/
Автор: Стеклова В.А.
Теги: анализ физика математика математическая физика задачи по математике естественные науки
Год: 1983
Текст
В. А. СТЕКЛОВ
ОСНОВНЫЕ
ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
В.А. СТЕКЛОВ
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Издание второе
Под редакцией В.С Владимирова
МОСКВА "НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983
22.16
С 79
УДК 517
Стеклов В.А. Основные задачи математической физики/Под ред.
В.С. Владимирова. - 2-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математи-
ческой литературы, 1983. - 432 с.
Книга написана выдающимся советским математиком В.А. Стекловым.
Первая часть ее посвящена классической задаче Штурма - Лиувилля. Здесь, в
частности, доказывается, что собственные функции задачи Штурма - Лиувилля
в случае трех классических типов граничных условий образуют ортонормиро-
ванный базис пространства 1.г и устанавливаются точные теоремы (теоремы
Стеклова) о разложении функций в ряды Фурье по этому базису.
Во второй части книги изучаются основные краевые задачи для трехмерно-
го эллиптического уравнения. В отличие от обычных методов, решения крае-
вых задач представляются в виде рядов по некоторым специальным функциям
(функциям Стеклова). Интерес к разложениям в ряды по функциям Стеклова,
являющимся далеко идущим обобщением шаровых функций, решений крае-
вых задач для эллиптических уравнений становится все большим и большим.
Первое издание (в двух томах) вышло в 1922, 1923 гг.
Книга может быть полезной для аспирантов и научных работников в облас-
ти математики и прикладных наук. Она может быть использована и студен-
тами.
Владимир Андреевич Стеклов
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редакторы Л .К. Гущи», В.П. Михайлов, М.М. Горячая
Тех. редактор С.В. Геворкян
Корректоры Т.В. Обод, Т.А. Печко
ИБ № 11641
Сдано в набор 14.10. 82. Подписано к печати 21.03.83
Бумага 60 X 90/16 офсетная. Печать офсетная
Усл. печ.л. 27,00. Уч.издщ. 28,81. Тираж 6600 экз.
Тип.зак. 571 . Цена 2 р. 30 к.
Издательство ’’Наука”
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука”
630077, Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25
1702050000 - 076
С ------------------30-83
053(02)-83
© Издательство’’Наука”.
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1983
ОГЛАВЛЕНИЕ
В.С. Владимиров. Жизненный путь В.А. Стеклова........................... 7
Предисловие............................................................ 17
ЧАСТЬ I. Основные задачи математической физики для тел
линейных размеров
Глава I
Системы ортогональных функций данного вида; нормальные системы;
тригонометрические функции; полиномы Чебышева, наименее укло-
няющиеся от нуля. Разложение функций в тригонометрические ряды и в
ряды по полиномам Чебышева. Приближенное представление функций при
помощи полиномов. Обобщение теоремы Вейерштрасса................. 25
Глава II
Определение замкнутости ортогональных систем функций. Основные
теоремы теории замкнутости. Применение к тригонометрическим
функциям и полииомам Чебышева. Определение точного низшего (или
высшего) предела отношения некоторых определенных интегралов... 38
Г л а в а III
Простейшие задачи математической физики и им соответствующие
дифференциальные уравнения. Три типа этих уравнений: 1) уравнения
аналитической теории тепла, 2) уравнения звука (света, электричества, маг-
нетизма), 3) уравнения установившихся (стационарных) физических про-
цессов. Начальные и предельные условия. Определенность задачи. Простей-
ший случай распространения или распределения тепла в телах линейных
размеров......................................................... 53
Глава IV
Задачи об охлаждении неоднородного твердого стержня, сплошного
неоднородного кольца, изогнутого стержня. Им соответствующие
дифференциальные уравнения, начальные и предельные условия. Аналити-
ческое обобщение этих задач. Определение условий, достаточных для опре-
деленности задачи. Общий прием решения этих задач по методам Эйлера,
Бернулли, Фурье, Ляме. Две основные задачи, из них вытекающие: (А) Оп-
ределение характеристических чисел и им соответствующих фундаменталь-
ных функций; (В) Разложение произвольных функций в ряды по фунда-
ментальным функциям.............................................. 63
Глава V
Фундаментальные функции и характеристические числа. Условие ор-
тогональности. Уравнение, определяющее характеристические числа. Ин-
теграл уравнения V"(x, Л) + |Л/;(х) - </(х)| Г(х, Л) +/(х) = 0, рассматривав-
мый как функция параметра Л; метод Шварца - Пуанкаре и его распрост-
ранение на общий случай предельных условий (26) и (26,) предыдущей
главы. Случай, когда Л. = 0 не входит в состав характеристических чисел.
Основные теоремы о полюсах мсроморфной функции Их, Л) и связь ее
полюсов с характеристическими числами. Алгоритм Шварца - Пуанкаре
для вычисления характеристических чисел и фундаментальных функций,
соответствующих данной функции f(x). Некоторые неравенства и низшие
пределы для модулей характеристических чисел. Полная система характе-
ристических чисел и фундаментальных функций....................
Г л а в а VI
Распространение предыдущего метода на исключительные случаи. Слу-
чай, когда постоянные а, 0, у для фундаментальных функций первого
класса или постоянные риг для фундаментальных функций второго
класса обращаются в бесконечность. Случай, когда си(0) равно нулю, но
и'2 (Ь) - 0и2 (Ь) для функций первого класса или и2 (Ь) для функций второ-
го класса отличны от нуля. Случай, когда а> (0) и и2 (Ь) - 0и2 (Ь) для функ-
ций первого класса или о>(0) и и2(Ь) для функций второго класса равны
нулю одновременно. Сдвиг шкалы характеристических чисел......... 113
Глава VII
Определение характеристических чисел, каждому из которых может
соответствовать фундаментальная функция, обращающаяся в нуль на
одном из концов данного промежутка [о, А], когда эти функции нс при-
надлежат к функциям трех предельных классов. Необходимые и достаточ-
ные условия, которым должны удовлетворять те характеристические числа,
каждому из которых могут соответствовать две различные фундаменталь-
ные функции. Алгоритм для последовательного вычисления всех характе-
ристических чисел их полной системы для фундамстнальных функций пер-
вого и второго классов. Выделение из полной системы тех характеристи-
ческих чисел; каждому из которых отвечают две различные фундаменталь-
ные функции. Фундаментальные функции трех предельных классов и их
характеристические числа........................................ 134
Глава VIII
Значение условий ортогональности в общей теории фундаменталь-
ных функций. Неприложимость этой теории к общему случаю, когда
условия ортогональности не соблюдаются. Различные частные примеры. . . 150
Г л а в а IX
Задача о разложении произвольных функций в ряды по фундамен-
тальным функциям первого и второго классов. Ряды, составленные из этих
функций по закону Фурье, и их основное свойство. Один частный вид функ-
ции /(х), разлагающейся в равномерно сходящийся ряд по фундаменталь-
ным функциям. Вытекающая отсюда на основании общих теорем главы II
абсолютная замкнутость всякой системы фундаментальных функций. Об-
щая теорема о разложимости всякой функции в ряд типа Фурье по каким
угодно функциям, образующим ортогональную н абсолютно замкнутую
систему, когда квадратичная погрешность от производного ряда не превос-
ходит некоторого данного числа. Применение этой теоремы к случаю фун-
даментальных функций. Общая теорема о разложимости всякой функции,
удовлетворяющей условию Коши, в равномерно сходящиеся ряды по фун-
даментальным функциям........................................... 158
Главах
Исследование случая, когда все характеристические числа фундамен-
тальных функций положительны. Доказательство сходимости ряда
4
£
fc=l
Высший предел
для модулей коэффициентов ряда Фурье Ак.
Высший предел для квадратичной погрешности ряда, составленного по за-
кону Фурье из фундаментальных функций. Абсолютная замкнутость вся-
кой полной системы фундаментальных функций, характеристические числа
которой положительны. Вывод теорем о разложении произвольных функ-
ций в равномерно сходящиеся ряды типа Фурье, расположенные по фунда-
ментальным функциям. Высший предел остаточного члена этих разложе-
ний, когда положительная характеристическая функция р(х) ис обращается
в нуль в данном промежутке; обобщение на случай, когда функция р(х)
имеет конечное число нулей в этом промежутке. Распространение теорем о
разложении на случай, когда непрерывная функция р(х) подчиняется един-
ственному условию не принимать отрицательных значений в данном проме-
жутке................................................................
174
Г л а в а XI
Приложение предыдущей теории к решению основных задач мате-
матической физики для тел линейных размеров. Задачи первого типа, диф-
ференциальные уравнения которых содержат только первую производную
по времени от искомых функций. Задачи второго типа, характеризуемые
дифференциальными уравнениями, содержащими только вторую производ-
ную по времени от неизвестной функции. Условия определенности решения
рассматриваемых задач. Приемы их решения....................... 203
ЧАСТЬ II. Основные задачи математической физики для
тел трех измерений
Г лава!
Потенциал объемных масс и его основные свойства. Теорема Пуас-
сона. Преобразование объемных интегралов и теоремы Грина. Гармоничес-
кие функции и их основные свойства. Решение задачи Дирихле для сферы
по методу Шварца. Теорема Вито Вольтерра. Потенциал простого слоя и его
основные свойства. Производные двух первых порядков и нормальные про-
изводные от потенциала простого слоя. Теорема Пуассона и относящиеся
сюда неравенства А.М. Ляпунова. Потенциал двойного слоя и его основные
свойства. Теоремы А.М. Ляпунова о нормальных производных потенциала
двойного слоя.................................................. 226
Глава II
Конвексные поверхности. Основная задача электростатики (задача
о распределении электричества). Решение этой задачи методом Робена.
Принцип Робена. Решение основной задачи гидродинамики (задачи Нейма-
на) методом Робена............................................. 278
Глава III
Принцип К. Неймана как непосредственное следствие принципа Ро-
бена. Решение задач Дирихле и Неймана для всех поверхностей Ляпуиова,к
которым приложим принцип Робена, методом Неймана. Приложение к кон-
вексным поверхностям Ляпунова. Преобразование потенциала простого
слоя в потенциал двойного и обратно. Задача Гаусса - Дирихле. Условия
существования нормальных производных от гармонических функций, пред-
ставляющих решение задачи Дирихле.............................. 301
Глава IV
Некоторые простейшие задачи математической физики, связанные с
задачами Дирихле и Неймана. Функция Грина и ей подобные. Определение
5
высших и низших пределов отношения некоторых объемных и поверхност-
ных интегралов...................................................... 332
Г л а в а V
Фундаментальная теорема Пуанкаре - Зарембы и ее следствия. Рас-
пространение принципа Робена и общих методов решения основных за-
дач математической физики на какие угодно поверхности Ляпунова ..... 378
Список трудов В.А. Стеклова по математике и механике................... 427
ЖИЗНЕННЫЙ ПУТЬ В.А. СТЕКЛОВА
Владимир Андреевич Стеклов родился 9 января 1864 г. (28 декабря
1863 г. ст. ст.) в Нижнем Новгороде (ныне Горький). Его отец Андрей Ива-
нович, происходивший из среды сельского духовенства, был преподавате-
лем и ректором Нижегородской, а последние два года жизни — Таврическо-
Симферопольской духовной семинарии. Мать В.А. Стеклова - Екатерина
Алексеевна — родная сестра выдающегося русского критика и публициста
Н.А. Добролюбова.
В 1874 г. В.А. Стеклов после достаточной домашней подготовки посту-
пил в первый класс Нижегородского Александровского дворянского инсти-
тута, обучение в котором проводилось по программе гимназий. В течение
первых пяти лет пребывания в институте В.А. Стеклов не проявлял особого
интереса к учебе. Однако после окончания пятого класса он основательно
повторил в течение каникул все гимназические предметы за пятый класс и
уже к концу первой четверти шестого класса был в числе лучших учеников.
С этого времени В.А. Стеклов не только с интересом изучал обязательные
предметы, но и обнаружил способности и стремление к занятиям физикой,
химией, математикой. В 1882 г. он окончил институт с серебряной ме-
далью, хотя в его аттестате все оценки были отличные. Золотой медалью не
наградили его только потому, что, по мнению педсовета, он начал проявлять
’’неустойчивость во взглядах и признаки вредного направления”, что осо-
бенно сказалось в поданном им сочинении на тему ’’Прекрасный век был
век Екатерины”.
В том же году В.А. Стеклов поступил на первый курс физико-математи-
ческого факультета Московского университета. Первый год прошел для не-
го неудачно. Сдав все основные экзамены на ’’хорошо” и ’’отлично”, ои
получил неудовлетворительную оценку по физической географии. После
этой неудачи В.А. Стеклов предполагал перевестись на медицинский фа-
культет, но мест не оказалось, и тогда он поступает на первый курс матема-
тического факультета Харьковского университета.
В 1885 г. в Харьковский университет переехал из Петербурга молодой
приват-доцент, талантливый математик и механик А.М. Ляпунов (1857 —
1918), ученик П .Л. Чебышева (1821-1894), незадолго перед этим защитив-
ший в Петербургском университете магистерскую диссертацию ”06 устой-
чивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости”. Вско-
ре В.А. Стеклов становится ближайшим учеником А.М. Ляпунова, и это
*) Более подробное изложение и полная библиография трудов В.А. Стеклова содер-
жатся в очерке В.С. Владимирова и И.М. Маркуша ’’Владимир Андреевич Стеклов -
ученый и организатор науки”. (М.: Наука, 1981, 96 с.)
7
определило, по существу, всю его дальнейшую научную деятельность. Меж-
ду учителем и учеником установились тесные контакты, тем более что и по
возрасту разнипд между ними была лишь неполных семь лет. До конца дней
своих В-А. Стеклов сохранил чувство исключительного уважения к своему
учителю.
В 1887 г. В.А. Стеклов окончил Харьковский университет и был остав-
лен Ляпуновым при университете для подготовки к профессорскому зва-
нию. В 1889 г. появилась первая печатная работа В.А. Стеклова. С этого
времени научное творчество стало неизменной и привычной частью его жиз-
ни. Одновременно с научными занятиями В.А. Стеклов продолжал подго-
товку к магистерскому экзамену, который успешно сдал осенью 1890 г. В
том же году он женился на О Н. Дракиной.
С 1891 г. В.А. Стеклов был допущен к чтению лекций в Харьковском
университете в качестве приват-доцента. Он начал читать курс теории упру-
гости — именно этим предметом он больше всего занимался в то время.
Нужно отметить, что интересы В.А. Стеклова с самого начала его научной
деятельности были очень разнообразными. Наряду с исследованиями по тео-
рии упругости, он уже тогда выполнил несколько работ по гидродинамике
и высшей алгебре. По результатам некоторых из этих исследований он
в 1893 г. успешно защитил диссертацию ”0 движении твердого тела
в жидкости”*) и в 1894 г. получил степень магистра прикладной ма-
тематики.
Осенью 1893 г. В.А. Стеклов получил приглашение занять должность пре-
подавателя теоретической механики в Харьковском технологическом
институте. В 1896 г. В.А. Стеклов назначается исполняющим должность
экстраординарного профессора по кафедре механики Харьковского уни-
верситета. Здесь он читает курсы по теории упругости, по теоретической
механике, по линейным дифференциальным уравнениям с переменными
коэффициентами и др.
Примерно с 1895 г. В.А. Стеклов обращается преимущественно к иссле-
дованию вопросов математической физики, и до конца своей жизни наи-
большее внимание он уделяет именно этой области математики — к ней
относятся самые важные его исследования. Однако позже он неоднократно
возвращается к вопросам механики (гидродинамика, аналитическая меха-
ника) , а также значительно расширяет тематику своих математических ис-
следований (теория замкнутости, ортогональные многочлены, асимптотичес-
кие разложения, квадратурные формулы).
В 1902 г. В.А. Стеклов получил степень доктора прикладной математики
после защиты диссертации "Общие методы решения основных задач мате-
матической физики”**). Вскоре после этого ему было присвоено звание ор-
динарного профессора Харьковского университета. К этому времени он
имел уже около 45 печатных работ и стал известным ученым. С 1902 по
1906 г. В.А. Стеклов был председателем Харьковского математического
общества, сменив на этом посту А.М. Ляпунова.
В 1902 г. Петербургская Академия наук избрала В.А. Стеклова своим
членом-корреспондентом.
*) Харьков, 1893, XVI + 234 с.
**) Изд-во ХМО, 1901, (2), VI + 291 с.
8
Еще в Харьковский период проявилось исключительное мастерство
В.А. Стеклова как педагога и организатора учебных занятий. О высоком ка-
честве его лекций в Харьковском технологическом институте можно судить
по сохранившемуся литографированному курсу лекций "Теоретическая ме-
ханика” *). Курс лекций содержит прекрасное изложение сведений по ме-
ханике, необходимых будущему ученому и инженеру. В нем излагались не-
которые разделы математики, не входившие в принятые тогда программы,
но необходимые для глубокого изучения механики, — элементы векторной
алгебры и векторного анализа, сведения о криволинейных интегралах и др.
Изложение механики на основе векторной алгебры и векторного анализа
было новым явлением для того времени.
По предложению В.А. Стеклова вместо так называемых "репетиций”
(промежуточных экзаменов) в Харьковском технологическом институте
были введены практические занятия, на которых решались задачи, способ-
ствовавшие развитию интереса к изучаемому предмету. На этих занятиях
давались дополнительные разъяснения наиболее трудных мест курса. Такие
практические занятия сохранились и до наших дней, и польза их хорошо
известна.
В 1904 г. В.А. Стеклова избирают деканом математического факультета
Харьковского университета. С этого времени он принимает особенно актив-
ное участие в университетских делах, участвует в выработке нового универ-
ситетского устава и т.д. Его деятельность в этой области нашла отра-
жение в ряде заметок, помещенных в "Трудах совещания по выработ-
ке университетского устава при Министерстве народного просвещения”
(1906 г.).
Господствовавшая в семье атмосфера почитания памяти Николая Добро-
любова, чья жизнь была настоящим подвигом, в немалой степени способст-
вовала формированию у В.А. Стеклова характерной для него с юных лет
черты - высокого чувства гражданственности. Всякое дело, большое или ма-
лое, за которое брался В.А. Стеклов, он всегда выполнял с большим трудо-
любием, упорством и тщательностью. В.А. Стеклов не ограничивался прос-
тым присутствием на заседаниях, а неутомимо работал, выступал, состав-
лял проекты, докладные записки, особые мнения и т.д. При этом он всегда
проявлял большую эрудицию, самостоятельность и принципиальность, не
терпел фальши и несправедливости.
В бурный 1905 г. в Харьковском университете начались выступления по-
литического характера, университет оказался в центре революционных вол-
нений. Совместно с другими деканами и ректором университета В.А. Стек-
лов предпринимал активные меры для предотвращения кровопролития сту-
денческой молодежи.
В 1906 г. В.А. Стеклов принял предложение занять должность ординарно-
го профессора кафедры математики в Санкт-Петербургском университете.
Появление В.А. Стеклова в Петербургском университете активизировало
учебную и научную жизнь физико-математического факультета. По предло-
жению В.А. Стеклова были введены регулярные практические занятия,
здесь он читает курсы по обыкновенным дифференциальным уравнениям
и по уравнениям в частных производных. Вокруг В.А. Стеклова довольно
*) Харьков, 1901 (1), 370 с.
9
быстро организовалась группа талантливых студентов, занятиями которых
он руководил.
Для характеристики педагогической деятельности В.А. Стеклова приве-
дем отзыв его ученика В.И. Смирнова*) : ”Он не любил касаться общих воп-
росов о методах и целях математики, предпочитая показывать эту матема-
тику в действии, но делал это так, что в результате у слушателей получалось
впечатление не отдельных теорем и терминов, а чего-то цельного. Достигал
этого В.А. теми замечаниями, весьма краткими, но чрезвычайно ценными,
которыми он обычно сопровождал доказательство теорем и решение приме-
ров. Особенно, я думаю, памятны слушателям лекции В. А., посвященные
уравнениям в частных производных, где В.А. знакомил нас и с некоторыми
современными методами и задачами математической физики.
Требовательный к себе, он был требователен и к другим. От своих непо-
средственных учеников он требовал посильной, но безусловно самостоя-
тельной научной работы с самого начала. Но вместе с тем он не признавал и
узкой специализации без достаточно широкого математического образо-
вания”.
Здесь, на базе Петербургской математической школы, созданной П.Л. Че-
бышевым, В.А. Стеклов создает первую в нашей стране школу матема-
тической физики. Под непосредственным руководством В.А. Стеклова вы-
росли такие ученые, как В.В. Булыгин (1888 - 1918), А.Ф.Гаврилов (1887 —
1961), М.Ф. Петелин (1886-1921), В.И. Смирнов (1887-1974), Я.Д. Та-
маркин (1888-1945), А.А. Фридман (1888-1925), Я.А. Шохат (1886-
1944) и др. Большое влияние на создание и научную деятельность школы
В.А. Стеклова имели работы А.М. Ляпунова. Н.М. Гюнтер (1871-1941)
стал деятельным помощником В.А. Стеклова в организации школы матема-
тической физики; дальнейшая его научная деятельность проходила под
сильным влиянием идей Стеклова.
Плодотворной и многогранной была деятельность В.А.Стсклова и создан-
ной им школы. Характерной чертой его научного творчества было объеди-
нение глубоких теоретических исследований с практическим применением
математических методов к естествознанию. Наиболее важные результаты
В.А. Стеклов получил, как уже отмечалось, в математической физике.
Большинство работ В.А. Стеклова (а их — свыше 150) относится к крае-
вым задачам для дифференциальных уравнений. Он впервые дал строгое
обоснование метода Фурье решения смешанной задачи для уравнений коле-
бания неоднородной струны и охлаждения неоднородного твердого стерж-
ня. В.А. Стеклов построил асимптотические выражения для собственных
функций задачи Штурма - Лиувилля и для разложения произвольной функ-
ции по собственным функциям получил те же общие условия разложимос-
ти, что и для обычного тригонометрического ряда Фурье.
Важные результаты, достигнутые В.А. Стекловым, относятся к вопросам
разрешимости и представления решений задач Дирихле и Неймана для урав-
нения Лапласа при минимальных для своего времени предположениях о
границе области и о граничных функциях.
Особенно выдающихся успехов В.А. Стеклов добился в разработке тео-
рии замкнутости ортогональных систем функций, подойдя вплотную к по-
*) Памяти В.А. Стеклова/Сб. статей. - Л.: Изд-во АН СССР, 1928, с. 17.
10
нятию гильбертова пространства. Теории замкнутости и ее применениям в
математической физике и анализе он посвятил много работ, начиная с 1896 г.
и до конца своей жизни. Вот что пишет по этому поводу известный немец-
кий математик А.Кнезер*): ’’Уравнение замкнутости вполне может быть
названо излюбленной формулой Стеклова, это уравнение можно бы назвать
формулой Стеклова, так как он, превзойдя А. Гурвица, впервые строго до-
казал его для других случаев”* **). В силу сказанного представляется спра-
ведливым условие замкнутости, называемое в настоящее время равенством
Парсеваля, назвать равенством Парсеваля — Стеклова.
Разработанная В.А. Стекловым плодотворная идея усреднения (сглажи-
вания) функций привела к понятию функции множеств и, вообще, обоб-
щенной функции и прочно вошла в аппарат современной математической
физики и анализа. В.А. Стеклов установил и систематически пользовался
простейшими теоремами вложения функциональных пространств.
Работы В.А. Стеклова совпали с переломным моментом в истории мате-
матической физики. Уточняя старые и создавая новые методы, он вступал
на новые пути математического исследования, предвосхищая плодотворные
идеи современной математики - математики второй половины XX в.
В Петербургском университете В.А. Стеклов много внимания уделял ор-
ганизации университетской жизни.
Не прошло и года работы В.А. Стеклова на новом месте, как он высту-
пил на заседании Совета Петербургского университета с предложением от-
казаться от выборов представителя от университета и Академии наук в Го-
сударственный совет, категорически высказывался против введения в Пе-
тербургском университете, профессорского дисциплинарного суда, высту-
пал с протестом против допуска в здание университета полиции и против
произведенных ею арестов во время студенческих сходок, вносил предло-
жение отменить запрещение свободного доступа в лекторий университета
лицам, оставленным для подготовки к профессорскому званию.
В 1910 г. В.А. Стеклова избирают адъюнктом Академии наук, а в 1912 г.—
ординарным академиком. Однако он не покидает своей деятельности в уни-
верситете. Только с 1916 г., когда его избирают членом правления Акаде-
мии наук, он начинает отходить от университета, а в 1919 г., после избрания
его вице-президентом Академии наук, прекращает там чтение своих лекций.
С этого времени начинается напряженнейшая работа В.А. Стеклова в Акаде-
мии наук.
Существенные изменения в Академии наук произошли вскоре после
Февральской революции. В мае 1917 г. Императорская Академия наук
была переименована в Российскую Академию наук. Тогда же впервые в
истории этого научного учреждения академики сами избрали президента
Российской Академии наук. Президентом стал академик А.П. Карпинский.
Примерно в середине 1917 г. в Академии наук определилась группа уче-
ных, стремившихся приблизить науку к народу и усилить ее влияние на
жизнь общества. В этом движении, вдохновителем которого был А.М. Горь-
кий, принял самое активное участие и В.А. Стеклов. Избрание именно тако-
') А. К пс sc г. Wladimir Stekloff zum Gedachtnis. - Jahresb. der Deutsch. Mathem.—
Verein., B. - Z., 1929, Bd 38, Heft 9-10, S. 206-231.
**) А. Гурвиц доказал замкнутость тригонометрической системы функций.
11
го человека вице-президентом Академии наук (1919 г.) явилось большим
событием в ее жизни. На плечи В.А. Стеклова легло бремя больших забот,
связанных с ростом и обновлением Академии наук. В суровое время граж-
данской войны, несмотря на большие трудности, научная работа не прекра-
щалась. Добиваясь расширения исследований в области физико-математи-
ческих наук, В.А. Стеклов в январе 1919 г. совместно с академиками
А.А. Марковым и А.Н. Крыловым поставил вопрос об организации в Акаде-
мии наук специального Математического кабинета. Задачи его были сфор-
мулированы в записке, с которой эти ученые обратились к Физико-матема-
тическому отделению. Математический кабинет (ему были присвоены име-
на П.Л. Чебышева и А.М. Ляпунова) начал свою работу в 1919 г., его воз-
главил В.А. Стеклов. Он передал этому кабинету дичную библиотеку.
В январе 1921г. В.А.Стеклов представил в Физико-математическое отделе-
ние развернутую записку, в которой, обосновывая настоятельную необхо-
димость организации при Российской Академии наук Физико-математическо-
го института, он, ссылаясь на М.В. Ломоносова, писал* ): ”Ни одна из естест-
венных наук, если дело идет не о собирании сырого материала, а о действи-
тельном творчестве, не обойдется без математики, матери всех наук. Что же
касается физики, поставленной впереди всех других наук, как и следует в
проекте Ломоносовского института, то в настоящее время математика и
физика до такой степени слились в одно целое, что иногда трудно отде-
лить - где кончается математика и начинается физика”.
Предложение В.А. Стеклова нашло единодушную поддержку в Академии
наук, и в 1921 г. был организован Физико-математический институт Россий-
ской Академии наук ввиду ’’назревшей в науке потребности связать тесней-
шим образом физические науки с. чисто математическими”. Директором
его был избран В.А. Стеклов. В состав института вошли Математический ка-
бинет, Физическая лаборатория и Сейсмическая сеть, на базе которых были
организованы соответствующие отделы. Физико-математический институт
просуществовал до 1934 г.»*). В 1934 г. И марта постановлением Отделе-
ния математических и естественных наук, которое было 28 апреля утверж-
дено Общим собранием АН СССР, он был разделен на два самостоятельных
института: Математический институт им. В.А. Стеклова***), руководимый
И.М. Виноградовым, и Физический институт им. П.К. Лебедева во главе с
С.И. Вавиловым.
Для переговоров по делам науки В.А. Стеклов неоднократно встречался
с В.И. Лениным и А.В. Луначарским. По свидетельству М. Горького****)
Владимир Ильич с большой симпатией отзывался о Владимире Андреевиче,
назвал его ’’русским Архимедом”.
В.А. Стеклов был одним из инициаторов и организаторов Особого Вре-
менного комитета науки при СНК СССР. При непосредственном участии
*) Протоколы заседаний Физико-математического отделения Российской Академии
наук, 1921.
Имя В.А. Стеклова было присвоено Физико-математическому институту в
1926 г. сразу после смерти Владимира Андреевича.
•*•) фактическим началом организации Математического института им. В.А. Стек-
лова следует считать дату 28 ноября'1932 г., когда директором Математического н-
ститута был избран академик И.М. Виноградов.
••••) М. Г о р ь к и й. Собр. соч. в 30 томах. - М., 1952, т. 17, с. 31-32.
12
В.А. Стеклова Комитет разработал и провел в жизнь ряд постановлений пра-
вительства, способствовавших росту как самой Академии наук, так и дру-
гих научных учреждений страны.
В трудные годы гражданской войны В.А. Стеклов принимал активное
участие в работе по изучению Курской магнитной аномалии, приведше-
му к открытию громадных залежей железной руды'. Он заведовал теоре-
тической и вычислительной частью экспедиции северного района КМ А.
В.А. Стеклов состоял членом Комиссии по изучению производительных сил
страны при Госплане, Постоянной комиссии по изучению тропических стран,
был активным деятелем двух комитетов - Комитета по делам Главной
Российской астрономической обсерватории и Комитета по делам Российс-
кого гидрологического института. В.А. Стеклов был председателем Посто-
янной сейсмической комиссии, принимал активное участие в восстановле-
нии и строительстве сети сейсмических станций в стране. В.А. Стеклов при-
нимал деятельное участие в подготовке нового Устава Академии наук, ко-
торый был почти без поправок принят в 1927 г. (спустя год после смерти
В.А. Стеклова). В.А. Стеклов оказывал большое влияние на строительство
в Академии наук, будучи членом Строительной комиссии. Наконец В.А.Стек-
лов был членом издательской комиссии Академии наук и входил в
Международную комиссию по изданию трудов Л.Эйлера, постоянное место-
пребывание которой было в Цюрихе (Швейцария).
На основе этого краткого перечня обязанностей В.А. Стеклова можно
составить лишь самое общее, далеко не полное представление о его научно-
организационной и общественной деятельности после революции.
Большим событием последних лет жизни В.А. Стеклова была команди-
ровка на Международный математический конгресс, проходивший в ав-
густе 1924 г. в Торонто (Канада). На конгрессе В.А. Стеклов сделал два
доклада - ”0 задачах представления функций при помощи полиномов )
и ”0 посмертных трудах А.М. Ляпунова о формах равновесия вращающей-
ся неоднородной жидкости”*) **).
На этом конгрессе В.А. Стеклов подружился с профессором Дж. Филд-
сом, президентом конгресса. Там же в торжественной обстановке была при-
суждена В.А. Стеклову степень почетного доктора Торонтского универси-
тета за выдающиеся работы по математике.
Отметим попутно, что В.А. Стеклов был также членом многих математи-
ческих обществ: Харьковского, Московского, Петербургского-Ленинград-
ского, в Палермо, членом-корреспондентом Академии наук в Геттингене,
члене Германского сейсмологического общества в Иене.
Командированный в июне и октябре 1925 г. в Германию, Италию и Авст-
рию, В.А. Стеклов посещал там научные учреждения, встречался с видными
учеными и вел переговоры об укреплении научных связей. В Германии
В.А. Стеклов, в частности, имел беседы с непременным секретарем Берлин-
ской Академии наук М. Планком.
Эти заграничные поездки В.А. Стеклова и участие его вместе с другими
советскими математиками в работе конгресса способствовали повышению
авторитета и влияния советской математики за рубежом.
*) Proc. IMC, Toronto, august 11-16.- 1924, vol. 1, p. 631 -640.
**) Там же, vol. 2, p. 23-30.
13
В 1925 г. исполнилось 200 лет со дня основания Академии наук.В.А. Стек-
лов приложил много труда и энергии, чтобы этот юбилей превратился в под-
линный праздник советской науки.
Ведя большую научно-организационную работу, В.А. Стеклов продолжа-
ет интенсивно заниматься (преимущественно в ночное время) научной
деятельностью. Продолжая свои исследования по теории замкнутости,
по разложениям функций по ортогональным многочленам, В.А. Стек-
лов публикует также свои знаменитые работы по квадратурным формулам
(1916-1919 гг.)*).В 1922-1923 гг. вышло в свет его сочинение ’’Основ-
ные задачи математической физики”** ***)), подводящее итог его многолетних
исследований по математической физике. Создает учебник ’’Основы теории
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений”* * *).
Еще в молодые годы В.А. Стеклов часто задумывался над тем, какая
роль принадлежит математике в материальном и культурном развитии об-
щества. Уже с первых дней Февральской революции В.А. Стеклов вместе с
А.М. Горьким начал активную деятельность в области популяризации нау-
ки. С этого же времени он начал обработку своих заметок историко-мате-
матического и философского характера.
В.А. Стеклов всегда стремился приблизить науку к народу, усилить ее
влияние на жизнь общества. При этом он имел в виду не только приклад-
ную роль науки. ’’Наука, - говорил он, - есть нравственный образователь
человечества”.
В 1920 г. В.А. Стеклов закончил работу над книгой на историко-фило-
софскую тему "Математика и ее значение для человечества” ♦•»»). Говоря о
задачах своей книги, он писал: ”Я хотел, с одной стороны, в кратком истори-
ческом обозрении установить теснейшую связь математики со всеми фило-
софскими системами, начиная с древнейших, показать, что именно матема-
тика всегда являлась и является источником философии, что она создала
философию и может быть названа ’’матерью философии”.
С другой стороны, я пытался последовательно в общих чертах просле-
дить движение философской мысли в решении вопроса о происхождении и
достоверности человеческого знания ... и, в частности, вопроса о происхож-
дении и характере основных положений геометрии” (с. 30-31).
Развитие математической науки В.А. Стеклов рассматривал с позиций
философа-материалиста. Краткий исторический обзор развития математики
и ее влияния на философию написан блестяще, точным и лаконичным язы-
ком математика. В.А. Стеклов приходит к выводу, что математика являет-
ся источником философии.
Излагая собственные воззрения, В.А. Стеклов утверждает, что все явле-
ния, происходящие в природе и в обществе, должны со временем стать объ-
ектами математики. Математика возникает и развивается на основе опыта,
в результате практической деятельности людей. Он отвергает взгляд Э.Кан-
та на математику как на априорную науку, вытекающую из свойств чистого
разума, и выступает против кантовского агностицизма с его невозмож-
ностью познания "вещей в себе”.
*) ИАН, серия 6, 1916-1919, т. 10-13.
**) Петроград, ч. 1, 1922, IV + 285 с.;ч. II, 1923, II + 285 с.
***) Госиздат, 1927, Х+419с.
*»»») Госиздат, 1923, 137 с.
14
В.А. Стеклов считал, что основы всех наук, в том числе и чистой матема-
тики (к которой он относил арифметику, алгебру и частично геометрию),
созданы путем длительного ряда опытов и наблюдений и обобщения заме-
ченных на многих частных случаях общих закономерностей. Особую роль
он придавал интуиции как одной из форм познания. В.А. Стеклов писал:
”... Здесь проявляется, на наш взгляд, особая способность человеческого
ума, составляющая основу его творчества и одно из орудий открытия и изо-
бретения, та способность которую называют теперь интуицией, хотя и при-
дают этому термину не всегда именно то значение, о котором мы сейчас го-
ворим ...” (с. 104). Дальше он пишет: ”.. . Метод открытия и изобретения
у всех один и тот же, та же интуиция, ибо при помощи логики никто ничего
не открывает; силогизм может только приводить других к признанию той
или другой уже заранее известной истины, но, как орудие изобретения, бес-
силен ... Математик иногда наперед высказывает весьма сложное положе-
ние, совершенно не очевидное, и затем начинает доказывать его ... В изоб-
ретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а
все та же интуиция, которая идет поверх всякой логики” (с. 110).
Заканчивая свою книгу, В.А. Стеклов высоко оценивает вклад великих
русских математиков: "Изложенное выше направление в теории познания
внешнего мира создано исключительно гениями математической мысли,
среди которых одно из первых мест принадлежит русским математикам, а
из этих последних первое место занимают Н.И. Лобачевский и П.Л. Чебы-
шев” (с. 137).
В.А. Стеклов был большим мастером научно-художественной прозы: им
написаны две книги научно-биографического характера: ’’Михайло Василье-
вич Ломоносов”*) и ’’Галилео Галилей”** ***) ****)), а также статьи и очерки о жиз-
ни и деятельности П.Л. Чебышева, Н.И. Лобачевского, М.В. Остроградского,
А.А. Маркова, А. Пуанкаре, В. Томсона и др.
Большие способности В.А. Стеклова проявились и в художественной про-
зе. Его перу принадлежат книга ”В Америку и обратно. Впечатления”» ♦•)
и повествования о своей жизни* * * *).
Еще в харьковский период деятельности В.А. Стеклов установил широ-
кие научные связи как с зарубежными, так и с отечественными учеными.
Об этом, в частности, свидетельствует обширная переписка с зарубежными
учеными, в том числе с такими выдающимися математиками, как А. Пуан-
каре, К. Жордан, Д. Гильберт, Ж. Адамар, Т. Леви-Чивита, Э. Пикар, А. Ха-
ар, Э. Ландау, В. Вольтерра, С. Заремба, А. Корн, А. Кнезер и др. В Ленин-
градском отделении архива АН СССР сохранились большое количество пи-
сем отечественных и зарубежных ученых к В. А. Стеклову и часть его собст-
венных писем-черновиков. Эти письма интересны как своим научным со-
держанием, так и имеющимся в них историческим материалом. Переписка
В.А. Стеклова и А. Кнезера недавно опубликована**»*•).
*) Госиздат, 1923, 203 с.
**) Госиздат, 1923, 103 с.
***) "Время”, 1925, 146 с.
****) Ленинградское отделение архива Академии наук СССР, ф.165, on. 1 -5.
•*»**) В.А.Стеклов, А.Кнезер. Научная переписка (1901-1925). - М.:
Наука, 1980.
15
Осенью 1920 г. умерла жена В.А. Стеклова — Ольга Николаевна. Смерть
жены была тяжелым ударом для В.А.Стеклова: он стал более замкнутым,
более суровым.
Осенью 1925 г. во время празднования 200-летнего юбилея Академии
наук В.А. Стеклов простудился, но, как всегда, перенес болезнь на ногах.
Несмотря на его, крепкое здоровье, последствия оказались роковыми.
Поездка на лечение в Италию не помогла, состояние его здоровья не улуч-
шалось.
23 февраля 1926 г. отмечалось 100-летие со дня открытия Н.И. Лобачев-
ским неевклидовой геометрии. В.А. Стеклов, высоко чтивший великого
ученого, присутствовал на торжествах в Казани. Поездка в Казань еще бо-
лее ухудшила состояние его здоровья. В мае 1926 г. В.А. Стеклов решает
уехать в Крым лечиться, предполагая пробыть там один месяц. Однако
судьба распорядилась иначе: 30 мая в Гаспре В.А. Стеклов внезапно скон-
чался. Похоронен В.А. Стеклов на Волковом кладбище в Ленинграде.
Имена и дела ученых подвергаются испытанию временем. Сохраняется и
развивается лишь то, что служит прогрессу и практической деятельности
людей. Труды В.А. Стеклова, бесспорно, выдерживают такое испытание.
Они оказали и продолжают оказывать большое влияние на дальнейшее раз-
витие математики и механики. Вспоминая о В.А. Стеклове, А.Н. Крылов в
1936 г. писал*): ”... его можно причислить к той группе знаменитых рус-
ских математиков, в которую входят Остроградский, Чебышев и Ляпунов”.
В. С. Владимиров
*) А.Н.Крылов. Памяти В.А. Стеклова. - В кн.: Воспоминания и очерки. - М.:
Изд. АН СССР, 1956, с. 396 -398.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое вниманию читателя сочинение В.А. Стеклова ’’Основные
задачи математической физики” было издано в Петрограде в двух частях:
часть первая (1922 г.) посвящена одномерным краевым задачам и часть
вторая (1923 г.) - теории потенциала в пространстве»)- Это первое пос-
мертное переиздание Академией наук СССР избранного труда академика
В.А. Стеклова. В этом сочинении подводится итог его многолетних исследо-
ваний по математической физике, начатых еще в 1896 г.
В части I (гл. III) В.А. Стеклов перечисляет основные задачи математи-
ческой физики и соответствующие им краевые задачи для дифференциаль-
ных уравнений распространения тепла, распространения звука (электроди-
намики и т.д.) и установившихся физических процессов для областей одно-
го, двух или трех измерений. Изложенная В.А. Стекловым схема постано-
вок краевых задач соответствует современной: на основе физических гипо-
тез о сущности физического процесса выводятся дифференциальные урав-
нения, к ним добавляются краевые условия: начальные условия (описы-
вающие начальное состояние процесса) и граничные условия (описывающие
режим на границе области, где происходит процесс). Задачи математичес-
кой физики В.А. Стеклов рассматривает как математические**) модели фи-
зических процессов. Необходимые требования, которые он предъявляет к
задачам математической физики, состоят в том, что решение должно су-
ществовать и быть единственным. Впоследствии Ж.Адамар добавил к этим
условиям еще условие непрерывной зависимости решения от данных зада-
чи, выделив важный вопрос так называемых корректно поставленных задач
математической физики.
Для решения одномерных краевых задач В.А. Стеклов использует метод
Фурье разделения переменных***) (гл. IV и XI). Для обоснования метода
Фурье он ставит и решает две задачи: (А) задача на собственные значения,
(В) разложение по собственным функциям (гл. IV).
Задача (А) состоит в доказательстве существования бесконечного (счет-
ного) множества собственных чисел X* (считаем 1Х1К | Х2К -.) и им со-
ответствующих собственных функций Vk(x), удовлетворяющих дифферен-
циальному уравнению
V к(х) + [Xfcp(x) - <7(х)] Vk(x) = 0, а <х<Ъ, (1)
*) В. А. Стеклов предполагал написать и часть третью, посвященную теории фунда-
ментальных функций.
**) Иногда он говорит о механических моделях.
**») В.А. Стеклов также называет его методом Эйлера - Бернулли.
17
и граничным условиям (первого класса) ♦)
И;(*) = аИЛ(А) + 0КИ*), Vk(a) = yVk(a)-aVk(b) (2,)
или (второго класса)
Vk(b) = pVk(a), V’k(b) = ± И*'(в) + тК*(в). (22)
Граничным условиям (2,) или (22) соответствуют три предельных класса
(когда некоторые из постоянных а, 0, у, р и т обращаются в °°) :
K*(fl) = 0, ГЛ(Л) = 0, (2')
VkW) = yVk{a\ Vk(b) = Q, (2")
Vk(a) = Q, Vk(b) = 0Vk(b). (2"')
При перечисленных граничных условиях собственные функции Vk(x) и
ИДх), соответствующие различным собственным значениям, удовлетво-
ряют условию ортогональности с весом р(х):
I ₽(*) Ук(х) И(*) dx = 0 ( J р(х) V2k(x) dx = 1). (3)
а а
Для исследования задачи (А) В.А. Стеклов применяет и развивает метод
Шварца - Пуанкаре (гл. V - VII). Идея этого метода состоит в следующем:
ищем решение неоднородного уравнения
Г”(х)+[Xp(x)-<z(x)l И(х)+/(х) = 0, /€С([а, 6]), (4)
удовлетворяющее одному из граничных условий (2), в виде ряда по степе-
ням X:
И(х, X) = v0(x) + Хи।(х) + Х2у2(х) + ..., (5)
где у* (х) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
i4'(x) - </(х) нНх) +р(х) vk_ । (х) = О, Л =1,2,...,
и'о'(х) - q(x) v0(x) +f(x) = О
и соответствующим граничным условиям.
Доказывается регулярная сходимость ряда (5) в круге I Х| <р, где
\/ । ь
р= lim ~7==r- , Wk= f p(x)v2k(x)dx. (7)
Ь>» у/ wk а
При этом решение К(х, X) есть мероморфная функция X с простыми ве-
щественными полюсами X = Xfc и вычетами ckVk(x) (или соответствующи-
ми линейными комбинациями, если кратность Хк равна 2). При этом р =
= 1X11. Если выбрать/(х) такой, что
ь
f p(x)f(x) Vt(x)dx = 0, (8)
a
то соответственно р = I Х21 и т.д.
*) Эта задача при а =0, 0<О, т > 0 называется задачей Штурма - Лиувилля.
18
Изложенный метод Шварца-Пуанкаре В.А. Стеклов применяет и для ре-
шения задачи (В) о разложении функции fix) в ряды Фурье по собствен-
ным функциям КА(х) (гл. IX):
со Ь
f(x)= S Ак Vk(x). Ак = J p(x)f(x)Vk(x)dx. (9)
к - I а
Сначала доказывается регулярная сходимость ряда (9) для функций
/(х), удовлетворяющих граничным условиям и таких, что /"(х) интегрируе-
ма (по Риману) на (а, Ь). Далее, пользуясь созданными В. А.Стскловым тео-
рией замкнутости (гл. II) и методом усреднения (гл. I), он распространяет
теоремы разложения на более широкие классы функций. В результате он
доказывает, что ряд (9) сходится равномерно для всех функций /(х), удов-
летворяющих условию Липшица*) в случае граничных условий (2!) и при до-
полнительных граничных условиях: f(b)-pf(a) = 0 в случае(22 ),/(а) =f(b) =
= 0 в случае(2’), f(b) = 0 в случае (2"),/(а) = 0 в случае (2"’) (гл. IX).
При некоторых дополнительных предположениях относительно чисел а,
Р,у,рпт и функций р(х) и с/(х), обеспечивающих неотрицательность собст-
венных значений ХА, доказывается регулярная сходимость ряда (9) и дает-
ся оценка погрешности, если /(х) удовлетворяет перечисленным выше ус-
ловиям (гл. X).
При этих же предположениях в главе XI доказывается существование и
единственность решения смешанной задачи
dU d2U
р(х) = ТЧ ~яМи, U <г0 = /(*) (10)
3/ Эх2
(с граничными условиями типа (2)) и представимость его в виде ряда
Фурье по собственным функциям Vk (х):
U(t,x) = S Ак е~Кк' Ук(х). (11)
As I
Для смешанной задачи
д2и д2 U ъи
Р(х) — = — ~q(x)U, U\t.o =f(x). —- Эг Эх dt = Л(х) (12)
(с граничным условием (2,) при 0<О, ?>0, а20) доказывается
существование и единственность решения и представимость его в виде ряда
Фурье по собственным функциям Ук(х)
U(t,x)= S (Ак cosx/47 t + Bk sin ИА(х), (13)
А = I
где
А к = I Р(х)Дх) Ук(х)Вх,
а
I ь
Вк = “7=7 J P(x)fi(x) Vk(x)dx
V л* а
(14)
при более ограничительных условиях:/(х) и/,(х) принадлежат классу
*) В.А. Стеклов называет это условие условием Коши.
19
С1 ([я, й|) и удовлетворяют граничным условиям (2,)э f"(x) удовлетворя-
ет условию Липшица на (a, b), a fi(x) интегрируема на (а, й); р(х) > 0 и
q(x) > 0 удовлетворяют условию Липшица на (а, Ь).
Аналогичный результат получен и для граничных условий (2*). В этом
случае дополнительно требуется: f"(a) = j(b) = 0.
В главах VIII и X В.А. Стеклов указывает на важность условий ортого-
нальности (3) для справедливости развитой им теории и приводит соответ-
ствующие примеры. Хотя в то время в математической физике и не встре-
чались несамосопряженные задачи, В.А. Стеклов указывает на интерес к
таким задачам с точки зрения чистого анализа, разработки особых более
общих методов. Здесь он ссылается на труды О. Коши, А. Пуанкаре,
Дж. Биркгофа и др.*)
Часть II посвящена исследованиям задач Дирихле, Неймана и Робена**)
в трехмерном пространстве, выполненным В.А. Стекловым за период
1896-1902 гг.
Напомним, что задача Дирихле состоит в нахождении гармонической
функции U(x) в области D, непрерывной в замкнутой области D и прини-
мающей на границе ее 5 заданные значения /. Задача Неймана состоит в на-
хождении гармонической функции U(x) в D, для которой правильная нор-
ъи
мальная производная -----существует на 5 и принимает Заданные (непре-
Эи
рывные) значения g. Аналогично ставятся и внешние задачи Дирихле и Ней-
мана, причем на бесконечности требуется выполнение условий***)
U(x) = О(\/1 х I), grad U(x) = 0(1/lx|2), lxl-»-~ (15)
Задача Робена состоит в нахождении плотности р* на 5, потенциал прос-
того слоя которой есть величина постоянная в области D (задача о равнове-
сии электричества на проводнике 5 ).
Глава I носит подготовительный характер и посвящена изучению общих
свойств гармонических функций, а также объемного потенциала и потен-
циалов простого и двойного слоев. Для поверхностей Ляпунова****) (с по-
казателем а = 1) даются доказательства основных теорем Ляпунова. В частно-
сти .получено достаточное условие на плотность,при котором потенциал двой-
ного слоя имеет правильные нормальные производные (четвертая теорема
Ляпунова). Приведен пример, показывающий, что это условие неулучшаемо.
Решение задач Робена и Неймана для выпуклых поверхностей Ляпунова
содержится в главе II.
Задача Робена сводится к нахождению ненулевого решения однородного
интегрального уравнения
1 , cos ф
р*(х)= — J р*(х) —— ds, хе5, (16)
2тг s г
*) Дальнейшее развитие теория несамосопряженных операторов для дифференциаль-
ных уравнений получила в трудах М.В. Келдыша. Им было введено важное понятие
m-кратной полноты.
*) Задачи Неймана и Робена В.А. Стеклов называет также основными задачами
гидродинамики и электростатики соответственно.
***) Условия (15) являются следствием гармоничности V (х) и условия U (~) =0.
• **») Термин введен В.А. Стекловым.
20
где г = lx - х'1 и ф — угол между направлением (внешней) нормали и в
точке х £5 и направлением х - х. Решение интегрального уравнения (16)
строится методом последовательных приближений с помощью итераций
, 1 , cos ф
Рк(х)= — S Р*-|(х') — ds, k=\,2,...,x&S, (17)
2тг s г
где р0(х) - произвольная функция на 5, удовлетворяющая условию
/ Po(x)<fc=Af>0, (18)
s
и тогда, в силу формулы Гаусса,
J pk(x)ds = f p0(x)ds=M. (19)
s s
Следуя Стеклову, будем говорить, что поверхность Ляпунова удовлет-
воряет принципу Робена, если существует такое число т& (0, 1), что для
любой ро итерации рк удовлетворяют неравенству
1рИх)- р*_1(х)|<^*, к=\,2,..., x&S, (20)
при некотором 7V = 7V(po)>0. (Доказывается, что выпуклые поверхности
Ляпунова удовлетворяют принципу Робена.)
Для поверхностей S, удовлетворяющих принципу Робена, итерации
рк(х) сходятся равномерно на S, определяя непрерывную функцию*)
р’= Нт рк =р0 +(pi -Ро) + (р2-Pi)+ • • • (21)
на S - решение интегрального уравнения (16). При этом для любого М
при условии
/ p*(x)ds = M
S
задача Робена разрешима однозначно.
Таким образом, В.А. Стеклов, видоизменив метод Робена, полностью до-
казал существование ненулевого решения р* задачи Робена.
Аналогично решаются и задачи Неймана - внутренняя и внешняя. Реше-
ние внутренней задачи Неймана ищется в виде потенциала простого слоя
1 р(х)
К(х)= — S ds (22)
2ns г
с неизвестной плотностью р. Плотность находится с помощью итераций рк,
определяемых равенством (17) с р0 = g, по формуле
Р =Ро +Р1 + Рг + • • • (23)
При выполнении необходимого условия разрешимости
f g ds = J po ds = 0 (24)
s s
*) Для выпуклых поверхностей Ляпунова S функция р* положительна. Этот ре-
зультат вытекает также и из теоремы Ентча.
21
(и тогда в силу (19)
f рк ds = 0, к = 1,2,... ) (25)
s
для поверхностей 5, удовлетворяющих принципу Робена (20), справедлива
оценка
|pfc(x)|<№-*, к =1,2,..., x&S. (26)
Отсюда следует, что ряд (23) сходится регулярно, определяя непрерывную
функцию р. Этим существование решения и его представимость в виде по-
тенциала простого слоя (22) доказаны.
На языке теории интегральных уравнений формулы (17) и (23) суть не
что иное, как последовательные приближения для интегрального уравнения
Фредгольма
1 , cos ф
Р(х) = — f р(х) —у- ds+g(x), xGS. (27)
2ir s г2
cos ф
При этом X = 1 есть характеристическое число ядра —и союзного ядра
2яг2
COS ‘Р , „
---- (ф - угол между нормалью и в точке х € 5 и направлением х - х ) и
2пг2
р* и 1 — соответствующие собственные функции. Поэтому в соответствии с
теоремами Фредгольма возникает условие разрешимости (24) интеграль-
ногр уравнения (27) и его решение определено с точностью до слагаемого
Ср*. Отсюда, в силу (22), сразу следует, что решение внутренней задачи
Неймана определено с точностью до аддитивной постоянной.
Подчеркнем особо, что сходимость метода последовательных приближе-
ний для интегрального уравнения (27) доказана на характеристическом
числе. Здесь мы имеем пример глубокого использования специфики задачи.
Решению задач Дирихле (внутренней и внешней) посвящена глава III. Ре-
шение внутренней задачи Дирихле ищется в виде потенциала двойного слоя
1 , cos ч?
ИДх) = ~ / д(х) -у— ds (28)
2я s г2
с неизвестной плотностью д. При этом искомая плотность д представляется
в виде ряда
Д= у [До ~(Д| -До) + (Д2 -Д1) - • • • ], (29)
где д0 = /' и
1 , cos
Рк(х)= ~ f Pk-i(x) ds, *=1,2..................xSS. (30)
2ir s r
Доказывается, что для поверхностей 5, удовлетворяющих принципу Робе-
на. справедлив и принцип Неймана:
1дл(х) - дл_1(х)|<7Утл, к = 1,2,.. ., xSS, (31)
так что для таких поверхностей S внутренняя задача Дирихле разрешима в
виде потенциала двойного слоя.
22
Далее рассматривается задача о представлении решения задачи Неймана в
виде потенциала двойного слоя, а также задача Гаусса о представлении ре-
шения задачи Дирихле в виде потенциала простого слоя. Получено необхо-
димое и достаточное условие на f, обеспечивающее существование у реше-
ния задачи Дирихле правильной нормальной производной.
В главе IV рассматриваются простейшие задачи математической физики,
сводящиеся к задачам Дирихле или Неймана: о вихревом движении жид-
кости, об установившейся температуре, построение функций Грина.
Наконец, в главе V доказывается справедливость принципа Робена (20)
и, стало быть, всех предыдущих результатов для произвольных поверхнос-
тей Ляпунова. Доказательство основывается на фундаментальной теореме
Пуанкаре — Зарембы: пусть Ук, к = 1, 2,..., - потенциалы простого слоя с
непрерывными плотностями; тогда для любого е>0 существуют такие
числа р и ак, к = 1...р, что для функции V = oti Vi + . .. + ар Vp будут
иметь место неравенства
(1 - е) J I grad V |2 dx < J | grad V |2 dx <
D' D
<(1+е) J | grad К |2 dr. (32)
D'
Следует отметить, что В.А. Стеклов в своих исследованиях не пользуется
систематически ни теорией интегральных уравнений, ни теорией интеграла
Лебега, хотя знал работы, опирающиеся на эти теории. Применение этих тео-
рий значительно сократило бы изложение, особенно в вопросах существова-
ния, и дало бы возможность рассматривать более общие задачи. Отметим в
связи с этим, что в части II В.А. Стеклов излагает теорию потенциала по ра-
ботам 1896-1902 гг., когда этих теорий еще не существовало. Кроме того,
непосредственное применение теории интегральных уравнений (особенно
это касается части I) дает худшие результаты, чем те, которые получены
В.А. Стекловым методами, специально приспособленными для рассматри-
ваемых краевых задач.
Далее, многие результаты по математической физике, полученные в тече-
ние XIX в., уже не удовлетворяли в конце XIX и начале XX веков новым
повышенным требованиям строгости. Уточняя старые и создавая новые ме-
тоды, В.А. Стеклов закрывает пробелы в доказательствах его предшест-
венников, распространяет результаты на более общие случаи. В этом он
видел главную задачу: строго установить саму возможность разрешимости
классических краевых задач и вывести нужные свойства решений; рас-
смотрение же более общих задач, требующих привлечения понятия интегра-
ла Лебега, в то время еще не назрело и предназначалось будущему.
Сочинение В.А. Стеклова "Основные задачи математической физики” не
потеряло интерес и для современного читателя: оригинальны методы иссле-
дования, например доказательства и применения своеобразных теорем вло-
жения с оценками постоянных в главах IV и V части II, а также интересные
исторические экскурсы, показывающие, как развивалась математическая
физика в XIX в., как результаты, нестрого доказанные, постепенно стано-
вились доказанными строго*).
) В этом отношении развитие математической физики в XIX в. сильно напоминает
развитие современной математической физики.
23
При подготовке настоящего издания большую работу по редактирова-
нию провели В.П. Михайлов (часть I) и А.К. Гущин (часть II). Были ис-
правлены явные опечатки, а также мелкие неточности. Эти мелкие неточ-
ности, проистекающие из стиля изложения и легко исправляемые по кон-
тексту, сводятся к следующим: не всегда оговариваются все условия, не
всегда ясно, идет ли речь о замкнутой или открытой области (интервале),
о max или sup, о положительной или неотрицательной функции (числе), об
убывающией или невозрастающей последовательности, встречаются выраже-
ния типа "для каких угодно функций” или "представляется под видом ин-
теграла”. Вместе с тем замечено некоторое количество мест (особенно в
части И), в которых содержатся погрешности в доказательствах. В этом
случае в соответствующих местах авторского текста пришлось сделать из-
менения с сохранением (по возможности) стиля автора; эти места отмече-
ны в подстрочных примечаниях. Сделано также большое число подстрочных
примечаний редакторов с разъяснениями тех или иных мест текста.
2 сентября 1981 г. В.С. Владимиров
ЧАСТЬ I
Основные задачи математической физики
для тел линейных размеров
ГЛАВА I
Системы ортогональных функций данного вида;
нормальные системы; тригонометрические функции;
полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля.
Разложение функций в тригонометрические ряды
и в ряды по полиномам Чебышева.
Приближенное представление функций при помощи полиномов.
Обобщение теоремы Вейерппрасса
1. Обозначим через р (х) функцию от х, которая остается неотрицатель-
ной в промежутке изменения х от а до b(b >я), т.е. сохраняет в этом про-
межутке либо положительные, либо равные нулю значения, и не равную ну-
лю тождественно. Промежуток изменения какой-либо переменной от а до
b (Ь>а) будем обозначать через [я, Л]. Функцию р (х) будем предпола-
гать интегрируемой в обобщенном смысле Римана •) в промежутке [я, ft]
Обозначим через
(О
ряд (ограниченный или неограниченный) функций, вполне определенных и
непрерывных в промежутке [я, ft].
Если функции <Рк (х) удовлетворяют условиям
ь
J Р (х) <рт (х) <рп (х) <1х = 0 при п Ф т, (2)
а
то мы будем называть совокупность функций (1) ортогональной системой
по отношению к функции р (х), а эту последнюю - характеристической
функцией ортогональной системы (1).
Если функции ifik (х) (k = 1, 2, 3, ...) удовлетворяют условиям
ь
/ р(х) ^ (х) dx = 1 (к = 1.2,3,...), (3)
а
то такую систему будем называть нормальной.
2. Обозначим теперь через f (х) функцию, которая может обращаться и в
00 в некоторых точках промежутка [я, ft], но интегрируемую в этом про-
межутке в обобщенном смысле Римана. Предположим, что и квадрат
*) См., например, J о г d a n,’’Cours d’ Analyse de Г Ecole Polytechnique” (Paris,
1893, T. I, p. 31 etc; T. II, p. 50 etc.); см. также С. M. Никольски й,”Курс
математического анализа”, т. 1 (2-е изд. - М.: Наука, 1975).
25
функции f(x) есть также интегрируемая функция в рассматриваемом
&
промежутке, так что не только интеграл ff(x) dx, но и интегралы
а
^ff2(x)dx, fр(х) f2 (x)dx, где а и в - два каких угодно числа, принад-
а а
лежащие промежутку [д, Л], имеют определенный смысл.
Допустим, что система (1) есть система ортогональная и нормальная, и
положим
/(х)= £ Ак*к(х) + рп(х), (4)
к = 1
где п есть какое-либо целое число,
ь
Ак - f р (x)f(x)<pk (x)dx. (5)
а
Умножая (4) нар (.v) J (х) dx и интегрируя результат в пределах от а до
Ь, получаем, в силу (2), (3) и (5),
Л , • п b
fp(x)f~(x)dx Z Ак =fp(x)p;,(x)dx>0. (6)
а к ” I а
Из этой формулы, справедливой при всяком п, выводим следующее пред-
ложение:
Какова бы ни была система функций fk (х) (А = 1,2,3, ...) данного вида,
нормальная и ортогональная в некотором промежутке [д, | по отноше-
нию к данной функции р(х). интегрируемой в этом промежутке и неотри-
цательной, ряд
- Ак • Ак = f р (x} f(X}^k (X)dx
к - 1 а
есть ряд, всегда сходящийся, какова бы ни была функция J (х\ интегрируе-
мая в промежутке [д, ftj вместе с ее квадратом и произведением
p(x)f2(x).
Отсюда следует, что, задав произвольно положительное число е , которое
можно взять сколь угодно малым, можно найти затем такое целое число
п = nrj, достаточно большое, что будет иметь место неравенство
|Л„|<с при л>л0- (7)
Формула (6) показывает, кроме того, что при всяком п
'£ Al < fp (х)/'2 (x)Jx.
к - 1 а
3. Рассмотрим, в частности, бесконечный ряд функций
'Рк (^)= с к cos к>р (9)
при к = 0, 1,2, .. ., где ск - некоторые постоянные.
Функции(9) образуют систему, ортогональную по отношению к функции
р (•#) = 1 (Ю)
26
в промежутке [Q я], ибо
я я
J 4>т(х) р п (х) dx = с,„ с„ / cos тр cos пр dp = 0,
о о
каковы бы ни были постоянные ск .
Определив каждое ск из условия
я , Я
/pk(x)dx =ск f cos кр dp = 1,
о о
(11)
(12)
(13)
получим cl = 1/я, ск = 2/я (k = 1,2,3,...).
Получим ряд тригонометрических функций вида
1 уТ у?
—7—Г » —7—;' COS cos2<p, . . . , , cos к .
УЯ УЯ УЯ уя
образующих систему, ортогональную по отношению к характеристической
функции (10) и нормальную.
4. Введем вместо переменной р новую переменную х при помощи соот-
ношения
х = a cos
где я — какое-нибудь положительное число.
Когда изменяется от 0 до я, переменная х будет изменяться от +я
до - а. Функции (9) преобразуются в
рк (arccos —) = <•* cos к arccos—»
ха/ а
т.е. в полиномы степени к от х/а , отличающиеся лишь постоянным множи-
телем от полиномов Чебышева, наименее уклоняющихся от нуля в проме-
жутке [а, + а]. Обозначим эти полиномы через
Г Г \х/а).
Равенства (11), преобразованные к переменной х, лают
-а X а / Ха/ х/а - х
(14)
Отсюда видим, что полиномы (14) образуют систему, ортогональную в про-
межутке [- а, + а] по отношению к функции
т
(15)
Очевидно, если положим с0 = 1 /х/я, ск = х/~Т/х/я(к = 1, 2, 3,... ),
то получим полиномы нулевой, первой и т.д. степеней вида
Т (L\-L. Т (Х\У? L. х
'°( I—7=?’ /*1 — I—-= cos к arccos —,
ха/ у/я \а/ х/я а
образующих систему, ортогональную по отношению к характеристической
функции (15) и нормальную.
(16)
27
5. Рассмотрим функцию
Ф(^) = Ля cos ф) =/'(•*)> (17)
подразумевая под /(х) функцию, интегрируемую по х в промежутке
от — а до+а . Положим
5„ = S ак cosktp, (18)
к = о
где
а0 =— f Ф(ф)(/ф,
я о
2 я
ak=—f Ф (ф) cos кф с1ф (к = 1, 2, 3,... ). (181)
я о
Можно написать
S„ =— / Ф (ф) (1 + 2 S cos к ф • cos кф\с1ф. (19)
я о I *=1 '
Будем подразумевать под какое-нибудь определенное его значение, взя-
тое в промежутке [0, я], и заменим в этом равенстве под знаком интеграла
Ф (ф) через Ф(ф) • Получим тождество
Ф (ф) = — J Ф (ф) 11 + 2 S cosк*Р • cosfctj/l с1ф.
я о I к = 1 )
которое совместно с (19) приводит к равенству
Ф(<р)-5„=—/ (Ф (ф) - Ф (ф))! 1 + 2 S cos к ф • cos кф\<1ф. (20)
я о I к = 1 )
Заметив, что
п
1+2 S cos к ф • cos кф =
к = 1
COS Иф-СО8(п + 1)^ — COS (и + 1)фСО5И|Д
COS-ф — cos ф ’
и введя обозначения
Ф(ф)-Ф(1Д)
/г(ф,^) =------------, (21)
COS ф — cos ф
1 я
bk= — j Г(#,ф) cos кф <1ф , (22)
я о
приведем равенство (20) к виду
Ф (ф) - Sn = - b„ + ( cos лф + bn cos (и + 1) ф.
Отсюда, воспользовавшись известным неравенством Коши
(flj bt +a2b2 + ... +a„bn)2 <
+яг + ...+агп ){bi + b2 + ...+*£) , (23)
справедливым при всяком целом п для всяких вещественных чисел ак и Ьк
28
(к = 1, 2, 3, ...,и) , выводим неравенство
|Ф G>) - | < \/2’7*п +Лп+ 11.
(24)
6. Допустим теперь, что функция /(х) предыдущего пункта удовлет-
воряет следующему условию:
+а (f(x) dy
Интеграл К = / I----------I ~ / j имеет определенный смысл
-а \ X - у / у/а - у
при всех значениях х промежутка (а, 0], лежащего целиком внутри [-а, +а].
Если мы заменим в этом интеграле х и у соответственно через a cos^ и
a cos ф, то получим, на основании (21),
1 п | Ф (tp) — Ф ($ ] 2 1 я
К =- j —------------- =- / F2 (.р, ф)бф.
а" о(cosр — cos ф ) а 0
При сделанном предположении интеграл f F2 (р, ф) (/^сохраняет, сле-
довательно, определенный смысл при всех "значениях р, принадлежащих
промежутку [а, 0], лежащему в [0, я].
Применяя теперь неравенство (7), справедливое для любой системы
ортогональных функций, к рассматриваемому частному случаю ортогональ-
ных функций (12), заключаем, что при всяком данном в промежутке
|Л„| <е/2, |Л„ + ,|<е/2 прии>и0, (7,)
где е — наперед заданное положительное число, и0 — соответствующим об-
разом выбранное число. При этом основании (24) и (18) будем иметь
п
|Ф - £ ак cos кр\ < е при и > и0 •
* = о
Это неравенство доказывает следующую теорему:
Всякая функция Ф (<р), удовлетворяющая единственному требованию,
чтобы интеграл
2
„ у (ФМ - Ф (Ф) \ ,,
^i = r -------------I бф
° \ COS р — cos ф/
(25)
имел определенный смысл при всех значениях <р из какого-либо промежут-
ка [а, 0], лежащего целиком внутри промежутка |0,я]. разлагается во всех
точках этого промежутка по функциям cos к р (к = 0, 1, 2, . . . ) в сходя-
щийся ряд следующего вида:
Ф(^)= S akcoskp, (26)
к = о
где ак суть коэффициенты, определенные формулами (18,).
Само собой разумеется, что предыдущие рассуждения, устанавливая раз-
ложения вида (26) и сходимость ряда правой части этого равенства, не до-
казывают равномерной сходимости этого ряда в промежутке [0,я], ибо чис-
ло е в неравенствах (7,) может, вообще говоря, зависеть от взятого значе-
ния р.
7. Возвратимся теперь к переменной х, связанной с <р соотноше-
нием (13).
29
Функция Ф ( р) в силу (17) преобразуется в /(х), коэффициенты акв
силу (18 J и (16) примут вид
функция cos к<р представляется в виде coskp = (у/ir /\/2) Тк(х/а) и ра-
венство (26) преобразуется в такое:
Г(х) = S
к=0
+ а I Х\
f f(x)TJ-)
-а \а/
dx
=F*
Таким путем приходим к следующей теореме:
Всякая функция f(x), подчиненная единственному требованию, чтобы
интеграл
+ а
К- f
'f(x)-f(y)\2
> х-у /
(27)
имел определенный смысл при всех значениях х, принадлежащих какому-
либо промежутку [ft,/?]. лежащему целиком внутри [- а,+ я], разлагает-
ся в этом промежутке в сходящийся ряд вида
" / Х\+a fX\dx
f(x) = 2 Тк - / /(х) Тк - -j-—? , (28)
к=о / - а у/а2 - X1
расположенный по полиномам Чебышева Тк (х/d) (к = 0, 1, 2, 3,. . .),
определяемым равенствами (16), и пропорциональным полиномам, наи-
менее уклоняющимся от нуля в промежутке [ -а, +а ].
Равномерная сходимость рассматриваемого ряда, конечно, этой тео-
ремой не устанавливается.
8. Мы рассмотрели для простоты промежуток [- a, + а], но предыду-
щие рассуждения легко распространяются на какой угодно промежуток
[a, ft], где а и ft > а — какие угодно данные числа. Для этого стоит только
вместо прежней переменной х, связанной с р соотношением (13), ввести
переменную х при помощи соотношения вида
ft - а а + Ь
X = -------COS <£ +--------,
2 2
(«)
а под функцией Ф (р) подразумевать функцию
(Ь - а а + Ь\
Ф(^)=/(х)=/1—~cos^ + — —I . (0)
Система ортогональных и нормальных функций (16) преобразуется в
систему полиномов
1
То (x.a,ft) = ~—г,
V Я
/2 Ь+а\
Тк (х,а, Ь) = __-cos к arccos I-х-----], (29)
V я \Ь - а Ь - а /
30
нормальных и ортогональных по отношению к характеристической функции
р (х) = 1 / -х)(х -а)',
т.е. в систему полиномов, пропорциональных полиномам Чебышева, наи-
менее уклоняющимся от нуля в промежутке [а, Л].
Теорема п. 6 преобразуется в следующую:
Всякая функция /(х), подчиненная требованию, чтобы интеграл
«у ... , <зо)
Л х-у / v(*~у)(у -а)
сохранял определенный смысл при всяком значении х в каком-либо про-
межутке [а, /3], лежащем целиком внутри [а,Ь], разлагается в этом про-
межутке в сходящийся ряд вида
/(х) = £ Tk (х,a, b) J /(х) Тк(х, а, Ь) -----, (3D
к = 0 а V (Ь - X) (X - в)
где Тк (х,а, Ь)(к = 0, 1, 2, ... ) суть полиномы Чебышева, определяемые
равенствами (29) и пропорциональные полиномам, наименее уклоняющим-
ся от нуля в промежутке [я, Л].
9. Из доказанных общих теорем весьма просто выводятся важные для
дальнейшего следствия.
Допустим, что функция /(х) удовлетворяет следующему условию:
Для всяких двух точек хну промежутка [я, Ь] имеет место неравенство
/(х)-/О') I ->1а , <32)
где д и а < 1 суть два числа, не зависящие от х и у *) .
При этом интеграл (30), обозначенный через К, будет меньше, чем
2 »_______________аУ
Я а \х - у \ у/(Ь - у) (у - а)
Этот последний интеграл имеет определенный смысл для всех значений х, не
совпадающих с я или Ь, коль скоро
2(1 —<*) < 1,
т.е. коль скоро
1>а>1/2. (32')
Отсюда следует, что интеграл К, содержащий под знаком интеграла сущест-
венно положительную функцию при всяких значениях х и у и всяком значе-
нии х, лежащем внутри (я, Ь), имеет определенный смысл, коль скоро фун-
кция/(х) удовлетворяет неравенству (32) при условии (32г). Теорема
предыдущего пункта приложима, следовательно, ко всякой такой функции
и приводит к следующей теореме:
Всякая функция f (х), подчиненная неравенству
\f(x)-f(y)\<n\x-y\a, (32,)
где ц и а суть данные числа, не зависящие от хи у, причем 1/2 < а < 1,
*) Это условие называют условием Коши - Липшица.
31
разлагается внутри промежутка [a, b J в сходящийся ряд по полиномам Че-
бышева Тк (х, а, Ь) (равенства (29)) по формуле (31).
10. Если функция/ (х) удовлетворяет условию (32), то функция
(Ь - а Ь+а\
COS^+— -I
при всяких двух значениях и ф, принадлежащих промежутку [0, я], удов-
летворяет неравенству
b -а\ а
- I I cos р - cos ф | <
{ b - я\“ а а
<д|——I \<Р~ Ф\ =Pt \<р - ф\
При этом интеграл (25) будет, очевидно, иметь определенный смысл при
всяком лежащем внутри промежутка [0, я], коль скоро 1/2 < а< 1. При
соблюдении этого условия теорема п. 6 приводит к следующей:
Всякая функция Ф(р), удовлетворяющая неравенству
|Ф(«р)-Ф(0)|<д|<р-0|“ , (322)
где р и а суть постоянные, не зависящие от у и ф,причем 1 /2<а< 1,разлага-
ется внутри промежутка [0, я] в сходящийся ряд вида (26) ио косинусам
дуг, кратных *р.
11. Легко убедиться, что интегралы А' и A't при соблюдении условий
(32| ) и (322) сохраняют определенное значение для всех значений х и р,
принадлежащих соответственно промежуткам [я, Л] и [0, я], включая и
концы этих промежутков, если а. удовлетворяет неравенствам 3/4 < а< 1.
При этом разложения (31) и (26) будут иметь место для всех точек про-
межутков (я, Ь)и[0, я].
Особого внимания заслуживает случай, когда а = 1, т.е. функция f(x)
(а также и функция Ф (р)) удовлетворяет условию Коши
\f(x)-f(y)\< Р\х-у\. (33)
На основании только что высказанного можем утверждать, что всякая
функция f(x\ подчиненная условию Коши, разлагается во всех точках
промежутка [я,Ь] в сходящийся ряд вида (31) по полиномам Чебышева
Тк (х, а, Ь).
Точно так же всякая функция Ф(р), подчиненная условию Коши, раз-
лагается во всех точках промежутка [0, я] в сходящийся тригонометри-
ческий ряд вида (26).
12. Функция /(х) , удовлетворяющая условию (33), есть функция
ограниченной вариации в любом промежутке [ а. 0], принадлежащем про-
межутку [я, Л]. В самом деле, сумма
2|/(х*)-Г(х*-1)1< ДЛ
где хк обозначают ряд промежуточных значений х в промежутке (а, 0 ],
a Z - длину промежутка [а, /3]. Это неравенство показывает, что полная
вариация функции Дх) не превосходит определенного предела и что ,эта
32
вариация стремится к нулю одновременно с ее соответствующим проме-
жутком.
На основании теоремы Лебега *), строго доказанной затем Витали **),
такая функция может быть представлена для значений х промежутка
[а, 6] в виде
f(x)= f J\(z)dz+A, <33«)
а
где fx (х) есть функция, подчиненная единственному условию быть интегри-
руемой в промежутке [а, Л] **♦), А есть некоторая постоянная.
Обратно, из условия (33t) сейчас же вытекает неравенство (33).
Таким образом, условие (33 j) эквивалентно условию Коши.
13. Пользуясь этим обстоятельством, докажем следующую теорему:
Всякая функция Ф(уз), удовлетворяющая условию Коши в промежутке
[О,л], разлагается во всех точках этого промежутка (включая и концы
его) в равномерно сходящийся тригонометрический ряд вида (26), причем
если положим
Ф(^>)= S ak cos кр + рп (ф),
к = О
то модуль остаточного числа рп(р) не превосходит т/у/п, где т- конечное
положительное число, не зависящее от п.
Если Ф(уз) удовлетворяет условию Коши, то по предыдущему
Ф(х) = / Фх(ф)дф + А (у)
о
и к интегралу
1 я
а* =—f Ф((//)со$Л0
я о
можем применить теорему интегрирования по частям****) .Таким путем по-
лучаем
1 ” ьк
ак=— f Ф1 (^)sin к фдф= —
ля о к
Так как по предыдущему ряд S ак cos м? сходится и сумма его равна
Ф (</>), то °
Рп (р)= S ак cos к<р = S
к= л+1 л = п+ 1
bk
---cos kp.
к
(34)
*) Lebesgue. Lemons sur I’integration ct la rechcrhe des fonctions primitives. -
Paris, 1904, p. 129.
**) V i t a 1 i. Suite funzioni integrali. - Atti della R. Accad. di Torino. Torino, 1905,
Vol. XL, p. 1021.
De la Vallee Poussin. Cours d’ Analyse. T. IL
“*) Конечно, здесь под функцией/, (х) нужно понимать интегрируемую по Лебегу
ограниченную функцию. (Прим, ред.)
*•••) См. по этому поводу, например, A. Liapounoff, ”Sur 1’equation de Clairaut
et les equations plus generates” (Mem. de 1’Acad. des Sciences de St. Petersbourg, CL Ph. M
Vol. XV, n. 10, p. 5 et. 6).
33
Отсюда на основании известного неравенства Коши (см. п. 5, неравенство
(23))
iPnGOK
2
Ь2к
(34,)
* - я + I
Но система функций (у/2/у/тг) sin кр ( к = 1, 2, 3, . . .) есть система, орто-
гональная по отношению к характеристической функции р(х) = 1 в проме-
жутке [0,7т] и притом нормальная. Поэтому, в силу неравенства (8),
“ я *
2 Ьк J (<p)dp = T2 .
*= 1 2 „
Неравенство (341) приводится, следовательно, к таковому:
|Ри (<Р)|< т/у/п , (35)
имеющему место при всяком значении р в промежутке [0, я]. Из этого
неравенства следует, что
|ф(<р)- S ак cos кр\ < е при п >п0 , (36)
к-0
где е — наперед заданное положительное число, не зависящее от >р, п0,
— есть целое число соответствующим образом выбранное.
Неравенства (35) и (36) и доказывают высказанную в начале пункта
теорему.
14. Если теперь вместо переменной у введем переменную х при помо-
щи соотношения (а) и воспользуемся равенством (3), то из доказанной
теоремы выведем, подобно тому, как в п. 8, следующую:
Всякая функция f(x), удовлетворяющая в промежутке [а, Л] условию
Коши, разлагается во всех точках этого промежутка (включая и его кон-
цы) в равномерно сходящийся ряд вида (31), расположенный по полино-
мам Чебышева Тк (х, а, Ь) (к = 0, 1,2, . . .).
При этом, если положим
п ь dx
f(x) = S Тк(х, a, b) J f(x) Тк (х, а, Ь) - -+ р„ (х),
к = О a yj(b - х) (х - а)
то модуль остаточного члена разложения не превосходит числа т/у/п1.
Таким образом, приходим к теореме о приближенном представлении
непрерывных функций при помощи полиномов и тригонометрических
сумм весьма простого вида, причем устанавливается и порядок приближе-
ния, который, как видим, не ниже 1/у/п-
15. Мы знаем, что порядок наилучшего приближения, который спосо-
бен доставить какой бы то ни было полином степени п для функций,
удовлетворяющий условию Коши, как раз равен 1/л*). В мемуаре, ука-
занном в примечании, мною доказано также, что порядок наилучшего при-
*) См. но этому поводу, например, мой мемуар “Sur quelques applications nouvel-
Ics de la theoric de fermeture”(M<5m. de 1’Acade'mie des Sciences de St. Petersbourg, Cl. Ph.
M., Vol. XXXlI.n. 4).
34
ближения при помощи тригонометрических сумм из п членов или полиномов
степени п и для функций, допускающих их представление в виде интеграла
f ft(z)dz+A ,
а
где fi (х) - не только интегрируемая функция, но еще и ограниченной
вариации в промежутке [я, Z>], также не происходит 1/п и что такого рода
приближение дается при сделанном условии тригонометрической суммой
S ak coskip (37)
* = о
и соответственно полиномом степени п вида
п ь dx
2 Тк (х, a, b) f /(х) Тк (х, а, Ь) -=.... , . (38)
к- О а у/(Ь - х) (х - а)
Последний результат легко выводится из формулы (34).
Если в равенстве (7) функция Ф( («д) не только интегрируема, но и
ограниченной вариации в промежутке [О, я], то
1 I " । В
1*л1=— J Ф1 (^)sin кфбф <— ,
я 1« I к
тре В - конечное число. Это неравенство вытекает сейчас же из известной
теоремы о средних *).
- 1 В
Равенство (34) дает при этом |р„(^)| < В S — < —,откуда и выте-
*=»+! к п
кает только что упомянутая теорема о порядке приближения, доставляемо-
го суммой (37) для непрерывных функций, удовлетворяющих условиям
этого пункта.
Такая же теорема о порядке приближения, доставляемого полиномом
(38) для функций рассматриваемого типа, выводится из только что дока-
занной при помощи преобразования переменной к переменной х по
формуле (а). Подобным же путем получаются и некоторые другие теоре-
мы о приближении функций при помощи полиномов, указанные в упомяну-
том выше мемуаре, но мы не будем здесь на этом останавливаться.
16. Предположим теперь, что функция /(х) подчинена единственному
условию быть интегрируемой в промежутке [а,6]. Вводим вспомогатель-
ную функцию
| х + л
М’(х)=— / /(2)<Ь, (39)
п X
где h — произвольное число, отличное от нуля. Можем написать
х + Л h x+h
J f(z)dz=ff(z)dz + J f(z)dz.
x x Л
Ho
Xj'7(z)rfz = f f(t + h)dt.
h о
») C. J о rd an. Cours d’Analyse.T. 1. - 1893, n. 68, p. 55;T. II - 1894, n. 215, p. 220.
C.M. Никольский. Курс математического анализа, т. 1. - М.: Наука, 1973.
35
Следовательно,
x + h h x X
J f(z)dz = J f(t)dt + f f(t. + h}dt = S [/(/+ й) —Z(0] dt + Ai ,
X X о 0
h
где A j = / f(x) dt. Поэтому для всякого x, принадлежащего промежут-
О
ку
<р(х) = f tpi(z)dz + A , (39 ])
а
где А есть постоянная, равная
а 1 Л
S (z)rfz +— / f(f)dt,
о h »
есть функция, которую можно считать интегрируемой во всем промежутке
[а, й], каково бы ни было h. В самом деле, функция f(x) определена
лишь в промежутке [а, й]; когда г изменяется от а до Ь, в выражении
правой части равенства (40) войдут значения f(x) при значениях х, принад-
лежащих промежутку [й,й + й], где функция /(х) остается неопределен-
ной. Можно всегда продолжить эту функцию на весь этот последний проме-
жуток так, чтобы функция /(х) была интегрируемой во всем промежутке
[а, Ь + й ], каково бы ни было данное число й *). При этом функция (z),
определяемая равенством (40), будет, очевидно, интегрируемой во всем
промежутке от а до Ь. Получим, таким образом, функцию >р(х), удовлет-
воряющую условию (391) Для всех значений х промежутка [д, Ь].
17. К вспомогательной функции <р(х) применима теорема п. 14. Положим
" b dx
Рп(х) = S Тк(х, a, b) J *(х) Тк (х, а, Ь) -..... - . (41)
к = о а V (й - х) (а - х)
На основании этой теоремы можно утверждать, что, каково бы ни было
число й, всегда можно выбрать л так, что
|ф(х)—Р„(х)|<е/2 , (42)
где е — наперед произвольно заданное положительное число.
Предположим теперь, что в промежутке [д, й] существует такая точка
1 x + h
(или точки) х, для которой выражение— J f[z) dz стремится к опреде-
й X
ленному пределу при й -* 0, т.е. что существует для этого значения (или
значений) х такое положительное число й0, что при всяком й, |й| <й 0,
*) Здесь и далее в аналогичных рассуждениях функцию /(х) удобно считать про-
долженной на всю числовую ось, например, следующим образом: /(х) = f(a) для
х < а и /(х) = /(Ь) для х > Ь. Напомним, что функция /(х) интегрируема по Риману и,
следовательно, ограничена. (Прим, ред.}
36
?- имеет место неравенство
I 1 х + ft 1 х + ft 6
lim — f f(z)dz-—f f(z)dz <— при|й|<й0. (43)
1л-о h x h x 2
Взяв какое-либо определенное значение h , мы можем всегда выбрать
. п столь большим, что неравенство (42) будет удовлетворено одновременно
с неравенством (43) при одном и том же наперед заданном положительном
числе е . При этом неравенства (42) и (43) дадут
I lim 4- * J f(?)dz - Р„(х) | <е
л- о h х
— неравенство, которое доказывает следующую теорему:
Для всякой точки х промежутка [я, Л], где для интегрируемой в этом
промежутке функции f(x) выражение
1 X + ft
— J ftfdz
h х
стремится к определенному пределу при h->0, можно найти такое число
h0, достаточно малое, и целое число п0, достаточно большое, что полином
степени п0 вида
яо ь dx
РПо(х)= S Тк (х, a, b) J ^(х) Тк(х, а, Ь) - -..- - , (44)
0 к = о а х/(Ь - х) (х - а)
где
I х + Ло
^(х) = — / fi?)dz,
h0 х
дает приближенное выражение для
1 x + h
lim — / f(z)dz
П X
с наперед заданным приближением е.
18. Мы получаем указанным путем весьма простое доказательство общей
теоремы, из которой, между прочим, выводится, как весьма частный случай,
известная теорема, носящая название теоремы Вейерштрасса и являющаяся
основной в теории функции от одной вещественной переменной.
Предположим, в самом деле, что функция/(х) остается непрерывной во
всех точках промежутка [я, Л], так что \f(z)-f(x)\<e при |z-x|<A0, где
е и h0 суть положительные числа, не зависящие от х. В таком случае
I 1 X + ft 1 I X +ft I
— f J(z)dz-Дх) = —- J [/(Z)-Дх)] dz <e
1 h .x \h | 1 x 1
1 X +ft
при |Л| < h0, т.е. выражение— J f(z)dz стремится равномерно для
h x
всех значений х к пределу Дх) при h * 0. Применяя к рассматриваемому
37
случаю общую теорему предыдущего пункта, замечаем, что в этом случае
числа h0 и п0 не зависят от выбора точки х в промежутке [а, Ь] .
Выбрав соответствующим образом эти числа, получим полином степени
п0 вида (44), котороый даст приближенное выражение всякой непрерыв-
ной функции f(x) для всех точек промежутка [я, Л] с наперед заданным
приближением е.
Заметим, что при нашем приеме суждений получается не только доказа-
тельство существования приближающего полинома, но и весьма простое,
определенное его выражение, при помощи полиномов Чебышева, наименее
уклоняющихся от нуля, вида (44). Этой теоремой нам придется восполь-
зоваться в дальнейшем.
ГЛАВА II
Определение замкнутости ортогональных систем функций.
Основные теоремы теории замкнутости.
Применение к тригонометрическим функциям и полиномам Чебышева.
Определение точного низшего (или высшего) предела
отношения некоторых определенных интегралов
1. Возвращаемся к общему случаю каких угодно функций
Vi<X), ^2 (X)....^(х), ... (1)
п. 1 гл. I , ортогональных по отношению к некоторой неотрицательной
функции р(х) и нормальных. Обозначим через S„ (f ) интеграл
ь ь п
f P(x}p2„(x)dx = f pf(x)dx - X Al , (2)
a a k - 1
где, напомним
b
Ak=f p(x)f(x)fk(x)dx. (2J
a
Величина S„ (f) зависит от вида функций <рк(х) и выбора функции
Дх), но, каковы бы ни были эти функции, SH(f) всегда есть невозрастаю-
щая функция значка п и неотрицательная.
Может случиться, что для данной системы функций (х) интеграл.
5„ (/) будет стремиться к нулю при беспредельном возрастании значка п для
всякой функции Дх), принадлежащей некоторому классу функций, опре-
деляемому теми или иными условиями. При этом условии равенство (2)
приводит в пределе при п -* °° к уравнению
f р(х) f2 (x)dx = 2 Al, (3)
a к~ 1
которое будет иметь место для любой функции f (х), принадлежащей рас-
сматриваемому классу.
Уравнение (3) мы будем называть уравнением замкнутости функций
<рк(х). а саму систему (1) этих функций - замкнутой системой по отноше-
нию к данному классу функций Дх).
38
Если окажется, что уравнение замкнутости (3) будет справедливо для
любой функции, интегрируемой в промежутке [я, Z>], то всякую систему
функций (1), для которой это обстоятельство имеет место, будем назы-
вать абсолютно замкнутой или просто замкнутой (когда этот сокращенный
термин не может вызывать никаких сомнений)*).
Очевидно, что всякая ортогональная и нормальная система функций
<рк (х) будет замкнутой по отношению к классу функций Дх), которые
допускают равномерное разложение в промежутке [а, Л] вида
Дх)= 2 ЛА^(х). (4)
Стоит умножить это равенство на р(х) Дх) dx и проинтегрировать по х в
пределах от а до Ь, чтобы получить уравнение замкнутости (3).
Но система функций *рк (х) может быть замкнута для известного класса
функций или даже абсолютно замкнута, когда разложение (4) не имеет места.
Теория замкнутости имеет разнообразные и важные применения к
решению многих вопросов, которые не могут быть решены методом разло-
жения функций в ряды, а в частности, приводит к общему приему решения
и самой задачи о разложении функций в ряды по функциям данного вида.
Эта последняя задача играет первостепенную роль в анализе и при решении
всех основных задач математической физики.
В этой главе мы изложим основные теоремы замкнутости и их простей-
шие применения, необходимые для дальнейшего.
2. Обозначим через F(x) и Ф(х) две какие-либо функции, интегрируемые
в промежутке [я, Л], г. положим
F(x)= S AkVk(x) + рп(х), (5)
к= 1
п
Ф(х)= S Вк<рА(х) + о„(х) , (5,)
к= 1 *
где
ь
Ак=5 Р(х) Г(х) <рк(х) dx, (6)
а
b
Вк=^ Р(х) ^(x)>Pk(x)dx. (6,)
*) Обыкновенно пользуются другим определением замкнутости, а именно:
Система ортогональных (и нормальных) функций (1) называется замкнутой,
если не существует отличной от нуля непрерывной функции Дх), удовлетворяющей
уравнениям
ь
/ р(х) Дх) ч>Лх) dx = О
а
при всяком (целом) к.
Это определение эквивалентно с данным нами в тексте, которое является более
удобным для дальнейших соображений - см. мой мемуар ”Sur la theorie de fermeture
etc" (Mem. de 1‘Acad. des Sciences de St. Petersbourg.,Cl. Ph. M„ 1911, Vol. XXX, n. 4).
39
Умножив равенство (5) на р(х) >рт (х) dx и интегрируя результат в
пределах от а до Ь, получим, приняв в расчет соотношения (2) и (3)
гл. I и равенство (6),
ь
f Р(*) Рп(*) (x)dx = 0 (7)
а
при всяком т, меньше или равном п.
Вычитая затем равенства (5) и (5() одно из другого, находим
Рп (х) = оп (х) - S (А к - Вк ) (х) + F(x) - Ф(х) .
* = 1 К
Умножив это равенство на р(х) р„(х) dx и проинтегрировав результат
от а до Ь, получим, в силу (7),
ь
Sn(F) = S Р(х)Рп(х) оп(х)dx +
а
b
+ f Р(х) [F(x) - Ф(х)] р„(х) dx. (8)
а
3. Выведем одно неравенство, которым часто придется пользоваться,
называемое обыкновенно неравенством Шварца, но указанное задолго до
него Буняковским. Рассмотрим разность
ь ь
D = f p(x)F2(x)dx f р(х)Ф2(х)</х -
а а
Ь
-(/ p(x)F(x) Ф(х)йх)2 = Dx-D2.
а
Первый из интегралов можно представить под видом двойного интеграла
ь ь
Dt=f f p(K)p(ri)F2(i)4f2(Ti)d^dn =
а а
b b
sllp(n) P(K)F2 (n)^4^d^dn.
а а
Отсюда
1 ь ь
Dx=~f S Р(ПР(п)^2©Ф2(т?) +
2а а
+ F2(rj) Ф2 (t)}dtdn.
Далее, легко видеть, что
ь ь
D2= f f р(& p(v) F(O F(tj) Ф(0 Ф(77) dtdn.
a a
40
Следовательно,
1 ь ь
D = D. ~Ог = •=• J J p($)p(ij)X
4 a a
X {F($) Ф(7?)- F(i?) Ф(0 } М<Л?,
т.е. так как функция р(х) по условию не отрицательна в промежутке |л, Ь|,
то если Z) > О, причем р(х) >0 для а <х < Ь, то знак равенства возможен
лишь когда Ф(х) = F(x).
Таким образом, приходим к упомянутому в начале пункта неравенству*)
ь
( f р(х)Г(х)Ф(х)Лг)2 <
а
' b b
< / p(x)F2(x)dx J р(х)Ф2(х)с1х. (9)
а а
4. Применим неравенство (9) к интегралам правой части уравнения (8).
Имеем, согласно с принятым в п. 1 обозначением,
ь
I f P(x)p„(x)a„(x)dx | <
а
< у/ f p(x)p2„(x) \[s p(x)o2(x)dx = х/5„(F) V $„(*),
a a
b
| / p(x)pn(x) [F(x) - Ф(х)] dx | <
a
< yfS^F] у/f P(x) |Е(х)-Ф(х)]2<1х.
a
Следовательно,
------, -------- Г~ь ~ ’
< х/5я(Ф) + х/ f p(x) lF(x) - Ф(х)]2 dx. (10)
a
Этим основным неравенством, справедливым для каких угодно двух
функций Fix') и Ф(х) и для всякой ортогональной системы функций <рк(х)
с неотрицательной в промежутке [а, />] характеристической функцией р(х),
мы часто будем пользоваться в дальнейшем.
5. Допустим, что система (1) ортогональных (и нормальных) функций
*Рк(х) замкнута по отношению ко всякой непрерывной функции Ф(х),
имеющей интегрируемую производную первого порядка в промежутке
[а, Л|. Из уравнения замкнутости (3) следует, что при этом, задав произ-
вольно положительное число е , можно найти такое целое число п = п0, что
5п(Ф) <е2 при п>п0. (11)
*) Это неравенство легко выводится также из условия положительности кваДратич-
Ь
ной относительно аргументов а и (3 формы / р(х) (аАрг) - 0Ф(х)12Лс.
а
41
Пусть Дх) есть какая угодно непрерывная в промежутке (а, А] функ-
ция, которая может и не иметь производной. Воспользуемся вспомогатель-
ной функцией tf(x) п. 16 гл. I:
I х +h
Жх)= - f f(z)dz. (39)
h х
Если f(x) непрерывна, то *р(х) допускает первую производную, которая
равна
Дх + А)-Дх)
* = ---------------
п
1 x + h
С другой стороны, Дх) - Дх) = - / [Дг) - Дх)] dz. Так как Дх) непре-
h х
рыв на, то, выбрав соответствующим образом число h, будем иметь для
всех значений z между х и х + h и при всяком х*):
1Дг)-Дх)| < е,
где е есть наперед заданное положительное число. При этом при всяком х
1Дх)-Дх)| < е. (12)
Положим теперь в неравенстве (10) F(x) = Дх), Ф(х) = Дх). При сделан-
ном условии относительно Дх) будем иметь в силу (12) при соответствую-
щем выборе h :
/ Р(х) [Дх) - Дх)]2 dx < 4?2е2,
а
Q2 = f p(x)dx>0. (13)
а
Так как, с другой стороны, система функций ^*(х) замкнута по отноше-
нию ко всякой функции, имеющей интегрируемую производную, а функ-
ция Дх) имеет таковую (и притом непрерывную) при всяком А , то на ос-
новании (И) и при только что указанном выборе А можем найти такое
п0,что
5„(<р)<е2 при п>п0. (14)
При этом неравенство (10) дает y/Sn(f) < е(1 +0) прил>л0,т.е.
$п(П<е' при п>п0,
где е ' обозначает положительное наперед заданное число.
Это неравенство приводит к такой теореме:
Если некоторая система ортогональных функций с характеристической
неотрицательной в данном промежутке [а, А] функцией замкнута относи-
тельно всякой функции, допускающей первую производную, интегрируе-
мую в рассматриваемом промежутке, то эта система непременно замкнута
и по отношению ко всякой функции, подчиненной единственному условию
непрерывности в том же промежутке.
*) Разумеется, я рассматриваю всюду лишь равномерную непрерывность.
42
6. Из этой теоремы, как следствие, вытекает следующее предложение.
Если система функций \р(х) замкнута по отношению ко всякой функции,
имеющей в промежутке [а, />] интегрируемую производную какого-либо
порядка р, то она переменно замкнута по отношению ко всякой функции,
допускающей такую же производную, лишь (р - 1) -го порядка.
Применяя последовательно это предложение, справедливое при всяком
р, придем к следующей теореме:
Если система рассматриваемых функций <Рк(х) замкнута по отношению
к любой функции, имеющей в данном промежутке интегрируемую произ-
водную какого-либо порядка р, то она непременно замкнута и по отноше-
нию ко всякой функции, только непрерывной в том же промежутке.
7. Предположим теперь, что функция /(х) подчинена единственному
условию быть интегрируемой в промежутке [a, Z>]. В этом случае вспомога-
тельная функция ip(x) (формула (39)) будет непрерывной в [а, />]. В са-
мом деле, обозначив через 6 некоторое произвольное число, имеем
1 х + Л + 6 x + h
9?(Х + 6) - Дх) = — ( / f(z) dz - f f(z) dz ).
П x + b x
Ho
x+h+b x+h x+h
f f(z) dz- f f(z) dz= f /(z) dz +
X + 6 X X + b
x+h+6 x x+h+b x
+ J /(z) dz + f f(z) dz = f f(z) dz + f f(z) dz =
x+h x+h x+ h x + b
x+h+b x+b
= f f(z)dz- f f(z)dz.
x+h x
В силу этого можем писать
1 x + h+b x+b
Дх + 6)-Дх)=-( f fi^dz- S f(z)dz).
П x + h x
Первый из этих интегралов можно представить в виде
x+h+b x+b
f f(z)dz = f f(z+h)dz,
x + h x
причем будем иметь
1 x + b
№ + 6) - .Дх) = -j- f [ f(z + h) -Z(z)] dz.
X
Отсюда, обозначив через M sup IДа)I в промежутке [а, />]*), выводим не-
равенство
I^(х + 6) — <р(х)| < 2Af 16 I/ 1Л I.
которое показывает, что функция Дх) непрерывна в [а, />], каково бы ни
было данное число h, h =£ 0.
) Функция fix) предполагается ограниченной.
43
Рассмотрим разность
, , 1х+h
D(x) = /(х) - Дх) = - J [ Дх) - /(x)] dz. (15)
h x
Воспроизводя рассуждения моего мемуара ”Sur la theorie de fermeture etc”,
упомянутого выше, разобьем промежуток [а, b] на некоторое число со-
ставляющих.
Обозначим через с,- все те промежутки, где осцилляция функции Дх) не
превосходит числа е, через ек - все те, где эта осцилляция более е • Так
как по условию функция Дх) интегрируема, то (это вытекает из самого
определения интегрируемости) * **)) всегда можно так распорядиться выбором
составляющих промежутков, на которые мы разбиваем [а, />], что
2е*< е, (16)
где знак суммы распространяется на все элементы ек.
Разобьем затем каждый из интервалов е,- на три составляющие е\, е" и
e’f" и выберем элементы е,- и е" так, чтобы
2е;<е и 2е"<е, (17)
что, очевидно, всегда возможно- Примем теперь в выражении функции <Дх)
(39) за h число, меньшее наименьшей из всех величин е/ и е", удовлетво-
ряющих условиям (17). При таком выборе h все точки, лежащие междух и
х+Л, где х есть какая-либо точка, принадлежащая элементу е", не выйдут из
промежутка е,-, где осцилляция функции Дх) не превосходит е. Поэтому для
всякого значения х, принадлежащего интервалу е", будем иметь, в силу (13),
IZJ(x)|<e. (18)
Напишем теперь интеграл
ь
f p(x)D2(x)dx
а
в виде*»)
ь
f « Е f + Е Х + Е J, + Е f ,
а e’j ei" ej" ек
где, вообще, через J мы обозначаем интеграл, распространенный на
отрезок е. е
Обозначая через р0 supp(x) в интервале [a, Z>], получим, приняв в рас-
чет (16) и (17),
Е JT <2/701/4 Е f < гроЛ^е, Е f < 2р0М2е.
ei e'i" ек
Далее, на основании (18),
Е f < е2 Е f p(x)dx<Q2e2.
ei' ei'
*) См. C. J о r d a n. ’’Cours d’Analyse”, T.I (Paris. 1893); см. также С.М.Николь
с к и й, "Курс математического анализа”, Т. 1 (М.: Наука, 1973).
**) Мы опускаем везде для простоты элемент p(x)D2 (x)dx под знаками интегралов.
44
Следовательно,
J p(x)D2(x)dx<e(bp0M2 + Q2e)<A2e, (19)
a
где A2 - конечное положительное число.
8. Применим опять неравенство (10) (п.4) к функциям
Г(х)=/(х), Ф(х) = 9?(х).
где под /(х) будем подразумевать функцию, только интегрируемую в про-
межутке [a, Z>], а под <р(х) - вспомогательную функцию (39). Получаем
_____, ._______ /~ь '
< yfS^) + V f p(x)D2(x)dx. (20)
a
Предположим, что система функций Ф*(х) (О замкнута по отношению
ко всякой непрерывной функции. Выберем h так, как указано в предыду-
щем пункте, причем будет иметь место неравенство (19). С другой сторо-
ны, так как i(x) есть непрерывная функция в [a, Z>J, то при выбранном зна-
чении h можем найти в силу сделанного допущения такое целое число
п = «о > что
S„ GO < е ПРИ и > «о •
При этих условиях неравенство (20) даст
vX(7) < 77(1 +л) = /?х<7,
т.е.
8п(Л<с' при п>п0,
где е можно подразумевать произвольно наперед заданное положительное
число.
Последнее неравенство приводит к следующей важной теореме:
Если какая-либо система ортогональных функций Ф*(х) замкнута по от-
ношению к любой непрерывной функции, то она непременно замкнута и по
отношению к любой функции, только интегрируемой в данном промежут-
ке, т.е. по принятой нами терминологии абсолютно замкнута*).
9. Сопоставляя эту теорему с теоремой п. 6, приходим еще к следующей:
Если какая-либо система ортогональных функций Ф*(х) замкнута по от-
ношению к любой функции, имеющей производную некоторого порядка р,
интегрируемую в данном промежутке [а, />], то она непременно абсолютно
замкнута.
При помощи этой теоремы сейчас же убеждаемся, что система (12) гл. I
тригонометрических функций
1
Фо = ~~7=;, Ф* = —-==, cosкц> (12,)
V Я Vя
есть система абсолютно замкнутая.
) Отметим, что доказательство этого утверждения првведено в предположении
ограниченности функции /Их). Однако, как легко видеть, это доказательство без тру-
да переносится и на случай функций р{х), удовлетворяющих условиям гл.1.{Прим.ред.)
45
В самом деле, из теоремы п. 13 гл. I следует, что всякая функция, имею-
щая интегрируемую производную первого порядка в промежутке [0, я ],
разлагается в равномерно сходящийся ряд вида (26) (гл. I, п. 6). Поэтому
система (121) замкнута по отношению ко всякой функции, допускающей в
[О, л] интегрируемую производную первого порядка (р= 1) (см. п. 6 этой
главы), и, следовательно, в силу только что доказанной теоремы она абсо-
лютно замкнута. Совершенно таким же путем убеждаемся, что и система
полиномов Чебышева, определяемых формулами (29) гл. I (п. 8), есть
также система абсолютно замкнутая.
10. Заметим, что последняя теорема является частным случаем общей
теоремы, справедливой для каких угодно полиномов Чебышева, которая
выводится в свою очередь из одной основной теоремы замкнутости, наи-
простейшее доказательство которой сейчас изложим*).
Допустим, что какая-либо система ортогональных функций ^*(х) замк-
нута по отношению к любому полиному Рт(х) какой угодно степени т,
так что
Sn(Pm) < е/4 при п>п0. (21)
Пусть/(х) есть какая угодно непрерывная функция х в данном промежут-
ке [а, />]. Положим в неравенстве (10) F(x) =f(x), Ф(х) = Р„(х). В силу
(21) будем иметь, каков бы ни был полином Рп(х),
.— х/е* / ь ' ’
V5„(/) < -— + V J p{x)\f(x)-pn(x)}2dx при л>л0. (22)
2 а
Так как функция /(х) по условию непрерывна, то по теореме п. 18 гл. I
полином Р„(х) можно выбрать так, что
i/(x) - р„(х) । < е = J! Р(х) dx.
4Q а
Если будем понимать под Рп(х) в неравенстве (22) именно такой полином,
то получим
V $»(/)’< \Ге, т.е. Sn(f)<e при и>л0,
где л0 есть соответствующим образом выбранное целое число. Это неравен-
ство показывает,что коль скоро система ортогональных функций замк-
нута по отношению ко всякому полиному какой угодно степени л, то она не-
пременно замкнута и по отношению ко всякой непрерывной функции /(х).
Отсюда при помощи теоремы п. 8 этой главы выводим следующую:
Если система каких-либо ортогональных функций ^(х) замкнута по от-
ношению ко всякому полиному какой угодно степени п, то она непременно
абсолютно замкнута.
11. Будем теперь подразумевать под <^*(х) полиномы Чебышева (^ -
полином £-степени), определяемые условиями
ь
S Р(х)*к(х) П*_, (х) dx = 0, (23)
а
где । (х) обозначает произвольный полином степени < к - 1, р(х) - по-
*) Эта теорема дана мною впервые в мемуаре ”Sur ccrtaines cgalitcs generales etc.”
(Mem. de Г Acad, des Sciences de St. Petersbourg, Cl. Ph. M., 1904, Vol. XV, n. 7).
46
прежнему функцию неотрицательную, интегрируемую в (а, Ь), и
ь
f P(x)<Pk(x)dx = l.
а
(24)
Из равенства (23), имеющего место при всяком целом к, сейчас же вытека-
ет, что
ь
f P(x)<Pk(x)<Pm(x)dx = O, (25)
а
коль скоро к&т. Таким образом, всякая система полиномов Чебышева
есть система ортогональная с характеристической функцией р(х), а в силу
условия (24) и нормальная.
Пусть Р„(х) есть произвольный полином какой-либо степени и. На осно-
вании (24) и (25) заключаем, что всегда
л ь
Рп(х)= S Ак (х), Ак = f р(х)Р„(х) ipk(х) dx,
fc = O а
откуда S„(P„) = 0, т.е. всякая система полиномов необходимо замкнута по
отношению к любому полиному какой угодно степени. На основании тео-
ремы предыдущего пункта, примененной к рассматриваемому случаю, вы-
водим следующую:
Всякая система полиномов Чебышева, какова бы ни была ее характерис-
тическая функция р(х), неотрицательная и интегрируемая в данном проме-
жутке [a, Z>], есть система абсолютно замкнутая.
Теорема п. 9 есть, очевидно, частный случай этой общей, если предполо-
жить, что р(х) = 1 / V (6 - х) (х - а).
12. Рассмотрим теперь систему функций
фк (ip) = у/2/ir sin kip (к = 1,2,3,... ), (26)
которые, очевидно, удовлетворяют условиям
я 2 я
/ Фк (ф) Фт (*f>) d>p= — f sin kip sin тх dx = О,
о я о
я 2 я . _
S Фк(№1р = — j sin2 kipdip = 1,
о я о
т.е. представляют ортогональную систему с характеристической функцией
р(<р) = 1 и нормальную. Обозначим теперь через f (<р) какую-либо функцию,
имеющую интегрируемую производную в промежутке [0, я], и положим
Яф) = Е Ьк фк(<р) + рп('Р),
к= I
/2я /2
Ьк = V — / /М sin kip dip, фк (<р) = V —’ sin кх.
я о я
Имеем
. /2я
f W~ V ~ Е kbk cos kip + pn(ip)-
я *= i
(26.)
(27)
47
Возьмем теперь абсолютно замкнутую систему тригонометрических
функций
<А>(<р)= 1/х/я, <At(<P) = \/27я cosfap (27,)
t п
и положим f (<р) = Е ск (<р) + г„ (<р), где
*=о
1 я , /Т я ,
с0= f f (p)dp, ск = V— f /(#>) cos fc<pd<p.
yir о я 0
Предположим еще, что функция Д<р) удовлетворяет условиям
/(0)=/(я) = 0. (28)
В таком случае
/'('Р)= х/~ 2 ск cos кр + г„(р). (29)
* *=1
Но, в силу (28),
/2"1 я я ,
bk= V — f /(<р) sin fap dp = —f f (<p) cos fap dp,
я о Луя о
т.е. bk = ckfk, вследствие чего равенство (27) представляется в виде
, /? п ,
f (р) = V— 2 Ск cos кр + рп(р).
Я к = 1
Отсюда на основании (29) получаем р'п(р) = гп(р). При соблюдении усло-
вий (28) будем иметь, в силу (26,), рп(0) = 0. Поэтому
ч>
Рп(у)= f rn(p)dp,
о
откуда при помощи неравенства Бунявского выводим
I PnGOI < х/7 х/ f rfa) dp < V7 x/sn(/'\
0
Но система функций (27,) есть абсолютно замкнутая. Поэтому
lp„(<p) I < € при П >П0,
где п0 есть соответствующим образом выбранное целое число, е - наперед
заданное положительное число.
Эю неравенство показывает, что всякая функция f(p), имеющая интег-
рируемую производную в промежутке [0, я], разлагается во всем этом про-
межутке в равномерно сходящийся ряд вида
2 °° я
/(<р) = — S sin f f(p)smkpdp,
п k=l о
если только f(p) обращается в нуль на концах этого промежутка
48
13. Из этой теоремы сейчас же вытекает, что система ортогональных
функций (26) есть система замкнутая по отношению ко всякой функции,
имеющей интегрируемую производную в промежутке [0, я] и обращающей-
ся в нуль на концах этого промежутка.
Пусть f(p) есть какая-либо функция, имеющая интегрируемую произ-
водную в промежутке [0, я], но не обращающаяся в нуль на концах этого
промежутка. Подразумевая под е , как всегда, произвольно заданное поло-
жительное число, положим /*’(</ = ар и определим постоянную а из условия
F(e) = ae=/(e). (30)
Очевидно, для значений р между 0 и е будем иметь
Щф)|<М, (31)
где М есть max f(x) в промежутке [0, я].
Точно так же, положив Fj GO = /3(я - <р) и определив 0 из условия
Г1(я-е)»ре»Яя-е), (30,)
получим функцию F|(<i), удовлетворяющую условию
1Г,(ф)|<М (31.)
для всех точек промежутка [я - е, я].
Составим теперь функцию ^(х), определяемую условиями
F{p) при 0 < < е,
ф(^) = ' Л'Р) прт» е<р<п -е, (32)
Fi GO при я - е < < я.
Определенная таким образом функция в силу (30) и (30/) непрерывна в
промежутке [0,я], имеет, очевидно, интегрируемую в этом промежутке
первую производную и обращается в нуль при р = 0 и p = ir.
Следовательно, система тригонометрических функций (26) замкнута по
отношению к функции ф(р), т.е.
Sn($) < € при п> п0. (33)
14. Обращаемся снова к неравенству (10), положив в нем F(x) = f(p),
Ф(^) = ф(р). Приняв в расчет (32), получаем
Ь я _
/ Р(*) [ F(x) - Ф(х)]2 dx = / [ /GO - ф GO] dp =
а О
= J [Л*) - ^)]2 dp + J [ f(p) - Fl GO]2 dp.
0 IT — €
Отсюда в силу (31) и (31,) выводим
7 [Нр)-Ф(р)]гdp<^6.
о
Неравенство (10) при помощи этого неравенства и (33) дает
Vsn(f) < Ve’(1+2 х/Т М) = е при п>п0
- неравенство, справедливое для любой функции f(p), подчиненной единст-
49
венному условию, что она допускает интегрируемую производную в про-
межутке [0, я].
Отсюда следует, что система функций фк(х) (26) есть система замкну-
тая по отношению к любой функции Д^), имеющей первую производную,
интегрируемую в промежутке [0, я].
Сопоставляя этот результат с общей теоремой п. 9, получаем теорему:
Система тригонометрических функций вида
Фк(х) = у/ 2/я sin kx (k = 1,2,3,...) (34)
есть система абсолютно замкнутая.
15. Установленные теоремы мы применим теперь к определению точных
низших пределов отношения некоторых определенных интегралов к выво-
ду некоторых других неравенств, имеющих существенное значение для
дальнейших исследований.
Пусть Дх) есть функция, имеющая производную f'(x), интегрируемую в
промежутке [0, я].
По предыдущему имеем равномерное разложение
Дх)= vj 1 а°~ ГТ' V 2я Е ак cos кх.
к = О S f(x)dx, 0 “к = ~ V я W S f(x) cos кх dx. 0
1Г QO
Отсюда / f2(x)dx- Е 0 к = 0 al
Допустим, что функция Дх) удовлетворяет условию
7 Дх)«/х = 0. (35)
о
В таком случае / f2(x)dx = Е а*. Но
о fc=l
я , ьк
ak= - —7=; J f (x) sin kx dx = - — .
k v я о k
Поэтому
f f2(x)dx = E 4 . (36)
0 k = 1 k
Далее, так как система функций (34) абсолютно замкнута, то
7 fn(x)dx = Е b2k. (36.)
о * = I
Равенства (35) и (36^ приводят к следующему:
7 f'2(x)dx/f r2(x)Jx= Е bli Е % ,
о о *=1 *=1 k
имеющему место для всякой функции Дх), допускающей интегрируемую
50
производную в промежутке [0, я] и удовлетворяющей условию (35). От-
сюда сейчас же заключаем, что при этом отношение
J /'2(х)</х/ //2(x)dx>l.
о о
я ла
Стоит заменить переменную х через --- х - ------ , чтобы привести
b- a b - а
предыдущее неравенство к виду *)
ь „ ь , я2
К= f f'2(x)dx/f f3(x)dx > ----------- , (37)
a a (b - af
а условие (35) к такому:
ь
f f(x)dx = Q. (37.)
Нетрудно убедиться, что неравенство (37) дает точный низший предел
рассматриваемого отношения для всякой функции, подчиненной условию
я(х - а)
(371). Стоит только положить /(х) = cos ---- . Эта функция, очевид-
b - а
но, удовлетворяет условию (371), причем
К =
я2
О» - а)3
ь . п(х-а) ь
f sin ------ dx I J cos
a b - a a
я(х - а) я2
------- dx = --------- .
b - a (b - a)2
16. Подобным путем можно вывести многие другие неравенства, могу-
щие иметь полезные приложения и сами по себе представляющие интерес.
Пусть /(х) есть функция, могущая быть представленной в промежутке
[О, я] в виде интеграла
f(x)= f f\(z)dz,
о
(38)
где /i(z) есть некоторая интегрируемая функция, удовлетворяющая ус-
ловию
f f,(x)dx = 0.
о
(38 ()
Очевидно, что /(х) удовлетворяет условиям /(0) = /(я) = 0. Приняв в рас-
чет замкнутость системы функций ф*(х) (26), можем писать
//2(x)dx = S bl.
о fc= 1
С другой стороны, так как система функций 1/у/п, у/ 2/я’cosfc.v есть
) Аналогичное неравенство было выведено мною в 1896 г. в статье "Задача об ох-
лаждении неоднородного твердого стержня” (Сообщ. Харьковск. Матем. Общ., 1896г.).
Другое доказательство неравенства (37) было дано в 1901 г. в мемуаре ’’Proble'me de
refroidissemcnt d’une bane heterogene” (Annales de Toulouse. 1901).
51
также абсолютно замкнутая, то
7 f2(x)dx = S ак, (39)
О k = 1
1 it
ибо по условию а0 = —— f fi(x) dx = 0.
уя о
Так как, далее, в данном случае
/ 2' я- tt а*
bk = V — j f(x) sin kxdx = - —-= f ft cos kxdx =--------— ,
я о k\j it о к
TO
2
00 Ui.
f f2(x)dx = Z . (39,)
О к - 1 к
Равенства (39) и (39,) приводят к следующему неравенству:
J /?(х)dx I J f2(x)dx>l,
о о
из которого, совершенно так же, как и в предыдущем пункте, заключаем,
что отношение
К= f fl(x)dx / f fHx)dx> (40)
a a (b - a)1
X
для всякой функции f(x) вида f(x)= J ft(z)dz, где /,(х) есть интегрируе-
a
b
мая функция, удовлетворяющая условию J ft (x) dx = 0.
a
Неравенство (40) дает точный низший предел для отношения К, в чем
убеждаемся, положив, в частности,
я(х - а) , я я(х - а)
/(x) = sin ----- , /i(x)=/(x)= ------- cos —-------- .
b - a b - а Ь а
17. Разобьем промежуток [a, Z>] на псоставляющих
[a,ai),(a,,_a2),... ,(an-i,b]
и обозначим через lk длину fc-ro из них (ak_t, ak).
Предположим, что функция /(х), имеющая интегрируемую производ-
ную, удовлетворяет условиям
7 /(х)б7х = О, 77(х)^х = 0, ..., 7*/(х)с?х = 0, ...,
а ", <4-1
ь
f f(x)dx = 0. (41)
an-l
На основании теоремы п. 15 имеем
•fc ak it2
f f'2(x)dx/ f f2(x)dx> — .
ak-l “k-1 ‘k
52
Заметив теперь, что
а ь ,
К= f f 1 2(x)dxl j f2(x)dx =
a a
n ak n ak
= S f f'2(x)dx/ S f f2(x)dx, (42)
* = I o*_| k=I a*-|
на основании предыдущего неравенства заключаем, что
Х>тт2//2, (42J
где / обозначает наибольшее из чисел lk.
Если в частности, все промежутки (40) равны между собой, то /* =/ =
= (Ь а)/п и мы получаем
ь ,, ь „ я2 п2
К = f J '2 (х) dx I j f2 (х) dx > --- (42.)
а а (Ь а)
— неравенство, справедливое для всякой функции f(x), удовлетворяющей
условиям (41) (при равенстве между собой всех п интервалов (40)).
Этим неравенством нам придется воспользоваться впоследствии.
ГЛАВА III
Простейшие задавд математической физики
и им соответствующие дифференциальные уравнения.
Три типа этих уравнений:
1) уравнения аналитической теории тепла,
2) уравнения звука (света, электричества, магнетизма),
3) уравнения установившихся (стационарных) физических процессов.
Начальные и предельные условия. Определенность задавд.
Простейший случай распространения
илн распределения тепла в телах линейных размеров
1. Решение задач математической физики приводится к определению од-
ной или нескольких величин, характеризующих тот или иной физический
процесс, совершающийся в данной среде (в данном теле), в зависимости от
положения каждой точки этой среды и времени при помощи одного или не-
скольких дифференциальных уравнений. Эти уравнения выводятся при по-
мощи небольшого числа возможно простых гипотез, которые полагаются в
основу теории каждого физического явления и представляются как резуль-
тат обобщения длинного ряда опытов и наблюдений над физическими про-
цессами, которые действительно происходят в окружающей нас природе
или создаются искусственно. В результате такого отвлечения (обобщения)
создается небольшое число основных положений (гипотез), которые долж-
ны быть независимы между собой и не противоречить ни одному из извест-
ных в данное время фактор действительности. Эти гипотезы полагаются в
основу теории того или иного физического явления и вся теория развивает-
ся затем дедуктивно при помощи аксиом математики и основных законов
53
общей механики по методам дифференциального и интегрального исчис-
лений.
Таким путем по физическим данным каждой задачи составляются диф-
ференциальные уравнения, характеризующие сущность рассматриваемого
процесса для каждой точки среды и для каждого момента времени. Задача
сводится к определению в функции времени координат каждой точки сре-
ды, в которой происходит изучаемое явление, и величин, определяющих
физические свойства среды, тех неизвестных, которые фигурируют в полу-
ченных дифференциальных уравнениях, т.е. к интегрированию этих уравне-
ний. При этом получаемое таким путем решение должно удовлетворять
всем данным, которые получаются как результат непосредственного наблю-
дения над изучаемым процессом.
2. Положим, например, что мы желаем изучить закон изменения темпера-
туры с течением времени в каждой точке внутри данного твердого тела,
нагретого до известной температуры и помещенного затем в среду, темпера-
тура которой равна нулю. Тепловые свойства каждого тела характеризуются
тремя следующими величинами: удельной теплотой каждой его точки, ко-
торую обозначим через с, его внутренней теплопроводностью, которую обо-
значим через к, и его плотностью, которую обозначим через р. Вообще гово-
ря, величины с, к и р суть функции координат х, у и z точек тела, различ-
ные для тел различного физического состава. Распределение температуры
должно зависеть от этих величин, которые являются данными, наперед из-
вестными по опыту, для каждого тела.
Если обозначим через U искомую температуру данного тела, то при по-
мощи гипотез, положенных Фурье в основу аналитической теории тепла, вы-
водится упомянутым выше путем следующее дифференциальное уравнение,
которому должна удовлетворять искомая температура U для любого мо-
мента времени и для всех точек х, у, z тела*):
( dU \ ( du\ ( dU \
91 fc — I Э[ к — I Э I Л — I
dU \ dx / \ dy / \ dz /
ср — = ----------- + ------------ + -----------
dt Эх ду dz
(1)
Это есть дифференциальное уравнение, которое допускает бесчисленное
множество различных решений.
Но в данной физической задаче, нам наперед известна температура U в
тот момент, когда мы поместили нагретое тело в среду с температурой нуль,
т.е. известно значение U для всех точек тела в этот момент. Следовательно,
необходимо найти такое решение уравнения (1), которое в начальный мо-
мент t = t0 обращалось бы в наперед данную функцию от х, у и z.
Кроме того, поверхность, ограничивающая тело, непосредственно доступ-
на нашему наблюдению, и мы можем путем опыта знать, какое количество
тепла теряет тело в любой точке поверхности путем внешнего лучеиспуска-
ния. Решение уравнения (1) должно быть таково, чтобы количество тепла,
теряемого телом в каждом элементе ограничивающей его поверхности че-
рез внешнее лучеиспускание, уравновешивалось в любой момент времени
*) В нашу задачу не входит вывод самого уравнения, как и всех других уравнений
математической физики, с которыми будем иметь дело. Классические выводы всех
таких уравнений читатель найдет в любом руководстве по теоретической физике.
54
количеством тепла, протекающим изнутри тела к каждому из этих элемен-
тов поверхности.
Таким образом, в данной задаче приходится интегрировать уравнение
(1) при соблюдении двух дополнительных условий: условия, которое долж-
но быть выполнено в начальный момент времени, и условия, которое долж-
но соблюдаться в каждый момент времени во всех точках поверхности,
ограничивающей тело.
3. Для второго примера рассмотрим задачу о колебании упругой струны.
Предположим, что в начальный момент времени струна натянута гори-
зонтально и закреплена в концах. Примем прямую, по которой расположе-
ны точки струны в начальный момент, за ось х. Выводим все точки струны
из этого положения, сообщая им некоторые отклонения в плоскости, про-
ходящей через ось х, и различные скорости отклоненным точкам в направ-
лении, перпендикулярном к оси х, и предоставляем ее затем самой себе.
Под влиянием развившихся при этом упругих сил струна начнет колебаться.
Если обозначим через U отклонение каждой точки струны от положения
равновесия, то U будет функцией времени t и абсциссы х. Задача о колеба-
нии струны будет решена, если мы будем знать закон изменения величи-
ны U в зависимости от времени t и переменной х, определяющей положе-
ние каждой точки струны на оси х.
, Упругие свойства каждого элемента струны характеризуются двумя ве-
личинами: модулем упругости, который обозначим через Е, и плотностью р.
При помощи гипотез, положенных в основу теории упругих тел, созданной
Коши и Сен-Венаном, доказывается, что для каждого момента времени и
для каждой точки х струны отклонение U должно удовлетворять диффе-
ренциальному соотношению вида
b2U Э2 U
дг2 дх2
(2)
Вообще говоря, Е и р суть величины, различные для разных точек струны,
так что Efp есть некоторая функция от х, известная по непосредственному
опыту для каждой струны данного физического состава.
Задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения с част-
ными производными вида
ь2и ъ2и
'р(х> &
(3)
где положено р(х) = Е/р.
Уравнение (3) также допускает бесчисленное множество различных ре-
шений, но из всех этих решений необходимо выбрать то, которое будет
удовлетворять всем поставленным выше физическим условиям задачи.
В начальный момент времени и величина U (отклонение точек струны от
положения равновесия) и сообщенные этим точкам скорости, т.е. значения
bU
производной — > должны совпадать с теми, которые были даны в дейст-
bt
витальности. Кроме того, так как концы струны должны оставаться закреп-
ленными (неподвижными), то для всякого t величина U должна равняться
нулю для значений х, соответствующих концам струны.
55
В этом случае опять решение задачи приводится к интегрированию диф-
ференциального уравнения (3) при соблюдении двух условий в начальный
момент времени и двух условий на границах той физической среды, в кото-
рой происходит изучаемое явление.
4. От теории тепла и звука переходим к некоторым простейшим вопро-
сам гидродинамики.
Предположим, что однородная масса газа (сжимаемой жидкости) заклю-
чена внутри твердого сосуда, движущегося данным образом в пространст-
ве. Допустим, что в начальный момент времени частицам жидкости сообще-
но некоторое движение такое, что при дальнейшем движении жидкой массы
проекции и, v, w скорости каждой ее точки на прямоугольные оси х, у, z
оказываются частными производными по соответствующим координатам
некоторой функции U от времени t и координат х, у, z, т.е. что жидкость
получает, как говорят, движение с потенциалом скоростей U.
В гидродинамике доказывается, что движение газа будет происходить
таким образом, что потенциал скоростей U в любой момент t и во всякой
точке х, у, z будет удовлетворять дифференциальному уравнению
d2U , / d2U b2U д2и\
-- =а2 I ----- + ---- + ---- 1. (41
Э(2 \ Эх2 Эу2 Эг2 / W
где а2 есть некоторая постоянная, зависящая от физических свойств данно-
го газа. Движение жидкости будет известно, коль скоро будет известна
функция U, удовлетворяющая уравнению (4).
Но и в данном случае не всякое решение этого уравнения будет отвечать
поставленной физической задаче. Необходимо, чтобы U и первая производ-
ная U по t принимали в момент времени, который мы принимаем за на-
чальный, те самые значения, которые им сообщены в действительности, т.е.
3U
чтобы U и — обращались в наперед заданные функции от координат
dt
х, у, z. Кроме того, так как газ должен целиком заполнять всю внутрен-
ность твердого сосуда без образования разрывов и пустот, то на стенках со-
суда составляющая скорости каждой прилегающей к стенке частицы жид-
кости по направлению нормали к поверхности сосуда (его стенке) должна
равняться нормальной составляющей скорости той точки стенки сосуда, ко-
торая совпадает с рассматриваемой частицей жидкости, а нормальная состав-
ляющая скорости каждой точки твердой стенки сосуда есть величина из-
вестная, ибо движение сосуда наперед задано.
Здесь опять приходим к необходимости искать такое решение дифферен-
циального уравнения (4), которое должно удовлетворять двум заданным
начальным условиям и одному условию на поверхности, ограничивающей
рассматриваемую жидкую массу, т.е. так называемому.предельному (или
граничному) условию.
5. Различные задачи теории света, электричества и магнетизма также при-
водятся к интегрированию уравнений, аналогичных уравнению (4).
Так, обращаясь к электромагнитной теории света Максвелла, обозначим
через с скорость света, через е — так называемую диэлектрическую посто-
янную данной силы, через X — коэффициент электропроводности, через
д — коэффициент так называемой электрической проницаемости.
56
Закон распространения электрических волн в данной среде по теории
Герца — Максвелла характеризуется вектором U электрических сил, кото-
рый как функция времени t и координат х, у, z точек среды должен удов-
летворять следующему дифференциальному уравнению:
b2U b2U b2U X b2U bU
—г + —t + —г = ед —- + 4 я Ад —
Эх2 by2 bz2 / bt2 bt
При X = 0 это уравнение совпадает с (4), если положим
с2 /ед = а2.
Если среда, в которой происходит явление, есть свободный эфир, то
е= 1, д - 1, Х = 0
и уравнение (5) приводится к следующему:
b2U „ ( b2U b2U b2U \
bt2 X bx2 by2 bz2 /
(5>)
В данном случае среда, в которой происходит явление, беспредельна; за
границы ее можно принимать бесконечно удаленные точки пространства.
ьи
Величина 4яХд — характеризует потерю электрических сил с течением
времени, или так называемую абсорбцию.
Задача получит определенный смысл, если мы зададим в начальный мо-
мент времени распределение электрических сил, т.е. значения U для этого
момента для всех точек х, у, z пространства и абсорбцию, т.е. значения
ьи
— . Таковы начальные условия задачи.
bt
Предельные (граничные) условия заменяются некоторыми условиями,
которые налагаются на значения функции U для бесконечно удаленных
точек среды.
Мы видим, между прочим, что с аналитической точки зрения рассматри-
ваемая задача тождественна с задачей гидродинамики предыдущего пункта,
если предположить, что жидкость (газ) заполняет не замкнутый сосуд ог-
раниченных размеров, а все беспредельное пространство.
6. Мы рассматривали до сих пор простейшие случаи, когда явление ха-
рактеризовалось вполне одной величиной, для определения которой получа-
лось одно дифференциальное уравнение. Вообще же в математической
физике изучаются и такие физические процессы, которые определяются не
одним, а несколькими параметрами, причем для определения этих парамет-
ров, зависящих от нескольких независимых переменных, получается систе-
ма дифференциальных уравнений с частными производными.
Простейшими примерами могут служить общие уравнения гидродинами-
ки, электромагнитной теории света, теории колебания упругих твердых тел
и др. Так, например, закон колебания упругого твердого тела будет из-
вестен, если будут известны величины и, v и w перемещений каждой точки
тела в функции времени t и координат х, у, z.
57
Аналитически задача приводится к определению величин и, и и w при
помощи следующей системы дифференциальных уравнений:
Э2и дХх д —г = Д-У dt2 Эх дХу дХг ду dz
Э2и dYx ЭУ„ ЭУ2 ' ~ ' > (6) ду dz
Э2 vv dZx Д — = itZ- - dt2 Эх dZy dZ2 ду dz
где д есть плотность тела, X, У и Z — заданные функции от х, у, z, пред-
ставляющие собой проекции на оси прямоугольных координат заданных
объемных сил, действующих на частицы тела, а Хх, Ху.Zz суть линей-
ные функции от частных производных первого порядка по х, у, z искомых
функций и, v и »v с постоянными коэффициентами, зависящими от физи-
ческих свойств данного тела.
В момент, принимаемый за начальный, нам известны и отклонения ии, w
ди Эи dw
всех точек тела от их естественного состояния и скорости — , --- , — ,
dt dt dt
которые сообщены точкам в этот начальный момент, т.е.все эти шесть вели-
чин должны быть заданными функциями координат х, у, z при значении t,
которое принимается за начальное. Таким образом, задача приводится к ин-
тегрированию уравнений (6) при выполнении только что указанных шести
начальных условий.
Кроме того, нам известны те силы, которые прилагаются к точкам по-
верхности, ограничивающей тело, с внешней стороны. Если частицы тела,
прилегающие к его поверхности, не отрываются от тела этими заданными
силами, то необходимо предположить, что составляющие последних по
нормали к поверхности уравновешиваются нормальной составляющей
тех внутренних упругих напряжений тела, которые при этом разви-
ваются в теле.
Удовлетворяя этому условию, придем к заключению при помощи основ-
ных положений теории упругости, что в каждой точке поверхности при всех
значениях времени t должны быть выполнены следующие предельные (по-
верхностные) условия:
Х„ = Хх cos (и, х) + Ху cos (п, у) + Xz cos (п, г),
Y„ = Yx cos (и, х) + Yy cos (л, v) + У2 cos (л, z), (7)
Zn = Zx cos (л, x) + Zy cos (л, v) +Z2 cos (л, z),
где Xn, Y„, Zn — проекции на оси координат нормальной составляющей
внешних сил, приложенных к точкам поверхности тела, т.е. заданные функ-
ции х, у и z, а и обозначает направление нормали к поверхности тела в
точке х, у, z (идущее внутрь тела).
И в рассматриваемом случае приходится искать такие решения уравне-
ний (6), которые удовлетворяют указанным выше шести начальным усло-
виям и трем предельным (поверхностным) условиям вида (7).
58
7. В предыдущих примерах мы рассматривали такие явления тепла, зву-
ка, света, электричества, когда величины, их характеризующие, изменяются
с течением времени, т.е. так называемые неустановившиеся динамические
процессы.
В частности возможны и такие динамические процессы, когда величины,
их характеризующие, не зависят от времени. В этом случае получаются так
называемые установившиеся движения.
Предположим, например, что несжимаемая жидкость заключена в твер-
дом замкнутом сосуде, который вращается равномерно вокруг некоторой
неподвижной оси. Жидкость заполняющая сосуд, может при этом двигаться
с потенциалом скоростей (см. п. 4), который будет зависеть лишь от коор-
динат х, у, z (и не зависеть от времени) .Получится установившееся течение
в рассматриваемой жидкой массе.
Определение потенциала U приведется к интегрированию уравнения
d2U д2Ц д2и
дх2 + ду2 + Эг2
которому должно удовлетворять U во всех точках внутри сосуда (и кото-
рое получается из (4), если предположить, что U не зависит от t). При этом,
понятно, начальные условия отпадают, но предельные условия по-прежнему
должны выполняться. Нормальная составляющая скорости любой частицы
жидкости, прилегающей к стенке сосуда, должна по-прежнему равняться
нормальной составляющей скорости соответствующей точки твердого со-
суда. Так как в данном случае проекции и, v, w скоростей точки жидкости
на оси координат суть
dU dU dU
и = --- , V = — , W = — ,
дх Эу dz
то нормальная составляющая жидкой частицы в точке х, у, z поверхности
сосуда будет равна значению выражения
dU dU dU
— cos (и, х) + — cos (п, у) + — cos (n, z)
Эх ду ' dz
для этих значений х, .у и z. Нормальная же составляющая скорости той точ-
ки стенки твердого сосуда, координаты которой имеют те же самые значе-
ния, известна, ибо нам дано движение сосуда, т.е. представляется заданной
функцией Дх, у, z) координат точек его поверхности.
Задача приводится, следовательно, к отысканию такого решения U урав-
нения (8), которое удовлетворяет предельному (поверхностному) условию
dU dU dU
— cos (л, х) + — cos (п, у) + — cos (л, z) =. Дх, У, Z)
Эх Эу ' dz
во всех точках поверхности, ограничивающей жидкость.
Заметим, что задача является основной в гидродинамике и носит назва-
ние задачи Карла Неймана.
8. К подобным же задачам анализа приводятся и все статические задачи
физики, как, например, задача о тепловом равновесии тела, о распределе-
59
нии статического электричества на данном кондукторе, задача о равновесии
упругих тел, задачи теории притяжения по закону Ньютона и т.п.
Так, например, задача о равновесии электричества на кондукторе данной
поверхности приводится к определению потенциала U электрических масс,
распределенных по поверхности кондуктора, при условии, чтобы U и внут-
ри и вне поверхности кондуктора удовлетворял уравнению
Д1/ =
b2U
дх2
d2U d2U
by2 dz2
которое носит название уравнения Лапласа, обращался в нуль для бесконеч-
но удаленных точек пространства и стремился к постоянной величине при
приближении точки х, у, z с внешней стороны к любой точке поверхности
кондуктора.
Если такое предельное значение U в точках поверхности кондуктора
обозначим через U,., то предыдущие условия представятся в виде
Ue = const, lim 1/ = 0, (10)
где г2 =х2 +у2 +z2.
Задача опять приводится к определению такого решения уравнения (9),
которое удовлетворяло бы предельным условиям вида (10).
9. Мы имеем в этом примере частный случай так называемой внешней
задачи Дирихле, имеющей первостепенное значение как в анализе, так и в
математической физике.
В общем виде эта задача распадается на две: внутреннюю и внешнюю.
В первой требуется найти такое решение уравнения Лапласа для всех точек,
лежащих внутри данной замкнутой поверхности, которое удовлетворяло
бы предельному условию
Ut= f(x, у, z),
где и, обозначается предел, к которому стремится функция U при прибли-
жении точки х, у, z к какой-либо точке поверхности с ее внутренней сторо-
ны, a f(x, у, z) означает заданную функцию точек этой поверхности.
Внешняя задача требует определения функции U, удовлетворяющей
уравнению Лапласа во всех точках, внешних по отношению к некоторой
данной замкнутой поверхности, при условии соблюдения предельных усло-
вий вида
Ue = f(x, у, z), lim U = 0.
10. Во всех предыдущих примерах, взятых из разнообразных областей
математической физики, задача сводилась к интегрированию дифференци-
альных уравнений с частными производными, причем все эти уравнения
были линейными по отношению к частным производным искомой функции
(или искомых функций) и все - второго порядка.
Встречаются и такие задачи математической физики, где приходится
иметь дело с уравнениями высших порядков, но мы не будем пока останав-
ливаться на этих более сложных вопросах, ограничившись сначала исследо-
ванием простейшего случая уравнений указанного выше типа. Притом бу-
60
дем для простоты рассматривать случай одного дифференциального уравне-
ния с одной неизвестной функцией-
Все приведенные выше примеры таких уравнений заключаются, как част-
ные, в следующем уравнении общего типа:
d2U , bU da+li*yU
Q " ZT + Ь + S А л 4. /{-(-•у а +
Эг2 Э/ “ 7 Эх°Э/Эгт
dU dU dU
+ т — +и — +<? — +/(/ = 0,
Эх ду dz
где а, /3 и у суть целые числа*), удовлетворяющие уравнению
а + /3 + у = 2,
а, Ь, Аа+р+у, т, п, q и I - заданные функции от х, у и z (не зависящие от г).
Такого рода уравнения можно разделить на три типа:
1°. Уравнения, в которых а = О, b Ф 0, т.е. содержащие лишь первую
производную искомой функции U по t.
2°. Уравнения, в которых а Ф О, b = 0, т.е. содержащие лишь вторую
производную по t.
3°. Уравнения, в которых одновременно а = О, b = 0, т.е. не содержащие
ни первой, ни второй производных искомой функции по переменной t **).
Уравнения типа 1° соответствуют различным задачам теории тепла. Урав-
нения типа 2° охватывают область явлений, изучаемых в теории звука, све-
та, электричества, гидродинамики, теории упругости. Уравнения типа 3° ха-
рактеризуют различные задачи об установившихся процессах и задачи о рав-
новесии. В двух первых случаях задача приводится к интегрированию соот-
ветствующих дифференциальных уравнений при соблюдении некоторых
начальных и предельных условий, в третьем — начальные условия отпадают
и остаются лишь предельные условия, примеры которых указаны выше.
11. Эти начальные и предельные условия играют первостепенную роль в
вопросах математической физики, такую же, как так называемые началь-
ные данные в задачах общей механики.
Сущность физических процессов во всех подробностях нам неизвестна.
Обобщая всю совокупность данных опыта и наблюдений, мы строим, как
упомянуто выше, некоторое число наиболее вероятных гипотез, при помо-
щи которых создаем в своем воображении особого рода механическую
модель изучаемого физического явления. Чем полнее соответствие процес-
сов, которые воспроизводятся этой моделью, с теми фактами, которые
могут быть непосредственно наблюдаемы в действительном явлении приро-
ды, подмененном построенной нами моделью, тем эта модель лучше, тем
более заслуживают доверия гипотезы, положенные в основу ее построения.
Создав такую по возможности самую простую модель, механическая конст-
рукция которой нам известна, мы получаем возможность изобразить законы
ее движения в аналитических формах по принципам математики и общей ме-
ханики. Получаемые таким путем математические соотношения характери-
*) Включая сюда и значения, равные нулю.
*•) Смешанный случай, когда уравнение содержит и первую и вторую производные
поТ, мы рассматривать не будем.
61
I
зуют, строго говоря, не те движения, которые на самом деле совершаются в
природе, а те, которые происходят и должны происходить в построенной
нами модели.
Выводя аналитически различные свойства и особенности этих последних
движений нашей модели, мы сравниваем затем полученные таким путем
данные с фактами действительности. Если получается постоянное совпаде-
ние тех и других, если новые факты, выводимые из известных свойств
построенной нами модели, подтверждаются опытом и наблюдениями, то со-
ответствие между нашим искусственным построением и действительным
физическим явлением делается все более заслуживающим доверия и гипо-
тезы, положенные в основу наших суждений, становятся все более и более
вероятными, превращаясь с течением времени в законы. Если же наоборот,
хоть один вывод из аналитических формул, изображающих законы движе-
ния построенной модели, оказывается в явном противоречии с данными не-
посредственного наблюдения, то такая модель должна быть признана недо-
статочной, гипотезы (или некоторые из них), послужившие основой для ее
построения, — неудовлетворительными, несоответствующими действитель-
ности. В таком случае приходится приниматься за построение новой модели
или соответствующим образом видоизменять старую.
Вся история опытных наук, в особенности наиболее точных из них, как
то: геометрии, механики, физики,астрономии,представляет собой образец
создания и постоянной перестройки такого рода моделей.
12. Применяя сказанное к интересующим нас задачам математической
физики, мы должны прежде всего отметить следующее: если дифферен-
циальные уравнения с упомянутыми выше начальными и предельными ус-
ловиями построены не на ошибочных основаниях, не находятся в явном
противоречии с действительностью, то они должны давать для каждой зада-
чи единственный и вполне определенный ответ, подобно тому, как диффе-
ренциальные уравнения общей механики при определенных начальных
данных должны давать единственное и вполне определенное решение.
В действительной, наблюдаемой нами природе всякий физический про-
цесс, вызываемый определенными причинами, всегда принимает опреде-
ленное, единственно возможное течение. Материальное тело,например, по-
мещенное в определенное положение в пространстве и пущенное с опреде-
ленной скоростью под действием данных сил, может приобрести одной
только одно определенное движение.
Поэтому первым и необходимым условием соответствия движений в
построенных нами моделях с движениями в действительных физических
процессах, которые мы желаем изобразить при помощи этих механических
моделей, является требование, чтобы упомянутые выше дифференциальные
уравнения в совокупности с начальными и предельными условиями давали,
как сказано выше, единственное и вполне определенное решение.
13. В дальнейшем мы подвергнем последовательному изучению диффе-
ренциальные уравнения трех типов, указанных в п. 10, в соответствии с раз-
личными задачами математической физики, которые характеризуются эти-
ми различными типами уравнений.
Начнем со случая 1°, соответствующего процессам движения теплоты в
материальных средах, и в этой области изучим сначала простейшие вопросы
о распространении тепла в телах линейных размеров. К таковым принадле-
62
жат классические задачи об охлаждении неоднородного твердого стержня,
об охлаждении стержня, согнутого в дугу и приведенного в соприкоснове-
ние концами его, задача об охлаждении неоднородного сплошного кольца
и др. В соответствии с тем, что сказано в предыдущем пункте, займемся
прежде всего выяснением тех обстоятельств, при которых соответствующие
такого рода задачам уравнения, начальные и предельные условия дают дей-
ствительно единственное и определенное решение.
ГЛАВА IV
Задачи об охлаждении неоднородного твердого стержня,
сплошного неоднородного кольца, изогнутого стержня.
Им соответствующие дифференциальные уравнения, начальные
и предельные условия. Аналитическое обобщение этих задач.
Определение условий, достаточных для определенности задачи.
Общий прием решения этих задач
по методам Эйлера, Бернулли, Фурье, Ляме.
Две основные задачи, из них вытекающие:
(А) Определение характеристических чисел
и им соответствующих фундаментальных функций;
(В) Разложение произвольных функций в ряды
по фундаментальным функциям
1. Обозначим, как и в п. 2 предыдущей главы, через с удельную теплоту
в каждом поперечном сечении тонкого твердого стержня, через к - его
внутреннюю теплопроводность, через т - лучеиспускательную способность
каждого поперечного сечения, через р — его плотность. Предположим, что
стержень нагрет до некоторой определенной температуры и в таком состоя-
нии помещен в среду, температура которой, предположим для простоты,
равна нулю. С этого момента, который примем за начальный, стержень нач-
нет охлаждаться, теряя тепло во внешнее пространство как путем лучеис-
пускания каждого поперечного его сечения, так и путем лучеиспускания с
площадок его крайних сечений.
Примем за ось х прямую, по которой расположен стержень. Приравнивая
то количество тепла, которое притекает за промежуток времени dt к эле-
ментарному объему стержня, тому количеству тепла, которое необходимо
dU
для повышения температуры этого объема на — dt, приходим к следую-
dz
щему дифференциальному уравнению:
dU д ( dU\
g — = — I* — I -mU, g = cp. (1)
dt дх \ дх /
которому должна удовлетворять температура U в каждый момент времени
t и для всякой точки хстержня.
Предположим, что начало оси х совпадает с одним из концов стержня, и
обозначим через / его длину. Примем за начальный момент времени t = 0,
что всегда можем сделать.
63
Так как температура U известна для каждой точки х стержня в момент
г - 0, то получаем начальное условие задачи в виде
t/(O,x)=/(x), (2)
где f(x) — заданная функция от х для всех значений х от х = 0 до х = /.
Выражая, наконец, аналитически условие, что количество тепла, притека-
ющего изнутри стержня к каждому из крайних его сечений, должно уравно-
вешивать количество тепла, теряемое этими сечениями через лучеиспуска-
ние во внешнюю среду, получим два следующих предельных условия рас-
сматриваемой задачи, которые должны выполняться для любого значения t
и для значений х = 0 и х = Г.
ьи
к — - hU = 0 при х = О,
Эх
ъи <3>
к — + HU = 0 при х = I,
Эх
где h и Н обозначают лучеиспускательные способности двух крайних сече-
ний стержня.
По физическому смыслу величины g и к суть функции от х, всегда поло-
жительные и не обращающиеся в нуль в промежутке [0, /], а т есть функ-
ция, только неотрицательная, могущая принимать и значения, равные нулю.
Что касается h и Я, то это суть величины постоянные, могущие изменяться
от 0 до + сохраняя всегда положительные значения.
Таким образом, решение задачи приводится к интегрированию уравне-
ния с частными производными (1) при начальном условии (2) и предель-
ных условиях (3).
2. Другой классической задачей для тел линейных размеров, которая:
как и предыдущая, была поставлена Фурье, является задача об охлаждении
неоднородного сплошного кольца. Под этим именем подразумевается весь-
ма тонкое (в пределе бесконечно тонкое) твердое тело, имеющее вид ка-
кой угодно замкнутой и не пересекающей себя кривой.
Если такое тело, нагретое до известной температуры, поместить в среду с
температурой нуль, то оно начнет изменять свою температуру с течением
времени. Фурье указал, что закон изменения температуры U с течением
времени и в различных точках такого тела должен подчиняться тому же
самому уравнению (1), если только подразумевать в нем под х дугу кри-
вой , представляющей контур кольца и отсчитываемой от некоторой его опре-
деленной точки в определенном направлении. Очевидно, что в данном слу-
чае начальное условие остается неизменным, т.е. дается тем же уравнением
(2). Что же касается предельных условий (3), то они заменятся двумя
следующими:
... z Л Э(/(Г,О) Э(7(г,/)
U(t, 0) = U{t, /), = -~-2, (4)
Эх Эх
где I обозначает периметр кривой кольца. Условия (4) выражают аналити-
чески требование непрерывности температуры и ее течения в рассматривае-
мом замкнутом (сплошном) теле.
3. Эта задача допускает различные обобщения.
64
Вместо сплошного кольца мы можем рассматривать стержень, согнутый
в какую-либо дугу, приведя в соприкосновения его крайние сечения. Закон
изменения температуры U для всех точек такого согнутого стержня, лежа-
щих между его концами, будет, очевидно, определяться тем же самым диф-
ференциальным уравнением вида (1), если считать в нем, как и в случае
сплошного кольца, х за дугу кривой, получившейся после изогнутая стерж-
ня. Останется неизменным и начальное условие (2), но предельные условия
будут, вообще говоря, иные.
Ввиду различия физических свойств в крайних площадках стержня,при-
веденных лишь в соприкосновение, температура U может изменяться скач-
ком при переходе по дуге кривой с одной стороны плоскости их соприкос-
новения на другую. Если при этом остановимся на гипотезе, принятой в тео-
рии теплоты, что количество тепла, протекающего через плоскость сопри-
косновения с одной стороны на другую, пропорционально разности темпе-
ратур, то придем к следующим условиям:
bU(t, 0)
к —-—- - h [С/(г, 0) - U(t, /)] =0 при х = 0,
Эх
bU(t, I) (5)
к —-—й [ U(t,Q) — U(t, I)] =0 при х = /*),
Эх
где й - положительная постоянная.
Если допустим, что температурного скачка в месте соприкосновения не
происходит, что соответствует предельному случаю, когда постоянная й об-
ращается в то предыдущие условия заменятся такими:
U(t, 0) = U(t, I),
bU(t, 0) bU(t, I) **)
*(0) =k(l)
Эх Эх
4. Можно предположить, наконец, что согнутый стержень образует не-
замкнутую кривую и в таком виде помещен в среду, температура которой
равна нулю. Здесь возможны различные предположения.
При некотором положении его крайних сечений может случиться, напри-
мер, что каждой из этих сечений будет терять тепло через лучеиспускание и
в то же время поглощать часть лучистой теплоты, испускаемой другим, ему
противостоящим крайним сечением. Дифференциальное уравнение, харак-
теризующее закон изменения тепла в теле, останется тем же, начальное ус-
ловие также не изменится, но предельные условия заменятся, вообще гово-
ря, такими:
dU(t, 0)
—-—- =a(/(r,O)+0t/(r,/),
Эх
bU{t, I) (7)
—~ 0) + bU(t,!)
Эх
где а,р, 7, 5 суть некоторые постоянные.
*) Значения к при х = 0 и х = I различны.
**) См., например, Riemann-Weber, ”Die partiellen Differential-Gleichungen der
Mathem. Physik”(Bd. 11, 1912, p. 85, § 34).
65
5. Сопоставляя все сказанное, видим, что различные задачи об охлажде-
нии тел линейных размеров, переведенные на язык анализа, сводятся к ин-
тегрированию дифференциального уравнения (1) при начальном условии
(2) и при различных предельных условиях. Эти последние являются част-
ными случаями следующих двух условий общего вида:
dU(t, 0) dU(t, I)
L(lf)=aiU(t,O)+a, — + a3i/(r,/)+a4---------- =0,
дх дх
dU(t, 0) dU(t, /) (8)
Ll(U)=btU(t,0)+b2 ------- + b3U(t,l)+b* —-—- =0,
дх дх
где ак и Ьк (Л = 1, 2, 3, 4) суть некоторые постоянные. В этом обобщенном
виде мы и будем рассматривать задачу.
6. Преобразуем прежде всего дифференциальное уравнение (1) к не-
сколько иному виду. Умножим его на А: и вместо независимой переменной
х введем новую %, положив
dx х dx
dt= — . <= f — +C
к ok
(9)
где С есть некоторая постоянная. Так как по предыдущему функция к, ос-
таваясь положительной в промежутке [0,7], не обращается в нуль ни в од-
ной из его точек, то преобразование (9) всегда возможно.
Если положим
g* = p(£), mk = q(£), (10)
то уравнение (1) примет вид
dU d2U
* 5F -’«»к
Для простоты мы опять заменим букву % через х и будем в дальнейшем
исходить из уравнения вида
dU д2 U
Р{х) — = —~ -q{x) U, (А)
dt dxi
предполагая, что х меняется в пределах от а до b(b >а). При этом преоб-
разовании переменной условия (8) заменятся, очевидно, такими:
dU{t, a) dU(t, b)
L(U)=aiU(t,a)+a2 --------- +a3U(t, b) + а4----- =0,
дх дх
(В)
dU(t,a) dU(t,b) v 7
Ll(U) = biU(t,a) + b2 —-—- +b3U(t,b)+b4 —L=0.
Эх Эх
К этим условиям нужно еще присоединить начальное условие вида
7/(0, х) = Дх). (С)
Приняв в расчет выражения (10) для р(х) и q(x) и сказанное раньше о
свойствах функций к, g и т, заключаем, что для задач математической фи-
66
зики функции р(х) и q(x) в основном уравнении (А) должно считать
неотрицательными в промежутке [а, 6], причем первая из них не должна об-
ращаться в нуль ни в одной из точек этого промежутка.
7. Линейные формы правых частей предельных условий (В) должны
быть линейно независимыми между собой. Поэтому по крайней мере одна
из разностей
ajbk - akbi (i, к = 1,2, 3,4)
должна быть отлична от нуля.
Чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, рассмотрим разность
e2Z>4 -а^Ьг- Возможны два случая: (а) либо эта разность не равна нулю,
либо (в) эта разность равна нулю (а какая-либо другая не нуль).
В первом случае (а) уравнения (В) можно решить относительно величин
dU(t,a) dU(t,b)
и ,
Зх--------------Эх
причем получим
bU(t, b)
= a.U(t, а) + 0U(t, b), (В,)
Эх
bU(t, а)
—-— = yU(t,a) + t>U(t,b),
где а, 0, у и 8 суть некоторые постоянные.
Во втором случае (в) уравнения (В) легко приводятся к двум сле-
дующим:
U(t,b) = pU(t,a),
bU(t, b) dU(t, a)
------ =a ---------- +rl/(t,a),
Эх Эх
где р,аит- также некоторые постоянные*).
В дальнейшем мы будем различать два класса задач: к первому классу
отнесем те, которые требуют интегрирования уравнения (А) при предель-
ных условиях вида (В1), ко второму те, когда интегрирование уравнения
(А) должно быть выполнено при соблюдении условий (В2 ).
Припоминая сказанное выше (см. пп. 1-5), убеждаемся, что условия
(Bi) заключают в себе задачи об охлаждении незамкнутых твердых тел ли-
*) Здесь предположено, что кроме условия (в) выполнено также условие а3Ь4 -
-а4Ь3 *0. Есин вместо последнего неравенства выполняется неравенство аtb3 -
- atbi * 0, то условия (В) приводятся к граничным условиям, которые получаются
из (В,), если в них поменять местами точки а и Ь. Кроме того, возможен еще случай,
когда граничные условия (В) приводятся к виду
ди
u(t,b) = pu(t,a), blu(t,a) = Ьг — (t,a),
дх
где 61 +b$ *0и pb3 =0, и случай, получающийся из последнего заменой а наб.
Последние два случая называются исключительными и рассматриваются в гл. VI (ус-
ловия (2), (3) или (4) гл. VI). (Прим. ред.).
67
нейных размеров (прямой стержень, стержень, изогнутый в незамкнутую
кривую), вторые же (В2 ) соответствуют таким же задачам замкнутых твер-
дых тел линейных размеров (сплошное кольцо, стержень, изогнутый в
замкнутую кривую). Эти два класса задач, различные по физическим осо-
бенностям, представляют некоторые особенности и с точки зрения чистого
анализа и потому заслуживают особого рассмотрения.
8. Рассматривая вопрос с чисто аналитической точки зрения, мы можем
обобщить задачу, предполагая в уравнении (А) функции р(х) и q(x) каки-
ми угодно непрерывными функциями от х, не подчиняя их непременному
условию оставаться положительными или не обращаться в нуль в промежут-
ке [а, 6]. Точно так же в предельных условиях (В^ и (В2) можем предпо-
лагать постоянные а, 0, у, S и р, о, т какими угодно. Задачам же, могущим
иметь приложение в математической физике, будут соответствовать лишь
те случаи, когда уравнением (А), начальным условием (С) и предельными
условиями (В)) или (В2) задача определяется вполне и единственным об-
разом. Выяснением условий, достаточных для определенности задачи, мы
прежде всего и займемся *).
Допустим, что существуют две различные функции Ux и ^.удовлетво-
ряющие всем поставленным требованиям.
Положим V = Ut - U2. Так как дифференциальное уравнение (А) линей-
но относительно U и ее производных, то V удовлетворяет уравнению того
же вида, т.е.'
ЭИ Э2 V
р(*) т = тч -£/(х)у-
ot дх1
и начальному условию
И(0,х) = 0. (11)
Умножив предыдущее уравнение на Vdx и интегрируя результат по х от
а до Ь, получаем
1 Э ь , ь Э2 И ь
~ ~ / P(x)V2dx = f V — dx - f q(x)l'2 dx,
2 Ot a a OX a
(12)
так как
ь ЭИ 1
fp(x)K — dx= -
a Ot Z
Заметив, далее, что
ь Э2И ЭИ
f И —- dx = I' —
а Эх2 Эх
Э b
— f р(х)И2 dx.
Эг а
Ь Ь / ЭИ \2
а а
f — I dx.
приводим равенство (11) к виду
1 Э ь , ь , ь / ЭИ V ЭИ 1 *
— — / р(х) И2dx + / q(x) V2dx + / I ------- I dx = И-----
2 Э/ a a a \ Эх / Эх • a
*) Решения при этом предполагаются достаточно гладкими функциями. (Прим. ред.)
68
Отсюда, интегрируя по t от О до какого-либо значения г, выводим
1 ь t ь „ t ь ( ЭИ V
- f p(x)V2dx + f dt f q(x)V2 dx + f dt / — I dx =
la 0 a О a \ dx J
t ЭИ
= f У —
о Эх
ь
dt,
a
b .
ибо, в силу (11), / p(x) И2dx = 0 при t = 0.
а
Если р(х) и q(x) суть функции только непрерывные, то из этого соотно-
шения нельзя сделать никаких заключений относительно величины V. До-
пустим, что р(х) и q(x) остаются неотрицательными в промежутке [а, 6]
(хотя и могут принимать значения, равные нулю*)). Очевидно, если при этом
ЭИ- I *
И —
Эх I а
(13}
то необходимо И = U\ - U2 = 0 для всех значений / и при всех значениях х
в промежутке [а, Э]. Следовательно, если в уравнении (А) р(х) и q(x) ос-
таются неотрицательными и соблюдается условие (13), то задача не может
иметь более одного решения.
9. Рассмотрим подробнее условие (13). Предположим сначала, что иско-
мая функция U принадлежит функциям 1-го класса, т.е. определяется пре-
дельными условиями вида (В(). Очевидно, что И, равное разности двух
различных значений U, удовлетворяет тем же условиям, т.е.
bV(t,b) ч ЭГ(г, а)
—----- =aV(t,a)+&V(t,b), —i—- = 7 И(/, л) + 6 И(/, b).
Эх Эх
При помощи этих соотношений находим
И — = 0Г2((, />)-7р(/,а) + (а-8)Г(и)Г(/, Ь),
т.е. выражение (13) есть квадратичная форма двух переменных И(Г, а) и
К(/, Ь). Эта форма наверное будет отрицательна при всех значениях аргу-
ментов, если
0<О, 7>0, (а-5)2 +407<О. (14)
При этих условиях, как указано в конце предыдущего пункта, необ-
ходимо V - U} - Uг - 0, т.е. задача не может иметь более одного решения**).
*) Конечно, по-прежнему считается, что р(х)^ 0. Однако, для приводимого ниже
рассуждения достаточно предположить, что р(х) + <?(х) 0. (Прим, ред.)
**) Это предложение будет справедливо и в том случае, когда 0, или или оба вместе
обращаются в нуль, если только при этом а - ь = 0.
Поэтому условия (14) можно заменить такими:
0<О, 7>0, (а - 6)’ + 407 < О, (14,)
условившись при этом при знаке равенства в одном или обоих из двух первых из этих
трех неравенств в третьем непременно брать нижний знак (равенство).
69.
10. Предположим теперь, что искомая функция U принадлежит функ-
циям 2-го класса, т.е. удовлетворяет предельным условиям (В2). В этом
случае в силу (В2), которым, очевидно, удовлетворяет и функция V, по-
лучаем
ЭК * ЭК(Г, а) .
у •— = (ро - 1)К(/, а) •------- +prV2(t, а).
ЭХ а ЭХ
Правая часть этого выражения будет наверное отрицательна или равна нулю
при всевозможных (вещественных) значениях
ЭК(Г, а)
V(t,a) и -А-' ,
Эх
если
(15)
т.е. когда условия (В2) принимают вид
dU(t, b) 1 dU(t, а)
U(t, b) = pU(t, д), —1 =-------------—- + rU(t, а),
Эх р Эх
(В3)
где постоянные р и т подчинены условию
рт <0. (151)
Таким образом, при выполнении условий (15) все задачи второго класса
не могут иметь более одного решения.
11. Замечательно, что во всех задачах математической физики двух отме-
ченных нами типов соблюдаются соответственно условия (14) и (15). Так,
в задаче об охлаждении прямого стержня условия (3) (п. 1) при замене пе-
х <1х
ременной х через f — + С (см. (9) п. 6) приводятся к виду
о к
Э(/(/, Ь)
Эх
dU(t, а)
Эх
Л>0, //>о.
+ HU(t, Z>) = 0,
- hU(t, а) = О,
В данном случае а = 6 = О, 0 = - Ж О, ? = Л > 0. Условия (14), очевидно,
соблюдены.
В случае задачи согнутого стержня, крайние сечения которого приведены
в соприкосновение (п. 3), условия (5) приводятся к виду
Э{/(Л Ь)
-4------- = Л [(/(/, a) U(t, *)].
Эх
dU(t, а)
—7------- = Л [(/(/, a)-.U(t,b)].
Эх
70
В этом случае а = h, (} = -Л, у = h, & = -h, h > 0, т.е. 0 < О, у >0, (а — 5)2 +
+ 407 = 0.
В задаче об охлаждении сплошного кольца, принадлежащей задачам 2-го
класса, условия (4) представляются в виде*)
dU(t, b) dU(t, а)
U(t,b) = U(t,a).
ох дх
(16)
т.е. р = о = 1, т = 0. Условия (15), очевидно, соблюдены.
Случай, когда в согнутом стержне в месте соприкосновения крайних се-
чений не происходит скачка температуры, т.е. когда предельные условия
имеют вид (6), также принадлежит задачам 2-го класса. Но этот случай
аналитически не отличается от только что рассмотренного, ибо условия (6)
после их преобразования к новой переменной по формуле (9) приводятся к
виду(16). Следовательно, и в этом случае условия(15)также соблюдаются.
На основании сказанного можем утверждать, что во всех изучаемых в
теории тепла задачах о распределении температуры в твердых телах линей-
ных размеров может получиться одно и только одно определенное реше-
ние, если только таковое возможно.
Первое испытание правильности гипотез, положенных в основу теории
тепла, приводит, таким образом, к удовлетворительному результату (см.
п. 13 гл. 111).
Заметим, что полученный результат легко распространяется и на предель-
ные случаи, когда некоторые из постоянных в уравнениях (В,) и (В2) об-
ращаются в бесконечность, но мы на этом сейчас останавливаться не будем.
12. Из доказанной теоремы вытекает следующее весьма важное след-
ствие.
Так как задача при соблюдении условий (14) или (15) может допускать
только одно решение, то, если каким бы то ни было способом мы найдем
некоторую функцию U(t,x), удовлетворяющую уравнению (А), начально-
му условию (С) и предельным условиям (Bt) или (В2), найденная таким
путем функция U(t,x) даст окончательный, единственно возможный ответ.
Для одной задачи математической физики весьма частного характера, а
именно для задачи о колебании однородной упругой струны, Эйлер, а затем
Бернулли предложили особый прием решения, который был распространен
затем Фурье, Пуассоном и позднее Ляме на другие задачи подобного рода.
Идею этого метода мы сейчас и изложим в применении к интересующему
нас вопросу.
Ищем частное решение уравнения (А) в виде произведения двух функ-
ций, одна из которых зависит только от t, другая - только от х, полагая
U(J, х) = И>(г) К(х).
Получаем
d2 И(х)
dx2
(17)
1 <W)
И/(Г) dt
-Ч(х)У(х)
р(х) И(х)
*) Ибо в этом случае к(а) = к(Ь).
71
Так как первая дробь зависит лишь отх, вторая — только от t, то необ-
ходимо
tx.o _l ® tx=0
Р(Х)И(Х) H>(Z) Л
где X какая угодно постничая. Последнее уравнение дает
W(t) = Ae~K',
где А — произвольная постоянная. Таким образом, искомое частное реше-
ние типа (17) должно иметь вид
U(t, х) = Ае~ Kt К(х), (18)
где И(х) есть функция, удовлетворяющая линейному уравнению 2-го по-
рядка
Г "(х) + (Хр(х) - <?(x)J И(х) = 0. (19)
Полученное решение будет удовлетворять и предельным условиям (Bt)
или (В2), если подчиним функцию Р(х) следующим предельным условиям:
в первом случае (условия (В,))
V'(b) = aV(a)+0V(b), И'(с )= 7 Ж) + 6 Г(/>), (20)
во втором (условия (В2))
V(b) = р V(a), V \b) = aV‘(а) + т K(a), (20,)
которые сейчас же выводятся из (В() и (В2), если в эти равенства вместо
U(t, х) подставить выражение (18).
Функция U(t, х), определяемая равенством (1»), будет, следовательно,
удовлетворять как уравнению (А), так и предельным условиям (В() или
(В2), если определить функцию К(х) как решение уравнения (19), удов-
летворяющее соответственно предельным условиям (20) или (20j).
13. Задача об интегрировании дифференциального уравнения (А) с част-
ными производными сводится этим приемом к особого рода задаче об ин-
тегрировании обыкновенного линейного дифференциального уравнения
2-го порядка, когда требуется найти интеграл его не по начальным данным
(интеграл Коши), как в общей теории линейных уравнений, а по некото-
рым условиям на концах данного промежутка изменения независимой пе-
ременной х; в рассматриваемом нами случае эти определенные условия
выражаются уравнениями (20) или (20,).
Уравнение (19) содержит неопределенный параметр X; при каком угод-
но (неопределенном) X, вообще говоря, не существует функции К(х), от-
личной от нуля и удовлетворяющей одновременно уравнению (19)
и условиям (20) или (20j). Если искомый интеграл, не равный тождест-
венно нулю, и существует, то лишь при некоторых особенных значени-
ниях X.
Допустим, что существует несколько таких значений, которые обозна-
чим через
X,, Х2,... , X*,... (21)
Каждому из них будет соответствовать определенная,не равная тождест-
72
венно нулю функция И(х), удовлетворяющая условиям (19) и (20) или
(19) и (20!).
Обозначим функцию, соответствующую числу X*(fc=l, 2, . . .), через
ук (х). Для каждой такой функции получим соответствующее решение урав*
нения (А) по формуле (18) в виде
Uk(t, х)’= Ake~kkt Ук(х), (22)
где Ак есть произвольная постоянная, которое будет удовлетворять и пре-
дельным условиям (Bi) или (В2). Так как уравнение (А) и эти последние
условия суть линейные однородные функции от U и ее производных, то и
сумма какого угодно числа п решений вида (22) есть также решение урав-
нения (А), удовлетворяющее условиям (Bt) или (В2).
Если бы оказалось, что число различных чисел (21) Хк бесконечно вели-
ко, то, положив
U(t,x)= 2 Ake~Kkt Ук(х), (23)
к= 1
получим бесконечный ряд, который формально будет удовлетворять и
уравнению (А) и условиям (Bt) или (В2), ибо каждый его член обладает
этим свойством. Если при соответствующем выборе пока неопределенных
коэффициентов Ак удастся сделать этот ряд и ряды, составленные из пер-
вых производных его членов по г и из производных двух первых порядков
по х, сходящимися равномерно при всяком положительном t и при всех
значениях х в промежутке [а, ft], то формула (23) даст функцию от t и х,
непрерывную вместе с ее производными
dU(t,x) d2U(t,x)
dr ’ Эх2 ’
действительно удовлетворяющую уравнению (А) и предельным условиям
(Bi) или (В2).
14. Чтобы получить окончательное решение задачи п. 7, необходимо еще
удовлетворить начальному условию (С). Полагая в выражении (23) Г = 0,
получаем
S AkVk{x)= fix). (24)
k= I
Если поэтому удастся выбрать коэффициенты Ак не только так, как толь-
ко что указано в конце предыдущего пункта, но и так, чтобы было удов-
летворено равенство (24) для всех значений х промежутка [a, ft], то инте-
ресующая нас задача будет разрешена. Функция Г/(г,х), определяемая ря-
дом (23), даст то единственно возможное решение задачи, которое она
способна допускать.
15. Таким образом, задача физики об охлаждении тел линейных разме-
ров, переведенная на язык анализа и соответствующим образом обобщен-
ная, приводит к двум вопросам чистого, анализа первостепенной важности:
к задаче об интегрировании линейного дифференциального уравнения (19)
при предельных условиях (20) или (201), которую мы для краткости усло-
вимся называть задачей (А), и к задаче о разложении произвольных функ-
73
ций от одной переменной х в сходящиеся ряды по особого рода функциям,
обозначенным нами через Kfc(x), которую будем называть задачей (В) *).
Задача (А) приводится к доказательству существования бесчисленного
множества различных чисел ХЛ и им соответствующих, не равных нулю
функций Vk (х), удовлетворяющих уравнению
Vk(x) + [Х*р(х) -<7(х)] Vk(x) = 0 (25)
и условиям на концах
V^b) = aVk(a) + fiVk(b), (26)
V,k{a) = yVk{a) + bVk(bY
или
Vk(b) = PVk(a\ (26i)
V'k (*) = о V'k (а) + rVk (в).
Числа Xfc (k = 1, 2, 3, . . .) мы будем называть характеристическими чис-
лами, а соответствующие им функции
К*(х)(Х=1, 2, 3,...)
- фундаментальными функциями, причем функции, подчиненные предель-
ным условиям (26), будем называть фундаментальными функциями перво-
го класса, а функции, удовлетворяющие условиям (26]) - фундаменталь-
ными функциями второго класса. Соответственно этому предельные усло-
вия (26) назовем предельными условиями первого класса, а условия
(261) - предельными условиями второго класса.
16. Мы уже видели, что для вопросов физики представляют интерес лишь
те случаи, когда функция U(t, х), определяемая рядом (23), дает единст-
венно возможное решение задачи, в частности, когда в условиях первого
класса постоянные а,Д, у и 6 удовлетворяют условиям (14) (п. 9), а по-
стоянные р, а и г в предельных условиях второго класса подчинены усло-
виям (15) (п. 10). Мы показали также, что во всех основных задачах тео-
рии тепла эти условия действительно выполняются (см. п. 11). При этом,
напомним, предполагается, что в уравнении (25) функции р(х) и р(х) ос-
таются непрерывными и неотрицательными в промежутке [а, 6].
Физический смысл задачи налагает еще другое ограничение на изложен-
ный нами метод, приведший к изображению искомой функции под видом
ряда (23) (п. 13). Ясно, что во всяком теле, замкнутом или незамкнутом,
помещенном в среду с температурой нуль, температура его U(t, х) не может
возрастать беспредельно с возрастанием времени; для незамкнутого тела
(прямой стержень, стержень, изогнутый в незамкнутую кривую) темпера-
тура U(t,x) должна стремиться к нулю; для тела замкнутого (сплошное
кольцо и т.п.) температура его U(t,x) должна стремиться, вообще говоря,
также к нулю с возрастанием t или, когда лучеиспускательная способность
*) Придерживаюсь терминов, употребленных мною в 1910 г. в мемуаре ’’Sur
1’existence des fonctions fondamentales” (R. Accad. dei Lincei, 1910).
74
(или внешняя теплопроводность) его боковой поверхности равна нулю *),
к некоторому определенному постоянному пределу.
Если изложенная теория не противоречит действительности, то из выра-
жения (23) для U(t, х) должны обязательно вытекать только что указанные
следствия. Эти последние действительно будут иметь место только
тогда, когда для рассматриваемых нами задач математической физики все
характеристические числа Хк окажутся неотрицательными, что с очевид-
ностью вытекает из самого выражения (23) для температуры U(t, х).
Найдем условия, при которых эти требования действительно выполняют-
ся. Умножим уравнение (25) на Vk(x)dx и проинтегрируем результат в пре-
делах от а до &•*). Получим
ь ь ь ..
X* f p(x)Vk(x)dx = f <?(x)Kk(x)dx - f Vk(x)Vk(x)dx.
a a a
Ho
b .. , b b
f yk(x) Vk(x)dx = Kk(x)K'(x)| - / Vk(x)dx.
a a a
Поэтому
ft ft ft ,, , ft
X* f p(x)Vl(x)dx= f q(x)Vk(x)dx + f V k(x)dx - Vk(x)Vk(x)\ .
a a a a
Так как p(x) и q(x) суть функции неотрицательные, то все X* выйдут не-
сомненно неотрицательными, если при всяком к будет соблюдено нера-
венство
, ft
Мх)Н(х)| <0,
а
аналогичное неравенству (13) п. 8.
Приняв в расчет равенства (26) и (26|), убеждаемся, совершенно так же
как и в пп. 9 и 10, что для фундаментальных функций первого класса все
X* будут неотрицательными, коль скоро постоянные a,fi,y и 8 удовлетво-
ряют неравенствам (14), а для фундаментальных функций второго клас-
са - неотрицательными, коль скоро постоянные р,о и т подчинены усло-
виям (15).
Таким образом, оказывается, что во всех случаях, когда выполняется
требование определенности задачи, само собой удовлетворяется и второе
требование, вытекающее из физического смысла задачи, о неотрицатель-
ности всех характеристических чисел Хк. Второе испытание опять не приво-
дит к противоречию между основами теории и непосредственно наблюдае-
мыми фактами действительности (см. конец п. 11).
*1 Это соответствует предположению, что (л) =0.
♦*) Функции Ик(х) считаются достаточно гладкими. (Прим, ред.)
75
ГЛАВА V
Фундаментальные функции и характеристические числа.
Условие ортогональности.
Уравнение, определяющее характеристические числа.
Интеграл уравнения V "(х, X) + [Ар(х) - <?(х)] К(х, X) +f (х) = О,
рассматриваемый как функция параметра X;
метод Шварца — Пуанкаре и его распространение
на общий случай предельных условий (26) и (261) предыдущей главы.
Случай, когда X = 0, не входит в состав характеристических чисел.
Основные теоремы о полюсах мероморфной функции К(х, X)
и связь ее полюсов с характеристическими числами.
Алгоритм Шварца — Пуанкаре
для вычисления характеристических чисел
и фундаментальных функций, соответствующих данной функции f(x ).
Некоторые неравенства
и низшие пределы для модулей характеристических чисел.
Полная система характеристических чисел
и фундаментальных функций
1. Допустим, что характеристические числа Xfc и им соответствующие
фундаментальные функции И*(х) указанных в предыдущей главе двух
классов существуют. Пусть Хш и Х„ — два каких-либо различных характе-
ристических числа, Ут(х) и Уп(х) — им соответствующие фундаменталь-
ные функции. На основании (25) предыдущей главы имеем
^(*) + [Хт₽(*)-«(*)] Ип(*) = 0.
^МЧХярМ-^)! у„(х)=о.
Умножив первое из этих уравнений на К„(х), второе - на Кш(х),вычитая
один результат из другого и проинтегрировав полученную разность в преде-
лах от а до Ь, находим
(Хт - М f Р(х) vm (х) Vn (х) dx = ( Кш(х) К„'(х) - И„(х) V'm (х)) |
а а
Если при всяких т и п имеет место равенство
ь
Кт,п =(Кот(х)К;(х)-К„(х)^(х))| =0, (1)
а
ТО
Ь
f p(x)Vm(x)Vn(x)dx = 0 (2)
а
при всяких не равных между собой тип, ибо при этом Хт — Х„ 0.
Таким образом, если фундаментальные функции удовлетворяют усло-
вию (1), то они образуют систему ортогональных функций, характеристи-
ческой функцией которой служит функция р(х). Условие (1) будем назы-
вать условием ортогональности.
76
2. Предположим, что фундаментальные функции принадлежат первому
классу, т.е. удовлетворяют предельным условиям (26) предыдущей главы.
Уравнения (26) дают
Кт,п = (a+S) [Ит(а)Ги(й)- Гя(а)Г„(*)].
Равенство (1) будет выполнено для каких угодно фундаментальных функ-
ций первого класса, если
а + 6 = 0. (3)
Рассмотрим фундаментальные функции второго класса, удовлетворяю-
щие предельным условиям (261) предыдущей главы. В этом случае уравне-
ния (26,) дают
К т.п = (ро - 1) IVm(а) У'п(а)~ Vn(а) - V'm(a)J.
Равенство (1) будет выполнено для каких угодно фундаментальных функ-
ций второго класса, если
ро - 1=0. (4)
В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно случай ортого-
нальных фундаментальных функций, т.е. будем предполагать, что функции
первого класса определяются уравнением (25) предыдущей главы и пре-
дельными условиями вида
V’k(b) = aVk(fl)+0Vk(b), Vk(a) = yVk(a) -aVk{b\ (5)
а фундаментальные функции второго класса — тем же уравнением (25) и
предельными условиями вида
^(b) = p^k(a), ^(b)= V'k(d) + TVk(a). (6)
Заметим, что во всех задачах математической физики условия ортого-
нальности (3) и (4) соблюдаются. В задаче об охлаждении прямого стерж-
няа=6 = 0,а+ 6 =0, в задачах Сплошного кольца и стержня, согнутого в
замкнутую кривую, для первого случая р = а = 1, pa - 1 = 0, для второго
a = h, Ь- h, а + 6 = О (см. п. 11 предыдущей главы).
Важное значение условия ортогональности фундаментальных функций
для всей теории, которая будет изложена, выяснится впоследствии.
3. Так как вопрос о существовании фундаментальных функций имеет ин-
терес не только с точки зрения математической физики, но и для чистого
анализа, то мы будем сначала предполагать, что в уравнениях (5) и (6)
постоянные а, 3, У и р, т имеют какие угодно вещественные значения, не
связанные неравенствами (14) и (15,) предыдущей главы. Те особенности,
которые вносятся в общую теорию этими последними ограничениями и
принадлежат специально указанным выше задачам математической физики,
отметим впоследствии особо.
Пользуясь основами общей теории линейных дифференциальных уравне-
ний, будем искать интеграл уравнения
К» + [ W) - <7(х)1 = 0, (7)
удовлетворяющий предельным условиям (5) первого класса, подразумевая
77
в (7) под X пока неопределенный параметр. Обозначим через
w,(x, X) и w2(x, X)
два независимых частных решения уравнения (7), подчинив их для просто-
ты условиям
wi(a, Х)= 1, w',(a, Х) = 0,
w2(а, X) = 0, X) = 1,
что всегда возможно.
По известной теореме Лиувилля имеем при всяких х и X:
w, (х, X) w'2(x, X) - и’2(х, X) wi (х, X) = const,
каковы бы ни были независимые частные решения wt(x, X) и w2(x, X) урав-
нения (7). Если эти решения удовлетворяют условиям (8), то,очевидно,
D = w, (х, X) w2 (х, X) - w2 (х, X) w\(х-, X) = 1. (9)
Функции Wj(x, X) и Wj(x, X), как известно, суть целые трансцендентные
функции параметра X во всей плоскости комплексного переменного X.
Общий интеграл уравнения (7) представляется в виде
F(x) = C1w1(x, X) + C2w2(x, X), (10)
где С, и С2 — произвольные постоянные. Выбрав в общем интеграле по-
стоянные Ci и С2 так, чтобы были выполнены условия (5), получим иско-
мый интеграл уравнения (7), если таковой существует.
4. Подставляя выражение (10) в уравнения (5) и приняв в расчет (8),
получаем два следующих уравнения для определения постоянных С2 и С2:
С, [vv'i (b, X) - 0Wi (b, X) - а] + С2 (w2(b, X) - $w2(b, X)] = О
Ci [aw, (b, X) - 7] + С2 [ 1 + aw2 (b, X)] = 0. (1
Эти линейные однородные относительно неизвестных С, и С2 уравнения
могут быть удовлетворены значениями С, и С2, не равными нулю тогда и
только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. когда
ы(Х) = [wi (Z>, X) -0w,(b, X) - а] [1 + aw2(b, X)] -
-[w2(b, X) - fiw2(b, X)] [aw( (b, X) - 7] = 0, (12)
или, на основании (9),
w(X) = w’, (b, X) — (fa’i (b, X) - 2a +
+ lfWi(b, X) - (a2 + /?7)w2(b, X) = 0. (12,)
В силу сказанного выше w(X) есть целая трансцендентная функция от X для
всех значений X.
Таким образом, уравнение (7) может допускать интеграл, удовлетво-
ряющий предельным условиям (5), лишь для таких значений параметра X,
которые служат корнями трансцендентного- уравнения
w(X) = 0. (122)
Это уравнение имеет бесчисленное множество отдельных корней, модули
которых беспредельно возрастают, если только со(Х) не равно тождественно
78
нулю при всяком X. Уравнение (122) будем называть уравнением характе-
ристических чисел.
5. Положим в уравнении (7) X = 0. Получим уравнение
К"(х)-</(х)К(х) = 0. (13)
Обозначим через U|(x) и и2(х) два его частных линейно независимых реше-
ния, подчиненные условиям
И|(а)=1, Ui(a) = 0, u2(a) = 0, и2(а)=1. (14)
Очевидно,
wi(x, 0) = И1(х), w2(x, 0) = u2(x) (141)
и
ы(0) = и! (6) - 0ы 1 (b) — 2а + уи2 (Л) - (а2 + 07) и2 (/>)•
Рассмотрим сначала случай, когда и у подчинены условию
ы(0) = и'|(6) -(Sut(b) - 2а + уи'2(Ь) -
-(а2+07) й2 (/>)¥= О, (15)
что равносильно предположению, что уравнение характеристических чисел
не имеет корня, равного нулю.
При соблюдении условия (15) ы(Х) не может равняться тождественно
нулю при всяком X; в этом случае уравнение (122) определит бесчисленное
множество различных между собой значений Хк, служащих его корнями.
Случай, когда ы(0) обращается в нуль, рассмотрим впоследствии.
6. Сделаем временно еще другие предположения. Выражение
w2(b, X) —0w2(Z>, X) (16)
представляет некоторую целую трансцендентную функцию от X и обраща-
ется в
ui(Z>)-0M2(Z>) (17)
при X = 0.
Предположим, что
u2(b)-$u2(b)*0. (18)
При этом разность (16) не может равняться тождественно нулю при вся-
ком X.
Допустим, наконец, что целая трансцендентная функция от X (16) не
имеет корней, общих с корнями функции ш(Х).
Случай, когда разность (17) обращается в нуль и уравнение
w'2(b, X)~pw2(b, Х) = 0
имеет корни, одинаковые с корнями уравнения характеристических чисел
(уравнение (122) ),. что, вообще говоря, возможно, мы рассмотрим впо-
следствии особо.
7. При сделанных допущениях мы можем заменить совокупность уравне-
ний (11) уравнением (122) и первым из уравнений (11). При каждом зна-
чении Х = ХА, служащем корнем уравнения (122), получится определенное
выражение для отношения С2 к С(, причем Ct останется произвольным.
79
Обозначая эти произвольные значения Ct для различных значений Хк через
Ск, получим при всяком к:
С -с a + ^w^b'X^~w'^b’ х*)
г~ к *;(*,**)-0*2(*.**)
Подставив это выражение С2 в (10) и заменив в нем С( через Ск, найдем
определенную функцию Ик(х) в виде
_ H’1(x,Xt)[w;(*,Xfc)- 0w2(*,Xk)]
Vk(x) = Ck —;------------------------- +
w2(b, Xk)-0w2(b, Xk)
+ w2 (X, Xk) [a + (b, Xk ) - w't (b, Xk)]
W2(b, Xk) — (}w2(b, Xk)
Давая к всевозможные значения 1, 2, 3 и т.д., получим бесчисленное мно-
жество функций Ик(х) (к = 1, 2, 3, . . .), соответствующих числам Хк (к = 1,
2, J,...), каждая из которых будет удовлетворять уравнению
У'к(х) + 1Х*р(х) -я(х И Vk(х) = 0 (20)
и предельным условиям
Vk(b} = aVk(a} + $Vk(b),
Vk(a) = yVk(a)~aVk(b\ ( }
где, согласно сделанным допущениям, постоянные а, 0 и у подчинены нера-
венствам (15) и (18).
Очевидно, что ни одна из функций Ик(х), определяемых равенством
(19), не равна тождественно нулю, ибо при х = а она обращается на основа-
нии (8) в Ск.
8. Рассмотрим теперь случай предельных условий второго класса. Под-
ставив выражение (10) в уравнения (6), получим
C\{wi(b, X) - р) + C2w2(b, Х) = 0,
. (Hi)
С1(и>'|(/>. Х)-т) + С2 (w2(b, X) — ) = 0.
Отсюда, подобно тому, как в п. 4, заключаем, что характеристическими
числами могут быть лишь корни целой трансцендентной относительно X
функции
<о(Х) = 2- wt(b, X) -pw'2(b, X) + тю2(Ь;Х). (12j)
представляющей определитель системы (11 ().
Сделаем здесь следующие допущения:
(а) Постоянные риг удовлетворяют условиям
<о(0) = 2- ut(b) — pu2(h) + ти2(Ь)^0, u2(h)=#0, (15])
(в) Функции и(Х) и w2 (b, X) не имеют общих корней.
Случаи, когда эти условия могут не соблюдаться, также рассмотрим впо-
следствии. При этом ш(Х) не может обращаться в нуль тождественно при
80
всяком X; уравнение ы(Х) = О определит бесчисленное множество различ-
ных значений
Х = Х* (*=1,2,3,...),
для каждого из которых первое из уравнений (1Ц) даст определенную
величину отношения С2 к Ct:
С *>
2 * w2(b,X)
причем, приняв в расчет (10), получим для всякого *:
„ . . „ W!(x, X*)w2(b, Xfc) - w2(x, X*) [и'1(Л, X*) - p]
Hfc(x) = C* ----------------———---------------------- • (19i)
w2(Z>, Xt)
Получим при сделанных допущениях бесчисленное множество чисел X*. и
им соответствующих функций ИЛ(х), не равных тождественно нулю**) и
удовлетворяющих уравнению (20) и предельным условиям
И*(*) = рИ*(в),
^(6) = ± V^a) + rVk(a). (210
9. Еще Лиувилль показал (Journal de Liouvilie, T.l), что для частного слу-
чая, когда (задача об охлаждении неоднородного твердого стержня)
а = 0, 0<О, у>0, (22)
все корни целой трансцендентной функции ы(Х) вещественны, положитель-
ны и притом простые (не кратные). Обстоятельное изложение метода Лиу-
вилля для указанного частного случая читатель может найти, например, в
томе III курса К. Жордана.
В 1909 г. итальянский ученый М.Пиконе распространил этот метод и на
более общий случай (Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un
equazione differenziale lineare ordinaria dei secondo ordine. — Pisa, 1909).
Но еще в 1896 г. мною показано, что для случая Лиувилля вопрос реша-
ется с полной обстоятельностью при помощи иного метода, идея которого
принадлежит Шварцу и который был затем развит и дополнен Пуанкаре в
его известном мемуаре ”Sur les equations diffenfntielles de la Physique Mathe-
matique”, помещенном в Rendiconti di Palermo за 1894 г.
Тогда же я указал, что метод Шварца — Пуанкаре допускает дальнейшее
развитие и приводит не только к решению задачи (А), но также решает и
задачу (В) (см. п. 15 предыдущей Главы). Эти первоначальные исследова-
ния, опубликованные мною в статье ’’Задача об охлаждении неоднородного
твердого стержня” (Сообщения Харьк. матем. общ., 1896), были затем раз-
виты и усовершенствованы в мемуарах ’’Probleme de refroidissement d’une
barre he'te'rogene” (Annales de Toulouse, 1901) и ”Sur 1’existence des fonctions
fondamentales etc.” (Memoria della R. AccademiadeiLincei, 1910), где я pac-
•) По-прежнему заменяем С, через Ск.
**) Ибо при х = а, так же как и в предыдущем случае, к*(х) обращается в Ск.
81
пространил рассматриваемый метод и на случай, когд функция р(х) в
уравнении (25) только непрерывна*). Но в этих исследованиях я ограни-
чивался случаем предельных уравнений первого класса, и притом тем част-
ным случаем, когда постоянные а, 0 и у подчинены условиям (22).
Наконец, в мемуаре ”Sur certaines questions d’Analyse qui se rattachent &
plusieurs problemes de la Physique Mathematique (Mdm. de 1’Acad. des Sciences
de St. Pdtersbourg, Cl.Ph. M. Vol. XXXI.n. 7,1913) я распространил указан-,
ный метод и на общий случай предельных условий как первого, так и вто-
рого классов.
В настоящем сочинении мы изложим решение основных задач (А) и (В),
поставленных в предыдущей главе, при помощи того же метода, начала ко-
торого положены Шварцем и Пуанкаре и который будем называть методом
Шварца - Пуанкаре, внеся некоторые существенные изменения и дополне-
ния в наши предыдущие исследования.
10. В предыдущих пунктах доказано, что фундаментальные функции,не
равные тождественно нулю, могут существовать лишь для отдельных зна-
чений параметра X, служащих корнями целой трансцендентной функции
со(Х). Как для задач чистого анализа, так и в особенности для задач матема-
тической физики существенно важным требованием является условие, что-
бы характеристические числа были числами вещественными (а для задач
математической физики еще и положительными).
Исследованию вопроса о свойствах чисел Хк, т.е. корней функции со(Х),
и будут посвящены следующие пункты этой главы.
11. Заменим уравнение И"(х) + (Хр(х) - q(x)] И(х) = 0 следующим:
И"(х) + [Хр(х) - q(x)] И(х) +/(х) = 0, (23)
где /(х) есть какая-либо заданная непрерывная функция от х, и будем ис-
кать интеграл уравнения (23) в виде ряда, расположенного по целым поло-
жительным степеням параметра X, удовлетворяющий предельным условиям
£(И) = V'(b) — aV(a) -0V(b) = 0,
МП* Г'(«)-уГ(а) + аГ(Ь)»0,
*) Аналогичные результаты получены иными приемами в исследованиях А.Кнезера
(Mathem. Annalen, Bd. 58, 1904, Bd. 60, 1905 и Bd. 63, 1907), Мээона (Trans. Americ.
Mathem. Society, 1906), С. Саниелевичи (Annales de I’Ecole Norm. Super., 1909), M. Пи-
коне (Annali d. R. Scuola Norm. Super, di Pisa, 1909) и др.
Исследования А. Кнезера представляют развитие и усовершенствование идей Лиу-
вилля, Мэзон сводит вопрос к задачам вариационного исчисления, С.Саниелевичи и
М. Пиконе пользуются интегральными уравнениями Гильберта - Фредгольма.
Этот же метод, за два года до появления работ С. Саниелевичи и М. Пиконе, был
развит А. Кнезером в 1907 г. в третьем из вышеупомянутых его мемуаров, который,
по-видимому, ускользнул от внимания С. Саниелевичи и М. Пиконе.
Из других исследований, относящихся к рассматриваемым вопросам, особого вни-
мания заслуживают изыскания Э. Пикара, опубликованные им одновременно с упомя-
нутым выше мемуаром А. Пуанкаре и изложенные затем в его ( ”Trait^d’Analyse”T.Iir,
Paris, 1896), а также его мемуар ”Sur un probl An е general relatif aux equations integrates
de premiere espdce et sur quelques problimes de Physique Mathematique” (Rendic. di Paler-
mo, T.-XXIX, 1910).
Дополнительные литературные указания по этому предмету можно найти в речи
М. Бохера ’’Boundary Problems in one Dimension”, произнесенной им на одном из общих
собраний V Интернационального конгресса математиков в Кембридже в 1912 г. (см.
Proc, of the V International Congress of Mathematicians, Vol. I.-Cambridge, 1913, p. 163).
82
или условиям вида
/,(П=И(Ь)-рК(<7) = 0.
А,(И) = И'(*)--!- К'(а)-тК(в) = 0.
Положим
V(x) = v0(x) + Xvj(х) + \2v2(x) + ... + Xkvk(x) + ... , (27)
где v*(x) (k = 0, 1,2,...) суть некоторые функции от х. Подставляя это
выражение V(x) в (23) и (24) и приравнивая нулю коэффициенты при раз-
личных степенях X, получим следующие уравнения для последовательного
определения функций vk(x):
v'o(x) - (I(х) v0(x) + / (х) = 0. (28)
A(vo) = 0. L,(M = 0 (28j)
и для всякого к, начиная с 1,
v"k(х) - 4/(х) vftx) + р(х) vk _ । (х) = О, (29)
L(vk) = 0, Lt(vk) = 0.
Общий интеграл линейного однородного уравнения, соответствующего
неоднородному уравнению (28), имеет вид
ц(х) = С,и,(х) + С2и2(х).
где и,(х) и и2(х) - два частных (различных) решения уравнения (13),
удовлетворяющие условиям (14) (п. 5).
Пользуясь методом изменения произвольных постоянных, получим
общий интеграл уравнения (28) в виде
v0(Jf) = C|«1(x) +С2и2(х) + г0(х), (30)
где С, и С2 — две произвольные постоянные, а
r0(x) = u,(x) f f(x)u2(x)dx и2(х) / /(x)«i(x)Jx. (31,)
а а
Уравнение (29) отличается от (28) лишь тем, что функция Дх) заменена
функцией p(x)vk_ । (х). Поэтому общий интеграл уравнения (29) предста-
вится в виде (при всяком к = 1, 2, 3,...)
vk (х) = CV0 м, (х) + С[к) и2 (х) + гк (х), (31)
гдеС^А) и C2fc) - произвольные постоянные, а
гк(х) =
= иК{х) f р(х)иЛ_,(х)и2(х) dx - и2(х) f p(x)u*_,(x)w,(x)Jx. (31,)
а
12. Подберем теперь произвольные постоянные С,, С2 и С2Л) в вы-
ражениях (30) и (31) так, чтобы условия (28,) и (29,) были удовлетворе-
ны. Так как левые части этих равенств линейны относительно v0(x), vk(x) и
их первых производных, а и0(х) и vk(x) линейны относительно постоянных
83
Cj, C2, Clk\ C$k\ то очевидно, что результат подстановки (30) и (31) в
(28,) и (29 j) дает уравнения вида
CiL(«1) + C2L(m2) + L(/-o) = 0,
CiMCb) + C2Li(m2) + Li(r0) = 0
и
С^ЦИ1) + СР)Л(«2) + Л(ГЛ) = О,
C{k4x(ux^C^Lx(u2^Lx(rk^Q (Л-1,2,3,...)- (32.)
Для определения постоянных Сь С2 и (V* получается система ли-
нейных уравнений, определитель которой равен, очевидно (см. п. 5),
L(ut)L,(«2) - Ци2)Lx(«,) = w(0). (33)
В силу допущения, сделанного в пп. 5 и 8 (неравенства (15) и (21j)),этот
определитель не равен нулю как в случае условий (281), так и в случае
условий (29^. Уравнения (32) и (321) разрешимы относительно Сх, С2 и
Последние дают, в случае условий (28i)*),
Mk(b) [u2(b) - 0u2(d)] -Nk(b) [«i(ft)-^i(*)-a]
Cl' ---------------------------------------------------
w(0)
Mk(b) {y\u'2(b)-0u2(b)] -a[l+au2(Z>)]}
C2 ------------------------------------------+
w(0)
+ {(q2 +№и1<ь) -ju'i(,b)}
«Х0)
где положено, вообще,
(34)
Mk(x) = / plxyvk-iixyuitxydx,
\ (35)
Nk(x) = f p(x)vk_t(x)u2(x)dx,
a
a co (0), напомним, определяется равенством
a>(0) = u’t(b) -0ux(b) - 2a + yu'2(b) - (a2 + 0y)u2(b). (352)
Выражения для Ct и C2 получатся из и если заменить в фор-
мулах (34) и (35) под знаками интегралов функциюp(x)vk_x(x) через Дх).
В случае условий (291) получим
С(*) = ^)~Р] -Mk(b)u2(b}
рсо(О)
= Мк^ \ти^-Ри'^ь^ ч ~Nk(b) [тм, (Z>) - рц'1(6)] (36)
2 ~ w(0)
*) Следует принять в расчет, что на основании (14) u, (х)и'2 (х) - и2 (х)и\(х) - 1
при всяком х и что гк(а) = 0 и гк(а) = 0.
84
где, напомним (см. (21,) п. 8),
о)(0) = 2- — Ui(b)- ри'2(Ь) + ти2(Л). (36,)
Выражения для С2 и С2, так же как и в предыдущем случае, получатся из
(36) и (35) заменой под знаками интегралов функции p(x)vk_\ (х) через
f(x).
Подставив найденные выражения для и в (31), получим, при-
няв в расчет равенства (31,) и (35),
Vk(х) = «1 (х) Nk(х) - и2(х)Мк(х) + о), (х)Nk(b) - w2(х)Мк (Ь), (37)
где o)i(x) и со2(х) суть линейные однородные функции от и,(х) и и2(х),
выражения которых выписывать не будем*).
Формулу (37) можем считать справедливой при всяком к, начиная от
к = 0, если условимся, что р(х)и_ , (х) = /(х).
13. Функцию иЛ(х) можно представить в виде
vk(x) = /р(Оик-1(ОФ1(хД)^+?Ра)ик-1(ОФ2(хЛ)^, (38)
а а
ПОЛОЖИВ
ФЛх, $) = i/,(x)m2($)- m2(x)m,(£),
ф2 (х, 5) = а>1 (х) u2 (I) - О)2 (х) и, (I).
Каждая из этих функций непрерывна по £ вместе со своими производными
двух первых порядков в промежутке изменения | от а до Ь, каково бы ни
было значение х, взятое в этом промежутке, причем ф, (х, £) обращается в
нуль при х = |.
Обозначим через ф(х, £) функцию, которая равна
Ф(х, |) = ф,(х, |) + ф2(х, $) при я<$<х (38")
и равна
Ф(Х, $) = ф2 (х, I) при х < I < Ь. (38"')
Определенная таким образом функция ф(х, |) непрерывна в квадрате а <
<х<6, о<|<6и имеет при £ =# х производные до второго порядка, ин-
тегрируемые по | на [а, 6}.
Равенство (38) при этом может быть представлено в виде
vk(x)= f р(|)ил_,(|)ф(х, &d$. (38,)
а
Отсюда при помощи неравенства Буняковского (гл. I, п. 3) выводим
v2k(x)< f p(l-)v2k_ ,(£) dt, f р($)ф2(х, t)dt,
a a
так как p(|) по условию неотрицательна в промежутке [a, 6J.
*) Постоянные коэффициенты функций и>,(х) и а>2(х) линейных однородных от-
носительно и, (х) и иг (х), будут, конечно, различны для условий (24) и (24,).
85
Положив, вообще,
Wk= f p(x)v2k(x)dx (39)
a
b
и заметив, что 0 < f р(£)^2(х, £)с(£<(>2, где С2 есть конечное число, мо-
а
жем писать
Vk(x)<Q2Wk. (40)
14. Интегралы (39) аналогичны интегралам, введенным Шварцем в его
исследовании об интегрировании дифференциального уравнения*)
Э2м Э2и
Эх2 ду
Мы будем называть интегралы Wk интегралами Шварца.
Умножим (40) на p(x)dx и интегрируем результат в пределах от а до Ь.
Получим
Wk<Q2 ! p(x)dx. Wk_' = N2Wk_x.
a
т.е.
чЛЙТ / <N, (41.)
где (V есть положительное конечное число, не зависящее от выбора функции
f(x) в уравнении (23) (п. 11).
Преобразуем затем интеграл Wk следующим образом: заменим в нем
произведение р(х) vk (х) его выражением, следующим из уравнения (29) .По-
лучим
ь ft
Wk= f p(x)vk(x)dx = f uk(x) [q(x)uk+l(x) -uk+l(x)l dx. (42)
a 0
Ho
ft „ , I ft ft ,
f vk (x) vk +1 (x) dx = vk (x) vk +, (x) - f vk (x) vk +1 (x) dx,
a I a a
b f , P t> ,,
f vk(x)vk + |(x)dx = vk(x)vk + t (x) - f vk(x)vk + i(x)dx,
a I a a
откуда при помощи того же уравнения (29) выводим
а , ,
/ vk(x)vk + l(x)dx =
а
ь
а
= v'k(x)vk + l(x)
f vkt i(-T) k(x) Vk(X) -р(х) uk_ I (х)| dx.
а
*) ’’Uber ein die Flaehen kleinsten Flh’cheninhalts befreft'enden Problem der Variations-
reehnung”.ZweiterTheil(Werke. Berlin. 1890, Bd. I. S. 241 ete.).
86
те.
ь ,, , , р
f vk(x) vk + । (x) dx = (vk (x) vk +1 (x) - vk(x) vk+, (x)) +
a 1 a
b s *
+ f q(x)vk(x)vk + i(x)dx ~ f p(x)vk_t (x)vk+l (x)dx.
a a
Но функции Vfc(x) и vk + t(x) удовлетворяют предельным условиям того
же вида, что и искомые нами фундаментальные функции Vk(x), причем для
обоих типов этих условий (24) и (24!) условие ортогональности соблюда-
ется (см. п. 1 этой главы). Следовательно,
(vk(х)v'k+1 (х) -v’k(x)vk+i (X))
b
= 0
a
И
b „ b
f vk(x)vk+f(x)dx- f q(x)vk(x)vk+l(x)dx =
a a
= - f р(х)ик_,(х)ик1 ,(x)dx.
a
В силу этого соотношения равенство (42) приводится к виду
ь
Wk = f p(x)vk_i(x)uk+l(x)dx.
а
Отсюда при помощи неравенства Буняковского выводим
wk < хЛйТТ? или / Jwk_\ < / Vw^.
Wk
Из этого неравенства и (41), имеющих место при всяком целом к (вклю-
чая к = 0), выводим ряд неравенств
yTw'o ' yfw}
(43)
где введено условное обозначение
=
а
/г(х)
р(х)
(44)
в предположении, что этот интеграл имеет определенный смысл.
Неравенства (43) мы будем называть неравенствами Шварца.
15. Сравним ряд (27) со следующим:
Q(\TWT\ + 1Х1хЛЙ7 + IX2| VW + ... + iX*lvrM7T + - - -)- (45)
Так как в силу (40) luk(x) | < Q V то по теореме Коши радиус р
круга равномерной сходимости ряда (27) не менее радиуса круга сходи-
V шк _ !
мости ряда (45). Этот же последний равен, очевидно, lim ——•
* - V И'к
87
Итак,
v'HV?
Р> I'm —у=г (46)
к -* 00 \J Wk
Умножим теперь ряд (27) на p(x)v0(x)dx и интегрируем результат в
пределах от а до Ь. Получим ряд
й ь
S(X) = ,Г p(x)Vo(x)dx + Х f p(x)ut(x)u0(x)ax + .. .
а а
. ь
. . . + Х* j p(x)vk(x)v0(x)dx + .. . (47)
а
Обозначим радиус круга его равномерной сходимости через R j.
Как известно, радиус круга равномерной сходимости всякого ряда, по-
лучающегося из какого-либо данного путем интегрирования, не менее ра-
диуса круга равномерной сходимости этого последнего. Следовательно, в
данном случае
p<Rt. (48)
Заменим в ряде (47) X через - X. Получим ряд
л ь
5(—Х) = j р(х)и?>(х) dx - X J p(x)ut(x)v(t(x)dx + . . .
a a
...+(—!)* X* f p(x)vk(x)v0(x)dx + .. .,
a
радиус круга равномерной сходимости которого есть R ,. Радиус R круга
равномерной сходимости ряда
ь
5(Х) +S(- X) = 2 ( / p(x)Vo(x)dx +
а.
, ь ь
+ X2 / p(x)u0(x)u2(x)dx + . . . + Х2* J p(x)v0(x)v2k(x)dx + . . .) (49)
а а
во всяком случае не менее R ।, т.е.
Ri <R.
Отсюда на основании (48) заключаем, что
p<R. (50)
ь
16. Рассмотрим интеграл 12к - f p(x)v0(x)v2k(x)dx. Положив в (29)
а
к = 1. получим р(х) и0(х) = ^(х) П| (х) - У|’(х)• Поэтому можем писать
й й ,,
lik = / <?(x)u1(x)u2*(x)dx f v2k(x)vt(x)dx.
a a
Подобно предыдущему (п. 14),
/ (V2a(x)Ui(x) u2a(x) Vi(x))
a
b b tf
+ f vi(x)v2k(x)dx.
a a
88
Так как в предельных условиях (24) и (24,), которым удовлетворяют
функции U| (х) и и2 #(х), условие ортогональности соблюдается, то
ь
=о-
а
а, в силу уравнения (29) (при замене к через 1к),
й „
/ u1(x)n2*(x)Jx =
а
b b
= f q(x)vt(x)v2k(x)dx - f p(x)v1(x)v2k^l(x)dx,
a a
TO
b b
1гк= f P(x)vdx)v2k-i(x)dx = f p(x)v0(x)v2k(x)dx.
a a
Подвергнув первый из этих интегралов снова только что указанному
преобразованию, получим
ь ь
f p(x)vl(x)v2k^.l(x)dx = f p(x)v2(x)v2k_2(x)dx.
a a
Повторив последовательно такое преобразование s раз, убедимся, что
ь ь
hk = f p(x)v0(x)u2k(x)dx = f p(x)vs(x')v2k__s(x)dx.
a a
b
Положив s = к, получим l2k = f p(x)vk(x)dx - Wk. При этом равенство
a
(49) дает
S(X) + S(-X) = 2(W'O + Х2И'1 + X4W2 + . . +\lk (£*+...).
Радиус R круга равномерной сходимости этого ряда равен, следовательно,
R = lim (_ i /\/Wk). Отсюда на основании (50) заключаем, что
к — °°
р < lim (\fWk ZJI у/ Wk). Сопоставляя это неравенство с неравенством
к — "
(46), убеждаемся, что
р - lim —..
к — о» Wk
Таким образом, приходим к следующему результату:
Ряд (27) сходится абсолютно и равномерно для всех значений х в проме-
жутке от а до Ь, и радиус р круга его равномерной сходимости по парамет-
ру Xравен
89
Иначе говоря, ряд (27) представляет собой голоморфную функцию пара-
метра X внутри круга радиуса р и при этих значениях X непрерывную функ-
цию от х в промежутке [а, 6].
17. Остается показать, что функция И(х), определяемая рядом (27),
действительно (а не только формально) удовлетворяет и уравнению (23),
и условиям (24) или (24!) (п. 11). Покажем, что ряд составленный из про-
извольных по х от членов ряда (27), также сходится равномерно внутри
круга радиуса р.
Из равенства (37) выводим, дифференцируя по х,
1’к(х) = ы'1(х)Лг*(х)-м;(х)Л/Л(х) + <о'!(х)^(й) - ы2(х)Мк(Ь). (52)
Положив
е 1 (х, $) = и\(х) и2 (Ю - и2(х) и 1 ($),
в2 (X, О = w't (х) U2 (I) - и2 (х) «! (О,
составим функцию 0(х, £), подчинив ее условиям
0(х, I) - 01 (х, 5) + 0г(х, |) при а < | < х,
0(х, |) = 02 (х, £) при х < 5 < Ь.
Функция 0(х, £), таким образом определенная, есть ограниченная функ-
ция и она интегрируема по £ в промежутке [л, 6] при всяком х, лежащем
в том же промежутке. Следовательно,
(53)
а
где 02 есть положительное число, не зависящее отх.
Выражение (52) для и*(х) можно представить при помощи функции
0(х, |)в виде
ь
vk(x)= / P(ovk-ta)e(x,
а
Отсюда, воспользовавшись неравенством Буняковского и (53), выводим
1«*(х)|С01<Й7Г7. (54)
Сравнивая теперь ряд
ito(x) + Xv'i (х) + X2v2(х) + . .. + X* и*(х) + .. . (55)
с рядом 01 (+ IX|V W/ + I X21 \/ W2 + ... + I X*| ч/’И'* + ...), зак-
лючаем на основании (54) и рассуждений предыдущих пунктов, что ряд
(55) сходится равномерно (и притом абсолютно) при всяком хв проме-
жутке [л, и при всех значениях X внутри круга радиуса р (51).
Отсюда на основании известной теоремы *) заключаем, что ряд (55)
представляет производную по хот функции К(х) для всех точек промежут-
ка [л, й], так что можем писать
И'(х) = Vo(x) + Xv'i(x) + X2Vj(x) + ... + X* и*(х) + ... (56)
♦) См., например, С. J о г d a n, ’’Cours d’Analyse”, Т. 1 (Paris, 1893, р. 313); см. так-
же С.М. Никольский, ’Курс математического анализа”, т. 1 (М.: Наука, 1975).
90
18. Составим теперь ряд из производных второго порядка по х от членов
ряда (27), т.е. ряд
а(х) = vg(x) + Xvi'C*) + X2 v2'(x) + .. . + Х*и* (х) + ... (57)
Рассмотрим ряды
Si • = f(x) + Хр(х) {v0(x) + X2 V) (х) + X2 w2(х) + .,. + Х*и*(х) + .. .}
я
S2 =?(x){uoW + Xvi(x) + X2u2(x)+ ... +X*wfc(x)+ ...}.
Каждый из них, как доказано выше, сходится абсолютно и равномерно при
всяком х в промежутке [а, 6] и для значений X внутри круга радиуса р.
Следовательно, ряд
S2-St = [q(x) - Хр(х)] И(х) -/(х) =
= q(x) v0(x) -/(х) + X[г/(х) i>i (х) - Хр(х) и00)1 + • • -
... +Х*[<?(х)и*(х)-Хр(х)и*_1(х)] + . .. (58)
сходится равномерно при тех же условиях, что и каждый из рядов £ t и S2 .
Но на основании уравнений (28) и (29) имеем при всяком 4:
<?(х) vfc(x) - Хр(х) ,(х) = о* (х).
Следовательно
52 - Si = Vq(x) + Xw'/M + X2 и2(х) + . .. + Х*у*(х) + ... = а(х),
т.е. ряд а(х) (57) сходится равномерно при тех же условиях, что и ряды
(27) и (56), а потому представляет собой первую производную от И'(х )
или, что то же, вторую производную от К(х).
На основании сказанного из равенства (58) заключаем, что функция
К(х), определяемая рядом (27), действительно удовлетворяет уравнению
(23). Очевидно, наконец, что эта функция удовлетворяет действительно и
предельным условиям (24) и (241), так как каждый ее член этим услови-
ям удовлетворяет.
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Уравнение (23) допускает интеграл, удовлетворяющий предельным ус-
ловиям (24) или (24]), в виде ряда (27), равномерно сходящегося при
всяком х в промежутке [а,Ь] и при всех значениях X внутри круга радиуса
Круг этот есть предельный круг голоморфности функции И(х), так что
ряд (27) не может быть равномерно сходящимся для значений X, лежащих
вне этого круга.
19. Рассмотрим теперь ту же задачу об интегрировании уравнения (23)
при предельных условиях (24) или (24]), основываясь на общей теории
линейных дифференциальных уравнений.
Придерживаясь обозначений п. 3 настоящей главы, напишем общий ин-
теграл уравнения однородного, соответствующего данному неоднородному
91
уравнению (23) (см. (7) гл. 3), в виде
V(x) = CiWifx, X) + C2w2(x, X).
Применив затем метод Лагранжа изменения произвольных постоянных
Ci и С2 получим общий интеграл уравнения (23) в виде
V(x) = С1и’1(х, X) + C2w2(x, X) + r(x, X), (59)
где (ср. п. 11 этой главы)
r(x, X) = w1(x, X) / f(x)w2(x, X)dx - w2(x, X) f f(x)wt(x, X)Jx
a a
Выберем затем произвольные постоянные Q и С2 в выражении К(х) (59)
так, чтобы были удовлетворены предельные условия
£(И) = 0, £,(Г) = 0,
где, напомним, символы £(И) и £1(И) представляют сокращенное обозна-
чение первых частей равенств (24) и (24j). Для определения Сг и С2 по-
лучаем следующую систему уравнений (ср. п. 12 этой главы) :
CxL(wi) + C2L(w2 ) + L(r) = О,
C1Z.1(w1)+G£1(w2) + Z.1(r) = 0, ( }
Определитель этой системы, очевидно, одинаков с определителем ш(Х)
уравнений (11) (п. 3) или (20) (п. 8), смотря потому, имеем ли мы дело с
предельными условиями вида (24) или условиями вида (24t). При сделан-
ных в пп. 5 и 8 допущениях этот определитель не равен тождественно нулю
при всяком X.
Уравнения (60) разрешимы относительно Ct иС2 и дают
Ct =A(X)/w(X), C2=B(X)/w(X),
где Л (X) и В(Х), равно как и ш(Х), суть некоторые целые трансцендентные
функции от X во всей плоскости этой переменной. Подставив эти выраже-
ния Ci и С2 в (59), получим искомый интеграл в виде
V(x, X) = W(x, Х)/со(Х), (61)
где W(x, X) есть целая трансцендентная функция от X при всяком х в про-
межутке [а, Ь], т.е. представляется в виде ряда, расположенного по целым
положительным степеням параметра X, равномерно сходящегося для всех
значений X*).
Из выражения (61) следует, что V(x, X), вообще говоря, есть мероморф-
ная функция параметра X, не имеющая других критических точек, кроме
полюсов, которыми могут служить лишь корни функции (X), т.е. характе-
ристические числа \к фундаментальных функций И*(х) (см. первые пунк-
ты настоящей главы).
20. Сопоставив только что полученный результат с теоремой предыдуще-
го пункта, убеждаемся, что при допущениях пп. 5 и 8 функция V(xi X) не
*) То есть при любом R > 0 ряд сходится равномерно по (х. А) 6 {х е [я, b |, 1X1 <
< Я.д/Грцм. ред.)
92
имеет ни одного полюса внутри круга радиуса р, определяемого равенст-
вом (51), ибо согласно этой теореме У(х, X) остается голоморфной функ-
цией от X внутри этого круга.
Покажем, что на границе этого круга непременно лежит полюс Xi функ-
ции У(х, Х> а следовательно, и корень функции о>(Х).
Допустим обратное, т.е. что Модуль р( ближайшего к нулю полюса функ-
ции К(х, X) больше р. Так как W(x, X) есть голоморфная функция X во
всей плоскости переменного X, так же как и со(Х), то при сделанном допу-
щении функция У(х, X) может быть представлена в виде ряда, расположен-
ного по целым положительным степеням параметра X, равномерно сходя-
щегося внутри круга радиуса
(61), a
(62)
рядом,
что в силу теоремы п. 18 невозможно. Таким образом, на окружности ра-
диуса р наверное лежит полюс Xi мероморфной функции У(х, X)
следовательно, и корень функции о>(Х).
21. Обозначим через д, д > 1, кратность полюса Xi.
Функция У(х, X) (см. (61)) может быть представлена в виде
^(х) W'u-tW W'iW
У(х, X) = - + --- f , + ... + —— + U(x, X),
(Х-Х^ (Х-Х^-1 X — Xi
где U(x, X) есть голоморфная функция от X, т.е. представляется
содержащим лишь целые положительные степени X - Xi. Функция V(x, X)
удовлетворяет уравнению (23), которое напишем так:
V"(x) + (X - X,) р(х) У(х) + [Х,р(х) - q(х)] У(х) + / = О*).
Подставив сюда выражение (62) и приравнивая нулю коэффициенты при
одинаковых отрицательных степенях разности X Xt, получим ряд диффе-
ренциальных соотношений между функциями Wk(x) (k = 1,2,. . . , р). Пер-
вые два из этих соотношений, которые получаются, когда приравняем нулю
коэффициенты при
(Х-Х.)и (X-Xi)'**’
(63)
имеют, как легко убедиться, вид
И'дМ + [Х1Р(х) - <7(х)] (х) = О,
И'д-1 (х) + [Х1Р(х) — (х)] ,(х) + р(х) W^x) = 0.
С другой стороны, функция И(х, X) удовлетворяет предельным условиям
(24) или (241), которые напишем в общей форме
£(Г) = 0, Lty = 0. (65)
Подставив сюда вместо V его выражение (62) и приравнивая нулю коэф-
фициенты при одинаковых отрицательных степенях X — Xi, получим для
степеней (63):
£(^) = 0, £,(И/м) = 0,
£(^_,) = 0, £1(И'д_,) = 0. (651)
*) В дифференциальном уравнении мы пишем для сокращения вместо V(x, Л) прос-
то К(х).
93
Докажем, что X, есть число вещественное. Допустив обратное, положим
Xj = а + ifi, (66)
где а и 0 суть некоторые вещественные числа.
Если X] имеет вид (66), то, очевидно, W^x) не может быть веществен-
ной функцией, т.е. должно иметь вид
IVM(x)=t/,(x) + zt/2(x),
где Ut (х) и С/2(х) - вещественные функции от х. Подставив это выражение
WM(x) в (64) и (6S1) и приравнивая нулю вещественные части и коэффици-
енты при i, получаем следующие уравнения:
C/i'(x) + (ар(х) - q(x)J Ux (х) - 0р(х) U2 (х) = О,
(67)
£#(х) + [“Pto - Я(*)] U2(x) + 0р(х)£/,(х) = О
и
£(£Л)=0, £,((/,)= О,
£(t/2) =0, £,(С/2)=0. ( ’
В силу этих последних предельных условий заключаем, что
(C/',(x)t/2(x)-t/1(x)t/;(x)) =0, (69)
I а
ибо в равенствах (65,) соблюдается условие ортогональности.
Умножив теперь первое из уравнений (67) на t/2(x), второе на £/,(х),
вычтя одно из другого и проинтегрировав результат по х от а до Ь, полу-
чим, на основании (69),
ь
3 f Р(х) [U} (х) + U22 (х)] dx = 0. (70)
а
Если 0 =# 0, т.е. X, есть число комплексное, то необходимо
Ui (х) = 0, U2 (х) = 0 тождественно,
т.е. и
Wu (х) ~ 0 тождественно,
что невозможно, ибо тогда порядок полюса X, функции К(х, X) был бы
меньше, чем д.
22. Докажем, наконец, что кратность полюса X, равна единице, р= 1.
Предположим, напротив, что д > 2.
Так как в равенствах (65,) соблюдается условие ортогональности, то
(см. п. 1 этой главы)
, ' , |Ь
(И'д(х)И/д _, (х) - И/д(х)Wi_, (X)) =0.
I а
Помножим теперь первое из уравнений (64) на И/д_,(х), второе на И'д(х),
вычтем один результат из другого и полученное равенство проинтегрируем
94
по х от а до Ь. Приняв в расчет (71), получим
*
f [И'д-, (х)И/д(х) - И/д(х)И<'_, (х)] dx =
а
= (^(х)И'д-, (х) - И/д(х)И/; _, (х)) IЬ = 0.
I а
Ь
Следовательно, необходимо f р(х) W£(x)dx - 0, что требует, чтобы было
а
И'д(х) = 0 тождественно ♦).
Очевидно, такой результат получится всегда, коль скоро д > 2. Последо-
вательно повторяя те же рассуждения, совершенно так же убедимся, что и
Й'д-Кх), WM_2(x), К'д^(х) должны равняться тождественно нулю при
всяком s, удовлетворяющем условию
д - s > 2.
Следовательно, И(х, X) непременно должно иметь вид
IV, (х)
И(х,Х)=—iy- + (/(x,X), (72)
Л. —
т.е. Х| есть простой полюс функции V(x, X).
23. Сопоставляя все сказанное, приходим к следующему выводу: при
соблюдении условий, указанных в пп. 5 и 8, функция И(х), удовлетворяю-
щая уравнению
И"(х) + [ Хр(х) - q(х)] И(х) + Дх) = 0 (73)
и предельным условием первого или второго класса
£(И) = 0, £,(И) = 0, (74)
есть, вообще говоря, мероморфная функция X. Она остается голоморфной
в области значений X, ограниченной кругом радиуса
\fwk_;
<75>
На границе этого круга имеется простой и вещественный полюс X,. Ин-
тегральным вычетом этого полюса служит функция (х) (см. (72)), не
равная тождественно нулю, удовлетворяющая уравнению
W(x) + [X! р(х) - <7(x)J Wt (х) = 0 (76)
и предельным условиям
L(Wt) =0, ММН- (77)
») При вещественном Л, функции V (х, Л,) „ И', (х).И' (х) - вещелъенно-знач-
ные. (Црим. ред.)
95
Число Xj есть корень уравнения
ш(Х) = 0. (78)
Уравнения (76) и (77) показывают, что (х) есть фундаментальная
функция, a Xt есть соответствующее ей характеристическое число. Таким
образом, доказано существование одного вещественного характеристиче-
ского числа Xi и ему соответствующей (вещественнозначной) фундамен-
тальной функции (х). При этом формула (75) дает и способ приближен-
ного вычисления | X, |, т.е. модуля одного из вещественных корней уравне-
ния (78) ибо, взяв к достаточно большим, получим, приближенное выраже-
ние | Х| | в виде - i/y/Wk ’ достаточно мало отличающееся его истин-
ного значения.
Так как уравнения (76) и (77) линейны и однородны относительно
W, (х) и ее производных, то за фундаментальную функцию, соответствую-
щую найденному характеристическому числу X!, можем принять любую
функцию вида С\ Wt (х), где С\ - какой угодно (вещественный) постоян-
ный множитель. Мы определим этот множитель при помощи условия
ь
С? f р(х) Wt2(x)dx= 1.
а
При этом получим фундаментальную функцию, соответствующую характе-
ристическому числу Xt , которую обозначим через Vi (х) и которая будет,
следовательно, удовлетворять условию
ь
J р(х) Vl(x)dx= 1. (79)
а
В дальнейшем под И| (х) будем подразумевать именно такую функцию.
24. Возьмем в уравнении (73.) вместо функции Дх) для которой из-
ложенным выше приемом мы получили число X! и функцию Vt (х),
другую какую-либо функцию ft(x).
По предыдущему интеграл уравнения
Г'(х)+[Хр(х)-<?(х)] И(х)+Д(х) = 0 (81)
при тех же предельных условиях (74) (которые не зависят от выбора
функции Дх)) представится в виде
Г(х, Х)= И'Дх, Х)/ш(Х), (82)
где Wt (х, X) есть функция того же характера, что и функция W(x, X) в
уравнении (61).
Применяя к уравнению (81) дословно все предыдущие рассуждения,
мы найдем некоторое вещественное число Х^1 > и ему соответствующую
фундаментальную функцию, которую обозначим через р/ 1 \х).
Возможны следующие предположения:
1°. Число Х9> окажется равным раньше найденному числу X,, и функ-
1ия Wt (х, X) обратится при X = X, в ту же фундаментальную функцию
И,(х)*).
*) Или в функцию, отличающуюся от Г, (X) постоянным множителем.
96
2°. Число Х(,‘ * будет равно At, но Wt (х, X) обратится при X = X, в функ-
цию lzt(1)(x), отличную от раньше найденной функции Vx (х) (в линейно
независимую от нее функцию).
3°. Число Х<1 > будет отлично от числа Xj, причем IVt (х, X) обратится при
А = Х(1 * в функцию И|(|)(х), отличную от найденной Н(х), ибо разным
характеристическим числам, если таковые существуют, не может соответст-
вовать одна и та же фундаментальная функция*).
25. Первое предположение невозможно при произвольном выборе
функции /1 (х); иначе говоря, функцию(х) всегда можно выбрать так,
что это допущение не будет иметь места.
Определим Л (х) при помощи условия
ь
S fi(x)Vi(x)dx = O, (83)
а
выбрав из бесчисленного множества функций, удовлетворяющих этому
равенству, какую-либо определенную. Подставив (82) в уравнение (81),
получим следующее уравнение, которому удовлетворяет функция
(х, X):
IVt"(x, X) Wt (х, X)
~ + №(*) -<?(*)) --+ Л (*) = 0.
со(Х) о)(Х)
Умножив это уравнение на (х) dx и интегрируя результат в пределах
от а до Ь, получим
II* ь
— f W"(x, X) П (x)dx +Х/ Р(х) Wt (X, X) Н (x)dx -
СО (A) I а а
Ъ ) b
~f Ч(х) W, (х, X) (х) dx + / /, (х) И, (х) dx = 0.
а I а
Но
ь
f W{'(x,X) Vt(x)dx =
а
|t> b
=(jy; (x, X) Vt (x) - (x, X) H'(x)) + f Wt (x, X) V "(x) dx.
|a a
Так как Wi (x, X) и К, (x) удовлетворяют предельным условиям одного
*) Пусть Ух (х) есть фундаментальная функция, отвечающая двум различным
характеристическим числам \ и' X,.
По самому определению фундаментальных функций имеем
К"(х) + I At Р(х) - Ч(х)1 И, (х) = о.
Vl'W + |Х,р(х) - <?(х)| У, (х) = О.
Отсюда необходимо (А, - Ха) р(х) К, (х) = О,т.е У, (х) = о тождественно.
97
и того же вида (74), в Vt (х) - уравнению
ИГ(х)+[Х1Р(х) -<?(х)] И,(х) = 0,
то
ь
f Wf(x,X)V1(x)dx =
а
b b
= f q(x) Wi (х, X) Vt (x)dx - X, / p(x) Wt (x, X) K, (x)dx,
a a
вследствие чего уравнение (84) принимает вид
X — Xt ft ft
-----7- f Р(х) W, (х, X) К, (х) dx + f Л (x) Vx(x) dx = 0. (85)
CJ(X) a a
Заметим, что число X( мы можем рассматривать как простой корень
функции со(Х), ибо X] есть простой полюс мероморфной функции
И(х, Х)=И'1(х, Х)/ш(Х). (82)
Если бы оказалось, что Х1 есть корень функции ш(Х) кратности д, то
Wt (х, X) содержит непременно множитель вида (X - X]) д _ , ибо только
при этом X = Xj может быть простым полюсом И(х, X). Сократив числитель
и знаменатель дроби (82) на этот множитель, получим
И(х, Х)=И'Р)(х,Х)/со1(А),
где шк(Х) будет функцией, для которой Х( есть необходимо простой
корень, причем '(х, X) при X = X, будет обращаться в функцию О Ух (х),
где в & 0 — некоторая постоянная. Заметив это, предположим, что X стре-
мится к Xj, и перейдем к пределу. В пределе получим
lim , JMx.XO -flMx),
л—л, со( X) w(Xj)
в ь
и уравнение (85) при условии (83) даст —;--- / р(х) Vx(x) dx = 0, что
со (Xi) а
невозможно, ибо 9 =# 0 и co'(Xt) есть величина конечная, a Ух (х) не равно
тождественно нулю.
Следовательно, при условии (83) первое допущение оказывается невоз-
можным.
26. Рассмотрим второе предположение; допустим опять, что /\(х) удов-
летворяет условию(83).В этом случае из равенства(85)при Х = Х! получаем
1 *
-ГГ-- f РЮ Vi1 >(х) Ух (х) dx = 0.
COi(Xi) а
Так как 1 /<о'(Х1) есть величина, не равная нулю, то необходимо
ь
f Р(х) И<*>(Х) KI(x)dx = 0,
а
т.е. К/*)(х) есть функция, ортогональная с Ух(х) по отношению к харак-
теристической функции р(х).
98
Второе предположение возможно лишь в том случае, когда числу Xj
отвечают две различные фундаментальные функции. При этом, если функ-
ция /1 (х) удовлетворяет условию (83), то метод Шварца - Пуанкаре, при-
мененный к уравнению (81), если и приведет к ранее найденному числу
X,, то числитель дроби (82) (х, X) обратится при X = Xj в фундаменталь-
ную функцию (х), отличную от найденной раньше функции РДх) и
ортогональную с ней.
27. Итак, если вместо уравнения (23) (п. 11), давшего по методу Швар-
ца - Пуанкаре некоторое характеристическое число X! и ему соответствую-
щую фундаментальную функцию И (х), мы возьмем уравнение (81),
заменив Дх) через Д (х), где Д (х) - какая-либо функция, подчиненная ус-
ловию (83), то метод Шварца - Пуанкаре, примененный вновь к уравнению
(81), приведет либо к другому характеристическому числу Х2, отличному
от X], и другой фундаментальной функции И2 (х), отличной от ИДх)*), ли-
бо к тому же числу Хь но к другой ему же соответствующей функции
И/1 \х), отличной от К, (х) и ортогональной с ней. Напомним, что в первом
случае V2 (х) также будет ортогональна по отношению к V2 (х) <см.
п. I этой главы).
Полученный результат можно формулировать иначе следующим обра-
зом:
Если КДх) есть какая-либо фундаментальная функция, а данная функ-
ция fi (х) в уравнении (81) удовлетворяет условию
ь
/ Л(х) Vt(x)dx = 0,
а
то точка X = Xj есть, вообще говоря, простая точка мероморфной функции
К(х, X), удовлетворяющей уравнению (81) и условиям (74) (не полюс),
и может быть ее полюсом (если может) лишь в том случае, когда
числу Xj соответствуют две различные между собой фундаментальные
функции.
28. Нетрудно убедиться в справедливости обратного предложения, а
именно: если в уравнении (81) функция (х) удовлетворяет условию
ь
f А(х) Vt(x)dx^0 , (86)
а
го Xj есть непременно полюс мероморфной функции И(х,Х) (82), причем
при X = Xj функция Wt (х, X) обращается в функцию, являющуюся линей-
ной комбинацией функций V2(x) и (х).
В самом деле, формула (85) справедлива для всякой функции Д (х)
и при всяком X. Полагая X = Xj, получаем
1 ь ь
—— f р(х) Wt (х, X) V, (х) dx + f (x) Kj (x) dx = 0 . (87)
CO (Д) a a
Если Xj есть простая точка функции V(x, X), то Wt (x, Xj) должно быть
тождественным нулем, что невозможно в силу условия (86). Итак, ири
условии (86) Xj есть необходимо полюс функции V(x, X).
*) В соответствии с предположением 3° п. 24.
99
Следовательно, IV j (х, X) должно обращаться при X = Xt либо в функцию
Kj (х), либо в другую фундаментальную функцию, соответствующую числу
Хн если это возможно. В этом последнем случае Wi(x, Х2) не может рав-
няться функции Ир* (х) предыдущего пункта, которая ортогональна с
(х), ибо тогда равенство (87) делается невозможным в силу условия (86).
Получится другая функция К/2 \х), соответствующая тому же Xt.
Очевидно, что одному и тому же Х( могут отвечать не более двух линей-
но независимых функций, ибо они должны представлять два частных реше-
ния одного и того же линейного уравнения
К"(х)+(Х1р(х)-<7(х)] К(х) = 0,
которое более двух таких решений допускать не может. Поэтому функция
К/2\х) необходимо будет линейной комбинацией функции (х)иКрЧх).
29. Возвращаемся к первоначальному уравнению (23). Применяя к нему
метод Шварца - Пуанкаре, найдем, как доказано выше, вещественное
число Xt; функция И(х, X), удовлетворяющая уравнению (23) и предель-
ным условиям (74), представится в виде (72) (п. 22).
Если вместо (х) введем функцию V\ (х) п. 23, подчиненную условию
(79), то можем писать
у(х , х) = -L " + и(х> х), (66)
Л — Л1
где А, есть некоторая постоянная, a U(x, X) есть голоморфная функция от
X в точке X = X]. Подставив это выражение К(х, X) в уравнение (23), полу-
чим следующее уравнение, которому должна удовлетворять функция
U(x, X):
t/"(x) + [Хр(х) - «(х)] U(x) +/, (х) = 0 *), (88)
где
Л (*) = А,р(х) К, (х) + /(х), (88!)
а подстановка того же выражения в предельные условия (74) дает, оче-
видно,
£((/)-0, £,((/) = О (89)
Уравнение (88) имеет как раз вид уравнения (81).
Метод Шварца - Пуанкаре, примененный к уравнению (88) при усло-
виях (882), приведет к некоторому числу Л2 такому, что t/(x, X) будет
голоморфной функцией X внутри круга радиуса pt = | Х21 , а X = Х2 будет
простым вещественным полюсом этой функции. Так как по предыдущему
непременно pt > р, то | Х2 | > | Xi |, причем X = X, есть простая точка для
функции U(x, X). Отсюда на основании теорем пп. 27 и 28 заключаем, что
необходимо
ь
f ft(x)Vt(x)dx =0
а
*) Для сокращения опускаем аргумента, написав U(x) вместо (/(х, X).
100
ИЛИ, В силу (88,) и (79),
Л, =-/ f(x) К, (x)dx.
а
На основании этого можем утверждать, что если -в уравнении (81) за
функцию fi (х) примем
fi (х) =f(x) - р(х) К, (х) J f(x) И, (х) = dx,
а
то, применив к нему метод Шварца - Пуанкаре, мы придем к новому ха-
рактеристическому числу Х2, | Х21 > | X, I, причем числитель (х, X) дроби
(82) обратится при X = Х2 в новую фундаментальную функцию И', (х, Х2),
соответствующую числу Х2.
Совершенно так же, как в п. 21, убедимся затем, что U(x, X) представит-
ся в виде
Л2 К2 (х)
U(x, X) = + Ui (х, X), (90)
А — Aj
где А2 есть некоторая постоянная, К2(х)есть фундаментальная функция,
подчиненная условию
/ р(х) Vl (x)dx = 1 ,
а
a Ui (х, X) есть голоморфная функция от X внутри круга радиуса р2 > р,.
Заметим, что равенство р, = р может иметь место лишь при Х2 = - X,;
если же точка X = - X, - правильная точка функции К(х, X), то р, > р.
Таким образом, доказывается существование другого характеристиче-
ского числа Х2, | Х21 > | X, I, и ему соответствующей фундаментальной
функции К2 (х).
Если обозначим через И'/1' (к = }, 2, 3интегралы Шварца, со-
ответствующие функции fi (х) (88,), то получим
Р, =|Х2|= 11Ш—
30. Если применим затем дословно к функции U, (х, X), определяемой
уравнением (90), рассуждения предыдущего пункта, то докажем сущест-
вование третьего числа Х3 и соответствующей ему фундаментальной функ-
ции У3, которую можем подчинить условию
/ р(х) V?(x)dx = 1.
а
Продолжая рассуждать так далее, мы докажем следующую теорему:
Каждой данной функции fix), непрерывной в данном промежутке [а,/>],
соответствует бесчисленное множество вещественных чисел
X,, х2,..., X*,...,
модули которых lk (к = 1,2,3,...) удовлетворяют условиям
It <12 <...<1к < ....
101
и соответствующих этим числам неравных нулю функций
П(х), К2(х),..., MU,
образующих ортогональную и нормальную систему с характеристической
функцией р(х), удовлетворяющих уравнениям
Vk(x)+[\kp(x)-q(x)] Vk(x) = O
и предельным условиям двух следующих типов:
Vk(b) = aVk(a) +0Vk(b), V'k(x) = yVk(a) - aVk(b), (a)
или
Vk(b) = P Vk (a), V'k(b) = - V'k(a) + r Vk (а); (в)
P
где a, 0,7 и р,т суть постоянные, причем р не равно нулю.
Фундаментальные функции (первого и второго классов) являются ин-
тегральными вычетами в простых вещественных полюсах мероморфной
функции V(x, X), удовлетворяющей уравнению
V"(x, X) + [Хр(х) - <?(х)] V(x, X)+/ « О (с)
и предельным условиям (а) или (в), а полюсы - ее характеристическими
числами X* и в тоже время корнями целой трансцендентной функции
<о(Х), которая при предельных условиях (а) (первого класса) представ-
ляется в виде
a>(X) = w{(b, X) - 0wt (b, X) - 2a +
+ 7H’2'(b, X) - (a2 + 07) w2 (b, X), (a)
а для предельных условий (в) (второго класса) - в виде
1
со(Х) = 2---(b, X) - ри’2 (b, X) + rw2 (b, X)- (0)
Р
Здесь Wj (х, X) и w2 (х, X) суть два частных линейно независимых реше-
ния дифференциального уравнения
V"(x,\) + [\p(x)-q(x)] К(х) = О,
подчиненные условиям
Wi(a, X) = 1, н'5(а,Х) = О,
w2 (о, X) = О, w2(a, X) = 1.
Все предыдущие положения справедливы, если р(х) и q(x) суть две
какие угодно непрерывные функции, причем первая из них остается поло-
жительной в промежутке [а, Ь], а постоянные а, 0,7 в условиях первого
класса или постоянные р и те условиях второго класса имеют какие
угодно значения, подчиненные единственному требованию, что ы(О) в том
и другом случае не равно нулю (см. пп. 12 и 19 этой главы).
102
Изложенный выше прием последовательного вычисления характерис-
тических чисел и фундаментальных функций, принадлежащих данной
функции f(x), мы будем называть иногда для краткости алгоритмом
Шварца - Пуанкаре.
31. Предыдущий анализ показывает, что каждой данной функции /(х) в
исходном уравнении (23) принадлежит, вообще говоря, особая совокуп-
ность характеристических чисел и фундаментальных функций. Но все
получаемые таким путем для различных функций f(x) характеристические
числа служат корнями одной и той же целой трансцендентной функции
щ(Х). Такая функция, как известно, может иметь лишь отдельные точки
нулей, и в плоскости переменного X не может существовать на конечном
расстоянии от начала координат точки сгущения ее корней.
Поэтому все возможные особенные значения X, могущие служить харак-
теристическими числами, представляют беспредельный ряд отдельных
вещественных чисел, не имеющий точек сгущения, беспредельно возрастаю-
щих по численному значению. Каждому такому числу может, как упомяну-
то выше, соответствовать одна или две линейно независимые между собой
фундаментальные функции.
Собрав в одну совокупность все такие возможные особенные значения X,
получим полную систему всех возможных характеристических чисел, а вся
совокупность им соответствующих фундаментальных функций представит
их полную систему. Вся эта совокупность характеристических чисел разо-
бьется на две группы: к одной будут принадлежать все числа, каждому из
которых соответствует только одна фундаментальная функция, к другой -
все те, каждому из которых будут отвечать две различные фундаменталь-
ные функции. Все фундаментальные функции, соответствующие различным
характеристическим числам, необходимо ортогональны между собой, но
две функции, отвечающие одному и тому же числу, как указано выше
(п. 28), могут не быть таковыми.
Но если одному и тому же числу, положим Хк, соответствуют две разные
функции, положим И*(х) и F*°4*), то> очевидно, и две независимые меж-
ду собой их линейные комбинации представят также две различные фунда-
ментальные функции для числа X*. Пусть Vk(x) и Ик(,,(х), найденные
каким бы то ни было способом, оказываются неортогональными, т.е.
ь
f p(x)Vk(x)Vll>(x)dx*O. (91)
а
Возьмем за фундаментальные функции две следующие:
Vk (х) и Vk (х) + а К*( 1’ (х) , (92)
где а — какая угодно постоянная. Последнюю при условии (91) всегда
можно выбрать так, чтобы было
/ Р(х) [(х) + aVk(х) Vk<°(х)] dx = 0.
а
Если под а в (92) будем подразумевать именно то определенное число,
которое дается этим уравнением, то две функции (92) окажутся ортого-
нальными между собой. Выбрав указанным образом пары фундаменталь-
103
ных функций для всех чисел второй группы, мы получим полную систему
фундаментальных функций ( вместе с функциями для чисел первой груп-
пы) , все функции которой будут между собой ортогональны. Очевид-
но, что все их можно сделать и нормальными.
Если теперь модуль каждого числа X* обозначим через lk и расположим
все числа первой и второй категорий в порядке возрастания их модулей,
обозначив их буквой X со значками 1, 2, 3 и т.д. в порядке натуральных
чисел, то каждому числу при этом способе обозначения будет соответство-
вать одна определенная фундаментальная функция. Обозначив все эти
функции буквой И с по порядку взятыми значками 1, 2, 3 и т.д., получим
полную систему характеристических чисел в виде ряда
, ^2, ^з, — , \t. — (93)
и полную систему им соответствующих фундаментальных функций в виде
ряда
И(х), К2(х), К3(х),..., Vk(x),... (94)
причем порядок расположения чисел (93) будет характеризоваться следую-
щими условиями, которым удовлетворяют их модули lk :
li <12<13<1.4 <-..</*< ... (95)
При этом подряд взятые два, три или четыре из чисел lk могут оказаться
равными между собой.
Первый случай может, например, встретиться, когда два подряд взятых
характеристических числа численно равны между собой, но различны по
знаку, и каждому из них соответствует по одной фундаментальной функ-
ции или когда оба эти числа, обозначенные разными значками, равны то-
му характеристическому числу, которому соответствуют две фундамен-
тальные функции.
Второй случай представится, если два подряд взятых характеристичес-
ких числа численно равны, но обратны по знаку, и одному из них отвечают
две, а другому - только одна фундаментальная функция.
Наконец, последний случай может иметь место, если таким же двум
числам, что и в предыдущем случае, соответствуют каждому по две различ-
ные фундаментальные функции.
Больше четырех подряд взятых в ряде (95) чисел 1к, равных между со-
бой, быть не может.
Ряд (93) исчерпывает все возможные характеристические числа, а ряд
(94) - все возможные соответствующие им фундаментальные функции,
так что вне значений Хк определяемых рядом (93), не существует
никакого другого числа, которому могла бы соответствовать не равная
нулю фундаментальная функция, равно как не существует никакой другой
функции, не равной нулю и отличной от функции ряда (94), которая могла
бы быть фундаментальной для какого бы то ни было значения X. не равного
нулю, и была бы отличной от линейной комбинации ряда (94), соответст-
вующих Х* = X.
Случай характеристического числа, равного нулю, напомним, исключен
наперед сделанным в пп. 5 и 8 допущением, что со(0) # 0,и будет рассмот-
рен особо.
104
32. Таким образом, от теоремы п. 30, устанавливающей существование
бесчисленного множества характеристических чисел и фундаментальных
функций, соответствующих данной функции /(х), переходим к теореме
о существовании полных систем таких чисел и функций, которые зависят
лишь от заданных величин, входящих в дифференциальные уравнения и пре-
дельные условия,которыми определяются фундаментальные функции перво-
го или второго класса, независимо от введенного метода Шварца—Пуанкаре
функции f(x).
Все вышесказанное можем резюмировать в виде следующей теоремы:
Каждому данному промежутку [а, />], двум данным непрерывным функ-
циям р(х) и q(x), из которых первая остается положительной в этом проме-
жутке, и совокупностям постоянных а, 0, у или put соответствует опреде-
ленный,для каждой из этих совокупностей особый, ряд вещественных
характеристических чисел (соответственно первого и второго классов)
X,, Х2,..., X*,..., (96)
модули которых удовлетворяют условиям
lt </2 < ... << ... (96! )
и беспредельно возрастают с возрастанием значка к.
Каждому числу ХА. того и другого класса соответствует определенная
фундаментальная функция Vk соответственно первого или второго клас-
са, удовлетворяющая уравнению
У'к(х) + [X* р(х) - q(x) ] Vk(x) = 0,a<x<b, (97)
и для чисел первого класса предельным условиям
У'к(Ь) = а Ук (а) + 0Ук (b), (а) = у Vk (а) - a Vk (b), (98)
а для чисел второго класса - условиям
У* (Ь) = Р Ук (а), У'к (b) = - V'k(a) + т Vk (а). (99)
Р
Числа \к первого класса служат вещественными корнями целой трс/нс-
цендентной функции со(Х), определяемой уравнением (а) теоремы п. 30,
а числа \к второго класса - такими же корнями функции а>(?ч), определяе-
мой уравнением (fi) той же теоремы.
Теорема имеет место в предположении, что в том и другом случае
а>(0)#=0.
Ряд (96), содержащий в себе все возможные значения \к, каждому
из которых отвечает определенная, не равная нулю, фундаментальная
функция Vk (х) того или другого класса, называется полной системой
характеристических чисел первого или второго класса, а ряд соответствую-
щих им фундаментальных функций
П(х), К2(х),..„ Ук(х),... (100)
— полной системой фундаментальных функций первого или второго класса,
которые в том и другом случае ортогональны по отношению к функции
р(х) и нормальны.
105
33. Совокупность фундаментальных функций, принадлежащих какой-
либо данной функции /(х), составляет часть их полной системы.
Если ряд (100) функций К*(х), представляющий их полную систему,
известен, то нетрудно установить критерий, при помощи которого мож-
но выделить из него те фундаментальные функции, которые соответству-
ют какой-либо заданной функции f(x).
На основании теоремы п. 30 характеристическое число X*. всякой функ-
ции Kfc(x), входящей в состав ряда фундаментальных функций, соответст-
вующих данной функции/(х), служит полюсом мероморфной функции
К(х,Х) = W(x,\)lu(X), (101)
удовлетворяющей уравнению (с) и условиям (а ) или (в), причем при
X=Xfc функция lV(x, X) обращается в функцию, линейно выражающуюся
через (одну или две) функции ряда (100), отвечающие характеристи-
ческому числу А*.
Возьмем какую-либо функцию 1^(х)из ряда(100)их полной системы.
Легко понять, что все рассуждения п. 25 дословно применяются не только к
функции, которую мы подразумевали там под Kj(x), но и к какой угодно
фундаментальной функции Ук(х),к приводят к следующему равенству:
X — Xjt ь ь
—“7 f р(х) W(a,X) Vk(x) dx + S Г*(х) dx = 0. (102)
Со(Х) a a
Допустим, что функция /(х) удовлетворяет условию
ь
f f(x)Vk(x)dx*0. (103)
а
Если взятая функция Kfc(x) не принадлежит ряду фундаментальных функ-
ций, соответствующих функции /(х),тоХ*не может быть полюсом функ-
ции К(х, X). Применим равенство (102) к X = X*. Припоминая сказан-
ное в п. 25, можем написать
Х-Хк 1
lim ------=—;----.
A->xfc о>(Х) (X)
Что же касается числителя дроби (101), то при сделанном предполо-
жении (т.е. что X* есть простая точка функции К(х, X) )
V(x.X*)»0.
Поэтому равенство (102) при X = X* дает
/Л*)И*(х)Лг = 0,
а
что противоречит условию (103). Отсюда выводим следующую теорему:.
Если функция /(х) удовлетворяет неравенству (103), где Vk (х) есть
как^я-либо функция, взятая из полной системы фундаментальных функ-
ций, то ее характеристическое число \к есть непременно полюс меромор-
фной функции (101).
Иначе говоря, если какая-либо функция Vk(x), взятая из ряда (100)
полной системы фундаментальных функций, удовлетворяет условию
(103), то она непременно принадлежит ряду фундаментальных функций,
соответствующих (принадлежащих) функции/(х).
106
34. Допустим теперь, наоборот, что функция /(х) удовлетворяет ус-
ловию
ь
f f(x)Vk(x)dx = 0. (104)
а
Равенство (102) обращается в такое:
X — Хь ъ ,. Л «к
J р (х) W (х.Х) Ук (х) dx = 0. (105)
Cj(X) а
Здесь возможны два случая: либо Хк есть простая точка функции V (х, X)
причем необходимо lV(x,Xk) = 0, либо полюс функции И(х,Х).
Последний случай возможен лишь тогда, когда числу Хк отвечают две
различные фундаментальные функции: взятая нами Vk(x) и другая, от-
личная от нее, которая при сделанных нами обозначениях непременно
будет равна одной из рядом стоящих с ней функций в ряде (100), т.е.
!(лг), либо Кк+1 (х).
Очевидно, что при соблюдении условия (104) функция W(x, X) для
Х = Хк не может обратиться в функцию, пропорциональную Ик(х), так
как при этом правая часть равенства (105) обращается в
Ск ь
-г— JP(x)^(x)dx*),
СО (Хк) а
что равняться нулю не может.
Следовательно, если/(х) удовлетворяет условию (104), то при зна-
чении X, равном Хк, если это значение X и служит полюсом мероморфной
функции К(х, X), то соответствующий ему интегральный вычет (т.е. зна-
чение И'(х,Х) при X = Xk)необходимо равен либо Ск_!Ик_1(х), либо
Ск+1 Kk+ ] (х) и ни в коем случае не может равняться Ск Ук (х).
Отсюда выводим следующую теорему:
Если функция f (х) удовлетворяет условию
ff(x) Vk(x)dx = 0,
а
где Ик(х) есть какая-либо из функций их полного ряда (100), то эта
функция наверное не входит в состав ряда фундаментальных функций,
принадлежащих данной функции f(x).
35. Сопоставляя сказанное в предыдущем пункте с теоремой п. 33,
получаем, как прямое следствие, еще следующее предложение:
Если число Хк есть простая точка функции К(х, X), удовлетворяющей
уравнению (с) и предельным условиям (а) или (в), то функция fix')
непременно удовлетворяет условию
ь
f f(x)Vk(x)dx = 0,
а
где Vk(x) есть фундаментальная функция, соответствующая характеристи-
ческому числу Хк.
*) Ck есть некоторый множитель пропорциональности, не равный нулю.
107
36. Возьмем первые п функций из их полной системы и предположим,
что функция fix), фигурирующая в уравнении (с), удовлетворяет п ус-
ловиям
ь ь ь
Sf(x)Vi(x)dx = Q, ff(x) V2(x)dx = 0, ..., J f(x) И„(х) dx = 0. (106)
a a a
Могут представиться два случая:
1°. \к, где к есть одно из чисел от 1 до п, есть число, которому соот-
ветствует только одна функция Vk(x). В этом случае, так как /'(х) удов-
ь
летворяет условию / fix) Vk(x) dx = 0, число \к есть простая точка меро-
а
морфной функции К(х,Х), как указано в п. 34.
2°. А* есть число, которому соответствуют две различные фундамен-
тальные функции. В этом случае в ряде (93), представляющем полную
систему характеристических чисел, число, предшествующее X* или сле-
дующее за ним, т.е. Хк_! или Xfc+1, равно X*. Чтобы остановиться на
чем-нибудь определенном, допустим, что X* = Хк+1.При этом в силу ус-
ловий (106) и этого равенства будет иметь при всяком к от 1 дои—Г.
X — А*. ь
——f р(х) W (х,Х) Vk(x) dx = 0,
w (А) а
X — Хь ь
——/р(х) И/(х,Х) Vk+i (x)dx =0.
СО (X) а
Допустим, что Xfc есть полюс функции К(х,Х). В силу первого из этих
равенств W(x,\) может обратиться лишь в Vk+l(x) при X = Хк, но это до-
пущение невозможно в силу второго равенства. Следовательно, предполо-
жение, что X* есть полюс функции И(х,Х), невозможно, что приводит
к следующей теореме:
Если функция/(х) из уравнения (с) удовлетворяет пусловиям вида (106),
где Vk(x) (к = 1, 2, 3, ..., и) суть по порядку взяты? фундаментальные
функции из ряда их полной системы, то числа Xt, Х2 и т.д. до Х„ _ । вклю-
чительно не могут быть полюсами мероморфной функции К(х, X), опреде-
ляемой уравнением (с) и предельными условиями (а) или (в).
Так как по предыдущему функция И(х,Х) не может иметь никаких
других критических точек, кроме полюсов, и так как таковыми могут
служить лишь характеристические числа их полной системы, то преды-
дущую теорему можно формулировать еще следующим образом:
Если функция f (х) из уравнения (с) удовлетворяет пусловиям вида (106),
где Kk(x) (k = 1, 2, 3, ..., л) суть по порядку взятые фундаментальные
функции из ряда их полной системы, то функция И(х,Х), определяемая
уравнением (с) и предельными условиями вида (а) или (в), остается го-
ломорфной во всех точках круга радиуса I Х„_ ] I, так что абсолютное зна-
чение первого из ее полюсов больше или равно | Х„ _ j |.
Теоремы, указанные в последних пунктах, начиная с п. 33, имеют важное
значение для дальнейших исследований, как это мы увидим впоследствии.
37. Из самого определения характеристических чисел Хк как корней
целой трансцендентной функции ш(Х) следует, что их модули 1к беспре-
дельно возрастают с возрастанием значка к, о чем уже упоминалось выше.
108
Для дальнейшего существенно важно установить по крайней мере низший
предел порядка возрастания чисел 1к по отношению к значку к. С этой
целью мы выведем сейчас одно неравенство, которое будет иметь и другие,
не меннее важные приложения.
Обозначим через и(х) какую-либо функцию от х, непрерывную в про-
межутке [а,Ь], а через v(x) - функцию, удовлетворяющую уравнению
и"(х) -q(x)v(x) +р(х)и(х) = 0 (107)
и предельным условиям одного из двух следующих типов:
v'(b) = аи(а) + 0u(b), v'(a) = yv(a) - av(b), (108)
или ]
v(b) = pv(a), v'(b) = — и'(а) + ти(а).
P
(109)
Интегрируя по частям и приняв в расчет уравнение (107), получаем
ь , |ь ь , ь
J v 2 (х) dx = и (х) v (х) - fq(x)v2(x)dx + fp(x)v(x)u(x)dx. (ПО)
а I л о а
Если и(х) удовлетворяет условиям (108), то
и(х) v (х)| = 0i>2 (b) - уи2 (а) + 2 а и (а) и(Ь); (111)
I а
если же и(х) удовлетворяет условиям (109), то
I ь
и(х)и (х) = рти (а).
I а
(111.)
Какова бы ни была функция и(х), непрерывная и имеющая интегриру-
емую производную, имеет место тождество
и2 (х) - v2 (|) = 2 /и(х) и'(х) dx
I
для любых двух значений х и J-, взятых в промежутке [а,Ь]. Из этого тож-
дества при помощи неравенства Буняковского выводим
V2(?) < v2 (х) + 2\/ju2(x)Jx' V/i/Чх) dx
а а
- неравенство, имеющее место при всяком данном £ и при любом значе-
нии х в промежутке fa.b]. Интегрируя это неравенство по х в пределах
от а до Ь, находим
/и'2 (х)dx.
а
Sv2 (x)dx
-а
w2«)< -------------+ 2 У/
о- а а
Заметив, что в случае (111)
lu(x) v (х) l<(|0|+ lai) и2 (b) + (I-уI + lai) v2 (а) *) =
а
(112)
= 0о V2 (Ь) + а02 »г (а), (ИЗ)
* ) Ибо |2аи(а)и(Л)1< laI [и1 (ft) + и2 (а)|.
109
выводим отсюда при помощи неравенства 0 12), полагая в нем % = а и
| = Ь, следующее неравенство:
1ь ь „ /ь~ * /ъ „ 1
I < a, f v2 (х) dx + 2 Ро V J и2 (x)dx\jS и2 (х) dx, (113,)
а а а а
где а, и 2р0 - положительные постоянные, не зависящие от функции
и(х), а только от данных постоянных а, т и концов а и b данного про-
межутка [а, />].
Очевидно, что такого же вида неравенство имеет место и в случае
(111,), когда функция и(х) удовлетворяет условиям (109).
Итак, в обоих случаях, как при условиях (108), так и при условиях
(109),имеет место неравенство (113,).
Заметим затем, что
г> ft ,
| J q (x) v2 (x) dx | < c f v2 (x) dx, (114)
a a
где с есть max I </(x)| в промежутке [a, h], и что
IJ p (x) v (x) и (x) dx | <y/v'yfU', (115)
a
где положено
K = f p(x)u2 (x) dx, U = f p (x)w2 (x)dx, (115,)
a a
из равенства (ПО) при помощи неравенств (113,), (114) и (115) выво-
дим следующее: _________, __________,
J v2 (х) dx < До Г к2 (*) dx + 2 р0 у/f v2 (х) dx V / v2 (x) dx +
a a a a
b о
+ Pl f и2 (x) dx —= ,
a V
где До ~ ai + с, a р, обозначает max p (x) в промежутке [a, />].
Разделив обе части этого неравенства на / v2 (х) dx и положив
X2-- f и'2 (x)dx/f v2(x)dx, (116)
а а
находим окончательно
Х2<р1+2р0Х+р1уДГ/у/У', (117)
- неравенство, которое мы и желали получить.
38. Возьмем к первых фундаментальных функций К*(х)из ряда (100)
их полной системы и положим
и (х) = а, И, (х) + а2 V2 (х) + ... + ак Vk (х), (118)
где as (s = 1,2,..., к) - какие угодно постоянные.
Приняв в расчет уравнения (97) (п. 32), которым удовлетворяют фун-
даментальные функции Ук(к), убеждаемся, что функция и(х)(П8) удов-
110
летворяет дифференциальному уравнению
и" (х) - q(x)v (х)+р (х) £ as \s Vs (х) = 0,
s= 1
т.е. как раз уравнению (107). если положить в нем
к
и (х) = S as \ Vs (х).
j=i
Очевидно также, что функция v (х)удовлетворяет предельным условиям
(108), если в (118) подразумевать под И*(х) фундаментальные функции
первого класса, и предельным условиям (109), если под К* (х) подразу-
мевать фундаментальные функции второго класса (см. (98) и (99) п. 32).
Следовательно, к функции и(х) (118) применимо неравенство (117)
предыдущего пункта.
Так как функции И*(х) образуют систему, ортогональную по отноше-
нию к функции р(х)и нормальную, то в данном случае интегралы (115])
представляются в виде
r = Jp(x)i? (x)dx = S а^,
a j=l
U = f p(x)u2(x)dx = Z \2a$.
a j=1
Отсюда на основании условий (961), которым подчинены модули ls чисел
X,, заключаем, что
U ,
~<li (120)
каковы бы ни были постоянные a, (s= 1,2,3, ...,&).
Разобьем промежуток [а, Л] на Л— 1 составляющих, один из которых,
положим первый по порядку от а к Ь, будет иметь длину 6, а остальные
А:-2 равны между собой, так что длина 8Д. (s = 2,3,..., к - 1)каждого из
b -а - 6
них будет 64 =---------
к 2
Отрезок 5 подчиним только одному условию
b - а
8<8„ т.е.6<-^—р (1201)
Обозначив интеграл от какой-либо функции, распространенный на
какой угодно отрезок 6, через /, выберем постоянные as так, чтобы
, &
было
Ju(x)dx = 0 (s = 2,3,...,к-1), (121)
® S
f V (х) dx = 0,
б
«?+«?+...+«2 = 1. (122)
Уравнения (121) представляют, в силу (118), систему к - 1 линей-
ных однородных уравнений с к неизвестными as (s = 1,2,..., к). Очевидно
111
число S можно выбрать так, что один из определителей, составленный
из коэффициентов при к - 1 из величин as, будет не равен нулю. Урав-
нения (121) дадут тогда определенные выражения для отношений к — 1
из величин as к к-й из них, после чего уравнение (122) определит и эту
последнюю. При этих значениях as получим по формуле (118) опреде-
ленную функцию v (х) удовлетворяющую к - 1 условиям (121).
39. Обращаемся теперь к п. 17 гл. 11. Функция и (х) будет как раз удов-
летворять тем же условиям, что и функция /’(х) п. 17 гл. II, если поло-
жить там п = к - 1.
Заметив, что в данном случае, в силу (1201), число, обозначенное че-
рез / в п. 17 гл. II, равно
и применив к функции v (х) неравенство (42t) того же п. 17 гл. II, полу-
чим при принятых обозначениях (см. (117)):
, я2(Л-2)2 тг2 (Л: - 2)2 я2 к2 / 2\г
(Ь -а-6)2 (b - a)2 (b-a)2 \ kJ
т.е.
, Я2 , , -
¥2>-----------— к2 = oik2 при всяком к > 3. (123)
9(/>-а)2
Неравенство (117) для к > р0 /®о при помощи (120) и (123) приво-
дит к следующему:
(X2 — 2 PqX — До) ^ [(®о^ — Ро)2 — (Ро + До)]
Pi Pi
Отсюда заключаем, что при всяком
До
к> —77ТТ-------------Г’ к>3,к>р0/о0,
По (vPo +До - Ро)
имеет место неравенство вида
IX* 1 = Z* > А:2, (124)
где То ^гь положительная постоянная, не зависящая от к.
Неравенство (124) показывает, что числа 1к возрастают при беспредель-
ном возрастании значка к пропорционально его квадрат)’. Это неравенство
имеет существенное значение для дальнейших исследований.
ГЛАВА VI
Распространение предыдущего метода на исключительные случаи.
Случай, когда постоянные а, 0, у
для фундаментальных функций первого класса
или постоянные р и т
для фундаментальных функций второго класса
обращаются в бесконечность.
Случай, когда со (0) равно нулю,
но и'2(Ь) - р и2(Ь) для функции первого класса
или и2 (Ь) для функции второго класса отличны от нуля.
Случай, когда ш (0) и и'2(Ь) - 0и2 (/>) для функций первого класса
или со (0) и и2 (Ь) для функций второго класса
равны нулю одновременно.
Сдвиг шкалы характеристических чисел
1. В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что числа а, 0, у для
фундаментальных функций первого класса и числа риг для фундаменталь-
ных функций второго класса суть определенные конечные числа (и р не
нуль). Покажем теперь, что предыдущий метод распространяется и на все
те возможные предельные случаи, когда некоторые (или все) из чисел
а, 0, у или риг обращаются в бесконечность (или р обращается в нуль).
Покажем прежде всего, что предельные условия как первого так и вто-
рого классов при всех возможных предположениях относительно постоян-
ных а, (3, у и р, т приводятся к трем основным типам.
Рассмотрим сначала случай, когда некоторая функция V (х) удовлет-
воряет условиям первого класса
У'(Ь) = а У(а) + (ЗУ(Ь), У'(а) = уУ(а)-аУ(Ь). (1)
Возможны три предположения:
1°. Одна из постоянных а, 0, у обращается в бесконечность, две дру-
гие остаются конечными.
2°. Две из них обращаются в бесконечность, третья остается конеч-
ной.
3 . Все три обращаются в бесконечность.
2. Первый случай. Пусть а = <», (3 и у конечны. Разделив уравнения (1)
на а и перейдя к пределу, получаем У(а) = 0, У(Ь) = 0.
Пусть 0 = °°, а и у конечны. Первое из (1) дает V (Ь) = 0, вследствие
чего второе из (1) приводится к виду У'(а) = уУ(а).
Пусть, наконец, у = °°, а и 0 конечны.
Из второго из уравнений (1) выводим, подобно предыдущему, У (а) = 0,
после чего первое из них доставит
У'(Ь) = 0У(Ь).
Итак, случай 1° приводит к трем следующим типам предельных условий:
К(а) = 0, У(Ь) = 0, (2)
Г'(а)=уК(а),И(й) = 0, (3)
У(а) = 0, У'(Ь) = 0У(Ь). (4)
ИЗ
3. Второй случай. Пусть а. = °°, 0 = 00 , у конечно.
Возможны три предположения: либо
а
lim—=0, (5)
&
либо
lim —= а', (51)
где а' есть конечная постоянная, отличная от нуля, либо
в
lim — = 0. (52)
а
Второе из уравнений (1) дает при а = °°:
K(ft) = 0. (6)
Напишем первое из уравнений (1) в виде
1 <х
-K'(ft) = —И(я)+И(й). (7)
0 0
При условии (5), переходя к пределу, получим то же равенство (6). Оба
предельных условия приводятся к одному и тому же, что противоречит
требованию их линейной независимости. Поэтому предположение (5) ис-
ключается из рассмотрения.
При втором предположении (5 j) уравнение (7) в соединении с (6) дает
в пределе V (а) = 0. Получается уже найденный выше случай (2).
Наконец, при условии (52), представив первое из (1) в виде
1 , 0
— К'(й)= И(а) + —К(й)
а а
и перейдя к пределу, получим V (а) =0. Снова приходим к тому же самому
случаю (2).
Предположим теперь, что 0 = °°, у = °°, а конечно.
Представив уравнения (1) в виде
1 , а 1 а
~ V '(*) = — V(a)+V(b), — Г'(а)=К(а)----К (ft)
(3/3 у у
и перейдя к пределу, опять приходим к случаю (2).
Допустим, наконец, что у = °°, а = «>, р конечно.
Возможны три следующих предположения:
а
Пт — = 0, (8)
7
а
lim — =а', где а есть конечное число, отличное от нуля, (8])
7
а
lim — =°°. (82)
7
114
Напишем уравнения (1) в виде
1 , 0 1, а
— V'(b)= Г(а)+ — K(fe), — V (а) = К (а)-------V(b). (9)
а а 7 0
При условии(8)оба уравнения приводятся в пределе к одному и тому же
Г(а) = 0. (9,)
Этот случай, подобно (5), должен быть исключен.
В случае (8j) уравнения (9) дают V(а) = О, V (Ь) = 0, что приводит к слу-
чаю (2).
Наконец, для случая (82) перепишем второе из уравнений (1) так:
1 , 7
— К'(*)= ~• И (а) - Г(д).
а а
Так как, в силу (82),
lim — = О,
а
то в пределе V (Ь) = 0, что в соединении с (9) снова дает тот же случай (2).
4. Остается разобрать последний случай 3 °. Пусть
О = 00, р = оо и у — °°.
Здесь возможны следующие предположения:
lim —=o, а У lim — =0, а (ai)
lim а 7 lim — =0, а (аг)
lim 0 — — oo a lim — =0, а (аз)
lim '0, a .. 7 lim — = 7 , а (Bl)
lim a i- 7 lim — = 7 , а (в2)
lim 0 = oo а i- 7 - ' lim — = у , а (Вз)
lim. A=0. a г 7 lim — = °°, а (С1)
lim 0 - =0’, а 7 lim — =°°, а (с2)
lim 0 = oo a i- 7 lim — =°°. а (сз)
115
Для случаев (а;) (i = 1 ,2) перепишем уравнения (1) в виде
1 , 0
- V (b)=V(a) + — К(ft),
а а
1 , 7 00)
— V (а) = — V (а) - К (ft).
а а
Отсюда, переходя к пределу, получаем для (а1) и (а2 ): К (а) = V (ft) = 0.
Для случая (а3) представим первое из уравнений (1) в виде
1 , а
- К (ft) = — K(e)-K(ft), (11)
что дает в пределе V (ft) = 0, т.е. тот же результат, что и второе уравнение.
Этот случай исключается.
В случае (в ।) уравнения (10) дают
К(а) = 0, у' V (a) - V (ft) = 0, т.е. K(ft) = 0.
Для случая (в2) получается тот же результат.
Наконец, в случае (в 3) уравнение (11) и второе из (10) приводят в пре-
деле к тому же самому результату.
Для случаев (с,) (i = 1,2) приводим уравнения (1) к виду
1 Р 1 а
— V (ft) = V(a)----V(b). — V (а) = К(а) - — К (ft).
а а у у
В случае (ct) оба уравнения приводятся к одному
К(а) = 0.
Этот случай не подлежит рассмотрению.
При условиях (с2) получаем
V(a)-P' K(ft) = 0, K(a) = 0,
т.е.
K(a)=K(ft) = 0. (11.)
Наконец, в случае (с3), представив уравнения (1) в виде
1 . а 1 а
- V'(b)= — V(a)- V(b), — К (а) = И (а) - — И (ft),
Р Р 7 7
снова получаем в пределе равенства (111)
Сопоставляя все сказанное, приходим к заключению, что все возможные
предельные случаи условий первого класса, когда при обращении постоян-
ных а, Ри у в бесконечность они остаются линейно независимыми, приво-
дятся к трем указанным выше типам (2), (3) и (4).
5. Рассмотрим предельные условия второго класса
K(ft) = pK(a), K'(ft)= — K'(a) + rK(a). (12)
Р
1t6
Остановимся сначала на исключенном раньше случае р = 0. Уравнения
(12) обращаются при этом в следующие:
V(b) = O, К'(а) = 0.
Получается частный вид равенств (3) при у = 0.
Предположим теперь, что р, или т, или оба вместе обращаются в беско-
нечность. Здесь возможны случаи предположения:
р = °°, т конечно, (а)
р конечно, т =°°, (в)
р = °° и т = j (с)
Представив первое из уравнений (12) в виде — К (!>) = К(а),
Р
заключаем, приняв в расчет второе из них, что в случае (а) они приводятся
к следующим:
У(а) = 0, У'(Ь) = тИ(а),
т.е.
И(а) = 0, К'(/>) = 0.
Получается частный случай условий (4) при 0 = 0.
Написав затем второе из (12) в виде
1 , 1
- V'(/>) = — К'(а)+ К (а)
т рт
и приняв в расчет первое из них, получаем для случая (в) :
Г(а)= V(b) = O.
Наконец, изобразив уравнения (12) в виде
1 1,1,
- И(0)=И(а), — К'(0) = — И'(«)+К(а).
Р т рт
убеждаемся, что в случае (с) оба условия (12) приводятся к одному
И(а) = 0.
6. Сопоставляя все сказанное в предыдущем пункте с результатом п. 4
приходим к следующему окончательному выводу:
Все возможные случаи, когда при обращении в бесконечность постоян-
ных а, 0, у в условиях первого класса или постоянных ритв условиях вто-
рого класса эти условия остаются линейно независимыми, сводятся к трем
типам (2), (3) и (4) п. 2.
Нужно, следовательно, показать, что изложенный выше метод распро-
страняется и на следующие три класса фундаментальных функций Vk (х),
которые являются предельными по отношению к фундаментальным функ-
циям предыдущей главы:
1° На фундаментальные функции Vk (х) первого предельного класса,
которые определяют уравнением
Уk " (х) + [\kp(x)-q (х)] Vk (х) = 0 (13)
117
и условиями
Kfc(a) = O, Vk(b) = O. (14)
2.° На фундаментальные функции Vk (х) второго предельного класса, ко-
торые определяются тем же самым дифференциальным уравнением и усло-
виями вида
К/(а) = 7ГИа), И*ф) = О. (15)
3.° На фундаментальные функции (х) третьего предельного класса,
которые определяются тем же уравнением (13) и условиями
ИН«) = О, Vk'(b) = 0Vk(b). (16)
7. Исходным пунктом метода Шварца - Пуанкаре служит исследование
интеграла V (х, X) дифференциального уравнения
V" (х, X) + [ Хр (х) - q (х)] К (х, X) +/(х) = 0, (17)
рассматриваемого как функция параметра X.
Все выводы предыдущей главы останутся справедливыми, каковы бы ни
были граничные (предельные) условия для функции V (х, X), удовлетворя-
ющей уравнению (17), если, изобразив искомую функцию в виде ряда
V(х,Х) = и0 (х) + X у 1 (х) + X (х) + ... + X* vk (х) + ..., (18)
мы докажем:
(а) Неравенства Шварца (43) п. 14 предыдущей главы и (в) при помощи
этих неравенств установим, что радиус р круга равномерной сходимости ря-
да (18) как раз равен
р = lim
k -»00
где Wk по-прежнему означает интеграл Шварца (см. (39) гл. V).
Вникая в анализ пп. 11-19 гл-V, убеждаемся, что, каковы бы ни были
предельные условия типа
L(F) = 0, L1(K) = 0
(19)
(см. равенства (8) п. 5 гл-IV), только что указанные предложения будут
доказаны, коль скоро коэффициенты vk (х) ряда (18) удовлетворяют ус-
ловию (условие ортогональности)
( (х) vm' (х) - vm (х) v„' (х) )
1а
= 0,
каковы бы ни были целые числа пит. Очевидно, что равенство соблюдает-
ся для всех трех случаев предельных условий (14), (15) и (16).
8. Легко видеть, далее, что все рассуждения пп. 19—37 также применя-
ются без всяких существенных изменений и к рассматриваемым случаям,
так как все эти рассуждения остаются справедливыми также для всяких
предельных условий типа (19), коль скоро они удовлетворяют условию ор-
тогональности; условия же (14), (15) и (16) принадлежат к этому типу, и,
как сказано, условию ортогональности удовлетворяют.
При этом следует отметить лишь следующее обстоятельство. В рассмат-
риваемых предельных случаях функция V(х, X), так же как и в предыду-
(18
щей главе, представляется в виде
причем, как нетрудно убедиться, w (X) для условий (14) равна
ю (X) = w2 (b, X) * ). (20)
При условии (15) она имеет вид
(X) = (b, X) + у w2 (b, X), (21)
а при условиях (16)
со (X) = w,' (6, X) - 0 w2 (b, X). (22)
Анализ указанных выше пунктов rn.V основывается на допущении, что
со(0)¥=0.
То же самое допущение должно иметь место и в рассматриваемых теперь
исключительных случаях, т.е. данные задачи в случае фундаментальных
функций первого предельного класса должны, в силу (20), удовлетворять
условию
и2(Ь)*0, <23>
для функций второго предельного класса, в силу (21), условию
Ui (6) + 7и2 (*)?t0 (231)
и, наконец, для функций третьего предельного класса, в силу (22), условию
(Ь) - J3u2(*)¥=O. (23,)
При этих ограничениях все теоремы главы V, изложенные в пп. 1 -37, ос-
таются, в силу вышеуказанного, справедливыми и для всех фундаменталь-
ных функций трех предельных классов, характеризуемых условиями (14),
(15) и (16).
9. Нетрудно убедиться, наконец, что и основное неравенство (124) пре-
дыдущей главы для модулей характеристических чисел Xfc сохраняется и
для рассматриваемых теперь исключительных (предельных) случаев.
Неравенство (124)
I X* | = 4>т2 Л2. (24)
как показывает анализ п. 38 предыдущей главы, будет иметь место для вся-
кой совокупности к функций Vk(х), составляющих функцию и(х) (118)
(гл. V), коль скоро функции (х) удовлетворяют уравнениям (13) (п.6
настоящей главы) и притом таковы, что функция и (х), составленная из
Vk (х) по формуле (118) (гл. V), удовлетворяет неравенству (117) пре-
дыдущей главы (п. 37). Это же последнее будет справедливо для всякой
функции v (х), которая удовлетворяет уравнению (107) (п. 37 гл. V) и
*) Всюду сохраняем обозначения предыдущей главы. См. равенства (8) и (14) этой
главы.
119
следующему предельному неравенству:
|v(x)v'(x)| | <0о V2 (b) + «о2 V2 (а) (25)
•а
(см. неравенство (113) п. 37 гл. V *).
Очевидно, что функция v (х), о которой идет речь, будет удовлетворять
уравнению (107), если в формуле (118) подразумевать под Vk (х) рассмат-
риваемые нами в этой главе фундаментальные функции трех указанных вы-
ше предельных классов.
Остается только убедиться, что и неравенство (25) справедливо для всех
этих функций, удовлетворяющих условиям (14), (15) и (16).
В случае условий (14) функция (118):
и (х) = at И (х) + а2 И2 (х) + .. . + а* Ук (х)
удовлетворяет условиям v (а) = v (b) = 0. Следовательно,
| v (х) и' (х) | Ь | = 0.
I а
Для условий (15) получаем v' (а) = yv (a), v (b) = 0. Поэтому
|u(x)v'(x)l | = | 11 v2(a).
I а
Наконец, для условий (16), и (а) = 0, »' (Z>) = 0i> (b), т.е.
I v (x) v'(x) I Ь | = |/3 I v2 (b).
I a
Неравенство (25) соблюдается во всех случаях, а следовательно, нера-
венство (117) гл. V остается справедливым и для фундаментальных функ-
ций, подчиненных предельным условиям (14), (15) и (16).
Из сказанного следует, что все рассуждения пп. 37 и 38 гл. V распростра-
няются и на рассматриваемые исключительные {предельные) случаи и при-
водят к неравенству (24).
10. Резюмируя все сказанное, можем утверждать, что все теоремы
предыдущей V главы справедливы для всех фундаментальных функций
первого и второго классов, каковы бы ни были постоянные а, (3, у или р и
те соответствующих предельных условиях, включая сюда и предельные
случаи, когда некоторые или все из этих постоянных обращаются в беско-
нечность, если только соответствующая всем этим случаям целая трансцен-
дентная функция оэ ( X) не обращается в нуль при X = 0.
Покажем теперь, что можно освободиться и от этого последнего ограни-
чения. Перепишем исходное уравнение метода Шварца - Пуанкаре
И"(х)+ ( Хр (х) — <7 (х)] +/(х) = 0 (26)
в следующем виде:
И"(х)+ [рр(х)-ц1 (х)] И(х)+/(х) = 0, (27)
полагая
д = Х + с, qi (x) = q (х) + ср (х), (27J
*) В формуле (113) гл-V стоит один знак <, но, очевидно, вывод неравенства (117)
нс нарушится и при знаке равенства в формуле (25).
120
где с есть произвольная положительная постоянная. Уравнение (27) имеет
тот же вид, что и (26), только буквы X и q заменены буквами д и qt.
Рассматриваемый метод приведет ко всем тем результатам, которые бы-
ли получены и раньше, если за исходный пункт возьмем вместо уравнения
(26) уравнение (27) и будем рассматривать Й(х) как функцию параметра д.
Ищем, согласно этому методу, интеграл уравнения (27) в виде ряда
V(х, д) = v0 (*) + Д«1 (х) + д2 v2 (х) + .. . + д* v* (х) + . .. (28)
при предельных условиях
Л(И) = 0, Л,(И) = 0, (29)
Для определения коэффициентов vk (х) ряда (28) получим уравнения
vk" (х) - q i (х) vk (х) + р (х) vk _ 1 (х) = 0 (30)
при предельных условиях
Z(v*) = 0, Li(vk) = 0. (31)
Определение функций vk (х) сводится к интегрированию следующего од-
нородного линейного уравнения, соответствующего неоднородному уравне-
нию (30):
v"(x)-<n (x)v(x) = 0. (32)
В рассматриваемом случае это уравнение будет играть ту самую роль, ка-
кую играло аналогичное уравнение п. 5 гл. V.
Мы можем дословно повторить все рассуждения гл-V и в данном случае,
заменив лишь всюду букву X буквой д, а функции ut (х) и и2 (х), представ-
лявшие частные решения уравнения
v" (х) - q (х) v (х) = 0, (32|)
подчиненные условиям
Ы] (а)=1, u2(a) = 0, «/(«) = (), ы2'(д)=1 (322)
(см., например, уравнения (13) и (14) п. 5 гл-V, - соответствующими част-
ными решениями Vi (х) и v2 (х) уравнения (32), подчиненными условиям
{/,(а)=1, U\(a) =0,
t/2(a) = 0, (/i(e)=l. (33)
Сравнивая уравнения (321) и (32), заключаем на основании (271 ),что
Ui(x) и t/2(x) зависят от введенного нами произвольно параметра с и при
с = 0 как раз обращаются в функции ut (х) и и2(х).
Как все рассуждения главы V были справедливы в предположении, что
для условий первого класса
<о(0) = u'l(b) -{3ut(b)-2a +
+ уи2(Ь) - (а2 + /Зу) и2(Ь) Ф 0, (34)
а для условий второго класса
<о(0) = 2— и2(Ь) - ри2(Ь) +ти2(Ь)¥=0, (34])
так и те же рассуждения, примененные к уравнению (21),будут справедливы
121
в предположении, что соответствующие выражения, составленные из
функций Ui(x) и U2(x), в том и другом случае будут отличны от нуля, т.е.
когда для предельных условий первого класса
- 0Ui(b) -2а + уU2(b) - (a2 +fc)U2(b)*O, (35)
а для предельных условий второго класса
2- j их(Ь)-Ри2(Ь)^ти2(Ь)ФО. (35 0
Но в данном случае левые части этих неравенств зависят от произвольно-
го параметра с. Следовательно, если и в тех случаях, когда оз (0), т.е. выра-
жения (34) и (34 i) обращаются в нуль, окажется возможным подобрать с
так, что выражения (35) и (351) выйдут не равными нулю, то метод Швар-
ца — Пуанкаре, если принять за исходный пункт уравнение (27), установит
и для всех случаев, когда со(0) = 0, существование бесчисленного множест-
ва вещественных характеристических чисел
Д1, Д2,.... Д*,•.• (36)
и им соответствующих, не равных нулю, фундаментальных функций
П(х), V2(x), ..., И*(х)................................... (36,)
а также и все те их свойства и особенности, какие были доказаны в гл. V.
Числа ряда (36) будут отличаться от характеристических чисел ХЛ. гл. V
лишь одной и той же постоянной с, нбо в силу (27 j) при всяком к
рк=\к+ с, (37)
т.е. вся шкала характеристических чисел Xfc гл. V будет сдвинута вправо
(с > 0) на один и тот же отрезок с.
11. Покажем, что таким сдвигом шкалы характеристических чисел дей-
ствительно можно достигнуть только что указанного результата.
Обозначим через IV, (х, д) и И/2(х, д) два независимых частных решения
уравнения
V "(х) + 1др(х) - q, (х)] И(х) = 0, (38)
подчиненные условию
Wi(a, д)=1, W{(a, д) = 0,
И/2(в, д)=0, W'2(a, д)=1. (39)
Уравнение (38) представляет лишь другое изображение уравнения
И"(х) + [Хр(х) -<?(х)] И(х) = 0,
а символы Wt (х, д) и W2(x, ц) — другое формальное изображение функций,
обозначенных раньше через iV](x. X) и »v2(x, X).
Если к уравнению (27) применим рассуждения п. 19 предыдущей главы,
то получим
И(х, д) = 0(х, д) / Щд),
причем,очевидно,
0(х, д) = W(x, X), Я(д) = ш(Х). (40)
122
Что касается выражений левых частей неравенств (35) и (351), то они рав-
ны соответственно значениям функции £2(д) при д = 0 для предельных ус-
ловий первого и второго классов, т.е. в силу второго из тождеств (40) равны
12(0) = со(- с), ибо д = Х + с. (41)
12. Рассмотрим теперь уравнение (32) :
И"(х)-<71(х)И(х) = 0, (32)
написав его в виде
И"(х) - q(x) И(х) = ср(х)Г(х). (41,)
Будем искать интеграл этого уравнения в виде ряда, расположенного по
целым положительным степеням параметра с, полагая
И(х) = Vq(x) +ct?i(x) + c2t>3(x) + ... + ckvk(x) + ... (42)
Подставляя это выражение И(х) (41 j) и приравнивая нулю коэффициенты
при одинаковых степенях с, получим ряд уравнений для последовательного
определения коэффициентов vk(x) вида
и'о(х) -q(x)uo(x) = 0, (43)
vk(x)-q(x)uk(x)=p(x)vk~i(x) (* = 1,2.3,...). (44)
Будем искать решения этих уравнений при предельных условиях двух сле-
дующих типов:
оо(<?) = 1. 1>о(я) = О,
u*(a) = 0. v'k(q) = 0,
или
о0(а) = 0. Vo(e) = l,
М«)=0. v'k(a)=0. (Ь)
Рассмотрим оба случая отдельно.
В первом случае (а) получаем, очевидно,
Vo (х) = и j (х). (45)
Положим теперь в (44) к - 1. Получим
v'i'(x) -t?(x)ui(x) = p(x)oo(x), (46)
Ui(a) = 0, i>j(a) = O. (461)
Общий интеграл неоднородного линейного уравнения (46) представляется
в виде
у, (х) = С, М| (х) + С2и2 (х) + Г| (х), (47)
где
X X
rt(x) = u2(x) f p(x)ut(x)v0(x)dx - М1(х) / p(x)u2(x)vu(x)dx, (47t)
a a
a U|(x) и u2(x) представляют, напомним, частные решения уравнения (321),
удовлетворяющие условиям (322)(п. 10).
123
Положив в (47)
С| =С2 =0,
получим решение уравнения (46) :
Vi(x) = u2(x) / p(x)u,(x)u0(x)dx - и,(х) f р(х)и2(х) v0(x)dx, (48)
a a
удовлетворяющее условиям (461) .
Точно так же будем иметь при всяком к-.
Vk (х) = и2 (х) / р(х) и, (х) vk _, (х) dx -
а
- u,(x) / p(x)«2(x)ut_,(x)<Zx. (48,)
а
Таким образом, при помощи (45) и (48,) последовательно определятся
простыми квадратурами все коэффициенты ряда (24), причем на основа-
нии (45), (47,) и (48) будем иметь
г,(х) = ц,(х) = и2(х) / р(х)«](х)dx - Ц|(х) /p(x)u,(x)ua(x)</x.
а а
Ряд (42) будет, как известно, равномерно сходящимся при всяком х
промежутка [а, й] во всей плоскости переменной с и представит функцию,
удовлетворяющую уравнению (32) и предельным условиям
И(а)=Г, И'(а) = 0,
т.е. функцию, обозначенную нами в п. 10 через Ul(x).
Итак, можем писать
{/,(х) = и,(х) + с(и2(х) / p(x)uz(x)dx-
а
- и, (х) / р(х) и, (х) и2(х) dx ) + ... (49)
а
Применив те же соображения ко второму случаю (Ь), которые повто-
рять нет надобности, получим таким же путем
U2 (X) = «2 (х) + С ( и2 (х) / р(х) и 1 (х) и2 (х) dx
а
- м,(х) 7p(x)u2(x)dx ) + ... (49,)
а
13. Положим
г2(х) = и2(х) / p(x)ut(x)u2(x)dx - и,(х) /p(x)u^(x)dx (50)
а а
и составим при помощи найденных выражений t/,(x) и U2(x) выражения
12(0) (35) и (35,) для предельных условий первого и второго классов.
124
Рассмотрим сначала первый случай. Получаем
£2(0) = U\(b) -0Ui (b) - 2а + yU2 (b) -(а2 +0 у) t/2 (b) =
= w(O) + c[r'i(b)-0r1(b)+yri(b)-(a2 +/Зу) г2(Ь)] + ... =
= <о(0)+c£2t+с2£22 + ... (51)
При помощи (471) и (50) находим
£2i = [ui(Z>) - 0м2(Ь)] / p(x)u2(x)dx +
а
+ (а2иi(b)-y[u'i(b)-0u,(£)]) f p(x)u2(x)dx +
+ (0ut(b) - u'i(b) + у [u2'(b) - 0u2(*)] -
-a2u2(b)) f p(x)ut(x)u2(x)dx. (52)
a
Допустим теперь, что со(0) равно нулю, т.е. (см. формулу (34) п. 19)
у [ui(b)-0u2(b)] - a2u2(b) = 0u}(b)— u\(b') + 2a. (53)
При этом равенство (52) принимает вид
£2! = [u2(b)-0u2(b)] / р(х)м2(х)е2х +
а
+ (а [аи^Ь) -у]-у[и\(Ь) — 0и!(£)-«]) f P(.x)u2(x)dx +
а
+ 2[а + 0Ui(b) -u't(b)] f p(x)ui(x)u2{x)dx. (52,)
a
14. Преобразуем теперь коэффициент при
f P(x)u\(x)dx
а
в формуле (521) следующим образом. Уравнение (12) п. 4 гл. V в силу
(14,) п. 5 той же главы дает
<о(0) = (1 + аи2 (b)) (u'i (b) - 0и,(Ь) - а) -
- (и2 (Ь) - 0и2 (Ь)) (aut(b) - у) = 0,
откуда при помощи (53) выводим
(«2 (*) ~ Дм2 (b)) (aui (b) - у) =
= (1 +a«2(b))(tt[l +au2(b)] -y[ui(b)-0M2(b)]).
Предположим сначала, что
и'2(Ь) -0и2(Ь)^О. (54)
125
В этом случае можем писать
а2[1 + аи2(Ь)]2
a(aui(b) - 7) = -———- ~
«2 (ft) -0u2(b)
_ а^1 +аи2(Ь)] [u'2(b) -0и2(Ь)]
u'2(ti) -$и2(Ь)
При помощи этого соотношения и следующего (см. (53)):
/Ju^ft)-u;(ft) + a = 7(Mi(ft)-0M2(ft))-а(1 +a«2(ft)) (55)
получаем
a(ttM((ft)-7)+7[0Wi(ft) - u'i(ft) + a] =
a2[l +au2(ft)]2 — 2cry[1 +an2(ft)] [«2(ft) -0w2(ft)]
*b(ft) ~0w2(ft)
+ ^^(ft)-/?^)]2 = (ae[l +aM2(ft)] ~~ -0u2(b)])2
u'2(b)-&u2(b) u2(b}-$u2(b)
или, в силу (55)
(0Mi(ft)-ni(ft)+a)2
a(au, (ft) - 7) + 7 [0m 1 (ft) - м 1 (ft) + a] = —7————-
llj(ft)-|M)
При помощи этого соотношения равенство (521) приводится к следующему
виду:
= —'< 7L7 'Т~ /ГГ * (и 1W 1"2~ 0“2+
u2(b) - ($и2(Ь) а
+ и2(x)[0Wt(ft) - u'l (ft) + a])2dx. (56)
Так как Ui(x) и u2(x) суть два линейно независимых частных решения од-
ного и того же линейного однородного уравнения, то подынтегральная
функция равенства (56) не может равняться нулю, коль скоро соблюдается
условие (54). Следовательно, I2j #0.
ЭО(0)
15. Из уравнения (51) следует, что 121 =---- . Поэтому, хотя при
Эс с=0
допущении, что
<о(0) = 0, (57)
функция £2 (0) обращается в нуль при с = 0, но ее первая производная по с
при этом значении с не равна нулю. Отсюда заключаем, что 12 (0) не может
равняться тождественно нулюдри всяком с, а из тождества (41) вытекает,
что и при условии (57) <о(Х) не может равняться тождественно нулю при
всяком X, по крайней мере при соблюдении условия (54). Кроме того, то
же тождество (41) показывает, что при всяком положительном с, не равном
126
модулю какого-либо отрицательного корня уравнения со (X) = 0, если тако-
вые существуют, то £2(0) #= 0.
Из сказанного выводим следующее заключение:
Все теоремы, установленные при помощи метода Шварца - Пуанкаре для
фундаментальных функций первого класса и их характеристических чисел в
предположении, что бХ0)#=0, справедливы и для исключительного случая,
когда со(0) = 0, коль скоро
и\(Ь) - $иг(Ь)Фй. (58)
16. Покажем, наконец, что и ограничение, налагаемое на постоянную $
неравенством (58), несущественно, т.е. что £2 (0) не равняется нулю при
указанном выше выборе постоянной сив том случае, когда
и'г(Ь) ~(Зи2(Ь) = О. (59)
Предположим, что постоянная 0 удовлетворяет условию (59). Произве-
дем в уравнении (27) ту же операцию сдвига шкалы характеристических
чисел рк на некоторый отрезок с', какую произвели над шкалой характе-
ристических чисел X*, соответствовавших уравнению (26) (п. 10), т.е.
представим уравнение (27) в виде
И"(х) + [ур(х) - q2(х)] И(х) + /(х) = 0, (60)
полагая
р = д+с', </2(х) = <7!(х)+с'р(х), (61)
и будем рассматривать И(х) как функцию параметра v при тех же самых
предельных условиях (29) (п. 10).
Обозначим через
U,(x) и U2(x) (62)
два независимых частных решения уравнения
И''(х)-^2(х) И(х) = 0, (63)
подчиненные условиям
U,(a) = l, и;(а)=0,
U2(a)=0, Ui(a) = l. (631)
Если положим с'= 0, то уравнение (63) обратится в уравнение (32), а
Uj(x) и U2(x) - соответственно в функции I/t(x) и С/2(х), удовлетворяю-
щие условиям (33). Очевидно, что последние функции будут играть по от-
ношению к (62) ту же самую роль, какую в рассуждениях предыдущих
пунктов Ui(x) и м2(х) играли по отношению к функциям (Л(х) и С'2(х).
17. Обозначим через £2(р) целую трансцендентную функцию от v, вещест-
венные корни которой служат полюсами мероморфной функции И(х, р),
удовлетворяющей уравнению (60) и предельным условиям (29). Очевидно,
£2(р) = £2(д) = ш(Х) (64)
и, в силу (271) и (61),
£2(0) = со(- (с + с')) = £2(- с'). (64j)
127
Применяя к рассматриваемому случаю выводы предыдущего пункта,
приходим к следующему заключению:
Если можно найти такое положительное число с, при котором
U2(b)-0U2(b)*O, (65)
то 12(0) будет, наверное, отлично от нуля, т.е. метод Шварца - Пуанкаре при-
меним к уравнению (60) и устанавливает существование бесчисленного
множества характеристических вещественных чисел
И, ^2......?к, • • •
и им соответствующих фундаментальных функций
П(х), И2(х), ..., Vk(x), ...,
обладающих всеми теми свойствами, какие доказаны в V главе.
При этом из тождества (64) будет следовать, что и в исключительном слу-
чае, когда со(0) обращается в нуль одновременно с разностью
и2(Ь) - &и2(Ь),
функция <о(Х) не может равняться тождественно нулю при всяком X, и по-
этому, в силу того же тождества (64), £2(0), равное а>(- с), не будет равно
нулю при всяком сив том случае, когда
и’г(Ь)-0и2(Ь) = О. (66)
18. Остается только показать, что существует такое положительное число
с, при котором неравенство (65) наверное выполняется при условии (66).
Приняв в расчет выражения (49) и (49 () для Ui(x) и U2 (х), получаем
U'i{b) - /3(Л (6) = и2(Ь) - (Зи2(Ь) +
+ c(|tZ(ft)-/?u2(6)] f p(x)ut(x)u2(x)dx -
а
- |И|(Й)-0«1(М] / p(x)ul(x)dx)+ ...
а
Если и2 (х) удовлетворяет условию (66), то
A = U'2(b)-^U2(b) = -c[u\(b)-^ul(b)] f p(x)u2(x)dx + ..., (67)
а
причем выражение u\(b) — i (b) не может равняться нулю. Допустив про-
тивное. т.е. что и\ (b) - (3ut (b) = 0. выводим отсюда, при помощи (66),
н 1 (Ь) и2 (Ь) — и2 (Ь) и\(b) = 0,
что невозможно, ибо Wi(x) и и2(х) удовлетворяют при всяком х условию
и, (X) и2 (х) - и2 (х) и; (х) = 1.
, эл
Из равенства (67) заключаем поэтому, что — 0. Отсюда следует,
Эс <=0
что хотя А | с-0 =0, но для ряда значений с, достаточно близких к нулю,
А. сохраняет значения, отличные от нуля.
128
Существование числа с, при котором
А = U2(b) -0U2(b)
не равно нулю, доказано, а вместе с тем доказано и утверждение п. 17.
Итак, метод Шварца - Пуанкаре применим во всех, без исключения, слу-
чаях, каковы бы ни были конечные постоянные а, 0 и у в предельных усло-
виях первого класса, и доказывает существование полной системы вещест-
венных характеристических чисел \к (к = 1,2,3,...), среди которых может
заключаться и число, равное нулю, и соответствующей этим числам полной
системы фундаментальных функций Ук(х)(к = 1, 2, 3, ...) со всеми их
свойствами, указанными в V главе.
19. Переходим к случаю предельных условий второго класса. Предполо-
жим, что соответствующее этому случаю неравенство (341) не соблюдается
(п. 10), т.е. что
а>(0) = 2- ± ut(b) - puJ(Z>) + rw2(Z>) = 0. (68)
При этом предположении непосредственное применение метода Шварца -
Пуанкаре, развитое в предыдущей главе, также становится сомнительным.
Но, так же как и в предыдущем случае, законность его применения восста-
навливается, как сейчас увидим, указанным выше сдвигом шкалы характе-
ристических чисел.
Заменяя, как и в предыдущем случае, уравнение (26) уравнением (27)
и удерживая прежние обозначения, пояснять которые вновь нет надобности,
составим выражение £2 (0), соответствующее предельным условиям вида
K(b) = р V(a), V '(b) = -i- V'(a)+r V(a).
Получим р£2(0) = 2р - C/|(fe)-р2С/^(/>) + ртС/2(/>), откуда при помощи
(49) и (491) (п. 12) выводим
р£2(0) = w(0) + с(- u2(b) f p(x)u2(x)dx +
а
+ (ut(b) - p2u2(b) + рти2(Ь)) f p(x)u,(x)u2(x)dx --
а
- p(rut(b) - ри\(b)) f p(x) u$(x) dx) + ...
a
Из равенства (68) следует, во-первых,
и 1 (b) - Р2и2(Ь) + рти2(Ь)= — 2(р - и 1 (Ь))
и, во-вторых,если предположим, что и2(Ь) =# 0,
, /АТ (р-“1(*))2 *)
p(TUi(b)-pu i(b))=----—------
*) Из равенства p’uj0) = 2р - ut(b) + prut(b), учитывая, что ui(b)u'2(b) = 1 +
+ ц,(Ь)и\(Ь), выводимpu,(b) [ри',(*)-«!0)1 = 2ри,(Л) -и’0) -р’ = _(р _И|0))’,
откуда и следует равенство, указанное в тексте.
129
Следовательно,
p£2(0) = w(0)-----(u2(b) f p(x)u2i(x)cix +
ь
+ 2и2 (b) (р - Ui(b)) f р(х) io (х) и2 (х) dx +
а
л b
+ ( Р - и 1 (ft))2 f р(х) i/i(x) dx ) + ...
а
или, при условии (68),
р£2(0) =-----— / p(x)(u2(b)ul(x) + [р - ui(£)] и2(х\)2 dx + ...
U2(b) а
Отсюда, повторяя дословно рассуждения пп. 14 и 15, заключаем, что £2(0)
не может равняться тождественно нулю при всяком с, т.е. ш(Х) не может
равняться тождественно нулю при всяком Хи в том случае, когда о>(0)
равно нулю, по крайней мере при условии, что
u2(b)*Q. (69)
Отсюда вытекает, что, по крайней мере при соблюдении условия (69),
метод Шварца - Пуанкаре применим к уравнению (29) и в том случае, ког-
да для условий второго класса ш(0) равно нулю, если подразумевать под с
в этом уравнении любое положительное число, не равное модулю отрица-
тельных корней функции ы(Х), если таковые существуют (или какое угод-
но положительное число, если ш(Х) не допускает отрицательных корней).
20. Остается показать, что и условие (69) несущественно. Это достигает-
ся совершенно таким же приемом, как и в предыдущем случае предельных
условий первого класса.
Заменяем уравнение (27) уравнением (60) (п. 16). Для этого уравнения
в силу (491), если допустить, что
и2(Ь) = 0, (70)
получаем
U2(b}= -cui(b) / p(x)u2(x)dx + ...
а
Но при условии (70) непременно и!(ft)#0, ибо Ut(b)u'2(b) - u\(b) u2(ft) =
, 3t/2(ft) I
= I. Следовательно, ------ =Д), т.е. t/2 (ft) заведомо не нуль для ряда
дс 1с=0
значений с, достаточно близких к нулю.
Отсюда заключаем, что и в том случае, когда для уравнения (26)
w(0) = 0, t/2(ft) = 0,
соответствующее выражение £2 (0) для уравнения (27) не равно нулю при
всяком с.
Следовательно, метод Шварца - Пуанкаре всегда применим к уравнению
(27) в случае предельных условий второго класса и доказывает существо-
вание полной системы вещественных характеристических чисел, среди кото-
рых может быть и число, равное нулю, и соответствующей этим числам пол-
ПО
ной системы фундаментальных функций второго класса, каковы бы ни бы-
ли конечные числа (из которых первое не равно нулю) pure только что
упомянутых условиях.
21. В предыдущих рассуждениях мы предполагали числа а, у, и р,т
конечными и р не равным нулю. Чтобы исчерпать вопрос, необходимо иссле-
довать особо и все возможные предельные случаи, указанные в пп. 1 - 10
этой главы.
Мы уже видели, что все эти случаи сводятся к трем различным типам
предельных условий вида(14), (15) и (16) (п.7)и что в первом случае (равен-
ство (14)) метод Шварца - Пуанкаре несомненно применим, если (см. п. 8)
м2(й)*0; (23)
во втором (равенство (15)) - если
Ui(ft) + 7M2(ft)#0; (231)
в третьем (равенство (16)) — если
M2'(Z>)-/3u2(ft)#0. (232)
Покажем теперь, что изложенный выше прием сдвига шкалы характе-
ристических чисел применим с некоторыми изменениями и упрощениями
и к рассматриваемым предельным случаям, когда неравенства (23), (231)
и (232 ) не имеют места.
22. Допустим, что для предельных условий первого класса
и2(Ь) = 0. (71)
Заменим уравнение (26) уравнением (27). Метод Шварца - Пуанкаре бу-
дет применим к этому последнему уравнению при условиях (14), если
возьмем для с какое-либо такое значение, при котором
U2(b)*0. (72)
Но если имеет место равенство (71), то, на основании (49j) (п. 12),
ь
t/2(Z>)= - cui(b) f p(x)ul(x) dx + ... (73)
a
Так как u2 (b)wui (b) одновременно не могут равняться нулю, то из (73)
ЭС/2(6)
заключаем, что ------ =#0, т.е. что U2(b) не может равняться нулю
Эс с=0
тождественно при всяком с хотя и обращается в нуль при с = 0.
Придерживаясь обозначений п. 11, можем написать следующее тождест-
во: W2(x, 0) = U2(x), откуда W2(b, 0) = U2(b). Но W2(х, д) = и’2(х, X). Сле-
довательно (см. второе из равенств (40) п. 11), U2 (h) = W2 (b, 0) = w2 (b, - c).
Отсюда следует, что U2(b) остается неравным нулю при всяком положи-
тельном с, неравном модулю какого-либо отрицательного корня уравнения
w2(b, X) = 0,
если таковые существуют (или при всяком положительном с, если функ-
ция w2 (b, X) не имеет отрицательных корней).
Выбрав в уравнении (27) с указанным способом и применив к этому
уравнению метод Шварца-Пуанкаре, что возможно в силу (72), докажем
131
существование полной системы вещественных характеристических чисел
pk (к = 1,2,3,...) и им соответствующих фундаментальных функций И* (х)
(к = 1, 2,3,...) первого предельного класса, независимо от ограничения
(69), поставленного в п. 19.
23. Предположим теперь, что для условий второго предельного класса
(равенство (15) п. 6)
Mt(ft) + 7u2(ft) = 0. (74)
Из равенств (49) и (49 j) (п. 12) при помощи (74) выводим
В = U\(b) + 7*4 (ft) = < ( «i(ft) / p(x) u](x) dx -
a
b ь
-[“i(ft)-?w2(ft)] J p(x)u2(x)u2(x)dx - yui(b) f р(х)ы2(х) Jx) + ...
a a
• • • = cu2(b) f p(x) (u((x) + ?u2(x)]2 dx + ...,
a
т.е.
“I *0.
de I c=o
Кроме того, на основании тех же самых соображений, что и в предыдущем
пункте, можем писать
В = Ut(b) + yU2(ft) = W,(b, 0) +7JV2(ft, 0) =
= И»! (ft, - c) + 7W2 (ft, - c).
Отсюда следует, что В остается не равным нулю при всяком положитель-
ном с, не равном модулю какого-либо отрицательного корня уравнения
Wj(ft, X) + 7W2(ft, Х) = 0,
если таковые существуют (или при всяком положительном с, если таких
корней нет).
Выбрав в уравнении (27) с указанным образом и применив к этому
уравнению метод Шварца - Пуанкаре, что возможно, ибо при этом будет
соблюдено неравенство
C/1(ft) + 7t/2(ft)#0,
докажем существование полной системы вещественных характеристичес-
ких чисел р/с (k= 1, 2, 3, ...) и им соответствующих фундаментальных
функций второго предельного класса, какова бы ни была постоянная у в
равенстве (15).
24. Что касается фундаментальных функций третьего предельного класса
(равенство (16) п. 6), то все данные для распространения метода Шварца -
Пуанкаре на тот исключительный случай, когда и2 (ft) — 0и2 (ft) = 0, уже име-
ются в предыдущих исследованиях. В п. 18 уже доказано существование по-
ложительных значений с, при которых А = t/2'(ft) - &U2(b) остается не рав-
ным нулю. Заметив теперь, подобно тому, как и в предыдущем пункте, что
А = U2(b) -&U2 (ft) = JV2' (ft, 0) — 0 JV2 (ft, 0) = w2 (ft, - c) - 0w2 (b, c),
заключаем, что А отлично от нуля при всяком положительном с, не равном
132
модулю какого-либо из отрицательных корней уравнения
w2(b, X)-0w2(b, Х) = 0,
если таковые существуют (или при всяком с > 0, если таких корней нет).
Выбрав с указанным образом и применив к уравнению (27) метод
Шварца — Пуанкаре, что возможно, ибо при этом соблюдается неравенство
t/i(Z>)-0C/2(6)#O,
докажем существование полной системы характеристических чисел pk (к=
= 1, 2,3,...) и им соответствующих фундаментальных функций И*(х) (к =
= 1, 2, 3, ...) третьего предельного класса, какова бы ни была постоянная
0 в условиях (16) (п. 6).
25. Заканчивая эту главу, отметим, пользуясь случаем, замечательное
свойство частных решений и'Цх, X) и w2(x, X) дифференциального линей-
ного уравнения вида
И"(х) + [Хр(х)-<?(х)]И(х) = О, а<х<Ь, (75)
подчиненных условиям
(а, X) = 1, w2(a, X) = 0. wj (а, X) = 0, w2 (а, X) = 1
(см. п. 3 гл. V). Исследования предыдущих глав сейчас же приводят к сле-
дующим заключениям:
Целые трансцендентные функции, составленные из функций (х, X),
w2 (х> X) и их первых производных при х = Ь, вида
w,' (6, X) - 0wt(b, X) - 2а + ?w2 (b, X) - (а2 + 0у) w2(b, X), (76)
2р - ич (b, X) - р2 и’2 (6, X) + rpw2(6, X), (77)
w । (b, X) + yw2 (b, X), (78)
w2(b, \)-0w2(b, X), (79)
w2(b, X) (80)
все имеет бесчисленное множество вещественных корней X* (k = 1,2,3,...),
модули которых 4 удовлетворяют условию
4>т2*2, (81)
где т2 есть конечное число, не зависящее от к. Это справедливо при всяких
конечных значениях постоянных а, 0, т и при р не равном нулю, каковы
бы ни были функции р(х) и q(x), непрерывные в промежутке [а. 6], из
которых первая р(х) остается неотрицательной в этом промежутке*).
Если же функция q (х) сохраняет в промежутке [а, 6] лишь неотрица-
тельные значения, то все вещественные корни функции (80) неотрицательны.
Если р (х) и q (х) обе неотрицательны в промежутке [а, 6] *), а постоянная
0<О, то все вещественные корни функции (80) положительны; если у> 0,
то тем же свойством обладают и вещественные корни функции (78).
Если при только что указанном свойстве функций р(х) и q(x) постоян-
ные а, 0 и у подчинены условиям 0 < 0, у > 0, а2 + 0у < 0, то все веществен-
ные корни функции (76) положительны.
*)р(х) > 0 для х е (в, 6). (Прим, ред.)
133
Наконец, если при этом тр < 0, р Ф 0, то положительны и все веществен-
ные корни функции (77).
В формулах (76), (78) и (79) постоянные а., 0 и у могут равняться
нулю.
Как следствие сказанного, получается следующее предложение:
Функции
Wi(b, X), w£(Z>, X), w2(b, X) и w2(b, X) (82)
имеют бесчисленное множество вещественных корней, модули которых
удовлетворяют условию (81), если функция р(х) не отрицательна в проме-
жутке [а, Л], а ц(х) только непрерывна.
Нетрудно убедиться, наконец, что в случае, когда и q(x) не отрицательна,
вещественные корни функций (82) положительны.
Г Л А В А VII
Определение характеристических ween,
каждому из которых может соответствовать фундаментальная функция,
обращающаяся в нуль на одном из концов данного промежутка [a, й],
когда эти функции
не принадлежат к функциям трех предельных классов.
Необходимые и достаточные условия,
которым должны удовлетворять те характеристические шела,
каждому из которых
могут соответствовать две различные фундаментальные функции.
Алгоритм для последовательного вычисления
всех характеристических чисел
и полной системы фундаментальных функций первого
и второго классов. Выделение из полной системы тех
характеристических шеел, каждому из которых
отвечают две различные фундаментальные функции.
Фундаментальные функции трех предельных классов
и их характеристические числа
1. Для дальнейших исследований необходимо решить следующий вопрос:
могут ли фундаментальные функции, не принадлежащие к одному из трех
предельных классов (см. п. 6 предыдущей главы), обращаться в нуль на од-
ном из концов данного промежутка [a, Z>], и если могут, то при каких ус-
ловиях? Подобно предыдущему, рассмотрим отдельно случаи функций пер-
вого и второго классов.
Начнем с функций первого класса, определяемых уравнениями
И”(х)+[Х*р(х)-<7(х)]И*(х) = 0 (1)
и предельными условиями
И*'(д)-аИ*(д)-|ЗИ*(*) = О. V'k(a) у Vk(a) + a.Vk(b) = Q. (2)
134
Каждая фундаментальная функция И*(х) представляется при помощи
частных решений >v1 (х, X) и и’2(х, X) (см. п. 3 гл. V) в виде
Ук(хУ=с\к) н’,(х. М + С1*’ и-2(х, X*), (3)
где С Vе > и С2А) - определенные постоянные.
Допустим, что при некоторых значениях характеристических чисел X*
функция И*(х) при соблюдении условий (2) обращается в нуль при х = а.
Приняв в расчет условия (8) п. 3 гл. V, которым подчинены функции
wt(x, X) и и’2(х, X), заключаем из (3), что для рассматриваемых значений
ХА = 0 и функция Vk (х) имеет вид
Ик(х) = С1‘>и-2(х,Хк). (4)
Так как ИЛ(х) должна удовлетворять условиям (2), а С2(/с) не нуль, то,
подставив выражение (3) в уравнения (2), заключаем, что сделанное допу-
щение возможно лишь для тех значений ХЛ., которые одновременно удо-
влетворяют двум следующим уравнениям:
w2(b, Xk)-0w2(b, Х*) = 0, 1 +аи’2(Ь, Х*) = 0. (5)
При этом уравнение характеристических чисел со(ХЛ) = 0 удовлетворяется
само собой.
Итак, только такие фундаментальные функции первого класса могут
удовлетворять одновременно условию
Vk(a) = 0 (6)
и условиям (2), характеристические числа которых служат вещественными
корнями, общими для двух уравнений (5).
2. Условие (6), очевидно, не всегда совместимо с основными условиями
(2). Второе из уравнений (5) показывает, например, что равенство (6) не-
возможно при а = 0.
Для тех значений X*, при которых (когда это возможно) Ук(а) обраща-
ется в нуль, Vk (b) наверное не равно нулю.
В противном случае мы имели бы, как следует из условий (2),
иаь)= и;(в)=о,
что невозможно, если Ук(х) —нетождественный нуль, ибо линейное одно-
родное уравнение второго порядка (1) не может иметь интеграла, отлично-
го от нуля и обращающегося при начальном значении х = а в нуль одновре-
менно со своей производной.
3. Рассмотрим теперь случай фундаментальных функций второго класса,
определяемых тем же уравнением (1) и следующими предельными усло-
виями:
У к (Ь) = РУк (а), И/ (Ь) = V'k (а) + rVk (а). (7)
Если Vk(a) = 0, то в силу первого из (7) необходимо и Vk(b) = 0. При
этом второе из (7) принимает вид
У 1(b) = 1- И/(я), (8)
135
причем
И/(д)#О. (8i)
Подобно тому, как в предыдущем случае, из (3) заключаем, что при
сделанном предположении
Vk(x) = C^w2(x,\k). (9)
Отсюда следует, что ИЛ(х) может обращаться в нуль при х = а лишь для тех
значений X*, которые служат в то же время корнями уравнения w2 (b, X*) =
= 0. Подставив затем выражение (9) для Ук(х) в (8), получаем pw’2(b, X*)-
- 1 =0.
Итак, фундаментальные функции второго класса могут обращаться в
нуль при х = а только для тех вещественных корней функции ш(Х), кото-
рые служат в то же время вещественными корнями, общими для двух
уравнений вида
w2(b, Х) = 0, pw2(b, Х)-1=0. (10)
4. Как мы уже знаем, каждому характеристическому числу Xfc может,
вообще говоря, соответствовать либо одна, либо две различные фунда-
ментальные функции (пп. 24 и 28 гл. V). Найдем необходимые и достаточ-
ные условия, которым должны удовлетворять те из характеристических
чисел их полной системы, каждому из которых могут отвечать по две ли-
нейно независимые фундаментальные функции.
В п. 3 гл.. V было указано, что всякая фундаментальная функция опреде-
ляется равенством (10), где постоянные С] и С2 для функций первого
класса должны удовлетворять уравнениям 11. Очевидно, что, коль скоро
эти уравнения при каком либо \к, равном корню функции ш(Х) (равенст-
во (12) и (121) п. 3 гл. V), дадут определенное значение для отношения
С2 /Ci (или Ci /С2 ), формула
V(x) = CiWi(x, X) + C2w2(x, X) (10i)
доставит единственное (определенное) выражение для фундаментальной
функции, отвечающей этому числу X*, ибо произвольный множитель Ct
(или С2), который войдет при этом в выражение И(х), определится из
условия нормальности.
Такому характеристическому числу Хк будет соответствовать одна и
только одна фундаментальная функция. Это обстоятельство будет всегда
иметь место, коль скоро по крайней мере один из элементов определителя
системы двух линейных однородных относительно Ct и С2 уравнений
(12) (п. 3 гл. V) неравен нулю.
Следовательно, две различные фундаментальные функции могут отвечать
лишь тем значениям X, которые обращают в нуль все элементы только что
упомянутого определителя.
Это условие - необходимое.
Понятно, что оно является и достаточным: уравнения (11) (п. 3 гл. V)
удовлетворяются при этом при всяких С( и С2 и равенство (Ю1) доставит
для рассматриваемых значений X* две различные функции, удовлетворяю-
щие всем условиям задачи. За такие функции мы можем принять две какие
угодно линейно независимые комбинации из функций Wi (х, ХЛ) и w2(х,X*).
136
Таким образом, приходим к заключению, что только тем значениям X
могут соответствовать по две различные фундаментальные функции перво-
го класса, которые являются корнями, общими для следующих четырех
уравнений:
(b, X) - /Зи»! (b, X) - а = О,
w'2(b, X) -0w2(b, X) = О,
awi(b, X) - 7 = 0,
1 + aw2(b, X) = 0.
(а)
(b)
(с)
(d)
5. Нетрудно убедиться, что эти четыре уравнения равносильны трем, ибо
одно из них есть прямое следствие двух других. Умножив (а) на w2 (b, X).
(Ь) на Wj (b, X) и вычтя результаты, получаем
Wi(b, \)w2(b, \)-w2(b, \)w\(b, X) + aw2(Z>, X) = 0,
откуда при помощи равенства (9) п. 3 гл. V выводим уравнение (d).
Поэтому можем утверждать, что по две линейно независимые фундамен-
тальные функции первого класса могут соответствовать лишь тем характе-
ристическим числам, которые служат вещественными корнями, общими
для трех следующих уравнений:
w'2(b, X) — 0w2(b, X) = 0,
awx(b, X) -7 = 0, (12)
1 +ttw2(Z>, Х) = 0.
Всякому же другому характеристическому числу, взятому из их полной
системы, будет отвечать одна и только одна фундаментальная функция.
Обратно, всякому вещественному значению X*, служащему корнем, об-
щим для трех уравнений (12), когда таковой существует, непременно соот-
ветствуют две различные фундаментальные функции.
Очевидно, что всякий корень, общий для трех уравнений (12), есть в го
же время корень уравнения
со(Х) = 0, (13)
ибо прямым следствием уравнений (12) является и четвертое из уравнений
(11), причем уравнение (13), очевидно, отождествляется.
При этом уравнения (11) п. 4 гл. V отождествляются при каких угодно
значениях и С2 и, следовательно, всякому вещественному значению X*,
служащему корнем уравнений (12) этого пункта, действительно соответст-
вуют две линейно независимые фундаментальные функции, как это показа-
но в предыдущем пункте.
Заметим, что уравнения (12), очевидно, невозможны при a = 0.
Поэтому, каждому характеристическому числу \к для функций первого
класса, подчиненных предельным условиям вида
Vk(b) = 0Vk(b), V'k(a) = yVk(a).
всегда соответствует одна и только одна фундаментальная функция.
Это именно обстоятельство имеет место в задаче об охлаждении неодно-
родного стержня (см. п. 11 гл. IV).
137
6. В случае фундаментальных функций второго класса обращаемся к
уравнениям (20) и. 8 гл. V. Повторяя рассуждения п. 4, убеждаемся, что
соответствие одному и тому же характеристическому числу двух различных
фундаментальных функций второго класса возможно тогда и только тогда,
когда это число является одним из вещественных корней, общих для еле-
дующих уравнений:
Wi(b, Х)-р = О, (а)
w'i(b, X) - т = 0, (Ь)
. (14)
w'2(b,\)-y =0, (с)
w2(Z>, Х) = 0. (d)
Легко видеть также, что эти уравнения сводятся к трем следующим:
Wt(b, X) — р = 0, w\(b, X) — т = 0, и'2(/), Х) = 0, (15)
ибо уравнение (с) есть прямое следствие уравнений (a), (d) и следующего:
iv 1 (b, X) w2 (b, X) - w2 (b, X) н i (b, X) = 1.
Итак, по две различные фундаментальные функции могут иметь лишь те
характеристические числа, которые служат вещественными корнями, общи-
ми для трех уравнений (15); всякому такому корню соответствуют непре-
менно по две различные фундаментальные функции, всем же остальным ха-
рактеристическим числам их полной системы соответствует каждому по од-
ной и только по одной фундаментальной функции второго класса.
7. Сравнивая уравнения (5) с (12) для функций первого класса и урав-
нения (10) с (14) для функций второго класса, видим, что в обоих случаях
одна из двух фундаментальных функций, отвечающих одному и тому же ха-
рактеристическому числу (когда это возможно), непременно принадлежит
к тем, которые обращаются в нуль при х = а. Так как линейное однородное
уравнение второго порядка не может допускать двух независимых между
собой решений, которые обращались бы одновременно в нуль при х = а, то
вторая фундаментальная функция, отвечающая тому же характеристическо-
му числу, необходимо отлична от нуля при этом значении х. Это одинаково
справедливо для функций обоих классов.
Обозначим через
X j, Х2....Х„,. ... (а)
ряд вещественных чисел (если такие числа существуют), который, вообще
говоря, может быть ограниченным или неограниченным, удовлетворяющих
одновременно уравнениям (5) (или (10)). Остальные числа полной систе-
мы характеристических чисел (за исключением чисел (а)) обозначим через
Х|, Х2.....ХА....... (fl)
которая представится, таким образом, совокупностью двух рядов чисел (а)
и (fl). Каждому числу ряда (а) будет соответствовать только одна фунда-
ментальная функция (первого или второго класса), удовлетворяющая ус-
ловиям
Ил(а) = 0, и;(а)#0. Г*(Ь)=#=0. (16)
138
Каждому числу ряда (/3) будут соответствовать лишь такие фундаменталь-
ные функции, для которых
И*(в)#=0. (17)
Обозначим через
! , Х2 , ..., X, , ... (7)
ряд вещественных корней, общих для уравнений (12) или (15) (когда та-
ковые существуют).
Так как уравнения (5) и (10) составляют соответственно лишь часть
последних уравнений, то числа ряда (7) составляют лишь часть чисел ряда
(а) и каждое из чисел (7) непременно войдет в состав ряда (а). Числам ря-
да (7), входящим в состав ряда (а), будет соответствовать та из двух фун-
даментальных функций, которая удовлетворяет условиям (16). Другая
фундаментальная функция, принадлежащая тому же числу ряда (7), не-
пременно будет заключаться в ряде функций, соответствующих числам (/3),
ибо она должна удовлетворять условию (17). Поэтому числа (7) войдут
по одному разу и в состав чисел (/3), причем каждому числу этого ряда,
так же как и каждому числу ряда (а), будет соответствовать одна и только
одна фундаментальная функция.
Если мы каким бы то ни было способом найдем все числа ряда (а) и все
числа ряда (/3), то совокупность этих чисел даст полную систему характе-
ристических чисел, а числа, одинаковые в том и другом из этих рядов (а)
и (/3), дадут все числа ряда (7), т.е. те характеристические числа, каждому
из которых соответствуют по две линейно независимые фундаментальные
функции (первого или второго класса).
Покажем, что метод Шварца - Пуанкаре дает алгоритм для последова-
тельного вычисления всех чисел рядов (а) и (0), а следовательно, и всех
характеристических чисел их полной системы, причем сравнением чисел,
получаемых таким путем в рядах (а) и (/3), отделятся сами собой и числа
(7), как равные между собой.
8. Будем теперь рассматривать отдельно фундаментальные функции пер-
вого и второго классов.
Возьмем какую-либо определенную функцию f(x) и применим к урав-
нению
И"(х) + [Хр(х) - <?(х)] V(x) + Дх) = 0 (18)
при предельных условиях первого класса
И'(й)-аИ(а)-0Дй) = О,
И'(д)-7И(а) + аИ(й) = 0 (19)
метод Шварца - Пуанкаре, изложенный в гл. V и VI.
Найдем модуль 1Г некоторого характеристического числа Хг, где г обозна-
чает целое число, по формуле
1= I Xr I = lim —7г—,
x/Wk
где Wk, напомним, суть интегралы Шварца. Определение знака Хг, когда для
13»
характеристических чисел возможны отрицательные значения, можно достиг-
нуть непосредственной подстановкой найденного числа в уравнение харак-
теристических чисел <о(Х) = 0, что, теоретически говоря, не представляет
затруднений.
Интегральный вычет, соответствующий простому полюсу Хг, мероморф-
ной функции К(х, X), определяемой условиями (18) и (19), доставит соот-
ветствующую числу Хг фундаментальную функцию Кг(х).
9. Найдя таким путем одну какую-либо фундаментальную функцию пер-
вого класса Кг(х), составим функцию fi (х), удовлетворяющую дифферен-
циальному уравнению
- q(x)ft (х) +р(х) Vr(x) = 0. (20)
Общий интеграл этого уравнения при помощи частных решений и । (х) и
и2 (х) соответствующего ему однородного уравнения представится в виде
/1 (х) - Ci и 1 (х) + С2 иг (х) + г(х),
(21)
r(x) = u,(x) f р(х)и2(х) Vr(x)dx - и2(х) f p(x)ut(x) Vr(x)dx.
a a
Пусть K*(x) - какая-либо фундаментальная функция, взятая из их пол-
ной системы и отличная от Kr(x) (X =#/•). Умножив (20) на K*(x)t/x и про-
интегрировав результат в пределах от а до Ь, получим
ь ь
J /Т(х) vk (х) dx - / q (х)/. (х) Vk (x) dx = 0, (22)
a a
ибо, в силу ортогональности фундаментальных функций,
ь
/ р(х) К*(х) Vr(x)dx = 0 при к±г.
а
Так как
ь , . I ь ь
f f”(x) Vk(x)dx = (fi(x)K*(x) —/1(х)К*(х)) + f fi(x)Vk(x)dx,
a I a a
то в силу уравнения (1) (п. 1) при всяком к
ь ь
J fi'(X) Vk (х) dx - J q (x) fl (x) Vk (x) dx +
a a
b , , lb
+ x* J p(x)ft(x)Vk(x)dx = (fl(x)Vk(x) - fl(x)V'k(x)) . (23)
a la
Отсюда при помощи (22) и условий (2) (п. 1) выводим
ь
К f p(x)fi(x)Vk(x)dx = Г*(/>)[/;(6)-
а
- afi (а) - Pf (6)] - Vk (а) [ /(а) - yft (а) + а/, (6)] (24)
— равенство, справедливое при всяком к, не равном г. Умножаем теперь
140
(20) на Kr(x) dx и интегрируем от а до Ь. Получаем
ь „ ь
f f"(x)Vr(x)dx - f ц(х)/\(x)Kr(x)dx + 1 = 0, (25)
а а
Ь
ибо f p(x)V;(x)dx = 1. Полагая в (23) к = г и принимая в расчет равенство
а
(25),находим
ь
X, / Р(х)/!(х)Гг(х)dx = 1 + Vr(b) [f\(b) -
а
- а/, (а) - fift (*)] - V,(a) [ f\ (a) - 7/, (a) + aft (6)]. (26)
10. Определим постоянные Ct и C2 выражения (21) при помощи сле-
дующих уравнений:
/'|(6)-а/1(а)-0/1(6) = О,
f\ («) - 7/i (а) + afx (b) = 1.
Определитель этой системы линейных относительно С\ и С2 уравнений ра-
вен, очевидно, со (0). Не нарушая общности задачи, можем считать, что
о>(0) =# 0. В самом деле, если бы оказалось, что при данных р(х), q(x), а. Р,
у о>(0) обращается в нуль, то при помощи сдвига шкалы характеристичес-
ких чисел (см. пп. 10 — 19 гл. VI) мы всегда можем перейти от уравнения
(18) к уравнению
К"(х)+|МР(*)-</•(*! Г(х)+/=о,
где, напомним, д = X + с, </1 (х) = </(х) +ср(х), и соответственно от уравне-
ния (20) к уравнению
/'.'(х) - <7.(х)Л (х) + д(х)Кг(х) = 0,
выбрав постоянную с так, что определитель £2 (0) системы (27) будет на-
верное отличен от нуля.
Таким образом, можем утверждать, что уравнения (27) всегда дадут оп-
ределенные и единственные значения для Ct и С>. Получим определенную
функцию J\ (х), для которой в силу (24) и (26) будем иметь
ь
X, / Р(х)Л (x)Kr(x) dx = 1 - ИЛ(«). (28)
а
Ь
К f Р(х)/|(Х)Г*(х)dx = - Vk(а), к*г. (28,)
а
11. Обозначим фундаментальные функции, соответствующие числам ря-
да (а) (п. 7), через
И2)(х), П2)(х).......иД2)(х)................................ (а.)
а фундаментальные функции, отвечающие числам ряда (3), — через
И'Чх), И'>(х)........И4’>(х), ... (0,)
Совокупность рядов (oi|) и (3,) составит, очевидно, полную систему фун^
даментальных функций первого класса.
141
Положим
Гг(а)- 1
Ф(х)=Л(х)+ ---- Мх). (29)
Лг
Приняв в расчет (28) и (281), убедимся, что функции у(х) удовлетворяют
следующим условиям:
,ь
К f p(x)v(x)Vr(x)dx = O.
а
ь (291)
х* S р(х)ч> (X)Vk (х) dx = - Vk (а) при к Ф г.
а
Последнее равенство показывает, что для любой функции (s = 1,2,
..., m), взятой из ряда (а!),
/ р(х)ф(х)КР\х)с/х = 0 (s= 1.2.3......т). (30)
а
а для любой функции ряда (fa), за исключением Уг(х), если такая принад-
лежит функциям этого ряда,
J p(x)^(x)K*(l)(x)Jx = — V^(a)*0 (*=1,2,3,...). (31)
а
Что же касается функции Кг(х), то, к какому бы из двух рядов (a-i) или
(01) она ни принадлежала, всегда
ь
f р(х) i^(x)Kr(x)t/x = 0. (32)
а
12. Применим теперь алгоритм Шварца - Пуанкаре к последовательному
вычислению характеристических чисел и соответствующих им фундамен-
тальных функций, принадлежащих данной функции
р(х)^(х), (33)
определяемой равенством (29) (см. п. 30 гл. V и пп. 10—19 гл. VI).
Принимая в расчет теоремы пп. 33 - 34 гл. V и равенства (30), (31) и
(32), убеждаемся, что ни функция Иг(х) (известная уже) и ни одна из
функций ряда (Ц|) не может принадлежать функции (33); наоборот, каж-
дая из функций ряда (0|), за исключением известной функции И,.(х), если
таковая входит в состав этого ряда, непременно принадлежит функции (33).
Поэтому алгоритм Шварца - Пуанкаре, когда за исходное уравнение
возьмем уравнение вида
Г"(х)+ №(х)-<7(х)] И(х)+р(х)^(х) = 0, (33,)
приведет, как показано в гл. V, к последовательному вычислению всех чи-
сел ряда (0), за исключением уже известного числа Хг, если оно принадле-
жит этому ряду, и не даст ни одного из чисел, входящих в состав ряда (а);
при этом последовательно определятся и все фундаментальные функции
ряда (01 ) и только эти функции *).
*) За исключением уже известной функции Гг(х), если таковая оказалась бы при-
надлежащей РЯДУ (0| ).
142
13. Составим теперь функцию f2(xl, удовлетворяющую тому же самому
дифференциальному уравнению
f2(x) -d(x)f2(x) +р(х) Кг(х) = 0, (34)
что и функция/1 (х) п. 9, но следующим предельным условиям:
Л(й)-«/2(а)-0/2(*)=1.
Л(а) -7/2(я) + а/2(й) = 0. (35)
Каковы бы ни были данные задачи р(х), q(х), а, 0 и у, всегда найдем
единственную, вполне определенную функцию f2 (х) удовлетворяющую по-
ставленным условиям, как это следует из тех же самых соображений, какие
были указаны в п. 10.
Заменив в формулах (24) и (26), справедливых для всякой функции,
удовлетворяющей уравнению вида (34), функцию (х) через /2 (х) и при-
няв во внимание условия (35), получим
ь
Xr J P(x)/2(x)Kr(x)dx= Vr(b)+ 1,
а
х* /p(x)f2(x)Vk(x)dx=Vk(b) при к* г.
а
V/b) + 1
Положив затем/3(х) =/2(х) - ------- Иг(х), получим функцию, удо-
кг
влетворяющую таким условиям:
ь
Xr f p(x)/3(x)Kr(x)Jx = 0, (36)
а
х* / Р(х)Л(х) Vk(x)dx= Vk(b) при к *г.
а
Отсюда следует на основании (16) (п. 7), что для любой функции К/2) (х)
ряда (oil), соответствующего ряду характеристических чисел ряда (а),
за исключением функции Кг(х), если бы таковая и оказалась принадлежа-
щей ряду (а|), имеет место неравенство
ь
f Р(х)/з(х)^12 (x)rfx #=0. (37)
а
14. Возьмем какое-либо число п уже известных нам функций
Г*(,)(х) (к =1,2....п),
по порядку от первой до п-й, ряда (01) и составим функцию
ф(х)= f3(x)- 2 Л*К*(1)(х). (38)
к= I
b
где Ак = f p(x)f3(x) K*u'(x)rfx. Приняв в расчет ортогональность и
143
нормальность фундаментальных функций, а также равенство (36) и (37),
из (38) выводим
J р(х)^(х)Г*(,)(х)с/х = О (Л=1,2, .... и) (39)
а
И
f р(х)ф(х)Г,(2)(х) dx ¥= 0 (39 J)
а
для любой функции К/2)(х) ряда (а!), за исключением функции Кг(х), ес-
ли таковая оказывается принадлежащей этому ряду. Для функции же .
ИДх), к какому бы из двух рядов (а,) или (^) она ни принадлежала, всегда
/ р(х)^(х)Иг(х)4/х = 0. (392)
а
15. Применим алгоритм Шварца - Пуанкаре к последовательному вы-
числению характеристических чисел и им соответствующих фундаменталь-
ных функций, принадлежащих функции
p(x)i//(x).
Приняв во внимание равенства (39), (39j) и (392) и повторив рассуж-
дения предыдущего пункта, убеждаемся, что при этом будут последователь-
но получаться лишь числа ряда (а), модуль которых меньше I Х„ I, и не по-
лучится ни одного числа, принадлежащего ряду (0) ,ни числа (уже известно-
го) Хг, к какому бы из этих двух рядов оно ни принадлежало.
Так как все сказанное справедливо при каком угодно и, то, взяв п до-
статочно большим, мы вычислим указанным способом какое угодно число
характеристических чисел ряда (а), а следовательно, и соответствующих им
фундаментальных функций ряда (at) {по порядку начиная с первой}, за ис-
ключением числа Хг и функции Vs (х),уже известных.
16. При помощи описанных выше операций мы найдем сначала некото-
рое число Хг и соответствующую ему функцию Кг(х), затем последователь-
но все числа Xi и им соответствующие функции К/’Чх) и, наконец, все
числа X* и соответствующие функции И/5)(х) (за исключением уже извест-
ных числа Хг и функции Кг(х)).
Совокупность всех найденных таким путем характеристических чисел
дает полную систему этих чисел, а совокупность всех отвечающих этим чис-
лам функций - полную систему фундаментальных функций.
Отметим следующую особенность изложенного приема: он позволяет
отдельно вычислить все числа, которым соответствуют функции, обращаю-
щиеся в нуль при х = а, и отдельно все те числа, соответствующие функции
которых не равны нулю при х = а.
Когда таким путем вычислены эти две группы характеристических чисел,
из которых составляется ий полная система, то сейчас же выделяются и все
те характеристические числа Xi" (s = 1,2./) (ряд (7) п. 7), каждому из
которых отвечают по две различные фундаментальные функции; это суть те
числа, которые оказываются одинаковыми и в той и в другой из получен-
ных указанным способом двух групп, как уже сказано в конце п. 7.
144
Все нужные для такого вычисления действия сводятся к отысканию двух
независимых частных решений ut(x) и и2(х) линейного однородного урав-
нения второго порядка
r>H(W)=o*),
подчиненных условиям
U|(a)=l. u'i(a) = 0, и2(д) = О, и'2(а)=1,
и к ряду квадратур.
17. Аналогичный прием с соответствующими изменениями применим и к
вычислению полной системы характеристических чисел и фундаментальных
функций второго класса. Разобьем, подобно предыдущему, все ха-
рактеристические числа полной системы на две группы чисел (а) и
(0) (см. п. 7).
В рассматриваемом случае числа первой группы (а)представляют собой
вещественные корни, общие для уравнений (10) (п. 3). Каждому числу
этой группы соответствует фундаментальная функция второго класса, удов-
летворяющая условиям
Ук(а)=Ук(Ь) = 0, У{(а)*0-, (40)
каждому числу группы (0) отвечает фундаментальная функция, для которой
Мл)*0. (41)
Совокупность рядов (а) и (0) составит полную систему характеристи-
ческих чисел для функций второго класса. Тс характеристические числа Х"',
каждому из которых отвечают по две фундаментальные функции, войдут в
состав как ряда (а), так и ряда (0).
18. Подразумевая под/(х) какую-либо функцию, применим к уравне-
нию (18) (п. 8) метод Шварца - Пуанкаре при предельных условиях вида
И(й) = рК(д), К'(й)=-у К'(д) + тИ(д). (42)
Найдем некоторое определенное характеристическое число и ему соответ-
ствующую фундаментальную функцию, которые обозначим, как и в п. 8
через Хг и Уг(х).
Составляем затем функцию Л(х) п. 9, причем для всякой функ-
ции Ук(х) второго класса, взятой произвольно из их полной системы,
но не равной Уг(х), получим равенства (22) и (23) (п. 9), из которых при
помощи условий (42) выводим для рассматриваемого Случая:
ь
S p(x)fl(x')Vk(x)dx =
и
, , Vk(a)
= Vk(a) [pf(6) - т/. (2>) (а)]---— [ /, (0) - р/, (а)|. (43)
Р
*) Или уравнения
И"(х) - |<?(х) + ср(х)|Их) = 0,
где с есть соответствующим образом выбранная положительная постоянная.
145
Определим постоянные С, и С2 в выражении /\(х) (21) при помощи
условий
У'|(я)-т/|(в)= -J- .
Р (43,)
/1(Л)-рГ|(а) = 0.
Рассуждая совершенно так же, как и для случая фундаментальных функций
первого класса, можем считать определитель этих уравнений отличным от
нуля. Получим вполне определенную функцию/, (х), удовлетворяющую в
силу (43) условиям
X* 7 P(x)ft (х) Vk(x) dx = Vi'(a) (44)
а
при всяком к, не равном г .
Для случая к - г равенства (23), (25) и (43,) дают
X, f Р(х) ft (х) ГДх) dx = Уг(а) + 1. (45)
а
19. Придерживаясь тех же обозначений, что и в п. 11 разобьем все фунда-
ментальные функции на две группы (а,) и (0,), из которых первые удов-
летворяют условиям (40), вторые - условиям (41), и введем функцию
ГДа) + 1
<p(x) = f\(x)--------- ИДх).
Л,.
К какому бы из двух рядов (а,) или (3,) ни принадлежала функция
Иг(х), всегда будем иметь в силу (45),
ь
jf p(x)^(x)Kr(x)dx = 0. (46)
а
Для всякой другой функции И(Л2) (s=l,2, .... от) ряда (а,), удовлетво-
ряющий условиям (40), получим, приняв в расчет (44),
/р(х)Дх)Г5,2)(х)</х = 0, (47)
а
а для всякой функции KJ1 * (х) ряда (0,), отличной от КДх),, будем иметь,
в силу (44) и (41),
J p(x)^(x)rA(l)(x)dx^0. (47.)
а
Если применим теперь алгоритм Шварца - Пуанкаре к уравнению (33,)
при предельных условиях (42), то получим последовательно все числа ряда
(0) и им соответствующие функции ряда (0,), за исключением уже извест-
ной функции Уг(х), если бы она оказалась в ряде (0,), и только эти числа и
функции.
Ни одно из чисел ряда (а), а следовательно, и ни одна из функций ряда
(а,), при этом вычислении появиться не может в силу условий (47). Это
вытекает из тех же самых соображений, которые указаны в п. 12.
146
20. Составим теперь функцию /2 (х), удовлетворяющую уравнению (34)
(п. 13) и предельным условиям
Л(й)- - Л(а)-т/2(а)= - .
Р Р
f2(b)-pf2(a)=l, (48)
что согласно с предыдущим всегда возможно. Заменив в (43) Л(х) через
/2 (х) и приняв в расчет (48), получим
й И/(а)
X* f P(x)f2 (х) Vk (х) dx = -
a p
для всякой фундаментальной функции второго класса, не равной Vr (х).
Для этой последней тем же путем, что и в п. 18 получим следующее ра-
венство:
ь Иг'(д)
Хг f Р(х)/2(х)И,(х) dx = 1 - .
о р
Если положим затем
Р - У'Аа)
f3(x)=h(x)~ - ч И,(х),
рХг
то получим функцию, удовлетворяющую условиям
ь
х, J р(х)/з(х)Мх)с/х = 0, (49)
а
b Vk(a)
К f P(x)f3(x)Vk(x)dx =-------при k*r. (49,)
а р
21. Возьмем теперь какое угодно число и, по порядку начиная с первой,
функций Ир^х) из ряда (/3,) и составим функцию
Ф(х)=/з(х)- 2 Akv^\x},
к~ 1
А к = S Р(х) /з (х) 1 > (х) dx.
а
Очевидно,
ь Zu
f р(х)ф(х)Ир)(х)с?х = 0 (к = 1,2,3...и)
а
и, на основании (40) и (491),
ь [К2)(д)]'
f р(х) ф(х)И<2>(х)dx = - - /— * 0
а \кр
для любой функции ряда (oti). Кроме того, в силу (49),
/ p(x)ф(x)Vr(x)dx = 0.
а
147
Три последние формулы показывают, что если мы применим алгоритм
Шварца - Пуанкаре к последовательному вычислению характеристических
чисел и им соответствующих фундаментальных функций второго класса,
принадлежащих функции р(х)ф(х), то получим все характеристические
числа ряда (а), модуль которых меньше I Х„ I, не пропустив ни одного из
них, и все соответствующие функции ряда (at), за исключением уже из-
вестной функции Уг(х), если бы она оказалась в ряде (at).
Увеличивая произвольно число п, мы вычислим таким путем последова-
тельно какое угодно число характеристических чисел ряда (а), не пропус-
тив ни одной из них (кроме уже известной функции Кг(х)), причем, ни
одно из чисел ряда (fi), а следовательно и ни одна из функций ряда (0t),
появиться не может.
Совокупность полученных характеристических чисел и фундаментальных
функций при помощи указанных операций, из которых каждая дает одно
число и одну ему соответствующую функцию, доставит полные системы и
тех и других.
Числа, одинаковые в рядах (а) и (fi), будут те, каждому из которых со-
ответствуют по две различные фундаментальные функции', эти последние
будут найдены в соответствующих местах вычисляемых указанным спосо-
бом рядов функций (а]) и (00.
Все замечания, сделанные в п. 16 относятся к рассматриваемому случаю
фундаментальных функций второго класса.
22. Задача о вычислении полной системы характеристических чисел и
фундаментальных функций значительно упрощается в различных частных
случаях. Так, если в условиях первого класса (19) а = 0, то, как указано
выше (п. 2), ни одна из фундаментальных функций не может обратиться в
нуль при х = а и каждому из характеристических чисел соответствует одна
и только одна фундаментальная функция (п. 5). В этом случае равенств
(290 п- 11 заключаем, что любая функция Kfc(x) из их полной системы
удовлетворяет условию
f p(x)*p(x)Vk(dx)*0,
а
за исключением функции Уг(х), которая удовлетворяет первому из ра-
венств (290-
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае все функции полной систе-
мы, за исключением уже известной функции Уг(х), принадлежат одной и
той же функции
Р(х)ч>(х), (33)
где ^(х) есть функция, определяемая уравнениями (29), (20) и (27), а все
характеристические числа полной системы, за исключением, быть может,
Хг, принадлежат ряду (fi).
Поэтому, зная число Хг и ему соответствующую функцию Уг(х), сюит
применить алгоритм Шварца - Пуанкаре один раз к последовательному вы-
числению характеристических чисел и фундаментальных функций, принад-
лежащих функции (33), чтобы найти систему тех и других.
23. Столь же просто решается задача и для случая фундаментальных
функций трех предельных классов (п. 7 гл. VI).
148
Пусть, например, К*(х) (к = 1, 2, 3, ...) суть функции второго предель-
ного класса, определяемые условиями (13) и (15) (п. 7 гл. VI). В этом
случае равенства (22), (23) и (25), справедливые для всяких фундамен-
тальных функций, дают
ь
*к f P(x)fi(a)Vk(x)dx =
а
= -Ук (а) [ /'1 (а) - 7/1 (а)] - /1 (*) (*), к # г,
и
ь
А, / P{x)fv(x)Vr(x)dx =
а
= ~Vr{a) [f\(a)-iA(a)] -/,(*) ^(6)+ 1,
где, напомним, Л (х) есть какое-либо решение уравнения (20). Подчинив
это решение условиям
/'1(a)-7/100 = 0, Л (6) =1, (50)
что на основании предыдущего всегда возможно (пп. 21-25 гл. VI), полу-
чим для любой фундаментальной функции рассматриваемого класса, не
равной Иг(х),
ь
К f Р(х)А(х) Ук(х)dx = - Ук(Ь),
а
т.е.
ь
S Р(х)/1(х)Кк(х)Лг¥=0 при к±г, (51)
а
ибо Ук(Ь) не может обращаться в нуль.
Для функции же Кг(х) будем иметь
ь 1 - У'(b)
f р(х)А (X) r,(x) dx----. (511)
а лг
Составим теперь функцию
К;(*) - 1
<p(x)=/i(x)+—--------- Иг(х). (52)
Приняв в расчет (51) и (51]), получаем
ь ь
J p(x)<p(x)yk(x)dx ¥=0 при Л¥=г; jT р(х)<^(х) Vr(x)dx = 0.
а а
Эти равенства показывают, что все функции Ук(х) рассматриваемого
класса, за исключением Уг(х), принадлежат функции р(х)<р(х), где >р (х)
определяется формулой (52), а Л(х) есть функция, вполне определяемая
уравнениями (20) и (50).
Применив алгоритм Шварца - Пуанкаре к последовательному вычисле-
нию фундаментальных функций второго предельного класса и их характе-
ристических чисел, принадлежащих функции р(х)<р(х), найдем полную
систему этих чисел и функций (включая сюда известную функцию Кг(х)).
149
24. Совершенно так же докажем, что все фундаментальные функции пер-
вого предельного класса (см. уравнения (13) и (14) п. 7 гл. VI), не считая
одной из них Иг(х), принимаемой за известную, принадлежат функции
( V'r(b) -1 \
р(х) <р(х) = I fl (х) +------- иг(х)) р(х), (53)
\ лг /
р(х)^(х) = р(х)| fi(x)
УГ(Х)
где fi (х) есть решение уравнения (20), вполне определяемое предельными
условиями
/((д) = 0, /,(*)=!*),
а все фундаментальные функции третьего класса (см. уравнения (13) и (16)
п. 7 гл. VI) принадлежат функции
И» + 1
Хг
где fi (х) есть функция, вполне определяемая уравнением (20) и условия-
ми (531} fi(b) — Pfi(b) = O, fi(a) = 1»»).
Поэтому алгоритм Шварца - Пуанкаре, примененный к вычислению ха-
рактеристических чисел и им соответствующих фундаментальных функций,
принадлежащих функции (53), даст полную систему этих чисел и функций
первого, а тот же алгоритм, примененный к функции (53(), определит
полную систему чисел и функций второго предельного класса.
ГЛАВА VIII
Значение условий
ортогональности в общей теории фундаментальных функций.
Неприложимость этой теории к общему случаю,
когда условия ортогональности не соблюдаются.
Различные частные примеры
1. В конце гл. IV было указано, что предельные условия, которым долж-
ны подчиняться искомые фундаментальные функции К&(х), в самом об-
щем случае распадаются на два класса:
1° y'k(b^aVk(a^pVk(b),
У^) = 7Ук(а) + ЬУк(Ь). 0)
*) Таким же свойством обладает и функция
¥>(*)= Л(х)---VrM,
где Л (х) есть решение уравнения (20), определяемое условиями f, (b) = 0. ft (а) = 1.
** ) Функцию ^(х) можно заменить также следующей:
, , 1 + Vr(b)
>Р(Х) = л (X)------- Гг(х),
гдеД(х) есть функция, определяемая тем же уравнением (20) и условиями /',(/>) -
1. f,(o) = 0.
150
2°. Г*(6) = рИ*(а),
И*'(6) = о^(а)+тГНН °
Во всех последующих исследованиях, начиная с гл. V, мы ограничились
предположением, что для условий первого класса
а + 5=0, (3)
а для условий второго класса
pa - 1 = 0. (4)
При соблюдении этих равенств фундаментальные функции обоих классов
оказываются ортогональными по отношению к характеристической функ-
ции р(х), входящей в основное дифференциальное уравнение
И*(х)+ 1Х*Р(х)-<7(х)1 И*(х) = 0, (5)
которому удовлетворяют все фундаментальные функции Vk (х).
Равенства (3) и (4), вытекающие из условия (1) п. I гл. V, мы будем
также называть условиями ортогональности. Эти условия или равносильное
им равенство
ь
f р(х) Vm (х) V„ (х) dx = 0 при т^п
а
играют существенную роль при выводе всех теорем предыдущих глав.
Спрашивается, возможно ли распространить предыдущую теорию на са-
мый общий случай, когда в условиях первого класса постоянная 6 не равна
—а, а произведение ро в условиях второго класса не равно единице?
2. Само собой разумеется, что соображения пп. 4 — 7 предыдущей главы
остаются справедливыми и для общего случая. Интеграл уравнения (5),
удовлетворяющий условиям (1) или (2), всегда представится в виде
W = СР w,(х, X*) + cP w2(x, X*), (6)
где С/ и СР - постоянные, определяемые для функций первого класса
уравнениями
cP Xk)-0wi(b, Х*)-а] +Clk) X*) - fSw2(b, X*)] =0,
- CP 17 + 6w-j(6,X*)J + CP [1 -5w2(6,X*)J =0. (7)
а для функций второго класса — уравнениями
СР k.^.XJ-p] + сРи>2(/>,Х*) = 0,
СР [»v',(Z>.X*)-t] + CP [h4(6,X*)-o] =0. ( }
которые при соблюдении условий (3) и (4) совпадают соответственно с
уравнениями (11) п. 3 и (20) п. 8 гл. V.
Останавливаясь на предположении, что не все коэффициенты при с\к^ и
СР в уравнениях (7) и (8) равны нулю, приходим к заключению, что ис-
комые функции возможны лишь для таких значений параметра X, которые
служат корнями уравнения
<о(Х) = h’i (b, X) - 0и»| (b, X) - (а - 5) + yw2(b, X) + (а5 - 07) w2(b, X) = 0
(9)
151
в случае предельных условий первого класса и корнями уравнения
w(X) = 1 + ра — аи’1(Л, X) — pw2 (b, X) + rw2(b, X) = 0 (10)
в случае предельных условий второго класса.
Если ш(Х) не есть тождественный нуль при всяком X, то уравнения (9)
и (10) имеют бесчисленное множество корней, каждому из которых будет
соответствовать функция (х), изображаемая равенством (6), каковы бы
ни были постоянные а, 3,7,6 или р, а и т.
Мы показали, что при соблюдении условий ортогональности (3) и (4)
w(X) не может равняться нулю тождественно и что уравнения (9) и (10)
имеют бесчисленное множество вещественных корней, которым соответст-
вует в каждом случае определенная совокупность вещественных функ-
ций Kfc(x).
Покажем, что эти существенные для всей теории положения необходимо
имеющие место при соблюдении условий ортогональности, могут ока-
заться несправедливыми для общего случая, кдгда условия (3) и (4) не
соблюдаются.
3. Для выяснения дела достаточно будет рассмотреть несколько простей-
ших частных примеров, не входя в соображения общего характера.
Применим только что указанный в предыдущем пункте прием к опре-
делению фундаментальных функций, удовлетворяющих уравнению
И"(х) + Х2 И(х) = 0 (11)
и предельным условиям
К(я)--К(0) = 0, Г'(я) + ,Г'(0) = 0. (12)
Мы имеем здесь частный случай уравнений (5) и (2), когда
р(х)=1, <?(х) = 0. в = 0, Ь = я,
р = 1, а = —1, т = 0, ’
причем ра - 1 = — 2, т.е. условие ортогональности (4) не соблюдается.
В данном случае
sin Хх ....
и’I (х, X) = cos Хх, w2 (х, X) = —-— . ’14'
Л
Подставив (13) и (14) в выражение ш(Х) (10), убеждаемся что в данном
случае ы(Х) есть тождественный нуль. Уравнения (8) приводятся к одно-
. . 1 —cos ll\
му и дают С} ' ----------- С} '.после чего равенство (6) доставит
X sin яХ
1 - cos яХ Хя sin Хх
К(х) = cos Хх +--------- sin Хх = cos Хх + tg —— —-— .
X sin яХ 2 X
т.е. определенную (не равную нулю) функцию при всяком X, не равном 1,
3, 5, ..., удовлетворяющую уравнению (11) и условиям (12). За такую
функцию можем принять также
К(х) = cos X (х - я/2)„
которая будет удовлетворять всем поставленным требованиям при всяком X.
152
4. Для другого примера будем искать интеграл уравнения (11) при сле-
дующих предельных условиях:
Г(я) = О. И(я)-И(0) = 0. (15)
Опять имеем случай предельных условий второго класса, когда р = 0, о = О,
г = 1, причем опять не соблюдается условие (4).
Уравнение (10) принимает вид (при помощи (14))
sin Ля
w(X) = 1 + ----- =0.
X
Это уравнение не имеет ни одного вещественного корня.
5. В гл. V было доказано, что все характеристические числа служат прос-
тыми вещественными полюсами мероморфной относительно X функции
К(х, X), удовлетворяющей уравнению
V "(х, X) + [Хр(х) - </(х)] К(х) + / = 0
и предельным условиям вида (1) или (2), а интегральные вычеты этих
полюсов пропорциональны соответствующим фундаментальным функциям.
Это основное для всей теории предложение безусловно справедливо лишь
при соблюдении условий ортогональности и, вообще говоря, не будет иметь
места, коль скоро эти последние условия не выполняются.
Так, например, будем искать интеграл уравнения
V "(х, X) + X2 V(x, X) +/(х) = 0. (16)
подчиненный условиям (12). Общий интеграл уравнения (16) имеет вид
sin Хх
К(х. X) = Ci cos Хх + С2 --- + r(x, X), (17)
X
где
cos Хх х sin Хх х
г(х, Х)= -------- f f(x) sin Хх dx - -------- f /(x) cos Xx dx. (17i)
X о X о
Подставив (17) и (17i) в условия (12), получим следующие уравнения,
которым должны удовлетворять постоянные Ct и С2:
sin Хя cos Хя sin Хя
Ci (cos Хя — 1) + Cj -- +------- В - ---- А
XX X
- Ci X sin Хя + C2(cos Хя + 1) — sin Хя/? - cos ХяЛ = 0,
где
я я
А = f f(x) cos Хх dx, В = f f(x) sin Xx dx.
о о
Уравнения (18), вообще говоря, несовместимы. Если же функция Дх)
удовлетворяет условию
0(Х) = sin ХяД + (cos Хя — 1) А = 0, (20)
то одно из них будет следствием другого.
(18)
(19)
153
Первая часть равенства (20) есть, вообще говоря, целая трансцендентная
функция от X, вид которой зависит от заданной функции/(х), причем
может случиться, что для некоторых из этих функций 0(A) обратится в
тождественный нуль, для других 0(A) будет отлично от нуля.
В первом случае одно из уравнений (18) доставит выражение одной из пос-
тоянных Ct и С2 через другую, которая останется,вообще говоря, произволь-
ной. Равенство(17) доставит два различных решения поставленной задачи.
Во втором случае не может существовать функции К(х, X) при неопре-
деленном X, удовлетворяющей уравнению (16) и предельным условиям
(12). Такие функции оказываются при этом возможными лишь для отдель-
ных значений X, которые являются корнями целой трансцендентной функ-
ции 0(A).
6. Положим для примера Дх) = 1. Имеем
sin Хя 1 — cos Хя
В данном случае, очевидно, 0(A) = 0 тождественно.
Первое из уравнений (18) дает
ctg (Хя/2) 1
С j — С-2 ------------* *
X X2
вследствие чего получаем, по формуле (17),
sin Ах + ctg (Хя/2) cos Ах 1
И(х. X) = С2 ---------. (21)
Л Л
Одним из решений задачи будет функция И(х, X) = - 1 /X2. Это есть меро-
морфная функция от X, имеющая единственный полюс X = 0 и притом вто-
рой кратности. Кроме этого решения существует и другое, независимое от
него и получающееся из (21) при С2, не равном нулю. Один из полюсов
этого другого решения также равен нулю, и кратность его также равна
двум. Подобные же результаты получим для функций Дх) = cosx, sin х и т.п.
7. Положим затем Дх) = х. В этом случае
я я sin Хя cos Хя - 1
А = f х cos Хх dx = -------- +----------- ,
о X X2
я я cos Хя sin Хя
В = fх sin Хх dx = - ------- + —-—
о X X2
и, в силу (20),
4 Хя / Хя Хя Хя \
0(A) = —- sin — I sin — - — cos — I =0.
X2 2 \ 2 2 2 J
Получается уравнение, имеющее бесчисленное множество вещественных
корней
Х* = 2Х (Л = 0,1,2,3,...)
и бесчисленное множество комплексных корней. Только для этих особен-
154
ных значений X уравнение (16) и допускает в рассматриваемом случае ре-
шения, удовлетворяющие условиям (12), причем получается бесчисленное
множество вещественных и комплексных решений.
8. Рассмотрим еще следующую задачу: найти интеграл уравнения
И"(х) + X2 И(х) = 0 (22)
при предельных условиях
Г'(я)- И(0) = 0, Г'(0)-И(я) = 0. (23)
Мы имеем здесь частный случай предельных условий первого класса (1),
причем
д = 0, Ь = я, «=1, 0=7 = 0, 5=1.
а + 5 = 2#=0,
т.е. условие ортогональности не соблюдается.
Равенство (9) дает
(1 - X2) sin Хя
<о(Х) =-------------- =0
X
— уравнение, имеющее.один корень X't = 1 второй кратности и бесчисленное
множество простых корней X* = к *) (к = 2, 3,...).
Получается бесчисленное множество положительных чисел
Хк = к2 (к = 1.2,3, . ..).
каждому из которых соответствует определенная функция Ик (х), удовлет-
воряющая условиям
rk(x) + XkKk(x) = 0,
^(я) - ИЛ(0) = 0, Ki(0)- Гк(я) = 0.
Функции Vk (х) в данном случае, конечно, неортогональны. Числу Xk = 1
отвечает функция
И (х) = С\ (sin х - cos х).
где Сх — произвольная постоянная.
Несмотря на то, что условия ортогональности не соблюдаются, оконча-
тельный результат вполне аналогичен с тем, который был получен и в об-
щей теории ортогональных фундаментальных функций.
Однако общая теория Шварца — Пуанкаре к рассматриваемому случаю,
как сейчас увидим, непосредственно не прилагается.
9. Когда условия ортогональности соблюдаются, то все числа Хк должны
быть простыми полюсами мероморфной функции К(х, X) удовлетворяю-
щей уравнению
V ”(х, X) + X2 Г(х, X) + /(х) = 0,
общий интеграл которого определяется формулой (17).
(24)
*) Корни Х'к - ±к (кг 1, 2, :. J здесь не различаются, поскольку в дальнейшем
значение имеют лишь числа (А*-)2. (Прим, ред.)
155
Подставив выражение (17) в уравнения (23), получим
- Ci (1 + X sin Ал) + С2 cos Хл = В sin Хл + A cos Хл,
- Ci X cos Хл + С2(Х — sin Хл) = В cos Хл - A sin Хл.
Отсюда
(X sin Хл - 1) В + А X cos Хл
С\ = _--------------- -
(1 — X2) sin Хл
- В cos Хл + А (X + sin Хл)
С2 = ~
(1 - X2) sin Хл
Искомая функция У(х, X) представится в виде
ИХ cos Хл +В(Х sin Хл - 1)
У(х, X) = cos Хх---------------------- +
(1 - X2) sin Хл
А (X + sin Хл) - В cos Хл
+ sin Хх---------------------+ г(х).
Х(1 — X2) sin Хл
Это есть мероморфная функция от X; все ее полюсы простые, за исключе-
нием полюса *) X] = 1, который оказывается полюсом второй кратности.
Итак, У(х, X), как и в теории ортогональных функций, представляется в
виде К(х, X) = IV(х, Х)/со(Х), ноХ = Х| = 1 есть корень второй кратности
функции со(Х), причем И'(х, Xi)= И'(х, 1) в нуль не обращается, ибо, как
легко убедиться,
W(x, 1) = (В + А) (sin х — cos х),
т.е. обращается в функцию И.(х) (24), соответствующую числу Х( = 1, ко-
торое является, следовательно полюсом второй кратности функции К(х, X).
10. Определим, наконец, функцию У(х, X), удовлетворяющую тому же
уравнению (25) при предельных условиях
К(л) = 0, Г'(л)-Г(0) = 0
(равенство (15) п. 4). Получим
sin Хх sin Ах cos Хл + X cos Хх W(x, X)
У(х, Х) = Л------- + г(х)-В ------——------------ = - - ,
X Xw(X) w(X)
где, как легко убедиться,
я я
А = f /(х) cos Хх dx, В = f /(х) sin Хх dx,
° 0
cos Хх v sin Хх х
r(x)=------ j/(х) sin Хх dx - —-— f /(x)cosAxdx,
v X о Ao
sin Хл
w(X) -------— + i.
A
*) См. сноску на предыдущей странице (Прим. редА
156
Функция К(х, X) есть мероморфная функция X, но не имеет ни одного
вещественного полюса. При всяком же комплексном полюсе X* *) числи-
тель W(x, X) в выражении К(х, X) обращается в комплексную же функцию
Vk (*) = cos X* it sin Х*х + Х* cos X*x,
которая, очевидно, удовлетворяет уравнению
KZ(x)+Xlrk(x)-0
и условиям К*(я) = 0, К* (я) - И*(0) = 0.
Получается как раз тот случай, который невозможен при соблюдении
условий ортогональности.
11. Теория интегрирования дифференциальных уравнений при соблюде-
нии известного рода условий на пределах, играющая в настоящее время
видную роль в анализе и особенно в теории функций вещественной пере-
менной, развилась на почве попыток применить математический анализ к
решению простейших задач физики, и, прежде всего, задачи о колебании
упругой струны (Эйлер, Бернулли, Лагранж).
Последующие авторы (Фурье, Штурм, Лиувилль, Ляме и др.), постепенно
переходя от простейших задач к более сложным, но руководствуясь постоян-
но при постановке этих задач соображениями физического характера, по-
ложили начала (Пуанкаре) той теории, которая развита выше в обобщен-
ном и усовершенствованном виде.
Именно благодаря тому, что во всех вопросах физического характера на
первый план по чисто физическим соображениям выдвигается необходи-
мость удовлетворить известным по наблюдению условиям, которые имеют
место на границах той среды, в которой происходит изучаемое физическое
явление, и была создана упомянутая выше задача об интегрировании диф-
ференциальных уравнений.
С другой стороны, именно благодаря тому, что во всех задачах физики
предельные условия, определяющие задачу, обладают некоторыми особен-
ностями и, в частности, удовлетворяют условиям ортогональности, и уда-
лось подметить те общие начала, которые лежат в основе этих вопросов,
и развить их в общую теорию, одинаково важную и для чистой математики,
и для физики.
Предыдущие немногочисленные и простейшие примеры достаточно ясно
показывают, с каким разнообразием случаев и трудностями пришлось бы
столкнуться первоначальным исследователям, если бы их внимание, всегда
направляемое соображениями чисто физического характера, не сосредото-
чилось вследствие этого как раз на тех задачах, где некоторые упрощающие
вопрос условия и, в частности, условия ортогональности оказались сами со-
бой выполненными.
Из этих же примеров явствует, что те незначительные ограничения, кото-
рые мы наложили с самого начала на постоянные а, 0, у и б или р, с и т
(равенства (3) и (4)), не носят формального характера, лишь упрощающе-
го изложение, а лежат в самой сущности теории, общие заключения которой
перестают быть справедливыми при устранении этих ограничений.
*) То есть для соответствующего корня функции о>(А).
157
ГЛАВА IX
Задача о разложении произвольных функций
в ряды по фундаментальным функциям первого
и второго классов. Ряды, составленные из этих функций
по закону Фурье, и их основное свойство.
Один частный вид функции f(x), разлагающейся
в равномерно сходящийся ряд по фундаментальным функциям.
Вытекающая отсюда иа основании общих теорем главы II
абсолютная замкнутость всякой системы фундаментальных функций.
Общая теорема о разложимости всякой функции в ряд типа Фурье
по каким угодно функциям,
образующим ортогональную и абсолютно замкнутую систему,
когда квадратичная погрешность от производного ряда
ие превосходит некоторого данного числа.
Применение этой теоремы к случаю фундаментальных функций.
Общая теорема о разложении всякой функции,
удовлетворяющей условию Коши,
в равномерно сходящиеся ряды по фундаментальным функциям
1. Пусть И*(х) (к = 1,2,3, ...) есть полная система каких-либо фунда-
ментальных функций (первого, второго или трех предельных классов),
ортогональная и нормальная. Предположим, что некоторая функция f(x)
разлагается в бесконечный ряд по функциям К*(х), т.е.
/(*) = S Ак И*(х), (1)
к = I
где Л* суть некоторые постоянные.
Предположим, что ряд правой части этого равенства сходится равномер-
но. Умножая (1) на р(х) Vk(x)dx и интегрируя результат в пределах от а
до Ь, получим
Ак= f p(x)f(x)Vk(x)dx (*=1,2,3,...). (2)
а
Таким образом, если возможно разложение какой-либо функции )\х) в
равномерно сходящийся ряд вида (1), то постоянные А к (коэффициенты
разложения) должны иметь только что указанный вид.
Всякий ряд вида (1), коэффициенты которого определяются равенства-
ми (2), мы будем называть рядом, составленным из фундаментальных
функций по закону Фурье, или просто рядом типа Фурье, а коэффициенты
Ак (2) - коэффициентами Фурье.
2. Первая из задач, задача (А), поставленных в п. 15 гл. IV, разрешена во
всей полноте предыдущими исследованиями. Нам предстоит теперь перейти
к решению второй из указанных там задач, задачи (В), о разложении произ-
вольных функций в ряды типа Фурье по фундаментальным функциям. При
этом мы будем рассматривать преимущественно разложения равномерно
сходящиеся, как имеющие особое значение по своим приложениям в мате-
матической физике.
158
Итак, предположим, что ряд Е Л*И*(х) сходится равномерно в про-
ле = ।
межутке [<?,/>], так что сумма его представляет некоторую непрерывную
функцию от х в этом промежутке. Предположим, что функция /(х) непре-
рывна в промежутке |а, 6], и положим
/(х)= Ё Ак И*(х) + р„(х), (3)
к = 1
где л - какое-либо целое число. При сделанных допущениях функция р„(х)
остается непрерывной при всяком п и при беспредельном возрастании п
стремится к некоторому определенному пределу который обозначим че-
рез R (х).
Можем писать
/(х)= Е Л*Р\(х) + Я(х). (4)
к= I
Из этого равенства сейчас же следует, что непрерывная функция Л(х) удов-
летворяет следующему условию:
f р(х)Л(х) KA.(x)rfx =0 (5)
а
при всяком целом числе к.
3. Применим метод Шварца - Пуанкаре к определению функции И(х, X),
удовлетворяющей уравнению
К”(х. X)+ [Хр(х) - <1 (х)] И(х, X) +р(х)Л(х) = О
и предельным условиям Л (И) = 0, £| (И) = 0 того самого вида, которым
удовлетворяют и рассматриваемые нами фундаментальные функции К*(х).
Если мы примем в расчет равенства (5) и теорему п. 36 гл. V, то придем к
заключению, что искомая функция И(х, X) должна оставаться голоморф-
ной внутри круга любого радиуса l„ _ । = I Х„_ 11, каково бы ни было чис-
ло п, а так как числа 1к возрастают беспредельно с возрастанием значка к
(см. теорему п. 39 гл. V), то К(х, X) должна быть голоморфной во всей
плоскости переменного X.
Придерживаясь обозначений гл. V, будем подразумевать под Wk интег-
ралы Шварца, соответствующие функции p(x)R(x). На основании теоремы
п. 23 гл-V радиус р голоморфности функции К(х, X) точно равен
л = hm —--- ———
Так как интегралы Шварца всегда удовлетворяют неравенствам (43)
п. 14 гл. V, то на основании этих неравенств
р < \ЛЙС7 / (6)
где, напомним,
= f P(x)R2 (х) dx, Wa= f p(x) (x) dx,
a a
159
a u0(x) есть функция, удовлетворяющая уравнению
Uo(х) - q(х) и0(•*) + Р(х) R (х) = 0 (7)
и предельным условиям
L(uo) = 0, Li(uo) = 0.
Так как по предыдущему р должно быть больше любого положитель-
ного числа А, сколь бы велико оно ни было, то в силу (6) должно быть
у/ / хЛЖГ> А. т.е.
f p(x)R2(x)dx
Wo < --------------- < е,
А
где е есть наперед заданное положительное число, ибо числитель правой
части этого неравенства есть конечное положительное число либо нуль.
Это неравенство показывает, что
ь
S р(х) и§(х) dx = О,
а
а так как функция р(х) непрерывна и положительна *), а и0(*) есть функ-
ция необходимо непрерывная, то и0(х) = О тождественно. Поэтому, в силу
(7), R (х) = 0, т.е., на основании (4),
/(х)= S АкУк(х).
к= 1
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Ряд типа Фурье
оо Ь
S AkVk(x), Ак = f p(x)f(x)yk(x)dx, (8)
к= 1 а
представляет разложение непрерывной функции/(х) по фундаменталь-
ным функциям Vk (х), к какому бы классу эти функции ни принадлежали,
всякий раз, когда он сходится равномерно в данном промежутке [а, £> ].
4. Будем теперь подразумевать под /'(х) функцию, имеющую в проме-
жутке [а, Л] производные двух первых порядков и удовлетворяющую тем
же предельным условиям
L(f) = 0, Li(f) = 0. (9)
что и фундаментальные функции Vk (х). Приняв в расчет дифференциаль-
ные уравнения, которым удовлетворяют фундаментальные функции КЛ(х),
получаем
ь 1 ь
Лк= f p(x)f(x)Vk(x) dx=- — f Дх) (</(х) К*(х) - И*(х)) dx,
а Лк а
*) Большая часть установленных ниже результатов относится к случаю положитель-
ных р(х). (Прим, ред.)
160
откуда интегрированием по частям выводим
1г , . -]Ь 1 ь
Ак = — — I Г(х)К*'(х)- Дх)К*(х) + — f p(x)0(x)Kk(x)dx,
Лк L -la лк а
где
*
а
(10)
л, - q(x)f(x)-f"(x)
6(х)=--------—------- .
Р(х)
Так как f(x) удовлетворяет условиям (9), то |_/(х)И/(х)
= 0 и, следовательно, Ак=Вк!'Кк, где положено
ь
Вк= f p(x)0(x)Vk(x)dx.
а
Ряд (8) представится в виде
~ . ч ” ВкУк(х)
S AkVk(x)~ S —------------ .
к=1 к= 1 лк
5. Напишем уравнение фундаментальных функций так:
Vk(x)-q(x)Vk(x) + \kp(x) К*(х) = 0.
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (29) п. 11 гл. V, только
функция р(х)vk_| (х) заменена здесь функцией ХАр(х)КА(х). Кроме того,
функция Ук (х) удовлетворяет предельным условиям
Л(Г*) = 0, £,(К*) = 0
того же самого вида, что и функция vk (х) только что упомянутого п. 11
гл. V (см. равенство (29,) п. 11 гл. V). Поэтому, заменив в равенстве (37)
п. 12 гл. V и*_,(х) через \kVk(x), можем писать, сохраняя обозначения
этого пункта,
Vk (х) = X* {и 1 (х) Nk (х) - и2 (х) Мк (х) +
+ со, (х) Nk (b) - <о2 (х) Мк (Л)}
или, в силу (38,) (п. 13 гл. V),
Vk(x) = Xk S p^{x,l)Vk(i)d^
а
(11)
(12)
b
Положив Ск(х)~ f Р(^)Ф(х, f) Vk(?)J? и приняв в расчет (10), получим
а
S Akvk(x)= S Вкск(х). (13)
*=i *=i
6. Сравним ряд (13) со следующим:
S 1Я*11С*(х)1. (14)
Л=1
161
Имеем I Вк il Ск (х) | < у (В2к + С*(х)). На основании теоремы п. 2 гл. I
заключаем, что ряды .
S $ и 2 C2fc(x)
*=| к= 1
суть ряды сходящиеся и второй из них сходится при всяком х, причем, в
силу неравенства (8) того же п. 2 гл. 1,
оо I)
S С£(х)< f р(х)ф2(х,^)^.
к= 1 а
Так как ф(х, 5) есть функция непрерывная при х из [а, и £ из [а, Ь].
то I ф(х, £)| <Af2, где М есть конечное число. Поэтому
S C*(x)<Af202, (?2=Ip(x)t/x. (15)
к = I а
Из сказанного следует, что ряд (14) сходится при всяком х, взятом в
промежутке [а, Л].
Обозначив через Я„(х) остаточный член этого ряда, можем писать
Я„(х) = S 1Я*НС*(х)1,
к = и + I
откуда по лемме Коши (неравенство (23) п. 5 гл. 1)
Я„(х)< С2к(х),
к = п+ I к = п +I
т.е., в силу (15),
Rn (х) < MQ J S ~В\. (16)
Л = и+ I
Приняв опять во внимание то обстоятельство, что числовой ряд S В2к есть
к = I
ряд сходящийся, можем утверждать, что при всяком п > п0, где п0 есть не-
которое достаточно большое число, имеет место неравенство
“ е2
2 Вк С ГйТ’г ПРИ
к = п + । М Q2
где е - наперед заданное положительное число.
Это неравенство и (16) приводят к следующему:
/?„(х)<е при п>п0.
Отсюда следует, что ряд (14) сходится равномерно при всяком х, лежащем
в промежутке [а, Ь\. Отсюда же на основании известной теоремы Коши
заключаем, что ряд (13) сходится абсолютно и равномерно в промежутке
[а, Ь]. Отсюда при помощи теоремы п. 3 выводим следующую:
Всякая функция f(x), имеющая производные первых двух порядков, из
которых последняя только интегрируема в [а, £>|, и удовлетворяющая пре-
162
дельным условиям (9), разлагается во всем промежутке [а, й] в абсолютно
и равномерно сходящийся ряд типа Фурье, расположенный по фундаменталь-
ным функциям Vk (х), к какому бы классу эти функции ни принадлежали.
7. Итак, для всякой функции Дх), подчиненной условиям только что
доказанной теоремы, имеет место следующее равномерное разложение
/(х)= S AkVk(x).
*=i
Отсюда, умножая на p(x)f(x)dx и интегрируя результат отд до Ь, сейчас
же выводим уравнение замкнутости
I p(x)f2(x)dx = S Ak.
a k = 1
Следовательно, всякая полная система рассматриваемых нами фундамен-
тальных функций есть система замкнутая по отношению к любой функции
){х), удовлетворяющей условиям теоремы предыдущего пункта.
Покажем, что функции Vk(x) образуют систему, замкнутую по отноше-
нию к любой функции Дх), имеющей только производные двух первых
порядков, независимо от того, удовлетворяет ли эта функция предельным
условиям (9) или нет. Введем полином
/'(х) = а(х - а)2 + |3(х - а)2 (х - а -е), (17)
где а и 0 - две пока не определенные постоянные.
Каковы бы ни были а и /3, этот полином всегда удовлетворяет условиям
Л’(д) = 0. F'(a) = 0. (18)
Определим а и /3 при помощи следующих уравнений:
F(a + е) = f(a + е), F'(a + е) = / '(а + е). (19)
Получим следующие уравнения для а и 0:
е2а=/(а + е), е3(3 = е/'(д + е) - 2Дд + е). (20)
Найдем высший предел модуля F(x) при изменении х от а до а + е. Оче-
видноиз (17), что max 1Л’(х)| < е2 I al + е3 I (31. Но, в силу (20), е21 а| <
< М, е3 | (3| < 2М + М\, где М и обозначают max I Дх) i и I у'(х)1 в про-
межутке [д, Ь\. Следовательно, для промежутка [д, а + е]
max\F(x)\<3M+Mt =N. (21)
Составим затем полином
Ft(x) = ai(b ~х)2 + (3,(b -х)2 (b ~е— х),
где О'! и /3| — две пока не определенные постоянные. Очевидно,
Fi(b) = 0, F't(b) = 0. (22)
Определим эти постоянные при помощи условий
Fi (b~e)= f(b - е), F J (b - е) = f'(b - е), (23)
что дает
е2О| = J\b - е). е3/3] = 2f(b - е) - ef'(b - е).
163
Отсюда, подобно предыдущему, заключаем, что в промежутке [6 - е, Ь\
max 1Г|(л)|<е2|«, 1+е3 | (3, | < 3Af+ М, =/V. (24)
8. Составим функцию </>(х), удовлетворяющую условиям
V>(at) = F(x) при я<х<я + е.
<p(x) = f(x) при я + е<х - е, (25)
V(x) = Fi(x) при b - е < х < Ь,
где под/(х) подразумевается какая-либо функция, подчиненная одному
только требованию, что она допускает производные двух первых порядков
в промежутке [а, 6]. Равенства (19) и (23) показывают, что введенная
нами функция у(х) непрерывна вместе со своей первой производной в про-
межутке [я, Ь], ибо такова же, в силу сделанных предположений, и функ-
ция f(x) Кроме того, очевидно на основании (18) и (22), что
^(я) = ^'(я) = <p(b) = <p'(b) = 0.
Следовательно, i/>(x) несомненно удовлетворяет условиям
t(i/>) = 0 и £|(</>) = 0.
Легко видеть, наконец, что *р(х) имеет и производную второго порядка
(всюду, кроме точек х = я + еих = 6—е), интегрируемую в промежутке от
я до Ь. Функция ^(х) удовлетворяет всем условиям теоремы п. 6. Следова-
тельно (п. 7), всякая полная система фундаментальных функций замкнута
по отношению к функции ^р(х.), т.е.
(26)
F(x) =
(27)
где г?2 есть произвольно заданное положительное число.
9. Применим основное неравенство (10) п. 4 гл. И к функциям
= /(х), Ф(х) = ip(x). Получим
.---- I---------> Г~*> I ’
V5„(/) < vs„(<p) + V / р(х)(/(х) -<p(x))2dx.
а
Приняв в расчет (25), можем писать
ь
f р(х) (f(x) - <p(x))2dx = G + Н,
а
где
G = f р(х) (f(x) - <p(x))2dx = af* р(х) (f(x) - F(x))2 dx,
а а
b , Ь
Н = f P(x)(f(x)-y(x))2dx = f p(x)(J(x) Ft(x))2dx.
b-f b — &
Обозначая через Po maxp(x) в промежутке [я, Л] и принимая во внимание
неравенство (21), находим
G<P0(M + N)2e, H<P0(M + N)2e.
(64
Следовательно,
i> , , / ri \2
f p(X)(f(x)-^x))2dX<2P0(M + N)2€={ — I .
a ' 2 7
Сопоставляя это неравенство и неравенства (26) и (27), выводим
V S„ U) < Г) при /»>»„. (27 ()
Отсюда следует, что всякая полная система фундаментальныя функций
есть система замкнутая по отношению к любой функции f(x), подчиненной
лишь следующим условиям : (а) функция J\X) непрерывна вместе со своей
первой производной и (Ь) имеет вторую производную, интегрируемую в
промежутке [а. 6].
Отсюда.основываясь на общей теореме п.9 гл. И, приходим к следующей:
Всякая полная система расематриваемыХ нами фундаментальных: функ-
ций Vk (х) (k = 1,2.3. ...) есть система абсолютно замкнутая.
10. Докажем теперь одну теорему, справедливую для любой системы
функций
<Pi(*). *2(х)....<Рк(х), (28)
ортогональных по отношению к некоторой неотрицательной функции р(Х)
в данном промежутке |д, 6]. Допустим для простоты, что система (28) не
только ортогональна, но и нормальна.
Пусть f(x) есть функция, удовлетворяющая во всех точках от а до b ус-
ловию
/(*) = $ f'(z)dz+A, (29)
а
где А есть некоторая постоянная, а символ /'(z) обозначает некоторую
функцию, интегрируемую в промежутке [а, 6], которая, в частности, может
быть и производной от функции/(z) в обычном смысле слова. Положим
/•(х)= S ^*<Р*(х) + р„(х),
к- I
Ь
Ак= f P(.x)f(X)ipk(X)dX. (30)
а
Предполагая затем, что функции <рк (х) имеют первые производные, поло-
жим еще
/”(х)= S Ак*р'к(х) + р'п(х). (31)
к = 1
Здесь <р'к(х) обозначает производную от <р*(х) в обычном смысле, а р„(х)
есть некоторая функция, обращающаяся в обыкновенную производную от
рп (х), если /'(х) представляет такую же производную от /(х). Вообще же,
это будет интегрируемая функция, обладающая следующим свойством. Из
равенства (29) следует, что
А = f(a). (32)
165
Проинтегрировав (31) в пределах от а дохи приняв в расчет равенства
(29), (30) и (32), находим
Рп(х)= f Pn(x)dx + рп(а),
а
следовательно, р'п (х) играет по отношению к р„ (х) ту же роль, что и функ-
ция /'(х) по отношению к Дх).
Припоминая сказанное в п. 13 гл. I, можем в дальнейшем применять к
функциям Дх) и р„(х) все формулы интегрирования по частям так, как
если бы эти функции имели производные /'(х) и р'„ (х), взятые в обычном
смысле. Условимся поэтому называть уравнение (31) производным от
уравнения (30), а интеграл
•S(^(n= / rf(x)dx (33)
а
- квадратичной погрешностью ряда, производного от ряда
S ^к*Рк(х)-
к = 1
(34)
11. Предположим, что квадратичная погрешность ряда, производного от
ряда (34), удовлетворяет условию
5(л1)(Л<С2, (35)
где С2 есть конечное число, не зависящее от п. Пусть | и х - две какие-ли-
бо точки промежутка [а, 6]. На основании сказанного в предыдущем пунк-
те можем писать следующее тождество:
Рп(£) = рл(х)-2 f pn(x)pn(x)dx
(35J
(ср. аналогичное тождество п. 37 гл. V). Отсюда, приняв во внимание (33),
выводим
Р2п «) < Рп(X) + 2 y/stytf) у/ 7 p2(x)dx
а
(36)
Предположим теперь, что функция р(х) не обращается в нуль ни в одной
из точек промежутка [а, 6]. В таком случае
? 2,Л. ? Р(х)Рп(х)
f p2n(x)dx= f
а а
dx< -----
Р(х) Ро
где, напомним, ро означает min р(х) в промежутке [а, 6]. Неравенство
(36) при помощи (35) приводится к такому:
2С
РяЙ) < Ря(*) + —]=
*) Ибо f p'ndx< f p'l„(x)dx, ,f p„(x)dx< f pj,(x)dx.
(a ( a
166
Умножим это неравенство на р(х) dx и интегрируем результат по х в преде-
лах от а до Ь. Получим
, Sn(f) 2С ,-------------------
рЛ«) < ““ + (36.)
Q \/Ро
— неравенство, имеющее место при любом принадлежащем промежутку
[а, . Отсюда при помощи (27.) выводим
, П2 2С
Рл(5)<—, + —/=г П = е2 при п>п0.
Q \ Ро
Это неравенство приводит к следующей теореме:
Всякая функция f(x), удовлетворяющая условию Коши
1/(х') -/(х)|<д Ix'-xl, (37)
где р есть положительная постоянная, не зависящая от положения точек х'
их в промежутке [а, Л], разлагается в этом промежутке в равномерно схо-
дящийся ряд типа Фурье
ОО b
f(x)= S Ak>pk(x), Ak= f p(x)f(x)<Pk(x)dx,
k- 1 a
какова бы ни была абсолютно замкнутая система ортогональных и нор-
мальных функций tpk(x) (k = 1,2,3, . ..), коль скоро квадратичная погреш-
ность производного ряда
SW(f)= f [ Г'(х) - S Ak *k(x)]2 dx < C2, (38)
a k=l
где С2 - конечное число, не зависящее от п.
12. Рассмотрим квадратичную погрешность (38) производного ряда для
фундаментальных функций Vk (х). Начнем с функций первого класса.
Заменив в формулах (30) и (31) </>*(х) через Ук (х), получаем
f(x)= S AkVk(x) + p„(x),
к=1
b , п ,
Ак= f p(x)f(x)yk(x)dx, f(x) = S AkVk(x) + (in(x). (39)
a k=l
Отсюда
SW(f)= ff'(x)p^(x)dx- S Ak f V'k(x)p’n(x)dx. (40)
a к = 1 a
Интегрируя по частям и приняв в расчет уравнение, которому удовлетворя-
ет функция Ук(х), находим
ь , , ь
S Vk{x)pn(x)dx = pn{b)Vk(b)-pn(a)Vk{a)-f р„ (х) V к (х) dx =
а а
Pn(b) Vk(b)-Pn(a) К*(а) - f q(x)p„(x) Vk(x)dx,
167
ибо при всяком £ от 1 до и
ь
f p(x)p„(x)¥k(x)dx = 0*). (41)
а
Следовательно,
S Ак S У'к(х) р'п(х) dx =pn(b) 1 Ак К/(Ь) -
*= 1 а к=1
-р„(а) S АкУк(а)- fq(x)p„(x) Ъ AkVk(x)dx. (42)
к =1 а к= 1
Воспользуемся теперь предельными условиями
Ук(Ь) = а¥к(а)+^к(Ь), У'к(а) = уУк(а)-аУк(Ь),
которым удовлетворяют фундаментальные функции первого класса. По-
лучим
Kn=p„(b) S АкУк(Ь) - рп(а) S АкУ'к(а) =
к= 1 к= 1
= 0ра(Ь) S АкУк(Ь)—урп(а) S АкУк(а) +
к=1 к=1
+ a[p„(b) S АкУк(а) + pn(d) S Л*И*(д)], (43)
*=1 *=1
откуда при помощи (39) выводим
Кп = 7Рп(а) - 0Рп(Ь) - 2арп(а)рп(Ь) +
+ (of(a) + $f(b)) pn(b) - (yf(a)-af(b)) рп(а). (43,)
Заметив далее, что, в силу того же равенства (39),
b п
f q(x)pn(x) S Akyk(x)dx =
a k = 1
b
= S 4(x) pn(x) (/(x) - p„(x)) dx, (432)
a
и приняв в расчет (43), (431) и (42), приводим (40) к виду
5(л)(/) = f ! (x)pn(x)dx+ f q(x)p„(x)(f(x)~
a a
- pn (x)) dx - 7P?, (a) + 0p2n (d) + 2ap„ (a) p„ (Z>) -
- (a/(a) + 0/(h)l P,, (*) + [yf(a) - af(b)] p„ (a). (44)
*) Умножив (39) на p(x)Vk(x)dx и интегрируя результат в пределах от а до h,
приходим к равенству (41), приняв в расчет выражения коэффициентов Ак и условия
ортогональности и нормальности функций К*(х) (см. равенства (2) и (3) п. 1 гл. 1).
148
13. Имеем
I 2 а рп (л) рп (b) | < | а I (pl (а) + р£ (*)),
1
| (а/(в) + 0 ДЛ)) р„ (b) | < - + 0/(6)]2 + р2 [6]),
I (7/(а) - а/(*)) Рп (<01 < j (17/(а) - «Г(*)]2 + Р,2, (а)) •
Далее,
ь
I/ q (х}рп (x)/(x)rfx |<
в
/ь р2(х) , Ь , \|/2 _______
<(/ —— f2(x)dx f р(х)р2 (x)dx) =H\/Sn(fS,
\а Р (х) а }
ь q 2 (х)
где Н = f ------(x)dx есть конечная положительная
(45)
(46)
постоянная,
« Р (х)
ибо по условию р (х) не обращается в нуль в промежутке [а, 6].
Обозначив затем через G максимум функции I q (х) |/р (х) в рассмат-
риваемом промежутке, получаем
ь
I f q(x)p2(x)dxl<GS„(f). (47)
а
Наконец, в силу неравенства Буняковского
ь ,
Ш (х) pn(x)dx |<
а
< 77х/?Г2(х)</х‘ = 2р0 y/s<l4n - (48)
а
Положительные числа Po,G и Н зависят лишь от данных постоянных а,&, у
и значений функций/(х) и/'(х) и не зависят от п.
При помощи (45), (46), (47) и (48) выводим из (44) следующее нера-
венство:
1 > (/)< 2 ро х^ЧТ) + G S„ (/) + Hy/S~(T) + а\ р2 (а) +
+ 01 Р» (*) + 71 ,
где
а2 = I У I + I а I + 01 = 13 I + I а I +
Ух = |{1«Ла) + 0/(6)р + {yf{a)-af(b)\2}
суть, очевидно, постоянные, не зависящие от п.
(49)
169
14. Обращаемся снова к неравенству (361) (п.11). Полагая в нем £ = а и
| = Ь, получаем
Рп («) < «1 Sn (/) + (31 (/У,
р2п(Ь) < «1 sn (/) + , (49'}
где положено для простоты а! = 1/Q2 ,01 = IC/yfpi. При помощи нера-
венств преобразуем (49) к виду
1 > (Л < 2 До + «1 S„ (f) +.0j + 7? ,
где
а23 =G +а, al + 01 al , 02 = Н + а1 01 +01 01
- конечные постоянные, не зависящие от п.
Так как, наконец, при всяком п
ь
S„ (f )< JР (x)f2 (x)dx = L2, (492)
a
то окончательно
S<*>(/)< 2p0 \4<i,)(/) + ol , (50)
где Oo =7i + «з L2 + 02 L есть конечное положительное число, не завися-
щее от п.
Неравенство (50) показывает, что у/S^1 \f) должно заключаться между
нулем и положительным корнем уравнения х2 - 2рох - Oq = 0, т.е.
\/S?J (7)'<Ро +\^о + оо , или
$,'>(Л<С2. (51)
Итак, для фундаментальных функций первого класса квадратичная пог-
решность производного ряда удовлетворяет требованиям теоремы п. 11
(неравенство (38)), коль скоро функция f (х)удовлетворяет условию
Коши (37).
15. Переходим к фундаментальным функциям второго класса. Равенства
(40) и (42) справедливы для какой угодно системы фундаментальных
функций Vk (х). Так как для функций второго класса
Vk (*) = Р Vk (a). V{ (b) = - Vi (а) + т Vk (а), (52)
Р
то будем иметь при помощи таких же преобразований, как и в п. 12,
Г PnW) _Мв)| % Ak^a} + Tpn{b) £ AkVk(a) =
IP J *=i *= i
[Рп(р) 1
--------P«(fl) I (/ (a) - p;,(fl)) + rp„(d) ir(a)-p„(a)J.
P J
170
Но, в силу (39),
fib) = X Ак И*(й) + р„ (/>),
Л= 1
] (а) = Д ( Ак Vk (а) + рп (а),
откуда при помощи первого из равенств (52) выводим
Рп ib)-p'p„ ia)=fib) - pfia).
Допустим, что функция fix) удовлетворяет условию
fib) — pfia) = O.
При этом рп(Ь) - ррп(а) = 0 и, следовательно, Кп = rf(a)p„ib) -
-Tp„ib)p„ia),r.e.
| К,, | < а? рг„ ia) + (3? ргп ib) + у2, , (54)
|т I | т |
где, очевидно, а? =—, 0? =| т| , у ? =—f2 (а) суть конечные постоянные,
не зависящие от п.
При помощи этого неравенства и неравенств (46), (47) и (48), которые,
очевидно, справедливы для любой системы фундаментальных функций
Vk (х), получим и для фундаментальных функций второго класса то же
самое неравенство (49) (п.13). Из этого неравенства, повторяя дословно
рассуждения п. 14 получим неравенство (51).
Следовательно, для фундаментальных функций второго класса квад-
ратичная погрешность производного ряда выполняет требование теоремы
п. 11 если только функция f (х)удовлетворяет неравенству Коши и пре-
дельному условию вида
f(b)-pfia) = O. (54)
16. Остается рассмотреть случаи фундаментальных функций трех пре-
дельных классов (п.6 гл. VI ) , к которым предыдущий анализ непосред-
ственно не применяется, ибо предполагает постоянные а, 0, у, р и т конеч-
ными и р отличным от нуля.
Пусть Vk (х) суть фундаментальные функции первого предельного
класса, подчиненные условиям (равенства (14) п. 6 гл. VI)
И*(а)»0, Vkib) = 0. (55)
Допустим, что функция fix), удовлетворяющая неравенству Коши, подчи-
нена условиям }\а) = 0, f ib) =0. В этом случае, в силу (39) и (55),
Рп (л) = рп ib) = 0. Равенство (40) принимает следующий простой вид:
(/)= } f ix)p'nix)dx+ f ciix)p„ix)ifix)-p„ix))dx,
a a
откуда при помощи (46), (47), (48) и (49) выводим
S<1 > if) < 2р y/s^if) + GSn if) + H y/s^if) < 2p0 + о J, <56>
rneoj =GL2+HL.
171
Неравенство (56) показывает, что для фундаментальных функций пер-
вого предельного класса квадратичная погрешность производного ряда
выполняет требование теоремы п.11, если только функция f(x) удовлет-
воряет неравенству Коши и предельным условиям вида
f(a)=f(b) = O. (57)
17. В случае фундаментальных функций второго предельного класса,
удовлетворяющих предельным условиям
Vi(a) = 7Vk(a), КЛ(*) = 0 (58)
(равенства (15) п.6 гл. VI ), предположим, что/(6) = 0. При этом условии,
как показывают равенства (39) и второе из (58), р„ (Ь) = 0 и, в силу перво-
го из (58) и (43),
-Кл=7Рл(<0 2 А* Ик(а) = 7рл(а)(/(«)-Ря(«)].
к - 1
т.е.
3 1 у I I у I
|АГл|<1у1рл (а) + 1трл(в)/(а)1 < ~~ pl(a) + — f2(a).
Отсюда при помощи первого из (491) выводим
|АГл|<Оо Sn(f)+0S\dn + 7o • (59)
Так как, в силу (40), (42) й (432 ),
(1) ь , , ь
Sn (х)р„ (x)dx - f ц (х)р„ (x)(f(x)—р„ (x))dx - К„,
а а
то, на основании (46), (47), (48) и (492),
Sn(,)(f)<2poV/STV) + oJ. (60)
Отсюда, как и в предыдущих случаях, заключаем, что для фундамен-
тальных функций второго предельного класса квадратичная погрешность
производного ряда удовлетворяет требованиям теоремы п. 11 (неравен-
ства (38)), если только функция f(x) удовлетворяет неравенству Коши и
предельному условию вида f (b) = 0.
18. Фундаментальные функции третьего предельного класса определяют-
ся предельными условиями (равенства (16) п.6 гл. VI )
Vk(b)=&Vk(b). Vk(a)-0,
которые получаются из (58) заменой буквы у через 3, буквы а буквой b и
наоборот. Поэтому стоит только во всех формулах предыдущего пункта
сделать указанную замену букв, чтобы получить соответствующие форму-
лы, относящиеся к фундаментальным функциям третьего предельного клас-
са. При этом в конечном итоге получится, очевидно, такой результат: если
функция/(х), удовлетворяющая неравенству Коши, подчиняется еще пре-
дельному условию
Г(а) = 0,
то для нее имеет место неравенство (60).
(72
Таким образом, убеждаемся, что и для фундаментальных функций треть-
его предельного класса квадратичная погрешность производного ряда удов-
летворяет требованиям теоремы ii.ll (неравенства (38)), если только
функция /(х), удовлетворяющая неравенству Коши, подчиняется еще усло-
вию f(a) = 0.
19. Результаты установленные в пп. 13, 14,15,16 и 17, приводят в связи
с общей теоремой п.11 к следующим теоремам:
1. Всякая функция f(x), удовлетворяющая неравенству (37) Коши,
разлагается во всем промежутке [а, 6] в равномерно сходящийся ряд
п ь
f(x) = S AkVk (х), Ak = f p (x)/(x) Vk(x)dx, (61)
k = 1 a
no фундаментальным функциям Vk(x) первого класса.
2. Всякая функция /(х), удовлетворяющая неравенству Ко ши. и пре-
дельному условию
f(b)-pf(a) = O,'
разлагается во всем промежутке [а, Ь\ в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям Vk (х) второго класса.
3. Всякая функция f(x\ удовлетворяющая неравенству Коши и пре-
дельным условиям
Г(а) =/(*) = О,
разлагается во всем промежутке [а, 6] в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям Vk(x) первого предельного класса.
4. Всякая функция f(x), подчиненная неравенству Коши и предельному
условию
f(.b) = O,
разлагается во всем промежутке [а, 6] в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям Vk (х) второго предельного класса.
5. Всякая функция f(x\ удовлетворяющая неравенству Коши и предель-
ному условию
/(а) = 0,
разлагается во всем промежутке [а, Ь] в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям третьего предельного класса.
Все эти теоремы справедливы, каковы бы ни были конечные постоянные
а, р, у up, те предельных условиях, которым удовлетворяют фундамен-
тальные функции первого и второго классов (причем р^О), и каковы бы
ни были функции р (х) и q (х), подчиненные следующим условиям: р (х) и
q (х) непрерывны в промежутке [а, Л] и первая из них остается положи-
тельной в точках этого промежутка.
ГЛАВА X
Исследование случая, когда все характеристические числа
фундаментальных функций положительны.
Доказательство сходимости ряда S X* А *.
. . * = i
Высший предел для модулей коэффициентов ряда Фурье А к.
Высший предел для квадратичной погрешности ряда,
составленного по закону Фурье из фундаментальных функций.
Абсолютная замкнутость
всякой полной системы фундаментальных функций,
характеристические числа которых положительны.
Вывод теорем о разложении произвольных функций
в равномерно сходящиеся ряды типа Фурье,
расположенные по фундаментальным функциям.
Высший предел остаточного члена этих разложений,
когда положительная характеристическая функция р (х)
не обращается в нуль в данном промежутке; обобщение на случай,
когда функция р (х) имеет конечное число нулей в этом промежутке.
Распространение теорем о разложении на случай,
когда непрерывная функция р(х) не отрицательна
1. Исследованиями предыдущей главы вопрос о разложении произволь-
ных функций в ряды по фундаментальным функциям разрешен с достаточ-
ной общностью для каких угодно ортогональных фундаментальных функ-
ций. Задача, взятая в таком общем виде, представляет по преимуществу
интерес чисто аналитический, в вопросах же математической физики при-
ходится иметь дело исключительно с фундаментальными функциями, все
характеристические числа которых неотрицательны, как это изложено в
конце гл. IV. Это обстоятельство несомненно будет иметь место, как пока-
зано в той же гл. IV, если постоянные а, (J, у для функций первого класса
удовлетворяют условиям
(КО, у>0, а2 +0у<О, (1)
а постоянные риг для функций второго класса — условию
р т < 0 (2)
(условия (14() и (15) пп.9 и 10 гл. IV), а функция р(х)и</(х) того
дифференциального уравнения, которому удовлетворяют все фундамен-
тальные функции, обе остаются неотрицательными в данном промежутке
[а, д]. Все эти условия, как мы видели в гл. IV, действительно соблю-
даются во всех главнейших задачах математической физики.
Само собой разумеется, что общие результаты предыдущей главы сейчас
же распространяются и на только что упомянутые частные случаи, однако
для этих последних можно указать другой метод решения вопроса, кото-
рый приводит к новым и важным следствиям, которые не вытекают из
предыдущих соображений более общего характера.
Изложению этого второго метода, специально применимого к условиям
(1) и (2) и представляющего интерес не только для математической физи-
ки, но и с точки зрения чистого анализа, мы и посвятим настоящую главу.
174
2. Будем предполагать, как и в предыдущей главе, что функция /'(х)
удовлетворяет условию Коши. Возьмем, как и раньше, равенство
/(х)= S Ак КЛ(х) + р„(х) (3)
к = I
и, сохраняя обозначения п.Ю предыдущей главы, составим равенство
f(x)= S AkVi(x) + pi(x), (4)
которое, придерживаясь прежней терминологии, будем называть производ-
ным от равенства (3), а ряд правой его части — производным от ряда пра-
вой части (3).
Выводы, полученные при помощи приемов, изложенных в предыдущей
главе, существенным образом зависели от свойства интеграла
(1) Ь !>
S„ (f)= f Рп (x}dxt< (5)
который для краткости мы назвали квадратичной погрешностью производ-
ного ряда, а именно от его свойства не превосходить некоторого конечного
числа, не зависящего от п. Мы вывели это,свойство, общее для всех фунда-
ментальных функций КЛ(х), рассматривая выражениеданное ра-
венством (40) п. 12 предыдущей главы.
Мы составим теперь другое выражение для квадратичной погрешности
производного ряда, рассмотрение которого приведет к решению задачи
(В) о разложении произвольных функций по фундаментальным функциям
Vk(x), в случае соблюдения условий (1) и (2), а также и для функций всех
трех предельных классов, с такими важными подробностями, которые не
вытекают из формул предыдущей главы.
3. Равенство (4) дает непосредственно
S„( * > (/) = ? (х) dx - 2 S A kf f’ (x) KA’(x) dx +
а к = 1 a
+ s Aif Vi2(x)dx + 2SA„Amf%'(x)Vi, (x)dx, (6)
к = 1 a a
где последняя сумма распространяется на все различные целые значения п и
m от 1 до и. Применяя интегрирование по частям и принимая во внимание
дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют одинаково все
фундаментальные функции всех классов, и условия их ортогональности и
нормальности, получаем
ь . , , |ь ъ „
Sf (X) Vi (х) dx =f(x)Vk (x) - f f(x) Vk" (x) dx
a la a
, |b ь
=/(*) Vk (x) -f q (x) /(x) Vk(x)dx + X* Ak,
la a
b . b b л
f K*’2 (x)dx = Vk (x) Vi (x) - f q (x) И (x)dx + X*,
a a a
b t |ь b
f vn (x) Vm (x) dx = Vn (x) Vm (x) - f q (x) V„ (x) V,„ (x) dx.
a la a
175
Во всех этих равенствах лишь первые члены будут иметь различный вид
для фундаментальных функций различных классов, остальные же будут
сохранять всегда один и тот же вид. При помощи этих равенств приводим
(6) к следующему виду:
sW(f) = f f2(x)dx-2f(x) Z Ак К/(х)|Ь + S
а к =I I а к-1 I а
+ 2ZAnAmy„(x)V^(x)\b - Z Х*Л? + fq(x)[2 S Akf(x)Vk(x) -
I а *= I a I к= 1
- s A2kV2k(x)-2ZA„AmVn(x)Vm(x)}dx.
к- 1 I
Заметив затем, что
[/(х)- Z AkVk(x)]2 = p2(x)= f2(x)-2 Z Akf(x)Vk(x) +
k=l k=l
+ S AkVk(x) + 2ZAnAmVn(x)Vm(x),
k= 1
получаем
S^(f) = K„ + / f'2(x)dx+ f q(x)(f2(x) — p%(x))dx — S XkA2k. (7)
а а к- 1
где положено
и , I ь
Kn = -2f(x) Z Л^'(х) +
k=l ‘a
и , I b , I b
+ Z AlVk(x)Vi(x)\ +2ZA„AmVn(x)^(x)\ . (8)
k=I la la
Формулы (7) и (8) справедливы для фундаментальных функций какого
угодно класса.
4. Предположим, что ИА(х) суть фундаментальные функции первого
класса, определяемые предельными условиями
(*) = a Vk (a) + fi Vk (b), Vi (a) = 7 Vk (a) - a Vk (d).
Пользуясь этими равенствами, приводим выражение Кп к виду
К„ = 2а[ Z AkVk(q)Vk(b) + SA„Am Vm(a)V„(b) +
+ ZAnAmVm(b)Vn(a)-f(b) Z Ak Vk(a) - f(a) Z Л*К*(*)) +
+ Hz A2kn<b) + 2ZA„AmVm(b)Vn(b)- 2f(b) Z
l* = 1 k = 1 I
-7(2 A2kV2k(fl) + 2ZA„AmVm(a)yn(a)-2f(a) Z Л*К*(а)|.
k=l J
176
Нетрудно видеть, что правая часть этого равенства может быть представлена
в виде
2а[/(д) — S Л*ИЛ(д)| [/(d)- S AkVk(b)\ -
*=। *= 1
- 2af(a)f(b) + fi [ f(b) — S AkVk(b)]2-
k = I
-7[/(a)- S AkVk(a)]2-0f2(b) + yf2(a),
k = 1
или, при ПОМОЩИ (3),
К,, = 2арп (а) р„ (d) - 2af(a)f(b)+ fip2 (й) - ур2(а) - 0/2 (b) + yf2 (а)..
Таким образом, для фундаментальных функций первого класса равенст-
во (7) может быть преобразовано в такое:
1 ’ СО + J q(x) р2 (х) dx + ур2 (а) - 0р2 (й) -
а
b „ b
- 2ар„ (a) pn(b)= f f (х) dx + f q(x)/'2 (x) dx +
a a
+ yf2(a)-M2(b)-2afta)ftb)- S XkA2k. (9)
k= 1
5. Предположим теперь, что постоянные a, fi, у удовлетворяют условиям
(1) (п. 1), а функция </(х) остается, как ир(х), неотрицательной в проме-
жутке [а, й].
В таком случае выражения
М2 = f f'2(x)dx +
а
+ f q(x)f2(x)dx + yf2(a) — fif2(b) - 2af(a)f(b), (10)
a
'V«=5,<1)(0+ f q(x)p2(x)dx +
a
+ 7Pn(a) ~ ^Pn(b)— 2ap„(a)pn(b)
остаются всегда положительными, каковы бы ни были функции f (х) и
п
рп(х). Все члены ряда S XkAk также неотрицательны, ибо при сделанных
* = .*
условиях все числа неотрицательны. Из равенства (9) сейчас же вытека-
ет, что при всяком п
S \kAk<M2,
k= 1
где М2 есть конечное число, независящее от п.
177
Следовательно, если постоянные а, р, у удовлетворяют условиям
р<0, ?>0, а2 + Ру<0, (1)
функции р(х) и q(x) обе остаются неотрицательными в промежутке
1а, , то ряд
f Ak= * p(x)f(x)Vk(x)dx, (11)
к = 1 а
есть ряд всегда сходящийся, какова бы ни была функция f(x), удовлетво-
ряющая условию Коши.
6. Так как ряд (11) сходится, то
XkAk^e2 ПРИ п>по,
т.е.
Отсюда, в силу неравенства (124) гл. V (п. 39),
। . . е е ~
1А„ < ------ = а— при и>л0-
" топ п г
Следовательно, если функция f(x) удовлетворяет условию Коши, то коэф-
фициенты Ап Фурье для фундаментальных функций Vk(x) первого класса
при соблюдении условий предыдущей теоремы убывают с возрастанием их
значка п не медленнее, чем 1/п, т.е. при бесконечно большом п суть беско-
нечно малые порядка не ниже, чем 1/п.
7. Выведем теперь одно неравенство, необходимое для дальнейшего.
Обозначим через х,у, £,т? четыре переменные аргумента. Нетрудно убе-
диться непосредственным вычислением в справедливости следующего тож-
дества:
[ 7*5 - РУП - а(у% + xr?)]2 - [ух2 -ру2 - 2аху] X
х [7 52 - 0т?2 - 2a£i?] = (а2 + ру) (у £ - хт?)2.
Отсюда следует, что при соблюдении условий (1) (п. 1)
[7xg-|3jT?-a(yg+xT?)]2 <
< [ух2 - Ру2 - 2аху] [у^2 -Рп2 - 2сг£т?] (12)
при всяких вещественных значениях аргументов х,у, % и т?.
8. Применим метод Шварца - Пуанкаре к определению функции К(х, X),
удовлетворяющей уравнению
V"(x, X) + [Хр(х) - <?(х)] К(х, X) +р(х)Рп(х) = 0 (13)
и предельным условиям
V'(b)— aV(a) — pV(b) = О,
К'(а)-7К(д) + аК(д) = 0. (131)
Полагая
К(х, X) = и0(х) + Xui(x) + ... + Х*и*(х) + . .., (132)
178
получим следующие уравнения для определения и0(х):
ио(х) - Ч(х) и0(х) +р(х) рп(х) = 0, (14)
Vo(b) - аи0(а) - 0uo(t>) = О,
Ио(я)-'Уио(я) + «ИоО’) = 0
(ср. гл. V, п. 11).
Основываясь на исследованиях гл. V и VI, можем утверждать, что, ка-
ковы бы ни были данные функции р(х) и q(x) и конечные постоянные a, fi,
7, существует единственная определенная функция и0(х), удовлетворяю-
щая уравнению (14) и предельным условиям (15).
Заметив, что, в силу уравнения (14),
b I ь ь ь
f и0 (*) = М*) ио(*) - f Я(*) Uo(*) dx + f р(х) v0(x) рп (х) dx,
а I а а а
получим, приняв в расчет (15),
J ио2(*) dx + 7Uo(a) - fi»o(b) - 2au0(«) v0(b) +
a
b , b
+ / q(x)v2(x)dx = f p(x)u0(x)p„(x)dx. (160
a a
Так как a, fi и у удовлетворяют неравенствам (1), а функция q(x) пред-
полагается неотрицательной, то левая часть этого равенства положительна.
Поэтому, воспользовавшись неравенством Буняковского, можем писать
f Го2 (х) dx + 7Uo(a) - 0Uo(b) - 2ar0(a) v0(b) +
a
+ f q(x)v20(x)dx < x/ IVo' V Sn (f)\ (17)
a
где
b
SK(D= WCj = f p(x)p2(x)dx,
a
b
Wo= f p(x)v$(x)dx
a
суть два первых интеграла Шварца.
9. Преобразуем теперь интеграл S„(f) при помощи уравнения (14) сле-
дующим образом:
ь ь
= f Р(х) р2п(х) dx = [ р„(х) [<?(х) и0(х) - Uo(x)]cte =
/» а
. I Ь Ь , t Ь
= -Ри(*)М*) + / v0(x)pn(x)dx + f q(x)u0(x)Pn(x)dx, (18)
I а а а
что возможно в предположении, что функция /(х), а следовательно и р„(х),
179
удовлетворяет условию Коши. Отсюда, приняв в расчет (15), получаем
$n(f)= J Wo(*) Рп (*) dx +
а
+ f q(x)v0(x)p„(x)dx+'YU0(a)p„(a)-
а
- 0vo(b) рп (b) - а[и0(а) Рп (b) + v0(b) р„ (а)]. (18,)
Воспользуемся неравенством (12), положив в нем
х = и0(а), у = и0(й),
| = р„(а), ri = pn(b\
Получим
Н2п = (7^о(й) Рп(а) ~Qu0(b)P„(b) - а[и0(а) р„(Ь) +
+ v0(b) рп (а)])2 < l7uJ(a)-/3u?(Z>)-2ano(«)wo(^)]X
X [7Р?,(<0 -0Р?,(6) - 2ар„(в)р„(й)]. (19)
С другой стороны, так как интеграл правой части равенства (18,) есть
предел суммы
2 {«А» (хк) р'п (хк) + и0 (хк ) V <7(xfc)’ рп (хк) ) ДхА,
то, применив к этой сумме неравенство Коши*) и перейдя затем к пределу,
получим
, ь , ь
G„ ~ (J v0(x)pn(x)dx + f q(x)v0(x)p„(x)dx )2 <
a a
b b
< ( f v0(x)dx + f q(x)vo(x)dx)X
a a
X( f Pn(x)dx + f q(x)p2„(x)dx ). (20)
a a
Положим
A = 7i>o(a) - ^Vo(.b) - 2av0(a) v0(b),
ь .. b
= f u02(*)<fr + ( q(x)vo(x)dx,
a a
B = yp2n(a)- Qp2 (b) - 2aplt(a)p„(Z>).
ь „ ft
Bi = f p„2(x)dx+ / q(x)p2(x)dx.
a a
Все эти величины при сделанных предположениях относительно а, 3, 7 и
</(х), очевидно, неотрицательны.
Из равенства (18,) при помощи неравенств (19) и (20) выводим
5?,(/)< (\<л’хЛв'+ хЛя?)2.
*) Неравенство (23) гл. 1,п. 5.
180
а отсюда при помощи неравенства Коши
+ Л,)(В + В,) = {7ug(a)-/3ug(ft)-2au0(a)uo(Z») +
+ J v'o(x)dx + f q(x)v20(x)dx} {yp2(a) - 0p2(b) - 2apn(a) pn(b) +
a a
+ f Pn (*)dx + f q(x)p2 (x)dx} . (21)
a a
10. Обращаемся теперь к равенству (9) п. 4. Приняв в расчет обозначе-
ния (10), выводим из него
N2 < М2. (22)
С другой стороны, неравенство (21) при помощи (17) доставляет
S2n(D<N2n \TW^
откуда на основании (22) следует, что S^(f)<№ \/ Wo" y/~Sn(f)\
или
, VW , VW
Sn(f)<M2 -=—- = М2-т=г- (22,)
v s„(f) v^-i
Это существенно важное для теории неравенство имеет место для всякой
данной функции Дх), удовлетворяющей неравенству Коши, и для всякой
полной системы фундаментальных функций, принадлежащей к той их груп-
пе, которая характеризуется следующими условиями: постоянные а, /3, у
предельных условий первого класса удовлетворяют неравенствам
0<0, 7>0, а2 +07<О, (1,)
а функции р(х) и q(x) основного дифференциального уравнения всех фун-
даментальных функций
Ук(х)+ [Х*р(х) - ?(х)] Г*(х) = 0
обе неотрицательны в промежутке [а, 6].
11. Возвращаемся к уравнению (13) (п. 8). Мы знаем, что интеграл это-
го уравнения есть голоморфная функция параметра X внутри круга радиуса
р= lim (V Wk_{ I V W/),
где Wk суть интегралы Шварца, соответствующие функции
Р(х)рп(х) (23)
уравнения (13), которые удовлетворяют неравенствам
(гл. V, п. 23, и неравенства (43) п. 14). Отсюда
р = lim
и-* 00
VWV
VW
181
Но мы уже заметили, что функция (23) удовлетворяет п неравенствам
(41) (п. 12 гл. IX), где ИЛ(х) (Jt = 1, 2, ..., и) суть по порядку взятые
функции из их полной системы. Поэтому, на основании теоремы п. 36 и не-
равенства (124) п. 39 гл. V
>т§и2
(см. п.- 3 предыдущей главы). Следовательно,
ТК* < 1
y/Sn(f)' топ2
Сопоставляя это неравенство в (221), получаем окончательно
М2 N1
Sn(f) < -3-5- = — ,
То л п
(24)
где № есть конечное число, независящее от п.
Таким образом, квадратичная погрешность при приближенном вычисле-
нии всякой функции f(x), подчиненной единственному условию удовлетво-
рять неравенству Коши, при помдщи формулы (3); убывает обратно про-
порциональному квадрату числа п членов суммы
п
s AkVk(x),
k= 1
коль скоро фундаментальные функции Vk (х) принадлежат рассматривае-
мой нами группе функций первого класса (см. п. 10) .
12. Неравенство (24) показывает также, что всякая полная система фун-
даментальных функций первого класса, принадлежащая к только что упо-
мянутой группе, есть система замкнутая по отношению ко всякой функции
f(x), подчиненной условию Коши, а следовательно, и подавно замкнута по
отношению ко всякой функции, имеющей первую производную, интегри-
руемую в промежутке [а, 6]. Отсюда на основании общей теоремы п. 9
гл. 11 выводим теорему:
Всякая полная система фундаментальных функций первого класса, ког-
да постоянные а, у удовлетворяют неравенствам (11), а функции р(х) и
q(x) остаются обе неотрицательными в промежутке [д, 6], есть система
абсолютно замкнутая.
Эта теорема Представляет собой, очевидно, частный случай общей теоре-
мы, доказанной в п. 9 предыдущей главы, но метод доказательства, изло-
женный здесь, имеет то преимущество, что не только устанавливает замкну-
тость рассматриваемых нами в этой главе фундаментальных функций, но
дает в то же время (для случая, когда f(x) удовлетворяет условию Коши)
и высший предел квадратичной -погрешности, характеризующий, так
сказать, порядок замкнутости, за который можно принять величи-
ну 1/и2.
Этот результат, важный для дальнейших исследований, не может быть по-
лучен при помощи метода, изложенного в предыдущей главе, который уста-
навливает только, что S„ (f) стремится к нулю при беспредельном возрас-
тании значка п, но не определяет порядка малости этой величины по отно-
шению к я.
182
13. Применим тот же прием к фундаментальным функциям второго клас-
са, определяемым предельными условиями вида
М*) = рМ«).
И/(*)= 7 И*’(а) + гИ*(в),
где, напомним, р есть конечная, не равная нулю постоянная. При помощи
этих соотношений выводим из (8) (п. 3)
( /(^) п п ч ч
-2 — S Л*Г*(л)+ 2 A2kV2k(a) +
( О к = 1 к = 1
1 / f(b) \ п
+ 2S А„Ат Vm (a)Vn(a) +2 f(a) - S Ак Vk'(a). (26)
J \ P /*=i
Предположим, что функция/(x) удовлетворяет условию
f(b) = pf(a'). (27)
Заметив, что
-2f(a) S AkVk(d) + Z A2kV2k(d) +
k=l k=l
+ 2ZA„AmVm(a)Vn(a) =
= ( S AkVk(a)-f(ay)2-f2(a) = p2(a)-f2(a),
k= 1
и приняв в расчет (27), выводим из (26)
Кп = рт(р2(а~)- /2(д)).
При этом равенство (7) (п. 3) обращается в такое:
^,)(/)= ?/'2(х)Л + f q(x)f2(x)dx -
а а
- f q(x)pl(x)dx+рт(р$(а) - f2(а)) - S
а к= 1
Положив
тп = s„( 1) (/) + / q (х) р2 (х) dx - ртр2 (д), (28)
а
приводим предыдущее равенство к виду
тп = f f'2(x)dx + f q(x)f2(x)dx - prf2(a)- S XkA2k. (29)
a a k= I
Допустим, ЧТО
рт < 0. (30)
183
В таком случае, как показывает равенство (28),
Ги>0* **)).
Положим
0< ff'2(x)dx + f q(x)f2(x)dx - prf2(a)=M2. (3(h)
а а
Очевидно, М2 есть конечное положительное число, не зависящее от п. При
сделанных предположениях равенство (29) приводит к неравенству
S ХкА2к<М2,
к = 1
так как все числа X* положительны.
п
Это неравенство показывает, что ряд S ^кАк сходится для всякой
к = 1
функции f(x), удовлетворяющей условию Коши, коль скоро числа ри т
уравнений (25) подчинены неравенству
рт<0, (30)
а функция f(x) - предельному условию вида
/(6) — р/(д) = 0. (31)
14. Будем теперь искать интеграл уравнения (13) в виде ряда (132), за-
менив предельные условия (13t) п. 8 следующими:
V '(b) = pV(a), V '(b) = V'(а) + tV(a).
Для определения функции v0(*) получим в рассматриваемом случае, то
же уравнение (14) п. 8, а предельные условия (15) заменятся такими:
v0(Z>) = ри0(а), Vo(b)= ± Vo(fl) + rv0(a).
При этом из уравнения (16) выводим
ъ ъ
0 < f По (*) dx - ртi?o (а) + f q(x) Vq (х) dx =
а а
= f p(x)v0(x)pn(x)dx< Sn(f) . (32)
а
С другой стороны, формула (18)", справедливая для всяких фундамен-
тальных функций, приводится в рассматриваемом теперь случае к виду ♦•)
Sn (f) = - ртр„ (a) v0(a) +
ъ , ь
+ f v0(x)p„(x)dx + f q(x)v0(x)p„(x)dx.
a a
*) Функция q(x) предполагается неотрицательной в промежутке |а, 6].
**) Так как функция р„(х) удовлетворяет, в силу (25) и (31), условию р„(/>) -
-рри4«) = 0.
184
Отсюда при условии (30) выводим
Sп (f) < ( ~ PTPn (а) + / р? (x)dx+ f Дх) р2 (х) dx ) X
а а
х (- рп$(д) + f Vo (х) dx + f q(x) и§(д) dx ).
a a
Заметив, что, в силу (28), (29) и (30,),
~ртрп(а)+ f Pn(x)dx+ f q(x)p2(x)dx < M2,
a a
и приняв в расчет (32), получаем
5Я(Л<Л/2 ^=г (33)
v sn(f)
— неравенство того Же вида, как и для фундаментальных функций первого
класса (неравенство (22,) п. 10).
Из этого неравенства, повторив дословно рассуждения п. 10, выводим
следующее:
где № есть число, независящее от п. Отсюда заключаем, что любая полная
система фундаментальных функций второго класса рассматриваемой нами
группы ♦) замкнута по отношению ко всякой функции Дх), имеющей пер-
вую производную, интегрируемую в данном промежутке [д, 6], и удовлет-
воряющей условию (31).
1S. Легко освободиться от этого последнего ограничения. Пусть Дх) есть
какая угодно функция с интегрируемой в промежутке [а, 6] первой произ-
водной, но не удовлетворяющая условию (31). Возьмем полином
F(x)» а(х - д)2, (35)
где а есть некоторая постоянная. Определим а при помощи условия
F(a + е) = Дд + е),
где е есть некоторое наперед заданное положительное число. Получаем
ае2 = Дд + е), (36)
причем для значений х в промежутке от д до а + е будем иметь
max lF(x)|<|ale2 <М0, (36,)
где под М можем подразумевать max I Дх) I в промежутке [а.Ь ].
Точно так же, взяв полином
F,(x) = a,(Z>- х)2 (37)
и определив постоянную а( из условия Ft (b - е) = f(b - е), получим
<*1е2 = Д6-е), (37,)
*) Когда р(х) > 0, р(х) # 0, q(x) >0, рт< 0.
185
причем для промежутка от b - е до b будем иметь
max lF,(x) | < | а, 1е2 < Л/9. (372)
Составим теперь функцию ^(х), подчинив ее следующим условиям:
>p(x) = F(x) при д <х < а + е,
^>(x)^f(x) при д + е<х<6 - е, (38)
^(x) = Ft(x) при b-e<x<b.
Функция ^(х), очевидно, удовлетворяет условию
s5(Z>)-W(a) = O, (39)
ибо
^(д) = ч5(/>) = 0, (39,)
непрерывна и имеет интегрируемую в промежутке [а, 6] первую произ-
водную.
16. Так как функция ^(х), определяемая условиями (38), удовлетворя-
ет уравнению (39), то, как указано в предыдущем пункте,
М2
М*)< ’ <4°)
ТоП
где, на основании (30,) и (39,),
ь ь
М2 = S <p'2(x)dx + f q(x)y2(x)dx.
а а
Приняв в расчет (38), получаем
/ </2(x)dx = J F'2(x)dx +
а а
+ f f'2(x)dx + f F'2(x)dx.
a+e ft-e
Так как
F '(x) = 2a(x - a). F't(x) »- 2a, (6— x),
то, в силу (36,) и (372),
~г~ >
е2
4л, е4 4Л/о
—— < -----
е2 е2
,2(x)Jx< ----
и
я+е Ь
f F2 (х) dx + /
а Ь-е
Обозначив через Л/, max модуля /'(х) в промежутке [д, 6], получим
ь Ш
f <p2(x)dx< —— + M2(b-a).
а е
186
(41)
(42)
Следовательно,
М2 8^®. + (/о(6 _ а)Л/2 +Л/2(6 _ а)
е
ибо I <р(х) | <Л/0 в промежутке [а, 6]. Таким образом, можем написать
, т2А2 , ,
М2 < ------- + т2В2,
е
где А2 и В1 — две конечные положительные постоянные, и, в силу (40),
А2 В2
Sn (s’) < 2 + ~
еп1 п
17. Применяем теперь неравенство (27) п. 9 предыдущей главы к рас-
сматриваемому случаю. Имеем, в силу (360, (372) и (38),
J Р(х) (/(х) - <р(х))2 dx <4М2Рое.
а
Из неравенства (27) следует, что
ь
Sn (/) < 2S„(<р) + 2 f р(х) (Дх) - <Дх))2dx,
а
а отсюда, при помощи (41) и (42),
2А2 2В2
Sn (П < ~г + 8М5Рое + — •
еп* п*
Это неравенство имеет место при всяком п и при произвольно задан-
ном е . Положив е = 1/л, получим
W)< (43)
где К2 есть положительная постоянная, не зависящая от п.
Это неравенство показывает, что рассматриваемые нами фундаменталь-
ные функции второго класса образуют замкнутую систему по отношению
ко всякой функции Дх), имеющей интегрируемую производную в проме-
жутке [а. 6]. Отсюда, так же как и в п. 12, выводим следующую теорему:
Всякая полная система фундаментальных функций второго класса в слу-
чае, когда функции р(х) и q(x) и числа рит удовлетворяют условиям
p(x)>0, q(x)>0 в промежутке 6], (44)
рт<0,
есть система абсолютно замкнутая.
18. Полученный результат не представляет ничего нового и является част-
ным случаем общей теоремы, доказанной в предыдущей главе. Но неравен-
ства (43) и в особенности (34), которые в рассматриваемом случае приво-
дят к только что указанной теореме, не могут быть выведены из общих ис-
следований предыдущей главы.
187
Именно, имея в виду установить неравенство (34), мы и изложили осо-
бый прием доказательства теоремы предыдущего пункта. Важное значение
этого неравенства выяснится в последующих пунктах.
19. Рассмотрим, наконец, фундаментальные функции трех предельных
классов, соответствующие функциям р($) и q(х), подчиненным услови-
ям (44).
Очевидно, что для фундаментальных функций первого предельного клас-
са, удовлетворяющих условиям
М«) = 0. Vk(b) = Q (45)
(см. равенства (14) п. 6 гл. VI, условие
I ъ
м*ж;(х) <о
1 а
(см. п. 16 гл. IV) всегда соблюдается. Следовательно, все характеристичес-
кие числа Лк этих функций при выполнении условий (44) положительны.
Для фундаментальных функций второго и третьего предельных классов
в силу (15) и (16) гл. VI, п. 6, получаем
Vdx)Vi(x)\b =-7И^(в)<0,
если у > 0, и
Vk(x)Vk(x)\ = 0И£(д)<О,
1 а
если Р < 0. Поэтому все характеристические числа фундаментальных функ-
ций первого предельного класса при соблюдении условий (44) всегда по-
ложительны.
Характеристические числа функций второго предельного класса при тех
же условиях положительны, если у > 0, и, наконец, для фундаментальных
функций третьего предельного класса характеристические числа положи-
тельны, если /?<о.
20. Предположим, что функция /(х) удовлетворяет условиям
Ла) =/(*) = 0, (46)
и применим формулы (7) и (8) (п. 3) к фундаментальным функциям пер-
вого предельного класса. Получаем, в силу (45),
^|)(Л=/r'2(x)dx+J%(x)(r2(x)-pJ(x))dx- S \кА2к,
а а к= Г
т.е.
* (/) + f я(х) р2 (х) dx =
а
= f f'2(x)dx+ f q(x)f2(x)dx- Z XkAl.
a a *=1
188
Отсюда следует, что для фундаментальных функций первого предельного
класса (при условии <?(х)>0)
ZXlcA2k<M2,
k=l
где
ъ ь
М2 = J f'2(x)dx + f q(x)f2(x)dx
а а
есть конечная положительная постоянная, не зависящая от п, коль скоро
функция f(x), подчиненная условию Коши, удовлетворяет равенствам (46).
Заметив, что формула (461) получается из (9), если положить в послед-
ней а = /? = у = 0, легко понять, что все рассуждения пп. 4—13 применяются
с соответствующими упрощениями и к рассматриваемому случаю и приво-
дят к следующему заключению:
Для всякой полной системы фундаментальных функций первого пре-
дельного класса имеет место неравенство вида
S„(f)<N3ln2, (47)
где N2 есть положительная, не зависящая от п постоянная, коль скоро
функция /(х) удовлетворяет неравенству Коши и условиям (46).
21. Для фундаментальных функций второго предельного класса, подчи-
ненных условиям (15) гл. VI,
М*) = 0, Vi(d) = yVk(a),
равенства (7) и (8) дают
5и0(/)+ f 4(x)p2(x)dx + yp2(a) =
а
= ff’2(x)dx + f q(x)f2(x)dx+yf2(a)- S
a a k = I
если предположить, что
Г(*) = 0. (48)
Предыдущее равенство отличается от (9) п. 4 лишь отсутствием членов,
зависящих от постоянных множителей а и 0.
Прц условии
у>0, q(x)>0 (49)
оно приводит к неравенству
S ХЛА1<М2, (50)
k = 1
где
М2 = f f2 (х) dx + f q(x)f2 (x) dx + yf2 (a) (50,)
a a
есть конечная положительная постоянная, не зависящая от п.
189
Все дальнейшие рассуждения пп. 4-13, очевидно, приложимы и к рас-
сматриваемому теперь случаю и приводят к следующему результату:
Если в предельных условиях, характеризующих фундаментальные
функции второго предельного класса, постоянная у неотрицательна и
q(x)>0,ro
S„(f)<N3/n2, (47)
какова бы ни была функция f(x), удовлетворяющая условию Коши и ра-
венству (48).
22. Наконец, в случае фундаментальных функций третьего предельного
класса, подчиненных условиям (16) гл, VI
Г*(«) = 0,
из (7) и (8) выводим
sV’СО + f d(x)fln(x)dx - fy£(b) =
b b . _ n
= f f'2(x)dx + f q(x)f2(x)dx - 0f2(b)- S \kA2k, (502)
a a fc= I
если предположить, что
/(<0 = 0. (51)
Отсюда следует, что если
0<О, <7(х)>0, (52)
то
S \kA2k<M2,
k = I
где
ь ь
M2 = f f'2(x)dx + f q(x)f2(x)dx - tf2(b)
a a
есть конечная положительная постоянная, не зависящая от п.
Все рассуждения пп. 4-13 также приложимы и к рассматриваемому слу-
чаю и приводят к следующему результату:
Если в предельных условиях, характеризующих фундаментальные функ-
ции третьего предельного класса, постоянная Р неположительна и q(x)>0, то
Н3/п2, (47)
какова бы ни была функция f(x), удовлетворяющая условию Коши и ра-
венству (51).
23. При помощи неравенства (47), заметим между прочим, легко выво-
дится приемами, аналогичными изложенному в пп. 15 — 18, следующая тео-
рема:
Всякая полная система фундаментальных функций каждого из трех пре-
дельных классов, характеристические числа которых положительны, есть
система абсолютно замкнутая.
190
Теорема эта является, очевидно, частным случаем общей теоремы, дока-
занной иным приемом в предыдущей главе.
24. Будем теперь рассматривать совместно такие полные системы фунда-
ментальных функций пяти различных классов, все характеристические чис-
ла которых неотрицательны, т.е. будем всегда предполагать, что
p(x)>0, q(x)>0
и что постоянные а, /3, у, р, т для каждого из пяти рассматриваемых клас-
сов удовлетворяют соответственно услогиям (1) и (2) п. 1.
Под функцией f(x) будем подразумевать функцию, удовлетворяющую
условию Коши во всех пяти случаях и соответственно предельному усло-
вию (31), если речь идет о фундаментальных функциях второго класса,
условиям (46), когда речь идет о фундаментальных функциях первого пре-
дельного класса, условию (48) для фундаментальных функций второго и
условию (51) для функций третьего предельного класса.
Для всякой такой системы фундаментальных функций и соответствую-
щей функции f(x), подчиненной только что указанным условиям, ряд
S IА к I будет сходящимся, причем при всяком п
k = 1
S Xic Al^M2, (53)
к = 1
а квадратичная погрешность S„(f) будет удовлетворять одному и тому же
неравенству вида
Sn(f)< N2/n2. (54)
Кроме того, из формул (9), (28) и (29), (46J, (47^ и (502) будет
следовать, что во всех рассматриваемых случаях
S<"(f)<M2. (55)
25. Воспользуемся снова тождеством (36) п. 11 гл. IX, которое дает
Рп Й) < (х) + 2 V / pj (х) dx >/ / p„(x)dx \ (56)
I £
Предположим, что функция р(х), оставаясь неотрицательной в [а, 6] об-
ращается в нуль в некотором числе m точек at, а2, ..., ат.
Исключим из всей совокупности точек, принадлежащих промежутку
[а, 6], все точки промежутков
[ttj -8, at + 8], [а2 -8, а2 +8), ., [am - 8, ат +8],
где 8 есть некоторое наперед заданное достаточно малое число. Во всех точ-
ках оставшихся промежутков
[а, а, -6], [а, +8, а2 — 5]. ..., fam +8,6] (57)
функция р(х) нигде не обращается в нуль и в каждом из них имеет опреде-
ленный минимум не равный нулю. Возьмем какой-либо из этих проме-
жутков
[afc +8, afc+1 —8]. (58)
*) Под £ и х подразумеваем две какие-либо точки промежутка |a, b ].
1Я
Если условимся считать, что
«о+5=а, am+i—b=b,
то, давая в интервале (58) числу к все значения от 0 до т, исчерпаем все по
порядку интервалы (57). Обозначим через рк inin р(х) в промежутке (58},
через Ро - наименьшее из всех значений рк (к = 0,1,2, ..., т).
Предположим, что £ и х суть две точки, принадлежащие промежутку
(58). Можем писать
7 р?, (х) dx = f -J— р(х) р2 (х) dx <
f f P(x)
< — 7 p(x)p*(x)dx< — £„(/)•
Pk $ Pk
Кроме того, очевидно,
7 p;2(x)dx<S<‘>(/)<№.
Неравенство (56), примененное к любой паре точек $ и х, принадлежащих
промежутку (58), дает
, , 2М --------------,
P2nG)<P2n(x) + —==ry/Wfl
<Рк
Умножив это неравенство на p(x)dx и проинтегрировав результат по
всему промежутку (58), получим
“*+| - 6 <**+1 - 8
Рп(£) I p(x)dx< f p(x)pi„(x)dx +
Л/q + b Ot/Q + 6
7 M 1 — 6
+ / P(x)dx.
VPk “fc + e
Отсюда
, S„(/) 2M ,___________,
P$(O < ~~ +
Л yjrk
«fc+1-8
где положено К = / p(x)dx. Но, очевидно, K>pk(ak+i - ak)>pkat
ak + 8
где а означает длину наименьшего из промежутков [а*, аЛ+1 ] не равно по
предположению нулю ни при каком к. Поэтому для любой точки £ проме-
жутка (58)
S,Af) 2М _________,
Р^(1) < ~- + “7=г
арк VPk
и,следовательно,
Sntf) 2М Z - А» Z-Q4
Рл(О < —Т— + ~7==Г V Sn(f). (ЗУ)
«Ро V Ро
192
Это неравенство справедливо для любой точки $ любого из промежутков
(57), т.е. для любой точки совокупности Е точек, образуемой промежутка-
ми (57), общая длина которых равна b - а - 2т6. Предыдущее неравенст-
во при помощи (47) приводится к такому:
РЙ«) <
N \ £2
---= + 2М =
пау Ро / п
(59,)
где под £? можно, очевидно, подразумевать, положительное число, не зави-
сящее от п, ибо
N / N \ N / N \
___ ----— + 2МI < —— I ----------— + 2М I
уРо \ nay/P^ / \ а-у/Ро /
при всяком п > 1.
Неравенство (59,) дает
lp»tt)l < Ltsfn (60)
для всякой точки $ совокупности Е. Отсюда заключаем, что ряд
Е AkVk(x), Ак = } p(x)f(x)Vk(x)dx.
к = 1 а
сходится равномерно во всех точках совокупности Е для всех фундамен-
тальных функций рассматриваемого нами типа, коль скоро функция f(x)
удовлетворяет неравенству Коши и соответствующим условиям п. 24.
Сумма этого ряда равна f(x) в любой точке х совокупности Е, и погреш-
ность приближенного вычисления этой функции при помощи суммы
П ‘
AkVk (х) для всех точек совокупности Е численно меньше, чем L/\jn.
k = 1
26. Для задач математической физики наибольший интерес представляет,
как упоминалось выше, случай, когда р(х) не обращается в нуль ни в од-
ной из точек промежутка [а, 6]. В этом случае неравенство (59) справедли-
во для любой точки промежутка [а, 6], причем под Ро следует подразуме-
вать наименьшее значение р(х) в этом промежутке. Неравенство (60), сле-
довательно, имеет место для любой точки промежутка [а, 6] и приводит к
следующей теореме:
Всякая функция f(x), удовлетворяющая неравенству Коши и соответст-
вующим предельным условиям п. 24, разлагается во всем промежутке
[а, 6] в равномерно сходящийся ряд вида
/(*) = S AkVk(x),
k= 1
причем численная величина погрешности приближенного вычисления функ-
ции f(x) при помощи суммы S A kVk(x) не превосходит числа L/\fn, где
k= 1
L есть конечное положительное число, не зависящее от п.
Эта теорема справедлива для всех фундаментальных функций п. 24, все
характеристические числа которых неотрицательны, а функция р(х) не об-
ращается в нуль ни в одной из точек промежутка [a, 6].
193
Таким образом, примененный в этой главе метод не только дает теорему
о разложении заданной функции Дх) в ряд Фурье, расположенный по фун-
даментальным функциям с неотрицательными характеристическими числа-
ми, но и высший предел модуля остаточного члена этого разложения, поря-
док которого оказывается не ниже 1/х/и'-
27. Если оставить в стороне вопрос об определении высшего преде-
ла погрешности, то возможность разложения произвольных функций
в ряды по функциям Vk (х), рассматриваемый в этой главе, может быть
установлена при более общих предположениях относительно функ-
ций р(х).
В п. 5 гл. IX было показано, что всякая фундаментальная функция Vk(x )
удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
ь
Vk(х) = X* / P(?)\l/(x, $)И*«) df, (60,)
а
где ф(х, $) есть функция отхи£, определяемая формулами (38'),
(38") и (38'") п. 13 гл. V.
Будем рассматривать ф(х, %) как функцию переменной $ в промежутке
[a, dj. Нетрудно убедиться, что ф(х, |) остается непрерывной относитель-
но | при всяком значении х, взятом в промежутке [а, Ь], и имеет в этом
промежутке интегрируемую производную по £, причем
ь , ь
/ф2(х,£)<Ц<А, f ф?(х,()<Ц<А,
а а
где А есть число, не зависящее от х, а ф* (х, $) означает первую производ-
ную от ф(х, £)> взятую по переменной Кроме того, нетрудно удостове-
риться, что для фундаментальных функций второго класса функция
i//(x, £) Удовлетворяет условию
ф(х, Ь)-рф(х,а) = 0
при всяком х, для фундаментальных функций первого предельного класса
условиям ф(х, Ь) = 0, ф(х, а) = 0 и для фундаментальных функций второго
и третьего предельных классов соответственно условиям
ф(х, Z>) = 0 и ф(х, а) = 0.
28. Рассматривая теперь х как параметр, положим
п
Ф(Х,^= S Bk(x)VkW + p„(&,
к= 1
где
Вк(х) = f р(1-)ф(х, |) Vk (|)dt (61)
а
Принимая во внимание сказанное в предыдущем пункте, убеждаемся,
что к функции ф(х, I) применимо неравенство (53) п. 24, т.е. при всяком п
п п / ь \2
S ХкВ2к(х) = S Хк ( f p(^(x,l)Vk(H)dH] <№(х), (62)
к=1 fc= I \ а /
194
где под№(х) следует подразумевать выражение
М2(х) = f ф? (х. £)d£+f q(f )фг(х, Оdl +
а а
+ 7^2(х, а) — 0ф2(х, Ь) — 2аф(х, а) ф(х, Ь) (63)
для функций первого класса и
№(х)= / ф'$ (х, $)dt+ f ц(£)ф2(х, I-) dl-— ртф2 (х, а)
а а
для функций второго класса.
Для фундаментальных функций трех предельных классов можем при-
нять, согласно с изложенным выше, то же выражение (63), условившись
считать: для функций первого предельного класса а = 0 = у = 0, для функ-
ций второго предельного класса а = 0 = 0 и для функций третьего предель-
ного класса а = у = 0.
Принимая в расчет свойства функции ф(х, £), указанные в предыдущем
пункте, заключаем, что во всех случаях
М2(х) <М2,
где Л/2 есть число, не зависящее ни от п, ни от х. Формулу (62) можем за-
менить следующей:
S ХкВ2к(х) < М2 (64)
к = 1
при всяком х, принадлежащем промежутку [а, 6].
29. При помощи (60() и (61) ряд
•о Ь
2 Ак Vk (х), Ак = f р(х) Дх) Vk(х) dx,
к~ 1 а
можно представить в виде
2 AkVk(x)= S *кАкВк(х). (65)
*=1 к= I
Имеем
X*.
Хк UkBk(x) I < у (Ак + Вк(х)).
Так как ряд S ХкЛк, как доказано выше, сходится, а ряд S \кВ2к(х)
к=1 к=1
сходится в силу (64), то ряд (65) сходится абсолютно при всяком х в про-
межутке [а, Ь].
Легко видеть, что этот ряд сходится и равномерно в рассматриваемом
промежутке. В силу сходимости ряда (65) можем писать
2 AkVk(x)= S AkVk(x)+R„(x),
k=l fc=l
195
где/?„(*)= S X*Л*£*(*).Но
* = л+1
1Яй(х)|<( S ЪсАТД* ( S Х*^(х))Й
\ к = п +1 / \ к = п+ 1 /
В силу (64) имеем
S ХкВгк(х) < S \кВгк{х)<Мг.
*ЧЛ+1 *=1
С другой стороны, ряд S ЬкА% есть по предыдущему ряд сходящийся.
к = I
Следовательно, при всяком и, большим некоторого числа л0, можем по-
ложить
„ ,2
°® <» €
S ХкЛ* < —- при л>л0.
к = п+1 Мг
Из сказанного следует, что
1Л„(х)|<е при л>л0,
где е — наперед заданное положительное число. Это неравенство показы-
вает, что при сделанных в п. 24 условиях относительно функции f(x)pad
2 AkYkifr («)
к= I
сходится абсолютно и равномерно во всем промежутке [а, Ь] для всех фун-
даментальных функций ,с неотрицательными характеристическими числами.
30. Если применим теперь в расчет только что доказанное предложение в
общую теорему п. 3 гл. IX, то придем к следующей теореме:
Всякая функция f(x), удовлетворяющая неравенству Коши, разлагается
во всем промежутке [а, Ь] в абсолютно и равномерно сходящийся ряд вида
f(x)= S АкУк(х), Ak = f p(x)f(x)rk(x)dx, (66)
k= 1 a
no фундаментальным функциям Vk(x) первого класса, коль скоро функ-
ции р(х) и q(x) и постоянные а, Р, у, входящие в дифференциальные урав-
нения и предельные условия, определяющие эти функции, удовлетворяют
условиям
р(х)>0, <?(х)>0 при а<х<Ь, (67)
0<О, у>0, <?+0-у<О.
Всякая функция f(x), удовлетворяющая неравенству Коши и условию
f(b)—pf(a) = 0,
разлагается во всем промежутке 6] в абсолютно и равномерно сходя-
щийся ряд вида (66) по фундаментальным функциям Vk(x) второго клас-
са, коль скоро функции р(х) и q(x) удовлетворяют условиям (67), а по-
стоянные р и т соответствующих предельных условий - неравенству
рт<0.
196
Всякая функция f(x), подчиненная неравенству Коши и условиям
f(p) = Г(д) = О,
разлагается во всем промежутке [а, Л] в абсолютно и равномерно сходя-
щийся ряд вида (66) по фундаментальным функциям первого пре-
дельного класса, коль скоро функции р(х) и q(x) удовлетворяют ус-
ловиям (67).
Всякая функция f(x), подчиненная условию Коши и следующему: f(b) =
= О, разлагается во всем промежутке [а, 6| в абсолютно и равномерно схо-
дящийся ряд вида (66) по фундаментальным функциям И*(х) второго
предельного класса, если функции р(х) и q(x) удовлетворяют неравенст-
вам (67), а постоянная у соответствующих предельных условий - неравен-
ству 7>0.
Наконец, всякая функция f(x), удовлетворяющая условию Коши и сле-
дующему:
Я«) = О,
разлагается во всем промежутке [a, Z>] в абсолютно и равномерно сходя-
щийся ряд вида (66) по фундаментальным функциям Vk (х) третьего пре-
дельного класса, если функции р(х) и q(x) удовлетворяют неравенствам
(67), а постоянная & соответствующих предельных условий - следующе-
му: 0<О.
31. Заметим, что эту теорему можно вывести, не прибегая к теореме п. 3
гл. IX (относящейся специально к фундаментальным функциям И*(х)),
при помощи одной общей теоремы, справедливой для какой угодно абсо-
лютно замкнутой системы ортогональных и нормальных функций.
Пусть
ч?1 (*). • •., <^*(х), ... (68)
есть такая система; пустьр(х)>0 есть ее характеристическая функция,
так что
ь
f Р(х) ч>т (х) ч>п (х) dx = 0. т* п,
а
Ь
J P(x)^k(x)dx = 1.
а
Пусть/(х) — какая-либо функция, интегрируемая в промежутке (а, 6].
Положив
п ь
f(x)= S Akq>k(x) + pn(x). Ak- f p(x)f(x)<pk(x)dx, (69)
k = I a
будем иметь, в силу абсолютной замкнутости системы (68),
*
Sn(f)= J p(x)p2(x)dx<e2 при п>п9. (70)
Пусть 0(х) есть какая угодно другая функция, интегрируемая в промежут-
ке [а, 6]. Умножив (69) нар(х)0(х) и интегрируя результат отв до Ь,
197
получим
b п b
J P(x)&(x)( f(x)_ S Ak<pk(x))dx = f p(x)&(x)p„(x)dx, (71)
a k = 1 a
I f P(x)e(x)p„(x)dx | <
a
< y/Sn(f)' V f p(x)02(x)dx < Ae при n>n0, (711)
a
где
A2 = f p(x)G2 (x) dx
a
есть конечное число, не зависящее от и.
Предположим, что функция f(x) непрерывна в промежутке [а, Л] и та-
кова, что ряд
2 Ак*к(х) (72)
* = I
сходится равномерно в некотором промежутке [а, 0], лежащем внутри
[а, 6], и представляет собой некоторую непрерывную функцию в этом про-
межутке, которую обозначим через F(x), так что
" п
F(x)= S Akfk(x)» S Ак<рк(х)+Rn(x), (73)
*=1 k = 1
причем в силу равномерной сходимости ряда (79) будем иметь
1Я„(х)| < е при и>и0. а<х<0. (74)
Предположим, что
0(х) = О при а<х<а и 0<х<6, (75)
а в промежутке [а, 0] принимает какие угодно значения. При помощи (73)
и (75) выведем из (71) и (71 *)
е
I f р(х) 0(х) (/(х) - F(x)) dx I <
Ot
0
< I j Р(х)в(х)Кп(х^х I + Ae.
Ot
Но, в силу (74),
, b \2
( f p(x)&(x)R„(x)dx I <
\ a /
< Л2 j p(x)R2 (x)dx < A2Q2e2 при л>и0.
Ot
i9a
Следовательно,
U
| f p(x)0(x)(f(x) - F(x))dx i <
а
<Л(С + 1)е = е' при и>л0,
какова бы ни была функция 0(х), интегрируемая в промежутке [а, 0]. По-
ложим
©(*)= f(x)-F(x).
Получим из (76)
/p(x)(/(x)-F(x))2dx = 0,
Ot
откуда в силу непрерывности функций /(х) и F(x) выводим
/(x) = F(x) = S Л*^(х)
*= 1
для всех точек х промежутка [а, 0].
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Для какой угодно абсолютно замкнутой системы ортогональных и нор-
мальных в промежутке [а,Ь] функций 'Pk(x) (k = 1, 2, 3, ...) с характери-
стической функцией р(х), неотрицательной в [а, 6], в любом промежутке
[а, 0], лежащем внутри [а, 6], имеет место (равномерное) разложение вида
f(x)= S Akfk(x), Ak= f p(x)f(x)Vk(x)dx,
k = 1 a
если непрерывная функция f(x) такова, что ряд S Я*^(х) сходится рав-
к = 1
номерно в промежутке [а, 0].
32. Эта теорема, непосредственно вытекающая из теории замкнутости,
значительно упрощает решение многих вопросов о разложении непрерыв-
ных функций в ряды типа Фурье, расположенные по функциям <рк (*) даи-
ного вида, образующим ортогональную и абсолютно замкнутую систему.
Пользуясь этой теоремой, нет надобности производить суммирование
данного ряда, а достаточно лишь доказать его равномерную сходимость,
чтобы сейчас же заключить отсюда, что сумма его равна действительно дан-
ной функции /(х) для всех значений х, где ряд, о котором идет речь, схо-
дится равномерно.
Примером применения указанной теоремы может служить и теорема,
установленная в п. 30. В самом деле, выше было установлено, что все фун-
даментальные функции ИЛ(х) образуют абсолютно замкнутую систему.
С другой стороны, в конце п. 29 доказано, что для всех фундаментальных
функций, рассматриваемых в этой главе, ряд (а) сходится равномерно во
всем промежутке [а, 6], коль скоро функция /(х) удовлетворяет условиям
п. 30 (или 24).
Из сопоставления этих предложений и только что доказанной общей тео-
ремы сейчас же и выводится теорема, приведенная в п. 30.
199
33. Вопрос о разложении произвольных функций в ряды типа Фурье по
фундаментальным функциям Vk (х) можно считать разрешенным в общем
виде при достаточно общих предположениях относительно разлагаемой
функции /(х).
Единственным ограничением, как видно из предыдущего, является тре-
бование, что функция /'(х) удовлетворяла неравенству Коши, которое мож-
но считать выполняющимся в большинстве практических приложений (ког-
да, например, кривая задается чертежом).
Весьма важным преимуществом изложенных выше методов является и
та общность условий относительно функций р(х) и г/(х), при которых ре-
шается задача. В большинстве случаев эти функции, имеющие определенный
физический смысл, задаются эмпирически и в большинстве случаев удов-
летворяют лишь условию непрерывности, т.е. тому единственному усло-
вию*) , которого и требует изложенный выше анализ.
34. Первые попытки решения задачи (В) в 1837 г. (Journal de Liouville,
T.J, II) для частного случая фундаментальных функций первого класса, когда
а = 0, 0<О. 7>0,
принадлежат Лиувиллю. Но прием Лиувилля оказался неудовлетворитель-
ным и задача оставалась нерешенной в течение 60 лет/
В 1896г. в статье ’’Задача об охлаждении неоднородного твердого стерж-
ня” (Сообщ. Харьк. Общ.) я дал ее решение, развив соответствующим об-
разом метод, который я назвал методом Шварца — Пуанкаре, при сравни-
тельно общих предположениях относительно разлагаемой функции /(х) и
функций р(х)и<?(х).
Эти первоначальные исследования получили затем дальнейшее развитие в
упомянутом в п. 9 гл. V мемуаре ’’Probleme de refroidissement d’une barre
h&drogfcne” и затем в заметке ”Sur un probldme d’Analyse intimemete lie*
avec le probleme de refroidissement d’une barre Mtdrogine” в Comptes Ren-
dus (8 avril, 1907). В этих статьях я ограничивался исключительно частным
случаем функций Штурма — Лиувилля.
Обобщение этого метода на случай каких угодно фундаментальных функ-
ций с неотрицательными характеристическими числами и ее усовершенство-
вание составляют предмет настоящей главы этого сочинения.
В 1913 г. я предложил другой прием решения задачи (В), также осно-
ванный на теории замкнутости, но применимый ко всем фундаментальным
функциям Г*(х) без только что упомянутого ограничения характеристи-
ческих чисел**) .Гл.IX настоящего сочинения дает изложение этого послед-
него метода в усовершенствованном и обобщенном виде.
35. Существуют и другие приемы решения рассматриваемой задачи, осно-
ванные на так называемом асимптотическом представлении функций данно-
го вида, по которым производится разложение в ряды типа Фурье произ-
*) Нс считая условия положительности этих функций, которое не может доставить
никаких затруднений в практических приложениях. .
Предыдущий анализ можно распространить и на некоторые случаи прерывных
функций р (х) и q (х), ио на этом мы не будем останавливаться.
**) W. Stekloff (V. Steklov). Sur certaines questions qui se rattachent a plusieurs
problemes de la Physique Mathdmatique (cm. n. 9 гл. V).
200
вольно заданных функций. Одним из таких приемов пытался решить задачу
и сам Лиувилль.
Обобщение и развитие идей Лиувилля, давшие строгое решение задачи в
случае функций Штурма - Лиувилля, принадлежат А. Кнезеру (Mathem, Ап-
nalen, Bd. 58,60 и 63), который пользовался в своих исследованиях мето-
дами Дю-Буа-Реймона и Дини.
В 1907 г. в мемуаре ”Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions,
definies par les equations differentielles lineaires du second ordre etc.” (Сообщ.
Харьк. Мат. Общ., 1907) я распространил метод О. Бонз и Г. Дарбу для поли-
номов Лежандра и Якоби на многие другие случаи и, в частности, на вывод
асимптотических выражений для функций Штурма — Лиувилля. Пользуясь
этими выражениями и теорией замкнутости, я дал особый метод решения
задачи (В) с той же общностью, какая достигнута в настоящее время для
обыкновенных тригонометрических рядов Фурье.
В заметке, появившейся в 1910 г. в Rendic. d. R. Accad. dei Lincei (’’So-
lution generate du probleme de developpement d'une fonction arbitraire en series
suivant les fonctions de Sturm — Liouville”), этот метод был затем мною
значительно упрощен и обобщен.
36. Во всех разнообразных методах упомянутых выше авторов и в тео-
рии, изложенной в настоящем сочинении, существенную роль играют усло-
вия ортогональности рассматриваемых фундаментальных функций, на что
обращено особое внимание в гл VIII. Распространение этой теории на са-
мый общий случай, когда в предельных уравнениях, характеризующих фун-
даментальные функции, условия ортогональности не соблюдаются, пред-
ставляется крайне затруднительным.
Но в применении к математической физике такого рода обобщения и не
имеют особого значения: во всех задачах, как указано выше (гл. V, п. 2),
условия ортогональности выполняются и являются, таким образом, естест-
венным следствием физического смысла этих задач.
Далее, во всех известных или мыслимых задачах математической физики
фундаментальные функции и им соответствующие характеристические чис-
ла должны быть вещественными (в большинстве случаев последние, кроме
того, положительными). Это обстоятельство, как показано в гл. VIII, мо-
жет не иметь места при несоблюдении условий ортогональности.
Наконец, в этом последнем случае станет сомнительной и сама опреде-
ленность физической задачи даже в том предположении, что соответствую-
щие характеристические числа и фундаментальные функции окажутся все
вещественными, в чем легко убедиться из рассуждений гл. IV и V.
37. Однако с точки зрения чистого анализа изучение вопроса в самом об-
щем виде не лишено интереса, но требует применения особых, более общих
методов.
Один такой метод был намечен еще Коши в 1827 г. в "Memoire sur 1’appli-
cation du calcul des residus a la solution des problemes de Physique Mathe'mati-
que” и применен А. Пуанкаре к решению задачи (В) (при исследовании не-
которых аналогичных вопросов в пространстве трех измерений) в его из-
вестном мемуаре ”Sur les equations de la Physique Mathematique” (Rendic. di
Palermo, 1894).
Этот метод получил дальнейшее развитие и обобщение в работах Биркго-
фа (Trans. Americ. Society, 1908, и Rendic. di Palermo, 1913),атакжевдис-
201
сертации Я.Д. Тамаркина ”0 некоторых общих задачах теории обыкно-
венных линейных уравнений и о разложении произвольных функций в
ряды” (Петроград, 1917). В этих исследованиях рассматриваются особого
рода частные решения дифференциальных линейных уравнений какого
угодно порядка, коэффициенты которых зависят от некоторого параметра.
Для случая уравнений второго порядка, при соблюдении условий ортого-
нальности и при некоторых других частных предположениях, эти решения
обращаются в фундаментальные функции Vk (х) рассматриваемые в настоя-
щем сочинении. Задача (В) решается в общем виде, причем получаются раз-
ложения, вообще говоря, отличные от разложений типа Фурье, которые
могут совпадать с последними лишь при выполнении только что упомяну-
тых дополнительных ограничений. В частном случае дифференциальных
уравнений второго порядка получаются при этом результаты, аналогичные
тем, которые даны мною в статьях, указанных в конце п. 35.
38. Таким образом, изыскания, основанные на идеях, отличаются весьма
большой общностью, вводя в круг исследований такие вопросы, которые
не поддаются решению при помощи методов, изложенных в настоящем со-
чинении. Но если ограничиться конкретным случаем рассматриваемых нами
ортогональных фундаментальных функций Ук(х), то методы, употреблен-
ные нами, окажутся более выгодными во многих отношениях.
Во-первых, анализ представляется несравненно более простым, не тре-
бующих тех сложных рассуждений весьма общего характера, которые в
применении к рассматриваемому нами конкретному случаю не дают ничего
нового.
Во-вторых, наш анализ при всей своей простоте приводит к результатам в
некоторых отношениях более общим, которые не могут быть получены при
помощи методов, основанных на идеях Коши — Пуанкаре.
Благодаря неизбежному для этих методов употреблению асимптотичес-
ких выражений функций Ук (х) приходится рассматривать лишь ограничен-
ный класс этих функций, характеристическая функция которых р(х) оста-
ется положительной, не обращаясь в нуль ни в одной из точек данного про-
межутка, и притом допускает непрерывные производные двух первых по-
рядков.
По крайней мере, известные в настоящее время приемы вывода соответ-
ствующих асимптотических выражений для функций Ук(х) справедливы
лишь при соблюдении только что указанных ограничений относительно
функции р(х).
Предложенные нами методы не нуждаются в выводе асимптотических
выражений для функций Ук(х), который и сам по себе представляется до-
вольно сложным, распространяются на все случаи, когда функция р(х) ос-
тается положительной и только непрерывной в данном промежутке, а для
случая фундаментальных функций с заведомо неотрицательными характе-
ристическими числами требуется лишь, чтобы функция р(х) была непре-
рывна и неотрицательна.
Все эти случаи в силу сказанного выше исключаются из рассмотрения
при употреблении методов Коши — Пуанкаре, а эти-то случаи и представля-
ют наибольший интерес в приложениях к математической физике.
Наконец, в-третьих, предложенный нами метод, основанный исключи-
тельно на теории замкнутости, не только доказывает возможность самого
202
разложения данной функции по функциям ИЛ(х), но во многих случаях
дает возможность определить размеры погрешности, которая совершается
при этом разложении, если остановить его на каком-нибудь л-м члене, чего
опять-таки не дает метод Коши - Пуанкаре.
Правда, выигрывая в простоте анализа, в общности предположений отно-
сительно свойств характеристической функции р(х) и т.д., мы несколько
теряем в общности тех условий, которым приходится подчинять разлагае-
мую функцию.
Мы разрешаем задачу (В) в предположении, что эта функция удов-
летворяет условию Коши, а методы более общего характера, о кото-
рых идет речь, требуют для равномерности разложения, чтобы разлагаемая
функция была только непрерывна и ограниченной вариации. Но, во-первых,
различие между этими двумя условиями мало чувствительно, а во-вторых,
в применении к задачам математической физики наше условие, само по себе
достаточно общее, оказывается более чем достаточным.
Принимая во внимание все сказанное выше и то обстоятельство, что
главной целью нашего сочинения является изучение таких вопросов интег-
рирования дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными
производными), которые, представляя интерес с точки зрения чистого ана-
лиза, находили бы ближайшее к основным задачам-математической физики,
мы не будем останавливаться на сложных изысканиях упомянутого выше
общего характера, имеющих по преимуществу отвлеченно-математический
интерес.
ГЛАВА XI
Приложение предыдущей теории к решению
основных задач математической физики для тел линейных размеров.
Задачи первого типа, дифференциальные уравнения
которых содержат только первую производную
по времени от искомых функций. Задачи второго типа,
характеризуемые дифференциальными уравнениями,
содержащими только вторую производную
по времени от неизвестных функций.
Условия определенности решения рассматриваемых задач.
Приемы их решения
1. В гл. III мы установили подразделение главнейших задач математичес-
кой физики на три типа (п. 10 гл. П1). Припоминая теперь все изложенное
в гл. III и IV, мы можем формулировать это подразделение следующим
образом.
К первому типу относятся задачи, когда требуется определить неизвест-
ную функцию U от двух переменных t и х, удовлетворяющую при всех по-
ложительных значениях t (время) и значениях х, заключенных в данном
промежутке [а, й], дифференциальному уравнению
bU d1 2U
Р(х) - q(x)U, (Л)
dt дхг
203
начальному условию
U\t=0 = f(x) (1)
и предельным условиям двух следующих классов:
bU(b, t)
—---------a(J(a, Т) - fi[J(b, t) = О,
Эх
(а)
dU(a, Ь)
—-------- - yU(a, t) + aU(b, t) = О,
Эх
или
U(b, t) = pU(a, t),
(о)
Эх p dx
где a, fi, у, p, т суть постоянные, которые в предельных случаях могут об-
ращаться в нуль или в бесконечность. По самому физическому смыслу за-
дач нужно при этом допустить, что эти постоянные в условиях (а) удовлет-
воряют неравенствам
fi<Q, 7>0, а2 +0у<О. (2)
причем знаку равенства в одном из первых двух из этих соотношений дол-
жен соответствовать знак равенства в третьем, а в условиях (Ь) - нера-
венству
рт<0. (2,)
Что же касается функций р(х) и q(x) в уравнении (А), то они должны
быть положительными и неопределенными в промежутке {а, Л].
В этой общей задаче заключаются все различные физические задачи, отно-
сящиеся к теории теплоты, т.е. задачи, в которых изучаются законы тепло-
вых явлений в телах линейных измерений.
2. Ко второму типу задач относятся задачи, когда искомая функция U от
тех же переменных t и х удовлетворяет уравнению
d2U д2 U
Р(х) —р = —у - q(x) U, (В)
Ъг Эх2
следующим начальным условиям:
ъи
U\^o=f(x), = Л(х) (3)
Э/ ,= 0
и предельным условиям того же самого вида (а) или (Ь), что и в предыду-
щем случае, и при тех же самых предположениях относительно постоянных
a, fi, у,р,т и функций р(х) и </(х).
К этому типу принадлежат различные задачи теории звука (упругости),
света, электричества и магнетизма.
3. Наконец, к третьему типу можно отнести всевозможные задачи о так
называемых установившихся процессах.
204
При этом определение неизвестной функции, не зависящей от времени t,
приводится к интегрированию обыкновенного линейного уравнения вида
Э21/(х)
-4-1 — <?(х) 1/(х) = 0.
dx
Начальные условия при этом сами собой отпадают, а предельные условия
(а) и (Ь) заменяются некоторыми другими. Самый общий вид этих усло-
вий получится, если в правых частях равенств (а) и (Ь) заменим нули за-
данными постоянными, а функцию U(x, t) двух переменных t и х - функ-
цией U(х), зависящей только от х.
Очевидно, что задачи этого типа (об установившихся процессах) для тел
линейных размеров особого интереса не представляют и разрешаются весь-
ма просто на основании начал общей теории интегрирования обыкновенных
линейных уравнений, почему мы на них и не будем останавливаться.
4. Рассмотрим задачу первого типа.
В п. 12 и 13 гл. IV был уже указан общий прием ее решения. Все дело
сводится к определению фундаментальных функций Vk (х) и характеристи-
ческих чисел \к. Коль скоро последние найдены, то искомое решение пред-
ставится формулой (23) п. 13 гл. IV, если выберем постоянные Ак так,
чтобы имело место разложение (24) п. 14 той же главы. Существование ха-
рактеристических чисел Хк и им соответствующих фундаментальных функ-
ций и общие приемы их определения установлены исследованиями
гл. V - VIII.
Вопрос о возможности разложения вида (24) разрешен в гл. IX и X, при-
чем нужно предположить, что заданная функция /(х) удовлетворяет усло-
виям теоремы п. 30 гл. X, каковые будем предполагать выполненными.
Задача будет решена во всех случаях, когда мы докажем, что ряд
U(t,x)~ S Аке~^ Vk(x\ (4)
*= 1
где теперь должны положить
Ак= f p(x)f(x)Vk(x)dx,
а
и ряды, которые получаются из него почленным дифференцированием один
раз по переменной t и дважды по переменной х, сходятся равномерно при
всех положительных. значениях t и при всех значениях х, принадлежащих
промежутку [a, й].
Действительно, коль скоро это будет доказано, то на основании извест-
ной теоремы будем иметь
3f/(x, г) х
-------- =- S Ак\ке~К*ъ И*(х), (5)
dt л = 1
d2U(x,t) ~ &Vk(x)
--2 - S Ак . 2 . (7) Эх л=1 ох
205
Так как уравнение (В) по физическому смыслу задачи должно удовлет-
воряться для всех значений х в промежутке [а, Л] и лишь для значений t
больших нуля, то сходимость рядов (5), (6) и (7) достаточно установить
только для t > 0. Так как рассматриваемые ряды построены именно так,
что они формально удовлетворяют и уравнению (А), и условиям (а) или
(Ь), то они будут удовлетворять действительно (а не только формально)
всем этим уравнениям, коль скоро их равномерная сходимость будет уста-
новлена, и поэтому функция U(x, т), определяемая рядом (4), представит
действительное решение задачи.
5. Так как данная функция Дх) предполагается удовлетворяющей ус-
ловиям теоремы п. 30 гл. X. то ряд
t/(x, 0)= 2 AkVk(x)
к= 1
на основании этой теоремы сходится в промежутке [а, b ] не только равномер-
но, но и абсолютно, к какому бы классу ни принадлежали функции ИА(х),
притом на основании той же теоремы будет выполнено начальное условие (1).
Так как, далее, постоянные а, 0, у и р, т подчиняются соответственно
условиям (2) и (21), то все суть числа неотрицательные. Отсюда следу-
ет, что ряд (4), сходящийся абсолютно и равномерно при t = 0, и подавно
сходится абсолютно и равномерно при всяком положительном t, ибо, начи-
ная с некоторого значения к = к0 (к0 = 1),
<1 при к>к0, г>0,
что непосредственно вытекает из неравенства (124) гл. V.
6. Рассмотрим теперь ряды (5) и (7). Мы знаем (п. 29 предыдущей гла-
вы) , что ряд
S \AkVk(x)\
к = 1
сходится равномерно в промежутке [а, />]. Но в силу вышесказанного
Хке~при t>0,
где к'о есть некоторое достаточно большое целое число. Отсюда сейчас же
следует, что ряд (5) сходится абсолютно и равномерно в промежутке [а, Л]
при всяком t>0.
Что же касается ряда (7), то он в силу уравнений, которым удовлетворя-
ют функции Vk (х), приводится к виду
Z Ake~Xkt ИЛ"(х) =
А = 1
= q(x) 2 Ake~K^ И*(х)-р(х) 2 Ak Vk(x).
k= 1 k - 1
Так как на основании только что доказанного каждый из рядов
2 Л*е-х^Ик(х) и 2 Ak\ke-^Vk{xy
k = I к = 1
сходится абсолютно и равномерно в промежутке [а, Ь ], коль скоро t > 0,'
206
то ряд левой части предыдущего равенства сходится равномерно при тех же
условиях.
Итак, ряд (7) сходится равномерно в промежутке [а, Л] при вся-
ком t >0.
7. Остается рассмотреть условия равномерной сходимости ряда (6):
5= 2 Лке~х*г И/(х). (6,)
А = I
В п. 5 гл. IX (равенство (11) показано, что
Мх) = ММ*)ЛМх)-
- и2 (х) Mk (х) + со, (х) Nk (ft) - со2(х) Мк (ft)), (8)
где, напомним (см. п. 12 гл. V),
м*(х)= Момомо#.
а
(9)
/VA (X)= f p^uM)Vk(t)db
а
а и । (х), и2 (х), со, (х) и со2 (х) суть функции от х, непрерывные в промежут-
ке [a, ft] вместе с их производными двух первых порядков.
Из равенства (8) выводим
И*'(х) = Х*. {и'1(х)У*(х) -
- и'2(х)Мк(х) + со', (х) Nk(b) - co2(x)A/k(ft)} • (Ю)
Подставив это выражение в (6,), напишем ряд 5 в виде
S = u\(x) 2 АкХке~^^к(х)-и'2(х) 2 Л*Хке-х*’Мк(х) +
А - I к; 1
+ со',(х) 2 АкХке-Кк*Мк(Ь) -ы2(х) 2 АкХке~^ *Мк(Ь). (11)
А= I ' А= 1
8.-Обозначим через 0(0 функцию, определяемую следующими усло-
виями:
в(О = «2(О при д<$<х.
0(0 = 0 при х < £ < ft.
Можем писать, приняв во внимание (9),
ft
Nk(x) = f P(Oe(OVk(Odt
a
Применив неравенство (8) гл. I к ортогональной системе функций И*(0
и заменив в нем Дх) через 0(0, получаем
2 N2k(x)< fpG)&(№= f p(^u22(^dl
к° I а а
207
Отсюда следует, что при всяком х
2 Nk(x)<K2, (12)
Л= I
где К 2 есть число, не зависящее от х, ибо
а а
где т0 есть max i и2 (£) I в промежутке [a, b J.
Рассмотрим ряд
S |Лк| |/Vfc(x)l. (13)
к = I
1 00
Так как IЛ(лг)i < — (Лк + /Vk(x)) и каждый из рядов 2 Лки
оо ,2 к = 1
2 Nk(x) сходится, то ряд (13) также сходится при всяком х в проме-
Jt=i
жутке [а, Ь]. Обозначив его остаточный член через Rn (х), можем писать
Rn(x)= 2 |ЛкПЛГк(х)| < ч/М/У J 2 А^(х),
Jt = n+t *=|
откуда в силу (12) и абсолютной замкнутости системы функций Ик(х) зак-
лючаем, что
/?„(х)<Ке = е' при п>п0,
где е' есть наперед заданное положительное число, не зависящее отх, а
п0 - некоторое соответствующим образом выбранное целое число.
Следовательно, ряд (13) сходится равномерно в промежутке [а, />]. Так
как, далее, при достаточно большом к и при t > 0 Xk е~ Xfc r < 1, то и ряд
Е Хк<Гх*' 1ЛкУк(х)1
к= 1
сходится равномерно в рассматриваемом промежутке. Отсюда следует,
что ряд
S Ak\ke~KktNk(x)
к= I
сходится абсолютно и равномерно в промежутке [а, й] при всяком t > 0.
Совершенно таким же способом докажем, что и ряд
S 4kXke-^fAfk(x)
k= 1
сходится равномерно в промежутке [а, />] при t > 0.
Что же касается рядов
2 ЛкХке~х*' Nk(b) и 2 ЛкХке-х*гЛ/к(й),
k =1 к~ ।
то они не зависят от х и абсолютная их сходимость при t > 0 вытекает не-
посредственно из абсолютной замкнутости функций Vk (х)
208
Из сказанного следует, что ряд S, определяемый равенством (11), схо-
дится равномерно (и абсолютно) в промежутке [д, Л] при всяком г>0*).
9. В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что функция f(x)
удовлетворяет условиям п. 30 предыдущей главы, что было необходимо
для доказательства того, что ряд
U(x, t) = Js Vk(x) (13,)
сходится равномерно при t = 0 и сумма его равна данной функции f(x).
На абсолютной и равномерной сходимости ряда
t/(x,0)= X AkVk(x)
k~ I
мы и основывали доказательство равномерной сходимости рядов (13,),
(5) и (7) при t >0.
Но нетрудно убедиться, что при положительном t, не равном нулю, эти
ряды, равно как и ряд (6), сходятся абсолютно и равномерно, какова бы
ни была функция f(x), подчиненная единственному условию быть интегри-
руемой в промежутке |д, Л], т.е. ряд (13,) представляет при всех значе-
ниях t>0 и для значений х, принадлежащих промежутку [а, />], непрерыв-
ную функцию от t и х, имеющую непрерывную первую производную по t
и такие же производные двух первых порядков по х, удовлетворяющую
уравнению (А) и предельным условиям (а) или (Ь) (при t > 0).
Легко понять, что сходимость рядов (13,), (5) и (7) будет установлена
при только что указанных условиях, если мы докажем, что при этих же
условиях ряд
S Ak\ke~Xkt Vk(x) (14)
1
сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство этого предложения уже имеется в пп. 5 и 6 гл. IX. В са-
мом деле, ряд (14) при помощи формулы (12) п. 5 этой главы представля-
ется в виде
X Ak\ke~Kkt Ск(х). (15)
к = 1
Так как при достаточно большом к и / > 0
Х£е~х*' < 1,
то ряд (15) или, что го же, ряд (14) будет сходиться абсолютно и равно-
мерно, если ряд X ' | А к | | Ск (х) | сходится равномерно.
к= 1
Но сходимость этого ряда для всякой функции Дх), интегрируемой в
промежутке [а, Л], вытекает непосредственно из абсолютной замкнутости
фундаментальных функций Vk(x) и доказывается совершенно так же, как
и равномерная сходимость ряда (14) п. 6 гл. IX.
*) В пп. 5 -8 доказано, ‘гго ряды (4) - (7) сходятся равномерно по ftх) на мно-
жестве при любых 6 и Т, 0 < S < Т. (Прим. ред.)
209
Итак, ряды (131), (5) и (7) сходятся при t > 0 равномерно в промежут-
ке [а, />], какова бы ни была функция /(х), интегрируемая в этом про-
межутке.
Что касается ряда (6), то его равномерная сходимость при том же самом
условии относительно функции /(х) уже доказана в п. 8, ибо приведенное
там доказательство основано исключительно на абсолютной замкнутости
функций ИЛ(х).
Предложение, высказанное вначале этого пункта, можно считать дока-
занным.
10. Из сказанного следует, что дополнительные ограничения свойств
функции Дх) необходимы лишь для доказательства того, что функция
t/(x, г), определяемая рядом (13!), действительно удовлетворяет начально-
му условию (1). Это же последнее условие, как указано выше, будет дейст-
вительно выполнено, если функция Дх) подчиняется условиям п. 30 преды-
дущей главы.
Сопоставляя все предыдущее, приходим, таким образом, к следующему
результату:
Общая задача об охлаждении твердых тел линейных размеров вполне
разрешается по методу Эйлера - Бернулли, причем искомая температура
тела U(x,t), изображаемая рядом (131), действительно удовлетворяет
всем требованиям, определяющим задачу, т.е. дифференциальному уравне-
нию (А), предельным условиям (а) или (Ь) и начальному условию (1), ес-
ли только начальная температура тела, т.е. функция f{x) удовлетворяет не-
равенству Коши и тем дополнительным предельным условиям для случая
фундаментальных функций второго или третьего предельного класса, кото-
рые указаны в п. 30 гл. X*) .
11. Переходим теперь к исследованию задач второго типа, когда искомая
функция U(x,r) определяется дифференциальным уравнением (В),началь-
ными условиями (3) п. 2 и теми же самыми предельными условиями (а)
или (b) п. 1.
Решение задачи получается при помощи того же самого обобщенного ме-
тода Эйлера - Бернулли, что и в предыдущем случае.
Ищем частное решение уравнения (В) в виде
U(x, t)= V(x)W(t). (16)
Подставив это выражение U(x, i) в (В), получаем
d2 К(х)
1 </2W(r) _ ~d^2 </(Х)
W(/) dt2 ~ р(х)И(х) ’
откуда выводим
И"(х)+№(х)- Дх)]И(х) = 0 (17)
IV "(г) + XlV(r) = 0.
где X есть некоторый параметр.
♦) Выше доказано, что функция Utx.t) (13,) принадлежит С(а < х < b, 3 > 0) л
л С2,! (а < х <, Ь, 3 > 0); решение задачи в атом классе, очевидно, единственно ,(/7р дм.
ред.)
210
Последнее из этих уравнений дает
W(t) = A cos t + В sin t •s/X’.
Следовательно, в силу (16),
U(x, г) = (A cos t х/Т + В sin t х/Т ) И(х),
где А и В суть две произвольные постоянные.
Полученное выражение для U(x, t) будет удовлетворять и предельным
условиям (а) или (Ь), если подчиним функцию И(х) еще следующим
условиям:
И'(/>) = аИ(а) + 0И(/>),
V'(a) = yV(d)-aV(b)
в случае равенств (а);
И(й) = рИ(а). У'(Ь)= К'(а) + тК(а)
в случае равенств (Ь).
Определение функции И(х) приводится, как видим, опять к разысканию
характеристических чисел X* и фундаментальных функций Kfc(x), т.е. к
вопросу, уже вполне разрешенному предыдущими исследованиями.
Зная в каждом частном случае эти числа X* и им соответствующие функ-
ции И*(х), получим для каждого такого числа и ему соответствующей
функции частное решение вида
Uk (х, t) = (Ак cos t + Вк sin t х/"Х?) Vk (х).
Общее решение, формально удовлетворяющее и уравнению (В) и пре-
дельным условиям (а) или (Ь), представится в виде ряда
U(x, t) - 2 (Ак cos t + Вк sin f хАХ?) (18)
к = I
где суммирование распространяется на все фундаментальные функции
Vk (х), принадлежащие к их полной системе.
12.Ряд
S (Вк cos г х/Х? -4* sin t хАГ)\ЛХ? Vk(*\ (19)
к= I
получающийся из (18) почленным дифференцированием по t, при t = 0 об-
ращается в 2 х/"Х? Вк Vk(x), ряд же (18) при том же значении t = 0 дает
Л= !
2 Л*Г*(лг).
к= 1
Если теперь в формуле (18) выберем постоянные А к иВк так, чтобы
было
S AkVk(x)= f(x), S x/Xjt ВкКк(х)= А(х),
к= I к = I
(20)
то ряд (18) представит формальное решение задачи, ибо он будет удовле-
творять формально уравнению (В), начальным условиям (3) и требуемым
задачей предельным условиям.
211
Если удастся доказать, что при выборе постоянных Ак и В к при помощи
условий (20) ряд (18) и ряды, получаемые из него двукратным дифферен*
цированием по t и по х, сходятся равномерно в промежутке [в, ft] при вся-
ком положительном t, то функция U(x,f), определяемая этим рядом, и
представит одно из решений задачи.
13. Мы уже указывали, что для всякой задачи математической физики,
если она только правильно поставлена, может существовать одно и только
одно определенное решение.
Выясним прежде всего, подобно тому, как это было сделано для задач
первого типа, те условия, при которых поставленное требование действи-
тельно выполняется, т.е. когда уравнением (В), начальными условиями (3)
и предельными условиями (а) или (Ь) (включая сюда и предельные случаи,
когда постоянные а, 0, у, р, т могут обращаться в нуль или в бесконеч-
ность) задача вполне определяется.
Начнем со случая предельных условий (а) первого класса.
Допустим, что существуют две различные функции и U2, удовлетво-
ряющих уравнениям (В), (3) и (а) *).
Функция
К(х, t) = U> -U2
будет удовлетворять следующим: уравнению того же вида
Э2 V Э2 V
р(х) —— = —— - я(х)У,
bt1 Эх2
тем же предельным условиям
3K(ft, г)
—i----- - a У (a, t) - 0У(Ь, t) = 0,
Эх
ЬУ(а, t)
------- — у У(a, t) + a У(Ь, t) = 0
Эх
и начальным условиям
ЭИ(х, 0)
У(х, 0) = 0, —------- =0
(21)
(22)
(23)
(24)
при всяком х, принадлежащем промежутку [a, ft].
ЬУ
14. Умножим (22) на --dt и проинтегрируем результат от t = 0 до ка-
bt
кого-нибудь t.
Приняв в расчет (24), получим
р(х) / ЬУ
2 \ bt
PV а V If dv
---------_ j- ------(][ -
bt Эх2 2 о bt
f
о
t ЬУ Ь2У
- / TT ~
о bt dx2
Я (х) 1л2. .
*) Считается, что функции Ut и {/. принадлежат С (а < х С Л, 0 < г). (Прим.рее.)
212
Отсюда
1ft / ЭИ V
- f Р(х) I — J dx =
2 а
dt
/> { t
= / Л f
а \ О
ЭИ э2 и
---------- dt
dt Эх2
1 ft
- / t/(x)H2(x, t)dx.
2 а
(25)
Меняя порядок интегрирования, получаем
ЭИ
ь
/ dx
а
ЭИ
О dt
Э2И \ t [ ь
-y-dt^fdt
Эх / о
dt
Э2И \
---г* dx I.
Эх2 /
(26)
Но
ЭИ Э2И
dt
dx2
ЭИ
dx = ---
dt
ЭИ 1ft
ЭИ
Э2 V
ЭИ
ЭИ
dt
Эх
2 dt
Эх I а
а Эх
ЭИ V
---- I dx.
Эх /
----- dx =
dxdt
Следовательно, в силу (26),
Э2И \ г
—Г dt = -f
Эх2 J о
ft / t ЭИ
fdx / —
а \ О dt
ЭИ ЭИ ь
dt Эх
dt-
а
1 ft/ ЭИ V
- / ----- </х.
2 а \ Эх J
(27)
интеграле под
t нужно подразумевать значение t, равное
где в последнем
верхнему пределу интегралов, взятых по t, входящих в это равенство, ибо
ft/ ЭИ V
f I ----- I dx
a \ Эх /
= 0
r=o
ЭИ(х, 0)
в силу первого из условий (24), показывающего, что ---- = 0.
Эх
При помощи (26) и (27) приводим равенство (25) к виду
1ft / ЭИ \2 1
— / р(х) I --- 1с/х+ —
2 а \ dt I 2
ft / ЭИ V
/ ~ dx +
a \ dx J
1ft , i ЭИ ЭИ ft
+ — / </(х)И2(х, t)dx = /-----------dt.
2 a 0 dt Эх a
(28)
Эта формула справедлива для всякой функции И(х, г), удовлетворяю-
щей дифференциальному уравнению (В) и начальным условиям (24), како-
вы бы ни были предельные условия.
15. Предполагая теперь, что функция И(х, /) подчиняется предельным ус-
ловиям (23) (первого класса), получаем
ЭИ ЭИ
dt Эх
ft 1 Э , ,
=----------{ - 7И2 (а, Ь) + 0И2(/>, 0 + 2аИ(а, /)И(6, Г)} ,
а 2 dt
ь
а
ь
а
а
ь
1 э
ь
а
213
откуда
t ЭИ ЭИ
I — —-
о dt ax
Ь dt = — {- 7И2 (a, r) + 0 И (b, t) + 2a И(д, t)V(b, t)},
a 2
ибо, в силу первого из (24), И(д, 0) = 0, V(b, 0)=0. Отсюда заключаем, что
если постоянные а, 0, у удовлетворяют условиям
0<О, у>0, а2 +07<О, (29)
t ЭИ ЭИ 6 , ,
то J — — dt=-A, где Л2 есть величина положительная либо нуль.
о Эг Эх а
Равенство (28) дает
ft/ / ЭИ V / ЭИ V „ \
I Р(х) ----- + --------- + </(х)И2(х, О ldx + 2A2 =0.
а \ \ dt / \ Эх / /
Если при этом в промежутке [a, Z>]
р(х)>0, </(х)>0, (30)
то необходимо И(х, /) = 0 тождественно, т.е., в силу (21), Ut = U2.
Как видим, достаточные условия определенности Задач второго типа {не-
равенства (29) и (30) ) оказываются теми же, что и для задач теории тепла.
16. Допустим теперь, что функция И(х, t) подчинена предельным услови-
ям (Ь) второго класса. В этом случае
ЭИ ЭИ ft _ dV{b, t) / J_ ЭИ(д, г)
dt Эх a dt \ р Эх
ЭИ(д, О ЭИ(д, Г)
dt Эх
+ тИ(д, t)
Но, в силу первого из (Ь),
dV(b,t) ЭИ(л, Г)
= р
dt-------------dt
ЭИ ЭИ ь рт dV2(a,t)
Поэтому —— = —-------;-----
dt Эх а 2 dt
И
ЭИ ЭИ
dt Эх
ь рт
dt= ------ V2(a, t).
а 2
ибо И(а, 0) = 0.
Равенство (28) приводится к виду
+с/(х)И2(х, t) Ъх - рт¥2(а, t) = 0.
а \ \ dt 1 \ Эх / /
Отсюда следует, что если
рт<0, р(х)>0, (?(х)>0.
(31)
то необходимо И = U, - U2 =0.
214
Получаются опять те же самые условия определенности задачи, что и в
соответствующей задаче тепла.
17. Остается рассмотреть три предельных случая, когда условия (а) и
(Ь) приводятся к следующим:
К(д, i) = 0. K(ft, I) = 0; («1)
К (a, t) = 0. ЭК(Л, г) —4 =^И(М); Эх (Ь,)
K(ft, t) = 0. ЭК(д, г) —; =тК(д,0. Эх (С)
В случае (а), очевидно,
ЭК ЭК /> г ЭК ЭК ft
=0, f dt = O
bt Эх a 0 bt Эх a
В случае (bx)
bV ЭК ft /3 ЭК2(/>, t)
1 м
bt Эх а 2 bt
т.е.
г ЭК ЭК ft 0 ,
J — = — v2(b,t).
о bt bx а 2
ибо, в силу (24), V(b, 0) = 0.
В случае (с!)
ЭИ ЭК ь ЭК2(д,7S)
bt Эх а 2 bt
т.е.
/ ЭК ЭК ft у ,
/ — Л = --- К2(д,т),
о bt Эх а 2
ибо К(д, 0) = 0.
Отсюда при помощи (28) заключаем, что для случая (д ।) всегда
К = Ux - t/2 =0,
коль скоро
р(х)>0, </(х)>0, (32)
для случая (/>1)
V=Ui - и2 =0,
если
0<О, р(х)>0, <у(х)>0, (33)
и, наконец, для случая (с,)
К = £/, - иг =0,
215
если
7>0, p(x)>0, q(x)>0. (34)
Получается опять тот же результат, что и для соответствующих задач
тепла.
18. Таким образом, во всех случаях, когда удовлетворяются условия
(29), (30), или (31), или (32), (33); (34), задача допускает одно и только
одно определенное решение.
При этом, как известно уже, все числа X* оказываются неотрицательны-
ми и искомая функция U(x, t) представляется совокупностью членов, пе-
риодических относительно времени t (ряд (18)), что совпадает с физичес-
кими требованиями тех идеальных задач теории звука, света, электричества
и т.п., которые характеризуются дифференциальными уравнениями типа(В).
Единственно возможное решение представится равенством (18), если
мы докажем все положения, намеченные в п. 12.
Основываясь на результатах,установленных в гл.Х, можем утверждать,что
условия(20) будут действительно выполнены во всех рассматриваемых те-
перьслучаях,еслипредположить,чтофункции f(x) и f\(х)удовлетворяют ус-
ловиям теоремы п.ЗОгл.Х. При этом постоянные/!* пВк представятся в виде
ь
Ак = f p(x)j(x)Vk(x)dx,
а
I ь С (35)
Вк = —7=г f p(x)A(x)Vk(x)dx = —=т
V Хк а у/ \к
и формулы (20) дадут равномерное разложение функций /(х) и/1(х) по
функциям Vk(x) во всем промежутке [а, й].
Останется только установить те условия относительно заданных функций
Дх) и fi (х), при которых ряд (18) и ряды, получающиеся из него двукрат-
ным почленным дифференцированием по t и по х, сходятся равномерно в
промежутке [а, д]при/>0, т.е. найти достаточные условия равномерной
сходимости следующих рядов:
5i = S xAT^k cos -/lk sin/v^X?) ^к(х),
к = 1
(36)
52 = - S Хк (Вк sin / \/"хГ + Л к cos / \Лх7) Vk (х).
*= I
53 = S (Лк cos / у/\к +Вк sin / ч/ТГ) Ик'(х). (36t)
к = I
54 = S (Ак cos t у/^ + Вк sin t у/Т^) Vk(x) =
к= 1
= q(x) S (Лк cos / хЛХ^+Дк sin / х^Х?) Ик(х)—
к= I
-р(х) S Хк (Л* cos / \/хГ+^к sin / \<Х7) Ик(х). (362)
к= I
216
где под Л к и В к следует подразумевать постоянные, определяемые равен-
ствами (35).
19. Решение вопроса об условиях абсолютной и равномерной сходимости
аналогичных рядов для задач первого типа (теория теплоты) значительно
облегчалось благодаря входившему в них множителю е~Кк ’.
В данном случае роль этого множителя играют тригонометрические функ-
ции cos t yfXk и sin t x/хГ, что значительно усложняет исследование и при-
водит к необходимости наложить на заданные функции Дх) и Д (х) некото-
рые дополнительные ограничения сверх указанных в предыдущем пункте,
от которых трудно освободиться.
Рассматривая ряды (36), (361) и (362), замечаем, что если для какого-
либо класса функций Дх) и Д (х) будет установлена равномерная сходи-
мость рядов
X |Л*и;(х)1, 2 7VlV*(x)l. 2 Х*1ЛЛИДх)1 (37)
* . = I к = I к = I
И
2 | Вк И/ (х) 1, 2 х<ХГ1ДЛИДх)1, 2 Л* 1^*ГЛ(х)1 (37,)
* =I к=I к= 1
в промежутке [д, />], то тем самым будет доказана абсолютная и равномер-
ная сходимость рядов (36), (361) и (362) для того же класса функций
Дх) и Д(х) при всяком г*). При этом для сходимости вторых из рядов
(37) и (371) достаточно лишь доказать сходимость рядов
2 Х*|ЛЛГЛ(х)1 и 2 Xfc 1ЯкИДх)1.
к= 1 к = I
Но, в силу второго из (35),
2 ХЛ 1/ДИДх)1 = 2 <ХГ1САГЛ(х)1. (38)
* = 1 *=1
Поэтому, если будет доказана равномерная сходимость ряда
2 Хл1ЛлИДх)1 (39)
к= 1
для какого-либо класса функций Дх), то отсюда сама собой будет выте-
кать и равномерная сходимость ряда (38) для всякой функции Д (х), под-
чиненной тем же условиям, что и Дх).
Итак, дело сводится к определению достаточных условий равномерной
сходимости ряда (39) в промежутке [а, Ь\. Для всех функций f(x) и j\(x ),
удовлетворяющих этим условиям, ряды (36) и (362) будут сходиться аб-
солютно и равномерно в промежутке |а, Л] при всяком t.
20. При исследовании этого вопроса мы ограничимся простейшим случа-
ем граничных условий первого класса (а) и предельным случаем (а|) как
имеющими непосредственное приложение к классической задаче о колеба-
нии упругих струн. Приемы доказательства сходимости ряда (39) для
*) И равномерная сходимость этих рядов в (а < х < b, t >0). (Прим, ред.)
217
других случаев будут, по существу, те же самые, что и для двух указан-
ных выше.
Итак, допустим, что функции Vk (х) ряда (39) определяются уравне-
ниями
Иk(x) + lXfcp(x) - <7(x)J Vk (x) = 0, (40)
Vk(b)-aVk(a)-fWk(b) = G,
Vk(a)-yVk(a) + aVk(b) = 0. (41)
При помощи (40) получаем
ft ft ft
= X* f P(x)f(x)Vk(x)dx = f q(x)f(x)Vk(x)dx - f f(x)Vk(x)dx.
a a a
(42)
Имеем, интегрируя по частям,
ft , ft ft „
f f(x)Vk(x)dx=(.f{x)Vk(x)—f(x)Vk(x)) + f f (x)Vk to dx. (43)
a a a
Мы допускаем, следовательно, что функция f(x) имеет вторую произ-
водную.
Допустим, кроме того, что функция f(x) удовлетворяет тем же гранич-
ным условиям, что и функции Ук(х),т.е. что
f'(b)-af(a)-fif(b) = O,
f'(a) — yf(a)+af(b) = 0. 1 °
При этом
(f(xW’k(x)- f'(x)Vk{x))
ь
= 0
а
и формулы (41) и (42) приводят к следующей:
Х*ЛЛ= f fa(x)/(x) - f"(x)]^k(x)dx.
а
Сделаем, наконец, еще следующие предположения:
1°. Вторая производная f'(x) удовлетворяет неравенству Коши
1/”(х') -/''(х)| |х' - xl. (44)
2°. Функция р(х) положительна и не обращается в нуль ни в одной из то-
чек промежутка |а, bj.
3°. Функции р(х) и <?(х)*) не только непрерывны, но также подчиняются
условию Коши, т.е.
1р(х')-р(х)|<д, Ix'-xl, 1<7(х')-<7(х)|Сд21х'-х1, (44,)
где р. Pt, р2 суть числа, не зависящие от положения точек х' и х в проме-
жутке [а, Ь].
*) Само собой разумеется, что <?(х) остается неотрицательной в промежутке |<z, Z>|.
218
При этом функция
, . <?(x)f(x) - f"(x)
*(х) = -----—--------- (45)
р(х)
будет непрерывной функцией, также удовлетворяющей условию Коши.
Легко убедиться, что
[Д*')- Дх)] р(х)р(х') =
= р(х)</(х')[Дх')-Дх)| -р(х) (/"(х)-/"(*)] + 1Р(*')-Р(х)]/"(х) +
+f(x){p(x) [Дх') - Дх)] - Дх) [Дх') -р(х)] } .
Так как в данном случае несомненно
1Дх')- Дх)Кд01х'-х1,
где До есть число, не зависящее от положения точек х' и х, то, обозначая
через Ро и Qo шах р(х) и Дх), через р0 min р(х), через М и М2 max I Дх ) I
и I/"(х) I в промежутке (a, Z>] и положив
Po(QoPo + p+p2) + Hi(M2 + MQ0) .
S =------------------------------
Ро
получаем, при помощи (44) и (44,),
1Дх')-Дх)|<£ lx'-xl, (46)
где g есть, очевидно, число, не зависящее от положения точек х' и х в рас-
сматриваемом промежутке ]<т, />].
Приняв в расчет (45), можем писать
f р(х)у(х)Ук(х)Вх = Ак. (47)
а
гдеДх) есть функция, удовлетворяющая условию (46).
21. Воспользуемся опять формулой (60,) п. 27 и обозначениями п. 28
предыдущей главы. Получаем, при помощи (47),
Е ^к-^к^к(х)- S ХкАкВк(х).
к=1 к= I
Ряд правой части этого равенства отличается лишь обозначением от ряда
(65) п. 29 предыдущей главы.
Повторив дословно приведенные в указанных пунктах этой главы рас-
суждения, убеждаемся, что ряд
S Х*1ЛЖ(х)1= S Х*ЫАИДх)1
*= 1 л= I
при сделанных в предыдущем пункте предположениях относительно функ-
ции f(x) и функций р(х) и q(x) сходится равномерно в промежутке [а, Ь].
Отсюда на основании сказанного в конце п. 19 заключаем, что ряды (36)
и (362) сходятся абсолютно и равномерно в промежутке [a, Z>] при всяком
t, если предположить, что функция (х) удовлетворяет тем же условиям
(43,) и (44), что и функция Дх).
219
22. Заметим, что для функции f\(x) условие (44) несущественно.
Ряд (38) будет сходиться равномерно, если Л (х) непрерывна вместе со
своей первой производной, допускает вторую производную, интегрируемую
в промежутке [а, b ], и удовлетворяет условиям
/'|(*)-«/1(л)-Д/'1(/>) = 0,
Л (а) - ifi (а) + aft (/>) = 0.
В самом деле, приняв в расчет выражение (35) для С*, получаем, подоб-
но предыдущему,
*
= f р(х)9?| (х)ГЛ(х)dx = Ск,
а
^(х)/'1(х) -/7(х)
где9?1(х)=------------------, и затем, на основании (60,) п.27 гл.Хи(38),
Р(х)
Z Х*15*Мх)1= Z W 1С*5Л.(х)1.
к = I k = I
.___, , / 1
Но \к I Cfc/?fc(x)| — (С'к + ХкВк(х)). Так как ряд S Ск сходится,
2 к-- ।
какова бы ни была интегрируемая функция <р(х), а ряд S \кВ2к(х) схо-
А- I
дится при всяком х в промежутке [а, />], как указано в п. 28 гл. X, то ряд
(38) также сходится.
Доказав его сходимость, докажем затем приемом, указанным в п. 29
предыдущей главы, что ряд (38) сходится не только абсолютно, но и равно-
мерно.
23. Остается еще доказать сходимость первых из рядов (37) и (37,).
В силу второго из уравнений (35) достаточно установить только сходи-
мость первого из них.
Мы только что доказали абсолютную и равномерную сходимость ряда
(362), обозначенного через S4. Поэтому можем утверждать, что ряд / S4dx
а
сходится также абсолютно и равномерно. Но, в силу (361),
J S^dx -Sy — Sy I x=a, (471)
a
где531х=в = S ( Ak cos +Bk sin t xf\k) V'k(a\
k = I
Приняв в расчет второе из уравнений (41), получаем
$3lx=e = aS„(a) + 0So(b),
где положено вообще
So(*) = Е (А к cos t + Вк cos t x/^k) Ук(х).
к = I
220
Так как на основании вышесказанного этот ряд сходится абсолютно и рав-
номерно во всем промежутке [а. />], то ряд.8’31 сходится абсолютно.
Отсюда на основании (47!) заключаем, что ряд 53 сходится равномерно
в промежутке [а, />].
24. Сопоставляя все сказанное в этом и предыдущих пунктах, приходим
к.следующему результату:
Функция U(x, t), определяемая рядом
U(x, t) = S ( A k cos t + Bk sin '\A7)Kfe(x), (48)
k = I
где
b
Ak = f p(x)f(x)Vk(x)dx,
° , (48.)
1 b
Bk = -7=7 f p(x)f\(x)Vk(x)dx,
V Afc °
o Vk(x) (k ~ 1> 2, • • •) представляет полную систему фундаментальных
функций первого класса, есть непрерывная функция вместе со своими про-
изводными первых двух порядков по t и х, действительно удовлетворя-
ющих уравнению (В), начальным условиям (3) и предельным условиям
(а), если заданные функции р(х) и q(x) и произвольные функции f(x) и
fi (х) обладают следующими свойствами:
f(x)ufi(x) непрерывны вместе со своими первыми производными и
каждая из них удовлетворяет условиям
F'(b)-aF(a)-(3F(b) = 0,
F'(a) — yF(a) + aF(b) = О,
вторая производная от f(x) подчиняется неравенству Коши, а вторая про-
изводная от fi (х) только интегрируема в промежутке [а, />].
Функция р(х) положительна (необращается в нуль), q(x) неотрицатель-
на, и обе удовлетворяют условию Коши в рассматриваемом промежутке.
Решение задачи, даваемое рядом (48), есть единственно возможное.
Как видим, строгое решение задач математической физики второго типа
получается при больших ограничениях, по сравнению с задачами теории
тепла, как свойств функций р(х)и q(x), входящих в основное уравнение
(В), так и в особенности свойств задаваемых произвольно функций Дх) и
fi (х), освободиться от которых затруднительно.
25. Остановимся еще на задаче, требующей определить функцию U(x, t),
удовлетворяющую уравнению (В), начальным условиям (3) и граничным
условиям
£/(«.0 = 0, U(b, /) = 0. (Д1)
В частности, при а (х) = 0 получается задача о колебании неоднородной
струны данной длины b - а = I, закрепленной в концах.
В случае р(х) = а2 получается такая же задача об однородной струне, изу-
чение которой положило, как известно, начало всем современным теориям
математической физики и привело к решению многих связанных с этими
теориями важных вопросов анализа.
221
Решение, как и в общем случае, представится рядом (18) (или (48)),
если в нем под И*. (х) подразумевать фундаментальные функции, опреде-
ляемые уравнениями
И*(х) + lW(*)-</(*)J М*) = 0. (49)
Kfc(ft) = 0, Гк(л) = 0. (50)
Вопрос, как и в предыдущем случае, сводится к определению условий,
при которых действительно выполняются начальные условия (20), а ряды
(38) и (39) сходятся равномерно.
На основании теоремы п. 30 предыдущей главы заключаем, что условия
(20) несомненно будут выполнены, если функции /(х) и f\(x) имеют пер-
вые производные и удовлетворяют равенствам
/(«) = /(Л) = 0,
(50.)
/|(«)= fi(b) = о,
что мы и будем предполагать.
Остается найти условия, достаточные для равномерной сходимости рядов
(38) и (39).
26. Предположим, что /(х) имеет вторую производную.
Формулы (42) и (43) дают, в силу (50(),
ь
*И*.= J p(x)<p(x)Vk(x)dx = Ак, (51)
а
где, как и в п. 20, функция <р(х) определяется равенством (45).
Применив снова формулу (601) п. 27 предыдущей главы, получаем, при
помощи (51),
2 ХЛ1ЛЛГ*(х)1= £ ХА\А'кВк(х)\. (39)
к = I к - I
Мы уже знаем, что ряд
£ \кВгк(х)
к= 1
есть ряд сходящийся. Что же касается ряда
S ^к А 'к ,
к= 1
то на основании теоремы п. 24 гл. X он будет сходящимся, если функ-
ция $(х) обращается в нуль для пределов а к b промежутка [a, й] и
удовлетворяет условию Коши. Последнее условие будет соблюдено,
если функции р(х), q(x) и /(х) подчиняются требованиям 1°, 2° и 3°
п. 20, а условия
= <p(b) = 0
222
на основании (50i) и (45) приводятся к таким:
/»=/"(*) = о.
Из сказанного вытекает (ср. п. 21), что ряд (39) при соблюдении только
что указанных условий сходится равномерно.
Что же касается равномерной сходимости ряда (38), то она доказывает-
ся в данном случае совершенно так же, как и в п. 22, при одном условии,
что функция f 1 (х) имеет вторую производную, интегрируемую в проме-
жутке [а, 6].
Таким образом, функция U(x,t), определяемая рядом (48), где коэф-
фициенты Ак и Вк имеют вид (480, a Vk(x) (^ = 1, 2, 3, ...) представля-
ют полную систему фундаментальных функций первого предельного клас-
са, есть непрерывная функция со своими производными двух первых по-
рядков по переменным tux, действительно удовлетворяющая уравнению
(В), начальным условиям (3) и граничным условиям вида
Ufa, г) = О,
U(b, г) = 0,
если функции р(х), <?(х) уравнения (В) и произвольно задаваемые функ-
ции f(x) и ft (х) обладают следующими свойствами:
функция р(х) положительна, q(x) неотрицательна, и обе удовлетворяют
неравенству Коши в промежутке [а, 6];
функции Дх) и ft (х) непрерывны со своими первыми производными и
удовлетворяют условиям
Да) = 0,
f(b) = Q,
М (52)
Л(а) = 0,
Л(*) = 0;
Кроме того, функция f(x) имеет вторую производную, подчиненную не-
равенству Коши и обращаются в нуль при х - а и х = b, a f\(x) имеет вто-
рую производную, только интегрируемую в промежутке [а, й].
Решение, даваемое рядом (48), есть единственно возможное.
27. Заметим, что ограничения, налагаемые на заданные функции Дх) и
fv(x) уравнениями (52), вытекают из самой сущности задачи.
В самом деле, Дх) и Д (х) представляют соответственно начальные
(при t = 0) отклонения упругой струны от положения равновесия и скорос-
ти, которые сообщаются отклоненным точкам в начальный момент
времени.
Так как струна предполагается закрепленной в концах, то, понятно,
и в начальный момент времени эти величины должны равняться нулю,
что аналитически и выражается равенствами (52).
Наиболее стеснительными условиями, не вытекающими непосредственно
из физического смысла задачи, является требование о существовании
непрерывных производных двух первых порядков от функции /(х) и
fi (х) и в особенности требование, чтобы /"(х) обращалась в нуль на концах
промежутка [а, 6].
223
Нетрудно видеть, что эти дополнительные ограничения являются пря-
мым следствием того, что в данного рода задачах приходится доказывать
абсолютную и равномерную сходимость рядов (36), (361) и (362) и при
t = 0, тогда как в задачах первого типа (теории теплоты) благодаря входя-
щему в каждый член соответствующих рядов множителю е~ккг легко
устанавливается их сходимость как раз для значений t , больших нуля.
Вообще, необходимость доказывать равномерную сходимость рассматри-
ваемых рядов вытекает из самой сущности метода Ляме - Фурье (Эйлера -
Бернулли), дающего выражение искомой функции U(x, t) в виде бесконеч-
ного ряда (48) (или ряда (4) в случае задач), просуммировать который
или преобразовать к виду, удобному для дифференцирования, в общем
случае не представляется возможным.
По необходимости приходится изображать производные по t и х от функ-
ции U(x, t) рядами, составленными из производных от членов ряда (48),
которым определяется функция U(x, t), что возможно лишь при равно-
мерной сходимости рядов (36), (36,) и (362) (или (5), (6) и (7))- Отсю-
да именно и вытекают указанные выше дополнительные ограничения
свойств функций f(x) и /Дх), обуславливаемые не физическими требования-
ми задачи, а методом ее решения.
К сожалению, никакого другого приема, столь же общего и столь же со-
ответствующего существу дела, как изложенный выше, не существует, и
во всех немногочисленных простейших частных случаях*), подвергнутых
исследованию, окончательное решение обыкновенно приводится к изобра-
жению искомой функции при помощи рядов (48) или (4).
Однако строгого обоснования рассматриваемого приема для общего
случая и выяснения тех достаточных условий, при наличии которых при-
менение его является несомненно законным, до сих пор не было дано.
Теоремы пп. 10, 24 и 26 пополняют этот пробел, сводя число дополни-
тельных ограничений, налагаемых на функции /(х)и f\(x), к возможно
меньшему.
28. В тех простейших случаях, когда представляется возможность найти
сумму ряда (48), оказывается возможным получить решение задачи при
несколько более общих условиях относительно задаваемых функций
Дх) и (х).
Такие случаи весьма немногочисленны, и их основным типом служит
классическая задача о колебании упругой однородной. струны, которая
получается, если в указанной выше общей задаче принять р(х) = \/аг,
ц(х) = 0. В этом сл>лае а = 0, b = I, где / означает длину струны, закреплен-
ной в точках 0 и /, а
a\fT kit
Vк (х) = —у sin ~ х,
х/Т1 kit 1 kit
Ак= —ff(x) sin — xdx, Вк = — J (x) sin — xdx
al о / a kit в I
*) К таковым принадлежат задача о колебании однородной струны при различных
предельных условиях простейшего вида, задача об охлаждении однородного твердого
стержня и т.п.
224
и, по формуле (48),
2 kaitt кпх 1 ктгх
U(x, t) = — S cos ------- sin -----j" f(x) sin --- dx +
/ *=i I l 0 /
, (53)
2 ” 1 kant knx knx
+ — S — sin-----------sin-------J /,(x)sin ---- dx.
па k-\ к I l о I
Это есть известная формула Эйлера - Бернулли.
29. В рассматриваемом простейшем примере этот ряд легко суммирует-
ся, причем, как известно, получается следующий результат:
U(x, t) = <p(x + af) + ф(х-at), (54)
где
1 1 x+at
Ф(х+ at) = - f(x + at) + — f J) ($)dt ,
2 2a о
(54.)
1 lx -at
Ф(х- at) =—f(x -at)- — f fiitidt,
2 2a л
а функции fix) и fi (x) продолжаются за пределы промежутка [0, /], где
они заданы, так, чтобы <p(t) и Ф(£) вышли периодическими функциями
от | с периодом 2/*). Отсюда видим, что функция U(x, г), определяемая
рядом (53) или, что то же, формулами (54) и (54t), действительно дает
решение задачи лишь в том случае, если функция f(x) имеет производные
двух первых порядков, а функция fiQc) - производную первого порядка,
причем, как это следует из физических требований задачи, нужно допус-
тить, что f(x) и fi (х) удовлетворяют условиям (52).
30. Этот классический пример показывает, что только что указанные
ограничения свойств функций Дх) и Д(х) вызываются самой сущностью
задачи и что нет оснований рассчитывать на возможность освободиться
от некоторых из них при исследовании общего случая.
Сравнивая затем результат, полученный для рассматриваемого простей-
шего случая, с общими теоремами п. 26 или 24, можем признать дополни-
тельные ограничения, которые несомненно должны возникать при самой
общей постановке вопроса и которые действительно имеются в этих теоре-
мах, сравнительно незначительными и устранимыми лишь в частных, наибо-
лее простых случаях, подобных указанному в предыдущем пункте.
*) Не останавливаясь на хорошо известном доказательстве, отсылаем читателя к
соч. акад. А.Н. Крылова "О некоторых дифференциальных уравнениях математиче-
ской физики, имеющих приложения в технических вопросах” (С.-Петербург, 1913,
сгр. 145), а также трактату Жордана (С, Jordan “Cours d‘Analyse“ (Paris, 1887, T. Ill,
стр. 392)).
225
ЧАСТЬ II
Основные задачи математической физики
для тел трех измерений
ГЛАВА I
Потенциал объемных масс и его основные свойства.
Теорема Пуассона. Преобразование объемных интегралов
и теоремы Грина. Гармонические функции и их основные свойства.
Решение задачи Дирихле для сферы по методу Шварца.
Теорема Вито Вольтерра.
Потенциал простого слоя и его основные свойства.
Производные двух первых порядков и нормальные производные
от потенциала простого слоя. Теорема Пуассона
и относящиеся сюда неравенства А.М. Ляпунова. Потенциал двойного слоя
и его основные свойства. Теоремы А.М. Ляпунова
о нормальных производных потенциала двойного слоя
1. В первой части сочинения изложены подробно, общие приемы решения
основных задач математической физики для простого случая тел линейных
размеров. Мы перейдем теперь к изучению более сложного вопроса о ме-
тодах решения подобных же задач, примеры которых были указаны в
гл. 11 части I , для тел трех измерений. Мы уже видели, что простейшими
типами этих задач являются так называемые задачи Дирихле и К. Неймана
(или основная задача гидродинамики). Сюда же следует отнести и задачу
о распределении электричества на замкнутых кондукторах или задачу
Робена, которую, как увидим ниже, можно рассматривать как частный
случай задачи Дирихле. К решению этих последних задач сводится решение
всех других главнейших задач теории тепла, света, звука, электричества
и т.п. Поэтому мы займемся прежде всего изложением методов решения
задач Дирихле, К. Неймана и Робена. При этом необходимо придется поль-
зоваться не только основными теоремами теории притяжения (потенциа-
ла) , излагаемыми в общих трактатах по механике, но многими свойствами
различного типа потенциалов, которые с надлежащей строгостью и общ-
ностью установлены сравнительно недавно, преимущественно трудами акад.
А.М. Ляпунова, и до настоящего времени еще не введены в общие курсы
механики и анализа. Поэтому, прежде чем приступить к главному предме-
ту наших исследований, мы, напомнив уже известные предложения из
теории притяжения, изложим обстоятельно доказательства только что упо-
мянутых новых теорем и неравенств, относящихся к теории так называемых
потенциалов простого и двойного слоев.
2. Обозначим через (D) область пространства, ограниченную некото-
рой замкнутой поверхностью (S) и заполненную массами, взаимодействую-
щими по закону Ньютона. Обозначим через д плотность этих масс, которая
будет, вообще говоря, функцией координат £, J?,f точек объема (£)), огрд-
ниченного поверхностью (S). Мы предположим, что д есть непрерывная
функция координат *) . Обозначим через dr элемент этого объема, через
») В замыкании области (D). (Прим, ред.}
226
r - расстояние какой-либо точки I, tj, f области (D) от некоторой другой
точки х, у, г пространства, в которой предположим сосредоточенной
массу, равную единице.
Точка x,y,z будет притягиваться массами, заполняющими объем (D),
с некоторой силой, потенциалом которой называется интеграл
распространенный на весь объем (D). Здесь dr = d^dxid^, г2 = (х — |)2 +
+ (у ' Ц)2 + (г - f)2 и интегрирование ведется по переменным £, ij,
Потенциал U есть функция переменных х, у., z непрерывная вместе со
своими частными производными первого порядка по х, у, z во всем беско-
нечном пространстве и обращающаяся в нуль для бесконечно удаленных
(от начала координат) точек, так что
R\U\<M,
(2)
, dU dU dU
Л2| — \<М, /?2|— \<М, Я2 |—\<М,
Эх Эу dz
(2.)
где М есть конечная постоянная, a R обозначает расстояния точки х, у, г от
начала координат.
Если обозначим через X, Y, Z проекции на оси координат силы, с которой
точка М(х, y,z) притягивается телом (D), то получим
(3)
3. Частные производные второго порядка по х, у, и z от функции U ос-
таются непрерывными для всех точек, лежащих вне области (D), и удовлет-
воряют уравнению Лапласа
d2U
дх
d2U d2U
+ +
Эу2 dz2
(4)
вне области (D).
Для точек х, у. z, лежащих в области (£)) (внутри замкнутой поверхности
(5), ограничивающей область (D)), эти производные при одном только усло-
вии непрерывности функции д, вообще говоря, теряют определенный
Эд Эд Эд
смысл, но если допустить, что д имеет частные производные —, —, —.
Э£ дт] д$
непрерывные внутри (5), то вторые частные производные от U по координа-
там х, y,z будут конечны и определены во всех точках области (£)) и удов-
летворяют уравнению
At/ = —4лд
(5)
в области (D), которое носит название уравнения Пуассона.
Доказательство этой общеизвестной теоремы можно найти в любом
трактате по теории притяжения и во многих курсах анализа *). Условие
непрерывности первых частных производных от функции р есть одно из
достаточных условий справедливости только что высказанной теоремы
и может быть заменено другими условиями более общего характера.
Одно из таких условий указано впервые Гёльдером в его диссертации
’’Beitrage zur Potentialtheorie” (Inauguraldissertation, Stuttgart, 1882). Мы
формулируем теорему Гельдера следующим образом:
Если вокруг точки М(х, у, г) области (£>) можно построить такую
область (Di), целиком лежащую внутри (D), что для всякой пары точек
М'(х,у ,2 )и М"(х",у", г")o6nacru(Pi}функция р удовлетворяет условию
I p(x",y",z") -p(x',y',z') |<0re ,
где Дм а < 1 суть две определенные постоянные, а г есть расстояние между
точками М" и М', то вторые частные производные функции U (потенциал
объемных масс плотности р ) имеют определенные значения в точке
М(х,у, z) и удовлетворяют в этой точке уравнению Пуассона.
Доказательство Гельдера довольно сложно и может быть заменено
более простым, которое я и приведу в следующем пункте **).
4. Пусть пг - какая-либо точка области (D). Допустим, что около этой точ-
ки можно описать сферу (S) некоторого определенного радиуса R такую, что
для точки пг и всякой другой точки mt внутри (S) имеет место неравенство
|д-д1|<Д</“, (6)
где р и pi обозначают значения плотности в точках пг и пг а <1 есть рас-
стояние между ними.
Опишем вокруг точки пг другую сферу (а) достаточно малого радиуса
р и обозначим через с/т, элемент объема шара, ограниченного сферой
(а), через dr2 - элемент объема остальной части области (£)), ограничен-
ной данной поверхности (5). Потенциал масс, заполняющих с плотностью
р область (£>), на точку х, г, z представится в виде
д' д'
U = J-dr2 + J - dTi,
г г
где р — значение плотности р в переменной точке £, т?, f области (£)), откуда
Э£/ .г р'($-х)
— =X(m) = f р — dr2 + f -----------— drt • (7)
Эх Эх г
Возьмем внутри сферы (а) другую точку mi , достаточно близкую к пг;
не нарушая общности, можем предположить, что. точка м? ] находится на
положительном направлении оси х на расстоянии 5 от точки пг, причем
5 подчинено единственному условию S < р. Положим
д’(? *)
Xi (т) = / ------ dTi. (8)
*)См., например, Жордана (Jordan) ’’Cours d’Analysc”, Т. II (Paris, 1894. р. 196).
**) В доказательство этого утверждения внесены некоторые изменения. (Прим, ред.)
228
Обозначим через rt расстояние точки т [ от переменной точки ij, f
объема, ограниченного сферой (а). Величина предыдущего интеграла
X i(m) для точки тх представится в виде
д'(£-х-8)
A'iCwi) -S ----5------ ^гх
-6 I - X \
Из этих двух равенств выводим
Хх(тх)- Хх(т) _ ц'/Ц - л
8 8 V г?
Положив
? -х - 8 I- -х \ drx
~г? )~
можем писать
f - х - 8 < — х \ d-rx
г3 г3 /8 ’
Очевидно, что
| - х - 8 £ - х drx
ГЗ ~ ~Z5 / я
Г| г / о
(10)
представляет собой значение второй частной производной по х от потенциа-
ла однородной сферы с плотностью, равной единице, на точку х,у, г. Как
известно (см. любой курс теории притяжения),
£ - х\ dTx _ 4п
г3 /~6 Г ’
I I; —х - 8
lim f1
6-0
з
следовательно,
/£-х-8
hm ц/ I-r—
6-0 \ r?
Рассмотрим теперь интеграл /!, который можно написать в виде
, г г . I1 1 \drx . dfx ,
/, =J (д -д)(|-х-6)1— - — I —-/(д'-д) = К+К'. (12)
\ г, г3/ 8 г3
Если обозначим через <7 со элемент поверхности сферы радиуса единица,
то получим
drx =r2dudr. (13)
В силу (6) и (13)
,. , dri p л , 4пв
/|д -д| — < f ra~ 1 dr=—- pa (14)
г о a
229
и, следовательно
. . d-г, , d-г, 4л0 п
\К'\ = \!(И -И)~ 1<Лд'-д1— <— Ра-
г\ г а
Рассмотрим, наконец, интеграл
/ 1 1 \ dr,
(15)
(16)
Имеем
- _ -!)= +^i + '?) = (2(| -х) -6)(г2 +гг, + г,2)
8 \г3 г3) 5r}r3(r + r,) r3r3(r+r,)
откуда
1/1 1\ (г2 +гг( + г?) 3(г2 +г?)
8 \ г3 г3) г3 г3 2г3 г3 ’
ибо 1£ - х | г, 15-х - 6 | < г।, гг। < (г2 + г?)/2. Приняв в расчет эти
неравенства и (6), получаем
30 /1 1 \
1 *1 /'’“ГТ + ~г Hi’ <17)
2 \г3 гг} /
Подобно предыдущему, можем писать
и. •> р , 4я
fra~3dr, =fduf r“"‘ dr =--------pa. (18)
a a
Опишем около точки т, другую сферу (a) радиуса р + 6 и обозначим
через dr, элемент объема шара, ограниченного этой сферой. Тогда
J>“~‘ — =fdcvf+i ra-1 dr,,
г} г,
ибоdr'i = г2 dcjdri .Но
р + 6 6 р + ь
fra-' dr, =f r“-’ dr. + Sra-'dr,.
• 0 6
Легко понять, что в первом из этих интегралов г > 6 - г,,а во втором
г > г, - 6. Поэтому, помня, что а < 1, получаем
ь ь 5“
f rQ-‘dr,< f (6 -r,)a~l dr, = — ,
□ о a
P+ ь p + Ь oa
f ra~'dr,< f (r, -6)"-’ dr,=— ,
s 5 a
230
т.е.
р + 6 . 5“+р“
f га 1 dr! < --------
о а
1 111
„2
< — (8“+р“).
а
Это неравенство вместе с (17) и (18) приводит к следующему:
|Х |< ---- (8“ + 2р“).
а
(19)
Заметив, что в силу (12), Ц = К' + К, выводим отсюда, при помощи
(15) и (.19),
6тт0/ 8 \
|/, |< — 5“ + - ра )<7V|pa, (20)
а \ 3 /
где Ni есть конечное число. Это неравенство справедливо при любом 6, ко-
торое подчинено единственному условию 6 < р.
Очевидно, что последнее неравенство остается справедливым и в слу-
чае, когда точка находится на отрицательном направлении оси х (- р <
< 5 < °)- Э{/
Докажем, что существует производная по х функции X = ---------- в
Эх
точке т:
ЭХ _ X(W1)-X(m) , Э2(1/г) г
—— - lim --------------= /д -------— <Jt2 + lim I.
Эх 8->о 8 Эх2 6-» о
(21)
Прежде всего покажем, что если р стремится к нулю, то интеграл в пра-
вой части предыдущего равенства стремится к определенному пределу,
г. , Э2(1/г)
Для этого достаточно показать, что интеграл от функции д ---—, рас-
Эх2
пространенный на область, заключенную между двумя концентрическими
сферами с радиусами р и р' и общим центром в точке т, стремится к нулю,
когда р и р стремятся к нулю одновременно.
Обозначая через dr2 элемент объема этой области, можем писать
/д'
Э2(1/г)
Эх2
dr'2=pf
1 1 >
\dr2,
г J
где по-прежнему д' есть значение плотности р для точек рассматриваемой
области, на которую распространяется интегрирование, ад- значение
плотности в точке т. Мы знаем, что первый интеграл правой части последне-
го равенства равен нулю*); что же касается второго, то, приняв во внимание
*) См., например, Жордана (С. Jordan) ’’Cours d’Analyse” (Paris, 1894, p. 201).
231
з(х - е)2
„5 и3
4 > 2
< — dr2 = г d<jjdr, убеж-
г
р , 16я0
даемся, что модуль его меньше, чем 40 J da> f ra~ 1 dr = ---------- (p“ -
— p'“). Слеповательно, p a
, ,Э2(1/г) ,
lim / Д TV t/T2 = 0
p.p - о Эх
Таким образом, доказано, что интеграл правой части равенства (21) стре-
мится к определенному пределу при р -* 0 (обозначим его через 1Х) и что
16я0
----- р =N2pa.
а
неравенство (6) и заметив что
, Э2(1/г) ,
Эх2
lim f р
р'-0
Рассмотрим теперь разность
Л'(Ш|)-Л’(ш) 4тг
--------------1Х + — Д •
5-------------3
При произвольном р, р > 16 |, приняв в расчет (7) и (9), получаем
1
э —
г ' Г1 л
с / Д V-------------------------dT2
6 Эх
е(6) =
е(5) =
4ir 1
— р + —
3 Г
1
, * 7
-fp —T—dT2 - lim /д
Эх2 р'- о
и, в силу (10), (20) и (22),
/ £ - х - 6
г I ----------------------
6(6X1/. 1 +
1
э —
3
(22)
+ 1м'
дх
э2
lim
р' -»о
/и'
дх2
<(JV. + N2)pa
+ /д'
fl
эй
- Эх
1
Э —
- f д' d т2
Эх
д2-
3 г
7~TdT'
Эх2
1х
Э - \
о
- х \ drt 4 я
1
Э2-
Эх
1
Эх2
% - х - 6
з
L x\ dtt
г3 / 6
4 я
Э —\ Э2
1
Эх
ТТ~ dT2
Эх2 /
= (7V. + N2 )р“ + е. (6, р) + е2 (6,р).
232
Возьмем произвольное положительное число е и выберем число р столь
малым, чтобы выполнялось неравенство (TV] + N2) ра < е'/З. Далее,при
этом фиксированном р выберем положительное число 50 столь малым, что-
бы для всех чисел 6, удовлетворяющих неравенству |5| <60, были выпол-
нены неравенства
ei (5,р) = | д|
и
е2 (5,Р) =
(см. (11))
Таким образом, е (6) является величиной, стремящейся к нулю одно-
временно с 6, т.е.
Э2 U дХ 4л
а 2 ~ а ~ ^х ~ Р-
ох Эх 3
(23)
(24)
(25)
Из всего сказанного выше следует, что если плотность объемных масс
удовлетворяет условию Гельдера, то в любой точке внутри этих масс вто-
рая производная от потенциала U по х имеет определенное знач
Совершенно так же можно доказать и следующие равенства:
Э2 U 4 л
Э2 U 4 л
----- ~ Л ~ — д,
Эг2--3 М
где
1 1
э2 - Э2 -
, г г
- lim f р ----— dr2, lz = lim f p ------— d t2 .
p-о ЪУ 9z
Сложив равенства (23), (24) и (25), получим At/ = -4лд, ибо,как
известно, при всяком р
1
J д А — dr2 = О,
г
а следовательно,
, 1
+ 1У + Iz = lim f р A — dr2 = 0.
p—о г
Таким образом, функция Uпри условии Гельдера относительно плотнос-
ти р удовлетворяет уравнению Пуассона At/ = - 4лд внутри поверхности
(5) (в области (D) ).
5. Нетрудно установить высшие пределы для значений потенциала l/и его
первых частных производных в области (D) (внутри поверхности (S)).
233
Мы будем считать функцию д, в соответствии с ее физическим смыс-
лом (плотность). положительной во всех точках области (D), причем потен-
циал U (равенство (1)) будет также положительной функцией во всем
пространстве. Очевидно,
dr
U<pof—,
г
где д0 есть max д в области (D) *).
Если обозначим через / радиус шара, объем которого равен объему дан-
ного тела, то как нетрудно убедиться,
0<f----<2п12.
Поэтому
0<(/<2ядо/2.
Так как |(ij- х) / г | < 1, то |Х| =
dr
f — щ-ni.
г2
Следовательно,
1*1 =
dU
дх
< 4 я д0 /.
(26)
(27)
(28)
(29)
d т
<Мо /~Г- Но
г2
Этими неравенствами придется пользоваться впоследствии.
6. Будем подразумевать теперь под U какую угодно функцию коорди-
нат х,у, z непрерывную с ее частными производными первого порядка
как внутри, так и вне некоторой замкнутой поверхности (S), разграни-
чивающей все пространство на две области (D) и (D’), из которых пер-
вая лежит внутри поверхности (5), вторая - вне ее. Поверхность (5) мы
будем называть иногда границей областей (D) и (D ’), причем эта поверх-
ность может состоять и из совокупности нескольких отдельных замкнутых
поверхностей. При переходе через границу (S) как сама функция U, так
и ее первые частные производные могут испытывать разрыв.
Вообще говоря, можно предполагать, что U не будет стремиться к опре-
деленному пределу, когда мы будем приближаться с точкой х, у, z к какой-
либо точке поверхности (S) по тому или иному пути, что предел этот суще-
ствует с одной и не существует с другой стороны (S), что величина его за-
висит от пути, по которому мы подходим к поверхности (S); можно до-
пустить, что пределы эти существуют, но выражение U, если в него непо-
средственно подставим значения координат соответствующей точки поверх-
ности, не имеет смысла, или, наоборот, это последнее выражение для U по-
лучает определенное значение, но отличное от его соответствующих (для
данной точки поверхности (S)) предельных значений функции U, и т.п.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь тот случай, когда функция
U стремится к определенным пределам во всех точках поверхности (S),
♦) В замыкании области (£>). (Прим, ред.)
234
если мы будем приближаться к точкам этой поверхности как с внутренней,
так и с внешней стороны, что предельные значения U на поверхности (5) не
зависят от пути, по которому мы подходим к точкам (5), и что U стремит-
ся равномерно к своим пределам для всех точек поверхности (S). Мы пред-
положим также, что функция U принимает определенные значения во всех
точках (S), когда мы в выражение функции U подставим непосредственно
вместо х, у, z координаты любой точки поверхности (S).
Предел, к которому стремится U, когда мы будем подходить к какой-
либо точке (5) с внутренней стороны, мы обозначим через Ц-; предел, к ко-
торому стремится U, когда мы будем приближаться к точкам (5) с ее
внешней стороны, обозначим через Ue. Значения функции U на самой по-
верхности (при непосредственной подстановке д выражение U координат
точек поверхности (S)) будем обозначать через U, или просто через U (без
черты наверху), когда отсутствие черты сверху U не может вызвать по ходу
дела никаких недоразумений.
7. Мы будем предполагать в дальнейшем, что поверхность (5) имеет
определенную касательную плоскость в каждой точке, и обозначать через п
направление внешней нормали к (5), т.е. то направление нормали, которое
идет от точки поверхности (S) в область (D'), внешнюю относительно (5).
Прямо противоположное направление нормали будем называть внутренней
нормалью. Обозначим через а, Д, и ? углы, составляемые направлением п
(внешней нормалью) с осями координат.
Возьмем какую- либо точку М' внутри (5), лежащую на нормали к (S)
в точке М (х, у, z), достаточно близкую к этой последней точке, и составим
выражение
Ъи dU dU
costt + —cos0 +-cos?, (30)
дх------------------------------------------------------------ду dz
где частные производные от Uсуть функции координат точки М'. Предпо-
ложим, что Мдвигаясь по нормали, приближается к М. Предел, к которо-
му стремится при этом выражение (30), мы будем обозначать, если тако-
at/,-
вой существует, через-- и будем называть внутренней нормальной про-
дп
изводной от U в точке х, у, z поверхности (S).
Если предположим, что точка М' лежит на нормали к (5) с ее внешней
стороны и, двигаясь по этой нормали, стремится к точке М, то предел, к ко-
торому будет стремиться выражение (30), если таковой существует, будем
обозначать через--- и называть внешней нормальной производной otUb
дп
точке х, у, z поверхности (5).
Значение выражения (30), которое оно получит, если в него непосредст-
венно подставить координаты х, у, z точки М поверхности (S), мы будем
dU
обозначать просто через — и называть значением нормальной производной
дп
от ина поверхности (5) *).
*) Разумеется, если при этом выражение (30) имеет определенный смысл.
235
8. Возьмем две функции Un V, из которых каждая имеет нормальные
производные на поверхности (5) (внутреннюю и внешнюю) и, кроме того,
определенные вторые частные производные как внутри, так и вне поверх-
ности (5) (во всех точках областей (£)) и (D'), исключая точки самой
поверхности (S)). Имеет место слудующая формула преобразования од-
ного объемного интеграла в два других: один объемный же, а другой по-
верхостный:
ди ЭИ dU дУ dU ЭИ\ ЭИ,-
— — +— V + V V jdT^-fUAVdT + fUi—'-ds, (31)
дх дх ду ду dz dz / дп
где по-прежнему dr означает элемент объема (£>) ,ads - элемент поверхнос-
ти (5), на которую распространяется последний интеграл правой части это-
го равенства. Так как левая часть равенства (31) симметрична относитель-
но функций U и И, то можем также писать
/ dU ЭИ dU дУ dU ЭИ\ dU.-
J----------+------+--------= ИДШт + J И,---------ds.
\ дх дх ду ду dz dz / дп
(32)
Из равенств (31) и (32) вытекает следующая формула Грина:
/ ЭИ,- диЛ
f (1/ЛУ-y&U)dr = fl U,-------У,- —- ds. (33)
\ дп дп г
9. Предположим, в частности, что функции Un V удовлетворяют урав-
нениям Лапласа
Д{/=0, ди=о
внутри (D). При этом равенство (33) приводится к виду
/ ЭИ, диД
f к — - и “ ds = 0. (34)
\ дп дп /
Положив здесь У ~ 1, получим
dUt
f — ds = 0 (35)
Эл
-равенство, имеющее место для любой функции U, удовлетворяющей урав-
нению Лапласа внутри области (£)).
Из равенства (34) выводится также следующая важная формула Грина,
справедливая для всех точек области (D):
1 cos iz> 1
{/=— fU. *ds f
4ir г 4л
dUj
dn
1
— ds,
r
(36)
где г есть расстояние точки x, у, z , к которой относится значение U, от пе-
ременной точки %, г), f поверхности (5), а^ есть угол, составляемый направ-
лением, идущим от точки М (х, у, z) к точке £,г;,<,снаправлениемнорма-
ли л к (S) в этой последней точке. Интегрирование в интегралах правой час-
ти этого равенства совершается по переменным £, т?, f и распространяется на
всю поверхность (5).
236
10. Допустим теперь, что функции t/и К, подчиненные условиям п. 8 в
области (D') (вне поверхности (5)), обращаются в нуль для бесконечно
удаленных точек и удовлетворяют условиям (2) и (2t). Если обозначим
через d т ’ элемент объема области (D'), то будем иметь
/ ъи эг ъи ЭИ 9t/ ЭИ \ ,
fl — — + — — + — — IcZr =
\ Эх Эх dy dy dz dz /
= -fUAVdr'-fUe —?ds=-fVAUdT'-fVe — ds, (37)
Эл Эл
где объемные интегралы распространяются на все точки пространства,
внешнего относительно поверхности (S) (на всю область (£)')), а поверх-
ностные - на всю поверхность (5).
Из этого равенства вытекает следующая важная формула Грина, имею-
щая место для всякой функции U, удовлетворяющей уравнению Лапласа
Д U = 0 в области (D'):
1 COS <27 1 dUe 1
l/ = - — f Ue —-- ds - — f —- - ds, (38)
4rr r2 4n dn r
аналогичная формуле (36).
Всякую функцию U, подчиненную условиям п.п. 6 и 8 и удовлетворяю-
щую уравнению Лапласа внутри области (D), будем называть гармоничес-
кой функцией в области (D) (внутри поверхности ($))• Всякую функцию
U, подчиненную условиям пп. 6 и 8 вне поверхности (S), неравенствам (2)
и ^2j) и удовлетворяющую уравнению Лапласа во всех точках области
(D'), будем называть гармонической функцией в области (D') ( вне по-
верхности (5))*).
11. Предположим, что поверхность (5) есть сфера радиуса R, и применим
формулу Грина (36) к точке, лежащей в центре этой сферы. Получим
t/ = -^-7 fUids. (39)
4irR 2
Из этого равенства выводится следующая теорема:
Теорема I. Отличная от постоянной гармоническая функция в какой-ли-
бо области (D), ограниченной замкнутой поверхностью (S), не может
иметь ни максимума, ни минимума внутри (S).
Иначе говоря, наибольшие и наименьшие значения всякой гармонической
в какой бы то ни было области (D) функции Uнеобходимо лежат на поверх-
ности (5), ограничивающей эту область.
12. Формулы Грина приводят еще к следующим важным теоремам.
Теорема II. Может существовать одна и только одна функция U, гармони-
ческая внутри данной области (D), ограниченной замкнутой поверхностью
(5), и принимающая на самой поверхности наперед заданные значе-
ния, т.е.
♦) Неравенства (2) и (2,) следуют из стремления решения U (х, у, с) уравнения
Лапласа к нулю при (х, у, z) -► ». (Прим, ред.)
237
удовлетворяющая условиям
&U = 0 внутри (S),
(40)
Uj=f на поверхности (S),
где / есть заданная функция координат точек поверхности (S); эту функ-
цию /в дальнейшем будем предполагать непрерывной.
Теорема 111. Может существовать одна и только одна функция U, гармо-
ническая вне поверхности (S) (в области (£')) и принимающая наперед
заданные значения на этой поверхности, т.е. удовлетворяющая условиям
&U = 0 вне (S),
Ue=f на поверхности (5). (4 *)
Эти теоремы можно рассматривать также как прямые следствия тео-
ремы I.
Определение гармонической функции U, подчиненной условиям (40)
при данной поверхности (S), составляет внутреннюю задачу Дирихле; опре-
деление гармонической функции U, подчиненной условиям (41) для данной
поверхности (S) составляет внешнюю задачу Дирихле.
13. При помощи формулы (36) получается простое решение внутренней
задачи Дирихле в случае, когда поверхность (S) есть сфера данного радиуса
R, указанное впервые Шварцем.
Если обозначим через I расстояние точки х, у,г, лежащей где-либо внут-
ри сферы, от ее центра, то функция U, удовлетворяющая условиям
Д U = 0 внутри сферы,
U, =У на поверхности сферы,
где Уесть заданная функция координат точек поверхности сферы, предста-
вится в виде
1 Л2-/2
U(x,y,z)= /У -----------— ds. (42)
4яЛ гJ
Здесь ds есть элемент поверхности сферы г2 = (х - £)2 +(у - J?)2 + (z - f) 2,
I2 = х2 + у2 + z2 и интегрирование по переменным £, ц,f распространяется
на всю поверхность сферы.
14. Наконец, при помощи формулы Шварца (42) и теоремы I без труда
доказывается следующая теорема, впервые указанная итальянским геомет-
ром Вито Вольтерра.
Теорема IV. Обозначим через Ut, U2, U3,.... (/*,.. бесконечный ряд
функций, гармонических внутри данной поверхности (5). Пусть Uu, U2t,
Un, ..., Uki,. ..суть предельные значения, которые принимают функции
Uk(k = 1,2,3,.. .)на поверхности (5).
оо оо
Если ряд S Ukj сходится ровномерно, то ряд S Uk также схо-
k =1 k=1
дится равномерно во всех точках внутри поверхности (S) (в области (D))
и представляет собой гармоническую функцию.
15. Другой основной задачей математической физики является, как уже
упоминалось, задача К. Неймана (или основная задача гидродинамики),
238
которая, так же как и задача Дирихле, распадается на две: на задачи внут-
реннюю и внешнюю.
В первом случае требуется определить гармоническую функцию внутри
данной замкнутой поверхности (S) при условии, что внутренняя нормаль-
ная производная искомой функции принимает наперед заданные значения
на самой поверхности, т.е. требуется найти функцию координат, удовлетво-
ряющую условиям
Д{/ = О внутри (5),
3t/,- „ (43)
— =/ на поверхности (S),
д/1
где f по-прежнему есть заданная непрерывная функция координат точек по-
верхности (5).
Равенство (35) сейчас же приводит к заключению, что эта задача может
иметь решение только в том случае, когда функция f подчинена условию
Sfds = Q. (44)
Если это условие соблюдено, то возможно существование функции U,
удовлетворяющей уравнениям (43). При помощи формулы Грина (31),
подобно тому, как и в случае задачи Дирихле, легко устанавливается сле-
дующая теорема.
Теорема V. Гармоническая функция Uвнутри данной замкнутой повер-
хности (5) определяется условиями (43) и (44) вполне до некоторой до-
бавочной произвольной постоянной.
Во втором случае (внешняя задача К. Неймана) требуется определить
гармоническую функцию U при помощи условий
Э£/е
Д(/ = О вне поверхности (S), - = f на поверхности (5). (45)
Эи
В этом случае задача возможна, какова бы ни была заданная функция f то-
чек поверхности(5), и формула Грина(37)приводит к следующей теореме.
Теорема VI. Может существовать одна и только одна гармоническая вне
данной замкнутой поверхности (S) (в области (£)')) функция U, удов-
летворяющая условиям (45).
16. Заметим, что задачи Дирихле и К. Неймана представляют собой част-
ные случаи следующей, более общей задачи:
Найти такую гармоническую функцию внутри или вне данной замкну-
той поверхности (5), которая удовлетворяла бы соответственно условиям
U, = / на одной части поверхности (5),
dU‘ е - - / (46)
-------- f\ на другой, оставшейся части (5), '
Эи
или
и?= f на одной части (S),
f . (47)
------ =jj на другой ее части,
Эи
где /и fi суть две заданные функции точек поверхности (5).
239
В этом случае при помощи формул преобразования Грина (31) и (37)
выводится такая теорема.
Теорема VII. Может существовать одна и только одна гармоническая
внутри или вне данной замкнутой поверхности (S) функция, удовлет-
воряющая соответственно условиям (46) или (47).
Доказательства всех указанных теорем можно найти в любом трактате
по теории притяжения и в большинстве курсов механики и анализа *).
17. Предположим теперь, что притягивающие массы распределены
сплошным образом на некоторой поверхности (5) с плотностью ц, которая
будет некоторой функцией точек этой поверхности ** ***)). Потенциалом V
этих масс на какую-либо точку х, у, z пространства с массой, равной едини-
це, называется интеграл вида
д
V = S — ds, (48)
г
где ds есть элемент поверхности (5), на которую распространяется интегри-
рование.
Слагающими по осям координат силы, с которой материальная поверх-
ность (5) притягивает точку х, у, z будут частные производные первого по-
рядка от V по координатам х, у, z.
Функция V от х, у, z остается, как известно, непрерывной во всем прост-
ранстве, так что К/= Ve = К на поверхности (5). В бесконечно удаленных
точках V обращается в нуль со своими частными производными по тому же
закону, что и функция U (потенциал объемных масс; неравенства (2) и
(2,)). Частные производные от К непрерывны внутри и вне поверхности
(5) ♦*♦) и удовлетворяют уравнению Лапласа
Д V = 0 внутри и вне поверхности (5),
т.е. потенциал поверхностных масс представляет гармоническую функцию
координат как внутри, так и вне поверхности (5).
Частные производные от V по координатам и нормальная производная
этой функции испытывают разрыв при переходе точки через поверхность
(5) и, вообще говоря, могут не иметь определенного смысла для точек
этой поверхности, если не подчинить ее некоторым ограничениям.
До сих пор мы подчиняли поверхность (5) одному условию, что она
(а) имеет определенную касательную плоскость в каждой ее точке.
Мы введем теперь еще следующие дополнительные условия:
*) См., например,
Lejeune Dirichlet. Vorlesungen uber die im umgekehrten Verhaltnissdes Quadrats
der Entfernung wirkenden KrSfte. - Leipzig, 1876.
C. N e u m a n n. Untersuchungen fiber das Potential. - Leipzig, 1877.
H. P 6 i n c a r e. Theorie du Potentiel Newtonien. - Paris, 1899.
P. D u h e m. Lecons sur Г Electricite et le Magnetisme. - Paris, 1891, t.L
P. A p p e 11. Traite de Me'canique rationelle. - Paris, 1922, t.III.
C. J о r d a n. - Cours d’ Analyse. - Paris, 1913, Т.П.
E. P i c a r d. Traite'd’ Analyse. - Paris, 1901, t.L
А. К о r n. Abhandlungen zur Potentialtheorie. - Berlin, 1901.
**) Функция д всегда предполагается интегрируемой. (Прим, ред.)
***) Мы всегда будем рассматривать лишь замкнутые поверхности и для сокращения
слово ’’замкнутый” будем опускать.
240
(b) Пусть ро и р - две какие-либо точки поверхности (5), д есть угол
между внешними нормалями к (5) в этих точках, г0 - расстояние между
ними. Для любых двух точек р0 и р поверхности (S) имеет место неравен-
ство вида
д<аг0,
(49)
где а есть положительное число, не зависящее от положения точек р0 up на
поверхности (5).
(с) Около каждой точки р0 поверхности (5) можно описать сферу дос-
таточно малого, но определенного радиуса D {одинакового для всех то-
чек поверхности), такую, что любая прямая, параллельная нормали пк (5)
в точке Ро, пересечет часть поверхности (S), заключающуюся внутри сфе-
ры, только в одной точке*).
Поверхности, удовлетворяющие этим общим условиям, мы будем назы-
вать поверхностями Ляпунова.
18. Предположим точку р настолько близкой к р0, что
и угол д достаточно малым.
Имеем, в силу условия (Ь),
1 , 1 ,
cos д > 1 - —t?2 >1 - — а2 Го
2 2
и
—< —----------- ---------------
2 \ 2
откуда на основании (50) выводим
1/cos 0 < 1 +а2Го
(50)
(50,)
(511)
- неравенство, которое можно заменить равенством вида
1/cos О = 1 + в а2Го , О<0<1.
Примем за плоскость £ т?плоскость, касательную к (5) в точке р0, и опи-
шем около Ро сферу радиуса R < D, которая вырежет на поверхности (5)
площадку (о), все точки которой будут лежать внутри сферы; начало
координат поместим в точке р0. Координата f всех точек площадки (о) бу-
дет, в силу условий (а ) — (с), непрерывной и однозначной функцией пере-
менных 5 и т], имеющей непрерывные производные первого порядка во всех
точках рассматриваемой площадки.
Как известно,
* ) Далее удобно считать, что D < 11а.. (Прим, ред,)
241
Отсюда при помощи (51,) выводим
1 / /дП2 /ЭМ2
— =vl + —)+—)
cos t? \ 3g / \ 3tj /
Введем вместо прямоугольных полярные координаты, полагая
g = р cos ш, r)=p sin со. Имеем
3f 3f 3?
— = —cosco + — sin со,
Эр 3g dr?
откуда на основании известной леммы Коши
(52)
С другой стороны, неравенство (52) при условии (50) дает
„2
Го •
(52,)
Следовательно, для всех точек площадки
лг0<1) | f | <р>/ТТак как
(53)
то
(53')
и, следовательно,
(53,)
(I в' | < 1). Отсюда, ин-
или
3? ,
— =0'р2ач/Т,
Эр
где в с есть величина, численно меньшая единицы
тегрйруя по р от 0 до какого-либо ри заметив, что f = 0 при р = 0, получаем
\{\<р2 ay/l^bp2, (54)
где b есть положительное число.
19. Составим выражение нормальной производной от потенциала V,
определяемого равенством (48) для точек поверхности (S) *) .
*) Имеется ввиду (см. также и. 7) следующее.
Возьмем произвольную точку р„ G S и обозначим через п и внешнюю нормаль к
поверхности S в этой точке. В любой точке P&S функция V имеет производную по
направлению л и эта производная выражается формулой
(Э V \ д cos ф
~ )= “ f —— dsP'
Эл )р г1
242
Обозначая через ф угол,' составляемый направлением рр0, идущим от пе-
ременной точки р к точке р0 с внешней нормалью п к поверхности (5) в
точке ро, получим при принятых нами обозначениях (для точки р0):
dV р cos ф
Построим теперь цилиндр вращения радиуса R< D, ось которого направ-
лена по нормали п к поверхности (5) в точке ро, и обозначим через (а)
площадку, вырезанную этим цилиндром, а остальную часть поверхности
(S') обозначим через (S ) ♦ ).
Подразумевая затем под do поверхностный элемент площадки (о), под
ds - такой же элемент части (S* *), можем писать
Так как совф = (z - f) / r0 = — t/r0, ибо в нашем случае z = О **), то
рсозф р$
-S ------- do = J — do.
Го Го
Вводя опять полярные координаты р и ы с началом в точке р0 и с осью на-
правленной по нормали п к поверхности (S) в точке р0,заметив, что do =
= pdpdoj /cos iJ, и приняв в расчет (53), можем писать
Го d° $ cosd(p2 +f2)3/2
Неравенства (50) и (50t) показывают, что
cos д > 1 / 2;
(54J
Окончание сноски
где г - расстояние от точки Р до переменной точки Р е 8, а ф - угол между векторами
рР и п. Под значением нормальной производной потенциала V в точке p„^S понимает-
ся значение в точке ра интеграла, стоящего в правой части последней формулы; далее
доказывается, что этот интеграл сходится (для любой р0 eS), если плотность рогра-
ничена.
В настоящее время для обсуждаемого понятия используется термин "прямое
значение нормальной производной потенциала простого слоя на поверхности S”; см.,
например, учебник В.С. Владимирова "Уравнения математической физики” (М.,
Наука, 1981, стр. 407). (Прим, ред.)
*) Здесь и всюду далее в подобных построениях рассматривается пересечение
цилиндра достаточно малого радиуса R с шаром радиуса D (из условия (с) п.17).
Удобно считать, что R < D/2. Тогда площадка (а) однозначно проектируется иа плос-
кость, касательную к поверхности (S) в точке р0. При этом из установленных в п. 18
свойств поверхности (S) вытекает (напомним, чтоО< 1/я), что проекция площадки
(с) на касательную плоскость (.п является кругом радиуса R и (а) описывается урав-
нением J =?и,п), £’+п’< Я1, где функция f удовлетворяет неравенствам п.18, в
частности неравенству (54). (Прим, ред.)
**) Начало координат находится в точке р0.
243
при этом будет иметь силу и неравенство (54). При помощи этих неравенств
из предыдущего равенства выводим
I д f I
Н — da \<2 ц0 b f dpdw = 8 itfjobR, (55)
I r30 |
где до есть высшая граница функции д на поверхности (5). Тогда
д cos у
lim / —-— da = 0.
Я-0 r20
(56)
Отсюда следует, что нормальная производная от потенциала V сохраняет
определенные значения во всех точках любой поверхности Ляпунова при
одном условии, что плотность ц притягивающих масс есть ограниченная
функция точек этой поверхности.
. 20. Выведем теперь одно неравенство А. М. Ляпунова *), необходимое
для дальнейшего, которое покажет в то же время, что нормальная про-
изводная
ЭИ д cos й
Г = ---- dS
Эи г
есть непрерывная функция координат точек поверхности (5) при сделан-
ном предположении относительно плотности ц.
Возьмем на площадке (о) другую точку pi и обозначим через 5 расстоя-
ние между точками р0 и р. Обозначим интеграл (56) для простоты через 7,
значение его для точек р0 и Pi — соответственно через J° nj‘ . Части интег-
рала J°, распространенные на поверхности (о) и (S'), обозначим соответст-
венно через J°n J°, а через Ja и 7/ - соответствующие части интеграла J1.
При сделанных обозначениях можем писать J' = J„+ J's, J°=JS+ Js°, откуда
7'-7° =70'-7° + (7/-7?) и
(57)
где положено
Д=//-
Очевидно (см. предыдущий пункт),
„ дсовф дС
/2 s- --------da = f-± da.
Го d
Поэтому, в силу (55)
|<8яд0 W?.
(58)
(56.)
21. Обозначим теперь через 0| угол, составляемый направлением, иду-
щим от переменной точки р к точке pi с внешней нормалью и( к поверхности
*) Неравенство (83,) п.26; изложение доказательства этого неравенства несколь-
ко изменено. (Прим, ред.)
244
(5) в точке pi, через и - расстояние точки р от точки р,. Можем писать
, «совф,
Ja = -f------:--- da.
Г*
(59)
Построим цилиндр вращения, осью которого служит нормаль гц к (5) в
точке р,, а радиус равен 7? ] и обозначим через (а,) площадку, вырезанную
этим цилиндром на поверхности(5) *). Проекция контура, ограничиваю-
щего площадку (а), на плоскость, касательную к (5) в точке р0, есть круг
радиуса R с центром в точке р0; проекция контура, ограничивающего пло-
щадку (а,), на плоскость, касательную к (S) в р,, есть круг радиуса/?].
Положим
/?]=4Л. (60)
При этом, очевидно, вся площадка (о) будет целиком лежать внутри пло-
щадки (<?]) **) и будет иметь место неравенство
I COS ф] | | COS ф] I
f —------ da < f —--------- da,,
где через da, обозначен поверхностный элемент площадки (о,), на которую
распространяется второй интеграл. Так как
, | COS ф, |
----Г~ da,
то, в силу предыдущего неравенства,
, I COS I
I ja I < to f —----- da,.
Применив к этому интегралу дословно рассуждения и. 19, убеждаемся при
помощи (60), что
I COS ф! |
J----:--- da, <SirbR, = 32 irbR,
2
т.е.
|J„' | <32 npobR. (61)
22. Рассмотрим теперь выражение Д (58). Дадим R некоторое определен-
ное значение/?0***) и обозначим через До соответствующее значение Д. Ве-
личину Д при всяком другом R можем изобразить так:
Д = (Д — До) + До. (62)
*) Какивп.1?, (а,)- часть поверхности (5), лежашая в пересечении цилиндра вра-
щения радиуса К, < D/2 с шаром радиуса/) с центром в точке р,. (Прим, ред.)
**) Площадка (а) лежит (см. и. 18) в шаре радиуса 2R с центром в точке р0, а этот
шар содержится в шаре радиуса Я, = 4R < D/2 с центром в точке р, 6 (а), а следова-
тельно, и в пересечении шара радиуса D с центром в точке р, и построенного в этом
пункте цилиндра радиуса R,. (Прим, ред.)
***) Конечно, такое,при котором неравенства (56,) и (61) удовлетворяются.
245
Цилиндр вращения радиуса Ro вырежет на Доверхности (S) площадку
(а0); оставшуюся часть поверхности (S) обозначим через (So), а поверх-
ностный элемент этой части — через ds0. При этом можем писать
(COS Ф! COS Фо \
—Г~---------i---- *о- (63)
ri ro J
Здесь интегрирование распространяется на всю часть (50) поверхности
(S), а Ф1, Фо, гг, г0 представляют значения фиг для точек pt и р0.
За плоскость % 1? по-прежнему принимаем плоскость, касательную к (S) в’
точке Ро, за ось f - направление п в точке р0, за начало координат - точку
Ро- Координаты точки pt обозначим через 0,4i. f i > координаты перемен-
ной точки р, лежащей вне площадки (а0) - через j, 17, f; при этом г0 = рр0,
П = РР1, Фо есть угол, составляемый направлением^) с направлением и, а
ф 1 — угол, составляемый направлением рр j с направлением п t внешней нор-
мали к (5) в точке Р). Имеем
dfi
COS (И) t) = ---cos &,
3fi
cos («Ji?) = —------ cos #, cos («if) = cos #,
3i?i
(64)
Далее,
COS Ф1 = COS (Г| , «1) = cos (rt 0 cos («it) +
+ COS (rjT?) cos («!l?) + COS (T| f) cos («,0- (65)
Заметив, что- cos (r,Q = ($ - 0 )/П, - cos (r, 1?) = (1? - i?i)/ri,
— cos (Г1 f) = (f - f 1) /rt, и приняв в расчет (64), выводим из (65)
[ЭС1 ЭО1
f-fi -G-О) тг - 0?-1?1)— cos#,
do di?ij
Легко убедиться, далее, что r0 cos ф0 = — f. Это равенство и (65) приво-
дят к следующему:
[9fi +
($-0) э|7
afi 1
+ 0? - 41) — I COS д + f(l - cos #).
di?i J
Отсюда
I T1 cos Ф1 - r0 созфо | < I fl |1 - cos# I +|f 1 I + IЯ1,
(66)
244
dfi df,
где положено // = (^-^t) — . Но по лемме Коши
Э$! Эти
। я । <7а - ь )2 + о? - r?i ) V®2 + 2 •
\ЭЬ/ \Эт?1/
Предполагая точку pt достаточно близкой к р0 * ), замечаем на основании
(52^, что
С другой стороны, так как размеры поверхности (S) предполагаются ко-
нечными, то
Va-Ь)2 +(г?-т?1)2‘=Р1 <L, (67)
где L есть конечное число. Поэтому
\H\<aLy/TS. (68)
Далее, в силу (50t),
I 1 — cos д | < — д252 <дб/2 (69)
2
и, в силу (54),
b
Ift \<Ьр\ <ЬЬ2 <-6. (70)
а
Замети, наконец, что наряду с неравенством (67) всегда можно считать,
что | f | < L, получаем, приняв в расчет (69) и (70),
(b aL\
I fi I + I f (1 - cos #)| < I — + —16 и, на основании (68),
\д 2/
Г* / 1 Al
|f(l -cos^l + lfj | + |Я|< ~+ La - + v? 8=4«,
La \ 2 /]
где А есть конечная постоянная, не зависящая от положения точки р0 на по-
верхности (S).
Это неравенство и (66) приводит к следующему:
I Г1 COS V*1 ~Гц cos Фо |
____________________ AS
li R30 (71)
для всякой точки р (g, i?, f), лежащей вне площадки (а0) на части (50) по-
*) Достаточно считать, что точка р, лежит на площадке (а„).Тогдаб < 2R„ <D!4<
<D О/аи справедливы оценки п.18. (Прим, ред.)
247
верхности (5), ибо для всякой такой точки
Го > /?о •
23. Найдем теперь высший предел модуля выражения
/ 1
rt COS ф, I у
1 Y
у 1 = cos ф,
roJ
(Го -П)(Г1 + г,г0 +rj)
_2„3
Г,Г0
(72)
(71,)
для точек p, лежащих вне площадки (а0) • Имеем
rj + г, г0 + r2o _ 1 t 1
г, г% г% Ро г, г0 г?
Точку Р[ всегда можно выбрать столь близкой к р0, что будет 6 / R<y < 1/2.
Тогда, в силу (72),Г! >r0-S >R0/2 для всех точекр ($,rj,f) чабти (So),
т.е. 1/Г] < 2//?о, 1/г, <4//?о- При этом подучим
г, + г,г0 +г% 11
Г2 Г30 Го Гй г,
1
7
«7-
+--------
Го Г21
Заметив, наконец, что | г, - г0 К & , получаем окончательно
(73)
Представив выражение, стоящее в скобках под интегралом (63). в виде'
cos ф.
cos Фо / 1
— =Г, СОБф , -
"о \ г I
1 \ Г, COS Ф! - Г0 COS Фо
Го/ Го
(73,)
выводим из него при помощи (71) и (73) неравенство
cos Фо
Го
В
I До I До , 5,
R'o
COS ф|
~~~г
А +1
—— 5 и затем из (63)
R3o
(74)
где Л = (Л + 7) 50 < (4 + 7) S', a So и S обозначают величины поверхностей
(So) и (S).
24. Рассмотрим, наконец разность Д - До, где
(созф, cos Фо\ .
—-------------ps ,
Г, гй /
a ds ' обозначает поверхностный элемент той части поверхности (S), кото-
рая остается за выключением из нее площадки (а), вырезанной цилиндром
вращения с радиусом R и с осью, направленной по нормали и к (S) в
точке ро-
248
Предположим, что
R<Rp
(75)
и обозначим через (5,) пояс поверхности (5), ограниченный контурами
площадок (о) и (о0), через ds, - поверхностный элемент этого пояса. По-
(COS ф, COS ф0\
—5----------Ids,, где интегрирование распростра-
ч И 'о I
няется на все точкиp({j, т?, f)noHca(S,). Пользуясь введенными раньше
цилиндрическими координатами р и ы, можем писать
2п
д-д0=/
О
/?0 / cos ф,
dw / д 1----------
R \ И
cos ф0 \ Pdp
Гр / cos д
(75,)
Имеем
1 1
р - 3
'1 'О
Гр - Г»
ГоП
1
+------------
Всегда можно положить б <R /2, причем неравенство (72,) будет само со-
бой удовлетворено в силу (75). Тогда для всех точек пояса (5,)
I Го — П |<5, r0>p>R, г !>г0 - р - 6 >р/2>0.
Следовательно,
и
г, cos ф.
р3
(76)
Так как, очевидно, аналогично неравенству (71) для всех точек пояса
(S,) справедливо неравенство
I г, costf/, - r0 cos ф0 | / Го < Л5 / р3,
то, приняв в расчет неравенство (76) и равенство (73,), получаем
cos ф, cos ф0
_2 ~ За
г. Го
5 С5
<(12+Л) -= —,
Р Р
(77)
где С есть конечное положительное число.
25. При помощи неравенств (77) и (54,) получаем
/ cos ф, cos Фо \рdp
f Р I -- - —г— -----
R \ Г, Гр J COS I?
r0 dp 2Ср0
<2Сд06/ — 8.
R р2 ' R
(78)
249
(79)
Поэтому (см. равенство (75,))
4яСдо
| До - Д | < —— 6.
Будем считать, что выбранное в п.22 число Ro < 1/2, и возьмем произ-
вольную точку р, на поверхности (5) такую, что расстояние 8 между точ-
ками Pi и ро подчинено условию
8<R2O.
Положим
(80)
R=y/iT. (81)
В силу (80) так выбранное число R удовлетворяет неравенству (75) и
соблюдено принятое нами условие 8<R/2 (ибо/?2 </?А0 </?/2). При
этом неравенство (79) приведется к виду
|Д —ДоКйЛв’72,
где К есть определенная постоянная, не зависящая ни от положения точ-
ки Ро на поверхности (5), ни от 5.
26. Это последнее неравенство и (74) дают, при помощи (62) и (80),
(82)
|Д| < |Д - До1 + |До1 <Ро[-^+К) 5,/а =NpotU2
\ЛО /
где N=K + B/Ro есть определенное число, одинаковое для всех точек
поверхности (S).
При сделанном выборе R (равенство (81)) из (56,) и (61) получаем
I I + Uа I < 40 irbpo 81 /2 и при помощи (82) и (57) приходим к неравенству
W -J°i<QMo6,/2, (83)
где Q есть, очевидно, определенное число, не зависящее ни от До, ни от 8,
ни от положения точки р0 на поверхности (5).
Это неравенство доказывает следующую теорему.
Теорема Ляпунова (первая). Для всякой поверхности (S) Ляпунова
нормальная производная ат потенциала масс, распределенных по по-
верхности (S) с плотностью ^удовлетворяет условию
ЭК\ ЭИ ч
Эл /1 Эл
(83>)
г^е(зл")| и Эл представляют значения этих производных в двух смежных
точках (S'), находящихся на расстоянии 8, и есть, следовательно, непре-
рывная функция точек рассматриваемой поверхности при одном усло-
*) Справедливость неравенства (83,) для точек поверхности <£>» находящихся
на расстоянии 6 > R $, очевидна. (.Прим. ред.)
250
вии, что плотность ц притягивающих масс есть ограниченная функция
координат ♦).
27. Переходим теперь к исследованию свойств внутренней и внешней
ЭГ ЭИ
нормальных производных —' и —е от потенциала простого слоя V.
Ъп Ъп
Возьмем точку Р внутри поверхности (S) на нормали к ней в точке
р0 и величину выражения (см. п. 7)
ЭИ ЭИ ЭИ
— cos а + — cos в + — cos у
Эх Эу 3z
/ эи\
в точке Р обозначим через ( — I . Рассмотрим разность
\ Эи / ,р
эиу
Эи / р
дУ_(ЪУ\
Ъп \Ъп )р
(84)
При сделанном нами выборе координатной системы (см. п. 18)
COSO = COS0 = 0, cosy = 1 и
f-z .
(85)
f
7 = <й.
to
(851)
где г (в первой формуле) обозначает расстояние переменной точки
Р (l> Р, f) поверхности (S) от точки Р, а г0 (во второй формуле) - рас-
стояние точки р от точки Ро .
Строим опять цилиндр вращения радиуса R с осью, направленной по
нормали и к (5) в точкер0 (см. п. 19), и через do ndsi обозначаем поверх-
ностные элементы площадки (а), вырезанной цилиндром, и оставшейся
части (St) поверхности (5).
Можем писать
/ЭИ\ Г-z Г-z
| —1 =fP ~Г +/Д
ybnjp г* г
(86)
f f
J -3 dsi +fp—da.
Л) И)
Обозначим интегралы правой части первого равенства соответственно
через /1 и 12, а интегралы второго — через К i и К2. Рассмотрим разность
/1 1 \ д
Л3-3 \ds.-zS-ds,. (87)
Выбрав точку Р достаточно близкой к точке р0, положим |z| = е. Так
*) См. также А. Ляпунова (A. Liapounoff). ”Sur certaines questions qui se rattachent
au probleme de Dirichlet” (Journal des Math^matiques, Paris, 1898).
251
как для всех точек части поверхности (Si) г >Л*),г0 >Л,1 г-г0Ке,то
До$
R3 е
Д I До$1
e<
(88)
и
11 1 |_ |r-r0| / i
I? Го. I rr0 Vo
1 1 \ • 3
— + T"l T e.
rr0 r2 J R4
(88.)
Следовательно,
I / 1 1 \ I 3LS
-JT е >•
• \ * 'О / К
Из (87), (88) и (89) выводим неравенство
S N'
| /1 —К я | < До (R + 3£) е = До 7Т е,
IX IX
(89)
(891)
где N1 есть определенное число.
28. Обращаемся к разности
/1 1 \ Д
h -К 2 =f ДИТ - Тз ) da-zj — da = H-Hx.
\r nJ г3
(892)
Вводя опять цилиндрические координаты р, ы и f с началом в точке
Ро и заметив, что для всех точек площадки (а), на которую распространя-
ются интегралы последнего равенства, | г0 — г| < е, г0 > р, г > р, получаем
при помощи (881)
1 13
? й0 < гр3
е. Следовательно, в силу (54),
/ 1 1 \
|Я| =
dp
da <36 Дое / —.
rp
Так как, далее, на основании (54]) da =
pdpdu
-^-<2pdpdu,To
|Я|<66дое/------. (90)
Имеем? = р2 +(Г + «)2 =р2 + i2 +? + 2 fe, где в силу (54) р2 + 2?е >
> Р2 (1 — 2Ье) > 0 при достаточно малом е (и р ¥= 0). Поэтому
г2 >р2 +е2 +2fe = (p2 + е2)(1 -X),
где положено X = - 2fe/(p2 + f2 ). Очевидно,
|Х|<26е<1. * **)
(901)
♦) Так как R <D)2 (см. п. 19), то для справедливости этого неравенства достаточ-
но положить t<R. ЦТрим. род.).
**) Так как I f I < L. См. п. 22.
252
Далее
7* 7Й? <901>
Так как 1/ \/1 - X < 1/ х/1 - 1ХГ, а |Х| всегда можно сделать меньшим 1/2,
выбрав достаточно малым е* ), то можем считать, что
l/r<V2?:VZPi+eli, (903)
причем неравенство (90) приведется к такому:
_ 2и r dpdw _ r dp
\H\<b/£bpoef f “7=S= Пх/Тябдое f Yi--------------1 =
о о VP +e о VP + e
= 12\/?я6дое [ln(/?+v^5-+e7)-lne]. (91)
Каково бы ни было положительное число fi, всегда lim [In (R +
.— ----» е “7°
+ y/R2 + е2) - In е] = 0. Поэтому, каково бы ни было число е (из рас-
сматриваемого интервала), всегда можем положить 12 х/Т nbe^ [In(Л +
+ \/R2 + е*) — In е] < А, где А есть число, не зависящее от е. При этом
неравенство (91) примет вид
|Я|<Лдоев, (92)
где а = 1 - fi > 0 есть произвольное число, лежащее между 0 и 1.
29. Напишем интеграл
Hi =zf (pit3)da = -ef (p/r3) da**)
в виде
n da P~P°
Hi=-ep° f-j — ef da, (93)
r r
подразумеваем под p° значение плотности p в точке р0.
Преобразуя первый интеграл к полярным координатам и принимая
во внимание равенство (51), получаем
do pdpdw pdpdw . гЯ pdpdw
= Oa f (94)
г г cos д г3 г
Но, в силу (54),
г1 -р1 + f2 <(1 + b2p2)p2 <hp2, (94i)
где под h можем подразумевать определенное положительное число, не
зависящее от р. Поэтому
<21 = 9а2 f < fiha2 f - d^- < eha2 f dpdw ? 2ir6ha2R, (95)
r3 r3
ибо в пределах интегрирования r>p.
*) Стоит положить e<i/(4h).
** ) Напоминаем, что z=-e.
253
30. Так как — —
г
заключена между г2
получаем
1 3 (р2+е2-г2)
—:-------------------; где величина н>
(р2+е2)3/2 2 w5'2
ир2 + е2, то принимая во внимание (903) и (54),
1 1
(р2+е2)3'2
6^|р2 +е2-г2|
(р2+е2)5/2
6х/5>2р4 + 2еЬр2] Ср2 + С"е
(р2+е2)3'2 <(р2+е2)3'2’
(950
где С' и С " суть, очевидно, определенные положительные числа, одина-
ковые для всех точек поверхности (S). Первый интеграл правой части
равенства (94) можем поэтому переписать в виде
pdpdu , pdpdco , p2dpdw
J p ~(l+g e) f +е2)з/2 + ^ X^a^a/a ’
где = =
Так как
p3
/ = ;^e2)^2 dpd“<2”R' <96>
a
pdpdbt 2ir 2n
‘^(p2+e2)3'2 e x/r2 + e2’
то, на основании (94) и (95),
do
ef -г- = 2ir + eQ,
r
(97)
где Q= Qi +g'J + 2ir\g"
1 +g"e
х/R2 H-e2*
|. Причем, в силу (95) и (96),
/ , , „ 1 \
Ю1<24Лв2Л+С'Л + С''+ - |=Д
\ rJ
(98)
где В есть определенное число при всяком определенным образом выб-
ранном/?.
Заметим также, что
lefil < 2тг (ha2 Re + C'Re + С"е + 1) <В0, (98,)
где Во - определенное число, не зависящее ни от выбора е и R (доста-
точно малых, удовлетворяющих указанным выше условиям), ни от рас-
положения точки ро на поверхности (S).
31. До сих пор мы ограничивались одним предположением, что плот-
ность р есть ограниченная функция точек поверхности (S). Допустим
теперь, что д остается непрерывной на этой поверхности.
254
В этом случае, при достаточно малом R, будем иметь
I Д-Д°
Г г3
I do
I -г*
и, на основании (97) и (98!),
, Д -Д°
lQ I = e /—~
(99)
гдет = 2тг + Яо есть определенное число, аг?- положительное число, стре-
мящееся к нулю одновременно с R.
Из равенств (93), (97) и последнего выводим Я1 =— 2тгд° — eQn°-Q'.
Заметив, что 12 -К 2 = Я -Н\ (см. (892) ), получаем
/2 -К 2 = 2яд° +Я + eQn° + Q' = 2пц° + Q't,
(100)
где, в силу (92), (98) и (99),
IG1I <Ядое“ +еВцо + тп (101)
/эи\
Так как, далее, I — I -J = Л —К i + /2 — К2, то на основании (100}
\Эи /р
/ЭИ\
I — I —J - 2яд° =Ц —К 1 + Qi. Отсюда, приняв в расчет(891)и(101),вы-
\ Эи /р
водим
/ ЭК\ ( ijl0N' \
( —| -J -2яд° < I —*—+Вдо 1е+Л|1ое“+ п?. (1011)
\ Эи/р \л /
Мы всегда можем выбрать сначала R столь малым, что п? сделается
меньшим наперед заданного положительного числа е'/2. Выбрав у казан-
ным способом R, мы можем затем взять точку Р столь близко к точке
Ро поверхности (S), что выражение!—— + Ядо 1 е +Лдое также сдела-
\ R ]
ется меньшим числа е'/2. При этом будем иметь
- 2тгд°
<е.
(Ю2)
Из этого неравенства вытекает следующая формула Пуассона:
дУ,
— =J+2пц°, (103)
on
ЭК JLtCOS ф
где, напоминаем, J =--= — J —-— ds.
дп г2
Точно так же, взяв точку Р' на нормали и с внешней стороны поверхнос-
ти (5) и повторив с соответствующими изменениями предыдущие рас-
суждения, получим
—-=/-2пц°. (104)
Эи
255
Из (103) и (104) вытекает и следующее равенство:
dVt
дп
л о
-— = 4яд°
Эл
(105)
Таким образом, справедливость формул Пуассона доказана для вся-
кой поверхности (S) Ляпунова, коль скоро плотность потенциала V прос-
того слоя есть непрерывная функция координат точек этой поверхности.
32. Предположим теперь, что функция д не только непрерывна, но еще
удовлетворяет условию
|д-д°|<лН, (1050
где N есть число, не зависящее от положения точек р ир0 на поверхности
(5), Р — такое же число и притом меньшее единицы.
При этом, в силу (940 и (540 >
e'l = e f
da <Ne f-^-da <№i0/2 e f da<
r3 r
pH
<2Nh0b e{ —- dpdu.
r
Из (951), как и в п. 30, будем иметь
J — dpdtp = (1 +g"e) f ~Т;^з/2 dpd“ +
. Л PdP , R л
+g J W < 2я (1 + еС") f-------------+ 2тгС' f рР dp =
(р2+е2)3'2 о z , о
2я(1 + еС*') Г 1
1-0 L е'-0
1 1 2jrC”
--------1^- +-------R^<
(Я2+е2)2 J 1+Р
2яС' up
IX
1+0
2я(1+еС'') p-j
€
1-0
Следовательно,
IQ'I < 2 Nh0/2 Г^-* е С А е0 + R1*0 е 1 <Nh е0,
L 1-0 1+0 J
где А] есть определенное число. Отсюда, как и в п. 31, получаем
— I -J -2яд°
/ Цo^ \
<( ~ р4 + р0В le+Apoe01 +NL,e0.
\ 1\ J
Л-А, +Я + ед°б + е' <
256
Выбрав определенным образом R, получим, что
.о
< NLi + PoL2 I ee=Le&,
(106)
-J + 2яд° <Lee,
(Ю7)
\ип / р L j
ибо а есть произвольное число, меньшее единицы (п. 28); под L, очевид-
но, можем подразумевать определенное конечное число, одинаковое для
всех точек поверхности (5).
Подобным же образом докажем и другое неравенство Ляпунова
/ЭИ
\Эи
где Р есть точка, лежащая на нормали п к поверхности (5) с ее внеш-
ней стороны и достаточно близкая к точке р0 •
Неравенства (106) и (107), справедливые для всякой поверхности
Ляпунова, коль скоро плотность р простого слоя V удовлетворяет нера-
венству (105,), весьма'важны для наших дальнейших исследований*).
Так как число L не зависит от положения точки р0 на
/ ЭИ \
(S), то из неравенств (106) и (107) заключаем, что I — I
\ Эл /р
ЭИ, ЭИе
стремятся к своим пределам ----и ------ равномерно для
дп дп
поверхности; иначе тапоря,потенциал простого слоя V при указанных выше
условиях имеет правильные нормальные производные (внутреннюю и внеш-
нюю) на поверхности (S).
Резюмируя все сказанное, приходим к следующей теореме.
Теорема Ляпунова (вторая). Потенциал простого слоя
р
V = f—ds,
поверхности
/ ЭИ \
и I ---- I
\ дп / р'
всех точек
плотность которого р подчинена условию (105 j), удовлетворяет для вся-
кой поверхности Ляпунова неравенствам (106) и (107) и, следовательно,
имеет правильные нормальные производные (внутреннюю и внешнюю)
ЭИ, ЭИе
--- и , удовлетворяющие уравнениям Пуассона
дп-дп
ЭИ, ЭИ
----=----+ 2лд°,
дп дп
(108)
дУе дУ
— ---------2пр°,
дп дп
где р° - плотность в
ЭИ, ЭИе
изводные —,------и
дп дп
(109)
той точке поверхности (S), к которой относятся про-
дУ
~дп
* ) В доказательства неравенств (106) и (107) внесены изменения. (Дрим. ред.).
257
33. Потенциалом двойного слоя называется функция координат х, y,z,
определяемая поверхностным интегралом вида
распространенным по переменным 17, f на всю данную поверхность (5) *).
Функция д называется напряжением двойного слоя; мы будем предпола-
гать д непрерывной функцией точек поверхности (5).
В трактатах по теории притяжения строго доказываются следующие
теоремы.
Теорема УШ . Функция W непрерывна со своими частными производ-
ными по координатам х, у, z во всех точках пространства внутри и вне
поверхности (S) и представляет собой гармоническую функцию как внут-
ри, так и вне этой поверхности. Эта функция сохраняет определенные
значения для всех точек поверхности (S), равно как и определенные зна-
чения предельных выражений W, и We,HO при переходе точки х, у, z через
любую точку р0 поверхности (S) она испытывает разрыв, причем
И} = В'+Зяд0, We= W-2irp°, (111)
где под W подразумевается значение этой функции для точки р0
Теорема Гаусса. Если напряжение р = 1, то для любой точки поверх-
ности (S)
COS<p
W=S—ds = 2it, (Ц2)
для любой точки, лежащей внутри (S),
cos<p
*=S ~Г = (112ц)
г
а для любой точки, лежащей вне (S),
COS(Z>
Л = °. (Н22)
Останавливаться на доказательстве этих основных в теории притяже-
ния теорем мы не станем; читатель может найти их в любом трактате
по теории притяжения **).
34. В большинстве сочинений по теории притяжения и анализу дока-
зывают также, что при указанных выше условиях потенциал двойного
слоя W имеет определенные внешнюю и внутреннюю нормальные произ-
ЭИА ЭИ/,. ЭИ/,. ЭИ/е
водные — и — во всех точках поверхности (5), причем '•— = — .
Эи Эи Эи Эи
Однако это утверждение, вообще говоря, несправедливо.
Даже для простейшего случая конвексных поверхностей (т.е. таких,
которые пересекаются любой прямой не более чем в двух точках) мож-
♦ ) Мы употребляем обозначения, принятые в п. 9 и там объясненные.
**> См.,например, Пикар (Emile Picard) ’Traite' d’ Analyse” (Paris, 1891.
pp. 121,127), также и другие сочинения, указанные выше (примечание к п. 16).
258
но подыскать сколь угодно примеров, когда нормальные производные
потенциала двойного слоя с непрерывным напряжением д обращаются
в бесконечность в некоторых точках поверхности.
Приведу для примера один, простейший. Предположим, что замкну-
тая конвексная поверхность (S) имеет плоскую часть (а), ограниченную,
например, кругом радиуса Л*). Поверхностный элемент этой части
(5) обозначим через da, поверхностный элемент оставшейся части (5) -
через dsi. Можем писать
и cos и cosи cos «р
W = f---— ds = J —— da+J-------—dsi=W1 + W2.
r2 r2 r2
Поместим начало координат в центре площадки (а) (в точке р0)>за
ось z возьмем направление нормали п к поверхности (5) в точке р0 и на
этом направлении нормали возьмем точку Р внутри (S), находящуюся
на расстоянии izi от точки р0 Имеем
ЭИ',- ЭИ'/, ЭИ'г, Г/ЭИ'Д /™2\ ’
---* --- +----= lim I----I + I----I
Эи Эи Эи *-*o|A Эи /р \ Эи )Р
„ /эи'Л
Очевидно, выражение I --I стремится к определенному пределу,
\ Ъп h 3W,
когда Р приближается к р0 (приг-*0). Нормальная производная—бу-
Эи
дет иметь определенное значение в точке р0 тогда и только тогда, когда
/ЭИ'Д ЭИЛ
будет существовать определенный предел lim I-I = lim -.
z->o\3n /р г-»о 9z
Допустим, что для точек площадки (а)
д = Хр,
гдер = у/%2 +1?2 , X — определенное число. Имеем cos |z|/\/p2+ z2,
г2 = р2 + z2, da = pdpdaj. Следовательно,
R р2 dp
^=2яХ1г1 J 3 =
о (р2 +z2)J/z
= 2 тгХ Iz I |-, , + 1п (/? + у/R2 +z2 ) - In >/zr’l.
I у/R2 +z2 v 7 I
Очевидно, что производная no z от функции
- z I In (R + у/R2 + z2' j
R
y/R2 +z2 .
сохраняет определенное значение при z = 0, но производная по z от осталь-
ной части z In (- z), равная In z + 1, обращается в бесконечность при z = 0.
*) Строго говоря, такая поверхность не удовлетворяет приведенному выше усло-
вию конвексности. Однако, как легко видеть, в этом примере плоскую часть поверх-
ности можно заменить, например, частью сферы достаточно большого радиуса. (Прим,
ред.)
259
Одно условие непрерывности функции д, как видим на приведенном
простом примере, оказывается недостаточным для существования нормаль-
ных производных от потенциала двойного слоя. Выяснение достаточных
условий, при который потенциал двойного слоя действительно имеет внут-
реннюю и внешнюю нормальные производные, и строго определенное реше-
ние этого вопроса даны были впервые только в 1898 г. Ляпуновым в его уже
цитированном мемуаре ”Sur certaines questions qui se rattachent au probleme de
Dirichlet”, анализ которого мы подробно разовьем в следующих пунктах.
35. Возьмем по-пержнему какую-либо точку р0 на какой-либо поверх-
ности Ляпунова и примем ее за начало прямоугольной системы координат,
ось z которой направим по нормали п к поверхности (5) в точке р0. Взяв,
/ aw \
как в предыдущем пункте точку Р на этой нормали, получим I--- I =
\ Эл ]р
3W
= -— , причем z будет считаться положительным, когда Р лежит вне по-
dz
верхности (5), и отрицательным, когда Р лежит внутри (5).
Возьмем вместо W функцию
(и — и°) cos ф и cos „ cos Ф
W, = f ------------ ds = f-------ds - g° f —— ds.
r r r
dll')
На основании теоремы Гаусса можем писать
/ aw \ aw,
|--------------- , (112')
\ дп JР dz
где, в силу (11 Г),
3W, . / dcos<p 1 2 dr \
—— = f (д-д°) I —-----------т “ТУ cos* Jds- (пз)
dz \ dz r r dz !
Взяв какую-либо другую точку р поверхности (5) с координатами %, ц,
$ и обозначив через п направление внешней нормали к (У) в этой послед-
ней точке, получаем
£ , т} , f - z ,
cos <р =— cos(nx) + — cos (л у) + -----cos (nz), (114)
г г г
? + П2 +(Г-*)2- 014.)
dr f - z Э cos 1 f - z
Отсюда — =------------ , ----- = —-------($ cos (л х) + 17 cos (л у) + (f-
dz г dz г г
- z) cos (n'z)) —cos (n'z). Следовательно,
3 cos \p 1 2 dr i ~ r , '
—--------2 --T — cos= —-— (£cos(nx) + ncos(лу) +
dz г r dz rr
2(f - z) cost?
+ (f - z) cos i>) + — -- cos ------;— , (115)
rr r
ибо согласно принятому обозначению cos (n'z) = cos (л'л) = cos t>.
260
Так как
(f - = -cos (pP, л) = -cos ф, (П51)
то правая часть равенства (115) при помощи (114) приводится к виду
cos & + 3 cos р cos ф
г3
Приняв в расчет только что сказанное и равенства (112'), (113) и (115),
получаем
/ dW X 3IV, д-д°
— I---- I -----------= / —-— (cos & + 3cos i^COS ф)(1з. (116)
\ Эл )р dz г3
36. Строим опять (см. п. 19) цилиндр вращения радиуса R с осью, на*
правленной по оси z (по нормали лк (S) в точке р0), и воспользуемся
следующими обозначениями Ляпунова.
Интеграл правой части равенства (116), распространенный на всю часть
(So) поверхности (S), лежащую вне площадки (а), вырезанной только что
построенным цилиндром, обозначим через
Sl(z,R). (117)
При этом можем писать
/ dW \
-I-----I = £2(z,0). (118)
\ Эл / р
Тот же интеграл правой части равенства (116), распространенный на пло-
щадку (а), представится в виде разности
Sl(z, 0) - Sl(z, R). (119)
/ dW X
Предельное значение — I . I , когда точка/* совпадает с точкойр0,
\ dn J р
представится в виде
£2(0,0), (120)
(121)
а интеграл правой части равенства (116)*), распространенный на площадку
(а) — в виде
£2(0,0) - £2(0, Я).
37. Рассмотрим сначала разность (119).
Вводя опять цилиндрические координаты р, w и f, можем писать
2ir R ( 3cOS(ZI COS ф \ и—и°
£2(z, 0) — £2(z, Я) = J duf 1 +------П22)
о о \ cos О I г3 рар'
Обозначим теперь через г0 расстояние переменной точки рот точки р0,
через <р>0 — угол, составляемый направлением рор с нормалью п в точке р .
Так как
cos р0 = cos (их) + — cos (л у) + — cos (л z), (1221)
Го го го
*) Для случая, когда точка Р совпадает с р0.
261
то равенство (114) можно представить в виде rcoslp = r0 I —cos(h'x) +
Vo
+ — COS (n'y) +-- COS (n'z) I - Z COS (n'z) = r0 COS <Po ~ Z cos t>. Приняв BO
r0 r0 J
внимание это выражение cos <p и равенства (114!) и (1151) , получаем
1
( 3 cos <р cos ф \
cos d /
P2 — 2z2 1 / , Го COS p0
—--------- + -V If +rf - 3(JT - z) -2—~
r r5 \ cos d
Аналогично неравенству (95!) имеем
I 1
r5 (p2 +z2)512
C'p2 + C"\z\
C (p2 + z2)5'2
1 1
т a —— a .. - _
r5 (p2+z2)5'2
(1 +giP2 + g2 IZI), где Igj | <C', a |#2 | < С". От-
сюда
1 / 3 cos <p cos ip \ p2 — 2z2
r3 \ + cos i9 / (p2+z2)5/2
(1 +gtP2 + ^2lzl) +
1 / _ r0 COS <Pq \
+ 3 f2+zf — 3(f - z) —-—Zl . (123)
r \ cost? j
38. Найдем высший предел модуля выражения последней строки этого
равенства.
Обозначим через а угол, составляемый радиус-вектором р точки р с нор-
малью п к (5) в этой точке. Имеем
I , 1J ,
— cos (я т) + — cos (п у) =
г0 г0
р , р cos а
= — (cos w cos (и х) + sin со cos (п jj) ------ .
Го Го
При помощи этого соотношения и равенства (122j) получаем
Го cos р0 = р cos а + f cos <9. (124)
„ »f ЭГ df .
Заметив, далее, что — = — cos w +---------sm w, выводим из этого равен-
Эр д£ дт)
df cos а
ства при помощи (64) ♦) следующее: — = . Следовательно, в си-
др cos О
r0 cos«po df
лу (124),--------— =f-p----------* Отсюда при помощи (531) и (54)
cos о др
♦) С заменой в них и, на п', а{, ,rj, и J-, на f, п и f.
262
выводим неравенство
Го COS ipQ
cos 0
< (2zzx/T + b)p2 = cp2,
(124.)
где с есть определенное число.
При помощи этого неравенства и (54) получаем
Г2 + zf-3(f z)
COS ipQ
cos д
< c-|P4 + е2 Izlp2,
где с. и с2 суть, очевидно, определенные числа, одинаковые для всех точек
поверхности (S).
Приняв, наконец, в расчет неравенство (903), приходим к следующему:
• 1 I , Го cos <р0
-Hr2+zr-3G--z)-------
Г \ COS 17
?S/2 CiP^ + c2lzlp2
(p2+z2)s>2
._5/2 f|(p2 +Z2)2 +C2lz |(p2 +Z2)
*- ------1,-*.-1!1''1------------
Поэтому можем положить
1 / , Г о COS (Го
-j r2+z?-3(r-z) -° /°
г \ cos д
ct(p2 + z2)2 + <?2 I г I (р2 + z2)
где 0 есть величина, подчиненная условию 101 < 1.
39. При помощи предыдущего равенства можем написать (123) в виде
1 / cosipcos^ \ р2 —2z2 Q
г3 \ cos д / (p2.+ z2)5/2 (р2+г2)5/2 ( 5)
где положено Q = (glp2 +g2 Izl) (р2 - 2z2) + 2sl20[ct(p2 +z2)2 +c2\z\(p2 +
+ z2)].
Так как, очевидно, I p2 - 2z21 < 2(p2 + z2), to
1(21 < A |z|(p2 +z2) + B(p2 +z2)2, (126)
где А и В суть определенные числа.
Равенства (122) и (125) приводят к такому:
2я R (Р2 -2z2)p .
£2(z, 0) - (2(z, Л) = f dto f (p-p°)Jp +
о о (p2 +z2)3'2
2 я R pQ
+ f f (p-^0)dp. (127)
о о (p2 +z2)5/2
263
40. Заменим в только что полученном равенстве z на — z. Получим
2я r (р2 — 2z2)p „
П(- z,0)-fi( z,R) = f da> f —---------(p-p°)dp +
о о (P +z2y12
2 я R pQ'
+ ld<>}0 (p2+z2)5'2 (Д-Д°Чр’ (128)
me Q' = (g\p2 + g'2>z l)(p2 -2z2) + 2s/2e'[cl(p2 +z2)2 + c2lzl (p2 + z2)],
10 I < 1, причем, очевидно,
\Q'\ < A lzl(p2 +z2) + B(p2 +z2)2. (129)
Вычитая равенства (127) и (128) одно из другого, получаем
2 я R pQx
fi(z, 0) - П(-z, 0) = / da> f —----—7У (р -р°)dp +
о о (р + Z г'
+ [S2(z, R) - П(- Z, /?)],
где положено Qt = Q - Q' = [fei - g\)p2 + (g2 - gi)lz|](p2 - 2z2) +
+ 2s/201[c1(p2 +z2)2 +c2 lzl(p2 +z2)J, 0| =0 - O', 10! I < 2. Отсюда за-
ключаем на основании (126) и (129),что
10! I <2Л1г1(р2 +z2) + 2B(p2 +z2)2. (130)
Так как функция р предполагается непрерывной на поверхности (5),
то, выбрав R достаточно малым, будем иметь
1р-Д°1<П (131)
для всех точек площадки (о). При помощи этого неравенства и (130)
получаем
IKI =
Р^р
/ Л2 . ,2
V Р + 2
Но
Следовательно,
|К| + ВЛ) = е/2,
где под е можем подразумевать наперед заданное положительное число,
стремящееся к нулю одновременно с R.
264
С другой стороны, очевидно, что разность £1(г, R) - Я(- г, R) стремится
к нулю при 2 -* 0, каково бы ни было R, отличное от нуля. Выбрав R ука-
занным выше способом, можем выбрать затем такое положительное число
6, что будем иметь
I Я(г, Л) — Я(-z, Л) | < е/2
для всех 2, таких что 1г ( <5.
Так как Я(г, 0) - Я(-г, 0) = К + (Я(г, R) - Q(- z,/?)J, то при сделанном
выборе R и г получаем
I Я(г, 0) — Я(-z, 0) | < е. (132)
Но
dW{
lim Q(z, 0) =---Um Q(-z,0) =--------------- . (133)
2-+o Эп z»+o 4 Эл
Неравенство (132) доказывает, таким образом, следующую теорему.
Теорема Ляпунова (третья). Если потенциал двойного слоя, распределен-
ного по поверхности Ляпунова с непрерывным напряжением р, имеет опре-
деленную нормальную производную с одной стороны поверхности (т.е.
внутреннюю или внешнюю), го он необходимо имеет определенную же нор-
мальную производную и с другой ее стороны (т.е. соответственно, внеш-
нюю или внутреннюю) и обе эти производные равны между собой.
41. Допустим теперь, что непрерывная функция р удовлетворяет еще
при всех значениях р <Dt <D следующему условию:
| У (p-p0)dco\ < Хр^1, (134)
о
где X и 0 < 1 суть положительные числа, не зависящие ни от р, ни от поло-
жения точки ро на поверхности (5). В таком случае
2it R (Р2 -2z2)P R р3+2
f f (М-Д°Мр < 2Х f ~—2-3;2 dp<
о о (р2 + z2)5'2 О (p2+z2)3/2
я „ , 2Х а
< 2k f ре~' dp =------ R13.
о fi
(135)
Будем теперь подразумевать под р максимум I р - р° | на площадке (о).
В таком случае неравенство (131) будет справедливым прй всяком данном
R и, совершенно так же, как в п. 40, мы докажем неравенство
2я R
f dco f
О О
PQ
. (р2 + z2)s'2
(p-p°)dp
<4itp(A + BR).
При помощи этого неравенства и (135) выводим из (127) следующее:
2Х я
Ш(г, 0) - П(2, R) | < — Л^ + 4тп?(Л + BR),
(136)
имеющее место при всяком достаточно малом (см. п. 19) положительном R.
42. Рассмотрим теперь интеграл того же вида, что и в формуле (116), но
распространенный на пояс, высекаемый из поверхности (5) двумя цилинд-
рами вращения радиусов R и Ri < Л и с общей осью, направленной по
265
нормали п к поверхности (5) в точке р0. При принятых в п. 36 обозначениях
он представится в виде £2(z,/?])-£2(z,/?). Заменив в (127) R через R1 и
вычтя из (127) полученный результат, будем иметь
r (р2 -2г2)р .
S2(z, Л.) - S2(z, Л>= f du f —------(p-p°)dp +
О R, (р +Z1)3'2
2тг R pQ .
+ S du $ —---------(p-p°)dp,
0 R, (p2+z2r12
откуда, полагая z = 0, выводим
£2(0,/?,) — £2(0,7?) =
2я R . dp 2n R „ Go
= f du f (p-p0)-Z + f du f dp, (137)
OR, p2 О Я, p
где Go =(25/2 вс, +#i)p4 есть значение Q при z = 0. При помощи этого вы-
ражения Go и неравенства (131) получаем
2 я R . Go
f du f (p-p°) — dp
OR, p
< AtRil,
а приняв во внимание условие (134), заключаем, что
2п R . dp
f du f (p-p°) —
OR, P
X a
— Re.
P
Последние два неравенства и формула (137) приводят к неравенству
112(0,/?,)-12(0,/?) I < -j-/?0 + A,Rr). (138)
Отсюда следует, что £2(0,/?) при сделанном условии (134) относительно
функции р стремится к определенному пределу при R -> 0.
Обозначим этот предел через £0*)- Так как неравенство (138) справед-
ливо при всяком /?, < /?, то, полагая в нем R, = 0, получаем
I £2(0,/?) — Ло I < — Re+A,Rr). (139)
43. Напишем теперь разность £2(z, 0) — Lo в виде
£2(z, 0)-£0 = IW. 0) - £2(z, /?)] + (£2(0,7?)-Lo] + [£2(z, 7?) - £2(0,/?)].
Отсюда при помощи (136) и (139) выводим
|£2(z,0)-Lo | < ^ R& +
+ n(/li/?+4я4+4яВ/?)+l£2(z,/?)- £2(0, /?) I. (140)
Очевидно, что каково бы ни было R, не равное нулю, разность £2(z, 7?) —
- £2(0, 7?) всегда стремится к нулю одновременно с z, будет ли при этом z
оставаться положительным или отрицательным.
*) Под значением интеграла, стоящего в правой части равенства (116) при Р = р„,
т.е. под 12(0, 0) (см. п. 36), понимается этот предел /. 0. (Прим, ред.)
266
Выберем теперь/? так, чтобы было
у- Re + г? [(Л, + 4 тгВ) R + 4 яА ] < -у,
где е — наперед заданное положительное число, что всегда возможно, ибо
при R = 0 разность д — д°, а следовательно и 1?, также обращается в нуль.
Выбрав указанным способом R, выбираем затем не зависящее от R число
z столь малым, чтобы было
I £2(z, Л) — £2(0,/?) | < е/2,
что в силу вышесказанного всегда возможно. При этом неравенство (140)
обратится в следующее:
I £2(z. О)-£о | < е,
откуда следует, что
lim £2(z, 0) = Lo,
z-’O
т.е. £2(z, 0) стремится к определенному пределу /,0 независимо от того,
будет ли при этом z оставаться положительным или отрицательным.
Из сказанного, приняв во внимание равенства (133), заключаем, что для
всякой поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя имеет в каждой ее
точке определенные внутреннюю и внешнюю нормальные производные, рав-
ные между собой, коль скоро напряжение р слоя удовлетворяет усло-
вию (134).
Так как, далее, число е отнюдь не зависит от выбора точки р0 на по-
верхности (S), то эти нормальные производные суть правильные*).
Условие (134) является достаточным для существования определенных
нормальных производных от потенциала двойного слоя.
44. Полученные результаты установлены впервые, как упомянуто выше,
Ляпуновым. Нетрудно дополнить теорему Ляпунова, показав, что условие
(134) существенно-, для существования определенных нормальных произ-
водных от потенциала двойного слоя недостаточно требовать выполнения
условия (134) с 0 = 0.
Поверхность (5) примера, рассмотренного в п. 34, очевидно, удовлетво-
ряет всем условиям Ляпунова.
Напряжение д = Хр есть непрерывная функция координат на площадке
(а) и всегда может быть сделано таковой же на всей остальной части (5).
Но в рассматриваемом частном случае
2я „ 2п
f (д — д°) = X / pdu = 2яХр,
о о
т.е. при достаточно малом р
| J (д-д°)б/ш| > 2яХ'р'}+*
о
каковы бы ни были положительные числа /3 и X'.
*) Отметим, что при этом предельное значение j = = 4^ = - яв-
ляется непрерывной на (S) функцией. (Прим, ред.} Р"
267
Условие (134) не удовлетворяется, и потенциал двойного слоя не имеет
нормальных производных в точке р0- Сопоставляя все сказанное в этом
пункте и в конце предыдущего, приходим к следующей теореме.
Обобщенная теорема Ляпунова (четвертая). Для того чтобы потенциал
двойного слоя имел правильные внутреннюю и внешнюю нормальные про-
изводные в каждой точке какой-либо поверхности Ляпунова, достаточно,
чтобы напряжение р этого слоя оставалось непрерывным во всех точках по-
верхности и удовлетворяло в любой точке р0 и при значениях р < Dус-
ловию
I jr" (p-p°)dw| < V3*1, (141)
о
где \и р суть положительные числа, не зависящие ни от р, ни от положения
точки ро (напряжение в которой равно р° ) на рассматриваемой поверхнос-
ти, причем выполнение условия (141) с 0 = 0 не гарантирует существова-
ния внутренней и внешней нормальных производных потенциала двой-
ного слоя.
45. Докажем, наконец, еще две теоремы, относящиеся к теории потен-
циала двойного слоя, которые необходимы для строгого и общего’решения
основных задач математической физики. Для этой цели придется устано-
вить предварительно новый ряд неравенств, справедливых для всякой по-
верхности Ляпунова.
Возьмем какую-либо точку р0 поверхности (5) и снова воспользуемся
цилиндрами вращения радиусов
Ro и R<R0<D/2 (см. п. 19), (1411)
общей осью которых служит нормаль к (S) в точке р0, и следующими обо-
значениями.
Площадку, вырезаемую цилиндров радиуса Ro на поверхности (5), обо-
значим через (оо), площадку, вырезаемую цилиндром радиуса R, — через
(о), через (а() — пояс поверхности, ограниченный контурами площадок
(оо)и(о); часть поверхности (5), остающуюся за выключением из нее
площадки (во), обозначим через (Si). Возьмем точку Pi на площадке (о)
и обозначим через rt расстояние точки р{ от точки р0. Расстояние точек р0
и pi от какой-либо точки р поверхности (S) обозначим соответственно че-
рез Го и г. Угол, составляемый направлением ptp с внешней нормалью п в
точке р, обозначим через р, а через ip0 обозначим угол, составляемый на-
правлением pop с той же нормалью п. Начало прямоугольной системы ко-
ординат ц, f поместим в точке р0> приняв за ось f направление внешней
нормали л0 к поверхности (S) в точке р0. Координаты переменной точки р
обозначим через %, i), f, координаты точки Pi - через £ 1,171 Hfi-
Предположим, что точка р лежит на площадке (о). Имеем
г<г! +г0. (142)
Возьмем точку pi достаточно близкой к точке р0 и положим < R/2.
Вводя по-црежнему цилиндрические координаты р и w с началом в точке
Ро и с осью, направленной по нормали «о, получаем (п. 18) г0<2р. При
этом неравенство (142) дает
г < 2р+/?/2 < 5Я/2. (143)
268
Приняв
R < 2D/5, (144)
будем иметь
г < D, rt < 0/5. (145)
Возьмем теперь полярные координаты р' и ы’ с началом в точке pj и с
осью, направленной по внешней нормали nt к (5) в точке pt, и обозначим
через 5\ т/. f прямоугольные координаты точки р по отношению к системе
координат с началом в Pi и осью направленной по nt. Так как при сде-
ланных условиях на основании (145) точка р находится внутри сферы ра-
диуса D с центром в pt, то, по предыдущему (равенство (54) п. 18),
Ifl < bp'2. (146)
Обозначив через д' угол между нормалями л ИИ|, можем писать rcosp=
, , , , / 3f , 3f \ , ,
= I cos (n% ) + ri cos (/117 )+f cos(nf )= I 5 —,+ n —; jcos d + f cos d . Отсю-
\ 35 3jj /
да, в силу (521) и (146), I r cos ip | ( у/ 5'2 +j?'2 у ( —) +
\ ' \ 35 / - \ Эт? /
+ I f' IJ cos д' < (а у/31 p'r + bp'2 ) cos д' < ar2 cos д', т.е.
Icospl Ca’r cost?' < а г. (147)
Точно так же докажем, что для любой точки р, лежащей на площадке
(о), при сделанных допущениях,
I cos >Ро I < a’r0 cos d < a'r0, (1471)
где д есть угол между нормалями л и и0.
Заметим еще, что для точек р и pt, лежащих на площадке (о0) >
If | < bp2. If! | < bp], (1472)
где p! = \/ 5'2 + jj'2 • Отсюда
Iff! I < b2p2p2 < p2/4, (148)
если предположить, например, что b2p2 < b2R<> < 1/4, что всегда возможно.
46. Предположим теперь, что точка р находится на площадке (ot). Обо-
значая через а угол между направлениями popi и рор, получаем г2 = г о +
+ г] - 2г0Г1 cos pt. Так как. по предположению,
г» <R/2 (148!)
и так как для всякой точки р,лежащей вне площадки (a),R < р, то
Г!<р/2<г0/2. (1482)
При этом из известного разложения по полиномам Лежандра
>• _ - п
го °* / \
= 2 pn(cosa) — \
V го + П - 2г0Г1 cos а о \ г0 )
269
выводим го Л = 1 + (ri/го ) cos а + 20Г1/г? > где0 есть величина, численно
меньшая единицы. Отсюда легко получаем следующие неравенства:
-3 Г г0 , „ П —- - 1 - 3 — cos а Г3 Го г] <23 тт ’ г0 (149)
Го 1 Г, -4 — 11 < 14 — , Г 1 Го г3 4 <9- г3 (1491)
Но +TW1 + Ki cos а Следовательно, 3(Т1/г0) cos а = 3(й, +
Г0Г]
+ OTi )Ао + 3ff 1 /го . При помощи этого равенства и неравенства (148) и
(149) выводим го , Й1 + ТР71 г? з Pi „ _ Г]
гз 1 3 гг ' 'о < 23 — + — Го 4 Го < 24 - Го
и, на основании (1481),
1 1 + Wt R2
з з < 6 — . (150)
г Го 'о го
Неравенства же (1491) дают
1 1 R 1 9
тт ~ тт Г Го < 14 - < 7 г 0 — , — < - • (150,) Го г3 Г3о
47. Обозначим теперь значения потенциала двойного слоя
Д cos «р
f-------- ds
ri
в точках ро и pi соответственно через Wo и Wt и рассмотрим разность
Выбираем точку р( указанным выше способом и обозначим интегралы
того же вида, что и в правой части этого равенства, но распространенные на
площадки (а), (а!) и часть (Si) поверхности (S), соответственно через J,
Jt и/', причем будем иметь
Wt - Wo =J+Jt+J'. (151)
Рассмотрим интеграл
/ COSip
cos ip» \
—7~ )da’
Го /
распространенный на площадку (а). Так как в этом случае переменная
точка р, по координатам которой ц, f совершается интегрирование, оста-
ется всегда на площадке (о), то имеют место неравенства (147) и (147t),
которые дают
, , / cos О' cos ,
1/| < а До | /------ da + f ------ da}, (152)
V г r0 )
где под До можно подразумевать максимум д на всей поверхности (S).
270
Воспользуемся опять построением п. 21, обозначив через da' поверхност-
ный элемент площадки (o'), вырезаемой на (5) цилиндром вращения ра-
диуса R! = 4Л с осью, направленной по нормали п (; величина R подчинена
одному условию (144), которое может быть заменено, например, равенст-
вом R =D/10, причем получим
/?,=2D/5<D/2. (153)
При этом предположении получаем
.cost?' . 1 , , . da'
f -у— da < f —da <f — .
Ho
da' p’dp'du
f— =f г ’
r FCOSVi
где i> j есть угол между нормалями п и и ( в точках р и р ।.
Так как г > д' и в силу (153) имеет место неравенство (см. п. 19) cos & । >
> 1/2,то
J -C°S — da < S <2 S dp dw' = 4irR i = 16яЛ.
Очевидно, далее, что
J -C0S - da < f dpdw = 2nR.
ro
Эти неравенства и (152) приводят к следующему:
IJ | < ISm'poR =aR, (154)
где а есть определенное число, одинаковое для всех точек р0 поверхнос-
ти (S),
48. Переходим к интегралу
/ СО5Д COS До \ ,
J М-----j---------j— </«!,
\ Г Го /
распространенному на площадку (<т ।). Имеем
COS Д COS (До r COS - Го COS До /1 1 \
------------ = ;----------------- + 1 -3 - -у Го со51д0. (155)
• Го г ' Г Го '
Из очевидных равенств
г cos д = (S - Si) COS (п£) + (tj - 77, ) cos (nri) + (f - f) cos (nf).
r0 cos д0 = S cos (n£) + T) COS (nn) + f COS (rtf) выводим r0 COS (До - r COS Д = Si COS 0»S) + Tit COS («J}) + fl COS (wf) = (156)
( ЭГ 9f \ s I - $1 — - П1 — + fl J COS d. ' dS ' (156,)
271
Отсюда
I Го COS <0О - Г COS <0 | < ( %/$2 + JJ1 X
X
и так как для всех точек р площадки(a i) соблюдается неравенство (1482),то
/ b
IГ COS <0 —Го COS <00 I <1 - + а Г^Га С05 1? = />Г]Го cost?.
\ 2
Воспользовавшись, наконец, вторым из неравенств (150]), находим
Г COS <0 - Го COS <00 I , Г|
---------т-------- I < 9Ь —— cos д.
г3 I rg
(157)
Далее, второе из равенств (156) дает
lcos<0O I < (ах/Т + b )r0 cos &. (157()
При помощи этого неравенства и (150]) получаем
(1 1 \ ' Г] „ Г]
— - —- I Го cos <0о < 14(ауЗ + 6) —- cost? = b — cost?. (1572)
г3 rl' „ г§ г£
Из (155), (157) и (1572) выводим неравенство
COS <0 COS <0о , „ Г] „ Г]
—— - --------— <(9б' + б") — cost? = a — cost?,
Г . Го г$ Го
справедливое для всех точек р площадки (О]) Следовательно,
. „ cost? „ 2я я0 pdp
I/] I < a pori f —~ doi =а ДоП f da> f —r~ <
го > о r ri
.. 2 я Rn dp .. Ro
< а ДоП f da> J — =2ira port In — (158)
о r p R
1 dsi,
49. Найдем, наконец, высший предел модуля интеграла
/ COS <0 COS <00
J = f д —~2---------2--
\ r2 r2o
распространенного на всю часть (S i) поверхности (S).
Из равенства (1561), справедливого для любой точки р, выводим
I Г COS <0 - Го COS <00 I <
< +’?! VCOS2 (л$) + COS2 (njj) + I fl 1<Г] +br2 < СГ1,
где с есть определенная постоянная. Следовательно,
Г COS <0 - r0 COS <00 I c ,
(159)
так как для всякой точки р, лежащей в части (S t) поверхности (S), г > Ro.
272
Далее,
/ 1 1 \ I г - г01
г0 cos<^о ( ~Т~- “ ) < —ГТ~ (го +гог + г ) <с г,, (1591)
\ г3 Го ' r’rj
так как I г - r01 < n, а 1 jr и 1/г0 в части (51) не превосходят некоторого
определенного предела.
При помощи (159), (1591) и (155) получаем
U'Kju0Si(c'+ с")Г1 =С1Г1, (160)
где Ci есть определенная постоянная.
50. Сопоставляя неравенства (154), (158) и (160), получаем
UI + I Ji I + U'I < aR +С1Г1 +2яа"д<>Г1 In —- .
R
Что же касается г(, то оно подчинено лишь условию rt < R/2.
Всегда можем положить R = Зг i, причем будем иметь
U I + U, I + U'I < Ari +gri linn I,
где Л ng - определенные постоянные. Так как для любого 0 < 1 всегда
можно подыскать число gt такое, что будет иметь место, неравенство
rt I log г 11 <gtr i, то предыдущее неравенство можно заменить таким:
UI + U] I + U'I < Xrf.
Очевидно, что это неравенство можно считать справедливым для всякого
достаточно малого rt, а числа X и 0 < 1 — не зависящими от положения то-
чек ро и pi на поверхности (5).
Равенство (151) дает при этом .1 U'i - Wo I < Xr? - неравенство, спра-
ведливое для всякой точки ро поверхности (5) и для всякой точки pi, рас-
стояние которой от Ро не превосходит некоторого определенного предела.
Таким образом, приходим к следующей теореме, доказанной впервые
А. Корном*) в частном предположении 1/2 и обобщенной затем Ляпу-
новым**).
Теорема А. Корна, обобщенная Ляпуновым. Какова бы ни была поверх-
ность (S) Ляпунова, около каждой ее точки р0 можно описать сферу до-
статочно малого, но определенного радиуса Di (одинакового для всех то-
чек поверхности (S)), такую, что для всякой точки р поверхности (S), ле-
жащей внутри этой сферы, потенциал двойного слоя
удовлетворяет неравенству
I W - Wo I < ХЛ
где Р - произвольное число, меньшее единицы, а X - определенное число,
*) A. Korn. Abhandlungen zur Potentialtheorie, Bd. I. - pp. 5 -8.
**) A. L iapou no f f. Sur le principe fondamental de la methode de Neumann dans le
problime de Dirichlet. - Сообщ. Харьк. Матем. Общ., 2 сер., 1902, т. VII.
273
не зависящее от положения точек р0 и рх, при одном условии, что функция
р остается ограниченной на поверхности (5).
51. Предположим теперь, что напряжение р потенциала двойного слоя W
обладает следующим свойством:
Для всякой точки ро поверхности (5) и для всякой другой точки pi
(той же поверхности), расстояние которой от точки р0 не превосходит не-
которого, хотя бы и достаточно малого, но определенного предела Dit не
зависящего от положения р0 на (5), имеет место неравенство
1д'-д°| < Хг?, (161)
где X и 0< 1 суть данные числа р' и р° - значения р в точках pt и р0, а
Г1 — по-прежнему расстояние poPi.
Разность Wi - Wo есть некоторая функция полярных координат р и со
точки pt. Дадим р некоторое,достаточно малое значение, при котором со-
блюдается условие (161), и найдем высший предел модуля выражения
1 2тг
— f (Wi - w0)d<o. (162)
2ir о
Подынтегральная функция всегда может быть представлена в виде
COS ip COS <Ро
Г Го
(р -p°)ds.
(163)
так как по теореме Гаусса
(cos<р • cos<р0 \
------------~ )Л = 0.
г2 Го )
Обозначая теперь через J, Jx nJ' интеграл правой части равенства (163),
распространенный соответственно на площадки (о), (а^ и на часть (5J
поверхности (S), можем писать
1 2я 1 2л 1 2я 1 2п
— S (Wt — Wo) dco = — / Jd<o + — / Jxdw + — / J'du.
2jt о 2я о 2я о 2я о
(164)
Интегралы J, Jx hJ' отличаются от интегралов того же обозначения пре-
дыдущих пунктов только тем, что функция р последних заменена здесь
разностью р —р°.
Поэтому, применив к интегралу J дословно рассуждения п. 47, предпо-
лагая при этом, что все поставленные там условия относительно величин
Ro, R и Г1 выполнены, получим
IJ| < \3ira'poR,
где под До теперь нужно подразумевать максимум модуля разности р—р0
на площадке (о).
Предполагая Л выбранным так, что во всех точках (о) условие (161)
удовлетворяется, что всегда возможно, получаем
IJ I < 18яа'ХЯг'?,
где г есть расстояние от р0 той точки площадки (о), где I р - р° | имеет
274
наибольшее значение. Отсюда на основании (143) выводим
. С . 0
М|< 18яа'х(у) = а/?<3+1,
где а есть определенная постоянная.
Таким образом,
1 2я .
— | / Jdco | < aR$ х.
2ir о
(165)
(165,)
52. Найдем теперь высшие пределы модулей двух остальных "интегралов
равенства (164).Равенства (155) и (156,) дают
cos cos I0o
-з 75
r ro
fl 1 \ f, cos d 7 df df \ cos d
= I —---------- r0 cos<0o-------— +1 — +jj, — I .
\ r3 ro ' r3 \ d£ drj ' r3
Положив
„ / 1 1 , Й1 +Ф)1 \ . COSI>
£2=1— - — - 3 -----------------— lr0cos^0 -f, —— +
' Г Г о Го ' r
7 1 I W df df \
+ ( — - ~ )( 5, — + 4i ~ ) cos fl, (166)
' г3 Го >' d$ djj '
проведем предыдущее равенство к виду
cos ip cos 10о й| +1741
- = 3 cos «00 +
Г3 Го Г?
/ _ df df \ cos &
+ I 1, Т + Ч, '• ) "Т” 1 О- (166,)
\ Э| дп ! г3о
Так как от ш зависят только величины г, $, и т?, и g, = р cos со. r?i =
= р sin w, то
2я/ COS(0 COS i0o \ 2я
f ( — )dw= f Шсо. (167)
О \ Г Го / о
Приняв во внимание равенство (167), получаем
2 я - Г 2я
f Jtd^ = Ид-д°) f
о L о
(COS ip
г2
COS (0О
Го
du Ida, =
= J(M-M°)( f Ddu)da,. (168)
о
I 3f df
Заметив, что t, --- + jj, --
I Э$ dn
< ayf?r,r0> и учитывая неравенства (150), (157,), (1472) и (150,),
275
выводим из (166)
1П| < (6(я\/3’ + 6)Я2 + 9br, + 7a\/3Rr, )costf/rg.
откуда, на основании (148,), IJ2 | < а —-— Л2, где а' есть определен-
но
ная постоянная.
Всегда можем взять Ro столь малым, что неравенство (161) будет со-
блюдаться для всех точек площадки (о,), т.е. I д - д° | < Хг{>. При помощи
этого неравенства и предыдущего получаем
„ 2тг I , . cost?
Нд-д°)( f ttdu)dad < 2nXa'R2 f do,. (169)
0 I Го °
Но, подразумевая теперь под p и ы полярные координаты переменной точ-
ки р площадки (а,), можем писать
cost? 2» л0 pdp /2» я, dp
f — do, = f du f 4 f du f =
rg Р О Я Го P о R p1 P
2я / 1 1 \ 2я
1-0 (й*-* ” R^-t ) < 1-0
Следовательно,
„ / 2» \ ' 4n2Xa' .. ,
f (Д-Д0) ( f Sldu]da, < ------- Rf*+l,
M I 1-0
т.е. в силу (168),
1 I 2irXa' a. . ,
---- f J,du < ---------- Rp+i = a Rp '.
2я I о 1-0
где a" - новая определенная постоянная.
53. Рассмотрим последний интеграл равенства (164).
Подобно предыдущему имеем
2я 2я
J J du = f (р-р°)( f Sldu)ds,.
(169,)
(170)
Заметим, что неравенство (150) справедливо для всякой точки, лежащей
вне площадки (а), т.е. и для точек части (5,) поверхности (5), на которую
распространяется последний интеграл; равенство (166,) также справедли-
во для любой точки р(£, 1?. О поверхности (5). Так как для любой точки р
1 1 I I/ 3f
- - ~ < сг,, где с есть определенное число, и |( $, — +
Го I Э|
части (5,)
3f \ .
+ 1?! --- I cos д I = 11, cos (л|) + 1?l cos (nil) I < г,, то
di? / I
/ 1 1 \ ( 3f \
( — - ~) Ui — +I?i —- )cosd < сг2,
\ rJ rg ' ' 3i? >
276
Далее, на основании (150) для любой точки р части (S j)
( 1 1 , +Wi \ I . . ,
I —5- — — - 3 -------~— ]r0cos<p < с R2,
' r r0 То J I
где с' есть также определенная постоянная. Наконец,
При помощи этих последних трех неравенств, положив, как и в п. 50,
/?=ЗГ1, (171)
выводим из (166)
1П| < hr].
При этом равенство (170) дает
•1
2я
< 2pohSxr] < gr].
(172)
2я ,
J J Ло
о
Из равенства (164) при помощи (165(), (1691), (172) и (171) получаем
1 1 2тг
— J (W'i - И'о)^
2я j о
<*Л+|,
где X1 есть определенное число.
Очевидно, что для точки pt соблюдается неравенство (53' ) п. 18, вслед-
ствие чего только что полученное неравенство можно представить в виде
1
2я
2тг
f (^ - W0)du
о
20+t Х1₽0+‘ = Х’рр+‘.
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема Ляпунова (пятая). Если напряжение р потенциала двойного
слоя таково, что около каждой точки р0 поверхности (S) как центра мож-
но описать такую сферу, хотя бы и весьма малого, но определенного (оди-
накового дм любой точки р0) радиуса
Р|<О,
что дм всякой точки р этой поверхности, лежащей внутри сферы, имеет
место неравенство
|д-р°|<хЛ р<1,
то потенциал двойного слоя удовлетворяет условию
1
2п'
2я
f (И'-И'о)Ло
о
< х'р*’*1,
(173)
где р есть расстояние точки р от нормали к (S) в точке р0.
27?
ГЛАВА II
Конвексные поверхности.
Основная задача электростатики (задача о распределении электричества).
Решение этой задачи методом Робена. Принцип Робена.
Ранение основной задачи гидродинамики (задачи Неймана) методом Робена
1. В настоящей главе мы будем рассматривать один частный вид поверх-
ностей Ляпунова, присоединив к условиям (а), (Ь) и (с) (п. 17 гл. I) еще
одно дополнительное ограничение. Предположим, что поверхность (S)
удовлетворяет еще следующему условию:
(d) Все точки поверхности (S), какова бы ни была точка р0 этой по-
верхности, лежит по ту сторону плоскости, касательной к (5) в точке р0, в
которую направлена внутренняя нормаль к (S') в точке р0
Мы будем называть такие поверхности конвексными.
Возьмем какую-либо другую точку р на поверхности (S) и обозначим
через фугол, составляемый направлением рр0 с . внешней нормалью п0 в
точке ро, а через - угол, составляемый направлением РоР с нормалью п
в точке р. Очевидно, что для конвексной поверхности, где бы ни находи-
лись на ней точки р и р0, углы ф и меньше тг/2, т.е. при всяком положе-
нии точек р и ро на поверхности (S)
cos ф > О, cosip>0. (1)
Около каждой точки р0 как центра можно описать сферу радиуса R<D,
достаточно малого, но определенного и не зависящего от положения этой
точки на поверхности, такую, что для любой точки р той же поверхности,
лежащей вне площадки (а), вырезанной упомянутой сферой на поверхно-
сти (S), будет
cos > m0, cos ф > mQ вне площадки (а), (2)
где т0 есть определенная положительная постоянная. Кроме того, для лю-
бой точки р вне (а) будем иметь
cos ф 1
----- < — вне площадки (о),
г----R
ибо для всякой такой точки расстояниерор = r>R.
Предположим теперь, что точка р находится на площадке (а). Принимая
точку ро за начало прямоугольной системы координат i?, f с осью f, на-
правленной по нормали л0, получаем г cos ф = - f. Так как f удовлетво-
ряет неравенству (54) гл. I (п. 18),то
cos ф
О < ----- <Ь на площадке (о).
' г
Обозначив через 1/2Л> наибольшую из величин 1/£>и Ь, будем иметь
cos ф 1
< — для всех точек р0 и р поверхности (5). (3)
г--------------------------------------------------------------Do
2. Под задачей о распределении электричества понимается следующая за-
дача:
278
Найти такую плотность р электрических масс, распределенных по по-
зерхности (S), чтобы слой этих масс не оказывал действия на точки, лежа-
щие внутри поверхности, иначе говоря:
Найти такую плотность р потенциала простого слоя
V = f-2 ds, (4)
что функция V постоянная для всех точек внутри (S).
Эта задача называется также основной задачей электростатики или зада-
чей о равновесии электричества на данном кондукторе.
Рассматриваемая задача представляет собой частный случай внешней за-
дачи Дирихле: найти гармоническую вне поверхности (5) функцию И в
виде потенциала простого слоя (4) при условии Ve = const на поверхнос-
ти (S).
Если такая функция V будет найдена, то по теореме Пуассона (равенс"-
ва (108) и (109) гл. I)*)
dVt dVe
г-1--------- = 4*р.
дп дп
(5)
В данном случае Ve = V, - const на поверхности (5), т.е. V = const внут-
ри (5) и
ЭК,
—- =0.
Эл
(6)
При этом равенство (5) дает решение задачи
1 ЭКе
р = _ — —— .
4я дп
Но решение может быть получено и непосредственно, не переходя через
задачу Дирихле.
Применив к потенциалу V формулу (108) (гл. I) и учитывая (6), Полу-
чаем для определения р следующее уравнение:
Это уравнение будем называть уравнением Робена. Уравнение (7) есть
так называемое теперь интегральное уравнение, к решению которого, таким
образом, сводится задача.
Вообще, первые попытки решить задачу электростатики методом последо-
вательных приближений принадлежат, если не ошибаюсь, немецкому физику
Бееру**), но задача была поставлена надлежащим образом и обстоятельно
изложен метод ее решения только в 1887 г. молодым французским ученым
Робеном***), который привел ее решение к интегральному уравнению (7),
*) Рассматриваются только непрерывные плотности р. (Прим, ред.)
**) См.С. Neumann. Untersuchungen uber das Potential. - Leipzig, 1887, Cap. 6
»♦♦) G. Robin. Comptes Rendus de i’Academie des Sciences de Paris, T.CIV (1887).
Также ’’Oeuvres scientiflques de G. R о b i n” (Paris, 1899, p. 60).
279
воспользовался для его решения методом последовательных приближе-
ний, идея которого принадлежит Коши, а для доказательства сходимости
полученных приближений - методом так называемых арифметических сред-
них К. Неймана*). Исследования Робена др сих пор излагаются без всяких
дополнений в трактатах по теории притяжения и по анализу (см., например,
Е. Picard, "Traited’Analyse”, последнее издание), но они страдают одним
существенным недостатком, на который не обращают внимания.
Уравнение (7) допускает очевидное решение
Р = 0,
но требуется найти или доказать существование положительной функции р,
удовлетворяющей уравнению (7), отличной от нуля.
Этого доказательства метод Робена не дает и устанавливает лишь следую-
щее положение: если существует решение уравнения (7), отличное от нуля,
то оно может быть найдено путем последовательных приближений по приему
Робена, но вопрос о том, возможно ли нд самом деле такое решение, остав-
ляет открытым. Решение же этого вопроса имеет существенное значение
для математической физики по соображениям, развитым в гл. Ill части I.
Мне удалось пополнить этот недочет еще в 1897 г. для случая поверх-
ностей, мало уклоняющихся от сферы, а затем и для конвексных поверх-
ностей с конечной и определенной кривизной в каждой точке**). В 1900 г.
я распространил полученный результат и на все поверхности Ляпунова***).
В настоящей главе мы изложим решение задачи для конвексных поверх-
ностей Ляпунова (п. 1), имея в виду попутно изложить и метод арифмети-
ческих средних К. Неймана, общее же решение вопроса для каких угодно
поверхностей Ляпунова, когда только что упомянутый метод неприменим,
дадим в одной из последующих глав.
3. Сущность метода последовательных приближений, который Робен при-
менил к решению уравнения (7), в общем виде может быть выражен сле-
дующим образом.
Остановимся для простоты на случае одной неизвестной функции и, за-
висящей от какого-либо числа m независимых переменных tt, t2, ..., tm.
*) Теория интегральных уравнений получила широкое распространение с начала
девятисотых годов, благодаря преимущественно трудом Фредгольма и Гильберта,
приоритет же введения в науку этих уравнений приписывают иногда итальянскому ма-
тематику Вито Вольтерра, изучавшему линейное интегральное уравнение с одной пере-
менной в 1896 г. в мемуаре ’’Sopra alcune question! di inversion! di integral! definiti” (An-
nali di Matematica, T. XXV).
Как видим, Робен раньше других (за 9 лет до Вито Вольтерра) воспользовался ин-
тегральным уравнением для решения одной из важных задач математической физики и
указал способ его решения при помощи метода последовательных приближений.
**) В.А. Стеклов. К вопросу о существовании конечной и непрерывной внутри
данной области функции координат, удовлетворяющей уравнению Лапласа и тд. -
Сообщ. Харьк. Матем. Общ., 2 сер.. 1897, т. V.
W. S t е k 1 о f f. Sur le probldme de la distribution de Г electricity et le problSme de
Neumann. - Comptes Rendus de 1’Acad. des Sciences de Paris и Сообщ. Харьк. Матем.
Общ., 2 сер., 1897, Т. VI.
»»») W. S t е k 1 о f f. Les methodes дУпУга!е$ pour гУзоибге les problemes fondamentaux
de la physique mathematique. — Annales de Toulouse, 2 s., 1900, T.- II.
В. С т e к л о в. Общие методы решения основных задач математической физи-
ки. - Диссертация на степ, доктора, Харьков, 1901.
280
Допустим, нам известно, что если совершим над искомой функцией и неко-
торую определенную аналитическую операцию, которую обозначим через
П(и), то она должна быть равной некоторой другой, также определенной
аналитической операции S2i, совершенной над функцией и и независимыми
переменными ft, t2, ..., tm, от которых эта функция зависит, так что
Я(и) = S2,(и, tt, t2, ..., tm). (8)
Если мы подставим в S2j вместо и какое-либо определенное его выраже-
ние в переменных tit t2, ..., tm, то правая часть уравнения (8) обратится
в определенную функцию от этих переменных. Предположим операцию П
такой, что если положить
Я(и)=Дб,Г2......../т), (8.)
где f есть некоторая определенная функция от переменных t\, t2.tm,
то можно найти выражение функции и при помощи также определенной
операции со, совершенной над этими переменными, т.е. и = ы(Ть t2.tm )•
Подставим в правую часть уравнения (8) вместо и какую-либо произ-
вольно взятую (но определенную) функцию от переменных tt, t2......t„,,
которую обозначим через и0, и обозначим соответствующее значение и че-
рез и,. Получим уравнение
Я(И]) = £2i(uo> ti, t2, ..., fm),
из которого на основании только что сказанного выводим и, =co(u0. rt.
t2, • • •, tm) • Подставляем затем в (8) вместо и только что полученное вы-
ражение ut, получим новую функцию и2, определяемую уравнением Щи2)=
=-Г21(и1, ti, l2, ..., tm), которое дает, как и в первом случаеи2 = д>(«|.
tt, t2, ..., tm). Полученное выражение и2 снова подставляем вместо и в
правую часть уравнения (8); получим П(и3) = (м2, G, t2, .... tm) и
отсюда и} = oj(u2, tt, t2, .... tm). Продолжая таким образом далее, после
к указанных действий получим ик = со (и* _!, , t2.tm ).
Оказывается, что во всех известных нам конкретных случаях, будет ли
уравнение (8) представлять собой алгебраическое уравнение, или диффе-
ренциальное, или интегральное, или функциональное, или некоторую сме-
шанную их комбинацию и т.п., составляемые указанным выше приемом
функции
иь и2- “з, ..., ufc, ••• (9>
при совершенно произвольном выборе исходной функции и0 с увеличе-
нием числа к указанных действий будут все более приближаться к искомой
функции и, удовлетворяющей уравнению (8), если таковая существует. В
пределе при к °° получим, вообще говоря, как раз искомую функцию и.
Во всех известных случаях оказывается, что ряд
И0 + («1 - Uo) + (И2 -- W| ) + .., + (ик ик; _ ।) + ...
сходится равномерно и, следовательно, представляет искомую функцию
и= lim ик, действительно удовлетворяющую уравнению (8).
Этот замечательный прием решения уравнений различных типов, получив-
ший название метода последовательных приближений, был указан впервые
Коши для дифференциальных уравнений; этбт же прием был употреблен
281
Гауссом при решении задачи об определении орбит планет и комет по трем
наблюдениям. Общность и первостепенное его значение были выясне-
ны только в конце прошлого столетия, главным образом изысканиями
Пуанкаре, Пикара и др. Только что описанный метод и применил Робен к
решению основного уравнения электростатики (7).
4. Подставим в правую часть уравнения (7) вместо р произвольно взя-
тую непрерывную функцию р0. Получим
1 cos ф
Pi ~ — f Ро —;— ds.
2тг г2
Подставляя туда же вместо ртолько что полученную функцию р1( на-
ходим 1 cos ф
Р2 = — J Pi —Г~ ds
2тт г2
ит.д.; вообще
1 cos ф
Рк = — ! Pk-i ~;— ds. (10)
2тг г
Само собой разумеется, априори нельзя утверждать, что рассматривае-
мый прием всегда дает действительное решение задачи, а потому в каждом
данном случае необходимо это доказывать.
В рассматриваемой задаче, как уже упоминалось, одно очевидное решение
р = 0 несомненно существует. Употребленный нами прием может как раз при-
вести к этому последнему, и если этот прием вообще приводит в данном слу-
чае к решению задачи, то естественно предположить, что при некотором вы-
боре исходной функции ро и должно получиться именно это решение р = 0.
С другой стороны, очевидно, что если какая-либо функция р, не равная,
тождественно нулю, удовлетворяет уравнению (7), то ему же удовлетворяет
и функция Ср, где С есть какая угодно постоянная.
Таким образом, уравнение (7) не вполне определяет искомую функцию.
Но указанная неопределенность исчезнет, если мы поставим условие, чтобы
р, кроме уравнения (7), удовлетворяло еще и следующему:
Spds=M, (11)
где М есть заданная постоянная, что физически равносильно, очевидно,
предположению, что наперед задается масса электрического слоя, который
должен находиться в равновесии на поверхности (S). При этом дополни-
тельном условии исключится само собой и решение р=0. Задача сводится,
следовательно, к определению функции р, удовлетворяющей уравнению
(7) при условии (11). Это последнее налагает некоторое ограничение на
произвол выбора исходной функции ро •
В правой части равенства (10) интегрирование совершается по перемен-
ным 5, т/, f и, следовательно, рк есть функция координат той постоянной
точки поверхности (S), расстояние которой от переменной точки р(£, rj, Г)
обозначено через г. Если обозначим координаты этой постоянной, по отно-
шению к интегрированию, точки через х, у, z, то рк будет функцией этих
последних координат. Обозначим теперь через ds' элемент поверхности (S),
если будем брать интеграл по переменным х, у, г от какой-либо функции
этих переменных, распространяя его на всю поверхность (S).
282
Умножаем (10) на cis' и интегрируем результат по всей поверхности (S).
Так как рк есть непрерывная функция координат, то, меняя порядок ин-
тегрирования в правой части равенства, получаем
, 1 ,/ os ф \ 1 ( cos<p \
f Pkds = — f ds Цр*_| —— ds 1 = —I J--------------------— ds ids,
2ir \ r ' 2jt ' г '
ибо в интеграле с элементом ds' постоянной считается точка р(£. tj, f), а пе-
ременной - точка х, г, z, а потому угол ф обращается в угол Отсюда на
основании теоремы Гаусса выводим
f Pkds = f pk_xds (12)
— равенство, справедливое при всяком к и приводящее к такому:
f Pkds =f pods. (12i)
Если искомая функция р определяется равенством р = lim рк, то долж-
но быть * * “
fpds = f Pods,
т.е., при соблюдении условия (11),
f Pods = М. (13)
Сопоставляя все сказанное, приходим к заключению, что для решения
задачи о распределении электричества методом Робена необходимо дока-
зать следующую теорему.
Теорема I. При произвольном выборе исходной функции р0, подчинен-
ной условию (13), последовательно определяемые уравнением (10) функ-
ции рк стремятся при беспредельном возрастании к к определенной функ-
ции р, действительно удовлетворяющей уравнению (7) и условию (11).
5. Кроме того необходимо еще доказать, что полученное таким образом
решение есть единственно возможное.
Для -этого стоит только показать, что может существовать одна и толь-
ко одна не равная нулю функция р, удовлетворяющая одновременно урав-
нению (7) и условию (11). Допустим противное, что существуют две раз-
личные, отличные от нуля функции pt и р2, из которых каждая удовлетво-
ряет уравнению (7) и условию (11). Положим
p' = Pi -Р2- (14)
Очевидно, функция р' должна удовлетворять условиям
, 1 , cos
Р = — f Р —2— fpds = O. (15)
27Г Г
Составим потенциал простого слоя У‘ с плотностью р':
У' = f — ds.
г
По теореме Пуассона
дУ/ дУ' дУ/ cos ф
- = —— + Jp '-------— ds = 2np,
on on дп г2
283
w;
откуда,» силу (15), -- =0, т.е.
Эи
V' = С внутри (S),
(16)
где С есть постоянная. Положим
и = f — ds. (17)
г
Так как pi также удовлетворяет уравнению Робена, то
Vi=Ct внутри (S), (17,)
где Ci — другая постоянная, которая должна быть отлична от нуля, ибо Pi
предполагается не равным нулю.
В самом деле, если бы С, было нулем.то гармоническая функция И, была
бы нулем во всем пространстве (см. теорему I гл. I), причем мы имели бы
дп Эл
ЭГ„- ЭГ1г
Но по теореме Пуассона из (17) выводим ------ — ------- =4яр,. Отсю-
дп дп
да следует, что равенство (18) невозможно, если р, не нуль; следователь-
но Ci не нуль.
Умножаем равенство (16):
f -2- ds = C
г
на pi ds' и интегрируем результат по всей поверхности (S). Получаем, в си-
лу (17), (17.) и (15),
СМ = f pi ( f ds' = f p' ($ ds' \ds = Ci f p'ds = 0,
\ r / \ r J
т.е.
Г' = С= f ds = O.
Отсюда на основании теоремы Пуассона заключаем, чтор'=0,т.е. р, =р2,
что и доказывает следующую теорему.
Теорема II. Может существовать одна и только одна функция р, удовлет-
воряющая уравнению Робена (7) и условию (11).
6. Переходим теперь к доказательству теоремы I. Взяв какую угодно
функцию ро, составим последовательно ряд функций
1 1
1 У 2 =- ~ 2тт f Ро — ds, г ЭГ, 1 J ds, дп г (19)
1 2тт ЭГ*_, 1 f —— — ds. дп г
284
Для рассматриваемых нами поверхностей по теоремам Ляпунова (гл. I)
^существуют нормальные производные от всех функций И2, ..., Vk и,
следовательно, составление этих функций только что указанным способом
всегда возможно.
Из этих равенств сейчас же выводим следующие:
ЭИ| 1 cos ф
ЭК2 1 dVi cos ф
---- = — f --------- —— ds,
Эи 2ir дп г2
(20)
= 1 drfc| cos ф
ди 2ir дп г2
Сравнивая эти равенства с (10), видим, что
ЭГ*
Рк= -г1 (* = 1,2,3,...).
дп
(21)
Таким образом, все функции рк (* = 1, 2,3,...) являются нормальными
производными на поверхности (S) от потенциалов простого слоя Vk, опре-
деляемых равенствами (19).
Применим к гармонической функции Ик_| формулу Грина (36) гл. I.
Получаем для всех точек внутри (S):
1 cos <0 1
ds + — f
4я г 4it
дп
1
— ds.
г
Предположим, что точка, к которой относится выражение Vk _ । левой
части этого равенства, приближается к какой-либо точке поверхности (S),
и перейдем к пределу. Обозначив первый и второй интегралы правой части
соответственно через W и W', можем писать 4тгР\ _ 1(- = W, + И^-. Но в силу
свойств потенциалов простого и двойного слоя (пп. 17 и 33 гл. I, равенство
(Hl)) Kk-i,/ж И*-|, Wi=W', Wj = W+ 2тгУк_1, где в правых частях
подразумеваются значения соответствующих функций на поверхности (S).
Эти равенства и предыдущие приводят к следующему:
1 cos 1
Vk_t = ds+ — f
2тт r2 2jt
дп
1
— ds.
имеющему место на поверхности.
Применив к последнему из равенств (19), заменив в нем к на к - 1, тео-
рему Пуассона, получаем
2яГ*_, =/
cos «г
—— + /
г
Ык-х
дп
1
— ds - f
г
1
--------- — ds,
дп г
откуда при помощи тех же равенств (19) выводим
1 cos «г
И*= — •—— ds (* = 2.3,...)
2ir rl
(22)
285
- замечательное соотношение, устанавливающее весьма простую связь меж-
ду значениями двух последовательных потенциалов и Ук _, для точек
поверхности (S).
7. Возьмем потенциал двойного слоя
I cos
w= — ds (22>)
2тг г2
и выведем одно общее неравенство, лежащее в основе так называемого ме-
тода арифметических средних К. Неймана.
Будем рассматривать значения функции W на поверхности (S). Разобь-
ем эту поверхность на две части (а) и (0) так, чтобы для всех точек части
(а) функция д заключалась между М и (М + т)/2, а для всех точек части
(0) — между т и (М + т) /2. Здесь под Мит подразумеваются соответст-
венно наибольшее и наименьшее значения д на всей поверхности (S).
Возьмем какую-либо определенную точку $ на поверхности (S) и значе-
ние. W в этой именно точке будем обозначать через Ws. Имеем
1
И^ = — f
2п (а)
cos 1 cos
д —— ds + —- f д —-— ds,
г 2ir (3) г2
(23)
где символами / и f мы обозначаем интегралы, распространенные co-
te) (0)
ответственно иа части (а) и (0) поверхности (S)* **)). Обозначим через /<“> и
соответствующие значения интеграла
cos<p
f ds
г2
(24)
ДЛЯ ТОЧКИ S ♦♦).
По теореме Гаусса для любой точки s поверхности (S)
/«) + /(<?) = 2я. (25)
Из равенства (23), учитывая сделанные предположения о пределах, меж-
ду которыми заключаются значения функции д на частях (а) и (0) поверх-
ности (S), выводим
. . М + т
2irWs<M/<ft) + —— /</>,
или, в силу (25)
М-т
WS<M- —-------- (26)
4тт
С другой стороны, подобным же путем убеждаемся, что
М + т ,п. ,д.
2itWs>——
*) Под интегралами по (а) и (0) удобно понимать интегралы Лебега. (Прим. ред.).
**) То есть интегралы вида (24), распространенные соответственно на части (а) и
(0), для точки а.
286
и, на основании (25),
М - т , '
Ws>m+------------- /<.“>.
4jt
(26')
Применим последнее в какой-либо другой точке s । поверхности (S). По-
лучаем
М - т , ,
Ws > т + --------
4я * s‘
Вычтя это равенство из (26), находим
И', -
4ir
(26.)
8. Положим
I™ + /,<в)
х= --------А
(27)
4я
Так как в силу теоремы Гаусса
0</Дв) < 2я, 0< < 2я.
Где бы ни лежали точки s и s ( на поверхности (5) и каковы бы ни были
части поверхности (а) и (0), то
/</> + /<°»
(28)
4jt
Опишем теперь около точек s и $ (, как центров, сферы достаточно мало-
го радиуса R < D и обозначим через (а) и (ст() площадки, вырезаемые эти-
ми сферами на поверхности (S). Площадка (а() может либо целиком ле-
жать на части (а), либо захватить только часть ее. Обозначим, вообще, часть
площадки (ai), принадлежащую части (а), через (о»), а часть (а), лежа-
щую вне (а,), - через (а ). Имеем
(а) = (о, ) + (<*')• (29)
Для рассматриваемых нами поверхностей (см. п. 1) будем иметь для то-
, cos<p "’о ,
чек части (а ) : cos > т0. Поэтому /J ' = J —г- ds > —— (а ), ибо
1 («') г Di
г остается меньшим некоторого числа Dt, так как размеры поверхности
(S) конечны. Отсюда, в силу (29),
6а, > > -г; [(«) - (o'.)] > -тг [(о) - (о.)].
Ut
ибо, очевидно, (o'i )< (О|).
Так как, далее, > //“ \ то
^>^2 [(O)-(Ol)]-
287
Совершенно так же докажем, что и
> “77 "(’)!>
т.е.
/<«) + у(Р) т
X = . > — [(а) + (0) - (о) - (а,)] =
4тт 4itDi
= ТТГ [(*)-(*)-(*.)],
(30)
где (S) означает площадь всей поверхности. Отсюда заключаем, что X,оста-
ваясь меньшим 1, не опускается ниже известного предела, отличного от ну-
ля, где бы ни находились точки s и st на площадках (а) и (fi) и каковы бы
ни были эти площадки.
Итак, на основании (28) и (30),
0<Хо<Х<1, (31)
где Хо есть число, меньшее единицы и отличное от нуля.
9. Обращаясь теперь к неравенству (26() и учитывая (31) и обозначение
(27), можем писать
И'.-И',, < (М-т)(1 -Х0) = (М-т)т,
где т есть положительное число, меньшее единицы.
Если теперь обозначим через Мх и тх максимум и минимум функции^
на поверхности (S), то получим
Mi - mt <(М - т)т, т< 1. (32)
Это и есть основное неравенство К. Неймана, справедливое доя всякой
конвексной поверхности *).
Заметим еще, что из неравенств (26) и (26') вытекают неравенства
Mi <М, mi>m, (33)
М-m
так как - ГУ’
Лв) всегда неотрицательны.
М - m
и -------
4я " 4тт
10. Будем обозначать значение рк в какой-либо определенной точке s
поверхности (S) через pks', значение рк соответствующее частному предпо-
ложению, что начальная функция
Ро = 1, (34)
обозначим через pks, а значение Vk при этом значении р0 — через По
предыдущему (равенство (21)) pks = •--, pks = -----, где в правых
дп дп
частях равенств подразумеваются значения нормальных производных от И*
и И* в точке s поверхности (S).
*) Для неконвексных поверхностей это неравенство, вообще говоря, не имеет места.
288
Из равенств (10), последовательно определяющих функции рк (к = 1,2,
3, ...), следует, что для рассматриваемых нами поверхностей в силу (1)
все рк будут положительными, если р0 > 0.
Следовательно,при условии (34),
Р?,>0 (35)
при всяком к и для всякой точки s поверхности (5). При этом, как пока-
зывают равенства (19), будем иметь Ии<0 при всяком к и для всякой
точки s.
Так как в силу (22) значения функций И* (к = 2,3,...) на поверхности
(S) связаны соотношениями
„ cos ф
— /И!.| ds (к = 2,3, ...),
2я г*
то их численные значения, которые обозначим через к*, подчинены условиям
1 cos ф
4= — М-i —“ ds (36)
2я г2
для всех точек поверхности (S)*).
. С другой стороны, в силу (19) и (36) можем писать
1 ds
W = v2= — fp°k-, — (37)
2я г
Что же касается величин рк (к = 1, 2, ...), то они связаны между собой
соотношениями
„ 1 „ cos
Р°к= — fPk-i —Г- (38)
2я г*
11. Положим
Мк~ max v® = max I К® I, /и® = min v® = min I К® I.
Применив к равенству (36) метод К. Неймана, заключаем, что
<М2-2< ••• (39)
/и® >/и®_| . ,>/п® =/, (39()
где
1 ds
L - Л/? = max — f — ,
2v r
на поверхности (S).
1 ds
I =пц =min — f —
2n r
L и / суть определенные числа, зависящие от вида поверхности (S), причем
не только L, но и / отлично от нуля.
*) Напомним, что для рассматриваемых нами поверхностей всегда cos > 0.
289
Из равенства (38) при помощи (3), (35), (37) и (39) выводим еще сле-
дующее:
1 п ds М°к L
р°к<— М-. — <— <—•
2irD0 г D(t Do
(40)
12. Применим теперь метод арифметических средних К. Неймана к ра-
венству (10), которое отличается от (22) (или от равенства общего типа
(221)) только тем, что в нем угол заменен углом ф, причем исходную
функцию ро будем предполагать какой угодно.
Напишем равенство (10) в виде
1 рк -1 „ cos ф
Рк= — I Р°к-Х ds (41)
2jt р?_| г2
и обозначим через Nk~i и,/а-1 максимум и минимум отношения
Рд_|/рд_|На поверхности (S), каковые несомненно существуют, так
как Pk-i и Pfc-i непрерывны, а последнее всегда положительно и в нуль
на поверхности (S) не обращается.
Разделим эту поверхность на две части (а) и (0) так, чтобы в первой
из них было
Nk-t + "k-i
а во второй
"k-i
Pk-i
Рк —1
Pk-i
Nk-t + "k-i
2
(42)
(42,)
2
Придерживаясь принятых обозначений
венство (41))
1 „ cos ф
Pks^Nk-l — f Pk — l 2 ds +
2я (a). r
(cm. n. 7), можем писать (pa-
Nk-i + "k-i 1
2ir (p)
Pk-i
cos ф
ds.
(43)
2
1 cos ф
Обозначим теперь интеграл — f pk-i —j— ds, отнесенный к ка-
кой-либо точке $ поверхности (S), через Jks, а интегралы того же вида, рас-
пространенные на части (а) и (0) и отнесенные к той же точке s, - соответ-
ственно через Д") и J$. Имеем
Jks = JW + J<tL
При помощи этого равенства и неравенств (42) и (421) из (43) выво-
дим тем же способом, что и в п. 7, для двух каких угодно точек s и s 1
поверхности (S):
Рк* кг Nk-i ~ "k — l J^s
---- < Nk_i-------------------------,
Jks 2 Jks (44)
Pks, . Nk-i - "k-i J(ks,
---- & Wfc-i + — ------------— —:-----,
Jks, 2 Jks,
290
а отсюда
Pics Pkst
To To
Pics Pks,
< Wk-I
"k-l )
13. Возьмем какую-либо точку p0 на поверхности (S). и опишем около
нее, как центра, сферу радиуса R <D, как это сделано в п. 1. Часть поверх-
ности, лежащую вне площадки (а), вырезанной этой сферой, обозначим
через (So)-Очевидно (равенство (38)),
Рк > ~ f Рк-1
2я (SQ)
cos ф
Отсюда при помощи (2) выводим
"'о . Pk-i . то Г . P°-i ,
------ J ------ ds = ----- J -------- ds - J
2jtD| (S„) r 2itDi L r (a)
Учитывая (40), получаем
j
(о) Г
L ds L 2* R pdpdu
ds < — f ------ < — f f —---------
Do («) >" Do о о rcosi?
2L 2 я R 4vRL
<----- f f dpdoj = ------ ,
Do о о Do
Pk-t I
——--ds . (46)
r J
(47)
так как, напомним, г > р, cos #> 1/2 для всех точек площадки (а).
Далее, в силу (37),
J = >///?,
2я г
т.е., на основании (39(),
f - ds > 2тп°к > 2п1. (47,)
г
Неравенства (46), (47) и (47 J приводит к следующему:
„ т0 г 2RL I
D, L Do J
которое имеет место при всяком R<D.
Всегда можно положить R<lD0l(4L), причем будем иметь рак >
> /п0 //(2D 1). Отсюда, заметив, что
Pfcj = Jks- (47 )
выводим
т01
Jks>~ =Q. (48)
ZL/!
где Q есть определенное число, отличное от нуля.
291
14. Возьмем опять две какие-либо точки s и s t на поверхности (S) и
опишем около них сферы достаточно малого радиуса R <D, подобно то-
му, как в п. 8.
Пользуясь обозначениями этого пункта, можем писать >/^т> . За-
метив, что
1 г . cos ф
^кз = Т- J А -1 Г"
2тт г
получаем при помощи (48), (29) и (2), так же как и в п. 8,
, I cos ф
Л° = — f. A-i — ds>
1 2тт (а') г2
Отл Qm0
> л Л= ттл i(“)-(°i)]-
2ltD2 (а ) 2я/>1
Точно так же доказывается и неравенство
Qm0
> Т77 [(«-(’И-
С другой стороны, на основании (47') и (40) для любой точки s
Jfcs< LIDO. (48.)
Следовательно,
J®,
m0QD0
m0QD0
= Т77Г ~(°)-(<h)J =2Xi,
где есть определенное число, отличное от нуля.
Очевидно, далее, что*)
2 L Jks
Ат, -*
Таким путем приходим к заключению, что
, 1 Г + Ж, ] v
1 - — ----+------1 I < 1 - Xi = т,
2 L As Ат, J
где т есть положительное число, меньшее единицы, т.е. что, в силу (45),
Nk-nk<(Nk_t -/»*_,)т. (49)
15. Предположим теперь, что исходная функция р0 в равенствах (10)
удовлетворяет условию
f pods=O.
*) Отсюда между прочим, само собой вытекает неравенство X, < I.
292
При этом в силу (12t) будем иметь при всяком к:
f pkds = О,
т.е. каждая из функций рк (при всяком к) непременно принимает иа по-
верхности (S) как положительные, так и отрицательные значения. Тем же
свойством обладает и функция
Рк^к, (50)
Ибо, как показано выше, Jk остается положительным во всех точках по-
верхности (S). Поэтому
(51)
так как максимум Nk функции (50) непременно положителен, а ее мини-
мум пк отрицателен.
Положим в неравенстве (49) последовательно к = 2,3,. .., к и перемно-
жим между собой полученные таким путем к — 1 неравенств. Получим
Nk - пк < (Wi - п!) т*“1. Это неравенство и (51) приводят к следующему:
1р*1 <Л(Л^1 -«От*?*. (52)
Но -«! <2 max ( I pi l/Jt), где *)
1 cos ф 1 cos ф .
Pi = — f Ро —z— ds, Ji = — ds = pi.
2ir r2 2it r2
На основании (48) Ji > Q. С другой стороны, в силу (40),
, , cos ф п R0L
IpiK-T—/ “Т21 ds=Rop°i<—— ,
2ir г* Do
где Ro обозначает максимум I р01 на поверхности (S). Следовательно,
где К есть определенная постоянная, зависящая только от вида поверх-
ности (S).
Приняв, наконец, во внимание (47') и (40), получаем
Jk= Р* LfDo-
При помощи двух последних неравенств выводим из (52)
lpfc| < К ~ тк~1 = Nrk = RoNiTk, (52')
Do
где есть, очевидно, определенная постоянная, не зависящая от ft, а толь-
ко от вида поверхности (S). Это неравенство доказывает следующую важ-
ную для задачи теорему.
Теорема Ш. Если исходная функция р0 в равенствах
1 cos ф
Рк= — J Pk-i — ds, (53)
2 я г
♦) См. равенство (47') (п. 13).
293
последовательно определяющих функции рк, удовлетворяет условию
f pods = 0, (53,)
то при всяком к
lpfc| < Ытк = RoNtT*, (54)
где N - число, не зависящее от к, Ro, есть максимум I р01 на поверхности
(S), а т есть положительное число, меньшее единицы, так что
lim pk = 0.
16. Предположим теперь, что исходная функция р0 в равенствах (53)
остается неотрицательной во всех точках поверхности (S) и удовлетворяет
условию (равенство (13) п. 4)
f pods = М^0.
Положим
Pk=Pk-Pk-i (*=1,2,3,...).
Функции р'к удовлетворяют, очевидно, уравнениям
, 1 , cos ф
Рк= — fPk-i —г- ds
2тг г2
(* = 2,3, ...),
причем исходной функцией при последовательном вычислении функций р'к
здесь служит функция р\ -pt -ро, которая в силу равенства (12|) п. 4
подчинена условию
f p\ds = 0.
Применяя к функциям рк теорему III, получаем
lp'fc| <Nrk~l. (55)
Отсюда следует, что ряд
p = Po+Pi+Рг + +Рк+ (551)
сходится абсолютно и равномерно во всех точках поверхности (S), т.е.
представляет непрерывную на поверхности (S) функцию р, и что
lim Pk ~Р-
k->°°
Таким образом, доказывается следующее предложение.
Теорема IV. Если в равенствах (53) последовательно определяющих
функции рк, исходная функция ро не равна нулю и остается неотрицатель-
ной на поверхности (S), то рк при беспредельном возрастании к стремится
равномерно к определенному пределу, не равному нулю *), который пред-
ставляет собой непрерывную и неотрицательную функцию координат точек
поверхности (S).
*) Так как / pkds - f p„ds =М при всяком к, а последний интеграл не равен нулю.
294
17. Остается только доказать, что функция р, определяемая бесконеч-
ным рядом (S51), действительно удовлетворяет и уравнению Робена
1 cos ф
Р= — f Р —Г~ ds (56)
2тт г
и условию
fpds=M, (57)
где М есть заданное число.
На основании теоремы IV мы можем найти такое достаточно большое це-
лое число к0, что будет
I р - рк | < е при к > к0, (58)
где е есть наперед заданное положительное число. Представим равенство
(12,), имеющее место при всяком к, в виде
f (Рк-p + p)ds-M = 0,
или
f pds-M = f(p— pk)ds.
Отсюда на основании (58) выводим
\fpds-M\ < eS = e’
— неравенство, равносильное равенству (57).
Напишем затем равенство (53) в виде
1 cos ф
Р- — f р —— ds =
2тт г2
1 cos ф
= (Р-Рк)+ — ЛРл-i -р) —— ds. (59)
2тг г
Имеем, приняв во внимание неравенства (3) п. 1 и (58),
11 cos ф 1 е ds L
— f(Pk-t-p)—f ds <
2тт г2 I 2irD0 г D<
При помощи этого неравенства и (58) из (59) выводим
1 cos ф
P-—SP —— ds
2тг г
el +
V А
где е" есть произвольно заданное положительное число. Отсюда сейчас же
вытекает равенство (56). Из равенства (56) следует, что функция р поло-
жительна.
Таким образом, получаем следующую основную теорему электростатики.
Теорема V. Возьмем произвольно функцию р0, неотрицательную во всех
точках конвексной поверхности (5) Ляпунова и подчиненную условию
f Pods = М,
где М есть заданное положительное число, и составим последовательно ряд
295
функций Pk (k = 1,2,3,.. .) no формулам
1 cos ф
Pk = — fPk-t —ds.
2ir r2
Вычислив функции Pk, составим ряд
Ро + (Pl -Ро) + (02 -Pl)+ • • • +(РЛ -Рк-1)+ . - •
Этот ряд представит непрерывную и положительную функцию р координат
точек поверхности (S), удовлетворяющую уравнению Робена (56) и усло-
вию (57), т.е. плотность электрического слоя, находящегося в равновесии
на поверхности (S) (не оказывающего действия на точки, лежащие внут-
ри (S))-
Таким образом, предложенное нами видоизменение метода Робена впол-
не разрешает основную задачу электростатики (задачу о распределении
электричества) для всякой.конвексной поверхности Ляпунова, характер-
ные свойства которой указаны в п. 1 ♦)/
Можно показать, что предыдущий метод применим и к тому случаю,
когда поверхность (S) имеет плоские части конечных размеров, причем
условия п. 1 непосредственно не выполняются, но мы на этом останавли-
ваться не будем, так как впоследствии покажем, что метод Робена распро-
страняется на какие угодно (неконвексные) поверхности Ляпунова.
18. Вникая в изложенный выше анализ, легко видеть, что для полного
решения основной задачи электростатики достаточно установить справедли-
вость неравенства
Ipfc-Pk-t I < Мтк, (60)
где W и т суть определенные числа, из которых второе (т) меньше едини-
цы и не зависит от выбора исходной функции р0. Для любой поверхности
(S), для которой будет установлено это неравенство, носящее название
принципа Робена, задача о распределении электричества будет разрешена.
Мы уже показали (п. 16), что при соблюдении условия (60) рк стремит-
ся к определенному пределу р при беспредельном возрастании к, причем
этот предел может быть нулем или величиной, не равной тождественно
нулю, в зависимости от выбора исходной функции р0-Мы сказали также,
•) Условие неотрицательности функции р„ в теореме V не является существен-
ным: при доказательстве сходимости последовательности Рк (п. 17) оно не использо-
валось, а положительность предельной функции р немедленно вытекает из сформули-
рованного утверждения и теоремы единственности (теорема II п. 5).
Отметим также, что доказанными утверждениями (теоремы П-V) полностью ис-
следована разрешимость интегрального уравнения (56) в классе неотрицательных
функций. Доказано (теорема V), что для любого М > 0 существует положительное ре-
шение уравнения (56), удовлетворяющее условию (57) ; при М = 0 существование ре-
шения очевидно, р = 0. В п. 5 установлена единственность неотрицательного решения
задачи (56), (57).
Более того, приведенные рассуждения доказывают теорему I (а в частности, и су-
ществование решения) при произвольных (в том числе и отрицательных) значениях
постоянной М и, как уже отмечалось, при произвольной непрерывной исходной функ-
ции ра. Без условия неотрицательности установлена в п. 5 и единственность решения
задачи (56), (57): при доказательстве единственности нулевого решения (в случае
М = 0) достаточно воспользоваться существованием решения р, задачи (56), (57) с
М# 0,например, сМ- 1. (Прим, ред.)
296
что прямым следствием принципа Робена (неравенство (60)) является не-
равенство (58), которое и приводит к окончательному решению основной
задачи электростатики *).
Покажем теперь, что для любой поверхности, к которой приложим прин-
цип Робена, вполне разрешается и основная задача гидродинамики (задача
К. Неймана).
Легко убедиться, что из принципа Робена сейчас же вытекает следующее
предложение:
Если начальная функция р0 в равенства* '53) подчинена условию
J Pods = 0, то
\pk\<NTk. (62)
В этом случае р = lim pk представляет функцию, удовлетворяющую
условиям
1 cos ф
р = ~— f р —— ds, f pds = Q.
2к т*
Такая функция, как показано в п. 5, необходимо равна тождественно нулю.
При этом неравенство (61) (см. примечание к этому пункт}’), являющееся
непосредственным следствием принципа Робена, обращается в неравенство
(62), которое поэтому также является прямым следствием принципа Робена.
19. Изменим теперь несколько обозначения, переменив букву р0 в урав-
нениях (53) на /, и составим ряд
Р= f + epi +е2р2 + • • • +^Pk + • • •, (63)
где, следовательно,
1 cos ф 1 cos ф
Pi = ~ ff------— ds’ Pk=—!Pk-i ds (k = 2,3, ...).
2w r* 2it r
(63,)
Если функция f удовлетворяет условию
f fds =0 (64)
то на основании предыдущего имеет место неравенство (62). Отсюда сле-
дует, что ряд (63) при условии (64) сходится абсолютно и равномерно на
поверхности (S) при всех значениях параметра е,удовлетворяющих усло-
вию le| < 1.
Так как к поверхности (5) по предположению применим принцип Робе-
на, то при е = - .1 ряд
(/+epi) + (e2p2+е3р3) + ... + (e2kp2k + e2k+,p2k+i) + ...
••• =(/- Pl) + 0>2 -Рз)+ ••• +(P2k ~ P2k+l)+ ••• (65)
•) В самом деле, можем писать р ж pk + (pk+\ - Pk) + (Pfc+2 - Рк+1). • • • > откуда в
силу (60),
. ЛГтк+1
Ip-Pkl < (1+т + т2 + ...) = -d-- = Ntrk, (61)
1 — т
т.е. при к > к0, где к„ есть достаточно большое число, I р - рк | < е.
297
сходится абсолютно и равномерно и в том случае, когда условие (64) не
выполняется.
Предположим сначала^ что функция/' удовлетворяет условию (64), и
составим потенциал К простого слоя с плотностью р/(2тт):
К= f £ ds. (66)
Z7T г
По теореме Пуассона
ЭР, ЭР 1 cos ф
— =д+ — =д-— /м Л-
дп дп 2тт г
(67)
Так как в данном случае ряд (63) сходится равномерно, то
1 cos i/z 1 cos ф 1
г 2тг г2 ds _ П 2 ds + e fPi 2it г 2ir
1 cos Ф
... + ек — II f Рк —— ds + ....
2тт r2
cos ф
ds+ ...
г1
т.е., в силу (631),
1 VVO ф .
— /м —г cls = Pi + ер2 + е рз + ... +е*р*+| + ...
2я г2
1 cos у ~
р- — fp-—т- Л = -Р1+/-е(р2-Р1)-еЧРз-Рг)+ •••
2я г*
• • •“«* (Pfc+l - Рк)-
При е = 1 получаем
1 cos ф
Р-— f Р —j— ds= f- Pl ~(p2 - Pl)-
2n r2
-(P3-P2)- ••• -(Pfc+i-Pfc)- »/- Um Pk=f- (68)
fc-*oo
ибо при условии (64) на основании предыдущего lim р* = 0.
\ к — “
Равенства (67) и (68) дают
dVi
--- =f на поверхности (S).
Функция V, определяемая равенством (66), дает, следовательно, реше-
ние внутренней задачи Неймана.
20. Рассмотрим теперь внешнюю задачу Неймана, т.е. будем искать гар-
моническую вне поверхности (S) функцию V, удовлетворяющую условию
dV
—- - f на поверхности (S). (69)
дп
где f - какая угодно заданная (непрерывная) функция координат.
298
Положим
Р = (/-Р1) + (Р2 -Рз)+ ••• +(Р2* -Р2*+|)+
и составим потенциал простого слоя
К = - у- J — ds.
2я г
(70)
(71)
cos ф
—т— ds + p.
(72)
Применив опять теорему Пуассона, получаем
ЭГС ЭИ 1
---- = — +р= — Гц
Эл-Эл 2я
Так как по предыдущему ряд (70) сходится равномерно на поверхности
(S), то в силу (63,),
1 cos ф
— fp -----dS = (Pi - р2) + (р3 -р4)+ • • • +(P2*+I -P2fc + 2)+ • •
2тг rl
При помощи этого равенства и (70) выводим из (72)
ЭИе
—— = / - р2 + (р2 -р4) + ... +(р2* -р2* + 2)+ • • • = / Вт р2* + 2.
ОН к-х
Здесь нужно различать два случая: когда интеграл
f fds .
(73)
(73,)
равен нулю и когда этот интеграл отличен от нуля.
В первом случае lim Pik+2 =0 и равенство (73) обращается в (69).
к —«»
При этом'потенциал простого слоя (71) дает решение внешней задачи
Неймана.
Во втором случае lim Pzfc+2 = р, где р есть плотность электрического
к — “
слоя, находящегося в равновесии на поверхности (S) и подчиненного ус-
ловию
J pds = f fds Ф 0. (73')
Потенциал V (см. (71)) дает гармоническую вне (S) функцию, удовле-
творяющую условию
ЭГе
Эл
(74)
Положим
1
Р= Т '
4я
— ds.
Г'= И -/»=-
ds
(75)
„ bPi bPe bPe
Имеем ——---------— = p, т.е. ----- = - p. При помощи этого равенства и
Эл Эи Эи
299
(74) получаем (равенство (75))
эг; ЭГе
---- = ----- + р-f на поверхности (S).
Ъп Ъп
Следовательно, функция V', определяемая равенством (75), дает реше-
ние внешней задачи К. Неймана, когда интеграл (731) от заданной функ-
ции f не равен нулю.
Сопоставляя все сказанное в двух последних пунктах, приходим к сле-
дующим теоремам.
Теорема VI. Пусть f есть заданная непрерывная функция точек поверх-
ности (S), подчиненная условию
f fds = 0.
Вычисляем последовательно ряд функций рк (к = 1,2,3,...) по формулам
1 cos ф 1 * cos ф
Pi = — f f —5— ds, Pk = — I Pk-i — ds, (k = 2,3, ...).
2n r 2n r
„ (76)
Составляем функцию
p = f+Pi +p2 + + Pk + (76i)
и потенциал простого слоя
1 д
И= — f —ds. (77)
2тт г
Полученная таким путем функция V есть функция, гармоническая внут-
ри (S) и удовлетворяющая условию
ЪУ-
—- = f на поверхности (S),
Ъп
т.е. дает решение внутренней задачи К. Неймана для всякой конвексной по-
верхности Ляпунова.
Теорема VII. Пусть f - какая угодно непрерывная функция точек по-
верхности (S). Положим
f fds = M,
где М - какое угодно число, в частности нуль. Составляем, как и в преды-
дущей теореме, последовательно ряд функций рк (к = 1, 2, 3, ...) по фор-
мулам (76). Полагаем
Р~ (f ~ Pl) + (j>2 — Рз) + • •• + (Р2к ~Р2к+1) + (771)
и
P~f+(pl ~f) + (j>2 -Pl)+ • • • +(рк -Pk-l)+ • •
и.составляем затем потенциал простого слоя
300
Полученная функция V представляет собой функцию, гармоническую
вне поверхности (S) и удовлетворяющую условию
дУе
--- = f на поверхности (S),
дп
т.е. решает внешнюю задачу К. Неймана для всякой конвексной поверхнос-
ти Ляпунова.
21. Заметим, что на основании того, что сказано в п. 18, можно выска-
зать следующую, более общую теорему.
Теорема VIII. Функция V, определенная равенством (77) теоремы VI ,
решает внутреннюю задачу К. Неймана для всякой поверхности, к которой
приложим принцип Робена (неравенства (60)), а функция, определенная
равенством (78) теоремы VII, дает решение внешней задачи К. Ней-
мана для всякой поверхности, обладающей только что указанным свой-
ством.
Можно было бы сначала доказать згу общую теорему, а затем, показав,
что принцип Робена действительно имеет место для конвексных поверх-
ностей Ляпунова*), вывести из этой общей теоремы, как следствия, теоре-
мы VI и VII, но мы предпочли иной, как нам кажется, более естественный
ход рассуждений, который сам собой привел нас к представлению о прин-
ципе Робена и выяснил его важное значение.
ГЛАВА III
Принцип К. Неймана как непосредственное следствие
принципа Робена. Решение задач Дирихле
и Неймана для всех поверхностей Ляпунова,
к которым приложим принцип Робена, методом Неймана.
Приложение к конвексным поверхностям Ляпунова.
Преобразование потенциала простого слоя в потенциал двойного
н обратно. Задача Гаусса — Дирихле.
Условия существования нормальных производных
от гармонических функций,
представляющих радение задачи Дирихле.
1. В предыдущей главе мы доказали, что принцип Робена применим ко
всем конвексным поверхностям Ляпунова, но не подлежит сомнению, что
этот приицш! справедлив н для поверхностей более общего типа. Поэтому в
настоящей главе мы рассмотрим сначала, вообще, все такие поверхности
Ляпунова, для которых так или иначе может быть доказан принцип Робена
и в которых конвексные поверхности заключаются как частный случай. Все
общие результаты, которые получатся как следствие применения этого
принципа, будут справедливы для любой поверхности, коль скоро мы убе-
димся, что принцип Робена к ней прилагается. Впоследствии мы докажем
применимость этого принципа для всех поверхностей Ляпунова и таким об-
•) Что на самом деле и сделано нами в предыдущих пунктах.
301
разом распространим, в силу сказанного, все полученные в этой и предыду-
щей главах результаты на все поверхности Ляпунова ( п. 17, гл. I).
2. Пусть / есть какая угодно интегрируемая функция координат точек
поверхности (S). Составим, следуя К. Нейману, ряд потенциалов двойного
слоя по формулам*)
1 COSip
Ve = — f f — ds,
2it r2
1 _ cos
Wt = — / Vo — ds,
2n r2
(1)
2» — _
S (V! - H)rfw < Хрр+|,
о
1 — COS
Wk= — fWk-1 — ds.
2п г2
На основании теоремы Корна — Ляпунова**) и пятой теоремы последне-
го (гл. I) потенциал Wt в любой точке р0 поверхности (5) удовлетворяет
условию
1
2п
где W* представляет значение Wi в точке р0. Отсюда, руководствуясь чет-
вертой теоремой Ляпунова, заключаем, что W2 имеет правильные нормаль-
ные производные на поверхности (S), причем
3V2/ bW2e
—---- - Lo.
bn
(2)
Эи
Составим затем ряд потенциалов простого слоя по формулам
„2 = /
2тт
1
Кк-------- f Рк-1
2Я
— ds.
(3)
ds
(3i)
где, вообще,
р* = —
Ъп
и, как показано в предыдущей главе,
1 cos ф
Рк~ ~~ fPk—l 2 ds-
2п г
(4)
(5)
Составим, наконец, ряд потенциалов двойного слоя, последовательно
*) Мы употребляем обозначения, принятые в пп. 6 и следующих за ним гл. 1.
**) Функция f интегрируема по Риману и, следовательно, ограничена на (S).
{Прим, ред.)
302
определяемых равенствами
1 _ cos «р 1 cos <f>
из= — fvt -7— ds............»к= — S»k-\ —5— ds. (6)
2я г2 2я г2
Для дальнейшего важно установить некоторые соотношения между
функциями Wk, Vknvk, что мы и сделаем в последующих пунктах.
3. Применим к функции W2 формулу Грина (36) гл. I (п. 9). Получим
1 cos<p 1 La
2W2= — fW2i —— c/s+ — J — ds внутри (S). (7)
2я г2 2я r
Заметив, что по свойствам потенциала двойного слоя (равенство (111)
гл. 1, теорема VIII) W2i = W2+Wt, подставив это выражение W2i в форму-
лу (7) и приняв во внимание равенства (1) и (3), получаем
о2 = V2 = 1V3 - И^2 внутри (S). (8)
Докажем, что равенство
Vk = W'tt । - Wk внутри (5), (8|)
только что установленное для к = 2, справедливо при всяком к, большем
двух.
Покажем прежде всего, что функции vk и Wk связаны соотношением
= - Wk_t (9)
при всяком к = 3,4,... Равенство (8) дает v2, = и2 = И'з,- - W2 ,, ибо и2 как
потенциал простого слоя остается непрерывным во всем пространстве.
Применив опять равенство_(111) гл. I к потенциалам —Двойного слоя W3 и
1Р2, получим HSi - W2i = W3 + W2 — (fV2 + ) = W3 - и, следовательно,
U2 = W3 - Wt. Подставив это выражение в первое из равенств (6) и приняв
во внимание равенства (1), получаем
и3 = И'4-И'2. (10)
Докажем, что равенство (9), только что установленное для случая к = 3,
справедливо при всяком к.
Допустим, чго_оно справедливо при каком-нибудь определенном к. Име-
ем и* = И\+1 - Wk_t. Подставив это выражениек в равенство (6) после
замены в нем к на к +1 и приняв во внимание (1), получаем
Ujlt+l = Wk + 2 - И'*.
Следовательно, равенство (9), справедливое при каком-нибудь к, спра-
ведливо и при к, на единицу большем. Так как оно доказано при к = 3, то
оно справедливо при всяком к, равном или большем 3.
4. При решении задачи о распределении электричества в предыдущей гла-
ве доказано, что функции Vk, определяемые равенствами (3) и (31), свя-
заны между собой соотношениями
-- 1 — COS Ф
Vk= — fVk_, ds (* = 3,4....) (11)
2я г
(гл. II, п. 6, равенство (22)). Для функций же vk, определяемых
303
формулами (6), имеем
_ 1 _ cos
vk = —~— fvk_t —— ds. (12)
2я г2
При к-3 получаем, приняв во внимание равенство (3),
Из = йз на поверхности (5).
Предположим, что равенство
= на поверхности (S), (13)
только что установленное для к = 3, справедливо при каком-нибудь к. За-
меняя в (11) и (12) к на к + 1 и учитывая (13), убеждаемся, что
И* 11 = vk+1 на поверхности (S).
Отсюда заключаем, что равенство (13) справедливо при всяком к.
5. Обращаясь теперь к формулам (6)Сможем писать, на основании из-
вестных свойств потенциала двойного слоя, vki = vk + и*_ ।, откуда, приняв
во внимание (13) и непрерывность потенциала простого слоя во всем прост-
ранстве, выводим
Vki ~ Vk + Vk_ I = Vki + **-!./•
С другой стороны, равенство (9) дает
vki = ^к+ I j ~Wk-l j-
Эти равенства показываю^, что две гармонические внутри (5) функции
Vk + Vk-i и Wk+1 - W*-! принимают одинаковые значения во всех точ-
ках поверхности (S). Отсюда на основании известных свойств гармоничес-
ких функций (гл. I) заключаем, что
Vk + Vk_,=Wk+l Wk_t внутри (S). (14)
Это равенство справедливо при всяком А:, начинаясь = 3.
Допустим, что равенство (81) справедливо при каком-нибудь к. Заме-
нив в (14) к на к + 1, получаем
Vk+i + Vk = Wk+2 - Wk внутри (5).
Вычитая отсюда (8,), находим
Vk+t = Wk+2 - Wk+t внутри (5).
Отсюда заключаем, что равенство (8t) действительно справедливо при вся-
ком к, начиная с к = 2.
6. Допустим теперь, что к поверхности (S) приложим принцип Робена,
выражаемый неравенством (60) предыдущей главы. Так как за исходную
функцию при последовательном определении функций рк по формулам
Э1Р2/
(5) принята функция Lo = ---- , удовлетворяющая условию (гл. 1, ра-
ди
венство (35) ) f Lods = 0, то, как показано в предыдущей главе,
lp*| < Nrk, 0 <т<1.
304
При помощи этого неравенства из (3J выводим
ds Nrk 1
г 2я
f — <NLTk~t=NlTk, (14,)
г
где Nt есть,очевидно, число, не зависящее от к. Отсюда при помощи (81)
й известных свойств потенциала двойного слоя выводим
l^ + u- И'*./1=1И'*+, -Vfc-d <Mr*=W'r*+1. Положим (15)
Wl = Wk-Wk-i (*«=2,3,4,...). (15,)
Так как Wk + Wk-i = Wk - Wfc_2,TO, в силу (15), 1 W'k + | < N'rk. (16)
Составим функцию И/’ = И^ -(^'з +И^) + (К +W'3)-(W’5 -И4)+ ... (17)
На основании (16) этот ряд сходится абсолютно и равномерно во всех точ-
ках поверхности (S). Следовательно,
= lim (-1)* Wk = lim (-1)* (ЙЪ-Й''*-.), (18)
или
W = lim (-1)* Wke.
Ic-f
Составим теперь потенциал двойного слоя
1 , cos<z>
W= — fW' ds.
2it r2
(19)
Так как ряд (17) сходится равномерно на поверхности (S), то
1 , cos 1 cos ч>
w= т ^2 2 ds- Т HW'i+H' ) —ds +
2я г2 2я г2
1 , , cos <0
+ — f(W4 + W'3) ds - ....
2я г
или, в силу (15t) и (1),
W = HS - W2 ~(W4 - W3 + W3 - W2) + (W5 -W4+W4 -W3)~ ...
Отсюда, учитывая (15,), получаем
^ = ^3-(W'i+ И'з) + (И'5+^)- ... =
= lim (-1)°'^ = lim (-l)*+,(^-^-i) = lim (-l)*+l Wke.
k-**» k-*°° k-*»
(20)
Сопоставляя_это равенство с (18), получаем W= - W'. Но из (19) сле-
дует, что Wi = W + W1, т.е., на основании предыдущего равенства, = 0.
305
Следовательно, во всех точках области (D), ограниченной поверхностью
(S) (гл. 1), 1Р = 0.
Потенциал двойного слоя W, определяемый равенством (19), имеет,
ЭИ,,-
следовательно, внутреннюю нормальную производную ---- = 0. На основа-
Эл
эи/е
нии третьей теоремы Ляпунова заключаем, что и --- = 0. Отсюда, припо-
Эи
миная основные свойства гармонических функций, заключаем, что W = 0
тождественно. Следовательно,
17=0.
Это равенство на основании (20) можно написать в виде
и,’, -(и'; + и'з)+(и';+1ф- ... +(-1)*-‘(и'; + и'£_,)=
’(-1)*-1 и/; = (-1)*-« ки1+1 -w'k)-(w'k+2-w'k+l)+ •••].
Отсюда при помощи (15 j) и (16) выводим
1^1 = li7*-17fc_I| <Nork, (21)
где No есть число, не зависящее от к. Это неравенство выражает так назы-
ваемый принцип К. Неймайа, который, как видим, является простым след-
ствием принципа Робена.
На основании доказанного в предыдущей главе можем, следовательно,
утверждать, что неравенство (21) (принцип Неймана) имеет место для лю-
бой конвексной поверхности Ляпунова. Сопоставляя все сказанное, можем
высказать следующую теорему.
Теорема I. Если поверхность Ляпунова (S) такова, что функции рк, опре-
деляемые последовательно по формуле
1 cos ф
Рк = ~ SPk—i —7~ ds,
2я Н
какова бы ни была исходная непрерывная функция р0, удовлетворяют не-
равенству (принцип Робена)
Ip* -Рк-11 < Хт*,
где т есть число, меныиее единицы и не зависящее ни от к, ни от исходной
функции р0, то функции, вычисляемые последовательно по формулам (по-
тенциалы двойного слоя)
1 COS 10 1 — cos
V — ff— ds> ’ ^=7" г ds' <22>
2я г1 2п г*
необходимо удовлетворяют неравенству
<Nork,
какова бы ни была функция f, интегрируемая на поверхности (S).
Это неравенство, выражающее принцип К. Неймана, всегда имеет место
для всякой конвексной поверхности Ляпунова.
7. Неравенство (21) сейчас же приводит к решению задачи Дирихле мето-
дом, впервые примененным К. Нейманом к конвексным поверхностям.
306
Рассмотрим ряд
д' = у [/’+еИ''1 + e2W2 + ... +6*»^+ ...],
где _
Wi=Wt -f.
(23)
(24)
H^(A = 2, 3, ...) определяются равенствами (15>), a Wk — равенства-
ми’(22).
( Предположим, что к поверхности (S) приложим принцип Неймана (21).
В этом случае ряд (23) сходится абсолютно и равномерно во всех точках
поверхности (5) при всех значениях параметра е, удовлетворяющих усло-
вию I е | < 1.
Пусть f есть непрерывная функция координат точек поверхности (S ),
при этом ряд (23) также представляет непрерывную функцию д’ тех же
переменных. Составим потенциал двойного слоя
W= fp
2я
cos<?
~т ds-
(25)
Имеем
Wj = W + д' на поверхности (S).
Но для точек поверхности (S), в силу (15 О и (22),
1
Г
4я
4я
cosip
_2
1 _ COS
ds = — f Wk —— ds -
4я г2
COS UJ 1 — —
—— ds = — (Wk+X -Wk) =
r 2 2
W'k+i
Следовательно,
W = у (V, + eW2 + e2W3 + ... +e*-‘ W'k + ...)
(25i)
и, на основании (24),
e +1 , , , , . , ,
Wt=f+ — (U'i + eW2 + e2W3 + ... +e*-‘ W'k + ...). (26)
Положив e = — 1, получим
Wj-f на поверхности (5).
Следовательно, функция (25) при е = — 1 решает внутреннюю задачу
Дирихле, ибо представляет собой гармоническую функцию внутри (S) как
потенциал двойного слоя и обращается в заданную (непрерывную) функ-
цию f на самой поверхности.
Функция д' представляется в виде ряда
д' = 4 -я+(^ -й'.)- ... +(-!)*(Й4-Ч-1)+ ...]•
307
Так как, в силу принципа Неймана (21), ряд правой части последнего ра-
венства сходится равномерно на поверхности (S), то можем его интегриро-
вать почленно, причем, учитывая опять формулы (22), получим решение
внутренней задачи Дирихле в виде ряда
j (Wt -(W2-Wt) + (W3-W2)~ ...+
+ (-1)*-«(И'*-И/к_1)ч- ...).
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема II. Пусть f есть заданная непрерывная функция координат то-
чек поверхности (S). Составляем ряд потенциалов двойного слоя по фор-
мулам
1 _ cos <z>
Wk= — fWk_l ds (* = 2,3,...)
2ir г*
и положим
| (И/. ~(W2 - V,j + (JP3 - ИМ - ...
... +(-1)*-,(И'*-^_,)+ ...). (28)
Полученная таким путем функция W есть гармоническая функция внут-
ри (S) и обращается на поверхности (S) $ заданную функцию f, коль ско-
ро к поверхности (S) применим принцип Робена'или, что все равно, принцип
Неймана. Функция W представляет собой потенциал двойного слоя с напря-
жением
д'= (/-(^i-n + (^2-й^О-... +
+ (-1)*(Й'*-Й'*-|)+ •••). (29)
В частности, функция W, изображаемая рядом (28), разрешает
внутреннюю задачу Дирихле для всякой конвексной поверхности
Ляпунова. _
8. Возвращаемся к равенству (25), из которого выводим. We = W - д',
откуда, в силу (23), (24) и (251),
1 — е , «...
We = -у- (И/; +eW2+ ... +ek~l.Wk+ ...).
Полагая е = 1, получаем We = 0, т.е. при е = 1 потенциал W представляет
гармоническую вне поверхности (5) функцию, обращающуюся в нуль на
самой поверхности. В этом случае W представляет потенциал двойного
слоя, допускающий внешнюю нормальную производную, которая равна
308
нулю, ибо и сама функция W равна нулю вне поверхности (S). По третьей
„ ЭИ7/ п
теореме Ляпунова заключаем, что и -- = О, т.е., в сипу известных свойств
Эп
Гармонических функций (гл. 1),
W = const = С внутри (S).
Положим теперь в (26) е = 1. Получим
Wj =f + w\ +w'2 + ... + w'k + ... = c.
- равенство, которое перепищем так:
f+w\ +w'2 + ... + iv; -c=-(^+J +^+2+ ...).
Отсюда при помощи (24) и (151) выводим
Wk-C=-(W'k+l + и^+2 + ...)
и затем, при помощи (21),
__ WnTfc+1
I wk - С| < —---- = Хт* (30)
1 — т
- неравенство, являющееся прямым следствием принципа Неймана (или,
что все равно, принципа Робена).
9. Так как к поверхности (S) по предположению применим принцип Ро-
бена, то мы можем считать известной плотность р электрического слоя, на-
ходящегося в равновесии на данной поверхности*).
Применим равенство (27) к точкам поверхности (S). Имеем
Умножим это равенство на р ds и интегрируем результат по всей поверх-
ности (S). Получим, меняя в правой части порядок интегрирования и заме-
чая, что при этом угол обращается в ф,
— 1 / — COS Ч> \
fpWkds = — —— ds) ds-
2ir \ г2 '
1 — / cos ф \ ___
= — fWk_t(fp—-—ds]ds = fpWk_lds.
2я \ г1 !
Это равенство, справедливое при всяком к, дает
fpWkds = fpfds.
*) Напомним, что р удовлетворяет уравнению Робена
1 cos ф .
Р=Т. !Р — *
(30)
Конечно, берется ненулевое решение этого уравнения, т.е. / pels # 0.
309
Подразумевая под С постоянную неравенства (30), перепишем получен-
ное равенство следующим образом:
С fpds - fpfds = fp(C - Wk) ds.
Отсюда при помощи (30) выводим
|С fpds - fpfds | < \rkf |p| ds
- неравенство, справедливое при любом к. Следовательно,
С = fpfds I fpds. (31)
Таким образом, определяется постоянная С неравенства (30), т.е. тот пос-
тоянный предел, к которому стремятся значения Wk при беспредельном
возрастании к.
10. Зная величину постоянной С, мы можем теперь разрешить методом
Неймана и внешнюю задачу Дирихле для любой поверхности Ляпунова,
к которой приложим принцип Неймана (или Робена).
Составим функцию
p=f+(Wi +f-2C) + (Wt + Wt - 2 С) + ... + (Wk + Wk _ j -2C) + ...
(32)
Неравенство (30) дает
I Wk + Wk_ ( -2C\<\Wk -C| + | Wk_ , -C|<
X(1+O к v к
< ------- т = Ат .
Следовательно, ряд (32) сходится абсолютно и .равномерно на поверх-
ности (S).
Составим функцию
д' cos<₽
—Г ds.
(32’)
1
W= — —
4я
причем вследствие равномерной сходимости ряда (32) можем писать,
интегрируя почленно,
1 1
W=-- ( —
2 2ir
cos <z>
ds+ X
г k = l
~ f(Wk +
2я
+ ЙЪ_,-2С)
COStf
-r <*)*)•
(32t)
Применим это равенство к точкам, лежащим вне поверхности (S) (в об-
ласти (О')). Приняв во внимание теорему Гаусса и равенства (27), полу-
чаем
W = -1 (д/, + (H'j + Wt) + (ИА3 + W2) + ... + (И^ + ,) + ... ). (33)
•) Здесь =/. (Прим, ред.)
310
Таким образом, получаем другое изображение функции W в виде ряда
3), равномерно сходящегося_во всех точках области (D ) .
Равенство (32’) дает We = W + д’/2. Из(32|)получаем,припомощи(27),
Й>=--^-(Й'1+(Й'2 + Й'1 -2C) + (W3 + W2 -2С)+...
... + (Wk+ Wk_t -2С)+...).
Эти два последних равенства и (32) приводят к следующему:
We=f-C. (34)
Пусть ресть какая-либо определенная (отличная от тождественного
нуля) функция, удовлетворяющая уравнению Робена. Положим
V = f—ds.
г
Мы знаем, что V представляет гармоническую функцию вне поверхности
(S), удовлетворяющую условию
Ке = С0, (35)
где Со #= О есть определенная постоянная, равная значению функции V
для точек, лежащих внутри (S).
Положим U = W + aV, где а есть некоторая постоянная. Составленная
таким образом функция U есть гармоническая вне (S) и удовлетворяет
условию (равенства (34) и (35))
Ue = We + «Ие =/ + «Со - С.
С
Положив а = С/Со, получим функцию U = W + — И, гармоническую
Со
вне (S) и удовлетворяющую условию
Ue =f на поверхности (S) ,
т.е. решение внешней задачи Дирихле методом К.Неймана.
Получаем следующую теорему.
Теорема III. Пусть f есть заданная непрерывная функция координат
точек поверхности (S) Обозначим через Р ф О определенную функцию,
представляющую плотность мектрического слоя, находящегося в равнове-
сии на поверхности (S') и положим
Р
V = f—ds,
г
С = fpfds/fpds , (35.)
а через Со обозначим постоянное значение потенциала V внутри (S) Состав-
ляем ряд потенциалов Неймана по формулам (27) (теорема II ) и при
помощи них функцию
w= Т +(И'г + И/1) + (И'3 + И'2)+... + (И'к + ^_,)+...).(36)
Со 2
311
Функция, изображаемая этим сходящимся равномерно вне поверхности
(S) рядам, есть гармоническая вне (S) и удовлетворяет условию
We = .f на поверхности (S) ,
т.е. представляет решение внешней задачи Дирихле для всякой поверхности
Ляпунова, к которой применим принцип Робена.
Функция Wможет быть представлена в виде
С ГР 1 , cos</>
W =----f— ds-------f p —z— ds , (3Oj)
Co г 4тг r
где
д'=/ + ((?, +/-20 + (И'» + И\ -2С)+... + (И'* + И'к_1 -2С) + ...
(362)
В частности, полученная таким путем функция W дает решение внешней
задачи Дирихле для всякой конвексной поверхности Ляпунова.
11. В предыдущей главе мы доказали, что основная задача гидродина-
мики (внутренняя и внешняя задачи К. Неймана) решается методом Робена
для всякой поверхности Ляпунова, к которой применим принцип Робена.
Гармоническая функция V внутри или вне данной поверхности (S),
удовлетворяющая соответственно условиям
ЭИ,
— =/, ffds=O на поверхности (S), (36 )
Эл
или
ЭИе
— =/ на поверхности (S) , (36 )
Эл
представляется при этом в виде потенциала простого слоя с плотностью
д 1 , Р ,
— , или------(д + —), где д соответственно внутренней или внешней за-
2я 2я 2
даче определяется рядами (76,) и (77,) предыдущей главы.
При помощи только что изложенного метода, дающего решение внутрен-
ней и внешней задач Дирихле, можно получить решение задачи Неймана
в иной форме, а именное форме потенциала двойного слоя.
Если при помощи этого метода мы найдем функцию U, гармоническую
внутри или вне поверхности (S) и принимающую на самой поверхности
те же значения, что и потенциал простого слоя V, удовлетворяющий усло-
виям (36') или (36"), то полученная функция U и представит, очевидно,
решение задачи Неймана в виде потенциала двойного слоя. При этом мы
получим частный случай более общей задачи о преобразовании данного
потенциала простого слоя (внутри или вне поверхности ($)) в потенциал
двойного слоя, решение которой также легко достигается при помощи
теорем II и III.
12. Рассмотрим сначала внутреннюю задачу, когда ищется функция V,
удовлетворяющая уравнениям
Д К= О внутри (S) , (37)
ЭИ,
—-* = / на поверхности (S), (37,)
Эл
312
где / есть заданная непрерывная функция координат точек поверхности
(5), подчиненная условию
ffds = 0 . (38)
Составляем функции Vk при помощи равенств (гл. II, п. 6, равенство
(19))
2я г
1 ds
2я Эи г
(39)
Так как ряд (76j) теоремы VI предыдущей главы-сходится равномерно,
то функцию К, заданную равенством (77) той же теоремы, можно предста-
вить при помощи только что написанных равенств в виде ряда
; г=-и, -V2~... — (40)
сходящегося абсолютно и равномерно (см. неравенство (14t) п. 6).
Рассмотрим потенциалы Неймана, соответствующие случаю, когда f -
= V. Имеем, в силу (40),
_ 1 _ COS 10 1 - COS<0
Л = _ — ds-
,2я г 2it г
или, на основании установленных в предыдущей главе соотношений (22)
(п.6),
й\ = -й2-й3-...-й*+1 _...
Точно так же убеждаемся, что, вообще,
Wk = - Ук+ 1 - Vk+ 2 — —
Из этих равенств и (40) выводим
Wk^-Wk-i^k (Л =1,2,:..). (41)
Заменив теперь в равенстве (29) теоремы II функцию f на V, получаем,
при помощи (40) и (41) ,
4яд'--Й1 -Й2-Й, + Й2 —...( — !)* Йк+ ...
... = — 2(Й1 + У3 +... + ! +...).
Поэтому потенциал двойного слоя W, дающий по теореме II решение зада-
чи Дирихле, представится в виде
1 — _ _ cos <0
w= - — J(KI + K3 + ...+ И»_!+...) ds. (42)
2я г1
313
Полученная функция W удовлетворяет условию W/ = V/, т.е.
W = V внутри (S).
Отсюда следует, что
ЭИ/, dVt
— = — =f на поверхности (5).
Эл Эл
Следовательно, равенство (42) дает решение внутренней задачи Неймана
в виде потенциала двойного слоя. Получаем следующую теорему.
Теорема IV. Пусть f есть заданная непрерывная функция коодинат
точек поверхности (5), подчиненная условию ffds-O. Составляем ряд потенциалов простого слоя по формулам If 1 ЭИ*_, ds Г,= S—ds, Vk = f —— — 2я г 2я дп г (38,) (43)
и положим 1 ,, cos И/=——-/д ——— ds, 2я г2 где д"=Й + Й3+... + Й2к_,+... (44) (45)
Потенциал двойного слоя W, определяемый равенствами (44) и (45),
дает решение внутренней задачи К. Неймана для всякой поверхности Ляпуно-
ва, к которой приложим принцип Робена, т.е. удовлетворяет уравнениям
Д W = 0 внутри (S) ,
---=/ на поверхности (S).
дп
В частности, функция Wрешает внутреннюю задачу Неймана для всякой
конвексной поверхности Ляпунова.
13. Таким образом, если функция / удовлетворяет условию (38,),
то потенциал двойного слоя W только что доказанной теоремы имеет опре-
деленную (и непрерывную) внутреннюю нормальную производную на
поверхности (S). По третьей теореме Ляпунова он необходимо имеет и
внешнюю нормальную производную, причем на основании (46),
Э^е ЭИ/,
— = ------=/' на поверхности (5).
Эл Э л
Следовательно, функция W (см. (44)) дает решение и внешней задачи
Неймана, ибо
Д W = 0 вне поверхности (S).
314
Ноэто справедливо лишь для случая, когда заданная функция / подчи-
нсна условию (382), которое необходимо для возможности внутренней
залами Неймана и не обязательно для задачи внешней.
Рассмотрим общий случай, когда условие (38,) не соблюдается. На
'Основании теоремы VII (см. также теорему VIII) предыдущей главы
решение внешней задачи Неймана представляется в виде потенциала просто-
го слоя
1 р 1 д ,
у=-------/—ds---------f—ds=-P+V , (47)
4л t 2n r
где десть функция, определяемая рядом (771) предыдущей главы. Рас-
смотрим функцию
. 1 д
И* = (470
2тг г
которая может быть представлена рядом V* = (Kj - И2) + (К3 - К4) + ...
..ь + (V2k - 1 — ^2к) + ... Так как V' есть потенциал простого слоя, то на
поверхности (S)
V '. - V'-(Й - Й) + (Й - Й) + - + (Й* - 1 - Й*) + (48)
Определим методом Неймана гармоническую вне (5) функцию Uудо-
влетворяющую условию
(Jg = Vg = V' на поверхности (S) .
Искомую функцию получим по формуле (361) теоремы III, если в функ-
ции д', определяемой рядом (362), положим**)/= V*.
Установим связь между значениями функций Vk и потенциалами Wk
Неймана для точек поверхности (S). Приняв во внимание равномерную
сходимость ряда (48) и равенства (22) предыдущей главы, получаем
- 1 COS 10 _ _
^1= — fV'-~ds = (К2 -К3)+(И4 - к$)+...
2п Н
• )Гармоническая в области D' функция К'удовлетворяет граничному условию
— = f-p, причем / У-р) ds= 0(см. п. 20 гл. II). В силу приведенного в начале
Ъп
этого пункта замечания она совпадает с потенциалом двойного слоя W из теоремы IV:
1 cos ip
V ------г Д' ---- ds,
2я И
„ ’ 1 / - р
где ц определяется равенством (45), в котором У, --f---- ds, а Ук(к =
2ir г
= 2,3,...) определяются формулами (43). Такое Представление функции ("вмес-
те с равенством (47) дают утверждение теоремы V.
В настоящем пункте приводится другое доказательство этого утверждения (в
его изложение внесены некоторые изменения). (Прим. ред.)
**) В теореме III в качестве функции р можно брать любое не равное тождественно
нулю решение уравнения (30’). Здесь, как и в формуле (47), берется р = lim рк,
pt = f, т.е. решение, удовлетворяющее условию f pds = f fds. (Прим. ред.)
315
Точно так же находим, вообще,
= (Й+1 - Й + 2 ) + (Й+3 - Й* * + 4)+ —
Отсюда*)
W, + V' = Й + 2Р, Wk + Wk _ j = V.k + 2P.
Пользуясь этими соотношениями, из (362 ) выводим
д' = (Й - Й2) + (Й — Й4) + ... + (Й + 2Р — 2С +
+ Й2 + 2Р-2С) + (Й3 +2Р-2С + Й4 + 2Р-2С)+ ...
... = 2 [(Й +2Р-2С) + (Й3 + 2Р — 2С) + ... + (Й2*_ j +2Р-2С) + ... ] .
Подставив это выражение д' в (36t), получим
, Ср 1 - *
1/'= — S~ds- — Л(П+2Р-2С) +
Со г 2я
cos
+ (И3 + 2Р-2С) + ... + (Ии_1+2Р-2С) + ...] — ds. (49)
г
Обозначим Vk + 2Р через К® ;
0 1 / 1 Р
И = Г, + 2Р = - — f— ds + — J— ds =
2я г 2я г
1 f~P
= - — f—ds. (43.)
2я г
2я дп г 2я дп г
т.е. функции получаются по формулам (43) с заменой в первой из них
f на f - р. При этом равенство (49) примет вид
, Ср 1
С = — f—ds-—~ f [(И-2С) +
Со г 2я
+(Й° - 2С) + ... + (К2к_. — 2С)+... ] ~^ds. (49')
г
_ \ ds
*)lim Vk = - — f р — - -2P. (Прим, ред.)
к-*'* 2 я г
316
Определим постоянную С. Из формулы (35t), заменяя в ней / на V'
(48)), получаем
C = fpV'ds I fpds = [(JpVt ds - fpV2ds)+ ...
,.. + (fpV2k.ids-fpV2kds) + ...] I fpds. (50)
Умножаем теперь равенство (22) предыдущей главы:
_ 1 — cos to
Vk ‘T-fVk-i —T~ds
2я r
J на pds и интегрируем результат по всей поверхности (S). Изменив порядок
интегрирования и заметив, что при этом угол <р переходит в угол ф,
получаем
— 1 / — cos ч> \
f р Vkds = — /pl f Kfc_i -у- =
2я \ г1 /
1 - / р cos ф \ —
= —•;-----------— ds}ds = fpVk^ids. (500
2 я \ г /
Следовательно, в силу (50), С = 0 и равенство (49') приводится к виду
+ + ...)^~ds.
2 Я г
Приняв во внимание равенство (47), получаем функцию W:
1 р 1 _ _ _ cos <z>
— f—ds- — f(V? + V% + ... tV°2k_t + ...) ds.
4я r 2я r*
Функция W, гармоническая вне поверхности (5), удовлетворяет условию
We = Ve,T.e.
W= V в области (D') .
„ д*е
Следовательно, W имеет внешнюю нормальную производную----, причем
„ дп
dWe dVe
--- = ---- -f на поверхности (5) ,
дп дп
т.е. дает решение внешней задачи Неймана. Получаем следующую теорему.
Теорема V .Пусть f есть какая угодно непрерывная функция точек по-
верхности (S), Составляем ряд потенциалов простого слоя по формулам
(43) предыдущей теоремы с заменой в них f на f - р и положим
1 р 1 . „ COS и?
W=- — f- ds - fp" ds
4я г 2я Г
(51)
где p есть плотность электрического слоя, находящегося в равновесии
317
на поверхности (S), удовлетворяющая условию
fpds=ffds,
а _ _ _
д"=И1 + И3+...+ И2к_1+...
Функция W, определяемая равенствам (51),есть гармоническая вне по-
верхности (S) и удовлетворяет условию
bWe
--- =f на поверхности (5) ,
дп
т.е. дает решение внешней задачи Неймана для всякой поверхности Ляпуно-
ва, к которой приложим принцип Робена.
В частности, W представляет решение внешней задачи Неймана для лю-
бой конвексной поверхности.
14. Укажем еще один прием решения основной задачи гидродинамики,
который получается независимо ет задачи Дирихле и предложен
К. Нейманом. Положим
щ = |е|<1, (51()
4я г
и составим ряд потенциалов двойного слоя по формулам
1 COS sfi
vk = — fvk-i -Г- ds (* = 2,3,...). (52)
2я г
Рассмотрим ряд
д'"=й1 + еи2+е2й3 + ... +е* " 1 и* + ... (53)
Составим ряд потенциалов простого слоя Vk (* = 1,2,... ) по формулам
е
(19) предыдущей главы, положив в них р0 = - — /. Из самого определе-
ния функций vk получаются следующие равенства для точек поверхнос-
ти (S) :
_ I _ cos
Vk = ~ / Vk-I —г- ds (к = 2,3,...).
2я г*
Сравнивая эти равенства с соотношениями
I - cos
Vk= 7- fVk-i —ds (* = 2,3,...),
2я г*
установленными в предыдущей главе (равенства (22)), получаем
Vk = Vk = yki=Vke (к = 1,2,3,...). (54)
Предположим сначала, что/удовлетворяет условию
ffds = Q. (55)
Так как к поверхности (S) по предположению применим принцип Робена,
318
(ср. П. 6, неравенство (14i))
|Й*КМт*. (55,)
; При помощи этого неравенства и равенства (54) заключаем, что ряд
(53) сходится абсолютно и равномерно во всех точках поверхности (S), по-
ка | е | < 1, если только функция /удовлетворяет условию (55).
v 15. Предположим теперь, что условие (55) не выполняется, ае = -1.
чВ этом случае
д"' = (Г1 -Й2) + (ёз-а»)+ • • • + (5j*-i-«h*)+ .... (56)
или, в силу (54),
= - ^2) + (Из - K4) + ... + (K2*_t -V2k)+...
Но по самому определению функций Vk (равенства (19) предыдущей гла-
вы) , имеем
- 1 ds
Vtk- 1 - V2k - (Рг* - Pik- 1) — •
2я г
Так как к поверхности (5) приложим принцип Робена (неравенство
(60) гл. П), то | К2*_ j - И2* | < NLt2,c- Отсюда следует, что ряд (56)
сходится абсолютно и равномерно на поверхности (S), какова бы ни была
непрерывная функция f.
16. После этого составляем потенциал двойного слоя
, 1 ... cos Л
И'’= —JP “Г Л
2я г2
(57)
Предположим сначала, что функция/удовлетворяет условию (55). Так
как при этом ряд (53) сходится равномерно, то, интегрируя почленно и
приняв во внимание равенства (52), получаем
W' =и2 +ev3 +е2 и4 +... + е*- » ufc+1 + ... (58)
Положим
И'=еИ'' + Ц|. (58,)
Имеем при е= 1, наосновании известных свойств потенциалов простого
^двойного слоя,'+ ule = W'—p'" + .Но, в силу (58) и (53),
W' - р'" =(у2 -щ) + (и3 -F2) + ... + (р* - йк _.) + ... Следовательно,
И'е = v, + (ih - wi) + (Йз - иг) + • • • + (и* - и* - 1) + • • • = lim vk = 0,
К *♦ °0
ибо к поверхности (S’) приложим принцип Неймана ♦). Отсюда следует, что
W = 0 вне поверхности (S), (59)
т.е.
= вне (S). (60)
*) Или, если угодно, в силу равенств (54) и (551) -
31»
Так как 1>1 есть потенциал простого слоя, то он имеет правильную нор-
Эи1е.
мальную производную----- на поверхности (5). Из равенства (60) заключа-
Эл
ем, что в данном случае и потенциал двойного слоя W' имеет такую же нор-
dW'e
мальную производную ----, Следовательно, на основании третьей теоре-
дп
мы Ляпунова (гл. 1) существует и внутренняя нормальная производная от
И'’, причем
дп
При
dWg
дп
помощи этого равенства из (58 () выводим
(60.)
ЭИ',- ЭИ',. _ Эу1( Эи1е
дп дп дп дп
dWe
а так как, в силу (59), -—= 0, то
дК,
---=f на поверхности (S).
Эл
Следовательно, функция W, определяемая равенствами (58(),(57),(53)
и (51), дает при е = 1 решение внутренней задачи Неймана. Получаем следую-
щую теорему.
Теорема VI. Пусть f есть заданная непрерывная функция координат то-
чек поверхности (S), причем ffds = 0.
Положим
1>! = ~ f — ds (61)
4л г
и составим ряд потенциалов Неймана по формулам
1 COSUJ
—/бк-1 -------г ds (* = 2,3,...). (61.)
2я г >
Положим затем
1 COS to
И/ = у, + — j/" ds, (62)
2я г2
где ресть функция, определяемая следующим абсолютно и равномерно
сходящимся рядом:
р"' = i»i + Uj + uj + (63)
Построенная таким путем функция W удовлетворяет уравнению
ДИ' = 0 внутри (5)
320
^условию
dWt
--- =f на поверхности (S),
Эл
Т.е. решает внутреннюю задачу К. Неймана для всякой поверхности Ляпу-
нова, к Которой приложим принцип Робена.
‘В частности, функция Wdaer решение внутренней задачи К. Неймана для
любой конвексной поверхности.
17. Допустим теперь, что условие (55) не имеет места, и положим в фор-
мулах(57)и(580 е = - 1, причем д'" представится в виде абсолютно и
равномерно сходящегося ряда (56) п. 15. В этом случае
W' = (v2 - Уз) + («4 - Ws) + • - + (i>2* - «а* + т) + •. •
Подобно предыдущему получаем
- Wi' = - W' - р'" = (из - Vl) + (Ws - «з) + • • • + (Й2*+1 - V2k- 1) + • •
и
Й?-д’"=-
= «1 - Ж* — д'" «ТЙ + (Рз -oi) + . . . +(02*+1 -Й2*-1) + ...
Так как по доказанному в п. 15 ряд правой части этого равенства сходит-
ся абсолютно и равномерно, то 72* + i. Так как, далее, к поверх-
ности (S) приложим принцип Робена, а следовательно, и принцип Неймана,
то, в силу неравенства (30) *)
Wt = lim uk = С, (64)
Л-*"
где Сесть постоянная, определяемая равенством (31), в котором для рас-
сматриваемого случая функцию/нужно заменить функцией
1 Г
Vi=- — f — ds.
4тг г
Подставляя вместо/в (31) это выражение и 1э получим
1 ( f \
С=- — f p\J — dslds / f pds =
4я \ r /
1 / p \ , Co
= - Y Sf\ S ~ ds\ds ISpds = - — Sfds/Spds, (64t)
4тг \ r / 4я
C0=J - ds.
r
*) Потенциалы двойного слоя vk отличаются от таких же потенциалов Wk теоре-
мы П только тем, что в первых за исходную функцию вместо/взята функция
1 f
Vi = - --- f — ds.
4 я г
321
(65)
Равенство (64) показывает, что
W= i>i - W’ = С внутри (S),
ЭИ'/' Эу1(
откуда — = —- .
Эя дп
Таким образом, потенциал двойного слоя W’ имеет внутреннюю нор-
мальную производную, а следовательно, и внешнюю, причем
3^/ Э И'е'
Эл Эи
При помощи этого равенства из уравнения
1 f
— f —ds - W
4я г
(65.)
W = -
выводим
ЭИ*/
дп
dWe
дп
dW{
Но, в силу (65), ----- 0. Следовательно,
Эл
dWe
--=f на поверхности (S).
Эл
Таким образом, функция W, определяемая равенством (65), дает реше-
ние внешней задачи К. Неймана, какова бы ни была заданная функция/,
непрерывная на поверхности (5). Получаем следующую теорему.
Теорема VU. Пусть f есть какая угодно заданная непрерывная функция
координат точек поверхности (S). Полагаем
1 f
vt =- — f — ds (66)
4л r
и составляем ряд потенциалов двойного слоя по формулам
1 COSUJ
= —Л(66.)
2я г
Положим затем
1 ... cos 0
W = vi-—fp'"—fds, (67)
2я г2
где р'" есть функция, определяемая следующим абсолютно и равномерно
сходящимся рядом:
р"' = Gh - Пг) + (оз - щ)+ • • • +(wj*- 1 -У2*) + • • • (68)
Построенная таким образом функция W удовлетворяет уравнению
ДИ' = 0 вне поверхности (S)
322
и условию
ЭИ'е
---=/ на поверхности (S),
дп
т.е. дает решение внешней задачи К. Неймана для всякой поверхности, к
которой приложим принцип Робена.
В частности, функция Wрешает внешнюю задачу К. Неймана для всякой
конвексной поверхности.
18. Указанный в двух последних пунктах метод решения основной зада-
чи гидродинамики (задачи К. Неймана) заслуживает особого внимания, так
как построение искомой функции, как показывают теоремы VI и VII, не
требует предварительного решения задачи о распределении электричества и
все дело сводится только к составлению потенциалов t>i и vk {к = 2, 3,...) по
формулам (61), (611) или (66) и (66 j).
Замечу еще, что в данном случае доказательство существования нормаль-
ных производных от потенциала двойного слоя
, 1 ... cos
W = —— Jp'" —fds
2 тг г3
и равенство (6(h) (или (651)) можно получить независимо от третьей тео-
ремы Ляпунова, как это показано в моем сочинении ’’Общие методы реше-
ния основных задач математической физики” (Харьков, 1901, стр. 93 и
след.) *).
19. Мы видели (пп. 7 и 10, теоремы II и III), что метод Неймана дает ре-
шение внутренней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя, а для
внешней задачи это решение представляется, вообще говоря, в вид<
алгебраической суммы некоторого потенциала двойного слоя и по
тенциала простого слоя, находящегося в равновесии на данной поверх
ности (S).
Если функцию f, в которую должна обращаться на поверхности (S) гармо-
ническая внутри или вне ее функция W, мы зададим в виде потенциала
простого слоя, то рассматриваемый метод Неймана даст, очевидно, реше-
ние задачи о преобразовании данного потенциала простого слоя в потенциал
двойного слоя, принимающий на поверхности (5) либо те же значения, что
и данный потенциал простого слоя, либо отличающиеся от них на некото-
рую постоянную. Но более простое решение о преобразовании потенциала
простого слоя в потенциал двойного уже имеется в исследованиях пп. 16
и 17.
В самом деле, равенство (65) дает
Wf = vt - С внутри (S),
или, на основании (57) и (66),
1 ... cosy 1 f
— ft'" ~~ds= — f — ds + C,
2n r 4it r
•) См. также
В.А. Стеклов Les methodes generates pour rescudre les problemes fondamentaux de
la physique mathe'matique. - Annates de Toulouse, 2 ser., 1900, t. 2, pp. 246 etc.
323
или, в силу теоремы Гаусса,
1 ( С \ cos 1 f
- — ДМ + —) —~ds = Т I ~ds внутри (S),
2я \ 2 / г 4я г
где д'" есть функция, определяемая рядом (68) теоремы VII. Это равен-
ство и решает задачу, когда требуется преобразовать данный потенциал про-
стого слоя в потенциал двойного внутри данной поверхности (5).
Далее, если функция f удовлетворяет условию (55), то равенство (60)
дает
1 ... cosy 1 f
- —fp —— ds = Vi= —J — ds вне (5).
2я r2 4ir г
Если заданная функция/, пропорциональная плотности данного просто-
го слоя, не удовлетворяет условию (55), то следует положить
1 г Л
01 = — / ------ds,
4п г
где р есть плотность электрического слоя, находящегося в равновесии на
поверхности (5), подчиненная условию / р ds = / fds. В этом случае плот-
ность потенциала и, удовлетворяет равенству (55) и мы получаем, подобно
предыдущему,
1 ... COS 1 / - р
- — fp —— ds = —- / --------ds вне (S),
2я г 4я г
где р"' есть функция, определяемая рядом (63) теоремы VI.
В рассматриваемом случае, когда функция/не удовлетворяет усло-
вию (55), данный потенциал простого слоя не может быть полностью пре-
образован в потенциал двойного слоя, но, как показывает равенство (69),
всегда можно найти такой потенциал двойного слоя, который будет отли-
чаться во всех точках вне поверхности (5) от заданного потенциала прос-
того слоя на потенциал электрического слоя, находящегося в равновесии
на данной поверхности. Равенство (69) представляет решение задачи о пре-
образовании данного потенциала простого слоя в потенциал двойного для
точек, лежащих вне плоскости (S).
20. Рассмотрим теперь задачу, обратную предыдущей и необходимую для
дальнейших изысканий. Дан потенциал двойного слоя, найти потенциал
простого слоя, принимающий внутри или вне данной поверхности (S) те же
значения, что и данный. Задача, вообще говоря, не всегда возможна.
Пусть, в самом деле,
1 COSUJ
И', = — // ds
2я г2
есть заданный потенциал двойного слоя. Если существует потенциал прос-
р
того слоя V=f — ds*), удовлетворяющий, например, условию
К=И'1 внутри Г(5),
(69)
(70)
*) С непрерывной плотностью д. (Прим, ред.)
324
то функция И'] необходимо должна иметь внутреннюю нормальную произ-
водную, ибо таковую имеет потенциал простого слоя V. Это требова-
ние будет соблюдаться в том случае, когда заданная функция / в выраже-
нии (70) удовлетворяет условию (141) четвертой теоремы Ляпунова
(гл. 1, п. 44).
. То же самое условие должно быть соблюдено и для случая, когда требуется
преобразовать данный потенциал двойного слоя в потенциал простого для
точек, лежащих вне поверхности (S').
Пусть Wt (см. (70)) есть данный потенциал двойного слоя, где/- ка-
кая угодно непрерывная на поверхности (S) функция, подчиненная усло-
вию (141) гл. I.. Положим
3^/ ЭИ'1е
£о= — = —
ап ап
(71)
и определим методом Робена (гл. II , теорема VI) функцию V, гармоничес-
кую внутри (5) и удовлетворяющую условию
ЭИ,-
--- = - £0 на поверхности (S).
Эл
По теореме VI гл. II получаем
1 ds
V= — f (- Lo+ Pi + р2 + ... + p* + ...) ,
2ir r
где pk суть функции, определяемые равенствами (76) (гл. II), если в пер-
вом из них заменить букву/на - £0- Положив U=WX + V, получим гармс
ническую внутри (S) функцию, удовлетворяющую условию
bUi
— = 0 на поверхности (S).
Эл
Отсюда заключаем, что
H'i + V = const = С внутри (S).
Обозначим через р плотность электрического слоя, находящегося в рав-
новесии на поверхности (5), удовлетворяющую условию
При помощи этого соотношения предыдущее равенство приводится к виду
1 cos <р 1
И', = — //—ds = - — Д-р-£о+Р1+02+•••
2я г2 2 я
ds
внутри (5) (72)
г
и дает решение задачи, когда ищется потенциал простого слоя, при-
нимающий внутри (5) те же значения, что и данный потенциал двойного
слоя.
325
21. Найдем теперь методом Робена потенциал простого слоя V вне поверх-
ности (5), удовлетворяющий условию
ЭИе
--- = на поверхности (S).
Эл
Так как в данном случае f Lods = 0, то на основании соображений п. 20,
гл. II, получаем
1 t ds
К =-----J(L0 - pt +р2 -р3 + ... + (- 1) к рк + ...) — .
2я г
Положим U=Wt - V. Очевидно,
дУе
--- = 0 на поверхности (S),
дл
т.е. на основании известных свойств гармонических функций,
Wi = V вне (S),
или
1 cos 1
= — ff -г- ds = — —- f (Lo - pt + p2 + ...
2л r2 2it
. ds
...+(- 1)*P* + ...) — вне (S). (73)
r
Это равенство дает решение задачи для случая, когда ищется потенциал
простого слоя, принимающий вне (8) те же самые значения, что и данный
потенциал двойного слоя.
22. В теоремах II и III мы указали решение внутренней и внешней задач
Дирихле в виде потенциала двойного слоя. Пользуясь результатами преды-
дущих пунктов, нетрудно получить решение следующей задачи:
Найти внутри или вне поверхности (S) потенциал простого слоя, прини-
мающий на самой поверхности наперед заданные значения, т.е. получить ре-
шение задачи Дирихле в виде потенциала простого слоя.
Поставленную таким образом задачу Дирихле мы будем называть зада-
чей Гаусса.
Решение, которое мы изложим, требует, однако, чтобы функция /, в
которую должен обращаться искомый потенциал простого слоя, удов-
летворяла условию (141) гл. I, которое мы будем предполагать выпол-
ненным.
Мы называем рассматриваемую задачу задачей Гаусса, так как она непо-
средственно вытекает из извес-.лых его исследований, опубликованных в
1839 г. в мемуаре ’’Allgemeine Lehrsatze in Beziehung arf die im verkehrten
Verhaltnisse des Quadrats des Entfernung wirkenden Krafte”. Метод Гаусса,
сводящий вопрос к разысканию условий минимума некоторого интегра-
ла, недостаточен во многих отношениях и получил некоторое обоснование
только в последнее время. Мы укажем сейчас строгое решение задачи Гаус-
са для всех поверхностей Ляпунова, к которым применим принцип Робена,
а в дальнейшем докажем справедливость этого решения для каких угодно
поверхностей Ляпунова'.
326
Теорема II дает решение задачи Дирихле в виде ряда
W= Т И'1)-(И'3- И'2)+...
2 2
(74)
где, напомним, Wk суть функции, определяемые равенствами (27) п. 7.
Пользуясь обозначениями п. 20, составляем ряд функций
1 Lo 1 ds
И = — f — ds, Г* = - — - (k = 2,3,...). (75)
2s г 2я r
Повторив рассуждения п. 3, мы докажем равенство
- Vk = - Wk внутри (S),
которое в рассматриваемом случае будет, очевидно, справедливо для всех
значений к, начиная с к = 1.
Вследствие этого определенная равенством (74) гармоническая внутри
(5) функция W, обращающаяся в/ на поверхности(5), представится в виде
1 1 ” к 1
И' = -И'1+-2 (-1ГП-Г г М
2 2*=2 2
+ 7 s (-i)fc + 1 vk.
2 * = i
С другой стороны, равенство (72) дает, в силу (75),
1 1 р 1~
И/, = - f - ds + - S Vk.
2 4n r 2 *=i
Складывая эти равенства, получаем
Ip °°
W = — f - ds + Z V2k_lt
Ait r *=i
или, на основании (75),
1 p ds
W = - — j - Lo +p2 +p4 + .. • + P2* + • • — *)• (76)
2it 2 Jr
Потенциал простого слоя W (см. (76)) есть гармоническая функция как
внутри, так и вне поверхности (5) и удовлетворяет условию
Wi = We~f на поверхности (5).
Таким путем приходим к теореме.
Теорема VIII. Пусть fecn заданная непрерывная функция точек поверх-
ности (S), подчиненная условию (141) главы I. Положим -- Lo
Ъп Ъп
*) Напомним, что ряд, стоящий под знакоч интеграла, сходится равномерно на по-
верхности (5), вследствие чего замена суммы интегралов интегралом от суммы допус-
тима. Плотность р определена в п. 20.
327
и составим ряд функций Vk по формулам
1 Lo 1 ds
—S—ds, Vk = - --fpk_l — (* = 2,3,...),
2л r 2itr
ЭК*
где, вообще, pk = — .
Эи
Потенциал простого слоя
1 Г р Ads ,
W = - — J -Lo +P2 +P4 + - + Pi k + ••• (77)
2л [ 2 | r
удовлетворяет условиям
Д И' = 0 внутри и вне поверхности (S),
Wj = We=f на поверхности (S),
т.е. представляет решение задачи Гаусса для всякой поверхности Ляпуно-
ва, к которой приложим принцип Робена.
В частности, функция W решает задачу Гаусса для любой конвексной
поверхности.
23. Из только что доказанной теоремы выводим, как следствие, прини-
мая во внимание известные свойства потенциала простого слоя, следу-
ющее предложение:
Если заданная непрерывная на поверхности (S) функция f такова,
что выполняется условие (141) главы 1 , или, если потенциал двойного
слоя
1 COSUJ
W^—!f—ds
2я г
(78)
имеет правильные нормальные производные (внутреннюю, а, следова-
тельно, и внешнюю) на поверхности (S), то гармоническая внутри или
вне поверхности (S) функция W, обращающаяся на этой поверхности
в заданную функцию f, имеет правильные внутреннюю и внешнюю нор-
мальные производные
эй,, k .
——=Lo +Pi -Pi + Рз ~ ...+ (-1) Рк + ,
Эи
ЭИ\
—f= _ р + р, + р2 + Рз + ... + Рк + ...
Эи
Таким образом, существование правильных нормальных производных
от потенциала двойного слоя Wi, определяемого равенством (78), есть
условие, достаточное для существования таких же нормальных производ-
ных от функции W, представляющей решение задачи Дирихле.
24. Покажем, что это условие не только достаточно, но и необходимо* ).
* ) В доказательство этого утверждения, а также в доказательство аналогичного
утверждения п. 25 внесены изменения (Дрим. ред.)
328
По теореме II решение внутренней задачи Дирихле можно представить
в виде (п. 7)
= W1-W2+A. (79)
В п. 2 показано, что функция W2 удовлетворяет условию (141) гл. I
и, следовательно, функция W3 всегда имеет правильные нормальные
производные, какова бы ни была функция f, непрерывная на поверх-
ности (5).
С другой стороны, на основании теоремы II функция
Л=1{И/3 _(И/4-И'3)+... + (-1)к-(И’* -И/*_1)+... j (80)
является гармонической внутри (5) и обращается на поверхности (5)
в функцию W2. В силу утверждения п. 23 функция А имеет правильную
ЭЛ,-
нормальную производную -г— • Следовательно, из существования правиль-
оп
3W,
ной нормальной производной-----функции W вытекает существование
Эл
правильной нормальной производной функции
1 _ cos
Wl-W2= —
2it г
(81)
Опять используя утверждение п. 23, получаем, что решение W задачи
Дирихле с граничной функцией f - Wt (обращающиеся на поверхности
(5) в функцию /- U'i) имеет правильную Нормальную производную
ЭЙ}
— на этой поверхности.
По теореме II
W = J?» - W2 +А = Wi - 2И/2 + W3 + А, (82)
где
~ 1 — cos
Wt = - f(f-Wt)^ds = Wt -W2,
2тг г
~ 1 ~ cos
= ~ ds = Wk-Wk_it * = 2,3,...,
2тт г
а
л=у { w3 _(i?4-iP3) + ...+(-i)*-1 (й>*-^_1)+...} .
Так как функция Л, как и функция Л, имеет правильную нормальную
производную на (5), то существует правильная нормальная производная
329
и функции
Wt - 2W2 (83)
(существование правильной нормальной производной функции И^3 от-
мечалось выше). Но тогда и функция
И/, =2(^ -HM-W ~2W2)
имеет правильную нормальную производную как разность функций, об-
ладающих этим свойством.
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема IX. Для того чтобы функция W, удовлетворяющая внутри
данной поверхности (S) уравнению Лапласа и обращающаяся на самой
поверхности в заданную непрерывную функцию f, имела правильную
нормальную производную
dWj
----на поверхности (S),
дп
необходимо и достаточно, чтобы потенциал двойного слоя
1 COSUJ
имел такую же нормальную производную ------.
дп
25. Легко предусмотреть, что такая же теорема должна иметь место
и для случая внешней задачи Дирихле. Приведем вкратце ее доказа-
тельство.
По теореме III решение внешней задачи Дирихле можно представить
в виде
W = -Wt-W2 [и,з+(И,4 +И'з) + -.. + (И'* + Wk_,)+...) +
С р
+ — f— ds = -Wt - W2 + B.
Co г
(84)
Здесь функция В представляется в виде суммы потенциала простого
слоя снепрерывнойплотностью и решения внешней задачи Дирихле с гра-
ничной функцией W2, удовлетворяющей условию (141) гл. I . Следова-
тельно, она имеет (см. п. 23) правильную нормальную производную
дВе
дп
Таким образом, из существования правильной нормальной производ-
dWe
ной ---- вытекает существование правильных нормальных производных
дп
(внешней, а следовательно, и внутренней) функции Wt + W2. Отсюда,
как и в предыдущем пункте, следует существование внутренней, а сле-
довательно и внешней, правильной нормальной производной потенциала
двойного слоя W1.
Получаем следующую теорему.
Теорема Х.Для того чтобы функция W, удовлетворяющая вне поверх-
ности (S) уравнению Лапласа и обращающаяся в данную непрерывную
330
функцию f на самой поверхности, имела правильную нормальную произ-
dWe
водную------, необходимо и достаточно, чтобы потенциал двойного слоя
Ьп
1 COSUJ
(85)
имел такую же нормальную производную.
26. Две последние теоремы справедливы для всякой поверхности Ля-
пунова, к которой применим принцип Робена, в частности, для всякой
конвексной поверхности. Другой прием доказательства этих теорем был
дан А.М. Ляпуновым в его неоднократно цитированном мемуаре 1898 г.
”Sur certaines questions etc.” * ).
Что же касается задачи Гаусса и задач о преобразовании потенциала
простого слоя в потенциал двойного слоя и обратно, то изложенное вы-
ше их решение было указано мною сначала в краткой заметке в ”Сот-
ptes Rendus” в 1899 г., а затем подробно изложено в 1900 г. в упомянутом
выше мемуаре, опубликованном в’’Annales de Toulouse”, и в сочинении
’’Общие методы решения основных задач математической физики”* **).
Метод Неймана, как показано выше, дает решение задачи Дирихле
всякий раз, когда функция f, в которую должна обращаться искомая
гармоническая функция, подчинена единственному условию непрерыв-
ности. При этом общем предположении потенциал (см. (85)) мо-
жет, вообще говоря, не иметь нормальных производных, что нами отмече-
но в гл. I сочинения. Теоремы IX и X показывают, что в этих случаях и
функция, представляющая решение задачи Дирихле, также не будет иметь
определенных нормальных производных во всех точках данной поверх-
ности.
В п. 12 гл. I нами высказаны две теоремы, устанавливающие, что может
существовать одна и только одна гармоническая внутри или вне данной
поверхности (S) функция, обращающаяся в наперед заданную функцию
на самой поверхности. Доказательство этих теорем основывается обыкно-
венно на формулах преобразования Грина (32) и (37) гл. 1 . Но эти фор-
мулы, несомненно, справедливы только при условии, что гармонические
функции U и V, к которым они применяются, имеют правильные нор-
мальные производные на данной поверхности.
В силу только что сказанного обычный прием доказательства этих
теорем не устанавливает их во всей общности при единственном усло-
вии непрерывности функции /на поверхности (S). Однако теоремы, о
которых идет речь, справедливы в самом общем случае.
Наиболее простое доказательство, не требующее вышеупомянутого
ограничения функции /, получается, если их рассматривать как прямое
следствие теоремы 1 гл. I .
* ) См. A. Liapounoff, loc. cit., рр. 283 -293.
**) W. S t е k 1 о f f. Sur les problimes de Neumann et de Gauss. - Comptes Rendus,
19 fevr., 1899.
W. Stekloff. Les methodes generates pour resoudre les probiemes fondamentaux de
la physique mathematique. - Annales de Toulouse, 1900, pp. 270, 271.
В. Стеклов. Общие методы и т.д.,|Ь. 180.
331
Г Л А В A IV
Некоторые простейшие задачи математической физики,
связанные с задачами Дирихле и Неймана.
Функция Грина и ей подобные. Определение высших и низших пределов
отношения некоторых объемных и поверхностных интегралов
1. К решению задач Дирихле и Неймана приводится решение больший*
ства задач математической физики, из которых в этой главе мы рассмотрим
только простейшие.
Прежде всего остановимся на самой задаче Неймана, применения ко-
торой в различных областях математической физики весьма многочислен-
ны и важны. Особенно широкое применение она встречает в гидродина-
мике, вследствие чего и называется иногда основной задачей гидродина-
мики.
Все возможные движения идеальной'жидкости (без трения, невязкой)
разделяются на два обширных класса, которым посвящается особое внима-
ние в трактатах по динамике жидкостей; это так называемые движения
с потенциалом скоростей (невихревые) и движения вихревые.
Отнесем жидкую массу, ограниченную какой-либо поверхностью (5)
(или, в предельном случае, заполняющую все пространство), к какой-
либо прямоугольной системе координат, через и, v, w обозначим про-
екции на оси координат скорости какой-либо точки х, у, z жидкой мас-
сы и составим разности
dw ди ди dw dv ди
— =Wl, = <О2. --=<о3. (1)
dr---------------------------------------------------------dz-dz-дх-дх ду
Возможны два случая: 1) когда величины а>|, <о2, о>з равны нулю
или 2) когда они отличны от нуля.
В первом случае выражение
udx + vdy + wdz (2)
является полным дифференциалом некоторой функции V (когда мо-
жет зависеть не только от координат х, у, z, но и от времени г) и, сле-
довательно, и, v, w представляются в виДе * )
ЭГ ЭГ dV
и=—, v =—, w= —. (3)
Эх Эд- dz
Получается особый род движения жидкости, при котором скорости ее
точек являются частными производными по координатам от одной и
той же функции V. Эта функция называется потенциалом скоростей не-
вихревого движения жидкости. Это движение будет определено, если
по условиям задачи нам удастся найти функцию V. Для несжимаемых
жидкостей (не газов) V должно удовлетворять уравнению Лапласа
Д V = 0 во всех точках жидкой массы, на границах же ее должны выпол-
няться те или иные условия в зависимости от рода задачи.
* ) Рассматриваемая область предполагается поверхностно односвязной (Прим, ред.)
332
Жидкость может быть заключена внутри твердого замкнутого сосуда
или иметь свободную поверхность, находящуюся под определенным дав-
лением, в жидкость может быть погружено твердое тело, находящееся
иод действием данных сил или движущееся наперед заданным образом,
и т.п. В большинстве случаев, как, например, в задаче о движении жидкос-
ти, заполняющей некоторые полости внутри твердого тела, о движении
твердого тела в жидкости и др., граничные условия, выраженные анали-
тически, приводятся к виду
ЭИ, dVe
— или — =/ на поверхности (S), (4)
дп on
где f есть заданная функция, например, нормальная составляющая скорос-
тей точек полости, заключающей жидкость, или точек поверхности твер-
дого тела, погруженного в жидкость, и т.п.
Задача о движении жидкости сводится, как видим, к решению задачи
К. Неймана.
2. Если (/=1, 2, 3) - не нули, то получается так называемое вихре-
вое движение жидкости, теория которого разработана трудами Коши,
Гельмгольца, В. Томсона (лорда Кельвина) и др. и положена последним
в основу его известной теории вихревого строения атомов.
Вихревое движение обладает многими замечательными свойствами,
о которых нет надобности распространяться в настоящем сочинении. Мы
остановимся только на одном из основных его свойств, ймеющем непос-
редственное отношение к задачам наших исследований и выражающемся
следующим образом.
Теорема 1. Вихревое движение жидкости, заключенной внутри данного
сосуда, движущегося известным образом, или заполняющей все пространст-
во (так называемой беспредельной массы жидкости), определяется вполне,
если во всех точках жидкости будут известны величины , о>2 и оз3, назы-
ваемые слагающими по осям координат вихревой скорости точек жидкости
(или, короче, слагающими вихря по осям координат).
Эта общая теорема впервые доказана мною в мемуаре ”Sur la theorie
de tourbillons” * ) в 1908 г., и доказательство приводится в конце концов
также к решению задачи К. Неймана.
Пусть о>!, , о>з суть заданные функции координат. Положим
dwi duj Эм>! Эи2 dui
Р'~'ду'~~дГ’ Р2"д7~~дх~’ Рз=‘дГ~~д^’ (5)
Oj = О>1 —-Pl , О3 - О>2 — р2 , О3 =О>3 — Рз . (6)
Определим такие функции ul, и wt, чтобы во всех точках поверхнос-
ти (5), ограничивающей жидкую массу, соблюдалось условие**)
Oi cos а + о2 cos fi + о3 cos 7 = 0, (7)
*)W. Stekloff. Sur la theorie des tourbillons. - Annales de Toulouse, 2 set., 1908.T.X.
**) a, 0 и t суть углы нормали к поверхности (S ) с осями координат.
333
которое можно представить в виде
df df df
---Oi +— От + — Оз = 0 на поверхности (S), (8)
Эх dy dz
если f(x, у, г) = 0есть уравнение этой поверхности. Существует бесчис-
ленное множество функций Ui.Ui, w,, удовлетворяющих условию (8).
3. Положим теперь
u = U + ui, v=V + Vi, w = W + wit (9)
где U], ut, Wj — уже известные функции, определенные в предыдущем
пункте. Подставив эти выражения и, v и wb уравнения (1) и условие
несжимаемости жидкости
du dv 3w
— + —+— = 0,
Эх dy dz
получим следующие уравнения для определения функции U, V и W:
dW dV dU dW dV dU
“ 01 , — —— — — —- — (J,
dy dz dz dx dx dy
dU ЭК dW
— + —+----+ Я = 0,
Эх dy dz
где
Эи । d.ut Эи’!
Эх dy dz
(Ю)
(11)
(12)
(13)
Уравнения (11) имеют тот же вид, что и (1), но здесь функции о(, о2, а3
удовлетворяют условию (7).
Положим
Э о3 Э а2
4nSi --J—dr----J—dr,
dy r dz г
d ot Э
4nS2 = — f— dr--------
dz г Эх
Оз
f—dr,
(14)
d a2
Э o2 d <j,
4я53 = — f— dr------J — dr
dx r dy r
dx r
и
dP
U = Si + —
Эх
dP dP
V = S2+ —, ^ = $3+—.
dy dz
(15)
Легко убедиться, что функции (15) удовлетворяют уравнениям (11)
при всяком Р. Последнее определится, если выражения (15) подставим
в (12), причем получим
AP + H = Q, (16)
334
где
Э2Р ЬгР Ь2Р
(П)
4. Так как движение сосуда, содержащего жидкость и ограниченного
поверхностью (5), задано, то скорости жидкости и, и и w, кроме урав-
нений (1), должны удовлетворять еще в каждый момент времени t ус-
ловию
и cos а + v cos P + w cos у =f\ (х, у, г, t) на поверхности (S), (18)
где/, есть известная функция, представляющая нормальную составляющую
скорости точки х, у, z поверхности (S). Это равенство при помощи (9)
и (15) приводится к виду
ЬР ЬР ЬР bPt '
— cosa+—cosfi + — cos 7 = — -f , (19)
Эх by bz bn
где положено
f =/i - (Si + и,) cos а - (S2 + t>,) cos Р - (S3 + к,) cos у. (20)
Из сказанного заключаем, что скорости и, v, w точек жидкой массы
будут известны, если будет найдена функция Р, удовлетворяющая усло-
виям
ДР+ Я = 0 внутри (5), (21)
ЭР, ,
— =f на поверхности (S). (22)
Ьп
Доказательство теоремы п. 2 сводится, таким образом, к решению
задачи, представляющей простое видоизменение задачи Неймана и нося-
щей название преобразованной задачи Неймана (probleme de Neumann
transforme).
5. С этой задачей приходится встречаться не только в рассматриваемом
вопросе гидродинамики, но и во многих других отделах математической
физики, как, например, в аналитической теории тепла, в теории упругос-
ти и др. Такова, например, задача об установившейся температуре в твер-
дом однородном теле, ограниченном какой-либо поверхностью (5), луче-
испускательная способность которой равна нулю. Общий случай, когда
лучеиспускательная способность его поверхности - не нуль, также тре-
бует решения ряда рассматриваемых задач, как будет показано ниже.
Общая задача об охлаждении твердого тела также существенным образом
зависит от решения задачи Неймана.
В рассматриваемой нами задаче гидродинамики функции ut, vt, w,
всегда можно выбрать так, что они будут иметь не только первые, но и
вторые непрерывные производные по координатам внутри поверхности
Эи, Эи, Эк,
(S), причем Н=— + — + — будет иметь первые производные внутри
Эх by bz
(5). Мы рассмотрим более общий случай, когда в уравнении (21) функция
Н непрерывна и удовлетворяет условию (6) п. 4 гл. I (условию Гельдера).
335
Умножаем уравнение (21) на dr и интегрируем результат по всему
объему, ограниченному поверхностью (S). Получаем, в силу (22),
ЭР,
fHdr+f &Pdr = f Hdr + f— ds = f Hdr + f f ds = 0. (23)
Эи
Таким образом, задача вообще возможна лишь тогда, когда заданные
функции Н nf, каковы бы они ни были, удовлетворяют условию (23).
Заметим сначала, что в рассматриваемом нами вопросе гидродинамики
это условие соблюдается.
В этом частном случае
f Hdr = J (и! cos а + Vi cos 0 + Wj cos у) ds
и, в силу (20),
//' ds = if i ds — / J(S, + Ui) cos a + (S2 + t»i) cos 0 + (S3 + ) cos у jds.
Следовательно,
JHdr + J f' ds = f fa ds — f [Si coso +S2 cos 0 + S3 cos 7 j ds. (24)
H0/1 =(«o +<7Z - ry) cos a + (v0 + rx - pz) cos 0 + (w0 + py -qx)cosy =
= Uo cos a + Vo cos 0 + Wo cos 7, где и0» fo, w0,P, q и гсуть данные функ-
ции t, не зависящие от координат *). Применяя к первому интегралу
правой части равенства (24) известную формулу преобразования поверх-
ностного интеграла в объемный , получим
/Э1/о ЭГ0 ЭИ^оХ
Sfi ds = f[----+— +-------)dr = 0.
\ Эх dy Эг /
Точно так же находим, при помощи (14),
/ 3S, dS2 dS$\
/(St cosa + S2 cos0 +S3 cos7)ds = JI— +— +—jdr = O.
\ Эх dy dz /
Следовательно, на основании (24) условие (23) действительно вьйтол-
няется.
Предлагая теперь, что это условие выполнено, каковы бы ни были
заданные функции Huf', положим
P=V + P', Р = — j—dr. (25)
4тг г
Р' есть потенциал объемных масс, имеющий, как указано в гл. I , непре-
рывные частные производные первого порядка во всем пространстве, а следо-
эр;
вательно, и правильную нормальную производную----на поверхности (S).
Эл
* ) /, есть нормальная составляющая скорости точки х, у, г твердого сосуда, со-
держащего жидкость, поэтому «0, и0, н^суть проекции на оси координат скорости
начала координатной системы, а р, q и г - проекции вращательной скорости сосуда
около этой точки.
336
С другой стороны, на основании теоремы Гельдера, доказанной в п. 4
ГЛ. 1 , Р' при сделанном условии относительно функции Н удовлетворяет
уравнению Пуассона
ДР' + Н = 0 внутри (S).
Поэтому, подставив (25) в уравнение (21), получим следующее урав-
нение для определения функции V :
ДК = 0 внутри (S),
а условие (22) обратится в такое:
ЭИ, , дР-
----- f-----= / на поверхности (S).
дп дп
Очевидно, в силу (23),}' подчинено условию
ffds = 0.
Задача об определении функции Р сведена, таким образом, к задаче
Неймана. Так как эта последняя решена нами в предыдущей главе для
всякой поверхности (S), к которой приложим принцип Робена, то и основную
теорему теории вихревого движения жидкости можем считать доказанной, и
задачу теории тепла об установившейся температуре, разрешенной для вся-
кой поверхности, удовлетворяющей только что указанному условию.
6. Общая задача об установившейся температуре приводится к опре-
делению функции v при помощи уравнений
Ди+ «/> = 0 внутри (S), (26)
dv{
— +hVjaO на поверхности (S), (27)
дп
где i/j есть заданная внутри (5) функция координат, которую будем пред-
полагать подчиненной условию Гельдера (п. 4 гл. I ), a h есть положи-
тельная постоянная.
Эту задачу рассматривал Пуанкаре в своем известном мемуаре ”Sur les
equations de la physique mathematique”, опубликованном в ’’Rendiconti del Cir-
colo Matematico di Palermo" в 1894г., предложив следующий прием ее решения.
Положим
u = и0 +Л1Ч + Л2и2 + ... + hkv/c + ..., (28)
где и* (к = 0, 1,2, ...) суть некоторые функции координат. Подставив
это выражение и в (26) и (27) и приравняв нулю коэффициенты при
одинаковых степенях параметра h, получим следующую систему уравне-
ний для последовательного определения функции ик:
Дио + = 0 внутри (S),
dv°f л /сх (281)
—— = 0 на поверхности (5)
и
Дик = 0 внутри (5) (*=1,2,3,...),
Эи*/
— + v* _ j / = 0 на поверхности (S).
337
Определение функции v0 приводится *) к решению задачи п. 4, а всех
остальных функций »к (£=1,2,3,...)— непосредственно к решению за-
дачи Неймана. На основании исследований предыдущих глав мы можем
последовательно определить все эти функции, пользуясь либо методом
Неймана, изложенным в гл. III, либо методом, указанным в гл. II этого
сочинения.
В своих исследованиях Пуанкаре должен был пользоваться методом
Неймана, так как последний из только что упомянутых приемов в его
общем виде еще не был известен, вследствие чего анализ Пуанкаре не
мог быть признан совершенно строгим. Метод Неймана дает изображение
искомых функций в виде потецциалов двойного слоя, но до появления
исследований А.М. Ляпунова оставались невыясненными условия, при
которых эти потенциалы допускают правильные нормальные производные
даже для конвексных поверхностей. Поэтому оставалось недосказанным,'
что функция v, определяемая рядом (28), действительно имеет нормаль-
dvj
ную производную — и притом представляющую в виде сходящегося
дп
ряда
3Uj SUqj 3l>2/ 9Vfc/
— =-------------+ h2----+ ... + hk--+ ...,
дп дп дп дп дп
т.е. что эта функция v на самом деле (а не только формально) удовлетво-
ряет условию (27).
Однако и в настоящее время доказательства только что указанных
положений при употреблении метода Неймана представляют значитель-
ные затруднения. Все эти затруднения мне удалось устранить, восполь-
зовавшись для решения задачи теоремой VI гл. II, которая позволяет пред-
ставить искомую функцию в виде потенциала простого слоя и, таким об-
разом, разрешить задачу со всей строгостью. В то же время оказалось
возможным определенно указать весьма обширный класс поверхнос-
тей, к которым, как будет показано ниже, принадлежат все поверхности
Ляпунова, несомненно допускающих применение только что упомянуто-
го приема решения рассматриваемой задачи.
Результаты этих исследований были сообщены мною в краткой замет-
ке в ’’Comptes Rendus” 15 окт. 1900 г.* **)и затем изложены в сочинении
’’Общие методы решения основных задач математической физики”.
7. Предположим сначала, что функция удовлетворяет условию
f*dT=Q. (30)
Определение функции v0 представляет задачу пп.4и5 при частном пред-
положении /' = 0, Н - <р. Функция ио, следовательно, имеет вид
, 1 ,
Vo=vo + —J—dr = vo+w, (31)
4я г
* ) При частном предположении, что /'= 0.
**)W. Stekloff. Le probleme des temperatures stationnaires. - Paris, 15 oct. 1900;
см. также мой мемуар ”Sur les problfemes fondamentaux de la Physique mathematique” (An-
nates de Г Ecole Normale. - Paris, 1902, т. XIX, chap. II).
338
где v о есть функция, подчиненная условиям
Aw0' = 0 внутри (S),
Эио/
---- -----на поверхности (5).
Эи дп
По теореме VI гл. II t>o представится в виде потенциала простого слоя,
причем можем, очевидно, положить
, 1 До „
w0 = — f — ds + Со = w0 + Со,
2тг г
Где Со — произвольная постоянная,а д0 представляется рядом (76j) гл. II,
dw/
в котором/ нужно заменить на — — . По формуле (31) получаем
дп
Wo = Wo + w + C0.
Определив постоянную Со при помощи равенства Со S + f (Wo’+ w) ds = О,
получим функцию wo> удовлетворяющую уравнениям (28j) и условию
f w0 ds = 0. При этом станет возможным определение функции wt по фор-
мулам (76), (761) и (77) теоремы VI гл. II, если в них заменить f на
-w0.
Вообще, каждая из функций w* определяется уравнениями (29) до не-
которой произвольной постоянной Ск, которую всегда будем определять
условием
f W* ds =f (Ск + bk) ds = 0, (32)
где под vk подразумевается потенциал простого слоя
w/=— f— ds (321)
2я г
с плотностью
(к - I) (*- 1) (* - 1)
Д* = -«л-1+Д1 +Рг +. '.+Рт +..., (33)
причем pj£ ~ 1)суть функции, определяемые последовательно по формулам
(76) теоремы VI гл. II, если в них за исходную функцию вместо / взять
функцию -vk.. 1.
Таким путем последовательно определим все функции ик (£ = 0, 1,2,...),
удовлетворяющие уравнениям (29) и условиям
fvk ds = 0 (*»0,1,2,...). (34)
8. Так как к поверхности (5) приложим принцип Робена, а функция
w*_i подчинена условию (34), по теореме III гл. II имеем неравенство
|pU-. NtTm , (34.)
339
которое выводится из (S4) (гл. II) *), если в нем заменить Ro на
Мк _ j = max | vk _ ] I на поверхности (S)
и значок к на т. При помощи этого неравенства из (33) выводим
U+M (т + т2 +. .. + т"' + ...)] =
=М*_, Г1 - _ 1, (35)
L I - т J
где X есть определенная постоянная, зависящая исключительно от вида по-
верхности (5). Равенство (321) дает затем
. , ХМк _ 1 ds XL ,
' Wfcl max/ = — i= X Mk_ ,,
2rr r 2?r
где X ' есть постоянная того же свойства, что и X. Это неравенство и равен-
ство (32) приводят к неравенству
|Q|<XX-i- (35,)
Следовательно,
IujtI < I Wfc'l +1 | < 2X X- i = Xi Mk_x. (36)
Отсюда
MfcCX.M*-, (^ = 1,2,3,...).
В этом неравенстве под Мк можно подразумевать максимум модуля функ-
ции ик во всей области (О), приняв во внимание теорему I гл. I.
Последнее неравенство дает
Mfc<XtM0, (36,)
на основании чего заключаем, что ряд
I и01 +А IvJ + Л2 |и2| + ...+ Л*|vk | + ...
сходится равномерно во всех точках области (О) для всех значений h,
удовлетворяющих условию
Л<1/Х,. (37)
Следовательно, ряд (28) сходится абсолютно и равномерно в области
(D) при тех же значениях h.
*) В теореме 111 гл. 11 доказывается справедливость неравенства (54) в пред-
положении коивексности поверхности S. Доказательство этого неравенства в рассмат-
риваемом случае содержится в п.18 гл. 11; при этом предполагается, что постоянная Д'в
неравенстве (60) гл. II может быть представлена в виде N = R„ N,, где Ra = max lp0 k
а /V, нс зависит от функции р„. (Прим, ред.}
340
9.Обозначим через р^к) плотность электрического слоя, находящегося в
равновесии на поверхности (5), подчиненную условию
1 р<*>
С*= —J— Л. (38)
2л г
На основании теорем V и VIII гл. II мы можем определить плотность
р электрического слоя, находящегося в равновесии на рассматриваемой по-
верхности, удовлетворяющую условию Spds = M, где Месть заданная пос-
1 р . .
тоянная. Зная функцию р, положим —/—ds =С. Функция р'*' может от-
2тг г
личаться от р только постоянным множителем, положим, q, так что
p(kY = qp. Из равенства (38) получаем
(*) С*
р =—р =С1ср,
(39)
Ск =
2п г
ds .
На основании этого функцию ик можем представить в виде потенциала
простого слоя
1 Д*+ скР 1 Рк
Vk=~ f ds=— ds, (39,)
2тг r 2n r
где p'k =pk +?kP,&Pk выражается рядом (33).
Из (39) и (35,) следует, что I ск I . Обозначая череЬ а мак-
симум I р I на поверхности (5) и приняв во внимание неравенства (35) и
(36,), получаем
, ,. / \ * -1
Ip* I ^1X + I Мк 1 — Х2 Мк — ХдЛ/q X, ,
где Х2 есть постоянная, зависящая исключительно от свойств поверхности
(5). Отсюда-заключаем, что ряд
Р = р[ +hpj + ... + hk lpk + ... (40)
сходится на поверхности (5) абсолютно и равномерно при том же условии
относительно параметра Л, что и ряд (28), т.е. пока Л < 1 / X,. На основа-
нии этого можем писать для всех значений h, удовлетворяющих только что
указанному условию,
1 д,' Л pl hk 1 pl
— f — ds + — f—ds + ...+---------ds + ...
2п г 2it г 2it г
1 Р
= — $— ds=V,
2тг г
(41)
341
и так как v = v0 +h(vt +hv2 + ... +h vk + ...), то, в силу (39t) и
(41),
v = и0 +hV.
(42)
Так как V есть потенциал простого слоя, то для всякой поверхности Ля-
пунова он имеет правильную нормальную производную
ЭИ/
— на поверхности (5).
Эл
Поэтому на основании (42) такую же производную имеет и функция и , а
именно
= h— , (42i)
Эл Эл
Эи01
ибо, в силу (28,), -- =0.
Эл
, 10. Равенство (42) показывает, что найденная нами функция и действи-
тельно удовлетворяет уравнению (26). Остается только доказать, что ойа
удовлетворяет и условию (27).
Имеем, на основании свойств потенциала простого слоя (гл. 1),
ЭИ, 1 ц cos ф
Эл 2тг I г2
ds + д.
(43)
Принимая во внимание равномерную сходимость ряда из (40), получаем
д cos ф nl д2'
/ —:— ds =f — cos ф ds + h / — cos ф ds+ ... +
r r r
+ h f — cos ф ds + ...
Но, в силу (29),
Эи*/ 1 ,Д*СО5ф , .
---- =- — J------5--ds + д* - - и* _ i
Эл 2тг г2
или
1 Д/Jcos ф ,
— f—----------ds = v* _ I,, + д* .
2rr г2
Следовательно,
1 д cos ф
— f—^—ds =
2ir г
. > *- 1 ,
= (Уо/ + Д1) + А(«1» + Д2) + --+й (»*-м+Д*) + ...=$
ЭИ/
и, на основании (43), —— = д - S.
Эл
342
Так как для значений h, удовлетворяющих условию (37), рядыди5
сходятся, то можем писать
ЭИ-
—-L = [Mi - («о/ + Д1И +Л[Д2 -(wif + ni)] + ... +А*~1 [М* “
оп
, к - I
-(«*-!,/ +Дк)1+••• --[voi+hvu+.. , + h vk_ i,=-v,-.
Отсюда при помощи (421) выводим
ди,-
—— + Ло/ = 0 на поверхности (5).
Эл
Таким образом, доказано, что функция v, выражаемая рядом (28), дает
действительное решение задачи, по крайней мере для значений параметра И,
меньших некоторого определенного числа 1/Х(.
11. Мы сделали для простоты предположение, что функция в уравне-
нии (26) подчинена условию (30), но легко убедиться, что это ограничение
несущественно.
Допустим, в самом деле, что у есть какая угодно заданная функция ко-
ординат. Положим
С
v = и + — , (44)
й
где С есть некоторая постоянная. Задача сведется к определению функции
и,для которой после подстановки этого выражения и в (26) и (27) полу-
чим уравнения
Дм + = 0 внутри (D),
Эм,- <45>
---- + hut + C = Q на поверхности (5).
Эи
Мы имеем здесь частный случай следующей более общей задачи: Найти
функцию и при помощи условий
Дм + <р = 0 внутри (О),
А <46>
----+ йу, + f = 0 на поверхности (S),
Эл
где f есть заданная функция координат точек этой поверхности.
Положив, как и в п.6,
*
v - у0 + hvi + йу2 + ... + й vk + . .. ,
получим для определения у0 уравнения
Ду0 + Р = 0 внутри (D),
Эу0,
—— + J = 0 на поверхности (S),
Эл
ВСеХ ДРУГИХ ФУнкций vk (й = 1> 2, 3, . . ..) те же самые уравнения
343
Определение функций и0 представляет общую задачу п.4, решенную в
п.5, которая возможна, если функция <р и/связаны соотношением (см. ра-
венство (23) п.5)
f >pdT = ffds.
Дальнейший ход решения задачи будет тот же самый, что и задачи п.6.
Возвращаясь к частному случаю уравнений (45), заключаем, что опреде-
ление функции и сделается возможным, если определим постоянную С при
помощи условия CS = ftpdr. Выбрав С указанным способом, найдем указан-
ным выше приемом функцию и,действительно удовлетворяющую уравне-
ниям (45), а затем при помощи соотношения (44) и искомую функцию v,
удовлетворяющую уравнениям (26) и (27) при произвольно заданной фун-
кции^.
12. Нетрудно, наконец, убедиться, что задача п.6 или, общее, п. 11 не мо-
жет допускать никакого иного решения, кроме найденного выше.
Допустив существование двух различных функций и, и и2, одновремен-
но удовлетворяющих уравнениям (46) , положим и = и|- и2. Функция и
должна, очевидно, удовлетворять уравнениям
ди,
Дм = 0, — + Ли,=0. (47)
Эл
Положив в формуле (32) гл. 1 (/=К = и, получим, при помощи (47),
откуда следует, что необходимо и = 0, ибо по условию Л > 0. Следовательно,
необходимой] = о2.
13. Существование функции v (и притом единственной), удовлетворяю-
щей уравнениям (26) и (27), доказано лишь для значений h, меньших
1 / X]. Покажем, что задача допускает решение при всяком данном положи-
тельном h.
Рассмотрим предварительно частный случай уравнений (46), когда
<1 = 0, но f есть какая угодно непрерывная функция на поверхности (5).
Положим, подобно предыдущему, и = и + С/Л. Для определения и полу-
чаем уравнения
Д и = 0 внутри (S),
dut
—— + hut + / + С = 0 на поверхности (5).
on
. Положив затем
и = и0 +hut +Ь2иг + ... + hkuk + ...,
находим следующие уравнения для и0:
Дио=0 внутри (5),
Эн0,
—-— + / + С = 0 на поверхности (5),
Эл
(48)
(49)
344
* для всех остальных ик (k= 1, 2, 3,. . . ) те же самые уравнения, что и для
функций vk в п.6. Выбрав пока неопределенную постоянную С, удовлет-
воряющую условию f(f+C) ds = 0, сделаем возможным определение
функции м0, которое сводится к решению задачи Неймана.
Повторив опять дословно рассуждения предыдущих пунктов, докажем,
что ряд (49) представит действительное решение уравнений (48) *) .
14. Воспользуемся теперь следующим приемом Пуанкаре**).
Обозначим через g максимум модуля / на поверхности (S) и положим
Wi=v- g/h. Подставив следующее отсюда выражение v в уравнения
Ди = 0 внутри (5), у
ди,-
------+ Л и, +/ = О на поверхности (S),
Эл
получим
Aw,=0 внутри (5), <50)
ЭН’!/
------+ hw, j + g +/= 0 на поверхности (S).
Эл
Точно так же, положив w2 = v + g /h, найдем, при помощи (49i),
Aw 2=0 внутри (5),
3W2/ ,
-----+ h w2i - g +/= 0 на поверхности (5).
Эл
На основании теоремы I гл. I максимум и минимум гармонических
внутри (S) функций W| и w2 непременно находятся на поверхности (S),
причем в точках, соответствующих максимуму этих функций, нормальные
Производные и ^w2i должны быть, очевидно, неотрицательными, в
Эл Эл
точках же, соответствующих минимуму этих функций, - неположительны-
ми.
Применим равенство (50) к какой-либо точке, где wt достигает макси-
3wu-
мума. Так как при этом------->0 ng +/ > 0, то необходимо
Эл
wi i = vt - g/h < 0. (52)
Применив же равенство (51) к точке, где w2 имеет минимум, и заметив,
что при этом * <0 и / - g < 0, заключаем, что
Эл
w2i= v, +g/h > 0.
*) При Л < 1 / X,.
**)Н. Poincare". Sur les Equations de la Physique mathematique. - Rendicomi del
Circolo di Palermo, 1894, p. 99.
345
Неравенства (52) и последнее показывают, что для всех точек поверх-
ности (S)
I Vi I < g I h на поверхности (S). (53)
15. Обозначим через Ло какое-либо определенное значение А,меньшее
1/Xi, и положим й = Л0 +т). Будем искать функцию и , удовлетворяющую
уравнениям
Д и + «р = О внутри (S),
dvt (54)
— + ( Ло + tj) uj = 0 на поверхности (5),
Эл
в виде ряда, расположенного по целым положительным степеням парамет-
ра 1?,
u = Vo+i?i>i +i?v2 + ...+ri ufc+... (54t)
При помощи (54) получаем следующие уравнения для последовательно-
го определения функций о* (к = 0,1,2,...):
Дп0 + </> = О внутри (S),
Э-uof (55)
-— + Лоио, = 0 на поверхности (S),
Эл
Д V* = 0 внутри (5),
а» (551)
+ hoVki+ Vk _ 1 f i =0 на поверхности (5).
Определение функции v0 представляет задачу п. 6 (уравнения (26) и
(27) ). Так как
Ло <1/Xi, (56)
то мы можем найти функцию и о приемом, указанным в предыдущих
пунктах.
Найдя и0, определим затем последовательно U], о2, ..., _i.Опре-
деление каждой из функций vk(k = 1, 2, 3, ...), как показывают урав-
нения (55t), сводится к решению задачи п. 11 (уравнение (46) при
у = 0). Так как й0 удовлетворяет условию (56), то указанным в этом пунк-
те приемом мы найдем и и* при всяком к, начиная с к = 1.
Подразумевая в (54t) поди* таким образом найденные функции,полу-
чим ряд, формально удовлетворяющий уравнениям (54).
16. В уравнениях (551) роль функции f уравнений (49 О играет функция
n*-i j Обозначая, вообще , через Мк максимум модуля функции vki,
получаем, применив к рассматриваемому случаю неравенство (53), I vk | <
<Мк_ 1/Л0. Отсюда
Mk^Mk^ifh0 и (51}
Mk<M0/hk0 .
344
Сравнивая ряд (54,) с рядом
jlfo + Wi + г}2 М2 + ... + г}КМк+ ...,
заключаем при помощи(57), что ряд(54,)сходится абсолютно и равномерно
на поверхности (5) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию rj<hQ.
Так как vk (к = 1,2,3,...) суть гармонические функции внутри (S), то
из сказанного на основании теоремы IV гл. {заключаем, что ряд (54,)
сходится равномерно во всей области (D), ограниченной поверхностью (5),
причем ряд V- v, + т?о2 + . . . + i?* *~1 vk + ... представит гармоничес-
кую функцию внутри (5).
Ряд (54,) представится в виде v = и0 + V. Отсюда, приняв во внимание
первое из уравнений (55), заключаем, что найденная функция и удовлетво-
ряет уравнению (26). Повторив затем с незначительными изменениями рас-
суждения пп. 7,8 и 9, мы докажем, что и удовлетворяет и условию (27).
Таким образом, докажем существование функции и , удовлетворяющей
уравнениям (26) и (27) для значений й< 2/X,, ибо постоянную h0 можно
взять сколь угодно близкой к 1 / X,.
Если обозначим затем через й0 число, достаточно близкое к 2/Л,, и
применим к уравнениям (54) те же самые рассуждения, убедимся в сущест-
вовании функции и, удовлетворяющей уравнениям (26) и (27) при
Л < 3/Л,, и, продолжая повторять эти рассуждения какое-либо число п раз,
докажем существование функции и , решающей задачу об установившейся
температуре (уравнения (26) и (27) ), при всяком Л <н/Х,, где л-какое
угодно целое число; иначе говоря, при всяком положительном /г.
Сопоставляя все вышесказанное, приходим к следующей теореме.
Теорема 11. Для всякой поверхности, к которой приложим принцип Ро-
бена, и, в частности, для всякой конвексной поверхности Ляпунова сущест-
вует единственная вполне определенная функция о, решающая общую за-
дачу об установившемся тепловом состоянии твердого тела (однородного),
т.е. удовлетворяющая условиям
Ду + = 0 внутри (5), (58)
до/
— +hVj+f=O на поверхности (5), (58,)
дп
где (5) есть поверхность, ограничивающая тело, h — какая угодно положи-
тельная постоянная, а и f — две произвольно заданные функции, первая
внутри (S), подчиненная условию Гельдера, а вторая на поверхности (S),
подчиненная условию непрерывности.
17. Напишем уравнение (58,) в виде
и рассмотрим предельный случай, когда h стремится к бесконечности.
В пределе уравнение примет вид * )vz = 0. Получим задачу об устано-
вившейся температуре в однородном теле, лучеиспускательная способность
ди,-
*) Выражение — + f предполагается конечным.
дп
347
поверхности которого бесконечно велика. Задача приводится к определе-
нию функции v при помощи уравнений
Дп + у = 0 внутри (5),
V, = 0 на поверхности (5).
Положив, как в п.7,
1
v = u + — f— dr = и + w,
4п г
сводим задачу на определение функции и при помощи условий
Ди =0 внутри (S),
И/ = - wt на поверхности (S),
т. е. к задаче Дирихле. На основании теоремы II (п.7) гл. III мы можем
решить эту задачу методом Неймана для всякой поверхности, к которой
применим принцип Робена.
В рассматриваемом случае w (заданная функция) как потенциал объем-
ных масс имеет непрерывные частные производные по координатам во всем
пространстве. При этом по четвертой теореме Ляпунова (гл. I) потенциал
двойного слоя
имеет правильные нормальные производные на поверхности (5).
На основании теоремы VIII предыдущей главы мы можем решение
рассматриваемой задачи представить в виде потенциала простого слоя по
формуле (77), если будем там подразумевать под Lo нормальную произ-
водную от потенциала Wt, определяемого равенством (59) *) .
18.'Рассмотрим теперь следующую задачу:
Найти внутри данной поверхности (S) такую функцию от двух систем
координат г,, f и х: у, z, которая остается непрерывной вместе со своими
частными производными первого и второго порядка по переменным $, 17, f
во всех точках внутри (S), за исключением точки I- =х,т/ =у,£=г,гдеона
обращается в бесконечность как — , г = \/(х - £)2 + О' - л)2 + (г - f)2,
4irr
и которая удовлетворяет внутри (5) (за исключением указанной точки)
уравнению Лапласа, а на поверхности (S) обращается в нуль.
Функция, удовлетворяющая этим условиям, называется функцией Грина,
которую мы будем обозначать через G(x,y, $, 17, f) или иногда просто че-
рез G. Эта функция, как известно, играет весьма важную роль в анализе и в
его различных приложениях к математической физике. Однако до сравни-
тельно недавнего времени не было строго установлено даже само сущест-
*) Рассматриваемая задача приводится, следовательно, к задаче Гаусса.
348
(60)
(62)
(63)
рование этой функции для более или менее общего класса поверхностей, не
Говоря уже о различных ее свойствах, которыми тем не менее постоянно
Пользовались при различных изысканиях. Полученные выше результаты
Позволяют нам доказать основные свойства этой функции с надлежащей
строгостью для всех поверхностей, к которым применим принцип Робена, а
затем распространить полученные выводы на все поверхности Ляпунова.
Положим
1
G = T + — .
4тгг
Так как G аспткно удовлетворять уравнению Лапласа, то Г также удовлет-
воряет уравнению
ДГ = 0 внутри (5) (61)
и притом представляет собой функцию от £, i?, f, непрерывную вместе со
своими производными первых двух порядков по £, т? и f во всех точках
внутри (S), где бы ни находилась точка x,y,z внутри рассматриваемой по-
верхности *). Точку х,у,г будем называть полюсом функции Грина.
Так как, далее, функция G должна обращаться в нуль на поверхности
(5), то функция Г должна удовлетворять условию
1
Г = ---- на поверхности (5).
До-
определение функции Грина G сведено к отысканию функции Г при по-
мощи уравнений (61) и (62), т.е. к частному случаю задачи Дирихле, когда
1
’ 4тгг
Легко видеть, что в рассматриваемом случае мы имеем дело с задачей
Гаусса, ибо при любом положении полюса функции G внутри поверхности
(5) функция f имеет определенные производные по $, т? и f на поверхности
(5); они удовлетворяют условию Гельдера, и,следовательно, функция/,
как и функция wb п.17, удовлетворяет условию (141) (гл. I).
На основании теоремы VIII предыдущей главы функция Г предста-
вится в виде потенциала простого слоя по формуле (77), где под £0 нужно
подразумевать нормальную производную от потенциала двойного слоя
1 cos
И/1 =— //— ds,
2тг г
а в этом последнем под f - функцию, определяемую равенством (63). От-
сюда сейчас же следует, что функция Грина имеет правильные нормальные
производные на поверхности (5).
Таким путем приходим к следующей важной теореме^
Теорема III, Для всякой поверхности Ляпунова, к которой приложим
принцип Робена, и , в частности, для всякой конвексной поверхности су-
*) Отметим, что это рассуждение использует теорему об устранении особенности и
доказывает единственность функции Грина. Доказательство теоремы III на него не
опирается. (Прим, ред.)
349
Шествует функция Грина, которая мажет быть представлена в виде потен-
циала простого слоя и которая имеет, следовательно, правильные внутрен-
нюю и внешнюю нормальные производные на рассматриваемой поверхнос-
ти.
Коль скоро доказано существование нормальных производных от функ-
ции Грина, можно считать строго установленной и теорему Римана.
Теорема Римана. Функция Грина симметрична относительно перемен-
ных х, у, г, и 1?, f, т.е.
G(x, у, г; Ц, п, f) = G($, 17, f.x, у, z).
Доказательство, излагаемое в сочинении Римана ’’Schwere, Electricitat und
Magnetismus” (Hannover, 1880, стр. 143), становится вполне стро-
гим на основании предыдущей теоремы.
19. Только после того, как установлено существование правильных
нормальных производных от функции Грина на поверхности (5) (теоре-
ма III ), можно с надлежащей строгостью доказать известную формулу,
представляющую в весьма простом виде решение задачи Дирихле при по-
мощи функции Грина. Ввиду важного значения этой формулы приведем
сначала обычное ее доказательство.
Предположим, что функция f подчинена условию теоремы IX преды-
дущей главы. В этом случае функция U, гармоническая внутри (5) и об-
ращающаяся в f на поверхности (5), будет иметь правильные нормальные
производные на этой поверхности, вследствие чего к функции U можно
применить формулу (36) гл. I , которую можно представить в виде
1 г ж 1 г ди<
— f f-----ds +—f-----
4тг Эл 4тг Эл
ds
г
(64)
Применим теперь равенство (34) гл. I к функциям U и V = Г. Так как
1
Ui = f, Г =--------на поверхности (5),
4яг
то
ЭГ, I dU, ds
ds =- — f — ,
Эл 4тг Эл г
вследствие чего равенство (64) принимает вид
/ЭГ,- 1 Э(1/г)\ j
U=-ffl—- +-----------i--- ds,
\ Эл 4тг Эл /
т.е., на основании (60),
9G.-
17=-ff------ ds
дп
(65)
для любой точки х, у, г, лежащей внутри поверхности (5).
Изложенный прием доказательства требует, чтобы функция / была
ограничена условием теоремы IX, т.е. чтобы задача Дирихле могла быть
сведена к задаче Гаусса. Если же это условие не соблюдается, т.е. функ-
ция f подчиняется единственному условию непрерывности, то равенство
350
dU,
может, вообще говоря, потерять смысл, ибо — может обращаться в бес-
Эл
конечность. Во всяком случае, для того чтобы иметь право воспользовать-
ся преобразованием Грина, которое приводит к равенству (64), необходи-
мы дополнительные, довольно сложные исследования о свойствах функ-
/ Э(/ \ / 3G’\
ций I --- I или I --1 , когда точка Р. достаточно близкая к по-
\ дп / р \ дп / р
верхности (S) стремится к некоторой точке р, лежащей на этой по-
верхности *).
20. Результаты, полученные нами в предыдущих главах, позволяют
устранить эти затруднения и доказать справедливость формулы (65) для ка-
кой угодно непрерывной функции f, не прибегая к равенству Грина (64).
На основании теоремы VIII предыдущей главы функция Г может быть
представлена в виде
I , ds
Г =- — /(- Р - Lo + р2 + р4 + ... + ргк + ... ) —, (66)
2 тг г
где под 4о нужно теперь подразумевать внутреннюю нормальную произ-
1 1 cos
водную от потенциала двойного слоя----- f-------— ds, а под рк -
8ir г0 г)
функции, определяемые последовательно при помощи уравнений
I COS ф I cos ф
Pt=- — H'0'—г—ds. Рк ~ ~~~~ f Рк-Г—;—(67)
2ir г? 2тг П
В последних трех интегралах под г 0 подразумевается расстояние точ-
ки х, у, z от точек rj", поверхности (5), под — расстояние
точки f', i?', f' этой поверхности от тех же точек £", rj", f ", по которым со-
вершается интегрирование, а в интеграле (66) под г подразумевается рас-
стояние точки £, I?, f от точек 5 ,i? , f’и интегрирование совершается по
этим последним переменным.
Очевидно. Lo и рк суть функции от х, у, z и 5', 1?’, a cos ф/г? и cos<p/r?
от переменных х, у, z не зависят (суть функции 5’, Ч и £",п", ?")•
Производные от рк по х, у, г, очевидно, связаны между собой соотношения-
ми того же вида, что и сами функции рк, а именно
йРк 1 е ^Рк-l со&ф
-— = — J — -----------— ds и т.д. для .у иг, (68)
Эх 2тг Эх г?
Э2рЛ 1 Э2р*_! cos ф
. = — f---—---------ds и т.д. доя у И г .
Эх2 2п Эх2 Г|
ибо функция cos ф/г?, как сказано, не зависит от х. у. г.
---------- / эс \
♦) Такие исследования относительно функции I-- I были приведены в 1897 г.
\ Эл /Р
известным польским ученым Зарембой(5. Z а г е m b а) в его мемуарс”5иг1е problcmc
de Dirichlet” (Annales de 1'Ecole Normale, 3 ser., T. XIV, p. 251)
351
Легко видеть далее, чУо функция
а2/.,,
дх2
тому же условию, что и L& т.е.
Э2£о Э2£о
^_2 , ~ удовлетворяют
32ZO
—~ ds = О
Эх2
и т.д. для гиг.
Вследствие этого мы можем к ряду
Э2£о Э2рг 32p2t
Эх2 Эх2 Эх2
и таким же рядам для .у и z применить дословно те самые рассуждения,
при помощи которых в гл. II доказывалась равномерная сходимость ряда
Pi + Рз + Рз + — + Рк + ...Таким путем докажем, что рассматриваемые
ряды сходятся абсолютно и равномерно во всех точках (•', ij', f' поверх-
ности (5).
На основании этого получаем равенство
Э2 Г
Эх2
1 / Э2р
2тг \ Эх2
Э2£о Э2 р2 Э2 р2к \ ds
Эх2 Эх2 Эх2 " / г
и такие же равенства для у иг. Отсюда на основании известных свойств
потенциала простого слоя и равенств (68) выводим
Э 7 Э2 Г \ Э2£о а2
Эл \ Эх2 Л Эх2 Эх2
Э2Рз
Эх2
+ ... +(-1)*+|
d2Pfc !
Эх2
и такие же равенства для у и z.
ЭГ,
С другой стороны, из (66) следует, что ----- = Lo + pt — р2 + ...
Эл
... + (-1)* + * р* + ... Так как ряды, получаемые почленным дифференци-
рованием тюх.у.г этого ряда, в силу только что сказанного сходятся
равномерно, то
а2 /аг,\ a2z0 а2р, а2р, ., ь2Рк
2 I ~ I ^2 ^2 1 2 ••• х О л j •••
Эх2 \ Эл / Эх2 Эх2 Эх2 Эх2
Такие же равенства имеют место и для у, и для z.
Следовательно,
а2
Эх2
а / а2 г \
Зл \ Эх2 /
И Т.Д. для у И Z .
При помощи этих соотношений убеждаемся, что функция U, определяе-
мая равенством
dGi Э Г» 1 cos<p
U^-ff—ds =-J f—~ ds + — ff—ds.
on on 4 я r
(69)
есть гармоническая функция внутри (S) от переменных х, у, г.
352
Совершенно так же доказывается, что функция
dGe
ds (70)
дп
есть гармоническая функция вне поверхности (S) от тех же переменных
х, у, z.
Равенства (69) и (70) справедливы для любой точки х, у, г, лежащей
внутри, соответственно вне (£)> какова бы ни была функция /, непрерыв-
ная на поверхности (S).
21. Докажем теперь, что гармонические функции U, определяемые ра-
венствами (69) или (70), обращаются в заданную функцию / на поверхнос-
ти (S), коль скоро эта функция непрерывна во всех точках этой поверхности.
Приведем простейшее доказательство, предложенное А.М. Ляпуновым*).
Предположим сначала, что
/ = а-$о)2+(т?-т?о)2+(Г-Го)2 . (71)
где £о, т?о > ?о суть координаты какой-либо точки р0 поверхности (S). Чтобы
остановиться на чем-нибудь определенном, рассмотрим равенство (69);
все сказанное будет непосредственно приложимо и к равенству (70).
На основании теоремы I гл. I можем утверждать, что гармоническая
внутри (5) функция U, обращающаяся в функцию / (71) на самой поверх-
ности (5), положительна во всех точках области (D).
Возьмем на нормали к (5) в точке р0 точку Ро, лежащую внутри (5)
на расстоянии 6 от р0. Для функции /, очевидно, соблюдается неравенство
(173) гл. I , ибо в данном случае для точки р0
1 2”
— J(/-/o)dw<const ра.
2тг о
Следовательно, U имеет определенную нормальную производную в этой
точке. Поэтому, если обозначим значение £/вточке/’0 через £/0, то будем
иметь
IUo -/0|<Л5 , (71,)
где А есть определенное число, а /0 - значение / в точке р0 поверхности
($)**).
Будем подразумевать в дальнейшем для удобства под п внутреннюю
нормаль к поверхности (5). Так как функция G положительна внутри
(S) ***)и обращается в нуль на самой поверхности, то
36,-
—1>0 (72)
дп
во всех точках поверхности (5).
*) A. Liapounoff. Sur ccrtaines questions etc. - Journal de Mathematiques.
1898, p. 308. ,
S. Zaremba. Sur 1c probleme de Dirichlet. - Annales de 1’Ecole Normale, 1897,
T. XIV. p. 251.
**) Нетрудно показать, что число А можно выбрать не зависящим от расположения
точки р0 на поверхности (S). (Прим. ред.)
***) Доказательство этого элементарного предложения общеизвестно. См., напри-
мер, Н. Р о i п с а г 6, ’Theorie du potentie) Newtonien” (Paris, 1899, p. 160).
353
Опишем около точки Ро сферу достаточно малого радиуса R и обо-
значим через da элемент площадки (а), вырезаемой этой сферой на поверх-
ности (5), через ds ] - элемент остальной части поверхности. Формулы
(71) и (72) показывает, что функция
3G,
U = ff----ds (72,)
дп
положительна во всех точках области (D) *).
Следовательно,
dGt , ЭС,
t/o >ff—Ldst >R2J~4 ’ (73)
дп дп
ибо для всех точек части поверхности (5), внешней относительно (а),
f>R2. С другой стороны, заметив, что f0 = 0 в точке р0, из (711) полу-
чаем U0 < Ад. Это последнее неравенство и (73) дают
dGt 5
J-—'-ds,<A — . (74)
дп R
22. Будем подразумевать теперь под f какую угодно функцию, непре-
рывную на поверхности (S).
Как известно,
dG,
s—-ds =4, (75)
Эл
где бы ни находилась точка х,у, z в области (£>)**). Поэтому, обозначая
через /0 значение f в точке р0, можем писать для точки Ро:
dGi dGi dGj
Uo -f04(f~M-^ds= Kf-f0)—!-da+ Stf-ty-r-ds! . (76)
Эл Эл Эл
Так как f есть непрерывная функция, то выбрав R достаточно малым,
будем иметь - /01 < е для всех точек площадки (а), на которую рас-
пространяется первый интеграл предыдущего равенства. Поэтому, на
основании (72) и (75),
dG i dGi dGi
f(f-M~da <ef—d-da<ef—^ds = e. (77)
Эл Эл Эл
*) Так как функция /, определенная формулой (71), очевидно, удовлетворяет
в любой точке поверхности (S) условию (173) гл. 1 , то по доказанному в п. 19 гар-
моническая в области (О) функция U, удовлетворяющая граничному условию U/ =
= f (на поверхности (S)), представляется в виде (72,).' (Прим, ред.)
••) В самом деле, если п есть направление внутренней нормали, то, в силу (60),
a G, а Г/ 1 а — , cos
/----ds = f — • ds + — f ——ds = — f---------ds,
bn bn 4я Эл 4я г1
bG{
откуда иа основании теоремы Гаусса / —-ds = 1 .
bn
354
Обозначим через М максимум модуля f. на поверхности (5). Имеем
1/ - /о I < 2М. Следовательно, на основании (74),
dG, I dG< 5
-dsx<2MA —.
дп I дп Rl
Гак как 5 и Я суть две произвольно задаваемые, не зависящие друг
от друга величины, то, выбрав указанным выше способом R, положим
затем 6 = aR 3, где а есть некоторая положительная постоянная. Получим
dGt
дп
<2MAaR.
При помощи этого последнего неравенства и (77) выводим из (76)
lt/o -f0\<e + 2MAa2,3d}/3 =г),
где 1? есть число, стремящееся к нулю одновременно с 6. Отсюда следует,
что функция U, определяемая формулой (72t), стремится к/0, тогда
точка Ро приближается к точке р0 по нормали к (5) в этой точке. Это
справедливо для любой точки р0 поверхности (5), и число т] не зависит
от положения этой точки на рассматриваемой поверхности.
Следовательно, функция U стремится равномерно к f во всех точках
(S); Uесть гармоническая внутри (S) функция, обращающаяся б заданную
непрерывную функцию f на поверхности (S).
Точно так же докажем, что функция U, определяемая равенством
(70), есть гармоническая вне (S) и обращается в f на самой поверхности.
Мы предполагали, что точка Ро приближается к р0 по нормали к (5) в
точке Ро- Покажем, что в любой точке р0 поверхности (S) функция U при-
нимает соответствующее значение f0, по какому бы пути ни приближалась
некоторая точка Р с внутренней стороны поверхности (S) к точке р0 .
Пусть р есть какая-либо точка на (5), достаточно близкая к р0, а Р есть
точка, лежащая внутри (S) на нормали к (S) в точке р на расстоянии 5 от р.
По предыдущему |(7 - /| < т?, где U и f суть значения этих функций
соответственно в точках Р пр. Так как j непрерывна на поверхности
(5), то при достаточной близости р к р0 будем иметь |/ - /0 I < *1- Сле-
довательно, | U - /о I < 2т?, откуда и вытекает высказанное выше утверж-
дение.
Таким образом , приходим к теореме.
Теорема IV. Для всякой поверхности Ляпунова, к которой приложим
принцип Робена, и, в частности, для всякой конвексной поверхности
функция
dG
U = Sf — ds
дает решение внутренней или внешней задачи Дирихле, если под символом
dG
— подразумевать соответственно внутреннюю или внешнюю нормальную
дп
производную от функции Гпина, а под п - внутреннюю или внешнюю нор-
маль к поверхности (5), какова бы ни была непрерывная функция f, в
355
которую должна обращаться на этой поверхности искомая гармоническая
функция U.
23. Применим полученные выше результаты еще к доказательству суще-
ствования двух функций, аналогичных функции Грина, которые встречают
полезные приложения при решении различных вопросов математической
физики. Одна из этих функций была введена мною в статье ”0 дифферен-
циальных уравнениях математической физики" *), другая—Пуанкаре в его
уже цитированном мемуаре ”Sur les equations de la Physique mathema-
tique”.
Обозначим через J функцию, определяемую следующими условиями:
\° .Функция J зависит от двух систем координат x,y,z и £, т?, f, непре-
рывна по х, у, z вместе с ее частными производными двух первых поряд-
ков внутри поверхности (S), за исключением точки х = у = г), z = f, где
J обращается в бесконечность таким образом, что разность J - —— огра-
бят
ничена. ।
2°. Функция J удовлетворяет уравнению = — внутри (S) **)> где
D есть объем области (D), ограниченной поверхностью (S).
о 3J,
3 . На поверхности (S) функция J удовлетворяет условию--= 0.
Эл
4°. И, наконец, следующему:
fJdT = O,
где через dr обозначен элемент объема области (D) при интегрировании
по переменным х, у, z.
Обозначим элементарный объем той же области при интегрировании
по переменным £, i?, f через drt и положим
Задача сводится к определению функции , удовлетворяющей условиям
Д/1=0 внутри (5),
dJu 1 dWf (79)
— - на поверхности (5).
on---------D Эл
Положив, наконец,
1
Jt=J2 + -— , (80)
4тгг
сведем задачу к определению гармонической внутри (S) функции J2
*) Математический сборник, Москва, т. XIX , 1896. Различные приложения этой
и некоторых других подобных функций были указаны мною в докладах на съезде
естествоиспытателей и врачей в Киеве в 1898 г.
**) Конечно, за исключением указанной точки х = Е, у = п. 1 = { (Прим, ред.}
356
при условии
Ыи 1 \г) t 1 dWi
дп 4 it дп Ь дп
1
-------- f на поверхности (5).
D дп
от точки
внешней
ds = - D.
1 cos
-------------+
4тг г2
Здесь у обозначает угол, составляемый направлением, идущим
1?» ?. лежащей внутри (S), к точке х, у, г поверхности (S), с
нормалью п к (5) в этой последней точке.
dW,
Так как по теореме Пуассона AW = - 1,то fAWdr = J-------
Эл
При помощи этого равенства и теоремы Гаусса получаем
//Л = 0. (81)
Задача сведена к задаче Неймана, которая возможна в силу (81).
Пользуясь приемом, указанным в теореме VI гп. II, определим функцию
J2 в виде потенциала простого слоя, причем функция J2 + С, где С есть
какая угодно функция переменных $, tj, f, будет также решением задачи.
Функция J представится на основании (78) и (80) в виде J = J2 -
W I
----+ ----- + С. Определив С при помощи уравнения
D 4пг
1 1 И/(?, п, f)
С=^ .
получим искомую функций J , удовлетворяющую всем поставленным
условиям 1°, 2°, 3°, и 4°.
Пользуясь приемом Римана, примененным им к доказательству сим-
метричности функции Грина, докажем, что функция J также симметрич-
на относительно переменных х,у,г и %, ц, $ * **)).
Легко видеть, что решение задачи об установившемся тепловом сос-
тоянии однородного твердого тела, когда лучеиспускательная способность
поверхности, его ограничивающей, равна нулю, представляется (ср. урав-
нения (28t) п. 6) при помощи функции J в следующем простом виде:
ио = fJ +С , (811)
где С - произвольная постоянная, а м’» есть значение <р при замене в нем
переменных х,у, z на I-, 17, f ♦♦).
24. Переходим к доказательству существования второй из упомянутых
в п. 23 функций, определяемой следующими условиями:
1°. Функция Н зависит от двух систем координат х,у, z и $, 1?, f и ос-
тается непрерывной во всех точках внутри данной поверхности (5) вместе
*) Повторять это хорошо известное доказательство считаю излишним.
**) Предполагается, что функция <р удовлетворяет условию Гельдера и условию
(30) п. 7. {Прим, ред.)
357
со своими частными производными по х, у, и г двух первых порядков,
за исключением точки х = %, у = т), z = f, где Н обращается в бесконеч-
1
ность гак, что разность Н - - ограничена.
4пг
2°. Функция Н удовлетворяет уравнениям
AH = Q внутри (3), (82)
ЭЯ,
---- + hHi = Q на поверхности (5) , (821)
дп
где h есть положительная постоянная.
Функция Н представляет частный случай обобщенной функции G Грина,
которой, пользовался Пуанкаре в своем упомянутом выше мемуаре. Эта
последняя определяется теми же условиями, что и функция Н, с той разни-
цей, что уравнение (82) заменяется следующим:
Д6 + 1-G’ = О внутри (3) , (83)
где $ есть некоторый параметр *). Определение этой последней сведется,
очевидно, к решению поставленной нами задачи, если искать функцию
G в виде ряда, расположенного по целым положительным степеням пара-
метра $ . В частности, при (• = 0 функция Пуанкаре G обращается в рас-
сматриваемую нами функцию Я.
Так как исследования Пуанкаре недостаточны для строгого решения
задачи о существовании рассматриваемых функций, то я изложу вкратце
общий ход решения этой задачи вытекающий из предыдущих изысканий.
С 1
Положим Н = Hi + — + - . Задача сводится к определению непре-
Л 4лт
рывной внутри (S) функции Hi при помощи уравнений
ДЯ! =0 внутри (3), (84)
ЭЯ1? Л 1 со s </?
----- +ИНц +----------------——-+С = 0 на поверхности (3).
Эл 4тгг 4тг г
Будем искать функцию Я! в виде ряда
Hi = t>o +Л2о2 + ... +hkVk + ...
Для определения и0 получаем следующие уравнения:
Ди0 ~ 0 внутри (3),
Эи0/ 1 cos
---------------— _ с=f на поверхности (3).
Эл 4тг г
Это есть задача Неймана, для возможности которой необходимо поло-
жить CS= 1, гдеЗ есть площадь поверхности (3), ибо при этом условии
ffds = O.
•) См., Н. Poincare, loc. cit„ р. 103.
358
Определив по приему теоремы VI гл. II функцию i>q, положим и0 = t*o +
+ Со и определим постоянную Со при помощи уравнения
I ds , 1 ds
f vol ds + —— f — = f voi ds +—— J — + C0S = 0 . (85)
4rr r 4rr r
Получим определенную функцию u0, подчиненную условию (85).
Для определения получаем затем уравнения
Aui =0 внутри (5),
dun 1
----+ По/+----- =0 на поверхности (5).
дп 4пг
Опять имеем задачу Неймана, которая возможная силу равенства (85).
Для определения остальных функций vk{k = 2,3,. . . ) получаем те же
самые уравнения (29), что и в п. 6.
Повторяя дословно рассуждения этого последнего пункта и следую-
щих за ним до п. 17, докажем существование функции Ht, удовлетворяю-
щей уравнениям (84), а следовательно, и искомой функции Я, определяе-
мой условиями 1 ° и 2°.
25. Найденная только что указанным способом функция Н, так же как
и функция Грина G и функция J )п. 23), симметрична относительно
переменных х, у, z и f. Доказательство то же, что и для функции
Грина.
При помощи функции Я функция v, определяемая уравнениями (26)
и(27), представляется в следующем простом виде:
v = fH<pidT\ внутри (5). ' (86)
где употреблены те же обозначения, что в конце п. 23.
Доказательство этой формулы настолько просто, что на нем нет надоб-
ности останавливаться.
Различные приложения функций G, J кН указаны мною сначала в
кратких заметках в ’’Comptes Rendus”в 1898 и 1899 гг., а затем подроб-
но развиты в нескольких мемуарах, напечатанных в ’’Сообщениях Харьков-
ского Матем. Общества”, в ’’Annales de Toulouse” в "Annales de 1’ccole
Normale” *) и в сочинении ’’Общие методы решения основных задач
математической физики" (Харьков, 1901). Обобщение всех этих функций
в связи с теорией интегральных уравнений от трех переменных и вытекаю-
щей отсюда общей теорией фундаментальных функций предложено мною
*) W. Stе k I о f f. Sur un problems de la theorie analytique de la chaleur. - Comptes
Rendus, 4 avril 1898.
W. S t e k 1 о f f. Sur le developpement d’une fonction donnee suivant les fonctions
harmoniques. - Comptes Rendus, 30 janvier 1899.
W. S t e k I о f f. M/moire sur les fonctions harmoniques de M.H. Poincare. - Annales
de Toulouse, 2 ser., Т.П, 1900.
W. S t e k 1 о f f. Sur les problemes fondamentaux de la Physique mathematique. -
Annales de I ’ftcole Normale, 1902.
В. Стеклов. О разложении данной функции в ряд по гармоническим функ-
циям. - Сообщ. Харьк. Матем. Общества, Т. VI, 1897.
359
в мемуаре ”Th&rie generale des fonctions fondamentales”, опубликован-
ном в 1905 г. в "Annales de la Faculte des Sciences de Touluse”.
Из этой общей теории выводится, как частный случай, доказательство
существования особого рода фундаментальных функций, при помощи
которых решаются основные задачи аналитической теории тепла и теории
звука (охлаждение однородного твердого тела и колебание газа внутри
замкнутого сосуда), тесно связанные с задачей чистого анализа о разло-
жении произвольно заданных функций в ряды по фундаментальным функ-
циям. В этих последних задачах математической физики приходится иметь
дело именно с функциями J и Н и формулами (81 j) и (86), установлен-
ными в предыдущих пунктах, которыми мы воспользуемся в следующих
частях настоящего сочинения.
26. Применим, наконец, полученные выше результаты к выводу некото-
рых неравенств, устанавливающих высшие или низшие пределы отношения
некоторых объемных и поверхностных интегралов, которые играют важ-
ную роль при изучении вопросов, упомянутых в предыдущем пункте,
и которыми нам придется воспользоваться впоследствии.
Обозначим через W функцию, вообще говоря, не гормоническую, но
обладающую всеми остальными основными свойствами потенциала просто-
го слоя, и положим
1 W
V=—S — ds. (87)
4тг г
Обозначим через dT элемент объема, когда интеграл от какой-либо
функции трех переменных х, у, г распространяется на все пространство,
через dr - элемент объема области (£>’), лежащей вне поверхности (S),
черз dT, как и раньше, элемент объема области (£>). При помощи формул
преобразования Грина (гл. I) и известных свойств потенциала простого
слоя получаем *)
/эиу /ЭИ, ЭИД
JS1----- с/7’=/И-------------- <fc = f VW ds > 0. (88)
\ Эи / \ Эл Эл /
Применим к интегралу (8/) неравенство Буняковского (Шварца),
доказанное нами в п. 3 гл. 11 части I сочинения для случая одной пере-
менной, но справедливое для какого угодно числа переменных и для какой
угодно области **).
*) Напомню, что мы всегда рассматриваем замкнутые поверхности, удовлетворяю-
щие условиям Ляпунова (гл. I , п. 17).
** ) Для случая, например, трех переменных это неравенство доказывается проще
всего следующим образом.
Пусть <р и ф - две какие угодно интегрируемые в данной области (D) функции ко-
ординат*. /, z. Обозначим через dr и dr, элементы области (D) при интегрировании
по переменным х, у, г и £, ч. Е Очевидно,
~ fy'/'Vt'I'i +'<e}i't)drdTl = - ф <fit)2 dr drt >0.
Так как левая часть этой формулы равна
2{f ¥>’dr /dr - (f dr)1}. то (J dr)2 < [ ,р2 dr f ф2dr.
Знак равенства может соответствовать, очевидно, лишь случаю = const ф ,
360
Получим
И2 <
1
(4я)2
ds
f —
W2
f ---ds<
r
W2
f ------ds.
Отсюда
fV2ds<,
/ L V
<1—I
\4тг /
L
(M2
fW2ds = l02 JW2ds.
С другой стороны,
f VWds<\/f Vi ds № ds
и, следовательно, в силу предыдущего неравенства
S VWds<l0 S W2 ds.
Это последнее неравенство и (88) дают
/эгУ
/2-----1 dT<l0fW2ds. (89)
\Эх /
Применим теперь формулы преобразования Грина к функциям К и W.
Получим
ЭИ
Эл
Отсюда при помощи неравенства, аналогичного неравенству Буняковско-
го, выводим
, , /ЭГ\2 fbW\2
(j w2 ds)2 б — — dT.
\дх J \ Эх ]
ЭИ
/2 —
Эх
9W
---dT=SW
Эх
-----Ids = / И/2 ds.
Это неравенство и (89) приводят к следующему:
, /ЗиЛ2
fW2ds<lofZ[-------1 dT.
\Эх /
Получаем следующую лемму.
Лемма!.Для всякой функции W, непрерывной во всем пространстве,
имеющей производные первого порядка, непрерывные внутри и вне дан-
ной поверхности (S), правильные нормальные производные на самой по-
верхности и обращающейся в бесконечности в нуль по тому лее закону,
каки потенциал простого слоя, имеет место неравенство вида
/ЭИ/\2 , , 1
/Б|----1 dT/JW2ds>-,
\ Эх / 70
ds
где l0 = L / (4я) a L есть максимум интеграла f — на поверхности (S).
г
Эта лемма справедлива для всякой поверхности Ляпунова.
361
27. Обозначим через р функцию координат, имеющую непрерывные
частные производные первого порядка внутри поверхности (5) и под-
чиненную условию
f pdT = O.
Найдем функцию ф, удовлетворяющую уравнениям
Д ф + р = 0 внутри (S),
30,-
------ 0 на поверхности (S).
Эл
(90)
(91)
Как показано в п. 5, мы можем всегда найти такую функцию ф для лю-
бой поверхности Ляпунова, к которой приложим принцип Робена, и в
частности, для любой конвексной поверхности.
По теореме Грина имеем
др дф .дф,-
fS — --------</т = — / Д^</т + / *—-ds, (92)
дх дх дп
откуда, на основании (91),
др дф
fS -f- — dT = fp2dr.
дх дх
Подобным же путем получаем
(дф V
f S I---.1 dr = — f фДфdT = f рфdT>0.
\ дх /
(92,)
(93)
Применим к интегралу левой части равенства (92) обобщенное нера-
венство буняковского (Шварца). Получим
/ др дф \2 / др V / дф\2
/Е —--------dr drfS — IdT.
V Эх dx J \ дх / \дх/
ОтсюДа на основании (92,) и (93) выводим
/э^У
(fp2dr)2 I — I drfp^dT<,
V Эх/
---1 dr (f р2 d rf ф2 dr)112,
дх/
(94)
28. Пусть х, у, г есть какая-либо точка, лежащая внутри (5). Опишем
около этой точки, как центра, сферу (а) радиуса R и применим форму-
лы (31) и (32) гл. I к области (Д), ограниченной поверхностью (5) и
сферой (а), целиком лежащей внутри (5), полагая U = w, V = 1/г,
г= \/(х - $)5 + (у - т?)2 + (z - J)2'. где w = — / — </т*).
4тг г
*) Интегрирование совершается по переменным (, n, f; функция удовлетворя-
ет условиям предыдущего пункта.
362
Заметив, что первые частные производные w по х, у, z непрерывны во
всем пространстве, что
Aw = -<p внутри (5),
а в области (Dt)
Д(1/г) = 0,
получаем
dw 3(1/г) , Э(1/г) 3(1/г)
fS-------------dr = fw---------ds + fw------da, (95)
Эх Эх Эл Эл
Эи» 3(1/г) , , Эи» 1 Эи» 1
ГЕ ---- ------- dr = /— dr + f--------ds + f----- —da,
dx dx r dn r dn r
где через dr' обозначен элемент объема области (Di), через da — элемент
поверхности сферы (а).
Так как направление внешней нормали л противоположно направлению
R радиуса сферы, то
3(1/г) 1
fw —da = — fwda.
Далее,
Э(1/г) cos<£ Эи» 1 1 Эи»
Jw--------ds = - fw —— ds, J —--------da = — / ----- da.
dn r2 dn r R dn
Учитывая эти соотношения, из (95) выводим
1 cos , 1 Эи» 3w 1
— f wda-fw —~ds = f—dr +T’ f 7— da + f —----------------ds (96)
R2 r2 r R dn dn r
— равенство, справедливое при всяком достаточно малом R.
Предположим, что R стремится к нулю, и перейдем к пределу. Получаем
1 1 Эи»
lim —— fwda = 4nw, lim — f------ da = O,
r - о R2 R R dn
lim f—dr'-f— dr = 4nw,
R - о r r
и равенство (96) обращается в следующее:
9w 1 cos
Г------ds — — f w —-— ds,
dn г г2
имеющее место для любой точки х, у, z, лежащей внутри (S).
Предположим, что точках, у, z приближается к какой-либо точке поверх-
ности (S) и перейдем к пределу. Учитывая известные свойства потенциалов
363
простого и двойного слоя, получаем для точек поверхности (S):
9w 1 cos
Г---- — ds~- J w —-— ds - 2 я w.
Эл г г2
Но
4 я | w | <1 J<p2 dr f
\/!^>2 dr
и, для конвексной поверхности,
COS Ф COS (Л г—, г——------------
/ w —— ds< f | w | -------—ds< Vя/ \Z5<4>2 dr.
r2 r2
Следовательно,
dw 1
f--- — ds
Эл r
< 2 \/ я/' у/f <p2 dr'на поверхности (5).
(97)
29. Как указано выше (см. п. 5 или 7), функция ф представляется в виде
ф = и + w, (98)
где и есть функция, определяемая уравнениями
Ди = 0 внутри (5), (981)
Ъи( 3w/ 3w
•— =- ----=--------на поверхности (S).
Эл Эл Эл
Применяя прием теоремы VI гл. II, получим функцию и в виде потенциа-
ла простого слоя, который можно изобразить рядом
М = -И-Г2-Гз-...-Г*-..., (99)
где Vk суть функции, определяемые равенствами (19) гл. II, в первом из
Э w
которых нужно положить До = — -, причем будем иметь
Эл
1 9>v 1
И = — f --------ds. (100)
2 я Эл г
Как доказано в гл. 11, функции Vk связаны на поверхности (5) соотно-
шениями (равенства (22))*)
1 cos
Vk=—fVk-i ---------~ds (* = 2,3,...),
2я г2
причем в силу основного неравенства Неймана
Мк-тк<(Мк.1-тк_1)т,т<1 (Л = 2,3,...), (101)
где, напоминаем, Мк и шк означают максимум и минимум функции Vk
на поверхности (S).
*) Черту над буквой И всюду опускаем, ибо Vk непрерывны во всем пространстве.
364
Неравенства (101) дают
Мк - тк <(MV -
Далее, в п. 14 гл. III доказано равенство
f р Vkds = fp Vk_i ds.
Отсюда, на основании (100),
1 3w / р \
SpVkds =fpVi ds =------f ——I J—ds |ds = O,
2 я on \ r /
(Ю2)
(ЮЗ)
p 9w
ибо f — ds = const, а в силу условия (90), f-ds = 0.
г Эл
Равенство (103) показывает, что функции Vk (£ = 2,3,...) необходимо
меняют знак на поверхности (5), вследствие чего можем писать
| Vk I <Мк - тк (104)
— неравенство, которое на основании теоремы I гл. I имеет место для любой
точки области (D).
С другой стороны, на основании (100),
1 3>v 1
Mi - mi <2 max | Vt | = — max f---------------ds
•п Эл r
(104,)
Отсюда, приняв во внимание (102) и (104), получаем
т*_| Эи» 1
I Vk I < ---- max f — — ds .
я Эл г
Это последнее неравенство и (97) приводят к следующему:
| Г* 2>/^ x//^2dT'(£ =2,3,. ..). (105)
я
30. Возвращаемся к ряду (99). Имеем
1«1<1 Vi |+S | Vk |.
к = 2
Заметив, что неравенство (105) можно считать справедливым при вся-
ком к, начиная с к = 1, получаем
я
у/ f р2 dr = А у/ S *р2 dr,
(106)
где А есть определенное число, зависящее исключительно от вида поверх-
ности (S).
345
Из равенства (98) выводим ф2 <2 (и2 + w 2 ),откуда при помощи
(1(Ю и w 2 < —f tp2 dr (см. п. 5 гл. I)
4п
получаем
ф2 <2 (а2 + — )fp2dr = Bfp2dT
\ 4я /
и
f ф2 dr<BDf <р2 dr, (107)
I Г 42 1
где D означает объем области (D), а В = —11 +---- I = а /, где а
24 (l-r)2J
есть определенное число.
Неравенство (107) и (94) (п. 27) дают
/ Э(А2 ,__________ /
fsp2dT<,y/BFfZ — dT = a x/ljTfZ — dr.
\дх/ \Эх/
Так как I означает радиус сферы, объем которой равен объему данного
тела (п. 5 гл. 1), то D = 4п I3 /3 и, следовательно,
, 2a\/Gr' , 1Э<^\2 / Э<р\2
J^2dr< ------т=г/2/Е — drC/3Z2 JE —I dr. (108)
V 3 \ Эх/ \ Эх/
31. Это неравенство представляет собой известную лемму Пуанкаре, до-
казанную им в упомянутом выше мемуаре ”Sur les Equations de la Physique
mathematique” (Rendiconti di Palermo, 1894)*), и имеет место для всякой
конвексной поверхности и для всякой функции подчиненной условию
fspdr = O.
Вопрос об отыскании низшего предела отношения
/ Э(Л \2
) dr/ S^2dT
\ Эх /
Пуанкаре рассматривал как задачу чистого анализа (интегрального исчисле-
ния) , независимо от его связи с задачами математической физики, и нашел
этот предел равным 16 / (9Z2).
Наш анализ приводит к неравенству
/ Э(г\2
/21------1 dr / /<р2 dr>m /12,
ХОХ /
(109)
1 V3 V3
где m = — - -------— = —— ,.....- ....
3- 2a>/7 yfHyJ 1 +42/(l -T?
*) Gm. также American Journal, т. XIT.
366
Какова бы ни была конвсксная поверхность (S). всегда r< 1, 1 - r< 1,
42
I + -------- > 1 + 4 2 = 17 и следовательно, для любой конвексной по-
(1 — т)2 ______
верхности 0 < т < \/ 3 / 34*< 0.298. Число, соответствующее т в формуле
Пуанкаре, равно 16/9.
Различие происходит главным образом оттого, что в последней / обозна-
чает наибольшее из расстояний между двумя точками поверхности (S), тог-
да как в неравенстве (109) / есть радиус сферы, объем которой равен объе-
му данного тела (см. гл. I, п. 5). Для дальнейших приложений нам важно
лишь знать, что в неравенстве вида (109) т есть определенное число, не рав-
ное нулю и не зависящее от функции >р, причем можем подразумевать под /
и наибольшее из расстояний между двумя точками поверхности (5), как
это делает Пуанкаре.
32. Употребленный выше прием доказательства неравенства (109) осно-
ван на предположении, что поверхность (S) конвексна и не имеет углов или
ребер, так что интересующее нас неравенство нельзя считать доказанным,
например, для случая, когда (S) есть поверхность куба. Но по самому смыс-
лу неравенства (109), левая часть которого содержит только объемные
интегралы, естественно предположить, что оно справедливо всегда, коль
скоро входящие в него интегралы имеют смысл.
Рассмотрим сначала следующий случай. Пусть и <р2 суть какие угодно
заданные функции координат, непрерывные вместе со своими производны-
ми первого порядка во всей области (£>), ограниченной поверхностью (S)
куба, диагональ которого равна /. *)
Покажем, что неравенство (109) справедливо и для куба, если положить
>p = a>pi +<р2 (110)
и выбрать постоянную а при помощи условия
/<р</т = аJtfitdT + Jdr = 0, (111)
где d г есть элемент объема области (D) (куба).
Построим конвексную поверхность Ляпунова, которую обозначим через
(5') целиком лежащую внутри (5) .Поверхность (S') всегда можно сделать
сколь угодно близкой к поверхности куба, так что объем области (£>0)>
заключенной между поверхностями (S) и (5'), будет сколь угодно малым.
Обозначим черезdт'элемент объема, ограниченного поверхностью (S'), че-
рез dr0' — элемент объема области (Do). Выберем постоянную а в функ-
ции (110) при помощи условия f spd т' = f + *p2)dr' =0,т.е. положим
а = - f iftdr' I f dr'. (112)
Неравенство (109), приложимое к поверхности (S'), дает
(ИЗ)
где /| есть наибольшее из расстояний между двумя точками поверхности
(5У
♦) Предполагается, что / dr * 0. (Прим- ред.)
367
(113,)
(114)
Рассмотрим отношение
/ Ъ0 \2
I = f 2 I-) dr / f 02 dT,
\ Эх /
где интегралы распространяются на всю область (£)) куба. Очевидно (нера-
венство (113)),
(Э(л\2 , т
-—j dT / f02 dr> — f 02 dr' / f 02 dT =
Эх / I]
= ft dr / J02 dr,
ибо lx <1. Учитывая (ПО) и (112), можем писать
(j0xdT')2l02 dr = f 0I dT(S0xdr’)2-
- 2 f 0x 02dT f 0, dr' f 02dr' + f ф? dr(f 02 dr')2 ,
(f0, dr’)2f 02 dT,= f 02 dr' (f 0x dr')2-
-2 f 0, 02 dr' f 0, dr' f 02 dr' +f 0^dr' (f 02dT')2,
откуда
(f 0t dr')2 [f 02 dr - f 02 dr' j =f 0^dTo (f 0x dr’)2-
-2 f0x 02dro/0t dr’f 02dT +/02dTo(/02d r')2-
Обозначив правую часть равенства (115), которая, очевидно, неотрица-
тельна, через X2, получаем f 02 dr - /02 dr' = X2 / (J0, dr')2. Из выра-
жения для X2 следует, что выбрав поверхность (S') достаточно близкой к
поверхности (S) куба, будем иметь
(114.)
(115)
(117)
X2<62, (116)
где 6 есть произвольно заданное положительное число, стремящееся к нулю
по мере приближения поверхности (S') к (5).
Таким образом, из (114) выводим
т { X2 \
/> —- 11--------—-------- .
/ \ (Jv»i dr ) S* dr /
Положим
V2 = J</>2 dTiS^xdTf-lS^x^dTS^xdTS^idT^
+ f <pidr (f 02 dt)2,
X' = f<PxdT0 [/0, <f2 dT f<p2dT- f <fit dr/ 0% dr} +
+ J^2 dra <02 dT J<px dr- f <fi2 drf<02 dr],
X, = П + 2Х',
где
V2o =f<P2 dr (f 0x dT0)2 - 2 f 0x 02 dr f 0, dt0 f 02 dt0 +
+ f<PtdT(f02dTo)2.
368
Очевидно, сделав поверхность (S') достаточно близкой к (S), будем
иметь
(118)
Пользуясь указанными обозначениями, можем первое из равенств
(1141) представить в виде
U<Pidr')2 Jp2dT=V2 +Х.,
т / X2 \
причем будем иметь (неравенство (117)) / > — I 1 — —2 j для
всякой поверхности (S') Сделав (S') достаточно близкой к (S), будем
иметь, на основании (116) и (118),
т
где е - наперед заданное положительное число, стремящееся к нулю, когда
поверхность (S') приближается к (S).
Положим теперь
. / Э<Л1\2 Э<л. др2
W2 =(/м>1</т)2JSI--£2-) dT-lf^dTf^drfZ-—— dr +
\дх / дх дх
(119)
2 / V
+ (J^tfT)2JS dr.
\ дх J
Нетрудно убедиться, что выражение /(113,) можно представить в виде
/ = /е(—) dr I f<p2 dr = (W2 + Х2)/(Г2 +Xi),
\Эх /
где Хг > как и Х(, есть величина, которую можно сделать сколь угодно близ-
кой к нулю, если поверхность (S') сделать достаточно близкой к (S), отно-
шение же W2 / V2 представит значение отношения
/ dtp \2 ,
JE -Л) dr/S^dr,
\дх /
если функцию подчинить условию
fpdT = O. (120)
Таким образом, сделав поверхность (S') достаточно близкой к (S), мо-
жем писать
W2+X2 W2
—------- = —Г (1 + е X
V2 +Х, V2
где е' есть число, стремящееся к нул.э одновременно с числом е неравенст-
ва (119). В силу всего сказанного неравенство (119) приводится к виду
И/2 , т
— (1+е')> —(1-е)
369
и имеет место при всяком положении поверхности (S') внутри (S) и дос-
таточно близком к (S). Отсюда заключаем, что, при условии (120),
И/2 / Э<р \2 т
-=/ц-рг//# =„>-,
(121)
коль скоро интегралы, входящие в выражения И/2 и К2, имеют определен-
ный смысл.
Легко видеть, что предыдущие соображения справедливы не только для
куба, но и для всякой поверхности (S) с каким угодно числом ребер или уг-
лов, лишь бы она была конвексна.
33. Пусть теперь (S) есть какая угодно конвексная поверхность.
Предположим, что область (О)„ ограниченная этой поверхностью, лежит
целиком внутри куба, сторона которого равна а. Разобьем этот куб плос-
костями, параллельными координатным плоскостям, на<?3 малых кубов,
сторона каждого из которых будет рав^на а / q. Любая область, общая каж-
дому из этих малых кубов и телу (D), будет конвексна, и наибольшее рас-
стояние между двумя ее точками не превзойдет числа a yfY / q. Пусть число
таких составляющих объемов, на которые разбивается объем области (О),
есть р — 1, а функция представляется в виде
Ф = «1 <Р1 +«2»Р2+ • +“р (122)
где ifik (к = 1, 2,. . . ,р) суть заданные функции, а ак (к - 1,2,.. . ,р) - неко-
торые, пока неопределенные постоянные.
Обозначим через (Dt), (£>2), . . . , (Dp _ ]) элементарные объемы, на
которые мы разбили область (D), через Ак иВк — интегралы вида
/Э<р \2 ,
f Е (—) dr и f>p2dr,
\ дх)
распространенные на область (Dk). Имеем
/Эф \2
fS — dr=A2 +А2 + ...+Лр_1,
\ дх)
fo2dr = Bl + В2 + ... +Вр_1,
(123)
где в левых частях подразумеваются интегралы, распространенные на
всю область (D).
Обозначим через Ск интеграл вида f <pdr, распространенный на область
(Рк), и определим постоянные ак при помощи уравнений
G =С2 = ... = Ср_1 =0,
f <р2 dr = 1.
(124)
Всегда можно распорядиться составляющими объемами (Dk) так, что
уравнения (124), линейные и однородные относительно ак, дадут опре-
деленные отношения р - 1 этих постоянных к одной из них, после чего
второе из (124) определит и эту последнюю * )
* ) Для этого достаточно предположить, что система функций у», ,..., у»р линейно не-
зависима. (Пром, ред.)
370
К каждой из областей (Dk) приложимо неравенство (121) предыдущего
пункта, так как функция р удовлетворяет условиям (124). Поэтому
т т
Ак >—Вк >— Вк, где 1к- наибольшее из расстояний между двумя точ-
1к I
ками поверхности, ограничивающей область (Dk\ а / есть наибольшая
из всех длин/fc. При помощи этих неравенств и (123) получим
dr/ fy2dT>—> — q2.
г За
Очевидно, р - 1 <q3,i.e.q2 >(р - 1)2/3=р2/3 (1 - 1/р)2/3 >р2/3 / 22/3
при всяком р>2. Следовательно, при соблюдении условий (124) бу-
дем иметь
/2(^) dT^dT>^^ p2,3=m'p2/3=Lp,
где т' есть определенное число * ).
34. Допустим, наконец, что поверхность (S) не конвексна.
Область (D), ограниченную этой неконвексной поверхностью, можем
приблизить областью (£>(), состоящей из некоторого числа N состав-
ляющих конвексных областей.
Если по-прежнему обозначим через а сторону куба, внутри которого
целиком заключается каждая из этих составляющих областей, и разобьем
этот куб на q3 составляющих кубов, а через р — 1 обозначим по-прежнему
число составляющих объемов, на которые разобьется вся область (Dt),
то, рассуждая подобно предыдущему, получим, выбрав соответствующим
образом постоянные ак в выражении (122),
(Эр\2 , m
—) dT I fa2 dr >— q2 = LP.
Эх / За
Так как в данном случае р — 1 <М?3,то в предыдущем неравенстве
под q можно подразумевать наибольшее целое число, содержащееся в
/р-1?/3
\ N )
Сопоставляя все сказанное, приходим к следующей лемме Пуанкаре.
Лемма Пуанкаре. Пусть (D) есть область, ограниченная какой угодно
замкнутдй поверхностью (S), и
<p = ai +а2 +.. ,+ар^р, (125)
где *рк (к = 1,2,..., р)суть какие угодно заданные функции координат,
непрерывные со своими частными производными первого порядка во
1
* ) Последнее неравенство (переписанное в виде {ч>г<1т - Jiwl2 dr) уста-
m'p2'3
новлено и в случае, когда система функций .>рр линейно зависима. В этой си-
туации также найдется набор постоянных а,. ... , ар такой, что а* + ... + агр + 0 и
для линейной комбинации (122) справедливо обсуждаемое неравенство. Однако
при этом функция <р может оказаться тождественно равной нулю и последнее ус-
ловие из (124) не выполнено. (Прим, ред.)
371
всей области (D), а ак (к = 1,2,... ,р) — некоторые постоянные. Послед-
ними всегда можно распорядиться, определив отношения р - 1 из них к
какой-либо одной при помощи р - 1 линейных однородных уравнений
так, что будет
/Э^\2
) dTffc2dr>Lp,
\дх/ р
где число Lp имеет вид тр2'3 ,а т есть определенная постоянная, не зави-
сящая ни от р, ни от фукций
35, Эта лемма приводит к ряду других аналогичных неравенств, которые
играют первостепенную роль в исследованиях, имеющих цель строгого
обоснования и распространения на возможно обширный класс поверхнос-
тей методов решения основных задач математической физики. Выводом
главнейших из этих неравенств, которыми придется пользоваться впослед-
ствии, мы и закончим эту главу.
Прежде всего докажем одну лемм/ для области (£>'), внешней отно-
сительно данной поверхности (5), и для некоторого частного вида функции
<1, которая установлена Зарембой в 1901 г. **).
Допустим, что функция как и в предыдущем пункте, определяется
равенством (125), обозначим через dr элемент объема области (£)') и по-
ложим
/Э(й\ 2
= dr, l' = fc2dT,
\Ъх)
где интегрирование распространяется на все пространство, внешнее относи-
тельно поверхности (S).
* ) Если система функций ,..., рр (из С (D) ) линейно зависима, то функция
ip может оказаться тождественно равной нулю. Напомним также, что рассматривае-
мая поверхность ($) удовлетворяет условиям п. 17 гл. I .
В качестве приближающей область (D) области (Dt ) можно, например, взять
область, содержащую (/>) и являющуюся объединением конечного числа (Л) дос-
таточно малых не пересекающихся по внутренним точкам кубов (имеющих непус-
тое пересечение с (D)). Продолжим функции из С* (£) в область (D,) так, чтобы
эта операция была линейной и имело место неравенство
J Ivul dr, < Cf |vul dr (125!)
О, D
с не зависящей от функции и постоянной С. По заданным функциям р,...........рр.
р> N (продолженным в (£>,)), выберем указанным в пп. 32 и 33 способом посто-
янные «!,..., Ор. при этом в каждом кубе, а следовательно, и в области (D,) бу-
дет справедлива оценка
1
/ ргйт1 <-------— ! IV ¥>l’dTt.
£>, лцр’'3
Используя неравенство (125,), получаем требуемое неравенство с постоянной
m, t т,\
L„ =—рг'31т=-------1. (Прим, ред.)
. С X С J
**) S. Z а г е m b a. Sur la theorie de Г equation de Laplace et les methodes de Neu-
mann ct de Robin. - Bull, de Г Academic de Sciences de Cracovie, mars 1901.
372
В дальнейшем мы ограничимся частным предположением, что функции
рк (к = 1,2,... ,р) в выражении р> обладают всеми свойствами потенциала
простого слоя по отношению к поверхности (S). При этом условии, если
считать постоянные ак какими угодно, интеграл /' может не иметь смысла,
но при известном выборе этих постоянных рассматриваемый интеграл
получит определенное значение. Это условие, как увидим, само собой
будет соблюдено в дальнейшем анализе.
Опишем около начала координат сферу > (о) радиуса R так, чтобы по-
верхность (S) целиком заключалась внутри этой сферы, и обозначим
элемент объема области, заключенной между поверхностями (о) и (S),
через dro. а элемент объема области, внешней относительно сферы (а) —
через Jtq • Положив
Ч = f<p2dro, /'2 = f<p2dr0,
будем иметь
+ /' = /; + /;. (127)
36. Обозначим через Рк полином Лежандра степени к от аргумента
cos 7 = cos «У cos d' + sin d sin cos - <f>),
где 1, d , </ и d' суть сферические координаты двух точек поверхности
сферы (о' ) радиуса 1 с центром в начале координат, и положим
2А + 1
Yk=—— frPkda. (128)
4тг
Здесь da'означает элемент поверхности сферы (o’), а интегрирование
по переменным и д' распространяется на всю поверхность (а* *) *).
Как известно, Yk есть шаровая функция порядка к от аргументов
д и \р, удовлетворяющая условиям
fYk Y„,do =0, fYk Рт do = 0, т * к,
jYkPkdo = —— Yk. (129)
2к + 1
Так как, в силу сделанных выше условий относительно функций р>к,
функция имеет непрерывные производные первого норядка во всей
области (D') (вне ($)), то иа поверхности сферы (а) имеет место равно-
мерное разложение вида **)
</> = Е Yk. (130)
АО
2А + 1 я
4я {
*) HtG’.*) =
I sin О' cos <р‘, R sin O' sin p', R cos^') x
О
*Pk (cos 0 cos O' + sin В sin O' cos (^ -₽')) dp' j sin O'dO'. (Прим, ped.)
**) См., например,
(.Jordan. Cours d’ Analyse. - Paris, 1913, т. II, p. 296.
E. Heine. - Theorie der Kugelfunctionen. - Berlin, 1878, Bd. I.
373
Функция (Rlp)k+l Yk, где ресть расстояние какой-либо точки, лежа-
щей вне сферы (а), от ее центра, есть гармоническая вне (о), обращается
в Yk на самой сфере и в нуль для бесконечно удаленных точек. Ряд
Z (Я/p)**’ Yk, (131)
составленный из гармонических функций, обращается на самой сфере
(а) в ряд правой части равенства (130), равномерно сходящийся, и в
нуль при р По теореме Вито Вольтера (гл. 1 ) этот ряд представля-
ет собой гармоническую функцию вне сферы (а), принимающую на самой
сфере и для бесконечно удаленных точек те же значения, что и гармони-
ческая функция <р. Следовательно, во всех точках вне сферы (а) функция
(125) может быть представлена в виде равномерно сходящегося ряда
^ = 2 (Я/p)**1 У*. (132)
к=О
37. Обозначим через II* (к = 0,1,2,...) однородный многочлен от
x,y,z степени к, удовлетворяющий уравнению Лапласа ДП* = 0. Введя
вместо прямоугольных сферические координаты р, д и <р, получим
П*=Р*С*, где Qk представляет собой однородный многочлен от аргу-
ментов sin d cos <р, sin d sin и cos д с 2к + 1 произвольными коэффици-
ентами, который называют функцией Лапласа.
Существует, следовательно, 2к + 1 линейно независимых функций
Лапласа порядка к, из которых всегда можно составить 2к + I линейных
комбинаций Xs k (s = 1,2,..., 2к + 1), подчиненных условиям
/Л* da' = I, SXs,k Xr<k da' = 0, s =# г. (133)
Функции Xs k называются фундаментальными шаровыми функциями.
Всякая функция У* изобразится следующим образом через функции
Хз.к :
2Л+1
У* = Е Азк XSik,
3- 1
где коэффициенты Л х>* имеют вид
A3.k=JYkX3.kda', (134)
а равенство (132) представится в виде
* = 2 (Я/р^’е* Л,(135)
* = 0 S-1
причем в силу (134) и (133) будем иметь
Аз,к~ fYkXs kda = faXs kda, (135.)
т.е. все Л^* суть линейные однородные функции р и постоянных а*.
38. Полученное таким образом выражение (135) для показывает,
что, выбрав соответствующим образом число р, всегда можно подобрать
затем постоянные а* в выражении (125) так, чтобы п первых членов
ряда (135) равнялись нулю, каково бы ни было заданное число и. Для
374
этого стоит только подчинить постоянные As к системе уравнений
Л1,о =0,
Л 1,1 = А 2,1 =^3,1 ~ 0,
......................................................... (136)
1,п-1 =^2,п-1 = • • =^2n —l,n—1 =0;
иначе говоря, подчинить постоянные ак системе 1+3 + 5 +...+ 2п-1=
— п2 линейных однородных уравнений, причем само собой разумеется,
что число р должно быть взято большим, чем л2. Уравнения (136) опреде-
лят п2 из постоянных ак (к = 1,2,... ,р) в виде линейных однородных
функций от остальных р — п2 из этих постоянных, причем выйдет ли-
нейной однородной функцией от q-p — п2 произвольных постоянных.
Выбрав ак указанным способом, получим
<р = Е(Я/р)*+1 Yk. (137)
к=п
Отсюда
Э<р„ Эф 1 00
— = lim—=-------S (*+1)У*.
Эл p->R др Rk~n
По теореме Грина
, / Эф \2 , дре-
= —) dr'0=-f>p — da
\дх / Эл
и, следовательно, в силу двух предыдущих равенств и (129),
, 1 00 .
Л'=- S (k+DfYlda.
R к=п
Положив *) Ак = /У* da', находим
j't = RS (к + 1)Ак. (138)
к=п
Далее, так как
// = /ф2 dr'o = f p2dpj\p2da',
R
то, в силу (137),
ОО ОО (Jn оо
Я2*+2 f—JYlda^R3 Е (138,)
к = п R р2 к=п 2к - 1
Ряд правой части этого равенства сходится, а потому интеграл 1\ при
сделанном выборе постоянных ак действительно имеет определенный
смысл, каковы бы ни были потенциалы простого слоя рк(к =1,2,... , р).
Формулы (138) и (138,) сейчас же приводят к неравенству
Л'//,'>(л + 1)(2л - 1)/Я2 >2л2 /Я2. (139) 1
1) Напоминаем, что da' есть элемент поверхности сферы радиуса I.
375-
39. Рассмотрим теперь область, ограниченную сферой (а) и данной
поверхностью (S). Как указано, после сделанного нами подчинения ко-
эффициентов ак уравнениям (136) функция р оказывается линейной
однородной функцией q произвольных постоянных. Применив к рассмат-
риваемой области лемму Пуанкаре, получим
JlHi^mq™. (140)
Числа п, рис/ связаны между собой только одним соотношением
р = п2 + q и в остальном совершенно произвольны. Стоит положить п2 >q2/3
и мы получим из (139)
JlUi^lq2'3 / R2. (140,)
Из (127) при помощи (140) и (140,) выводим
J' //' >m'q213,
где т — наименьшее из чисел т и 2/R2. Таким образом, получаем следую-
щее Предложение:
Пусть
^ = <*1^1 + «2*Р2 + • + «р»Рр,
(141)
где рк {к = 1,2,. .. ,р) суть потенциалы простого слоя по отношению к
данной поверхности (5), а ак (к = 1,2,. .., р) - некоторые постоянные.
Возьмем произвольное целое число q и другое целое число п, подчиненное
условию n>ql/3 ,и положим р>п2 + q.
Постоянными ак в выражении (141) всегда можно распорядиться, под-
чинив их системе n2+q — 1 линейных однородных уравнений, так, что
будет
/ dp \ 2
fS(-----) dr' I f р2 dr' >m'q2/3.
\ dx J
(142)
40. Положим p -n2 -q = q + 1. Функция p при сделанном выше выборе
коэффициентов ак представится линейной однородной функцией от q
неопределенных параметров. По лемме Пуанкаре этими последними всег-
да можно распорядиться так, что будем иметь неравенство
/ dp \ 2
fEl-----) dr I fip2dr>mq2/3
\dx /
(142,)
одновременно с (142).
Сопоставляя это замечание с предложением предыдущего пункта, при-
ходим к следующей лемме.
Лемма Зарембы. Пусть
= +«2^2 +•••+«₽</>₽, (141,)
где рк суть потенциалы простых слоев по отношению к данной поверхности
(S), а ак - некоторые неопределенные постоянные. Возьмем произвольно
целое число q, другое число п, подчиненное условию n>qi/3, и положим
р>п2 +2^ + 1.
Постоянными ак в выражении (141,) всегда можно распорядиться,
подчинив их системе п2 +2q линейных однородных уравнений, так, что
376
будут иметь место одновременно неравенства вида
/дф \ 2
J’S (—I dr' I $ф2 dr'> mq2'3,
Xdx /
/ дф\ 2
J’S!— I dT I fip2dT>mq2/3,
xdx /
где m есть определенное число, не зависящее ни от q, ни от функций Фк
Этой леммой мы воспользуемся в следующих частях нашего сочи-
нения.
41. Возвращаемся к задаче об установившейся температуре однородного
твердого тела, когда требуется определить функцию и при помощи уравнений
Av + ф - 0 внутри (S),
do/ (143)
— + Ли, = 0 на поверхности (S), h > 0.
dn
Предположим,что ф = at<pi + otjipj + ... + арфр, где по-прежнему
йк суть произвольные параметры. Функция v представится в виде
v = cq Vj + а2 и2 + ... + арир, где каждая из функций vk будет удовлетворять
уравнениям вида (143).
Применим к функции v теорему Грина. При помощи уравнений (143)
получаем
/Эо \2
K=fSl------J dr+ hfv2ds = ft^dT,
Xdx/
откуда выводим
К2 < fu2dTj\p2dT,
или
№/(Jv2dtf </ф2dr ! fv2dr. (144)
На основании леммы Пуанкаре мы можем выбрать постоянные а* так,
что будет
J’S (—) dr I fv2dT>mp2'3.
Xdx/
Так как, очевидно,
/ 3v \2
К / fv2dr> f S(—) dr I f»2dT>mp2'3,
Xdx I
то, в силу (144),
{Ф2Лт I fv2dT>m2p*/3.
Получаем следующую лемму.
Лемма. Если в уравнениях
Av + <p = 0 внутри* (5),
dv,
----+ hVj = 0 на поверхности (5), й > О,
dn
377
функция <р зависит линейным образом от р постоянных параметров, то
этими последними всегда можно распорядиться так, что отношение
f p2dT I jv2 dr будет больше числа m2p4/3, где m- постоянная, зависящая
только от вида поверхности (S).
Эта лемма будет необходима при решении задачи об охлаждении одно-
родного твердого тела.
ГЛАВА V
Фундаментальная теорема Пуанкаре — Зарембы и ее следствия.
Распространение принципа Робена и общих методов решения
основных задач математической физики
на какие угодно поверхности Ляпунова
1. В предыдущих исследованиях мь! показали, что методы Неймана
и Робена дают действительное решение задачи Дирихле и Неймана для
всякой конвексной поверхности или, общее, для всякой поверхности,
к которой приложим так называемый принцип Робена. Рассматриваемые
методы не только устанавливают факт существования функций, удов-
летворяющих всем условиям этих задач, но и дают аналитическое выра-
жение искомых функций в виде потенциалов простого или двойного слоя
или в виде сходящихся рядов, члены которых вычисляются последова-
тельно по определенному закону.
Впервые задача Дирихле поставлена была еще в 1828 г. Гауссом в его
упомянутом выше мемуаре „Allgemeine Lehrsatze in Beziehung auf die
im verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfemung wirkenden Krafte”,
но до второй половины прошлого века оставалась недоказанной даже
сама возможность задачи. Первые исследования в этом направлении при-
надлежат Дирихле, который, по словам Римана, доказывал на своих лек-
циях (до 1857 г.) теорему о существовании функции, удовлетворяющей
внутри данной области уравнению Лапласа и принимающей наперед за-
данные значения на поверхности, ограничивающей область, — теорему,
которой Риман дал название принципа Дирихле.
Однако прием, которым по примеру Гаусса пользовался Дирихле,
сводящий решение вопроса к разысканию условий минимума некоторого
интеграла, как уже упоминалось выше , не удовлетворяет требованиям
надлежащей строгости. Таким образом, строго говоря, даже сам прин-
цип Дирихле оставался неустановленным и после 50-х годов прошлого
столетия.
Более или менее строгое решение было впервые получено только К. Ней-
маном в 1870 г., которое дало не только доказательство факта существо-
вания функции, удовлетворяющей условиям задачи Дирихле, но и опре-
деленное аналитическое выражение искомой функции. Около того же
времени была разрешена Нейманом и основная задача гидродинамики.
Но метод Неймана был установлен только для конвексных поверхнос-
тей с определенной касательной плоскостью и кривизной в каждой точ-
ке и основывался на недоказанном тогда предположении о существова-
нии нормальных производных от потенциала двойного слоя.
378
Вопрос о возможности распространить этот метод на более обширный
класс неконвексных поверхностей долгое время оставался нерешенным,
и первая попытка решить этот вопрос была сделана лишь в 1896 г. Пу-
анкаре в его известном мемуаре „La methode de Neumann et le pfobleme
de Dirichlet”*). В основу исследований Пуанкаре был положен принцип
Дирихле, который был установлен самим же Пуанкаре в весьма общем
виде еще в 1889 г. **) при помощи особого метода, названного им
’’methode du balayade”, и кроме того, анализ его был построен на допуще-
нии, что гармоническая функция, решающая задачу Дирихле, имеет
правильные нормальные производные на данной поверхности и что таковые
же производные существуют и для потенциалов двойного слоя, с которыми
приходится иметь депо в методе Неймана.
Мы уже знаем из предыдущего, что эти допущения, вообще говоря,
несправедливы и имеют силу лишь при некотором ограничении заданной
функции, в которую должна обращаться на данной поверхности искомая
функция, гармоническая внутри этой поверхности, причем это последнее
предложение может быть строго доказано лишь для известного класса
поверхностей, которым мы дали название поверхностей Ляпунова.
Таким образом, и изыскания Пуанкаре 1896 г. не дали полного реше-
ния задачи о распространении метода Неймана на неконвексные поверх-
ности.
2. В своих изысканиях Пуанкаре воспользовался, кроме всего сказан-
ного, особого рода точечным преобразованием, которое преобразовыва-
ет всякую замкнутую поверхность (S) с определенной касательной плос-
костью в каждой ее точке в сферу (о) радиуса 1, каждую точку внутри
(S) — в определенную точку внутри сферы и каждую точку, лежащую
вне (5) в определенную же точку, лежащую вне сферы (а). Сам Пу-
анкаре не дал, однако, доказательства того, что всякая поверхность (S),
обладающая только что упомянутыми общими свойствами, допускает
указанное преобразование, и до настоящего времени возможность преоб-
разования Пуанкаре остается недоказанной.
Только в 1899 г. Корн отметил, что к числу поверхностей, допускающих
преобразование Пуанкаре, принадлежат поверхности, конвексные по от-
ношению к одной точке***), с определенной касательной плоскостью и
кривизной в каждой точке. Таким путем было установлено, что преоб-
разование Пуанкаре применимо к более обширному классу, чем обык-
новенные конвексные поверхности, но все же оставалось (и остается)
неизвестным, можно, ли им пользоваться, например, для всех поверх-
ностей Ляпунова.
В том же 1899 г., вскоре после появления в свет исследований Ляпу-
нова о нормальных производных потенциалов простого и двойного слоя
и функций, дающих решение задачи Дирихле, мне удалось доказать с над-
лежащей строгостью и притом независимо от принципа Дирихле, что методы
*) Acta Mathematica, 1, 20, Stockholm, 1896.
**) American Journal, т. XII, 1889.
***) To есть пстерхности, внутри которых находится одна такая точка, что вся-
кая прямая, через нее проходящая, пересекает поверхность только в двух точках.
См.: А. К о г n. - Lehrbuch der Potentialtheorie. - Berlin, 1899, S. 236.
379
Неймана и Робена действительно дают решение задач о распределении
электричества, Дирихле и Неймана для всех поверхностей, допускающих
преобразование Пуанкаре *).
Тогда же я обратил внимание на то, что распространение рассматрива-
емых методов на все поверхности Ляпунова может быть установлено
без посредства преобразования Пуанкаре если доказать независимо от него
следующую теорему чистого анализа **):
Для всякой поверхности Ляпунова (S) отношение интегралов
/ dip \ 2 /Э<^\ 2 ,
fSI—-I rfr//S{—I dr,
из которых первый распространяется на область (D), ограниченную поверх-
хностью (S) ,а второй - на все пространство, внешнее относительно (S),
имеет конечный высший и отличный от нуля низший пределы, какова бы
ни была функция </>***), удовлетворяющая условию
/—ds = 0.
дп
Этой теореме я дал, на основании сказанного, название фундаменталь-
ной теоремы.
Именно для доказательства этой теоремы Пуанкаре и изобрел упомяну-
тое выше точечное преобразование. Однако установить эту теорему ин-
тегрального исчисления независимо от преобразования Пуанкаре и тех
задач математической физики, решение которых существенным образом
зависит от нее, до сих пор не удалось.
В 1901 г. Заремба в мемуаре ”Sur la theorie de 1’dquation de Laplace
et les me'thodes de Neumann et de Robin” (Bulletin de Г Academic des
Sciences de Cracovie) доказал другую теорему, аналогичную фундамен-
тальной теореме и приложимую ко всякой поверхности Ляпунова неза-
висимо от того, допускает ли она преобразование Пуанкаре или нет. При
помощи этой последней теоремы оказалось возможным доказать при-
менимость принципа Робена ко всем, без исключения, поверхностям Ля-
пунова, как это показано мною в мемуаре ”Sur les problems fondamentaux
etc”. (Annales de Г Ecole Normale, 1902.)
3. В предыдущих главах настоящего сочинения мы доказали, что Ьсе изло-
женные там методы решения основных задач математической физики при-
менимы ко всем поверхностям Ляпунова, к которым приложим принцип
Робена. Для того чтобы распространить полученные выводы на все поверх-
ности Ляпунова, остается только доказать при помощи только что упомя-
нутой теоремы Зарембы, что принцип Робена приложим ко всякой поверх-
ности Ляпунова.
*) W. S t е k 1 о f f. ”Sur les problemes fondamentaux de la Physique mathematique”
(Paris, Comptes Rendus, 6 mars 1899).
**) Относящиеся сюда соображения были затем более подробно развиты в ме-
муаре "Les methodes generales etc.” Annales de Toulouse, 1800, в сочинении "Общие
методы и тд.” (Харьков, 1901) и других упомянутых выше мемуарах.
♦*♦) Здесь f - потенциал простого слоя; см. п. 40. (Прим, ред.)
380
Доказательству этого положения и будет посвящена настоящая глава,
которую начнем с доказательства теоремы Зарембы.
Заметим, что эта теорема сама по себе также представляет одно из пред-
ложений чистого анализа (интегральногоисчисления),и,казалось бы, долж-
на выводиться непосредственно из аналитических свойств функции и са-
мого определения объемных интегралов, однако все попытки доказать ее
независимо от некоторых особенностей дифференциальных уравнений, с
которыми приходится иметь дело в математической физике, до сих пор не
имели успеха. Прием Пуанкаре, основанный на упомянутом выше точечном
преобразовании одного пространства в другое, легко приводит и к теореме
Зарембы и носит с виду чисто аналитический характер, но, в сущности,
подменяет только одну задачу другой, решить которую в общем виде столь
же трудно, как и те задачи математической физики, для решения которых
оно придумано.
Доказательство теоремы, аналогичной фундаментальной теореме Пуанка-
ре, данное Зарембой, основано также на исследовании некоторых диффе-
ренциальных уравнений, подобных тем, которые постоянно встречаются в
математической физике, и на свойствах некоторых функций, представляю-
щих обобщение потенциала объемных масс и потенциала простого слоя, но
не зависит ни от преобразования Пуанкаре, ни от каких-либо иных допуще-
ний, связанных с принципами Робена или К. Неймана. Определением этих
функций и выводом их главнейших свойств, необходимых для наших це-
лей, мы прежде всего и займемся.
4. Пусть f есть заданная непрерывная функция точек поверхности (S),
ц - положительная постоянная. Рассмотрим функцию F, определяемую ра-
венством
1 е"*г
F= — f f-----------ds. (1)
4jt r
Функция F отличается от потенциала простого слоя множителем е “*г,
стоящим под знаком интеграла, и при ц = О обращается в потенциал простого
слоя. Эту функцию будем называть обобщенным потенциалом простого слоя.
Обобщенный потенциал обладает следующими свойствами:
1°. F есть непрерывная функция вместе со своими частными производ-
ными по координатам х, у, г как внутри, так и вне поверхности (S), при-
чем сама функция F не испытывает разрыва и при переходе точки х, у, z
через поверхность (S).
Так как
e-ltr е-ЦГ
Д------- = р2 ----- при г=£ 0.
г г
то
2°. Функция F удовлетворяет уравнению
&F - p2F = 0 внутри и вне (S). (2)
Повторив с незначительными изменениями рассуждения пп. 27 - 32
гл. I, убедимся, что F имеет определенные (правильные) нормальные про-
изводные на поверхности (S), коль скоро зта поверхность удовлетворяет
условиям Ляпунова.
381
Теми же приемами, что и в упомянутых пунктах, докажем следующие
равенства:
3°
bFj dF f
Эл Эл 2 ’
на поверхности (S) (3)
ЭЕ, _ ЭЕ _ f
Ъп дп 2
и, следовательно,
ЭЕ,- ЭЕе
= f на поверхности (S). (4)
Эл--------------------------------------------------------------дл
Возьмем на (S) произвольно точку р0 и построим, как и в гл. I, ци-
линдр вращения радиуса R <D с осью, направленной по нормали л к (S) в
точке ро- Употребляя обозначения, установленные в гл. I, можем писать
1 1
F= — /у---------</?+—//•---------do. (5)
4я г 4я г
Так как в первом интеграле г >R, е~'“' <e~ltR ue~liR< - , то
I е-' ,.| « « **
//-------<----------и • «>)
I г I р eR2
где 5, напомним, есть площадь поверхности (5), 1/| < М.
Воспользовавшись затем полярными координатами (гл. I), получаем
I е->" е~рг
I/ f-------do < f |/| ------ pdpdw,
I r r cos &
и так как (гл. I) l/t r >p, cos d > 1/2, to
I R
Sf--------do < 2M f / e~l>pdpd<p =
r I 0 0
4яМ
---- ( 1 -£•-"« ) <
4irM
P
(6.)
Неравенства (6) и (6]) приводят к заключению, что
4°. Функция F (см. (5)) удовлетворяет во всех точках поверхности
неравенству
А
IFI <—М. (7)
М
Пользуясь теми же цилиндрическими координатами, можем писать (ср.
гл. I)
3F е~рг$
4a-— = Sf —^—ds+pff -------— ds
Ъп г г
(8)
- равенство,обращающееся в равенство (851) п. 27 гл. I при р = 0. Подобно
382
предыдущему имеем
е-*Ч , е-*Ч
/ f Л = / f--г2- ds + f f —y2- do.
ГЛ -J
(9)
е’*Ч
,з
Так как для всех точек поверхности (S), лежащих вне площадки (о) (в
части (5') поверхности (5) ), г > R, I f I < 10, то
, Sl0 аЯ М Sl0
ds' < М —г e~pR <------------- .
R3 р eR*
(Ю)
Далее, подобно предыдущему, в силу неравенств (54) и (54,) гл. I,
da
pdpdw <
г cos &
я М
<4irMb / е дгdp<4irb — .
о Д
При помощи (10) и (10|) из (9) выводим неравенство
(Ю.)
е~рг I А,
f f —г- ds < ------М,
г3 I д
где А1 есть постоянная, зависящая только от вида поверхности (S).
Точно так же
У / ---Г- ds= f f
(10
.2
ds ' + ff
е"*Ч ,
d°
Oh)
- 1 ds
.2
R2
д2
45/0
е2/?4 ’
(12)
И
М
ибо/?2д2е < 4/е2. Далее,
е~^
~^~da
< 2Mb fe~lippdpdw =
Из (lli), (12)
I е-дЧ
д /У
I
1 р-МЯ
Д2
4яЙ.
(12х)
(13)
А'
< --- М,
д
----е~рЯ
d
и (12i) получаем
I а2
ds < -----М,
I Д
где Л 2 — определенное число, зависящее только от вида поверхности (S).
Сопоставляя неравенства (11) и (13) с равенством (8), получаем
bF
bn
где А' есть число, зависящее лишь от вида поверхности (S).
383
Это неравенство и формулы (3) приводят к заключению, что
5°. Нормальные производные функции F удовлетворяют неравенствам
I аг,
I дп
I аге f
I дп + 2
А
< — М,
Р
(14)
2
А
<— М,
Р
где А есть наибольшее из чисел А' и А (неравенство (7)).
5. Рассмотрим еще функцию F, определяемую интегралом
, 1 е-"г
F'= — Sv-----------dr, (15)
4я г
где v есть заданная функция координат области (£>), ограниченной поверх-
ностью (S). Это еспобобщенный потенциал объемных масс, совпадающий с
обыкновенным потенциалом при д = 0.
Функция F' обладает следующими свойствами, коль скоро функция v
удовлетворяет условию Гельдера (неравенство (6) гл. 1, п. 4):
1°. Функция F' непрерывна со своими частными производными первого
порядка во всем бесконечном пространстве и, следовательно, имеет пра-
вильные нормальные производные, внутреннюю и внешнюю, на поверхнос-
ти (S), равные между собой.
2°. Функция F' удовлетворяет уравнениям
AF' -n2F' + ч> = 0 внутри (S),
ДЕ'— p?F' = 0 вне($).
Доказательства этих предложений совершенно те же, что и для соответ-
ствующих предложений обыкновенного потенциала объемных масс.
Положив, наконец,
1 е"дг
Е" =— —--- dr', (15,)
4я г
получим функцию, обладающую следующими свойствами:
1°. Функция F" непрерывна вместе со своими первыми производными
по координатам во всем пространстве и имеет, следовательно, правильные
нормальные производные, внутреннюю и внешнюю, на поверхности (S),
равные между собой.
2°. Функция F" удовлетворяет уравнениям
&F" - p2F" = 0 внутри (S),
ДЕ" - д2Е" + v = 0 вне (5).. 161 >
6. При помощи этих функций мы можем доказать следующую теорему.
Теорема Зарембы (первая). Существует и притом единственная функ-
ция координат v, непрерывная вместе со своими производными внутри и
вне данной поверхности Ляпунова (S) удовлетворяющая уравнениям
Ду-д2и = 0 внутри и вне (S), (17)
условию
Vf’=ve=F на поверхности (S) (18)
384
и обращающаяся в бесконечности в нуль по закону потенциала простого
слоя, где V есть потенциал простого слоя:
V= — f — ds,
4я г
(19)
плотность которого есть какая угодно заданная непрерывная функция
координат точек поверхности (S), а р есть произвольный параметр, боль-
ший некоторого определенного числа 2А.
Функция v имеет правильные нормальные производные на поверхнос-
ти (S).
Прежде всего легко убедиться, что условиями теоремы функция и,если
только таковая существует, определяется вполне.
Допустив противное, предположим, что существуют две различные функ-
ции и и2, подчиненные уращгениям (17) и (18). Функция »' = щ — и2,
очевидно, удовлетворяет тому же уравнению (17), а на поверхности (S) —
условию
v'i = v'g = 0.
Теоремы Грина дают, в силу (17) и (20),
/ д» \2 / Эи' \2 , , „ , ,, ,
JEI — ) dr + --- ) dr’ = -p2 fvndT-p2f v2dr',
(20)
дх / \ dx f
т.е. v = 0 тождественно, откуда и следует высказанное предложение.
7. Покажем теперь, что искомая функция и действительно существует, и
найдем ее аналитическое выражение. Положим
, М2
F = JV----------------dr,
4я г
(21)
где V есть потенциал простого слоя, определяемый равенством (19), и
Составим ряд функций
1 е-дг
</>! = -— f f -------ds,
4я г
Рассмотрим ряд
«Мп fyit д>р3/ . d<pki
----- + X--------- + X --------- + ... + X ’ ------------
(24)
где X есть некоторый параметр.
385
д^рк i
Обозначим через Nk максимум модуля ----- на поверхности (S). При-
ди
нимая во внимание свойство 5° обобщенного потенциала простого слоя,
выражаемое первым из неравенств (14), получаем
/ 1 А \
— +—)Nk-i=<iNk_i (к=2,3,...),
\ 2 р /
откуда
Это неравенство показывает, что ряд
Nt + X,V2 + X2/V3 + ... + Х*-1 Nk + ...
сходится для всех значений параметра X, удовлетворяющих условию
1 // 1 А \
IX | < — = 1 / [ — + — I. Если подчиним произвольное число д условию
Я I X 2 д /
Д > 24, (25)
то получим 1/q > 1. При этом ряд (24) будет сходиться абсолютно и равно-
мерно во всех точках поверхности (S) и при X = 1. Вследствие этого ряд
Ф = + ^2 + •••+’/’*+•• • (26)
также сходится равномерно во всех точках области (D) и функция Ф,
изображаемая этим рядом, может быть представлена в виде обобщенного
потенциала простого слоя
1 е-дг
Ф =---- /со------ds, (27)
4я г
где положено
fyki
bn
(28)
со = f+ S
*= 1
Далее, так как ряд S
к = 1
силу (26),
fyki -
-----сходится абсолютно и равномерно, то, в
Эи
ЭФ,- °°
—- = s
Эи к - 1
fyki *)
Эи
(28,)
С другой стороны, на основании (4) (свойство 3° обобщенного потен-
ЭФ, ЭФе
циала простого слоя) из (27) получаем-------------- со, откуда при
дп дп
*) В силу свойства 5° (п. 4)
ЭФ/ ~ I _
дп j= 1 дп I
при (Прим, ред.)
3 ь-
Эл
< q S Ni-*O
i-k ’
386
ЭФе
томоши (28) и (281) выводим-------= /, т.е., на основании (22),
ЭФ, _ эр; а"
дп дп
(29)
Воспользовавшись, наконец, свойством 2° (уравнение (2)) обобщенно-
го потенциала простого слоя Ф, находим
ДФ - д2Ф = О внутри и вне (S). (30)
8. Положим теперь
и’ = ^'-Ф. (31)
Приняв во внимание второе из уравнений (16) (свойство 2° функции F') и
уравнение (30), заключаем, что
Aw - д2 w = 0 вне (S) (32)
и, в силу (31) и (29),
dwe
—— =0 на поверхности (5).
(321)
Кроме того, функция w, определяемая равенством (31), имеет правиль-
ные нормальные производные на поверхности (5), ибо, как указано выше,
этим свойством обладают и функции F' и Ф, и обращается в бесконечности
в нуль по тому же закону, что и потенциал простого слоя (ибо таковы же
F' и Ф). Применяя к w преобразование Грина, получаем, в силу сказанно-
го и равенств (32) и (32 (),
/ 9w \ 2
/ S I ---1 dr + д2 f w2dr - 0,
\ дх J
т.е.
w = 0, Ф = F' вне (5). (33)
9. Рассмотрим теперь значения функции w внутри поверхности (5).
Сравнив выражение F' (см. (21)) с выражением (15), видим, что в рас-
сматриваемом нами случае = д2 V. Применив к последнему случаю урав-
нение (16), получаем
ДГ'-д2^' + д2К = 0. (34)
Так как, в силу (31), Aw = ДГ' - ДФ, то,на основании (30) и (34),
Aw - д2w + д2 V = 0 внутри (S). (341)
Так как, далее, w есть непрерывная функция во всем пространстве, то,
в силу (33),
w,- = w = 0 на поверхности (S). (34')
Составим теперь функцию
v=V-w. (35)
Так как V есть гармоническая функция, то
Ди = — Aw внутри (.5),
387
откуда, в силу (341)» Ду = д2(И - w), т.е., в силу (35),
Ди — д2 и = 0 внутри (S).
Так как w обращается в нуль на поверхности (S), то из (35) выводим
V( = Vi на поверхности (5).
Таким образом, функция и, удовлетворяющая уравнению (17) внутри
(S) и принимающая на самой поверхности те же значения, что и заданный
потенциал V простого слоя, найдена.
10. Докажем теперь существование функции щ, удовлетворяющей ус-
ловиям
Avi -Д2У1 =0 вне (S),
i>i е = Ve на поверхности (S).
Положим
д2 е-нг
F" = ---- f V------dr
4ir г '
(36)
(37)
(38)
Составим ряд функций
1 е~*г
Ф1 = — f f -----------ds,
4тт г
1
Фг = - — /
4тт
дп
е-^
----- ds,
г
(39)
1 f ^Фк-,,е
4л дп
Рассмотрим ряд
•» >. дфке
«. = f- S X* (40)
к = 1 дп
, / 1
Второе из неравенств (14) дает, подобно предыдущему Nk < I —+
А \ , дфк е
+ — I Nk _ i = qNk _ i, где через Nk обозначен максимум модуля -— .
д / дп
Отсюда Nk < q к ~. Это неравенство показывает, что ряд I/1 + S XkNk
1 // 1 А \
сходится, пока IX | <—=1 / ( — + — I, если д удовлетворяет неравенству
Ч / \ 2 д /
(25), то он сходится и при X = 1. Отсюда следурт, что ряд (40) при сделан-
ном условии относительно р сходится равномерно во всех точках поверх-
ности при X = 1. Вследствие этого ряд ф = S фк сходится равно-
*= 1
мерно вне (.5) и функция ф, определяемая этим рядом, может быть
388
представлена в виде
1 е_дг
ф = --- / а>1 -------ds. (41)
4я г
„ “ ^Фк.е
Кроме того, так как ряд £ --------- сходится равномерно на поверх-
к = 1 Эл
/сч .ч ? д^к,е ...
ности (5),то*) ---= £ --------- и, на основании (4),
Эл k=i Эл
Эф/ Ъфе “ Ьфке
------------= СО/ = j — £ ------
Эл Эл к = 1 Эл
откуда, в силу предыдущего равенства и (38),
Эф,- bF"
bn bn
(42)
Таким путем нами найдена функция ф, определяемая равенством (41),
удовлетворяющая условию (42) и на основании (2) уравнению
Дф — д2 ф = О внутри (5). (43)
Но выражение (37) функции F" отличается от (15J только тем, что в пер-
вом заменено функцией д2 V. Следовательно, в силу (16/),
ДЕ" - д2Е" = 0 внутри (5). (43t)
11. Положим теперь
W] = F" - ф. (44)
Вейлу (43) и (431) получаем
Ди>1 - д2 =0 внутри (S),
Эи>1/
а на основании (42) --- = 0. При этих условиях формула Грина дает
Эл
2
I Jr + д2 J wi dr = 0,
т.е.
ч>1 =0, F" = ф внутри (S).
(45)
Рассмотрим значения функции для точек пространства, внешнего
относительно (S). Равенство (44), (2) и второе из (16/) дают
Ди»! -д2^! +д2 И = 0 вне (5), (46)
а на основании (45) и непрерывности функции во всем пространстве
wle=0 на поверхности (S). (46i)
Определив функцию вне (S), полагаем
и, = у - Wj. (47)
♦) См. п. 7. (Прим. ред.)
389
Так как V есть гармоническая функция вне (5), то, в силу (46),
Дн| - Д2О1 =0 вне (5)
и, в силу (46|) и (47),
vie ~ Ve на поверхности (5). (47 J
Таким образом, найдена функция ot. удовлетворяющая уравнению
(17) вне (5) и принимающая на этой поверхности те же значения, что и дан-
ный потенциал простого слоя V, для всякого значения положительной
постоянной р, большего 24.
12. Нетрудно убедиться, что искомая функция v (п. 6) может быть
представлена в виде обобщенного потенциала простого слоя.
Функция 0| удовлетворяет вне (5) тому же уравнению, что и функция
F' в п. 7, непрерывна со своими частными производными во всей области
(Д'), имеет правильную нормальную производную —— и в бесконечнос-
Эи
ти обращается в нуль по тому же закону, что и функция F', т.е. Oj обладает
всеми теми свойствами, которые были необходимы в пп. 7 и 8 для доказа-
тельства равенства (33). Если поэтому положим
и повторим дословно рассуждения указанных пунктов, то докажем сущест-
вование функции
1 с-'"’
Ф = — f со -------- ds,
4тг г
где под со следует подразумевать функцию, определяемую рядом (28), в
котором, равно как и в уравнениях (23),/ выражается равенством (48).
Применяя к рассматриваемому случаю равенство (33), заключаем, что
Ф = о( вне (5)
и, следовательно, на основании (47 (),
Фе = Wi е - Ve на поверхности (S).
Но Ф есть функция, непрерывная во всем пространстве, равно как и потен-
циал простого слоя V, причем, какова бы ни была функция со,
ДФ - р2 Ф = 0 внутри (S)
и на основании сказанного
Ф,- = Vt на поверхности (S).
Следовательно, положив
1 е-*'
v = --- / со ------ ds, (49)
4тт г
получим функцию V, удовлетворяющую всем требованиям теоремы Зарем-
бы, которая, таким образом, доказана.
390
13. Рассмотрим теперь следующие интегралы:
/ ЭК \2 , / ЭК \2 ,
J = JSI----I dr, J = JSl---------1 dr.
X Эх f \ Эх /
I = /К2 dr. Г = f V2dr,
= JSf ----| dr+n2fv2dT,
X dx f
/ Эи \2
J\ = J S 1 -- I dr +fi2 / v2 dr,
X Эх /
ЭК
P = JS-----------dr + n2 f VwdT,
3x * (SO)
, эк 3w, , ,
P' = JS----------dr +n2 f Kw, dr,
dx dx
/ dw \2
R = / SI ---- I dr + д2 f w2 dr,
\ dx /
/ 3w, \2 , ,
R = / S I --- ) dr + д2 f w, dr ,
\ dx /
предполагая, что плотность потенциала К выбрана так, что все входящие
в эти формулы интегралы имеют определенный смысл.
Напомним, что функции К, u, w и w, связаны соотношениями
v = К - W внутри (S),
и = К - »v, вне (S).
При помощи этих равенств и (SO) получаем
Jt =J + h2I + R - 2Р,
, , , , , (51)
J\ =J'+ц21'+R'-2Р .
Применив к функции w формулу Грина (гл. 1, п. 8) и приняв во внима-
ние уравнения (341) и (34'), находим
R=H2fVwdT. (51,)
Точно так же, заметив, что К удовлетворяет уравнению Лапласа, а н’ —
условию (34'), получаем
ЭК
JS-----------Jr = O
Эх Эх
и, следовательно, Р = д2 / Vwdr, т.е. R = Р.Совершенно так же докажем, что и
/?'=Р' = д2 f Vw^r.
Вследствие этого равенства (51) принимают вид
Jt = J+H2l- R, J\ = J’+ц2Г - R'.
(52)
(52,)
14. Составим ряд обобщенных потенциалов простого слоя по формулам
1 е-*"-
'/>(>= — f w ------ds,
4п г
1 , е-*"-
= ----- j------------------
4тт Эи г
(53)
1
4>к = — f
4п
fyk- I
ди
е-^
-----ds,
г
где со - какая угодно непрерывная функция точек поверхности (S)*).
Если под со, в частности, будем подразумевать функцию п. 12, получим
<Ро=»- (53,)
Имеем
— р2*рк = 0 внутри и вне (S),
а а а (54)
<”Pk,i О'Рк.е "'Pk—l.i
------ на поверхности (л).
on-----------------------оп-дп
Обозначим через Uk j и U'kl интегралы вида
„ - г/V ж 2 \ .
Uk.i =/( 2 —-----— + р'Pk'Pi jdT,
X ох Эх f
//’ -f/v u. 2 V-
uk,i = JI 2 —----— + P <Pk 4>j ]dr
\ ox ox /
(54 J
И ПОЛОЖИМ ДЛЯ простоты Uk k- Uik’ U'k,k = U'lk> ^k.k+l = ^2 fc+I, U'k к +1 ~
= И'г к+1 • Обозначив, как принято нами, через dT элемент объема, когда ин-
тегрирование распространяется на все пространство (т.е. на области (D) и
(/У ) ), получаем
/ &>Р1е + i л \
i/2*+i +Ulk+i = +U2<Pkfk + i)dT;
\ Эх Эх /
отсюда при помощи формул преобразования Грина и уравнений (54) вы-
водим
+Ulk+t =/^>к(—^’‘ -^^-\ds =
\ On on f
_ . fy>k,i , ..
~ J 4>k ----ds- U2k-
On
Из полученного таким образом равенства
tt d'(>k+i u. 2
Uik -f (2 —------------ +pr<fiklPk+t Idf
\ дх Эх /
при помощи неравенства Буняковского — Коши получаем, при сделанных
*) Отличная от тождественно равной нулю. (Прим, ред.)
392
нами обозначениях,
ulк < (U2к + U'2k) (U2к+2 + U'2k+2). (55)
С другой стороны, применив те же самые преобразования к интегралу
U2k + U^=f(^(^-} +ii2>fik\dT,
\ \ дх / /
получим
. dip* _ । /
U2k+U2k = /*к - ds =
дп
= +tl2ifikipk_\dT = Uik_l>o. (56)
\ dx dx /
При помощи этого равенства неравенство (55) приводится к виду
С/г* U2k+i . (57)
Заменив в (56) к на к + 1 и применив к полученному таким образом ра-
венству неравенство Буняковского — Коши, найдем
Ulk+i =!/(s - д*--- +М2(/’*^*+1 <
I \ Эх Эх / )
+ мМ) dr/ (s/“““* \ +д2^+|\</т,
\ \ дх / / \ \ Эх / /
т.е. при принятых нами обозначениях
U2к+1 < U2k U2k+2- (571)
Неравенства (57) и (57(), справедливые при всяком целом Ас, дают
U2klU2k_ \ < U2k+ilU2k <^2*+2/^2*+|-Эти неравенства приводят к сле-
дующим, аналогичным неравенствам Шварца*):
UjU-i <Ui/U0 < U2IUt < ... < Uk+ilUk < ... **). (58)
15. Положим
Uk.j+i =/(s —------:— +m 4>k4>j+i jdT
\ dx dx /
и применим к этому интегралу и интегралу Ukj (равенство (54|)) форму-
лы преобразования Грина. Учитывая равенства (54), получим
fyj.i . , / Чш fy+i,e \ , &pkl ,
Uk.i =fVk ~— ds = f yk I —---------------------- 1 ds = f </>z —--ds,
dn \ dn dn J dn
n" r / ЭЛ+1.е , ^i.i , <59)
^*./+1 =/’₽*( —;------------Г----- = ~—ds,
\ дп дп / Эл
т.е. Ukj = Ukj+1.
*) См. часть I сочинения, гл. V, п. 14.
** ) Здесьи далее 1/-г= Uo + d'u = / <p„cjds. (Прим, ред.)
393
С другой стороны, те же формулы Грина и равенства (54) дают
, / ^k.i fyk e \ , «Mt-!,/ ,
" ~г‘ ‘ -------------— = + i — -----ds,
дп / Эи
дп
d>Pfc-i dpj+i
+ Д2Ф*-1Ф/+1 )</т =
Эх /
__ j гл-1 ---------ds,
дп дп
т.е. Ukl = Uk _ । )•+1 и, следовательно, на основании (59) и (60),
. г fyk-l.i ,
. f 'Pj —----ds = f ,p,+1 —-----ds
дп dn
</*-U+i =/|2
Зх.
Otf jt _ । /
= J>/+i ----ds=f<pk_i
(60)
(61)
- равенство, имеющее место при всякие целых числах к и/ .
Это равенство приводит к следующему:
. , &Рк-з ,1 .
f 'Pi — --- ds = f <p,+, —----- ds,
дп dn
где s - какое угодно целое число, не превосходящее к.
Если к четно, то, положив к = 2s, j = 0, получим
, d<Pk,i . fys.i , _ ..
f 'Ро —— ds = f —— ds = U2s = Uk.
dn dn
Если к нечетно, то, положив к = 2s - 1, j = 0, найдем
dpk.i _ rZ ,,
I 'Ро —----ds = f\pk —---------ds = U2s_ 1 = Uk. (62)
Эи Эл
Следовательно, равенство (62) можем считать справедливым для какого
угодно целого к.
16. Рассмотрим ряд
w’ = S X* . (63)
* = о Эл
В п. 7 уже доказано, что этот ряд сходится равномерно, пока IX | <
Д1 А \
— + — I. Следовательно, радиус р круга сходимости этого ряда*)
2 Д /
А1 А \
— + — I. (64)
2 М /
*) Под радиусом р круга сходимости функционального ряда (63) понимается ра-
диус наибольшего круга, внутри которого (для всех хе{1Х I < р}) ряд (63) схо-
дится равномерно по (х, у, z) е S (он равен радиусу круга сходимости ряда
S8 II i || le
X ------— |1 X ). Далее употребляется также термин "радиус (круга) равно-
го || дп || (узу
мерной сходимости” рассматриваемого функционального ряда. (Прим, ред.)
394
Умножаем (63) на <pods и интегрируем результат по всей поверхности (5).
Получим, на основании (62),
f<pou'ds = S X* ds = S \kUk. (65)
к = О Эи к = О
На основании известной теоремы теории рядов заключаем, что радиус Pi
круга сходимости этого последнего ряда не менее р, т.е., в силу (64), pf >
/ \ 2 д / ик
С другой стороны, из (65) следует, что pj = lim --. Следовательно,
г ик // 1 А \
hm —> 1 /I — + — 1.
*-*- Uk+l I \ 2 ц J
Но, в силу неравенств (58), Uk!Uk+i < t/_i/C/0 при всяком к. Следова-
тельно,
tf-./tfo > 1
1 А \
— + — I.
2 д /
Положим в (56) к = 0. Получим Uo + U'o = . Предыдущее неравенст-
во на основании этого приводится к следующему:
UolUo >
(65,)
Это неравенство имеет место, какова бы ни была исходная функция ш в
формулах (53).
Положив со равным функции п. 12, получим, в силу (531) и (50),
JiU'i <
(66)
-------ds,
Знаменатель правой части этого неравенства есть величина положительная,
ибо ц>2А.
17. Составим теперь ряд функций
1
'Ро - Фо - ~~
4я
1
, Фт = - — /
4я
Эфое е *г
-----------ds
on г
(67)
1 , *фк-1,е е-1" ,
фк= — ---- J --------- -------ds.
4тг Эи г
Функции фк как обобщенные потенциалы простого слоя удовлетворяют
уравнению
Дф* - М2 Фк = 0 внутри и вне (S) (68)
395
и условию
ЪФк,1 ^Фк.е *Фк-\.е
- — на поверхности (S)
дп---------------------дп-дп
при всех значениях к, начиная с 1, а при к = 0 условию
Эфо/ Эфое
----------------- ш на поверхности (5).
дп дп
(69)
(69])
Обозначим через Vkj и V'k / интегралы, составленные из функций фк по
такому же правилу, как интегралы Ukj и Ukj (п. 14, равенства (54t))
были составлены из функций <рк. Точно так же интегралы Vkj и Vkj при
к =i будем обозначать через V2 к и У2к, а те же интегралы при j = к + 1 —
через К2*+1 и K2jfc+1.
Совершенно так же, как и в п. 14, при помощи формул Грина и урав-
нений (68) и (69) получим /
, Ъфк.е , . , / дфк+tj Зф*+|,е \,
Vtk = ~f Фк —---- ds = / фк I ——-------------- Ids
дп \ дп дп /
и
.. . , Wk+i.i .
^2k+l ~f Фк “ dS,
дп
^к + ,=-/Фк ds. (70)
дп
Отсюда У2к = К2Л+1 + У2к+1.
С другой стороны (равенства (69)),
, ^Фк.е . . , / дФк+l.i дфк+1,е \.
Vtk = ~f Фк —----ds-f фк I —------------------ Ids =
дп \ дп дп f
_ ( *Фк Эф*+1 , \
= /|s —-----;— +д ФкФк+i jdT.
\ дх дх /
Отсюда при помощи неравенства Буняковского — Коши выводим
V2\ <(K2* + H*)(K2jfc+2 + i^fr+2).
Но, опять в силу (69) и (70),
I/ *!/' - С I / ЬФк-‘ \ / -
Игл- + v2k = f фк I — -----;---- ps =
\ дп дп /
^Фк — 1 е .
= ~!Фк * ds=V'2k_i>Q. (71)
дп
Следовательно,
Vi\ < П*+| Н*_,. (72)
396
Применив, наконец, неравенство Буняковского — Коши к интегралу
------------------------- + цФк Фк-н )</т.
дх Эх--------------------/
получаем
V^k+t < Vlk ^2k + 2- (721)
Неравенства (72) и (72,) дают Ии/Ии< Ии+1/Ии < Игк+г/Пк+и
Так как эти неравенства справедливы при всяком к, то
Ио/И'_, < И/^ < Н/и; < ... < V'k+llV'k < (73)
18. Положим теперь, подобно тому, как в п. 15,
Аг Э^ + > и. 2 , , V,T
^k,/+i =/|S —------------ + /гФкФ/+1 IdT
л Эх Эх !
и применим к этому интегралу и интегралу И* j формулы Грина.
Получим, при помощи (68) и (69),
. Эф.-е
Эл
(ЭФ/+М ЭФ/+1.е \ , х-.х
—Г-----------“------ l^=Vk./+i. (74)
дп дп !
Затем (ср. п. 15)
-Г , / ЭФ*.' Ъ^к,е \ , Wk-i.e
^*,/+i -/ Ф/+11 — -------;— |Л — J Ф/+1 -----^s>
\ дп дп J дп
... _ г , ЭФк-1.е
J'k-I.Z+t ~ /Ф/+1 —Г-------- “s-
on
т.е. И*>/+1 = V'k _,./+, и, в силу (74),
V'k,/ = V'k-1,/+1 • (75)
С другой стороны, тс же формулы Грина и уравнения (68) и (69) приво-
дят к равенствам
... Ъ^к Wi 2 \ > г . ЭФ*.₽ ,
Vkj = /I S —--------- Фк Ф/ рт = “J Ф/ —--------- Л.
\ Эх Эх / Эи
^k-l.y + l =/р- —Г------Г +Д Фк-1 Ф/+1 =
\ Эх Эх /
. е
= -/Ф/+| ----г---- ds,
Эл
откуда, на основании (75),
Ъфк.е ... <>фк-1.е .
/ Ф/ ~7---- Л = / Ф; + | -------- ds.
дп дп
397
Отсюда, вообще, при всяком s < к
. . дфке . - , dtyk-s.e ,
/ “Z------ ds = / М*---;---- ds-
дп дп
Положив здесь j = 0 и к = 2s при четном к, получаем
дфк е дф.е , ,
/Фо <Ь = /Ф,—— ds= — V2s = — Vk.
дп дп
Положив к = 2s - 1 при к нечетном, находим
. , дфке дфх__Ье
/ Фо —---- ds = f ф, -------
дп дп
Таким образом, равенство (76) справедливо при всяком к.
19. В п. 10 было доказано, что ряд
к-О дп
Л = -^,_, = - v'k.
(76)
(77)
сходится равномерно на поверхности (S), пока I Х| < 1 / ( — + — I.
/ \ 2 д /
Умножив (77) на ф0 Л и интегрируя результат по всей поверхности (S),
получим, приняв во внимание (76), следующий ряд:
°° 1. Эфх» р *»
/ы"ф0А=- 2 Х*/ф0-----------— ds = S \kVk,
к- О Эи к = О
радиус pt круга сходимости которого не менее р, радиуса круга сходи-
мости ряда (77). Но pt = lim —--- . Следовательно
Vk+i
г V'k // I А \
lim —> р > 1 [ — + — I
Vk+i / \ 2 р /
откуда, на основании неравенства (73),
Д1 А \
~ +— )
2 Р /
Положив в (71) Л = 0, получаем V'_] = Ко + Следовательно, 1 +
Ио , // 1 А \
+ --Г > 1 / I — + -- I, или
Vo / \ 2 р /
, /1 А \ // 1 А \
Vo/Vo> ( --------/( - + — )• <77.)
\ 2 р П \ 2 р /
Положив в первом из уравнений (67) ш равным функции того же обо-
значения п. 12, получаем
398
Сопоставляя это неравенство с неравенством (66), получаем
(т-Ж4)
, / 1 Л \ // 1 А \
<Л//1 < I - + -)/(- — I,
\ 2 д // \ 2 д /
(78)
а неравенства (65,) и (77,) приводят к следующей теореме.
Теорема Зарембы (вторая). Какова бы ни была функция со, непрерыв-
ная на поверхности Ляпунова (S), в выражении обобщенного потенциала
простого слоя
1
о = — / со -------- ds,
4я г
всегда имеют место неравенства
\ / / / Эн \2 \ , / 1 А \ // 1 А \
+ p2v2]dr I fl SI -- j + p2v2 )c/r <1 — + — I /[ —------1, (78,)
I I \ \ ix I / \ 2 д // \ 2 p f
где А есть определенная постоянная, зависящая только от вида поверхнос-
ти (S),ap - положительное число, большее 2А.
20. Возвращаемся к формулам п. 13. Предположим, что плотность </> по-
тенциала простого слоя V задана в виде
= + а2^2 + ... +«₽</>₽,
где <рк — функции, непрерывные на поверхности (S), а ак — некоторые
постоянные. Потенциал V представится в виде
И = а,ц, +«2^2 + .. • +«pWp,
где vk суть также потенциалы простого слоя.
На основании леммы Зарембы, доказанной в п. 39 предыдущей главы,
мы всегда можем, задав произвольно число <?, выбрать затем число р и
постоянные а* так, что одновременно будут соблюдены следующие нера-
венства:
т * тт» 7 = тт* (79)
Применим к интегралам/? и/?' (равенства (51,) и (52)) неравенство
Буняковского. Получаем
R2 < p2IR, R < д2/,
(80)
R'2 < д21'R', R'<p2!'.
Так как R и /?' положительны, то из (52,) следует, что J, < J + д2/,
J't < J' + д2/' и, на основании (79),
/ Д2 \ , / д2 \
у'<7(1+ )’ 7' <у (1 + —Ч7Г I- <81>
\ mqi,s / \ mqlli f
399
С другой стороны, в силу (80) и (521),
Эти последние неравенства и (81) приводят к двум следующим:
J, J / д2 \ J, J 1
— < — I 1 + ------777 I — > — ---------------- .
Jt J \ mq2/3 f J\ J д2
1 + 2 13
mq '
Отсюда при помощи (78) выводим
J \ mq2,i / \ 2 д // \ 2 д/
J j + Д2 \ 2 д // \ 2 д /
или
J'<m'j, (82)
, / д2 \ / 1 А \ // 1 А \
где положено т = 11 +--777- II — + — 1/1 —----------I. Здесь д —
\ mq2'3 / \ 2 д // \ 2 д/
число совершенно произвольное, подчиненное единственному условию д >
> 2А. Положив, напримерд2 = ql /3 и выбрав q достаточно большим, удов-
летворим предыдущему неравенству, а для т' получим выражение
т.е. число, зависящее только от вида поверхности (5), ибо таковы же числа
т и А, и от произвольно взятого числа q.
Выбирая q достаточно большим, можем сделать число т' сколь угодно
близким к единице.
Неравенства (82) доказывают следующую теорему.
Фундаментальная теорема Пуанкаре - Зарембы. Пусть V есть потенциал
простого слоя, представляющийся в виде
И = а. И, + а2 И2 + ... +apVp,
где Vk (к = 1, 2,..., р) суть заданные потенциалы простого слоя, а ак (к=
= 1, 2, ..., р) суть некоторые постоянные. Задав произвольно целое чис-
ло q, всегда можем выбрать затем число р и постоянные ак так, что будут
иметь место неравенства вида
1 / ЭИ V , / / ЭИ \2
-7 </S( —- I rfT'/J-SI -------- I dr<m, (83)
m \ ox / I \ dx f
где число m' имеет вид
, / 1
ш = 11 + —777
\ mq1'3
<?|/6 +24
<7,/6-24 ’
(83.)
400
а т и А суть определенные постоянные, зависящие от вида поверхнос-
ти (S).
Число гп при достаточно большом q (и соответственно р) может быть
сделано сколь угодно близким к единице.
Неравенство (83) справедливо для всякой поверхности Ляпунова.
21. При помощи функции F п. 1 (обобщенный потенциал простого
слоя) можно доказать ряд других неравенств, имеющих важные примене-
ния, в особенности в теории фундаментальных функций.
Предположим, что в интеграле (1) (п. 4) под/ на поверхности (S) под-
разумеваются значения, которые принимает на этой поверхности некоторый
потенциал простого слоя (или, общее, функция, обладающая свойствами
потенциала простого слоя). Введем следующие обозначения:
/ ЗА V 3F Э/
*(Г) = /2!| — I dT, K(F,f) = fS--------—dT,
X дх / дх дх
L(F) = SF2dT, L(FJ) = S FfdT, (84)
M(F) = JF2ds, M(F,f) = fFfds,
и предположим, что функция / выбрана так, что все фигурирующие в этих
формулах интегралы имеют определенный смысл.
Приняв во внимание равенства (2) и (4), получаем при помощи преобра-
зований Грина
К (F) + р2 L (F) = M(F, /) > О,
F(F,f)+p2L(F,f} = M(f).
Применив ко второму из этих равенств неравенство Буняковского -
Коши, получаем
M2(f)<[K(F) + p2L(F)\ [К(Л*Р2ИЛ\,
откуда, в силу первого из двух предыдущих равенств,
м*<п <M<F. л [к(л+д2 ил] <
< [К(Л + д2£(О] \М(Г)М(Л\112.
Из равенства (1),(п. 4) выводим
1 fle-ur е-нг
F2< —г f ------------dsf--------ds.
(4»)г г г
(85)
Так как, в силу (7), .
1 еА
— / -------ds< — ,
4я г р
ибо в д анном случае М = 1, то
А
4пр
ds.
401
Отсюда а2
№ ds = f fds = —г M(f).
ц2 p2
При помощи этого неравенства приводим (85) к виду
М(Л<— [K(f) + р2 L(f)]. (86)
Д
Предположим, что
f = «1/1 +«2/2 + • • • + «р/р,
где Д суть функции того же характера, что и а а* - произвольные посто-
янные.
На основании леммы Зарембы (предыдущая гл., п. 40) мы можем, за-
дав произвольно число <{, подобрать затем число р и коэффициенты а* та-
ким образом, что будет
/-(/)< -Ц/Г К (Л-
тц
При этом неравенство (86) обратится в следующее:
А / р2 \
— (1+ m
д \ т<г,л /
Здесь д — произвольное положительное число, которым можем распоря-
диться по усмотрению. Положив д = ц1/3, получим
А / 1 \
*<П<“Т7з (1 + ~ Н(Л,
<71/3 \ т /
откуда, приняв во внимание обозначения (84), выводим
, /Г / э/ V / э/ v 1
//’<&/ /2( ------I dT + f SI — 1 dr
I l у дх I \ dx / J
Получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть f есть линейная однородная функция некоторого числа р
произвольных параметров а*:
/ =а,/1 + а2/2 + ... +ар/р,
где fk суть функции, обладающие свойствами потенциала простого слоя. За-
дав произвольно число ц, всегда можно распорядиться выбором числа р и
коэффициентов ак так, что будет иметь место неравенство вида
f f2 dsllf s( —) dr + fs( dT']< N/qil3. (87)
/I X dx f \ dx / J
где N есть постоянная, зависящая только от вида поверхности (5).
Доказанная теорема справедлива для какой угодно поверхности Ля-
пунова.
Аналогичная теорема была указана мною впервые в 1899 г. в заметке
”Sur (’existence des fonctions fondamentales”. а только что доказанная -
402
в заметке того же заглавия в 1901 г. Более подробное доказательство опуб-
ликовано в упомянутом выше мемуаре ”Sur les problemes fbndamentaux
etc.”*). При помощи этой теоремы мы дадим впоследствии строгое дока-
зательство существования фундаментальных функций. ЛеРуа для всякой
поверхности Ляпунова.
22. Доказательство предыдущей теоремы основано только на лемме За-
рембы (п. 40. гл. IV), которая будет справедлива при всяком р, удовлет-
воряющем условию р >и2 + 2q + 1, где лесть целое число, подчиненное од-
ному неравенству n>q^3.
Задав определенным образом q и затем л, положим р' = и2 + 2q + 1, а зар
примем число р = р' + р", где р" — какое угодно целое число.
Неравенство (87) будет иметь место, каково бы ни было целое неотри-
цательное число р", коль скоро подчиним р коэффициентов ак совокуп-
ности р' — 1 линейных однородных уравнений, правило составления кото-
рых указано при доказательстве леммы Зарембы. При этом остальные
р" + 1 коэффициентов останутся произвольными. Этими последними, выб-
рав соответствующим образом число р", на основании фундаментальной
теоремы Пуанкаре - Зарембы, можно распорядиться так, что будут соблю-
дены неравенства
1 / df \2 / / Э/ \2 ,
— < J S I --I с/т /JSI —I dr <т , (88)
т \ Эх / I \ Эх /
где числом' определяется равенством (831).
Подчиним произвольное число q условию с/1/6 >4.4. При этом получим
т' <з( 1 + ------- \ = м", где м" есть число, зависящее только от вида
\ 16мЛ2 /
данной поверхности (5). При этом из (88) получим
/ V \2 , „ / Э/ \2
js( ----I c/t'<m"JS( — I dr.
X Эх / \ Эх /
Так как при указанном выборе постоянных ак будет одновременно
соблюдено и неравенство (87), то будем иметь
f f2ds/fs( —\ dr< /V(l +т")/ЧЧ3 =Qlq'li,
I \ Эх /
где Q есть число, зависящее исключительно от вида поверхности (5).
Получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть
f =alfi + a2f2 + ... +apfp,
где fk суть функции, обладающие свойствами потенциала простого слоя,
ак - пока неопределенные постоянные. Задав произвольно целое число q,
можно распорядиться числом р и коэффициентами ак, подчинив их системе
*) W. S t е k I о f f. ”Sur 1’existence des fonctions fondamentales” (Paris, Comptes Ren-
dus de I’Academie des Schnees, 27 mars 1899 et 9 septembre 1901); ем. также указан-
ный мемуар (Annales de I’Eeole Normale, 3 ser.. T. XIX, novembre 1902, p. 495).
403
р — 1 линейных однородных уравнений, так, что для всякой поверхнос-
ти Ляпунова будет иметь место неравенство вида
I / df \2
ds / / S ( I dr < Q!q4\ (89)
I \ ox f
где Q есть положительная постоянная, зависящая только от вида данной по-
верхности (5).
Эта теорема была доказана мною в сочинении '’Общие методы решения
основных задач математической физики”*) для поверхностей, допускаю-
щих преобразование Пуанкаре. При помощи это теоремы доказано мною в
упомянутой выше заметке в ’’Comptes Rendus” (27 mars 1899) существова-
ние особого рода фундаментальных функций, полная теория которых изло-
жена затем в последней главе диссертации ’’Общие методы решения и т.д.”
(Харьков, 1901).
Приведенное здесь доказательство устраняет существенное ограничение
общности теоремы, устанавливая ее справедливость для всех поверхностей
Ляпунова, независимо от преобразования Пуанкаре.
23. Применим лемму Зарембы к случаю, когда f есть гармоническая
функция внутри данной поверхности (S), удовлетворяющая условию
ЭЛ
— = <р на поверхности (S), (90)
дп
а<р имеет вид
(0 = 0,^,+а2<р2 + ... +ар*р
и подчинена единственному условию / ds = 0.
Мы знаем (гл. II), что для всякой поверхности, к которой приложим
принцип Робена, функция f представляется в виде потенциала простого
слоя. Мы докажем впоследствии, что это будет справедливо для любой
поверхности Ляпунова, пока же, вообще, будем рассматривать поверх-
ности, для которых решение задачи Неймана (функция /) представляется в
виде потенциала простого слоя**).
Применив к рассматриваемому случаю теорему предыдущего пункта, по-
лучим при соответствующем выборе числа р и постоянных а*:
/ / ЭГ V
ff2ds//2 ( -Г- ) dr < Qlq1'3. (89.)
/ \ дх /
Но, по теореме Грина и на основании (90),
/ df \2
/Е ( V") dr = f f^ds,
\ дх /
откуда
< / f2dsjq>2ds,
*) Харьков, 1901, стр. 63.
**) См. формулы (77), (76,) гл. П. (Прим, ред.)
404
или
i / / v V
/ f2 ds fS I — I dT>
I \ dx f
Следовательно, в силу (89!),
f f2 ds j S*2 ds < Q2/q213.
Таким образом, прямым следствием предыдущей теоремы является сле-
дующая
Теорема. Пусть
= «1 <Р1 + «2 «Л + • • • + ^рЧ>р
есть функция, непрерывная на поверхности (S) и подчиненная условию
fyp ds-0, a f есть гармоническая функция внутри (S ), удовлетворяющая
уравнению
dfi
--- = <р на поверхности (S)
дп
и представляющаяся в виде потенциала простого слоя: Задав сначала число
q, можно затем подобрать число р и коэффициенты ак в выражении так,
что будет иметь место неравенство вида
f f2 ds I f<p2ds < Q2lq2)y,
где Q2 есть число, зависящее только от вида поверхности (S).
24. Теперь мы можем приступить к решению следующей важной задачи,
которое позволит нам распространить все полученные выше результаты на
все поверхности, удовлетворяющие условиям п. 17 гл. I:
Найти потенциал простого слоя V, удовлетворяющий условию
dVi dVe dV
-----------= -2Х--------2/ на поверхности (S), (91)
дп дп z дп
где X есть некоторый параметр, a f - заданная непрерывная функция коор-
динат точек поверхности (S).
Решение этой задачи позволит нам распространить принцип Робена на все
поверхности Ляпунова и в то же время приведет к теории фундаменталь-
ных функций, подробное изучение которых с их различными приложения-
ми составит предмет следующего тома сочинения.
Будем искать решение уравнения (91) в виде ряда
И= И +ХГ2+Х2И3 + ... +Х*Г*+1 + ... (92)
Удовлетворяя условию (91), получим следующие уравнения для опреде-
ления функций Vk:
\ f 1 ЭИ*_| 1
Н = - — / - ds, ..., И* = - — f —*-L - ds, (93)
2п г 2п дп г
т.е. те самые функции, которые были введены нами в п. 6 гл. II (уравне-
ние (19)).
405
Рассмотрим следующие интегралы:
/ ЭИ* \2 , / ЭИ* V ,
л = f Б( ) dT-
\ Эх / \ Эх /
Jm.n ~
ЪУт
Эх
ЭИ„
Эх
dr.
J' _ = f S
•'Ш.Л J **
ЭУт
Эх
Wn ,,
----dr,
Эх
Wk ~ Jk +Jk-
(94)
(941)
Из равенств (93) на основании известных свойств потенциала простого
слоя выводим
эй*,, _ эй*,, = 2 ЭИ*,
Эл дп дп
ЭИ*-,., = ЭИ*, _ ЭИ*2
Эл дп дп
Отсюда
эй*.,,, + эй*,.,, =2 ЭИ*
Эл дп дп
(95)
ЭИ**-! е dVk_i ЭИ*_2
—= ——L. + ——.(95!)
Эл Эл Эл
Сопоставляя это равенство с (95), получаем
ЭИ*,, _ ЭИ*е
Эл Эл
\ Эл Эл
(96)
Применим к интегралам J*,* +1 и Jk,k^ преобразования
лучаем
Грина. По-
ЭИ*+| , ЭИ* i
Jk.k+I =f И* —ds=f И*+1 — ds.
дп дп
, ЭИ*+1е
Jk,k+i=~f ?к -~^-ds = -fVk+l
дп
откуда
Jk.k+l “ А,*+1 =
эи*
ds,
Эл
= -/и*+1
\ Эл.
ЭИ*,,.,
Эи
ЭИ*,, ЭИ*,.. \ t
ЭИ*+|,е \ ,
--------- IJs =
Эл /
Эл
(97)
Из этого равенства при помощи (96) выводим
, / ЭИ*+2 ,
Jk,k*\ - Jk,k + l ~ S Vk I - “
\ Эл
Но то же преобразование Грина дает
, / ЭИ*+2 ,
Л.*+2 + ^.* + 2=/И*( 23
\ Эл
ЭИ*+2 е. \
-------Ids.
дп /
эи*+2,с
Эл
ds.
406
Следовательно,
4.Л+1 -- 4,t+l = 4.Л + 2 + Jk,k*2- (98)
Применим теперь преобразование Грина к интегралу Д +1 + Jk+1. По-
лучаем
4 + i + 4+i-/4+i I las,
\ an an f
откуда, в силу (96),
4+i + 4+i — / 4+i( _ + _ Ids,
\ an an f
т.е., на основании (97),
14+1 = 4+i + 4+i = 4,fc+i ’ 4,*+i
и в то же время, в силу (98),
*4+1 = 4+1 + 4+1 - Jk.k^l + 4.* + 2 ~
дУк э4 + 2
= f Е —— dT.
Эх Эх
25. Равенство (99) дает
(4+1 4+1) = 4,л+1 “ 2/*,л+14,л+1 4,л+1 •
Так как на основании неравенства Коши - Буняковского
^*,*+1 < 44+1> 4%+1 44+1
и, кроме того,
2 \/4 4+1 Jк Jk+i к 4+1 "* dk^k+l >
ТО
(4+1 4+1)2 JkJk+ \ 44+i 44+i 44+i =
= (4 + 4)(4+i + 4+1),
т.е.
>4+i/i4=(4+i + 4+i)/(4 + 4)< 1.
Применив затем неравенство Коши - Буняковского к равенству (100),
получаем И^+1 < Wk Wk+2- Это неравенство.и (101) показывают, что, ка-
кова бы нц была заданная функция /.интегралы Wk всегда удовлетворяют
следующим неравенствам Шварца:
И'г/И'! < W3/W2 < ... < Wktl/Wk < ... < 1. (102)
26. Предположим для простоты, что X сохраняет положительные значе-
ния, и покажем, что ряд (92) сходится абсолютно и равномерно на поверх-
ности (5), пока X < 1, какова бы ни была исходная функция / в равенст-
вах (93).
(99)
(100)
(101)
407
Мы уже доказали в гл. II, что функция связаны между собой на по-
верхности (5) соотношениями
1 cos
ИЛ= — /Ик_, ~ ds.
2я г
(103)
Пусть ро - какая-либо точка поверхности (5); строим опять цилиндр
вращения радиуса R < D с осью, направленной по нормали л к (5) в точке
Ро, и обозначим, как в п. 19 гл. 1, через da элемент поверхности площадки
(а), вырезанной на (5) взятым цилиндром, через ds' — элемент поверхнос-
ти части (5), лежащей вне (а). Для всякой точки р площадки (а), как пока-
зано в гл. I (неравенства (124!) п. 38),
1г cos«p/cos д | <ср2*), cos #>1/2,
где, напомним, p есть расстояние точки р от оси
lcos.pl/г2 < ср1] г3 < с/р и
1 I cos <р
к= Т.
Ш I г
гдеЛ/Л_| есть максимум I I на поверхности (.S’).
Очевидно, далее, что
cos<p
----- ds
,2
цилиндра. Отсюда
da < 2cM/l_iR,
2ir
fVl_ids'f
cos2<p \ 1^2
---7— ds I
И-i
ds f
cos2 <p
\ 1/2
ds' I
Так как
COS2 ip
f ~~л
s
~R* ’
а в силу леммы I гл. IV (п. 26)
fV2k-ids< /0/2( “Г-1
\ Эх
2
I dT^loW^t,
то
1
= —
2 я
f Ук-1
cos <р
—— dsl
/Slo
2irR2
<
Заметив, что I И* | < К + Kt, получаем
М * А । * + BRM^ _ 1,
(104)
где А и В — определенные постоянные, зависящие только от вида поверх-
ности (5).
Неравенство (104) справедливо при всяком к, начиная с к = 2.
*) Значок 0 всюду опускаем.
408
Давая в (104) значку к ряд последовательных значений и складывая по-
лученные неравенства, умноженные на X* ~1, находим
Е X*-' Мк < А Е X*-' +
к=2 к-2
+ BR\ Е Х*-‘ Мк + BR\Mt,
*=2
или
(1 —BR\) Е X*-* Мк <А Е Х*-‘ + BRXMl. (105)
к=2 к=2
Положим / = lim —•----; . Число R всегда можно выбрать так, чтобы
BR < III. (106)
Ряд Е X*-1 у/Wk^i' сходится для всех значений X, меньших/, ибо
к = 2
радиус круга сходимости этого ряда равен /. Для всех этих значений X, в
силу условия (106), 1 — BR\ >0. Следовательно, на основании (105) ра-
диус р круга сходимости ряда
Mi + ХМ2 + X2Af3 + ... + X*-1 Мк + ...
не меньше I. Итак,
р >1.
Радиус р круга сходимости ряда (92) во всяком случае не менее р'. Сле-
довательно
р> р > I. (107)
/ ЭИ2 ЭИ2 е \
27. Умножим теперь ряд (92) на I -:------— Ids и интегрируем
\ Эи Эи /
результат по всей поверхности (5). Получим ряд
« к । / ЭИ2 i ЭИ2 е \
Я(Х)« Е Х*-‘ f Vkl —left. (108)
к = I \ Эи дп /
Радиус р" круга сходимости этого ряда не менее радиуса р круга сходи-
мости ряда (92), т.е.
р" (109)
Заменив в (108) X на — X, получим ряд R(—X), радиус круга сходимос-
ти которого есть также р".
Радиус р'" круга сходимости ряда R (X) - R (—X) во всяком случае не
меньше р", т.е.
р'">р". (ПО)
Имеем
- .1 / ЭГ2 i ЭИ2 е \
Я(Х)-Я(-Х) = 2Х Е Х2<*-‘> /Г2Л ----------------— Ids.
к = I \ Эи Эи /
409
При помощи формул преобразования Грина и равенства (96) получаем
/ эг2, эк2 е \ / эи2*,
/К2Л( ——-------~ 1Л = /К2(——
\ Эи Эл / \ Эл
дУгк-и + д^к
дп дп
/ ЭИ2 i ЭИ2 е ,
= -/И2Л_,( + ~) </s = / К2Л_|
\ Эл Эл /
= -fVi
ds =
Эи
ЭИ3,,
Эи
Эл
ars+2,e \
-------- |<и.
Эл /
и, вообще,
/ ЭГ2 i ЭИ2 е \ / drjt2i/
f ^2*1 ——-------— к«=/ Угк-,(—-
2к\ дп дп f \ дп
где s — какое угодно целое число, менНШее 2к. Положив s = к — 1, получим
/ ЭИ2 , ЭГ2 е \
f V2k I ——--------- ks =
\ Эл Эл
-fK /2Е*±М
;Кл+,\ Эл
Эл
Следовательно,
Я(Х)-Я(- Х) = 2Х
xa<*-»> и/л+11
£
*= 1
Это равенство показывает, что
р" = lim
к—»
\4й^77
Сопоставляя это неравенство с (ПО) и (109), заключаем, что р<1. Это
последнее неравенство и (107) приводят к заключению, что
\fWk
р = lim —— = /. (110t)
Итак, радиус равномерной сходимости ряда (92) на поверхности (5) в
точности равен /, т.е. ряд этот сходится равномерно при всех значениях па-
раметра X, модуль которых меньше единицы, ибо, на основании нера-
венств (102),
W~k
lim -' "—- 1,
какова бы ни была функция [. Отсюда на основании теоремы Вито Вольтер-
ра (гл. I) заключаем, что ряд (92) сходится равномерно при указанных
значениях X во всей области (О) и представляет функцию, гармоническую
внутри (S).
28. Та же теорема, имеющая место и для области (ZX ), внешней относи-
тельно (.S’), показывает, что ряд (92) сходится равномерно и вне (.S’) и
410
представляет гармоническую функцию в области (D ), пока
IX | < 1. (111)
Так как все Vk по самому построению суть потенциалы простого слоя,
то, очевидно, К, = Ve = V, т.е. гармоническая внутри и вне (5) функция V,
определяемая рядом (92) для значений X, удовлетворяющих условию (111),
непрерывна во всем пространстве и, следовательно, представляется в виде
потенциала простого слоя *).
Функция V, как показывает сам способ ее построения, удовлетворяет
формально условию (91). Можно показать, что она действительно удовлет-
воряет этому условию, какова бы ни была заданная функция / (непрерыв-
ная на поверхности (S)), для значений X, модуль которых не превосходит
некоторого числа, меньшего единицы, но мы на этом останавливаться не
станем, а покажем, что радиус сходимости ряда (92) может быть сделан
при соответствующем выборе функции f сколь угодно большим.
Положим
f=aifi + a2f2 + • • +<*Pfp (Uh)
и составим по формулам (93) функции Vk, соответствующие этому значе-
нию Каждая из функций Vk представится в виде линейной однородной
функции от коэффициентов ак.
Возьмем функцию
[/ = аГЛ+0ИЛ+|, (112)
где а и Р — какие угодно постоянные, а к - какое либо целое число. Функ-
ция [/также будет линейной однородной функцией р параметров ак. По-
ложим
/ SU V , / dU V ,
J = ----- I dr, J =f£[ ----- I dr.
X dx f X dx f
На основании теоремы Пуанкаре - Зарембы числом р и постоянными ак
можно распорядиться так, что будет
J<mJ', J' < mJ, (113)
где m есть постоянная, которую можно сделать сколь угодно близкой к
единице, выбрав число р достаточно большим (см. п. 20) **).
Вейлу (112) получаем J = a2Jk +2a/?Jfc>fc<.| + /Л+1, J' = a2 J'k +
+ 2apjkk+i +p2Jk+t. При помощи этих равенств приводим неравенства
(113) к виду
a2(mJ'k - Jky + ZaPimJ'kk+i A,*+i) +
+ 02(/nj;+1 J*t|) > 0,
a2(mJk~ Jk) +2aP(mJkk^ - /;>Л+1) +
+ 02(mJ*t, - j;+l) > 0. (114)
*) Cm. n. 35. (Прим, ped.)
**) Если взять число p достаточно большим, то постоянные о,, .... ар можно выб-
рать не зависящими от коэффициентов а и & (Прим, ред.)
411
Заменив в первом из этих неравенств 0 на — 0, получим
a2(mJ'k - Jk) — 2afi(mf/ctk+i - /*.*+,) + 02(mJ'k+i - J*+1)>0.
Сложив это неравенство с (114), придем к следующему:
a2(m - 1)(А + J'k) + 2a$(m + l)(J*>k+, - A,*+i) +
+ 02(m-1)(Л+1 + A+1)>0,
левая часть которого всегда неотрицательная квадратичная форма двух ар-
гументов а и 0. Дискриминат этой формы должен быть неотрицательным,
т.е. должно иметь место неравенство
(т - I)2 (Jk + A)(A+i + Jfc+i)>(m + I)2 (/*,**1 _ J'k.k+i)2 .
которое при помощи (99) и принятых в п. 24 обозначений приводится
к виду
Wk+iIWk < q2, (115)
/ т - 1 \2
где положено <? = ( I . Числом в силу сказанного выше может быть
\ т + 1 /
сделано сколь угодно близким к нулю при соответствующем выборе числа р
и постоянных ак', иначе говоря, 1/<у можно сделать сколь угодно большим.
29. Итак, взяв какое угодно целое число к, можно найти такую совокуп-
ность (ОЛ) постоянных а,-, для которой в. силу неравенств (102) будут
соблюдаться неравенства
И'з/И'. < W3IW2 < ... < Wk+JWk < q2 (116)
Но постоянными Uj можно распорядиться и так, чтобы имели место не-
равенства
W2IWt < W3/W2 < ... < Wk+JWk <Wk+2/Wk + l <q2. (116,)
Так как неравенство Wk+2/Wk+l < ?2 влечет за собой все неравенства
(116) (в силу (102)), то совокупность (О*+,) значений а/, при которых
имеют место неравенства (116,), целиком заключается в совокупности
(Dk). Увеличивая постепенно число к, получим последовательный ряд со-
вокупности значений а,-:
(Dfc),(D*+I).....(ОЛ+Л), ...,
где и есть какое угодно целое число, из которых каждая будет заключаться
в каждой из всех ей предшествующих. Так как при любом данном к сово-
купность (Dk) есть совокупность вполне определенная, то тем же свойст-
вом обладает й совокупность (Dk+„), в ней заключающаяся, и это справед-
ливо при любом и.
Отсюда следует, что существует вполне определенная совокупность та-
ких значений а,-, для которых неравенство (115) будет справедливо при
любом к*).
• *) Если под (Dk) (к = 1, 2,... ) понимать множество векторов (а,.apt, ле-
жащих на единичной сфере р-мерного пространства (для которых справедливы нера-
венства (116)), то получим систему вложенных друг в друга, очевидно, замкнутых
множеств, которая имеет хотя бы одну общую точку. Так как эта общая точка (а,,
..., ар) лежит на единичной сфере, то а] + ... +<$ = 1 * 0. (Прим, ред.)
412
Таким образом, мы можем утверждать, что существует такая совокуп-
ность значений oty, при которых будет иметь место неравенство
где q есть число, сколь угодно близкое к нулю.
Так как по предыдущему радиус р круга равномерной сходимости ряда
(92) как раз равен /, то можно, следовательно, найти такую совокупность
значений постоянных а*, что рассматриваемый ряд при указанном выборе
исходной функции f (см. (Uh)) будет равномерно сходящимся при всех
значениях X, модуль которых небольше наперед заданного числа А:
30. Покажем теперь, что при указанном выборе функции f функция V,
определяемая рядом (92), представляется в виде потенциала простого слоя.
В п. 26 было показано, что этот ряд сходится абсолютно для положитель-
ных значений X, меньших I. Так как соответствующим выбором функции
как доказано в предыдущем пункте, число I можно сделать ббльшим на-,
перед заданного числа А, то при X = А ряд
I И I +XI Г21 + ... +Х* I И* I + ...
будет сходящимся.
Следовательно, начиная с некоторого значения к, во всяком случае бу-
дем иметь Ак I И* | < С, где С есть определенная положительная постоян-
ная, или
IV/tl <Стк, (117)
где
т = 1/А (117,)
есть, очевидно, правильная дробь *).
Неравенство (117) можно, как легко видеть, считать справедливым при
всяком к.
При помощи неравенства (117) легко доказать, что при сделанном выбо-
ре функции f каждый из потенциалов Vk (fc=l, 2, 3, ...) может быть
представлен в виде потенциала двойного слоя во всех точках области (О),
ограниченной поверхностью (5).
Положим
Д*=(Й*- Й*+0 + (Й*+2-Й*+3)+ ... +(й*+2р-й*+2р+о + •••
1 (118)
Неравенство (117) дает
1Й*+2р - ^+2₽+1 I < 2Сг*т2₽ (р = 0,1,2, ...). (1180
Отсюда следует, что ряд (118) сходится абсолютно и равномерно на поверх-
ности (S).
С другой стороны, ряд
I й*1 + 1Й*+,1 + ... + ГЙ*+2р1 + I Й*+2р+| I + ...
также сходится равномерно на поверхности (.S’). Вследствие этого можем
*) Число А > 1 можно считать, например, натуральным. (Прим, ред.)
413
писать
Д* = Й*-(Й*+1 - Й*+2)-(Й*+3 - Й*+4) + ..., (119)
причем, в силу (117) и (1181),
2С
1д*1 < ------j т*=С,т*. (120)
1 — т
Составим теперь потенциал двойного слоя
1 COStf
Uк = — / Д* “Г" ds.
2п т1
На основании известных свойств этого потенциала получаем
(/*,< = (/*+д* на поверхности (S). (121)
Но, в силу (118) и (103),
йк = (Й*+1 - Й*+2) + (Й*+3 Й*+4) + ....
Сопоставляя это равенство с (121) и (119), заключаем, что
Uki= Vk~ Pkj на поверхности (S),
т.е. в силу известных свойств гармонических функций
И* = (/* внутри (S).
Обозначая через Р точку, лежащую на нормали п к (5) в некоторой ее
точке р на расстоянии 8 от этой последней точки, и придерживаясь приня-
тых в гл. I обозначений, получаем
/ dVk \ / dUk \
( ) s тЧ 022)
\ Эл / р \ дп I р
— равенство, которым мы воспользуемся в следующем пункте.
31. Применим первую теорему Ляпунова (гл. I, п. 26) к потенциалу
ЭИ*
простого слоя И*. Полагая, как и раньше рк ---- и обозначая через рк
дп
и рк значения этой функции в двух точках р’ и р поверхности (5), лежа-
щих на расстоянии г друг от друга, а через Rk - максимум I рк I на поверх-
ности (5), получаем
1р* ~Рк I < QRk-i ril2.
Применим теперь неравенство (106) гл. I к потенциалу
1 1
И*— —— f Pk — i —ds.
2п г
В данном случае нужно положить (см. пп. 31 и 32 гл. 1) J = Рк. -2пр° =
= pk-i, До =Rk_}, N = QRk-i, 0 = 1/2. Таким образом, получим
ЭИ* \
~— I ~(Р*. -P*-i)
Ъп / р
<(G2**-2+Gi**-i)5I/2.
414
где Qt и Q2 есть определенные числа, зависящие только от вида поверхнос-
ти (.S’). Отсюда, в силу равенства (122),
!pfc - Рк-\ I < (02^fc-2 +О1^*-1)81/2 +
/ ЪЦк У
у Эи / р
(123)
32. Рассмотрим потенциал двойного слоя Uk. Повторив рассуждения
п. 35 гл. 1, получим
/ dUk \ 1 рк
— ( ---- I = ---- f —— (cos 1? + 3 cos cos 0) rfs *). (124)
У Эи fP 2л r3
Отсюда
/ dUk \ 2(дЛ) ds
—- I • f —- (125)
\ Эи / p и r
где через (pk) обозначен максимум I дЛ I на поверхности (.S’).
Построив опять, как и в гл. I, цилиндр вращения радиуса R <D с осью,
направленной по нормали и к поверхности (.S’) в точке р, и употребляя при-
нятые там обозначения, получим
причем будет иметь место неравенство
ds ] S
6 J —— < —г 5,
г3 R3
которое получится из (88) гл. I (п. 27), если в нем заменить z на 5 и поло-
жить д = 1, и равенство
da
8f— = 2ir + 8Q,
г3
вытекающее из равенства (97) той же главы (п. 30), если в нем е заме-
нить на б. Из сказанного следует, что произведение
где К' есть определенное число, каково бы ни было число 6.
Неравенство (125) приводит, таким образом, к следующему:
< К
(Рк)
8
откуда, в силу (120),
тк
< КС, ---- = К,
т*
8
♦) В рассматриваемом случае под знаком интеграла вместо рк - д^, где есть ве-
личина, соответствующая д° формулы (116) гл. I, пишем просто д*, что возможно,
ибо интеграл правой части равенства (124) равен нулю, если заменить в нем цк на цк.
415
Так как 8 есть величина вполне произвольная, то можем положить 8 =
*2к
= ст 3 , где с есть некоторая постоянная; положив затем
а = т‘/3, (125()
К dUk \ Kt .
--- I <-------- <г = ло, где п есть число, не зависящее от
дп / р с
к, и 61 /2 = \/с а*. Сопоставляя это равенство и предыдущее неравенство с
(123), получаем
Ip* — Pk-i I < +Л2Я*_2 + п)ак, (126)
где А । и А 2 суть две постоянные, одинаковые для всех точек поверхности
(5) и не зависящие от к.
33. Неравенство (126) дает
Я* =max \рк I < Я*_, + (А,Л*_, + Л2Л*_2 + п)ак. (126»)
Здесь под Rk _ 1 и Л*_2 подразумеваются
max lp*_| I и max 1р*_21 (127)
на поверхности (.S’).
Неравенство (126|) еще более усилится, если в нем под Rk-i и Л* _2
подразумевать величины, большие чем (127), причем можем положить
В* =Л*_| + (Л]ЛЛ_ 1 +A2Rk-2 +п)о1с *Х
Введенные таким образом числа Rk будут удовлетворять условию
Rк _ 1 < Rk при всяком к, вследствие чего получим
Rk < B*-t(l + так) + пак,
где положено m =Л( +Л2. Последнее неравенство можно написать так:
п / п \
Rk + — < IRk-i + — 1(1 + так).
ту ml
Отсюда выводим
л / л \ .
Rk + — < I Ro + — 1(1 + лю)(1 + та2) ... (1 + так).
ту mJ
Так как а< 1, то произведение (1 + лкг)(1 +та2)... (1 +так) стре-
мится к определенному пределу В > 1 при беспредельном возрастании чис-
л / л \
ла А:. Поэтому при всяком A: Rk + — <BIR0 + — 1. Это неравенство по-
т у mJ
казывает, что Rk никогда не превосходит некоторого определенного поло-
(л \ л
Ro + — I-------.
т J т
*) При Jt > 2;/?0 = max 1/1,/?, = max Ip, I. Очевидно, что при всех* справедливы
неравенства max Ip* I < Rk. (.Прим, ред.}
416
Итак,Rk_ । < Li, Rk-i < £ i. При помощи этих неравенств выводим
из (126)
Ip*-p*-i I < £о* (а < 1), (128)
где £ = £! (Л! + А 2 ) + п есть определенное число, не зависящее от к.
34. Неравенство (128) по внешнему виду совпадает с неравенством,
выражающим принцип Робена (неравенство (60) гл. П), но в рассматривае-
мом случае оно доказано не для какой угодно непрерывной функции /, а
для функции f вида
Г=«1Л + a2f2 + ... + apfp, (129)
где функции fk (к = 1,2, ..., р) -произвольны, но число р и постоянные ак
выбраны определенным образом.
Очевидно, что число р коэффициентов ак можно выбрать так, что одно-
временно с теми линейными уравнениями, которым должны удовлетворять
постоянные ак для того, чтобы имело место неравенство (128), будет иметь
место еще и следующее равенство:
f fds = ai f fi ds+a2 f fads + ... +ap f fpds = Q. (129j)
При этом исходная функция f в равенствах (93), последовательно опреде-
ляющих все функции Vk, будет удовлетворять всем условиям, при кото-
рых справедливы рассуждения п. 18 гл. II. Повторив дословно эти рассуж-
дения, из неравенства (128) выведем следующее:
Ip* | < £'о*, (130)
где £' - определенное число, не зависящее ни от £, ни от положения точ-
ки р на поверхности (S).
Неравенство (130) показывает, что при сделанном выборе функций f ряд
f + \pi + Х2р2 + ... + Х*р* + ...
сходится абсолютно и равномерно во всех точках поверхности (S), пока
IX | < 1/о. Поэтому, если положим
р(Х) = - (/ + Xpj + Х2р2 + ... т Х*р* + ...),
2я
то можем писать
и +ХГ2 +Х2И3+ ... +Х*-‘ и* + ... = f — ds,
г
т.е. функция V, определяемая рядом (92) представляется в виде потенциа-
ла простого слоя при всех значениях X, модуль которых не превосходит
числа (см. равенства (125J и (117t)J 1/а = 1/т*/3 = А1/3 = АТак как
число А может быть сделано сколь угодно большим (п. 29), то таковым же
свойством обладает и число А *.
Сопоставляя полученный результат с предложением п. 29, приходим к
следующему выводу.
Теорема. Положив в равенствах (93)
f = ««Л +«2/2 + • • +«р/р,
где fk(k= 1,2.......р) суть произвольные функции координат точек
417
верхности (5). непрерывные на этой поверхности, можно распорядиться
выбором числа ри постоянных ак так, что ряд
И=Н+ХИ2+Х2Г3+ ... +Х*_,И*+ ... (131)
будет сходиться равномерно во всей области (В) (включая и точки поверх-
ности (S), ограничивающей область (В)) и представляться в виде потенциа-
ла простого слоя при всех значениях параметра X модуль которых меньше
или равен наперед заданному числу А При этом потенциал простого слоя
V, изображаемый рядом (131), будет действовать (а не только формально)
удовлетворять на поверхности (S) условию
дУ( dVe дУ
= -2Х -2f на поверхности (5)*). (132)
дп дп-дп
(133)
35. Будем теперь подразумевать под / произвольно заданную функцию
точек поверхности (S) и составим по формулам (93) функции Ук (k = 1,
ЭГЛ
2,...) и рк = ----- (к = 1,2, ... ). Положим затем
Эл
Л = «о/ + aiPi + а2Рг + ... + аррр
и составим функции
, 1 Л , 1 , ds
И =- — f — ds, И2 =- — JPi —....................
2я г 2 я г
1- , ds дУ'к
Ук=~ — /Рк-1-----------,Рк=-^- (* = 1,2, ...)
2п г дп
(134)
Имеем
V'i = «о И + ai И2 + ... + ар Vp+,,
Уз = «оИ2 + «1 И3 + ... + арИр+2,
У'к+1 - «О Ук+1 + «1 Ук + 2 + • • + «р Ук+р+ 1 •
Рассмотримряд
V'=V\ + ХН + X2 Из + ... + х*-‘ У'к + ...
Положив
(Л = И2 + ХИ3 + X2 И4 + ...,
U2 = И3 + ХИ4 + X2 И5 + ...,
(/₽ = Ир+1 +хир+2 + х2ир+3+
*) 3 этой теореме система функций/,, ..., /р, вообще говоря,не обязана быть ли-
нейно независимой. В случае, когда эта система линейно зависима, функция / может
оказаться тождественно равной нулю (при а? + ... + * 0). Тогда, конечно, и пост-
роенный потенциал простого слоя V тождественно равен нулю. (Прим, ред.)
418
получим
V'= a0V+aiUt +a2U2+ ... + apUp, (135)
где
И» Г, + ХИ2+Х2Г3 + ... +х*-' Vk + ...
Очевидно,
t/, = 1 (г- г.),
Л
^2 = 4- ((/1 И2), (136)
Л
(/₽= 4 ((/р_, - гр).
Л
Переписав уравнения (135) и (136) в виде
oto К + «1 Ui + a2U2 + ... + cipUp = К*.
V X Ut = г,,
и г - X U2 = V2.
Up — \—XUp =Vp.
получи м систему р + 1 линейных относительно р + 1 величин г, [/,.
и2,.. ,(/₽ уравнений, разрешая которые относительно К, находим
г', «1. «2, .... ар <*О . «1. а2 ар
Г = . Г, -х. 0, .... 0 1, 0, -X. 0 0 1. -X 0 (137)
VD 0, 0, ..., -X
р 0. о, о...., i.-x
Выберем постоянные ак (к «= 0, 1, 2,..., р) так, чтобы соблюдались все
условия предыдущего пункта. При этом К* представится в виде потенциала
простого слоя для всех значений X, модуль которых меньше или равен А'.
Числитель правой части равенства (137), который обозначим через Р(Х),
представится также потенциалом простого слоя для указанных значений X
и в то же время в виде ряда
Р(Х) = /’О + + Х2Р2+ ... +ХкРк+ ....
где Рк (к = 0, 1, 2, ...) суть также потенциалы простого слоя, сходящегося
при тех же значениях X. Знаменатель выражения К (равенство (137)) есть,
очевидно, полином степени не больше р от X с постоянными коэффици-
ентами.
Итак,
Г = Р(Х)/О(Х). (138)
419
Таким образом, для всех значений X, меньших или равных наперед за-
данному числу А', функция V, определяемая рядом
V=Vi + ХИ2 + Х2И3 + ... + Х*-1И* + ...»
изображается в виде дроби (138) *).
Сопоставляя все сказанное, приходим к следующей теореме.
Теорема. Какова бы ни была заданная непрерывная на поверхности (S)
функция f, функция V, гармоническая внутри (S) и удовлетворяющая ус-
ловию
дУ,- dVe ЭИ
= -2Х - -2/ на поверхности (S), (139)
Эн----------------------------------------------------------Эл-Эл
есть мероморфная функция параметра X внутри круга любого радиуса А,
представляющаяся в виде дроби
И = Р(Х)/О(Х), (140)
где Р(Х) есть потенциал простого слоя, а 2$(Х) - полином некоторой степе-
ни р, корни которого служат, вообще говоря, полюсами функции V.
Эта функция остается голоморфной внутри круга радиуса единица, так
что наименьший из ее полюсов либо равен, либо больше единицы.
36. Теорема имеет место для всякой поверхности Ляпунова. Не входя в
дальнейшие подробности относительно свойств функции V, рассматривае-
мой в качестве функции параметра X, которые будут изложены в томе III
нашего сочинения и приведут к теории фундаментальных функций, мы до-
кажем сейчас лишь следующее предложение:
Функция V может иметь только простые (некратные) полюсы.
Пусть X = X' есть какой-либо полюс функции V. Обозначим через Р(Л)(Х)
производную порядка s от функции Р(Х) по X. Подставив выражение
(140) для V в уравнение (139), получим
ЭА(Х) _ ЭРДХ) ,в_ ЭР(Х)
Эл Эл Эл
-22>(Х)Г.
(141)
Отсюда, дифференцируя s раз по X, выводим
Э/><Л)(Х) _ ЭР*/* (X) _
Эл Эл
3P*S*(X) Э/><®-**(Х)
= - 2Х------— - 2s------------—- - 2D(J)(X)/.
Эн Эл
(141.)
При X = X' функция Р(Х) и несколько ее производных по X могут, во-
обще говоря, обратиться в нуль. Допустим, что первая необращающаяся в
нуль производная Р(Х) по X есть производная порядка s + 1, так что
Р(Х') = Р'(Х') = Р"(Х')= ... =Ро)(Х') = 0, P(j+,)(X')=#0. (142)
*) Как показано выше (пп. 26-28),определяющий функцию V ряд (92) сходится
(равномерно во всем пространстве) при 1X1 <1. Равенство (138) дает аналитическое
продолжение функции V. {Прим, ред.)
420
Допустим для простоты, что X' есть полюс второй кратности. При этом
необходимо
О(Х') = О'(Х') = О"(Х')= ...=
= 0<4)(Х') = 0(4+|)(Х') = 0(4+2)(Х') = 0,
О(4+3>(Х')*0. ^142,)
Полагая в уравнении (1411) Х = Х' и принимая во внимание условия (142)
и (1421), получаем, заменив s на s +1 и
ЭР<4+,)(Х') ЭР<4+,)(Х') _
Эн дп
ЭР/4+2>(Х') ЭР<4+2)(Х') _
’ - = 2Л
дп дп
s +2,
ЭР*4*1»#)
Эл
3/>(4+* 2)(X')
Эи
ЭР<4+,)(Х')
- 2(г + 2) --г----.
Эл
Так как по свойствам потенциала простого слоя
ЭР<4)(Х) ЭР}4>(Х) ЭР<4)(Х)
2---------=-----------+-----------
Эи Эи Эи
при всяких s и X, то на основании этого соотношения можем представить
два предыдущих равенства в виде
, ЭР<4+,)(Х')
а +х) -4—— - *)
Эи
ЭР<4+1)(Х')
—S_ =о,
Эл,
ЭР<4+2)(Х’) ЭР(4 + ,)(Х')
---------=—2(s + 2) -------
Эл Эл
, ЭР/4+2)(Х')
(1 + Х ) — -(1 -X')
Эи
Умножив пёрвое из этих уравнений на Р(4+ 2 * (X'), второе - на Р(4+1 > (X'),
вычтя один результат из другого и проинтегрировав затем полученное урав-
нение по всей поверхности (5), получим при помощи известных формул
Грина
- 2 f Р(4+1 ’(X') ———- ds = 0.
Эл
Отсюда в силу первого из (143) и формул преобразования Грина выводим
.+1. , / М4+,)(Х') ЭР<4+|)(Х') \
JP(4 + ,)(X)I —-----—---------------— bJ =
\ Эл Эи /
/ ЭР(4+|)(Х') \2
, = JSI --------1 dT = Q.
\ дх /
421
Отсюда следует, что Р(1+1 * (X') = 0 *), т.е. Р(Х) и D (X) должны иметь следую-
щий вид:
Р(Х) = (X - Х'Г+2 Л(Х), О(Х) = (X - Х')1+Л D, (X).
где Р\ (X) и О t (X) суть функции от X, не обращающиеся в нуль при X = X'.
Функция V, следовательно, приводится к дроби И = Р|(Х)/(Х - (X),
где Pi (X') и О |(Х) не равны нулю. Отсюда следует, что X' есть необходимо
простой полюс функции V.
Таким образом, доказано, что функция V не может иметь полюсов вто-
рой кратности. Очевидно, что полюсов выше второй кратности и подавно не
может существовать.
Предложение, высказанное в начале пункта, доказано. Поэтому в выра-
жении (140) для V мы можем подразумевать под О(Х) полином от X, все
корни которого простые, а под Р(Х) — функцию от X, не обращающуюся в
нуль для значений X, служащих корнями полинома О(Х).
37. На основании сказанного выше мы можем представить функцию
Р(Х) в виде
I р(Х)
/»(*)= •— f — А. (144)
2тг г
причем уравнение (141) в силу известных свойств потенциала простого
*) Из равенства (141) немедленно следует, что функция V может иметь только ве-
щественные полюсы.
Действительно, пусть X' - полюс функции И. Тогда О(Х') = 0 и можно считать, что
потенциал простого слоя Р(Х') не равен тождественно нулю. Как показано в этом
пункте (мы положили s + 1 = 0), для всех точек поверхности (5) имеет место ра-
венство
Умножая его на Л'(х’) и интегрируя полученное равенство по поверхности (S), по-
лучим
11 ах I I ay I
I ЭР(Х') I2 1 , , ,Г1 9Р(Х') I2
+ “7----- dr = (1 - Re X - i Ini X ) Г ------------ +
I dz I J LI Эх I
I ЭР(Х’) I2 | ЭТ’(Х') I2 T ,
• dy I I dz I J
Если Im x' 0, то отсюда вытекает, что
и, следовательно Р(х‘) = 0.
Отметим также, что при х' = - 1 имеем
(Г I Э/>(Х) I’ + I I’ * | 1’1,- л
J “ I + ---------- I + ----------- ат = 0
LI Эх I I ду I | эг I J
иРС—I) = 0 в О' , а'следовательно, и во всем пространстве. То есть и точка X = - 1 не
является полюсом функции V. (Прим, ред.)
422
слоя приведется к следующему:
X cos ф
Р(Х) = — SP&* ~Т~ ds DW
2it г
Положив X = 1, получим
1 cos ф
Р(1)= — Jp(l) --2- ds -0(1)/: (145)
2тг г2
Интегрируя это уравнение по всей поверхности (5) и учитывая извест-
ную теорему Гаусса (равенство (112) гл. I, п. 33), получим
0(1) ff ds = 0.
Отсюда следует, что если / fds^Q, то необходимо
О(1) = 0, (146)
т.е. X - 1 есть полюс функции И; если же
ffds = Q. (147)
го X = 1 есть необходимо простая точка функции V.
В самом деле, допустив противное, т.е. что при условии (147) имеет мес-
то равенство (146), получим из (145)
1 cos ф
P(l)= — Jp(D ~2—ds. (148)
2it г2
Далее, из равенства 137 следует, что
/>(Х) = в’И* +й| + а2 И2 + ... +лрГр,
где д', (X = 1,2.....р) суть постоянные, зависящие только от X, и по
предыдущему (пп. 35 и 34)
. 1 . и , ds
у=~— к/,+хР',+ ...+х*Р;+...)--,
2тг г
Отсюда заключаем, что
-р(Х) = а'(/1 +Xp'i + ... + Хкр'к + .. .)+atf +а2рх + ... +appp_t.
Так как при всяком к (см. гл. Il) f p'kds = f fids, f pkds = / f ds и no
принятым в п. 35 условиям / fi ds = 0, a ряд/| + Xpi + ... + X* p'k + ...
сходится равномерно на поверхности (5), то
—/p(X)ds = (fl| +а2 + ... +ар) / fds.
Отсюда, следует, что, при условии (147),
fp(l)ds =0. (149)
38. Итак, если функция f подчинена условию (147), то функция р(1)
есть функция, удовлетворяющая уравнениям (148) и (149), т.е. равна тож-
423
дественно нулю, как показано в п. 5 гл. П. При этом в силу (144) и Р(1) =
= 0, что невозможно, если X = 1 есть полюс функции V.
Таким образом, доказано, что если f удовлетворяет условию (147), то
X = 1 есть простая точка функции V; иначе говоря, ряд (92) :
И = И, + ХИ2 + X2 И3 + ... + X*"1 Vk + ...
сходится равномерно на поверхности (S) (а следовательно, и внутри (S))
при X = 1. Отсюда на основании равенства (110|) (п. 27) заключаем, что
lim ...= / > 1 и, следовательно, в силу неравенств (102) при вся-
V И'*+1
ком к
wk+1/wk < i/i2=q2 < 1.
Получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть f есть заданная непрерывная функция точек поверхнос-
ти (S). Составляем ряд функций Vk по формулам
1 f 1 ЭИ*.! ds
И, = - — f -ds, И*=- — f —— (* = 2,3, ...).
2ir г 2n дп г
(150)
Для всякой поверхности Ляпунова отношение интегралов
, / ЭИЛ + 1 \2 / / ЭИ* \2
—Г"1 ) <1Т !Ъ{—-*-) dT
X дх f I \ дх f
остается меньшим некоторого числа q2, меньшего единицы, если функция f
удовлетворяет условию
f fds = O. (151)
39. Коль скоро эта теорема установлена, то стоит повторить почти до-
словно рассуждения пп. 30—35, чтобы доказать, что неравенство (130)
п. 34, а именно
Ip* I < L'ok (а< 1), (152)
имеет место для любой поверхности Ляпунова, какова бы ни была заданная
функция/, непрерывная на поверхности f и подчиненная условию (151)*.
Таким путем приходим к следующей теореме.
Основная теорема. Принцип Робена, а следовательно и принцип К. Нейма-
на, применим ко всякой поверхности Ляпунова (п. 17 гл. 1).
Сопоставляя эту теорему со всеми результатами предыдущих исследова-
ний, приходим к следующему общему заключению:
Все приемы решения основных задач математической физики, как то: за-
дачи о распределении электричества, задачи Дирихле, Гаусса и Неймана и
все вытекающие из применения этих приемов следствия, указанные в пре-
дыдущих главах, начиная с главы 11, справедливы для любой поверхности
Ляпунова.
40. Изложенное здесь доказательство основной теоремы, установившее
самым ходом анализа ее естественную связь с теорией фундаментальных
функций Пуанкаре, представляется более сложным, чем то, которое дано
мною в 1900 г. в мемуаре ”Les methodes ge'nerales pour resoudre etc.” (Anna-
424
les de Toulouse), но зато устанавливает справедливость этой теремы для всех
поверхностей Ляпунова независимо от того, возможно ли для них преобра-
зование Пуанкаре или нет. Такой именно путь рассуждений пришлось из-
брать потому, что фундаментальную теорему Пуанкаре (см. п. 2), до сих пор
строго в общем виде не доказанную, следствием которой служит неравенст-
во (150), мы должны были заменить теоремой более частного характера,
которой дали название фундаментальной теоремы Пуанкаре - Зарембы
(см. п. 20).
В упомянутом выше мемуаре*)исходным пунктом рассуждений служила
фундаментальная теорема Пуанкаре, которая привела сначала к неравенст-
ву (150), а затем и к принципу Робена (неравенство (152)); здесь же нами
доказано сначала неравенство (150) независимо от фундаментальной теоре-
мы Пуанкаре, которую, наоборот, мы можем вывести как следствие этого
неравенства.
Имея в виду важность этой теоремы и многочисленность ее применений,
я приведу в этом пункте ее простое доказательство.
Так как----------------- -2/, то условие (151) равносильно, очевид-
Эл дп
но, следующему:
ЭИ,
f ---— Л = 0. (153)
дп
Поэтому можем утверждать, что если первый из потенциалов теоремы
п. 38 удовлетворяет условию (153), то имеет место неравенство (150). При
этом в силу неравенств (102), справедливых для любой функции /, полу-
чаем W2/Wi = (J2 + /а)/(Л + 71)<fl2. Применив к интегралу
теорему Грина и воспользовавшись равенством (96) при к = 2, получим
Ju + 7'n = J'i - 7,, откуда (7J - 7t)2 < (7i + 7'1)(72 + J2) и, следова-
тельно, fl2 > W2fWt =(J2 + J2)l(Ji + 7'i)>[(7'i - 7i)/(7j + Ji)]2, или
171 - 7,1/(7'i+ 70 < fl. (154)
Возможны два предположения:
либо 1°
X = 71/7, >1, (155)
либо 2°
Х= 71/71 <1. (1550
В первом случае неравенство (154) дает
(К — 1)/(К +l)<fl,
откуда
Х= 7'1/7, <(l+fl)/(l-fl)
*) См. также соч. "Общие методы решения основных задач и тд.” гл. II.
425
и, в силу (155), 1 < J\IJ\ <(1 + ?)/(! -</),а следовательно, и подавно
1/т = (1 -?)/(!+?)</;//, <(1 +</)/(!— q) = m.
Во втором случае неравенство (154) приводит к такому:
K=J\Ui >(1 — q)/(l +q),
т.е., в силу (155,), \]т = (1 -</)/(!+</)< J\[JX < 1, а следовательно, и
подавно
l/m=(l-q)/(\ +q)< j\IJt < (1 + ?)/(! — q)=m.
Таким образом, убеждаемся, что коль скоро потенциал простого слоя V
удовлетворяет условию (153), то имеют место неравенства вида
1 / ЭИ \2 , / / ЭИ \2
— < / Е ( -- I дт / f SI I (1т<т.
т \ Эх / / \ Эх /
Это есть фундаментальная теорема Пуанкаре.
Петербург,
11 октября 1922 г.
Список трудов ВЛ. Стеклова по математике и механике
Сокращенные обозначения периодических изданий,
где были опубликованы работы:
схмо - Сообщения Харьков- В. ГАс. Crac. - Bulletin de 1’Academie
Math. Ann. ского математическо- го общества. . - Mathematische Annalen. ЗФМО des sciences de Craco- vie. - Записки Император-
ТОФНОЛЕ - Труды Отделения фи- ской Академии наук
зических наук общест- ва любителей есте- ствознания. AEN по физико-математи- ческому отделению. - Annales scientif. de
CR - Comptes rendus des 1’Ecole normale supcri-
seances de 1’Academie des sciences de Paris. RAL eure. - Rend iconti della Reale
ЗХУ - Записки Харьковско- Accademia dei Lincei.
го университета. RCMP - Rendiconti del Circolo
AFT - Annales de la Faculte Matematico di Palermo.
des Sciences de Tou- ИАН - Известия Академии
JRAM louse.. - Journal fur reine und ДАН наук. - Доклады Российской
angewandte Mathema- Академии наук.
tik.
Работы В.А. Стеклова
1. Об интерполировании некоторых произведений. - СХМО, серия 2, 1889, т. 1,
№5-6, с. 239 -248.
2. О движении тяжелого твердого тела в жидкости (статья I) - СХМО, серия 2,
1891, т. 2, №5-6, с. 209 - 235.
3. О движении тяжелого твердого тела в жидкости (статья II) - СХМО, серия 2,
1891,т. 2,№5-6,с. 236-244.
4. Одна задача из теории упругости. - СХМО, сёрия 2,1891, т. 3, № 1, с. 1 -34.
5. О равновесии упругих цилиндрических тел. - СХМО, серия 2, 1891, т. 3, № 1,
с. 42-48; №2, с. 49-93.
6. О высших и низших пределах вещественных корней алгебраических уравнений
и их отделении. - СХМО, серия 2,1891, т. 3, № 3, с. 103-125.
7. О равновесии упругих тел вращения. - СХМО, серия 2, 1892, т. 3, № 4, с. 173-
192: с. 193-251.
8. О движении твердого тела в жидкости. - СХМО, серия 2, 1893, т. 3, № 6,
с. 263- 264.
9. О движении твердого тела в жидкости. Диссертация на степень магистра приклад-
ной математики. - Харьков, 1893, XVI + 234 с.
10. Uber die Bewegung eines festen Korpers in einer llussigkeit. - Math. Ann., t. 42,
1893, c. 273-274.
11. Дополнение к сочинению: ”0 движении твердого тела в жидкости". - СХМО, се-
рия 2,1894, т. 4, №4, с. 161-164.
12. 0 некоторых возможных движениях твердого тела в жидкости. - ТОФНОЛЕ,
1895, т. 7,вып. 2, с. 10- 21.
13. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точ-
ку. - ТОФНОЛЕ, 1896, т. 8,вып. 2, с. 19-21.
14. О разложении данной функции в ряд по гармоническим функциям. - СХМО,
сершг2,1896, т. 5, № 1-2, с. 60-73.
15. Один случай движения вязкой несжимаемой жидкости. - СХМО, серия 2,1896,
т. 5, №3-4, с. 101-124.
16. Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня. - СХМО, серия 2,
1896, т. 5, № 3-4, с. 136-181.
17. Sur le mouvement d’un solide dans un liquide indefini. - CR, 1896,t. 123, c. 1252-
1253.
18. К вопросу о существовании конечной и непрерывной внутри данной области
функции координат, удовлетворяющей уравнению Лапласа, при данных значениях ее
нормальной производной на поверхности, ограничивающей область. - СХМО, серия 2,
1897,т. 5,№5-6, с. 255-286.
19. Об одном преобразовании дифференциальных уравнений движения свободной
материальной точки в плоскости и его приложениях. - ТОФНОЛЕ, 1897, т. 9, вып. 1,
с. 16-26.
20. О дифференциальных уравнениях математической физики. - Мат. сб., 1897,
т. 19,вып.4,с.469-585.
21. По поводу одной теоремы Кирхгофа. - ЗХУ, 1897, кн. 4, с. 169-180.
22. О разложении данной функции в ряд по гармоническим функциям. - СХМО,
серия 2,1897,т. 6, №2-3, с. 57-124.
23. Le problcme de la distribution de 1’electricite et le probleme de C. Neumann! -
CR 1897,t. 125, c. 1026-1029.
428
24. Sur le probleme de refroidissement d’une bane heterogene. - CR, 1898, t. 126,
c. 215-218.
25. Sur un problemede la theorie analytique de la chaleur. - CR, 1898, t. 126, c. 1022-
1025.
26. О задаче Фурье. - Дневник X съезда русских естествоиспытателей и врачей в
Киеве, 1898, с. 105. .
27. Sur le problime de la distribution de I'etectricite. — CXMO, 2 серия, 1898, т. 6,
N»4-5, с. 154-159.
28. К задаче о равновесии упругих изотропных цилиндров. - СХМО, серия 2,
1898, т. 6, N»4-5,c. 160-193.
29. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения твердого тела,
имеющего неподвижную точку. - ТОФНОЛЕ, 1899, т. 10, № 1, с. 1 -3.
30. Sur le developpement d’une fonction donnec suivant les fonctions harmoniques. -
CR, 1899,t. 128, c. 279-282. z
31. Sur les problimes fondamentaux de la physique mathematique. - CR, 1899, t.’ 128,
c. 588-591.
32. Sur 1’existence des fonctions fondamentals. - CR, 1899, t. 128, c. 808-810.
33. Sur la theoriedes fonctions fondamentales. - CR, 1899,t. 128, c. 984 -987.
34. Les methodes generates pour resoudre les problemes fondamentaux de la physique
mathematique. - AFT, serie 2,1900, t. 2, c. 207-272. , ,
35. Memoire sur les fonctions harmoniques de M.H. Poincare. - AFT, 2е serie, 1900,
T. 2, c. 273-303. ,
36. Sur la methode de Neumann et le probleme de Dirichlet. - CR, 1900,
t. 130, c. 396-399.
37. Sur les problemes de Neumann et de Gauss. - CR, 1900,,т. 130, c. 480 -483.
38. Remarque relative a une Note de M.A. Korn: ”Sur la methode de Neumann et le prob-
leme de Dirichlet". - CR, 1900, t. 130, c. 826-827.
39. Sur la m&hode de Neumann et le probleme de Dirichlet (note 11). - CR, 1900, T. 130,
c. 1599-1601.
40. Le problime des temperatures stationnaires. -CR, 1900,t. 131, c. 608 -611.
41. Sur les fonctions fondamentales et le problime de Dirichlet. - CR, 1900, t. 131,
c. 870-873.
42. Sur la methode de la moyenne arithmetique de Neumann (note I). - CR, 1900,
t. 131, c. 987-989.
43. Sur la methode de la moyenne arithmetique de Neumann (note II). - CR, 1900,
t. 131,c. 1182-1185.
44. Общие методы решения основных задач математической физики. Докторская
диссертация. - Харьков: Издательство ХМО, 1901, V + 291 с.
45. Sur I’bxisteriee de fonctions fondamentales. - CR, 1901, t. 135, c. 450-453.
46. Probleme de refroidissement d’une barre heterogene. - AFT, 2е serie, 1901, t. 3,
c. 281-313.
47. Remarque sur иц probleme de Clebsch sur le mouvement d’un corps solide dans un
liquide indefiniet suHe probleme de M. Bruns. - CR, 1902, t. 135, c. 526-528.
48. Sur certaines egalites remarquables. - CR, 1902, t. 135, c. 783-786.
49. Sur la representation approch£edes fonctions. - CR, 1902, t. 135, c. 848-851.
50. Sur queiques consequences de certains developpements en series analogues aux de-
veloppements trigonom^triques. - CR, 1902, T. 135, c. 946-949.
51. Renuuques relatives A ma Note: "Sur la representation approchee des fonctions”. -
CR, 1902,t. 135, c. 1311-1313.
52. Memoire sur la mouvement d’un corps solide dans un liquide indefinL - AFT, serie 2е,
1902,т. 4,c. 171-219.
53. Sur les problimes fondamentaux de la physique mathematique. - AEN, serie 3,1902,
t. 19, c. 191-259, v. 455-490.
54. Sur le developpement d’une fonction donnee en series procedant suivant les polyno-
me$ de TchAycheff et en particutier, suivant les polynomes de Jacobi. - J RAM, 1902,
t. 125,N*3, c. 207-236.
55. Remarques relatives aux formuies sommatoires d’Euler et de Bool. - CXMO, серия 2
1904, т. 8, N* 11-12, с. 1 36-144,1904, t. 8, N* 3-4, c.,145-195.
56. Sur une propriete remarquable de plusieurs developpements souvent employes dans
1’analyse. - CR, 1903,t. 136, c. 876-878.
429
57. Sur le developpement d’une fonction donnee en series procedant suivant les polyno-
mcsdc Jacobi. -JCR, 1903, 136, c. 1230-1232.
58. Sur la theorie des scries trigonometriques. - В. ГАс. Crac., 1903, N* 9, c. 713-740.
59. Sur certaines egalites generates communes a plusieurs series de fonctions souvet em-
ployees dans 1’analyse. - ЗФМО, серия 8,1904, r. 15,,N* 7, с. 1 -32.
60. Sur une egalite generale commune a toutes les fonctions fondamentates.-CR, 1904,
t. 136, c. 35-37. , . f f
61. Addition au memoire "Sur la theorie des series trigonometriques”. - В. ГАс. Crac.,
1904, № 6, c. 280-283.
62. Sur la theorie gencrale des fonctions fondamcntales. - CR, 1904, t. 138,
c.1569-1571.
63. Theorie generate des fonctions fondamentates. - AFT, 2 serie, 1904, t. 6,
c. 351-475.
64. Sur le probleme du mouvement d’un ellipsoi'de fluide homogene dont toutes les parties
s’attirent suivant la loi de Newton. - CR, 1905, t. 141, c. 999-1001. z
65. Sur le mouvement non stationnaire d’un ellipsoi'de fluide de revolution qui ne change
pas sa figure pendant le mouvement (note I). - CR, 1905,r. 141, c. 1215-1217.
66. Sur le mouvement non stationnaire d’un ellipsoi'defluide de revolution qui ne change
pas sa figure pendant le mouvement (note II). - CR, 1906, т.142, c. 77-79.
67. Sur une methode nouvclle pour resoudre/plusieurs problemes sur le developpement
d’une fonction arbitrairc en series infinies. - CR, 1907, t. 144, с. 1329-1332.
68. Sur le probleme d’analyse intimement lie avec le probleme de refroidissement d’une
barre heterogene. - CR, 1907,t. 144, c. 730-733. , z
69. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions definies par les equations
differcntielles du second ordre et leurs applications au probleme du developpement d’une
fonction arbitrage en series procedant suivant les dites fonctions. - CXMO.ceрия 2,1907,
т. 10, c. 97 -199; русск. перев.: Об асимптотическом выражении некоторых функций,
определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка и их при-
менении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям / Редак-
ция и комментарии Н.С. Ландкофа. - Харьков: Издательство ХГУ, 1956, с. 1-138.
70. Remarque complcmcntaire au Memoire; ”Sur les expressions asymptotiques de cer-
taines fonctions definies par les equations differentiellcsetc.- CXMO, серия 2, 1907, т. 10,
с. 201-202.
71. Sur la theorie des tourbillons. - AFT, 2-e serie, 1908, t. 10, c. 271-334.
72. Probleme du mouvement d’une masse fluide incompressible de la forme ellipsoTdale
dont les parties s’attirent suivant la loi de Newton (2 parties). - AEN, 3-e series, 1908,
t. 25, p. 469-528; 1909, t. 26, c. 275y-336.
73. Sur une generalisation d’un theoreme de Jacobi. - CR, 1909, t. 148, c. 153-155.
74. Application du theoreme generalise de Jacobi au probleme de Lie - Mayer. - CR,
1909,^148,0.277-279^
75. Application du theoreme generalise de Jacobi au probleme de Jacobi - Lie. - CR,
1909, t. 148, c. 465-468.
76. Sur le theoreme de 1’existence des fonctions implicites. - CR, 1909, t. 148,
c. 1085-1087.
77. Sur le mouvement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale rempliepar
un liquide incompressible et sur les variations des latitudes. - AFT, serie 3, 1909,
t. l,c. 145-256.
78. Об уравнениях математической физики. - Дневник XII съезда русск. естество-
исп. и врачей. - М., 1910, с. 425-426. . ,
79. Sur 1’existcnce des fonctions fondamentates correspondant a une equation differen-
tielle line'aire du second ordre. - RAL, 1910, t. 8, c. 159-170.
80. Sur un theoreme general d’existence des fonctions fondamentates correspondent a une
equation diffe'rentielle lineaire du second ordre. - CR, 1910, t. 150, c. 452-454.
81. Sur le developpement d’une fonction arbitraire en series procedant suivant certaines
fonctions fondamentates. - CR, 1910, t. 150, c. 601 -603.,
82. Sur ledeveloppement d’une fonction arbitraire en senes de fonctions fondamentates. -
CR, 1910, t. 151, c. 800-802. (
83. Solution generate du probleme de developpement d’une function arbitraire en series
suivant les fonctions fondamentates de Sturm-Liouville. - RAL, 5 serie, 1910, t. 19,
c. 490-496.
430
84. Une application nouvelle de ma methode de developpement des fonctions iondamen-
tales. - CR, 1910, t. 151, c. 974-977.
85. Sur la condition de fermeture des systemes de fonctions orthogonaies. - CR, 1910,
t. 151, c. 1116-1119. t
86. Probleme des vibrations transvcrsales d’une verge elastique homogene/Совместно c
Я.Д. Тамаркиным. - RCP, 191 1,t. 31, c. 341-362.
87. К теории замкнутости систем ортогональных функций, зависящих от какого
угодно числа переменных. - ИАН, серия 6^ 1911, т. 5, № 10, с. 754-757. ,
88. Sur la theorie de fermeture des systemes de fonctions orthogonaies dependant d’un
nombre quelconque des variables. - ЗФМО, серия 8,1911, т. 30. № 4, с. 1 -87.
89. Remarque relative a ma note: ’’Solution generale du probleme de developpement
etc.” - RAL, 1911, t. 20, c. 16-17.
90. О некоторых задачах анализа, связанных со многими задачами математической
физики. - ИАН, серия 6,1912, т. 6, № 17, с. 1007-1010. *
91. Sur quelques questions d’analyse qui se rattachent a plusieurs problemes de la phy-
sique mathematique. - ЗФМО, серия 8,1913, т. 31, № 7, с. 1-85.
92. Об одном приложении теории замкнутости к задаче о разложении произвольной
функции в ряды по полиномам Чебышева. - ИАН, серия 6,1913, т. 7, № 2, с. 87—92.
93. Sur une formule generale de 1’analyse et ses diverses applications. - Ann. di Mat. Рига
et Appl., 3 serie, 1913, t. 21, c. 65-120. x f
94. Sur une application de la theorie de fermeture au probleme du developpement des
fonctions arbitraires en series procedant suivant les polynomes de Tchebycheff. - ЗФМО,
серия 8,1914, т. 33, № 8, с. 1 -59.
95. Quelques applicationsnouvellesde la theorie de fermeture au probleme de representa-
tion approchee des fonctions et au probleme des moments. - ЗФМО, серия 8, 1914, т. 32,
№4, с. 1-74. ч
96. Application de la theorie de fermeture a la solution de certaines questions qui se ratta-
chent au probleme de moments. - ЗФМО, серия 8,1915, т. 33, №9, с. 1 -52.
97. По поводу одной задачи Лапласа. - ИАН,6 серия, 1915, т. 9, № 14, с. 1515-1537.
98. О приближенном вычислении определенных интегралов при помощи формул
механических квадратур.Сходимость формул механических квадратур (сообщение
первое). - ИАН, серия 6,1916, т. 10, № 3, с. 169 - 186.
99. Sur la theorie de fermeture. - ИАН, серия 6,1916, т. 10, № 4, с. 219-226.
100. Quelques remarques complAnentaires relatives a la thdorie de fermeture. - ИАН,
серия 6,1916, т. 10, № 4, с. 257-265.
101. Theor6me de fermeture pour les polynomes de Laplace - Hermite-Tchebycheff. -
ИАН, серия 6,1916, т. 10, № 6, с. 403-416.
102. Theoreme de fermeture pour les polynomes de Tchebycheff-Laguerre. - ИАН, се-
рия 6,1916, т.ТО; № 8, c. 633-642.
103. Sur le developpement des fonctions arbitraires en series de polynomes de Tcheby-
cheff-Laguerre. - ИАН, серия 6,1916, т. 10, № 9, с. 719-738.
104. О приближенном вычислении определенных интегралов при помощи формул
механических квадратур. Остаточный член формул механических квадратур (сообще-
ние второе). - ИАН, 1916, серия 6, т. 10,с. 829-850.
105. Sur quelques applications d’une identite' elementaire. - ЗФМО, серия 8, 1916,
т. 34, №2, с. 1-52.
106. Sur 1’approximation des fonctions a 1’aide des polynomes de Tchebycheff et sur les
quadratures (not 1). - ИАН, серия 6,1917, t. 11, № 3, c. 187-218. ,
107. Sur 1’approximation des fonctions a 1’aide des polynomes de Tchebycheff et sur les
quadratures (note II). - ИАН, серия 6,1917, т. 11, № 8, с. 535-566.
108. Sur 1’approximation des fonctions a 1’aide des polynomes de Tchebycheff et sur les
quadratures (note 111). - ИАН, серия 6,1917, т. 11,№ 10, с. 687-718.
109. Remarque sur les quadratures. - ИАН, серия 6,1918, т. 12, №2-3, с. 99-118.
110. Quelques remarques comple'mentaires sur les quadratures.-ИАН, серия 6, 1918,
т. 12, №7, с. 587-614.
111. Sur les quadratures (note I). - ИАН, 6 серия, 1918, т. 12, № 17, с. 1859-1890.
112. Sur les quadratures (note II). - ИАН, 6 серия, 1919, т. 13, № 1, с. 65-96.
113. Sur le developpement des fonctions continues en series de polynomes de Tcheby-
cheff. - ИАН, серия 6,1921,т. 15,№l-18,c. 249-266.
431
114. Une contribution nouvclle au probleme du developpement des fonctions arbitrages
en seriesde polynomesde Tchfbvcheff. - ИАЦ, 6 серия, 1921, т. 15, № 1-18,с. 267-280.
115. Une methode de la solution du probleme du developpement des fonctions en series
de polynomes de Tchebycheff independante de la theorie de fermeture (notes I et II). -
ИАН, 6 серия, 1921, т. 15, с. 281-302, с. 303-326.
116. Определение размеров и глубины залегания магнитного слоя по 4 и 6 наблюде-
ниям. - ДАН, серия А, 1922, с. 1-4.
117. К общей теории гравитационного вариометра Этвеша. - ДАН, серия А, 1922,
с. 5-6.
118. Основные задачи математической физики, ч. I. - Петроград, 1922, IV + 285 с.
119. Основные задачи математической физики, ч. II. - Петроград, 1923, II + 285 с.
120. Sopra la teorie delle quadrature -dette meccaniche. - RAL, 1923, t. 32,
№ 7, c. 320-326.
121. Sur les problemes de representation des fonctions a i’aide de polynomes, du calcul
approche'des integrates de'finies, du developpement des fonctions en series infinies suivant les
polynomes et de 1’interpolation, consideresau point de vue des idees de Tchebycheff. -
Proc. Int. Math. Congress,Toronto, august 11-16,1924,t. l,c. 631-640. ( f
122. Les rechercbes posthumes de Liapounoff sur les figures d’equilibre du liquide hetero-
ge'ne en rotation. - Proc. Int. Math. Congress, Toronto, august 11-16,1924, t. 2, c. 23-30.
123. Sur les mouvements speciaux enregistres par la station sismique Leningrad/Совмест-
ho с П.МЛНикифоровым. - ДАН СССР, серия А, январь 1926, с. 5-6.
124. Uber die Wiederherstcllung.des Netzes seismischer Stationen von USSR und uber den
gegenwartigen Zustand der Arbeiten des Physikalisch-Mathematischen Institute der Akademie
der Wissenschaften. - Zeitschrift fur Geophysik, 1926, № 1, c. 12-13.
125. Sur le probleme d’approximation des fonctions arbitraires a I’aide des polynomes de
Tchebycheff. - ИАН, серия 6,1926, т. 20, № 10-11, с. 857-862.
126. Theorie de fermeture et le probleme de representation approchee des fonctions conti-
nues a I’aide dCs polynomes de Tchebycheff. - Acta Math., 1926, t. 49, c. 263-299.
127. Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. - М., Л.: Госиздат, 1927, X+419 с.