Динамика парогенераторов - Серов Е.П., Корольков Б.П.

Автор: Серов Е.П. Корольков Б.П.
Теги: тепловые двигатели в целом получение, распределение и использование пара паровые машины паровые котлы электротехника парогенераторы
Год: 1972
Похожие
Техническая энциклопедия Т.9
Вычислительные методы в динамике жидкостей. В двух томах. Том 1. Основные положения и общие методы
Python для финансовых расчетов. Искусство работы с финансовыми данными
Эконометрика. Начальный курс
Текст
                    г Г'
Динамика
парогенераторов
удк eei. hi i oo i
£2/ /<?
Серов E. П., Корольков Б. П.
К 66 Динамика парогенераторов. М., «Энергия», 1972.
416 с. с ил.
В книге даются качественная оценка н методы аналитического
оппелгпения динаинческнх сйойств парогенераторов тепловых элск-
тоич&кнх станций Парогенератор н составляющие его элементы рас-
сматриваютси как системы с сосредоточенными н распределенными
параметрами. Уделено внимание методам расчета динамики па роту р.
бикиых блоков на вычислительных машинах.
Книга пмеет методический уклон » предназначена для инженеров,
занимающихся вопросам л автоматизация оборудования ТЭС. Она мо-
жет также быть полезна аспирантам и студентам старших курсов те-
плоэнергетических специальностей вузов.
з-з-з
41-72
«П2.22
СЕРОВ ЕВГЕНИИ ПАВЛОВИЧ
КОРОЛЬКОВ БОРИ£ ПЕТРОВИЧ,
Динамика парогенераторов
Редактор Л. Т. Пашков
Редактор издательства И. В. Волобуева
Переплет художника Д. И. Чернышева
Технический редактор И. Л. Галанчева
Корректор И А. Володяеза
Сдано в набор 24/| 1072 г. Подписано к печати 13/VI 1072 г. Т03ц5
Формат Ы>'|08i;„ Бумага типографская № 2 Уел. псч. л. 21 ж
Уч.-изд л. 22.05 Тпртж 4 00Q W3. Зак. 1031 Цена I р. 33 к
Иадательетво „Энергия*. Мосш. М-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская топография Mi 10 Главполиграфпрома Комитет» пп
печати при Совете Министров СССР. Шлюзовая иаб,I” ’
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................ ...	5
Основные обозначения................................... 6
Введение....................................... . . .	7
Глава первая. Условия работы агрегатов тепловой элек-
трической станции в стационарных и динамических режи-
мах ............................................. .	Ц
1-1. Основные определения..........................Н
1-2. Характеристики стационарного	режима	....	17
1-3, Качественное описание динамических процессов в па-
рогенераторах разных типов..........................20
Глава вторая. Физические н математические модели теп-
лообменных аппаратов..................................31
2-1. Основные уравнения термодинамики.............3L
2-2. Исследуемая система и окружающая	среда	...	34
2-3. Модели оболочки канала.......................37
2'4. Модели потока рабочего тела..................4!
2-5. Модели парогенератора........................47
2-6. Структурные схемы теплообменных устройств	.	.	51
Глава третья. Одномерная модель элементов парогенера-
тора н линеаризация уравнений динамики..................56
3-1. Характеристика работы отдельных элементов паро-
генератора	.....................................56
3-2.	Уравнения	динамики	элемента парогенератора .	.	58
3-3.	Линеаризация	уравнений..........................65
3>4. Возмущающие воздействия и переходные характери-
стики ..............................................68
Глава четвертая. Расчет динамических характеристик
элементов парогенератора как систем с сосредоточенными
параметрами..........................Т*.----------------72
4-1. Общие положен ня................................72
4-2. Динамика	давления н расхода пара в паропроводе	.	74
4-3. Динамика	парообразующей поверхности нагрева .	.	79
4-4. Динамика	элементов пароводяного тракта ....	91
4-5. Динамика	топочной камеры........................ИЗ
4-6. Динамика	ротора турбогенератора.................120
Глава пятая. Расчет динамических характеристик элемен-
тов парогенератора со слабосжнмаемым потоком рабочего
тела как систем с распределенными параметрами .	126
5-1. Постановка задачи...............................126
5-2. Радиационный теплообменник......................129
5-3. Конвективный теплообменник.................... 172
5-4. Теплообменник типа «труба в трубе» .....	201
3
ЛЯВ1 шестая Динамика элементов парогенератора
е сильным изменением плотности рабочего тела .	220
в-1. Общие положения.......................
6-2 Динамика парогенернрующих теплообменников в ли-
нейном приближении...............................
6-3 Решение нелинейной задачи динамики для па регене-
рирующих теплообменников с радиационным обогре-
вом ..........................................
6-4. Динамима теплообменников с сильным изменен нем
фюмчюснх свойств однофазного потока рабочего тела
220
224
250
263
Глава седьмая. Аппроксимация динамических характе-
ристик теплообменников со слабосжимасмым рабочим те-
ло*.............................................................
7-1. Цели аппроксимации..................................268
7-2. Методы аппроксимации................................271
7-Х Сопоставление динамических характеристик тепло-
обменников. полученных различными методами .	.	304
Глава восьмая Методы исследования динамики паро-
турбинных блоков.......................................31]
8-1. Характеристика методов............................
8-2. Аналитическое решение уравнений динамики прямо-
точного парогенератора................................
8-3, Моделирование динамики блока с помощью АВМ
8-4. Методы расчета динамики паротурбинного блока
с применением ЭЦВМ....................................
8-6. Динамика паротурбинного блока, работающего в ши-
роком диапазоне нагрузок..............................
Приложения...........................................'	’
Литература.................
зи
313
342
349
355
359
410
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является результатом научной и
педагогической деятельности авторов. В основу ееструк
туры положен курс лекций с названием, близким к на-
званию книги, читавшийся Е. П Серовым студентам
теплоэнергетического факультета Московского энергети-
ческого института в 1%4—1967 гг. Преждевременная
смерть не позволила Е. П Серову выполнить все его
замыслы в отношении выбора материала и характера
изложения, что, конечно, сказалось на качестве книги,
хотя ученик и соавтор стремился претворить эти замыс-
лы в жизнь.
Книга посвящена вопросам качественного описания
и количественного определения динамических свойств
одного из основных элементов современной тепловой
электрической станции—парогенератора Цель создать
практическое руководство для проведения динамических
расчетов парогенераторов и им подобных теплообмен-
ных аппаратов не ставилась Для этого ведущими про-
ектно конструкторскими организациями периодически
выпускаются руководящие материалы (Л. 23, 58]. По за-
мыслу авторов, книга призвана дать единый подход
к сложным вопросам динамики парогенераторов. Это
позволяет надеяться, что представленная работа заинте-
ресует как инженеров и научно-технических работников,
так и преподавателей и студентов теплоэнергетических
специальностей высших учебных заведений
Главы 1 — 3, § 4-2, 4-3, 4-6 написаны Е. П. Серовым;
главы 5—8 (за исключением § 8-4, написанного
II. С. Хорьковым), § 4-1, 4-4, 4-5, введение и приложе-
ние— Б П. Корольковым.
Кинга в рукописи была внимательно прочитана кан-
дидатами технических наук Б. И. Шмуклером, В. В. Кра-
шенинниковым и Л Т. Пашковым, критические замена
ния которых существенно отразились на структуре и со-
держанки материала. Большую помощь на всех этапах
создания книги авторам оказал каид. техн, наук, доцент
А. С. Ипполитов. Считаю приятным долгом выразить
всем им свою глубокую признательность.
Б. П. КОРОЛЬКОВ
5
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
т z. !	Время Координата длины я полная	длина	сек м
P и /.0 0	теплообменника Плотность Удельный объем Энтальпия Температуры потока рабочего тела, греюшнх гадов н разделяющей стенки Давление Удельная теплоемкость при постоянном давлении Коэффициент теплопроводное™ Коэффициент теплоотдачи Проходное сечение для потока рабочего тела Расход Скорость Поверхность Удельная поверхность Масса вещества Удельная масса вещества Тепловая нагрузка Улет иная тсплоаая нагрузка Теплота парообразования Оператор преобразования Лапласа.		кг!м^ лтЧкг хдж/кг СС
P X « 1 D w H h 6 i 4 r L			кгс/см^ кджЦке • град) квт/(м • град) кат/(м^ • град) м1 кг/сек м/сек м> м'/м кг кг/м кет квт/м кдж/кг
00
6
где /(т) — преобразуемая функция;
г(4 —. юоГфяжиже функции
S. «	”
Ь)
Параметры преобразования Лапласа
Частота
eer1, Л"1
рад Ice к
Подстрочные индексы обозначают:
О—исходный стационарный режим;
1 — вход в теплообменник;
в, и. м — внутренний и наружный поток н металличе-
ская стенка;
э.	и. п —экономайзерный. испарительный и перегрева
тельный тракты парогенератора.
Надстрочные индексы обозначают
*—параметры воды и пара на линии насыщения.
Параметры i, t, D 0 л др., являющиеся функциями
двух независимых переменных. вписываются так.
f(z.
 (*< r)«i:
'(0. t)=h;	1(0, 0)»ilo
ВВЕДЕНИЕ
Техполопгчсское оборудование современных тепло-
вых электрических станций достигло той степени слож-
ности, при которой его эксплуатация немыслима бег
применения искусственных средств управления. До -по-
следнего времени такими средствами были аналоговые
регуляторы, псрерабатываншие информацию, получен-
ную от датчиков параметров технологическою процес-
са. и выдававшие на исполнительные механизмы управ
ляющне воздействия в виде электрических сигналов
При этом регулирование велось по отдельным а значи-
тельной мере изолированным каналам («тепло—топли-
во», «разрежение—тяга» и др ) В настоящее время все
нарастающими темпами происходят привлечение элек
тротиюй вычислительной тамги ки к управлению режн
мом работы паротурбинных блоков
Обе.иовагпгый выбор того или иного тина регулирую-
щей аппаратуры или алгоритма управляющих вычисли-
тельных машин (УВМ) возможен лишь при достаточно
подробном и точном знании динамических свойств объ-
екта управления. Необходимые сведения могут быть по-
лучены либо в результате натурных испытаний автома-
тизмруемого объекта, либо расчетным путем.
Норный способ наряду с известными достоинствами
(конкретностью и полнотой получаемых результатов)
имеет существенный изъян он фиксирует динамические
свойства уже изготовленного и смонтированного паро-
генератора, и если они неудовлетворительны (Л 19, 76],
то приходится применять очень дорогую систему автома-
тического управления без гарантии высокого качества
ее работы. Поэтому все более широкое распространение
получают численные и аналитические методы расчета
динамических характеристик, позволяющие оказать воз-
действие на конструкцию парогенератора, подобрать
управляющий комплекс еще на стадии проектирования
объекта и добиться наилучших показателей качества их
совместном работы [Л. 119}.
В расчетных методах динамические характеристики
получаются в результате .решения системы дифференцн
„аО1,л г табличной степенью полноты они-
S"»° =заимЖВяэа.„шх тепло-
сываюшьн ели	фНзИ|Ко-химичеокнх и других
Хе Тю^’ вФ объекте. От полноты учета
явлений ° сопровождающих технологический процесс, за-
висит степень соответствия получаемых решении д< ист-
внтельиым характеристикам объекта Однако, как пра-
в ио более полный учет этих явлений приводит и к оо-
лее сложной .математической модели, реализация кото-
рой затруднительна.
Для простейших математических моделей решения
.могут быть получены в наиболее общей аналитической
форме. Они оказываются пригодными для всех объектов,
имеющих ту же исходную математическую модель
Простейшая математическая модель динамических
процессов в парогенераторе представляется системой
обыкновенных дифференциальных уравнении либо для
всей установки, либо для каждого из входящих в нее
элементов. В этом случае получение аналитическом вре-
менной зависимости изменения технологических пара-
метров з переходном процессе относительно несложно.
В такой модели не учитывается реальная 'протяженность
элементов парогенератора л связанная с ней зависи-
мость параметров от кооордииат (модель с сосредоточен-
ными параметрами).
Учет распределенности параметров парогенератора
в направлении оси потока рабочего тела .впервые 'сделан
в 1953 г. [Л. 83]. С тех пор удалось найти аналитиче кие
решения для математических моделей как отдельных
элементов парогенератора, так и всего парогенератора
в целом, но число этих решений весьма ограниченно.
В большинстве случаев получить аналитические решения
невозможно, и динамические характеристики могут быть
найдены численно путем решения исходных уравнений
на электронных вычислительных машинах (ЭВМ).
Применение ЭВМ позволяет решить динамическую
задачу < минимальными упрощениями, что однако до-
стигается, за счет большой мощности устройств и 'зна-
чительной длительности вычислительных операций По-
этому ценой некоторого снижения точности результатов
ооычяо получают числовые решен.,,, с „™,oSk X
динамики парогенераторов „ пв^'туХты/бло-
8
ков, наиболее успешно развиваемые в ЦНИИКЛ ВТИ и
МО ЦКТИ, а книге юлагаот лишь в самых общих
чертах.
Деление методов расчета .на аналитические я числен-
ные условно, поскольку этап нахождения количествен-
ных характеристик нестационарного режима с помощью
средств вычислительной техники является» за .редким
исключением, неизбежным. По -видим ом у, чем длиннее
цепочка «формулировка задачи—'нахождение функцио-
нальных решений уравнений — функциональные преоб-
разования решений к виду, реализуемому на ЭВМ» —
вычисление динамических характеристик», тем с боль-
шим основанием метод можно назвать аналитическим.
Цепочка «формулировка задачи—.решение уравнений на
ЭВМ»—наиболее яркий представитель численных ме-
тодов.
В большей части опубликованных исследований ана-
литические решения для элементов парогенератора по-
лучаются в виде передаточных функций, что объясняет-
ся, с одной стороны, достаточностью информации в ча-
стотной области для многих прикладных назначений,
а с другой — математическими трудностями перехода во
временную область. Однако по существу метода преоб-
разования Лапласа, (приводящего к передаточным функ-
циям, последние являются .промежуточным результатом,
и во многих случаях бывает полезно найти закон изме-
нения во времени различных технологических парамет-
ров (температуры, расхода, давления и т. д.) в поверх-
ностях нагрева и на необогрсваемых участках. Это, оче-
видно, расширяет 'возможности инженеров, проектирую-
щих теплоэнергетическое оборудование и средства
управления им.
Аналитические выражения временных функций могут
быть непосредственно реализованы в модели парогене-
ратора при использовании электронных цифровых вы-
числительных машин (ЭЦВМ). Такая модель может
оказаться наиболее удобной не только для расчета ма-
лых отклонений параметров от заданного режима, но и
для установления количественных зависимостей сущест-
венно нестационарного процесса (при больших откло-
нениях) .
Другой обширной, но еще сравнительно мало освоен-
ной областью применения динамической информации
является надежность элементов парогенератора в не-
гл 36 118]. Анализ совместной
стааимаР»™ Ре*Х б-юка « энергосистемы .позволяет’
работы паротурбинн > 1 '	||Х отклонении технологи-
выявить пределы лпи"ат.енераТора и учесть их влияние
„ескнх »аРа5ГеХВоХт1Внь1х характеристик высокофор.
Z нагрша (тало',"ь,х экра'“°°:
пароперегревателей)	оассматршваютея в основном
В	дрнамячмазнх ха-
методы аизл пи1	>)Х функции и временных зави-
ракгернстик (лсрсл- ’парогенератора и всей
онмостеи) отдельпь. 	таплообмен пиков не
-«птпенных элементов парогенератора нс npi.. . 1-ю, на
все это указывает па песоходпмость по-
cSSx разработок вопросов днвамжн «зарогеиера-
toJob “а уровне отдельных элементов их техно.тогпче-
ск-ой схемы.
Задача определения динамических свойств парогене-
раторов решается в книге в основном исходя из гипотезы
линейности, что, несомненно, ограничивает область при-
менения полученных решений.
Настоящее -время характеризуется интенсивно нара-
стающим спросом на информацию о поведении энерге-
тического оборудования в режимах, исключающих ли-
нейную постановку задач динамики. Поэтому следует
ожидать, что для анализа и решения таких задач в бли-
жайшем будущем должны появиться новые работы,
в которых будут использованы нелинейные методы
Глава и е р о а я
УСЛОВИЯ РАБОТЫ АГРЕГАТОВ
ТЕПЛОВОЙ ЭЛЕКТР! 1ЧЕСКОЙ
СТАНЦИИ В СТАЦИОНАРНЫХ
И ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ
I
1-1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В паротурбинном блоке происходит преобразование
химической или ядерной энергии топлива в электриче-
скую с промежуточным превращением их в тепловую.
Основными агрегатами блока являются паро- и турбо-
генераторы. В парогенераторе (рис. 1-1) сжигается
органическое топливо, а высвободившаяся тепловая
энергия за вычетом потерь передается через поверхность
нагрева рабочему телу. В турбине происходит расшире-
ние лара, и сто энергия (переходит в энергию вращения
ротора турбины и генератора, а в последнем механиче-
ская энергия превращается в электрическую. На ядер-
ной электростанции тепловая энергия выделяется в ре-
зультате ядерных реакций, остальные 'стадии процесса
превращения тепловой энергии в электрическую прин-
ципиально сохраняются такими же.
Процесс получения электрической энергии характе-
ризуется потоками вещества и энергии (рис. 1-2). Связь
между отдельными потоками вещества н энергии (вклю-
чая потери) зависит от схемы станция, ее конструктив-
ных характеристик п описывается уравнениями, выра-
жающими законы термодинамики.
Энергетический блок связан с окружающей средой,
проявляющей себя в этой связи одновременно как источ-
ник и приемчик; источник топлива и окислителя, прием-
ник электрической и тепловой энергии. Наряду с основ-
ными источниками п приемниками имеются дополнитель-
ные: источник охлаждающей воды; приемники продук-
тов сгорания, охлаждающей воды н тепловой энергии,
уносимой потоками продуктов сгорания н воды.
11
иишн.ttiiHLinu imininuiiiШIII llllllllll!
Рис. I-I Принципиальная схема тепловой электрической станции.
/ — потоки топлина. воздуха к газон: // — поток рабочего тела: ///—поток
электрической энергии; /—7— элементы
Движение потоков вещества и энергии может быть
установившимся (стационарным) или нестационарным.
В первом случае все 'параметры, характеризующие свой-
ства потоков энергии (вид энергии, ее работоспособ-
ность, мощность) к вещества {расход, давление, энталь-
пия и другие физические константы), остаются неизмен-
ными во времени. В нестационарном режиме .все эти па-
раметры изменяются во времени '.
При установившемся движении связь между потока-
ми вещества и энергии выражается стационарными урав-
нениями сохранения. Так. для каждого элемента блока
можно натшеать равенство между поступившей энергией
Qt, преобразованной (отданной) энергией Q и потерями
Спот:
Qt Q—Qhot = 0.	(1-1)
Поскольку потери связаны с к. п. д уравнением
Спот = (I —ij) Qi,
то
riQi-Q-0.	(1-2)
Уравнение сохранения вещества записывается в та-
кой же форме:
Д1 D—7? пот = 0.
Такое определение rtecTaunoriapHorri режима исключает из рас-
смотрения специальный случаи периодических колебаний с постоян-
ными амплитудой н частотой — стационарные колебания
12
Рнс. 1-2. Схема г.отоков вещества н энергии на ТЭС.
Потер и энергии ib эл ементах паротурбин него блока
зависят три данной его конструкции от нагрузки и усло-
вий организации различных этапов превращения энер-
гии. Так, например, к. и. д. топочной камеры может из-
меняться в широких пределах в зависимости от величины
избытка воздуха и распределения его по горелкам,
а термический к. п. д. цикла—в зависимости от темпе-
ратуры охлаждающей воды. Таким образом, одна и та
же полезная мощность может быть получена с различ-
ным к. п. д. отдельных элементов и блока в целом.
Условия организации превращения тепловой энергии
в электрическую при заданной величине полезной мощ-
ности определяют стационарный режим работы блока.
Каждый режим, следовательно, характеризуется опреде-
ленными значениями нагрузки и всех пара!метров пото-
ков энергии и вещества, а в конечном счете, и к. п. д.
всех элементов блока. Естественно, что средн всех режи-
мов предпочтение оказывается режиму с наибольшим
к. п. д., который называется оптимальным.
Стационарный режим работы блока в определенной
мере является физической абстракцией. В реальных
условиях всегда имеют место случайные колебания по-
токов энергии и вещества. Если эти колебания малы,
то такой режим с хорошим приближением может рас-
сматриваться как стационарный, а параметры, опреде-
ляющие его, относятся к средним значениям.
Стационарный режим описывается так называемыми
статическими характеристиками, выражающими стацио-
нарные зависимости выходных параметров от входных.
В частности, на основании уравнения (1-2) 'статическая
характеристика записывается в виде
Q=ilQi.
13
Каждый нестационарный режим характеризуется
вполне определенным законом изменения параметров
потоков энергии и .вещества но времени. Зав пени осп,
значений выходных параметров от времени называется
динамической характеристикой.
В нестационарных режимах равенство между прито-
ком и стоком субстанции (энергии, 'Вещества) наруша-
ется. Часть субстанции накапливается ю элементах 'си-
стемы, увеличивая ее внутреннюю энергию QHrt .и коли-
чество .вещества 6Вн- В соответствии с этим уравнения
сохранения вещества и энергии для нестационарного
режима записываются ‘В виде
Р, — “ rf? (^вв)>	(1-3)
TjQi—Q = -^-(Qni.)-	(1-4)
В уравнениях (1-3) и (1-4) все параметры, включая
к п. д., изменяются во времени. При этом к. in. д., за-
висящий от мгновенного состояния системы и выходной
мощности, можно выразить через указанные параметры:
Qhu)-
Внешние возмущения задаются, причем закон их из-
менения во времени не зависит от состояния рассматри-
ваемой системы. Внешние возмущения обычно записы-
вают в правой части дифференциального уравнения.
Например, переписав уравнение (1-4). получим:
1 г; ।_1 <1 ($дн)z")
Величина Qi по отношению к данному элементу яв-
ляется внешней возмущающей силон (входной величи-
ной).
Внешние возмущения в общем случае носят стохасти-
ческий характер. Однако при анализе динамических
свойств систем удобно рассматривать более простые
возмущения: гармонические, экспоненциальные, линей-
ные. импульсные и скачкообразные.
В результате нанесенных возмущений нормальная ра-
бота отдельных элементов или блока в целом может
быть нарушена. Поэтому одна из задач регулирования
состоит в восстановлении нестационарного режима пу-
тем искусственного изменения притока субстанции.
14
Нестационарные процессы в парогенераторе носят,
как (Правило, монотонным характер. В отдельных случа-
ях траектории параметров имеют вид слабо колебатель-
ных кривых с быстрым затуханием. Частными случаями
нестационарного процесса являются 'вынужденные коле-
бания и автоколебания.
Вынужденные колебания возникают только в том
случае, если внешнее воздействие имеет периодическую
составляющую. Возмущающая сила при этом не зави-
сит от (Параметров системы.
В автоколебательном процессе энергия в систему .по-
ступает периодически с определенной частотой. Перио-
дическое поступление энергии связано с 'существованием
определенной зависимости между потоком энергии и зна-
чением одного или нескольких параметров системы.
Автоколебательную -систему можно расчленить на соб-
ственно систему, клапан, регулирующий поступление
энергии, и обратную связь,
клапана. IИсточник энергии
в этом случае относится
к окружающей среде. В про-
стейшем виде такая система
может быть представлена
в виде замкнутой системы
автоматического регул про
вання (рис. 1-3).
Автоколебательный ре-
жим не допускается. В случае
его возникновения переход
на устойчивый режим дости-
упр а вл я ющу ю двн жен нем
Рис. 1-3. Принципиальная схе-
ма автоколебательной систе-
мы.
гается путем изменения параметров системы, -включаю-
щей устройства автоматического регулирования. Выбор
парам ет р ов устрой ств авто м а тич еского р егул н рав а ни я,
обеспечивающих устойчивую работу, является одной из
основных задач теории автоматического регулирования.
Внутренняя энергия, определяющая динамический
процесс, может иметь различную природу. Так. внутрен-
няя энергия, содержащаяся в объеме рабочего тела и
металле поверхностей нагрева, является тепловой,
а энергия ротора турбогенератора—механической. В ди-
намическом режиме каждый элемент блока может рас-
сматриваться как аккумулятор энергии и вещества, ха-
рактеризуемый определенной емкостью, которая назы-
вается аккумулирующей.
15
т
а)
Рис. 1-4. Качественная картина переходного процесса.
а — при нулевой; б — при конечной величине аккумулирующей емкости
Величина аккумулирующей емкости и ее распреде-
ление по геометрическим (координатам элемента полно-
стью определяют его (поведение в динамических (режи-
мах. Если аккумулирующая емкость не изменяется в пе-
реходном процессе или равна нулю, то, как следует из
уравнении (1-3) и (1-4), потоки субстанции на .входе и
выходе равны между собой:
В
Q=,nQb	I
Следовательно, поток субстанции на выходе следует
за потоком на входе (-рис. 1-4,а). Элементе таким свой-
ством называют элементом прямого усиления. Во всех
других случаях аккумулирующая емкость изменяется во
времени, и поток на выходе отстает от потока на входе
(рис. 1-4,6). При этом чем больше аккумулирующая ем-
кость и чем больше она распределена в пространстве,
тем больше затягивается динамический процесс.
Аккумулирующие емкости различных элементов бло-
ка сильно отличаются по абсолютной величине. Так,
тепловая емкость парогенератора на (порядок больше
емкости регенеративных подогревателей и на несколько
порядков больше запаса механической энергии в роторе
турбогенератора. Поэтому определяющая роль в форми-
ровании динамических процессов остается за парогене-
ратором.
Рассмотрим качественно протекание динамического
процесса в блоке, вызванного, например, нанесением
16
I
возмущения- по отбору
мощности. Для опреде-
ленности будем считать,
что произошел скачкооб-
разный наброс электриче-
ской мощности, который
р а в в осилен соответств у го -
тему возрастанию мо-
мента сопротивления ро-
тора генератора. Посколь-
ку движущий момент, раз-
виваемый турбиной, пер-
вое время остается неиз-
менным, то происходит
о
Рис. 1-5. Динамика параметров
блока при набросе нагрузки.
снижение числа оборотов
(рис. 1-5). Тогда система
регулирования турбины откроет регулирующий кла-
пан. Этот процесс занимает доли секунды ввиду малой
аккумулирующем емкости ротора турбогенератора. Бла-
годаря открытию регулирующего клапана снижается со-
противление, в результате чего падает давление в трубо-
проводе и во всем тракте парогенератора. Это приводит
к снижению температуры .кипения, а следовательно, и
запаса тепла в объеме кипящей воды и металле паро-
образующей поверхности нагрева. В результате выде-
ляется часть тепла, аккумулированного в парогенерато-
ре. Это задерживает падение давления, поскольку
небаланс между потреблением и выработкой энергии ча-
стично покрывается за счет аккумулирующей емкости.
В этом же направлении действует и тепло, высвобож-
даемое из регенеративных подогревателей. Новый ста-
ционарный режим может быть установлен лишь при
(восстанови сип и баланса между отбираемой и вводимой
(энергией топлива. При этом в первый момент количество
(подведенного тепла (с учетом к. п. д.) должно превы-
шать стационарное значение, соответствующее новому
значению отбираемой мощности, чтобы восполнить за-
пас энергии, аккумулированной в парогенераторе и дру-
гих элементах блока.
1-2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНОГО
РЕЖИМА
Энергетический блок и отдельные его элементы ра-
ботают в широком диапазоне нагрузок. Каждой стацио-
нарной нагрузке отвечает определенный режим, кото-
2—1031
рый характеризуется определенными значениями папа
метров потоков энергии и вещества во всех элементах
блока.
Параметры, характеризующие режим работы блока
определяются на основе расчетов талловом схемы блока’
парогенератора, турбины и ®сех вспомогательных
устройств п механизмов. Для действующих агрегатов
значения указанных параметров и связь между ними
могут быть получены на основе специальных испытаний.
При установившемся режиме электрическая мощ-
ность однозначно ©вязана с расходом и параметрами
пара:
N = D(ltui—hi) Т]т.г.
где D. 1п.п—соответственно расход и энталыпия перегре-
того пара; — энтальпия пара в горловине конденсато-
ра; 11т.г=г)тПоТ1м —составляющие к. л. д. турбогенерато-
ра: термический, относительный, механический турбины
и генератора.
Наряду ю мощностью и тс in. д. к основным парамет-
рам относятся также расход, давление и температура
лара в ступенях турбины.
Необходимое количество пара получается в пароге-
нераторе сжиганием топлива при соответствующем воз-
душном режиме. Связь между расходом пара и топлива
находится путем решения балансных уравнений, неявно
включающих эмпирические зависимости для теплообме-
на:
& Gu.u *u в)
где 8— часовой расход топлива, кг/ч:, Q"— низшая теп-
лота сгорания рабочей массы топлива, кдж{кг\ 1цВ —эн-
тальпия питательной воды, кдж/кг.
Коэффициент полезного действия парогенератора не-
линейным образом зависит от нагрузки, 'избытка 'возду-
ха и его распределения по горелкам, качества топлива,
степени загрязнения поверхностей нагрева и других фак-
торов.	к
Основными параметрами, определяющими стационар-
ный режим парогенератора, являются; расход, давление
и температура рабочего тела по водопаровому тракту,
расход, энтальпия и состав продуктов сгорания по газо-
вому тракту, величина топочных потерь и др,
18
Если известны 'параметры стационарного режима и
связь между ними, то можно рассчитать необходимый
диапазон регулирования и выбрать условия, обеспечи-
вающие работу отдельных элементов с оптимальным
ik. п. д. Эти же 'параметры являются исходными данными
при расчете динамики блока, поскольку динамические
расчеты, как правило, проводятся для малых отклонений
параметров от стационарного базового режима.^
Параметры, характеризующие стационарный режим
блока и eiro отдельных элементов, могут быть представ-
лены в табличной или графической форме. Обычно пред-
а) s)
Рис. 1-6, Зависимость к. и. д. я потерь тепла в парогенераторе
от нагрузки.
почитают графические зависимости в силу их большей
наглядности. В качестве примера выше приводятся не-
которые статические характеристики блока и его элемен-
тов.
эффициент полезного действия блока ц изменяет-
ся в зависимости от нагрузки (рис. 1-6,а). При этом
максимальное значение р отвечает номинальной нагруз-
ке. с которой блок работает наиболее длительное время
Зависимости основных потерь в парогенераторе от
нагрузки даны на рис. 1-6,5. С увеличением нагрузки
увеличивается температура газов в топке, что улучшает
процесс горения. В результате топочные потери вначале
падают. При дальнейшем увеличении нагрузки может
наблюдаться рост потерь вследствие снижения времени
пребывания газов ® топочной камере. В свою очередь,
с повышением нагрузки растет температура газов и со-
ответственно потеря с отработанными газами. Зависи-
мость к. п. д. от нагрузки является пологой, что обес-
печивает широкий диапазон экономичных нагрузок.
2*	19
прпепоетого пара оз парогенераторе
Температура и . 113МепяСТСЯ 1Й зависимости от
с естественной ^иРнуп эТОй зависимости обусловят-
нагрузки (рис. W)- ° £ величиной тепловосприятий
стся соотношением	поверхностях нагрев,
в радиационных и “°" станИем нагрузки доля тепло-
пароперегревателя в Р	уМеНьШается, а конвек-
восприятия Ра^Хся Обычно <----------------
тианой-увеличивается.
Обычно
'пароперегреватель
Р . 1-7. Статические характеристики пароперегревателя.
а -температура пара за радиационным (/). конвективным (2) н комбини-
рованным (3) пароперегреватели ми; б — диапазон регулирования темпера-
туры перегретого пара.
имеет конвективную характеристику, при которой тем-
пература пара растет с увеличением нагрузки. Превы-
шение температуры пара над расчетным ее значением
при максимальной нагрузке определяет диапазон регу-
лирования б/.
Статические характеристики в общем случае нели-
нейны. С целью упрощения аналитических (расчетов их
линеаризуют.
13. КАЧЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ
ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В ПАРОГЕНЕРАТОРАХ РАЗНЫХ ТИПОВ
Качественную информацию о протекании динами-
ческих процессов можно получить из анализа стационар-
ного распределения аккумулирующих емкостей ib на-
правлении пути потоков энергии и вещества. В пароге-
нераторах на органическом топливе энергию переносят
две среды; греющий газ и рабочее те-то. Кроме того,
20
энергия в парогенераторе аккумулируется в объемах
рабочего тела и греющего газа, металле поверхностей
нагрева, топливе, а также в шлаке, изоляционных ма-
териалах и т. д. Указанные емкости неравноценны. Коли-
чества вещества и энергии, содержащиеся в объеме гре-
ющего газа, невелики, поскольку плотность газов мала.
Поэтому указанной емкостью, как правило, пренебрега-
ют. Иногда не учитывают аккумуляцию энергии в шлаке.
Пренебрегают также тепловой емкостью изоляционных
материалов, поскольку энергии -в них запасается относи-
тельно мало, а время отдачи тепла намного больше
длительности переходного процесса.
Энергетическую емкость топочной камеры обычно
приравнивают нулю, поскольку количество топлива, на-
ходящегося в ней, мало. Значительное количество топли-
ва, а следовательно, и энергии содержится ® устройствах
для приготовления твердого топлива. Однако такие
устройства обычно выделяют в самостоятельные дина-
мические системы, последовательно соединенные с паро-
генератором.
Таким образом, в парогенераторах на органическом
топливе энергия и вещество аккумулируются почти ис-
ключительно в Объеме рабочего тела и металле поверх-
ностей нагрева. Это условие обычно сохраняется и в па-
рогенераторах других типов.
В динамическом процессе одновременно изменяется
содержание вещества л энергии. Однако в нервом при-
ближении влияние их можно рассматривать раздельно.
Это упрощает проведение качественного анализа.
АККУМУЛЯЦИЯ РАБОЧЕГО ТЕЛА
В ПАРОГЕНЕРИРУЮЩИХ КАНАЛАХ
Возможность накапливания и отдачи вещества из
бъсма каналов связано с сжимаемостью рабочего те-
ла существованием зависимости удельного объема
(плотности) от энтальпии п давления:
=	р); p = p(t, р).
Давление и энтальпия рабочего тела ,в каждом ста-
ционарном режиме изменяются по длине вполне опре-
деленным образом, а их значения на входе заданы
(рис. 1-8). Поэтому можно заменить зависимость плот-
21
Рис. 1-8 Изменение
генерирующего канала.
удельного объема и давления по длине пар0.
ности от энтальпии и давления зависимостью се от ко
ординаты длины канала г, поскольку
P~p(z, Ряых)•
В соответствии с этим количество рабочего тела
в объеме каналов
G = f / GO Р (?)
б
(1-5)
а приращение массы рабочего тела при переходе от
одного стационарного режима к другому
t	i
SG~G — GB^=^f (?) р (г) dz — f / (?) р0 (г) dz. (1-6)
о	6
При постоянной длине канала это соотношение упро-
щается:
г
ДО = J f (г) Др (г) dz.
о
Таким образом, приращение массы рабочего тела
в каналах определяется величиной изменения плотности.
По способу организации движения рабочего тела па-
рогенераторы разбиваются на три основных типа: с есте-
ственной, с многократной принудительной циркуляцией
и прямоточные.
Наиболее простыми по своей схеме являются прямо-
точные парогенераторы. В своей основе прямоточный
парогенератор представляет собой обогреваемую трубу
(канал), на (Вход которой подается вода, а выходит пе-
регретый пар (рис. 1-9). Превращение поды в пар про-
исходит за один ход.
22
По длине парогенерирующей трубы три докритиче-
ском давлении располагаются зоны с различным состоя-
нием потока: вода, пароводяная смесь, перегретый пар.
Границы между отдельными зонами определяются зна-
чением энтальпии рабочего тела па входе, расходом,
интенсивностью теплообмена, рабочим давлением и дли-
ной обогреваемого канала. При сверхкритическом дав-
лении выделение подобных зон может быть произведено
условно. Ниже .выполняется анализ для случая р<рк₽-
Рис. 1-4. Схема подопарового тракта прямоточного парогене-
ратора.
Протяженности экономайзерного, парообразующего и
паропсрегревательного участков при заданной интенсив-
ности тепловой нагрузки в стационарном режиме опи-
сываются з а виси м остя м и
D
(1-7)

где Дга —иедогрев до .кипения .питательной воды, посту-
пающей в парогенератор, — —гп.в- При этом интен-
сивность обогрева принимается по среднему значению
на данном участке. Как видно из приведенных формул,
длина соответствующего участка определяется величиной
приращения энтальпии н отношением расхода рабочего
тела к удельному значению тепловой нагрузки.
При изменении соотношения тепловоспрнятня и рас-
хода рабочего тела границы между отдельными зонами
перемещаются. Например, при увеличении тепловой на-
23
грузки (три постоянном значении расхода рабп-
тела) длины экономайзерного и поп зрительно го тракт Г°
уменьшатся, а перегревательного — соответственно V°B
лмчится. Аналогичное перемещение произойдет и ]п
изменении энтальпии среды на входе в обогреваемую
труоу. При этом изменяются длины водоподогреватель
ного и пароперепревательного участков, а длина испари-
тельного тракта остается прежней.	р
В результате перемещения границ изменяется энталь*
пия среды на выходе. Для прямоточного парогенерато-
ра в стационарном режиме справедливо соотношение
ql — D (/д	(д.в) ,
из которого следует, что при неизменных I и D прира-
щение тепловой нагрузки вызывает относительно равное
приращение энтальпии пара. Так, при изменении тепло-
подвода на 1% энтальпия /пара изменится также на 1%,
что при р~ 100 KZcjcM2 отвечает изменению температу-
ры пара примерно на 10 С. Это очень сильное измене-
ние. Отсюда понятно, почему даже сравнительно не-
большое нарушение соотношения q/D приводит к силь-
ному изменению температуры пара.
При перемещении границ отдельных зон происходит
изменение водопаровой емкости парогенератора. При
этом изменение 'Массовой емжости
AGB—- GB—GB0; ।
AGK = Gn — Guo; ?
AG^AGB4-AGU; J
(1-8)
где подстрочные индексы в и п относят параметр соот-
ветственно к воде и пару. В свою очередь
4G, = /Р' (/, + /« (1 - ?)] - fp' [/,. -f- (1 -?,)[; 1 ,
AGB = /P"l(/»f-/,af,) + (Zu-Zmi)!.	(1'Э)
Долю сечения <р, занятую паром, легко найти через
массогвые параметры потока и коэффициент с, опреде-
ляющий величину относительной скорости пара:
i
— Д_ ( и (/) dl,
1	0
(1-10)
24
где с—коэффициент, зависящий в основном от р и D
р — объемное таросодсржание.
(1-11)
здесь х-(Dr) — массовое паросодержание.
Наиболее простой зависимость <р получается при посто-
янном по длине обогреве:

(/—р")*'
р" Jr
(М2)
1 г I 4 fl i I
При рассмотрении всей длины испарительного трак-
та (х=1) усредненное значение доли сечения, занятой
паром.

(М3)
Дальнейший анализ упростится, если рассматривать
зависимость плотности лишь от одного параметра, в пер-
вую очередь от энтальпии. Это означает, что в прираще-
нии плотности

второй член принимается равным нулю, например, на
основе посылки о постоянстве давления is парогенера-
торе. В стационарных режимах это условие приблизи-
тельно выполняется, поскольку давление перед турбиной
постоянно и равно рабочему.
Если рассматривается изменение массовой емкости
на всей длине парообразующего тракта, то согласно
уравнению (1-13) среднее объемное па рос одер ж анте за-
висит только от плотности фаз рабочего тела. При по-
стоянном давлении средние значения доли сечения, за-
нятой паром, в двух стационарных режима равны
между собой: ф = При этом из уравнений (1-8) и
соотношений (1-7) окончательно полу-
(1-9) с учетом сосиниш
Ч1Ш:	п Ъ	+	(1-14)
дс =“ д» "*
где
О _ q
пг — „ , пх —	•
х-'д	Ч О
Величина изменения емкости зависит от параметров
потока, рабочего давления и отношения расхода рабо-
чего тела к тепловой нагрузке. С 'повышением рабочего
давления изменение емкости уменьшается.
Переход от одного режима к другому, отличающему-
ся от прежнего величиной отношения <?/£), -сопровожда-
Рис. 1-10. Изменение параметров пара в прямо-
точном парогенераторе.
а —положение границ, б при Gwibiuofl, в—при малой
переменной емкости.
ется изменением массовой емкости, вследствие чего
в переходный период увеличивается или уменьшается
□асход лара по отношению к расходу питательной воды.
Для всего периода переходного процесса с очевидностью
можно написать:
XI
о
26
На рис. 1-10 показан примерный график изменения
во времени ряда параметров парогенератора при нару-
шении отношения i//D путем увеличения с/. Как видно
из рисунка, расход пара в первый момент времени пре-
вышает расход питательной воды вследствие вытеснения
части рабочего тела из объема 'Парообразующих труб.
В результате этого температура пара вначале пли пада-
ет или медленно нарастает.
Дополнительное количество пара, образовавшегося
в переходном процессе, численно равно площади между
кривыми Da и Оп- В свою очередь площадь, ограничен-
ная этими 'кривыми, ‘равна изменению массовой емкости
в соответствии с равенством (1-14). Способность паро-
генератора выдавать или аккумулировать в течение не-
которого времени дополнительное (сверх подаваемого
на вход) количество рабочего тела 'имеет большое зна-
чение для его привлечения к участию в регулировании
частоты в энергосистеме [Л. 12, 77].
Вследствие существования возможности перемещения
границ между пароперегревательлыми и парообразую-
щими поверхностями нагрева температура пара на вы-
ходе не зависит от характера распределения теплопод-
вода вдоль тракта парогенератора. Поэтому основной
способ регулирования температуры пара в прямоточном
парогенераторе заключается в поддержании постоянным
отношения суммарного теплолодвода к расходу рабо-
чего тела. Впрыск же играет вспомогательную роль, по-
зволяя выиграть время для изменения в нужную сто-
рону соотношения q/D.
В барабанных парогенераторах (с естественной и
многократной при нудительнои циркуляцией) имеется
фиксированная граница между парообразующими и па-
рой ер егр сиятельными поверхностями. Эта граница кон-
структивно закреплена в барабане, уровень которого
отделяет пароперегревательные поверхности от парооб-
разующих (рис. 1-11). При любых режимах (кроме ава-
рийных) в пароперегреватель поступает практически су-
хой насыщенный пар.
Расход питательной воды всегда следует за расходом
пара и является откликом на изменения, происшедшие
в паровом тракте.
Изменением расхода питательной воды уровень в ба-
рабане поддерживается на определенном заданном зна-
чении, при этом паропроизводительность парогенератооа
27
почти ПС изменяется. Последнее связано с тем, чго коли-
чество тепла, вносимого в барабан с питательной водой,
ппактическп постоянно, поскольку тепловоаприятне эко-
номайзера определяется главным образом величиной .ко-
эффициента теплоотдачи от газов к стейке. Поэтому из-
менение расхода питательной воды не приводит к пере-
метению границы между водоподопревательной и паро-
образующей поверхностями нагрева, а при постоянной
Рис. 1-11. Схема бара-
банного парогенератора.
/. 2, 3 — водоподогрева тель-
ная, парообразующая, паре
перегревательная поверхно-
сти; 4 — барабан.
поверхности нагрева паропронз1вадительность определя-
ется лишь величиной тепловой нагрузки.
Характер изменения температуры пара определяется
соотношением тепловосприятий поверхностей нагрева,
расположенных до барабана ('парообразующих) и после
него (пароперегревательных). Если относительное уве-
личение тепловоаггрпятия парообразующих поверхностей
нагрева с ростом нагрузки меньше, чем увеличение те-
пловосприятия пароперегревательных поверхностей на-
грева, то температура пара растет. При этом изменение
температуры пара невелико (несколько градусов), что
связано с постоянством границы между парообразующи-
28
ми и паротерегревателы1ыми поверхностями нагрева
Сравнительно небольшом диапазон изменения темпера-
гуры па а .ивсем не о качает, что нет необходимости
в ее регулировании. Допу-
стимые пределы отклонения
температуры от нормы еще
более жестки.
Примерный график изме-
нения параметров в барабан-
ном парогенераторе при по-
вышении тепловыделения в
топке представлен на рис.
1-12. Как видно -из рисунка,
при увеличении тепловой на-
грузки растет и паропроиз-
водительность. Уровень воды
в барабане парогенератора
вначале повышается, а затем
падает. Временное увеличе-
ние уровня связано с вытес-
нением части воды из паро-
образующих труб в резуль-
тате увеличения их парового
Рис. 1-12. Изменение парамет-
ров в барабанном парогенера-
торе при увеличении тепловы-
деления в топке.
объема. Последующее сни-
жение уровня происходит до
тех пор, пока не будет вос-
становлен баланс между рас-
ходом воды и паропроизводительностъю. Если в прямо
точном парогенераторе эффект от изменения массового
заполнения парогенерирующих труб сказывается на сте-
пени отклонения расхода 'пара от расхода питательной
воды, то в барабанном парогенераторе изменение -мас-
совой емкости сказывается на положении уровня в ба-
рабане.
Температура пара регулируется 'путем искусственного
перераспределения талловооприятия между парообразу-
ющими и пароперегревательными поверхностями нагрева
(газовое регулирование) или переносом части парооб-
разующей (впрыск) или водоподогревательной (поверх-
ностный пароохладитель) поверхности в пароперегрева-
тельную в обход барабана.
Последнее по существу использует эффект от искус-
ственного перемещения границы между отдельными по-
верхностями нагрева.
29
-ЭМУЛЯЦИЯ тепловой энергии
2внеР1Н’Я0Ш1<х КАНАЛАХ
т ,„епп,я аккумулирует" в объеме рабочего
маГХа”.’""О=ер.™оетей нагрева;
(п	»п
о = г7С,Р и г w л+f ii <2>' <г>*+J /с“р и'й *+
ЁННи&ЩК' -	г)
!1)
Tj Smc^ (г) l^z
»
(1-15)
Качество тепла, содержащегося в объеме .рабочего
тела определяется массой .последнего, распределением
температуры (энтальпии) рабочего тела вдоль поверх
костей -налрева и давлением.
Пегг переходе от одного'стационарного режима к дру-
ге .му выделяется (поглощается) тепло в коли
= Q'-Q0. Значения Q и Qo подсчитываются mo уравне-
нию (Ml) в соответствии с характеристиками стацио-
нарного -режима.
Масса 'перегретого тара по сравнению с -массой ме-
талла пароперегревателя ничтожно мала. В соответствии
с этим и количество тепла, содержащегося в паре, неве-
лико. Поэтому iB расчетах его обычно не учитывают. По
этой же причине обычно пренебрегают аккумуляцией
тепла в насыщенном паре. Таким образом, тепловая
энергия в основном сосредоточена в 'воде и металле всех
поверхностей нагрева.
Аккумулированная тепловая энергия реализуется по-
разному, -в зависимости от года поверхности нагрева и
характеристик стационарных режимов. Так, если два
стационарных режима отличаются только давлением, то
в динамическом процессе выделится лишь тепло, акку-
мулированное в металле и -воде -парообразующей поверх-
ности нагрева. В то же время содержание тепла в водо-
подогревателе и пароперегревателе изменится мало,
поскольку температура -воды и пара сравнительно слабо
зависит от давления. Напротив, три нарушении соотно-
шения между расходом рабочего тела и тепл ехп од во дом
сильно изменится содержание тепла ib подогревателе и
ро-перегревателе, а содержание, тепла ib -парообразую
и поверхности изменится мало и лишь за счет сокра-
30
тения размера поверхности ('прямоточный парогенера-
тор).
В 'парогенераторах разных типов аккумулированное
тепло реализуется /примерно одинаково. Тепло, выделив-
шееся >в парообразующей 'поверхности, идет на допол-
нительное парообразование, а ® '.пароперегревателе — на
повышение температуры пара. Специфика конструкций
парогенераторов, связанная с положением границ меж-
ду отдельными зонами, проявляется лишь количественно.
Следствиям действия тепловой аккумуляции является
большая инерция 'изменения в переходном .процессе
основных технологических параметров парогенератора,
и .в частности температуры, что предъявляет специфиче-
ские требования к системе автоматического регулирова-
ния.
Глава вторая
ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ ТЕПЛООБМЕННЫХ
АППАРАТОВ
2-1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕРМОДИНАМИКИ
Процессы, протекающие «в парогенераторах, описы-
ваются уравнения мп 'неравновесной термодинамики.
В неравновесной термодинамике рассматриваются систе-
мы, состоящие в общем случае из нескольких компонен-
тов, отделенных от окружающей -среды оболочкой, обла-
дающей определенными свойствами. Оболочка может
быть: изолированной — исключающей переход энергии!!
вещества; закрытой — пропускающей отдельные или все
виды энергии, но не пропускающей вещества; откры-
той—пропускающей как энергию, так и вещество.
Свойства оболочки и процессы, происходящие на ее гра-
нице, определяются 'взаимодействием рассматриваемой
системы с окружающей средой и задаются в форме гра-
ничных условий.
Процессы, протекающие в системе, описываются урав-
нениями, вытекающими из первого и второго законов
термодинамики (Л. 18, 25, 73 п др.}. Первый закон ха-
31
„иость вещества и энергии,
неини'^09£а; естественных процессов.
^оизуЮт .ппвленнос^f> является законом со-
н"2У- “°S «?"os,ma„MS«-«™» .«»»»»•• о„
3 Пер»1'1 3 Лы ЭИЧ>Г““ “ „ Я физическую формул».
"Зии MareM’™',e0“Lu «субстмц,,,,
притока-стоки
лмассы H^,eT вид:
сохРа^
J?. = --dfV рш,
tit
(2-!)
скорость центра масс элемента
Г1Р плотность: J называется уравнением нериз-
' гма Уравнение >
Явности ^1Л0Тппм? записывается уравнение сохрани
Р в такой же ФОР”1 компонентов, если между ним?
ния массы и ”“0™-б0 химической р акции, а внутри
не происходит како’ ли еХ0ДЫ. В противном случае
них отсутствуют	(2-1) включают удельную
в правую часть Ураан ' Дяи,трпП.(	....
мощность пс™^з“оГО-лнбо компонента а
возникновення какого
ження других:
характеризующую скорость
1 счет уничто-
5 = — divp*«/ft 4-/?/,
(2-1а)
где k (1, 2 ...)—номер компонента; u'(, и рк —соответ-
ственно скорость я парциальная плот! ость компонента.
Закон сохранения количества движ ни.ч (при отсут-
ствия внешних сил) имеет вид:
~^- = —div (риг©
(2-2)
где ш —скорость центра масс.
пдПР“РаЩение количества движения в единице объема
Р _101,Д!ГвеРгенпии тензора потока импульса, первая
HunvrrunTO?<Or° ВЬ1Ражаст конвекцию, а вторая — перенос
~тенэор давлений). В случае несжимаемой
гнппг>т«и1ТеН30^ 'потока импульса состоит из скалярных
пряжений М"!еСКИХ llaпPя'кef,1,l", н тензора вязких на-
32
Закон, сохранения энергии описывается уравнением
g = -cliv/.,	(2-3)
где е—полная энергия на единицу массы; /е — стопный
поток энергнк.
В свою очередь полная энергия определяется суммой
кинетической и внутренней энергий (без учета потенци-
альной энергии)
е = —	+ «,
а «полныif -поток энергии
•I с — р 4~	+ /<;л
где Л,—лоток тепла.
В случае воздействия iBiieujunx сил (внешнего давле-
ния. тяжести, центробежной силы) их добавляют в пра-
вую часть уравнения движения; ю урав-ненне энергии они
вводятся в форме 'Источника.
Второй закон термодинамики характеризует возрас-
тание энтропии в системе, ib которой происходит дниже-
ние вещества или энергия:
^ = -div/6lWll + 3>	(2-4)
где Лиюлк — поток энтропии; о —скорость генерирования
энтропии внутренними источниками. Она выражается
через сумму .произведении обобщенных сил на обобщен-
ные потоки:	*
(2-5)
I
Обобщенные силы представляют собой градиенты:
температуры, скорости, термодинамического потенциала
и т. д.
Связь между потоками и силами в -первом приближе-
нии шринп мается линейной и дается в форме феномено-
логических законов:
п
(2-6)
I
Прямые коэффициенты (Ln. £22, iw) связывают
поток с 'прямой силой, вызывающей его, и всегда поло-
3-1031	33
жительны. Перекрестные коэффициенты Л,л определяют
взаимное (влияние одной силы на дрпне (потоки и е0.
гласно соотношению Опзагера симметричны (Е,71=ДАл
Наиболее простыми получаются зависимости, выра-
жающие действие лишь одной прямой силы:
J i=ЬцХ(.	(2-6а)
К таким зависимостям, ‘например, относятся законы
Фурье П Фика:
AgradZ;	(2-7)
—DgradC,	(2-7а)
где X—коэффициент топлопроаодности; 7' абсолютная
температура: D -коэффициент диффузии: С коицен-
трация.
Равновесные процессы характеризуются равенством
нулю скорости |вознпк1К>веш!я энтропии:
£•=0,	м
а 'Стационарные неравновесные процессы согласно
И. Пригожину обладают свойством генерир ан ня эн-
тропии с минимальной скоростью:
= min.	(2-8а)
Система уравнений (2-1) — (2-8) должна быть допол-
нена уравнением состояния
Л(/7, и, Г)=0.	(2-9).
Тогда «месте с краевыми условиями уравнения
(2-1) — (2-9) полностью описывают поведение термоди-
намической системы в любой момент (Времени.
2-2. ИССЛЕДУЕМАЯ СИСТЕМА
И ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА
При исследовании процессов, протекающих в паро-
генерирующих каналах, надо (прежде всего выделить ис-
следуемую термодинамическую систему и сформулиро-
вать условия ее взаимодействия с окружающей средой
Вообще деление физического мира на две неравные ча-
сти— рассматриваемую систему и окружающую (Среду —
условно и (подчиняется задачам исследования.
34
Схематически Парогенератор можно представить
в виде двух коаксиальных каналов (рис. 2-1) В -коль-
неком зазоре движутся реагирующие между собой то-
шиит и окислитель, а ж> внутреннем канале — рабочее
тело. Свойства греющих газов и рабочего тела, а также
геом етр ические р а зм ер ы
каналов изменяются
вдоль пути движения по-
токов.
Оболочка со стороны
газов представляет собой
г азо п л оти у ю теп левую
изоляцию, поэтому пото-
ки тепла и вещества, про-
ходящие через нее, незна-
чительны и в динамиче-
ских задачах не учитыва-
ются (присосы малы).
Таким образом, паро-
генератор представляет
Рис 2 I Принципнадьиая схема
пйрегенератора.
I рзбопсс 7елр: 2 греющие газы.
i — айдег-чки наняло рабочего тела.
< 5 — вход и иыход рабочего тело;
6. 7 то же греющих г алий
собой термодинамическую систему, которая в общем слу
чае состоит из трех подсистем: греющие газы, оболочка
канала и рабочее тело. Эта система является открытой.
Через открытые торцы каналов она обменивается с окру-
жающее! средой веществом и энергией. В систему входят
топливо, окислитель и рабочее тело; выходят из нее
перегретый пар и охлажденные газы.
Движение рабочего тела н греющих газов, а также
условия теплообмена между ними полностью описыва-
ются у равнениями (2-1) (2-9), заижанными в соответ-
ствующем комплекте для -каждой из трех рассмотренных
подсистем.
Совершенно очевидно, что исходная система уравне-
ний является чрезвычайно сложной и математически
неразрешимой. Для того чтобы получить решение, ее
надо упростить. Всякая упрощенная система описывает
модель физического прообраза. При этом каждая модель
лишь частично сохраняет его черты. Математические
уравнения, описывающие поведение такого упрощенно-
го объекта — физической модели, представляют собой
математическую модель.
Упрощение исходной системы может прежде всего
идти по пути сокращения количества подсистем. Так,
п,рц решении ряда задач можно считать, что парогене-
3*
в себя две или даже только
рируютпй какал	ыХ .подсистем (рис. 2-2). В ,со.
ОДНУ ИЗ трех рассмс )	|)ЦИП,11а.1Ь(1о возможны четыре
ответствии с 5Т * Генерирующего канала оболоч-
основные модели паро » греющие .газы - рабо-
ка —рабочее тело, раоо
чее тело; оболочка.	газы отнесены -к окружа-
В первой моде. « Р е ripafHma системы с окружаю-
Ющен среде. В этом о * т()рцов	.Г1роХ9дит
щен средой, ЕРоМ^ „болонки канала. Отторжение
по наружной ловер- ।	требует задания величины
^разук>«ей оболомо. В №№»
Рис. 2-2. Модели парогенератора.
/I — оболочка^рабЬчее тело; 6 рабочее тело; о — греющие газы рабочее
тело, $ — оболочка; 1—рабочее тело; 2- оболочка. <7. •/ нхсд и выход ра-
бочего тела; 5—пнешплй т'еплоподвфл: 6. 7- шл к пыход греющих газов;
8 — греющие газы; 9 — от йод тепла.
случае величина тенлоподвода задается .как известная
функция пространственных координат и времени. В этом
случае теплоподвод не зависит от температуры стенки
или параметров рабочего тела, а его изменение является
внешним возмущением. Независимость типлоподвода от
параметрон системы хорошо выдерживается три лучи-
стом теплообмене в топочных камерах н ядерных реакто-
рах с некипящнм теплоносителем. В частном случае
теплоподвод .вдоль 'Пространственных координат может
быть постоянным и являться только заданной функцией
времени.
Влияние греющих газов на теплообмен может быть
частично учтено заданием закона теплоподвода к виеш-
36
ней образующей канала, который задается в форме за-
висимости от параметров системы, например Температу-
ры оболочки или объемного шарасодержання:
^=<Н0);
7= Ч ( <Р) •
При таком задании 'Параметры исключенной .подси-
стемы (газов) не влияют на величину теплаподвода.
Первая зависимость выдерживается три обогреве кон-
денсирующимся паром при .постоянном давлении, а .вто-
рая в ядерных реакторах с кипящим теплоносителем
Во вто/юй модели система состоит из потока жидко-
сти с заданным тстлоподводом по внутренней образую-
щей канала. Оболочка как подсистема исключается н.з
рассмотрения, и, следовательно, ограничения, наклады-
ваемые ею на передачу тепла, .полностью снимаются.
Такая модель физически реализуется при движении ра-
бочего тела в канале с бесконечно тонкими стенками.
Если оболочка тонкая, а свойства жидкостей, омы-
вающих обе стороны оболочки, близки .между собой, то
наибольшим (приближением к исходной системе будет
третья модель. Она состоит из двух движущихся жидко-
стей. разделенных бесконечно тонкой оболочкой, пропу-
скающей тепло, но не '.пропускающей жидкость.
Четвертая модель состоит из одной оболочки. В этом
случае подвод и отвод тепла задаются, в частности,
функции температуры поверхности оболочки. В виде та-
кой системы может бытыпредставлен барабан парогене-
ратора или металлоемкие части турбины при решении
задачи о термических напряжениях, возникающих в ди-
намических режимах (натример. при пуске блока).
2-3. МОДЕЛИ ОБОЛОЧКИ КАНАЛА
Передача тепла ib оболочке с большой точностью
опнсьваается двумя уравнениями: энергии (2-3) и термо-
динамического уравнения движения (2-7). В уравнении
(2-3) полная энергия приравнивается внутренней:
<?~н = см(04-273).
Это условие (выполняется на основе посылки о ма-
лом значении кинетической энергии расширяющейся
оболочки, что формально следует из равенства нулю
скорости расширения оболочки.
37
По этй же причине «полный поток энергии рапен
потоку тепла:
I р~ J дг
а последний для однокомпонентной системы тредсля_
ется уравнением (2-7). С учетом ‘сказанного из (2-3) н
(2-7) получаем:
£ = -sb‘ii''A“grad(i'	(2-10>
Значение коэфф иниоита таплопроводпостц в общем
случае зависит от направления (анизотропное тело):
1
Для изотропного тела коэффициенты теплопровод-
ности ращны по всем направлениям. и уравнение тепло-
проводности имеет вид (Л. 34. 56]’
(2-10а)
где а—коэффициент температуропроводности. а = Х./ср;
2__ д - д . Л
7 “* c»xs '	' dz*'
Уравнение (2-10) решается с краевыми условиями,
которые .характеризуют распределение температуры
в теле в начальный момент времени и значение темпера-
туры (или условий теплообмена) на .поверхности тела
в любой момент 'Времени.
При выводе уравнения (2-10) уравнения сохранения
массы (2-1), количества движения (2-2) и энтропии (2-4)
не учитывались.
Уравнение сохранения массы для механически непо-
движного тела определяет связь между скоростью рас-
ширения и изменением температуры во .времени. С точки
зрения рассматриваемой задачи скорость расширения
оболочки сказывается на 'величине кинетической энергии,
которая мала по сравнению с внутренней энергией- Сле-
довательно, без большой погрешности скоростью расши-
рен ня оболочки можно пренебречь, и тем самым снять
ограничения, накладываемые уравнением сохранения ве-
щества.
Уравнение сохранения количества движения харак-
теризует распространение волн давления .в расширяю-
38	„
Рис. 2-3. Модель оболочки канала
р виде пол у бесконечной пластины.
/ — оболочка канала; 2. 3 — соответ-
ствеммо подвод и отвод тепла.
щепе» оболочке. Это в свою очередь отражается на теку-
щем значении внутренней энергии, связанной с измене-
нием межмолвкулярных расстояний. Однако и здесь
представляется ’возможным пренебречь этой составляю-
щей энергии, что равносильно -снятию ограничений, на-
кладышаемых уравнением движения.
При формулировке уравнения теплопроводности
(2-10) *не принимался во внимание второй закон термо-
динамики Его использование, по крайней мере принця-
пкально, -позволяет опре-
делить коэффициент теп-
лопроводности. В практи-
ческих задачах этот коэф-
фициент находят опыт-
ным путем, учитывая тем
самым все реально суще-
ствующие закономерно-
сти.
Т ре хм е р иа я	модел ь
оболочки капала (2-10)
сложна. Применительно
к рассматриваемым задачам динамики можно при-
нять более простую двухмерную модель. В ней пре-
небрегают передачей тепла -по сечению оболочки
капала (так называемой растечкой тепла по пери-
метру). Математически это означает, что коэффициент
теплопроводности в этом направлении принимается рав-
ным нулю. При равномерном во периметру обогреве эта
модель точна, в (Противном случае—приближенна.
Наиболее простой разновидностью ее является шолубес-
комечная пластина (рис. 2-3), которая хорошо модели-
рует цилиндрический канал при малой -по отношению
к радиусу толщине стенки. Ось z располагается вдоль,
а у — поперек оси канала:
1'^ -	0’3 1 Ху ^2,8	/Q I 1\
(И- W-м <%/*’' PmGi dz-'	'
Вдоль оси парогенерируемого канала тепловая энер-
гия переносятся потоком рабочего тела (конвекцией)
и передается теплопроводностью по жидкости н оболоч-
ка. Во всех -практически -важных случаях -последний спо-
соб -передачи тепла вдоль осн качала малоэффективен
по сравнению с первым. Это позволяет принять еще
39
. (v> ел ь ° °о;| ° 41ч 11 к а11 а Л а.
г п поосгую ^1,омер11'Хчается из (2-11) на основе
(5о’К Ью эта модель ,п0^У А(Ь.|1Ш|е11та теплопроводно.
*уЛ-Л В со
в ..вправлении	С1ВОд„теп к следующему
заявим математик
уравнению.	2рг-
(2-12)
В большинстве •конструкций оболочка ларогенериру.
° UU.II .ШП	Я ’! ‘Г II Я XI И И/‘Г k U И гтгл/м
IO1UJJX каналов является ранкой,
цеес
речь
, а динамический про-
— низкочастотным. В этом случаи можно преиеб.
конечной скоростью .передачи тепла в оболочке
капала вдоль осн у. Физически это равносильно допу,
щению о бесконечной величине коэффициента теплопро-
водности в направлении осп //(Xv=oo). Toria r)O/d^=Q
и уравнение теплопроводности сведется к  ..........—•	- '
илового баланса
— 7.1	7в-
уравнению те-
(2-13)
При формулировке уравнении (2-12) и (2-13) было
принято, что (передача тепла вдоль оси z отсутствует.
Следовательно, каждый бесконечно малый элемент ка-
нала изолирован от соседних и передает тепло вдоль
оси у только в соответствии с локальными значениями
теплового потока на (внутренней н наружной поверхности
канала. Таким образом, величина тепловой нагрузки
является функцией не только времени, но и простран-
ственной координаты z.
Если коэффициент теплопроводности в направлении
оси г беоконеч’но велик, то закон распределения тепло-
подвода вдоль этой координаты не играет никакой роли,
так как в любом сечении г температура оболочки будет
иметь одну и ту же величину. Имеет значение лишь сум-
марный вриток в сток тепла по поверхности. В этом
случае уравнение теплового баланса имеет вид:
г л йй
<0МСМ
— Q up	Qci
(2-14)
Модель, описываемая уравнением (2-14), не имеет
пространственных 'координат. Следовательно, вся тепло-
вая энергия сосредоточена в точке (модель с сосредото-
ченными параметрами). Эта модель является наиболее
простой.
40
2-4. МОДЕЛИ ПОТОКА РАБОЧЕГО ТЕЛА
Движение жидкости водностью описывается систе-
мен! уравнений (2-1)—(2-9), из решения которой (по
крайней мере принципиально) можно найти »се пара-
метры движения и теплообмена при .задании соответст-
вующих краевых условии. Однако эту систему уравне-
ШИ! не удалось решить даже для самых простых случа-
ев. Например, не найдено теоретическое решение длн
турбулентного н з о тер м и чес к о го ст а ни о и а р 11 о го дви ж ен и я
однокомпонентной жидкости. Поэтому во всех практиче-
ски важных случаях закономерности движения реаль-
ного потока находятся на основе экспериментальных
данных.
При экспериментальном исследовании определяются
некоторые коэффициенты, так или иначе отражающие
реальную структуру -потока, т. е. распределение скоро-
сти, температуры, плотности, концентрации компонентов
и других параметров вдоль геометрических координат.
Это — коэффициенты трения, теплоотдачи, относительной
скорости фаз <в двухкомпонентных системах и др. Все
они представляют собой некоторые интегральные харак-
теристики шотока, которые с определенным приближе-
нием отражают существующий обмен количеством дви-
жения, тепловой энергией и веществом между .мнкро-
плп макрочастицами, находящимися на периферии и
в ядре потока. Принципиально их можно получить из
решения уравнений термодинамики, о-писышающих трех-
мерное (a IB случае симметрии — двухмерное) движение
жидкости.
С помощью указанных коэффициентов и усредненных
по сечению потока параметров выражаются передача
тепла, гидравлическое сопротивление и распределение
фаз. Связь между ними также находится чиз опыта.
Использование эмпирических коэффициентов и упо-
мянутых зависимостей позволяет одни уравнения упро-
стить, а другие исключить совсем. Во-первых, представ-
ляется возможным отказаться от учета реальной трех-
и двухмерности потока. Во-вторых, удается исключить
из рассмотрения уравнение второго закона термодина-
мики.
Такне упрощения допустимы, поскольку эмпириче-
ские зависимости отражают реальную трехмерность по-
тока н ограничения, накладываемые вторым законом
41
термодинамики. В результате указанных посылок для
расчета динамических характеристик можно использо-
вать одномерную модель, а в некоторых случаях и мо-
дель с сосредоточенными параметрами
ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ
В одномерных моделях (параметры изменяются лишь
вдоль одной пространственной координаты, направлен-
ной по оси потока. По сечению канала параметры по-
стоянны и равны среднему значению. Одномерная мате-
матическая модель потока рабочего тела получается ш
уравнении (2-1) —(2-3) путем приравнивания нулю про-
изводных по координатам х и у.
Уравнение сохранения 'вещества
Уравнение сохранения энергии
J ____________|_Jk
от — dz iK dz* “Г f •
(2-15)
(2 16)
В правой части уравнения (2-16) стоит внутренний
источник у в, который учитывает тепловой поток, идущий
от внутренней поверхности канала. Этот источник отра-
жает реально существующую трехмерность потока. Кро-
ме того, в этом уравнении полная внутренняя энергия
рабочего тела заменена энтальпией. В уравнении энергии
часто не учитывают передачу тепла вдоль оси за счет
теплопроводности, поскольку она мала по сравнению
с количеством тепла, переносимым движущимся потоком.
В этом случае принимают, что Хж = 0.
Уравнение сохранения количества движения:
>1 Гр^д = —----------Pg sin а — —^7]	(2-17)
3	\ dt________dz г&	dz I	'	'
где g— ускорение свободного падения; а —угол наклона
оси потока к горизонту. Последний член уравнения ха-
рактеризует сопротивление трения и своим существова-
нием обязан реальной трехмерности потока. Он также
определяется опытным путем.
42
Система уравнений (2-15)-(2-17) дополняется урав-
нением о янпя (2-9) н эмпирическими зависимостями
учитывающими реальную трехмерную структуру потока'
Уравнение теплообмена	' '
<7в = «п/гв(0в—t),	(2-18)
где Он— температура внутренней поверхности оболочки
(температура жидкости, находящейся на стенке).
Коэффициент теплоотдачи зависит от параметров по-
тока, условий теплообмена и геометрических размеров
канала:
аз = аи(р, D, qa, d).	(2-19)
Эта функциональная связь определяется видом те-
плообмена.
Сопротивление трепня
z- <2 20>
Коэффициент гренки зависит от параметров потока н
относительной шероховатости канала:
4 = 4(Re,4)-	С2’21)
Для двухкомпонентного потока, Состоящего из кон-
денсирующихся фаз, в соответствии с уравнением (2-1а)
уравнение сохранения вещества запишется в виде двух
уравнений с источником:
для пара
^4 =-----^2_ + /И;
(ГС	UZ 1
дли ВОДЫ
(h	dz
Здесь /71=^эи/(М) — внутренний источник; <p = Mf —
доля сечения, занимаемая паром; до" и wf— скорости
компонентов.
Сложив уравнения сохранения для пара и воды, по-
лучим уравнение (2-15). в котором скорость и плотность
относятся к пароводяной смеси, причем скорость записа-
на в характеристической системе центра масс, а плот-
ность
р-р'—"ф(р'—р")-	(2-22)
43
Доля сечения, занимаемая паром, находится цз
лирической зависимости (1-Ю)- В случае равенства сКп
ростей фаз (с = 1) плотность смеси выражается обычным
путем:
<
f=^-
(2-23)
В уравнениях энергии и количества движения ско-
рость. энтальпия и плотность также относятся к парово-
дяной смеси. Плотность выражается уравнением (2-23).
а энтальпия смеси
i-i'+rx.	(2-24)
В динамических расчетах обычно используют эмпи-
рические зависимости (2-19) — (2-21), полученные для
стационарных условий. Это не вносит заметной погреш-
ности при расчете медленно протекающих динамических
процессов, однако ряд экспериментальных работ [Л. 15
и др.] показывает, что при определенном сочетании ре-
жимных и конструктивных параметров нестационарная
и стационарная величины ав могут заметно отличаться.
Систему уравнений (2-9), (2-15)— (2-17) и эмпириче-
ские зависимости (2-18) — (2-21) решают совместно
с краевыми условиями, характеризующими конкретную
задачу.
В динамике обычно исследуются процессы, протекаю-
щие при нарушении стационарного режима. Поэтому на-
чальные условия находятся из решения стационарных
уравнений с соответственно заданными параметрами на
границах. Граничные условия являются внешними воз-
действиями и зависят от времени:
при z’= О i —	(т),
при z = I р — р (т).
Р-Р, (0;
(2-25)
В граничные условия, естественно, входят необходи-
мые конструктивные характеристики канала I и др.).
В некоторых задачах представляется возможным не
учитывать изменение плотности рабочего тела. Это упро-
щает модель, поскольку посылка о постоянной плотности
44
приводи i к имснс дифференциального сравнения сохра-
нения вещества алгебраической зависимостью
D-Dt(r).
Поток жидкости при этом ведет себя как жесткий
стержень Скорость рабочего тела изменяется одновре-
менно по всей длине канала.
МОДЕЛИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
В этих моделях все параметры системы не зависят
от пространственных координат и являются функциями
лишь времени Масса и энергия таких систем сосредото-
чены в материальной точке. Уравнения сохранения для
систем с сосредоточенными параметрами получаются пу-
тем дальнейшего упрощения уравнений, записанных для
систем с распределенными параметрами Для этой цели
производные по пространственной координате z, входя-
щие в уравнения (2-15) —(2-17). заменяются отношением
разности значений функций между выходом и входом
к полной длине канала. Таким образом, принимается, что
параметры в системе постоянны по длине на конечном
участке. При выводе уравнений в частных производных
такая посылка принимается лишь для бесконечно мало-
го участка.
Уравнение сохранения вещества с учетом сказанного
переписывается в виде
</? (аир) —(®р)1
d- “
Умножая обе части последнего уравнения на длину
и сечение канала, получаем:
D, — D = V .	(2-26)
Здесь
Д? £)=fwp; V=f(.
Аналогичным образом видоизменяются п другие урав-
нения сохранения.
Уравнение сохранения энергии:
СА-И+Ь-ф	(2-27)
46
Здесь
Qn —
Уравнение сохранения количества движения?-
GB	Gngi>\iis, ^тр» (2-28)
где 6„ =//р —масса системы; F = pf — сила давлении-
^p^'fc-~c‘,-na треиия-
В системах с сосредоточенными параметрами значе-
ния любого параметра, в том числе и давления в канале,
в объеме и па выходе совпадают. Поэтому сопротивление
прения относится к выходному сечению системы и, таким
образом, представляет собой местное сопротивление.
Переход от уравнений в частных производных' (для
распределенных систем) к обыкновенным уравнениям
Рис. 2-4. Обогреваемый бак с ме-
шалкой (модель с сосредоточен-
ными параметрами).
(для систем с сосредото-
ченными параметрами)
сильно упрощает модель,
но вместе с тем вносит по-
грешности, которые могут
быть значительными. Это
связано с тем, что ско-
рость движения потоков
энергии и вещества при-
нимается бесконечно боль-
шой. В действительности
же она всегда конечна.
Однако модель с со-
средоточенными параме-
трами -в ряде
достаточно точно описывает поведение
случаев
системы.
К таким системам относятся равномерно обогревае-
мый бак с мешалкой (рис. 2-4). Тщательное перемеши-
вание жидкости обеспечивает постоянство параметров
в объеме. Такое перемешивание может быть и естествен-
ным за счет конвективных потоков (коллектор, барабан
парогенератора).
Парообразующий канал в некоторых случаях с доста
точной точностью может также рассматриваться как си-
стема с сосредоточенными параметрами Эуо имеет ме-
46

сто. например- когда динамический процесс вызывается
изменением давления, а следовательно, темш-ратуоы н
энтальпии кипящей жидкости. Поскольку волна давле-
ния в канале распространяется практически мгновенно
значение всех параметров жидкости практически одина-
ково во всем объеме.
2-5. ЛЮД ЕЛ И ПАРОГЕНЕРАТОРА
Парой нернрующин канал в общем случае состоит
из трех подсистем: оболочки н двух жидкостей, омываю-
щих ее. В свою очередь каждая подсистема может быть
представлена в виде различных моделей, отличающихся
набором принятых допущений При аналитическом ис-
следовании прежде всего надо выбрать состав системы и
модели подсистем, входящих в нес. При этом каждый
выбранный вариант даст определенную модель пароге-
нерпрующего капала.
Наличие трех подсистем и большое количество част-
ных моделей оболочки и потоков двух жидкостей обес-
печивают большое разнообразие моделей парогенера-
торов. Все эти модели можно разбить па три группы;
расЛределенные. сосредоточенные н комбинирован-
ные.
Выбор модели определяется задачами аналитическо-
го исследования и возможностями вычислительной тех-
ники При этом всегда приходится идти на компромисс
между точностью решения н его простотой и наглядно-
стью.
Уравнения в частных производных, описывающие пе-
редачу вещества и энергии а п.чрогенернруюшем канале,
как и замыкающие зависимости, нелинейны. Поэтому
в квадратурах удается разрешить лишь уравнения, отно-
сящиеся к простым моделям Но и такие решения имеют
большую научную и практическую ценность, поскольку
позволяют наглядным путем установить основные зако-
номерности динамического процесса.
Сложные модели могут быть рассчитаны на ЭЦВМ.
Полученные таким путем решения обладают высокой
точностью, но малой наглядностью. Общим Для моделей
одного тина является алгоритм расчета.
Линейные уравнения имеют регулярные методы реше-
ния. Поэтому по крайней мере в первом приближении
47
стремятся получить решение не исходной, а лннсар11Чп
ванной системы. Такие решения получаются точным» 'Q‘
малых отклонении параметров. Системы линейных Ував
нений даже сравнительно высокого порядка легко рСща
ются на аналоговых вычислительных машинах.
•W
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Модели, состоящие, из двух поде».
с т е м — о б о л о ч к и канала и рабочего тела,—
используются наиболее широко. Они подразделяются на
модели с двумя и одной пространственной координатами.
Модели *с двумя пространственными координатами
описываются: одномерным уравнением теплопроводности
(2-12), определяющим передачу тепла по толщине обо-
лочки (в направлении оси //); одномерными (в направле-
нии оси г) уравнениями сохранения вещества, энергии и
количества движения рабочего тела (2-15) — (2-17).
Внешний обогрев оболочки задается во времени и по
длине канала. Теплоотдача от внутренней поверхности
рассчитывается по уравнению (2-18). Система рассмо-
тренных уравнений замыкается уравнением состояния
(2-9) и другими зависимостями {см. (2-19) —(2-21)].
В случае двухфазной смеси используются также урав-
нения (2-22) —(2-23).
Модели с одной пространственной координатой полу-
чаются заменой уравнения теплопроводности (2-12)
уравнением теплового баланса (2-13). Остальные урав-
нения. описывающие движение рабочего тела и его взаи-
модействие с оболочкой канала, остаются прежними.
Последние модели находятся в хорошем согласовании
с реальной конструкцией при сравнительно тонких стен-
ках и невысоких частотах процесса. В качестве оценки
используется критерий ЦИНИКА, показывающий диапа-
зон частот, в котором относительное отклонение амплиту-
ды не превышает заданной величины у при известных
значениях коэффициента температуропроводности а и
толщины стенки канала б:
Зад
“ < К'	(2-92)
48
При решении динами-
ческих задач рассмотрен-
ные модели можно упро-
стить, если отказаться от
ограничений, накладывае-
мых уравнением сохране-
ния количества движения
(2-17). С этой целью при-
нимают, что давление по
длине канала остается-по-
стоянным, а все сопротив-
ление .находится на выхо-
де из канала в виде со-
средоточенного сопротив-
ления, с определенным
приближением эквнва-
Рис. 2-5. Модель канала с сосре-
доточенным сопротивлением.
1 — рабочее тепло; 2 - оболочка кзиа-
ла. ? — сосредоточенное сопротивление.
лентного сопротивлению канала (рис. 2-5). Отказ от
учета падения давления по длине канала приводит к со-
зданию новой модели парогенератора. Теперь парогене-
рирующий канал состоит уже из двух последовательно
соединенных систем: обогреваемого канала и сосредото-
ченного сопротивления. Эти системы можно разделить и
динамические характеристики определять отдельно для
каждой из них.
В канале без сопротивления давление является за-
данной функцией временя. Движение в нем описывается
Рнс, 2-6. Структурная схема канала
с сосредоточенным сопротивлением,
/—канал; 2 — сосредоточенное сопротив-
ление; 3— обратная связь.
системой следующих
уравнений: теплопро-
водности (2-12) или
теплового баланса
(2-13); сохранения ве-
щества (2-15) и энер-
гия (2-16); эмпириче-
ских зависимостей
(2-18), (2-19), (2-22)-
(2-23). Поскольку дав-
леппе по длине канала
остается постоянным,
то отпадает граничное
условие, характеризую-
щее изменение давле-
ния на границах канала. Она заменяется заданием расхо-
да рабочего тела на входе в канал и давления в канале,
равного входному значению. Таким образом, в рассма-
4-1031
49
трнваемой модели все граничные параметры )а
лишь для входного сечения. Следовательно, обф/110^*
мый канал представляет собой систему, иолуоеск
ную в направлении оси z. Последнее допускает ири01^’1"
ине преобразования Лапласа не только по врем?'6111-'
но и по пространственным координатам.
Влияние сосредоточенного сопротивления на црел
сы. происходящие в самом канале, учитывается введен
ем обратной связи между величиной сопротивления"
расходом рабочего тела на входе (рис. 2-6). По существ"
эта обратная связь эквивалентна уравнению сохранения
количества движения. Однако выделение сопротивления
в самостоятельную систему позволяет при решении дина-
мических задач использовать обычный аппарат теорий
а втом a п г ческого регул и рован ня.
Модель сильно упрощается, если плотность рабочего
тела -принять постоянной. В этом случае математическая
модель состоит всего из двух дифференциальных урав-
нений: теплового баланса (2-13) и сохранения энергии
(2-16) с соответствующими замыкающими зависимо-
стями.
Модель из трех подсистем — оболочки и двух жидко-
стей — используется лишь при сильном упрощении каж-
дой из них. Обычно принимается, что теплопроводность
материала оболочки в направлении осей х и z равна ну-
лю, а в направлении оси у бесконечное!и. Следова-
тельно, передача тепла в оболочке описывается уравнени-
ем (2-13). Одна жидкость (рабочее тело) принимается
несжимаемой и лишенной распределенного сопротивле-
ния трения. Остальные потери напора приравниваются
нулю. Тем самым в качестве самостоятельного выделяет-
ся элемент с сосредоточенным сопротивлением. В резуль-
тате движение жидкости описывается одним дифферен-
циальным уравнением состояния (2-9) и соответствую-
щими замыкающими зависимостями.
Сво ства второй жидкости обычно упрощаются еще
больше. Принимается, например, что она неподвижна и
обладает неограниченным запасом энергии, а ее параме-
тры постоянны. С определенным приближением к такой
жидкости относят, например, конденсирующийся пар,
движущийся поперек трубы. При таких посылках из всех
уравнений и зависимостей остается лишь уравнение те-
плоотдачи
Цн — вн^п (	9 ) •
50
В силу ПОСЫЛКИ и постоянстве
коэффициент теплоотдачи является постоЯ1 ныч>К‘’ЛК0СТ"
МоЛ-ль из двух жидкостей, разделении, л
гонкой оболочкой (двухтрубныйтеплообменник)" 7сп?щ
зустся для аппаратов, у которых аккумулирующая е"'
к0СТ1э оболочки мала по сравнению с теплое ой емкостью
омывающих жидкостей. Обычно принимается что X™
стн несжимаемы, а их давления вдоль оси ’каналов £е
изменяются^ Для описания используются два уравнен я
энергии (2-16), записанные для двух жидкостей а также
двойной комплект соответствующих замыкающих записи!
мостеи.
МОДЕЛИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПАРА МЕТРАМИ
Математические модели парогенераторов как систем
с сосред* i щниыми параметрами получаются из распре-
деленных истом путем замены уравнений (2-12) или
(2-13) ур пением (2-1-1). а уравнений (2-15) — (2-17)
соответ! вечно уравнениями (2-26) —(2-28). Все осталь-
ные эмпирические зависимости сохраняются теми же.
В моделях с сосредоточенными параметрами также воз-
можно айне подсистем во всех комбинациях, рас-
смотренных ранее.
КОМБИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ
Парогенератор разбивается на участки, одни из ко-
торых рассматриваются как системы с распределенными,
а другие —с сосредоточенными параметрами. Такое де-
ление позволяет упростить решение. Потеря точности
при этом может быть небольшой, поскольку роль отдель-
ных участков в формировании динамических процессов
неравноценна. Деление на участки позволяет также ис-
пользовать готовые решения.
2-6. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
ТЕПЛООБМЕННЫХ УСТРОЙСТВ
Теплообменные устройства представляют собой от-
крытые термодинамические системы. Такую систему мож-
но наглядно представить в виде прямоугольника, к боко-
вым сторонам которого подходят (отходят) стрелки,
отображающие связи рассматриваемой системы с окру-
жающей средой (рис. 2-7).
I
* ’''«"ЩЕП HU fiPTzjM.
рованных систем
ностью описываетсй Ол-
нечиым числом д1(ы°'
реициальных ураШ1Ды’
обыкновенных или в .1а "•
ных производных с?’
довательно, в стРт'-
ной схеме физнческ^
система будет опредеЛ
изооражающнй Се, ВП||’
и, входящие и систему
в форме возмущающих сил, начальных и Гра

Рис 2-7. Структурная схема
открытой Системы.
/ — система; 2. потоки энергии п
ветегтиа. входящие в систему и вы
ходящие из
uee.
в прямоугольник,
уравнения. Поток
на, если
сать эти
задаются
ничных условий (для уравнении в частных пропзвод.
ных). Потоки, выходящие из системы, представляют
собой искомые функции Входные (граничные) параме-
тры часто называют возмущениями или сигналами, вы-
ходные (искомые функции)—реакциями, а исследуемую
систему — обт>ектом, устройством пли элементом.
Рассмотрим структурные схемы систем с сосредото-
ченными параметрами, поведение которых описывается
обыкновенными уравнениями. Если эти уравнения разре-
шить относительно производной, то получим следующую
систему уравнений:
Xi=l(Xi, х2, ..., хт, г), 1=1, 2.т. (2-30)
9
где х,—параметры системы, являющиеся функциями
времени.
В правой части уравнения могут находиться члены,
явно зависящие от времени. Это возмущающие силы
(функции), которые всегда заданы и отражают влияние
на систему окружающей среды. Их обозначают как
/(г) или (х,)|. Индекс 1 обозначает, что эти возму-
щения подаются на вход системы. Такое обозначение
является единым и для систем с распределенными пара-
метрами. В последнем случае входная величина является
граничным условием [(x1)1 = x,(t, 0)]. Если в распреде-
ленных системах изменение искомых параметров рассма-
тривается в промежуточном сечении г, то эти параметры
записываются без подстрочного индекса, но когда пара-
метры отнесены к выходному сечению объекта, их обо-
значают индексом 2, например (х>)2. Для распределен-
ных систем такая запись эквивалентна следующей:
(т, /). Для систем с сосредоточенными параме-
52
трам" всегда ( v,)2-x„ поскольку такие системы нС име-
ют пространственных координат.
Система уравнений, описывающая объект, является
связанной, вследствие чего изменение одного входного
дара метра сказывается па величине всех выходных па-
раметров Объект, имеющий несколько входных п вы-
ходных координат, называется многомерным. Примером
многомерного объекта является .модель теплообменного
устройства, представленного в виде объекта с сосредото-
ченными параметрами (рис. 2-8).
Взаимная свя ib входных п выходных параметров на
схеме изображается пунктирными линиями. Каждой ли-
нии соответствует дифференциальное уравнение относи-
тельно выходной координаты, полученное путем исклю-
Рис 2-8 1 еллобОмйьный аппарат с сосредоточенными парамет-
рами.
а — математическая модель; б — структурная схема.
нения из системы уравнений остальных выходных пара-
метров: при этом все входные воздействия, кроме одного,
равны нулю. Это уравнение олицетворяет канал передачи
возмущения со входа на выход. Максимальное колнчест-
ство каналов т равно = где i— число входных ве-
личии, j — число выходных параметров.
Работа каналов, как правило, является взаимосвя-
занной, что является следствием связанности уравнений,
описывающих объект. Отдельные каналы могут быть не
связаны между собой, если они описываются независи-
мыми уравнениями и граничными условиями. Например,
при допущении о несжимаемости рабочего тела измене-
ние теплопровода не сказывается на величине расхода на
выходе.
По каналу передачи возмущений сигнал распростра-
няется в направлении «вход—выход». Если при этом
нет обратного воздействия выходной величины на вход-
53
ную. то такой канал называется дстекгируилцщ.
образом, у детектирующего канала сигнал псп > К1‘м
только в одном направлении. При невыпод1[еН)| ?CTc'i
условия канал должен быть отнесен к недетектип . ЭТ0|°
Примером первого в радиационном теплообмс^*'
является канал «тепловой поток — ------- ‘ "ни
тела». Недетектирование же, например, в кипящем
ном реакторе возникает из-за обратной связи
ность — паросодсржанне» (Л. 30].
—IK?
температура рабочего
......... ядер-
«мощ-
При исследовании динамических свойств объекта на-
личие недетсктнрования затрудняет анализ. В ряде слу.
чаев корректное составление математической модели по-
зволяет исключить недетектирование. Например, недетек-
тированпе по каналу «расход на входе —расход на выхо-
де», причиной которого является взаимосвязь расхода и
al
Рис. 2-9. Схемы включения элемента.
а — последовательная; б — параллельная.
сопротивления теплообменника, преодолевается услов-
ным расчленением модели объекта на две части: тепло-
обменник, лишенный сопротивления, и чистое сопротив-
ление, эквивалентное сопротивлению объекта. При та-
ком подходе учет реальной взаимосвязанности произво-
дится включением обратной связи (см. рис. 2-6).
Отдельные элементы сложного устройства (например,
парогенератора) могут включаться в технологической
схеме последовательно и параллельно (рис. 2-9). Парал-
лельное соединение означает, что оба элемента описыва-
ются уравнениями хотя и разного вида, но относительно
одной функции (на рис. 2-9,6 этой функцией является .¥2):
fx(X's, Х"2...Х™Х,, Х,) = 0;
/н(х;, х\.....х<"’, х3, х,)=о.
54
При суммировании эта система сводится к одному урав
Параллельно соединены, например, линия впрыска и
ц!унтнрУсм1>,е ею поверхности нагрева.
’ При последовательном соединении, наиболее харак-
терном для n.ipoi оператора, каждый из элементов описы-
пается независимым уравнением. При этом выходная ве-
личина первого элемента является возмущением для по-
следующего (Л'г=У1):
Г,(Х’а; Х"г..X‘n>, Х,Х,)=0;
МП- Г"„ ..., П”), Ya, Х2) = 0.
Решая первое уравнение относительно Х2 и подстав-
ляя результат во второе, получаем уравнение, в котором
возмущающей силон является Х’1г а искомой функци-
ей Уз.
Введение понятия о последовательном и параллель-
ном соединения элементов и их графическое представле-
ние особе ин добны для линейных систем. В этом слу-
чае решение сравнительно просто получается а форме
переааточн< функций, линейно связывающих изображе-
ние выходя й величины с изображением входной: Л'2=
= 117Л1. II условия линейности непосредственно выте-
кает. что dipii параллельном соединении объектов пере-
даточные функции складываются:
Хг=(иЛ + Г2)Хь
а при последовательном умножаются:
Гаг=^№
где и 1Г2 — передаточные функции соответствующих
объектов.
Сказанное в этом параграфе в отношении объектов
с сосредоточенными параметрами полностью относится
и к объектам с распределенными параметрами. Однако
Для последних при анализе схем соединений значения
искомых функций всех промежуточных элементов берут-
ся для выходного сечения.
Глядя треГьд1
ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕМИ>т
ПАРОГЕНЕРАТОРА И Л1П1ЕАР|П,?,В
УРАВНЕНИИ ДИНАМИКИ ,МА14Ия
ч 1 ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
ОТДЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПАРОГЕН ЕРАТОр^
Паоогенератор состоит из ряда обогреваемых и це.
пбогоеваемык элементов, по которым движется рабочее
™₽Эти мемситы (поверхности нагрева, смесительные
коттекторм «обогреваемые соединительные трубонровв-
w и S различаются нитснсквностыо тенлоподвода,
тепмодннамкческпм состоянием рабочего тела и конст-
BVKTIIBIIUM оформленном В качестве прим р. на ряс.3-1
дм™ схемы огневого барабанного и прямоточного паре-
Хпаторов с разметанием поверхностен нагрева вдоль
газохода а к;, рис- 3-2-диаграмма изменения свойств
рабочего тела вдоль парогенерпруюшей трусы W
Рис. 3-L Схема трактов рабочего тела п греющих газов современ-
ного парогенератора.
а — барабанного, б — прямоточного. / — радиационный испарительный
участок 2 — радиационный пароперегреватель. — впрыскивающий паро-
охладитель; 4 — конвективный пароперегреватель: 5 — экономайзер 6 —
воздухоподогреватель; 7 — подуроднацнонный пароперегреватель- 8 — нои-
яектиалый испарительный участок. 9 — питательный н.тсос 10 - дымосос;
II — вентилятор.
56
Как видно из схем, поверхности нагрева распопа™.
отсЯ а зонах газохода с разными закономерностями те-
плообмена. Экранные поверхности получают тепло пав
ным образом за счет излучения продуктов сгорания то-
плива. Следовательно, интенсивность теплоподвода в это»
случае практически не зависит от температуры рабочего
тела (температуры по-
верхности нагрева). В
конвективных газоходах,
напротив, интенсивность
теплообмена зависит от
температуры рабочего те-
ла и тем сильнее, чем
дальше по ходу газов рас-
положена поверхность на-
Рнс. 3-2. Изменение параметров
рабочего тела вдоль иэрогевери-
py«Wfi трубы (обозначения соот-
ветствуют рис 3-1).
греза. чем ниже темпера-
тура газов
Внутренний теплооб-
мен. как и внешний, силь-
но зависит от термодина-
мического состояния ра-
бочего тела. В однофаз-
ных потоках теплообмен зависит от физических параме-
тров п расхода рабочего тела. В области поверхностно-
го и ядерного кипения интенсивность теплообмена вели-
ка, а коэффициент теплоотдачи определяется в первую
очередь величиной интенсивности теллосъема с внутрен-
ней поверхности ?в.
В парогенераторе зона с одним и тем же термодина-
мическим состоянием вещества может находиться в об-
ластях с разной интенсивностью обогрева или быть вы-
полненной в ином конструктивном оформлении. Напри-
мер, парообразующая поверхность выполняется в виде
топочных экранов и пучка труб с конвективным теплооб-
меном (рис. 3-1.б). Перегрев пара также осуществляется
в поверхностях нагрева с разными способами теплопод-
вода.
В этих условиях представляется естественным рассма-
тривать не весь парогенератор в целом, а отдельные его
элементы. с тем чтобы в последующем соединить их вме-
сте структур и oil схемой. Такое решение менее точно, чем
решение уравнений динамики сразу для всего парогене-
ратора в целом, поскольку при этом не учитывается пе
ремениость границ между отдельными зонами. Однако
57
разнотипность краевых условии для каждой зоцц по
ляет найти решение для объекта в целом лишь 8 сак °'
простых случаях, да и то оно получается излишне Сд •
ным.	* °*’
Количество элементов, на которые приходится разе-
вать парогенератор, определяется его конструкцией 11т™'
ностью расчета. Обычно в качестве отдельного звена
выделяют поверхности, отличающиеся своим конструк
тнвным оформлением и термодинамическим состояний
рабочего тела.
Так, в рассматриваемом примере минимальное число
элементов, на которое можно разбить парогенератор
определяется набором: экономайзер, радиационная паро-
образующая поверхность, конвективная парообразующая
поверхность, радиационный пароперегреватель (включая
потолок и экраны газохода), конвективный пароперегре-
ватель и некоторые соединительные паропроводы.
Вообще говоря, огневые парогенераторы представля-
ют собой очень сложный динамический объект.
3-2. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТА
ПАРОГЕНЕРАТОРА
Рассмотрим какой-либо элемент парогенератора
(рис. 3-3). В обогреваемый канал круглого поперечного
сечения входит поток рабочего тела, параметры которого
изменяются по длине, радиусу и времени. Поскольку воз-
можны режимы с расслоенным течением потока или не-
симметричным движением кольцевой пленки, в рассмо-
трение необходимо включить и третью пространственную
координату. Подобные задачи интересны прежде всего
при определении условий надежности Однако при реше-
Рпс. 3-3. Зависимость параметров от радиуса трубы,
а — для двумерной, б — дл« одномерной модели те пл oof н*
58	/ ЛА
mrii динамических задач детали
гока несущественны. В частности „ТЗМя лв,,*™ия по
по сечению канала не вредставлИ’еИ3^кие '^.метров
не вносит в решение заметных изХн^? ШОго «вереса
МЯ существенно усложняет расчет ” В Т° Же вРе
трехмерностн является значительным От Рольной
приводит к необходимости замыкя™ прощением, но
эмпирическими зависимостями « } С"тУ Уравнений
' Лтр, р И Др)
ДИНАМИЧЕСКИИ РЕЖИМ
Уравнения динамики записываются в следующем
виде:
уравнение сплошности
(3.1)
уравнен» в ргии
° £+1? (fi- (3-2)
уравнение теплового баланса
<h — Яы^м 17 = (в — О’
уравнение состояния
р = р (Л 0: 1 1 (Р* 0;
уравнение движения
^ = 0.
дг
(3-3)
(3-4)
(3-5)
Уравнения (3-1) —(3-5) могут быть получены из об-
щих уравнений термодинамики при упрощениях, анало-
гичных принятым в § 2-4. Ниже представлен элементар-
ный вывод этих уравнений, опирающийся с самого нача-
ла на одномерную концепцию.
Уравнения динамики составляются для элементарного объема
трубопровода. В этих условиях все предположения о постоянстве
параметров по объему звучат гораздо более правдоподобно, чем
в случае рассмотрения парогенератора в виде сосредоточенной емко-
сти.
59
При составлении уравнения сохранения вещества /и
сплошности) залиенпзегся материальный баланс для эле^9"^
объема канала, разница меад притоком » стоком 1Цет
пенне массы рабочего тела в элементарном объеме	а >'^6.
D D== t
<*	(3-в)
где d н f —з общем случае фук-киви координаты.
Расход рабочего тела на выходе из бесконечно малого •
мента канала можно заменить значением расхода на входе и*лГ
пенным приращением его.- Для элемен тарного об нема яо ны-пол|1Яс*
ся весьма точно, поэтому дифференциальные уравнения обладав
большой точностью. Лишь в очень редких случаях такое пред|1П1о
жецпе приводит к нарушению точности в описания процесса (Тцк
называемые парадоксы гидродинамики) Итак.
6D
д = °- + ~dTdz-
Подставляя значение D в уравнение (3 6). получим уравнение
сплошности (3-1). Так как D — fee'p. то ура вне i те (3-1) приводится
к другой форме:
~дг
— 0.
(3-7)
дг
Уравнение (3-7) получено н предположении что внутренние
источники вещества отсутствуют.
Уравнение энергии выводится путем составления энергетического
баланса для элементарного объема, отсекаемого в обогреваемом
канале двумя близко расположенными сечениями. Изменение энер-
гии вдоль координаты принимается линейным. Основные составляю-
щие энергетического баланса элементарного объема выявляются
при детализации притоков и стоков тепла. -Приток обусловлен кон-
вективным переносом тепла вместе с рабочим телом, обогревом
(в общем случае переменным по длине и времени), теплопроводно-
стью рабочего тела и металлической стенки (.продольная передача
тепла). Тепловая энергия расходуется (сток тепла) на нагревание
рабочего тела в объеме, передачу тепла движущимся рабочим те-
лом. передачу тепла за счет теплопроводности рабочего тела и
металла и на увеличение кинетической энергии потока. Составляю-
щие притока и стока энергии неравноценны. Приток к сток энергии
за счет теплопроводности рабочего тела в металлической стенки
трубы в данной задаче ничтожны по сравнению с количеством
тепла, вносимым движущимся потоком н внешним обогревом. Это
легко показать, иаяример, путем проведения статических расчетов.
Очевидно также, что переход тепловой энергии в кинетическую
энергию потока, а также расходование кинетической энергии на теп-
ловые потери (в результате трения) мало. При исследовании дина-
мики промышленных теплообменников упомянутыми составляющими
можно пренебречь.
При этих предположениях уравнение энергии запишется п виде
dot
D,it~ Di + qadz = fdz
60
Энтальпия рабочего тела i есть
от .времени о координаты М|1|1Ы Тепл о в?»01'I * 3 * * * * В” ^нк«ия. завис»,,,
„он функшгеп длины и премени	Я "агРУЗ»<а являете» « Я
Количество теп лозой энергии	Дам’
ема, определяется линейной зависло™™» 83 Эле«е!<тарпого объ.
D^D,i:+^L
dz иг‘
п существу. что — разложение в ряд Тейлора с отбрасываин-
риоп в-горой п более высокой степени. Для бесконечно малой
e^,u,j это условие выдерживается очень точно.
ЛЛ После подстановки значения D и уравнение (3-S) и алгебраи-
,какого лреойра юплнпя получим:
fW dpi
dz ' dt =l^‘
Тепловой поток qa выражается через обычное уравнение тепло-
обмена (2-1Я). При этом в дальнейшем будем считать, что коэффи-
циент теплоотдачи в динамических режимах подчиняется тем же
закономерностям. что н в статике. С учетом сказанного уравнение
энергии перепишется в виде
a Di	dpi
^г+/^-=^'.(5.-0-	(3-9)
Уравнение нергни может быть записано в более простой фор-
ме, если учесть уравнение сплошности. Продифференцируем левую
часть уравнения энергии и объединим члены с общим -коэффициен-
том при г.
( dD , op \ di , , di
*	+ f (j- J	+	0-
I lo ураяпеиню сплошности член, стоящий в левой части в круг-
лых скобках, равен нулю, поэтому уравнение энергии в окончатель-
ном виде запишется гак:
Й^Г + /Р-5Г=“А(9.-/).	(3-10)
Здесь плотность рабочего тела есть нелинейная функция давле-
ния и энтальпии, а расход—функция времени и координаты. Фор-
мально этот результат совпадает с тем, который получился бы при
•преобразован в и уравнения энергии при условии р=const.
В уравнении (3-10) Ом —температура внутренней поверхности
грубы, изменяющаяся но времени и вдоль поверхности нагрева.
Значение температуры на внутренней поверхности трубы определяет-
ся нестационарным уравнением теплопроводности (2-1!) и гранич-
ными и начальными условиями, выражающими закон теплообмена
па внутренней и внешней поверхностях.
Обычно уравнение теплопроводности заменяют уравнением теп-
лового баланса. Это проще и позволяет остаться в рамках одномер-
ной задачи. Отказ от уравнения теплопроводности приводит к не-
61
r.xuncnnrvpa метал-ia не мпиенг от копр.
л т1( СЧцтать. что лм» '	1 0 0CJ) грубы При этом КЛ.
бб'О?ы иапр-1	llvp рг" ОДНО и ТО же значение вдоль раднуса
д‘"‘ат«па металла пРш,и^"ппов.тгь физически, приняв, что коэф.
ПСрЛиРЭто можно иитсрпр оаиеи бесконечности. Следовательно,
тр?.6“„т теплопроводен	,я
тем меньше, чем меньше то.ъ
^|И1Х'аТ от сделанного *Рс®Хстт теплопроводности. Точнее, оши6.
°Ш t гХи н больше хоэффи ; сопротивление металла труб
:в”,,мо	с""Г'""“л.... "е|,"1”у
Лм.Хм по tqvv рабочего
гпязаиную с отказом от учета
от стснк.1 к П	Р norpeuuioiTb. с	еся тсрм,|Ческог е0.
В ‘‘“одностп можно CKOppe“™P\ ‘ е а тепл:, па «аруж-
к сопротп^
этом вместо действительных
ЯТЙ5«-*	"™““°“ать ”раи"
......... >л-,1;
—+о)Г
а, -Ам
гле корректирующим коэффициент о характеризует долю термиче-
ского сопротивления стенки, относимую к внутренней поверхности.
Коэффициент о рассчитывается аналитически (Л
V fc 0.25 л \
°	£2   I у g*   ]	5 *Ь £1Г	0. 7э \ ,
где 5 = ^n/cfD. Далее при нспользцранми зависимостей (ЗН) индекс
* будет опущен
Уравнение теплового баланса для стенок канала составляется
обычным путем — разность притока и стока тепла ранни изменению
количества тепла в объеме металла:
711	Я 0	£мГЫ 4
Выразив внутреннюю тепловую нагрузку через коярфнцпеит
теплоотдачи, окончательно получим уравнение (3-3).
Уравнение состояния обычно дается в табличной форме (напри-
мер. (Л. 11]). В общем случае это связь плотности рабочего тела
(воды, пара, пароводяной смеси) и энтальпии с давлением н темпе-
ратурой [зависимости (3-4)]
Уравнение движения представляет собой разновидность урав-
нения второго закона Ньютона, записанного для потока жидкости.
Общая формулировка этого закона заключается в следующем: мас-
са, умноженная на ускорение, равна сумме сил, дейстнующнх на
элементарный объем жидкости [уравнение (2-17)]. В уравнении
(2-17) полная производная скорости (ускорение)
G2
dw t)w dw
eix	w dz

состоит из локал 1.ЛОГ0 (первый член) „ «,
член) ускорении. Левая часть уравнения Лс 7ГК,?И1,,”'> («торой
образом, влияние инерционных бил на тавл/йУ,,иты«ает. таким
В праной части уравнения (2-17) пемый "! ® Потоке-
пад давления на элементарном объеме «топай аыражзет "ере-
ставящую перепала, третий - ОД1р0Т|’1ПлеХ т^шя^п"^
записано но существу и эмпирической фопме ре Кя- Последнее
В динамических задачах обычно имеют' к.пЛ
током, изменение лянжщщя которого в прп£п, Устойчивым по-
исходит сравнительно медленно, поэтому P«uph 'i пР°чессе про-
можио пренебречь Остальные составляющие тпе1шГИЫМИ силзмн
напор), как прпшыо, невелики по сХшиХ t & и ««««ирный
поэтому о in не окатывают сушест“ " пЛ iааплс'"’см,
„дотщктн рн очего тела „ друкх"Хтро”
пенне дннжиннн вырождается и зависимость П-5) (’*-,У-пьтзте урав-
Такое упрощенце уравнения двнжриич .L , .
учета сопропн т-:щи оиженню потока за счет си^тоен °Т
учет можно проводить грубо, сосредоточившее еопппДЛ Этот
ном сеченн и рассчитав его по эмппрнчес^ ZZT В °Д‘
делающим м тное сопротивление. Давление для кажШгп ‘ 0Т,ре‘
та будет входным параметром. Этим но Хеетву
мепеяие давлени во времени, ио не учитывается’ SS его
по длине элеме.та Изменение давления во времени 1С только
сказывается на типе физических параметров. 1|0 я, что более
существенно, позв тоет учесть реальную недетеетируемость TeS
Обменника по ка.; «расход — давление» (см. рис. 2-6).
Система уравнений (3-1)-(3-5) верна не только для
одншразш г( io для двухфазного потока. В последнем
случае з.1 вп । плотности пароводяной смеси от эн-
тальпия t _ более сложный вид, особенно при умете
различия к<-р>. [ и пара и воды. В этом последнем слу-
чае уравшни оказывается недостаточно, так как отно-
сительная скорость пара определяется взаимодействием
двух фаз. в гом ислс и на границе их раздела. Отсутст-
вие соотве - лцих аналитических уравнений приводит
к необходимости введения эмпирических зависимостей.
Во многих задачах без большой погрешности можно
пренебрегать относительной скоростью движения фаз и,
таким образом, принимать равенство скоростей пара и
воды в двухфазном потоке. В этом случае плотность па-
роводяной смеси записывается в обычном виде [см.
(2-23)] или как
<313>
где а п b - коэффициенты, определяемые значением фи-
зических параметров пара и воды на линии насыщения
н зависящие только от давления:
а = V' — f НДД; ь =	(3-14)
63
характеристиками
T iKinr образом, плотность смеси есть известная фу(1к
„,|ЯТэ„	ьш!,; и давленп». Уравнение (3-13) може/*'£
сманиваться как одна из формулировок уравнен,,,,
СТОПлот’ность пароводяной смеси с учетом относ,,тслыюп
скорости пара находится из формулы (--2), в которой
величина т связана с расходными характеристиками
уравнением (1-Ю)- При равенстве скоростей фаз (с=1}
уравнение (2-22) переходит в (3-13).
В уравнения энергии и теплового баланса входит
коэффициент внутренней теплоотдачи. Эгу величину мож-
но было бы найти путем решения многомерной задачи.
Однако, как указывалось выше, это нереализуемо, по-
этому коэффициент «в приходится брать по упрощенным
эмпирическим зависимостям.
При движении в трубе однофазного потока
a—KD».
(3-15)
Показатель степени и зависит от вида омывания, а ко-
эффициент X — от давления, температуры и геометриче-
ских размеров канала. Коэффициент Л обычно принима-
ют постоянным и равным среднему по участь .наченшо.
Па парообразующем участке коэффициент теплоотда-
чи подсчитывается по формуле
а-Кс^р'1,
(3-16)
где К—численный коэффициент. Показатели степени
равны: ш=0,7, А =0,5; эти значения сохраняются как для
области развитого, так и для области поверхностного ки-
пения.
По существу каждая такая эмпирическая зависимость
освобождает нас от необходимости использования одного
или нескольких дифференциальных уравнений (или вве-
дения многомерности). В этом смысле статическая эмпи-
рическая зависимость может приравниваться к решению
дифференциального уравнения ц тем самым помогает
существенно упростить задачу.
В систему уравнений (3-1)—(3-5) входят пять иско-
мых параметров (функций, выходных величин): I), р, /,
0, /. Для их определения есть пять, уравнений (на два
распадается уравнение состояния). В данной системе
64
уравнении тепловой поток и давление являй-
мымп заданными функциями времени ся "ез™нси-
представляют собой возмущения или вхп™ L l’aMCTI>w
Другие входные величины получаются „пи 1 вел“'1Н|1и-
ке граничных условий; пзмен^п^нтаХв^’Н^Г’
рабочего тела па входе в парогенерирующую трубу Да
СТЛЦ1 ЮНАРНЫП РЕЖИМ
Система уравнений (3-1) —(3-3) описывает как дина.
мнческнн, мк и стационарный режим. В последнем слу-
чае в этих уравнениях производные по времени следует
принять равными нулю:	J
дГ> л.
17 = °'	(3-1а)
(0 - 0;	(3-2а)
<7п=«Л>—0-	(З-За)
В уравнениях (3-1а) —(З-За) отсутствует одна из двух
независимых переменных — время, поэтому производные
по второй координате — длине являются одновременно и
полными производными.
Стационарные уравнения (3-1 а) —(З-За) описывают
исходный равновесный режим, а также повое устойчивое
состояние теплообменника, к которому он приходит по
окончании переходного процесса. В первом случае пара-
метры теплообменника и внешние потоки массы и тепла
имеют обозначения с подстрочным индексом 0.
Интегрирование уравнений (3-1а)— (З-За) позволяет
получить явную зависимость параметров теплообменника
от длиН1л (пространственное распределение) в стацио-
нарном режиме, например исходном; D = Du(z); i»—io(z)
и т. д.
3-3. .ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
Система дифференциальных уравнений (3-1) —(3-5)
является нелинейной, причем здесь присутствуют нели-
нейности Двух типов: произведение функции п степенная
зависимость (коэффициента теплоотдачи от режимных
факторов). Получить аналитическое решение нелинейной
5-1031
SS-s:: 5
чае невозмо^110-	но решение с высокой точно
ПрИН=ий (3-1)-(3-5) на ЭЦВМ, однако при
aXS реализации нелинейной задачи ш.ишслнтеД
И пХ е ограничения вынуждают видоизменять уровне,
ния [Л 43. 82]. что в конечном итоге отражается па д0.
СТ°ПтГап'а л интском*' он ределен шi и ростр а нственно-
временных функций режимных параметров наиболее рас.
простря ленным способом преодоления указанной труд,
пости является линеаризация уравнении, т. о. замена не-
линейных уравнений линейными.
Линеаризация уравнении проводится в два этапа:
каждая переменная величина Л' записывается через свое
значение в начальный момент времени Ао и приращение
Д.Г, г. е. Х=Хо+ДХ; после тождественных преобразова-
ний приращениями в степени больше единицы и произ-
ведением приращений пренебрегают; па втором этапе из
уравнения, описывающего нестационарный процесс, вы-
читают это же уравнение, записанное для исходного ста-
тического режима. Получившиеся в-результате линейные
уравнения описывают динамический процесс для прира-
щений параметров над их значениями в исходном ре-
жиме.
Пренебречь произведением приращений можно, если
эго произведение мало в сравнении с каждым из слагае-
мых. Последнее требование выполняется при малой ве-
личине каждого из приращений. Таким образом, малость
приращений, т. с. малая степень нарушения стационар-
ного режима, является основным моментом, делающим
линеаризацию корректной. При этом точность уравнений,
описывающих процесс, будет зависеть от меры удовлет-
ворения требованию малости. В пределе наибольшая точ-
ность достигается при бесконечно малых возмущениях и
отклонениях режимных параметров.
Указанное требование малости существенно сужает
область применения метода линеаризации, однако он
оказывается вполне корректным для синтеза комплекса
автоматических устройств, обеспечивающих поддержание
заданного стационарного режима работы объекта В этом
случае автоматика ликвидирует последствия небольших
колебании качества и количества подаваемого топлива,
66
давления ц питательной магвстпали .
Здесь режим малых OIOoi)e а »• ’*астоты сети и др.
рактериым.	шляется наиболее ха-
Технику линеаризаций можно проследип» in
рлАоианпн системы уравнений (3 I)-(<М) Так
^мощности запишем:	’	'	1
д (/.)р 4~ W) р(р0-|_др)
t)Z	Л — = °-
примере прсоб-
дли ypmemia
0-17)
Сумму функции можно дифференцировать по частям. Учитывая
l|f()	0 и вычитая на (3 17) соответствующее уравнение ста-
тики, получаем урпвпеине си лот поет и. записанное тля прпраще-
НПН*
dAD одр
1Г+^7Г=()1	0-18)
Преобразование уравнения энергия:
(°в + Щ	—— + f (?« + 4?) X
Х~	= М*,, -ь А=.) (8Ц + лв - /„-it). ,
/ШИН UIUII'
Раскрывая скобки, уя рост им это уравнение отбрасыванием чле*
поп, содержащих произведение приращений-.
d/л
1)° ~7)Г + йГ> ~дГ +	+ iD>
d^i
4- [ (?« 4- Лр) = адол, (% - /„) 4- Дал ( в, - /,) 4-
4-	09 — Д/)-
Коэффициенты перед производными dAi/dz н dAi/di представле-
ны суммой базовой величины и отклонения. Поскольку принято
Хй^ЛХ, то в указанных коэффициентах приращениями можно пре-
небречь.
Вычитая из последнего уравнения уравнение статики,
Dq ~ аво^в (^о ЛО»
получим уравнение энергия, записанное в линейном приближении:
— - AD -ф 1.\ ~~ +- fp0 =••	(%	^и) +
+ апЛ(Д9-^)«	С*-1*)
Совершенно аналогично преобразуется уравнение теплового ба-
ланса:
д7 —’	~ Да®Л» (8*
состояния клиненном при л-шжчннн принимает следу^.
*<=>*+<-д''
Уравнений
щий внд*
t3>|
(3-22)
.«а /Ч-1Ж—(3-22) незапиенмымн переменными
в	Л/(г' фЛ(П?'т)" Ли-^т).
являются:	т/’ Л1 ШесГ|. неизвестных функции и пять уравщ.-
Таким образом. » ми.	снстеми является незамкнутой
Дтя «” замыкания надо ввести урлвнепИе (3-Ю) пли (3-16) (и за.
"““вТоК SU-n
Тзхотны^Яний расхода AD(0, г) и энталыпии .W. т). Закон
гемовой нагрузки .ио длине и изменение всех ВОз.
pauipui •	нн предполагаются заданными.
ДС кЗфицХты уравнений являются функциями исходного ста.
ко^рчнни . общем случае зависят только от прострац.
яуйк-J' о"»	₽еш“’
системы уравнений стационарного режима (3-1а)—(	).
В задачах динамики коэффициенты, зависящие от прострац-
ствениой координаты, иногда без большой погрешнее i можно при-
пять постоянными, характеризующими некоторое среднеиное по
длине значение, например:
0{о _ L f —
dz z J
и
po =	\ ^iiz‘
При этом усреднение формально надо проводить яи значению
«ди возмущении», а сходимость в новом статическом режиме учесть
статическим л коэффициентами.
В некоторых более простых задачах эта проблема снимается
с ииедением дополнительных упрощающих посылок. Так если при-
нять </=consi, то <y(o/dz = const. Отклонение расхода AD при р =
= const является лишь функцией времени. Если привить ua=const
(т. е. Aud=0), то решение упрощается. Естественно, что при этих
дополнительных посылках решение получится менее точным.
3-4. ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
И ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Па действующем парогенераторе возмущающие воз-
действия носят чаще всего случайный характер. Однако
они могут наноситься к преднамеренно: например, при
переходе на новый уровень нагрузки, при эксперимен-
тальном определении динамических свойств объекта или
68
одного из каналов передачи воздействии При активном
вмешательстве пспсоналя пч-пЧ|1|1„	р активном
заданную tbonMv in fii' ГД>ДЬ< сигналы могут иметь
заданною форму [,j] 6I fj/j „ 0ПИСЬ1ваться чостато11.1ц
iomho некоторыми простейшими математическими зави-
симостями временными функциями
Физическая модель парогенератора, процессы в кото-
рой описываются уравнениями (3-18) —(3-22). прсдстав-

Х(Т)
Рис. 3-1. Типовые возмущающие воздействия.
а — скачкообразное: б — импульсное; ъ — линейное; г — экспоненциальное;
д — синусоидальное; е — прямоугольная волна; ж «— треугольнад волна.
лист собой линейный объект. Динамические свойства
линейного объекта не зависят от вида и величины возму-
щающего воздействия. При аналитическом исследовании
динамики объекта это дает определенную свободу выбо-
ра временного закона для входного сигнала. При необ-
ходимости можно произвести пересчет динамической ха-
рактеристики с одного возмущения на другое.
апмые на вход Анемической си-
П.действия, подав^1	ограниченного числа етаи-
иТобычно B'-l6>ipai Т I 3.4) Наибольшее при-
стсМ1 ’ /типовых) Ф>111'11	^,-ачкоибравное возмущение
ЗАд),
MQCTblO’
О, х < О;
(3-23)
Пои аналитическом определении динамических
-	пешенне уравнении с этим возмущением
SZ нЯлеё Простои форме. В физическом
эксперименте часто легко подать ступенчатый пходио,,
с™ (изменение электрической нагрузки виста,.........
мдХченкем источника, юиененне расхода жидкости
резким поворотом штока вентиля и т. .)
Реакция объекта на скачкообразное возмущение на-
зывается разгонной характеристикой. Она дает наиболее
наглядное представление об инерции передачи сигнала
со входа на выход.
Импульсное возмущение (рис. 3-4.о) подчиняется за-
кону
’х«=|°’ ,<0’	(3-24)
(оо, = U,
причем если
4 оо
—со
то такая единичная импульсная функция носят название
функции Дирака и обозначается 5(т), т. е. х(т)=б(т).
Реально осуществимая длительность импульса отлич-
на от нуля, а высота —от бесконечности. Площадь, за-
ключенная между кривой сигнала и осью времени, может
отличаться от единицы. Отклик системы на импульсное
воздействие называют импульсной функцией Е(т). От-
клик на единичную функцию б(т) называют весовой
функцией W(x). Зная ее, легко определить реакцию/7 (т)
на любое возмущение о(т):
т
F(t) = J Г(т-/)3(/)^.
о
(3-25)
70
Линейное возмущение (линейная
него сигнала от времени) (рис. 3-4.0) Нсимость зход.
х(т) = (0, х'<°;
Пгт, г' О
характерно для управляющих воздействий.
Экспоненциальное возмущение (рис. 3-4,г)
(3-26)
0
е
я
т - О
(3-27)
(рис. 3-4,3)
(3-28)
математичек
показывает, что источник имеет ограниченную емкость.
Входные сигналы, показанные на рис. 3-4,а—а, явля-
ются непериодическими типовыми функциями. Ими легко
кусочно аппроксимировать с известной точностью вре-
менную функцию произвольного вида.
Во смутцення. показанные на рис. 3-4,д—ж, через опре-
деленные промежутки времени (периоды) имеют одина-
ковые значения уровня сигнала. Среди периодических
воздействии самое широкое применение при аналитиче-
ских и экспериментальных исследованиях нашла гармо-
ническая функция, в частности синусоида
Х(т)=( .°’	Х<0;
sin «л, iS» 0.
Объясняется это легкостью выполнения
скнх операций над гармоническими функциями и относи-
тельной простотой практического их воспроизведения
(при помощи генераторов гармонических колебаний).
Соответствующая гармоническому возмущению реак-
ция объекта называется частотной переходной функцией.
Последняя может быть разложена на неустаповившуюся
составляющую и вынужденные колебания, в линейном
объекте имеющие ту же частоту, что и вызывающее их
возмущение. I^установившаяся составляющая характе-
ризует начальный этап переходного процесса; со време-
нем оца затухает. Вынужденные же колебания сущест-
вуют, цока приложено гармоническое воздействие.
При одинаковой частоте амплитуды и фазы прило-
женных п вынужденных колебаний не совпадают. Отно-
шение амплитуд выходного и входного колебаний, а так-
же сдвиг фаз между ними зависят от частоты. Соответст-
вующие функции частоты называются амнлитусно-ча-
%.
стогной и фазо-частотными характеристиками. В СОВо
KvnHOCTii они однозначно определяют динамические свой-
ства объекта. Существуют методы построения разгонной
н прочих временных переходных функций по частотным
характеристикам.
Возмущения периодического характера (рис. 3-4 ,е, ж)
применяются при экспериментальном определении ча-
стотных характеристик в случаях, когда отсутствует воэ.
можность генерировать синусоидальный сигнал. Эти воз-
мущения можно разложить в бесконечный гармониче-
ский ряд Фурье; то же можно сделать н с выходным пе-
риодическим сигналом. Отношение амплитуд и сдвиг фаз
гармоник одинаковой частоты определят искомые частот-
ные характеристики
С возмущениями, показанными на рис. 3-4,е, ж, легко
проводить также аналитические исследования Сигналы
можно представить суммой скачкообразных и линейных
составляющих с разными сдвигами Ат относительно на-
чала процесса. Для линейной системы справедлив прин-
цип суперпозиции, в соответствии с которым действитель-
ная реакция складывается из суммы реакций на от-
дельные составляющие входного сигнала.
Глава четвертая
РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ
ПАРОГЕНЕРАТОРА КАК СИСТЕМ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
4-1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Первые динамические модели парогенератора него
отдельных элементов [Л. 7, 69, 104] представляли собой
системы с сосредоточенными параметрами. Парогенера-
тор разбивали на несколько последовательно и парал-
лельно соединенных точечных элементов, представляю-
щих собой источники вещества и энергии или 'сопротив-
ления. Пара метры.потоков вещества и энергии при таком
представлении зависят только от времени,
**	I	1	~	II  М
корректно составленная модель с
параметрами дает качественно верное от™ Ченними
ческих процессов в реальном объекте Это мп ДИИам,‘*
яосительной простотой нахождения динамнческой^хапак
теристнки обусловило широкое распространение мЕ
сосредоточенных параметров и в настоящее время Хи
де случаев к методу сосредоточенных параметров ни
Рис. 4-1. Упрощенная физическая модель парогенератора.
а — барабанного; б — прямоточного н а — обобщающая модель; / —
парообразующая поверхность нагрева; 2 — сопротивление пароперегре-
вателя; 3 — паровая емкость тракта парогенератор—турбина»; 4 — со-
противление турбины с клапанами; 5 — конденсатор.
вынуждает прибегать сложность или невозможность по-
лучения аналитического решения для модели с распре-
деленными параметрами.
Модель парогенератора, составленная из частных мо-
делей с сосредоточенными параметрами отдельных его
элементов, в определенной мере учитывает реальную рас-
пределенность параметров по водопаровому и газовому
трактам. По мере увеличения числа участков сосредото-
чения степень приближения такой модели парогенера-
73
тора к модели с распределенными параметрами возра.
Вдоль пени преобразования химической энергии то.
плива в электрическую энергию располагается большое
количество разных по назначению н килщруктивпому
оформлению элементов: топочная камера, водоподогре-
нательные, парогенерирующие и пароперегревателъные
поверхности с радиационным и конвективным подводом
тепла, необогреваемые трубопроводы и коллекторы, ре-
гулирующие клапаны, ротор турбогенератора н др. Ана-
лиз динамических свойств этих элементов, рассматривае-
мых как элементы с сосредоточенными параметрами,
проводится далее раздельно.
Наиболее грубое и вместе с тем вполне приемлемое
для многих практических приложений описание может
быть получено, если считать парогенератор состоящим
всего из двух сосредоточенных элементов: паро-
образующей поверхности нагрева и паропровода
(рис. 4-1	б). При малых возмущениях перемещением
границы парообразующей поверхности можно пренебречь,
поэтому на выходе из этой поверхности всегда будет на-
сыщенный пар. В этом смысле модель парогенератора
независимо от его схемы может быть представлена в ви-
де парогенерирующен емкости малой протяженности,
к которой подводятся и от которой отводятся потоки ве-
щества н энергии, отвечающие реальной схеме пароге-
нератора и паропровода, соединяющего парообразующую
поверхность с точкой постоянного давления (конденсато-
ром) (рис. 4-1,в). С рассмотрения этих укрупненных эле-
ментов и начинается настоящая глава.
4-2. ДИНАМИКА ДАВЛЕНИЯ И РАСХОДА
ПАРА В ПАРОПРОВОДЕ
Физическая модель паропровода (сюда отнесем па-
роперегревательные поверхности нагрева, паропровод
острого пара и турбину с регулирующими клапанами)
включает в себя последовательно соединенные сосредо-
точенные в точке сопротивление паропровода, его паро-
вую емкость и переменное местное сопротивление регули-
рующих клапанов и турбины (рис. 4-2). На стороне входа
и выхода паропровод подключен к бесконечно боль-
шим емкостям, в которых давление и другие параметры
пара не зависят от работы паропровода. При изолпро-
74
ванном ра осмотрен ни динамики элемента -
МЫ такая оговорка естественна- пт. <-10/КН°и снсте-
той в структурной схеме услошщ nS гранши7ХЭЛСМИЬ
них определяются работой соседних учз ткп» Л°-°
стемы в целом.	Участков и всей си-
Входными параметрами являются давление D
„ .школе «з паропровода „ стсле„ь от^Гре^,^"
Рис. 4-2. Физическая модель
паропровода.
Обозначения элементов те же. чти
в нп рис. 44,
Рис. 4-3. Структурная схе-
ма паропровода.
217
того клапана, а выходной величиной — расход пара из
паропровода (рис. 4-3).
Применительно к рассматриваемой модели запишем
основные уравнения термодинамики, полученные в гл. 2
для систем с сосредоточнными параметрами.
Уравнение сохранения вещества
(4-1)
уравнение состояния
р=р(р, I)-	<4'2)
Уравнение движения в рамках сделанных предполо-
жений сводится к зависимости между перепадом давле-
ния во входной камере и паропроводе с расходом стока:
Pi— Р=^'	(4*3>
где £— приведенный коэффициент гидравлического со-
противления (постоянная величина). Плотность насы-
щенного пара р —р" при реально возможных колебаниях
давления можно считать постоянной величиной.
75
Уравнение клапана связывает перепад давления на
нем с расходом пара и степенью открытия клапана-
_ р °'
Р Рй — *кл р »	(4-4)
где коэффициент сопротивления л — переменная вели-
чина, характеризующая степень открытия клапана.
В систему уравнений, описывающих динамику рас-
хода и давления в трубопроводе, входит семь перемен-
ных величин: Dlt D, р, р, /щ р^ |кд. Первые четыре пе-
ременных являются функциями и подлежат определе-
нию, а три последние — возмущениями возникающими
на границе рассматриваемой системы Итак имеется че-
тыре неизвестных и четыре уравнения Следовательно,
система является замкнутой.
При написании системы уравнении для простоты бы-
ли исключены уравнения энергии и теплообмена, однако
их влияние можно учесть, введя в рассмотрение как
внешнее воздействие переменную температуру пара Ве-
личина этого воздействия может быть определена нз
модели, учитывающей различие условий теплообмена
в реальных элементах парового тракта (§ 4-4).
Начальные условия уравнений (при т = 0) задают па-
раметры стационарного режима:	Do, рл, ро, ^(Ло, Pw>
р20-
Рассматриваемая система уравнении нелинейна, по-
этому ее надо линеаризовать. Линеаризация проводится
по общему правилу (см. § 3-3). Уравнения для отклоне-
ний параметров имеют следующий вид:
OD,-OD = V^;	(4-5)
4₽=(Т),д/’ + (-£)	М	(М)
\	*9	/ Ро
Ьр,—Ьр=2^Ю,-.	(4-7)
+	(4-8)
Сило	го
где bpi=pio—ро — сопротивление паропровода в стацио-
нарном режиме; брг=Рп—Рго — перепад давления на ре-
гулирующем клапане в стационарном режиме.
В дальнейшем система уравнений должна быть преоб-
разована. В качестве искомой функции можнд, выбрать
76	.
любую зависимую величину йп
проводе. Для нахождения 'его c«PnMep давлекие в лапп
в одно. В уравнение (4-5) подставим'Тре урай1«Х
зависимых переменных (Wb w ®Км •’’Наченив дру
уравнении (4-6) —(4-8) через иском™ 0b,pa*CH™e из
и независимые параметры ДЛ1, Лр„ "Змеиную др
ведения подобных членов и деления н„Гк’? Ппсле при-
ст» из кО5фф„ц,1с„т. СтоящпГпер“ГиХ"„-’Г"0'1
получим:	1 А искомом функцией,
г чг + =КР, Д/Л + Кр &Pi 4-	_

(4-9)
В уравнении (4-9) коэффициенты имеют следующий вид:
„.К Да. г	К^=—	1 ___•
r = ?1V^’
8/>Л/>1	(>„ др
,.	к ,, К . к   #?__
— L- к — тт* ?• д1’
Р,-~ар' р*
(4-Ю)
здесь бр- рю—Р2о, Go = Vpo — масса пара в трубе.
Рассчитать коэффициенты легко, зная необходимые
статические величины, входящие в них. Производные
др'др я dp/dt для пара как реального газа находятся из
табличных зависимостей. Если приближенно рассматри-
вать пар как идеальный газ, уравнение состояния кото-
рого
Р____Pf
Л -- Alflffc о’
где /? — универсальная газовая постоянная. /.,бг абсо-
лютная температура, то дифференцированием можно по-
лучить производные в виде явных функций р. р. 6>пс-
Для интегрирования уравнения (4-9) применим метод
преобразования Лапласа (Л. 16. 51]. При нулевых на
чальных условиях (условия невозмушеиного режима) по-
лучим связь изображения изменения давления с изо р
жением возмущающих воздействии:
i/>, (Ч +!?,„ЛЛ(S) +	(S) +
+	(4-11)
где IFpj — передаточные функции к давлению при /-м |зОз.
мущении; при наличии только /-го возмущении
==^~ • Дли рассматриваемого случая передаточные функ-
ции имеют следующий вид:
^ч: w
Sb

^й=йТТ;
При всех возмущениях, кроме возмущения температу-
ры пара, получены простейшие передаточные функции
апериодического звена, а для температурного воздейст-
вия — интегро-днфферентгрующего.
Обратное преобразование уравнения (4-11) с учетом
соотношений (4-12) позволяет перейти от решения в об-
ласти изображений к временным функциям в явном виде.
При скачкообразных входных сигналах разгонная функ-
ция имеет следующий вид:
Характер разгонных кривых виден па рис. 4-4.
Качественный характер зависимости определяется ви-
дом возмущения, т. е. типом
Рис. 4-4. Разгонные кривые давления в паропроводе.
возмущении давления па входе: б — при возмущении т
78
передаточной функции, а ко-
дцчественный — значением коэФфн,,»
Внешние возмущения приложены к “ А?11 УМйбиия
характеризуют его свойств. КоэЛИшт У объскта и не
113 соотношений (4-10). ^ФФидиеиты находятся
Постоянная времени Т опредетя
нения давления, тем меньше, чем WHep^« изме-
кость трубопровода и его гидраВлическ„‘е А'ССОВая еМ-
н чем больше расход и давление в тоЛ™conpo™weiwe
Другими выходными параметоа?» роводе-
рых в переходном процессе необхо™,,* Из”енення кото-
расходы пара на входе и выходе из пАлп"™’ йв™ются
в случае давления, можно исключил . Р Р°В0Да- Как 11
(4-8) соответствующие переменные 2.СИСТемь1 (4’5^~
правильнее и проще использовать готовое ИЧИ,Ш’ Однако
НЛП (4-13), подставив его в уравнение ?решение Н-11)
нии SDt или в уравнение (4-8) пин о прн 0ТЬ1ск'а-
этом указанные уравнения берутся в изобшг''" При
ищутся передаточные функции мпи 1 п Р '",1ЯХ’eWl1
сти, если необходимо получит/ '.. во временн°й обла-
Так можно получить, например щредХныГж''10""'
----W^K't I^+L,
где коэффициенты и постоянные времени имеют вид:|
Д",. = 3К,; Г = /~; П=Т'-|ьГг. 1* = -^
—
’Г23Л*
4-3. ДИНАМИКА ПАРООБРАЗУЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕВА
Схема парообразующей поверхности пар0‘'е“сра™/
ра показана на рис. 4-5. Величина теплоподвод'	„ -
сит от состояния потока в трубе и являе с •> ‘
Это условие хорошо выполняется для ра^	пеак-
верхностен нагрева и несколько ху дл {1ре^К1Р па.
торов с кипением. В модели на рис. 4- ф •
то же значение во всем объеме
раметры имеют одно дн0М. так н в стационарном
парогенератора на^к	ляетсй обш11М длй вссх систем
Гс<к‘^	процесса в па-
В задачу налит о к нагрСВа при различных
рогенернруюшен поверх» шт,х возМущениях. Вли-
Рис. 4-5. Физическая модель
парогепернрующей
поверхно-
сти нагрева.
япие предвключеиных эко-
номайзерных и последую,
щих перегревательных по-
верхностей выражается цза-
дании закона изменения рас-
ходов воды и пара, а также
закона изменения энтальпии
питательной воды.
В указанных предполо-
жениях качественное описа-
ние задачи сводится к сле-
дующему: при стационарном
режиме количество пита-
тельной воды D'o равно рас-
ходу пара D"o, т. е. D'q=
=D"o—Df), а количество
тепла, вносимого с водой п
топливом, равно количеству
отведенного тепла с паром. При нарушении режима (из-
менении расходов лара, воды и топлива, энтальпии пита-
тельной воды) начнет изменяться давление в испари-
тельном тракте. Скорость изменения давления зависит от
аккумулирующей емкости парогенератора.
ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ

Закон изменения давления в парогенернрующей по-
верхности нагрева при нестационарном режиме находит-
ся путем решения уравнений, выражающих материаль-
ный и энергетический баланс, и уравнения состояния.
Уравнение материального баланса, записываемое
обычным способом,
D’ - p"=f4 (W +	С4-14)
80
покрывает, что разность меж™
р^раапа изменению количеств/ "Р>'током v- .. гт
и водяном Г объемах. Водчнпй -Ц1ества в па/» К?М
поверхности прямоточного (1-п" °°Ъем п^ообрРа Х?М V"
щей водой; в барабанном °К)Гс11^атоРа за я / JUtefl
водь, (в барабане и onycS^?Cp/ToPe »екотХ/М'Иь
пения на величину Ю—од KC/j^Py6ilx^ Погрета ?асть
«««грев примем „улсв^ кдх^. Для лрос^*
Уравнение энергии устаизпп.
ду притоком „ стоком т >»«Т. что раз„
заключен,,оА , объейх ™"ы,и,№
‘ 1 ‘ ’ вод« н металла:
pT-D"/" + Q = 4- (W'+V”p"i"+GMc„0), (4-15)
где GM-масса металла испарительной поверхности- О
верхноХ ГеПЛа’ В0СПрИНИмаем^ испарительной п?
Плотность сухого насыщенного пара и кипящей воды
целиком определяется давлением, поэтому уравнение со
стояния разобьется на ряд соотношений вида
р' = р'(р);
р”=р"(^);
i' = i' (р);
i" = irt (Р);
(4-16)
Непосредственно из геометрических соображений вы-
текает равенство (как в статике, так и в динамике) объек-
тов пара и воды общему объему парогенернрующей
поверхности
V' + V" = К
из которого следует, что
dV"_____dV^t	(4-17)
dt	dT.
Скетема уравнений (4-14)-(4-16)
ной. Линеаризованные уравнения мат р
6—IQ31
Готического балансов имеют вид:
ДО' *Л"	1 1/'
</₽2
° dp 1 ’ ° dp
,.^У
(4-18)
В этих уравнениях d^V'ldx заменено на —
исходя из равенства (4-17). В дальнейшем принимается,
что температура металла без отставания следует за тем-
пературой кипящей воды, т. е. 0=/ •
С учетом этого допущения (его анализ дан ниже)
ДДВ _dbt'
di di
Далее путем совместного решения уравш ннй (4-18)
и (4-19) исключается производная по времени прираще-
ния объема, занимаемого водой После соответствующих
алгебраических преобразований с учетом уравнений со-
стояния (4-16) получается:
/1^- + £)«	Л#, = "? + О.«„ +
+	Ы>".	(4-20)
Коэффициент А в уравнении (4-20) есть сумма трех
коэффициентов:
А=Д'+Л"+Лм.
где
Л' = У'О
-121 д_ у .
Р —Р" dp г г dp .
А" — V';
Р'-Р" dP +Р
Л — G б? ~
Коэффициент А, кдж/кгс, показывает величину изме-
нения содержания тепла в кипящей воде, насыщенном
паре и металле стенок при изменении давления на
1 кгс!смг. Таким образом, он характеризует тепловую
82
а1<куму.11|рУ'ощУ1° емкость парообразующей поверхности
««•
Поскольку всегда Л>0, то форма кривой Лл<Т1 чя
„нснт от знака коэффициента при \Р1. Энтальпия mSo
(1а1.ыщщ|||ого пара имеет максимум при давлении'при-
мерно 30 кеб ч До этого давления производная di"ldo
положительна, а за ним -отрицательна. В количествен-
ном отношении величина этого воздействия мата По
этому В большинстве расчетов ее приравнивают нутю
Тогда при скачкообразных возмущениях давление будет
изменяться но линейному закону
-Q + АА'ом + \ —z« — в«0»
Л
p'r
~r. №
*D'-
illpi
= const,	(4-21)
впервые установленному Л. С. Шумской [Л. 104].
Анализ уравнения (4-21) показывает, что скорость
изменения давления при данном возмущении определя-
ется тепловой аккумулирующей емкостью, заключенной
в воде, насыщенном паре и металле. Поскольку металл
в отличие от кипящей воды и насыщенного пара отдает
тепло не сразу при наступлении возмущения, а в тече-
ние определенного времени, это приходится учитывать,
принимая в расчете уменьшенный вес металла (75%
для поверхностей нагрева, 25% для барабана). По су-
ществу такой прием может рассматриваться как некото-
рая поправка на скорость отдачи тепла металлом. Смысл
этой поправки ясен из последующего решения.
Элемент, обладающий разгонной кривой (4-21), на-
зывается интегрирующим звеном. Его характерной осо-
бенностью является отсутствие самовыравнивання при
подаче внешнего воздействия в виде скачка. Однако из-
вестно, что в реальном парогенераторе, например бара-
банном, давление при увеличении обогрева на AQ с те-
чением времени приходит к новому более высокому
значению, а не стремится в бесконечность с постоянном
скоростью. Объясняется это тем, что рассмотренная вы-
ше парообразующая поверхность нагрева является од-
ним из элементов системы — парогенератора, и в резуль
тате ее взаимодействия с остальными элементам
системы давление в данной точке изменяется с само
равниваннем
ИМПУЛЬС «ПО ТЕПЛУ»
.... В парообразующем элементе
Изменение
Дм о I)’ содержи г информацию, иредСТаа.
Рис. 4-6. Импульс по теплу.
PC — регулятор соотношения.
случаев
ее извлечь. t
выражение (4-21).
большинстве случаев
можно не учитывать ко.
лебания энтальпии во-
ды после экономайзера
(Д{'эк=9), поскольку
его теплово'спрнятие
изменяется слабо. Вви-
ду малой емкости ба-
рабана система авто-
матического регулиро-
вания поддерживает
расход питательной во-
г,олч-пппм папа Поэтому можно
(«•> с ’,с™
допущений примет вид:
_д<? — (/" — 6.*) дд
г/т	' д
Из этого уравнения можно выделить приращение теп-
ловосприятия, представив его в функции расхода пара
и скорости падения давления:

Таким образом, по измеренному расходу пара и ско-
рости падения давления можно определить величину
тепловоспрнятия парогенерирующих поверхностей нагре-
ва. Этим часто пользуются в системах автоматического
регулирования (рис. 4-6). Подобный сложный импульс
носит название импульса «по теплу» (Л. 9]. Он позволяет
косвенно определять тепловыделение в тех случаях,
когда прямое его измерение почему-либо невозможно,
например, при сжигании твердого топлива
«4
УЧЕТ конечной скорости ОТДАЧИ ТЕПЛА
щЕТАЛЛОМ
п выводе зависимости (4-21) лрин1|МалОсь
' лл обменивается теплом с рабочим телом мгновев
5f Зто возможно при а„=0о. Учитывая реальную инХ
Sin процесса отдачи тепла, в качестве расчетного прн-
! мают не весь металл, а лишь часть его. Этого искус-
?венного приема можно избежать, если к системе
упавнений	(4',С) Добавить уравнение теплооб-
мена между стенкой и кипящей водой при радиацион-
обогреве (3-13), которое для полной парогснери-
юшей поверхности в линейном приближении имеет
>."+4,' = й<' + М«-	(4-22)
ру
виД-
гД®
1 бгигм .
В соответствии с уравнением (4-22) температура
стенки изменяется при отклонении от стационарного
уровня температуры кипящей воды (т. е. давления) и
обогрева- При повышении давления н обогрева скачком
температура металла тем быстрее принимает новое зна-
чение, чем выше интенсивность теплообмена (т. е. чем
больше ctn).
Так как обычно коэффициент теплоотдачи к кипящей
воде велик, то в течение первых 10—15 сек температура
металла изменится на 80—90% своего полного отклоне-
ния. Это и послужило основанием учитывать в упрощен-
ном расчете лишь «эффективный» металл в количестве
75% металлоемкости участка.
Добавление дифференциального уравнения (4-22)
к системе (4-14)— (4-16) повышает ее порядок на едини-
цу. Интегрировать дифференциальные уравнения, т. е-
отыскивать зависимость A/Мт) удобней методом пр*-'
образования Лапласа. Преобразование уравнении (4-1 ).
(4-19) н (4-22) по переменной т и исключение Av (м
и Д0($) для решения в области изображений приводит
85
к следующему результату:
Д/?, (s) =
где постоянная времени
(4-23)
Решение (4-23) является более полным по сравнен,
с решением, полученным при условии 0 = /' (т. е. (11|Вгоо^
Частный случай «в = оо легко выделяется из решения
(4-23), если в нем положить Т.ч = 0; при этом решение
(4-23) совпадет с выражением (4-21), предварительно
переведенным в область изображений. Качественное из-
менение разгонной кривой Др(т) при переходе от конеч-
ной величины аи к бесконечной, при которой 0=4', мож-
но видеть на рис. 4-7. Инерционность процесса увели-
чивается с уменьшением величины «п.
ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ
Система уравнении (4-14) —(4-16) дает возможность
аналитически определить изменение положения поверх-
ности раздела вода—пар, т. е. уровня. Реально такая
поверхность раздела существует в барабанных пароге-
нераторах, поэтому последующий анализ будет отно-
ситься к ним.
Изменения занятого водой объема и уровня в бара-
банном парогенераторе связаны соотношением
ДУ'=£3.«ЛЯ.	(4-24)
Для малых отклонений уровня можно принять по-
верхность зеркала испарения F3n постоянной.
Для физической модели испарительной системы, изо-
браженной на рис. 4-5, изменение уровня найдем из
уравнения (4-18), по известному решению для изменения
давления (4-21) и соотношению (4-24). Как и давление,
положение уровня при всех возмущениях в виде скачка
^меняется линейно во времени:
?_L4Q + £М/,ж)
'dT" 's-Hp'-p )	СОПБ!,
(4-2
где «. ₽ 11 Y обозначают комплексы
nvKTiiBiiux параметров:
у ^.-L-У' (,Р"	/
v ° dp i v ° dp )• H = (
режимных и консг-
Уровень растет при увеличении полип.
шении отбора пара, а также при уменьшении "уМе,,ь'
тепловых потоков Q и /8К, снижающих вырХткХХ
при неизменной подаче воды	Р^оотку пара
В рассмотренной физической модели (р„с 4-5) пап
вода предполагаются полностью раздеУепиыад nJS
п
0-0-
Ар
ДО.
— ° » —°
О.__О— О _
° -^2 ZZc 3>
-О _ о - о -
----о“-

Рнс. 4-7. Влияние величины коэффициента теплоотдачи ав на дина-
мику давления в барабане котла.
1 — ав*со; 2 —
Рис. 4-8. Физический h н массовый Я уровень.
определении динамики давления это допущение боль-
шой ошибки не вносило. Иная картина наблюдается
в отношении уровня. Зависимость (4-25) отражает, по
существу, изменение массового уровня, т. е. описывает
Динамику положения уровня в водомерном стекле, па
положении же физического уровня существенно сказы-
86
вается количество пара, содержащегося п Пл„
ме (рис. 4-8).	в°ДяпйЛ1 0(.
Как известно, между физическим Ц ц , ,
уровнями и долей сечения, занимаемой и ч C,'>abl И
тажпой колонке, фо существует связь:	‘ в барб0
!i барбо-
или в линейном приближении
ДА =	---1----д
т | _?во Зр>в.
^0
(4-26)
Все величины в этой формуле относятся к физической
модели рис. 4-5 (барботажной колонке с поперечным Се
чением Аа„). Положение уровня в ней
, v'
— F
г за
Доля сечения ср, занятая паром, резко различна ддя
отдельных элементов циркуляционного контура. При-
мем приближенно, что во всей колонке пар занимает tv
же долю сечения, что и в барабане контура. Последняя
может быть нестрого выражена
на выходе из подъемных труб:
через паросодержание
где ф вычисляется по формулам
средних и высоких давлениях
с естественной циркуляци
(1-10) и (1-11). При
для парогенераторов
поэтому приближенно
Ф=схХ-
Изменение массового уровня в формуле (4-26) из-
вестно [при скачкообразных возмущениях, например,
в соответствии с равенством (4-25) ДЯ=const - т]. Откло-
нение доли сечения, занятой паром, Дгро для простоты
в 1жем только с изменением массового паросодсржания
на выходе из подъемных труб, т. е.
ДФб = ^с^дх.
(4-27)
88
Массовое наросодержание изменяется при
мущенпях, однако в замкнутом КНркуляционно
в момент нанесения возмущения изменить
лишь обогрев и давление. При этом
всех воз-
м контуре
его могут
1 di' л
Dwr г dp
(4-28)
Рис. 4-9. Счета пляющвя «набуха-
ния» уровня при скачке обогрева.
I дейстннтельная гривпя; 2 — прими-
мнемая ял наиболее тяжелому ва-
ри анту.
где Оцо —количество циркулирующей воды в момент
т^О. Знак перед вторым членом объясняется физиче-
скими соображениями. при повышения давления паро-
содержанне уменьшит-
ся вследствие повыше-
ния энтальпии кипящей
воды.
При скачке обогрева
или внезапном уменьше-
нии давления количество
пара в водяном объеме
возрастает. Объем пара
много 'больше объема во-
ды, из которой он образо-
вался, п поэтому часть
воды будет вытеснена из
труб в барабан (рис.4-9).
В дальнейшем вследствие
увеличения движущего напора количество циркулирую-
щей воды увеличится, придет в соответствие с тепловой
нагрузкой, и уровень вернется в положение, близкое
к исходному (пунктирная кривая). Таким образом, наи-
большее отклонение уровня будет наблюдаться в на-
чальный момент. Явление «набухания» уровня представ-
ляет большой интерес для организации падежной работы
барабанного парогенератора.
Итак, полное изменение положения уровня [равенст-
во (4-26)] можно представить в виде двух слагаемых,
характеризующих небаланс подвода и отвода вещества
(массовый уровень) и вытеснение воды из труб при ко-
лебаниях обогрева и давления.
Отклонение уровня за счет эффекта вытеснения це-
лесообразно принимать по наиболее тяжелому варианту
(при скачке обогрева, например, считать отклонение
уровня неизменным во времени — сплошная линия па
рис. 4-9), т. е. рассчитывать изменение массового паро-
содержаиия по формуле (4-28) («набухание»). Послед-
89
нее рассчитывается по формуле
— j ~	==
* ТаО
_________»УИмУ f^Q __<ii'	\
— о' (/> а?" — /W*»P'J \J)at dp ЛР j<
(4-29)
____0^.
где л.	ня в барабане виден из
ХяраАТеЙпн скачке обогрева, если не учитывается
рис. 4-Ю. При скакппмула (4-25)]. разгонная кривая
Я0ЛСН,Г|Гй?^ракЛ111ует изменение массового уровня.
1ДЛ
гд а
Дл
да
б)

в)
Рис 4 10 Изменение уров-
ня при скачке обогрела.
а без учета явленна «набухл
ния*; б — <гтабухзияс> учтено
приближение а квчсстлгвпая
картина де Астлигольного дзмс-
шчгин уровня; ! массовый
уродспь; 2 гостаиляюшая «на-
бухания*. ? изменение физи-
ческого уропня
работки п"ТРЫВ,‘° пала^т вследствие превышения вы-
в первый мпил!Д пола’1е” воды- При учете набухания
обратный знак (ри®Р^Го” ) "в’^еЛ'’С
показывают с’ 4 и'0^ в Действительности, как
чальиый М0МРКТ е>!)ИМеНТаЛЫ,Ые да||,1ЬГС- Уровень в ла-
Аналитическая я ви1ДПЛТЯ посте™’™. а не скачком.
«5кс™рХ„т31^<,,'мость можст бЫ1" приближена
аииамику иирнняипиТп" Ж* ?£?,”“ "С(”°Й У"11™"271,
ляцию В металПе а /’ °6’ 11 теп;|(ШУ10 аккуму-
Давления Пп» а™.. ' ЭТ0 йьгло сделано в отношении
буханке»',(роне’Х	’,ае™В0Г1> уровня и «иа-
90	' <САОДЯТ с некоторой инерцией' (рис. 4-10.а).
'М. ДИНАМИКА ЭЛЕМЕНТОВ
ПАРОВОДЯНОГО ТРАКТА
Пароводяной тракт парогенератора выполняется
в виде системы последовательно и параллельно включен-
ных элементов. Условия работы элементов различны, но
в пределах каждого из них конструктивные и режимные
факторы предполагаются одинаковыми для всех парал-
лельно работающих труб.
Элементы пароводяного тракта парогенератора мо-
гут быть необогреваемыми (внешние соединительные
трубы, опускная система циркуляционного контура, па-
ропровод к турбине и др.) и обогреваемыми —поверх-
ности нагрева в топке и конвективном газоходе, внешние
теплообменники. Обогрев труб в парогенераторе, рабо-
тающем на органическом топливе, может производиться
копвекияен, когда температуры греющей и нагреваемой
ред близки; и радиацией — при условия •&»/.
Теплообменники первого типа называются конвек-
тивными теплообменниками. В парогенераторе к кон-
вективным теплообменникам относятся пароперегрева-
тели, водяные экономайзеры н воздухоподогреватели.
В аппаратах второго тина — радиационных теплооб-
менниках величина те и л о подвода практически не за-
висит от температуры рабочего тела. Так, в топке паро-
генератора тепло трубам экранов передается почти
исключительно излучением. Независимым обогрев имеет
место также при пропускании электрического тока через
металл трубы, когда выделяется джоулево тепло. В ядер-
ном реакторе, охлаждаемом однофазным потоком, теп-
ловыделение также не зависит от температуры потока.
Электронагреватель и ядериый реактор — примеры ра-
диационных теплообменников.
В чистом виде радиационных и конвективных тепло-
обменников в парогенераторе не существует. Подобное
разделение проводится из соображений удобства. При
этом в каждом отдельном случае либо пренебрегают
одной из составляющих потока тепла (лучистой или
конвективной), либо включают ее в другую (Л. 63].
Необогреваемын трубопровод есть, очевидно, част-
ный случай теплообменника (как радиационного, так и
конвективного) с нулевым теплоподводом.
Нестационарные процессы в элементах пароводяного
тракта описываются системой уравнении сохранения н
91
АР
Др»
урайнение
движений
ДЛ^г
Уравнение
дбажений
Др»
Рис 4-Н Схема расчета по-
верху остеА нагрева со слабо-
сжимаемым потоком рабочего
тела.
Гис. 4 i2. Физическая модель
радиационного теплообменника
с сосредоточенными пара мет-
рами.
92
Смыкающих зависимостей,
полученных в гл. 2. В этом
раздели поток рабочего тела
будем считать обнифазныц
и слабости маемым. Дина,
мнка парогенернрующей по-
верхности нагрева рассмо.
трена в лредыдицем пара,
графе.
Дли однофазного слабо,
сжимаемого потока измене-
ния в динамике расхода ц
давления в пределах отдель.
него элемента незначитель-
ны. Это позволяет -при опре-
делении температуры в пре-
делах отдельного теплооб-
менника считать расход и
давление постоянными вели-
чинами (внешними воздейст-
виями), т.е. исключить из си-
стемы уравнении уравнения
неразрывности н движения.
Влиянием малых колеба-
нии давления и расхода на
динамику температуры мож-
но пренебречь только при
изолированном рассмотре-
нии какого-либо элемента
пароводяного тракта. Одна-
ко при анализе нестационар-
ных процессов в цепи после-
довательно и параллельно
включенных элементов от-
клонения давления и расхо-
да суммируются и ’могут су-
щественно изменить вид тем-
пературной кривой. Поэтому
в каждом отдельном эле-
менте н еоб х од имо он реде -
лить отклонения расхода ра-
бочего тела и давления.
Приближенное изменение
расхода рабочего тела мо-
жет быть определено из уравнения сплошности где от
клонеиие температуры рассматривается уже как нзвест-
пая величина.
Аналогично находится изменение давления в элемен-
те, поскольку в уравнении движения отклонения темпе-
ратуры и расхода также можно считать известными
н Обратную связь (см. рис. 2-6), отражающую зависи-
мость ! (Р‘ легко получить в явном виде из
уравнения движения, если принять в нем Da=Dtt! По-
следнее справедливо при p=const; при p^const такое
допущение можно сделать, полагая различие между D,
Н £>Я1. вызванное аккумуляцией рабочего тела в канале,
несущественным для задачи отражения влияния пред-
шествующих и последующих элементов водопарового
тракта на рассматриваемый. В результате расчетная
структурная схема принимает вид, изображенный на
рис. 4-11.
РАД ИА Ц И< 1IIIЫ И ТЕП Л 00 БМЕ НИИ К
Радиационным теплообменник представляет собой
физическую систему, состоящую из потока рабочего те-
ла и оболочки, его ограничивающей (рис. 4-12). Закон
теплоподвода к об точке извне задан.
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ РАБОЧЕГО ТЕЛА
Считая расход и давление в пределах теплообмен-
ника неизменными и равными их входным значениям,
запишем уравнения динамики радиационного теплооб-
менника как объекта с сосредоточенными параметрами:
ОясРв (/ - Q + GBcPK^+GaeiB	(0 - 0; I
а	} (4-30)
Q-G^K^-=aB/-/e(9-0.	J
Здесь учтено уравнение состояния
(431)
(И ' др г
а также обозначено
const; ciB —	= const; (4-32)
93
простоты обозначений положим
6 Дальнейшем п‘}тока и металла принимаем ие-
св—Сре- Теплое.	...
нзыеннои. _ пепсмсниымн коэффициентами перед.
От Уравнении с пср Я111)ЫМК коэффициентами, прц.
дем к yPaBI,elll'?’ J Коэффициент теплоотдачи ц„ Се-
менив лннеарнз^!К - *ю ддя все|.о теплообменника,
рется по сРеДИСМ1т Lpvoaa описывается соотношением
его зависимость от Р • ЛИ1|еаризацН1» малыми в сте-
S в"|раже""е ял” "мм““"
"«“фф-.еита теплоо^ни:	,
Дая — //л80
(4-33)
С учетом равенства (4-33) и уравнении статики систе-
мы (4-30)
Qc = *n< я (0. ^о)
получаем» что линеаризация приводит к следующей си-
стеме уравнении для отклонении:
(^и + 0
- ГЛР - (1 - //)	=> ДО;
(+34)
Здесь введены следующие обозначения для комплексов
режимных и конструктивных параметров:
___ ДвО^в 4	_ (jBt n * rr, _ ^;м'м .
’___ 1 к  	1 Ло , /!/	<)(/<)Р
Лп“ £д £)цо ’ А”——сТПл’
(4-35)
Исключением одной из искомых переменных, напри-
мер ДО, система (4-34) сводится к одному обыкновен-
ному дифференциальному уравнению второго порядка
с правой частью, интегрирование которого легко выпол-
няется разными методами. Применение для этой цели
преобразования Лапласа в задачах динамики предпо-
чтительнее, поскольку можно последовательно получить
решение в области изображении (передаточные функ-
ции) и во временной области. В области комплексного
94
переменного s отклонение температуры рабочего тела
связано с внешними воздействиями следующей зависн-
мостъю:
Д/(5) = ^Д/, (S) + U7fQAQ(s) +
+ ^d (^ + ^P?P1(s),
где соответствующие комплексные коэффициенты передачи
передаточные функции ^ = ^11 имеют вид:
Vs J J

W., = -'“1+2 ;
Л (s)
W
w<^
Здесь
Л («)
W --__________
fQ Л (s)
ц/  (7„5 4- I)
fP‘	Л (s)
(4-36)
L*
(4-37)
Л (х) — изображение левой части дифференциального урав-
нения относительно Д/ (характеристическое уравнение),
А (s) = W + |<- (Гм -Ь Гв) + Г„1 s + L
Разгонные характеристики, соответствующие запи-
санным передаточным функциям, при т—>оо приводят
к некоторым установившимся значениям, которые совпа-
дают с коэффициентами усиления передаточных функ-
ции. Их легко определить из выражении передаточных
функций, используя предельное соотношение преобра-
зования Лапласа [Л. 26],

где j возмущающее воздействие. Для удобства коэф-
фициенты усиления сведены в табл. 4-1.
Т а б л и и. а 4’1
Коэффициенты усиления для температуры рабочего т$ла
радиационного теплообменника
К<|*<|)Д)Пцне11т усиления	Возмущающее а зЭДеЛетвнс			
	Д6		4DM	 АД
Kfi	1		ЕК.	0
95
Записаны
яточные функции модели с сосре-
Полученные пеРс^ ( теплообменника выражаются
поточенными параМЛ«мй что облегчает задачу перехода
рцнональными дро&« ,	ломощью таблиц (л 2б>
к- временным зависим о аналитические выражения
97 И2]. Так «оЖ11°"*’ которые ниже будут ----------
разгонных xapaKJ^v разгонных функции:
в виде нормированных р>
। Т Kti 1
(4-38)

Следуя этому правилу, находим:
ssyf'' - ss>e*' _;
А„, = 1--------
h ,
S» —
}1Ю , HtQ + VS‘S; -ТГ '
^ltp, ~L \ s KT I «’* — c’
Здесь
<?11I = 1 + Tm^I.5-
функции,
Значени! s, и s3. входящие в разгонные
являются корнями характеристического уравнения
A(S) = «rjn(5-5t)(s-ss) = 0;
s,,=_4±v%^.
(4-39)
(4-40)
(4-11)
где
Л =
+	.	о._	1
-----
Отметим, что
I
s(-|-s, = — Д; 5^, = /?: r1cs=c; с = —у-.
ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
При постоянном значении расхода на входе в тепло-
обменник его величина на выходе может изменяться
в силу сжимаемости рабочего тела: термический (при
изменении температуры) и гидромеханической (при из-
менении давления). Флуктуации температуры и давле-
96
и ня при о!। риделспин расхода мы условились считать
входными воздействиями, поэтому колебания расхода
можно найти, решая уравнение сплошности изолирован-
но от остальных уравнений.
Уравнение сплошности для объекта с сосредоточен-
ными параметрами имеет вид:
Da -Dai + V ^0,
или в отклонениях с учетом (3-21)
ДОВ = ДОП1 + zp ^+xt .	(4-42)
где
»,=-уЛ.	(4-43)
Закон М (т) легко находится при любом возмущении,
так как соответствующие передаточные функции полу-
чены выше. При скачкообразном возмущении разгонные
характеристики температуры тока даются зависимо-
стями (4-39). Подставляя их в (4-42), получим реакцию
расхода на все входные возмущения скачкообразного
типа:
А др,
_____L— /j ’
хА/, “'Я*
(	_ до, _«*•* — <?4*’
flD,Q-^KQ^ - с,-с,;	(4Ч4)
~ хеЛ',АОЯ| =	^₽и Л-=Ф
Здесь
др /
4=-^^	<4'45’
др I dt
6(т)—импульсная функция Дирака (см. § 3-4), полу-
ченная в результате дифференцирования по т скачке-
7—1031	97
^.«,1 Фу„«"'	(|,"°е"ство S'CTH~
зависимостей (4-14) легко найти пере-
даточные функции
№п <, ~	— л-3) '
д
*чЛ'л 5
С1У  -  ——	------- >
"\q~ Тк (s-s,)(s-s,)
1Г _ । I «БК.____________*______
'	"Г" Л, ’ (s-sjfs-sj1
V/	e K^pS ’ D —Ь±-£ -------------------
V*	(А - $)(’- ?=)
(4-46)
где
ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ РАБОЧЕГО ТЕЛА
Давление связывается с изменением других парамет-
ров и внешних воздействий уравненном движения, кото-
рое лрн пренебрежении инерционным членом имеет гид
(4-3), или в отклонениях
Др Др^^д/^-^Др,
Ь/Су	pG
где Api-pio- pu. Изменение плотности дается уравне-
нием состояния (3-21). Будем считать, что динамические
процессы протекают при давлении Тогда давление за
теплообменником
Др
5pt о? \
Ро Ор )
д/Д£)в. (4-47)
ро М
Daтvnм0'l\,l^iW llC,1ИЯ в иеста1‘”бнарном процессе темие-
в /4 471	11 расхода А£)п найден выше. Подставляя
ные 1vLhu!!C'1M0CTJI (4’39) н (4-44), определим разгон-
ц давления при соответствующих возмуще-
пнях:
1гр'<= ~2htp<+л«< ’
/J'Q’
А — &р —:21 । л .
*-К,№„ X ”’" мг
/z№ = =Q -1 + \Р1 - * (\р, - \Q).
(4-48)
Здесь
х — 1^ -р» 'Ъ . =	/о-Л.' д?
Р» л ’	₽, иг-
Передаточные функции можно найти, исходя из раз-
гонных характеристик (4-48) иди преобразуя по Лапла-
су уравнение (4-47) и подставляя изображения возму-
щающих воздействий. В результате получим.
^7	__2~ (s + л») (s + ?«).	1
лб- (5 —Sj) (s — Si)’
117 — 2х?У<?	$ + с«
/>Q Гм (s—s,)(s —s2)»
n••	__- * i a _______s -(- <"p_
ЯОЯ1 “ ’ X Г T„ (4 _ S1) (s — Sj)’
«:„,= 1+>'Л'г(П-1) +
+xKps|2Er,o---(a+i,frzfn~nJ-
(4-49)
здесь
_ 1 . , __ 1
257,’ “9 ~~ (25 + 1) rM •
По зависимостям (4-59), (4-44) и (4-48) на рис. 4-13
построены разгонные кривые радиационного теплообменника
с параметрами Гм=10, Гв=1, 5=15. По виду разгон-
ных функций Ап и Апп можно сделать вывод о малом
влнжпш факторов аккумуляции па эти динамические
характеристики. Он, по-впдимому> справедлив и для
других сочетаний исходных данных, поэтому представ-
7*	99
л+1
я+о,
30 ЦО
иозчожнтЛл»Г»?И1Ше к^ввые радиационного теплообменника при
□ио ми/h । j ы х ваз м \ щепвях.

лястся возможным принять в качестве расчетных
щенныс зависимости
“ x^ApUs; IV'^ = 1 хЛ’р (Q — 1) -j- 2хК Р6ТПШ.
Аналитическую зависимость обратной связи (см.
рис. 4-11) можно получить из выражения (4-47), поло-
жив в нем Л7)п=|\Оп| и разрешив полученное соотноше-
ние относительно ADltJ.
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК
В конвективном теплообменнике в отличие от радиа-
ционного обогрев не является заданной функцией в ре*
мени» а определяется температурами и расходами иша-
ков жидкостей по обе стороны
разделяющей трубы. Направ-	-----
ление движения шотоков, обме-
нивающихся теплом, различно:
параллельное inpa моточное, па-
раллельное противоточное, пе-
рекрестное, многократно-пере-
крестное н т. д.
При рассмотрении конвек-
тивного теплообменника как
объекта с сосредоточенными
параметрами различия, свя-
занные с взаимным направ-
лением жидкостей, теряются,
и можно рассматривать еди-
ную физическую модель (рис.
4-14). Исключением является
регенеративный воздухоподо-
греватель.
Рис. -1-Ы Физическая мо-
дель конвективною тепло-
ofweHiniKii с сосредоточен-
ными параметрам!».
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР
РАБОЧЕГО УГЛА И ГАЗОВ
Ес л н прей еб р еч ь с ж 1i м а с •
мостыо обеих жидкостей, из-
менением давления в пределах теплообменника и icn.io-
впй аккумуляцией в объеме газа (вследствие их ма-
лости), то динамика температур будет описываться си-
пл
стсмой трех ураочсня"	н	,
Dc
n мпавненне состояния для обоих потоков.
Здесь учтено УРав1(51 выражаЮТ закон сохранения
Первое и третье ура™ вторсе баланс тепла. подвс-
энерг!!п в ^отданного рабочему телу и аккумулн-
денного к стенке, ид
рованного в мета™„ионар|10М режиме температуры ра-
в	" Тяжкой жалкое™	меж-
алгебранческнх УРа="™""
ДА	<*•,Г ° =	=
Решение ее дает такие результаты:
4 — [л
0,0-*0
10
(4-5
где
е* — е
4т I здесь « = М£:

««»//»’ “ !+•”
параметр | дается первым из равенств (4-37).
При линеаризации системы (4-50) необходимо учесть
зависимость (3-15) для внутреннего потока и подобную
же зависимость для наружной жидкости
аи=ЛО”',
где К — коэффициент. В конвективном газоходе пароге-
нератора ш = 0,6 для шахматного пучка труб и т = 0,64 —
для коридорного. Линейное отклонение коэффициента
теплоотдачи
ДОИ
но п •
^ио
динамического режима, зэписан-
Даа = тиа
Система уравнений	-
ная для отклонений от исходных значении параметр00’
102
(4-52)
имеет вид:
(£.„4-1) д/ —	,4-г^-
’ at
~Т«Кр “ЙГ~<1 — rt) K„.cADh, =Д0;
£Д» 4-А/ + тК,!Л.ДО„ 4- йдОи1
=	4-е) ДО;
(Д„4-1)Д»-Д,Д&,-
-Ц^/Сц.вло1( = до.
Здесь
к — _ /	. к  I Ло
'Л.С	£*« гу » *н,с    ^я	П
£,««	ило
(4-53)
разность /о— (io определяется первым из равенств (4-51);
остальные обозначения тс же, что и для радиационного
теплообменника.
Решение системы уравнений (4-53) в области изо-
бражений по Лапласу относительно отклонения темпе-
ратуры потока рабочего тела А/ дается следующими пе-
редаточными ф\пкциямн:
IV — Сл'1±4_- № —. 3*5%£. л
и, л‘{«) ’	A*(s)’ <пи д’(.s) ’
117	__»*А о С (v*s‘ + I). tw   ^“Т*tKpS (Г*м5 -р I)
~~ л’ (4)	’ 'А “ A* (S)
(4-54)
Здесь
Л* (л) =	+ (Г (Г*н 4- Т\) +
4414-£W*m!s4-(1-H^);
л". о = Л'.,е 11 + (1 - ») «‘1;	=к...
Г*> = т+?• г*. = г. (1 + •); V = ,+1| Щ»)
Передаточные функции радиационного и конвектив-
ного теплообменников структурно совпадают, различие
есть лишь в коэффициентах. Поэтому нормированные
разгонные функции конвективного теплообменника в со-
ответствии с (4-38) совпадут с аналогичными зависи-
те
если а последних замени и, С12 |1а .
МОСТЯ Mil Н '*	U
II V па V*. примем
г*12=| +Г MS1.2,	(4-56)
корян характеристического уравнения V (s) =0;
Вхотяшпе а выражении для корней 5, • Величины ,4
и fl в данном случае рассчитываются по следующим
формулам:
Отметим, что r*tc*2=c\ где с* — —Т*м Т**.
Нормирующие коэффициенты в равенствах (4-38)
(коэффициенты усиления) Ki, определяются из условия
(табл. 4’2).
I абл цца 4-2
Коэффициенты усиления температуры рабочего тела
конвективного теплообменника
Коэффи- циент усилешы	Всюмутцающее воздействие				
	ЛЬ		ДОн		Д/7,
	1	ZTt •»	S*A'%.0	E*KVe	1)
		>  СП -* JTT	<ч * 3 1Г *	I Н-в'Г •	
По известному значению А/ легко определить дина-
мику изменения температуры наружной жидкости Ail
1ак можно получить передаточные функции
_ Г	I	е’£*
(->' + О (I +«') | ruS + । + ’(Т* + j) A*(s)	'
-v
105
где	,,, , «
(| —/И) (I +s
; /1* =
значении Л'а/ принимают еле-
и
-г?)=» ’	(4’57)
Коэффициенты усиления но отдельным каналам пе-
редачи возмущения представлены в таил. 4-3
Соответствующие нормированные разгонные функции с
учетом выражение (4-38)
дующий вид:
"в/,	1 S, — Ss
4 =|_Ль.___________Ci-
$<#, Лг^( (1и + 1) (I
£|С*,СЪТ.
С’, — с‘а
Лвоя —1	(й1’4-1)(1 -Н’И-Н
1	1 + ^*+ГХ
—(ПрИ п _ j V
Г*,-Л
_____ Дв	__ г®1' — eSt’
h^~ КЛр.	-"с*, -е\
)
е j — <'
(4-58)

жидкости,
внешними
ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
Небольшое изменение расхода внутренней
обусловленное ее сжимаемостью и вызванное ________
воздействиями, определим из уравнения сплошности, ко-
клпи«‘.мКаК л Для Районного теплообменника, в от-
значскн'й ^/6/^ ’<Меть вид <4"42)- с учетом известных
(Ч получим следующие разгонные характе-
ристики расхода рабочего тела:
h — -h •
“хЛ/, ~~Ц(Р1 »
(	.	*t* /,
/	—	Д£>1»
4°,^ * ^.+1“^-/,. - = %Ал:
14-е’ LB + | Ояо Л0"
« О.а — *-0 Z4DB ;
I +«’ ».«
д Г)
4,.= <xtr=(s,l!nn|iW +
Здесь х и £> даются теми же выражениями (4-45), что
и для радиационного теплообменника; 6(т) —
пая функция Дирака.
Передаточные функции имеют вид:
ц/ = % —d~ _*°L _ •
(*-«,)(«-*»)’
Х£*Ё*	$
Ц7 —	-------1------•
0,8, — fM (S„S1)(S_SJ)>
импульс-
itrr	_	*ц e ___£____•
^Л.= 1 +	<"P“ " =
-—  b* —
0 —
1 M
A л~ о
(s— St) (s— Sj)
Здесь a*t
i*
(4-60)
ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ
Уравнение движения потока рабочего тела в конвек-
тивном теплообменнике, записанное для отклонений
давления н возмущений, имеет вид (4-47). Подставив
107
D Pl — y’P^ PS
)
J
Рис. 4-15. Разгонные кривые конвективного
в него известные значения Д/(т) и ЛДп(т), найдем вре-
менные зависимости, а подставив M(s) и &Da(s) —пе-
редаточные функции.
Разгонные характеристики
4л=<=2^ + 'с«.Ч;
h = Др	h 
р1)*
,	Д п	2 . .
(4-GI)
Л
рр'
+/Чл-гК*+е1)Ч.-М-
108
^aOSi
теплообменника при возможных
возмущениях.
Передаточные функции
ц/ — 2х + а*°) 4~е*°1 
р’< (s — Sj(S — s2) ’
W — 2*S*E*	* 4- с*»
p&,	rM (s-s,)^-^) ’
W	5 +	.
ir	—rl_i '^K*, o s + c\ f
~ x H—T^-(TZ7j(7TZ7a <ПРИ n = П;
= l 4- xA'p (£> - l) H- xKps 2TTW —
- (25* 4-1+25 *8*) — -v +(Гс 1
(J — Sl) (S — S.)J
J
(4-62)
109
Здесь
1
0^= 2ГГЧ •
Т*
Разгонные кривые конвективного теплообменника
с параметрами Гм—Ю, 74	. ъ • - в —0,1;
,» = 0 6' /1 = 0.8 приведены на рис. 4-1о. Очевидно, что,
. як II для радиационного теплообменника, можно при-
ближенно принять:
U70^ = Xp\'p£ls,
ir = 14- хКр (П - 1) 4- 2xA'p^7'„fi$.
рр\ 1
НЕОБОГРЕВЛЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
СОЕДИНИТЕЛЬНЫЙ ТРУБОПРОВОД
Отсутствие подвода тепла к трубе в радиационном
теплообменнике определяется условиями Qn = 0 и AQ = 0.
При нулевом теплоподводе должно быть также /р=/|0.
В результате при рассмотрении необогреваемон трубы
в виде объекта с сосредоточенными параметрами изме-
нения температуры, расхода и давления потока в ней
описываются передаточными функциями радиационного
теплообменника:
ПО
Ц7 =_*___________£+-? - - •	I
«•	«г. (s-s,) (s-s8) '
ГТ/ __ 1Z S(S4 ___________.
Vtri— Р (S_Sl)(S_Sj) •
де/ — V  s (s 4- О»)	. (КГ _____|.
Ц7 _ x s. tw -----9“	4 «о) (s 4 Co) .
U? _____	2 (Pio ~~ A) .
^а = 1+Й^(1+«2ЕГву).
(4-63)
11еобогреваемый трубопровод может рассматриваться
также как частный случай конвективного теплообмен-
ника- В конвективном теплообменнике наружная поверх-
ность трубы не воспринимает тепла при равенстве нулю
коэффициента теплоотдачи ап. В этом случае
е=0; £п = ео; е* = 0; ^ = t; Г*М = ТМ; =
А’1 в.с = Л*п ,с = 0.
Подставляя эти значения в передаточные функции
конвективного теплообменника, приходим к выраже-
ниям (4-63).
Итак, параметры в пеобогреваемом трубопроводе
могут изменяться при возмущениях температурой и рас-
ходом на входе и давлением, а растягивание процесса
во времени связано с эффектом тепловой аккумуляция
стенок.
СМЕСИТЕЛЬНЫЙ коллектор
Лучше всего модели теплообменника с сосредоточен-
ными параметрами отвечает смесительный коллектор,
динамические процессы в котором, очевидно, описыва-
ются зависимостями (4-63). Однако ввиду малой вели-
чины сопротивления по рабочему телу и емкости кол-
лектора целесообразно учитывать в расчетах лишь из-
менение температуры потока, т. е. передаточные функции
П? и 1Г .
/л *р>
КОЛЛЕКТОР ВПРЫСКА
Впрыскивающий пароохладитель обычно выполняет-
ся в виде пеобогреваемого коллектора, в паровое
пространство которого вводится поток конденсата
(рис. 4-16). Таким образом, от необогреваемон трубы и
смесительного коллектора физическая модель коллекто-
ра впрыска отличается дополнится ыми потоками
вещества и энергии. Соответсл вепно математ нческап
модель при ранее принятых допущениях запишется урав-
нениями
Du (i - i.) + DBnp (i - iB„p) + G	(b-ty,

J9
Hl

глс Z)„ napa "a ВХ0ДС; Dnn“ ~ РаК ХПД П0ЛЬ1 “Я
впрыск. ото„ те11лообмениого устройства сое гот
Специфика этого тевлияние на температуру
в том. ЧТО '|а,,о,^\ь1па1от температура пара на входе
„ара па выходе ока*" 1СКИпаемого потоков. Гемпе-
" расходы основного И	(( давле111(с пара тоже
n-.Tvoa впрыскиваемой	позволяет с высокой
ЕлХ.«° зм""Т«. а» ............................... Пр"
точностью принять и / легко учесть кро[11е ТОГ01
пеобходгда	перепада давления на виры-
tf tP#
ts«.^p. Рв"Р
м (ix
Здесь св —теплоемкость пара; Dn=DBo+DBnpo — ста
= «Лп (ДО - ДО;
аЛв(Д0-Д/) = ~Ь>И—-:
Рис, 4-16. Физическая модель влрыскиаяющего
пароохладителя.
скисающих соплах при колебании давления в коллек-
торе. Ввиду малой массы пара в объеме коллектора
тепловой аккумуляцией в нем обычно пренебрегают.
Основное влияние на динамический процесс оказывает
аккумулирующая емкость металла.
Линеаризуем уравнения, приняв во внимание урав-
нение состояния i=cat н допущения GB = 0, innp-=const,
р~const. Получим с учетом статики:
Ос	^1с) ADU -|- £)ocjjd/ —— £)цвс’|,Д/]
(*'<► ^вир) AGS|lp
тический расход пара на выходе.
Решая систему уравнений в области изображении по
Лапласу относительно M(s), получаем следующие пере-
даточные функции по отдельным каналам передачи воз-
112
Качественный характер протекания переходного про-
цесса представлен на рис. 4-17.
Если во впрыскивающем коллекторе принять Д)НП1Й|-
= 0, то он превратится в простой смесительный коллек-
тор. При этом, как нетрудно убедиться, совпадут и со-
ответствующие передаточные функции.
4-5. ДИНАМИКА ТОПОЧНОЙ КАМЕРЫ
При расчете поверхностей нагрева парогенератора
условия обогрева считаются заданными (при радиацион-
ном обогреве задана величина теплового потока, а при
конвективном — количество топочных газов и их темпе-
ратура). Однако для парогенератора внешним воздейст-
вием является лишь масса подаваемого топлива (и в со-
ответствуйте к пропорции масса воздуха), а лучистый
ноток, расход и температура газов являются производ-
ными от внешнего воздей-
ствия. Динамическая
связь между -подачей топ-
лива (и воздуха) и тенло-
вы м и х ар а кте р нс т и к а м и
Q, D? и fl может быть
установлена в результате,
решения уравнений, опи-
сывающих нестационар-
ные (процессы в топочной
камере.
В топке одновременно н
взаимосвязанно протека-
ют а з род и п а м 11ч с с к и е и
физико-химические про-
8—1031
Рис. 4-17. Реакция впрыскиваю-
щего пароохладителя на скачке
образное увеличение температуры
пара на входе,
113
несен процессы передачи тепла излученном, конвекцией
, теплопроводностью. При этом в отличие от процессов
в т1)\бс существенным моментом является зависимость
параметров. определяющих топочный режим, от всех
тоех пространственных координат. В настоящее время
даже стационарное состояние топки описано недоста-
точно полно, что является следствием сложности фи-
зической стороны процессов И ИХ математического отра-
жения.
Аналитическому решению задачи препятствуют так-
же такие сложные явления, как смесеобразование, рас-
пространение струй, выгорание топлива и др.: они плохо
поддаются математическому описанию н в то же время
в сильной степени влияют па полноту сгорания, условия
теплообмена и поведение минеральных примесей
Аналитическое исследование динамических свойств
топки обычно проводится в предположении сосредоточен-
ности ее параметров [Л. 3.3, 44, 74]. Это вызвано указан-
ными выше трудностями, а также наличием некоторых
факторов, характерных для таких объектов (интенсив-
ное перемешивание, тепловой источник—факел—одно-
временно воздействует па различные участки экранных
поверхностей). Эксперименты на действующих паро-
генераторах также указывают на возможность прибли-
женного представления топки как объекта с сосредото-
ченными параметрами.
Однако такой подход все же является упрощенным,
поскольку обе теплообменивающнеся системы (поверх-
ности нагрева и факел) характеризуются заметной не-
однородностью распределения параметров в пространст-
ве. Поле температур факела неоднородно по длине и
ширине топки. Неодинакова также способность различ-
ных участков экранов воспринимать падающий лучистый
поток: открытые трубы воспринимают около 50% этого
потока, а зашлакованные участки 75% отражают; еще
меньше доля полезно использованного тепла у футеро-
ванных труб.
В рамках модели с сосредоточенными параметрами
повысить точность получаемых динамических характе-
ристик можно делением топки на несколько зон (Л. 53],
в пределах каждой из которых условия однородности
температур, поглощательной способности экранов п т. д.
выполняются лучше. Ниже для простоты анализа вся
тонка рассматривается как объект с сисредоточеницми
114
параметрами. Потерями тепла в окпхокаюнк^
вН11Ду их малости (^0,5%), как обыщю. ирХрегЕ'
Принимается также, что вся передача ичX ’ X, и и ,
поверхностям нагрева осуществляется излучением
В структурной схеме динамической моден Е™ 
камеры (рис 4-18) входными аеличипамм являются по’1
ток топлива (и в соответ- L	°’
ств*ующей шропорцин —
поток воздуха, так как
между ними обычно осу-
ществляется малоинер-
ционная динамическая
Рнс. 4-IH. Структурная схема то
iKJiijofi камеры.
связь) п температура по-
ступающего в топку воз-
духа. Выходными велнчи-
нами являются воспринимаемый радиационными поверх-
носгямп нагрева тепловой поток, температура и количе-
ство дымовых газов на 'выходе из топки. Связи между
входными и выходными величинами могут быть найдены
в результате решения уравнении сохранения, причем
ввиду малой плотности нагретых до высокой темпера-
туры продуктов сгорания изменением массы газов в топ-
ке можно пренебречь, полагая pr=consi.
Уравнение энергетического баланса в продуктах сго-
рания
Qr-Q„~D^ = GTct^.	(4-65)
Здесь 0 температура топочных газов в объеме топки
(и па выходе из нее); QT — полезное тепловыделение;
Q,— лучистое тепло, воспринятое поверхностями нагре-
ва топки; сг, GT— удельная теплоемкость и масса про-
дуктов сгорания в пределах топочной камеры; Dr рас*
ход топочных газов, DP=BpVrpr'. рг- Уг— плотность и
действительный объем продуктов сгорания 1 кг топлива.
При отсутствии рециркуляции дымовых газов в то
ночную камеру (в случае необходимости ее можно
учесть) полезное тепловыделение [Л. 91) слагается из теп
ла химической реакции окисления топлива (собственное
тепло топлива пренебрежимо мало) н тепла, вноси о
в топку горячим воздухом:
Q, = BpQp (1 — — <7«) +	(1’661
115
8
оЧРГ| в —расчетный расход топлива. 0? = В(1-?4);
3 Р Ллота сгоранн-i рабочен массы топлива;
QP —низшая	рв> \/„ — плотность и
D"'paC^la пХ’аемого в топку для сжигания 1 кг
объем воздуха. под^ теплуемкость воздуха; <7/-тоПоч-
«ери(вдоляхот<2:): с химической (*) и механи-
кой (.0 неполнотой сгорания, в окружающую среду
(<?5) И с теплом “XcL передаваемое факелом радиа-
ЛуЧИСпХшхкостяМ ’нагрева, находится из равенства,
^жТХо зХ^ефа^ -Больцмана:
0	(Г1-Г1).	(4-67)
Чл —-	х ' ф :к
где х —коэффициент, учитывающий влияние на тепло-
обмен селективности газовой среды; при беспламенном
сжигании газа х находится из графиков, для всех про-
чих топлив х=1; «т — приведенная степень черноты топ-
ки [Л. 33]. Нл — лучевосприиимающая поверхность труб-
ных экранов; ст» — коэффициент излучения абсолютно
черного тела; Гф — эффективная температура топочного
объема. °К, связанная с температурой па выходе из
топки Т эмпирическим соотношением T^=kT. где k
определяется из [Л. 33] в зависимости от вида топлива,
способа его сжигания, вида горелочного устройства и
угла его наклона к горизонту: Г=А+273; Тл— осреднен-
ная температура загрязнений (зола, шлак, футеровка,
обмазка) на наружной поверхности экранов, К, Т3=
= 03+273.
Уравнение баланса тепла, передаваемого через слой
наружных загрязнений, имеет вид:
Qn — Q = G3c3~-,	(4-68)
где Q — тепло, переданное трубам экранов через слой
загрязнений,
Q=^(S,-6);	(4-69)
G3, с3— масса и удельная теплоемкость слоя загрязне-
ний; е — приведенный коэффициент термического сопро-
тивления слоя загрязнений.
116
Система уравнений (4-651 /л с
скольку все величины, кроме m, L9) 3амК'«ута ПЛ
быть приняты постоянными а д ?атУР 0 Н ( по’
МН воздействиями. При nnnnof " П" паяются н, °Гут
и воздуха потери	Т"2Г'"аль"<"' пода^Т'
ваемого в топку воздуха г, Э^КЦие"т избытка п °"'
металла труб оЧлиэх^ 4’м„XT'“' Т“«»Р X'
может изменяться только в заК "асыи^<ия / и
рабочего тела; изменения темпХт^™ °Т Дав™"«
этом невелики и сколько-нибу-ь SP МеТа™в пр
на тепловоспрнятне экранов не Мпг Тель"° повлияй
принять 0 = const.	могут, Поэтому можно
Система уравнений (4-65) — (л ко\
линейна. Лпнсаризацня их по обпи^^^"110 на-
следующий результат:	“ощему правилу дает
Гг зг+д& = ^ядм
Т -^3 I А Л
Здесь введены обозначения л по
ски.х и геометрических параметров: 1плеКсов физиче-
Л—_______________________Gr<r
(4-70)
III Л ------ -------7
rf'rpT +	*
Лил ~ ~	.
~Г + ЧЛ3о
Л'„ = —— g°V’«r"?«	.
ЯХ'гР, + 4atk*T* '
___________Qat/Bp_______.
°' SoVrMc + 4М<7^ ’
__	4я»^ЗО
80VtMr + 44#fe«r’
r	/УяхилтЗ	’
V + '1rt»r:o
‘7» — ат//лз<>.
117
.а КОЭФФ”,1Ие'1Т°П Tr U ?ШЛ~Се’
Единицы «^’«P^LuneHn.t являются постоянными
~ т е эти козфф111	с110СОбность газа и отложе-
Ky”i нн характсри-чуюти 1 Вход5]1цее ц эти киэффн-
МаКк\мулнроаать тим TeM[iepaTypw загрязнении
и „ты 5.ачо,« а6«- ^1Я (4.68). записного для „а-
т на холится ИЗ ур*п
luTo apHoro режима- 1<езавнсимых переменных, на-
11 Исключение»’ «Д ” 13 ,4.70) к одному уравнению;
„ л сведем	\
i шд/ Г dl"

(4-71)
,п -н.ЛиЬепепииалыюе уравнение второго
Обыкновенное * Д|те( veT переходные процессы
порядка (4-71) х 1 вдВУХъемкостном объекте. Дей-
в ТОПОЧНО11 камер ‘аккуМрИруется в двух емкостях;
ствительно. т£п.ц .	& шлаковых отложениях
(обмуровке, золе) и газовой
среде. Доля тепла, накапли-
вающегося в топочных га-
зах, в обшей тепловой акку-
муляции невелика. Это об-
стоятельство отражается со-
отношением
(4-72)
* г < шл,
которое нарушается только
для чистых экранов газома-
зутных топок.
Соотношение (4-72) ука-
зывает на возможность упро-
щения уравнения (4-71), по крайней мере при ориенти-
ровочных расчетах. Вследствие малости Гг коэффициен-
том перед б/2ДА/б/г2 можно пренебречь, тогда
ПЗ
(4-73)
Постоянная времени топки 7Т учитывает нптичпе
двух тепловых емкостей:
Т___1 ши 4- Тт
' 1 - к Лг'
Решение уравнения (4-73) в области изображений по
Лапласу получается в форме передаточных функции
Д» ($) =	(s) _j_	(s).	(4.74)
где
\w_______Kq 7~д,я.$' 4- I
1-КЛ. 7>+1 ’
IE' __ Т'щдХ + I
6Й. 1-КаК, rTs+l ’
Итак, в динамическом отношении топка может быть
представлена типовым интегро-дифферсицирующнм зве-
ном. Аналитическая разгонная характеристика, приве-
денная на рис. 4-19, качественно подобна разгонной ха-
рактеристике, полученной при испытаниях парогенера-
торов [Л. 53].
Аналогично можно найти изменение температуры
слоя загрязнений:
Д&э ® = ) -KaKt ~T\s 4- I ДВ
+i ‘ кх тЛ। дэ-<;>-	(473)
Интерес представляет не сама температура 0я. а ве-
личина теплового потока к трубам Q В соответствии
с (4-69) при 0 = const
&Q = J^L Д63.
С учетом решения (4-75) изменение теплового потока
при воздействии со стороны топлива и воздуха выража-
ется зависимостью
AQ (s) =	(S) + Д&в (х).	(4-76)
где передаточные функции имеют вид:
н KnKt	1
iiz	—-А—2-2-----!---;
у» — е 1 — к,а\ rts 4-1
пу	 о^’ г	'
S I —/<аЛ\ 7,S4-I 
)1‘J
газов покидающих гоночную каме-
Расход Л1^10"1"- массы в объеме юпки, связан
Отклоиеппе
НИЯ при 1
[io — воздуха
описывается
звена
...... оасхода газов от стационарного значе-
Гт^епни' подачи топлива (и про порциона.^.
чтобы соблюдалось условие uT=cons|)
' передаточной функцией усилительного
^/)й = (1 VrPr‘
(4-77)
При непропорциональном изменении соотношения
топливо воздух коэффициент избытка цт будет ме-
няться. В случае малых возмущении, когда топочные
потери можно считать неизменными, динамику топки
при возмущениях либо только топливом, либо ТОЛЬКО
воздухом,’а также при непропорциональном их измене-
ния можно рассчитать, вводя вместо денствлтельного
объема газов Иг его выражение через теоретические
объемы продуктов сгорания и воздуха V* и коэффи-
циент избытка воздуха цт, т. е.
г, = ^+К-1)И.
Переменной величиной здесь является ит При про-
порциональном изменении подачи топлива и воздуха
ат-cons! и Vr=const.
4-6. ДИНАМИКА РОТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА
В стационарном режиме ротор турбины и соеди-
ненный с ним ротор электрогенератора вращаются
с определенной угловой скоростью (н), поскольку алге-
браическая сумма моментов сил, приложенных к рито-
рам, равна нулю (рис. 4-20,а). К ротору турбины при-
гире.6” момент сил» обусловленный кинетической энер-
. пара (движущий момент Л1Д), а к ротору
ч'я *TPf)reiIePaT0Pa тормозящий момент магнитного по-
опомЛ«оТ1?е,1"Я <МШ,С|’Т сопротивления MJ. Последний
ки Л vniin •' ПеЛич,1,,0Й приложенной внешней нагруз-
ки я угловом скоростью вращения.
I Z Г J
тормозящий момент магнитного по-
При нарушении стационарного режима вследствие
изменения [5С/1НЧШ1Ы какого-либо из моментов число
оборотов ротора будет изменяться. Исходная скорость
вращения должна быть восстановлена средствами регу-
лирования. йправдякицее воздействие подается на кла-
на вы турбины. При этом движущий момент приводится
в соответствие с моментом сопротивления. Для синтеза
регулирующих устройств необходимо иметь информа-
цию о динамике изменения числа оборотов ротора в пе-
реходном процессе.
Ротор турбогенератора, как и всякий реальный
объект, есть система с распределенными параметрами.
Рис. I 20 Ротор турбогенератора.
и — чоисчпы скл леЦстпудмлмх ttn ротор, 6 — фнзичсч'кая модель ротора
При изменении одного из моментов, например движуще-
го, вал вначале закрутится на угол, определяемый
взаимодействием избыточного крутящего момента и мо-
мента упругих сил. В дальнейшем угол закрутки будет
изменяться из-за наличия упругих воли, которые с тече-
нием времени затухнут. Угловая скорость вращения ш
при возникновении небаланса также изменяется, причем
помимо величины небаланса на нее оказывают влияние
и упругие свойства вала.
Скорость упругих волн намного больше скорости не-
стационарных процессов в блоке, что .позволяет прене-
бречь эффектом упругости вала и считать аал абсолют-
но жестким телом. Таким образом, физическую модель
ротора турбогенератора как системы с сосредоточен-
ными параметрами можно представить в виде абсо-
лютно жесткого вала, нс имеющего массы, на котором
сидит тонкий диск с массой действительного ротора
(рис. 4-20,6).
Для составления уравнения движения ротора турбо-
генератора надо воспользоваться вторым законом Нью-
тона: если па тело действует момент сил, то ускорение
тела определяется отношением суммы составляющих
121
момента сил вдоль осп
относительно тин же си и
с моментом сил, т. е.
вращения к
и совпадает
моменту инерции
по направлению

(1-78)
где /_ М0Мецт инерции роторов турбины и генератора;
д/,— составляющие момента сил в направлении
оси вращения соответственно от движущей силы пара
н тормозящего усилия нагрузки; <р —угол вращения
ротора.
С точки зрения практических задач интерес пред-
ставляет нс закон изменения угла вращения во времени,
а изменение числа оборотов ротора. В соответствии
с этим в уравнении (4-78) сделаем замену d<[/dT=<i^
тогда оно перепишется в виде
У^ = /Ид-<.	(4-79)	.
Для упрощения решения обычно выделяют состав-
ляющую момента сопротивления, зависящую от нагруз-
ки (переменную во времени). Тогда уравнение (4-79)
можно будет записать в виде
)
^=Мл-ЛС(«>)+Л(с(т).
В общем случае движущий момегп нелинейно зави-
сит от числа оборотов ротора и степени открытия кла-
панов турбины. Момент сопротивления также нелинейно
зависит от числа оборотов и нагрузки (при включении
и отключении различных потребителей энергии). Для
использования регулярных методов решения исходное
нелинейное уравнение надо линеаризовать. Для линеа-
ризации уравнении разложим значение движущего мо-
мента в ряд по параметрам & и р (степень открытия
122
клапанов турбины):
j ! дМ. \ ,
Дш + /?Д(ДХ, До,);
Л1С = Мсо-|- ^—5-^ Дщ + Яс (Дш)
Здесь /?л и Rc
Тейлора, которыми можно пренебречь
Вычитая
получаем:
J)CTaTKH в Разложении
из уравнения динамики уравнение статики,
хр (О I а	гл
Т~&—Г^=К1Др4-К4ДМс.	(4-80)
Здесь
ДМС (т) Л1с (г) _ Мсв.
Соответствующие коэффициенты уравнения означают:
J
<Ше __ <ЩД
Uta
<М1Д (jfX
^Ие 2 дм*
с)(О
^2— t>Me _иЛ1д
()со ды
В результате преобразований получилось обыкновен-
ное .чиненное уравнение первого порядка. В правой
части уравнения стоят внешние силы. Первая связана
с изменением положения регулирующего клапана, а вто-
рая характеризует изменение нагрузки потребителя.
Характер изменения этих сил во времени должен быть
задан. Например, клапан можно открыть по линейному,
экспоненциальному, синусоидальному законам и др. Тот
или икон вид возмущения определяется задачами, стоя-
щими при анализе систем регулирования.
Применим для решения (4-80) преобразование Ла-
пласа. При нулевом начальном условии (отклонения
123
в статике равны нулю) лол) ,||М-
.	_____Ь_ л.	4* («)	(4-81)
Пгчочп стедует, что комплексные коэффициенты
„,р5Х п» мим.»	фу»,.
цин) имеют вид:
(s)  л, .
(s) Tin
^«е= Д.Н, (sj"~ "Т7+ 1
Это простейшие апериодические звенья.
Поведение физической системы при внешних воздей-
ствиях различно в зависимости от знака и величины
постоянной времени 7' (рис, 4-21). Если в момент вре-
мени т = 0 увеличить степень открытия клапанов на \ц,
го движущий момент возрастет. Вследствие небаланса
(/Мд>Л1/) скорость вращения будет нарастать. Новое
равновесное состояние установится тогда, когда будет
соблюдаться условие равенства момента соприiкаления
моменту движущему. Это возможно» если зависимости
моментов движущего н сопротивления от частоты имеют
либо различные знаки (движущий падает, а сопротивле-
ние растет), либо первый растет медленнее последнего.
Если	ЛИд/dd), то 7'^0, прочесе со временем
затухает, а угловая скорость устанавливается на новом
значении. Чем больше абсолютное значение Г, тем мед-
леннее затухает процесс. При отрицательном значении
постоянной времени процесс является апериодически не-
устойчивым. При Г=0 решение становится неопределен-
ным. Обращаясь к исходному уравнению (4-80)t видим,
что при Г=0 уравнение сводится к алгебраическому.
В этом случае угловая скорость сразу устанавливается
на новом значении. Это связано с тем, что при принятом
условии момент инерции равен нулю. Следовательно,
всякая приложенная сила нс встречает сопротивления
со стороны массы ротора. Если коэффициент перед зна-
чением функции в уравнении (4-80) равен нулю, измене-
ние числа оборотов во времени подчиняется линейному
закону. Эго условие выполняется при =
ешение уравнения является линейной функцией вре-
мени (характеристика объекта, лишенного самовырав-
пивания, — интегрирующего звена).
124
Рис. 4-21. Разгонные кривые ротора турбогенератора при увеличении движущего момента (перестановке кла-
панов турбины) для различных соотношений Л!д((о) п /М, (ю).
Глава пятая
РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСК1IX
ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ
ПАРОГЕНЕРАТОРА
СО СЛАБООКИМАЕМЫМ ПОТОКОМ
РАБОЧЕГО ТЕЛА КАК Cl I Т М
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ 
5-|. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пространственная распределенность параметров —
свойство большинства реальных объектов, н учет се при-
водит к повышению точности динамической информации,
получаемой па основе решения уравнений сохранения.
Для нахождения достаточно простых аналитических за-
висимостей обычно учитывают изменение величины па-
раметра вдоль одной пространственной координаты, что,
как показывает экспериментальная проверка [Л. 93],
применительно к элементам парогенератора дает удов-
летвор।!тель>iы й результат.
Физическая модель теплообменника в виде канала
трактовке
Для мно-
динамнки
плотности
приводит
объемной
с теплоемкими стенками, отделяющими поток рабочего
тела от окружающей среды, в одномерной
описывается системой уравнении (3-1) (3-5)
гих элементов парогенератора при анализе
температур можно пренебречь измененном
рабочего тела в переходном процессе, как это уже дела-
лось в предыдущей главе. Условие р = const
в этом случае к исключению из рассмотрения
аккумуляции рабочего тела (т. е. к неучету изменения
массы рабочего тела в канале) в течение переходного
процесса. При этом ограничения, накладываемые урав-
iwjiikm сплошности (3-1), снимаются, а переменная
11РевРг|Щается во входную величину: Du(z, т) =
ПП|1.«. ,',т	Допущение р= const без большой
бой ' н’Ано сделать Для поверхностей нагрева со сла-
(экономайч('п7Ь,° ПЛОт|1ости °т температуры п давления
|юХХва™1Г! ,фИ МиЛС”' личине плотности (па-
па 1ШСШ1НЙИ1ГП ’ К°ГДа и,Г1,’Ш|||С' тепловой аккумуляции
13 инерционность процессов незначительно.
I 4- У
!1рп нахождении динамических характеристик тем-
пера i у ры можно, считать давление в пределах теплооб-
менника постоянным, что позволяет отказаться от учета
уравнения движения в точной форме (2-17).
Малые колебания расхода, вызванные реальной сжи-
маемостью (термической и гидромеханической) потока
рабочего тела, и давления в пределах отдельного эле-
мента достаточно корректно определяются способом,
уже примененным нами в гл. 4 при анализе модели теп-
лообменников с сосредоточенными параметрами (при
изолированном решении уравнений сплошности и дви-
жения, см. рис. 4-11).
Аналитическое описание нестационарных процессов
в теплообменниках, как правило, проводится для режи-
ма малых отклонений, поэтому первым этапом решения
уравнении (3-1) (3-4) является их линеаризация. При-
меняя линеаризацию к модели с распределенными пара-
метрами, для простоты теплоемкость рабочего тела бу-
дем считать неизменной.
Теплоемкость слабо зависит от давления, а для
большинства поверхностен нагрева — и от температуры.
Зависимость теплоемкости от температуры иногда мож-
но включить в уравнения динамики, как это сделал
А. А. Арманд [Л. 2]. однако более простым является
способ учета с помощью статических поправок (Л. 58. 78].
При его использовании сначала находится решение
уравнений динамики при условии cl(=coiist. затем реше-
ние системы в отклонениях в новом стационарном режи-
ме с учетом зависимости теплоемкости от температуры
и, наконец, к динамическим характеристикам при ся=
= const вводятся поправочные коэффициенты, позволяю-
щие 'получить верное значение температур в новом ре-
жиме.
Для простоты можно также принять коэффициент
теплоотдачи на внутренней стороне капала линейно за-
висящим от расхода, т. о. в соотношении (3-15) принять
«=1 (в действительности, например, при продольном
омывании стенки турбулентным потоком /! = 0,8). Это
допущение не является принципиальным, так как можно
получить решение и при п = 0,8. Последнее позволит
прокопгролнровать возможность принятия линейной
связи между /)(1 и а,,.
Линеаризованные уравнения динамики имеют в ка-
честве коэффициентов значения параметров в исходном
127
пржиме Величины этих коэффициентов
стационарном J	е решения уравнений стацио-
°,,реДМТжима (Йа) (З-За), которое поэтому всегда
"apfl Р^трешепию уравнений динамики Часто по-
"К бывает решить стационарную систему уравнений
зУклонениях в новом базовом (установившемся) ре.
^Полученные выражения являются предельными зна-
чениями типамнческнх характеристик. Этим достигается
простейший контроль правильности решении динамиче-
ской задачи.
Указанные положения будут применены далее при
решении уравнений динамики радиационных конвек-
тивных теплообменников. Решение выполняется методом
преобразования Лапласа. Передаточные функции, полу-
чаемые уже на первом этапе решения, часто являются
конечной целью анализа. Исследование пер даточных
функций позволяет иногда без нахождения временных
зависимостей проследить за влиянием ряда режимных
и конструктивных параметров на инерционны войства
теплообменника. Однако передаточные функции не на-
глядны, и лишь для простейших динамических звеньев
по «образу» можно представить изменение параметра
во времени.
Определить переходную характеристику значительно
сложнее, чем передаточную функцию. Во многих случаях
перейти от изображения по Лапласу к оригиналу, не
прибегая к приближенным методам, оказывается невоз-
можным. Ниже будет определено изменение температу-
ры и расхода рабочего тела во времени вдоль простран-
ственной координаты г. В основе переходных характе-
ристик этих теплообменников лежит функция (7(£, Т))
(Л. 40, 41], подробный анализ которой дан в приложе-
Практически наиболее важной является разгонная
функция, т е. реакция объекта на скачкообразное воз-
' В’Ие’	случаев интерес представляет также
ниш. |Па11ПараТа Па ИМГ1УЛЬС||ое, линейное, эксионен-
ДРУ™е пады ‘««Mymeiniii (см. § 3-4) Часто
ния 'паоамртпг^°ХОДИМОСТЬ опРеделе11|’н закона нзмене-
ляюшиевпшп "Р" гаРМОНиЧ(-‘СКом возмущении, позво-
терХ ки иипеДе "РИ Т“*°° ВЫЯВ|™ частотный харак-
тах ’ Р ° пРиме|1яемыс в практических расче-
12$
5-2. РАДИАЦИОННЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК
ПЕРЕДАТОЧ11ЫЕ ФУНКЦИИ
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ РАБОЧЕГО ТЕЛА
В линейном приближении нестационарные процес-
сы в радиационном теплообменнике, физическая модель
которого представлена на рис. 5-1, описываются систе-
мой уравнений (3-19) —(3-22). Перепишем эту систему,
полагая p = const. принимая условие (4-32) и учитывая
связь (4-33) при п — I:
di, . г, । г, , дЫ 1 дМ	>z dip,
Д^Ач+^ПвРв fJ", -г£в£в_^г ^а^а-^р	'
= «Л	+ «.Л (ДО-ДО;	(5-1)
Д<7 -~ =^в ДО01+амйв (ДО - Д/), (5-2)
где gH = fp9 —масса рабочего тела в единице длины ка-
нала; А'р — коэффициент, определяемый последним из
ношений (4-35).
Параметры исходного стационарного режима (ofz)
н Oo(z) найдем, решив систему уравнений
D^Cв — Яо =: авойц (Оо ft})-
При равномерной по длине тепловой нагрузке получим:
^о = О<Н q ,. г5	1
(5-3)
т. е. температуры по длине нарастают по линейному
закону.
С учетом статических зависимостей уравнения (5-1)
и (5-2) примут вид:
А.^-+7’.^-'<рЛ^-=А0-Д/;	(5-4)
М«?-7'«й^-+*:,до., = де-д<,	(5-5)
9—1031
129
где
(5-6)
/р _____«
• *" 4Л '
f t//o '/•-
» Л В-------	**'
я п
•‘-'ао
(5-7)

» __ Ацо^в »
у___£pfa
; в"
Коэффициенты уравнений (5-4) и (5-5) определяют
инерционные свойства динамически!! системы Коэффн-
И ент имеет размерность длины. Его физический
смысл ясен из следующей формулы, отражающей соот-
ношение (5-6):
ге плова я мо i цносi ь потока жидкости____
тепловая мощность поверхности 1л< длины канала
Если числитель п знаменатель каждого из вы| ажо
ний (5-7) умножить на полную длину капала I. то по-
стоянные времени Тп и Гм совпадут с аналогичными
постоянными для моделей теплообменников с сосредото-
ценными параметрами. Они характеризуют длительность
с р абаты па и и я	тс пло вой
емкости в (потоке жндко-
Рис. 5-1. Физическая модель ра-
диационного теплообменника с
распределенными параметрами.
сти и металле стенки при
заданной интенсивности
конвективного теплообме-
на. Эта длительность, как
следует из соотношений
(5-7). пропорциональна
теплоаккумул и р у ю щ с й
способности среды (спо-
собности накан шнать или
отдавать определенное
количество тепла при
изменении температуры
среды на 1°С).
Система линейных
дифференциальных урав-
нении в частных произ-
водных с постоянными коэффициентами проще всего ре-
шается с помощью преобразования Лапласа. Преобра-
3"Q^tne возможно, если независимая переменная не нме-
pL"paB0H гРаницы (устремляется в бесконечность) Это
вязано с тем, что верхний предел интегрирования
в функциональном преобразовании Лапласа равен бес-
конечности.
Для временной координаты условно отсутствия пра-
вой границы выполняется естественным путем, по-
скольку в динамике рассматривают процесс с момента
возмущения (начало отсчета) до бесконечности (уста-
новление нового стационарного состояния). Для про-
странственной координаты указанное условие выполня-
ется, если рассматривать канал полубесконечиой длины.
Иначе говоря, необходимо предположить отсутствие
правой границы, что физически означает отсутствие воз-
действия на систему со стороны ее выхода. При необхо-
димости учет воздействия правой границы на вход осу-
ществляется в форме обратной связи.
Вначале систему уравнений (5-4) — (5-5) преобра-
зуем но временной координате т:
s>-
-ХрГвхДЛ(д) = Дб(2> s);	(5-8)
K4Sq ($) + КИДП81 («)]+ Д/ (г, $) = (Т^-ф 1) ДО (г, з). (5-9)
При выполнении операции преобразования начальные
условия принимались нулевыми, что следует непосредст-
венно из формулировки задачи: в исходном певозмущен-
пом режиме отклонения параметров равны нулю.
В зависимости от конкретной задачи систему уравне-
ний (5-8)— (5-9) надо решить относительно какого-либо
одного неизвестного: М, или АО. В динамических задачах
в первую очередь интересуются изменением температу-
ры рабочего тела. Исключим величину ДА (г, s), подста-
вив ее из уравнения энергии (5-8) в уравнение баланса
тепла в стенке (5-9):
+ ; дф+Тло>‘	(')•	(5'10)
где
+ (Гм + r„) S  Г„ s (s + s0) .
Оо= '	(5-12)
1 м' в	' И
Таким образом, в результате преобразования Лапла-
са получено обыкновенное уравнение с постоянными
(в принятых посылках) коэффициентами.
9*	131
Отсутствие правой границы канала позволяет ис-
пользовать преобразование Лапласа и но координате.
Допустимость применения такого преобразования обес-
печивается также независимостью коэффициентов урав-
нения (5-10) от пространственной координаты. В резуль-
тате повторного применения преобразования Лапласа
по переменной z уравнение (5-10) принимает вид:
a, I ,л_________________________by (з)	।
1 'Л tl + ₽ + £„ (7>-+ I) «(«+₽) '
।_____А»_____Д7ЭВ1 (s) । Kp7~ns A/1! (s)
' "(“ + ₽> т «{« + ?)’
Поскольку ДДВ1(5) н Д</(л) не зависят от пространст-
венной координаты, то во втором преобразовании они
рассматриваются как постоянные величины. В общем
случае тепловая нагрузка зависит от пространственной
координаты (может быть задана какой-либо функцией;
для ядерного реактора, например, q{z)—косинусоида).
Изображение в комплексной плоскости и, связываю-
щее искомую переменную с возмущающими воздействи-
ями, получилось простым, что позволяет легко перейти
от изображения к оригиналу по пространственной пе-
ременной z. В результате обратного преобразования по-
лучим решение уравнений динамики, находящееся в об-
ласти изображении по переменной т:
л/(г.5) = ^Х(.,) + х1?Л^тг(1_
Д,(,)+	И -	(«) +
+ '^-(1-г-’')ДЛ1(5).	(5 13)
ЙГ
L Представим, как всегда, решение в форме передаточ-
ных функций
Lj+1
(5-14)

132
где £ безразмерный комплекс, характеризующий вли-
яние удаленности сечения с координатой z на инерцион-
ность процессов, протекающих в нем,
?=£	(5-15)
Выражения (5-14) впервые были получены А. А. Та-
лем [Л. 93].
Коэффициенты усиления передаточных функций Wtj
представлены в табл. 5-1.
Табл 11 на 5-1
Коэффициенты усиления для температуры рабочего тела
радиационного теилообменика
К^,э4зфнцнент1и ууплсцпи	В смущающее Юздейетвие			
	А/.		д'\.	
^ti	1		%.	0
При нахождении коэффициентов усиления по кана-
лам передачи возмущений Аг/ и AZ)Di возникает неопре-
деленность вида 0/6, которая должна быть раскрыта по
правилу Лопиталя.
Решение в области изображений относительно
A0(z, х) находится подстановкой \/(z.sj в сравнение
(5-9).
АНАЛИЗ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ
При некоторых дополнительных посылках решение
в оригиналах получить весьма просто. Анализ упрощен-
ных выражений позволяет легко выявить характер вли-
яния отдельных факторов на инерционность тепловых
процессов. Даже самое грубое аналитическое решение
часто дает возможность сделать некоторые полезные
практические выводы. Ниже это показывается на не-
скольких примерах.
Предварительно преобразуем показатель степени в пе-
редаточной функции Wt Перегруппируем числитель,
объединив первое и третье слагаемые, и представим по-
казатель в виде двух дробей:
—s Г S + J
,=е в е .	(5-16)
133
Подведение постоянных времени рабочего TW1Jj
.? безразмерной длины характеризует K0MlWwJ
?У“ з"»Р"«’ыо’ре"И"1:
•-L-	I	W7>
Er““TV
гте скорость потока.
' Первый комплекс представляет собой время транс-
порта частицы жидкости от входа до сечения г. а вто-
рой, аналогичный ему по структуре, эквивалентен вре-
мени «прохода» металла. По существу, второй комплекс
определяет время, необходимое для установления теп-
лового равновесия в металле при бесконечно большом
значения коэффициента теплоотдачи.
С учетом сказанного передаточная функция Пд(|
представится как произведение двух экспонент:
В такой форме удобно анализировать переходный
процесс при дополнительных упрощающих посылках.
Первый случай — теплоемкость металла равна нулю
(либо ск=0, либо £м = 0 — бесконечно тонкая стенка).
Тогда постоянная времени металла 7‘м н время «прохо-
да» металла ти равны нулю, и соответствии с чем пере-
даточная функция превратится в звено чистого запаз-
дывания:
в, L
При скачкообразном возмущении V) переходный
f’P°uecc в таком звене протекает, как указано на
рис. 5-2,а.
™Л£аЛ°ГНЧНОе ,|ЗМенеН|1е передаточной функции прон-
тплтч!ииРИ/ ^СЛ°®,|И равенства нулю коэффициента теи-
Хзп “B=0)lJaK как "Р" этом Тм=~, а тм-ко-
(Ьункини п "'!ПНа‘ обстоятельство, что передаточные
= 0 тчк ол-'Чнл,1сь одинаковыми как для условия с'м =
.„ ' * Лля Условия ав=0, связано в обоих случаях
с исключением металла из
работы в переходи оси 'про-
цессе, т. е. металл не являет-
ся аккумулятором тепла;
тепло аккумулируется толь-
ко в объеме рабочего тела.
Второй случай — коэф-
фициент теплоотдачи беско-
нечно велик, а все осталь-
ные параметры конечны. То-
гда тм¥=0, 7м==0 , и переда-
точная функция [превратит-
ся в
W. = е~{^*]5.
Графическое изображе-
ние [переходной функции для
ступенчатого возмущения
представлена на рис. 5-2.6.
Таким образом, возмущенно
на моде проявляется на
выходе через время запазды-
вания, связанное с величи-
ной отн оси тел ьп о и ак ку м у -
пирующей способности ме-
талла и рабочего тела.
Для ряда поверхностей
нагрева, в первую очередь
пароперегревателей, время
транспорта рабочего тела
по трубе мало по сравнению
с тч, так что Тм>ттр. В этом
случае запаздывание по су-
ществу определяется толь-
ко условным временем «про-
хода» металла.
Рис. 5-2. Температура на вы-
ходе из радиационного тепло-
обменника при скачкообразном
поэм vine мин температуры ра-
бочего тела па входе.
о —	0; б —а-*»; в — 0<а<сог
Рис. 5-3. То же, что и на
рис. 5-2. но при возмущении
обогрева.
Для конечного значения
коэф ф и ЦП ен т а теп л о от д а ч и,
очевидно, кривая разгона
будет иметь более сложную
форму (рис. 5-2,в).
Исследование поведения первой передаточной функ-
ции облегчает анализ остальных передаточных функций
(5-14).
135
„„,.лтйг1 нулю теплоемкости металла
пер&^Тф'унк^ Г‘" п₽инймает таК°" “ИД:
пачгонная функция изображена на
Упрощенная р 11ереХодиого процесса равна ттр.
рис. 5-3,а.	тепдоотдачн бесконечно велик, то
Если коэфф н	о пр011есса по сравнению со
длительность ' еРе’	, а скорость изменения темне.
SJZ^ctb'chho снизится, передаточная функция
при этом имеет вид:
а соответствующая ей разгонная кривая при ступенча-
том воздействии по каналу теплоподвода представлена
на рис. 5-3,6.
Исследование остальных -передаточных функции мо-
жет быть выполнено аналогично. Из проведенного ана-
лиза динамических характеристик, полученных при очень
сильных упрощениях, можно сделать важные для прак-
тики выводы:
1. Влияние теплоемкости металла на растягивание
переходного процесса велико, и его учет является обяза-
тельным (Л. 7].
2. Устройства воздействия на температуру перегрето-
го пара (впрыскивающий пароохладитель) следует рас-
полагать ближе к -выходу, что уменьшит массу металла,
участвующую .в переходном процессе, и облегчит регу-
лирование перегрева [Л. 8].
УЧЕТ НЕЛННЕПНОП ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛООТДАЧИ ОТ РАСХОДА
Если в математической модели (5-1) — (5-2) учесть
точную зависимость (4-33), то мы придем к передаточным
функциям, совпадающим, за исключением \Vfn , с зависи-
мостями (5-14). Точная передаточная функция W по-
136
ручается в виде
г у/   К в VS 4- |
V, s(s 4- s0) 0	(5-18)
где v определяется по соотношению (4-49).
Точная и упрошенная передаточные функции WID от-
личаются членом vs+1, стоящим в числителе первой.
Однако при п, близких к единице, постоянная времени
v мала. В этом случае, как будет количественно показа-
но ниже на примере разгонной функции, искажение
кривой при п = \ несущественно. Достоинством же при-
ближенной передаточной функции, -помимо большей
в сравнении с (5-18) 'Простоты, является ее совпадение
с точностью до постоянного коэффициента с передаточ-
ной функцией по каналу тепловой нагрузки.
УЧЕТ НЕБОЛЬШОГО ИЗМЕНЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ
Теплоемкость рабочего тела сравнительно мало зави-
сит от давления (в пределах ожидаемых изменений в не-
стационарном режиме), но заметно изменяется при из-
менении температуры, особенно если состояние потока
близко к насыщению при докритическом давлении или
к области фазового перехода при 'сверхкритическом дав-
лении. Удельная теплоемкость воды св с повышением
температуры возрастает, а пара—падает. Неучет зави-
симости	может существенно исказить темпера-
турную информацию как в динамике, так и в статике.
В общем случае закон cs=f(7) является нелинейным,
но в пределах стационарных приращений температур
в большинстве поверхностей нагрева со слабосжимае-
мььм потоком рабочего тела этот закон с большой точ-
ностью может рассматриваться как линейный, так что
в любом -сечении теплообменника теплоемкость может
быть определена из соотношения
C.=eK+^-f/-l,t.	(5-19)
где
4^-=const.
ot
При учете переменности теплоемкости линеаризацию
уравнений (3-1) — (3-4) необходимо выполнить заново.
Приняв во внимание, что £*в=#Дг). и представив урав-
нение состояния i=i(p. t) в дифференциальной форме
137
(4-31), запишем систему уравнений динамики 'В таком
виде!
(5-20)
?—ал. тт=“ЛИ* — Ч.
В переходном процессе при изменении температуры
теплоемкость са также будет изменяться, и нужно за-
писать
Св^во+ДА»	(5-21)
б’
где в соответствии с (5-19) Дсд=-т—Д/.
Выполнив с учетом (5-21) линеаризацию системы
уравнений (5-20), получим при п=1:
=	(5-4а)
М?-ГИ^-+^ДОВ1 = Д0-Д/.	(5-5а)
Внешне системы (5-4), (5-5) и (5-4а), (5-5а) отличаются
только членом /?Д/, где	Lt Однако в по-
следней системе в коэффициентах вместо с0 надо под-
ставить сВА, которое по соотношению (5-19) есть функ-
ция /о, т. е. зависит от -координаты г. Решить систему
уравнений с переменными коэффициентами трудно. По-
этому .при малом изменении теплоемкости сво в преде-
лах -поверхности нагрева целесообразно .взять ее посто-
янной, ра-вной среднему значению.
Решение методом преобразования Лапласа системы
уравнений (5-4а) — (5-5а) с постоянными коэффициен-
тами приводит к -следующим передаточным функциям:
и W t
®к.=А-	'T,A=-,r-^g + l) (I - it,,,).
(5-14 а)
где П (s) = ТМЛ,$2+ (7М4- 7П + TMR) s +/?.
138
Коэффициенты усиления передаточных функций пои-
нелепы в табл. 5-2.	v
Передаточные функции (5-14а) в отличие от выра-
жении (5-14) учитывают зависимость теплоемкости от
температуры (различие исчезает, если принять дси1д1=^Ъ.
при этом 7? = 0). Однако это приводит к значительному
усложнению расчетных формул, не оправдываемому
большей их точностью. Отказываясь от применения за-
Таблица 5-2
Коэффициент усиления для температуры рабочего тола
радиационного теплообмен лика с учетом небольшого изменения
теплоемкости
Хо*ф-
фШШ*
СНГ
у силе»
Н1ГИ
Возмушдюгдее иоадейстпие
АЛ
П рйм-ечаии е.	Я ** — в|эеднс»ряфистяпс<.-нле лн-мгпнП тен«
«_ »
лоемклстп в сечелдях Онг.
внсимостей (544а) в практических расчетах, попытаем-
ся скорректировать с их помощью решения (5-14) так,
чтобы в иовом установившемся режиме шрийти к точным
значениям температурных отклонений. Для этого нужно
сравнить коэффициенты усиления, подсчитываемые по
формулам (5-14) и (544а), по отдельным каналам пере-
дачи 'возмущений.
Очевидно, что -поправочные коэффициенты, на кото-
рые следует умножить передаточные функции (5-14),
имеют «вид:
(5-22)
139
При Си const поправки становятся равными единице,
так как бсп = 0. Поправочные-коэффицпепты (5-22) мож-
но вычислить, имея решение стационарной системы урав-
нений для отклонений в новом режиме. Эту систему
можно получить из -системы (5-4а)-—(5-5а). положив
временные члены равными нулю. Решение последней ме-
нее трудоемко.
ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА
Как и для сосредоточенной модели, колебания расхо
да определим из уравнения сплошности (3-18). считая
отклонение температуры ДЦг, т) известной величиной,
а отклонение давления в соответствии с допущением
/;(г)=€оп$1 равным:
Ар (г, г) =.\Р1(Т).
Учтя уравнение состояния (3-21). запишем уравнение
(3-18) в области изображении:
- xpSA( (г, 4) - x(sA/?, (s) = 0.	(5-23)
Для модели с распределенными параметрами
•-<» = -/>: »' = -/>•	0'24)
Искомое изображение получается в результате интег-
рирования по г уравнения (5-23). Поскольку Л£>в(0, .-?) =
= ADsl(s) и APi(s)^f(z). то
Д09 (г, s) = ADa, (S) + xp-f J At (г, s) dz + KtzsAPi (s). (5-25)
0
Подстановка в это выражение значения A/(zt s) из
(5-13) и интегрирование позволяют «получить искомое
изображение расхода s). Например, при возму-
щении температуры потока во входном сечении имеем:
АД (гл) = xpSA^ (S) j g-^z =	(1 — е“Рг) Д/, (s).
в
Аналогично можно получить Д0н(2, s) и .при других
возмущениях. Решение в виде передаточных функций
140

Здесь коэффициенты х п Q даются равенствами
(4-45).
Передаточные функции сложны. Однако, даже оста-
ваясь в области изображений, можно получить некото-
рую информацию о 'поведении разгонных кривых. Так,
с помощью предельных соотношений в преобразовании
Лапласа находятся значения оригиналов для 'изображе-
ний при т = 0 н т==со.
Положив в (5-26) Tm=0, можно определить реакцию
расхода для случая, когда тепловая аккумуляция пре-
небрежимо мала. При этом передаточные функции суще-
ственно упрощаются:
—*
= );
1	— т _S 1
” jj;
%>„-! +«. (I -lfe-0
%..=»,*> ф + [> --кг<‘)])• '
(5-26а)
Вид разгонных кривых, соответствующих этим пере-
даточным функциям, показан на рис. 5-4. Длительность
переходного процесса определяется, очевидно, временем
Pitc 5-4 Разгонные кривые расхода я радиационном теплообменни-
ке -при пренебрежении эффектом тепловой аккум удлини в металле.
а — ск т* 0; 6 — а -> о°.
При ав = оо передаточные функции отличаются от
(5-26а) только коэффициентами и 'временам запаздыва-
ния. которое в данном случае возрастает и равно тТр+
4-тм; соответствующие разгонные кривые также изобра-
жены на рис. 5-4.
ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ
Меньше всего эффекты, связанные с распределен
ностыо параметров, 'проявляются в отношении давления
рабочего "тела (если не рассматривается автоколебатель-
ный процесс). Это предположение, 'подтверждаемое
экспериментом [Л. 24], позволяет при определении изме-
нений давления считать теплообменник сосредоточенным
сопротивлением. Уравнение, описывающее отклонение
давления, будет при этом иметь вид (4-47). Входящие
в него значения А/ и <АРН получены 'выше в области
изображений, что позволяет легко выделить передаточ-
ные функции по давлению. Рассчитать изменение дав-
ления с достаточной точностью можно с помощью зави-
симостей (4-49).
НЕОБОГРЕВЛЕМЫП ТРУБОПРОВОД
Некоторые длинные трубопроводы (паропровод «па-
рогенератор — турбина») надо рассчитывать с учетом рас-
пределенности параметров в них. При этом можно вос-
пользоваться решениями для радиационного теплообмен-
142
инка up и нулевом телл.оподводе:
Г -е Г“,+ '	•
" а1 — <	;
%>., = >
Остальные 1псрсдаточныг функции можно «не (Прини-
мать во внимание, так как Д</-0 н J/u/^ = 0.
ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Решение уравнений нестационарного теплообмена при
учете распределенности параметров в направлении дви-
жения «потока «рабочего тела (5-13) получено «в области
комплексного (Переменного. Переход от изображения к
временным зависимостям позволяет найти реакцию тем-
пературы и расхода 'рабочего тела на наиболее харак-
терные возмущения. Для скачкообразного воздействия
по основным каналам (Передачи возмущении такая опе-
рация «первые была выполнена А. А. Талем (Л. 93]. Им
же дан способ 'вычисления разгонных функций («номо-
граммы Таля»).
ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕМПЕРАТУРЫ
РАБОЧЕГО ТЕЛА
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ РАБОЧЕГО ТЕЛА НА ВХОДЕ
Для произвольного возмущения Wi(t) изображение
изменения температуры любом сечении канала z имеет
вид:
М (?. s) = 1Г,, Д/, (s),	(5-27)
где передаючцая функция дастся первым из равенств
(5-14) или, в несколько мной форме, равенством (5-16).
Обратное преобразование изображения дает переходную
характеристику как непрерывную функцию пространств
ва и времени.
143
Скачкообразное воамущеине в соответствии с (3-23)
выражается следующими уравнениями-
Л, «= I °	’5. ;	(5-28)

При этом возмущении и ростра нетленно-времен на я
функция т) принимает вид:
*
= L 'J г'т₽£ — г	Y	(5-29)
|	s	J
где тТр определяется (первым из соотношений (5-17).
Приведем изображение, стоящее (под знаком обрат-
ного преобразования, к виду, удобному для отыскания
оригинала. Пусть
ILf. ь?м‘	(5.30)
Сделаем в (5-30) смещение в плоскости изображений
на величину а=1/Г„. Известно (Л. 16], что
.	** е+ =-
—Ц-е • = fb)e r”
s~t^
(5-31)
С помощью интеграла Дюамеля [Л. 16] легко убеди-
ться, что
Е
е1 =(/(!;. т),	(5-32)
где (/(£, т) определяется равенством (П-6)*. Умножим
в изображении (5-32) переменную 5 на коэффициент Гм.
При этом по правилу изменения масштаба [Л 16]
должно выполняться условие
~Ге s =и (l,	(5-33)
1 м
* Подобные ссылки па приложен и я несколько неудобны для пи-
тателен. Однако такая форма изложения позволила заметно сокра-
тить основной текст книги, ке загромождая его подчас довольно
длинными выкладками, что обегчает восприятие содержания в целом.
144
Сопоставляя (5-31) и (5.33). находим:
/ fc) — а

С учетом соответствия (5-30) и члена запаздывания
е решение (5-29) принимает вид:
Т1).
где
71	(5-34)
Переменную -q можно записать иначе, если учесть со-
отношение (5-17)
G = f* 4" —♦	(5-34а)
где
с = —	(5-35)
Если 1воополъзоваться обозначением (П-21), то окон-
чательно разгонная характеристика запишется так;
м
= Vt.
(5-36)
Таким образом, функция Vt описывает в 'Пространст-
ве и времени изменение температуры в радиационном
теплообменнике при скачкообразном возмущении тем-
пературы потока во входном сечении. Свойства функции
Vj указаны в 'приложении 2, поэтому всесторонний ана-
лиз полученного решения является простым.
Переходный процесс при возмущении температуры
рабочего тела на входе является функцией двух
безразмерных переменных £ ит| (рис. 5-5). Кривая изме-
нения температуры рабочего тела может быть изобра-
жена в декартовых координатах, если одну из перемен-
ных рассматривать как параметр. Серия графиков функ-
ции У( приведена на рис. 5-6. В приложении 4 даются
таблицы функции /1 для широкого диапазона измене-
10—1031	145
Рис. 5-5. Пространственная картвна переходного процесса при
скачкообразном возмущении температуры рабочего тела пи
входе.
ния | и гр Приближенно функцию V, можно построить
с помощью асимптотических выражении (П-15) — (П 17).
Экспоненциальное возмущение в соответствии с (3 -27)
задается следующими условиями:
|	0 при т < 0;
при t 0,
или в изображении по Лапласу
Ы. (з) = —Д/,
*4 ' s 4- 8 1
В плоскости комплексного переменного з изменение
температуры в любом сечении теплообменника запишет-
ся -в виде
“ (* з) _ I 1+Г“5
"+f е
(5-37)
Дописав iB числителе показателя последнего экспо-
ненциальното сомножителя ±£, приведем его к такому
146
виду:
£
е =	1 .	(5-38)
Оригинал изображения (5-37) буде! определен, если
удастся найти соответствие
Если представить F(s) в виде произведения функций
Е
'<*)-» жЙ5ТП57в"'Г‘‘ =^. <’>е>®'
то оригинал [ (t) может быть найден с помощью интеграла
Дюамеля:
?(-:)=	+ L(O)hW- (5-39)
о
Необходимые соответствия берутся из справочников
]Л. 26, 27|. С учетом соответствий
Х/о	Г“/о(2^тт)'
где Сц = 1 — TKg.
Обозначив
и	1 _ J__________..
Сй = к Т^. “ ’ с* ~У>
последнее равенство запишем в виде
т х
f (-) е г* еr J <?' “/»(2 К'Л') +
О
Принимая во внимание (П-19), окончательно запи-
шем:
~~r~ f х \
Это же соответствие берется непосредственно из при-
ложения 3 (формула (П-23)]. Здесь на примере показа-
но, как можно получить подобное соответствие.
С учетом найденного оригинала получим в соогв
ствии с (5-37) и (5-34) математическое выражена
реходиого процесса при экспоненциальном возмущен и i
Используя обозначение (П-28), окончательно запишем:
= (•>!'»)
При g = 0 экспоненциальное возмущение превраща-
ется в скачкообразное и выражения Vt и V’oл совпадают
Функция VOk показана на графиках рис. 5-7 для
личных Jj.
Функция Voh может быть представлена следующим
образом:
Vnft = ^+*№+i>
где Ei = s/tft, = Такая запись позволяет для цахсж
дения Иль воспользоваться табличными значениями ли-
бо функции Vt (при Сл>0), либо функции
_т.)
(при сл<0). Таблицы функции даны в приложении !
При линейном возмущении (см. рис. 3-4,в)
Д/1(т)=Лт, A=const.
Их
В соответствии с равенством (5-97)
Лапласу температуры истока в любом
принимает (вид:
Изображение .по
сечении канала
аг (>, s)
k
ж
е
ЗУ
'+\*
Оригинал этого изображения определяется -по при-
ложению 3 (соответствие 21). В результате переходная
характеристика при линей-
ном возмущении описывает-
ся зависимостью
где Г’2 определяется по
(П-22), а входящая в У2 пе-
ременная 1] дается выраже-
нием (5-34). Функция Vo
приведена на рис. 5*8 для
различных 2. а таблицы ее
значений для широких пре-
делов изменения аргументов
даются в приложении.
Найденные выше анали-
тические зависимости лозво-
л я ют п ол уч и т ь переходные
характеристики температуры
стенок канала. Если-подста-
вить в одно из исходных
уравнении (например. урав-
нение энергии) известное
значение Д/, то после выполнения дифференцирования
можно сразу получить пространственно-временную зави-
симость АО (г, т).
Определим изменение температуры (металла стенок
для случая скачка в момент времени т-0 температуры
рабочего тела иа величину Vt.
Подстановка \t [равенство (5-36)] в уравнение энер-
гии для потока дает:
<?£ Н- — д/,
Правило дифференцирования функции V, дается со-
отношением (П-46). Следуя ему. придем к следующем)
149
результату:
Д8
д/.
— У,—V
где 1/0 определяется равенством (П-24). Кривые изме-
нения температуры стенки канала при скатке температу-
ры жидкости па входе приведены на рис 5-9. Вычис
лить функцию Ио для широкого диапазона переменных
5 н 1] можно с помощью таблиц, помещенных IB прило-
жении 4.
Функции Уь Уг, Уо и Уол зависят от аргумента
Ч = (х Ъгр)/Тк и равны нулю при т<ттр. Физически это
означает, что в силу принятого (предположения об отсут-
ствии растечки тепла по металлу и рабочему телу в на-
правлении оси z изменение температур потока и стенки
в произвольном сечении начинается с момента достиже-
ния этого сечения частицей жидкости, получившей при
т=0 новое значение температуры, т. е. при г2>ттр.
150
ВОЗМУЩЕНИЕ ОБОГРЕВА
Если .причиной нестационарное™ является изменение
количества подводимого тепла, то изображение темпера
туры рабочего тела >в области комплексного переменно-
го имеет вид:
Д/(г, =	е )W. (5-41)
где «и находится из (5-12).
По виду изображения (5-41), не выполняя операции
обратного .преобразования, можно утверждать, что пе-
реходная функция определяется различными законами
в двух интервалах времени. В первом интервале
(О^т^Ттр) частица рабочего тела, появившаяся на
входе <в ’Канал при т=0, еще не достигла рассматривае-
мого сечения с координатой г, во втором интервале
(тТр^т<°о) 0513 уже прошла это сечение.
Определим переходные характеристики температуры
рабочего тела для трех законов изменения во време-
ни обогрева Л<?(т).
Импульсное возмущение Д<г(т)=6(т), где б(т) — еди-
ничная импульсная функция Дирака (см. § 3-4). Преоб-
разование но Лапласу этого возмущения есть
Д<7($)=Ь{6(т)}=1.
Импульсная переходная функция температуры рабо-
чего тела должна быть найдена из выражения
—- S |+Гм*
1 - е * е
м
тит.
Воспользовавшись известными соответствиями меж-
ду изображениями и оригиналами (Л. 16], запишем.
f. И - нтта  rw=-?(1-^‘’);
Эя
|	г
F (s)= I—“ =F-,(s) F".(S);
151
Ор,г»,«о» функции '’.W б>'дет с“'р'ка
/•	л * ~~ zt? А ///
'•(*’ Гк )ai-
о
функций
Так как 16=° при т<тТР, то в качестве >н.шнего ^е-
дела интегрирования можно взять тТР. Сделаем замену
переменной интегрирования:
При этом
;1(г)=г^-11-е>’1р“-с’“«)*«•
о
Здесь коэффициент с дается выражением (5-35),
а верхний предел интегрирования Tj — выраженяем
(5-34) или (5-34а). Переменную интегрирования под
знаком интеграла можно обозначить т]. Воспользовав-
шись соотношением (П-72), получим:

где функция |/00 определяется формулой (П-26) при
s и )]. записываемых в соответствии с формулой (П-27).
С учетом найденных оригиналов запишем выражение
к м п у л ьс но й х а р а к т ер 11 ст11 к и:
д/ г, Г -(1-е) Д
Кч/Тиг, ~ ПГ7 [1 ~ е — V,+К.0
или
Л',/Г,(1 - с) — ь>	(5-43)
где То дается запиоимостью (П-30) при а = Гм. Таким
образом, функция гр0 описывает импульсный переходный
процесс при возмущении обогрева. На рис. П-6 видно,
152
что -реакция на импульсное возмущен не имеет вид фи-
нитном функции. Свойства функции ip0 описаны -в прило-
жении 2.
При скачкообразном возмущении [ Лq (х) j раз-
гонная характеристика может быть найдена в результате
обратного преобразования выражения
Разгонная функция находится также
пнем импульсной inepexoinoii функции
(3-25)]:
интегрнрова-
[соотношевке
1
Правило интегрирования функции фо дастся соотно-
шением (П-82). С учетом этого-соотношения
Рис. 5-10. Пространственная картина переходного пронес
сз при скачкообразном возмущении обогрева.
л/
‘у«т aBhf *
153
щен.ш обогр^а) ’описывается зависимостью (П-31),
Гк горой а=Л.. Пространственно-временное распреде-
.шше отклонений температуры потока рабочего тела при
скачке обогрева изображено на -рис. о- Н 
Реакция теплообменника на возмущение обогрева по
,инейному законе, найденная либо обратным преобразо-
ванием изображения (5-41). где	либо интег-
рированием разгонной функции <|ь имеет вид.
М
----	— — ?>1
где функция tp2 определяется зависимостью (П-32) при
«=Гм-
ВОЗМУЩЕНИЕ РАСХОДА
Динамика температуры'рабочего тела при изменен iif
количества протекающей среды описывается в облас t
изображений по Лапласу •следующей зависимостью

Переходные характеристики при различных возму-
щениях наиболее просто найти с помощью приложения 3
5‘**’ НоРМ|фовй»ние раягоняые кпивые при иозммнешш рас-
<л-пРй? ‘ ™и г71” с?Учаев -™пейной (н = !) и нелинейной
J -T°-j r8jCI-M°i»Tlrt к^’Ф|Ь,|“‘с',та теплоотдачи от расхода
И 'в 3- б Гя-Ю. Ta-L VIS.	Г
154
Так. разгонная функция имеет .виц.
ДГ	’ . V
----с------=?, + ~
(5-46)
Если записи мость коэффициента теплоотдачи от ,п,г
хода принять линейной,	А 11 ит Рас'
an = KDB.
т. е. «=1. то соответствующие переходные функции ПВ1!
возмущениях ои трепа и расхода совпадут (с точностью
до Ч1И'.1ОНОП) коэффициента). Кривая переходного пвоцес
са при -возм тении расхода рабочего тела, построенная
в предполож пни линейной зависимости {при д=() ма
ло отлнча! тся отточной кривой (при /1 = 0,8) как’тли
экономайзера (рис 5 11//). так и для пароперегревателя
(рис. 5-11.6)
ВОЗМУЩЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ СРЕДЫ
В области изображений зависимость, отражающая
влияние давления на температуру потока, имеет следую-
щий вид
1Г *
,_ п>
С х Л f *	* -* Т-Л \
Af (z, s) Кр~^ 1 — е е bpx(s).
Оригиналы для некоторых стандартных законов из-
менения Д/j, т) приведены в таблице соответствий при-
ложения 3 Так. разгонная характеристика имеет вид:
Л р -j р j	*
(547)
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
Аналитические выражения переходных характеристик
температуры рабочего тела получены ф результате реше-
ния исходной системы дифференциальных уравнений в
частных /производных (5-4) — (5-5). Как решения, они
удовлетворяют этим уравнениям, а также соответствую-
Шим краевым условиям.
Временные характеристики для основных стандарт-
ных возмущений описываются функциями I у и <Ti- Нали-
чие таблиц функций облегчает выполнение расчетов.
Поскольку при отыскании динамических характерными
’	'	155
ппихолгтся много оперировать функциями V( и е. в при-
оХж. <>приведены основные свойства этих функции,
a tIkS npS-да дифференцирования и интегрирования
ifv 1ш обеим переменным.
Математические фмккшш. определяющие изменение
температуры в переходном процессе, зависят от трех ве-
личин: Г,'г и с. Эти величины отражают .все многообра-
зие конструктивных и эксплуатационных параметров
рассматриваемого класса теплообменных аппаратом.
Число этих параметров велико, однако их влияние про-
является не порознь, а в определенных 'совокупно. гях,
являющихся основными характеристиками теплообмен-
ника.
К таким комплексам, определяющим переходный про-
цесс, относятся: постоянная времени Гм = (ям^м)/(4.Л1).
характеризующая теплоаккумуляцню в металле; параметр
протяженности 5=^-?; отношение теплоемкостей метал-
”пгп
ла и рабочего тела с= —
Из графиков на рис. 5-6—-5-9 легко .видеть, к чему
может привести изменение топ или иной 'величины, вхо-
дящей в определяющие комплексы.
Изменение величины 7\, ведет лишь к изменению
масштаба по осп времени; форма кривой остается преж-
ней. поскольку она .полностью определяется величиной
ij Увеличение ; н Т» означает увеличение инерционно-
сти процессов.
Аккумуляция тепла в металлических стенках канала
в рабочем теле оказывает решающее влияние на инер-
инонные характеристики теплообменника. Однако .в про-
мышленных теплообменниках роль обеих составляющих
аккумуляции одинакова лишь (при течении жпдкост i
(например, воды) При этом постоянные 7*м и 7„— вели-
чины одного порядка. Если рабочим телом является пар,
масса которого в объеме труб мала, то доля переменного
количества тепла, содержащегося в нем, по отношению
к общему количеству тепла (в металле и в (потоке) не-
значительна. Эго позволяет пренебречь эффектом акку-
муляции тепла -в потоке, считая, например, gB = 0. При
составлении дифференциальных уравнений нестационар-
ного процесса можно сразу принять Гп=0.
Упрощенные временные зависимости для случая
/п = 0 .можно найти из решения точной задачи. При
/н-0 запаздывание tT[) = |7r обращается в нуль а па-
156
раметр с---Тм/Тл — з бесконечность. С учетам этого
функции <|. принимают следующий вид:
1	' р ?i у V3; «Pg —-i- f-—\ —. v\ и т д
*	~ \ * м /
(5-48)
Переменная |), входящая в функции V,-, принимает
вид: г) = т/Тм. Таким образом, временные характеристики
<1 (, описышакхцие динамику радиационного теплообмен-
ника (При возмущении обогрева и расхода рабочего тела,
при допущении 7’H = Q зависят только от двух перемен-
ных. Это позволяет с требуемой полнотой изобразить
в декартовых координатах все многообразие функций ср,.
Упрощение, связанное с отказом от учета тепловой акку-
муляции в потоке, сильно облегчает нахождение динами-
ческих характеристик. Однако это упрощение связано
с определенной погрешностью. На рис. П-6 и П-7 срав-
ниваются точные н упрощенные функции ц (. Очевидно,
что уже при с ——20 для ориентировочных расчетов це-
лесообразно использовать упрощенные зависимости.
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗГОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Разгонные характеристики описываются, вообще го-
воря, пеэлемеитарпымп функциями, мало освещенными
в литературе [Л. 6, 96. Ио, 116]. Вычислить разгонные
характеристики легко (см. приложения 4 и 5), однако
этого недостаточно для уверенного их анализа и получе-
ния различного рода информации. Необходимо уметь
выполнять над ними наиболее распространенные опера-
ции (интегрирование,
дпфференпкро в а и и е,
нахождение их значе-
ний при крайних вели-
чинах обеих перемен-
ных п т. д.). Минимум
сведений о функциях,
входящих в разгонные
характеристики, мож-
но найти в приложе-
нии 2.
Методами матема-
тического анализа
Рис. 5 )2. Параметры точки перегиба
разгонной кривой.
157
можно установить ряд -практически важных характери-
стик динамических кривы*. Для наиболее интересного
случая разгонных кривых такими характер и t гиками яв-
ляются: монотонность» коэффициент усиления, значения
функции и ее производных в начальный момент времени,
наличие точки перегиба н значения связанных j? нип па-
раметров (ординаты и абсциссы точки ncpei нба, посто-
янных времени ГОб и таб)» Р,1С- 5-12. Набор подобных па-
раметров целиком определяется потребностями решае-
мых задач, главным образом различными методами
аппроксимации точных характеристик.
Разгонная характеристика температуры -потока в про-
извольном t'eneiwiii теплообменника пир и возмущен ни тем-
пературы рабочего тела на входе записывается ра-венсТ’
вом
й«.=<=1'-- <5-49’
При т^оо hlt — 1. как это следует из асимптотики
функции V,.
Разгонная характеристика ht/ и все ее производные
равны нулю при х<ттр.
Условием монотонное nut функции является постоян-
ство знака первой производной по времени. Первая произ-
водная от h,.
e I ^^(21^)	(э-50)
всюду положительна, что свидетельствует о монотонном
росте Л;Л. Нетрудно убедиться, что вторая производная
по времени от htt
-fr+OA (2 J Ег.)|
имеет разные знаки для разных г, = (т - ттр)/Гм. Условие
существования точки перегиба = о) будет выпол-
нено, когда выражение, стоящее в 'квадратных скобках,
о ратмтся в нуль. Ненулевой корень этого уравнения
дает аопшесу точки перегиба т)„=(Тп—с™)/Гм.
J 58
Ординату точки перегиба можно найти, подставив
tpi и (5-49). Касательная, проходящая через точку пере-
гиба. определяет постоянную времени объекта
(см. рис. 5-12):
J____г1!^\=±е~''+^ 1/Т/ (2 VbT)
Гое " Л Г„	I	'т,п'-
Параметры точки перегиба разгонной функции (5-49)
приведены на рис. 5-13 для различных £. На этом же
рисунке дана кривая условного запаздывания, с очевид-
ностью определяемая равенством
__ г.
*Qq6 т1п ”	*
где
___ ттр
Yio6 — т
J м
Разгонная характеристики при возмущении обогрева
дается соотношением (5-45). Коэффициент усиления по
этому каналу с учетом асимптотики функции cpi есть
Д/ . -1 ~~г t
Г	с
-rh W
Для удобства перейдем к нормированной форме раз-
гонной характеристики, разделив обе части равенства
159
(5-45) на коэффициент усиления:
llli = j (| _ г) 'Р*•
(•5-5))
Первая производная от htQ по - имеет вид:
с-м>
где qro определяется равенством (П-30) при ц = Ле. Функ-
ция <[« описывает реакцию температуры рабочего тела
па импульсное .возмущение обогрева. 1ак как то
первая производная (5-52) ©поду положительна, а раз-
гонная функция ht<l монотонно возрастает.
Вид функции фо свидетельствует о налипни па кри-
вой ht<} точки перегиба. Вторая производная по т есть
выражение
'^=ТГГ ‘	'-V„ •	(5-53)
где 1/о0 дается соотношением (П-26). Абсцисса пересече-
ния кривых е * и Vo9 будет абсциссой точки пере-
гиба. Несложным анализом можно установить, что обе
кривые пересекаются в единственной точке с абсциссой
т, равной времени транспортировки ттр частицы жидко-
сти от входа в канал до рассматриваемого сечения.
Ордината разгонной функции в точке 'перегиба под-
считывается по соотношению (5-51). Надо иметь в виду,
что при т=ттр (т. е. при п=0) 1Л=/00, У2 = 0, ттр/Гм =
= g/c. Подставляя в (5-5|) тТ1> вместо г, получаем:
А,?(Ттр)==г±7['|_ J_(]_^B)],
(5-54)
Т dhtq (Хтр) _____ !
м ~	~ в
запаздывание (СМ. рис. й-12) находится
подстановкой в равенство гоб = ттр—ЛГоб выражений для
Угол наклона касательной в точке перегиба
т ^fg(XTp) _________ 7\1 I /1	—
о-е ).
Условное запаздывание (см. рис. 5-12)
XX “Ч wv Г» • V	а V «« . _	_	_ _	Л
h и ТоГ):
таа _	1
\ -Т=7
В/- ~в
1 — е~в
160
Рис. 5-14. Параметры точ-
ки перегиба разгонной
функции Ж и (М=-с).
Значения параметров точки перегиба /1, T,„-ITM и
Гоб/Тм приведены на рис. 5-И для различных | н с.
Сама разгонная функция (5-51) и ее первая произ-
водная (5-52) ра!вяы нулю при т = 0 в силу равенства
нулю функции гро и гр|. Однако уже вторая производная
(5-53) и 1зсе производные более высокого порядка при
т = 0 отличны от нуля.
Разгонная характеристика при возмущении расхода
рабочего тела, приведенная к нормированному виду.
.________с
5(1—г)
I *	\
?! + f~ ?»
1 м /
отличается от Л/7 весьма незначительно (см. рис. - ),
и можно в первом приближении считать, что параметры .
точек перегиба этих функций совпадают. *
В качестве нормированной разгонной ФУн™ик при
возмущении давления примем выражение (□-- /). т« •
=1 - V. + пЬ (5'55’
161
11 — 1031

Г1ри г —О Л, =1. Б начальный момент времени
—, т. е. функция убывает и с течением
Г-	— =ооЛ,Л = 0.
dt т-0
времени приходит к нулю, так как при г
РАЗГОННЫЕ ФУНКЦИИ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
Изображения по Лапласу отклонении расхода при
внешних воздействиях известны [передаточные функции
(5-26)]. Выполняя с помощью приложения 3 операцию
отыскания оригиналов, можно получать 'пространствен-
но-временные зависимости ADB(z, г).
Разгонные функции расхода можно получить также
непосредственно из уравнения сплошности
дЫК дЫ v _п	_ r„s
~аг~л?	—u- (°-56)
поскольку реакция температуры потока Ai(z. $) опре-
делена выше. Интегрирование уравнения (5-56) в пре-
делах от 0 до г дает
ДРВ (г, г) = AD, (т) + хР [ dz + х^ (г) ДА. (5-57)
Импульсная функция бг появилась три дифференци-
ровании скачка давления. Правила дифференцирования
по т и интегрирования по z функций, входящих в раз-
гонные характеристики Л/(z. т), приведены в приложе-
нии 2. Применим их, например, для отыскания разгон-
ной функции расхода при возмущении температуры ра-
бочего тела во входном сечении.
Для рассматриваемого возмущения уравнение (5-57)
примет такой ъид;
№.
Ж,
их
Поскольку гит взанмонезависямы, шорядок иитег-
°к?°!.аН.1Я и^д11ФФеРенцнроаания можно поменять на
воспользовавшись соотношением
обратный. Тогда,
(П-48), получим:

Г=7(?. + т,)
162
Рис. 5-15. Реакция температуры и расхода в радиационном тепло-
обменцикг на различные возмущения.
1 - модель с porijpf деленными параметрами; 2 - модель с сосредоточенными
параметрам»
Дальнейшее днффереицнро-ваине по т функций q,.
[равенство (П-80)] и [равенство (П-81)] приводит раз-
гонную характеристику к окончательному виду:
,	л0» - й
(5-58)
где /^—выражение, определяемое равенством (5-оэ);
коэффициент х вычисляется по формуле (4-4о).
11* '
Аналогично находятся остальные разгонные функции;
У_^ 1	1 ; /г nq\
+ 1 —с vJoJ)
Л _ _ .*£•_______________L^_
X>Aq^</ Л»
I	—____-___b/?
Ъ* = »фк - Wtt °) » <’) + (т. -» -1) й»а+
l-yrri^o + rzr?5?" +^(1/т — Vo)-
(5-6i)
Здесь коэффициент В дается соотношением (5-54).
Разгонные функции температуры m расхода модели
радиационного теплообменника с распределении мд па-
раметрами (пароперегревателя) при Гм —ho, 7 n = I,
|=15 изображены па рис. 5-15. Для сравнения там же
приведены -кривые для модели того же теплообм нника
с сосредоточенными параметрам-li (пунктирные л! hi).
Как видно из рис. 5-15, точность темп ер а ту,р нон инфор-
мации, (полученной при помощи модели с сосредот чер-
ными параметрами, невелика, и применять эту модель
в расчетах можно лишь в качестве 'первого приближе-
ния. Изменения расхода, напротив, .получаются бл узки-
ми по величине, что даст основание рекомендовать к
использованию в расчетах более простую модель с сосре-
доточенными параметрами. Таким образом, эффект рас-
пределенности параметров наиболее ярко проявляется по
отношению к температуре потока и значительно меньше
по отношению к расходу и давлению.
ЧАСТОТ!1ьн: ХАРАКТЕРИСТИКИ
На вход теплообменника может быть подано гармо-
ническое возмущение определенной амплитуды и часто-
ты. Переходный процесс, вызванный таким возм\ шепнем,
также будет носить колебательный характер с той же
частотой, что п вынуждающая сила, но с амплиту-
дой. зависящей от частоты w п -времени т; фазы колеба-
164
кий на входе и выходе будут -различными с,ВКг а ,
таК?ке зависит от и т.	’’««и, сдвиг фаз
С течением времени переходная составляющая к.
лебатс,:явного процесса затухнет и Устаhcw1t Г режим
вынужденных колеоанин с .постоянной амплитудой пп.
1|ем отношение амплитуд и сдаиг фаз колебав ,й какого'
либо выходного параметра i и вынуждающей сХ ;
зависят только от частоты'	1 ‘
Зависимости Л0(ц>) и Ч'«(<о), как правило очень
сильные. При нулевой частоте 4,j=Kij, где /С(, — коэф
финиент усиления (Передаточной функции; с ростом час
ТОТЫ отношение амплитуд быстро уменьшается. Для
линейной модели в общем случае	где я —ко-
эффициент отличный от нуля. Поскольку действитель-
ный объект всегда обладает рядом нелинейностей,* то
в .пределе при »—>-оо отношение амплитуд для боль-
шинства каналов передачи возмущений уменьшается до
нуля. Пр । котором значении (о = ыс величина A:j рав-
на Д/2, где \ —зона нечувствительности измерительного
прибора. Частоту' шс называют частотой среза [Л. 67].
При дальн ншем увеличении частоты вынуждающей си-
лы объект практически не реагирует на возмущения,
фильтрует их [Л. 71]. Интервал частот	состав-
ляет так называемый интервал существенных (для рас-
сматриваем го объекта) частот.
Интервалы существенных частот отдельных элемен-
тов парогенератора не совпадают. Чем более инерцион-
ным является элемент, тем ниже значение <><-. Парогене-
ратор как совокупность элементов обладает значитель-
ной инерцией, и его интервал существенных *,ас™т
лежит, как показывает натурный эксперимент (Л. 52. 71.
78], а пределах 0<ш<0,02 (Мсек). Именно в этом диа-
пазоне частот имеет смысл сравнивать различные мате-
матические модели одного и того же элемента парогене
ратора, добиваясь наибольшего соответствия деиствн
тельным частотным характеристикам.
Частотные характеристики линейной .модели о
могут быть найдены двумя способами:
1) ИЗ -.переходной характеристики три гармонии,
возмущении и т—>-оо;	•
2) из передаточной функции при зам
Ниже применяются оба эти способа.
’ Рассматриваются только линейные системы
165
Изменение температуры рабочего тела
Капал А—Выше было рассмотрено возмущение
Д/,	(5-62)
вызывавшее переходный процесс
= е~!' + ” и	) = Voa, (5-63)
Л* I	\ * л /
где Cit = i—TMg.
Возмущение (5-62) представляет интерес еще л лото-
му, что от него легко перейти к синусоидальному закону
колебания внешней силы. Действительно, если положить
в (5-62)	то мнимая часть получавшегося комп-
лексного возмущения будет являться синусоидой, а мни-
мая часть реакции на комплексное возмущение— пере-
ходной характеристикой при синусоидальном воздейст-
вии [Л. 51].
Положим в (5-63) g——]ы, тогда с учетом вышеска-
занного запишем аналитическое выражение переходного
процесса при аннусоадалыном ^возмущении:
%='» К,i+”»| r+W • <>+>г-> •’]}=
ос «
= 1(П	£ J] (I +	.	(3-64)
4=0 А=0
По истечении некоторого времени после приложения
возмущения переходная составляющая затухнет. Из
решения, взятого при т—*-оо, можно получить уравнение
установившихся колебаний. Предельное значение функ-
ции Г0А при I]—*оо дается равенством
,—сх
Vof>-e	h .
Подставляя в него g — — /ю и отделяя мнимую часть,
получаем искомым результат:
*
= Im {е/,ф-W е ‘	} = 4 sin fa 4	,
*4/ ।	♦<!	И]
где 4, — амплитудная частотная характеристика,
2
4(ш)=е 1+7'*<U1;
I ♦ J '	*
(5-65)
166
фазовая частотная характеристика,
(“») = — / т- 4. •
I (5-66)
Частотные характеристики (5-65) и (5 66\
„мучоиы непосредственно из передаточной
(5-14), если положить в ней д=/ш r T(,nnilI1 "*
ческого регулирования (Л. 68] показываете чтоТэ™
случае модуль полученного выражения представляет со
бой отношение амплитуд, а аргумент-сдвиг фаз“ 'д
ЛОГО И входного установившихся колебаний. Убеди , й
в ЭТОМ-
ч
= Г|+Г««‘е
тр т %
1+\'“
т₽ е
(/<«) = е
Легко видеть, что модуль и аргумент полученного
выражения совпадают соответственно с равенствами
(565) н (5 66).
Из практики известно, что по каналу t, -+1 амплитуда
вынужденных колебаний с ростом частоты стремится к
нулю. Если положить в равенстве (5-65) »> = <», то полу-
чим результат Af/i , противоречащий физическому
факту. Причину этого несоответствия следует искать
в принятых упрощающих предположениях (уравнение
теплопроводности в стенках было заменено уравнением
баланса тепла; было также принято предположение об
отсутствии осевой растечки тепла в потоке и в стенке и
осевого перемешивания в жидкости).
Пренебрежение указанными эффектами было допу-
стимо, пока речь шла о непериодических возмущениях
или колебаниях с невысокой частотой. Однако при боль-
ших частотах расстояние между максимумами темпера-
тур двух соседних волн сокращается и под возденс гнием
большого градиента температур расточка тепла за счет
теплопроводности становится заметной, что при вод»
к выравниванию температуры вдоль теплооб меня и .
при этом амплитуда выходных колебании падает д<
При больших частотах замена уравнения
водности уравнением баланса тепла гак t
некорректной (см. § 2 5).
167
~A(f>CKT продольного перемешивания, которым MOiK.
nn быто пренебречь при больших длинах волн (малой
но было реп Р пач1!|1аст заметно сказываться пп„
XSx час”™ кома ₽а«™»п«е между
становится малым.
Количественно, однако, отличие A„t от нуля невелико,
поскольку ДЛЯ большинства промышленных теплообмен-
Хв величина параметра § значительно превышает
единицу.
Канал q-*t. При экспоненциальном возмущении обо-
грева
' М	(.5-67)
изображение {вменения температуры потока принимает
вид:
__£к__ч
1	~\в*	, + 7ms )
1 — е lP е	
М (?) — е
Д/ (г. s) ______	1___________
~~Kq ' , s ($ + g) (s + *e)
1 W q
Оригинал изображения, стоящего справа, находится
с помощью приложения 3. После небольших преобразо-
ваний пространственно-временная зависимость А/(г, г)
записывается так:
~ 0-с) (с*-с)	<Т— гп) (сл — г)'	(5-68)
где с——Тм/Тп;	функции до и определены
в приложении 2; входящие в них переменные | и г] дают-
ся зависимостями (П-27) при а-Тм.
Положив в (5*67) и (5-68) g~—/о и отделив в них
мнимую часть, получим реакцию теплообменника па си-
нусоидальное воз ну сине обогрева. Уравнение устано-
вившихся колебании получается из (5-68) при т—>оо.
В этом случае при g^—j®
1____________
($о 4” /<4)
Г
или
Ы (<*) л 
168
Здесь
Л,<г	1	~ 2 005	(5-69)
— амплитудно-частотная характеристика,
ЧТ», = arctg — фазо-частотная характеристика, (5-70)
Х= JL; u = ^V^14_;
Те же выражения для частотных характеристик более
просто можно получить из передаточной функции Wt
при замене s=jw. Амплитудно-фазовую характеристику
Ы (w) ______1	..
£Л'9Д<7	U’w + s«) ‘	0w)j ?= U7 (jw)
представим а виде трех сомножителей:
Г (jw) =KF	(5-71)
где А —коэффициент. Общий модуль выражения (5-71)
есть произведение модулей каждого из сомножителей,
а аргумент алгебраическая сумма их аргументов.
Для случая возмущения обогрева
К — I •
А “ £ГИТ. ’
,	________ ! arctg А-
^0")=КП~^г = Х + Л=1/Х’ + Ге х.
у		у J _____	$0 •
₽(М = i-ir„, (/.) = ! -A, f"'-
Комплексное выражение /’(jto) можно представить
в показательной форме, используя правило сложения
комплексных чисел:
Аге^ =	,	(5-72)
где
4 == /4; -КА? 4-24*>	^73)
ф_ arctg+	.	(5-74)
cos у, + Л, cosy*
169
В рассматриваемом случае	— 0.А— А1(> и
<?а = Чи , поэтому
г -Attl sin ЧЦ I
___________________br=-— 1 arcl“ l—Z«COSVrt
.pk(ju>) = J/rL + А/, (At, ~~ 2 cos ^,) e -	,
где A„ и V/t даются равенствами (5-65) и (5-66). Вы де.
ляя в (5-71) модуль и фазу, получаем:
амплитудно-частотную характеристику
А,(“>) = *!	1+\(/14i-2cosT^;	(5-75)
фазо-частотную характеристику
Ti9 («,) == arctg — + arctg
- Лб
j - Att> cos 4 „(
(5-76)
Нетрудно убедиться, что зависимости (5-75) и (5-76)
совпадают с соответствующими зависимостями (5-69) и
(5-70). В дальнейшем частотные характеристики будем
находить через передаточные функции.
Канал Z)Bl— t. Амплитудно-фазовую характеристику
-т^-гк— представим в виде (5-71). Выделив модуль и ар-
гумент всего выражения как (соответственно) произвед шие
модулей и алгебраическую сумму аргументов отдельных
сомножителей, получим выражения амплитудно-частотной
AtD* и фазо-частотной характеристик, совпадаю-
щих по форме с равенствами (5-75) и (5-76). При этом
в них
к_____!_
л	SV.
S„ -ф УЮа
(«о + »*) <0
Канал Pi—t. Амплитудно-частотная Atp (ш) и фазо-
частотная 4Гц (ш) характеристики амплитудно-фазовой
Lt (ш)
функции совпадают с равенствами (5-75) и'(5-76),
170
к
если в последних вычислять К.Х и у по
'’о)«
Частотные характеристики радн™„,
менннка с параметрами Л,= 1, V4 ^Тп '° теплбоб-
тениях А/ н Л<? изображены па рис k/fo И ,1Р” возму.
рисунка, кривые частотных характёпиет,.?^ аидно из
немонотонными [Л. 109].	1 ерист,,к могут бЫть
Резонансные всплески, первый из котипа „
ся, когда период синусоиды близок к впХЛ"°Яа?1ет
Ния частицы жидкости в теплообменнике т“ ребы*а
становятся более отчетливыми при мало’й
Рис. 5-16. Частотные характеристики радиационного теплообменника
со слабосжн 1емым рабочим телом.
лирующей пособности металла стенок трубы. На
рис. 5-16 п нктнром показаны частотные характеристики
при Гм —0. Резонансные всплески удовлетворяют усло-
вию ытТр= 2тт, где л= I, 2 ...
ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
Частотные характеристики расхода получаются при
подстановке в передаточные функции (5-26) s=j©. Раз-
деление амплитудно-фазовой характеристики на модуль
и аргумент принципиальных трудностей не вызывает,
хотя результирующие зависимости амплитудно-частот-
ной и фазо-частотной характеристик оказываются доста-
точно сложными.
5-3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК
В энергетических парогенераторах большая часть
конвективных поверхностен нагрева выполнена с много-
кратным перекрестным движением потока рабочего те-
ла и одним ходом греющих газов (рис.- 5-17). Точный
учет действительной схемы движения делает задачу
поиска аналитического решения уравнении динамики
нереальной.
Исследования стационарного теплообмена в много-
ходовом конвективном теплообменнике показывают, что
тепловые характеристики этого аппарата при числе по-
Рнс. 5-17. Конвективная поверхность нагрева гтарогепера
тора гг стационарное распределение температур в иен.
о —схема поверхности; б — распределение темпервтур.
перечных ходов больше четырех мало отличаются от
характеристик чисто прямо- и противоточных теплооб-
менников [Л. 63]. По-вндимому, подобное соотношение
между одно- и многоходовыми конвективными теплооб-
менниками не будет нарушено и в динамике. Указанное
позволяет принять для конвективных теплообменников
парогенераторов в качестве одного из приближений фи-
зическую модель, изображенную на рис. 2-1, динамиче-
ские процессы в которой описываются уравнением теп-
лового баланса стенки (3-3) и двумя комплектами
уравнений сплошности (3-1), энергии (3-2) и состояния
(3-4) — по одному на каждый из потоков. Теплообменом
с внешней средой в большинстве случаев можно прене-
бречь ввиду его малости.
172
Поток наружной жидкости (греюшиу
«•читать несжимаемым. При отыскании ??Ов’ ВДЖ|Ю
характеристик температур потоков тf .л^1,,ами,кткцх
можно сделать и в отношении рабочего то-,’ -г0,!у|Ц(Ч,И(-'
разив тальпни потоков через их темперХ,, ,г?а’ Вм'
систему уравнении:	Ратуры, запишем
£),А "йГ + #"Сп + £'»е(	= *„/?„ (О - /);
а„Л„ (& — &) — aB/i (fl _ а п8 .
, n efl . а»
± £>н< и	= а,/1и (6 __8).
В пос.। равнении знак плюс относится к пря-
мотоку, знак минус - к противотоку. Здесь, как и обыч-
но, давление по каждому из потоков в пределах тепло-
обменника считается одинаковым, а для наружной
жидкости, кроме того, неизменным и во времени. Тепло-
ЁМКОСТИ <?d —tpn И Св = t’p« считаются постоянными.
Система (5-/7) нелинейна. В линеаризованном виде
уравнения легко решаются
которые получаются до-
статочно сложными и
неудобными для прак-
тических расчетов
[Л. 60, 92] Переход от
них к временным функ-
циям без дополнитель-
ных упрощении затруд-
нителен или вообще не-
возможен
до передаточных функций
ние. 5-18. Модель конвективной по-
верхности с перевешиванием па га-
зовой стороне.
В реальном многохо-
д ово м теп л ооб мен нике
(ем. рис. 5-17) измене-
пне температуры газов
происходит на небольшой длине (/г=1-2 л),
раз меньшей длины тракта рабочего тела ( ’й
100 .»). Если же принять /,=0. то параметры н. газовой
стороне окажутся сосредоточенными, и *	' Р „ ева
к (рутой моде.™ конвективной
(рш.- S.IB) -моде.™ с «ояп»м	*Д^5й.
ной жидкости, которую н примем г д	173
Температура газов ft в модели на рис. 5-18 будет
зависеть только от времени, а прямоточная ri противо-
точная схемы становятся равноценными. Тепловой по-
ток от газов к разделяющей стенке, очевидно, будет
пропорционален температурному напору.
/
$(т)~Г(г,т) = $(?) — -Ур(?,т)г/г.	(5-78)
о
Вследствие резко различной интенсивности теплооб-
L мена по обе стороны разделяющей стенки (а„<ап)
В температура последней близка к температуре рабочего
 тела и ее изменение в пределах поверхности нагрева ма-
у ло скажется на величине напора «газ — стенка». Это
Г позволяет вынести в (5-78) подынтегральную функцию
из-под знака интеграла1. Как показывают статические
расчеты, при таком упрощении коэффициент усиления
по основному каналу передачи возмущений (6—>/) для
экономайзера и пароперегревателя котла типа ТП-80,
например, отличается от точного меньше чем на 10%,
а по остальным каналам различие находится в преде-
лах 5—35%.
Сделаем еще одно упрощение: пренебрежем тепловой
аккумуляцией в потоке газов ввиду ее малости. Переход
к параметрам, сосредоточенным по потоку газов, и отказ
от учета изменения аккумуляция тепла в потоке позво-
ляют уменьшить порядок дифференциальных уравнений
(5-77) на единицу как по временной, так и по простран-
ственной координатам2. В полной мере оценить возни-
кающую при этом погрешность можно лишь при реше-
нии системы (5-77) численными методами.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ РАБОЧЕЮ ТЕЛА
И ГАЗОВ
В рамках сделанных допущений динамические про-
цессы в конвективном теплообменнике описываются си-
В (Л 57] той же цели (освободиться от интеграла ) удается
достигнуть несколько иным приемом.
В молели ЦНИИКА [Л. 78. 80] принят иной путь упрощения
"алитическое решение находится при допущении о равно-
мерности подвода тепла по длине теплообменника
174
стемой уравнений:
DrC° дг	----SnC^K
иг = ath (ft
«Л. (»-ti)~ ал. (II _ Z) гв
D"c* (&, — 0)~ Яц//а р ___ 0)'
(5-79)
где Л'р определяется так же к-
теплообменника. Здесь Лопмд и Дл« рад
Найдем в„ачале Р2ХеХТ*(г’>
поверх".,™, теплообмена в₽ ’с^м
радиационного
а
температур вдоль
стационарном ре-
(5-80)
е =
Здесь, как и в случае сосредоточенных параметров,
________f*___________________L . г . ОВСИ
+ 1 ’	~ I +«*’ ^Л~^НЯ •
По сущству, не изменилось и е;
-__ “во^и
Лишь параметр определяемый равенством (5-15),
содержит пространственную переменную г. Показатель
экспоненты в зависимостях (5-80) можно записать так:
еТ = «-
Коэффициеит а имеет вид:
а== 1 + ^(1”+») ’
где
D»ofH
(5-82)
(5-83)
— отношение водяных эквивалентов обоих ^0^02)/2).
Последнее из решений (5 80) показывае , га°зоВОМу
При условии сосредоточешюсги	принятого
тракту зависимость Vo от - есть	,иаириием
допущения о замене средней величины (<, т
локальной температуры 0(г, т)«.
Уравнения (5-79) нелинейны в силу нелинейности
коэффициентов ци н ап я неопределенности зависимостей
Z)B(r) и Ai(r). Линеаризация в предположении малой
степени нарушения стационарного режима, переход к от-
клонениям параметров от стационарных значений с уче-
том связи
_ /.)=-Л- (». - в.)=(»,. - а,). (5-84)
(12	1-в	*
а также зависимостей для приращений коэффициентов
теплоотдачи (4-33) и (4-52) приводят систему (5-79)
к таком) виду:
L.	+ Т. -%- - Т.К,-^- - (I- «) МО,, =
= ДО — Д7;
еД& — (] -ф s) ДО ф Д/ -ф -ф //А „ДОЯ1 =	(5-85)
т
ох •
(Аа -ф 1) ДО - £„Д&, -Д\ДОН == ДО.
Комплексы режимных и конструктивных параметров
Lb, Ta, Т„ совпадают с соответствующими за виси мостя
мм (5-6), (5-7) для радиационного теплообменника, а
L" _ ./ ‘•'’A t г,- _ I <11 Г,	,-г ПС»
Ан — Z-в п 9 Д0 —	п '	(м*оо)
^НО	^10
От уравнений с частными производными (5-85) в об-
ласти действительной переменной т перейдем к обыкно-
венным уравнениям в области изображений по Лапласу
с комплексной переменной s и уменьшим число неизве-
стных исключением A0(z, s):
+ С7* + J) Д/ 5) -	(’) -
-(!-//) /(ВД£)Я1 ($) + '—PL ^Da (s) _|_ д((д& (s) =
с	•
= (£„-ф 1) Д& (z, s);	(5-87)
(г>s) 4- К1 —	+1 — «-ф г] д (s) -ф
-Ф '1КвЫ)а1 ф)-ф £d (TMs + I 4- е) да, (х) = |ГМ (£а _ф
-ф!) s'-ф La -ф 1 -ф £Hej Д{} (г, $).
(5-88)
176
Последующее исключение Ал/
^Ффере,пп,а.1ь,ю S) „рад
тему М(г. 5) с возмуЩа1О| - УРавяенИ10 L * еди”-
ц *ми «°здейСТВи;м^зыВа10.
Л‘*
X PmS -|- |
(s) +
А
Л($)’	(5-89)
где £*» = ^(1+е*);
?'=
8 <г^ + п -;	(5-90)
Jf* _ н + 1 г,
•	4.+ I •	• = !'+(!-»)«•]«„ (5.9|)
Постоянные времени Г«„, Т\ „ определяются тая
же’ как 11 модели конвективного теплообменника
с сосредоточенными параметрами	киника
Выражени (5-89) есть обыкновенное неоднородное
дифферента ьное уравнение с коэффициентами зави-
сящими от г так как производная 4Шг, входящая
в комплексы (5-91), имеет вид:
5
где e*s*^--az [равенство (5-81)].
Уравнение (5 89) удобно решать методом преобра-
зования Лапласа по переменной г, так как известно зна-
чение ДЦО, s)=AG(s). Применив преобразование Ла-
пласа, выделим Д4(щ s) и, совершив обратное преобра-
зование относительно комплексной переменно »
найдем изображение s):
Д( (г, s) = \v„:	(S) + 'Р,,.49. И + V<t>^D‘ И +
+ V,. bD„ (S) + Г1Й4Л (S).	(И2)
^В1	177
12—1031
где
rVv’+J х(
Г* -S-H
Г.
(л* — X,) (X — 5f)
IT’ $
V*
117	— л н-
wtl>* — Т\Т*
(5-93)
w tn.
г*₽'


*

I — е W
е
1 +7 V
в
‘Р' p(s — Si) (S — s3)
Здесь
- ГЧ (I 4г »*) +	± К|Ли1+И+г,Т--^\,г\в*.
si.« —	2Г* Г*	’
(5-94)
Sp = ЕТ\; s\ =	: <Л =	.	(5-95)
Коэффициенты усиления передаточных функций
(5’93) приведены в табл. 5-3.
Таблица 5-3
Коэффициенты усиления для температуры рабочего тела
конвективного теплообменника
Коэффя» г:яент усилен ия	Возмущающее воздействие				
	46	i	до»	ЛО.>	Д/7|
Kti	>	1-е—О	СК‘В	Е’ЛЛ	0
Зная A/(z, $), из уравнения (5-88) легко найти пере-
даточные функции, связывающие s) с возмущаю-
178
Таблица 5-4
Коэффициенты усиления для температуры наружной жидкость
конвективного теплообменника
Коэффи- циент усиления	Возмущающее воздействие	
		да,
'Ч/		!	-tv	!	1	-зг*»
	(£» 4-1) U +•*)	’"(£»+1) (И*’)
Всзмушгющее воздействие
Коэффи-
циент
усплеийя
О
179
12*
Здесь дается первым из соотношении (б-рЗ), а т и н
рассчитываются по зависимостям (4-57). В табл. 5-4 при-
ведены выражения коэффициентов усиления передаточных
функций
УЧЕТ НЕБОЛЬШОГО ИЗМЕНЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ
При малом изменении удельной теплоемкости пред-
ставляется возможным использовать в расчетах относи-
тельно простые динамические характеристики, получен-
ные при допущении c8=const, скорректировав их по-
правками так, чтобы в новом стационарном режиме
получить верней результат.
Поправочные коэффициенты можно найти, решив
стационарную задачу конвективного теплообмена при
учете зависимости cB—f(t) и сравнив результаты с ре-
зультатами аналогичной задачи, по при cB = const. Ниже
будет учтено небольшое изменение теплоемкости, такое,
чтобы его можно было считать линейной функцией тем-
пературы 1 [равенство (5-19)].
Линеаризуем систему (5-77), учитывая зависимости
(5-19), (4-33), (4-52), (5-84), а затем запишем ее в от-
клонениях к новому стационарному режиму:
= А0—Д(;
_ (j + Е) дб _|_ д/ _|_ /„Д'11Д£)И + «ЛВДДВ1 = 0;
(£„ + 1) А» - £„Д& -	= ДО.
(5-97)
Как и для радиационного теплообменника, теплоем-
кость св0 принята усредненной вдоль поверхности, т. е.,
cBo=consL При этом значения температур в исходном
режиме определяются зависимостями (5-80), полученны-
ми для условия постоянной теплоемкости. При dcBldt = Q
(т. е. cB = cons{) система уравнений (5-97) превращается
в стационарную часть системы (5-85), поэтому следует
ожидать совпадения их решений при условии св = const,
Исключением переменных \(} и ДР система (5-97)
сводится к дифференциальному уравнению первого по-
1 От этого ограничения свободна работа [Л 2]
ISO
n г переменны ми коэффициентами:
ряД,<а
	44+ р(г)д'=<ж
(5-98)
где
р (?) =
= «(! —
а определяется равенством /чс01
включающий возмущающую chiv п <№)-комплекс
шенне для отдельных возмуще[ий' Лалее "аходнтсяТ’
При возмущении О?г)~п	Р
УР^нение	Ц "«тому однородное
’ п ' -' Л I
п	I
граничным условием Д/(0)=Д(,1 решается методом
Наделения переменных и решение есть зависимость
Д /	—Ь?	—02
А/ == се
С учетом граничного условия получим:
А/  JU-*-’*5*)
Д/, ~~с	е
Здесь учтено также равенство (5-81),
При возмущении At)t правая часть уравнения (5-98)
есть Qfa) = aAOb а граничное условие Д/{0)=0. Подста-
новка P(z) н Q(<) в общее решение неоднородного
уравнения дает
^ = 0^	+	“+,2а(аг). (5-99)
Обозначив в интеграле е	по таблицам |<Л.17|
находим:	_
j е1е^1 (яг) = е^+аг - S Ei (Se ).
где Ei(/)•—модифицированная интегральная показа
тельная функция,
Ei(O = c + lnHH-Jj-^F' (°'100)
4'-1
с—постоянная Эйлера (с = 0’57”2154^птеграла в Рсше’
Подставляем найденное значение Р г а1П1Чи0го
ние (5-98) и определяем постоянна i	1С|1
условия. Окончательно
Д/ ! _ е-*5-	- 8^,-”Г |Е1 (5) -
При возмущении \Dn в общее решение следует под-
ставить
Q (г) s= a.Re .	(5-101)
где для данного возмущения
_ mL„ + L । ,	Д л .
R— Lu + l 1+Н DB0
Тогда с учетом граничного условия \/(0) — 0 полу-
чим:
Д1 _ Ei (3) —_Ei	1 ,>“**"*V-
K*B4D„	e*
При возмущении ADai выражение для (?(г) аналог
гично (5-101), но в этом случае
Распределение отклонений AZ вдоль координаты г
есть зависимость
А/ Е1 (5) — El (де"’4*)	*
~ е е
Итак, получены коэффициенты усиления при иереда
че возмущающих воздействий А/ь Д<И, А£>п и &DBi. учи-
тывающие изменение теплоемкости св. Коэффициенты
усиления для случаев сп = const и cB~[(t) сведены
в табл. 5-6.
Сравнивая коэффициенты находим выражения по-
правочных коэффициентов, на которые следует умно-
жить динамические характеристики (5-93):
С	С	1L
V,= «,;„=7V-.	(5-102)
Если принять неизменной теплоемкость рабочего те-
ла, то 6 = 0, а разность в квадратных скобках в вираже
182
,х>
*лиииеиты усиления для температуры ражего тела
‘‘ff теплообменника при с,^/(0 и с,

Л/
Км4м>шмеят угидевад
С.-тКО

e

 до.
1 — в
ДРв
ДР.1
Примечание
p-
ек*в
[Ei0)-E
Л Л •

ниц для р. есть
Ei (Б) - Ei (te-*4*) = вТ,
в чем легко е иться, используя разложение (5-100).
В этом случае поправочные коэффициенты (5-102) ста-
новятся рави1 ми единице.
Ввиду слабого влияния процессов, происходящих
в трубе, на изменение температуры наружной жидкости
поправки к решению относительно ДО при cB=const
вводиться не будут.
Так как теплоемкость топочных газов в пределах
одной поверхности нагрева очень мало изменяется в за-
висимости от температуры, то учет этого изменения не
производится
ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
Колебания расхода рабочего тела связаны с его сжи-
пемостью и поэтому непосредственно вызываются из-
яеннем температуры и давления потока. При слабой
зависимости р=р(/, р) возможно изолированное реше-
«в*
ние уравнения сплошности (последнее имеет тот же вид.
что й для радиационного теплообменника). Изображение
отклонении расхода найдем из (э-2э), считая \t(z, s) и
Vi(s) известными функциями. В результате интегри-
рования с учетом решения (5-92) и зависимости (5-90)
получим следующие передаточные функции:
W


S (? + <1*а)
X(S —*|) (’— ss)
«ГК*»	5 Г 1еЧ‘ — 1 —
лаов— Г»ы (s-st)(s-s,) L ’V
*+*% (у g~W/"rV । '
E’T-y^ + s*.) V	/ '
(5-103)
Здесь дается первым из равенств (5-93), х и О опре-
деляются по" (4-45), а ттр, s\ и а*0 берутся по (5-95).
Если в передаточных функциях конвективного тепло-
обменника по температуре (5-93) и расходу (5-103) ра-
бочего тела формально положить е‘ = 0, то они совпадут
с соответствующими передаточными функциями радиа-
ционного теплообменника (5-14) и (5-26).
184
РНИГ давления рабочего тела
цЗ/ЛЕНЕ
пенне давления рабочего тела в любом сечении
От‘сП0 ви0го теплообменника при необходимости мо-
2 КОНЭеЮ1' ределено из уравнения (4-47) при известных
#ет быть н и ДОи(г, $). Однако, как и в радна-
зна1'еИ,,ЯХ п.,ообменнике, флуктуации давления на вы-
цпонном т а ата можно с приемлемой точностью рас-
ходе из а <*тнои1ениям для модели с сосредоточен-
^н^араметрамн [равенства (4-62)].
РАЗГОННЫЕ ФУНКЦИИ
Разгонные а шктеристики, наиболее няг»™
ставляющне инер: ионные свойства теплообмена
лучаются в ре ультате операции обоятнА™ Л °'
ванпя изображений, полученных выше. Необходимые^'
<И30б₽аЖен1’е-°РИгинал, им^Г/пТил^
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ РАБОЧЕГО ТЕЛА
Использу рмложение 3, получим разгонные функ-
ции. которые записаны ниже в нормированном виде
с учетом коэффициентов усиления, взятых из табл. 5-3:
Нормированной характеристикой по
будем считать равенство
д/
Л, = —= J I/ _
'А Л'рд/.у 1 е
поскольку h , нигде нс превосходя
пределом нуль.
(5-105)
С t —С 2
1, при z — oo имеет
185
В выражениях (5-104), (5-105)
?Q = 1 —	М 1 + КО!
?i — TV r^P?e V”
_('"***’ Я“ _,f
?\fc=I— e	—e (V, — И<Д k — 1,2;
V, ,= V, (Г. O; Vw =	(5*. <t ?*); Vflk =
= И,к
T1* —	. —3 i__LL. c* = _ к
4 Г’м “ T\ c* ' c	T\ '
c‘u = I + FStSi,!. где ^],2 рассчитываются no (5-91).
При m=n = ! K*u—K*k и v*=0. В этом случае раз-
гонные характеристики при возмущениях расходов со-
впадают.
По передаточным функциям (5-96) можно найти раз-
гонные характеристики, которые записаны ниже в нор-
мированном виде с учетом коэффициентов усиления
(табл. 5-4);
hut = V'i ~
A<,dh т* + г + 1 ("1*	1— с-% +j~p?o + V! — Vo);
= v+„• — г^-т* ъ +	+"* F, — Я) ;
/. =_4®______ ...»
Кр^>,	(А„4- 1) (J + «’) FV-
186
о
Рис 5-19. Разгонные кривые коппектнлпого теплообменника.
t модель с псрсиешииаиием на стороне греющих глзо»; 2 — модель, учи
тыкающая распределенность параметров по обоим потоком.
Разгонные функции для V и ДО удовлетворяют ис-
ходным уравнениям и соответствующим краевым усло-
виям, т. е. являются решениями. Вычисление разгонных
характеристик облегчается наличием таблиц (прило-
жения 4 и 5). В качестве численного примера на
рис. 5-19 изображены разгонные характеристики кон-
вективного пароперегревателя острого пара котла типа
П-57 (Гм=4,17: 73=0,228; £=7,03; £„=0,927; £=0,064).
На графиках цифрой 1 обозначены разгонные кривые
анализируемой модели теплообменника с перемешива-
нием на стороне греющих газов, а цифрой 2 —характе-
187
метики модели, учитывающей действительную распре,
деленность параметров ио ооен.мдвижущимся средам.
Точные зависимости получены в ЦИНИКА (II. С. Хорь-
ков) численным интегрированием.
На рис 5-19 сопоставляются нормированные разгон,
лые кривые поэтому для полноты анализа возможности
применения в расчетах модели конвективного теплооб-
менника с полным перемешиванием необходимо срав-
нить соответствующие коэффициенты усиления. Следует,
однако, отметить, что небольшое несоответствие ,коэф-
фпцнентоэ усиления легко скорректпрова ь с готически-
ми поправками, а поэтому достаточно выяснить лить
динамическую точность приближенной модели, сопоста-
вив нормированные кривые. Анализ рис. 5-19 показывает
довольно высокое качество модели с полным перемеши-
ванием в отношении температуры рабочего тела; ооль-
шая динамическая погрешность изменения температуры
газов при возмущениях со стороны рабочего тела свя-
зана с допущением о перемешивании газов.
В целом использование модели с полным перемеши-
ванием наружной жидкости представляется корректным,
если иметь в виду отсутствие в настоящее время иного
пути нахождения переходных характеристик конвектив-
ного теплообменника как явных функций времени.
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗГОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Канал — Нормированная разгонная функция и
все ее производные равны нулю при т Отр.
Первая производная, структурно совпадающая с анало-
гичной зависимостью (5-50) для радиационного теплообмен-
ника. при всюду положительна, что указывает на
монотонный рост h^. Функция ht/ имеет точку перегиба,
так как ее вторая производная при определенных значе-
ниях ц*. зависящих от меняет знак. Эти значения п*
дают абсциссу точки перегиба. Они могут быть опреде-
лены численным решением уравнения, образованного
в результате приравнивания нулю второй производной,
или взяты из графика на рис. 5-13. где под т} и
следует понимать £*, н* и Т*ы. Ордината точки 'Пере-
гиба, постоянная времени объекта и постоянная запаз-
дывания объекта определяются по известному значе-
нию 1]П.
188
Канал ~~ t Нормированная разгонная функция Ьл
^-0 обращается в нуль. В куль при т = 0 обращает-
Утакже и первая производная
______М»	У*<н — У*°? .
tit	।—с-»Ч*	—s.
Однако уже вторая производная
~3? !-е—6* V	*	*«“*» ) (°’106)
не равна нулю при т = 0. Аналогичный результат полу-
чается и для всех последующих производных.
Значение т, обращающее в нуль вторую производную,
дает абсциссу точки перегиба кривой /г^. Как показывают
расчеты, при любых значениях 7М, Тв, £ н е шеремена
злака выражения в скобках равенства (5-106) происхо-
дит а интервале времени 0^т<ттр. Это облегчает на-
хождение аналитического выражения для абсциссы точ-
ки перегиба, так как при т<тТ|1 функции равны нулю.
Приравнивая нулю вторую производную, находим:’

.V, — s2
Значение абсциссы точки перегиба тп позволяет опре-
делить остальные параметры, связанные с ней:
(т1|) — j_₽-«V
_1 _	=:___ М* ° .
7ов d~. т=лц 1
__	А \
~ хн	(Лш у*
Канал — I. Нормированная разгонная функция
h обращается в нуль при т = 0. Равна нулю при этом
11
и первая производная
1
rfx	с*) ‘°’
а ее положительное значение на всем временном интервале
свидетельствует о монотонном нарастании hID . Однако уже
189
вторая производна^
л'°в____________________!___и — у — )
—ГГ*иг, 1	1 Уо>
к вес последующие в начальный момент времени отлич-
ны от пуля.	.
Разгонная функция имеет точку перегиба с абсциссой
Ги=Ттр> поскольку при т—Ттр вторая производная меняет
свои знак (см. анализ равенства (5-53)]. Ордината точки
перегиба, постоянная времени объекта и запаздывание
объекта находятся с учетом известных координат точки
перегиба:
Канал DB1 — t. Нормированная разгонная функция
h.D обращается в нуль при т — 0, но все ее произвол-
'’в!
ные в начале переходного процесса отличны от и ля. По-
скольку количественное отличие функций htD и h, , неве-
лико, можно приближенно считать одинаковым положение
у них точки перегиба и величин связанных с ней парамет-
ров.
Канал р, — t. Нормированная разгонная функция
при т = О имеет значение ht (0) = 1.
Первая производная при т = 0 также отлична от нуля:
dh.„
'р>
th
1
7'.'
Отрицательное значение производной указывает на
убывание функции; скорость убывания зависит от вели-
чины Т3.
Канал /, — <>. Нормированная разгонная функция
и все ее производные при т = 0 обращаются в нуль.
190
Канал О»—HI- Нормированная разгонная функция
при т==0 имеет ненулевое значение:
(°о = --------п--------
' -гхг.«—'•
Канал Da —*0. Нормированная разгонная функция Лвг,
при х = 0 скачком изменяется от нуля до
Л (0+1 =______—_____
> т* +	-j- I •
Канал РР1—»О. Нормированная разгонная функция h{4)
равна нулю в начальный момент времени.
Канал /?!-*«. Нормированная фу ция равна нулю
при т = 0 и х = 0о. Скорость нарастания в начальный мо-
мент
1
di t-u ГиС^-ц-Ь1)
АНАЛИЗ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
Остановимся па анализе усложни теплообмена на
наружной поверхности канала, поскольку некоторые ти-
пы теплообменников по существу различаются именно
по этому признаку.
Количественно условия теплообмена ла наружной
стороне отражаются в величине комплекса LH, который
характеризует отношение количества тепла, передавае-
мого потоком наружной жидкости при изменении его
температуры на I °C, к количеству тепла, воспринимае-
мому стенкой при температурном напоре в 1 °C. Таким
образом, комплекс L„ характеризует теплоемкость пото-
ка наружной жидкости и интенсивность его теплообмена
со стенкой. В некоторых теплообменниках конвектив-
ного типа комплекс L,, может оказаться очень большим
или очень малым. Причины этих крайностей легко уста-
новить из анализа выражения
г __ .
Ъя “ “м.^в
Парожидкостный теплообменник- В случае, если рас-
ход наружной жидкости бесконечно велик (О;г=оо),
удельная теплоемкость наружной жидкости бесконечна
191
коэффициент теплоотдачи к наружной поверх-
ности трубы бесконечно мал (ап=0), или наружная -по-
верхность бесконечно мала (//ц = 0), температура на.
ружной жидкости в пределах теплообменника наменяет-
ся очень слабо, так что вдоль поверхности нагрева ее
.можно считать постоянной. При этом комплекс Дн==оо.
Соотношение -б¥=/(^), принятое в физической модели
(рис. 5-J8) как допущение, для ряда теплообменных
аппаратов существует реально. К таким аппаратам, по-
мимо рассмотренного аппарата с мешалкой на наруж-
ной стороне (Lu конечно), относятся: теплообменник
с конденсацией или кипением наружной жидкости (с„ —
= оо); трубопровод, охлаждаемый естественной конвек-
цией в большом помещении с постоянной температурой
(а(1«=0); змеевик конвективной поверхности нагрева па
регенератора, плоскость которого перпендикулярна по-
току греющих газов (7/Г[«0); любой конвективный те-
плообменник с очень большим расходом наружной жид-
кости (Оп^оо).
Теплообменники. характеризуемые комплексом
~<ю л имеющие вследствие этого неизменную вдоль по-
верхности нагрева температуру, назовем для краткости
парожидкостными (Л. 97]. Из вышеуказанного очевидно,
что парожидкостный теплообменник является частным
случаем конвективного аппарата.
Динамические характеристики парожидкости го те-
плообменника получаются из соответствуют) зависи-
мостей для конвективного аппарата, если положить в них
Ац=со. При этом е*=е и решения упрощаются. Переда-
точные функции W/j ларожпдкостного теплообменника
приведены в табл. 5-6. Совсем простыми получаются вы-
ражения
«7»=l.^,=^o, = ^o.i=W',n = 0.
i. е. температура, наружной жидкости может быть нзме
иена только извне, а при внутренних возмущениях в те-
плообменннке она остается постоянной. Этим парожид-
костньш теплообменник отличается от теплообменника
с конечным L„.
Если в конвективном теплообменнике большая вели-
чина Ltl сопровождается большим значением коэффици-
ента наружной теплоотдачи (u^oo, но «ц^Ап) что
имеет место при кипении или конденсации, то динами-
ческие характеристики такого парожидкостного теплооб-
192
13-1031
193
менннка могут быть упрошены еще сильнее. Та1 ПП11
/,„=<« н е = 0О переда го-шые функции (5-93) прцИ11М
совсем простой вил (см. табл. 5-Ь).
Необогреваемый трубопровод. Комплекс Lir ж
принимать и другое крайнее значение, £и=0, реадыю
возможное только при Dhu = 0. Это означает представле-
ние неподвижной наружной жидкости как второй стенки
находящейся с первой в контакте (к конечно). При Этом'
динамические характеристики конвективного теплооб-
менннка должны превратиться в характеристики тепло-
изолированной трубы. Подстановка в передаточные
функции (5-93) значения Lfr=0 (е* = 0) дает результат
(см. табл. 5-6), совпадающий с соответствующими за.
внешностями, найденным и для необогреваемого трубо-
провода из модели радиационного теплообменника.
Здесь, однако, никак не проявляется двухслойиость
стенки, так как при выводе динамических характери-
стик конвективного теплообменника тепловая аккумуля-
ция в наружной жидкости принималась равной пулю.
Влияние комплекса е. Его величина показывает соот-
ношение интенсивностей теплообмена на наружной и
внутренней поверхностях трубы. Если коэффициенты
теплоотдачи по обе стороны стенки (щ, и цп) одинако-
вы, TO f = 1.
Значительно чаще интенсивность наружного я внут-
реннего теплообмена оказывается резко различном. Ма-
лая величина е характерна для поверхностей нагрева
конвективного газохода парогенератора (е = 0,1-г-0,01).
При обогреве конденсирующимся паром, напротив,
параметр е велик (е= 10-г-100). Для случаев конечных г
возрастание этого комплекса ведет, как это видно на
рис. 5-20, к уменьшению инерционности процесса.
Влияние комплексов Тп и Гм. Для конвективного
теплообменника, как и для радиационного, выполнение
условия ГмягГв означает, что внутри трубы течет жид-
кость. При Тм^Тв внутри твубгл течет газ. Увеличение
каждого из комплексов растягивает переходный процесс.
При течении внутри трубы пара динамические харак-
теристики могут быть упрощены, если отказаться от
учета влияния тепловой аккумуляции в паре па длитель-
ность переходного процесса. В этом можно убедиться,
сравнив на рис. 5-21 точные разгонные кривые паро-
перегревателя (Тм=10; Тй=|; £=15; е=1; Lu=0,5)
с упрощенными (то же, ио Тв=0).
194
Рис. 5-21. К анализу возможности пренебрежения влиянием тепловой
аккумуляцией в потоке пара.
точная кршмя; 2—параметр ^ne{J-
Рис. 5-22. К анализу возможности пренебрежения аккумуляцией теп-
ла в металле труб.
/и-3: Гд-З; £“-10; £ГТ-Ь / — точная кривая-. 2 —7м-0.
13*
Пеоедаточные функции №<< при П-О приВеде
Пл? 5 6 Приближенные разгонные функции, ле1?
определяемые по приложению 3. имеют вид:
_"=е— К; 4-=?’.»;
А/>
е ’' jo.
Ы __ А/ (Я = *> --------------V
Л"*д/Л<	1 
где V,- = ¥/(** —). а Г л определяется зависимостью
(П-39), в которой для данного слу чая >, — х 1 и , д=7м*;
Отказ от учета одной из двух тепловых емкостен те-
плообменника, естественно, привел к уменьшению инер-
ционности процесса, однако при малых Тв отклонение
от точной кривой невелико.
Если не принимать во внимание тепловую емкость
металла, то, как это видно из рис. 5-22, занижение инер-
ционности изменения температуры может быть неболь-
шим.лишь при высоких значениях комплекса е (напри-
мер, у ларожидкостного теплообменника). При малых
же т погрешность велика, поэтому для конвективных по-
верхностен нагрева тепловая емкость металла является
основным фактором, определяющим длительность про-
цесса.
Влияние точности учета зависимости ar, = = /(Drt). При
течении внутри трубы воды н пара коэффициент тепло-
отдачи аа связан с расходом нелинейной зависимостью
(3-15), где л = 0,8. Динамические характеристики при
возмущении расхода Д£)П| могут быть существенно упро-
щены, если принять зависимость (3-15) линейной, т. е.
л==1; при этом л*=1. Такое упрощение связано с опре-
деленной погрешностью, которая, как и для радиацион-
ного теплообменника, невелика, что позволяет рекомен-
довать к использованию более простые зависимости для
ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
Разгонные функции расхода рабочего тела можно
определить либо переходом от изображений ДОн(г, s)
стямеДгТ°п НЫе Ф-'НКЦ1Ш (5-ЮЗ)] к временным зависимо-
сптошнпгтТ°(жЬк7 пРИЛ0>кепия 3, либо из уравнения
1 (5-57) при подстановке в него известных
IУЪ
значений Д/(г, т) (соотношения (5-104)]. В обоих
чаях получается одинаковый результат;
h — AD>
Выражения величин, входящих в разгонные функции,
те же. что и в (5-104), (5-105). Кроме того, коэффициен-
ты к и Q вычисляются по (4-45).
Рис. 5-23. Реакция температур и расхода рабочего тела в кон-
вективном теплообменнике на различные возмущения.
^м^пГра«етрРзши?еДеЛ€ННЫ"1К па^Л1СГРам«^ модель с сосредоточен-
Разгонные кривые темп
тела конвективного павог.ппЛ туР 11 Dawn,
Г.- 10; Г.-1; £-IS ' 1е=о'?“ати« е Ла„яраб1!'''го
Р„с. 5-23. Сплошной линией^;/"0-1 прлпеЛ"113”"
ли с распределенными п. ,'п обРа*еиы	ы На
с сосредоточенными п™я Рамет₽ами пР,1ВЫе моде.
(4-5ЗД. Как л Алл радлаХ	[по П™™₽"ой-
м сделать вывод о цеоб“ " “г° те,м«>бмепнпс'Ке'11|ям
лределенностн параметров МостЧ Учета Мож-
пой информации н о доХти ' По^е1п,и*КТЗ рас*
принятия сосредоточение^' ^ц с малой norpeS??-
НИИ характеристик расхода араметРов при S '°
1 1али/кде-
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Частотные характеристики температуры рабочего
кайленные подстановкой в передаточные функции
значения $=/(о>) и разделением комплексного
выражения	на модуль н аргумент, имеют следую-
Щ" Подканалу С—амплитудно-фазовая характери-
стика
Л/ w)
амплитудно-частотна и характеристика
— м
1+гЧй’
Ан, (<о) =е 1	;
фазо-частотная характеристика
Т«1(и>) = -(ЧО,^ + Р^
По остальным каналам передачи возмущений частот-
ные характеристики вычисляются по следующим зависи-
амплитудно-частотная характеристика
Д(5 («>) = К | ЛХа + Га 1 1 + Л (Л - 2 cos ЧГЯ1);
фазо-частотная характеристика
4^1 j (<») z= arctg + arctg
Л
- A sift
1 — .4 cos '1‘W1
199
200
Рис. 5-24. Частотные характеристики конвективного пароперегрева
теля.
муляшпг в металлических стенках, то кривые частотных
характеристик приобретают ярко выраженный колеба-
тельный характер (пунктирные линии). Впервые это
явление было обнаружено экспериментально на теплооб-
меннике «труба а трубе» с тонкими стенками [Л. 114].
5-4. ТЕПЛООБМЕННИК ТИПА «ТРУБА
В ТРУБЕ»
Простейший теплообменник этого типа выполняет-
ся в виде двух коаксиальных труб, где каждый из пото-
ков совершает один ход (см. рис. 2-1). В парогенераторе
по этому типу выполнены паропаровой теплообменник,
предназначенный для перегрева и регулирования тем-
201
плспе прохождения им цилиндра высо-
лературы пара после ( 1ес,.ая модель теплообмен-
кого давления ггурб‘Ш • наиболее точно соответсгву-
ника типа <труба в тр конвеКТ11вной поверхности на.
ет также многоХ°Дп°яВ?*' р1(С. 5-17).
ГРТтГнИОНАРНЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУР
,и₽ стационарные отклонения темпера-
Найдем точные ст трубе» при всех возмож-
всегда пр„ „а-
ных возмушаюших г|оедварительно необходимо ре-
»’ РеЖ“а-
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР
В ИСХОДНОМ РЕЖИМЕ
Система уравнений, описывающая пространственное
распределение температур в исходном режиме, получа-
ется нз системы (5-77) приравниванием нулю производ-
ных по т. Исключение fto и бо приводит систему к одно-
родному линейному уравнению второго порядка
' dz ~
решение которого есть
Здесь
/0 (г) = сх 4- сге \
I + to
± ( 1 + с) ’
(5-108)
ш дается соотношением (5-83), остальные обозначения уже
известны, но La =	.
Условия однозначности для прямотока и противотока
отличаются, в силу чего отличаются и решения.
ПРЯМОТОК
В этом случае
/o(O) = /1D1
(Но
е
1“’ dz I, ~ I -ре
При этих граничных значениях распределение тем-
пературы рабочего тела вдоль оси описывается завнси-
202
МОСТЬЮ
/ о--1 D ___________
$10 ---- / |fl	W ]
1 — е
(5-109)
Зная/о (z)- легк0 найти остальные
н 6М Например.
температуры: &о(г)
*i о " й0
^10 --- Со
= <^т
ПРОТИВОТОК
в этом случае
С учетом этик
с, и г2. В итоге
краевых значений находятся постоянные
to	t to
*ю — Co
-O0
*10 J i о w — c~~^
(5410)
Полученные формулы отличаются от классических
формул теплопередачи [Л. 31] только тем, что тепловой
Рис. 5-25. Стационарное распределение температур в коивектявноп
поверхности парогенератора.
Прямоток; б — противоток.
203
поток выражается не через коэффициент теллопередац,,
к-
“я 4J
я чеоез коэффициенты теплоотдачи аа и и„, учитываю-
щне тепловое сопротивление разделяющей стенки (равен-
ства (3-11)1
Примеры стационарного распределении температур
вдоль координаты г приведены на рис. 5-25 для паро-
перегревателя (прямоток) и экономайзера (противоток),
характеристики которых близки к характеристикам соот-
ветствующих элементов котла типа ТП-80. Для сравне-
ния на этих же рисунках изображены крив: модели
с полным перемешиванием по газовой стороне (пунктир,
ные линии).
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОТКЛОНЕНИИ ТЕМПЕРАТУР В НОВОМ
СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
Стационарное состояние теплообменника может быть
нарушено различными возмущениями: изменяются тем-
пературы газа и рабочего тела во входных сечениях,
изменяются расходы обеих жидкостей. Если эти возму-
щения не будут функциями времени при т>Г, где Т —
достаточно большой отрезок времени, то в пределе при
т = оо установятся новый стационарный режим. Уравне-
ния, описывающие этот режим можно также получить из
системы (5-77), (Полагая временные члены равными
нулю. Однако мы будем искать не сами параметры но-
вого стационарного режима, а их отклонения от значе-
нии в исходном режиме. Тем самым мы определим и
асимптотическое решение динамической задачи.
Система уравнений в отклонениях строится по обще-
му правилу. В соответствии с этим правилом уравнения
^а.ц'‘с‘ыаР’'ог1° Реж»ма с учетом равенств (4-33),
(4-52), (5-109) н (5-110) приводятся к следующему виду:
~dT + W — (1 — «)	= ДО;
еД& + ^ + /^ад^п+«КвД£>В1 = (1 _|_S) ДО;
где ла и Кв даются соотношениями (5-86).
dz
Исключение АП сокращает число уравнений .ад двух;
В результате последующего исключения М получа-
ется одно обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка	ние
= Л,'^до,1-л,^!£
(5-113)
</»Д/  д
dz* "г dz
где 1 дается равенством (5-108),
4 =
I 4- <*>
«-ПрТ-1
±4(1+0
ио “
знак плюс берется для прямотока, знак минус —для
противотока.
Правая часть уравнения (5-113) есть функция пере-
менной 2. Выделив в ней числовой множитель, уравне-
ние можно представить так:
d*M
dz*
(^L = Pe~
dz к
(5-114)

Его решение есть сумма решения однородного урав-
нения (без правой части) и частного решения неодно-
родного уравнения:
Д/= 0,4-4 гГ1'.	(5-115)
1 I а
Так как краевые условия для прямотока ! J
тока неодинаковы, то поиск с\ и с2 следует р
порознь. Отклонения температур будут ‘ „MVllie.
отдельных возмущений, при этом остальн
ния полагаются равными нулю. _	-
ПРЯМОТОК
Ппи вочмущении АЛ комплекс р Рапсп п>лю. Для
и с- можно использовать уравнение
нахождения J t £-	0
д/ (0) == <j 4-
ц%\ +т^^(0)=т^<0)-
Так как Д/,(0)=ДЛ, а ДО(0)=0. то из последних
уравнении следует:
Окончательное решение:
Л/ _ ._______________<*>
Д/, ~	।
-Хл
о —<? ),
где л дается выражением (5108) для прямотока.
Подстановка найденного значения \t, в уравнение
(5-111) позволяет найти зависимость для изменения
температуры наружной жидкости
до 1
(1-г Ч
например,
В правильности решений легко убедиться,
подставив их в уравнение (5-112).
При возмущении ДО, комплекс Р равен нулю. Гра-
ничные условия: Д/,(0)=0, ДО(0)=Д01. Отсюда
2L = _“л .-Ч
да, и-н ' е >•
По известному решению для & с помощью уравне-
ния (5-111) можно найти АО.
возмущении A£>aj комплекс Р в уравнении
(5-114) имеет следующий вид:
D„ Up'>-
пахожде|,ия постоянных интегрирования с< и с2
меиин^П0ЛЬ30ВаТЬ условия на лев9Й границе теплооб-
А^(0)=0; М(0)=0.
206
о-гелыю решение принимает такой вид:
Окон1'31
W—=--------(I — е~^)+	е-^
0|Q
---
ири eO3MiJiHeHml bDtl по известному значению
р___________________Г|д * Г)
г —	«+1 DB,
|{ граничным значениям температур
V(0)=0; Afl(0)=0
ложно найти зависимость Д7(г) и да1ее \л/,г
Выражения относительных отклонений
ших температур при флуктуациях расхопЛ°ОТВетствУю-
совладают.	' Л Расл°Дов структурно
ПРОТИВОТОК
Все коэтфицлел гы, входящие п
должны быть взяты для пХвотока УРаВ"еМИе <5-113)-
При возмущении оошешЧ
(5-115) (при Р = 0), где постоянные с У™ раве,,ством
условий однозначности:	2 ,,ах°Дятся из
однозначности:
\/(0) =Л/,; Д0(/)=0.
возмущении Л01 краевые условия уравнения
(при P—Q)
Д/(0) = 0; Д0(/) = Д»1
При
(5-И4)
однозначно определяют решение
А/
АВ,
Q>
io — е ‘
комплекс Р в уравнении
При возмущении -\Dni
(5-114) дается равенством
,4„wX
De0
<0 — с
207
при нуле-
решение (5-115) находится при граничных условиях
д/(0) =0; ДО(0 =°-
Паи возмущении \Dl{ решение находится
'' ЗМ"е"1"' К0М"ЛС'!Са
L'M0
----
— е
всех воз-
табл. 5-9
Стационарные отклонения температур при
мущеннях сведены в табл. 5-8 (для М.) и
^пД^ааялитическом определении динамических ха-
рактеристик теплообменника «труба в трубе» приходит-
ся сталкиваться с большими математическими трудно-
стями, избежать которых в § 5-3 удалось благодаря ис-
пользованию модели с полным перемешиванием (см.
рис. 5-18). Возможны и другие модели, приближенно за-
меняющие при анализе теплообменник «труба в трубе».
Динамическую ошибку, возникающую при таких заме-
нах, исправить трудно, но можно добиться, по крайней
.мере, совпадения отклонений температур точной и при-
ближенной моделей в новом стационарном режиме. Для
этого, как н в случае учета изменения теплоемкости,
к динамическим характеристикам приближенной модели
надо ввести статические поправки, равные отношению
коэффициентов усиления по отдельным каналам точной
(табл. 5-8 ц 5-9) и заменяющей моделей. Заменяющей
моделью является модель с полным перемешиванием
(см. табл. 5-3 и 5-4) или модель с сосредоточенными по
обоим потокам параметрами (см. табл. 4-2 и 4-3).
В табл. 5-10 проведено численное сопоставление ве-
личин коэффициентов усиления для трех указанных мо-
делей. Значения комплексов L„, ы и в приблизительно
соответствуют конвективным поверхностям нагрева кот-
ла типа ТП-80.
Как видно из данных табл. 5-10, модель с полным
перемешиванием дает лучшее приближение (в стацио-
нарном смысле) к точной модели, чем модель с пол-
шенТиТ ипТ0ТОЧеННЬ,МИ параметрами. Величины отно-
ются етЯтФи1пЦНе'1Т0В’ г'Р|,веденные в табл. 5-10, явля-
приближенной\юделвП°ПРаВКаМИ * соответствующей
208
Стационарные отклонения температуры потока при различных в^мутсииях

Сопоставление коэффициентов усиления для различных моделей
Вид модели	Пароперегреватель ( прям>.гток)	' 4П=: 1.25: ® —0.5: • =: 0.05	1				ЭКОИОМИПЧСЩ (ЩКП1Ш<УГПК'Ь Lu — ад; и> = ОЛ*. в — O.Q2			
	д/	д/ да.	дг 3»°—Zl° дп О	» но	д/	1	д,’_	। Д*.	1	— ' до»	де	• ^o—t*до \ D Л 11 но	
				^ю—6i>.D 1				
				D	61 1 И0				
Распределенная модель (модель I)	0.773	0,227	0,140	0.187	0.774	0.226	0.171	0.20S
Модель с полным пере- мешиванием (модель II)	0.806	0,194	0,132	0.170	0.830	0.170	0,130	0.154
Сосредоточенная модель (модель Ш)	0.822	0,178	0.1Н	0.143	0.843	0.157 V	0.112	0.131
Отношение коэффициен- тов: модель 1 модель 11	0.960	1.170	1 .061	1.099	0.932	1,331	1.314	1.357
модель 1	0.940	1,274	1 ,26-1	1.309	0.918	1.441	1,535	1.584
модель 111 ю								
РАЗДЕЛЯЮЩЕЙ стенм
„ « анализ третьей тепловой емкости (lia.
Включение в а' ме)^10Щей свою температуру и,
ружной »',А;ОСсТп^обной аккумулировать тепло), рас.
следовательно, спс	0 усложняет задачу отыска
пределеннон по д - в остей, описывающих измене-
S «"-’00»“й“"’“а s	" ’Н-
ме рясгмотпим теплообменник, у которого теплоемкость
пХляюшей оба потока, пренебрежимо мала
Я 751 При Условии постоянства давления, плотности
Хсы оХивзютс» двумя уравве-
ниями энергии:
й^+лМЬ***-*
(5-116)
Некоторые изменения, которые произошли в системе
уравнений (5-116) по сравнению с системой (5-77),
объясняются новыми допущениями. Нулевая теплоем-
кость разделяющей стенки реально означает пулевую ее
толщину, в этом случае нет смысла говорить о темпера-
туре стенки и тепловые потоки следует выразить через
—н темпе-
коэффициент теплопередачи &’= 1 /
ратурный напор (&—(). Допущение о нулевой теплоем-
кости стенок трубы позволяет аналитически учесть
распределенность параметров наружной жидкости, чего
ностейЛ°СЬ СДелать в § 5-3 из-за математических труд-
иск?т>Раи^ЧИМСЯ Решением прямоточной задачи и будем
ном вачмиш«еНИЯ темпеРатУР только при скачкообраз-
вхоле в темпеР\тУРЬ' внутренней жидкости па
предшествует auaV,UlllK’ ^С1иеи,|,° динамической задачи
НЫХ состояний. ЛИЗ ИСХОАНОГО и конечного стационар-
212
температур обоих потоков вдоль по-
расПРеЛсЛ^ообмена в исходном стационарном режи-
?еР-<й02етс'я в таком виде:
г -<’+Ч-п
М1*	t	(О | 1 п	Я I .
--—"7	1 - -	J
ftjo-^ио г I-
&1С— Ъ.==——[1 — е “I.
'+“ I- J
Здесь <.) —отношение водяных эквивалентов потоков
наружной и внутренней жидкостей (равенство (5-83)1
i^D^Kkh).
Система уравнении, описывающая нестационаоный
процесс для малых отклонений параметров от их етя
днонарных значении, может быть получена по общему’
правилу и при возмущениях только по температуре по
ТОКОВ на входе имеет следующий вид:	ур
^ + Г/2^- = Д/-М.
dz ~ 11 dt
(5-117)
Здесь
ТП _ В»Сц , гр __ Svf и . Г _ . ^дС»
'в-— АЛ ’ АЛ ’ г'в~ АЛ *
Предварительно найдем распределение отклонений
температур вдоль координаты z в новом стационарном
режиме, когда переходный процесс затухнет. При этом
параметры примут постоянные значения и производные
от них по т в системе уравнений (5-117) станут равными
нулю. Граничные условия для нового режима очевидны:
Д/(0) = Д(„
d&t =_Ы±,
dz	L.
t=o	Е
С учетом их получается:
(5-118)
(5 119) '

213
„ совпадении исходных, стадно-
Нетрудно y^T^”oljel|(tli от них в пивом режиме
парных значевнн и	fl моДеЛН „ модели. y,ip0.
температур	£ем о бесконечно тонкой стенке,
шейной предположенн  опрвДелеН»ю изменения тем-
Прежде чем пеРе‘ режиме, упростим уравнения
ператур в нестарпеременные г и г на |=
(5117), заменив незавн	щим соотношениям:
Lg(z, т) и n=f><4’ х)	т
В
L
f	_________
„	lh_________- - Ti =--F
5= "T L» * T — T
• r — -Л	'h — I * *
* в L* °	ь»
Полезно знать связь старых переменных с новыми:
г=1^ + Щ; 1
* = 7>< + rB«. /	0-120)
Проведя замену, получим:
-^-=д& — Д/;
Уч
— = д/ — да.
(5-121)
Исключением одной из искомых переменных Л/, и
заменой второй переменной по соотношению
Д& = е-(^’1)Г(5, -Q)	(5-122)
система (5121) приводится к простейшей форме гипер-
болического уравнения второго порядка с частными про-
изводными:
Sr=F.	(5-123)
Уравнение (5-123) описывает многие физические про-
цессы, особенности каждого из которых полностью учи-
тываются содержанием переменных g и г] и краевыми
условиями. Для конвективного теплообменника необхо-
димо рассмотреть два случая:	поскольку вид
динамической характеристики будет зависеть от знака
неравенства. Возмущающей силой будем считать нзмс*
некие температуры внутренней жидкости на входе
в аппарат на величину АД в момент времени т = 0.
214
СЛУЧАЙ Г- &n>Wii
Краевые условия для функ
из следующих ц ” МОЖНО п
i-W . ^хчес^х с°ЛП°*УЧить
г Переходный процесс в сечена	°бР3*ецИй
^тиикния его жидкостью т< .'	г 1,а^ете«
р^ю, т. е. при т^г/^. в’„о '^'1 с наибпЛ^^Та
№ выразится как р^о.	ООЬ1* ‘^ремещ^ Шей ско
При отсутствии тормоз	ых уело,
ау^рую^и способности мет^В°ЭЛе^твИя ,
СТЗЛЛ—
г''-’
Рис 5-26. Случай ш0>ши.
ходный процесс закончится в момент достижения рас-
сматриваемого сечения г частицей жидкости потока,
имеющей наименьшую скорость, т.е. через время t=z/wu.
При этом 5=0.
Если задать значения функции F при £—0 и приг] = 0,
то уравнение (5123) даст единственное решение. При
i]=0 температура наружной жидкости будет иметь ве-
личину, определяемую исходным стационарным режи-
мом. Тогда ДЭ-^=о=О, или, принимая во внимание ра-
венство (5-122),
F(§, 0)=0.
При переходный процесс завершится, и значение
Сбудет определяться условиями нового стационарного
им™’ С учетом Раве11ств (5-119), (5-120) и (5-122)
F(0,t,)= "1J1
215
.-паевые значения функция ’1) заданы
Так как крзеш т0 интегрирование уравцеНцч
в виде Г(0, П и „Йияг'ь с применением метода пре.
(5-123) y*%nBJ °а. Если
образ»-""’ЛЗ”^{ГАтЛ = /(8,s),
то , «браж«.№ № Лапласу ура»« 0-123)
ранение	*
<5424>
q »лпм<но найти такое соответствие:
В приложении 3 можно наигн
в >^=J-(Vt-Vek),
i (s + Sx)	*
, а ФУНКЦИИ v\ П определены равенст-
ГДе S\n он и (П-28) Изображение (5-124) легко пра-
вами (П-21) и (В 2»). Рать в нем смещеИ|1е в пло.
Sc?HK ZnieSo переменного. С учетом правила
смещения
F (5. =
^Изменение температуры наружной жидкости опреде-
ляется в результате подстановки найденного значения
F(&, ’]) в равенство (5-122):
, - vch),

(5-125)
Подставив решение (5-125) во второе уравнение си-
стемы (5-121) и учитывая правила дифференцирования
функций 1-5 и I'w, (см. приложение 2), найдем:
-д^- = Vo* +	- (V, — Vaft). (5-126)
Правильность полученных результатов проверяется
подстановкой их в первое уравнение системы (5-121).
Положив в решениях §=0 и т| —0, можно убедиться
в сходимости решений к стационарным решениям, опре-
деленным выше из уравнений исходного и конечного
стационарных режимов. Лишь
^°1тр=о —
216
качает, что в момент, когда возмущений
[	«чеш.» г. температура ю<утре',*'""™
I ('ь.аЧком возрастет на величину .
/ Сивые изменения температур обеих жидкостей пн,
/ *\ter, сек> г=
I ^1 '*•
I ' Проведен и ы и а н а л и з
! лгнолггся К случаю w„>
I >дав- ^сли 'г,0-г’иЖн'гь
| .^0, то по отношению
I Потоку ЖИДКОСТИ вовиу-
/ греиней трубе наружная
| неподвижная жидкость
/ дивалентна стейке. По
I условию задачи нар уж-
[ йзя .поверхность теплооб-
иенника не теряет тепла
в окружающую среду. Та
шлобразом, мы приходим
к модели теплоизолированной трубы
пся частным случаем радиационного ; Лед'2яя явля-
гкалптяческие разгонные xapai renu т еплообменника,
аестны. При скачкообразном ₽«oSК°Т°РОГО И3’
внутренней жидкости на ВХоде зави^Хс" темпеР^УРы
конвективного теплообменника (при
ХТЬ(5-125)! НЛ VlV6)aT°HHOr0, Дей
_ДНЕ. _ у
для Д/ и Aft
1»н=0) ДОЛЖНЫ со-
. , лствителыю, пола-
,1 = 0. получаем:
ДО
а/,	• *’ д/, ~ *' >
где функция V'„ определяется по (П-24);
Г.
г
_____‘t —Х-гр
’»	“ Тп
о»
г
7?^ =
СЛУЧАИ 2: Щл<ш„
«Д1М ппТоне^ТНОШе“"И ск°Р°стей (Рнс- 5-28) пере-
(т. е. прцР^т В сечении г начнется в момент т=г/а»г„
1=0) Ст-i ° ' а зако,>чигся к моменту r=?/iiy„ (при
иионарлые величины отклонений в исходном
21?
И НОВОМ
режиме известны:
(5-127)
Здесь учтено первое из равенств (5-120). В соответ-
ствии с (5-122) известными оказываются п краевые
условия для функции *])•
} Уравнение (5-123) можно решать методом преобра-
зования Лапласа по переменной ?, поскольку Л((), п) =о
Решение в изображении имеет такой вид:
I (s, tJ = ±1.---------- еs 
“ <s-*)(s + v)
Несложными преобразованиями с помощью приложе-
ния 3 можно найти:

В полученном решения сделаем переход от функции
^(а. ₽) к функция 17(р, ц), используя связь между ни-
ми (П-11):

218
1 — е L»
И1Я10. учитывая соотношение (5-122), <прэ-
QK0i|l|aTt'n временную зависимость изменения темпе-
сТраИсТ0^ужной жидкости можно записать так:
?ST) Р до
-Дб
пне в жвалратных скобках структурно сов-
Вь'Р^.^.)|КШ1ей Г(,и, (П-37), поэтому можно написать:
1,аД!1еТ '	д* 1 <U.	(5-128)

Изменение температуры внутренней
д(1тся подстановкой выражения (5-128) во ^п™ ”аХ°'
J”(l«e системы (5-121):	'“е^о второе ураз.
(5-129)
выражения
Дополни-
Найденные
уравнениям,
тельно необходимо убе-
диться В ВЫП .......
евых условий.
ння температур в начале
переходного процесса
(j=0), т. е. в сечении, до
которого дошла частица
наружного (невоз шутей-
ного) потока, появивше-
гося на входе в теплооб-
менник в момент
равны:
д/1
При i]=0 в обоих по-
токах установился новый
(5-128) и
удов л створяют исходны м
О,*1
переход кого
еннм кра-
Отклоне-
процесса
т = 0,
=дц^=о.
(5-129) следует:
0.2
о
Д1 Дг>
ЛЬ, ' ZU
12
Рис. о-29. Разгонные кривые
перату ры потоков жидкостей
скачкообразном изменении
(случай а|и<®(|).
I нпутрснляя. 2 наружная
жидкость.
стационарный
теы-
при
ЛЬ
режим 'и
из

д/
Z
к
<о
— е
1 — е


ДВ
г
К
е

Из сравнения
и (5-119) можно
4=0	1 I" w L	J
этих значений с выражениями (5-118)
заключить, что в момент окончания пере-
219
юдя,.го
,имения на величину *. но уже в
ее стационарного зна	м достигает стационарной
следуют^ мгновение с 5 29> где изображен пере-
величины Это в1'д‘ 10(,бМениике с параметрами Т„=>
ходный лроиесс в теплея	} а,к. , „
-&2 м:	л- Стей »>-»« го Физических со-
При равенстве скор перехода|ЫЙ процесс вырож-
ображеинй очевидно- г ^ие .параметров до ново-
<'PO"«OW”e °	Т"”-
Глэвя шестая
ДИНАМИКА ЭЛЕМЕНТОВ
ПАРОГЕНЕРАТОРА С СИЛЬНЫМ
ИЗМ ЕII ЕН И ЕМ ПЛ ОТ Н О СТ 11
РАБОЧЕГО ТЕЛА
6 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В эиергетнчески-х парогенераторах докритического
давления ряд •поверхностен нагрева охлаждается изнут-
ри потоком кипящего рабочего тела. Сюда относятся
испарительные экраны топочной камеры, кипящие водя-
ные экономайзеры. вынесенные переходные зоны пря-
моточных котлов и т. д.
Своеобразие протекания динамических процессов
в теплообменниках. охлаждаемых двухфазным потоком,
связано с сильным изменением плотности последнего
вдоль лространствая1ной координаты. совпадающей с на- -
правлением движения, и -практически неизменной его
температурой (если пренебречь изменением
длине). В условиях непрерывного подвода тепла
менность температуры объясняется лишь
большой величиной теплоемкости ср.
Поток пароводяной смеси неоднороден: пар
си.мостн от ориентации оси потока и -скорости может
двигаться в центре- трубы, у ее периферии в кольцеоб-
разном слое, вблизи верхней образующей. Остальное се-
чение трубы занято водой. При раздельном течении ina*
220
давления по
. л ценз-
бесконечно
В 33IBK-
скорости
0
горн-
верти-
при
Рис. 6-1. Температурные характери-
стики парогенерируищей трубы.
•оды иХ
пйР
о''. пр’1
ЛяЗ С
>ТД
u ПР"
^•следов
к» из'-
KapTilHil оо-
/>е11НСкорость OTBO-
>R’nro «скольже-
И1-.^ сильно завн-
УмеНЬ
ДсТ , ег0 -ростом.
«‘а!1с1’1 аналитическом
запив динами-
менеЧ'ВЯ на рамс-
:;1В1вухФаз?^ГС'Х?дит к усложнению-расчетных завн-
оппавдываемомУ большей их тп«-
в нестационарном режиме учет
ScS £Л/*79]. не оправдываемому большей их точ-
чл;Гыо. Поскольку при давлениях выше 100 кгс!см-, ха-
рактерных для энергетических (Парогенераторов, величи-
на относительной скорости невелика, ею можно пре-
небречь.
При равенстве скоростей -пара и воды (поток иарово-
зяной смеси естественно рассматривать однородным;
5 этом случае он уподобляется однофазному .потоку. От
однофазного потока несжимаемой жидкости его отли-
пает сильная зависимость плотности от параметров по-
тока (равенство (3-13)] и условие св=ос.
Теплообмен между стенками трубы и (потоком кипя-
щей жидкости, охлаждающей их, имеет ряд .характерных
тобепностей, которые необходимо учитывать при прове-
догнн динамических расчетов.
Как известно {Л. 38, 91], по длине парогвнерирующен
грубы можно выделить пять областей с качественно -раз-
личным механизмом теплообмена (ipn-c. 6-1).
В первой области отвод тепла производится .потоком
воды, не догрётои до кипения по -всему сечению. Коэф-
фициент теплоотдачи ав определяется здесь по форму-
лам конвективного теплообмена (3-15) и зависит глав-
ным образом от скорости потока.
Во второй области вода вблизи стенки догрета до
тадературы -кипения при общем -иедогреве основного
потока. Коэффициент теплоотдачи ап велик и опрсде-
221
пп гИопмУлам теплообмена при кипении (3-16)
гнется по	неизм0Ина и Л11ШЬ ,1а и’:
ckoS Xivcob превосходит температуру кипения .Пр1|
Хм давлёппи. Положение границы между этими об.
ластями-приближенно определяется по данным (Л. 94,
951Гоанииа между второй к третьей областью очевидна;
она соответствует сечению, в 'Котором происходит заки-
пание всей жидкости. Коэффициент теплоотдачи в обла-
сти ядерного кипения не зависит от скорости потока,
слабо зависит от давления и определяется в основном
тепловой нагрузкой ((соотношение (3-16)]. Температуры
металла и пароводяном смеси постоянны и близки по
величине.
Граница между третьей и четвертой областями соот-
ветствует так называемому граничному паросодержа-
нию /гр [Л. 37, 59, 62], при котором происходят срыв
жидкой пленки со стенок трубы. Металл охлаждается
потоком шара с периодическим (уменьшающимся по ме-
ре испарения жидкости) орошением каплями. При пере-
ходе к четвертой области коэффициент теплоотдачи рез-
ко .падает. Существуют эмпирические зависимости для
расчета аМЩ1.
В пятой области картина принципиально не изменя-
ется, но коэффициент теплоотдачи, приближенно опре-
деляемый по формулам конвективного теплообмена
[Л. 59], несколько возрастает к концу испарительного
участка вследствие увеличения скорости при увеличении
объема смеси. Границу между четвертой и пятой обла-
стями аналитически определить трудно. Температура
стенки здесь значительно отличается от температуры
насыщения потока пароводяной смеси
За пятом областью лежит участок перегрева па-
1Де изменЯ10тсл температуры стенки и пара, а ко-
Т~У,|еит теплоотдачи определяется зависимостью
(3-1о).
и кЛ" неодннакоао,Сти условий теплообмена па раз.тич-
vTaX inaP°rei,(Wy«Wft трубы расчет днна.ми-
vno аРактернстлк усложняется и для «получения
мо вы?етаИТеЛЬНЬ'Х П° точно,сти результатов необходн-
нх ncmo^HkV ^амостоятельнь!е области и анализировать
Для упрощения задачи можно объединить
222 С>ЩеСТПуст "НЗя точка 3Ргния (см., например. (Л. 72]).
|1еК0ТОрые пз них. например вторую и третью, четвертую
"’’Siubt между различными областями теплообмена
'L«bi: при люоом возмущении происходит перем*
i точки закипания, точки полного испарения воды
1Пе‘ а Учет изменения в динамике .положения границ
Н1Тоудпяет математический анализ переходных п.рОцес.
в испарительном тракте. Усложнения, однако, мож-
С( ибежать» если закрепить за каждой областью ее ста-
"“„'парные Гранины. В этом случае внешние возмуще-
111 „будут проявляться в изменении граничных условий:
.!|Нтльпип н расхода пароводяной смеси на входе. Усло-
теплообмена в пределах фиксированных границ .рас-
^атрнваемой области при перемещении действительных
папин изменяются, по при малых возмущениях сдвиг
невелик и можно пренебречь искажением коэффициента
теплоотдачи вблизи фиксированных границ.
В парогенераторе испарительный участок разделен по
конструктивным соображениям на ряд последовательно
ЭКЛЮЧМП1ЫХ элементов. В
Жет оказаться две-три об-
ласти теплообмена. Так,
в экранах парогенерато-
ров с естественной цирку-
ляцией имеют место обла-
сти подогрева, поверхно-
стного в развитого кипе-
ния; в переходно!', зоне
прямоточного парогенера-
тора-области ухудшен-
ного теплообмена в пото-
ке пароводяной смеси и
конвективного теплообме-
на к однофазному потоку
пара. По условиям тепло-
обмена на внутренней по-
верхности труб отдель-
ные области будут раз-
личаться	только вели-	„ „
чиной коэффициента теплоотдачи. Действительное
распределение коэффициента теплоотдачи ав по дли е
парогенернрующей трубы (рис. 6-2, сплошная крива
можно аппроксимировать отрезками прямых ав7С°41г1
(пунктирные линии). Четвертая область невелика
223
пределах -одного элемента мо-
Рнс. 6-2. Изменение коэффишюн-
га теплоотдачи от стенки к пото-
ку рабочего тела по длине паро-
генерирующей трубы.
поотяжечигости, п закон изменения uu неизвестен; в пя-
той области увеличивается вследствие увеличения
скорости смеси, но расчес по формулам конвективного
теплообмена может дать лишь грубую оценку «я ®ви.Ду
неоднородности потока. Отмеченное опра , .ывает приня-
тие в четвертой и пятой ооластях *опл из коэффи-
циента теплоотдачи усредненным и постоянным.
Испарительные элементы парогенератора различают-
ся условиями теплообмена не только на внутренней сто-
роне трубы, но if на иаружиоп. пароген рируюшие по-
верхности нагрева топочной камеры имеют радиацион-
ный обогрев, кипящие экономайзеры и вынесенные пере-
ходные зоны — конвективный.
При закритическом давлении поток рабочего тела
является однофазным при всех температурах. Однако
вблизи области максимальных теплеем когтей плотность
среды сильно изменяется. Это обстоятельство должно
быть учтено в даина-мических -расчетах.
Ниже анализируются различные математические мо-
дели теплообменников, плотность рабочего гелз в -кото-
рых сильно изменяется «три изменениях температуры
(энтальпии) ц давлении. Соответствующие изменения
расхода велики и существенно влияют на температур-
ные характеристики теплообменников, так что при ре-
шении уравнений сохранения относительно температуры
(энтальпии) отказаться от учета уравнения сплошности
не 'представляется -возможным. Для -всех моделей -сде-
лано допущение о гомогенности потока рабочего тела.
6-2. ДИНАМИКА ПАРОГЕНЕРИРУЮЩИХ
ТЕПЛООБМЕННИКОВ В ЛИНЕЙНОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ
В этом параграфе анализируются математические
модели динамики радиационных и конвективных по-
п?плтлТеИ нагРева парогенератора, охлаждаемых пзнут-
reHonwnv^M 'п,а!ропо^яной смеси. Из полной длины паро-
олну3-™! r*rtH T|iyf)U пыДсляет-ся участок, включающий
ентом трпп™™И теплообмена 'С одинаковым коэффици-
к потоку К ЛГ'ь 0Т анутРеИ1,е,1 поверхности стенки
постоянным^??НЦИеИТ ^отдачи и» принимается
постоянным по длине и неизменным во .времени.
ия линейности задачи выполняются лишь при
 изменениях режимных параметров. Это позволяет
ма.пых » ’rpaHltubi рассматриваемого участка фиксиро-
принять £ изменение условий теплообмена при смете-
S'oScre» не учктиагь.
РАДИАЦИОННЫЙ обогрев
Система дифференциальных уравнений, описывающая
нестационарные процессы з радиационном теплообмен-
нике, с учетом 'принятых допущений имеет вид (3-1)_
(3-4). где зависимость р=р(0 дается по (3-13).
Как было отмечено выше, коэффициент теплоотдачи сц
считается постоянным, причем + a’v+v (рИс. 6-2).
Для участков поверхностного и развитого кипения аа ве-
лик, и в первом приближении его можно принять равным
бесконечности. В этом случае напор 6 — f = _£_ стало-
я 1^1
вится пренебр жимо малым и можно считать 0~Г. На
участке ухудш иного теплообмена ав невелик, и допуще-
ние 0=Г принять нельзя.
Аналитическое решение для случая а8 = оо должно
получиться как частный результат общего случая конеч-
ного а0
Однако метод решения системы дифференциальных
уравнений (3-1) —(3-4) лучше всего проследить, упро-
стив ее допущением ав —оо. Тогда система уравнений,
подлежащая решению, принимает вид:
где
__
°р---й’м^М ()р *
(6Л)
Линеаризация уравнений (6-1) в предположении ма
лых возмущений и малых отклонений параметре
>5—1031	22
ходного стационарного режима дает следующий резулЬ.
/?₽'ЭГ;
, f{*\	^ = 0.	(6’2)
-#+Ч*Л * + W *
Поскольку для потока пароводяной смеси
(
\d/? А
и обычно Ь1Г1й>&р1ръ то сжимаемостью при изменении
давления можно пренебречь. При -необходим i этой
погрешности нетрудно избежать.
Коэффициенты системы уравнений (6 2) являются
функциями исходного стационарного режима
‘о=г; р0 = ПГТ^Т' <б‘3)
где а и h даются соотношениями (3-14)
Уравнения в частных производных (6-2) можно при-
вести к обыкновенным дифференциальным уравнениям,
используя метод преобразования Лапласа то перемен-
ной т, поскольку коэффициенты уравнении от времени
не зависят, являясь, однако, функциями пространствен-
ной координаты, как это следует из соотношений (6-3).
Преобразование дает следующий результат (т;ри нуле-
вых начальных значениях переменных):
4- fposAt (z, $) = Д? ($) _ /^д А 0;	(6-4)
I с/ДЭ, (z. $)	. о ... .
Si----------fPo ftsAi (г, s) = o. (6-0)
Исключая AD„(s) из обоих уравнений, получим:
4-	-L еrfd‘ <г- s)	п	/Л R1
rfz« ^D,auos di-----= ”•	(6‘6)
с п?пеыР»м^ире11Цж1ЛЬНое УРависИ1,е второго порядка
переменными коэффициентами. Его граничные условия
Д/ (0. з) = д£; (У). ДОв (0_ =
Последнее соотношение с учетам «««-.
позволяет найти необходимое грашшиХ yXVoi
про наводной:	условие для
"-Л.)	_ М*) R^ д
йг	.= .	О^ДЛ(’)~
(б 7)
Предложенной в [Л. 81| заменой независимой пере-
менной
г = Ч^~<е -1) = ?(5)	(6-8)
или эквивалентно
$ = 1П-^ = Яг)	(6-8а)
и1»
уравнение (6 6) может быть приведено к уравнению с по-
стоянными коэффициентами
(1 —'	—и>
решенш которого очевидно:
At (Е, $) = с, +
где Ta = ][hqt. Возвращаясь к переменной z, получаем:
г>я
Д/(2, s) = r,+G^^ sr’"1	<69)
Коэффициент при mop см сии ой s в показателе экспо-
ненты имеет физический смысл: он равен времени про-
хождения в исходном режиме (тТр) частицей жидкости
расстояния от входа в участок до сечения z, где опре-
деляется изменение параметро©. Действительно, по опре-
делению
Z
Г dz
— J w (z)“
0
(640)
Выражая скорость смеси в произвольном сечении че-
рез расход и ’плотность, изменяющуюся от сечения к се
15’	227
ченкю в силу изменения энтальпии по соотнии](1
(6-3), и интегрируя, получим:	‘	Г|,,!П
D.. 2
*Ю
= 70 In
0 l’l«
(6-11)
“ bqt 1П
С учетом последнего соотношения решение
так:
Д»(г, s)=cx-\-et^-e 'IF' .
запишется
Постоянные интегрирования определяются из граничных
условий:
Д/(0, s) = Ait(s) = cx 4-са;
“г f=t
dAi (г, s)
С другой стороны, производная —-т-—
опреде-
ляется равенством (6-7). Приравнивая правые частя,
находим с2 и далее сь после чего решение относительно
Д:(г, s) принимает такой вид:
М (z,	(s) + И7Л1 ДЯП1 (s) +
+	+	(6-12)
где передаточные функции Wti даются выражениями
— 1 — - -Is- - f 1 — е~ тр* \. I
W ______	°|О	1
’°.i	6D« r»s - 1
И7. ____ ию I /
if = — Р|*
Ф» ba„ —
*1*	J
1 -
*.о
*10	/’
—(1 — '
1 ( 1 -------
•] \	41»
(6-13)
. ^наменатель 'П0ЛУ'11е‘н‘|1ЫХ передаточных функций со-
хяпа^ отР1,цательнь,й 'коэффициент. При этом корень
ваетс7еГпГЧе-К0Г° уРавнения (знаменателя) оказы-
пепрмрим^гп33ои лолУПлоскости плоскости 'комплексного
5’ Однако его наличие не свидетельствует
*2о
0 .неустойчивости испарительного уЧагтиа
..кой системы, -поскольку корС111, С, (J как >™нами-ге.
одновременна нулем числителя	тадя "Мяется
кость типа 0/0 -можно убадц-Пк.я аая «еопределен
является полюсом Полученных	^,/Г« ««
Таким образом, разгонные характер™?'ЫХ Ф>'»кчий
кого участка яв. яются ограничепныиТс ,,спа?итель-
Решение (6-12; <>егко допускает пЛп?1вВЫМ1г
зование к временной зависимости нЛ Р е пРеобРа*
кообразном возмущении разгонные It Л М<'Р’ ПР'‘се-
ются следующими соотношениями хаРакт^РИсгнки да-
Как видно из полученных выражеинй, разгонные ха
р актер ист и кн при всех возмущениях не а	ает.
меня при т>ттр. т. е. л^еходныи процесс3^»в^.
ся за время .прохождения частнцен жид .1Сп0Спедст-
стка до сечения г. Этот результат жвляето
венным следствием Д0П^И” “’схмиг безынерционно
“яХ «pZna затясвзняя «ереход-
кого процесса исчезает.	_09/24 лиг,
Теплообменник с характеристиками
/ = 20 м. DUO=0.5 кг/сек. ^=Ю	" 'вом
на вход -которого (подается кипящая	возмущени-
иаросодержанни. имеет при положит .
ях разгонные кривые, изображенные Р

K-njiubix при возмущениях Ж, Д$ и Др, очевиден-, <юяс-
. 'nW требует снижение энтальпии в входной сечении
ири положится hi м качке входного значения энталь-
п""пр11 скачке энтальпии на входе скорость пагроводя-
ной см’еси -воэр тает также скачком вследствие увели-
цеНЛя удельного объема на величину
Ж = w, — w10 =	(и, — и,0) =	Aj,.1
Новую скоро ть будут иметь как возмущенные слои
пароводяной смеси (с новой энтальпией и новым удель-
ным объем м). так и предшествующие им невозмущен-
ные слои (с энтальпией и удельным объемом исходного
стационарного режима). После нанесения возмущения
вследствие возросшей скорости через сечение с коорди-
натой z будет проходить расход смеси больший, чем до
возмущения: так будет продолжаться в течение времени
t=O4-tTj>. При неизменном обогреве увеличение расхода
приводит к снижению энтальпии. При достижении фрон-
том возмущ ш сечения с координатой г энтальпия
скачком увеличится до значения i=i<i+i&il и далее оста-
нется 'неизменной. Изменение выходного значения
энтальпии в начальном периоде переходного процесса
со знаком, противоположным знаку возмущения Aii,
установлено теоретически н подтверждено эксперимен-
тально В В Крашепипмиковым [Л. 45, 46].
Иэображе ие изменения расхода в переходном про-
цессе можно получить в результате подстановки выра-
жения (6-12) в уравнение (6-4). Ниже решение записа-
но в виде передаточных функции:
DAi
ну _____ ^ЯП TBS
’ Va TaS — i
(6-14)
£>,
№na — —
c.’
U? —
D,Ci
= -	£ 0 - ’’'"A.
Правильность полученных решении от 1 н
Д»(г, $) и Ж,(г, s) проверяется подстановкой в уравнд
*>1
нле (6-5)- Решения удовлетворяют также граничив
Разгонные функции изменения расхода пароводяной
смеси имеют следующий вид:
Здесь б (т)—импульсная функция (см. § 3-4). По этим
зависимостям построены кривые рис. 6-3.
При скачкообразном увеличении обогрева н началь-
ный момент времени (т=0) расход 1возрастаст почти
в той же .пропорции, что и обогрев:
ЬРя/Рцв __ | _ t'lo
А<?/<7»	Ко ’
так как обычно ОюА'оСЕ Если усилие обогрева произо-
шло преимущественно в районе парообразующего уча-
стка, а тепло-подвод к следующему за ним участку пере-
грева изменился в меньшей мере, то в inecraiuioniapiHOM
процессе произойдет временное снижение температуры
перегретого пара при общем увеличении топл01воспрнятня.
Подобное явление наблюдалось в практике эксплуата-
ции прямоточных парогенераторов.
Динамические характеристики (6-13), (6-14) получе-
ПРИ условии aR = oo и поэтому не учитывают влия-
.^а 'пР0Тека1|Не нестационарных процессов конечной
cncfr.«LH vТДаЧИ Т°П'^ Мстяллом. Решение более полной
и гюзн1'>пХг°11СН"И (3-1) —(3-4) при конечной величине
°	получить оолее точные зависимости и выяс-
сПе|П, влияния аккумуляции тепла в металле на
|,цт1> Юность •ироц^ссов.
цнерц ,а.рлзуя уравнения (3-1) —(3-4) и решая сисге-
^1,nL ubiM выше методом, можно получить следую-
»	|.П 45).
цЩ1’1 .’„..точные функции при изменении энтальпии и
входе сохраняют «нл (G-13). (614)
юмшипш обогрею
Ь-' 1 о

w , =	-T--L1 0-^пп );
°.’ Яо THS + I ' D,DB| >'
при изменении давления
и? ________Е1«._________О__________________”«
bq, (T6s - (T,,s + I) u10 e
<?0 7’mS+I U‘ W'
=
Здесь постоянная времени Гм дается соотношением
(5-7).
Если в этих передаточных функциях положить aB“«j
(т. е. Тм~0), то полученные выражения совпадут с пе-
редаточнымп функциями (6-13), (6-14).
Динамические характеристики при возмущениях эн-
тальпии и расхода пароводяной смеси на входе в тепло-
обменник не содержат коэффициентов, связанных с ме-
таллом. Это математическое отражение физического
фактора: способность металла аккумулировать тепло
проявляет себя лишь при изменении его температуры,
а такового при указанных возмущениях не происходит.
Таким образом, в теплообменнике с кипящим рабочим
телом длительность переходного процесса при скачкооб-
разном возмущении АЛ (или SDnl) равна ттр вне зави-
симости от металлоемкости стенок и величины ав-
Вследствие конечности величины ав температура сте-
нок трубы при возмущениях Д<7 и Apt в переходном про-
цессе изменяется и тепло, аккумулированное ® стенках,
будет распределен но в пространстве и времени переда-
ваться потоку. В результате инерционность переходно
го процесса 'возрастает.
233
Разгонные характеристики кю каналам шередачн
мущенкй А? н Api имеют следующий вид:
изменение обогрева
ваз.
Рис. 6-4. Разгонные кривые радиационного испарительного участка.
/ — ай-€(ик1; 2-ай-<м.
Сопоставление разгонных кривых того же теплооб-
менника при возмущениях и для случаев цв=
— const и ап~<*> (рис. 6-4) показывает заметную роль
эффекта тепловом аккумуляции в металле даже при
очень большом ав (в области развитого кипения).
Динамические характеристики давления могут быть
получены на основании уравнения движения в форме
(4-3), которое для потока пароводяной смеси в линей-
ном приближении имеет такой вид:
t'o
где	—ро. Подставив сюда известные значения
Айв и Дгь можно получить решение в форме либо пере-
даточных, либо разгонных функции. Так, для вэ8*00
имеем следующие передаточные функции:
evlrtllllie разгонные кривые изображены ца
CootbctctbJ ioihhv н
пне. 6-3.	недетектнрооанвп 110 каналу «рас-
°'PSoA,,T"’ СП0С °М’ yKaJaUll”,M
в § 4-4.
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Передаточные функции включают в себя произнеде-
ние дробно-рациональной функции F(s) н выражения
Р (S) = 1—2?- е“т,/ •
' '	П|«
После замены s=/m комплексные числа F(j<i>) и
/5(/ш) для удобства надо представить в жазательной
форме:
.   ______/arclg-i-
F(M = ^X’ + re ¥;	(6-15)
/•------ 7Т	J--С Об т <0
'+£
(6-16)
При выводе зависимости (6-16) использовалась правило
(5-72).
ИЗМЕНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ
Если заменить в передаточной функции 1Г 1см. (6-13)]
s на /ш, получим аналитическую зависимость для ампли-
тудно-фазовой характеристики:
= \-KF(j«>)P ЦШ) = 1 — AeiV. (6-17)
где
Л=к у 1 + A ^ _2cosx „Л/ (6-18)
у	uiq	у
х
у	ST“sJnbpw
т = arctg - хг 4- arctg —-.	(6-19)
1 л - -
23?
Конкретные значения К, Л’ л Y приведены ц Табл 6
Комплексное выражение (6-17) представим в пока
зательной форме, используя соотношение (5-72):
А>' !<д) _ д e)V<'>
Дц z/|
где	___________________
А^ (w) = /1 + /1 (А — 2cos Ф)
— амплитудно-частотная характеристика;
/ __ 3 с|п Ф
У71 («>) = arctg (| _y| CQs4r
— фазо-чаетотная характеристика.
По остальным каналам передача иозмущ tft ампли-
тудно-частотные и фазо-частотные характе, тики да-
ются соответственно зависимостями ((>-18) и (6-19),
а входящие в них величины X. X и Y приведены
в табл. 6-1.
ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА
Передаточной функции Wn п [см. (6-14)1 соответствуй
J	’	В Я|
ет амплитудно-фазовая характеристика
_д
где
Ad d М =	(6-20)
»„А« = агс«[г^р.];	(И»
Л и ? даются соотношениями (6-18) и (6-19) при
К = 1; Х = _—1-----; У =
+ 1
По каналу амплитудно-фазовая характеристика
есть
ДО. (ы)	/v0 /
д/,	—	* 1
где Ad^ и совпадают соответственное (6-18) и (6-19)
238
при
I'i*1
?0®’+
Г,ш
I
К =
О, '

По каналу q
сс-гь
АО, (to) _
Atf Qt
амплитудно-фазовая характеристика
I	. f^nn
г^+Т<'-Л».»/ '>•
Приводя комплексное число к показательной форме, по-
лучим
М), (<>)	. &D q
^q ~^Dtge ’ •
с помогаю с Э'ношений (5-72) — (5-74) нетрудно уста-
новить, что
X] I Н“	2C0S^O,Da))1
ip
(<») = arctg
~ЛД|Л/тУДА|
1-?1V'.IcosW°.a«1
— arctg Гм®>

где AD D и ’Fo d берутся по соотношениям (6-20) и
(6-21). ’ '
По каналу р, —» Dh амплитудно-фазовая характеристи-
ка есть
a/J»(w) _ л JVa»r,
я" D-p>
где
= arcts
’ -~'4o»,sln440..
I	со5ФаЛ1
+ arctg ~г..
По найденным зависимостям на рис. 6- Раоак.
кривые амплитудно-частотных и фазо-частот . 
теристпк того же теплообменника, что н на р •	•
Рлс. G-5. Частотные характеристики радиационного па-
рогенерирующего теплообменника.
КОНВЕКТИВНЫЙ ОБОГРЕВ
В энергетическом парогенераторе к теплообменникам
конвективного типа относятся кипящий экономайзер
(начало участка испарения) и переходная зона (конец
испарительного тракта).
При течении внутри трубы кипящей жидкости t0=fi
(г). Для испарительной поверхности, расположенной
в конвективном газоходе, можно также принять
¥=/(г), поскольку по ходу газов длина поверхности не-
значительна в сравнении с длиной пароводяного тракта.
При этом предположении оказывается, что ¥=/(?), т.е.
обогрев равномерный.
Динамические процессы в конвективном теплообмен-
нике с кипящим рабочим телом при пренебрежении те-
пловой аккумуляцией в потоке газов описываются сле-
дующей системой дифференциальных уравнений:
°- к'+?Ря-=«Л(в— О;
«Л(9-|) = яА(9-в)-гЛВ;
им
ДаСа(&,-&) = аяДп(&-0);
—»4-F^L —CI-
dz “' dx — "
а + Ы'
240
Эта же система, записана
„ малых отклонений параМегпЯПйЛля
парного режима, имеет вид- Р°В От
малых возмущений
исходного стации-
rt {'^ I 0 АГ)  ГЛ	(
D*o dz ~^dz rlh -^=ия(1я (Д9 — д/);
аЛ (ДО — ДО = аяЛ (Д» — ДО) +
Здесь принято cta = const, а также учтена зависи-
мость коэффициента теплоотдачи со стороны греющих
газов ан от расхода Он (4-52).
Коэффициенты линеаризованных уравнений являют-
ся функциями исходного стационарного режима:
-/»	(Д«+ !)(!;+Е*)’
Г® ».=AAf»,.-Q
телтспЛЫе Назначения те же, что и для конвективного
тела ,меп*1Ика со слабо сжимаемым потоком рабочего
кооод СМ § 5-3). Линейная зависимость энтальпии от
ракте :,iaTbt 2— следствие равномерности обогрева, ха-
йл™ рНОП для принятой физической модели конвектив-
испарительного участка.
ных СКЛ10чением переменной Д6 система лянеаризован-
сат ^Равне11И’’ сокращается до трех уравнений, зали-
ых ниже в преобразованном по Лапласу относитель-
в-1031	Я|
WO Г ВИДО*
Рв>	др„ (г, 4) 4- fPaSdt (г> s) =
= - a^La/&t (S) - »8ЛВ р—-. А' \Д^н (?) + 4>h (1 +
Н~ Au) Д&($) 2a^n A/;, (s);	(6-22)
д3 (г, 5) = [д^р+(£„+ !)(! + «•) Г „я + i ] Д0> W +
+(t»+D(' + H 1 т ‘ + ?V + I ) AD|1 (s>) +
ar dp
T»„s + 1
- tfbsM (z, s) = 0.
(6-23)
(6-24) (
Здесь учтено, что
M = у- Ьр\ Др = ~- Ы.
()p	‘ ' r- ()l
Комплексы Т*ы и m* имеют то же содержание, что
и в модели конвективного теплообменника со слабосжн-
маемым потоком рабочего тела. По существу, совпада-
ют и коэффициенты Л'*п, если учесть, что для кипящего
потока св=оо. При этом в рассматриваемой задаче
— /18	»* <nLu -{-1
А а — D„t 1 +>• £,4-1 ’
Из уравнения (6-23) следует очевидный факт: тем-
пература греющих газов изменяется лишь при одном
внутреннем возмущении (Apt). Из этого уравнения мож-
но непосредственно вывести передаточные функции
117 — л_____________!!__________1	.
«».	£„+ 1 । (£u+l)(l -ре») 7”„s+ I *
(6-25)
совпадающие с соответствующими передаточными функ-
циями конвективного теплообменника со слабисжимае-
242
теяом (см. § 5-3). если в последних при-
^,|Н Раб°^!%ри этом 1= °)-
йТоСв^ ЛЛения закона изменения в динамическом
11 для на лп, пин и расхода следует продолжить со-
процессе прение уравнений (G-22)—(6-24). Дифферен-
„местное не{ШЯ (6-22) по z и подстановка в него
и"РоаЛН!«,\оавпення (6'24) приводит к обыкновенному
И;.,альноМУ уравнению второго порядка с пере-
тифФеРе ' .жжиниентамн. совпадающему с уравнением
Ценным11 анионного испарительного участка. Внеш-
(б’г1вДпадаюТ » гРа’1ИЧИЫе УСЛОВ11Я:
йеС Д1-(0. s) V,(s). Д^(0. s)^ADui(s).
’ нсполь вании второго условия для нахож-
данако при	1[11я прО|138ОДНОй выявляется раз-
дения гран» "|М
лнчие:
dbi (£^)
dz
^0 ДРв1(5)Г^5й/'^ +
+й^1 f^'+T ' и+X
хг.^г и>.иДл(s),
где
Решение уравнения (6-6) для граничных условий даю
ной задачи показывает, что при ВОЗМУ“®НИ”*намИческие
и расхода пароводяной смеси на входе д ‘‘
характеристики конвективного тепло° м^’ нН0Г0 тепло-
ютс аналогичными зависимостями paai bKV ука.
обменника. Это естественный результ	теп.лйобмена
запные возмущения не нарушают костИ)> (в рам-
па границе «стенка — поток кипяшд. j* , характе-
ках допущения о пренебрежении - областей). Раз-
ра теплообмена при смещениях гр 1 ным теплооб-
личия между радиационным и h изменении тем-
менникамн могут проявиться толь p.L!BHom теплонод-
пературы стенки, которое ПР", ктОр.,пературы ч расхода
воде вызывается возмущениями _ Соответствую-
греющих газов и давления вн>тр' следующий вИД’
щие передаточные функции нм •	243
16»
Изменение температуры греющих газов
IJ7_______У1*	_______!_____ ( I	—'t h,
(75= 0(^4- 1)<
«7 . =	, .- (1 — Ц7 к ч
л»®‘	^10 — !л ^м*4-1	•
Изменение расхода греющих газов
rj7 ___	pio	J_______
и — <• НОю-'о) Р'о*— 0(Г*^+ о
гкл _____ Н ^10
fl»e-G 7V+I
, ( 1 — — e~^s
1 \ "|«
(1-^пл ).
• »|
Изменение давления в потоке пароводяной смеси
—	_ £р_ _ ,72±J______(\_
др	<^-1)(Г*к54-1) I/ Р|в е
Здесь Го и ттр определяются так же. как и в случае
радиационного теплообменника.
При скачкообразном возмущении разгонные кривые
описываются такими зависимостями.
Изменение температуры греющих газов
244
расхода греющих газов
|,эмеН м к% JL- д/л
АО, ' А/Л, «" А», •
В начале зоны испарения вследствие высокого зна-
чения коэффициента теплоотдачи ав при пузырчатом
кипении постоянная времени 7*м очень мала и ее можно
положить равной нулю. Динамические характеристики,
содержащие коэффициент Г*м, при этом резко упростят-
ся. Например,
При аа=оо выражения Т' н qv принимают такой вид:
Г=^-(Аа + 1
?.=(»,.-«-Л?
коэффициент определяется так же. как и для радиа-
ционного парогенерирующего теплообменника.
Динамические характеристики давления рабочего
тела получаются, как и для радиационного теплообмен-
ника, из линеаризованного уравнения движения при
подстановке в него известных значений Д: и ADn.
Передаточные функции и ^pD совпадают с соот-
ветствующими зависимостями радиационного аппарата,
остальные передаточные функции имеют вид:
’_________________
& — /в
P.O
Со
117______“Ь ' л ию
Ойо Дв-н < "tT
В качестве примера на рис. 6-6 даны разгонные кри-
вые конвективной испарительной поверхности нагрева,
имеющей следующие характеристики; Рц0=0,5, кг/сек,
4^=32/24 мм. Z=40 м, р=
100 кгс/см2, Фо—726°С, аво = 0,1 квт/(м**°С), На вход
246
Рис б-б. р.игонные кривые конвективного теплообменника с ктая-
щ||у потоком рабочего тела.
/-u,-consi; г—а„-».
подается кипящая вода с пулевым паросодержанием.
Пунктирные кривые соответствуют случаю а0 = оо. Оче-
видно, допущение ав- <х> может приниматься лишь как
первое приближение.
В ряде случаев тепло к испарительной поверхности
нагрева может подводиться от потока с высоким значе-
нием водяного эквивалента Dnca, например при конден-
сации (си=сс). При этом температура греющей среды
не зависит от температуры потока рабочего тела, а Ц —
= оо. Результаты для этого частного случая могут быть
получены из приведенных выше динамических характе-
ристик.
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Частотные характеристики парогенерлрующего тепло-
0 менцика с конвективным обогревом при возмущениях
энтальпией и расходом рабочего тела на входе совпада-
ют с соответствующими частотными характеристиками
Радиационного теплообменника.
каналам	—*4 и Du—** амплитудно-фазовая ха-
рактеристика есть
Д< (ы)  At (<о)	___
247
где 4 и 4% совпадают с зависимостями (6-1.4) н (б.15)
при
к'________________	__•
A~“ Ь(01в-М ’
Л— ' (Г&* +0(Т>+ ')
„_______fc2^ ^_
(Г>’Н-1)(7->2+1)
По каналам —*-&п н амплитудно-фазовая
.характеристика есть
ДО. (и) _
Д*«. др
е’
л	9
Л>
«
где
4.e,W	+ i
X>j/T +	^о,о„ cos • ’
ТР,8. И = аГС1&
-4ДА1 sin Фд>Да, '
,_ЛоА11'054'\о.1
— arctg r^to.
Здесь Ао D и TD D берутся по соотношениям (6-20)
л	в й!	» •!
и (6-21).
По каналу р{—н амплитудно-фазовая характеристи-
ка есть
д; (со)
Др,
=Я e ^Pl
т
где АЛ Даются соотношениями (6-18) и (6-19)
при
J - Т.п + Г%Г) t
(7'jw24- !)(Г*?<о’ 4-1)
У-Зг° ~~ Г% + Гф7*мГщ2) со
(го«г+ 1)(Т«2о»4+ !)
248
Pirc 6-7. Частот!।	характеристики конвективной испари
тел ы1 о й поверх#	: •
По каналу pt—амплитудно-фазовая характери-
стика есть
•1D> — А е1Т^р>
м	ДЛ ~А>,?1е
где
,	<)1’	О„„	/ (1 + Т'Г’м^)3 +	- т\у&у
'Г \/	т>+1
X /1 +	(4л -2' « "W

0,74
= arctg
sin У°>д.1
1 - cos Фд.°-
(7” —Г‘и)“
ff
Частотные характеристики	ре-
мекпика приведены на рис. 6-7. Ко I > б 6
ЖНмлые параметры взяты те же» что •
пгШРНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
6’3‘ Жи ДЛЯ ПАРОГЕНЕРИРУ1О1ДИХ
?"пТоо"«йнИКОВ С РАДИАЦИОННЫМ
ОБОГРЕВОМ
irnoueccw и парогенернрующей
. Н^“”пТорой равномерен по длине н не эанн-
трубе, n6^₽eB3TyJbIP потока рабочего тела (радиацией-
сит от темпераПРь допушеН|1Н постоянства давле-
"Ы“ "баются системой ли<М>^евц"альних УРавне‘
мня ошк-Ываги	g общем случае эта система
япй	Д аналитически неразрешима. По-
нелинейных ура не" опущецце, позвемя. шее прев-
видимому, ми1"^аплпьр''°!.Днё есть а» = ~. Погрешность,
станнаГс этим допущением, аиалнзнровалгеъ выше
(СМПр"Св6. = оо температуры стенки и потока
(Й = П и система уравнщшй принимает щ
ВИЯ: л... <>'.
У г, ’
4^=0:
близки
простой
П & I СЛ
dD, 
(6-26)
иена-
с не-
? a 4- bi'	’
Парогенерирующая труба помимо собственно
ригельного участка имеет, как правило, участок
догретон до кипения водой н перегретым паром. В дан-
ном разделе мы будем рассматривать испарительный
участок парогенернрующей трубы изолированно, считая,
что в пределах теплообменника длиной / в нестацио-
нарном режиме характеристика фазового состояния по-
тока сохраняется. '
При движении в трубе кипящей жидкости сн~оо и
система (6-26) может быть приведена к такому виду:
(6-27)
<*? .
dz r
di i '
fP 9
dz ' Ox
Р	я + М1
где а и b даются равенствами (3-14)
250
(6-28)
(6-29)
Решая совместно уравнения (6-27) и (6-29). получаем:
-«4~<«4
Сложение уравнений (6-28) п (Ci-ЗО) приводит систе-
му (Ь-27) — (6-29) к одному уравнению
dw__bg
dz f '
Если обозначить по аналогии с линейной задачей (см
§ 6-2)	|
Т=^	(6-31)
и считать q=£f(z), то решение последнего уравнения
есть
ву = w (О, х) +у~ •	(6-32)
Равенство (6-32) показывает, что скорость пароводя-
ной смеси в любом сечении трубы определяется величи-
ной скорости во входном сечении и членом, учитываю-
щим возрастание удельного объема смеси при наличии
теплоподвода.
Подстановка равенства (6-32) в уравнение (6-27) или
(6-29) позволяет получить уравнения для непосредст-
венного определения i и р; однако поскольку имеется
связь (6-29), то достаточно найти, например, только г:
|И5‘
Соответствующее уравнение статики дает закон из-
менения энтальпии в направлении движения потока:
2.	(6-34)
Вычитая из уравнения (6-33) соответствующее ста-
тическое уравнение, получаем после несложных преоб-
разований нелинейное уравнение динамики для откло-
нений
(6-35)
dz 1 дх Т 1 ЬТ у д v)t J
тле скорость х1 дается равенством (6-32).
Выражение (6-35) для определения изменения эн-
тальпии двухфазного потока есть уравнение с правой
251
производных с коэффициентами, за.
частью й частных ? неоднородное квазилинейное
висящим" от г " ’ ие для общего случая произвели-
уравнение tro Р , [( энтальпни па входе ц тепло-
ного изменивИ с 1 для отдельных видов ВОЗМу
ВОЙ нагрузки «ев03о^/К‘равнения можно получить, при-
шепни Реше1’"е„гп ° ованин уравнений Первого порядка
меняя при фггегр р терПСТ|П<. В [Л. 83] этот метод
классический ме\л ' ‘ яаЛОГнЧИон задачи при двух воз-
был реализован £' и расходу смеси во входном
мушеннях (по об р У^ ивозмущеН11ЯМ добавляется
3“е характерное: возмущение энтальпии смеси „а
дейстаийТуравиеппи (6.35) не накладывается ограпиче-
ине по величине («малость»).
ТЕП Л 00 БМЕ НН И К, ОХ Л АЖДА ЕМ Ы И
ОДНОФАЗНЫМ ПОТОКОМ
В гл. 8 нам Потребуется знать решение нелинейной задачи
(6-26) также и для участков» соседствующих с испарительным трак-
том — экономайзерного и пароперегревательного.
При движении однофазного потока (воды или пара) можно
принять p=const, н тогда система (6-26) выродится в одно урав-
нение:
di
di q
К’
(6-36)
где

Я. = /р.
,.Д1Я перехода к отклонениям вычтем из уравнения дппамбки
(о-36) соответствующее статическое уравнение, решение которого
дается тол же зависимостью (6-34). что и для испарительного уча-
стка. Выполняя вычитание, получаем:
w
дЫ
dz
dAt
/7о
/А о
Ди».
(6-37)
При переходе к отклонениям линеаризация не проводилась
(в переменном коэффициенте и/=и>о4-*Дщ мы не пренебрегали отклей
пением Дзд в_ сравнении с а»0). Уравнение (6-37) осталось целиной-
ным (нелинейность связана с первым членом — произведением двух
функции). Типы уравнений (6-35) к (6-37) совпадают, и для реше-
ния их применяется ниже метод характеристик.
252
характеристики дифференциального уравнения
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Неоднородное квазилинейное Дифференциальное уравнение яеп-
вого порядка может быть 'записано в общем виде следующим обра-
зом:
до	д v
Р (X. SJ. Ч) + Q (X. у, = R (х, у> vy (6.38)
Метол решения уравнения (6*38) опирается на представления
аналитической геометрии, так как функцию и(хг можно интер-
претировать как поверхность в трехмерном пространстве, местопо-
ложение н вид которой целиком определяются краевыми условиями.
В теории дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка (. L 107] показывается, что задача отыскания по-
верхностей ^(х, у). т- интегрирование уравнения (6-38), зквиэа-
леитпо нахождению векторных поверхностей векторного поля:
где ц ]. единичные векторы, направленные по осям координат
А\ У. V-
Векторные поверхности находятся в результате интегрирования
системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
rfx	dy	du
Р	Q	X
(6-39)
Если % (д\ у, v)-ct и Va(x, у, о)=Сг — два независимых не-
определенных интеграла системы (6-39), то искомое уравнение век-
торных поверхностей (т. е. общее решение уравнения (6-38)] имеет
вил:
Ф|Ф| (X, р. f), Ч'а(х, у о))=0,
где при отсутствии условий однозначности (краевых условий) Ф—
произвольная функция.
функции 4ri’ и Ч'2 называют характеристиками уравнения (6-38).
Если требуется найти частное решение уравнения (6-38). уловле-
творяющее заданным краевым условиям, то функция Ф перестает
быть произвольной; ее вид определяется краевыми условиями. Эта
функция разрешается относительно о. т. е. находится искомое реше-
ние v(x, у).
СКАЧКООБРАЗНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКИ
В этом случае
j
I <7.
т<0;
t 1).
7—
Остальные входные воздействия (энтальпия и скорость во вход-
ном сечении) не изменяются и сохраняют значение исходного
режима.
253
в урАЛнеюш (fi-37) для простаты временно положу
(Ум-О ПЛИ	Т С
йДх , <М/
Wb 5Г+	(G-4Q)
Одиозность решения уриннгинй (6 40) юетнгпетея введен^
следующих краевых условии: .
начальное условие т-0, -V о»
граничное условие: г=0» шв0.
Согласно изложенному выше общему ме еду pci.p.-иия эшцщи.м
систему йифферщшзльных уравнений характеристик:
з
rfz _ (h __ dbi
Ъ 1	’
‘	;	2	'
Здесь можно составить три интегрируемых комби izwuil но для по-
лучения однозначного решения достаточно искал о .-ют лишь две
из них, например I и 2. С помощью их определяются равнения ха-
рактернстических линий
г — aiox = ct;
Д(/
(6-41)
Искомая поверхность Ai(z, г) должна пересек ь и носкость (г,
0. ДО по прямой
Д*(*. 0)-0	(6-42)
(начальное условие). Параметрическое уравнение поверхности Ai =
=1(г, т), задаваемое системой характеристик (6*41). при т—0, долж-
но выродиться в параметрическое уравнение прямой (6-42):
г = г.; 1
^f = c3, /
Из. системы (6-43) и начального услоияя (6-42) определяются
постоянные интегрнропаиия с* и €f.
с<=г. с2=0.
(6-43)
Второе (Из ^уравнений характеристик (6-41) сразу дает решение
<S о
Решение (6-44), полученное с учетом начального условия, оче-
видно, спраэедливо для z^O, к а соответствии с (6-43) должно
оыть^с^о. Тогда из первого уравнения системы (MJ) следует:
Т5^я»Г ~Ttp- Нерзаеиство
0^T<Ttp
решение1 Т(^44^в₽п^иной интервал, внутри которого справедливо
стве и пгемеии -?1тйЛп°ГО 1ШтеРвала ^кои изменения в Лрострац-
ус^вие	Sb —' 1'™лиуя оторое
2Б4
.. .,омая поверхность Л/ !{z, т) кмжнв удовлетворять граиич-
Г^слояНЮ» т. е. пересекать плоскость (0. с. ДО по линии Aj(0„
пзвимвтрическое уравнение пой лилии также определяется
^ат^.к С М»
*	— ачт;	%
КГ	—Т.
£	J
Отсюда легко уст знобить связь между г, н с>:
£)мй
^ = ^с>
С учетом этой ссяэн из урзаиеннЙ характеристик (6-41) найдем;
Д<7
Л,' = 'д7г-	(6-46)
Решение (6 46 нс может существовать а том же временном
интервале, что и решение (6-44), так как при этом нарушается
условие однозначности. Действительно, существует второй интер-
вал, где справедлива зависимость (6-46). Найдем его.
Решение (6-46). полученное с помощью граничного условия,
справедливо для т>0 н в соответствии с (645) должно быть с4<0.
Тогда из первого уравнения системы (6-41) следует:
z
,>'^Г==*"тр-
Очевидно, решение (6-46) описывает новый стационарный ре-
жим.
Итак, оба ограничения, накладываемые краевыми условиями,
учтены. и решение во всем временном интервале записывается
так:
т,
Ы = .
(6-47)
z.
Соотношения (6-47) нс учитывают влияния тепловой аккуму-
ляции в металле на динамический процесс. Избежать связанной
с зтнм погрешности можно, решая точное уравнение (6-37) с теми
же краевыми условиями. что и для уравнения (6-40). Следуя рас-
смет регшом у методу, легко па Ги и
Здесь
л- -----------ГГ~7---Г".
4» I £• (1 + Н-)
М z
п ’
А/В0
т, =» (। 4- н) Sf*
г ,
иъ *
(6-46)
(6-49)

ни ню. что глубина м>шуи»ши д,
Ю Ы‘тТеР У’'аВ"еи"Н иТ"вЖИ’-
И1иеняег его .n	nnottecca при унте влияния тд130.
Й*Й5Й« vч»*11 "	|,'>1” °’” *"
тока. то погреши	wnAIM»cca теилопзя аккумуляция вме-
одинэковх	и переходного-про	ч теллообмена. поэтому
-
статические значсин
впадают.
СКАЧКООБРАЗНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА (СКОРОСТИ)
НА ВХОДЕ 0 ТРУБУ
При скачкообразном изменении количества рабочего тела. од-
даваемого на вход теплообментгка.
-л - Q.
в снят постоянства плотности изменится лишь скорость
| и-о.
w ==	. г.
Уравнение( 6-37), описывающее переходный процесс, при этом
возмущении примет такой вид:
дЫ . .. । .	А
Ю“ЭГ+ (1 +ti) д’. ~ £>.<, Л®’
Его краевые условия аналогичны условиям уравнения (6-40).
Изменение энтальпии описывается следующими зависимостями:
‘I  |	«.<1 +W 
D„ •	’
где т. дается равенством (6-49). в котором ттг = г/®. Из этого
решения видно, что вслщгпна возмущения (т. е. Доу) сказывает-
ся не только на величине отклонения энтальпии, по и на длительно-
сти переходного процесса, чего нс может y'rccrii линеаризованная
система урапиенкА.
СКАЧКООБРАЗНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ
(ТЕМПЕРАТУРЫ) ПОТОКА НА ВХОДЕ В ТРУБУ
В этом случае
. _ | <ю, т < 0;
‘“li.. -.>0.
При краевых условиях
т==0, Ai=0;
г^О. Ai«Aj,
256
^H.IHir мин (Г. 57) с помощи» меюд#
Г |Kni).ibull,Idl|te'1 иргойра.ажн»ия Люмлса тЮ
объ1К11гжми1оиу дифференциальному ураьнснии?
В JI-К
— = t и
Л/' = I I. «>:..
ЛЭрЗК1СрИГГ1Ж ИЛИ
т для переход»
подучается в еде-
(6-5!)
дС т. полностью совпадает с равенством (41-49)
Глубина нозмущгннн Лц нс вменяет лингнностн нсхишога
vpainieiiHrt- так -по решение лкнеарисованной задачи вполне' хоп-
рекпю л»же при чачигельных иозлейстях по -«нтадьпин
ТЕПЛООБМЕННИК, ОХЛАЖДАЕМЫЙ
ДВУХФАЗНЫМ потоком
СКАЧКООБРАЗНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКИ
Динамически н процесс описывается уравнением
(6-35). которое для рассматриваемого возмущения при-
нимает такой вид:
^10
где T=^lbq Краевые условия уравнений — нулевые.
Поскольку коэффициенты исходного уравнения при
заданной форме возмущения не являются функциями
времени, можно преобразовать его в уравнение с обык-
новенными производными, применив преобразование
Лапласа по независимой переменной т. тем более, что
значение Д/(г. 0) известно. Однако в последующем бу-
дет применяться лить метод характеристик.
Запишем систему обыкновенных дифференциальных
у р а нн е ни й х а р а кте р ист и к:
rZz _ d-	d^i
z I “ Д/ pl9
ы‘ю4--у	w
Решив ее, можно получить характеристические линии:
(б 52)
17—1031
257
Коистшпы интегрирования г, ц МП|ут
повлеки г помощью одного из двух краевых1'1.' -Vtra-
Условия однозначности не являют/ мзбыгоч|п,1ч'СЛ0в‘,Л
установлено из предыдущих решений, опреад 1П?’а''<ак
ные законы изменения эпталышн в двух o6na,-rJT |,аз’
мени.	Ях ”Ре
Использование начального условия дает
4’,=?-}-®,/. с3=-^° T&q.
Х0ДйНЭЯ ' УЧСТ0М 1ГГ"Р01"1 "3 характеР1|СГНК (6-52) на
Временной интервал, па котором справедливо это ре-
шение. определяется из условия г^О. В любой момент
времени на этом интервале, в том числе и при т-=0. кон-
станта Су в соответствии с первым уравнением системы
(6-52) должна удовлетворять условию
Тогда из этого уравнения и полученного неравенства
следует:
*
(г + т г? и»10Л
откуда находится сам временной интервал
In fl + —т\
\ у
Нетрудно показать, что правый предел есть время
прохождения частицей расстояния от входа до сечения
г в новых условиях обогрева. Действительно, в соответ-
ствии с (6-10)
При больших т решение для Л< будет даваться иной
зависимостью, которую можно найти, используя грани*’
ное условие. При г=0 опр еляется связь между Су и с/
с ==с
25b
С учетом л DIO замыкающего систему (6 52) условна
однозначноеги находим изменение энтальпии:
Д/\=
До
В том. что это решение справедливо при т>тПн мож-
но убедиться» используя условие т>0 для всех 2, в том
числе и для 2=0. Действительно, при 2=0 [см. первое
уравнение системы (6-52)]
ln-bi>0.
Так как в исходном интервале времени
с, = (г + witT) е т .
то из двух последних выражении следует:
Итак» для всей временной оси имеем:
-') в*’*’*	(6„В)
Z
гГ~ >	z ^ГР-
Решение показывает, что переходный процесс закан-
чивается за время тТр» что естественно, поскольку при
па=сю аккумуляции тепла в стенках не происходит
(0 = Г = const). п этот фактор не оказывает влияния на
растягивание процесса.
На испарительном участке кроме энтальпии измене-
ния претерпевают удельный объем, массовое паросодер-
жание и расход пароводяной смеси. Их легко опреде-
лить по найденному значению Аг:
Ду = и — uQ = ЬЫ\
Дх— Л — л-,——;
/Да' — О|0Др
ЦО —
Д£)а = Do - D
и0 Ду
(6-54)
17’
2&9
Например. закон изменения
в пространстве п времени имеет вид
Расхода
л	W
ДР» — ------------------—-------------. О < х С t :
= *h	А	JL.	₽
. , «’н» Д<? е г
+ w «7®
О,	1 ^-гр.
СКАЧКООБРАЗНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА
ПАРОВОДЯНОЙ смеси на входе в трубу
Так как Dn=~t то при = const скачок расхода
вызван скачком скорости во входном сечи инн:
_('^кв т<0;
I хХ).
При этом возмущении уравнение (6-35) имеет такой вид
Его краевые условия — пулевые. Решение этого урав-
нения на всей временной полуоси (0^т<оо) дается
следующими зависимостями:
где
^.о	4	/
_ 9» 2
п „ 7Т~»	х
тр*
Отклонения остальных параметрон (Ли лг
легко определить, зная величину Дг. Напрнмео
260	Н|
II ЛОв)
li сечен ни z будет измениться но следующему закону.
дг)м
—

СКАЧКООБРАЗНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ
пароводяной смеси на входе в трубу
Одновременно с энтальпией в силу зависимости v =
= а + 1н скачком изменяется н удельный объем рабочего
тела:
( tfja» “ О»
у — I 1
|	~ о.
При подаче постоянного количества рабочего тела из-
менение удельного объема вызовет изменение скорости во
входном сечении» так как -ю=—» т. е.
(’А«.
(	т>0.
С учетом этого уравнение (6-35) примет такой вид:
(, г \ с/Дг г дЫ — Af*
“'.+77) ^+-^=—77—
Его краевые условия
х = 0, Ai =0;
z = 0, Д/ = Ах\.
Отклонение энтальпии и расхода пароводяной смеси в
где
xn,=roinQ + -5^-);
Законы изменения энтальпии А/ и расхода Д£)п Пр^
трех возмущениях получены здесь без линеаризации ЧТо
снимает погрешность, связанную с этим приемом. Вел«.
инна погрешности зависит» как видно на рис. 6-8» от глу-
бины возмущений Д#. Д^т и -Vi- При бесконечно малом
Дс\ = бД/,.
11 расхода пароводяной смеси при
воэмумюши; л - лннслХп мпдЛ|/' “ОЯМУИ<4!Н1Ш 2 то Жг при 10%-пом
возмущении, таком, что можно принять	/;_кч
кое-лноо внешнее воздействие) оасчАтим/ 1
\i/\i И \DJ\i nrt.nvt.An.г,, С ’ PdtЧСП|Ые зависимости
-*/ и	полученные здесь и r к к о
Кривые рис. 6-8 построены лпя тпг ,	2' cim'^n'or-
'iw и на рпс. 6-3. Р	°Г0 же тенлообмекннкп.
2(>2
(М. ДИНАМИКА ТЕПЛООБМЕННИКОВ
С СИЛЬНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ФИЗИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ ОДНОФАЗНОГО ПОТОКА
РАБОЧЕГО ТЕЛА
В napineuepa горах докршического давления в по
герхностях нагрева, предшествующих испарительному
участку илл пеиосредствен1И1 следующих за ним, физи-
ческие свойства могут заметно изменяться (рис. 6-9.и),
хотя и не в таком сильной мере, как в испарительном
участке. Так. например, в шнрмовам пароперегревателе
котла типа ТП-80 (р = 150 кгс/смг) удельная теплоем-
кость <и изменяется в пределах 12,3—4,6 кдж/град,
а удельный объем у = 0.01066-2-0,01517 м2!кг\ в меру
Pjic 6-9. Записи мости теплоемкости в удельного объема от темпера-
туры рабочего тела.
a~v лир; ‘5-.р>ркр.
изменения физических характеристик изменяется также
и коэффициент теплоотдачи.
Наибольшее изменение физических характеристик ра-
бочего тела с за критическим давлением наблюдается
в интервале температур, включающих область макси-
мальной теплоемкости среды (рис. 6‘9,б). Плотность по-
тока при /7>рКр можно описать той же зависимостью
(3-13). что и для пароводяной смеси, однако в этом слу-
чае коэффициенты а в b будут определяться как аппро-
ксимационные. При за критическом давлении легко выде-
лить три участка аппроксимации.
Сравнивая рис. 6-9,а и 6-9,6, нетрудно заметить каче
ст вен по близкий характер кривых изменения теплоемко-
353
объема потоков до и закрмтпчвекогп
стн и УДельн .tcftapeiiH>i <Р<Р.««О с тсчлоемкп.
давления 3 • паспнцеиня соответствует 1фи за.
11р" Jam чантеннн зона максимально!» теплоемкости,
критическом Д растянут на небольшом интервале
где НИК с„	' в зоне зависимость вдме-
изменения >ем ' Р - энтальпии подобна такой же
‘ n^Xi Л «•««»"« WWTeraw imiCTet.il» ф».
° Л йети потоков позволяет рассм цшвать зону
^^Хпло^коетей ирн закрпт.пж ком давле-
пни к^Хром^яый испарите^ныи участок тенлооб-
^'"ника при	бодьшом пр11раЦ1е„пИ энтальпии
„абочего тела температура изменяется в небольших пре-
делах, поэтому даже значительные возмуще н* *“££!
заметно изменить температуру потока н м> та.иа. Это
означает, что (подобно испарительному участку) те»л^
аккумулирующая способность металла / ь
Спмлкс не окажет заметного влияния на инерционные
свойства парогенератора.
Указанное позволяет с определенной погрешностью
распространить результаты, полученные для испаритель-
ного участка (см. § 6-2), на поверхности нагрева паро-
генераторов закрпгнческого давления, включающие зону
максимальной теплоемкости. Такое распространенно дает
возможность получить качественно верный резуль-
тат [Л. 44. 46]. однако работ по количественному обос-
нованию возможности такого распространения недо-
статочно.
Задача нахождения аналитического решения с уче-
том действительного изменения физических свойств по-
тока вдоль теплообменника, содержащего зону Св.микс
при р>ркр. нереальна вследствие отсутствия математи-
ческого закона, описывающего эти изменения, а также
ввиду возникающих математических трудностей. Поэто-
му усреднение в статике таких характеристик потока,
как си и ап> представляется неизбежным 1. Но п в этом
случае решить систему уравнении (3-1) — (3-4) без до-
полнительных упрощений (помимо линеаризации) труд-
При раСЧОТ^Х JDftiaMHKH ПэрЬГЕЛ^ППТОПйЕ ПЛ 'HIDXil
Чйике легки сппмаекя {Л <Wj.	(«а ЭЦВМ это ограни
264
пи лаже до передаточных функций. При рассмотрении
HHhipiuc.'ibuoio участка (ем § G 2) такое у прощен не воз-
никло ипестненпи (температура киншцей жидкости нс
изменяется вдоль пространственной координаты) я по-
зволило получить не только передаточные, но и времен-
ные функции.
Попытаемся решить систему уравнений (3-1) —(3-4)
радиационного теплообменника с Однофазным потоком
при неизменной теплоемкости, ни с учетом сжимаемости
рабочего тела. К таким теплообменникам будут отно-
ситься не только зона максимальной теплоемкости при
p>pw. но и примыкаете к ней участки с сильной за-
ннснмостью р = р(р, /), а также участки вблизи золы
испарения, в парогенераторах с докритнческим давле-
нием.
Исходная система уравнении, записанная в отклопе*
ниях, в лппеппом приближении имеет вид (3-18)—
(3-22). Принимая во внимание линейную зависимость
коэффициента а» от расхода и обозначения (5-24),
с учетом уравнения статику запишем:
aw,	 'дь?>,	=
tft	(Л
...	с/ДГ	I	гШ	(
+g8<?< ^-=а,Л (АО	— д0:
(Л6-Д<).
W «	*-* рО
Некоторые коэффициенты в уравнениях (6-55) явля-
ются, в свете принятых посылок, постоянными (ав. Со.
ф), другие представляют собой функции пространствен-
ной координаты (х7>. £«=/ри). Итак, система уравнений
в частных производных имеет коэффициенты, которые
или постоянны, или являются функциями координаты
длины, поэтому возможно преобразование Лапласа си-
стемы по координате времени. После проведения преоб-
разования приращение температуры стенки выделяется
из уравнения теплового баланса и подставляется в урав-
нение энергии. В результате приходим к двум уравневн-
265
ям в изображениях:
___ХрлД/ (2, s) — wty (•*) = 0;	(G-55)
J£lg^_+?A/	(v) 4-
4- ._2^— Д/Л» (*» A') + ^¥"e"	Vs')-	(6-57)
Последнее уравнение внешне лолпостыо совпадает
< уравнением 1Э-Ю). н0 коэффишюнгы р и Ти в (6-57)
коэффициентов -уравнений (6-56) и
ро вдоль
\ является главным шроиятствнем на пути <полу-
решення. В теории дпфферсн-
зависят от г.
11лремежост1.
(6-o7), определяемая нзм&нонцем плотности
ООН <7
чення аналитического ,
ниалышх уравнений известен следующий прием: при
небольшом изменении коэффициентов можно «принять
ilx .постоянными и равными средним их значениям. Воз-
никающая при этом nonpemiiocTB зависит от степени пе-
ременности коэффициентов. Этот прием был попользо-
ван в (Л. 8бф Очевидно, -погрешность будет наибольшей
при решении уравнений для зоны максимальных тепло-
емкостей парогенератора с закригичеокпм давлением,
где 1Плотиость в пределах поверхности нагрева изменя-
ется сильно. В предшествующих зоне гн.микс и следую-
щих за пей поверхностях и в однофазных теплообмен-
никах, примыкающих к .испарительному участку при
Р<р1ф. изменение -плотности не столь велике, так что
ошибка от усреднения ее стационарной составляющей
ро должна быть незначительной. Закон усреднения за-
висит от вида функции pu(z). Уравнения (6-56) и (6-57)
после проведспня операции усреднения стали и-меть до-
стоянные коэффициенты, но не потеряли способности
учитывать переменность плотности в динамическом ре-
жиме.
К уравнениям с постоянными коэффициентами можно
мрмнпН1? ™ВТ01Ж* преобразование Лапласа пи пере-
. .Синоп г. Исключив » .последующем одну из искомых
XtaXIJ,“?re|‘ «•* ч.»
преобразование по и и30оражеН11Я Д/( s) [ю
шение в области 'Переменной <?	1 и
i, записанное ниже в виде
21>6
пе ре да то ч 11 ых -фy iжни ft:
г
Sh p.z
P- ' ’

(6-S«)
Здесь p дается равенством (5-И);
и=|/^_п
“ Lt (TM.s- I)
Легко видеть, что ранее найденные передаточные
функции при p=consi fpa венства (5-14)] получаются иэ
выражений (6-58), если в шослединх принять-плотность
постоянной. В этом случае
х; = хр = 0; ц = -|- •
Для шоверхисгстей нагрева, в пределах которых теп-
лоемкость изменяется незначительно и «по закону, близ-
кому к линейному, учет изменения св проводится так
же, как и в § 5-2. Поправочные коэффициенты, па кото-
рые надо умножить лоредаточньк» функции (6*58),
имеют ннд (5-22).
Учет зависимости плотности от температуры и дав-
ления 'Позволяет етайтн флуктуации 'расхода рабочего
тела .вследствие изменения емкости последнего в объеме
топлообмен-ника ir переходном процессе я учесть их при
отыскании отклонений температуры потока. Это являет-
ся основным свойством нового решения, отличающим
его от решения, 'приведенного в § 5-2.
Для определения передаточных функций но расходу
рабочего тела -надо решить уравнения (6-56) — (6-57)
относительно ADR(z, s). Окончательный результат за-
267
пксывается так

Р-
? *h В* \ .
W	f*
=-ST «-*».».?
/' ( *t
Л‘> < «р
п7 —
W Пя/Ч
1	\р?\
ф ~и
V
Для несжимаемой жидкости передаточные
(6-59) переходят в следующие:
Функами
= ^.,,=0.
Отыскание выражений переходных характеристик
температуры и расхода рабочего тела во временной об-
ласти по изображениям (6-58) и (6-59) затруднено от-
сутствием необходимых соответствий «изображение —
оригинал».
Передаточные функции \Vft. легко Определяются из
уравнения движения »в лн-неГмюи <1>оргмс но известным
значениям Д£(г. $) и .\Dn(z, 5). Нед стентирование учи-
тывается введением обраток связи (см. рис. 2-6).
Глава седьмая
АППРОКСИМАШIЯ ДИ И AMI 1Ч ECKi IX
ХАРАКТЕРИСТИК
ТЕПЛООБМЕННИКОВ
СО СЛАБООКИМАЕМЫМ РАБОЧИМ
ТЕЛОМ
7-1. ЦЕЛИ АППРОКСИМАЦИИ
8	......— 'reccw
.We^ocTH „арабов, содер^	«ртизвод-
268
лыс. Решении таких уравнений уже в шр осте Гнием слу-
чае учета изменения физических величию вдоль одной
координаты получаются в 'Виде трансцендентных («е-
аЛ1 ебранчеоких) передаточных 'функций и цретаточло
сложшдх переходных характеристик.
Необходимость упрощения решений возникает орк
исследовании динамики сложных объектов па Серийных
электротных, электромеханических, гидр а вл и чески х н
других моделирующих устройствах, так ка'К во многих
случаях -с помощью этих устройств точные Динамические
характеристики теплообменников (за исключением ,па-
рогелерырующнх) реализовать невозможно.
Трудностей практического использования точных ма-
тем этических зависимостей можно избежать, прибли-
жение заменяв их более простыми выражениями. Опе-
рации 'перехода от точной фунши-и к упрощенной назы-
в а егся ап араксим аци ей.
К аи-прокеиманин 1Предъя1вляются два требования:
высокая точность приближения и •максимальная просто-
та математической формы упрощенно ii характеристики.
При налотчэш этих /противоречивых требований задача
ап прокснмании состоит в выборе такой п риближен и он
зависимости, «которая оптимально сочетает -качества точ-
ности и простоты.
Дна л из д ин а.м ичес кн х сэо н-ств объектов. нося адова ни.
их на моделирующих устройствах в синтез системы
автоматического регулирования значительно облегчают-
ся в случае, если передаточные фуаъкцнн, с которыми
приходится оперировать, имеют вид рациональных дро-
бей:
“,=кто-	(М)
В выражении (7-1) ЛЙ($) и вт($)— многочлены но
степеням s:
An (s) =«ns7’ 4-fln	+... + uj-s + H<i.’
Bnt(x) =.Z/ni^ + 6,J,_1s^-3-h...4-/?1s + ^ n<m
Передаточные функции вила (7-1) -получаются при
решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
Такие уравнения описывают, например, динамические
процессы а объектах, параметры которых с известно и
степенью приближения можно считать -сосредоточен-
ны ми.
269
неоеда-ючная функция гоплообмеп.
Трансенда W ;ок<и.мироваяз (приближенно за.
инка может 01i * Г|алЫ1Ыи выражением, что физн-
мелена)	от учета нрзктрапеннч.иой рас11ре.
чески означает от . •	. ечод к сосредоточенной
ДМТ,°В™ияХ реальной протяженности объекта при
модели.Влияние Р ,шгываеп-я различными пнтег-
SXS5 SA-. п—> «г™» к '“Р"
ральнымп харак	ается па заключительной ста
^Гр^ёния.^очность аппроксимирующих выражений
Р Амт. надежно проконтролирована.
"° ОяеХ'Я авпрокХманин неоднозначна. Точность
пппближХ.ых характеристик и их структура в адреде-
чёниой море зависят от применяемого метода. ..амена
Хв'пельной динамической харвктерпетнкл ирибл,,-
женпым дробно-рациональным выражением же г оыть
осуществлена. исходя либо из временной завп. имостн,
либо из передаточной функции. Следует различи ь чпе-
ченную и аналитическую аппроксимации.
Аппроксимацию назовем численном, если коэффици-
енты получаемой упрощенной динамической ха < кчери-
стики представляются числамц. Лп-прокснмапня нляст-
ся численлой во всех случаях, когда действительная ли-
на-м и веская
(или кривой, ’что одно и то же). Широко ipacmpuc раде-
характеристика задана систем он чисел
но численное задание динамических характер»! ..«.. а си-
ге экспериментальных -кривых и таблицы числовых зна-
чении, представляю щен решение исходной системы урав-
нении с помощью ЭЦВМ.
Численные методы тесьма разнообразны. использо-
вание их облегчается наличием таблиц. графиков и то-
мограмм. Быстрота выполнения числсшюй аатроксима-
uihi и ее качество резко возрастают при применении
ЭЦВМ. Однако у численной аппроксимации есть nmecr-
•вшнын недостаток: получаемые с ее помощью «резуль-
таты относятся к конкретному объекту с определенными
конструктивными я режимными показателями. Динами-
ческая характеристика, имеющая числовые 'коэффициен-
ты, не годится для описания различных объектов даже
одного и того же типа. Более того, она непригодна для
описания 'процесса -э конкретном рассматриваемом
объекте при режимах. отличных от принятого н расчете.
Во всех этих случаях (количество возможных сочета-
ний -режимных и ^онструкти-вных характеристик беско-
270
цечпо псли-ко) операция апнрокснмацнн точных ропкмци
должна выполняться ляионо.
Когда дснсгвнтельиая характеристика задана аиа-
,’цтцчеекнм выражением, найденным в результате реше-
ния 1иф(|н injiiuia.)ыюго урашкчши и частных производ-
ных, дробпо-раин« шильное приближение можно подучить
также и виде анализнческпн функция. Если в результате
анироксь мании оказывается, что все коэффициенты
п’риблнгкеклон динамической зависимости, как и упро-
щаемой функции, связаны с конструктивными я режим
ними параметрами объекта аналитически, такую алпрок-
сп манию называют аналитической.
Однажды найденная аналитическая аппроксимирую
щая характеристика остается действительной практиче-
ски ирн любых условиях работы объекта. Для того что-
бы количественно рассчитать изменение контролируе-
мого параметра во времени или как функцию частоты,
надо в выражения козффианенгов «подставить «конкрет-
ные для данной конструкции и данного режима значе-
ния входящих параметров. При этом достигается не
только возможность легкого вычисления динамических
характеристик, но и реализация >нх на вы ч вели тельных
машинах я>рн построении модели сложной динамической
систем ы.
Ниже рассматриваются различные методы аппрок-
симации для двух типов теплообменников: радиацион-
ного и конвективного, точные динамические характери-
стики «которых получены в § 5-2 и 5-3. Операция а пирок-
си манив выполняется только по отиошевню к темпера-
турным динамическим характеристикам, поскольку, как
это было выяснено выше, изменения расхода в давле-
ния хорошо ипнсывзюгся дробно-раппотальными’ пере-
даточными функциями, полученными вря «решении урав-
нении модели с сосредоточенными параметрами
7-2. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ
МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Задача аппроксимации может быть решена, если
имеются «полученные аналитически частотные характе-
ристики объекта. Деление частотной характеристики па
амплитудную «и фазовую «позволяет в зависимости от
„явленной ладлчн осутесталяп, -более точную aniVJH
сошшюодпо» из них за счет енпжшпя качества прнй.
•™ия ДР*™ Использование при ачшр^-ишцю,
’	потных характеристик {. i („} об.,ег.
й?.т к IK поиск формы япвроксимлрукяцеи передаточной
функпйн. так и вычисление .постоянных времени и ко-
эффнннентов усиления.
Частотная передаточная функция Uz(/u>). соответ-
стпующзя передаточной функции К (s’), «как ’Комплексное
число может быть выражена через модуль и аргумент:
U7(/u>) = A(»>)e/'r!“).	(7-2)
Если прологарифмировать обе части равенства (7-2)»
In IV’ (/«) = In Л (ю) + jW (ш).
то амллитудно-фазовая характеристика П (/(ч) раопа
дется на две состаплякниие. На практике удобно строит,>
отдельно логарифмическую амплитудно-частотную ха-
рактеристику (ЛАХ). выраженную в децибелах.
L(ui)=20lg/l(to)
п логарифмическую фазо-частотную характеристику
(ЛФХ) Ч;(и>), выраженную -в радианах или градусах.
При построении логарифмических частотных харак-
теристик 'Вдоль оси абсцисс откладываются десятичные
логарифмы частоты о. Если две частоты связаны соот-
ношением <02/(01 = 2. то говорят, что они отличаются на
одну октаву. Величина октавы постоянна: 1 октава=
^IgNi/un) =lg2 — 0,3. Удесятерению частоты соответст-
вует одна декада: I декада = lg( !0<oj/<o<) = I
Ось абсцисс можно разметить в единицах октаны
или декады, однако чаще делают логарифмическую раз-
метку с указанием натуральных значений частоты. Най-
ти на такой шкале октаву или декаду легко. Ось орди-
нат (’беих характеристик разбита равномерно, причем
для ЛЛл откладываются децибелы, а для ЙФХ — гра*
дусы или .радианы.
„пЛ™' сложиая передаточная функция может быть
прсдетаплеи^ произведением более простых сомножите-
• , то результирующие частотные характер-и-стокн бу-
дут раины сумме отдельных ЛАХ « ЛФХ. ктер,ктики оу
Строить ЛАХ нетрудно, по спасем простой эта опе-
рация становится при использован ин так называемых
асимптотических ЛАХ	называемых
272
Логарифмические амплптулно-чвстопиые хпра-кггрц.
стики некоторых дива.мичеС’КНх звеньев приведены
п табл 71. Примеры, приведенные в этой таблице, по-
казьмают. как «ю дробно-рацнональиоВ передаточной
функция пчобра.ииь аги мп готическую ЛЛХ. ммнуя пост-
роение точной. Асимптотическая ЛАХ будет представлять
собой ломаную, наклон отрезков которой изменяется
.на величину, кратную 6 дб)окт. Наличие в знаменателе
переда точной функции выражений (Лв+1)п приводит
к увеличению при п)Л. l/Ti отрицательного наклона соот-
ветствую пхого отрезка асимптотической ЛАХ по отно-
шению к предшествующему (при <в<1/7\). Напротив,
появление такого выражения в числителе ведет к 'изме-
нению угла наклона на 4-6л дб!окг.
Итак, если имеется дробно-рациональная передаточ-
ная функция, то для нее липко построить ЛАХ н ее
асимптотику. Однако ©ели ЛЛХ получена эксп ори мен-
тальным 'путем или построена по аналитически задан-
ной Т'ралсщаиентиой передаточной функции, то исполь-
зован не асимптотических ЛАХ позволяет решить обрат-
ную задачу, отыскать лробпо-рацноиальную передаточ-
ную функцию, аппроксимирующую действительную
ха рак гири стику.
Кривая действительной ЛЛХ заменяется ломаной, от-
резки которой являются аснышотамн некоторого
аппроксимирующего д роб но-p а тюна л ыюго выражения.
Число отрезков ломаной различно и определяется требу-
емой точностью приближения. Наклон отрезков изменя-
ется на величину, кратную ±Ьдб/окт.
Лбец'исса точек изменения наклона .прямых (точек
сопряжения) определяет постоянные времени 7\=1/шс
эвена (Г,х4-1 )*•«, -где показатель н равен отношению
разности наклонов двух отрезков (давшего и предыду-
щего) к наклону ЛАХ звена первого порядка №(*) =
== Г s ч-1. т. е.
.	— xt-i\d6
б дб/окт
Знак плюс при показателе соответствует положитель-
ному вменению наклона, а минус — отрицательному.
При аппроксимации наряду с требованием хорошего
совпадения амплитудных частотных характеристик
иногда важно. чтобы фазовая частотная характеристик?
аппроксимирующего эвена была близка к действитель-
1в—1031	273
J4J
4-
20 1g А' — 40 1g w
•taewra со
ПрИЛ>гШгц

Наммлнс «ими	Перелягте нп» функции М (К)	Аня.цИнчс-снг’с ннряженшг ДЛХ /.(*)
Усилитель- ное	Л'	20 Jg К
Интегрирую- щее звено первого по j рядки	1	К $	20 1g К — 20 1g <о
Л'
Интегрирую-
щее звено
второго
порядка
№
Таблиц* 7-1
ти-шиП н псич1ггот«*чк;«».Л лдх
/ / р&Юл мнение тлбл. 7-1
Об в	> 3 * в. а 1 —J. 1 И * - ТТГ У" - 1W		
	—1-.1J 11 lilt	1.1 lifft		
Об	•		ГПИ
6 -Б	аг w	tMt6 pj^tiL 0,W \2 з ♦	fl i ЕЭ
-т?		i±- ww--t =p=	№
		—• № 17 XT	ПТП
6 1?	ЙЛ 0,2 0,30.		пл
-о •12	Z'	"tite	i
ю
сл
I Казнанке i&eua	Передаточная функции U («)	Акпл1Н№сс№.-е еырвжснне ЛАХ Д(»)	Частота сопряже- ния »0
Апериодиче- ское звено первого порядка	К	20 lg Л’ - 20 lg / I + 0’Г-	I Г
Форсирую- щее звено первого порядка	Л‘(П+ I)	20 IgA* + 20 lg)Z I + w-P	I T
Кряпые ^>ж<41 и MMMimmineoccfl JIAX
6
дб l г —---------— — - 4-Н-Ц
U- и.-------------—-------
0,1 0,19,3 Щ Ц81	? I ♦ 6 5 »
0		-НШ		(U-
		L	1	-T%	
и	——		—	X
18		Lxmin		Hu

1()fj Для проверки выполнения последнего условия нуж-
н Троить точную н приближенную фазо-частотные
х^па-ктери стики Масштаб осн ‘наше «веемо берут лога-
рн|фл1вчеокин, т е. строят ЛФХ. Применение лога риф
мнчеокого масштаба позволяет охватить на одном гра-
фнке -весь диапазон существенных (для конкретного
объекта! «частот. в котором различие между высшими и
11ИзШ|||-м.п частотам-и может достигать неаколысих поряд-
ков.
Пример. Р.п\ менрнм аппроксимацию трансцендентных передаточ-
ных функций и wZf« [равенства (5-Ь1)| ширмоим» парсшсрегрсаа-
теля (радшншпниого теплообменник;}) парогенератора типи ТП-ЙО,
irueiomcro tiPH поминальной натруjkc следующие характеристики:
Т„ = 5,4 сек. Ги=0.4б W, 5«3.
В качестве аппроксимирующего выберем апериодическое звено вто-
рого порядка с коэффициентом усиления, равным единице
* = (Г.л -М) (Й+1Г’ Ti>T'
//о каналу 1г—амплитудная частотная характеристика дает-
ся равенством (5-G5). Соответ-
ствующая ей ЛЛХ
Д(ш) =
(5. -Io»)’
= —26 I + (5. 1ы)’ ' М'
предсгаалсии на рис. 7-1. Для
нахождения постоянных време-
«к <Н1П|юксимнру»ощеЛ переда-
точной функции ’достроим аенм.
птогы ее ЛАХ. Проведем пря-
мые линии с отрицательным,
как это подсказывает крнпаъ
точной ЛАХ. наклоном, крат-
ным Ь дб/пкт
При выбранном втором по-
рядке аппроксимирующей пере-
даточной функция вида (7'3)
асимптот три. Поскольку о ла
тем примере, как легко заме-
тить, толщи сопряжения оулуч
располагаться одна ноли ж
другой, их ординаты должны
быть меньше сротиетствующих
орлнцат точной кривой inn пс-
лпчнну {^1 Веле и.ТйНс пе-
OUpCACJhrHHOCf 11 дыоорл |и'ИЧч
сопряжений задача решается
приближениями. причем на
(, и Гп'Нит» Н дн|1р(»»лиыипуиш1ли 1й-
ПИСПМ1К1М, j — (ГСКМНТиЩ .UHiptJKCH.Mtt-
рукоцеб зааиенмасии
277
ГЛ днплокснмпрсюш.тя ЛАХ сравнивается с точной. к
кзжлом шаге а•' Г £ T0,lluK.rit первого нрпАшжепия, и *
.„нгсгно umiи J , ШТ8Т получается на втором Ц|аге.
наличии опыта хор * и	у машем случае JA.X ан-
в рок си мир уюте к переда точ
Рис. 7-2. Аппроксимация ио ча-
стотным характеристикам переда-
точной функции lFtQ.
Л 2. j — то же. что я ил рис. 7-1.
IF
до частоты «1=0.3 рад^ек весь-
ма близка к точной кривой
Расхож Денис на
сготах можно была бы значи-
тельно уменьшить аведеннем
н числитель звеньев Лх-Н. где
Г; шп-ределилнсь бы по точкам
излома асимптот на больших
частотах при увеличении угла
их наклона на 6 Jo/oat. Одна-
ко. как правило, высокие часто-
ты не представляют интереса,
поскольку они лежат <а поро-
гом чувствительности теплооб-
больших ча-
.пенника. Поэтому, стремясь по-
лучить возможно более про-
стую переда точную функцию,
ограничила юте я при б л и ж е и и ем
л диапазоне существенных ча-
стот.
Фазовые частотные характеристики также удовлетворительно
согласуются до частоты to^O.2 рад/сех.
По каналу q выражение амплитудной частотной характер»-
assas??.®»Э~А*ЛАх п ’“™“ •»“
Д (ш)----24.9 — 20 tg <0 — 10 Ig (I + (0,425ш)’| +
+ 1,’lg|i;-b4„, (4r,“2«’s4Vl.
3
I + (57цоГ)з
~ ! 4-0. IGto -р
3-5.4<ij
Вил точной ЛЛХ ппегпг.
и» , ;1Не,‘3 ncP'wr° Zm-, гернеп,кн «рвктериетнмй
278	У^^таенных ча„ог 11СЙМ1^ 4.iLT0T1,Ux характеристик
МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ (. СОВПАДЕНИЕМ
РАЗГОННЫХ КРИВЫХ В ТОЧКЕ ПЕРЕГИБА
Этот метод численной аппроксимации, предложенный
д. И. Носковым л В. Я. Рога чем [Л. (И, 65], применяет-
ся Дл!| а'пп|юксимацц-и разгонных характеристик, задан-
ных энал'нтпчески или в ‘виде кривых. В первом случае
целью является подбор упрощенной зависимости, во
втором — отыскание аналитического выражения некото-
рой временной характеристики, аппроксимирующей экс-
периментальную.
Критерием аппроксимации в рассматриваемом мето-
де является совпадение точной и приближенной ‘Кривых
и точке uiapcinoa по величине и направлению (см.
рис. 5-12)
(wn) ==	(\i) == /Ц 1
(М _ dli, (£„)___I 1	(7-5)
dz ~ dx —	* |
где h— нормированная разгонная функция, индекс «а»
обозначает а'ппрок'снмнруютую характеристику. Выпол-
нение усЛов-ий (7-5) позволяет «получигь-наилучшес при-
ближение на наиболее существенном участке разгонной
кривой вблизи точки перегиба.
Значительная часть монотая/ных «процессов в тепло-
энергетических установ1ках может быть аппроксимиро-
вана передаточными функциями вида
Выбирая ib качестве аппроксимирующий одну мз пе-
редаточных •функций заданного класса, можно с учетом
условий (7-5) связать расчетные постоянные времени Т
и тР с характернстнкамп точки «перегиба h. 7>, н ти0 точ-
ной разгонной фуцкцин.
279
В случае anupOKniwaniui '•^•таточной к
(7-6) постоянные времени Т и Гр ныр;1Ж{1Юк. ф
н Тое следующим образом |Л. f>4J.	" ,еРеа h.
Т«(1-й)Тов.
’р = ^-Ь Л-(1— Л)1пттл
л.
При такой аппроксимации расчетные значения J
уменьшаются <по срагандаию с Г0о» а тР — увеличиваются
па сравнению с тог>-
Рассмотрим Солее подробно случаи а.цпрокснмацки
действительной разгонной кривой характеристикой зве-
на с передаточной функцией (7-7). .где пока будем счи-
тать д=»1 н запаздывание тр-О, т. е. примем
№=____!___ т т
(7-9)
разгона такого звена имеет следую-
щий вид:
___L	\
7	Г.~7 ^ Т гГ—г"е ’ (г 0)
Ураат^	кривая, описываемая
з точке пепегиЛй * должна совпадать с действительной
стельно. XL	“ “а”равленшо. С лед о-
жение точки ХгХ° J,eo6^‘'''o определить -поло-
(7-10). 41 связанный нтГ₽"ЮЙ’ ОПЖ’ьг“а™0" формулой
ту, постоянные времен?. У'а₽аме11Ч,ы (абсциссу, орд.м.я-
Из математического т“”^
(г) точки перегиба ^СЛОВия наличии у фу(гкн.ни
’о
___?	«Г^-у	1 е т -°
МЛ-Пе ПЛ-П
находится абсцисса перегиба tu:
V _ TJI> in Т'
т» Т/Л-1 Ш^ГЖ
280
Подстановка вместо t в равенство (7-10) дает ор-
динату перегиба
Первая производна я
взятая >в точке перегиба с абсциосои тп, определяет 'по-
стоянную 'Врсменн объекта
Безразмерные параметры тонки перегиба h, TJT^ а
тп/Л являются функциями отношения постоянных пре-
Рис 7*3, Графики дли расчета постоянных
лремеин аппроксимирующей передаточной
функции второго порядка
281
Рис. 7 4 Графики для определения параметров
апнроксимирхющеП передаточной функции цепочки
апериодических звеньев с равными (кроме одной) по-
стоянными времени.
изобраз^'^на'Ураф^ выражении (7-9). Если
рамётры точки перегиба ИЛ ОТП0Шеии,о можно найти па-
Для Ц.СЛСИ «1 П'Л|)(>КСВVi'Iи .. г
обратная задача: по |Пй\.1,и Сюлее интересна* однако,
точки перегиба дейгтпнт**^™^м 3|,аче*и«ям параметра4
ги постоянные времени Т КрЖ50Й k' Тп* н Г’* паЙ’
232	1	1 п1и>бл1|/кс||ного выраже-


Рис. 7'5. Номограмма для расчета параметров передаточной
функция цепочки трех апериодических звеньев с разными пи-
стон иным и времени.
пня (7-10). совпадающего с точным в точке перегиба.
Отношен-не’ Т/1\ сразу же .находится по -величине It,
а остальные графики в этом случае служат для отыс-
кания TjT^cx н tu/^j (пунктирные линии со стрелками на
рис. 7-3). В общем случае найденная дз графиков вели-
чипа тп не будет совпадать с. абсциссой точки перегиба
денстиителыюп кривой т0,д. Если тп<Тп.д, то можно ли-
бо ввести в airinpoKOiiMupyioiuyio передаточную функцию
звено транспортного запаздывания с постоянной (времрич
Тр — Тп д Та.
283
переходить .к более высокому порядку передатт),ь
ной фуН'КШЯ! (7-7), Т. е. брить п 1
Если //>0.265. ю при апигроксимацпп передаточной
dHUKu’neii вида (7-7) /показатель п будет больше еЛ.Ж|И.
иы. Графики для расчета постоянных времени Т, ,ц Т Мо.
гут быть построены так же, как и для случая п = |. Оцц
приведены на pirc. 7-4 для значений /1=1, 2. 3, ц 4.
При aiMpoKCffMaiwin передаточной функцией пщ-да
(7-8) число искомых постоянных времени уже три, t)
связь между ними и параметрами точки перегиба h, тП1
Тоб и т„б может быть дана только /номограммой. Номо-
грамма строится с использованием аналитических <вы/ра-
женин абсциссы и ординаты точки перегиба и по-
Рис 7-6. Разгонные кривые пр л
эозмущенки температуры пара на
аходе.
ш7/°1пи^е.Х₽И?иЯ’ 2 аппроксми«|1ую-
мегоду со“^
р I гр "^.7 Q
возмущении обогрХ КР"ИЬ1С "1”'
J - точная крнпоя 1
К1м,ц:‘я (по ммолЛ,11Ч,ог’с”Ми
п ТО’’К* исрспЛи} Лу СОи»>'ДСНИЯ
284
стоянию времени 7‘11Г1 ц
too, найденных из разгон-
ной характеристики звена
•с -передаточной функцией
(7-8). Номограмма (приве-
дена на рис. 7-5 с указа-
нием способа ее примене-
ния (рис. 7-3—7’5 взяты
из fЛ. 65]).
Параметры точки пе-
региба действительной
р а з го пн о й х а р а к-те р ист п •
кн, необходимые для зп-
п р о ко и м а ц н л по рассма-
триваемому методу, могут
быть определены графи-
чески, если эта характе-
ристика задана в виде
кривой. Если же имеется
аналитическая разгонная
функция, для которой тре-
буется подобрать упро-
щенное выражение, то
точка перегиба этой функ-
ции находится анаАитиче-
ски (>п р и р a bi г и ва I<з i см г i У-
лю второй производной
ли времени), после чего
о п редел еп н е ост а л ь и Ы х
параметров является не-
сложной задачей
Для теп-'ИХ1(>ме|И111кав < радиационным и коияектив
пь1м обогревом в гл 5 исследованы разгонные характ -
pncuiKii по температуре рабочего тела для всех каналов
возмущений и выведены аналитические 'Выражения ш-
раметров точки перегиба. Они даны также я в графи-
чес ком нигде.
Задание основных характеристик разгонной функции,
связанных с точкой перегиба, в виде математических
за-вне им остей -их от режимных im конструктивных пара-
метров теплообменника существенно упрощает процесс
аппроксимации рассматриваемым методом. Ненужными
становятся построению кривой разгона и графическое
(определение точки i шереппба.
Пример. Рассматривается тот же теплообменник, что и в приме-
ре § 9-2.
Па каналу /{—с помощью графиков рис. 5-13 находим пара-
метры точки перегиба действительной разгонной характеристики
/г. =0,26; Го б — 25 сек; тя л = 9.1 сек.
По этим параметрам из граф}гков па рис. 7-3 определяем:
Т^/Г^-0.37; Г/Г, =0,92; та/Л=0,98.
Отсюда постоянные времени аппроксимирующей передаточной
функции
т\ =0.37-25 = 9,2 сек; Г=0,92 • 9^ = 8.4 <Ж; т0 =0.98 • 9,2=9 сек.
Поскольку Тд.д^Тв, то упрощенная передаточная функция окон-
чательно запишется так:
W______________!---------.	(7-111
(9.2.? +1) («,4$+/)	1	'
Степень приближения полученной характеристики к точной
илл|остркруется <рнс. 7-6).
По каналу q—параметры точки перегиба точной разгонной
характеристики. найденные из графиков па рис. 5-14. равны
й =0,056; Г0о=17.5 сек; Тл д = Ттр = ьГп = 1,38 сек^
С помощью графиков па рнс. 7-3 находим
Г|/Г„о=.1; Тп/Л = ода Г/г, =0.02
Отсюда получаются постоянные прерви
Г, = 17,5 сек; Т = 0,35 сек; гп=1.57 сек.
2-85
Так к а* ршиш тп я и тц лчещ. моли то ;ш проктит.,
функцией будет выражение	и,РУ^ЩеА
_--------——  _______
” (17.5s 4- 1) (0.35>^ ц
На рис. 7-7 проведено сопоставление точной и ynpoiiWHJIOft
тонны\ характеристик. Видно, что хорошее со&па пенне поп” раз‘
тишь на небольшом начальном участке кривых Это объясни*
очень низким расположенном точки перегиба При достаточно мТ"
ком ее расположении качество аппроксимации улучшается г™
пример, рис. 7-G).	' Г1а"
МЕТОД ПЛОЩАДЕЙ
Этот метод предложен ib 19*56 г. М. П. Симою [Л. 88]
к успешно использовался а дальнейшем во многих 'ра-
ботах (Л. 20. 42. ЮЗ]. В этом методе упрощенная раз-
гонная характеристика кюдбирается таким образом, что-
бы «площадь. ограниченная ею и осью времени, была бы
«равна подобной площади для точной кривой. Другими
слонами. ставится задача «полуадпь цаилучшее прибли-
жение на всел временном интервале переходного про-
цесса.
зывае/н’я3^®0™1*4 а'наЛ|13. проведенный в [Л. 88]. VK3-
йаадкг,->*-
году	f’awMiiTP|,aaeMrw|y мс'
точной И адцлп11а,’ „^К0ЛЬКУ равенство площадей 'ПОД
то б«конечным числом снобов.' М°Жв1 АОС™™У‘
торон ооота^вуеетД«о™тон«вреДат°ч,,ая ФУНК11,,Я- h’°'
хара>ктерн1стИка J ННС врастающая разгонная
ням s; ' быть разложена <н ряд «по степе-
Передаточная функция
некоторым ирмблнжением
будет.
при П у=оо
к ToMHoii;
(М2)
очевидно.
(7-13)
25G
То'ник'-ц. a-n'npoKVHMaiwii! находится в прямой завися
мост от числа взятых членов 'разложения (7*12).
Для ал ал и г и чески заданной передаточной функции
коэффициенты разложения (7-12) определяются соответ
ст в у ющи хш про из вод н ы м н:
— jj •	— QJ ’•»*’"«—	,7Г~ ’	('“’м
где вид функции F(s) очевиден из равенства (7-12)
Если динамическая характеристика задана разгон-
ной кривой то как показывается в [Л. 88]. коэффи-
циенты разложения (7-12) численно равны площадям
соответствующих порядков, заключенным между дей-
ствительной разгоним кривой н очередным ее прибли-
жением при г—>оо:
03 X	1
^=П’ ) (ЛЙ.,-/|)(^Л	(7-15)
А А н
где hk.\—(k 1)-с триб-тижнипе к денствцтелышп раз-
гонной кривой Л(т) ; нулевым приближением (три k= I)
является асимптота три больших т.
Строго -говоря, аппроксимация действительной пере-
ходной функции харажтернетикой звена с 'Передаточной
функцией вида (7-13) допустима, если точная зависи-
мость и ее первые производные равты нулю при т=0.
При невыполнении этого условия аллрокенмирх ющая tne-
редаточ.ная функция Должна быть представлена поли-
номом по степеням 5 не только в знаменателе» по и
в числителе:
tn
1	4“ 1 th лм
1ГЙ=—.	(7-16)
i + S М*
Коэффициенты обоих нолн-помов также могут быть
снизаны с ктгегральнымн отклонения-ми ('ллошадям-н!
прнбл’нжен.ион кривой от точной. Задачей аптроксима-
цпп по методу 'площадей является нахождение коэффн
илеитов нолкиюмов ог и таких, чтобы удовлетворя
лн-сь условия -совпадепня точной п приближенной кри-
вых при т-0 и т = оо и условие равенства площадей
срптвегствуюших порядаов
Ж
= l+fjQfcA (7-18)
A =1
Черечаточяые фуикини, обратные точной Ц7 (1
аппроксимирующее IV';. функциям. -.могут быть разложи
ны я ряд по степи!ям s:
1	со
2	- = | 4- £ P,s\	(7.17)
А=1
а
। +S м*
1
I +12 «<ь*<
/=1
Можно подобрать W4 такую, чтобы соответствующие
одинаковым степеням $ коэффициенты Р: 1 Q,, оказа-
лись бы равиы в интервале от /г=1 до Ze=/i. Однако ко-
эффициенты Рь н Qti равны площадям соответствующего
порядка, определенным то разгонном функции. Хотя
аппроксимирующая разгонная функция неизвестна (не
определены коэффициенты а:- и Ьл), разложение в ряд
по степеням s для нее можно написать, так как -соответ-
ствующие .коэффициенты Q определяются по точном раз-
гонной функции, а именно = Зная Ph. легко найти
«1 и bh из условия равенства коэффициентов при оди-
наковых степенях 5 в правом и левой частях выражения
(7-18):
(7-19)
bz^ Рг + аг + P\U\
и т. д. к начального значения
Х = /М0).
эф-Ьиниентпр^ТЛ °б₽азо“- «водится к отысканию ко-
пии (7-17) Р ло'кения Ph точной передаточной фуя.к-
тодуП^ОщЙеГТп-1КГ’ерИМИ1Тальких кРивых по ме-
(746) натоХ	разложений (7-13) и
отношениям (7-|,5)П’(ач^а1н? ИНтегР1Фова:Н'ием <0'
чае аналитической '	,!ая ап-проконмация). В слу-
стнкн, подлежащей япп^? Л'шамшческой характери-
могут быть определены ₽анач1Мт'111Н’ КоэФФ,Щ»с»т1’1 Рк
вам (7-М) (если зал-ши аЛ ,ТИЧески либ° по P<ib^ct“
J (если задана передато,М!ая фу11К[11Гл„бо
no сонтшм нениям (7 15) (при задании разгонной харак-
lepiicrHKii). Коэффициенты а, и bh при этом оказыва-
ются функциями! 'параметров объекта (аналитическая
аппроксимация).
Выполним аналитическую аппроксимацию по методу
площадей трансцендентных передаточных функций ра-
диационных н коцвектпздых те^лообменнм-ко». Характе-
ристики, (Приближающиеся к точному решению, будем
искать средн передаточных функций вида (7-13). если
исходная разгонная функция ih ее первые п— I производ-
ные имеют /нулевое анатенне в начальный момент эре-
метл, или (7-1G). если это условие не выдерживается.
Точность аппроксимации. зависящая от выбора вели-
чии m и /7. будет контролироваться сопоставлением при-
блпжшион и исходной разгонных функций. Вс) мнолнх
случаях достаточно ограничиться характеристикой про-
стейшего звена первого порядка, хотя иногда 'Потребует-
ся применение агитроконм'нрующ'их звеньев «дорого и да-
же третьего порядков. Ниже проводится аппроксимация
нормированных р-азгошшх функций.
РАДИАЦИОННЫЙ теплообменник
Канал/,—*/. Поскольку разгонная функции htt, л все
ее производные равны нулю 'при т~0, <в качестве ап-
проксимирующей может быть применена передаточная
функция (7-13) при /неограниченном порядке н.
В соответствии с равенствами (7-14) коэффициенты
Ьь аппроксимирующей передаточной функции (7-13)
находятся /путем дифференцирования выражения F(s).
обратного исходной передаточной функции, с последую-
щим приравнивай нем нулю переменной тгреобразовашп
я. В пашем случае
^=£тг-=^7’« + 7’^
= 4(Г’-+Г")Л --х
Х(Т„ + Т„)^р
И т. Д-
19—1031
(7-20)
289
питаемся определять эти же яо-лИнтиенты. 1[<зд.
Разгонной Фикции. По величие они равны „,,0.
дя из разгон owll4 .порядков (7-15) и находЯТС11
щадям c<K>rut‘ гДиюсзи точной разгонной характер
,,нтеГР^Р^ХетстРауюшего орнближеняя. Правила 1Ш.
СТЯКН И соодве - у даны в приложении 2.
<7-13’
(, "fd-VJrf-.	(7-21)
4'1	,!
О
Это равенство распадается на две части, 'причем
в 'качестве нижнего 'предела второю .интеграла можйс
взять ттр, так как И=0 при т<тТр. В'водя во .втором
интеграле новую переменную интегриров; дня ц=—
’ м
И интегрируя, получим:
х Р - Г.vaF=ь - Л. h - S)l“= S (Г. + Г.}.
•Первым приближением ^шляется передаточная функ
ц-ия апериодического звена
= -г -	(7-22)
1 I + Л, s	'	'
Подставляем соответствующую разгонную функцию
/Ъ в формулу для второго коэффициента |разложсццч
(7-13)
и интегрируем полученное выражение почленно, заменяя
в последнем интеграле переменную т на т| = г-~-- -
' W
Окончательно получим:
Ь2«1^4г<Гм + 7'.)’-^г .
м
290
Аналогично можно найти коэффициент [Ь.ш:
со т 1	(X I t	:
=J П =И Я1 ~ тЯт? ‘~77+
□ ПО	и (| О
е г* — V, j didzdx =
= ТГ (Гм+ЛГ - Г Г (Ти + Г„)+kf .
В этом шмюде разгонная характеристика //□соответ-
ствует передаточной функции
! Л -~

где
Таким образом, значения коэффициентов, получен-
ные двумя способами, совпадают.
Пример. Для теплообменника из (гримера я § 9-2 коэффициенты
аппроксимирующих лередаточвых функции найдем по методу пло-
та чей:
b[fti =3-(5,4 + 0.46) = 17.6 гск;
3’
^ = “(5,4 +0.46)’' —3.5,42=:67 <•<?№.
Ап пр оксим пру ю тая передаточная функция второго порядка при-
водится к виду
и'1- (12.5+I) (5.6s+1)
Сопоставление точной и
приближенной разгонных ха-
рактеристик дано на рнс. 7-8.
Канал q—*t. Аналити-
ческие зависимости для
коэффициентов аппрокси-
мирующих передаточных
функций можно искать,
исходя как из точной пе-
редаточной функции W/j,
так и из соответствующей
ей разгонной характе-
рна 7-8. Разгонные кривые при
возмущении температуры пара на
входе.
1 _ тапнАя кривая. ?—аппроксими-
рующая кривая (по методу плаща д^П).
19*
291
ристикп (в нормированном виде) hi4 Ниже при 0Пп.
делении коэффициентов используется разгонная ж
цня [выражение (5-51)], интегрирование котад,
значительно -проще (ем. приложение 2). чем диффе‘ '
пирование выражения r(-s) I. " /ц-
Коэффициент численно равны и площади педв<)
го порядка, -найдем из -соотнощсния	1 ’
00
и
Интеграл от функции <р| есть функция Ф>, асимптоти-
ка которой известна. В итоге
Ь,(? = Тн+4-(Гм4-Тв).	(7-23)
Найденное выражение для bitt используем при опре-
делении второго коэффициента разложс .я (7-13)
СО *	г
^ = И(1-е ',,9 + ти£Т7Г^]</^-
il IJ
Интегрируя, находим:
=4- tju + <т» + т"):	<7‘24)
Прп-нципнальпых
финиентов при более
затруднений в определении коэф-
1высоких степенях s в |разложен-ия
(7-13) не возникает, но
при этом нарастает слож-
Рис. 7-9. Разгонные кривые при
возмущении обогрева.
/-то», 11ап крипац. 2- аппрокскми.
рующэя крипвя (по методу плтиадсП}
292
ность повторного интегри-
рования разгонных харак-
теристик hu (НЛП -При дру-
гом пути, сложностью по-
вторного дифференциро-
вания передаточной функ-
ции W{К тому же при-
менение в качестве аппро-
КС51М П р у Ю1ЦВ х з а в и с и м о-
стен переда точи ы х фу и к-
Ш!й третьего и выше по-
рядков для канала возму-
.щений 4Ю обогреву нецелесообразно, так как для прак-
тических расчетов точность приближения второго поряд-
ка оказывается вполне удовлетворительной (это будет
-показано ниже) как для экономайзеров, так и для 'паро-
перегревателей.
Следует заметить, что, поскольку «производные от
hffi начиная со второй, отличны от нуля при т=0, мо-
жет появиться необходимость перехода к a imp оке и муру-
ющей функции (7-1 б), если точности ‘Приближения вто-
рого порядка окажется недостаточно.
Пример. Для теплообменника из примера и § 9 2 коэффициенты
аппроксимирующей передаточной функции второго порядка, взидей-
ны.-' по методу площадей, равны:
3
й)^=514 + ~ (5.4 + 0 46) = 14.2 сек;
3	3*
dtfg = —,5‘4 0.4G+	(5.4+ 0.46)^29.5 сек*.
Окончательно аппроксимирующую передаточную функцию можно
представить н виде
Г_________- 2____________.
w- (И.7$+1) (2.5s + I)
Сравнение точной н приближенной разгонных кривых дано на
рис. 7-9.
Канал — t Передаточная функция Wtr) и разгон-
ная характеристика Л.л несущественно отличаются от
U bl	г
соответствующих выражений канала q-^t. Коэффициенты
Ь , и Ь. л аппроксимируюшдх функций (7-13) имеют
следующий вид:
el *
Ду/fl = ^2*9- V^1I9 + V »
' 01
где v = (1 — п) Тм. 1 кпользование коэффициента &ао.( в пе-
редаточной функции (7-13), вообще говоря, неправомерно,
поскольку не выполняется требование равенства нулю
в начальный момент времени первой производной от htD ,
Это тем более относится к более высоким номерам k
коэффициента bh. Для повышения качества аппроксимации
необходимо переходить к аппроксимирующей зависимости
(7-16).
293
Капал />,— t. Аппроксимация разгонной функции h
характеристикой звена (7-13) неудовлетворительна, посколь
*/л (())=/:и. Нельзя применить также звено (7-16), так
как h,. (во) равно нулю, а не единице.
Если точную передаточную функцию представить в
виде
l^, = s(4-1^)’	(7-25)
то выражение в скобках '.может быть а троке мнровя'ио
звеном (7-1-3) по крайней мере первого нюрядка, так как
соответствующая разгонная функция (ее легко найти по
приложению 3)
W
J+V
=-Ь-(т.-Н,)=й
при т = 0 обращается в нуль, а
^=ас=А'р?Тв.	(7-26)
Последнее соотношение является нормир; ющнм ко-
эффициентом, поэтому
Ь "	~ ТУГ
Постоянную времени аппрокспмир\юще о выраже-
ния (7-13) определим из интеграла
со
Интегрирование в указанных пределах дает такой ре-
зультат:
^=4<гн+п).
11И|Уп7ВЫ” ,*Р|,бл:Ижение>м 'К точной передаточной фувгк-
цни н/1р1 оудет звено
о	1 +61/й5
Здесь учтен нормирующий коэффициент (7-26)
294
Пример. Для теплообменника на примера в § 9-2
= ~о~ (5*4 4" 0,46) = Я. 8 сск.
Аппроксимирующая передаточная функция
' — Лр । 4-8.8s*
Рис. 7 10. Разгонные
кривые при возмущении
давления.
/ — точна» крнвпн; 2 —
аппроксимирующая кривая
(по методу пдошадеЛ!
Сопоставление точной и приближенной разгонных кривых дано
на рис. 7-10.
Качество аппроксимации разгонных функций более
инерционного теплообменника с «параметрами Ги=10,
Гн=1, Е=Ч5 характер-нстижамн апериодических звеньев
первого и второго порядков вид-
но из рис. 7-И. Очевидно» что по
каналу h—Ч требуется приме-
нять аппроксимирующую -переда-
гочную функцию (7-13) третьего
порядка в выше.
конвективный
ТЕПЛООБМЕННИК
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
РАБОЧЕГО ТЕЛА
Разгонная характеристика hn
конвективного теплообменника
совпадает с аналогичной харак-
теристикой радиационного аппарата» если вместо Н. Тм
И 7'н подставить £*, Т*м и Г*п. В силу этого совпадут и
коэффициенты аппроксимирующих функции.
По каналу 5. при т = 0 нулю равны лишь сама
разгонная функция и ее первая производная. Это ог-
раничивает порядок аппроксимирующего звена (7-13)
до двух; а при более высоком п необходимо переходить
к аппроксимирующей передаточной функции (7-16).
По каналу Dlt — t максимальный порядок аппроксими-
рую него звена (7-13) также равен двум» так как производ-
ные <7’7ld d~.\ начиная со второй, при т = 0 отличны
от нуля. Поскольку нормированные разгонные функции ht0
[равенство (5-104)] и hf4 (равенство (5-51)] структурно
совпадают, совпадут и соответствующие коэффициенты
анпрокепмирующнх функций.
295
Рис. 7-И. Разгонные кривые радиационного ’теплообменника.
/ — «олель с распределенными параметрами. 2 аппроксимация по
методу площадей, звено первого порядка; 3 — зппроксимацня по мето*
ду площадей. звено второго порядка
При возмущении DSl лишь сама разгонная функция ht[) ,
при -с = 0 обращается в нуль, а все производные при х=0
имеют конечное значение. Поэтому для звена (7-13) в об-
щем случае можно взять только первый коэффициент.
Поскольку функции liID и hlD отличаются незначительно,
а при л=1 совпадают, можно приближенно принять коэф-
фициенты bUD и baD равными соответствую ним коэффи-
циентам bUD* и 6^“ 
По каналу pl—^t значения разгонном функции ЛГ/Ъ при
•с = 0 и х = оо такие же, как и у соответствующей харак-
теристики радиационного теплообменника. Представим точ-
ную передаточную функцию Wtp} в виде (7-25) и выполним
аппроксимацию модифицированной передаточной функции
из круглых скобок. В итоге передаточная функция, аппро-
ксимирующая точную передаточную функцию W{p , принима-
*Лх7*а =
5
Коэффициенты передаточных
руютих точные зависимости по
чела приведены в табл. 7-2,
функций, аппрокенми-
температуре рабочего
Ж;
Кроме того,
&з«, =	<Г‘- + Г*«)‘ ~ ^3Г*-+ + ГГ« 
В табл. 7-2 обозначено
R = ~----------т=г- •	(7-27)
‘	j— t— V	4
X
При е —*0 — 5/2. При этом Ьц^~Ь^я [равенство (7-23JJ»
a Ь^—Ь^д [равенство (7-24)]. Это является сл вием
совпадения при е = 0 соответствующих передаточных
функций.
Оценить качество аппроксимации можно сопоставле-
нием точных и приближенных кривых. На рис. 7-12 та-
кое сопоставление проводится для теплообменника с па-
раметрами Ти=10; Та=1; 5=15; e=OJ; £а=0,5; т=0,6;
п = 0,8.
’ -	*
297
Рис. 7-12. Разгонные кривые конвективной поверхности нагрева
парогенератора.
i — модель с распределенными параметрами. 2— аппроксимация по ме-
тоду площадей, зкено первого порядка; 3— аппроксимация ио методу
площадей, звено второго порядка.
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ГАЗОВ
Канал /t — б. Учитывая равенство нулю в начальный
момент времени разгонной функции /ief и всех ее произ-
водных, а также то, что /i9/ (оо) = 1, можно использовать
аппроксимирующее звено (7-13) с любым п. Однако вви-
ду слабого влияния изменения температуры рабочего
тела на динамику температуры газов (малая величина
коэффициента усиления) целесообразно ограничиться
невысоким порядком аппроксимирующей передаточной
функции. Коэффициенты bh находятся как интегральные
отклонения приближенной разгонной характеристики от
точной [равенство (7-15)].	‘
298
Канал	В начальный момент времени
(7-28)
Если в качестве аппроксимирующей берется дробно-
рашюиальная передаточная функция (7-16). то неравен-
ство нулю разгонной функции при т=0 указывает на
одинаковый порядок полиномов (т—п) числителя и зна-
менателя. Коэффициенты этой передаточной функции
найдем из соотношений (7-И) и значения с„/6п = й(0).
Так как значения Рн находятся как плошали соответ-
ствующих порядков, то для первого приближения имеем
со
5
где определено в § 5-3. Интегрирование легко выпол-
няется с помощью приложения 2. В итоге можно получить
^юи+/?(гм+т*в)1!’
где R определяется равенством (7-27).
Так как порядок аппроксимирующей функции для
первого приближения принимается равным единице
(л = 1) и т=п (поскольку Л (0)^0). то
С учетом первого из соотношений (7-19) находятся
коэффициенты и Ь|. Первым порядком аппроксимиру-
ющей передаточной функция (7-16) целесообразно огра-
ничиться. принимая во внимание вид точной разгонной
функции (скачок при г=0 на довольно значительную ве-
личину (7-28) и близкий к апериодическому характер
приближения к стационарному значению].
299
Какал В «оме"т т = 0
- т* + 5’ + ' '
(7-2!))
поэтому в качестве аппроксимирующей след е рншпь
передаточную функцию (7-1G).
Канат D -> ft. При г = 0 в нуль обращается только
сама разгонная функция/^. а все ее производные при
этом отличны от нуля. Таким образом, мож . поль-
зоваться аппроксимирующей передаточной функцией
(7-13) только для гН.а при п>1 необходим' перейти
к передаточной функции (7-16). Представляй воз-
можным, учитывая слабую динамическую связь по кана-
лу рп1—(малая величина коэффициента усиления),
ограничиться простейшим апериодическим звеном (7-13)
при н= I.
Канал рх -> ft. Разгонная характеристика h обраща-
ется в пуль на обоих концах временного интервала (0 и
оо}. Это означает, что она должна быть аппроксимиро-
вана дробно-рациональными передаточными функциям и,
простейшая из которых
(7-30)
Подобным же образом можно представить и точную
передаточную функцию:
№ =$Л±1? \
(7-31)
МеЛа^^/.ППр0КС1’М.ацнн сводится К приближенной за-
ппавоТчаетн пеяНТН°" пеРДда™ч’'°" функции ,)в скобках
второго попяпкй eFLTaa Р.’31Ч апериодическим звеном
(7-30))	В ско^ках правой части равенства
Разгонная характеристика И, соответствующий переда-
точной функции определится по известной разгон-
ной функции Н = КЛа. соответствующей если вое
т
У
L	^1? % । —•
(^я + I) (I + «*) С*	да—S|
301
.wr0 равенства легки выделить выр*
В "Р«ВОЙ ХСТточ|Гсов5адает с Л(6,- 1Н этом сонпа.
Жеане, к‘>10^	. аппроксимирующей переда-
дут п коэффич'10"™ 1 Окончательно передаточн^
’».»«»• ««у-'" мд*ч.
I_ -Lx4j^— КрТ‘ " t,s+b,s’ ‘
= ди + п ‘'
Коэффициенты аппроксимирующих передатрчпых
функций представлены в табл. 74.
Оценка качества аппроксимации может быть сдела-
на с помощью рис. 7-12.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ
ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Задача аппроксимации может быть решена с исполь-
зованием средств современной электронной рычислитель-
ной техники: машин непрерывного (АВМ) и дискретно-
го (ЭЦВМ) действия.
На АВМ характеристики звеньев с переда томными
функциями могут быть смоделированы в виде рацио-
нальных дробен. Если точная передаточная функция мо-
жет быть разложена в ряд, каждый член которого явля-
ется такой дробью, то смоделировав члены ряда па
локах ABj\ к просуммировав выходные сигналы, полу-
чим кривую переходного процесса. При этом удастся
и?пчбр2-иа"ГЬ лншь 0ГРаниченное число членов ряда, что
и 7ппошР1гилК’а3?,ВаеТСЯ<?а качестве соответствия точной
ннемРчисла " ^ивых-Качество повышается с гвеличе-
временно' уве=^МЬ!Х Ч-Ш10в рЯда> ода'акЬ °да0’
АВМ что ’пои	" '1ИСЛ° используемых блоков
тов. таких, какпарог^ератоп^ат?""” СЛОЖ|,ЫХ °бЪ№
ствие, связанное г л "ат°Р, наталкивается та пфвпят-
тельного ТтрХва %₽ЛНГ’,Н0Г1 «Юностью вытетн-
проксимацни разгонной кп^п^”’1' к пеобход”мост” ап/
характеристикой звена с прп2?'’ полУ.чаемо» на АВ",
низкого ворядка чем та ' ^едаТ01|11°ч функцией более
АВМ. Операция поХ а 21бЫЛа.реализована па
калькой передаточной AVHW„U ЛИЖенноП Дробно-ралио-
302	иии а принципе не требует
применения АВМ Использование АВМ, однако» имеез
преимущество перед другими методами аппроксимации,
поскольку можно одновременно смоделировать «точную»
(составленную из ограниченного числа членов ряда) и
аппроксимирующую передаточные функции и подбором
коэффициентов последней добиться желаемого качества
приближения. Контроль осуществляется визуально по
показанию осип глографа, на экране которого видны
траектории обоих переходных процессов.
Для аппроксимации динамических характеристик теп-
лоэнергетических объектов по есяовигым капа ла.-м .пере-
дачи возмущений широко используются ЭЦВМ (Л. 99].
При этом очень часто разгонные функции оказываются
монотонными» что является благоприятным обстоятель-
ством. упрощающим поиск аппроксимирующей переда-
точной функции. С достаточной степенью точности при-
ближенную зависимость можно найти среди передаточ-
ных функций вида (7-16).
Обычно достаточно ориентироваться на небольшой
порядок аппроксимирующих выражений, что ограничи-
вает ’набор передаточных фуикинн (7-16). Для каждой
из них легко найти соответствующую разгонную харак-
теристику Йи(т).
Процесс численной аппроксимации может идти следу-
ющим образом Задаются видом упрощенной передаточ-
ной функции типа (7-16) и вычисляют соответствующую
ей -разгонную х<тра1ктеристпку. (Хдповремендо рассчиты-
вается точная временная функция й(т). Для отдельных
моментов времени, взятых через -равные интервалы или
по определенному закону, вычисляются разности ДЛ =
= й(т) — й.,(т). Условием нанлучшей аппроксимации
может,, например, служить равенство
A = V [ДА," (т)р = min.	(7-32)
дх= I
В этом случае говорят, что аппроксимация выполня-
ется по методу наименьших квадратов [Л. 67].
К выполнению условия наименьших квадратов можно
прийти, варьируя коэффициенты а< и Ьц. Однако даже
если для заданной передаточной функции это условие
выполнено, т. е. найдено хШ1Ц, не исключено, что при ином
порядке выражения (7-16) повое значение Ать не ока-
жется меньше первого. Таким образом, появляется не-
303
обходймость варьировать также порядком адпр0ВД11Мн
nviouicH передаточной функции.
Р‘ | елью двух отмеченных донской является 0„редаде.
ние айда приближенного выражения ( Ib) и коэфф,,,
ц ентов и дакмних «истинный» (июоальвый)
in -м суммы (7-32). Наиболее важной задаче» рассМат.
рнваемого метода является нахождение
пути поиска минимума.
’ Указанный подход к задаче аппроксимации связал
с проведением громадной вычисли» ел ьн< рибиты,
большей чем менее точно -выбран поряд я тарного <при.
ближепня и исходные значения коэффициентов а( и bh.
Реализовать такой объем вычислений м who только при
использовании ЭЦВМ.
7-3. СОПОСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛООБМЕННИКОВ,
ПОЛУЧЕННЫХ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Динамические характеристики теплообменника,
найденные с учетом пространственной распределенно-
сти параметров, с достаточно высокой точностью описы-
вают изменения температур потока и стенок трубы в пе-
реходном процессе. Этой точности удалось достигнуть це-
ной значительного’ структурного усложнения решений,
что является главным препятствием к их использованию
в различных прикладных исследованиях.
Аппроксимация — один из путей получения более про-
стых Динамических характеристик. Другим методом,
приводящим к дробно-рацпопальпым передаточным
функциям, является метод сосредоточенных парамет-
ров.
Естестевнпо, что упрощенные днч13М|1чсскис харак-
влетпчя". различаютс« структурно н по степени соот-
ветствия их точному решению. Вопрос о выборе мето-
являетея'актхял? °'!,1Гаш,я Динамики теплообменника
оптимальном уд^ЙетворД "'!°Жет б“ть реШеп ПР"
Д) их противоречивости? ЭТ*’М трепаниям (ввн-
ллобменлика. полученных КНх характеристик теп-
3Q4	х п9 методу сосредоточенных
параметров н в результате аппроксимации’ точного ре-
<11ецнЯ| ДРУГ с ЯРУГ°М if с точной зависимостью для вы-
яснения степени приближения их к последней.
2) сопоставление упрощённых характеристик но сге-
ТТЙШ'ИХ структурной сложности.
3) выбор в качестве расчетной зависимости, имеющем
наиболее простую математическую форму при наилуч-
тем количественном соответствии динамической харак-
теристике моде, н теплообменника с распределенными
параметрами.
Сопоста не динамических характеристик удобно
•Проводить на примере разгонных функции, причем в нор-
мированном лите. Последнее позволяет оценить качест-
венную сто; ну приближения. При хорошем качествен-
ном соответствии количественную поправку, равную от-
ношению коэффициентов усиления точной и упрощенной
функций, всегда легко ввести. Плохое качественное со-
ответствие никакими количественными (нефункциональ-
ными) поправками устранить нельзя.
РАДИАЦИОННЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК
Радиационные теплообменники весьма различны по
своим конструктивным и режимным параметрам, объе-
диненным в комплексы Tw, Тв и |. Однако в парогенера-
торе можно выделить два типа радиационных (располо-
женных в топочной камере) теплообменников, имеющих
характерное сочетание комплексов: экономайзер (7\<~
~ГВ) и пароперегреватель (ГМ»ГВ) при величине § =
— 5 ч-20. Для одного из этих двух наиболее интересных
типов радиационных аппаратов (пароперегревателя)
выше было приведено сопоставление точных разгонных
кривых температуры по всем каналам передачи возму-
щений (h—q—*7, Dul—*< —*£) с характеригтика-
ми модели с сосредоточенными параметрами (см. рис.
5-15) и аппроксимирующими разгонными характеристи-
ками звеньев первого и второго порядков (см. рис. 7-11).
Аналитические выражения нормированных ра онных
функций приведены в соответствующих разделах. Коэф-
< Из методов аппроксимации, рассмотренных в § 7-2, предпочте-
ние отдадим методу пл дей, позволяющему осуществить алалиги-
ческую аппроксимацию.
20—1031	305
6}lwCMt« усиления передаточных функций всех ОраМп1.
еаемых м0Д71\' позволяет сделать следующие bubq-
Л11аЛ1,3пкр вые как показывают расчеты, н для раад.
ды. c"Paf,ef"®“’айзеров парогенераторов.
анионных эк’’1'°' ТСп1ообменпмка с сосредоточенными
Кривые	;Хе приближенно к точным кр„.
параметрам» даю>	перед£чи возмущений. Очевидно,
ВЫМ по всем хан • • едогоченны <и параметрами
й расчетах ши	грчбой оцеп динамических
можно нР|!А'^^.ен “^ов в большей м  ре это относит-
СДТканХ передачи возмущения температуры рабочего
?ела соХаX выход. Кривые h .роются м«ш-
те, что позволяет при возмущении давления использо-
вать модель с сосредоточенными параметрами. Учет вли-
яния давления на динамику температуры можно рас-
сматривать как уточнение, поскольку зависимость Д/ =
=/(Др) очень слаба (о котле типа ТП-80, например, для
экономайзера \КР\ <0,01, °С/кгг, для паропсрсгрсвате*
ля |А'р( 0,5 s-0.75 ЧЗ/кгс), а колебания давления в пе-
реходном процессе невелики. Поэтому и с этой точки
зрения целесообразно учитывать влияние изменения дав-
ления на температуру приближенно, используя сосредо-
точенную модель.
Кривая аппроксимирующего звена первого поряд-
ка дает также неудовлетворительное приближение, хотя
паши^ЬК1° лУ.чшее’ чем модель с сосредоточенными па-
пп» Л? Качестао аппроксимации резко повы-шается
мпиготереХ0Де К звену пторого порядка. В ряде задач
апппоксиКманниСЯ п еобхад,,мой более высокая точность
титьего папо^ °На достигается переходом к звену
которого получены^*. "еРсдат°,,Н0Й ФУ"К«ИИ
чрок°ями2ующихХ1ье>?п,₽Т'/ рЗЗГОН11ые кРнные аП'
меньше отличаются w точных м°оиП°РЯДКа 3,1а,,итмь”°
редоточенной модели л„ ” ’ ,ем характеристика сос-
-характеристпкогДвеня У1пР0КС11мацця точного решения
хороший результат ч?о"°Р°Г° П0РЯЛКа настолько
более сложного дробно раиип^1 необхол,1мость поиска
Разгонная кривая п™ 'аЛЬ,,0ГО приближения,
аппроксимируется хапактг^ЗМуще>!,ни Давания хорошо
типа	простейшего звена
проксимируюшей функций пНЫ- 31,ачеН»я точной и ап-
ад	функции в 001цем случае ие совла.
дяют. Они близки, если рабочим телом является жид-
кость (7М«Л). и сильно разнятся для пара (Лг>Г)
Более высокий порядок аппроксимирующей передаточ-
ной функции по каналу р^ нецелесообразен ввиду
его слабого влияния на динамику температуры.
Итак, аппроксимирующие передаточные функции, ко-
эффициенты которых найдены по методу площадей, да-
ют приближение более высокого качества, чем характе-
ристики математической модели теплообменника с со-
средоточенными параметрами. Этого следовало ожидать,
так как при аппроксимации тонного решения эффект
реальной распределенности параметров учитывается, хо-
тя и приближенно, интегрально. При сосредоточении па-
раметрон этот эффект, существенно влияющий на точ-
ность динамической информации, теряется полностью.
Высокое качество приближения упрошенных харак-
теристик к точным при выборе метода упрощения яв-
ляется условием необходимым, по недостаточным. Ус-
ловие достаточности состоит в требовании максималь-
ной структурной простоты приближенной динамической
характеристики. Исходя из этого требования, сравним
передаточные функции сосредоточенной модели л ап-
проксимирующих звеньев.
Канал/i—>/. Модель с сосредоточенными параметра-
ми
г vr  	Л*.? Ч~ I
где b. = ад; « (7\ + П) + Гм.
Аппроксимирующее звено первого порядка
(7-33)
(7-34)
(7-35)
Аппроксимирующее звено второго порядка
TW —._____________________!_______
В b2if,s* +	+ J
где коэффициенты bltf и bVf определяются равенствами
(7-20).
Нетрудно заметить, что передаточные функции аппро-
ксимирующих звеньев структурно проще характеристи-
ки модели с сосредоточенными параметрами. Таким об-
разом, если учесть предыдущий вывод о соотношении
точности, в качестве расчетных упрощенных зависимо-
20*	307
tun мать динамические характеристики,
стей следует ' аппроксимации по методу плп-
полученные в P™J<lD с распред, иными парамет-
щадей решений для moot ли
рами-
Модель с сосредоточенными параметрами
где bi и Ь2 — те же, что н в передаточной функции
(7-33).
Выражения для аппроксимирующих передаточных
функций совпадают с равенствами (7-34) и (7-35). но
коэффициенты bit(J и Ь2^ находятся в этом случае по
соотношениям (7-23) и (7-24).
При идентичности математической формы упрощен-
ных характеристик критерием выбора будет служить
только степень их соответствия точному решению. Исхо-
дя из анализа кривых на рис. 5-15 *и 7-11, естественно
в качестве расчетной принять аппроксимирующую пере-
даточную функцию первого или второго порядков.
Аналогичный вывод можно сделать ц по остальным
каналам передачи возмущений.
конвективный теплообменник
Из всех теплообменников, которые могут быть описа-
ны уравнениями (5-79), выберем для анализа два типа
аппаратов, характерных для тепловой электрической
станции: конвективную поверхность нагрева парогенера-
тора (Тм«зГп н ТМ>ГЙ, £=54-20, е<0,1 ) и теплообмен-
ник из системы регенеративного подогрева питательной
воды (то же, но е>10).
Коэффициенты усиления совпадают лишь у точной И
аппроксимирующих характеристик, поэтому сопоставлю
ниЛ^'Л1’0 провести по нормированным разгон-
иым кривым. Количественное ра<\и
мое неодинаковостью коэффициентов
поправкой к тон динамической >
случае к решению для модели с
метрами), которая в стати
/7'с — И
расхождение, определяе-
-J усиления, устраним
характеристике (в нашем
2 сосредоточенными па ра-
да ст неверный результат
= (7.зб)
308
Риг. 7-1.3. Ра тонные кривые теплообменника с обогревом кон-
денсирующпмся паром.
/—модель с Р сиредолеинымм пара метре мн; 2—модель с сос редоточеи-
пымн плрпметрзми, 5 — аппроксимация по методу площадей, звено перво-
го порялк.! «/- зппроксимдцня по методу площадей, звено второго по
рядмд.
Здесь Яс и Н'с—разгонные характеристики сосредо-
точенной модели, точная и скорректированная; Кт и
/<с — коэффициенты усиления распределенном и сосре-
доточенном моделей; Лг — нормированная разгонная ха-
рактеристика сосредоточенной модели.
Представление о соотношении коэффициентов усиле-
ния динамических характеристик моделей с сосредото-
ченными и распределенными параметрами можно полу-
чить из табл. 4-2 и 5-3.
Сопоставление нормированных разгонных кривых да-
но на рис. 5-23 и 7-12 для конвективной пароперегрева-
тельпой поверхности нагрева парогенератора, а на
Таблица 7-4
Асимптотические значения для разгонных кривых
Модель				*4,
			п,к+ 1 В,0-Гга 'и* ।	Фю ~~ Go %
	тм-	Ю; Г,=	1; t = |5- в=в0	. 1; п = 1
Распределенная	0,6180	0.3820	0,2940	0.2940
Сосредоточенная	0,6730	0.3270	0.2100	0,2100
	Гм =	= 3; Гв = 3; 5= ГО; с = 10; п — 1		
Распределенная	о.ооог	0.5)999	0,0000	0.0000
Сосредоточенная	0,0941	0,9009	0.0087	0,0087
309
пис 713-ДЛЯ теплообменника с обогревом колДСЙ1. I
пующимся паром (рабочее тело-вода. тД
>=10, La~o°. р=Ю). Численные значения величии, ц*]
торым при т—*00 стремятся разгонные кривые (рай|?
коэффициентам усиления иередат иных функций), Прй.
ведены в табл. 7-4.
Различие в соотношениях нитещ ивностей теплообщ.
на на наружной и внутренней not постах трубы цг
кладывает существенный отиечато на вид динамите,
ских характеристик, поэтому дальне luiu't анализ будет
проводиться раздельно для случаев ? 0,1 и е = Ю.
ПОВЕРХНОСТЬ НАГРЕВА ПАРОГЕНЕРАТОРА
По каналу Н—►/ модель с сосредоточенными пар
метрами дает неудовлетворительное приближен»
. Аппроксимирующие характеристики смеют значительна
лучший результат, хотя, ио-видимому. в некоторых за-
дачах необходимо будет применить более высокий поря-
док упрощенного выражения (например, третий).
По каналам передачи возмущений fh—>-1(0,}
0»t—*4 и Pi—*/ разгонная кривая сосредоточенной мо-
дели незначительно отличается от точной. Равноценный
результат получается при аппроксимации по методупло
шаден характеристикой эвена первого порядка. Нан
большую п вполне удовлетворительную точность пока-
зывает крниая аппроксимирующего звена второго по
габт 7-4), можно считать, что температурные возмуше
,111Л попадающие иа в >д парожидкостиого теплообмен-
ника, полностью д мпфируются нм. Этот вывод справед-
лив при s> 1
При больших каналам передачи возмущении
Он—*/. pi—*/ и	—*•/ сосредоточенная модель
и аппроксимирующие характеристики дают очень хоро-
шее приближение, причем в последнем случае достаточ-
но взять iitiupoK нмирующее звено первого порядка.
Коэффициенты усиления но каналам передачи возмуще-
ний расхода наружной и внутренней жидкостей близки
к нулю, т. е эти возмущения попадают на выход тепло-
обменника (ска ы аются на выходном значении темпе-
ратуры рабочего тела) в сильно ослабленном виде. Те-
плообменник с конденсацией греющего пара при боль-
ших е демпфирует возмущения и по расходам. Напротив,
изменение температуры греющего пара вызывает почти
равное количественное изменение температуры рабочего
тела. Переходный процесс при этом быстротечен.
Поскольку для канала -St—►/ различные упрощенные
характеристики дают одинаковый количественный! ре-
зультат. то в качестве расчетной следует принять про-
стейшую из них, г. е. динамическую характеристику'
аппроксимирующего апериодического звена первого по-
рядка вида (7-34).
гонных кривых и cnanufCTeCHHoro сопоставления раз-
можно сделать вывей а?"’Я ,,х математнческой формы
ия в расчетах vnnrJредп?чт,,гельш»ст!1 использова- ’
г'проксимиру|Ои.нх  ,Р ^еняои Динамической модели
пределены по методу пл^.ев’ „КоэФфШ1иенты которых
По всем канаЛ» ПЛ01ДаДей-
«°з«ожн0- «ХХХДаЧН В°ЗМуЩеннй. кроме /г—
НИЯ *затель«ой корректипл» сосредоточенной модели .
с0отношецН1о (7-36) ВК°Н КоэФФ1,цнентов Ус>,ле’
п"Т„Х7??овде"“““-
модель даст со-
тая трупнпа1'Г,р0Ксимашгя1	'лн'Ке’,и<-‘. Бессильной ока-
эффициент СТ1‘ устРзняется ™ етоДу площадей. Возник-
аю Зления по этомСе’К0: Поскольку точный ко-
310	"Тому каиалу близок к пулю (сМ.
Глава восьмая
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИНАМИКИ ПАРОТУРБИННЫХ
БЛОКОВ____________________________
8-1. ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ
Современная тепловая электростанция компонуется
по блочному принципу. Паротурбинный блок, основными
элементами которого являются парогенератор и турбо-
генератор,— весьма инерционный объект. Главную роль
в формировании динамических характеристик играет
парогенератор [Л. 110], поверхности нагрева н необогре*
311
. кптооого содержат большие массы
ваемые участки ыл» относительно низких скоро.
бочего тела и ‘ ратор--‘^ииески безынерц».
стих потоков- iyi 1ая времени его на 2—3 порядка
онпып »«««• "° ' "ХраU 49). Поэтику при «*
ниже, чем У ”аР° * оотурби1шого блока основное
давании динамики 'W ру.
внимание уделяется пар ₽кНХисвойс.гвах парогемера-
Информация о дии б	моЖе_ быть получеца npil
тора и паротурб н °™	имен а, аналитическими
проведении натурного	ния уравне1ШЙ нестацио-
расчетами и в Р«ульг Рью средс 0 вычнательной
парного процесса
техники.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Полный учет влияния каждого из элементов возмо-
жен при снятии динамических характеристик действую-
щей установки. Получаемая таким путем инерционная
кривая несет в себе исчерпывающую неискаженную ин-
формацию о данном объекте. В этом заключается осо-
бенность экспериментального метода, его достоинство и
одновременно слабая сторона. Недостатком является не-
возможность распространения полученных (часто с боль-
шими трудностями н затратами) результатов на паро-
турбинные блоки других типов, и для них динамические
испытания должны быть проведены заново. Метод экс-
периментального определения динамических свойств
^Р^рфбннного блока весьма распространен [Л. 5, П.
u ’ /д1,	20 и дР-1- Наиболее часто динамические
Лппмйт?» проводятся с целью получения исходной ин-
повання выбоРа с«стемы автоматического регули-
разоабат11ва₽1СсаМИлВ паР°тУРбинном блоке. Для вновь
вование ввела обоРУдова1,чя это означает предшест-
гулирующими устрой®твамиЛ nna'U"° ис"ащси"10 е1° РХ
РастягиваютсяУспоки ппП1.« При Гаком подходе сиЛЬ ,
Априорный же выбор системы °СВОепия иовой техКИ^
ния может дать удовлетвори стоматического управле-
незначительном отличии вводив* РезУльгаг лншь пр‘‘
существующего. Поэтому rT Г° оборудования отуЖе
кое распространение получил^™^ деся™летие шир°'
деления динамических свойств расчетныс методы опре
312	в ПаР°тУРбинных блоков.
дНА ЛИТИ Ч ЕС КИЕ МЕТОДЫ
В силу сложности паротурбинного блока как дина
мииеской системы выполнить аналитическое решение
уравнений нестационарного режима с разрывно-нелиней-
ными коэффишк ами без сильных упрощений практи-
чески невозможно Однако функциональные зависимости
технологических ; раметров (энтальпии, расхода и др.)
ст параметров, пструкцин и режима, полученные даже
для весьма иде и: нрованных физических моделей обо-
рудования, нме it большую ценность и во многом каче-
ственно раскрыт ют основные закономерности нестацио-
нарных процессов. Принятие принципиальных решений
в области кои грунрования надежных, хорошо управляе-
мых н маневренных парогенераторов, как правило, воз-
можно на основании упрощенных моделей. При наличии
ясности в принятии принципиальных решений следую-
щим этапом является разработка конкретных систем
управления паротурбинными блоками, для чего требу-
ется более точная л подробная информация. Получение
ее в настоящее время облегчается наличием электрон-
ной! вычислительной техники.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Вычислительные машины (непрерывного 1! дискрет-
ного действия) в значительной мере сняли ограничения
в сложности математической модели. Исторически рань-
ше были развиты методы моделирования динамики бло-
ка на АВМ (Л. 78, 87, 113], однако в последнее время асе
более широкое распространение получает решение урав-
нений нестационарного режима на ЭЦВМ [Л. 48, 81, 89,
98, 99, 101, 117].
8-2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ
ДИНАМИКИ ПРЯМОТОЧНОГО
ПАРОГЕНЕРАТОРА
Прямоточный парогенератор можно упрощенно
представить в виде трубы постоянного (осредиенного)
сечения с равномерным (осред ценным) по всей длине
обогревом (см. рис. 1-9). Подобной физической модели
приближенно соответствуют радиационные поверхности
нагрева топочной камеры энергетического парогеиерато-
313
па Наиболее близок к принятой модели иароге^-
с обогревом за счет выделения джохлева тепла пр,! fl »
пускании через стенки трубы электрического тока.
На вход трубы подается вода к к правило, слегь =
не догретая до кипения (при р<рщ> а на выходе цгт
чается пар с требуемым перегревом. Гранины
участками подогрева воды до кипения (экономайзеру
участок), парообразования (нспар. льиый участок)
ни перегрева пара (пароперегревательный участок)
занимают определенное положение лишь о стационар-
ном режиме, а в динамике происходи прерывное ц
перемещение, вызываемое флуктуациями режимных па.
раметров.
Таким образом, основной особенностью при решение
уравнений динамики прямоточного пар н ритора явля-
ется необходимость учета перемеир hi границ междц
отдельными участками, различающимися зависимостью
плотности рабочего тела от энтальпии
Впервые задача в подобной постанов е была решена
в 1953 г. {Л. 83]. В несколько ином плане проведен ана
лиз в (Л. 74]. Ниже, помимо рассмотренных в (Л. 83]
воздействий по обогреву н расходу раб чего тела, урао
нения динамики прямоточного парогенераг ра решают-
ся для случая возмущения по основному кабалу переда
чи внешних воздействий — от энтальпии на входе к вы-
ходному (в любом сечении z) значению энтальпии.
Рассмотрим последовательно протекание переходных
процессов в отдельных участках парогенератора докри-
тического давления: экономайзерном, испарительном и
перегревательном. Изолированно эти участки рассмотре-
ны в гл. 6, и метод решения описывающих равнений
известен. Отсчет расстояний г на любом участке будет
вестись от входа в парогенератор, т. е от’ входа в эко-
.УЧаСТ°К- ДЛЯ прос™™ иатож^гия чнс-
объемы Ro i'V ” ЗД1,ам1,че<:К1« характеристик сдельные
л^^щешЛ' :;^т равиш,‘! з,,а,,с,,,1нм иа,
принять vcnpurc.L.	(точность повышается, если
экономайзепном п'^ эпаче1,Ия °ср соответственно на
изображены лпиачжгеЛи.	параграфа будут
параметров парогенеоатопя ЧарактеРпстики различных
парогенератору имеющего следующие кои-
Выделен.<е подобных учаепгпп
сделано, ни условно.	' nP,f также может быть
314
pvKTitnuHe ii режимные факторы: р( = 100 кгс.!смг\
= 117° к&ж!кг\ d1(/dh=34/32 дж; 10 кет/м-,
₽0,5 кг!сек. /=100 •«
ЭКОНОМАЙЗЕРНЫЙ ТРАКТ
Входная координата экономайзерного участка зафи-
ксирована (* 0). что позволяет воспользоваться для
определения изменения энтальпии в любом сечении г
и пределак этого участка зависимостямп. полученными
и § 6-3 По к пьк\ длина радиационного экономайзера
обычно невелика, его влияние на формирование динами-
ческих хара тернстнк всего парогенератора мало. Это
позволяет отка аться в первом приближении от учета
эффекта тепловой аккумуляции в металле, тем более что
его доля в общей тепловой аккумуляции не столь высока
(р~1). ка в перегревателе (р»1). На значительной
части радиационного экономайзера имеет .место поверх-
ностное кипение, вследствие чего металл практически
выключен тн хвастня в тепловой аккумуляции.
ИСПАРИТЕЛЬНЫЙ ТРАКТ
Координата начала этого участка гн перемещается по
законх г (т) Нестационарный процесс и стационар-
ное сост ине описываются уравнениями (6-33) и (6-34),
включающими следующие входные величины: ац=ац.1К
в силу не жимаемости воды па экономайзерном участке.
/| = Г и 1'г = с'. Кроме того, следует учесть смещение на-
чала испарительного участка от точки отсчета расстоя-
ний («ход в парогенератор). Переходя к отклонениям,
получим после несложных преобразований:
д' । v’ (\ Ч» a'i \ । V. А?в
де <н “ Г >ЬТ ‘	4 D„ Т '
(8-1)
где
Дт — i —- т0;
Т дается соотношением (6-31);
и» = а>, + ^н.
При этом
4 = 40 + J*-	z»o — А/о •
Здесь \й| = т' -По—величина подогрева воды до ки
пения по входном сечении парогенератора.
315
мпгИ^ь,,ыи	I
ил$ сделанного нами прод111м.
1.1Я *т°г0 >Ч luncni пара о любом сечении тракта
жевмя о Т*^п^ть погона в конце испаритель^
(» -с^°Рппн течения несжимаемой среди*
тракта) и P7V J*P1’ изменения энтальпии описы^
стационарный	которое может быть примат
ся уравнением (n-o/j,
к такому виду.	t Л-Y. (Ц
ш № jJZi = ттгХТхГ к	<7 ач J
Г+^Тг^*	1
п.^мики решаются при скачкообразных
Уравнения динамики Р
возмущениях М. и Л v
возмущение тепловой нагрузки
экономайзерный тракт
Сразу напишем расчетную зависимость для Ai=i—к,
полагая в решении (6-48) ц —0:
I	Л- т, 0 < х < хтр э =—-;
Аг
Id,,’ ’ э‘
Координата конца экономайзерного участка (сечение,
в котором вода закипает) и начала испаритетьного уча-
стка г» находится из условия i - Г, или
А( = -^Дгп.	И
£/во
Подставляя в соотношение (8-4) значение прираШе*
ния энтальпии Д/ [см. равенства (8-3)], находим закон
перемещения в динамическом процессе сечения начала
испарительного участка Дгк:
И6
т *с3;
Тц.
j •
(8-5)
Длительной i. переходного процесса на экономайзер
Ном участке т. можно определить из равенства
~----I гв
Подставив сюда значение гп— *„<, +Д?и, получим:
T'=V--	(8 6)
э —
ИСП ЗРИТЕЛЬНЫМ ТРАКТ
Динамические процессы описываются уравнением
(8-1). Поскольку граница начала участка даётся разны-
ми зависимостями в двух временных интервалах (равен-
ства (8 5)], то решения следует искать раздельно в каж-
дом из них.
ПЕРВЫЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА (О^г^т»)
Скорость пароводяной смеси [равенство (6-32)[ в этот
период изменяется во времени по закону
..._	1 г	/Я 7k
С учетом равенства (8-7) уравнение (8-1) при воз-
мущении обогрева принимает такой вид:
/	. г —	.Д? rt‘,0 VU'ltfA'
(«,.+—г—Л	т л—
= Ф+4-Д?(|—С).	(8-8)
Начальное условие уравнения (8-7) очевидно: при
т = 0 отклонение At=O. Граничное условие дается пер-
вым из соотношении (8-3). справедливых для любого
сечения экономайзерного участка, в том числе и для
сечения начала закипания zu:
В уравнении (8-8) коэффициент при дМ дг является
функцией z и т. поэтому применить для решения можно
317
лишь метод характеристик (см. § 6-3). Составим ДНфф
нивальные уравнения характеристик
//*	d~
*и° t &{1
=г— Г Т Т
Т <7о *
и рассмотрим две интегрируемые комбинации с участием
^т/1. В результате их интегрирования получаются две
характеристические линии:
т
г — z„0 + wttT ~-Ц~ w,tz.= схе1 ;	(8-9)
Д< — ~ Д^т = с2ет.	(8-10
При использовании обоих краевых условии из ха-
рактеристики (8-10) получается <?г=0. Решение в рас-
сматриваемом периоде процесса, как и на экономайзер-
ном тракте, есть выражение
Д< _ у'
(8-И)
Отклонение расхода в сечении z легко найти ио соот-
ношению (6-54), имея в виду, что
Ди = bAi; Дш = w—®о-
Уравнение (8-8) справедливо только до т = тл. При
больших т скорость (коэффициент при dAi/dz) будет
описываться иной зависимостью.
второй период переходного процесса (т>т0)
Сечение начала испарительного участка zu в этот
период неподвижно [равенство (8-5)], в силу чего ско-
рость пароводяной смеси в любом сечении z будет не-
изменной, равной установившемуся значению в новых
условиях обогрева:
(8-12)
318
Начальное условие уравнения (8-1), в котором ско-
рость берется но соотношению (8-12), получается из
решения (8-Н) при т = тэ:
граничное условие: в сечении закипания из второго ра
веиства (8-3) следует, что	1
z = zH; Д/ = ^.д/и,
где z(I —2i п + Дги находится с учетом соотношения (8-5).
Использование обоих краевых условий дает разные
решения в двух временных интервалах:
Д<7
г#-1
»	*тр.ю
(8'13)
где Гтрп — время прохода средой испарительного трак-
та до сечения z в новых условиях обогрева,
^тр .11
= Г1п( 1 + ^\
I 1 Г
это время определяется из уравнений характеристик
с помощью краевых условий.
Отклонение расхода в любом сечении г участка ис-
парения находится в соответствии с равенством (6-54),
в котором
bv — ЬЫ; &w—w— wt
zbbq
Строго говоря, равенство (6-54) применимо, если
сечение z находится на испарительном участке не толь-
ко в, возмущенном, но и в исходном стационарном ре-
жиме.
При отсутствии у парогеиерпрующег! трубы эконо-
майзерного участка (Дй,=О) проведенный анализ будет
относиться к чисто испарительному участку, в силу чего
соответствующие решения § 6-3 и 8-2 должны совпадать.
Действительно, сравнивая выражения (6-53) и (8-13),
легко убедиться в их тождественности при Д('и=0.
319
Рве. 8-t. Перемещение сечений эакшь пя и конца
испарения в динамическом процессе пр \вел|НгРймп
обогрева на Д?=О,1?о.	' ВДЧ
В прямоточном парогенераторе всегда есть сечение,
в котором испарение полностью завершается. Координа-
та этого сечения находится из условия / —или
й'=-£Дг“' ®-14>
где Д?п=£п—Подставив в это соотношение выраже-
ния (8-11) и .(8-13), определим изменение положения
границы начала перегревательного тракта Дгп в трех
периодах переходного процесса:
Изменение положения границ между экономайзер*
ным, испарительным и перегревательным трактами и«п
люстрируется рис. 8-1.
В первый период сечение конца испарительного у 43
стка движется в том же направлении и с том же с1<0”
ростыо, что н точка закипания; при этом длина участка
испарения остается неизменной. Во втором периоде
постоянном положении границы закипания координата
конца зоны испарения изменяется по экспоненциалы*0'
320
му закону; при возрастании нагрузки длина испаритель-
ного тракта сокращается. Положение обеих границ при
Т>т.,+Ти неизменно н соответствует новым условиям
обогрева. Длительность переходного процесса на испа-
рительном участке будет максимальна в сечении z—zn.
Ее можно определить, подставив значение ги=гм+Дг(1',
где Агп — последнее из соотношений (8-15), в выраже-
ние Ттр.и, 1|ТО дзет
% = Ър.„ |г=,я = Т In	(8-17)
ПЕРЕГРЕВАТЕЛЬНЫЙ ТРАКТ
Динамика изменения антальпни описывается уравне-
нием (8-2), в котором, в силу принятого допущения о не-
сжимаемости пара, скорость в любом Семен ин совпадает
со скоростью в сечении начала перегрева (или конца
испарения). Величину скорости па участке перегрева
в разные моменты времени можно получить из уравне-
ний (8-8) и (8-!2) при подстановке в них 2=гп. Откло-
нение скорости пара имеет вид:
1 Ьд
«о
(8-18)
Здесь w0 — скорость перегретого пара и исходном ре-
г/tr
жиме, да0 = -^- да10; да, 0 — скорость воды на вход?.
ПЕРВЫЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
(0^т<То)
Уравнение (8-2), в котором скорость определяется
первым из равенств (8-18), принимает следующий вид:
w дм 1 ЭАГ_______________ bqv'
I + ,и дг’Ь { (I + р.) '
Уравнение решается со следующими краевыми усло-
виями. При т=0. очевидно, А/'=0. В сечении конца ис-
парения изменение энтальпии следовало бы принять по
соотношению (8-11), однако для перегревательного трак-
та изменение энтальпии вызывает изменение температу-
ры пара и в теплообмен вступает металл, способный ак-
21—) 031	32|
кумулировать тепло. Pai предо.о пне избыточного -г„
между паром и стенкой при ап = а>в процессе йэ.ме1,Гг
эиталыиш в сечении z„ происходит в соответствии 7?
аккумулирующими способностями. поэтому Гран «
условнее учетом (8-11) и (6-48) должно принять вид;
2	= 2ц, Д( = -J- М ’
При использовании обоих краевых условии решение
уравнения дастся одной зависимостью
д; o' t _
аГ f 1 + Р-
второй период переходного процесса
(ТаСТСТ-э + Ти)
В уравнении (8-2) скорость следует принять но вто-
рому из соотношении (8-18), а краевые условия должны
удовлетворять требованию непрерывности, т. е. при
Т—Та
At —
А<? Д«,> .
Я 1 +н ’
при г=2п с учетом замечания, сделанного при рассмот-
рении первого периода,
"=пЬ-т[*- + т(еГ ->)]•
При этом пространственно-временная зависимость,
удовлетворяющая уравнению и обоим краевым услови-
ям, имеет вид:
— = J. J	/ Г ,\1
д<? 1 +i* ~ (д,«(е ~ И •
ТРЕТИЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА (т>т,+ти)
(8-18) а°кпаешк>е^СЯ П° послеД11емУ из соотношений
v ю), а краевые условия следующие:
Л/ = ^^д±£-
<7	1 +р. ’
2 = гц;	+
322
Граничное условие получено
соотношение (8 13j z=zn дЛ}1 ра{ f а'1бВК(лг на второе
„ого интервала. Поскольку эита	вР™ен-
муляциежные факторы не проявляйте еИзменна, акку-
Уравнепие (8-2} имеет о а .
зоаалин начального и граничного у^иГЛ" ИС"ОЛЬ‘
ет на два временных интервала ппотЛ^' ° Указь|»а-
га процесса в третьем периоде- Р°теканпя переходно-
ПРИ (T.+TH^T^To + Tn + Tnj
Дг =
ПрИ	+
= IT
Последнее соотношение указывает на установление
стационарного режима в новых условиях. Пороговое
время перехода от одной расчетной зависимости к дру-
гой г=гэ + ги+т:1» легко найти, приравняв эти зависимо-
сти. Длительность третьего периода
Как и в предыдущих случаях, запишем расчетные за-
висимости для отклонении энтальпии от стационарного
значения в любом сечении перегревательного тракта:
у' т
Т Г+К’
О < х < тэ;
В силу принятой несжимаемости среды расход пере-
гретого пара изменяется по тем же закономерностям,
что н расход сухого насыщенного пара. Величину
ДОВ = ОЯ —Ов. = ^дда	(8-19)
21*
323
Рис. 8-2. Изменение энтальпии (а) и расхода (б) пепе.
гретого пара при 10%-пом скачкообразном увеличении
обогрева.
(• точная кривая. 2 — кривая без учета тепловой аккумуляции
металла труб пароперегревателя.
легко найти, так как отклонение скорости пара в любой
момент времени известно. В соответствии с равенствами
(8 18) получим три выражения закона для отклонения
расхода:
вменение энтальпии н расхода перегретого пара
показано на рис. 8-2. К.ак видно из рисунка, основным
упМ^°М’ ВЛИЯЮЩ'КМ на Длительность протекания лере-
' То'м 1‘Р2цесса’ является аккумуляция тепла в .метал-
ся по эптя^^Р3 "а ВЫХОАе из парогенератора находит-
ся по энтальпии из соотношения
^це

ВОЗМЕЩЕНИЕ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
личину ADa|==D^°^f)B паРогеиератор изменился на ве-
во входном сечении навеличинуВаЛ° изме,1ение скорости
д«\ =	— wie =
324
ЭКОНОМЛЮ РНЫЯ ТРАКТ
Динамика изменения энтальпии в произвольном се-
чении z описывается зависимостями (6-50). Полагая
в них |i=O. т- е- пренебрегая влиянием на инерционность
процессов теплое и аккумуляции в металле, получим:
АП., ~
!♦_ г
Координата точки начала закипания г„, перемещаю-
шейся вдоль осн г в переходном процессе, находится из
соотношения (8-4). Временная зависимость Дги=/(г)
имеет следующий вид:
J-т, 0<т<тэ;
Д/„	(8-20)
где длительность переходного процесса на экономайзер-
ном участке
<8-21)
При возрастания расхода точка закипания удалится
от входа.
ИСПАРИТЕЛЬНЫМ ТРАКТ
Скорость па входе в испарительный участок равна
®i, а в любом сечении z—zu она описывается в соответ-
ствии с равенствами (6-32) и (8-20).
ПЕРВЫЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
(0^т<та).
В этот период скорость изменяется по закону
(8-22)
1 ' 4 JQ
Уравнение (8-1), где со надо брать по соотношению
(8-22), решается с краевыми условиями
т=0, Д|=0;
z = 2„, Д( = -^--^ДРЯ1Т.
^ло I
325
В рассматриваемый период энтальпия
закону
Д<
Д£>».
<7»
До I
изменяется П(1
(8-23)
второй период переходного ПРОЦЕССА
Сечение начала испарительного участка в этом пе-
риоде неподвижно (см. равенство (8-20)], а скорость
пароводяной смеси в любом сечении z неизменна:
й! = ю1+^^-^Дц.	(8-24)
При этом значении скорости и краевых условиях для
уравнения (8-1)
т = тэ.	Z = zB1 &=- ^Д/„
пространственно-временная зависимость \i(z, т) описы-
вается разными законами в двух временных интервалах:
М
^ьа I
<?о z
1 в
е т°
тр.И1
тр.и»
где
(8-25)
Чр.и
(8-26)
При А1ц-0 приходим к зависимостям, полученным
в § 6-3.	J
Сечение zx -
величины, удовлетворяющей равенству' /
’папопепегиГ^"0'1 гРаннией между нс1,ан<. —
ио1ожР Р а,телы,ым Участками. Зная Ai\ легко найти
положение точки начала перегрева
и. в котором энтальпия потока достигнет
l — будет яв-
— границей между испарительным п
и'	Л
f	0	^х3-
в динамике:
^я|
п 
а
е Л> — ]
И1
326
где дается равенством (8-16). Характер перемещения
точки закипания н конца испарения можно видеть из
рис. 8-3. Для сечения гя время прохода испарительного
участка может быть найдено при подстановке последнего
из равенств (8-27) в выражение (8-26):
тп=Т01п^	(8-28)
перегревательный тракт
Скорость в любом сечении нароперегревательяого
тракта совпадает со значением ее в точке начала пере-
грева, т. е. в динамике в разные периоды она описыва-
ется равенствами (8-22) и (8-24) при z—zu:

(8-29)
"° » тэСт<сэ + ти;
ПЕРВЫЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА (ОСт^Тп)
В уравнении (8-2) скорость в тракте перегрева опре-
деляется первой из зависимостей (8-29): краевые усло-
вия с учетом эффекта тепловой аккумуляции принима-
ют вид:
•с = 0, Д1 = 0;
д/=-£^ттк-
327
второй ПЕРИОД переходного процесса
То же уравнение (8-2) решается при новом значеННм
скорости и краевых условиях
л; — Дк,| •
z_-cs, Ш —	«-„М-ре’
.. । д«<>
Z = Za, Д1 •—	] +
ТРЕТИЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА (т>т,+т„)
В этот период скорость пара стабилизируется на но-
вом уровне. Начальное условие уравнения (8-2) полу-
чается из решения для предыдущего периода: при т=
= Та+Тц
Да», Д1н -)- г _
ttJjo 1 + Р- ’
граничное условие: 8 сечении
перегрева) z=zn
конца испарения (начала
Дш, Д/я 4- г
очГ 1 4 Р- 
Использование обоих краевых условии приводит
к двум зависимостям, описывающим динамический про-
цесс в разных временных интервалах. Время прихода
парогенератора к новому стационарному состоянию
(г—T:,4-T„4-Tni) легко определить, сравнивая обе зави-
симости. Длительность третьего периода
(I+р)-^-_1_(Д(н_|_г).
Расчетные зависимости для
перегревательном тракте от
328
отклонения энтальпии па
стационарного значения
Рис. 8-4. Динамика эптальгпш (п) и расхода (б) перегре-
того пара при 10%-ном увеличении подачи воды па входе.
/ —тср|||ля ьрниая. 2-ц«0
имеют следующий вид:
м.
<h vf_ х
Ов0 f 1 + н
<тэ;
1
1
#80 U + Р-)
♦ тэ<т<т:а4-ти
£о_£_
Расход перегретого пара (равный расходу сухого на-
сыщенного пара) легко найти по выражению (8-19), зная
Дзд [равенства (8’29)]. Расчетные зависимости для от-
клонения расхода имеют такой вид:
Траектории изменения энтальпии и расхода перегре-
того пара можно видеть из рис. 8-4.
329
ВОЗМУЩЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ РАБОЧРгл
НА ВХОДЕ	' 0
тела
Динамические процессы на начальном участке цаВи.
генерирующей трубы при возмущении энтальпии ца аР0'
де рассматривались в [Л. 4]. Ниже аналогичный анализ
проведен для всего прямоточного парогенератора.
экономайзерный тракт
Закон изменения энтальпии в любом сечешш г дается зависимо-
стями (6-51). При Н -0 °ни имеют вид:
~-=j0, о<т<т1₽,.= ~;
ll, 1>ХТ₽,В.
Сечение, в котором вода закипает (начали испарительного трак-
та ztt), находится из соотношения (В-4):
о т
0.
неизвестно,
__ А®
(8-31)
где х*в н т**э — соответственно меньшее и большее из выражений
1" Л ~Т	tj !
<№r »'
.	(8-32)
(Д<в — Д/,).
Транспортные времена т*3 и при этом возмущении не
дают, что вносит новый (по сравнению с возмущениями и
элемент в динамический анализ. В интервале т*0^т^т**а
закипания будет перемещаться, н за*
от знака возмущения. В дальнейшем
жнтельного возмущения (Aft>0).
Рассмотрим наиболее вероятный случай Д^СДь
когда и после нанесения возмущения г* ~
не догретая до кипения вода. Анализ случ
скольку в парогенерирующей трубе будет
верный участок.
Картину протекания процессов на начальном участке парогенерз-
тора можно видеть на рис. 8-6. При т~0 во входном сечении появит-
"	Uедогрето" волы с более высоким по сравнению с не-
нит пм	?М значс1’пем э«тальпин. Скорость потока сохра-
т при этом свое значение ш10. Через промежуток времени т*»=
В0Да s сечении фронта возмущения дотреется ДО
температуры кнпеппя. В предшествующем же свчеикн вода будет
330
совпа-
ду.)
. __________ точка
л-Л3*011 этого перемещения зависит
рассматривается случаи лоло-
'о, т. е. случай,
на вход по-прежнему подается
случая Д/1>Д/И несложен, по-
отсутствовать экопомзй-

L P bl I2
1й‘^:**Ий8йвии«»»^
LL I 3 2
^^^^ййаавййиотияя
Г ^t4Zuil | 2

1 3 2
Рис 8'5 Простраиственно-ирёмениая картина
перс-мешемия сечения закипания при Л1]>0.
в это мгновение ие погрета до кипения на величину До. Поэтому
некоторое время наряду с новым неподвижным сечением закипания
будет существовать и старая перемещающаяся граница испаритель-
ного участка, к которой подходят -иевозмущеяные слои воды; поло-
жение обеих границ закипания в момент т=т*э очевидно:
?в,= <7о <Дг»~Д‘«)> ?a’— 7, Д в’
В дальнейшем столбик воды, заключенный между этими двумя
сечениями, будет перемещаться вправо тто трубе с ускорен нем. обу-
словленным ростом удельного объема на левом испарительном уча-
стке. Нетрудно установить, что тонкий слой воды в сечении 3 стол-
бнха достигнет температуры кипения через промежуток времени
т*%—т%-=—~-гД6. Действительно, этому слою толщиной d? для
Доведения воды в нем до состояния насыщения надо передать тепло
Поскольку аа~оо. то независимо от скорости движения слой
получит количество тепла Q за время
. о.
Отсюда т=т*%-
33]
пястке очевидно, сразу устанавли.
исдарнтельном У4 с осТЬ перемещения сечения з
U’l =» т* ! г
сечения 3. Так как W|=a
urtAiew закон
Отсюда наидс*
т0 решая уравнение
dx 1 в
-?в,. подучим
с начальным условием г, ^-лв
(&ЗЭ)
Скорость движении сечении г» есть

маемостн
о
То
е
— 1 •
при Т% < ~	'
7’*””""
( т» __ I) .
.........;:;х;г:±..............Д-   - -
«ент этого периода:
Так как при т = т’» zBt= zB5. то
*~*у
йг«1 _ tt'’"7'n. iр То — I — —~т~~ ) ’
. *МГ " А<\ \	’ 1
тпе Дг«* = ^яг ^ий*	. я .
Длина столбика недочетом воды
।	_2,==Ь!.йг,_ш,«(т--А).
»ет~ г1 z> </0
максимальная при < = г%. обращается н пуль при
ность выброса во,чя«ой пробки
V’
е
(8-34)
Даль-
't == х »• >***
6Д!±Л
/
больше отношение
S\“S s.”S3«=S» f «»»"«	«
Х/дй/4/О"
= г1к=г«в=”-^и + «.«Г«
чем глубже возмущение и чем
г
с
332
„,л, 0 течение некоторого времени вместо пароводяной смеси
нЯ \ поступать вода
’^ Поскольку на левом испарительном участке, который в нятерва-
„ аоеменн rarest**» располагается между сечениями г», в г,
1’',у устанавливается стационарный режим, то отклонение значения
^тальпии в каждом его сеченнн не должно быть функцией времени
Действительно,
Распределение энтальпии ® столбике водяной «пробкиэ нахо-
дится из соотношения
3t = 5,',-L(г_ >,),	(8-35)
где б/ —приращение энтальпии в рассматриваемом сечении столбика,
начиная с момента т%;	— то же в сечении 3. Последнее можно
найти из очевидного соотношения
-p-Jrt = 9, (t —1%) di.
отсюда
Я(. = —т~
При т т*\ столбик вырождается (г=г>). и яэ выражения
(8-35). хак я следовало ожидать, получается» что в последнем тон-
ком слое полы
ИСПАРИТЕЛЬНЫЙ ТРАКТ
Поскольку состояние потока на левом испарительном участке
уже известно в последующем рассматривается только правый, основ-
ной испарительный тракт, прячем для простоты слово «правый» бу-
дет опускаться.
Уравнение (8-1) для рассматриваемого возмущения принимает
вид:
где к',« — скорость на испарительном участке вблизи сечения 2
Отклонение начала рассматриваемого испарительного тракта от
стационарного значения Дги с учетом найденного выше можно заки-
сать как
333
Скорость двухфазного погона вблизи границы 2 складЦОа
скорости движения границы w2 и скорости испарения т> с с* из
— — —

wia =
»»
W,
Скорость пароводяной смеси в любом сечении тракта
ляет.ся как обычно [равенство (6-32)]:
|	т — х*э
1 Шо + а’ю -f
* Q.
i ^a0	_	**
“’’+V“77’	-
(MB)
опреде-
(8-39)
w =
z — г|ф
где =	+ —у—• Очевидно, что при положительном возму-
* о
щенни энтальпии скорость возрастает, что в условиях неизменного
обогрева позволяет ожидать снижения энтальпии потока.
ПЕРВЫЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА (0Ст=£т%)
Уравнение (8-36) с нулевыми для этого периода краевыми уело-
пнями дает тривиальное решение: &t==0.
второй период переходного процесса
При соответствующих значениях w, u>ts и Аг« и краевых уело
виях
,	х = Д| = 0;
 л- °' ( ТО ,	'"’И
2=г“-	“’•““тг*;
решение уравнения (8-36) совпадает с граничным условием.
ТРЕТИЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
Уравнение (8-36). в котором Агя, ш12 и и> даются последними
зависимостями из (8 37)—<(8-39) при краевых условиях
2 — zB. Д/ = дг’ь
334
дпа решения, каждое из которых справедливо в своем вре
।	17 • »
v' f V	га
“7е	+ ^,.;
u<>.	,^’’*. + Ър-В.
где
b^i\
~V~
Сечение полного испарения воды найдем из соотношения (8’14)
(8-40)
W т*о и т*% — соответственно меньшее и большее из значений
j Д — — Го »
— ’тр.п |/=-1в = <
( 1п V"'
Во втором и третьем периоде происходит уменьшение энтальпии
в любом сечен ин испарительного тракта, вследствие чего конец золы
испарения передвигается к выходу из парогенератора. На исходе
третьего периода (при г='Г**з + т*и), когда удаление конца зоны
РЯ° А * "
испарения достигнет максимума, в сечение za\=zt^— ц* —ПРИ“
дет фронт возмущения с энтальпией	В этом нетрудно
убедиться, используя правило определения времени продвижения
фронта возмущения 2 (рис. 8-5) с новым значением энтальпии до се-
чения, где i=i".
С момента т-т**о4-т*и между двумя участками перегрева лара
будет существовать столбик пароводяной смеси. При т^т*%+т*и
новая граница начала перегрева / (рис. 8-6) остается неподвижной,
а столбик перемещается к выходу с постеленным выпариванием
335
Рис. 8-6. Пространственно-временная картина переме-
щения сечения начала перегревательного тракта при
1 к п

выбпос пароводяной смесв е перегрс»—
Наибольшей	нз момент r-V’.+V. При этом
трякт прихода™-
-I ..+,♦» =^k=x»‘,+fe = z"*+	(у —И4'»-
Z>Ux;V*t+1 Ц	"
„ И.иком давлении низкой интенсивности обогрева и глубс
Пр' .v пении втор 1 ‘ыен может быть очень большим, и тогдг
ком ваП,;”атора в vt: . тле некоторого времени вместо перегретого
113 лаРА«чст’идти пар;водяная смесь. Время появления «выброс»
пара,™«иом сечении I генерирующей трубы, его продояжитель-
в »ыхол"состяв летк0 определить на основания получепяых выше
•5 а П И СН'М	-
На чевом}пере1р тельном участке, располагающемся в рас-
сматр^аекюм-лер]^ с между.ееченлями	и
сразу устанавливается —состояние, и
отклонений энтальпии а
A
воды. Скорость сечения 3 столбика постоянна и равна, очевидно,
у"
скорости насыщенного пара:	Путь, проходимым сече-
нием 3, наити легко, его координата в этом периоде —
t___ t** __ тЛ
л. .« * 4 ... т Х Х ® Х «
Столбик пароводяной
уменьшаются по закону
/Су — г2 *	t
к моменту
’»т* ж
стационарное оис^янпс, и распределение
любом его сечении подчиняется закону
ДГ=Дч.
смеси, размеры которого непрерывно
°' е	Г. )
С:	/ ’
> Распределение энтальпи
о

О
(8-41)
вырождается к .«^мси.у т=ч
в нем находится из соотношения
>•- 4
Найдем закон перемещения правой границы eT0JIMvi«a потока
Скорость границы 2 есть разность скорости лродвиже*
в сечении 2 и скорости испарения:
-- Zj
W, = в>, -V —
1 о
Vй _ 2, — Zt_
—	То
Отсюда можно получить дифференциальное уравнение ДлЯ 11й*
г» —	9 * •,
dzt _ г-. _____23
~ Т, т. •
Решая его при известном значении г, и
Дения г2(х):
начальном условии
bAt\

где б» - приращение энтальпии в рассмэтр^емт^ сечена столби-
ка. начиная с момента т=т э+т я. 0/3 J	в эдементар’
следвее легко определить из уравнения бал
ном объеме за малый лромежпок времени.
ж „= -w.-Ы >. -™’
НИН 3 при Т ='1* 'э+ **Я»
й/'н = b S
ц,„егр»Ро..»»« УРа»"-’"- (««) П|”
Р'У =0
подогрев
" V*
получаем;
V'
— е
/	— ^1» т—V» .
т I \	°' ——Л.
е е г»
даст
f	—1/ •
— t,' ye

22—1031
337
336
В момент г-т*%+т°в ноток О сечения ,? д0Лж*
состояния насыщения. При этом, очевидно, должно №cTHrj|V
условие и чем можно убедиться, положив в и Л?;,0^J*aTi k
+ т*%.	Л q j) с*
На основании известного закона г*(т) можно для п- °*
мого периода найти скорость продвижении границы ? ССА,атРивае
Рис. 8-7. Положение границ в переходном процессе при
возмущении Aq>0 (ДХ|=О,П{о).
и отклонение положения начала
нарного состояния
перегревательного тракта от стайно-
лй7=="ч’~йГ V“e
тй
.
rt J
(8-45)
9
Положение границ между тремя трактами парогенератора изо-
бражено на рис. 8-7.
ПЕРЕГРЕВАТЕЛЬНЫЙ ТРАКТ
поэтомГшгже б^мапягг«Л.И0М "^Резательном участке известно,
иый тракт причем дтя п№?ИМТЬ<:" только правый перегреватель-
ный тракт, причем для простоты слово <правый> будет опушено
Динамика отклонения энтальпии описывается уоавне= (8-2)
при 9=9о. Скорость пара, одинаковая в любом сечении тоак?з опре-
делится из зависимостей (8-391 ппм nnn^Y ссчеиин тракта, опр
дри подстановке в них известных
338
е
°.	*>**% + ^V
и"
где —
ПЕРВЫЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА (0<т^т*в)
Все параметры перегревательного тракта в этот период сохра-
няют значения исходного режима, в частности, в любом сечеяви
тракта Д| = 0.
второй период переходного процесса
Ура&нение (8-2) при соответствующем значении скорости а? х
краевых условиях
т = Д/ = 0;
г = 2- Аг' = (Г+ЙГ G -е Г°
имеет единственное решение, совпадающее с граничным условием.
третий период переходного процесса
(т**э SCT^T**o4-T*a)
Краевые условия уравнения (8*2):
Решение совпадает с граничным условием.
22»	-------
339
ЧЕТВЕРТЫЙ ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОПРЁМ
ц ССА
Начальное условие уравнения (8-2):
v"
% =	A<-I+|l (| + и) b
Отклонение энтальпии в сечении начала правого перегрева
ного тракта Ai(zoj)»r'—можно определить с помощью
ношения (8-45)	С00ъ
Д/i	v’f
г = га;	X
Решение показывает, что энтальпия в любом сечен ян перегрева
тельного тракта изменяется так же, как я на границе перегреватель
ного и испарительного участков.	-	ь'
ПЯТЫП ПЕРИОД ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
Уравнение (8-2) с краевыми условиями
Д/.	/ vff
= гПг Д/ссД/j
z
ИМе W рДзпые реАШдКИЯ в Двух временных интервалах.
чого тоактэ ппгпл«?10Ме’,Т времсни в любом сечении перегреватель-
симостям:	клоневия энтальпии вычисляются по следующим завн-
340
Здесь ~ у"~ <1	q#4 № ’	+ ')•
расчетные зависимости для отклонений расхода перегретого лара
с учетам соотношений (8-19) и Мб) имеют эях	F
При скачкообразном увеличении энтальпии на входе
в парогенернрующую трубу энтальпия перегретого пара
в течение некоторого времени изменяется в сторону
уменьшения (рис. 8-8), причем роль тепловой аккумуля-
Рвс. 8’8, Динамика энтальпия и расхода перегретого
пара при возмущении Д7|>0 (Дб=04Ию).
Нии в металле проявляется в уменьшения амплитуды
отклонений при соответствующем растягивании переход-
ного процесса во времени. На практике с ситуацией, ког-
да энтальпия на входе увеличивается скачкообразно,
столкнулись при пуске прямоточных парогенераторов
после кратковременного простоя [Л. 4]. Из-за нагревания
воды в экономайзере вследствие вентиляции топки после
останова при последующем пуске в парогенерирующне
ОШк.	341
трубы экранов в течение некоторого вреМе1|и
поток с повышенной температурой. Этоцрцао.. "°СгУ»ал
шим колебаниям температуры перегретого пап
чего оказалось затруднительным быстрое а , ’ Из-за
парогенераторов на номинальные параметры Ь1Веде1’«е
8-3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ Блок*
С ПОМОЩЬЮ АВМ
«Г
Использование АВМ основывается на изврс
факте: различные по природе физические процессы мГ"°Ч
описываться одними и теми же математическими ТУ’
симостями.	и Э2Вн-
АВМ является системой электронных усилителей г,„
стоянного тока. В зависимости от вида обратной связи
эвен* в - диффсрениируюшм
либо интегрирующим
звеном (рис. 8-9,б).
Рис. 8-9. Операционные блоки
а - интегрирующее звено: б - усилительное :
звено,
электронный блок может быть
(рис. 8-9,а), либо усилительным
В первом случае в обратную связь включена емкость С,
и выходная величина будет определяться уравнением
= У
тивление°и°М СЛучае в обРат*1Ую связь включено сонро-
—&U8X,
(рис. 8-9“в)1ыходиаЯВар!?и1е,!ИИ емкости в прямую связь
ференциал от входной- ЛИ,Ииа пРеД«тавляет собой диф-
^аьтх =
Такое звено называется пц<ыю^
Схема соединения venп7г.'к‘ре"’1,!РУ’п,'Ч1м.
чтобы уравнение, связывают™ » ЯолЖна быть такова,
пряжения, соответствовало мппл?Ь'ХОД|К№ 11 входное 113
342	Л^ЯИруСМОМу.
dz
гепийнью АВМ позволяют решать только обыкиовем
д .ффереиинальныс уравнения Обыкновенные диф-
SeiiiH*a-',l’l)WC уравнения описывают явления, в кого-
изменякинаяся величина зависит от одной неэавн-
Йой переменной. При исследовании динамических
свойств объектов одной из переменных обязательно
я0.,1Яется время. В этом случае параметры объекта, опи-
раемого обыкновенным уравнением, не зависят от про-
странственных координат, т. е. объект представляется
сосредоточенным в точке.
Сказанное не означает, что с помощью АВ.М можно
моделировать только те процессы, которые происходят
в сосредоточенных объектах. Любой сложный объект,
параметры которого зависят от пространственных коор-
динат, можно приближенно представить в виде комби-
нации сосредоточенных участков. Моделирование про-
цессов, происходящих в каждом из участков, и соедине-
ние усилителен в соответствии с заданной комбинацией
позволяют получить общую модель, достаточно точно
описывающую изменение искомого параметра во време-
ни и относительно подробно — в пространстве.
Другая возможность моделирования процесса в объ-
екте с распределенными параметрами видна из следую-
щего примера. В гл. 5 для радиационного теплообменни-
ка были получены передаточные функции (5-14) и (5-26),
описывающие изменение температуры и расхода рабо-
чего тела во времени и вдоль координаты. Разложим
функцию ехр
^.входящую в (5-14) н (5-26).
ь ряд ио степеням показателя:
«
] /___5___у
2/(1 + 7И« J
3!
Трансцендентная (неалгебраическая) передаточная
функция II7 представлена в виде бесконечного ряда алге-
браических дробей. Моделирование передаточных функ-
ций W< (а значит, и процессов, описываемых ими) на
АВМ не представляет труда. Для практических целей
достаточно взять ограниченное число членов ряда
(8-47).
343
ja звеньев, соответствующая Трем
Схема *кЛЮ*ДСТ1а на рис. 8-Ю. Умея моделировать
первым членам.	^доовать с помощью АВМ
exp(rrf^J’ у \WX4 и Др- (рис. 8-11). Задержка
передаточные	определяемая членом
сипила на в^’	с п0М0ЩЬю электронного блока
постоянного запаздываем ^дставляет собой динами-
..............................................
Рис. 8-10. Схема включения звеньев, реализующая
ряд (8-47).

пл °^облевны* элементов, соединенных между собой
неоя»ии°пТпИЧепКОИ схеме> обеспечивающей процесс ге-
этой спетом^’ ?с“овные Узлы и связи, соответствующие
ставлены в е’тп«Я болырей наглядности могут быть пред-
ставлены в структурной схеме (рис. 8-12).
схемы,НопоедетяРмС?ЯЗИ В1,утРи каждого из элементов
Функциями, реализеттоп0ТаеТСТВуЮ1ЦНМП псРедато«шыми	I
Отдельные элемонти СЯ На Решаюцб1Х усилителях АВМ.
гамн пароперегревателЯяВЛзк°1ЦИССЯ зле,<тро|щыми анало-	|
электрически соеднт1птооКн0маизеРа. турбины и т. д.,
со структурной схемой В „,ежду co6ofl ° соответствии
мическая система, электоиц^УЛЬТаТе полУ,,аетсп Днна‘
В которой аналогичны гтпнп КИС исходные процессы
расходов, давлений и дпиг«^СаМ измеиеиня температур,
биниом блоке.	х характеристик в наротур’
При рассмотрении участкпп л
средоточеннымн параметр.? блока как объектов с CO-
M4	р 11 пеРОДаточные функции
быть непосредственно использованы для набора
.^усилителях АВМ
Следствием учета распределенности параметров при
писании нестационарных процессов в парогенераторе
является получение передаточных функций в виде транс-
цендентных выражений [(5 14) и др.]. Они более точно
описывают изменение технологических параметров в ди-
намике, но моделирование их на серийных АВМ невоз-
можно без предварительной аппроксимации. Существует
много способов, позволяющих привести трансцендентные
передаточные функции к дробно-рациональному виду,
реализуемому на решающих усилителях АВМ. Некото-
рые из них описаны в гл. 7.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
или соответствующая им система дробно-рациональных
передаточных функций, описывающая динамические
процессы в блоке, обычно имеет очень высокий суммар-
ный порядок (150—200). Порядком уравнений определя-
ется число необходимых для моделирования интегриру-
ющих усилителей и, в конечном итоге, мощность АВМ.
Во многих случаях суммарный порядок передаточных
Функций всех участков блока превышает возможности
АВМ. Для выполнения моделирования приходится ис-
кусственно понижать общий порядок передаточных функ-
ций. Этого добиваются объединением в одни элемент
нескольких соседних обогреваемых и пеобогренаемых
участков, связанных общим назначением (например, не-
обогревземЫх участков между двумя поверхностями на-
грева; группы поверхностей нагрева с относящимися
к ним необогреваемыми участками и т. п.). Характерн-
ее
’’•ж

4
SI
$!
Iе ’»
ч
3
О
О.
g
co
G.
4>
U
О
C5
5
X
to
О
co
co
o
и
<0
u
о
о
CO
«
о 5

с
а
4J
S£l .
2С С Я 4
*225
D
ллх
л<
3£^
о
и
G
Ин
М- Ж 5«* 2
W С п 3 в
о о 2 3 5
а о Ч П
а * 2 £ S
*O
<u

*9 а
к> □
43 Q
w
co
о
о

U
csi
Q>
X
О
0?
CO
а —
3<ъ
—•'Л
«r-
ra
tO
w
C <X
2 ЗЕ
Sc
Ет. "
00
о
g
o(
* a.
Л **•
Ф ©o
г м» объединенного у чистка аплрокснмиоуютга
2 «» »™ с ..омо.цью АГМО
порядок которых ниже общего порядка ZhJV
Ьдаточных функции.	исходник
' 'Между Двумя поверхностями нагрева, как г/оавн1л
0,.7ЮЧеви собирающий коллектор, соединительный rov
провод и раздающим коллектор. Динамика каждого
из этих ^обогреваемых элементов описывается з^си
м0СТЯми (4-63). Если пренебречь изменением расхода и
давления « влиянием внешнего изменения давлХ „а
температуру потока ввиду их малости	то	™
отвеивая передаточ ая функция	сднн’
Ц7 __	4“ I
Л^г-’	(8-48)
где
A(-s)= 1 -J-rtjS + fljS2,
(8-49)
^=^(Гм + Л) + Гм: =
Передаточная функция совокупности последовательно
включенных необогреваемых элементов
( ''mi* I) (Рмд* +J) (^из* ~Ь О
Л>(*ЬМ*) -м*)
имеет высокий (шестой) порядок. Понизить порядок
можно, приняв передаточную функцию объединенного
необогреваемого участка структурно совпадающей с за-
висимостью (8-48). При этом ее коэффициенты 7м> Д1
и &2, как нетрудно убедиться, будут выражаться через
коэффициенты	и Дзг каждого из элементов сле-
дующим образом:
г» = S Тк(; л, = i М	= I а“ +	+
.	1	I
+ ^11^13 +М|’’
где в рассматриваемом случае Г—3.
Отдельный необогреваемый элемент (или совокуп-
ность таких элементов) можно объединить также с по-
верхностью нагрева, к которой он примыкает со стороны
входа Сигнал об изменении температуры на выходе из
необогреваемого участка будет входным возмущением
347
для обогреваемого»
нала по последнему
причем динамика проход
описывается передаточной фу.
я Сн

представляющей собой аналитическую аппроКснм
точного выражения радиационного или коцВек^
ного теплообменников с однофазным потоком. ДЛ}, '
диацаонного теплообменника
И (s) = 1 + b»s + b^s- + b	(8-51 j
где значения b< даются зависимостями (7-20). Выходная
величина объединенного участка связывается с входной
передаточной функцией
<8-52)
где TVc —комплекс Тм, относящийся к необогреваемаму
элементу; подстрочным индексом «о необходимо поме-
тить и остальные комплексы в (8-49).
Поскольку учет влияния необогреваемых участков
является уточняющим, целесообразно понизить порядок
выражения (8-52). придав упрощенной передаточной
функции вид (8-50). Возникающую при этом задачу
аппроксимации легче всего выполнить аналитически по
методу площадей.
Так как коэффициент усиления передаточной функ-
ции (8-52) равен единице, то постоянные времени аппро-
ксимирующего выражения вида (7-13) легко найти с по-
мощью соотношений (7-14). Дифференцируя нужное ко-
личество раз функцию (s) ==	, нах0Д)1м:
bu = at + bl— 7w,t;
Ь2а=а2+Ьг-|-а|/?1—blaTM.c;
bta-bi+a-ibi-iatbz—bzaTH .с,
где подстрочный индекс «а» указывает на отношение
к аппроксимирующей характеристике.
При объединении пеобогреваемого участка с конвек-
тивным теплообменником берутся соответствующие зна-
чеини коэффициентов bt. Аппроксимирующая передаточ-
ная функция вида (7-13) в этом случае будет иметь ко-
и??абл'е5ТзГИЛе11ИЯ К“1’ отличны” от единицы (берется
rlo Id МД.	s
348
Рис. ИМ Упрощенная структурная схема блока.
Объел клеклые участки: ' ~ экономайзерный;	келари гельшы А* У иг*.
1реиат^ьлый; 4 —емкость ко вару в пределах котла; б — еолоогиам^
трик/fl перегретого пара; б - емкость паропровода KO^-ryXZTV^*
протнвлекяе турбины.	х	™ туром ыл 7 —со-
Число объединенных участков и порядок описываю-
щих их уравнений зависят от необходимой степени пол-
ноты динамической информации по длине пароводяного
тракта и возможностей ЛВМ. Упрощенная структурная
схема блока приведена па рис. 8-13.
Построенная с помощью АВМ математическая модель
позволяет получить динамические характеристики блока
при любых законах возмущений. Возмущения подаются
йа вход соответствующих усилителей в виде электриче-
ского сигнала. Изменение напряжения на выходных уси-
лителях показывает динамику анализируемого парамет-
ра.
С помощью модели легко получить разгонные, пере-
ходные и частотные характеристики. По кривым разгона
можно подобрать передаточные функции невысокого по-
рядка, что является в ряде случаев конечной задачей
моделирования.
8-4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИНАМИКИ
ПАРОТУРБИННОГО БЛОКА С ПРИМЕНЕНИЕМ
ЭЦВМ
Применение ЭЦВМ позволяет рассчитать динамические ха-
рактеристики любых теплообменных устройств при минимальных
упрощениях походных уравнений н высокой точности получаемых
результатов.
Современные ЭЦВМ осуществляют разнообразные вычислитель-
ные (с быстродействием, достигающим миллионов арифметических
действий в секунду) и логические операции. Большая скорость и
349
высокая точность вычислений, возможность без v,|n
изменять направление и характер вычислительного ’прощ4 п<Мг)*екя
снмосгн от сложившейся ситуации — псе .по обусловив b 3«oib
распространение ЭЦВМ. Область применения ЭЦВ.ц игоЩ|Фокое
нахождением количественных характеристик рассматрпЦае.?|1,Иаас1«п
нйя.	ог° явле.
Высокая эффективность цифрового моделирования цО
также за счет использования универсальных алгоритмов и пп1Га€7ся
для решения типовых задач. При этом в отличие от ЛВМР°Грам,м
Суется составления математической модели и построения моде^ Трс’
щей системы для каждого конкретного варианта колструкнпИрую*
режима работы паротурбинного блока. Различные варианты обт Ил”
и его математической модели могут быть заданы в исходной и ь 8
мании, однако для этого программа должна учитывать все аоз\с
ные модификации структурной схемы парогенератора и Пмегь
составе набор различных моделей его участков.	оем
Существуют различные способы решения уравнений дннамшп.
на ЭЦВМ Выбор того или иного способа зависит от формы матема
тнческаго описания динамики парогенератора и возможностей вычне
лятельных машин, которыми располагает исследователь.
В настоящее время тщательно разработаны методы численного
решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассчи-
танные на использование вычислительных машин различных классов
Поэтому реализация модели парогенератора, представленной в виде
системы с сосредоточенными параметрами [Л. 1!7), трудностей не
представляет. Однако погрешность модели с сосредоточенными пара-
метрами чаще всего оказывается значительной. Это является лричи-
маШ1ШНЫХ методов решения уравнений динамики паро-
турбинного блока в частных производных.	*
МЕТОД СЕТОК
Наибольшей универсальностью отличается метод конечных раз-
ностей (сеток) [Л. 100], пригодный для решения самых разнообраз-
ных уравнений и частных производных (как линейных, так и нели-
нейных). Согласно этому методу производные по всем направлениям
заменяются конечными разностями, подсчитываемыми по значениям
переменных в узлах многомерной сетки, покрывающей всю область
решения.
Теоретические трудности при использовании метола сеток сво-
дятся обычно к определению условия устойчивости и оценке погреш-
ности разностной схемы. Для нестационарных краевых задач удовле-
творительную точность удается получить лишь при весьма большом
порядке соответствующей системы алгебраических уравнений. При
Epuua3aUuU МеТ0Аа 8 пР°гРам*ах для ЭЦВМ это вызывает затруд-
нения, связанные с объемом располагаемой памяти н скоростью
“Т* операаии‘ Очевндно, такой подход иа современном этале
ren^6TeTnHKa.‘,U)b ЛР" решен"“ “Мннейпых задач для отдельного
Для расчета переходных процессов в аарогеиедатоое насчиты-
вающем. как правило, несколько десятков теплоХетшков с раз-
личными краевыми условиями, метод конечных разно™ можно
будет реализовать только на машинах третьего поколения
350
МЕТОД ПРЯМЫХ
Метод прямых основан не разбиении
J|a полосы прямыми линиями н замене ппп. Сти ЙНТегрнр0ЯЯ11„
управления конечно-разностными соотлоХ^Т По °л»<>му и
л?чзется система обыкновенных Днфференнйал^' В Юулигап п
Для достижения хорошей то.|)1Ости т 'Х**	№*»««•»&
полос. Кроме того при задании краевых^! ™3,,«^ы(оечнстг
задачи для большой системы обыкиовш,^. У^'й реи,С)^ краевой
кеииЛ представляет известные труД)10Ст Мо^' ИереШ1Иа^пыГуаан
для расчета динамики простейших „пД , тод пРЯМых ппимД™?
лепных из последовательно соединении! Й /7арогенеРаторов с„^1Ся
обратных связей, так что ял/ дстеКтнРУЮщих 4R™f0CTfs'
одну-две задачи Коши [Л. 8П Ждого Зв«''а достаточно X®
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Метод интегральных соотношений, предложенный академиком
А. А. Дородницыным [Л. 28], является обобщением метода прямых.
Основная млея метола состоит в разбиении области решения кривы-
ми линиями, форма которых определяется границами области. Точ-
ное решение обычно достигается при небольшом числе полос. При
этом исходные уравнения предварительно интегрируются по одному
из направлений и сводятся тем самым к обыкновенным дифферен-
циальным уравнениям относительно интегралов от-неизвестных функ-
ций. Подынтегральные функции аппроксимируются с помощью раз-
личных интерполяционных формул по значениям функций в узлах
интерполяции. Это обеспечивает также явное представление краевых
условий а системе обыкновенных дифференциальных .уравнении.
Выбор интерполяционных формул, вывод соответствующих урав-
нений, построение оптимальной по точности, сложности и размерно-
сти системы обыкновенных дифференциальных уравнении представ-
ляет для рассматриваемой задачи, особенно при	..я.
теплообменников, определенную трудность. Однако.
копленный опыт решения различных задач мстод™ "нтегР‘™
соотношений СП 101 этот метод следует признать весьма перепек
1.ым для 'штогр-фопапня уравнений динамики парогенераторов,
прежде всего при б^“'их	метолом интегральных
Нанболминн эффект рас	использовании вычислитель-
соотношеннй «может быть д цифровой и аналоговой машин. При
ного комплекса, состояще диффс^ен11Иалы1ых уравнений должна
этом система обыкпове я Днпейных алгебраических уравнений
с помощью ЭЦВМ.
« управление комплексе* . решения нелинейных задач длка-
Столь же лерспекп 1яШ10Ш1ьте методы сведения уравнений
МИКИ оказываются 11	‘ еистемам обыкновенных днфференщталь-
в частных проязподмы-т
вых уравнений- стаТКОм всех перечисленных выше методов явля-
Основным ,1<?А° яа существующая погрешность аппроксимации.
ется в прн|Щ,$пс в ’	351
МЕТОД ИМПУЛЬСНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Пля рядя простых линейных моделей тсплообмйпииков Мпк
«ять получены аналитические решения, позволяющие определят^
менные характеристики по каждому какаду передачи возму^
на*действий (см. гл. 5нЬ),
S известна зависимость возмущающих воздействии от Врем_
чи ТО изменения параметров на выходе того или иного звена па '
генератора определяются с помощью интегралов свертки по
импульсной характеристике (соотношение (3-25)] Такта путем мож.
НО бс’шествить расчет реакций для всех контролируемых параметров
паоогеневатора при произвольных возмущениях, предварительно рас.
Хэв к сохранив а памяти машины импульс ые характеристики
участков «ЛИ вычисляй их по аналитическим выражениям для каж-
кого момента времени. Этот метод особенно удобен для моделнрова.
ния участков парогенератора па управляющей вычислительной ма.
шиле. включенной параллельно объекту [Л. 8-!.
При моделировании динамики всего и • ритора метод
нмпттьсных характеристик требует большой памяти и высокого бы-
стродействия ЭЦВМ. Кроме того, аналитические выражения импульс-
ных характеристик дли сложных молелен тсплооб пижон опреде-
лить не удается.
ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД
Для линейных объектов с распределенными параметрами наи-
больший эффект достигается при использовании частотных методов
На преимущества частотных методов для исследования динамики
парогенераторов указывал, в частности, А. А. Арманд (Л I].
Способ определения частотных характеристик с помощью ЭЦВМ
разделяется на два этапа.
Первый этап — аналитическое решение уравнений динамики, за-
писанных в пространстве изображений по Лапласу для отдельного
теплообменника. Аналитические выражения передаточных функций
некоторых моделей теплообменников приведены выше.
Второ» этап — составление программы и расчет частотных ха-
рактеристик по аналитическим выражениям передаточных функций.
Составление программы не составляет затруднения для 3IJBM,
имеющих в составе математического обеспечения библиотеку стан-
ДТ'?ЬЫХ пРОгРамм Для действии с комплексными функциями. Сами
гтп^г? ДЛЯ ,’1ПРОКОГО диапазона частот проводятся достаточно бы-
ХОД11ЧОСТН нетрудно пересчитать частотные характерн-
Чагтлт!гм^е"^п П° ОТАельяой универсальной программе.
котопых нр ип»А-/гКТерИСТКХ” м°АелеГ|, математическое описание
точных'функций мп^\Прелставлено в впле аналитических переда-
го решения cootbctcthv^uI- рассчитаиы на ЭЦВМ путем чнелепно-
ных уравнений. У цей системы обыкновенных дифференциала
т«ри1^Г’сЙы^ОрЗэипобразных мадет^ ЭЦ8М частот"ых ХЯрЯК’
пршвитиалы.ых трудностей пе npemL^n К°В пэР°ге"еРат0’,а
ваются лшнь располагаемым объемом Ограничения «аклпды-
Если величины мнимых и лействитепьТи ” СТОР°]-ТЬ|0 ЭЦВМ
функций по всем каналам для отдельных ™ . '1ЯСТСЙ nePe-'laT°,II,ux
сдельных звеньев при данном зиаче-
.тпгы определена » хр.ыятгя и памяти машины, можно «>.
ИН" f 8 горнтм н программ определения зрения частот>” •
^‘"'«.спегнки сложно» и МЫ теплообменников. На тм *
включается и ныбо экономного способа решения соХт
'',Д юшёй с1>"емы л,,"е"'||1‘|	гебраинежих уравнений с компас-
сГ“ЙоэфФ>'‘1,|СНТЙ',н и 11 <^ння информации о святи «ж-
'^\пе11ЬЯ м л.
* Дли полного опнеанн ка «парогенератор - турбина» к «>ая
„ниям. описывающим увязанную систему теплообменники
Додано добавить со т п!И11|Я между расходом и давлением на
Же и выходе пороге юра ра. определяющие граничные условия
«пааиечнй гидролинами А ним откосятся линеаризованные уоав-
нения, описывающие 1 га н.1Й насос, регулирующий питательный
клапан, регулирующим ait i турбины и уравнения частей высокого
переднего давления г 1Ы. Кроме того, необходимо описать усло-
вия смешения поток рабочей среды (например, при впрысках и
байласпроианин). Во м Жны разнообразные варианты задания ipa-
UH4J1UX условий.
На этих принципах основана универсальная программа расчета
частотных характери гн; прямоточных котлоагрегатов и пагюгсиера-
торои АЭС. разработа гая в ЦИНИКА {Л. 991.
Алгоритм расч состоит из двух самостоятельных частей:
I. Расчет для од шго значения частоты величин действительных
и мнимых составляющих комплексных коэффициентов уравнений ди-
намики а изображениях» т. е. передаточных функций сажного из
участков парогенерг тора по всем каналам передачи возмущающих
воздействия.
2. Решение системы уравнений, описывающих парогенератор.
Вначале решается только система уравнений, описывающая соб-
ственно недетектирующую совокупность участков парогенератора,
без уравнений граничных условий иа выходе из него.
На первом этапе давление на входе в экономайзер считается не-
зависимым. Остальные составляющие <вектрра входных параметров»
полагаются ранными нулю.
На втором этапе отклонение давления на входе в экономайзер
полагается равным нулю. Проводится решение системы уравнений
участков совместно с уравнениями топки и граничными условиями на
входе при всех заданных для данного варианта расчета значениях
возмущающих воздействий, кроме возмущения открытием клапана
В результате определяется суммарная реакция
выходе всех участков на заданные вшмушшш р ы общее
Давлен ин на входе. Очевидно, в силу линейности системы общее
решение будет суммой частных решений.	_
гл	Ч1пи.пия на входе в экономайзер Д/ММ лег-
Истинное значение дапжпоследнего по
КО определяется решением урав» МССр,0 с граничными уело-
перечному или «торичному тра . Вычпслск1!С Лр, (s) 1|е представ-
елями на выходе naPorenfPa!Je необходимые соотношения опреде-
ляет затруднений, поскольку	этапов решения системы» опи-
лены в результате двух нр^ы У
сыиающгн парогенератор с„стсмы уравнений. описывающей со-
Иа третьем р=	проводится еще раз. При этом
вохупность участков пар н
353
23—1031
все составляющие «вектора входных параметров» имеют е.ц1Пст11е
кое значение.	и	ч*
Изложенный способ решения краевой задачи, которая, Ло
ew ставится при расчете динамики блока, применен потому У'ц«’
несмотря на нелетектпруюшпе свойства системы алгор)1ТЧ
удобно построить так, чтобы для каждого участка параметры^’
выходе определялись при известных параметрах на входе. в‘ «>
случае для расчета можно использовать непосредственно вира*™*
передаточных функций участков.
—~ На каждом этапе решение системы уравнений, описывающей Vo.
вокупностъ участков пароводяного тракта, проводится одинаково (|а
основе итерационного метода Зенделя. Метод Зенде.ш обладает р«.
Рис. 8-14. Разгонные кривые парогенератора типа
ТГМП-324 по температуре острого пара при
увеличении подачи топлива.
/ — за I ходом НРЧ (Xj й«1.7	2 — за экранами потол-
ке (К, в*Ч.б eC/%0>; 3 — за парогенератором (Л\ н*=9.3 СС/%В).
дом преимуществ при решении системы уравнении парогенератора.
По сравнению с методом Гаусса его применение приводит к сущест-
венной экономии памяти машины. Метод Зейделя удобен также тем,
что позволяет легко решать системы уравнении с комплексными ко-
эффициентами.
Программа, реализующая этот алгоритм, занимает целиком опе-
ративную память машины среднего класса Время расчета частотных
uST?Km ДЛЯ одного возмущения зависит от числа теплообмен-
с Хет ™\W0CT" Раечкой схемы парогенератора и со-
с»авдяет в среднем 30 мин.	’
BV поогмммы3*^'10"^^ ЧЯС1ОТ|1ОТО метода, заложенного а осно-
в\ программы, обеспечила се широкое применение и™ ппгчртя ти-
генераторов [Л.^длоц.''* npQCTT,1WCMWX 11 ^сплуатируемых паро-
парогенератора орГрамнчных вХ\шХях*нсоб^ ° поведе’,11“
расчета реакции температуры рабочей «Х "1’'1в®дань’ результаты
пароводяного тракта парогенератора типа Т1мг« w("",W4 сече“иЯ/
разное возмущение расхода топлива.	п*Ь324 ла скачкооб-
354

ДИНАМИКА ПАРОТУРБИННОГО БЛОКА
работающего в широком диапазоне’
НАГРУЗОК
Характеристики нестационарного процесса для эле-
ят0В блока Удается получить, как правило, решая ли-
розова ни У10 си дифференциальных уравнений,
Модель, продетавл яюг.цая реализацию этих .характерн-
ей на цифровых и аналоговых вычислительных устрой-
стсах, описывает поэтому динамику блока в условиях
малых возмущений и малых отклонений технологических
параметров от исходного стационарного состояния. Ма-
лые динамические о клонения параметров являются ха-
рактерными при наличии автоматического регулирова-
ния. Отсюда следует, что основное применение линейных
моделей, каковой является модель блока, связано с авто-
матизацией поддержания стационарного режима.
Паротурбинный блок обычно работает в широком
диапазоне нагрузок. Система автоматического регулиро-
вания должна на любой из нагрузок обеспечивать эф-
фективное поддержание заданных значений параметров.
Вследствие нелинейности блока при переходе на но-
вый режим его динамические свойства изменяются. Ха-
рактер изменении можно оценить, рассматривая, напри-
мер. зависимость от нагрузки инерции однофазного ра-
диационного теплообменника. По основному каналу
передачи возмущений G—Н разгонная функция описы-
вается выражением (5-36), где И —	’1)‘ Зависи-
мость реакции теплообменника от времени процесса при
5=10 можно видеть из рис. 5-6. Вид разгонно|) функции
целиком определяется двумя параметрами: I и Вы-
ясним. как связана их величина с уровнем нагрузки.
Безразмерный параметр времени выражается через ре-
жимные и констру явные параметры гю ^соотношению
(5-34), в котором постоянная времени = выполняет
, абсцисс (рис. 5-6). При изменении
величина коэффициента теплоотдачи
теЛэНОт масштаб Тм будет
0,’ч,чтоозна-
роль масштаба по осн
нагрузки изменяется i
|см. зависимость (3-15)]. След _
возрастать при снижении нагрузки
/1О|ПРе увеличение инерционности пронес-
чает соответствующее	/
23*
А-
Уиел(
сов. Возникающее при снижении нагрузки уПел
транспортного времени Тт(. действует в гом же напрае,1и<!
нин.
Безразмерный параметр длины ?
от нагрузки:

Эае'1сцт
Так, при снижении
личина 5 увеличится от
приведет к увеличению
рис. 5-6),
В целом при"переходе
грузку инерционност;
ррщг»»'’-
телыю, рассматривая
(7-20)| передато
функцию . Пусть
к .
5 ~ \D,J
нагрузки вдвое (Oll/'D80=0(5) Ве-
10 (принято) до 11.5. Это также
инерционность: процессов (см.
парогенератора на частичную на-
....^Иыиинность процессов в радиационном теплооб-
меннике возрастает. В этом можно убедиться дополни-
телм./- ---	। первый коэффициент />Ш| (равенство
чной функции, аппроксимирующей точную
Пусть радиационным теплообменником яв-
ляется пароперегреватель, тогда вследствие малости вели-
чиной Тв можно пренебречь. При этом b]tl> -- ~J'V. На осно-
вании проведенного выше анализа легко установить, что
^1» Di
.	Вс»
Аналогичный анализ можно провести для остальных
каналов передачи возмущений радиационного теплооб-
лля конвективной поверхности нагрева н для
этом ,Г,^ВаеМЫХ Участков- Сделанный выше вывод при
шей мрпРепТСД ЯеНСТВИТельиым‘ Таким образом, по мень-
генератооомГ гппШе',ИИ ”зменен,1я температуры за паро- I
ценность лг?оиР>гглДЛИл° ,СЛедуюи1ее положение: инер- .
не. Об этомР>кТемв обратна пропорциональна нагруз- I
’ Систем? ХВ‘иЕХТВТл ” ИаТУРНЫе ИЗМере1ШЯ-
сильную зависимость дш амицр 3 уч,,ть!ва'гь такую
мого объекта от уровня нагрузки^ С801'1СТ° УпРааляе'
будучи приспособлена для опипЛ’ В пРОтнв,‘ОМ случае,
значительно отличном от исходног?^1^'8’ При Режиме*
ко не обеспечит качественной ^аботи’ система ’«толь-
вривести к раскачке процессов С™., Н0 даже может
кидая часть должна допускать ада?та1^еЛЬН0, упРавля‘
35g	' «цитацию, которая аоз-
.... при наличии информации о направлении и вели
изменения динамических свойств паротурбинного
при переходе от одной нагрузки к другой. Отсюда
„Шляется необходимость построения моделей для раз-
„<шых нагрузок. Эта адача легко решается в том слу-
''е если коэффпцпен ы математических зависимостей
непосредственно	реализуемых на вычислительных
устройствах» пр	чы как комплексы режимных я
конструктивных пар метров объекта.
Так обстоит де о. если весь паротурбинный блок рас-
сматрив^стся к к ем а с сосредоточенными парамет-
рами При переход с одной нагрузки на другую в мо-
дели изменяются величины коэффициентов уравнений.
Их значения легк получить, подставив величины физи-
ческих параметров соответствующих новому статическо-
му режиму, в выражения для коэффициентов.
Существую тоды построения на ЭЦВМ всережвм-
ных динамических моделей паротурбинных блоков, учи-
тывающих пространственную распределенность парамет-
ров (Л. 99t 101]. однако большая часть этих методов не-
пригодна при использовании АВМ.
Построение всережнмных динамических моделей
может быть осуществлено также в результате аналити-
ческой аппрокснмации трансцендентных передаточных
функции элементов блока дробно-рациональными зави-
симостями (см. § 7-2); -последние не встречают затрудне-
ний при реализации на обоих видах вычислительных ма-
шин. В этом случае математическая модель, построенная
для одной нагрузки, легко преобразуется для любого
уровня нагрузки, если считать структуру ал<лрокспми-
рующпх выражений неизменной (что нетрудно прокон-
тролировать в каждом отдельном случае)- ARW
Получить всережнмную модель блока на ABi
ЭЦВМ,' применяя численную аипроксимацг ю. затрудни-
тельно, так как при переходе на новую »arP>ah>
буется повторная аппроксимация вс . р
передаточных ФУнкци'ь	внедрением на тепловых
В последнее время в^связ^ выч(^|(тельных машп„
электростанциях у Р‘ интерес к существенно неста-
(УВМ) значительно вырос(пуску, оста.
фонарному pc.	нагрузки на другую). При от-
лову, переходу о д)|НЙМИке теплоэнергетического
сутствнн ннфор ственно нестационарном режиме
оборудования в
УВМ могут лишь более быстро п точно выполнять
ранни, ранее производившиеся человеком	i)r,e
Принципиально более высокая ступень щ-пользо.
ния iBM возможна только при наличии в вычислите!,'
ном устройстве нелинейной математической модели д'
шишка блока, которая отличается от линейной тем J"
коэффициенты уравнений сохранения (3 18) — (3-22)’СГа
новятся функциями времени. Аналитически решить «ели
ценную задачу для парогенератора в целом удается лишь
при очень существенных упрощениях (см. § 8-2). В вр11н’
цине нелинейную модель блока можно получить из ли-
нейной при непрерывной перестройке коэффициентов
линеаризованных уравнений в соответствии с проходи-
мыми стационарными состояниями. Справедливость это-
го предположения более вероятна при медленном изме-
нении нагрузки; описание динамики резкопеременных ре-
жимов (аварийные ситуации) требует привлечения более
совершенного математического аппарата. Так. Т. Краус
описал (Л. 43] метод решения нелинейных уравн или ди-
намики для поверхности нагрева парогенератора с по-
мощью двумерных передаточных функций и рядов Воль-
терра. Подходы к созданию нелинейной модели динами-
ки паротурбинного блока обсуждаются в [Л. 82]. Нели-
нейности в обоих исследованиях представлены в виде
квадратичных членов разложения нелинейной функции
в ряд Тейлора. Нелинейной заменой зависимой (Л. 35] и
независимой (Л. 29] переменных исходную систему урав-
пни1!!1 ЛЛЯ отдельних конкретных случаев иногда у гается
тенно ” К Ш1ДУ’ РазРешнмомУ аналитически или чпе-
~ш>
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I
ФУНКЦИЯ (/(£, ||) и ЕЕ СВОЙСТВА
Наиболее полно инерционные свойства любого
>яларата проявляются при передаче возмущений
(гемперзтурному) каналу В этом случае прсн
и,,,- rrri.ioaKKvMv
теплообменного
температурному) каналу. В этом случае происходит глубокое
использование тсплоакк мулкрующе* емкости металла и жидкости
Динамические процессы в теплоизолированной трубе при откло-
нения' от стационарного состояния температуры потока на входе
описываются (при постоя ш<ч значениях плотности и теплоемкости
потока) двумя уришцчнями сохранения энергии — в потоке рабо-
чего тела и и металлической стенке:
гЛ/ . _ гМ/ _	)
______La
в ГК
д/;
(П-0
— Гв = ifl-if.
Краевые условия для этих уравнений
Д9 (z,0) -= Ы (г,0) = 0; й/ (0,т) = Д/( (*)•
Уравнения (П-1) можно значительно упростить, если псренти
к новым независимым переменным
'-rz
2	____
5 = дГ;т<= V-
исключить одну из зависимых псРем,''||,‘и''' ^|ап1,"М Р’
нить вторую из них (ДО no cootiioiib-
«, = е-(М-ч>1/ (g.ij) АО-	(ЛЗ)
1{,|1яе оторого порядка гиперболического
В итоге получим уравнеми
типа
(П-2)
Й
(П-1)
~~и.
т Краевые условия для ФУ-жшш "£ ."”УЮТ йз ',а,,<,!|Гтпя
(П-3) с учетом известных краевые значении Д/(г. г)
(/(О.^ = Л У(5.0)-1.
(П-5)
359
din „нтегрнрустсн многим, ^особамн. „ „„„
Урааиспс (ПА) .	„мест ша
внх условиях (И а» ч	.
----,,е.иется равенством (П >).
п.()< получении как решение >lacT1(of(
Ь *’ зчдачп оппеивпет протекание многих
чсскнх процессом (теплообмена, масс<х>йме.
нз. распространения этсктромагннп.ых
вон. н воли давлении н т. д.). Знание
основных свойств функ ш J (5- П) иеобхо.
тнмо как для решения ..сходных уравнений
пои других видах и формах воамутаю1ВДх
воздействий, так и для нахождения памбо-
аее удобного способа on имения ее число-
вых значений. Некоторые попета, уста-
новленные в (Л. 40. 96. 115]. будут призе-
дены ниже.
равенство (П-6) лает ни тральное пред,
ставлена функции П)- Решение, зап»,
санное в такой форме, с-тожно и затрудни-
тельно ДЛЯ качественного ан та. Функция
й (Н П) может быть выраж аз рядом, если
использовать представление модифициро-
ванных бесселевых функции сходящихся
рядом
f z \(2/гч-л)
\2J-_________ (П-7)
k\ (k + л)!
п=0
Подстановка в интеграл (П-6) равенства (П-7) при п 0 и z =
= 2/^, почленное интегрирование сходящегося ряда и
ванне с объединением членов, имеющих равные степени ц.
(П-6) к виду:
Полное решение опре
Функция Г"Л
Ю3'
to*
w'
10*

и
*
Рнс. П-1. Функция
U& П).
4'
co
(П-6)
сумм про-
при водят
00 п
/1=0 k=U
1
1!
V
2!
И г 2!
(П-8)
Таким образом, в форме бесконечного ряда состааленного из
степеней переменных. функция	* VUL,d<,,r‘VHHW •’
более простой. Выч.тс.Тен «“ пядз in£ Лставляе1ся значительно
ряда г’	«•’к.шние ряда (П-8) не намного сложнее, чем
Исходя из ряда (П-8) легко и«л™
и дифференцирования функции U[t гй Ра”нла интегрирования
ций слагаемые надо с^пннровать	пыполмения опера-
двойной ряд. определяющий £/(£ А’ оСи виооь образовался
ifc. ч>- при этом появятся дополни-
♦Ял)
llW||lie «ДО1ГМ. определяющие нок.фицироват.ые функции
Г ; ?F/)- TaKI,M п6ралом' МиЖ)Ю получить:
dniU /Ел)
с^”г ’
т
а л) +	(—} п'г /w{2	.
ч-i
(М
т—J
a=i)
(ГМО)
dmU (?Л)
d$’rl
(„.¥ФА КЦ я	несимметрична относительно сбоях перемен,
н х. Перемена местами g я q приводит к новой функции U(-nr Е).
Связь между U(l, q) н g) легко найти. есть перегруппировать
латаемые р^да (П-8), суммируя члены с равными степенями?:
и (Е Л) + У (1.5) = е^г‘ + /в (2 Г^). (ГЬ11)
Функция //(£, 1|) -может быть представлена также бесконечными
рядами из модифицированных бесселевых функции с нарастающим
номером и:
v (М)- 2 (-2-j2/„ (2 УЪК
d—О
00	Д’
4(2^5).
л=1
(П./2>
(ПИЗ)
В этом можно убедиться, группируя члены ряда (П-8) по тако
МУ. язиример, принципу: сначала последние слагаемые каждого из
членов, затем	-is/1 позволяю г легко определить пове-
ЛржДС^гии ШЕ п) при больших значениях аргументов §. и п
таГкак РЯД (П-V пр» 'Ато 11 очемь ме^ен''0 сходится я
гак как рид \ тся громоздкими. Для получения асимптотически*,
вычислепи *	j лдо воспользоваться соотношения
пр™	(П-13) (при п>5) п (Л-K) (при пЧ). Бес-
’	361
смеаы фуикок. входящие в упомянутые соотношения, Пр» Г)0Лъ
значениях аргумента (а также при и<г) огнкыпаюгся пыражсищщ
(hp-l)	3‘Ч
1 — П 8г	2! ( )-
(П-Ц)
Расчетные формулы имеют вял:
ЩИ*
й*-*0С
е- *11	•
2^п V £ -/V
е2
2/Г /Т -/Г
(П-161
(П-17)
U (£ ,7j)	-—
’J-'КЮ
g.£)^
Вследствие большого численного значения даже для умеренных £
и т4 табулируется не сама функция U (с,^), а произведение Vi =
« е~(IЛ)’ Величина последнего заключается между нулем я
единицей для любых £ и т4. Таблицы функции U| = в~~^ • л,1£7 (д, ?})
даны ниже.
УПРОЩЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ U(^ п)
НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Решения многих задач динамики [Л. 85] получаются в виде опре-
деленных интегралов с подынтегральным выражением вида


(ГМ 8)
гае т я /г целые числа. Такне сложные интегралы можно выразить
через функцию и(ч.т)) и модифицированные бесселевы функции
/п(2 /§т1) ). т. е. привести к более простому виду.
Интеграл с подынтегральным выражением (Г1-18) ннтегриро-
вапием во частям сводится к следующим расуррантным соотноше-
ниям:
362
1
J" $
0
m
I
n
4
Гб--"
==r-’»l(/(M)-
n=(j
« .
и i /„(? f&)du^e
(П-19,
£
m—l ,t
in / * w
ir—I	I
-j S--
n=v	I
!n 1 (г)-~'„+! {z)^—/п(2)	(П-20)
с подынтегральным выражением
и многократные интегралы
, встречающиеся в ряде за-
"”»мяют вычислять интегралы
UblB), т. е. при m^ztL
от nojwHJ\h?lfK	золятся также
Напри?ерЛЬ”0Г0 ^Р3^1115” <П-18)
J J | е -(-+«) /л (2 у~} d4.dudv= ^--е
О п п
+ 4 + 5 - ;vj) U (5. + £ ^4-4 - 'J z’f3 ^,+
+ (1-5-1) -Ч1/.(?/К) ]
Прп^ение 2
ФУНКЦИИ V и и их СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ к
Назовем функциями И, и с^еду^шне muiw.kcii	(n.^h
V. = .-«+» „,_ i) «
Акиму функциями I ! в l а СУ 2
v^\
о
363
Подобным же образом можно оирсимпть (bvt»kH
высокого номера:	? 4Н” Н
va ~ f V. ~ 4- (- v;+ v, - v.) 4	(u, + va)___L v
*'	2 *>
V< =» j V\ify = -|* 0 • ~~ УI + r~ ' 1 O ’t + V’a) — -g- V#;
0
y,= fv4<hJ=3-~<-v» + v’ ’ M»-v.) +
0
+ “HV’ +Q- 4 h • j
w т. д. В общем виде
г	1	f _ I
Ус-м == (мл = — —(— l)K+,V\ +“?- (V< । 4- li) — ~Vi,
о
(П-23)
где i=I. 2 ...
Подобно бесселевым функциям, функции V. любого номера мо-
гут быть сведены к комбинации функций низших номеров V* и V»,
а также У*, определенной следующим образом
V0 = e-‘5+’i»Z,(2H^').	(П-24)
Например.
v .	(1-5)»-^ + 5= + 2
4	6 *t 4	g------V-
p'u	V. обладает с.к-
Щ,М.ч LdUHvTdUM.
оо
S(-I)'V,=O.	(П-25)
11н1оВЛВ™,?ТС ФУ’“ пРсасТа>”>'ЗД собой моднфнкл-
*ХНК/ tpy •» ЛЦ.П11 V J.
'•'«== «~'л+г,1у	. с^У	(П-26)
1 ф.щщии I. И к» соммдлют. а пра
функции' И. есть ф »>' пух псремсаныл { н ц. «вторые «с-
’ • лишь в часг чае. В общем случае 6-{{r, т[ я
г), например, и	шациоипом или коивжгивиом оботрем
’ll„емкими .	а, охлаждаемой изнутри потоми одя£
к температур потока н стема опаеы-
ropwx	
г .	t
1	1i='a
,1 параметр. При
С фунИЦМИ V< те,|> т’	•**/*	ft и if. магл
rtJ|MW Лишь в часг I чае. В общем случае И
J9X г). Например, п; -------------------
ГХ с теплоемкими
Жной жидкости J
;эРгся функциямп I
с '
/де /. д- с~ комп.1 онеских параметров.
Заметим, что ч-кс с. входящий в переменную q. я пара-
метр с а функции I лэпадают лишь в частном случае. Если па-
раметр с к не со ап г комплексом г. то в этом случае функцию
типа (П-26) будем . |ачать Ио>, т. е.
I „„ e~^U (/-, си),	(П 2«J
\ * ж	у
где { и t| сил за in с z н т соотношениями (Л-27). Фу»жвмя свя-
зана с функпиямч V. соотношение.^
ос
Г.. = Е |-(1 -с*)]'-'И.	(H-29J
/-1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ qt
ИнЗовсм функцией <?0 следующее выражение:
?. = f_e"(,“e,"“-vt + ^.	Ш-30)
где функции V. {§. и) определены выше, а
равенствами (П-27). В случае промэвольиых ь—т) и q Н •
функцию фо можно записать так:
।	— Vt -F
та
гле ?i=5/c; nt = c«b J	6v-CM подразумевать вираже-
В дальнейшем пол фуикинЛ Qn о	зависимых перемел
нис (II 30) дли частного случая (I *
НЫХ t и П с независимыми : н г	со следующим аыражс*
Образуем функцию Ti 0 ctJM
ином:	т
*, = V f ’«‘ft
II
H,„!rp..P«»~ »"	p”7"r
f.-i-гЬ»»-1'.. inj,i
365
Нетрудно убедиться, что функция образованная да
ному правилу.
аналогии.
имеет вид:
I
?й — 9
и»
(11-33)
При произвольном номере i функция ф, можно нычнепять пп
формулам	°
т
1 г
?> = — I у»-гЛ;
• п
I f Т V 1
7‘- <!	~1ТГ7?<-1 - И«+.. 1 = 1.2... (П-33)
Функция
?%=!-₽ “ _ е— = (Uj _ {П.34)
где
v', = v,(r.t)*): У., = и„ (г.Г.с*); V =
С*----— _ ♦
~0+е*Г ’
(П-35)
f
общий характерно отио’Х^'ю k^viXI1’0'’' XiJTopbli’ !,осит более
е =0. Если образовать функцию ш*’ п^” К совпа^ает С ней при
т. UHIU ф , ПС СООТНОШепНЮ
и
ТО легко установить, что
1 / т V I
(П.зб)
. я тля функций V . 1 случае несовпадения аомолежса г IM
Кз«.н u' ([ J-27) с пар -метром с в функциях i(t м ?*< аоелеа-
P^Tivr обозначаться q< и ». например
дос суду
9.ч i	M>“-V, + V(M;	(П-37)
».. -гЬ;	<"-38’
..,_1	-V );	(П-Я)
х I
1-с%

(П-40)
быть любым,
ит а. В выражениях <р%* функция Vo> « Уыь (д*. П*. ***)•
Примечание. В функциях V\ и q< независимые переменные z я г
не могут быть отрицательными Функции И« =0, если $ ялн fj жян
одновременно 5 и т| отрнцатсльиы. Параметр г может
но в реальных переходных процессах — ©q<c<0.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ И.
Функция Vo (рис. П-2). Краевые значения:
V0 = e~* при ij=0. V’fl = €'“’• лрп ; — &
Асимптотические пределы:
i/e^o, Vo->0;
г{ -♦от.
£ ^>со.
Дифференцирование.:
(П-4П
(П-42)
367
llHicrpnpop.iiiwt при
ИСЗЙ1ШСИМЫХ В и V
С « Vt — Vc;
ff
t
j V€rf* =* 1 -1',
о
Интегрирование при &==$(*.*) и	x) Для частного слу-
чая (П’27):
%
~ J = И, — Ув;	(п.43)
V
•	z
I Г	с
~ \\'^!г = — у—; ?<,.	(ПИ4)
U
Функция Vt (рис. П-3) Интегральное соотношение:
V, =
Краевые звачення:
Vs^s-' при ^ = 0r yj==i при $~о.
Асимптотические пределы:
V.-.1, ^-0. У.-.4*:
*П	со,	-♦ со
Дифференцирование:
Ч 0i)1 -	~ П — ^0;	(П_45)
(П-4С)
368
^гриромние при
НСЗЛВ^’НМЫХ СМИ)
( /,</<). V,;

г
Интегрирование
случая (Л-27)
пр« ?
*) н ^гзгДг. ъ).
частного
1
! г
— J
о
I
(Л-47)
/ } р — f~7 (?о+ fi).
о
Функция И, (рис. П-4). Интегральное соотиошенне:
Г
(П-ty

Рнс. П-4. Функция Pj.
краевые значения:
Ий = О при ~ О, И, =» ту при Е О
Асимптотические пределы’


*»ОР.
е-*оо. е —
Д иффе ренцнроовни<?:


dVs
^Va

(П-49)
(П-50)
369
1031
Нмт»трярвыж«е пре исмвисимык t и j|:
ч

I
j i & «-j- + Л — v» - У.
u
Нмтегрнромнае при $=»Ц:. t) и i|»i|(г. х) для час*<»ВДо
сяучаа (П-2<):
т
у J V " V,;	V'-!>n
О
9
“ J «* ~~ I L2 r Oh + v J-	(П-52)
Функция Kt- Интегральное соотношение:
*"5 }
 n ’J
j ... ^e-’>/,C2 W' +
6	0
i = I. 2...
Краевые значения:
71< *
Vt — О при 7)« О, / » 2. 3 ... \ Vi (TTTTj!
pu 5 »0, i = l, 2 ...
Асимптотические пределы:
Vi «то, i =s 2, 3 ... ;
1J-*QO
V\-*0, I «о, 1. 2 ... .
E-*oo
Дифференцирование:
'^*EH"""'-i-'-2 •
frxO
370
.»*5"т
I Vid*) Vt+l. I I» 2-..;
H,reff„,»«,«« 4» «--(«. ’> « 1-1» 4	,“™”
чай (ГЬ27).	t
J IM* » Vi+U
0
-1-|><(/Z = r-p~^(fr-l +?•)• 1-,( S”‘
функция V.0 (ртк: П-5). Интегральное соотношение:
Рне. П-5- ФУ"«‘И И”'
где
ПредставлеН,1е
S,-T:
рда».»*”*
<*?	,	\ тг
V<,,^e
При с 1 V°°
лг=0	f
а При с О Vc0 о-
371
24 ‘
Краевые значения:
- <?"* пр» 4=0, V,,	<?-<!-«)’> ,|рн
Асимптотические пределы:
*j4- —t
V’0<l~*e	, У(,о -♦ 0;
—со.	С-»ол.
Дифференцирование:
^={•^-(1-^ 4Ve]-(l-e)V„;
_J_.V
C " c *’
(П-Ц
(П-54}
Интегрирование при независимых 5 в V
? 1
a
(v,.« = ~0 -	k~1,"e)’1-VM|. (П-55)
0
Интегрирование при ?,=£(?, т) и т]=т}(г. г) для частного случал
(П-27):
t
-~J	- v”>:	(n‘56)
0
г
I C	£	/ C	\
— I Veidz =s j jj c	— cij H 4- j — уй — V| 1 4"
ъ
+ Ц| +	4, - V. + V„) •	(П-57)
Функция Иаь Интегральное соотношение, представление рядом,
краевые значения, асимптотические пределы, дифференцирование и
интегрирование при независимых { и ц даются теми же формулами»
что н для фуипсшт VQQ. только вместо параметра с следует подстав-
лять параметр сх. а вместо Усо - функцию V’Qfe.
mT97?.”p0BaUHe Прн	н П==П(г, т) для частного еду-
ЧЭЯ 11 i"Z< } •
1
V J V’*’h = п— (V, - У„);	(П-58)
о
~ j V^dz -	.	(П-59)
о
372
,rOTOPblH ИНТЕГРАЛЫ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ
JyilKUHH V.	Л
пассматрнваюгся .псгралы. появляющиеся в задачах ди-
лрямепения для получения решений преобразования
^пласа.
ФУНКЦИЯ V И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Переменные 5 и Ч ,с а висим ы. Интегрированием ио частям
ЯОЖПО показать
Y|rz	VI
if V = У 1 )h и+м •	<п'60)
о	k-0
1^]. 2...; п=0. I. 2...;
Г /	Г \
(I — <\) j = (*) + O'l - Го») - у».	{П-6!)
о
Полагая в (П-Ы) гл = 0, получим;
{ Г,V.-fij = (7) 4-1) (V, - V.) - V,	(п-®г>
б
Если переменные £ (г. т) и %) даются соотношениями (П -7),
то можно показать, что
( х V’*
|мз’
о	z	«=а
В ч.с,„, т,„	— >-Ы “Ж”
соотношение, подобное (П-61).
?	/ , -L- W -u-iv (n'64J
(l-e) 1|	=	i-<}{
О
О , и ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
ФУНКЦИЯ К. и '
ПО ПЕРЕМЕННОЙ Л
. „ ч ..«аписими- И^ГРИР^* по П0‘
Перемсл'ные I н.П
ха in идется. что
rt=O
1. 2...
(П-65)

373
Herpy.vw чвкже н»йп». используя . оотнгшсние (П-2|) ,110
Г I
Соотношение
4
-Л Г
W4 =» !'« - К
(П-68)
(Л-ЭД)
0Р“ Сш
1 о



f
Vi-W)
легко провгрнгь. заменяя под знаком интеграла функцию Уах ВЦра.
женнем (П-28) >5 используя правило нв трироваиня функция
и а. я)-
Существенной является следующей групп тегральных соотно.
ШСНВ&
. -г •
5
e
Й
0

I —	¥’*‘
e
^=77 (V.. - V .>)•
5
Веди в последнем соотношении положить са =₽ 0. то получим;
c
(П-70)
О
V	«<ГНО^С110а1^Я
с н Ч	c?2Jr°»1,3*^*’Tfc
rnlOa"U	uMOCl«fi	*
. я	П	‘го	С*>м
ЕсЛ» ».	8Ы'иС	,,0	lac1»10^
У.“Л
(•« lOTtn
1*и«* П
И»-’111 V
л-’
I 2
-S3 1 •
i
0
*
V J-
*
c
e
ft'
(П-725
0
П
Цс'

I
c
\’О9
)ГД


При установлении соотношений (П-68)— (П-70) могут Сыть
использованы такие способы, как интегрирование па частям, подста-
новка исходных соотношений для функций У’ь преобразован не Лап-
ласа и т. д.
Если а соотношении (П-60) записать функции У»к по равенству
(П-28), то мы придем к интегралу
(
о
I f
dy}==
5
"•
встречающемуся в некоторых вероятностных задачах.
374
ff
ПО	„ «*»***
(П-*»-*	«Г5
, (П-66 '
...
<
ей
Ннтеграли вида

₽~,Ч‘ г,л.
в которых функции V< заштсят от параметров «• с« Ил^И
числяемых по соотношениям (П-35) ( р а метры g* *и п*|дМ..1ц.
взаимосвязанными), можно найти. напр мер. следующим
применить преобразование Лапласа к нациям V,. ныно-; а10м
рацию nimrpitponftiiiiH изображения по ременной г п за7’ь °nt
нуться в плоскость церемонной г. В ре у ьгате получим; VU
— Г /.-»Т г Яг —	~~л> /ч .
Р 1 с ’ »+1“г —	-	:	----- . i = 0. |, и.,,*
о
*> — *1
(П-74)
7^1
*1
и
/• 1 с 1 «в----чг—----~ ь.
* J	— 51
О
о
~	(y*tl —	- (Г, —	?*,ч
— I
е"*4* V.*«=	‘
(П-75)
(П-76)
В равенствах (П-74) — (П-77)
д’ *» С 1.2 = 1 + 3
(П-77)
(П-78)
«1Л«
2а’
Если в (П-77) yn> = v	I-
то правая часть равенств^	т* е* c** = c*i «л»
поскольку кетрудяо убедиться чтоНТСЯ ”еопРеДслс,1постью вила
(1-ЛНг*-г*Л (|
’	с5?7^------« е
Раскрыть получившуюся неопрелсМА..,^
Тленность достаточно сложно
(П-79)
V^4z =«
=
МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ
С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ Pi
Т1 т‘
I ••• j	№)*«= £(— O’l+‘Vt. л==0, 1, 2 ...;
6 о	i=Q
^и+Г|) /. (2 /£<])№)' ,Д =
-vl+1.
<=0, 1. 2...
а
Список интегралов с разнообразными ядрами, включающими
модифицированные бесселевы функции, можно значительно расши-
рить, используя изложенный выше материал по интегрированию
функций н связь (П-21).
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ф(
Функция <ро (рис. П-6). Краевые значения:
Чо=^О при т=0, фо=О при z=0.
Асимптотические пределы:
“0-0^
Уо -♦ 0,	?о-* I — е
т —* ср.
2 —> СО,
Рнс. П-6. Функция <Го-
£и|0, <—-20. /—точная Арйвая: 2 —
упрощения я крипа и Для больших с.
Дифференцирование:
— с) (I — V, —Ув);
, -1tl£Vo
1 <}г с ’
Интегрирование;
т
9о^ = ?м
(П-82)
2
if*	С	(	\
— I	H J+
о
+ <(| +г^с*> ~ V° +К‘ г	(п-83)
Функция ф( (рис. П-7) Краевые значения:
Ф1=О при г=0. ф|=0 при г-0.
Рис, П-7. Функция (фх.
£~1в; с=»—20; / — точная кривая; 2 —
упрощенная кривая для больших с.
Асимптотические пределы:
— -г- 5,
Т-»СО
Дифференцирование:
(П-84)
(П-80
Интегрирование:
(П-80
(П-87)
функция Краевые значения:
ф.==гО при т=0. Ф<=*0 при 2=0, | = 0, I 2
Дсниптотнческие пределы:
<р.—* = 2, 3 ..
т—•'оа;
I f t \1	|
/j у j — c ?1 - j L =оол i = I» 2 ... ;
г -* co.
Дифференцирован^-.
d*?t
= ?»-!• < = L 2...;
i
------—	/ = 0, J, 2...
11йтегрнрованце:
j = 'Pt+M / = 0. I, 2...;
о
Функция <poA. Краевые значения
<рал = 0 при т=0. фо/с^О при г=Ю.
Ас и м п т от I г ч ее к не пр ед ел ы:
¥ол

г ->оо,
2 -* СХ>.
379


Пмг<‘гР»ровлн,ге.

0
j_ A
t Pm* =~ -_£_
c?'+hf-*^-,..)+
b
^ня Ф* K
° »<* ?4.a".“ 3»»»»».
"Ю '-0.
p’« -* I
• ?*»-*/_ ~N-f;
1 e a
Д*р'"»Р0№„е:
a* -°-Ct
’ - P*cJ;
(П-88)
(U-W)
г< =пге. v
h	ft.
"(5 ’ r>‘- n.
к .
И()гагриро<*<^
1
(П-90)
-Jr	~ т_~ ’ +•*?*(!	(П-90
и
I-е
где =	* т •' " т 11 определяются равенством (П-Я) пре
г»»А и соответственно, c*t. > даются соотвошенмямя (П-78).
Функция q'%<. К ые знвчажя:
Фа«*<=0 при т—0, <pSa**0 при г~в.
Асимптотические пределы
?’.» -* 1 — « *4'. v’o»- । — <•
т -* со,
7 -*ОЭ.
Дн(|х|н?рсг цировлнке:
^S. _ (I _ (I	- г~>-
(П-92)
L/A-
г	I К,, J-
-* I < — с	J J
л-
у'. = I'! (Г.	! 0М Ч ' С к}'
(П-93)
Интегрировав”67

(П-94)
о
381
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ <р<
И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
ПО ПЕРЕМЕННОЙ *
Интегрированием по частям с использованием равенства (П-75)
легко получить
Z
,=0.1.2... (П-96)
о
382
ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ
ЦО ЛАПЛАСУ — ОРИГИНАЛ
ИЗОБРАЖЕНИЕ
(НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ У{ и <( )
При выводе соответ нспользоважь свМп.
urn Лнт-s, своиетва фувкцнй V, н ,, . „nfu^c™ пР^обраюва~
HIIUII разш'тых операций. В формул । НЬ ™ "“‘плпення нал
ioihviI переменной t мснчю Л1Н удойсгв-i Г М'и"3‘№ннс ветсст-
И* урежем»
В общем случае
1
г
£
)+*
Тгс
—- л	I
О.нгпюд
К
(А2 — S,) (5, — $J
(Sl — 5г) (53 --$<)
-Is.
1+«
— й|
4- -т———----———.— TJ
(.?, — 5л)(б*г— S,J V‘>
— V, I' 4“ V ~ с аг
С	О| -*•
1 -/Л
>
vn
— V _ —12LZl_ ,,

2


ж>
Продолжение 7<i6,tul{bi
Nt n/n.
Изображение
10
V
> i+J
12
13
14
В
15
16
е
V.
1+5
1+5
в ,+*
e 1+5
1L
1+5
ОРНГШШЛ
m < п
— однократные;
V'5
В обшем случае
I 7~fH
/=»
Здесь корни s5
V.
e i+s
, Н5
V, - Vo
В общем случае
( —1)<+п у.
fe=i
j- (И. - V«x)
±Vj—
общем случае
I i
i—П+1
5Л
. (-B4 v : , 9
4’—— Voh^ 1	'« 2 •••
4
a a— -Sx
— у	—5-
5ч 1 5h
V*
*
384
продолжение Таблицы
Оригинал
и оощем случае
16
19
20
Ц
+ g____I +£
JT {$ + **)
Г ,+*
__£*____СГ П5
(s+s*)’
В формулах Xs i—20 ск = I — «» ^„г/^о^ексней переменной «
В более общем случае при наличии у	соот-
коэффициента и присутствии в изображении множ
петствия изменяются незначительно.
Звб
25—1031
26
j Ц- a
e ^+QS
n-1
(* —-M"""’
27
28
В формулах № 21—29
sk
c* - 1 — as*;
38§
Продолжение таблицы
I	-.чая в J y.iKiinu V't(c. Ч). вычисляется по слот-
“второе при указанном выше с может быть приее-
{J.hhio (Л-О.
к РИДУ11' «	*	_____________________
F*	________________——   -----------------
Оригинал
Изображение
1

32
1 — е
33
—X s l+<3*£
тР е
I
$2? 01
7^2 (*f ~~
; S ~ Т+а^
тР е
£
а
I -г
—TrTL-c’a
34
X 1 G SpS "
В формулах N- 30—	♦ . •	| — л*^х’
о -л* »ходя1ка ,.0|1 указанно
переменная, Д» кОтоР^ 1,р11 >
ношению (п-о^*	— ттР
дено к внлУ	tf
387
25ф
Приложение 1
ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИИ
Ниже приведены таблицы функций
у, = е - «+,0 10J- Е) и (5, 1)) + ЕЛ> (-> /Еп) + КЕт) /, (2 Г^)1;
И0 = е- (*+’» /»(2ИТ<).
а также функции

с помощью которой вычисляется функция
при отрицательных значениях параметра с. Пределы изменения пере-
менной § — 0 (2) 50, «т_переменной tj = 0 (2) 50 (5) оо.
Функции/п (2 и U (5. т])| входящие в функции V’t и Д',
для малых $ н *П($-М<20) вычислялись по соотношениям (П-7) я
{П-8), а при больших —по соотношению (П-14) я следующему вира-
жению [Л» 96]:
у &	+пЬ/‘* +
2 i + г \& [2^““ (z i_	+ & [^®—4 Л +
2	2	У
+ ' H +	+Л ,\ +
2 / J L \ т ~т'
маленький остаток; модифицированные функции Бесселя полуцелого
индекса выражаются через гиперболические функции
^W^y-^shz; / ! (г) = у/ ~ ch г-
2*— " 	я ••-и
2
/ з (г) = / А f sh г __
— -2	Т \	2 J
вычисление которых тривиально.
Более подробными, ио относящимися тплккп и
ются таблицы [Л. 6, 111].	Я только к Фикции Vx явля-
388

»8ОЙ’О
1H4V0
181*14
rtU'O
H11O°
«да'1’
vino о
vl uvo
iitllO'O
Sol in
«Wo'8
lull'9
mt>‘"
r.116'0
5146'0
iv.bb' 6
0898'0
0\00'0
W0
OVOO'O
SKW'ft
wuvo
WO
LVW U
данГ о
VJoO’O
600’91
qvo’tt
да*т
o\V)\ * Я
7-966'0
1166 0
«586'0
8996'0
t.W.6' 0
S9S0*0
liXO’.o
61С0 0
7'1'0 0
£OB0*O
даОО'О
WiO'O
6610*0
(,890'0
7.881' V
OGIV.'E
9101 7,
?.«M'5
169*5'0
5181' о
t31S'«
ОЮ’З'О
SVVTC о
0t£l*0
woo'о
<W<1
LSCO'O
OOVO'O
oovo' о
V.ow'0
(190' 0
64-10'0
6180'0
Will'll
ШСУ*
ШИ
\\V6‘ \
uw \
1988'0
дач'О
VW9 0
6019' 0
8110'0
SOcO'O
10VV0
Г£О0'О
vW U
Ov-Vi’^
eito'o
шо*0
QSOO о
9000 О
(юоо’о
90 u- о
1990'0
9800'0
VOOO'O
0000*0
ейИ'О
qcvo'0
«600’0
8000'0
ooco'o
Vf.v.0'0
eoto'o
18 W О
Ц®'«
0000'0
9090'0
6VV.U'O
1510'0
6100'0
qooo'o
\V)VV' Q
ct^Q’ 0
mv u
W 0
6V60'6
wii'O
wo
tWo
0000'0
\000 0
woo' о
0000 о
lOOO’O
1000 0
V.000'0
UWOo
96йЬ О
0000
0000 о
1000'°

,•.	t t
rooo’o *f)	1000'0 1100 0	c!OQ*SI 900*9!	0666*0 9Z66’0	1000*0 <4100*0	1000’0 VOOO’O	te-ь.) 100’81	8666 0 I 5666’0	85 95
9/00*0	SfcOO’O	540’ H	swo	9000'0	0100'0	£00'91	1866'0	i’S
iZfOO’O	izoo’o	660 T, I	6Z96*0	1100’0	tcOO’O	600’M	«966’0	66
cOOO’O	оею о	990*01	Ш6*0	14’00’0	нюо’о	ZfO’ol	E£66'0	Об
бНОЧ)	IbhO’O	0iH*8	6ZK»*0	0500'0	ШО’О	BO’OI	6686*0	81
9810'0	9^0*0	й»г'9	9006’0	8600’0	HoO’O	1560’8	0196'0	91
<S‘1O 0	6Ш)Ч)	li/JS'fr	ГИбЯ’О	!)Z 10 0	6Z£0’0	90lo*9	(616 0 Hb$*O 666Z*0	r!
c~K£O*O	CgZO’U	GZbO‘5	SEOl'O	Z170'0	9090'0	IQH’t		ol 411
6ШГ0	b'GSO’O	GoZZ’l	GH5’0	101’0*0	0980’0	<4’99 6		til
f.ttO’O	(H&’O’O	Gl'OS’O	IZ9£’O	£050*0	SOO1’0	l£8S I 6989*0 1561*0 1ШГ0 0000'0	£055'0 9W’O ergj *0	8 9
гмо’о	5190’0	6Zf£”0	Н1ЯГ0	£090’0	ZEGO 0			1-
0810'0	гагю’о	«610 0	5990'0'	eS£0*0	1-090 0		lf-£0*0	6
ИОО'О 0000’0	нкхго. 0000*0	£900’0 0000 0	9010'0 0000*0	Or 10’0 £000*0	HilO 0 £000’0		£000 0 ।..	0
н		•л	1 M	N	•Л я		л	й
——.——			—		01- 0000*0	*	0000'!					85 95
(ЮОО'О 1000’0 гоого что N	i000*0 6000*0 9000*0 1400*0 *M	 9=	(3-М 100'9! SOO'К ’д	6666’0 8666’0 SGWrO £866*0 »4	0000'0 1000'0 -v i	oooo'o 1000'0 £ООО '0 ®Л	(3-M M 		0000’1 8666*0 4	>6 co 05 к
Г£0Ш tHlHWfCVOQOd U
8 п 30 32 34 36 38 40 42	V, 0<9983 0.9993 0.9997 0,9999 1.0000		У? 18,004 20,001 22,001 , (W)	6=L? Vo о.оон 0,0005 0,0002 d.QOOJ 0,0000 -16	1 'V 0.0005 0.0002 0,00(11 0.0000 			V, 0.9943 0,9973 0,9988 0,9995 0.9998 1,01.100 			_	1 V» 16,015 18.006 20.003 23.001 (W) В	/7 podft 	Vo 0.0031 0.0016 0.0008 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 =l«	яженне табл. N 0.0014 0.0WI7 0.0003 0,0002 0.0001 0. riooo
0 о 4	Vi 0,0000 0.0002 0,0034	1	0.0000 0,000! 0.0027	..	>	1 o.oooo o.ooui 0.0018	N 0.0000 0.0001 o. oop	Vj 0,000(1 0,0001 0.0011 0.0076 0,0289	Va 0.0000 0.0(108 0.0080 0.0411 0.1410 0.3682 0.7882	1 1.4527 I 2.3853 3.5790 I 5.0025 6.6113 8.3586 10.203	V» 0,0000	jV O.0000
G 8	0,0188 0,0604	0,0217 0.0954	0,0082 U,0214	0,0046 0,0116			0.0006 0,0035	0,0004 0.0020
1 14 16 IS 20 22 24 26 28	0,1390 0,2.539 0,3922 0,5355 0,6662 0,7739 0,8560 0,9117 0.9487 0,9715	0.2882 0,6758 1.3195 2.2479 3.4527 4.8970 6.5303 8.3008 (0.164 12.086	0.0395 0.0571 0.0685 0.0708 0,0048 0.0536 0.0406 0.0285 .0,0187 0.0116	0.0209 0,0296 0,0348 0.0351 0.031 о 0,0260 0.0195 0.0135 0.0088 0.0054	0.0762 0,1566 0.2678 0,3986 0,5334 0.6577 0,7620 0.8428 0.9010 0.9404		0.0!11 0,0241 0.0403 0 0553 0,0648 0,0667	1 0.0617	/ 0,0519 0,0403 0.0292 0.0199	0,0061 0.0129 0.0212 0.0285 0.0329 0.0334 0.0304 0.0253 0,0194 0.0139 O,0094
—	—-  — -II- г —
П родояжение табл.
		V	-16					
	V1	Vt	v0		V|	V,	V,	A’
30	0,9848	14,044	0,0068	0,0031	0,9656	12.1)0	0,0128	0,0060
32	0,9922	16,022	0,0038	0.0017	0.9809	14,058	0,0078	0.0036
34	0,9961	18,010	0.0020	0,0009	'0,9898	16,030	0.0046	0.0021
36	0.99SI	20,005	0,0011	0,0605	0.9947	18.015	0,0026	0.0012
38	0.9991	22.002	0,0005	0,0002	0.9973	20,007	0,0014	0,0006
40	0,9996	24.00!	0,0002	0.0001	0.9987	22.003	0.0007	0.0003
42	0,9998		0.0001	0.0001	0.9994	24,002	0.0004	0,0002
44	0,9999		0,0001	0,0000	0.9997	(ч— ’)	0.(002	0.0001
46	1.0000		0,0000		0,9999		0.000J	0,60(0
48					0.9999		0,0000	
50					1.0000				
		-r— n —	-20				=22	
n	V|	A	v0	A'	v.	va	Vo	A
2*	0,0000	0,0000	0, 0000	0.0000	0.0000	0, 0000	0,0000	
4	0,0004	0,0002	0.0002	0,0001	0,0001	0,0001	0.0001	0.0000
6	0,0029	0,0029	0,0014	0,0008	0,00)1	0.0010	0.0006	0.0003
8	0,0130	0,0169	0.0054	0.0030	0.0056	0,0067	0,0024	0.0014
10	0.0303	0.0658	0,0136	0.0074	0.0193	0.0294	0,007J	(r.0039
12	0.0909	0,1912	0,0261	0,0139	0,0498	0.0950	0,0156	0.0084
14	0.1720	0.4491	0.0406	0.0212	0.1044	0.2448	0.0275	U JJI40
16	0.2797	0, 8970	0,0536	0.0275	0.1855	0,5303	0.0406	IM'Ji j
18	0,4040	1,5790	0,0617	0.0312	0,2899	1,0025	O.OoiУ	0 QQQ.Q
20	0,5316	2.5152	0,0638	0,0316	0,4086	I.6995	(J , Uuc?	
«	• При мсннпнх значениях tj функции V£=Q я V=Q.								
Продол we-nut табл,
ОI to I
е - л- о оо
С? LQ с-1
*£- «J -J- С| Ci
f.C> со О СМ
394
О —* о Cl Xi
юо
о oi е ю я
го со
CMOIOICJCO <п СО СО со п-
СЧ 04 С-1 О| CI
щ *г С1
Ю О ОС
Ю Сч
W-TOXC с*4^‘
” О| СЧ сч


)0дол^сен«с »Л«<5Л
с=24
о
о
О С|
>П 00 f
О -tf* о? о
О — О о 02
- CJ t* 1Л Ю
О С Ь? CJ О?
395
□ X Г) с
СМ ТГ
—< со ю о&
СО с-4
СЧ <С?	- _
СО СО — 00
С- СМ ГГ СО ОС
— —	04 см см СМ
М*<ОСОС?СМ	’«’СОООСЭСМ	’•г со со о ю
2-.	—< CM OJ	CM CM CM CQ ГО ГОЛГОхгчт	ЧГ чг Ч-* ю е?
ю оно о ю
2? ю о ю СО
О —• О1 см см
i •* t - со Ом ОС-
емсмсм с м

04
СС' LC со ю >х
Ь- О4 СО f^w
Ю СО 04 —. Г2
СМ тг Ю О
СМ 0? Oi О
со О СО
о j ем ом
Ю СЮ X
О-j СО 1Л с£> оо
о ГО О Ci N
оо ОС ГО см см
to г^* со — Ф
—	(£5 СО <30
О> С? О> О 07

о QD Ь- о О,
с; еч см
~ Q? О 00 (О
oj ю Г'- ел
ОС- 07 CD СЛ О
о оо ео — о
Ю 00 07
О СГ) 07 G7
G7 07 О G7
с
о
о о
HtfO'o ГЛГ.О’ 0 И 50'0 HSO’O still)'0 isuro 9110’0 0100'0 ztoo’o SSOO’O HOO’O vooo’o 1000*0 oooo’o	ЧМГ0 sst-o’o ZIVO’O 1ЖГ0 0860’0 £<wo gggO‘0 ZH0‘0 wo WO 0300*0 8000*0 3000’0 0000'0	1	®‘l- I ££8g‘U SS£<T I OVOO'l ofcGS'O 96бЕ‘О 6891’0 0510‘0 6630'0 £010’0 GgOO’Q £000*0 1000'0 0000*0 *A	9119’0 1 oVZS’O «93V‘0 60E£‘0 ggVg’O 0991'0 £901’0 1190’0 0ШУ0 BVIO’0 I 6900'0 0300*0 9000*0 1000*0 0000*0 1 'л	Ш0‘0 \ IfcSO’O 0930'0 9VZ04) OSZO’O «610'0	1 1910'0 9110'0 £100’0 gVOO'O 1300*0 \ 6000'0 9000*0 1000*0 0000'0 । »		LEVO'Q 1 1 LIVO’O	I 009040	t LGVO’O 39V0‘0 99£0‘0	\ 3090’0 9130’0 I W 8100'0 1 9000’0 9100’0 9000'0 1000’0 0000'0 I| ’1 ~i	g99'9 :9«1‘£ i996’o 198 VI V2£6'O giss’o 698?>‘O £Ш’О 9890‘0 SIZO’O 1900’0 1100'0 £000'0 0000'6 'Л		, rtr.	Ch 9101*0 1 7*	50 6059'0	™ 0925*0	£ SVZV*O ico?.40	1 86 6V£3'0	W 9231'0 1260'0	35 5*30'0	® 6950'0 1 81 9110'0	91 «-.wo । ♦> 9100'0	31 \	9000'0	01 I	0000'0	1 » 1 ,Д 1 u			
N 0000*0 1000*0 0000*0 L100*0 9300'0 0*00'0 N •	l/HU,	»e= 0000*0	1 1000’0	1 £000'0 0100'0 9£00*0 1	9500'0 *800'0 \ UDiwVnnOd / /	i_ (J-U) 500*03 ।	800'95 i£0'05 /90*81 1	601*91 :=4	0000'I 1 6666'0 №66'0 *266‘0 9686'0 9586'0 SI'26'0 ‘A	0060'0 5000'0 6000'0 SI 00'0 *500'0	£ 0000'0 1000'0 *000*0 6100'0 oCOO’O 1900'0 J	2L_	£=1 		 I wse \ 1 eoo'zs 910'35 ОЕО'ОЗ £S0*8l 1 •-'-J 85=3				(W1 8666'0 SS66‘0 0966*0 Ш6‘0 6V«6‘0	\ 0L \ 99 \ ° I	s я 8V 9V u
65'00 't £800'0 £110'0 £*/0'0 £810'0 * 1*0'0 WtO'O 8350’0 9550*0 9550*0 1050*0 9510*0 6010*0 8900*0 ££00*0 £ 100*0 9000*0 5000*0 0000'o /V	£5/0'0 /	££/0’0 /	*£30	*o /	£0£0’0 /	S2£0	*0 /	I**f)*0 1	56/0*0 /	9JS0'0 £050*0 *9*0*0 1620'0 00£0‘0 8050'0 9510*0 8900’0 OEOO'O	1 HOO’O	i £000*0 1000*0 0000'0 _ 		ogj=3	I 38/>t £65'5/ 1	£9/'0i 86f£*S / 86£0*£ / SSZg’g SS£5*f Z£80’£ 99£/*Z 9*68 * J 86*8*0 ££2f- *0 S£’*g*0 £01/*0 8£*0'0	1 9*(0*0 0*00*0 8000*0 Ю00'0 0000'0 •a 1	/ 8*36 *0 *OCfi*f) 6368*0 1 56*8*0 £88/*o ££(£*0 2*59*0 8859*0 055* *() O05£*0 8953'0 1 38*1'0 3880*0 52*0'0 0550'0 £800'0 8500'0 1 £000'0	; 1000'0 0000'0 1 гл J	££00'0 1 9300'0 0800'0 1110'0 1	£*/0'0 98/0'0 j 3550'0 1950'0 £950'0 3950'0 £*50'0 *050'0 33/0'0 30/0'0 5900'0 1800'0 j OlOO'O *000'0 /000'0 0000'0 j 	L	OZOO'O £110*0 89/0'0 ,	l£50'0 *oeo‘o 0880'0 53*0 '0 2030'0 *830'0 3530'0 9Z*0'0 9680'0 £650 '0 66/0'0 9/10'0	/ ,	Ш»! 8300'0 £500'0 £000'0 5000 *0 0000'0 -2!	Г 		£60 831' /95' 1	03*' 6839 I OtOO'l / /99* '3 9381'* / 2826*5 3380'5 9008'/ ' 3IZZ'O 32 l*'O Z503'0 £980'0 s/eo'o 3600'0 /300'0 £000'0 0000'0	1 ’-XU		н	8*26'0 7	3636*0	, t'	0986*0	/ f	/	9506'0	/ /	3938'0	/ / 8362 '0 / 36/2'0 / / 2859'0 / '933'0 / 1 36/**0	£ / ££/8'0	! * 08/5*0	S, 88£f0	0/ /	3620'0	/ 81 1	/0*0'0	। 9/ / £2/0*0 | *1 3900'0	51 2/00'0 1 0) £000*0	8 0000'0	9 ~Ti 1 		 u			Zi> Ob 8? 9£ К 0£ X 2 5 j
to

Продолжение табл.
О —		 to 00			32			c	=•34	
	V»	V,	Vo		v\	V, 1	Vo	1	H
38 40 42 44 46 48 50 55 60 65 70 i 75	0,7817 0,8422 0,8895 0.9249 0.9504 0,9682 0,9801 0.9945 0,9987 0,9997 0,9999 1,0000	7,154! 8,7802 10.514 12.330 14.207 16.127 18,076 23,019 28.004 33.001 ft—S)	0.0370 0.0303 0,0237 0,0178- 0.0128 6.0090 0,0060 0,0020 0.0005 0.0001 0,0000	0.018! 0.0147 0.0114 0.0085 0.0061 0,0043 0.0029 0.0009 0,0003 0,0001 0,0000	0,7022 0.7753 0,8356 0,8833 0,9195 0.9460 0.9648 0,9892 0.9971 0.9993 0.9999 •1 ,0000	5.7480 7.2276 8.8406 10.562 12.360 14.233 16.145 21.040 26,010 31,002 (w>	0,0422 0.0365 0.0301 Ю.0239 0,0182 0.0133 0.0095 0.0035 0.0011 0.0003 0.000! 0.0000	0.0208 0.0179 0.0147 0,0115 0.0087 0.0064 0.0045 0.0016 0,0005 0.0001 0.0000
			16					
	V:	v,	V.	A’	V,	v.	V о	
to 12 14 16 18 20 22 24 26 28	0,0000 0,0002 0,0009 0,0029 0,0079 0,0182 0.0371 0.0679 0,1131 0.1738	0,0000 0,0003 0,0013 0.0048 0.0149 0.0398 0,0934 0,1961 0,3745 0.6589	0,0000 0.0001 0.0004 0,00}I 0.0026 0.0053 0.0096 0.0155 0.0227 0,0304	0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0.0014 0,0028 0,0051 0.0082 0,0118 0,0157	0.0000 0.0001 0.0004 0,0014 0.0040 0,0100 0,0218 0,0422 0,0744 0,1205	0.0000 0,04)01 0,0005 0.0021 0,0072 0.0205 0.0511 О.ИЗЗ 0,2279 0.4204	0.0000 0.0002 0.0005 0,0014 0.0031 0.0060 0.0104 0.0162 0.0231	0,0000 0,0001 0.0003 0.0008 0.0017 .0,0032 0.0055 0.0085 0.0120
70
"5
80
и
N
V,
V,
N
V,
30
32
34
36
38
40
42
41
46
48
50
55
GO
Vc
I t poi}O^.9tcc^^
Vo
Vi
V,
V=36
Vo
V,
0,2490
0,3356
0,4269
0,5235
0.6144
0.6972
0.7693
0.8294
0.8774
0.9146
0.9417
0,9861
0,9941
0.9986
0.9997
0.9999
1.0796
1,6627
2.4266
3.3792
4,5182
5.8315
7,3000
3.9007
10.609
\0, 4^3
\4.260
24.02V
20.005
34,00'
0,03' a
0,0431
0,0464
0,0471
0,0452
.0,0413
0,0360
0,0300
0,0240
0.0185
0,0138
0,0057
0,0020
0.0000
0.0001
0,0000
0.0192
0.0219
0,0234
0.0235
0.0225
0.0204
0.0176
0,0146
0.0116
0,0089
0.0066
0,0027
0.0009
0.0003
0,0001
0.0000
0.1812
0,2553
0,3400
0.4308
0.5229
0.6115
0.6927
0.7638
0.8235
0.8717
0,9092
0.9658
0,9889
0.9969
0,9992
0.9998
1,0000
0.7196
1.1541
1,7480
2.5182
3,4721
4,6075
5.9132
7.37H
8,9606
10.658
12.440
17.147
22.043
27.0H
32.003
37.00V
Vl—
0.0303
0.0370
0.0422
0.0452
0,0458
0.0441
0.0405
0.0355
0.0298
0,0241
0.0188
0.0087
O.0034
0.0011
0.0003
0.0001
0,0000
___
1 v=
V.
n
0.61100
12 1 g 0002
14 \ 0.0006
16 \	0 0020
18 \	о 0053
g 20 1
35
0,0000
0.0002
0,0009
0.0034
0,0103
0,0000
0.0001
0.0003
0.OOO-
О.ООП
0.0000
0.0001
0,000+
0,0000
0,0000
0,0001
0.0003
0.0010
0,00'28
0,0000
0,0001
0,0004
0,0016
0.0050
0,0000
0.000I
0.0004
O.0009
0,0156
0.0189
0.0214
0.0228
0.0229
0.0219
0.0200
0.0174
0.0146
0.0Ш
0.009'
0.0042
0.0016
0,0005
0.0601
0.0000
0.0000
0,00111
0.0002
0.0005


N
$=40	~									 Я рпдолжение табл
’I	И		У'	V		 Z ЕВ! ~ ~~ —Т £	I—;—
22	0.0123	0,0272	0.0036	0.0019
24	0.0254	0.0637	0.0067	0,0035
26	0,0474	0.1348	0.0111	0,0058
28	0.0808	0.2609	0,0168	0.0058
30	0.1275	0.4669	0.0234	0.012!
32	0,1881	0.7802	0.0303	0,0155
34	0.261!	1,2276	0,0365	0.0186
36	0.3440	1.8315	0.0413	0.0209
38	0,4326	2.6075	0.0441	0.0222
40	0.5223	3,5627	0,0447	0.0223
42	0.6088	4.6947	0.0431	0.0214
44	0.6884	5.9933	0.0397	0.0196
46	0.7585	7.4419	0.0350	0.0172
48	0.8178	9.0200	0.0296	0.0145
50	0.8662	10,706	0.0242	0.0118
55	0.9447	15.256	0.0125	0.0060
60	0,9803	20.082	0.0054	0,0025
65	0,9939	25.023	0.0019	0.0009
70	0.9983	30,005	0.0006	0,0003
75	0.9996	35,001	0.0002	0.0001
80	0.9999	(W)	0.0000	0,0000
85	1,0000			
				
				
г		-*•		
0.0068 0.0148 0.0292 0.0525 0.0870	0,0141 0.0349 0.0777 0.1576 0.2950	0.002! 0.0041 0.0073 0.0117 0.0173	0.0011 0.0022 0.0039 0.0062 0.0090
0.1342 0.1945 0.2666	0,5140 0.8406 1.3000	0.0237 0.0301 0.0360	0.0122 0.0155 0.0183
0.3478	1.9132	0.0405	0.0205
0.4343	2.6947	0,0431	0.0217
0.5218	3.6509	0.0436	0.0218
0.6003	4.7798	0.0421	0.0209
0.6844 0.7535	6.0718 7.5!13	0.0389 0.0345	0.0192 0,0170
0.8125	9.079!	0.0295	0.0144
0.9153	13.424	0.0170	0.0082
0.967!	18. 147	0.0080	0.0038
0.9889	23,045	0.0032	0.0015
0,9967	28.012	0.001!	0.0005
0,9991	33.003	0.0003	0.0002
0.9998	38.001	0-0001	0.0000
1.0000	(W)	0.0000	;	
-------------------------------
ГТ родолжакие nurf л
ьэ о |_- о	14 \ 0.0000 16 \	0,0001 1	0.0005 I '20 I 0.0014	1 90 \ 0.0030	1 24 1	Q.0084	\ об I 0.0175	1 28	0.0330	1 ,0 \	0.0575	1 32 1 0,0929 1 34 1	0.1406 35	0,2006 38	0.27 П 40	0.3513 42 1	0.4358 44 \ 0.5213 46	0,6040 \	0.6806 50	О-748? 55 1 °'8705	у»	L. 0.0000 0.0002	1 0.0007 0.0024	1 0.0071	1 0.0186	1 0.0436 0.0928 0.18П	1 0.3302 ] \	0.5615 0.9007 1.3714 1	1.9933 1	2.7798 1	3.7371 1	4.8631 6.1489 7,5799 1	11.669	У. 1 _ 0.0000	1 o.ooot 0.0002	1 0.0005 0,001*2	1 0,00*24	1 0.0046 0.0079 0.0123	1 0.0178 0.0239 1	0.0300 1 0,0355 0.0397 1	0.0421 1	0.0426 1	0.0412 0.0382 0.0341 I 0.0218	0.0000 1 0.0001 и. 0003 0,0006 0.0013 0.0025 0,0042 0.0065 0.0092 0.0123 0.0154 1	0.0181 0.0201 1	0,0212 \	0.0213 0.0205 \	0.0189 0.0168 1	0.0106	0.0000	1 0,0001 0.000'2 0.0007 0.0019 0.0046	1 0.0102 0.0202 0.0369	1 0.0624 0.0987 0.1467 0.2064 1	0.2765 \	0.3545 1	0.4372 0.5208 0.6018 0.6771 0,8280	uzzizl 0,0006 (1.0001 о.оооз 0.0011 0,0035 0,0097 0.0239 0.0523 0.Ю92 0.2069	1 0,3661 0.6094 0.9606 1.4419 2.0718 2.8631 3,8213 4.9446 6.2246 10,012		 у. 1 . 0.0000	1 0.0001	1 0JD002	1 0.0006	1 0,0014 0.0028	1 0.0051 0.6084 0.0139 0.0182 0.0240	| 0.0298 0.0350 0.0389 0.0412 1	0.0416 0.0403 0.0375 0.0266	о.оооо 0.0001 0.0003 0,0008 0.0015 0.0027 0.0044 0.0067 0.0094 0.0124 0.0153 0.0178 0 0197 0.0207 0.0208 0.0201 0.0186 0.01 10
								
о

Продолжение
’J
и
V. I
И
_____(=48
Ъ I
60
65
70
75
80
85
90
95
0.9477
0.9807
0.9938
0.9982
0.9995
0.9999
1.0000
16.250
21.083
26,024
31,006
36.002
01—g)
0,0114
0.0050
0,0019
0.0006
0.0002
0.0000
0,0055
0,0024
0,0009
0.0003
0. 0001
0.0000
0.92Ю
0,9684
0.9889
0.9966
0,9990
0. 9998
0.9999
i.0000
14,407
19.145
24.048
29.013
34.003
39,001
0.0154
0,0074
0.0030
0.00(1
0.0003
0.0001
0. 0000
0,0074
0.0039
0.0014
0.0005
0.0002
0.0000
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
0,000(1
O.OOOI
0,0003
0.0010
0.0025
0.0057
0.0120
0.0230
0.0408
0.0673
0.0000
0.0001
0.0005
0.0017
0.0049
0,0128
0.0299
0,0640
0.(266
0.2331
0.0000
O.OOOJ
0.0003
0.0008
0.0017
0,0032
0.0056
0.0090
0.0133
0,0000
0.0001
0.0002
0.0004
0.0009
0.0017
0,0030
0.0047
0,0070
«=50
0
V:
0.0000
0,0002
0,0005
0,0013
0.0032
0.0070
0.0140
0.0259
0.0447
0.0000
0,0001
0.0002
0.0008
0.0025
0.0067
0,0164
0.0367
0.0757
0.1450
0.0000
0.0001
0.0002
0.0005
0,0010
0.0019
0.0036
0.0060
0.0095
0.0000
0 0001
0.0002
0.0005
0.0010
0.0019
0.0039
0.0050






о	П родолжение табл.									
		1=48					^=60			
		Vr		V*	Vo 1	Н		V» !	V-	V	N
	36		0.1042 1	0.4028	0.0185	0.0096	0.0721	0.2602 Л Л.1ПО	0.0138 0.0188	0.0072 0.0097
	за		0.1524	0.6576	0,0241	0.0124	0,1096	U , n *tU—	П (1942	0.0124
	40		0,2118	1.0200	0.0296	0.0152	0.1580	0,/UbJ	n rvjiy^	0 0150
	42		0.2810	1.5ИЗ	0.0345	0.0175	0,2169	1.0791		0 0173
	44		0.3576	2.1489	0.0382	0.0193	I 0.2852	1.5799	0,034 J	
	4(5		0.4386	2.9446	0.040'3	0.0203	0,3605	2.224(5	0,0375	0.0190
	4£	1	0.5204	3.9037	0.0408	0.0204	0,4308	3.0245	0.0395	0.0199
	51		0.5997	5.0245	0,0395	'	0.0197	0.5200	3,9844	0,0400	0.0200
	55		0.7702	8.4697	0,0311	0.0153	0.7044	7,0598	0,0346	0.0171
	60		0.8859	12.634	0.0198	i 0.0096	0.8419	10.948	0.0242	0.0118
	(	>5	(1,9506	1	17.243	I 0.0104	0.0050	0,9263	15.389	0.0140	0,0068
	г	0	1	0,9813	| 22.083	0.0047	0.0022	0.9698	20,143	0.0069	0.00X3
		75	1	0.9937	1 27.026	0.0018	0.0009	0.989!	25.047	0.60'29	0.0014
		80	(	0.9981	| 32.007	0.0006	9.0003	0.9965	30.014	0.00J I	0.0005
		85	0,9995	1 37.002	1	0,0002	1	0.0001	0.9990	35,004	0.0003	0.0002
		90	0.9999	1 (W)	I 0.0000	1 0.0000	0.9997	40.001	0.0001	O.0C00
		95	1.0000				0.9999	a	0.01KKI	
	о* О СР	100					1.0000			
п наложение 5
ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ ср, ПРИ БОЛЬШИХ
ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА с
Ниже приведены таблицы функция ?«. упрощенных в иредположе.
нии с=—со:
1 — Ум
„ 3-i-_у,
— а ”
где Vt^Vf	Пределы изменения переменной £ = 0(2)50.
а переменной — = 0 (2) со.
	Е=0		5=2		1=4		1=6	
	Vo	91		Ф«	Фо	Ф»	Чо	V:
0	0,000	0,000	0,865	0.000	0.982	0.000	0.997	0.000
9			0.397	1.228	0.730	1,739	0,898	1,920
4			0.148	1,739	0.428	2.890	0.682	3,513
6			0.049	1.920	0.212	3.513	0,442	4.633
8			0.015	1.977	0.093	3.805	0.251	5,314
10 12			0.004	1.994	0.037	3.927	0.128	5,682
14			0.001	1.998	0,014	3.974	0,060	5.862
16			0.000*	£*'	0.005	3.992	0.026	5,944
18					0.002	3.997	0.011	5.978
					0.000	3.999	0.004	5,992
20 22						5	0.002	5,997
24							0,001	5,999
							0.000	Е
i/a	фр	8 1 „	Фр1	) 1 ч>.	с= Чо	12	Фо	!4 Ф>
0 2	1,000 0.9G6	0.000 1.977	i.oo7 0,989 0.934 0 8l 1	0.000 1.994 3.927 5,682 7.136	1.000	0.000	1.000	0.000
4	0,846	3,805			0.997	1.998	0.999	2.000
6	0.655	5,314			0.974	3.974	0,990	3,991
8	0,450	6,417	0,638		0.905 0,784	5.862 7.560	0.956 0.881	5.944 7,789
10 12	0.277 0.156	7.136 7,560	0.455 0.297	8.227 8.973 9.440 9.712 9,859	0.625	8.973	0,763	9,440
14	0.081	7.789	0.178		0.459	«0.0G	0.616	16,82
16 18 ♦ г •• г	0.039 0,018 [ре больших 1рй большая	7,905 7.959 аначемяях эвдчежйвд	0.099 0.052 11 а Фо=О- Va Ф1в|,		0,312 0.197 0.116	10.82 11.32 11.63	0,462 0,324 0,213	11.90 12.68 13,21
404

Продолжение табл.
20 22 24 26 28 30 32 34 36 J8	 */« 9 4 6 8 10 12 И 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50	о.оо* 0.003 0.001 0.000	h"	। 7.983 0 7.993 С 7.997 С 7.S'» <	9> i .026 i 1.012 1.005 >.002 1.001 3.000	Ф1 9.934 9.971 9.987 9.995 9,998 9,999 £	£ 0.065 0.034 0.017 0.008 0,004 0.002 0.001 0.000	12 <| 11.81 11.91 11.95 11.98 11.99 с	V ъ 0.131 0.077 0.043 0.023 0.012 С 006 0.003 0.001 0.001 0.000	1 « 13 55 13 76 13.87 13.94 13.97 13.99 13-99 и э
	t=i	6	1	~z	ft 91	V Фо	т20	Фе	L *
	* .л 1.000* 0.997 0.981 0.940 0,861 0.746 0.608 0.465 0,334 0,2*26 0.145 0.088 0,051 0.028 0.015 0.008 0.004 0.002 0.001 о.ооо		1 3.997 5.978 7.905 9.712 11.3'2 12.68 13.75 14.55 15.Ю 15,47 15.70 15.84 15.91 15.96 15.98 15.99 5	Фо 1. 000 0.999 0.992 0.971 0.924 ,0.843 0.732 0.601 0.467 0.342 0.238 0.157 0.099 0.060 0.034 0.019 о.оЮ 0.005 0,003 о.оо' 0.001 0.000	х/Л 3.999 5.992 7,959 9,859 11,63 13.21 14.55 15.61 16.42 17.00 17.39 17.64 17.80 17.89 17.94 17.97 17,99 17.99 £	1.000 0.997 0.987 0,961 0,909 0.828 0.720 0,596 0,468 0.350 0.248 О.|68 0. io9 0.068 0.040 0.023 0.013 0.00? 0.004 0.002 0.001 о.ооо	5.997 7.983 9,934 11.81 13.55 |5.Ю 16.42 17.48 18,30 18.90 19.31 |9.58 19.76 19.86 19.92 !?:£ 19.99 19,99	1.000 0.999 0.994 0.981 0.950 0.896 0,814 0.7Ю 0.591 0.470 0.350 0.258 0.178 0.П8 0.076 0.046 0.028 0.016 0.009 0.005 0.002 0.001 0.001 0.0001	а 5.999 7.993 9.971 1J.9O 13.76 15.47 J7.00 18.30 19.36 20.19 20.80 21.23 21.52 21.71 21.83 21.91 21.95 7| .97 21.99 21-99 £
405

						Продолжение		табл>	
	t	!4		=26	I	-28			
t/fl	*>		*	ft 1	Vi	*		_ Vo J		
б	1.000	x a	1.000	t/a					
я	0.998	7.997	0.999	7.999	1,000		1.000		
ю 12 14	0.991	9.98"	0.996	9.995	0.998	t'a	0.999		
	0.974	11,95	0.987	11,98	0.994	11.99	0.997		
	6.940	13.87	0.967	13.94	0.983	13,97	0.991	13.99	
16	0.883	15.70	0,930	15,84	0.960	15.91	0.978	15.96	
18	0.802	17.39	0.872	17.64	0.921	17.80	0.953	17.89	
20	0.701	18.90	0.792	19.31	0.86!	19.58	0.91]	19.76	
09	0.587	20.19	0.693	20,79	0.782	21.23	0.851	21.52	
24	0,471	21.24	0.584	22,07	0,686	22.70	0.773	23.15	
26	0.362	22.07	0.472	23.13	0.581	23.96	O.G80	24.61	
28	0.266	22.70	0.367	23.97	0.473	25.02	0,578	25.86	
30	0.188	23.15	0.274	24,61	0.371	25.86	0.474	26.92	
32	0,127	23.46	0.196	25.07	0.280	26.51	0.375	27,76	
34	0.083	23,67	0.136	25.40	0.204	27.00	0.287	28,42	
36	0.052	23.80	0,090	25.63	0,143	27.34	0.212	28.92	
38	0.032	23,89	0.058	25,77	0.097	27.58	0.151	29.28	
40	0.019	23.94	0.036	25.87	0.064	27.74	0.104	29.53	
42	0.0! 1	23.97	0.022	25.92	0.041	27.84	0.070	29.70	
44	0.006	23.98	0.013	25,96	0.025	27.91	0.045	29.82	
46	0.003	23.99	0.007	25.98	0.015	27.95	0.028	29.89	<
48	0.002	5	0.004	25.99	0.009	27.97	0,017	29,94	
50	0.00!		0.002	25.99	0.005	27.98	0.010	29.96	
52	0.000		0.001	$	0.003	27.99	0.006	29.98	
54			0.001		0.002		0.003	29.99	
56			0.000		O.COI		0.002	29,99	i
58					0.000		0,00!	£	1
GO							0.091		
62							0.000		
Va		t=	32	1	=34	I	=36	c •*	=36	i
	Vo	1 ft			Vo	ft	9o	Vi	1
10	1.000		1.000						
12	0,999		0.999		1.000				
14	0.996	13.99	0.998	t/a	0.999		1.000 0.999 0.996 0.990		
16 18 20	0,988 0.973 0.946	15.98 17.94 19,86	0.994 0.985 0.968	15.99 17.97 19.92	0.997 0,992 0.982	t/a 17.99 19.96		Т/Л 17,99 19.98	4
406									
П рыюлжсшк табл
1 Ti'J	е^5Г~		Я-л<				*•**	
			9о		9»	*	W	*
	0.903 0.842 0.765 0.674 0.575 0.475 л Ч7<1	21.71 23.46	0.939	21.83	0.963	21.51	0.971	8 21.95
22			0.895	23.67	0.932	23.80	0.951	3 23.89
•>4		95 07	0.834	25,40	0.887	25.63	0.921	5 25.77
26		26.51	0 758	27,00	0.826	27.34	0.871	) 27.58
S3		27.76	0.609	28 42	0.751	28.92	0,81!	) 29.28
30		98 81	0.573	29.67	0.664	30 34	0.74f	) 30.85
32		99.67	0.476	30.72	0.571	31.57	О66С	) 32.25
34	U,л/  < 0.292 0.218 0.158	30.34	0,382	31.57	0.470	32.62	0.56!	1 33.48
36		30. б5	0.298	32.25	0.386	33.48	0.475	34.53
38 40		31.22	0.225	32.77	0.303	34.17	0.385	35.39
42 44 46 4В 50	0.111 0.075 0.050 0.032 0.020	31.49 31.67 31.79 31.87 31.92	0.164 0.117 0.080 0.054 0.035	33.16 33.44 33.63 33.77 33.86	0.231 0.171 0,123 0.086 0.058	34.70 35.10 35.39 35,60 35.74	0.307 0,236 0.177 0.128 0,091	36.09 36.63 37,04 37.3' 37.56
52 54 56 5В 60 62 64 66 68 70	0.012 0,007 0.004 0.002 0.001 0.001 0.000	31.96 31.97 31.99 31.99 5	0.022 0.014 0.008 0.005 0.003 0,002 0.001 0.000	33.91 33.95 33.97 33.98 33.99 33.99 6	0.039 0.025 0.016 о.ою 0.006 о.ооз 0.002 0.001 0.001 0.000	35.84 35.90 35.94 35.96 35.98 35.99 35.99 S	0.063 0.042 0.028 0.018 О.ОН 0,007 0.004 0.002 0.001 0.001 0.000	37.71 37.82 37.88 37.93 37.96 37.97 37.99 37.99 ► S
72								
						—41		
•/«		V	= 40		-42 *		* L	* |_	
14	9а 1.000	чч	| ООО		1.000 0.999 0,996 0.992 3.933 J.967 L9-13 Э.9О7 Э.859 0.799 9.728 0.649	1	.000	
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40	0.999 0.998 0.995 0.988 0.975 0.953 0,919 0.872 0.812 0.739 0,6.?G 0.567 0,478	z а 19.99 21.97 23.94 25,87 27.74 29.53 31.22 32,77 34J7 35.39 36.44	о'. 999 0.997 0,993 0,985 0.971 0.9-18 0.913 0,866 0,805 0.733 0.652 0.566	' л 19.99 21.99 23.97 25.92 27.84 29.70 31.49 33.16 34,70 36.09 37.31		т а 0 21.99 0 23.98 0 25,96 0 27.91 0 29.82 0 31.67 0 33,44 0 35.Ю С 36.63 Н 38,00	999 .998 .995 .990 ,980 ,963 ,938 ,901 L853 1,794 1.724	i/a >3.99 >5.98 >7.95 29.89 31.79 33.63 35.39 37.04 38.56 407
П /.'fXio.I.WVHUC 1„абл
tf<a	j	$ = <0		^=s42		«=44			
	1 Vu	<h	?o		Vo		Vq	 ’’ —.
42 44 46	0.391 0.312 0.242	37.3! 38,01 38.56	0.478 0.394 0.316	38.35 39,22 39.93	0.564 0.479 0.390	39.22 40,26 41.13	0.645 0*563 0.479	39,93 41,h 42.18
48	0.182	38.98	0.246	40.49	0.319	41.85	0,398	43.00
50 5?	0.131 0.096	39.29 39.52	0.187 0.139	40.92 41.25	0.251 0.193	42.42 42.86	0.323 U 256	13.78 44.35
54 56	0.067	39.6$	0.10]	41,48	0.144	13,20	0.197	44, HO
	0.045	39.79	0.071	41.65	0.105	43.44	0.149	15.15
58	0.030	39.87	0.049	41.77	0.075	43.62	0. 1 io	45,4!
60	0.020	39.92	0.033	41.85	0.052	43.75	U.U79	45.59
62	0.013	39.95	0.022	•H.9I	0.036	43.84	0.056	45.73
64	0.008	39.97	0.014	41,94	0.024	43.90	0.038	45,82
66	0.005	39,98	0.009	41.97	0.016	43.93	0.026	45.88
68	0.003	39.99	0.005	41.98	0.010	43.96	0.017	45.93
70	0.002	39,99	0.003	41.99	0.006	43,98	0.01!	45.95
72	0,001	$	0.002	41.99	0.004	43.99	0.007	45.97
74	0.00]		0.001	5	0.002	43.99	0.001	45.98
76	0.000		0.001		0.00!	E	0.003	45.99
78			0.000		0.001		0,002	45,99
80 82 84	•				0.000		0.001 O.OUI 0.000	5
	E=48			=50	I	= 52	E	=64
t/a							 — — —	
	Vo	Vi		9*	Vb	Vi	Vc	
								
20	1.000							
22	0.999		1.000		1.000			
24	0.998	V'a	0.999	i a	0,999		1,000	
26 28	0,994 0.988	25,99 27.97	0.997 0.993	25.99 27.98	0.998 0,996	't/л 27.99	0.999 0.998	'zja
30 32 34 36 38 40 42	0.977 0.959 0.933 0.893 0.848 0.788 0.719	29.94 31.87 33.77 35.60 37,34 38.98 40.49	0.986 0.974 0,955 0.928 0.890 0.842 0,783	29.96 31.92 33.86 35.74 37.56 39.29 40.92	0.992 0.984 0.971 0.951 0.923 0.885 0.837	29,98 31.96 33,91 35,84 37.71 39,52 41.25	0,995 0,990 0.982 0,968 0.948 0,919 0,880	29.99 31.97 33.95 35.90 37.82 39,68 41.48
44 46	0,642 0.561	41.85 43.06	0.715 0.640	42.42 43.78	0.778 0.711	42.86 44.35 45,70 46,90 47.94	0,832	43.20
48 50 52	0.480 0.400 0.326	44.10 44,98 45.70	O.5G0 0.480 0.402	44.98 46.02 46,90	0,637 0,559 0.480		0.774 0.707 0.634 0.558	44.80 46.29 47,63 48.82
Продолжение табл.
	Ь=48		t=so					
	Ф&			*	Vo	?1	Vc	
	0,260 0.202 0,154 0.Н4 0,083	46.29	0.329	47.63	0,404	48.82	0.48J	49.86
54		46.75	0.264	48.22	0,332	49,56	0,406	50.74
50		47.10	0.207	48,69	0.26»	50.15	0,335	51.48
58 60 62		47,37 47.56	0.158 0.118	49.05 49.33	0,211 0.162	50.63 51.00	0r27l 0.215	52.09 52.58
64 66 68 70 72	0,009 0.041 0.028 0.019 0.012	47,70 47.80 47.87 47.92 17.95	0,087 0.062 0.044 0,030 0,020	49.53 49.68 49,78 49,86 49.91	0J23 0,091 0,066 0.047 0,032	51.29 51.50 51,65 5J.77 51.84	0,167 0,127 0.094 0.069 0,049	52,96 53.25 53.47 53.63 53,75
74 76 78 80 82	0.008 0,005 0.003 0.002 0.001	47.97 47.98 47.99 47.99 е	0.014 0.009 0.006 0.004 0,002	49.94 49.96 49.98 49.99 49.99	0.022 0.015 0,010 0.006 0,004	51.90 51.93 51,96 51.97 51.98	0.035 0.024 0,016 0,011 0,007	53.83 53,89 53.93 53.95 53.97
84 86 88 90 92	0.001 0.000		0.001 0.001 0.000	5	о.ооз 0.002 Q.001 0,001 0.000	51,99 51.99 *	0.004 0,003 0.002 0.001 0,001 0.000	53.98 53,99 53.99
94								
ИНТЕ РАТУ РА
1	Арманд А. А. Расчет переходных процессов в теплообменни-
ках В кн.: Теплообмен при высоких тепловых нагрузках и-других
специальных условиях. М., Госэпергоиздат. 19э9.
2	Арманд А. А. Расчет переходных процессов в тсллообмеинн-
ка.ч при переменных параметрах теплоносителя. — В кн.: Повыше-
ние параметров пара и мощности агрегатов в теплоэнергетике. М„
Госэнергоиздат, 1961.
3.	Арманд А. А-. Крашенинников В. В. Динамические характе-
ристики теплообменников, работающих в околежрнт «ческой обла-
сти. — «Теплоэнергетика», 1966, № I.
4.	Арманд А. А., Крашенинников В. В. Некоторые особенности
режимов пуска прямоточных котлов после коротких простоев. —*
В кн.: Освоение энергоблоков (пусковые режимы. металл, водопод-
готовка и автоматика). М.. «Энергия», 1971
5.	Балакирев В. С., Дудников Е. Г., Цирлин А. М. -щепернмен-
тальное определение динамических характеристик промышленных
объектов управления. М., «Энергия». 1967.
6.	Таблицы распределения Рэлея — Рамса. М. Изд-во АН СССР,
1964 (ВЦ АН СССР). Авт.: Барк Л. С.. Большей Л И. Кузнецов
П. И.. Черенков А. П.
7.	Бейрах 3. Я. Вывод уравнений динамики бар-аба и го паро-
вого котла. — «Автоматика к телемеханика». 1939. №2.
8.	Бейрах 3. Я., Айзенштат И. И. Об автоматическом регулиро-
вании температуры перегрева пара на котлах с естественной цирку-
ляцией. “ «Теплоэнергетика», 1954, №2.
9.	Будиик В. П., Рубашкин А. С., Хесин М. Я- Исследование
схемы автоматического регулирования процесса горении и кот-
?967^№^Ю И3 мблсЛ1,РУюш‘'их установках. — «Теплоэнергетика»,
10 Белоцерковский О. М., Чушкин П. И. Численный метод ин-
тегральных соотношений. — «Журнал вычислительной математики
и математической физики», 1962, т. 2. № 5.
Ц Богданов В. К- Экспериментальные динамические характер#*
стики блока котел — турбина мощностью 150 Мвт. — «Труды ЦКП!.
Котлетурбостроение», 1964, выл. 52.
12 Вопросы автоматического регулирования на тепловых элект-
ростанциях. Под ред. М. И. Бейлина. М, Госэнергоиздат. I960.
йай ’ л °n₽nZ<J нС°лл”йИ пР”мен®»»я математического моделиро-
вания. Под ред. И. М. Витенберга п др. М., «Советское радио*,
* ,й	’,ти?
кз высоких температур», 1967, т. 5, № б Д аза* ' 1еплофи.я1-
410
тех налоги чес-
— турбогенератор К-5В-90. —
Экспериментальное
'«	*им^. И*|Л-	процессы в л„Яей.
^Xnu"^.................. W
ЖГ °' " ММУ₽ ”• Не^"0^ «рыед^яка.
Л |<). Давыдов Н. И., Чернов А. Г. Требования к птиютацгым
г.1(;агРеГзтам определяемые условиями аптоматизвадГ^тХ
Зиергегнк8*’ iJ/u- • - •-•
20. Девятов Б. Н. Теория переходных процессов в технадогичее-
ХЮ аппаратах с точи зрения задач управления. НовосХрм.
1 21 Дементьев В. А., Френкель А. Я.. Рушнисхий В М Мосле.
jau31,»e динамики блока котел 67-2СП - турбогенератор к"м <Ю -
сТеплоэиергетнЕчя». 1962. Л? 8,	* ।
22. Дементьев В. А. Экспериментальное исследование блока
проточный котел--турбина. - «Труды ЦШШКА», J9G0 вып J
23. Дементьев В. А., Френкель Л. Я. Исследование Динамики
Д1°ОИпГц1п7Г1К туроина как объекта регулирования.
21. Демьянчук И. В., Ронк Е. М., Юренева Л. И. Аиалнтичее-
кое исследование динамики давления в барабане котла, работающе-
j%4 ^Л°Ке С ‘Урбиной — В кн.: Автоматизация энергетики. Киев.
25. Денбш К. Термодинамика стационарных необратимых про-
цессов М„ Ии ни иностр, лит., 1954.
2G. Деч Г. Руководство к практическому применению преобра-
зования Лапласа М.. Фязматгнз. 1958.
27.	Днткин В. А., Прудников А. П, Справочник по операцион-
ному исчислению AL, «Высшая школа», 1965.
28.	Дородницын А. А. Об одном методе решения задач ламп
маркого погринмчцого слоя.— «Прикладная механика и техническая
физика», I960. № 3.
29.	Дуэль М. А., Марьенко А. Ф., Хрущ Л. М. К определению
Динамических характеристик однофазных обогреваемых участков
котлоагрегата при нестационарных режимах. — «Теплоэнергетика»,
30.	Зиви С.4 Ранг Р. Влияние Обратней связи расход —паро-
содержапне на передаточные функции мощность—паросодержанне
и гидродинамическую неустойчивость а кипящих ядерных реакто-
рах.—В кп.: Кинетика и регулирование ядерпых реакторов. М..
31.	Исачен/о В. П., Осипова В. Л, Сукомел А. С. Теллопереда-
42’ з\’ ИцхомГ Я * ^ Приближенный метол анализа переходных
к. MuxoMi л- Fрймых цепях At. «Советское радио», I96J.
РО,33СХп;«нГэ с ДР нХй	распета теплообмена
в г^ах'^Х^-к^ов. " В кв..	е^гидродн^нкз.
Те"'341” Карслоу Г.^"е«₽ Д.'" Теплопроводность ’ твердых тел. М.
«Наука». 1964.	Челиниев Н. Г. Модель динамики ядериого
35. Каширин В- М..	мсш110сте,-, в кн.: Управление
реактора на	установками, вып 3. М.. Атомнэдат.
ядернымн jiiepr<-,ll,v
1968.
411
•V Кллмнн Л н., Стригули» М’ Некоторые вопросы на;Хеж-
М Клсмнн л. .	Дтомпзлат. 1968.
Модником & в Экснсриментлльное Над(
3 К?Х) Лулшенпя теплоотдачи при кипении в трубах.^
ванне услоанн h > ДО 8
Г%ЛЭКоиьков А. С?' Экспериментальное исследование усдов -
•» ' „ ,чи при течении пароводяной смеси п обогрсцае-
ухуДТ^х - «Труды Ж™. Котлотурбостроеппе», 1965, ны‘ц. ’>8.
МЫХэдРУооеикий Л. С., Немерсхий Б. В. Сравнение и анализ дпив-
чиХх характеристик котлоагрегатов, работающих и rW(>m
чип Мет — «Теплоэнергетика». 1970, Л; 6.
40	Корольков Б. П. Об ОДНОЙ функции, час го нс гречающсйси 1|рп
исследовании динамики тепловых объектов. - «Известия АП СССР
Энергетика н транспорт», 196b, № 3.
41.	Корольков Б. П. Система функций, описывающих динамику
нестационарного теплообмена. — «Известия СО ЛИ Р», 1969,
№ 13.
42	Корольков Б. П. О применимости динамической модели
теплообменника с сосредоточенными параметрами. — «Известий АН
СССР Энергетика и транспорт». 1968, № 4.
43.	Краус Т. Приближенный учет нелинейностей динамических
свойств поверхностей нагрева котельных агрегатов — «I еолоэисрге-
гнка». 1969, № 12.
44	Крашенинников В. В. Нестационарные процессы и паровых
котлах — В к«.: Итоги науки к техники. Котельные установки п
водоподготовка. М., ВИНИТИ, 1965.
45.	Крашенинников В. В. Переходные процессы в кипящих теп-
лообменниках при произвольных малых возмущениях. — В кя.
Доклады конференции молодых специалистов ВТИ. М.. 1966
46.	Крашенинников В. В. Особенности динамики теплообмен-
ников в случае сильной зависимости удельного объема от энталь-
пии. —«Труды ЦКТИ. Котлотурбостроекие», 1965. вып. 59
47.	Крашенинников В. В. О допустимости замены уравнения
теплопроводности стенки трубы уравнением баланса тепла при ис-
следовании переходных процессов в теплообменниках. — В кн.: Док-
лады HI конференции НТОЭ н ЭП при ВТИ им. Дзержинского. М.,
ОНТИ ВТИ. ]970.
48.	Крашенинников В. В. и др. Разработка математической мо-
дели к расчет динамических характеристик котла сверхкритического
давления. — В кп.: Освоение энергоблоков (пусковые режимы, ме-
талл, водоподготовка н автоматизации), М.. «Энергия», 1971.
49.	Кузьмин Г. И., Барадулин В. Л. Разгонные и частотные
характеристики мощных турбогенераторов. — «Электрические стан
1шм»2 1965. ДО 8.
50.	Кэмпбелл Д. Л Динамика процессов химической техноло-
гии М.. Госхймнздвт, 1962.
51.	Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. М., Фцзматгяз. |9б5.
52.	Левитский В. И., Соболева Э. Г, Экспериментальные дина-
мические характеристики блока котел ТП-80—турбина ВИТ-50,—
«Теплоэнергетика», 1962, № II.
53.	Лившиц М. А., Кореннова А. И. Исследование инерционнос-
ти топочных устройств. — «Теплоэнергетика». 1968, № 2
54.	Лисанскин И. Д., Пугачев Л. А., Свирскн'й С. М. Динами-
ческие характеристики участков регулирования температуры пара
412
типа ТПП 2W блока ЯОО Мат «ТепЛадиергетЯ|й>
*%5 Локшин В А.. Семеномер и. Е, Вихрев Ю В Т^п,,.
«-•S“	’и°—“К™- ЙЗДЕ
п₽ 5В. Лыко» А В. Теория теплопроводности. М. «Выешм
1957.	’	IWO
’’б, Майерс. Митчелл, Норман. Переходные пежииы
дообмепнчков с перекрестным током, испарнтекй и ко^гМГ*'
2^,—«Теплопередача» (пир с анг.), 1<$7 № J * к°Шпсато-
58. Методика расчета динамических' характеристик ЙЙЛЛп,.л
к“телы’их й,регагов- цкти- рукХХ
)Ь‘ 59. Миропольский 3. Л. Теплоотдача при пленочном кипении
пароводянон у. еси в па регенерирующих трубах. - «Тепадэнерге-
тика». 1УП..1,	<_.»	г
60	Моррис Г. Д. 1ппамическ1ге характеристики трубчатых теп
ВДИФАКК|’ 1’1Рт б03”^16'1"" ло Т£,М|!ературе.-Труды J К0НГрСс.
61.	Мотулевич Д. Ю., Тагаевская А. А. Виды возмущающих
воадействи /и экспериментальном исследовании объект! регум-
роваиия.- В кн: Автоматизация производственных процессов,
выл. 2. И АН СССР, 1958.
62.	Никонов А. А., Белокопытов Л. С. Экспериментальное нс-
следован и теплоотдачи и ухудшения теплообмена при кипении па-
роводяной смеси а горизонтальных трубах в условиях принуди-
тельной циркуляции. —«Труды ЦКТИ.' Котлотурбостроеняе», 1965,
вып. 68.
63.	Нормативный метод теплового расчета котельных агрега-
тов. М.. Госэнергопздат, 1957.
64	Носков А. И., Рогач В. Я. К вопросу об аплрокенмацкн
временной характеристики объекта апериодическим звеном 1-го по-
рядка с запаздыванием. — «Известия высших учебных заведений»,
1964. № 7
65.	Носков А И.. Ротач В. Я. Определение передаточной функ-
ции регулируемого объекта его временной характеристике.
«Известия высших учебных заведений. Энергетика», 1965. № I
66	Носков А. Й. Исследование динамики системы автоматичес-
кого регулирования температуры пара. — «Теплоэнергетика»,
№ 567 Ордынцев В. М. Математическое описание объектов авто-
матизации. «Машиностроение». 1965.
68. Основы автоматического управления. Под ред. В- L. н>га-
Д^Дииамшса могло» S естествеиной шфкулшш-
ей «Тп\-ты ЦКТИ», 1951. пып- 19-
~i.& в. Д..	,у-» ™ *•— "«"
71. Плетнев Г n-. W / KrepilClllKU регулируемых участков
риментальиые	' цв»	_ <ТспЛоэисргетика>. 1965,
блока котел
№7.	д а и Фишгойт Л. Л.,"Соколов Г. В. Расчеты
—а лпкейиом пр-рэ“
. нМГг4 |иженпн в кил Опросы промышленной кибер-
распрелелеш»" J* )9Г(9. яЫ1| | (>>)
NC,I%' п^Джин И. Виедекне <i ггрмоДии^шЩ необратимых пр».
UV“h Проф^ ЯП.''','регуХ'1н;^ "Лроенлоных усга.шжж, м_.
^"равинович Г. Д. Теория тегового расчета рекупер.пиииых
нплообменьых лип,три гоп. Минск. Изд-во ЛИ БССР, СП..
теплообмену. ‘Греб1)Ва||11Я к маневренности Лесков и основные
здаавд нсследовэпня - В хи.: Освоение энергоблоков (пусковые
режимы, металл, водоподготовка и артоматнзлпнн) М„ <Эвергця«.
1Э7>77 Рубин В Б и др. Регулирование мощности блоков. — В кил
Оелоейяе энергоблоков (пусковые режимы, металл, водоподготовка и
автоматизация). М., «Энергия», 197}.
78.	Рушннскпй В. Л'- Д1шамнк.'1, литом этического регулирования
блока котел — турбина. —Труды 1 Конгресса ИФЛК. 1961, т. 6.
79.	Рущишгкнй В. Л1. Математическая модели барабанного кот-
лоагрегата. — «Труды ЦНИИКА». 1967. вып 16.
80.	Рушинскнй В. М., Френкель А. Я- Математическая модель
прямоточного котлоагрегата при докритических параметрах пара. —
«Труды ЦНИИКА». 1967. вып 16.
*81. Рущннскнн В. А1. и др. Цифровая модель котлоагрегата
сверхкрнтпчсскм.к параметров, —«Теплоэнергетика», 1970, № (>.
82.	Рушинскнй В. М. Пространственные линейные и нелинейные
модели котлоагрегатов. — В кн.: Вопросы промышленной киберис
тнкп (Труды ЦИНИКА), выл 1, (22). М„ ОНТИ ЦИНИКА 1969.
83.	Серов Е. П. Работа прямоточных котлов при переменном
режиме. — «Труды -МЭИ». вып. XI (теплотехнический). 1953.
84.	Серон Е. П,< Пашков Л. Т. Аналитическое исслсяооанпе гра-
ничных условий возникновения пульсационных режимов в парогене-
рирующпх трубах при принудительной циркуляции — «Теплофизика
высоких температур», 1965, т. 3. М‘ 4
85.	Серов Е. П., Корольков Б. П. Динамика процессов в тепло-
п мзссообменлых аппаратах. М., «Энергия», 1967.
86	Серов Б П., Корольков Б. П. Динамическнс характорнечикн
элементов котлоагрегата. — «Теплоэнергетика», 1965, № 1.
87.	Сидорова И. И. Аналоговое моделирование в ядерцой энер-
гетике. М., Атомиздот, 1969.
88.	Симою М. П. Определение коэффициентов передаточных
функций линеаризованных звеньев и систем оторегулцрооаиия —
«Аитоматнка и телемеханика». 1957, № 6.
Л^п9?мою П. и Др. Комплекс программ для моделирования
па сЩЗМ режимов работы основного оборудования тепловых элек-
КгИ” Допросы промышленной кибернетики (Труды
ЦНИИКА). вып. 25, 1969.
90. Симою М. П. и др Нахождение моментов трансцендентных
передаточных функции на ЦВМ, —«Труды ЦНИИКА» пып 19 М
ОНТИ ЦНИИКА. 1965.	Ю штпкл», вып. и. м.,
91 Стыриковнч М. А., Катковская К. Я., Серов Е П. Пароге-
нераторы .лсктростаинин. — М„ «Энергия -. 1966.	Р
Такр хаси Лиал,|з передаточной функции процессов тепло-
обмеаз	В кн.. Автоматическое регулирование, М 1954
УЗ. Jаль А. А. О динамических свойствах однофазных участков
пароводяного тракта котла. — «Известия АН СССР. ОТН»' 1957. №2.
414
94.	Тарасова Н. В», Орлов В. М. Исследование г
го сопрей ^еиня при поверхностном кипении
«Теплоэнергетика», 1952. № 6.	® трубах. -
95.	Тарасова Н. В. Гидравлическое ссюоотнйлмпт
НОДЫ >1 пароводяной смеси в оботрем^ труб™ иX Хшх"
каналах. — «Труды ЦКТИ. Котл от у рбост роение», |<дб вып ад
96.	Томас Г. Кинетика лонного обмена в «стоднижнпи
1(tlia В кнл Ионный обмен. М.. Из*ю fшо^°Х ^1°**
97.	Хемпел А. О динамических характеристиках паоожл’иелгт
ных ^теплообменников. - «Техническая механика» ' (пер^*
98.	Хорьков Н. С. Расчет частотных характеристик репцер.тив-
„ых теплообменников на ЦВМ.-рруды III хоиференш.и
специалистов. At, ОНТИ ЦНИИКА, |964.
99.	Хорьков НL С. и др Расчет днивмическпх характеристик
котлоагрегата на ЭЦВМ. — «Энергетическое машиностроение ЭЦВМ
в энергетическом машиностроении», 3-67-17, At, ЦИИИнформтяж-
маш, 1968.	'	. '   J г -Я
100.	Хорьков Н. C.t Афанасьева А» А. Расчет переходных про-
цессов в теплообменниках на ЦВМ.— Труды Ш конференции моло-
дых специалистов. М.. ОНТИ ЦНИИКА, 1964.
101.	Хорьков Н. С. и др. Расчет ла ЭЦВМ динамических харак-
теристик прямоточного когда. — «Теплоэнергетика». 1970. № 7-
102.	Хорьков Н. С., Ткаченко 3. В. Динамические характери-
стики воздухоподогревателей. — В кн.: Кондиционирование воздуха
в промышленных и общественных зданиях, М., Стройнздат. 1968,
103.	Шевяков А. А», Яковлева Р. В. Инженерные методы расче-
та динамики теплообменных аппаратов. М., «Машиностроение». 1968
104.	Шумская Л. С. О влиянии циркуляции жидкости и пара на
изменение давления и уровня а барабанном котле при нестационар-
ном режиме. — «Труды ЦКТИ», вып. 19, 1951.
105.	Шумска и Л. С. Скорость изменения давления в барабан-
ных котлах при нестационарных режимах. — «Теплоэнергетика»,
1954, № 4.
106.	Шумская Л. С. Изменение уровня в барабанных котлах при
нсстинншырцых режимах. — «Теплоэнергетика», 1954. № 6.
107.	Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариаци-
онное исчисление. At, «Наука», 1965.
108.	Энне М. Сравнение динамических моделей пароперегрева-
теля.____«Теплопередача» {пер. с англ), 1962. А? 4-
109.	Янг Кларк, Арнасн. Динамические характеристики тепло-
обменников с внутренними источниками тепла. - «Теплопередача»
(пер. С англ ), 1961, Ас 3.	..
ЦО Adams J.r Clark D. R., Louis J. R., Spanbauer J_₽•_^ie-
maikal Modelling of Once - through Boiler Dynamics.—IEEE
power Apparatus and System», 1965, У. 84, № -	, T
HI Brinkley R., Edwards H. E., Smith R. W. Table of the 'n.
peraiure D.stribution Function (or Heat Transfer between a Fluid
’ P7r’S^nwbell	Fourier Integrals for Practical
А₽’’;Ж -iX. »мЯ«. - * »-*
,, Boder - Tr»«s ASME. Г958. v. SO. Ж 8.
114.	Cohen W. Cn Johnson E. F. Dynamic Characteristics of Doub-
le-pipe Heat Exchangers. — «Industrial and Engineering Chemistry»,
1956. № 6.
115.	Goldstein S. On (he Mathematics ol Exchange Processes in
Fixed Columns. — <Proc. of Royal Society», London. A 219, pt I~]j
1953, № 1137.
116.	Hedley A. H. Л Short Table of (he Toronto Functions.—
Trans, of Royal Society of Canada, 37, sec. Hl, 1943, -p. 13—19.
117.	Liftman В.» Chen T. S. Simulation of Bui! Rim Supercritical
Generation Unit — «IEEE Trans. Power Appar. and SysL», '9&6,
v 7. № 7.
118,	Premofi A. An Experimental Investigation on Voiding of Po
wer Channels Coolde by Steam-water Mixtures. — «Energia niicleare».
1969, v. 16, № 10.
119.	Voss K.r Hcrbrik R., Meeker P. Исследование структуры n
динамического поведения систем регулирования прямоточного кот-
ла.—«Mitt. Ver Grosskesselbesilzer», 1970, И. 50, № 2.
120.	Woo R., Anderson G. R. Dynamic Response of a Supercritical
Power Plant, — «Instrument Techno!.», 1969, v. 16, № 7.