ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
i.l. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Теория дифференциальных уравнений с частными производными
юзникла из рассмотрения некоторых важных задач физики и механи-
си. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения второ-
•о порядка, которые в основном и будут предметом нашего изучения.
Дифференциальным уравнением с частными производными второ-
10 порядка называется соотношение, связывающее независимые пере-
менные xi,..., хп, неизвестную функцию u(xi,..., хп) и ее частные
Производные до второго порядка включительно:
.	ди ди д'2 и -_______
ф(жь.. жП) и,—(i,j = i,n)) = о. (1-1.1)
oxi дхп oxidxj	'
Материал пособия охватывает традиционные разделы теории л
нейных дифференциальных уравнений с частными производными, вс
никающих из рассмотрения некоторых важных задач физики и мех
ники. В главе 1 приводятся примеры физических задач, приводят
к дифференциальным уравнениям с частными производными, а та
же дается постановка и классификация задач математической физик
Глава 2 посвящена исследованию уравнений гиперболического тиг
которые возникают, в основном, при моделировании колебателью
процессов. В этой главе изучаются важнейшие задачи для уравнен!
гиперболического типа и представлены методы их решения. В гла
3 приводятся решения основных задач для уравнений параболическ
го типа, которые наиболее часто встречаются при изучении проц<
сов теплопроводности и диффузии. Глава 4 содержит теорию решен
краевых задач для уравнений эллиптического типа, возникающих, К4 ''равнение (1.1.1) называется линейным относительно старших про-
правило, при моделировании различных стационарных процессов щ
описании стационарных полей. В главе 5 приводится теорема Кош:
Ковалевской, которая является фундаментальной теоремой о сущее
вовании решения задачи Коши для весьма общих систем уравненш
частными производными.
вводных, если оно имеет вид
А , ч 32и	.	ди ди ,	,,
, Хп)^ + Р(Х!..........xn> U,	= 0. (1.1.2)
''равнение (1.1.2) называется линейным, если оно имеет вид
А /	\ ®2и A L I	\^U I !	\
А ан(хь   • > Хп)-л—я-1- 2L о>(®1> • • • > Хп)-х— + t>o(xi,..., х„)и
CJ X OXj i—1	(УХ{
= /(xi,...,xn).	(1.1.3)
Приведем несколько примеров задач математической физики, при-
водящих к дифференциальным уравнениям с частными производными.
1- Сравнение колебаний струны. Допустим, что в положении
'авновесия струна совпадает с осью х, и для простоты предполо-
<им, что колебания происходят в одной плоскости, и все точки струны
5
движутся перпендикулярно к оси х. Тогда процесс колебаний мож,
описать одной функцией и(т, 4), которая характеризует вертикально
смещение струны в точке х в момент времени 4. Предположим, ч-
струна однородна, толщина ее постоянна, что она нерастяжима и j
сопротивляется изгибу. Ограничимся только ’’малыми” колебания!,
струны, когда (u®)2 << 1. Тогда функция и(т,4) удовлетворяет сл
дующему уравнению ([1, с. 23]; [2, с. 56]):
utt = а2ихх + /(г, 4),
(1.1.4
где а > 0 - константа, зависящая от физических свойств струны,
/(х,4) характеризует внешние силы. Более общее уравнение одномеи
ных колебаний имеет вид
p(x)utt = (k(x)ux)x - q(x)u + f(x, t)y	(1.1.
где функции р(ж), k(x), q(x) определяются свойствами среды, в кот<
рой происходят колебания. Например, уравнение продольных колеб
ний стержня (пружины) имеет вид (1.1.5), где и(т,4) - смещение то,
ки х от положения равновесия в момент времени 4, р(х) - плотное!
стержня, к(х) — модуль Юнга (коэффициент упругости), д(х) = С
- плотность внешних сил, рассчитанная на единицу длины [;
с. 27].
2. Волновое уравнение. Многомерные колебательные процеса
в п-мерном пространстве переменных х — (г,,... ,хп) описываютв
так называемым волновым уравнением
utt = а2 Ди + f(x, t),
(1.1.1
где Ди := ^2 g-j _ оператор Лапласа. При n = 1 (1.1.6) совпала! де	температура в точке х в момент времени 4, а
с уравнением колебаний струны (1.1.4). При п — 2 уравнение (1.1.1
описывает, например, двумерные поперечные колебания тонкой меЛодности в одномерном случае имеет вид
браны [1, с. 31]. Колебания в трехмерном пространстве описывают,
уравнением (1.1.6) при п = 3. Более общее волновое уравнение име<
вид
р(х)ии = div(fc(z)gradu) - д(х)и + /(ж, 4),
div(fc(z)gradu) := £
i=l OXj OXj
(1.1.8)
I функции р(т), А(т),д(х) описывают свойства среды.
I з Телеграфное уравнение. Важным частным случаем волно-
I уравнения является так называемое телеграфное уравнение. Про-
L дение электрического тока по проводу описывается следующей сис-
Смой уравнений:
ix + Cvt 4" Ov — О,
vx + Lit + Ri = 0,
I i - сила тока, v - напряжение, C, L,R,G - коэффициенты, xa-
[актеризуюшие емкость, индуктивность, активное сопротивление и
[течку соответственно (рассчитанные на единицу длины) [2, с. 88]. Из
1.1.8) получаем
wxx = aowtt + 2bowf + egw,	(1.1.9)
де w = i или v, a0 = LG, 26o = RC + GL, cq = GR. Уравнение (1.1.9)
Называется телеграфным уравнением. Замена w = uexp(—bgt/ao) при-
водит (1.1.9) к более простому виду
utt = a2uxx + Ви,	(1.1.10)
де а = ао1/2, В = ао2(Ь§ - аосо). Заметим, что В = 0 тогда и толь-
Но тогда, когда RC = GL (условие Хевисайда), что соответствует
ртниям без искажений.
4. Уравнение теплопроводности. Рассмотрим однородный стер-
кень, теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в лю-
бой момент времени температуру во всех точках фиксированного по-
перечного сечения можно было считать одинаковой. Процесс распро-
странения тепла в стержне описывается следующим дифференциаль-
ным уравнением [1, с. 180]:
ut = а2ихх + /(х,4),
(1.1.11)
О - кон-
такта, зависящая от физических свойств материала стержня, /(я, 4)
- плотность тепловых источников. Более общее уравнение теплопро-
р(х)щ = (fc(x)u®)x - q(x)u + /(г, 4).
I Многомерное уравнение теплопроводности в п - мерном пространстве
(1.1.‘ 1еРеменных х = (ц,..., г„) имеет вид
щ = а2Аи + /(ж, 4)
(1.1.12)
7
6
или в более общем случае
р(х)и( = div(fc(x)gradu) - g(x)u + /(х, t).
5. Уравнение Лапласа. Уравнение
Ди = О
(1.1.14
называется уравнением Лапласа. К нему сводится решение многи
I ! есь и(х>У) ~ неизвестная функция, a ajk = Ojk(x,y) - заданные не-
I ывные в некоторой области функции, не обращающиеся в нуль
(1.1.1; ’ ноВременно. Свойства решений уравнения (1.2.1) в основном опре-
ляются членами со старшими производными, т.е. коэффициентами
(х !/)  Проведем классификацию уравнений вида (1.2.1) по старшим
роизводным.
I (Определение 1.2.1.
физических и математических задач. Например, рассмотрим устано "равнение (1.2.1) называется гиперболическим, если “12 - “п“22 > 0.
L Сравнение (1.2.1) называется параболическим, если а{2 —	= 0-
Падение (1-2.1) называется эллиптическим, если а?2 “ °па22 < 0-
предположи] равнение \
Тип уравнения (1-2.1) определяется поточечно. Если во всех точ-
вившийся во времени температурный режим в некоторой области п
мерного пространства переменных х = (х,,..., х„) и i ,
что источники тепла отсутствуют. Тогда температура будет зав1
сеть только от х, и уравнение (1.1.12) переходит в уравнение Лапла< ах некоторой области уравнение (1.2.1) имеет один и тот же тип, то
(1.1.14).
Неоднородное уравнение Лапласа
одходящей заменой переменных (т.е. переходом к новой системе ко-
рдинат) можно добиться, чтобы уравнение имело наиболее простой
канонический) вид. Сделаем замену переменных
f = ¥>(ac,J/), г] = ф(х,у),
Ди = f(x)
(1.1.1!
называется уравнением Пуассона. Например, гравитационный (эле1
тростатический) потенциал и(х), порожденный телом с плотность де <р,ф - дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем
массы (заряда) р(х), удовлетворяет уравнению (1.1.15) при /(х) 
—4тгр(х). Более общее уравнение, описывающее стационарные проце<
сы, имеет вид
(1.2.2)
Рх Фх
| <Ру Фу
1реобразуя производные к новым переменным, вычисляем
(1.2.3)
0 0.
div(A:(x)gradw) — g(x)u = /(г).
Другие примеры физических задач, приводящих к уравнениям
частными производными, и вывод основных уравнений математичек
кой физики см. в [1-6].
1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Классификация уравнений второго порядка с двумя не
зависимыми переменными. Рассмотрим уравнение второго поряд
ка с двумя независимыми переменными х, у, линейное относителы
старших производных
auUxx + Занижу + атиуу + F(x, у, и, их, иу) = 0.
(1.2.1
их = U(ipx 4- иуфх, иу = U(y>y 4- щфу,
ихх = UtfiPx 4- 2и^<рхФх + иут)Фх 4" "U^^Pix + иуф
XXI
иху = UK<PxFy + Щч&хФу + Фуфх) + ОупФхфу 4- и(<Рху +
иуу = о((<ру 4- 2и&РуФу 4- и^ф2 4- и(у>уу 4- и^фуу.
Тодставляя эти выражения в (1.2.1), получаем
“и“« 4- 2di2u^ 4- а22и^ 4- Ё(£, т;, и, и5, иу) = О,
де
“11 = Оц(р* + 2а.12Ч>х<Ру + аггЧ>2у,
ап = atiy>xi/>x 4- а12(<рхфу + Фх¥>у) + а22^уФу,
022 = “11	+ 2О12фхФу + “22^-
(1.2.4)
(1.2.5)
8
9
Замечание 1.2.1. Так как а22 — аца22 = (ai2 — аца22)И2, rj
П = (рхфу — ^xVy / О, то отсюда следует инвариантность типа и;
замене переменных (1.2.2).
Выберем замену (1.2.2) так, чтобы уравнение (1.2.4) имело наиб
лее простой (канонический) вид. В (1.2.2) в нашем распоряжении д
функции ip и i/>. Покажем, что их можно выбрать так, чтобы выпо
нялось одно из следующих условий: 1) ац = а22 = 0; 2) ац = aj2 =
(или симметрично а22 = а12 — 0); 3) ац = а22, а12 = 0. Пусть д:
определенности ац 0. В противном случае, либо а22	0 (и тогд
меняя местами х и у, получим уравнение, в котором ац 0), ли(
ац = а22 = 0, aj2 0 (и тогда уравнение (1.2.1) уже имеет требуем:
вид). Итак, пусть ац у! 0. Рассмотрим обыкновенное дифференциал
ное уравнение
ац(-у^)2 — 2aJ2-y^ + а22 = 0,	(1.2
ах	ах
которое называется характеристическим уравнением для исходнс
уравнения (1.2.1). Характеристическое уравнение иногда записыва!
в симметричной форме:
“п№)2 - Zaudydx + a22(di)2 = 0.	(1.2.6J
Решения характеристического уравнения называются характерно!
ками. Уравнение (1.2.6) равносильно двум уравнениям
dy _ Д12 ± Уа12 ~ ana22	,	.
dx	ац	'
Согласно определению 1.2.1, знак подкоренного выражения определя
тип уравнения (1.2.1).
Лемма 1.2.1.(Если у>(х,у) = С является общим интегралом ypt
нения (1.2.0), то
anVx + 2ai2<pI<p!( + a22<p2 = 0.	(1.2
Доказательство. Пусть (то, уо) - некоторая точка нашей обл
ти. Для определенности считаем, что у>у(хо, Уо) 0- Пусть ф(аго, уо)
Cq. Проведем через точку (го, Уо) интегральную кривую у = у(х, (
уравнения (1.2.6). Ясно, что у(хо,Со) = уо- Так как <р(х,у) = С
10
ельн'1- jr
dy
бший интеграл, то на интегральной кривой <рх + <ру — = 0; следова-
„ !^ = -—. Тогда
4>у
,dy.2 о dy ,	/„ ,'АЛ2	4>х . х
0 = ац(^) -2“12^ +a22 = (“1l(—) + 2a12—+ a22)|s=IZ(x,Co) 
частности, полагая х = х0, получим (1.2.7) в точке (го, Уо)  В силу
роизвольности точки (хо,уо) лемма доказана.	□
Случай 1: ah — ana22 > 0 - гиперболический тип. В этом случае
ерез каждую точку данной области проходят две различные характе-
истики уравнения (1.2.6). Пусть <р(х,у) = С и ^(г,у) — С - общие
нтегралы уравнений (1.2.6±) соответственно. Эти интегралы опре-
еляют два семейства характеристик уравнения (1.2.6). Отметим, что
ерно (1.2.3), так как
>рх _ 012 + У°12 ~ а11а22 Фх
Vv	“и ’ Фу
012 — уа12 ~ а11а22
Оц
Vy^ Фу'
!делаем в (1.2.1) замену (1.2.2), где у>,ф взяты из общих интегралов,
'огда из (1.2.5) и леммы 1.2.1 следует, что ац = а22 = 0. Поэтому
равнение (1.2.4) приводится к виду
и(у = Ф(Сл,и, «£,“»),	(1.2.8)
де Ф = — F/(251г). Это и есть канонический вид уравнения (1.2.1) для
иперболического случая. Часто встречается и другой канонический
ид гиперболического уравнения. Положим £ = а + /3, у = а — /3, т.е.
' = (£ + у)/2, р = (£-г))/2. Тогда и( = (ua + u/j)/2, un = (ua-u^)/2,
<1 = (uaa — Дда)/4, и уравнение (1.2.8) принимает вид
Uaa - иРР = $i(a,P,U,Ua,Up).	(1.2.9)
>то второй канонический вид гиперболического уравнения. Простей-
шим пРимером гиперболического уравнения является уравнение коле-
>ании струны utt = ихх или более общее уравнение (1.1.4).
Случай 2:|а22 - аца22 = 0 - параболический тип. В этом слу-
ае уравнения (1.2.6+) и (1.2.6-) совпадают, и мы получаем один об-
ций интеграл уравнения (1.2.6): <р(х,у) = С. Сделаем замену (1.2.2),
11
где ф(х,у) - любая гладкая функция, удовлетворяющая (1.2.3). Т<
по лемме 1.2.1 йц = 0. С другой стороны, так как <цз =
то в силу (1.2.5) йц = (^/опУ’х + у'йгг^)2, следовательно, уйщ
у/а&Ру = °- Тогда а12 = (y/aU<px + V'nJii'PsXx/anV’x + y/aHV's) = 1
уравнение (1.2.1) приводится к каноническому виду
“чч = ф(£. ’?>«,“{, «ч),	(1-2
где Ф = —F/(2a22)  Простейшим примером уравнения параболич<
го типа является уравнение теплопроводности щ = ихх.
Случай 31 ,«12 ~ апа22 < 0 ~ эллиптический тип. В этом сл]
правые части (1.2.6±) комплексны и различны. Пусть <р(х,у) =
комплексный общий интеграл уравнения (1.2.6+). Тогда <р(х,у)\
является общим интегралом уравнения (1.2.6 ). Перейдем к комш
ным переменным, полагая ( — <р(ж,г/), г/ = <р(х,у), т.е. сделав!
мену (1.2.2), где ф = ф. Повторяя рассуждения из случая 1, п
чим, что уравнение (1.2.1) приводится к виду = Ф(£, Т), и, и%
Но это уравнение еще не является каноническим для эллиптиче<
уравнения, так как — комплексные переменные. Перейдем к
щественным переменным (а, 0), полагая £ — а + i/З, т] = а -
Тогда а = (£ + г/)/2, /3 = (£ — ту)/(2г). Имеем = (иа — iu[
и, = (иа + «“4)/2, «£ч = (“аа + “де)/4. Следовательно, уравв
(1.2.1) приводится к каноническому виду
иаа + ирр = Ф1(а,/3,и,иа,ир).	(1;
Простейшим примером эллиптического уравнения является двуме
д2и дги
уравнение Лапласа —-г + —= 0.
охг ауг
Замечание 1.2.2. Так как мы выходили в комплексную плоек
то наши рассуждения для случая 3 справедливы лишь тогда, к
а^(х,у) ~ аналитические функции. В общем случае приведение :
ионическому виду для эллиптического уравнения является техни»
более сложной задачей. Мы же для простоты ограничились слу
аналитических коэффициентов.
2 Классификация уравнений второго порядка со многими
зависимыми переменными. Рассмотрим уравнение
V О (г1,....^)^- + ^............................ £-)	= 0. (1.2.12)
Z.	Qxidxj	oxi охп
Ы=1
[е нарушая общности, считаем, что = ац. Сделаем замену пере-
[енных	___
Ct = £t(zi,  • •, in), k = I?n.	(1.2.13)
% „
(бозначим am :=	 Югда
ди " ди d2u " d2u	" ди d2(k ,	.
chc, t=i Э& dxtdxj t d£kd&	i=13ft dx,dxj
[одставляя (1.2.14) в (1.2.12), получаем
E аы(С1, • • •, £n) o, + Ffa,..., C„,U,	.... ^-) - 0,
k,i=i	d^n
де
Oti = E ‘hjOlikaji.
ij=l
ассмотрим квадратичную форму
E ^ijPiPj,	(1.2.15)
i,j=l
це a°ij = a,j(x“,..., s°) в некоторой фиксированной точке (г°,..., х®).
имена
Pi = Е “itgt
1=1
риводит (1.2.15) к виду'
п п	п
S й?1«1«|, где a°kl = Е а°^ац.
к,1=1	i,j—l
аким образом, коэффициенты главной части уравнения изменяются
алогично коэффициентам квадратичной формы. Как известно, выбо-
I 9 ™неиного преобразования можно привести квадратичную форму
) к диагональному виду.
£ a?)PiPj = Е(±9|2), т<п,
причем число положительных, отрицательных и нулевых коэффц
ентов при gf инвариантно относительно линейного преобразована
Определение 1.2.2. 1. Если т = п и все коэффициенты при
одного знака, то уравнение (1.2.12) называется эллиптическим в то
хо-
2.	Если т = п и все знаки кроме одного одинаковы, то уравнв
(1.2.12) называется гиперболическим в точке хд.
3.	Если т = п и число знаков ” + ” и ” — ” более одного, то ypai
ние (1.2.12) называется улътрагиперболическим в точке Хо-
4.	Если т < п, то уравнение называется параболическим в то
х0-	|
Например, уравнение Лапласа Ди = 0 является эллиптичеа
волновое уравнение ult = Ди - гиперболическим, а уравнение те
проводности и< = Ди - параболическим во всем пространстве.
1.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений изве<
что решение обыкновенного дифференциального уравнения опре;
ется неоднозначно. Так, решение уравнения n-го порядка у^ — F(
у1,..j/"-1)) зависит, вообще говоря, от п произвольных постоям
у = <р(х, Ср..., Сп). Если мы хотим выделить единственное реш
уравнения, то нужно задавать некоторые дополнительные условия
пример, начальные условия J/|I=IO = од,...,	= «п-1 
Для уравнений с частными производными решение также оп[
ляется неоднозначно, причем общее решение зависит, вообще гов
от некоторых произвольных функций. Например, рассмотрим сл;
двух независимых переменных (х, у):
уравнение -- — 0 имеет общее решение и — /(х), где /(
оу
произвольная функция от х;
д2и	J
2) уравнение = 0 имеет общее решение и = f(x) + g(y)
f(x) и g(t/) - произвольные гладкие функции от х и у соответс
но.
14
того чтобы выделить единственное решение уравнения мате-
й (Ьизики, нужно задать некоторые дополнительные условия
атическои ч*
еизвестную функцию. Поэтому каждая задача математической фи-
1 ставится как задача решения некоторого уравнения с частными
оизводными при определенных дополнительных условиях, которые
гктуются ее физической постановкой. Рассмотрим несколько приме-
>в постановки задач математической физики.
I рассмотрим задачу о колебаниях однородной струны длины I (0 <
< /) закрепленной на концах. В этом случае нужно искать решение
>авнения
иц = а2ихх + f(x, t)	(1.3.1)
области Q < x <1, t> 0 при условиях
U|X=O = W|X=/ = 0.
(1.3.2)
акие условия называются граничными или краевыми. Однако задания
(ведения струны на концах недостаточно для описания процесса ко-
‘баний. Необходимо также задать положение струны (и ее скорость)
начальный момент времени t = 0, т.е. наложить начальные условия
“|<=0 =	“ф=0 = V’C®)-
(1.3.3)
аким образом, мы приходим к задаче (1.3.1)—(1.3.3) о поиске решения
i,i) уравнения (1.3.1) в области 0 < х < I, t > 0, удовлетворяющего
>аевым условиям (1.3.2) и начальным условиям (1.3.3). Такая задача
1зывается краевой задачей для уравнения колебаний струны. В ли-
ратуре используется также другой термин - смешанная задача, так
1к в ней участвуют как граничные, так и начальные условия.
Отметим, что вместо (1.3.2) можно задавать и другие краевые усло-
1я. Например, если концы струны не закреплены, а движутся по за-
1Нному закону, то краевые условия имеют вид U|I=0 = p(t), U|I=i =
t). где p(t),j/(t) - известные функции. Если, например, конец х = 0
ободно перемещается, то краевое условие в точке х = 0 записыва-
ем в виде Ux|i=q = 0. Если конец х = 0 упруго закреплен, то краевое
ловие имеет вид (цх + /ш). _0 = о. Встречаются и другие виды кра-
“х условий.
Рассмотрим колебания бесконечной струны (—оо < х < оо).
tMo СЛУчае кРаевые условия отсутствуют, но по-прежнему необхо-
адавать начальные условия. Мы приходим к следующей задаче:
15
найти решение и(х, t) уравнения (1.3.1) в области —оо < х < оо, t
удовлетворяющее начальным условиям (1.3.3). Такая задача наз
ется задачей Коши для уравнения колебаний струны.
Аналогичным образом ставятся задачи и в многомерном сд
(х 6 R"), а также для уравнений параболического типа (подро
см. ниже главы 2-3).
III. Приведем пример постановки задачи для уравнения эллипп
кого типа. Уравнения эллиптического типа описывают, как прав
стационарные процессы. Например, задача нахождения стациона
го теплового поля в некоторой области D переменных х = (ац, х:
при условии, что на границе S области D поддерживается фикс
ванная температура 9з(х), записывается в следующем виде:
Д« = 0, U|E = <p,	Ди:=£)^2.	(1
Задача (1.3.4) называется задачей Дирихле. Другие постановки з	г, „
'	.	, ,	зшение задачи (1.3.6) имеет вид
математической физики см. в [1-6].
Корректно поставленные задачи. Задача математическо!	«n(z,y) = —е '^sinnxshnp, shny := - (e"v — е пу).
зики, состоящая в определении решения дифференциального ура
ния с частными производными при некоторых дополнительных у<
виях, является математической моделью того или иного физичеса
процесса. Решение соответствующей задачи зависит, как мы вид
от некоторых функций, входящих в уравнение, в начальные и 1
ничные условия, которые мы будем называть исходными данни
При исследовании решения задачи математической физики центр]
ное место занимают следующие вопросы: 1) существование реше]
2) его единственность; 3) зависимость решения от ” малых” измена
исходных данных.
Если ’’малые” изменения исходных данных приводят к ’’мал!
изменениям решения, то будем говорить, что решение устойчиво.!
нечно, понятие ’’малое изменение” каждый раз нуждается в точ
определении. Например, для задачи Дирихле (1.3.4) решение будем
зывать устойчивым, если для любого е > 0 существует <5 = <5(е)
такое, что если |^j(x) — ф(т)| < <5 при всех х g Е, то |д(х) — «(т)|
при всех х g D (здесь и, й - решения задачи Дирихле при гранич
условиях р, <р соответственно).
Важным классом задач математической физики, который был вве-
н Адамаром, является класс корректно поставленных задач.
Определение 1.3.1. Задача называется корректно поставленной,
ее решение существует, единственно и устойчиво.
Пример Адамара. Приведем пример некорректно поставленной
Дачи. Рассмотрим задачу Коши для двумерного уравнения Лапласа:
«хх + «уу - °, -°° < х < оо, у > 0, 1
«|у=о = 0, «у|у=о = 0.	/	V   )
здача (1.3.5) имеет единственное решение и = 0. Наряду с (1.3.5)
осмотрим задачу
«хх + «уу = 0, —оо < х < оо, у > 0,
«|у=о = 0,	«у|5=о = е-'"'" sin пт, п > 1.
(1.3.6)
ак как | sinnx| < 1, то	Iе ^”sinnx| —> 0 при п —> оо. Однако
шение и„(х, у) может неограниченно возрастать. В самом деле,
«п(г,3/) = enB"'/5isinnx(l - е-2п“).
2п	'
ри каждом фиксированном у > 0
max |«п(т, у)| —> оо
-оо<х<оо 1
16
(С С МД
I	YW	YjvCl
ко
С X ЧФ -Д	6
C *	51	ГЛАВА 2
Уравнения гиперболического типа возникают в основном при
делировании колебательных процессов. В этой главе мы изучаем
новные задачи для уравнений гиперболического типа и представ!
методы их решения.
2.1. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КО.
1. Рассмотрим задачу Коши i	t? t
“i|i=O = V’(i)-
faecb x, t - независимые переменные (сфизи^^кой^гочки зрен
.переменная. t. 7 Bpe^)j	неизв<Ж
гганта. Bj^m предполагать, что ^\т)непр(
проста
ция, с
дифференцируема (тр е С1)^ (р(х) дважды непрерывно диффере:
Определение 2.1.1. Функция u(x,t) называется решением за<
\Коши (2.1.1)—(2.1.2), если u(x,t) G C2(D), и u(x,t) удовлетвр
^**^>(2.1.1) и (2.1.2). Здесь и в дальнейшем запись и & Ст(р} означ
что функция и имеет в области D непрерывные частные произвол
до m-го порядка включительно.
-----Найдем сначала общее решение уравнения (2.1.1). Характера
ческое уравнение для (2.1.1) имеет вид — = ±а (см. п. 1.2), слеп
тельно, уравнение (2.1.1) имеет два семейства характеристик т±
const. Замена переменных
— х + at, г) = х — at,

„ривоДиГуравнение (2.1Л) к виду и( =
этого уравнения суть и - /(£) + д(т)), т<
(2.1.1) имеет вид
= 0. Таи как общее решение
, то общее решение уравнения
и(т,г) = /(т4-а4)+з(х-а«),	| #Д.З) я
де f и g - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые
ia общее решение уравнения (2.1.1) вида (2.1.3). Предположим, что
решение задачи (2.1.1)-(2.1.2) существует. Тогда оно имеет вид (2.1.3)
зри	(21'2)’получаем
,	f(x)+g(x) = <p(x),
или
J f(x) + g(x) = ч>(х),
af'(x) - ag'(x) = tf>(®)
1 гх
/(®) - ff(®) = - / ^(s) ds
О, dXQ
Разрешая эту систему относительно f и д, находим
/(х) = | ф(х) +	£ V'(s) ds, д{х) = i <р(х)	V>(«) ds.
Подставляя эти выражения в (2.1.3), приходим к формуле
u(x,t) = i(<p(x + at) + ¥>(х - at)) +	f*+a‘i/>(s)ds,	(2.1.4)
Kt называете^ формулой Даламбера. Таким образом, мы показа-
тели решение задачи (2.1.1)—(2.1.2) существует, то оно дается
формулой (2.1.4)ДОтсюда сразу следует единственность решения зада-
1И (2.1.1)-(2.1.2). С другой стороны, непосредственной проверкой не-
рудно убедиться, что функция u(x,t), задаваемая^^рмулой (2.1.4),
действительно дает решение задачи (2Л.1)-(2.1.2). Таким образом, мы
(оказали следующее утверждение.
„Г”- 2-Ы. Пусть <р(х) g С2, ф(х) С С1. Тогда решение задо-
и оши (2.1.!)-(!>.1.2) существует, единственно и дается формулой
тламбера (2.1. J).
следзем теперь устойчивость решения задачи (2.1.1)-(2.1.2).
1гт^~*"^в'”еНИе	Решение задачи (2.1.1)-(2.1.2) называется
i ели для любых е > 0, Т > 0 существует S = 6(е, Т) > О
19
такое, что если |<^(х) — <р(х)| < й, |^>(х) — V'(x)| — <5 ПРИ всех J
|u(x, t)—й(х,<)| <е при всех (x,t) G D. Здесь u(a:,t) - решение aaj
Коши при начальных данных <р, ф.
Покажем, что решение задачи Коши (2.1.1)-(2.1.2) устойчиво в <
ле определения 2.1.2. В самом деле, в силу (2.1.4) имеем
1 1 |
|u(x, t) — й(х, t)| < - |^(х + at) — ф{х + at)| + - |<р(х — at) — ф(х -
Ла * ® Gt
Для е > 0, Т > 0 выберем <5 = е/(1 + Т) и предположим, что |<р|
£(®)1 < 6, |^(г) - 0(г)| < <5 при всех	из. (2.1.5) нах
|u(x,t)-u(x,t)| < <5/2+5/2+(6/2a)2af = (1+Т)й = s. Т&им обй
задача Коши (2.1.1)-(2.1.2) корректно поставлена.
В дальнейшем нам потребуется следующее утверждение.
Лемма 2.1.1}
1. Если <р(х) и ф(х) - нечетные функции, то u(0,t) = 0.
2. Если <р(х) и ф(х) - четные функции, то ux(0, t) = 0.
Доказательство. Пусть <р(х) = — <р(—х), ф(х) = -ф(—х). 1
из (2.1.4) при х = 0 имеем	Q'
1	1
“(°> <) =	+ V’(-aO) +	V'(s) ds
Аналогично доказывается и второе утверждение леммы.
at	at
Рис. 2.1.1
Замечание 2.1.1/ Решения вида и = f(x + at) и и = д(х
называются бегущими волнами, причем а - скорость распростри
волны. Волна и = f(x + at) перемещается влево, а волна и = д(,х
V0U.
.	91 Й Таким образом, общее решение (2.1.3) уравнения
вправо (рис. i i
1.1)	является^ммойбегщо^^	. д
ассмотрим задачу Койти для^неоднородного уравнения колеба-
[ИЙ струны:
иц
= а2ихх + f(x,t),
U|i=o = ¥’(г).	=
ешение задачи (2.1.6) ищем в виде u(z,t) = u(x,t)+v(x,t), где u(z,t)
решение задачи Коши для однородного уравнения:
йи = а2йхх, -оо < х < оо, t > 0; й|(=0 = V>(x), “ф=0 = V’fa). (2-17)
v(i,t) - решение задачи для неоднородного уравнения с нулевыми
ачальными условиями:
Vtt = a2vxx + f(x,t), -оо < X < оо, t > 0; пц=0 = 0, vt|f=0 = 0. (2.1,8)*
етрудно убедиться, что решение задачи (2.1.8) имеет вид (У^)
v(х, t) = I w(x, t, т) dr,	(2.1.9) ’
ie функция w(x,t, т) при каждом фиксированном т > 0 является
штением следующей вспомогательной задачи:
wlt = a2wxx, -оо < х < оо, t > т; W|t=T = 0, wt|(=T = f(x, т). (2.1.10) 
:щение задачи (2.1.10) выписывается с помощью формулы Даламбе-
,	w(x,t,T) = lf+;(‘-;>/(s,r)(is.
,	2а	'
ак как решение задачи (2.1.7) также выписывается с помощью фор-
^лы аламбера, то мы приходим к следующему утверждению.
Теопема *> i о гг	хлС'Т)
с	УУ&пь с 0(D) и f имеет непрерывную
с те^Ю пР°изв°дную fx(x,t), и пусть удовлетворяют услови-
МЫ ?огда решение задачи Коши (2.1.6) существует,
инственно и дается формулой
,	^Х' ~	+ а4) + v(x — at)) + 1- [	i/i(s)ds~\-	-
I	2a Jx—at
21
, 1 r‘ . rz+^t-r) ,, . ,	я
+— / dr / , , f(s,r)ds.	M
2a JO Jz-a(t-r) J
Замечание 2.1.2. Из формулы (2.1.11) видно, что решение и|
в некоторой фиксированной точке (х, t) зависит от исходных дар
заданных только в характеристическом треугольнике Д(х,
{(s,r) : х — a(t — т) < s < х + a(t — т), 0 < т < t} (рис. 2.1.2). j
гими словами, изменение функций вне треугольника Д(х,|
изменяет значения решения u(x,t) в данной точке (x,i). Физия
это связано с тем, что скорость распространения волн конечна. 1
3. Рассмотрим теперь задачу для полубесконечной струны:
u(j = а2ихх, х > 0, t > О,
“|х=о = 0. “|<=о = <р(я)> «ф=0 = ^(®)-
Для решения данной задачи применим та^ назывгшмьд) МуТЖ<
жения. Пусть V’(s) 6 С1, <р(х) 6 С2, <р(б) = ^”(0)=V(0) = Д.
должим у>(х) и ^(x) на всю ось -оо < х < оо нечетным образо!
рассмотрим функции
(*’
Ф(х) =
-V'(-x),
Согласно формуле Даламбера функция
u(x,t) = ^(Ф(* + at) + Ф(х - ai)) + f * $(s)ds
2	Zu •Jx—at,
является решением задачи Коши
кк = а2ихх, -оо < х < оо, t > 0; U|(=o = Ф(я), “t|t=o =
22
лемме 2.1.1 имеем U|x=o = Рассмотрим функцию (2.1.13) при
>	о, t > 0. Тогда
U|1=o = Ф(г) =	««|«=0 = ОД = ^(®)> х-°-
КИМ образом, формула (2.1.13) дает решение задачи (21.12). При^оЛ
>	0, t > о запишем (2.1.13) в следующем виде:	И
-(у>(х + at) + »»(х - at)) +	V"(s) ds, x > at,
u(x, t) = ' .	1 rx+at
l^x + at) - <p(flt - x)) + - /at x V-(s) ds, x <
2	MM
'МСТИМ, что в области х > at влияние отраженной от конца х = 0
лны еще не сказывается, и решение имеет тот же вид, что и для
сконечной струны.
(Замечание 2.1.3. f Аналогичным образом решается задача с крае-
1м условием иф=о = 0. В этом случае, согласно лемме 2.1.1, нужно
рдолжать <р(х) и il>(x) четным образом.
.	„ 1ЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
ДлГ, чЩхуГ
 • Рассмотрим следующую краевую задачу:
Дд — а иХХ1 0 < х < I, t > 0,
(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)
u|z=0 = U|z=l = 0,
“|«=0 = <Р(х), и,|,=0 = V’(s)^
Ьзначим D = {(х,«) ; о < х < I, t > 0}.
Функция u(x,t) называется решением задачи
| 3)	2' если	и u(x,t) удовлетворяет (2.2.1)-
Ь нет и ИССЛедУем слеДУюЩую вспомогательную задачу. ByjieS ис-
Гия vf ииальиы« (т.е. не равные тождественно нулю) частные ре-
ия уравнения Го о	г
Рпускаю!	Z 1 ’ УдовлетвоРяк>Щие краевым условиям (2.2.2)
ие разделение переменных, т.е. представимые в виде
u(x,t) = y(x)'T(t).	ЧМЙ1
23
0кЛOp-	\
-\aaaa -Ь
Для нахождения таких решений подставим (2.2.4) в (2.2.1) и (2
силу (2.2.1) имеем Y(x)T(t) = a2Y"(x)T(t). Здесь и в дальней]
обозначает дифференцирование по х, а ” • ” - дифференцировав
„	Y"(x) T(t) m
Разделяя переменные, получаем . -г- = ^ГГ1. . . 1 ак как х и
Y(x) arT(t)
зависимые переменные, то равенство возможно лишь тогда, kq
дроби равны константе; эту константу обозначим —Л. Следов!
Y"(x) At)
У(т) а2Т(4)
Кроме того, краевые условия (2.2.2) дают
Из (2.2.5) и (2.2.6) выводим
f (t) + a2XT(t) = 0,
Y"(x) + XY(x) = 0,
y(o) = y(0 = o.
Таким образом, функция T(t) является решением обыкновещ
ференциального уравнения (2.2.7), а функция У(т) является
ем краевой задачи (2.2.8)-(2.2.9), которая называется краевой
Штпурма-Лиувилля. Нас интересуют нетривиальные решеня
(2.2.8)—(2.2.9), но они существуют лишь при некоторых значв
раметра А.
Определение 2.2.2. Те значения А, при которых краев!
(2.2.8)-(2.2.9) имеет нетривиальные решения, называются с<
ными значениями, а соответствующие нетривиальные решев
ваются собственными функциями. Множество собственных !
называется спектром.
) Ясно, что собственные функции определяются с точност!
стоянного множителя, так как если У(т) - нетривиальное
задачи (2.2.8)—(2.2.9) при А = А* (т.е. У(х) - собственная’
соответствующая собственному значению А*), то и функци
С - const, также является решением задачи (2.2.8)-(2.2.9) пр
А = А*.
24
ветвенные значения и собственные функции краевой за-
Найдем сПусть Д = р2. Общее решение уравнения (2.2.8)
^каждом фиксированном А имеет вид
sinpx , „
УГт) = А—-—Ь Bcospx	. „
(> р->
частности, при р = 0 (2.2.10) дает У(хУ= Аг + В). Так
то в (2.2.10) в = 0, т.е.
, . л sin рх
= Ар'


(2.2.11)
рставляя (2.2.11) В краевое условие Y(l) = 0, получаем А^у^ = 0.
с как мы ищем нетривиальные решения, то А^О, и мы приходим
равнению на собственные значения:
sin pi _ 0
Р
, \ п1г
эни уравнения (2.2.12) суть рп = —, следовательно, собственные
чения задачи (2.2.8)-(2.2.9) имеют вид
(2.2.12)|
силу (2.2.11), суть
18
ответствующие им собственные функциг
У„(х) = вшух, п = 1,2,3,...	(2.2.14)
эчностью до постоянного множителя). Так как нетривиальные ре-
ия задачи (2.2.8)-(2.2.9) существуют лишь при Л — А„ вида (2.2.13),
равнение (2.2.7) имеет смысл рассматривать лишь при А = Ап:
fn(t) + a2AnTn(t) = 0.
лее решение этого уравнения имеет вид
Tn(«) = A„sm—t + BnCOS^f> п_ 12,3,...,	(2.2.15)
ЗА)1 по Пр°извольные постоянные Подставляя (2.2.14) 0^2.15)
лучаем все решения вспомогательной задачи:
i3-»	= (A sin f I D йП7Г птг
/ f+ B„cos-pt)sinyI, n = 1,2,3,... (2.2.16)'
25
Решения вида (2.2.16) называются стоячими волнами.
Будем искать решение краевой задачи (2.2.1)-(2.2.3) в виде
стоячих волн:	0<Г	iX'LOxJ Ъф'Х?
u(x,t) = > . (А	——t)sin— х.
n=l	*	‘
Проведем пока формальные рассуждения, не заботясь о сход
ряда. По построению функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (
и краевым условиям (2.2.2) при любых Ап и Вп. Выберем А„
так, чтобы и(х, t) удовлетворяла и начальным условиям (2.2.3). С
целью, подставляя (2.2.17) в (2.2.3), находим
оо „я- iA . оо ап7Т п7г
у(х) = Е ВП sin —х, ф(х) = > . —7— А„ sin —х.
n=I J
Пользуясь формулами для коэффициентов Фурье [7, гл. 1], вычи
_	2 fl , . . птг ,	,	2 А . . . nir	я
Вп = f „V>(x)sm—xdx, Ап =-------- Mx)sm—xdx. Д
1 jo	I	an-п	I
Покажем теперь, что функция u(x,t), определяемая соотноше
(2.2.17)—(2.2.18), является решением задачи (2.2.1)-(2.2.3). Для
надо наложить некоторые условия на ip(x) и
Теорема 2.2.1; Пусть ip(x) е С3[0, Z], ф(х) V4 C^jOJ], 4
^>(1) = </'(0) = ¥>"(/) = ф(0) = V'G) = 0- Тогда функция и{х, t),
деляемая равенствами (2.2.17)-(2.2.18), является решением з
(2.2.1)-(2.2.3).
Доказательство. Из теории рядов Фурье [7, гл. 1] известны i
ющие факты.	м
1.	Система функций	полна и ортогональна в Ц
2.	Пусть f(x) е £г(0, /) и
“n = 7^,^sinTI<ia:’ = 7Z •^I)cosTldl
- коэффициенты Фурье функции f(x). Тогда
Кроме того, отметим, что
если числа7п таковы, что 52 1?п|2 < оо, то J2 |?п|/^ < оо.
П X.	п
(
4	26'
L является следствием неравенства |7п|/п < (п 2 + |7’|)/2.
Покажем, что
£ п2(|Лп| + 1^1) < <*>
(2.2.21)*
интегрируя по частям интегралы в (2.2.18), вычисляем
птг .	,	2l2 fl „ ,.птг
cos dx, А„ =-----------3-3 ф (х) sin —X dx.
I	атг3пл Jo ' ' l
используя утверждение (2.2.20) и свойства коэффициентов
самом деле,
рЬ^(2.2.19), приходим к (2.2.21). Из (2.2.21) следует, что функция
с () определяемая равенствами (2.2.17)-(2.2.18), имеет в области D
1рерывные частные производные до второго порядка включительно
е u(x,t) £ С2(Р)), причем эти производные могут быть получены
пенным дифференцированием ряда (2.2.17). Очевидно, что u(x,t)
1яется решением уравнения (2.2.1) и удовлетворяет краевым услови-
(2.2.2). Покажем, что и(х,2) удовлетворяет и начальным условиям
2.3). В самом деле, из (2.2.17) при t = 0 имеем	j
00	717Г	00 CLTVTI	Т).7Г
u(x, 0) = £ Вп sin —х, u((x, 0) = £ Ап sin ^x.
n=l	*	n=l 1	‘
шовательно, <. k	~ ^9* Tc
~ 7 L u(z, 0) sin — x dx, An=--- f u((x, 0) sin ^xdx.
• JU	I	ann Jo	I
1внивая эти соотношения с (2.2.18), получаем при всех п > 1 :
(и(х, 0) - v(x)) sin ™х dx = 0,	0) - V-(x)) sin у x dx = 0.
илу полноты системы функций { sin в Г2(0, /) заключаем,
и'х’ 0) — <р(х), ц((х, 0) = ^(х), т.е. функция и(х,2) удовлетворяет
ильным условиям (2.2.3). Теорема 2.2.1 доказана.	□
ргииДИНСТВеНН°СТЬ решения «Раевой задачи. Интеграл
Терема 2.2.2. £сли р=-------
™вуеТп‘ то оно единственно.
решение краевой задачи (2.2.1)-(2.2.3) су-
>енно.
•3). Обти=," “усть иЦМ) И ц2(х,1)- решения задачи (2.2.1)—
чнм u(x,t) - ujjx, t) _ u2(x,t). Тогда u(x,t) € C’(P)
U|I=0 = U|X=I = 0, U|1=o = Иф=0 = 0.	(2.2.22f
27
Рассмотрим интеграл
K(t) = I Г (i(u,(l’t))2 + ‘))2) dx'
который называется интегралом энергии. Тогда
£(*) ~	<)) + их(х, t))uxt(x, t)\dx.
“ TiZ eZMZlA
Интегрируя по частям второе слагвеячое, получаем
E(t) = l‘ ut(x, t)(^ut((x, t) - u„(z, t)) dx + loOtrfs, t)ut(x, t)
В силу (2.2.22) это дает E(t) = 0 и, следовательно, E(t) = coni
как
Я(0) = 2 £ (?(u,(l’0))2 +	0))2) dx = °’
то E(t) = 0. Отсюда заключаем, что U|(x,t) = 0, ux(a:,t) =
u(i,i) = const. Снова используя (2.2.22), получаем u(x,t) = 0,
рема 2.2.2 доказана.
3.	Метод Крылова. Рассмотрим краевую задачу для neoi
кого уравнения колебаний струны:
utl = а2ихх + f(x, t), 0 < х < I, t > 0,	1	J
“|i=o = “|z=l = 0, U|t=o =	u(|t=0 = ф(х'). J
Пусть функция f(x,t) непрерывна в D, дважды непрерывно
ренцируема по х и /(0, t) = /(!,t) = 0. Пусть функции <р(х)
удовлетворяют условиям теоремы 2.2.1. Разложим функцию /(
ряд Фурье по переменной х:
ОО	77 7Г	2 fl	T1/7V
f(x, t) = E /„(t) sin —x, f„(t) = -10 f(x, t) sin — x <fc.
Будем искать решение задачи (2.2.23) в виде ряда по собст!
функциям задачи Штурма-Лиувилля (2.2.8)-(2.2.9):
,	.	“	птг
“(г10 ~ Е “n(0 Sln ~ГХ-
п=1	1
Подставляя (2.2.24) в (2.2.23) и приравнивая коэффициенты пр!
циях sin ™х, п = 1,2,..., получаем соотношения для опрв
коэффициентов un(t) :
^п(0 + (^y-)2Wn(t) = /п(0> un(0) = Вп, йп(0) = Ап,
28
д и Дп определяются по (2.2.18). Задача Коши (2.2.25)
1е числа „ пешение, которое может быть найдено, например,
«ррт единственн и
Хм вариации произвольных постоянных:
/77? 7Г	QYWT I [t - , \ CLTITV .	.
u„(t) = А„ sin + В„ cos —< + — /0 Ш «« ~(* - т) dr.
Unl ’	'	(2.2.26)
дно убедиться, что функция u(x,t), определяемая равенствами
°2 24) и (2.2.26), является решением задачи (2.2.23).
2.3. ЗАДАЧА ГУРСА
^Задача Гурса заключается в решении гиперболического уравнения
данными на характеристиках. Поэтому эта задача называется так-
е задачей на характеристиках. Нам удобнее будет рассматривать
>т канонический вид гиперболического уравнения, для которого ха-
1ктеристики параллельны осям координат. При этом для простоты
раничимся линейным уравнением. Рассмотрим следующую задачу
грса:	, \
(ȣ)
их„ = а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + с(х, у\и 4- f(x, у), (г, у) G П,
=	= V>(x).
(2.3.1)
«|х=хо = ¥>(!/), и|ц=ю = V'(z).	(2.3.2)
[есь т, у - независимые переменные, и(х,у) — неизвестная функция,
= {(*.У)  хо х < Xi, уд < у < г/]} - прямоугольник. Уравнение
3.1) имеет два семейства характеристик х = const и у = const.
1ким образом, условия (2.3.2) представляют собой условия на харак-
ристиках х = х0 и у = у0.
Определение 2.3.1. Функция и(х,у) называется решением задачи
(2.3.2),	если и(х,у) определена и непрерывна вместе со своими
’2ИзВ2)ДНЫМИ Ux,Uv,Uzv в прямоугольнике П и удовлетворяет (2.3.1)
и и МЯ ^Усть Функции a,b,c,f непрерывны в, П, а Функ- ,
существует и единственно.
/твой системе”"0 ^ведем задачУ Гурса (2.3.1)-(2.3.2) к эквива-
е и(г> О задачиИ/2ТчГ^аЛЬНЫХ ^’Равнений- Предположим, что реше-
1)-(2.3.2) существует. Положим v = их, w = uv.
29
Тогда
vy = av + bw + си + f, wx = av + bw + cu + f,'o'uy = w. (2
Интегрируя (2.3.3) и учитывая условия (2.3.2), получаем
v(i,j) = ^'(г) + I (av + bw + си + f)(x,y) dy,
w(x,y) = ¥>'(i/) + (av + bw + cu + f)(£,y)d£,	(2
u(x, у) = ф(х) + [" w(x, y) dy.
'1/0
Таким образом, если и - решение задачи (2.3.1)-(2.3.2), то тр
функций и, v,w является решением системы (2.3.4). Справедля
обратное утверждение. В самом деле, пусть тройка и, v,w явл1
решением системы (2.3.4). Дифференцируя (2.3.4), получаем, что
ют место равенства (2.3.3) и, кроме того,
их(х, у) = ^'(х) 4- [У wx(x, ту) dr] =
JVo
•ф'(х) + [y(av + bw + cu + f)(x, у) dy = v(x, у).
'1/0
Таким образом, их = и. Вместе с (2.3.3) это дает, что функция и
является решением уравнения (2.3.1). Далее, из (2.3.4) при х =
У = Уо вычисляем
и(х,уа) = i/>(x),	,
п \1Ъ 2 4 Ч	I
и(х0, у) = ^(хо) + / ui(x0, y)dy = V'(io) +
Jyo
т.е. u(x,y) удовлетворяет условиям (2.3.2). Таким образом, за
Гурса (2.3.1)-(2.3.2) равносильна системе (2.3.4).
2. Будем решать систему (2.3.4) методом последовательных пр1
жений. Положим
vo(x,y) = /(х) + l^f(x,y)dy, w0(x,y) = ip'(y) + Д /(€, v) 4
ио(х,у) = ф(х),
vn+i(x, у) = [\avn + bwn + cun)(a:, y) dy,
w„+i(t, y) = F(avn + bwn + cu„)(e, y) d^, 
JlQ
Un+i(x,y) = l^wn(x,y)dy.
¥’(У)>
Jyo
tf.'UL^-^-
n!
нстанты M > 0 и К > 1 так, чтобы |u0|, |v0|, |w0| < M,
Выберем . Используя (2.3.5), методом математической индукции
получаем оценки:
S ***  <2М>'
в силу оценок (2.3.6) ряды
и(т,у)= £“п(г>»). v(®.»)= £>-(*, у)> w(x,y) = Е^х,»)
П=°(^>) х	"=0	(2-3-7)
сходятся абсолютно и равномерно в П (так как они мажорируются
,,	г,„ (ц + У1 - х0 - Уо)" ч
сходящимся числовым рядом М 2_,q	^1	7» причем
|u(a,l/)|,|w(*I«)l>l«(a:>v)l Afexp(K(xi + yi -х0-у0)).	(2.3.8)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции и, v, w, постро-
енные по формулам (2.3.7), являются решением системы (2.3.4).
3. Докажем единственность. Пусть тройки (u,v,w) и (й, й,ш) явля-
ется решениями системы (2.3.4). Тогда функции и* = и—й, v* — v—v,
iu* = w — w являются решениями однородной системы
п*(;с>у) = Л (ап* + bw* + cu*)(x,r/) dr],
JVo
w’(x, у) = / (ап* + bw* + cu*)(£, у) d£,
JXq
u'(x,y) = [y w*(x,Tf) dr],
JVo
Гак как функции u*,v*,w* непрерывные П, то существует константа
1 > 0 такая, что |и*|, |и*|, |ш*| < М\. Повторяя предыдущие рассуж-
(ения, по индукции получаем оценку
lu‘(®.V)|,|w*(x,!,)|1|u«(a;,J,)| < MlKn (х + у - хо ~ Уо)"
1РИс” °° ЭТ° “*(Х’V) = W’(l’V) = W'(l’= °'
едуем теперь устойчивость решения задачи Гурса.
пРеделение 2 3 9 о..	п
>ьии, если для	гешение задачи Гурса называется устойчи-
ели 1Сл(‘') (,л Л-1?„^?ГО £ > 0 существует б = 5(e) > 0 такое, что
(у) - ^)(у)| < 6) |v>M(x) _ ^)(i)|	„ = 011 х 6

/’к)
n
31
[xo.ij, У 6 [1Л)>»1Ь то |u(x,y) - й(х,у)| < e, |ux(x,у) - йх(х,у}
|и„(х,у) - йу(х, у)| < е при всех (х,у) е П. Здесь й(х,у) - ре]
задачи Гурса при исходных данных ср, ip.
Покажем, что решение задачи (2.3.1)-(2.3.2) устойчиво в с
определения 2.3.2. В самом деле, обозначим и' = и — й, н* =
w*. — w — w, и>’ = <р — ib' = ib — ib, f' == Ол В силу (2.3.8), '
/ |в'(х, з/)|, |ш*(х, у)|, |u*(x, у)\ < М' exp(K(xi + yi - ха - дЗ
где М' = max(max|V'*(x)|,max|V’*’,(x)|,max|<p*,'(y)|) < <5. Bi
<5 = еехр(-К(х1 + у\ - хд — уо)) и учитывая, что М’ < <5,
чаем |и*(х, у)|, |н*(х,у)|, |w*(x, у)| < е. Таким образом, задачу
(2.3.1)—(2.3.2) корректно поставлена. Q VbC A Cui/ Д|"XJ J
Переформулируем теперь полученные выше результаты для
го канонического вида гиперболического уравнения. Рассмотри]
чу Гурса
J»- uII-titi+a(x,i)uI+b(x,t)u1+c(x,t)u =	(x,t) е Д(хо><о)>1
u(x, х — хо + to) = ф(х), “(т, -х + хо + to) = V'(a:)>
где Д(хо,1о) = {(х, t)) : t - to + х0 < х < —t + to + хо, 0 < t <
характеристический треугольник (рис. 2.4.1). Уравнение (2.3.9)
два семейства характеристик х + t = const и х — t = const
образом, условия (2.3.10) представляют собой условия на хара
тиках Д : t = x-x0+t0 и I2 : t = -x + io+to- Задачу (2.3.9)-
можно свести к задаче вида (2.3.1)-(2.3.2) заменой переменны!
рот осей координат):
. г ।	„	, t + х хо — tg t — X ]
x = (-T] + to, t = C + tj-xo О C = —, r) = —2~ + 
В самом деле, обозначим й({, rf) = и(£—y+to,i+r]-xo) = u(x,t)
Ux = (й( - й,)/2, ut = (й{ + йп)/2, ихх - ии = -й^, следом
уравнение (2.3.9) принимает вид
Чч = “(?>	т')й +	*/)>
где a=(a + b)/2, Ь=-(а-Ь)/2, с = с, f = Характера!
и 12 уравнения (2.3.9) переходят в характеристики уравнения
32
( соответственно, а условия (2.3.10) принимают вид
= to " .(^	= ^(ч), где £(£) = ¥>(f) > V'(’)) = V’(-’7+io+to)-
(€, to) - W	’ TeoDeMa является следствием теоремы 2.3.1.
[оэтому следующая н
2 3.2. Пусть функции a,b,c,f непрерывны в Д(хоЛо), а
	ф непрерывно дифференцируемы и <р(х0) = ф(х0'). Тогда
задачи Гурса (2.3.9)-(2.3.10) существует и единственно.
2.4.	МЕТОД РИМАНА
Рассмотрим следующую задачу Коши:
- и- + а(т, «)“х + ь(®, г)“< + cfo t)u = / (г, t), -оо < т < оо, t > 0,
(2-4.1)
U|<=0 = ¥’(х), “I|t=o = 0(*)-	(2.4.2)
бозначим D = {(т,4) :	< x < oo, t > 0}. Будем предполагать,
го a,be Cl(D), C,f e C(P), <p e C2(R), ф G C’(R).
Определение 2.4.1. Функция u(x,t) называется решением задачи
.4.1)-(2.4.2), если u(x,t) G С2(Д) и удовлетворяет (2.4.1) и (2.4.2).
Вывод формулы Римана. Обозначим
и — u„ — uel + аих + but + cu, C'v = vxx — о(1 — (ан)х —	+ со.
t	M(x0,t0)
Рис. 2.4.1
Фиксируем точку \ ,
>льник ДСт t i г, ° И РассмотРим характеристический тре-
; (Рие 2 41Л в{(1,<) : ‘ ~	< х < -t + 10 + 10, 0 <
с° + «о,0). Гра„ица ^ШИНами в точках Wo,to), Р(х0 - i0,0) и
'	треугольника А состоит из трех отрезков:
33
оД = А U Ig U 1з, где 11 = МР с уравнением t — х — хо 4- to, 1г
с уравнением t = -х + х0 +tg и I3 = PQ с уравнением t = 0.
Предположим, что решение задачи (2.4.1)-(2.4.2) существуй
значим его и(х, t). Пусть v(x, t) g C2(D) - некоторая функод
как
Jfr v£u — u£’v = (yux — uvx + auv)x — (yut — uvt — buv)t,
то в силу формулы Грина [8, гл. 16] получаем
u£*v) dxdt = fg^(vut~uvt—buv) dx+(yux—uvx+auv) dt (
(с обходом <ЭД против часовой стрелки). Преобразуем интен
границе. Имеем

На Ii: t = х — xg + tg, dt = dx. Обозначим
ai(x) := u(x,x - xg + tg), @i(x) := v(x,x - x0 +10). j
Тогда ai(x) = (ux +	0'i(x) = (vx + Vi)|t=I_Io+to, c;
тельно,
(tifu; + ux) — u(yt + vz) + (a - b}uv)(x, X - Xg + tg) (
=	(<3i(®)ai(i) -	+ (a - ь)(г, x - xq + to)ai(xj/3i(x)
= 1м(/31(1)“1(1)) -	“i(a:)(2/3l(I) - (a - i)(x,x - Xo + to)0i(x]
Наложим первое условие на функцию v(x,t), а именно, пот;
2/3] (х) - (а - Ь)(х, х - х0 + to)/?i(x) = О.^о^} >
Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение, вычи<
1 гХ
v(x, х - Хд + to) = exp (- / (a - (>)(£, f - х0 + to) <%).
2 Jx0
Тогда
=u(P)v(P)-u(M)v(M).
2.	На Ig: t = —x + Xo + to, dt = — dx. Обозначим
a2(®) ~ «(x, -x + io + to), Дг(х) := v(x, -x + x0 + to)-
34
>	= (их - т)|«=-х+хо+*» ^х~> = (Wl ~ Vi)|i=-x+xo+io. следова-
Гогда ot2\x) '
кльно,
у. _ jM („(U1 - Ul) - u{yt - vx~) - (a + b)uu)(x, -x + x0 + to) dx
- JM Pi^a^x) + a2(x)P'2(x) - (a + 6)(x, -x + x0 + ta}a2(x)fa(xy) dx
; -|"(/32(x)«2(i)) + !q a2(x')(2/3'2(x')-(a + b'){x,-x + x0 + t0')l32(x)')dx.
[аложим второе условие на функцию v(x,t), а именно, потребуем,
тобы
2/%(x) ~(a + b)(x< ~x + xo + to)ft(i) = 0.
ешая это дифференциальное уравнение, вычисляем
v(x, —х
'огда
+ х0 + t0) = exp (i Г(а + 6)(f, -f + x0 + to) <*£)
Z Jxo
(2.4.6)
(2-4.7)
Д = “(<ЭМ<2) - н(Л4)ы(М).
3. На 7з: t = 0, dt = 0 и, следовательно,
Д = L°-i° (V(x< °MZ) “ v»(®> 0)v(®) - Ь(®, 0)v(a:, 0)p(x)) dx. (2.4.8)
аложим третье условие на функцию v(x,t), а именно, потребуем,
гобы
£’и = 0, (1,<)еД.	(2.4.9)
□отношения (2.4.9), (2.4.4), (2.4.6) - это задача Гурса. Ее решение -
ЦИЯ п' сУществует и единственна. Она называется функцией
висит л ™стим’ что "(М) = v(x,t;x0,t0), т.е. функция Римана
4 31 И J Т0ЧКИ Подставляя (2.4.5), (2.4.7), (2.4.8), (2.4.9) в
разрешая относительно u(x0,t0), получаем
о) 2^(Io + fc|)w(Io + to,O) + ^(xo-to)v(xo-to,O))
+1 [г°+1°
2 Ло-(о Wx, 0№(х) _ и((г| 0)^ _ 6(Х| 0^(Х) 0) у>(х)) dx
_	/'<0 rxo+io-l
(2.4.10)
CV((2)
^(^1 f’u°
Формула (2.4.10) называется формулой Римана. Таким обрад
доказали, что если решение задачи (2.4.1)-(2.4.2) существует
дается формулой (2.4.10). Отсюда сразу следует единственна
шения задачи (2.4.1)-(2.4.2). Можно показать [3, гл. 5], что ф
и, определяемая формулой (2.4.10), действительно является ре:
х задачи (2.4.1)-(2.4.2). Отметим, что существование решения
(2.4.1)-(2.4.2) можно также доказать независимо, используя ме(
ложенный в п. 2.3.
В некоторых частных случаях функция Римана может быть
лена явно. Приведем два примера.
Пример 2.4.1. Рассмотрим задачу Коши для неоднородной
нения колебания струны:	а
«хх -	-оо < х < оо, t > 0, 1
«|1=0 = (P(x), ut|i=o = '0(i)- J
Это частный случай задачи (2.4.1)-(2.4.2), когда а = Ь = с = О
видно, что в этом случае v(x,t) = 1, и формула Римана (2.4.10
нимает вид
“(М) = |(¥’(i + t) + cp(x-t)) + | r+til>(s)ds-^l‘ dr J f(s
I	£ JU	JX— t+T . (
Сравните (2.4.12) c (2.1.11)!
Пример 2.4.2. Рассмотрим задачу Коши (2.4.1)-(2.4.2) для
нения с постоянными коэффицинтами, т.е. в случае когда а,
константы. Отметим, что здесь, в частности, содержится теп"
ное уравнение (см. п. 1.1). Не нарушая общности, можно счита’
= Ъ = 0 (этого можно добиться заменой u(x, t) = й(х, t) ехр(-
bt/2)). Таким образом, рассмотрим следующую задачу Коши: j
Нхх - ии + си = f(x, t), —оо < х < оо, );'‘с
“|i=o = «i|i=o = V’(i)-	J 1
Для функции Римана имеем задачу Гурса:
vxx — Utt + СП = 0, П||=х-хо+1о = 1> H|t=-x+x0+fo = 1.
Будем искать решение задачи (2.4.14) в виде
v(x,i) = w(z), где z = ^(t - to)2 - (® - то)2-
36
fl/-)	точка (x,t) лежит на характеристиках I, или /2, то
“о Tz>оя5z

z3
z
Ut-----z	Z	Z,	Z~
Додста^я в (2.4.14), получаем
ш"(г) +	- cw(z) = О, w(o) = l.	(2.4.15)
рамена ( = з/^г. »(<) = wW в С2'415) дает
»"(e)+^+y(e) = o, y(o) = i. fc.b.'iG)
Р ледовате л ьно,
y«) = W, где J0(C):=l_(|)2 +А_(|/_ А_(|)» + ...
функция Бесселя нулевого порядка [1, с. 636]. Таким образом, функ-
ия Римана имеет вид
v(x,t) = J0(^/-c((t - t0)2 - (х - io)2))-
2.5. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.
МЕТОД СПУСКА АДАМАРА
смотрим задачу Коши для волнового уравнения
utt = Ди, х е R3, t > 0,
(2.5.1)
(2.5.2)
Десь х =
ИЗВестна* функция, Дц :=”Л &и
— г/
Н||=о — ф(т), Ut|(=0 = V’(l).
( 1,:с2>гз) е R , t > о независимые переменные, u(x, t) -
_	_ оператор Лапласа. Обозначим
-{(x.t): xeR3, t>0}
37
Определение 2.5.1. Функция u(x,t) называется решением зд
(2.5.1)-(2.5.2), если u(x,t) G C2(D) и u(x,t) удовлетворяет (2 J
(2.5.2).
Зафиксируем точку = (г?, х%, х®) € R3 и обозначим
г = ||х - х®|| =
, Е(^-4)2
V=i
- расстояние между точками х и хд. Пусть К(х°,а) := {х 6 R3;
а} - шар с центром в точке хо радиуса а, и дК(х°,а) := {х g
г = а} - сфера (граница шара К(х°, а)).
Лемма 2.5.1. Д(-) = 0^<' .0.. с|> -	Ч й.
„	dr	Xk — xi д . 1.	Xi -
Доказательство. Так как —— = ---------, то ——(-)  --------
\	dxk г	дхк г
И д2 .1.	1	3(х* — х£)2	.1.
тгИ-) = —ч + ~g , следовательно, Д(-) = 0.
дхк г	ГЛ г5	г
Вывод формулы Кирхгофа. Зафиксируем точку (х®, to) Е R4 и
смотрим в четырехмерном пространстве переменных (x,t) ков
с вершиной в точке (х°, to), образующими to — t = г и основ!
K(x°,to) С R3, лежащим в гиперплоскости t = 0 (рис. 2.5:1). I
to — t 1	'
жим v(x, t) =--------1. Из леммы 2.5.1 следует, что функция v
Г	я
удовлетворяет уравнению (2.5.1): Vtt = Кроме того, v(x,t)
внутри конуса G и v(x,t) = 0 на боковой поверхности G. На
Рис. 2.5.1
38
j > 0. Обозначим fi(z°, <5) = {(x, t) e R4 : r < 6, t >
ЗафиксиРУеМосью x = xo радиуса <5 и рассмотрим Gj = G\Q(x°,<5)
I) - цилиндр c °	/см рИС 2.5.1). Граница Ss области G3 состоит
конус без пил	SifU Si s и s3 S, где Si,s = {(х,t) : t = 0, i < г <
»T₽eX ХТХнования конуса, S2,s = {(х, t) : t0 - t = г, 0 < t < t0 - <5}
“боковая поверхность конуса, S3,s = {(x,t) : г = <5, 0 < t < t0 - <5} -
поверхность цилиндра.
’‘’предположим, что решение u(x,t) задачи (2.5.1)-(2.5.2) существу-
, £« Ф.РИУЛУ Ооуроу™^^	f
О = / (u(vu — Дп) — v(“tt — Ди)) <^хЛ
V-CCU. xiOMAXu
[	= !g. i^UVt -vu,)" £ ^(uVxt" 7iJ) dxdt
= Js ((uvt — vui) cos(n, t) - zZ (“Их» — l'“iJ cos(n, x*)) ds
A- , <ГС
= fSi ((v, cos(n, t) - £ vIt cos(n, x*))u
3
—v(ut cos(n, t) — £ uXk cos(n, x*))) ds,
*=1
ib n - внешняя нормаль к поверхности, a cos(n,t) и cos(n, ц) -
эсинусы углов между внешней нормалью и соответствующими осями
эординат. Выберем направление I так, чтобы cos(Z, t) = cos(n, t) и
>s(/,xt) = — cos(n,xj). Тогда
,	r . av du. ,
4(“az~“ai)ds = 0-
1. Ha 5i x • n = / ~ — j j . Л
,d' dl-------Ht' dS ~ dx' ~ 0» слеД°вательно,
(u« -voi)ds = /Sii(-*£+^)dx
РИЛ-.О =4,1(v2 + (7-W))dx.
(2.5.3)
u u имеем
Ь/’“	’§>*- /вд,., (^ + ф - 1)«M) *. (2.5.4)
//
39
Ct
2. На S2,s направление I совпадает с образующей конуса ]
dv	'
которой v = 0. Следовательно, и — = 0 на S2 s. Это дает I
W ГЗ. Ha S3ts: r = 6. Тогда
(f du j	,to— t v г du .
ls„ vaids = k	dt L™ d,ds-
»u	OUA	л 1
Так как |—| < С, to tUVJCLC	j
n	1
Inn / h— ds = 0.
i->0 Js„ dl	I
Далее, на S3,4: I = -n = f := (x, - x?,x2 - x%,x3 - x§). fl
dv _ dv	|
~di~dr и
отсюда
/s ulfids = /s u7Tds = /s (~^-2~)\ds
1 Л-4	г
= _Й2Л ^to~t'>dt/aK(x<‘,ii^'t'>ds= -4,r/o	(to-t)u(x°,i)d«
где	<^o Z c|-i£fvVu ~ Ч1Г S1' 1
JS = "	~ ‘) dt /gKW)(“(^> 0 - “(Л 0) d^-
В силу непрерывности^	Q существует!
такое, что если г <д, то |u(i, t) - u(zD,tj| < е при всех t € Я
Следовательно,
|Л| - i /о °<(<о ~dt Lk^ а ds l^to - vdt-
'Z'O
Таким образом,	I
fesL (uS_ ds=-4,r № ~ <)u(i°'f) dt-
йз(2.5.3)-(2-5-6)“здУеТ’1ЧТ°
£(<0 - № ^dt = ia + (г " 1)V,(l)) dx- {2-5-7)
дифференцируя (2.5.7) дважды по t0, получаем
(А(*°. «о) =^( Гdr !„к^ (“+(? - ь
ИЛИ	13,	1 г V>(x)
u(x°,to) - 47r5Zo^x(xo,to) tQ ds+4irJaK^M to ds' ^2'5'8^
формула (2.5.8) называется формулой Кирхгофа. Таким образом, мы
юказали, что если решение задачи (2.5.1)-(2.5.2) существует, то оно
1ается формулой Кирхгофа. Отсюда сразу следует единственность ре-
цения задачи (2.5.1)-(2.5.2).
^/Теорема 2.5.1. Пусть <р(х) 6 C3(R3), ф(х) 6 C2(R3). Тогда ре-
иение задачи (2.5.1)-(2.5.2) существует, единственно и дается фор-
мулой (2.5.8).
Доказательство. Достаточно доказать, что функция u(x,t), опре-
;еляемая формулой (2.5.8), удовлетворяет (2.5.1)-(2.5.2). Для это
>ассмотрим функцию	~ '
I; С	) = JL /	Л£) ds	,2 5 9)
во ЛТ) достаточно гладкая функция. Сделаем в (2.5.9) замену пере-
енных xk =xi + t^k, k = U (т.е. & =	Если x пробегает
^тел^нУ’<0) ’ ТО С пробегает сферу дК(0,1), и dsx = t20ds(. Сле-
з(2.5 ю) с W(x0’<o) = £/a*(o.i)/(l° + i^ds- (2-51°)
^(г), и ДУеТ’ ЧТ° ^нкция w(a;0» ^о) имеет ту же гладкость, что

w(to=o = 0.
'РУя (2.5.10), вычисляем
(У	_ 1 г
3t0 4тг /дк(о,1)	+ ^оС) ds -j-
(2.5.11)
41
В частности, (2.5.12) дает
gU = /(x°).	I
Отметим, что в (2.5.12)	= cos(n,&). Поэтому, применяя Л
д I
лу Остроградского и учитывая (2.5.10) и соотношение —— = <
% “
получаем
dw = w(x°,to) to Г (Г —(?L(r0,f
dt0 to + 4тг Мод) д^дх+t°^^
C^OV-	to +4%4(0,1)(^ат1( + °е))^
у_с v«	w(x°,t0)	1 г ,а2/ „ ,
^сг-77- + ^/к(1»,1о)(Е^(х))^.
Таким образом,
-V = w(x°,t0)	1
СлсЦиуиЛЛ	to +47Tt04’
где
(2
«- u«< i,3w)d”	<2 й'*»'"'
Используя (2.5.14), вычисляем	I
d2w _ 1	dw	w 1	1	д
dt% t0	dt0	to	4?rt§ +	4-zrto	dt0
_ 1J4 w 1	1 £Q_J_________
t0 t0 + 4Trt0	to	Airto	+ 4nto	dt0	4-rrt0	Oto
следовательно,
d2w _	1	r	. A	d2 f
dt2o ~	4%t0	(*?,	dx2(l)) ds'
В частности, это дает (как и при доказательстве (2.5.11))
d2w	_
dtT[[»=° - °-
(2
(2
42
— °LLfx)ds.
47rto JdK(xo,to) дх^ '
_ з d2w
(2.5.17)
(2.5.18)
„V. (2 5.10) дважды по x°k, получаем
1ифференпиРУя 1
d2v> _ r ^(x° + to?) ds = -1-1
^62 - 4?r »4 dx%	47rtn Jd
(месте c (2.5.15) это дает
d2w
dtg
функция w удовлетворяет волновому уравнению. Кроме того, ис-
ользуя (2.5.17), вычисляем
д2 .dw _ А д2 dw
эё0(дГ0'~
dw	,
е. функция — также удовлетворяет волновому уравнению. X/
Формула (2.5.8) имеет вид
и(х°, t0) = Wi(x°, t0) + w2(x°, t0),
Oto
не функции W] и w2 имеют вид (2.5.9) с. f — ip и f — ip соответ-
гвенно. Поэтому из (2.5.11), (2.5.13) и (2.5.16)-(2.5.18) следует, что
ункция и, определяемая формулой (2.5.8), удовлетворяет (2.5.1) и
'.5.2). Теорема 2.5.1 доказана.	□
Исследуем теперь устойчивость решения задачи (2.5.1)-(2.5.2).
пределение 2.5.2. Решение задачи (2.5.1)-(2.5.2) называется
йчивылс, если для любых е > 0 и Т > 0 существует 6 = 6(е,Т)
х°е, что если |у,(х)-^(х)| < 6> Wx)_^)| < S,	< <5
R3’ Т0	= при всех х^з, 0< t < Т.
1 решение задачи Коши при начальных данных ф и ip.
Релеления РрШение задачи (2.5.1)-(2.5.2) устойчиво в смысле
• •  В самом деле, запишем (2.5.8) в виде
“(A t0) = -Lfli г	t
! ^tp 4тг /ак(од) <P(I° + *о£) ds) +	ip(x° + t0£) ds
= tp , Tv?	’	r
4tt -wc(o,i)
4^L(o,i)*’(l° + to?)<is
ГА 43 1
+ 4тг Ьк(о,1) £ дхк + to^ '^kds' t
Для е > О, Т > О выберем 6 = е/(4Т +1) и предположим, что IJ
£(т)| < 5, |^(х) - 4>(х)\ < 8,	< <5 при всех х 1
Тогда	дХк дХк
|u(x°, t0) - й(х°, to)| < /ак(од) |^(х° + to^) - ^(х° + toOl J
V +4^ /вк(0,1) l*>^° + to& ~ ^х° + to^lds
+ 4^ /att(o.i)1	“ 0^®° + ds ~ 6(iT + 1) =|
Таким образом, задача Коши (2.5.1)—(2.5.2) корректно поставлен^
Метод спуска Адамара. 1. Рассмотрим задачу Коши для
мерного волнового уравнения:
utt = Ди, х 6 В.2, t > 0,	(2.5.1
^=0 = ^(1), Ui|e=0 = ^(x).	(2.55
Здесь х = (xj, х3) € В2, t > 0 - независимые переменные, u(xi,»
д2и д2и
- неизвестная функция, Au := g-j 4- yj _ двумерный оператор Л
ласа. Решение задачи (2.5.19)-(2.5.20) может быть получено метода
аналогичным вышеизложенному. Однако удобнее получить репЛ
задачи (2.5.19)—(2.5.20) непосредственно из формулы Кирхгофа (2»
(т.е. считать задачу (2.5.19)-(2.5.20) частным случаем задачи (2.51
(2.5.2)).
Для этого рассмотрим задачу (2.5.1)-(2.5.2) и предположим,
функции и V не зависят от х3. Покажем, что в этом случае^)®
ция u(x°, t0), определяемая формулой (2.5.8), не будет зависеть от*
т.е. будет являться решением задачи (2.5.19)-(2.5.20). Обозначим!
y(xi-x?)2 + (xi-:i:?)2, а = <r(x?,x§,t0) = {(xi,x2) : р < to}
центром в точке (х?,!^) радиуса t0. Так как дК^х0,^ = S+(jS'il
S* - полусферы х3 = xg ± \/t)j - р* (рис. 2.5.2), то из (2.5.9) полу»
^°>^ = r/s+Zr2ds+r-/s f-?ds
47Г JS+ tQ 4тг Js- tQ
44
= 3- / /(xb z2,4 + yi§T7) J^x,
47Tto Ja	cos(n, гз)
dx]dx2
cos(n, 3?з)
ds
п
/72	2
Пусть f не зависит от 13. Так как cos(n, Z3) = —-—— (рис. 2.5.3),
ТО	t0
f-^^dxidx2.
w(x°.tn) = — [	—
1 J 27Г Л(х?^,«о)
Рис. 2.5.3
от ®з- тТ B Частности' вытекает, что функция w(x°, t0) не зависит
V и 0 не (^°6Разом, если в задаче (2.5.1)-(2.5.2) начальные данные
формула К ави< ят от *3, то и решение не будет зависить от Хз, и
Рхгофа (2.5.8) принимает вид
и(г1. ®°, tn) = -1A f	*2) j_
2?г at0 А(»?,х",1о) dlldl2
45
Формула (2.5.21) называется формулой Пуассона. Она дает pJ
задачи (2.5.19)-(2.5.20).
2. Сделаем еще один шаг в методе спуска Адамара. Предпо™
что в (2.5.21) функции <р и не зависят от х2. Тогда
С С
где h2 = t% - (ti - г?)2 (рис. 2.5.4). Так как
fi°+h dx2
^~h 7^7
 ®2-Х2 |й+Л
= arcsm —— Ц_Л =
J=lG-ty^dxi-
Рис. 2.5.4
Аналогично преобразуется и второй интеграл в (2.5.21). Таким»
разом, (2.5.21) принимает вид
«(®1. fo) = | Мх° + to) +	~ to)) + |	^(з>1) dx\. (2.$
Формула (2.5.22) - это формула Даламбера (см. п. 2.1), дающая P0t
ние задачи Коши для уравнения колебания струны:
I ' ание 2.5.1. Уравнения колебаний для п = 3, п = 2 и
3аМ^зЫваются уравнениями сферических, цилиндрических и плос-
” = 1 лн соответственно. Формулы (2.5.8), (2.5.21) и (2.5.22) дают воз-
l“Ct В°сть выяснить физическую картину распространения волн. От-
М°*Н, «то при п = 3 решение u(i°,t0) зависит от начальных дан-
только на границе основания характеристического конуса (т.е. на
"лере дК(х°, to) )• ПРИ п = 2 и n = 1 решение и(х°, t0) зависит от на-
чальных данных на всем основании характеристического конуса (т.е.
в круге t°'> ”ЛИ На отрезке 1®1 ~ *0- х° + *»]) Другими слова-
ми при П = 3 начальное возмущение, локализованное в пространст-
ве, вызывает в каждой точке х° действие, локализованное во време-
ни (принцип Гюйгенса), т.е. волна имеет как передний, так и задний
фронт. Для п = 2 влияние локализованного начального возмущения
не локализовано во времени (принцип Гюйгенса не имеет место), т.е.
волна имеет передний фронт, но не имеет заднего фронта - точка х°
выйдя из положения равновесия, будет колебаться бесконечно долго.
Отметим, что задачу для п = 2 можно рассматривать как простран-
ственную задачу, когда начальные возмущения заданы в бесконечном
цилиндре и не зависят от третьей координаты.