и*л
Издательство
и н о странной
литературы
*

LECTURES
ON THE CALCULUS
OF VARIATIONS
by
GILBERT A. BLISS
CHICAGO . ILLINOIS

Г. А. ВЛИСС
ЛЕКЦИИ
ПО ВАРИАЦИОННОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ
Перевод с английского
ю. к. оолнцева
под редакцией
Л. Э, ЭЛЬСГОЛЬЦА
1950
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателей книга Влисса „Лекции по
вариационному исчислению" заполняет существенный пробел в
математической литературе, посвященной вариационным задачам. В ней
с исчерпывающей полнотой изложены результаты так называемого
„классического" направления в вариационном исчислении,
развивающего и обобщающего методы, восходящие еще к Якоби и
Вейерштрассу.
В первой, более элементарной части книги дано весьма полное
и ртрогое изложение задачи об исследовании на безусловный
минимум функционала, зависящего от одной или нескольких неизвестных
функций одной независимой переменной. Вторая, наиболее
интересная часть книги посвящена задачам на условный экстремум
функционалов того же типа. В ней с исключительной четкостью изложена
теория наиболее общих задач на условный экстремум, причем
многие результаты впервые излагаются в учебной литературе.
Книга Влисса, безусловно, представляет значительный интерес
для научных работников, аспирантов и студентов
физико-математических факультетов. Однако эта книга имеет один весьма
существенный недостаток — она может создать у неискушенного читателя
совершенно ложное представление о роли русских и советских ученых
в создании вариационного исчисления. На протяжении всей книги
и в приводимой библиографии, за исключением трудов петербургского
академика Эйлера, ни разу не упоминаются работы русских и
советских ученых.
Это заставляет нас, хотя бы совсем в краткой форме,
остановиться на достижениях отечественной науки в области
вариационных задач.
Начиная с 1696 г. и до фундаментальных работ Эйлера были
поставлены и решены лишь отдельные вариационные задачи, причем
не было создано сколько-нибудь общих методов решения этих
разрозненных задач. Лишь Леонард Эйлер создал вариационное
исчисление как самостоятельную математическую дисциплину, с присущими
ей своеобразными методами исследования. Эйлер в достаточно общей
форме поставил основные вариационные задачи и разработанным
им методом, называемым теперь конечно-разностным прямым
методом, впервые получил необходимые условия экстремума в этих
задачах. В более поздний период своей деятельности Эйлер с
исключительным успехом применял введенный Лагранжем метод

ПРЕДИСЛОВИЕ
варяаций для исследования более сложных задач вариационного
исчисления.
После работ Эйлера значительный вклад в вариационное
исчисление был внесен в 1834 г. русским математиком М. В.
Остроградским, который впервые получил необходимые условия экстремума
кратных интегралов.
Не останавливаясь на менее значительных работах русских
математиков досоветского периода, перейдем теперь к весьма
краткому обзору работ по вариационному исчислению советских ученых,
которые не только с большим успехом продолжали работу в
„классическом" направлении, но и создали совершенно новые методы
исследования вариационных задач.
Обогащая „классическое" направление
теоретико-функциональными методами, М. А. Лаврентьев, А. М. Размадзе, Л. А. Люстерник
и В. В. Вагнер добились выдающихся результатов главным образом
в области разрывных решений и в теории условного экстремума
простых и кратных интегралов. К тому же „классическому"
направлению могут быть отнесены некоторые работы Н. Е. Жуковского,
Н. М. Крылова, О. Л. Соболева, К. О. Ермилина, Ю. В. Икорни-
кова, Б. Я. Букреева, А. Г. Оигалова, М. Ф. Зимина, И. М.
Раппопорта и А. О. Турчанинова.
Начиная с 1926 г., после работ Л. А. Люстерника, широкое
развитие получили так называемые прямые методы в вариационных
задачах, в разработке которых приняли участие И. Г. Петровский,
М. А. Лаврентьев, Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и Л. А.
Вишневский.
Идея прямых методов заключается в том, что вариационная
задача рассматривается как предельная для соответствующей задачи
на экстремум функции конечного числа переменных. Обычными
методами решается задача на экстремум функции конечного числа
переменных, а затем предельным переходом получаем решение
соответствующей вариационной задачи. Один из прямых методов —
конечно-разностный метод применялся уже в работах Эйлера,
однако в дальнейшем этот метод долгое время совершенно не
разрабатывался и с новой силой возродился лишь в 1926 г.-, начиная
с работ Л. А. Люстерника.
Идея конечно-разностного метода заключается в том, что функ-
ь
ционал V[y(%)], например Г F(x, у, у') dx, рассматривается не
а
на произвольных, допустимых в данной задаче кривых, а лищь на
ломаных, составленных из заданного числа п прямолинейных
звеньев, с заданными абсциссами вершиЦ:
а 4- Да?, а + 2 Д#, ..., а + (п — 1) Д#, где Д# = —— .

ПРЕДИСЛОВИЕ
7
На этом классе линий функционал V [у (#)] превращается в
функцию Ф (уг, у2,.. •., Уп-i) ординат уи Уъ •.., уп_х вершин ломаных.
Находя экстремум функции Ф(г/1, у2, • •> yn-i)>,* затем переходя
к пределу при п -> оо, при некоторых дополнительных
предположениях удается получить решение вариационной задачи. Этим
методом Л. А. Люстерник исследовал некоторые новые классы
вариационных задач, а также применил его к решению задачи Дирихле.
В этом же направлении интересные результаты были получены
И. Г. Петровским, Сходными методами исследование иных задач
вели М. А. Лаврейтьев, Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов.
Изучением другого прямого метода, так называемого метода
Рица, усиленно занимались Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов. Идея
этого метода заключается в том, что некоторый функционал V
изучается не на произвольных, допустимых в данной задаче функциях,
п
а лишь на линейных комбинациях 2аЛ с постоянными коэффи-
циентами, составленными из п первых функций некоторой
последовательности функций ut, и2, ид, ..., иПУ . -. При этом
функционал V превращается в функцию Ф (а1э а2> •••> ап) коэффициентов
«i> а2* • • •> Ai- Решая систему уравнений -^- = 0 (i = 1, 2, ..., п),
находим точки экстремума функции Ф, а затем, переходя к пределу
при п -* оо, при некоторых предположениях, касающихся свойств
функционала V к полноты системы функций uv u2, ...,ип, ...,
получаем решение вариационной задачи: Обоснованию этого
метода и оценкам получающихся аппроксимаций посвящены работы
Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Своеобразный прямой метод,
представляющий исключительный интерес, был предложен и
разработан Л. В. Канторовичем.
Нельзя не упомянуть также о работах Н. М. Крылова и Л. А.
Вишневского по изучению аппроксимативного метода решений
вариационных задач, идея которого впервые высказывалась еще П. Л. Чебыше-
вым.
Начиная примерно с 1925 г., вариационное исчисление обогатилось
еще одним новым направлением—начали развиваться качественные
методы исследования вариационных задач. В связи с тем, что
дифференциальные уравнения вариационных задач, как правило, не
удается проинтегрировать в конечном виде, большое значение,
наряду с приближенными: методами, приобретают качественные
методы исследования. При исследовании дифференциальных уравнений
вариационных задач может быть использован зесь арсенал
качественных методов в теории: дифференциальных уравнений, в создании
которого столь блестящих успехов добились отечественные ученые:
А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, В. В. Степанов, А. Я. Хинчин,
И. Г. Петровский, А, Н. Тихонов, В. В. Немыцкий, >А. А. Марков^

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
И. Г. Малкин, А. А. Андронов, Н. Г. Четаев, Н. Н. Боголюбов,
Н. М. Крылов, Н. Д. Моисеев, К. П. Персидский, Г. В. Каменков,
А. Г. Майер, Г. Ф. Хильми, М. В. Бебутов и многие другие. Однако
эти результаты лишь косвенно относятся к вариационному
исчислению, и поэтому мы остановимся несколько подробнее лишь на
совершенно своеобразной качественной задаче вариационного
исчисления— на вопросе об оценке числа решений вариационных задач.
К числу таких задач принадлежит, например, известная задача об
оценке числа замкнутых самонепересекающихся геодезических линий
на замкнутых поверхностях.
Методы решения таких задач были впервые разработаны Л. А. Лю-
стерником и Л. Г. Шнирельманом. О помощью введенного этими
авторами топологического инварианта, категории, им удалось
оценить число критических точек функции *), заданной на многообразии.
Категорией замкнутого множества Л относительно содержащего это
множество пространства Ж называется минимальное число замкнуг
тых множеств, в сумме покрывающих Ai каждое из которых сводимо
к точке с помощью непрерывной деформации в М. Оказалось, что
категория многообразия М относительно М не меньше числа
критических точек трижды дифференцируемых функций, заданных на Ж.
Например, категории тора и проективной плоскости относительно
скмих себя равны трем, следовательно, каждая функция,
определенная на этих поверхностях, имеет по крайней мере три критические
точки.
Обобщив эти результаты на функциональный случай, Л. А. Люстерг
ник и Л. Г. Шнирельман получили возможность оценивать число
решений вариационных задач. В частности, им удалось решить
проблему о трех геодезических. Они доказали, что на всякой трижды
дифференцируемой топологически эквивалентной сфере поверхности
существуют по крайней мере три замкнутые самопересекающиеся
геодезические различной длины. Если же длины хотя бы двух из
этих геодезических совпадают, точ появляется континуум
геодезических равной длины.
Идеи Люстерника и Шнирельмана заинтересовали многих
математиков. Интересные результаты в этом направлении получили
Г. О. Чогошвили, Э. О. Цитланадзе, И. И. Гордон, Д. П.Тросцан,
Е. А. Барбапшн, М. М. Постников, О. В. Фролов, В. И. Соболев,
А. Фет и Л. Э. Эльсгольц.
В 1941—1943 гг. Л. А. Люстерник добился новых, весьма
значительных успехов в области качественных методов. О помощью
созданной А. Н. Колмогоровым и Александером теорищ
верхних гомологии Л. А. Люстернику удалось перенести на бесконе^-г
номерные пространства основные понятия теории пересечений
*) Критической точкой называется точка, в которой дифференциалу
функции равен нулю.

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
и, в частности, весьма удобное для оценки категории понятие
длины.
Оказалось, что в бесконечномерных пространствах группы
верхних гомологии дают существенно новые инварианты, позволяющие
изучать, так сказать, оо — fc-мерные циклы пространства,
выделяемые из всего пространства Ъ независимыми уравнениями. Применяя
теорию верхних гомологии и используя результаты Л. О. Понтря-
гина и П. О. Александрова, Л. А. Люстерник получил глубокие
результаты о геодезических линиях на сферах любого числа
измерений.
В этом кратком обзоре мы совершенно не касались
многочисленных работ по другим разделам функционального анализа, во многих
случаях тесно примыкающих к вариационному исчислению. Мы не
касались также многочисленных работ по различным приложениям
вариационного исчисления, однако и сказанного выше совершенно
достаточно для того, чтобы дать представление о ведущей роли
русской науки в деле создания и развития вариационного
исчисления.
Л". Э. Эльсгольц.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Настоящая книга составлена по материалам многочисленных
курсов лекций по вариационному исчислению, прочитанных мной
в Чикагском университете. В ней не дается полного изложения
этих лекций, а подобраны отдельные их части так, чтобы получить
связное целое.
Книга преследует две цели: во-первых, возможно более простым
и компактным способом ознакомить с понятиями и принципами,
лежащими в осноре современных теорий вариационного исчисления,
во-вторых, дать настолько полное, насколько это представляется
сейчас возможным, изложение теории наиболее общей из
сформулированных до настоящего времени задач вариационного исчисления.
В связи с этим книга разбита на две части: часть I—Простые
задачи вариационного исчисления, часть II—Задача Больца.
Часть I состоит из шести глав, в которых рассмотрены
относительно простые задачи вариационного исчисления. В наглядной
форме эти задачи часто используются для начального ознакомления
с вариационным исчислением. В первых трех главах рассматривается
основная задача вариационного исчисления в трехмерном
пространстве— задача с закрепленными концами. Я даю сначала теорию
задач в трехмерном пространстве, так как ее результаты, как
показано в гл. IV и V, можно легко распространить почти только
простым изменением обозначений на задачи на плоскости и в
пространствах высших измерений, а также на задачи в параметрической
форме. Такое распространение сопряжено с некоторыми неудобствами,
если исходить из простейшей задачи на плоскости и пытаться обобщить
получаемые при этом результаты. В гл. VI содержится введение
в теорию задач с подвижными концами, привлекавших ранее гораздо
меньше внимания, чем задачи, в которых концы закрещены.
Когда книга используется в качестве учебника, большую
ценность имеют пояснительные примеры. Я даю их очень мало, и
только немногие из них разобраны с достаточной полнотой в свете
современной теории. За справками по этому вопросу можно
обратиться к книгам: Bliss, Calculus of Variations, где подробнее, дем
обычно, разобрано много задач на плоскости, и В о 1 z a, Vorlesungen
tiber Variationsrechnung1), где имеется большое количество приме-
*) См. также М. А. Лаврентьев и Л. А. Л ю с т е р н и к,
Вариационное исчисление, 1930. (Прим. ред.)

12
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
ров. В книге Больца задачам дана в указателе единая нумерация,
однако отдельные задачи разбираются до конца не сразу, а по
частям, на протяжении всей книги.
Оскар Больца состоял профессором Чикагского университета
почти восемнадцать лет. Большинство его научных работ этого
периода посвящено вариационному исчислению. В 1913 г. он
сформулировал весьма общую вариационную задачу, которая теперь
часто напвается задачей Больца. Она содержит в качестве частных
случаев, кроме очень немногих, все сформулированные до сих пор
вариационные задачи, относящиеся к простым, т. е, не кратным,
- интегралам. Примерно до 1930 г. в направлении систематического
изучения задачи Больца было сделано мало. О этого же времени
она служит предметом многочисленных работ. В настоящем
сочинении, в первый раз в форме книги, оказалось возможным привести
результаты этих работ в относительно законченном виде. При
помощи полученных здесь результатов теория наиболее общих
задач с подвижными концами приведена в состояние, сравнимое
с тем, которого достигла к этому времени теория задач с
закрепленными концами. Библиография, приведенная в конце книги,
служит доказательством большого интереса, который задача Больца
вызывала в прошлом среди математиков. Без сомнения, она будет
вызывать такой же интерес и в будущем.
Во всех отделах вариационного исчисления часто применяются
и играют существенную роль теоремы существования для неявных
функций и дифференциальных уравнений. Теоремы эти хорошо
известны. Однако они разбросаны по литературе и даны^в
неудобной для вариационных задач форме. Поэтому в конце книги дано
приложение. В нем я попытался упростить доказательства и дать
теоремам такие формулировки, которые, надеюсь, будут особенно
удобны для студентов, изучающих вариационное исчисление.
Гильберт А* Блисс.
Чикагский университет
Апрель 1945.

Часть I
ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава I
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Существо задач вариационного исчисления. Одна из
основных задач дифференциального исчисления состоит в
разыскании значений независимой переменной х, при которых данная
функция f(x) имеет максимум или минимум. Вариационное
исчисление также является теорией максимума и минимума, в которой,
однако, переменные и функции имеют более сложную структуру,
чем в дифференциальном исчислении. В качестве простого примера
можно взять задачу об отыскании в классе кривых, соединяющих
две заданные точки в яг/я-пространстве, кривой, имеющей
наименьшую длину. В этом случае независимую переменную можно
обозначить символом С; ее областью изменения является класс кривых,
соединяющих две заданные точки. Функция I (С), принимающая
для искомой кривой наименьшее значение, есть в данном случае
длина кривой С.
Предположим, что класс кривых, в котором требуется найти
кривую, обладающую указанным минимальным свойством, состоит
из кривых, определяемых функциями
(1.1) У (ОС), 2{Х) (#l002)>
имеющими непрерывные производные. Тогда для рассматриваемой
задачи функция, которая должна принять наименьшее значение,
есть
щ
1(С)= f(l+y'* + s'*y/*dx,
причем в подинтегральное выражение должны быть подставлены
производные у' (х), я'(х) функций у(х), z(x), определяющих
кривую С. Аналитическая задача состоит в разыскании в классе пар
функций у(х), #(#), имеющих при хх и х2 заданные значения:
Уг = У 0*i)> *i = *(*i),

к
Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
такой пары, для которой интеграл 1(G) принимает наименьшее
значение.
В качестве второй иллюстрации может служить так называемая
задача о брахистохроне, первоначально рассмотренная Галилеем *)•
Если в пространстве даны две точки 1 и 2 (рис. 1) и начальнай
скорость vl9 то время падения тяжелой точки, выходящей из
точки 1 со скоростью vx и движущейся только под действием силы
тяжести вдоль кривой С до точ-
1с ки 2, однозначно определяется
формой кривой С. Задача состоит
в нахождении среди кривых,
соединяющих точки 1 и 2,
такой, двигаясь по которой,
тяжелая точка достигает точки > 2
в кратчайшее время. Решение
этой знаменитой задачи
швейцарскими математиками Иваном
и Яковом Бернулли2) привело
к первой систематической
теории вариационного исчисления.
Название задачи происходит от греческих слов рра^ахос —
кратчайший и xpovoc,—время.
Легко найти аналитическое выражение для времени падения,
если система координат выбрана так, как показано на рис. 1.
Пусть т — масса падающей материальной точки Р, s<—длина дуги
от точки 1 до положения Р по истечении времени t. Тогда сила,
действующая на Р в направлении касательной к кривой С
выразится в виде
(1.2) т (Jp) = mg cos в = щ{£) >
гДе 9 — ускорение силы тяжести. Умножая это уравнение на 2 -^
и интегрируя, найдем
(1.3) '**
Рис. 1.
®=2^+С = 2?(*-а)'
где а =з — —; через начальную координату zx и скорость vt
в точке 1 постоянная а выразится так:
a = *i — 2^>
*) Галилео Галилей, Диалог о двух главнейших системах
мира птолемеевой и коперниковой (1948); его же Беседы о двух новых
отраслях науки (1933).
2) Об этом решении см. О s t w a 1 d, KlassiJcer der exahten Wtssenschaf-
ten, № 46,

I 1. СУЩЕСТВО ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 15
в чем можно убедиться подстановкой t — tt в уравнение (1.3).
Интегрируя уравнение (1.3), находим, что время падения равно
11(2д)1/2 величины интеграла
(1.4) j- /(,—>-**- ЯРЙ^)***
Обозначая через I (С) величину интеграла (1.4), взятого вдоль
дуги С, можно сформулировать задачу следующим образом: найти
в соответствующем классе кривых С, соединяющих точки 1 и 8,
такую кривую, для которой 1(C) имеет минимальное значение.
Эта задача аналогична задаче разыскания кратчайшей кривой, но
с другой функцией 1(C), которая должна получить наименьшее
значение.
Две задачи, сформулированные выше, являются частными
случаями более общей задачи разыскания в классе кривых
(1.5) у (х), z(x) (#i002),
соединяющих фиксированные точки 1 и 2 в #у#-пространстве, такой
кривой, которая дает минимум интегралу вида
(1.6) 1(С)= ( f(x, у, *, у', z')dx.
Значение интеграла вдоль кривой С должно быть найдено
подстановкой у(%), z (х) и их производных у' (х)> zr (x) вместо
переменных у, г% у', я', так что подинтегральное выражение становится
функцией одного х. Эту задачу мы будем изучать в настоящей
главе. В частном случае определения кратчайшей дуги,
соединяющей две точки, подинтегральная функция / имеет вид
для задачи о брахистохроне
f=[U+¥/9 + ^/(*-eO]*-
Имеется, конечно, много других интересных частных случаев
сформулированной выше общей задачи.
Следует заметить, что в вариационном исчислении
рассматриваются задачи и многих других типов, отличных от только n4to
описанных. Например, в задаче о брахистохроне можно ограни-
таться классом кривых, соединяющих две заданные точки и
имеющих данную длину. Аналитически эта задача состоит в разыскании

16 Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
в классе кривых (1.5), соединлющих две данные точки 1 и 2 и
для которых интеграл
1= f (l+y't + s'^dx
имеет заданное значение, такой кривой, на которой интеграл (1.4)
принимает наименьшее значение. Такие задачи, в которых должно
'быть найдено минимальное значение интеграла I в классе кривых,
на которых второй интеграл J имеет данную величину, называются
гсзопериметричеспими задачами. Другие задачи содержат кратные
интегралы. Например, если требуется определить поверхность
минимальной площади в классе поверхностей, ограниченных данной
простой замкнутой кривой С в пространстве хуя, то задача состоит
в отыскании минимума интеграла
'-//['+<£)"+№■*
распространенного по поверхности # = £(#, у). Некоторые из этих
задач будут рассмотрены более детально в следующих главах,
Задача в трехмерном пространстве, связанная с интегралом (1.6),
выбрана нами для изучения в первую очередь потому, что ее
теория хорошо освещает методы, которые применяются и -й более
сложных случаях, а также потому, что многие из важных теорем
для более сложных задач, рассматривающихся в следующих
главах, доказываются весьма просто, когда уже построена теория
задачи в трехмерном пространстве.
§ 2. Происхождение названия „вариационное исчисление".
Название предмета, который будет здесь изучаться, возникло
в результате обозначений, введенных Лагранжем около 1760 г.
Для того чтобы сравнивать значение интеграла 1(G) вдоль
кривой С с его значениями вдоль соседних кривых, Лагранж изменял
функции у(х), е (х)> определяющие кривую С, прибавляя к ним
величины 8у(#), 8# (%), также являющиеся функциями х. Эти
величины он называл вариациями функций у{%), #(#). Если
вариации Ьу(х) и 8# (х) обращаются в нуль в точках хг и х2, то
кривая, определяемая функциями
у(х)-\-Ъу(х)9 я(х)-\-Ъ0(х), О^ООа),
будет проходить через концы кривой С. Для удобства эту новую
кривую можно обозначить символом (7+8(7. Задача состоит тогда
в разыскании в данном классе кривых, соединяющих концы
кривой С, такой кривой, для которой выполняется неравенство
Д1 = 1(С+8С)—1(О)>0

§ 2. ПРОИСХОЖДЕНИЕ НАЗВАНИЯ „ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ- 17
при любом выборе - вариаций Ьу, 8*, определяющих дугу С-\-ЬС
из того же класса. Для разрешения „этой задачи в вариационном
исчислении часто пользуются представлением разности
д/= j[f(x, у + Ьу, г + Ьг, у' + Ьу', г'+ W) —
— f(x, V> z> V'> *')] dx
в виде
и=ы + ±ьч+1,ьч+ ...,
где 8 J, 82/, ... представляют собой интегралы однородных
полиномов первого, второго и высших порядков от Ьу, 8# и их
производных по х — Ьу', Ъг', находимых разложением подинтегрального
выражения в I в ряд Тэйлора. Выражения 8/, ЬЧ, ... называются
первой, второй И'т. д. вариациями интеграла I. Таковы
обозначения Лагранжа, благодаря которым теория максимума и
минимума функций, подобных 1(C), стала называться вариационным
исчислением. В настоящее время многие результаты теории могут
быть получены более простым путем, без широкого использования
8-обозначений.
Существует далеко идущая аналогия между вариациями Ьу, 8#
и дифференциалом независимой переменной dx в
дифференциальном исчислении, а также между вариациями 81, 82/, ... и
дифференциалами df, d2f функции f(x). Эта аналогия усиленно
изучалась междэ 1800 и 1850 гг.*), и литература того периода
показывает сильное стремление к унифицированию методов
дифференциального и вариационного исчислений. Однако приемы
вычисление подробно разработанные в то время, оказались в состоянии
дать лишь сравнительно немного важных результатов. Недавно
были сделаны новые и гораздо более эффективные попытки
включить теории максимума и минимума, рассматриваемые в
дифференциальном и вариационном исчислениях, как частные случаи
в теорию общего или функционального анализа. Однако эта
теория находится пока еще в незавершенном состоянии2).
г) См. Strauch, Theorie und Anwendung des sogenannten Variations-
calcul's, т. I и II (1854), и многих других авторов.
2) Большое число статей о „функциях от линий* написал'Вольтерра.
Кроме того, особо следует отметить следующие работы, некоторые из
которых ..содержат ссылки на другие важные работы в этой области:
Hahn, Uber die Lagrange schen Multiplikatorenmethode, Wiener Berichte,
XIII (1922), 531—550; Sanger, Functions of Lines and the Calculus of
Variations (диссертация, Чикагский университет), Contributions to the Calculus
of Variations, Department of Mathematics of the University of Chicago
(1931—1932), 191—293 (в дальнейшем этот журнал будет кратко
обозначаться Contributions), Goldstine, Conditions for a Minimum of a Fun-

Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 3. Аналитическая формулировка задачи. Предположим,
что совокупность кривых С задана так, что вдоль каждой кривой
интеграл I (С) в формуле (1.6) имеет определенное значение.
Кривые этой совокупности будут называться допустимыми кривыми.
Задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы в классе
допустимых кривых, соединяющих две заданные точки, найти
такую кривую, для которой интеграл 1(C) принимает наименьшее
значение. Сформулированная таким образом задача называется
задачей с закрепленными концами. Можно изменить задачу,
рассматривая в качестве допустимых линий кривые, соединяющие
данную точку и данную кривую или данную кривую и данную
поверхность; очевидно, воз-
.. у/^4^ мбжны и другие условия
^^\ч. / ? подобного рода. В этом
/г ^v^^^ / случае говорят о задаче
/ Чч^ с подвижными концами.
/ Совокупность допусти-
Рис. 2. мых кривых может быть
определена различными
способами, когда задан интеграл I. Каждому из этих различных
способов соответствует различная задача вариационного
исчисления. Предположим, что задана область В действительных
значений величин (х, у, z, у', z')9 в которой подинтегральная
функция f(x, у, z, у\ z') имеет непрерывные производные до
четвертого порядка включительно. Она может иметь производные
и более высокого порядка, однако наше предположение дает все
необходимое для излагаемой ниже теории1). Элемент (х, у, z, у', #'),
лежащий внутри области В, называемся допустимым. Кривую С
обычно называют регулярной, если функции у(х), z{x)t
определяющие ее, однозначны и имеют непрерывные производные в
интервале ххх2. Множество допустимых кривых, рассматриваемое здесь,
является тогда множеством непрерывных кривых, состоящих
каждая из конечного числа регулярных кусков, элементы которых
(х> У, я, у', z'y все являются допустимыми. Как показано на
рис. 2, такая допустимая кривая может иметь конечное число так
называемых угловых точек, в которых подинтегральная функция
/ [х, у (я), z (х), г/(х\ z'(х)] будет разрывной, но интеграл от
нее по интервалу хгх2 будет, конечно, иметь вполне определенное
значение..
ctional (диссертация, Чикагский университет), Contributions (1933—1937),
315—357; Menger, Metric Methods in the Calculus of Variations, Procee-s
dings of the National Academy of Sciences, ХХШ (1937), 244—250; Golds-
tine, A Multiplier Rule in Abstract Spaces, Bulletin of the American
Mathematical Society, XLIV (1938), 388—394.
*) В действительности достаточно требовать непрерывности третьей
производной от f, если теоремы включения § 7 доказывать при помощи
канонических переменных, что сделано в § 27.

§ S. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ 1§
Можно получить и другие возможные классы допустимых
кривых, если требовать их регулярность, аналитичность или, может
быть, только спрямляемость. Однако данное выше определение
приводит, повидимому, к наиболее простому введению в теорию и
действительно встречается во многих геометрических и
механических задачах.
Выбор области В элементов (х, у, я, у', z') не есть что-то
искусственное, определяемое только удобством анализа. Каждая
частная задача имеет наибольшую область этого рода, естественно
связанную с подинтегральной функцией f(x, у, z, у', z'). Для
задачи о кратчайшей линии с подинтегральной функцией (1 + у'2 +
-f #'2)Y2 наибольшая область В состоит из точек (а?, у, е9 у', z')
с действительными конечными значениями пяти координат; для
задачи о брахистохроне допустимы только те точки, для которых
#>а, что очевидно из формы подинтегрального выражения в (1.4).
Это не уменьшает общности рассмотрения задачи о брахистохроне,
*гак как уравнение (1.3) показывает, что если материальная точка Р
брошена из точки 1 по кривой С со скоростью vv то ее скорость
будет равна нулю, когда она достигнет на кривой высоты # = а,
если кривая поднимается до этой высоты, т. е. материальная точка
никогда не сможет подняться выше плоскости я = а. Поэтому
необходимо рассматривать лишь кривые, расположенные ниже
плоскости z = a или, в исключительных случаях, достигающие этой
плоскости, но не поднимающиеся выше. Подинтегральное
выражение задачи вариационного исчисления, соответствующей
специальной теории относительности в плоскости ху, имеет вид
[М5)Ч*)Т-
Аналитически эта задача должна рассматриваться в пространстве txy\
допустимыми элементами (£, х9 у, х\ у') будут такие, для которых
переменные t> x, у имеют произвольные конечные значения, а
величины х\ яу' удовлетворяют неравенству с2 > х'2 -f- у'2, причем
подразумевается, что
В только что рассмотренных примерах область В в каждом
случае была наибольшей из тех, в которых подинтегральная
функция f(x, у, z, х\ у') данной задачи имеет нужные для теории
свойства непрерывности. Однако В может быть выбрана, конечно,
и как подобласть наибольшей возможной области. Это часто
делается, когда должны быть изучены минимальные свойства
некоторой определенной дуги Е в отношении соседних дуг. Область В
в этом случае может быть выбрана как некоторая окрестность
величин (л:, у, z, у', #'), принадлежащих Е; при этом говорят,
что на кривой Е, которая дает максимум или минимум в такой

20 Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
окрестности, достигается относительный максимум или минимум.
На следующих страницах выводятся теоремы, касакщиеся таких
относительных экстремумов, но если нет других ограничений,
всегда подразумевается, что В есть произвольно выбранная область,
в которой подинтегральная функция обладает требуемыми
свойствами.
§ 4% Первая и вторая вариации. Рассмотрим некоторую
допустимую кривую Е, соединяющую точки 1 и 2 и определяемую
функциями
У(Х), 2 (ОС) (#!<><>2).
Пусть а есть произвольная постоянная, а •*](#)> С 0*0—две
функции, обращающиеся в нуль в точках хх и х2 и обладающие теми
же свойствами непрерывности и дифференцируемое™, что и
функции у (ж), z(x). Каждая кривая однопараметрического семецства
(4.1) у (х) -J- at| (х), г (х) + аС (х) (хх < х < х2)
проходит через точки 1 и 2. Это семейство1 содержит кривую Е,
получающуюся, когда параметр а = 0. Кривые семейства при
достаточно малых значениях параметра а являются допустимыми,
так как элементы {х; у, &, у\ У) кривой Е лежат внутри области В
и соответствующие элементы кривой (4.1) будут лежать поэтому
тоже внутри В, если а достаточно мало. В обозначениях Лагранжа
уравнения кривых семейства (4.1) получаются, из уравнений
кривой Е прибавлением вариаций специального вида Ъу = ач\(х),
Ъг = а£(х) к функциям у(х), #(х), определяющим Е.
Если подставить функции (4.1) в подинтегральное выражение,
то получится функция параметра а
I(P)= j f (х> У + Щ> * + а-> У' + arl'> *' + aC) cte.
В подинтегральной функции у + a-q обозначает у (х) -{-*аг\ (x) и
аналогично для остальных аргументов. Очевидно, что если
интеграл I достигает минимума на кривой Д то функция I (а) имеет
минимум при а=0> т. е. должны удовлетворяться условия
Г (0) = 0, 1"(0);>0. Эти производные легко подсчитать:
а?а
I'(0)= f (ftf + tt+fyn'+Wdr,
а?а
I"(0)= f 2(0 (ж, ij, С, V, С) Л г,
а>1

§ 5. ОСНОВНАЯ JEEMMV
21
где 2ш — квадратичная форма от i\, С, r\, С со следующей
матрицей коэффициентов:
fyy fy*^ fyy' fyz'
tzy fzs fzy' fzz'
ty'y Ty'z fy'y' fy'js'
tz'y fz'z tz'y' tz'z'»
Здесь буквы / с индексами обозначают частные производные
функции, аргументы которой суть х и функции у(х), #(#), у' (#), г*г(х),
определяющие кривую Е.
Выражения I' (0), I" (0) называются первой и второй
вариациями интеграла I (вдоль кривой Е). Это определение не совсем
согласуется с содержанием предыдущего параграфа, но в некотором
отношении более удобно. Первая и вторая вариации?- как мы их
определяли раньше, равны аГ (0) и а2Г(0). Точно так же у\(х)
и С (г) будут называться вариациями y(x)>,z{%) вместо o*/ = aY),
bz '= аС, и, кроме того, допустимыми вариациями, если они
обладают теми же свойствами непрерывности и дифференцируемое™,
что и функции у (#), в (х). Если будет необходимо подчеркнуть
зависимость двух вариаций интеграла 1 от функций tj, С, то они
будут обозначаться через 1х(г[, Q, 12(ъ С) соответственно.
Для того чтобы интеграл 1(E) имел минимум, необходим),
чтобы первая и вторая вариации I (вдоль Е) удовлетворяли
условиям
1Лъ Q = o, j2(t], с»о
для всех допустимых вариаций ч\ (х), С (х), обращающихся в нуль
при х = хх и х = х2. Для получения условий максимума нуоюно
изменить смысл последнего неравенства на обратный.
§ б. Основная лемма. Для преобразования только что
выведенного условия 1Х (*|, С) = 0 удобна следующая вспомогательная лемма.
Пусть 31 (х) — ограниченная однозначная функция в
интервале xltx2, непрерывная в этом интервале, за исключением
конечного числа^точек, в которых она имеет, однако, левый и
правый пределы. Для того чтобы интеграл
Г М (х) Y (x) dx
был равен нулю для всех допустимых вариаций ' ц (х),
обращающихся в нуль при х = хг и [х = х2, необходимо и достаточно,
чтобы М(%) было постоянным.

22 Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Достаточность условия очевидна. Для доказательства его
необходимости рассмотрим допустимую вариацию вида
X
(5.1) *)0*0= ( M(r)dx— с (я? — хх),
xt
где постоянная с выбрана так, чтобы ч\ (х2) = 0. Легко видеть, что
интеграл
(5.2) f [M(v) — c]rl/(x)dv
xL
должен быть равен нулю для всякой допустимой вариации ч\(х),
обращающейся в нуль при х = хг и х = х2, если интеграл леммы
обладает этим свойством. Но последний интеграл равен
хй
J [M{x) — c]*dx,
хх
если взять вариацию в виде (5.1). Он может быть равным нулю
только в том случае, если М (х) = с во всех точках, где
функция М(х) определена.
§ 6. Необходимое условие для первой вариации. В частном
случае, когда С(а?) = 0, первая вариация JjOq, Q приникает вид
IiK °)= J* (ffl+fvn')dx;
xl
и так как ч\ (х) обращается в нуль при х = хх и х = х2 и
X X
~ ц J fy dx = tify + V f fv dx,
Xt Xi
за исключением угловых точек кривой Е или функции у\(х), то
будем иметь
Х2 X
ЫЪ °)= / (/> — ffydx)n'(x)dx.
xt xt
Но интеграл I, (yj, 0) должен быть равен нулю .для любой
допустимой вариации т\(х), обращающейся в нуль при я? = а?1 и х = х2,
поэтому по лемме предыдущего параграфа выражение в скобках
должно равняться постоянному числу. Аналогичное рассуждение

§ 6. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ПЕРВОЙ ВАРИАЦИИ 23
справедливо для Jx (О, С). Таким образом, имеем следующую
теорему:
I. Первое необходимое условие. Говорят, что
допустимая кривая Е удовлетворяет условию I, если существуют
такие две постоянные cud, что уравнения
X
(6.1) />= j fydx + с, fe.= [ f,dx-\-d
XL Xt
удовлетворяются тоэюдественно вдоль кривой Е. Всякая
допустимая кривая Е} которая дает минимум или максимум интеграла I,
удовлетворяет условию I.
Конечно, в уравнениях (6.1) аргументы в производных
функции f суть функции х, у (х), я (х), у' (х), я' (я), относящиеся
к кривой Е. Из уравнений теоремы вытекают три важных
следствия. Во-первых, мы имеем два дифференциальных уравнения
(открытых впервые Эйлером в 1744 г.), которые мы приведем
в следующем следствии.
Следствие 6.1. Уравнения Эйлера. На каждой части
допустимой кривой Е, лежащей между угловыми точками и
удовлетворяющей условию I, функции fy', fz> имеют производные,
удовлетворяющие уравнениям
Это очевидно, так как,_например, правая часть первого
уравнения (6.1) имеет производную fy во всех точках кривой Е, за
исключением угловых точек. В угловых точках эта часть имеет
правую и левую производные, которые равны величинам fy,
вычисленным для координат х, у, z угловой точки и соответствующих правых
и левых производных у\ я'.
Выражения в правых частях уравнений (6.1) суть непрерывные
функции х, поэтому эти уравнения показывают далее, что в
угловой точке кривой Е величины fyr, fz', вычисленные для частей
кривой, встречающихся в точке, должны быть одинаковы. Это
приводит к следующим условиям в угловых точках кривой, дающей
минимум, которые были независимо открыты Вейерштрассом и
Эрдманом *).
Следствие 6.2. Условия В ейерштрасса—Эрдмана.
Для каоюдого значения х, соответствующего угловой точке
допустимой кривой Е, удовлетворяющей условию I, правый и левый
пределы каоюдой из функций fyr и fSf совпадают.
*) См. например, В о 1 z a, Vorlesungen uber Variationsrechnung, стр. 366.
а также Weierstrass, Werke, VII (1927), 110.

24 Гл I В\РИ\ЦИ0НН0Е ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Это свойство иногда выражают уравнениями
ftfl*, У> *> У'(х — 0), z'(x — 0)] =
= fy [х, у, z, y'(# + 0), з'(х + 0)],
(6'2) /.• [*, У, *, У'(* —0), *'(х — 0)] =
= /**' К У, *, */(* + <>), *'(я + 0)],
в которых у' (х-{-0), например, есть символ для предела справа
функции у' (а?) в точке х.
Во многих задачах из этого условия следует, что кривая, для
которой интеграл имеет минимум, ле должна иметь угловых точек.
Это имеет место для задачи о брахистохроне и, задачи о
кратчайшей линии, а также, как легко убедиться, для всех задач, в
которых подинтегральное выражение имеет вид '
f =<?(*, у, *)[i+*/2+*'2],/2,
где © Ф 0- Существуют, однако, случаи, когда кривая, которая дает
минимум, имеет угловые точки.
До сих пор не было сделано никаких предположений
относительно свойств непрерывности и дифференцируемое™ кривой Е,
кроме предположения, что она непрерывна и состоит из конечного
числа регулярных частей. Гильберт, однако, показал, что при
известных обстоятельствах функции, определяющие эти части кривой Е,
должны иметь непрерывные производные порядков выше первого,
как указано в приводимом ниже следствии.
Следствие 6.3. Условия Гильберта1). Пусть Е
—допустимая кривая, удовлетворяюгцая условию I. 'Тогда в окрестности
любого элемента (х, у, z, у*', z') этой кривой, который не
соответствует угловой точке и для которого определитель
(6.3)
fy'y' fy'z'
fz'y' fz'z'
отличен от нуля, функции у (х), z (x), определяющие Е, имеют
непрерывные производные п-го порядка, если функция f имеет
все частные производные порядков ^ п, непрерывные в окрестности
элемента (х, у, z, у', z').
Доказательство этого утверждения очень просто вытекает из
известных свойств неявных функций. Уравнения
fy, [х, у (х), z (х), и, v] —
х
— ffy[x> У (я), *(х)> У'0*0> *'(v)]dx — c = 0,
*) См. В о 1 z а, цит. соч., стр. 30/

§ 6. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ПЕРВОЙ В4РИА.ЦИИ ^5
X
— J fz К У (*V * 0*0, !/' И, *' (*)] Ая- d = О,
где у(#), *{х) — функции, определяющие кривую Е, можно
написать в виде
F(x, и, v) = 0, G (х, и, v) = 0.
Применим к этой системе уравнений теорему о неявных функциях1).
В окрестности какого-либо частного решения х\ и, v этих
уравнений, для которого функциональный определитель FUGV — FVGU
отличен от нуля, эти уравнения определяют функции и (х), v(x),
обладающие непрерывными производными по х до того же порядка,
что и функции F и G по переменным х, и, v. Так как кривая Е
удовлетворяет' условию I, то вышеприведенные уравнения имеют
в качестве решения и(х) = ?/'(#), v(x) = z' {х), причем по
условию определитель FUGV — FVGU отличен от нуля. Функции F и G
имеют непрерывные производные по х, и, v вблизи решения
(х, ut v) = [x, у'{х)> #'(х)]л не соответствующего угловой точке Е,
если функция f имеет непрерывные вторые производные, а
функции у (х), z(x) имеют непрерывные первые производные.
Следовательно, функции и (х) = г/(ж), v (х) = я' (х) в окрестности точки
кривой Еу в которой определитель (6.3) отличен от нуля, имеют
по меньшей мере непрерывные первые производные, а
функции у (x)f z (х) имеют по меньшей мере непрерывные вторые
производные. Можно доказать больше, используя третьи производные
функции А Из существования непрерывных вторых производных
от функций у(х), г (х) следует, что первые части в
вышеприведенных уравнениях имеют непрерывные вторые производные, если
функция f обладает непрерывными третьими производными.
Поэтому решение и (х) = у' (х), v (x) = z' (x) имеет непрерывные
вторые производные. В предположении, что f имеет непрерывные
производные w-ro порядка, таким же образом докажем, что
функции у (х), z(x), определяющие кривую, на которой осуществляется
минимум, обладают непрерывными производными w-ro порядка
в окрестности всякой неугловой точки, для которой определитель
(6.3) отличен от нуля.
Приведенное выше доказательство не приложимо к угловым
точкам кривой Е. Если определитель (6.3) отличен от нуля для
*) См., например, Bliss, Fundamental „Existence Theorems, Princeton
Colloquium Lectures on Mathematics (Нью-Йорк, 1913), стр. 7—12. и A New
Proof of the Existence Theorem for Implicit Functions, Bulletin of the
American Mathematical Society, XVIII (1912). 175-179. См. также приложение
К этрй книге.

26 Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
значений х, у, z, у' (# + 0), z' (# + 0) в какой-либо угловой точке,
то он будет отличен от нуля на достаточно малом кусочке дуги,
примыкающей к этой точке. На этом кусочке функции у' {х\ z' (#),
определяющие Е, имеют непрерывные производные у", z",
удовлетворяющие уравнениям
Ту'х"Т1у'уУ -{-fy'zZ -Т/у'у'У -\~fy'z'Z —Ту»
fz'x + fz'yy' + fz'zZ'+fzW' + fz'z'Z''==fz-
Эти уравнения получаются из (6.1) дифференцированием по х.
Разрешая их относительно у" и zf\ находим, что у" ж z"
стремятся к одним и тем же пределам в угловой точке, так как это
верно для у, z, у', z'. Но из известной формулы
1^=Ш^д'[а + Цх-а)] (o<e<i)
следует, что функция д (х), имеющая производную д' (х) в
интервале а <#0 + й, будет иметь правую производную при х = а,
если дг (х) имеет предел при х = а. Следовательно, у' (х) ж z' (x)
имеют правые производные у" и е" в угловой точке. Аналогичные
утверждения справедливы относительно левых производных в
угловой точке, а также относительно производных более высокого
порядка, рассмотренных в предыдущем абзаце.
Имеется еще третье уравнение, похожее на уравнение (6.1),
которое выводится аналогичным способом. Это уравнение иногда
оказывается полезным и довольно редко встречается в литературе.
Напишем уравнения кривой, дающей минимум, в параметрической
форме
(6.4) x = t, y = y(t\ z = z(t) (^i<*02),
тогда эта кривая дает минимум интеграла I в классе всех кривых
вида,
X=t(t), y = ri(t), * = C(0 (*!<*<«,
которые обладают соответствующими свойствами непрерывности,
соединяют точки I и 2 и имеют V (t) > 0 в интервале tt t2. В самом
деле, каждая такая кривая может быть представлена в форме (1.1).
Для такой кривой интеграл 1 принимает вид
где штрихи при £, ч\, С обозначают дифференцирование по t. Этот
интеграл имеет такой же вид, как и первоначальный, с тем лишь
отличием, что он содержит переменные t, £, i\, С вместо х, у, в.
При помощи такого же рассуждения, как и при выводе уравне-

§ 7. СЕМЕЙСТВА ЭКСТРЕМАЛЕЙ
27
ний (6.1), получаем три уравнения, которые должны
удовлетворяться вдоль кривой, дающей минимум. Как легко видеть, только
первое из этих уравнений дает новый результат. Оно имеет вид
t
f—ffv-T f*~ $№**+*•
h
Вдоль кривой, дающей минимум, оно принимает форму,
указанную в следующей теореме.
Теорема 6.1. Если допустимая кривая Е дает минимум
или максимум интеграла 1, то существует такая постоянная Ъ,
что вдоль Е
X
(6.5) f-\ffy—*'U'= / f*dx+b.
Xt
Каэ/сдый гладкий кусок кривой Е, леоюащий между угловыми
точками, удовлетворяет уравнению
(6.6) i;{f-y'fy-z'fs) = fx,
причем в каоюдой угловой точке выражение f—y'fy'—z'fz' имеет
пределы справа и слева, совпадающие меоюду собой.
В уравнениях (6.5) и (6.6) штрих обозначает производные
по х. Уравнение (6.6) легко выводится из (6.5). Оно легко
получается также из уравнений Эйлера, если существуют вторые
производные у"у z" на гладких (т. е. лежащих между угловыми
точками) кусках кривой Е.
§ 7. Семейства экстремалей. Свойство дифференцируемое™
допустимой кривой Е, удовлетворяющей условию I, доказанное
в следствии 6.3, играет важную роль, так как оно показывает,
что дифференциальные уравнения Эйлера, преобразованные к виду
(71) fy^ + fy'yy' + fy'^ + fy'y^ + fy'^—fy^0'
fz'x + fz'yy' + fz'z*' + fz'y'y" + fz'z'2" — fz = 0,
удовлетворяются вдоль всякого гладкого куска кривой Е> на
котором определитель (6.3) Л,у/**'*'— ify'z'Y отличен от нуля. Дуга,
на которой этот определитель отличен от нуля, будет называться
неособой дугой кривой Е. В этом случае функции у (#), z(x) имеют
вторые производные, и, следовательно, производные dfy>/dx, dfz'/dx
в уравнениях Эйлера могут быть представлены в той развернутой
форме, которая дана в уравнениях (7.1).
. Допустимая кривая, определяемая функциями у (#), г (ос),
обладающими непрерывными вторыми производными и удовлетворяю-

28 Гл. I ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
щими уравнениям (7.1), называется экстремалью. Из предыдущего
очевидно, что любая неособая, не имеющая угловых точек дуга
кривой Е, дающей минимум, является экстремалью.
Так к,ак дифференциальные уравнения (7.1)—второго порядка,
то их общим интегралом является семейство кривых, зависящее
от четырех параметров. Это семейство определяется функциями
(7.2) у(х, а, Ъ, с, d), z{x9 а, Ъ, с, d).
В каждом отдельном случае семейство (7.2) находится каким-
нибудь подходящим методом интегрирования уравнений (7.1).
Полезно отметить, что в случае, когда одна из переменных #, у, г
не входит явно в функцию f, можно сразу написать первый
интеграл уравнений Эйлера. Если х не входит явно в функцию /*, то
уравнение (6.5), а также следующее, легко доказываемое
соотношение
■i(f-y'fy-^-)=y'{fy-lfy) + s'{fx-^)
дают первый интеграл
f—y'fy — s'f»' = const.
Если в f отсутствует г/, то первым интегралом будет fv' = const;
аналогично в случае отсутствия г получим fzr = const.
В окрестности неособой экстремали Е уравнения (7.1),
линейные относительно у" и г'\ имеют решения вида
(7.3) у"=*А(х, у, я, у', г'), г" = В{х, у, я, у', в'\
причем функции А ж В будут иметь непрерывные частные
производные не ниже (т — 2)-го порядка, если подинтегральная
функция f имеет непрерывные производные m-го порядка. Как вытекает
из теорем существования для дифференциальных уравнений1)*
через каждый начальный элемент (х,'у% я, у', #') = (£, ч\, С, ч\', С')*
лежащий в достаточно малой окрестности экстремали Е% проходит
единственная интегральная кривая системы уравнений (7.3). Эти
экстремали определяются функциями
(7.4) <рК 5, ч, С, Ч', С), *(*, 6, ч, С ч', О.
где ?, ф, а также,<?х и Ьх имеют непрерывные частные
производные по меньшей мере до того же порядка, что и функции А и В
х) См., например, Bliss, Princeton Colloquium Lectures of Mathematics
(1913)* стр. 86; Г у р с а, Курс математического анализа, II (1936), гл. XIX,
или лучше приложение к настоящей книге (стр. 322 — 333). Теоремы,
приведенные в приложении* особенно удобны для применения их в
вариационном исчислении.

§ 7. семейства экстремалей
29
в окрестности множества элементов (х, S, iq, С, rf, C')j
принадлежащих Е. Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 7.1 (теорема включения). Всякая неособая,
экстремаль Е содероюится в четырехпараметрическом семействе
экстремалей
(7.5) у (х, а, Ъ, с, d), г (х, а, Ъ, с, d)
при xt^x^x2 и некоторых значениях параметров а0, Ь0, с0, d0.
Функции у, z, ух, zx имеют непрерывные частные производные
второго порядка1) в окрестности элемента (х, а, Ь, с, d)
кривой Е. Определитель
(7.6)
Уа Уъ Ус Уа
za zb zc zd
У ах Уъх У сх Уйх
^ах ^Ьх zcx &dx
не равен нулю вдоль кривой Е.
Первая часть теоремы становится очевидной, если в
уравнениях (7.4) заменить S >фиксированным значением х0 из интервала
xt x2i a tjj С, г{, С обозначить через а, Ь, с, d.
Остается показать, что определитель (7.6) отличен от нуля.
Так как интегральная кривая (7.4) проходит через начальный
элемент (£, yj, С, ij'i £')? то имеем тождественно
4 = ?tf, 6, i С, V. О, С = ф(6, 6, Ч, С, ч', С),
ч' = ?«в *, ч> С V, со, с = ^а б, я с, т)', с').
Дифференцируя эти тождества по % С, г\\ С и заменяя 6, tj, С, V> С'
на #0, а, Ь, с, d, найдем, что определитель (7.6) равен единице
при x=zx0. В § 27 будет показано, что если этот определитель
отличен от нуля для одного какого-либо значения #, то он не
обращается в нуль вдоль всей кривой Е.
Теорема 7.2. Через каоюдую произвольно выбранную точку О
неособой экстремали Е проходит семейство экстремалей
(7.7) у(х, а, р), z(xy a, (3),
зависящее от двух параметров а, р и содержащее Е для хг^х<^х2
и для значений параметров а0, |30. Функции у, #, определяющие
семейство, а также их производные ух, zx, обладают
непрерывными частными производными по меньшей мере до второго порядка
х) Или (т — 2)-го порядка, если предположено, что функция f имеет
непрерывные частные производные порядка т > 2.

§0
Гл. I. ВАРИАЦИОЙНОЙ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЙРОСТРАЯС^ВЁ
в окрестности значений (х, а, $), принадлежащих привой Е. Это
семейство может быть выбрано man, чтобы матрица
(7.8)
У* Я* Уах ЯЛХ
У? Z% У$х *$х
имела в любой точке кривой Е ранг два.
Экстремали семейства (7.5), проходящие через произвольно
выбранную точку (#0, у0, zQ) кривой 25, образуют семейство,
которое определяется функциями (7.4), если в них подставить х0, у0, #0
вместо ?, Y), С, а г{, С обозначить через a, f. Ранг матрицы (7.8)
равен тогда, очевидно, двум, так как она состоит из двух
последних столбцов определителя (7.6), который не обращается в нуйь
на кривой Е. Теореку можно доказать, отправляясь также от
семейства (7.5) теоремы 7.1. Для этого надо разрешить уравнения
2/о = У0% я> ъ> с> d)> ^о = *Фо> а> ъ> с> d)
относительно двух параметров (из параметров а, Ь, с, d).
Если в уравнения (7.3) мы подставим функции (7.5) или (7.7),
то увидим, что вторые производные ухх, яхх также обладают
непрерывными частными производными второго порядка. Более
того, если подинтегральная функция f имеет непрерывные
производные т-то порядка в области R (см. § 3), то функции А, Б
в уравнениях (7.3) имеют непрерывные частные производные
(т — 2)-го порядка и, следовательно, функции у, #, определяющие
семейство (7.5) или (7.7), а также их производные ух, zx, ухх^хх
имеют непрерывные частные производные по меньшей мере до
(т — 2)-го порядка включительно.
§ 8. Вспомогательные теоремы. Для дальнейшего необходимо
рассмотреть вариацию интеграла I, взятого вдоль переменной
кривой 2£, концы которой 3 и 4
описывают две данные кривые С и
D, как показано на рис. 3.
Функции, определяющие Е, имеют
вид у (#, а), #(х, а), причем
смещение кривой Е вызывается
D изменением параметра а. Будем
определять положение точки 3
на кривой С параметром t\ тогда
координата хъ и параметр а,
который определяет кривую Е,
проходящую через точку 3,
являются функциями t.
Функции, определяющие кривую С, можно написать в параметрической
форме
(8.1) * я?8(0, У[*8(0> <*(0]=2/з(0> *fo(0> «(0] И **(')•
Р и с. 3.

§ 8 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 3i
Так :как точка 4 на кривой D вполне определяется значением
параметра t й ей соответствует то же самое значение параметра а,
что и точке 3, то уравнения кривой D имеют такой же вид, с тем
лишь отличием, что индекс 3 заменяется индексом 4.
Для дальнейших вычислений необходимо, чтобы функции #3(0>
x±{t), a(0> определяющие кривые С и J), имели непрерывные
производные в интервале t'^t^Ct". Предположим, далее, что для
значений (#, а), удовлетворяющих условиям
^з(0<Х>4(0> a = a(t) (*'<W),
функции у(х9 а), я(х, а) определяют допустимую кривую без
угловых точек, и в окрестности таких значений (а?, а) эти функции
и их производные ух(х, а), ях(х, а) имеют непрерывные частные
производные по а первого порядка.
Интеграл I, взятый вдоль кривой Е, представляет собой
функцию I(t), определяемую формулой
J(tf) = Г f[x, у(х, а), я(х, а), у' (х, a), zf (#, a)]dx,
где хъ, a?4, a — заданные функции t. Для производной этой
функции имеем выражение
(8.2) Г (0 - [f |]Ч g fifjf. + fa + fa.y'a + f,0 **>
где аргументы в f и бе производных те же самые, что и в под-
интегральном выражении интеграла I(t), а первый член в правой
части обозначает, как обычно, разность между значениями
выражения, стоящего в скобках, в точках 4 я 3. Если какая-либо
кривая Е нашего семейства удовлетворяет уравнениям Эйлера
так что на ней
fy'Ja + Wo = L (W> f**a + Ъ*а ** Tx 0«)'
то для этой кривой
Но из уравнений (8.1) имеем вдоль С
(8.3) dyb = у' drb + ya da, <fe3 = в' dxb -J- #а da

32 Гл. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В "PEXMEPHOM ПРОСТРАНСТВЕ
и аналогичные выражения вдоль D. Подставляя отсюда значения
для yada\dt, zadajdt в предыдущее выражение для Г (t), получаем
следующую теорему.
Теорема 8.1. Если интеграл I взят вдоль переменной,
обладающей указанными выше свойствами непрерывности, кривой Е,
концы которой описывают две данные кривые С и D? то для
каждого положения кривой Е, в котором она удовлетворяет
дифференциальным уравнениям дилера, дифференциал I равен
(8.4) dl=[fdx+(dy — y'dx)fv, + (d* — e'dx)f8.]i,
где значения х, у, г, у', я' относятся к точкам 3 и 4 кривой Е,
а дифференциалы dx, dy, di берутся вдоль кривых С и D.
Из выражения (8.2) легко, конечно, вычислить дифференциал
I" в случае, когда переменная кривая Е находится в положении,
не совпадающем с экстремалью. Наиболее важным является*
однако, случай, указанный в теореме 8.1.
Отметим, что в особом случае, когда кривая С или D
вырождается в точку, формула (8.4) остается, конечно, справедливой.
Дифференциалы dx, dy, dz вдоль выродившейся кривой равны нулю.
В случае, когда кривая Е в любом положении удовлетворяет
уравнениям Эйлера, из формулы (8.4) вытекает следующий
интересный результат. Функции у (х, а), я {х, а) и их производные
У' {х> а)> *' (х, аУ по х, входящие в формулу (8.4), представляют
собой функции t, что следует из уравнений (8.1). Дифференциалы
dx, dy, dz, как видно из (8.3), суть произведения функций от t
на*й£. Поэтому правая часть формулы (8.4) есть произведение
функции от t на dt и может быть проинтегрирована от значения V9
определяющего кривую EUQ, до значения t'\ определяющего кривую
Е18, как показано на рис. 3. Полагая
(8.5) I* = flfdv+(dy — y'dx)fy. + (dz — e'dx)fe.],
мы можем высказать такое следствие.
Следствие 8.1. Если -концы переменной экстремали Е
описывают две кривые С и D, то разность значений интеграла I,
взятого вдоль положений Е18 и E6Q экстремали Е> определяется
формулой
(8.6) I (Я78) -1 (#£6) = 7* (#68) -1* (Си),
где I* обозначает интеграл (8.5).
Интеграл I*, который часто используется в вариационном
исчислении, был введен Гильбертом и обычно называется его
именем.. Для вычисления величины интеграла I* вдоль Сб7 надо
помнить, что элемент (х, у, я, у', я'), входящий в подинтеграль-

I 9 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ВЕЙЕРШТРАССА II ЛЕЖА.НДРА д$
ное выражение, есть элемент переменной экстремали, взятый
в точке пересечения ее с кривой СбЧ. Координаты этого элемента
являются поэтому функциями t. Дифференциалы dx, dy, dz берутся
вдоль С35. Аналогичные замечания имеют место и для
интеграла 1*(2)68).
§ 9. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра. В § 6
при выводе необходимых условий для кривой, дающей минимум,
мы пользовались вариациями
специального вида Ъу.= аг\(х),
bz = &\x), для которых
производные по х, как и сами
вариации, стремятся к нулю, когда
параметр а стремится к нулю *).
Вейерштрасс 2) заметил, что не
всякая вариация обладает таким
свойством. Строя семейство
кривых, содержащее реализующую
минимум кривую Е, для
которого касательные к кривым
семейства не всюду близки к
касательным к Е, ВейерЩтрасс
получил необходимое условие, которое мы выведем в этом
параграфе.
Выберем произвольно на кривой Е (рис. 4) точку 3 и правее
ее точку 4, лежащую достаточно близко от точки 3, так чтобы
между точками 3 и 4 кривая Е не имела угловых точек.
Проведем через точку 3 произвольную допустимую кривую С,
определяемую функциями вида
Y(x), Z(x) (*eOO + e).
Переменную точку б на кривой С соединим с фиксированной
точкой 4 на кривой Е какой-нибудь кривой Еы, так чтобы кривые 2?54
образовывали однопараметрическое семейство, содержащее дугу Еи
кривой Е. Таким семейством будет, например, следующая
совокупность кривых:
^нр^-](**-*)> *(*)+[*(:>z;(g>*-*)>
где а = хь—параметр. Если теперь начальная кривая Е = Е12,
соединяющая точки 1 и 2> дает минимум, то сумма
(9.1) ДСвб + Ди) = //(*, Y> Z> Y', Z^dx + HEu),
г) В этом случае касательные к варьированной кривой близки к
касательным к кривой К (Прим. ред.)
2) Цит. соч., стр. 210 и ел.
Р и с. 4.

34 ^л L ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЙ В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
которая является функцией координаты х6, не может убывать,
когда точка 5 движется из положения в точке 3 по дуге С. Так
как дуга Ем удовлетворяет уравнениям Эйлера, то дифференциал
слагаемого 1(Е5^), когда точка 5 совпадает с точкой 3, можно
найти, применяя вспомогательную теорему предыдущего параграфа.
Таким образом, легко найдем, что дифференциал всей суммы имеет
вид
f(x, у, в, Г, Z')dx — f(x9 у, в, у', B')dx —
— (dy — y'dx)fy,(x, у, в, у', в') —
— (dB — B'dx)fg.(x, у, в, у', в')9
где элемент (х, у, в, у', в') принадлежит Е, a dx, dy, dB —
дифференциалы смещения вдоль С. Первый член приведенного
выражения есть дифференциал первого слагаемого в (9.1), так как
в точке 3 Y=y, Z=b, а второй член есть дифференциал от
1(Еи) в точке 3, как следует из теоремы 8.1. Введя обозначение
Е(х, у, в, у\ в', Y', #) =
(9.2) =/>, у, в, У, Z')-f{x, у, в, у', в') —
-(Y' — y')fy>(x, у, в, у\ Bf)-(Z' — z')fZ'{xt у, в, у', в'),
можно написать дифференциал I (С35 + Ен) в случае, когда точка 5
совпадает с точкой 3, в виде
Е(х, у, в, у\ в', Г, Z')dx.
Мы доказали таким образом следующую теорему.
П. Необходимое условие Вейерштрасса. Говорят,
что допустимая кривая Е удовлетворяет условию II Вейерштрасса,
если для каоюдого элемента (ху у} в} уг, в') привой Е выполнено
неравенство
Е(х, у, в, у', в', Г, Zf)>0
при любом допустимом элементе (х, у} в, У, Z'), для которого
(Y', /?'):£(у', в'). Если кривая Е дает миьиМум интегралу I,
то она удовлетворяет условию П.
Функция (9.2) называется функцией Е Вейерштрасса. Она,
очевидно, обращается в нуль, когда пара значений (У, Z')
совпадает с парой значений {у'9 в')Л Исключение случая совпадения
этих пар значений из предыдущей теоремы сделано потому, что
в последующем неравенство -Е>-0 будет усилено, что может быть
сделано, однако, только для пар (У, Z'), отличных от (t/V).
Приведенное выше доказательство необходимости условия
Вейерштрасса приложимо к любому элементу (х, у, в, у', &') кривой'Е,
который не принадлежит к левой касательной в угловой точке.

§ 9 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ВЕЙЕРШТРАССА И ЛЕЖАНДРА 35
Однако из выполнения условия II во всех элементах,
предшествующих угловой точке, следует по свойству непрерывности выполнение
этого условия и для элемента, принадлежащего левой касательной
в угловой точке.
Из условия Вейерштрасса легко получить необходимое условие,
полученное Лежандром *). Оно было доказано первоначально
совершенно другим способом и было получено ранее, чем условие П.
Применяя формулу Тэйлора с остаточным членом, представим
функцию Е в виде
(9.3) 2Я(*, у, *, у', *',) Г, #) = (r'-y')9JW +
+ 2 (Г — у'Н2Г—в') fy,z> -J- (# — *')"/.'. '
где вторые производные от f взяты при значениях аргументов
(9.4) ху у9 *9 г,' + ЦГ — у'),г' + Цг' — *') (0<8<1).
Подставляя вместо Y' и Z' выражения
Г' = г/ + ет), #=*' + *,
где т] и С — произвольно выбранные постоянные, и полагая затем
е->0, получаем следующее необходимое условие.
III. Необходимое условие Лежандра. Говорят, что
допустимая кривая удовлетворяет условию III Леоюандра, если
для всякого элемента (х, у, г, у', я') кривой Е имеет место
неравенство
(9.5) ^fyv. + 2*#,v + <?/W > О
для всех пар вещественных чисел % С, удовлетворяющих
условию y|2 -f- С2 = 1. Здесь аргументы производных от f суть
координаты (х, у, я, у', я') элемента кривой Е. Всякая кривая Е,
которая дает минимум интеграла I, удовлетворяет условию III,
Ограничение гр-\-Ъ = 1 принято здесь потому, что оно
потребуется позднее при выводе более сильного условия, получающегося
из условия III исключением знака равенства в (9.5). Как легко
видеть, из выполнения условия (9.5) для т]2 + С2=1 вытекает,
что это условие будет выполнено и для любых вещественных tj, С.
Необходимые условия, выведенные в предыдущих параграфах
для кривой, дающей минимум, справедливы и для кривой, которая
Хает максимум интеграла I. Для того чтобы из необходимых
условий II и III этого параграфа получить условия для кривой, дающей
максимум, надо изменить в них смысл неравенств на обратный.
В дифференциальном исчислении имеет место аналогичное
обстоятельство для условий максимума и минимума функции f(x).
Условие f (a) = о выполнено как в точках максимума, так и в точках
*) См. О s t w а 1 d, цит. соч., № 47, стр. 56 и ел.

Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
минимума, условие ff(a)^0 справедливо для точек минимума,
а для точек максимума смысл неравенства должен быть изменен
на обратный.
Как видно из вышеприведенного доказательства, условие Ш
является следствием условия П. Обратное, вообще говоря, неверно.
Из условия III вытекает полезное для доказательства достаточных
условий следствие.
Следствие 9.1. Если неравенство
(9.6) iffyy +24^1,'.' + Vf.'.' > О
справедливо для всех элементов (а?, г/,- s, y'y z') привой Е12 и
любых г[у С, для которых iq2-}-C2==l, то имеет место и
неравенство
Е(х, у, г, у', /, Г, Z')>0
для любых элементов (х, у, е, у') z) и (х, у, 0, У, Z'), лежа-
щих в достаточно малой окрестности N множества элементов
кривой Е12 и для которых (Y', 2?)ф(у'9 г).
Доказательство весьма просто, ибо из выполнения неравенства
(9.6) на замкнутом множестве элементов (х, у, я, у', я', т), С),
для которых ^2+Х2 = 1 и (х, у, я, у', я') принадлежит Е12,
вытекает, что это неравенство справедливо и тогда, когда аргументы
в производных имеют вид (9.4), в предположении, что (х, у, я, у', zr)
и (х, у, 0, Г', Z') лежат в достаточно малой окрестности
элементов jE12. Формула (9.3) доказывает требуемый результат;
§ 10. Теоремы об огибающей и необходимое условие Якоби.
В предыдущих параграфа* мы вывели три необходимых условия,
которым должна удовлетворять кривая, дающая минимум инте-
града I. Теперь мы рассмотрим четвертое необходимое условие,
а именно необходимое условие Якоби*). Эти необходимые условия
были найдены в следующем порядке: условие Эйлера в 1714 г.,
условие Лежандра в 1786 г., условие Якоби в 1837 г. и условие
Вейерштрасса в 1879 г. Мы рассмотрели эти условия в другом,
более удобном порядке, так как приведенные нами простые
доказательства отличаются от первоначальных доказательств их
авторов, за исключением условия Вейерштрасса. Доказательство
условия Якоби, которое мы приведем здесь, опирается на так называемую
теорему об огибающей, доказанную Дарбу (1844 г.) для случая
геодезических линий на поверхности, а Цермело (1894 г.) и Кне-
зером (1898 г.) — для более общих задач вариационного исчисле-
') См. О stwald, цит. соч., № 47, стр. 87.

§ 10. ТЕОРЕМЫ ОБ ОГИБАЮЩЕЙ И НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ £7
ния1). Эта теорема является одной из наиболее интересных и
изящных теорем геометрического анализа.
, Доказательство теоремы об огибающей легко получить при
помощи следствия 8.1. Там рассматривалась переменная
экстремаль, концы которой описывали две кривые С и D. Между
значениями интеграла I вдоль двух положений Еи и Еъ% переменной
экстремали было найдено соотношение
(10.1) I (Яб6) -1 (2?34) -1* (2)46) - 2» (С35),
где I* — интеграл Гильберта (8.5). В частном случае, когда
кривая С вырождается в точку 1, а переменная экстремаль Е касается
кривой D, как показано на рис. 5, получаем
I(ElQ)-l(Eii) = I(Di,)>
таи; как в формуле (10.1) /*(С8б) равен нулю, a I*(Di6) равен
7(D46), ввиду того, что направление dx\dy\dz на кривой D
совпадает с направлением 1: у': в' переменной экстремали Е
в точке пересечения. Мы доказали таким образом следующую
замечательную теорему.
Теорема 10.1. Теорема об огибающей. Если одно-
параметрическое семейство экстремалей имеет, огибающую D
(рис. 5), то
(10.2) I(E1Q) = I(EH) + I(DiQ)
при любом полоэюении точки 4> лищь бы она предшествовала
точке 6 на кривой D.
Теорема об огибающей аналогична известному свойству
эволюты кривой. На рис. 6, слева, кривая D является эволютой
кривой С. Конец 3 натянутой нити, закрепленной в то^ке 0 и
наматываемой на кривую D, описывает кривую С, ортогональную
к нити в каждом ее положении. Другими словами, длина составной
г) D а г Ъ о и х, Theorie des surfaces, III (1894); £8; Z e r m e 1 о, Untersu-
chungen zur Variationsrechnung (диссертация, Гёттинген) (1894), 96; К п е-
s e r, Mathematische Annalen, L (1898); 27 и его Lehrbuch der
Variationsrechnung, 1-е изд. (1900), 93, 2-е изд. (Х925). 116,

Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
кривой EU*-\~DA6 равна длине Е66 при любом положении точки 4
слева от точки 6. Еще более близкую аналогию с этим
свойством эволюты дает другая теорема об огибающей, несколько
отличающаяся от теоремы 10.1. Направление dx: dy: dz называется
трансверсальным к направлению 1 : у': в' в точке (х, у, #), если
для него подинтегральное выражение в интеграле Гильберта
(10.3) f(x, у, в, у', z')dx+(dy — y'dx)fyr(x, у, г, у', е')-\-
-\~(dz — z'dx)fzr(x, у, г, у\ г')
обращается в нуль. Используя это определение и несколько
изменяя доказательство предыдущей теоремы, получаем следующий
результат.
Теорема 10.2. Если каждая кривая однопараметрического
семейства экстремалей трансверсально пересекается кривой С и
семейство имеет огибающую D (рис. 6, справа), то
I(Ebe) = I(Eu)-j-I(Di6)
для любой точки 4, предшествующей точке 6 на кривой: D.
Для доказательства достаточно заметить, что интеграл 1*(С8б)
в формуле (ЮЛ) равен нулю, как и в случае теоремы 10.1, так
как кривая С трансверсально пересекает экстремали Е. Легко
показать, что для задачи о кратчайшей линии, т. е. в случае
/ = (1-(-^'2 + ^/2)1/а, трансверсальность переходит в
ортогональность, а экстремалями являются прямые. Таким рбразом, свойство
эволюты действительно есть частный случай теоремы 10.2. ->
Точка касания 6 экстремали i?12 с огибающей D (см. рис. 5)
называется сопряженной с точкой 1 экстремали Е12. В следующем
параграфе мы дадим второе определение сопряженной точки,
содержащее, как будет показано в § 13, первое определение
в качестве частного случая. С помощью понятая сопряженной
точки можно сформулировать необходимое условие Яцоби
следующим образом.

§ 11. ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УСЛОВИЯ ЯКОБИ
39
IV. Необходимое усл.овие Якоби. Говорят, что нег
особая экстремаль j?12 удовлетворяет условию IV Якоби, если
меоюду точками 1 и 2 этой экстремали нет точки,
сопряженной с точкой 1. Всякая неособая кривая Е12 без угловых точек,
которая дает минимум интеграла I, есть экстремаль,
удовлетворяющая условию Якоби.
Доказательство весьма просто. Как было показано в § 7,
неособая кривая Е12, дающая минимум, является экстремалью,
причем через каждый ее элемент {%, у, z, у', £/)=(£, т), С, ч'Д')
проходит только одна экстремаль, а именно сама Ег2- Допустим,
что на кривой -Е12 имеется точка 6, сопряженная с точкой 1 (см.
рис. 5). Из формулы (l0.2) вытекает тогда, что интеграл I для
составной кривой"* Еи + .О46 + Д52 имеет то же значение, что и
для кривой Е12 при любом выборе точки 4, предшествующей
точке 6 на огибающей D. Поэтому эти составные кривые, лежащие
вблизи кривой Е12, также будут давать интегралу I минимальное
значение. Но тогда 2)46 должна быть дугой экстремали, что
невозможно, так как через общий элемент (х, у, е, у', z') кривых Ei2
и D46 B точке 6 должна проходить, как мы видели, только одна
экстремаль 2?12.
Приведенное нами доказательство применимо только в том
случае, когда огибающая D имеет ветвь, идущую от точки касания 6
в направлении к точке 1. Оно неприменимо, например, когда
огибающая имеет точку возврата1) в точке 6 и обе ее ветви
удаляются от точки 1. В следующем параграфе мы дадим более
широкое определение сопряженной точки, для которого
приведенное выше условие Якоби остается справедливым. Для сопряженных
точек только что рассмотренного типа имеем следующее усиление
условия IV.
Теорема 10.3. Неособая, не имеющая угловых точек
кривая Ех%, которая дает минимум интеграла I, не может иметь
между точками 1 и X, а также в точке 2 сопряженной точки
типа точки 6 на рис б, в которой ветвь огибающей D идет от
точки 5 назад по направлению к точке 1.
Предыдущее доказательство пригодно, конечно, и для этого
случая. Заметим, что условие IV и теорема 10.3, выполняются как
для кривой, дающей минимум, так и для кривой, дающей
максимум.
§ 11. Второе доказательство условия Якоби. Пусть Е12 —
неособая, не имеющая угловых точек кривая, дающая минимум
интеграла I, так что, по определению, детерминант fy* у* fs> zr —
— (fy г')2 не обращается в нуль на этой кривой. Из свойства
*) Для плоскости все возможные случаи разобраны у В о 12, а, цит»
004., стр. 358 и од,

40 Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
дифференцируемое™ Гильбepтa^ (следствие 6.3) вытекает
существование непрерывных вторых производных у", я". Таким образом,
Е12 есть экстремаль. Мы докажем новым способом*), что для этой
неособой экстремали должно выполняться условие Якоби.
Для кривой, дающей минимум интеграла I, вторая вариация
хг
hfa 9 =/&»(*, т], С, Y, C)dx,
полученная в § 4, должна быть больше или равна нулю для всех
допустимых вариаций ч), С, обращающихся в нуль при x = xt и
X ' Ха» Поэтому функции ч\9 С, обращающие 1аСч, С) в нуль,
определяют в классе допустимых кривых, соединяющих точки
(xlf 0, 0) и (ху 0, 0) в пространстве (х, ч\, С), кривую, на
которой вторая вариация 12(ч\, С) достигает минимума. Возникающая,
таким образом, задача определения минимума интеграла 12,
которая принадлежит, очевидно, к рассматриваемому типу задач,
называется присоединенной задачей минимума. Олово „присоединенный"
мы часто будем употреблять для обозначения экстремалей и других
понятий, связанных с этой задачей.
Экстремали присоединенной задачи суть решения т|, С системы
дифференциальных уравнений
Так как 2ш является квадратичной формой от т|, С, ч{, С с
коэффициентами, указанными в § 4, то уравнения (11.1) линейны и
однородны относительно переменных г\, С, V, ¥,v\", С". Кроме
того, определитель из коэффициентов при tj", С" fy'y'f2'z' —
— if у' *')2Ф®- Таким образом, уравнения (11.1) разрешимы
относительно ч\", С". Отсюда следует, так же как для уравнений Эйлера
в § 7, что через любой начальный элемент (#0, у\0, С0, ч\'0, Qn
проходит одно, и только одно, решение системы (11.1). В частности,
через элемент (х0, ч\0, С0, ^ Q = (х0, 0, 0, 0, 0) проходит
(единственное) решение ч\?=*0, С = 0, в чем легко убедиться
подстановкой.
Уравнения (11.1) называются иногда дифференциальными
уравнениями Якоби, так как Якоби впервые применил их к
аналогичным задачам2). Мы будем называть уравнения (11.1) присоединен-
*) Впервые предложен Блиссом в „Jacobi's Condition .'or Problems of
the Calculus of Variations in Parametric Form", Transactions of the
American Mathematical Society, XVII, (1916), 195.
2) Cm. „Klassiker" Оствальда, № 47, стр. З и ел., или оригинальную
статью Якоби „Zur Theorie der Variationsrechnung und der Differentialglei-
chungen", Journal fur die angewandte Maihematxk, XVII (1837)# 68. Для
дальнейших справок см. В о 125 а, цит. соч.? стр. 60»

§11. БТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УСЛОВИЯ ЯКОБИ
41
ной системой дифференциальных уравнений в соответствии
с принятой выше терминологией, введенной Эшерихом1) при
рассмотрении более сложных задач.
Определение сопряженной точки. То\ка 6
называется сопряоюениой с точкой 1 па экстремали Е12> если
существует рЪшение (yj, С) = (и, v) присоединенной системы^ для
которого и и v обращаются в пуль в точках хх и xQ и не равны
тождественно нулю между хг и #6.
Значение этого несколько искусственного определения будет
выяснено позднее. В частности, будет показано, что точка
касания 6 огибающей D рассмотренного в предыдущем параграфе
типа является сопряженной с точкой 1 в смысле последнего
определения.
Докажем теперь необходимость условия Якоби IV, принимая во
внимание новое определение сопряженной точки. Предположим,
что на Е12 имеется точка б, сопряженная с точкой 1. Пусть (и} v)
есть соответствующее ей решение присоединенной системы. Тогда
допустимая кривая в пространстве xv£> с угловой точкой 6 может
быть определена уравнениями
(г Qe(w> «О для *i<х<Чу
Ob С) = (О, 'О) для х6 < х < х2.
По теореме Эйлера об однородных функциях имеем
(11.3) 2ш = 7)0)^ -J-Co^ 4-tq 'ay+ C'a>c.
Отсюда и из уравнений (11.1) получаем выражение второй
вариации I2 (iq, С) для вариаций iq, С из (11.2) в виде
h Сч, Q = / (У1*ч+^+V«v + £'<°v)<** =
что равно нулю, так как (yj, Q==(w, «0 = (0, 0) в точках 1 я 6.
Таким образом, кривая (11:2) в пространстве хг\^ дает минимум
интеграла* /20п, О, если Е12 дает минимум исходного интеграла 7.
Следовательно, в точке 6 кривая (11.2) удовлетворяет условиям
Вейерштрасса — Эрдмана. Так как правые производные ay и ш^
в точке 6 равны нулю, то .
°У = \ftrV U' + fb'z'V'f* ШС = Ifcy'»' + fz'z'V'f
г) Escherich, Die zweite Variation der einfachen Integrate, Wiener
Perichte, С VII (1898), 1236,

42 Гл. I ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
также равны нулю. Отсюда получается, что и' и t/ равны нулю
при х — х6 и, следовательно, и и v равны нулю тождественно, что
противоречит определению сопряженной точки. Наше допущение,
что на Е12 есть точка, сопряженная с точкой 1, привело к
противоречию. Таким образом, на кривой Е12, дающей минимум
интеграла I, не может существовать точки, сопряженной сеточкой 1.
Приведенное сейчас доказательство необходимости условия Якоби
имеет то преимущество, что оно* не предполагает никаких
добавочных свойств сопряженной точки и даже существования
огибающей D. Однако это доказательство неприменимо, если сопряженная
с 1 точка 6 совпадает с точкой 2, даже в случае наличия
огибающей, проходящей через точку 2- и имеющей ветвь,
располагающуюся в направлении к точке 1, как рассматривалось в § 10.
Таким образом, методы § 10 и 11 дополняют друг друга, так как
имеются случаи, в которых один из них может быть применен,
а другой — нет.
§ 12. Способы разыскания сопряженных точек*). Детерминант
<*(*) =
1 2 3 4
vt v2 v,d v±
t 1 t Г
Г ♦ t t r
V1 V2 VS V±
составленный для четырех решений (uif v^ (г = 1,..., 4)
присоединенной системы (11.1) для дуги 1?12, либо тождественно равен
нулю, либо нигде не обращается в нуль. Действительно, если он
равен нулю при х = х0, то можно подобрать коэффициенты с, не
все равные нулю, такие, что линейные выражения
гь = ctut + c2w2 -f съиь+e4u4,
(12.1) , r . .
и их производные обращаются в нуль при х~х0. Так как
присоединенные уравнения (11.1) линейны, то {и, v) есть их
решение и, следовательно, и и v равны нулю тождественно. Тогда
определитель d (x), очевидно, тождественно равен нулю и решения (и{ v{)
линейно зависимы.
Совокупность четырех решений (ui9 v{) с отличным от нуля
определителем d(x) называется фундаментальной системой
решений присоединенных уравнений. Любое другое решение выражается
через фундаментальные решения в виде (12.1). Это следует из
г) О свойствах решений систем линейных дифференциальных
уравнений, выведенных в § 12, можно прочесть в работах, указанных в сноске,
на стр. 28,

§ 12. СПОСОБЫ РАЗЫСКАНИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК
43
того, что система из уравнений (12.1) и еще двух уравнерий,
получаемых дифференцированием (12.1), разрешима при каком-
либо фиксированном х = х0 относительно достоянных с*. Тогда
решения
схи
i"i
СаЦ* СЛ
^8W3
'4W4*
присоединенной системы обращаются в нуль при х = х0 и,
следовательно, равны нулю тождественно.
Теорема 12.1. Пусть определитель
D(x, я?х):
uv(x) u2(x) иъ{х)
Ч 0*0 v2 0е) Ч (#)
%(#i) Щ(хх) %(#i)
vl(x1) v2(xt) гъ(хг)
и±(х)
Vt(x)
щ (хг)
где (uif v$) — четыре решения присоединенной системы для
неособой экстремали Е12, не равен тооюдественно пулю. Тогда
точка 6 сопряоюена с точкой 1 на Е12 в том, и только в том
случае, если координата х6 есть нуль определителя D (#, x{).
Пусть точка 6 сопряжена с точкой 1 на экстремали Е12.
Решения (uh Vi) в определителе D (x, xt) образуют фундаментальную
систему, так как в противном случае определитель равнялся бы
нулю тождественно. Поэтому частное решение (и, v),
характеризующее сопряженную точку 6 (см. определение сопряженной точки
в § 11), выражается через решения (иь v{) в форме (12.1). Так
как и и v обращаются в нуль, в точке, 6, то отсюда следует,
что D(xQ, #j) = 0.
Обратно, пусть #6 есть нуль определителя D (х, хг). Тогда можно
подобрать такие постоянные сь не равные одновременно нулю, что
выражения (12.1) обращаются в нуль для x = xt и х — х%.
Выбранные так функции и и v не равны тождественно нулю, так как
решения (%, v4) линейно независимы. Следовательно, значение х6
определяет на экстремали Еп точку 6, сопряженную с точкой 1.
Определитель D(x, x{) равен тождественно пулю только в том
случае, когда решения (uif v{) присоединенной * системы линейно
зависимы. Действительно, если («<, v*) линейно зависимы, toD(x, хг),
очевидно, равен нулю тождественно; если же {ui9 v4) линейно
независимы, то D(x, xt) не может быть тождественно равен нулю,
так как он имеет вид
D (х, хх) = (х — хгуА (х, хг),
где A (xv хг) = d (xj ф О, как отменено в доказательстве
следующей теоремы 12.2.

Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Следующая теорема представляет собой непосредственное
следствие предыдущего абзаца и оказывается полезной при выводе
достаточных условий гл. П.
Теорема 12.2. Пусть на неособой экстремали Е12 нет точек,
сопряженных с точкой 1. Тогда и точки О, лежащие слева от
точки 1 на продолжении Е12 и достаточно близкие к точке 1,
также не имеют сопряженных точек па Е12.
Вычтем сначала в определителе D(x, x0) третью строку из
первой и применим формулу Тэйлора с остаточным членом в форме
интеграла. Тогда разности в первой строке будут иметь вид
1
Щ (#)— % (#о) = (х — хо) \u'i [#о + 9 (х — #o)l ^ (г = 1, .. ., 4).
о
Поступив так же с четвертой и второй строками, получим для
D(x, x0) следующее выражение:
D (х, х0) = (х — х0)*А (х, х0),
где A(xi$ x1) = d(xt). Так как (1{хх)ф0, то функция А(х, хх)
отлична о*г нуля при х = хи следовательно, отлична от нуля на
всем интервале хх ^ х <; х2 ввиду отсутствия на Е12 точек,
сопряженных с точкой 1. Из непрерывности А(х, х0) следует, что
А(х, х0) будет отлична от нуля при х1^.х~^,х2, если х0~<.х1
лежит в достаточной близости от xv Следовательно, D(x, x0)
также обладает этим свойством, что и доказывает теорему.
Теорема 12.1 дает способ определения сопряженных точек.
Сопряженные точки можно находить также с помощью следующей
теоремы.
Те^орема 12.3. Пусть столбцы определителя
суть два решения присоединенной системы для неособой
экстремали Ei2> причем функции ui9 vi(i = 1,2) обращаются все
в нуль при x = xv Пусть А(#) не равен тождественно нулю.
Тогда точка 6 сопряоюена с точкой 1 на Е12 в том, и только
в том случае^ если координата х% есть нуль определителя А (#).
Мы можем не останавливаться на деталях, так как
доказательство протекает так же, как для теоремы 12.1. Достаточно показать,
что всякое решение (и, v) присоединенной системы,
обращающееся в (0,0) в точке xv линейно выражается через решения (%, v4),
входящие в определитель А {х)у
(12.2) ц = сгиг -J- c%u%, v = cxvx -f- c9v%.

§ i2. СПОСОБЫ РАЗЫСКАНИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК 45
Для начала заметим, что определитель
I »i v2 |
не равен нулю при х = х19 ибо в противном случае можно
определить постоянные с, и с2 так, что производные функций и, v
в (12.2) будут равны нулю при х = хг. Тогда и и v тождественно
равны нулю, что невозможно, так как Д(#), по предположению,
не равен тождественно нулю.
Пусть (и, v) — произвольно выбранное решение присоединенной
системы, равное (О, 0) в точке xv Так как определитель (12.3)
не равен нулю при х = xt, то можно подобрать постоянные сх и с2
таким образом, чтобы производные от функций решения
U — CtU{— С%и2, V — CXVX — G2V2
обращались в нуль при x = xt. Но это решение при x = xt само
обращается в нуль. Следовательно, оно равно нулю тождественно.
Возможность представления и, v в форме (12.2) доказана. В
остальном доказательство теоремы 12.3 совершенно аналогично
доказательству теоремы 12.1.
Одним из самых замечательных результатов, полученных Якоби
в вариационном исчислении, является следующий. Если мы имеем
семейство экстремалей
(12.4) у (х, а, Ъ, с, d), z(xy а, Ъ, с, d)
типа, указанного в теореме 7.1, то решение присоединенной системы
для любой экстремали семейства, находится простым
дифференцированием. Для простоты предположим, что в уравнениях семейства
имеется только один параметр а. Первое из уравнений Эйлера
дает нам тождество относительно х и а
j-Jyte, У(х, а), г(х, а), у' (х, а), *' (х, а)] —
— fy[x, у(х, а), г(х, а), у'(х, а), г'{х, а)]=0.
Дифференцируя его по а, получим
Jfo, \.Ту'уУа~Т~1у'!13а~Т1У"и' Уа~Т1у'г,га\
— ^ууУа+ff^a + fmf'y'a + f^a] - 0.
Но это является в точности первым уравнением присоединенной
системы (11-1), в котором г\, С заменены на уа, #а. Точно так же
получаем, что пара (уа, za) удовлетворяет и второму уравнению

46 ГЛ. I ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
присоединенной системы» Производные функции семейства (12.4)
по остальным параметрам Ъ, с, d дадут, очевидно, еще три
решения присоединенной системы. Таким образом, имеем:
Следствие 12.1. Для того чтобы точка 6 была сопряжена
с точкой 1 относительно кривой Е четырехпараметрического
семейства экстремалей
(12,5) у (ос, а, Ъ, с, d), z{x, а, Ъ, с, d),
необходимо и достаточно, чтобы определитель
У а И
У a (*l)
D (х, хг, а, Ъ, с, d) =
»»(*)
*ь(«)
Уь (*i)
Ч (*i)
Ус («0
*«(*)
Ус (*i)
*e(*l)
!te(«)
**(*)
г/й («О
*d (ж1>
Уа
*а
Уа»
zax
Уь
гЬ
Уьх
гЬх
Ус
zc
У ex
^сх
Уа
*а
Уах
zdx
который предполагается ие равным тождественно нулю вдоль Е,
обращался в нуль при # = #6.
Для простоты записи мы опустили параметры а, Ъ, с, d в
элементах определителя.
Как следует из замечания первого абзаца этого параграфа,
определитель
d(x):
не будет обращаться в нуль на экстремали Е12 семейства (12.5),
если он отличен от нуля в какой-нибудь одной точке этой
экстремали. Это свойство мы использовали в доказательстве теоремы 7.1>
которое, таким образом, получило теперь полное обоснование.
Отсюда следует также, что определитель D следствия 12.1 не
равен нулю тождественно, так как из доказательства теоремы 12.1
имеем
D = (x — xt)^A(x, хх), где А(хи х1) = й(х1)фО.
Отметим, наконец, еще одно следствие, которое может быть
легко доказано.
Следствие 12.2. Для того чтобы точка 6 была сопряоюена
с фиксированной точкой 1 относительно кривой Е семейства
экстремалей, зависящего от двух параметров
(12.6)
у(х, а, р), я(х, а, р),

§ 1& СПОСОБЫ РАЗЫСКАНИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК 47
-необходимо и достаточно, чтобы определитель
который предполагается не равным тооюдественцо пулю вдоль Е,
обращался в нуль при х = х6.
Как мы только что видели, столбцы определителя А (х, а, р)
являются решениями присоединенной системы, причем все
элементы А (я, а,-р) обращаются в нуль при х — хк. Последнее
вытекает из того, что все экстремали (12.6) проходят через точку 1
и, следовательно, равенства
У1=*У(яи *> Р)* bx = b[xv ос, р) ©
являются толсдествами относительно а и р. Дифферейцированием
этих тождеств по а и р убеждаемся, что г/в, #«, ур, #р равны нулю
при x = xt.
В некоторых частных задачах можно довольно легко найти
уравнения экстремалей в параметрической .форме. Нередко
исключение параметра представляет значительную трудность. Поэтому
представляется важным дать способ нахождения сопряженных точек
для случая задания экстремалей в параметрической форме. Пусть
даны уравнения семейства экстремалей в виде
х = Х(и, а, Ъ, с, d),
(12.7) y=Y(u, а, Ь, с, d),
z = Z (и, а, Ь, в, d).
Выражая из первого уравнения и как функцию х, а, Ъ, с, d
(12.8) и= U(x, а, Ъ, с, d)
и подставляя ее во второе и третье уравнения, получим уравнения
семейства в обычной форме. Определитель Ъ(х, хи ц,~ Ъ, с, d),
составленный для этой формы уравнений семейства, равен, как
легко видеть, определителю
(12.9)
с точностью до множителя Хи(и) Хи(иг), не равного нулю, так
как XUU# = 1. Значение их соответствует значению х = ххъ фор-
*«<«)
у.оо
3,00
*.0»l)
Ув(«1)
Za(*i)
Xb(u)
Yb(u)
Zb(u)
ЪЫ
**(«,)
Zb{ux)
XM
Ye(u)
Ze{u)
Xe(«i)
re(«i)
Zc(ui)
Xd(u)
Yd(u)
zd№
Xa Ы
**(«.)
^W
X„00
r«(«)
zu («)
0
0
0
0
0
0
*„(«,)
r«(»i)
3,0»l)

48 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
муле (12.8). Обозначив определитель (12.9) через D (и, ии а, Ъ, с, d),
получаем следующий критерий: точки, сопряженные с точкой 1
относительно экстремали (12.7), определяются теми значениями ифиг,
для которых определитель D {и, ulf а, Ъ, с, d) обращается в нуль.
§ 13. Геометрическая интерпретация сопряженных точек.
В этом параграфе мы докажем, что точка касания неособой
экстремали Е12 с огибающей однопараметрического семейства экстремалей,
проходящих через точку 1, является сопряженной сточкой 1 в смысле
аналитического определения сопряженной точки, которое было дано
в § 11. Обратно, при некоторых добавочных предположениях, каждая
сопряженная точка в смысле определения § 11 является точкой
касания с огибающей.
Пусть однопараметрическое семейство экстремалей, проходящих
через точку 1, определяется функциями
(13.1) y(x,t), 8{x,t) [^OO(0, t'<t<t0]
Пусть это семейство содержит неособую экстремаль Е12,
получающуюся при значении t = t0, и имеет огибающую D (см. рис. 5),
которая касается каждой кривой семейства при х = х (t), так что D
определяется функциями
(13.2) x(t), y[x(t),Q=Y(t), *[x(t),t] = Z(t).
На функции х (t), у (х, t), г (х, t) и производные ух, zx мы налагаем
требование существования непрерывных частных производных
первого порядка в окрестности множества элементов (х, t),
принадлежащих кривой Е12. Кроме того, предположим, что уь et на кривой Е12
не равны тождественно нулю. Так как D касается в каждой своей
точке некоторой: экстремали семейства (13.1), то имеем
(13.3) %' (0 = \ ухт/ + yt = \ух, tax' + et = \zx,
где X — множитель пропорциональности, а аргументы в производных
от у и z суть х (t), t. Отсюда и из тождеств
уг=у(хи t), ех = е(х19 t)
заключаем, что решение уи zt присоединенной системы обращается
в (0,0) при x = xt и х = х(10) = #6 на кривой Е12. Так как
функции yt{x, /0), zt(x, /0) не равны тождественно нулю на
интервале xxXq, to точка 6 является сопряженной с точкой 1 в смысле
аналитического определения §11. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 13.1. Пусть кривая Ei2 содержится в однопараме-
трическом семействе экстремалей (13.1). Пусть семейство имеет
огибающую D, как показано па рис. 5, и удовлетворяет
требованиям, указанным в предидугцем параграфе. Тогда точка касания

*§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК 49
кривой 2?12 с огибающей D сопряжена с точкой' 1 относительно
жривой Е12 в смысле аналитического определения сопряоюенных
точек в § 11-
Для доказательства обратного утверждения построим, пользуясь
теоремой 7.2, семейство экстремалей, зависящев от двух
параметров,
(13.4) у{х, а, р), г(х, а, 0),
которое содержит данную экстремаль .Е12 при значениях параметров
% и р0- Все экстремали семейства проходят через точку 1. Пусть
точка 6 сопряжена с точкой 1 относительно Е12; тогда определитель
А(х, а0, р0) равен, нулю при # = #6. Для корректности следующих
рассуждений сделаем добавочное предположение, что производная
Ах (%, а0, р0) отлична от нуля. Представляя производную Д^ в вице
суммы определителей, находим, что уЛ, у$, #Л, г$ не обращаются
одновременно в нуль в точке (#6, а0, р0). Пусть, например, уа не
равно нулю. Тогда первые два из дифференциальных уравнений
д* dx + да йа + др # = О,
(13.5) лЛб+Ур<*р = 0,
#а da + ^ dp = О
разрешимы относительно dx/d$, da/dp и, следовательно, определяют
единственное решение х{$), а(Р), проходящее через начальную
точку (#6, а0, Р0). На этом решении определитель А тождественно
равен нулю, так как в начальной точке (#6, а0, ро) он равен нулю,
а, его полная производная по р тождественно равна нулю, как видно
яз первого4 уравнения (13.5). Следовательно,, функции #(Р), а(Р)
удовлетворяют также последнему из уравнений (13.5). Аналогичное
заключение можно сделать и в случае 2/а = 0, так как тогда одна
из трех других производных у?, #a, z$ будет отлична от нуля в точке
<я0> ао> Ро)-
В любом из этих случаев мы имеем три функции: х (t), a(f), Р"(?)
[t обозначает либо а, либо р], принимающие значения #6, а0, р0
при t = t0. Для однопарамётрического семейства экстремалей
y[x,a(t),$(t)] = y(xt «J.
К } *[*, a (f),p (*)]=*(*, 0
определим кривую D уравнениями (13.2). Она удовлетворяет
уравнениям (13.3), так как из последних двух уравнений (13.5) следует,
что производные уи zt вдоль нее тождественно равны нулю. Это
показывает, что D является огибающей однопарамётрического
семейства экстремалей (13.6), касающейся экстремали 2?12 в сопряжен,-
лой точке 6.
Теорема 13.2. Если'точка 6 на экстремали Е12 сопряжена
с точкой 1 в смысле аналитического определения сопряженной

50 Гл. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
точки § 11 и если выполнены требования двух предыдущих
абзацев, то точка 6 есть точка касания JE12 c огибающей
однопараметрического семейства экстремалей, проходящих через точку 1+
Если эта огибающая D имеет ветвь, идущую от точки 6 назад
по направлению к точке 1 (считая по координате х), то 6
является сопряоюенной с 1 точкой такого типа, который был
рассмотрен в § 10.
Следует заметить, что огибающая D в этой теореме может иметь
в точке 6 особую точку и не иметь ветви, идущей от точки 6 па
направлению к 1 В частности, огибающая JD может вырождаться
в одну точку 6. В этих случаях для доказательства необходимого
условия Якоби нельзя применить теорему об огибающей, как эта
было сделано в § 10.
Опираясь на интуитивные представления, рассмотрим еще
некоторые интересные геометрические свойства сопряженных точек.
Пусть функция х = X (а, Р) определяет для каждой экстремали
семейства (13.4) такое значение х, для которого определитель
А (х, а, (3) на этой экстремали равен нулю. Тогда функции
Х(а, р), у[Х9 а, р], в[Х, а, 0]
определяют поверхность 8 (рис. 7). Легко видеть, что нормаль к этой
поверхности в любой точке (а, (3) перпендикулярна к соответствую-
щей экстремали семейства
(13.4). Следовательно, #
есть огибающая семейства.
Без всякого труда находим,
что 8 не имеет особых
точек вблизи точки 6, если
матрица
Д« У* *а
д(* 2/р Ц
имеет ранг 2 в точке 6.
В каждой точке 8
экстремаль семейства (13.4),
касающаяся 8, определяет
некоторое направление.
Совокупность этих направлений
образует на S поле направлений, подобно тому как это имеет места
на плоскости для дифференциального уравнения первого порядка.
Следовательно, через каждунг точку поверхности S проходит одна,
и только одна, кривая, расположенная на 8 и имеющая в каждой
точке направление лоля. Проходящая через точку 6 кривая D
указанного вида является огибающей однопараметрического семейства,
экстремалей, проходящих че£ез точку 1. Это семейство
принадлежит к часто рассматривавшемуся нами типу семейств.

Глава II
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
§ 14. Введение. До Вейерштрасса в работах по вариационному
исчислению не ставился вопрос о том, достаточна ли та или иная
совокупность условий, которым должна удовлетворять кривая,
дающая минимум, для того чтобы интеграл I на такой кривой
действительно принимал наименьшее значение. В 1744, 1786 и 1837 гг.
последовательно были опубликованы необходимые условия Эйлера,
Лежандра и Якоби, однако без какой-либо попытки доказать, что
кривая, удовлетворяющая этим условиям, на самом деле дает
интегралу I наименьшее значение. В 1879 г. Вейерштрасс *) добавил
четвертое необходимое условие, а затем очень остроумным и
изящным способом доказал, что известные ему четыре необходимых
условия, если их несколько усилить, оказываются достаточными,
для того чтобы кривая действительно давала минимум интеграла J,
В следующих двух параграфах мы даем доказательства
достаточности, следуя в основном доказательству Вейерштрасса и изменяя
лишь некоторые детали в его рассуждениях. Метод Вейерштрасса
основан на понятии поля экстремалей. Вейерштрасс использует
это понятие лишь для задач на плоскости, причем ограничивается
случаем, когда все экстремали поля проходят через заданную точку.
В § 18 мы дадим более общее определение поля, прилагаемое как
к задачам на плоскости, так и к задачам в пространствах большего
числа измерений, с помощью которого выводятся достаточные
условия, оказывающиеся в некоторых частных задачах значительно более
широкими, чем условия Вейерштрасса. Необходимо отметить, что^
понятие поля для пространства более двух измерений не есть
простое расширение соответствующее понятия для плоскости. Оно
содержит некоторые дополнительные требования, которые были
впервые указаны Майером 2). Свойства полей Майера будут подробно
изучены в § 20 и 22, а также в гл. Ш.
Вторая вариация интеграла была предметом многочисленных
работ. Была создана хорошо разработанная теория преобразования
*) Werke, VII, 210-217, 218—229. Для более полного изучения см.
Duren, The Development of Sufficient Conditions in the Calculus of
Variations (диссертация, Чикагский университет), Contributions (1930), 245.
2) tjber den Hilbertschen Unabhangigkeitssatz in der Theorie des
Maximums und Minimums der einfachen Integrate, Sachsischer BericMe, LVII
(1905), 49 и Mathemaiiscke Annalen, LXII (1906), 325. См. также Duren,
цит. соч.

52
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
второй вариации, для того чтобы вывести из нее необходимые
условия Лежандра и Якоби. Эти условия теперь могут быть
доказаны значительно проще, чем это было сделано в гл. I, однако
для понимания существующей обширной литературы требуется
полное знание свойств второй вариации. В § 23 с помощь^
результатов § 19 очень просто выводятся основные теоремы теории
преобразования второй вариации. Наконец, в § 24 из
рассмотрения второй вариации выводятся достаточные условия для слабого
относительного минимума, которые, строго говоря, не зависят от
понятия поля. Первое доказательство такого рода было также
впервые дано Вейерштрассом *).
§' 15. Вспомогательные теорены. Для вывода достаточных
условий Вейерштрасса нам потребуется знание некоторых свойств
семейства экстремалей, зависящего от двух параметров. Пусть
дано семейство экстремалей
(15.1) У = У(%, <*, Р), *=?*(я?, а, Р),
содержащее экстремаль Е12 для хх <! х ^ х2 и для значений
параметров <х0, ро и обладающее свойствами, указанными в теореме 7.2.
Жи будем говорить, что это семейство однократно покрывает
замкнутую область F пространства xyz для значений (х, а, р),
удовлетворяющих неравенствам
(15.2) ль—в<*Оа + в, \а — а0|О, IP —fioK*.
если через каждую точку (х, у, е) из F проходит одна, и только
одна, экстремаль семейства или, другими словами, если для
каждой точки (х, у, я) из F уравнения (15.1) им^ют одно, и только
одно, решение (х, у, в9 а, р/, удовлетворяющее неравенствам (15.2).
Значения аир в этом решении определяются двумя функциями
а (#> У, &), p (х, у, г), однозначными в замкнутой области F.
Функции
Pi*> У> *) = Ух[х> *ix> У> *)> Нх> У, *)],
q(x, у, z) = sw [х, а (х, у, г), р (х, у, £г)]
называются функциями наклона семействе в F. Если определитель
А (я, а, р) = г/в^ — У$з*
семейства (15.1) отличен от нуля в замкнутой окрестности (15.2)
множества значений (х, а, р) на Е12, то, по известным теоремам
о неявных функциях2), можно утверждать, что функции <* {х, у, я)9<
Р (х, y,t z) имеют непрерывные частные производные, по меньшей
*) Werke, т. VII, гл. XVIII.
2) См. сноску в § 7, стр. 28.

§ 15. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
53
мере до второго порядка включительно, так как правые части
уравнений (15.1) обладают этим свойством. Отсюда сразу следует,
что и функции р, q имеют непрерывные производные второго
порядка.
Лемма 15.1. Если для семейства экстремалей (15.1), содер-
оюащего данную экстремаль Ё12, определитель А (#, а, р) не
обращается в нуль на Ei2i то существует такое мнооюество (15.2)
точек (х, а, Р) и такая окрестность F экстремали Ех^в про-
странстве xyz, что окрестность F однократно покрывается
экстремалями (15.1) для значений (х, а, р) из (15.2), причем
функции наклона р (х, у, #), q (х, у, z) данного семейства^ так оюе
как и функции а(х, у, в), Р(#, у, z)y имеют непрерывные
частные производные второго порядка.
Покажем сначала, что можно выбрать область (15.2) так,
чтобы не существовало точки (х, у, z), принадлежащей двум
различным решениям (х, у, z, а, Р)и (х, у, z, а', р') уравнений (15.1),
д5гя которых (х, а, р) и (х, а', р') удовлетворяют неравенствам (15.2).
Действительно, формула Тэйлора с остаточным членом в виде
интеграла дает
У(*, ег, р)-</(*, а', рО = (а-а,)Л + (Р-р/)Л,
в{х9 а, Р) —*(*, а', р*)-(а —а') В,+ (? — ?')£»
где
1
О
А2, Ви В2 имеют аналогичные выражения. Так как определитель
D(x, a, p, а', p') = AJ?2--42i?i
переходит в А (х, а, р) при (а', р/) = (а, Р), то он отличен от нуля
на Е12> а следовательно, и в окрестности (15.2) при достаточно
малом е. Отсюда сразу следует, что два различных решения
уравнений (15.1), удовлетворяющих условию (15.2), не могут иметь
общую проекцию (х, у, z).
Покажем теперь, что существует такая окрестность F кривой Е12
в пространстве х, у, z, любая точка (х, у, z) которой
принадлежит некоторому решению (х, у, z, <y, P) уравнений (15.1),
удовлетворяющему условию (15.2). Действительно, если это не так,
то существует такая последовательность окрестностей Fn(n=l, 2,.. .)>
сходящаяся к кривой- Е12, что каждая Fn содержит точку (х, у, г\
не принадлежащую ни к какому решению указанного типа.
Множество точек (х, у, z)n имеет предельную точку (?, ц, С), лежащую,
конечно, на кривой Ei2. Для этой точки уравнения (15.1) имеют

и
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА.
решение (S, ч, С, «0> Ро)- Поэтому, как следует из теорем
существования неявных функций, для каждой точки (#, у, z) из
достаточно малой окрестности точки (&, ч, С) уравнения (15.1) имеют
решение, удовлетворяющее неравенствам (15.2), и мы пришли
к противоречию.
Решения {х, у, z, <х, (3) уравнений (15.1), удовлетворяющие
условию (15.2) и соответствующие точкам (#, у, z) из F, определяют две
функции а (ж, у, #), $(х9 у, z\ которые обладают в F непрерывными
частными производными второго порядка. В этом мы убедимся*
если применим к решению (х, у> zy а, (3) теорему о неявных
функциях и вспомним, что правые части уравнений (15.1) имеют
непрерывные производные. Далее, легко видеть, что и функции наклона
р{х, у, z), q(x, ул z) семейства (15.1) имеют в F непрерывные
вторые производные, как утверждается в лемме.
Лемма 15.2. Если на дуге Е12 неособой экстремали пет
точки, сопряженной ее начальной точке 1, то на продолжении
экстремали за точкой 1 имеется такая точка О, что
экстремали, проходящие через О, образуют двухтьараметрическое
семейство (15.1) с детерминантом Д(#, си, Р), отличным от пуля
вдоль Е12.
Эта лемма непосредственно следует из теорем 12.2 и 7.2 и
следствия 12.2.
§ 16. Достаточные условия Вейерштрасса. В предыдущем
изложении римскими цифрами I, II, III и IV мы обозначали
необходимые условия минимума, выведенные в §§ б, 9, 10 и 12
предыдущей главы. Формулировка достаточных условий, которые
будут даны в этом и следующих параграфах, значительно
упрощается посредством введения следующих обозначений,
принадлежащих Вольца. Будем обозначать символом 1Г и III' необходимые
условия Вейерштрасса и Лежандра, в утверждениях которых
исключен знак равенства. Подобным же образом, символ IV' будет
обозначать условие IV Якоби § 10, усиленное тем, что
исключается существование точек 6, сопряженных с точкой 1, не только
во внутренних точках экстремали Е12, но и в концевой точке 2
этой экстремали. Через С12 будем обозначать кривую с концами
1 и 2, а через 1(С12)—значение интеграла I, взятого вдоль этой
кривой.
Мы назовем 1{Е^ слабым относительным минимумом, если
кривая Е12 дает наименьшее значение интеграла I в классе
допустимых кривых С12, лежащих в достаточно малой окрестности
множества элементов (х, у, z, yr, z') кривой Е12. Если же Е12
дает минимум интеграла 1 в массе допустимых кривых С12,
выбор которых .ограничен только тем, что все точки (х, у, z)
кривой С12 лежат в достаточно малой окрестности F кривой Е12

§ 16. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЕЙЕРШТРАССЛ
55
в пространстве xyz, то 1(Е12) называется сильным относительным
минимумом, Докажем теперь следующую теорему*»
Теорема 16.1. Достаточные условия слабого
относительного минимума. Если допустимая привая Е12 не
имеет угловых точек и удовлетворяет условиям I, III' и IV',
то существует такая окрестность Rx множества элементов
(х, у, я, у', У) кривой Е12, что I(C12) > 1(Е12) для всякой
допустимой кривой Сх2, лежащей в Bt и не совпадающей с Е12.
Заметим, что из условия ПГ следует, что определитель
fy'y'fz'g' — (fy'z')2 не обращается в $уль вдоль Е12, ибо в
противном случае квадратичная
форма (9.5) не была бы
положительно
определенной на Е12 в
противоречии с ПГ. Так как Ei2
удовлетворяет условию I,
то из доказательства
условий
дифференцируемое™ Гильберта
(следствие 6.3) вытекает
существование
непрерывных производных второго
порядка у" иz" у функ- Рис. 8.
ций, определяющих
кривую Е12. Оттуда же следует, что Е{2 удовлетворяет уравнениям
Эйлера в развернутой форме (7.1). Таким образом Ех2 есть
неособая экстремаль.
Используя леммы 15.1 и 15.2, выберем такую точку О (рис..8)
на продолжении Ех2 влево от точки 1, что двухпараметрическое
семейство (15.1) экстремалей, проходящих через точку О,
однократно покрывает окрестность F кривой Е12 в пространстве xyz,
как показано на рис. 8. Пусть СХ2— произвольная допустимая
кривая, лежащая в F. К , однопараметрическому семейству
экстремалей, проходящих через точку О и переменную точку 3 на
кривой С12, можно применить следствие 8.1. Формула (8.6) дает для
этого семейства
1(Я12) = 1(ЯМ)-ДЯ01)=1*(С12),
откуда
1(С1а)-1(Я12)=7(С12)-1*(С19) =
= f Е[х, у, z, р(х, у, z), q(x, у, z\ г/, z']dx,
где переменные у и z в подинтегральном выражении должны быть
заменены функциями у(х), z(x), определяющими кривую Ci2,

56 Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА.
а Р {х> У у z)> Q {%> У> я) обозначают функции наклона построенного
нами семейства экстремалей, однократно покрывающего F.
Утверждение теоремы становится теперь очевидным, еслж
выбрать окрестность Вх настолько малой, чтобы все ее элементы
(х, у, z, у', z') и соответствующие элементы
[х, у, z, р{х, у, я), q(x, у, г)\
лежали в окрестности N, упомянутой в следствии 9.1.
Действительно, в этой окрестности подинтегральная функция Е в
равенстве (16.1) положительна, за исключением случая, когда
(16.2) у'=Р(х, у, z), z' = q(x, у, z).
Следовательно, разность 1(С12) — 1(ЕХ2) всегда положительна, за
исключением случая, когда предыдущие уравнения удовлетворяются
в каждой точке С12. Но дифференциальные уравнения (16.2) имеют
единственное решение, проходящее через точку 1, а именно Е12,
что и доказывает теорему.
Следующее достаточное условие, касающееся сильного
относительного минимума, содержит еще немного усиленное условие II
Вейерштрасса. Мы будем говорить, что кривая Е12 удовлетворяет
условию IIn, если существует такая окрестность N множества элементов
(х, у, z, ц', z') кривой Е12, что для всех последовательностей
(х> У у я, yr z'9 Y', Z')> для которых элемент (х, г/, я, у', #')
.лежит в N и является допустимым, а элемент (х, у, г, Y', 2?)
является допустимым и (У, Z')^{y', z'), удовлетворяется
неравенство.
(16.3) Е(х, у, 0, у'у *', Г, 20 > О.
Если в (16.3) знак равенства исключается, то предыдущее условие
называется условием П^.
Лемма 16.1. Если неособая, допустимая кривая Е
удовлетворяет условию II Вейерштрасса, то она удовлетворяет и
усиленному условию П^, если только N выбрано достаточно малым *).
Для доказательства того, что условие П^ удовлетворяется,
допустим, что существует такая последовательность элементов
(х, у, я, у', я', У, Z'), для которой элементы (х, у, я, г/, я'}
в N и (х, у, г, Г', Z') ф (х, у, я, у'у я') являются допустимыми
и в условии (16.3) имеет место знак равенства. Таким образом,
*) Для задачи в непараметрической форме эта лемма была получена
Хэстенсом, а для задач с подвижными концами, определяемыми
дифференциальными уравнениями, Хэстенсом и Рейдом. См. Н е s t e n s and R e i d,
A Note on the Welerstrass Condition in the Calculus of Variations, Bulletin
of the American Mathematical Society, XLV (1939),, 471 — 473.

§ 16. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЕЙЕРШТРАССА
5Т
функция Е при фиксированных ,х, у, z, Y', Z' имеет минимум:
в точке {у'у я') и, следовательно, ее производные в этой точке
(г/ - Г) fa. + (• - Z') far> {у' - Г) far + (*' - £') fa.
равны нулю. Это, однако, противоречит тому, что
определитель (6/3) не обращается в нуль в достаточно малой окрестности N-
Используя лемму, легко доказать следующую теорему.
Теорема 16.2. Достаточное условие сильного
относительного минимума. Если неособая допустимая
кривая ЕХ2, не имеющая угловых точек, удовлетворяет
условиям I, П#, IV, то в пространстве xyz существует такая
окрестность F кривой Е12, что для любой допустимой кривой Ct2»
лежащей в F и не совпадающей с Е12, имеем 1(С12) > J(2?12).
Эта теорема доказывается подобно предыдущей. Очевидно,
можно выбрать окрестность F кривой Е12 настолько малой, чтобы
для любой точки F соответствующий элемент
[х, у, z, р (х, у, z), q (x, у, z))
лежал в окрестности N, для которой выполнено условие П^-
Тогда разность 1(С}2)— 1(Е12) в формуле (16.1) положительна
или равна нулю. Но так как по предыдущей лемме будет
выполнено условие 11^, если только N выбрано достаточно малым, то
эта разность будет всегда положительной, за исключением случая,
когда вдоль СХ2 удовлетворяются уравнения (16.2), т. е. когда С12
совпадает с Е12.
Ясно, что для' сильного относительного минимума достаточна
выполнение условий I, 11^, ПГ, IV, так как из III' следует, что*
экстремаль Е12—неособая. Прежде обычно давались именно эти
условия.
В некоторых случаях область В обладает следующим
свойством: если к В принадлежат два элемента {х, у, z> y[, s't) к
(х> У, я, У'2> 4)> то и ЛН)бой элемент (х9 у, z, у', z'\ для
которого y't<*Cy'^Cy'2> sJO'<^2> принадлежит области В. Такая
область называется выпуклой по переменным у' и я'. В этом
случае приводимое ниже следствие теоремы 16.2 часто может
служить наиболее простым критерием наличия минимума I. Введем
обозначение Щр для следующего условия: для всех допустимых:
элементов (х, у, z, у', z'), проекции которых (х, у, z) лежат
в окрестности F кривой Е12, и для любой пары т£, подчиняющейся
условию tj2 + ^2 = l, выполняется ^неравенство
(16.4) fa^ + 2fa'^^f,'M'^>0.
Ёсди в (16.4) знак равенства исключается, то такое условие будеа^
обозначать символом III'.

^8
Гл. И. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Следствие 16.1. Пусть область В выпукла по у' и z1'.
Тогда, для того чтобы допустимая кривая J£12, не имеющая
угловых точек, давала сильный относительный минимум
интеграла I, достаточно, чтобы были выполнены условия I, TIVF, IV.
Используя соотношение (9.3), легко Ьидеть, что усдовие П^.
есть следствие условия Ш^,. Таким образом, предыдущее
утверждение есть простое следствие теоремы 16.2. Добавочное условие
выпуклости В предположено для того, чтобы соотношение (9.3)
было приложимо к любой паре элементов (х, у, z, у', #'), (х, у, я,
Y', Z) с проекцией (х, у, я), лежащей в достаточной близости
§ 17. Сравнение необходимых и достаточных условий.
Пользуясь обозначениями, введенными в предыдущем параграфе,
можно построить таблицу необходимых и достаточных условий,
которая ясно показывает пробел между необходимыми и
соответствующими достаточными условиями, остающийся пока
незаполненным. Таблица приложима к допустимым кривым, не имеющим
угловых точек.
Таблица необходимых и достаточных условий
Необходимые Достаточные
Тип минимума условия уоловия
Слабый относительный I, III, IV I, ИГ, IV,
Сильный относительный I, И, III. IV I, llN, IV, 2?—неособая
Сильный относительный . . . ♦ I, II^, III', IV'
Сильный относительный . . . . I,' Ш^, IV'
Если допускать угловые точки, то условие IV Якоби должно
быть несколько изменено. Такое условие было получено Каратеодори
для задач на плоскости в параметрической форме и позднее
изучалось Больца и Дрезденом *). Свойства ломаных экстремалей
в случае пространств высших измерений рассматривались Грейвзом,
Рейдом и Омайлеем 2). Однако для многих частных задач условие
х) Caratheodoг у, tJber die diskontinuirlichen Losungen in der
Variation srechnung (диссертация, Гёттинген, 1904), и Mathematische Annalen,
LXII (1906), 474; Bolza, Vorlesungen uber Variationsrechnung, гл. Ill;
Dresden, The Second Derivatives of the Extremal Integral, Transactions
of the American Mathematical Society, IX (1908), 480.
2) Graves, Discontinuous Solutions in Space Problems of the Calculus
of Variations, American Journal of Mathematics, LII (1930), 1—28; R e i d,
Discontinuous Solutions in the Non-parametric Problem of Mayer in the
Calculus of Variations, American Journal of Mathematics, LVII (1935), 69—93;
Smiley, Discontinuous Solutions for the Problem of Bolza in Parametric
Form (диссертация, Чикагский университет), Contributions (1933—1937),
527-566.

§ 18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ
59
Вейерштрасса— Эрдмана не может выполняться, так что кривая
с угловыми точками не может давать минимум интеграла I. В этом
случае приведенную выше таблицу можно применять ко всем
допустимым кривым, дающим минимум.
Согласно определению, все элементы (х, у, zy y\ zf) допустимой
кривой лежат внутри области В. Возможен, однако, случай кривой,
дающей минимум, некоторые из элементов которой лежат на
границе В. Теория таких кривых была изучена для некоторых
специальных типов задач, и методы, применявшиеся в этой теории,
могут быть приложены к пространственным задачам рассмотренного
здесь вида1.
§ 18. Определение и простейшие свойства поли. В
доказательствах теорем о достаточных условиях Вейерштрасса в § 16 важ-
ную роль играли область Р и ее функции наклона р (#, у, z)f
q(x, у, z). Легко видеть, что если в интеграле Гильберта
(18.1) I* = f[fdx + (dy — y'dx)fy, + (dz — z'dx)fgr]
переменные у' и z' заменить на функции наклона р (х, у, z) и
4l (х> У* 3)> т0 полученный криволинейный интеграл будет иметь
одно и то же значение на всех кривых DUf обладающих требуемыми
свойствами непрерывности и соединяющих две произвольно
выбранные точки 3 и 4. Действительно, к семейству экстремалей,
соединяющих точку О с переменной точкой на такой кривой, можно
применить следствие 8.1. Формула (8.6) для этого свойства
принимает вид
и так как левая часть вполне определена, когда заданы концевые
точки 3 и 4, то интеграл I* (D84) действительно зависит только
от выбора точек 3 и 4. Этот результат показывает, что область F
является полем в смысле следующего, более общего определения.
Определение поля. Область F пространства xyz с
функциями наклона р (#, у, з), q(x, у, z) называется полем, если
выполнены следующие требования:
а) функции р и q однозначны и имеют непрерывные частные
производные первого порядка в области F;
б) все элементы
(18.2) [х, у, z, р(х, у, z), q(x, у, z)],
определяемые точками (х, у, z) из F, являются допустимыми;
*) См. Bolza, цит. соз., стр. 392 и ел., где даются ссылки на
Вейерштрасса, Вольца, Блисса и др. См. также Bliss and Underhill» The
Minimum of a Definite Integral for Unilateral Variations of Space,
Transactions of the American Mathematical Society, XV (1914), 291—310.

w
Тл U. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
в) интеград Гильберта (18.1) не зависит от пути в F в -описай-
ном выше смысле.
Интеграл I* имеет вид
(18.3) I*=*J(Adx + Bdy+Cd*),
где А, Д С—функции ху у, е9
(18.4) A = f—pfy — <lfz>, B = fy>, C = fg>,
причем в этих выражениях аргументами в функции f и ее
производных являются величины (18.2). Простые вычисления
показывают, что
(18.5)
В —A _^+Jli^4-^-^ — f — а(В — Г >
**9 ЛУ~дх* ду + да h ЦУ^г—Ьу),
dftf pdfy,
У~ дх 1 ду
Л* ~~ дх ' ду
. «д4-
1 Аг
' <te
С-^.—жг+-жг + т-Л+1'(-в.-су,
r^e ~дх ^ ~&й^ Ж обозначают полное частное дифференцирование по
переменным %, у, е, которые входят в функцию f и ее
производные как явным образом, так и через посредство функций наклони
Р{х, У у #), q(x, У, г).
Как известно, выполнение соотношений
(18.6) Bz — Cy = 0, CX — AZ = Q, Ау — Вх = 0
необходимо для того, чтобы интеграл I* не зависел от пути
интегрирования. Это условие легко получается также из замечания, что
каждая кривая в поле должна давать минимум интеграла /*, если
I* не зависит от пути. Поэтому уравнения Эйлера для подинте-
гральной функции f= A -J- By' -{- Сг' интеграла J* должны быть
тождествами относительно ху у, г9 у', #'. Легко убедиться, что эти
тождества эквивалентны условиям (18.6). В поле F любое решение
дифференциальных уравнений
<18Л) % =Р (х> У> *>' Тх =« (*> У> *)
является экстремалью, так как вдоль него имеем
*V_/ -df* \pdfy , qdfy f
dx 'У~ дх ' ду 1" dz 'У*
<18-8) ®jL_f -df*' , pdf*' t qdf*' f
dx 'z~~ дх ' ду ' dz '*'
где частные производные такие же, как в (18.5). Но из. (18.5) и
(18.6) немедленно следует, что правые части в выражениях (18.8)
равны нулю.

§ 19. ОСНОВНОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
61
Уравнения (18.7) называются дифференциальными уравнениями
доля,* а их решения — экстремалями поля. Через каждую точку F
проходит одна, ж только одна, такая экстремаль, так что
совокупность экстремалей поля F, если каждую экстремаль определять
точкой пересечения, ее с фиксированной поверхностью в F, можно
рассматривать как двухпараметрическое семейство.
Экстремаль Е12 поля обладает тем важным свойством, что
значения 1*(Е12) и %(Evi) одинаковы. Это следует из того; что под-
интегральное выражение в Z* вдоль Е12 приводится на основанию
уравнений (18.7) просто5 к f.
§ 19. Основное достаточцое условие. Как было показано
в предыдущем параграфе, интеграл Гильберта в поле обладает
двумя основнцми свойствами: 1) он- не зависит от выбора пути^
в поле, 2), имеет то же значение, что и данный интеграл 1Г на
экстремали Е12 .поля. Оцираясь на эти свойства, можно доказать
следующую теорему.
Теорема 19.1. Интегральная формула Вейерг
ш трасс а. Если Е12 есть экстремаль поля F с функциями на-
1клонар(х, у, #), q(x, у, г), то для всякой допустимой кривой С12,
жоюащей в поле и соединяющей концы 1 и 2 экстремали Exv
справедлива формула
а?а
(19.1) l(C12)-I(Ei2)= f.E(v, у, z9 p9 q, y\ s')dx,
-где переменные у9 г заменены функциями у{х)} #(#),
определяющими кривую С12. •
Доказательство весьма просто. Из свойств интеграла I* имеем
I(#12) = IM#i2)=I*(C12).
Следовательно,
I(C12)-I(E12)=:I(Cl2)-I*(C12),
что и дает формулу (19.1), если, заменить 1(С12), 1^{(С12)
соответствующими интегралами.
Формула (19.1) называется иногда интегральной формулой Вейер-
штрасса. Она была доказана в § 16 для частного случая поля,
у которого все экстремали проходили через заданную точку О.
Теперь мы видим, что эта формула остается справедливой для
«более общих полей, определенных в § 18. С ее помощью можно
доказать следующую важную теорему.
Теорема 19.2. Основное достаточное условие.
Если 2?12 есть, экстремаль поля F и если в каждой точке паля
<Ш.2) Е[х, у, г, р(х, уу z), q(x, у, z\ у', z'\ >0

Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
для всех допустимых элементов (х, у, #, у\ я')} подчиненные
условию (у', в')ф(р, q), то для любой допустимой привой С12>
лежащей в поле и соединяющей концы 1 и 2 экстремали Е12>
имеем I (С12)>-1 №12)• Если выполнено строгое неравенство (19.2),
т. е. знак равенства опущен, то имеем I (С12) > I (Е^, за
исключением случая совпадения С12 о Е12.
Утверждение теоремы очевидно на основании формулы Вейер-
штрасса (19.1). Если в (19.2) знак равенства опущен, то ясно,
что 1(С12) >1(Е12), за исключением случая, когда у'=р, #' = q
в каждой точке (712. Но так как уравнения у' =р, #' =*q имеют
одно, и только одно, решение, проходящее через точку 1, а именно ЕХ2>
то в последнем случае С12 совпадает с Е12*
Только что доказанное достаточное условие весьма часто
оказывается полезным при рассмотрении частных задач. Если
экстремаль Е12 может быть включена в поле, для которого функция Е
обладает указанным в теореме свойством, то без всяких
дальнейших критериев заключаем, что Е12 реализует минимум по меньшей
мере внутри поля. В следующем параграфе мы дадим различные
способы построения таких полей.
§ 20. Способы построения полей. В § 18 мы видели, чта
любое поле F, однократно покрываемое экстремалями, может
рассматриваться как поле, образуемое двухпараметрическим семейством
экстремалей. Задача настоящего параграфа состоят в нахождении
тех условий, при которых область F, однократно покрытая
двухпараметрическим семейством экстремалей, образует поле с функциями
наклона р (х, у, я), q (х, у, #) данного семейства.
Предположим, что рассматриваемое семейство экстремалей
задано функциями вида
(20.1) у(х, а, р), *(*, а, Р),
обладающими вместе со своими производными ух, zx непрерывными
частными производными по крайней м^ре до второго порядка
включительно во всех точках (х, а, р), для которых
(20.2) («, Р) лежит внутри А, хг (а, Р) < х < х2 (а, Р).
Здесь А обозначает область на плоскости ар, а относительно
функций xt (а, Р), х2 (а, р) предполагается, что они однозначны,
непрерывны и различны в этой области. Такое семейство однократно
покрывает область F пространства xyz, если оно удовлетворяет
условиям § 15 для семейства (15.1); конечно, вместо области (15.2)
надо взять область (20.2).
Если % (а, р) — однозначная непрерывная функция, обладающая
лепрерывными частными производными первого порядка в области А%

§ 20. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЙ
6£
то функции
(20.3) S(*,P), Ч(а,Р)~у[5(«,Р),а,р], £ (а, р) = * [g(а, р), а, р]
определяют поверхность #* Эта поверхность пересекает каждую
экстремаль (20.1) в точке, определяемой условием а? = 6. Один из
способов построения двухпараметрических семейств, однократна
покрывающих поля, основан на следующей теореме.
Теорема 20.1. Пусть двухпараметрическое семейство
экстремалей (20.1) пересечено поверхностью S вида (20.3). Если па &
интеграл I*, образованный для функций наклона ух(£, а, Р),
Zx (£> а> Р) Замиого семейства, не зависит от пути интегрировав
ния, то область F пространства xyz> однократно покрытая
экстремалями,. будет полем с функциями наклона семейства
в предположении9 что определитель А (х, а, Р) семейства отличрн
от нуля для всех значений х^ а, р, соответствующих точкам F,
Доказательство выполняется весьма просто, если воспользоваться
следствием 8.1. Всякая кривая 2)4в, лежащая в F, определяет
однопа^аметрическое семейство экстремалей (20.1), пересекающих
поверхность S в точках кривой С35. Применяя формулу (8.6)
следствия 8.1 к этому однопараметрическому семейству, получим:
(20.4) I (#56) -1 (Я34) = I* (Л4в) -I* (<735),
где первый интеграл Гильберта 1* (D46) образован для функций
наклона экстремалей в точках области F, а второй интеграл I* (С35) —
для функций наклона экстремалей семейства в точках пересечения
экстремалей с поверхностью S. Так как интеграл I* (Сзб), по
предположению, не зависит от пути, то в формуле (20.4) первый,
второй и последний члены однозначно определены, если заданы точки
4 и 6 на кривой 2)46. Поэтому Г*(2)46) не зависит от выбора пути
D46 в области F. Таким образом, область F представляет собой
поле, согласно определению поля в § 18*
Требуемое в условии теоремы свойство инвариантности I* на S
представляется естественным,, так как интеграл Гильберта не
зависит от пути в любом поле, а следовательно, и на любой
поверхности #, пересекающей экстремали поля. В теореме, однако, не
требуется, чтобы поверхность S лежала внутри области F,
однократно покрываемой экстремалями. В некоторых случаях она может
вырождаться в фиксированную точку или кривую.
Из теоремы 20.1 вытекает следующий способ построения двух-
параметрического семейства экстремалей, образующего доле во
всякой области, которую оно однократно покрывает. Пусть
поверхность S определена функциями вида
(20.5) 5 (а, р), Ч(а, р), С (а, р) [(а, $)£А]

64
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА.
и пусть даны такие функции ч{ (а, р), С (а, Р), что элементы
(20.6) [Z (а, р), ч(«, р), С (а, р), ч'(а, р), С (а, Р)]
являются допустимыми. Предполагается, что все эти пять функций
имеют непрерывные частные производные третьего порядка в
области А. Интеграл Гильберта (18.1) с функциями наклона ч'(а> р),
£'(а, р), взятый вдоль кривых на S, имеет вид
f(Pdz + Qd$),
тде
Q = fa+(чр - ч'Ц) fr+С* - СЦ) /.*,
& аргументами функции f и ее производных служат функции (20.6).
Если существует функция W(a, р), имеющая в области А
непрерывные частные производные третьего порядка, такая, что Р = W„
Q = W§9 то ясно, что построенный интеграл Гильберта не зависит
от пути на #, так как он равен интегралу от dW* Согласно
теореме (20.1), дв(ухпараметрическое семейство экстремалей,
проходящих через элеметны (20.6), образует поле во всякой однократно
покрываемой им области Ъ\
Пусть неособая поверхность (20.5) и функция W(a, р) выбраны
произвольно, причем функции 5, ?], С, W имеют непрерывные
частные производные третьего порядка. Тогда для нахождения
соответствующего множества элементов (20.6) нужно определить функции
V и С от а, р &ак решение системы уравнений
<™ к Я.+(ч. W^+Ct-CWfr- w„
где аргументами функции / и ее производных являются £(«, р),
^(я* Р)* £(а> Р) и г\', £'. По теореме о неявных функциях,
уравнения (20.7) определяют решение ч'(а> Р)> С (а, р), если они имеют
начальное решение (а0> Ро 4<ъ £о), для которого направление (%, Со) не
является касательным к поверхности S в точке, соответствующее
значениям параметров (а0, р0), причем элемент
[&К> Ро). ч(«о» Ро)» ^(ао> Ро). Чо, й]
является допустимым, а определитель fvyfa'j—(fy'z*T не равен
нулю для этого элемента. Действительно, якобиан системы (20.7)
^равен произведению
ч.-ч% е.—сг
Чр —ч\% Ср — С'бз

§ 21. НЕЗАВИСИМОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 65
1
к
ч
ч'
•Па
Чр
С
С.
Ч
и при сделанных выше предположениях он отличен от нуля, так
как условие того, что направление чцо, Со в пространстве xyz не
касается поверхности 8 в точке, соответствующей значениям (а0> р0),
есть условие неравенства нулю определителя
ч.—чъ са-сг
чр—*\% ^—z%
для значений (а0, ро, y)0, Co).
Весьма важным примером семейств, удовлетворяющих условиям
теоремы 20.1, служит семейство ^экстремалей, проходящих через
данную точку О. В § 16 при доказательстве достаточного условия
Вейерштрасса мы использовали поле, однократно покрытое
семейством именно такого типа.
Часто бывает удобно взять в качестве функции IF (а, р)
постоянную; В этом случае правые части уравнений (20.7) равны нулю
и в соответствии с определением трансверсальности в § 10 любая
кривая а = а (t), р = р (t) на поверхности S трансверсально
пересекает экстремали, проходящие через элементы (20.6). В этом случае
говорят, что поверхность S есть траисверсальная поверхность
семейства экстремалей.
Если в качестве поверхности S взята плоскость x = xQ, то
функции (20.5) суть х0, а, р и уравнения (20.7) принимают
простой вид
(20.8) М*о. «, Р> Ч', С') = W„ fz,(x0> а, р, ч', С) = И^.
Если известно решение (а0, ро, •% Co) этих уравнений, для которого
определитель fy'y'fu'z'—(fy'/)2 не равен нулю, то теорема о
неявных функциях применима и, следовательно, уравнения (20.8)
в окрестности этого решения определяют функции v\' (а, р), С' (а, р).
§ 2L Достаточные условия для независимости интеграла от
пути интегрирования. В этом параграфе мы будем рассматривать
интеграл
(21.1) f Adx-\-Bdy + Cdz,
где А, В, С—однозначные функции х, у, z, обладающие
непрерывными частными производными первого порядка в области F
пространства xyz.
Кривая
(21.2) *(*), у (*), *(*) (h<*<4)
называется регулярной, если определяющие ее функции х (t), у (t),
z(f) имеют непрерывные производные, удовлетворяющие на всей

66
Гл. II ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
кривой условию а?'2+ у'2 -{-я'^фо. При преобразовании параметра t,
осуществляемом посредством функции t = <p (т), обладающей
непрерывной производной <р' (т) > О в интервале т.^, для концов xt и т2
которого имеем ^ == <р fa), £2 = <р (т2), величина интеграла I не
меняется.
Мы будем говорить, что регулярная кривая Gt в F может быть
деформирована в другую такую кривую с теми же концами, если
эти две кривые для значений параметра а = аг и а = а2
соответственно являются кривыми однопараметрического семейства
кривых в F с общими концами определяемого функциями вида
(21.3) %(t, а), у (t, a), z(t, a) [at^a^.a2i fi(a)<tf<;tf2(a)].
При этом предполагается, что эти функции, их производные хи
yti zt и функции t1(a), t2(a) однозначны и имеют непрерывные
частные производные по а первого порядка для всех значений
t> a> удовлетворяющих приведенным в (21.3) условиям. Область F
называется односвязной, если всякая регулярная кривая Си,
лежащая в F, может быть деформирована в любую другую регулярную
кривую в F, имеющую те же концы, посредством
последовательности описанных выше деформаций.
Теорема 21.1. Пусть в интеграле (21.4) функции А> В, С
удовлетворяют отмеченным выше требованиям. Если в области F
имеем
(21.4) В,— Су=0, Сх — Аг=0, Ау<—ВхеевО
и область F односвязна, то интеграл (21.1) не зависит от пути в F.
Покажем прежде всего, что на всех кривых семейства (21.3)
интеграл (21.1) имеет одно и то же значение. Подставим
функции (21.3) в подинтегральное выражение и продифференцируем
затем его по а. Используя тождества (21.4), после легкого подсчета
получаем для продзводной выражение
а Аха + Вуа+С*а
Следовательно, производная по а самого интеграла равна
М(*Ч» + *а)+ В(У\ + Уа) + С(*'*в +*«)]&
Но последнее выражение равно нулю, так как вое кривые семейства
имеют одни и те же концевые точки при значениях t = t^(a) Ц
/ = £2(а), откуда следует, что хЧа-\-ха и аналогичные выражения
для у и s обращаются для значении tx и /2 в нуль.
Таким образом, интеграл (21.1) принимает одно и, то же
значение на всех кривы^ семейства (21.3). Поэтому ввиду
односвязности F этот интеграл имеет одинаковое значение на всех
регулярных кривых, дмеющих общие концы. Следовательно, интеграл (21.1),

§ 22. СВОЙСТВА. ФУНКЦИЙ НАКЛОНА. И ЭКСТРЕМАЛЕЙ ПОЛИ 67
взятый по регулярным кривым, соединяющим данную точку области F
со второй точкой (х, у, z) в F, является однозначной функцией
W (х, у, z). Рассмотрев интеграл по регулярной кривой,
выходящей из точки 1 и оканчивающейся малым отрезком, параллельным
какой-либо оси координат, мы легко убедимся, что три первые
частные производные от W равны Л, В, С. Следовательно, ийте-
грал (21.1) есть интеграл от ЛЖ и не зависит от пути не только
вдоль регулярных кривых, но и вдоль всех кривых вида (21.2),
лежащих в области F, непрерывных и состоящих из конечное
числа регулярных кривых.
Интересно, между прочим, отметить, что интеграл вида
I= f f(x* у> **> у'' ^dx
может не зависеть от пути интегрирования только в том случае, когда
он имеет вид (21.1) с коэффициентами А, В, С, удовлетворяющими
условию (21.4). Действительно, если интеграл I не зависит от
пути, то любая допустимая кривая дает минимум I и уравнения
Эйлера должны быть тождествами относительно переменных #, у,
#> у\ z'9 у", z". Коэффициенты при у", z" в этих уравнениях суть
производные /^у, fy'g', ?в*я*. Так как они должны равняться нулю
тождественно, то функция f линейна относительно у', zr.
Соотношения же (21.4), как легко видеть, являются следствием того, что
первые члены уравнений Эйлера тождественно равны нулю.
§ 22. Дальнейшие свойства функций наклона и экстремалей
поля, В применении к конкретным задачам метод построения поля,
описанный в § 20, является, пожалуй, наиболее эффективным. Однако
для развития теории представляется важным дать дальнейшие
критерии поля. Настоящий параграф посвящен этому вопросу.
Функции наклона р (#, у, z), q (х, у, z) являются существенной
частью понятия поля. Постараемся'найти уравнения,
характеризующие эти функции независимо от экстремалей поля. Эти уравнения
выводятся из уравнений (18.8), образованных для функций (18.4).
Из рассмотрения тождеств (18.5) очевидно, что три уравнения (18.6)
эквивалентны двум уравнениям, получающимся^ приравниванием
пулю выражений (18.8), и уравнению В9—Су = 0. После
небольшого преобразования эти уравнения принимают врд
fy — fv'x — fy'yP — fy'zq — fy'y' (jPx+PyP+Ш) —
— fy'z' (qx + <1VP + ЪЧ) = О,
(22.1) fz — fS'X—U*yp — fz'z<l — fz'y' (РхЛ-РуРЛ-PzQ) —
—fz'z' tea,+qyP 4- qsq) = o,
£8^Cy = fy<z + fy'y>Pz + fy'z'qe'-fz'y — fz'y'Py—f8'z'qy==0,
где аргументами в производных от f являются х, у, z, р, q.

08
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЙ МИНИМУМА
Теорема 22.1. Функции наклона р(х} у, z), q(х} у, z) поля F
удовлетворяют трем уравнениям (22.1). Обратно, односвязная
область F пространства xyz будет полем с функциями наклона
р(ху у, z), q(x, у, я), если эти функции в области F однозначны,
имеют непрерывные производные первого порядка, удовлетворяют
уравнениям (22.1) и соответствующие элементы {х, у, z, p, q)
являются допустимыми.
Второе утверждение теоремы, которое только и нужно доказать,
непосредственно следует из теоремы 21.1, так как из
уравнений (22.1) вытекают тождества (21.4) для коэффициентов А, В, С
интеграла Гильберта (18.1).
Значение интеграла I с фиксированными пределами хх и х2,
взятого вдоль экстремали семейства (20.1), является функцией 1(а, (3)
параметров семейства. При [3 постоянном мы получаем одно-
параметрическое семейство экстремалей, к которому приложима
теорема 8.1. Из формулы (8.4) этой теоремы получаем выражение
для частной производной от 1(а, [3) по переменной а
Аналогичная формула получается для производной по р.
Подсчитывая теперь вторые производные 1ар, ЦЛ и приравнивая их, находим
/лл л\ \ду Ъ ~ * dzdz ~ ду д , дз д ~ ~\х*
(22-2) [£wf»'+^wf*'-4^fs-dF*;f>'Lr0'
Фиксируя здесь xi и изменяя х2, убеждаемся, что на любой
экстремали семейства (20.1) выражение в квадратных скобках
сохраняет постоянное значение.
Если семейство экстремалей (20.1) однократно покрывает поле F,
то интеграл I* поля не должен зависеть от пути на сечении F
плоскостью x = xv а следовательно, и в области точек (а, |3),
соответствующей этому сечению посредством уравнений у = у (хи а, (3),
z = z(xu а, р). В этой области (а, [3) интеграл I*, как легко
заметить, приводится к виду
где аргументами в производных от f являются функции (20.1) и s
их производные по х, вычисленные для х = хг. Для того чтобы
этот интеграл в области (а{3) не зависел от пути, необходимо,
чтобы
Отсюда следует, что вдоль экстремалей поля выражение в
квадратных скобках в формуле (22.2) тождественно равно нулю. Теперь
можно легко доказать следующую теорему.

§ 22. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НАКЛОНА И ЭКСТРЕМАЛЕЙ ПОЛЯ 69
Теорема 22.2. Вдоль любой экстремали двухпараметри-
ческого семейства экстремалей вида (20.1) выраоюение
л>о Ъ\ ду д f д* д , ду д f дг д -
сохраняет постоянное значение. Если семейство однократно
покрывает поле F, то это постоянное значение равно нулю па
всех экстремалях поля. Обратно, если вдоль всякой экстремали
семейства (20.1) выраоюение (22.3) равно пулю, то любая одно-
связная область F, однократно покрываемая экстремалями
семейства, внутри которой определитель Д = уаг$ — y$za семейства не
обращается в пуль, является полем с функциями наклона
р (х, у, z), q (x, у, z) данного семейства.
Нам остается доказать только последнее утверждение теоремы.
Функции наклона р, q семейства удовлетворяют первым двум из
уравнений (22.1), так как они являются функциями наклона
семейства экстремалей, удовлетворяющих уравнениям (18.7). Покажем,
что они удовлетворяют также и третьему уравнению (22.1).
Первые производные по у и z от решений а (х, у, z), р (х, у, z)
уравнений (20.1) находятся из уравнений
1 = У**у+ОДР* 0 = Уь*ъ + у$в9
О = ejiy + в$у% 1 = eji, + z$s.
Таким образом,
(22.4) Да, —*pf АР„ = — *щ> Даг = — Ур t$z = y„
где, как и раньше, Д обозначает определитель yaz$— y$za.
Аргументами в коэффициентах B = fy' , C — fz* в интеграле 1* служат
х> У> я, Р> Ъ которые совпадают, однако, с функциями
%, у(х, а,р), z(x, а, р), у'{х9 а, р), z'(х, а, р),
где а, р заменены на а (х9 у, z), р (х, у, z). С помощью
уравнений (22.4) для разности Bs—Су получаем выражение
т> п _faJLf I ^ д п да д г ар д п _
г ЬУ ~ дгд* ГУ"Гдг ~Щ ТУ' ~ду ~ЫПг~д^Ц '•' ~
_1 ( ду д г ду д f дв д , .** д * \
которое по предположению тождественно равно нулю. Таким
образом, доказываемое утверждение является простым следствием
предшествующей теоремы.
Двухпараметрическое семейство экстремалей (20.1), образующее
со своими функциями наклона поле во всякой области F> которую

70
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
оно однократно покрывает и в которой определитель Д(а?, а, (3)
всюду отличен от нуля, называют иногда семейством экстремалей
Майера в честь ученого, впервые рассмотревшего теорию полей
в пространствах высших измерений*)• Такое семейство есть'
обобщение понятия нормальной конгруенции прямых, т. е. двухпара-
метрического семейства прямых, ортогонально пересекаемого одно-
параметрическим семейством поверхностей. Известно, что не всякое
двухпараметрическое семейство прямых в пространстве
принадлежит к этому типу, а только такое, для которого существует
поверхность, ортогонально пересекающая все прямые семейства; в этом
случае может быть построено однопараметрическое семейство
ортогональных поверхностей, и, следовательно, данное семейство является
нормальной конгруенцией. Из теоремы 20.1 вытекают аналогичные
заключения для семейств экстремалей. Если двухпараметрическое
семейство экстремалей трансверсально пересекается некоторой
поверхностью S, то оно есть семейство Майера, и, как мы увидим
в § 28, существует однопараметрическое семейство таких трансвер-
сальных поверхностей в каждой области F, которая однократно
покрывается данным семейством.
Теоремы 20.1 и 22.2 дают критерии того, что данное
двухпараметрическое семейство принадлежит к типу семейств Майера. Частным
случаем таких семейств служит двухпараметрическое семейство
экстремалей, проходящих через фиксированную точку.
§ 23. Свойства второй вариации. До Вейерштрасса в
вариационном исчислении принималось без доказательства, что кривая Е12
действительно дает минимум интеграла I, если первая вариация
Л (*1> С) вдоль Е12 обращается в нуль, а вторая вариация I2 (tj, С)
положительна для всех допустимых вариаций ч\, С, обращающихся
в нуль при х = хх и х = х2, но не тождественно равных нулю
между этими пределами. Это интуитивное предположение оказывается
правильным для случая слабого относительного минимума в
предположении, что Е12 удовлетворяет также усиленному условию
Лежандра III. В этом случае, как легко видеть из рассуждений
§ 11, из положительности второй вариации вытекает, что вдоль Е12
удовлетворяется усиленное условие Якоби IV; таким образом, все
условия теоремы 16.1 выполнены для кривой Е12. В доказательстве
этой теоремы использовалось понятие поля, однако первое
доказательство Вейерштрасса2) было получено без введения этого
понятия, с помощью лишь тэйлоровского разложения. Доказательства
этого типа, так называемые „доказательства разложением", были
г) Для справок см. Bolza, Vorlesungen, стр. 648.
2) Цит. соч., стр. 173—177. Это доказательство, повидимому, впервые
было дано Вейерштрассом приблизительно в 1877 г. См. D u г е п, цит. соч„
стр. 245—349-

§ 23. СВОЙСТВА ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ
71
даны и для случая сильного относительного минимума1), однако
они гораздо более сложны, чем соответствующие доказательства для
случая слабого относительного минимума.
Указанное выше предположение, принимавшееся до Вейерштрасса
без доказательства, послужило причиной развития теории
преобразований второй вариации, целью которой было выяснение
условий, при которых вторая вариация может быть преобразована
к выражению, заведомо являющемуся положительным. По этому
вопросу имеется обширная литература. Однако многие методы этой
теории могут быть значительно упрощены, если связать их с
теорией присоединенной задачи о минимуме второй вариации,
описанной в § 11 предыдущей главы2). В этом параграфе, используя
указанную связь, мы покажем, что результаты теории
преобразований второй вариации получаются как непосредственное следствие
понятия поля и интегральной формулы (19.1). Эти результаты
понадобятся нам при доказательстве достаточных условий слабого
относительного минимума в § 24.
Пусть кривая Е12 есть неособая экстремаль данного интеграла I.
Экстремалями задачи о минимуме второй вариации
#9
вдоль Еп в классе допустимых вариаций vj, С, соединяющих точки
(х1% О, 0) и (х2, О, 0) в пространстве #*£, являются решения
присоединенной системы (11.1), которую запишем в следующих
обозначениях:
их
(23.1) .
■Tft. 0 = -^—шч = о,
Однородная квадратичная форма 2» удовлетворяет хорошо
известному тождеству
г) См. Levi, Sui criterii sufficiente per il massimo e per il minimo nel
calcolo delle variazioni, Annalidi matematica, XXI (1913), 173—218; Mai n a t e,
Sui criterii sufficiente per il massimo e minimo nel calcolo delle variazioni,
Giornale di matematiche di Battaglini, LVII (1919), 79—102, и особенно Re id
Sufficient Conditions by Expansion Methods for the Problem of Bolza in the
Calculus of Variations. Annals of Mathematics, XXXVIII (1937), 662—678.
2) Bliss, The Transformation of Clebsch in the Calculus of Variations,
Proceedings of the International Mathematical Congress, Toronto (1924), I, 589t

72
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
где, например, а>и обозначает (^(я, и, г?, и\ v'). Из этой формулы
легко выводится тождество
(23.2) r\J(ut г>) + С1Г(м, г;) — «JT(4f Q —tdTfo, Q =
из которого вытекает следующее утверждение.
Теорема 23.1. Для любой пары решений (yj, С) и (г*, v)
присоединенных уравнений (23.1) выражение
(23.3) L(y\, С; и, v) == тг|(оцг -]- Cov—^<*у—0®c
равно постоянному. Если это постоянное равно нулю, то говорят,
что {% С) w (г*, v) представляют собой сопряоюенные решения.
В качестве частного случая получаем, что выражение (22.3)
постоянно вдоль экстремали, так как (уа, #а) и (уъ, яъ) являются
решениями присоединенной системы, производная -^ совпадает
с выражением ау(#, уф га, уау za) и аналогичное совпадение
имеет место и для других производных.
Если (и, v), (ии vx) и (w2, s>2)—три таких решения
присоединенных уравнений, что (м1э vt) и (w2, s>2) сопряжены и
определитель utv2—u2vt не обращается в нуль на интервале хх ос2, то двух-
лараметрическое семейство присоединенных экстремалей
y| = ^-|-aw1 + bw2=yj(a?, a, 6),
* ' ' £= v-\-avt-\-bv2 = £(#, а, Ь)
однократно покрывает область пространства жт)С, ограниченную
плоскостями же^ижгг^и образует в ней поле. Действительно,
выражение
д^Ш^' + шЖ^'—эьдй^—ТЕШ**'*
аналогичное выражению (22.3), совпадает с i (u,, s^; w2, г?2) и равно
нулю вследствие сопряженности решений (uv vt) и (u2i г>2).
Функции наклона те (a?, yj, С), х (ж, «ц, С) поля в пространстве arrjt
находятся подстановкой решений уравнений (23.4) относительно а и Ь
в производные
•*\а,(х, а, Ъ) = и'-{-аи,1±Ъи'2,
Zx(x, а, Ь) = «/ + ««£ +К-

§23. СВОЙСТВА. ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ
73
Обозначая определитель uxv2—u2vt через Д, можно написать
функции наклона в виде
(23.5)
*(#, ч. С) = -
х(#, ч. 0 = -д
w — Ч
м — Ч
г;—С
w.
м«
Теперь легко может быть выведена новая форма второй
вариации, если воспользоваться формулой (19.1). Из (19.1) для
экстремали (и, v) семейства (23.4) получаем, что для
произвольной допустимой кривой в пространстве #чС> соединяющей концы
[хи и {х^)у v(xj], [х2, и(х2), v(x2)] этой экстремали, справедливо
соотношение
h(% С) —Ia(«, v)— $ E2iii{x, Ч> С, те. х> ч'. СО*».
где функция Д подсчитанная для квадратичной формы 2о> из
формулы (9.2), имеет значение
Д» = (ч' —*)"<«W+2(4' — *)(С' — *К'С' + (С— х)»«с'с
Этим доказана следующая теорема.
Теорема 23.2. -Если (w, г;), (г*,, ^) и (г*2, v2)— три таких
решения присоединенных уравнений (23.1), что (ut, vt) и (и2, v2)
сопряоюепы и определитель u{v2—u2vx не обращается в нуль на
отрезке ххх2, то для венкой пары допустимых вариаций ч, С,
имеющих на концах хг и х2 те же значения, что и (и, v)>
вторая вариация равна
1.(ч. 9 = /■(«. *>) + / [W-*)*fw +
(23.6) *i
+ 2(4'—*) (С' —*)£v + (С—x)2/*v] to,
где те и х обозначают функции наклона, определенные форму-
ламу, (23.5).

74
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
В литературе, касающейся второй вариации, разности *)'— те,
С— х обычно представляются в виде
ц' —»'
•»! — и
l — v
C — v'
7) U
С — »
и[
«!
»1
ll't
их
vl
к
«2
*>2
f
V2
t*.2
V2
который легко выводится из формул (23 5).
Если на неособой экстремали Е12 данного интеграла I нет
точек, сопряженных с точкой 1, то всегда существует пара
сопряженных решений (ии v{) и (и2, v2) с определителем, не
обращающимся в нуль на отрезке хгх2. Действительно, согласно теореме 12*2,
существует значение х0, меньшее, чем хи которое не имеет
сопряженных себе значений на ххх2 Легко убедиться, что решения (ии vx)
и (и2, v2) присоединенных уравнений, обращающиеся в нуль
в точке х0, с производными, образующими единичную матрицу
в этой точке, составляют пару сопряженных решений.
Определитель A — utv2— u2vt имеет множителем (х—х0)2 и не обращается
тождественно в нуль, что легко обнаружить, если разложить каждый
элемент А по формуле Тэйлора. Из теоремы 12.3 получаем тогда,
что А не обращается в нуль на всем отрезке х^х2, так как нулями А
являются значения, сопряженные с х0, которые по предположению
отсутствуют. Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 23.3. Каждой неособой экстремали Е12, на
которой нет точек, еопряоюенных с точкой 1, соответствует пара
сопряженных решений (uL, vt) и (и2, v2) присоединенных
уравнений с определителем, не обращающимся в нуль на отрезке ххх2.
Для любого другого решения (и, v) присоединенных уравнений
вторая вариация 12(г\, С) вдоль Е12 выражается в форме (23.6)
для всех допустимых вариаций % С, имеющих в точках xt и х2
те оюе значения, что и и, v. Если Е12 удовлетворяет усилен-
ному условию Лежандра III', то 12(г\, £) всегда больше 12{и, v),
кроме случая г\—u = t — «; = 0 на хгх2.
Часто за (и, v) берется частное решение (0, 0) присоединенной
системы. В этом случае при выполнении всех условий теоремы
вторая вариация неотрицательна для любой пары допустимых
вариаций (iq, Q, обращающихся в нуль при х = хг и х = х2,
причем вторая вариация равна нулю только тогда, когда (i), С) ss (0, 0).
Следствие 23.1. Если кривая Е12 фовлетворяет уело -
вию Щ', имеет сопряоюенные концы и внутри Ei2 нет точек%
еопряоюенных с точкой 1, то для каждой присоединенной экстре-
т) — те = -
с—н=

§ 23. СВОЙСТВА ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ 75
мали (w, v) значение 1%(иу v) является по крайней мере не-
строгим минимумом относительно значений 72 на допустимых
кривых в пространстве т]С, соединяющих концы этой экстремали.
Это следствие сразу получается из предыдущей теоремы, если
воспользоваться соответствующей апроксимацией функций.
Произвольное допустимое множество вариаций (т), С) апроксимируется
как по положению, так и по направлению на отрезке #3002—е
множеством
z(*)-c(*)+(*-«,) *(*г-1т-:ге) ■
когда е>о стремится к нулю. Вариации, совпадающие с ч, С на
отрезке %t^x^%b, с Я, 2 на отрезке х%^.х^х2—ей, наконец,
с и, v на отрезке #2— 8<^#<С#2> Дают согласно теореме 23.3
второй вариации значение, большее, чем I2(w, v)y так как на
отрезке #х<#02—е нет значений, сопряженных с xv
Приближая е к нулю, находим, что J2 On, С) > J2 (w> v)-
В выводе формулы (23.6) для второй вариации, который был
дан выше, мы использовали понятие поля и интегральную формулу
Вейерштрасса. Интересно, однако, отметить, что формула (23.6)
может быть получена без их помощи, хотя довольно
искусственными рассуждениями. Для удобства введем обозначения
(23.7)
ч\— гь= аиг-\-Ъи29 С — v= avt -f- Ь#2,
к — и'— awJ-J-bi&g, x — v''= №'х-\-Ы'2,
U = а'их -j- b'u2, V = a'vt -J- b'v2,
обозначениями первых двух строк мы уже пользовались, а в
двух последних строках определены U, РУ V, Q. Необходимо
помнить, что а, Ъ суть функции от х с производными а'9 V. Мы
будем обозначать \(х, и, v, и', v') через ^(и, и') и аналогично
другие производные и совокупности их аргументов. Пусть ч\(х)
и t(x) заданы и а и Ъ определены как функции от х посредством
уравнений (23.4), совпадающих, очевидно, с первыми двумя
уравнениями системы (23.7). Имеем
(23.8) ^«у(ч —«*. * —«0 = 5£«у(я«1 + Ь«а. аи[ + Ъи2) =
= юч(ч — и, тс — M') + ay(?7, Р)
и аналогичное уравнение для шс, ибо (г^, г^) и (w2, #2)— решения
присоединенной системы и производные от о> содержат а и Ъ
линейно. Кроме того, так как решения (иг, vx) и {и%, v2) присоеди-

76
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
ненных уравнений сопряжены и, следовательно, любые две линейные
комбинации их также образуют сопряженную пару, то из
уравнений (23.7) и выражения (23.3) следует
(23.9) 2h-w)(flV(U, р)_2#ву(ч —uf тс — и') = °-
Эта формула справедлива даже в том случае, когда а, Ъ, а', Ь' выбраны
произвольными функциями х, так как ее первый член является
билинейной формой от а, Ъ, а', V с равными нулю
коэффициентами.
О помощью формулы Тэйлора получаем
2<d(y!, yi') — 2со (и, «О — гЗКч —«)«ч(*. w') +
+ (t]' — «Оау(*. «0Ц-2©(ч —f*f ц' — и').
2а)(т| — и, 7)' — w') = 2o>(y)— и, тс— «0 +
+ 22Сч' — w)©4r(ij—«, те —|*/) + 2ю(0> V — тс).
Первый член первого из этих равенств равен сумме 2а> (0, tj' — тс)
и выражения
2 2[(ч—«К(«. *')+(ч'—«0«у(«- "')] +
+ 22(4'—те)ючг (Ч — ад» те — «/) + 2«(ч — wt тс — **')•
Но последнее выражение равно производной от
2(4— Ч)[2ау (и, «О + оуСп — и, тс — и')],
в чем легко убедиться, пользуясь формулами (11.1), (23.8), (11.3),
(23.9) и (23.7). Следоватедьно, для произвольной пары допустимых
вариаций т), С справедлива формула
2со(ц, ч')_2а>(«, «,) = 2а>(0, t|'— тс) +
(23.Ю) - +^S^-«)[2«v(^ «0+<v(4-* *-•')];
член 2(о (6, т)'—тс) есть квадратичная форма Е^ предыдущей
теоремы 23.2. Интегрированием (23.10) получаем формулу (23.6).
Для частного случая присоединенной экстремали (и, v)==z(0, 0)
формула (23.10) дает
(23.11) 2ш(Y), ^) = £2<пауСп. *)+ 2» (0, Ч' —*).
Это есть видоизменение формулы, которая весьма часто применяется
в вариационном исчислении1).
*) Escherich, TFtener Berichte, CVIII (1899), 1283. eq. (9); В о 1 z a
цит. выше, стр. 630, формула (68); Н a h n, Rendiconti del circolo matematico
di Palermo, XXIX (1910), 64, формула (48); Bliss Bulletin of the American
Mathematical Society, XXVI (1920), 359 и Proceedings of the International»
Mathematical Congress, Toronto, 1924, I, 589.

§ 24. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 77
§ 24. Доказательство достаточных условий без
использования понятия поля. В этом параграфе мы сначала даем два
доказательства достаточности условий теоремы 16.1 для слабого
относительного минимума, не зависимых от понятия поля. Первое
доказательство построено аналогично доказательству Вейерштрассаг
для задачи в параметрической форме на плоскости, относительно
которого говорилось в § 14. Второе доказательство зависит от
установленных Блиссом1) свойств непрерывности решений
дифференциальных уравнений, содержащих произвольную функцию,
и является более простым, чем первое доказательство, если эти
свойства предполагать известными. В обоих доказательствах
используется преобразование второй вариации, даваемое теоремой 23.2
предыдущего параграфа. Как видно из материала конца
предыдущего параграфа, это преобразование может быть получено без
применения понятия поля, и поэтому доказательства достаточных
условий, приведенные здесь, могут рассматриваться как
независимые от этого понятия.
В заключение параграфа мы даем набросок подобного
доказательства, не зависящего от понятия поля, для теоремы 16.2,
дающей достаточные условия сильного относительного минимума.
Подробное доказательство можно найти в работах Леви, Малнейта
и Рейда (см. сноску 1 в § 23, стр. 71).
Пусть Е12— допустимая кривая
у(х), z{x) (#iO<#2)>
не имеющая угловых точек и удовлетворяющая условиям I, III', IV,
как предположено в теореме 16.1. Пусть
(24.1) Y(x) = y(x) + >q{%)t ад==*(#) + С(#) (^<^<^2)
допустимая кривая С12, соединяющая концы кривой JE12 и
лежащая в окрестности Вг множества элементов (#, у, я, у\ я'),
принадлежащих Е12. Нам надо показать, что при достаточно
малом Лг разность
Д1= f[f(X, у+% Z + Ъ l/' + T,', *' + £')-
(24.2) *
— fix, у, в, у'9 e')]dx
всегда неотрицательна и равна нулю лишь в случае iqssCssO
на ХлрСп*
г) Differential Equations Containing Arbitrary Punktions, Transactions
of the American Mathematical Society, XXI (1920), 79.

78
Гл II ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА.
Применяя формулу Тэйлора с остаточным членом в виде
интеграла для разности (24.2), находим
AT ^ j \fjn + /W + « + frC'l <fe +
a?a
(24.3) + f-m{x, Y), C, 7)', 1/)** +
где 2 — однородная квадратичная форма от т), С, V, С с
коэффициентом
1
f{l-b)[fn(x, у + Н г + К, г/ + Ц', S + K') —
О
— fyy(®> У> ** У', e')]db
при т]2 и аналогичными выражениями для других коэффициентов.
Первый интеграл в выражении (24.3) равен нулю, как следует
из уравнений Эйлера следствия 6.1, удовлетворяющихся на
кривой Е12 ввиду выполнения условия I. Пусть
2 ф = *l4» + Ър + *м'« + Ч'2
квадратичная форма с различными постоянными коэффициентами
^(г= 1, .. .,4). Тогда ДГ может быть представлено в виде
(24.4) AJ = j (ю — Ф) da; + J (Q + Ф) Ав.
Если постоянные ^ достаточно малы, то первый интеграл в
формуле (24.4) для А/ положителен, за исключением лишь случая
Y)=p{; = 0 на хгх2. Это следует из результатов § 23. В самом деле,
из условий ПГ, IV7 и теоремы 23.3 вытекает, что
присоединенные уравнения (23.1) для ш имеют пару сопряженных
решений (ии vx), (и2, v2) с определителем utv2—u2vu не обращающимся
в нуль на xtx2. По известной теореме о непрерывной зависимости
решения дифференциальных уравнений от параметра заключаем,
что решения присоединенных уравнений для <о — ф
^ (ау — hrf) — К — Titf) = О,
•^к---йл-(«ч-ед=о

§ 24. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 79
с начальными данными uv vv ay, оу и и2, v2, ay, ay при « = ^
будут непрерывны относительно параметров ки Jc2, Ъъ, &4. Поэтому
легко видеть, что эти решения будут образовывать также
сопряженные пары с отличным от нуля определителем, если только
постоянные \ достаточно малы. Далее, квадратичная форма с
коэффициентами
fy'y'—#3 fyfzr
fy'z' fz'z'—&4
является при достаточно малых Jc4 положительно определенной, так
как при &3 = &4 = 0 она переходит в форму, положительно
определенную по условию III. Теорема 23.2 показывает теперь, что
первый интеграл в (24.4), как утверждалось выше, положителен.
Квадратичная форма 2 + ф положительно определенна по
переменным ц, С, vffj*', если только Вг выбрано достаточно малым, ибо
ее коэффициенты будут в этом случае весьма мало отличаться от
коэффициентов Ф. Этим доказательство теоремы 16.1 закончено.
Дадим теперь второе доказательство теоремы 16.1. Обозначим
через Q(x, uy v, u\ v') однородную квадратичную форму от и, v,
и'у v' с коэффициентом при и2, равным
/ (1 — в) f„(*. у+Ч *+К у'+еу, *'+к') «ю.
6
и с аналогичными выражениями для других коэффициентов. Тогда
по формуле Тэйлора для разности AJ получим
xt
так как первая вариация обращается в нуль. Из условий ПГ, IV
вытекает, как и прежде, существование пары сопряженных
решений {иь Vi) (4 = 1,2) присоединенных уравнений с определителем,
не обращающимся в нуль на х^. Пара решений присоединенных
уравнений, составленных для Q (х, и, v, и', v') с начальными
данными (и4, vv ay, ay) (i = 1,2) при x = xlt образует сопряженную
пару, и определитель ее также не обращается в нуль на ххх2, если
только окрестность Вг взята достаточно малой. Это следует из
того, что рассматриваемые решения являются непрерывными
функционалами от т) (#), С (х), Y)' (х), V (х) и отличаются от (щ, v{)
настолько мало, насколько это потребуется, если только область Вх
выбрана соответственным образом, согласно теореме Блисса, на
которую мы ссылались выше. Далее, квадратичная форма Q (х, О, О, и', v')
положительно определенна, если Bt мало, ибо соответствующая

80
Гл. II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
форма о) (х, О, О, и', г/) обладает этим свойством. Из теоремы 23.2
следует теперь, что неравенство А1>0 справедливо для всех
допустимых кривых (24.1), соединяющих в окрестностях Вг концы
кривой Е12 и не совпадающих с ней.
Для того чтобы доказать методом разложения теорему 16.2
о достаточных условиях сильного относительного минимума, мы
примем для кривой С12 обозначение (24.1) и представим подинте-
гральное выражение в AJ из (24.2) в виде
E(x9Y9Z,p9q9r,0) + fo + fj: + f,.r( + f9,V +
(24.5) + • (*. Ч. С l'. С')-« (*. Г7-JP. ^-9) +
+ В + (Г—jp)0+C^ — в)2>.
В этом выражении аргументами в производных от /*, если они не
определены каким-либо другим способом, служат функции х, у (х),
#(х)> У'(х)> я' (%)> определяющие кривую И12, минимизирующее
свойство которой подлежит доказательству, а
2Q = frw{Y'—pp + 2fy>,.{Y'— p){Z' — q) + fs<z,{Z'-q)*.
Аргументы р и q будут определены в свое время. Символы Д С, D
обозначают функции, определяемые из уравнений
f{*> Y, Z, jpf q)-f(x, у, г, у\ s') = fyn + fj: +
+U'(jP—y')+fZ'(q—*')+«>(*» ч> с, р—у\ q—z')+B,
fy,{x, Г, Z,jp, q)^v' + fvW + fv'£ + fy'if<P — tf) +
Очевидно, что они представляют собой в формуле Тэйлора
остаточные члены третьего порядка и могут быть выражены в виде
интегралов.
Интегрированием по частям находим, что интеграл от членов
второй строки в выражении (24.5) равен нулю. Так как
экстремаль JEi2 удовлетворяет условиям III' и IV, то по теореме 23.3
находим пару сопряженных решений (ии vt) и (и2, г>2)
присоединенных уравнений, соответствующих Е12, с определителем, не
обращающимся в нуль на отрезке хи х%. Интеграл от членов
третьей" строки в выражении (24.5) равен нулю как результат
преобразования (23.6), приложенного к интегралу от о>, если
определить а, Ъ, те, х, р, q уравнениями
(24.6) т] = а% + bw2, Z = avt-{-bv29
(24.7) * = аи[ + Ц, х = <Щ- Wv
(24.8) 2> = «/'+*, д = *'-|-х.

§ 24. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ
81
Первые два из этих уравнений эквивалентны уравнениям (23.4),
если uz=zv=~0 и тс и *— соответствующие функции наклона (23.5).
Так как Y—y = fq, Z—# = С, то переменные р и q можно
рассматривать как функции от х, У, Z, т. е. как функции наклона
двухпараметрического семейства кривых, определенного в
пространстве &YZ уравнениями
Y=y {х) -]- аиг -{- bw2, Z = я (х) -|- avt -f- bv2.
Рассуждениями, аналогичными изложенным в статье Рейда *)
(см. сноску в § 23, стр. 71), можно показать, что из условий П^.
и ПГ, которым, по предположению, удовлетворяет кривая Е12,
следует существование у кривой Е12 настолько малой окрестности
F в пространстве xYZ, что вдоль любой допустимой кривой С12,
лежащей в F, выполняется неравенство
(24.9) Е{х, Г, Z, р, q, Y'Z') >тД [mod (а', Ъ%
где т — положительная постоянная и
mod(a\ Ъ') = (а'* + Ъ'*?\ jR(0=j^.
Для получения этого результата необходимо иметь в вдду cqotho-
шения
Г—jp = V —* = *Ч + ЬЧ. Z' — q = C— х = а\ + ЬЧ-
Форма В содержит однородный полином третьей степени от а, Ъ,
как видно из уравнений (24.6)—(24.8); последние два члена в
четвертой строке выражения (24.5) содержат два однородных
полинома от а и Ъ, один из которых первой, а другой—второй
степени. Следовательно, область F можно еще более сузить, если это
необходимо, так, чтобы вдоль любой допустимой кривой С12,
лежащей в F, имели место неравенства
|JB|<e[mod(a, Ь)]2,
| (Г — р) C+(Z' — q)D\^e mod (а, Ъ) mod (а\ Ъ').
Рейд показал 2) также, что при mod (а, Ь) •< 1
f mod (а, Ъ) mod (а', Ь') dx^^j В [mod (а', Ь')] й#>
J [mod (a, b)]2d#< V/ ^ [mod (a', V)} dx,
x) См. также Т о n e 11 i, Fondamenti di calcolo delle variazioni, I, 351, где
даны ссылки на Леви.
2) См. § 5 его статьи, на которую мы ссылались выше. Заметим* что
а (хх) = Ь (хг) = 0. Рейд использует функцию В (t) = (1 + Щ1/а — 1» но
предлагает также функцию, которой мы пользуемся здесь.

32 Гл.Л1. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
где кг и &2— положительные постоянные. Следовательно, для любой
допустимой кривой <712 из достаточно малой окрестности F
экстремали Е12 имеем
Д1 >(т — г\ — s&2) J В [mod(a', V)] dx>О,
хх
где знак равенства наблюдается только в случае а'=Ь'===0, т. е.
когда а = Ь === о и С12 совпадает с ЕХ2.
Мы ознакомили читателя с идеей доказательства Рейдач
достаточных условий сильного относительного минимума методом
разложения, опустив некоторые подробности. В частности, полные
доказательства неравенства (24.9) и последних трех интегральных
неравенств потребовали бы более внимательного рассмотрения. Для
задач, не имеющих таких краевых условий, как рассмотренные
здесь трехмерные, опубликованное Рейдом доказательство
неравенств, из которых получается неравенство (24.9), как было
указано им самим, можно сильно упростить.

Глава III
ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ПМШГЬТОНА— ЯКОБН
§ 25. Введение. В § 7 гл. I было показано, что решения
дифференциальных уравнений Эйлера пространственной задачи
вариационного исчисления образуют четырехпараметрическое семейство
кривых. При решении конкретнощ задачи очень важно произвести
интеграцию этих уравнений и определить экстремали, проходящие
через две заданные точки 1 ж 2. Часто здесь возникают
значительные трудности. Для развития теории, однако, большей частью
бывавт достаточно знать теоретико-функциональные свойства
семейства в окрестности данной экстремали. Эти свойства были
описаны в так называемой теореме включения в § 7, которую мы
докажем еще другим способом в § 27.
В развитии теории экстремалей значительную роль сыграло
введение так называемых канонических переменных (х, у, z, и, v)
вместо переменных (х, y,z, у', #'). Мы увидим, что в
канонических переменных дифференциальные уравнения экстремалей
принимают замечательно простую каноническую форму. С помощью
новых переменных можно легко показать, что экстремали являются
характеристиками дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка. Эта теория, принадлежащая Гамильтону
и Якоби, будет изложена в настоящей главе. Она не только
содействовала развитию самого вариационного исчисления, но и
сыграла фундаментальную роль в приложениях вариационного
исчисления к классической механике и к недавно возникшей
квантовой теории. В § 30 мы приводим простой пример таких
приложений к динамике.
Новый подход к рассматриваемому отделу вариационного
исчисления был сделан Каратеодори. В его методе экстремали
появляются в виде так называемых кривых наибыстрейшего спуска.
В § 31 мы даем сжатое введение в этот метод.
§ 86. Канонические нерешенные и канонические уравнения
экстремалей. Если вместо х, у, z, у', я' ввести новые переменные
х, у, в, и, v> где и и v определяются уравнениями
(26.1) u = fy.(x, у, г, у\ *J)f v = fe>(x, у, z> у', *')»
то дифференциальные уравнения экстремалей принимают
замечательно простую форму. Переменные х, у, &, щ v называются

84
Гл. III ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА—ЯКОВИ
каноническими переменными, а преобразованные к этим
переменным уравнения Эйлера — каноническими уравнениями.
Для большей строгости следующих рассуждений предположим,
что область J? § 3 состоит только из внутренних точек (х, у, z,
у' я'), в каждой из которых определитель fy*yfw— (fyz'j2 не
равен нулю и уравнения (26.1) определяют взаимно однозначное
соответствие между^ точками (х, у, г, у', z') области В и точками
(х, "у, г ,u, v) области S, в которую преобразуется В посредством
этих уравнений. Тогда уравнения (26.1) имеют однозначное
решение
(26.2) у' = Р(х, у, £гэ и, v\ z' = Q(x, у, г, и, v),
определяющее то же самое соответствие между точками В и S.
Мы будем называть точку {х, у, z, и, v) допустимой, если
она лежит в области S. Кривую, определяемую функциями
у (х), z(x), и(х\ v(x) (#1<>02)>
будем называть допустимого, если она является образом
допустимой кривой в области В.
Доказательства этой главы основаны на предположении, что
подинтегральная функция f имеет в области В непрерывные
частные производные до третьего порядка включительно, в соответствии
с замечаниями, сделанными в сносках на стр. 18 и 29.
Согласно теореме о неявных функциях *), функции Р и Q
в уравнениях (26.2) имеют непрерывные частные производные
второго порядка, ибо из существования непрерывных третьих
производных у подинтегральной функции вытекает существование
непрерывных вторых производных у правых частей уравнений (26.1).
Далее, любая точка (х0, у0, z0, u0, vQ) области S является
внутренней точкой, так как для любой достаточно близкой к ней точки
(х, у, я, и, v) уравнения (26.1) имеют решение yr, e'f
определяющее точку (х, у, я, у', #'), внутреннюю к В.
Определим функцию Н{х, у, я, и, v) следующим образом:
(26 3) Я(*' V' *> "' V) = WfV + *>'f*'-f\y' = F- S>=e =
= Pu + Qv — f(x, у, г, Р, Q).
Легко убедиться с помощью тождеств
u = fy.(x, у, s, Р, Q), «>=/;. (ж, yf s, P, Q),
что оба выражения для Н тождественны.
') См. приложение.

§ 26. КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 85
С помощью тех же тождеств легко получаем следующие
выражения для частных производных от Н:
Ни = Р(х, у, #, и, v), Hx= — fx(x, yy e9 P, Q),
(26.4) Hv = Q(x, у, z, и, v), Hy = — fy(x, у, е, Р, Q),
H2 = — fz(x, у, z, P, Q).
Из этих формул следует, что Н имеет непрерывные частные
производные третьего порядка, если функция f обладает этим же
свойством.
Теорема 26.1. Любая экстремаль
(26.5) У(х)> *(#) 0»iOOa)
определяет посредством уравнений (26.1) допустимое непрерывное
решение
(26.6) у (х), z(x), u(x), v(x) (tfiOOo)
уравнений
(26Л) ~£=Н"> 1х~ = Н*> -£= — Ну> d^=~H*'
Обратно, функции у (х), г (х) любого допустимого решения этих
уравнений определяют экстремаль.
Уравнения (26.7) называются каноническими уравнениями
экстремалей *).
Для доказательства первой части теоремы заметим, что
функции и(х), v(x), соответствующие экстремали (26.5), на основании
уравнений (26.1) необходимо удовлетворяют уравнениям (26.2),
так что
Ж — ^ — Яи* -г- —У —iV
ax ■* — ЛА«9 dx
Далее, уравнения (26.1), (26.4) и уравнения Эйлера следствия
6.1 показывают, что
dx~'v~ лу% dx~'z~ л*'
*) Введение канонических переменных и уравнений в вариационное
исчисление связано с исследованиями Якоби и Гамильтона в механике» См.
К. Якоби, Лекции по динамике (1936), стр. 126 и ел. Эти лекции были
прочитаны Якоби в 1842—1843 гг. в Кенигсбергском университете. См. также
Hamilton, Second Essay on a General Method in Dynamics, Philosophical
Transactions of the Royal Society of London, (1935), 98. Лагранж применял
дифференциальные уравнения в каноническом-виде в своей теории
возмущений; см, Ж- Лагранж, Аналитическая механика (1950), т. I, стр. 426,

Гл HI. ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА—ЯКОВИ
Обратно, если допустимая кривая (26.6) удовлетворяет первым
двум уравнениям (26.7), то должны удовлетворяться уравнения
(26.1), а тогда последние два уравнения (26.7) равносильны
уравнениям Эйлера.
Полученный результат можно применить к присоединенной
задаче о минимуме второй вариации. Уравнения, определяющие
канонические присоединенные переменные ху ч\, С, <р, ф и аналогичные
уравнениям (26.1) для переменных х, у, #, u,v, имеют вид
(26.8) ? = оу(#, ч. С, ч'. С), Ф = "Ч'(#, ч> Ъ V, С).
где 2<*>—квадратичная форма в выражения второй вариации,
приведенном в § 4. Уравнения (26.8) линейны относительно
переменных ч, С, ч'> С с матрицей (6.3) коэффициентов при ч'> С'.
Следовательно, для иеособой экстремали эти уравнения имеют ре-
щение
(26.9) Ч' = П(я, ч> С, ?, ф), С'«К (я?, ч, С, ?, ф),
где П и К —однородные линейные функции ч> С, <?, Ф- Функция
Гамильтона для присоединенной задачи будет иметь вид
(26.10) 0 (я, ч. С, ?, ф) ~ [чЧ' + ^V — •]V==n' ''=K =
^П<р + Кф — ш(я?, ч> С, П, К).
Она является однородной квадратичной формой относительно
переменных ч* £> ?> Ф и имеет производные
£Ф = П, £ф —К,
&* = — ®ш» &) = -°V &= — °Ъ
где аргументами в производных от о> служат %, ч\, С, П, К.
Канонические уравнения присоединенной задачи имеют вид
саш) ■£-«,.- ^=фф, S—*v S—«t-
Всякая присоединенная экстремаль ч 0*0> С(#) определяет
посредством уравнений (26.8) непрерывное решение уравнений (26.11).
Справедливо и обратное утверждение.
В уравнениях (26. II1) правые части линейны и однородны
относительно переменных i\, iy to, ф. Всегда существует, и дритом
единственное, решение этих уравнений, удовлетворяющее данным
начальным условиям Чо> Со* ?о> Фо Щ?и #=^о- В частности,
нулевым начальным условиям соответствует решение ч^С^ф^Ф^О.
Дюбое решение ч 0*0* £(#), 9(х)> Ф(ж) является линейной
комбинацией с постоянными коэффициентами каких-либо четырех ^и-
нейнб резавйсимых решений 4YG&)> ^y0*0* Ь (ж)»'^(х) (v= 1, • t., 4)

§ 27. ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ВКЛЮЧЕНИЯ Q7
уравнений (26.11). Определитель
4i(«)
С,(*)
<PiO)
*i(«)
^2(Ж)
W
<Ра(ж)
^а («)
%(ж)
W
<РзО0
Ыж)
•0,4 («)
С*(«)
?«(*)
+4 (я)
составленный из четырех решений, либо тождественно равен нулю,
либо нигде не обращается в нуль. Для линейной независимости
четырех решений необходимо и достаточно, чтобы этот
определитель был отличен от нуля. Все это — результаты, хорошо извест-
лые из теории систем линейных дифференциальных уравнений1)-
§ 27. Второе доказательство теоремы включения. Пользуясь
каноническими уравнениями, мы сможем доказать теорему
включения 7.1 для неособой экстремали 2?12, требуя существование
непрерывных производных подинтегральной функции f только до
третьего порядка, вместо четвертого порядка, как было
предположено сначала в § 3. Покажем прежде всего, что элементы fa у,
#> у'> е') неособой экстремали Еп всегда лежат в некоторой
области В, взаимно однозначно преобразовывающейся в область- 8 точек
(х, у, z, и, v) посредством уравнений
(27.1) u=fyrfa у, г, г/, О, v = fz.fa у, г, у', г'),
как было описано в § 26. Это немедленно следует из теоремы
Больца2) о неявных функциях. Функции у', я' решения
(27.2) y'z=Pfa yy 09 и, v\ z' = Qfa у, я, и, v)
уравнений (27.1), определенных в В, будут иметь непрерывные
производные по меньшей мере второго порядка, так как правые
части уравнений (27.1) обладают этим свойством; то же самое
справедливо и для правых частей канонических уравнений
Согласно теореме существования решения дифференциальных
уравнений, через каждый начальный элемент (х, у, z, и, v) = (x0, а,
Ь, с, d) в достаточно малой окрестности множества элементов,
принадлежащих Ei2> проходит одно, и только одно, решение уравне-
*) См. § 12; или, например, Г у р с а, Курс математического анализа,
II (1936), гл. XX. (См. также Степанов, Курс дифференциальных
уравнении (1945), гл. V, § 2. — Ерим. ред.)
2)Bolzat Vorlesungen uber Variationsrechnung, стр. 160, или МаШ-
matische Annalen; LXIII (1906), 246. См. также М a s oji and Bliss, Fields of
Extremals in Space, Transactions of the American Mathematical Society, XI
(1910), 326, или Bliss, Princeton Colloquium Lectures, стр. 20 и § 8»

Гл III ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
вий (27.3); здесь х0—некоторое фиксированное значение на отрезке
ххх2. Функции, определяющие такие решения, имеют вид
(27 4=) У ^ а' Ъ' °У ^' * ^ а' Ь> С' ^'
и(ху а, Ь, с, d), v{x, а, Ь, с, d).
Это семейство содержит экстремаль JEl2 для значений
#i <> Оа> а = а0, Ъ== Ь0, с = с0, d = d0,
где (х0, а0, Ь0, с0, d0) — элемент (х, у, z, и, v), принадлежащий Е12
при х = х0. Правые части уравнений (27.3) имеют непрерывные
частные производные второго порядка, ибо функция f имеет
непрерывные третьи производные, как было предположено в начале
этого параграфа. Следовательно, функции (27.4) и их производные
Уху zX9 ux, vx имеют непрерывные частные производные по
меньшей мере до второго порядка. Первые две функции (27.4)
определяют, согласно теореме 26.1, четырехпараметрическое семейство
экстремалей.
При # = #0 определитель (7.6), соответствующий этому
семейству, отличен от нуля, так как прризведение определителей
10 0 0
(27.5)
О
fv'v
fz'y
1
ft/z
fz'z
О
fy'v'
fz'y'
0
fy'z
Tz'z
Va
Уая
Уь
Ч
Уыв
Чх
У ex
Уа
*d-
Vdx
8.
dx
равно якобиану д(у, zy гь, v)/d(a, Ъ, с, d)y т. е. в точке х = х0
оно равно 1, как легко убедиться дифференцированием тождеств,
выражающих тот факт, что кривая (27.4) проходит через началь?
ный элемент (х0, а, Ъ, с, d). Так же как в § 12, отсюда следует,
что определитель (7.6) на кривых семейства (27.4) всюду отличен
от нуля. Способом, аналогичным примененному в § 12, можно
непосредственно доказать, что якобиан д (у, г, и, v)/d {а, Ъ, с, d)
всюду отличен от нуля. Действительно, подставляя функции (27.4)
в уравнения (27.3) и дифференцируя затем их по параметрам
а, Ь, с, d, находим,' что столбцы якобиана являются решениями
(*Ь С, <р, <Ю линейных уравнений
£ = НщЦ + Ни£ + Нгт<? + Huv<h
(27.6)
-fa = #W*1 + Hv£ + Hvu<? + ffw<J>,
^== — НууЧ — Щ£* — НуиЧ — Щ
#W>
Рассуждая так же; как в § 12 для d (x), щи используя известные

§ 28. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ
89
теоремы о линейных дифференциальных уравнениях1), заключаем,
что определитель четырех решений уравнений (27.6) всюду
отличен от нуля, если он не равен нулю в какой-либо одной точке.
§ 28* Трансверсальные поверхности поля и уравнение
Гамильтона —Якоби. Поверхность W (х, у, я) = const называется
траневерсальиой к направлению 1:у':я' в точке (х, у, z), если
(28.1) (f— y'fy< — *'М dx+fy> dy + fz> dz = 0
для любых дифференциалов dx:dy: dz9 удовлетворяющих условию
(28.2) Wxdx+ Wydy-\- Wzdz = 0.
Это определение выражает то обстоятельство, что любая кривая на
поверхности, проходящая через точку (х, у, &)> трансверсальна
в этой точке к направлению 1\у'' \г' в смысле определения
трансверсальности § 10.
В поле F интеграл Гильберта
(28.3) I» = ( [(f—pfyf — «/» dx -f fy> dy + fa. Лв\,
образованный для функций наклона поля, не зависит от пути в F.
Значение этого интеграла, взятого по кривой, соединяющей
фиксированную точку,(х0, у0, #0) поля с точкой (х, у, z), определяет
однозначную функцию W(x,y,z). Производные этой функции
легко находятся способом, примененным нами в доказательстве
теоремы 21Л
(28.4) Wx = f—pfy>-qfz>, W, = fy., Wz=fz>.
В соответствии с только что данным определением в любой точке
(х, у, z) поля поверхность Ж= const, проходящая через эту точку,
трансверсально пересекает экстремаль поля, проходящую через ту
же точку. Поверхности JF = const называются трансверсальными
поверхностями поля.
При принятых в § 26 предположениях решение р, q двух
последних уравнений (28.4) будет выражаться функциями
(28.5) р = Р(х, у, *, Wy, Wz\ q = Q(x9 у, *, Wy, Wz\
где Р и Q — решения (26.2) уравнений (26.1). Подставляя эти
значения в первое уравнение (26.4), видим, что функция W
удовлетворяет уравнению
(28.6) wx+H(x9 у, в, wy, wg = o,
*) Степанов, Курс дифференциальных уравнений (1945), гл. V , § 2,
(При#. ред.)

90
Гл III. ПОЛЯ Я ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА.—ЯКОБИ
где функция Н определена формулой (26.3). Это уравнение
называется уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби *).
Теорема 28.1. Инвариантный интеграл Гильберта /*
определяет в поле F функцию W(x, у, я), имеющую в F непрерывные
частные производные второго порядка и удовлетворяющую
уравнению в частных производных (28.6) Гамильтона—Якоби, Все
поверхности одпопараметричеспого семейства W(x, у, я) = const
являются трачсверсальиыми поверхностями поля. Обратно, пусть
W (х, у, я) есть функция, обладающая непрерывными частными
производными второго порядка, причем в области F пространства
xyz все элементы (х, у, я, и, #) = (#, у, z, Wy, Wz) являются до-
пустимыми. Тогда, если W удовлетворяет еще уравнению (28.6)
Гамильтона — Якоби, область F представляет собой поле с
функциями наклона (28.5), а поверхности W— const являются транс-
версальными поверхностями поля.
Так как в уравнениях (28.4) функции наклона поля^> и q имеют,
по предположению, непрерывные первые производные, то функция
W {х, у, я), определяемая интегралом Гильберта, имеет, очевидно,
непрерывные частные производные по меньшей мере до второго
порядка, как утверждается в теореме.
Легко доказывается и вторая часть теоремы. Действительно,
каждое решение W уравнения (28.6), обладающее свойствами,
требуемыми в условиях теоремы, определяет с помощью уравнений
(28.5) функции наклона ряд, которые вместе с W удовлетворяют
уравнениям (28.4).
Но в таком случае интеграл I*, образованный для функции
наклона/(28.5), есть просто интеграл от dW и не зависит,
следовательно, от пути интегрирования. Таким образом, область F,
согласно определению § 18, является полем с функциями
наклона р и q.
Теоремы 20.1 и 22.2 дают критерии того, что двухпараметри-
ческое семейство экстремалей принадлежит к типу семейств
Майера. В следующей полезной теореме указан способ построения
такого семейства с помощью канонических экстремалей (27.4).
Теорема 28.2. Если функция W(a, b), обладающая
непрерывными вторыми производными в области А точек (а, 6),
определяет допустимые элементы (х, у, я, и, v) = (х0, а, Ъ, Wa, Wb)
*) Это уравнение впервые было ^получено Гамильтоном для задач
механики в 1835 г. (цит. соч., стр. 100). ^Якоби показал зависимость между
решениями этого уравнения и канонического уравнения. Соответствующее
уравнение в частных производных для более общих задач вариационного
исчисления было предложено Вельтрами в „Sulla teoria delle linee geode-
tiche", Bendiconti del Reale Istituto Lombardo ser. 3, I (1868), 7QS-—718,
или" в его Op ere mathematiche, If 368,

§ 28, ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ
91
для точеп (а, Ъ) из А, то двухпараметрическое семейство
экстремалей
у(х, а, Ь, Wa, Wb), г{х, a, b, Wa, Wb),
получаемое подстановкой с= Wa, d= Wb в функции (27.4),
принадлежат к типу семейств Майера, определенных в § 22.
Утверждение теоремы следует из того, что значения* а, Ъ, с= Wa,
d ==s Wb представляют собой начальные условия при х = х0 четырех
функций (27.4). Вследствие этого интеграл I* для кривых,
расположенных в плоскости х = х0, приводится к виду
I* = f(fy'*y + fM'd*) = f(Wada+Wbdb)
и, следовательно, не зависит от пути интегрирования.
Доказательство заканчивается ссылкой на теорему 20.1.
Трансверсальные поверхности и экстремали поля обладают
различными свойствами, которые мы докажем в следующей теореме.
Теорема 28.3. Вдоль экстремали Е12 поля инвариантный
интеграл I* имеет то оюе знсЫение, что и интеграл I. Вдоль
любой кривой С12> лежащей на трансверсальной поверхности
поля, интеграл I* равен нулю. Вдоль кривых- С12 поля F, концы
которых располагаются на двух трансверсальных поверхностях,
интеграл I* сохраняет постоянное,значение.
Первое свойство получается из замечания, что экстремали поля
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
и вдоль любого решения этих уравнений подинтегральная функция
в интеграле (28.3) приводится просто- к f(x, у, z, p, q). Для
доказательства второго свойства достаточно заметить, что
дифференциалы dx:dy: ds вдоль кривой, расположенной на
трансверсальной поверхноЬти W= const, удовлетворяют уравнению (28.2),
а следовательно, и уравнению (28.1), ввиду равенств (28.4). Но
левая часть этого уравнения есть как раз подинтегральное
выражение в интеграле 7*. Третье утверждение теоремы немедленно
следует из равенства
I*(C12)=fdW= W(x2f y2i 02) — W(xly yu *t).
Отсюда и из первого утверждения теоремы следует далее, что
-Г*(01«) —-^C^io)* если существует экстремаль Ем поля, соединяв*
щая две трзнсрерс^льные поверхности.

92
Гл. Ш. ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА.-ЯКОБИ
§ 29. Экстремали как характеристики дифференциального
уравнения в частных производных. Результаты предыдущего
параграфа оправдывают^ использование дифференциального
уравнения (28.6) в частных производных на этой*ступени развития
теории. Из теоремы 28.1 очевидно, что решение W {ху у, я, а, Ъ)
уравнения- (28.6), содержащее две произвольные постоянные а
и Ьу определяет двухпараметрическое семейство полей с
соответствующими им двухпараметрическими семействами экстремалей
Майера; совокупность всех этих экстремалей должна поэтому
образовывать полное четырехпараметрическое семейство экстремалей
данной задачи. Ниже приводится доказательство этого, не
зависящее от рассмотрений § 28.
В следующей теореме предполагается, что функция W (х, у, 0, а, Ъ)
обладает непрерывными частными производными второго порядка
и определитель WayWbz—Waz Wby отличен от нуля во всех
точках (х, у, z, а, Ъ), удовлетворяющих условиям вида
(29.1) (я, у, b)£F% (а, Ъ)£А.
Кроме того, предполагается, что все элементы (х, у, z, и, v) =
= (%> У/ *> Wy, Wz), соответствующие этим точкам, являются
допустимыми.
Теорема, 29.11). Если функция W (х, у, я, а, Ъ),
обладающая указанными выше свойствами, удовлетворяет
дифференциальному уравнению в частных производных
(29.2) Wx + H(x9 у, z, Wyy Wz) = 0
в области (29.1), то всякая допустимая кривая Е12, леоюащая
внутри F, не имеющая угловых точек и удовлетворяются
уравнениям
(29.3) Wa = c, Wb = d,
при выбранных значениях постоянных а0> Ъ0, с0, d0 является
экстремалью. Уравнения (29.3) имеют семейство решений
(29.4) у(х, а, Ь, с, d)> z(x, а, Ь, с, d),
содержащее Е12 пРи условиях
(29.5) #!<><>2> а = а0, Ь = Ь0, с = с0, d — d0
и образующее четырехпараметрическое семейство экстремалей,
обладающее свойствами, аналогичными указанным в теореме 7.1.
Для доказательства первой части теоремы заметим, что имеют
место тождества
, , Wxa+HuWya+KvWza=0, Wxy+Hy+HuWyy+HvWzy=0,
К ' ; Wxb+H„Wyb+RvWzb=09 W^ + Ht+HJV^HvW^O,
J) См. К? Як оби, Лекции по динамике (1936), стр. 137 и С4,

29. ЭКСТРЕМАЛИ К\К ХАРАКТЕРИСТИКИ
93
так как W удовлетворяет уравнению (29.2) Гамильтона—Якоби.
Они получаются дифференцированием уравнения (29.2) по а, Ъ, х, у.
Две новые функции и{х), v(oc) получаются подстановкой в Wy
и Wz функций у (х), г (х), (х1^,х^х2), определяющих кривую i£12.
Отсюда, принимая во внимание уравнение (29.3), легко находим,
что
Wax + W,yy' + Wazs' = О, и' = Wyx + Wyyy' + Wy/9
Wbx + Wbyy' + Wbzz' =4), v' = Wzx + Wzyy' + WJ.
Эти уравнения и тождества (29.6) показывают, что у(х), #(х),
и(х), v{x) удовлетворяют каноническим уравнениям (26.7).
Следовательно, Еп есть экстремаль.
Докажем теперь вторую часть теоремы. Множество значений
(ху у, я, а, Ъ, с, d), принадлежащих Е12, удовлетворяет
уравнениям (29.3), причем определитель WayWbz—WazWby не
обращается в нуль. Следовательно, уравнения (29.3) имеют
совокупность решений (29.4), содержащую Е12 при значениях (29.5), и
функции (29-4) обладают непрерывными частными производными
первого порядка в окрестности этих значений. Функции и = Wx,
v— Wy, в которые подставлены выражения (29.4), также обладают
непрерывными частдыми производными первого порядка. Так как,
согласно первой части теоремы, функции (29.4), где u—Wy>
v = Wz, удовлетворяют каноническим уравнениям (26.7), то
Уху их* Чх> vx также обладают непрерывными частными
производными первого порядка. Эти свойства непрерывности аналогичны
указанным в теореме 7.1, хотя и слабее их. Если же функция W
имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то
функции у, z, и, v к их производные по х имеют непрерывные
частные производные второго порядка, т. е. имеют те же самые
свойства непрерывности, что и функции у, я, ух, zx в теореме 7.1.
Подставляя функции (29.4) в уравнения (29.3) и затем
дифференцируя полученные уравнения и функции и = Wy, v = Wg no
a, b, с, d, легко находим, что произведение определителей
Wx
Wx
W:
ay
by
УУ
zy
есть определитель
Wa. 0
wbs о
Wy* -1
W„ 0
11ГТ.
j&b
-TFao
-wha
— w
vv ya
- wM
0
0
0
.—1
- wab
— Wvt
-Wyb
-wt
■b
Уа
*a
«a
»o
1
0
0
0
Уь
4
«ь
vb
0
1
0
0
Ус
ге
uc
vc
•
У a
2d\
ud
vd

94
Гл. III. ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА.—ЯКОБЙ
Таким образом, функциональдый определитель д (у, я, и, v)jd (а, Ъ, с, d)
нигде не обращается в нуль. Это доказывает, что семейство (29.4)
обладает также и последним из свойств семейства (7.5).
Изложим теперь коротко известные факты из теории
дифференциального уравнения с частными производными
(29.7) F{xu ..., хп> pv ..., рп) = О,
где Pi — faT (* = Ь • • -> п)> и покажем, как предыдущие
результаты включаются в общую теорию характеристик таких уравнений *).
Пусть W(xu ..., хю а19 ..., ап_г) есть решение уравнения (29.7),
содержащее (п — 1) параметров аг (г = 1, ..., п — 1). Очевидно,
что при любом с
W= W(xv ..., хп, аи ..., ал-1) —с
также является решением. Пусть С(аг, ..., an_t)— произвольная
функция параметров аи ..., an_v Тогда (п—1)-параметрическое
семейство ^решений
(29.8) W=*W(xu ..., хп, аи ..., ап_1) — С(аи ..., an_t)
будет иметь огибающую, определяемую следующим образом. Из
уравнений
(29.9) War — Car = 0 (г = 1, ..., п— 1)
определяются аи ..., a^tr_1 как функции от хи ..., хп и
подставляются в vypaBHBHne (29.8). Легко видеть, что эта огибающая также
удовлетворяет уравнению (29.7). Кривая в (w-f 1)-мерном
пространстве точек (хи ..., хп, W) и полоса нормалей рх:.. .:рп:—1,
связанная с этой кривой условием pi = WXi, обладает тем
свойством, что вдоль нее частное решение (29.8) касается огибающей2).
Такая полоса называется характеристической полосой и находится
из уравнений (29.8) и (29.9). Дифференциалы dxif йрг вдоль
характеристической полосы удовлетворяют уравнениям
Warx{ dxi = О, dpk = WXkXi dxu
где по индексу г производится суммирование от г = 1 до ё«п
в соответствии с известными обозначениями в тензорном анализе.
г) ,06 этой теории см. Г у р с а, Курс математического анализа И (1936),
гл. XXII. [См. также Смирнов, Курс высшей математики, IV (1941), гл. IX
(Прим. ред.)]
3) ,Г у р с а, Курс математического анализа (1936), гл. XXII. [См, также
Смирнов, Курс высшей математики, IV (1941), гл. IV. (Прим. ред.)).

§ 30. ПРИЛОЖЕНИЕ К ДйНШЙКЁ
об
Подставляя в уравнение (29.7) функцию W (х, а) и
дифференцируя затем по аг и хк, находим
^ИЧ*=о, р<ь+*рР*л = °-
Эти уравнения вместе с предыдущими показывают, что
характеристические полосы удовлетворяют дифференциальным уравнениям
dxi dxn dpi
Так как функция С (aif ..., aw-1) может быть выбрана
произвольно, то все полосы, определяемые уравнениями вида
i*V-br-o, Pi=wXi>
являются характеристическими полосами. Теоремы 26.1 и 29.1
показывают теперь, что экстремали в пространстве xyzuv являются
характеристическими полосами дифференциального уравнения
Гамильтона — Якоби.
§ 30. Приложение к динамике. Рассмотрим
дифференциальные уравнения
(30.1) mx"=—-Um, my"*= — Uy, m0" = —'uM
движения материальной точки массы m в поле силы с
компонентами, равными частным производным по х, у, г функции
— U(x, у, z9 t). Здесь штрихами обозначается дифференцирование
по t. Движение точки описывается тремя функциями x(t), y(t),
0 (i), которые удовлетворяют уравнениям (30.1) и принимают вместе
со своими производными заданные начальные значения при t=t0,
определяемые положением и скоростью точки в момент времени tQ.
Легко убедиться в справедливости следующей теоремы.
Теорема ЗОЛ. Принцип Гамильтона.
Дифференциальные уравнения (30.1) возможных траекторий двиэюущейся
материальной точки являются в то оюе время
дифференциальными уравнениями экстремалей для интеграла
1= f(T—U)dt,
где Т—кинетическая энергия
Г=±т(х'2-\-у'* + г'*).
Эта задача вариационного исчисления должна рассматриваться
В четырехмерном пространстве t ху е9 а, не в. пространстве х г/ &

96
Гл III ЙОЛЙ И ТЙОРИЯ ГАМИЛЬТОНА,—ЙКОБИ
предыдущих параграфов. Однако для вывода дифференциальных
уравнений Эйлера, которых в этом случае будет три, необходимо
лишь в качестве независимого переменного взять t вместо х.
В качестве важногд следствия принципа Гамильтона имеем
следующее^ свойство. Пусть координаты х, у, г преобразуются
в координаты qi9 q2, g3 уравнениями вида
(30.2) x = x(qu g2, qu), y = y(qu q2> g3), z = z(qu q2, g3),
тогда экстремали интеграла I переходят снова в экстремали. Без
дальнейших рассуждений ясно, что дифференциальные уравнения
движения в новых координатах имеют вид
dTa'4 d(T-U)_
dt dq4 — U>
где л Т к U подставлены выражения (30.2) и их -производные по t
х' = *ф, У = Уфу * = *ф.
Соответствующие t, qv qt канонические координаты t, qiy р{
определяются формулами
из которых,легко получить выражения для q'if так как Т \ линейны
относительно этих производных. Переменные р4 называются
импульсами, так как через первоначальные координаты х, у, в они
выражаются в виде произведений массы точки на проекции х', у', г'
скоростей:
рх = тх', р2 — ту', ръ = тг\
Кинетическая энергия Т является однородной квадратичной
формой переменных qv Отсюда для функции Гамильтона Н (t, q, p)
находим выражение
H(t, q,p) = T+U.
Канонические уравнения движения принимают теперь следующую
простую форму:
dq. дЛ dp€ дН
"Ж == "^ ' ~dt~~ Щ *
Если функция U не содержит явно t, то и Л" не содержит t,
и из предыдущих уравнений легко вытекает принцип сохранения
энергии
dH dq4 dpi
It =Н*г~Ж'НП ~df = 0'

§ 81. ЭКСТРЕМАЛИ КАК КРИВЫЕ НАИБЫСТРЕЙШЕГО СПУСКА 97
т. е. вдоль любой траектории сумма кинетической энергии Т и
потенциальной энергии U сохраняет постоянное значение.
Уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид
(30.3) Wt + H(t, q, Wq) = 0.
Если известно решение W (t, q, at, a2, a3) этого уравнения, то
уравнения траекторий можно написать в виде
где а$ и Ъг—произвольные постоянные. Опять весьма важен
случай, когда U и, следовательно, Я не содержат явно t. В этом
случае, считая W(q9 au а2, а3) решением уравнения
Я («, Wq)=aB>
для уравнения (30.3) будем иметь решение W(q, a)—a%t, и
уравнения экстремалей примут вид
Wa=bu Wat = b2, IF* = «+6*
§ 31. Экстремали как кривые наибыстрейшего спуска»
Интересные геометрические свойства экстремалей были отмечены
Каратеодори1). На основе этих свойств им был дан новый подход
к построению вариационного исчисления. Для вывода этих свойств
в трехмерном случае, которым мы занимались до сих пор,
рассмотрим однопараметрическое семейство поверхностей
(31.1) W(x, у, *) = t*,
где функция W (х, у, я) имеет непрерывные частные производные
второго порядка,в области F пространства xyz. Пусть
допустимая кривая
(31.2) у(х), в(х) (#i002)
лежит в области F, не имеет угловых точек и нигде не касается
поверхностей семейства (31.3): Тогда, по теореме о неявных
функциях, уравнение
W[x, у, (х), 0(ос)]=р
определяет х как функцию-от р. с производной
х) Uber diskontinuirliche Lbsungen in der Variationsrechnung
(диссертация, Гёттинген, 1904). См. также Ф. Франк и Р. Мизес,
Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, гл. V (1937), и
Caratheodory, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen
erster Ordnung (1935), 249—251.

98 Гл III. ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА. -ЯКОБИ
непрерывной в интервале ц.^ значений ц, соответствующих
кривой (31.2). Интеграл
I=ff(x, у, г, у', z') dx,
xL
взятый вдоль кривой (31.2) от точки 1 до переменной точки
%2 = х(р), является функцией от ^ с производной
(31-3) 5JT== Wx+wyt/+wzz'-
Эта производная в фиксированной точке (х, у, z) есть функция
от у' и #'. Направление 1 : у': #', для которого эта функция
принимает минимум, называется, по Каратеодори, направлением
наибыстрейшего спуска. Следуй известному правилу разыскания
минимума функции двух переменных, мы должны приравнять нулю
частные производные по у' и г9 от выражения (31.3). Для
определения направления наибыстрейшего спуска получаем уравнения
(Wv+Wyy'+ !¥,,*') fy. — Wyf=0,
(Wx+Wyy'+Wzs')f&>-Wf = 0,
которые, если их разрешить относительно Wx, Wy, Wz,
эквивалентны системе
(31.4) f—y%/ —*%> = Ш^ ty< = W„ fz> = Wz,
где X — множитель пропорциональности. Если вспомнить
определение трансверсальности в § 28, то очевидна следующая теорема^
Теорема 31.1. Для того чтобы кривая (31.2) имела
направление наибыстрейшего спуска в точке пересечения (ху у, z)
с поверхностью семейства W (ху у} #) = р., необходимо и достаточно,
чтобы поверхность была трансверсальна к кривой в этой точке.
Предположим теперь, что для заданного семейства поверхностей
W{x% г/, #) = |А уравнения (31.4) имеют решение (xQi yQ, z0t у^
z'*> Х0), для которого элемент (#0, y0, #0, y'0t z'0) является
допустимым, а функция f и определитель fy'y'fz'z* —(fy'z')2 не равны нулю.
Функциональный определитель по у , z'y X уравнений (31.4), в
которых члены справа перенесены в левую часть, равен, как легко
подсчитать,
-№+ w,y* + wj) [fyVfz<z> -(4v)2].
Следовательно, он не равен нулю для начального элемента (х0, у0,
Яо, У о, г'о), так как из уравнений (31.4) видно, что для начального
элемента

I Si. ЭКСТРЕМАЛИ КАК КРИВЫЕ НАИБЫСТРЕЙШЕГО СПУСКА 9§
а функпия f не равна нулю по только что сделанному
предположению. Из теоремы о неявных функциях следует теперь, что
существует область F пространства xyz, в которой уравнения (31.4)
имеют решение
(31.5) у'=р{х, у, z), *' = q(x, У, *), 1 = К(х, у, z)9
где функции р, q обладают непрерывными частными производными
первого порядка и все элементы [х, уу в, р (х, у, #), q (x, у, #)]
допустимы и дают функции f отличные от нуля значения.
Предположим теперь, что семейство поверхностей (31.1) однократно
покрывает область F, в которой уравнения (31.4) имеют решение (31.5).
Решением первых двух дифференциальных уравнений из (31.5) будет
двухпараметрическое семейство кривых в области F, каждая кривая
которого трансверсально пересекается поверхностями семейства
W=p. Эти кривые называются кривыми наибыстрейшего спуска
данного семейства.
Две поверхности семейства (31.1) называются геодезически
равноотстоящими, если интеграл I на отрезках кривых наибыстрейшего
спуска, ограниченных этими поверхностями, имеет одно и то же
значение. Если каждая пара поверхностей семейства обладает этим
свойством, то говорят, что уравнения (31.1) определяют семейство
геодезически равноотстоящих поверхностей. Для таких семейств
можно доказать следующую теорему.
Теорема 31.2. Каждое семейство поверхностей W (ху у, #)=[a,
удовлетворяющее указанным выше требованиям в области F
пространства xyz, пересекается двухпараметрическим семейством
кривых наибыстрейшего спуска. Для того чтобы это семейство было
семейством геодезически равноотстоящих поверхностей, необходимо
и достаточно, чтобы существовало представление W (х9 у, #) = р.
семейства с функцией W, удовлетворяющей дифференциальному
уравнению Гамильтона — Якоби
(31.6) w9+H(x, у, z, wy, wg = o.
В этом случае кривые наибыстрейшего спуска являются
экстремалями и область F есть поле с функциями наклона семейства
этих экстремалей, причем TF = jx является семейством трансвер-
сальных поверхностей этого поля.
Первое утверждение теоремы нами уже доказано.
Докажем сначала необходимость условия во втором утверждении
теоремы. Для этого заметим, что в случае семейства геодезически
равноотстоящих поверхностей значение интеграла I, взятого вдоль
кривых наибыстрейшего спуска от фиксированной поверхности 1¥=^г
до второй поверхности W = p, является функцией cp(jx) с
необращающейся в нуль производной <р' (р), так как эта производная
в каждой точке имеет вид (31.3). Таким образом, если заме-

100
Гл Ш ПОЛЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОВИ
нить уравнение (31.1) уравнением cp(JF)=v, то производная dl/dv
равна единице. Предположим, что эта замена представления бемей-
ства (31.1) уже выполнена, так что значение производной dl/dp
в уравнении (31.3) равно 1. Умножая последние два уравнения (31.4)
на у' и z* соответственно и затем складывая их с первым
уравнением, найдем А= 1. Из последних двух уравнений (31.4) выразим уг
и #' и подставим их в первое уравнение. Из рассуждения,
помещенного после уравнений (28.4), следует тогда, что W
удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби (31.6).
Обратно, если W удовлетворяет уравнению (31.6), то функции
наклона р и q, определенные уравнениями (28.5), будут
удовлетворять уравнениям (28.4), которые эквивалентны уравнениям (31.4)
при у' —р, #' = q, X = l. Решение дифференциальных уравнений
у'=р, z' = q (31.5) дает поэтому кривые наибыстрейшего спуска
семейства JF = |x. Из уравнений (31.4), где Х = 1, следует, что на
этих кривых
— = / = W -I- W г/ -4- W г' = —
dx ' иа?П~ "уУ "Г уу^ — dx *
Отсюда ясно, что поверхности W= \l образуют семейство
геодезически равноотстоящих поверхностей. Из теоремы 28.1 вытекают
теперь остальные утверждения доказываемой теоремы.
Таким образом, теория Каратеодори приводит нас опять к
теории полей и к дифференциальным уравнениям Гамильтона и Якоби,
подробно рассмотренный в § 28.

Глава IV
ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ
ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 33. Введение. Предыдущие главы этой книги были посвящены
простейшей задаче вариационного исчисления в трехмерном
пространстве, так называемой задаче с закрепленными концами* Мы
начали наше изложение именно с этого отдела вариационного
исчисления, потому что он содержит все существенные черты
соответствующих задач для пространств большего числа измерений и,
кроме того, полученные результаты легко могут быть применены
к аналогичным задачам на плоскости.
В предыдущих главах мы давали теоремам такие формулировки
и доказательства, которые остаются пригодными для задач на пло-
скости и в пространствах высших измерений, если соответственным
образом изменить обозначения.
В § 33 и 34 настоящей главы излагаются результаты теории
задач на плоскости. В § 33 рассматриваются необходимые и
достаточные условия минимума, а в § 34 подчеркивается различие между
задачами на плоскости и задачами в трехмерном пространстве.
Остальные параграфы этой главы посвящены задаче с
закрепленными концами в пространствах высших измерений. Координаты
точек мы обозначаем через (х, yv ..., уп) и пользуемся для записи
сумм принятой в тензорном анализе символикой, а именно: член,
содержащий два одинаковых индекса, обозначает сумму. Таким
образом>-выражение у& обозначает сумму у^г + • • • + У А-
Предложения § 35 и 36 касаются необходимых и достаточных условий
минимума и аналогичны соответствующим теоремам § 33 и 34 и
предыдущих глав. В § 37 даются критерии для того, чтобы и-пара-
метрическое семейство экстремалей однократно покрывало поле,
в § 38 излагается теория Гамильтона — Якоби. Содержание этих
параграфов отличается от соответствующих разделов второй и
третьей глав для трехмерного случая только обозначениями. В § 39
настоящей главы обобщаются теоремы § 23 о второй вариации и
дается более широкое представление о некоторых разделах теории
второй вариации. Это пригодится нам в следующих главах.
При чтении настоящей главы нужно иметь в виду, что здесь
дается только сводка результатов и общий ход рассуждений. Детали
доказательств для случая плоскости и пространств высших
измерений можно легко воспроизвести, используя соответствующие
доказательства предыдущих глав, которые читатель должен постоянно
сравнивать с приведенным здесь материалом. Трудности, которые

102 Гл. IV. ЗАДАЛИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
могут возникнуть при воспроизведении полных доказательств,
заключаются только в выборе соответствующих обозначений при переходе
от трехмерного к двумерному или w-мерному случаю.
§ 33. Задача на плоскости. В плоской задаче вариационного
исчисления рассматривается интеграл вида
(33.1) I=ff(x, у, yr)dx,
а класс допустимых кривых состоит цз кривых
У(Х) (#l<X>2b
для которых интеграл 1 существует. В этом параграфе мы будем
заниматься задачей разыскания в классе допустимых кривых такой
кривой, на которой интеграл I достигает минимума.
Для того чтобы более точно поставить задачу, мы предположим,
как в § 3, что подинтегральная функция f{x, у, у') имеет
непрерывные производные до четвертого порядка включительно в области В
пространства (х, у, у'). Допустимыми элементами (х, у, у') являются
внутренние точки В, а класс допустимых дуг для рассматриваемой
здесь задачи определяется совершенно аналогично тому, как это
было сделано в § 3. Ниже мы даем для рассматриваемого случая
определения, аналогичные условиям I, II, III, IV гл. I.
I. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет
условию I, если существует такая постоянная с, что уравнение
X
(33.2) fy< = ffydx + c
удовлетворяется тождественно вдоль Е.
Очевидно, что если допустимая кривая Е удовлетворяет этому
условию, то для нее справедливы следствия, аналогичные
следствиям 6.1—6.3. На каждой части кривой Д лежащей между
угловыми точками этой кривой, функция fy> имеет производную,
удовлетворяющую уравнению Эйлера
Правый и левый пределы функции fp* [x, у (х), у' (х)] совпадают
для каждого значения х из интервала xtx2, включая и те значения х,
которые определяют угловые точки кривой Е. Далее, на каждой
части кривой Е, лежащей между угловыми точками, на которой
производная fy>y' отлична от нуля, функция у{х), определяющая
кривую Е, обладает непрерывной производной п-то порядка, если
подинтегральная функция /*(#, у, у') имеет непрерывные частные

§ 33. ЗАД\ЧА НА. ПЛОСКОСТИ
103
производные w-го порядка в окрестности множества значений
(#, У> у')* принадлежащих этой части кривой.
В соответствии с обозначениями § 9 мы определим функцию Е
Вейерштрасса следующим образом:
Е(х, у, у\ T) = f(x, у, Y')—f(x, У,1Л-(Г-у')Гу,{х,у,у').
Теперь мы можем высказать следующие два условия.
П. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет
условию Вейерштрасса, если для каждого элемента (х, у, у') кривой Е
выполнено неравенство Е(х, у, у', Y')^0 при любом
допустимом элементе (х, у, ¥')ф(х, у, у').
III. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет
условию Лежандра, если для каждого элемента (х, г/, у') кривой Е
производная fy*yt неотрицательна.
Для того чтобы сформулировать условие Якоби, заметим, что
экстремаль является допустимой кривой, определяемой функцией
у (х), имеющей непрерывную вторую производную и
удовлетворяющей уравнению
(33.3) fy,„ + fy.yy>+fy,y,y>>-fy = -l-ty,-fy = o.
Такая кривая называется неособой, если функция f^^ не обращается
на ней в нуль. Точка 3 неособой экстремали Е12 называется
сопряженной с начальной точкой 1 экстремали Е12, если кривая Е12
касается в точке 3 огибающей однопараметрического семейства
экстремалей, проходящих через точку /. Это определение вполне
аналогично определению § 10, и теперь четвертое условие
принимает следующую форму.
IV. Говорят, что неособая экстремаль Е12 удовлетворяет
условию Якоби, если на ней нет точки, лежащей меоюду точками
1 и 2 и сопряженной с точкой 1.
Методами гл. I можно показать, что кривая Е, которая дает
минимум интеграла, удовлетворяет условиям I, II и III, а если
эта кривая не имеет угловых точек, то она должна удовлетворять
и условию IV, так как такая кривая, удовлетворяющая условию I,
необходимо является экстремалью, как было доказано в § 16.
Примем опять обозначения IIn, III', IIIf, IV для несколько усиленных
условий П, III, IV так же, как это было сделано в § 16. Тогда
для рассматриваемой задачи на плоскости остается справедливой
приведенная в начале § 17 таблица необходимых и достаточных
условий, для того чтобы неособая допустимая кривая без угловых
точек давала минимум интеграла I. Эти результаты относятся также
к кривым, которые дают максимум, если изменить смысл неравенств
в условиях II и III на обратный.
Доказательство необходимости условия Якоби при помощи
теоремы об огибающей, основывающееся на данном выше геометри-

1Й4 Гл- IV- ЗАДАЛИ НА. ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
ческом определении сопряженной точки, проводится опять с
ограничениями, указанными в § 10. Ниже, в § 34, дается определение
сопряженной точки для задачи на плоскости, аналогичное
аналитическому определению § 11.
§ 34. Сравнение задач на плоскости и в пространстве. Задача
на плоскости, рассмотренная в предыдущем параграфе, и задача
в трехмерном пространстве в существенных частях похожи одна
на другую, однако между ними имеются и некоторые различия,
которые мы и отметим в этом параграфе.
Теорема 7.1 показывает, что-любая неособая экстремаль Е задачи
в трехмерном пространстве может быть включена в четырехпара-
метрическое семейство экстремалей. Аналогично, из уравнения (33.3)
видно, что для задачи на плоскости неособая экстремаль Е может
быть включена в двухпараметрическое семейство экстремалей
(34.1) у(х, а, Ь),
обладающее теми же свойствами непрерывности, что и семейство
теоремы 7.1, причем определитель
\Уа Уь \
I У ах Уъх I
не обращается в нуль на кривой Е.
Заметим, что условие III Лежандра в случае задачи на плоскости
приводится к условию» постоянства знака квадратичной формы от
одного переменного и, таким образом, превращается в условие
постоянства знака коэффициента fyy этой формы, как и было
указано выше.
Как легко убедиться, вторая вариация 12 (ч) допустимой
кривой Е& принимает в случае плоской задачи вид
Хг
h(*\) = /2® (я?, Ъ х[)Лх9
где подинтегральная функция является квадратичной формой
(34.2) 2<о (х, ч, V) = fyyi? + 2/^'W + /;v4".
Присоединенная задача о минимуме состоит в разыскании в классе
допустимых вариаций у\ (х), обращающихся в нуль при х = ххж
х = х2, такой вариации, для которой интеграл /2(г|) принимает
минимум. Уравнение Эйлера для этой задачи
(34.3)
1^<V = %

§ 34. СРАВНЕНИЕ ЗАДАЛ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
105
называется присоединенным дифференциальным уравнением. Оно
было впервые использовано Якоби и часто называется уравнением
Япоби.
Одно из существенных различий между задачами в трехмерном
пространстве и задачами на плоскости проявляется в аналитическом
способе определения сопряженных точек. По аналогии с определением
§ 11 говорят, что точка 3 экстремали Е12 сопряжена с точкой 1, если
существует решение ч\(х) уравнения (34.3), обращающееся в нуль
в точках #! и #3, но не тождественно равное нулю в интервале хххь.
Для ^выяснения соотношения между этим аналитическим
определением сопряженной точки и приведенным в предыдущем параграфе
геометрическим определением можно рассуждать также, как в § 13.
Рассмотрим однопараметрическое семейство экстремалей у{х, а),
проходящих через точку 1, которое содержит экстремаль Е12 для
#i < х<#2 и значения параметра а = а0;^пусть при этом
производная уа (х, а0) не равна тождественно нулю на Е\2- Аналогично
выводам^ § 12 заключаем, что функция уа(х, а0) является
решением присоединенного уравнения (34.3) для кривой ЕХ2 и, кроме
того, обращается в нуль при х=хи так как все экстремали семейства
проходят через точку 1. Поэтому нули этой функции
соответствуют точкам, сопряженным с точкой 1. Далее, если использовать
двухпараметрическое семейство экстремалей (34.1), то точки,
сопряженные на Е{2 с точкой 1, соответствуют нулям' функции
Д (х, хх, а0, Ь0), где
уа{х, а, Ъ) уь(х, а, Ъ)
уа(хи а, Ъ) уъ(хи а, Ъ)
Д (х, хх, а, Ъ) =
В этом легко убедиться, рассуждая так же, как в § 12.
По аналогии с определением § 18 говорят, что область F
плоскости ху кв&я&тся. полем с функцией наклона р (х, у), если р (х, у)
обладает непрерывными первыми частными производными в F,
элементы [х, у, р(х, у)], определяемые точками F, допустимы и
интеграл Гильберта
I* = f[fdx + (dy-pax)fyf],
где вместо х, у, г/ подставлены х, у, р(х; у), не зависит от пути
интегрирования. Легко видеть, что через каждую точку поля F
проходит одно, и только одно, решение дифференциального
уравнения поля
(34.4) |Н^> У)
и что любое решение этого уравнения есть экстремаль. Совокупцость
Экстремалей поля может поэтому рассматриваться как
однопараметрическое семейство.

106 Гл. IV. ЗАДАЛИ НА. ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Возможно, что наибольшее различие между задачами на
плоскости и в пространстве проявляется в способах построения полей.
Это можно видеть из сопоставления теоремы 20.1 с ее аналогом
для задачи на плоскости.
Теорема 34.1". Пусть однопараметрическое семейство
экстремалей
(34.5) у{х, а) К<а<а2, xt (а)002(а)]
пересечено крисой С, определяемой заданием функции х = %\а)
(ях<;а^а2). Пусть это семейство и кривая С удовлетворяют
требованиям непрерывности, аналогичным требованиям § 20. Тогда
любая область F плоскости ху, однократно покрываемая
экстремалями семейства, является полем с функцией наклона р (х, у)
семейства, если только производная уа(х, а) отлична от нуля
для всех значений (х, а), соответствующих точкам (х, у) области F.
Доказательство этой теоремы можно здесь не приводить, так как
оно аналогично доказательству теоремы 20.1. Весьма важно
отметить, что* для того чтобы однопараметрическое семейство
экстремалей, обладающее нужными свойствами непрерывности,
образовывало поле в области F на плоскости, требуется только, чтобы
оно пересекалось кривой С, однократно покрывало область F и
чтобы производная уа (х, а) не обращалась в нуль. Основанием для
этого служит то соображение, что на кривой С, пересекающей
семейство, лежит только одна дуга, соединяющая две заданные точки,
и, следовательно, интеграл Гильберта не зависит от. пути на С,
без привлечения каких-либо добавочных предположений, в то время
как на пересекающей поверхности (20.3) в пространстве xyz
существует бесконечно много кривых, соединяющих две данные точки>
и свойство независимости I от пути, вообще говоря, не выполняется.
Более того, интеграл I* с функцией наклона р (х, у),
удовлетворяющей требуемым условиям непрерывности в однократно
покрываемой области F плоскости ху, не зависит от пути в F при
единственном предположении, что все решения дифференциального
уравнения (34.4) являются экстремалями. В отличие от этого, как
мы видели в теореме 22.1, функции наклона р(х9 у, #), q(x, у, z)
поля в трехмерном случае должны быть не только функциями
наклона двухпараметрического семейства экстремалей, т. е.
удовлетворять первым двум уравнениям (22.1), но должны, кроме того,
удовлетворять и третьему уравнению (22.1). Для задачи на плоскости
мы не имеем аналога теоремы (22.2), так как семейство (34.5)
содержит только одну произвольную постоянную. Каждое
однопараметрическое семейство экстремалей на плоскости является семейством
Майера. Читатель должен просмотреть предпоследний абзац § 22,
чтобы убедиться в этом.
В заключение этого параграфа мы отметим, что весьма сильное
и удобное достаточное условие, высказанное в теореме 19,2, остается

§ 35. ЗАДАЛА В (п +1)-МЕРН0М ПРОСТРАНСТВЕ
107
справедливым в случае задачи на плоскости, если подходящим
образом заменить в нем обозначения.
§ 35. Задача в (и + 1)-мерном пространстве. Рассмотрим
теперь задачу с закрепленными концами для общего случая (п -J-1)-
мерного пространства точек (х, уи ..., уп). В задаче
рассматривается интеграл вида
(35.1) 1 = ff(x, yv ..., yni y[, ..., г/Jdx,
а класс так называемых допустимых кривых
Vi0*0 (#iО<^; i = h • • •> п)
состоит из кривых, на которых интеграл I существует. Задача
состоит в том, чтобы в классе допустимых кривых, соединяющих
две фиксированные точки / и 5, найти такую кривую, на которой
интеграл / достигает минимума. Класс допустимых кривых может
быть определен аналогично тому, как это было сделано в § 3 и 33.
Для упрощения записи мы часто будем пользоваться следующими
обозначениями:
У = (У19 • • ■> Уп)> У' = (y'v • ■ •> Уп)>
а фиксированные точки 1 ж 2 будем обозначать так:
Уг = (Уп> • • • > Ут)> Уя = (*/i2> • • • > W-
При этом не может возникнуть никаких недоразумений.
Первое условие для допустимой кривой Д аналогичное условию I
§ 6, принимает здесь следующую форму.
I. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет условию I,
если существуют такие постоянные с<(г = 1,..., п), что вдоль
кривой Е удовлетворяются уравнения
а?
(35.2) fy-t =ffVidx + Ci (* == 1, ..., n).
X
На допустимой кривой Е} удовлетворяющей условию I, правый
и левый пределы функций fy^ [х, у (л?), у' (х)] совпадают даже
в угловых точках, а на частях кривой, расположенных между
угловыми точками, эти функции имеют производные, удовлетворяющие
уравнениям

108 Гл Iv- ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Это утверждение доказывается так же, как в § 6. Условие диффе-
ренцируемости Гильберта, аналогичное следствию 6.3, формулируется
в принятых нами обозначениях следующим образом. Если кривая Е
удовлетворяет условию I, то на каждой ее части, вдоль которой
определитель
(35-4) \Ту'у'ъ\
не обращается в нуль, функции У{(х), определяющие Е, имеют
непрерывные частные производные до порядка m включительно,
в предположении, что подинтегральная функция f (ж, у, у') имеет
непрерывные частные производные порядка m в окрестности
множества значений (а?, у, у'), принадлежащих этой части кривой.
Для рассматриваемой (w+1)-мерной задачи функция Е Вейер-
штрасса (см. § 9) имеет вид
Е{х9 у, у', Г') =
= /Ч*, У, Г) —f{x9 у, у')-(Т.-у^у,{х, у9 у'),
где последний член, по принятому соглашению, представляет собой
сумму от г = 1 до i = n членов этого вида. Условия Вейерштрасса
и Лежандра принимают следующий, вид.
П. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет условию
Вейерштрасса, если для всякого элемента (х, у, у'),
принадлежащего Е, выполняется условие Е (х, у, у' Y)^0 для всех
допустимых элементов (х, у, Y'), отличных от\ (#, у, у').
III. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет
условию Леэюандра, если для любого элемента (х, у, у'), причадлеоюа-
щего Е, выполняется неравенство
fy\v'k(x> У> !/')*<**> О
для всех точек тс = (я1э ..., т:п), для которых тс^ = 1.
Так же как в трехмерном и плоском случаях, может быть
сформулировано геометрич.еское определение сопряженных точек
и условие Якоби. Для этого заметим сначала, что экстремаль
определяется как допустимая кривая, определяемая функциями у*(#)>
имеющими непрерывные вторые производные и удовлетворяющими
уравнениям
(35.5) fy^ + fv,yyk + fMyl-fVi = 0 (*=1/ ..., »).
Такая кривая называется неособой, если вдоль нее определитель
(35.4) не обращается в нуль. Говорят, что точка 3 неособой
экстремали Е12 сопряжена с точкой 1, еслИх-Е^ касается в этой точке
огибающей однопараметрического семейства экстремалей,
проходящих через начальную точку 1. Очевидно, что это определение

§ 36. РАЗЫСКАНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК Ю9
является естественным обобщением соответствующих определений
§ 10 и 33, а четвертое условие формулируется следующим образом.
IV. Говорят, что неособан экстремаль Е12 удовлетворяет
условию Якоби, если на пей между точками 1 и 2 нет сопряэюеп-
ных точек с точкой 1.
Всякая кривая 2?, которая дает минимум интеграла /, должна
удовлетворять условиям I, II, III, а всякая неособая и не имеющая
угловых точек кривая, дающая минимум, должна, кроме того,
удовлетворять условию IV. Для неособой кривой без угловых точек, которая
дает минимум интеграла/, остается в силе таблица §17, где II л, ПГ,
Ш^, ГУ' обозначают соответствующим образом усиленные условия
II, Ш, IV, аналогично тому как это было определено в § 16 для
трехмерного случая. В этом отношении задачи на плоскости и
в пространствах высших измерении совершенно сходны между
собой.
§ 36. Разыскание сопряженных точек. Применяя теоремы
существования для дифференциальных уравнений к уравнениям
(35.5) (га + 1)-мерной задачи, подобно тому как это делалось в § 7,
можно показать, что любая неособая экстремаль Е включается для
xi ^С х ^> хъ и значений параметров щ = ai0, Ь€ = bi0 в 2^-пара-
метрическое семейство экстремалей
(36.1) iji(x, а, Ъ) = уЛх, аь ..., ап, Ьи ..., Ъп),
которое удовлетворяет требованиям непрерывности, аналогичным
требованиям теоремы 7.1, и для которого определитель
(36,2)
к
Угак УгЪ
не обращается в нуль на Е12. Ниже в-отом параграфе мы увидим,
что семейство (36.1) играет большую роль при отыскании
сопряженных точек.
Для того чтобы дать аналитическое определение сопряженных
точек, заметим сначала, что вторая вариация 12 (ч\) кривой Еп для
рассматриваемой (w-j-1)-мернрй задачи имеет вид
(36.3) J2 (tj) = j 2ш (х; tj, т)') dx,
где 2о> есть квадратичная форма
(36.4) 2ш {х, т], т|0 = fy.y4\{% + #^'к\% + fy'tyfli%',
в производных от f в правой части последней формулы
аргументами являются величины х, у (х), у' (х), относящиеся к кривой Е12.

ПО гл. iv. задачи йа плоскости й в пространствах йысшнх йзмв^кний
Присоединенная задача о минимуме, соответствующая кривой Е^,
состоит в том, чтобы в классе допустимых вариаций ч\{ (#),
соединяющих точки (xv О) и (яа, 0) в пространстве хч\, найти такую
вариацию, на которой интеграл 12 достигает минимума. По
определению, присоединенными уравнениями для Е12 называют
дифференциальные уравнения
(36.5) 5Ne\ (*-!»-.., *);
т. е. дифференциальдые уравнения экстремалей присоединенной
задачи.
Точка 3 экстремали Е12 сопряжена с начальной точкой 1, если
существует решение ч<(я?) присоединенной системы (36.5), для
которого все ^ (х) равны нулю при х = хг и х = #3> но не все из
них обращаются тождественно в нуль в интервале хх х%.
Рассуждениями, подобными приведенным в § 13, можно показать, что это
аналитическое определение соцряженной точки эквивалентно
данному выше геометрическому определению.
Пусть функции
(36.6) у{ (х, а) = yt (х, аи ..., ап)
определяют п-параметрическое семейство экстремалей, содержащее
кривую Е12 для значений (х, а), удовлетворяющих условиям
Xi^x^Xfr <x. = ai0. Пусть эти функции удовлетворяют
требованиям непрерывности, аналогичным требованиям теоремы 7.2, а все
экстремали семейства проходят через заданную точку 1 кривой Е12.
Каждая из п совокупностей функций у^к(х, а0) (ft —1, ,...,> п)
является решением присоединенной системы (36.5). Если
определитель А (#, а0) = | yiajc (x, a0) |, составленный из этих решений, не
равен тождественно нулю, то нулям этого определителя
соответствуют точки, сопряженные с точкой I на кривой 1?12, аналогично
тому, что мы имели в следствии 12.2. Далее, эти сопряженные
точки соответствуют также нулям функции D(x, xv a0, Ь0), где D
есть определитель
Угак(*1> <*> Ъ) УгЪк(Х1,а, Ъ)
(36.7) D (х, хи а> Ь) =
образованный для семейства (36.1). Этот результат аналогичен
следствию 12.1 для трехмерного случая.
§ 37. Построение полей. Полем в (п +1)-мерном
пространстве называется область F пространства (х, у) с п функциями
наклона pi (х$ у) (г= 1, ..., и), обладающими в F непрерывными
частными производными первого порядка, причем эти функции

§ 3t. построение Полей щ
таковы, что интеграл
I* = / if (х> У> Р) d* + (dV< ~Pid*) fVi («, У у Р)} >
где аргументы pt суть функции наклона р4 (ос, у), не зависит от
пути в F. Решением дифференциальных уравнений поля
является w-параметрическое семейство экстремалей, однократно
покрывающее область F. Этот факт есть легко доказуемое
обобщение результатов § 18 на (и + 1)-мерный случай.
В § 20 и 22 были даны критерии для того, чтобы область F,
однократно покрываемая двухпараметрическим семейством
экстремалей, являлась полем с функциями наклона этого семейства.
В (м + 1)-мерном случае аналогичные теоремы получаются для
и-параметрического семейства экстремалей, заданного функциями
вида
(37.Д) Vi(x> a) = yi(x> «i, •••, <*n)>
удовлетворяющими требованиям, аналогичным требованиям для
функций (20.1). Пусть такое семейство пересечено w-мерной
поверхностью 8, заданной уравнениями
(37.2)' х = £ (аи . .., ап) = 5 (a), Vi = Vi [Z (а), а] = ч< (а),
подобными уравнениям (20.3). Аналогично теореме 20.1 доказывается,
что всякая область F пространства (х, у), однократно покрываемая
таким семейством экстремалей, будет полем с функциями наклона
этого семейства, если интеграл J*, соответствующий этому семей*
ству, не зависит от пути интегрирования на поверхности 8 и
определитель | yiajc | не обращается в нуль в области F. Это свойство I*,
точнее говоря, означает, что I* не зависит от пути в пространстве
параметров (alf..., an), где в подинтегральной функции интеграла I*
переменные х, у заменены функциями (37.2), а переменные
р{ — функциями yix [S (a), a].
Если задана w-мерная поверхность 8, определяемая уравнениями
(37.3) x = t(alf ..., aJ = S(a), у€ = ^(аи ..., aj = ^(«)
и не имеющая особых точек, то можно, вообще говоря, найти такое
^-параметрическое семейство экстремалей, пересекаемое этой
поверхностью 8, что интеграл I* семейства не зависит от пути на 8. Для
отыскания такого семейства следует выразит^ ч\г из п уравнений
(37.4) (/ - y\fy$ Ц + /*Л = Uv
где вместо х, у, у' подставлены &(«), v)(«), V> а (7(a) есть
произвольная функция параметров аи ..., an. Из теоремы о неявных

112 Гл. IV. ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
функциях следует, что уравнения (37.4) имеют решение iq' (а), если
эти уравнения удовлетворяются начальными значениями (a, rf)0t
для которых функциональный определитель левых частей этих
уравнений по переменным ц' не равен нулю. Предположим, что.
существует такое решение (а,*|')о* что соответствующий элемент
L& (ао)> Ч (ао)> Чо ] является допустимым и его направление
1: tq[0 : ... : yj^0 не есть касательное направление к S, а
определитель \fyt y/1 отличен от нуля для этого элемента. В этом случае
функциональный определитель уравнений (37.4) по переменным yj^
отличен от нуля для (a, t|')0, так как он равен произведению
определителей
которое, очевидно, не равно нулю ввиду сделанных предположений.
Отсюда следует, что w-параметрическое семейство экстремалей вида
(37.1), определяемых начальными элементами £(«), *)(<*), ч'ОО*
пересекается w-мерной поверхностью (37.3) в точках # = £(а). Из
уравнений (37.4) видно, что интеграл I* на этой поверхности есть
просто интеграл от dU и, следовательно, не зависит от пути. Таким
образом, область, однократно покрываемая этим семейством,
будет полем с функциями наклона семейства, если в этой области
определитель \Уг*и\ не обращается в нуль.
В § 22 были выведены и другие критерии того, что семейство
экстремалей со своими функциями наклона образует поля в
областях пространства xyz. Для задачи в (п+ 1)-мерном пространстве
интеграл /*, определенный выше, можно написать в следующей
форме:
где
А = f— У'т/у'к> Bi — fy* y'i =Pi fo У)-
Обобщая рассуждения § 21, находим, что условия
(37 5) дА^дВ* dJh = *}h
дгл дх > дук dVi
являются необходимыми для того, чтобы этот интеграл не зависел
от пути в области F, и они же будут достаточными условиями,
если область F односвязна. Последнее понятие вводится по аналогии,
с § 21, где дано определение для случая трехмерной области.
Легко убедиться, что условия, аналогичные условиям (18.5), имеют
вид
I* = j[A (х, у) dx + В4 (х, у) dyi],
+ л(4В*-4*0'

§ 37. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ
113
Отсюда непосредственно следует, что уравнения (37.5)
эквивалентны уравнениям
(37.7) , . , , *
Ufa -Г h'iVpv^—Ufa—ty'jpfiiWi — <V
где в производных от f переменные х, у, у' заменены на #, у, р.
Эти уравнения соответствуют уравнениям (21.1), Функции наклона
Pi(x, у) любого поля F в пространстве ху удовлетворяют этим
дифференциальным уравнениям в частных производных. Наоборот,
односвязная область i*7, в которой заданы функции наклона,
удовлетворяющие уравнениям (37.7), обязательно будет полем. Этот
результат является обобщением теоремы 22.1.
Выражения (22.3) принимают для случая ^-параметрического
семейства экстремалей (37.1) вид
где аргументами а?, #, у' служат функции х, у(х, а), у' (х, а) из
(37.1), причем частные производные берутся по переменным х, а.
Аналогично теореме 22.2 доказывается, что выражения (37.в), где
i9 & = 1,..., м, сохраняют постоянные значения вдоль любой
экстремали семейства, причем эти постоянные равны нулю,
если семейство однократно покрывает поле F. Обратно, если все
выражения (37*8) равны нулю вдоль экстремалей семейства (37.1),
то любая односвязная область F, которая однократно покрывается
экстремалями и в которой определитель | yiajc | семейства нигде не
обращается в нуль, является полем с функциями наклона р€ (х, у)
данного семейства. Если для экстремалей ^-параметрического
семейства (37.1) постоянные (7.8). равны нулю, то такое семейство
называют семейством Майера.
Очевидно, что если все экстремали семейства (37.1) проходят
через фиксированную точку (хи уг), то оно является семейством
Майера. Действительно, для значения* xt производные ду{/дак
обращаются в нуль и, следовательно, выражения (37.8) вдоль
экстремалей равны нулю. Легко доказать также, что семейство (37.1) будет
семейством Майера, если Оно может быть пересечено одной
поверхностью S вида (37.2), на которой интеграл I* семейства не
зависит от пути. Действительно, на такой поверхности подинтегральное
выражение в I* приводится к виду
fdx + fy (dy. — у. dx) = (/$«. + fy'p^M,-

114 Гл. IV. ЗАДАЛИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
где вместо х, у, у' подставлены $(а), у[Ь(а), -а], у'[На)> а1- Так
как I* не зависит от пути на S, то
Несложными преобразованиями левая часть последнего равенства
приводится к выражениям (37.8). Тайим образом, мы видим, что
область F пространства ху, однократно покрываемая ю-параметри-
ческим семейством экстремалей, будет полем с функциями наклона
этого семейства, если все экстремали семейства проходят через
фиксированную точку или если семейство может быть пересечено
одной поверхностью S вида (37.2), на которой интеграл I* не
зависит от пути.
§ 38. Теория Гамильтона—Якоби. Для задачи в пространстве
{х, уи . i., уп) канонические переменные (#, у, з) определяются
следующим образом:
(88.1) *< = /;;<(*, У, !/')•
Как ив § 26, мы предположим, что уравнения(38.1)устанавливают
взаимнооднозначное соответствие между открытой областью В
пространства (я?/ у, у'), в которой функция ,f обладает частными
производными третьего порядка, и областью S пространства (х, уу s).
На лротяжении этого параграфа мы будем также предполагать, что
функциональный: „ определитель | f*' | не обращается в нуль
ш области В. Уравнения (38.1) имеют тогда однозначное решение
(38.2) y'4 = Pfa У> *),
которое также определяет взаимно однозначное соответствие между
точками S ж В. Функции (38.2) имеют непрерывные производные
порядка т—1 в области JS, если f имеет непрерывные
производные порядка т в области В..
Функция Гамильтона* определяется в виде
<38.з) я- W*i—rf*~Pi = F*i—f(*>.v> Р).
Легко подсчитать ее производные:
Hx = — fx {ху у, .Р), Нщ = - fVi fyi(x, у, Р), Нг, = Pi (x, у, в).
Если функция f имеет непрерывные производные третьего порядка,
то Л зсакже имеет непрерывные производные третьего порядка.
Каждая экстремаль yi (х) (#i •< # < #2),~лежащая в В, преобразуется

§ 38. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА.—ЯКОБИ
115
уравнениями (38.1) в кривую у^х), &i(x) (#iO<-#2), лежащую
в S и удовлетворяющую каноническим уравнениям
(38.4) ё-* = Я,, Й —**■
Справедливо, конечно, и обратное утверждение.
Методом § 27 можно доказать теорему включения для неособой
экстремали Е12 в пространстве (х, у). Для этого к уравнениям (38.4)
достаточно применить теоремы существования для
дифференциальных уравнении. Таким образом, все результаты § 36, вытекающие
из теоремы включения, получаются в предположении, что функция f
имеет непрерывные производные только третьего порядка в области R
допустимых элементов (х, у, у'). Получаемое этим способом
семейство экстремалей выражается в пространстве канонических
переменных функциями вида
(38.5) у* (я, а, Ъ), я{(х, а, 6),
которые определяют экстремаль i?12 для значений
#1<Х>2* «0=(а10> •••> апо)> Ь0=(&10> •••* Ъпо)-
В окрестности этих значений функции уь zb yix, zix имеют
непрерывные вторые производные, и определитель
Viah УгЬк I
(38.6)
не обращается в нуль. Легко видеть, что этот определитель равен
произведению определителя
«« О I
f ' f ' '
Ту4УК 1у{ук\
на определитель (36.2), так что определители (36.2) и (36.8) могут
обращаться в нуль только одновременно. .Семейство можно выбрать,
в частности, так, что параметры а, Ъ будут представлять собой
-начальные значения переменных у, z при х0, т. е.
я* = У«(% а> ъ)> bi = *i(xQ> <*>, Ъ).
В этом случае^ определитель (38.6) при х = х0, очевидно, равен
единице.
Говорят, что w-мерная поверхность W(xf у) ™ const трансвер-
сальна к направлению 1\у\\..• :уп в точке (х, у), если для
любых дифференциалов, удовлетворяющих условию

116 Гл. IV. ЗАДАЛИ НА, ПЛОСКОСТИ Й В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
имеет место соотношение
Так как в поле F интеграл
F-fiif-y'/ypdx+fyaya,
образованный для функций наклона _р< (#, у) поля, не зависит от
пути интегрирования, то при закрепленной начальной точке Ovy)0
он представляет собой однозначную функцию W(x, у) от
переменной конечной точки (#, у). Производные этой функции, как
легко видеть, имеют вид
(88:7) W.^f-ffy, Wy.^f,',,
где аргументами в f и ее производных служат ж, у, р (х; у).
Очевидно, что функция W имеет также непрерывные вторые
производные ;в f. Из уравнений (38 7) следует, что поверхности
W(x% у) = const трансверсально пересекают все экстремали поля.
Они называются трансверса^гьны^и п-мер шми поверхностями
ПОЛЯп
Из уравнений (38.1), (38.2) и (38.7) получаем для функций
наклона поля выражения
(38.8) Мх, у) = Р*(х, у, Wy\
Из определения (38.3) функции П следует, что W(x, у)
удовлетворяет уравнению с частными производными
(38.9) Wx+H(x, у, Wy) = 0.
Это уравнение называется дифференциальным уравнением с
частными производными Гамильтона — Якоби. Из вышесказанного
следует, что любое поле F обладает однопараметрическим семейством
трансверсальных поверхностей W (х, у) = const, для которого
функция, W обладает в поле F непрерывными вторыми производными
и удовлетворяет дифференциальному уравнению (38.9) с частными
производными. Можно доказать, как в § 28, и обратное
утверждение, что каждое решение W(x, у) уравнения (38.9), обладающее
непрерывными вторыми производными в области F пространства
(#, у), определяет в F поле с функциями наклона (38 8). Этот
результат аналогичен теореме 28.1. Мы можем легко обобщить на
(w-f- 1)-мерное пространство также геометрические свойства поля,
описанные в теореме 28 3.
Экстремали рассматриваемой {п-\-1) -мерной задачи могут быть
найдены известным методом Якоби, если известно решение W{x, у, j3)
уравнения (38.9), содержащее п параметров P = (pi, • ••> ря). По

§ 38. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА. -ЯКОБИ
117
аналогии с § 29 положим, что такое решение W(x, у, р) имеет
непрерывные вторые производные, а определитель | W$m | не об^
ращается в нуль в области, состоящей из всех систем
значений (#, у, р), для которых (х, у) лежат в области F, а
Р=^ (Pi, *.., Р«) —в области В. Тогда любая допустимая кривая Е,
лежащая в области F, не имеющая угловых точек и определяемая
функциями
(38.10) у, (х) (хх < х< х2\ г = 1, ..., ю),
которые удовлетворяют уравнениям
(38.11) Щ=«г
для частных значений постоянных (а, р)0, является экстремалью.
Далее, уравнения (38.11) имеют 2п-параметрическое семейство
решений
(38.12Х у4(х, а, р),
содержащее кривую Е для значений
«хООя, в = «о, Р = Ро
и являющееся 2^-параметрическим семейством экстремалей,
которые обладают свойствами, аналогичными указанными в теореме 7.1.
Функции
*<(*, а, р)=И^.К у (я?, а, р), р]
вместе с функциями (38.12) определяют 2%-параметрическое
семейство экстремалей в пространстве S канонических перемен-
ньдс (х, у, #). Эти свойства аналогичны результатам, полученным
в § 29 для трехмерного пространства. Мы обращаем внимание
читателя также на конец § 29, где было показано, что экстремали
тесно связаны с характеристическими полосами уравнения
Гамильтона—Якоби (38.9).
Выше было показана, что экстремали могут быть определены
как решения уравнений (38.11), если известно решение W{x, у; Р)
уравнения Гамильтона—Якоби, для которого | W$m \ ф 0. Обратно,
если известны экстремали, то можно построить решение W (#, У, Р)
уравнения Гамильтона —- Якоби (38.9), обладающее указанными выше
свойствами. Чтобы это показать, построим семейство полей в области F
пространства (х, у) с функциями наклона, зависящими от w
параметров р = (Рх «.., pw). Тогда инвариантный интеграл /* с
фиксированной Начальной точкой (х0, у0) и переменной конечной точкой
(х, у) даст решение W(x, у, Р) уравнения Гамильтона—Яяобя,
обладающее требуемыми с?ойстврщ*

118 Гл. IV. ЗАДАЛИ НА. ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Для доказательства этого утверждения рассмотрим ю-параметрй-
ческое семейство экстремалей (37.1), пересеченное поверхностью S
вида, (37.2), на которой интеграл I* семейства не зависит от пути.
Пусть, кроме того, это семейство однократно покрывает замкнутое
ограниченное поле F. Интеграл I* на S, взятый, от фиксированной
точки а0 до переменной точки а, является функцией U(&),
производные которой выражаются формулами (37.4). Уравнения
(38.13) {f-y'ify'^ + fy^^ Di^+P».
вырождающиеся в уравнения (37.4) для значений р& = 0, имеют
начальное решение (а, р, rf) = (а0, 0, tjo), которое является также
решением уравнений (37.4). Следовательно, для этого решения
функциональный определитель уравнений (38.13) попеременным tf
совпадает с функциональным определителем уравнений (37.4) и отличен,
таким образом, от нуля. Поэтому уравнения (38.13) имеют
решение V(a, Р) такое, что г( (<х0, 0) = ^. Экстремали в пространстве
(х, у), проходящие через начальные элементы (х, у, у') =* [£'(<*),
т] (а), «ц' (а, р)], образуют 2^-параметрическое семейство
(38.14) Г<(*, а, р),
удовлетворяющее на поверхности S начальным условиям
Ъ [* («О, «, р] = Hi («), У; [Е («), *, й = \ («, Р)
и следствиям из них
Ив этих уравнений следует, что определитель (36.2) дад семейства
(38.4) равен на S произведению
Первый множитель не равен нулю на S, так как S, по
предположению, не касается экстремалей. Второй множитель также» не
обращается в нуль, так как функции ч',(а> P) образуют решение^
уравнений (38ЛЗ); т. е. произведение определителя |yj^| на
функциональный определитель левых частей уравнений (38.13) по переменным i{
представляет собой функциональный определитель правых' частей
уравнений (38.13) по переменным Р, равный единице.
Очевидно, что семейство Y€ (х, a, 0) тождестведно с семейством
(37.1).. Поэтому в области F уравнения % = ГП#, а, 0) имеют
единственное решение а/ {ху г/),- для которого определитель
I ***(** «, 0)|

§ « . ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА.—ЯКОБИ
119
не обращается в нуль. Применяя теорему о неявных функциях*
заключаем, что уравнения
(38.15) yi=Yi{x9 а, р)
имеют решение а(х, у, Р), для которого функции а (а?, у, Р)
обладают непрерывными вторыми производными и \Yiok\^bO для
значений (х, у, р), достаточно близких к значениям (х, у, о), где
(х, у) лежат в F. Для функций наклона семейства (38.14) в F имеем
(38.16) л (я?, у, р)= Г; К а(х, у, р),р].
Из уравнений (38.13) следует, что на поверхности S интеграл Г*
семейства (38.14) при, фиксированных значениях р не зависит от
пути. Действительно, подинтегральное выражение в I* равно
dJJ+p^c^. Следовательно, функции наклона рг {х, у, р) образуют
поле в F для каждой фиксированной системы значений5 р.
Величина интеграла I*, взятого от фиксированной точки (х0, я/0)
до переменной точки (х, у) в F, является функцией Wip, у,, J3),
определяемой уравнением
(».у)
W(x, у, р)- f [(f-y'ttydai + f9.tdyt],
где в подинтегральном выражении аргументы х, г/, ?/' заменены
на #■, у, р(х> у, р). Так как первые производные от W по
переменным #, у равны
(38.17) W.^f—yfy, W^fy,
то ясно, что W есть решение уравнения Гамильтона — Лкоби (38.8).
Покажем теперь, что определитель | Wyi$. | не обращается
в нуль. Как видно из второго уравнения (38.17), этот определитель
равен произведению 1/^1 \Рщ\, в котором первый* множитель,
по предположению, не равен нулю.. Покажем, что и второй
множитель не обращается в нуль. Дифференцируя по Р уравнения (38.15)
и (38.16), в которых а заменено,на а(х, у, р), получим
Если бы существовали такие .постоянные cj, не равные все сразу
нулю, что pi9jCj=*Ot то из вшпенаписанных уравнений сдедовало бы

12а Гл. IV. ЗАДАЛИ НА. ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
что^ невозможно; так как определитель (36.2) для семейства
функций Yi{xi а, (3) не равен нулю. Итак, мы доказали существование
функции W (х, у, (3), для которой уравнения (38.11) определяют
экстремали.
Подобным же методом можно доказать, что если обдасть F
пространства (х, у) однократно покрывается экстремалями,
проходящими через фиксированную точку (х0, у0), то она также
однократно покрывается экстремалями, проходящими через соседнюю
точку (х0, у0+Р).'В определенном таким образом ^-параметрическом
семействе полей в4 области F инвариантный интеграл также является
функцией W (х, у,' (3), для которой уравнения (38.11) определяют
экстремали.
§ 39. Теория второй вариации. Теория второй вариации дшь
задачи в (w+1)-мерном пространстве отличается от
соответствующей теории для трехмерного случая только обозначениями. Пусть Е12
есть неособая экстремаль задачи в (п 4* Г)-мерном пространстве
(xt ylt ..., уп), сформулированной в § 35.
Экстремалями присоединенной задачи для JSJ12,
сформулированной в § 36, служат решения присоединенной ристемы
дифференциальных уравнений (36.5). Пусть даны две системы переменных
х, % Y)' и х, и, и'. Подинтегральная функция 2а> в выражении
второй вариации удовлетворяет тождеству
ЧЛ^О», и> <) + V%(^ «, «') — ««%(*, Ч, ч') +
так кщ 2© есть однородная квадратичная форма от переменные
Y), т)'. Используя обйзначение
легко найдем- аналогичное (23.2) соотношение
(39.1) Vi(«)-V«(4)-5Ii^; «),
где
(39.2) L{y\\ и)=*\{ф^(х, и, О — и^(х, iq, tj').
Из соотношения (39.1) следует, что для пары решений tj, и
присоединенных уравнений Ji(f\) = 0 выражение L(i\; и) равно,
некоторой постоянной. Если эта постоянная равна нулю, то говорят,
что решения iq и и сопряжены.
Пусть имеется (м+1) решений щ(х), uik(x) (& = 1, ..., п)
црисоединенной системы, из которых доследние п решений попарна

§ 39. ТЕОРИЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ
121
сопряжены, причем определитель А = | uik(x) | не обращается в нуль
на интервале хг «< х <! х%. Тогда и-параметрическое семейство
присоединенных экстремалей
(39.3), ч, = Щ + akuik {г = 1, ..., п)
образует поле (для присоединенной задачи) в области пространства
(х, у), ограниченной гиперплоскостями х = хг и х = х^. Этот факт
следует из того, что выражения
дщ дак дак да{ *
аналогичные выражениям (37.8), равны зйачелиям Ь(щ\ ик),
образованным для пар сопряженных решений ujit ujk, и, следовательно,
равны нулю для любой пары индексов г, Ь. Функции наклона тс^ (х, ij)
поля получаются подстановкой значений параметров из уравнений
(39.3) в выражение
\* = »'< + *ъи\ъ-
Таким образом, для функций наклона имеем выражения
(39.4) *;(*, т,)=1
Отсюда для разностей г\'(-~к€ получаем
%—Щ Щг\
Применяя метод доказательства теоремы 23.2, мы сможем без
труда убедиться, что для произвольной допустимой кривой ?)(#),
соединяющей концевые точки присоединенной экстремали и(х),
вторая вариация имеет вид
(39.5J I2 (iq) = h («) + j* К — *<) fy'y> (% ~ Ъ) dx.
Этот результат аналогичен теореме 23.2 и является следствием,
интегральной формулы, Вейерштрасса (теорема 19.1) для простран^
ства (х, yj), так так легко видеть, что функция Е Вейерштрасса
для интеграла Щ*\)> из (36.3), равна
(39.6) Е*> &> Ч'<\',к) = Щ—*,) fyryf К—*,).
и.
и
•л
Пк—Чк Ukl
ч<-*,=т

122 Гл* IV. ЗАДАЛИ НА. ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Формула (39.5) была получена в предположении, что
существуем п попарно сопряженных решений щк (х) (к = 1,..., п)
присоединенных уравнений, для «которых определитель | uik (х) | отличен
от нуля в интервале xtx2. Такие решения действительно можно
найти, если неособая экстремаль Е12 удовлетворяет условию IV,
так как тогда в интервале хгх2 нет точек, сопряженных с хх,
и доказательство теоремы 23.3 распространяется на (ю +
^-мерный случай. Если, кроме того, Е12 удовлетворяет также условию III',
то квадратичная форма (39.6) в выражении для Е^ положительно
определенна дла каждого значения х в интервале %tx2, и из
формулы (39.5) следует, что значение 12 (и) второй вариации на
присоединенной экстремали и меньше значения 12 ч на любой деугой
допустимой кривой -г)* (х) в пространстве (х, г\)/У соединяющей
концы щ (х). Если х2—сопряженное с xt значение, а между хх ж х2
нет других сопряженных с хг значений, то тогда 12 (и) <; I2 (yjX
в предположении, что условие III' выполняется. Эти достаточные
условия минимума для присоединенной задачи вполне аналогичны
утверждениям теоремы 23.3 и следствия 23.1 и доказываются
тем же способом.
В трехмерном пространстве для теории второй вариации
большое значение имеет формула (23.10).. Равным образом, важную
роль играет соответствующая формула в (w+l) -мерном случае.
Пусть п присоединенных экстремалей: щк (х) (к = 1, ..., п) в уравт
нениях (39.3) попарно сопряжены и определитель | uik (x) | не
обращается в нуль в интервале ххх2. Если и€ (х) есть любая другая
присоединенная экстремаль, то для любых, допустимых вариаций %(#)
справедлива формула
2(0 (х, т], О — 2о) (ж, и, «О а з; О*)* — «<) [2«у (х> и> м') +
(39Л) + «'(*, Yl — w> * —«Ol + M*» 0, <— я),
н
где функции к{ суть функции наклона (39.4) семейства (39.3),
аргументами которых служат х, %(#)• Эта формула выводится
точно таким же способом, как и формула (23.10) в трехмерном
случае, с изменением лишь в обозначениях. При и{ (х) з О
(г = 1. ..., п) формула принимает более простой вид
(39.8) 2» (х, iq, V) = ^V%;>> Ч, те)+ 2»(я?, О, V — *).
Отметим, что последний член в (39Л) и*-(39,8) равен

§ 39. ТЕОРИЯ ВТОРОЙ, ВАРИАЦИИ
123
Для второй вариации канонические переменные удовлетворяют
уравнениям.
(39.9) С,-«/(*, ъ V).
Так как определитель \fy'y' I не обращается в нуль вдоль неособой
кривой Е12, то эти линейные относительно переменных tj. и у\
уравнения имеют решение
(39 ДО) ч; = ПД*,Ч.С),
где П* — линейные однородные функции канонических
переменных \, Q. Функция Гамильтона, для второй вариации равна тогда
(.39.11) ф (*, т|,С) - Kow - соЛ " П* = ПА — а) (х, ij, П). .
Она является однородной квадратичной формой относительно
переменных r\i9 ^. Канонические присоединенные уравнения,
аналогичные уравнениям (38.4) данной задачи, имеют вид
(39.12) *£-*<,, § 44,
где правые части—линейные однородные функции относительно
*(\г и С*. Согласно теореме существования для линейных
дифференциальных уравнений, через каждую начальную точку ^ (х0), С* (#0)
проходит единственное решение f\i{x), Q(#) уравнений (39.12).
В частности, начальным значениям ^ (х0) = £{ (х0) = 0 соответствует
решение ^{х)-=е=^(х)==0. Для двух решений f\if ^ и ^, vi
выражение
(39.13) g% — Wi
равно постоянной, как легко вывести непосредственно из
уравнений (39.2) или с помощью замечания, следующего за
формулой (39.2). Если эта постоянная равна нулю, то решения сопряжены.
Система п линейно независимых присоединенных
экстремалей v>ilt (х), vik(x) (к = 1,..., п), попарно сопряженных, для которой
определитель | uilc (х) | не равен тождественно нулю, называемся
сопряженной системой. Такие системы применяются довольно часто;
рыше мы уже пользовались ими. Обозначим через U(x) и V(x)
матрицы с элементами uik (х) и vik (х) = а^(х9 мк> и'к), где ик
обозначают совокупности аргументов uik (г = 1,.. .,п). Из
вышесказанного следует^ что каждой паре матриц начальных значений V(x^),
V(x0) соответствует пара матриц U(x), V(x), столбцы которых
uik(?)» Щц(х) (* = 1|-чП) образуют прошений кадовдческюс

124 Гл. IV ЗАДАЧИ НА. ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВАХ ВЫСШИХ ИЗМЕРЕНИЙ
присоединенных уравнений (39.12). Эти решения будут образовывать
сопряженную систему тогда, и_ только тогда, когда произведение
транспонированной матрицы U(x0) на V (х0) есть симметричная
матрица. Это следует из того, что элементы матрицы VU—UV
равны постоянным (39.13) для пары решений щ^Щи (ft =1, ♦..,»).
В частности, мы получим сопряженную систему, если положим
Щх0) = 1, V(x0) = 0 или ЕГ(*0) = 0, Г(х0) = 1г
где I—единичная матрица. В первом случае определитель } U (х) | =
= 1^&(#)| матрицы U(x), конечно, отличен от нуля вблизи х = х0.
В гл. VI мы увидим, что из возможности построения сопряженной
системы с определителем, не обращающимся в нуль в интервале,
содержащем заданное значение х0, вытекают важные следствия

Глава V
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ФОРМЕ
§ 40. Введение. В предыдущих главах были рассмотрены
вариационные задачи, в которых допустимые кривые задавались в
непараметрической форме. Так, в пространстве (х, уи .. .,уп) допустимые
кривые определялись однозначными функциями у/{х) (хх^х^х29
г= 1, . *., п). Теперь мы рассмотрим задачи, в которых
допустимые кривые будут задаваться в лараметрической форме x{t)9
У % (0 (*i -^ * <^ Ч\ * = 1, • t., л)- Очевидно, что всякая
непараметрическая кривая имеет параметрическое представление, для
получения которого достаточно положить x — t, В противоположность
этому кривая, заданная в параметрической форме, имеет
непараметрическое представление только тогда, когда функция x(t) строго
монотонна. Так как при параметрическом задании кривых все
координаты х; уи .* .>уп равноправны, то параметрические задачи
вариационного исчисления обычно рассматриваются в
пространстве (уи .. .,уп) вместо пространства {х, уи .. .,уп). Ради удобства
мы часто^ будем, как и раньше, употреблять сокращенные
обозначения
У=(Ур •••> Уп) > y' = (v'v •••> У'п)-
Функция, от кривой, заданной в параметрической форме Уь (О
(*i ^' < hi i = 1> • • • , м), может обладать геометрическим
значением только тогда, яогда для всякой кривой ее значение не зависит
от выбора параметрического представления кривой. Поэтому
предполагается, что интегралы вариационных задач в параметрической
форме не зависят от параметрического представления кривых,
вдоль которых они берутся. Отсюда, как показано в § 41, следует,
что подинтегральная функция /(у, у') должна быть положительна
однородной первой степени относительно производных у^ ==-—-«,
Наличие условия однородности значительно усдожняет теорию, но его
следствия часто используются в дальнейшем. Для удобства наиболее
важные формулы, вытекающие из условия однородности, собраны
в § 43.
Существует много вариационных задач, которые необходимо
рассматривать в параметрической форме, чтобы получить
удовлетворительные результаты. В качестве простого примера задачи
такого рода можйо привести задачу об отыскании среди кривых,
соединяющих две заданные точки, такой, которая имеет наимень-

Ш Гл- v- ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФО*»МЁ
шую длину. Не нужно, однако, думать, что теория задач в
параметрической форме важнее, чем теория непараметрическиг задач,
или наоборот. Каждая из этих теорий имеет свои применения.
Например, в задаче п тел переменными являютсй время t и Зп
координат {xiy yif #{) (i=l, ..*,n) и движение системы
описывается Зп функциями Xi(t), yi(t), £f€(t) (i= 1, .. .,u), в
которых / монотонно возрастает. Эти функции определяют
экстремали интеграла Гамильтона, аналогичного интегралу теоремы ЗОЛ
для случая движения одного тела. В задаче п тел
переменные t, xi9 yiy si играют роль переменных х, уг, ..., уп в
предыдущей главе, и* зт*а задача, очевидно, существенно
непараметрическая.
Многие *из теоргем, относящихся к задачам в параметрической
форме, непосредственно выводятся из теорем для непараметриче-
ското случая. Одйако при выводе свойств экстремалей, условия,
аналогичного условию Якоби, и достаточных условий экстремума
необходимы новые доказательства. Выбранный нами метод
изложений этих и различных других вопросов является, повидимому,
наиболее удобным. В последнем параграфе (§ 54) этой главы дается
краткий обзор других возможных теорий рассматриваемой задачи
с некоторыми указаниями о сравнительном удобстве их применейия
в тех или иных случаях.
^ 41. Параметрическое лредетдвление кривых. Мы будем
рассматривать кривые, задаваемые в пространстве (уи .«., у„)
функциями вида
(41.1) у<(<) (<1<*<«а;*—1, ...,»)
Назовем такую кривую регулярной, если функции y4(t) имеют
непрерывные производные во всем интервале ixt2 и сумма у'4у'{ нигде
не обращается в нуль. Таким образом, регулярная кривая не имеет
особых точек. В последующем будем обозначать производные по t
либо штрихом, либо индексом внизу. Будем пользоваться также
принятым втейзорном анализе сокращенным обозначением сумм,
у. е. если индекс встречается дважды, то по этому индексу
производится суммирование.
Параметр на кривой может быть изменен преобразованием
t = (f (т), где <р (т) — непрерывная функция, имеющая положительную
производную на ^интервале Xj <; х <; т2 и удовлетворяющая условиям
/1 = <р(т1), t2 = <p(%2). В этой главе мы будем пользоваться только
такими преобразованиями параметра. В частности, преобразования
лишь с йеотрицательной производной не допускаются. Таким
образом, мы рассматриваем направленные кривые, на которых
положительное направление обхода соответствует возрастанию
параметра.

§ 41, ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ
127
В пространстве ty интеграл вариационной задачи должен иметь
вид
и
(41.2) ]f{l,y,y')dt.
*i
Однако значение такого интеграла, вообще говоря, зависит от
выбора параметра и поэтому не может представлять функцию от
^кривой, так как значение функции от кривой не должно зависеть
от выбора параметра на кривой. Например, длина кривой
совершенно не зависит от выбора параметрического дредохавления. Таким
образом, если мы желаем иметь теорию, которую можно было Лн
применять к геометрическим задачам, то мы должны лредаагожить,
что" подинтегральная функция f(t, у, у') обладает тем свойством,
что величина интеграла не зависшг от выбора параметра.
Введем на кривой (41.1) Н0£ый параметр, положив ^ == т—f- с.
Тогда интеграл (41.2) прц этих параметрических лредставлениях
имеет ввд
t у
(41.3) j f{t, у, yt) dt, j* f(x, у, ух) dx
соответственно, где производные от у обозначены индексами внизу,
а пределы интеграции соответствуют выбранным параметрам.
Предполагая, что этц интегралы равны, и дифференцируя их по т, цо-
лучим
fit, у, yt) = f(*> у. Ух).
Так как ^ = г/т, то
f(*,V, yt)*=f(t—c>y> Уд-
Это равенство справедливо при всяком с. Отсюда следует, что
если интеграл (41.2) не зависит от параметрического
представления на любой кривой (41.1), то подинтегральная функция не
содержит параметра t в явном виде.
Дальнейшие свойства подинтегральной функции могут быть
получены применением преобразования £ = хт, где х— положительная
постоянная. Для параметров t и т интеграл (41.2) имеет опять
форму интегралов (41.3), где теперь, по предположению, т и t не
входят явно в функцию Л Предполагая, что эти интегралы равны,
дифференцируя их по т и учитывая, что ух = ^х, находим
f(y, yt) *=f(y> щ) (* > о).
Теорема 41.1. Для того чтобы интеграл .(41.2) не зависел
от параметрического представления кривых вида (41.1),
необходимо и достаточно, чтобы подинтегральная функция f была

128 Гл- v* ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
положительно однородной относительно переменных г/ и не
содержала в явном виде параметра t
Достаточность этого условия в случае преобразований
параметра t = ? (т) описанного выше типа следует просто из того, что
интегралы (41.3) равны при начальном значении т = тА (тогда t = tt)
и имеют, как легко установить, равные производные по т. В
следующих параграфах будет всегда предполагаться, что
рассматриваемые интегралы вида (41.2) не зависят от параметрического
представления кривых (44.1).
§ 42. Постановка задачи. Ввиду замечаний, сделанных в
предыдущем параграфе, мы будем рассматривать в этой главе интеграл
вида
*3
(42.1) I=ff(y,y')dt,
взятый в w-мерном пространстве точек у = (уи .. .,j/w) вдоль
кривой, заданной параметрически,
(42.2) у<(«) (*i<*<y*^l, ...,*).
Мы будем предполагать, что в 2и-мерном пространстве задана
открытая область В, обладающая свойствами:
а) В содержит только такие точки (у, у'), для которых у'гу\фО)
еоли В содержит точку (у, у'), то она содержит и все так
называемые родственные точки (у, ху'), где х>0;
б) /(#> у') непрерывна и имеет непрерывные частные
производные до четвертого порядка включительно в области В;
в) f(y, *y')~*f(y, У') для всех точек (у, у') из В и всех
х>0.
Точки области В называются допустимыми элементами.
Кривая (42.2) называется допустимой, если она непрерывна, состоит
из конечного числа регулярных кривых и такова, что все ее
элементы (у, у') —допустимые.
Задача состоит в разыскании в классе допустимых кривых,
соединяющих две заданные фиксированные точки, такой кривой,
на которой интеграл I достигает минимума.
Цри рассмотрении вариационной задачи в параметрической форме
полезно ввести следующее определение. Мнооюество точен (у, у'),
принадлеоюащих допустимой кривой Е, состоит, по определению,
из точек [у (0, г/ (t)] (*i < * ^ t2), принадлежащих некоторому
параметрическому представлению кривой, и из- всех родственных им
точек [у (t), ху' (/)] (х>о). Очевидно, что это множество содержит
все точки любого параметрического представления кривой.
Мы часто будем употреблять символ N для обозначения
окрестности множества точек (у, у'), принадлежащего допустимой кри-

§ 43. СЛЕДСТВИЯ ИЗ УСЛОВИЯ ОДНОРОДНОСТИ 129
вой Е. Под окрестностью мы будем понимать такое множество точек
(У> У')> содержащее вместе с точкой (у, у') и все родственные ей
точки {у,, ху') (х > 0), что все точки, принадлежащие кривой Е>
являются внутренними точками этого множества.
Если множество S содержит вместе с любой сво^й точкой и все
точки^ родственные ей, то все точки, родственные для любой
внутренней точки 8, также являются внутренними точками 8.
Действительно, если е-окрестность точки (у, у') лежит в 8, то при 8,
меньшем е и ех, 8-окрестность точки (у, ху') лежит в 8.
Следовательно, для построения окрестности N кривой Е достаточно взять
е-окрестность какого-нибудь одного параметрического представления
кривой Е и расширить ее, присоединяя к ней" все родственные
точки.
Множество- точек (у, у') называется нормированным, если для
всех его точек у\у\ = 1. Если за параметр на Е взята длина
кривое
и
то любое множество (у, у8), принадлежащее этому
параметрическому представлению кривой, является нормированным.
§ 43. Следствия иа условия однородности. Из свойства
однородности подинтегральной функции f(yf у') вытекает несколько
важных следствий, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Эти
следствия получаются без всякого труда, и для упрощения изложе-,
ния мы докажем их все сразу. Ниже приведены типичные
следствия из условия однородности. Другие следствия, которые тоже
понадобятся, здесь опущены, так как они легко могут быть
выведены из следствий^ приводимых нами. Функции Tif E, Q, 2o>, Ji
аналогичны тем, которыми мы пользовались в предыдущих главах,
и определяются равенствами, в которых ойи встречаются впервые.
В частности, уравнения 2^ = 0 суть уравнения Эйлера
рассматриваемой задачи, и их решения являются экстремалями. Здесь часто
используется принятое в тензорном анализе обозначение сумм,
которым мы уже пользовались в предыдущих параграфах.
Приведем ряд формул, вытекающих из условия однородности:
(48Л) f(y, ху') = х/"(у, у') (х > 0).
(43.2) •/,.-/. 1^-0.
(43.3) fy (у, ху') = х^(у, у'), fy,{y, ху') = fy,{y, у'),

180 Лс. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
(43.4) Tt^^fyf—f, j^T, и 0 относительно у, у', у".
(43.6) Е(у, уг, Г)=*Пу, Y')-f(y, у')-(¥[-у)Гу^У, 2/0 =
~ПУ, Г)-7'//{(у,у') =
= Г;[^(у, Г)-^(г/, у')1.
(43.6) Q (у, у'; ъ 9 = f'- (У, У') Ъ С*,
viyk
Q (у, у'; w', Q = о,
Q(y, у'; Ч+w', C) = Q(«/, у'; % С).
(43.7) 2m(t, ъ чО-^д^+г^ч^+^ч;^,
t/^ (ч) = — Ч*у* — ° вдоль экстремали,
Ji(py')—"л* (Р^)=0 для всех р(0 вдоль экстремали.
Доказательство этих соотношений весьма просто. Первое из
соотношении (43.2) получим, дифференцируя условие однородности (43.1)
пох и затем полагая х=1. Второе соотношение (43.2) получается
из первого дифференцированием по у'г Уравнения (43.3) выводятся
из (43.1) дифференцированием по переменным у и у'. Для
получения (43.4) заметим, что
откуда с помощью (43.2) легко вывести соотношение у^ = 0.
Отсюда же получаются последние два выражения для функции Е и
формула (43.6), в которой символ ру' обозначает (ру'х, . ..,ру„).
Для доказательства третьего из равенств (43.7) заметим, что
У'/i (ч) = Ъ (v'Pj) — У>4 — У>\>
Отсюда и из соотношения, легко получаемого из (43.2), следует
У'**ч + И?% = Ш (\fyj) + Ч'А-

I 44. ЙЁРВЫЕ НЕОБХОДИМЫЙ УСЛОВИЯ МИНИМУМА Щ
Из этих соотношений немедленно вытекает,доказываемое равенство.
Наконец, последняя из формул (43Л) вытекает из того, что если
Ч*=Р(024 то
**f*i Л
T\i dt 4i dt
Из формул (43.2) видно, что определитель Ify'y'l билинейной
формы Q равен нулю. Однако определитель
k °
(43.8) В:
не всегда равен нулю; допустимая кривая, на которой этот
определитель не обращается в нуль, называется неособой привой нашей
задачи.
Теорема 43.1. Три, следующих" утверждения о допустимом
элементе равнобильны: (1) определитель (43.8) не равен нулю;
(2) ранг матрицы \\fyy \\ равен п—1; и (3) ранг матрицы Wfy^V' II
равен п.
Для доказательства теоремы покажем, что из утверждения (1)
следует (2), из (2) следует (3) и из (3) следует (1). Если опреде-*
литель (43.8) отличен от нуля, то матрица его первых п строк имеет
ранг п и, следовательно, ранг матрицы в (2) не м:ожет быть меньше
п — 1. Таким образом, из утверждения (1) вытекает утверждение (2)*
Пусть матрица в (2) имеет ранг п—1, тогда система линейных
однородных уравнений с коэффициентами из п первых столбцов
матрицы (3) имеет, на основании фор^л (43.2), решениями только ру'.
Но ру' не удовлетворяет, кроме случая р = 0, линейному
уравнению с коэффициентами из последнего столбца матрицы (3), и,
следовательно, эта матрица должна иметь ранг п. Таким образом, из
утверждения (2) следует (3). Предположим, наконец, что матрица (3)
имеет ранг п. Единственным решением системы линейных
однородных уравнений, коэффициентами которой служат строки матрицы (3),
является ру\ О, и это решение не удовлетворяет однородному
линейному уравнению с коэффициентами из последней строки
определителя (4S.8). Следовательно, этот определитель отличен от нуля.
Мы видим, что из утверждения (3) вытекает (1). Теорема доказана.
§ 44. Первые необходимые условия минимума. Из
результатов, полученных нами раньше для непараметрической задачи в
пространстве (х, yi9 ш.., уп), сразу вытекают формулировки следующих
условий в параметрическом случае, если заменить независимую
переменную х на f. С помощью формул § 43 легко установить, что
если- эти условдя выполняются для какого-нибудь параметрического

Ш г«. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА,^И В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
представления кривой Е, то они выполняются и для всех
параметрических представлений этой кривой.
I. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет
условию I, если существуют такие постоянные cit что вдоль Е
Следствие 44.1. На каждой части допустимой кривой Е,
не имеющей угловых точек и удовлетворяющей условию I, функ-
ции fyf имеют производные и
Следствие 44.2. Для каждого значения t, определяющего
угловую точку допустимой кривой Е, удовлетворяющей условию I,
правый и левый пределы функции fy* [у if), у' (t)] совпадают.
Формулировка и доказательство третьего следствия, аналогичного
следствиям из § 6 и 35, должны быть немного изменены для случая
задачи в параметрической форме.
Следствие 44.3. Пусть на не имеющей угловых точек части
допустимой кривой Е, удовлетворяющей условию I, определитель
(43.8) не обращается в нуль, тогда функции у4 (t), определяющие Е,
имеют непрерывные производные т-го порядка, если подинтеграль-
ная функция f(y, у') имеет непрерывные производные т-го по-
рядка в окрестности элементов {у, у') этой части кривой, а за
параметр t принята длина дуги.
Для доказательства рассмотрим »+1 уравнений
t
(44.1) fyi[y(t), «] + J««—J/,, [y(t), f{t)] <Й-с, = 0,
ukuk—1 = 0,
которым удовлетворяют на основании условия I функции uk = ук (t),
1 = 0 в предположении, что t есть длина дуги на Е. Вдоль этого
решения функциональный определитель левых частей этих уравнений
по переменным иъ I равен удвоенному определителю (43.8). Левые
части этих уравнений имеют непрерывные производные по
переменным t, uk, L Из теоремы о неявных функциях следует теперь, что
решения ик = у'к (t), 1 = 0 имеют непрерывные производные в
окрестности всякого значения t, соответствующего неугловой точке
кривой ЕУ в которой определитель (Д3.8) не равен нулю. Это рассуждение
аналогично тому, которое мы приводили в § 6. Применяя cHOBat

§ 44. ПЕРВЫЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 133
теорему о неявных функциях, мы видим, как и в § 6, что функ*
ции yi (t), определяющие Е, где параметр t есть длина дуги, должны
иметь непрерывные производные m-го порядка в окрестности
значений t, для которых определитель (43.8) не равен нулю, если
функция f имеет непрерывные производные т-то порядка. Способом,
аналогичным примененному в § 6, доказывается существование
правой или левой производный пбрядка m в окрестности значения t,
определяющего угловой элемент {у\ у') кривой Е> для которого
определитель (43.8) йе равен нулю.
Ниже даны условия, аналогичные условиям Вейерштрасса и
Лежандра для непараметрического случая. Если эти условия должны
быть усилены отбрасыванием знака равенства, то для получения
достаточных условий минимума приходится их несколько
видоизменить. Поэтому мы даем следующие формулировки:
П. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет уело-
вию II Бейергитрасса для задачи в параметрической форме, если
для каждого элемента (у, у') кривой Е выполняется неравенство
Е(у,у', Г)>0
при любом допустимом элеменШе (у, Y'), для которого
Г:£*2/'(х>0).
Щ. Говорят, что допустимая кривая Е удовлетворяет
условию Ш Лежандра для задачи в параметрической форме, если
для каждого элемента (у, у') кривой Е выполняется неравенство
«Су, у'; «, «)=/;#«,«*>°
при любом тг era (tcj, ..., тги), для которого тгг^ру'.
Мы не могли бы отбросить знак равенства в этих условиях,
если бы не приняли ограничения Т'фщ', кфру'. Действительно,
из формул (43.3) и (43.5) следует, что функция Е в условии II
равна нулю при Г' = ху'. Подобным образом формула (43.6)
показывает, что Q в условии III равно нулю, если тс = руг, . при этом
безразлично — положителен или отрицателен множитель р.
Теорема 44.1. Всякая кривая, реализующая минимум
интеграла формулированной в § 42 задачи с фиксированными концами
в параметрической форме, должна удовлетворять условиям
I, п, ш:
Утверждение теоремы немедленно следует из доказательств
аналогичных утверждений для задачи в пространстве {ху уи ...,уп),
если заменить независимую переменную х на t.
Лемма 44.1 * Если допустимая кривая удовлетворяет
условию ПГ, то существует такая окрестность N элементов (у, у')

134 гл. V. ВАРЩЛЩОННЫЕ ЗАДАЛИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
па Е, что условие ПГ выполняется для любого элемента (у, у')
из N.
Для доказательства заметим вначале, что условие ПГ
эквивалентно тому, что квадратичная форма
п r T , (з/'Л-)2
(44-2) у^^МЬъ
положительно определенна для каждого элемента (у, у') на Е. Из
второй формулы (43.2) видно, что эта форма положительно
определенна, если переменные Q не все равны нулю и пропорциональны
переменным у{. Если условие ПГ выполнено, то она положительна
и для всех других ^, не равных одновременно нулю. Обратно, если
форма (44.2) положительно определенна, то условие ПГ должно
выполняться, ибо, как видно из (43.6), для любого кфру' найдутся
такие не обращающиеся в нуль Q = щ — ру*, что у\ Q = О и форма
(44.2) равна Q (у, у'; тг, те).
Если форма (44.2) положительно определенна для всех (у, у')
на кривой, то она остается положительно определенной, для всех
(У> У') из достаточно малой окрестности множества элементов,
принадлежащих выбранному параметрическому представлению Е.
Расширение этой окрестности присоединением всех родственных
элементов является окрестностью N описанного в § 42 типа.
Следствие 44.4. Если для каоюдого элемента (у, у')
допустимой кривой Е выполнено условие ПГ, то для любой Зп-мер-
иой точки (у, yr, Y') с У'фку' (х>0), лежащей в соответственно
выбранной окрестности N0 множества точек (у, у', Y') = [y{f),
У' (')> Уг 0OL принадлежащих кривой Е, выполнено неравенство
Е{у, у', Г)>0.
Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой
(44.3) 2Е{у, у', Y^^W-y'JiY'b-y'Jf^^
(О < 6 < 1),
аналогичной разложению (9.3) функции Е непараметрической задачи.
Рассмотрим множество S точек [y(t), у'(t)] (£i<^<^2)>
принадлежащих некоторому параметрическому представлению кривой Е.
В окрестности N леммы ч44.1, в которой выполнено условие ПГ,
можно выбрать 2г-окрестность множества S. Если теперь точка
{Уу Угу У) Зи-мерного пространства лежит в е-окрестности
множества точек [у (t)y у' (t), у' (£)], принадлежащих Е, то
соответствующая точка [у\ у'+ 6 W—y')] 2м-мерного пространства будет
лежать в 2е-окрестности множестба 8 и, следовательно, в
окрестности N. Как будет показано ниже, разности Y^—у^ не могут быть

§ 45. ЭКСТРЕМАЛИ
135
пропорциональны числам У^+9(У^ — у^), если е достаточно мало,
Следовательно, выражение (44.3) будет положительно. Таким
образом, дополнив нашу е-окрестность родственными точками
(у, xj/', ХГ) (х>0, Х>0),
мы й получим искомую окрестность N0.
Если бы разности^ YJ—уг были пропорциональны у^ + 6 (Yi—у'€),
то мы имели- бы также Y'{ = py'v s-окрестность точки (у, у', Г')
можно выбрать так, чтобы сумма у'$\ имела положительный
минимум т. Так как \Y\—?/^|<е, то мы имели бы
IP-UKKs, |p —H<s(^),/a,
откуда при достаточно малом s следует, что р>0. Но это
противоречит предположению Y' ф *у' (* > 0).
Лемма 44.2. Шли для допустимого элемента (у, у')
выполнено условие III, то для того чтобы для этого элемента
выполнялось усиленное условие III', необходимо и достаточно, чтобы
определитель
к ° I"
был не равен пулю, или, другими словами, элемент (у, у') был
неособым.
Условие необходимо. Действительно, если определитель равен*
нулю, то существуют постоянные щ, I, не все равные нулю,
удовлетворяющие системе линейных уравнений
Из формулы (43.2) следует, что 1 = 0, так что среди значений щ
есть отличные от нуля. Из последнего равенства (44.4) следует, что
пк не пропорциональны у'к. В то же время, в силу первых
соотношений (44.4), имеем fy^ 1^ = 0. Это показывает, что условие ПГ
не может выполняться, если определитель равен нулю.
Условие достаточно. Действительно, если определитель (44.4) не
равен нулю, то и определитель квадратичной формы (44.2) также не
равен нулю, в чем легко убедиться, рассуждая так же, как в
доказательстве теоремы (43.1). Поэтому эта неотрицательная
Квадратичная форма не может обращаться в нуль на множестве значений
С^Ои является, следовательно, положительно определенной.
§ 45. Экстремали. В этом параграфе мы дадим определение
понятия экстремали и докажем для параметрической задачи аналоги
теорем включения § 7 и 36. Экстремалью называется. такая допу-

136 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
стимая кривая Д не имеющая угловых точек, что определяющие
ее функции у€ (t) ^имеют непрерывные вторые производные и
удовлетворяют дифференциальным уравнениям Эйлера
С45-1) if.: -^=4:,^+4:^-^=о.
Экстремаль называется неособой, если вдоль нее определитель В
в формуле (43.8) не обращается в нуль. Такая экстремаль может
быть включена в (2п—2)-параметрическое семейство экстремалей,
как указано в следующей теореме.
Теорема 45.1. Теорема включения. Через любой не-
оообый допустимый элемент (у, у') = (yj, ?}') проходит одна, и
только одна, эпстремаль. Любая неособая экстремаль Е0
содержится для значений параметров
tlQ<t<t2Q> 0>r = <l>rQ> ЪГ = ЪГ0 (Г=1, 2, ..., П—1)
в (2п— 2)-параметрическом семействе экстремалей
(45.2) iJi (t, au ..., ая-1, Ьи ..., Ъп_д*=у4 (*, а, 6),
обладающем следующим свойством. Функции yit yit имеют
непрерывные частные производные второго порядка в окрестности
значений (tt a, ft), принадлежащих Е0, и определитесь
(45.3)
Угаг Viby V'i О
Via V'ib V'i У'г
не обращается в нуль вдоль Е.
Доказательство этой теоремы может показаться несколько
искусственным. Оно подсказывается рассмотрением параметрической
задачи в качестве задачи Лагранжа, принадлежащей к типу задач,
подробно рассмотренному в последней главе. Рассмотрим уравнения
Последнее из этих уравнений выполняется только для такого
параметрического представления, для которого сумма y'ky'k постоянна.
Эти уравнения линейны относительно переменных у", I, причем
определитель этой линейной системы равен определителю (43.8),
отличному от нуля для каждого неособого элемента (у, у').
Следовательно, система (45.4) имеет решение
(45.5) yl = Лн (у, у')9 I = L (у, у'),

§ 45. ЭКСТРЕМАЛИ
137
где функции Ак и Ъ имеют непрерывные частные производные
второго порядка в окрестности неособого допустимого элемента
(у9 у') = (т|, т]') или в е-окрестности неособой экстремали Е для
выбранного параметрического представления, так как подинтегральная
функция f имеет непрерывные производные четвертого порядка.
Так как из соотношений (43.4) и уравнений (45.4) следует, что
y^T^Ly.y =Ly'y' = 0, то функциях тождественно равна нулю.
Следовательно, любое решение первых п уравнений (45.5)
удовлетворяет уравнениям (45.4) при /эО и будет представлять
экстремаль, вдоль которой у^ = const.
Существует одна, и только одна, экстремаль, проходящая через
неособый допустимый начальный элемент (% г\'). Действительно,
уравнения (45*5) имеют единственное решение у*(*), проходящее
через заданный неособый элемент (t, у, у').= (0* Ч* ч')- Но всякая
экстремаль уДт), проходящая через начальный Элемент (-q, ч')>
может быть представлена единственным образом функциями xji (t),
удовлетворяющими уравнениям (45.5) и начальным условиям (t, у, у')=
= (0, Ч> ч')- Последнее достигается следующим преобразованием
параметра т:
X
hX-)1/8'=/(y^x)v^x,
где значение тх соответствует элементу (t|f V) на экстремали уг- (т).
Предположим теперь, что на неособой экстремали Е0, о которой
идет речь в теореме, за параметр / принята длина дуги, так что
вдоль 2Я0 имеем тождественно у\у\ = 1 и у\у\ = 0. Из теорем
существования для дифференциальных уравнений следует, что через
каждый начальный элемент (t, у, у')=(т, yj, г|'), лежащий в
окрестности множества элементов такого вида, принадлежащих Е09
проходит решение первых п уравнений (45.5), определяемое функциями
вида
(45.6) & = ф<(<1 *, Ч, V).
Функции %» Т« имеют непрерывные частные производные второго
порядка в ^.окрестности множества точек (t, т, tj, V),
принадлежащих Е0, так как функции Лк (у, у') в уравнениях (45.5) обладают
непрерывными вторыми производными.
Семейство кривых (45.6) зависит от (2^+ *) параметров т, yj, ч\',
однако, как мы покажем в конце доказательства, семейство
проекций этих кривых на пространство у зависит от 2п — 2 параметров.
Для определения (2п— 2)-параметрического семейства (45.2),
обладающего требуемыми свойствами, возьмем 'на Е0 фиксированный
элемент'^, ч\0, у|о), где г|0 обозначает (yj10, . ..,*]w0)> и аналогично
Для Чо' Пусть щ (alf ..., aw-1) (i = 1, ..., n) суть п функций от w—1

138 Гл v- ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
параметров аг (г = 1, ..., п—1), обладающих непрерывными
производными второго порядка в окрестности точки а0 = (аго, ..., аПггЬ0),
для которой г\{ (а0) = т|гЧ), и пусть определитель
(45.7) |ч«ог(«о> Чм|
не равен нулю. Пусть, далее, y^ (Ьг *.., Ья_1) суть п функций и—1
параметров Ьг(г = 1э ...,п— 1), обладающих непрерывными
вторыми производными в окрестности точки &0 = (Ь10, ..., bn_lf0), для
которой 'П^(Ь0) = 1пг'0; пусть эти функции удовлетворяют
уравнению чЭД, а их матрица ||yj^ (Ь0)|| имеет ранг п—1. Мы докажем,
что семейство
(4^8) & = <?г ft ^ Ч 00, Ч' (Ь)1 = У< ft <*, Ь)
удовлетворяет всем требованиям теоремы.
Во-первых, семейство (45*8) содержит кривую Е0, получаемую
при значениях t10 <! t <; t2Qy a = а0, Ъ = Ь0, где £10 и *2о ~~ значения
параметра, соответствующие концам Е0. Из предыдущего следует,
далее, что функции у^у а, Ъ) и их производные по t обладают
всеми требуемыми свойствами. Действительно, из тождеств
Ч< = ?<(*, *> Ч, П')> Ч* = ?**(т> *> Ч> ч')
и их следствий
bik = <?i4(*> *, 7), 7)') 0=»9«^(Т, Т, 71, 7)0,.
° = %(т> *> Ч, ч'), 8«e?i*4fc(^ т> Ч> ч')
вытекает, что определитель (45.3) при (J, а, Ь) = (х0, а0,»Ь0) равен
I 4av(*0) ° 4io ° I
I ° т|^(Ь0) уш 7);.0|.
Поставив предпоследний столбец перед п — 1 предыдущими
столбцами, убедимся, что с точностью до знака этот определитель равен
произведению определителя (45.7) на определитель
Wibr(bo) Чй|-
Этот последний определитель также не равен нулю, так как в щго-
тивном случае существовали бы такие постоянные сГУ d, не все
равные нулю, что

§ 45. ЭКСТРЕМАЛИ
189
Умножая эти уравнения на \0 и складывая, находим d = 0,
так как \\ь =0, что легко получить дифференцированием
тождества 7|^(Ь)^(Ь) = 1. Но так как матрица ||ч^(Ь0)|| имеет, по
предположению, ранг п— 1, то и ег — 0 (г = 1, .. .,п— 1), что
противоречит сделанному допущению. Таким образом
определитель (45.3) семейства (45.8) не равен нулю в точке кривой Е0,
соответствующей значению t = т0. Как будет показано при
доказательстве следствия 48.1, этот определитель либо нигде не
обращается в нуль, либо тождественно равен нулю на кривой Е. Теорема,
таким образом, доказана.
Если функции (45.2) подставить в уравнения (45.5), то станет
очевидным, что вторые производные yiu также имеют непрерывные
производные второго порядка. Легко видеть также, что если под-
интегральная функция имеет непрерывные частные производные ш-го
порядка, то функции Ак(у, у') в уравнениях (45.5), а вместе
с тем и функции уь уи, уш> имеют непрерывные частные
производные порядка т — 2.
Мы раньше утверждали, что в пространстве у семейство (45.8)
содержит все кривые семейства (45.6). Это получается по крайней
мере для значений (т, yj, t)'), лежащих в достаточно малой
окрестности (т0, тг)0, ч\'0), заменой в (45.8) параметра t т p-\-qt. По
теореме о неявных функциях, 2и постоянных а, Ъ, р, q могут быть
определены так, чтобы начальными значениями при £ = т
функций (45.8) и их производных по t служили как раз функции yj и yj'.
Теорема 45.2. Совокупность экстремалей, проходящих через
данную точку О неособой экстремали Е0, образует (п—\)-пара-
метрическое семейство экстремалей, которое может быть
записано в виде
(45.9) ffi(t, av ..., с^) = #<(*, а).
Семейство содержит экстремаль Е0 для значений (t, а),
*ю<*<*ао> аг = аг0 (г=1, ..., л —1),
и все его экстремали проходят через точку О при фиксированном
значении параметра t=*%0 на интервале t10l20. Функции yif yiP уш
имеют непрерывные частные производные второго порядка в
окрестности значений (t, а), принадлежащих Е0, и матрица
I Vi«r ° V'i II
(45.10) | ,
имеет ранг n-fl в каждой точке Е0.
Семейство экстремалей, о котором идет речь, получается из
семейства (45.8), если положить ar = arQ и обозначить <хг = Ъг Так

Щ Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
как матрица (45.10) состоит из последних м+1 столбцов
определителя (45.3) для семейства (45.8), то по предыдущей теореме
она должна иметь ранг w+1 в каждой точке экстремали Е0.
Мы можем определить (п— 1)-параметрическое семейство
экстремалей, проходящих через точку О на Е0, также другим способом.
Предположим, что интегрированием уравнений Эйлера найдено
(2w — 2)-параметрическое семейство экстремалей (45.2),
обладающее свойствами, указанными в теореме 45.1. Уравнения
(45.11) Уго = У<(*о> «>> Ь)
удовлетворяются при частных значениях (t0, а, Ъ) = (т0, а0, Ъ0),
где х0 — значение параметра t, соответствующее точке О на Е0-
Для этих значений по крайней мере один из определителей ю-го
порядка в матрице
\Viar УгЪг Уи\\
не равен нулю, так как определитель (45.3) отличен от нуля. Этот
определитель можно выбрать так, чтобы он содержал последний
столбец, так как элементы этого столбца не могут быть все равны
нулю. Следовательно, из п уравнений (45.11) можно выразить t0
и (п—1) из переменных а, Ъ через остальные (п — 1)
переменных а, Ъ; эти последние мы обозначим через аг, . ..,вя.х. Таким
образом, эти уравнения определяют решение t0(a), ar(a), Ьг(а),
приводящееся к т0, аг0, Ъг0 при «г = аг0 (г = 1, ..., м—1);
функции, составляющие это решение, имеют непрерывные частные
производные второго порядка в окрестности точки а = а0. Так как
{п—1) из функций аг(а), Ъг(а) тождественны с переменными аг,
то матрица производных от этих функций имеет ранг п — 1.
Кривые семейства
Vi[t, а(<*Х &(<*)]= !/*(*> <*)
проходят все через точку О для значения параметра t = t0 (a)
и удовлетворяют требуемым в теореме свойствам, с тем лишь
исключением, что постоянная т0 заменена функцией t0 (*)• Матрица '(45.10)
для этого семейства равна произведению матриц
\\У<а8 Уп8 0 у.
\y'ia8 V'ib8 V'i У\
где г и s пробегают значения 1, ...,w — 1. Так как эти матрицы
имеют ранги 2п и^+1 соответственно, то их произведение имеет
ранг л +1,
'8аг
}sar
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1

§ 4$, ТЕОРЕМА ОВ ОГИБАЮЩЕЙ И УСЛОВИЕ ЯКОЙЙ 141
Может представлять- интерес следующее свойство матрицы (45.3)
в теореме 46.1. Семейство экстремалей
yi(p + qt, a, b) = Yi(t, а, Ъ, р, q),
получаемое из семейства (45.2) заменой t на р + ih зависну от 2п
параметров. Определитель
(45.12)
Ytor Yibr Yip Yiq
у у у* Y'
аналогичен определителям (7.6) и (36.2) непараметрического
случая, не обращающимся в нуль вдоль экстремалей семейства (7.5)
и (36.1) соответственно. Простым подсчетом легко показать, что
этот определитель равен определителю (45.3), умноженному на qn~l.
§ 46. Теорема, об огибающей и условие Якобп. В ^-мерном
пространстве. точек у рассмотрим однопараметрическое семейство
экстремалей, проходящих через точку 1, которое определяется
функциями
(46.1) у*(«, р) [h(р)<*<*4(р), р,<р<р0],
где р — единственный параметр, a tx (P), J4 (p) — функции с
непрерывными производными на интервале Pi<P<p0. Мы предположим,
что функции yiy yit, уш имеют непрерывные частные производные
второго порядка в окрестности множества значений (t, р),
удовлетворяющих условиям в квадратных скобках, и что вдоль кривой,
соответствующей значению параметра р0, производные у^ не
обращаются в нуль, и не пропорциональны производным у\. Последнее
предположение обеспечивает несовпадение кривых семейства,
соответствующих близким к р0 значениям параметра р, с кривой,
соответствующей значению ро.
Предположим, далее, что для всех кривых семейства точке 1
с координатами (Ун/•••,!/»!) соответствует значение ^(Р)
параметра t, так что относительно Р имеем следующие тождества:
(46.2) уп = yt [tt (p), p] (Pi < ? < Ро).
Кривая D, определенная уравнениями
(46.3) yi = у, [*4 (р), Р] - Y, (р) (р, < р < р0),
будет огибающей семейства (46.1), если предположить, что
удовлетворяются уравнения вида
(4е.4) г;(Р)-*(р)уа**(р), PL

142 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЙ ЗАДАЛИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
где х (Р) положительно на интервале Pj < р < ро. Так как
производные у^. нигде не обращаются в нуль одновременно, то на этом
интервале кривая D не имеет особых точек; однако она может
иметь особенность при р = ро, если х (р0) = о.
Легко видеть, что вспомогательные теоремы § 8,
распространенные на задачу в пространстве (#, уи ..., уп), приложимы к одно-
параметрическому семейству экстремалей задачи в параметрической
форме, если мы заменим переменную а? на t. Если на рис. 5
заменить цифру 6 на 3 и обозначить кривую семейства (46.1),
соответствующую значению ро, через Е1Ь, то легко видеть, что
7(^13)-Г(^и) = 1*(7)43),
так как кривая С следствия 8.1 в рассматриваемом случае есть
просто точка 1. Из первой формулы (43.2) видно, что в
инвариантном интеграле I* для параметрического случая коэффициент
/—y\f при dt равен нулю. Из свойства однородности (43.3) для
производных fy и формулы (43.2) находим fy\{Y, у') = /^ (Г, Г') и
Рз
?4
Рз
= ]7(Г, Г)йр = 1ф48).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 46.1. Теорема об огибающей. Для однопара-
метрического семейства экстремалей (46.1), проходящих через
данную точку 1 и имеющих огибающую D, как показано на рис. 5,
в котором цифра 6 заменена на Зу справедлива формула
I(Els) = I(Eu) + I(DiS),
где точка 4 огибающей D леоюит достаточно близко к точке 3.
Определим точку, сопряженную с точкой 1 на экстремали j?12,
как точку касания 3 кривой Е12 с огибающей D однопараметри-
ческого семейства экстремалей, проходящих через точку 1 и
удовлетворяющих описанным выше условиям. Теперь можно
сформулировать следующее условие для неособой экстремали.
IV. Говорят, что неособая экстремаль Е12 удовлетворяет
условию IV Якоби, если на ней между точками 1 и 2 нет точек 3,
сопряоюенных с точкой 1.
Так же как в § 10 для непараметрического случая, доказывается
следующая теорема.
Теорема 46.2. Всякая неособая, не имеющая угловых точек
кривая Е, реализующая Минимум I, должна удовлетворять уело-
вию IV Якоби.

§ 47 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УСЛОВИЯ ЯКОБИ 143
Согласно теореме 44.1 и следствию 44.3 из условия 1, любая
неособая, не имеющая угловых точек кривая, реализующая минимум,
является экстремалью. Из теоремы об огибающей следует, что
интеграл I, взятый вдоль составной кривой -^н + Х^з-Ь-^зг на
рис. 5 (где цифра 6 заменена на 3), равен интегралу I, взятому
вдоль Е12. Эта составная кривая не является экстремалью, так как
она не совпадает, согласно нашему предположению, с Ei2 для
значений р, мало отличающихся от {30, и так как Ei2 есть
единственная экстремаль, проходящая через элемент (у, у'), определяемый
точкой 3 экстремали Е12. Поэтому в любой окрестности составной
кривой лежат кривые, проходящие через концевые точки 1 я 3,
вдоль которых интеграл I будет меньше, чем вдоль составной
кривой, и, следовательно, то же самое справедливо и для, самой
кривой Е12.
§ 47. Аналитическое доказательство условия Якоби. Как
уже было установлено, неособая, не имеющая угловых точек
кривая Е12, реализующая минимум I, обязательно является экстремалью.
Вторая вариация для такой экстремали имеет вид
(47.1) /9(4)-fa»(4.V)*.
К
где 2ш — квадратичная форма (43.7). Так же как в § 4 для
непараметрического случая, можно доказать, что для кривой,
реализующей минимум, вторая вариация должна быть неотрицательна
в .классе допус/имых вариаций \ (t), для которых % (tг) = \ (t2) = 0.
Присоединенная задача о минимуме состоит в том, чтобы
в классе допустимых вариаций, обращающихся в нуль при t = tt
и t = t2, найти такую вариацию, для которой 12 (ч) имеет
минимальное значение. Дифференциальные уравнения присоединенных
экстремалей, т. е. присоединенные уравнения, имеют вид
(47.2) JM-jt*4-\-0.
При выводе условия Якоби для задачи в параметрической форме
важную вспомогательную роль играют решения %(Q этих
уравнений, удовлетворяющие соотношению у'{\ = 0. Такие решения
называются нормальными решениями,присоединенных уравнений.
Определение сопряженной точки. Точка3 называется
сопряженной с точкой 1 на неособой экстремали Е12, если суще-
ствуют постоянные ри р2 и решение v\i(t) присоединенных
уравнений, функции 7^ (t) которого нигде на интервале tyt2 не
пропорциональны функциям у\{Ь), в то время как

Hi frt. v. йариаДионныЁ задали в параметрической форме
Это определение эквивалентно условию существования
нормального решения и{ (t) присоединенных уравнений, обращающегося
в (О, ..., 0) при t = tt и t = £3, но не равного нулю тождественно
на интервале t± t3. Ъ самом деле, функции и4 (t) = ^ (£) — р (t) у', (t),
УкЪк
где р = , , , представляют такое нормальное решение, ибо урав-
>УкУк
нения (47.2) линейны,^ а четвертое из соотношений (43.7)
показывает, что ру'{ также является решением.
Если пользоваться этим определением вместо геометрического
определения сопряженных точек, данного в § 46, то теорема 46.2
остается справедливой. Для доказательства этого допустим, что
между точками 1 и 2 существует точка 3, сопряженная с точкой 1,
и рассмотрим вариации ^(t), определенные следующим образом:
%(0 = М0 (*i<K's)
где Ui(t) — нормальное решение, не равное тождественно нулю на
интервале txtby но обращающееся в нуль для t = ti и t*=tB. Для
функций ty, определенных таким образом, значение второй
вариации равно нулю, но не является минимумом. Это доказывается
так же, как в § 11, если сделать следующее дополнительное
замечание. Из условия для угловой точки а)' (t3 — 0) = ю' (*з + 0) и
соотношений у^==0 и v,i (t3) = 0 при нашем предположении
вытекает, что
при t==tb. Эти уравнения, однако, не могут удовлетворяться, так
как по теореме 43.1 из них следует, что производные и'к, так же
как и сами функции ик, обращаются в нуль при t = tB. Это
невозможно, так как функции и{, -составляющие нормальное решение,
не могут быть все тождественно равны нулю, как будет показано
в § 48.
§ 48. Разыскание сопряженных точек. Любое нормальное
решение присоединенных уравнений, соответствующих неособой
экстремали 2£12, удовлетворяет при Х = 0 уравнениям
(48.1) J, (ч) + \у\ = О, (yfaY - О,
линейным и однородным относительно переменных \9 \у тг^', X.
Так как определитель коэффициентов при *qj и X есть
определитель (43.8), то эти уравнения могут быть разрешены относи-

I 48. *>АЗЫбКАНИЁ СОПРЯЖЁННЫХ ТОЧЁЙ
U5
тельно т£ и X. Из тождества y'iJi (tj) == о [см. (43.7)] следует, что X
тождественно равно нулю* Для ^ получаем выражения вида
(48.2) % = А*& Ч,. ^
где функции А{ линейны и однородны относительно \ й ^ с
коэффициентами, представляющими собой функции от t, которые на
интервале txt2 имеют непрерывные производные, по крайней мере
первого порядка. Любое решение t\i(t) уравнений (48.2) вместе
с А = о есть решение уравнений (48.1), и обратно. Согласно
известной теореме о линейных дифференциальных уравнениях,
решения уравнения (48.2) тождественно обращаются в нуль, если они
исчезают вместе с их первыми производными в одной точке t0.
Это утверждение справедливо, в частности, для нормальных
решений присоединенных уравнений (47.2).
Лемма 48.1. Для любой системы %,(#) (о=»1, ...,2w — 2),
состоящей из 2п — 2 решений присоединенных уравнений,
определитель
(48.3) d(i) =
\* У\ °
Ч* У] У'г
либо тооюдественно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль.
Если d (t) ф О, то система iqe-tf называется фундаментальной
системой решений присоединенных уравнений.
Для доказательства заметим сначала, ^что при ср (t) = —r—r функ-
ViVi
ции сру^ и Щу\ образуют, дак .видно из четвертого
соотношения (43.7), два независимых решения уравнений (48.1) и,
следовательно, также уравнений (48.2). При о=1, . ..,2» — 2 фушщии
ui9 = т)£в — ра^, где ра = ■ * *q , образуют 2га—2 нормальных реше-
ний присоединенных уравнений. Поэтому каждый столбец
определителя
(48.4)
состоит из ^функций, являющихся решением системы
уравнений (48.2), и из их производных. По известной теореме о линейных
дифференциальных уравнениях, такой определитель либо
тождественно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль. Как легко
видеть, определитель (48.4) равен <p*d(t), что и доказывает лемму*

1,46 Гл- V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Лемма 48.2. Если решения присоединенных уравнений
t|f<J(о = 1, ..., 2и — 2) образуют фундаментальную систему, то
определитель
D(t, tt) =
ч*(0
уИО
о
w
имеет вид
D(t, *,) = (* — №-*Щ9 tx),
где X (tu tt) =dtd(^), и, следовательно, отличен от нуля вблизи
значения tx. Если же r\ia не есть фундаментальная система, то
D(t{, tt) тооюдественно-равен нулю.
Определитель D (t, t{j можно записать в виде
D{ty y =
ДО)-у,'(У
Применяя формулу Тэйлора с остаточным членом в виде интеграла
и вынося множитель (t — ^)л~1, непосредственно видим, что
остающийся множитель X (t, tt) обладает требуемыми в, лемме свойствами.
Если функции y\iQ не образуют фундаментальную систему, то
определители (48.3) и (48.4) тождественно равны нулю. В этом
случае существуют постоянные са, d, e, не все равные нулю и
удовлетворяющие системе 2п линейных уравнений, коэффициенты
которой суть элементы определителя (48.4) при t = tv Функции
^Ла(0 + й?(0г/;.(0+^?(0^(0 (*=1, .... »)■
образующие решение уравнений (48.2), равны все тождественно
нулю, так как они и их производные обращаются в нуль при t = tlm
Поэтому определитель
(48.5)
?(W)
?('i)»;Ci)
*р(0уИ0
тождественно равен нулю. Следовательно, и D(t,tt) тождественно
равен нулю, ибо определитель (48.5) равен (tt — О?(О ?(*i)# (*> ^)-
Теорема 48.1. Если для 2п—2решенийч\{о(t)(0= 1, ... 2п—2)
Присоединенных уравнений, соответствующих неособой
экстремали Е12> определитель J) (t> t{) не равен тооюдественно нулю,
Упо каждому корню ts уравнения D (£3, tx) = 0 на интервале tt < J<^2
соответствует точка 3, сопряженная с точкой 1 на Ег%. Обрат-
пая теорема тоже верна.

I 48. РАЗЫСКАНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК J[^7
Пусть tfs есть корень уравнения D (£3, tt) = О. Система
линейных уравнений
«* (Ус*+? Ci) < d)d+'i? Ci) vi Ci)e = о
имеет решение ca, d, e, для которого d = e = О (так как yi^a = О
при любом о) и не все са равны нулю. Тогда решение u4 = uiac9
уравнений (48.2) является нормальным решением, функции
которого обращаются в нуль при £=а*А и tf = £3- Эти функции не
обращаются все тождественно в нуль в интервале tfa, так как, по
лемме 48.2, D(tf, £i):£0 вблизи tv Следовательно, торка 3
сопряжена на \Е12 с точкой 1.
Наоборот, пусть ut{t)— нормальное решение присоединенных
уравнений, соответствующее точке 5, сопряженной на Е12 с
точкой 1. Тогда существуют такие постоянные £a, d, e, не все равные
нулю, что
Ч = *«А+W<* + *ГУ'€е9
так как ввиду того, что определитель D (t, tt) не равен тождественно
нулю, 2п решений ии, уу'{, .Upy< линейно независимы и любое
решение уравнений (48.2) линейно выражается через них. Из
равенств ttj (tj) = «J (t8) следует, что определитель (48.5), а вместе
с ним и определитель D (t, t{) равны нулю при t = £3.
Теорема 48.2. Если для решений tuT(0 (х = 1, ..., п— 1)
присоединенной системы, соответствующей неособой
экстремали Е12, определитель
д(о=кт(Оу;(0|
не равен тооюдественно нулю и ранг его равен единице при t = tv
то каоюдому корню /3 уравнения Д(£) = (Ьмз интервала tt<^t^.t2
соответствует точка 3, сопряженная с точкой 1 на Е.
Обратная теорема тоже верна.
Как легко видеть, определитель
(48.6) КС —У«£1
равен (t — tt)fL(t). Так как решения uix нормальны и
составляющие их функции пропорциональны функциям yi при t = ti9 то
столбцы *этого определителя представляют собой п решений
уравнений (48.2), обращающихся в нуль при t = tt. Если определитель,
составленный из производных от функций этих решений, не равен
нулю при t = t1, то формула Тэйлора с остаточным членом в виде
интеграла показывает, что определитель (48.6) равен' произведе-

l4g fti V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
нию (t — tt)n на отличный от нуля при t — tt множитель. О другой
стороны, если определитель из производных равен нулю при t = tu
то существует некоторая линейная комбинация с постоянными
коэффициентами столбцов определителя (48.6), обращающаяся в нуль
вместе с производной при t = tx и,' следовательно, тождественно
равная нулю. Таким образом, определитель Д (t) либо тождественно
равен нулю, либо имеет вид (t— *i)n""V(0> гДе р(Ч)Ф®'
Предположим теперь, что определитель A (t) не равен
тождественно нулю и £3 есть один из его корней. Уравнения
%ОзК+у;(*3)й=о
имеют нетривиальное решение ст, d, для которого, однако, d = 0,
так как uiz — нормальные решения. Нормальное решение щ = uizcx
обращается тогда в нуль при t = ti и t = t% и в то же время A (t)
не равно нулю тождественно. Следовательно, ts соответствует точке,
сопряженной с точкой 1.
Обратно, пусть щ (t) есть нормальное решение, соответствующее
точке 3, сопряженной с точкой 1 на Е12. Функции этого решения
обращаются в нуль при t = tt и удовлетворяют уравнениям (48.2).
Поэтому они выражаются через соответствующие элементы столбцов
определителя (48.6) следующим образом:
Ui(t) = uix (0 ст + («— у ? (0 у\ (0 й9
что легко показать, используя доказательство теоремы 12.3. Так
как решения щ и uix нормальны, то постоянная d равна нулю.
Среди же постоянных сх есть отличные от нуля, ибо нормальное
решение щ не есть тождественный нуль. Так как все значения щ (t$)
суть нули, то, очевидно, *3 является корнем уравнения A (t) = 0.
Следствие 48.1. Пусть иеособан экстремаль Е12 содерэюится
для
*10<*<*20> «г = «гО> Ьг = ЬгО (г=1, ..., W—jl)
в (2и — 2)-параметрическом семействе экстремалей
(48.7) y€(t, а, Ь),
обладающем свойствами непрерывности, указанными в теореме 45.1.
Пусть определитель
D(t, tu а, Ь) =
У<аг(*) УпгЮ У'Л1) °
УгаЛЧ) Vibrih) О У'ЛК),
не равен тождественно нулю вдоль Е12. Тогда точки 5,
сопряженные с точкой 1 на JEi2 определяются нулями tbzp.tl0 опреде»
.лителя D(t, ti0, а0, Ь0).

§ 48. РАЗЫСКАНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК
149
Это следует из теоремы 48.1, так как из рассуждений § 12
вытекает, что 2п—2 рядов функций yiar, yibr являются решениями
присоединенных уравнений.
При доказательстве теоремы 45.1 мы предположили, что
определитель (45.3) или равен нулю тождественно, или всюду отличен
от нуля. Действительно, это прямо следует из замечания
предыдущего абзаца и леммы 48.1.
Интересно отметить, что определитель D следствия 48.1 равен
с точностью до множителя (tt — t)-1 определителю из производных
функций yi(p^\-qt, а, Ъ), ytip + qt^ а, Ъ) по 2п параметрам аг, Ьг,
руд> что легко получить простым преобразованием. Этот факт
подчеркивает аналогию между определителем следствия 48.1 и
соответствующими определителями следствия 12.1 и формулы (36.7)
для непараметрической задачи, Это замечание дополняет
приведенное в последнем абзаце § 45 свойство определителя (45.3).
В том случае, когда определитель (45.3) семейства (48.7) не
обращается в ^уль на Е12, определитель D следствия 48.1 не равен
тождественно нулю. Это следует из того, что решения: yiar, yibr
присоединенных уравнений линейно независимы и, следовательно,
по лемме 48.2, определитель D не равен тождественно нулю
вблизи t — tL.
Следствие 48.2. Пусть неособая экстремаль Е12 содержится
при
*10<*<*20> <*r=*rO (r=h •••> »—1)
в {п — 1)-параметрическом семействе экстремалей
"(48,8) y{(t, a),
проходящих через точку 1. Пусть это семейство обладает
свойствами, указанными в теореме 45.2, и определитель
М*. *) = 1у*«Ж1
не равен тождественно нулю на Е12. Тогда точки 3, сопряженные
с точкой 1 на Ei2, определяются нулями tb ф. t1Q определителя
А (*. *о).
ч Пусть экстремали семейства (48.8) проходят через точку 1 для
значений параметра tt (а), где tt (а) имеет непрерывные первые
производные в окрестности а = а0. Тогда, дифференцируя
уравнения
находим, что ранг определителя Д(£, а) равен единице при t=tt1.
Таким образом, утверждение следствия следует из теоремы 48.2.
Лемма 48.3» Если на неособой экстремали Ei2 кет точек,
сопряоюенных с точкой 1, то на продолжении Ех% всегда существует

150 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
точка О с порядком следования 0,1,2, которая на экстремали Е^
также не имеет сопряженных точек.
В формуле леммы 48.2 имеем \(t, ^г)ф0 на t^^t^^ так
как на 2?12 нет точек, сопряженных с точкой 1, и Х(^, ^)ф0.
Поэтому Ц£, t0) также не равно нигде нулю на t{^t^t2, если
t0<tt взято достаточно близко к tv Для таких t0 определитель Ъ (t> t0)
не обращается в нуль на tyi2, и утверждение леммы вытекает
теперь из теоремы 48.1.
Следующая теорема утверждает, что сопряженные точки в смысле
определения § 46 являются сопряженными точками и в смысле
определения § 47.
Теорема 48.3. Любая точка 3, в которой неособая
экстремаль Е касается огибающей однопараметрического семейства
экстремалей, проходящих через точку 1, как это было описано
в § 46,- является сопряженной с точкой 1 на Е12 в смысле
определения § 47.
Для доказательства этого рассмотрим однопараметрическое
семейство экстремалей (46.1). Производные у^ (t,- ро) функций этого
семейства составляют решение присоединенных уравнений,
соответствующих кривой Е12. Из формул (46.2)—(46.4) видно, что это
решение удовлетворяет условиям
Vi [h (ре), Po]Y (Ро) +!/» [*i (Ро),Ро] = 0,
Vi ft (Ро), Ро] [к (Ро) — х (ро)] + у<р ft (Ро), Ро] = 0
и, следовательно, при ^(р0) и £3 = £4(Ро) значения функций,.,
составляющих это решение, пропорциональны y'i. Однако эти
функции не всюду пропорциональны y'i, как видно из предположений
первого абзаца § 46. Таким образом, точка касания 3 кривой Ец
с огибающей D, как показано на рис. 5, где следует заменить
6 на Зу является сопряженной с точкой 1 в смысле определения § 47.
§ 49. Поле и основные достаточные условия. Для
вариационной задачи в параметрической форме вводится понятие поля,
аналогичное соответствующему понятию в непараметрическом случае,
определенному в § 18. Теория поля, конечно, несколько
видоизменяется, так как подинтегральная функция f обладает здесь
свойством однородности.
Определение поля. Полем называется открытая область F
пространства у с совокупностью функций наклона рг {уи ..., уп),
обладающих следующими свойствами:
а) функции Pi (у) имеют в области F непрерывные частные
производные первого порядка и нормированы так, что i><p<=l;
б) элементы [у, р(у)}, соответствующие точкам F, допустимы;

§ 49. ПОЛЕ И ОСНОВНЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ 151
в) интеграл
(49.1) P^ffyb.pmtyi
не зависит от пути в F в том* смысле, что он принимает одно и
то же значение для всех кривых, состоящих из конечного числа
регулярных кусков и соединяющих две фиксированные точки.
Требование нормированное™ функций pi (у) введено для
удобства. Ввиду второго свойства однородности (43.3), функции Pi(y)
могут быть заменены на *р€ (х > 0) без всякого изменения подинте-
грального выражения, так что их всегда можно нормировать.
В определении (49.1) инвариантного интеграла нет членов,
содержащих dt. Действительно, коэффициент f—у\ fyK при dt
тождественно равен нулю в силу соотношении (43.2). *
С помощью свойства однородности производных от f находим,
что для функций
Ai(y)=f r [у,р(у)]
Vi
выполняются соотношения
jPk^ — ^^f' Рь + f''P- P,—f >
ГК дУк дУ% У&к h УЩ **k k yi
аналогичные соотношениям (18.5) и (37.6).
Если I* ^ зависит от пути, то разности -^ -g-£> равны
нулю, и последнее уравнение показывает, что решения
дифференциальных уравнений
(49.2) !?-*(»)
суть экстремали. Они называются эстремалями поля. Эти
экстремали образуют (п—1)-параметрическое семейство, так как через
каждую точку F проходит одна, и только одна, из этих
экстремалей. Для каждой экстремали F12 поля J* (Ei2) = 1(ЕХ^), как видно
из (49.1) и свойства (43.2).
Если лежащая в F непрерывная кривая yt (x) состоит из
конечного числа регулярных кусков и удовлетворяет уравнениям
(49.3) %<=*РгЩ (*>0)
то она необходимо является экстремалью поля. Как легко убедиться,
эта кривая) будет удовлетворять уравнениям (49.2), если на ней
рвест# яорцй параметр
faJ\(T)4tv

152 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Теорема 49.1. Формула Вейерштр асе а. Если Е12 есть
экстремаль поля F и <712— допустимая кривая, лежащая в F и
соединяющая концы экстремали Е12У то
I (С19) -1 (Е12) = / Е [у, Р (у), У7] Л,
где в подинтегральном выражении переменные у заменены на
функции 1/^(0, определяющие кривую С12.
Доказательство этой теоремы протекает совершенно так же, как
доказательство аналогичной теоремы 19.1 для непараметрической
задачи.
Теорема 49.2. Основное достаточное условие.
Если Ei2 ыть экстремаль поля F и если для всякого
допустимого элемента {у, у'), для которого у лежит в F и у\фур4
(* > 0), выполнено неравенство
Е[у,р{у)>у']>0,
то для любой допустимой кривой С12, не совпадающей с Е12,
выполняется неравенство 1(С12) > I (Е12).
Для удобства доказательства примем за параметр t на С12 длину
дуги. Из теоремы 49.1 следует, что 1 (Cl2)> I(F12), за
исключением случая, когда у\ = хр* (х > 0) в каждой точке (712. Но в этом
случае мы имели бы х = 1, так как уф = 1 npiPi=l, т. е.
кривая С12 была бы экстремалью поля. Но тогда С12 должна совпадать
с Ех2, так как через точку 1 проходит единственная экстремаль Е12
поля F.
Как и в непараметрическом случае, существуют различные
способы построения так называемых семейств экстремалей Майера,
функции наклона которых определяют поле во всякой области F
пространства у, которая однократно покрывается семейством.
Такие семейства задаются уравнениями
(49.4) Уг = УгЦ,*» ..., ««li) =!&(*,«) [С. «) еЛ*
содержащими п— 1 параметров. Предполагается, что функции уь уи
имеют непрерывные частные производные второго порядка в
области Т значений (£, а). Говорят, что такое семейство однократно
покрывает область F пространства у, если уравнения (49.4) имеют
в Т единственное решение [t(y), а (у)] для любой заданцоц точки у
из F.
Функции
(49.5) ^(У)-»;Р(У),«(У)]

§ 49. ПОЛЕ И ОСНОВНЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
153
называются функциями наклона семейства в F. Если
определитель A {t, a) = | yiar, y'i | не обращается в нуль для значений (t, a),
соответствующих точкам области F, то применима теорема о
неявных функциях и, следовательно, функции t (у), а (у) имеют в F
непрерывные частные производные по меньшей мере до второго
порядка включительно.
Функции наклона семейства (49.4) не всегда определяют поле
в области F, однократно покрытой семейством. Методом,
аналогичным тому, который был применен в §§ 20 и 37, можно показать,
что семейство (49.4) будет семейством Майера и будет
образовывать поле в каждой однократно покрываемой им области, если оно
может быть пересечено (п — 1)-мерной поверхностью 2, на
которой интеграл I* семейства не зависит от пути. Здесь предполагается,
что (п— 1)-мернаяГповерхность 2 определяется уравнениями (49.4),
в которых t есть функция t = T(a). Специальными случаями опять
являются случай вырождения поверхности Е в фиксированную
точку и случай, когда поверхность 2 трансверсальнб пересекает
все экстремали, так что интеграл I* равен нулю вдоль любой
кривой на 2.
Для построения семейства Майера более общего видя» поступим
следующим образом. Пусть мы имеем (2п — 2)-параметрическое
семейство экстремалей, содержащее фиксированную экстремаль Е
и обладающее свойствами, описанными в, теореме включения 45.1.
Пересечем Экстремаль Е произвольной (п — 1)-мерной
поверхностью 2, не касающейся Е и определяемой функциями
Пусть точке пересечения 2 и Е соответствуют на 2 значения
параметров аг0, в окрестности которых функции Г* (а) имеют
непрерывные производные второго порядка, а на экстремали Е пусть
этой точке4 соответствует значение параметра t0. Условие того, что
кривая Е не касается поверхности 2 в этой точке, равносильно
тому, что определитель | У^гу\ | ,не равен нулю для указанных
значений параметров.
Для нахождения (п — 1)-параметрического семейства
экстремалей, пересекающих 2 так, чтобы интеграл I* семейства не зависел
от пути на 2» определим аг, Ъг, Т в виде функций параметров а
посредством уравнений
(49.6) у4(Т, а, Ъ) = ГДа), /Ч [Г, у'(Т, а, Ъ)] Y.^ = Ua/
Здесь U (а) есть произвольно выбранная функция, имеющая в
окрестности а^о непрерывные частные производные третьего порядка,
первые производные которой удовлетворяют второй системе
уравнений (49.6) при фиксированных значениях (a, a,b, T) = (ccQ, aQ, Ъ0, t0),

154 Гл. V. "ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
соответствующих точке пересечения Еи£* Функциональный
определитель левых частей уравнений (49.6) по переменным аг, Ъг, Т
не равен нулю для этого начального решения. Действительно, он
равен деленному на (y'iy'i)2 произведению определителя
Ни
О
О
О
f > 'Y.
Ук
z:^z ——
у
У'{
О
О
О
1
/ /
ПН
У'ъ
Уг
О
на не равный нулю определитель (45.3). Первый определитель
также не равен нулю, так как £ не касается Е и Е—неособая
экстремаль. Следовательно, уравнения (49.6) имеют решение аг (а),
Ьг(а), Т(а), функции которого обладают непрерывными частными
производными второго порядка в окрестности значений а^, причем
аг (а0) = dyQ, Ъг (а0) = Ъ^, Т(а0) = t0. Подставив функции аг (а),
Ьг(а) в функции (45.2), получим семейство вида (49.4), которое
пересекается поверхностью Е для f=T(a). Интеграл I* этого
семейства не зависит от пути на Е, так как на основании второго
ряда уравнений (49.6) подинтегральное выражение на поверхности £
имеет вид
f ,dy=f ,Y. da =dU.
Уг l *i г«г r
Построенное таким образом семейство вида (49.4) является
семейством Майера и в каждой области F, которую оно однократно
покрывает, образует поле с функциями наклона семейства.
§ 50. Достаточные условия относительного минимума. В
теоремах о достаточных условиях относительного минимума
используются условия I—IV, сформулированные нами в § 44 и 46. Как
и в предыдущих главах, мы будем обозначать символами И' и ПГ
усиленные условия Ц и III, т. е. условия, получающиеся из
условий II и Ш отбрасыванием знака равенства; через П# мы будем
обозначать условие того, что в окрестности N множества элементов
{уу у') допустимой кривой Е выполняется условие П. Символом IV
будем обозначать условие IV, усиленное требованием: точка 2 не
сопряжена с точкой 1 на кривой Еп. Понятием сопряженной точки
мы будем пользоваться в том смысле, который дается
определением § 47. Приняв эти обозначения, мы можем высказать
следующую лемму.
Лемма 50.1. Если на неособой самонепересекающейся
экстремали нет точек, сопряженных с начальной точкой 1, то
существует поле Fj для которого Ех% является экстремалью,

§ 50. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА 155
Для доказательства заметим сначала, что на продолжении Е12
на основании леммы 48.3 существует такая точка О (рис. 9) с
порядком расположения 0,1, 2, что она не имеет сопряженных точек
на 2?12. Из следствия 48.2 заключаем далее, что на Е12 не
обращается в нуль определитель
составленный для {п — 1)-параметрического семейства экстремалей
(48.8), проходящих через точку О, которое содержит данную
экстремаль Е12. Без
ограничения общности можно
предположить, что за
параметр t в уравнениях
этого семейства принята
длина дуги, измеряемая
от точки О.
Уравнения
(50.1) у« = у<(«, а)
имеют начальные
решения— точки (у, t, а), Рис.9,
принадлежащие Е12. Это
множество точек не содержит двух различных точек с
одинаковыми: проекциями у, так как Е12, по предположению, не имеет
точек самопересечения. Как мы только что видели, на этом
множестве всюду Д(£, а)^0. Таким образом, по теореме о неявных
функциях, уравнения (50.1) имеют такое решение t(y), <*r(y),
определенное в окрестности F множества точек у, лежащих на Е12,
что аг(#) = аг0 на Е1%\ функции t (у), аг(у) имеют в
/^непрерывные частные производные второго порядка. Функции
Л (У) = Уи 1ЧУ), а Ш
образуют в F нормированную систему функций наклона семейства
(50.1). Для любой непрерывной кривой D3i, состоящей из
конечного числа регулярных кусков и лежащей в F, и для
экстремалей Еоъ, Е0о соединяющих концы Z>34 с точкой О, выполняется
соотношение
(50.2) КДц) —1(Ди) = Р (А*).
Это вытекает из следствия 8.1, распространенного на
параметрическую задачу, о котором говорилось в третьем абзаце § 46.
Следовательно, I* имеет одинаковое значение на всех кривых D,
соединяющих в F закрепленные точки 3 и 4, т. е. I* не зависит
от пути гё принятом в § 49 смысле. Поэтому область F с
функциями наклона Pi(y) является полем, экстремали которого совщ-»
дают о экстремалями (50.1),

156 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Теорема 50.1. Достаточное условие слабого
относительного минимума. Если допустимая самонепересекаю-
гцаяся кривая Е12, на которой нет угловых точек, удовлетворяет
условиям I, ПГ IV, то сугцествует такая окрестность N
множества элементов (у, у') кривой Е^, что для любой кривой С12,
лежащей в окрестности N и не совпадающей с Е12, выполняется
неравенство I(C12) > I(Ei2)-
Заметим, во-первых, что по лемме 42.2 и следствию 44.3
кривая J312 является неособой экстремалью. По лемме 50.1 имеем,
далее, что Е^ есть экстремаль некоторого поля F в пространстве у
с функциями наклона^(у). Условия следствия 44.4 удовлетворяются
для Е12, так как Е12 удовлетворяет условию ПГ.
Для того чтобы выбрать окрестность N, требуемую теоремой,
мы рассмотрим множество S элементов [у it), у'(t)] ('i<^<^,>)
кривой Е12, где за параметр t принята длина дуги. Возьмем е
настолько малым, чтобы для е-окрестности Se множества S все точки
[У> Р(У)> У']> соответствующие точкам 8е, лежали в окрестности N0
следствия 44.4, в которой функция Е остается неотрицательной.
Если дополнить теперь множество 8е всеми родственными точками,
то мы получим требуемую окрестность N. Это видно сразу из
основной теоремы 49.2, если в этой теореме допустимыми кривыми
считать только те кривые, все элементы которых (у, у') лежат
в окрестности N.
Для доказательства в параметрическом случае достаточного
условия сильного относительного минимума, аналогичного теореме
16.1, мы можем воспользоваться леммой 16.1, по которой
выполнение условия IIn для неособой экстремали влечет за собой
выполнение условия IIjv. Доказательство этой леммы нужно дополнить
следующим рассуждением, для того чтобы оно было пригодно
в параметрическом случае. Как и в непараметрическом случае, мы
рассматриваем окрестность N кривой Е12, в которой выполнено
условие II и определитель (43.8) не обращается в нуль. Заметим
теперь, что если бы нашлась точка (у, у', У) с элементом {у, у'),
лежащим в N и У фу', для которой Е(у, у', У) равно нулю, то
для этих фиксированных значений у и У Е(у, у', У) как
функция у' принимала бы минимум при рассматриваемом значении у'.
Следовательно, на основании теоремы 43.1 и второй формулы (43.2)
мы имели бы У = — щ/ (х > 0), так как
Е . = — Y'f> / = 0,
Ук г ЩУь
а также ввиду однородности / и условия минимума для. функции Е
в точкб у'
укуг к I *V У^кУг к I укуг к I ^
для любых я, Но это последнее неравенство не м~ожет выполняться,

§ si Достаточные условия сильного относительного минимума 1#?
если окрестность N выбрана достаточно малой, ибо, как и в
непараметрическом случае, из условия II следует условие III; ввиду
того, что Е12—неособая экстремаль, из условия III по лемме 44.2
следует условие ПГ и„ наконец, из условия III' вдоль Ei2 следует
на основании леммы 44.1, что условие ПГ выполнено для любого
элемента окрестности N кривой Е12.
Теперь мы можем для параметрического случая доказать
следующую теорему, аналогичную теореме 16.2.
Теорема 50.2. Достаточное условие сильного
относительного минимума. Если самонепересекающаяся
допустимая кривая Ei2, у которой нет угловых точек, является
неособой и удовлетворяет условиям I, П#, IV7, то существует
такая окрестность F множеству точек кривой Е12, что для
любой допустимой кривой Ci2, леоюащей в F и не совпадающей
с Е12, выполняется неравенство 1(С}2) > 1(Е12).
Доказательство протекает так же, как и для теоремы 50.1, если
только выбрать окрестность F настолько малой, чтобы для точек у
из F соответствующие элементы [у, р (у)] лежали в окрестности N,
в которой выполняется условие П#.
Таким образом, для случая параметрической задачи в ^-мерном
пространстве эти теоремы устанавливают справедливость первых
двух строк таблицы § 17 для допустимых самонепересекающихся
кривых без угловых точек.
В следующем параграфе мы увидим, что для параметрического
случая может быть доказана справедливость третьей строки таблицы
§ 17 и выведено совершенно новое достаточное условие для
сильного относительного минимума, если область В допустимых
элементов (у, у') обладает соответствующими свойствами.
§ 51. Дальнейшие достаточные условия сильного
относительного минимума. Первая теорема, которую мы докажем в этом
параграфе, применима для параметрической задачи, область В
допустимых элементов которой состоит из всех элементов (у, у'),
для которых у'.у^фО и точки у лежат в некоторой открытой
области Ву пространства у. Для таких задач оказывается, что условия
I, IF, ПГ, IV' достаточны для сильного относительного минимума.
Для получения этого результата нам придется использовать
некоторые дополнительные свойства функции Е. Пусть pi9 q{—два
различных нормированных ортогональных направления и пусть
аг (в)> а% 00 представляют направления
ai (в) =р{ cos в + qi sin 9, а, (6) = — pi sin 6 -f Qi cos 8 (0 < в < те),
которые также нормированы и ортогональны. В дальнейшем мы
часто будем _ обозначать эти направления просто через а я а.
Докажем следующую лемму.

158 Гл V. ВАРИАЦИОННЫЕ 3\Д\ЧИ Й Й\РАМЁТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Лемма 51.1. Если для некоторой точки у все элементы
(У> У')—[У* а00] (0 ^ 6 ^ те) являются допустимыми, то для
всех ю из интервала 0 <[ © ^ i?
о
(51.1) Е [у, р, а (со)] = f sin (со — 6) Q [у, a; a, a] db =
о
= (1 —cos ш) Q [у, а (в*); а (в*), а (в*)],
г9в 0* штгб подходящим образом выдранное значение между О и ш
Простым дифференцированием находим
а< (ш) Ж fy'i (lJ> а) = # ^> а» а>а (®)Ь
Вторая формула (43.6) и соотношение
я* (о)) = а{ cos (о) — в) -f- a{ sin (ш — 6)
дают тогда
аг (®) -^ /yj (^ я) = sin (ш — в) Q (у, а; а, а).
Интегрируя это и используя формулу (43.5), получаем первую
формулу леммы. Вторая формула легко получается из первой
применением теоремы о среднем для определенного интеграла.
Следствие 51.1. Функция W(у, р, q, ш), определяемая
равенствами
w=mi^n для о<«><*,
1 — COS «> ^ 7
W = Q[y,p;q, q] для <о = 0,
непрерывна для всех (у, р, q9 ю), таких, что у лежит в Ву и
Утверждение следствия вытекает прямо из определения W и
второй формулы 51.1.
Лемма 51.2. Если допустимая кривая Е удовлетворяет
условиям IV и 1IF, то она удовлетворяет также условию П^.
Для доказательства заметим сначала, что, исключая случай,
когда Г' = ±ху' (х>0), точке (у, г/, Y') посредством уравнений
у 4 т'г—т
(51.2)
<Ц (®) = A cos со 4- qi sin ш = у/у/ 1/t»

§ Si. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА. 159
где р определяется из условия р^ = 0, соответствует единственная
точка (у, р, q, со). Если же Y' = — ху' или Г' = ху', то последнее
уравнение удовлетворяется произвольным нормированным
направлением q, ортогональным к j?, и со = тг или со = о соответственно.
Мы имеем, следовательно, для всякого (у, y',Y') с у, лежащим
в Ву, точку (у, р, q, со), для которой
Е{у9у\ Y') = {Y'kYic)lkE[y,p>a{<»)\ =
= (YiY^Cl— cos») W(y,i>, g, со).
Из условий 1Г и III' следует, что функция W (у, р, q, со)
положительна на ограниченном замкнутом множестве точек (у, р, q, со),
определяемом условиями:
(у, р) есть элемент Е, pipi — l = q^ — l =p4q{ = О, 0 < со < тт.
Из непрерывности W следует, далее, что существует такая
окрестность N множества элементов (у, у') кривой Е, чтб W остается
положительной для точек (у, р, q, со), для которых
(у,р) лежит в N9 PiPi — l = qiqi — l=Piqi = 0, 0<со<тс.
Отсюда вытекает утверждение леммы.
Теорема 51.1. Второе достаточн ое условие
сильного относительного минимума. Если
самонепересекающаяся допустимая кривая Е12 без угловых точек удовлетворяет
условиям I, 1Г, III', IV, то 1(Е12) будет сильным
относительным минимумом в смысле теоремы 50.2, если только обметь В
допустимых элементов состоит из всех элементов (у, у'), для
которых у'4у'.фО, а у леоюит внутри заданной области Ву
пространства у.
Эта теорема немедленно следует из> лемм 44.2 и 51.2 и теоремы
50.2. Первая из лемм показывает, что кривая Ei2,
удовлетворяющая условию ПГ, является неособой, а вторая лемма устанавливает,
что из условий 1Г и ПГ следует П^.. Таким образом, кривая Е12,
удовлетворяющая требованиям теоремы 51,1, удовлетворяет также
всем требованиям теоремы 50.2.
Мы будем говорить, что кривая Е12 удовлетворяет условию ПГ,
если для любого элемента (у, у'), у которого точка у лежит на Ё12,
выполняется условие ПГ. Формула (51.1) показывает, что из
условия ПГ следует условие 1Г вдоль Е12. Таким образом, справедливо
следующее утверждение.
Следствие 51.2. Если самонепересекающаяся допустимая
кривая Е12 без угловых точек удовлетворяет условиям I, ПГ, IV,
то 1{Ег^ есть сильный относительный минимум.

160 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Аналогичное утверждение можно высказать также и для случая,
когда область В может не удовлетворять высказанному выше
условию, но обладает зато соответствующим свойством выпуклости. Мы
скажем, что область В выпукла по переменным ?/', если она вместе
с двумя элементами (у, у') и (у, Y') содержит и все элементы
[у, аЩ] (0<6<ш), определяемые из уравнений (51.2). Говорят,
что допустимая кривая Е12 удовлетворяет условию 111^, если в
пространстве у существует такая окрестность F кривой 2£12, что
условие ПГ выполняется для любого допустимого элемента (у, у'), для
которого у лежит в F.
Следствие 51.3. Пусть область В выпукла по переменным у'.
Если самонепересекающаяся допустимая кривая Е12 без угловых
точек удовлетворяет условиям I, Ш^, IV, то она дает сильный
относительный минимум интеграла I.
Из Ш^ следует по лемме 44.2, что кривая Еп — неособая,
а формула (51.1) показывает, что условие П# выполнено, если N
состоит из всех элементов (у, у')у у которых у дежит в F. Таким
образом, утверждение 51.3 прямо следует из теоремы 50.2.
Приведем для параметрического случая таблицу, аналогичную
таблице в § 17.
Таблица необходимых и достаточных условий
Тип минимума
Слабый относительный .
Сильный относительный
Сильный относительный
Сильный относительный
Сильный относительный
Необходимые
условия
I. Ш, IV
I, II, III, IV
Достаточные
условия
I, III', IV
I, UN, IV, # — неособая
I, Ill'F, IVr
I, II', III', IV7
I, III", IV7
Теорема третьей строки справедлива в том случае, когда область В
допустимых элементов (г/, у') выпукла по переменным уТ в том смысле,
как было определено выше. Теоремы двух последних строк таблицы
справедливы в том случае, когда область В имеет вид, описанный
в первом абзаце этого параграфа.
§ 52. Канонические нерешенные и канонические уравнения.
Ввиду свойства однородности подинтегральной функции / (у, у'),
канонические переменные (у% в) для параметрического случая невозможно
ввести таким же простым способом, #ак это было сделано при
помощи преобразований (26.1) и (38.1) в непараметрическом
случае, так как в параметрическом случае определитель | fyyk |, как
видно из второго соотношения (43.2), тождественно равен нулю.
Мы можем, однако, определить канонические переменные посред-

§ 52. КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ Й КАНОНИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ 161
ством уравнений, получающихся при рассмотрении задачи в
параметрической форме в качестве частного случая общей задачи
Лагранжа. Значение этих уравнений легко можно усвоить, не
обращаясь к теории задачи Лагранжа.
Определим функцию G следующим образом:
G(y,y'J) = f + 4<?-l),
где ? (У> У') — функция с теми же свойствами однородности и
непрерывности, что и функция f. Тогда соотношения, связывающие
переменные у, у', I с каноническими переменными у, в, могут быть
написаны в виде
(52.1) ,, = Gy, =,/;,+14> <?-i = 0.
В окрестности частного решения (у, у', I, в), для которого
функциональный определитель по переменным у', / не равен нулю ,* эти
уравнения,, как известно, имеют решение
(52.2) $\ = Р€(У**)>1 = Цу9г).
Для возможности построения теории Гамильтона—Якоби мы
предположим, что существует такая область В' точек {у, у', I),
определяемая условиями вида
(у, у') лежит в В, О < 11 | < г,
что уравнения (52.1) взаимно однозначно преобразуют В' в область 8
точек (у, в). Далее, мы будем также предполагать, что функция <р
всюду отлична от нуля в В' и функциональный определитель
уравнений (52.1) по переменным у', I всюду отличен от нуля.» Тогда
уравнения (52.1) имеют единственное решение (52*2),
соответствующее каждой точке (у, я) из 8, и, по теореме о неявных функциях,
функции Piy L, определенные этими уравнениями, имеют
непрерывные частные производные (т — 1)-го порядка, если функция f
имеет непрерывные производные порядка т (т^ 1). Допустимыми
значениями (у, в) мы назовем те, которые принадлежат
множеству 8.
По аналогии с формулами' (26.3) и (38.3), можно определить
функцию Гамильтона Н(у, я) следующим образом:
(52.3) Щу, я) = [y'.G^ - GY=T> l=L = PA -/ (у, P) = L (у, в).
Последняя формула для Я получается умножением первого
уравнения (52.1) на Pi и суммированием затем по г. При* помощи
соотношения (52.1) для производных от Н находим выражения
(52.4) Нщ = - Gy. (у, Р), Uz. = Ри

162 ft*. V. ЙАМАДиОННЫЕ ЗАДАЛИ Й ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Они имеют непрерывные производные порядка т — 1, если /"обладает
непрерывными производными порядка т. Таким образом, Я имеет
непрерывные производные порядка т.
Уравнения
(52.5) % = P,. = tfv *± = ащ{у,Р)=-НУ{
называются каноническими уравнениями задачи в параметрической
форме. Вдоль любого решения y(t), z{t) этих уравнений Я = £
сохраняет постоянное значение, в чем легко убедиться
дифференцированием H[y{t), #(0] no t. Посредством уравнений (52.1)
и равенства 1 = 0 каждой экстремали у<(*) (fi<[i<[ta)' на которой
параметр t выбран так, что вдоль лее <рг==1, ставится в соответствие
решение у{ (/), ^(0 уравнений (52.5), на котором H=L = 0.
Обратно, для каждого решения уг (t), ei (t) уравнении (52.5),^на котором
H~L = 0, функции y4(f) определяют экстремаль с таким
параметром, что <р = 1. Это утверждение просто вытекает из соотношений
(52.1), (52.2) и (52.4).
При определении канонических присоединенных переменных
(/, т], С) также возникают указанные выше трудности. Их можно
обойти таким же путем. Определим функцию 2 в виде
^ftч,ч^^)-•(',ч,ч/)+^Ф.
где 2(о — квадратичная форма, определенная первой
формулой (43.7), а
есть первая вариация функции ср. Предполагается, что аргументы у (I),
У' (0 Oi <* < к) в коэффициентах формы <о принадлежат
экстремали Е, которой соответствуют функции y(t), z(t),
удовлетворяющие уравнениям (52.5) и обращающие L тождественно в нуль.
Теперь мы определяем присоединенные канонические переменные
('* i\> Q, связывая их с переменными (t, т;, 7)', X) соотношениями
(52.6) С, = 2„; = fy'yi^ + fm% + XV<> Ф - О.
В этом абзаце излагаются свойства канонических переменных.*
Доказательства этих свойств мы дадим ниже. Уравнения (52.6)
имеют решение
(52.7) < = #%%+#%V 1 = Иу^Н^
в котором аргументами в производных от Н служат функции у (t),
#(0> соответствующие экстремали Е. Мы обозначим правые части
в (52.7) через Ц, (t, yj, С) и А (/, -q> С) соответственна. Йрисоеди-

§ $2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И КОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ i&J
ненная функция Гамильтона ф определена первым соотношением
(52.8), ее производные подсчитаны в (52.9):
(52.8) $(*, ч, о = WQ^-fi]4/-n: Xs=sA=
= П£ —9(*,Ч,П,Д),
(52.9) & = —9* ^ = -Qv £с, = П,.
В этих уравнениях аргументами £, ч, V> * в производных от 2
служат /, г\, П, Л. Уравнения
(52.10) *}-*,, § = ~^
называются каноническими присоединенными уравнениями.
Для доказательства утверждений предыдущего абзаца поступим
так. Продифференцируем сначала по ук и zk уравнения (52.1), в
которые подставлено их решение (52.2). Из соотношений E = L,
у\ = Нч =*Pi и L = О вдоль экстремали 1 находим
Чч+^;яу*+Я*Л = °' *Щ нуи + нчЧ = 8«*>
Прямой подстановкой убеждаемся теперь, что функции (52.7)
представляют решение уравнений (52.6). Значения производных от ф,
указанные в (52.9), определяются без всякого труда с помощью
второго соотношения (52.8). Для вывода третьей формулы в (52.8)
продифференцируем первое уравнение (52.4); имеем
Из соотношений (52.9) и (52.7) получаем, таким образом,
$\ = — Q\ = Ну^к + Щ^ъ
фсг = Hi = Нг.укЩ + Я,ЛС».
Отсюда сразу получается требуемая формула, так как ф есть
однородная квадратичная форма, и поэтому
Канонические присоединенные уравнения (52.10) обладают
некоторыми важными свойствами. Существует единственное решение
**\i (О, С* (0 этих уравнений, удовлетворяющее заданным начальным
условиям r\i = i\iQ, it = Q0 при заданном t. В частности, начальные

164 ftr Y ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
условия %> = С«о = О определяют тривиальное решение* т. е. функ-
ции r\if tt тождественно равны нулю. Вдоль любого решения ч\ (t),
С(0 функция Х = Л[$, *q(t), C(0] сохраняет постоянное значение,
что легко показать, дифференцируя вторую формулу (52.7) по t я
учитывая соотношения (52.5), (52.8), (52.10). Дифференцируя Н(у, z)
и уравнения (52.5) по t, мы видим, что функции у', я' решения
уравнений (52.5) составляют решение присоединенных канонических
уравнений (52.10), вдоль которого А = 0. По определению,
присоединенные уравнения параметрической задачи имеют вид
dt
*<
-<%=°>
а присоединенная экстремаль есть решение v\(t) этих уравнений.
Каждой присоединенной экстремали r\(t) посредством
соотношений (52.6) ставится в соответствие решение ч\ (О, С (0
присоединенных канонических уравнений (52.10), вдоль которого А = 0, и
обратно. Для любого семейства решений уД£, a), si{t, а)
канонических уравнений (52.5), зависящего от параметра а,
производные yia, zitk составляют решение канонических присоединенных
уравнений (52.10); и если Я= о на данном семействе, то А==гО вдоль
соответствующих присоединенных экстремалей. Так как
уравнения (52.10) линейны и однородны относительно переменных ч\, С
и их производных, то по известной, теореме определитель, столбцами
которого служат 2п решений этих уравнений, либо тождественно
равен нулю, либо всюду' отличен от нуля.
Лемма 52.1. Пусть f\i<s, £г.а(о=1, ..„, 2п — 2)—система
решений канонических присоединенных уравнений с 1 = 0. Если
т|, С— решение с Х = 1, то определитель
(52.11)
'Но
У
с,
либо тождественно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль
и равен определителю d(t) лемми (48.1), умнооюенному на не
обращающийся в нуль мнооюитель.
Это следует сразу из того факта, что произведение
"V
U
*<уз
0
ViV'j
у;
0
У\
0
V
%
0
y'j
у;
0
0
v'j
0
Ч*
%
1
равно определителю (52.11) с точностью до множителя, не
обращающегося в нуль.

§ 53. ТЕОРЕМА ВКЛЮЧЕНИЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА,—ЯКОБИ
165:
Решение t), С, удовлетворяющее требованию леммы, можно
определить начальными значениями при t = tQ, удовлетворяющими
соотношениям *u = 0, Hz£i = l. Далее, 2п—2 решения %а, С*в можно
определись люоой системой начальных значений, которые
удовлетворяют , соотношению X = Hykv\k+HgJ£>k = О при t = t0, так
чтобы определитель (52Л1) не был равен нулю. Это будут
присоединенные экстремали, определяющие сопряженные точки, как было
показано в лемме 48.2 и теореме 48.1. Совокупность п — 1
решений %„ по которым можно находить сопряженные точки с помощью-
теоремы 48.2, можно определить матрицей начальных значений
Л*т = 0, QT, для которой столбцы матрицы ||С*т|| линейно независимы
и обращают X в нуль.^
§ 53. Теорема включения и теория Гамильтона—Якоби. При
помощи канонических переменных и канонических уравнений можно
дать новое доказательство теоремы включения для
неосо&Ой.экстремали Е. Как и в § 27 для непараметрического случая, этим методом
можно получить требуемые свойства непрерывности семейства, в
которое включается наша экстремаль, при меньших предположениях,
а именно: достаточно требовать непрерывности лишь третьих, а не
четвертых производных подинтегральной функции f в окрестности R
множества элементов {у, у') экстремали Е. Мы будем предполагать
далее, что кривая Е не пересекает сама себя в пространстве у и
что функция ? (у, у') положительна, так что параметр t может
быть выбран таким образом, что <р = 1 вдоль Е.
Уравнения (52.1), определяющие канонические переменные, имеют
в качестве решения множество [y(t), s{t), y'{t), / = о],
соответствующее экстремали Е, которую мы желаем включить в семейство.
Никакие две точки этого решения не имеют одинаковых
проекций (у, я), так как кривая Е—самонепересекающаяся. Далее,
функциональный определитель уравнений (52.1) по переменным?/',^
не обращается в нуль вдоль Е, так как Е—неособая экстремаль,
как можно чП0ка,зать методом, примененным при доказательстве
теоремы 43.1. По теореме о неявных функциях существует окрест?
ностьВ множества [у (t), у' (t), J = 0], соответствующего кривой Е,
которая взаимно однозначно преобразуется в окрестность S
множества точек (у, s), соответствующих Е.
Определенные таким образом функции (52.2) имеют в S
непрерывные частные производные второго порядка. Действительно, этим
свойством обладают правые части уравнений'(52.1)> ввиду того
что f(y, у ) и <?{у, у') имеют непрерывные производные третьего
порядка.
Таким образом, правые части канонических дифференциальных
уравнений (52.5^ определены и имеют непрерывные вторые
производные в окрестности S кривой Е. По теореме существования для
дифференциальных уравнений единственное решение уравнений

166
Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЛИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
(52.5), проходящее через начальную точку (t°, y°, #°), выражается
функциями вида
(53.1) Vi(t — f>,tf>, *), *i(t — f>, tfi, *°)r
которые вместе со своими производными yit, eit имеют
непрерывные частные производные второго порядка в окрестности
значений (t, Ь°, у0, 0°), соответствующих кривой £. Аргумент 1° входит
обязательно в виде разности t—*°, так как правые части
уравнений (52.5) не содержат L Пусть i°, у00, zP°—фиксированные
значения, принадлежащие кривой Е. Так как по свойству
однородности 9 имеем
ср(у, P) = Pi?y^(yt jp) —lf
то величины Р$ = Пч не могут обращаться в нуль одновременно.
Поэтому, не ограничивая общности, мы можем считать Hz (yw, гР°)фО>
Пусть *qi9> Ciff(o=l, ..*, 2w — 2)—решения канонических•
присоединенных уравнений, соответствующих кривой Е, удовлетворяющие
условиям леммы 52.1. Определим функции у] {а), я* (а) следующим
образом:
УК") = У? + \Л1°)а„
«to-^ + ^Wac
(*=1, ..., щ г = 1, ..., п — 1; о=1, ..., 2^ — 2),
и, наконец, функцию #° (а) уравнением
Н [f (а), а0(а)]=0,
которое имеет начальное ^решенце а = 0, #п = &™, причем здесь
Hzn ф 0. Определенные таким образом функции &% (а) имеют
непрерывные производные третьего порядка, так как Н(у, z) обладает
этим свойством. Так как для каждого столбца чи9,ги
определителя (52.11)
I — Hyflu+НЧЪ9 — О,
то отсюда без труда находим, что z%{a) имеет производную ^т (f)
при а = 0.
Если подставить в (53.1) функции ^(а), z° (а), то мы
получим (2п—2) -параметрическое семейство экстремалей
У<-Г<0, «)-%['—*°. W°(«). *°(«)]>
*, — #<(*, а) =** [t—fl, y°(a), z<>{a))%
которое будет обладать всеми свойствами, указанными в теореме
включения 45.1. Юно содержит кривую Е при ^<^<*а> ««~0.

§ 53. ТЕОРЕМА ВКЛЮЧЕНИЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ 167
Вариации функций семейства по параметру а9 имеют начальные
значения т^0 (ft), t*ff (i°), удовлетворяют каноническим
присоединенным уравнениям и таким образом тождественны, функциям y\i9 (t),
С*, (О- Определитель семейства (45.3) отличен от нуля, так как
определитель (52.11) не обращается в нуль. Тем самым все
утверждения теоремы включения доказаны.
В теореме включения мы имели дело с экстремалями и малыми
областями i?' и 8, окружающими данную экстремаль Е. Обратимся
теперь к более широким областям, описанным в начале § 52.
Умножением на положительный множитель х(г/) функции наклона
Pi (у) данного поля можно сделать такими, чтобы удовлетворялось
условие <р[у, р(у)]===1. Мы выскажем теперь следующую теорему,
играющую основную роль в теории Гамильтона—Якоби.
Теорема 53.1. Во всяком поле F инвариантный интеграл,
взятий от фиксирований точпи у0 до переменной точки у, является
функцией W(y), обладающей в F непрерывными вторыми
производными и удовлетворяющей уравнению с частными
производными
(53.2) Н(у, Т^) = 0.
Обратно, если функция W(y), заданная в F и обладающая там
непрерывными вторымии производными, определяет точки (у, z) =
= {у, Wy), лежащие в 8 при любых у из F й удовлетворяет
уравнению (53.2), то F есть поле с функциями наклона
(53.3) Pi(y) = Pi[y, Wy],
для которых выполняется соотношение <р[у, .Р0/)] = 1-
Для доказательства заметим прежде всего, что условие Н(у, я) = О
необходимо и достаточно для того чтобы уравнения
ei = fvi(y> У')> ?(2/> 2/') = 1
имели решение у' при заданных у и в. Это следует из
эквивалентности систем (52.1) и (52.2). Более того, это же условие
необходимо и достаточно для того, чтобы одни только уравнения
*,-/;; <* у)
имели решение у' при заданных у и я. Действительно,
значения у у у'9 удовлетворяющие этим уравнениям, всегда могут быть
преобразованы умножением переменных у' на подходящий множив
тель х>0, так чтобы 9=1. Ввиду только что доказанного
свойства, все возможные уравнения Н(у, я)—О, получаемые при
подстановке в (52.1) различных функций <р(#, у'), эквивалентны друг
другу.

168 Гл. V ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В П \РАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Первая часть теоремы следует теперь прямо из определения
у
(53.4) W{y)~$f*]y9pm*ai
уО i
функции W (у), так как из него получаем
(53.5) Wy^fyf[y,p{y)],
и потому уравнение (53.2) удовлетворяется. Обратно, пусть W (у)
обладает свойствами, указанными во второй части теоремы. Тогда
функции pi (у), определенные в (53.3), будут удовлетворять
уравнениям (53.5). Следовательно, интеграл (53.4) не зависит от пути
интегрирования в F и Р есть поле.
Уравнение (53.2) называется дифференциальным уравнением
Гамильтона — Якоби. Если W (у) есть функция, определенная
в поле F так, как указано в теореме 53.1, то поверхности W(y) =
= const являются трансверсальными поверхностями поля. Эти
поверхности обладают свойствами, подобными' тем, которые высказаны
в теореме 28.3, и доказывающимися тем же способом.
Для задачи в параметрической форме имеет место теорема, в
которой дается способ построения экстремалей с помощью так
называемого полного интеграла W(y, Ъг ... Ьм-!) + с уравнения
Гамильтона — Якоби. Утверждения этой теоремы вполне аналогичны
теореме 29 Л и утверждениям § 38 для непараметрического случая.
Предполагается, что функция W имеет непрерывные частные
производные третьего порядка и матрица 11^.^11 имеет ранг п — 1
для всех «значений {у, Ъ\ для которых у лежит в области F
пространства уу а Ъ лежит в (п—1)-мерной области В.
Предполагается далее, что точки (у, z) = (у, Wy), соответствующие точкам
(у, Ь), все являются допустимыми.
Теорема 53.2. Пусть для точек у и Ъ в областях F и В
полный интеграл W {у, Ъ)-\-с уравнения Гамильтона — Якоби (Ь3.2)
обладает сформулированными выше свойствами. Тогда всякая
допустимая кривая Е12, которая леоюит в F, не имеет угловых
точек и удовлетворяет уравнениям
(53.6) Wbr (у, Ъ) = аг (г = 1, ..., * — 1)
при некоторых фиксированных значениях аг0, Ъг0, либо сама
является экстремалью, либо станет экстремалью, если изменить
знак параметра t. Отсюда также следует, что г/равнения (53.6)
имеют в качестве решения (2п — 2)-параметрическое семейство
экстремалей у4 (£, а, Ъ), содероюащее Е12 и обладающее свойствами^
высказанными в теореме включения 45 Д,

§ 53. ТЕОРЕМА ВКЛЮЧЕНИЯ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ Igg
Для доказательства - теоремы заметим, что из уравнения (53.2)
следует
(53.7) HMiWVibr = О, Ну. +HZkWykyi = О.
Кроме того, вдоль кривой Е12 для функций yh ^=Wy. имеем
соотношения
Отсюда и из уравнений (53.7) видно, что производные yl, Si вдоль Е12
пропорциональны Лт'9 — Н /. Преобразованием параметра £ и, если
нужно, изменением его знака можно достигнуть того, чтобы
эта пропорциональность перешла в равенство. Тогда кривая Е12
удовлетворит каноническим уравнениям (52.5), причем вдоль нее
Н—О на основании уравнения (53.2). Следовательно, ЕХ2 есть
экстремаль. Для получения второго утверждения теоремы мы
докажем сначала, что уравнения (53.6) имеют решением семейство
l/i (h\ a> * Ъ), обладающее требуемыми свойствами непрерывности.
Эти уравнения удовлетворяются начальными значениями yi0, ar0,
Ъг0, соответствующими произвольно выбранному значению
параметра t0 на -#i2> и п0 крайней мере один из определителей
матрицы || WbrVi || отличен от нуля для этих значений. По теореме
о неявных функциях уравнения (53.6) имеют решение у* = *)* (я, Ъ)
с непрерывными частными производными второго порядка вблизи
(а0, Ъ0) такое, что % (% &о) = Ую- Из теоремы существования для
дифференциальных уравнений следует, что уравнения
(53.9) У\ = Щ.[У, Wy(y,b)]
имеют единственное решение ?/*(£, а, Ь),определяемое начальными
значениями функций % (а, Ъ) при t = /0 и обладающее требуемыми
свойствами непрерывности. На основании первого соотношения
из (53.7) и соотношения (53.9) производные Wb постоянны вдоль
этих решений и равны ап как следует из уравнений, (53.6) при
*=*о.
Теперь, используя лемму 52.1, докажем, что определитель (45.3)
не обращается в нуль вдоль кривой Е{2. Определим функции
еЛЪ а> Ь) через функции уг{г, а, Ъ) так: #t- = Wy.. Тогда
получаемые кривые суть экстремали, a yia , zia и i)ib, zib образуют 2п — 2
решения присоединенных канонических уравнений (52.10), на
которых Х = 0, согласно замечанию, сделанному перед леммой 52Л.
Составим для этих решений определитель леммы 52.1
\ т т - *

X70 гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Подставив значения
после простых преобразований найдем, что рассматриваемый
определитель равен обратной величине произведения
Уы
а8
У*
Но, как следует из (53.6), Wbrykykas = Ьг8. Отсюда, из второго
уравнения (53.8), из канонических уравнений (52.5) и равенства
Hyfli + Hz£i = 1 леммы 52.1 получаем, что это произведение равно
единице.
§ 54. Построение полного интеграла уравнения
Гамильтона—Якоби. В предыдущем параграфе было показано, что, зная
полный интеграл W (у, b) -f- с уравнения Гамильтона—Якоби, можно
определить экстремали уравнениями Wb = аг, Обратное
положение тоже верно; зная семейство экстремалей теоремы включения,
можно построить полный интеграл. Этот результат точно формулит
руется следующим образом.
Теорема 54.1. Любая неособая, экстремаль Е12 мооюет быть
включена в такое (2п— 2)-параметрическое семейство
экстремалей yi (/, а, Ъ), обладающее указанными в теореме включения 45.1
свойствами, что для любым фиксированных значений Ъг (г = 1, ...,
п—1) оно является семейством Майера, где аг будут изменяв-
мыми параметрами. Всякая область F пространства у,
однократно покрываемая таким семейством Майера, в которой
определитель |yia .yi\ не обращается в нуль, является полем с
функциями наклона pi {у, Ъ) семейства. Значение W {у, Ь) инвариант*
ного интеграла J*, взятого от фиксированной точки у0 до пере-
менной точки у, определяет в поле полный интеграл W (у, Ъ) -j- с
уравнения Гамильтона —. Якоби, который будет обладать указан*-
ными в теореме 53.2 свойствами. Всякий полный интеграл может
быть получен этим путем.
Для доказательства теоремы рассмотрим уравнения (49.6), в
которых функция 17 заменена на U + аг(Зг. Эти уравнения имеют
решение аг(а, р), Ьг(а, р), Г (а, Р), обладающее непрерывными вторыми
производными в окрестности значений (а,<р) = (а0, 0) и такое, что
аг(а0, 0) = аг0, Ьг(а0, 0) = Ьг0, Т(а0, 0) = *0. Это следует
непосредственно из рассуждений последнего абзаца § 49. Еоли додста-

§ 54. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА.
117
а™а
br*g
0
0
**,
Ч
О
О
О
О
1
О
0
О
О
1
вить функции ar(a, {5), Ьг(а, |3) в уравнения семейства (45.2), то
они примут вид
(54.1) Vi(t, or, p).
Эти функции определяют кривую Е при tt < t < t2, ar = ar0, pr = О
и обладают теми же свойствами непрерывности, что и функции (45.2).
Определитель вида (45.3), составленный для функций (54.1),
равен"произведению определителя (45.3) на определитель
(54.2)
Он будет отличен от нуля, если последний определитель не равен
нулю. Если бы определитель (54.2) оказался равным нулю для
начальных значений (a, j3) = (a0, о), то существовали бы
постоянные с8, dsi не все равные нулю, такие, что
ar*sc8 + art8d8 — 0, brascs + b^sd8 = О.
Но из уравнений (49.6), в которых £7в. заменено на Ua + рг, имеем
Viarart8 + У<ъЪ*9 + У'*Т*8 = °>
Yi*JyW№ara*s+ ^4 + W "*«'
Умножая первое из этих уравнений на с8, второе—на d8
накладывая, мьг видим, что cs=7pc?s = 0, потому что {п — 1)-мерная
поверхность 2 не касается экстремали Е% т. е. определитель J Y& щ \
не равен нулю. Умножая последние уравнения на d8 и складывая,
получим, dr = 0, что вместе с с8 = 0 противоречит сделанному
выше допущению.
Таким образом, семейство (54.1) содержит кривую Е и обла^
дает всеми свойствами семейства (45.2) теоремы включения, где
роль параметров а, Ь играют параметры а, р. Применяя
рассуждения § 49, легко, далее, видеть что при фиксированных достаточно
малых .значениях параметров р получаемое семейство, зависящее
от параметров а, является семейством Майера. Во всякой области F
пространства у, однократно покрываемой семейством 0
необращающимся в жуль определителем yi<tr \ Щ \ уравнения
(64.3) y€(f, «, р)=*/*,

172 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
имеют решение t(y, Р), ar(y, Р), имеющее непрерывные вторые
производные при значениях у из F и достаточно малых значениях р.
Для функции наклона
(54.4) А (у, р) =у\ &(У, Р), а (у, р), pj
определитель |^^ ^| не равен нулю. В противном случае
существовали бы такие множители сг, с, не все равные нулю, что
Но из уравнений (54.3) и (54.4) имеем
О = Jfa^rp в + у«рв + y'itf89
откуда следует, что постоянные
удовлетворяют системе линейных уравнений с определителем вида
(45.3), составленным для семейства (54.3). Отсюда получается
cs = c = 0, что противоречит допущению.
Интеграл 7*, взятый от фиксированной точки у0 до
переменной точки у, представляет теперь в поле F функцию W(y> P)
со свойствами непрерывности, указанными в теореме 53.2. Ее
производные равны
Wyt = fyi [У, р (у, Р)], Wyfr = fyfaP^.
Матрица из производных Wy^ имеет ранг п — 1. Действительно,
если допустить противное, то существуют множители сг не все рав-,
ные нулю, удовлетворяющие уравнениям
crWyA = orfyykp^r=0.
Следовательно, линейные комбинации сгрщ пропорциональны
значениям Ук = Ръ что невозможно, так как определитель \р^ pi\
не равен-нулю.
Последнее из утверждений теоремы доказывается также очень
просто. Согласно теореме 53.1, для всяких фиксированных
значений Ъ полный интеграл W(y, Ъ) + с_ определяет в области F полз
с функциями наклона р (у, Ъ) = Wy(y, Ь). Экстремали всех таких
полей образуют (2я?—2)-параметрическое семейство, задаваемое
функциями у€ (t, а, Ъ), обладающими указанными в теореме 54.1
свойствами. Тем самым теорема полностью доказана.

§55. ДРУГИЕ ТЕОРИИ ПАРАЙЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
ИЗ
§ 55. Другие теории задачи в параметрической форме.
Существует несколько методов рассмотрения вариационных задач
в параметрической форме, отличных от изложенного в предыдущих
параграфах. В настоящем параграфе дается краткое освещение
-некоторых из этих методов с замечаниями об относительном
удобстве их применения. Так как параметр на кривых может быть выбран
совершенно произвольно, то вариационную задачу в
параметрической форме можно поставить так:* в классе кривых yi (i) (0<^<^2)>
Соединяющих две заданные точки 1 и 2 в пространстве у и
удовлетворяющих уравнению вида
(55.1) 9 (у, у') = 1,
найти такую кривую, на которой интеграл I вида (42.1) достигает
минимума. Функция <р предполагается положительной в
рассматриваемой области В точек {у, у') и положительно однородной первой
степени по переменным у', как и подинтегральная функция f.
Требование (55.1) в действительности эквивалентно
определенному выбору параметра на данной кривой у(т) Сч^т^Чд), так
как если на этой кривой представить функцию <р [У (х)> У' (т)]
в виде <]j(t), то, вводя новый параметр
мы видим, что кривая будет задаваться на интервале О <[ t ^ t2 и
будет удовлетворять требованию (55.1).
Формулированная указанным выше образом параметрическая
задача становится непараметрической задачей в пространстве точек (/, у)
и представляет собой частный случай так называемой задачи
Лагранжа. Задача Лагранжа является частным случаем задачи Боль-
ца, которая будет рассмотрена в последней главе этой книги. Теория
такой задачи не так проста, как теория задач, в которых нет
граничных условий, задаваемых дифференциальными
уравнениями, такими, как, например, уравнение (55.1). Сложность
формулированной выше задачи состоит, далее, в том, что в
пространстве (/, у) второе конечное значение t2 не фиксировано. В
начальной точке значения *—О, yi(0)=yn все фиксированы, однако
в конечной точке мы требуем только уг (/2) = Ум, оставляя
координату t2 переменной. Несмотря на эти осложнения, рассмотрение
параметрической задачи как частного случая задачи Лагранжа
оказалось полезным в предыдущих параграфах. Используя
обозначение G = f-\-ly, уравнения для экстремалей и канонических
переменных задачи Лагранжа можно написать в виде

174 1*л. V. ЙАРИАЦИОННЫЁ ЗАДАЛИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
В частном случае, когда ср = (у<у$*, мы использовали эти
уравнения при рассмотрении экстремалей в § 45 и канонических
переменных в § 52.
Для случая, когда функция f положительна в области В яочек
(У>у')> в которой функция f имеет предписанные свойства
непрерывности, Рэн предложил совершенно другой метод. Определив
функцию д (у, у') равенством 2д = f*„ Она является положительно
однородной функцией второй степени относительно переменных у'.
По известному свойству однородных функций имеем
*9=>9i№* У')У'$,
где д^ обозначают производные (figjdyidy'j. Теперь интеграл (42.1)
может быть написан в виде
Такую лее форму, но с коэффициентами дц9 не зависящими от
переменных у', имеют интеграл длины кривой в римановой
геометрии и интегралы, играющие основную роль в теории
относительности. Аналогичным образом изучались более общие интегралы I,
в которых коэффициенты дц содержат переменные у'. Пространства,
в которых длина кривой определяется интегралом такого типа,
называются финслеровыми пространствами. Во всех этих теориях
важную роль играет тензорный анализ. Формулировка Рэна кажется
особенно пригодной для использования этого аппарата. Интересно
отметить, что уравнения, определяющие канонические переменные,
и изложение теории Гамильтона — Якоби, данные Рэном, были
подсказаны формулировкой задачи, как задачи Лагранжа с
функцией ф в уравнении (55.1), равной самой подинтегральной
функции f.
При рассмотрении присоединенных уравнений (47.2) и их
решений мы часто пользовались так называемыми нормальными
решениями г\{, удовлетворяющими условию у^ = 0. В том случае,
когда параметрическая задача рассматривается в качестве задачи
Лагранжа, роль последнего условия играет условие
(55.2) ?^< + ?2/;^=0.
Привлечение одного из этих условий связано с тем
обстоятельством, что уравнения присоединенной системы, как показывает
третья формула (43.7), не являются независимыми. Хэстенс ноль

§ 55. ДРУГИЕ ТЙ0РИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 176
зовался условием у^ — const, которое тесно связано с уравнением
(55.2) для частного случая ср = (у#*)'А. Он также отметил более
широкий, чем (55.2), класс соотношений, которые могут быть
использованы таким же образом.
Существует конечный метод приведения параметрической
задачи к непараметрической в окрестности самонепересекающейся
кривой Е, свойства которой нас интересуют. Пусть кривая задана
функциями yi(t)(tt^t^t2; г=1, ..., п). Выберем п — 1
векторов %ir{t) (fs=l, ..., п — 1), таких, чтобы для любого / из
интервала *1<<*<?2 определитель
(55-3) 1*4(0 Moi
был отличен от нуля. Уравнения
(55.4) У< = У<(0+«Аг(0
имеют в качестве начальных решений точки (у, t, и) = [у (£), t, О],
соответствующие кривой Еу причем для этих точек
функциональный определитель правых частей этих уравнений совпадает с
неравным нулю определителем (55.3). По теореме о неявных функциях
заключаем, что уравнения (55.4) определяют взаимно однозначное
соответствие между точками у окрестности F кривой Е-и точками
(t, и) окрестности Т множества значений" (t, и), соответствующих
точкам Е. Решение t(y), ur(y) уравнений (55.4), определенное
на F, имеет непрерывные производные до такого же порядка, что
и функции у{ (0, в предположении, что векторы %ir (t) выбираются
так, чтобы они имели непрерывные производные такого же
порядка.
После преобразования (55.4) уравнения кривой Е в
пространстве (/, и) принимают простую непараметрическую форму иг = О
(г ss 1, ..., п — 1), а подинтегральная функция f(y, у') переходит
в функцию д (t, u> и'). Для преобразованного интеграла I и
кривой Е в пространстве (tf, и) справедливы, конечно, все
необходимые и достаточные условия минимума. Для полноты теории
поставленной параметрической задачи необходимо распространить условие
Вейерштрасса и достаточные условия на все параметрически
допустимые направления и кривые и затем формулировать результаты
теории задачи в непараметрической форме для первоначальных
координат и подинтегральной функции f(y, у').
Метод преобразования координат весьма интересен и иногда
оказывается очень удобным, однако применение его не всегда
целесообразно. Нахождение преобразования (55.4), обладающего
требуемыми свойствами, затруднительно, а иногда, если кривая имеет
угловые точки, практически невозможно. Для того чтобы у
преобразованной функции д {ty и, и') сохранялись те же свойства непре-

176 Гл. V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ШкРАМЁТРИЧЁСКОЙ ФОРМЕ
рывности, что и у данной подинтегральной функции f (у, у'),
необходимо, чтобы функции jfi(t), определяющие кривую Д имели
непрерывные производные по меньшей мере до пятого порядка
включительно. Интерпретация для параметрической задачи в пространстве у
результатов, имеющих место для непараметрической задачи в
пространстве (t, и), и распространение условия Вейерштрасса и
достаточных условий, указанное выше, требует такой же затраты времени,
что и прямые доказательства теорем» изложенные нами в
предыдущих параграфах этой главы.

Глава VI
ЗАДАЧИ О ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
§ 56. Введение. В предыдущих главах рассматривалась
вариационная, задача, в которой требовалось найти в классе кривых,
соединяющих две неподвижные точки 1 и 2 в пространстве xyz,
такую кривую, на которой интеграл
(56.1) 1= J>(#, у, *, у', в') их
вида (1.6) достигает минимума. Такая задача называется задачей
с закрепленными концами. Естественным видоизменением этой
задачи будет, например, задача отыскания кривой, дающей минц-
мум, но уже в классе кривых, соединяющих фиксированную
поверхность и фиксированную точку или фиксированную поверхность
и фиксированную кривую. Существуют, очевидно, и другие задачи
того же рода. По понятным причинам они называются задачами
с подвиэюнъши концами.
Вероятно, впервые задача с подвижными концами
рассматривалась братьями Яковом и Иваном Бернулли. Около 1697 г. они
пытались решить задачу отыскания в вертикальной плоскости
кривой, по которой тяжелая частица будет падать из данной точки 1 до
данной кривой L в кратчайший срок, считая, что ее начальная
скорость в точке 1 задана. Эйлер в своей знаменитой книге по
вариационному исчислению, написанной в 1744 г., рассматривал
гораздо более общие задачи с подвижными концами, однако без
точной формулировки условий для концов. Примерно десятью
годами позднее Лагранж и Борда нашли, что описанная выше задача
Бернулли с подвижным первым концом, вместо второго, или с
обоими концами, передвигающимися по фиксированным кривым, имеет
совершенно новую природу. В результате изучения этих частных
задач Лагранж сформулировал весьма общую задачу с подвижными
концами, содержащую как частные случаи рассмотренные ранее
Эйлером задачи, и нашел первое необходимое условие минимума.
До 1898 г. дальнейшее продвижение в этих вопросах было очень
незначительным. В 1898 г. Кнезер ввел понятие так называемых
фокальных точек и нашел достаточное условие для случая общей
задачи на плоскости с одним подвижным концом. Введенное им
понятие фокальной точки для задачи с одним подвижным концом

178
1*л VI ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
аналогично понятию сопряженной точки для задачи с закрепленными
концами. В 1902 и 1904 гг. автор этой книги исследовал зависимость
фокальной точки от кривизны заданной кривой, по которой может
передвигаться один из концов, и подробно рассмотрел задачи в
плоскости, в которой оба конца могут передвигаться по кривым.
В течение ряда недавних лет Грейвзом, Хэстенсом, Блиссом и
другими рассматривалась весьма общая задача, сформулированная
Больца в 1913 г. Среди наиболее общих вариационных задач,
сформулированных до сих пор, задача Больца во многих
отношениях имеет наиболее удобную форму. Теория этой задачи
изложена во втдрой части настоящей книги.
Целью настоящей главы является возможно более общее
изложение теории вариационных задач с подвижными концами,
соответствующих задачам с закрепленными концами, изученным
в предыдущих главах. В §§ 57 и 58 предварительно рассмотрены
пространственные задачи с закрепленным вторым концом и
подвижным первым концом, передвигающимся по фиксированной
поверхности или кривой. Здесь применены геометрические методы, весьма
родственные методам, применявшимся в предыдущих главах.
В §§ 59—64 сформулирована весьма общая задача в пространстве
(х, уи ..., уп) с подвижными концами и развита теория как
необходимых, так и достаточных условий минимума. Выведенное в § 64
четвертое необходимое условие сформулировано Гольдштейном,
видоизменившим полученное ранее Хэстенсом условие для задачи Больца.
Достаточные условия получены в §§ 60 и 63 с помощью важной
теоремы Хана и с привлечением теории так называемых экстремальных
интегралов. Для задач только с одним подвижным концом условие,
называемое обычно четвертым необходимым условием, можно
формулировать, геометрически используя понятие фокальной точки
многообразия, по которому может передвигаться первая концевая
точка. Теория таких фокальных точек и зависимость фокальной
точки кривой от кривизны кривой изложена в §§ 65 и 66. Наконец,
в § 67 доказаны некоторые интересные теоремы для задачи на
плоскости (х, у) с подвижными концами.
§ 57. Трехмерные задачи с одним подвижным кондом на
поверхности. Задача, которую мы рассмотрим в этом параграфе,
формулируется следующим образом: найти в классе допустимых
кривых, соединяющих заданную поверхность 8 с заданной точкой 8>
такую кривую, которая дает интегралу I формулы (56.1)
наименьшее значение. Свойства, характеризующие кривую, на которой I
достигает минимума, можно легко получить методами, подобными
тем, которые применялись нами в предыдущих главах к
трехмерным задачам с, закрепленными концами.
Пусть 2?12, как прежде, есть некоторая допустимая кривая,
минимизирующие свойства которой мы хотим исследовать. Мы будем

§ 5*. ЗАДАЛИ С ОДНИМ ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ НА ПОВЕРХНОСТИ 179
предполагать, что заданная поверхность S определена функциями
(57.1) Е(а, р), Ч(в, р), С(а, р),
имеющими непрерывные производные третьего порядка в
окрестности значений (аи $г), соответствующих точке 1 пересечения 8
и Е12.
Так как всякая допустимая кривая, соединяющая точки 1 и 2
кривой Е12, соединяет также поверхность 8 с точкой 2, то очевидно,
что Е12 должна удовлетворять всем необходимым условиям для
кривой, дающей минимум в классе кривых, соединяющих ее концевые
точки. В частности, она должна удовлетворять необходимому
условию I § 6 и необходимым условиям II и III Вейерштрасса и Лежандра
§ 9. Сейчас будет показано, что в точке 1 пересечения 8 и Е12 должно
выполняться необходимое условие, называемое условием
трансверсальности, и что условие Яёо6и может быть заменено более
сильным условием аналогичного характера.
Выведем так называемое условие трансверсальности. Пусть
Г—произвольная кривая на поверхности 8, проходящая через
точку 1 и заданная функциями а (а), Р(а), которые имеют
непрерывные производные второго порядка в окрестности значения
параметра at, соответствующего точке 1. Точка 2 может быть
соединена с кривой Г однопараметрическим семейством допустимых
кривых, содержащим кривую Ех2, к которому можно применить
теорему 8.1 гл. I. Считая, что Ei2 задается функциями «/(а?), е(х)
(а^ОО^)* такое семейртво можно определить, например,
следующим образом:
У 0*0 + {ч [« (а), Р (*)] ~У ($)} ? (*, <*),
*(*)+{1[*(а), Р (а)]—*($)}?(*, а),
где
9 (#, а) = fc , / ч Q . ' .
Кривые этого семейства пересекают Г при х = $ [а (а), р (а)] и
проходят через точку 2."Семейство содержит кривую Е12 для
значения параметра а = аг. Согласно теореме 8.1, интеграл I, взятый
вдол^ кривой семейства, является функцией параметра а,
дифференциал которой для значения параметра аи соответствующего Ei2,
равен
dl — — fdx — (dy — у' dx) fyt — (dz —^z' dx) fg* p,
где дифференциалы dx, dy, dz вычислены вдоль Г, а аргументы
(x, у, z, у', г') в функции f и ее производных взяты вдоль кривой Е12.
Если 1(Е12) есть минимум, то этот дифференциал должен быть
равен нулю. Так как кривая Г была выбрана на поверхности S
произвольно, лишь бы она проходила через точку 1, то мы
установили следующую теорему.

180
Гл. VI. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ-КОНЦАМИ
Теорема 57.1. Условие трансверсальности. Говорят,
что допустимая кривая Е12 удовлетворяет условию
трансверсальности в точке 1 ее пересечения с поверхностью S, если для
любого направления dx\dy\dz, касательного к S в точке 1, выполняется
соотношение
if— y'fy *'М dx + fy. dy + fu. d0 = 0,
где значения х, у, 0, у'9 zf в функции f и ее производных
соответствуют точке 1 кривой Е12. Б этом случае говорят также,
что поверхность S трансверсально пересекает кривую Е12 в точке 1,
что согласуется с определением § 28. Кривая, которая дает
минимум интегралу I, должна удовлетворять условию
трансверсальности.
Выведем теперь необходимое условие, аналогичное условию
Якоби, которое, однако, имеет силу только в случае, когда Е12
является неособой экстремалью, трансверсально пересекаемой
поверхностью S в точке 1 и не касающейся поверхности S в этой
точке. Кроме того, мы предположим также, что точка 1 есть
обыкновенная точка поверхности S. Тогда существует двухпараметри-
ческое семейство экстремалей
(57.2) у{х, ос, р), в(х9 а, р),
содержащее Ех2 для значений параметров (аь рх) и обладающее
следующими свойствами. Кривые семейства трансверсально
пересекаются поверхностью 8 при х = Ъ(а, (3). Функции (57.2) и их
первые и вторые производные по х имеют непрерывные частные-
производные второго порядка для значений (х, а, р), лежащих в
некоторой окрестности множества значений, соответствующих точкам
кривой Е12. Наконец, определитель
А(х, а, Р) = ув*р —Ур*«
не равен тождественно нулю на Е12. Существование такого
семейства следует из рассуждений, приведенных нами для уравнений
(20.7), для частного случая, когда функция W в этих уравнениях
тождественно равна нулю. Определитель Д нашего семейства
отличен от нуля в точке 1 на Е12, так как из тождеств
ч(«, Р)-у& «, Р), с(«, » = *(*, : Р)
следует, что при х = 6 (а, р)
У а = Ъ — У'** *« = С. — *'&«,
У$ = Щ—У%> *? = Ср —*V
Как и для уравнений (20.7), получаем, что определитель этих
производных не равен нулю в точке 1, если, как и было предполо-

§ 67. ЗАДАЛИ С ОДНИМ ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ НА ПОВЕРХНОСТИ 1Q1
жено, точка 1 есть обыкновенная точка 8 и Е12 не касается S
в точке 1.
Определение фокальной точки. Пусть Е12 есть
экстремаль, трансверсально пересекаемая неособой поверхностью S в точке 1
и не касающаяся S в этой точке. Пусть А (х, а, р)— определитель
двухпараметрического семейства экстремалей (57.2), трансверсально
пересекаемого поверхностью 8 и содержащего экстремаль Е12 для
значений параметров а,, рх. Точки на Е12, соответствующие нулям
определителя Д {х, аи рх), называются фокальными точками
поверхности 8 на кривой Е12. Как мы видели в § 13, эти точки будут,,
вообще говоря, точками касания Ei2 с огибающей поверхностью
семейства (57.2).
Нетрудно видеть, что фокальные точки поверхности S не зависят
от выбора параметрического представления 8. Действительно, если
в функциях (57.1), определяющих 8, параметры а, р заменены
функциями a (f, 8), Р (?, 8) двух новых параметров, то семейство (57.2)
преобразуется в семейство с теми же свойствами. Определители
А (х, а, р) и А (х, -f, 8) этих двух семейств отличаются лишь
множителем, не обращающимся в нуль и не зависящим от х.
Из доказательства теоремы 13.2 видно, что, за исключением
особых случаев, фокальной точке на экстремали Е12 соответствует
однопараметрическое семейство экстремалей, содержащееся в
семействе (57.2), огибающая которого касается Е12 в фокальной точке.
Теорема 10.2 об огибающей применима к этому семейству, и из
доказательства условия Якоби в § 10 вытекаем справедливость
следующего утверждения.
Теорема 57.2. Условие о фокальных точках. Говорят,
что неособая экстремаль Е]2, трансверсально пересекаемая не-
особой поверхностью 8 в точке ли не касающаяся S в точке 1,
удовлетворяет условию о фокальных точках, если на 2?12 мео/сду
точками 1 и 2 нет фокальных точек поверхности 8. Для задали
этого параграфа всякая неособая реализующая минимум кривая
долоюна удовлетворять условию о фокальных точках.
Дл^[ доказательства этой теоремы указанным выше способом
приходится ввести такие же ограничения, какие вводились нами при
соответствующем геометрическом доказательстве условия Якоби для
случая неподвижных концов. Однако, как и в случае неподвижных
концов, эта теорема может быть доказана с большей общностью,
веди использовать теорию второй вариации. Такое доказательство
будет приведено нами в § 60 для более общих вариационных задач.
Достаточные условия минимума для рассматриваемого типа задач
легко вывести из результатов § 16 и 19. Мы будем обозначать здесь
римской цифрой 1 необходимое условие § 6 с добавленным к нему
условием трансверсальности (теорема 57.1). Это объединение условий
оправдывается тем, что два аналогичных условия для более общей

182
Гл. VI. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
задачи Больца, которая будет рассмотрена во второй части этой*
книги, доказываются совместно, и их совокупность представляет
собой известное правило множителей. Как и в § 16, символы П#
и ПГ будут обозначать усиленные условия Вейерштрасса и Ле-
жандра, а символ IV'—условие о фокальных точках, усиленное
добавочным требованием, что и точка 2 на Е12 не является
фокальной точкой S. Достаточные условия минимума можно теперь
сформулировать следующим образом.
Теорема 57.3. Пусть Е12— допустимая, не имеющая
угловых точек кривая, пересекаемая неособой поверхностью S в
единственной точке 1 и не касающаяся поверхности S. Если Е12
удовлетворяет условиям I, ПГ, IV7 этого параграфа, то
существует такая окрестность Вх множества значений (х, у, z, у', я'),
соответствующих Ei2, что для любой допустимой кривой С32,
лежащей в Ви соединяющей S с точкой 2 и не совпадающей с Е{2,
выполняется неравенство I(G^) > 1(Е12). Если неособая кривая Е12
удовлетворяет условиям I, П#, IV7, то существует такая
окрестность F множества точек (х, у, я) кривой Е12, что приведенное
выше неравенство имеет место для любой допустимой кривой С32,
лежащей в F, соединяющей S с точкой 2 и не совпадающей с Е12.
Для доказательства этого- утверждения заметим, что из
условий I, ПГ вытекает, как и в случае закрепленных концов, что Е12
является неособой экстремалью и, следовательно, содержится в двух-
параметрическом семействе экстремалей (57.2), трансверсально
пересекаемых поверхностью S. Определитель Д(#, а1% (Jj) этого семейства
отличен от нуля не только в точке 1, но и во всех точках Е12,
ввиду того что поверхность S, как следует из условия IV7, не имеет
на Е12 фокальных точек. Для достаточно малых © экстремали
семейства, соответствующие значениям
хг — е<х<х2-{-е, |а— ах | < s, |р — Рх | < г,
однократно покрывают открытую область Fпространства ху#. В самом,
деле, йикакие две из этих экстремалей, как видно из
рассмотрений § 15, не могут пересечься, если е достаточно мало. Далее, из
теоремы о неявных функциях, примененной к уравнениям
у = у(х, а, р), z = z(x, а, р),
следует, что любая точка (х, у, я), через которую проходят
экстремали семейства, имеет окрестность, которая покрывается
экстремалями, так что F есть (открытая) область. Для достаточно малых е
ни одна из экстремалей не может пересекать S более чем в одной
точке, ибо, по предположению, для Е12 это требование выполнено.
В силу теоремы 20.1, область F является полем с функциями наклона
семейства, так как экстремали семейства трансверсально
пересекаются поверхностью S,

§ 58. ЗАДАЛИ С ОДНИМ ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ НА. КРИВОЙ Х83
Интеграл Гильберта I* с функциями наклона^ (х, у, г), q(x,y, 2)
поля равен нулю для всякой кривой L на трансверсальной
поверхности S, расположенной в поле F.
Для любой допустимой кривой С32, соединяющей в поле F
поверхность S с точкой 2, имеет место формула
(57.3) I(Cea) — 1 (Е12) = JE(x, у, в, р} q, y'y z') dx,
аналогичная формуле 19.1. Действительно, если i13 — кривая на #,
соединяющая точки 1 и 3, то из свойств инвариантного интеграла I*
поля следует
ЦСЪ2) -I (Ei2) = 1 (С32) —I*{EtJ = 1(С32) -!*(£« +С32) =
= 1(а32)-1*(С32),
так как l*(i13) = 0. Подставив интегралы 1(С32) и 1*((732) в
правую часть последнего уравнения, получим формулу (57.3). В
остальном доказательство достаточного условия сводится к повторению
рассуждений в доказательствах теорем 16.1 и 16.2.
§ 58. Трехмерные задачи с одним подвижным концом на
кривой. Задача, нахождения минимума интеграла I в классе дону-
стимых- кривых, соединяющих данную кривую L с данной точкой 2
в пространстве xyz, изучалась Блиссом и Мейсном1} для случая
параметрического задания. Теория этой задачи сложнее, чем теория
задачи предыдущего параграфа, так как двухпараметрическое
семейство экстремалей, пересекаемых трансверсально данной кривой L,
не является однократным покрытием окрестнрсти L, а именно через
точку на L проходит более одной экстремали семейства.
Приводимый ниже метод, предложенный Хэстенсом и совершенно отличный
от методов Блисса и Мейсна, приложим к непараметрическому
случаю. В нем используются результаты предыдущего параграфа,
полученные для задачи с одним подвижным концом на поверхности.
Для развития теории рассматриваемой здесь задачи покажем так
же, как в предыдущем параграфе, что кривая, которая даёт минимум,
должна удовлетворять условиям I, II, III, сформулированным раньше
в этой главе. Требование трансверсальности, входящее в условие I,
вытекает из теоремы 57.1, в формулировке и доказательстве кото-
рой надо заменить поверхность 8 кривой Z. Предполагается, что
кривая L задается функциями
6(а)>Ч(а), С(«), (с/<«<«"),
tf Bliss and Mason, The Properties of Curves in Space "Which Mini-
mizea, Definite Integral, Transactions of the American Mathematical Society,
IX (1908), 440—466; Fields of Extremals in Space, там же, XI (1910), 326—340,

184
Гл. VI. ЗАДАЧИ О ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
обладающими непрерывными производными третьего порядка,
причем L не пересекает сама себя и не имеет особых точек.
Для формулировки условия IV этой задачи с первым подвижным
концом мы предположим, что рассматриваемая кривая Е12 является
неособой экстремалью, трансверсально пересекаемой кривой i, так
что в точке 1 пересечения Ei2 с L выполняется соотношение
(58.1) (f— y'fy, — *?„) К + f,,iy + frC, = О.
Предположим, далее, что функция f не равна нулю для элемента
(#> У, я* у\ #'), принадлежащего кривой 2£12, в точке 1. Из этого
условия вытекает, что кривая 2 не касается Е12 в точке 1, так
как из соотношения (58.1) рытекало бы, в случае совпадения
прямых с направлениями 1: у': zr и ?а : г\а: С«, что f= О в точке 1.
Рассмотрим теперь двухпараметрическое семейство экстремалей
(58.2) у(х% а, р), в(х, а, 0),
содержащее кривую Е12 для а^ООз» а = «о» Р = Ро» такое, что
каждая экстремаль семейства трансверсально пересекается кривой L
в точке экстремали, соответствующей значению х = 5(a). Если
определитель А (%, а, р) = уа£Гр — у^ семейства не равен тождественно
нулю на Ei2, то точки кривой 2£12, соответствующие нулям
определителя Д(#, а0, р0), отличным от хи называются фокальными
точками кривой L на Е12. Легко видеть, что условие о фокальных
точках теоремы 57.2 имеет место и для рассматриваемой задачи,
если в ее формулировке и доказательстве заменить поверхность S
на кривую Z.
Для доказательства существования семейства экстремалей (58.2),
трансверсально пересекаемого кривой L и удовлетворяющего
сформулированным выше требованиям, рассмотрим направление I: т : п,
трансверсальное к кривой Е12 в точке 1 и не лежащее в плоскости,
определяемой касательными к L и Е12 в этой точке. Уравнения
(ы Ъ —Ж* + «Ъ + Лш = О,
{ } — JK + wn + w = p — р0,
в которых ро есть произвольное постоянное, а аргументами
функции Гамильтона Л являются (х, у, #, ад, v) = [S (a), tj (a), С (a), w, t?],
аналогичны уравнениям (20.7), в которых переменные х, у, #, у', z'
заменены каноническими переменными х, у, #, и, v. Они имеют
частное решение (а, р, и, v) = (aQt р01 «ь ^), где ut и f?t —
значения fyf и /^ в точке 1 кривой Е12. Для этого решения
функциональный определитель левых частей уравнений (58.3) по uf v равен
1 К i \
*' С» » I
(58.4)
т —у 'I
п — г'1

§ 68. ЗАДАЛИ С ОДНИМ" ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ НА КРИВОЙ 185
так как на экстремали Е12 имеем у' = Ни, z' — Hv. Последний
определитель не равещ нулю в точке 1, так как в этой точке
отношения (1: у': #'), (£а : тг)а : Са), (1:т:п) определяют некомпланарные
направления на основании сделанного выше предположения.
Следовательно, уравнения (58.3) имеют такое решение м(а, р), v(a, Р),
обладающее непрерывными производными второго порядка в
окрестности значении, («0, р0), что и (<х0, ро) =* ии v (<х0, ро) = vt. Семейство
экстремалей, получаемое подстановкой начальных значений £(<х),
i\(a)f £(а),^(ос,.р), v(a; р) в уравнения (27.4), является двухпара-
метрическим семейством (58.2), экстремали которого трансверсально
пересекаются кривой L для значений х = 5(a).
Докажем теперь, что если условие Лежандра III выполнено для
начальной точки 1 неособой экстремали Е, то ее определитель
Д(#, сг0, р0) для семейства (58.2) равен нулю при x = xv но не
равен нулю вблизи xv так что на Е12 вблизи точки 1 не существует
фокальных -точек кривой X, определяемых этим семейством. Заметим,
что вдоль кривой L выполняются соотношения
(58.5) ч (а) = у [6 (а), а, р], С (а) = *[6 (а), а, р].
Дифференцируя их по а и р, получим, что в точке 1
У* = -П* — У% = си #$ = 0,
z« = Za— г\ = с2, 0$ = О,
где с% и с2 введены для краткости записи. Разлагая по формуле
Тэйлора у$ и 0$ в определителе Д(#, а0, р0), находим, что этот
определитель равен произведению (х— хг) на множитель, который
при х = хг принимает вид
(58.6)
С2 ^
Дифферендирование по р уравнений (58.3), в которые подставлены
их решения w(a, P), v(a, р), дает
СЛ* + с№ = °> (т — ff«9 **? + (*—#Л V= J •
Отсюда видно, что производные щ, v$ одновременно в нуль не
обращаются и определитель (58.6) равен щур-^-vffi с точностью до
множителя, не равного нулю. Но
«(*, P)=/V {*(«), ч(«). с(«). у'№(«). «, PL *'[*(*). «, р]};
подобное же соотношение имеет место и для v. Поэтому
(58Л) Vi+Vi-W^+^.^+^v'?-,

186
Гл. VI ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Так как щ, v$ не равны одновременно нулю, то последнее
выражение отлично от нуля, ибо 2?12—неособая экстремаль и
условие III выполняется, по предположению, в точке 1. Очевидно,
определитель Д(#, а0» Ро) равен нулю для х = хг и отличен от нуля
всюду вблизи этого значения.
Следует заметить, что предположение о том, что условие Ш
выполнено в точке 1 кривой JE12, не является необходимым для того,
чтобы определитель Д (#, а0, р0) не обращался в нуль вблизи х = xv
Достаточно предположить трлько, что выражение (58.7) отлично от
нуля в точке 1.
Следующая теорема аналогична теореме 57.3.
Теорема 58.1. Пусть Е12— такая допустимая кривая без
угловых точек9 пересекаемая в единственной точке 1 неособой
кривой Ъ, что подиптегральная функция f не равна нулю в точке 1
на Еп. Тогда условия I, ПГ, IVх этой главы достаточны для
того, чтобы интеграл I (Е12) был слабым относительным мгши-
мумом в классе допустимых кривых, соединяющих кривую L с
точкой 2, а условия I, IIn, IV вместе с условием неособенности Е12
достаточны для того, чтобы 1(ЕХ^) был сильным относительным
минимумом в том о/се классе допустимых кривых.
Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 57.3 и
следующей леммы.
Лемма 58.1. Пусть неособая экстремаль Е12 трансверсально
пересекается кривой L, в точке lu fzfzO в этой точке. Если на Е12
нет фокальных точек кривой L, то существует такая проходящая
через кривую L поверхность S, трансверсальная к Е12 и не
касающаяся ее в Мочке 1, что на Ег% нет фокальных точек
поверхности 8.
С помощью предложений § 57 легко видеть, что из этой леммы
вытекают утверждения теоремы. В самом деле, из теоремы 57.3
следует, что кривая Е12 будет давать минимум I в классе
допустимых кривых, соединяющих поверхность S и точку 2, и,
следовательно, также в классе допустимых кривых, соединяющих кривую L
с точкой 2.
Для доказательства леммы рассмотрим функции А (а, р), В (а, (3),
С(а, р), определяемые формулами
в которых I, m, n — значения, встречавшиеся нам в
уравнениях (58.3), а аргументы в Ни, Hv, f соответствуют решению-
и (а, (3), г; (а, {3) этих уравнений. Поверхность, определяемая функ-

§ 68. ЗАДАЛИ С ОДНИМ ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ НА КРИВОЙ 187
циями
р
?оК Р, *) = *(«) + * J^(«, Р)*Р.
Ро
р
(58.8) чо (а, р, е) = у, (а) + е J Б (а, р) яф,
Ро
Р
Со(*. Р> з)=С(а) + е|С(а, Р) dp,
Ро
имеющими непрерывные производные второго порядка по а, р, е,
проходит через кривую Z, уравнения которой получаютси из
уравнений поверхности при Р = р0. Легко убедиться, что эта
поверхность не имеет особых точек вдоль кривой L, если ефО.
Уравнения
(Ь'} —HA+uB+vC=0
с аргументами (х, у, я, и9/ v) = (?0, у\0, t0, и, v) эквивалентны
уравнениям (58.3), если е = о. Поэтому они имеют начальное
решение (ос, Р, е, и, «;) = [а, р, О, и(<х, Р), v (a, P)], для которого функг
циональный определитель левых частей этих уравнений по
переменным и, v равен определителю (58.4) и не обращается поэтому
в нуль в окрестности значений (а0, ро). Следовательно,
уравнения (58.9) имеют решение и (а, р, е), г;(а, р, г), обладающее
непрерывными производными второго порядка,, которое для е = о
превращается в решение и (a, p), v{a, p) уравнений (58.3). Если
принять функции этого решения и значения S0, т)0, С0 из (58.8)
за начальные значения {х, у, г, и, v) = (х0, а, Ъ, с, d) в
функциях (27.4), то определится трехпараметрическое семейство
экстремалей
(58.10) Y(x, a, p, s), Z(x, а, р, е).
Если е = о, то экстремали этого семейства. трансверсально
пересекаются поверхностью (58.8) при # = S0(a, p, е) ввиду
соотношений (58.9), в которых
Если же е=£0, то это семейство содержит семейство (58.2),
экстремали которого трансверсально пересекаются кривой L для # = (-(а).
Ввиду этого
, Ш Г^' «, Р> e) = Y)0(a, p, e), Z&, а, р, в)-Со (в, Р, t),
1 *' ' Г(#, а, р, 0) = г/(#, а, р), Z(x, а, р, 0) = *(#, а, р).

188
Гл. VI. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Определитель Д(#, а,_р, в)=зЦ—Y$Za семейства (58.10) можно
представить в виде
(58.12) Д(#, *0, р0, e)==A(a?, e0, %, 0) + еД8(#, а0, ро, в.)
(О < в < 1),
где первый член есть соответствующий определитель семейства (58.2)
и, следовательно, не обращается в нуль на интервале хх < х <; х2
ввиду выполнения условия IV7. Дифференцируя первые два
уравнения (58.11) и используя соотношения (58.8), можно, далее,
показать, что Д8(#1, «о* $о> °) равен определителю (58.4), который
не равен нулю. Следовательно, существуют такие положительные
постоянные h, Jc, что определитель Д. fa?, а0, [30, 66) будет отличен
от нуля для a?j<><а?! + ** 0<|е]<&. Таким образом, если
выбрать е так, чтобы было 0 < | в | < Jc и выражение еДе на
интервале tfjOOi + fe имело тот же знак, что и Д(#, а0, [30> 0), то
выражение (58.12) не будет обращаться в нуль на интервале
a?iO<#i-f-b; оно будет отлично от нуля на полном интервале
х\ -С % <^ х2> если выбор е ограничить еще тем условием, чтобы на
интервале я?г + А <; я? <[ я?а абсолютная величина второго члена
в (58.12) была меньше абсолютной величины первого. Это
доказывает лемму 58.1, а вместе с тем и теорему 58.1.
Метод, примененный Мейсном и Блиссом для рассмотрения
вариационной задачи с одним подвижным концом щ кривой L, состоит
в изучении свойств полей, покрываемых двухпараметрическим
семейством экстремалей, трансверсально пересекаемых кривой L, т. е.
таких полей, которые на кривой L не покрываются семейством
однократно. Существенной частью изложенного в этом параграфе
метода является построение поверхности S, проходящей через
кривую L, трансверсальной к экстремали Ei2 и не имеющей на Е12
фокальных точек. В следующих параграфах дана более общая теория
вариационных задач с подвижными концами, основывающаяся на
теореме Хана. Эта теория применена также к частным случаям
таких задач, рассмотренным в этом и предыдущем параграфах.
§ 59. Более общая задача с подвижными концами. Задача,
которую мы рассмотрим в этом и следующих параграфах,
формулируется таким образом: в классе допустимых кривых yt (x) (х^х^х^ч
t=»l,...,»), концы которых хи у(хг), х2, у(х2) лежат в г-мер-
ном подпространстве S 2 (»-{-1)-мерного пространства (хи у^, х2, у<2),
найти кривую Е12, которая дает минимум функции от кривой более
общего вида, чем интеграл I в (35.1). Подпространство 8 можно
задать функциями вида
(59.1) xs(tit ..., g, yis(tv ..., Q (s = l, 2; г<2и + 2),
где параметр t= (tt, ..., tr) пробегает ограниченное замкнутое
множество Т точек t. Мы предположим, что функции (59.1) имеют

§ 59. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ЗАДАЛА. С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
189
непрерывные производные третьего порядка на множестве Т и что
поверхность 8 не имеет особых точек и не пересекает сама себя.
Таким образом, рассмотренная ранее задача обобщена на
(^-}-1)-мерное пространство. Можно еще обобщить нашу задачу,
добавляя к интегралу I функцию от координат концов, так что
функционал, минимум которого надо найти, будет иметь следующий вид:
J*F9\xu tf(*i)« xv У(х2)]+ $ f(x> У> y')d%.
Наиболее общая из изученных до сих пор вариационных (задач без
дифференциальных условий была формулирована Больца^ именно
таким образом. Так как в подпространстве (59.1) функция д
зависит от /, то можно записать J в виде
(59.2) J-fW + JVfo у, у')йх.
Задача состоит тогда в том, чтобы в классе допустимых кривых
Vi 0*0 (xi ^С х ^ хъ\ * = 1> • • • > п)> удовлетворяющих концевым
условиям
(59.3) xs = xs(t), ft Ю =■&,(*) (* = 1, 2; i=l, ..., n)
для значений t из T, найти такую кривую, для которой сумма (59.2)
принимает наименьшее значение. Выражение (59.2) для J было
предложено Морсом2). В некотором отношении оно более удобно,
так как присоединенная задача о минимуме записывается сразу
в таком же виде. Это будет отмечено в одном из следующих
параграфов. '
Так как, по предположению, подпространство 8 не пересекает
само себя, то допустимая кривая С, имеющая концы на S,
однозначно определяет значение t, соответствующее ее концам. Поэтому
величина 1(C) суммы (59.2) однозначно определяется кривой С.
I (С) есть функция, минимум которой требуется найти. Как и раньше,
рассмотрим некоторую допустимую кривую Е12, концы которой
лежат на 8. Для удобства примем, что концам этой кривой
соответствуют значения параметров th = О (h = 1, ..., г). Предположение,
что на 8 нет особенностей, равносильно тому, что матрица
производных от функций (59.1) по переменным th имеет всюду на Т
ранг Jc. Предполагается также, что функция д имеет непрерывные
*) BoLza, Uber den anormalen Fall beim Lagrangeseben und Maver-
scben Problem mit gemischten Bedingungen undvariablen Endpunkten, Mathe-
matische Annalen, LXXIV (1913), 430—446.
2) Mors, Sufficient Conditions in the Problem of Lagrange with Variable
End Points, American Journal of Mathematics, LIU (1931), 517—546.-

190 Fa vi. задачи с подвижными концами
вторые производные на Т. Так как концы любой допустимой
кривой, соединяющей концы кривой Е12, лежат на S, то ясно, что,
для того чтобы кривая Ei2 давала минимум, нужно, чтобы она
удовлетворяла всем необходимым условиям для рассмотренной в гл. IV
задачи с закрепленными концами. Более точно: кривая, которая
дает минимум, должна удовлетворять условию I § 35, а также
и условиям II и III Вейерштрасса и Лежандра. Кроме того, если
Еп— неособая, дающая минимум кривая, без угловых точек, то
она является экстремалью, на которой между точками 1 и 2 нет
точек, сопряженных с точкой 1.
Неособая экстремаль 1?12 может быть включена в 2
га-параметрическое семейство экстремалей у (х, а, Ъ) вида (36.1), обладающее
указанными в теореме 7.1 свойствами. Очевидно, что если
кривая 251а дает минимум, то значение J(t, а, Ъ) суммы J,
вычисленное для экстремали у (х, а, Ъ), где #i(0O<#2(0> должно иметь
минимум при значениях (t, а, Ь) = (0, а0, Ъ0), соответствующих
кривой Е12. Здесь, конечно, предполагается, что (t, а, Ъ)
удовлетворяют условиям
(59.4) y<[*e(0t а> Ч — Visty (5 = 1, 2; г = 1, ..., п).
Задача определения минимума так называемого интеграла от экстре-
малей J(t, а, Ъ) есть, очевидно, задача о минимуме функции
конечного числа переменных.
Если концы неосоВой экстремали не сопряжены друг с другом,
то функциональный определитель уравнений (59.4) по
переменным аь hi для начального решения (0, а0, Ъ0) равен
определителю D (#2, хи а0, Ъ0) в формуле (36.7) и отличен, следовательно,
от нуля. Поэтому уравнения (59.4) определяют функции а{ (t), Ъг{(),
имеющие непрерывные частные производные второго порядка в
окрестности значения t = О и удовлетворяющие условиям ai (0) = aiof
bf(0) = bio. Функции
(59.5) Y{ {xt t) = Vi [x, a (*), Ъ (t)] [xt (t) < x < x2 (*)]
определяют теперь г-параметрическое семейство экстремалей,
содержащее кривую Е12 при t = О, все экстремали которого имеют концы
на S, как видно из (59.4). Ввиду только что сказанного ясно, что
функция
(59.6) J(t) = J[t, а (0, 6(0],
должна иметь минимум J"(0), если кривая Е12 реализует минимум
интеграла J".
§ 60. Достаточные условия в случае более общей задачи
с подвижными концами. Целью настоящего параграфа является
формулировка достаточных условий и их доказательство для задачи
с подвижными концами § 59. Доказательства имеющихся здесь
теорем основаны на важной вспомогательной теореме, полученной

§ во Достаточные условия для более общей задачи
191
Ханом1}. Мы рассматриваем экстремаль Е0 в пространстве (ху),
которая включена в r-параметрическое семейство экстремалей (59.5).
Теорема, которая должна быть доказана, применяется к семействам
частного вида, рассмотренном в предыдущем параграфе. Однако
она применима и к другим семействам экстремалей, зависящим от
произвольного числа параметров и обладающим аналогичными
свойствами непрерывности. Теорема эта формулируется следующим
образом.
Теорема 60.1. Теорема Хана. Пусть неособая
экстремаль Е0 содероюится при значениях параметров th=0 (h=l, .. -,r)
в r-параметриче'ском семействе экстремалей (59.5), принадле-
о/сащем к типу семейств, описанных в предыдущем параграфе.
Пусть на Е0 нет точек, сопряоюенных с ее начальной точкой.
Пусть, наконец, Е$ удовлетворяет усиленному условию Вейер-
штрасса Iljy. Тогда существуют такие постоянная е>0 и
окрестность F кривой Е0 в пространстве (ху), что для любой экстре-
мали Е семейства (59.5), соответствующей значениям
параметров, удовлетворяющих неравенствам \ \h \ < г, выполняется
неравенство I (С) >I (Е), где С — любая допустимая кривая,
лежащая в окрестности Ъ, соединяющая концы кривой Е и не
совпадающая с Е.
Если Е0 удовлетворяет условию Ш вместо П#, то существуют
такие постоянная е > 0 и окрестность Вх мнооюества элементов
ix> У, у')кривой Е0, что сформулированное выше утверждение
остается справедливым, если в нем заменить F на Вг и
пространство {х, у) на пространство (х, у, у').
При доказательстве этой теоремы удобно пользоваться
каноническими переменными х, эд, ei = fyv По теореме включения § 38,
неособая экстремаль Е0 содержится в 2 ^-параметрическом семействе
экстремалей
(60.1) у{(х, а, Ъ), е4(х, а, Ь),
где постоянные aitb{ суть начальные значения переменных yit zt
на кривой Е0 в точке -х = х0. Так как на Е0 нет точек,
сопряженных с начальной точкой, то, как видно из § 23 и 39, существует
сопряженная система решений %& (х), С$& (х) присоединенных
канонических уравнений, для которых 14\ik (х) | ф О на интервале
#xO<>2, соответствующем Е0. Функции (60.1). и функции
(60.2) а, = Yi (х0, 0 + Yja (x0) ak, Ь< *= Z€ (x0, t) = С« (х0) <хк
определяют тогда (г -\-п) -параметрическое семейство экстремалей
(60.3) & = «/<(*, t, a), *« = *<(*, t, а),
И Hahn, Uber Variationsprobleme mit variablen Endpunkten, Monats*
hefte fUr Mathematih und PhysiJc, XXII (1911), 127—136.

192
Гл. Yt ЗАДАЛИ О ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
содержащее семейство (59.5) при а = 0. Семейство (60.3) содержит
кривую Е0 и при значениях (%> t, а), удовлетворяющих условиям
tfiOOa*** —°» 4=0. Производные у<ч. zi4 равны т\ш Ъп
при # = #0 и вдоль Е0, удовлетворяют присоединенным
каноническим уравнениям (39.12). Следовательно, вдоль Е0 они равны %ь
tik для всех значений х, и мы имеем \Уцн\ — \ч11к\фЪ вдоль Е0.
Из теоремы о неявных функциях следует, далее, что первые п
уравнений (60.3) имеют*решение <*к(х, у, t), обладающее
непрерывными вторыми производными для тех точек (х, у, t), для:
которых (х, у) лежит в окрестности F кривой Е0 в пространстве (х, у),
a |^|<s> где F и е достаточно малы. Функции
(60.4) р4(х, у, l) = y'.[x, U а(х, у, /)]
суть функции наклона семейства.
Как следует из результатов § 37 при фиксированном t,
удовлетворяющем условию |<jO, область F с функциями наклона (60.4)
являемся полем. Действительно, на гиперплоскости х = х0 подинте-
гральное выражение fytAyi интеграла Гильберта I* равно сумме bidai.
Но из (60.2) и соотношений
^НтЛп—W^ = 0,
выражающих сопряженность присоединенных экстремалей r\i7e> Q*,
имеем
М*< = [Zi (х0> О + С« (%) аъ) Пи Оо) dH =
== d \Zi (х0, t) ч\и (х0) аг + j Сл (#о) Пи (хо) *Л ] •
Интеграл Гильберта не зависит, таким образом, от пути на
гиперплоскости х = х0, а следовательно, и во всей области F.
Как утверждает лемма 16.1, неособая кривая Е0,
удовлетворяющая условию П#, удовлетворяет'и условию • И#, т. е. для всех
значений (х, у, р, у'), для которых {х, у, р) лежит в N, а (х, у, у') —
допустимый элемент, отличный от (х, у, р), выполняется
неравенство
(60.5) Е[х, у, р {х, у, О, У'] > 0.
Если область F и постоянную е, выбранные нами выше, еще далее
уменьшить подходящим образом, то неравенство (60.5) будет
выполняться для всех {t, х, у, у'), для которых (х, у) лежит в F,
|<УО и (х/у, у')ф(х, у, р) есть допустимый элемент. Первое
утверждение теоремы 60.1 следует теперь просто из основного
достаточного условия, сформулированного в теореме 19.2.
Пусть теперь экстремаль Е0 удовлетворяет условию III. Тогда Е0
удовлетворяет также условию ПГ, ибо она является неособой.

§ 60. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ
О помощью следствия 9.1, обобщенного на (ю + 1)-мерный случай,
можно заключить далее, что существуют окрестность В{ множества
элементов (х, у, у') кривой Е0 и постоянная е>о такие, что
неравенство (60.5) имеет место при (х, у, у')ф(х, у, р) из Вг
и 1^1<8- Тогда при любом фиксированном t, удовлетворяющем
предыдущим неравенствам, область F с функциями наклона^ (х, у, t)
является полем, к которому можно применить теорему 19.2, если
допустимыми элементами считать внутренние элементы Вг. Тем
самым доказано второе утверждение теоремы 60.1.
Применяя теорему Хана, мы сможем доказать следующие
достаточные условия сильного и слабого минимумов для задачи
с подвижными концами, сформулированной в § 59.
Теорема 60.2. Пусть Е0— допустимая кривая без угловых
точек, с концами в подпространстве 8, не имеющая других общих
точек с 8.
Если Е0 удовлетворяет достаточным условиям сильного
относительного минимума для задачи с закрепленными концами,
то она содержится для t = 0 в r-параметрическом семействе (59.5)
экстремалей, концы которых лео/сат в 8. Если, далее,
функция J{t) в (59.6), т. е. значение J — g-\-I на этих экстремалях,
имеет относительный минимум при t = 0, то J (E0) есть
сильный относительный минимум в следующем смысле: в
пространстве (х,у) существует такая окрестность F кривой Е0, что
для всякой допустимой кривой С, лежащей в F, концы которой
леоюаШ в S, выполняется неравенство J (G)^>J(E0).
Если Е0 удовлетворяет достаточным условиям слабого
относительного минимума для задачи с закрепленными концами, то
высказанные выше утверждения сохраняют силу, если заменить
в ниЬо слово «сильный» на «слабый», а «окрестность F» — на
«окрестность Вг» мнооюества элементов (х, у, у') кривой Е0.
Для доказательства заметим сначала, что если Е0 удовлетворяет
достаточным условиям относительного минимума для задачи с
закрепленными концами, то, как следует из рассмотрений
предыдущего параграфа, Е0 содержится в семействе экстремалей (59.5),
как утверждается в теореме, и, следовательно, удовлетворяет
условиям теоремы Хана.
Покажем, далее, что для любого заданного положительного е
можно подобрать окрестность F кривой Е0 таким образом, чтобы
для любой допустимой, лежащей в F, кривой С, концы которой
лежат в S, значения параметров th, соответствующие концам этой
кривой, лежали в s-окрестности значения *л = 0. Допустим, что
это не так. Тогда существует такое г > 0, что всякая
окрестность (Е0)1/т содержит допустимую кривую Ст с концами в
подпространстве 8, для которой значение параметра (t)m,
соответствующего ее концам, не лежит в открытой окрестности |th|<е.

ш
Гл. VI. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Множество точек (t\m имеет предельную точку, лежащую вне
окрестности | th | < s, причем соответствующая ей точка 8 должна,
конечно, лежать на Е0, так как окрестности (Е0)1/т стягиваются
к Е0. Это, однако, противоречит предположению о том, что Е0
не имеет общих точек с S, за исключением своих концов, которым
соответствуют ^ = 0.
Для завершения доказательства первой части теоремы подберем
величину е>Ои окрестность Г< так, как это было сделано в
доказательстве теоремы Хана. Очевидно, что F и е можно уменьшать.
Мы можем поэтому выбрать е настолько малым, чтобы J"(0) было
минимумом J (0 в окрестности | th | < г. Далее, можно к этому е
подобрать соответствующее ^так, чтобы выполнялись доказанные
выше свойства. Тогда для любой допустимой лежащей в F
кривой С с концами в S, которым соответствуют значения
параметров th, имеем
J(C)-J(E0) = [J(C)-J(t)] + [J (0-J(0)] =
= [I(O-I(t)] + [J(t)-J(0)].
По теореме Хана первая разность в правой части положительна;
если только С не совпадает с экстремалью Et семейства (59.5),
имеющей те же концы, что и С. Вторая разность неотрицательна,
так как J (0) есть минимум, а если J (0) — строгий минимум,
то она положительна, за исключением случая, когда Et совпадает
с Е0. Таким образом, первая часть /георемы доказана. Вторая
часть теоремы доказывается таким же способом.
§ 61. Условие трансверсальности. Целью этого и следующего
параграфов является вывод необходимых условий минимума для
общей задачи с подвижными концами, сформулированной в § 69,
которые оказываются и достаточными условиями минимума, если
их несколько усилцть. Эти условия вполне аналогичны условиям,
полученным в этой и предыдущих главах. Доказательство
достаточности соответствующих усиленных условий опирается на
теорему 60.2.
Первое из условий, которые остается нам получить,
формулируется следующим образом.
Теорема 61.1. Условие трансверсальности.
Говорят, что допустимая кривая Е12 удовлетворяет условию
трансверсальности для задачи с подвиоюными концами § 59, если
выполнено тоэюдественно относительно dth (Д = 1, .. ,,г)
соотношение
(61.1) [(/•_ y'ifyi) dx + fyi dy.)l + #— О,
где dxs, dyis (s = 1, 2) выражены черев дифференциалы dth из
условий (59.3) для концов. Другими словами, для всякого направ-

§ 62., ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ И ЧЕТВЁРТОЕ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ 1д6
ления dxs, dyi8, касательного к подпространству S в точке пере-
сечения (хи yiu х2, yi2)0 подпространства 8 и Е12, выполняется
соотношение (61.1). При выполнении этого условия мы скаоюем,
что пространство S трансверсально пересекает Е^2. В
уравнении (61.1) значения функции f и ее производных соответствуют,
конечно, концевым элементам кривой Е12. Для того чтобы
кривая давала минимум в задаче § 59, необходимо, чтобы она
удовлетворяла условию трансверсальности.
Доказательство выполняется так же, как в более простых
случаях, рассмотренных в § 57 и 58. Пусть dxs, dyis{s = \, 2) —
произвольное направление, касательное к пространству (59.1)
в точке Р, соответствующей в пространстве S точек (xs, yi8)
концам Е12. Рассмотрим в S кривую Г, заданную функциями th (и),
обладающими непрерывными производными в окрестности а = 0.
Пусть при а = 0 кривая Г проходит через точку Р и имеет
направление dxs, dyi8 в этой точке. Подставляя функции th (а) в
функции (59.1), мы найдем две кривые С и D в пространстве (ху),
определяемые функциями xs (a), yis (а), где 5 = 1 и 5 = 2
соответственно. Рассмотрим теперь семейство допустимых кривых
Уг(х, а) К(а)<^<^2(а)]»
где
Уi (#, а) = ijx (х) -j- {yix (a) — Vi [xt (a)]} х^^(а) +
+ Ы(*)-У4hWl)^|) ■
При а = 0 получается кривая Е12, определяемая функциями- yi(x).
При произвольном а _концы соответствующей кривой семейства
лежат в S. Согласно теореме 8.1, сумма J=g-\-I, вычисленная
для кривых этого семейства, есть функция параметра а,
дифференциал которой равен левой части соотношения (61.1). Таким
образом, как было доказано, этот дифференциал должен быть равен
нулю для Ei2, есйи J(E12) является минимумом*
§ 62. ^Вторая вариация и четвертое необходимое условие.
Для получения дальнейших необходимых условий минимума для
общей задачи с подвижными концами вычислим сначала значение
так называемой второй вариации суммы е7=#-{-/для кривой Е12.
Предположим, что Ei2 есть экстремаль, трансверсально
пересекаемая подпространством #. Допустим, далее, что экстремаль Ех2
содержится для значения а = 0 в однопараметрическом семействе
допустимых кривых
(62.1) у{{х, а) [хх (а)<х<х2(а)],

196 1*л vi. задачи с подвижными концами
концы которых лежат в (59.3). Последнее условие означает, что
существуют функции th(a), причем tfft(o) = 0, такие, что если
определить х8(а) первым из уравнений
(62.2) х8 (а) = х8 [I (а)], Щ [xs (a), a) = yi8 [t (а)],
то остальные уравнения превратятся в тождества. Мы будем
предполагать, что функции у€ (х, a), yix (x, a), th (а) обладают
непрерывными производными, встречающимися в следующем вычислении
второй вариации. (В доказательстве теоремы 62.1 будет
установлено существование такого семейства.)
Дифференцируя тождества (62.2) по а и полагая а = 0,
находим
(62.3) Ч<(*в) = С*лтЛ (5 = 1,2; г = 1, ..., п),
где yu(#), tn и Gi8h определены, в соответствии с обозначениями
Морса, следующим образом:
Сип = Vish (0) — Vi (х8) хвь (О) (h = 1, ..., г)
Здесь индекс, h у х8 и yis обозначает частную производную по th,
функции ifi (х) определяют кривую Е12 и суммирование по индексу s,
в виде исключения, не производится, хотя бы этот индекс и
встречался дважды. Функции г^ (х) и тЛ будут называться вариациями
семейства (62.1) на кривой Е12. Дифференциалы, соответствующие
этому семейству, связаны соотношениями
ЪУ1 = Уга(х> a)da> &Уг = Угаа(я> а) &а\
(62.4) dy^yfix + by.,
d% = У\ ^х + у", dx* + 2Ьуг. dx + Ъ%,
где символ 8 обозначает дифференциал при изменении только
параметра а, входящего явно, а символ d обозначает полный
частный дифференциал по а с учетом зависимости х от а.
Сумма J на кривых семейства (62.1) есть .функция J (а),
дифференциал которой имеет вид
^?^ = ^ (а) сга =» /" ^ 1^ + J [Г^8^ + Г^ 82/;] Ла: + ^.
Для экстремали Е12 имеем а = 0, и интеграция по частям дает
j'(0) = 0, так как эта экстремаль удовлетворяет условию
трансверсальности (61.1).

§ 62. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ И ЧЕТВЕРТОЕ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ 197
Второй дифференциал d2J= J" (0) da2 имеет вид
d4 = \fd4 + fdafi + 2fybyi dx + Щ Щ dx\l + d*g +
+ f[fyS% + fyfy'i + Z<»(*, 8</, 8y')] dte,
где 2ш — квадратичная форма (36.4). Символ f обозначает
полную частную производную функции f по х, входящему в yi (x, а),
у\ (х, а)- Интегрируя по частям первые два члена, стоящие под
знаком интеграла и исключая 8-дифференциалы с помощью
выражений (62.4), мы получим
d*J = [fd*x+(d% -у*<Рх) fyfi + <P^ +
+ [(fm-y'ifi,}** +2fydyidx]l-\-f2o>dx.
Дифференцирование тождеств (62.2) по параметру а показывает,
что при а=0
dxs = xsndih> а*х8 = xshidhdh + xshd\>
dVi = Vi8hdth> d% = yisMdthdh + yishd%-
Индексы h и l у функции д, а также у xs и ys обозначают
частное дифференцирование по th и tP Из условия трансверсальности
(61.1) и соотношения
находим, что члены й\ не входят в d2J и J" (О) равно
выражению
(62.5) J2(y), т) = ЬлЛЛ+/2да(а?, т], V)*».
где Ъы = Ъш обозначают
(62.6) bu = gu+[{f—y\fy^ xM+fyfliM]l +
+ life — y\fy) хпхг + fn (Уиьх1+Уахп)]1-
Выражение J^{y\, т) называется второй вариацией суммы J вдойь
экстремали JEJ12.
Допустимой совокупностью вариаций % (х), xh (х{ ^ х <; #2)
назовем такую совокупность, для которой величины тп постоянны,
а функции %(#) определяют непрерывную кривую в пространстве

198
Гл. VI. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
(х,ц), состоящую из конечного числа дуг с непрерывно
изменяющейся касательной. Для таких вариаций мы докажем теперь
следующее необходимое условие.
Теорема 62.1. Говорят, что экстремаль 1?12, трансверсальио
пересекаемая подпространством S, удовлетворяет условию IV,
если вторая вариация J2 (yj, t) вдоль 2£12 неотрицательна при
всех допустимых совокупностях вариаций ^(х), irft,
удовлетворяющих условию (62.3). Всякая экстремаль Е12> которая дает
минимум, трансверсально пересекается подпространством S и
удовлетворяет условию IV.
Для доказательства продолжим вариации %(#) на некоторый
интервал, содержащий интервал xt х2, так, чтобы (продолженные)
\{х) имели непрерывные производные \(%) в окрестности
значений хх и х2. Мы докажем, следуя Хэстенсу, что эти продолжения
вариаций соответствуют семейству (62.1), имеющему требуемые
для подсчета второй вариации свойства непрерывности и
дифференцируемое™. Функция J {а), соответствующая семейству, будет
иметь тогда первую и вторую производные при а = 0. Поэтому
если Е12 дает минимум, то J' (0) = 0 и J^, ^)=J//(0)>-0 и
теорема будет доказана.
Пусть v\i* (x) (v = 1,.2, ..., 2п) — функции, имеющие
непрерывные вторые производные на интервале, содержащем внутри
интервал хг х2, такие, что определитель
(62.7)
отличен от нуля. Тогда 2п уравнений
(62.8) yi8 (*) = уг [х8 (*)] + ащ [х8 (*)] + Bj\b К (01
(г=1, ..., п\ 5 = 1,2; v = l, ...,2w),
где tn = ain, линейны относительно параметров Д, и имеют
единственное решение Вч (а), причем Д, (0) = 0, так как концы Е12
лежат в подпространстве 8 при (tf)=(0). Функции Bv(a) имеют
непрерывные производные в окрестности а = 0, что легко найти
дифференцированием уравнений (62.8), причем Д(0) = 0, так как
из уравнений (62.8) (после дифференцирования) и (62.з) следует
О = — Сш%ь + \ {xs) + ч<, (*в) & (0) = ч\{, (xs) B\ (0).
При а = 0 существуют также вторые производные В"(0), что
легко доказывается дифференцированием уравнений (62.8) для
а = 0. Так как ч\'€ входят только в виде множителей при а, то это
дифференцирование возможно при а = 0д если фунвдии ^[^s(0]
имеют только первые производные.

§ 63. ДАЛЬНЕЙШИЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
199
Семейство
У г (#, я) = У г (*) + Щг (х) + В;(а) riu (w)
К(а)<ж<л;2(а)],
th(a) = а%п, х8 (а) = х8 [t (а)],
удовлетворяет (на основании уравнений 62.8) условиям (62.2) для
концов кривых и содержит i?12 , при а = О, причем ч\€ (х), %h
являются соответствующими вариациями вдоль Е^. Для него
существуют, далее, первые дифференциалы Ьу{ (х, а), встречающиеся^
в уравнениях (62.4), а также и вторые дифференциалы 82уД#, О).
Таким образом, существуют первый дифференциал dJ = J'(a)da
и второй дифференциал d2J= J" (0) da2, если предположить, что
функции
f{xs(a), y[xs(a), a], t/[xs(a), a]},
входящие в выражение для dJ, имеют производные при а = 0. Но
это действительно так, ибо первые два аргумента этой функции
имеют, очевидно, производные при а = 0, а из уравнений (62.9),
ввиду равенств В? (О) = В[ (О) = О, следует, что при а = О
^ Уг К ОО, а] = у] (xs) x8h (О) %ь + Ч; (а?в).
Как легко показать, дифференциалы функций семейства (62.9)
удовлетворяют при а = 0 также и последнему из уравнений (62.4).
§ 63. Дальнейшие достаточные условия. В настоящем
параграфе мы сформулируем необходимые и достаточные условия,
аналогичные условиям, доказанным^ в § 17 и 35 для задач с
закрепленными концами. Для упрощения формулировок мы обозначим
римской цифрой I совокупность соответствующего условия § 35 и
условия трансверсальности § 61. Эти условия сгруппированы намц
вместе, так как они, естественно, соответствуют правилу
множителей, которое будет доказано в следующей главе для более общей
задачи Больца. Легко убедиться, что для задачи с закрепленными
концами, которую можно рассматривать как частный случай общей
задачи ^подвижными концами, условие трансверсальности всегда
выполнено. Условия II, III и им соответствующие обозначают опять
те же1 самые условия задачи с закрепленными концами. Говорят,
что вторая вариация неотрицательна, если она удовлетворяет
условию теоремы 62.1, которое мы будем обозначать цифрой IV.
Говорят, что вторая вариация положительно определенна, если она
неотрицательна и обращается в нуль только тогда, когда все
вариации ^ix), zh тождественно равны нулю. Символ IV7 будет
означать условие положительной определенности J^(^, *)*
(62.9)
где

200
Гл. VI ЗАДАЛИ d ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Теорема 63.1. Длп допустимой, не имеющей угловых точек
привой 2?12, концы которой лежат в подпространстве Su у
которой пет другой пары различных или совпадающих точек,
образующих точку из S, таблица необходимых и достаточных уело*
вий минимума, приведенная в § 17, применима к задаче с
переменными концами § 59.
Содержащиеся в таблице необходимые условия были доказаны
в предыдущих параграфах.
Из того, что кривая И12 удовлетворяет условию IV этого
параграфа, вытекает, что на Е12 между точками 1 и 2 и даже в точке 2
нет точек, сопряженных с точкой 1. Действительно, если бы такая
сопряженная, точка существовала, то вторая вариация J*9(yj, x)
вдоль Е12 равнялась бы нулю при допустимых вариациях
(%> ч) — Ы> 0), где функции ^ (х) обращаются в нуль при
х = хх и х = х2, но не равны нулю тождественно; это следует из
соображений, подобных тем, которые помещены после
уравнений (11.2).
В случае задачи с подвижными концами для доказательства
справедливости достаточных условий, стоящих в последнем столбце
таблицы § 17, заметим, что (как это видно из только что
сказанного) из этих условий вытекают аналогичные условия для задачи
с закрепленными концами. Из уже доказанной теоремы 60.2
следует тогда, что интеграл от экстремали J (t) существует.
Рассуждения § 62 показывают, далее, что при (t) = (о)
dJ = dg+ [fdx]l + J [fyhjt + fjby'i] их.
где
fy* = Vithdth> 84- = Vitjfdtndti.
Интегрируя по частям и принимая во внимание условие
трансверсальности, находим, что dJ=0. Из условия JV этого параграфа
следует, далее, что квадратичная форма d2J от переменных dth
положительно определенна, так что J(0) есть минимум
функции J (t). Утверждения теоремы 63.1 следуют теперь
непосредственно из теоремы 60.2.
§ 64г. Вторая форма четвертого условия. Для того чтобы
вывести условие, которое будет рассматриваться в этом параграфе,
следует сначала сформулировать для задачи с подвижными
концами соответствующую присоединенную задачу, аналогично тому,
как это было сделано в §§ 11 и 36 для задачи с неподвижными
концами. В § 62 было показано, что вторая вариация JtfCq, т)
вдоль кривой, которая дает минимум, должна быть неотрицательна.

§ 64. ВТОРАЯ ФОРМА ЧЕТВЕРТОГО УСЛОВИЯ
201
Это наводит на мысль рассмотреть присоединенную задачу о
разыскании минимума
(64.1) J2 ft, Ч) = bhl>zh>zh+ j 2ш (х, Y|, ч') dx
в классе допустимых совокупностей вариаций ^(#), тл»
удовлетворяющих присоединенным условиям для концов
(64.2) 4i(*8) = Сшъ, #s = const (5 = 1, 2).
Эта задача в пространстве (хч\) принадлежит к тому же типу задач
§ 60, что и основная задача.
Присоединенными уравнениями являются, как и раньше,
дифференциальные уравнения (36.5) экстремалей присоединенной задачи.
Общее решение этих уравнений выражается через 2п линейно
независимых решений %v(#) (v=l, ..., 2п) следующим образом:
(64.3) ЧгО*0 = Мь(#).
Присоединенные условия трансверсальности имеют вид
(64.4) [Сш*ц (xs)]l + ЪыЧ = О.
Это—обычное условие трансверсальности (61.1), но написанное
для присоединенной задачи.
В последующих рассуждениях этого параграфа мы будем
считать, что экстремаль Е12> вдоль которой берется вторая вариация,
является неособой и пересекается подпространством S трансвер-
сально. Пусть хь выбрано йроизвольно между хх и #2. Пусть
т)^ {х9 хъ) (ji =±з 1, ..., т) — максимальная линейно независимая
совокупность ломаных присоединенных экстремалей, не имеющих
угловых точек, за исключением, может быть, точки,
соответствующей значению хъ, и удовлетворяющих условиям (64.2) для концов,
с соответствующими ^постоянными тй{х ([ь = 1, ..., т). Конечно,
такая максимальная совокупность экстремалей существует, так как
из того, что два семейства вида (64.3) непрерывны при значении х$
и удовлетворяют условиям (64.2), вытекает только система
линейных однородных соотношений для соответствующих двух рядов
постоянных Су и соответствующих одних и тех же постоянных %.
Для линейного семейства вариаций
(64.5) п, (х) = аЛ (х), %п = а^ър
вторая вариация, соответствующая кривой Е12, есть однородная
квадратичная форма
(64.6) Q{xb, a) = J2(<y*);x, а^)
от коэффициентов ар..

202
Гл. VI. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Очевидно, что квадратичная форма (64.6) должна быть
неотрицательной, если Е12 дает минимум. Эта форма обращается в нуль,
когда постоянные а^ определяют присоединенную экстремаль (64.5),
не имеющую угловых точек и удовлетворяющую условию
трансверсальности (64.4). В этом случае формула
и интегрирование по частям, а также соотношения (64.2) и (64.4)
дают
(64.7) J2 (т|, т) = Ъмх^г + [С^Ло^ (х8)]\ = 0.
Вместе с тем и Q (хд, а) обращается в нуль только для таких а^9
так как допустимая совокупность вариаций % (х), хп, обращающая J2
в нуль, дает минимум в присоединенной задаче. Так как
экстремаль Е12— неособая, то кривая % (х), соответствующая таким
значениям а^, не имеет угловых точек, является присоединенной
экстремалью и удовлетворяет присоединенному условию
трансверсальности.
Говорят, что присоединенные условия для концов (64.2)
являются сопряоюенными условиями для концов, если существует
такая допустимая совокупность вариаций i\i (Ж), %h, не равных
тождественно нулю, что она удовлетворяет этим условиям для
концов и присоединенным условиям трансверсальности, и что
кривая ?),• (х) есть присоединенная экстремаль.
Теорема 64.1. Пусть неособая экстремаль Е^ трансверсально
пересекается подпространством S и удовлетворяет условию III
Леоюандра.
Тогда, для того чтобы вторая вариация J2(?i, ?) вдоль Е12
была неотрицательна, необходимо и достаточно, чтобы она была
неотрицательна на всех присоединенных экстремалях, имеющих
каоюдая не более чем одну угловую точку и удовлетворяющих
присоединенным условиям (64.2) для концов, и чтобы она обра-
гщлась в нуль только для не имеющих угловых точек
экстремалей, удовлетворяющих присоединенным условиям (64.2) для
концов и условию трансверсальности (64.4). Эти. требования
эквивалентны тому, что для всякого хь, лежагщего между xt и х2,
квадратичная форма Q(xs, а) в (64.6) неотрицательна и
обращается в нуль только тогда, когда постоянные а^ определяют
экстремаль (64.5), без угловой точки, удовлетворяющую
присоединенным условиям для концов и присоединенному условию
трансверсальности.
Для того чтобы вариация J2 (tq, t) была положительно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись
сформулированные выше требования и% кроме того, уславия для кон-

§ 64. ВТОРАЯ ФОРМА ЧЕТВЕРТОГО УСЛОВИЯ
203
цов не были српряэюенными. Это означает, что положительная
определенность вариаций J2 (i\, т) эквивалентна положительной
определенности Q (#3, а) при всяком х3 между X* U Хп»
Необходимость условий теоремы следует из приведенных выше
рассуждений.
Для доказательства их достаточности заметим, во-первых, что
если на экстремали Е12 между точками 1 и 2 есть сопряженная
с 1 точка, то вторая вариация обращается в нуль для вариаций
hiOp). тл1 = fo< (#)» °L Для которых ч\{(х) определяет ломаную
экстремаль с одной угловой точкой. Это 'немедленно вытекает из
рассуждений, аналогичных тем, которые следуют за уравнениями
(11.2). Эта ломаная экстремаль будет удовлетворять условию (64.2)
ПРИ 4 = 0, что противоречит предположениям обеих частей
теоремы о том, что Q(x$, а) обращается в нуль только для значен
ний а, определяющих неломаные экстремали, удовлетворяющие
присоединенным условиям для концов и условию трансверсальности.
Таким образом, на экстремали Е12 нет точки, сопряженной с
точкой 1. Аналогично доказывается, что на JE12 между точками 1 и
2 не существует точек, сопряженных с точкой 2. Рассмотрим
теперь произвольную допустимую совокупность вариаций тгц(#),тл,
.удовлетворяющую условиям (64.2) для концов. Пусть хъ лежит
между xt и х2. Концы кривой ч\€{х), рассматриваемой на
интервале #i#3, могут быть соединены присоединенной экстремалью, так
как хх и хь не сопряжены; то же относится к концам v\i(x) на
интервале хъх2. Каждая из этих экстремалей дает интегралу в
формуле (64.1) значение не большее, чем то, которое дает
соответствующая дуга кривой f\i(x), что легко вывести из теоремы для
(п 4- 1)-мерного пространства, аналогичной теореме 23.3.
Следовательно, ломаная экстремаль, составленная из этих двух
экстремалей с соответствующими постоянными тл, дает интегралу J"2
значение, не большее, чем' то, которое дает совокупность т^ (х), ihf
причем это значение неотрицательно ввиду предположенной
неотрицательности формы Q(xd, а). Оно будет положительным,
если кривая ^(я) не совпадает с ломаной экстремалью или если
Q (#з> а) > О- Если условия для концов являются несопряженными,
то последнее неравенство соблюдается всегда, кроме случая, когда
T\i(x) и соответствующие значения т тождественно равны нулю.
Тем самым теорема доказана.
Если внимательнее рассмотреть только что приведенное
доказательство теоремы 64.1, то легко заметить, что требование,
налагаемое в теореме на квадратичную форму Q(x3, а), может
быть ослаблено. Достаточно потребовать, чтобы квадратичная форма
Q (%» а) была неотрицательной для всякого значения хь между хх
и хй и обращалась в нуль только для тех значений а, которые
определяют не имеющую угловых точек экстремаль,
удовлетворяющую присоединенным условиям для концов и присоединенным

204
Гл. VI. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
условиям трансверсальности. Действительно, для неотрицательности
J2(r\, T^» очевидно, необходимо, а также и достаточно, чтобы эти
свойства выполнялись только при всяком значении #3,
сопряженном с #! или %2 и лежащем между хх и #2, и чтобы в любом
случае Q была неотрицательной по меньшей мере в одной точке
между #! и
додаваемый теоремой критерий неотрицательности второй
вариации есть следствие результатов предыдущих параграфов. В
сборнике, посвященном задаче Больца, Блисс 1} сформулировал
четвертое условие с помощью квадратичной формы, аналогичной форме
Q (#з» а)» гДе> однако, рассматривал только неломаные
присоединенные экстремали, удовлетворяющие условиям для концов.
При исследовании задачи Больца с так называемыми
разделенными условиями для концов Хэстенс2) употреблял сходным
образом семейства присоединенных экстремалей, имеющих каждая
не более одной угловой точки и удовлетворяющих условиям для
концов и условию трансверсальности. Условие, подобное этому,
для задачи на плоскости с подвижными концами на двух кривых
было получено ранее Блиссом s). Видоизменение этого доказанного
сейчас критерия, в котором употребляются присоединенные
экстремали, имеющие не более одной угловой точки и удовлетворяющие
только условиям для концов, принадлежит Гольдштейну. Это
видоизменение более эффективно, чем метод Блисса, при котором
„щель" между необходимыми и достаточными условиями
неотрицательности второй вариации больше, чем это желательно в не
слишком исключительны! случаях. Оно имеет то преимущество
перед критерием Хэстенса, что его можно формулировать для задач
с неразделенными условиями для концов.
§ 65. Фокальные точки в задаче с одним подвижным
концом. Задача, которую мы будем рассматривать в этом параграфе,
формулируется следующим образом: найти в классе допустимых
кривых, соединяющих данную поверхность S и данную точку £,
такую кривую, для которой функционал J [формула (59.2)]
достигает минимума, ^-мерная поверхность 8, по которой может,
передвигаться первый конец, задается функциями
(65.1) хх (tv ..., tr), уп(г19 ..., у.
В настоящем параграфе мы сформулируем условие IV § 62 при
помощи понятия фокальной точки. Как и в трехмерном случае,
х) Bliss, The Problem of Bolzainthe Calculus of Variations, Annals of
Mathematics, XXXIII (1932), 261—274.
2> Hestenes, Sufficient Conditions for the Problem of Bolza in the
Calculus of Variations, Transactions of the American Mathematical Society,
XXXVI (1934), 793-818.
3) В1 i s s, A Boundary Value Problem in the Calculus of Variations,
Bulletin of the American Mathematical Society, XXXII (1926), 317—331.

§ 65. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ В ЗАДАЧЕ С ОДНИМ ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ 205
рассмотренном в § 57 и '58, понятие фокальной точки играет в
поставленной задаче ту же роль, что и понятие сопряженной точки
для задачи с закрепленными концами.
В этом параграфе кривую Е12 мы будем считать неособой
экстремалью, соединяющей поверхность S с данной точкой 2. Будем
считать, что Е12 трансверсально пересекается поверхностью S, но
не касается ее в точке пересечения 1. Как и в предыдущих
параграфах, положим, что точке 1 на S соответствуют значения
параметров ^ = 0..
В § 62 было показано, что вторая вариация вдоль экстремали Е12
имеет вид (62.5), причем ясно, что все члены в скобках в
формуле (62.6) обращаются в нуль в концевой точке 2. В точке 1
присоединенные условия для концов и присоединенное условие
трансверсальности (64.2) и (64.4) принимают теперь вид
(65.2) ч< (хг) = СиЬ, U {хг) Сш = Ъмхг (ft = 1, .... г),
где
Q = %'у Cih = ут (0) — у\ (хг) ххь.
Так как кривая Е12 не касается поверхности S, то ранг матрицы
|| Gih\\, как легко убедиться, равен г. Для значения х2
присоединенные условия для концов сводятся просто к условиям х2 = const,
Ч< (#2) = 0, а условие трансверсальности всегда выполнено.
Аналитическое определение фокальной точки поверхности S на
кривой Е12 формулируется следующим образом.
Определение фокальной точки. Соответствующая
значению хь точка неособой экстремали Е12, трансверсально
пересекаемой поверхностью S в своей начальной точке, называется
фокальной точкой поверхности S, если присоединенные
уравнения для ЕХ2 имеют такое решение и4(х), удовлетворяющее
присоединенным условиям для концов и присоединенному
условию трансверсальности (65.2) при x = xt с постоянными ъп,
что щ(хь) = 0, но не все иг тождественно равны нулю на
интервале хххъ.
Следующей теоремой дается способ разыскания фокальных точек.
Эта теорема является обобщением теоремы 12.3 о сопряженных
точках.
Теорема 65.1. Общее решение канонических присоединенных
уравнений (39.12), соответствующих кривой Е12, удовлетворяю-
щее присоединенным условиям для концов и условию
трансверсальности (65.2) с постоянными ъЬу выраоюается линейной
комбинацией фундаментальных решений i\ik(x), Сл (#), тък
(&=!,...,?&), для которых присоединенные экстремали чцк, t,ik

206
Гл. VI. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
образуют сопряэюенную систему. Фокальные точки поверхности 8
на Е12 соответствуют нулям хъфхх определителя \ч\а(х)\.
Для доказательства теоремы заметим, во-первых, что любая
система i\ik{x), £ik(x) (& = 1, ..., п) линейно независимых
решений канонических присоединенных уравнений (39.12),
удовлетворяющих присоединенным условиям для концов и условию
трансверсальности (65.2) с постоянными thk, является сопряженной
системой. Это следует из того, что выражения %£« — ZitfUu
сохраняющие, как было показано в § 39, постоянные значения,
обращаются в нуль при х = хг ввиду соотношений (65.2), в
которых v\if С*, tj надо заменить на f\ikt C#, т№. Покажем теперь, что
такая сопряженная система существует. Заметим, что (и-f-r)
уравнений (65.2) имеют максимальную систему п линейно независимых
решений \к (хг), Zik (xj, тЛЙ(й = 1, ..., л), ибо ранг матрицы || Су|,
по предположению, равен г. Легко видеть, что для этих решений
ранг матрицы \}г\{к(хг), ^(х^Ц равен п, так как уравнения (65.2)
не имеют Нетривиального решения %(^i), СД^), т7и для которого
все v\i (xi)> ^i (х\) равны нулю. По теореме существования
канонические присоединенные уравнения имеют п независимых решений
i\ikix)> t*ik{x) (&= 1, ..., ri) с начальными значениями r\ik(xi)9
Q*(#i).
Пусть теперь yj^ (ж), ^(х)— присоединенная экстремаль,
удовлетворяющая условиям (65.2) с постоянными ib. Из только что
доказанного следует, что начальные значения ч\{ (хг), ^ (х{\, т^
линейно выражаются через соответствующие начальные значения
при # = #! решений, составляющих построенную выше4
сопряженную систему. Отсюда сразу заключаем, что при всех х
(65.3) Ч — ЧтАъ и^и-кЧ* Ч = ЧиЧ>
где коэффициенты ак постоянны. В частности, если
?\г(х)—решение, соответствующее фокальной точке 3 поверхности 8 на
кривой 2£12, то, Ьчевидно, определитель |*и&(#)| равен нулю при
х = хЪу так как *% (#3) = 0. Обратно, если этот определитель равен
нулю при хь ф хи то найдутся такие постоянные ак (&= 1, ..., п),
что для соответствующих функций y\i(x), Q(#), тл в (65.3),
удовлетворяют^ очевидно, условиям (65.2), будет ^(#3) = 0.
Функции f\i(x) не равны все тождественно нулю на интервале х^х%, ибо
в противном случае функции С* = <d4', которые линейно выражаются
через \ и \, также обращались бы тождественно в нуль и
система v\ik> ^ik (k=l, ..., п) не была бы линейно независимой.
Таким образом, любому нулю хьфхх определителя |ч«(ж)|
соответствует фокальная точка. Теорема полностью доказана.
Для удобства доказательства следующей ниже теоремы отметим
еще/что в теореме 65.1 сопряженная система может быть выбрана

§65. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ В ЗАДАЧЕ С ОДНИМ ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ 2Q?
так, чтобьь
Q* (х\) Cih = Ъм, хш = Ььь
(к, 1 — 19 ..., г; р = г + 1, ..., п).
В этом легко убедиться, посмотрев на уравнения (65.2).
Теперь мы в состоянии доказать следующую основную теорему
этого параграфа.
Теорема 65.2. Пусть Е12 есть неособая, экстремаль, транс-
версально пересекающая в точке 1 поверхность Su,
удовлетворяющая условию III Леоюандра. В этом случае вторая вариация
(62.5) вдоль Е12 неотрицательна тогда и только тогда, когда
на Е12 меоюду точками 1 и 2 нет фокальных точек поверхности S.
Вторая вариация (62.5) полооюительно определенна тогда и
только тогда, когда на Е12 меоюду точками 1 и 2, а также
в точке 2 нет фокальных точек поверхности S.
Докажем сначала необходимость условий теоремы. Для этого
заметим, что фокальной точке 6 поверхности S на кривой Е12,
лежащей между точками 1 и 2, можно поставить в соответствие,
так же, как в § 19, ломаную присоединенную экстремаль ч\4 (х),
гн(х)> zn> имеющую только одну угловую точку и притом при
х = х6. А тогда также, как в § 11 и 64, получим
так как экстремаль удовлетворяет условиям (65.2). Отсюда сразу
следует, что если вторая вариация неотрицательна, то не может
существовать фокальной точки 6 между точками 1 и 2, и, далее,
на основании теоремы 64.1, что, если вторая вариация
положительно определенна, то условия для концов не могут быть
сопряженными. Очевидно, что условия для-концов не сопряжены тогда
и только тогда, когда точка 2 не является фокальной точкой S на
Ei2. Тем самым необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность условий теоремы, т. е. докажем,
что если на Е12 между точками L и 2, а также в точке 2 нет
фокальных точек поверхности S, то вторая вариация положительно
определенна, и что если на Е12 между точками 1 ж 2 нет фокальных
точек поверхности S, то вторая вариация неотрицательна. Для
доказательства первого утверждения рассмотрим допустимую
совокупность вариаций %(#), *h, не равных одновременно тождественно
нулю и удовлетворяющих условиям для концов
(65.5) ч, (хг) = С^л, ч, (x2) = 0.
(65.4)
4<р (*i) = °.

208
Гл VI. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМД КОНЦАМИ
Используя поле в дространстве (%f\), покрываемое
га-параметрическим семейством присоединенных экстремалей теоремы 65.1, мы
покажем, что для такой совокупности вариаций вторая вариация
положительна. Пусть функции %&(#), построенные нами при
доказательстве теоремы 65.1 и удовлетворяющие условиям (65.4),
определяют это семейство. Уравнения
(65.6) ч, (я?) = ahriih (х) + apt|,p (х)
(й = 1, ..., г; р = г + 1, ..., п)
однозначно определяют коэффициенты ак как функции х на
интервале хг < х ^ #2, так как S не имеет фокальных точек на этом
интервале. Мы вскоре докажем, что эти функции стремятся к
определенным пределам аъ(х{) и ар(х{) при х-+х{ и что аь(х^ = ^п.
Очевидно, далее, что аь (х2) = ар (х2) = 0, так как | i\ik (#2) \ ф 0.
Определитель \**\ih(x\)> %f>(#i)| не равен нулю. Действительно,
в противном случае существовали бы такие не равные
одновременно нулю постоянные Ch, Ср, что
ChHjh(xi) + Cprfjp(x1) = 0.
Умножая яэ, f * * Сгч)и (хг) и суммируя по г и j, имеем
* з
Cm 0*i) fy\yfb4ih (*i) + etui (*i) Gpc,p (^i) = o.
Последний член здесь равен нулю, так как т)гр (xt) = 0 и решения
Ъь ^и и flip* QP сопряжены. Из предыдущего равенства следует
тогда, ввиду того что Е12 — неособая экстремаль и удовлетворяет
условию III, что Ср\и (хг) = QxGa = о4. Но тогда Сг = 0, так как
ранг матрицы ||С«|| равен г. Таким образом, получается, что
-Дл-р (#), определяющая присоединенную экстремаль, тождественно
равна нулю, так как функции y\ip и их производные равны нулю
при х = хи что невозможно ввиду линейной независимости
решений v\i9, Qp. Полученное противоречие и доказывает наше
утверждение.
Написав уравнения (65.6) в виде
1
(65-.7) ч< (х) = ahriih (х) + (x — xt) ap f щ [хг + 6 (х — хх)] Й6,
о
убеждаемся! вследствие только что доказанного, что функции ап (х),
(х — хг) ар(х) имеют пределы при х-+х1ш Определитель, стоящий
в числителе в выражении для (х—хх)ар{х), получаемом из
уравнений (65.7), сохраняет свое значение, если в нем заменить
столбец 4\i(x) на столбец v\i(x) — ^тп*&(#), все элементы которого
равны нулю при х = хи на основании уравнений (65.2) и (65.4).
Следовательно, функции а?(х) также имеют пределы при х->х1ш

§ 65. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ В ЗАДАЧЕ С ОДНИМ ПОДВИЖНЫМ КОНЦОМ 209
Из уравнений (65.6) или (65.7) при х = хг (65,2) и (65.4) следует,
что ан(хг)^^п.
Для доказательства положительности значения J"2 (ч, т) второй
вариации при вариациях *% (х), xh определим для произвольных
х, #3 на интервале ххх2 функции щ и vt следующим образом:
(65.8) и{ (x, хь) = ак (хъ) i\ih (x), vi (х, хъ) = ак (хъ) Qft (х)
и рассмотрим функцию
Ф (хъ) = Ъыаьаг -|- j 2ш (#, и9 и1) их + j 2ю (х, i\f if) dx,
где функции ah(x) взяты при # = #3. Так как а>ъ(xi) =?Ч й
<ii(x<i) = 0, то
(65.9) Ф (dt) = J2 (т), т), Ф (х2) = О*
Интегрируя но частям и принимая во внимание соотношения
щ(х3, Хо)=1и(хъ), щ(хъ> %)+^.а?з(^ Ч) = 4<(*в)>
находим для производной от Ф при хьфхх значение
Ф'(хь) = 2Ъыапа1 — [2щх^у — [2Еп{х, *ь *f V)]8,
где -Еш есть функция JE Вейерштрасса, соответствующая функции <о,
a ^i{x9 у\) — функции наклона семейства (65.6). Но из
уравнений (65.8) и (65.4) следует, что
iuixVif = а>ь (#з) Gnfli {хи хь) = а'ь {хь) Ъмаг (#8),
так что первые два члена в выражении для Ф' (хь) сокращаются.
Подсчитывая функцию Е, находим
Ф' (%) = — [fy.yk iyit — *«) (Ч*—**)]8-
На основании условия Ш и ввиду того, что 2?12—неособая экстремаль,
эта производная неотрицательна и из (65.9) следует, что J*i(v), т)
положительна, за исключением случая, когда уравнения гц=п4 (х, ч\)
удовлетворяются всюду. Но " эти уравнения не могут
удовлетворяться, так как единственное решение их, соответствующее точке
\x\if) = (#2, 0), есть tif(#)==0. Таким, образом, из- того, что
матрица \\Gih\\ имеет ранг г, следует, что J^(y\,^) положительна для
любых v\i (x)y xh, удовлетворяющих условиям для концов и не
равных тождественно нулю.
Если между точками 1 и 2 не существует фокальных точек
поверхности S на ЕХ2, то вторая вариация J*2(r|, t) по меньшей

2lO ft* vi. задачи с Подвижными концами
мере неотрицательна. Доказательство проводится аналогично
доказательству следствия 23.1.
Доказанная сейчас теорема 65.2 показывает, что для задач
с одним подвижным концом на поверхности S условия IV и IV',
формулированные при помощи понятия второй вариации и
вошедшие в теоремы 62.1 и 63.1, эквивалентны тому, что в интервалах
xt<х<#2 иж!<л;<ж2соответственно не существует значений #8,
соответствующих фокальным точкам S. Поэтому для задачи с одним
подвижным концом эти условия эквивалентны также условиям,
сформулированным в теореме 64.1 при помощи квадратичной формы
§ 66. Зависимость фокальной точки кривой от кривизны1).
В этом параграфе мы рассмотрим частный случай задачи
предыдущего параграфа, предполагая, что поверхность S, трансверсальная
к неособой экстремали Е12 в точке 1, одномерна, т. е. является
кривой L. Вез ограничения общности можно предположить, что
параметр t в функциях (65.1), определяющих L, и в функции #(0
из формулы (59.2) есть просто эвклидова длина дуги L,
отсчитываемая от точки 1. Мы будем также предполагать, что кривая Е12
удовлетворяет условию III Лежандра, что на ней между точками
1 ж 2 нет точек, сопряженных с точкой 1, и что f ф О в начальйой
точке 1. Тогда числа
A = lf—y'jefrV> Bt^ltyi
не все равны нулю и определяют в пространстве ху такое
направление в точке 1, что любое перпендикулярное к нему направление
трансверсально к экстремали Е12 в точке 1.
Мы рассмотрим совокупность кривых L, касающихся в точке 1
неподвижной прямой, проходящей через точку 1 ж трансверсальной
к кривой i£12. Будет показано, что фокальная точка кривой L на Е12
вполне определяется проекцией о первой кривизны 1/р кривой L
в точке 1 на направление Л, В{. Когда о монотонно изменяется,
фокальная точка перемещается по Е12, двигаясь в одном
направлении.
Обозначим направляющие косинусы неподвижной прямой,
проходящей через точку 1 трансверсально к Е12, через а, р,. Так
как параметр t в (65.1) есть длина дуги, отсчитываемая от
точки 1 вдоль L, то a = xit(0), $i=*yat(0). Обозначим угол
между вектором Л, Bi и главной нормалью к кривой L в точке 1
через 6.
г) См. Household e-r, The Dependence of a Focal Point upon Curvature
in the Calculus of Variations (диссертация, Чикагский университет), Con-
tributions, 1933—1937, где даны ссылки на Влисса и Уайта,

§ 66. ЙАЙИбИМОСТЬ ФОКАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЙ ОТ КРИВИЗНЫ 211
Тогда проекция кривизны о кривой L в точке 1 вшразится в виде
(66.1) а~±СО*Ъ = Лу+В'У™,
где первая кривизна — кривой L равна
Для задачи с начальной точкой, перемещающейся по кривой,
вторая вариация (62.5) будет равна
(66.2) J2(ti, х, а) = Ьт2 + f 2ш (х, ч, ?]') dx,
где Ь определяется [см. (G2.6)] формулой
(66,8) D = l(fw-V&k)** + 2f**№
Присоединенные условия для концов и присоединенные условия
трансверсальности (65.2) имеют теперь вид
(66.4) т,, (хг) = СЛ С, (^) С, = Ьт,
где
(66.5) Gi — ^i — y,i(x1)a
не все равны нулю, так как кривая L не может касаться кривой Е12,
если f ф О в точке 1, как было показано в § 58. Очевидно, что
вторая вариация J2 вполне определяется проекцией кривизны о и
вариациями y^ (х), т, если задать кривую Е12 и направляющие
косинусы a, (3j кривой i в точке 1. Для отыскания зависимости
положения фокальной точки L от параметра о рассмотрим семейство
присоединенных экстремалей ч\{ (х, #3), С* (ж, хь), определяемых
требованиями
(66.6) Y)! (Хи XQ) = Сг-, 1Ц (% #3) = О,
где хъ—произвольное значение из интервала xt<Cx<Cx2. Каждому
такому значению хь соответствует единственная экстремаль
семейства, так как-на интервале хг < х < х2 нет значений, сопряженных
с хг. Вторая вариация JgCn» т> °) Для вариаций щ(х, #3), т = 1
вдоль интервала xvxb будет функцией
(66.7) q (ж8, о) = Ъ + j 2<о (ж, kj, V) *» =
=»Ь —СЛ(а?!, ж3),

212
Гл. VI. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
где последнее выражение получается интегрированием по частям
формулы 2G>=%a>^-f-Y|*«^. и подстановкой затем значений (66.6).
Теорема 66.1. Пусть ЕХ2 жть экстремаль, обладающая
указанными выше свойствами. Рассматривается совокупность
кривых L, трансверсальных к Ех2 в точке 1 и имеющих
фиксированное направление а, ^ в этой точке. Для Мого чтобы значение хь
из интервала #t < #3 < х2 определяло первую фокальную точку
кривой L на Е12, необходимо и достаточно, чтобы проекция
кривизны о этой кривой удовлетворяла линейному уравнению
относительно о
(66.8) q{xb, а) = 0.
Если х2 не сопряжено с хъ то решение о (#3) уравнения (66.8)
монотонно убывает от -|-оо до значения о(х2), когда хь возрастает
от хг до х2.
Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть х$
определяет первую фокальную точку кривой L с проекцией
кривизны о. Тогда существуют вариации ^ (#), т, удовлетворяющие
условиям для концов и условиям трансверсальности (66.4), такие,
что *и(#з) = О и Ч*(ж) соответствуют присоединенной экстремали
v\i (x)> С* (#)• Постоянное х не может равняться нулю, так как на
интервале хг<х<х2 не существует значений, сопряженных с xt.
Можно поэтому предполагать без ограничения общности, что т = 1.
Присоединенная экстремаль vu<#) ,£*(#) совпадает тогда с
экстремалью f\i(x, #3),Q(#> хъ) в уравнениях-(66.6) и соотношение (66.8)
следует из уравнений (66.4) и (66.7).
Обратно, если уравнение (66.8) удовлетворяется, то
присоединенная экстремаль щ (х, хд), С* (х, хъ) удовлетворяет условию
трансверсальности (66.4) с т=1 на ^основании уравнения (66.7).
Следовательно, значению хь соответствует фокальная точка кривой Z,
для которой проекция кривизны равна о. Эта фокальная точка
является первой фокальной точкой на интервале wtx2i ибо
решение о (хь) уравнения (66.8) конечно и, как будет показано в
следующем абзаце, изменяется монотонно вместе с хь.
Частные производные от функции g (хд, а) имеют вид
(66.9) (ц = - lf,pkr{flp> Ь=—(4" + адЛ
где функции v\i определяются, как прежде, условиями (66.6). Первое
из этих выражений получается дифференцированием первого
соотношения (66.7) по хь и интегрированием по частям с учетом того,
что производные i\iX3 равны нулю при х = хг и равны —щ
при х = х$, что легко получить, дифференцируя (66.6) по #3.

§ 66. ЗАВИСИМОСТЬ ФОКАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЙ ОТ КРИВИЗНЫ 213
Определяемое таким путем значение
тождественно со значением (66.9), ибо функции *)< обращаются
в нуль при х = хв. Так как экстремаль Е12— неособая и
удовлетворяет условию П1, то обе производных уравнения (66.9)
отрицательны и из уравнения
следует, что производная о' (хь) всюду отрицательна, так что
функция о (#3) монотонно убывает.
Покажем теперь, что предел функции о(#3) при xb^>xx
равен+оо. Выберем произвольно допустимую совокупность вариаций
%(#)> ъфО, удовлетворяющую условиям на концах
%(#i) = <Vc, ^(#3) = О:
Для достаточно большого положительного значения £ вторая
вариация J2(*i, t, £) будет тогда отрицательной, так как коэффициент
при о в формуле (66.3) отрицателен. Следовательно, по теореме (65.2)
кривая L с проекцией кривизны Е должна иметь фокальную
точку хь на интервале Xi<x<x2. Из первой части теоремы 66.1
следует, что <з (#3) = £. Это означает, что о (#3) принимает
произвольно большое положительное значение и должно стремиться к + оо
при xb-*xv
Рассмотрим поведение функции p(xs) при хь^>х2, когда х2
сопряжено с хг. Мы будем различать здесь два случая. Будем
называть трансверсальное направление a, fa в точке 1
исключительным, если любая присоединенная экстремаль ч\4 (x), С, (х), для
которой ^(ж1) = т1<(д?2) = 0, удовлетворяет условиям
трансверсальности Q (xt) C4 = 0. Тогда имеем следующую теорему.
Теорема 66.2. Если х2 сопряжено с xt и направление ос, fa,
трансверсальное в точке 1 к экстремали Е12> не является
исключительным, то решение а(х%) уравнения (66.8) монотонно
убывает от -f- 00 до —оо, когда хь возрастает от хх до х2.
Пубть v\i> С*— присоединенная экстремаль, для которой
функции yi$ обращаются в нуль при х = хх и х = хь, а условия
^(#i)C* = 0 не удовлетворяются. Тогда вторая вариация J*2 On, т, о)
обращается в нуль для ч\{(х), т = 0 и любого о. Но эта совокупность
вариаций не может давать минимум второй вариации в классе
вариаций ч\{, х, удовлетворяющих условиям
4<(*i) = CVc, f\i(x2) = °>
так как она не удовлетворяет присоединенному условию
трансверсальности ^i{xx) С{=0. Из теоремы 65.2 следует тогда, что любая

214:
Гл. VI. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
кривая L, имеющая направление а, (3* в точке 1, имеет фокальную
точку #3 на интервале хх < х < #2. Так как это имеет место при
любом значении о проекции кривизны кривой Z, то о(#3) должна
принимать все действительные значения, когда хъ изменяется на
интервале #t<#<#2. Отсюда, на основании теоремы 66.1
вытекает утверждение доказываемой теоремы.
Теорема 66.3. Шли #2 сопряжено с хх и направление
a, (Jf является исключительным, то решение <з(#3) уравнения
(66.8) монотонно убывает от -\-оодо конечного значения о0, когда
х3 возрастает от х{ до х2. Величина о0 равна проекции, кривизны,
для которой х2 определяет фокальную точку кривой L на j£12,
а также и точку, сопряженную с точкой 1.
Пусть *t\ik (x), Са (х) есть сопряженная система присоединенных
экстремалей, где v\ik все обращаются в нуль при х = х2. Если
существует п — г линейно независимых присоединенных экстремалей,
для которых Yj^ обращаются в нуль как при х = хи так и при
х = х2, то матрица Ihi&O^OII имеет ранг г и может быть выбрана
так, что в ее последних (п — г) столбцах стоят нули. Ввиду
сопряженности системы
0 = 1, ...,r; v = r + l, ..., п)
и так как а, р€— исключительное направление,
%,W = 0 (v = r + l, ..., л).
Поэтому ранг матрицы |h*>(#i)> С J равен г. Легко видеть, что
существуют такие постоянные а^, х и проекция кривизны о0, что
присоединенная экстремаль и$ = а^ч\^ vi = a^iv, удовлетворяет
условиям
• Щ Oi) = CVc, t?< (a?t) С* = Ь0т, ч, (#2) = О,
где Ъ0 имеет значение (66.3), в котором о заменено на о0.
Постоянное г не равно нулю, и его можно считать равным единице. С
помощью известной формулы
и интегрирования по частям получим
^2 О, 1, vo0) = ьо — Cfflt (xL) = 0.
Так как между х{ и х2 нет значений, сопряженных с хх, то из
следствия 23.1, обобщенного на пространства высших измерений,
вытекает, что J2 (и, 1, о0) есть минимум для J2(f\9 1, <з0) в классе
допустимых вариаций *и(#), удовлетворяющих условиям
(66.10) ц, (а?,) = С0 ч* (*а) = 0.

§ 66. ЗАВИСИМОСТЬ ФОКАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЙ ОТ КРИВИЗНЫ
215
В частности, для ломаной экстремали ^ на интервале хгх2, часть
которой есть ъ (х, хь), имеем
2 (ХЪ> °о) = J2 (Ч> 1» *<>) >^2 fa, 1г °о) = О.
Поэтому значение <з(#3), обращающее в нуль q (#8, о), должно быть
больше или равно о0, так как коэффициент при о в q (хъ, о) положителен.
Отсюда следует, что о(ж8) стремится к пределу оо>о0, когда
Покажем, что о0 = о0. Заметим, что для интервала" хгхь и
экстремали у\{ (х, хъ) значение J2 h, Г, ° (#3)] равно нулю и ввиду
обобщенного следствия 23.1, на которое мы уже ссылались, это значение
является минимальным в классе допустимых вариаций *% (х),
удовлетворяющих на интервале а;гх2 условиям
Ч< (хд = Gi9 ij, (xj = о.
Ввиду этого функция J"2 (y), 1, о0) в классе допустимых вариаций. %,
удовлетворяющих в интервале xtx2 условиям для концов (66.10),
имеет минимум, который не может быть больше нуля. Далее, по
соображениям непрерывности, аналогичным тем, которые
применялись в доказательстве следствия 23.1, заключаем, что минимум
«^(ч* *> °о) не может быть меньше нуля. Следовательно, минимум
J"2(y), 1, со) так же равен нулю, как и J2Cn, 1, <з0). Это возможно
только тогда, когда <з0 = о0.
Теорема 66.4. Если два направления являются
исключительными, то и любая их линейная комбинация есть
исключительное направление. Число линейно независимых исключительных
направлений равно г, где п — г есть число линейно независимых
присоединенных экстремалей %(#), £<(#)> для которых г\{
обращаются в нуль при х = хг и х = х2.
При доказательстве будем считать теперь, что <*, р€ не
направляющие косинусы, а величины, им пропорциональные. Первое
утверждение теоремы непосредственно следует из определения
исключительного направления и из значений постоянных С€ в уравнениях
(66.5). При выбранных нами обозначениях необходимые и
достаточные условия того, что направление а, р, трансверсально и является
исключительным, можно написать в виде п — г+1 равенств
4а+ВД = 0,
Си 0*ч) Oi = — yi (#!) Civ (xt) а + Qv (xL) $4 = 0
(v = r + l, ..., ri).

216
Гл. VI ЗАДАЧИ с ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Эти уравнения независимы, так как в противном случае
существовали бы такие постоянные Jc, &v, не все равные нулю, что
ЛА — Jc.y'i (sJCb (xt) = О,
*5, + *,Cv(*i) = 0.
Отсюда, умножая последнее соотношение на у\ (хх), суммируя затем
по г и складывая с первым, мы получили бы & = 0, так как по
предположению, fzfiiOb точке 1 на кривой Е12. Последнее
соотношение противоречиво, так как присоединенные экстремали %v, Qv
линейно независимы. Таким образом, число линейно независимых
исключительных направлений а, ^ равно г.
§ 67. Задачи с подвижными концами на плоскости. Задача
на плоскости ху, аналогичная задачам § 57 и 58, формулируется
так: в классе допустимых кривых
(67.1) у(х) (*iOOa),
соединяющих данную кривую L с данной точкой 2, найти такую
кривую, которая дает минимум интегралу
(67.2) I=JV(#, у, у') их.
Мы предполагаем, что кривая L не имеет особенностей и задается
функциями
*(«),-Ч(«) (а'<а<«").
Говорят, что допустимая кривая Е12, соединяющая кривую L с
точкой 2, удовлетворяет условию I, если она удовлетворяет уравнению
х
(67.3) fy'^ffy'dx + c
X,
и если в точке пересечения 1 кривых Е12 и L для дифференциалов
dx, dy вдоль L и элемента (х, у, у') кривой Е выполняется
условие трансверсальности
(f—y'fy')dx + fy>dy = 0.
Условия II и III формулируются так же, как в § 35.
Для получения условия, аналогичного условию Якоби, мы
предположим, что Е12 есть неособая экстремаль, пересекающая трансвер-
сально кривую L в точке 1 и не касающаяся L в этой точке. Из
§ 57 известно, что существует такое однопараметрическое семейство

§ 67. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ НА ПЛОСКОСТИ 217
экстремалей у (х, <х), содержащее яривую Е12 при значениях
х1<^.х^.х2 и a = ai> что каждая экстремаль семейства трансвер-
сальна к кривой L при х = %(а). Фокальные точки кривой L ни
Е12 определяются тогда как точки, соответствующие нулям #3
функции уа(%> <*i), т. ё. как точки касания Е с огибающей семейства
экстремалей. Говорят, что кривая Е12 удовлетворяет условию IV,
если на Е12 между точками 1 и 2 не существует фокальных точек
кривой Z.
Если принять эти определения условий I—IV, то теоремы,
содержащиеся в таблице § 17, будут справедливы в
предположении, что Е есть допустимая, не имеющая угловых точек кривая,
пересекающая L в единственной точке 1, но не касающаяся L
в этой точке. Доказательства этих теорем проводятся совершенно
так же, как в § 57, или получаются из замечания, что
рассматриваемая задача есть частный случай общей задачи, рассмотренной
в § "59—66.
Вторая задача с подвижными крнцами на плоскости
формулируется так: в классе допустимых кривых (67.1), соединяющих две
данные кривые L и М, найти кривую, которая дает минимум
интегралу (67.2). При этом предполагается, что кривые £ и Ж не имеют
особых точек и задаются соответственно функциями
М«), 4i («) (а'<а<а")
?.№). 49 (Р) (Р'<Р<Р").
Эта задача также является частным случаем задачи, рассмотренной
в § 59—66, однако для нее существует интересная интерпретация
условий IV, найденная Блиссом1).
Говорят, что допустимая кривая Еп, соединяющая кривые L
и Ж", удовлетворяет условию I для только что сформулированной
задачи, если она удовлетворяет уравнениям (67.3) и пересекается
трансверсально кривыми L и М в точках пересечения 1 и 2 ее
с этими кривыми. Условия II и III формулируются так же, как
в § 35. Вторая вариация (62.5) вдоль неособой экстремали Е12,
трансверсально пересекаемой кривыми L и И, принимает вид
J* (Ч, *) = Ь^\ + Ъ2%1 -|-J 2ш (а?, </), Y)') Ах,
где 2о> — квадратичная форма (36.4), а по (62.6)
ь2= [(f-?/7W^+4'V+ (f*-yfft,)*l+*ffM
г) Bliss, Jacobi's Criterion When Both End Points Are Variable, Ma-
thematische Annalen, LVI1I (1904), 70—80, и A Boundary Value Problem in
the Calculus of Variations, Bulletin of the American Mathematical* Society,
XXXII (1926), 317-331.

218
Гл. VI. ЗАДАЧИ О ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Условие IV теоремы 62.1 заключается в требовании
неотрицательности этой второй вариации в классе допустимых вариаций г\(х),
Ti> Ч> удовлетворяющих условиям для концов (62.3), которые
принимают теперь вид
(67.4) *} (хх) = Сгхи Y) (#2) = С2т2,
где
Gi = %« — У' (#i) &i« С2 = г|2? — у' (х2) $2(*.
Начиная отсюда, мы будем предполагать, что рассматриваемая
экстремаль Е12 не касается кривых L и Ж, так что обе
постоянные Сг и С2 отличны от нуля. Мы можем также считать, не
ограничивая общности, что обе эти постоянные положительны, так как С1х
например, может быть сделано положительным заменой, если это
необходимо, а на —а.
Фокальные точки кривой L на Е12 соответствуют нулям
решения и (х) присоединенных уравнений, удовлетворяющего начальным
условиям
(67.5) и (xt) = Cj, [ov (x, и, и')]1 Ot = bt.
Это следует из (65.2) и определения фокальной точки в § 65.
Аналогично, фокальные точки кривой М соответствуют нулям
присоединенной экстремали v(x), удовлетворяющей условиям
(67.6) v (х2) = С2, [оу {х, v, /)]2 0% = — Ь2,
где в последнем условии взят отрицательный знак, потому что
кривая М трансверсальна к Е12 во второй концевой точке 5, а не
в точке 1. Из теоремы 65.2 следует, что если 2£12 удовлетворяет
условию IV, то на ней между точками 1 ж 2 нет фокальных точек
кривых L и М. Это можно доказать и непосредственно, аналогично
тому, как была доказана теорема 65.2. Ввиду этого, обе функции
и(х) и v (х) положительны на интервале хг<х<Сх2. Совокупность
вариаций г\ (х), хх, т2, заданная уравнениями
ij (х) = и (х) Tj на хг <; х <; хв,
(67.7) 7|(а;) = «;(а;)т2 на #3<><>2, -
u{x^xl = v{xb)-z2y
удовлетворяет присоединенным условиям для концов и условиям
трансверсальности
</) (xt) = Сгхи у\ (х2) = С2х2,
(Dy (xj Сг = bjTj, <iy (Х%) С% — — Ь2Т2,

§ 67. ЗАДАЧИ G ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ НА ПЛОСКОСТИ 219
что легко установить с помощью соотношений (67.5) и (67.6).
Интегрируя по частям и делая простые преобразования, получим,
что для таких значений вариаций ?) (х), тх, т2
(67.8) Ja (ti, х) = тЛ [(vu' — uv') fy,yf]&.
Из третьего соотношения (67.7) видно, что вариации тх и т2
имеют один и тот же знак, так что условие IV сводится к
требованию того, чтобы выражение в квадратных скобках не было
отрицательным. Но это выражение имеет одно и то же значение для
всех точек хь из интервала ххх^ так как
_ [(щ/_ т') fyryr] = uJ(v) — vj(u) = О,
где положено
Теперь мы в состоянии доказать следующую теорему.
Теорема 67.1. Для иеособой экстремали Е12, располооюен-
иой в плоскости ху и трапсверсально пересекаемой кривыми L
и Ж в точках 1 и 2, условие IV неотрицательности второй
вариации эквивалентно условию, что L и М не имеют
фокальных точек на _Е12 и что для присоединенных экстремалей и (#)',
v(x), пули которых соответствуют фокальным точкам,
выражение vu' — uv' либо равно нулю, либо имеет тот о/се знак, что и
произведение uv для каждого значения хь из интервала х1<^хв<^х2.
Условие IV эквивалентно предыдущему условию с добавочным
требованием, что vu' — uv1фО.
Как и раньше, мы считаем здесь Сг и <72 положительными.
Поэтому и и v положительны nptf'# = #1 и х = х2 соответственно*
Отсюда легко получить, что утверждение теоремы справедливо и
для других случаев.
Пусть условие IV выполнено. Тогда кривая L не может иметь
фокальной точки в конце кривой Е2. Действительно, если допустить
противное, то и (я2) = 0, и' (х2) <0,v (х2) = (72 > 0 и выражение (67.8)
для второй вариации будет отрицательно, и мы пришли таким
образом к противоречию. Аналогичное рассуждение показывает, что
точка 1 не может служить фокальной точкой кривой М. То, что
остальные условия в утверждении теоремы следуют из условия IV,
было уже доказано выше.
Теперь мы докажем, что, наоборот, из выполнения условий
теоремы следует, что вторая вариация неотрицательна и, /
следовательно, условие IV выполняется. Это может быть доказано'многими
способами. Наиболее простой способ заключается в использовании
формулы, аналогичной формуле (39.5). Пусть yj (x), tu т2 есть

220
Гл. VI. ЗАДАЛИ О ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Рис. 10.
произвольная допустимая совокупность вариаций, удовлетворяющих
условиям для концов (67.4). Подсчитаем значение J"2 (yj, т) [см.
выражение выше (67.4)].
Определим сначала две
величины wt и w2 посредством
соотношений
wxu (%) = yj (#3) = w& (#3),
где и и v—присоединенные
экстремали, построенные
нами выше, и хь—
произвольное число, лежащее
между хх и х2. На рис. 10
кривая С1а в плоскости ху
изображает вариацию ч\(х),
a 2?43 и Еьъ — экстремали wtu и w2v соответственно. Обозначим
через J2 интеграл в выражении для J(r\, т). На основании свойств
инвариантного интеграла il в поле присоединенных экстремалей
имеем
h (С«) = {U (С«) — ll {Gib)} + & (Lu) + h (Е«).
Подсчитывая с учетом соотношений (67.5) интегралы справа,
получаем
х3
l2(Oiz) = f Ы — *)2fyfy,dx— b^l + w^lvw^ix, и, и')]*.
Подставляя это выражение и подобное ему для 12 (С32) в
выражение для J<&{*(\, t), находим
(67.9) J*2 (Y), Т) = J (Y)' — 1С)2 f^, dx + М;^ [(ш' — UV') fyfy'} »,
где функции наклона двух полей суть п = ч\и'/и и n = 4\v'/v на
интервалах я^ и #3#2 соответственно. Отсюда и следует
доказываемое утверждение.
Если существует продолжение экстремали Е12, на котором
кривые Ъ и М имеют фокальные точки JT и 2', то только что
доказанный результат можно истолковать еще по-другому. Символы
V и 2/ будут всегдаГ обозначать первые фокальные точки кривых L
и Ж* в направлении направо или в направлении налево.
Т е о р е м а 67.2. Если-существует продолжение экстремали Е12,
на котором L и М имеют фокальные точки V и 2', то
условие IV эквивалентно требованию, чтобы кривая Е12 не содержала

§ C7. ЗАДАЛИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ НА ПЛОСКОСТИ 221
этих фокальных точек и дуга IV кривой-либо не содержала обеих
точек 2 и 2', либо содержала и ту и другую. Условие IV'
эквивалентно этому требованию с тем дополнением, что точки V
и 2' различны.
Сейчас мы рассмотрим случай, когда V есть первая фокальная
точка справа рт 1. В точке V мы имеем тогда м = 0, и/ < 0. Из
соотношения vu'— ш>';>0 (теорема 67.1) следует v<0.
Фокальная точка 2* кривой Ж либо совпадает с точкой V, если v = О,
либо лежит между точками 1 и V, если v < 0. На основании этих
замечаний заключение теоремы легко вывести из теоремы 67.1.
Действительно, как известно, решение и(х)фО линейного
дифференциального уравнения второго порядка нигде не может обратиться
в нуль вместе со своей производной, и нули каждого из этих
решений разделяют нули другого.
Для случая, когда V есть первая фокальная точка L слева от
точки 1, доказательство проводится аналогично.
Для допустимой, не имеющей угловых точек кривой Е12,
соединяющей кривые L и М и пересекающей их только в точках^ и 2,
справедливы теоремы о необходимых и достаточных условиях
минимума, приведенные в таблице § 17; при этом условия I—IV можно
брать в той форме, которую мы дали им в этом параграфе.
Доказательства необходимости условий были уже даны выше, а теоремы
достаточности соответствующих условий просто следуют из теорем
§ 63. Не зависящие от общей задачи доказательства теорем этого
параграфа были даны Блиссом в цитированных выше работах.

Часть II
ЗАДАЧА БОЛЬЦА
Глава VII
ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
§ 68. Введение. Задачи с подвижными концами Лагранжа,
Майера и Больца являются наиболее общими вариационными
задачами, содержащими только однократные интегралы, теория которых
теперь может быть развита с достаточной полнотой. При изложении
теории этих задач удобнее всего начинать с задачи Больца, так
как под этот тип задач подходят и остальные две задачи, и в
каждом из этих трех случаев так называемая приеоедгтеншя задача
о минимуме второй вариации, играющая важную роль, является
задачей Больца^ и не требует новых рассмотрений.
Теоретически эти три задачи эквивалентны. Было показано *>,
что задача Больца может быть преобразована в задачу Майера.
Имеет место также и тот, повидимому, до сих пор не замеченный
факт, что задачи Майера и Больца очень просто могут быть
преобразованы в задачу Лагранжа. В § 69 подробно рассмотрена эта
связь между различными задачами.
Правило множителей для задач отмеченных выше типов и
необходимые условия минимума, обычно называемые условиями Вейер-
штрасса и Клебша, были получены различными авторами 2Ъ
Необходимое условие, аналогичное условию Якоби для простых задач,
было предложено в ранних работах Манером [1, 3]; соответствующее
условие, формулируемое при помощи понятия наименьшего
характеристического числа граничной задачи для второй вариации, было
выведено Коупом [16]. Достаточные условия в задаче Больца
впервые были получены Морсом [23]. Вскоре после работы Морса Блис-
сом [25] была дана совершенно другая теория достаточных условий,
которую он создал гораздо раньше, руководствуясь выше
названными статьями Майера. Эта теория опирается на важную теорему
Хана [7]. Позднее появилась еще третья работа о достаточных
*) См. Bliss [11], стр. 314. Здесь и всюду далее в квадратных
скобках даны ссылки на библиографию задачи Больца, стр. 339 и ел.
2) См., например, Bolza [8]; Bliss [11, 17]; Morse и Myers [24];
Bliss и Schoenberg [26];McShane [64].

§ 68. ВВЕДЕНИЙ
223
условиях в задаче Больца, написанная Хью [31}. Ввиду довольно
сильных ограничений, а именно требования так называемой нормаль-'
ностгь реализующей минимум кривой, методы, развитые в
упомянутых работах, не могут быть применены без коренных изменений
в' теории задачи Майера с подвижными концами. Метод Блисса,
однако, был распространен Блиссом и Хэстенсом [30, 34] и на этот
случай.
В недавних работах было показано, что требования
нормальности, использованные Морсом, а также Блиссом и Хэстенсом, можно
ослабить. Грейвз [29] дал новое доказательство необходимого
условия Вейерштрасса, справедливое при значительно ослабленных
требованиях нормальности, а Макшейн [64] недавно показал, что это
условие, подобно правилу множителей, может быть доказано без
всяких предположений о нормальности кривой. Хэстенс [38] обобщил
на случай задачи Больца необходимое условие минимума,
предложенное ранее Блиссом [15] для некоторого типа вариационных задач
на плоскости. Им было дано, далее, доказательство достаточного
условия, сохраняющее силу не только для случая нормальных
экстремалей, которые не необходимо нормальны в каждом подинтервале,
но и для некоторых анормальных случаев. Благодаря работам Грейвза
и Хэстенса достигли вполне удовлетворительного состояния
важнейшие отделы теории задачи Больца для случая, когда кривые,
которые дают минимум, удовлетворяют условию нормальности, но
не являются обязательно нормальными на каждом частичном
интервале, как приходилось требовать раньше. Результаты теории,
полученные методами, основанными на этих исследованиях,
оказываются без всякого изменения приложимыми к задачам Майера и
Лагранжа с подвижными концами, если их рассматривать как
частный случай задачи Больца. Как было отмечено Влиссом [56], такое
рассмотрение было ранее невозможно.
Внимание изучающих вариационное исчисление было
привлечено к так называемым анормальным задачам двумя
работами Каратеодори [27, 36], в которых излагается для этих
случаев теория второй вариации и дается классификация анормальных
задач. Пишущему эти строки кажется маловероятным создание
в ближайшем будущем полной теории без каких-либо
предположений нормальности ввиду огромного количества представляющихся
особых случаев. Эти особые случаи аналогичны тем, которые
встречаются в задачах на экстремум функции многих переменных, но
гораздо более многочисленны и сложны. Результаты Хэстенса [38]
расширяют, однако, наши знания относительно некоторых типов
анормальных случаев. В области доказательств достаточных
условий эти результаты были первым шагом в этом направлении. В
сентябре 1934 г. Рейд на заседании американского математического
общества доложил об интересной вспомогательной теореме, с
помощью которой можно распространить метод Блисса, применявшийся

224:
Тл VII ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
к задаче Больца, на более общие случаи, рассмотренные Хэстенсом.
Теорема Рейда была независимо доказана также Морсом [41] и
Хэстенсом [46]. В работах Хэстенса ([38], стр. 794; [50], стр. 141)
и Морса ([41], стр. 147) утверждается, что формулировки теорем
о достаточных условиях не содержат никаких предположений
о нормальности. Мне кажется, что это верно только, с
поверхностной точки зрения, так как теоремы, о которых идет -речь,
простым приемом приводятся к теоремам для нормального случая,
как было показано Блиссом ([56], стр. 370). Совсем недавно Мак-
шейн [64, 69, 71, 74/76] и Майерс [77] опубликовали новые
интересные результаты, касающиеся анормальных случаев.
Целью второй части этой книги является изложение теории
задачи Больца с достаточной полнотой, которое стало возможным
после достигнутых к настоящему времени успехов, коротко
упомянутых выше. Задача формулируется нами приблизительно так же,
как ее ставил сам Больца, причем мы будем заниматься
преимущественно нормальным случаем, который, конечно, является
наиболее важным. Наиболее значительные из полученных до сих пор
для анормальных случаев результаты могут быть сразу
установлены, как отмечено в § 92, с помощью подходящим образом
сформулированных нормальных задач.
§ 69. Эквивалентность различных задач. Задачу Больца [8]
можно сформулировать следующим образом: в классе кривых
(69.1) Vi (х) (г = 1, ..., п; хи<С х < х2),
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и условиям для
концов вида
(69.2) фр (х>У,У') = 0 (Р = 1, ..., т < п),
(69.3) % К у fa), х%> у>2)] =0 (|* = 1, ..., jp < 2п + 2)
найти ту кривую, для которой сумма
(69.4) J=g [xv у (я?!), х2, у(х2)] + f f(x, у, y')dx
достигает минимума.
Эта формулировка задачи Больца предложена Блиссом в [25].
Здесь, а также и в последующем, символами у и у' обозначены
точки (уг, ..., уп) и (yi, ..., у'п). Аналогичная символика будет
применяться и для обозначения других рядов переменных. В
аналогичной формулировке задачи Больца, предложенной Морсом1},
Я Морс [22], стр. 518—519; Морс и Майерс [24], стр. 235—236.

§ 69. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
225
условие (69.3) дано в параметрической форме
(69.5) х8 = х8ф, yi(xs) = yis(t) (г = 1, ..., п; 5 = 1,2),
где t есть совокупность параметров (tu ..., tr), поэтому функция J
берется в виде
а?9
(69.6) J=д (0 + J* fix, у, у') dx.
Задача Майера с подвижными концами в том виде, как она
сформулирована Блиссом в [11], является задачей Больца, в
которой функция f тождественно равна нулю, а задача Лагранжа также
есть частный случай задачи Больца, когда в выражение (69.4)
для J не входит функция д. В форме, предложенной Морсом,
задача Лагранжа получается тогда, когда в выражении (69.6)
отсутствует д.
С помощью весьма простых преобразований легко убедиться,
что задача Больца приводится к задаче Майера, равно как и к
задаче Лагранжа. Действительно, легко видеть, что она эквивалентна
задаче Майера, в которой классом допустимых кривых является
совокупность кривых
УА*\ Уп+Лх) (*=1, ..., rcj^OOa),
подчиненных условиям
Фр = 0, y;+1 — fix, у, у') = 0,
^ — 0, yn+i fo) *= О,
а функция J имеет вид
<1 = 9 + Уп+Лх2).
Задача Больца эквивалентна также задаче Лагранжа с классом
допустимых кривых
Hi 0*0, Уп+i 0*0 (* = 1> • • •> п', х\ < х < хъ)>
удовлетворяющих условиям
% = 0, уп+Лх1)--1— = 09
и интегралом
а?а
I=f(f+yn+i)dx.

226
f л. Vfl. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
Об этом последнем преобразовании мы говорили во втором абзаце
введения (§ 68). Так как задачи Лагранжа и Майера являются
частными случаями задачи Больца, то из изложенного выше
очевидно, что эти три задачи обладают равной степенью общности.
Без труда можно также убедиться в эквивалентности задачи
Больца с непараметрическими условиями (69.3) для концов и
суммой J вида (69.4) и задачи Больца с параметрическими условиями
(69.5) и суммой J вида (69.6). Действительно, всегда можно
выбрать г = 2гс + 2— р новых функций %+п [хи у(хг), х2, у(х2)]
(Ь = 1, ..., г) так, чтобы система 2w + 2 уравнений
%[xi> yi*i)> хъ !/М=0,
была разрешима относительно 2ю-{-2 концевых значений хг, y(xt),
х2, у (#2). Тогда (69.3) принимают вид (69.5) и функция д из (69.4)
переходит в функцию g(f). Такой выбор функций typ¥h возможен,
так как с целью развития теории всегда предполагается, что ранг
матрицы производных от функций ф^ по их аргументам хи у{х^),
#2» У (х2) равен р. С другой стороны, параметрическую задачу можно
привести к непараметрической. Действительно, непараметрическая
задача с классом допустимых кривых
УАХ)> ЬЛХ) (*=li •••> »; Л=1» • •-, г; я?1<я?<я?а)|
удовлетворяющих условиям
(69.7) р *
«в — xs [* (*i)l = 0, у< (О — ft* ['К)]=0,
и функцией
эквивалентна исходной параметрической задаче г) в форме (69.5)
и (69.6).
Задача Блисса в виде (69.1)—(69.4) называется задачей с раз-
деленными условиями для концов, если условия (69.3) разбиваются
на две группы
(69.8) % [х1у у (хг)] = 0, фв [#2, у (х2)] = О
(р = 1, ..., г; о = г+1. ...,р)
и если, далее, функция g в (69.4) имеет вид
9 = 9iixi, У(Х)У\—9АЧ> У (**)]•
*) См. Блисс и Сконберг [26].

§ 69. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЛ
227
В противном случае задача называется задачей с общими условиями
для концов. Задача отыскания в классе кривых
(г = 1, ..., п; а=1, ..., гс + 2; а?1<я?<я?я)|
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и условиям для
концов
Фр(Ж у, 1/0 = о, у;+в = о,
. ^ [У2П4-1 (#l)> У* (#l)> l/2W+2 (*l)> Уп+i (#i)] = О,
Узп+l (^i) ATj = О,
У*г+* (^) — Vi W = 0, y2w+2 0*2) —ж2 = 0^
такой кривой, для которой функционал
J = 9 [ygn+i(«i). ^(^i)> ftm-afa). У^(ж1)] +ff(*i У> V')dx
достигает минимума, является задачей с разделенными условиями
для концов, эквивалентной данной общей задаче.
Аналогично, задача Больца в форме (69.2), (69.5), (69.6)
называется задачей с параметрическими разделенными условиями
для концов, если условия (69.5) выражаются в виде
#i = #i ft. • • •, «Р)э Vi (#1) = y<i(*n - • • . t9)>
х2 = х2 (Jp+1, ..., tr), уг (#2) = yi2 (Jp+1, ..., tr\
а функция g(t) имеет вид
9 — 9\ ft. • • •> *р)—Л(*Р+1» • • м **>)•
В противном случае задача называется задачей с общими пара-
метрическими условиями для концов. Задача отыскания в классе
допустимых кривых
к ' } (i=lf ..., л; Л = 1э ..., г; ^OOg),
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и условиям для
концов
#1 = #1 ft» • • • » <г)> У< (^l) = Уи ft» • • • > *г)»
(69.12) yn+h(xi) = tn>
х2 = х2 (*г+1э ..., tf2r), у, (#2) = yi2 (Jr+1, . .., tf^),
2/n+fc(#2) = Wfc>

228
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
кривой, реализующей минимум функции J в (69.9), является
задачей с разделенными условиями для концов и эквивалентна в то же
время исходной общей задаче (Хэстенс [38], стр. 815).
Если изменять хх и х2, то концы определенной кривой (69.1),
рассматриваемые вместе как точка (2w-[-2)-мерного пространства
точек (хи уп, #2, yi2), будут описывать некоторую двумерную
поверхность в этом пространстве. Говорят, что кривая (69.1),
удовлетворяющая условиям для концов задачи Больца, удовлетворяет
условию непасаиия, если двумерная поверхность ее концевых точек,
которую мы определили выше, и поверхность (2га + 2)-мерного
пространства, определяемая условиями для концов, не имеют общих
касательных направлений. Касательные направления к двумерной
поверхности задаются отношениями
где olv и а2 — произвольные постоянные, не равные одновременно
нулю. Такое направление будет касательным к заданной
уравнениями (69.3) поверхности в том, и только в том случае, когда для
всех ^ (р = 1, ••-,Jp) выполняется условие
°Ч йщ 1 + %, uVi К)] + S HV. 2 + %9 Л (*2)] = О,
где
тМ — -&* > Ъ*а— ду4(хх)9 '
и аналогично для <Jv,2 и ф^2. Таким образом, ясно, что условие
некасания эквивалентно тому условию, что ранг матрицы
II Фщ 1 + V аУ'г Ю» %, 2 + +m Ji (*«) II
равен двум. Как легко убедиться, кривая (69.9), удовлетворяющая
дифференциальным уравнениям из (69.10), всегда удовлетворяет
этому условию, если условия для концов имеют вид (69.10).
Если условия для концов заданы в параметрической форме, то
мы будем пользоваться следующими обозначениями:
dxs dyis t ,, ч
X*h ~ Wh > **8h — dth ' У^ — У{ vV'
(69.13) ^(O-lfw-^.
(i= l, ..., n; /&= 1, .. ., r; s= 1,2).
Условие некасания заключается в требовании, чтобы уравнения

§ 70. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ БОЛЬЦА
229
имели только тривиальное решение (xh, <х8) = (0, 0). Это
эквивалентно тому, что матрица
1 О I
Уп О
О 1
0 V* I
имеет наибольший -возможный ранг, или тому, что преобразованная
матрица
II °ilh II
II СШ И
обладает тем же свойством. Кривая (69.11), удовлетворяющая
дифференциальным уравнениям в (69.12), всегда удовлетворяет этому
требованию при условиях (69.12) для концов. Более того, эти
условия для концов являются неособенными в концах кривой в том
смысле, что матрица первых г столбцов матрицы (69 14) имеет ранг г.
Подводя итог замечаниям этого параграфа, можно сказать, что
задачи с подвижными концами Майера и Лагранжа и задача Больца
в параметрической или вепараметрической форме обладают равной
степенью общности и сводятся одна к другой относительно простыми
преобразованиями. Далее, без ограничевия общности можно
предполагать, что условия для концов разделены или неособенны или,
наконец, что все кривые, удовлетворяющие дифференциальным
уравнениям Фр = 0 задачи, удовлетворяют также условию некасания.
В следующем параграфе мы более точно укажем форму задачи
Больца, в которой мы будем изучать ее в этой книге.
§ 70. Аналитическая формулировка задачи Больца. Для того
чтобы дать прочный' аналитический фундамент для тех теорий,
которые будут изложены дальше, мы сформулируем более точно нашу
задачу. Пусть в открытой области Вх (2^ + 1)-мерного пространства
точек (#, у, у1) функции Фр п / имеют непрерывные частные
производные третьего порядка. Для того чтобы дифференциальные
уравнения Фр = 0 были независимы, мы будем предполагать, что матрица
||Фр/|| имеет ранг т во всех точках области Вх\ здесь, как и
всюду, символ у\ у Ф$у[ обозначает частную производную по у'..
Подобным же образом будем предполагать, что в открытой области
i?a (2w + 2) -мерного пространства точек {хи уп, %2, yi2) функции
^ и д обладают непрерывными частными производными третьего
порядка, а матрица
(70.1) ||^,i <lv,*i <V,2- фМ2||
(69.14)

230
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
имеет ранг р во всех точках этой области. При этом символ yix
обозначает у+ (хх) и
аналогичные обозначения приняты и для других производных. Точка
(х> У> У) или (#i> У%\> х2> Ую) называется допустимой, если она
принадлежит области Rt или, соответственно, области 2?2-
Кривые (69.1) предполагаются непрерывными и состоящими из
конечного числа дуг, на которых функции у{ (х) имеют
непрерывные производные. Говорят, что такая кривая лежит в Ви если все
ее элементы (х, у, у') являются допустимыми. Она называется,
далее, допустимой привой, если ее элементы (х, у, у') и [х{, у (хх),
хъ> y{x2i\ все являются допустимыми. На каждой такой кривой
функции Фр, фр f, g и функция J вполне определены. Отметим,
что это определение допустимой кривой отличается от
сформулированных ранее определений Блисса ([17], стр. 677) и Морса ([23],
стр. 518). Принятое нами определение предназначено только для
того, чтобы для любой допустимой кривой вида (69.1) сумма. J
в (69.4) имела единственное значение J (О). При таком
определении допустимой кривой утверждения различных теорем становятся
более законченными.
Задача Больца формулируется теперь следующим образом:
в классе допустимых кривых (69.1), удовлетворяющих
дифференциальным уравнениям Фр = 0 [(69.2)] и условиям для концов ^ = 0
[(69.3)], найти такую кривую, для которой функция J в формуле
(69.4) имеет минимум. Если обозначить через 2R класс допустимых
кривых, удовлетворяющих уравнениям Фр = 0 и ^ = 0, то задача
состоит тогда в отыскании в классе Ш кривой С, для которой J(C)
есть минимум.
Если задача Больца рассматривается в форме (69.5)—(69.6),
то предполагается, что функции x8(t), yis{t), g it) в условиях (69.5)
и выражение (69.6) для J имеют в открытой области Т точек
t = (tu ..., tr) непрерывные частные производные третьего порядка.
Допустимой системой
(70.2) yi(x), th (г = 1, ..., п; й=1, ..., г; а^ООз)
называется такая, для которой кривая yi (х) лежит в Ви a t лежит
в Т. Задача формулируется так: в классе допустимых систем (70.2),
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (69.2) и условиям
(69.5), найти такую систему, для которой сумма J в (69.9)
принимает минимум.
§ 71. Вариациц ц уравнения вариаций. Нам придется чаото
рассматривать семейства кривых с определенными свойствами в отно^
шении цедрерывности. Для того чтобц в дадьнейщем не повторяться^

§ 71. ВАРИАЦИИ И УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИЙ
231
мы дадим здесь несколько общих определений. Семейство
(71.1) yi(x, Ъ) (я'0<я", \Ъ\^д
называется элементарным семейством, если yi (x, Ъ) имеют
производные у\ (х, Ъ) и эти производные и сами функции у4 (х, Ъ) имеют
непрерывные производные по параметру Ъ в окрестности множеству
точек (х, Ъ), определенного неравенствами в скобках в формуле
(71.1). Говорят, что два таких семейства примыкают друг к другу,
если они определены на примыкающих интервалах #'<;#'<;#" и
х" < х <; хш и если задающие их функции вместе составляют
функции yi(х, Ъ), непрерывные в области х'<;х<;х'"9 \ Ъ|<;е.
Относительно рассматриваемых далее семейств несколько более общего
вида
(71.2) уЛ*,ъу К(Ь)<*<>2(Ь); |Ь|<*1
мы будем предполагать, что функции хх (Ь), х2(Ъ) имеют
непрерывные производные по Ъ в области | Ъ | < е и что семейство такого
вида состоит из конечного числа последовательно примыкающих друг
к другу элементарных семейств, заданных на примыкающих
интервалах # V, х"хшу ..., #(*—%(*), причем
х' < хх (Ъ) < х", я**-*) < х2(Ъ) < s<W.
Семейство (71.2), обладающее этими свойствами и состоящее
только из допустимых кривых, называется допустимым семейством.
Дифференциалы семейства (71.2) могут быть представлены в виде
dxl = х1Ь db, dx2 = х2Ъ db,
(71.3) dy^y'fdx + by.,
d% = V'i d*x + y'i ^2+ 28y; dx + Ъ%,
где символ 8 есть частный дифференциал при изменении только
параметра Ъ. Всякое допустимое семейство имеет дифференциалы,
помещенные в первых двух строках формулы (71 3), однако оно
мбжет и не иметь дифференциалов d2yif так как в определение
такого семейства не входит требование существования у\. Однако
мы увидим позднее (см. следствие 77.2), что может быть построено
допустимое семейство, имеющее и эти дифференциалы, если
кривая Е, содержащаяся в семействе при Ь = 0, имеет непрерывные
вторые производные.
Вариациями семейства вдоль привой Е называются величинн
^2> **\i{x)> определяемые из равенств
dxt = х1Ъ (0) db в gj db, dx2 = х2Ъ (0) db = S2 db,

232
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
Символы Б„ Е2 обозначают, очевидно, постоянные. Из свойств
семейства (71.2) вытекает, как легко'заметить, что функции *и(#)
обладают на интервале ^(0)<а;<л?2(0), соответствующем кривой Е,
теми же свойствами непрерывности, что и функции у4 (х),
определяющие допустимые кривые. Совокупность величин Ьи ?2, щ (х),
обладающая указанными свойствами, называется допустимой
совокупностью вариаций вдоль Е.
Если все кривые допустимого семейства удовлетворяют
уравнениям
ф?0, у(х, Ь), у'(х, Ь)] = 0,
то вариации % (х) вдоль кривой Е семейства, соответствующей
значению параметра Ъ = Ъ0, удовлетворяют уравнениям
(71.5) Фр(*§ Чэ Y) = Фр„ Ч< + Фр^Ч^О,
где аргументами в производных от Фр служат функции у{(х, Ъ0),
определяющие кривую Е. Уравнения (71.5) называются уравнениями
вариаций вдоль Е. Коэффициенты этих уравнений вполне
определяются заданием кривой Е, безотносительно к содержащему ее
семейству. В этих уравнениях по индексу, встречающемуся дважды,
производится суммирование от 1 до п, как обычно принято в
тензорном анализе. В последующем мы будем пользоваться таким
обозначением суммирования.
Если концы кривых допустимого семейства удовлетворяют
уравнениям
^К(Ь), y[*i(b), Ъ], ъ(Ь), у[х2(Ъ), Ь]}-0,
то, как легко получить дифференцированием, вариации семейства
вдоль Е удовлетворяют уравнениям
(71.6) ЧГ,й, 4fo), 62, Ч (**)] = О,
где
(71.7) «; = (ф^ г + у^ п) ^ + ^ лЧ| (*,) +
+ (%, » + У^. «) ?2 + Фщ йЧ< (х*)>
а совокупностью аргументов в производных от ^ служат концы
кривой Е. Уравнения (71.7) называются уравнениями вариаций
концевых условий.
Следует заметить, что данные нами определения непосредственно
распространяются на случай семейств вида (71.2), где символ Ъ
обозначает совокупность параметров (Ъ19 ...,bs). В этом случае
семейство (71.2) имеет вариации |ь, 52ff, y\ia{x) для каждого
параметра Ъа (о = 1, ..., s). Необходимые изменения, которые надо про-
извести в дифференциалах (71.3) и (71.4), легко выполнить.

§ 72. ОСНОВНАЯ ЛЕММА. О ВКЛЮЧЕНИИ
233
§ 72. Основная лемма о включении. Пусть задана допустимая
кривая Е, удовлетворяющая условиям Фр = 0, ^ = 0. Нельзя,
конечно, без особого доказательства утверждать, что существуют еще
другие кривые, удовлетворяющие этим условиям. Если других таких
кривых не существует, то задача Больца, сформулированная в § 69
и, более точно, в § 70, тривиальна. Лемма этого параграфа
устанавливает, что при принятых предположениях относительно
функций Фр любая кривая Е в Blf удовлетворяющая условиям фр = 0,
может быть включена в семейство кривых такого же типа. В
следующем параграфе будет показано, что любая допустимая кривая Е,
удовлетворяющая условиям Фр = 0 и %. = 0, может быть включена
в семейство допустимых кривых, удовлетворяющих этим же
условиям, если предположить, что Е обладает некоторым свойством,
называемым свойством нормальности. Следующая лемма играет
важную роль как при доказательстве этого последнего утверждения,
так и в остальных отделах рассматриваемой теории.
Лемма 72.1. Если допустимая, кривая Е удовлетворяет
уравнениям фр = 0 и Ej, £2, *(\i(x)—допустимая совокупность вариаций,
удовлетворяющих уравнениям вариаций фр = 0 на Е, то
существует допустимое однопараметрическое семейство (71.2),
содержащее кривую Е при значении Ъ = 0, состоящее из кривых,
удовлетворяющих уравнениям фр = 0, и такое, что Ьи S2, y\i(x)
являются вариациями семейства вдоль Е.
Для доказательства этого удобно расширить систему уравнений
фр = 0 до системы
(72.1) Фр = 0, Ф«, = *т (Р = 1, ..., Щ т = ш + 1, ...,п)
где функции Фч (х, у, у') имеют непрерывные частные производные
третьего порядка в окрестности множества элементов {х, у, у'),
принадлежащих кривой Е, причем функциональный определитель
системы функций фр, Фт по переменным у' не обращается в нуль на Е.
Как было показано Блиссом ([11], стр. 307, 312), за функции Фу
можно взять линейные функции относительно переменных у' с
коэффициентами, зависящими от х. Если функции i/i (x), задающие
кривую Е, подставить в уравнения (72.1), то эти уравнения
определят функции ^(х), соответствующие кривой Е, которые
непрерывны всюду, за исключением, быть может, угловых точек кривой Е.
Уравнениям (72.1) соответствуют уравнения вариаций
(72.2) Фр = 0, Фт=^ <Р = 1, ..., т; т = т + 1, . . ., п),
которые определяют функции £т(#), соответствующие кривой Е и
функциям v\i (x). Функции Ст (х) непрерывны всюду, кроме gHTb,
может, значений^ х, соответствующих угловым точкам кривой 9j<* или
точкам разрыва производных от функций ^{х).

234
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
По известной теореме о неявных функциях уравнения (72.1)
можно разрешить относительно у\\
УГ1 = %ЛХ> У> *)■
где функции yj имеют непрерывные частные производные третьего
порядка в окрестности множества значений (х, у, #),
соответствующих кривой Е] так как функции фр, Фт имеют непрерывные
производные третьего порядка. Пусть хг есть первое следующее за #t
значение переменного х, соответствующее угловой точке кривой
.Еили точке разрыва какой-либо из функцийч\.(х). Если таких
значений нет, то положим х' = х2. Пусть Ех— дуга кривой Е,
соответствующая интервалу ххх'. Функции #т(#), СДя), если их
рассматривать только на интервале хгх', могут быть произвольно
продолжены так, чтобы они остались непрерывными на несколько
большем интервале. Тогда правые части в уравнениях
(72.8) у\ = ъ I*, У> * 0*0 + К (я?)]
непрерывны относительно х, у, Ъ и имеют непрерывные частные
производные третьего порядка по переменным уь Ъ в окрестности
значений (х, у, Ь = 0), соответствующих дуга 2?!. Из теоремы
существования для дифференциальных уравнений *) следует, что
уравнения (72.3) имеют решенде
(72.4) y.= Yi{x, x0, у0, Ъ)
с начальной точкой (х0, у0)=(х0, у10, ..., yw0), где функции Г., Y\
непрерывны и имеют по переменным yiQ, Ъ непрерывные частные
произврдные третьего порядка в окрестности множества точек (х, х0з
У о, Ъ), соответствующих дуге Ег. Функции
(72.5) у, = Г| [х, хи у (рг) -f Ъ*\ (х{)„ Ъ] = yi (а?, Ъ)
определяют тогда элементарное семейство, кривые которого
удовлетворяют уравнениям Фр — 0 на интервале, содержащем интервал ххх*.
Функции yi(x, Ъ) из (72.5) при х = хх принимают следующие
начальные значения:
У г («1, Ь) = Yi [х, хи у (хх) + Ъч\ {хх)9 Ъ] — у4 (хг) + bib (x\)>
и, следовательно, их вариации yib(x, О) вдоль Et при х = хг имеют
начальные значения ^(а^). Далее, функции (72.5) удовлетворит
уравнениям (72.3), а поэтому также уравнениям
ф э = О, Ф т = ^ (я?) + ЬСу (х).
*) Об этих теоремах см. в приложении, стр. 3X7—333, где даны ссылки
на дальнейшую литературу,

§ 72. ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ВКЛЮЧЕНИИ
235
Следовательно, производные yib (x, 0) удовлетворяют уравнениям
(72.2) на Et и должны быть тождественны с вариациями щ(х), так
как эти вариации составляют единственное решение уравнений (72.2),
принимающее начальные значения т^ (х{).
Таким образом, мы определили элементарное семейство вида
(31.1), заданное на интервале, содержащем интервал %гх', кривые
которого удовлетворяют уравнениям Фр = 0, причем вариации этого
семейства вдоль Ег совпадают с заданными функциями % (х) Пусть
теперь х" есть первое следующее за х* значение х, соответствующее
угловой точке кривой Е или точке разрыва какой-либо из
функций ч\г(х). Подобно предыдущему, можно доказать, что функции
Vi=Yi[x, xf, y{x', Ъ), Ь],
получаемые из решения (72.4) подстановкой начальных значений
х0 = х', Уы = У{(х', Ь), определяют на некотором интервале,
содержащем интервал х'х"9 новое элементарное семейство, примыкающее
к ранее найденному элементарному семейству. Кривые этого семейства
удовлетворяют уравнениям Фр = 0, а щ(х) являются вариациями
семейства вдоль Е. Продолжая этот процесс построения
элементарных семейств, мы получим допустимое однопараметрическое
семейство (71.2), состоящее из кривых, лежащих в Ви удовлетворяющее
всем требованиям леммы. Функции х1(Ъ) и х2(Ъ) могут быть
определены равенствами
хх (Ь) = xL 4- Ъ%и х2 (Ъ) = х2 + ЪЬ2,
где хх и х2 соответствуют концам кривой'JEJ.
Следствие 72.1. Если допустимая кривая Е удовлетворяет
уравнениям Ф^ = 0 «* если вариации £lff, S2ff, т^ДаО (о = 1, ..., s)
представляют собой s допустимых совокупностей вариаций,
удовлетворяющих уравнениям вариаций Фр = О вдоль Е, то существует
допустимое s-napaметрическое семейство (71.2), содержащее
кривую Е при значениях параметров bff = 0 (o = l, ...,$)> состоящее
из кривых, 'удовлетворяющих уравнениям Фр-= 0, и такое, что
для всякого- о = 1, ..., s величины Ьи, $2<J, y\ia являются вариациями
этого семейства вдоль Е по параметру Ъа.
Доказательство этого утверждения совершенно аналогично
доказательству предыдущей леммы,~~так что его можно опустить.
Построенные в доказательствах леммы 72.1 и следствия 72.1
допустимые семейства (71.2) обладают более сильными, чем
требуется в определении, свойствами непрерывности. В определении
допустимого семейства требуется только, чтобы оно состояло из
элементарных семейств, для которых функции у€ (х9 Ь), у\ (х, Ъу
цмеют при Ь = 0 непрерывные частные производные по Ъ.
Функции YfB решении (72.4) непрерывны относительно х, х0, у0, Ь и
цмеют цепрерыщые часттое дроизродвде третьего порядка по

236
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
переменным у0, Ъ. Отсюда следует, что функции^ (#, Ь),
определяющие элементарные семейства, построенные в лемме 72.1 и ее
следствии, а также их производные у\ (х, Ь) имеют в окрестности
множества значений х, Ь, соответствующих дуге кривой Е, непрерывные
частные производные третьего порядка по переменным Ь. Из
известной теоремы об изменении порядка дифференцирования *) легко
следует, что значения производных, о которых только что
говорилось, не зависят от порядка дифференцирования. Это замечание
пригодится нам в следующих параграфах, особенно в § 77.
§ 73. Первая вариация J. Если подставить функции, задающие
допустимое семейство (71.2), в выражение (69.4) для J, то получим
функцию J(b). Как легко подсчитать, первый дифференциал этой
функции равен
(73.1) dj^fdx\\ + dg+f (fybyi + fy>Wdx>
где использованы обозначения (71.3). Для кривой Е семейства,
соответствующей значению параметра Ь = О, этот дифференциал
принимает вид dJ=J1(t, r\)db, где
(73.2) J,(e, *1) = /^ + £в, 4(*i), 6», Ч (*>)] +
+ S (fy^i + fy^dx.
xL
В этом выражении Ьи Е2> щ(х) СУТЬ вариации семейства вдоль Е,
а G есть линейное выражение
(73.3) G = (д± + у'п9п) 6Х + 9п\ (х±) + (?2 + yi2gi2) S2 + gi2\ (#2),
аналогичное функции Ф^, соответствующей ^ в (71.7). Функция
Jj (&, yj) называется первой вариацией J на кривой Е. Ее значение
вполне определяется функциями yt (x) (xt <; х 02)/ задающими
кривую Е, и допустимыми вариациями tu S2> *U (х)-
Символом F обозначим функцию
(73.4) F(x9 у, у', l) = l0f+l^if
где через ф€ обозначены функции Фр и Фт из (72.1), 10 —
постоянная, а множители 1€ являются функциями х, которые будут, далее
определены. Если вариации ч\{ (х) удовлетворяют уравнениям Фр = О
и, следовательно, уравнениям (72.2) с соответственно подобранными
*) См., например, Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления. I, гл. V,§ 180, 1947. (Нрим. ред.)

§ 73. ПЕРВАЛ ВАРИАЦИЯ «7
237
функциями Ст (%), то значение l0Jx (S, yj) не изменится от
прибавления суммы ^?Ф^ -J- /т (Фт—Ст) к подинтегральной функции. Из (73.2)
находим тогда
У, в ч) = V* и+j0g + J (i^+Fy.v)'{ - гту **.
В следующем абзаце будет показано, что при произвольно
выбранных постоянных l0, Ci(i = 1, ..., л) множители /<(#), от которых
требуется непрерывность на всем интервале xvx^ за исключением
лишь значений х, соответствующих угловым точкам кривой Е,
определяются единственным образом из уравнений
х
(73.5) Fvi = f F^dx + ъ.
Xl
Интегрированием по частям получаем
(73.6) Vifc ^) = [^ + ^J12 + ^-JVy^-
Xt
Это выражение для первой вариации (73.2) имеет место при
всяких допустимых вариациях Е„ £9, v\i(x)> удовлетворяющих условиям
Фр = 0. Оно пригодится нам в следующем параграфе для
доказательства правила множителей.
Для доказательства того, что уравнения (73.5) имеют решение,
обладающее указанными в предыдущем абзаце свойствами, введем
новые переменные
(73.7) *< = 2fy = V,; + W>*;.
Легко видеть, что решение уравнений (73.5) эквивалентно
определению непрерывных функций v4(x), удовлетворяющих -следующим
дифференциальным уравнениям и начальным условиям:
(73.8) ^ = Ai1cvk+l0Bh щ (хг) = с{ {г = 1, ..., »),
где правые части дифференциальных уравнений равны FVi, в
которых %i заменены при помощи (73.7) линейными относительно vi9 lQ
выражениями. Коэффициенты Aik, B4 являются непрерывными на
интервале хгх2 функциями х, кроме, может быть, тех значений х,
которые соответствуют угловым точкам кривой Е. Уравнения (73.8)
имеют единственное непрерывное решение на интервале хгхг,
удовлетворяющее начальным данным vi(x{) = ci. Они имеют, далее,
единственное непрерывное решение на интервале х'х", если за на-

238
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
чальные значения при х = х' взять значения функций предыдущего
решения при х = х'. Продолжая это построение, получим такую
систему непрерывных функций v{ (x), удовлетворяющих
условиям (73.8), что соответствующая система функций 1€ (х),
получаемая из (73.7), будет решением уравнений (73.5). Из
единственности решений уравнений (73.8) при заданных начальных
данных v€ (#') следует, очевидно, что l0, vi (x) никогда не могут
одновременно обращаться в нуль, исключая лишь * случай, когда
они все тождественно равны нулю. То же самое утверждение спра*-
ведливо, конечно, и для системы функций 10, Ц(х). Легко также
убедиться в том, что 14 (х) имеет единственный правый и
единственный левый предел в точках хт, соответствующих угловым точкам Е,
так как производные у\{х) обладают этим свойством.
§ 74. Правило множителей. Предположим теперь, что кривая Е,
определяемая функциями
Vi(x) (i==l, ..., п; я^ООз)*
дает минимум в задаче Больца. Первое условие, которому должна
удовлетворять такая кривая, выражается так называемым правилом
мпоэюителегТ. Это правило может быть выведено следующим
образом.
Рассмотрим систему
(74Л) Ъ1в, *2„ %, (*) (а = 1, ..., р +1)
р +1 допустимых совокупностей вариаций, удовлетворяющих
уравнениям вариаций Фр = 0 вдоль Е. Согласно следствию 72.1,
существует (р + 1)-параметрическое допустимое семейство кривых
(74.2) Vi{x, Ъ) [*i(b)<*<>9(6)],
содержащее Е при значениях параметров Ъа = 0 и
удовлетворяющее уравнениям Фр = 0, такое, что для, каждого о= 1, ..., р-\-1
совокупность Slff, S2ff, v\i<, {%) есть совокупность вариаций этого
семейства по Ъа вдоль Е. Если подставить функции, определяющие
это семейство, в функции J, фр то получатся функции /(b), <1^(6)
параметров Ъ. Уравнения
(74.3) J(b) = J(0)-\-u, %(Ъ) = 0
имеют решение (Ь, и) = (0, 0), соответствующее кривой Е,
которая дает минимум. Если функциональный определитель левых частей
этих уравнений по параметрам Ъ не равен нулю в точке (Ъ, и) = (0,0),
то, по теореме о неявных функциях, существует единственная
система функций Ъа(и), непрерывных в окрестности м = 0,
удовлетворяющих условиям Ъд (0) = 0 и обращающих наши уравнения
в тождества. В этом случае, однако, кривая Е не может давать

§ М. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ 233
минимум, так как из (74.3) следует, что кривые семейства (74.2),
соответствующие параметрам Ъа (и) с отрицательным значением и,
дают функционалу J значение J(b), меньшее, чем соответствующее
кривой Е значение J"(0). Поэтому для кривой Е, которая дает
минимум, функциональный определитель левых частей
уравнений (74.3) по параметрам Ь должен быть равен нулю при любом
выборе вариаций (74.1).
Из §§ 71 и 73 следует, что этот определитель имеет вид
Ji (&« Чс) I
%&. Ча) I
где для сокращения записи часть аргументов в ЧГ^ опущена, а
у вариаций (74.1) оставлен только второй индекс о. Пусть q <р +1
есть наибольший возможный ранг матрицы определителя (74.4)
для всевозможных систем вариаций (74.1) и пусть (74.1) — такая
система, для которой матрица имеет этот максимальный ранг.
Найдется система постоянных 10, е^, не равных одновременно нулю,
удовлетворяющая системе однородных линейных уравнений,
коэффициенты которых составляют столбцы определителя (74.4). Для
этих постоянных уравнения
(74.5) Vi(6. ч)+^(Е, 4l-°
должны иметь йесто при произвольной допустимой совокупности
вариаций St, S2, i\i (%)> удовлетворяющей уравнениям вариации Фр = О
вдоль Е. Действительно, если это не так, т. е. если система Jx (S, yj),
4^.(5, ч\) не удовлетворяет уравнениям (74.5), то, присоединив
к матрице (74.4) столбец Jt (5, tj), Ф^ (£, ч\), получим матрицу
ранга .р+1» что противоречит определению числа д.
Подставив выражение (73.6) для l0Jx в (74.5), получим
Члены, не стоящие в этом выражении под знаком интеграла,
линейны относительно 6А, S2, *n(#i)> Ч< (#2)* причем, выбирая в (73.5)
произвольные постоянные F > (х{) = с{ соответствующим образом,
можно добиться того, чтобы коэффициенты при всех *u(#i)
обратились в нуль. Остающееся выражение должно обращаться в нуль
при произвольном выборе 5lf S2, 4*00, Ст(#), гДе ^ (f)
непрерывно на интервале х^ за исключением конечного множества
значений х, так как функции Сг (х) и начальные значения ч\€ (#2)
определяют посредством (72.2) допустимое множество
вариаций ъ (х). Полагая ^ = ?2 == ч\{ (%2) = О, находим, что
последние п—т- множителей Ц(х) (^ = т-{-1, . • • > ») тождественно
(74.4)

240
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
обращаются в нуль, так как функции Су(#) могут быть выбраны
произвольно. Подобным же образом, полагая ^^О, S2 = YuO*?2)==
= (^ (х) Ез 0, находим, что коэффициент при ^ должен быть равен
нулю. То же заключение можно дать и относительно других
коэффициентов. Так как l0f=* F, если ^удовлетворяет уравнениям Фр= О,
то полученный результат можно сформулировать так: коэффициенты
при 61э v\i (a?j), £2, ч\€ (х2) в уравнении
(74.6) № + FypAl+W + e^ = 0
должны равняться нулю. Отсюда при помощи простых рассуждений,
приводимых далее, можно вывести следующую теорему.
Теорема 74.1. Правило множителей. Говорят, что
для допустимой кривой Е, заданной на интервале ххх2,
выполнено правило множителей, если существуют постоянные 10, е^,
не все равные нулю} и функция
(74.7) F(x, у, у', l)=l6f + h(*) ф0 (Р = 1, • •., т),
где множители Ц{х) непрерывны на интервале хгх2, за
исключением значений х, соответствующих угловым точкам Е, в кото-
рых, однако, существуют правый и левый пределы функций Ц(х),
такие, что вдоль Е удовлетворяются уравнения
X
(74.8) Fyr = ( FVi dp + сь Фэ = О,
XL
а для концов Е имеют место равенства
(74.9) [(F— y'^dx+F^dytll + lodg + e^d^^O, % = 0
при любом выборе дифференциалов dxlf dyilf dx2, dyi2. Мнооюи-
тели 10, 1${х), соответствующие какой-либо удовлетворяющей
правилу множителей кривой, не обращаются одновременно в нуль
в точках интервала хгх2. Каоюдая кривая Е, которая дает
минимум в задаче Больца, удовлетворяет правилу мноэ/сителей.
Условие обращения в нуль коэффициентов при dxu dyiv dx2 dyi2
в (74.9) называют условием трансверсальности. Оно эквивалентно
тому, что в (74.6) коэффициенты при 5Р *u(#i), &2, *w(#2) равны
нулю. Это видно из того, что уравнения (74.9) переходят в (74.6)
и обратно при преобразовании
dx1 = \ db, dyix = y'ix dx± + ij, (xj db,
dx% = 52 db, dy.2 = y'a dx2 + ^ (x2) db.

§ 74. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
241
Вычислив коэффициенты при dxi9 dyiu dx2, dyi2 в (74.9), мы
видим, что условие трансверсальности эквивалентно тому условию,
что ранг матрицы
(74.10)
—-4i-Ho0i — -£<i + W Л + га02 Bi2 + logi2
4k i iii 4^,2 4\цй
меньше .р + 1, где Аи Вп и J2, Z?i2—значения выражений
A = F-y'{Fy., B^F^
при # = 2^ и # = #2 соответственно. Эта форма условия
трансверсальности была найдена Блиссом ([17], стр. 693) для задачи Лаг-
ранжа. Эквивалентность тождеств (74.6) и (74.9) и замечание
о ранге матрицы пригодятся нам в следующих параграфах.
Множители 10, Ц{%) не могут одновременно обратиться в нуль
в какой-либо точке интервала xtx2.. Действительно, в противном
случае функции Vi(x) = F \, удовлетворяющие уравнениям (73.5)
и (73.8), обращались бы одновременно в нуль, т. е. были бы все
тождественно равны нулю. Но тогда и все Ц(х) тождественно равны
нулю, и из( (74.9) следовало бы е^ d<Jv = О, т. е. ^ = 0, так как
матрица из производных от функций ф^ имеет ранг р. Мы пришли
к противоречию, так как постоянные 10> е^ в (74.5) не все равны
Для дальнейшего важно отметить, что, каковы бы ни были
множители 10, Ц(х), е^ обладающие указанными в теореме свойствами
непрерывности и удовлетворяющие уравнениям (74.8) и (74.9)
вдоль кривой Е, все они должны тождественно равняться нулю,
если или 10, h(x) одновременно обращаются в нуль, или 10, е^
равны нулю. Утверждение для первого случая нами только что
доказано. Во втором случае из тождества (74.9) вытекает Fy\ = 0
при х — хи т. е. vi=sF' тождественно равны нулю, откуда на
основании (73.7) следует /р(#) = о.
Из правила множителей вытекают три важных следствия,
аналогичных хорошо известным утверждениям в случае простых
вариационных задач.
Следствие 74.1. Уравнения Эйлера—Лагранжа.
В каждой точке допустимой кривой Е, удовлетворяющей
уравнениям (74.8), функции F ' имеют правые и левые производные,
совпадающие всюду, кроме угловых точек Е, и такие, что
С74-11) -аг—**•

242 Гл. VI1 ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
Следствие 74.2. Уеловие Вейерштрасса—Эрдманл.
В каждой угловой точке допустимой кривой Е, удовлетворяющей
уравнениям (74.8), функции F * теоремы 74.1 имеют каждая
совпадающие левый и правый пределы.
Следствие 74.3. Условие Гильберта. На каоюдой
части допустимой, удовлетворяющей уравнениям Фр = 0 и (74.8),
кривой Е, на которой функции у{ (х), определяющие Е, имеют
непрерывные производные и определитель
(74.12) В =
Ф(*4 °
(г, Jc = l, ..., п; Р, т=1> •••> ™)
не обращается в нуль, функции yi (х), 1$ (х), соответствующие
кривой Е, имеют непрерывные производные первого порядка по х.
Первые два следствия немедленно получаются из уравнений (74.8).
Докажем третье. Пусть х0 есть значение, соответствующее
внутренней точке дуги кривой Е, на которой уг{х) имеют непрерывные
производные, и пусть определитель (74.12) не равен нулю при х = х0.
Уравнения
X
Ру'€[Ъ У(х)> «» р] = J* *i,, [я, у(х)9 у'(х)у l(x)]dx + ci9
хх
Фр[я, у(х), и)=0
имеют решение ui = yi{x), pp = Zp(#). Функциональный
определитель левых частей по переменным uif pp равен определителю (74.12)
и отличен, по предположению, от нуля при (х, и, ^) =
= [%о> У'(хо)>1 (жо)]' Таким образом, из теоремы о неявных
функциях следует, что решения % = у*(#), Цр = ^(#) имеют в
окрестности х0 непрерывные производные по х такого же порядка, как
и функции, входящие в уравнения, по переменным х, и, р. Из
вида этих функций заключаем, что этот порядок не ниже первого,
и следствие 74.3 тем самым доказано.
Если функции yi(x), 1${х) имеют непрерывные первые
производные, то функции, входящие в вышеприведенные уравнения,
имеют непрерывные частные производные по крайней мере второго
порядка пб переменным х, и, р. Следовательно, решения у\(х),
Ц(х) этих уравнений имеют непрерывные производные второго
порядка в окрестности х = х0. Продолжая эти рассуждения, убеждаемся,
что если функции /*, Фр имеют непрерывные частные производные
порядка Тс по переменным х, у, у', тд функции у\ (х), Ц (х),
соответствующие кривой Е, реализующей минимум, имеют
непрерывные производные порядка Тс — 1 в окрестности любого значе-

§ 74. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
248
ния х0, соответствующего точке кривой Е> в которой
определитель (74.12) отличен от нуля. Таким образом,, мы доказали более
сильное утверждение, чем утверждение следствия 74.3.
Утверждение следствия 74.3 и только что высказанное более
сильное утверждение справедливы и для угловых точек кривой,
реализующей минимум, если их формулировать для односторонних
производных. Докажем это. Обозначим через х0 значение,
соответствующее начальному элементу [х0, у(х0), у'(х0), 1(х0)] дуги
кривой, на которой функции у%{х) непрерывны, и предположим, что
определитель В (74.12) не равен нулю для этого элемента. На
интервале х0<х< х-\-г производные у г (х), Ц (х) существуют и
являются решениями следующих уравнений:
Fv\x + Fv\v$'b + fyw&l + Фщ = FW
(74.13) ж t ж , , ж
которые получаются дифференцированием уравнений (74.8) и
уравнения Фр = 0. Эти решения должны иметь предеды при у-+х0
справа, так как функции yi (x) и Ц (х) обладают этим свойством.
Из теоремы о среднем значении
^=^=i'[«b+»(*-y (o<e<i)
следует, что функция h (x), имеющая производную хна интервале
#о<# < #o~b е> имеет правую производную в точке х0, если Ъ! (х)
имеет предел при х-+х0 справа. Тадим образом, функции у\ (х)
и Ц(х) имеют правые производные при х = х0. Последовательным
дифференцированием (74.8) и применением тех же рассуждений
мы убедимся в существовании правых производных требуемого
порядка.
В следующей теореме мы приводим еще одно уравнение,
дополняющее уравнения (74.8), которое иногда удобно применять.
Насколько мне известно, это уравнение еще не встречалось в
литературе. Оно может быть выведено прямо из уравнения (74.8) или
из уравнения (74.11), если на кривой, реализующей минимум,
функции y'i(x), Ц(х) имеют всюду непрерывные производные.
Теорема 74.2. Каждой кривой Е, которая дает минимум,
соответствуют функции F, постоянные сь е^ обладающие
указанными в теореме 74.1 свойствами, и постоянная с, такие, что
во всякой точке кривой
(74.14) F— y'fy =» J>« tte+с
a>i

244
Гл. VII, ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
Для доказательства этой теоремы напишем уравнения кривой Е,
реализующей минимум, в параметрической форме
(74.15) * = *, Vi = yi(t) (*i<*<*a).
Кривые, заданные параметрически уравнениями
(74.16) # = Х(0, У«=Г<(0 (h<*<h),
в которых функции X, Y4 обладают в пространстве (t, X, Y)
такими же свойствами непрерывности, что и допустимые кривые
в пространстве (ху) (эти свойства указаны в § 70), могут быть
заданы в непараметрической форме, если Xt(t) не обращается
в нуль на интервале ttt2. Если элемент (t, X, Y, Xt, Yt) кривой
уравнения (74.16) лежит в достаточно малой окрестности множества
таких же элементов, соответствующих кривой (74.15), то Xt будет
отлично от нуля для кривой (74.16) и элементы (X, Y, YtIXt)
[Xfa), YitJ, X(t2) Y(t2)] кривой (74.16) будут все допустимыми.
Поэтому кривая (74.15) должна давать минимум сумме
J=g[Mh)> Т(«д x(g, r(*2)] + J7[x, Y^]xtdt
в классе кривых (74.16), удовлетворяющих условиям
ФР(Х. ^, g-)x^0, %[X(td, У(*х), Х(*2), Г(Щ]=0.
Применяя теперь теорему 74.1, мы получим уравнения (74.8)
и (74.9) и, кроме того, новое уравнение (74.14), записанное для
переменной X.
Из уравнения (74.14) можно получить два следствия,
аналогичных'следствиям 74.1 и 74.2. В каждой точке кривой Е,
реализующей минимум, выражение F—УгЕу[ имеет правую и левую
производные, равные между собой всюду, за исключением угловых
точек кривой Е, и удовлетворяющие уравнениям
d(F-y[FA
(74.17) —5r-t—*'"
В любой угловой точке прямой Е функция F—ViFy' имеет
совпадающие правый и левый пределы.
Если на кривой Е нет угловых точек и производные у"^ ^
непрерывны, то уравнения (74.14) являются следствием уравнений Фр = О
и (74.11). Действительно, в этом случае производная выражения
F—y'fFy' может быть выражена через у\, ^ и частные
производные от F и равна, как легко подсчитать, Fx. Так как выражение

§ 75. ЭКСТРЕМАЛИ
245
F—y'iFy' теперь непрерывно, то из (74.17) следует (74.14). Этот
прямой вывод не может быть проведен, если Е имеет угловые
точки.
В заключение этого параграфа обратим внимание читателя
на следующий факт: условие трансверсальности (74.9) эквивалентно
тому условию, что для любых дифференциалов dxu dyn, dx2, dyi2,
удовлетворяющих уравнениям d^==0, выполняется соотношение
(«74.18) - [(F- y'.F^ dx + Fvi dy4][ +l0dg = О.
Эквивалентность 'этих двух условий вытекает из известных
алгебраических свойств линейных уравнений. Правило множителей для
параметрической задачи, предложенное Морсом, можно
сформулировать следующим образом.
Следствие 74.4. В случае задачи с параметрическими
условиями для концов вида
(74.19) x8 = x8{tiy ..., tr), yii^^Viaifu •••» *r)
(г = 1, . *., n; 5 = 1, 2)
всякой кривой Е, реализующей минимум, соответствуют
функция F вида (74.7) и постоянные с$ такие, что уравнения (74.8)
удовлетворяются в каждой точке Е, а уравнения (74.18)
удовлетворяются тождественно относительно dth(h=l, ...,r), если
в эти уравнения подставлены дифференциалы dxs, dyis,
вычисленные из уравнений (74.19).
Это утверждение следует непосредственно из применения
правила множителей, (теорема 74.1) к соответствующей
непараметрической задаче, получаемой указанным в конце § 69
преобразованием.
§ 75. Экстремали. В предыдущем параграфе было показано,
что в задаче Больца кривая, реализующая минимум, должна
удовлетворять не только уравнениям фр = 0, но также и
уравнениям (74.11), при соответственно подобранных множителях Z0, Ц(х).
Решения этих уравнений имеют поэтому большое значение в
исследовании * задачи. В связи с этим мы назовем экстремалью
совокупность допустимой, не имеющей угловых точек кривой Е и
соответствующих множителей
(75.1) у4(х)9 70=1, Jp(*X
(г = 1, ..., п; p=lf...,m; ^OOq)»
для которой функции y'i(x)y l$(x) имеют непрерывные
производные на интервале хгх2 и удовлетворяют уравнениям фр==0 и (74.11).

246
Гл VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
Для такой системы функций (75.1) эти уравнения могут быть
написаны в следующем виде:
(75.2) F^ + F^y; + F,fy$l+Fv?l\ = F,{, Фр = О.
Они называются дифференциальными уравнениями экстремалей.
Экстремаль называется неособой, если определитель Е (74.12) не
обращается на ней в нуль.
Всякая неособая экстремаль Е может быть включена в
2п-параметрическое семейство таких экстремалей. Проще всего это можно
показать при помощи введения так называемых канонических
переменных (х, у, z)y связанных с переменными (х, у, у', I)
соотношениями
(75.3) e^Fy^x, у, у', I), 0=Фр(*, у, у').
Новые введенные здесь переменные г не надо смешивать с
переменными #у в § 72. Уравнения (75.3) определяют вдоль кривой Е
функции zi (х), обладающие непрерывными производными на
интервале х{х2. Функциональный определитель правых частей в (75.3)
по переменным у', I равен определителю (74.12) и не обращается,
следовательно, в нуль на Е. Таким образом, из теоремы о
неявных функциях следует, что существует такая окрестность 8
множества значений (х, у, #), соответствующих Е, в которой
уравнения (75.3) имеют решение
(75.4) у'. = Р.(х, у, г), Ц = Ц{х, у, *),
обращающееся в yi(x), Ц{х) в каждой точке [х, у(х), z{x)\9
соответствующей кривой Е, причем функции Pi9 L$ имеют
непрерывные частные производные второго порядка, так как правые
части в (75.3) имеют непрерывные производные второго порядка.
Теперь легко убедиться, что в окрестности S всякое решение
дифференциальных уравнений
(75.5) у'.^Р^х, у, #), ^ = ^.(х, у, Р, L)
определяет посредством уравнений (75.4) функции Ц(х),
удовлетворяющие вместе с этим решением уравнениям (75.3) и,
следовательно^ также уравнениям (75.2).
Уравнения (75.5) имеют каноническую форму и поэтому к ним
можно применить теоремы существования для дифференциальных
уравнений. Таким образом, через каждую начальную точку (х0, у0, #0)
из S проходит одно, и только одно, решение уравнений (75.5)
(75.6) yi=Yi(x, х0, у0, 0О), si = Zi{x, х<ъ у0, #0)„

§ 75. ЭКСТРЕМАЛИ
247
Так как правые части в уравнениях (75.5) имеют вторые
производные, то функции Yif Yix> Zb Z^ имеют непрерывные частные
производные второго порядка в окрестности (2?&4~2)~меРн0Г0
множества точек {х, х0, у0, #0), соответствующих кривой Е. Ни одно
из таких решений не будет потеряно, если фиксировать значение х0,
скажем задать х0 = х{. Действительно, всякое решение имеет точку,
в которой х = хг. При помощи простых рассуждений можно
показать, что при х0 — х{ и обозначениях а* = yi0, hi = zi0 (г = 1, ..., п)
функции (75.6) задают семейство экстремалей, обладающее
указанными в следующей теореме свойствами.
Теорема 75.1. Теорема включения. Всякая неособая
экстремаль Е при фиксированном множителе 10 содержится при
значениях
(75.7) xt^x^#2» ^ю» •••» апо> ^ю» •••> "wo
в 2п-пара метрическом семействе экстремалей
(75.8) yt(x, ay Ь), Sjix, а, Ъ),
где а, Ъ обозначают системы параметров (av ..., ап) и (bt, ..., Ьи).
Функции у(, yix, zif zix имеют непрерывные производные второго
порядка в окрестности множества значений (х, а, Ь),
соответствующих кривой Е. Определитель
I #iak #ibk |
не обращается в нуль на Е. При использовании переменных х, у9
у', I экстремали (75.8) определяются функциями
(75.10) t/tfa а, Ъ), /p(a?f а, Ь),
связанными с функциями (75.8) соотношениями (75.4) и (75.3).
Функции yif 1$ из (75.10) и у$ имеют непрерывные частные
производные третьего порядка.
Первая часть теоремы, за исключением утверждения об
определителе, нами уже доказана. Дифференцируя тождества
Vio^Yi 0*i> хъ Уо> *о)> *io = Zi(xv xv Mb *о)
попеременным а{ = у{0, Ъ{ = bi0> находим, что определитель (75.9)
равен 1 при x = xv В следующем абзаце мы покажем, что этот
определитель не обращается в нуль на Е, если он не равен нулю
хотя бы для одного значения х. Утверждения о свойствах
функций (75.10) вытекают из проведенных выше рассуждений.

248
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
В указанной, выше окрестности S можно определить функцию
Я(#, у, я) вида
(75.11) V U } lU* y* J
= ^«P<(»f У* z) — F(x, у, P, L).
Принимая во внимание (75.3), простым вычислением находим
следующие выражения для частных производных от этой функции:
(75.12) Hx = -Fx, Hy^-Fy., ЯЧ = Р.
Эти выражения показывают, что функция Я имеет непрерывные
частные производные третьего порядка и что уравнения (75.5)
эквивалентны системе
(75.13) y;=ffv *;=—я*.
Уравнения (75.13) называются каноническими уравнениями
экстремалей. Функции (75.8) удовлетворяют уравнениям (75.13)
тождественно относительно параметров а, Ъ. Подставив их в эти
уравнения и затем продифференцировав полученные тождества по
параметрам аъ найдем, что производные yiak, 0iajc (i==l, ..-,*)
удовлетворяют следующим линейным уравнениям:
(75Л4) V — -W y) —ТТ I
Подобным же образом находим, что всякий другой столбец
определителя- (75.9) составляет решение этих уравнений. По известной
теореме из теории линейных дифференциальных уравнений *)
определитель 2п решений системы (75.14) либо тождественно равен нулю,
либо нигде не обращается в нуль. Таким образом, теорема 75.1
доказана.
Функция Н и канонические уравнения (75.13) экстремалей
имеют много самых разнообразных применений в теории. Пусть S
есть область точек (%, у, #), соответствующая области Д, таким
образом, что каждой внутренней точке (#, у, я) области S
соответствует единственное решение {х, у, у', I) уравнений^ (75.3),
лежащее в Ви причем для него определитель (74.12) не равен
нулю. Уравнения (75.3) имеют тогда однозначное решение (75.4),
обладающее непрерывными вторыми производными в области S,
и каждое решение у(х), #(#) уравнений (75.13) в этой области
определяет экстремаль. Далее, если S содержит все точки (х, у, я),
г) Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, гл. V, § 2
(1945). (Црим. ред.)

§ 76. АНОРМАЛЬНОСТИ ДЛЯ МИНИМУМА ФУНКЦИИ ОТ п ПЕРЕМЕННЫХ 249
соответствующие точкам (х, у, у', Г), для которых (х, у, у') лежит
внутри Ви и удовлетворяет уравнениям фр = о, а множители Ц
произвольны, то любая экстремаль есть решение канонических
уравнении (75.13), т. е. уравнения (75.2) и (75.13) эквивалентны.
В заключение следует отметить, что теорема включения может
быть доказана также применением теорем существования для
дифференциальных уравнений к системе
(75-15) ^;-*v ф^+фм.+ф^й-о,
Фр[*1э yW, y'(#i)]=o,
эквивалентной системе (75.2). Первые два из уравнений (75.15),
разрешенные относительно у[ и Zp, определяют
(2w+^-параметрическое семейство решений, из которого выделяется 2^-парамет-
рическое семейство, если добавить последние т условий.
§ 76. Анормальности для минимума функции конечного
числа переменных х). Значение понятия анормальности в
вариационных задачах может быть выяснено на примере более простой
задачи о минимуме функции многих переменных. Эта задача
формулируется так: среди точек y=(yt, --.,?/и), удовлетворяющих
системе уравнений
Фр(?/) = 0 (Р"=1, ..., т<п),
найти такую точку, в которой функция f(y) имеет минимум. Мы
будем рассматривать точку у0 = (у?, ..., уп), в окрестности
которой функции / и Фр имеют непрерывные частные производные
второго порядка. Сформулируем несколько теорем, часть которых,
конечно, хорошо известна.
Теорема 76.1. Для того чтобы f(y°) было минимумом,
необходимо, чтобы сугцествовали такие постоянные 10, Ц, не все
равные нулю, чтобы производные Fy функции
были все равны нулю в точке у0.
Для доказательства этого заметим только, что определители
матрицы
I ГщЮ II
все4 должны быть равны нулю. В противном случае, по теореме
о неявных функциях, уравнения f(y) = /*(«/°) + и, фр (у) = О имели
г) Более подробно материал § 76 и 77 освещен у Блисса [56].

250
Гл VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
бы решение у при отрицательном и, и f(y°) не могло бы быть
минимумом.
Мы скажем, что порядок анормальности точки у0 равен q, если
существует q линейно независимых систем множителей вида 10 = О, Ц,
удовлетворяющих теореме 76.1. Если д = 0, то точка у0
называется нормальной. Для того чтобы порядок анормальности точки у0
был равен q, необходимо и достаточно, чтобы матрица ||Ф^.(у°)||
имела ранг т — q. Для нормальной точки у0 множители 10, 1$ в
теореме можно разделить на 10 и взять в форме 10=1, Ц. В таком
виде они определяются однозначно, ибо существование двух
различных таких систем множителей влекло бы за собой
анормальность точки.
Лемма 76.1. Если точка у0 нормальна, то для каждой
системы постоянных yj^ (г ===== 1, ..., п), удовлетворяющей
уравнениям
(76.1) Фйг,(»°)Ч«-0.
найдется такая система функций у{ (Ь), имеющих непрерывные
вторые производные в окрестности 6 = 0 ч удовлетворяющих
уравнениям фр==0, что
уДо)=у°, y;(o)=<v
Доказательство вытекает из того, что в системе уравнений
(76.2) Фр (У) - О, Фт(у) = ФТ (у0) + ЬСт
(р«=1, ..., т; if=-m-}-l, ..., »)
вспомогательные функции Фт (у), имеющие непрерывные
производные второго порядка, могут быть выбраны так, что функциональный
определитель | Фгук^У0) | не будет равен нулю. Здесь постоянные Су
определяются равенствами
(76.3) ФЩ(У°)Ъ = ^
Уравнения (76.2) имеют тощэ, решение уДЬ), причем функции
у lib) обладают непрерывными производными в окрестности Ь = 0
и удовлетворяют условиям yi (0) = yt Дифференцируя по Ъ
уравнения (76.2), в которые подставлено решение уДЬ), мы найдем
Фйг,(0°)у;(О)=О,
ф^(у°)?/;(о)=^
Отсюда ц из уравнений (76.1) и (76,3) следует yi-(°) = V

§76. АНОРМАЛЬНОСТИ ДЛЯ МИНИМУМА ФУНКЦИЙ ОТ п ПЕРЕМЕННЫХ
Теорема 76.2. Если у0—нормальная точка, в которой f (у)
достигает минимума, то для всякой системы ч\ь
удовлетворяющей уравнениям (76.1), где F=/*-f-^0p— функция, образованная
с помощью единственной системы множителей lQ=lf Ц,
соответствующих у0, долоюно выполняться условие
Заключение теоремы вытекает из того, что-функция д(Ъ) =
5=/*[?/(Ь)]^ образованная для функций ?/*(Ь) предыдущей леммы,
должна иметь минимум при Ъ = 0. Так как
Ф^[У(Ь)]«;(Ь) = 0,
то производные от д(Ъ) имеют вид
9' (Ъ) = fVi [у (Ъ)] у\ (Ь) = FVi [у (Ъ)) у'. (Ъ),
/Чо) = ^л(у°)чл
и мы должны иметь дп (0) >- 0.
Теорема 76.3. Если точке у0 соответствует система мнооюи-
телей /0=1, Ц, для которой функция F=f-^-lp<$>$ удовлетворяет
условиям
(76.4) FVi (у») = О, Fyiyh {f) ч^ > О
при всяких ч\4, связанных соотношениями
(76.5) фт{у°)^ = 0,
то f(y°) есть минимум.
Это доказывается применением формулы Тэйлора с остаточным
членом в форме интеграла. Для всякой точки у, лежащей в
окрестности точки #° и удовлетворяющей условиям ф? = 0, имеем
О
1
(76.6) 0 = Ф^ (</<>)%+ / (1 -0) Ьум(У')\ПкМ,
О
1
0=/Ф^(2/')%^,
о

252
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
где у' и t] имеют вид у* = у° + 8 {yi—y°i)y ц. = у{ —y\% Отсюда
легко находим
1
f(y) -fm^fa—VFvMWwbdb.
о
Так как квадратичная форма под знаком интеграла, рассматриваемая
как функция независимых переменных у' и ц, положительна при
уг = уо и любых t), удовлетворяющих условиям (76.5), то она будет
положительной и при ут = у°-\-Ъ(у—у0) и всех ч\, включая
ч\ = у — у0, удовлетворяющих третьему ряду уравнений (76.6),
в предположении, что у лежит в достаточно малой окрестности N
точки у0. Таким образом, мы видим, что для всех точек у из
окрестности N, удовлетворяющих условиям Фр = 0, разность
f(y)-f(y°)
положительна.
Теорема 76.1 представляет собой аналог правила множителей
для вариационных задач; в следующем параграфе содержится
теорема 77.1, аналогичная лемме 76.1; в § 80 и гл. IX будут доказаны
для задачи Вольца теоремы, соответствующие теоремам 76.2 и 76.3.
Теоремы 76.1 и 76.2 дают необходимые условия минимума в
нормальной точке у0, а теорема 76.3 дает достаточные условия
минимума. Так как для нормальной точки множители определяются
единственным образом, то достаточное условие (76.4) получается
из необходимого условия просто отбрасыванием знака равенства
в условиях теоремы 76.2. Для нормальной точки рассматриваемая
задача о минимуме не может быть тривиальной, так как из леммы
76.1 следует, что в окрестности такой точки всегда существует
бесконечное 4 число других точек, удовлетворяющих уравнениям
Фр (у) =0. Нормальная точка является неособой точкой
многообразия, задаваемого этими уравнениями.
Анормальные точки являются особыми точками этого
многообразия. Для малой окрестности анормальной точки задача о
минимуме может быть вполне тривиальной, как. например, в случае,
когда для у0 Фг = 0, и Фг принимает в точке у0 минимум в классе
точек у, удовлетворяющих уравнениям Ф2=... = Фшс=0. В
качестве простого примера можно взять также точку (yt, у2) = (О, О)
в задаче о минимуме функции / (уи у2) в классе точек' (yv y2),
удовлетворяющих уравнению Ф = у\ + у\ = 0.
Для того чтобы получить представление о большом разнообразии
типов анормальных точек, можно взять хотя бы задачу разыскания
минимума функции f(yu y2) в классе точек (уи у2)»
удовлетворяющих одному уравнению Ф (уи у2) т= 0, где функция Ф выбрана
произвольно. Очевидно, что в этом случае число различных типов
анормальных точек не меньше числа различных видов особых точек

§ ?6. Айо^мАлЬносги Для минимума функций о* п Переменных 253
на алгебраической кривой. Для анормальной точки выполнение
условия теоремы 76.2 для всех систем множителей,
удовлетворяющих теореме 76.1, не является необходимым условием минимума.
Это видно хотя бы на примере точки (0, 0) в задаче f=2yl — у\,
ф==у2у2— у* = 0. Теорема 76.3 дает достаточные условия
минимума в анормальной точке, однако ее заключение для анормальных
точек, к которым она приложима, легко могут быть получены из
рассмотрения только нормальных точек, как это показано ниже
в теореме 76.4. В этой теореме приняты следующие обозначения:
у0 —точка с порядком анормальности q, v—переменная,
пробегающая такую часть из чисел 1, ..., т, что матрица || Ф^ (у0) || имеет
ранг т — q, и, наконец, р —переменная, пробегающая оставшуюся
часть из множества 1, ..., т (т. е. пробегающая те значения,
которые не служат значениями для v).
Теорема 76.4. Если для точки у0 удовлетворены условия
теоремы (76.3) при миооюителях 10= 1, /р и если v и р— переменные,
определенные нами в предыдущем абзаце, то у° является
нормальной точкой в новой задаче o^ минимуме функции g — f-\-lft9
в классе точек у, удовлетворяющих укороченной системе
уравнений (J)v = 0. В этой задаче для точки у0-выполнены условия
теоремы 76.3 при миооюителях Z0 = 1, Zv. Наконец, если g (у0) есть
минимум для повой задачи, то f (у0) есть минимум для
первоначальной задачи.
Так как ранг матрицы ||Ф^ (У°)|| равен т — q, то точка у0
является нормальной в новой задаче. Для функции
новой задачи соотношения (76.4) выполняются при любых yj,
удовлетворяющих уравнениям
(76.7) Ф^(У°)^ = 0,
так как матрица коэффициентов линейных уравнений (76.5) имеет
ранг m — q и, следовательно, эти уравнения являются следствиями
уравнений (76.7). Множество точек у, удовлетворяющих уравнениям
4>v = 0, содержит в качестве подмножества множество всех точек,
удовлетворяющих полной системе фр = 0, на котором имеем g — f.
Таким образом, если g (y°) есть минимум для новой задачи, то
f (уО) — g (yO) должно быть минимумом для первоначальной задачи.
Из последней теоремы следует, что без ограничения общности
теорему 76.3 можно доказывать только для нормальных точек у0.
Такие точки, как мы видели, являются неособыми точками
многообразия, задаваемого уравнениями Фр = 0. Теореме 76.4
соответствует аналогичная теорема 92.2 для задачи Больца,

254 Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
§ 77. Понятие нормальности в задаче Больца. В задаче
Больца мы обозначаем через Ш, как и в § 70, класс допустимых
кривых С
уЛ*) (* = i, • ••, »; Я1ОО2),
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям Фр = 0 и условиям
для концов ^ = 0. Говорят, что порядок анормальности кривой Е
равен q, если для этой кривой выполнено правило множителей
(теорема 74.1), причем существует точно q линейно независимых
систем множителей вида /0ff = 0, Ц9 (х) (о = 1, .. ,,д). Если д = 0,
то кривая Е называется нормальной, в противном случае —
анормальной. Система множителей ?0, 1$ (х), для которой 10 = 0,
называется анормальной системой множителей. Если для нормальной
кривой существует система множителей, то эту систему всегда можно
взять в виде 10= 1, Ц{х), что достигается делением на
подходящую постоянную. Нормальная кривая Е может иметь не более
одной системы множителей вида Z0=l, l$(x), так как в противном
случае разности соответствующих множителей двух таких систем
образовывали бы анормальную систему множителей для Е.
Теорема 77.1. Для нормальной кривой,Еиз класса Ш всегда
существует допустимое однопараметрическое семейство (71.2),
состоящее из кривых класса Ш, содержащее кривую Е при
значении параметра Ь = 0 и содержащее в любой окрестности
кривой Е кривые класса Т1, не совпадающие с Е.
Эта теорема показывает, что вопрос о том, реализует ли
нормальная кривая Е минимум или нет, не является тривиальным,
ибо в любой окрестности Е имеются другие кривые класса Ш.
Нормальная кривая Е из 27£ может считаться неособой кривой
класса Ш. Анормальная кривая есть особая кривая множества Ш.
Можно построить пример анормальной кривой, в окрестности
которой йет никаких других кривых из WI.
Для доказательства теоремы следует припомнить первую часть
доказателкства правила множителей з § 74. Нормальная кривая Е
может быть включена в (i> + l) -параметрическое допустимое
семейство (74.2). Для семейства максимальный ранг матрицы,
составленной из последних р строк матрицы (74.4), должен быть равен р*
Действительно, в противном случае существуют постоянные 10 = О,
е^9 не все равные нулю, для которых имеет место соотношение
(74.5). Так же как в § 74, с помощью этих постоянных можно
найти нетривиальную систему множителей Z0 = 0, Ц{х) для Е.
Последнее заключение противоречит нормальности кривой Е, и
утверждение доказано. Предположим поэтому, что вариации (74.1)
выбраны таким образом, что определитель первых р столбцов
матрицы, составленной из р последних строк матрицы (74.4), не
равен нулю. Последние р уравнений (74.3) имеют вид
(77.1) %(Ьи ..., Ьр, Ь) = 0,

§ *7. ПОНЯТИЕ НОРМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧЕ БОЛЬЦА 255
где Ьр+г обозначено через Ъ. Эти уравнения имеют решение
Ь^ = #ДЬ) (ц= 1, ... , р), где В^(Ъ) имеют непрерывные
производные в окрестности b = О и .удовлетворяют начальным условиям
В^(0) — 0. Если подставить теперь^ (74.2) Ъ^ = В^ (Ь), то мы
получим допустимое однопараметрическое семейство, содержащее
кривую Е при Ь = 0 и состоящее из кривых класса 2К, когда Ъ
изменяется в достаточно малой окрестности Ь = 0. Обозначая Ьир+и
52»jo+i» ^i'p+iix) ?з § 74 через £ь 62> Yji(^), мы можем написать
вариации, вдоль i? для только что полученного однопараметрического
семейства в следующем виде:
(77.2) bvBl(0) + Й, g^B; (0) + Ь, т)^ (я?) В; (0) + ч< (я?).
Если последние п лз этих функций не все равны тождественно
нулю, то очевидно, семейство содержит кривые, не совпадающие
с Е. Так как функции ч\4 таковы, что определитель, о котором
шла речь, не раврн нулю, то вариации ц€ можно взять такими,
чтобы v\i и i\iv. были линейно независимы, так что в этом случае п
последних вариаций (77.2) не все равны тождественно нулю. Такие ^
можно найти следующим образом. Сначала находим из (72.2)
функции Qp соответствующие вариациям ^ (х), далее подбираем
систему функций ^ (х), линейно независимую от системы ^ (х)
(ц = 1, ..., р). Тогда, очевидно, решение уравнений (72.2), в
правые части которых подставлены £<(#)., и будет искомой
совокупностью вариаций щ (х). Теорема доказана,
Следствие 77.1. Пусть £,, &2, ц* (а?) есть заданная
допустимая совокупность вариаций, удовлетворяющая уравнениям
вариаций Фр = 5р^ = о вдоль нормальной кривой Е класса Ж,
Однопараметрическое семейство кривых из Ж, содероюащее кривую Е,
существование которого доказано в теореме 77.1, всегда можно
выбрать так, чтобы lu Е2, r\i(x) были вариациями этого
семейства вдоль Е.
Построенное в теореме 77.1 однопараметрическое семейство
будет, очевидно, иметь требуемые вариации,- если производные
Вр (0) в вариациях (77.2) все равны нулю. Если в левые части
уравнений (77.1) подставить b^— B^(b), то полученные функции
будут иметь при Ь = 0 производные
^а, -ъ)£(о)+«;а Ч)во (ix, c=i, ...,р).
Второй член в каждом из этих равенств равен нулю, так как
^i» 5a# i\i(x) удовлетворяют уравнениям 4^ = 0. Ввиду того что
определитель 14^(6,, ч\а)\ не равен нулю, все В'а(0) равны нулю,
что и доказывает утверждение следствия.
Однопараметрическое семейство в следствии 71.1 мы нашли, не
прибегая явно к построению последовательности элементарных
семейств (71.1). Каждое из этих элементарных семейств содержит

256
Гл. Vtt. ЙРАЙИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
дугу кривой Д соответствующую интервалу х' ^ х ^ х'\ при
значении 6 = 0. В следствии (77.2) отмечены некоторые дальнейшие
свойства элементарных семейств, которыми мы воспользуемся
в § 80,
Следствие 77.2. Каждое семейство последовательности
элементарных семейств в (71.1), образующей однопараметрическое
семейство теоремы 11Л и следствия 11 Л, определяется функциями
УЛ*> Ь) (#'<#<#", \Ъ\<г),
обладающими непрерывными производными уш уц, в окрестности
множества точек {х, Ь), удовлетворяющих условиям х' ^ #<;#",
Ь = 0. Если кривая Е есть экстремаль, так что определяющие
ее функции yi (x) имеют непрерывные вторые производные, то
при #'<;#0", Ь = 0 существуют производные,ут, у}ъъ, (У{ЪЪ)',
причем две последние производные равны. Для любого
элементарного семейства существуют дифференциалы, входящие в (71.3),
и для них выполнены соотношения (71.3).
Непрерывность функций yib, y'ib следует из уже установленной
непрерывности функций В^(р), составляющих решение уравнений
(77.1), в окрестности Ь = 0. Существование производных ут, у\ьь
будет установлено, если доказать, что существует вторая
производная #£(0). Для доказательства существования этой производной
нам придется воспользоваться следующей леммой.
Лемма 77.1. Если функция ч>{х, Ь) непрерывна вместе со
своей производной оъ в окрестности мноэюества значений х'^х^х",
6 = 0 и имеет производную ух, непрерывную на этом множестве,
и если х (Ь) — некоторая функция, значения которой лежат на
интервале х1 х" и которая имеет непрерывную производную
в окрестности b = 0, то при b = 0
dy[x(b),b] , ,
ЛЬ , — «а?л Г?&-
db
Лемма легко доказывается применением теоремы о среднем
значении к двум разностям, стоящим в правой части равенства
? [* (Ь), Ъ] — <? [х (0), 0] = ср [* (Ъ), Ъ]~<?[х (Ъ), 0] +
+ ?D*lb), 0]—<р[я(0), 0].
Применив лемму к функции у\ (х, Ь), определяющей какое-либо
элементарное семейство, получим
(77.3) ^^-yV + y;,

§ 77. ПОНЯТИЕ НОРМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧЕ БОЛЪЦА 257
где Ь = 0. Подставляя функции В^(Ъ) в (77.1) и дифференцируя,
находим для первой производной В^(Ъ) уравнение
гДе %р= "^г ■ ^сли 3Десь коэффициенты имеют при Ъ = О произ-
водные, то и В9(Ъ) будет иметь производную. Но из вида этих
коэффициентов можно непосредственно заключить, что они имеют
производные. Таким образом, для производной у' [ха(Ъ),Ъ] имеет-
место формула (77.3).
Существование производной (у{ьУ и равенство (yib)' = (у'^)ь
вытекают из известной теоремы о том, что функция <?{х, у\ имеющая
непрерывные производные <?х, <?у, <?ху в окрестности точки (х, у),
имеет в этой точке производную <оух, равную <рху *). Подобным же
образом, применяя еще раз эту теорему, докажем существование
производной (утУ и равенство (утУ = (у'г)ьъ.
Чтобы дополнить доказательство следствия 77.2, остается вывести
еще формулы (71.3) для дифференциалов семейства. В
доказательстве нуждается только последняя формула, для получения
которой достаточно применить формулу (77.3). Действительно, мы имеем
dy = y'dx-\-by,
d*y = dy'dx-{-y'dZx-\-by'dx-\-b2y =
= (У" dx + Ъу') dx -J- у' d4 + by' dx -J- 82j/,
что и доказывает последнюю формулу (71.3).
Кроме доказанных выше теорем, показывающих, что
нормальная кривая Е из класса Ш всегда может быть включена в одно-
параметрическое семейство, состоящее из кривых класса 9И, имеются
еще некоторые другие теоремы, выясняющие значение понятия
нормальности и применяющиеся в различных вопросах.
Теорема 77.2. Порядок анормальности кривой Е класса 2К
не больше каоюдого из чисел тир, где т — число уравнений
фр = 0 up — число условий для концов ^ = 0.
Пусть J0j=A ЦЛх) (° = 1> •••> Я) — Я. линейно независимых
анормальных систем множителей, при которых Е удовлетворяет
правилу множителей. Допустим, что q>m. Тогда существует по
крайней мере одна линейная комбинация haf0a, Kffa(%)> элементы
которой все равны нулю при х = х1т Поэтому эта система
множителей состоит из тождественных нулей, как отмечено во втором
абзаце, следующем затеор'емой 74.1, ид систем множителей линейно
зависимы. Полученное противоречие показывает, что q^Cm.
*) См., например, Ш. Ж. Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно
малых, I (1930), гл. Ш.

258
?л. vii. Правило множителей
Допустим, что д>р. Тогда имеется линейная комбинация JcJ0a,
Kha (#)» Для которой р любых заданных коэффициентов из 2л + 2
коэффициентов при дифференциалах dxti dyiv dx2, dyi2 в
квадратных скобках в формуле (74.9) равны нулю. Номера этих
коэффициентов можно выбрать так, что определитель соответствующих
членов в выражении для d^ не будет равен нулю. Так как
выражение (74.9) равно нулю тождественно относительно дифференциалов
dxv dyiv dx2, dyi2y то все постоянные е^ равны нулю и,
следовательно, в квадратных скобках вообще все коэффициенты равны
нулю. Отсюда следует, что все производные Fyrt равны нулю при
x*=xv Из этого следует, как мы сейчас покажем, что линейная
комбинация JcJ0a, 1сдЦд (х) состоит из нулей, что противоречит
сделанному допущению. Чтобы доказать это, заметим, что функции v€ = О
образуют единственное решение уравнений (73.8), с 10 = 0,
удовлетворяющее нулевым начальным условиям при х = хг. Поэтому
множители /р (х) ==s 0 образуют единственную систему множителей,
для которых Fy'j равны нулю при х = хк и удовлетворяют
уравнениям (73.5) с Z0== 0.
Теорема 77.3. Если допустимая кривая Е является
решением первых п уравнений системы (74.8) с анормальной системой
мнооюителей 10 = 0, /р (#), то на Е выполняется условие
(77.4) ^т],. = const.
при любой допустимой совокупности вариаций т^ (х),
удовлетворяющей уравнениям вариаций Фр = О вдоль Е.
При выполнении условий теоремы очевидно, что
(77.5) ^, + ^ = /^ = 0.
Из рассмотрения п первых уравнений си'стемы (74.8) следует, что
левая часть условия (77.4) есть непрерывная функция на
интервале xtx2, соответствующем кривой Е, производная которой для
значений х, не соответствующих угловым точкам кривой Е или
точкам разрыва функций -%, равна левой части уравнения (77.5),
т. е. равна нулю. Отсюда следует заключение теоремы.
Теорема 77.4. Для того чтобы порядок анормальности
допустимой кривой Е был равен q, необходимо й достаточно,
чтобы в классе допустимых вариаций £lff, ?2ff, y\ig (х) (о = 1, ..._, р),
удовлетворяющих уравнениям Фр = 0 вдоль Е, максимальный ранг
матрицы
(77.6) Ц*»(«„ -ОII
был равен р — q.
Для доказательства теоремы напомним (см. § 74), что система
h> Ц(х)> V Для которой Е удовлетворяет правилу множителей,

§ $7. ПОНЯТИЕ НОРМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЛЕ БОЛЬЦА
259
состоит целиком из нулей, если 10> /р (х) или Z0, e^ одновременно
обращаются в нуль. Отсюда следует, что системы множителей Z0j,
Ца (х), е^д (о = 1, ..., s) линейно независимы тогда, и только тогда,
когда l0s, Цв или 10а, е^ линейно независимы.
Для всякой анормальной системы l0 = 0, h 0*0 > е^ постоянные е^
таковы, что
(77.7) еДД5, Ч)==0
для любой допустимой совокупности вариаций 5t, i2> *t\i(x)>
удовлетворяющей уравнениям Фр = о вдоль Е. Это следует из применения
теоремы 77.3 и из того, что выражение (74.6) обращается
тождественно в нуль для такой системы вариаций. При доказательстве
теоремы 74.1 уже было отмечено/ что обращение в нуль
выражения (74.1) тождественно относительно Ьи ч\п, Sa, r\i2 эквивалентно
обращению в нуль выражения (74.9) тождественно относительно
дифференциалов dxv dyiu dx2i dyi2.
Пусть максимальный ранг матрицы (77.6) равен _р — q. Тогда q
есть число линейно независимых систем чисел е^у для которых
выполняется условие (77.7). Из рассуждений относительно
соотношения (74.5) в § 74 следует, что каждой такой системе е^
соответствует такая анормальная система 10 = 0, Ц(%), в^, что для нее
кривая Е удовлетворяет правилу множителей. Таким образом,
существует q линейно независимых анормальных систем множителей
Z0 = 0, Ц(х). С другой стороны, таких систем не может быт^
больше q, так как в противном случае существовало бы более q
линейно независимых систем е^, для которых выполнялось бы
условие (77.7), что невозможно. Тем самым теорема 77.4 доказана.
Задача Больца с закрепленными концами получается, когда число
независимых условий для концов ф^ == О в (69.3) равно. 2п-\-2,
т. е. равно общему числу концевых значений переменных х, у4.
В этом случае все кривые, удовлетворяющие условиям для концов,
в частности, все кривые класса 9№, имеют при х = хи а также
при # = #2,одну и ту же концевую точку.
Правило множителей выполняется; конечно, для кривой Д
дающей минимум в случае задачи Больца с закрепленными концами.
Однако условие трансверсальности может быть здесь опущено, так
как число постоянных е^ равно 2п-\-2 и они могут быть выбраны,
следовательно, всегда таким образом, чтобы (74.9) удовлетворялись
тождественно относительно dxu dyix, dx%, dyi2. Поэтому в случае
закрепленных концов условие трансверсальности не дает ничего
нового.
В задаче Больца кривая Е называется нормальной или
анормальной порядка q на интервале х'х'\ если соответственно она
является нормальной или имеет порядок анормальности q в
соответствующей задаче с закрепленными концами на этом интервале.
Из только что сказанного очевидно, что кривая Е имеет порядок

260
Гл. VII. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ
анормальности q на интервале х'х" тогда, и только тогда, когда
на интервале х'х" она удовлетворяет уравнениям (74.8) при q и
только q линейно независимых анормальных системах множителей
*о = 0, Ц{х).
При таком определении нормальности на интервале замечания,
сделанные в § 68, приобретают большую значимость. Различие
между нормальными и анормальными кривыми в задаче Лагранжа
было замечено Майером в 1886 г. *) и было особо подчеркнуто
Эшерихом в 1899 г. 2) С тех пор различные доказательства основных
теорем для задачи Лагранжа проводились при том предположении,
что рассматриваемая кривая Е является нормальной на всяком
частичном интервале х'х", или щ>и несколько более сильном
предположении, что кривая Е имеет продолжение, нормальное на каждом
частичном интервале3). В результате работ Блисса [17], Морса и
Миерса [24], Грейвза [29] и Макшейна [64] оказалось возможным
дать доказательства необходимости выполнения правила множителей
и условий Вейерштрасса и Клебша для кривой, которая дает минимум,
не делая каких-либо предположений о нормальности (условия Вейер-'
штрасса и Елебша рассмотрены в следующей главе). В своих работах
о достаточных условиях минимума Морс [19, 22, 23] впервые
освободился от предположения о существовании продолжения кривой,
дающей минимум. Хэстенс [38], Морс [41] и Рейд [51] дали доказаг
тельства достаточных условий, пригодные для нормальных кривых,
не являющихся обязательно нормальными на каждом частичном
интервале, а такя^е и для некоторых типов анормальных кривых.
х) Mayer, Begrundung der Lagrangeschen Multiplicatorenmethode in
der Variationsrechnung, Mathematische Annalen, XXVI (1886), 74.
2) Esohe^ich, Die zweite Variation der einfachen Integrate (IV Mit-
theilung), Sitzungsberichten der Jcaiserlichen Akademie der Wissenschaften in
Wien, CVIII (1899), 1920.
3) См., например, В о 1 z a, Vorlesungen tiber Variationsrechnung, стр. 603;
Hahn, Bemerkungen zur Variationsrechnung, Mathematische Annalen, LVIII
(1904), 152; Bliss [17], стр. 718, 735, 737.

Глава УШ
ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
§ 78. Необходимые условия Вейерштрасса и Клебша. В этом
параграфе излагается метод Грейвза доказательства необходимости
выполнения условия Вейерштрасса для нормальной кривой,
реализующей минимум в задаче Больца. Такая кривая удовлетворяет
правилу множителей при единственной системе множителей 10=1,
1$ {х)> <V так как система из разностей множителей двух таких
систем состоит из нулей ввиду нормальности кривой Е. Согласно
теореме 77.4, существуют допустимые совокупности вариаций S1(J,
S2ey, %d(#) (а=1, ...,^), удовлетворяющие^ уравнениям Фр = 0
вдоль Е, для которых опредедитель l^ft,, t|0| отличен от нуля.
Обозначим цифрой 3 произвольно выбранную точку кривой Е,
лежащую, между угловыми точками Е. Пусть F* (i = l,...,w)—
ряд таких чисел, что элемент [#8, у(#8), Y'] является допустимым
и удовлетворяет уравнениям ф? = 0. В следующем параграфе мы
докажем, что тогда можно подобрать расширенную систему
уравнений (72.1), обладающую указанными в § 72 свойствами
непрерывности в окрестности элемента [%, у(%в), Г'], а также и в
окрестности кривой Е, такую, что функциональный определитель | <^iyW
отличен от нуля для [#8, у (#8), Y'], а также и для всех элементов
кривой Е. Уравнения (72.1)^ определяют теперь функции #Y (#),
соответствующие функциям «/*(#), определяющим кривую Е, и
постоянные £,, соответствующие элементу [#8, у (#3), Y']. Уравнения
вариаций (72.2) определяют, далее, системы функций Сто(#)
(о= 1, ... , р)у соответствующие допустимым совокупностям
вариаций Slff, S2ff, Чй^)» ° которых говорилось в предыдущем абзаце.
Применяя метод § 72, можно теперь убедиться, что существуют
три семейства допустимых кривых
yt{x, Ъ) (хг — Ъ<х<хв, |Ь|<е),
(78.1) Yi(x9 Ъ) (#3003 + е, |Ь|<«, М<«).
yi(x, b, е) (#8 + в002 + 8> |Ь|<е, |е|<г),
удовлетворяющих в первом и третьем из указанных выщ§ оттер*
валов дифференциальным уравнениям
(78.2) y'i = Xi [х, У, в (х) + Ъ£9]

262 Гл. VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
вида (72.3), а на втором интервале — уравнениям
(78.3) yj —X«C&i ^ *)
и удовлетворяющих, кроме того, начальным условиям
У г («1, Ъ) = Щ (Хг) -f ЪвЩь (Я?!),
(78.4) r«fof Ь) = У*(#з> Ь),
2/*(#з+е> ь> <0=Г*(#3 + е, Ъ).
Системы (78.2), (78.3) эквивалентны системам
(78 5) Ф{*= °' Фт = ^ ^ ^ ^ ^'
Фр = °> Фт = 2т
соответственно, а Г' равно значению (78.3), когда аргументами
служат (хд, у3, Z). При е>0 три семейства (78.1) составляют
вместе одно допустимое (р -}- 1)-параметрическое семейство,
состоящее из конечной последовательности примыкающих элементарных
семейств. Функции, определяющие эти элементарные семейства, а
также их производные по х имеют непрерывные частные производные
по параметрам Ь, что легко доказать тем же способом, каким были
доказаны леммы 72.1 р 72.2. Эти функции и их производные по х
имеют также непрерывные производные по параметрам е, так как
на основании теорем существования для дифференциальных
уравнений функции (72.4), являющиеся решением уравнений (72.3),
имеют непрерывные производные как по переменным у^, b [что
было отмечено в тексте, следующем за формулами (72.4)}, так и
по х0 **).
При Ь = е = 0 функции первого и третьего рядов в формулах
(78.1) совпадают с функциями у^ (х), определяющими кривую Е.
Действительно, подобно функциям iji (x), эти функции удовлетворяют
уравнениям (78 5) при Ъ = О, непрерывны и на основании условий
(78.4) принимают при х = хг начальные значения уД^), а решение
уравнений (78.5), удовлетворяющее заданным начальным условиям,
определяется, как мы знаем, однозначно. Вариации первого и третьего
семейств (78.1) вдоль Е по параметру Ьа удовлетворяют уравнениям
вариаций (72.2), в которых t;iff (х) соответствуют вариациям 4\ia (x).
Дифференцируя соотношения (78.4), находим, что эти вариации
составляют непрерывное решение уравнений (72.2), принимающее
начальные значения %„(^i) и совпадающее, следовательно, с решением
*1г* 0*0- Обозначим через ^ 0*0 варвдция вдоль Е цервого и третьего
*) См. приложение, часть II. в частности, § 6,

§ 78 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ВЕЙЕРШТРАССА И КЛЕБША 263
семейств по параметру е. Они, очевидно, удовлетворяют условиям
Фр = 0 и
(786) Ч<(*)™0 fo — 8<a;<>3)
где второе соотношение получается дифференцированием первого
и третьего уравнений (78.4) по е. Отсюда видно, что, вообще говоря,
функции y\i (х) разрывны при х = хь. Это, однако, никак не отра-/
зится на справедливости следующих ниже рассуждений. Мы будем
обозначать совокупность ^ = 0, £2 = 0, ^0*0 через \ъ S2, i\i(x).
Пусть концевые точки кривых (78-. 1) соответствуют значениям
(78.7) *.(Ь) = *в+ЬЛ. (5 = 1,2).
Если значения переменных для этих концевых точек подставить
в функции ф^, то эти последние превратятся в функции ^ (Ъ, е)
параметров Ъ и е. Эти функции имеют производные при (Ь, е)= (О, 0)
Так как реализующая минимум кривая i? удовлетворяет условиям
<5^ = 0, то уравнения
(78.8) фДЬ, е) = 0
имеют частное решение (Ь,е) = (0, 0), для которого
функциональный определитель
не равен нулю. Поэтому уравнения (78.8) определяют функции
Ьа = Вв(е), обращающиеся в нуль при е = 0и обладающие
непрерывными частными производными в окрестности этого значения.
Для значений этих производных при е = О выполнены соотношения
(78.9) Ч^ &, ъ) Б; (0) + ЧГ, (5, т)) = 0.
Если значения Ъ9=Ва(е) подставить в функции (78.1) и (78.7),
то получится однопараметрическое семейство кривых, содержащее
кривую Е при е = 0. При достаточно малом е все кривые этого
семейства суть допустимые кривые, удовлетворяющие условиям
фр = Ф|ь = 0. Такрм образом^ все они принадлежат классу 9ЯТ
дЬя

264: Гл. VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Подставив функции (78.1) и (78.7) в выражение для J*, мы
получим функцию от Ъ и е
J{K е)=д{*1(Ъ), у[хх{Ь), Ъ], х2(Ъ)у у[х2(Ъ), Ъ, е]} -f
+ f f[x, У(х, Ь). у'(х, b)]dx +
о?3 + е а?2(&)
+ / П*, Y, T)dx+f />, у(х, ft, е), у' (я, Ъ, е)] dx.
Используя условия фр = 0, правило множителей теоремы 74.1
с условием трансверсальности в форме (74.6) и соотношение (78.6),
простым дифференцированием и интегрированием по частям
находим для значений производных от J при (ft, е) = (0, 0) следующие
соотношения:
а£+Л<?..ч.) = о,
(78.10) дТ
§+W£> ч) = [Я(*. у, у', г, Щ".
где
Е(х, у, у', I, Y')=F(x, у, Y', l)—F{x, у, у', I)-
— (Г4—ф 2^(ж, у, у', Q
— функция Е Вейерштрасса.
Кривые (78.1) не являются допустимыми при малых
отрицательных е. Действительно, каждому значению из интервала #3 + в<
< х < xz соответствуют в этом случае три точки такой кривой.
Напротив, при малых положительных е эти кривые являются
допустимыми. Следовательно, при таких е однопараметрическое
семейство, получаемое подстановкой Ъ^ = В^(е) в функции (78.1) и
(78.7), состоит из допустимых кривых. Если на кривой Е сумма J
достигает минимума, то значение суммы J на кривых этого
семейства не может убывать при возрастании е от нуля. Поэтому
значение производной функции J [В (и)у и] при е я о, равное выражению
ь/(0,0) БД0) + JTe(Of 0),
должно быть неотрицательным. Из уравнений (78.9) и (78.10)
следует, что оно равно значению функции Е(х, у, у\ Z, Г')
в точке 3. Теперь можно высказать следующую теорему.
Теорема 78.1. Необходимое условие
Вейерштрасса. Говорят, что допустимая кривая Е9 удовлетворяющая
условиям Фр = 0 и правилу множителей с множителями Jq=1> ^з (х\

§ 78. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ВЕЙЕРШТРАССА. И КЛЕБША 265
удовлетворяет необходимому условию Вейерштрасса с этими
множителями, если для всякого элемента (#, у, у\ I) привой
Е выполняется неравенство
(78.11) Е(х, у, у\ I, Г')>0
при всевозможных допустимых (х, у, У')ф(х, у, у'),
удовлетворяющих условиям фр = 0. Любая нормальная реализующая
минимум кривая Е удовлетворяет этому условию.
Выше была доказана необходимость выполнения этого условия
для реализующей минимум кривой Е только для элементов
(х, у у у', I), лежащих между угловыми точками кривой Е. Из
соображений непрерывности очевидно, однако, что условие (78.11) должно
выполняться также и в угловых точках.
Следует еще раз подчеркнуть, что приведенное доказательство
необходимого условия Вейерштрасса имеет силу только для
нормальной кривой. Совсем недавно Макшейн [64] доказал, что у
реализующей минимум кривой Е, нормальна она или нет, всегда
существует такая система множителей l0, Zp(#), что для нее Е
удовлетворяет как правилу множителей, так и необходимым условиям
Вейерштрасса и Клебша.
Пусть Тс|(ё = 1, .. .,п) есть система чисел, удовлетворяющая для
элемента (х, у, у'9 I) нормальной реализующей минимум кривой
Е уравнениям
(78.12) Ф^;7Г< = °-
Этим числам п4 поставим в соответствие п — т чисел *у следующим
образом:
(78.13) фт^. = хг
Уравнениям
фр (х, у, р) = О, Фт(х, у, р) = ^ + ехт
удовлетворяет начальная точка (е, р) = (0, у'\ следовательно, эти
уравнения имеют решение Pi(z), для которого Pi(0) = y'i и
р\ (о) = izi9 так как эти производные удовлетворяют уравнениям
(78.12) и (78.13), если их подставить туда вместо ^.
При достаточно майых в точки [#, у, р(е)] лежат внутри области
Вг и, как следует из предыдущей теоремы, удовлетворяют условиям
Е[х, у, у', I, i>(e)]>0.
Подставляя сюда развернутое выражение функции Е [см.
формулу, стоящую вслед за (78.10)], простым вычислением находим,
что, первый член получаемого неравенства, а также его первая
производная по е, обращаются в нуль при е = 0. Вторая его про*

266
Гл. VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
изводная при е = 0 есть квадратичная форма -fyy'Vb и Д°лжна
быть неотрицательной. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 78.2. Необходимое условие Клебша.
Говорят, что допустимая кривая Е, удовлетворяющая уравнениям
фр==0 и правилу множителей с множителями f0=l, Ц{%),
удовлетворяет необходимому условию Клебша с этими
множителями, если для всякого элемента (х, у, у/', I) кривой Е
выполнено неравенство
ру\ук(х> У> У'> *)*«**>О
при любых (тс1; ..., кп) ф (О, ..., 0), удовлетворяющих
уравнениям
Всякая нормальная реализующая минимум кривая должна
удовлетворять этому условию.
§ 79. Лемма и следствие. В § 72 и 78 часто употреблялась
расширенная система уравнений фр = О, ФТ = #у, для которой
функциональный определитель | Ф. ' | не равен нулю, Существование
такой системы может быть доказано различными способами. Одно
из доказательств основывается на следующей лемме и ее следствии.
Лемма 79.1. Пусть \\а$к{х)\\ (&=1, ..., п; р==1, ...,
т < п) есть матрица, состоящая из функций непрерывных всюду
в интервале хг^. х-^х2, за исключением конечного числа точек
разрыва, в которых эти функции имеют правый и левый
пределы. Если на всех точках интервала xvx2 ранг этой матрицы
равен т, то существует такая расширенная матрица ||a<ft(#)||
[г, й? = 1/ ..., п, все атй.(х) (? = т-f^ 1, ..., п; Jc=l, .. ., п) —
многочлены], для которой определитель \aik(x)\ на интервале
хгх% не обращается в нуль.
Покажем сначала, что •"можно подобрать такую строку ак{х),
состоящую из непрерывных функций, что ранг матрицы
II а№ 0*0 |
I ак (х) I
будет равен m-f 1 на всех точках интервала %tti2- Очевидно, что
на интервале хг <; х <; хг настолько малом, что один из
Определителей порядка т матрицы ||а^(#)|| остается в нем отличным от
нуля, такую строку функций ак(х) подобрать можно. Пусть Е есть
точвдц * верхняя грань концов х* интервалов, для которых лемма

§ 79. ЛЕММА И СЛЕДСТВИЕ
267
верна, и пусть X и \ъ пробегают каждая такую систему из т чисел,
что определители
IM*—о)1, 1М*+о)|
не равны нулю. Тогда для достаточно малого е будет
1М*)1=£0 (Е — еО<2),
\а^{х)\фО (£<^<E + e).
Пусть хи х', где % — в<а/<£, есть интервал, для которого можно
подобратьл функции ак(х)Тя пусть j— некоторое число, не
входящее в совокупность чисел, пробегаемых индексом X. Для любого
>1фЗ в ряду чисел 1, ..., п функцию а<(#) продолжим следующим
образом:
а€ (х) = аг (а?') {х' < х < I);
тогда функция aj (x) может быть непрерывно продолжена на тот
же интервал так, чтобы
ах(х)
аи(х)
а5{х)
фО (>'<#<£).
Таким же образом, когда j не входит в совокупность чисел,
пробегаемых индексом ц, можно непрерывно продолжить с
сохранением нужных свойств функции ак(х) на интервал £<#-<£•+•£.
Отсюда ясно, что 6 не может быть меньше хъ и утверждение
доказано. Присоединяя, далее, к нашей матрице новые строки так,
чтобы ранг все время повышался на единицу, мы получим,
наконец, матрицу ||а«(а?)||, определитель которой не обращается в нуль
на интервале ххх%. Без нарушения требуемых свойств можно
заменить функции aik (x) многочлелами, аппроксимирующими их
с достаточной степенью точности. Лемма, таким образом, доказана.
Следствие 79.1. Пусть каоюдой из конечного числа точек Ь
интервала х{х2 поставлена в соответствие матрица постоянных
||Ьр&|| ранга т. Тогда многочлены а^к(х) предыдущей леммы
могут быть выбраны так, чтобы в точках 6 удовлетворялись
неравенства
(79.1) (р-1,
т:
aYfc (6)
T = w + 1,
ФО
., п\ fc=l, .. ., п).
Пусть X пробегает т чисел так, что определитель \Ъ^\ отличен
от нуля, и пусть j не совпадает ни с одним из этих чисел.
Функция ат+1л 0*0» если эт0 необходимо, может быть немного измз-

268 Гл- VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
нена вблизи от точки 5 так, чтобы она осталась непрерывной,
чтобы
I Ят + 1,х(£) Q>m+l,j(t) I
и чтобы определитель | aik (x) | не обращался в нуль на интервале
ххх2. Делая то же самое для остальных точек 5, мы достигнем
того, что ранг каждой из матриц (79.1) будет равен m-f-l.
Поступая так же для следующих рядов точек и аппроксимируя затем
а^к(х) многочленами, мы придем к матрице ||аю(а?)||, обладающей
требуемыми свойствами.
Чтобы построить функции Фт(#, у, у') уравнений (72.1),
положим функции а,рк(х) равными производными Фр^ вдоль кривой Е.
Функции
(79.2) Фт (я?, у, у') *= а^(х) у'ъ,
составленные из функций а^к(х) леммы, будут тогда обладать
свойствами, указанными в § 72. Постоянные Ф$у' [#3, у{%ъ), Y' (хв)]
во втором абзаце § 78 могут быть обозначены через Ъ$к, а
значения #3—через t Функции (79.2), составленные из функций а^к(х)
следствия 79.1, будут удовлетворять требованиям для уравнений
(72.1), указанным в § 78.
§ 80. Вторая вариация и четвертое необходимое условие
минимума. В этом параграфе мы будем считать, что
рассматриваемая кривая Е принадлежит классу 9№, является экстремалью и
удовлетворяет правилу множителей теоремы 74.1 с множителями
вида Z0= 1, Ц (х). Мы полагаем, далее, что кривая Е определяется,
как обычно, функциями
(80.1) iji (х) (г = 1, ..., п; хг < х < х2)
и содержится в однопараметрическом допустимом семействе кривых
класса 3№,
(80.2) У< = у, (х, Ъ) [х, (Ь) < х< х2(Ъ); | Ъ \ <в],
обладающем указанными в следствии 77.2 свойствами
непрерывности. Эти свойства достаточны для получения формулы второй
вариации. Вариации семейства (80.2) вдоль кривой Е обозначаются,
как и раньше, через 5Х, Е2» %(#)•
Если Е есть нормальная неособая реализующая минимум
кривая без угловых точек, то она, конечно, удовлетворяет принятым
выше условиям, как мы увидим далее при доказательстве
теоремы 80.1. Однако следующее выражение второй вариации можно
получить для любой экстремали Е ipacc^ 2R с множителями вцда

§ 80. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ И ЧЕТВЕРТОЕ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ 269
Сумма J на кривых семейства (80.2) есть функция J{b),
имеющая первый дифференциал (73.1). Выражение (73.1) можно
привести к более удобному виду
прибавив к (73.1) члены, равные нулю. Эта формула имеет место
для всякой кривой семейства (80.2). Для рассматриваемой кривой Д
для которой Ъ = 0, дифференциал dJ равен нулю, что легко
получить интегрированием по частям с учетом того, что Е
удовлетворяет правилу множителей теоремы 74.1.
Применяя лемму 77.1 к функции
F[x, у(х, Ъ), у'(х, Ъ), 1(х)],
рассматриваемой как функция от х и Ъ, находим для второго
дифференциала d2J = J" (0) db2, взятого для кривой Д выражение
d2J= [Fd4 + Ff dx* -\-2Fyibyidx + 2Fy'iby'idx]l + d*g-\-
+ «,*%+/ [V*yi+Fyfyi + 2<»(*, ty, 4')] dx,
где 2o) — квадратичная форма
Символом Fr обозначена полная производная функции F по х.
Интегрируя по частям первые два члена под знаком интеграла
в выражении для d2J и исключая 8-дифференциалы при помощи
соотношения (71.3), находим
ЛГ« [Fd4+(d\-ytid2x)Fyfi]^+d2g^e^\+
+ №.—У'&€)dx*-\r2Fyi dVidx]\ + f 2ш&*.
хх
В ятом выражении коэффициенты при d'*xu d2yiu d2x2, d2yi2
равны нулю, ввиду условия трансверсальности (74.9). Поэтому для
d2J получается окончательно следующее выражение:
(80.3) ?
-b-e^ + j 2да(я, Ъу, by')dx,

1*л VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
где 2q — квадратичная форма относительно dxu dyiu dx2, dyi2
с коэффициентами, равными вторым производным от д, а 2д^ —
аналогичная форма, составленная для функции ty . С помощью
вариаций
(80.4) ^ = <(0), 52 = <(0), \{x) = yib(x9 0)
можно также написать
«Те О, -П) = 2y [?!, %(«!), £2, 4<(«а)] +
«1
а 2? [dxu Ьуп, dx2, byi2] обозначает совокупность членов в
формуле (80.3), которые не находятся под знаком интеграла и
в которых дифференциалы dxu dyiu dx2, dyi2 заменены их
выражениями (71.3) через dxl9 byilt dx2, byi2.
Выражение J2 (S, ч\) называется второй вариацией суммы J
вдоль кривой Е. Оно вполне определено для допустимых
совокупностей Ъи £2, ъ (я) вдоль любой экстремали с множителями вида
10=1, Ц(х). Вторая вариация называется неотрицательной, если
она положительна или равна нулю при любых допустимых
вариациях 6Ь £2, y\i (#), удовлетворяющих условиям Ф$= ^ = 0 вдоль Е.
Она называется положительно определенной, если она
неотрицательна и обращается в нуль только тогда, когда lv S2> ^\iix)
тождественно равны нулю. С помощью полученной формулы второй
вариации легко устанавливается четвертое необходимое условие
минимума.
Теорема 80.1. Четвертое необходимое условие
минимума. Говорят, что экстремаль Е с мнооюителями 10= 1,
Ц (х) удовлетворяет четвертому необходимому условию минимума,
если вторая вариация J2(t, vj) вдоль Е неотрицательна: Если
нормальная неособая, не имеющая угловых точек, кривая Е pea-
лизует минимум J, то она удовлетворяет четвертому
необходимому условию.
Заметим прежде всего, что так как кривая Е реализует
минимум, то она удовлетворяет правилу множителей теоремы 74.1.
Если Е—нормальная кривая, то соответствующие ей множители
можно взять в форме 10=1, Ц(%), причем, ввиду замечания,
сделанного в первом абзаце § 77, в такой форме эти множители
определяются однозначно. Если кривая Е—неособая и не имеет
угловых точек, то она является экстремалью, что легко заметить,
где
(80,5)

§ 81. ПРИСОЕДИНЕННАЯ ЗАДАЛА. О МИНИМУМЕ 2?!
вспоминая следствие 74.3 и определение экстремали в § 75. Таким
образом, согласно теореме 77.1. и следствиям 77.1 и 77.2,
кривая Д удовлетворяющая условиям теоремы, может быть включена
в однопараметрическое семейство (80.2) кривых класса 8К. Так как
кривая Е реализует минимум, то функция J (Ь) для этого
семейства имеет минимум J"(0) и, следовательно,
J'(0) = 0, «T(0) = J9a Ч)>0.
Таким образом, первая производная обращается в нуль, что уже
было доказано, а вторая производная неотрицательна при любых
допустимых вариациях 61э $2, Ч* (#)э удовлетворяющих условиям
Фр = ЧГ^, = 0 вдоль Е% так как все такие вариации являются
вариациями соответствующего семейства (80.2), как утверждается в
теореме 77.1 и ее следствии. Теорема 80.1, таким образом, ^доказана.
§ 81. Присоединенная задача о минимуме. Доказанное в
теореме 80.1 свойство, неотрицательности второй вариации вдоль
нормальной неособой кривой Е без угловых точек, реализующей
минимум, наводит на мысль о рассмотрении вспомогательной задачи
о минимуме, называемой присоединенной задачей. Эта задача
формулируется так: в классе допустимых вариаций 61э £2, **)*(#)* УД°"
влетворяющих уравнениям вариаций Фр = О, W = 0 вдоль Е, найти
такие вариации, для которых вторая вариация J*2 (^ Ч) Для Е [см-
выражение (80.5)] достигает минимума. Как мы увидим в
доказательстве леммы 81.3, эта задача эквивалентна некоторой задаче
Больца. Всякой экстремали Е с множителями вида Z0=l, Ц(%)
соответствует своя присоединенная задача, так как для таких
кривых выражение (80.5) для второй вариации имеет смысл. Й4 этом
параграфе мы будем предполагать, если не оговорено противное,
что рассматриваемая экстремаль Е имеет множители этого вида и
является неособой.
Аналогично уравнениям (74.11) и Фр = 0, мы имеем следующие
уравнения экстремалей присоединенной задачи:
(81Л) тг-^-°' *?=<>,
где Q имеет вид
(81.2) 9(я, т], V, Х) = ш + Ар(я?)Фр,
т. е. является однородной квадратичной формой переменных %,
щи Хр. Уравнения (81.1) называются присоединенными дифферен-

272 Гл. Vllt. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
циальными уравнениями*). Канонические переменные %, %, C<
связаны с переменными х, % %, Хр уравнениями
(81.3) С, = ^^ {X, ЧЦ, 1$, *), О = Ф? (и, Y), У)'),
в которых правые части линейны относительно r\if щ, Хр, причем
определитель коэффициентов при щ, Хр равен очевидно,
2т/г'
Ф,
Q
К
о
Ф
щ
о
Так как Е, по предположению,—неособая кривая, то этот
определитель всюду отличен от нуля, и линейные уравнения (81.3)
имеют решения
(81.4)
т];.=пд#, Y), о, хр=Лр(#, т), с),
линейные и однородные относительно переменных 4\if С*.
Определим функцию Гамильтона £, аналогичную функции (75.11),
4Х«, Ч, С) = К21)--2],1' = 11Д = Л = !;Л-2(а;, т,, П, А).
Она является однородной квадратичной формой переменных г|,, С*
с коэффициентами, являющимися функциями х, имеющими
непрерывные частные производные на интервале хгх2, на котором задана
кривая Е. Рассуждая так же, как в § 75, видим, что
уравнения (81.1) эквивалентны каноническим присоединенным
уравнениям
(81.5) т,;=&4, c;=-#v
аналогичным уравнениям (75.13).
Системы (81.1) и (81.5) являются, в известном смысле,
уравнениями вариаций вдоль кривой Е для уравнений Эйлера—Лагранжа
(81.6)
dF„
'i
dx
*ir,-o*
Фр = 0
и канонических уравнений (75.13) .первоначальной задачи
соответственно. В самом деле, уравнения (81.6) удовлетворяются
тождественно относительно х и произвольных постоянных аь Ъг
функциями (75.10), определяющими семейство экстремалей, кото-
г) Escherich, Die zweite Variation der einfaohen Integrate (I. Mit-
theilung), Sitsungsberichten der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in
Wien, CVII (1898), 1236; Bolza, Vorlesungen liber Variationsrechnung,
стр. 622.

§ 81 ПРИСОЕДИНЕННАЯ ЗАДАЛА О МИНИМУМЕ
273
рое- содержит неособую кривую Е при xt <; х <; х2, ai0, bi0. Если
эти функции подставить в уравнения (81.6) и полученные тождества
дифференцировать по какому-либо параметру а из числа
параметров аь bit то будет видно, что функции ^ = Уга(%, ао> &о)>
^ = *РаО^ ао> Ь0) удовлетворяют уравнениям (81.1). Подобным же
образом, дифференцируя соотношения
*<(*, <*>> b)=Fyr4[x, у(х, а, Ъ), у'(х, а9 Ъ), 1{х, а, Ь)],
0 = Фр[а?, у(х, а, ft), у'{х, а, Ъ)],
найдем, что производные С* = #га связаны с производными ^ = уш
*р = ^а вдоль i£ уравнениями (81.3) и, следовательно, % = у*а,
Q = 0ia удовлетворяют каноническим присоединенным
уравнениям (81.5). Таким образом, столбцы-матрицы (75.9) образуют 2п
независимых решений уравнений, (81.5). Так как они являются
также решениями уравнений (75.14), то легко видеть, что
системы (75.14) и (81.5) тождественны и
(81.7) 2ф = НЩУк%%1-2ГГу^к-1- ff%t.Cr
Из замечания, сделанного после уравнений (75.12), и из свойств
семейства экстремалей (75.8) следует, что коэффициенты
квадратичной формы «£, соответствующей кривой Е, суть функции х,
имеющие непрерывные производные по крайней мере первого порядка
в окрестности интервала хкх2.
Под решением уравнений (81.5) мы будем подразумевать
функции ъ (х), С< (#), имеющие непрерывные производные в
окрестности интервала xvx% и удовлетворяющие этим уравнениям.
Дифференцируя уравнения (в 1.5), находим, что функции такого
решения имеют также непрерывные вторые производные. По теореме
существования для дифференциальных уравнений, через каждый
начальный элемент (х0, i\iQ, ^0), где х0 лежит на интервале ххх2,
проходит единственное решение щ (х)х ^?(х) этих уравнений, в
частности, решения ч\{, Q, исчезающие в точке х0, тождественно
равны нулю. Всякое решение %, 1{ является линейной
комбинацией с постоянными коэффициентами решений фундаментальной
системы^ состоящей из произвольно выбранных 2п линейно
независимых решений. 2п столбцов определителя (75.9) образуют дакую
фундаментальную систему.
Говорят, что совокупность Ьи \29 y\i (x) удовлетворяет
присоединенному правилу множителей, если существуют такие
функции С< (х) и постоянные е^, что %, Q составляют решение
канонических присоединенных уравнений и уравнение
(81.8) M4j?+*T + S*4V = 0

274 г*, vin. дальнейшие необходимые условия минимума.
удовлетворяется тождественно относительно дифференциалов d£v
Щи, dt2, d^]ia. Эта форма правила множителей подсказывается той
формой этого правила для задачи Больца, которой мы пользовались
при доказательстве леммы 81.3. Говорят, что порядок
анормальности присоединенной задачи о минимуме равен q, если
существует q линейно независимых систем постоянных и решений
канонических присоединенных уравнений вида ч\{ = 0, Сг- (%), е^, для
каждой из которых уравнение
(81.9) e*g;+«^=o
удовлетворяется тождественно относительно d\l9 df\ib $%, df\i2.
Рассуждая так же, как в абзаце, стоящем перед следствием 74.1,
найдем, что q систем £,-(#), а также и q систем е^ линейно
независимы.
Лемма 81.1. Порядки анормальности задачи Больца и
соответствующей присоединенной задачи совпадают.
Согласно определению порядка анормальности в § 77,
существует в точности q линейно независимых анормальных систем
множителей 10 = 0, Ц(х)> е*> ПРИ которых выполняется правило
множителей теоремы 74.1, в предположении, что порядок
анормальности кривой Е равен q. Для такой системы множителей из
уравнений (74.8) и (74.9) следует
X
(81.10) Q^fQ^dx + b, Фр = 0,
(81.11) [Qnr (*у€ — у'€ах)]\ + е^ = 0,
тде аргументами в производных от 2 и Фр служат х, ^ = 0, 1$ == Ц.
В окрестности любого значения х существует такая . система
т уравнений из числа уравнений (81.10), которая может быть раз-
решена относительно множителей /р. Отсюда следует, что эти
множители непрерывны и имеют непрерывные первые производные,
так как кривая Е является экстремалью и, следовательно, не имеет
угловых точек и обладает вторыми непрерывными производными.
Теперь видно, что уравнения (81.10) эквивалентны уравнениям (81.1)
с % = 0, ^ = Zp, а условие, что равенства (81.11) являются
тождествами относительно dxlt dyilf dx2, dyi2, эквивалентно условию,
что (81.9) является тождеством относительно Ьи t\iu S2, %з-
Следовательно, каждой совокупности q линейно независимых систем
множителей 10 = 0,Ц, е^, удовлетворяющих вдоль Е уравнениям (74.8)
и (74.9), можно поставить в соответствие q линейно независимых
систем tji S3 0, С* (x), ер удовлетворяющих условиям (81.5) и (81.9),

g si. Присоединенная задал! о минимуме 275
полагая
(81.12) ч,эО, С,9=^(я, 0, 0,-Z) = 2^(#, у, у\ I), 8^ = ^.
Справедливо также и обратное утверждение. Поэтому
первоначальная задача Больца и присоединенная задача имеют один и тот же
порядок анормальности.
Лемма 81.2. Присоединенная задача эквивалентна
нормальной задаче того же типа, получаемой из нее отбрасыванием не*
которых условий для концов.
Пусть порядок анормальности присоединенной задачи равен q.
Тогда существует q линейно независимых систем t^e = 0, С*а(#),
Qv.o (0 = 1> -*->q)> удовлетворяющих каноническим присоединенным
условиям и обращающих уравнения
(81.13) [С,лЛ; + V«V = 0 (*= 1, • •., 2)
в тождества относительно Ъи ч\п, &2, ^2, это следует из
уравнений (81.9). Так как q систем е^ линейно независимы, то у
матрицы ||е^|| существует определитель; \гра\ порядка q, не равный
нулю. Следовательно, уравнения (81.13) эквивалентны тождествам
вида
(81.14) ^Р = ^ЧЧЛ«ь
где v пробегает систему тех значений из 1,.. .,р, которых не
принимает индекс р. Из теоремы 77.3, уравнений (81.12),
показывающих, что Cj равны F ', и из последних уравнений следует, что
i
всякая допустимая совокупность вариаций \v Е2> %(#)>
удовлетворяющая уравнениям Фр = 0, *FV = 0, удовлетворяет также
уравнениям Фр = О, W^. = О, и обратно. Таким образом присоединенная
задача, в которой оставлены лишь условия Фр = 0, \PV = 0,
эквивалентна основной присоединенной задаче. Но эта приведенная
задача нормальна. Действительно, нетривиальная система y^esO,
С< (#), ev, удовлетворяющая каноническим присоединенным
уравнениям и обращающая уравнения
в тождества, была бы частью системы ^ = 0, £*(#), ev, ер = 0,
обращающей уравнения (81.9) в тождества. Эта же последняя
система должна была бы линейно выражаться через системы tya=0,
t*u> svj> ерст> что, очевидно, невозможно, так как определитель |ер<г|
не равен нулю.
Следствие 81.1. Если ранг матрицы ||*2V, i> ^РщзИ*
составленной из коэффициентов при Ьх и Е2 в выражениях для

2?6 Гл. VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
функций W^, равен двум, то и ранг соответствующей матрицы,
составленной для приведенной задачи^ равен двум.
Это следует из того, что система 5^ = 0 и система Ч?у = 0,
[^.ffY|J^ = 0 эквивалентны, как видно из (81.14). Если одна из них
не имеет нетривиальных решений вида \и т]й = 0, £2, ?]$2 = 0, то
и другая также не имеет таких решений.
Лемма 81.3. Любая совокупность решений 1Х, £2, ч\{(х),
которая дает минимум в присоединенной задаче, должна удовлетворять
присоединенному правилу множителей по крайней мере с одной
системой С* (х), е^.
Для доказательства этого заменим присоединенную задачу о
минимуме эквивалентной ей задачей Больца. Назовем допустимыми
совокупностями^^), ?2 (#)> Ъ (х) такие, которые определяют в
пространстве точек (х, \v %%, ч\г) кривые, сопящие из конечного числа
дуг, обладающих непрерывными производными. Присоединенной
задаче эквивалентна следующая вспомогательная задача Больца:
в классе допустимых совокупностей 5Х (#), £2 (х), ^ (х),
удовлетворяющих условиям
фр=о, s;=o, е;=о,
УЛЪ&г), i\(xi), S2(#2), ^(^2)]=0,
X} X^q = О, #2 #20== ®f
найти такую, для которой сумма
2tKiK), 4(#i), £2(^)> Ч («в)] + / 2ш (я?, т), v\')dx
достигает минимума. Применяя правило множителей (теорема 74.1),
находим, что любая допустимая кривая вспомогательной задачи
является нормальной ^и неособой,^так как приведенная
присоединенная задача (см. лемму 81.2) нормальна, а кривая^—неособая.
Из уравнений (74.8) и (74.9), составленных для кривой, дающей,
минимум во вспомогательной задаче, вытекает правило
множителей для кривой, дающей минимум в присоединенной задаче.
Следует обратить внимание на понятие сопряженных решений
и сопряженных систем решений канонических присоединенных
уравнений. Для двух произвольных решений %, Cj и yj*, Zt этих
уравнений выражение т)^—ч\£{ сохраняет постоянное значение, что
легко заметить, дифференцируя это выражение и используя
уравнение (81.5) и простые свойства квадратичных форм. Если эта
постоянная равна нулю, то два решения называются сопряоюенними.
Система п линейно независимых попарно сопряженных решений
Щъ ^ik Ф— 1> • • »>п) называется сопряженной системой решений

§ 81. ПРИСОЕДИНЁННАЯ ЗАДАЛА О МИНИМУМЕ
277
канонических присоединенных уравнений. Если решение 4\i9 С$
сопряжено с каждым решением сопряженной системы решений, то
оно является линейной комбинацией решений этой системы. В самом
деле, начальные значения tufa)*' ^i(x\) такого решения составляют
решение при x = xi системы п линейно независимых уравнений
С»Ч« — Ч< А = ° (* = 1, ..., »).
Однако п линейно независимых систем чисел %(#i)> ^ijixi)
(j=l, ...,ri) также являются решениями, так как %-j,
^составляют сопряженную систему. Следовательно, при х = х^ имеют
место соотношения
ni — %л = 0, С|—Ufa = о.
Эти соотношения выполняются при всяком х9 так как решение
Ч< — ^ifij* ^i—^ijGj канонических присоедикенных уравнений,
принимающее нулевые начальные значения, состоит из тождественно
равных нулю функций. Таким образом, максимальное число линейно
независимых попарно сопряженных решений равно п.
Легко построить различные частные случаи сопряженных систем
решений присоединенных уравнений. Для того чтобы система ч\у, ^
была сопряженной, необходимо и достаточно, чтобы ее
матрица Н^Б^И начальных значений при х = х0 имела ранг п и
чтобы матрица, элементы которой суть суммы АцВ^, была сим;
метричной. Это условие симметричности, очевидно, имеет вид
A,jBih — AikB4j = 0 (j,h = l,..., n),
т. е. совпадает с Условием сопряженности решений у\{1, С# и r^ik, £ik.
Иногда удобно брать сопряженные системы, для которых матрица
начальных значений имеет вид 1|8^0|| дли ||0 8^||, где ||&#|| —
единичная матрица. Очевидно, что при произвольно заданном х0
существует сопряженная система f\ik, £ile (к = 1, ..,, п) с отЛичным
от нуля определителем | ч\м (#о) j*
В •§ 90 нам понадобится следующая лемма.
Лемма 81.4. Если концы хх и х2 неособой экстремали Е не
сопряжены, то любым допустимым вариациям *1< (#), удовлетво*
ряющим уравнениям вариаций Фр = О 'вдоль Е, соответствует
такая присоединенная экстремаль щ (х), vi (x), что щ (#i)=y|< (хг),
Щ (#q) — % («я)-
Значения хх и x2f соответствующие концам Е, называются
сопряженными, если существует присоединенная экстремаль,
которая определяется фракциями, обращающимися в нуль щщ x = xt
и х = х2, но не равными тождественно нулю. В противном случае
говорят, что хг и х2 не сопряжены.

278 Гл- VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Цусть порядок анормальности кривой Е на интервале хгх2 для
задачи с закрепленными концами равен q. Тогда, согласно
определению порядка анормальности в § 77, существует в точности q
линейно независимых систем множителей 10а=0, Ца (х) (о=1, ..., q),
для которых Е удовлетворяет уравнениям вида (74.8). Полагая
i^s= /р„Фр, имеем, по теореме 77.3,
(81.15) [F,y>T\i\l = 0
для любой допустимой совокупности вариаций v\i(x),
удовлетворяющей уравнениям Фр = 0. Уравнения (81.15) линейны относительцо
концевых значений *)< (хг), ^ (х2) и, кроме того, независимы.
Действительно, как легко видеть, уравнения (74.8) с анормальной
системой множителей Z0<J == 0, 1$, эквивалентны уравнениям (81.10),
в которых аргументами в производных от 2 служат х, Y)iff=5 0,
Ц = Ц. Поэтому функции ^„ = 0, Zia=Fgy> = 9 * (х, 0, б, V) со-
г г
ставляют решение канонических присоединенных уравнений.
Допустим, что уравнения (81.15) линейно зависимы, тогда c£ia (xt) =0,
т. е. решения c9f\i(J, cgti9 канонических присоединенных уравнений
обращаются в нуль при х = хг и поэтому тождественно равны нулю.
Так как ранг матрццы || Ф^ || всегда равен т, то из тождеств
с&0Е=*саЦаФ$у* = 0 следует са1$, = 0. Но это противоречит линей-
ной независимости множителей, следовательно, наше допущение
неверно, и уравнения (81.15) линейно независимы.
Теперь легко доказать, что для неособой экстремали Е с
несопряженными концами, порядок анормальности которой в задаче
с закрепленными концами равен q, ранг матрицы
(8116) \*4ш(*д
1Кв(#2)
составленной из фундаментальной системы^ (х), vi8 (x), (5=1,..., 2п)
присоединенных экстремалей, соответствующих кривой Е, всегда
равен 2п— q. Так как столбцы матрицы удовлетворяют q
независимым уравнениям (81.15), то этот ранг не больше 2п— q.
Допустим, что он меньше 2п — q. Тогда существует более q линейно
независимых присоединенных экстремалей и{ = uisc8, vi = visc8, для
которых функции щ обращаются в нуль при x = xt и х = х2. Так
как порядок анормальности присоединенной задачи,
соответствующей Еу равен q, то до крайней мере-для одной из этих экстремалей
не все функции щ тождественно равнй нулю. Но это противоречит
несопряженности концов Е и тем самым наше утверждение о ранге
доказано.

§ 81. ПРИСОЕДИНЕННАЯ ЗАДАЛА О МИНИМУМЕ 279
Теперь утверждение леммы доказывается совсем просто. Для
любой допустимой совокупности функций Y),- (х), удовлетворяющих
уравнениям Фр = 0, концевые значения *%(#i), ^ (х2) удовлетворяют
уравнениям (81.15). Среди столбцов матрицы (81.16) имеется 2п—q
линейно независимых решений уравнений (81.15), через которые
линейно выражается любое другое решение. В частности, должно
быть y\i (а^) = csu<8 (xt), yj< (#2) = c8ui8 (#2); и поэтому концевые
значения функций % (х) для присоединенной экстремали щ = c8uis,
vi^=^c8vi8 совпадают с концевыми значениями %(#).

Глава IX
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
§ 82, Формулировка достаточного условия. Излагаемые
в этой главе доказательства достаточных условий основаны та
работе Хэстенса [38]. Метод Хэстенса замечателен тем, что он дает
достаточные условия минимума в предположении лишь
нормальности кривой Е из класса Ш, без условия нормальности Е на
каждом частичном интервале, как требовалось в более ранних
доказательствах. Метод Хэстенса, как будет показано в § 92, можно
применить также для некоторых анормальных случаев.
Для того чтобы высказать достаточное условие, которое будет
доказано позднее, мы сформулируем сначала четыре условия —
I, Пдг, III, IV', на которых основываются доказательства
достаточных условий. Обозначим символами I, II, III, IV соответственно
следующие условия: правило множителей 74.1, условие Вейерштрасса
78.1, условие Клебша 78.2 и условие IV теоремы 80.1. Мы видели,
что все эти условия необходимы для того, чтобы нормальная
неособая кривая Е без угловых точек давала минимум суммы J. Говорят,
что Е удовлетворяет усиленному условию П# Вейерштрасса, если
для всякого элемента (х, у, у', 1)у удовлетворяющего уравнениям
Фр = 0 и лежащего в окрестности N множества таких элементов,
соответствующего кривой j£, выполняется неравенство
Е{х, у, у', I, Г)>0
при произвольных допустимых (х, у, Y') ф (х, у, у'), удовлетвог
ряющих уравнениям Фр = 0. Через ИГ обозначается усиленное
условие Клебша, получаемое из условия III (теорема 78.2)
исключением знака равенства. Через IV обозначается условие
положительной определенности второй вариации J2 (£, iq) вдоль Е, полученное
в § 80. Теперь теорему о достаточном условии можно
сформулировать следующим образом.
Теорема 82.1. Достаточное условие сильного
относительного минимума. Пусть Е—нормальная, не
имеющая угловых точек кривая класса УЯ, состоящего, по
определению, из всех допустимых кривых, удовлетворяющих условиям
$8 — ^ = 0. Если кривая Е удовлетворяет условиям I, П#, III,
IV', то она является неособой экстремалью и в пространстве
(х, у) существует такая окрестность F кривой Е, чщо для вся-
кой кривой С класса ffi, лежащей в F и не совпадающей с Е

§ 83. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
281
концы которой леоюат достаточно близко от концов Е,
выполняется неравенство J(C) > J(E).
Следует отметить, что в теореме не предполагается, что
нормальная кривая Е является нормальной кривой рассматриваемой
задачи Больца «а каждом меньшем интервале. В этом усиленном
требовании мы теперь не нуждаемся, благодаря сравнительно
недавно полученным результатам Грейвза относительно необходимых
условий II я III и Хэстенса относительно условия IV. Теория
вариационной задачи Больца для нормальных кривых приведена
тем самым в состояние, сравнимое с теорией простых вариационных
задач, поскольку это касается необходимых и достаточных условий
минимума.
Теория анормальных кривых находится в гораздо менее удовле*
творительном состоянии. Используя теорему о выпуклых множа-
ствах, Машнейн [64] доказал недавно необходимость правила
множителей и условий Вейерштрасса и Клебша, не делая никаких
предположений о нормальности. Доказательство это пбка весьма
сложно. Достигнутый результат неудивителен, так как эти условия
являются, в сущности, условиями первого порядка. Положение же
с условиями второго порядка, аналогичными условию IV, автору
этой книги представляется в совершенно другом свете. Разнообразие
особых кривых класса 9№ очень велико и пример задачи о минимуме
функции конечного числа переменных показывает, что условие
типа условия IV не может иметь места для всех случаев. Макшейн
([71], стр. 529) приводит аналогичный пример вариационной задачи.
Возможно, конечно, что условия типа условия IV справедливы для
некоторых частных видов анормальных кривых Е- Рассматривая
такие частные случаи, Макшейн получил некоторые результаты для
кривых с порядком анормальности, равным единице.
Ниже, в § 83, 84 и 85, мы устанавливаем несколько лемм,
с помощью которых будет потом доказана достаточность условия,
высказанного в теореме 82.1.
§ 83. Вспомогательные Теоремы. Рассмотрим три функции
х1(и), х2(и), а (и), обладающие непрерывными производными
в интервале и' <; и < и", и однопараметрическое семейство
экстремалей
(83.1) уг = yt {х, а), Ц = Ц (х, а),
для которого функции yi(x, а), У{Х(х, а), Ц{х, а) имеют
непрерывные первые частные производные в окрестности множества
значений (х, а), определенного условиями
х\ (и) ^ х ^х2 (и)> а = а(и) (и' <; w <; и").
Концевые точки 1 и 2 экстремали (83.1) описывают две кривые
С ж D, яогда параметр и пробегает свою обдасть изменения.

282
Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Кривая С задается уравнениями
* = хх (и), уг = yi[^1 (и), а О)] (и'<м<и").
Уравнения кривой D получаются из вышенаписанных уравнений,
если в них заменить xt(u) на х2(и)т Дифференциалы dx, dyi вдоль
кривых С и D определяются уравнениями
(83.2) dx = x\u)du, dyi = yixdx + yiada,
в которых х (и) надо заменить на хг(и) и х2(и) соответственно.
Интеграл Г вдоль экстремали, соответствующей какому-либо
значению параметра и, имеет вид
Z(«)=»J F[x, у(х, а), у'{х, а), 1{х, a)]dxf
а его дифференциал по и равен
а?3
dl = [F«te]'+ da f [Fny{a+Fy.tVia] dx.
Xt
Интегрированием по частям находим, далее,
dI=[Fdx±Fyiy{ada]l
и, наконец, с помощью соотношения (83.2) получим формулу,
содержащуюся в следующей теореме.
Теорема 83.1. Интеграл /, взятый вдоль кривых одна-
параметрического семейства экстремалей, концы .которых
описывают две кривые С и D, имеет дифференциал
(83.3) dl^HF-fiFtfdx + F^ayJl,
где значения аргументов х> у., у'., 1$ в F и ее производных
соответствуют взятой экстремали, а дифференциалы dx, dyi
представляют собой дифференциалы
вдоль кривых С и D.
Символом J* обозначается
обычно следующий интеграл:
J* = f[(F—y'iFy.) dx + Fy> dVi].
Интегрируя (83.3) от и' до и",
получаем такое следствие.
Следствие 83.1. Еслиэксмре-
мали семейства (83.1),
соответствующие значениям и' и и", обозначены, как показано на
рис. 11, через Ей и ЕЪъ соответственно, то
(83.4) I (Я56) — 1{Еп) =? I* (1>*б) -Z* (С85).

§ 84. ПОЛЯ И ИХ ПОСТРОЕНИЕ
Теорема этого параграфа и ее следствие имеют много
применений в вариационном исчислении *).
§ 84. Поля и их построение. Определение поля, которое мы
даем здесь, часто применялось до Блисса 2) и других.
Определение поля. Полем называется область F
пространства ху, которой соответствуют функции наклона Pi(x, у) и
множители /0 = 1, Ц (х, у), имеющие в области F непрерывные частные
производные первого порядка и обладающие следующими свойствами.
Соответствующие элементы (х, у, р) лежат в области Rx и
удовлетворяют уравнениям Фр = 0 при любцх (х, «/) из F. Интеграл
(84.1) I* = ( №—р&$ & + *W
не зависит от пути интегрирования в F, если аргументами
в F(x, у, у\ I) и ее производных служат х% уи pt (х, у),10=1,1$ (х, у).
Обозначая коэффициенты при дифференциалах в подинтегральном
выражении интеграла (84.1) через
А (х, у) = F—p.Fy>, Bi (х, у) «Fy?
легко найти, что относительно переменных х и у тождественно
выполняется соотношение
(84.2), '* х yi дх *< * дУи
= F,
d
Здесь у- и у обозначает полные частные производные по
переменным х% у^ входящим явно и через посредство функций Pi (x, у),
Ц(х> У)> а ib^^+^'^T обозначает полную производную по
направлению^ определяемому уравнениями
(84.3) 3g = *(*,*)■
Как известно, для независимости интеграла I* от пути
интегрирования необходимо выполнение условий
Ввиду тождеств (84.2) отсюда следует, что решения дифференциальных
уравнений (84.3) являются экстремалями с множителями 10 = 1,1$ (х),
*) См. В U в s [17J, стр. 714—723.
2) См. Bliss Ц7], стр. 730.

284
Гл IX ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
совпадающими вдоль них с множителями 10=1, Ц(%> у) поля.
Эти экстремали составляют ^-параметрическое семейство, так как
через каждую точку (#, у) проходит одна, и только одна, из таких
экстремалей. Они называются экстремалями поля. Так как под-
интегральное выражение в I* на экстремали поля совпадает с F,
то, очевидно, справедлива следующая лемма.
Лемма 84.1. Всякое поле F однократно покрывается п-пара-
метрическим семейством экстремалей, определяемым дифферен-
гщальными уравнениями (84.3). На экстремали поля Г* (Е) = I (E).
Существует несколько методов построения полей. Для
доказательства достаточных условий этой главы нам понадобится только
один из них. Этот метод изложен в доказательстве следующей
леммы.
Лемма 84.2. Пусть Е есть неособая экстремаль, для
которой сугцествует сопряоюенная система решений TJilt(x)> Vik(x)
(& = 1, ..., п) присоединенных уравнений, соответствующих Е,
с определителем \ U{k \, ufr обращающимся в нуль на Е. Тогда Е
является экстремалью поля F, п-параметрическое семейство
экстремалей которого
Уг = Yi(x, аи . .., ап\ е4 = Zx (x, al9 ..., ап)
содероюит Е при следующих значениях (х, а):
xi < х < х2> Ч — Q (Jfe = 1, ..., я).
Функции Y{, Yixy Zif Zix имеют непрерывные первые частные
производные в окрестности мнооюества значений {х, ос),
соответствующих кривой Е, и вариации семейства вдоль Е равны
(84.4) Ybk (х, 0) = Uik (x), Zi(,k {х, О) = Vik (х).
Для доказательства рассмотрим 2м-параметрическое семейство
экстремалей
(84.5) Уг = УЛх> а, Ь), ^ = ^(х, а, Ъ),
содержащее Е при
и обладающее свойствами, высказанными в теореме 75.1. Без
ограничения общности можно считать, что за постоянные а<, Ъг взяты
начальные значения
(84.6) Щ = у{(х0, а, Ь), bi — ^ix^ а, Ъ),

§ 84. ПОЛИ И ИХ ПОСТРОЕНИЕ
285
где х0 есть некоторое число из ^-интервала, соответствующего
кривой Е* Из уравнений (84.6) находим
*гк = Угаь(Х0> а> Ъ)> 0 = Bia (xQ, Я, Ъ),
(84 7)
0 = Угьк(х0> а> ъ)> Ъгк = ^ък(хо> а> Ъ),
где 8« = 1, 8*& = 0 яри 1фЪ. Определим две функции Л (а), В^а)
следующим образом:
/84>8) 24 (а) = 2а«р4 + Uik(х0) аЛ,
2 В (а) = 2Ъфг + Yik (х0) а{ак.
Тогда семейство (84.5) при а{ = Aaii Ъ4 = 7? будет и-параметри-
ческим семейством экстремалей
9) Vi = Vi<<X> А*' В^ = Yi^' *л> '"> а^'
zi = zi(x9 Ла, Ba)^Zi{xy at, ..., ая),
содержащим Е при (<xl9 ..., ап) = (О, ..., О), вариации которого по
параметру afc суть
Zi*k = *iajujk(x0)+ 0ib.Vjk(xo) (i = l, ..., w).
Для кривой 2? эти вариации при х=х0 имеют значения Vik (x0),
Vik(x0) (г=1, ..., л), что следует из соотношений (84.7), и
удовлетворяют, как было показано в § 75, каноническим
присоединенным уравнениям (75.14). Таким образом, вдоль Е они тождественно
равны Uik (x), Vik(x) (г= 1, ..., п), как и утверждается в лемме.
Так как определитель | Y^ | = | Uik (x) | не обращается на
кривой Е в нуль, то по теореме о неявных функциях в пространстве ху
существует такая окрестность Р кривой Е, в которой уравйе-
ния (84.9) имеют единственное решение <*к{ху у), обращающееся
на Е в нуль и имеющее в области F непрерывные первые частные
производные первого порядка. Обозначим множители семейства (84.9)
через L$(x, au ..., an). Функции
Ate y) = Yix[x, a(x, у)],
(84Л0) 1?(х, у)=М[х,а(х,у)]
имеют в области F непрерывные частные производные первого
порядка.
Остается показать, что в достаточно малой окрестности F
интеграл /*, образованный функциями наклона и множителями (84.9),

гл. к. Достаточные условия минимума
не зависит от пути интегрирования. На гиперплоскости х = х0
I* «. f Fyidyi = ( Zt [х0, а (х0, у)] dYi [х0, а (#0, у)].
Из (84.6), (84.7) и (84.9) следует, далее, что на этой
гиперплоскости
= J* [Ьл17л (а?0) «* + у P<j Ю #<* («о) VJ-
При преобразовании подинтегрального выражения мы
воспользовались тем, что для сопряженной системы ТТ1Ъ Vik уравнение
UijVoc—VijUijc = 0 обращается в тождество, т. е. матрица ||F^17#||
симметрична. Таким образом, I* не зависит от пути
интегрирования на гиперплоскости х = х0. Произвольная кривая D46, лежащая
в достаточно малой окрестности F кривой Д определяет одно-
параметрическое семейство экстремалей, пересекающих
гиперплоскость х = х0 в точках кривой Сзб, так что образуется конфигурация,
подобная изображенной на рис. 11. По следствию 83.1 имеем
I* (D„) = Г* (С») +I (Ен) -1 (Еы).
В правой части этого равенства каждый член будет вполне
определен, если задать точки 4 и 6, так как I* не зависит от пути
интегрирования на гиперплоскости х = х0. Поэтому интеграл I* не
зависит от пути интегрирования во всей окрестности F, и F есть
поле с функциями наклона и множителями (84.10).
§ 85. Основное достаточное условие. Интеграл I*, взятый
вдоль кривой С, лежащей в поле F пространства (ху), является
функцией только координат xl% yiu %2, у& концов этой кривой,
следовательно, тем же свойством обладает и функция
(85.1) и>(хи уп, х2> У^ = 1*(С)-\-д[хи yfo), oo2y(x2)].
Доказательство достаточного условия, которое будет дано далее,
основывается на следующей теореме.
Теорема 85.1. Основное достаточное условие. Если
кривая Е является экстремалью поля F в пространстве ху и
удовлетворяет' условию П# Бейерштрасса и если функция
w(xl9 yiu x2, yi2) в классе точек (хи yiu х2, yi2),
удовлетворяющих уравнениям <]^ = 0, имеет строгий минимум в точке,
соответствующей концам В, то J(E) есть минимум в смысле
теоремы 82.1.

§ 6$. обновноЕ достаточное условие
SW
Доказательство несложно. Ввиду того что Е удовлетворяет
условию Пк, поле F будем считать лежащим в настолько малой
окрестности кривой Д что все элементы [х, у, р(х, у), 1(х, у)],
соответствующие точкам F, лежат в окрестности N. Тогда в каждой
точке {х, у) поля F имеет место неравенство
Е[х, у, р(х, у), 1(х, у), Т]>&
при всяких допустимых (х, у, Y') ф (#, у, р)% удовлетворяющих
уравнениям Фз = 0. Мы можем, далее, выбрать в пространстве
точек (хи у<4, х2, yi2) окрестность N концов кривой Е настолько
малой, что для любой точки (хи yiu х2, yi2) из N, не
совпадающей с концами Е, имеет место неравенство w [xif yit, х2, yi2) > w (E),
где w {E) есть значение w для концов Е. Так как, но лемме 84.1,
1*(Е) = 1(Е), то для любой кривой С, обладающей указанными
в теореме 82.1 свойствами, имеем
j(C)-J{E) = I(C)-\-g(C)-~ 1(Е)-д(Е) =
= I(C)—I*(C)-\-w(C)—w(E) =
= f E[x, у, р{х, у), 1(х, у), y']dx +
+ [w{C) — w{E)l
Каждый член в правой части положителен или равен нулю.
Интеграл обращается в нуль только тогда, когда yi=Pi(x, у) всюду
на (7, т. е. когда С есть экстремаль поля. Если концы С лежат
в достаточно малой окрестности концов Е и не совпадают с Д то
разность w (С) —w (Е) положительна. Поэтому разность J (С)—J (E)
положительна, кроме случая совпадения кривой С с кривой Д ибо
через точку, соответствующую концам кривой Д проходит только
одно решение уравнений (84.3). Теорема, таким образом, доказана.
Для решения вопроса о том, является ли w {E) строгим
минимумом или нет, можно воспользоваться критериями минимума
функции конечного числа переменных, приведенными в § 76.
Вспомогательная функция, аналогичная функции F в § 76, имеет вид
W = w + еД^, и первые два дифференциала по независимым
переменным хи yiit x2, yi2 суть
(85.2) dW= [(F-piFyO dx + Fyfy^l + ig + ebd^f
(85.3) d*W = 2т [dxu by (хг), dx2, by (x2)] + [Ьу$г€]\,
r№ tyt и Ъг4 обозначают теперь просто следующие выражения:
(85.4) hVi = dVi —p/dx, Ъг{ = dFn~Fydx.
Выражение для dW непосредственно следует из определения
инвариантного интеграла 7* в (84.1) и функции w в (85.1). Формула

288
Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
для d2W может быть установлена, если воспользоваться
определением Ьу€ и 8^ в (85.4) и определением квадратичной формы 2?
[см. (80.5) и далее], при помощи легко получаемого соотношения
d (F—PiFy$ = Fxdx + Fydyi ~-р№у'{,
в котором аргументами в F и ее производных служат ху у, р (х9 у),
1(х, у).
В поле такого же типа, как поле леммы 84.2, Ьу€, 8^ в
формуле (85.3) для d2W, взятые вдоль кривой Е, имеют, как будет
сейчас показано, следующие значения:
(85.5) 8у< = Uik (х) d4t Ьв4 = Va (x) dak,
где дифференциалы
(85.6) dak = akxdx + *Ьуйуг
суть дифференциалы решений сик (х9 y)jiepBbix n уравнений леммы 84.2.
Первые п соотношений (85.5) непосредственно вытекают из
определения Ьу€ в (85.4) и следующих получаемых с помощью (84.10)
и (84.4) уравнений:
yi=Yd%> «(#, У)],
*/< = Yixdx + Yi<tjdak =^ dx + Uikdak.
Последние п соотношений (85.5) выгекают из второго
уравнения (85.4) и тождеств
Zi(x, а.) = Ру>{1х, Y(x, a), Y'(x, а), L{xy а)],
Zixk*y *)=FVi[x, Y(x, а), Y'(x, ос), L{x, а)],
Zixdx + Zbkdak = dF^,
получаемых опять из (84.4) и (84.10).
С помощью полученных результатов можно доказать следующую
лемму.
Лемма 85.1. Пусть поле F однократно покрыто п-параметри-
ческим семейством экстремалей
У г = Yi (x, аи ..., <хп), я< = Zt (х, «!,..., <*п),
содерэ/сащим экстремаль Е при xt^x^x2, а^ = 0 и имеющим
вдоль Е вариации
У г (х, 0) - Uik (х), Z€ (х, 0) = Vik (х)9

§ §6. ВТОРАЯ ЙАРИАДиЯ ДЛЯ З^ДА.4 С РАЗДЕЛЕННЫМИ УСЛОВИЯМИ $89
— такие же, как и в лемме 84.2. Тогда значение w {Е) будет
строгим минимумом, если Е удовлетворяет правилу множителей
теоремы 74.1 с постоянными е^ и если для этих постоянных и
концов Е выполняется неравенство
2Т [?1' Uik ^ аъ ** Uik ^ Ьк] "*" Uij ^ bjltih ^ Ьк ~
( } -m*iH^«(*i)**><>
для любых (it, аъ Е2, Ьк)ф(0, О, 0,0), удовлетворяющих уравне»
ниям
(85.8) W,ft, tfrt (я,) ал, S2, 0л(яа) 6J = 0.
Это следует из теоремы § 76. Выражение (85.2) для dW
обращается в нуль для всевозможных dxly dyiu dx2, dyi2, если Е
удовлетворяет правилу множителей с постоянными ег При
(85.9) 1г = йхи 4 = [dak]\ t2 = dx2, bk=[dak]*
выражение (85.3) для дифференциала d*W есть первый член
неравенства (85.7), что следует из (85.5) и (85.6). При этих же
значениях уравнения (85.5) переходят в уравнения 5^=0. Так
как определитель | Uik (х) | не обращается в нуль на Е, то и
определитель | ащ \, составленный для решений ак первых уравнений (84.9),
не обращается в нуль на Е., Отсюда следует, что каждой системе
дифференциалов dxu dyilf dx2, dy^ однозначно соответствует
посредством соотношений (85.9) система 1и аъ \2, Ъъ и обратно. Из
условий леммы следует тогда, что квадратичная форма d2W
положительна для всех (dttu dyiv dar2, dy^zfztO, 0, 0, 0), удовлетво,-
ряющих уравнениям d^ = 0. Поэтому го(Е) есть строгий минимум.
§ 86. Вторая вариация для задач с разделенными
условиями для концов, удовлетворяющих также условию
некасания. Согласно определению, данному в § 69, функция g и
условия <1^ = 0 для концов в случае задачи с разделенными концами
имеют вид
% [*i, У (*i)l — 0, ф, [%2, У (#2)1 = О,
(Р = 1, •• ->S\ *=г+1, ..., р).
В этом параграфе мы будем предполагать, что рассматриваемая
кривая Е удовлетворяет следующим условиям: 1) она принадлежит
классу WI и является экстремалью с множителями вида 10=1,
Ц{х)\ 2) удовлетворяет условию некасания; 3) является неособой.
Свойство (1) гарантирует существование второй вариации вдоль Е.
Из предположения (2), согласно определению условия некасания
в § 69, вытекает, что ранг матрицы

290 Гл- к- Достаточные условия МиЙиМумА.
для значений, соответствующих концам Е, равен двум. В случае
разделенных условий для концов это эквивалентно условию/ что
ранг каждой из матриц
«ТМИ» IKall
равен единице. Благодаря предположению (3) о том, что кривая Е
не является особой, можно ввести присоединенные канонические
переменные и уравнения.
Без труда находим, что вторая вариация имеет теперь вид
J2 $> i\) — 2т, pi, ц (*,)] — 2?2 [?2, Ч (#а)] + f 2<о cte,
где 2^ и 2f2—однородные квадратичные формы от своих аргу*
ментов. Условия для концов в присоединенной задаче имеют вид
^2, Ч (**)]« О (о = г+1, ..., jp),
а присоединенное условие трансверсальности также распадается на
следующие два тождества относительно d&j, dv\iv d£2, dr\i2:
(86.2) — С, fo) Afc + dTl + ep <Wp = 0,
(86.3) — U («яХ A|« + rfTg + ea ^0 = 0,
где индексы р и а изменяются в указанных выше пределах„
Вообще говоря, нельзя найти решение %, С, канонических
присоединенных уравнений и постоянные Ьи £2 так, чтобы они
одновременно удовлетворяли условиям Ч?? = Ф9=*о для-концов и
условиям трансверсальности (86.2) и (86.3). Однако можно доказать,
что существует одно семейство решений, удовлетворяющих условиям
для концов и условиям трансверсальности в начальной точке 1
на Е, и другое семейство решений, удовлетворяющих этим
условиям в точке 2 кривой Е.
Если обозначить производные по переменным Ъг и ч\а
индексами 1 и г\ соответственно, то условия ?р = 0и (86.2) можно
записать в эквивалентной форме в виде л+r + l линейных
уравнений
(86.4) - С, fo) + Ть<1 + e?W?til = О,
чг, —о
относительно 2п-\-г-\-1 переменных 5lf- ^(x^), С, (хг), ер.
Уравнения (86.4) независимы; так как ранг матрицы коэффициентов
функций ЧРр равен г, а из условия некасания следует, что по мень-

§ 86. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛЯ ЗАДАЛ С РАЗДЕЛЁННЫМИ УСЛОВИЯМИ 291
шей мере один из коэффициентов W9t\ отличен от нуля. Таким
образом, существует в точности п линейно независимых решений
уравнений (86.4) вида
*ib Ък («Л Qfc (*i), в,* Qc = 1, ..., п).
Легко убедиться, используя условие некасания и независимость
функций ЧРр, что не существует нетривиального решения
уравнений (86.4) вида
(Ei* Ч* Ъ> sp)=tfi> О, 0, ер).
Следовательно, совокупности i\ilt (хг), С^ (#0 {Jo = 1, ..., w) линейно
независимы. Беря их за начальные значения, определим п линейно
независимых решений i\ik{x), £>ik(x) канонических присоединенных
уравнений. Эти решения образуют сопряженную систему, так как
для двух решений (Е„ i\i, Q» еР) и (Ьи ч\и Q, ер) уравнений (86.4)
имеем при х = хх
— Ч& +!iTi,i + чЛьл = О,
— Ч& + 6iTl, 1 + ЧгТ1, II = О.
Воспользовавшись известным свойством квадратичных форм, найдем
отсюда —чА+£<Ч* = 0> ЧТ(> и показывает сопряженность
решений щ, С, и %, С*.
Аналогично можно определить вторую сопряженную систему
решений uik(x), vik(x) (&=1, ..., и) канонических присоединенных
уравнений, соответствующую системе
Ък, %(4 ^fc(^2)> eofc (fc = l, ..., П)
п линейно независимых решений уравнений, эквивалентных
уравнениям ?, = Ои условиям трансверсальности (86.3).
Если в выражениях
?i = ^ау, ?)* (#) = а/ify(#) (я?х < а; < #8)
Ъ = ЪФъ Щ(%) = ЪкЩк{х) (#3002)
постоянные а, Ъ удовлетворяют условиям
(86.6) aj'tiij (#3) = Ъкщк (#8),
где #8—произвольно заданная точка на интервале хи х2, то
система Ьи S2, 4*00* задаваемая равенствами (86.5), является
допустимой совокупностью вариаций вдоль Е. Для этих вариа-

&9Й
Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА.
ций .»7"a(Sj i\) имеет вид
2TilSi, Ч 0*i)1 + J 2<о (я, ?), f{)dx
(86.7) »i
— 2Та [&2> « (ж2)1 + / Цда (*» м» «О йж-
Для того чтобы вычислить сумму первых двух членов, заметим,
что функциям ч\4, С* соответствуют посредством соотношений (81.4)
множители 1$ (х), для которых функции yj* удовлетворяют
присоединенным уравнениям' (81.1) Поэтому подинтегральное выражение
д первом интеграле может быть приведено к виду 2Q (х, ч\, ч\', X)
добавлением суммы А^Фр. Используя соотношение
(86.8) 22 = т^. + ^ + XpQy
в котором 2)д = Фр = 0, и интегрируя по частям, найдем, что
первые два члена в выражениях (86.7) равны
(86.9) — U (хг) т), (хг) + 2Tl + ерЧГр + С, (*8) ч< (#8),
где сумма ер¥р, равная нулю ввиду соотношения (86.4), добавлена
для удобства. Первое соотношение (86 2) является тождеством
относительно dfcv dt\n и останется тождеством, если эти
дифференциалы заменить на Ъи ч\п. Отсюда следует, что сумма первых трех'
членов в выражении (86.9) равна нулю, так что первые два члена
в выражении (86.7) для J"2 приводятся к сумме *ь(#3) С, (#3).
Аналогичным методом можно показать, чуо последние два члена б (86.7)
приводятся к —^(#з) Щ(хъ)> так чт0
J* = -Щ (Xs) U (Ч) — Ui iXb)vi (*з) =
= U (*а) ui (*в) — Ч* (xs) v< С*з)>
так как из (86.6) для х = хв следует, что ч\{ (хь) = щ (#3).
Последнее выражение есть значение второй вариации для допустимой
совокупности вариаций tt, ?2> *W (х)> заданных на всем интервале хгх2
формулами (86.5) и (86.6). Поэтому выражение (86.10) для J2
должно быть !> О, если J2 неотрицательно. Мы можем теперь
высказать следующую теорему.
Теорема 86.1. Рассмотрим задачу Больца с разделенными
условиями для концов. Пусть Е есть экстремаль, содероюащаяся
в классе 2R, с множителями вида Z0=l, Ц(х). Предположим, да-
лее, что Е удовлетворяет условию некасания и является неосо-
брй кривой. Тогда существуют две сопряженные системы решений
присоединенных канонических уравнений iq^, C^ и uik> vik, соответ-

§ 86. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ О РАЗДЕЛЁННЫМИ УСЛОВИЯМИ
ствующие условиям для концов и условиям трансверсальности
для точек 1 и 2 кривой Е соответственно. Если вторая
вариация t7"2(S, ч\) вдоль Е неотрицательна, то билинейная форма
С86-11) ajdHjUik—nifik) h
неотрицательна для любой системы постоянных aj9 bk,
состоящей не только из одних нулей и удовлетворяющей уравнению
(86.12) л/Чу («в) = MaW
при произвольно .выбранном хъ на интервале хгх2.
Теорема непосредственно вытекает из предыдущих рассмотрений,
в частности, из формулы (86.10) для второй вариации.
Следствие 86.1. Если в условиях теоремы 86.1 вторая
вариация положительно определенна и кривая Е нормальна, то две
еопряэ/сенные системы, о существовании которых говорится в
теореме, могут быть выбраны так, что матрица билинейной
формы (86.11) будет единичной и билинейная форма afti будет
неотрицательной для всех aif bi9 не равных одновременно нулю
и удовлетворяющих условиям (86.12).
Для доказательства заметим сначала, что элементы матрицы
формы (86.11) суть постоянные, как было показано во втором
абзаце после леммы 81.3. Далее, при условиях следствия 86.1
определитель этой матрицы не равен нулю. Докажем это от противного.
Пусть этот определитель равен нулю. Тогда найдутся такие
постоянные а}> не все равные нулю, что решение ч\€ = а^цр С< = а$*ц
присоединенных канонических уравнений сопряжено с каждым
решением системы п решений uik, vik и, следовательно, является
линейной комбинацией bkuif, bkvik этих решений. Таким образом,
решение г\{, С/ удовлетворяем присоединенным условиям
трансверсальности и присоединенным условиям для концов, и можно
подобрать постоянные Ь19 £2 так, что J2 будет равно нулю для
вариаций Ъи S2, f\i(x). Ввиду положительной определенности J2,
получаем ?)* = 0, что, однако, невозможно, так как из нормальности
кривой Е следует, что не существует нетривиального решения i\i9 С*
канонических присоединенных уравнений, удовлетворяющих
присоединенным условиям трансверсальности и условиям для концов,
для которого ч\г = 0. Тем самым утверждение об определителе
доказано.
Так как определитель матрицы формы (86.11) не равен нулю,
то сопряженную систему ^, С^ можно линейным преобразованием
с постоянными коэффициентами привести к новой системе uiki vik,
для которой матрица соответствующей квадратичной формы будет
единичной. Ввиду положительной определенности второй вариации
значение ajbi этой новой квадратичной формы должно быть
неотрицательным при всяких ait bit удовлетворяющих соответствующим
условиям вида (86,12).

294:
Гл. К. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
§ 87. Достаточные условия минимума в задачах с
разделенными условиями для концов, удовлетворяющих также
условию некасания. К условиям теоремы 82.1 добавим здесь еще
условие, что рассматриваемая задача Больца является задачей с
разделенными концами, а кривая Е удовлетворяет условию некасания.
От этих ограничений мы освободимся в следующих параграфах.
Первая дгемма этого параграфа касается простого алгебраического
факта. Остальные существенные моменты доказательства
достаточного условия содержатся в лемме 87.2, доказанной Хэстенсом.
Лемма 87.1. Если допустимая кривая Е .удовлетворяет
усиленному условию Клебша Ш' с системой множителей 10, 1$ (х),
то соответствующий определитель (74.12) не равен нулю в каоюдой
точке Е.
Допустим противное. Тогда найдется некоторое значение х,
которому соответствуют такие nk, kv не все равные нулю, что
Ф?у'к*ъ = °-
Постоянные пк не могут быть все равны нулю, так как ранг
матрицы 11ФтУ'Ц равен т, и, следовательно,есди все щ равны нулю,
то и все Хт равны нулю. Из этих соотношений следует тацже
что противоречит выполнению условия ПГ вдоль Е. Лемма, таким
образом, доказана.
Лемма 87.2. Если кривая Е удовлетворяет условиям
теоремы 86.1 и следствия 86.1, то существует такая сопряженная
система решений Uiufa, Vik(x) (& = 1, ..., п) канонических
присоединенных уравнений, соответствующих Е, что определитель
I иа(^)\фО на всем интервале хгх2, соответствующем кривой Е,
и неравенства
2Ti Bi, Uij fa) aj] — Utj fa) ajViufa) 4 > 0,
(87Л) -2T2 U Utjfa) bj) + Ui5 fa) bjVikfa) bk>0
имеют место при всяких системах (Et, a), (512, Ъ), не состоящих
целиком из нулей и удовлетворяются уравнениям
к ' *.&, ЩЫbj]=o.
Здесь приняты обозначения^ (80.5) и (71.7).

§ 87. ЗАДАЛИ О РАЗДЕЛЕННЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ КОНЦОВ 295
Для доказательства рассмотрим две сопряженные системы yj^-,
Uj и и**> Щъ полученные в следствии 86.1, для которых
(87.3) U^iu — Чрт = V *
Мы покажем, что система
(87.4) Uik=viik + uik, Vik = tik + vik
удовлетворяет всем требованиям леммы.
Эта система, очевидно, сопряженная, так как в соотношении
VijUijc — и^Г{к = (C/to — Tj^fr) + (С^!»—ч</?а>+
первый и четвертый члены в правой части равны нулю ввиду
сопряженности систем ч\ц, C^ и uiJe, vik, а второй и третий члены
вместе также равны нулю, ввиду того что матрица формы (86.11)
есть здесь единичная матрица.
Определитель | Uik (%) | не обращается в нуль на интервале хгх2.
Действительно, допустив противное, мы имели бы значение хь
и постоянные aj, не все равные нулю и удовлетворяющие
уравнениям
Uij (xB) aj = %,. (хъ) aj -{- utj (#8) а, = О.
Но тогда система значений (%, Ък) = (ajf — ак) удовлетворяет
уравнениям (86.12) при х — хгя дает билинейной форме (86.11)
отрицательное значение — а^ар что противоречит заключению
следствия 86.1.
Остается показать, что выполняются условия (87.1). Достаточно
будет доказать только первое из этих неравенств, принимая во
внимание только первое условие из (87.2), так как второе
неравенство доказывается совершенно аналогично. Примем следующие
обозначения:
Щ = игкаЪ vi — vihak,
Ui = Uikak, Vi = Vikak.
Будем предполагать, что величины Ьи Ui(x1) удовлетворяют первой
системе уравнений из (87.2). Так как удовлетворяется условие
некасания, то можно найти вспомогательные постоянные (С^, ер),
для которых (Е„ ч\ц) = [Ej, 1Т€ (хг)] удовлетворяют уравнениям (86.4).
Для удобства мы введем для этих п новых постоянных
обозначение Ci!= T^O&i). Пусть *й(#), Uix) — решение канонических
присоединенных уравнений с такими начальными значениями при

296
Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
x = xt, что
( ь) Ч< (Xl) + Vi (*i) = Ui ( t\\
C|<*l) + S(*l>-F<(*l>.
Тогда ввиду линейности уравнений (86.4) функции ч\ь С* при
соответствующим образом подобранных постоянных Ьи ер
удовлетворяют уравнениям (86.4). Отсюда следует, что найдутся такие
постоянные ajc, что
Чг 0*0 = Щгк (%) Ч> U № = Uk (#) Ч-
Из свойства однородности формы 2^г, из уравнений (86.4), в
которых
Ri, ъ (*i)> Cite)! = ft. иi (*i), ^ (*i)l
и постоянные ер выбраны соответствующим образом, наконец, из
уравнений (87.4) и (87.5), следует, что первый член первого
неравенства (87.1) равен
^ы+и,(х{)ип^и{(хг) F<(*i)- F,fa) Uiix^-Uiix^V^)^
= (С* -+- С)) (ч* + Ч<) — (ч< + Ч<) №< + *>*)>
где всюду положено # = #!. Из уравнений (87.4) и (87.5) видно,
что %(#i) = «* fa), так что последнее выражение равно
(Q% — Ч<»<) + fe—V><) + (^*fc — Ч Л) = ал + а,**,.
Правая часть последнего выражения получается с помощью
соотношений (87.3) из первых двух скобок в левой части, в__то_время
как третья скобка равна нулю, так как решения тг)*, С* и -%, С*
принадлежат одной и той же сопряженной системе. Ввиду свойства
квадратичной формы (86.11), установленного в следствии 86.1,
и соотношений
4<j (»i) «j = Ч< (*i) = ui ix\) = «л C»i) a*
сумма a^ положительна или равна нулю. Постоянные а{ не могут
быть все равны нулю, так как в противном случае из первых
уравнений (87.2) и условия некасания следовало бы it — 0, что
противоречит предположению. Следовательно, первое неравенство (87.1)
установлено, и лемму 87.2 можно считать доказанной.
Теперь мы в состоянии доказать тебрему о достаточных
условиях (теорема 82.1) в случае, когда рассматриваемая задача Больца
является задачей с разделенными концами и кривая Е
удовлетворяет условию некасания. Допустимая це имеющая угловых точек

§ 88. ЗАДАЛИ С ОБЩИМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ КОНЦОВ 297
кривая, удовлетворяющая условиям I и III' с множителями ?0=Ь
Ц(х), е^, является экстремалью. Это следует из леммы 87.1 и
следствия 74.3, если вспомнить определение экстремали в § 75. Если
кривая Е удовлетворяет, кроме того, условию IV и условию
некасания, то существует такая сопряженная система решений Uik (х),
Voc(%) (&= 1>. •., w) канонических присоединенных уравнений,
соответствующих Е, что определитель | Uik (х) | не обращается в нуль
на интервале ххх2 и имеют место неравенства (87.1) при
условиях (87.2). По лемме 84.2 можно с помощью этой сопряженной
системы построить поле, содержащее данную неособую экстремаль Е.
В этом поле функция w(xu yiu х2, yi2), определенная
равенством (85.1), имеет минимум в точке, соответствующей концам
кривой Е. Это следует из лемм 85.1 и 87.2, так как в случае
задачи с разделенными концами квадратичная форма в условии (85.7)
является суммой первых членов неравенств (87.1), а условия (85.8)
эквивалентны условиям (87.2). Отсюда и из того, что кривая Е
удовлетворяет, как предполагается в теореме 82.1, условию П#,
следует, очевидно, что Е удовлетворяет всем условиям теоремы 85.1
об основном достаточном условии. Тем самым теорема 82.1
доказана.
§ 88. Достаточные условия для задач с общими условиями
для концов. В § 69 было показано, что задача Больца с
дифференциальными уравнениями и условиями для концов в форме (В9.2)
и (69.3) и суммой J вида (69.4) эквивалентна задаче Больца
с разделенными концами, удовлетворяющей также еще условию
некасания. Дифференциальные уравнения и условия для концов
этой второй задачи имеют вид (69.10). Мы будем обозначать эти
две задачи символами Р и Q соответственно. В настоящем
параграфе мы покажем, что эти две задачи эквивалентны и что из
выполнения условий теоремы 82.1 для задачи Р следует их
выполнение для задачи Q. Тем самым теорема 82.1 будет доказана для
задачи Р общего вида, так как для задач с разделенными концами,
удовлетворяющими также условию некасания, эта теорема была
доказана в предыдущем параграфе.
Допустимые кривые задачи Q определяются функциями
Уг{х)!Уп±Лх) (#i002; i = l, ..., »; « = 1, ..., л + 2\
В задаче Q область, соответствующая области Bt в задаче Р, есть
совокупность точек (4w -|- 5)-мерного пространства
\х> Уг> Уп+*> Уг> Уп + а),
для которых (х, у, у') лежит в области Ви a (у2п+и yi9 y2n+z,'yn+i)
лежит в области В2 задачи Р. Область в задаче Q,
соответствующая области В2 в задаче Р, есть совокупность точец (4^-|-6)-мер'

208
Гл. IX^ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
ного пространства
для которых
лежит в Bv При этих определениях очевидно, что каждой
допустимой кривой С задачи Р, удовлетворяющей условиям ф р = ^ = О,
соответствует единственная допустимая кривая D,
удовлетворяющая соответствующим условиям для задачи Q, и обратно. Кроме
того, сумма J в этих двух задачах принимает одинаковые
значения на соответствующих кривых, так что эти две задачи о минимуме
эквивалентны.
Остается показать, что если кривая С класса Ж в задаче Р
удовлетворяет условиям теоремы 82.1, то соответствующая
кривая D в задаче Q удовлетворяет этим же условиям, и обратно,
если D удовлетворяет этим условиям, то и С им удовлетворяет.
Функции, составляемые по правилу множителей, дл# э^их двух
задач имеют соответственно вид
(88.1) F-hf+h^
G = kf + h Ф Р + 1т+*Уп + *,
({3 = 1, ..., m; a = l, ..., w + 2).
Если в правиле множителей для этих двух задач брать именно эти
функции, то ясно, что если кривая D задачи Q удовлетворяет
правилу множителей, то существует система множителей в задаче Р,
для которой кривая С удовлетворяет соответствующему правилу
множителей. Верно, конечно, и обратное утверждение. Более того,
если для одной задачи система множителей анормальна, то и
соответствующая система множителей в другой задаче анормальна.
Таким образом, если кривая С удовлетворяет условию I и
нормальна, то и соответствующая кривая D обладает этими
свойствами.
Легко показать, что функция Вейерштраеса одной задачи
совпадает с функцией Вейерштрасса другой задачи. То же самое
имеет место и для квадратичной формы, содержащейся в условии
Клебша. Поэтому из выполнения условий 11^ и Ш в одной задаче
следует, что они выполнены и в другой задаче.
Вторые вариации вдоль соответствующих кривых С и D равны
между собой. Для доказательства этого рассмотрим формулу (80.3).
Члены в скобках и подинтегральная функция 2<о для задачи Q
приводятся к соответственным величинам для задачи Р применением
формул (69.10) и (88.1). Для задачд Q аргументами квадратичной
формы 2д являетсяdy4n+t(xt), dyi(xt), dy2n^{xx), dynfi(xx). Ввиду

§ 88. ЗАДАЛИ G ОБЩИМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ КОНЦОВ 299
соотношений (69.10) они равны соответственно аргументам dxu
%*(^i)> d%2> dVi(x2) B задаче Р. Аналогичное замечание
справедливо и для квадратичной формы 2д^. Далее, в задаче Q уравнения
вариаций имеют вид
4*1+1 (#l) — Ei = 0, Y)2n+2 (#2) — &2 = О,
\+iW — %(^2>— ?/^2=0.
Эти уравнения составлены для условий (69.10) так же, как
функции Фр и ЧР*^ в (71.5) и (71.7) для фр и ф^. Они эквивалентны
уравнениям вариаций Фр = 5г1Х = о в задаче' Р. Таким образом,
из выполнения условия IV' в задаче Р следует его выполнение
в задаче Q, и обратно. Теорема 82.1 доказана.
В случае рассматриваемой в настоящем параграфе задачи Больца
имеют место достаточные условия, содержащиеся в первых трех
строках таблицы § 17, если предположить еще, что кривая Е
нормальна и не имеет угловых точек. Теорема третьей строки этой
таблицы сейчас была доказана. Теорема второй строки,
утверждающая, что условия I, Iljy, IV и условие, что кривая Е—неособая,
достаточны для наличия минимума, вытекает из следующей леммы.
Лемма 88.1. Условия, П^ и ПГ эквивалентны условию UN
и условию, что кривая Е —неособая,.
Из рассуждений § 87 непосредственно следует, что из
условий П^ и ПГ вытекает условие 11^ и условие того, что кривая Е
яеособая. Докажем теперь1), что из двух последних условий
вытекает условие П^. Для этого достаточно показать, что для системы
значений (х, у, у', I, Г')0> удовлетворяющих соотношениям
Фр(«, У, У')=0, фр(#, у, Г') = 0, Е(х, у, у', I, Г) = 0,
должно быть Y'0 = y'0. Ввиду выполнения условия П^ функция
Е (х0, у0, у', I, Y'0) как функция у' я I должна иметь абсолютный
минимум в точке у'0, 10. Из предложений § 76 следует тогда, что
должна существовать функция .Е+Арфр, производные которой
по y't и Ц все равны нулю в точке (х, у, у', I, Y')0. В этой точке
мы должны поэтому иметь
-(n-y'k)Vk+h<P% = o, _(у;_у;)фч = о,
1) Хэстеис и Рейд [62J.

Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Для доказательства того, что из неособенности Е и условия П#
вытекает условие ПГ, заметим, что из Hn следует Ш, как было
отмечено в § 78. Пусть тг0— система чисел (тг10, ...,%0)>
удовлетворяющая уравнениям
(88.2) ф щъ = О, Ру^ЪЧ = 0.
Так как условие III выполнено, то квадратичная форма имеет
минимум в точке я0 в классе всех тг, удовлетворяющих первой
группе уравнений (88.2). Таким образом, как следует из § 76,
найдется такая система множителей 1$, что все производные
функции
&*№&*+№ toft
равны нулю при я = *0. Следовательно, в точке тс0
Отсюда ввиду неособенности Е следует, что уравнениям (88.2)
может удовлетворять только ъ0 = 0. Лемма, таким образом,
доказана.
Говорят, что интеграл J достигает слабого относительного
минимума J(E) на кривой Е класса 2К, если существует такая
окрестность N множества элементов
(88.3) (х, у, у')
кривой Е, что J(C)>J(E) для всякой несовпадающей с Е
кривой С класса 9№, все элементы (88.3) которой лежат в
окрестности N, а концы лежат в достаточной близости от концов Е.
Теорема 88.1. Если нормальная, не имеющая угловых точек
кривая Е класса WI удовлетворяет условиям I, ПГ, IV', то J(E)
есть слабый относительный минимум.
Мы докажем эту теорему для случая задачи с разделенными
концами, так как тогда ее легко доказать и для общего случая,
применив метод, изложенный в начале этого параграфа.
Доказательство, проведенное в § 87, остается в силе и в
рассматриваемом сейчас случае, если его дополнить доказательством
следующего факта: существует такая окрестность N множества
элементов (х, у, у') кривой Е, что для всех допустимых
лежащих в N элементов (х, у, Y7) ф. (х, у, р), удовлетворяющих
уравнениям ф р (х, у, Y') = 0, выполняется условие
(88.4) Е[х, у, р(х, у), 1{х, у), Г]>0,

§89. ,ВТОРАЯ ВЛРИЛЦИЯ ДЛЯ ЗАДАЛ С ЗАКРЕПЛЁННЫМИ КОНЦАМИ 30i
где р (х9 у) суть функции наклона, а I (х, у) — множители поля,
построенного в § 87 при помощи сопряженной системы леммы 87.2.
Применяя формулу Тэйлора с остаточным членом в форме интеграла,
можно преобразовать функцию (88.4) к виду
1
(88.5) «<*» J\(l — 6) F„.yt [х, у,р + Ц (Г'—j>), I] «M,
О
где тс4 = Y\ —pv Так как (х, у, р) и (х, у, Т) удовлетворяют
уравнениям ф? = о, то
(88.6) О = тг, f фщ [х, у,р + Ъ (Г — р)]йЪ.
О
По условию ПГ, квадратичная форма (88.5) положительна при
всех системах значений (х, у, Y', тс), удовлетворяющих
уравнениям (88.6) и таких, что (х, у, Y') —элемент кривой Е и тс^ = 1.
Тогда, как будет показано ниже, существует такая окрестность N
множества элементов (х, у, Y') кривой Е, что квадратичная форма
положительна, а следовательно, выполняется и неравенство 88.4,
для всех значений (х, у, У), лежащих в N, и значений кфО,
удовлетворяющих уравнениям (88.6).
Чтобы доказать существование указанной окрестности N,
заметим прежде всего, что множество точек (#, у, Y7, тс), для
которых (х, у, Г') есть элемент Е и тс^ = 1 и которые удовлетворяют
уравнениям (88.6), есть ограниченное замкнутое множество S.
Поэтому существует такая окрестность #е множестра S, что
выражение (88.5) остается еще положительным для вс'ех (х, у, Y', тс)
в #е, удовлетворяющих уравнениям (88.6) и условию тс^ = 1.
Методом рассуждения от противного можно легко доказать, что
существует такая окрестность N. множества элементов (х, у, У)
кривой Е, что точки (х, у, Y', тс), удовлетворяющие уравнениям
(886.), причем (х, у, Y') лежит в N и тс^ = 1, все лежат в
окрестности #е.
§ 89. Вторая вариация для задач с закрепленными концами.
В этом параграфе мы докажем две леммы, которые будут
использованы затем в § 90. В § 81 была сформулирована
присоединенная задача о минимуме второй вариации J"2 (S, ч\) вдоль нормальной
неособой, реализующей минимум кривой Е, не имеющей угловых
точек. В настоящем параграфе мы рассматриваем аналогичную
задачу о минимуме интеграла
h (*)) = f 2® (#, т), V) dx>

302 Гл-1Х- Достаточные условия минимума
входящего в выражение второй вариации, на классе Н
допустимых вариаций ^ (х), удовлетворяющих уравнениям вариаций
Фр = о и условиям Tfe (хг) = r\i (х2) = 0 для концов. Мы
предположим теперь, что значения хх и #2 фиксированы. Будем
предполагать также, что кривая Е, вдоль которой берется интеграл 12,
удовлетворяет условиям I и ИГ с системой множителей вида
*о=1* h(x)* Говорят, что для этой задачи значение хь из
интервала хх < хъ <; х2 сопряжено с хи если существует нетривиальное
решение и€ (х), vi (x) присоединенных канонических уравнений (81.3),
для которого щ(х) обращаются в нуль при хх и хг, но не все
тождественно равны нулю на интервале хххъ.
Лемма 89.1. Для того чтобы вариация I2(t|) была поло-
оюительио определенной в классе Н допустимых вариаций т|г-(#),
удовлетворяющих условиям
(89.1) т).(^) = 0, ^(#2) = 0, Фр = 0,
необходимо и достаточно, чтобы существовала сопряоюенная
система Uik(x), Vik(x) (&=1, ..., п) решений присоединенных
уравнений, для которой \ Uik(x)\zjtO на интервале ххх2.
Докажем сначала достаточность этого условия. Легко найти, что
функция Д соответствующая интегралу I2(tq), имеет вид
Д*(*, ч» *> К ч1 = Руук(\—^)Ык—*к),
где (х, т), у)') и {х, •/), тс) удовлетворяют уравнениям
О = Фр (я?, Ч, V) — ФР (^ Ч* *) = Ф ty (Ч< — *<)■
Таким образом, ввиду выполнения условия ПГ, функция Еш
положительна для всех таких систем значений, для которых
(х, т), ч\')ф(х, т), тс), ^-параметрическое семейство экстремалей
ц, = ?7^а&, С, = Г^а& однократно покрывает область пространства
(я?, t|), заключенную между гиперплоскостями х = хх и # = #2, и
эта область, согласно доказательству леммы 84.2, если его применить
в рассматриваемому случаю, является полем для интеграла 12 (ч\)
с функциями наклона ^i{x, v\) и множителями ^(х, ч\) семейства.
Из основного достаточного условия 85.1 вытекает положительная
определенность J2(t|). Достаточность условия леммы, таким образом,
доказана.
Доказательство необходимости условия леммы можно провести
методом Хэстенса, примененным в доказательстве первой части
леммы 87.2, несколько видоизменяя его, ввиду того что
рассматриваемая задача о минимуме не является обязательно нормальной.
Пусть в нашей задаче порядок анормальности оси *и = 0 равен q.
Тогда существует максимальная совокупность q линейно
независимых множителей Ь0?=0, ^р(х) (р = 1, ...,д), для которых
удовлетворяются присоединенные уравнения, т. е. существует

§8§. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ §ft3
максимальная система q линейно независимых решений 4\i?, Qp
присоединенных канонических уравнений, для которых ч\€ (#) — 0 на
интервале хгх^ Рассмотрим теперь две сопряженных системы
Ъ*> Zuc и иш vik (*=1, ..., п),
для которых все r\ik и все uik обращаются в нуль при х = хг ж
% = х2 соответственно. Выберем эти системы решений так, чтобы
решения -ц^, С*р (р = 1, •.., д) были первыми q решениями каждой
системы. Не ограничивая общности, можно предположить, что
совокупности Ц> (хг) (р=1, ..., q) нормированы и ортогональны
и что
(89.2) С*р (хг) Cie (хг) = О, gpfo) via (хг) = О
(р = 1, ..., q\ a»g + l, ..., п).
Из предположенной нами положительной определенности
интеграла 12Сп) следует, что бцлинейная форма (86.11) неотрицательна
при любых Ък, съ удовлетворяющих уравнениям (86.12). В матрице
коэффициентов формы (86.11) все элементы постоянны, а первые q
строк и q столбцов состоят исключительно из нулей, так как
решения 4\ip, Qp (p = 1, ..., q) принадлежат обеим сопряженным системам.
Определитель остающейся матрицы
(89.3) ||С|.«<р — 7jfat;,p || (a, 0 = q + 1, . .., »)
не равен нулю. Действительно, в противном случае существовала бы
присоединенная экстремаль i\i = bar\ia, ^ = Ъ£н, сопряженная
с каждой экстремалью системы uik, vik (7s = 1, ..., п) и,
следовательно, выражающаяся линейно в форме ckt uik, ckvik.
Присоединенная экстремаль i\i9 L,i9 определенная таким образом,
принадлежала бы к обеим сопряженным системам и поэтому
удовлетворяла бы условиям (89.1).г Функции t\i{x) не могут быть все
тождественно равны нулю, так как система i\ip, Qp(p = l, ..., q)
есть максимальная система присоединенных экстремалей с % = 0
на интервале хгх2. Интеграцией по частям находим, что интеграл
^г(ч)> взятый вдоль кривой i\i(x), равен нулю. Это противоречит
тому, что интеграл I2 (r\) положительно определенен, и поэтому
утверждение об определителе доказано. Так как определитель
матрицы (89.3) не равен нулю, то линейным преобразованием системы
%a> via (a = Я. +1> • • • > п) можно достигнуть того, чтобы матрица
(89.3) сделалась единичной, что мы и будем предполагать.
Зададим теперь систему решений Uik(x), Vik(x) {h=l, ..., п)
следующими начальными значениями:
(89.4) ^р (a?l) ~ ^fp (a?l)> FiP (a?l) = °'
U* (Х\> = 4fa (*l) + Uia (*i), Via (#l) = tia (Xt) + Via (Xt).

Гл. iX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА.
Ввиду того что матрица постоянных (89.3) является теперь
единичной матрицей, с помощью соотношений (89.2) находим, что
Uib(x), Vik(%) (* —1, ..., п) образуют сопряженную систему.
Определитель | ZJik (x) | для этой системы не обращается в нуль
в интервале х^2. Действительно, если допустить противное, то
можно найти такое #3 и такую систему постоянных Ъъ не равных
одновременно нулю, что
(89.5) М7лЫ = 0 (*=1, ..., п).
Умножая (89.4) на С*в (#3) и складывая, находим, что все Ьр равны
нулю; так как на основании условия сопряженности и условий
(89.2) и (89.4) имеют место соотношения
С«. (*e) Ui9 (Ч) = С* (#i) М^) = 8pj,
t<. (хь) Uu (#з) = О,
которые легко получаются, если вспомнить, что все функции
r\i?{x) тождественно равны нулю на интервале ххх2. Из (89.4)
получаем, чго постоянные Ьа (а = q-\- l, ..., п) удовлетворяют
соотношениям
и вдоль ломаной экстремали
Ч< 0*0 = Ъ*Ъ* (х) ВД л?! < х < #3,
'ty (ж) = — bauia (х) на хъ ^ ж <; #2
значение (86.11) интеграла J2 fy) равно — йаЬа, что находится в проти^
воречии с положительной определенностью I2 (tq). Лемма 89.1
доказана.
Лемма 89.2. Для того чтобы интеграл 12 (*|) был полоэюитель-
чо определенным в классе Н, необходимо и достаточно, чтобы на
интервале хг < х ^ хь не существовало значений #3, сопряэюен-
пых с xv
Необходимость этого условия доказывается от противного.
Если хь сопряжено с #j, то существует присоединенная экстремаль
и$(х), vi{x)i для которой «<(я?1)в^(ж8)=я0 и не все щ(х)
тождественно равны нулю на интервале хххь. Для составной кривой
(\i(x), где ч\{(х)=2щ(х) на интервале хгх$ и ч\}(х) = 0 на
интервале %#2> интеграл J2 (iq) равен нулю. Последнее же противоречит
положительной определенности J2(ti).
Докажем теперь достаточность условия. Пусть £ есть точная
нижняя грань чисел #3, для которых интеграл 12(у\), взятый
в пределах от хх до #3, — положительно определенный на классе
допустимых вариаций v\i(x)> удовлетворяющих уравнениям Фр = 0
и условиям т)г- (tvt) = i\i (#з) = °- Такие интервалы хххъ существуют.

§89. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ «JQ5
Это следует из леммы 89.1 и существования сопряженной системы
Uoc (x)r Vik (х) (к = 1, ..., п) присоединенных экстремалей,
удовлетворяющих начальным условиям Uik {хх) = biky Vik{xx) = 0, для
которой определитель (?7ifc| не обращается в нуль в окрестности точки х.
На интервале х£ интеграл J20q) по меньшей мере
неотрицателен. Действительно, если допустить противное, то на этом
интервале найдется допустимая совокупность вариаций *и(#),
удовлетворяющих уравнениям Фр = 0 и % (х{) = % ($) = 0, для
которой 12 [г| (х)] < 0. Тогда, как будет показано в последнем
абзаце этого параграфа, должно существовать такое семейство
вариаций *)*(#!, #8), обращающихся в нуль при х = хх и # = %<£,
что для значений xz, достаточно близких к I, выполняется
неравенство J2 Ь\ (х, хь)] < 0. Это противоречит определению числа ?,
по которому на таких интервалах хххъ интеграл 12(ч\)— положи -
тельноопределенный. Утверждение о неотрицательности J2 доказано.
Покажем теперь, что на интервале xfi интеграл I2 (yj) не только
неотрицательный, но даже положительно определенный. Допустим
противное. Тогда найдется такая допустимая совокупность вариаций,
удовлетворяющих уравнениям Фр = 0, обращающихся в нуль при
# = #! и я? = 6, но не равных тождественно нулю между этими
значениями, для которой интеграл J2(*i) принимает свое
наименьшее значение, равное нулю. Такая совокупность вариаций
должна была бы необходимо удовлетворять присоединенному правилу
множителей и быть присоединенной экстремалью, так как условие ПГ
равносильно тому, что кривая Е неособая. Это невозможно, так
как 5, по предположению, не сопряжено с xv
Наименьшая верхняя граница 6 должна совпадать с х2.
Действительно, так как интеграл 12(*0 .положительно определенный
на интервале х£, то, по лемме 89.1, существует сопряженная
система Uilt(x), ¥цс(х) (& = 1, ..., w), для которой определитель
I Uiic(x) | не обращается в нуль на интервале х£. Этот определитель
будет поэтому положителен и на несколько большем интервале,
а тогда, по лемме 89,1, заключаем, что 6 не может быть точной
верхней гранью значений #3, если только оно не совпадает с
концом х2 интервала хгх2. Для завершения доказательства леммы 89.2
нам осталось доказать утверждение о существовании семейства
Ч ix> хь). Этому посвящены следующие два абзаца.
Докажем следующее утверждение. Если кривая Е, вторая
вариация вдоль которой нами сейчас рассматривается, имеет порядок
анормальности q на интервале xfi, то она имеет тот же порядок
анормальности на любом интервале хгх8 при #3 < £, лежащем
достаточно близко от £. Во втором абзаце доказательства леммы 81.4
было показано, что матрица"
(89.6) |«<efo)
(г=1, ..., п\ 5=1, ..., 2п)

306
Гл. К. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
фундаментальной системы присоединенных экстремалей имеет ранг
2п—q', где q'— порядок анормальности Е на интервале х^. При
#в = £ этот ранг равен 2п— q, т. е. он будет не меньше 2п— q
при хь достаточно близких к ?, так как элементы матрицы суть
непрерывные функции. О другой стороны, число q' линейно
независимых присоединенных экстремалей r\u Ct- с fy = 0 на интервале
хгх$ по меньшей мере не меньше соответствующего числа q линейно
независимых экстремалей ч\{, С* с щ == о на ххЬ Таким образом,
q = q'.
Докажем теперь существование семейства вариаций 4\i(x> хъ)>
которым мы пользовались при доказательстве леммы 89.2. Пусть
%(#)—допустимая совокупность вариаций, удовлетворяющая
уравнениям Фр = О вдоль Е и условиям т|г. (х±) = y)* (Е) = 0, где £
—некоторое значение из интервала л?!<Е<;^2- Из леммы 61.4 следует,
что для каждого хь < £ можно найти присоединенную экстремаль
Uiy V4, ДЛЯ КОТОРОЙ Ui (Хг) = 7]г- (хг) — О, Щ (Хв) = 1){ (#8). ЕСЛИ Хь
лежит достаточно близко от S, то эта экстремаль может быть найдена
путем решения относительно 2п—q постоянных с8 системы 2п — q
уравнений
О = csui8 fa), гц {хъ) = e8ui8 (хь),
в то время как остальные q коэффициентов будут равны нулю.
Получаемые таким образом функции с8 (хь) непрерывны и
стремятся к нулю при хъ -> £: Поэтому вариации
(89.7) ^ (х, хъ) = ти (#) — Q8 (#3) uis 0*0
обращаются все в нуль при х = х1 я # = #3, а г^ (х> хъ) и ч\'{ (х, хв)
при хъ-*1 стремятся к ц*(х) и %(х) равномерно относительно х
на интервале х£. Очевидно, что семейство (89.7) является именно
таким семейством, существование которого требовалось доказать.
§. 90. Эквивалентная форма усиленного четвертого условия.
Обычно довольно трудно проверить выполнение условия ГУ' § 82
о положительной определенности второй вариации. В этом и
следующем параграфе мы устанавливаем три эквивалентных условия,
проверка которых, по крайней мере с теоретической точки зрения,
представляется более' легкой.
Символом IVi будем обозначать условие положительной
определенности второй вариации в классе присоединенных ломаных
экстремалей, имеющих не более одного излома и удовлетворяющих
присоединенным условиям для концов. Символом IVa будем
обозначать то условие, что вторая вариация положительно
определенна на классе присоединенных экстремалей, удовлетворяющих
присоединенным условиям для концов, и что на интервале хг < х < х2
нет точек xs, сопряженных с xv Определение сопряженной точки
было дано в § 89.

§ 90. ЭЦВИЙАЛЕНТНАЯ ФОРМА УСИЛЕННОГО ЧЕТВЕРТОГО УСЛОВИЯ
Теорема 90Л. Условия IV\ IVi, IV2 эквивалентны одно
другому.
Легко видеть, что из условия IV,вытекает условие IVi, а из
IVi — IV2. Таким образом, теорема будет доказана, если показать,
что из условия IV2 вытекает условие IV .
Докажем это. Заметим, что если условие IV2 выполнено, то #2
не может быть сопряженным с xv Имея это в виду, рассмотрим
произвольную допустимую совокупность вариаций ч\г(х),
удовлетворяющую уравнениям Фр = 0 и присоединенным условиям для
концов. По лемме 81.4 можно найти присоединенную экстремаль
и*0*0, t><(а?), Для которой щ (%1) = i\i(%1), и{(х2) =щ(#2). Пусть
в выражении второй вариации подинтегральная функция
образована с помощью множителей uif v^ Тогда, применяя формулу
Тэйлора, сумму J2 молшо написать в виде
X
+ / l(yii—щ) \ (*) + (ч;—<) ^ч^ («Я*?.
X,
Интегрируя по частям, находим, что интеграл в правой части равен
нулю. По лемме 89.2, второй член правой части всегда положителен,
за исключением случая ч\{ = и{, а первый член, по условию IV^,
также положителен, кроме случая % = 0. Таким образом, вторая
вариация положительно определенна. Теорема 90.1 доказана.
Проверка выполнения условия TV'2 может производиться при
помощи следующего критерия, который мы докажем в этом и
следующих абзацах. Предположим сначала, что порядок анормальности
кривой JS на интервале ххх2 равен q, так что имеется максимальная
система q линейно независимых вторых экстремалей ui? (х), vi? (x)
(р = 1, ..., q), для которых ui? (х) == 0. Пусть uia (x), via (x)
(а = 2 + 1> ...,#») суть 2п— q присоединенных экстремалей,
составляющих вместе с ui?, vi? фундаментальную систему. Уравнения
(90.1) ¥^ [ll9 cauia (хг), £2, cauia (#2)] = О
имеют фундаментальную систему 2w—q-j-2—r решений (tu £2, ca),
где г есть ранг матрицы коэффициентов при этих величинах в
уравнениях (90.1). Этим решениям соответствует максимальная система
из постоянных Ьи 52 и присоединенных экстремалей
Ziv &2г ЧцС*)* ^т(^) (Т = 1* •>•> 2n — q-jr2 — r),
для каждой из которых удовлетворены присоединенные условия для
концов и не все щ (х) тождественно равны нулю на интервале х^х%.
Вторая вариация, вычисленная для совокупности
?! — 5jT*T, £2 = Ц^т> f\i = Heft,

308
Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
т, е. для произвольной линейной комбинации найденных выше
присоединенных экстремалей, является квадратичной формой Q (#)
переменных #у. Теперь легко проверить справедливость следующего
утверждения.
Теорема 90.2. Условие IV^ равносильно условиям, что
квадратичная форма Q (#) положительно определенна и что на
интервале хг<х<х2 нет значений, сопряженных с xv
Если рассматриваемая экстремаль Е нормальна для данной
задачи Вольца, то всякая присоединенная экстремаль,
удовлетворяющая присоединенным условиям для концов, является, как указано
в лемме 81.1, нормальной кривой для присоединенной задачи о
минимуме. На основании теоремы 77.1 существует поэтому
бесконечное число допустимых совокупностей Ьи £2, *и (#), удовлетворяющих
присоединенным условиям для концов. Как из условия IV^, так и из
эквивалентных ему условий теоремы 90.2 следует, что значения
хх и #2 не сопряжены. Таким образом, по лемме 81.4, существует
присоединенная экстремаль щ(х), vt{x), соединяющая концы
кривой v\i {x), причем совокупность Ьъ £2, щ (х) также будет
удовлетворять присоединенным условиям для концов. Поэтому квадратичная
форма Q(s) должна содержать переменные е. Чтобы определить
значения хъ, сопряженные с хх на интервале хгх2, будем следовать
способу Рейда ([44], стр. 577). Обозначим порядок анормальности
кривой Е на интервале хгх чэрез q (x). Этот порядок равен
максимальному числу линейно независимых присоединенных экстремалей
иь vif для которых все щ тождественно равны нулю на
интервале ххх. Функция q(x), очевидно, не возрастает и имеет
значениями только целые числа <<wz, как это следует из теоремы 77.2.
Поэтому она имеет на интервале хгх2 только конечное число точек
разрыва, которые мы обозначим через ta (а = 1, ..., g — 1), считая
^о = xi < h < • • • < *0-i < tg = х2- Из присоединенных экстремалей
Щ, ч>ь Для которых и{ равны нулю при х = хи составим
сопряженную сцстему uik(x), vik{x) (& = 1, ..., ю), у которой элементы
vik (xi) можно считать нормированными и ортогональными, так что
(90.2) M*iK*(#i)=^ (*0 = 1, 8^ = 0 при jzfik).
Порядок столбцов в этой системе можно выбрать так, чтобы при
всяком а = 1, ..., g первые q(ta) столбцов состояли из элементов
%р[р = 1, ...,д (*«)]» тождественно равных нулю на интервале
#1<Х£«. Для получения фундаментальной системы
присоединенных экстремалей можно добавить п новых присоединенных
экстремалей uitn+k(x)9 vitn+k{x) (A = l, ...,w), определяемых
следующими начальными условиями:
(90.3) uiftt+k (хг) = vik (хг), vifn+k (xt) = 0.

§ 90. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ФОРМА УСИЛЕННОГО ЧЕТВЕРТОГО УСЛОВИЯ 3Q9
Определим, наконец, для каждого значения а = 1, ..., q систему
Щк(х\а)> vik{x\aYследующим образом:
Щ?(*!«)= Щ,п+9 0*0, % (#!<*) = »<f л+р (#) [р = 1, ..., q (ta)],
Эта система является сопряженной, как в этом легко убедиться при
помощи соотношений (90.2), (90.3) и uip(%) = 0. Пользуясь этими
обозначениями и определениями, можно доказать следующую теорему.
Теорема 90.3. Для всякого а=1, ...,д значение, сопряжен-
ные с #! на интервале хг <#<;£«, сушь такие числа х%, для
которых выполнено одно из следующих эквивалентных между собой
условий]
1) Ранг матрицы
!«<ft(tfi) 4n+fc(^i)|
I *<*(*») «<,n+*(*e)I
меньше 2п — q (ta).
2) Ранг матрицы \\ui(J(xb)\\ [a = g (Je) + 1, . ..,w] меньше
» — 9(0-
c3) Определитель \uik(xb]a)\ равен нулю.
Всякая присоединенная экстремаль uif v{ есть линейная
комбинация экстремалей фундаментальной системы, из которой составлена
матрица в (1). Все элементы первых q(ta} столбцов этой матрицы
равны нулю. Отсюда видно, что присоединенная экстремаль uif vi9
удовлетворяющая условиям щ (x^j = иг (хь) =0 и щ (х) ф 0 на
интервале х±хЪ9 существует в том, и только в том, случае, когда,
райг матрицы (1) меньше 2п—q(Q.
Всякая присоединенная экстремаль ui9 vit для которой все щ
равны нулю при х = хи является линейной комбинацией решений
сопряженной системы uik, vik (&= 1, ..., п). Для того чтобы было
щ(%ъ} = 0 и не все щ тождественно равнялись нулю на
интервале хххъ, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы в
условии (2) был меньше п — q(ta).
Определитель в условии (3) равен нулю, если х.6 сопряжено
с хх вследствие выполнения условия (2). Обратно, если этот
определитель равен нулю, то существует такая система постоянных ск,
одновременно не равных нулю, что
Умножая эти соотношения на ui? (хъ) [р = 1, ..., q (Q] и суммируя
по индексу г, находим, имея ввиду специальные свойства
сопряженных систем илъ vik и uik(x\a), vik(x\a) (ft=l, . ..,w), что
первые q(ta) постоянных ск равны нулю. Отсюда ясно, что ранг
матрицы услрвия (2) меньше, чем п—q(Q. Тем самым теорема
полностью доказана.

310 тл. к. достаточные условия минимума
§ 91. Граничная задача, соответствующая второй вариации.
Второй вариации соответствуют так называемые граничные задачи,
из рассмотрения которых можно получить еще новые условия,
эквивалентные условию IV. Одна из этих задач, аналогичная известной
граничной задаче для простых случаев, будет здесь кратко
рассмотрена *). Различные детали следующих далее рассуждений ведут
свое начало от работы Хиксона2), в которой он рассматривает
вариационные задачи с закрепленными концами без каких-либо
дифференциальных или иных условий. Для задачи Больца условие,
эквивалентное условию IV § 90 и подобное приводимому здесь,
было сформулировано Коупом ([16], стр. 21) и затем кратко
рассмотрено Хэстенсом ([38], стр. 812). Гораздо более подробно оно
рассмотрено в работах Рейда [33, 44]. Мы несколько видоизменим
употреблявшиеся до сих пор методы. Новое условие, эквивалентное
условию IV, будет обозначаться символом IV3.
В этом параграфе мы будем предполагать, что рассматриваемая
кривая Е класса 2К нормальна, не имеет угловых точек и
удовлетворяет правилу множителей I и усиленному условию Клебша III'.
Поэтому в силу дёммы 87.1 кривая Е будет неособой экстремалью
и соответствующие ей множители вида 10—1, Ц(х) будут
определяться однозначно.
Граничная задача для второй вариации вдоль Е, которую мы
рассмотрим здесь, связана с задачей разыскания в классе
допустимых систем v\i (x)> удовлетворяющих условиям вида
(91 1) *p (*' 71' 4/) = °' W* ^ (*l}' Ч (*а)] = °'
Хг = COnst, #2 = COnst,
такой системы, для которой сумма
£Ва
(91.2) J2 (y), о) = 2y h (хх\ т) (х2)] + f (2ш — от]^) dx
достигает минимума.- Мы пока считаем, что функции 2?, ЧГ^, не
зависят от постоянных $г и £2. Позже мы освободимся от этого
ограничения. Символом о обозначена произвольная постоянная.
Для реализующей минимум системы yj< (x) в рассматриваемой
задаче должны удовлетворяться уравнения
(91.3)
__^_OYk = 0t Фр = 0,
[9^<ад+*т+**^-о, «;=о,
i) См. Biiss [57].
^ Hickson, An Application of the Calculus of Variations to Boundary
Value Problems, Tramantions of the American Mathematical Society. XXXI
(1929). 563-579,

§ 91. ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ 311
где первое соотношение во второй строке должно быть, как обычно,
тождеством относительно дифференциалов At\iu dt\i2l Граничная
задача, которая должна быть здесь рассмотрена, состоит в
разыскании системы ч\{ (х), Хр (х), е^, о, удовлетворяющей
условиям (91.3). В соответствии с установившейся традицией число о,
для которого такие решения существуют, называется
характеристическим числом, а соответствующая ему система г|г-(#), ^0*0* %
называется характеристической системой.
Если ввести присоединенные канонические переменные,
определяемые, как обычно, формулами (81.3), и функцию ф,
определенную формулой, стоящей непосредственно перед (81.5), то условия
(91.3) примут следующий вид:
(914) Ж °" <' Ж = ~~ ^~~ аГ[0
Условия для концов, написанные в более развернутом виде, таковы:
— ^+Т*1 + Л,<1=°>
(91.5) С#9 + Тл + ^щ« = 0,
^, = 0,
где значками г\ и г2 при к и f обозначены частные производные
по ч<1 и ч?з соответственно. В уравнения (91.5) входят, величины
4i\> ^iv 4*2» £>&> V Если этим уравнениям удовлетворяют две такие
системы, то," обозначая черточкой элементы второй системы, можем
написать
(91.6) — ч<А + ч^«+2т (ч; ч) = °>
где третий член в левой части есть билинейная форма,
соответствующая квадратичной форме 2?. В случае совпадения этих двух
систем будем иметь
(91.7) [Ч&]2 + 2Т = 0.
В следующей лемме отмечено основное свойство
характеристических чисел и систем.
Лемма 91.1. Если г\$(х), Щх), е^, о или, в канонических
координатах, ч\г (х), £Д#), е^, о есть решение граничной задачи
для второй вариации, то
(91.8) J2(4, °)=0,
г9е Jg (4, <з) есть сумма (91.2),

312
Гл. К. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Для доказательства достаточно заменить в выражении (91.2)
2<о на
Ч г
и затем интегрировать по частям. Тогда с помощью первых
соотношений (91.3) и уравнений (91.7) найдем, что J2 (ч\> °) равно нулю.
Лемма 91.2. При достаточно большом по абсолютной
величине и отрицательном о сумма J2 (ъ °) — положительно
определенная в плассе допустимых систем tjf (x), удовлетворяющих
условиям Фр = Ф^=.0 из (91.1).
Доказательство леммы опирается на тот факт, что квадратичная
форма а4кч\€1\к п переменных принимает минимум т в классе точек
СП1> •••»7lJ> удовлетворяющих условию ад^Ь Отсюда следует,
что форма одцлк-^одг)< — положительно определенная, если с по-'
ложительно и достаточно велико.
Рассмотрим интеграл
(91.9) J(2Q—оЧЛ,)Л*,
считая его функцией переменных %, подчиненных условиям леммы.
Из (81.7) и соотношения, стоящего непосредственно перед (81.5),
следует, если применить канонические переменные, что
22 (#, т), П, А) = 2^.— 2£ =
Полагая в этом соотношении (х, ч\, С) = {х, О, С), ввиду условия ПГ,
выполнение которого было оговорено выше, получим, что 2Q в этом
случае неотрицательно, а следовательно, неотрицательна и
квадратичная форма, стоящая в правой части равенства. Ввиду
сделанного выше замечания о квадратичных формах интеграл (91.9) будет
поэтому положительно определенным, если только а отрицательно
и достаточно велико по абсолютной величине.
Из того же замечания о квадратичных формах следует
существование такой отрицательной постоянной с, что
где h (ж)—функция, имеющая непрерывную производную на
интервале ххх2 и принимающая нц концах интервала значения h (х^) =а —-1,

§ 91. ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ 313
h(x2) = l. Мысль о введении функции h была высказана Морсом
([23], стр. 534). Интеграл в правой части последнего неравенства
имеет вид (91.9) и, следовательно, положительно определенен, если а
отрицательно и достаточно велико по абсолютной величине. Отсюда
следует сразу, что для таких а интеграл J20q, <j) также
положительно определенный.
Лемма 91.3. Точная верхняя грань ох чисел а, для котдрых
интеграл J2 (r\, о) полооюительно определенный, есть наименьшее
характеристическое число граничной задачи (91.3) или (91.4).
Легко видеть, что сумма J2(y\, °i) должна быть
неотрицательной, если аг есть точная верхняя грань, как определено в лемме.
Действительно, в противном случае найдется такая система ч\{,
что J2{4\> °i)<°> a тогда и J2{*\> °) <0 для о<ах и достаточно
близких к о1в С другой стороны, сумма J"a(*i, Oj) не может быть
положительно определенной, так как если критерий IV2
положительной определенности J2{i\, о), выведенный в § 90, выполняется
для оА, то он выполняется и для близких к ох значений о > at.
Таким образом, существует допустимая совокупность т^,
удовлетворяющая условиям Фр = Ч?^ = 0, для которой J2(f\, Oj) равно нулю.
Эта совокупность реализует минимум J2{f\> °i) и* следовательно,
удовлетворяет-условиям (91.3) при о = о{. Поэтому ог есть
характеристическое число. Для любого другого характеристического
числа о2 соответствующая характеристическая система т^
удовлетворяет условиям Фр = ЧР^ = 0 и такова, что J2 (tq, о2]i= 0. Таким
образом, J2 {f\, °$) не является положительно определенной и,
следовательно, о2 больше о1#
Из предыдущих лемм легко вытекает следующая теорема.
Теорема 91.1. Для того чтобы вторая вариация J2(v\,0)
в (91.2) была неотрицательна в классе допустимых
совокупностей i\i(x), удовлетворяющих условиям (91.1) Ф^вЧ^гзгО,
необходимо и достаточно, чтобы наименьшее характеристическое
число ог граничной задачи (91.3) для второй вариации было
неотрицательным. Для положительно?* определенности J"2 (д, О)
необходимо и достаточно выполнение условия ot > 0.
Эти условия, эквивалентные условиям IV, IV, можно
обозначить символом IVS.
Мы пока не рассматривали случай, когда вторая вариация Ja
и функции Wp зависят от постоянных Ьг и £2. Легко, однако,
доказать, что аналогичные теоремы имеют место и для этого случая.
Пусть J"2 задано в следующем виде:
(91.10) Jg(S, 7], о) = 2тв, 4(*i), h> 4(*g)] +
+ /[2ш_о(71ЛН-^ + ф]^

314
Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
т. е. является функцией, определенной в классе допустимых
совокупностей Ьи £2, *\i (#)# удовлетворяющих условиям обычного вида
(91 11) Фэ(^ Ч' Yi,)=0> W*&> 4(«i)t Ъ> ЧЫ]=5 0,
#! = COnSt, #2 = COnst.
Задачу о минимуме J"2(E, *ь о) в классе допустимых только что
указанных совокупностей можно свести к задаче рассмотренного
выше типа. Действительно, выразим J2 и условия (91.11) в
следующем виде:
а?3
+ J [2(o — e(4^ + 4i+1 + t|J+a)] dx,
(91.12)
О?!
#j = COnst, #2 — COnst.
Задача тогда будет состоять в разыскании в классе допустимых
совокупностей *^ (х) (j=l, ... , п -f- 2), удовлетворяющих условиям
(91.12) такой совокупности, для которой J2 принимает минимум,
т. е. задача будет сведена к типу задач (91.1) и (91.2). Применяя
к этой задаче полученные выше леммы и теоремы, мы получим
критерии неотрицательности или положительной определенности
второй вариации J"2(£, tq, 0) в их обычной
§ 92. Достаточные условия для некоторых важных
анормальных случаев. Хэстенс в своей работе [38] о достаточных условиях
в задаче Больца доказал теорему (стр. 815, теорема 9.2),
аналогичную следующей теореме.
Теорема 92.1. Пусть не имеюгцая угловых точек кривая Е
принадлежит классу 2R, состоящему из всех допустимых кривых,
удовлетворяющих условиям ф ^ = ф^ = 0» Если кривой Е
соответствует система миоо/сителей вида /0=1, Ц (х), для которой Е
удовлетворяет условиям I, П#, Ш', IV , то кривая Е есть
неособая экстремаль, и в пространстве (х, у) существует такая
окрестность F- кривой Е, что для любой кривой С класса 9К, ле-
оюащей в этой окрестности и не совпадающей с Е, концы которой
леоюат достаточно близко от концов Е, выполняется неравенство
J(C)>J(E).
Это утверждение отличается от теоремы 82.1 только тем, что
здесь опущено предподожение о нормальностц кривой Е. Приводи-

§ 92. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ АНОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 315
мое здесь доказательство теоремы 92.1 основывается на
приведении общего случая к нормальному случаю теоремы 82.11).
Пусть порядок анормальности кривой Е равен д. Тогда
существует q линейно независимых анормальных' систем множителей
h* = ®> ЧЛХ) и постоянных е^(о = 1, .,., q), для которых Е
удовлетворяет правилу множителей теоремы 74.1. Уравнения
(92-1) I^nJi'+V^-0'
где /Р, —?рвФр, являются при каждом о тождествами относительно
переменных Et, £2* *1г1* *1ю/ так как они получаются из тождества
в (74.9) с множителями ^ = 0, Ц9(х)9 е^а заменой значений dx,
dyi в концевых точках на величины S, У^ + ^ в этих точках.
Интегрируя по частям сумму
получим
(92-2) |^,^=ед;.
На основании уравнений (92.1) и (92.2) для любой допустимой
совокуцности вариаций, удовлетворяющей уравнениям Фр = 0, имеем
Матрица # систем постоянных е^(о = 1, . ..,д) имеет ранг д.
Действительно, в противном случае существует линейная
комбинация этих систем, целиком состоящая вз нулей, на основании
замечания, сделанного непосредственно перед следствием 74.1;
такая же линейная комбинация систем 10„, Ц9{х)у е^ состоит из
тождественно равных нулю элементов, что противоречит линейной
независимости этих систем.-
В нижеследующем индекс р пробегает q таких чисел, выбранных из
чисел I* = 1,..., р, что определитель | е?д | не равен нулю, а индекс v
пробегает, остальные р — q из чисел ^ = 1, ..., р. Второе
уравнение (9'2.3) показывает, что для допустимой совокупности 6t, 52,
ч\€ (х) ^соотношения ЧГр = 0 вытекают из соотношений Фр = 9TV = 0.
Теорема 92.2. Если кривая Е удовлетворяет условиям
теоремы 92.1 и индексы р и v изменяются в указанных выше
пределах, то эта кривая является нормальной кривой для следующей
новой задачи: в классе допустимых кривых С, удовлетворяющих
сокращенной системе уравнений фр = <^ = 0, найти кривую,
*) См. Б л и с с [56], стр. 373—374.

316
Гл. IX. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА.
реализующую минимум функционала J(G)-\-e^p{G). Для новой
задачи кривая Е удовлетворяет условиям теоремы 92.1 с
множителями 10=1, Ц(%), еу. Если J(E) -f-^рфр {Е) есть сильный
относительный минимум (в новой задаче), то J (E) есть сильный
относительный минимум (в данной задаче).
Легко видеть, что в новой задаче кривая Е нормальна.
Действительно, если Е в этой задаче имеет нетривиальную систему
множителей вида 10=0, Ц(х), ev, то система 10 = О, Ц(%), е? = 0, ev
была бы системой множителей для Е в исходной задаче, т. е. была
бы линейной комбинацией q систем 10а = 0,1$а (х), е^9 (о = 1,..., q),
что невозможно, так как определитель \ера\ не равен нулю.
Легко убедиться простой проверкой, что в новой задаче
кривая Е удовлетворяет условиям I, П#, ПГ, IV теоремы 92.1 для
системы множителей 10 = 0, Ц(х), еу. Для проверки условия IV
необходимо вспомнить, что ввиду второго ^соотношения 92.3
сокращенная система уравнений вариаций Фр = Ч?\, = 0 эквивалентна
полной системе Фр = ЧГ{|. = 0.
Класс кривых, в котором рассматривается новая задача,
содержит класс Tt кривых исходной задачи, а функционалы J (С) + ерфр (С)
и J (С) на кривых этого последнего класса совпадают. Отсюда
сразу следует последнее утверждение теоремы.
Таким образом, мы видим, что доказательство достаточного
условия Хэстенса для анормальных кривых сводится к
доказательству того, что уже нормальная кривая реализует минимум в
некоторой соответствующей задаче. Анормальные кривые,
удовлетворяющие теореме 92.1, принадлежат к наиболее интересным видам
анормальных кривых, для которых к настоящему времени получены
какие-либо достаточные условия.
Дальнейшие интересные результаты, касающиеся анормальных;
случаев, получены Макшейном в работах [69], [70] и [71}.

Приложение
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Изложение вариационного исчисления существенно опирается
на теоремы существования для неявных функций и
дифференциальных уравнений. На эти теоремы часто приходится ссылаться при
проведении различных доказательств. В результате их применения
в вариационном исчислении сами эти теоремы были обобщены и
получили новые доказательства, которые далеко не всегда можно
найти в учебниках по теории функций действительного переменного.
Помещаемые ниже теорема о неявных функциях (§ 2) и теорема
включения для дифференциальных уравнений (§ 5) являются
наиболее важными из этих обобщений. Ввиду их большой важности
я привожу здесь эти теоремы в форме, которая, как мне кажется,
наиболее удобна при изучении вариационного исчисления.
I. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ *)
§ 1. Основная теорема существования неявных функций.
Мы рассматриваем здесь уравнения
fi («1, - - •» 0«; Уи • • ■* Уп) = 0 (г= 1, ... , п).
Системы переменных (хи ... , хт; уи ... , уп), (хи ..., хт),
(Уи • • • > Уп)» когда это удобно, будут обозначаться символами
(х, у), х, у роответственно; символы (а, Ъ), а, Ъ в следующих
теоремах будут обозначать аналогичные системы. Через D(x, у)
обозначается функциональный определитель
v ' *' <НУ1,..., уп) \дУи
Окрестность (а, Ъ\ есть множество точек (х, у), удовлетворяющих
неравенствам
|а?г —аг|<е, \У< — МО (г=1, ..., т\ * = 1, •-., п).
Символы аг, Ъг имеют аналогичный смысл. Приняв эти обозначения,
можно сформулировать основную теорему следующим образом:.
*) См. Bliss, Fundamental Existence Theorems (Princeton Colloquium
of the American Mathematical Society) (1909); Bolza, Vorlesungen tiber
Variationsrechnung, 2-е изд. (1933), гл. IV, стр. 154 и ел.

818
Приложение, теоремы существований
Теорема 1.1. Пусть для точки р — (а, Ъ) выполнены
следующие условия:
1) функции fi (х, у) непрерывны и имеют непрерывные
частные производные ^-* в окрестности N точки р;
2) К{а, Ь) = 0 (г = 1, ..., п);
3) D (а, V) ф 0.
Тогда существует система функций yi{xu ... , хт), однозначных
и непрерывных в окрестности аь, обладаюгщя следующими свой-
ствами:
1) точки [х, у{хи ... , хт)]у определяемые этими функциями,
лежат в N и удовлетворяют уравнениям /^ = 0;
2) существует такое постоянное е, что для любого х из
окрестности аь точка [х, у (хи ..., хт)] есть единственное решение
(х, у) уравнений f{ = 0, удовлетворяющее неравенствам
УАЧу •••> хт)—*<У1<Уг{хи •••, хт)-\-е;
3) у€(аи ..., am) = bi (*=1, •••, л);
4) в достаточно малой окрестности аь функции yi (хг, ..., хт)
имеют непрерывные частные производные до такого о/се порядка,
что и функции fi в окрестности N.
Покажем сначала, что в достаточно малой окрестности (а, Ь)е
уравнения fi = 0 не могут удовлетворяться двумя различными
точками (х, у), (х, у'), имеющими одинаковую проекцию х. По
формуле Тэйлора с остаточным членом в виде интеграла имеем
(1.1) f.(x, y)-fi(x9y) = Bil(y1-y1)+ ... +В.п(у'п-уп),
где
i
Bi1t (х, у, у') = f ftVk [х, у + 6 (у'—у)) db.
О
В точке (а, Ъ) определитель В (х, у, у') = |Б^| имеет значение
В (а, Ъ, b) = D (a, b) ф 0, и, следовательно, можно выбрать
окрестность (а, Ь)е, лежащую внутри окрестности N теоремы, настолько
малой, чтобы в ней определитель В (х, у,уг) не обращался в нуль.
В этом случае, очевидно, выражение (1.1) может обращаться в нуль
только при у = у'. Для дальнейшего полезно отметить, что
D{x, y) = B(x, у, у) также не обращается в нуль в окрестности
(а, Ь)е, в которой В (х, у, у') не обращается в нуль.
Докажем теперь, что, существует такая окрестность а8, что
каждому х из этой окрестности соответствует решение (х, у),
лежащее в (а, Ь)е. Введем вспомогательную функцию
?(*, y)=fi+ ••• +fl

1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 319
На замкнутом множестве тачек {х, у) = (а, г\), где v\ пробегает
границу окрестности Ъг, выполняется неравенство
<р(а, ч) = ?(а, ч) — у (а, Ь) > 0.
Это следует из того, что ввиду доказанной выше единственности
<р (а, у) обращается в окрестности Ье в нуль только при у=Ъ.
Таким образом-, при тех же yj и х, лежащих в достаточно малой
окрестности аь, имеет место неравенство
ср (х, т)) — <р (х, Ъ) > 0.
Отсюда следует, что при фиксированном х из окрестности а8
непрерывная функция о(х, у) имеет минимум в точке у, лежащей
внутри окрестности Ъг, а не на ъе границе. В такой внутренней
точке все производные функции ср
Iii_ / iA т \fdfn
должны обратиться в нуль, и так как D (ху у)фО в (а, Ь)г, то
все функции fi в этой точке равны нулю. Поэтому каждому х из
окрестности аь соответствует решение (х, у) уравнений /** = О,
лежащее в (а, Ъ\.
Докажем, что определенные таким образом в окрестности аь
однозначные функции уг (хи ... , хт) непрерывны. Если величины
этих функций в точках х и х-\-кх обозначим соответственно
через у и у + Ду, то будем иметь соотношения
0 = Л(* + Дя?> y + by)=fii* + b*9 у + Ду) —
(1.2) —Мх+Ьх, У) + Ъ(х + Их, у) =
= 2^а%й + А(^ + д^ У),
к
где аргументы в JBik суть {х, у, у') = (# + Д#, у, У + Ду). Отсюда
видно, что кук стремятся к нулю вместе с Д#. Таким образом,
нами уже доказаны утверждения (1) и (3) теоремы 1.1.
Совсем просто доказывается утверждение (2) теоремы.
Множество точек [х, у (хи ..., хт)], определенное функциями у€ (х{,..., хт)
в окрестности аь, лежит в окрестности (а, Ь)е, и, следовательно,
одределитель D {х, у) = В (х, у, у) отличен от нуля на этом
множестве. Определитель В (х, у, у') будет поэтому оставаться
отличным от нуля для каждой пары точек (х, у), (х, у')9 лежащей
в достаточно малой окрестности типа, определенного неравенствами
в заключении (2) теоремы. Как и раньше, и;з соотношения (1.1)
видно, что в такой окрестности не существует двух различных
решений {х, у), (х, у').

ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Для доказательства утверждения (4) положим (в 1.2)Д#2 =
= Ахт = 0. Тогда эти соотношения можно написать в" виде
к
где
1
2аБ*ь~Ш[+с* = 0>
Oi = jfiXi{xi + b^i> х*> •> хт> y)d§.
Очевидно, что каждое отношение -^ имеет предел при кхг -> О.
Оовершенвю так же доказывается существование производных от
функций yi (хг, ..., Xjh) по остальным переменным х%, ..., хт.
Далее, для производных по хг имеем уравнения
из которых они находятся однозначно. Получаемые для -^~
(&= 1, ..., п) вцражения суть непрерывные функции хи ..., хт.
Поэтому функции yi (xlt ..., хт) имеют непрерывные первые
производные, и из тех же выражений следует, что если функции fi
имеют непрерывные вторые производные, то и функции у$ (xi9 ..., хт)
также имеют непрерывные производные второго порядка.
Применяя далее индукцию, без труда полностью докажем
утверждение (4) теоремы.
§ 2. Обобщение теоремы предыдущего параграфа. Только
что установленная теорема показывает, что если есть одно
начальное решение (а, Ъ) системы уравнений f(x, у) =^ О, то существует,
вообще говоря, непрерывное множество решений [х,у(хи .—,хт)],
содержащее начальное решение. Ниже мы докажем, что всякое
непрерывное рещение [х, у (хи ..., хт)], обладающее
соответствующими свойствами, само является частью некоторого решения. Если
А— некоторое множество точек х, то через Аь будем обозначать
множество точек х, каждая из которые удовлетворяет неравенствам
|хг— аг|<8 (г = 1, ..., т), по крайней мере при одном каком-
нибудь а из множества А.
Теорема 2.1 Пусть Р —множество точек [х,у(хи..., хт)],
заданное функциями yi(xu..., xm), однозначными и
непрерывными в замкнутой области А пространства х, и пусть
выполнены следующие условия:

I ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
821
1) функции fi (х, у) непрерывны и имеют непрерывные
производные в окрестности N множества Р;
2) fi(%> У) = 0 на множестве Р;
3) D (х, у)фО на мнооюестве Р.
Тогда существует система функций Г*(а?„ ..., хт),
однозначных и непрерывных в окрестности А§, обладающая
следующими свойствами:
1) точки [х, Y(xt, ..., хт)] лежат в N и удовлетворяют
уравнениям /^ = 0;
2) существует такое постоянное е, что при всяком
фиксированном х из окрестности А$ точка [х, Y{xu ..., хт)] есть
единственное решение (х, у) уравнений f4 = 0, удовлетворяющее
неравенствам
Тг(хи ..., хт)—г<у{< Yi{xu ..., хт)-\-г (* = 1, «.-, *);
3) Yi (xv ♦ ♦., хт) =yt(xx, ..., хт) на множестве А;
4) в достаточно малой окрестности Аъ функции Yi (хи ..., хт)
имеют непрерывные частные производные до такого оюе порядка>
что и функции ft в окрестности N*
Для доказательства заметим прежде всего, что множество Р
ограничено и замкнуто, так как А есть ограниченное замкнутое
множество, и функции у*(#) непрерывны на А.
Покажем, что найдется такая окрестность Ре, в которой не может
лежать двух различных точек (х, у), удовлетворяющих уравнениям
/*< = () и имеющих одинаковые проекции х. Допустим противное.
Тогда для каждого положительного ^целого Ъ найдется система
(#> У у У*)ъ Для которой (х, у)к и (х, у')^ суть различные точки,
удовлетворяющие уравнениям fi = 0 и лежащие в окрестности Рщ.
Последовательность точек (х, у, у\ ограничена и имеет поэтому
предельную точку (&, ц, ц'). Точка (£, yj) лежит, конечно, в Р.
Действительно, в противном случае нашлись бы непересекающиеся окрестности
(5, tj)s, Pe, в первой из которых лежало бы только конечное число
точек (х, у)ъ так как при j < e эти точки лежат в #е. Но это
противоречит определению предельной точки. Точно так же покажем,
что точка (?, ц') лежит в Р. Поэтому (S, *)') совпадает с (5, tj), ибо
в Р нет двух различных точек с одинаковыми проекциями х.
Отсюда следует, что в любой окрестности точки (?, */|) лежит
бесконечно много различных решений (х, у)ъ (х, у')к уравнений
/^ = 0. Но это невозможно, как было показано в первом абзаце
доказательства теоремы предыдущего параграфа. Мы пришли к
противоречию. Таким образом, существование окрестности Ре, в которой
не может быть двух различных решений (х, у), (х; у')
уравнений /^ = 0, доказано.

322
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Покажем теперь, что существует такая окрестность Аь, 8<>,
каждая точка х которой является проекцией точки (х> у),
удовлетворяющей уравнениям f€ = 0 и лежащей в Ръ. Допустим противное.
Тогда при любом положительном целом к найдется в окрестности Ащ
точка {х)ъ которая не является проекцией ни для какой точки,
удовлетворяющей уравнениям fi = 0 и лежащей в Р8. Ограниченная
последовательность точек (х)к имеет предельную точку £, которая
должна лежать в А, что доказывается тем же способом, который
был применен в предыдущем абзаце. Поэтому эта точка является
проекцией точки (£, yj), лежащей в Р. По основной теореме
предыдущего параграфа найдется окрестность £8, каждой точке х которой
соответствует решение (х, у) уравнений /* = 0, лежащее в
окрестности (?, ч\)е. Тем самым мы пришли к противоречию. Таким
образом, должна^найтись окрестность Аь, каждой точке которой
соответствует решение уравнений /* = 0, лежащее в Ps; это решение
мы обозначим так: [х, Y(xu ..., хт)].
Однозначные функции У^х{, ..., хт), определяющие в каждой
точке х из Аь решение [#у Y(xu ..., хт)] уравнений/i = 0,
лежащее в Рг, непрерывны и имеют непрерывные производные до такого
же порядка, как и функции fi в окрестности N. Это следует из
утверждения (4) теоремы предыдущего параграфа, так как для
точки [х, Y (хи ..., хт)] = (а, Ь) все условия этой теоремы
выполнены, если только окрестность Ре выбрана настолько малой, чтобы
определитель D (х, у) в ее точках не был равен нулю. Таким
образом, утверждения (1) и (4) теоремы этого параграфа доказаны.
Утверждение (3) немедленно следует из того, что в окрестности Ре
не может лежать двух различных точек, удовлетворяющих
уравнениям /^ = 0 и имеющих одинаковые проекции х. Утверждение (2)
следует из рассуждений второго абзаца доказательства, если их
применить к множеству точек [х, Y(xlf ..., хт)], соответствующих
точкам х из Аь.
II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ 1)
Здесь доказываются теоремы существования и теоремы
включения для дифференциальных уравнений, которые часто находят
применение в вариационном исчислении. Мы опять будем
пользоваться принятыми в § 1 обозначениями и, кроме того, условимся
называть модулем у следующую величину:
mody~fo}+ ... +|£)'\
*) Другое изложение и дальнейшие ссылки сьь у В л и с с а, цит» выше,
и The Solutions of Differentia] Equations of the First Order as Functions
of Their Initial Values, Annals of Mathematics, серия II, VI (1905), 49—68;
см» также В о 1 z а, цит» выше.

tl. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 32Й
§ 3. Существование решения, проходящего через начальную
точку. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(3.1) ^ = Д(я, уи ..., уп) (г=1, ..., п)
и допустим, что (S, ч) = (^ Чь •••* Чя) есть начальная точка,
через которую требуется провести решение. Предположим, что
функции fi(x, у) обладают следующими свойствами:
а) они однозначны и непрерывны в окрестности (S, t\)e;
б) существует такая постоянная величина к, что для любой
пары точек (х, у) и (х, Г), лежащих в (Е, yj)6, выполняется
неравенство
\fi{%> y)—fiix> У)|< —mod(y—Y) (г = 1, ..., л).-
Множитель (1/п)1!* введен для удобства. Обозначим еще через Ж
максимум абсолютных значений \ft\ в окрестности (5, чХ-
Решением уравнений (3.1) будет всегда считаться такая система
функций уь (х), для которой iji (x) я их производные у\ (х) непрерывны
на интервале хгх2. и удовлетворяют данным уравнениям. Первая
из доказываемых теорем формулируется следующим образом.
Теорема 3.1. Если функции fi{xy у) обладают указанными
выше свойствами в окрестности (£, т))е, то существует одно, и
только одно, решение у^(х) уравнений (3.1), проходящее чере-
начальную точку (£, v\) и леэюащее в (&, yj)s. Решение yi(x) опрез
делено и лежит внутри (S, ч\)е по крайней мере на интервале
\х — £ | <^ /, где I — наименьшее из двух чисел е и в/Ж".
Для доказательства рассмотрим, отправляясь от функций yi0 = %>
последовательность функций, заданную рекуррентным соотношением
х
Уа = Ч + ffifa y0)dx,
i
Сз.2) ?/<2=% + / ft {x> Уд dx>
X
У*,ш + 1 = Ч* + /Л<Х Ут)йх>
5
где у функций, входящих в подинтегральные выражения, указан
только второй индекс.
Функции этой последовательности определены на интервале
\х — £ КI. Действительно, для уа это очевидно. Но из того, что уш

824 ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
определяют точки (х, ут), лежащие в (£, 7])е, следует
х
\yi,m+l — Ч<| = \ffi (X> Ут)**\<М\* — *\<*-
Поэтому точки (%, Умы) также лежат в окрестности (?, tj)e и
функции следующего члена последовательности определены на
указанном интервале.
Можно показать, что ряды
(3.3) &1+(!/« — Ун)+ ••• +{Уш — Уг,т-1)+ •-.
равномерно сходятся на интервале \х — \|<;I, так что и
последовательности функций yim равномерно сходятся на этом интервале.
Действительно, пусть постоянное Р выбрано так, чтобы было
IУп — УгоI^Р на интервале |х — %|<;I. Тогда, используя
свойство (б), легко доказать индукцией, что
х
\Уп — Уи\<\!4r2mod(У1 — Уо)**\< F к]х~Ц
Таким образом, начиная со второго, все члены рядов (3.3) меньше
соответствующих членов сходящегося числового ряда с суммой
Р(еш—1). Так как ряды (3.3) составлены из непрерывных
функций, то их суммы у{ (х) также непрерывны на интервале | х — £1 <[ I.
Предельные функции yi (x) удовлетворяют уравнениям
х
(3.4) у{{х) = чц + f fi [х, у {х)] dx,
i
так как правые и левые части этих уравнений равны пределам
соответствующих последовательностей (3.2). Дифференцированием сразу
находим, что система уг(#) является решением уравнений (3.1).
Покажем, что не может существовать двух различных решений
У{{х)> **(#), проходящих через начальную точку (&, irj).
Действительно, для таких решений имеем
X
х
I
X
У« —*«l<|/^mod(y —*)da?|.

II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 325
Пусть Q есть максимум выражения |у*(#)—#Д#)| на интервале
| х—\ К! Я. Применяя предыдущее неравенство несколько раз, имеем
1*.-«,1«и|.-1к«и=5Ш=<«^=.
Так как выражение в правой части стремится к нулю при т -> оо,
то yt (х) е= ai (x), и эти два решения должны совпадать.
§ 4. Теорема существования для линейных уравнений. В
применении к системе линейных относительно #< уравнений вида
(4.1) ^=AiJC(x, Ъи ..., Ъ8)ук+В€(х, Ъц ..., Ъ8)
(г = 1, ..., п)
метод предыдущего параграфа дает дальнейшие важные результаты.
Предположим, что функции Ацс (%, Ъ), В{ (ху Ъ) непрерывны на
множестве точек (х> Ъ), удовлетворяющих условиям
хг^.х^х2, (blf ..., Ь8) лежит в В,
где В — ограниченная замкнутая область в пространстве (Ь„ ..., Ъ8).
Докажем следующую теорему.
Теорема 4.1. Через любую начальную точку (£, г\), для кото-
рой х{ <i £ ^ х2 и Ъ лежит в В, проходит одно, и только одно,
решение г/равнений (4.1). Функции уг (х, £, % Ъ) этого решения
и их производные yix непрерывны во всех точках (х, %, ч\, Ъ),
удовлетворяющих условиям
(4.2) #!<>, ?<>2* Ь лежит в В.
Понимая в формулах (3.2) под функциями f4 правые части
уравнений (4.1), легко видеть, что функции yim(%, S, yj, Ъ) этой
последовательности определены и непрерывны во всех точках (х, 5, yj, Ъ),
удовлетворяющих условиям
(4.3) #!<a;02, ^<?<^2, h*|<C, Ь лежит в £,
где С—произвольное постоянное.
В изложенном выше доказательстве сходимости постоянные Ь
и Р можно взять так, чтобы они были пригодны сразу для всех
значений х, S, ч\, b, удовлетворяющих условиям (4.3). Таким образом,
последовательность yim (x, £, ч\, Ъ) сходится равномерно на
множестве точек (х, ?, т|, Ъ), удовлетворяющих условиям (4.3), и
предельные функции у{ (х, &, yj, Ъ) непрерывны для всех точек (х, Е, yj, Ъ),
удовлетворяющих условиям (4.2), так как постоянное С было
выбрано произвольно. Уравнения (4.1), которым удовлетворяют эти
функции, показывают, что производные yix непрерывны на том же
множестве, на котором непрерывны у4-. Доказательство
единственности решения, определяемого фиксированными значениями S, tj, Ъ,
совпадают с доказательством, приведенным в предыдущем параграфе.

326
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 5. Теорема включения. Как было показано в § 3, через
всякую начальную точку (£, *0 проходит одно, и только одно,
решение дифференциальных уравнений (3.1), определенное на
соответствующем интервале \х— 6|<!J. В настоящем параграфе мы
докажем, что заданное решение Е принадлежит всегда к семейству
решений, определенных в некоторой окрестности начальной точки.
Теорема формулируется следующим образом.
Теорема 5.1. Теорема включения. Пусть в
окрестности В множества точек (х, у) кривой Е, заданной уравнениями
(5.1) у* = у€ {х) {хх < х < #2),
функции fi(x, у) обладают свойствами (а) и (Ь) § 3 и пусть Е
есть решение дифференциальных уравнений (3.1). Тогда через
каждую точку (5, yj), лежащую в достаточно малой окрестности
кривой Е, проходит одно, и только одно, решение
V< = yi(v> *, Ч)
дифференциальных уравнений (3.1). Функции у4(х, \, ч\) и их
производные yix {x, S, г|) непрерывны и удовлетворяют
дифференциальным уравнениям (3.1) тождественно относительно всех
значений {х, £, yj), лежащих в окрестности N мнооюества точек
{х, £, yj), соответствующих кривой Е.
Отметим сначала, что кривая (5.1) удовлетворяет интегральным
уравнениям
X
(5.2) у4 (х) = у{ (?) + f U [х, у (х)] их,
i
так как она является решением уравнений (3.1). Через Еч будем
обозначать множество всех точек (х, у), удовлетворяющих
условиям
*iO<Si, \у€—у<(а0|О,
а через Д обозначим подобную же окрестность, для которой
8<ее-**, l = x2 — xt.
Мы будем всегда считать в настолько малым, что окрестность Еъ
содержится в окрестности R кривой Е, в которой функции ft
удовлетворяют условиям теоремы.
Доказательство проводится построением аппроксимирующей
последовательности функций У{т(х, %, т|), определяемой рекуррентными
соотношениями (3.2), в которых положено
(5.3) у4 0 (х, Е, ч) = ij, + Vi (*) — Vi tf)t

II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 327
Функции yim (х, ?, yj) этой последовательности определены и
непрерывны для всех (х, S, yj), удовлетворяющих условиям
(5.4) #i<X>2, & Ч) лежат на Еь.
Действительно, с помощью (3.2), (5.2), (5.3), используя свойство (б),
получаем последовательно
I Vio — Vi^)I = IЧ<—Vi (91 <8,
\Уа — У«(*)|<|ч« — У*®+/{Л(«» Уо)— /<[*, 2/0*0] }<*ж|<
\vm-y<(.*)\<*{i+*J*Jri+ ■-• +
m\
Последнее выражение меньше, чем Ьеш, что в свою очередь меньше е.
Таким образом, всякая аппроксимирующая кривая лежит в
окрестности Ее.
Сходимость этой последовательности доказывается так же, как
в § 3. Следует, однако, отметить, что постоянное Р можно
подобрать так, чтобы
\Уп(*, 5, ч) —УюС** 6, ч)|<Р
для всех (х, 5, yj), удовлетворяющих условиям (5.4). Это следует
из непрерывности функций yil и yi0. Поэтому
последовательность yim (x, 6, yj) сходится равномерно на множестве (5.4) точек
(х, S, т)), и предельная функция у< {х, 5, yj) непрерывна на этом
множестве.
Доказательство того, что yi (х, ?, yj) удовлетворяют уравнениям
(3.1) и являются единственным решением этих уравнений,
проходящим через начальную точку (?, yj), то же, что и в § 3.
Непрерывность yix (x, S, yj) в области (5.4) следует из уравнений (3.1) и
непрерывности yi (Х, £, 7]) .
Если теорему существования § 3 применить к концевым точкам
кривой Е, то найдем более широкое решение Е'у определенное на
интервале xtx2, содержащем интервал хгх2 строго внутри. Для Е'
справедливы все только * что проведенные рассуждения. Поэтому
Vi {х, 5, ?j) и ущ(х, I, Y)) непрерывны не только в точках (х, S, yj),
для которых хх <; х <; х2, но также и в некоторой окрестности N
требуемого в теореме вида,

328
ЛРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 6. Дифференцирование по произвольный постоянным.
Здесь мы дадим условия, при которых решение yi (x, £, *п),
полученное в предыдущем параграфе, имеет частные производные по
параметрам %ш %[. Рассмотрим семейство решений
(6.1) У<=*Г<(*,Ь)
уравнений (3.1), содержащее данное решение Е при
(6.2) л?1<лг<л?2, Ъъ=Ъп (h=l, ..., г).
Пусть функции yi (x, Ъ) и их производные yix (x, Ъ) непрерывны
в окрестности множества точек (6.2)~ Имеет место следующая
теорема.
Теорема 6.1. Пусть в окрестности В множества точек
кривой Е функцци fi (x, у) непрерывны и имеют непрерывные
частные производные по переменным у до порядка q включительно.
Пусть при некотором фиксированном х = 6 функции Yi (S, Ъ) имеют
в окрестности точки Ъ° непрерывные частные производные до
порядка q включительно. Тогда решения Yi (x, Ь) уравнений (3.1)
и их производные Yix (х, Ъ) имеют непрерывные частные произ-/
водные до порядка q включительно по параметрам Ъ во всей
окрестности мнооюества (6.2) точек (#, Ъ), лежащих на кривой Е.
Если в окрестности В функции ft (x, у) имеют непрерывные
частные производные по всем переменным х, у до порядка q
включительно, то функции Yi(x,b) и Yico(x,b) имеют непрерывные
частные производные до порядка q включительно по всем
переменным х, Ъ в некоторой окрестности мнооюества (6.2) точек
кривой Е.
Мы докажем теорему для случая, когда имеется только один
параметр Ъ. Доказательство легко распространяется на общий случай.
Дли доказательства существования первой производной -^~ при
х ф g заметим прежде всего, что для значений Ъ, Ъ -\- Д&, лежащих
достаточно близко к Ь°, отношения
_ Yj(x, Ъ + АЪ)-ТЛх,Ъ)_ AYj
удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям
(6.3) **=Аа{х9 Ъ, ЩЧ,
где
1
о

II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 329
Символом fik мы обозначим производную —•. Функции Aik, очевидно,
непрерывны в окрестности множества всех точек (#, Ъ, АЬ),
удовлетворяющих условиям
xi *Сх < х2, Ъ = Ъ°, ДЬ = О.
Таким образом, по теореме 4.1 через каждую начальную точку
(5, Q проходит одно, и только одно, решение а€ (х, S, С, Ъ, ДЬ)
(г = 1, ..., п) линейных уравнений (6.3). Функции^ этого
решения и их производные zix непрерывны на множестве точек
(х, 6,"" £> Ь, ДЬ), у которых £ произвольно, а (#, £, Ъ, ДЬ) лежит
в окрестности множества
#i<#, ?02, Ь = Ь°, ДЬ = 0.
AY
Решение 2i=--^ уравнений (6.3) можно написать в виде
т=Ф?'(Щ'&'АФ
где \Ж) обозначает систему значений функций-д^-при x — Z. По
предположению, каждое из этих последних значений имеет предел
при ДЬ->0. Поэтому из написанного выше соотношения следует,
что -£g- имеют предел при ДЬ -* О при любом фиксированном х.
Таким образом, производные -~ существуют и имеют следующие
значения:
~г=*«[*> *>(ж)5> ь> °]»
откуда следует также, что они непрерывны в окрестности
множества (6.2).
В предыдущем абзаце была доказана первая часть теоремы для
случая д = 1. Предположим теперь, что теорема верна для целых
положительных чисел <;#, и докажем, что тогда теорема
справедлива для числа 2 + 1. Таким образом, по условию теоремы,
функции fi имеют непрерывные производные по переменным у до
порядка 2 + 1 включительно и при некотором фиксированном # = £
функции.(6.1) имеют непрерывные частные производные по
параметрам Ь до порядка 2 + 1 включительно. Уравнения
(6.4) ^ = 0, ^=fik[^Y{x, Ъ)]*к
принадлежат к виду уравнений (3.1). Они имеют семейство решений
(6.5) Ъ, *>t(x, b)=Yi(x, Ъ)

330
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
вида (6.1). В этом семействе содержится частное решение,
получающееся из него при условиях (6.2). Функции ei (£, Ъ) имеют
непрерывные производные по Ъ до порядка q включительно, так
как, по условию, функции Г* (£, 6) имеют непрерывные
производные порядка<!д + 1. Правые части уравнений (6.4) имеют
непрерывные производные по переменным Ъ и zk порядков <; q в
окрестности множества точек (х, Ь, s) частного решения уравнений (6.4),
определяемого условиями (6.2). По предположению, теорема верна
для числа q. Поэтому функции (6.5) имеют непрерывные
производные по Ъ порядков «<2 в окрестности множества точек (6.2).
Таким образом, функции Г<(#, Ъ) имеют непрерывные производные
по Ъ до порядка 2 + 1 включительно в той же окрестности.
Подставляя Yi (х, Ъ) в уравнения (3.1), находим, что функции Yix (x, Ъ)
также имеют непрерывные производные по параметрам Ъ до
порядка д + 1.
Второе утверждение теоремы 6.1 для 2 = 1 доказывается очень
просто. Из первого утверждения теоремы вытекает существование
производных у Yix (x, Ъ) и Yib (x, Ь). Подставляя, далее, Y{ (x, Ъ)
в уравнения (3.1), находим, что Yix имеют непрерывные первые
производные.
Применяя индукцию, которая проводится так же, как и выше,
полностью докажем вторую часть теоремы. Пусть- функции f{ имеют
непрерывные производные по всем переменным #, у до порядка
q +1 включительно, а функции у€ (£, Ъ) имеют непрерывные
производные по параметрам Ъ до порядка 2 + 1. Правые части
уравнений (6.4) имеют поэтому непрерывные частные производные по
всем переменным х, Ь, si до порядка q включительно. По
предположению индукции, решения (6.5) этих уравнений также имеют
непрерывные частные производные по всем переменным х> Ъ до
порядка q включительно в окрестности множества (6.2). Отсюда,
рассуждая так же, как и выше, находим, что Y* и Yix имеют
производные по всем переменным х, Ь до порядка 2 + 1
включительно. Теорема 6.1, таким образом, доказана:
Если семейство (6.1) зависит от п параметров Ък (к== 1, ... п),
причем функциональный определитель
то из уравнений
(6.6) ад ь)=ч<
jg-1 всюду отличен от нуля,
можно, вообще говоря, выразить Ьк в виде функций Ък (£, yj), так
что решение-
7Л*> Ь(6. Ч)]
дифференциальных уравнений (3.1) будет проходить через точку
(?, *п). Ввиду единственности решения мы должны тогда иметь
(6.7) Yi [х, Ъ(Ь tj)J say*(я, 6, v)),

И. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ §31
где в правой части стоят те функции, существование которых было
установлено теоремой 5.1. Это замечание понадобится нам для
доказательства следующей теоремы.
Теорема 6.2. Еолгь в окрестности В множества точек {х,у)
кривой Е функции fi (х, у) непрерывны и имеют непрерывные
частные производные порядка q no переменным ?/, то найдется
такая окрестность N множества точек (#, £, yj), лежащих на
кривой Е, что в этой окрестности функции yi (#, £, yj) теоремы 5.1
и их производные yia} (x, S, yj) имеют непрерывные частные про-
изводные порядка q no параметрам Y|fc.
Если в окрестности В функции f€ имеют непрерывные част-
ные производные до порядка q no всем переменным х, у, то
найдется окрестность N, в которой функции уг и их производные yix
имеют непрерывные частные производные до порядка q no всём
переменным х, S, yj.
Всегда существует такое w-параметрическое семейство (6.1),
содержащее решение Е> что функциональный определитель ^ всюду
отличен от нуля. Таким семейством будет, например, семейство
Уг ix> £> *!) ПРИ фиксированном S. Действительно, функциональный
определитель —^ равен единице при х = 5 и не обращается в нуль,
ибо его столбцы образуют фундаментальную систему решений
линейных дифференциальных уравнений
*< = /<*[*■ У(х> *> ч)1**-
Это хорошо известное свойство доказывается в общем случае тем
же способом, каким оно было доказано нами в § 12 (часть I) для
случая четырех переменных г.
Уравнения (6.6) имеют решения ?, yj, Ъ следующего вида:
(?, yj) лежит на кривой Е; Ь = Ь°.
Следовательно, по теореме 2.1, эти уравнения имеют решение
fy (S, yj), определенное и непрерывное в окрестности множества
точек (?, yj) кривой Е и обращающееся в Ь?, когда (£, yj) лежит
на Е, Из первой части условий теоремы 6.2 следует далее, что
функции hi (?, yj) имеют непрерывные производные до порядка q
по переменным v\ki если £ фиксировано. Из условий второй части
теоремы следует, что функции b<(&,Yj) имеют непрерывные
производные до порядка q по всем переменным £, yj. На основании
тождества (6.7) из этих свойств следует утверждение теоремы.
Интересно отметить, что из условий первой части теоремы
вытекает, что функции у{ (х, 5, yj) имеют большее число
непрерывных производных, чем указано в теореме. В самом деле, те
частные производные до порядка q от функций Ъц (S, yj), в которые

332
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
входит не более одного дифференцирования по S, непрерывны.
Поэтому то же самое справедливо и для производных от функций
у*ОЛ т|) и yto0M»4)-
Следствие 6.3. Пусть при каких-либо значениях Ъг0 (г=1,..., s)
параметров Ъ система уравнений
(6'8> lET^fiO*» У» • •> Уп> К •••> К) (г = 1, ..., п)
имеет частное решение Е^и пусть в окрестности множества
точек (х, у, Ъ) кривой Е функции fi (х, у, Ъ) непрерывны и имеют
непрерывные частные производные по переменным ук, Ъг. Тогда
для всяких достаточно близких к Ъг0 значений параметров Ъг
существует одно, и только одно, решение уравнений (6.8),
которое проходит через точку (S, yj), лежащую в достаточно малой
окрестности кривой Е. Функции
У{=*УЛ*> *. yj, Ъ)
этого решения и их производные yix непрерывны в окрестности N
мноэюества значений (х, i, ч\, Ь), соответствующих точкам
кривой Е. Если функции fi (x, у, Ъ) имеют непрерывные производные
до порядка q no переменным ук, Ъг, то при всяком
фиксированном £ = х0 функции уь yix имеют частные производные до
порядка q по переменным r\k, Ъг, непрерывные во всех точках (х, ч\, Ь),
таких, что (х, х0, ч\, Ъ) лео/сит в N. Если функции fi (x, у, Ъ)
имеют непрерывные частные производные до порядка q no всем
аргументам, то в окрестности N функции yif yix имеют
непрерывные частные производные до порядка q no всем переменным
х, ?, % Ъ.
Все эти утверждения непосредственно следуют из предыдущих
теорем, если применить их к системе уравнений
4'=/<(*. У. Ь). 5 = 0, (1 = 1, ..., п; г=1, ..., 8).
В заключение обратим внимание читателя на одну полезную
формулу. Матрица || ущк (х, I, ч\) II при х = ? является единичной
матрицей. Далее, ее столбцы образуют фундаментальную систему
решений системы линейных дифференциальных уравнений
(6.9) <• = /*** К У(*. *. Ч)К-
Любое решение ai этих уравнений может быть написано в виде
(6.10) ^. = C^V
где С&— начальные значения функций вк при х = Ь. Это
непосредственно следует из того, что правые части уравнений (6.10) суть

И. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ &$
решения уравнении (6.9) и принимают при х = \ начальные
значения С|, определяющие единственное решение *,.
Из тождеств
уЛ*, 6, ч)=ч<
следует
ifc.(5. 6, ч)+ *«(*• 6, Ч) = 0.
Отсюда видно, что решение у# (х, 6, ч) уравнений (6.9) принимает
при # = £ следующие начальные значения:
»й(5» ?. Ч) = —!/to(6. 5, ч)= —Л(6. ч)-
Из (6.10) следует теперь, что решение у^ выражается в виде
(6.11) уй(х, ?, n)= — fk($9 i\)yi%(x, 5, ч).
Эти уравнения показывают, что при фиксированном х функции
Vi (х> 6, ч) являются w независимыми решениями д (S, ч) уравнения
в частных производных
Уравнения (6.11) показывают также, что при фиксированных хну
уравнения
(6.12) У< = У1{*> 6, ч)
определяют кривую, удовлетворяющую уравнениям (3.1). Из
единственности решения уравнений (3.1), проходящего через точку (£, ч)
или (х> у), следует, что уравнения (6.12) имеют решение
Ч<—У«& х> У)>
и обратно, решением этих последних уравнений являются
функции (6.12). Это обстоятельство тесно связано с доказанными ранее
свойствами решений.

РАБОТЫ СОВЕТСКИХ МАТЕМАТИКОВ
ПО ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
В ар б а ш и н Е. А., О а-покрытиях пространства, Матем. сб, 18 (00), (1946),
423—428.
Боголюбов Н. Н., Sur quelques methodes nouvelles dans le calcul des
variations, Ann. di Mat., 7 (1930), 243—272.
Application des methodes directes a quelques prohlemes du calcul des
variations, Ann. di Mat., 9 (1933), 195—242.
Деяш уваги до теореми Pieu,a, Киев, Учен. зап. ун-та, отд. фгьз.»
матем., 3^(1937).
Боголюбов Н. Н. и Крылов Н. М., On Rayleigh's principle in the theory
of differential equations and on Euler's method in calculus of variations,
Ann. of Math., 29 (1927—1928), 255-275.
Б у к р е е в В Я., О теоремах Кнезера и Гильберта, Симферополь, Зап.
машем, каб. Еримск. ун-та, 3 (1921), 153—158.
Об одном предложении вариационного исчисления, Киев, Вестн.
политехи, ин-та, 20 (1926), 23—25. Про нав1гащйну задачу Zermela,
Хрк. Зап. матем. т-еа, 7 (1933), 83—85.
Введение в вариационное исчисление. Изд. 3, Хрк.-Киев, ГТТИ (1934),
1-183.
Вагнер В. В., Геометрия поля локальных кривых в Х2 и простейший
случай задачи Лагранжа в вариационном исчислении, ДАН, 48 (1945),
245-248.
Геометрия поля локальных центральных плоских кривых в Х3, ДАН,
48 (1945), 405—408.
Геометрия пространства с ареальной метрикой и ее приложения
к вариационному исчислению, Матем. сб., 19 (61), (1946;, 341—406.
О достаточном условии в задаче Лагранжа для кратных интегралов,
ДАН, 54 (1946), 483—486.
О геометрической интерпретации экстремальных поверхностей в
задаче Лаграняса для кратных интегралов, ДАН, 55 (1947), 91—94.
Вишневский Л. А., Абсолютный экстремум одного полиноминального
функционала, Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 1 (1919),
37—40.
О некоторых вопросах теории функций бесконечного числа
переменных, Симферополь, Зап. матеч. каб. Тавр, ун-та, 1 (1919), 65—126.^
О некоторых вопросах теории функций бесконечного числа перемен-"
ных, Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 2 (1921), 155—208.
Sur Г application d'analyse de fonctions a une infinite des variables aux
problemes d'extremum, Симферополь, Зап. матем. каб. Ерымск. ун-та,
2 (1921), 215—218.
Uber einen Satz hetreffenl der gleichmassigen Konvergenz Bilinear-
formen der unendlichvielen unabhangigen Variabeln, Симферополь, Зап.
матем. каб. Ерымск. ун-та, 2 (1921), 230—233.
tJber eine Minimalaufgabe von Tschebysehew, Симферополь. Зап. матем.
каб. Еримск. ун-та, 2 (1921), 253—258.
tJber ein System linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannte.i,
Симферополь, Зап. матем. каб. Ерымск. ун-та, 3 (1921), 85—88.

ЁЙВЛИОГРАФИЯ К ПРЕДИСЛОВИЮ
335
Uber Taylorsche Entwickelund und uber relatives Extremum der Funk-
tionen von unendlichvieren unabhangigen Variabeln, Симферополь, Зап.
матем. каб. Крымск. ун-та, 3 (1921), 161—175.
Гор дон И. И., On the minimal number .of critical points of a real function^
defined oa manifold, Матем. сб., 4 (46) (1938), 105-113.
Гроссман Д. П, Об одной оценке для категории Люстерника — Шни-
рельмана, ДАН, 54 (1946), 109—112.
Гюнтер Н. М., Курс вариационного исчисления. М.-Л. (1941), 1—380.
Ермилин К. С, К вопросу о разрывных решениях в вариационном
исчислении, Тбилиси, Труды матем. ин-та, Груз. фил. АН, 1 (1937),
65—71.
Об одной задаче вариационного исчисления, Тбилиси, Труди машем,
ин-та Груз. фил. АН, 4 (1938), 135—162.
Об экстремуме интегралов в случае разрывной подинтегральной
функции, ИАН, сер. матем., 5 (1941), 269—276.
Жуковский Н. Е., Заметка по вариационному исчислению, М. (1923),
1—20.
Зимин М. Ф., Особый случай простейшей задачи вариационного исчизле-
ния,.Новочеркасск, Изв. Сёв.-Кавк. индустр. ин-та, 1 (15), (1935), 46—51.
И к о р н и к о в 10. В., Векториальный вывод вариаций некоторых кратных
интегралов, распространенных на переменную область, ИАН, сер.
физ.-матем. (1932), 153—171.
Канторович Л. В., Один прямойг метод решения задач о минимуме
двойного интеграла, ИАН, сер. физ.-матем. (1933), 647—652.
Об одном эффективном методе решения некоторых классов
экстремальных проблем, ДАН, 28 (1940), 212—215.
О сходимости вариационных процессов, ДАН, 30 (1941), 107—111.
Q сходимости метода приведения к обыкновенным
дифференциальным уравнениям, ДАН, 30 (1941), 579—582.
Применение идей метода Галеркина в методе приведения к
обыкновенным дифференциальным уравнениям, Прикл.матеч.и мех., 6 (1942),
31—40.
Об одном эффективном методе решения экстремальных задач для
квадратичных функционалов, ДАН, 48 (1945), 483—487. О методе
наискорейшего спуска, ДАН, 56 (1947), 233—236.
Канторович Л. В., Крылов В. И., Смирнов В. И., Вариационное
исчисление, Л., Кубуч (1933), 1—204.
Крылов Н. М„ Разбор диссертации проф. Л. А. Вишневского „Некоторые
вопросы теории функций бесконечного числа независимых
переменных", Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 (1921), 5—21.
Sur differentes generalisations du lemme fondamental du calcul des
variations, Матем. сб., 31 (1924), 220—223.
КрыловН. М. и Вишневский Л. A., Sur Textremum absolu dans le
probleme simple du calcul de variations, Симферополь, Зап. матем. каб.
Крымск. ун-та, 2 (1921), 209—214.
Лаврентьев М. A., Sur quelques problemes du calcul des variations. Ann.
di Mat., s. IV, 4 (1926-1927).
Лаврентьев М. А. и Люстерник Л. А., Основы вариационного
исчисления, М.-Л., ОНТИ, I, ч. 2 (1935), 148 + 400 стр.
Курс вариационного исчисления, М.-Л., ГОНТИ (1938), 1—192.
Люстерник Л. A., t)ber einige Anwendungen der direkten Methoden in
VaTiationsrechnung, Матем. сб., 33 (1926), 173—202.
Применение общей геометрии (геометрия „функционального
пространства". О работах Courant'a), Вест. Комм, акад.; 25 (1928),
288—293.
Sur quelques methodes topologiques dans la geometric differ entielle,
Atti Congr. dei Mat. Bologna, 4 (1928), 291—296.

336 БИБЛИОГРАФИЙ К ПРЕДИСЛОВИЮ
Люстерник Л. A., Topologische Grundlagen der allgemeinen Eigenwert-
theorie, Monatshefte, 37 (1930), 125—130.
Uber die topologischen Eigenschaften der Kurvenfamilien auf Flaehen,
Машем, сб., 38 (1931), 59—65.
Замечание к некоторым вариационным задачам, М., Учен. зап. ун-та,
2 : 2 (1934), 17-24.
Об условных экстремумах функционалов, Матем. сб., 41 (1934),
390—401.
Применение топологии к экстремальным задачам, Л., Труды второго
Всесоюзн. матем. съезда, I (1936).
Применение неравенства Бруна-Минковского к экстремальным
задачам, Успехи матем. наук, 2 (1936), 47—54.
Об одном классе нелинейных операторов в гильбертовом
пространстве, ЛАН, сер. матем. (1939), 257—264.
Пересечение в линейных в малом функциональных пространствах,
ДАН, 27 (1940), 771—774.
Топологическая структура одного функционального пространства,
ДАН, 27 (1940), 775-777.
Кольцо пересечений в одном функциональном пространстве, ДАН, 38
(1943), 67—70.
О семействах дуг с общими концами на сфере, ДАН, 39 (1943),
85-87.
О размерности критических множеств, ДАН, 39 (1943), 371—372.
О категориях некоторых семейств дуг, ДАН, 40 (1943), 147—14S.
О числе решений вариационной задачи, ДАН, 40 (1943), 243—245.
Новое доказательство теоремы о трех геодезических, ДАН, 41 (1943),
3—5.
Топология и вариационное исчисление, Успехи матем. наук, 1:1
(11) (1946), 30-56.
Топология функциональных пространств и вариационное исчисление
в целом, Труды матем. ин-та им. Стеклова, 19 (1947).
Теорема о трех геодезических. В кн. „Юбилейный сборник,
посвященный тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической
революции", Изд. АН, 1 (1947), 181—185.
Люстерник Л. А. и Петровский И. Г., О приведении второй
вариации к каноническому виду треугольными преобразованиями, М., Учен.
зап. ун-та, 2:2 (1934), 5—16.
Люстерник Л. А. и Ш н и р е л ь м а н Л. Г., Existence de trois geode-
siques fermees sur toutes surfaces de genre O. G. B. Acad. Set., 188
(1929), 534-537.
Sur le probleme de trois geodesiques fermees sur les surfaces de
genre О. G. Л. Acad. Sci., 189 (1929), 269—271.
Топологические методы в вариационных задачах, М., Гос. изд. (1930),
1—68.
Применение топологии к экстремальным задачам, Труды второго
Всесоюзн. матем. съезда, 2 (1936), 224—236.
Топологические методы в вариационных задачах и их приложения
к дифференциальной геометрии поверхностей, Успехи матем. наук,
2 :1 (17), (1947), 166-217.
Малинский К. К., О выводе необходимых условий в вариационной
задаче с подвижной границей для двойных интегралов, Ученые записки
Ленинградского ун-та, вып. 19 (1950).
Марков А. А., Об одной задаче на экстремум, Новочеркасск, Изв. Gee,-
Еавк. индустр. ин-та, 1, (15) (1935), 59—62.
О вариационных методах в теории пластичности, Прикл. матем. и
мех. 11 (1947), 335-350.

БИБЛИОГРАФИЯ К ПРЕДИСЛОВИЮ
337
Матвеев Н* М., О достаточном условии Лихтенштейна для слабого
минимума, Ученые записки Ленинградского ун-та, вып. 19 (1950).
Можар В. и Василенко П. Про одну BapianiftHy задачу, Киев, Журнал
ин-та машем., АН УССР, 1 (1934), 69—74.
Понтр'ягин Л. С., tiber den algebraischen inhalt topologischen Dualitats-
satze. Math. Ann., 105 (1931), 166—205.
Характеристические циклы многообразий, ДАН, 35 ^1942), 35—39.
Размадзе А. М., Deux propositions du calcul des variations, Тбилиси,
Бюлл. ун-та, 1 (1919—1920), 157—172.
Uber das Fundamentallemma der Variationsrechnung, Math. Ann., 84
(1921), 115-116.
tiber unstetige Losungen mit einem Unstetigkeitspunkt in der
Variationsrechnung, Тбилиси, Бюлл. ун-та, 2 (1922—1923), 282—312.
Sur une condition de minimum inecessaire pour les solutions anguleuses
dans le calcul des variations, Bull. Sci. Math., 51 (1923), 223—235.
Sur les solutions discontinues dans le calcul des variations, Math.
Ann., 94 (1925), 1—52.
Sur les solutions periodiques et les, extremales fermees du calcul des
variations, Math. Ann., 110 (1935), 63—96.
Рапопорт И. М., Обратная задача вариационного исчисления, ДАН, 18
(1938), 131-136.
Обернена задача вар1ащйного числения, Киев, Журнал ин-та матам.,
АН УССР, 1 (1938)/ 81-104.
Обернена задача вар1ащйного числения, Киев, Журнал^ин-та матем.,
АН УССР, 4 (1938), 105-122.
Обратная задача вариационного исчисления, Казань, Изв. Фш.-матем. о-ва,
11 (1939), 47—69.
Рыбников К. А., Первые этапы развития вариационного исчисления,
Историко-математические исследования, вып. 11 (1949), 335—498.
С иг ал о в А. Г., О двойных интегралах вариационного исчисления в
параметрической форме, ДАН, 55 (1947), £87—390.
О квазирегулярных двойных интегралах вариационного исчисления,
Машем, сб., 23, 1 (1948), 127.
Существование абсолютного минимума двойных интегралов
вариационного исчисления в параметрической форме, ДАН, 70,5 (1950), 769.
К существованию абсолютного минимума двойных интегралов
вариационного исчисления, ДАН, 71, 4 (1950), 617.
Смирнов В. И., Курс высшей математики, IV (1941).
Соболев В. И., О собственных элементах некоторых нелинейных
операторов, ДАН, 31, (1941), 734—736.
Соболев С. Л., Волновое уравнение для неоднородной среды, Труды
сейсмол. ин-та, 6 (1935), 1—57.
С р е т е н с к и:й Л. Н., Об одной задаче минимума в теории корабля, ДАН,
3 (1935), 247—248.
Степанов В. В. и Эльсгольц Л. Э„ Вариационное исчисление,
Математика в СССР за тридцать лет —1917—1947, стр. 585—592.
Турчанинов А. С, Фокальные точки в вариационном исчислении.
Одесса, Ж. НИ кафедр., 1:8—9 (1924), 11—13.
Общая'обратная задача вариационного исчисления, Одесса, Ж. НИ
кафедр., 2 :3 (1926), 36—43.
Фет А., Целочисленные гомологии пространства замкнутых кривых на
сфере, ДАН, 66, 4 (1949), 569.
Кольцо гомологии замкнутых спрямляемых кривых на сфере, ДАН,
66/3(1949), 350.
Фролове. В. и ЭльегольцЛ. Э., Limite interieure pour le nombre
des valeurs critiques (Tune fonction, donnee sur une variete, Машем.
сб.. 42 (1935), 637—643.

338
БИБЛИОГРАФИЯ К ПРЕДИСЛОВИЮ
Цитланадзе Э. С, Некоторые вопросы собственных значений для
нелинейных операторов в гильбертовом пространстве, ДАН, 53 (1946),
311—314.
Некоторые вопросы условного экстремума и вариационной теории
собственных значений, ДАН, 56 (1947), 17—20.
К вопросу о собственных значениях нелинейных вполне
непрерывных операторов в гильбертовом пространстве, ДАН, 57 (1947),
879—881.
Ч о г о ш в и л и Г. С, Изменение чисел Betti движущейся поверхности
уровня, ДАН, 22 (1939), 972|301.
Шнирельман Л. Г., Uber eine neue kombinatorische Invariante, Monats-
hefte, 37 (1930), 131—134.
Топологические методы в анализе, Со. „Математика в СССР за 15 лет*
(1932), 143-156.
Э л ь с г о л ь ц Л. Э., Теория инвариантов, дающих оценку числа
критических точек непрерывной функции, заданной на многообразии,
Матем. сб., 5 (47), (1939), 551—558.
Изменение чисел Betti поверхностей уровня непрерывной функции,
заданной на многообразии, Матем. сб., 5 (47), (1939), 559—564.
Длина многообразия и ее свойства., Матем. сб. 5 (47) (1939), 565—571.
К вопросу об оценке числа критических точек непрерывных
функций, заданных на пространствах, не являющихся многообразиями,
Матем. сб., 8 (50) (1940) 455—462.
К вопросу об изменении топологических инвариантов поверхностей
уровня, Матем. сб. 8 (50) (1940), 463—470.
Изменение фундаментальной группы облаоти меньших значений
функции, заданной на многообразии, Матем.,1сб. 19 (61) (1946),
237—238.
Изменение топологической структуры поверхностей уровня, Матем.
сб., 23, 3 (1948), 399—418.
Оценка числа особых то'чек динамической системы, заданной на
многообразии, Матем. сб., 26, 2 (1950), 215.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЗАДАЧЕ БОЛЬЦА
В следующем списке литературы имеются ссылки на периодический
сборник Contributions to the Calculus of Variations, Department of
Mathematics of the University of Chicago. В этих случаях дается сокращенное
название Contributions.
1. A» Mayer, Zur Aufstellung der Kriterien des Maximums und Minimums
der einfachen Integrate bei variabeln -Grenzwerten, Leipziger Berichte,
XXXVI (Ш4), 99—128.
2. Scheeffer, Die Maxima und Minima der einfachen Integrale zwisohen
fesfcen Grenzen, Mathematische Annalen, XXV (1885), 522—593.
3. A. Mayer, Zur Aufstellung der Kriterien des Maximums und Minimums
der einfachen Integrale bei variabeln Grenzwerten, Leipziger Berichte,
XLVIII (1896), 436-465.
4. Mason, Randwertaufgaben bei gewohnlichen Differentialgleichungen,
Dissertation, Gottingen, 1903L См. также Mathematische Annalen, LVIII
(1904), 528-5^44.
5. Cairns, 'Die Anwendung der Integralgleichungen auf die zweite Variation
bei isoperimetrischen Problemeh, Диссертация, Gottingen, 1907>
6. Riohardson, Das Jacobische Kriterium der Variationsrechnung und
die'Oszillationseigenschaften linearer Differential gleichungen 2. Ordnung,
Mathematische Annalen, LXV1II (1910), 279—304, and LXX1 (1911),
214—232.
Идеи Гильберта о существовании тесной связи между краевыми
задачами и вариационным исчислением стали известными главным образом
благодаря работам его учеников. См., например, ссылки 4, б и 6 выше.
Относительно более простых случаев см. ссылку 14 ниже.
7. Н a h n, Uber Variationsprobleme mit variabeln Endpuntten, Monatshefte
fur Mathematih und Physik, XXII (1911), 127—136.
8. Bolz*a, tiber den anormalen Fall beim Lagrangeschen und Mayerschen
Problem mit gemischten Bedingungen und variabeln Endpunkten,
Mathematische Annalen, LXXIV (1913), 430—446.
9. Lee at, Calcul des variations, "Encyclopedic des sciences mathematiques,
II 31 (1913), 156-158.
10. Hancock, Theory of Maxima and Minima, 1917, IV+ 193 стр.
11. Bliss, The Problem of Mayer with Variable End-Points, Transactions of
the American Mathematical Society, XIX (1918), 305—314.
12. Larew, Necessary Conditions in the Problem of Mayer in the Calculus
of Variations, Transactions of the American Mathematical Society, XX
(1919), 1—22.
13. Larew, The Hilbert Integral and Mayer Fields for the Problem of
Mayer in the Calculus of Variations, Transactions of the American
Mathematical Society, XXVI (1924 , 61—67.

340
БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЗАДАЧЕ БОЛЬЦА
14. L 0 v i 11, Linear Integral Equations (1924), XIII + 253 стр.
15. Bliss, A Boundary Value Problem of the Calculus of Variations,
Bulletin of the American Mathematical Society, XXXII (1926), 317—331.
16. Cope, An Analogue of Jacobi's Condition for the Problem of Mayer
with Variable End-Points, Диссертация, University of Chicago,
1927. См. также American Journal of Mathematics, LIX (1937),
655—672.
17. Bliss, The Problem of Lagrange in the Calculus of Variations,
American Journal of Mathematics, LII (1930), 673—744.
18. В о у с е, An Envelope Theorem and Necessary Conditions for a Problem
of Mayer with Variable End-Points, Диссертация,' University of
Chicago, 1930. См. также Contributions (1930), 5—43.
19. Morse, The Problems of Lagrange and Mayer under General End
Conditions, Proceedings of the National Academy of Sciences, XVI (1930),
229-233.
20. G r a v e s, On the Problem of Lagrange, American Journal of
Mathematics, LIII (1931), 547—554.
21. Hefner, The Condition of Жayer for Discontinuous Solutions of the
Lagrange Problem, Диссертация, University of Chicago, 1931. См.
также Contributions (1931-1932), 95—130.
22. Morse, Sufficient Conditions in the Problem of Lagrange with Fixed
End-Points, Annals of Mathematics, XXXII (1931), 567—577.
23. Morse, Sufficient Conditions in the Problem of Lagrange with
Variable End Conditions, American Journal of Mathematics, LIII (1931),/
517—546.
24. Morse and Myers, The Problems of Lagrange and Mayer with
Variable End-Points, Proceedings of the American Academy of Arts
and Sciences, LXVI (3931), 235—253.
25. Bliss, The Problem of Bolza in the Calculus of Variations, Annals of
Mathematics, XXXIII (1932), 261—274.
26. Bliss and Schoenberg, On the Derivation of Necessary Conditions
for the Problem of Bolza, Bulletin of the American Mathematical
Society, XXXVIII (1932), 858-864.
27. Caratheodory, Die Theorie der zweiten Variation beim Problem von
Lagrange, Sitzungsberichte der Bayerischen Abademie der Wissenschaften
(1932), 99—114.
28. Currier, The Variable End-Point Problem of the Calculus of Variations
Including a Generalization of the Classical Jacobi Conditions,
Transactions of the American Mathematical Society, XXXIV (1932),
689—704.
29. Graves, On the Weierstrass Condition for the Problem of Bolza
in the Calculus of Variations, Annals of Mathematics, XXXIII (1932 ,
747—752.
30. H e s t e n e s, Sufficient Conditions for the General Problem of Mayer
with Variable End-Points, Диссертация, University of Chicago, 1932.
См* также Transactions of the American Mathematical Society, XXXV
(1933), 479—490, and Contributions (1931—1932), 339—359.
31. H u, The Problem of Bolza and Its Accessory Boundary Value Problem,
Диссертация, University of Chicago, 1932. См. также Contributions
(1931—1932), 361-443.
32. Myers S. В., Adjoint Systems on the Problem of Mayer under General
End Conditions, Bulletin of the American Mathematical Society,
XXXVIII (1932), 303—312.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО'ЗАДАЧЕ БОЛЬЦА
341
33. Re id, A Boundary Value Problem Associated with the Calculus of
Variations, American Journal of Mathematics, LIV (1932); 769—790.
34. Bliss and Hestenes, Sufficient Conditions for a Problem of Mayer
in the Calculus of Variations, Transactions of the American
Mathematical Society, XXXV (1933), 305—326. См. также Contributions (1931—
1932), 295—337.
35. Bower, The Problem of Lagrange with Finite Side Conditions,
Диссертация, University of Chicago, 1933. См. также Contributions (1933—1937),
1—51.
36. Caratheodory, tJber die Einteilung der Lagrangeschen Variations-
probleme nach Klassen, Commentarii mathematici Relvitici, V (1933), 1—10.
37. G r a v e s, A Transformation of the Problem of Lagrange in the
Calculus of Variations, Transactions of the American Mathematical Society,
XXXV (1933), 675-682.
38. Hestenes, Sufficient Conditions for the Problem of Bolza in the
Calculus of Variations, Transactions of the American Mathematical Society,
XXXVI (1934), 793—81&
39. Reid, Analogues of the Jacobi Condition for the Problem of Mayer in
the Calculus of Variations, Annals af Mathematics, XXXV (1934),
836—848.
40. Caratheodory, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichun-
gen erster Ordnung (1935), XI+ 407 стр.
41. Morse, Sufficient Gonditions in the Problem of Lagrange without
Assumptions of Normality, Transactions of the American Mathematical
Society, XXXVII (1935), 147—160.
42. Perlin, Sufficient Conditions for a Minimum in the Problem of
Lagrange with Isoperimetric Conditions, Диссертация, University of
Chicago, 1937. См. также Contributions (1933—1937), 207—241.
43. Reid, Discontinuous Solutions in the Non-parametric Problem of Mayer
in the Calculus of Variations, American Journal of Mathematics, LVII
(1935), 69—93.
44. R e i d, The Theory of the Second Variation for the
Non-parametric Problem of Bolza, American Journal of Mathematics LVII (1935)
573—586.
45. Bliss, The Evolution of Problems of the Calculus of Variations,
American Mathematical Monthly, XLIII (1936), 598—609.
46. Hestenes, The Problem of Bolza in the Calculus of Variations in
Parametric Form, American Journal of Mathematics, LVI1I (1936),
391—406.
47. Hestenes, On Sufficient Conditions in the Problems of Lagrange and
Bolza, Annals of Mathematics, XXXVII (1936), 543—551.
48. Wig gin, A Boundary Value Problem of the Calculus of Variations,
Диссертация, University of Chicago, 1936. См. также Contributions
(1933—1937), 243—275.
49. D e n b о w, A Generalized Form of the Problem of Bolza, Диссертация,
University of Chicago, 1937. См. также Contributions (1933—1937),
449-484.
50. Hestenes, A Direct Sufficiency Proof for the Problem of Bolza in the
Calculus of Variations, Transactions of the American Mathematical
Society, XLII (1937), 141-15 К
51. Reid, A Direct Expansion Proof of Sufficient Conditions for the
Nonpar ametiic Problem of Bolza, Transactions of the American
Mathematical Society, XLII (1937), tt 3—190.

342
БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЗАДА.ЧЕ БОЛЬЦА
52. R e i d, Sufficient Conditions by Expansion Methods for the Problem of
Bolza in the Calculus of -Variations, Annals of Mathematics, XXXVIII
(1937), 662—678.
53. Smiley, Discontinuous Solutions for the Problem of Bolza in
Parametric Form, Диссертация, University of Chicago, 1937. См. также
Contributions (1933—1937), 527—566.
54. Teach, The Hamilton -J acobi Theory for the Problem of Lagrange in
Parametric Form, Диссертация, University of Chicago, 1937. См. также
Contributions (1933—1937), 165—206.
55. Valentine, The Problem of Lagrange with Differential Inequalities
as Added Side Conditions, Диссертация, University of Chicago, 1937.
См. также Contributions (1933—1937), 403—447.
56. Bliss, Normality and Abnormality in the Calculus of Variations»
Transactions of the American Mathematical Society, XLIII (1938)»
365—376.
57. Bliss, Definitely Self-adjoint Boundary Value Problems,
Transactions of the American Mathematical Society, XLIV (1938), 413—
428.
58. Brady, The Minimum of a Function of Integrals in the Calculus of
Variations, Диссертация, University of Chicago, 1938. См. также Con»
tributions (1938—1941), 1—52.
59. H e s t e n e s, A Sufficiency Proof for Isoperimetric Problems in the
Calculus of Variations, "Bulletin of the American Mathematical Society,
XLIV (1938), 662-667.
60. В о b о n i s, Differential Systems with Boundary Conditions Involving the
Characteristic Parameter, Диссертация, University of Chicago, 1939.
См. также Contributions (1938—1941), 99—138.
61. H e s t e n e s, Generalized Problem of Bolza in the Calculus of Variations,
Duke Mathematical Journal, V (1939), 309—324.,
62. Hestenes and Reid, A Note on the Weierstrass Condition in the
Calculus of Variations, Bulletin of the American Mathematical Society,
XLV (1939), 471—473.
63. Landers, Mary K., The Hamilton-Jacobi Theory for the Problems
of Bolza and Mayer, Диссертация, University of Chicago, 1939. См.
также Contributions (1938—1941), 209—291.
64. M с S h a n e, On Multipliers for Lagrange Problems, American Journal
of Mathematics, LXI (1939), 809—819,
65. N or dh a us, The Problem of Bolza for Double Integrals in the Calculus
of Variations, Диссертация, University of Chicago, 1939. См. также
Contributions (1938—1941), 53—97.
66. R e i d, Isoperimetric Problems of Bolza in Non-parametric Form, Вике
Mathematical Journal, V (1939), 675—691.
67. Hazard, Index Theorems for the Problem of Bolza in the Calculus of
Variations, Диссертация, University of Chicago, 1940. См. также
Contributions (1938—1941), 293—356.
68. M с S h a n e, An Estimate of the Weierstrass ^-Function, Annals of
Mathematics, XLI (1940), 314—320.
69. M с S h a n e, A Remark concerning Sufficiency Theorems fcr the Problem
of Bolza, Bulletin of the American Mathematical Society, XLVI (1940),
698—701.
70. M с S h a n e, Existence Theorems for Bolza Problems in the Calculus of
Variations, Duke Mathematical Journal, VII (1940), 28—61.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЗАДАЧЕ БОЛЬЦА
34В
71. McShane, On the Second Variation in Certain Anormal Problems of
the Calculus of Variations, American Journal of Mathematics, LXIILv
(1941), 516-530.
72. Hestenes, The Problem of Bolza in the Calculus of Variations,
Bulletin of the American Mathematical Society, XLVIII (1942), 67—75.
73. К а г u s h, Isoperimetric Problems "and Index Theorems in the Calculus
of Variations, Диссертация, University of Chicago, 1942.
74. McShane, Sufficient Conditions for a Weak Eelative Minimum in the
Problem of Bolza,' Transactions of the American Mathematical Society,
LII (1942), 344—379.
75. Lewis. Sufficiency Proofs for the Problem of Bolza in the Calculus of
Variations, Диссертация, University of Chicago, 1943.
76. McShane, On the Theory of Relative Extrema, Mathematical Reviews^
IV (1943), 48.
77. Myers F. G., Sufficiency Theorems for the Problem of Lagrange, Duke
Mathematical Journal, X (1943), 73—97.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 5
Предисловие автора 11
Ча стъ I
ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава 7. Вариационное исчисление в трехмерном пространстве ... 1&
§ 1. Существо задач вариационного исчисления 13:
§ 2. Происхождение названия „вариационное исчисление" . . 16
§ 3. Аналитическая формулировка задачи 18
§ 4. Первая и вторая вариации 20
§ 5. Основная лемма 21
§ 6. Необходимое условие для первой вариации 22
§ 7. Семейства экстремалей 27
§ 8. Вспомогательные теоремы 30
§ 9. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра .... 33-
§ 10. Теоремы об огибающей и необходимое условие Якоби . зв
§ 11. Второе доказательство условия Якоби 39-
§ 12. Способы разыскания сопряженных точек 42
§ 13. Геометрическая интерпретация сопряженных точек ... 4&
Глава II. Достаточные условия минимума 51
§ 14. Введение . ■. 51
§ 15. Вспомогательные теоремы 52
§ 16. Достаточные условия Вейерштрасса 54
§ 17. Сравнение необходимых и достаточных условий .... 58
§ 18. Определение и простейшие свойства поля 59
§ 19. Основное достаточное условие 61
§ 20. Способы построения полей 62
§ 21. Достаточные условия для независимости интеграла от
пути интегрирования 65
§ 22. Дальнейшие свойства функций наклона и экстремалей
поля f 67
§ 23. Свойства второй вариации 70
§ 24. Доказательство достаточных условий без использования
понятия поля 77"

ОГЛАВЛЕНИЕ 345
Глава III. Поля и теория Гамильтона — Якоби 83
§ 25. Введение 88
§ 26. Канонические переменные и канонические уравнения
экстремалей 8В
§ 27. Второе доказательство теоремы включения 87
§ 28. Трансверсальные поверхности поля и уравнение
Гамильтона— Якоби 89
§ 29. Экстремали как характеристики дифференциального
уравнения в частных производных 92
§ 30. Приложение к динамике 95
§ 31. Экстремали как кривые наибыстрейшего спуска .... 97
Глава IV, Задачи на плоскости и в пространствах высших
измерений 101
§ 32. Введение 101
§ 33. Задача на плоскости 102
§ 34. Сравнение задач на плоскости и в пространстве • . . . 10*
§ 35. Задача в (п + 1)-мерном пространстве 107
§ 36. Разыскание сопряженных точек 109
§ 37. Построение полей 110
§ 38. Теория Гамильтона — Якоби 114
§ 39. Теория второй вариации 120
Глава V. Вариационные задачи в параметрической форме 125
§ 40. Введение • 125
§ 41. Параметрическое представление кривых 126
§ 42. Постановка задачи 128
§ 43. Следствия из условия однородности 129
§ 44. Первые необходимые условия минимума 131
§ 45. Экстремали 135
§ 46. Теорема об огибающей и условие Якоби 141
§ 47. Аналитическое доказательство условия Якоби ..... 143
§ 48. Разыскание сопряженных точек 144
§ 49. Поле и основные достаточные условия 150
§ 50. Достаточные условия относительного минимума .... 154
§ 51. Дальнейшие достаточные условия сильного
относительного минимума 157
§ 52. Канонические переменные и канонические уравнения . . 160
§ 53. Теорема включения и теория Гамильтона — Якоби . . . 165
§ 54. Построение полного интеграла уравнения Гамильтона —
Якоби 170
§ 55. Другие теории задачи в параметрической форме .... 173

346 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Задачи с подвижными концами 177
§ 56. Введение 177
§ 57. Трехмерные задачи с одним подвижным концом на
поверхности . . ь . . ь * , . . 17$
§ 58. Трехмерные задачи с одним подвижным концом на
кривой 185
§ 59. Более общая задача с подвижными концами 18&
§ 60. Достаточные условия в случае более общей задачи
с подвижными концами 190
§ 61. Условие трансверсальности 194г
§ 62. Вторая вариация и четвертое необходимое условие . . . 195-
§ 63. Дальнейшие достаточные условия 199
§ 64. Вторая форма четвертого условия 200
§ 65. Фокальные точки в задаче с одним подвижным концом . 204
§ 66. Зависимость фокальной точки кривой от кривизны . . . 210
§ 67. Задачи с подвижными концами на плоскости 216
Часть II
ЗАДАЧА БОДЬЦА
Глава VII. Правило множителей 222
§ 68. Введение 222
§ 69. Эквивалентность различных задач 224
§ 70. Аналитическая формулировка задачи Вольца 229*
§ 71. Вариации и уравнения вариаций • . . 230
§ 72. Основная лемма о включении • . . . . 23&
§ 73. Первая вариация J • . . . 236
§ 74. Правило множителей 238»
§ 75. Экстремали 245-
§ 76. Анормальности для минимума функций конечного числа
переменных 249
§ 77. Понятие нормальности в задаче Больца 254
Глава VIII. Дальнейшие необходимые условия минимума 261
§ 78. Необходимые условия Вейерштрасса и Клебша 261
§ 79. Лемма и следствие . . * k 266
§ 80. Вторая вариация и четвертое необходимое условие
минимума 26&
§ 81. Присоединенная задача о минимуме 271
Глава IX. Достаточные условия минимума 280
§ 82. Формулировка достаточного условия 280
§ 83. Вспомогательные теоремы 281

ОГЛАВЛЕНИЕ 347
§ 84:. Поля и их построение 283
§ 85. Основное достаточное условие 286
§ 86. Вторая вариация для задач с разделенными условиями
для концов, удовлетворяющих также условию некаса-
ния 289
§ 87. Достаточные условия минимума в задачах с
разделенными условиями для концов, удовлетворяющих также
условию некасания 294
§ 88. Достаточные условия для задач с общими условиями
для концов 297
§ 89. Вторая вариация для задач с закрепленными концами . 301
§ 90. Эквивалентная форма усиленного четвертого условия . . 306
§ 91. Граничная задача, соответствующая второй вариации . . 310
§ 92. Достаточные условия для некоторых важных
анормальных случаев 314
Приложение
Теоремы существования для неявных функций
и дифференциальных уравнений
1. Теоремы существования неявных функций 317
§ 1. Основная теорема существования неявных функций . . . 317
§ 2. Обобщение теоремы предыдущего параграфа 320
II. Теоремы существования для дифференциальных уравнений ... 322
§ 3. Существование решения, проходящего через начальную
точку 323
§ 4. Теорема существования для линейных уравнений .... 325
§ 5. Теорема включения 326
§ 6. Дифференцирование по произвольным постоянным .... 328
Библиография к предисловию 334
Библиография по задаче Больца 339

Редактор А. Гермогенов
Технический редактор Л. Вилленева
Корректор М. Шулимеико
*
Сдано в производство 13/V 1950 г.
Подписано к печати 28/VII 1950 г.
Л 05297. Бумага 60Х92У1в=10,9 бум. л.
21,8 печ. л. Уч.-издат. л. 21,4. Изд. № 1/635.
Цена 18 р. 75 к. Зак. 1624
*
4-ятипография им. Евг. Соколовой Глав-
полиграфиздата при Совете Министров СССР»
Ленинград, Измайловский пр., 29.