другое кроме того может состоять и из сотен (84 + 42; 76 + 54; 68 + 56; 286 + 32, 478 + 42, 667 + 66). Соответственно сложению все случаи вычитания на данную группу можно подвести под три общих случая: 1) когда вычитае¬ мое состоит только из единиц (102 — 4; 605 — 8); 2) когда вычи¬ таемое состоит только из десятков (120—40; 115—20; 230—60; 425—50); 3) когда вычитаемое состоит из десятков и единиц (108-28; 505—46; 130-42; 420—53; 124—43; 345—66). 88
Все эти случаи сложения и вычитания требуют знания сложе ния и вычитания в пределе сотни. Так, чтобы к 96 прибавить 8, надо: 1) 96 4-4=100; 2) 100-4- + 4=104. Чтобы к 498 прибавить 4, надо: 1) 498 + 2 = 5С0; 2) 500 + 4-2 = 502. Чтобы к 80 прибавить 50, надо: 1) 80 + 20 = 100; 2) 100+30=130. Или же так: 80 — это 8 десятков, 50 — это 5 десятков; 8 десятков+ 5 десятков = 13 десяткам; 13 десятков составляют 130. Первый прием скорее и легче. Чтобы к 563 прибавить 60, надо: 1) 60 + 60=120; 2) 500 + + 120 = 620, 3) 620 + 8 = 628. Чтобы к 84 прибавить 42, надо: 1) 80 + 40=120; 2) 4 + 2 = 6; 3) 120 + 6=126. Чтобы к 667 прибавить 66, надо: 1)60 + 60=120; 2)7 + 6=13; 3) 120 + 13 = 133; 4) 600 + 133 = 733. Чтобы от 102 отнять 4, надо: 1) 102 — 2 = 100; 2) 100 — 2 = 98. Чтобы от 606 отнять 8, надо: 1) 606 — 6 = 600; 2) 600 — 2 = = 598. ' Чтобы от 130 отнять 50, надо: 1) 130 — 30=100; 2) 100 — 20 = = 80, или же: 1) 100 — 50 = 50; 2) 50 + 30 = 80. Чтобы от 465 отнять 80, надо: 1) 460—80 = 380; 2) 380 + + 5 = 385, или же: 1) 400 — 80 = 320; 2) 320 + 65 = 385. Чтобы от 345 отнять 66, надо: 1) 345 — 45 = 300; 2) 66 — 45 = = 21, 3) 300 — 21=279, или же: 1) 300 — 66 = 234; 2) 234 + 45 = = 279. Если одно из слагаемых или вычитаемое — закруглимое число, то надо его закруглять. Так, чтобы к 456 прибавить 99, надо: 456 + 100 — 1. Чтобы от 876 отнять 98, надо: 876 - 100 + 2. б) Сотни, десятки и единицы с переходом через сотню. Отличие этой подгруппы от предыдущей то, что в предыдущей подгруппе одно из слагаемых и вычитаемое были однозначные или двузначные числа, а в этой подгруппе оба слагаемых и вы¬ читаемое— трехзначные числа. Каждый из случаев на эту подгруппу можно охарактеризо¬ вать так: 1) когда каждое из слагаемых и уменьшаемое с вычитаемым оканчиваются нулем (480 + 240; 830 — 440); 2) когда одно из слагаемых и вычитаемое оканчиваются нулем (376+250; 370 + 456; 945 — 760); 3) когда в одном из слагаемых и уменьшаемом нет отдельных десятков (496 + 208; 507 + 399; 805 — 297); 4) когда при сложении и вычитании единиц не случается переходить через десятки (486+362, 948 — 765); 5) когда при сложении единиц получается полный десяток (576 + 364), а в уменьшаемом нет отдельных единиц (840—567); 6) когда при сложении и вычитании единиц случается пере¬ ходить через десятки (486 + 368; 943 — 567); 7) когда одно из слагаемых и вычитаемое — закруглимые числа (540 + 390; 299 + 242; 920-790; 567 — 398). 89
Примечание. Эта характеристика случаев сложения и вычитания сделана для учащих; учащимся же не следует со¬ общать ее. Понятие „увеличить (уменьшить) на столько-то“. Эти понятия как наиболее сложные мы отнесли к предпослед¬ нему кон; ентру — первой тысячи и выделили их в особую группу. Чтобы дети лучше усвоили эти понятия, надо дать достаточно много упражнений. Объяснения этих выражений надо вести непременно на на¬ глядных пособиях, примерно так: „Сколько кубиков на левой стороне стола?" (4 кубика.) „А сколько кубиков на правой стороне стола?" (Тоже 4 кубика.) „Сколько еще кубиков я положил на правую сторону стола рядом с 4 кубиками?" (2 кубика.) „На сколько больше кубиков на правой стороне, чем на левой?" (На 2 кубика. На правой стороне раньше было 4 кубика, а потом стало больше на 2 кубика.) „Вместо „больше на 2 кубика" можно сказать по-другому: „увеличилось на 2 кубика". Раньше было на правой сто¬ роне 4 кубика, а потом число кубиков увеличилось на 2. Как сказать по-другому вместо „увеличилось на 2?“ (Стало больше на 2.) Пусть дана задача: „В колхозе было вначале 100 коров, а через год стадо коров увеличилось на 20 голов; сколько коров стало в колхозе через год?" „Вместо: „увеличилось на 20 коров", как можно сказать по-другому?" (Стало на 20 коров больше.) „Сколько же коров стало в колхозе через год?" (120.) „Как вы узнали это?" (К 100 прибавить 20 — будет 120.) „Запишите это". (100-4-20=120.) „Прочтите это". (К числу 100 прибавить 20 — будет 120.) „Как прочитать по-другому, употребляя слово „увеличить"? (100 увеличить на 20 — будет 120.) Когда дети хорошо усвоят выражения „увеличить на столько- то", тогда надо перейти к усвоению выражения „уменьшить на столько-то". Объяснение ведется, примерно, так: „Положите на правой стороне стола 5 кубиков и на левой стороне столько же. Уберите с левой стороны стола 2 кубика. На какой стороне стало меньше кубиков? На сколько кубиков на левой стороне меньше, чем на правой?" (На левой стороне раньше было 5 кубиков, а потом стало меньше на 2 кубика.) „Вместо „меньше на 2 кубика" можно сказать по-другому: „уменьшилось на 2 кубика". Предлагаются задачи с этими выражениями, причем для лучшего уев ения выражения „увеличить на столько" и „умень¬ шить на столько" сопоставляются. Решать задачи с выражениями „уменьшить на столько" на пер¬ вое время надо так. Пусть дана задача: „До хозрасчета станок, выпускаемый заво¬ дом, обходился в 410 руб., а после введения хозрасчета стоимость ео
его уменьшилась на 45 руб. Во сколько рублей стал обходиться заводу станок после введения хозрасчета?” „Стоимость станка уменьшилась на 45 руб. Как можно сказать по-другому?” (Стала на 45 руб. меньше.) „Во сколько же рублей стал обходиться станок заводу?” (365 руб.) „Как вы узнали это?” (От 410 руб. отняли 45 руб., получилось 365 руб.) „Запишите это”. (410 — 45 = 365.) „Прочитайте это”. (От 410 отнять 45—будет 365). „Как прочитать это по-другому, употребляя слово „умень¬ шить?” (410 уменьшить на 45 — будет 365.) От упражнений на задачах надо перейти к упражнениям на отвлеченных числах. Например: 1) „Увеличьте 240 на 6, сколь¬ ко будет?” 2) „Уменьшите 240 на 5, сколько будет?” Письменное сложение. Письменное счисление, как мы уже упоминали выше, характе¬ ризуется тем, что в нем, в отличие от устного и полуписьменного счисления, вычисление начинается с низших разрядов, а не с высших. Но чтобы яснее выступило это отличие, необходимо: 1) чтобы сначала для сложения было взято более двух чисел и 2) чтобы приходилось делать переход из одного разряда в другой. Первое условие необходимо для того, чтобы показать трудность запоминания данных чисел, а второе для того, чтобы показать пре¬ имущество сложения с низших разрядов. Но чтобы убедиться детям в преимуществе сложения с низших разряда, надо проде¬ лать 2—3 примера, начиная это сложение сначала с высших. По¬ ясним это на примере. Пусть дано сложить: 264 -f 358 137 Начиная сложение с высших разрядов, дети должны говорить: „2, 5, 6 (или же: 1, 4, 6) сотен пишем”. Складывая десятки, дети говорят: „6, 11, 14 (или же: 3, 8, 14); 14 десятков — это 1 сотня и 4 десятка; 6 сотен да 1 сотня — 7 сотен, 6 сотен стираем и пишем 7, под десятками пишем '4“. Складывая едини¬ цы, дети говорят: „4, 12, 19 (или же: 7, 15, 19); 19 единиц со¬ ставляют 1 десяток и 9 единиц, 4 десятка стираем, пишем вместо них 5 десятков, 9 единиц пишем под единицами. Полу¬ чаем 759”. Производим сложение тех же чисел с низших разрядов, склады¬ вая единицы, дети говорят: „4, 12, 19 (или же: 7, 15, 19;; 19 единиц — это 1 десяток и 9 единиц, 9 единиц пишем под едини¬ цами, а I десяток запоминаем”. Складывая десятки, дети говорят: „1, 7, 12, 15 (или же: 1, 4, 9, 15); 15 десятков—1 сотня и 5 десятков; 5 десятков пишем под десятками и 1 сотню запоминаем”. Складывая сотни, дети говорят: „1, 3, 6, 7 или же: 1, 2, 5, 7); 7 сотен пишем под сотнями. Всего получилось 759”. Таким путем дети убедятся в преимуществе второго способа перед первым, ибо при втором способе не приходится переделывать написанной 91
цифры, так как раз написанная цифра является окончательно цифрой. Когда дети усвоят механизм письменного сложения, главная трудность которого заключается в переходе из одного разряда в другой, тогда надо приучить их говорить про себя или вслух короче, вот так (берем прежний пример, начиная сложение с низших разрядов и сверху)' „4, 12, 19; 9 пишем; 1, 7, 12, 15; 5 пишем; 1, 3, 6, 7; 7 пишем". Что касается того, сверху или снизу начинать сложение, то если сложение делается один раз, лучше начинать его сверху, ибо „орудие письма, переходя от слагаемого к слагаемому, само собою доходит до того места, где должен быть записан результат"J). Если же желают проверить сложение, то, начав сложение в первый раз сверху, во второй раз можно начинать его снизу или же наоборот. Вот образец рекомендуемой нами записи: 264 -f 358 137 759 Письменное вычитание. Подобно сложению, письменное вычитание должно располагать столбцом, разряд под разрядом, и начинать с низших разрядов. Запись должна быть такой: 680 “357 323 Для лучшего усвоения письменного вычитания можно располо¬ жить его по следующим методическим ступеням: 1. Каждая цифра вычитаемого меньше соответствующей цифры уменьшаемого, иначе говоря когда не приходится раз¬ дроблять единицы высшего разряда в единицы низшего разряда: 468 345 2. Раздробление единицы ближайшего высшего разряда. а) цифра отдельных единиц уменьшаемого — нуль; 706 807 б) цифра отдельных десят- 370 465 ков уменьшаемого — нуль; в) цифра единиц вычитае¬ мого больше цифры единиц уменьшаемого. а) 460 750 43 327 б) 908 605 70 63 в) 682 975 - 64 328 9 См. Штеклнн. Метолика арифметики, ч. I, перевод с немецкого под редакцией Д. Л. Волковского, изд. 2, стр. 504—505. 92
3. Раздробление сотни. а) 400 600 а) цифра единиц и десятков умень- 57 327 шаемого — нуль; б) 140 _650 970 б) цифра единиц уменьшаемого — 46 72 396 нуль, а цифра десятков вычитаемого больше соответствующей цифры уменьшаемого; в) 604 105 803 в) цифра единиц вычитаемого боль- 7 _67 458 ше соответствующей цифры умень¬ шаемого, а цифра десятков умень¬ шаемого — нуль; г) 145 367 732 г) цифры единиц и десятков вычитае- 78 69 253 мого больше соответствующих цифр уменьшаемого. 4. Раздробление тысячи. 1000 1000 1000 — 7 ~ 46 398 Вычитание „без раздробления" нисколько не затрудняет детей. Выполняя такое вычитание, дети должны говорить кратко вслух или про себя и тотчас записывать то, что говорят. Пусть дано: 869 324 Дети поступают так: 4 из 9 = 5 (и тотчас пишут 5 под раз¬ рядом единиц), 2 из 6 = 4 (пишут 4 под разрядом десятков), 3 из 8 = 5 (пишут 5 под разрядом сотен). Но на первое время (в 1-й урок) лучше говорить так: 4 единицы из 9 единиц=5 единицам, 5 единиц пишем под единицами; 2 десятка из 6 десятков = 4 десяткам, 4 десятка пишем под десят¬ ками; 3 сотни из 8 сотен = 5 сотням; 5 сотен пишем под сотнями. Что касается вычитания „с раздроблением", то оно затрудняет детей и требует некоторого пояснения. За знак раздробления принято считать точку, которая ста¬ вится над цифрой, одна из единиц которой раздробляется. Поясним на примере, как надо объяснить этот случай вычи¬ тания. Пусть дано: 823 “358 Дети на первое время говорят, примерно, так: „8 единиц из 3 единиц вычесть нельзя; поэтому раздробляем один десяток, а чтобы помнить это, над цифрой десятков ставим точку; 10 еди¬ ниц да 3 единицы = 13 единицам, 8 единиц из 13 единиц =5 еди¬ ницам, 5 единиц пишем под единицами; 5 десятков из I десятка вычесть нельзя, поэтому раздробляем 1 чотню в десятки, а над 93
цифрой сотен ставим точку; 10 десятков да 1 десяток =11 де¬ сяткам, 5 десятков из 11 десятков = 6 десяткам, 6 десятков пи¬ шем под десятками; 3 сотни из семи сотен = 5 сотням; 4 сотни пишем под сотнями". Если дети затрудняются делать такое вычитание, то надо обра¬ титься к денежным знакам. „Вот у меня 2 бумажки по 10 руб. и 3 бумажки по рублю, Мне надо взять из них 8 однорублевых бумажек. Как это сделать?" (Одну десятирублевку разменять на рубли, будет 10 руб., 10 руб. да 3 руб. = 13 руб., 8 из 13 = 5 руб.) „Про деньги го¬ ворят: „разменять", а про числа говорят: „раздробить". А еще нагляднее сделать это на палочках: „Вот у меня 2 пучка палочек, по 10 палочек в каждом, и 3 отдельных палоч¬ ки; как взять из них 8 палочек?" (1 пучок ра.звязать, 10 па¬ лочек да 3 палочки = 13 палочкам, 8 палочек из 13 палочек = = 5 палочкам.) Про пучки палочек говорят: „развязать", а про числа говорят: „раздробить". Вот образец письменного расположения сложных1) численных примеров: 278 + 269 -f 324 — 564 == 1) 278 2) 871 + 269 ~ 564 324 307 871 Сложение и вычитание составных именованных чисел. Со сложением и вычитанием простых и составных именован¬ ных чисел дети познакомились при изучении первой сотни. Но там эти действия производились полуписьменно. Здесь же они производятся строго письменно, начиная с низших раз¬ рядов. Приведем образец того, как надо располагать запись и как дети должны выполнять вычисление. Пусть дано: 234 р. 56 к. + 357 „ 24 . 245 „ 68 „ Начиная сложение с единиц копеек сверху, дети говорят вслух или про себя примерно так: „6, 10, 18; 8 пишем (пишут под единицами копеек), а 1 запоминаем". Складывая десятки копеек, дети говорят: „I, 6, 8, 14. 4 пишем (пишут под десятками копеек), а 1 запоминаем". Складывая единицы рублей, дети го¬ ворят: „1, 5, 12, 17; 7 пишем (шшут под единицами рублей), а 1 запоминаем". Складывая десятки рублей, дети говорят: „1, 4, 9, 13; 3 пишем (пишут под десятками рублей), а 1 запоминаем". Складывая сотни рублей, дети говорят: „1, 3, 6, 8; 8 пишем" 1 Сложными численными примерами можно назвать такие примеры, в которых требуется выполнить не менее двух действий. 94
(пишут под сотнями рублей). Так что окончательная запись (запись с ответом) примет след}ющий вид: 234 р. 56 к. + 357 . 24 „ 245 „ 68 . 837 р. 48 к. Пусть дано: 604 р. 58 к. ~236 . 89 . Начиная вычитание с единиц копеек, дети говорят вслух или про себя, примерно, гак: „9 из 18=9 (и в это время ставят над цифрой десятков копеек 5 точку, а под разрядом единиц копеек пишут цифру 9); 8 из 14 = 6 (ив это время ставят точку над цифрой единиц рублей 4, а под цифрой десятков копеек пишут цифру 6); 6 из 13 = 7 (и в это время ставят точку над цисЬрой сотен рублей 6 и над цифрой десятков рублей 0, а под цифрой единиц рублей пишут цифру 7); 3 из 9=6 (и в это время пишут цифру 6 под десятками рублей); 2 из 5 = 3 (и в это время пи¬ шут цифру 3 под сотнями рублей)". N Так что окончательная запись (с ответом) примет следующий вид: 604 р. 58 к. 236 „ 89 , 367 р. 69 к. Упражнение на счетах, __ Отвлеченные числа. Сложение. Пусть дано сложить 523 и 344. Дети выпотняют это сначала устно (если же не могу г запомнить чисел, то они пишутся на доске, а вычисление производится устно) так: 1) 523 + 303 = 823; 2) 823+40=863; 3) 863+4=867. Затем проделывают то же самое на счетах, т. е. сначала кладут чи¬ сло 523, а затем прибавляют сперва ЗОЭ, потом к полученному (823) прибавляют 40, к вновь полученному (863) прибавляют 4, читая окончательный результат 867. Обращаем внимание на те случаи сложения, когда приходится делать переход из низшего разряда в высший. Здесь надо научить Детей частному примеру сложения как более скорому. Начнем с более легкого случая. Пусть дано сложить 8 и 5. „Как вы прибавите на счетах 5 к 8?“ (Сначала прибавим 2 шарика, будет 10 шариков, их заменим 1 шариком на второй проволоке, потом положим на 1-й проволоке 3 шарика, всего будет 13.) „Не догадаетесь ли, как можно прибавить 5 к 8 по- другому?" (К 8 прибавить 10 (на второй проволоке положить шарик), а от полученного результата отнять 5 шариков, потому что мы 5 шариков положили лишних, всего будет 13.) 95
После этого берутся более сложные случаи: 36 + 58; 75 + 47; 687+236. Поясним, как сложить на счетах частным приемом 687 и 236. Кладется на счетах число 687. 1. К 6 шарикам на третьей проволоке (к 600) прибавляем 2 шарика на третьей проволоке (200). 2. Надо прибавить к 8 шарикам на второй проволоке (к 80) 3 шарика (30), но на второй проволоке осталось только 2 ша¬ рика, поэтому прибавляется 1 шарик на третьей проволоке (или 100), а со второй проволоки скидывается 7 шариков, ибо вместо 3 прибавили 10, т. е. 7 лишних, на второй проволоке остается 1 шарик. 3. Надо к 7 шарикам на первой проволоке прибавить 6 ша¬ риков, а на первой проволоке осталось только 3 шарика, по¬ этому кладется 1 шарик на второй проволоке (или 10), а с пер¬ вой проволоки скидываются 4 шарика, ибо вместо 6 мы прибавили 10, т. е. 4 лишних. Вычитание. Обращаем особое внимание на тот случай, когда приходится делать переход из высшего разряда в низ¬ ший. Пусть дано: 15—6. „Положите на счетах 15 Как вы отнимете 6?“ (Сначала сбросим 5 шариков с первой проволоки, останется 1 шарик на второй проволоке, его заменим 10 шариками на первой про¬ волоке, с первой проволоки сбросим 1 шарик, останется 9 ша¬ риков.) Затем учитель указывает другой способ, более легкий, по¬ добный соответствующему случаю сложения: от 15 отнять 10 и к полученному прибавить 4. Этот прием можно разъяснить при помощи денег на следую¬ щей задаче: „У девочки было 15 копеек (10 коп. и 5 коп.). Де¬ вочка купила в кооперативе тетрадь за 6 коп. Сколько денег осталось у девочки?" „Как узнать это?" (От 15 отнять 6—будет 9.) „Как девочка расплатилась? Какую монету она отдала в кассу?" (Десятико¬ пеечную.) „А сколько она должна отдать за тетрадь?" (6 коп.) „Сколько же сдачи она должна получить?" (4 коп.) „Сколько денег у нее осталось?" (9 коп.) „Как вы узнали это?" (Когда она отдала десятикопеечную монету, у нее осталось 5 коп., да сдачи получила 4 коп., 5 коп.+4 коп.=9 коп.) Умея отнять 6 от 15 на денежных знаках, дети без затруд¬ нения отнимут 6 от 15 на счетах. После этого берутся более сложные случаи: 54—36; 123—78; 826—567; 500—234; 1000—472. Именованные числа. Сложение и вычитание на счетах именованных чисел, выра¬ женных в рублях и копейках, производится по примеру сложения и вычитания отвлеченных чисел. Здесь учитель напоминает детям, что на двух проволоках с 10 mapi кши, которые находятся между 2 проволоками с 4 ша¬ риками, кладутся на нижней (второй) проволоке копейки, а на верхней (третьей с самого низа) десятки копеек, а начиная 96
с пятой проволоки (от Самого низа), кладут рубли: иа пятой проволоке — единицы рублей, на шестой — десятки рублей, на седьмой — сотни рублей и на восьмой — тысячи рублей. § 33. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 1000. Основываясь на требовании дидактики — переходить от более легкого к более трудному, умножение в пределе тысячи мы раз¬ деляем на следующие ступени: * 1) умножение двузначного числа на однозначное; 2) умножение трехзначного числа на однозначное; 3) умножение двузначного числа на двузначное. Умножение двузначного числа на однозначное. Эту ступень мы подразделяем на следующие две: 1) умноже¬ ние полных десятков на однозначное число (40 X 5) и обратно (6X70); 2) в одном из сомножителей заключаются единицы обоих разрядов (26 X 7); (8 X 34). 1. Умножение полных десятков на однозначное число. Пусть дано 80X5. Детям объяснить это можно так: „80 — эго 8 десят¬ ков; 8 десятков умножить на 5 = 40 десяткам, или 400“. Запись производится в строчку: 80 X 5 = 400. После этого идет умножение простого именованного числа (например 50 коп. X 8). Умножая копейки, дети должны пре¬ вращать их в рубли. Решение примера 50 коп. Хна 8 примет следующий вид: 50 коп. X 8 = 400 коп. = 4 руб. 2. Во множимом заключаются единицы обоих разрядов. Пусть дано 24X7. Это выполняется так: 20X7=140; 4X7 = 28; 140-(-28=168. Если дети затрудняются умножить 24 на 7, то учитель посту¬ пает так: „24 состоит из скольких десятков и сверх того из скольких единиц?” „Как вы умножите 24 на 7?“ (20 X 7=140; 4X7 = 28; 140428=168.) Надо приучить детей начинать устное умножение с высших разрядов. Умножение трехзначного числа на однозначное. Здесь нужно различать 3 случая: 1) когда множимое оканчи¬ вается нулем (240X2); 2) когда во множимом есть единицы всех трех разрядов (123X3); 3) когда нет отдельных десят¬ ков (206 X 3). 1. Множимое оканчивается нулем. Этот случай выполняется двояко. Пусть дано 240x3. Можно выполнить так: 200x3 = = 600; 40X3=120; 600120 = 720, или же, рассматривая чи¬ сло 240 как 24 десятка, так: 24 десяткаХ 3 = 72 десяткам, или 720. 2. Во множимом есть единицы, всех трех разрядов. Пусть дано 123X4; надо: 100 X 4 = 400; 20 X 4 = 80; 3X4 = 12; ^ Д. Л. Волковский 97
400 + 80 + 12 = 492, или же: 100X4 = 400; 20X4 = 80; 400 + 80= = 480; 3X4=12; 480+12 = 492. 3. Во множимом нет отдельных десятков. Пусть дано; 206X4; надо 200X4 = 800; 6X4 = 24; 890 + 24 = 824. Все случаи умножения трехзначного числа на однозначное выполняются устно или полуписьменно в зависимости от степени развития слуховой памяти у детей: если у детей хорошая слухо¬ вая память, то все случаи выполняются устно; если же не осо¬ бенно развита слуховая память, то примеры для вычисления записываются на доске или же читаются по книге, но самые вычисления выполняются устно. Раздробление именованных чисел. При раздроблении составных именованных чисел достаточно ограничиться именованными числами двух соседних наименова¬ ний, как, например, рубли и копейки, часы и минуты и т. п. (У стно.) Пусть дано: „Сколько часов в 4 сутках 4 часах?" Дети рас¬ суждают, например, так: „В одних сутках 24 часа, в 4 сутках в 4 раза больше: 24 часа X 4 = 96 час.; 96 часов да 4 часа будет 100 час." Если потребуется запись подобных примеров, то она распо¬ лагается в строчку так: 1) 4 сут. 4 час. = 100 час; 2) 8 руб. 75 коп. =875 коп. А можно делать и такую запись: 8 р. 75 к. 4 м 8 см 5 м 8 дм } 875 коп. ’ ' 408 см ’ > 58 дм ’ т. е. над чертой пишется задание, а под чертой — ответ. Этот вид упражнений на раздробление может прорабатываться со средним классом в пределе 1000, а с хорошим классом в пре¬ деле чисел любой величины. Умножение составных именованных чисел. (У с т н о.) Сперва мы берем только такие примеры, где не прихо¬ дится превращать низшие меры в высшие. Пусть дано: 1) 4 руб. 6 коп. X 6; 2) 15 руб. 24 коп. X 4; 3) 5 час. 9 мин. X 5; 4) 9 м 6 смХ 8. Надо: 1) 4 руб. 6 коп. X 6 = 24 руб. 36 коп.; 2) 15 руб. 24 коп. X 4 = 60 руб. 96 коп.; 3) 4 час. 9 мин. X 5 = 20 час. 45 мин.; 4) 9 м 6 см X 8 = 72 м 48 см, т. е. запись должна производиться в строчку как наиболее легкая и ясная на данной ступени, причем все вычисления выпол- 9S
няются устно, начиная с высших наименований и со старших разрядов, и записывается только окончательный результат. Эти упражнения можно проделывать при прохождении умно¬ жения в пределе 100, нужны они при прохождении тысячи и чисел любой величины. Деление трехзначного числа на однозначное. В делении трехзначных чисел на однозначные числа можно различить следующие ступени: Деление полных сотен. Здесь дети повторяют деление пол¬ ных сотен, когда в частном получаются полные сотни (600:2), и сверх того знакомятся с делением в том случае, когда число сотен не делится на данное число, например 300:2; 600:4; 1000:8. В последнем случае надо поступить так: 1. Возьмем 300:2. 1) 300 = 200 + 100; 2) 200:2= 100; 3) 100:2 = = 50; 4) 100 + 50=150. 2. Возьмем 600:4. Можно: 1) 600 = 60 десяткам; 2) 60 десят- ков:4=15 десяткам, или 150, или же так: 600:2:2=150. 3. Возьмем 1000:8. Можно 1000:2:2:2=125 или сначала де¬ лим 800, а потом 200 на 8 и полученные частные складываем. Деление трехзначных чисел, оканчивающихся нулем. Здесь могут быть случаи различной степени трудности. 1. Самый легкий случай это тот, когда в отдельности и сотни и десятки делятся на однозначное число, например: 840:2. Здесь поступают так: разлагают число на сотни и десятки; делят каждое слагаемое в отдельности и складывают полученные результаты. Так, чтобы 680 разделить на 2, надо 600:2 = 300; 80:2 = 40; 300 + 40 = 340. 2. Когда разряд сотен делится, а разряд десят¬ ков не делится или наоборот: разряд сотен не де¬ лится, а разряд десятков делится. Тогда делимое разлагают на два слагаемых, из которых одно состоит из полных сотен, а другое — из остальной части числа. Пусть дано 430:2. Надо: 430 = 400 + 30; 400:2 = 200; 30:2 = = 15; 200 + 15 = 215. Или пусть дано 340:2. Надо: 340 = 300 + 40; 300:2=150; 40:2 = 20; 150 + 20 = 170. Впрочем, для того случая, когда сотни йе делятся, а десятки делятся, можно указать и другой прием, который сводится к делению в пределе до 100. Возьмем прежний пример: 340:2; 340 — это 34 десятка, 34 де¬ сятка разделить на две равных части, будет 17 десятков, или 170. 3. Когда ни сотни, ни десятки в отдельности не Делятся, в этом случае применяется тот же прием, что и в том случае, когда сотни не делятся, а десятки делятся. Пусть дано 360:4. Надо поступить так: 360 — это 36 десятков; 36 десятков :4 = 9 десяткам, или 90. Кроме того, для этого слу¬ чая при делении на 4, 8, 6, 9 можно употреблять прием после- 99
довательного деления, который применяется в пределе до 1С0. Так, чтобы 360:4, можно 360:2:2 = 90. Чтобы 240 разделить на 8, можно: 240:2:2:2 = 30. Чтобы 420 разделить на 6, можно: 420:2:3 = 70, или 420:3:2 = = 70. Чтобы 630 разделить на 9, можно: 630:3:3 = 70. Под рубрик^ 3 мы брали такой случай, когда сотни и де¬ сятки в отдельности не делятся, а вместе взятые делятся. Теперь возьмем такой случай, когда сотни и десятки, вместе взя- х ы 6 н 6 делятся Например: 310:2. Надо: 310 = 300 —|— 10; 300:2 = 150; 10:2 = 5; 150 + 5 = 155. Возьмем другой пример: 120:8. Надо: 120:2:2:2 или: 120 = = 80 + 40; 80:8 = 10; 40:8 = 5; 10 + 5=15. Когда нет отдельных десятков, причем сотни и единицы делятся в отдельности на данное число. Пусть дано 608:2. Надо: 608 = 600 + 8; 600:2 = 300; 8:2 = 4. 300 + 4 = 304. Сюда же можно отнести и такие более легкие примеры, когда разряд сотен не делится на данное число. Это деление не трудно дается в том случае, когда делитель 2. Например: 304:2; 5и6:2; 708:2; 902:2. Поступают здесь так: пусть дано 703:2. Можно: 700:2 = 350; 8:2 = 4; 350 + 4=354. Если же взять более трудные примеры, вроде 608:8; 301:7; где делитель более 2, то к ним применяется такой прием: дели¬ мое разлагается на 2 слагаемых, из которых каждое делится на данное число, и полученные частные складываются; так, чтобы разделить 608 на 8, надо: (560 + 48): 8 = (560:8) + (48:8) = 70 + 6 = 76. Когда в делимом есть значащая цифра в каждом из разря¬ дов. Здесь могут быть следующие случаи: 1. Когда каждый разряд делится на данное число. Прием деления состоит в tgm, что число разлагается на десятич¬ ные группы, каждая группа делится на данное число и получен¬ ные результаты складываются. Пусть дано 936:3; надо: 900:3 = 300; 30:3=10; 6:3 = 2; 300+10 + 2 = 312. 2. Когда разряд сотен делится, а разряд десят¬ ков или же десятков и единиц в отдельности не делится. В этом случае надо разлагать данное число на два слагаемых, из которых одно — полные сотни, а другое — осталь¬ ная часть числа. Пусть дано 428:4; надо: 428 = 400 + 28; 403:4=100; 28:4 = 7; 100 + 7= 107. 3. Когда ни сотни, ни десятки данного числа в от¬ дельности не делятся, а вместе взятые делятся. 100
В этом случае делимое разлагается на два слагаемых, из кото¬ рых одно состоит из сотен и десятков, взятых вместе, а дру¬ гое— из единиц. Пусть дано 216:3; надо: 216 = 210 + 6; 210(21 десяток)-.3 = 70; 6:3 = 2; 70 + 2 =72. 4. Когда сотни и десятки, вместе взятые, не де¬ лятся. В этом случае делимое разлагается на два слагаемых, кратных делителю. Пусть дано 132:3; надо: 132== 120 + 12, 120 (12 десятков):3 = 40; 12:3 = 4; 40 + 4 = 44. Пусть дано 510:6; надо: 510 = 480 + 30; 480 (48 десятков):6 = 80; 30:6 = 5; 80+5 = 85. Деление именованных чисел. Здесь можно различить два случая: деление простого име¬ нованного числа и деление составного именованного числа. Из этих случаев каждый в свою очередь можно подразделить на 2 случая, в зависимости от того, будет ли делитель число отвлеченное или число именованное. Сначала мы берем деление простых и двусоставных име¬ нованных чисел только на однозначное число. Укажем на отдельных примерах различные случаи деления, располагая эти примеры в такой последовател -ности. 1. Деление простого именованного числа на число отвле¬ ченное. В этом случае частное — число именованное. Пример: 168 руб.:6. Расположение записи: 168 руб.: 6 = 28 руб. 2. Деление простого именованного числа на простое име¬ нованное число. В этом случае частное — число отвлеченное. Пример: 618 м:6 м. Расположение записи: 618 л/:6 м = 103. 3. Деление простого именованного числа на число отвле¬ ченное в случае раздробления делимого. Например: 4 м:8. Расположение записи: 4л*:8 = 40<?лт:8 = 5 дм. 4. Деление простых разноименных именованных чисел. Например: 2 суток:4 часа. Расположение записи: 2 сут.:4 часа = 48 час.:4 часа = 12. Здесь следует обратить внимание на то,что оба числа с раз¬ личным названием: надо привес:и эти числа к одному названию. Для этого должно 2 суток раздробить в часы. 101
5. Деление простого именованного числа на число отвле¬ ченное в том случае, когда частное — составное именованное число. Например: 19 суток:2. Расположение записи: 19 сут.:2 = 9 сут. 12 час. 6. Деление составного именованного числа иа число отвле¬ ченное, причем частное — простое именованное число. Например: 3 руб. 55 коп.:5. Расположение записи: 3 руб. 55 коп.:5 = 71 коп. (3 руб. 55 коп. устно раздробляются в копейки). Возьмем другой пример: 3 года 4 мес. :5. В этом случае запись можно расположить так: 3 года 4 мес.:5 = 40 мес.:5=8 мес. 7. Деление составного именованного числа на число отвле¬ ченное, причем частное — составное именованное число. Напри¬ мер: 38 час. 24 мин. :6. Расположение записи: 38 час. 24 мин.: 6 = 6 час. 24 мин. Вычисление производится устно по такому приему: 38 час. 24 мин.:6 = 36 час. 144 мин. (2 часа 24 мин. = 144 мин.):6. 8. Деление составного именованного числа на простое име¬ нованное число. В этом случае частное — число отвлеченное. Например: 3 года 4 мес.:5 мес. Расположение записи: 3 года 4 мес.: 5 мес. = 40 мес.: 5 мес. = 8. При хорошем составе класса, равно как при легких примерах, можно опустить промежуточную запись, и тогда расположение записи будет такое: „ . о J 3 года 4 мес.: 5 мес. = 8. Вычисление со всеми указанными случаями, вследствие их несложности, следует производить или устно или полуписьменно, смотря по трудности примера, причем каждый случай надо на¬ чинать с задач. Умножение двузначного числа на двузначное. Здесь нужно различать три случая: 1) когда каждый из сомножителей оканчивается нулем (40 X 20); 2) когда один из сомножителей оканчивается нулем (12X40, 20X15); 3) когда в каждом из сомножителей заключаются единицы обоих разрядов ^ 24). Первые два случая выполняются устно или полуписьменно, а третий случай выполняется письменно (но может выполняться и устно или, точнее, полуписьменно). 102
Оба сомножителя оканчиваются нулем. Пусть дано: 20X40. Это можно выполнить двояко: 1. 20X4 = 80; 80 X 10 = 800, т. е. 40 разложить на два со¬ множителя— 4 и 10 (40 = 4 X Ю) и умножить 20 сперва на 4, а потом полученное умножить на 10; с этим приемом дети позна¬ комились при умножении однозначного числа на полные десят¬ ки (см. стр. 75). 2. Отбросить у обоих сомножителей нули: 1) умножить 2 на 4 будет 8; 2) 8Х Ю0, ибо мы отбросили два нуля. Детям это можно объяснить так. „Сколько нулей во множимом и множителе вместе?" (Два нуля.) „Отбросьте их. Сколько будет вместо 20?“ (2.) „Вместо 40?“ (4.) „Помножьте два на четыре — сколько будет?" (8.) „Сколько мы нулей отбросили?0 (Два нуля.) „Их теперь надо возвратить, приписать справа к произведению 8. Припишите их мысленно. Сколько будет?" (800.) „Когда мы к числу 8 справа приписали два нуля, то на сколько мы помножили 8?" (На 100.) Этот прием, таким образом, сводится к умножению на 100, а с умножением на 100 дети познакомились при изучении нумера¬ ции и при умножении полных сотен. С другой стороны, этот при¬ ем служит подготовительной ступенью к умножению многознач¬ ных чисел на многозначные в том случае, когда оба сомножителя оканчиваются одним или несколькими нулями. Тем не менее этот прием как более сложный мы не считаем теперь обязательным, а советуем познакомить с ним только при хорошем составе класса или на досуге. Один из сомножителей оканчивается нулем. Этот случай выполняется так же, как и первый (20 X 40). Пусть дано 34X20. Надо: 34X2=68; 68 X 10 = 680. Возьмем обратный случай: 30 X 32. Надо: 3 десятка X на 32 = = 96 дес. = 960. В каждом из сомножителей есть единицы обоих разрядов. Это умножение можно выполнить двояко: путем разложения множителя на разряды (десятичные группы) и путем разложе¬ ния на множители. 1. Разложение множителя на разряды. Пусть дано 16X13. Зная, что 13 = 10 + 3, надо: 16X 10=160, 16X3 = 48, 160+ 48 = 208. Этот прием—основной. Поэтому на него надо обратить особое внимание. Здесь может быть вычисление устное, полуписьменное и стро¬ го письменное, смотря по характеру чисел. Если дано, на¬ пример, 16 X 12, то здесь надо вычислить все устно по примеру вышеуказанного, ибо легко вычислять. Если же дано, например, 36x12, то здесь можно пользоваться полуписьменным вычисле¬ нием, ибо здесь есть одно промежуточное вычисление с перехо¬ дом через сотню (360 + 72), причем можно записывать не толь¬ ко пример, но и промежуточные записи, располагая вычисление в строчку так: 36x 12 = 360 + 72 = 432, т. е. записать найден¬ 103
ные устно результаты умножения 36 на 10 и 86 на 2. Если же взять трудный пример: 34 X 26, то здесь надо вводить вычисле¬ ние с промежуточными записями по примеру предыдущего или же можно ввести строго письменное вычисление. Так как здесь строго письменное вычисление на умножение выступает впервые, то мы остановимся на нем подробнее. Чтобы не было речного перехода от устного вычисления к строго пт ьменному, нужно, дав, допустим, пример на умно¬ жение — 34 X 26, произвести вычисление с промежуточными запи¬ сями в такой форме: 34 X 26 = ? или 34 X 26 = ? 34 X 20 = 680 34~Х 6 = 204 34 X 6 = 204 34 X 20 = 680 680 + 204 = 884 680 + 204 = 884 После этого учитель указывает, что удобнее расположить дей¬ ствие так, чтобы числа, получаемые от умножения на десятки и единицы, не приходилось переписывать для их сложения и чтобы множимое можно было написать только один раз; длз этого следует показать такую форму записи: v34 Причем на первое время можно допускать приписы- *26 вание нулей в произведении, получаемом от умножения 204 на десятки, т. е. такую форму записи: 34 +68 ^Ри умножении учащиеся говорят примерно *26 —так: „4 на 6 = 24; 4 единицы записываем, а два 204 десятка приложим к десяткам; 3 дес. на 6= +680 = 18 десятк в да 2 дес. = 20 десяткам; записываем их; по- — лучилось 204. Далее умножаем34 на 2 десятка: 4 на 2 = = 8 десяткам; записываем 8 десятков под десятками, т. е. под нулем; 3 десятка на 2 дес. = 6 со ням; записываем их под сотнями. Сло¬ жим оба числа — получается 834". Кроме указанной записи умножения в методиках можно встре¬ тить и другую форму записи: 34 X 26 ,204 +68 884 Каждая из этих форм имеет свои преимущества и свои не¬ достатки. Первая позволяет делать меньше движения глазом и рукой (что особенно важно при многозначном множителе), так как при нем расстояние между перемножаемыми цифрами мень¬ ше, чем при второй записи; она занимает меньше места в гори¬ зонтальном направлении. Вторая запись в некоторых случаях при юдит к сокращению в записях (когда одна из цифр множи¬ теля— единица);она занимает меньше места в вертикальном на¬ пр влении. Наи.юлее простой и легкой для учащихся, как пока¬ зывает опыт, является первая форма; на ней мы и рекомендуем учителю остановиться. 2. Округление одного из сомножителей. Пусть дано 14X19; надо: 14 X 20 — 14. Пусть дано 29 У! 16; надо 30 X 16 — 16. 104
3. Разложение на множителей. Можно разлагать на множи¬ теля один или оба сомножителя. Пусть дано 13X18; надо 18 разложить на 2 сомножителя: 2X9. Зная это, можно 13 умножить на 18 так: 13X2X9. т. е. 13 умножить сперва на 2, потом полученное умножить на 9. Деление трехзначного числа на трехзначное. С одним из самых легких случаев этого деления дети уже познакомились при делении полных сотен, например 800:200. Это деление сводится к делению в пределе первого десятка: 8 раз¬ делить по 2 — будет 4; 8 десятков разделить по 2 десятка — бу¬ дет 4; 8 сотен разделить по 2 сотни — будет 4. Возьмем случай потруднее, когда делитель — неполные сотни, напри¬ мер 720:120. В подобных случаях лучше брать не только старший разряд в делимом (7 сотен) и не только старший разряд в делителе (1 сотню), ибо если 7 сотен разделить по 1 сотне, то в частном получится 7; на самом же деле от д.-ления 720 на 120 в частном получится 6, а сотни и десятки вместе, т. е. 72 десятка разде¬ лить по 12 десятков, а еще проще сказать: 72 разделить на 12. Таким образом, деление трехзначного числа на трехзначное сво¬ дится к делению двузначного числа на двузначное, с чем дети уже познакомились в пределе 100. Возьмем один из самых трудных случаев: 825:275. Будем де¬ лить 82:27; прикинем три раза; помножим 27 на 3 — будет 81; 27 десятков умножить на 3 — будет 81 десяток, или 810; теперь умножим б (единицы делителя) на 3 — будет 15; 810 да 15 = 825. Итак, 825 разделить на 275 — будет 3. Деление трехзначного числа на двузначное. В этом делении можно различить следующие случаи: 1) когда делимое и делитель оканчиваются нулем; 2) когда только делимое оканчивается нулем, причем число десятков делимого делится без остатка на делителя; 3) когда делитель оканчивается значащей цифрой, т. е. не нулем, а число десятков делимого не делится без остатка на делителя. 1. Делимое и делитель оканчиваются нулем. В этом случае употребляется такой прием: делитель разлагается на 2 сомножи¬ теля, из которых один 10, а другой — значащая цифра, и дели¬ мое делится сперва на 10, а потом полученное делится на дру¬ гого сомножителя или же наоборот. Пусть дано 400:20; 20=10X2. Надо 400:10 = 40; 40:2=20. Можно поступить и так: 400:2:10. Точно так жз поступают и в том случае, когда в делимом есть не только сотни, но и десятки. Пусть дано 270:30. Надо 270:10:3 = 9. Можно разделить и так: 270:3:10. Первый прием легче для подобных примеров. 105
2. Только делимое оканчивается нулем, причем число десят¬ ков кратно делителю. В этом случае в делимом определяют число десятков и их де¬ лят на делителя. Пусть дано 600:15. Дети рассуждают, примерно, так: „600 — это 60 десятков, 60 десятков : 15 = 4 десятка, или 40“. Таким образом, здесь деление сводится к делению двузначного числа на двузначное, с чем дети познакомились в пределе 100. 3. Делитель оканчивается значащей цифрой, а число десят¬ ков делимого не кратно делителю. В этом случае употребляется прием разложения делимого на два слагаемых, из которых каж¬ дое кратно делителю. Пусть дано 180:15; надо: 1) 180 = 150 + 30; 2) 150:15 = 10; 3) 30:15 = 2; 4) 10 + 2=12. Или пусть дано 176:16; надо: 1) 176= 160 + 16; 2) 160:16=10; 3) 16:16=1; 4) 10 + 1 = 11. Примечание. При делении на двузначное число, когда делитель составное число, можно пользоваться приемом раз¬ ложения делителя на множители, иначе говоря, приемом последовательного деления. Причем как тот случай деления, когда только делимое оканчивается нулем и число десятков делимого кратно делителю, так и тот случай деления, когда делитель оканчивается значащей цифрой, а число десятков делимого не кратно делителю, можно свести к одному, в основе которого лежит прием разложения делителя на множители. Пусть дано 240:12. Можно 240:3:4, или 240:4:3, или 240:2:6, или 240:6:2. Пусть дано 120:15. Надо 120:3:5 или 120:5:3. Пусть дано 162:18. Надо 162:2:9. Пусть дано 168:12. Можно 168:2:6, или 168:4:3. Приемом разложения делителя на множители удобно пользо¬ ваться тогда, когда число десятков делимого не кратно делите¬ лю, например: 120:15; 600:24; 168:24. 4. Частное — число однозначное. При делении трехзначных чисел на двузначные мы выделяем такой случай, когда частное — число однозначное. Этот случай деления производится путем угадывания, прикидывания. Пусть дано 301:43. Дети должны угадать, прикинуть, сколько будет: 301 разде¬ лить по 43. Прежде всего они должны уметь определить и быстро сказать, будет ли частное число однозначное или двузначное. „Когда вы разделите 301 по 43, то получится больше или меньше 10?“ (Меньше 10.) „Как вы сообразили это?* (43 ХЮ — будет 430, а 430 больше, чем 301 ) Чтобы точнее определить цифры частного, надо брать стар¬ ший разряд делителя, т. е. 4 десятка, и все десятки делимого, т. е. 30 десятков, и делить 30 десятков по 4 десятка, или ко¬ роче— 30 по 4. 106
„В числе 43 сколько десятков?" (4 десятка.) „А в числе 301 сколько всего десятков?" (30 десятков.) „Что легче разделить — 301 по 43 или 30 десятков по 4 десятка?" (30 десятков по 4 десятка.) „Для большей легкости мы будем делить 30 по 4. Сколько бу¬ дет: 30 разделить по 4?" (7.) „30 разделить по 4 — будет 7, а будет ли 7, если 301 разделить по 43? Проверьте. Как вы будете проверять?" (43X7.) „Умножайте": (40X7 = 280; 3x7 = 21, 280-J-21 =301.) „Верно! Запишите это*. (301:43 = 7.) Возьмем теперь примеры деления на двузначное число при удобном делителе: 19, 18, 28, 29 ... 88, 89, 21, 31, 32 ... 81, 82, т. е. таком делителе, когда в числе единиц его-стоит одна из цифр: 9, 8, 1, 2. В этом случае надо, как говорят, закруглять делителя, т. е. вместо данного делителя брать ближайшее круглое число. Так, например, вместо 19, 18, 21, 22 брать 20. Вместо 49, 48, 51, 52 брать 50 и т. п. Пусть дано 261:29. Вместо 29 возьмем 30 и будем делить 261 на 30. „29 —это почти сколько?" (30.) «Как легче делить 261—по 29 или по 30?" (по 30.) „Как будете делить?" (26 де¬ сятков разделим по 3.) „Сколько будет?" (8.) „Проверьте, верно ли это. Что должны умножить и на что?" (29 на 8.) „Как будете умножать?" (30 X 8 = 240; 240 — 8 = 232.) „Далее что сделаете?" (261—232 = 29; 29:29=1.) „Значит, 261:29 = 9, а не 8". Запись 261:29 = 9. Дети должны сознательно, уверенно и достаточно бегло про¬ изводить деление этого случая. Поэтому они должны много упраж¬ няться в этом случае деления, главным образом на численных примерах, а не на задачах. 5. Частное — число двузначное. Это — самый трудный слу¬ чай деления трехзначного числа на двузначное. Здесь впервые выступает строго письменное деление. Так как здесь приходится раздроблять высшие разряды в низ¬ шие, то необходимо уяснить детям мысль об этом раздробле¬ нии при помощи наглядного пособия. Лучшим наглядным посо¬ бием являются пучки палочек. „Вот у меня на столе 6 больших пучков палочек, в каждом большом пучке по 10 маленьких пучков, а в каждом маленьком пучке по 10 отдельных палочек; сколько всего отдельных пало¬ чек в каждом большом пучке?" (100). „А вот 6 маленьких пучков, в каждом пучке по 10 палочек. И вот 3 отдельных палочки. Сколько здесь всего палочек?" (663.) „Их надо разделить на 17 равных частей (кучек). Как вы будете делить? Если 6 больших пучков разделить на 17 равных частей, то придется ли по одному большому пучку в каждой части?" (Нет.) „Что же надо сделать с большими пучками?" (Развязать их.) „По скольку маленьких пучков будет в каждом большом пучке?" (По 10.) „Сколько бу¬ дет маленьких пучков в 6 больших?" (60.) „Да еще сколько от¬ дельных маленьких пучков?" (6.) „А сколько всего маленьких пучков?" (66.) „Как вы будете делить 66 на 17 равных частей?" (Прикинем.) „Прикиньте, сколько будет?" (3.) „Проверьте". (17 X 3= = 51, 66 — 51 = 15.) „Сколько пучков осталось неразделенными?" 107
(15 пучков.) „Что сделаете с ними?“ (Развяжем их— в них будет 150 отдельных палочек да еще 3 отдельных палочки — всего 153 палочки. 153 разделить на 17 равных частей будет 9.) „Проверьте это*. (17X9=153.) „Сколько всего будет: 663 разделить на 17 равных частей?* (39.) Мысль о раздроблении высших разрядов в низшие при деле¬ нии можно привить детям и путем воображения, деля при помощи размена денежные знаки на равные части. „Вот у меня 6 бумажек по 1С0 руб. каждая, 6 десятирублевых бумажек и 3 рублевых бумажки, сколько это всего рублей?* (663.) „Их надо раздать 17 рабочим поровну. Как это сделать? Если 6 сторублевых бумажек раздать 17 рабочим поровну, то получит ли каждый рабочий по сторублевой бумажкг?* (Нет, не получит.) „Что же надо сделать со сторублевыми бумажками?* (Их надо разменять на десятирублевые бумажки.) „Сколько будет десятирублевых бумажек?* (60.) „Да раньше сколько было десяти¬ рублевых бумажек?* (6). „Сколько всего десятирублевых бума¬ жек?* (66.) „По скольку десятирублевых бумажек получит каждый рабочий?* (По 3.) „Сколько десятирублевых бумажек останутся неразделенными?* (15.) „Что надо сделать с ними?* (Разменять их на рублевые бумажки.) „Сколько будет рублевых бумажек?* (150.) „Да раньше сколько было рублевых бумажек?* (3.) „Сколько же всего рублевых бумажек?* (153.) „По скольку рублевых бумажек получит каждый рабочий?* (По 9.) „Проверьте это*. (17 X 9 = 153.) „По скольку же получит всего рублей каждый рабочий?* (По 39 руб.) „Как теперь вы разделите число 663 на 17 равных частей? Из скольких сотен, десятков и единиц состоит число 653?“ (Из 6 сотен, 6 десятков и 3 единиц.) „Если 6 сотен разделить на 17 равных частей, то будет ли в каждой части по сотне?* (Нет, не будет.) „Что же надо сделать с 6 сотнями? Про пучки палочек говорят: развязать, про деньги говорят: разменять, а про число говорят: раздробить. Во что вы раздробите 6 сотен?* (В десятки.) „Сколько будет десятков?* (60 десятков.) „Да еще сколько отдельных десятков в этом числе?* (6 десятков.) „Сколько же всего десятков в этом числе?* (66 десятков.) „Сколько же будет — 66 десятков разделить на 17 равных частей?* (3 десятка и 15 десят¬ ков останутся неразделенными.) „Что сделаете с 15 десятками?* (Раздробить их в единицы — будет 150 единиц да 3 отдельных единицы — всего 153 единицы.) „Сколько будет 153 разделить на 17 равных частей?* (9.) Сколько же будет: 663 разделить на 17 равных частей?* (39.) Записать это надо так: 663:17 Когда дети освоятся с этим делением, можно гово- 51 39 рить короче, примерно так: „6 сотен разделить на 17 Ygj равных частей — сотен не получится, делим 66 десятков J53 на 17 равных частей - будет 3; 3 пишем в частном, 17 -гг- умножить на 3 — будет 51; 51 вычитаем из 66 — оста* нется 15; 153 разделить на 17 равных частей — будет 9*. (Дети проверяют: умножают 17 на 9; 9 пишут в частном, а 153 — под 153). Ю§
Когда дети усвоят эту запись, можно записывать короче, остатки находя устно, именно так: Причем и говорить можно короче, примерно так: „66 663-17 разделить на 17 равных частей — будет 3 (в это время 15i 39 дети без напоминания пишут в частном 3), 17 умножить О на 3 — будет 51, из 66 вычесть 51 — будет 15 (все это делается устно), 153 разделить на 17 равных частей — будет 9“ (все вычисление производится устно). Превращение именованных чисел. Сперва берем устно не только тот случай, когда простое именованное число преобразовывается в простое же именованное число, но и тот, когда простое именованное число преобразовы¬ вается в составное именованное число. , Поясним, как делается превращение. 1. Пусть дано: .Сколько суток в 72 часах?“ Дети рассуждают примерно так: „В сутках 24 часа; надо 72 часа разделить по 24 чеса, будет 3. Значит, в 72 часах трое суток". 2. Пусть дано: .Сколько дециметров в 75 сантиметрах?" Дети рассуждают примерно так: „В одном дециметре 10 см; надо 75 см разделить по 10 см, будет 7, и 5 см останутся нераз¬ деленными; значит, в 75 см —7 дм и 5 сма. Записать это можно так: 75 см = 7 дм 5 см. Подобные упражнения проделываются устно и в пределе 1000, а с хорошим классом могут прорабатываться в пределе 100 после деления двузначного числа на двузначное с остатком. (Письменно.) Пусть дано 378 час. превратить в сутки. При решении этого вопроса дети рассуждают, как выше, а записывают сперва так: 378 час. =? а затем так: 378 час. — ? 378:24 378:24 24 15 138 15 138 18 120 15 сут. 18 час. ~Т8 15 сут. 18 час. Первая запись делается со слабым классом, а вторая — со средним и сильным. Объединение обоих видов деления. Как известно, принято различать 2 вида деления — деление на равные части и деление-измерение (деление по содержанию). До сих пор мы рассматривали их особо и читали примеры на каждый вид различно. Так, запись 8:4 как деление на равные 109
части можно прочитать следующим образом: „8 разделить на 4 равные части — будет 2", а как деление по содержанию прочесть так: „8 разделить по 4 — будет 2“. Теперь можно объединить эти оба случая деления, сообщив, что разделим ли мы 8 на 4 равные части или разделим 8 по 4 — все равно получим одно и то же число — 2. А потом оба выражения „разделить на 4 равные части" и „разделить по 4“ можно заменить одним: „разделить на 4“, и весь пример можно прочитать короче: „8 разделить на 4— будет2“. Объединение обоих видов деления имеет теоретическое и практическое значение. Теоретическое значение заключается в том, что это объединение дает возможность свести все арифме¬ тические действия к четырем главным действиям, а практическое значение состоит в том, что это объединение дает возможность при отыскании частного пользоваться тем видом деления, какой в данном случае является удобнее. Так, например, при делении на однозначные числа удобнее вести рассуждение, пользуясь делением на равные части, а при делении на двузначные, а осо¬ бенно на многозначные числа, удобнее вести рассуждение, пользуясь делением-измерением. Говоря об объединении обоих видов деления, мы должны сообщить детям, что отвлеченные1) численные примеры могут чи¬ таться различно. Пусть дано 80:4. Это можно прочитать так: „80 разделить на 4 равные части" (деление на равные части), „80 разделить по 4“ (деление-измерение), „80 разделить на 4“ (деление во¬ обще). Что же касается именованных чисел, а также задач, то тут, по смыслу выполняемых действий, необходимо различать оба вида деления. Объединение обоих видов деления надо вести непременно на наглядных пособиях. „Возьмите 12 кубиков, разделите их на 4 равные части (кучки). Как вы будете делить? Сколько кубиков возьмете сначала?" (4). „По скольку кубиков положите в каждую часть?" (По одному кубику.) „Сделайте это. Дальше что будете делать?" (Еще возь¬ мем 4 кубика и прибавим по одному кубику к прежде получен¬ ным кубикам.) „Сделайте это. Дальше что будете делать?" (Возь¬ мем еще 4 кубика, прибавим по 1 кубику к прежде положенным кубикам.) „По скольку кубиков стало в каждой части?" (По 3 кубика.) „Итак, 12 кубиков разделить на 4 равные части, по скольку кубиков будет в каждой части?" (По 3 кубика.) „Возьмите еще 12 кубиков и разделите их на равные части (кучки) по 4 кубика в каждой части; сколько вышло частей?" (3 части.) Итак, сколько же будет частей —12 кубиков разделить по 4 кубика?" (3 части, т. е. будет столько кучек (частей), сколько было сначала кубиков; стало три кучки, а было три кубика.) „Возьмите 15 палочек, разделите их на части (на кучки), по 3 палочки в каждой части; сколько будет частей?" (5 частей.) „Возьмите 15 палочек, разделите их на 3 равные части, сколько 1) Сообщать детям этого термина не надо, достаточно ограничиться заменой его выражением .число без названия*. 110
палочек будет в каждой части?" (5 палочек, т. е. столько пало¬ чек, сколько раньше было частей; стало 5 палочек, а было 5 частей — кучек). Еще проделывается несколько подобных примеров или на тех же наглядных пособиях или на других. После этого учитель пишет на доске, допустим, такой пример: 24:6 и предлагает детям прочесть его. Допустим, одни дети прочитали так: „24 разделить на 6 равных частей", а другие так: „24 разделить по 6". После этого учитель спрашивает, сколько получится, и записывает ответ. „Сколько же будет: 24 разделить на 6 равных частей?" (4.) „А сколько будет: 24 разделить по 6?" (4.) „Смотрите, дети: разделите ли вы 24 на 6 равных частей или разделите 24 по 6 — все равно получается четыре. Поэтому данный пример можно прочитать короче: 24 разделить на шесть — будет 4". По образцу этого проделывается несколько примеров. § 34. ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ. Характер задач, число действий в сложных задачах, приемы решения их те же, что и в пределе 100. Из простых задач вво¬ дятся два новые типа на^ деление: кратное сравнение и какую часть одного числа составляет другое (см. стр. 166, 4-й и 5-й типы на деление), причем весьма полезно возможно чаще привлекать самих детей к составлению таких задач. Из типовых задач можно вводить задачи: 1) на простое тройное правило; 2) задачи, которые решаются способом сравнения условий; 3) на деление числа на 2 неравные части, из которых одна больше или меньше другой на данное число, или, иначе, на¬ хождение двух чисел по их сумме и разности; 4) на деление числа на 2 части, из которых одна больше или меньше другой в несколько раз, или, иначе, нахождение двух чисел по их сумме и частному; 5) задачи на время, в которых промежуток времени между двумя событиями меньше суток; 6) на движение, когда требуется определить время встречи двух предметов, если известно расстояние между этими предме¬ тами и скорость их движения. Задачи на простое тройное правило. Здесь берутся задачи на прямо пропорциональную зависимость и решаются двумя различными видами одного и того же действия деления: делением на равные части и делением-измерением; го¬ воря иначе, эти задачи решаются способом обратного приведения к единице. Вот образец такой задачи: „3 тетради стоят 30 коп. Сколько таких тетрадей можно купить на 70 коп.?" Назовем по¬ добные задачи вторым видом задач на простое тройное правило. Запись содержания и решение этого вида задач производится по образцу задач первого вида на простое тройное правило. 111
Задачи, которые решаются способом сравнения усло¬ вий. Вот образец простейших задач этого типа: .Коопера¬ тивная лавка продала книг одной школе на 95 руб., а другой на 85 руб. Сколько стоит книга, если первой школе продано на 5 книг' больше?" Как решать эти задачи, см. стр. 187. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Вот образец таких задач: .Учитель роздал двум классам 75 тетрадей так, что первый класс получил на 5 тетрадей больше второго. Сколько тетрадей получил каждый класс?" Как решать эти задачи, см. стр. 189. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и частному. Вот образец таких задач: ,В классе 40 человек: ударников втрое меньше, чем неударнкков. Сколько ударников и сколько неударников?" Как решать эти задачи, см. стр. 190. Задачи на время. Здесь даются такие задачи, в которых промежуток времени между двумя событиями меньше суток, причем задачи решаются в два вопроса одним и тем же действием — вычитанием. Вот два образца таких задач: 1) „Ученику второго класса полагается спать 10 час. Он ложится спать в 9 час. вечера. Во сколько часов он дол¬ жен встать?" 2) „Ученику второго класса полагается спать 10 час. Он встает в 7 час. утра. Когда он должен ложиться спать?" Как решать эти задачи, см. стр. 194. Задачи на движение. Вот образец таких задач: „Два поезда вышли в одно время друг другу навстречу с двух станций, расстояние между которыми 750 клг; один поезд проходит в час 35 км, другой — 40 км. Через сколько часов они встретятся? Как решать такие задачи, см. стр. 183. VI. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА ЛЮБОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Особенности чисел любой величины. Характерной особен¬ ностью чисел любой величины служит то, что в этой области чисел господствующее положение занимают строго пись¬ менные вычисления, но и устным вычислениям (с лолулисьмен- ными) надо отводить должное внимание. Наглядность. Числа любой величины не могут быть предста¬ влены с такой степенью наглядности, как числа первой тысячи, тем не менее и здесь необходимы наглядные пособия. Таковыми служат пучки палочек, абак, счеты и денежные знаки. 112
§ 35. НУМЕРАЦИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ЛЮБОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Порядок изучения нумерации. В предыд}ших концентрах мы рассматривали особо устную нумерацию, упражнения на счетах, письменную нумерацию, разло¬ жение чисел на десятичные группы и т. д.; здесь же, ввиду боль¬ шого объема чисел и с целью избежать однообразия, мы вводим эти упражнения одно за другим в каждом новом десятичном разряде — десятке тысяч, сотне тысяч и т. д. Нумерацию чисел любой величины можно разбить на следую¬ щие методические ступени: 1) нумерация четырехзначных чисел, 2) нумерация пятизначных чисел, 3) нумерация шестизначных чисел, 4) нумерация семизначных, восьмизначных и девятизнач¬ ных чисел. Так как нумерация четырехзначных чисел — основная и самая важная в нумерации чисел любой величины, то мы остановимся подробно на нумерации четырехзначных чисел. Нумерация четырехзначных чисел. Нумерацию четырехзначных чисел следует прорабатывать в та¬ кой методической последовательности: 1. Тысячи, а) Сколько метров в (1, 2, 3, 10) км? Считайте тысячами от 1 тысячи до 10 тысяч. Положите на счетах 1, 2, 5, 9 тысяч. б) Напишите цифрами: 1 тысяча, 2 тысячи, 8 тысяч. В 1 ты¬ сяче сколько сотен? Сколько десятков? 10 сотен — ? тысячам, 100 десятков = ? тысячам. 2. Тысячи и сотни, а) Вот 2 больших пучка по 1000 палочек в каждом и 3 пучка поменьше по 100 палочек в каждом. Про¬ чтите сперва отдельно тысячи и сотни (2 тысячи, 3 сотни), потом прочтите все число вместе. б) Как назвать число, в котором 4 тысячи и 6 сотен? 6 тысяч и 4 сотни? 8 тысяч и 8 сотен? в) Из скольких тысяч и сверх того из скольких сотен состоит каждое из чисел: 3700? 7300? 6600? г) Считайте сотнями; 1) от 1000 до 2000 (1100, 1200... 1900); 2) от 200Э до 10 000; 3) от 1900 до 2100; от 2900 до 3100; от 3900 до 4100; от 8900 до 9130. д) Прочтите числа: 1100, 2400, 4200. f) Положите на счетах и напишите цифрами каждое из чисел: 7700, 1400, 4100. ж) Разложите каждое из чисел на две части так, чтобы в од¬ ной части были только тысячи, а в другой только сотни: 3600 (3600 = 3 тысячам-|-6 сотням), 6300, 9900. з) Сколько всего единиц в кажд м из чисел: 4 тысячи 7 сотен? 7 тысяч 4 сотни? Записать это можно так: 4 тысячи 7 сотен = 4700. 3. Тысячи, сотни и десятки, а) Вот 2 больших пучка по 1000 пзлочек в каждом, 3 п,чка поменьше по 100 палочек в каждом и 4 пучка еще поменьше по 10 палочек в каждом. Прочтите ® Д. Л Волковский
сперва отдельн® тысячи, сотни и десятки, потом прочтите все числа вместе. б) Назовите число, в котором: 1) 2 тысячи, 2 сотни, 2 десятка; 2) 4 тысячи, 2 сотни, 3 десятка; 3) 3 тысячи, 2 сотни, 4 десятка; 4) из скольких тысяч, сотен и десятков состоит каждое из чисел: 3330? 7890? 9870? в) Считайте десятками: 1) от 1100 до 1200 (1110, 1120, 1130... 1200); 2) от 1990 до 2020; 3) от 2990 до ЗОЮ; 4) от 3990 до 4010, 5) от 8990 до 9010. г) Прочтите числа: 1) 6840; 2) 4S60; 3) 6660. д) Положите на счетах и напишите цифрами каждое из чисел: 1) 6 тысяч 420; 2) 2 тысячи 460; 3) 4 тысячи 440. е) Разложите устно и письменно на десятичные группы каж¬ дое из чисел: 1) 3450 (3450 = 3 тысячам 4 сотням 5 десяткам); 2) 5550; 3) 5430. 4. Тысячи, сотни, десятки и единицы, а) Вот 2 больших пучка по 1000 палочек в каждом, 3 пучка поменьше по 100 па¬ лочек в каждом, 4 еще поменьше по 10 палочек в каждом и 2 отдельных палочки. Назовите сперва отдельно тысячи, сотни, десятки и единицы, потом назовите все число вместе. б) Назовите число, в котором: 1)1 тысяча, 2 сотни, 3 десятка, 4 единицы; 2) 4 тысячи, 3 сотни, 2 десятка, 1 единица; 3) 2 ты¬ сячи, 2 сотни, 2 десятка, 2 единицы. в) Разложите устно на десятичные группы каждое из чисел: 1) 3333; 2) 2345; 3) 5432. г) Прочтите числа: 1) 4444; 2) 6789; 3) 9876. д) Положите на счетах и напишите цифрами числа: 1) одна тысяча сто одиннадцать; 2) две тысячи двести двадцать два; 3) четыре тысячи шестьсот восемьдесят три. е) Числа от 1000 до 9999 пишутся четырьмя знаками (цифрами) и поэтому называются четырехзначными числами. Назовите и напишите наименьшее четырехзначное число, наи¬ большее четырехзначное число. 5. Напишите цифрами числа, встречающиеся в примерах: а) фабрично-заводской рабочий работает в год три тысячи девять¬ сот девяносто часов, а крестьянин — три тысячи двести тридцать четыре часа; б) у взрослого здорового человека число дыханий достигает до тысячи восьмидесяти в час. 6. Напишите цифрами: а) какой теперь идет год от начала нашего летосчисления; б) в каком году вы родились; в) в ка¬ ком году вы поступили в школу; г) в каком году началась в Рос¬ сии революция. 7. Последовательность чисел, а) Считайте вперед по одному: 1) от 998 до 1112; 2) от 1998 до 2014; 3) от 3997 до 4005; 4) от 8998 до 9003. б) Какое число следует за каждым из чисел: 1) 999? 1999? 2999? 9999? 2) 1979? 2869? 4989? 3) 3599? 5799? 7199? 4) 6029? 9049? 8099? в) Какое число находится перед каждым из чисел: 1) 1000? 2000? 5000? 9000? 2) 1100? 2200? 9900? 3) 1990? 3880? 9990? г) Какое число находится между числами: 1) 999 и 1001? 114
1999 и 2001? 8999 и 9001? 2) 1099 и 1101? 4199 и 4201? 2399 и 2401? 3) 3149 и 3151? 5439 и 5441? 9089 и 9991? д) Между какими двумя числами находится каждое из чисел: I) 1000? 2000? 9000? 2) 1900? 3600? 2800? 3) 4590? 6170? 9240? 8. Дата, а) Число дня (дата) записывается так: 1) 15 сент; бря 1933 г.; 2) 15—IX—1933; 3) 15/IX—1933; 4) 15/9—1933 г.; 5) 15—9—33. б) Прочтите даты: 1) Ленин родился 22/IV 1870 г., а умер 21/1 1924 г., 2) Февральская революция началась 12/111 1917 г. в) Запишите по-разному дату сегодняшнего числа. Когда у вас дома получат письма, телеграммы, расписки, поч¬ товые или телеграфные, обратите внимание, как обозначено на печати число дня. Нумерация пятизначных и шестизначных чисел. Ввиду того что нумерация пятизначных и шестизначных чисел вполне сходна с нумерацией четырехзначных чисел, мы не будем так подробно останавливаться на каждом высшем разряде в отдель¬ ности, а возьмем лишь самое существенное и необходимое для понимания закона образования этих высших разрядов в приме¬ нении к пятизначным числам. 9. Десятки тысяч, а) В 1 м—1000 мм; в 10 м— 10000 мм. б) Сколько метров в 10 (20, 30 ... 100) км? в) В 10 тысячах сколько тысяч? сотен? десятков? единиц? г) Десятками тысяч считают так же, как и единицами тысяч: 1 десяток тысяч, или 10 тысяч, 2 десятка тысяч, или 20 тысяч... д) На каком месте пишутся десятки тысяч? е) Прочтите числа: 1) 50000; 2) 55000; 3) 55 500; 4) 55550; 5) 55555; 6) 98076; 7) 10 564; 8) 76 706; 9) 27 006; 10) 50046; II) 30005; 12) 48070; 13) 60 700; 14) 80050. ж) Числа от 100^0 до 99999 пишутся пятью знаками, поэтому называются пятизначными числами. Назовите наименьшее и наи¬ большее пятизначное число. з) На какой проволоке на счетах кладутся десятки тысяч? и) Положите на счетах и потом напишите только цифрами: 1) 30 т.1); 2) 25 т.; 3) 84 т. 600; 4) 36 т. 490; 5) 24 т. 571; 6) 56 т. 89; 7) 15 т. 8; 8) 3 т. 5; 9) 31 т. 20; 10) 60 т. 30. 10. Миллионы. Тысяча тысяч называется миллионом. Как велик миллион? Попробуйте в 20 секунд как можно ско¬ рее выговаривать числа, начиная с 1. Заметьте по часам, сколько чисел сосчитаете за это время. Если вы в 10 секунд сосчитаете числа от 1 до 10, то в минуту сочтете от 1 до 60; в час — в 60 раз больше, т. е. от 1 до 3600; в сутки — в 24 раза больше, т. е. от 1 до 86 400. Чтобы сосчитать числа от 1 до 1000 000, употребляя по одной секунде на выговор каждого числа, надо затратить 277 час., т. е. 11 суток 13 час. без перерыва. А если бы считать по 10 час. в сутки, то до миллиона можно было бы сосчитать в месяц времени. Вот как велик миллион! 1) Буква .т.* есть сокращенное название слова .тысяча*. 8* 115
11. Деление чисел на классы, а) Для удобства чтения и письма числа делятся на классы: 1-й класс называется клас¬ сом единиц, 2-й класс — классом тысяч, 3-й класс — классом миллионов, 4-й класс — классом биллионов, или мил- лиардов. б) Каждый класс делится на разряды. В каждом классе 3 разряда: 1-й разряд называется разрядом единиц, 2-й — раз¬ рядом десятков, 3-й разряд — разрядом сотен. в) В старшем классе с левой стороны может быть один, два и три разряда, а в остальных, мпадших, классах должно быть по 3 разряда; например: 2 304 050; 507С8400; 307 400 675. 12. Прочтите числа, написанные в этой таблице: 12 И 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Класс IV миллиардов Класс III миллионов Класс II тысяч Класс I единиц Сот¬ ни Десят¬ ки Еди¬ ницы Сот¬ ни Десят¬ ки Еди¬ ницы Сот¬ ни Дзсят- ки Еди¬ ницы Сот¬ ни Десят¬ ки Еди¬ ницы 4 2 3 6 5 7 8 9 4 1 3 5 4 5 8 6 13. Напишите эти числа без клеточек. 14. Круглые числа, а) Круглым числом называется такое число, при письме которого на конце стоят нули. Например: 20, 300, 5000. б) Число, близкое к круглому числу, называется за кругли¬ мым числом. Например, 29, 393, 5980 —закруглимые числа. За¬ круглить число—значит заменить его ближайшим круглым чис¬ лом. Например, числа 11, 12, 13 закругляются до 10; числа 19, 18, 17 закр>гляются до 20. Число 5243, закругленное до десятков, будет 5240, закруглен¬ ное до сотен будет 5200, закругленное до тысяч будет 5000. в) Круглые числа часто записываются сокращенно. Так, напри¬ мер, вместо 4000 пишут 4 тыс. (т. е. 4 тысячи); вместо 25 000 000 п шуг 25 млн. (т. е. 25 миллионов). г) Большие круглые числа часто записываются сокращенно с помощью десятичных дробей. Так, например, вместо 4600 пишут 4,6 тыс. и читают так: 4 целых и 6 десятых тысячи. Вместо 7 3S0030 пишут 7,38 млн. и читают: 7 целых и 38 сотых миллиона1). !) Сокращенная запись и чтение больших чисел в долях тысяч и миллионов прорабатывается в связи с десятичными дробями. 116
§ S6. СЛОЖЕНИЕ. Сложение в пределе чисел любой величины прорабатывается так же, как и сложение в пределе 1000, с той разницей, что в пределе 1000 сложение проходилось созместно с вычитанием, здесь же сложение проходится отдельно от вычитания, ибо в противном случае пришлось бы дрэбить материал на слишк'м мелкие и многочисленные ступени, что представляет неудобство. Устное сложение. Сложение отвлеченных чисел. Упражнения на устное сложение, предлагаемые нами, не представляют затруднения для детей, ибо эти упражнения сво¬ дятся к знанию счисления первой сотни и первой тысячи. Упражнение на устное сложение можно охарактеризовать так: 1) сложение полных сотен (600-)- 600); 2) сложение полных ты¬ сяч (5 т.+ 8 т.; 40 т.-)-20 т.; 400 т.-)-200 т.); 3) сложение пол¬ ных миллионов (5 млн.-)-2 млн.; 30 млн.-(-30 млн.; 40 млн.+ + 300 млн.); 4) прибавление однозначных чисел (2000-)-5); 5) прибавление двузначных чисел (2400-)-40); 6) прибавление трехзначных чисел (840-(-420); 7) прибавление четырехзначных чи.ел (4600 -)- 4300) и т. д. Приемы сложения те же, что для чисел первой тысячи. Тем не менее некоторые приемы для более трудных случаев мы ука- Ж6М • 1) 6347 +3. Надо: 47 + 3 = 50; 6300 + 50 = 6350; 2) 9998 + 4. 9998 + 2 = 10000; 10000 + 2 = 10002; 3) 9960 + 60. 960 + 60=1020; 9000 + 1020 = 10020; 4) 4700 + 4700. 4700+4000 = 8700; 8700 + 700 = 9400; 5) 560 т.+ 440 т. 560 т.+ 4.0 т. = 960 т ; 960 т. + 40 т. = 1 000 т. К устным или же полуписьменным вычислениям можно отне¬ сти и такие упражнения, в которых все разряды каждого из чи¬ сел изображены посредством знзчащих цифр, но числа по своему характеру удобны для запоминания и вычисления. Например: 44444 + 22 222; 55 666 + 44 333 и т. п. Особые приемы сложения. В некоторых случаях можно пользоваться особыми способами сложения. Наиболее удобный и распространенный способ — это способ округления чисел. С ним дети познакомились в пре¬ дыдущих концентрах (в пределе 100 и 1000). Приведем несколько примеров: 1) 2460+ 98 = (2460+ 100) —2 = 2558; 2) 4999 + 998 = = (5000 + 1000) — 3 = 5997 >). !) Если примеров, даваемых для устного вычисления, дети не запомнят, то надо эти примеры или читать по книге или же записывать иа до. ке, а все вычи¬ сления выполнять устно Эго просим помншьне только относительно сложения, но и остальных действий с многозначными числами. 117
Письменное сложение. Это сложение выполняется по образцу сложения в пределе 1000. По образцу сложения в пределе 1000 производится сложение многозначных чисел и на счетах. Проверка сложения состоит в выполнение сложения дважды: первый раз поразрядное сложение начинается или снизу вли сверху, а второй раз наоборот. Например: 4263 . 1057 + 2984 8304 Сначала идет сложение, допустим, сверху: 3 —J— 7 —f— 4 (разряд единиц) = 14(4 пишется под единицами); 1+6 + 5+ 8 (разряд десятков) = 20 (0 пишется под десятками) и т. д. Потом идет сложение снизу: 4 + 7 + 3 (разряд единиц) = 14; 1 8 5 6 = = 20 и т. д. Говоря о проверке сложения, мы, однако, не придаем ей зна¬ чения безусловной достоверности, ибо при проверке возможны ошибки; поэтому при сложении с первого раза надо приучить детей к точности и верности вычисления, к проверке же прибе¬ гать в случае сомнения и недоразумения. Сложение составных именованных чисел произво¬ дится по образцу соответствующего сложения в пределе 1000. § 37. ВЫЧИТАНИЕ. Вычитание чисел любой величины представляет полную анало¬ гию со сложением этих чисел и выполняется так же, как вычи¬ тание в пределе 1000. Поэтому все методические указания наши будут кратки. Устное вычитание. Вычитание полных тысяч, вычитание полных миллионов, вычи¬ тание однозначных чисел (4024 — 6; 5000 — 4), вычитание двузнач¬ ных чисел (8100 — 20), вычитание трехзначных чисел (5432 — 2J0) и т. п. выполняются устно. Особые приемы вычитания. а) Округление вычитаемого, например: 2465 — 294 = 2465—- -300 + 6 = 2171. б) Округление уменьшаемого, например: 3966 — 500 = 4000 — — 500 — 34=3466. К устным или же к полуписьменным вычислениям можно отне¬ сти и такие упражнения, в которых все разряды каждого из чисел изображены посредством значащих цифр, но числа по сво¬ ему характеру удобны для запоминания и вычисления. Напри¬ мер: 77 777 — 22 222; 88 999 — 44 555 и т. п. 118
Письменное вычитание и вычитание на счетах. Эти вычитания производятся так же, как и в пределе 1000 (см. стр. 92). Проверка вычитания производится путем сложения; че¬ рез это лучше уясняется связь сложения с вычитанием и яснее выступают эти действия как обратные друг другу. Пусть дано: из 8423 вычесть 5678, получится 2745. Для проверки надо сложить вычитаемое (5678) с разностью (2745), и сумма должна быть равна уменьшаемому (8423). При этом ввиду эконо¬ мии времени не следует переписывать складываемых чисел, равно как не следует суммы писать под разностью, как это рекомен¬ дуется некоторыми методистамиJ), а располагать запись на вычитание так, как обычно располагается, и эга проверка без труда может быть выполнена глазами. Здесь же полезно познакомить детей с проверкой сложе¬ ния путем вычитания: из суммы двух слагаемых вычи¬ тается одно из слагаемых. Пусть дано сложить 5678 и 2745 — получится 8423. Из 8423 надо вычесть одно из слагаемых, пусть 2745, тогда должно получиться другое слагаемое — 5678; при этом ввиду экономии времени не следует переписывать данного примера в виде вычитания, а оставить его в прежнем виде, т. е. если дано: 8423, то нет необходимости располагать это вычисление так: 8423 . 2745 5678, а оставить его в первом виде, вычитая из суммы 8423 слагаемое 2745 и говоря так: из 13 пять—8, из 11 четыре — 7, из 13 семь — 6, из 7 два — 5. Вычитание составных именованных чисел производится по образцу вычитания в пределе 1000. § 38. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ. Умножение и деление многозначных чисел целесообразно про¬ ходить параллельно, а не отдельно, ибо прохождение сперва полностью всех случаев деления слишком долго задерживало бы детей на одном действии и это было бы однообразно, скучно и утомительно. Умножение и деление многозначных чисел мы разделяем на следующие методические ступени: 1) один из сомножителей — однозначное число (2435-6; 4-7215)2) и деление многозначного !) См. Штеклин, Методика арифметики, ч, II, стр. 174. 2) При умножении многозначных чисел можно и желательно вместо косого креста (знака умножения) вводить точку (жирную) и ставить ее по середине строчки. Например: 2345-6. 119 . 5678 + 2745
числа на однозначное; 2) один из сомножителей — единица с одним или несколькими нулями (2345-10; 2345-100; 100-346) и деление на единицу с одним или несколькими нулями (5340:10; 7800:100); 3) один или оба сомножителя — значащие цифры с нулями (3547 • 80; 40-7650) и деление на значащую цифру с нулями; 4) один из сомножителей — двузначное число; 5) один из сомножителей — любое многозначное число (главным образом трехзначное и четы¬ рехзначное число) и деление на многозначное число. Прежде чем переходить к умножению многозначных чисел, надо познакомить ребят с названием членов умножения и с умно¬ жением на нуль на небольших числах. Название членов (чисел) умножения. В примере 6-7 = 42 число 6, которое мы множим, называется множимым; число 7, на которое мы множим, называется множителем; множимое и множитель называют одним словом сомножители; число 42, которое получилось от умножения, называется произведе¬ нием. Множимое — нуль. Если в каждом из трех шкафов по 0 (нулю) инструментов, то во всех трех шкафах будет 0 (нуль) инструмен¬ тов, т. е. ничего не будет. Таким образом, 0-2 = 0; 0-3 = 0; 0-4 = 0; словом, если 0 умножить на какое угодно число, то в произведении будет нуль. Один из сомножителей — однозначное число. ' Устные упражнения. Устные упражнения этого случая умножения сводятся к зна¬ нию умножения в пределе 100. Пусть дано 800-7. Объяснение: 800 — это 8 сотен; 8 сотен-7 = = 56 сотен, или 5600. Пусть дано 6-900. Объяснение: 6-9 сотен = 54 сотни, или 5400. Вот типы примеров на устное вычисление: 1) 400X6; 4X500.- 2) 6 т. X 8; 8X8 т. 3) 40 т. X 3; 5 X 80 т. 4) 240X5; 2X630. 5)1200X4; 3X 1300. 6) 15 т. X 4; 4 X 12 т. 7) 120 т. X 6; 2X130 т. 8) 203 X 5; 6 X 204. 91 2002 V 4: 2 V 3004. Письменные упражнения. Умножение многозначного числа на однозначное можно объ¬ яснить так: „Как надо умножить 24 на 3?“ (20X3 = 60; 4X3=12; 60 —12 = 72). 12Э
„Зная это, как будете умножать 1234 на 7?" (Сперва умно¬ жим 1 тысячу на 7, потом 2 сотни на 7, затем 3 десятка на 7 и, наконец, 4 единицы на 7, затем полученные числа сложим.) «Легко ли сделать это устно?" (Трудно.) „Почему?" (Надо помнить много чисел.) „Научимся это делать письменно". Уче¬ ники умножают устно каждый ра?ряд отдельно, а учи гель тотчас же записывает каждое неполное произведение. 1 т. X 7 = 7 т. Учитель записывает цифру 7 справа от записи: 1234X7 = . 2 сотни X 7 = 14 сот. „Сколько это тысяч и сотен?" (1 т. и 4 сотни.) „Прибавьте 1 т. к 7 т. А у нас сколько записанл тысяч справа от знака равенства?" (7.) „Что же надо сделать с цифрой 7?" (Стереть ее и вместо нее написать цифру 8.) „Сколько у нас получилось сотен?" (4.) „Где их записывать?" (Рядом с 8 т.) „Продолжайте". (3 десятках 7 = 21 десяток.) „Сколько это сотен и десятков?" (2 сотни и 1 десяток.) „Что надо сделать с 2 сотнями?" (Прибавить к 4 сотням, получится 6 сотен.) „Что дальше?" (Цифру сотен 4 стереть и вместо нее написать цифру 6.) „Что сделать с 1 оставшимся десятком?" (Записать его рядом с цифрой сотен 6.) „Что дальше?" (4 единицы X 7 = 28 единиц.) „Сколько это десятков и единиц?" (2 десятка 8 еди¬ ниц.) „Что надо сделать с этими 2 десятками?" (Прибавить их к одному десятку, получится 3 десятка.) „Что дальше?" (Цифру десятков 1 стереть, а вместо нее написать цифру 3.) „Что дальше?" (Рядом с цифрой десятков 3 написать цифру единиц 8). „Сколько же Есего получилось от умножения 1234 на 7?" (8638.) „С каких разрядов мы начали умножать?" (С выс¬ ших.) „Начнем умножение с низших разрядов". Ученики умно¬ жают, а учитель записывает справа после вновь написанного: 1234 X 7 =. „4 единицы X 7 = 28 единицам. Сколько это десятков и единиц?" (8 единиц запишем вправо от знака равенства, отсту¬ пая на 4 места дальше, так как старший разряд 1 т., а два де¬ сятка запомним.) „Что дальше?" (3 десятка X 7 = 21 десяток.) „Сколько десятков было раньше?" (2 десятка.) „Сколько же всего десятков стало?" (23 десятка.) „23 десятка сколько это сотен и десятков?" (2 сотни и 3 десятка.) „Что сделаем с 3 десятками?" (Запишем их рядом с 8 единицами, влево от них, 2 сотни запом¬ ним.) „Что дальше?" (2 сотни X 7 = 14 сотен.) „Сколько раньше было сотен?" (2 сотни.) „Сколько же всего сотен?" (16 сотен.) „Сколько это тысяч и сотен?" (1 т. и 6 сотен.) „Что сделаем с 6 сотнями?" (Запишем их рядом с 3 десятками, а одну тысячу запомним.) „Что дальше?" (Одну тысячу помножим на 7 и приба¬ вим одну тысячу, получится 8 тысяч.) „Что сделаем с 8 т.?" (Запишем их рядом с 6 сот¬ нями.) „Сколько же всего пол}чилось от умноже'ия 1234 на 7?" (8638.) „А когда мы начали умножать с высших рязрядов, какое получилось число?" (То же самое.) „Как же легче умножать в таких стуч°ях — с низших разрядов или с высших?" (С низ¬ ших.) „Почему?" (Потому что не приходится переделывать цифр.) 121
Дети в таком роде, начиная умножение с низших разрядов, проделывают несколько примеров. Затем учитель указывает им такое расположение записи: 1234 1234 X 7 = 8638 или Х7 8638 Дети с такою записью проделывают несколько примеров, объяс¬ няя, как выше изложено. В дальнейшем дети приучаются говорить кратко, примерно так (берем прежний пример): „4 на 7 = 28, 8 пишем, 2 запоминаем, 3 на 7 = 21 да 2 = 23, 3 пишем, 2 запоминаем; 2 на 7=14 да 2 = 16, 6 пишем, 1 запоминаем; 1 на 7 = 7 да 1 =8, 8 пишем; всего получилось 8638“. При умножении однозначного числа на многозначное нет не¬ обходимости переписывать множимое и множитель и умножать многозначное число на однозначное. Запись располагается так: 7X1234 = 8638. Вычисления производятся так: 7 на 4 = 28, 8 пишем, 2 запоминаем; 7 на 3 = 21 да 2 = 23, 3 пишем, 2 запо¬ минаем и т. д. Когда один из сомножителей оканчивается нулями, тогда нет необходимости умножать нули, а только написать их в прог изведении под соответствующими разрядами и потом умножать только на значащие цифры. Пусть дано: 68700-4 = Дети, написав множимое и множитель со знаком умножения, проводят под ними чергу, под чертой под соответствующими цифрами множимого пишут 2 нуля и умножают только 687 на 4, говоря кратко, как выше сказано. Умножение составного именованного числа на однозначное число. (Письменно.) Выше мы брали такие примеры, когда не приходилось превра¬ щать низшие меры в высшие, здесь же приходится делать пре¬ вращение. Приведем образец записи и как надо производить вычисление: 35 руб. 48 коп. X 7 248 руб. 36 коп. Вычисления производятся так: 1) 48 коп. X 7 = 336 коп. = 3 руб. 36 коп., 36 коп. пишутся под копейками; 2) 35 руб. Х7 = = 245 руб.; 245 руб. —}— 3 руб. = 248 руб. (все эти вычисления вы¬ полняются устно); 248 руб. пишутся под рублями. 23 часа 15 мин. X 6 23 часа 15 мин. Х6 1) 138 час. 90 мин. или же 139 час. 30 мин. 139 час. 30 мин. 8 м 45 см X 9 8 м 45 см X 9 2) 72 м 405 см или же 76 м 5 см 76 м 5 см 122
В первом и во втором примерах можно делать промежуточ¬ ные записи (138 час. 90 мин. и 72 м 405 см), а можно обходиться и без них, как показано в записи справа. Это зависит, с одной стороны, от степени трудности примера, а с другой — от степени развития детей. Первая запись (с промежуточной записью) может быть выпол¬ нена со слабым классом, вторая — со средним и хорошим. Деление многозначного числа на однозначное число. 1. Название членов деления. В примере 14:3 = 4 (остаток 2) число 14, которое мы делим, называется делимым; число 3, на которое делим, называется делителем; число 4, которое получилось от деления, называется частным; число 2, которое осталось от деления, называется остатком. 2. Делимое — нуль. Если вам надо 0 (нуль) копеек разделить на троих, то у каждого будет по 0 (нуль) копеек, т. е. ничего не будет. Заметьте, что 0:2 = 0; 0:3 = 0; 0:4 = 0; вообще, если нуль разделить на какое угодно число, то в частном будет 0 (нуль). Устное деление. Этот случай деления не представляет затруднения для детей ввиду того, что подобные упражнения проделывались в пределе 1000. Тем не менее мы проделаем несколько типичных приме¬ ров. 1) 4000 (40 т., 4 млн. и т. д.):2; подобные примеры не пред¬ ставляют никакого затруднения для детей, ибо они сводятся к делению 4 на 2; 2) 4600 (46 т., 460 т., 4 600000):2, т. е. такие числа, у кото¬ рых делится каждый из двух старших разрядов: сначала делятся 4 единицы старшего разряда, затем 6 единиц следующего раз¬ ряда : 4600= 4 т. + 600; 4 т.:2 = 2 т.; 600:2 =300; 2 т. + 300 = 2300; 3) 2 т.:4 (2400:6; 32 т.:4; 350 т.:7), т. е. такие числа, у кото¬ рых старший разряд не делится на данное число; тогда берут два старших разряда: 2000=20 сотен, 20 сотен :4 = 5 сотен, или 500. Если делитель — составное число, то можно применить прием последовательного деления, например: 2000:4 = 2000:2:2; 4) 2100 (21 т., 2100 т.,):2, т. е. такие числа, в которых из двух старших разрядов, состоящих из значащих цифр, старший раз¬ ряд делится на данное число, а следующий разряд не делится; тогда данное число разлагается на 2 числа, из которых каждое де¬ лится на делителя, а затем полученные числа складываются; 2100 = 2000+100; 2 т.:2=1 т ; 100:2 = 50; 1 т.+ 50= 1050; 5) 6006 (60006, 600006, 6060, 60 060, 600600):3, т. е. такие числа, у которых самый старший и один из младших разрядов делятся на делителя; в этом случае каждый разряд делится в от¬ дельности и полученные частные складываются: 6 т.:3 = 2 т.; 6:3 = 2; 2 т. + 2 = 2002. Когда дети несколько поупражняются в этих примерах, то они выполняют это деление сразу, не прибе¬ гая к частичному делению; 123
6) 3693 (36936, 936369):3, т. е. такие числа, в которых все разряды состоят из значащих цифр и притом каждый разряд делится на данное число. В этом случае каждый разряд делится в отдельности и полученные числа (частные) складываются. Эти примеры настолько просты, что толковые дети производят это деление срау, так сказать, глазами. 7) 2032 (2400, 3636):4. т. е. такие числа, в которых или ни один разряд в отдельности не делится на данное число или толь¬ ко некоторые В таком случае делимое разлагается на такие два числа, из которых каждое делится на делителя и полученные частные складываются: 2032 = 20 сотням-(-32; 20 сотен :4 = = 5 сотням, 32:4 = 8; 500 —8 = 508; 8) 5100:6, т. е. такие примеры, в которых при делении прихо¬ дится нарушать десятичный состав делимого. В этом случае де¬ лимое разлагается на 2 слагаемые, кратных делителю: 5100 = = 4800-(-300; 4800 (48 сотен):6 = 800; 300 (30 десятков):6 = 50; 800-(-50=850. Письменное деление. Подготовительные упражнения. Так как при письменном де¬ лении не сразу все число делится, а по частям, говоря иначе, получается несколько неполных делимых, то необходимо уметь: 1) безошибочно разлагать данные числа на десятичные группы (на разряды), 2) безошибочно уметь скоро определять, сколько всего единиц любого разр' да во всем данном числе, т. е. сколько в нем всего десяшов, всего сотен, всего тысяч и т. д. 1. Разложить на десятичные группы (на разряды) число 2436. „Что это значит: разложить число 2436 на десятичные груп¬ пы?" (Это значит узнать, сколько в этом числе тысяч, сотен, десятков и единиц.) „Разложите же на десятичные группы число 2436“. (В числе2436—2тысячи, 4 сотни, 3 десятка и 6единиц.) „Разбейте на десятичные группы числа: 78195; 376439; 243 507 068“. 2. „Сколько отдельных единиц в числе 2436?“ (6 единиц.) „Сколько всего единиц в этом числе?" (243S.) „Сколько отдель¬ ных десятков?" (3 десятка.) „Сколько всего десятков?" (243 де¬ сятка.) „Сколько отдельных сотен?" (4 сотни.) „Сколько всего сотен?" (24 сотни.) „Сколько тысяч?" (2 т.) „Как узнать скоро, сколько в этом числе всего десятков?" (Отбросить разряд еди¬ ниц.) „Почему надо отбросить разряд единиц?" (Потому что в разряде единиц не может быть десятков: самое большее в раз¬ ряде единиц может быть 9 единиц.) „Как скоро узнать, сколько в этом числе всего сотен?" (Надо отбросить разряды единиц и десятков.) „Почему надо отбросить разряды единиц и десят¬ ков?" (Потому что в этих разрядах не может быть сотен: самое большее в разрядах единиц и десятков вместе может быть число 99.) Основываясь на том положении, что для более легкого, ско¬ рого и лучшего усвоения дальнейшего надо пользоваться преды¬ дущим, уже знакомым, мы выводим прием письменного деления из устного приема деления. 124
1. каждый разряд делимого делится на делителя. „Как бу¬ дете делить 684 на 2?“ (Разложим 684 на 6 сотен, 8 десятков, 4 единицы; сперва разделим сотни, потом десятки и, наконец, единицы.) „Делите". (6 сотен:2 = 3 сотням; 8 десятков:2 = 4 де¬ сяткам; 4 единицы :2 = 2 единицам, всего 342.) Все это дети вы¬ полняют устно. По образцу этого выполняется деление в примерах; 6636:3; 848484:4; 682468:2, причем цифры частного записываются после знака равенства по мере деления каждого разряд а; так: в примере 6936:3, разделив 6 т. на 3, дети тотчас же пишут в частном цифру 2, говоря 2 т., но не ставя рядом с цифрой 2 трех нулей, как это советуют многие методисты, ибо для детей ясно, что от деления 6 т. на 3 получаются 2 т.; после деления 9 сотен на 3 тотчас же пишут в частном рядом с цифрой 2 цифру 3, говоря 3 сотни, и т. д. „Сколько здесь произведено делений?" (4 деления.) „Каждое из 4 делимых — 6 т., 9 сотен, 3 десятка и 6 единиц называется неполным делимым. Какое 1-е непол¬ ное делимое?" (6 т.) „Какое 2-е неполное делимое?" (9 сотен) и т. д. „Сколько получилось отдельных частных?" (4.) „Какое 1-е частное?" (2 т.) „Какое 2-е частное?" (3 сотни) и т. д. „Каждое из этих частных называется неполным частным: 2 т. — пер¬ вое неполное частное, 3 сотни — второе неполное частное и т. д. Какое полное частное?" (2312.) „Как из этих неполных частных получить полное частное?" (Неполные частные сложить ) „Склады¬ вали ли мы неполные частные?" (Нет, не складывали.) „Почему не складывали?" (Потому что каждый разряд частного мы писали на своем месте: рядом с 2 т. написали 3 сотни, рядом с 3 сот¬ нями — 1 десяток, рядом с 1 десятком — 2 единицы и таким об¬ разом получилось полное частное 2312.) 2. Один или несколько разрядов делимого не делится на делителя. „Как разделить 216 на 3?" (216 разбить на 2 сла¬ гаемых: 210-j-6; 210 (21 десяток):3 = 70; 6:3 = 2; 70-|-2 = 72.) „Как разделить 510 на 6?" (510 разбить на 2 числа: 480-J— 30; 480 (48 десятков):6 = 80; 30:6 = 5; 80-{-5 = 85) „Как будете делить 1334 на 2?" (1364 разбить на слагаемые: 12 сотен-{-16 десятков-{-4 единицы и делить каждое слагаемое.) „Легко ли это сделать устно?" (Трудно запомнить все числа.) „Давайте делать письменно". 12сотен:2 = 6 сотням, цифру 6 учи¬ тель пишет в частное после знака равенства; 16 гесягков:2 = 8 десяткам, цифра десятков 8 пишется в частном рядом с цифрой сотен 6; 4 единицы:2 = 2 единицам, цифра единиц 2 пишется ря¬ дом с цифрой десятков 8. Запись примет такой вид: 1364:2 = 682. Разбивать большие числа на слагаемые и запоминать эти сла¬ гаемые трудно, особенно для слабых детей: поэтому на первых порах мы советуем делить каждый разряд отдельно, ведя беседу примерно так: „Представьте себе, что у меня 1 бумажка в 1000 руб., 3 бумажки по 100 руб., 6 бумажек по 10 руб. и 4 бу¬ мажки по 1 руб. каждая. Сколько всего денег у меня?" (1364.) „Как разделить их поровну между 4 рабочими? Если 1 тысяче¬ рублевую бумажку раздать четверым поровну, то получит ли 125
каждый по тысячерублевой бумажке?" (Нет, не получит.) „Не менее скольких тысячерублевых бумажек надо иметь, чтобы по¬ лучить по 1 тысячерублевой бумажке каждому из четверых?" (Не менее 4 тысячерублевых бумажек.) „Что же надо сделать с тысячерублевой бумажкой?" (Разменять ее на сторублевые бу¬ мажки.) „Сколько будет сторублевых бумажек?" (10.) „Да рань¬ ше сколько было сторублевых бумажек?" (3.) „Сколько всего сторублевых бумажек?" (13.) „По скольку сторублевых бумажек получит каждый?" (По 3.) „Цифра 3 пишется после знака равен¬ ства". (1364:4=3...) „Сколько сторублевых бумажек останется неразделенными?" (1 бумажка.) „Что надо сделать с ней?" (Раз¬ менять ее на десятирублевые бумажки.) „Сколько будет десяти¬ рублевых бумажек?" (10.) „Да раньше сколько было десятирубле¬ вых бумажек?" (6.) „Сколько всего десятирублевых бумажек?" (16.) „По скольку десятирублевых бумажек получит каждый?" (По 4.) „Цифра 4 пишется в частном рядом с цифрой сотен 3". (1364:4 = 34...) „Какие еще бумажки остались?" (Рублевые.) „Сколько их"? (4.) „По скольку рублевых получит каждый?" (По 1.) „Цифра 1 пишется в частном рядом с цифрой десятков 4". (1364:4=341.) „По скольку же всего рублей получит каждый?" (По 341 руб.) „Как теперь разделить число 1364 на 4 равные части? Разбейте 1364 на десятичные группы (на разряды)". (В числе 1364 1 т., 3 сотни, 6 десятков и 4 единицы.) Если 1 т. разделить на 4 рав¬ ные части, то будет ли в каждой части по тысяче?" (Нет, не будет.) „Что же надо сделать с тысячей? Про деньги говорят: „разменять", а про числа говорят: „раздробить". Во что же вы раз¬ дробите тысячу?" (В сотни.) „Сколько будет сотен?" (10 сотен.) „Да еще сколько отдельных сотен в этом числе?" (3 сотни.) „Сколько же всего сотен в этом числе?" (13 сотен.) „Сколько будет 13 сотен разделить на 4 равные части?" (3 сотни и 1 сотня останется неразделенной.) „3 сотни пишутся после знака равен¬ ства. Что надо сделать с сотней?" (Раздробить ее в десятки.) „Сколько будет десятков?" (10 десятков.) „Да еще сколько от¬ дельных десятков?" (6.) Сколько же это всего десятков?" (16.) „Сколько будет: 16 десятков разделить на 4 равные части?" (4 десятка.) „Цифра десятков 4 пишется рядом с цифрой сотен 3. Что еще осталось неразделенным?" (4 единицы.) „Разделите их." (4 единицы разделить на 4 равные части, будет 1.) „Цифра единиц 1 пишется рядом с цифрой десятков 4; сколько же всего будет 1364 разделить на 4 равные части?" (341.) Запись деления многозначного числа на однозначное должна быть в строчку, т. е. так: 1364:4 = 341. Что же касается деления этого случая с п р о м ежут о ч н ыми записями, как это рекомендуется многими иностранными и рус¬ скими методистами, то мы против такой записи, ибо ряд про¬ межуточных умножений и вычитаний при делении весьма легко выполняется устно, так как вращается в пределе 100. Поэтому, как совершенно справедливо замечает А. И. Гольденберг 126
в своей „Методике", нельзя не признать одного лишь „бесцель¬ ного бумагомарания" за записями такого вида: 1) _ 1364 |_4_ 2) 1364 |_4__ 12 341 16 341 _ 16 4 16 ~Ъ 4 ■ 4 О Когда дети поймут механизм деления и овладеют им, тогда надо делать более краткий пересказ хода деления, примерно так: „1 т. разделить на 4, тысяч не получится1). 1 т. раздробляем в сотни, будет 10 сотен, да 3 сотни—13 сотен; разделим их на 4, будет 3 сотни, остается неразделенной 1 сотня, раздробляем ее в десятки, будет 10 десятков, да 6 десятков —16 десятков; 16 десятков разделить на 4 будет 4; 4 единицы разделить на 4 будет 1. Итак, получилось в частном 341". Можно вести пересказ хода деления еще короче, примерно так: „12 на 4 — три, 16 на 4 — четыре, 4на 4 — один". Желательно, чтобы дети достигли такой краткости речи. 3. В обозначение частного входит нуль или нули. Этот слу¬ чай очень затрудняет детей: дети весьма часто забывают поста¬ вить нуль в частном. Чтобы предупредить ошибку, надо предла¬ гать детям всякий раз говорить, единицы какого разряда они обозначили в частном и после этого единицы какого разряда на¬ чинают делить. Поясним это на примере: 8280:4 = 2070. Разделив 8 т. на 4, дети примерно говорят так: „В частном будет 2 тысячи, неразделенных тысяч не останется; далее надо делить 2 сотни на 4, но сотен в частном не будет, поэтому в част¬ ном на месте сотен надо написать нуль; 2 сотни надо раздро¬ бить в десятки, будет 20 десятков, да 8 десятков — 28 десятков, от деления 28 десятков на 4 в частном будет 7 десятков, десят¬ ков не останется; далее надо делить единицы, но в делимом еди¬ ниц нет, поэтому в частном на месте единиц надо поставить нуль". Предупреждению ошибок в этом случае деления способствует также умение заранее, до выполнения деления, определить число цифр частного. Пусть дано 6440:8. „Давайте заранее, не произведя деления, сообразим, сколько будет цифр в частном. Если 6 т. разделить на 8, то будут ли в частном тысячи?" (Нет.) „Что дальше будем делить на 8?" (64 сотни.) „Будут ли сотни в частном?" (Будут.) „Значит, какое первое неполное делимое?" (64 сотни.) „Значит, сколько будет цифр в частном?" (3.) Когда дети приобретут навык в таком отыскании числа цифр частного, тогда можно ускорить это нахождение, поступая так. !) Не следует говорить: 1 ил 4 не делится, — это неточное выражение, ибо: 1) 1 на 4 делится, но только не получится целого числа; 2) здесь разумеется не 1—простая единица, а 1 тысяча, которая разделится на 4 без остат- к а, но только в частном не получится тысяч. 127
Возьмем пример: 4928:7. „Сколько будет цифр в частном?*. (3 цифры.) „Почему 3?“ (Потому что 1-е неполное делимое 49 сотен.) Умея так определять число цифр частного, дети не затруд¬ нятся найти ошибку, если бы от деления, например, 4527 на 9 в частном получилось 53 вместо 503. 4. Деление с остатком. Деление с остатком производится так же, как и деление без остатка. Запись деления с остатком производится так: 1235:9 = 137 (остаток 2). Деление с остатком, ввиду практической важности его, про¬ изводится при всех нижеуказанных случаях деления. Проверка умножения и деления. Проверять умножение и деление лучше всего обратными дей¬ ствиями: умножение — делением и деление — умножением, ибо через это лучше уясняется связь между этими действиями. Умножение проверяется делением так: произведе¬ ние делится на одного из сомножителей (в данном случае на мно¬ жителя) и в частном должен получиться другой сомножитель (в данном случае множимое). Пусть дети вычислили: 2553-3 = 7689. При проверке надо произведение 7689 разделить на множителя 3, и если в частном получится множимое 2563, то умножение сделано верно. Деление проверяется умножением та к: частное умно¬ жается на делителя, и в произведении должно получиться дели¬ мое. Возьмем прежний пример. Пусть дети вычислили: 7639:3 = = 2563. При проверке надо частное 2553 умножить на делителя 3, и если в произведении получится делимое 7689, то деление сде¬ лано верно. Проверку умножения и деления надо производить при всех нижеуказанных случаях этих действий. Умножение на 10, 100, 1000. Этот случай умножения можно проработать с детьми так. 1. а) „Рассмотрите и расскажите, как произведено умножение в следующем примере: б) „Сравните множимое 1111 с произведе- 1111 • 10 = ? нием 11110. Что сделалось с каждым разря- 10U0-10 = 11)000 дом?“ (1 ДО обратилась в Ют., 100 —в 1000, 100*10= 1000 10 — в 100, 1—в 10, т. е. каждый разряд 10-10= 100 увеличился в 10 раз.) „Какая разница в запи- 1-10= 10 си множимого и произведения?" iB произве- 11 по дении справа к цифрам множимого припи¬ сан один нуль.) в) „По образцу этого помножьте 2468 на 10 и расскажите, что сделалось с числом 2468 и какая разница в записи множи¬ мого и произведения*. 128
г) „Как же умножить целое число на 10?“ (Чтобы умножить целое число на 10, надо переписать все цифры множимого и справа к множимому приписать один нуль.) д) Образец записи: 1) 3465-10 = 34 650; 2) 10-2354 = 23540. 2. а) „Рассмотрите и расскажите, как сделано умножение в следующем примере: б) „Расскажите, что сделалось с каждым 1 111- ЮО =? разрядом и со всем числом? Какая*раз: ица 1 000-103=100 000 в записи множимого и произведения?" 100-100= 10000 в) „По образцу этого помножьте 3579 на 10-100= 1000 100 и скажите, что сделалось с числом и Ы00= 100 какая разница в записи множимого и про- 111 100 изведеиия?" г) „Как же умножить целое число на 100?“ (Чтобы умножить целое число на 100, надо переписать все цифры множимого и справа к множимому приписать два нуля.) д) Образец записи: 1) 3692-100=369 200; 2) 100-467 = 46 700. 3. а) По этому образцу дети прорабатывают умножение на 1000 на примерах: 1) 1111-1000 и 2) 4256-1000 и выводят пра¬ вило умножения целого числа на 1000. б) Образец записи: 1) 546з-1000 = 5468000; 2) 1000-963 = -=963000. Деление на 10, 100 и 1000. Этот случай деления можно проработать с детьми так. 1. а) „Рассмотрите и расскажите, как сделано деление в сле¬ дующем примере": б) „Сравните делимое 1110 с частным 111. 1110:10 = ? Что сделалось с каждым разрядом?" (1L00 обра- 1000:10= 100 тилась в 100, 100 — в 10, 10 — в 1, т. е. каж- 100:10= 10 дый разряд уменьшился в 10 раз, значит, и все 10:10= 1 число уменьшилось в 10 раз.) „Какая разница 111 в записи делимого и частного?" (В делимом 4 раз¬ ряда, а в частном 3; от делимого отнят нуль, т. е. разряд единиц.) в) „По образцу этого разделите 2460 на 10 и скажите, что сделалось с числом 2460 и какая разница в записи делимого и частного?" г) „Как же разделить целое число на 10?“ (Надо отнять в делимом разряд единиц.) д) Образец записи: 1)3480:10 = 348; 2)6375:10 = 637 (остатокб). 2. а) „Рассмотрите и скажите, как сделано деление в сле¬ дующем примере: б) „Скажите, что сделалось с каждым разря- 1100:100 = ? дОМ и со всем числом? Какая разница в записи 1000:100=10 делимого и частного?" 100:100= 1 в) „По образцу этого разделите 24600 на 100 [Т и скажите, что сделалось с числом 24 600 и какая разница в записи делимого и частного?" г) „Как же разделить целое на 100?" (Надо отнять в делимом два разряда.— десятки и единицы.) 9 Д. Л Волковский 129
д) Образец записи: 1) 2300:100 = 23; 2) 42630:100 = 426 (оста¬ ток 30). 3. а) „По образцу деления на 10 сделайте деление целого чис¬ ла на 1000 на примерах: 1) 111000:1000; 2) 246000:1000, и ска¬ жите, как надо делить целое число на 1000“. б) Образец записи: 1) 345000:1000 = 345; 2) 257 425:1000 = = 257 (остаток 425). Один или оба сомножителя — значащие цифры с нулями. Этот случай умножения прорабатывается так же, как умноже¬ ние однозначного числа на круглые десятки в пределе сотни (см. стр. 75). Тем не менее здесь есть некоторые особые приемы умножения. Приведем несколько типичных примеров на этот случай умно¬ жения. 1) 80-20 = (80-2)-10, или (80-10).2, или (8-2)-100 = 1600. 2) 24-50=(24-5)-10= 120-10= 1200. 3) 40-32 = 4 десятка -32 = 128 десятков, или же 32-40 = = (32-4)-10 = 1280. 4) 240-300 = (240-3)-100, или (24-3). 1000 = 72000. 5) 120-120 = (12-12)-100= 14 400. Поясним на первом примере, как проделано умножение. Первый способ: множитель 20 разложили на два сомно¬ жителя— 2 и 10, и 80 умножили сперва на 2, затем полученное число (160) умножили на 10. Второй способ: множимое 80 сперва умножили на 10, за¬ тем полученное число умножили на 2. Третий способ: множимое 80 разложили на 2 сомножите¬ ля— 8 и 10, множитель 20 разложили на 2 сомножителя — 2 и 10 и перемножили сперва 8 и 2, затем 10 и 10 и, наконец, первое произведение (16) умножили на второе произведение (100). После этого понятно, как сделано умножение в остальных примерах. Вот образцы записи на этот случай умножения: 1) 254 2) 3245 3) 2500-400 X 30 X 200 1 000 000 7 620 649000 Для удобства записи (чтобы класс от класса был отделен не¬ большим промежутком), надо в произведении справа подписать нули; при этом, чтобы запись не занимала много места влево, нули лучше подписывать под соответствующими цифрами мно¬ жителя, а затем произвести умножение значащих цифр. Пусть дано 4500-600. „Сколько нулей во множимом и во множителе вместе?" (4 нуля.) „Напишем их под чертой, начиная справа налево от крайней спра¬ ва цифры множителя и отделяя класс от класса промежутком, т. с. так• j г-г\г\ пг\г\ 4ЫЮ-600 оТоо 130
Что дальше делать?" (45-6.) „Умножайте и подписывайте в про¬ изведении слева от 4 нулей." (5 умножить на 6—30, 0 пишем слева от 4 нулей, 3 запоминаем; 4 умножить на 6—24 да 3—27, пишем 27.) „Прочтите все число". Окончательная запись: 4 500-600 2 700 000 Деление на значащую цифру с нулями. Деление на значащую цифру с нулями основано на том, что на каждое такое число можно смотреть как на произведение 2 сомножителей, из которых один — значащая цифра, а другой — разрядная единица данного числа; так, например, на число 300 можно смотреть как на произведение 2 сомножителей — 3 и 100 (300 = 3-100), где 3 — значащая цифра числа 300, а 100 — разряд¬ ная единица того же числа. Поэтому, чтобы разделить число на значащую цифру с нулями, можно разделить его сперва на зна¬ чащую цифру, а потом на разрядную единицу, или же наоборот: сперва на разрядную единицу, а потом на значащую цифру. По¬ следний прием легче. Пусть дано: 8400:200. Можно: 1) 8400:2:100; 2) 8400:100:2. Второй прием легче. С этим приемом дети познакомились в пределе 1000. Ввиду того что понимание этого приема дается детям очень трудно, мы считаем весьма полезным проделать такое предваритель¬ ное упражнение. 1. Начертите две одинаковых линии и разделите линию на 20 равных частей по-разному так, как указано на чертеже, т. е. сперва разделите линию на 2 равные части, а потом каждую часть разделите на 10 равных частей, а затем разделите другую линию сперва на 10 равных частей, а потом каждую десятую часть разделите на две равные части (рис. 37). 1 ■ 1 ■ I ■ ■ v ■ ' ■ * < | 1 ' 1 1 I 1 -4 ■ -■ - I 1 ■ -1 1 ■ - 1 1 —I Рис. 37. 2. По примеру этого разделите на 20 равных частей число 4000 (4000:10):2, или же (4000:2): 10. Устное вычисление последовательного деления на значащую цифру с нулями выполняется в том случае, если делимое — число, удобное для делания. Если потребуется запись подобных примеров, то все вычисле¬ ние производится устно и записывается только результат, а имен¬ но: 32000:400 = 80. Вот образцы примеров на устное вычисление: 1) 8000:40; 2) 3600:60; 3) 8000:400; 4) 27000:900; 5) 720000:8000. 9* 131
Если же делимое — число, неудобное для устного вычислений, тогда лучше производить деление письменно так: смол Rn Производство деления, как известно, сопровож- oob/U: 60 дается промежуточными действиями умножения и вы- 540 977 читания, которые при однозначном делителе выступают 462 недостаточно ясно, ибо в этом случае они выполняют- 420 ся устно. При двузначном же делителе эти действия 420 выступают яснее. 420 Пересказ хода действия ведется приблизительно q- так: 5 десятков т. разделить на 60, десятков т. не по¬ лучится; „5 десятков т. раздробляем в единицы т.— будет 50 единиц т. да 8 единиц т. — 58 единиц т.; 58 т. (вместо единиц тысяч можно сказать просто тысяч) разделить на 60, тысяч не получится; 58 т. раздробляем в сотни — будет 580 сотен да 6 сотен — 586 сотен; 586 сотен разделить на 60. Чтобы легче и точнее определить цифру частного, надо брать старший раз¬ ряд делителя, т. е. 6 десятков и в с е десятки неполного делимо¬ го, вместо 586 сотен для удобства будем делить 586 единиц, или просто 586, или еще удобнее—• будем делить 58 на 6 — будет 9, в частное пишем 9(6x9 = 54); 6десятков X9 = 54 десяткам, или 540“. „Для чего умножаем делителя на частное?” (Чтобы узнать, какое число разделили.) 586 — 540=46. „Для чего из 586 вычи¬ таем 540?“ (Чтобы узнать, сколько сотен осталось разделить.) 46 сотен раздробим в десятки — будет 460 десятков да 2 десятка — 462 десятка; 462 десятка разделить на 60. Чтобы легче и точнее определить цифру частного, берем старший разряд делителя 6 десятков и все десятки 2-го неполного делимого 462 (для удоб¬ ства вместо 462 десятков берем 462 единицы или просто 462), т. е. 46 десятков, и делим 46 на 6 для удобства (вместо 46 десят¬ ков на 6 десятков), будет 7, в частном пишем 7 (6 X 7 или 7X6 = 42); 6 десятков X 7 = 42 десятка, или 420. „Для чего 6 умножаем на 7?“ (Чтобы узнать, какое число разделили.) 462 — 420 = 42. „Для чего из 462 вычитаем 420?“ (Чтобы узнать, сколько осталось разделить.) 42 десятка раздробить в единицы— будет 420 единиц; 420 разделить на 60 (опять для удобства де¬ лим 42 десятка на 6 десятков, или просто 42 на 6 — будет 7) (6x7 = 42); 6 десятков X 7 = 42 десяткам, или 420. „Для чего 6 десятков умножаем на 7?“ 420 — 420 = 0. „Для чего делаем вы¬ читание?" Итак, 58620 разделить на 60 — будет 977. Когда дети научатся делать подобный пересказ хода действия, хотя бы по вопросам, тогда можно ускорить пересказ, при¬ мерно, так: „586 сотен разделить на 60 — будет 9 сотен, 60X9 = = 540, 586 — 540 = 46 (произведение и остаток находятся устно); 462 десятка разделить на 60 — будет 7; 60x7 = 420 — остатка не будет. Итак, 58620:60 = 977“. Сообразно с этим и запись вычис¬ ления делается короче, без промежуточных умножений и вычи¬ таний, т. е. так: 58620:60_ 977 ) О 132
Примечание. При делении не надо отделять промежут¬ ком класс от класса ни в делимом, ни в делителе; но когда бывает несколько неполных делимых, то для ясности жела¬ тельно следующие друг за другом разряды неполных делимых или, по крайней мере, первое неполное делимое отделять точкой наверху (не запятой внизу, как это иногда делают), притом так, чтобы точка ставилась над промежутком между разрядами, в отличие отточки, которая ставится наверху цифр при вычитании. Знак вычитания в механизме деления не обязателен. Деление с остатком. В случае деления с остатком запись располагается так: 5240:60 480 87 440 420 20 (ост.) Так же располагается деление с остатком и при всех даль¬ нейших случаях деления. Один из сомножителей—любое двузначное число. С умножением двузначного числа на двузначное ребята позна¬ комились в пределе ЮО'О. Поэтому умножение многозначного чис¬ ла на двузначное не должно представлять затруднения для детей. Чтобы ребята лучше усвоили умножение на двузначное число, мы начинаем с такого случая, когда в двузначном множителе одинаковые цифры, ибо через это лучше уясняется поразрядное умножение (поместное значение цифр). Чтобы ребята лучше по¬ няли умножение на двузначное число, надо проделывать это умножение сперва подробно, т. е. так: 43-55 43-50 = 2150 43- 5= 215 2365 Затем надо указать детям краткие способы умножения, а именно такие: i)x43 55 2) У 43 55 3) 43-55 4) 43-55 2150 215 215 2150 215 215 215 215 2365 2365 2365 2365 В перзом и во втором примерах множитель расположен под множимым. В первом примере 43 умножено сперва на 5 единиц, а затем па 5 десятков, а во втором примере — наоборот: множи¬ мое умножено сперва на 5 десятков, а затем на 5 единиц. 133
В третьем и четвертом примерах множитель написан рядом со множимым, справа от него. В третьем примере 43 умножено сперва на 5 десятков, а затем на 5 единиц, в четвертом при¬ мере — наоборот*). Показав эти образцы, надо остановиться на каком-либо одном из них, которым будут преимущественно пользоваться учащиеся. Наиболее простой формой записи и удобной для производства действия является форма первая и вторая. Раздробление. (Письменно.) Ввиду того что запись вычислений на раздробление пред¬ ставляет некоторые особенности, покажем образец этой записи и скажем о ней несколько слов. Пусть дано: „Сколько часов в 15 сутках 18 час.?“ Решая этот вопрос, дети рассуждают так же, как и выше при устном раздроблении. Запись лучше всего делать такую: Из этой записи видно, что мы вовсе не пишем наименований в промежуточных за¬ писях и делаем это только в ответе, кото¬ рый помещаем под окончательным резуль¬ татом. Такая запись, во-первых, кратка; во- вторых, соответствует смыслу выполняе¬ мого действия (т. е.' множимое ставится в надлежащем месте: раньше множителя 15); в-третьих, ясна. Такие упражнения проделываются в пре¬ деле чисел люоои величины после прохождения умножения мно¬ гозначных чисел на двузначные. 15 суток 18 час. = ? 24Д5 . 120 + 24 . 360 + 18 378 378 час. Делитель—любое двузначное число. Для устного счисления здесь могут быть примеры такого вида: 1)2400:12; 2)7500:15; 3)320000:16; 4)1800:12. Примеры эти сводятся к делению двузначного числа на дву-* значное. Делается так: 1) 2400:12=24 сотни : 12 = 2 сотни = 200. 2) 75 000:15 = 75 т.: 15 = 5 т. = 5000. 3) 320 000:16 = 32 десяткам тысяч: 16 = 2 десяткам тысяч = = 20000. х) Приведем еще образцы записей на рассмотренный случай умножения; 1) 2576-43 10304 7728 110768 2) 43-2576 7728 10304 110768 3) 460-23 92 138 10580 4) 23-4600 92 138 105S00
4) 1800: 12 = (1200 4-600) : 12 = (1200:12)-f-(600:12) = 100 4* 4-50 = 150. При делении на двузначное число нужно различать два случая: 1) когда делитель — закруглимое число и 2) когда делитель —не- закруглимое число. Делитель—закруглимое двузначное число. Закруглимым двузначным числом можно назвать такое число, у которого в разряде единиц стоит одна из цифр: 1, 2, 3, 7, 8, 9. Пусть дано: 2610:29. „Вместо 29 возьмем 30 и будем делить 2610 на 30. 29 — это почти сколько?” (30.) „Как легче делить 2610 — на 29 или на 30?“ (На 30.) „Как будете делить?" (261 де¬ сяток на 30, 261 на 30.) „А как будете делить 261 на 30?“ (26 десятков разделить на 3 десятка, 26 разделить на 3.) „Сколько будет?” (8.) „Проверьте, верно ли это?“ (29-8=30-8 — 8 = 232; 261 — 232 = 29, 29:29 = 1, значит, 261 десяток:29 = 9 десяткам, а не 8 десяткам.) „Дальше что надо делить?" (Единицы, но единиц нет, поэтому в частное пишем нуль.) Итак, 2610:29 = 90. Запись располагается так: 2610 :29 261 до 0 *• Делитель — незакруглимое двузначное число. Незакруглимым двузначным числом можно назвать такое число, у которого в разряде единиц стоит одна из цифр: 4, 5, 6. На¬ пример, числа: 14, 45, 86 — незакруглимые. При делении на незакруглимое число можно пробовать делить на круглое число, меньшее настоящего делителя, и на круглое число, большее настоящего делителя. При этом могут быть сле¬ дующие случаи. 1. Оба пробных частных — одно и то же число. Это число и должно быть принято за настоящее частное, например, при делении 325 на 75, деля 325 на 70, в частном получаем 4; при делении 325 на 80 в частном получаем тоже 4; число 4 и будет настоящее частное. 2. Из двух пробных частных одно меньше другого на еди¬ ницу. В этом случае лучше взять меньшее число, хотя иногда приходится брать и большее число; например, при делении 516 на 75, деля 516 на 70, в частном получаем 7, а деля 516 на 80, в частном получаем 6; меньшее число 6 и будет настоящим част¬ ным; при делении 273 на 64, деля 273 на 60, в частном получаем 4, при делении на 70 в частном 3; настоящее частное — большее число 4. 3. Из двух пробных частных одно меньше другого на две единицы. В этом случае настоящее частное есть число, заключаю¬ щееся между двумя пробными частными; например, при делении 219 на 34, деля 219 на 30, в частном получаем 7, а деля 219 на 40, в частном получаем 5, настоящее частное 6, 135
4. Из двух пробных частных одно меньше другого на три единицы. В этом случае частное есть одно из чисел, заключаю¬ щееся между двумя пробными частными; например, при делении 175 на 25, деля 175 на 20, в частном получаем 8, а деля 175 на 30, в частном получаем 5; настоящее частное — 7. 5. Из двух пробных частных одно меньше другого на не¬ сколько единиц. В этом случае лучше взять одно из средних чисел, заключающееся между двумя пробными частными; так, например, при делении 228 на 20, в частном получаем 11, а деля 228 на 30, в частном получаем 7; настоящее частное — 9. Иногда можно производить быстро и хорошо деление и не идя по этим ступеням, а следуя свободному соображению, что зависит от сметливости детей и от характера чисел. Так, на¬ пример, при делении 225 на 25 не трудно сообразить, что частное не больше 10, ибо 25x10 = 250, и наверное 9, ибо 25X9 = 225. Один или оба сомножителя имеют две и более значащих цифр и нули на конце. В этом случае сначала перемножаются значащие цифры, а по¬ том справа к произведению приписываются нули. Объяснить это можно примерно так. Пусть дано 2350-4200. „В этом примере сколько нулей во множимом и множителе?” (3 нуля.) „На них не будем пока обращать внимания и помножим сначала 235 на 42е. „Когда умножим 235 на 2, то первую цифру произведения 5 на 2 — нуль — пишем под чертой под цифрой множителя 2. Когда умножите 235 на 2, сколько получится?” (470.) „Дальше что будете делать?” (Умножим 235 на 4 десятка.) „Когда умножите 235 на 4 десятка, то где напишете первую цифру произведения 5 на 4 — нуль?” (Под 7 десятками полученного про¬ изведения 470.) „Когда умножите 235 на 4 десятка, сколько по¬ лучится в произведении?” (940 десятков, или 9400.) „Дальше что будете делать?” (470 и 940 десятков сложим.) „Сколько получится?” (9870.) „От перемножения каких двух чисел получилось 9870?“ (От перемножения 235 и 42.) „Что дальше надо делать?” (9870-1000.) „Почему надо умножить на 1000?” (Потому что во множимом 2350 —один нуль да во множи¬ теле 4200 — два нуля.) „Как вы помножите 9870 на 1000?” (К числу 9870 справа припишем три нуля.) „Сколько всего получилось?” (9 млн. 870 т.) „От перемножения каких чисел получилось число 9 млн. 870 т.?” (От перемножения 2350 и 4200.) „Сколько всего произведений получилось при перемножении чисел 2350 и 4200?” (3 произведения.) „Какие?” (1-е произведе¬ ние — 470, 2-е произведение — 940 десятков, 3-е произведение — 9 млн. 870 т.) „Как их отличить?” (470 и 940 десятков, непол¬ ные произведения, причем 470 — первое неполное произведение, 940 десятков — второе неполное произведение, а 9 мдн. 870 т,— полное произведение, 136
Когда полное произведение состоит из 2 и более классов, а класс от класса отделять промежутком неудобно (через что нару¬ шится поразрядная запись цифр), то мы советуем отделять класс от класса запятой вверху, не нарушая поразрядной записи. Вот образец записи умножения 2350 на 4200 2350 2350 X 4200 X 4200 470 ИЛИ ЖЕ 940 940 470 9’870’000 Э’870’000 В первом случае умножение начато с низшего разряда мно¬ жителя 42, т. е. единиц, вэ втором случае — с высшего разряда множителя 42, т. е. четырех десятков. Когда во множимом меньше цифр, чем во множителе, то нет необходимости переписывать множимое и множитель, переставляя их одно на место другого. Объяснить это детям можно так. Возьмем пример: 450-2345. .Как умножите 450 на 2345?“ (Умножим 45 сначала на 2 ты¬ сячи, потом на 3 сотни, потом на 4 десятка и, наконец, на 5 еди¬ ниц, полученные неполные произведения сложим, затем к полу¬ ченному справа припишем нуль, т. е. полученное помножим на 10.) .Сколько тогда получится неполных произведений?" (4.) „Не догадаетесь ли, как перемножить эти числа так, чтобы получи¬ лось только два неполных произведения?" (Сперва помножим 5 на 2345, потом 4 на 2345, затем ^сложим неполные произведе¬ ния, далее к полученному справа припишем нуль, т. е. получен¬ ное помножим на 10.) Вот образец записи умножения 450 на 2345. 450 X 2345 11725 9380 Г055’250 Один или оба сомножителя имеют нули между значащими цифрами. Мы выделяем этот случай умножения потому, что в нем дети нередко пишут неполные произведения не на должном месте. В этом случае не следует умножать на нуль, ибо это не имеет смысла, а тем более нецелесообразно писать неполное произве¬ дение, состоящее из одних нулей, как это иногда практикуют некоторые педагоги. 1) w361 2) w 305 3) 1 OS-20304 X 502 х 4007 162432 + 722 + 2135 20304 1805 1220 2’192’832 18V222 1’222’135 137
Возьмем второй пример: 305-4007. „Как вы умножите 305 на 4007?“ (Умножим 305 сперва на 7 единиц, потом на 4 т.) Дети выполняют умножение. Если дети после умножения 305 на 7 еди¬ ниц затрудняются далее умножать, то учитель поступает так: „4007 состоит из скольких тысяч и сверх того из скольких еди¬ ниц? На что же вы помножите 305 после умножения его на 7 единиц?” (На 4 т.) Дети весьма часто ошибаются в умножении тогда, когда во множимом два или более нулей. Поэтому на этот случай надо обратить особое внимание. Пусть дано: 2005 X 304. Объяс¬ нение ведется примерно так: „2005 умножим сначала на 3 сотни, потом 2005 умножим на 4 единицы и полученные неполные про¬ изведения сложим. Умножим 2005 на 3 сотни :5 на 3 = 15, 5 пишем под 3 сотнями множителя, 1 запоминаем; 0 десятков умножить на 3 = нуль (дети часто говорят: 0 умножить на 3 — три) да 1 — один, 1 пишем слева от 3 сотен; 0 сот. умножим на 3 — нуль, нуль пишем слева от 1; 2 на 3 — 6, 6 пишем рядом с нулем. Теперь умножим 2005 на 4 един.:5 на 4— 20, 0 пишем под 4 един, множителя, 2 запоминаем; 0 дес. умножить на 4 — нуль, 0 пишем рядом с нулем; 2 на 4 — 8, 8 пишем слева от нуля". Остальное сомнения не вызывает. Детей надо чаще упражнять в таких при¬ мерах, чтобы они твердо усвоили, что от умножения нуля на какое-либо число получается в произведении нуль. Один или оба сомножителя имеют нули между значащими цифрами и на конце. 1) w 243 2) 3070 3) 4020 X 4050 Х 260 х 3050 . 1215 , 1842 2010 + 972 +614 1206 984’150 798*200 12’26Г000 В этом случае сначала перемножаются значащие цифры, а потом приписываются нули. Так, в третьем примере сначала мы помно¬ жим 402 на 305, потом к полученному числу справа припишем два нуля, т. е. помножим полученное число на 100. Для надлежа¬ щей записи первого неполного произведения (402 на 305) дети должны рассчитать заранее, что цифру 6, полученную от умноже¬ ния 2 единиц на 3 сотни, надо написать на 5-м месте, считая от цифры единиц (0) множителя 3050. Такая запись дает возмож¬ ность не писать нули в неполных произведениях. Во всех вышеприведенных случаях мы начинали умножение с единиц множимого на низший разряд множителя, т. е. если множитель — трехзначное число, то мы умножали множимое сначала на единицы, потом на десятки, наконец, на сотни мно¬ жителя. Но можно производить умножение не только в указан¬ ном порядке, но и в другом, например: множить данное число сперва на сотни, потом на десятки, единицы. Через это достигается больше сознательности в вычислении, 138
Покажем образцы расположения умножения в том случае, когда умножение данного числа начинается с высших разря¬ дов множителя. Возьмем примеры: 2) v 305 4007 3945 4734 1220 2135 7» 182 44Г840 1’222’135 798’200 Когда учащиеся ознакомятся с разными приемами, надо из¬ брать один какой-нибудь прием, чтобы дети получили механи¬ ческую беглость в выполнении его. Через это достигается значи¬ тельная экономия времени. Но говоря об одном приеме умножения, мы советуем избрать рекомендованный нами прием, т. е. начинать умножение с единиц множимого на низший разряд множителя, ибо этот прием при письменных вычислениях является наиболее легким: он облегчает поразрядную запись частных произведений. Примечание. Нередко в школах называют разряды обоих перемножаемых единиц, например: 5 десятков X 3 еди- ницы = 15 десяткам; 8 десятков X 4 десятка = 32 сотням и т. д. Мы против этого, ибо это очень затрудняет детей, осо¬ бенно если приходится умножать многозначное число, где все разряды — значащие цифры. Здесь прежде всего берется, как более легкий, такой случай, когда частно е—ч исло однозначное. Чтоб узнать, будет ли частное число однозначное или нет, надо делитель умножить (условно) на 10 и сравнить полученное произведение с делимым; если произведение больше делимого, то частное — число одно¬ значное. Так, от деления 2392 на 299 частное будет однозначное, ибо 2990 (299X10) больше делимого 2392. Кроме этого общего, так сказать, способа распознавания одно¬ значного частного, можно указать детям другой прием, внешний: частное бывает однозначным: 1) когда в делимом и дели¬ теле поровну цифр (6969:2323), 2) когда в делителе на одну цифру меньше, чем в делимом (1220:305, 56063:8009, 242368:60 692); это последнее бывает в том случае, если старший разряд делителя больше старшего разряда дели¬ мого, как это видно из приведенных сейчас примеров; если же старшие разряды делимого и делителя одинаковы, то тогда сле¬ дующий младший разряд делителя больше следующего младшего разряда делимого (1218:174, здесь 2-я цифра делителя 7 больше второй цифры делимого 2). Чтобы легче отыскать цифру частного, надо узнать, сколько раз старший разряд делителя содержится в соответствующей части делимого, особенно в том случае, если делитель — число закруглимое. Например, при делении 6552 на 819 задаемся старшим разрядом делителя 8 сотен в 65 сотнях делимого; при Делитель—любое многозначное число. 139
делении 2392 на 299 задаемся цифрой сотен делителя 3 (299 за¬ кругляем: 300) в 23 сотнях делимого. Если же делитель — число нез ак ру гл и мо е, то лучше сначала делить два старших разряда делимого на два старших разряда делителя. Например, при делении 8115 на 1623 сначала устно делим 81 сотню на 16 сотен — будет 5; умножаем устно 16 на 5—-получается 80; значит, и от деления 8115 на 1623 получится 5; теперь письменно умножаем 1623 на 5. Особенно же полезно задаваться двумя старшими раз¬ рядами делителя тогда, когда в старшем разряде делимого и делителя — одинаковые цифры. Например, при делении 2286 на 254 задаемся 25 в 228 — будет 9; умножаем устно 25 на 9 — по¬ лучается 225; значит, цифра частного 9 верна; теперь письменно умножаем весь делитель 254 на частное 9. Если делитель — число незакруглимое и при задавании двузнач¬ ным числом в соответствующей части делимого трудно найти цифру частного, то задаются старшим разрядом дели¬ теля в соответствующе й части делимого. Например, при делении 2776 на 347 задаемся 34 десятками в 277 десятках; но частное сразу трудно найти, тогда делим 27 на 3—получается 9; умножаем устно 34 на 9 — получаем 306; 306 больше 277, значит цифра частного 9 велика. Испытываем цифру 8: умножаем устно 34 на 8 — получаем 272; 272 меньше 277. Чтобы найти настоя¬ щую цифру частного, умножаем всего делителя 347 на частное 8. Иногда полезно задаваться тремя старшими разрядами де¬ лителя. Это бывает тогда, когда произведение двух старших раз¬ рядов делителя на пробную цифру или равно или немногим меньше соответствующей части делимого. Следует обратить внимание детей на то, что при делении на многозначное число, испытывая цифру частного, полезно поверять эти цифры путем устного умножения делителя на цифру ча¬ стного, начиная с высших разрядов делителя. Мы подчеркиваем последние слова потому, что проверка умножения высших разрядов делителя значительно более упрощает и уско¬ ряет дело, чем проверка умножения низших разрядов делителя. Такую предварительную проверку цифры частного удобнее всего начать-с такого случая деления, когда делитель — число много¬ значное, а частное — число однозначное. При многозначном делителе частное — число многозначное. Этот случай деления производится так же, как и тот случай, когда делитель — число двузначное. Тем не менее для большей ясности и полноты мы приведем пример такого деления. ГЬсть дано 439 304:1234. Теперь уже нет необходимости про¬ изводить деление так подробно, как раньше, т. е.:4 сотни тысяч разделить на 1234, сотен тысяч не получится; 4 сотни тысяч раздробляем в десятки тысяч—будет 40 десятков тысяч да 3 де¬ сятка тысяч — 43 десятка и т. д.; следует говорить: „В частном будет 3 цифры, потому что 1-е неполное делимое 4393 сотни, 43 разделить на 12 — будет 3, пишем в частное 3; 1234 X. 3, полученное вычитаем из 4393“ и т. Д. 140
Делимое оканчивается нулями. Здесь могут быть два случая: 1) когда деление бывает без остатка и 2) когда деление бывает с остатком. 1) П>сть дано 81000:225. Это деление и запись производятся так же, как и деление на любое двузначное число. 81000:225 675 360 1350 1350 0 2) Пусть дано 128 900:225. Это деление производится так же, как и деление на значащую цифру с нулем (см. стр. 131^. 128900:215 1075 599 2140 1935 2050 1935 115 (ост.) Делимое и делитель оканчиваются нулями. В этом случае многие педагоги советуют отбрасывать поровну нулей в делимом и делителе, основываясь на том, что через это упрощается и ускоряется деление. Но это бывает в том случае, если деление совершается без остатка. Если же деление бывает с остатком, то, отбрасывая нули, дети сплошь и рядом делают ошибку в остатке. Так, при делении 96600 на 360, отбрасы¬ вая по 1 нулю в делимом и делителе, дети обычно получают в остатке 12, между тем настоящий остаток 120. Логическое же основание изменения остатка в этом случае на данной ступени непосильно детям. Поэтому мы советуем не отбрасывать нулей и производить деление и запись его обычным путем, а именно: 96600:360 720 268 2460 2160 3000 2880 120 (ост.) Нули в частном. Здесь могут быть 3 случая: 1) нуль или нули в середине частного; 2) нуль или нули на конце частного и 3) нуль или нули в середине и на конце частного. 141
Объяснение деления происходит по образцу деления На одно¬ значное число, когда в частном получаются нули (см. стр. 125). Образцы записи: 1) 181222:361 2) 441840:789 3) 984150:243 1805 502 3945 560 972 4050 722 4734 1215 722 4734 1215 0 0 0 Нули в конце делимого, делителя и в частном. Здесь могут быть два случая: 1) нули на конце делимого и в частном; этот случай помещен выше — второй пример (441 840:789) и третий пример (984 150:243); 2) нули в конце дели¬ мого, делителя и в частном. Образец записи: 798200:260 - 780 3070 1820 1820 0 Объяснение этого случая деления происходит по образцу деления на двузначное число. Проверка умножения и деления. Когда ребята познакомятся со всеми случаями письменного умножения и деления, тогда можно при проверке умножения делением делить произведение не только на множителя, как раньше, но и на множимое. В случае деления произведения на множимое в результате должен получиться множитель. Так, от умножения 75 на 689 получится 51675. При проверке этого умножения делением можно произведение 51675 разделить на множимое 75, и в частном должен получиться множитель 689. При проверке этого деления умножением можно не только частное множить на делителя, но и делителя на частное. Так, от деления 51675 на 689 в частном получится 75. При проверке этого деления умножением можно делителя 689 умножить на частное 75 и в произведении должно получиться делимое 51 675. § 39. ОБЗОР ВЫЧИСЛЕНИЙ С ДЕЙСТВИЯМИ. Чтобы дети сознательно усвоили механизм деления, весьма полезно сделать следующий обзор вычисления. Возьмем пример 58620:60. 1. „С каких разрядов начинаются сложение, вычитание, умно жение?" (С низших.) „Почему?" (Так удобнее: не приходится переделывать цифр — раз написанная цифра есть окончательнгя цифра.) „С каких разрядов начинается деление?" (С высших.) „Почему?" (Так удотнее: не приходится переделывать цифр — раз написанная цифра есть окончательная цифра.) 142
2. Неполные делимые. „Сколько неполных делимых в числе 58 620?“ (3.) „Какое первое неполное делимое?" (586 сотен.) „Как мы нашли его?" (Отделили в делимом от левой руки к пра¬ вой 3 разряда, т. е. одним разрядом больше, чем в делителе 60.) „Почему мы отделили в делимом 3 разряда, а не 2?“ (Если от¬ делить 2 разряда, т. е. взять 58 т., то в частном не получатся тысячи.) „Какое 2-е неполное делимое?" (462 десятка.) „Как мы нашли его?" (Остаток 46 сотен раздробили в десятки и приба¬ вили к ним 2 десятка.) „Это короче можно сказать так: к пер¬ вому остатку приписали цифру 2, т. е. следующую цифру дели¬ мого. Какое 3-е неполное делимое?" (420.) „Как мы нашли его?" (Остаток 42 десятка раздробили в единицы.) 3. Неполные частные. „Какое 1-е неполное частное?" (9 сотен.) „Как оно получилось?" (От деления 1-го неполного делимого 586 сотен на делителя 60.) „Какое 2-е неполное част¬ ное?" (7 десятков.) „Как оно получилось?" (От деления 2-го не¬ полного делимого 462 десятка на делителя 60.) (Какое 3-е непол¬ ное частное?" (7 единиц.) „Как оно получилось?" (От деления 3-го неполного делимого 420 единиц на делителя 60.) 4. Неполные произведения. „Как называются числа 540 сотен, 420 десятков, т. е. те числа, которые мы вычитали из неполных делимых?" (Неполные произведения.) „Какое 1-е не¬ полное произведение"? (540 сотен.) „Как оно получилось?" (От умножения 1-го неполного частного 9 сотен на делителя 60.) „Для чего 9 сотен умножаются на 60?" (Чтобы узнать, какое 1-е неполное делимое.) „Какое 2-е неполное произведение?" (420 де¬ сятков.) „Как оно получилось?" (От умножения 2-го неполного частного 7 десятков на делителя 60.) „Для чего умножаются 7 де¬ сятков на 60?" (Чтобы найти 2-е неполное делимое.) „Какое 3-е неполное произведение?" (420 единиц.) „Как оно получилось?" (От умножения 3-го неполного частного 7 единиц на делителя 60.) „Для чего 7 единиц умножаются на 60?" (Чтобы найти 3-е не¬ полное делимое.) 5. Остатки. „Как называются те числа, которые получи¬ лись от вычитания?" (Остатки.) „Какой 1-й остаток?" (46 сотен.) „Как он получился?" (Из 1-го неполного делимого, т. е. из 586 сотен, вычли 1-е неполное произведение, т. е. 540 сотен.) „Какой 2-й остаток?" (42 десятка.) „Как он получился?" (Из 2-го непол¬ ного делимого, т. е. 462 десятков, вычли 2-е неполное произве¬ дение, т. е. 420 десятков.) § 40. ПОНЯТИЕ ОБ ИМЕНОВАННЫХ ЧИСЛАХ. Детям 3-го класса сообщается, что то число, при котором есть название как й-либо меры, называется именованным числом. Так, например, 5 руб., 30 коп., 8 м и т. п. — именованные числа. Если дано одно число с названием меры, то это будет про¬ стое именованное число. Так, названные выше 3 числа — про¬ стые именованные числа. Если дано два и более чисел с названием мер, то это есть составное именованное число. Так, например, 5 руб. 30 коп. 3 часа 25 мин., 3 .и 5 дм 8 см — составные именованные числа. 143
Умножение составного именованного числа на двузначное число. Вот образец записи: 1) 16 руб. 65 коп. X 24 2) 32 м 85 см X 12 1665 коп. 3285 см X 24 X 12 6660 6570 3330 3285 39960 коп. 39420 см 399 руб. 60 коп. 394 я 20 см 3) 23 сут. 18 час. X 36 138 108 69 54 828 648:24 -f- 27 27 (сут.) 855 0 855 сут. В первом и втором примерах сперва делается преобразование составного именованного числа в простое именованное число (раз¬ дробление), в конце записи делается преобразование простого именованного числа в составное (превращение). В третьем примере надо отметить пять моментов. 1) 18 час. X X 36 = 648 час.; 2) 23 сут. X 36 = 828 сут.; 3) 648 час. превращаем в сутки — получается 27 сут.; 4) 828 сут.-[-27 сут. = 855 сут.; 5) окончательная запись (ответ): 855 сут. Примеры, подобные третьему, надо делать тогда, когда прой¬ дено деление многозначного числа на двузначное, ибо в подоб¬ ных примерах иногда приходится делить многозначное число на Двузначное. Но если бы область чисел, с которыми пришлось бы иметь дело, не превышала 1000, как в приведенном третьем примере, все равно делать подобные примеры при прохождении раздела „Числа от 1 до 1000“ по своей трудности рано. Деление составных именованных чисел. а) Деление составного именованного числа на отвлеченное. 1) 399 руб. 60 коп.:24 2) 243 кг 750 г: 15 39960коп.:24 243750 г: 15 24 1665 коп. 93 16250 г 159 16 р. 65 к. 37_ 16 кг 250 г 144 75 156 Т) 144 120 120 0 144
В первых двух примерах делимое из составного именованного числа преобразовывается в простое именованное число, частное выражается сперва простым именованным числом, а затем состав¬ ным именованным числом. Третий пример решается так: 1) 244 сут.: 12 = 20 сут. и в остатке 4 сут.; 2) 4 сут. раздробляются в часы (24-4 = 96); 3) 96 час.-f— 12 час. = 108 час. 4) 108 час.: 12 =9 час. б) Деление составного именованного числа на именованное простое и составное. 1) 54 руб. 75 коп.: 15 коп. 3) 65 сут. 8 час.:4 сут. 16 час. 5475 коп.: 15 коп. ~97 365 75 0 2) 5 км 40 м:24 м 5040 лг:24 м 24 210 0 24-65 24-4 120 96 144 + 16 1560 112 -1-8 1568 1568 час.: :112 час. 112 14 448 448 0 В первых двух примерах делимое из составного именованного числа преобразовывается в простое и затем производится деле¬ ние простого именованного числа на простое. В третьем примере вычисление производится так: 1) делимое, 65 сут. 8 час., раздробляется в часы — получается 1568 час ; 2) де¬ литель, 4 сут. 16 час., раздробляется в часы — получается 112 час.; 3) 1568 час. делятся на 112 час. — получается 14. § 41. ЗАДАЧИ НА ЧИСЛА ЛЮБОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Задачи на третьем году обучения. Типы простых задач те же, что и в предыдущих концентрах. Из простых задач здесь вновь вводятся такие задачи, в которых есть выражения „увеличить (уменьшить) на столько-то“, „увели¬ чить (уменьшить) во столько-то раз“. В задачах с такими выра¬ жениями дети часто затрудняются в выборе действий. Вот об¬ разцы таких задач. 1. В прошлом году в одном из колхозов урожай картофеля был в среднем 9300 кг с гектара. Сколько уродилось картофеля в нынешнем году, если урожай увеличился на 700 кг с гектара? 10 д. л. Волковский 145
2. Два года назад в одном из городов умерло 200 человек, а в прошлом году число умерших уменьшилось на 50 человек. Сколько умерло людей в прошлом году? 3. В прошлом году в одной из школ было 60 ударников, а в нынешнем году число ударников увеличилось в 3 раза. Сколько стало ударников в нынешнем году? 4. Один завод в прошлом году приготовил 300 плугов. Сколько плугов он приготовил в нынешнем году, если приготовление плу¬ гов уменьшилось в 2 раза? Сложные задачи даются не только в 2 и 3 действия, но и в 4 и 5, причем даются задачи незамысловатые. Типовые задачи те же, что и в пределе 10Э0, но только несколько усложненные. Из новых типов задач можно вводить задачи на пропорциональ¬ ное деление, на среднее арифметическое, задачи, решаемые спо¬ собом отношений. Пропорциональное деление. Вот образец задачи на это деле¬ ние: „Брат с сестрой купили 10 карандашей: брат дал на покупку 60 коп., сестра — 40 коп. Сколько карандашей купил каждый?" Как решать подобные задачи, см. стр. 191. Среднее арифметическое. Рабочий работал в первый день 10 час., во второй — 9 час., в третий — 7 час. и в четвертый — 6 час. По скольку часов в день он работал в среднем?" Как решать эти задачи, см. стр. 193. Способ отношений. Из 3 кг муки получается 4 кг пече¬ ного хлеба. Сколько нужно муки, чтобы получить 10 кг печеного хлеба? Как решать подобные задачи, см. стр. 187. Деление числа на разностно неравные части. Здесь можно взять задачу того же типа, что и в пределе 1000, но посложнее. Вот образец такой задачи: „На 3 полках было 72 книги; когда с верхней полки переложили на среднюю 10 книг, а на нижнюю 8, то на всех полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке?" Решение: 1) 72:3 = 24; 2) 10 + 8=18; 3) 24+18 = 42; 4) 24-10=14; 5) 24 — 8=16. Деление числа на части, кратно неравные. Здесь можно взять задачу посложнее, чем в пределе 1000. Образец такой за¬ дачи и решение ее см. на стр. 190. Задачи на время. Здесь можно взять задачи, в которых про¬ должительность промежутка больше суток и меньше года. Образец такой задачи и образец решения ее см. на стр. 194. Для лучшего усвоения решения таких задач полезно прорабо¬ тать задачи следующего вида. 1. Сколько полных месяцев и дней прошло от начала года до 15 июня? 2. Сколько полных месяцев и дней прошло от начала апреля до 20 июля? 3. Сколько полных дней прошло от начала простого (високос¬ ного) года до 12 апреля? 146
4. Какой будет месяц и день, если от начала года прошло полных 3 месяца 10 дней? 5. Какой пойдет месяц и день,если от начала простого (висо¬ косного) года прошло полных 62 дня? 6. Какой пойдет месяц и день, если от 2 февраля прошло 2 месяца 8 дней. 7. Какой пойдет день и месяц, если от 6 марта прошло 38 дней? Задачи на движение. 1. Два поезда вышли в одно время друг другу навстречу: один из Москвы в Ленинград, а другой из Ленинграда в Москву; первый проходит 35 км в час, вто¬ рой— 30 км- Поезда встретились через 10 часов. Сколько кило¬ метров от Москвы до Ленинграда? 2. Два поезда вышли друг другу навстречу из двух городов, расстояние между которыми 870 км, а встретились через 15 ча¬ сов; один поезд проходит 30 км в час. Сколько проходит в час другой поезд? В 3-м классе решаются еще два новых вида задач: на нахож¬ дение нескольких частей числа и на вычисление площадей. О пер¬ вом типе задач будет речь в разделе о дробях, а о втором типе — в разделе о геометрии. Задачи на четвертом году обучения. В этот год решаются те же типы задач, что и на третьем году, но только несколько усложненные. Из новых типов задач решаются следующие. 1. Простые (в одно действие) задачи на обратно пропор¬ циональную зависимость. Вот образец таких задач: „Двое ра¬ бочих кончают работу в 8 дней. Во сколько дней кончит ту же работу один рабочий?" Терминов „прямая пропорциональная зависимость" и „обратно пропорциональная зависимость", равно как определений этих терминов, не надо употреблять; достаточно, если дети сообра¬ зят: чем меньше рабочих, тем они дольше проработают извест¬ ную работу; чем больше рабочих, тем они скорее кончат одну и ту же работу. Эти задачи, несмотря на то, что они решаются только одним действием, обычно затрудняют детей. Затем можно усложнять эти задачи, предлагая их сначала в таком виде: „Четыре работника окончили работу в 3 дня; а) во сколько дней окончил бы такую же работу 1 работник? б) во сколько дней окончили бы такую работу 2 работника?" Затем вопрос под буквой а) можно опускать и предлагать прямо вопрос под буквой б). Вот еще образец таких задач: „Запаса керосина хватило бы на 7 дней, если бы лампы горели по 6 часов каждый день. На сколько дней хватит этого запаса, если лампы будут гореть только 3 часа в день?" Запись содержания и решения этих задач такая же, как и за¬ дач на простое тройное правило с прямо пропорциональной зависимостью. 10* 147
2. Задачи, решаемые способом приведения к общей мере (к общему делителю). Как решать такие задачи, см. стр. 186. 3. Задачи, решаемые способом замены (см. стр. 188). 4. Задачи на деление чисел пропорционально нескольким отношениям (см. стр. 192). 5. Задачи на нахождение двух чисел по их кратному отно¬ шению и по их разности (см. стр. 192). В 4-м классе решаются еще два новых вида задач: задачи на проценты и задачи на вычисление объемов. О задачах на про¬ центы будет речь в разделе о дробях, а о задачах на вычисление объемов в разделе о геометрии. Задачи на движение. 1. С пристани вышел пароход и идет по 16 км в час; через 2 часа за ним вышел другой пароход. По скольку километров в час должен делать второй пароход, чтобы догнать первый через 8 часов? 2. Со станции вышел поезд и идет со скоростью 32 км в час; через несколько времени вышел другой поезд и, идя со скоростью 40 км в час, догнал первый через 8 часов. Спустя сколько вре¬ мени после первого поезда вышел второй? 3. Из Москвы в Брянск вышли в одно время 2 поезда: один идет в час, 45 км, другой —40; первый пришел в Брянск часом раньше. Сколько километров от Москвы до Брянска? 4. Поезд вышел из Ленинграда в Москву; расстояние между этими городами 650 км; первые 10 часов поезд шел по 45 км в час, а потом стал идти по 50 км в час. Через сколько часов поезд пришел в Москву? 5. Поезду надо пройти 960 км; первые 15 часов он шел по 40 км в час, а потом, чтобы пройти остальной путь в 8 часов, он пошел быстрее. На сколько был увеличен ход поезда в час? 6. Пароход по течению реки проходит расстояние между двумя городами в 5 часов; а обратный путь проходит в 7 часов, делая в час на 4 км меньше, чем по течению реки. Найти расстояние между городами. (Пра вдин и Мюльман, Арифметический задачник.) Решение: а) 4 кмX5 = 20 км; б) 7 час. — 5 час. = 2 часа; в) 20 км\2 = 10 км; г) 10 км X 7 = 70 км. Задачи на время. Здесь решаются такие задачи, в которых промежуток времени между двумя событиями больше года. Как решать такие задачи, см. стр. 194. VII. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Различаются два вида вычислений — общие или основные и частные или особые. Общими приемами вычислений называются такие вычи¬ сления, которые основаны на разложении числа на десятичные группы. Так, например, чтобы сложить 48 и 26, надо 48 и 26 разло¬ жить на десятичные группы (разряды) (48 = 40-[-8; 26 = 20 + 6), затем надо сложить отдельно десятки и единицы (40 4-20 = 60, 84-6 = 14) и, наконец, сложить полученные числа (604-14=74). 148
Чтобы вычесть 26 из 43, надо вычитаемое 26 разложить на десятки и единицы (26 = 20-)-6) и из 43 вычесть сначала 20, а затем 6 (43 — 20 = 23; 23 — 6 = 17). Чтобы умножить 24 на 4, надо: 1) 24 = 20-)-4; 2) 20X4 = 80; 3) 4X4=16; 4) 80+16 = 96. Чтобы умножить 24X^2, надо: 1) 12 = 10 + 2; 2) 24X10 = 240; 3) 24X2 = 48; 4) 240 + 48 = 288. Чтобы разделить 48 на 2, надо: 1) 48 = 40 + 8; 2) 40:2 = 20; 3) 8:2 = 4; 4) 20 + 4 = 24. Что касается частных приемов вычислений, то они весьма многочисленны и разнообразны. И в задачи начальной школы не входит знакомство со всеми ими да и не должно входить, ибо чрезмерное разнообразие приемов вычисления только затрудняет детей и не дает им возможности сосредоточить свое внимание на некоторых наиболее упрощенных и распространенных приемах. С частными приемами вычислений надо знакомить детей тогда, когда дети хорошо усвоят основные приемы вычислений. § 42. ОСОБЫЕ (ЧАСТНЫЕ) ПРИЕМЫ СЛОЖЕНИЯ. Округление одного из слагаемых. Если какое-либо число близко к разрядному числу, т. е. к круглым десяткам (10, 20... 90), к круглым сотням (100, 200 ... 900), к круглым тысячам и т. д., то такое число назы¬ вается закруглимым. Например, числа 19, 21 (почти 20), 298 (почти 300), 4997 (почти 5000) и т. п. — закруглимые числа. Для упрощения вычислений с закруглимыми числами их за¬ кругляют, т. е. вместо них берут круглые числа. Так, чтобы сложить 992 и 240, можно 992 закруглить, т. е. вместо 992 взять круглое число 1000, прибавить к нему 240 — бу¬ дет 1240, от этого числа отнять 8 лишних единиц — получится 1232. Пусть дано 238+593. Надо (238 + 600) — 7 = 838 — 7 = 831. Как объяснять детям сложение закруглимых чисел, см. стр. 60. С этим приемом надо знакомить детей, начиная со сложения з пределе 100. Перестановка слагаемых. Если дано более двух слагаемых и от сложения некоторых двух слагаемых, не рядом стоящих, получается круглое число, то такие слагаемые надо ставить рядом и сначала складывать их. Пусть дано 26 + 38 + 24. Можно сложить так: (26 + 24) + 38 = 50 + 38 =88. Возьмем такой пример: 298 + 73 + 2 + 27. Можно сложить так: (298 + 2) + (73 + 27) = 300 + 100 = 400. 149 .
Этот прием сложения можно проработать с детьми так. „Как можно скорее сложить следующие числа: 298 + 73 + + 2 + 27? Какие два числа вы сложите сначала?" (298 и 2.) „По¬ чему?" (Потому что легко сложить: получается круглое число 300.) „Дальше что сложите?" (73 и 27.) „Почему?" (Потому что опять получается круглое число 100.) „Дальше что сделаете?" (Получен¬ ные числа 300 и 100 сложим —будет 400.) С этим приемом можно познакомить детей при прохождении чисел в пределе 1000. § 43. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИТАНИИ. Из особых приемов вычитания надо ограничиться в начальной школе только приемом о кр уг л е н и я вычитаемого как бо¬ лее легким и распространенным приемом. С этим приемом можно знакомить детей при прохождении вычитания в пределе 100. Как объяснить детям этот прием, см. стр. 61. § 44. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ УМНОЖЕНИЯ. Умножение на 9. Сокращенный прием умножения на 9 состоит в том, что вместо того, чтобы умножить данное число на 9, умножают его на 10 и из полученного произведения вычитают данное число. Пусть дано 16X9. Надо: 1) 16X10=160; 2) 160 — 16=144. Детям прием умножения на 9 можно объяснить так. Пусть дано 3X9- „Как легко и скоро умножить 3 на 9?" (3 умножить на 10.) „Почему вы берете 3 сначала 10 раз?" (Так легче.) „Дальше что вы сделаете?" (От 30 отнять 3 — будет 27.) „Почему вы от 30 отнимаете 3?" (Потому что мы взяли 3 единицы лишних, или одну тройку лишнюю.) Этот прием для сознательного усвоения его детьми прорабаты¬ вается сперва на палочках так: „Положите на стол 10 кучек палочек по 3 палочки в каждой кучке. Сколько всего палочек на столе?" (30.) „Снимите одну кучку. Сколько палочек вы сняли?" (3 палочки.) „Сколько кучек осталось на столе?" (9 ку¬ чек.) „Сколько палочек в 9 кучках?" (27.) „Сколько же будет 3 взять 9 раз? Вместо того чтобы 3 взять 9 раз, можно 3 взять сколько раз? Почему вы 3 берете 10 раз? Почему вы от 30 отни¬ маете 3? Возьмите 9 раз 6, 8, 5". Когда дети усвоят прием умножения однозначных чисел на 9, тогда надо перейти к умножению двузначных чисел на 9, причем сначала надо предлагать легкие случаи (напри¬ мер 16X9; 37X9), т. е. такие, когда при вычитании из удесяте¬ ренного множимого сотни числа не изменяются (например 16X9 = = 160— 16=144; 37X9 = 370 — 37 = 333), затем берутся труд¬ ные случаи, когда при вычитании приходится делать заем сотен (42X9 = 420 — 42 = 378; 64x9 = 640-64 = 576). При решении подобных примеров (86X9 = 860 — 86) дети правилен© отнимают лишние десятки (860 — 60 = 800), но часто НЮ
ошибаются при вычитании из полных сотен (800 — 26). По¬ этому необходимо упражнять детей в решении подобных при¬ меров. Далее надо перейти к умножению трехзначных чисел на 9, причем можно ограничиться более легкими примерами (180x9 = 1800— 180; 560x9 = 5600 — 560), т. е. когда при вы¬ читании из удесятеренного множимого тысячи числа не изме¬ няются. С приемом умножения на 9 можно познакомить детей в пределе 100. Умножение на 99. Сокращенный прием умножения на 99 состоит в том, что данное число умножается вместо 99 на 100 и из полученного произведения вычитается данное число. Пусть дано 8X99. Надо: 1) 8X100 = 800; 2) 800 — 8= 792. Проработка приема умножения на 99 происходит по примеру проработки умножения на 9. Что касается наглядной проработки этого приема на палочках, то она является громоздкой, ибо, допустим, при умножении 3 на 99 придется взять сто кучек по 3 палочки в каждой кучке. Чтобы избежать этой громоздкости, можно воздействовать на воображение детей таким образом. Пусть дано 3X99. „Представьте себе, что вот здесь на столе 100 кучек палочек, по 3 палочки в каждой кучке. Сколько всего палочек на столе?" (100.) „Снимите одну кучку. Сколько па¬ лочек вы сняли?" (3 палочки.) „Сколько кучек осталось на столе?" (99.) „Сколько палочек в 99 кучках?" (297.) „Сколько же будет — 3 умножить на 99? Вместо того, чтобы 3 умножить на 99, можно 3 умножить на сколько? Почему вы 3 умножаете на 100?" (Так легче.) „Почему вы от числа 300 отнимаете 3?" (Потому что мы взяли 3 лишних единицы.) Упражнения надо располагать в гакой нарастающей трудности. 1) Умножение однозначных чисел на 99 (4X99; 6X99; 8 Х99 и т. д.). 2) Умножение двузначных чисел на 99 (14X99 = 1400 — 14; 35 X 99 = 3500 — 35 и т. п.). 3) Умножение трехзначных чисел с нулем на конце на 99 (120X99 = 12 000 — 120; 460X99 = 4600-464 и т. п.). Умножение путем округления множимого или множителя. 1. Умножение путем округления множителя. Пусть дано 70X59. Округляем множитель 59: вместо 59 берем 60. Надо: 1) 70X60 = 4200; 2) 4200-70 = 4130. Детям этот прием можно объяснить, примерно, так: „Возьмем прежний пример 70X59. 59 это почти сколько?" (Почти 60.) „На что легче умножить — на 59 или на 60?" (На 60.) „Как умножите 70 на 60?" (70X6 = 420; 420X 10 = 4200 или же 70X10 = 700, 700X6 = 4200, или же 7X6 = 42, 42X 100 = 4200.) „Дальше что сделаете?" (От числа 4200 отнять 70 —будет 4130.) „Почему вы отнимете 70?" (Потому что мы взяли лишних 70 единиц.) 151
Вот еще пример: 23X90. Надо (23 X Ю0) — (23ХЮ) = = 2300 — 230 = 2070. 2. Умножение путем округления множимого. Пусть дано 79X30. Округляем множимое 79: вместо 79 берем 80. Надо: 1) 80X30 = 2400; 2) 2400 — 30 = 2370. Этот прием объяснить детям можно так: „Возьмем прежний пример: 79X30. 79 — это почти сколько?” (Почти 80.) „Что легче умножить — 79 или 80?“ (80.) „Как умножить 79 на 30?“ (80 X 30= 2400 - 30 = 2370). Вот еще пример: 90X34. Надо (100x34) — (10X34) = =3400 — 340 = 3060. После умножения закруглимого числа на круглое число надо упражнять детей в умножении закруглимого числа на любое двузначное число. Пусть надо 19X85. Надо: 1) 20X85=1700; 2)1700 —85 = 1615. Умножение на 5. Сокращенный прием умножения на 5 состоит в том, что дан¬ ное число сначала умножается на 10, а затем полученное делится на 2, или же данное число сначала делится на 2, затем получен¬ ное умножается на 10. Этот прием с детьми можно проработать, примерно, так. Пусть дано 6X5. „Вот у меня на столе 6 пучков палочек, по 10 палочек в каждом. Сколько всего палочек на столе? Я развя¬ зываю каждый пучок и раскладываю десяток на две равные кучки; поровну ли палочек в правой и в левой большой кучке? У меня было шесть раз по 10 палочек, т. е. сколько палочек? А теперь у меня как в правых, так и в левых кучках шесть раз по 5 палочек, т. е. половина того, сколько всего палочек на столе. Зная, что 6 взять 10 раз — будет 60, как узнать, сколько будет 6 взять 5 раз?“ (60 разделить пополам.)1) По примеру этого дети сами прорабатывают на палочках умножение 7 на 5. Когда дети на наглядном пособии усвоят прием умножения на 5, тогда можно проработать с ними умножение на 5 на отвле¬ ченных числах примерно так. Пусть дано 63 X 5. „Нам надо умножить 63 на 5, а мы умножим 63 на 10. Сколько будет?" (630.) „Почему мы умножили 63 на 10?" (Так легче.) „Нам надо было 63 взять только 5 раз, а мы взяли его 5 раз и еще 5 раз, всего 10 раз. Сколько же раз по 5 раз мы взяли число 63?" (2 раза.) „Во сколько же раз больше мы взяли 63?" (В 2 раза.) „Во сколько же раз надо уменьшить число 630, чтобы узнать, Сколько будет, если 63 умножить на 5?" (В 2 раза.) „Сколько получится?" (315.) „Умножьте 26 на 5, 42 на 5 и 84 на 5. Как же умножить лю¬ бое число на 5?“ (Сперва умножить на 10, затем полученное число разделить на 2.) г) А. И. Г о л ь д е н б е р г, Беседы по счислению, под ред. Д. J1. Волков¬ ского, Госиздат, 1923, стр. 169. 152
В том случае, если множимое делится на 2 без остатка, можно указать другой прием умножения на 5: можно множимое сперва разделить на 2, затем полученное умножить на 10. Детям объяснить это можно так: „Как вы умножите 48 на 5?“ (48 умножим на 10 — будет 480, 480 разделим на 2 — будет 240.) „Сделайте это в таком порядке: сперва 48 разделите на 2, затем полученное умножьте на 10. Столько ли получилось, сколько и раньше?" (Столько же.) Как же можно по-другому умножить 48 на 5?" (48 разделить на 2 —будет 24, а 24 умножить на 10 — будет 240.) С этим приемом умножения на 5 можно познакомить детей в пределе 1000. Умножение на 50. Сокращенный прием умножения на 50 состоит в том, что дан¬ ное число умножается сперва на 100, затем полученное делится на 2, или же данное число (если можно) сначала делится на 2, затем полученное умножается на 100. Пусть дано 24x50. Можно (24 X 100):2 = 2400:2= 1200 или же (24:2)X Ю0= 12 X 100=1200. Умножение на 50 прорабатывается с детьми по образцу умно¬ жения на 5. Умножение на 25. Сокращенный прием умножения на 25 состоит в том, что дан¬ ное число сначала умножается на 100, затем полученное число делится на 4, или же данное число сначала (если можно) делится на 4, затем полученное умножается на 100. Пусть дано 23x25. Надо (23 X Ю0):4 = 2300:4 = 575. Пусть дано 36X25. Можно (36:4) X 100 = 9 X 100 = 900. Прием умножения на 25 прорабатывается с детьми по образцу умножения на 5. Умножение на 125. Сокращенный прием умножения на 125 состоит в том, что дан¬ ное число сперва умножается на 1000, затем полученное делится на 8, или же данное число сначала делится (если можно) на 8, затем полученное число умножается на 1000. Пусть дано 18X125. Надо (18 X 1000): 8 = 18000:8 = 2250. Пусть дано 32 X 125. Можно (32:8)Х 1000 = 4000. Пусть дано 27X 125. Надо (24 XI25)+ (3 X 125) = 3000+ 375 = 3375. Прием умножения на 125 прорабатывается с детьми по образцу умножения на 5. Последовательное умножение. Этот прием состоит в том, что множитель раскладывается на сомножители и данное множимое умножается последовательно на этих сомножителей. Пусть дано 35 X 8. Можно 35X2X2X2 = 280, или же 35X2X 4 = 280. Пусть дано 16 X 18. Можно 16X2X9, или же 16 X 9 Х2> или же 16X6X3.
Умножение путем перестановки сомножителей. Пусть дано 4X38X25. Можно выполнить это умножение в таком порядке: 1) 4X25 = 100; 2) 100X38 = 3800. Проработать этот прил:ер с детьми можно так: „Как вы пе¬ ремножите эти числа? Будете ли вы перемножать их в том по¬ рядке, как они написаны, т. е. сначала умножите 4 на 38, затем полученное умножите на 25 или же будете перемножать в другом порядке?" (Сначала умножим 4 на 25.) Почему так сделаете?" (Потому что так легче: получится 100.) „Дальше что сделаете?" (100 умножим на 38 или 38 умножим на 100.) „Сколько будет?" (38 сотен или 3800.) Все эти особые случаи (приемы) умножения прорабатываются в 111 классе, за исключением последнего случая (умножения путем перестановки сомножителей), который прорабатывается в IV классе. § 45. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ДЕЛЕНИЯ. Деление на 5. Прием деления на 5 состоит в том,что сначала данное число делится на 10, затем полученное число (частное) умножается на 2. Пусть дано 175:5. Надо (170 —5): 5 = (170:5) —(5:5) = 34-[-1=35. Как объяснить детям этот прием, см. стр. 66. Деление на 50. Прием деления на 50 состоит в том, что сначала данное число делится на 100, затем полученное число умножается на 2. Пусть дано 1200:50. Надо: (1200:100) X 2 — 12 X 2 = 24. Объ¬ яснение этого приема детям производится по образцу деления на 5. Деление на 25. Прием деления на 25 состоит в том, что сначала делимое делится на 100, затем полученное число умножается на 4. Пусть дано 600:25. Надо (600:100) X 4 = 6 X 4 = 24. Пусть дано 625:25. Надо (600 4- 25): 25 =(600:25) + (25:25) = = 24 + 1 = 25. Пусть дано 2475:25. Надо (2400 + 75):25 = 24-4 + 3 = 99. Объяснение этого приема детям ведется по образцу деле¬ ния на 5. Деление на 125. Прием деления на 125 состоит в том, что сначала делимое делится на 1000, затем полученное частное умножается на 8. Пусть дано 3000:125. Надо (3000:1000) X 8 = 3 X 8 = 24. Пусть дано 2250:125. Надо (2000 + 250): 125 = (2000:125) + + (250:125)= 16 + 2 = 18. Объяснение этого приема детям ведется по образцу деле¬ ния на 5. 154
Деление путем разложения делимого на слагаемые, кратные делителя. Пусть дано 301:7. На-о: 1) 301 = 280 + 21; 2) 280:7 = 40; 3) 21:7 = 3; 4) 40 + 3 = 43. Детям объясняется это так: „Какое число^ близкое к числу 301, можно сразу разделить на 7?“ (280; 28 десятков разделить на 7 — будет 4 десятка, или 40.) „Значит, на какие 2 числа можно разложить число 301?“ (На 280 и 21.) „Как же вы разделите 301 на 7?“ (280 разделить на 7—будет 40; 21 разделить на 7 — будет 3; к числу 40 прибавить 3—будет 43.) Посте такого приема деления на однозначное число переходят к делению на двузначное число. Пусть дано 144:12. Число 144 разлагается на 2 числа (слагаемых) — 120 и 24'; каждое слагаемое делится на 12, и полученные числа (частные) складываются. 144:12 = (120 +24): 12 = (120:12)+ (24:12)= 10 + 2= 12. Деление путем разложения делителя на множители. Это так называемое последовательное деление производится тогда, когда делитель — однозначное число (стр. 73) и двузначное число (стр. 105). Все эти случаи деления прорабатываются в III классе, за исключением деления на 5, которое прорабатывается во II классе. VIII. ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ И СКОБКИ. В математике различаются простые и сложные число¬ вые выражения. Простым числовым выражением называется такое выраже¬ ние, в состав которого входит только одно простое действие: или только сложение один раз, или только вычитание один раз, или только умножение один раз, или только деление один раз. Вот 4 примера простых числовых выражений: 1) 4 + 2; 2) 7 — 3; 3) 2X5; 4) 6:3.' Сложным числовым выражением называется такое выраже¬ ние, в состав которого входит не менее двух действий. Вот три примера сложных числовых выражений: 1) 6 + 3—4; 2) 4X3:2; 3) 6X2:3 + 5 —7. Как простые, так и сложные числовые выражения обознача¬ ются при помощи знаков арифметических действий. Кроме указанных знаков в сложных числовых выражениях употребляются еще другие знаки, которые называются скоб¬ ками. В простых числовых выражениях скобки не употребляются, а в рлржных числовых выражениях скобки иногда употребляются. 155
Б обозначениях Сумм и разностей1) можно опускать те скобки, перед которыми нет знака действий или стоит знак плюс, а те, перед которыми стоит знак минус, должно удер¬ живать. В выражениях: ,0 , 0 (° -г 2) — d (9 — 3) + 2 2 + (3-1) можно опустить скобки, ибэ результат получится один и тот же: 1) (8 + 2) — 3 = 7 2) (9 — 3) -J— 2 = 8 3) 2 + (3 - 1) = 4 8-f2 -3 = 7 9 — 3 +2 = 8 2+ 3—1 =4 В выражениях: 9 —(5 —2) 9 — (5 + 2) скобок опустить нельзя, ибо без скобок в тех же числовых вы¬ ражениях результат получится другой: 9 — (5 — 2) = 6 9 —5—2 = 2 9 — (5 + 2)=2 9 — 5 + 2 = 6 В обозначениях произведений и частных можно опу¬ стить те скобки, перед которыми нет знака действий или стоит знак умножения, а те, перед которыми стоит знак деле¬ ния, должно удерживать. Б выражениях (8 X4)• 2 (8:4) X 2 4Х(6:2) можно опустить скобки, ибо результат получится один и тот же: (8 X 4): 2 = 16 8X4:2 = 16 (8:4) X 2 = 4 8:4X2 =4 4 X (6:2)= 12 4X6:2 = 12 В выражениях: 48: (6 X 2) 48: (6:2) скобок опустить нельзя, ибо без скобок в тех же числовых вы¬ ражениях результат получится другой: 48: (6 X 2) = 4 48: (6:2) = 16 48:6X2=16 48:6:2 = 4 В сложных числовых выражениях, обозначающих ряд сложе¬ ний и вычитаний или содержащих только знаки умножения и де¬ ления и написанных без скобок, действия производятся в том естественном порядке, который указывается последовательностью знаков от левой стороны к правой. Так, чтобы вычислить выражение 8 — 2+3 —4 + 5, надо, во- первых, из 8 вычесть 2, во-вторых, к полученному числу при¬ J) В математике результаты арифметических действий обозначаются иногда только знаками, а вычисление не производится. В таком случае цифровая запись 4 + 2 будет сумма, 6 — 4 будет разность, 3X4—произведение, 6:3 — частное. 156
бавить 3, в-третьих, из полученного числа вычесть 4, в-четвер¬ тых, к полученному числу прибавить 5. Или, чтобы вычислить выражение 8 X 3:2x3, надо сперва 8 умножить на 3, затем полученное число разделить на 2, нако¬ нец, вновь полученное умножить на 3. В выражениях, состоящих из четырех различных действий и не заключенных в скобки, производят действие сперва над чис¬ лами, стоящими рядом и соединенными знаками умножения и деления. Так, чтобы вычислить выражение 2+3X4— 6:2, надо, во- первых, 3X4, во-вторых, полученное число прибавить к 2, т. е. 2 + (ЗХ4), т. е. к 2 прибавить 12 = 14, в-третьих, 6:2 = 3, в чет¬ вертых, из полученного числа 14 вычесть 3 — получится 11. Если же сложные арифметические выражения заключены в скобки, то сначала выполняются действия над числами, заклю¬ ченными в скобки, а затем над полученными числами (резуль¬ татами). Так, чтобы вычислить выражение (4 + 2) X (5 — 3): (2 X 3), надо, во-первых, 4+2 = 6, во-вторых, 5—3 = 2, в-третьих, 2 X 3 = 6, в-четвертых, первое полученное число (6) умножить на второе полученное число (2), в-пятых, вновь полученное число (12) раз¬ делить на третье полученное число (6) — получится 2. Это сложное числовое выражение можно выполнить в не¬ сколько ином порядке: 1) 4 + 2 = 6; 2) 5 — 3 = 2; 3) 6 X 2 = 12; 4) 2 X 3 = 6; 5) 12:6 = 2. Числовые выражения со скобками можно читать так. Возьмем прежний пример: (4 + 2) X (5 3): (2 X 3) Надо, во-первых, к 4 прибавить 2, во-вторых от 5 отнять 3, в-третьих, 2 взять 3 раза, в-четвертых, первое полученное число умножить на второе полученное число, в-пятых, вновь полученное число разделить на третье полученное число. Запись числовых выражений со скобками может произво¬ диться так. Возьмем прежний пример: (4 + 2) X (5 — 3): (2 X 3). I. 1) 4 + 2 = 6 II. 4) 6X2=12 2) 5 — 3 = 2 5) 12 : 6= 2 3) 2X3 = 6 Здесь вычисление расположено в два столбца: в первом столб¬ це расположено вычисление трех действий, заключенных в скобках, во втором столбце расположено вычисление двух действий, за¬ ключенных между скобками. Такую запись можно рекомендовать слабому классу. Среднему по развитию классу можно рекомендовать распо¬ ложение числового выражения с промежуточными записями, т. е. такое: (4 + 2) X (5 — 3):(2ХЗ) = 6Х2:6 = 2. 157
Запись после знака равенства: 6X2:6, есть промежуточная запись. С хорошим по развитию классом подобные числовые выра¬ жения могут быть вычислены у с тн о от начала и до конца, подвер¬ гаясь записи только в окончательном результате, т. е. так: (4 + 2) X (5 — 3):(2 X 3) = 2. Не следует добытое в скобках писать наверху данных чисел, как это рекомендуют некоторые методисты, а именно так: 6 2 6 ■ (4X2) (5 — 3) ■ (2X 3)’ В таком расположении нет четкости записи. Со скобками надо знакомить детей не раньше второго года обучения: для первого года они по своей трудности преждевременны. Что касается числовых выражений, состоящих из четырех раз¬ личных действий и не заключенных в скобки (см. пример выше: 2 + 3X4 —6:2), то с такими выражениями ввиду трудности их надо знакомить детей не ранее третьего года обучения. Знакомство со скобками надо начинать с таких числовых вы¬ ражений, в которых опускание скобок изменяет результаты вычисленного выражения. Вот образцы таких приведенных выше выражений: 1) 9 —(5 —2) 2) 9 — (5 + 2) 3) 48:(6Х2) 4) 48:(6:2) 9-5-2 9 — 5 + 2 48:6X2 48:6:2 Через такое сопоставление числовых выражений лучше выяс¬ няются смысл и необходимость употребления скобок. Употребленные скобки называются простыми, или круглы¬ ми скобками. Кроме этих скобок употребляются двойные, или квадрат¬ ные скобки: [4 + 2 • (5 — 2)] ■ 3, а также фигурные, или волнистые: {5 + 2 ■ [(6 — 4) • 3]} • 2. В начальной школе достаточно ограничиться одними про¬ стыми скобками. Другие два вида скобок, и особенно фигурные, по своей труд¬ ности преждевременны для начальной школы. IX. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ПРОВЕРКА ИХ. Самостоятельные работы детей имеют большое воспитательное и образовательное значение: они приучают детей к самодеятель¬ ности, помогают лучше усвоить и закрепить те знания и умения, которые получили дети во время занятий с учителем. Для самостоятельных работ надо давать только то, что про¬ работано детьми под руководством учителя на предыдущем или 158
на предыдущих уроках: численные примеры, а также посильные детям задачи с текстом. Такого рода самостоятельные работы могут производиться в классе и на дому. Самостоятельные работы в классе учащихся I и И классов должны занимать i.e более 20 минут, а в 111 и IV классах не больше 30 минут, иначе дети утомляются и делают много ошибок. Содержание и характер домашних самостоятельных работ дол¬ жны быть те же, что и классных самостоятельных работ. В I классе самостоятельные работы на дом надо давать не ранее второй половины учебного года, ибо дети этого возраста в первой половине нуждаются в постоянном руководстве со сто¬ роны учителя. На домашние работы надо отводить времени не больше как по 20 минут для I и для II классов и не больше как по 30 ми¬ нут для III и для IV классов. Материал для домашней работы лучше всего давать по учеб¬ нику и только в крайнем случае, за неимением подходящего ма¬ териала в учебнике, диктовать его. Чтобы облегчить домашнюю письменную работу, не следует всегда требовать, чтобы дети списывали в тетради численные при¬ меры и задачи с текстом; легкие численные примеры можно вы¬ полнять устно и писать только одни ответы, а в задачах делать только одно решение. Такого рода работы следует чередовать с подробными запи¬ сями решения задач, когда учащиеся пишут кратко письменные объяснения того, что узнали каждым действием; в сложных же примерах, выполняемых письменно, делают вычисления, нумеруя каждое действие. Самостоятельные работы, как классные, так и домашние, надо давать только тогда, когда дети усвоили под руководством учителя то или иное знание и умение. Так как дома ребенок остается без наблюдения и руководства учителя, то для домашних работ надо давать детям более зна¬ комый и легкий материал, чем для классной самостоятельной работы. Самостоятельные работы должны обязательно проверяться учителем, ибо в случае отсутствия проверки дети будут отно¬ ситься к ним небрежно, а учитель будет лишен одного из хороших средств контролировать успеваемость детей. Проверка самостоятельных работ может быть индиви¬ дуальная и общая (коллективная). Индивидуальная проверка заключается в том, что учитель, просматривая работу каждого ученика, подчеркивает ошибки под строками, или же делает замечания на полях, не подчеркивая, а ученики исправляют их или сами или с помощью учителя. Исправление ошибок делается так: если ошибка сделана в чи¬ сленном примере, выполняемом полуписьменно, то неверно напи¬ санное число аккуратно перечеркивается, а наверху пишется правильное число при условии записи примеров с'пропуском строчки, чтобы оставалось место для написания верно сделан¬ ного примера. 159
Если сделана ошибка в вычислении, выполняемом строго пись¬ менно, то перечеркивается все вычисление и делается правильно на полях. Если сделана ошибка в каком-либо вопросе сложной задачи, то надо переписать только те действия, которые выпол¬ нены неправильно. Общая, или коллективная проверка состоит в следующем: дети по очереди читают ответы на численные примеры или ре¬ шение задачи; остальные следят по своим тетрадям, заявляя, так или не так у них сделано. В случае неверного ответа численный пример или задача проделываются на доске неверно сделав¬ шими их. Чтобы быть уверенным в точном и аккуратном исправлении ошибок, общую проверку учащему необходимо просматривать. Что касается времени проверки самостоятельных работ, то лучше всего производить ее в тот же день во вторую половину урока, под свежим впечатлением, по крайней мере общую про¬ верку, а индивидуальную проверку, если нельзя сделать в тот же день, то произвести непременно на следующий день, не от¬ кладывая на более долгий срок, ибо иначе у детей может про¬ пасть интерес к работе, а следовательно, упадет и продуктив¬ ность работы. § 46. ЗАНЯТИЕ УЧИТЕЛЯ ОДНОВРЕМЕННО С ДВУМЯ И ТРЕМЯ КЛАССАМИ. Если самостоятельные работы имеют такое большое значение для всех начальных школ, то тем более они необходимы для тех школ, где учитель одновременно занимается с двумя и тремя классами. Такое занятие представляет некоторую особенность сравнительно с тем, когда учитель занимается только с одним классом. Эти особенности касаются прежде всего организации занятий. Организация занятий. Занятия одного учителя одновременно с двумя классами мож¬ но производить двояко: 1) занятия распределяются равномерно между двумя классами: каждый класс занимается 1/2 урока с учителем и 1/а урока са¬ мостоятельно; 2) весь урок учитель занимается с одним классом, а другой класс целый урок работает самостоятельно. С тремя классами можно организовать занятия трояко: 1) за¬ нятия распределяются равномерно между тремя классами: каждый класс занимается + урока с учителем и 2/3 урока самостоятельно; 2) учитель занимается поровну с двумя какими-либо классами, а третий класс весь урок работает самостоятельно; 3) весь урок учитель занимается с одним каким-либо классом, а другим двум классам дается самостоятельная работа. Говоря вообще, из этих способов лучший тот, когда учитель распределяет время равномерно между классами. Однако иногда желательны и нужны и другие способы распределения занятий, 160
что, с одной стороны, зависит от того, с каким классом зани¬ мается учитель, а с другой стороны, от характера прорабатывае¬ мого материала. Если учитель занимается с двумя классами и один из них первый, то лучше всего равномерно распределять занятия между двумя классами, ибо первоначальные занятия дол¬ жны производиться под руководством учителя, который сначала должен научить ребенка учиться, а затем уже поручить это дело ему самому. Если же учитель занимается с двумя какими-либо классами кро¬ ме первого, то можно иногда весь урок заниматься и с одним классом, а другому классу давать самостоятельную работу. Если же учитель занимается с тремя классами, из коих один первый, то лучше с I классом заниматься 2/3 урока, а 1/а он занимает¬ ся самостоятельно, а остальные классы г/а урока работают с учителем, а 2/3 самостоятельно. Какой материал давать для самостоятельной работы. Можно давать детям: 1) численные примеры, 2) задачи, 3) черчение диаграмм, черчение геометрических фигур, вырезы¬ вание их из бумаги, склеивание моделей геометрических тел и т. п. В I классе лучше давать чаще численные примеры как более легкий и доступный материал, а также зарисовывание за¬ дач как более интересное занятие для малышей. В других классах можно и желательно разнообразить материал, а особенно, если он дается на весь урок. Так как в одном и том же классе дети бывают разные и по развитию и по знаниям, то ясно, что сильные дети кончают данную им работу скорее, чем слабые. Чтобы остав¬ шееся у сильных детей время не пропадало даром и они не ме¬ шали работать другим, надо давать им дополнйтельную само¬ стоятельную работу. Кроме того можно еще одновременно заниматься с двумя и тремя классами устным вычислением. Это делается так. Учитель говорит или пишет на доске какие-либо подходящие для проходимого материала два или три числа и одному классу предлагает произвести над ними одно действие, другому классу — другое, третьему — третье. Поясним это на примерах. Допустим, учитель занимается с I и II классами. Называя или записывая на доске два числа, на¬ пример 4 и 6, учитель говорит I классу: „Сложите", а II: „Пере¬ множьте". Дав детям немного подумать, учитель спрашивает у каждого класса, скопько получилось. Занимаясь со II и III клас¬ сами, учитель, называя числа, допустим 63 и 3, говорит II классу: „Разтелите", а III: „Перемножьте". При занятиях с I и III классами учитель называет числа, допустим 45 и 5, и говорит I классу: „Отнимите", а III: „Пере¬ множьте". Занимаясь со II и IV классами, учитель, давая числа, до¬ пустим 144 и 12, говорит II классу: „Сложите", а IV: „Раз¬ делите". 11 Д. J1. Волковский 161
Занимаясь с III и IV классами, учитель предлагает детям числа, допустим 140 и 4,.и говорит III классу „Перемножьте*, а IV: „Разделите*. Занимаясь с 1 и IV классами, учитель, предлагая детям числа, допустим 7 и 8, говорит I классу: „Сложите", а IV: „Произве¬ дение этих чисел разделите на 4“. Если учитель занимается стремя классами, он называет числа, допустим 32 и 8, и говорит I классу: „Сложите", II: „Разделите" и III классу: „Перемножьте". Так же поступают и в том случае, если даются 3 числа. До¬ пустим, даны числа 4, 5 и 6. Учитель говорит II классу: „Все три числа перемножьте", III: „Произведение трех этих чисел разделите на 3". На такое упражнение в течение урока надо по¬ тратить примерно 10 минут. Если учитель затрудняется сразу найти подходящее сочетание чисел для устного вычисления, то он может сделать это дома, записав примеры на бумаге и держа ее в классе перед собою. Приведем образец части таблицы, которую весьма полезно составить самому учителю для себя на каждый из концентров. № Данные числа I класс II класс III класс Сложите Перемножьте Произведение умножьте на 8 1 3 и 5 8 и т Сложите и к полу¬ ченному прибавь¬ те 8. 15 п. Перемножьте и от полученного отни¬ мите 25. 1201) Произведение трех данных чисел ум¬ ножьте на 2 н по¬ лученное раздели¬ те на 8. 2 3,4 и 5 20 и т Сложите первые два числа и от полу¬ ченного отнимите третье число. 35 . п. Первые два числа перемножьте н от полученного отни¬ мите 5. 15 Произведение трех данных чисел раз¬ делите на 4. 3 8,4 и 5 7 и т Сложите первые два числа и получен¬ ное разделите наЗ. 27 п. Перемножьте первые два числа и из по¬ лученного вычти¬ те третье число. 40 Перемножьте три данные числа и полученное разде лнте на 6. 4 4,8 иЗ 4 [ 29 и т. п. 16 1) Числа 8, 15, 120 н др. и соответствующих столбцах показывают ответы. 162
Одновременное занятие одного учителя с двумя и тремя клас¬ сами дает возможность ему лучше приспособляться к индиви¬ дуальным нуждам детей: отстающие дети могут заниматься с млад¬ шим классом до тех пор, пока не догонят свой класс. Во время самостоятельных работ дети закрепляют те зна¬ ния и умения, которые они приобрели во время занятий с учи¬ телем. Кроме того самостоятельные работы должны даваться и в ка¬ честве учетных работ, при этом учетные работы надо давать всем классам в одно время, чтобы учитель имел возможность следить за учетной работой всех классов. Самостоятельные работы детей имеют громадное значение в деле обучения арифметике. X. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. § 47. ЧТО ТАКОЕ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА. Арифметической задачей называется такой вопрос, в котором с помощью арифметических действий, зная зависимость между данными и искомым задачи, требуется найти одно ичи несколько неизвестных чисел. В задаче различаются данные числа и искомое. Данными называются известные числа задачи. Искомым называется не¬ известное число, которое ищется. Решить задачу—значит установить зависимость между данными и искомым, произвести одно или несколько действий над данными числами для отыскания неизвестного или неизвест¬ ных чисел. Каждая арифметическая задача состоит из трех частей: число¬ вых данных, условий и вопроса. Условием задачи называется указание характера данных, их взаимной связи и связи между данными и искомым. Например, в задаче: „Мальчик купил 4 пера по 2 коп. каж¬ дое. Сколько заплатил он за все перья?" числовые данные — 4 пера и 2 коп., условие: „Ученик купил 4 пера по 2 коп. каж¬ дое", вопрос: „Сколько заплатил он за все перья?" Числовые данные и условия задачи вместе называют дан¬ ными задачи. Надо отличать задачу от численного примера. Численным примером называется такое арифметическое выра¬ жение, в котором арифметические действия и их порядок указа¬ ны знаками. § 48. ЗНАЧЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. В начальном курсе арифметики задачи имеют весьма важное значение. 1. Они убеждают детей в необходимости изучения арифмети¬ ческих действий и преобразований. 11* 163
2. Они способствуют выяснению понятия об арифметических действиях и приемах их выполнения. 3. На задачах дети знакомятся с различными случаями упо¬ требления действий. Эго делается на так называемых простых задачах. 4. Так называемые сложные задачи имеют практическое зна¬ чение, ибо ботьшинство жизненных вопросов, требующих вы¬ числений для своего решения, представляет собою сложные задачи. 5. Задачи способствуют выяснению арифметических понятий, а также приемов вычисления. 6. Задачи имеют большое образовательное значение: разби¬ раясь в условьях задачи, находя зависимость между данными и искомыми, дети тем самым развивают в себе привычку к логи¬ ческому мышлению. 7. Задачи служат хорошим материалом для самостоятельной работы детей, а это способствует развитию в детях самодеятель¬ ности и интереса к арифметике. Ввиду такого большого значения задач они должны занять одно из самых главных мест в курсе арифметики; они должны сопровождать всю работу по арифметике; они должны быть использованы для введения в то или иное математическое поня¬ тие, для упражнения в навыках и, что особенно важно, для при¬ менения теоретических знаний на практике. § 49. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧ. Материал для составления задач надо брать из жизни, близкой и понятной для ребенка; материал задач должен быть интересным для детей данного возраста. Но это вовсе не значит, что со¬ держание задач надо брать только из детской жизни: детей интересуют не только игры и забавы, но и все окружающее их — летящий аэроплан, пашущий трактор и т. п.; их интересует то, что делает мать на фабрике, их семья на сельскохозяйственных работах в колхозе и т. п. Надо вводить в задачи материал со¬ циалистического строительства, выбирая из него все доступное и интересное ребенку. § 50. СВОЙСТВА ЗАДАЧ. Чтобы решение задач достигало своей пели, задачи должны об¬ ладать следующими свойствами: 1) язык задач должен быть простой, точный и ясный;. 2) содержание задач должно быть кратко и доступно детям; 3) не должно быть задач искусственного и схоластического характера; 4) должна быть соблюдена мера в задачах легких и трудных; 5) задачи должны предлагаться в определенной системе; 6) должна быть соблюдена постепенность перехода от про¬ стого к сложному, от легкого к трудному. 164
§ 51. ПОНЯТИЕ О ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ЗАДАЧАХ. По числу действий задачи делятся на простые и сложные. Простой задачей называется такая задача, которая решается одним действием. Сложной задачей называйся такая за¬ дача, которая решается не менее, чем двумя различными дей¬ ствиями или повторением одного и того же действия. Так как в простой задаче только два данных и по ним тре¬ буется найти одно неизвестное, то для решения простых задач нельзя указать никаких особых правил и приемов, а необхо¬ димо только понимание смысла арифметических действий и раз¬ личных случаев применения их (что и дано в типах простых задач). Что касается сложных задач, то здесь несколько данных и не¬ сколько искомых. Одно из искомых — вопрос задачи —есть глав¬ ное искомое, а остальные — вспомогательные искомые. Надо их выбрать. В этом выборе других искомых и заключается одна из труд¬ ностей решения сложных задач. Другая трудность заключается в выборе необходимых данных для каждого вспомогательного вопроса: надо из нескольких данных выбрать такие два дан¬ ные, которые находились бы в известной зависимости между собой и искомым. Таким образом, решение всякой сложной задачи сводится к разложению ее на ряд простых задач. § 52. ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ. Типы (виды) простых задач. I. На сложение. 1-й тип можно охарактеризовать так: тре¬ буется найти число, равное всем данным числам, взятым вместе. „Брат купил 4 тетради да сестра 3 тетради. Сколько тетрадей купили брат и сестра вместе?” 2-й тип. Требуется найти число, которое больше одного дан¬ ного числа на другое данное число. „На одной полке 5 книг, а на другой —на 4 книги больше. Сколько книг на другой полке?” 3-й тип. Вопрос, решаемый сложением, выражается косвен¬ но, т. е. в условии задачи дано вычитание, а по смыслу задачи надо решать ее сложением. „Со стола взяли 2 кубика, осталось 4 кубика. Сколько кубиков было на столе?” Числовая формула для этой задачи такая: ? —2 = 4, т. е. из какого числа надо вычесть 2, чтобы осталось 4. II. На вычитание. 1-й тип. По целому и одной из частей находится другая часть. „За тетрадь и перо заплатили 10 коп. Перо стоит 2 коп. Сколько стоит тетрадь?” 2-й тип. Когда надо узнать, сколько останется, если из одного данного числа вычесть другое данное число. „У Пети было 10 коп ; из них 2 коп. он истратил на покупку пера. Сколько денег оста¬ лось у Пети?” 165
3-й тип. Когда надо найти разность двух данных чисел,— другими словами, узнать, насколько одно из них больше или меньше другого. „Во II классе 15 ударников, а в I — 10 ударников. На сколько больше ударников в I классе, чем во Н?“ (или: „На сколько меньше ударников в I классе, чем во 11?“). 4-й тип. Когда надо найти число, которое меньше данного числа на другое данное число. „В комсомол принимают 16 лет, а в пионеры на 6 лет моложе. Скольких лет принимают в пио¬ неры?” 5-й тип. В косвенной форме: а) ?-j-2 = 6. К какому числу надо прибавить 2, чтобы полу¬ чить 6? „В городе было несколько заводов; когда выстроили еще 2 завода, то всех заводов стало 6. Сколько заводов было в городе сначала?" б) 5 4~? = 9. Сколько надо прибавить к 5, чтобы получить 9? „В городе было 5 фабрик, когда выстроили еще несколько фабрик, то всех фабрик стало 9. Сколько фабрик выстроили вновь?" в) 7 — ? = 2. Сколько надо отнять от 7, чтобы получить 2? или, иначе: по уменьшаемому и остатку найти вычитаемое. „На полке лежало 7 книг; когда взяли с нее несколько книг, то оста¬ лось 2 книги. Сколько книг взяли с полки?" „Ваня купил книгу, дал рубль в уплату и получил 20 коп. сдачи. Сколько стоит книга?" III. На умножение. I-й тип. Когда требуется повторить число несколько раз. „Тетрадь стоит 10 коп. Сколько стоят 4 тетради?” 2-й тип. Когда требуется найти число, которое в известное число раз больше другого данного числа. „Тетрадь стоит 10 коп., а книжка в 4 раза дороже. Сколько стоит книжка?” 3-й тип. В косвенной форме: ?:4 = 10. Какое число надо разделить на 4, чтобы получить 10? „Учитель разделил перья по¬ ровну между 5 учениками, и каждый получил по 3 пера. Сколько перьев роздал учитель?” IV. На деление. Здесь можно различать 2 главных типа: деление на части и деление-измерение (деление по содержанию). Они, в свою очередь, разделяются на следующие подтипы. Деление на части. 1-й тип. Разделить данное число на не¬ сколько равных частей. „20 руб. роздано поровну 4 рабочим. Сколько рублей получил каждый рабочий?" 2-й тип. Требуется найти число, которое в данное число раз меньше другого данного числа. „Книжка стоит 40 коп., а тет¬ радь— в 4 раза дешевле. Сколько стоит тетрадь?” Деление-измерение. 3-й тип. По данному целому и по дан¬ ной части отыскивается число частей. „20 руб. роздали рабочим по 5 руб. каждому. Скольким рабочим роздали деньги?” 4-й тип. Когда требуется узнать, во сколько раз одно данное число больше или меньше другого данного числа (так называемое кратное сравнение чисел). „Книжка стоит 40 коп., тетрадь — 10 коп. Во сколько раз книжка дороже тетради? Во сколько раз тетрадь дешевле книжки?” 166
5й тип. Какую часть одного числа составляет другое? „У учителя было 40 тетрадей, из них 10 тетрадей он роздал уче¬ никам. Какую часть всех тетрадей он роздал?” 6-й тип. В косвенной форме: а) ?Х5=Ю0. Какое число надо взять 5 раз, чтобы получить 100? „В кооперативе было не¬ сколько килограммов масла. Когда привезли масла в 5 раз боль¬ ше, чем было, то всего масла стало 100 кг. Сколько масла было в кооперативе сначала?” б) 20 X ? = 160. Сколько раз надо взять 20, чтобы получить 100? „В кооперативе было 20 кг масла. Когда привезли масла в не¬ сколько раз больше, то всего масла стало 100 кг. Во сколько раз больше привезли масла, чем было?” в) 18:? = 3. На сколько надо разделить 18, чтобы полу¬ чить 3? „Учитель роздал 18 листов бумаги нескольким ученикам; каждый ученик получил по 3 листа. Скольким ученикам роздана бумага?” Решение простых задач. В решении простой задачи можно указать следующие моменты: 1) предложение задачи; 2) усвоение содержания задачи; 3) запись содержания задачи; 4) выбор дей¬ ствия, каким она решается; 5) запись решения задачи. Как надо предлагать детям задачи. Возможны следующие способы: 1) учитель сам читает задачу; 2) говорит на память заученную задачу; 3) придумывает задачу ч классе; 4) дети сами читают ее по книге; 5) дети сами приду- мызают часть задачи или ж* всю задачу. Некоторые методисты считают лучшим третий способ. Рассуждая идеально, конечно, лучше импровизиров 1ть задачи учителю, ибо, как совершенно справедливо замечает по этому поводу С. А. Рачинский, „только постоянная умственная работа учителя во время уроков возбуждает подобную же работу в умах учеников”. Но это, как показывает опыт, возможно для более или менее опытных учителей, или же, если и для начинающих, то отличающихся педагогическим дарованием и с любовью отно¬ сящихся к своему делу. Что же касается учителя среднего раз¬ вития, и притом новичка в эгом*деле, то мы советуем такому учителю самому читать задачи по книге или же говорить их на память, ибо как ни легки такие задачи, однако они требуют большой сосредоточенности, находчивости и литературной отдел¬ ки, к тому же внимание учителя очень часто может отвлекаться в сторону поддержания дисциплины в классе. Возражение же, что чтение задачи преподавателем по книге будто бы „имеет то весьма важное неудобство, что лишает преподавателя возмож¬ ности следить за детьми во время предложения задачи и подме¬ чать их отношение к делу”, — это возражение не имеет силы, ибо чтение, подразумеваемое нами, не означает того, чтобы учи¬ тель был всецело прикоЕан к книге, не отрывал от нее глаз, а предполагает, что учитель только „заглядывает” в книгу, сво¬ бодно видя все то, что делается в классе. 157
Что касается четвертого способа предложения задач — чтения их по книге учениками — то на первом году обучения в первом полугодии о нем не может быть и речи, ибо дети в это время не умеют читать. Что касается второго полугодия, то в нем этот способ предложения задач можно практиковать изредка и лучше тогда, когда учитель одновременно занимается с двумя-тремя классами. Впоследствии, не ранее второй половины второго года обуче¬ ния, когда дети научатся сравнительно достаточно бегло читать, можно чаше давать детям задачи из задачника для самостоятель¬ ной работы в классе и для домашней работы. Усвоение содержания простых задач. К вопросу об усвоении содержания задачи относится вопрос, как объяснять детям непонятные слова, встречающиеся в задачах. Ответ на этот вопрос может быть двоякий, в зависимости от того, может ли непонятное слово быть объяснено при помощи текста задачи или без него. Если слово может быть объяснено без текста задачи, то это слово надо объяснить раньше, чем бу¬ дет предложена задача, ибо если поступить обратно, т. е. сна¬ чала предложить задачу, а потом объяснить непонятное слово, то дети забудут содержание задачи, и ее снова придется повто¬ рить, и, таким образом, потребуется лишняя затрата времени. Учащиеся I класса свободно усваивают содержание про¬ стых задач, если только задача будет умело прочитана, а потому нет необходимости в повторении задачи. Но если почему-либо дети, сверх ожидания, не усвоили задачи и не могут повторить ее, то тогда надо предлагать вопросы, исчерпывающие исключительно арифметическое содержание, а не спрашивать, о чем или о ком говорится в задаче и что говорится, как это делают иные педагоги, ибо такие вопросы не имеют прямого отношения к арифметике и они только задерживают решение задачи; потом надо заставить повторить складно всю задачу целиком. Если дети не смогут повторить, то надо повторить самому учителю и затем просить повторить одного-двух детей. Запись содержания простых задач. Раз дети свободно запоминают содержание простой задачи, то краткой записи содержания задачи на доске не должно быть, за исключением тех случаев, когда данные числа большие и не запоминаются или если и небольшие числа, но их несколько. На¬ пример, если дана такая задача: „В I классе 7ударников, во II—13, в III—15, в IV — 24. Сколько ударников во всех классах вме¬ сте?”, то достаточно на доске написать в строчку одни числа 7, 13, 15, 24 без всякого названия, отделив их промежутком. Решение простых задач. При решении простых задач дети должны: 1) дать ответ на вопрос задачи; 2) сказать, как нашли ответ (каким действием решили); 3) записать решение задачи. 168
Поясним процесс решения задачи примером. Пусть предло¬ жена такая задача: „На дворе играло 7 мальчиков, к ним подо¬ шел играть еще один мальчик. Сколько теперь играет мальчиков?" Учитель. Дети, слушайте задачу. (Объяснять, что такое за¬ дача, само собою понятно, не следует, ибо это непосильно детям, и учитель громко, ясно, раздельно и уверенно читает ее.) Сколько мальчиков играло на дЕоре? Ученик. На дворе играло 7 мальчиков. (Надо приучать де¬ тей к полным ответам.) Учитель. Сколько мальчиков подошло играть к ним? Ученик. К ним подошел играть еще один мальчик. Учитель. Что спрашивается в задаче (или: какой вопрос задачи)? Ученик. Сколько теперь играет мальчиков. Учитель. Кто теперь повторит всю задачу? Когда дети (один-два) повторят содержание задачи, то учи¬ тель предлагает такой вопрос: „Сколько же мальчиков теперь играет?" Ученик. Теперь играет 8 мальчиков. Учитель. Как у вас получилось 8 мальчиков? Ученик. К 7 мальчикам прибавить одного мальчика — будет 8 мальчиков. В случае затруднения надо пояснить это на наглядном посо¬ бии примерно так: „Сколько мальчиков играло на дворе?" (7 маль¬ чиков.) „А вы возьмите 7 палочек. Сколько еще мальчиков по¬ дошло играть к ним?" (1 мальчик.) „А вы возьмите одну палочку и прибавьте ее к 7 палочкам. Сколько всего палочек?" (8 па¬ лочек.) „Как вы сделали это (или как вы получили 8 палочек)?" (К 7 палочкам прибавили 1 палочку.) „Что же надо сделать, чтобы узнать, сколько всего мальчиков играет на дворе?" (К 7 мальчи¬ кам прибавить 1 мальчика — получится 8 мальчиков.) После решения нескольких задач таким путем дети свободно преодолевают указанную трудность. Как записывать решение простых задач. Если такая задача решается в первый раз, то надо поступить так: „Давайте теперь научимся записывать решение задачи циф¬ рами. Повторите, как у вас получилось число 8?" (К 7 прибавить 1 - получится 8.) „Какое же число вы сначала напишете?" (7.) Один ученик пишет на доске. „Что потом вы сказали?" (Прибавить.) „Как напишете слово „прибавить?" (Прямой крест.) „Пишите. Что дальше сказали?" (1.) „Пишите число 1. Что дальше сказали?" (Получится.) „Как напишете слово „получится?" (Две лежачие черточки.) „Пишите. Что дальше сказали?" (8.) „Пишите число 8. Прочтите все, что вы написали". Дети читают это хором: „К 7 прибавить 1-^получится 8“ и в одиночку и затем записывают к себе в тетради. Записывание решения простых задач полезно в том отношении, что оно способствует лучшему запечатлению у детей того дейст* рия, каким решена задача; кроме того оно вносит разнообразие 169
в занятия. Однако не следует записывать решения непременно каждой простой задачи: это напрасно отняло бы время у класса, а поэтому лучше ограничиться записью решения только на пер¬ вое время, когда дети еще нетвердо усвоили то или другое дей¬ ствие, или же записывать не более 1—2 задач на урок. Ввиду этого на самых первых порах, при среднем уровне раз¬ вития класса, в течение урока придется решить не более 3—4 таких задач. При записи решения задач надо требовать, чтобы дети писа¬ ли соответствующее наименование при данных и искомых числах, особенно это надо делать в умножении и делении, чтобы дети не смешивали множимое и множитель, а при делении не смешивали деление на части и деление-измерение (деление по содержанию). Дети должны хорошо знать, что данные и искомые в сложении и вычитании однородны, в умножении однородны множимое и произведение, в делении на части — делимое и частное, в делении-измерении — делимое и делитель. Поэтому дети не должны писать наименований при множи¬ теле, при делителе в делении на части и при частном в деле¬ нии-измерении. Математических терминов: „слагаемые0, „сумма", „умножаемые" и т. д. сообщать детям ранее III класса не следует. Дети должны только практически уметь записать соответствующие наименования при данных и искомых каждого из действий. В некоторых задачах с выражениями „больше или меньше на столько-то или во столько-то раз" дети, а иногда и учителя, за¬ трудняются в приписывании наименований к данным числам. Вот образны таких задач: 1) Петя поймал 5 плотичек, а окуней на 3 штуки больше. Сколько окуней поймал Петя? 2) Колхозница продала на рынке 5 куриц, а уток на 3 меньше. Сколько уток продала колхозница? 3) На фабрике работало 100 женщин, а мужчин в 4 раза больше. Сколько мужчин работало на фабрике? 4) В саду посажено 15 сосен, а берез в 3 раза меньше. Сколько берез посажено в саду? Трудность здесь заключается в том, что данные задачи разных наименований; например, в первой задаче одно слагаемое — 8 пло¬ тичек, а другое слагаемое — 3 окуня, сумма же — 11 окуней. Что¬ бы избежать разных наименований, надо подвести их под одно общее понятие „рыб" и рассуждать примерно так: „Если бы Петя поймал столько же окуней, сколько и плотичек, то он пой¬ мал бы 5 окуней, на самом же деле он поймал на 3 окуня боль¬ ше; значит, Петя поймал 5 окуней да еще 3 окуня. Поэтому надо к 5 окуням прибавить 3 окуня. Записать же так: 5 ок.-}-3 ок. = — 8 ок. Таким же образом во второй задаче понятия „курица" и „утка" подводятся под понятие „птица"; в 3-й задаче понятия „муж¬ чина" и „женщина" подводятся под понятие „человек", в 4-й задаче приятия „сосна" и „береза" подводятся под понятие „д^, рево". 170
Иногда дети затрудняются в выборе действия- это чаще всего бывает тогда, когда задача выражена в косвенной форме. В этом случае, с целью предупреждения ошибки, надо спросить сперва не ответ задачи, а как узнать. При ответе на вопрос „как узнать это?" иногда дети вместо названия действия указывают прием выполнения действия. На¬ пример, решая задачу: „В I классе школы 36 чел., во II — 34. Сколько детей в двух классах вместе?0, дети на вопрос учителя: „Как узнать, сколько детей в двух классах вместе?" иногда указы¬ вают прием сложения 36 и 34: 1) 30—{—30=60; 2)64-4=10; 3j60-|- 4-10=70, вместо того чтобы сказать: „Надо к 36 прибавить 34°. Если дети так ответят, то учитель говорит: „Я спрашиваю, не как к 36 прибавить 34, а как узнать, сколько детей в двух классах вместе". Что касается указания основания, почему тот или другой вопрос решен тем или другим действием, то ранее того как дети не познакомятся со всеми видами различных действий, т. е. ра¬ нее третьего года обучения, делать этого не следует, ибо для де¬ тей это трудно, причем, когда вопрос решается сложением или вычитанием, то, за исключением задач, выраженных в косвенной форме, дети обычно действие указывают верно, а поэтому спра¬ шивать у детей, почему они решили тот или другой вопрос сло¬ жением или вычитанием, надо только тогда, когда они ошибаются в выборе действия. Что касается выбора умножения и деления, то от детей надо спрашивать основания, почему они избрали одно из этих действий, ибо дети часто ошибаются в выборе этих дей¬ ствий. А поэтому прежде чем спрашивать ответ задачи, надо спросить, как сделать, т. е. указать действие задачи. Точно так же при решении вопроса задачи умножением или делением надо спрашивать, что умножают и на что и почему, а также — как разделить, ибо дети весьма часто смешивают множимое и мно¬ житель, и еще чаще смешивают деление на равные части и де¬ ление-измерение (деление по содержанию). Как это объяснять детям, см. „Умножение в пределе 20“ (стр. 31—37) и „Деление полных десятков первой сотни" (стр. 47—52). Простые задачи должны решаться во всех годах обучения: в первый год обучения они должны занять преобладающее место, а в остальные годы обучения, особенно в III и IV классах, только тогда, когда они нужны для выяснения того или другого арифметического понятия. Придумывание задач детьми. Придумывание задач детьми имеет весьма важное значение: оно помогает уяснению понятия об арифметической задаче и об арифметических действиях, развивает в детнх сметливость, вооб¬ ражение, самодеятельность и творчество, возбуждает в детях ин¬ терес к занятиям арифметикой. Можно предложить такой порядок придумывания задач детьми. 1. К условию и вопросу задачи дети подбирают нужные числа: а) На нижней полке шкафа... книг, на верхней... книги. Сколь¬ ко книг на обеих полках вместе? 171
Предложив такую „задачу", учитель говорит: „Придумайте не¬ достающие числа к этой задаче". б) На книжной полке лежало... книг; учитель взял с нее... кни¬ ги. Сколько книг осталось на полке? в) Учитель роздал... ученикам по... пера каждому. Сколько всего перьев роздал учитель? г)... пера стоят ... копеек. Сколько стоит одно перо? д)... перо стоит ... копейки. Сколько перьев можно купить на 10 коп.? Здесь надо обращать внимание на то, чтобы дети придумы¬ вали числа, соответствующие действительной жизни. 2. К числовым данным и условию задачи дети придумывают вопрос: а; Маляр окрасил сначала 3 двери, да потом еще 5 дверей. Что из этого можно узнать о маляре? б) Колхозник собрал 9 мешков картофеля и продал из них 3 мешка. О чем надо спросить в задаче? в) На 5 скамейках в школе сидят ученики по 2 на каждой скамейке. Докончите задачу. г) Колхозница продала 10 кружек .молока двум покупателям поровну. Придумайте вопрос к задаче. д) Петя купил на 10 коп. тетрадей по 5 коп. тетрадь. О чем надо спросить в задаче? Эти неполные задачи составлены так, что к каждой из них можно придумать только один вопрос. Такого рода неполные задачи, как более легкие, надо предлагать детям на первом году обучения. В последующие годы обучения, когда дети познакомятся с различными видами всех арифметических действий, можно к од¬ ной неполной задаче придумывать различные вопросы—два, три или четыре, смотря по характеру условия и числовых данных. Так, например, к неполной задаче: „В 1 классе 7 ударников, во И—10", можно придумать на данной ступени 2 вопроса: 1) „Сколько ударников в I и во II классах вместе?" и 2) „На сколько больше ударников во II классе, чем в I?" (или же в такой редакции: на сколько меньше ударников в I классе, чем во II?). Говоря иначе, можно поставить только такие различные вопросы, которые решаются только сложением и вычитанием. К такой же неполной задаче: „В I классе 5 ударников, в III—15", можно придумать 4 различных вопроса: два такие, как и для предыдущей задачи, третий такой: „Во сколько раз больше ударников в III классе, чем в I?" или же в такой редакции: „Во сколько раз меньше ударников в I классе, чем во II?" и 4-й вопрос такой: „Какую часть ударников III класса составляют ударники I класса?" 3. К числовым данным и вопросу задачи дети придумывают условие. а) „Составьте задачу, в которой даны числа 10 лет и 6 лет и спрашивается, насколько брат старше сестры". б) ^Составьте задачу, в которой спрашивается, сколько тетра¬ дей куплено, и даны числа 20 коп. и 5 коп.". 172
Этот вид упражнений труднее предыдущих. 4. К данным числам придумывают условие и вопрос. а) „Кто придумает задачу о 6 перьях и о 2 перьях?" б) „Кто придумает задачу, в которой надо: 1) к 10 прибавить 5, 2) от 15 отнять 5, 3) 5 взять 3 раза, 4) 20 разделить на 2 равные части?" 5. К данному вопросу придумываются нужные числа и условие. „Составьте всю задачу, в которой спрашивается: а) сколько стоит тетрадь й карандаш вместе? б) сколько яблок осталось у Пети? в) сколько стоят все ручки? г) сколько перьев получил каждый ученик?" Из всех этих видов придумывания задач надо обратить особое внимание на следующие 2 вида: 1) к числовым данным и к усло¬ вию придумывается вопрос, 2) к вопросу задачи подбираются данные, потому что первый вид есть так называемый синтети¬ ческий способ решения задач, а второй вид—аналитический спо¬ соб решения задач. Каждую придуманную задачу дети должны и решать, причем, чтобы привлечь к работе весь класс, надо задачу, придуманную одним учеником, предлагать решать другому ученику. § 53. СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ. В решении сложных задач можно усмотреть следую¬ щие моменты: 1) подготовительные упражнения к решению слож¬ ных задач, 2) предложение задачи, 3) усвоение содержания задачи, 4) запись содержания задачи, 5) прием решения задачи, 6) запись решения задачи, 7) повторение хода решения задачи. Как впервые приступать к решению сложных задач. В первый раз сложные задачи решаются только в 2 действия. Ответ на вопрос сложной задачи дети часто дают правильно, если даже она решается впервые, но не умеют разложить ее на простые задачи. Поэтому надо научить детей разлагать слож¬ ные задачи на простые. А для этого сначала надо научить детей составлять сложную задачу из простых. Предлагаются 2 такие простые задачи, в которых искомое первой задачи является данным во второй задаче. Например: 1) Рыболов поймал сначала 5 рыб, потом 4 рыбы. Сколько всего рыб поймал рыболов? 2) Рыболов поймал всего 9 рыб, из них 6 рыб он продал. Сколько рыб осталось у рыболова? Дети решают каждую из этих простых задач так, как сказано выше. Затем дети под руководством учителя соединяют эти две задачи в одну такую сложную: „Рыболов поймал сначала 5 рыб, затем 4 рыбы; из них 6 рыб он продал. Сколько рыб осталось у рыболова?" „Кто сумеет разложить эту задачу на две задачи? Кто составит первую задачу?" Дети под руководством учителя составляют пер¬ вую простую задачу, решают ее и записывают решение на доске. То же делают со второй простой задачей. 173
После проработки нескольких таких задач детям предлагается сложная задача без предварительного составления ее из простых, и дети под руководством учителя приступают к разложению ее на простые. Сперва это делается так. Пусть дана задача: „Младшему брату 10 лет, старшему брату на 8 лет больше, сестра моложе старшего брата на 6 лет. Сколько лет сестре?” После усвоения содержания задачи, учитель предлагает детям такие вопросы: 1) „Сколько лет младшему брату? Как сказано в задаче, сколько лет старшему брату?” (Старшему брату на 8 лет больше, чем младшему.) „Что из этого можно узнать?” (Сколько лет старшему брату.) „Итак, какая же первая задача?” (Дети составляют всю простую задачу с вопросом.) „Как узнать, сколько лет старшему брату?” (К 10 годам прибавить 8 лет — будет 18 лет.) „Запишите это”. (10 лет4-8 лет = 18 лет.) 2) „Сколько лет старшему брату? Как сказано в задаче, сколько лет сестре? Что из этого можно узнать?” (Сколько лет сестре.) „Итак, какая же вторая задача?” Дети составляют всю простую задачу с вопросом: „Как же узнать, сколько лет сестре? (От 18 лет отнять 6 лет —будет 12 лет.) „Запи¬ шите это”. (Под первой строчкой дети пишут: 18 лет— — 6 лет = 12 лет.) 3) „Прочтите первую строчку. Что этим мы узнали? Прочтите вторую строчку. Что этим мы узнали?” Такой прием решения задачи не должен затруднять детей, ибо дети -подготовлены к нему одним из предыдущих упражне¬ ний — придумыванием вопроса к условию и числовым данным задачи. После решения таким путем нескольких задач ход решения задач ускоряется, а именно: 1) После усвоения содержания задачи детям предлагается вопрос: „Что сначала надо узнать в задаче?” (Сколько лет стар¬ шему брату.) „Как это узнать?” Дальше идет запись решения первого вопроса. 2)„Что дальше надо узнать?” (Сколько лет сестре.) „Как это узнать?” Дальше идет запись решения второго вопроса. 3) Повторение решения задачи по строчкам, как выше. Если бы дети затруднились ответить на вопросы, что сначала надо узнать, что дальше надо узнать, то надо употребить прием, указанный выше, т. е. к числовым данным и к услэвию задачи придумать вопрос. Для лучшего усвоения решения сложных задач полезно да¬ вать детям неполные задачи и предлагать дополнить их по при¬ меру того, как это делалось с простыми задачами. Приведем образцы таких задач: 1) У колхозника было 16 кг мяса, из них он продал на кол¬ хозном рынке 6 покупателям по 2 кг каждому. Придумайте вопрос к задаче. 2) Я купил 3 газеты по 10 коя. Сколько сдачи должен полу¬ чить я? В этой задаче пропущена часть условия и числовых данных. 174
3) Неполную задачу: „...две игрушки дети отдали своей школе, а остальные поделили между собою поровну. Сколько игрушек получил каждый ребенок?" дети дополняют так, чтобы она ре¬ шалась двумя действиями. В этой задаче пропущено все условие и числовые данные первой простой задачи (примерно: „6 ребят сделали 20 игрушек"). 4) Дети придумывают задачу к двум данным действиям. а) „Придумайте задачу, в которой надо 30 коп. взять 3 раза и полученное число вычесть из рубля". б) Для III и IV классов подобные задачи можно формули¬ ровать так: „Придумайте задачу, в которой произведение двух чисел надо вычесть из третьего числа". в) Для IV класса, когда дети научатся составлять задачи в виде формулы, можно предлагать им составлять задачи в та¬ ком виде: 1) „Придумайте задачу, которая решается так: 10X8 + 20". 2) ? коп.: (? коп.-j-? коп.); в последней формуле пропущены все числовые данные и оставлены только наименова¬ ния чисел и знаки действий. После такой проработки сложных задач в два действия дети под руководством учителя переходят к подобному составлению задач в 3—4 действия. Такого рода упражнения можно прораба¬ тывать, начиная с третьего года обучения. Что касается предложения, усвоения содержания и краткой записи сложной задачи на доске, то она производится так. Задача читается или говорится на память учителем. По мере ■ чтения задачи учителем она кратко записывается им на доске, далее повторяется по вопросам, наконец повторяется вся целиком учениками и, если надо, учителем, и уже после этого присту¬ пают к решению задачи. Из этих моментов решении задачи надо обратить внимание на запись содержания задач. Запись содержания сложных задач. На доске и в тетради должна быть краткая запись задачи. Записывать надо не всякую задачу, а только такую, в которой числа трудно запомнить. Записывать задачу надо организованно, т. е. так, чтобы запись помогала не только усвоению содержания задачи, но и установлению зависимости между данными задачи. Запись вопроса задачи не всегда обязательна; его надо записы¬ вать тогда, когда в нем встречаются числа, трудные для запоми¬ нания. Что касается полной записи всей задачи, то такую запись можно практиковать только тогда, когда данной задачи нет в задачнике и она представляет собою какой-либо новый вид (тип). Пусть дана задача: „Школьники собрали на заем 5S0 руби¬ на часть этих денег они купили 4 облигации по 50 руб. и 9 об¬ лигаций по 25 руб., а остальные деньги положили в сберкассу. Сколько денег изложили они в сберкассу?" Вот образец краткой записи этой задачи: 580 руб. * °^л- по 50 руб. 9 обл. по 25 руб. 175
Синтетический прием решения сложных задач. Этот прием состоит в том, что, соединяя два нужных данных, мы подбираем к ним вопрос. Поясним этот прием на примере. Пусть дана задача: „2 кг белого хлеба стоят 1 р. 20 к.; 5 кг черного хлеба стоят 1 р. 50 к. На сколько дороже 1 кг белого хлеба, чем килограмм черного хлеба?" В этой задаче 4 данных: 2 кг, 1 р. 20 к., 5 кг и 1 р. 50 к. Из этих 4 данных можно взять 4 различных пары: 1) число килограммов белого хлеба (2 кг) и стоимость их (1 р. 20 к.); 2) число килограм¬ мов белого хлеба (2 кг) и число килограммов черного хлеба (5 кг); 3) стоимость всего белого хлеба (1 р. 20 к.); стоимость всего чер¬ ного хлеба (1 р. 50 к.); 4) число килограммов черного хлеба (5 кг) и стоимость его (1 р. 50 к.). Между каждой парой этих данных можно установить зависимость и к каждой из них поставить во¬ прос. Так, по первой паре данных можно составить такую простую задачу: „2 кг белого хлеба стоят 1 р. 20 к. Сколько стоит I кг?" По второй паре данных можно составить такую задачу: „Белого хлеба куплено 2 кг, а черного 5 кг. На сколько больше кило¬ граммов куплено черного хлеба, чем белого?" По третьей паре данных можно составить такую задачу: „Весь белый хлеб стоит 1 р. 20 к., а весь черный 1 р. 50 к. На сколько больше заплачено за черный хлеб, чем за белый?" По четвертой паре данных можно составить такую задачу: „5кг черного хлеба стоят 1 р. 50 к. Сколько стоит 1 кг черного хлеба?" Но из этих 4 пар данных надо брать не какие угодно пары, а только такие, которые были бы необхо¬ димы для решения следующей простой задачи, в которой неиз¬ вестное первой простой задачи являлось бы данным. Поэтому из 4 пар данных надо отвергнуть 2-ю пару (число килограммов бе¬ лого хлеба и число килограммов черного хлеба) и 3-ю пару (стои¬ мость всего белого и стоимость всего черного хлеба), ибо они не нужны для составления следующей простой задачи, не нахо¬ дясь в связи с другими данными сложной задачи. Для ясности все решение сложной задачи синтетическим приемом можно представить в такой схеме. Данные Вопрос Решение I. 1) Число килограммов бе¬ лого хлеба (2 кг) 2) Стоимость всего бело¬ го хлеба (1 р. 20 к.) Сколько ртоит 1 кг белого хлеба? 1 р. 20 к.: 2 =60 коп. 1 If. 1) Число килограммов черного хлеба (5 кг) 2) Стоимость всего чер¬ ного хлеба (1 р. 50 к.) Сколько стоит I кг черного хлеба? 1 р. 50 к.: 5 =30 коп. III. 1) Цена 1 кг белого хле¬ ба (60 коп.) 2) Цена 1 кг черного хлеба (30 коп.) На сколько дороже килограмм бе. ого хлеба, чем кило¬ грамм черного хлеба? 60 коп.—30 коп. =30 коп. 176
Для нужного выбор j данных сложной задачи и вопросов к ним установить определенные правила и приемы нельзя: умение пра¬ вильно выбрать данные и поставить вопросы к ним зависит от сообразительности детей и от навыка в решении таких задач. Поэтому надо больше решать сложных задач. Аналитический прием решения сложных задач. Аналитический прием является обратным синтетическому: при анализе вопрос сложной задачи разлагается на ряд других во¬ просов, чтобы притти к данным задачи; при анализе мы к во¬ просу задачи подбираем данные; при анализе мы начинаем с конца задачи, с вопроса сложной задачи. Поясним этот прием на прежней задаче. I. В задаче спрашивается: „На сколько дороже килограмм бе¬ лого хлеба, чем килограмм черного хлеба?" Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать: 1) сколько стоит 1 кг белого хлеба и 2) сколько стоит 1 кг черного хлеба. Этого в задаче не дано. II. Чтобы ответить на вопрос: „Сколько стоит 1 кг белого хлеба?" надо' знать: 1) сколько килограммов белого хлеба куплено и 2). сколько они стоят. Это в задаче дано. III. Чтобы ответить на вопрос: „Сколько стоит 1 кг черного хлеба?" надо знать: 1) сколько килограммов черного хлеба куп¬ лено и 2) сколько они стоят. Это дано в задаче. Итак, сначала можно узнать, сколько стоит 1 кг белого хлеба, затем сколько стоит 1 кг черного хлеба и, наконец, на сколько дороже кило¬ грамм белого хлеба, чем килограмм черного хлеба. Для ясности все решение сложной задачи аналитическим приемом можно представить в таком виде: Вопрос Данные Решение I. На сколько дороже кило¬ грамм белого хлеба, чем килограмм черного хлеба? 1) Цена 1 кг белого хлеба (60 коп.) 2) Цена 1 кг черного хлеба (30 коп.) 60 к. — 30 к. = 30 коп. II. Сколько стоит 1 кг чер¬ ного хлеба? 1) Число килограм¬ мов черного хлеба (5 кг) 2) Стоимость всего черного хлеба (1 р. 50 к.) * I р. 50 к.: 5 = 30 коп. III. Сколько стоит 1 кг бе¬ лого хлеба? 1) Число килограм¬ мов белого хле¬ ба (2 кг) 2) Стоимость всего белого хлеба (1 р. 20 к.) 1 р. 20 к.: 2 = 60 коп. 12 Д. Л. Волковский 177
Сопоставление синтетического и аналитического приемов. Сопоставляя эти два приема, можно найти следующее: 1. При синтезе к двум данным задачи подбирается вопрос для составления простой задачи; при анализе, наоборот, к во¬ просу сложной задачи подбираются два данных. 2. При синтезе вопрос каждой простой задачи после решения ее становится данным каждой следующей задачи; при анализе, наоборот, данные простой задачи становятся искомыми в после¬ дующих простых задачах. 3. При синтезе каждая простая задача тотчас же может быть решена; при анализе только последняя задача может быть решена сразу, ибо во всех предыдущих задачах недостает числовых данных. Говоря иначе, при синтезе составление и решение про¬ стых задач идут параллельно; при анализе сначала составляется план решения сложной задачи, а затем идет постепенное реше¬ ние каждой простой задачи. 4. При синтезе возможны ошибки при выборе данных и при постановке вопроса для каждой простой задачи; при анализе возможны ошибки только при выборе данных. 5. К двум данным легче подыскать вопрос, чем к вопросу подобрать данные. Поэтому синтетический прием легче аналити¬ ческого. 6. Аналитический прием требует от детей более отвлеченного мышления, чем синтетический. Поэтому синтетический прием должен предшествовать аналитическому. Для лучшего усвоения аналитического приема решения сложных задач на первое время надо решать их сначала синтетическим приемом, а затем те же задачи аналитическим приемом. 7. Синтетический прием решения задач должен быть преобла¬ дающим в начальной школе, особенно в I и во II классах. Что касается аналитического приема решения сложных задач, то он должен начинаться не ранее III класса. Запись решений сложных задач. Эта запись складывается из следующих моментов: 1) записи вопроса каждой простой задачи; 2) записи действия и ответа каждой простой задачи. Запись вопроса каждой простой задачи надо производить не ранее третьего года обучения, пока дети не овладеют достаточ¬ ной беглостью письма, иначе непроизводительно уйдет много времени на самый процесс записи. При этом надо записывать вопросы не каждой задачи, а только таких, которые представляют собой или новый тип или у которых вопрос трудно формули¬ руется. На первое время для образца вопросы записывает на доске сам учитель. Обычно вопросы каждой простой задачи должны излагаться устно, и дети должны записывать только действие и ответ каждой задачи. Запись вопроса и действия каждой простой задачи надо нумеровать: это способствует четкости и раздельности 178
записи и тем самым облегчает усвоение и решение сложной задачи. Если действие простой задачи выполняется строго письменно, то дети иногда вычисления пишут где-либо на стороне, а в тет¬ ради записывают только данные числа для действия и ответ. Надо отучать детей от этой привычки; запись надо производить под вопросом каждой простой задачи, ибо запись вычисления того или другого действия может говорить о приеме выполнения того или другого действия, об уменьи разумно пользоваться по- луписьменными и строго письменными вычислениями. Приведем образец записи решения вышеприведенной задачи о займах. 1) Сколько стоят 4 облигации по 50 руб.? 50 руб. X 4 = 200 руб. 2) Сколько стоят 9 облигаций по 25 руб.? 25 руб. X 9 = 225 руб. 3) Сколько стоят все облигации? 200 руб. -}— 225 руб. = 425 руб. 4) Сколько денег положили в сберкассу? 580 руб.—425 руб. = 155 руб. Ответ—155 руб. Повторение хода решения сложных задач. Для лучшего усвоения решения задачи надо повторить реше¬ ние ее по вопросам, примерно так: „Прочти первую строчку". (Предполагается, что записи во¬ просов нет.) (50 руб. умножить на 4 — получится 200 руб.) „Что этим мы узнали?" (Сколько стоят 4 облигации по 50 руб.) „По¬ чему ты умножил 50 руб. на 4?" (Потому что одна облигация стоит 50 руб., а 4 облигации стоят в 4 раза больше.) „Прочти вторую строчку". (Прорабатывается по образцу первой.) „Прочти третью строчку". (К 200 руб. прибавить 225 руб. — получится 425 руб.) „Что мы этим узнали?" (Сколько стоят все облигации.) „Почему мы сделали сложение?" (Потому что 4 облигации стоят 200 руб., а 9 других облигаций стоят 225 руб. и требуется узнать, сколько стоят все облигации вместе.) „Прочти четвер¬ тую строчку". (От 580 руб. отнять 425 руб. — получится 155 руб.) „Что мы этим узнали?" (Сколько денег положили в сберкассу.) „Почему мы сделали вычитание?" (Потому что всего денег со¬ брали 580 руб., из них на 425 руб. купили облигаций, а осталь¬ ные деньги положили в сберкассу.) Обычное изложение хода решения сложной задачи должно производиться в вопросно-ответной форме, т. е. так, как пока¬ зано выше, но в IV классе, когда дети навыкнут в пересказе хода решения сложных задач, сильные дети могут излагать весь ход решения задачи без вопросов приблизительно так: „Сначала 12* 179
я узнал, сколько стоят 4 облигации. Для этого я 50 руб. умно¬ жил на 4 — получилось 200 руб. Я умножил 50 руб. на 4 потому, что одна облигация стоит 50 руб., а 4 облигации стоят в 4 раза дороже. Во-вторых, я узнал, сколько стоят 9 облигаций. (Рассуж¬ дение то же, что и в первом вопросе.) В-третьих, я узнал, сколько стоят все облигации. Для этого я сложил 200 руб. и 225 руб. — получилось 425 руб. Я сделал сложение потому, что одни облигации стоят 200 руб., а другие — 225 руб., а надо узнать, сколько стоят все облигации вместе. В-четвертых, я узнал, сколько денег положили в сберкассу. Для этого я от 580 руб. отнял 425 руб. — получил 155 руб. Я сделал вычитание потому, что денег собрали 580 руб., из них на 425 руб. купили облига¬ ций, а остальные деньги положили в сберкассу". Значение письменного решения сложных задач. Письменное решение сложных задач имеет большое значение: 1) оно лучше, чем устное решение, приучает детей к точности, ясности и раздельности изложения хода решений; 2) облегчает работу памяти детей; 3) дает возможность предлагать детям са¬ мостоятельные работы в классе; 4) позволяет давать работу на дом; 5) дает возможность производить контрольные работы. Решение одной и той же задачи разными приемами. Весьма полезно для развития мышления детей одну и ту же задачу решать разными приемами, если только она допускает такое решение. Решив такую задачу разными приемами, дети сравнивают эти приемы, отдавая предпочтение тому, в котором' меньше действий и легче числа для вычислений. Пусть дана задача: „Школа купила для I класса 26 задач¬ ников, а для II класса — 34 по 65 коп. задачник. Сколько стоят все задачники?" Эту задачу можно решить двумя способами: I. 1) 65 коп. X 26= 16 р. 90 к. 2) 65 коп. X 34=22 р. 10 к. 3) 16 р. 90 к. —|— 22 р. 10 к. =39 руб. II. 1) 26 зад. -f- 34 зад. = 60 зад. 2) 65 коп. X 60 = 39 руб. Ясно, что вторым способом задача решается скорее: меньше действий и легче числа для вычисления. Но есть задачи, в которых при разных способах решения может быть одинаковое число действий. Полезно решать и эти задачи разными способами для разви¬ тия сообразительности детей. Пусть дана задача: „3 мальчика купили по 2 книжки каждый и заплатили за каждую книжку по 20 коп. Сколько денег заплатили они за все книжки?" Эту задачу можно решить двумя способами. I. 1) Сколько книжек купили все мальчики? (2 кн. X 3 = 6 кн.). 2) Сколько стоят все книжки? (20 коп. X 6=1 р. 20 к.). 180
II. 1) Сколько заплатил за книжки 1 мальчик? (20 коп. X 2 = 40 коп.). 2) Сколько заплатили за книжки все мальчики? (40 коп. X 3=1 р. 20 к.). Как избежать трудностей при решении сложных задач. Частью об этом мы говорили, когда излагали прием разло¬ жения сложной задачи на простую. Теперь скажем о решении типовых задач, затрудняющих детей. К решению таких задач надо подготовить детей методически подобранными задачами. Поясним это на примерах. I. Возьмем задачу на пропорциональную зависи¬ мость (на так называемое простое тройное правило): „3 тетради стоят 30 коп. Сколько стоят 7 тетрадей (по той же цене)?“ Если дети затрудняются решить такую задачу, то сначала надо проработать с ними две задачи в такой последовательности: 1) три тетради стоят 30 коп.; сколько стоит 1 тетрадь? 2) 1 тетрадь стоит 10 коп.; сколько стоят 7 тетрадей? Затем обе задачи соединить в одну сложную, приведенную выше. II. Пусть дана задача на деление на части, кратно неравные: „Брат и сестра за тетради заплатили 60 коп.; сестра заплатила в 5 раз больше брата. Сколько денег заплатили за тетради брат и сколько сестра?" Прежде чем предлагать эту задачу, надо решить с детьми сначала такую задачу: „Брат и сестра заплатили за тетради 60 коп. Брат дал на тетради одну часть этих денег, а сестра 5 таких же частей тех же денег. Сколько денег дал на тетради брат и сколько сестра?" III. Задаче на деление на части в разностном отно¬ шении (найти 2 числа по их сумме и разности): „Учитель раз¬ делил 45 карандашей между двумя классами так, что один класс получил больше другого на 5 карандашей. Сколько карандашей получил каждый класс?" должна предшествовать задача: „Из 45 карандашей учитель дал I классу сперва 5 карандашей, а остальные разделил поровну между I и II классами. Сколько карандашей* получил I класс? Сколько II? На сколько I класс получил больше II?" IV. Когда дано по объему и двум измерениям прямоугольной призмы найти третье ее измерение, то надо число, выражающее объем, разделить на число, выражающее произведение известных измерений (или короче: то надо объем разделить на произведе¬ ние известных измерений). Это правило можно объяснить детям, примерно, так. Возьмем задачу: „Длина комнаты — 5 м, ширина — 4 м, а вме¬ стимость — 60 куб. м. Найти высоту комнаты". „Так как длина комнаты 5 м, то вдоль ее в один ряд можно уложить 5 куб. м; таких рядов будет 4, так как ширина ком¬ 181
наты 4 м\ значит, на полу комнаты в одном слое будет 20 куб. м (5 куб. м X 4= 20 куб. м). Так как во всей комнате вмещается 60 куб. м, а в одном слое — 20 куб. м, то слоев будет столько, сколько получится, если 60 куб.м разделить по 20 куб. м — по¬ лучится 3; значит, будет 3 слоя. Итак, высота комнаты 3 м‘. § 54. ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ. Если решается новый тип задачи, то она подробно разбирается детьми под руководством учителя, учитель показывает на доске образец записи содержания и решения ее, а дети спи¬ сывают это к себе в тетради. Когда решается знакомый тип за¬ дачи, один из учеников на доске, а остальные в тетради кратко записывают содержание ее, затем приступают к решению ее и записи решения, причем каждую простую задачу решает на доске новый ученик, а остальные — в тетрадях. После записи решения каждого вопроса идет проверка его, неверное решение сейчас же исправляется. Затем идет повторение решения задачи по вопросам. § 55. САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЕТЬМИ. Для самостоятельной работы детям даются знакомые виды задач, причем дети всегда записывают действия и их результаты, а вопросы — только тогда, когда они нетрудные. Самостоятель¬ ное решение задачи детьми учитель проверяет в тот же урок. Что касается задавания задач на дом, то характер их и ре¬ шение их должны иметь тот же вид, что и самостоятельное ре¬ шение задач в классе. Учет работы по решению задач должен быть такой же, как и учет работы по арифметике вообще (см. стр. 21). § 56. КАКОЕ МЕСТО ВО ВРЕМЕНИ ЗАНИМАЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ПЕДПРОЦЕССЕ. Задачи могут решаться в различные моменты урока: в начале урока, после других видов работы по математике. Это зависит от характера задач. Если решается трудный и новый тип задачи, то такую задачу надо решать в начале урока со свежими силами; если решается знакомый тип задачи, то она прорабатывается в последующие этапы работы, например после проверки домаш¬ ней работы и устного счисления. Если учитель желает проверить умение учеников решать только что проработанный тип задачи, то она может решаться в третьей четверти урока. Так как за¬ дачи считаются одним из самых важных и самых трудных видов работ по математике, а в настоящий момент и самым больным и острым вопросом, то решению задач надо отводить половину времени из каждого классного урока. § 57. НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ. При решении некоторых задач весьма полезно пользоваться действительными предметами, картинками и чертежами. 182
Пример того, как пользоваться действительными предметами для указания действия, которым решается задача, приведен выше (стр. 41). Картинки дают материал детям для придумывания задач, способствуя развитию у детей творчества и сообразительности. Картинки особенно полезны в первый год обучения при прохож¬ дении чисел первого десятка. Допустим, нарисованы карандаш и перо, под карандашом поставлено 5 коп., а под пером — 2 коп. К этой картинке дети могут придумать, примерно, такую задачу: „Карандаш стоит 5 коп., перо — 2 коп. Сколько стоят карандаш и перо вместе? На сколько карандаш дороже пера?“ Чертежи весьма полезны при нахождении нескольких ча¬ стей целого и целого по нескольким частям, а также при реше¬ нии задач на движение и на вычисление промежутков времени. Пусть дана задача: „Два поезда вышли в одно время друг другу навстречу из двух городов—Москва и Ленинград, расстояние между которыми 650 км; один поезд проходит в час 35 км, дру¬ гой— 30. Через сколько часов они встретятся?” Несмотря на несложность этой задачи (задача в 2 действия), она обычно затрудняет детей. Причина этого кроется в том, что дети ясно не представляют себе, соотношения между временем движения и расстоянием, разделяющим между собою поезда. Чтобы сде¬ лать это ясным для детей, можно изобразить эту задачу таким чертежом: 35 км 35 нм м.—I—h-— I d ч. г-» ч. 650 КМ Рис. 38. Точка М обозначает Москву, точка Л — Ленинград. Через час московский поезд пройдет 35 км по направлению от М к Л, а ленинградский поезд за это время пройдет 30 км по направле¬ нию от Л к М. Таким образом, оба поезда через час приблизи¬ лись друг к другу на 35 км-\- 30 км, т. е. на 65 км, через второй час они приблизятся еще на 65 км. Следовательно, поезда будут итти дру'г другу навстречу столько часов, сколько раз надо при¬ бавлять по 65 км, чтобы получить 650 км, а это короче узнаем делением: 650 юк:65 км— 10. Следовательно, поезда встретятся через 10 час. Возьмем задачу на вычисление промежутков времени. „Заня¬ тия в школе начинаются в 9 час. утра, а кончаются в 1 ч. 30 м. пополудни. Сколько времени продолжаются занятия в школе?” Чтобы сделать решение этой задачи понятной для детей, надо проработать ее на циферблате часов, примерно, так: „По¬ кажите на часах, сколько часов прошло: 1) от 9 час. утра до полудня (до 12 час.); 2) от полудня до 1 часа 30 мин.; 3) от 9 час. утра до 1 часа 30 мин. пополудни”. После проработки задачи на наглядном пособии, дети с по¬ мощью учителя решают ее, рассуждая, примерно, так: „Чтобы узнать, сколько времени прошло от 9 час. утра до 1 часа 30 мин. ПЗ 30 нм 30 км >—I—>л 2-В ■*
дня, надо сперва узнать, сколько времени прошло от 9 час. утра до 12 час. дня. Для этого надо от 12 час. отнять 9 час.— будет 3 часа. Затем надо узнать, сколько времени прошло от 9 час. утра до 1 часа 30 мин. дня: от 9 час. утра до 12 час. дня прошло 3 часа да от 12 час. до 1 часа 30 мин. дня прошел 1 час 30 мин., а всего: 3 часа -f-1 час 30 мин. = 4 часа 30 мин.“ XI. ОБ ОСНОВНЫХ СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ. В соответствующих местах методики мы указали способы ре¬ шения простых задач. Теперь укажем некоторые наиболее употребительные способы решения сложных задач. Понятно, что в начальной школе всех способов решения задач применить нельзя, да в этом и нет необходимости. Надо избрать простей¬ шие и наиболее употребительные. В этих задачах на первое время следует вводить небольшие числа, которые, не отвлекая детей механизмом вычислений, давали бы им возможность со¬ средоточить внимание на способах решения. Но решительно следует восставать против натаскивания в решении .этих задач, ибо это приучает к шаблону, механизации и мертвящей рутине. Если же дети сами под руководством учителя путем сравнения задач, одинаковых по способам решения, подводят их под общий тип, то такое решение задач приносит детям несо¬ мненную пользу, приучая их к вдумчивому и серьезному отноше¬ нию к делу. Говоря вообще, образовательная ценность решения задач заключается не в применении к ним общего шаблона, а в развитии у детей творческого отношения к работе. Можно указать следующие способы решения задач. § 58. СПОСОБ ПРИВЕДЕНИЯ К ЕДИНИЦЕ. Этот способ состоит в том, что от данной совокупности еди¬ ниц переходят к одной единице, а затем от одной единицы переходят к искомой совокупности единиц. а) Возьмем задачу: „2 кг черного хлеба стоят 1 р. 60 к. Сколько придется заплатить по той же цене за'5 кг хлеба?" В этой задаче от стоимости 2 кг хлеба надо переходить к сто¬ имости 1 кг хлеба, а затем от стоимости 1 кг хлеба — к стои¬ мости 5 кг хлеба. Данные подобных задач для краткости и ясности удобно располагать так: 2 кг — 1 р. 60 к. 5 кг — ? 1 р. 60 к. : 2 = 80 к. 80 к.Х5 = 400 коп., или 4 р., а решать по строчкам под чертой, поставленной под записью данных задач. В эту задачу входят две прямо пропорциональные величины — количество хлеба и стоимость хлеба. 184
Две величины называются прямо пропорциональными, если с увеличением (или уменьшением) одной из них во сколько- нибудь раз другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Прямо пропорциональная зависимость для краткости выра¬ жается словами: „чем больше, тем больше; чем меньше, тем меньше". Чем больше куплено хлеба, тем он по той же цене стоит больше; чем меньше куплено хлеба, тем он стоит меньше. Такого рода задачи не представляют затруднения для детей не только IV и III классов, но и для II класса. б) Возьмем задачу: „Делая по 25 км в час, поезд пройдет некоторое расстояние в 4 часа. Во сколько часов пройдет то же расстояние поезд, делающий по 50 км в час?" В эту задачу входят две обратно пропорциональ¬ ные величины — скорость (равномерного) движения и время движения. Две величины называются обратно пропорциональными, если с увеличением (или уменьшением) одной из них во сколько-ни¬ будь раз другая величина, наоборот, уменьшается (или увели¬ чивается) во столько же раз. Обратно пропорциональная зависимость для краткости выра¬ жается словами: „чем больше, тем меньше, чем меньше, тем больше". Чем больше километров проходит в 1 час поезд, тем меньше времени он употребит на прохождение известного расстояния; чем медленнее идет поезд, тем больше времени потребуется для про¬ хождения известного расстояния. Задачи на обратно пропорциональную зависимость даются де¬ тям труднее, хотя способ решения этих задач тот же, что и задач на прямо пропорциональную зависимость, т. е. способ при¬ ведения к единице. Поэтому такого вида задачи надо начинать решать не ранее, как со второй половины третьего года обучения. Поясним, как надо решать задачи способом приведения к единице в том случае, когда есть переход от данной дроби к целому числу и от этого последнего к другому целому числу. з Пусть дана задача: м сатина стоит 6 руб. Сколько стоят 5 jk?“ Дети сперва узнают, сколько стоят ~м сатина; для этого делят 6 на 3 — будет 2. Затем узнают, сколько стоит 1 м сатина; для этого 2 умножают на 4 — будет 8. Наконец, узнают, сколько стоят 5.и сатина; для этого 8 умножают на 5 — будет 40. Таким образом, подобные задачи на данной ступени обучения решаются в 3 вопроса. Впоследствии, когда дети познакомятся с делением на дробь, подобные задачи можно решать в два дей¬ ствия: сначала можно узнать, сколько стоит 1 м сатина; для этого з надо 6 разделить на будет 8. Затем надо узнать, сколько стоят 5 м сатина: 8-5 ==40. Задачи этого типа (с дробью) решаются в IV классе, когда ребята познакомятся с нахождением целого по части. J85
Способ обратного приведения к единице. Этот способ состоит в том, что приводят к единице данное, однородное неизвестному, тогда как ранее приводили к единице одно из данных, не соответствующих неизвестному. Возьмем задачу: „Для хлебозаготовок на 5 возах привезли 30 ц ржи. Сколько надо возов, чтобы перевезти 42 ц ржи?" Решая задачу способом „прямого" приведения к единице, надо было бы переходить через единицу от 30 к 42, т. е. сна¬ чала узнать, на скольких возах перевезут 1 ц ржи ^5:30 = ^ = затем узнать, на скольких возах перевезут 42 ржи (-i Х42 = Решая же задачу способом обратного приведения к единице, мы переходим через единицу от 5 к 42, т. е. сначала узнаем, сколько муки можно перевезти на одном возу (30:5=6); затем узнаем, сколько надо возов, чтобы перевезти 42 ц ржи (42:6 = 7). Говоря иначе: решая задачу первым способом, мы употреб¬ ляем два различных действия — сперва деление, затем умноже¬ ние; решая же задачу вторым способом, мы употребляем два деления: сначала деление на равные части, а затем деление-из¬ мерение (деление по содержанию). Применяя способ обратного приведения к единице к задачам с обратно пропорциональными величинами, можно рассуждать так (см. выше задачу о скорости движения поезда): чтобы пройти некоторое расстояние не в 4 часа, а в 1 час, поезд должен пройти не 25 км, а в 4 раза больше (25-4 = 100); если же поезд будет делать по 50 км в час, то потребуется не один час, а столько часов, сколько будет, если 100 разделить по 50, т. е. 2 часа. Из сказанного видно, что способ обратного приведения к еди¬ нице, являясь иногда очень выгодным при решении задач с прямо¬ пропорциональными величинами, не дает никаких удобств при решении задач с обратно пропорциональными величинами. Такого типа задачи решаются со второй половины года в 111 классе. т § 59. СПОСОБ ПРИВЕДЕНИЯ К ОБЩЕЙ МЕРЕ (К ОБЩЕМУ ДЕЛИТЕЛЮ). Этот способ состоит в том, что переходят от данного к иско¬ мому не через единицу, а через какое-либо другое число, на которое делятся данное и искомое. Возьмем задачу: „На 12 ру¬ башек идет 30 м материи. Сколько пойдет материи на 20 таких же рубашек?" Если решать эту задачу способом приведения к единице или способом отношений, то получатся дробные числа, и вычисления значительно усложнятся. Чтобы избежать в этих случаях дробей, можно пользоваться способом приведения к общей мере. За общую меру принимают общего делителя 12 и 20. Таким делителем являются два числа: 2 и 4. Рассуждают так: если на 12 рубашек пошло 30 м материи, то на 2 рубашки пойдет меньше во столько раз, во сколько 2 меньше 12, т. е меньше в 6 раз, для этого 30 делим на 6 — получается 5. А на 42 6 JSF5
20 рубашек пойдет больще 5 м во столько раз, во сколько 20 больше 2, т. е. больше в 10 раз; для этого 5 умножаем на 10, получается 50. Если за общую меру (за общего делителя) принять 4, то рас¬ суждать надо так же, как выше, но делить надо 12 и 20 на 4. Этот способ дается детям трудно, поэтому не будет беды, если его перенести на пятый год обучения. § 60. СПОСОБ ОТНОШЕНИЙ. Этот способ состоит в том, что сначала узнаем во сколько раз одно из данных больше или меньше неизвестного (говоря иначе, узнаем отношение одного из данных к известному), а затем это данное изменяем соответственным образом. Возьмем задачу: „4м сосновых дров дают столько же тепла, сколько 3 м березовых. Сколько надо березовых дров, чтобы заменить 60м сосновых?” Сперва узнаем, во сколько раз 60 м больше 4 м, для этого 60 делим на 4; так как 60 м больше 4 м в 15 раз, то и березовых дров потребуется в 15 раз больше, чем 3 м; для этого Зм умно¬ жаем на 15 — получится 45 м. Такого типа задачи надо решать, начиная со второй половины третьего года обучения. § 61. СПОСОБ СРАВНЕНИЯ УСЛОВИЙ. 1. Для школы куплено несколько тетрадей по 10 коп. каж¬ дая и столько же книг по 25 коп. каждая. За тетради заплачено на 90 коп. меньше. Сколько тетрадей куплено? 1) Узнаем, на сколько одна тетрадь дешевле одной книги: 25 коп. — 10 коп.= 15 коп. 2) Узнаем, сколько тетрадей куплено: 90 коп.: 15 коп. = 6 (тетрадей). Такого вида задачи могут решаться, начиная со второй по¬ ловины года во 11 классе. 2. Если я куплю 4 книги, то у меня останется 25 коп., а если бы я захотел купить 6 книг, то мне нехватило бы 55 коп. Что стоит одна книга и сколько денег у меня? 1) На сколько больше я хотел купить книг? 6 — 4 = 2 (книги). 2) Сколько стоят 2 книги? 25—}— 55 = 80 (коп.). 3) Сколько стоит 1 книга? 80 коп.:2«=*40 коп. 4) Сколько стоят 4 книги? 40 коп. X 4 = 1 р. 60 к. 187
Или же: сколько стоят б книг? 40 кон. X 6 = 2 р. 40 к. 5) Сколько денег у меня? 1 р. 60 к.-|-25 коп. = 1 р. 85 к. Или же: 2 р. 40 к. — 55 коп.= 1 р. 85 к. Такого вида задачи могут решаться в IV классе. 3. Школа заплатила 310 руб. за 20 куб. м сосновых дров и 15 куб. м березовых дров, в другой раз школа заплатила 340 руб. (по той же цене) за 18 куб. м березовых и 20 куб. м сосновых дров. Сколько стоит куб. м сосновых дров? 1) Узнаем разницу в цене покупки в первый и во второй раз: 340 руб. — 310 руб. = 30 руб. 2) Узнаем причину разницы в цене покупки: за вторую покупку заплачено больше потому, что сосновых дров в оба раза куплено поровну, а березовых дров во второй раз куплено больше. 18 куб. м —- 15 куб. м=3 куб. м. 3) Узнаем цену 1 куб. м березовых дров. 30 руб.:3= 10 руб. 4) Узнаем стоимость 15 куб. м березовых дров. 10 руб. X 15 = 150 руб. 5) Узнаем стоимость 20 куб. м сосновых дров. 310 руб. —150 руб. = 160 руб. 6) Узнаем стоимость 1 куб. м сосновых дров. 160 руб.: 20 = 8 руб. § 62. СПОСОБ ЗАМЕНЫ. 1. За 4 тетради и 5 карандашей заплачено 80 коп.; тетрадь дороже карандаша на 2 коп. Сколько стоит тетрадь и сколько карандаш? В этой задаче дано разностное отношение между неизвестными. 1) Заменим тетради карандашами: предположим, что куплено 4 -[-5=9 карандашей. Тогда надо заплатить за них на 8 коп. (2-4 = 8) меньше. 2) Сколько надо заплатить за 9 карандашей? 80 коп. — 8 коп. = 72 коп. 3) Сколько стоит 1 карандаш? 72 коп.:9=8 коп. 4) Сколько стоит тетрадь? 8 коп.-|-2 коп. = 10 коп. I»
2. Эту задачу можно решить по-другому. 1) Заменим карандаши тетрадями: предположим, что куплено 4 —{— 5 = 9 тетрадей. 2) Тогда за них надо заплатить на 10 коп. (2-5=10) дороже. 3) Сколько стоят все тетради? 80 коп.+ Ю коп. = 90 коп. 4) Сколько стоит 1 тетрадь? 90 коп.:9 = 10 коп. 5) Сколько стоит карандаш? 10 коп. — 2 коп. = 8 коп. Задачи этого вида можно решать в IV классе. 3. За 3 ручки и 4 карандаша заплачено 1 руб. Карандаш де¬ шевле ручки вдвое. Сколько стоит ручка и сколько карандаш? В этой задаче дано кратное отношение между неиз¬ вестными, 1) Вместо 3 ручек можно взять 6 карандашей. 3-2 = 6. 2) Сколько будет всего карандашей? 6 + 4 = 10. • 3) Сколько стоит 1 карандаш? 1 руб.: 10 = 10 коп. 4) Сколько стоит 1 ручка? 10 коп. X 2 = 20 коп. Задачи этого типа можно решать в IV классе. § 63. СОРАЗМЕРНОЕ (ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ) ДЕЛЕНИЕ. Здесь нужно различать следующие случаи. Нахождение двух чисел по их сумме и разности. В двух МТС 75 тракторов; в одной МТС на 15 тракторов меньше, чем в другой. Сколько тракторов в каждой МТС? В этой задаче 75 есть сумма двух неизвестных чисел, а 15 — разность этих чисел. 1) Чтобы решить эту задачу, мы должны предположить, что в двух МТС поровну тракторов. Это можно сделать двояко: от большего числа отнять 15, чтобы сравнять его с меньшим: тогда сумма их также умень¬ шится на 15. а) Чему равны два меньших числа? 75 — 15 = 60. 6) Чему равно меньшее число? 60:2 = 30. Это столько трак¬ торов в меньшей МТС. в) Чему равно большее число? 30+15 = 45. Это столько тракторов в большей МТС. 189
2) Эту задачу можно решить по-другому: к меньшему числу прибавить 15, чтобы сравнять его с большим; тогда сумма их также увеличится на 15. а) 75 + 15 = 90. Это два ббльших числа. б).90:2 = 45. Это столько тракторов в большей МТС. в) 45—15 = 30. Это столько тракторов в меньшей МТС. Подобные задачи надо решать, начиная с III класса. Деление числа на части, кратно неравные. 1. В совхозе 120 голов крупного скота: коров вдвое больше, чем лошадей. Сколько коров и сколько лошадей? 1) Сколько частей всего крупного скота приходится на ло¬ шадей и сколько на коров? Допустим, что на лошадей приходится одна часть, тогда на коров придется 2 части (1-2 = 2). 2) Сколько всего частей крупного скота? 1+2 = 3. 3) Сколько лошадей? 120:3 = 40. 4) Сколько коров? • 40-2 = 80, или же 120 — 40 = 80. Задачи этого вида можно решать, начиная с первой половины третьего года обучения. 2. В 4 классах школы 96 ребят, в III классе вдвое больше, чем в IV, во II вдвое больше, чем в III, а в I столько, сколько во II и IV вместе. Сколько ребят в каждом классе? 1) Сколько частей приходится на каждый класс? На IV класс положим одну часть. На III — 2 части (1-2 = 2). На II — 4 части (2-2 = 4). На I — 5 частей (4 + 1 = 5). 2) Сколько частей приходится на все 4 класса? 1+2 + 4 + 5 = 12. 3) Сколько ребят приходится на одну часть, или сколько ребят в IV классе? 96:12 = 8. 4) Сколько ребят в III классе? 8-2 = 16. 5) Сколько ребят во II классе? 16-2 = 32. 6) Сколько ребят в 1 классе? 32 + 8 = 40.
Задачи этого вида можно решать, начиная со второй поло¬ вины третьего года обучения. 3. У меня был рубль; я купил ручку, тетрать и книгу, и у меня осталось 30 коп., каждая вещь вдвое дороже предыду¬ щей. Сколько стоит каждая вещь? 1) Сколько стоят все вещи? 1 руб. — 30 коп. =«70 коп. 2) Сколько частей приходится на каждую вещь? Положим на ручку 1 часть, тогда придется на тетрадь 2 части (1-2 = 2), на книгу 4 части (2-2 = 4). 3) Сколько частей приходится на все вещи? 1-)-2 + 4 = 7. 4) Сколько денег приходится на 1 часть, или, иначе: скотько стоит ручка? 70 коп.: 7 = 10 коп. 5) Сколько стоит тетрадь? 10 коп. -2 =*20 коп. 6) Сколько стоит книга? 20 коп.-2 = 40 коп. Подобные задачи можно решать, начиная со второй половины третьего года обучения. Пропорциональное деление в собственном смысле. Трое рабочих выкопали ров длиною в 63 м; один рабочий работал 2 дня, другой — 3, третий — 4. Сколько метров рва вы¬ копал каждый рабочий? Здесь надо 63 м разделить соразмерно (пропорционально) числу рабочих дней, т. е. кто больше дней работал, тот больше выкопал рва; кто меньше дней работал, тот меньше выкопал рва. 1) Сколько дней работали все рабочие? 2 + 3 + 4 = 9. 2) Сколько метров рва выкопал один рабочий в 1 день? 63 лг:9=7 м. 3) Сколько выкопал каждый рабочий? а) 7 м-2 = 14 м, б) 7,к-3 = 21 м, в) 7 лг*4 = 28 м. Подобные задачи можно решать, начиная с первой половины третьего года обучения. 191
Деление чисел пропорционально нескольким отношениям. Двое рабочих получили за работу 80 руб.; один работал 2 дня по 8 час. в день, другой 4 дня по 6 час.; за час работы они зарабатывали поровну. Сколько получил каждый? 1) Сколько часов работал первый рабочий? 8 час. X 2 = 16 час. 2) Сколько часов работал другой рабочий? 6 час. X 4 = 24 час. 3) Сколько часов работали оба рабочих? 16 час.+ 24 час. = 40 час. 4) Сколько стоит 1 час работы? 80 руб.:40 = 2 руб. 5) Сколько рублей получил первый рабочий? 2 руб. X 16 = 32 руб. 6) Сколько рублей получил другой рабочий? 2 руб. X 24 = 48 руб. или 80 руб.— 32 руб. = 48 руб. Задачи этого вида могут решаться в IV классе. Нахождение двух чисел по их кратному отношению и по их разности. 1. Володя купил задачник и тетрадь. Задачник в 4 раза до¬ роже тетради, и за него пришлось заплатить на 30 коп. дороже, чем за тетрадь. Сколько стоил задачник и сколько тетрадь? Подобного вида задачи можно решать тремя способами: спо¬ собом частей, способом проверки и способом замены. Мы покажем решение способом частей как более легкое. 1) Сколько частей цены прихбдитея на задачник и сколько на тетрадь? Допустим, что на тетрадь приходится 1 часть, тогда на за¬ дачник придется 4 части. 1X4 = 4. 2) На сколько больше частей приходится на задачник, чем на тетрадь? 4-1=3. 3) Сколько денег приходится на 1 часть или иначе: сколько стоит тетрадь? 30 коп.:3 = 10 коп. 4) Сколько стоит задачник? 10 коп. Х4 = 40 коп. 192
Подобные задачи решаются в IV классе. 2. В двух классах 57 детей; когда в младший класс посту¬ пило еще 3 человека, в нем стало детей вдвое больше, чем во втором. Сколько детей было в каждом классе сначала? 1) Сколько стало детей в двух классах? 57 + 3=60. 2) Сколько частей приходится на каждый класс? На II класс положим 1 часть, тогда на I класс придется 2 части (1 X 2 = 2). 3) Сколько частей придется на оба класса? 1+2 = 3. 4) Сколько детей придется на 1 часть, или, иначе: сколько детей во II классе? 60:3 = 20. 5) Сколько детей было в IV классе? 57 — 20 = 37. Подобные задачи решаются в IV классе. § 64. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ. 1. Рабочий заработал в первую шестидневку 60 руб., во вто¬ рую шестидневку столько же, в третью — 30. Сколько в среднем зарабатывал рабочий в одну шестидневку? 1) Сколько заработал рабочий во все 3 шестидневки? 60 + 60 + 30 = 150 (руб.) 2) Сколько заработал рабочий в среднем в одну шестидневку 150 руб.: 3=50 руб. Из ряда подобных задач учащиеся делают вывод: чтобы найти среднее арифметическое данных чисел, надо, во-первых, найти сумму этих чисел, а во-вторых, эту сумму разделить на ч и сл о данных чисел. Подобные задачи могут решаться, начиная с III класса. 2. При нахождении средней температуры суток, если среди записей есть градусы тепла и холода, надо отдельно сло¬ жить градусы тепла и градусы холода, затем из большей суммы вычесть меньшую и остаток разделить на число наблюдений. Так, если во время четырех наблюдений было: — 2° (г. е. 2° холода), + 6° (т. е. 6° тепла), +9°,— 1°, то для нахождения средней температуры суток надо: 1) 2+1=3; 2)6 + 9=15; 3) 15 — 3=12; 4) 12:4 = 3, т. е. 3° тепла. Подобные задачи могут решаться в III классе при сильном составе детей. 13 Д. Л. Волковский 193
d) Рабочий купил на одном складе3куб.мдров по 10руб. куб.м> на другом складе 2 куб. м по 15 руб. куб. м. Какова средняя цена 1 куб. я дров? 1) Сколько стоят 3 куб. я дров на первом складе? 10 руб. X 3 = 30 руб. 2) Сколько стоят 2 куб. я дров на другом складе? 15 руб. X 2 = 30 руб. 3) Сколько стоят все дрова? 30 руб.+30 руб. = 60 руб. 4) Сколько всего куплено дров? 3 куб. м + 2 куб. м — 5 куб. м. 5) Сколько в среднем стоит 1 куб. м дров? 60 руб.:5=12 руб. Подобные задачи могут решаться, начиная с III класса. 4. На горячие завтраки школа расходовала в среднем в день 50 руб. В первый день она израсходовала 60 руб., во второй — 40 руб. Сколько денег израсходовала она в третий день? 1) Сколько израсходовано денег на завтраки в 3 дня? 50 руб. X 3 = 150 руб. 2) Сколько всего израсходовано денег на завтраки в первые два дня? 60 руб.+40 руб. = 100 руб. 3) Сколько израсходовано денег в третий день? 150 руб.— 100 руб.=50 руб. Подобные задачи могут решаться, начиная со второй поло¬ вины третьего года обучения. § 65. ЗАДАЧИ НА ВРЕМЯ. Задачи на время бывают двух видов: к первому виду отно¬ сятся те задачи, в которых идет речь о постоянных проме¬ жутках времени, выраженных ч и с л ител ь н ым и количе¬ ственными. К этим промежуткам времени относятся: секунда, минута, час, сутки. Ко второму виду принадлежат те задачи, в которых говорится о непостоянных промежутках времени, выраженных числительными порядковыми. Сюда относятся: месяц, год. Задачи этого типа называются календарными. В этих двух видах задач на время можно выделить 3 груп¬ пы задач, различающиеся количественной стороной проме¬ жутков времени; промежуток времени между двумя событиями может быть: 1) меньше суток, 2) больше суток, .но меньше года, 3) больше года. 194
Задачи, в которых промежуток времени между двумя событиями меньше суток, легче остальных задач на время и могут решаться начиная со второй половины второго года обучения. Задачи, в которых промежуток времени между двумя событи¬ ями больше суток, но меньше года, могут решаться, начиная с третьего года обучения. Задачи, в которых промежуток времени между двумя собы¬ тиями больше года, могут решаться в IV классе. Поясним на примерах, как надо решать задачи с постоянным промежутком времени, т. е. с промежутком меньше суток. 1. Пусть дана задача: „Занятия в школе начинаются в 9 час., а кончаются в 2 часа 30 мин. Сколько времени продолжаются занятия в школе?1* Решая эту задачу, дети рассуждают так: от начала занятий до полудня прошло 12 час.—9 час., т. е. 3 часа, да от полудня до конца занятий 2 часа 30 мин., значит, занятия в школе про¬ должались 3 часа -|- 2 часа 30 мин., т. е. 5 час. 30 мин. Записать это можно в 2 строчки так: 12 час. —9 час. = 3 часа 3 часа-[-2 часа 30 мин. = 5 час. 30 мин. Таким образом этот вид задач решается в два вопроса и двумя действиями: вычитанием и сложением. 2. Ученику 11 класса полагается спать 10 час. Он ложится спать в 9 час. вечера. Когда он должен встать? Решая эту задачу, учащиеся рассуждают так: от 9 час. вечера до полуночи прошло 3 часа (12 — 9 = 3). Так как ученику пола¬ гается спать 10 час., а он уже 3 часа спал, то ему осталось спать еще 7 час. (10 — 3 = 7). Следовательно, ученик должен встать в 7 час. утра. Записать это можно так: 12 час. — 9 час. = 3 часа 10 час.—3 часа = 7 час. Таким образом, этот вид задач решается в два вопроса двумя одинаковыми действиями (вычитанием). 3. Ученику II класса полагается спать 10 час.; он встает в 7 час., утра. Когда он должен ложиться спать? Так как ученик встает в 7 час. утра, а ему полагается спать 10 час., то он спал до полуночи 3 часа (10 — 7=3). Так как до полуночи он спал 3 часа, то он лег в 9 час. вечера (12-3 = 9). Записать это можно так: 10 час. — 7 час. = 3 часа 12 час. — 3 часа = 9 час. Эта задача, так же как и предыдущая, решается в два во¬ проса, двумя одинаковыми действиями (вычитанием). Задачи второго вида, так же как и задачи первого вида, ре¬ шаются сложением и вычитанием. 13* 195
Задачи этого вида, так же как и первого вида, делятся на три группы: одна —на сложение и две — на вычитание. OcoieH. ость решения этих задач состоит в том, что в них календарное число, т. е. число, выраженное числительным порядковым, отвечающим на вопрос «к а ко е“, переводится в арифметическое число, т. е. число, выраженное числитель¬ ным количественным, отвечающим на вопрос „сколько", и, наоборот, арифметическое число переводится в календарное. При едем образцы задач. 1. 22 января —день памяти Ленина, а спустя 9 мес. и 16 дней празднуется Оттябрьская социалистическая революция. Когда празднуется Октябрьская социалистическая революция? Задачи этого вида можно охарактеризовать так. В них даются: время предшествующего события (первого мо¬ мента), в данной задаче — день памяти Ленина, и промежуток между этим и последующим событием (вторым моментом), в данной задаче — 9 мес. 16 дней, а отыскивается время последую¬ щего события (второго момента), в данной задаче — день празд¬ нования Октябрьской социалистической революции. В эт й задаче за начало события принимается год, и объяс¬ няется задача так: от начала года до дня памяти Ленина прошло полных 21 день, поэтому надо к 21-му дню января прибавить 9 мес. 16 дней — получится 10 мес. 6 дней, т. е. прошло от на¬ чала года полных 10 мес. 6 дней, следовательно, пошел 7-й день 11-го месяца, т. е. 7 ноября. Таким образом, Октябрьская социалистическая революция празднуется 7 ноября: О мес. 21 день + 9 мес. 16 дней 9 мес. 37 дней 10 мес. 6 дней 7 ноября В третьей строчке выражается ответ с промежуточной (необя¬ зательной в данном случае, но приведенной для ясности) записью (дни не превращены в месяцы). В четвертой строчке ответ выражен числительным количе¬ ственным. В пятой строчке дан окончательный ответ, выраженный чис¬ лительным порядковым. 2. В. И. Ленин родился 23 апреля 1870 г., а умер 21 января 1924 г. Сколько времени жил Лесин? Задачи этого типа можно охарактеризовать так: в них дает¬ ся время двух событий (двух моментов), а отыскивается проме¬ жуток между ними. В этой задаче за начало событий принимается наше лето¬ счисление, наша эра. Объяснение задачи ведется так: от начала летосчисления прошло до дня смерти Ленина полных лег 1923 и полных дней 20, а до дня рождения — полных лет 1869, полных месяцев 3 и полных дней 22. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо узнать, 196
на сколько больше прошло времени от начала нашего лето¬ счисления до смерти, чем до рождения. Письменно это выполняется так: 1923 года 0 мес. 20 дней 1869 лет 3 мес. 22 дня 53 года 8 мес. 29 дней При решении задач на время обыкновенно пользуются чис¬ лительными количественными, но проще можно пользоваться числительными порядковыми, а именно так: 1924- 1—21 1870 — 4 — 23 53 — 8 — 29 3. В. И. Ленин родился 23 апреля 1870 г. и прожил 53 года 8 мес. 29 дней. Когда умер Ленин? Задачу можно решить так: 1869 — 3 — 22 4- 53-8-29 1923— 11—51 1924— 0 — 21 4. Возьмем четвертую задачу, когда надо найти продолжи¬ тельность жизни Ленина. 1924 года 0 мес. 21 день 1870 лет 3 мес. 23 дня 53 года 8 мес. 29 дней 197
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДРОБИ. I. ВВЕДЕНИЕ. § 66. ЗНАЧЕНИЕ ДРОБЕЙ. После целых чисел дроби должны занять первое место в курсе математики начальной школы. Введение дробей в начальную школу имеет большое теоре¬ тическое и практическое значение. Теоретическое значение дро¬ бей заключается в расширении у детей понятия о числе, а прак¬ тическое—в частом применении в жизни дробей: в технических расчетах, в процентных вычислениях, в области естествознания, географии и т. п. Дроби бывают обыкновенные (или простые) и десятичные. Ввиду большого практического значения десятичных дробей на них надо обращать ббльшее внимание, чем на обыкновен¬ ные дроби. Практическое значение десятичных дробей при принятой нами метрической системе мер совершенно очевидно. Что касается обыкновенных дробей, то значение их также велико. Данные американского исследователя Вильсона о распро¬ страненности в жизни действий с дробями показали, что простей¬ шие обыкновенные дроби, как, например: ^ . - > -i i , 2 4 111 . -2 4 4 3 3 8 5Г ’ Т ’ ТГ ’ Т ’ То ’ УпотРебля1°тся чаще других обыкновенных дро¬ бей и в частности чаще десятичных дробей. Что касается других долей, как, например, шестых, седьмых, двенадцатых, двадцать четвертых, шестидесятых, то они тоже встречаются в жизни и в технике. Кроме того устные вычисления с обыкновенными дробями иногда выполняются легче, чем с соответствующими десятич¬ ными. Например: X ■§• = ; - j X -§" = ^ легче вычислить устно, чем 0,5 X 0,125 = 0,0625; 0,25 X 0,2 = 0,05. ^Наконец, надо отметить, что без знания обыкновенных дро¬ бей нельзя понять алгебраические дроби. § 67. ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ ДРОБЕЙ. При прохождении курса арифметики в начальной школе не¬ обходимо знакомить детей сперва с обыкновенными дробями, 198
затем с десятичными. Этого требуют история возникновения и развития дробей, педагогика и жизнь. В частности в пользу того, чтобы сперва изучать обыкновенные дроби, говорит то ди¬ дактическое соображение, что простейшие доли, как, например, Т’ Т ’ 7’ 5~’ "8 ’ Д°стУпнее Для понимания детей, чем десятые, сотые и тысячные доли, а с другой стороны, простейшие доли яв- ялются подготовительной ступенью к усвоению десятичных дробей, а затем и жизнь требует того, чтобы сперва познакомиться с простейшими долями. Изучение простых дробей в начальной школе можно разде¬ лить ка две методические ступени. Первая ступень—так называемое монографическое, или индивидуальное изучение простейших долей, т. е. почти каждая дробь, знаменатель которой не превышает 10, изучается отдельно. Вторая ступень — подготовительная к систематическому курсу обыкновенных дробей. Вторая ступень дробей проходится на четвертый год обучения. § 63. ХАРАКТЕР ОБУЧЕНИЯ ДРОБЯМ. Обучение дробям, как обыкновенным, так и десятичным, долж¬ но быть наглядным, практическим, жизненным, чуждым излиш¬ них правил и определений, непосильных детям. Так как дроби даются детям труднее, чем целые числа, то при обучении детей дробям должна применяться постоянная возможно полная наглядность. Знакомство с дробями производится сперва на предметах— метре, полосках бумаги, палочках, кубиках и т. п., затем на че ртежах —круге, прямоугольнике, квадрате, отрезке прямой, на задачах и на отвлеченных примерах. При изучении дробей на предметах и на чертежах надо ста¬ вить дело лабораторно, т. е. дети должны иметь предметы в своих руках и производить с ними нужную работу, должны делать чертежи, вырезывать из бумаги, наклеивать, раскрашивать, лепить и т. д., а не ограничиваться одними зрительными восприятиями. При проработке дробей со стороны детей должна проявляться возможно большая активность и самостоятельность, ибо при такой постановке дела работа делается интереснее и дети скорее и лучше усваивают дроби. Задачи на дроби должны носить жизненный характер: в них должны быть отражены трудовые моменты—моменты детско¬ го труда, труда в рабочей комнате, труда на огороде и т. п. Задачи должны не только завершать работу с дробями, но должны быть отправными и сопровождающими моментами в работе с дробями. Что касается правил, то, вообще говоря, в курсе арифмети¬ ки начальной школы они должны быть сведены до минимума, причем правила ни в каком случае не могут являться целью изучения того или иного раздела дробей; при вычислениях 199
с дробями дети должны усвоить сущность того или иноги пре¬ образования или действия, основные приемы его выполне¬ ния на конкретном материале, с применением максимума нагляд¬ ности. § 69. КОГДА НАДО НАЧИНАТЬ ЗНАКОМСТВО С ДРОБЯМИ. „ 111 С простейшими долями, как у . -j и надо знакомить детей на втором году обучения, ибо с этими долями ребенок встре¬ чается постоянно, и они, особенно у > знакомы ему еще в дошколь¬ ном возрасте. Естественнее всего впервые знакомить детей с дро¬ бями при прохождении действия деления, ибо самое слово ,дробь" (дробить, делить) говорит за это. § 70. НЕОБХОДИМОСТЬ УСТНОГО СЧИСЛЕНИЯ С ДРОБЯМИ. При обучении дробям почти вовсе не обращается внимание на устное счисление, в частности на беглое счисление с ними. Между тем делать это необходимо и полезно, так же как и с целыми числами. Беглое счисление лучше всего делать на чет¬ вертом году обучения. ✓ § 71. КАК НАДО ПИСАТЬ ДРОБИ И ЗНАКИ ДЕЙСТВИЙ ПРИ НИХ. Правильное начертание цифр и знаков действий имеет боль¬ шое значение: приучает детей к чистоте, отчетливости и к по¬ рядку и тем самым предохраняет от ошибок; поэтому мы нахо¬ дим необходимым подробно остановиться на методике письма дробей и знаков действий. 1. Числитель должен отделяться от знаменателя не наклон¬ ной, а горизонтальной недлинной чертой, особенно при письме смешанных чисел. Такое начертание способствует раздель¬ ности и ясности письма и не дает повода целое число и числитель принимать за одно число, как это нередко бывает тогда, когда дети при письма смешанного числа отделяют чис¬ литель от знаменателя наклонной чертой. Сладует обратить вни¬ мание детей на то, что печатается дробь и с наклонной чер¬ той. показав им это на доске или же в книге. Дробь должна занимать места немного больше, чем целое число. Кроме того числитель и знаменатель дроби не должны касаться горизонтальной черты. Например, надо писать не так: 23/4, а так: 2|- 2. Знак сложения надо писать в виде не очень большого прямого креста с чертами одинаковой толщины и длины так, чтобы горизонтальная черта плюса приходилась против черты, отделяющей числитель от знаменателя, и не сливалась с ней. Например: у -J- у * 200
3. Знак вычитания надо писать достаточной длины и толщины так, чтобы эта черта приходилась против черты, от¬ деляющей числитель от знаменателя, и не сливалась с ней. Например: 4. Знак умножения (косой крест) надо писать так, чтобы точка пересечения прямых наклонных линий приходилась против черты, отделяющей числитель от знаменателя. Например: -^Х5. Если знак умножения обозначать точкой, то ее надо писать довольно жирно и притом так, чтобы она приходилась против черты, отделяющей числитель от знаменателя. Например: ^--3. 5. Знак деления в виде двоеточия надо писать так, чтобы одна точка была выше, а другая ниже черты, отделяющей чис¬ литель от знаменателя, чтобы тем самым показать, что знак з деления относится ко всей дроби. Например: -j-:3. 6. Знак равенства надо писать двумя параллельными достаточной толщины чертами так, чтобы одна черта была выше, а другая ниже черты, отделяющей числитель от знаменателя. Например: Примечание. Знаки препинания при дробях ставятся так: запятая — против черты, отделяющей числитель от зна- 1 1 менателя, например: тр з» точка с запятой так: точка выше черты, отделяющей числитель от знаменателя, а запятая 1 1 ниже этой черты, например: 2> 4 ! знак вопроса так: точка пониже черты, другая часть знака вопроса немножко повыше черты, например: --? § 72. НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДРОБЕЙ. Из многих наглядных пособий при обучении дробям являются лучшими: шар, разделенный пополам, на 4 и на 8 ра ных частей; круг, разделенный на секторы; прямоугольник, разделенный на квадраты; метр, разделенный на дециметры, сантиметры и мил¬ лиметры; полоска бумаги, разделенная на части, и др. Метр с его подразделениями яеляется лучшим наглядным пособием при обучении десятичным дробям. Порядок прохождения дробей первой методической ступени. Прохождение первой ступени обучения простейшим дробям можно разбить на следующие методические разделы: 1. Восприятие дробей с помощью действительных предметов: шара, яблока, полоски бууаги, метра и др. 2. Восприятие дробей с цомощьн) чертежей — круга, прямо¬ угольника, квадрата. 201
3. Письменное обозначение дробей. 4. Знакомство с раздроблением и превращением дробей На- 124421 41 ,. Q пример: 2 ==-£-=-£•; = — — j или же короче: -g- = Умение прочитать и записать это. 5. Сложение и вычитание дробей устно и письменно. 6. Решение задач. Решение задач не только заключает, но и сопровождает работу по усвоению дробей. II. ЗНАКОМСТВО С ДРОБЯМИ НА ВТОРОМ ГОДУ ОБУЧЕНИЯ. На втором году обучения надо познакомить детей с ~, и i. С этими долями надо познакомить детей при прохождении деления в пределе 100. С понятием ^ — при прохождении деления на 2 равные части группы предметов, причем надо познакомить детей с делением пополам сначала одного предмета, а затем группы предметов, ибо это соответствует историческому возникновению половины и психологии ребенка, который еще в дошкольном возрасте получает представление о половине целого ранее, чем представление о некоторых числах первого десятка. С понятием надо познакомить детей при делении на 4 равные части группы предметов. § 73. ЗНАКОМСТВО С ПОЛОВИНОЙ. Дети встречались в жизни с половиной еще до поступления в школу, а потому эта дробь не представляет затруднения для них. С половиной приходится иметь дело в таких случаях: 1) когда дано найти половину одного предмета, 2) когда требуется узнать, что один предмет в 2 раза меньше другого и 3)” когда надо найти половину группы предметов. Первый случай есть самое естественное первичное поня¬ тие о . Это педагогическое положение совпадает и с истори¬ ческим возникновением ~ . Ребенку приходится делить вещи на две равные части, или пополам: ломать палку, резать яблоко, бичевку и т. д. и таким путем получать понятие о ^. Половина есть первая самая рас¬ пространенная дробь. Второй случай есть понятие отношения. Оно труднее пер¬ вого. Ему место в дальнейшем изучении дробей. Третий случай не представляет трудности. Ему место в началь¬ ной школе, начиная со второго года обучения. Приведем образец упражнений для усвоения половины одного предмета. 202
1. Учитель берет какой-либо круглый предмет1), например яблоко, разрезает его на 2 равные части. „Смотрите на яблоко и скажите, на сколько частей разде¬ лено оно? На какие части?" (На равные.) „Как называется каж¬ дая часть этого яблока?" (Половиной.) „Сколько половин в яблоке?" 2. Дети рассматривают круг, прямоугольник (рис. 39), разде¬ ленные пополам2), и с помощью их знакомятся с у так, как выше с яблоком. 1 1 2 2 3. Дети сами чертят прямоугольник и квадрат, делят их пополам, раскрашивают в разные цвета каждую половину. 4. Дети вырезают из бумаги начерченные прямоугольники,, квадраты и разрезают их пополам. 5. Надо познакомить детей с обозначением половины. Объяснить это детям можно, примерно, так. „Смотрите, что я напишу. Сначала я напишу цифру 1, затем под ней небольшую черту, под чертой — цифру 2. Так пишется половина, или одна вторая". Один-двое из детей пишут половину на доске, а остальные у себя в тетрадях, в каждой части начерченного прямоугольника и квадрата. 6. На первое время над половиной можно производить только два действия — сложение и вычитание, причем устно и с помощью наглядных пособий, примерно, так. „Смотрите на рисунок яблока и на две половины его и ответьте: 1) Сколько будет — половина яблока да еше половина яб¬ лока? 2) Сколько будет — одно яблоко да еше половина яблока? (Яблоко с половиной, или полтора яблока.) 3) Сколько будет—полтора яблока да еще половина яб¬ лока? 4) Сколько будет — от одного яблока отнять половину его? *) Для первично.го знакомства с простейшими долями сначала лучше брать круглые предметы, чем прямоугольные, ибо часть, например, полоски бумаги выглядит как целая полоска, между тем как часть круглого предмета по своему виду не похожа на целый круглый предмет. 2) При занятии с классом чертежи, по образцу приведенных, чертятся учителем на доске или же заранее рисуются на листе бумаги в гораздо большем размере. Это замечание касается и остальных чертежей, приве¬ денных ниже, 203
5) Сколько будет — от полутора яблок отнять одно яблоко? 6) Сколько будет — от двух яблок отнять половину яблока?" После этого дети знакомятся с ~ м и с у кг. § 74. ЗНАКОМСТВО С ЧЕТВЕРТЫМИ ДОЛЯМИ. После нахождения половины одного предмета и группы предметов мы переходим к нахождению четвертой части одного и нескольких предметов, ибо, во-первых, нахождение четвертой части одного и нескольких предметов чаше встречается в жизни, чем нахождение третьей части; во-вторых, знакомство с этой долей, как основывающейся на нахождении половины, дается детям легче, чем нахождение третьей части; в-третьих, такой путь соответствует историческому возникновению этой дроби. На данной ступени при знакомстве с половиной половина не раздробляется в четвертые доли, и, наоборот, четвертые доли не превращаются в половины: сложение с вычитанием производится только над четвертыми долями на наглядных пособиях и устно; назаания „числитель" и „знаменатель" не сообщаются. Представление о четвертых долях. 1) „Смотрите на круг (рис. 40). На сколько частей он разделен?" (На 4.) „На какие части разделен круг?" (На рав¬ ные части.) „Как называется каж- —а дая часть этого круга?" (Чет- ш. вертью, или четвертой ча- стью.) „Сколько четвертей в \ этом круге?" (4 четверти.) „Пока¬ жите одну четверть, другую чет¬ верть, третью четверть, четвертую четверть". 2) Если понадобится, то же самое прорабатывается с квад¬ ратом. 3) „Вырежьте из бумаги квадрат, сложите и разрежьте его на 2 равные часш, каждую часть разделите опять на 2 равные части. На сколько частей и на какие разделен квадрат теперь? Как называется каждая из 4 равных частей квадрата?" 4) „Нарисуйте квадрат и разделите его на 2 равные части, проводя линию из одного угла в другой; соедините прямой линией 2 других угла. На столько частей и на какие вы раз¬ делите квадрат? Как называется каждая из 4 равных частей квадрата?" 5) Знакомство с письмом одной четверти, двух четвертей, трех четвертей происходит так же, как и с письмом половины (стр. 203, п. 5.). Сложение четвертых долей. 1. „Смотрите на первый прямоугольник слева (рис. 41). На сколько равных частей он разделен?" (На 4.) „Какая часть 204
прямоугольника зачерчена наклонными влево линиями?1* (Чет¬ вертая часть.) „Какая часть прямоугольника зачерчена наклон¬ ными вправо линиями?** (Тоже четвертая.) „Сколько будет чет¬ вертей— 1 четверть да 1 четверть?** ЙШ itiS ill ж [4W ; Рис. 41. 2. „Смотрите на второй прямоугольник. Сколько четвертей в нем? Сколько четвертей зачерчено наклонными вправо линиями?** (2 четверти.) „Сколько четвертей зачерчено наклонными влево линиями?** (Одна четверть.) „Сколько всего четвертей зачерчено? Сколько же будет четвертей — 2 четверти да 1 четверть?** (3 четверти.) 3. По образцу сейчас приведенного 2-го пртмоугольника рас¬ сматриваются прямоугольники 3-й и 4-й в той же строке. Вычитание четвертых долей. 1. „Смотрите на первый прямоугольник слева (рис. 42). Сколько четвертей в нем? Сколько четвертей зачерчено в нем наклонными линиями? Сколько незачерченных четвертей? Сколько останется четвертей, если от одного целого прямоугольника отнять 1 четверть его?** (3 четверти.) (Ш ш ШЖ,'/ ЁШ ш ЙН • • Щ Рис. 42. 2. По образцу этого прямоугольника рассматриваются 2-й и 3-й прямоугольники в той же строке. 3. „Смотрите на 4-й прямоугольник. Сколько четвертей в нем? На четверть справа снизу, которая очерчена с двух сторон маленькими черточками, не обращайте внимания. Сколько чет¬ вертей тогда останется?** (3 четверти.) „Из этих 3 четвертей сколько четвертей зачерчено? Сколько незачерченных чет¬ вертей? Сколько же будет четвертей — 3 четверти без 1 четверти?** 4. По этому образцу рассматривается 5-й прямоугольник в той же строке. Примечание. Сложение и вычитание четвертых долей можно и полезно проработать на полоске бумаги путем деления (разрезания) ее на 4 равные части. 205
§ 75. ЗНАКОМСТВО С ВОСЬМЫМИ ДОЛЯМИ. Дети повторяют вторые и четвертые доли и вновь знакомятся с восьмыми долями по примеру знакомства с половиной на круге, прямоугольнике и квадрате, разделенными на 8 равных частей. На данной ступени обучения дробь мыслится ребенком не как отвлеченное дробное число, а как конкретная часть предмета, не ± вообще, а * круга, прямоугольника, квадрата, метра, кило¬ грамма и т. п. Половина и четвертв не раздробляются в восьмые доли, и восьмые доли не превращаются в четвертые и во вторые доли, ■хотя не будет беды, если дети и познакомятся с этим. Произ¬ водится сложение и вычитание только одноименных долей, причем делается запись сложения и вычитания, например: 1,3 4 7 3 4 8 М+8 М=8 М> 8 8 KZ~ 8 К2- Сложение и вычитание восьмых долей производятся с по¬ мощью следующих чертежей (рис. 43 и 44)1): щ й ш\ 3 -1-1 8*8' Ч ||||| ±4-1 8 ‘8 8^8 Рис. 43. '/у/ 5 . 2 RT А и ч тщ м 6 + 8 & 1 — Ш щ ¥4 % 1 8 — \ 2 8 “* Рис. 44. 1. «Смотрите на первый прямоугольник слева (рис. 43). На сколько равных частей он разделен?" (На 8.) „Какая часть прямо¬ угольника зачерчена прямыми наклонными линиями?" (1 .) „Какая часть прямоугольники зачерчена прямыми стоячими линиями?" (^-) „Сколько жь оудет восьмых — J- да (± ) 1) Чертежи эти надо начертит] на особых полосках бумаги в гораздо боль¬ шем размере д тиною в 24 см, а шириною в 8 см, Хорошо каждое дробное сла¬ гаемое н дробное вычитаемое закрашивать разными красками. 206
Записать это надо так: —1 8 8 8 ’ а прочитать так: к -|- прибавить g—будет -g-. По образцу этого дети под руководством учителя прораба¬ тывают упражнения и с другими прямоугольниками на том же рисунке. 2. „Смотрите на первый прямоугольник слева (рис. 44). На сколько равных частей он разделен?" (На 8.) „Сколько восьмых зачерчено в нем черточками?" (-§-•) „Сколько незачерченных 7 \ восьмых?" (-g-. ] „Сколько же останется восьмых—-от8 восьмых *7 \ отнять 1 восьмую?" ( g-. ) Записать это надо так: 8 17 ,17 8 8 8 ’ ИЛИ Же 8 8 ** По образцу этого рассматривается второй прямоугольник на рис. 44 (l—-|). 3. „Смотрите на третий прямоугольник (рис. 44). На сколько равных частей он разделен?" (На 8.) „На одну восьмую справа внизу, которая очерчена с двух сторон маленькими черточками, не обращайте внимания. Сколько восьмых тогда останется?" (-g-. ) „Из этих -g- сколько восьмых зачерчено черточками?" .) „Сколько незачерченных восьмых?" (g-. ) „Сколько же будет вось¬ мых— от 7 восьмых отнять 2 восьмых?" Записать это надо так: 7____2 _5 8 8 8 ' 7 2 5 а прочитать так: от -g отнять g-—остается g-. По образцу этого рассматриваются 4-й и 5-й прямоугольники. С восьмыми долями лучше всего познакомить детей после прохождения деления в пределе 100 на 8 равных частей. При прохождении восьмых долей уместно познакомить детей с нахождением -g и именованного числа. Запись эта производится так:-^- числа 12л* = 6лг; ~ числа 16кг=4кг;-^ числа24сут. == 3 сут. Названия „числитель" и „зна¬ менатель" не сообщаются детям. С долями у, | и | надо упражняться не только при про- 207 (4-)
Хождении деления группы предметов на 8 равных частей, но и во всех других частях курса арифметики, где для этого пред¬ ставится возможность. III. ЗНАКОМСТВО С ДРОБЯМИ НА ТРЕТЬЕЙ! ГОДУ ОБУЧЕНИЯ. На этом году обучения проходятся пятые и десятые доли, причем угл)бляется и расширяется объем знаний о пройденных ранее долях. Так, требуется пройти: преобразование долей, сравнение их по величине, сложение и вычитание одноименных долей, нахождение нескольких частей целого числа (двумя дей¬ ствиями). Сравнение у, А и А может прорабатываться на таком чертеже (рис. 45): 1 1 1 4 И Рис. 45. * 1 5 1 1 1 1 1 ^ Что больше — у или у? у или у? у или у? С помощ'-ю этого чертежа можно объяснить: а) Раздробление долей, ставя такие вопросы: 1 13 Сколько четвертей в у? Сколько восьмых в у? в у? Записать это можно так: 1—A- А — А- 1 —i • А А 2 4 ’ 4 8 ’ 8 ’ 4 8 б) Превращение долей, ставя такие вопросы: 2 2 — (две четверти) равны скольким половинам? у равны сколь- 4 ким четвертям? - - равны скольким половинам? Записать это можно так: 2_ 1_ . 2,—1- А А 4 2 ’ 8 4 ’ 8 ~ 2 ‘ Зная превращение (сокращение) простейших дробей, можно применять его при сложении и вычитании дробей, например: Л , А—А—А- А_А—А = А- А_А—А_А 8^8 8 2 ’ 4 4 4 2*8 8 8 2 ' 208
§ 76. ПЯТЫЕ ДОЛИ. I. Знакомство с пятыми долями производится так же, как и с восьмыми долями (рис. 46 и 47). Рис. 46. ТП Шт I ¥Шт ггтш _J__. 2,2 3.2 . 3_ 4 2 5 5 ’ 5 5 ’ Т+5'_: ТГ_1Г“; Рис. 47. Примечание. Сложение и вычитание пятых долей про¬ изводится так же, как сложение и вычитание восьмых долей (стр. 206). 3. Что больше: — или-g- или -g-; g- или -jr-J одного и того же прямоугольника? круга? (рис. 48.) П Рис. 48. § 77. ДЕСЯТЫЕ ДОЛИ Р. 1 2 14 2 1.1; 10= —- 110= —Л- — — — 4- = 10 ’ 10^10 10 ^ 10 Рис. 49. A _L —— 10 + 10“ !) Упражнения с десятыми долями прорабатываются так же, как и с вось¬ мыми долями (см. стр. 206). 14 д. л. Волковский 209
7Г Ч А И № -м I —н 2 —4- — - 10 МО' 1^ 10' l-k Рис. 50. J. 5 V2 _8 10' 2_ ю: ]_ 10' 3_ ю: 3. Что больше: или ~ илиодного и того же прямоугольника? □Z / 1 11 11 1т или т; т или-g-; ^ или -g- k ■ т 11 |] I Щ\ ш Рис. 51. 4. Сколько десятых в A; I; 1: J? А ? (рис. 51). W' т V f* т ■<s у1 ”7* 44 1'- Ч ';1 / '■у , iwi Рис. 52. к J. I . _1 I j_ . J I 3 .2.2 2 ~М0 10 ’ 5 10— 10 * 2' 10' То * "5 * Тб Тб ’ Т + Т+те=!о (Рис- 52)- С yllA. Ш —1..J %! ц 1 щ Рис. 53. 6 JL__L—J__ i ■ 2 10 10’ 5 Го 10’ 2 10 10 ’ "5 Ш^Гб (РИС* 10 210
7. Покажите при помощи чертежей, подобных выше приведен¬ ным, сколько будет: а) Y 4-—' +10 ’ 1.1- 5 ^10 * 3,3. 5 ' 10 ’ J- _i_ — _1 L ? 2 ^ 5 ' 10 б)^ 2 . 1 4 . 2 2 . 3 4.4 10’ 2 10 ’ 5 10’ 5 10’ 5 § 78. НАХОЖДЕНИЕ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТЕЙ ЧИСЛА. С нахождением одной части дети познакомились на втором году обучения, на третьем году нахождение части числа рас¬ ширяется нахождением нескол ьких частей числа. Нахождение нескольких частей числа прорабатывается сначала на предметах, примерно, так: „Возьмите 8 кубиков. Разложите их на 4 равные части. По¬ кажите часть кубиков. Сколько кубиков в -i части кубиков?" 3 3 „Покажите части кубиков. Сколько кубиков в-^- части кубиков?" Затем нахождение нескольких частей числа прорабатывается на таких чертежах (рис. 54): V / / / 1 4 1 в 1 1 и < — 1 < — 1 4 с/я “ > Рис, 54. 1. „На сколько равных частей разделен левый брусок? Пока- жите , j- этого бруска. Если этот брусок длиной 12 см, то 12 3 сколько сантиметров в его длины?" 2. „На сколько равных частей разделен правый брусок? По¬ кажите бруска. Если этот брусок длиной 24 см, то 13 5 7 сколько сантиметров в -g, -g-, g , g его длины?" 3. „Проведите прямую линию, разделите ее на 8 равных частей. Пусть вся линия показывает расстояние от школы до сель¬ совета, а это расстояние равно 80 м. Сколько метров в g, g, g , g- этого расстояния?" Затем надо находить несколько частей какой-либо единицы меры. Вот образцы таких задач: 1. Сколько месяцев в|, года? 2. Сколько сантиметров в g, g, м? Далее можно решать численные примеры. 14* 211
3 1 Пусть дано найти -g- от 32. Дети находят сперва -g- от 32 путем з деления 32 на 8, затем находят -g- от 32 путем умножения 4 на 3. Записывается это в две строки сперва так: от 32 = 32:8 = 4; от 32 = 4X3 = 12, а затем так: от 32 = 4; ~ от 32 = 12. После этого можно решать более сложные задачи, вроде та- 5 кой: „В классе 40 детей, из них-g-—дети рабочих, а остальные — дети служащих. Сколько детей служащих?" IV. ЗНАКОМСТВО С ДРОБЯМИ НА ЧЕТВЕРТОМ ГОДУ ОБУЧЕНИЯ. В IV классе по программе на 193-5/36 учебный год полагается пройти доли , g-, ~; сравнение этих долей по величине и преобразование их; сложение и вычитание одноименных и крат¬ ных долей; десятичные дроби (десятые, сотые и тысячные). § 79. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ. >. В предыдущие годы обучения было так называемое моно¬ графическое изучение дробей, т. е. каждая из дробей /1 1 1 1 1 \ \ '2’ Т’ "в ’ Т’То/ изУчалась Отдельно. На четвертом году несколько расширяются и углубляются знания учащихся о дробях. Происхождение дроби от деления единицы на равные части. Происхождение дроби лучше всего объяснить на какой-либо линейной мере, например метре или дециметре, таким образом. Пусть метр будет единица. „Разделите метр на 10 равных частей. Как называется десятая часть метра?" (Дециметр.) „Покажите 3 дециметра. 3 дециметра — 3 это какая часть метра?" (Три десятых метра.) „Число jq на¬ зывается дробью". з 1) „Как же мы получили jgм?“ (Метр разделили на 10 рав¬ ных частей и таких частей взяли 3.) з 2) В дроби jg число 10, написанное под чертой, называется знаменателем. Число 3, стоящее над чертой, называется чи¬ слителем. 3) Знаменатель 10 показывает, что метр (единица) разделен на 10 равных частей. Числитель 3 показывает, что десятых частей метра (единицы) взято 3. 212
2 4) После этого дети находят на дециметре -=■ доли, а затем О 2 находят у дм на чертеже, делая такой чертеж (рис. 55), Рис. 55. т. е. делят дециметр на 5 равных частей и берут 2 такие части. После рассмотрения нескольких подобных дробей дети де¬ лают выбод: знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделена единица; числитель дроби показывает, сколько таких частей взято. Сравнение величины обыкновенных дробей. 1. Сравнение величины дробей с одинаковыми знаменате¬ лями, но с разными числителями. 1) „На сколько равных квадратиков разделен каждый прямо¬ угольник? Сколько квадратиков зачерчено черточками в каждом 3 5 прямоугольнике (рис. 56)? Которая из дробей больше: g- или-g-?" У/4 If. 'Жа Ж,'Л ш ж ж Щ н Рис. 56. 2) „Сколько дециметров в -g- ,«?“ (2.) „Сколько дециметров в 2 3 g-ж?" (4.) „Сколько дециметров в-g-ж? Которая из дробей больше: 2 3 -g- или -„-?“ 5 5 i 3 7 3) „Которая из дробей больше: jg или jg?" 7 3 „Почему jq больше ^ ?“ (Потому, что доли в обеих дробях одинаковы, но во второй дроби число долей больше.) 2. Сравнение величины дробей с одина¬ ковыми числителями, но с разными знаме¬ нателями: 1) „Какая часть каждого прямоугольника зачерчена черточками?" (рис. 57). 2) „С помощью этих чертежей скажите, ка- 3 3 кая из дробей больше; — или g-?* I Рис. 57. 213
3) „Покажите на метре, сколько дециметров в yg лг? Сколько о 2 2 дециметроз в -g- м? Что же больше: ygм или -g-w?" 2 2 4) „Которая из дробей больше:-g- или-g-? Почему?" (Потому, что третьи доли крупнее шестых, а число долей одинаково.) Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. 1 1 4 5 Рис. 58. 5 "6 7_ 8 £ 10 1) „Что больше — единица или каждая из этих дробей? Сколько нехватает каждой из этих дробей до единицы?" (рис. 58). О © © 0 1 — 4 5 Рис. 59. 10 10 2) „Что больше — единица или каждая из этих дробей?" (рис. 59). О (Ю ©Р 06 6 9_ 4 5 Рис. 60. 12 8 15 1J 3) „Что больше — единица или каждая из этих дробей?" (рис. 60). На сколько каждая из этих дробей больше единицы?" 4) Определение: дробь, которая меньше единицы, называется правильной дробью. Или иначе: дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью; дробь, которая равна единице или больше единицы, назы~ вается неправильной дробью. Или иначе: дробь,у которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной дробью. 5) „Назовите и напишите несколько неправильных дробей с знаменателем 8". 6) „Назовите и напишите несколько правильных дробей с чи¬ слителем 3". 7) „Назовите и напишите дробь, равную единице, с числителем 5". 214
8) „Назовите и напишите дробь, равную единице, со знамена¬ телем 6". 9) „Назовите и напишите несколько неправильных дробей, равных единице". 10) „Назовите и напишите несколько неправильных дробей, которые больше единицы, со знаменателем 5". 11) „Назовите и напишите несколько неправильных дробей, которые больше единицы, с числителем 10“. 12) „Назовите и напишите несколько неправильных дробей, которые больше единицы". 13) „С помощью рисунка прочтите каждое из этих чисел (рис. 61)“. оа ово? со^ осо oooi i I I 2 .3 с) 4 п7 об 12 3 *4 5 10 Рис. 61. „Из скольких единиц и какой дроби состоит каждое из этих чисел?" Целое число с дробью называется смешанным числом. „Придумайте смешанные числа". Обращение целого числа и смешанного числа в неправильную дробь. 1. Прорабатывается графически (рис. 62). Ф ОС (KD (ДХЮ ООС° 1 1± 2 21 Рис. 62. „Сколько половин в 1; в l4; в 2; в 2^; в з4?“ 1 11 2 2} Рис. 63. 2) „Сколько третей в I; в l{; в 2; в 2|?“ (рис. 63). 2. Прорабатывается в связи с именованными числами. 3) „Сколько дециметров в 3 м? Сколько десятых в 3 единицах? Сколько сантиметров в 5 &и? Сколько десятых в 5 единицах? 4) а) Сколько дециметров в 3 м 4 дм?“ 215
Дети рассуждают: в 1 м — 10 дм, в 3 м~ в 3 раза больше — 30 дм, да 4 дм — всего 34 дм. б) „Сколько десятых в Зу?“ В 1 единице 10 десятых, в 3 единицах в 3 раза больше: 10 десятых взять 3 раза — будет 30 десятых, да 4 десятых — всего 34 десятых [Щ. з в) „Сколько сантиметров в 5 дм 3 см? Сколько десятых в 5jq?“ Исключение целого числа из неправильной дроби. 1. Прорабатывается графически. 1) „Сколько единиц и половин в у; в у; в -|; в \ (Рис- 62)?“ 4 6 8 2) „Сколько единиц и третей в-|;в-;в | (рис. 63)?“ 2. Прорабатывается в связи с именованными числами. 3) а) „Сколько метров составляют 30 дм?“ Дети рассуждают: 10 дм составляют 1 м; 30 дм составляют столько метров, сколько будет, если 30 дм разделить по 10 дм: будет 3; значит, 30 дм = 3 м. 30 / б) „Сколько единиц в ^?“ 110 десятых составляют 1 единицу, 40 40 \ a jq составят 3 единицы; 30:10 = 3; jq = 3. 1 4) а) „Сколько дециметров и сверх того сантиметров в 45 см?и Дети рассуждают: 10 см составляют 1 дм; 45 см составят столько дециметров, сколько будет, если 45 см разделить по 10 см; будет 4, и 5 см остаются неразделенными; значит, в 45 см 4 дм 5 см. Записать это надо так: 45 см = 4 дм 5 см. 45 б) „Сколько единиц и сверх того десятых долей в (10 десятых составляют 1 единицу, а 45 десятых составят 5 45 4 единицы, и jq остаются неразделенными; значит, в ^ — 4 еди¬ ницы и 5 десятых.) Записать это надо так: = 5) Обратить в целые числа с дробью следующие неправиль- 20 43 47 ные дроби: у года; у руб.; у часа. с, г, 12 20 6) Превратить: у года; у м. 7) Исключить целое число из каждой неправильной дроби: \ 11. 17. 12 3’ 4* 5 ■ 8) Выразить в виде смешанного числа каждую из дробей: 29 . 35 . 75 12 ' 16 ’ 20 - 216
Увеличение и уменьшение дробей путем изменения числителя. Увеличение дроби. 1. Прорабатывается увеличение дроби графически (рис. 64). Рис. 64. 1) „На сколько равных частей разделена прямая линия?" (На 8.) „Сколько восьмых вверху отделено дугой?" (2.) „Возьмите 2 /2 по -g- три раза —сколько будет восьмых?" (-g взять 3 раза — будет . ) Записать это можно так: -|-ХЗ=-|-. 2. Прорабатывается в связи с именованными числами. 3 6 2) „В -^м сколько дециметров? В сколько дециметров?" g „Во сколько раз 6 дм больше 3 дм? Во сколько раз ^м 3 6 3 больше jq м? Почему ^ м больше м в 2 раза?" (Потому, что числитель 6 больше числителя 3 в 2 раза.) з „Если увзять 3 раза, то во сколько раз увеличится эта дробная часть метра?" 3. Проработка на отвлеченных числах. з 3) „В дроби X числитель увеличьте в 2 раза, а знаменатель оставьте без получится Рис. 65. изменения. Какая 6 3 дробь? Почему -g- больше j в 2 раза?" Уменьшение дроби. 1. Прорабатывается графически (рис. 65). 1) „На сколько равных частей разделена прямая линия?" (На 8.) „Сколько восьмых частей отделено вверху дугой?" (6.) „Разделите прямой линии на 3 равные части, сколько бу¬ дет!" (Две восьмых.) 2. Прорабатывается в связи с именованными числами. 2) „В — м сколько дециметров? В м сколько дециметров? Во сколько раз 8 дм больше 4 дм?“ „Если 4-дм разделить на 2 равные части, то во сколько раз О уменьшится эта дробная часть метра?" 217
3. Прорабатывается на отвлеченных числах. 3) #В дроби ^ числитель уменьшить в 3 раза, а знаменатель оставить без изменения — какая получится дробь?" Записать это можно так: -|-:3 — , Раздробление дробей. Раздробление дробей, числитель которых — единица. Это раз¬ дробление можно проработать с детьми примерно так: 1 2 4 • 1 1 8 1 16 Рис. 63. 1. „Пусть каждый из этих четырех прямоугольников (рис. 66) будет изображать собою метр в уменьшенно