Автор: Миркин Б.Г.
Теги: регулирование и управление машинами, процессами психология групповой выбор
Год: 1974
Текст
Б Г МИРКИН ПРОБЛЕМД
ГРУППОВОГО ВЫБОРД
В. Г. МИРКИН
ПРОБЛЕМА
ГРУППОВОГО ВЫБОРА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974
6 ФО. t]
М 63
УДК 62-50
Проблема группового выбора. Б. Г. Миркин. Издательство «Наука»,
Главная редакция физико-математической литературы, М., 1974, 256 стр.
Проблема группового выбора — это проблема сведения нескольких ин-
дивидуальных мнений о порядке предпочтения объектов в единое «группо-
вое» предпочтение. Она имеет непосредственное отношение, в частности, к
теории и практике экспертного оценивания. Но в этой книге проблема
группового выбора трактуется более широко — как проблема анализа и
«агрегирования» информации о предпочтениях, в том числе нечисловой ин-
формации.
Книга адресована всем, кто занимается проблемой принятия решений.
Миркин Борис Григорьевич
ПРОБЛЕМА ГРУППОВОГО ВЫБОРА
М., 1974 г., 256 стр. с илл.
Редакторы А. В. Малишевский и А. А. Могилевский
Техн, редактор С, Я. Шкляр
Корректор В. П. Сорокина
Сдано в набор 13/V 1974 г. Подписано к печати 7/Х 1974 г.
Бумага 84x1087*2 Физ. печ. л. 8. Условн. печ. л. 13,44.
Уч.-изд. л. 14,34. Тираж 8000 экз. Т-16664. Цена книги 91 к.
Заказ № 657
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука», Москва, Г-99,
Шубинский пер., 10
30501 -122
М 053 (02)-74 168-74
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1974.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................. 7
Основные обозначения................................... 10
Введение................................................ И
1. Постановка проблемы (И). 2. Некоторые затруднения
(15) . 3. О содержании книги (18).
Глава 1. Описание предпочтении......................... 24
§ 1. Виды оценок....................................... 24
1. Количественные показатели (24). 2. Оценки в балльной
и ранговой шкалах (27). 3. Ранжирование (30). 4. Попар-
ное сравнение (31). 5. Отношения предпочтения и анализ
качественных данных (33).
§ 2. Квазисерии........................................ 36
1. Основные определения (36). 2. Структура эквивалент-
ностей (37). 3. Номинальная шкала (39). 4. Структура
квазисерий (40). 5. Линейные квазипорядки (43). 6 Л Пред-
ставление непрерывных отношений (45).
§ 3. Нетранзитивность отношения неразличимости .... 46
1. Причины нетранзитивности (46). 2. Квазилинейные от-
ношения (49). 3. Интервальные эквивалентности (53). 4. От-
ношения предпочтения и неразличимости по нескольким
показателям (54)
§ 4. Кардинальные предпочтения......................... 58
1. Тцп шкалы как свойство системы с отношениями (58).
2. Измерение предпочтений по фон Нейману — Моргенштер-
ну (61). 3. Приближенно-количественные измерения (65).
4лЭкспертное оценивание (69)
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Выявление предпочтений ............................ 71
1. Наилучшие и максимальные объекты (71). 2. Нормаль-
ные отображения (73). 3. Функции выбора и выявленные
предпочтения] (76). 4. Аксиомы выявленного предпочтения
(79). 5. Выявление потребительских предпочтений (82).
6. Выявление реальных предпочтений (83).
Задачи ................................................ 86
Глава 2. Правило большинства........................... 89
§ 1. Обсуждение правила большинства.................... 89
1. Понятие о принципах согласования (89). 2. Правило
большинства (90). 3. Нетранзитивность мажоритарного от-
ношения (92). 4. Стратегический аспект правила большин-
ства (95).
§ 2. Условия транзитивности мажоритарного отношения 96
1. Вид условий транзитивности (96). 2. Критерий допус-
тимости множества предпочтений (99). 3. Одномерные пред-
почтения (102). 4. Дихотомические предпочтения (105).
5. Предпочтения с выделенным объектом (107). 6. Полнота
условий допустимости (108).
§ 3. Расстояние в пространстве отношений.............. 111
1. Расстояние между отношениями и правило большинства
(111). 2. Построение медианы в специальных классах отно-
шений (114). 3. Отношение «между» (120). 4. Вычисление
расстояния между линейными квазипорядками и эквивалент-
ностями (124). 5. Анализ качественных признаков (128).
Задачи................................................ 132
Глава 3. Аксиоматический анализ проблемы согласова-
ния отношении......................................... 135
§ 1. Требования к принципам согласования.............. 135
1. Условие независимости объектов (135). 2. Универсальные
множества отношений (138). 3. Положительная связь груп-
пового отношения с индивидуальными (монотонность) (140).
4. Условие ненавязанности группового решения (141).
5. Принцип Парето (141)«
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 2. Характеристика возможных принципов согласования 143
1. Формулировка теоремы и ее следствий (143). 2. Обсуж-
дение теоремы и ее следствий (144). 3. Утверждающие и
отрицающие множества (147). 4. Парадокс Эрроу (150).
5. Возможность личного выбора (153). 6. Теорема о невоз-
можности для кардинальных предпочтений (155).
Задачи ................................................. 157
Глава 4. Анализ экспертных оценок ................ 159
§ 1. Понятие об экспертизе.............................. 159
1. Задачи экспертизы (159). 2. Основные этапы экспертизы
(160).
§ 2. Анализ результатов оценки объектов................. 163
1. Учет компетентности экспертов и весомости признаков
(163). 2. Обоснование взвешивания кардинальных предпоч-
тений (166). 3. Оценка компетентности экспертов (168).
4. Анализ компетентности экспертов по их оценкам объектов
(171). 5. Анализ точек зрения экспертов (176).
§ 3. Обработка результатов парных сравнений............. 181
1. Матрицы парных сравнений (181). 2. Идеальные пред-
ставления матрицы парных оценок (183). 3. Аппроксимация
сверхтранзитивных матриц (186). 4. Вероятностные модели
оценивания (190). 5. Выявление групповой оценки в каче-
ственном виде (193).
Задачи.............................................. 195
Глава 5. Современные концепции социального выбора 197
§ 1. Концепции равновесия............................. 197
1. Абстрактные формулировки (197). 2. Равновесие и опти-
мальность в терминах стратегий (201). 3. Примеры и их об-
суждение (206).5 4. Равновесие по фон Нейману — Нэшу
(209). 5. Оптимум Парею и весовые коэффициенты] (213)
6. Определение весовых коэффициентов (215).
§ 2. Состояния равновесия в модели перераспределения ре-
сурсов ................................................ 219
1. Модель перераспределения ресурсов и понятие экономи-
ческого равновесия (219). 2. Экономическое равновесие] как
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
равновесие по фон Нейману — Нэшу (222). 3. Экономиче-
ское равновесие и оптимум Эджворта (223). 4. Состояния
равновесия в модели с производственными функциям* Коб-
ба — Дугласа (224). 5. Экономическое равновесие для мо-
дели с функциями Кобба — Дугласа (226). 6. Распределение
ресурсов с целью максимизации суммарного эффекта (228).
7. Пример: оптимальное распределение ресурсов как экономи-
ческое равновесие (229).
§ 3. Дескриптивные модели............................. 230
1. Процесс поведения (230). 2. Простейшая модель группо-
вого выбора (232). 3. Процесс перераспределения ресур-
сов (234). 4. Стохастические процессы поведения (235).
Задачи ............................................... 238
Библиографические примечания ......................... 241
Литература............................................ 245
Предметный указатель................................ 255
Стремясь передать здесь различные суждения
...,я боюсь, что по причине моего характера, уг-
рюмого и неповоротливого, придам им ложную,
нарочитую серьезность. Эти мысли были легки
и невинны, как щебет шестнадцатилетней девуш-
ки о различных системах пропорционального
представительства.
И. Г. Эренбург «Хулио Хуренито»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Под групповым выбором обычно понимается сведение
различных индивидуальных мнений о порядке предпочте-
ния рассматриваемых объектов в единое «коллективное»
предпочтение.
В настоящее время математическому анализу подвер-
гаются в основном вопросы, связанные не с тем, как про-
исходит или должен происходить групповой выбор, но
с тем, какой выбор «справедлив» или «разумен» с каких-
либо точек зрения.
Такой взгляд на проблему группового выбора позволя-
ет трактовать ее как совершенно общую проблему «разум-
ного» перехода от заданных «индивидуальных наборов
данных» к единому компактному «групповому набору дан-
ных». При этом «индивидуумы» и их «данные» могут иметь
самую разную природу. Например, это могут быть экспер-
ты и их оценки (анализ экспертных оценок), члены коллек-
тива и их «голоса» (модели голосования), потребители и их
предпочтения (теория потребительского спроса), наимено-
вания показателей качества некоторой системы и их зна-
чения (принятие решений по многим критериям), исход-
ные признаки и порождаемые ими разбиения объектов на
классы (задача классификации).
Эта книга посвящена изложению основных концепций
и результатов в области группового выбора. В мировой
литературе имеется несколько монографий, посвященных
проблеме группового выбора, однако в них она ограничена
довольно узкими аспектами «человеческого» выбора. Здесь
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
же групповой выбор понимается как общая проблема
агрегирования индивидуальных данных, и основные собст-
венные результаты автора связаны именно с этой идеей.
Первая глава содержит обсуждение проблем измерения
индивидуальных или групповых предпочтений, как коли-
чественных, так и качественных. Она является самой боль-
шой по объему, что связано в основном с малой разрабо-
танностью этой темы в отечественной литературе.
Вторая и третья главы содержат результаты по тем
вопросам, которые принято относить к «канонической»
теории группового выбора (анализ «разумных» принципов
согласования отношений), в их связи с общими проблемами
анализа неколичественных данных.
В четвертой главе излагаются представления, связан-
ные с анализом результатов экспертного оценивания ка-
чества объектов.
Последняя, пятая глава посвящена изложению тео-
ретико-игровых подходов (изобретенных задолго до воз-
никновения теории игр) к изучению наиболее предпочти-
тельных с социально-экономической точки зрения состоя-
ний. Эта глава несколько выпадает из общего строя книги,
поскольку в социальном выборе приходится учитыватг
не только предпочтения участников, но и их возможности
по изменению состояний.
Каждая глава сопровождается задачами разной степе-
ни трудности — от тривиальных упражнений до нерешен-
ных научных задач.
Более подробное резюме содержится во введении
Основной материал книги отражает последние дости-
жения в области группового выбора, и, за малыми исключе
ниями, впервые появляется в монографической литера
туре.
Монография предназначена для лиц, интересующихся
проблемами принятия решений (или более общо, анали
за данных). Хотя основное внимание уделяется изложения
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
теоретических результатов, из нее можно почерпнуть не-
мало практических рекомендаций, особенно для анализа
нечисловых данных и экспертных оценок.
Для чтения книги, вообще говоря, не требуется спе-
циальных знаний в какой-либо области математики. Это
связано прежде всего с тем, что основной ее язык — это
теоретико-множественный язык конечной математики, для
понимания которого достаточно лишь общелогической
культуры мышления и некоторого терпения. Результаты
«непрерывной» математики даются обзорно и выделены
петитом, как и некоторые другие разделы, которые можно
опустить при первом чтении.
Автор считает своим приятным долгом отметить роль
некоторых лиц в появлении этой работы и выразить им
свою признательность. Собственные исследования автора
стимулировались беседами с К. А. Багриновским,
Ф. М. Бородкиным, Ю. П. Вороновым, И. Б. Мучником,
Л. Б. Черным. Э. М. Браверман подал идею написания
книги и сделал ряд критических замечаний. Большую по-
мощь в усовершенствовании фабулы оказал А. В. Мали-
шевский. Конечно, все недостатки принадлежат только
автору, который несет за них полную ответственность.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
{х | л (а;)} — множество всех тех и только тех х, для которых вы-
полнено л (х).
а -> р — из а следует р.
а <-> Р — а эквивалентно р.
3 х ЕЕ В — существует х из множества В.
V х (Е В — для всякого х из множества В. Как правило, это выра-
жение опускается, если оно предваряет формулу.
х ЕЕ В — х есть элемент множества В.
х ф В — х не есть элемент множества В.
В^С — х^В^х^С.
В СС —В С С, но В 4= С.
В<£С- неверно, что В С С.
0 — пустое множество.
| В | — количество элементов (мощность) множества В.
[а;, у} — замкнутый интервал с концами х и у.
(ж, у) — открытый интервал с концами х и у.
В (J С == {х | х G В или х ЕЕ С}.
В (]С={х\хЕВп х ЕС}.
В — С = {х | х ЕЕ В и х С}.
ВАС = (В - С) U (С - В).
В = А — В для всех подмножеств В рассматриваемого множества Л.
Р <а> = {Ъ | (а, b) ЕЕ Р}.
Для х = (хь хп), у = (ух, уп):
х=^у<-* Vi е{(1, п}: xi^yt-
*=У*+ ® > У и х^=у.
® > У ** Vi £ {1, •••» п}: Xi > У{.'.
ВВЕДЕНИЕ
Я не люблю проблем, для меня яйцо есть яй-
цо, и если кто начнет говорить о проблеме яйца,
то я подумаю, что яйцо испорчено.
К. Чапек «Человек» который не хотел спать»
1. Постановка проблемы. Под групповым выбором
обычно понимается выработка согласованного группового
решения о порядке предпочтения рассматриваемых объек-
тов на основе индивидуальных мнений членов группы.
Типичные ситуации группового выбора: распределение
конкурсной комиссией поощрений для совокупности пред-
ставленных на конкурс проектов (произведений искусства);
обсуждение и согласование нескольких альтернативных
законопроектов (резолюций) законодательным собранием;
ранжирование группой экспертов образцов новых про-
мышленных изделий по перспективности их внедрения.
Способы оценки предпочтений на множестве рассмат-
риваемых объектов будут обсуждаться в главе 1. В про-
стейшем случае предпочтение может быть задано упорядо-
чением (ранжированием) объектов по убыванию их пред-
почтительности. Если же поддается оценке и относительная
интенсивность / (а) предпочтительности каждого объ-
екта а, то предпочтение задается функцией /, отображаю-
щей множество объектов А в множество чисел. Если, на-
пример, возможны три варианта а, & и с распределения
капиталовложений между двумя проектами, то предпочте-
ние одного из экспертов может быть выражено ранжирова-
нием (&, а, с), показывающим, что Ъ — наиболее, а с —
наименее предпочтительное распределение. Если эксперт
сумеет количественно выразить свое предпочтение, оно
может быт$> задано, например, такой функцией: / (&) ==
= 0,6; / (а) = 0,3; / (с) = 0,1, показывающей, что b
вдвое более желательно, чем а, и вшестеро — чем с.
Проблема группового выбора, таким образом,— это
проблема агрегирования индивидуальных предпочтений
/п /2, • • •» /п (^ — число индивидуумов) в единое (груп-
повое) предпочтение /.
12
ВВЁДЁЙЙЕ
Такое понимание несколько не согласуется с интуи-
тивным. Обычно подразумевается, что групповой выбор
состоит в указании наиболее предпочтительного объекта,
но не упорядочения всех объектов по степени предпочте-
ния. Например, эксперты должны рекомендовать только
один из вариантов распределения капиталовложений. Од-
нако можно считать, что выбор объекта эквивалентен ука-
занию отношения предпочтения, при котором этот объект
является наиболее предпочитаемым, а остальные — наи-
менее предпочитаемыми. В этом смысле интуитивное по-
нимание охватывается приведенной выше формулировкой.
В реальных ситуациях группового выбора итоговое ре-
шение зависит от огромного числа трудноуловимых фак-
торов, таких, например, как эмоциональное состояние
членов экспертной комиссии во время выработки решения.
Даже порядок выступлений в дискуссии может существен-
но повлиять на результат. В настоящее время не существу-
ет достаточно общих «разумных» концепций того, как про-
исходит процесс группового выбора.
Это предопределяет относительную бедность математи-
ческих моделей теории группового выбора. В основном
логическому анализу поддается вопрос не о том, как про-
исходит процесс группового выбора, а о том, какими
свойствами должен (или не должен) обладать результат
этого процесса: какой выбор справедлив, какой нет, ка-
кой разумен, какой нет и т. д.
Такой подход, в терминах «что такое хорошо и что такое
плохо», обычно называют нормативным, в отличие от опи-
сательного, дескриптивного подхода. В зарубежной ли-
тературе проблема группового выбора часто трактуется
как проблема нормативной экономики: каким образом це-
лесообразно объединить индивидуальные предпочтения
членов общества в единое «общественное» предпочтение
или, как еще говорят, функцию общественного благососто-
яния? *).
Обеднение теории за счет отказа от моделирования ре-
ального поведения членов группы при выработке решения
*) Термин «нормативная экономика» по-английски формулиру-
ется «welfare economics» и часто переводится как «экономика благо-
состояния». В предисловии к [80] отмечается адекватность норма-
тивного подхода к социалистической экономике.
ВВЕДЕНИЙ
13
приводит к высокой общности терминологии группового
выбора.
В частности, она может быть использована примени-
тельно к проблеме построения компромиссного критерия
оптимальности по заданному набору критериев, харак-
теризующих, скажем, функционирование какой-либо эко-
номической или технической системы. Действительно,
пусть рассматриваемая система имеет множество состоя-
ний А, причем «качество» каждого состояния а ен А опи-
сывается различными показателями ft (a) (i == 1, . . ., п).
Эти показатели часто бывают противоречивыми в том
смысле, что улучшение состояния по одному из них при-
водит к ухудшению значений остальных. Например, уве-
личение объема выпуска продукции /х данной системы
может привести к повышению себестоимости /2.
Если состояния системы рассматривать в качестве объ-
ектов, а показатели Д — в качестве оценок «индивидуаль-
ных» предпочтений, то «групповое» предпочтение/, очевид-
но, соответствует комплексному критерию, построенному
на основе данных показателей. •
Еще более общая трактовка группового выбора связана
с моделями анализа эмпирических данных, такими, как
модели факторного анализа [83j, [15J. Проблема фактор-
ного анализа может быть сформулирована следующим об-
разом. Пусть рассматриваемые объекты характеризуются
значениями большого количества легко измеримых при-
знаков (показателей, параметров), причем эти параметры
являются «внешним» выражением некоторых существен-
ных, «глубинных» факторов, значения которых непосред-
ственно не измеримы. В психологическом контексте,
например, внешние признаки — это реакции людей на раз-
личные тесты, а глубинные факторы —- такие свойства лич-
ности, как «тип нервной системы», «степень интеллектуаль-
ности» и т. д. Проблема факторного анализа состоит
в построении по наблюдаемым внешним признакам
А» /2, • • •, fn системы факторов g2, . . ., gw. Число
факторов т, как правило, существенно меньше числа ис-
ходных параметров п. В простейшем случае все ft «выра-
жают» единственный фактор. Построение этого фактора,
являющегося аналогом группового предпочтения, оче-
видно, может рассматриваться как решение проблемы
группового выбора.
14
ВВЕДЕНИЕ
Если количество глубинных факторов больше одного,
то часто внешние признаки связаны с разными факторами
неодинаково, так что могут быть объединены в группы тес-
но связанных между собой признаков, относящихся к од-
ному и тому же фактору. Методы факторного анализа чис-
ловых признаков, основанные на этом предположении,
были развиты в работе [15]. Аналогичный подход к ана-
лизу нечисловых признаков был предложен в [55]. В тер-
минах группового выбора можно полагать, что разные
совокупности похожих, высоко коррелированных предпоч-
тений ft выражают разные точки зрения на оценку предпоч-
тительности объектов. Например, среди членов жюри по
оценке потребительского качества изделий могут встре-
титься представители двух направлений — грубо говоря,
«эстетического», в котором основное внимание отдается
внешней красоте изделия, и «функционального», считаю-
щего более важными технические параметры. Тогда, оче-
видно, экспертные оценки распадутся на две довольно
«далекие» совокупности близких друг к другу оценок.
Групповое предпочтение (фактор) каждой такой совокуп-
ности фактически выражает ее точку зрения. Выяснение
того, какую именно точку зрения представляет часть экс-
пертов, выделяемая только на основе их оценок, явля-
ется самостоятельной задачей (см. раздел 4.2.5) *).
Таким образом, проблема группового выбора трактует-
ся нами как общая проблема перехода от заданных «ин-
дивидуальных наборов данных» к единому компактному
«групповому набору данных». При этом природа «инди-
видуумов» и их «предпочтений» может быть самой разной.
В частности, далее будет идти речь об обработке резуль-
татов экспертизы (эксперты и их оценки), о голосовании
(члены коллектива и их «голоса»), о потребительском спро-
се (потребители и их предпочтения), о принятии решений
по многим критериям (исходные критерии и их значения
на альтернативных вариантах), о классификации (исход-
ные признаки и порождаемые ими разбиения объектов на
классы).
♦) Это раздел 5 параграфа 2 четвертой главы. Аналогично рас-
шифровываются другие ссылки такого рода: § 2.3, скажем, озна-
чает § 3 второй главы, формула (ЗЛО) — формула (10) третьей гла-
вы, раздел 3.1 — первый раздел в § 3 данной главы, раздел 1 —
первый раздел данного параграфа.
ВВЕДЕНИЕ
15
2. Некоторые затруднения. Не слишком ли мы ус-
ложняем проблему группового выбора? Вот, например,
оценка участников соревнований по фигурному катанию
на коньках ни у кого возражений не вызывает. В качестве
групповой оценки спортсмена берется среднее арифметиче-
ское всех (кроме двух крайних) индивидуальных оценок
членов жюри. Чем, собственно, не хорош такой метод ре-
шения проблемы группового выбора — такой вопрос ча-
сто возникает у тех, кто первый раз слышит о такой про-
блеме.
Да, возражать против метода оценивания фигуристов
трудно. Но не нужно забывать, что судьи имеют весьма
детально разработанную, довольно четко сформулирован-
ную систему начисления «штрафов» за различные погреш-
ности в исполнении упражнений. Это обеспечивает значи-
тельную надежность, устойчивость и похожесть индиви-
дуальных оценок жюри (при условии их объективности).
Ситуация здесь весьма напоминает процедуру «согласо-
вания» нескольких результатов измерения длины какого-
либо предмета с помощью взятия среднего арифметического
значения. Однако реальные ситуации группового выбора
могут отличаться от оценки выступлений спортсменов по
крайней мере в двух отношениях.
Во-первых, члены группы могут придерживаться су-
щественно разных и даже противоречивых точек зрения в
своих оценках (и использовать, явно или неявно, разные
принципы и системы начисления «очков»). Возможность
противоречивых оценок совершенно очевидна в контексте
проблем факторного анализа или согласования критериев
оптимальности. Это может способствовать победе «серых
лошадок», если использовать в качестве групповой оценки
средний балл. Например, если оценки трех объектов а,
&, с двумя экспертами задаются функциями Д (а) =5,
/1 (&) = 3, Л (с) = 0 и /2 (а) = 0, /2 (Ь) = 3, /2 (с) = 5,
то средний балл «среднего» объекта Ъ равен 3, тогда как
остальные получили только 2,5.
Для устранения таких расхождений на практике при-
бегают к различным процедурам обмена мнениями типа
широко известного метода Дельфи [94]. Эти процедуры
дают неплохие результаты, когда эксперты вырабатывают
решение о наиболее вероятном значении какого-либо
недвусмысленного признака, как, например, при прогно-
16
ВВЕДЕНИЕ
зировании даты создания некоторой технической системы.
В более сложных случаях, как показывает опыт, процеду-
ры такого рода иногда только усиливают решимость экспер-
тов остаться при своем мнении или же побеждают интере-
сы руководства группы. В работе [29J показано, что в слу-
чае, когда никаких эталонных способов оценки нет и
мнения экспертов можно рассматривать как случайные,
прогноз по средней оценке вообще может оказаться хуже
любого индивидуального прогноза.
Вторая причина затруднений при групповом выборе
связана с проблемой соизмерения предпочтений различ-
ных индивидуумов. Содержится ли в сложении оценок двух
индивидуумов смысл больший, чем, скажем, в сложении
20 яблок и 10 груш? В контексте признаков или парамет-
ров вопрос об их соизмерении также правомерен, даже
если признаки измерены в одной и той же шкале, как,
например, в случае, когда объектами являются различ-
ные небольшие населенные пункты, а признаками — рас-
стояние до районного центра, расстояние до областного
центра, и, наконец, расстояние до столицы, описывающие
удаленность от культурных центров.
Некоторые авторы считают, что вопрос о соизмерении
разных признаков или предпочтений решается поло-
жительно: достаточно привести все предпочтения к еди-
ным масштабу и началу отсчета. Часто предлагают, на-
пример, линейное преобразование оценок, при котором
наименее предпочтительный объект получает оценку 0,
а наиболее предпочтительный — оценку 1, так что новые
оценки /' выражаются через старые с помощью формулы
f (а) = (/ (а) — /)/(7 — /), где f и / — максимальное и ми-
нимальное значения J (а) (а ЕЕ Л) соответственно. Пре-
образования такого типа часто применяют в статистиче-
ском анализе данных. Фиксирование определенной балль-
ной шкалы (с заданным числом градаций), по сути дела,
равносильно такому же преобразованию.
Однако это преобразование неинвариантно относитель-
но изменения рассматриваемой совокупности объектов
(из-за изменения / и /), так что сложение оценок, даже с
разными весовыми коэффициентами, может приводить к
противоположным результатам. Например, если для трех
объектов а, Ъ, с Д|(а) = ///а) = 100, Д (b) ~ fa (b) = 90,
ВВЕДЕНИЕ
17
д (с) = /2 (с) = 0, а оценки третьего индивидуума равны
f3 (а) = 50, /3 (Ь) = 100, /3 (с) = 0, то, очевидно, что
для преобразованных оценок /' (0; 0,5; 0,9 и 1) fa (а) +
+ /з (а) + /з («) =2,5</НЬ)+/ИЬ) +/з(й) = 2,8,т. е.
средняя оценка а меньше средней оценки Ь. Но если
исключить из рассмотрения наименее предпочтительный
для каждого из экспертов объект с, то результат получится
противоположный. В этом случае fa (а) = fa (а) = fa(b) = 1,
/; (Ь) = Л (Ь) = /з (а) = 0, так что (а) + (а) + /3 (а) =
= 2 > fa (b) + fa (&) + fa (&) = 1. Вряд ли можно со-
гласиться со столь сильным изменением в суммарном пред-
почтении из-за простого исключения одного объекта.
Аналогичные примеры можно дать и для других способов
приведения оценок к единому масштабу (в том числе и с
использованием весовых коэффициентов для индивидуаль-
ных оценок).
Многие авторы утверждают, что количественное из-
мерение предпочтений невозможно, имеет смысл говорить
только об упорядочении объектов по предпочтению, так
что допустимы любые числовые оценки, соответствующие
этому упорядочению. Например, оценки / (а) = 1010,
f (&) = 1, f (с) = 0 и g (а) = 5, g (Ъ) =4, g (c) = 3 оди-
наково характеризуют упорядочение (а, Ь, с). Такая точка
зрения называется ординалистской, в отличие от кардина-
листской, допускающей возможность выделения масштаба
и начала отсчета в числовых оценках. Необходимость рас-
смотрения ординального представления предпочтений свя-
зана также с наличием нечисловых, качественных призна-
ков, таких, например, как «качество материала» или «вид
отделки» для товаров широкого потребления.
В этом случае часто предлагают приписать баллы объек-
там в соответствии с их местом в упорядочении, а получен-
ные так числовые значения обрабатывать обычным обра-
зом. При этом одинаково предпочтительным объектам со-
ответствуют одинаковые баллы. Такая процедура также
связана с некоторыми затруднениями, поскольку она
дает преимущество индивидууму, более тонко различаю-
щему оттенки в предпочтении. Если, например, имеется
сто объектов, один эксперт может их расположить в цепоч-
ку по строгому предпочтению, а второй — отобрать несколь-
ко наилучших объектов, а остальные объявить одинако-
во цлохимц. При упорядочедии пр среднему бадлу егр
18
ВВЕДЕНИЕ
выборы, очевидно, почти не скажутся на результате, так как
им соответствуют только баллы 1 и 2, тогда как баллы
первого эксперта достигают значения 100.
Еще более выразительно проявляется разница в «чув-
ствительности» индивидуумов в задаче распределения ре-
сурса. Пусть, например, нужно распределить некоторый
ресурс между двумя экономическими подразделениями
(системами). Обозначим долю ресурса, получаемую первой
системой, через хг (0 1), а долю второй — через
х2 = 1 — хх. Пусть первая система имеет т уровней раз-
личения, так что если--~* <х^ х\ — (к = 1, . . ., тп),
то хх и х[ одинаково предпочтительны, а возрастание к
от 1 до т выражает увеличение предпочтительности полу-
чаемого количества ресурса, так что Д (ях) = [mxj, где
Ш — наибольшее целое число, не превосходящее х. Ана-
логично, вторая система имеет п уровней различения, так
что /2 (х2) = [nx2i. Допустим, что п^> иг. Тогда максималь-
ное значение суммы Д (ггх) + /2 (я2) достигается при =
= 0.
Действительно, если Д (хх) = г > 0, то /2 (1 — хх) =
— [п(1 — #x)j = [п — пхх\ так как г =
= тх1. Поскольку п > т, то п — п~< п — г,
так что /2 (1 — хх) < п — Д (ях), т. е. Д (ях) + /2 (я2) <
< п. С другой стороны, Д (0) + Д (1) = п, что и требова-
лось доказать.
Таким образом, даже небольшая разница в способности
различения приводит к полному неравенству систем, если
распределение ресурсов производить по среднему баллу.
Вряд ли это можно признать оправданным.
Итак, даже столь простая и привычная процедура, как
использование средней арифметической индивидуальных
оценок, приводит к различным «неприятностям». Автор
не утверждает, что они непреодолимы, но они сущест-
вуют.
3. О содержании книги. Книга состоит из пяти глав.
Первая глава посвящена проблеме описания индивидуаль-
ных и групповых «предпочтений». В частности, в ней раз-
вивается теоретико-множественный язык неколичествен-
ного (качественного) задания предпочтений в терминах
ВВЕДЕНИЕ
19
бинарных отношений (§§ 1.1, 1.2, 1.3). Особо обсуждается
возможность появления нетранзитивностей(т. е. «парадок-
сов» типа: а лучше 6, Ъ лучше с, но а хуже с) при субъек-
тивном выборе (§ 1.3).
Возможность количественного описания предпочтений
обсуждается в § 1.1 и 1.4. При этом делается попытка увя-
зать стандартные «физические» представления об измере-
нии с относительно новыми «психологическими» концеп-
циями [76J, в которых почетное место занимают и неколи-
чественные измерения.
Неколичественные измерения «индивидуальных» данных
обычно проще, чем количественные, да и «групповые» дан-
ные часто требуется представлять также в качественном
виде, поэтому чрезвычайно важно уметь агрегировать
именно качественную информацию. Вопросы разработки
теории анализа неколичественных данных обсуждаются
на протяжении всей главы (как, впрочем, и последую-
щих глав).
Завершается глава параграфом 1.5, в котором иссле-
дуется возможность выявления предпочтений по инфор-
мации о том, какие объекты выбираются.
Теоретическим проблемам сведения индивидуальных от-
ношений в групповое посвящены вторая и третья главы.
Во второй главе дается понятие о принципе согласова-
ния отношений как правиле перехода от индивидуальных
отношений к групповому. Обсуждение общих свойств прин-
ципов согласования откладывается до следующей главы,
а предварительно довольно детально исследуется широ-
коизвестное правило большинства (§§ 2.1, 2.2).
Именно исследование правила большинства в задаче
голосования дало толчок возникновению современной
проблематики теории группового выбора. Попытки ма-
тематического анализа здесь насчитывают около двухсот
лет и связаны с такими именами как Кондорсэ, Додж-
сон (Льюис Кэррол), Лаплас. Основные их достижения
связаны с обнаружением и попытками «обхода» следующе-
го парадокса голосования: если три эксперта имеют на
множестве {а, Ь, с} порядки предпочтений (а, &, с),
(&, с, а), (с, а, &), получаемые друг из друга с помощью цик-
лической перестановки, то по правилу большинства
получается, что а лучше b, b лучше с и с лучше а, но не
хуже, как следовало бы ожидать. Условия, при которых
20
^ВЕДЕНИЕ
возникновение такого парадокса исключено, выводятся
в § 2.2 (см. также задачи 9—11).
Модификация правила большинства в терминах гео-
метрического расстояния в множестве отношений позволя-
ет ввести единый язык для решения различных задач ана-
лиза качественных признаков (§ 2.3). Наличие такогс
языка позволяет не только давать эффективные алгоритмы
решения таких задач или выяснить связь существующих
довольно разрозненных постановок (раздел 2.3.2, упраж-
нения 2.16—2.17), но и решать чисто теоретические во-
просы анализа данных (см., например, теорему 2.3), е
том числе такие, которые до сих пор не решены в «количе-
ственном анализе».
Трудности, связанные с естественными принципами
согласования, типа правила большинства или оценивания
по среднему баллу (см. раздел 2 и § 2.1), привели к необ-
ходимости исследования вопроса о том, что же такое вооб-
ще «хороший», «разумный» принцип согласования? Та-
кое исследование было выполнено к 1950 г. ныне весьма
известным экономистом-математиком, лауреатом Нобе-
левской премии, К. Дж. Эрроу [97j, и привело к доволь-
но обескураживающему результату. Оказалось, что не
существует принципов согласования ранжирований, удов-
летворяющих некоторым естественным и, на первый
взгляд, безобидным требованиям (аксиомам) «разумности».
Аксиоматический подход Эрроу получил дальнейшее
развитие в большом количестве работ (см. монографии [167],
[187] и обзор [174]). При этом были получены аксиоматиче-
ские характеристики целого ряда конкретных принципов
согласования типа правила большинства (см. задачи к
гл. 3).
Осознание того обстоятельства, что подход Эрроу на
самом деле относится к общей проблеме агрегирования
«индивидуальных» данных произвольного вида, привело
автора к распространению теоремы Эрроу на задачу со-
гласования бинарных отношений из произвольного клас-
са. Оказалось, например, что в задаче согласования клас-
сификаций аналоги аксиом Эрроу приводят к общепри-
нятому правилу одновременного рассмотрения некоторых
выбранных заранее наиболее «значимых» классификаций.
Изложение результатов аксиоматического подхода со-
держится в главе 3.
ВВЁДЁНЙЕ
21
В последнее время проблематика группового выбора во
многом определяется запросами теории и практики эксперт-
ного оценивания. Особый интерес к экспертизам в дан-
ной работе связан также с часто встречающимся неколи-
чественным представлением экспертных оценок. Поэтому
глава 4 отведена проблемам анализа экспертных оценок
на разных этапах экспертизы.
Общая теория третьей главы дает мало рекомендаций
для практического построения группового предпочтения.
Однако правило большинства применительно к взаимо-
увязанным индивидуальным предпочтениям (составляю-
щим допустимое в смысле § 2.2 множество) удовлетворяет
условиям Эрроу. Это дает основание использовать для не-
количественного агрегирования правило большинства и
его модификацию — операцию взятия медианы (§ 2.3).
Количественное же групповое предпочтение — при
взаимоувязанных индивидуальных — обычно ищется как
среднее арифметическое индивидуальных предпочтений,
взвешенных коэффициентами компетентности, отражаю-
щими квалификацию, информированность и объективность
экспертов. Операция взятия средневзвешенного значения
также удовлетворяет основным аксиомам Эрроу. Более
того, принятие гипотез фон Неймана и Моргенштерна
об экспертных оценках (§ 1.4) приводит к взятию средне-
го арифметического как единственному правилу, удовлет-
воряющему этим гипотезам (теорема 4.2.1).
Принятие этого правила приводит к проблеме оценки
коэффициентов компетентности экспертов — как по их
само- и взаимооценкам компетентности, так и по оценкам
объектов в данной экспертизе. Используемые для этого
методы тесно связаны с методами построения «внутрен-
него» фактора, определяющего индивидуальные данные
(§§ 4.2, 4.3).
В том случае, когда экспертные оценки не являются
взаимоувязанными, возможно выяснение мнений экспер-
тов не только прямым опросом (что иногда приводит к
неудачным результатам), но и на основе формального
анализа их оценок. Методика этого и пример ее примене-
ния даны в разделе 4.2.5.
Независимо от работ по теории голосования или об-
работке эмпирической информации вопрос о том, какие
ситуации считать приемлемыми, сбалансированными при
22
ВВЕДЕНИЕ
наличии различных критериев их оценки (в том числе и с
позиций экономических агентов с несовпадающими ин-
тересами) рассматривался в рамках экономической теории
(Курно, Парето, Вальрас, Эджворт). Это направление
увенчалось появлением теории игр [65], [69J, [28] и тесно
с ней связанных моделей экономического равновесия [38],
[66]. Существенные результаты здесь также принадлежат
Эрроу. Изложению этих представлений посвящена пятая
глава.
«Сбалансированные» социальные состояния — это на-
илучшие в некотором смысле состояния. Однако при уточ-
нении соответствующих понятий приходится учитывать
не только индивидуальные предпочтения, но и возможно-
сти индивидуумов и их коалиций по изменению этих со-
стояний. Это приводит к существенному обогащению и ус-
ложнению теории. В настоящее время она, правда, нахо-
дится в зачаточном состоянии. Достаточно сказать, что
обсуждаемые в § 5.1 общие понятия оптимальности по
Курно, Парето и Эджворту, по-видимому, не исследованы
в литературе.
Существующие же теории, связанные с этими понятия-
ми, загромождены массой несущественных с общей точки
зрения деталей и используют весьма продвинутые методы
функционального анализа, изложение которых не пре-
дусмотрено в данной работе.
В книге в основном используется теоретико-множест-
венный язык конечной математики, позволяющий полу-
чать достаточно полные результаты без привлечения сколь-
ко-нибудь серьезного математического аппарата, только
с помощью «здравого смысла». Переход к языку «непрерыв-
ной» математики влечет существенные трудности: свойст-
ва, тривиальные для дискретных конструкций, могут
оказаться неверными в непрерывных (см., например, об-
зорные разделы 1.2.6 и 1.5.5; эти разделы напечатаны пе-
титом, как и вообще весь материал, который можно без
ущерба для дальнейшего опустить при первом чтении).
Полные результаты в непрерывных моделях, как правило,
и неизвестны; обычно приходится ограничиваться достаточ-
ными условиями *).
♦) Конечно, это не значит, что надо использовать только дис-
кретные модели: ведь любое сколько-нибудь осмысленное коли-
чественное понятие выразимо только на «непрерывном» языке.
ВВЕДЕНИЕ
23
Поэтому автор сосредоточил свое внимание на показе
основных свойств введенных понятий в рамках простой
модели перераспределения ресурсов, когда интуиции и
элементарной техники дифференциального исчисления
вполне достаточно для получения точных результатов,
и в то же время видны пути дальнейшего усовершенствова-
ния рассматриваемых конструкций.
Заключает главу параграф, посвященный дескриптив-
ному моделированию в области группового выбора. Как
упоминалось, соответствующая теория пока находится в
зачаточном состоянии. Мы приводим несколько примеров
процессов поведения, связанных с рассмотренными ранее
нормативными моделями.
Значительное количество материала содержится в за-
дачах и упражнениях к каждой главе. Некоторые из за-
дач являются формулировками известных, в основном
недавних результатов, решения других не известны.
ГЛАВА 1
ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Краткие сведения об авторе:
рост — 172
вес — 70
возраст — 31
итого — 273
По Ленгрену
§ 1. Виды оценок
1. Количественные показатели. О количественном вы-
ражении показателя (или предпочтения) обычно говорят
в том случае, когда его значения (оценки) имеет смысл
сравнивать—на сколько или во сколько раз одна оценка
больше другой.
На первый взгляд, это неформальное понятие кажет-
ся не слишком сложным, однако при более детальном рас-
смотрении возникает вопрос, о чем, собственно, идет речь,
когда утверждается: «имеет смысл сравнивать». Прежде,
чем пытаться на него ответить, рассмотрим пример.
Пусть имеется несколько автомобилей разных марок,
характеризуемых признаком «цена». Никто не усомнится в
том, что этот признак является количественным. Дейст-
вительно, если автомобиль марки а стоит 10 000 рублей,
то он вдвое дороже автомобиля марки Ь, имеющего стои-
мость 5000 рублей. Это соотношение цен не изменится,
если произвольно изменить масштаб: считать, скажем,
единицей измерения не рубль, а миллион рублей, хотя
цены в этих единицах будут уже 0,01 и 0,005. Таким обра-
зом, если признак «цена» выражается функцией / (а), то
функция kf (а) (где к — положительное постоянное число)
характеризует те же цены, только в другом, ^-кратно
измененном масштабе. Конечно, непосредственное срав-
нение цен, измеренных функциями / и kf (например, в руб-
лях и долларах) невозможно, сначала их нужно привести
к единому масштабу.
Всякое другое преобразование функции / (не умноже-
ние на положительную константу) приводит к изменению
цен автомобилей. Например, после возведения / в квад-
рат соотношение цен автомобилей марок а и b станет рав-
S 1, ВИДЫ[ОЦЕНОК
25
ным 4, а не 2, что равносильно двукратному повышению
цены марки а по сравнению с Ь.
Итак, допустимыми преобразованиями показателя «це-
на» являются умножения на положительную константу и
только они. Этот факт и определяет возможность сравне-
ния, во сколько раз / (а) больше / (Ь) (так как отношение
не зависит от к), а если масштаб измерения зафик-
сирован — то и на сколько / (а) больше / (&) (так как раз-
ность kf (а) — kf (t) может измениться только при изме-
нении к, ь к — фиксировано).
Такая переформулировка может показаться тавтоло-
гичной, поскольку класс допустимых преобразований, в
свою очередь, определяется возможностью изменения мас-
штаба. Однако это не совсем так, поскольку в терминах
допустимых преобразований можно просто формулировать
понятия, относящиеся как к количественным, так и неко-
личественным измерениям, понятие же масштаба опреде-
лено только для количественных измерений. Переход к
терминам допустимых преобразований удобен с термино-
логической точки зрения.
В общем случае будем называть функцию ф (х) до-
пустимым преобразованием признака / (а) (а ЕЕ -4), если
функция ф (/ (а)) (а GE А) задает тот же признак. Обычно
оценки / данного показателя определены вместе с множе-
ством всех допустимых преобразований Ф. В этом случае
говорят, что измерения произведены в шкале типа Ф.
В нашем примере Фо = {кх[к^> 0}; шкалу такого типа
называют обычно шкалой отношений. Это название
объясняется отмеченным выше свойством сохранения
отношений: 4^ = const независимо от к.
Часто встречается также случай измерений в шкале
типа Фи = {кх + Ъ | к^> 0}, называемой шкалой ин-
тервалов. Конкретное измерение в шкале интервалов
определяется фиксированием величин к и Z, определяю-
щих масштаб и начало отсчета. Например, признак «дата
выпуска» для автомобилей измеряется в интервальной
шкале, поскольку для измерения времени необходимо
фиксировать масштаб и начало отсчета. Грегорианский
и мусульманский календари — две конкретизации этой
шкалы.
26
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Утверждение об измерениях (или оценках) называется
осмысленным, если его истинность не изменится после при-
менения к оценкам любого допустимого преобразования.
Подчеркнем, что речь идет именно об осмысленности ут-
верждений, но не применения к измерениям числовых опе-
раций. Нельзя, например, дать однозначный ответ на
вопрос о возможности суммирования оценок в интерваль-
ной шкале. Все зависит от утверждения, в котором исполь-
зуется сложение. Например, не имеет смысла говорить, что
f (а) + / (6) / (с), поскольку допустимое преобразова-
ние оценок переводит утверждение в к (f (а) + / (&)) +
+ 21 kf (с) + I, т. е. / (а) + / (Ь) 4~/ (с), что для
одних к и I ложно, а для других — истинно. Другое де-
ло — сравнивать средние значения таких оценок. Дейст-
п т
вительно, смысл выражения 4-2 /W >^?2 /(fy) не
i=l 7=1
меняется после допустимого преобразования. Соотноше-
ние
n m
4- 2 w (<Ч)+1) > 4- 2 (к/ (ъ-) + о
ft . f/*
1=1 J=1
выполнено тогда и только тогда, когда
п т
i=l 7=1
т. е.
п т
•rS/(«<)> 2-S/(»,)•
2=1 7=1
Точно так же имеет смысл сравнение, во сколько раз одна
разность оценок превышает другую разность:
/ (д) — / (Ь) W(q) + 0-W(&) + 0
/(c) —/(tf) ~ W(c)4-Z)-(W) + 0 ‘
Этим свойством сохранения отношения интервалов объ“
ясняется название шкалы.
Чем же определяется выбор множества допустимых
преобразований Ф? Обычно выбор связан с возможностью
прогнозирования значений других параметров объектов,
связанных с данным показателем. Преобразование до-
$ 1. ВИДЫ ОЦЕНОК
27
пустимо, если оно не нарушает прогноза. В развитых фи-
зических теориях параметры, характеризующие объекты,
связаны формальными соотношениями, выражающими
эмпирические и теоретические законы. Допустимы любые
преобразования, не меняющие эти соотношения. Напри-
PV
мер, закон Клапейрона -у- = const, связывающий абсо-
лютную температуру 7*, объем V и давление Р данной
массы газа, инвариантен относительно преобразований
вида кх.
Точно так же цены, рассматриваемые в моделях экономи-
ки [66J, определены с точностью до постоянного множителя.
Чаще всего на практике количественные показатели
используются для прогноза значений параметров, соот-
ношения между которыми слишком очевидны, чтобы их
называть теоретическими. Например, пусть цена автомо-
биля а вдвое выше цены автомобиля Ь, но общая длина
пробега втрое больше; это значит, что каждый километр
пути на автомобиле а (при прочих равных условиях) в
полтора раза дешевле, чем на автомобиле Ь. Конечно, если
бы цена и длина пробега выражались не количественно,
например, известно было только, что а дороже, чем &,
но Ъ имеет меньшую длину пробега, то никаких оснований
делать вывод о выгодности того или иного автомобиля в рас-
чете на километр пути не было. При ином соотношении этих
показателей автомобиль а мог оказаться выгоднее Ь.
Если не известно, как данный показатель связан с дру-
гими, что очень типично, например, для психологических
показателей, класс допустимых преобразований можно
пытаться выяснять из анализа свойств эмпирических от-
ношений между объектами. Этот способ мы рассмотрим в
§ 4, при описании проблем количественного измерения
субъективных предпочтений.
2. Оценки в балльной и ранговой шкалах. В отличие
от количественных оценок, соответствующих, как правило,
объективным измерениям объективных показателей, балль-
ные оценки обычно характеризуют субъективные мнения.
Пример балльной оценки — общеизвестные школьные
отметки в пятибалльной шкале с градациями (оценками)
1, 2, 3, 4, 5. Каждому ученику выставляется одна из этих
оценок (по каждой учебной дисциплине). Экспертные
оценки часто производятся в балльных шкалах.
28
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Значения (градации) балльной шкалы представляют
собой ограниченный дискретный ряд чисел, отстоящих
друг от друга на одинаковом расстоянии. Обычно при экс-
пертных оценках в качестве значений шкалы берут на-
чальный отрезок натурального ряда или часть ряда целых
чисел, симметричную относительно нуля (0, ±1, ±2,...,
Полезно различать два вида балльных оценок.
В первом случае оценка производится по объективно-
му критерию, так что индивидуальные оценки являются
некоторыми флуктуациями реальных значений. Обычно
при этом имеются некоторые общепринятые эталоны, со-
ответствующие градациям шкалы, с которыми и сравни-
ваются рассматриваемые объекты. Чем более точно охарак-
теризованы и оценены возможные отклонения от эталонов,
тем меньше флуктуации в оценках, тем больше доверия
к ним. Таковы, например, правила оценки выступлений
конькобежцев-фигуристов или правила присвоения ква-
лификационных разрядов рабочим данной профессии.
Школьные отметки представляют собой пример оценок
по эталонам (и отклонениям от них), соответствие которых
знаниям формируется обычно бессознательно, на основе
личного опыта педагога, в том числе и от собственного
«ученического» стажа. Это объясняет тот факт, что оценки
знаний, даваемые различными педагогами, могут сильно
отличаться, и приводит к необходимости работы в области
явного описания соответствия оценок и знаний.
Знание эталонов позволяет установить соответствие
между значениями многих признаков, характеризующих
объект, и на основе этого прогнозировать значения дру-
гих признаков по балльным оценкам объектов. Например,
ученик, получивший 5 по геометрии, как правило, полу-
чает высокую оценку и по алгебре.
Вопрос о типе балльных шкал такого рода довольно
сложен. При некоторых условиях они могут рассматри-
ваться как количественные. Примеры такого рода условий
мы приведем в § 4.
В практических же ситуациях оценки, даже даваемые
одним и тем же экспертом, характеризуются большими
отклонениями. «Эта непоследовательность настолько вели-
ка, что, с нашей точки зрения, ее невозможно объяснить,
считая ошибки опознания аналогами ошибок в физических
$ 1. ВИДЫ ОЦЕНОК
29
измерениях. Стандартное отклонение ответа на частный
стимул иногда составляет 20%—40% среднего значения,
тогда как в физических измерениях ошибка меньше, даже
существенно меньше, около 1% от среднего... Эти наблю-
дения означают, что процесс может быть адекватно опи-
сан только с помощью вероятностной модели» [51, стр.
149—150J.
Балльная оценка второго вида производится, когда
не только нет общепринятых эталонов, но и сомнительно
даже наличие некоего единственного объективного кри-
терия, субъективными отражениями которого являются
оценки, так что бессмысленным является сам вопрос о ко-
личественном соотношении оценок. Таковы, например,
сравнения гастрономического вкуса разных блюд.
В этом случае часто оценки рассматриваются выполнен-
ными в так называемой ранговой или порядковой шкале.
Говорят, что измерение выполнено в порядковой (ранго-
вой) шкале, если множество допустимых преобразований
Ф состоит из всех монотонно возрастающих функций *).
Ранговые оценки имеет смысл сравнивать только по
отношению «больше — меньше»: оно сохраняется- при мо-
нотонных преобразованиях. Бессмысленно даже сравне-
ние длин интервалов между оценками. Например, если
/(а) = 10, /(Ь) =2, /(с) =1, то /(а)-/(6)=8>
> / (Ь) — / (с) =1. Но применение монотонно возрастаю-
щего преобразования ф, для которого ф (1) = 1, ф (2) =
= 20, ф (10) = 30, даст обратное отношение 10 =
= Ф (/ («)) - Ф (/ (&)) < Ф (/ (&)) - Ф (/ (с)) = 19.
Функция /, измеряющая субъективное предпочтение,
часто называется функцией полезности. Это название —
исторический реликт, оно сохранилось с тех времен, ког-
да считали, что кажому объекту присуща некоторая объ-
ективная полезность, которую и отражают субъективные
предпочтения. Конечно, эта «полезность» рассматривалась
как количественная величина (кардинальная полезность).
В дальнейшем, когда стала устанавливаться современ-
ная точка зрения (функция полезности лишь индикатор
субъективного поведения в том смысле, что реальному
поведению можно сопоставить такую функцию, которая
*) Функция ф называется монотонно возрастающей, если
Ф (х) > ф (у) *+ х > у.
30
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
как бы максимизируется действиями субъекта, т. е. лишь
описывает его предпочтения), возобладала противополож-
ная точка зрения: «полезность» можно измерить лишь
в порядковой шкале (ординальная полезность).
Действительно, если поведение субъекта можно объ-
яснить как максимизацию некоторой функции, то ясно,
что это поведение столь же хорошо объясняется любой
другой функцией полезности, полученной в результате
монотонно возрастающего преобразования первой. Имен-
но такой тип шкалы функций полезности рассматривается,
например, во многих моделях экономики [66J, [80J. Одна-
ко, со столь категорическим отрицанием кардинальной
полезности в теориях вряд ли можно согласиться. Напри-
мер, в теории матричных игр используются функции по-
лезности, измеренные в шкале интервалов. В связи с этим
фон Нейман и Моргенштерн доказали, что в том специфи-
ческом контексте, когда допустима частотная интерпрета-
ция вероятностного поведения, при не слишком ограничи-
тельных предположениях полезность теоретически может
рассматриваться как измеренная в шкале интервалов
(§ 4). •
Поскольку ранговые оценки имеют смысл только с точ-
ностью до упорядочения по величине, их можно давать
не только в числовых терминах, но в качестве градаций
использовать символы любого упорядоченного множест-
ва (алфавита). Это равносильно сопоставлению чисел,
чье упорядочение по величине совпадает с упорядочением
символов множества. Например, для оценки знаний в ву-
зе часто применяется множество двух градаций: «зачте-
но» (1), «не зачтено» (0). Аналогично, привлекатель-
ность пофессий может оцениваться в алфавите: «очень
нравится» (2), «нравится» (1), «не нравится» (—1), «очень
не нравится» (—2). В скобках рядом с «символами» рас-
положены возможные числовые значения.
3. Ранжирование. Под ранжированием понимается
представление объектов в виде последовательности в соот-
ветствии с убыванием их предпочтительности. При этом
допускается указание на равноценность некоторых рядом
расположенных объектов *).
*) В статистике бытует термин «связанные предпочтения»,
возникший как возможный перевод английского термина «Не»,
применяющегося для указания равноценности.
Ili. ВИДЫ.ОЦЕПОК
31
Например, пять вариантов производственной деятель-
ности предприятия один из экспертов может ранжировать
так: (2,1—3,4—5), что означает: вариант 2 самый предпоч-
тительный, за ним идут равноценные варианты 1 и 3, ва-
рианты 4 и 5 равноценны и самые плохие.
Ранжирование легко представить как оценку в ранговой
шкале: рангом объекта а (т. е. значением / (а)) можно счи-
тать номер места, которое он занимает в ранжировании
при обратной нумерации мест. При этом считается, что
равноценные объекты находятся на одном и том же месте.
В приведенном выше примере варианты 4 и 5 получают
ранг 1, варианты 1 и 3 — ранг 2, вариант 2 — ранг 3.
Упорядоченные места, на которых расположены объекты,
могут рассматриваться как символы упорядоченного мно-
жества значений ранговой шкалы.
4. Попарное сравнение. Этот способ оценки состоит в
указании более предпочтительного объекта в каждой паре
объектов (иногда разрешается также заявлять, что они
оба равноценны или несравнимы).
В [7] приведен следующий пример. Изучались гастро-
номические предпочтения собаки на совокупности шести
видов пищи. Каждое утро перед собакой выставляли два
вида пищи; считалось, что она отдает предпочтение тому
виду, с которого начинает свой завтрак.
Результаты всех пятнадцати (число сочетаний из 6
по 2) сравнений можно свести в следующую матрицу:
1 2 3 4 5 6
1 0 1 1 0 1 1
2 0 0 0 1 1 0
3 0 1 0 1 1 1
4 1 0 0 0 0 0
5 0 0 0 1 0 1
6 0 1 0 1 0 °/
Здесь единица на пересечении строки i и столбца / означа-
ет, что пища вида предпочтительнее пищи вида ctj (г,
7=1, . . ., 6). По условиям эксперимента здесь нет пар
(г, 7) с равноценными видами пищи, поскольку собака не
могла есть с двух тарелок сразу или предпочесть остаться
голодной.
32
ГЛ. I. ОПИСАНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Метод попарного сравнения применяется обычно, что-
бы выявить предпочтения экспертов «в чистом виде».
Считаетсяв что качественное сравнение двух объектов сде-
лать гораздо легче, чем выражать свои предпочтения в
балльной или ранговой шкале; этот метод оценки не навя-
зывает эксперту априорных условий, в отличие от других *).
Например, остальные перечисленные виды оценок тре-
буют транзитивности предпочтений: если а лучше 6, a b
лучше с, то и а лучше с. Попарное сравнение такой тран-
зитивности заранее не предполагает.
Результаты попарного сравнения удобно выражать в
виде бинарного отношения на множестве объектов А
как множества упорядоченных пар (а, Ъ) таких, что а
предпочтительнее Ъ. Как известно, бинарное отношение
на А — это подмножество Р S А X А, где А х А —
совокупность всех упорядоченных пар (а, 6), а, ЬееА.
В нашем случае Р, называемое отношением предпочтения,
определяется свойством: (а, Ь)еР тогда и только тогда,
когда а предочтительнее Ь.
Всякое отношение Р порождает следующее, вообще
говоря, многозначное (точечно-множественное) отображе-
ние Р {а} = {6 | (а, Ь) ЕЕ Р}. Множество Р {а} обычно
называется образом или срезом бинарного отношения Р
через элемент а. Конечно, верно и обратное: всяко-
му отображению F : А —> А соответствует отношение
{(а, Ь) | b G= F (а)}. В нашем случае Р <а> — это сово-
купность всех объектов, менее предпочтительных, чем а.
Иногда факт принадлежности (а, &) G Р будет обозначать-
ся аРЪ. В дальнейшем для краткости будем часто упоря-
доченную пару называть просто «пара».
К бинарным отношениям как к множествам примени-
мы любые теоретико-множественные операции, в частно-
сти, операции объединения (J, пересечения П, симмет-
рической разности Д, дополнения и т. д. Определение этих
операций содержится в сводке обозначений.
Имеются также специфические операции. Обозначим,
в частности, Р*1 = {(а, Ь) | (&, а) ЕЕ Р}. Соотношение
*) Иногда используется комбинация методов попарной и балль-
ной оценки. Эксперту предлагается баллами оценить интенсивность
своего предпочтения для каждой пары объектов. Мы рассмотрим
этот вид оценок в § 4.2.
§ 1. ВИДЫ ОЦЕНОК
33
(а, Ь) ЕЕ Р~г означает, что Ь предпочтительнее а, т. е. объект
а менее предпочтителен, чем Ь.
Очевидно, соотношение (а, Ь) ЕЕ Р (J Р~1 выражает тот
факт, что а и Ъ сравнимы по предпочтению (т. е. а предпоч-
тительнее Ъ или, наоборот, Ъ предпочтительнее а). Если
же (а, Ъ) Р [J Р”1, то а и & несравнимы. Но (а, Ъ)
Р U Р"1 означает, что (а, Ъ) G Р U Р"1, т. е. пара
(а, &) принадлежит дополнению отношения Р (J Р"1.
Это отношение Ip = Р (J Р-1 состоит, таким образом,
из тех пар (а, &), для которых ни один из объектов а и b
не предпочтительнее другого. Мы будем называть отноше-
ние 1р отношением неразличимости.
В реальных экспериментах по парному сравнению не-
которые объекты могут быть равноценными для субъекта,
а некоторые — несравнимыми. Особенно трудно сравни-
вать разнородные, служащие для разных целей, объекты.
Что лучше — быть бедным, но здоровым, или богатым, но
больным? — шуточная дилемма, достаточно хорошо ил-
люстрирующая природу затруднений. В том случае, если
а и Ъ равноценны, в Р можно включить и (а, Ъ) и (&, а).
Если же они не сравнимы, то (а, Ь) и (&, а) не принадлежат
Р и, значит, содержатся в 1Р.
Иногда рассматривают только такие пары (а, &), что
(а, Ь) ЕЕ Р, но (&, а) Р, т. е. а строго предпочтительнее
Ь. Ясно, что совокупность таких пар есть Р —Р’1. Это
отношение будем называть отношением строгого предпоч-
тения для Р и обозначать Р* = Р — Р”1. В том случае,
когда Р = Р* по условиям оценки, как например, опи-
санное выше отношение гастрономического предпочтения,
в отношение 1р входят пары как равноценных, так и не-
сравнимых объектов. Такая «обезличка» может оказаться
полезной для упрощения описания структуры отношения
Р (см. § 3).
5. Отношения предпочтения и анализ качественных дан-
ных. Перечисленные виды оценки предпочтительности *) —
количественные, балльные, ранговые, ранжирования и
попарные сравнения — имеют существенную общую
*) Как уже неоднократно упоминалось, под «оценками пред-
почтительности» могут пониматься любые признаки, относящиеся
к рассматриваемым объектам.
2 В. г. Миркин
34
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
черту. Все они задают бинарное отношение предпочтения Р
на множестве рассматриваемых объектов А. Попарные
сравнения образуют Р явным образом, а остальные че-
тыре вида *) порождают Р правилом: (a, b) GE Р
*->/(#)>/(&), если речь идет о строгом предпочтении,
или (а, Ь) ЕЕ Р ** / (л) > / (Ь) ♦♦), если предпочтение не-
строгое.
Такие отношения Р несут полную информацию об
оценках в ранговой шкале и попарных сравнениях. Ко-
нечно, количественные и балльные измерения содержат
существенно больше информации, чем порождаемые ими
отношения; зная Р, можно сказать, лучше ли а, чем Ь,
но нельзя сказать, во сколько раз. Тем не менее представля-
ет интерес и та информация, которая содержится в этих
отношениях.
Дело в том, что нередко выводы, делаемые на основе
числовых показателей, носят чисто качественный харак-
тер. Особенно это относится к социально-экономическим
системам, где часто конечной целью исследования являются
чисто качественные выводы, например, классификация
или ранжирование рассматриваемых объектов по сово-
купности данных.
Поэтому становится правомерным вопрос: может быть,
для получения таких выводов (в некоторых случаях)
достаточно только качественной информации об объек-
тах? Ведь такую информацию значительно легче получить,
чем числовую (не нужно громоздких приборов, а для мно-
гих специально-экономических показателей таких при-
боров, дающих числовые величины, и не существует).
Это же обеспечивает и большую надежность такой инфор-
мации, так как мы можем быть не уверены, что / (а) и
f (Ь) измерены точно, но имеется гарантия, что / (а) боль-
ше / (6). В частности, при небольших изменениях величин
/ (а) отношение Р остается прежним: качественная ин-
формация более устойчива, чем количественная. * **)
♦) Согласно разделу 3 ранжирование может рассматриваться
как оценка в ранговой шкале.
**) В том случае, когда предпочтительность убывает с увеличе-
нием / (как, например, если / — себестоимость продукции), так оп-
ределенное отношение является обратным (= Р-1) для отношения
предпочтения. С формальной точки зрения этот случай сводится к
предыдущему переходом к —/.
§ 1. ВИДЫ ОЦЕНОК
35
С другой стороны, для комплексного анализа данных,
например, для согласования индивидуальных оценок и
объективных показателей объектов, измеренных в разных
шкалах, необходим переход к одному типу данных, чис-
ловому или качественному. В настоящее время не раз-
работаны подходы к комплексному анализу данных без
такого перехода.
Обычно такой анализ осуществляется с помощью
сведения всех показателей к количественным за счет
произвольного сужения множества допустимых пре-
образований. При этом в качественные оценки привносит-
ся новая, искажающая информация. При наличии разви-
той техники анализа качественных данных можно ком-
плексную обработку информации проводить с помощью
сведения числовых показателей к качественному виду (на-
пример, переходя к соответствующим бинарным отноше-
ниям предпочтения). При этом часть информации теряет-
ся, что может иногда оказаться еще хуже, чем введение
дополнительной информации. Однако если выводы, по-
лученные на основе «количественной» обработки данных,
совпадут с выводами «качественной» обработки, то с боль-
шой долей уверенности можно утверждать, что они дейст-
вительно основаны на исходных данных, а не на методе
их извлечения.
Третий существенный аспект, побуждающий к изуче-
нию бинарных отношений предпочтения, порождаемых
различными видами оценок, связан с изучением челове-
ческих индивидуальных и групповых предпочтений. Как
уже упоминалось, результат попарного сравнения наибо-
лее точно отражает субъективное предпочтение, ибо на
выбор здесь налагаются меньшие ограничения, чем при дру-
гих видах оценки. Представляет интерес сравнение «тео-
ретического» класса попарных сравнений (отношений Р,
порождаемых оценками) и «реального» класса попарных
сравнений, возникающих в практических условиях. Что-
бы добиться возможно большего совпадения этих классов
сравнений, приходится теоретически учитывать, например,
эффекты, порождающие нетранзитивность отношений
предпочтения.
В следующих двух параграфах мы дадим описание
некоторых «теоретических» классов отношений предпоч-
тения.
2*
36
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
§ 2. Квазисерии
1. Основные определения. Прежде всего напомним ряд
определений, относящихся к бинарным отношениям и гра-
фам [7J, [18], [88].
Будем считать, что множество объектов А конечно, ес-
ли не оговорено противное. Множество всех упорядочен-
ных пар (a, b), a, Ъ Е А обозначается А х А. Аналогично
определяется n-я степень Ап = А х . . . X А — множе-
ство всех упорядоченных наборов (n-систем, кортежей)
вида (а1? . . ., ап), . . ., ап Е А. Всякое подмножест-
во Р £ Ап называется п-арным отношением. Для бинар-
ного отношения Р А2 = А х А принадлежность
(a, Ь)еР часто обозначается аРЬ', мы будем использовать
оба способа.
Бинарное отношение PczAxA будем называть реф-
лексивным, если (а, а) Е Р; антирефлексивным, если
(а, а) Р; симметричным, если (а, &) Е Р —> (b, а) Е Р;
антисимметричным, если (а, Ъ) Е Р и (Ъ, а) ЕЕ Р —> а =
— Ъ; асимметричным, если (а, b) Е Р —> (b, а) Р;
транзитивным, если (а, 6) Е Р и (6, с) Е Р-> (а, с) Е Р;
линейным, если (a, b) Е Р или (b, а) Е Р.
В этих определениях мы всюду опустили квантор общ-
ности, означающий, что утверждение должно иметь место
при любых значениях входящих в него переменных.
Будем и далее пользоваться этим довольно распространен-
ным правилом: если не описано, при каких значениях пе-
ременной, входящей в утверждение, оно справедливо,—
значит, подразумевается его истинность при любых зна-
чениях, допустимых для этой переменной.
Бинарное отношение часто изображается в виде графа:
объекты изображаются точками на плоскости и называют-
ся вершинами-, если (а, Ъ) Е Р, то проводится стрелка
из а в Ъ — дуга графа. Последовательность объектов
аг, а2, . . ., ап такая, что имеется дуга из at в (т. е.
(<2f, а^+1) Е Р для всех i = 1, . . ., п — 1) называется
путем. Путь аг, . . ., ап называется контуром, если
ai — ап- Путь а, а (т. е. дуга (а, а)) называется петлей.
Очевидно, антирефлексивным отношениям соответству-
ют графы без петелу & рефлексивным — с петлей при
каждой вершине. В графах симметричных отношений каж-
дая дуга имеет стрелки ?в обоих направлениях. Графы
§ 2. КВАЗИСЕРИИ
37
транзитивных отношений таковы, что если есть путь
ах, . . ., ап из в ап, то есть и дуга (ах, ап). В частности,
если такой граф содержит контур ах, . . ., an»x, то
он содержит и все дуги (az, а$) (г, / = 1, . . ., п — 1).
Граф линейного отношения — это граф, любые две вер-
шины которого соединены дугой.
Пусть теперь / (а) — оценка объектов а по некоторому
показателю. С функцией / ассоциируется отношение Р/,
состоящее из всех тех пар (а, &), для которых а лучше Ь:
(a, (b). (1)
Поскольку / (а) > / (а) невозможно, то отношение Pf
антирефлексивно:
(а, а) £ Pf. (2)
Очевидно также, что Pf транзитивно:
(a, ъ) е Pf И (ь, с) е Pf (а, ъ) е pf. (3)
Рассмотрим отношение неразличимости If = PfJPf1.
Очевидно, что
(a, b) е If ~ f (а) = / (6). (4)
Отсюда следует транзитивность отношения If.
[(a, b) е If и (&, с) е //] (а, с) е //. (5)
Кроме того, отношение If рефлексивно ((а, а) G= If) и
симметрично ((а, &) ЕЕ Л (6, a) ЕЕ If)- Транзитивные
симметричные рефлексивные отношения называются эк-
вивалентностями. Далее будет показано, что любая
эквивалентность I определяется формулой (4), т. е. I =
= If для некоторой /.
Антирефлексивное транзитивное отношение Р Q А х
X 4, для которого 1р = PIJP”1 — эквивалентность, на-
зывается квазисерией. Свойства (2), (3), (5), определяющие
квазисерию, полностью характеризуют отношения стро-
гого предпочтения, порождаемые числовыми оценками. Что-
бы убедиться в этом, исследуем теоретико-множествен-
ную структуру эквивалентностей и квазисерий.
2. Структура эквивалентностей. Пусть / с А х Л -
эквивалентность. Рассмотрим все попарно различающиеся
множества вида I(а} (а ЕЕ А). Обозначим их Д, 72,..., 1т.
Множества Ц (i = 1, . . ., т) непусты, так как а ЕЕ I (а>
38
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
ввиду рефлексивности. По той же причине они образуют
т
покрытие множества А, т. е. (J Ц = А. Покрытие
И = {Д, . . ., 1т} называется разбиением А, если состав-
ляющие его множества Z1? . . ., 1т попарно не пересе-
каются, т. е. при i ф / /jQZj- = ф. При этом множества
Л, • • Дп называются классами разбиения У. Покажем,
что в нашем случае # — разбиение. Для доказательства
этого достаточно убедиться, что
I <а> р/ <6> ф ф I <а> = I <Ь>. (6)
Пусть I (а) Р| Z <&> у= 0, т. е. найдется с Е А такое, что
(а, с) Е Z и (&, с) Е I. Покажем, что Z <а> cz I<Ь>.
Действительно, если d^I <а>, т. е. (a, d) Е Z, то и (с, й) Е Z
ввиду транзитивности Z, поскольку (с, а) Е Z. Тогда, по
транзитивности, (&, c)eZ и (с, й) Е Z—> (6, й) Е Z,
т. е. ЙЕ Z<6>, что и требовалось. Аналогично доказы-
вается обратное включение I <&> £ I <а>.
Значит, действительно, множества/1? . . ., Zm попар-
но не пересекаются и образуют разбиение множества 4.
По определению срезов I <а> (а Е 4), очевидно, что
Z= (J WxZ<a>.
аеА
Обозначим Jt — {а | I <а> = Zf}. Тогда ясно, что
т
I = (J JiXli- В силу (6) и рефлексивности Z, очевидно,
1=1
что Ц ~Ji- Поэтому
ш
I=UI(Xl(. (7)
1=1
Таким образом, эквивалентность I порождает разбиение
J = {Z1? . . ♦, Zm} множества 4 и представима с его по-
мощью в виде (7). С другой стороны, если задано произ-
вольное разбиение = {7?х, . . ., /?&}, то отношение
fc
Д=и Ri X Rt вида (7), очевидно, рефлексивно, симмет-
1=1
рично и транзитивно, т. е. является отношением эквива-
лентности. Более того, разбиение У, порождаемое экви-
валентностью Z?, совпадает, очевидно, с исходным раз-
биением
§ 2. КВАЗИСЕРИИ
39
Резюмируя сказанное, получаем следующую характе-
ристику теоретико-множественной структуры эквивалент-
ностей.
Теорема 1. Бинарное отношение I QAx А яв-
ляется эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно
представимо в виде (7)
m
1= U Л х Д,
г=1
где О — {Д, . . Zm} — разбиение множества А, так
что классы разбиения J суть несовпадающие срезы отно-
шения I.
Таким образом, мы выяснили, что между понятиями
«эквивалентность» и «разбиение» имеется довольно про-
стое соответствие, выражаемое формулой (7): эквивалент-
ны те и только те объекты, которые содержатся в одном
классе разбиения. В некоторых случаях удобен язык
эквивалентностей — он проще для математических вы-
кладок, так как эквивалентность задается одним множе-
ством, а не системой множеств, как разбиение. В других
случаях удобнее язык разбиений — он более нагляден.
3. Номинальная шкала. Пусть IQA х А ~ экви-
валентность и У ~ {Zi, . . ., 1т} — соответствующее раз-
биение. Сопоставим каждому объекту а ее А номер i
класса Ц, содержащего а. Очевидно, это соответствие оп-
ределяет однозначную функцию, определенную для всех
а Е A: f (а) = i, если а Е Ц.
Очевидно также, что
- (а, =/(&), (8)
так как (а, 6) Е Z <-> Z <а> =/<&>. Это значит, что
I = I/, если / определена указанным выше способом.
Таким образом, эквивалентности и только они опреде-
ляются формулой (8) для подходящей функции /.
Числовую функцию / в (8) можно рассматривать как
измерение, выполненное с точностью до произвольной
взаимно однозначной функции ср. Действительно, / (а) =
= /(&)<-* Ф (/ (а)) = ф (/ (&)), если ф — взаимно однозна-
чна. Значит, эквивалентность задает измерение объектов
в шкале типа Фн, где Фн — множество всех взаимно од-
нозначных функций, называемое обычно измерением в
номинальной (или классификационной) шкале.
40
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Измерение в номинальной шкале — самый слабый вид
измерения: указывается только, одинаковы или нет объ-
екты с точки зрения измеряемого признака.
Признаки, измеренные в номинальной шкале,— их
удобно называть классификационными или номинальны-
ми,— встречаются довольно часто. Таковы, например,
признаки-вопросы анкеты: «пол», «причина отъезда из
данного города» и т. д.
Отношения эквивалентности иногда возникают и на
первом этапе формирования субъективного предпочтения,
когда объекты группируются на «похожие» и «не похожие»
друг на друга.
4. Структура квазисерий. Убедимся прежде всего,
что если Р — квазисерия, то отношения Р, Р~\ 1р обра-
зуют разбиение множества А х А. Действительно,
ZpQP = Ip П Р-1 = ф по определению 1Р\ РПР"1 = ф,
ибо иначе нашлись бы а, b ЕЕ А такие, что {a, b) ЕЕ Р и
(Ь, а) ЕЕ Р, откуда, вследствие транзитивности, (а, а) ЕЕ
Е Р, а это противоречит антирефлексивности Р. Таким
образом, всякая пара (а, Ь) содержится либо только в Р,
либо только в Р-1, либо только в Zp=P(JP*'1.
Покажем теперь, что квазисерия Р обладает свойством
обобщенной транзитивности по отношению ZP:
[(a,6)eZp и (М)ЕР]->(а,с)еР, 1
[(М)еР и (6,с)Е/р]-^(а,с)ЕР. )
Действительно, пусть (а, 6) ЕЕ ZP и (&, с) ЕЕ Р. Покажем,
что (а, с) ЕЕ Р. Поскольку {Р, Р-1, Zp} — разбиение мно-
жества А х А, возможны еще два взаимоисключающих
случая: (а, с) ЕЕ Р-1 и (а, с) ЕЕ Zp. Рассмотрим их по от-
дельности. Пусть (а, с) ЕЕ Р-1, т. е. (с, а) ЕЕ Р. Тогда в
силу (Ь, с) ЕЕ Р и транзитивности Р (Ь, а)^Р, а это про-
тиворечит предположению {а, Ъ) ЕЕ Zp. Если же (а, с) ЕЕ Zp,
то, по транзитивности Zp, (Ь, с) ЕЕ 1Р, так как, по предпо-
ложению, (&, а) е Zp. Но это противоречит тому, что
(Ь, с) ЕЕ Р. Значит, верно, что (а, с) ЕЕ Р. Аналогично до-
казывается второе соотношение.
Докажем теперь, что срезы Р (а> квазисерии Р пол-
ностью характеризуют ее в следующем смысле:
{a, b)(=P^ Р {а) Р <6>, (10)
§ 2. КВАЗИСЕРИИ
41
т. е. если не все объекты, менее предпочтительные, чем а,
являются менее предпочтительными, чем &, то а лучше
Ь, и наоборот.
Действительно, если (a, 6) Е Р, т. е. b ее Р <а>, то
Р <а> Р <&), так как Ь & Р <&> из-за антирефлек-
сивности Р.
Обратно, если существует сеР <а> такой, что
С^Р <6>, ТО (а, с) Е Р и (6, с) Р. Если (&, с) G 1р,
так что (с, 6) Е Zp, то (а, Ь) Е Р ввиду (9). Если же
(&, с) Е Р”1, т. е. (с, Ь) Е Р, то (а, 6)еР в силу транзитив-
ности Р.
Из соотношения (10) следует противоположное утверж-
дение:
(а, Ь) ф Р <-> Р <а> Е Р <Ь>. (11)
Это дает характеристику отношения неразличимости.
Так как (а, b) Е 1р <-> (а, &) С£ Р и (Ь, а) Р, то в
силу (11)
(а, Ь) Е 1Р <-> Р <а> = Р <Ь>. (12)
Так как (а, Ь) ф Р (а, Ь) Е 1р или (Ь, а) Е Р, то (И)
и (12) приводят еще к одной характеристике Р:
(6, а) G Р Р <а> CZ Р <Ъ> *). (13)
Соотношение (12) показывает, что срезы Р (а) сов-
падают у тех и только тех объектов а Е Л, которые при-
надлежат одному и тому же классу разбиения J =
~ {/п . . ., Zm}, соответствующего эквивалентности 1р.
Если же объекты а и Ъ находятся в разных классах J.
(т. е. (а, &) ZP), то Р <а> Е Р <&>, либо Р <Ь> Q
С Р <а> (соответственно при (&, а) е Р и (а, b) е Р).
Это значит, что несовпадающие срезы Р <а> (а Е Л)
упорядочены теоретико-множественным отношением вклю-
чения.
До сих пор порядок классов разбиения Cf был произ-
m
вольным; отношение Ip = (J 1г х Ц остается неизменным
г=1
при любой их нумерации. Зафиксируем теперь нумерацию
Zx, . . ., Zm в соответствии с упорядочением срезов
Р (а> по включению так, чгобы для любых а} 'Е Ц
♦) Включение с строгое.
42
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
(i = 1, . . ., т) выполнялось
Р <at> CZ Р <а2> С ... СР <ат>- (14)
Теперь разбиение 3 стало упорядоченны м\ изменение
нумерации нарушит (14). Чтобы отличить упорядоченное
разбиение от неупорядоченного, будем обозначать его круг-
лыми скобками: (Д, . . ., /щ), оставив фигурные скобки
для неупорядоченного разбиения.
Из (14) в силу (13) получаем
(аь aj) (= Р «-> i > /. (15)
Значит, для at €= Ц множество менее предпочтительных
объектов Р состоит из всех объектов а;, содержа-
щихся в предыдущих классах разбиения (Z1? . . Zm):
P<at>= U4 (16)
В частности, Р <ах> = ф, Поскольку (16) имеет место
(г—1 \
U Л) S Р и, значит, Р =
= (А х Til U [/з х (А и А)1 U • • • U fAn х (Zi (J • • •
...(JAn-i)!, ввиду того, что множества А, А, Ап не
пересекаются. Структура квазисерий оказалась следую-
щей. Квазисерия задается упорядоченным разбиением
О = (А, . . ., 1т) множества Л, которое и определяет
порядок предпочтений. Объекты из класса с большим но-
мером предпочтительнее объектов из класса с меньшим
номером, а объекты «внутри» класса неразличимы.
Резюмируем доказанное.
Теорема 2. Бинарное отношение Р С А X А яв-
ляется квазисерией тогда и только тогда, когда оно пред-
ставимо в виде
т—1
Р = 1.и Л+1Х(Ли---иЛ), (17)
2=1
где (А, . . ., Zw) — упорядоченное разбиение множества
А, так что порядок предпочтений определяется нуме-
рацией классов в соответствии с (15). При этом отно-
шение неразличимости 1р соответствует разбиению
{Л,- •., Zw}.
§ 2. КВАЗИСЕРИИ
43
Сопоставим каждому объекту д Е Л номер i класса
Z/, содержащего a: f (а) = i а е Ц. Ввиду (15) Р —
== Pf. Это значит, что квазисерии (и только они) являются
отношениями строгого предпочтения, порождаемыми число-
выми функциями по формуле (1). Кроме того, поскольку от-
ношение Р не изменится, если в (1'5) монотонно изменить
величины i и /, то квазисерии полностью характеризуют
измерения в ранговой шкале.
Квазисерию Р, для которой отношение 1р является
отношением равенства, т. е. (a, b) е 1р —> а == 6, назы-
вают серией. Очевидно, серии характеризуются тем
свойством, что их классы Ц содержат ровно по одному
объекту.
Нетрудно заметить, что упорядоченное разбиение есть
не что иное, как ранжирование: равноценные элементы
образуют классы ZP Если все Ц содержат по одному объек-
ту (т. е. Р — серия) *), получается просто упорядочение
множества А.
Правда, ранжирование определяет обратный порядок
предпочтений, чем упорядоченное разбиение. Это затруд-
нение связано с условностью. Если вместо Р рассматри-
вать Р*1, то ему соответствует, очевидно, упорядоченное
разбиение (Zm, Im-lt . . ., Zt), определяющее тот же по-
рядок предпочтений, что и ранжирование. Таким образом,
попарные сравнения, характеризуемые числовыми оцен-
ками согласно (1), образуют довольно узкий класс отно-
шений, соответствующих ранжированиям.
5. Линейные квазипорядки. В предыдущих разделах
мы охарактеризовали отношения, порождаемые числовы-
ми отношениями—(равенство)—это «эквивалентности», и >
(больше) — это «квазисерии». В данном разделе охаракте-
ризуем отношения, соответствующие числовому отноше-
нию > (не меньше).
Ясно, что такие отношения имеют вид Р (J 1р, где
Р — квазисерия**). Действительно, если / задает Р, так
что Р = Р/, то (а, 6) G Р U 1р [(а, 6) G Р или
(а, b) <= Zp] ~ [/ (а) > / (6) или / (а) = / (Ь)] ~ /(а) > / (&).
♦) Будем называть такое разбиение строгим упорядочением
(ранж ированием).
*♦) Другими словами, это дополнения квазисерий, так как
P{JIp =
44
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Как определить, представимо ли данное отношение
R<=A X А в виде R = Р \J 1р, где Р — квазисерия?
Оказывается, такие отношения R характеризуются во
«внутренних» терминах отношений довольно просто.
Говорят, что отношение R — квазипорядок, если оно
рефлексивно и транзитивно. Отношение ДсЛхЛ назы-
вается линейным *), если любые два объекта сравнимы
по R:
(a, Ь} ЕЕ R или (b, а) е R. (18)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Отношение RQAxA представимо
в виде R = Р (J 1р, где Р — квазисерия, тогда и только
тогда, когда оно является линейным квазипорядком.
Доказательство. Пусть R — P\JIp, где Р —
квазисерия. Тогда R рефлексивно, так как (a, a) е 1р.
Линейность R вытекает из того, что если (a, b)t£ R, то
(a, b) ЕЕ Р"1 и значит, (a, b) ЕЕ Р"1. Установим теперь тран-
зитивность R. Пусть (а, Ь) ЕЕ R и (b, с) ЕЕ R. Возможны
четыре варианта:
(1) (а,Ь)ЕЕР и (Ь,с)ЕР,
(2) (а,Ь)ЕР и (Ъ,с)(=1Р,
(3) (а,Ь)е/Р и (Ь,с)ЕЕР,
(4) (а,Ь)^1Р и (b,c)EElp*
В случае (1) (а, с)еРв силу транзитивности Р; в случа-
ях (2) и (3) (а, с) ЕЕ Р ввиду обобщенной транзитивности
Р; в случае (4) (а, с) ЕЕ 1р в силу транзитивности 1Р.
Значит, в любом случае (а, с) GE R. Доказано, что R — ли-
нейный квазипорядок.
Пусть теперь R — линейный квазипорядок. Рассмот-
рим отношения Р = R — R"1 и I = R П Ясно,
что {Р, I, Р-1} разбиение множества А х А, так что I —
= 1р. Рефлексивность и симметричность I очевидны
по определению. Транзитивность I следует из того, что
оба отношения R и R"1 транзитивны. Значит, I = 1р —
эквивалентность.
Отношение Р = R — Р”1, очевидно, антирефлексивно.
*) Такие отношения называются также в литературе совершен-
ными или полными.
§ 2. КВАЗИСЕРИИ
45
Осталось доказать транзитивность Р. Пусть (a, b) е= Р
и (&, с) ее Р. Тогда (а, с) е= R в силу транзитивности R
и того, что PqR. Пусть (а, с) е Z, так что и (с, a) ее I.
Тогда (с, а)Е^и. так как (a,b)EER, то по транзитив-
ности R получаем (с, b) R- Это противоречит усло-
вию (&, с) Е -Р и определению Р. Теорема доказана.
Линейные квазипорядки, соответствующие сериям,
называются линейными порядками. Как и серии, линей-
ные порядки представляют строгие ранжирования. Оче-
видно, линейный квазипорядок является линейным поряд-
ком тогда и только тогда, когда он антисимметричен.
6. Представление непрерывных отношений. Часто приходится
рассматривать случай, когда А содержит бесконечное множество
объектов, являющееся подмножеством какого-либо функционально-
го или векторного пространства, например, если объекты характе-
ризуются в системе признаков, имеющих естественное непрерывное
представление, как, скажем, всевозможные распределения данной
совокупности ресурсов между несколькими экономическими прог-
раммами. Количество ресурса обычно рассматривается как непре-
рывная бесконечно делимая величина, что и обеспечивает конти-
нуальность множества распределений ресурсов.
Если А бесконечно, то, в отличие от конечного Л, не всякую
квазисерию можно представить как Pf для некоторой f. Примером
непредставимой квазисерии является отношение лексикографиче-
ского порядка. Это отношение часто используется для упорядоче-
ния объектов, характеризуемых несколькими показателями.
Сначала все показатели упорядочивают по степени «важности».
Объект а лексикографически предшествует объекту Ъ, если а пред-
почтительнее Ъ по самому «важному» показателю, независимо от
соотношения их по другим показателям. Если же а и Ъ неразличи-
мы по важнейшему показателю, то они сравниваются по показате-
лю, следующему по важности. Если и по нему неразличимы — то
по третьему показателю и т. д. Объекты неразличимы, если они
неразличимы по всем показателям.
Для случая, когда объекты характеризуются всего двумя по-
казателями, так что могут рассматриваться как точки (а?, у) дву-
мерного пространства, лексикографическое упорядочение^ опреде-
ляется высказыванием:
(#1, У1) > (#2, Уа) [#1 > #2 или Х1 = ^2, но Уг > Уз]- (19)
Несмотря на то, что отношение является квазисерией, оно
не представимо в смысле (1) единой функцией /.
Действительно, допустим, что такая функция / существует, т. е.
(^1, У1) (я2, Уг) У1) > / (#2, Уг)- Всякому х можно сопос-
тавить интервал вещественной оси 1Х = [/ (ж, ^), / (а?, у2)] при не-
которых фиксированных уъ у2 таких, что уг < у2. При а? =£ а/ ин-
тервалы Ixni.Ix, не пересекаются, так как если, например, х > х',
то / (%, У) > / (а/, У') при любых у, у', а значит, и / (а;, ух) >
46
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
f (х‘, у2). Следовательно, отображение х -» 1Х взаимно однозначно.
Но совокупность непересекающихся интервалов вещественной оси
имеет не более чем счетную мощность. Действительно, каждый
интервал 1Х содержит по крайней мере одно рациональное число,
а множество рациональных чисел счетно.
Таким образом, мы получили, что между счетным множеством
интервалов 1Х и континуальным множеством чисел х имеется вза-
имно однозначное соответствие, что, как известно, невозможно:
мощность континуума «больше» счетной мощности.
Чтобы выделить класс квазисерий Р, представимых в виде Р =
= Ру, введем следующее понятие. Пусть В С А и Р — квазисерия.
Множество В называется Р-плотным в Л, если для любых а, 6 е
ЕЕ А — В таких, что (а, Ь) ЕЕ Р, существует с & В такое, что
(а, с) S Р U 1р и (с, Ь) GE Р U 1р- Например, множество всех рацио-
нальных чисел плотно по отношению > в множестве вещественных
чисел.
Теорема 4. Для того чтобы квазисерия Р была предста-
вима в виде Р = Pf для некоторой числовой функции f (а) (а ЕЛ),
необходимо и достаточно, чтобы в А существовало P-плотное мно-
жество счетной мощности.
Доказательство этой теоремы мы опускаем [128]. Она редко
используется в приложениях, так как понятие Р-плотности не
всегда интерпретируемо. Естественно интерпретируемые условия
для представимости квазисерий, причем непрерывными функциями,
даны в [120], [66].
Пусть Л — топологическое пространство; тогда квазисерия Р
называется непрерывной, если Р — открытое множество в простран-
стве Л X Л. Интуитивный смысл непрерывности: если аРЪ, и объ-
ект а* «близок» к а, а Ъ' — к Ъ, то а'РЪ'.
Теорема Дебре ([120], [66]) утверждает, что если Л — связ-
ное топологическое пространство, содержащее счетное всюду плот-
ное множество, то непрерывная квазисерия представима (в смысле
(1)) непрерывной числовой функцией. Дальнейшие исследования это-
го вопроса показали, что топологические условия, налагаемые на
отношения, автоматически сужают их класс. В частности, в [192]
доказано, что в связном топологическом пространстве «асиммет-
ричная часть» Р = R — Т?-1 транзитивного отношения В является
квазисерией, если R замкнуто в Л X Л, а Р не пусто пооткрыто
в Л X Л; таким образом, «непрерывность» отношений R и Р =
= R — R"1 гарантирует, что I = R П R-1 (—Ip = Р U Р1) —
эквивалентность.
§ 3. Нетранзитивность отношения неразличимости
1. Причины нетранзитивности. В предыдущем парагра
фе выяснено, что все рассмотренные виды оценок, кроме
попарных сравнений, приводят к весьма узкому классу
отношений: и строгие предпочтения, и неразличимость
должны быть транзитивны. Между тем на практике нетран-
§ 3. НЕТРАНЗИТИВНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ 47
зитивность в попарных сравнениях встречается довольно
часто как в отношении строгого предпочтения, так и в от-
ношении неразличимости.
Основной, если так можно выразиться, поставщик не-
транзитивности в отношении строгого предпочтения,—
это переход с оценки объектов по одному признаку к оцен-
ке по другому. Пусть, например, некто выбирает костюм;
перед ним три образца: а, Ь и с. Костюм а лучше 6, так как
сшит из более красивого и добротного материала. В свою
очередь b имеет более современный фасон, чем с. Но с
лучше «сидит», чем а. Если имеется информация только
об этом «треугольнике»: аРЬ, ЪРс и сРа, то предсказать,
какой костюм будет выбран — невозможно.
Однако, если сравнение костюмов проводится не как
простое времяпрепровождение, но с целью покупки, ибо
«нечего носить», то человек все-таки ранжирует образцы
по некоторому наиболее важному признаку. Например,
по цене, если денег мало, или, если денежные средства
не лимитируют, человек «соизмеряет», насколько упомя-
нутые три признака (конечно, включаются в рассмотре-
ние и другие) отличаются у разных образцов, уточняет
свои желания и производит оценку по некоторому агреги-
рованному, явно не выраженному признаку, учитываю-
щему «значимость» явных признаков с точки зрения же-
ланий индивидуума.
Вообще, нетранзитивность в предпочтениях характерна
для суждений об объектах, к которым оценивающий су-
бьект довольно безразличен. Наоборот, если выбор зат-
рагивает интересы субъекта, так что ему приходится уточ-
нять свою точку зрения,— превалирует транзитивность
в предпочтениях. Обзор некоторых подтверждающих
эту мысль исследований содержится в [14].
Поэтому, возможно, не всегда следует считать «наси-
лием» над материалом, если эксперты вынуждены давать
оценку не методом попарного сравнения, а другим — бал-
льным или ранговым. Просто при этом экспертам прихо-
дится уточнять свою позицию, становиться менее безразлич-
ными к оцениваемым объектам.
Далее мы не будем рассматривать случай, когда отно-
шение строгого предпочтения нетранзитивно, зато де-
тально исследуем нетранзитивность отношения нераз-
личимости.
48
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Нетранзитивность отношения неразличимости (при
транзитивном строгом предпочтении) может быть связана
с двумя обстоятельствами.
Во-первых, нетранзитивность эта появляется, если
оценка производится одновременно по нескольким при-
знакам. Пусть, например, имеются два числовых призна-
ка, так что всякий объект характеризуется парой чисел
(х, у). При этом (ж1? уг) Р (х2, у2) > я2 и zh > z/2.
Тогда, если а = (0, 10), Ъ = (10, 0), с = (5,15), то alb,
Ыс, хотя сРа.
Вторая причина нетранзитивности— наличие порога
различения при оценке. В числовых показателях этот
порог выражается как погрешность измерения. При из-
мерении с погрешностью может Случиться, что хотя а
лучше Ь, Ъ лучше с, но разница эта лежит в пределах по-
грешности измерения, так что по оценкам выходит alb
и Ыс. Однако из-за накопления погрешности может ока-
заться, что а лучше с и по оценке. Например, при измере-
нии роста с погрешностью в полтора сантиметра нераз-
личимыми являются 170 и 171, 171 и 172. Но 172 боль-
ше 170 даже с учетом погрешности. Классический пример
такой ситуации досталяет известный «софизм кучи зерна»
[11J. Если из кучи примерно одинаковых зерен вынуть од-
но, она останется кучей. Однако если эту операцию пов-
торить достаточно много раз — ничего не останется. Обо-
значим через ап кучу, состоящую из п зерен. Тогда, оче-
видно, anla^i, если сравнение производится визуально.
Так мы получим ^юооо ^9999? ^9999-^9998 ? • • •» ^1001^1000»
но, конечно, oooo-^^iооо*
Таким образом, расплывчатость многих понятий обыч-
ного языка (нет границы, отделяющей «кучу» от «не кучи»)
связана с порогом различения. Если в качестве равенства
использовать отношение неразличимости, т. е. равенство
с точностью до погрешности, то оказывается неверным
принцип математической индукции. Действительно, если
^юооо-п — куча, то и ^юоооЧп+i) куча; ^юооо кУча>
основные условия, при которых применим обычный прин-
цип математической индукции — выполнены. Однако при
достаточно большом п а10000-п не является кучей.
Таким образом, исследование отношений Р и 1р,
порождаемых измерениями с погрешностью, представляет
интерес не только с точки зрения расширения класса по-
§ 3. НЕТРАНЗИТИВНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ 49
парных сравнений, представимых числовыми функциями,
но и с точки зрения общих проблем, связанных с более
адекватным описанием физической реальности на языке
математики.
Следующие два раздела будут посвящены исследова-
нию так порождаемых отношений Р и 1Р\ последний — не-
транзитивности I, возникающей при сравнении объектов
по многим признакам.
2. Квазилинейные отношения. Пусть Р Е А х А —
антирефлексивное отношение, заданное на конечном мно-
жестве Л. Пусть / (а) (а Е Л) — числовой показатель,
а 6 (а) 0 — погрешность его измерения. Погрешности
6 (а), вообще говоря, различны для разных а, как это ча-
сто бывает при субъективной оценке.
Будем говорить, что отношение Р Е А х А представ-
лено функцией / с погрешностью 6, если •
[(а,6)еРН[/(а)-«(а)>/(6)+«(Ь)]. (1)
Неравенство справа означает, что / (а) больше / (6) даже
при учете погрешности. Очевидно, что
(a, b) Е 1Р <-> | / (а) - / (Ь) I < 6 (а) + 6 (6).
Отношения Р и 1Р просто выражаются в терминах интер-
валов g (а) = (/ (а) — S (а), / (а) + S (а)) *), задающих
результаты измерения объектов а ЕЕ А. Очевидно,
(а, Ъ) Е Р, если g (а) > g(&), т. е. на числовой оси интервал
g (а) целиком лежит правее интервала g (&), и (а, Ъ) Е /р,
если g (а) П g (b) ф ф.
Мы покажем, что такие антирефлексивные отношения
Р полностью характеризуются свойством
Р Р или Р <&> Е Р (а>. (2)
Свойство (2) выражает тот факт, что все срезы Р <а>
упорядочены по включению, как и для квазисерий.
Отношения, удовлетворяющие условию (2), будем
называть квазилинейными, поскольку (2) аналогично свой-
ству (2.18) {линейности отношений, только в качестве
объектов выступают множества вида Р (а> (а Е А),
*) Эти интервалы удобно считать открытыми, так что концы не
включены в интервал.
50
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
а в качестве отношения R — теоретико-множественное
включение.
Прежде всего выясним структуру квазилинейного
отношения. Пусть среди множеств Р <а> ровно т
штук различных. Из условия (2) следует, что их можно
упорядочить по включению, т. е. найдутся такие а0,
61^, • • ., CL-m—J., ЧТО
Р <а0> CZ Р <Oi> С • • • С Р (3)
Обозначим Ц = {а | Р <а> = Р <аг>} (i = 0, 1, . . .
..т — 1). Совокупность J = (70, Д, . . Z^), оче-
видно, является разбиением множества А.
Обозначим
Р <а}> — Р (у = 1, . . т — 1). (4)
Очевидно, множества Jj (j — 1, . . ., т — 1) непусты,
так как в (3) включение строгое. Обозначим Jm =
т—1
= Л (J Jj = А — Р Если Р антирефлексивно, то
j=i
Jm фф, так как ат^ Р <ат.х> и, следовательно,
^т-1 *Лп*
Таким образом, = (Л, . . /т) — тоже разбие-
ние множества А. Ввиду (3) разбиения J и — упоря-
доченные.
Рассмотрим объединения всех левых и всех правых
частей в (4) по j = 1, 2, . . ., i. Получим
г
U Ji = (P<ai>-P<ai.1»U
U (р <^i> ” Р <<Ч-2» U • • • U (Р <Я1> “ Р «*о»-
Поскольку имеют место включения (3), многие члены в
правой части этого равенства взаимно уничтожаются, и в
результате получается
и Jy = P<ai>-P<a0>.
7=1
Множество Р <а0> пусто, так как если a€=P<a0>, то
Р <a> CZ Р <а0> (поскольку а Р <а», что противоречит
§ 3. НЕТРАНЗИТИВНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ 51
минимальности Р (а0>. Значит,
Р <<Ч> = U А (аг Л, i = 1, . . . , 7П — 1),
г=1
Р (До) = 0 (йо ЕЕ lob
(5)
Равенства (5) позволяют выразить отношение строгого пред-
почтения через упорядоченные разбиения # и Дейст-
вительно, в силу (5)
Р = U {а}хР<а> =
а&А
т—1 т-i г
= и и ({«} X Р<а» = и и ({«} X и Ji)-
г=0 г==1 а^1,1
Но
U ({а} х U Ji) = ( U w) х(и = А X U Jy
а&Ц ' ;=1 ' Хае1г ' V=1 7
Поэтому
ш-1 / г \
Р= U (6)
1=1 ' 7=1 '
При этом, ввиду антирефлексивности Р,
А П (U J^) ~ Ф*
\j=i /
Значит, Ц включено в объединение остальных классов
разбиения
171
As U Ji- (7)
j=i+l
Формулы (6) и (7) полностью определяют квазилинейные
отношения строгого предпочтения в следующем смысле.
Пусть даны два упорядоченных разбиения множества
А с одинаковым числом классов, а = {Ло, . . ., Лт_х}
и р — {Вх, . . ., Вт}, для которых выполнено условие
(7) (с заменой Д- на Л^, a Jj на В}). Образуем бинарное от-
ношение Р, полагая для всех a^At (i = 1, . . тп —
i
— 1) Р <а> — (J В3, а для а е Р <а> = ф (или, что
>=!
то же самое, определим Р формулой (6), в которой Ц
заменены на Ait a Jj на Р7). Очевидно, что это отношение
52
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
антирефлексивно (ввиду (7)) и квазилинейно (по определе-
нию Р <а», а порождаемые им разбиения J и 2А совпа-
дают сайр соответственно.
Мы доказали, таким образом, следующее утверждение.
Теорема 1. Антирефлексивное отношение Р CZ
GZ А х А квазилинейно тогда и только тогда, когда су-
ществуют однозначно определенные упорядоченные раз-
биения J и ' множества А, для которых выполнены
соотношения (6) и (7).
Эта теорема полностью выясняет структуру квазили-
нейных отношений строгого предпочтения. В частности, при
J — получаются квазисерии. Покажем теперь, что это
те отношения, которые нас интересуют.
Теорема 2. Антирефлексивное отношение
Р (Z А X А представимо числовой функцией с погрешно-
стью тогда и только тогда, когда оно квазилинейно.
Доказательство. Как уже отмечалось, отно-
шение / (а) — S (а) >> / (6) + S (&) эквивалентно отноше-
нию: интервал g (а) = (f (а) — 8 (а). / (а) + 6 (а)) рас-
положен на числовой оси правее интервала g (b) = (f (&) —
— 6 (&), / (&) + 6 (&)). Ясно, что отношение g (а) g (&)
антирефлексивно. С другой стороны, P<g(a)> в этом
случае — это множество всех интервалов g (с), располо-
женных левее интервала g(a). Ввиду одномерности число-
вой прямой такие множества упорядочены по включению,
и, следовательно, отношение g (а) g (6) квазилинейно.
Докажем теперь обратное утверждение: если антиреф-
лексивное Р квазилинейно, то оно представимо отношени-
ем > на множестве интервалов.
Рассмотрим произвольный объект а ЕЕ А. Поскольку
J и — разбиения, найдутся такие i и /, что а Ц
и ае /у. Ввиду (7) очевидно, что i < /. Поэтому можно
определить интервал g (а) = (i. j). Этот интервал опреде-
ляется однозначно для любого а ЕЕ А. так как J и^ -
разбиения. Покажем, что (a. b) ЕЕ Р g (л) > g (&).
Это и есть утверждение теоремы.
Пусть (а, 6)Е Ри а е= Л (г = 0, . . ., т — 1). Тог-
да Ъ ЕЕ Р (а} = \JJj по формуле (6). Значит, b Ei Jk
У—i
для некоторого k i. Правый конец к интервала g (&)
расположен слева от левого конца i интервала g(a).
так что g (a)>g (Ь).
§ 3. НЕТРАНЗИТИВНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ 53
Пусть теперь g(^)^>g(6). Значит, левый конец i
интервала g (а) расположен справа от правого конца к
интервала g (b): i^k. По определению g а^Ц и
г
Ъ е /&. Так как к г, то Jk cz J Jj = P (a>, а значит, и
i=i
6eP<0>, т. e. (a, &) ЕЕ P. Теорема доказана.
Итак, свойство (2) квазилинейности полностью харак-
теризует отношения строгого предпочтения, возникаю-
щие при измерениях с погрешностью. Все остальные свой-
ства интервального отношения вытекают из (2).
3. Интервальные эквивалентности. Интервальной экви-
валентностью будем называть отношение неразличимости
Ip для квазилинейного отношения строгого предпочтения Р.
Структуру интервальных эквивалентностей удобно опи-
сывать в терминах матриц смежности. Если А состоит из
N перенумерованных объектов, то матрица смежности для
отношения I — это квадратная N X N матрица Mr =
= || Hi* с нулевыми или единичными элементами
определяемыми условием тц = 1 <-» (аь а£ ЕЕ Z.
Ясно, что матрица смежности симметричного отноше-
ния симметрична, а матрица смежности рефлексивного
отношения имеет единичную главную диагональ: тц = 1
(i = 1, . . ., N).
Симметричную матрицу смежности с единичной диа-
гональю будем называть квазидиагональнощ если выпол-
нено следующее условие:
mt} > mij+1 (i = 1, . . N; j i): (8)
В каждой строке матриц Mj, удовлетворяющих (8),
единицы расположены вправо от диагонального элемента
подряд, пока не сменятся нулями. Вот пример квази-
диагональной матрицы М:
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
1 1
1 1
О 1
4 0 1
5 0 1
6 о о
7 |0 0
0 0 0 0 0
1110 0
110 0 0
11111
0 110 0
0 10 11
0 10 11;
54
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Если I — интервальная эквивалентность, то Mj *ква-
зидиагональна (при условии, что нумерация объектов а
соответствует порядку правых концов интервалов g (а)).
Верно и обратное утверждение: если Mi квазидиаго-
нальна, то I интервальная эквивалентность. Действитель-
но, со всякой строкой i (т. е. объектом аг е 4) квазидиа-
гональной матрицы можно связать интервал = (г, щ + 1),
где щ — номер последнего столбца, содержащего
1 в строке i (так что mini = 1, но = 0). Пусть i <
< /. Ясно, что gi р| gj ф ф тогда и только тогда, когда
2 4
Рис. 1.
/ <; Но в этом случае тц = 1. Значит, матрица Mi
является матрицей отношения пересекаемости интервалов
gi (i = 1, . . ., TV), которое является интервальной экви-
валентностью.
Итак, матрица Mi является квазидиагональной (при
подходящей нумерации объектов) тогда и только тогда,
когда I — интервальная эквивалентность.
В нашем примере система интервалов gt (г ~ 1, . . ., 7)
имеет вид, изображенный на рис. 1.
4. Отношения предпочтения и неразличимости по не-
скольким показателям. Пусть объекты а ЕЕ А характери-
зуются п показателями Д (а), . . ., fn (а). Будем считать,
что
aRb ~ (А (а), . . fn (а)) (Д (&), . . fn (0) ~
(а) > fi (*) (i = 1, • • n).
Какова структура отношений RQA X А, задаваемых
подобным образом векторным отношением
Для ответа на этот вопрос обозначим через R1 линей-
ный квазипорядок, порождаемый показателем
(a, b^R^ft (а) > ft (b).
Тогда
R = R1 П R2 П • • • А Ип- (9)
§ 3. НЕТРАНЗИТИВНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ 55
Действительно, (a, b)E [Д (а) Д (6) и /2 (а) >
> h (&) и . . ./п (а) > /п (&)] «-> [(а, Ь) G R1 и (а, Ъ) е Я2
и . . . (а, Ь) е яп] (a, b) £ R1 П Я2П • • • П R"- Об-
ратно, пересечение произвольных линейных квазипоряд-
ков представимо векторным отношением >, а именно, для
векторов показателей, соответствующих этим квазипо-
рядкам.
Таким образом, отношение R может быть задано век-
торным отношением в n-мерном пространстве тогда и
только тогда, когда оно является пересечением п линейных
квазипорядков.
Очевидно, что если R выражается в виде пересечения
линейных квазипорядков, оно является квазипорядком:
и рефлексивность, и транзитивность при пересечении
сохраняются.
На самом деле имеет место и обратное утверждение:
всякий квазипорядок R представим в виде (9).
Для доказательства этого покажем сначала, как попол-
нить данный квазипорядок R до линейного квазипорядка.
Пусть, например, (а, &) е= /я, т. е. (а, й и (Ь, а) R.
Определим новое отношение R', включающее R и пару
(а, д), с помощью условия:
если
если а^й<с>.
а ЕЕ R <а>. Отношение
(Я<е>иЖ&>,
R |я<с>,
Очевидно, (а, b) ЕЕ: R', так как
R' рефлексивно, так как рефлексивно R. Покажем, что
R' транзитивно. Пусть (х,у) ЕЙ' и (у, z) ЕЕ R'. Так
как у ЕЕ R' (#>, то либо 1/ей<#>, либо у R {by
(если а Е й {хУ). Точно так же z может содержаться в
R {уУ или в R {by (если а ЕЕ й <у». Рассмотрим воз-
никающие четыре случая.
1) Если (я, у) ЕЕ й и (i/, z) ЕЕ й, то (х, z) ЕЕ R по тран-
зитивности й, и тем более (х, z) ЕЕ й'.
2) Если (&, у) ЕЕ й (причем (х, а) ЕЕ й) и (у, z) ЕЕ й,
то по транзитивности получим (6, z) ЕЕ й, так чти
zе й<6>; но й <&> се R’ <х>, поскольку ае й <я>; значит,
ZE й' <.г>, т. е. (я, z) ЕЕ й'.
3) Если (х, у) GE R и (&, z) е й (причем (у, а) е й),
то по транзитивности й получим (х, а) ЕЕ й, т. е.
а СЕ й {ху, значит, ZE й' {хУ по определению й', так
что (х, z) R'.
56
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
4) Если (Ь, у) е R (причем (х, а) R) и (&, z) е R
(причем (у, а) ее R), то по транзитивности R (Ь, у) ЕЕ R
и (г/, a) S R (Ь, а) ё= R, что невозможно по предполо-
жению.
Таким образом, R' — квазипорядок, причем (&, а) R'.
Теперь, принимая R' в качестве исходного квазипорядка,
можно пополнить его новой парой (с, d) €= IR' и т. д.
до тех пор, пока не останется несравнимых объектов. По-
лученное отношение будет линейным, причем останется
квазипорядком.
Остается заметить, что присоединение пар можно было
проводить в обратной ориентации, вместо (а, Ь) присоеди-
нить к R пару (Ь, а) и получить квазипорядок R', не содер-
жащий (а, &).
Отсюда следует, что квазипорядок R является пересе-
чением всех содержащих его линейных квазипорядков.
Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Отношение REA X А может быть
задано векторным отношением тогда и только тогда,
когда оно является квазипорядком.
Простая характеристика квазипорядков, представи-
мых отношением ровно для п показателей, автору не-
известна.
Возникает вопрос об описании отношений неразличимости Z,
представимых в виде IR для какого-либо’квазипо рядка R. На пер-
вый взгляд кажется, что любое симметричное отношение представи-
мо подобным образом. Однако это не так.
Для того чтобы дать характеристику отношений IR, где R —
квазипорядок, нам придется] привлечь один результат Гилмора и
Гоффмана [137] (см. также [37], § 31].
Этот результат относится к исследованию возможности тран-
зитивной ориентации графов. В нашей терминологии соответствую-
щее понятие формулируется следующим образом. Симметричное от-
ношение /САХА будем называть транзитивно ориентиру-
емым, если существует транзитивное отношение R такое, что R [J
(J JR’1 — J. Грубо говоря, R получается из J, если «ориентировать»
направления между объектами, оставляя из каждых двух пар (а, Ь),
{Ь, а) в J одну или обе. Теорема Гилмора — Гоффмана утверж-
дает, что J транзитивно ориентируемо в том и только в том случае,
когда для любой последовательности а0, ах, ..., а2п, такой, что
среди пар (а^ а^) (i = 0, 1, ..., 2п) нет одинаковых*), выполнено
*) При индексах к, превосходящих 2п, берется индекс, по-
лучающийся как остаток от деления к на 2п (например, вместо
2п + 1 нужно брать 1, вместо 2п + 2 — брать 2, и т. п.).
§ 3. НЕТРАНЗИТИВНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ 57
условие
(«о» а1) €= / и («1, а2) (Е J и ... и (а2п> «о) €= J (аь ai+z) £= J
для некоторого i < 2п. (10)
Другими словами, всякий контур нечетной длины в графе J должен
иметь триангулятор — ребро, являющееся основанием треуголь-
ника, две другие стороны которого принадлежат контуру (см. тео-
ремы 1 и 3 в § 31 из [37]).
Очевидно, антирефлексивное симметричное отношение I явля-
ется отношением неразличимости для квазипорядка тогда и только
тогда, когда его дополнение I тран-
зитивно ориентируемо.
Действительно, если R транзи-
тивно, причем R U R'1 — I, то R
рефлексивно, так как I рефлексив- s' х.
но. С другой стороны, (a, Ь) ЕЕ 7Д C\s
[(а, Ъ) & R и (а, Ь) <-> (а, Ъ) ф
Z (а, &) ЕЕ Z, так что 7 = IR. Ос- \ /
тается только переформулировать \ /
теорему Гилмора — Гоффмана о тран- \ /
зитивной ориентируемости 7 в тер- \4 W
минах 7. Это легко сделать перехо- j---------
дом от формулы (10), имеющей вид Ч-/
и v, к противоположной «не и -> по
не и», имеющей тот же смысл. В ре- Рис-
зультате получается следующее ут-
верждение.
Теорема 4. Антирефлексивное симметричное отношение 1
является отношением неразличимости некоторого квазипорядка
тогда и только тогда, когда для любой нечетной последовательности
объектов aQ, а±, ..., а2П такой, что среди пар (а^ а^) (i = 0, ...
..., 2п) нет совпадающих, выполнено условие
(V/, 0 i 2п) aiIai+2 -> (3/, 0 < 2п): ajlaj^.
Приведем пример отношения I, не являющегося отношением нераз-
личимости для квазипорядка, с помощью матрицы смежности
0 12 3 4
0/001 1 0\
1 / 0 0 0 1 1 \
21 1 0 0 0 1 I .
31110001
4 \0 1 1 0 0/
Это отношение I изображается на графе в виде обычной пяти-
конечной звезды, а дополнительное к нему отношение I — в виде
пятиугольника. Любопытно, что в данном случае эти отношения изо-
морфны (с точностью до рефлексивных пар вида (а, а)), т. е. отно-
шение I переходит в 7 при замене номеров 1 на 2, 2 на 4, 4 на 3,3 на 1.
Граф отношения 7 изображен на рис. 2. Предоставляем читате-
лю убедиться, что он транзитивно пе ориентируем.
58
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
§ 4. Кардинальные предпочтения
1. Тип шкалы как свойство системы с отношениями.
В том случае, когда у нас нет сведений о связях измеряе-
мого показателя с другими показателями объектов, вы-
яснить тип шкалы можно с помощью изучения эмпири-
ческих отношений между объектами, соответствующих
данному показателю.
Например, если предпочтения данного субъекта опи-
сываются квазисерией, то им соответствует измерение
в ранговой шкале (см. раздел 2.4).
Пусть, в общем случае, данному показателю соответ-
ствуют отношения Rk (к ЕЕ К) на множестве А. Эти отно-
шения — не обязательно бинарные. Например, при из-
мерении предпочтения R может состоять из тех и только
тех упорядоченных четверок (а, Ь, с, d), для которых
а более предпочтительно по сравнению с &, чем с по срав-
нению с d. В этом случае RczAxAxAxA = А4.
Будем считать, что Rk ez А™к (тк 0) *). Система А =
= (A, Rk (к ее К)) называется системой с отношениями,
а совокупность mk (к €= К) сигнатурой этой системы.
Пусть С — множество вещественных чисел, a pft(&EE
ЕЕ К) — числовые отношения, причем сигнатура системы
С — (С, рк (к €= К)) совпадает с сигнатурой системы А.
Тогда измерение е системе С — это функция / : А -> С,
сохраняющая отношения Rk (к ее К):
(Я1, • • •, amk) е Л* — (/ (ах),..., / (ат)с)) ер" (к е К). (1)
Если / (а) (а ЕЕ А) — измерение в системе С, то функ-
ция ф : С -> С является допустимым преобразованием
тогда и только тогда, когда ф (/ (а)) (д Е Л) - тоже из-
мерение в системе С. В этом случае совокупность допусти-
мых преобразований Ф, характеризующая тип шкалы,
определяется только системами А и С. \
Например, если А = (А, Р), где Р — квазисерия\
и С = (С, », то по (1) измерение в системе С — это такая
функция /, что (а, Ь) ЕЕ Р «-> / (а) > / (Ь) (сравнить с (2.1)),
*) А° обычно рассматривается как произвольно выделенный,
но фиксированный элемент А.
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
59
и класс допустимых преобразований Ф состоит из всех
монотонно возрастающих функций.
Можно спросить, как мы догадались в качестве число-
вого отношения взять именно отношение «больше, чем»,
а не какое-либо другое. Действительно, проблема отбора
отношений рк в систему С никак не отражена в приведен-
ных формулировках и остается уделом интуиции. Впро-
чем, положение облегчается тем, что «эмпирические»
отношения Rk обычно описываются в таких терминах,
которые приводят к более или менее однозначному выбору
рк. Например, отношению «а строго предпочтительнее,
чем Ь» соответствует числовое отношение «/ (а) > f (&)»,
отношению «а более предпочтительно по сравнению с 6,
чем с по сравнению с d» — отношение «/ (а) — / (Ь) >
> / (с) — / (d)» и т. д.
Информация о разностях между измерениями, содер-
жащаяся в этом последнем (четырехместном) отношении,
резко сужает класс допустимых преобразований — не-
редко до класса Фи положительных линейных преобразо-
ваний ф (х) = 1х + к (Z > 0).
Пусть, например, рассматриваются только «эталоны»,
т. е. такие объекты а0, . . ., адг, что расстояния
/ (^i+i) — / равны одному и тому же числу для всех
i = 0, . . ., N — 1. В терминах четырехместного отно-
шения D ((а, Ь, с, d) G= D <-» а не менее предпочтителен
по сравнению с 6, чем с по сравнению с d) это можно
выразить так:
(^г+1, В ^г+1» ^г) В
(i, / = 0, . . ., N — 1).
Числовая система для (A, D) в этом случае — множество
натуральных чисел N с отношением Д:
(а, Ь, с, d) ее Д f (а) -/(&)>/ (с) — / (d).
Тогда, очевидно, измерение в системе (ДГ, Д) имеет тип
шкалы Фи, т. е. выполнено в шкале интервалов.
Действительно, зафиксируем оценки каких-либо двух
объектов, например, / (а0) - 0, / (aj == 1 (т. е. выберем
начало отсчета и масштаб). Тогда по свойству D для / вы-
полнено:
/ («г) — /(«i) > / («О — / (а0) / («1) ~ / («о) >
— f (ai).
60
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Подставляя / (а0) = 0, / (ах) = 1, получим
/ (а2) - 1 > 1 -> 1 > / (а2) - 1,
т. е. f(a2) ^2 ++ f (а2) < 2, так что / (а2) определяется
однозначно и равно 2. Аналогично определяется / (а3) = 3
и т. д. Поскольку измерение однозначно (при выборе на-
чала отсчета и масштаба) — оно выполнено в интерваль-
ной шкале.
Описанное построение может вызвать известную не-
удовлетворенность, поскольку остается неясным, как
сформулировать исходные посылки (например, то, что
нумерация объектов фиксирована и соответствует воз-
растанию предпочтений, хотя об этом явно ничего не
говорилось) только в терминах отношения D. Покажем,
как это сделать.
Отношение строгого предпочтения Р определим фор-
мулой:
(a, b) е Р <-> (а, а, а, &) D,
т. е. невозможно, чтобы а было не менее предпочтительно
по сравнению с самим собой, чем с Ъ, Теперь можно вве-
сти отношение непосредственного следования /:
(a, b) аРЬ и ((а, с) Е Р -> (с, b) & Р).
Система (A, D) может быть измерена в системе (ЛГ, Д)
в шкале интервалов, если D удовлетворяет условиям
[76]:
(1) (а, 6, с, d) D и (c,d,e, /)£/)-> (а, Ь,е, /) ЕзР;
(2) (а, 6, с, d) е D или (с, d, а, 6) ЕЙ;
(3) (а, Ь, с, d) -* (а, с, b, d) е D;
(4) (а, 6, с, d) е D -> (d, с, 6, а) е D;
(5) (а, b) е J и (с, d) е J (а, Ь, с, d) е D и
(с, d, а, b) е D.
Первые четыре условия характеризуют простейшие
свойства разностей оценок, а пятое требует, чтобы между
оценками непосредственно следующих объектов были
одинаковые расстояния.
В том случае, когда объекты не являются эталонами,
расположенными на числовой оси / через равные про-
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
61
межутки, так что D не удовлетворяет условию (5), изме-
рение в интервальной шкале остается возможным, если D
доставляет достаточную информацию о соотношении рас-
стояний между оценками.
В частности, измерение в интервальной шкале осущест-
вимо при бесконечном количестве объектов, если они
расположены «столь плотно», что/) доставляет информацию
о сравнении любых интервалов рассматриваемого участка
числовой оси, в том числе при делении интервалов
на сколь угодно большое число частей (точные фор-
мулировки см., например, в [76], стр. 52—56, [51],
стр. 129-130).
Но как поступать, если число объектов конечно и при-
том невелико? В отношении D дана информация о сравне-
нии длин интервалов между оценками объектов. А как
получить сведения о сравнении длин любых частей этих
интервалов, на основе которых можно было бы сузить
класс допустимых преобразований до Фи? Фон Нейман
и Моргенштерн [65] предложили остроумный спо-
соб для получения такой информации от оценивающего
субъекта.
2. Измерение предпочтений по фон Нейману — Мор-
генштерну. Основное допущение фон Неймана и Морген-
штерна состоит в том, что индивидуум может сравнивать
по предпочтению не только сами объекты, но и их веро-
ятностные смеси, лотереи. Под вероятностной смесью
ра ф cl — р) Ь, где 0 Р понимается лотерея, в ко-
торой вероятностью р выбирается объект а, и с дополни-
тельной вероятностью 1— р — объект Ь. Такую смесь
будем называть также р-смесъю (а, Ь). Аналогично при
заданном векторе р — (рх, . . ., рт) определяется р-смесь
т объектов av . . ., ат: это лотерея, в которой объект
at выбирается с вероятностью pt.
Указание предпочтений для вероятностных смесей
дает информацию о соотношении расстояний. Пусть,
например, а предпочтительнее 6, Ъ предпочтительнее с и,
по транзитивности, а предпочтительнее с. Ясно, что оцен-
ка Ь расположена между оценками а и с. Но в каком
месте? Рассмотрим различные лотереи ра ф (1 — р) с.
Ясно, что при р, достаточно близком к 1, такая лотерея
предпочтительнее, чем & и, наоборот, при р, близком к 0,
b предпочтительнее, чем р-смесь (а, с). При некотором
62
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
промежуточном р ра ф (1 — р) с и Ь окажутся рав-
ноценными. Пусть это р — 3/4. Отсюда можно сделать
вывод, что расстояние от / (а) до / (&) втрое меньше рас-
стояния между f (6) и / (с), независимо от значений / (а)
и / (с). Значит, отношения разностей сохраняются: изме-
рение выполнено в интервальной шкале.
Для уточнения этого рассуждения рассмотрим вопрос:
как оценить р-смесь (а, с), если известны оценки / (а)
и / (с)? Для ответа обратимся к частотной интерпретации
лотереи: если лотерею ра ф (1 — р) с проводить много-
кратно так, чтобы исходы «испытаний» не зависели друг
от друга, то среднее значение будет равно р/(а) +
+ (1 — р) / (с). Если значения / истолковывать как
«выигрыши» субъекта, то средний выигрыш от лотереи
ра ф (1 — р) с равен pf (а) + (1 — р ) / (с). Если при-
нять эту величину за оценку р-смеси (а, с), то ясно, что
эта оценка делит интервал (/ (с), / (а)) в отношении ’ •
В частности, при р = 3/4 это отношение равно 3:1.
Итак, в качестве множества А буррм рассматривать
множество всех вероятностных смесей исходных объектов.
Эмпирические отношения на А — это отношение строгого
предпочтения R и операция взятия р-смеси Sp (р —
= (рп . . ., рт)) *). В качестве числовых отношений
рассматриваются отношение > и операция взятия мате-
матического ожидания Мр: Мр(хъ ... ,хт) —
Как обычно, для простоты считаем исходное множест-
во конечным, состоящим из N объектов. Ясно, что р-
смесь при любом т может рассматриваться как частный
случай (/?!, . . ., р2у)-смеси всех исходных объектов: для
этого просто нужно положить равными 0 вероятности
тех объектов, которые не входят в набор ах, а2, . . . , ат.
Поскольку элементами А являются не только объекты,
но и смеси, необходимо описать, что такое смесь смесей.
Это можно сделать, полагая для смесей выполненными сле-
дующие соотношения, навеянные вероятностно-частотной
*) Sp есть (т + 1)-е отношение, состоящее из упорядочен-
ных наборов вида(аь. . ат, р±а± ф р2а2 ф . . . ф Ртат)> так что
Sp (аь . . ., ат) = рм ф . . . ф ртат.
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
63
интерпретацией:
А#! ф • • • Ф ртат = Piflh ф •.. Ф
где {it,... ,im} = {1,... ,m},
Pia ф ... ф рта = а,
Pi (<7iai ф • • • ф Ф • • • Ф Рт (ГФ1 Ф • • • Ф riPi) =
= Piqi<h Ф • • • ф Piq^k Ф • • • Ф РтП^.
Формулы (2) позволяют представить любую смесь
из Л в виде лотереи исходных объектов.
Рассмотрим вначале бинарную операцию Sp взятия
р-смеси, где р — скаляр, и наложим некоторые ограни-
чения на отношения R и Sp. Прежде всего условимся,
что R — квазисерия. Остальные условия будут относить-
ся к связи R и Sp:
(а, С) е Я -> (Sp (a, b), Sp (с, 6)) ЕЕ 7?. (3)
Это условие означает, что если а лучше с, то в любой ло-
терее лучше иметь а, чем с. Аналогично для неразличи-
мых объектов потребуем:
(а, с) Е (Sp (а, 6), Sp (с, b)) ЕЕ Ir* (4)
Последнее условие уточняет идею непрерывности отно-
шения предпочтения:
(а, b) е R И (6, С) е R - (Эр е (0,1)) (Sp (а, с), Ь) е
(5)
Нетрудно убедиться, что р, фигурирующее в (5), опреде-
лено единственным образом. Действительно, пусть (га ф
ф (1 — г) с, Ь) ЕЕ Ir для г ф р. Тогда одно из этих чисел
меньше другого, например, г < р. Тогда 0 < р — г <
< 1 — г. Рассмотрим выражение с = с ф с-
Так как (а, с) е R, то d == а ф 4^r"с nPe№04™"
тельнее с. Тогда Sr (а, с) менее предпочтительно, чем
Sr (а, d) = га ф (1 — г) d = га ф (р — г)\ а ф (1 — р) с =
== Ра Ф (1 — р) с = Sp (а, с), что противоречит предпо-
ложению неразличимости ST (а, с) и Sp (а, с).
Сформулируем теперь основное утверждение.
Теорема 1. Если система А = (A, R, Sp (0
1)) удовлетворяет условиям (2) — (5), то сущест-
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
вует измерение f объектов в системе О (С, , Мр (0
р 1)), выполненное в интервальной шкале, так что
(a,b)tER—f(a)>f,(b),
/ (5Р (a, b)) = Мр (f (а), / (b)) = pf (а) + (1 - р) / (Ь),
причем любое другое измерение g в системе С выражается
формулой g (а) = kf (а) + I при некоторых к > О, Z.
Доказательство. Если R = ф, так что
(a, b) ЕЕ IR, то f (а) == 0 (а ЕЕ А) удовлетворяет всем
условиям. Пусть R ф, так что найдется пара (и, v) ЕЕ
G R- Положим f (и) = 1, / (г?) = 0 и для произвольного
с ЕЕ А рассмотрим все возможности: (1) с лучше и, (2)
с и и неразличимы; (3) с находится между и и г?;
(4) с и v неразличимы; (5) с хуже v. Других возможностей
нет, так как R — квазисерия.
В первом случае cRuRv. Значит, существует р такое,
что (pc ф (1 — р) v, и) <= /в- Полагаем тогда / (с) — —,
так как интервал (0, / (с)) делится оценкой /(«)==!
р
в отношении и, значит, отношение длин интервалов
(О, 1) и (1, /(c)) должно равняться ~уЕ_р - Аналогично по-
ступаем в остальных случаях, так что / (с) соответственно
равно: (2) / (с) = 1; (3) / (с) = р, где (ри ф (1 — р) v, с) е
е Л?; (4) /(с) = 0; (5) / (с) = , где (рс ф
ф (1 — р) и, v) ЕЕ Ir- То, что так определенная функция
/ удовлетворяет условиям (6), видно по смыслу ее построе-
ния. Формальное доказательство для произвольных
а, b ЕЕ А проводится с помощью рассмотрения всех слу-
чаев (1) — (5) как для местоположения а, так и для место-
положения Ь. Мы оставляем это читателю.
Покажем теперь, что всякое другое измерение g в сис-
теме С может быть линейно выражено через /. Обозначим
g (v) = I — начало отсчета, g (и) — g (v) = к — масштаб.
Очевидно, что к 0, так как (и, v) R-
Пусть с А удовлетворяет одной из пяти возможно-
стей (1) — (5), например, (3), так что uRcRv. Если
/ (с) = Р, то (ри ф (1 — р) v, с) s I r- Значит, g (с) =
S (ри ф (1 — р) V) = pg (и) + (1 — р) g(v) = р (g (и) —
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
65
— g (*>)) + g (v) — pk + I = kf (c) + Z. Аналогично рас-
сматриваются другие случаи. Теорема доказана.
Ее легко распространить на случай операций взятия
ти-мерных смесей 5Р, р = (рх, . . ., рт).
Следствие. Измерение f, определяемое теоремой!,
таково, что
/ (Sp (аь ..., ат)) = Мр (f (aj),(ат)) = 2 Pit (ai)
для любых т, р — (ри . . рт).
Например, для т — 3, очевидно, рхаг ф р2а2 © р3а3 =
= РА Ф (1 — Pi) а2 Ф ~г£3п~ аз 1- Тогда по теореме 1
Ф P2®2 Ф РЗ«8) = Pit М + (1 — Pl) [ /(«г) +
+ ! / (аз)] = Pit («1) + Pit («г) + Рз/ (аз)-
Практическое применение подхода, связанного с до-
казанной теоремой, не всегда возможно, особенно если
объекты имеют одноразовые «воплощения». Тем не менее
во многих случаях, когда уместно говорить о вероятности
(или хотя бы о ее субъективной оценке) события, этот
подход успешно применяется в экспертном оценивании.
3. Приближенно-количественные измерения. В дан-
ном разделе мы обсудим, в каком смысле все-таки для
данных оценок по предпочтительности можно говорить
об их количественности или неколичественности, если
они не удовлетворяют условиям предыдущих двух разде-
лов (нереалистичность такого рода условий обсуждается,
в частности, в § 3).
Множество А = {а17 а2, ...» a.v} здесь предполагает-
ся конечным с фиксированной нумерацией объектов.
Для удобства оценку объекта будем обозначать xt
(Z = 1, . . ., N), так что совокупность оценок образует
А-мерный вектор х = (xv . . , х^).
Результаты сравнения объектов по предпочтительности
выражаются неравенствами во введенном A-мерном про-
странстве. Например, «ах предпочтительнее а2» означает,
что х1'^* х2, а «предпочтение над а2 больше, чем а3над
а4» выражается неравенством хг — х2 — #4-
Совокупность всех результатов сравнений, таким об-
разом, характеризуется системой неравенств, выраженных
3 Б. Г. Миркин
66
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
в матричном виде как
Вх О,
(7)
где х = (^i, . . ., х^) — TV-мерный вектор, В — матрица
с N столбцами и числом строк, равным числу сравнений.
Отсутствие свободного члена объясняется тем, что сравне-
ния производятся только между объектами сц (т. е. между
х^. Система (7) определяет некоторое множество X век-
торов, ей удовлетворяющих. Очевидно, если хЕХ, то
для любого положительного X > О вектор кх также со-
держится в X: Вх ^О^к(Вх)>0 <-> В (к х) 0. В гео-
метрических терминах это значит, что вместе с каждой
«точкой» х множество X содержит всю положительную
полупрямую, проходящую через х и начало координат. Та-
кое множество X называется конусом.
Конус X = {х | Вх 0} характеризует, фактически,
совокупность допустимых преобразований шкалы. Если,
например, X вырождается в полупрямую {х | х =
X > 0}, где я0 — некоторая фиксированная TV-мерная
точка, то, очевидно, измерения выполнены в шкале отно-
шений. Действительно, для любых х\ х" ЕЕ X отношения
ir •
—• совпадают для любого i = 1, . . ., TV : х' = Хж° и
хг
„Н ..^.0 К
Фиксируя значение Xi любой координаты хг. мы из
равенства хг == Хя? однозначно определяем X = и,
значит, весь вектор х = —~ я0. Этот вектор геометрически
А
определяется как точка пересечения луча X = {Х^с° |Х > 0}
с плоскостью, перпендикулярной к оси Xi в точке хх.
Задание значения фактически определяет масштаб из-
мерения.
Точно так же в случае, когда измерения выполнены
в шкале интервалов, вектор измерений х будет определе-
лен однозначно, если зафиксировать значения двух коор-
динат. Степень неоднозначности вектора х в этом случае
характеризует степень отклонения шкалы от шкалы
интервалов.
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
67
Пусть, например, фиксированы значения = 0 и
г2 = 1. Обозначим X = {х = (хг, . . ., xN) \ Вх О,
rt — О, х2 = 1}. Пусть р (ж, у) — некоторый показатель
близости ДГ-мерных векторов (например, евклидово рас-
Л*
стояние I/ 2 (хг — */г)2) • Тогда в качестве показателя
2=1
разброса множества X можно выбрать, например,
sup р (ж, у), характеризующий «диаметр» X, или
я, у&Х
inf sup| р(х,у), характеризующий «радиус» ^.Еслисте-
xsx vex
пень разброса множества А* измеряется показателем г (5"),
то можно говорить, что измерения выполнены в интерваль-
ной шкале с точностью 8 О (или в г-интереалъной шка-
ле), если г(Х) < 8. Чем меньше 8, тем более «количест-
венным» является измерение, тем меньше погрешность
суждений об арифметических свойствах оценок.
В этом смысле информация, содержащаяся в отноше-
нии D (а более предпочтителен по сравнению с Ь, чем
с по сравнению с d), делает сохраняющее его измерение
очень близким к измерению в интервальной шкале, при-
чем с увеличением числа объектов погрешность 8, как
правило, резко уменьшается [761, [190].
Пусть, например, имеется четыре объекта а0, аг,
а2, а3 с оценками / (а0) = х0 = 0, / (аг) = = 1, / (а2) =
= х2 — 2,1, /(а3) = х3 =3, и допустимыми являются любые
преобразования, сохраняющие наше четырехместное от-
ношение D. Это значит, что множество X определяется
следующими условиями:
= 0, хг = 1, х3 — х2 хг — Хц х2 — хг
< х3 — < х3 — х3 *).
Подставляя .г() = 0 и хг = 1 в систему неравенств, опи-
сывающую D, получим
Х3 — х2 < 1 С Х2 — 1 ^3 — 1 С Х3'
Эти соотношения в свою очередь эквивалентны сле-
дующим:
2 < х2 х3 < х2 + 1,
*) Здесь отражены только неравенства с положительными раз-
ностями оценок, так как остальные легко выводятся из них (с по-
мощью умножения на —1).
3
68
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
так что х3 отличается от х2 не больше, чем на 1, а х2 не
меньше двух и может как угодно сильно отличаться от
хг = 1. Множество X, таким образом, не ограничено и его
«диаметр» равен бесконечности. Измерение, сохраняющее
D, не может рассматриваться как метрическое, хотя бы
приближенно.
Однако ситуация существенно меняется при добавле-
нии еще одного объекта а4. Пусть, например, / (а4) = —
= 3,8. В этом случае X описывается следующей системой
ограничений:
#о = О, хг = 1, х4 — х3 х3 — х2^ i х2 — 1
х4 — х2 х3 — 1 х2 х^ — 1 х3 х4.
Выпишем независимые ограничения из данной системы:
^4 + ^2 < 2я3, х3 < х2 + 1,
2 х2, 2х2 <т4 + 1, я4 я3 + 1.
Отсюда очевидно, что я4 x3 + 1 < х2 + 2. Значит,
2х2 я4 + 1 #2 + 3. Отсюда х2 3. Аналогично 2
4, 3 я4 5. Множество X ограничено, причем
значения х2, Хз, хл определены с точностью до 2 ♦).
Добавление новых объектов с не слишком сильно от-
личающимися оценками еще больше увеличит точность
измерения.
Точность измерения может быть достигнута также
с помощью добавления не новых объектов, но новых срав-
нений. Отношение D упорядочивает разности = Х} —
— Xj оценок объектов. Если оно порождает ранжирование
величин хц, то уместно называть его ранжированием
второго порядка (используется также термин — упоря-
доченная метрика), в отличие от ранжирования оценок
Xi- Аналогично можно рассматривать ранжирование третье-
го порядка (упорядочение разностей х^ — хк1) и еще более
высоких порядков. Предоставляем читателю самому убе-
диться, как резко сужает задание ранжирования третьего
порядка погрешность измерения в примере четырех
объектов а0, а4, а2, а3.
*) Множество X можно описывать, задавая его крайние точки
1
(вершины). В данном случае это будут (0,1, 2, 3,3), (0, 1, 2, 2 у , 3),
(0, 1, 2, 3, 4) и (0, 1, 3, 4, 5).
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
69
К сожалению, теория такого рода приближенно-коли-
чественных измерений совершенно не развита. Некоторые
вдеи содержатся в статье [95] для случая, когда разброс
множества X оценивается с помощью коэффициента кор-
реляции. В частности, в [95] показано, что для случая
четырех объектов величина sup inf р2 (я, у) колеблет-
хех у^х
ся в пределах от 0,91 до 0,96 при условии, что оценки
сохраняют отношение D. Обнадеживающие результа-
ты имитации с помощью метода Монте-Карло описаны
в [190].
Приведенные соображения позволяют надеяться, что
индивидуальные оценки, при которых эксперт имеет в виду
отношение £>, можно рассматривать как приближенно-
количественные.
4. Экспертное оценивание. Основываясь на изложен-
ных моделях, можно предложить большое количество
конкретных процедур экспертного оценивания. Мы опи-
шем некоторые наиболее употребительные способы
оценки, опуская по возможности многочисленные детали,
связанные с практической организацией опроса.
1) Непосредственная оценка в выбранной балльной
шкале, скажем, от —5 до +5. Иногда эксперта просят
при оценке следить за тем, чтобы равные расстояния
между баллами соответствовали равным изменениям ин-
тенсивности его предпочтения (в соответствии со свойст-
вами отношений D и J из раздела 1).
Часто используется модификация этого способа, со-
стоящая в требовании, чтобы общая сумма оценок экспер-
та составляла некоторое заранее заданное число, обычно
1 или 100. В этом случае оценки можно трактовать как
относительные интенсивности предпочтения. Такая шка-
ла, которую можно назвать нормированной, предъявляет
большие требования к эксперту, чем простое приписыва-
ние баллов.
2) Вероятностное оценивание по методу фон Нейма-
на — Моргенштерна. Если а — наилучший, а Ь — наи-
худший объекты для данного эксперта, то для каждого
объекта с ЕЕ А (конечно, в случае бесконечного А только
Для каждого из конечной выборки объектов) эксперт
Должен указать такое число рс, что с и рс-смесь (а, Ь)
неразличимы. Это число характеризует расстояние от
70
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
оценки хс объекта с до хь : рс = . Иногда эксперту
трудно указать такое число рс, но он может выполнить
более легкое задание: указать наименьшее р = Рс
такое, что /?с-смесь (а, Ь) лучше с, и наибольшее р = р7,
для которого рё-смесь (а, Ь) хуже с. В этом случае рас-
стояние между хс и хъ определено неоднозначно; можно
утверждать лишь, что —
Ха ~~ ХЬ
Для корректировки оценок эксперта просят указать
вероятности и для смесей других объектов, отличных от
а и Ъ. Через несколько итераций оценки вероятностей
становятся согласованными в смысле формул (2), (6).
Часто применяется обратная процедура: заранее зада-
ются значения вероятностей р1? . . , рк и для каждого
i — 1, . . ., к просят эксперта указать объекты, неразли-
чимые от />гсмеси (а, &). Особенно часто применяется так
называемый метод равноделения, при котором вначале
выбирается с, неразличимый от 1/2-смеси (а, 6), затем
объекты, неразличимые от 1/2-смесей (а, с) и (6, с) и т. д.
3) Упорядочение разностей: эксперта просят ранжи-
ровать не только объекты, но и разности между оценками
объектов. Согласно предыдущему разделу это может спо-
собствовать существенному уточнению оценок. Поскольку
количество разностей оценок быстро увеличивается с ро-
стом ДГ, для облегчения работы эксперта иногда исполь-
зуют только упорядочение разностей соседних оценок.
Конечно, «точность» оценивания при этом понижается.
Как и при вероятностном оценивании, может быть
использован метод равноделения: сначала указывается
объект, находящийся, по мнению эксперта, ровно посре-
дине между наихудшим и наилучшим объектами, затем
полученные «отрезки» снова делятся пополам и т. д.
4) Упорядочение сумм. Этот метод применяется для
увеличения числа сравнений, если имеет смысл одновре-
менное рассмотрение нескольких объектов как составного
объекта той же природы (пример — не являющиеся не-
совместными цели экономической системы). Оценка тако-
го составного объекта равна сумме оценок составляющих.
Тогда после назначения предварительных оценок xt, ...
. . xN просят эксперта сравнить, что лучше: первый
§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
71
объект или комбинация остальных, и, в зависимости от
полученного ответа, изменить так, чтобы выполнялось
соответствующее соотношение между и х2 + • • • + х^.
Если получено хх < х2 + ... + xn, то нужно сравни-
вать первый объект с комбинацией всех, кроме второго,
и так до тех пор, пока не придем к такому г, что, по мне-
нию эксперта, хг xt + . . . + хм, но xt < #i+1 + . . .
. . •+, xn- Аналогичную процедуру следует проделать
со второй оценкой после исключения из рассмотрения
первого объекта, затем — с третьей (после исключения
и второго объекта) и т. д. Получаемые неравенства, как
и при сравнении разностей, могут привести к существен-
ному уточнению (а в практических ситуациях — и к пе-
ресмотру) исходных оценок.
Конечно, результаты оценивания по этому способу,
как и по остальным, допускают представление в нормиро-
ванной шкале (с фиксированной суммой оценок).
Уже из описанного ясно, какой широкий простор име-
ется для изобретения новых (или хорошо забытых старых)
процедур экспертного оценивания.
§ 5. Выявление предпочтений
1. Наилучшие и максимальные объекты. Пусть R cz
QAxA ilSqA. Будем говорить, что объект а е S —
наилучший в S, если (a, b) €Е R для всех Ье$. Анало-
гично, аЕ$ называется наихудшим в S, если (6, а) Е Л
для всех & ЕЕ 5. В литературе также используются тер-
мины: «наибольший» и «наименьший» объекты. Очевидно,
объект, наихудший по отношению R, является наилучшим
по отношению У?"1.
Таким образом, отношение R порождает отображение
Cr (5) = {а | а е S и (a, b) ё R для всех b е 5},
сопоставляющее всякому подмножествву S cz А множест-
во его наилучших объектов.
В реальной ситуации выбора из данного множества
5 будут выбираться наилучшие объекты, если они есть.
Представляет интерес выяснить, каким должно быть
отношение R, чтобы CR (S) Ф ф при любых S ф.
Об отображении Cr, для которого Cr (S) ф, будем
говорить, что оно корректно.
72
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Очевидно, что если Cr корректно, то R рефлексивно
и линейно, поскольку Cr (а) Ф ф и Cr (а, Ь)^ф *).
Кроме того, отношение строгого предпочтения R* = R —
— /?-1 должно быть ациклическим, т. е. не содержать
контуров:
а<>) е Я* и (а.,, а3) R* и . . . и (аЬ1, аЛ) Е Я* ->
(1)
Действительно, если (1) нарушено для S = {а1? . ..
. . аА), то Cr (S) = ф, так как для всякого объекта
из S найдется лучший его.
Эти условия оказываются и достаточными для кор-
ректности Cr.
Теорема!. Отображение Cr является корректным
тогда и только тогда, когда отношение R рефлексивно
и линейно, a R* ациклично.
Доказательство. Необходимость доказана
предыдущими рассуждениями. Докажем достаточность.
Пусть S — непустое множество объектов. Покажем, что
CR (5) ф при условии линейности и рефлексивности
R и ацикличности R*. Если R* = ф, то все объекты из
S неразличимы в силу линейности R и, значит, все явля-
ются наилучшими. Пусть теперь a2R* аг и не существует
а3 GE S, для которого а3 Я* а2. Тогда а2, очевидно, явля-
ется наилучшим в S. Если же для некоторого а3 а3 R*a2,
то в силу ацикличности, (ар а3) R* и, следовательно,
а3 е Cr ({«р а2, а3}). Продолжая это рассуждение, мы
исчерпаем все элементы S, не получив пустого Cr (5),
что и требовалось доказать.
Из теоремы 1 следует, что линейный квазипорядок
определяет корректное отображение Cr, поскольку соот-
ветствующее отношение строгого предпочтения, будучи
квазисерией, транзитивно и, следовательно, ациклично.
Однако для нелинейного квазипорядка, упорядочиваю-
щего объекты по нескольким признакам одновременно
(§ 3), отображение Cr, вообще говоря, некорректно.
В этом случае приходится использовать более слабее
понятие — максимального объекта. Объект а называется
♦) Для упрощения обозначений мы пишем С (а, Ь, . . с)
вместо С ({а, Ъ, . . с}).
§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
73
максимальным в S по отношению R, если в 8 не сущест-
вует объекта Ь, строго более предпочтительного, чем
а, т. е. (&., а) ЕЕ R*. Аналогично определяется минималь-
ный объект —как максимальный по отношению 7?*"1.
Очевидно, наилучший объект является максимальным.
Обратное, вообще говоря, неверно. Например, в множест-
ве {а, Ь, с} объект а является максимальным по отноше-
нию R = {(а, &), (й, с)}, но не наилучшим, так как
(а, с) R. Однако если отношение R линейно, то все
максимальные объекты являются наилучшими для любого
S с: А. Действительно, для всякого максимального объек-
та a S в силу линейности (а, Ь) ЕЕ R или (fe, а) е=
ЕЕ R (b G= 8), и при этом (a, b)^R невозможно из-за макси-
мальности а. Значит, (а, Ь) ЕЕ R и а — наилучший.
Множество максимальных объектов множества 5 обо-
значим (S'). Так как множество Mr (S) определяется
только отношением строгого предпочтения /?*, то, оче-
видно, Mr (S) = MQ (S'), как только R* = Q*. Отсюда,
в частности, следует, что Mr (S) = Mr и iR (8). А так
как R [J Ir линейно, то Mr (8) = Cr и iR (S). Мы доказа-
ли, таким образом, что отображение Mr совпадает с отобра-
жением Cq при подходящем Q, а именно при Q = R |J Ir.
Это значит, что можно ограничиться изучением лишь
одного из отображений Cr и Mr\ теория второго пол-
ностью аналогична. Например, по теореме 1, Mr (S) =^= ф
для всякого непустого S тогда и только тогда, когда Я*
ациклично (в частности, для любых транзитивных R).
Далее будем рассматривать только функцию Cr (8).
2. Нормальные отображения. Пусть С — отображение,
сопоставляющее всякому непустому 8 cz А подмножество
С (S) cz 8. Не всякое С порождается бинарным отноше-
нием, т. е. может и не существовать такого R, что С = Cr.
Пусть, например, на множестве {а, &, с} С (а, Ь) = а,
С (а, с) = а, С (а) = а, С (а, 6, с) = с. Тогда, если
С = Cr, то С (а, Ь) = а (а, Ь) ЕЕ R, С (а, с) = а —>
—> (а, с) ЕЕ R, С (а) = а (а, а) ЕЕ R, так что а ЕЕ
^Cr (а, Ь, с), а это противоречит определению С.
Отображение С будем называть нормальным, если
С = Cr для некоторого R cz Ах А. Чтобы охарактери-
зовать класс нормальных отображений, введем следую-
щее определение.
74
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Совокупность множеств С A (i ЕЕ /) будем называть
накрывающим семейством для S ее А, если S cz J
tel
Теорема 2. Отображение С является нормальным
тогда и только тогда, когда для любого множества S с А
и любого накрывающего его семейства Si (i Е: Г)
S-C(S)^S- П C(S<). (2)
tel
Условие (2) утверждает, что всякий объект из S, не
попавший в число «лучших», т. е. в С (S), обязательно не
входит в С (St) хотя бы для одного множества из на-
крывающего S семейства.
Доказательство. Покажем сначала, что для
любого S С А отображение CR удовлетворяет условию
(2). Если а ЕЕ S — Cr (S), то найдется b ЕЕ S такой, что
(a, b) $Е R. Пусть b содержится в некотором множестве
Si накрывающего 5 семейства. Тогда а Cr (St), так
как (a, b) R, и следовательно, а р| Cr (Si), что
tei
и доказывает (2). Пусть теперь С — некоторое отображе-
ние, удовлетворяющее (2). Определим отношение R фор-
мулой
Я = U C(S)xS (3)
SCA
и покажем, что С = Cr. Формула (3) в соответствии с ин-
туитивным смыслом С означает, что (а, Ь) ЕЕ R, как толь-
ко а Е С (S) хотя бы для одного S, содержащего а и Ъ.
Из (3) следует, что
с (S) с= Cr (S), (4)
так как все элементы из С (S) являются в S наилучшими
по отношению R. Остается доказать обратное включение:
из а е Cr (S) следует а ЕЕ С (S). Допустим противное,
т. е. a^C(S). Тогда в силу (2) аЕ5-П С (Si), т. е.
а$ЕС (Si) хотя бы для одного из множеств Si любого
накрывающего S семейства St (i ЕЕ I). С другой стороны,
(а, Ь) ЕЕ R для всех b ES. Это значит, что существуют
такие множества St, накрывающие S, что «Е С (S/).
Полученное противоречие доказывает теорему.
Как следствие теоремы 2, можно отметить, что если
отображение С нормально, то для любых множеств
§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
75
объектов S и Sj
S -> S - С (S) G S - С (SJ, (5)
т. е. если объект не «выбран» в S, то он не будет выбран
и при любом расширении множества S. Другими слова-
ми, если а £= S £ и aEC (S^, то обязательно а ЕЕ
Е С(5): всякий объект из S, выбранный в S15 автомати-
чески должен быть выбран и в S. Понятно, что вместе
с такими «навязанными» объектами в С (S) могут входить
и дугие объекты, не содержащиеся в С (SJ. Например,
если R = {(а, а), (6, &), (с, с), (а, с), (с, а), (а, 6)}, то
Cr (а, с) = {а, с}, тогда как Cr (а, Ь, с) = {а}. Требо-
вание, чтобы С (S) состояло только из «навязанных»
объектов, резко сужает класс отношений, порождающих
такие отображения. Его «силу» можно пояснить на сле-
дующем примере. Пусть S — некоторое множество про-
ектов, участвовавших в международном конкурсе, а
С (S) — множество проектов-победителей. Тогда, если,
скажем, победил проект из Болгарии, то согласно след-
ствию (5) этот проект должен был быть победителем «внут-
реннего» болгарского конкурса. Сформулированное же
требование (см. (6)) означает, что и всякий другой побе-
дитель болгарского конкурса должен войти в множество
С (S) лауреатов международного конкурса.
Теорема 3. Отображение С, определенное для
всех непустых S с А, удовлетворяет условиям (5) и
[S^S^C^) С (S) C(Si) (6)
тогда и только тогда, когда С = Cr для некоторого ли-
нейного квазипорядка R.
Доказательство. Если R — линейный ква-
зипорядок, то справедливость (6) для Cr очевидна. Пусть,
обратно, для некоторого С выполнены условия (5) и (6).
Покажем, что R, определенное формулой (3), есть линей-
ный квазипорядок, причем С = Cr.
Линейность и рефлексивность R следуют из того, что
С (а) ф ф и С {а, Ь) =/= ф. Остается доказать транзитив-
ность R. Пусть aRb и bRc. В силу (3) и (5) это означа-
ет, что a GE С (а, Ь) й b^ С (Ь, с). Рассмотрим С (а, Ь,с).
Если с Е С (й, Ь, с), то по условию (6) и fe Е С (а, Ь, с),
поскольку 6еС(6,с); а раз b ЕЕ С (а, Ъ, с}, то и а ЕЕ
е С (а, Ъ, с), так как а ЕЕ С (а, Ь). Значит, если
76
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
а ф С (а, Ъ, с), то С (а, Ь, с) — ф, что противоречит
условию. Следовательно, а е С (а, 6, с) ив силу (3)
aRc, что и доказывает транзитивность R.
Пусть теперь a S С (S) и b G CR (S). В силу (5)
а ЕЕ С (а, Ь). Кроме того, (Ь, а) ЕЙ и, следовательно,
существует множество 7, содержащее а и Ь, для которого
ЬеС(Т). Это влечет, согласно (5), 6 Е С (а, Ь). Таким
образом, С (а, Ь) = {а, Ь} и в силу (6) Ъ ЕЕ С (8). Мы
доказали Cr (S) С2 С (8), что вместе с (4) завершает до-
казательство теоремы.
В приложениях часто рассматривается выбор единст-
венного объекта из S, т. е. случай, когда С (8) содержит
ровно один объект для любого непустого 8 о А. Такое
отображение назовем однозначным. Очевидно, что одно-
значные отображения С автоматически удовлетворяют
условию (6), так как никаких других объектов, кроме
«навязанного», в С (S) содержаться не может. Это озна-
чает, что однозначные отображения Cr порождаются
только линейными квазипорядками, точнее, линейны-
ми порядками, так как (а, &) Е й и (&, а) е R
—> Cr (а, Ь) = {а, Ь}, а это противоречит однозначности Cr
при а Ф Ъ. Таким образом, доказана
Теорема 4. Однозначное отображение С порожда-
ется линейным порядком тогда и только тогда, когда оно
удовлетворяет условию (5). Если же (5) не выполнено, то
С не является нормальным.
3. Функции выбора и выявленные предпочтения. Мы
уже упоминали (раздел 1.2), что отношение предпочте-
ния в современной науке часто трактуется как удобный
способ описания реального поведения индивидуума или,
более общо, исследуемой системы. При этом сам субъект
не только может не знать своего отношения предпочте-
ния, но и даже не подозревать о его существовании.
Просто реальному поведению индивидуума исследователь
сопоставляет такое отношение предпочтения, что индиви-
дуум вел бы себя точно так же, если бы действовал в соот-
ветствии с этим отношением наилучшим образом. Построе-
ние такого отношения по информации о поведении субъек-
та называется выявлением предпочтения.
В данном разделе мы рассмотрим проблему выявления
предпочтений на основе информации о выборе объектов
из различных подмножеств.
$ 5. ВЫЯВЛЕНЙЁ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
77
Пусть К — фиксированное множество непустых под-
множеств А. Отображение С, сопоставляющее всякому
подмножеству S ЕК непустое подмножество С (S) cz S,
называется функцией выбора на К. Интерпретация оче-
видна: в ситуациях, когда возможность выбора ограниче-
на только объектами из S, субъект выбирает подмножест-
во С (S). Конечно, объектами могут быть социальные
состояния, стратегии поведения и т. д.
Мы будем, если не оговорено противное, рассматривать
случай, когда К состоит из всех подмножеств конечного
множества А. В экономической теории часто рассматри-
вается бесконечное множество А; все утверждения ос-
таются справедливыми и в этой ситуации, если К содер-
жит все конечные подмножества А.
Итак, пусть задана функция выбора С на К. Какое
отношение предпочтения выявляется данной функцией?
Оказывается, с С можно ассоциировать естественным
образом несколько, вообще говоря, несовпадающих от-
ношений.
Прежде всего это отношение 7?, определенное формулой
(3):
U C(S)xS;
S&C
согласно этому отношению (а, Ь) Е Я, как только а Е:
6 С (S) и 6 Е S для некоторого See К-
Еще одно отношение выявляется на основе только пар-
ных сравнений:
Л1= U С(а,Ь) х {а,Ъ}. (7)
а, ЬеА
Так как все двухэлементные множества содержатся
в К, то, очевидно, с R. Обратное включение имеет
место, если функция выбора С нормальна (так что С = Cr).
Действительно, пусть (а, Ь) ЕЕ R', тогда а ЕЕ С (а, Ъ) для
всех Е S, так что (а, Ъ) ЕЕ Rv
Таким образом, если С — нормальное отображение, то
R = Rt. К сожалению, обратное утверждение не верно:
из R = Rr не следует нормальность R. Пусть, напри-
мер, С (a, b) — а, С (а, с) = {а, с}, С (Ъ, с) = {с} и
С (а, Ь, с) = а. Тогда, очевидно, /? = /?! = {(а, а), (6, Ь),
(с, с), (а, Ь), (а, с), (с, а), (с, Ь)}. Однако Cr (а, Ь, с) —
= {а, с} Ф С (а, Ь, с).
78
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Следующее отношение предпочтения, ассоциируемое
с функцией выбора С, определяется равенством
я2= и C(S)x [S-C(S)]. (8)
При «разумно» устроенной функции выбора отношение
Т?2 по смыслу определения (8) должно играть роль отно-
шения строгого предпочтения для R : aRJb означает, что
а выбран, а b — нет для некоторого S G £. Но в общем
случае Т?2 не только может не совпадать с 7?*, но и даже
не являться асимметричным. Пусть, например, С (а, Ь) =
= а, С (Ь, с) ~ Ъ, С (а, с) = а, но С (а, Ь, с) = Ъ. Тогда,
очевидно,
= {(а, а), (&, &), (с, с), (а, й), (а, с), (&, с)},
R = 1?1 U № а)}, R2 = {(а, &), (&, с), (а, с), (6, а)}.
В этом примере R R19 а Т?2 содержит как (а, Ь), так
и (Ь, а).
Наряду с Т?2 будем рассматривать соответствующее
ему отношение «нестрогого» предпочтения 7?3, определяе-
мое формулой (а, Ь) е= 7?3 <-> (&, а) Т?2, т. е. 7?3 =
= А2 — Т?^1. Из (8) следует, что отношение R3 может
быть следующим образом определено в терминах С:
aR3b <^[Ь£С (5), если а С (5), (9)
для всякого ^].
Таким образом, aR3b, если для любого S К а не может
принадлежать S —- С (S), когда b содержится в С (5).
Нетрудно доказать включение:
7?3 Ri- (Ю)
Действительно, aR3b означает в силу (9), что из & ее
ЕЕ С (а, Ь) следует а е С(а, Ь). Тогда С (а, &), будучи
непустым, обязательно содержит а и, следовательно,
(а, Ь) 7?1. Таким образом,
7?3 G Ri И- (И)
Однако обратные включения неверны, что следует из
приведенного выше примера для R, Rt и Т?2. Отметим,
что в этом примере 7?3 нелинейно, так как (а, Ь) и (Ь, а)
содержатся в Т?2. Отношения же R (при всевозможных
SC.A) и 7?! линейны всегда.
§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
79
Равенство /?3 = R возможно только для очень просто
устроенных С и R. А именно, справедливо следующее
утверждение.
Теорема 5. Равенство R = R3 выполнено тогда
и только тогда, когда отображение С порождается линей-
ным квазипорядком.
Доказательство. Пусть С = CR, где R —
линейный квазипорядок. Покажем, что R = R3. Дейст-
вительно, в этом случае R2 есть квазисерия, соответствую-
щая тому же упорядоченному разбиению множества А,
что и* R, так как в С (S) содержатся объекты из одного
и того же класса этого разбиения. Но тогда R3 = R^1 ~
= R2 U IRg в силу свойств квазисерии. Равенство R3 = R
следует теперь из того, что /?2 U — это линейный
квазипорядок, соответствующий тому же самому упоря-
доченному разбиению, так что R = R2 (J IRi.
Пусть теперь R = R3. Покажем, что R — линейный
квазипорядок, причем С = CR. Сначала докажем равен-
ство С = Cr. В силу (4) достаточно вывести включение
CR (S) cz С (S). Пусть а ЕЕ Cr (S), так что (a, b) €Е R
для всех & Е 5, в частности, и для Ъ ЕЕ С (S). Но (а, Ъ) е
ЕЕ/? = R3 означает, по определению /?3, что a^S—С (*$).
А так как а ЕЕ S, то а ЕЕ С (S), что и требовалось доказать.
Теперь покажем транзитивность R — R3. Пусть
(a, Ь)еЯ и (b, с) е R. Тогда в силу (9) с Е С (а, 6, с) ->
-> Ь е С (а, Ъ, с) и Ъ е С (а, Ь, с) а ЕВ с (а, Ь, с), так
что а обязательно содержится в С (а, Ъ, с). Но тогда
(л, с) ЕЕ R, что с учетом линейности R и доказывает
теорему.
Поскольку для нормальной функции выбора R = R19
можно отметить следующие условия, эвивалентные усло-
виям теоремы: а) С нормальна и R± — линейный квази-
порядок; б) R1 = R3 и С нормальна. Первое из этих
условий эквивалентно тому, что С нормальна и R — линей-
ный квазипорядок, а второе — тому, что R = R3.
4. Аксиомы выявленного предпочтения. В экономи-
ческой литературе неоднократно обсуждались различные
требования, которым должны удовлетворять отношения,
выявляемые «разумными» функциями выбора, характе-
ризующими поведение «рациональных» индивидуумов.
Такого рода требования называются аксиомами выявлен-
ного предпочтения. Сформулируем некоторые из них.
80
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Аксиома 1 (слабая аксиома выявленного пред-
почтения). Если aR2b, то неверно, что bRa.
Поскольку Т?2 R по определению (8), то аксиома
1 требует, фактически, чтобы Д2 действительно было от-
ношением строгого предпочтения: R2 = R — Д'"1. Иначе
говоря, аксиома 1 утверждает, что (а, Ь) ЕЕ R влечет
(b, а) R2, т. е. (а, b) ЕЕ Д3- Мы видим, что требование
аксиомы 1 состоит, фактически, во включении R cz Д3,
т. е. в равенстве R = R3, обсуждавшемся в предыдущем
разделе (теорема 5).
Аксиома 2 (слабая аксиома конгруэнции). Если
aRb, то для любого S ЕЕ К такого, что b ЕЕ С (S) и а ЕЕ S,
обязательно а ЕЕ С (S).
«Сильные» аксиомы формулируются в терминах отно-
шений «косвенного» предпочтения. Всякому отношению
R сопоставим отношение R с помощью следующего прави-
ла: aRb, как только в графе R существует путь из а в Ъ,
т. е. существует последовательность объектов а1, . . .
. . ., ат ЕЕ А, такая, что (i = 1, . . ., т — 1),
причем а = аг, Ъ = ат. Если R — отношение предпочте-
ния, то в R содержатся как те объекты, которые не-
посредственно предпочитаются объекту а, так и те, кото-
рые предпочитаются косвенно. Можно показать, что
отношение R есть наименьшее из транзитивных отноше-
ний, содержащих R (задача 12), поэтому R часто называет-
ся транзитивным замыканием отношения R. Нетрудно
убедиться, в частности, что если R транзитивно, то Я = R.
Аксиома 3 (сильная аксиома выявленного пред-
почтения). Если aR2b, то неверно, что bRa.
Аксиома 4 (сильная аксиома конгруэнции). Если
aRb, то для любого S ЕЕ К такого, что а ЕЕ S и b ЕЕ С (S),
обязательно а С (5).
Аксиома выявленного предпочтения допускает еще
более жесткую формулировку.
Аксиома 5 (сильнейшая аксиома выявленного
предпочтения). Если aR2b, то неверно, что bRa.
Несмотря на некоторое различие формулировок, ак-
сиомы 1—5 выражают, в сущности, одно и то же.
Теорема 6. Аксиомы 1—5 эквивалентны, причем
каждая из них равносильна тому, что R% == R,
§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
81
Доказательство. В том, что аксиома 1 экви-
валентна равенству R = R3, мы уже убедились.
Рассмотрим аксиому 2. Тот факт, что для любого
S е К, как только Ь еь С (S), то а не может содержаться
в S — С (S) (так что а Е S-> а Е С (5)), — означает,
согласно (9), aR3b. Поэтому аксиома 2 также эквивалент-
на включению R Q 7?3 и, ввиду (11), равенству R = 7?3.
Рассмотрим аксиому 3. Формулировка этой аксиомы,
очевидно, «сильнее» формулировки аксиомы 1: если вы-
полнено аксиома 3, то и подавно выполнена аксиома 1.
Следовательно, аксиома 3 гарантирует, что R = 7?3. Об-
ратно, пусть R — R3, или, что то же самое, выполнена
аксиома 1. Тогда по теореме 5 R = R3 есть линейный
квазипорядок, а /?2 —• соответствующая квазисерия. При
этом в силу транзитивности получаем Л2 = Я2, и поэтому
выполнение аксиомы 1 равносильно выполнению аксиомы 3.
Этим доказана эквивалентность аксиомы 3 условию R — R3.
Аналогично выполнение аксиомы 4 гарантирует вы-
полнение «более слабой» аксиомы 2 и тем самым, по до-
казанному ранее, равенства R = R3. Обратно, равенство
R — R3 обеспечивает равенство R = R (в силу транзитив-
ности квазипорядка R) и тем самым означает выполнение
не только аксиомы 2, но и аксиомы 4.
Совершенно аналогичным образом устанавливается,
что из аксиомы 5 вытекают аксиомы 3 и 1 и равенство
R = R3 и обратно.
Необходимо отметить, что если функция выбора опре-
делена не для всех конечных подмножеств бесконечного
множества А, то аксиомы 1—5 могут оказаться неэкви-
валентными.
Однако при интерпретации выявленного предпочтения
совершенно не ясно, почему индивидуум может делать
выбор из бесконечных подмножеств, и не может — из
конечных. Кажется совершенно естественным предполо-
жение, что условия рационального выбора должны вы-
полняться для конечных множеств. Принятие этого тези-
са согласно теореме 6 сразу приводит к эквивалентности
всех требований рациональности (аксиом 1—5) и условий
теорем 3 и 5. При этом, очевидно, все выявленные отно-
шения предпочтения относятся к одному и тому же ран-
жированию объектов,
82
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
5. Выявление потребительских предпочтений. Теория выяв-
ленного предпочтения развивается в основном в связи с проблемами
описания потребительского спроса в экономике.
При этом в качестве множества А рассматривается множество
неотрицательных векторов тп-мерного пространства а = (аг, ...
..., ат), величина ai задает потребление г-го блага (продукта, това-
ра) (г = 1, ...» т). При заданном векторе цен р = (ръ ..., рт), где
Pi — цена i-ro блага, затраты на потребление вектора благ а состав-
ил
ляют р • а = 2 р^аг. Если общий доход рассматриваемой группы
потребителей равен М, то для потребления доступен любой вектор
а, удовлетворяющий неравенству р • а < М. Множество Ам (р) =
= {a GE Л |р • а М} называется бюджетным. Однозначная
функция выбора С определена на совокупности бюджетных мно-
жеств Ам (р); для вектора С (Ам (р)) примем обозначение С (р, М).
Отображение С (р, М) часто называется функцией (потребительско-
го) спроса. Методы построения функции С (р, М) на основе анализа
реального поведения потребителей широко развиваются в экономет-
рике.*
Сформулируем отношения Л, в терминах отображения
С (р, М) (отношение не определено, так как двухэлементные мно-
жества не являются бюджетными). При этом будем иметь в виду, что
потребительские предпочтения монотонно зависят от благ, т. е.
«полезность» вектора увеличивается при увеличении его компонент.
Это означает, что бюджет расходуется полностью, так что выполнено
условие:
а = С (р, М) а • р — М. (12)
Тогда любому вектору Ъ €= Ам (р), т. е. такому, что Ъ • р <
М, выявленно предпочитается вектор а такой, что а = С (р,М):
аНЬ [р • а>р*Ь, где а == С (р, М) для некоторых Мир], 1
аВ.2Ь «-* и а =/= &], ? (13)
аВ3Ь <-► [если b = С (g, М) для некоторых М и q, J
то Ь • q < а • q].
Переформулируем теперь аксиомы выявленного предпочтения.
Аксиома Г. Если а = С (р, и b = С (q, М2), то
р • Ь влечет q • а > q • b.
Аксиома 3'. Если а1= С (рь М±), ..., — С (р^,
то из ai • Pi a^+1 • pi (для всех i = 1, ..., к — 1) вытекает
Pk*ait<Pk ‘ ш-
Переформулировку аксиомы 5 мы не приводим, поскольку для
однозначных функций выбора она всегда эквивалентна аксиоме 3
(задача 15). Аксиомы же Г и 3' в данном контексте неэквивалентны,
условия их эквивалентности даны в [78]. Результаты о связи дру-
гих аксиом содержатся в [142].
Наряду с условием (12) экономический смысл функции спроса
приводит к тому, что можно заставить потребителей выбрать
§ 5. ВЫЯВЛЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
83
любой вектор а, подобрав специальным образом цены и доход:
У а G: А р,М а = С (р, М). (14)
Следующая теорема принадлежит Удзаве [78] и Гордону [138].
Теорема 7. Пусть функция спроса С (р, М) удовлетворяет
условиям (12), (14) и условию Липшица по М. Тогда косвенное отно-
шение выявленного предпочтения R является непрерывным линейным
квазипорядком на множестве всех строго положительных векторов,
удовлетворяющим условиям монотонности и выпуклости*), если вы-
полнена аксиома 3'.
Обратное (в некотором смысле) утверждение также принадле-
жит Удзаве.
Теорема 8. Если линейный квазипорядок является не-
прерывным, выпуклым и монотонным на множестве всех неотри-
цательных векторов, то он порождает однозначную непрерывную по
р функцию выбора С (р, М), которая удовлетворяет условиям (12),
(14) и аксиоме 3'.
Отметим, что по теореме Дебре непрерывный линейный ква-
зипорядок можно задать непрерывной функцией. Условия моно-
тонности и выпуклости показывают, что эта функция долж-
на быть строго монотонной (а > b / (а) > / (Ь)) и строго ква-
зивыпуклой (/ (а) > / (Ъ) -» / (X а + (1 — Х)&) > / (Ь) при всех
X (0, 1) и а Ь).
6. Выявление реальных предпочтений. Работы по эмпириче-
скому выявлению предпочтений ведутся в основном в области пост-
роения так называемой целевой функции потребления, отражающей
потребительский спрос какой-либо группы населения. Преимущест-
во описания спроса с помощью функции полезности (целевой функ-
ции потребления) перед описанием непосредственно в терминах
(векторной!) функции спроса состоит в том, что целевая функция
потребления сводит спрос на разные товары в единый показатель.
Поскольку выявляемая функция / определена с точностью до
монотонного преобразования, можно считать ее достаточно «глад-
кой», имеющей производные достаточно высоких порядков. Произ-
водные первого и второго порядка функции / могут быть выражены
через показатели, определяемые из эмпирических данных. Таким
образом, исследователь может построить члены первого и второго
порядков в разложении функции / в ряд Тейлора. Необходимость
в более точной аппроксимации обычно не возникает из-за труднос-
тей вычисления и интерпретации членов более высоких порядков:
ведь поведение функции в области экстремума полностью определя-
ется дифференциалами первого и второго порядков.
Продемонстрируем связь производных функции / с показателя-
ми спроса. В точке а = С (р, М) функция / (а) достигает максимума при
условии а • р = М. Приравнивая нулю производные функции Лагран-
жа / (а) 4- X (М — р • а), получим уравнения:
df
(i = 1, . . т), (15)
*) Отношение R монотонно, если а > b —> aR*b, и выпукло,
если aRb -» [(1 — Х)а + Kb]R*b для всех X, 0 < X < 1, афЬ.
84
fЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
так что первые производные функции / пропорциональны ценам.
Продифференцируем равенства (15) по М, учитывая, что а =
= С (р,М):
т з
....”>
>=1
гАе tij да^да- ’
Дифференцируя по М также бюджетное ограничение р • а —
= ЛГ, имеем
Систему равенств (16), (17) можно представить в матричном виде:
да;
Г дЛГ = б°’
(18)
где х = (—X, аъ ..., aw), б0 = (1> 0, ...» 0),
/° • • • рт
р _ I Р1 /п ... /1т
Р?П f ’ Лптп
Аналогично, дифференцируя бюджетное ограничение и (15) по
Р/с (А: = 1, ..., тп), получим систему равенств:
дх
Т'др^ = —Н-%6Л,
1, 0, ..., 0) — (т + 1)-мерный вектор с 1 на
..., тп).
дц.
—, выражающие изменение спроса на i-й
к
(19)
где б/t = (0, ..., 0,
Л-м месте (к = 0, 1
да{
Величины
товар при изменении дохода или цены &-го товара, определяются
эмпирически.
Умножая (18) и
~ дМ ’
да-
(19) слева на Г'1, получим
Чо1
да{
= («=0, . . ., т; Л = 1, . . ., т),
1 ft
где — элементы обратной матрицы Г**1, строки и столбцы кото-
рой пронумерованы от 0 до т. Все элементы матрицы Г"1, таким
образом, могут быть найдены эмпирически, за исключением
§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
85
-1 _ 1 дк п , дк
Too —~д~М' Параметры же л очевидно, не могут быть опреде-
лены из анализа спроса, так что их изменение не меняет выяв-
ленного спросом предпочтения. Это отражает тот факт, что / может
быть определена только в порядковой шкале.
Для того чтобы продемонстрировать возможности выявления
предпочтений в более широком контексте принятия решений, опи-
шем кратко результаты работы [136] по анализу предпочтений
правительства США в послевоенный период (поквартально с янва-
ря 1954 г. по декабрь 1964 г.) при достижении некоторых макроэко-
номических целей.
Предполагается, что правительство хотело достичь определен-
ных целей по следующим шести показателям: «замораживание»
уровня безработицы (на уровне 4%), желательный темп роста вало-
вого продукта (точнее говоря, того показателя, который сокра-
щенно называется GNP), снижение темпа роста цен (до 2% в год),
фиксирование на определенном уровне краткосрочной процентной
ставки, торгового баланса и дефицита государственного бюджета. Для
этого оно могло использовать следующие четыре управляющие пере-
менные: правительственные расходы, подоходный налог с граждан
и с корпораций и открытые рыночные операции. Данные о жела-
тельных значениях всех десяти переменных взяты из официальных
правительственных документов. Данные о реальных значениях —
из различных источников, в том числе из расчетов по эконометри-
ческой народнохозяйственной модели США.
Для функции полезности принимается следующее квадратич-
ное выражение, характеризующее удаленность реальных значений
переменных от желательных:
f = а-(х — х*) -f-р (у— У*} —
1 1
— — X*) А(х — X*) —у (У— У*) в (у— у*).
Здесь: х = (xt) — m-мерный вектор «текущих», а х* — желатель-
ных значений управляющих переменных, у = (yj) — п-мерный
вектор j «текущих», а у* — желательных значений управляемых
переменных; а = (а$) и f = (Pj) — векторы коэффициентов весо-
мости (весов) отклонений соответствующих переменных от жела-
тельных значений; А — диагональная матрица весов ац квадратич-
ных отклонений (xi — х^2 = 0, i =/= к); В — симметричная
матрица весов bj^, приписанных произведениям отклонений
(Уз — У)) (Ук — Уь)-
Отметим, что в / управляющие и управляемые переменные вхо-
дят аддитивно (не потому, что они не связаны в действительности,
а только для обеспечения возможности эмпирического анализа дан-
ных). Связь переменных х и у устанавливается следующим балан-
совым соотношением:
у — Rx Zs,
где R ~ матрица коэффициентов, связывающих цели у и средства
ж, $ — вектор значений некоторых других переменных, не управ-
86
ГЛ. Т. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
ляемых правительством, но имеющих воздействие на у, отражаемое
матрицей Z; размерность s может быть произвольной.
Подставляя это балансовое соотношение в / и дифференцируя /
по х, получаем условия оптимальности:
(а + 07?) - А (х - я*) - (R'B) (у - у*) = 0.
Отсюда
Ьх = А'1 [(а + 07?) — (R'B)by],
где Да? = х — х*, Ау = у -— у*.
Поскольку переменные Да: и Ду наблюдаемы в каждый «мо-
мент» времени, то можно эмпирически оценить связь между ними
в виде линейных соотношений следующего вида:
п
Да;1= e0i + S еЦ^+иг-
Сравнивая оба выражения для Да?ь получаем
п п
е°’=4- Ь + 2 w ’ %=- 4- 2 • ьм-
ai V i=l > a3 h=l
п
Ввиду диагональности А и симметричности В имеется тп,+ i
г=1
неизвестных (ац и bju) и т X п уравнений, так что решать их
можно только приближенно.
Выявление предпочтений (ац и bju) производилось отдельно
для республиканской администрации Эйзенхауэра и демократиче-
ской — Кеннеди — Джонсона. Оказалось, например, что для
обеих администраций стабильность цен была важнее, чем ста-
билизация безработицы, причем для Эйзенхауэра стабильность цен
была значительно важнее, чем для демократической администра-
ции. Эти правительства очень малое значение придавали темпам рос-
та национального дохода (правда, для Кеннеди и Джонсона этот
показатель был несколько более значим).
Такого рода методика, позволяя получить не только качествен-
ные, но и количественные оценки весов различных переменных, мо-
жет быть применена для анализа реального поведения любой ор-
ганизации, принимающей решения.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что отношениям эквивалентности соответствуют
графы, состоящие из нескольких, не связанных друг с другом со-
вокупностей вершин, в каждой из которых имеются дуги из любой
вершины в любую. Охарактеризовать графы квазисерий, (линейных)
квазипорядков.
2. Охарактеризовать матрицы смежности эквивалентностей,
квазисерий и квазипорядков.
ЗАДАЧИ
87
3. Показать, что антирефлексивное транзитивное отношение
Р a. А X А является квазисерией тогда и только тогда, когда
(а, 6) G Р [(а, с) G Р или (с, Ъ) G Р].
4. Введем операцию умножения отношений. Для Р, R CZ А X
ХА обозначим Р о R = ((а, Ь) | (а, с) R и (с, b) Е: Р для не-
которого с е А}. Доказать, что Р транзитивно тогда и только тог-
да, когда Р о Р а. Р. Охарактеризовать свойство обобщенной
транзитивности.
5. Со всяким отношением Р ассоциируется отношение эквива-
лентности Р = {(а, Ь) | Р <а> = Р <&>}. Пусть’ Р антирефлексив-
но и транзитивно. Доказать, что lp CZ 1р. Доказать, что Р, Р'1, 1р
обобщенно транзитивны по отношению 1Р. Если Р (или Р'1, или 1р)
обобщенно транзитивно по отношению Z, то I С 1р (докажите).
Это означает, что 1Р является наибольшим отношением, относитель-
но которого Р обобщенно транзитивно.
6. Доказать, что Р квазилинейно тогда и только тогда, ког-
да выполнено условие:
[(а, &) е Р И (с, d) е Р] [(а, d) е р ИЛИ (с, Ь) е р].
7. Отношение называется полупорядком, если оно представимо
отношением > на множестве интервалов одинаковой длины (т. е.
функцией / (а) с постоянной погрешностью б (а) = д). Доказать,
что квазилинейное антирефлексивное отношение Р является полу-
порядком тогда й только тогда, когда
Р <а> С Р <&> или Р'1 <а> С Р-1 <&>,
или, что то же самое,
[(a, b) е Р И (Ь, с) е Р]-^ [(а, d) G Рили (d, с) е Р].
8. Пусть g = (л1? aN) — строгое упорядочение множества
А. Будем называть его согласованным с упорядоченным разбиением
У = (7Х, 7^), если для at GE Zfc и aj ЕЕ Ц из k < I следует i < у.
Упорядоченные разбиения назовем согласованными, если существу-
ет строгое упорядочение, согласованное с ними обоими. Доказать,
что антирефлексивное квазилинейное отношение является полу-
порядком тогда и только тогда, когда согласованы соответствую-
щие ему упорядоченные разбиения.
9. Пусть Z — интервальная эквивалентность. Охарактеризо-
вать отношения Р, для которых Z — 1Р.
10. Пусть I — интервальная эквивалентность. Систему интер-
валов с натуральными концами назовем картой отношения I, ес-
ли Z представимо как отношение пересекаемости интервалов данной
системы. Длиной карты назовем разность самого правого и самого
левого концов ее интервалов. Для примера, изображенного на рис. 1,
построить карту минимальной длины. Доказать, что объект а Е Я
представим единичным интервалом карты минимальной длины тог-
да и только тогда, когда
z<a>g А 1 <ъх
Ъе!<а>
88
ГЛ. I. ОПИСАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Охарактеризовать совокупность карт минимальной длины для от-
ношения I.
И. Не только интервальные эквивалентности, но и произволь-
ные рефлексивные симметричные отношения (представимые обык-
новенными графами [37]) могут рассматриваться как отношения не-
различимости — в рамках следующей модели. Будем считать, что
каждый объект характеризуется набором дихотомических призна-
ков, т. е. таких, которые могут либо отсутствовать, либо наличест-
вовать у объекта. Это значит, что каждый объект а определяется
множеством Па наличествующих у него признаков. Определим от-
ношение I с помощью формулы:
(«, ц е / пд п Пъ т 0-
Такие отношения называются отношениями толерантности [88].
Показать, что каждое рефлексивное симметричное отношение может
быть представлено как отношение толерантности. В качестве Па
при этом можно использовать I <я> — множество «смежных» объ-
ектов или же множество доминантных клик ♦), содержащих а.
12. Показать, что пересечение транзитивных отношений тран-
зитивно. Назовем транзитивным замыканием отношения R отно-
шение Rt равное пересечению всех транзитивных отношений, вклю-
чающих/?. Доказать, что (a, b) €E\R тогдап^только'тогда, когдавгра-
гч 00
фе R существует путь из а в Ь, или, что то же самое, что R = U /?\
fc=l
где Rk = R о R1*-1 (см. задачу 4).
13. Доказать, что отношение ациклично тогда и только тогда,
когда его транзитивное замыкание антирефлексивно.
14. Доказать, что все наилучшие объекты в любом множестве
неразличимы.
15. Пусть С — однозначная функция выбора. Доказать, что
при этом условии аксиома 1 выражает асимметричность /?2, а ак-
сиома 5 — асимметричность R2. Доказать, что аксиома 3, независи-
мо от области задания однозначной функции выбора, также выража-
ет асимметричность R2 и, следовательно, равносильна аксиоме 5.
16. Если асимметричное отношение R не является ациклическим,
часто используется следующее обобщение понятия множества мак-
симальных элементов. Множество Т называется ядром отношения R
в множестве S, если, во-первых, (a, b) & R для любых a, b Г,
и, во-вторых, для всякого Ь е S найдется такое, что (a, b) (Е R.
Привести пример отношения, у которого не существует ядра. При-
вести пример отношения с несколькими ядрами в данном множест-
ве. Охарактеризовать отношения, у которых существуют и (или)
единственны ядра в любом подмножестве S.
*) Кликой называется подмножество S такое, что 4$ X S С I.
Клика называется доминантной, если добавление любого объекта
нарушает это свойство. Для эквивалентности доминантными клика-
ми являются ее классы.
ГЛАВА 2
ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
Что, если б Колумб или Коперник пустили
Америку и движение земли на голоса?
А. И. Герцен «Былое и думы»
§ 1. Обсуждение правила большинства
1. Понятие о принципах согласования. Уточним по-
становку проблемы группового выбора, обсуждавшуюся
во введении.
Пусть имеется п различных бинарных отношений
7?1? R2, . . Rn на множестве А. Отношение Rt будем
называть индивидуальным: оно задает предпочтение i-
го субъекта (или г-го признака). Требуется указать отно-
шение 7? cz А х А, в некотором смысле согласованное
с заданными отношениями Т?15 . . ., Rn. Это отношение
R называется групповым отношением.
Правило или систему правил, описывающих способ
построения группового отношения R, исходя из системы
индивидуальных отношений Rl4 . . ., Rn, будем назы-
вать принципом (правилом) согласования отношений. Та-
ким образом, принцип согласования характеризуется
отображением или, иначе говоря, функцией F (R1, . . .
. . ., Rn) = R, аргументами и значениями которой явля-
ются отношения. Конечно, для полного определения
принципа согласования необходимо указать совокупность
наборов (Rt, . . Rn), к которым он может быть при-
менен.
Функцию F далее так и будем называть принципом
согласования. Разные отображения F задают разные
принципы согласования.
Пусть, например, предпочтения трех экспертов на
множестве А = {а, Ь, с} заданы следующими ранжиро-
ваниями: 7?! = (а. Ъ, с), Т?2 = (а — Ъ, с), 7?3 = (&, с — а).
Для принципа согласования F\, полагающего групповое
отношение R всегда равным отношению предпочтения
первого эксперта, R будет определяться ранжирова-
90
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
нием Ях. Для принципа согласования F2, полагающего
групповое отношение равным теоретико-множественному
пересечению индивидуальных отношений, результат R
зависит от того, какими отношениями — квазисериями
или линейными квазипорядками — заданы ранжирова-
ния 2?х, Z?2, R3. Если это квазисерии, то, очевидно, что
R = R± Q R2 q я3 = {(&, с)}, если же квазипорядки, то R =
= {(а, а), (6, Ь) (с, с), (а, с), (&, с)}. В качестве принципа согла-
сования может рассматриваться и правило F3 (R±, R3,
R3) = R3\ которое полагает групповое отношение обрат-
ным предпочтению третьего эксперта. Конечно, F3 не
удовлетворяет интуитивному представлению о согласо-
ванном предпочтении. Однако до тех пор, пока мы не на-
ложили никаких формальных условий на выбор функции
F, она может выбираться совершенно произвольно. В сле-
дующей главе мы обсудим некоторые формальные требо-
вания (и их следствия) к принципу согласования, дикту-
емые интуитивными соображениями о согласованном вы-
боре.
Принцип согласования может формулироваться и бо-
лее сложно, например, принадлежность (а, Ь) ЕЕ R мо-
жет зависеть от выполнения различных условий для дру-
гих объектов. Скажем, правило может быть таким:
(а, &) Е Я тогда и только тогда, когда [(&, с) Е Я1 и
(а, с) R2i или [(&, с) Е Ri и (6, d) ЕЕ T?2J Дли некоторых
фиксированных с, dEzA. Еще более сложные принципы
согласования включают вероятностные механизмы.
2. Правило большинства. Правило большинства в его
различных модификациях — один из наиболее распро-
страненных принципов согласования.
Пусть 7?х, Т?2, • • • » Rn — индивидуальные отношения
на А. Через п (а, Ъ) обозначим количество индексов г,
для которых (а, Ъ) е Rt (Н 1,..., в).
Естественно возникают два принципа согласования по
правилу большинства:
(а,!))ЕЙ—Ь) > —
(1)
(а, Ь) е п (а, Ь) п(Ь, а). (2)
Приведем пример, поясняющий разницу между отноше-
ниями R и R+. Пусть имеется 100 экспертов, оцениваю-
§ 1. ОБСУЖДЕНИЕ ПРАВИЛА БОЛЬШИНСТВА
91
щих два объекта а и Ь. Пусть один эксперт предпочитает
объект а объекту Ь, а остальные 99 считают их равно-
ценными. Каково должно быть групповое решение?
Существует мнение, что решение должно приниматься
«активными» индивидуумами, имеющими строгое пред-
почтение, поскольку остальным «все равно». Согласно
этой точке зрения а предпочтительнее Ь для группы,
так как ни для кого не выполнено обратное, а индивиду-
умы, строго предпочитающие а, существуют. Рассужде-
ние такого рода и формализовано в определении (2),
поскольку разница в п (а, Ь) и п (6, а) равна разнице
числа экспертов, строго предпочитающих а, и числа экс-
пертов, строго предпочитающих 6. В нашем случае
п (а, Ь) = 100 > п (6, а) = 99.
В противоположность этому формула (1) основана на
точке зрения, утверждающей, что необходимо принимать
во внимание мнения не только о строгом предпочтении,
но и о равноценности объектов. На наш взгляд, это спра-
ведливо и при анализе ранговых и номинальных призна-
ков. Действительно, можно ли утверждать, что а значимо
отличается от &, если они совпадают по 99 признакам
из 100? Или по 97 совпадают, по двум а хуже 6, а по одно-
му а лучше Ь?
Заметим, впрочем, что оба принципа согласования
совпадают, если индивидуальные отношения выражают
только строгие (т. е. асимметричные) линейные пред-
почтения. В самом деле, тогда п (а, Ъ) + п(Ь, а) ~ п.
Значит, п (а, Ъ) > п (Ь, а) <-> 2п (а, Ь) > п <-> п (а, Ъ)
у. Имея это в виду, далее будем называть и Я, и 7?+
мажоритарным отношением, оговаривая, когда это по-
надобится, какое именно определение, (1) или (2), рас-
сматривается.
Рассмотрим пример, в котором предпочтения трех
экспертов на множестве А = {а, Ь, с} задаются ранжи-
рованиями = (а, 6, с), R2 = (с, Ь, а), R3 = (6, а, с).
В этом случае, R = R+ = R3, так как b лучше а для
R2 и 7?з, b лучше с для и /?3, а лучше с для R± и R3.
Если же R± = (а, Ь, с), В2 = (&> а) и 7?3 =
= (с, а, Ь), то R = R+ и, как мы уже видели во введении,
aRb, bRc, но cRa (а не aRc, как следовало бы по транзитив-
ности).
92
ГЛ. 2. правило большинства
Сущность этого парадокса, конечно, состоит в том,
что мажоритарное отношение не является ациклическим
и (по теореме 1.5.1) не порождает функцию выбора.
3. Нетранзитивность мажоритарного отношения. Мы
видим, что легкость применения правила большинства
компенсируется существенным его недостатком: группо-
вое отношение может быть нетранзитивным, даже если
все индивидуальные отношения являются линейными
квазипорядками. Нетранзитивность группового решения
означает, что правило большинства неприменимо в проб-
леме согласования произвольных объективных признаков,
заданных, например, в ранговых шкалах. Групповое отно-
шение здесь так же должно быть линейным квазипорядком,
как и индивидуальные отношения, поскольку оно выра-
жает «согласованный» признак.
Может показаться, что при согласовании субъективных
оценок нетранзитивность группового отношения вполне
приемлема, ведь допускается же нетранзитивность в ин-
дивидуальных предпочтениях. Однако это не совсем так.
Рассмотрим подробнее пример с набором (а, Ь, с),
(Ь, с, а), (с, а, Ъ) — каждое из этих ранжировашш полу-
чается из других циклической перестановкой объектов.
Стандартная процедура применения правила боль-
шинства состоит в последовательном рассмотрении пар
объектов с заменой менее предпочтительного объекта
новым.
В нашем случае сравнение а и b производится в пользу
а, так что b изымается из рассмотрения; в сравнении же а
и с побеждает с, так что с получается наиболее предпочти-
тельным. Если а, b и с — конкурирующие законопроекты,
а отношения выражаются различными группировками
законодателей, то будет принят законопроект с.
Но если объекты а, Ъ, с рассматривать в другом по-
рядке, то «победителем» окажется другой объект! Напри-
мер, если порядок предъявления — Ь, с, а, то победит
а, если порядок предъявления а, с, Ъ — победит Ь.
Чье же/мнение выражает принятый таким образом зако-
нопроект? Большинства пли того, кто выносит их на рас-
смотрение? Ясно, что решения такого рода не соответст-
вуют интуитивному представлению о согласованном ре-
шении группы субъектов^
§ 1. ОБСУЖДЕНИЕ ПРАВИЛА БОЛЬШИНСТВА
93
Никакое усиление правила большинства в том направ-
лении, чтобы считать большинством, начиная не с у,
а с большей величины, скажем, трех четвертей или 99%
всех голосов, здесь не поможет. Рассмотрим простейшую
ситуацию такого рода.
Пусть имеется п субъектов; каждый имеет некоторое
количество ресурса, суммарная величина которого фик-
сирована и равна а. Состояние системы описывается век-
тором а = (ах, . . ., ап), где at — количество ресурса
у i-ro индивидуума. На множестве состояний отношение
предпочтения i-го субъекта описывается просто: а не
хуже Ъ для i, если at > Примем, что групповое решение
принимается на основе самого сильного правила боль-
шинства: aRb, если aRtb для всех i, кроме, быть может,
одного. Здесь Rt — отношение «не хуже» для i-ro субъек-
та. Такое правило большинства назовем тотально-мажо-
ритарным. Ясно, что в условиях постоянства величины
п п
$ = S ai= S \ невозможно aRtb для всех i (при
1=1 1=1
а =^= &), так что обязательно bRta для некоторых i. Конеч-
ную последовательность состояний ax, а2, ..., будем
называть тотально-мажоритарным путем из ах в ad. если
a; Ra^r (j = 2,..., k). Таким образом, тотально-мажори-
тарный путь — это такая последовательность перераспре-
делений ресурса, что каждое перераспределение выгодно
всем участникам, кроме одного.
Пусть а = (ах, . . ., an), b = (Ьх, . . ., Ьп) — два про-
извольных состояния системы. При каких условиях
существует тотально-мажоритарный путь из а в й? Ока-
зывается, такой путь существует всегда.
Доказательство этого проиллюстрируем примером для
случая п = 5 : а = (0; 0; 1; 1; 3), b = (2; 2; 1; 0; 0).
Ясно, что некоторые компоненты at больше Ь^ некоторые
меньше и некоторые равны. Обозначим /х = {f | at > &z},
12 = 0 I O't == bt}. I3 = {г | a t<C bi}. Очевидно, что
2 ~ 2 Ьг $ 2
В нашем примере/г = {4,5}, Za={3}, I9 = {1,2}. Построим
состояние а1 следующим образом.
94
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
Полагаем в нем а* = bt для некоторого произволь-
ного f G Д, а разницу — bi распределяем, добавляя
к aj, j Z3, но так, чтобы не получить величины, боль-
шей соответствующего bj. Это всегда возможно, поскольку
2 — 2 (Ьг — (ц). В нашем примере пусть i =
i&Ii i&3
= 4, а всю разницу а4 — 64 добавим к ах; тогда а1 =
— (1; 0; 1; 0; 3). Ясно, что arRa, поскольку уменьши-
лась только одна компонента. При этом в 12 добавился
один элемент.
Теперь начинаем процесс сначала, так, чтобы увели-
чить 12 еще на один элемент. Через конечное число шагов
$ получим /2 = {!» 2, . . ., п}, так что а5 = Ь, что и тре-
бовалось доказать.
В нашем примере в /х остался всего один элемент i =
~ 5; распределяем al = 3 среди первых двух компонент,
добавляя к единицу, а к — два, получим а2 =
= (2; 2; 1; 0; 0) = &, причем a^Ra1.
Таким образом, имеет место парадоксальная ситуация:
возможны любые перераспределения и все они выражают
мнение «всего общества», кроме одного субъекта (правда,
эти «несогласные» различны на разных этапах).
Более того, при каждом таком перераспределении мож-
но изымать часть ресурсов из системы, доводя ее до пол-
ного «обнищания», даже если каждое следующее состоя-
ние строго предпочтительнее по всем показателям, кроме
одного. В нашем примере, исходя из а = (0; 0; 1; 1; 3),
можно сначала изъять 0,6 единиц ресурса, получив а1 =
= (0,1; 0,1; 0; 1,1; 3,1), причем аЧ{а, затем изъять еще
0,7 единиц из а\ : а2 = (0,2; 0,2; 0,1; 0; 3,2), причем
a2Ra1. Теперь можно изъять 2,8, получая а3 = (0,3;
0,3; 0,2; 0,1; 0), и опять а37?а2. Мы оставили в системе
всего 0,9 единиц ресурса, причем каждое распределение
улучшало состояние по всем показателям, кроме одного.
Концепция тотально-мажоритарного пути допускает
значительное усиление. А именно, пусть предпочтения
i-го субъекта характеризуются функцией полезности
fi (i = 1, . . ., п). Множество всех векторов f (а) —
= (А (а), . . ., fn (а)) (а е А) обозначим через U. По-
следовательность векторов / (aj, . . ., / (ak) из U назо-
вем тотально-мажоритарным путей, если для любого
§ 1. ОБСУЖДЕНИЕ ПРАВИЛА БОЛЬШИНСТВА
95
7 = 1, . . ., к — 1 ft (aj+1) > (а;) для всех i, кроме,
быть может, одного. Это определение отличается от пре-
дыдущего прежде всего тем, что aj+1 строго лучше (а
не «не хуже»)а7- для i-ro индивидуума. И все равно можно
доказать (задача 1) что, если U открыто и связно, то то-
тально-мажоритарный путь существует между любыми
/ и g из U (даже при g < /). Идея доказательства этой тео-
ремы та же, что и в разобранном примере.
4. Стратегический аспект правила большинства. Ко-
нечно, приведенные примеры нельзя толковать расшири-
тельно как парадоксы реальных процессов группового
выбора. Поведение участников реальных ситуаций сущест-
венно учитывает предысторию, так что субъекты с боль-
шим количеством ресурсов будут стремиться к образова-
нию различных коалиций, блокирующих дальнейшие
перер аспреде ления.
Таким образом, нетранзитивность мажоритарного от-
ношения приводит к вовлечению участников в стратеги-
ческую игру, рациональное поведение в которой сущест-
венно увеличивает шансы участника на то, что его субъек-
тивное мнение будет лучше отражено в групповом решении.
Не вдаваясь в тонкости, связанные с формированием
коалиций (прежде всего из-за отсутствия содержательных
теорий их образования), продемонстрируем возможность
активного вмешательства субъекта в рассматривавшемся
примере набора ранжирований (а, Ь, с), (Ъ, с. а),
(с, а, Ь) в случае, когда объекты предъявляются в алфа-
витном порядке. Мы видели, что при этом побеждает
объект с — самый худший вариант для первого субъекта.
Может ли он что-либо сделать, чтобы объект с не по-
бедил? Одна из простейших стратегий — скрыть свои пред-
почтения на первом этапе голосования. Если при рассмот-
рении а и & он проголосует за &, то остается не а, а Ь.
При дальнейшем сравнении b побеждает с. И, таким обра-
зом, первый индивидуум несколько улучшает групповой
выбор (в смысле своих предпочтений, конечно), казалось
бы, целиком продиктованный порядком предъявления
объектов.
Еще один пример использования стратегии при голо-
совании. Пусть компетентное жюри выбрало среди пред-
ставленных на конкурс художественных произведений
лучшее; обозначим его а. Но затем часть членов жюри
96
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
пересмотрела свои мнения и потребовала признать луч-
шим другое художественное произведение Ь. Пусть для
отмены принятого решения необходимо не менее половины
голосов, и они собраны. Пусть даже собрано 60% голосов
в пользу Ь. Тогда часть жюри, оставшаяся в меньшинстве,
чтобы воспрепятствовать отмене а, может предложить дру-
гое произведение с и потребовать сначала сравнения
b и с с тем, чтобы заменить а на лучшее из них. При таком
сравнении с может победить Ь за счет присоединения не-
которых голосов из числа желающих заменить а. Напри-
мер, с лучше Ь для 40% голосов — той части жюри, ко-
торая не хочет отмены а, и с лучше b (и конечно, лучше а)
еще для 20% (из тех 60%, которые добиваются отмены
а). Таким образом, b выбывает из рассмотрения. Сравне-
ние а и с показывает, что в пользу а голосует часть жюри,
не желающая его отмены (40%) и часть противоположной
группы, считающая с плохим (скажем, 20%). Но тогда а
набирает 60% и остается.
Разработка моделей голосования, учитывающих стра-
тегический аспект, может способствовать существенному
прогрессу общей теории группового выбора.
§ 2. Условия транзитивности мажоритарного
отношения
1. Вид условий транзитивности. Приведенные в раз-
деле 1.2 примеры показывают, что даже в применении
к линейным квазипорядкам правило большинства может
приводить как к транзитивным, так и нетранзитивным
отношениям. Представляет интерес охарактеризовать ин-
дивидуальные отношения, для которых мажоритарное от-
ношение является транзитивным. В столь общей постанов-
ке проблема эта совершенно не исследована.
В данном параграфе мы будем заниматься более кон-
кретной задачей выяснения условий, при которых и инди-
видуальные и мажоритарное (по формуле (1)) отношения
являются линейными квазипорядками. Поскольку мажо-
ритарное отношение тогда также обязательно линейно
(так как п (а, Ь) + п (Ь, а) > п), то искомые условия
должны обеспечивать только транзитивность мажоритар-
ного отношения. Кроме общего интереса с точки зрения
теории голосования, сформулированная задача имеет
$ 2. ТРАНЗИТИВНОСТЬ МАЖОРИТАРНОГО ОТНОШЕНИЯ 97
немаловажное значение в рамках теории анализа
ранговых признаков, которая будет обсуждаться в сле-
дующем параграфе. В связи с потребностями этой теории
анализа данных, мы будем пользоваться несколько моди-
фицированным правилом большинства (1).
Модификация относится только к случаю, когда п
четно, и и (а, Ъ) = у. В этом случае правило (1) вклю-
чает (а, Ь) в R. Поскольку все индивидуальные отноше-
ния линейны (как линейные квазипорядки), то и
м (&, а) > у, так что (Ь, а) также содержится в Я по (1).
Откажемся от столь жесткого правила. Будем считать
мажоритарным всякое отношение, которое содержит
(а, Ь) при п (а, Ъ) > , а при п (а, Ъ) = у может со-
держать не обязательно обе пары (а, Ь) и (fe, а), но толь-
ко одну из них. Таким образом, данной совокупности
индивидуальных предпочтений соответствует множество
мажоритарных отношений, которое, кроме (1), содержит
также и все те отношения, которые получаются из (1)
изъятием некоторых пар (а, Ъ) при п (а, Ъ) = у (но не
(а, Ъ) и (Ь, а) одновременно). Конечно, если п нечетно,
то это множество состоит из единственного мажоритарно-
го отношения, определенного формулой (1).
Сделанное ослабление понятия мажоритарного отно-
шения увеличивает шансы транзитивности: само отно-
шение (1) может быть нетранзитивно, но его некоторая
модификация — транзитивна. Пусть, например, Rx =
= (а, Ь, с) и Я2 = (Ь, с, а). Посмотрим, чему равно ма-
жоритарное отношение (1). Для этого воспользуемся
матричным представлением линейных квазипорядков R±
и /?2, считая объекты пронумерованными в алфавитном
порядке:
/1 1 1\ /1 и 0\
О 1 1 I Д2= 1 1 1 .
\ О 0 1 / \ 1 0 1 J
В матрице смежности || Гц || мажоритарного (в смысле (1))
отношения R элемент гц равен 1 тогда и только тогда,
п
когда У г$ > Здесь Гу — элемент (г, у) матрицы
fc=i z
4 Б. Г. Миркин
98
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
смежности отношения Rk. В нашем случае ~ = 1, поэтому
(1 1 1\ 1
Я= 1 I 1 •
\1 0 1 /
Очевидно, что R нетранзитивно. Действительно, (с, a) ЕЕ
Е й и (а, b) е R, но (с, b) £=£ R. Но если мы рассмотрим
модифицированные мажоритарные отношения, полагая
г12 (либо г21) и (или) г13 (либо г31) равными 0, то получим,
например,
/1 0 1 \ /10 0\ /1 1 1 \
111, 111, 0 11,
\ 1 о 1 / \ 1 о 1 / \ 1 о 1 /
/1 1 1 \ /1 1 о\
0 11, 1111
\ о о 1 / \ 1 о 1 у
и в том числе jRx и /?2, которые транзитивны.
Итак, наша задача — охарактеризовать наборы инди-
видуальных отношений, для которых хотя бы одно из
модифицированных мажоритарных отношений транзитив-
но.
Прежде всего упростим задачу, перейдя от рассмотре-
ния всего множества объектов А к его произвольному
трехэлементному подмножеству. Из определения тран-
зитивности (1.2.3) следует, что отношение транзитивно
на А тогда и только тогда, когда оно транзитивно на лю-
бом трехэлементном подмножестве Л. Это позволяет ис-
следовать условия транзитивности мажоритарного отно-
шения для множества трех объектов, после чего можно
утверждать, что оно транзитивно на А тогда и только
тогда, когда условия транзитивности выполнены для
любого трехэлементного подмножества Л. Такой переход
позволяет полностью решить рассматриваемую задачу
(правда, в несколько усеченном виде, как будет видно
далее,— только в терминах допустимых множеств). Опи-
сание же «глобальных» условий транзитивности удается
пока только в некоторых простейших случаях (см. раздел
4 и задачу 9).
Итак, рассматривается множество из трех объектов:
{а, &, с}. Существует всего 13 ранжирований (линейных
§ 2. ТРАНЗИТИВНОСТЬ МАЖОРИТАРНОГО ОТНОШЕНИЯ 99
квазипорядков) этого множества. Вот они: Р± = (а, Ь, с),
Р2 = с, а), Р3 = (с, а, 6), Р4 = (6, а, с). Ръ =
— (а, с, b), PQ = (с, 6, а), Р7 = (а — &, с), Р8 =
= (а — с, Ь), Р9 = (Ь — с, а), Р1о = (с, а — Ь), Ри =
= (Ь, с — а), Р12 = (а, Ь — с), Р13 = (а — Ъ — с). Здесь,
как и ранее, тире обозначает неразличимость объектов.
Всюду далее в этом параграфе будем считать данную ну-
мерацию этих 13 ранжирований фиксированной.
Пусть из общего числа п субъектов придерживается
13
отношения Рг (i = 1, . . ., 13), так что п$ — п. Под-
г==1
множество D cz {Рь . . ., Р13} будем называть допусти-
мым, если при любых пг 0 для Pi EzD и nt — 0 для
Pi существует транзитивное мажоритарное отноше-
ние *).
Мы будем исследовать только условия допустимости
подмножеств D ранжирований Рг, Р2, . . . , Р13 — усло-
вия транзитивности мажоритарного отношения незави-
симо от числа голосов, поданных за то или иное отноше-
ние множества D.
Иначе говоря, мы ищем условия транзитивности мажо-
ритарного отношения при выполнении неравенства, свя-
зывающего величины которое имеет вид
«А + «2«2 + . . . + aian13 < О,
где at е {0, 1}. Совокупность D ={Рг|аг = 0} при этих
условиях, очевидно, допустима.
Конечно, можно искать условия транзитивности при
выполнении соотношений более общего вида,
/й(пх, . . . , п13) <0 (к = 1,2, . . .),
однако в настоящее время они совершенно не обозримы.
Примером такого более общего ограничения является
П1 n2 “F • • • "Ь п13> т- Н” п2 4“ • • • 4“ ni3 +
+ 1 < 0, выражающее тот факт, что число голосов,
поданных за превышает п/2, так что мажоритарное
отношение совпадает с и, значит, всегда транзитивно.
2. Критерий допустимости множества предпочтений.
Прежде всего отметим, что, очевидно, свойство допусти-
♦) Ясно, что это определение допустимости пригодно для лю-
бого, а не только трехэлементного множества А.
4*
100
гл. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
мости сохраняется, если все отношения Pt из D заменить
на обратные Р^1. Точно так же сохраняется допустимость
множества отношений при перестановке (т. е. взаимно од-
нозначном преобразовании) объектов. Так, вместе с мно-
жеством {(а, 6, с), (а — 6, с)} допустимо {(с, 6, а), (с, а —
— 6)}, полученное обращением отношении, и {(с, 6, а),
(Ь — с, а)}, полученное перестановкой а и с.
Мы будем рассматривать допустимые множества, по-
лучающиеся друг из друга перестановкой объектов или
обращением отношений, как эквивалентные, и ограничим-
ся рассмотрением только неэквивалентных множеств. Это,
во-первых, резко уменьшает количество допустимых мно-
жеств, которые необходимо обозреть, и, во-вторых, поз-
воляет пользоваться «агрегированной» терминологией для
характеристики допустимых множеств, не требующей
упоминания конкретных элементов а, Ь или с.
В данном разделе мы сформулируем критерий допусти-
мости множества ранжирований. Мы увидим, что неодно-
кратно обсуждавшийся пример циклических предпочте-
ний в некотором смысле является единственным источни-
ком нетранзитивности. Предварительно введем некото-
рые понятия.
Совокупность трех строгих ранжирований вида (х,
у, z), (у, z, я), (z, х, у), получаемых друг из друга цикли-
ческой перестановкой объектов, назовем циклической.
Поскольку три объекта могут быть упорядочены всего
шестью разными способами, то, очевидно, имеется ровно
две циклические совокупности. Каждое из упорядочений
циклической совокупности порождает остальные пере-
становкой первого объекта на последнее место и переста-
новкой последнего объекта на первое место; эти два объекта
назовем циклическими. Например, упорядочение (ж, у, z)
порождает (у, z, х) с циклическим объектом х и (z, х, у)
с циклическим объектом z.
Линейный квазипорядок назовем дихотомическим, ес-
ли соответствующее разбиение (ранжирование) состоит
из двух классов. Если всего имеется три объекта, один из
классов обязательно содержит только один объект. Ди-
хотомические ранжирования будем называть однотип-
ными, если их одноэлементные классы имеют один и тот
же номер. Так, ранжирования (х — у, z) и (я — z, у)
однотипны, а (х — у, z)_h_(z, х — у) — нет.
§ 2. ТРАНЗИТИВНОСТЬ МАЖОРИТАРНОГО ОТНОШЕНИЯ 101
Теперь сформулируем следующее обобщение понятия
циклической совокупности строгих ранжирований. Мно-
жество трех линейных квазипорядков {xQyQz, yQzQx,
zQxQy}*) называется циклическим, если оно удовлетворяет
следующим условиям:
(а) если в одном из отношений множества все объекты не-
различимы, то для циклических объектов остальных от-
ношений имеет место строгое предпочтение;
(б) все три отношения не могут быть однотипно дихото-
мическими.
Например, совокупность (х — у — z), (у — z, х) и
(z, х — у) удовлетворяет условию (а), а совокупность
(х, у — z), (у — z, х), (z, х — у) условию (б) (конечно,
в обоих случаях второе условие выполнено автомати-
чески) .
Теорема 1. Совокупность ранжирований являет-
ся допустимой тогда и только тогда, когда она не вклю*
чает циклического множества.
Доказательство. Пусть множество ранжи-
рований D допустимо. Тогда, очевидно, всякое его подмно-
жество D' также допустимо, так как всегда можно счи-
тать, что за отношения из D — D' не подано голосов.
Покажем, что всякое циклическое множество недопусти-
мо и, следовательно, не может содержаться в D. Рассмот-
рим возможные случаи.
Пусть циклическое множество содержит хотя бы одно
строгое ранжирование и не содержит Р13 = (а — Ь — с).
Тогда оно имеет вид {(х, у, z), yQzQx, zQxQy}. Будем
считать, что за каждое отношение подано примерно оди-
наковое число голосов —. Тогда, очевидно, (у, z) и (z, х)
принадлежат мажоритарному отношению R, точно так
же, как (z, х) и (х, у). Для транзитивности нужно, чтобы
мажоритарное отношение R содержало (у, х) и (z, у).
Значит, отношения должны иметь вид (х, у, z), (у — z, х),
(z, х — у), так как иначе (у, х) и (z, у) не соберут большин-
ства. Но тогда (х, у)ЕНп (у, z) ЕЕ R, а (х, z) $= R, так
что R нетранзитивно.
♦) Здесь символом xQy обозначено отношение: х предпочтитель-
нее или эквивалентен у.
102
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
Рассмотрим теперь случай, когда циклическое мно-
жество содержит Р13 = (а — b — с), так что имеет вид
{(гг — у — 2), (z, xQy), (yQz, х)} согласно условию (а).
Опять потребуем одинакового числа голосов за каждое
отношение. Тогда, очевидно, (я, у) Я, (у, z) & R, но
(ж, z) R и R нетранзитивно.
Пусть теперь циклическое множество состоит из ди-
хотомических ранжирований и согласно пункту (б) имеет
следующий вид: {(х — у, z), (у — z, ж), (z, х — у)}. Тогда,
очевидно, (х, у) €= R и (у, z) е= R, но (х, z) R, значит,
R нетранзитивно.
Все возможности исчерпаны, мы показали, что допу-
стимое множество не содержит циклического подмноже-
ства.
Доказательство обратного утверждения о том, что если множе-
ство предпочтений не включает циклического подмножества, то оно
допустимо, мы отложим до раздела 6. Сначала перечислим все кон-
кретные допустимые множества.
3. Одномерные предпочтения. Рассмотрим систему предпочте-
ний, порождаемую следующей моделью.
Пусть данные объекты характеризуются некоторым числовым
признаком (как иногда говорят, одномерным континуумом), опре-
деляющем индивидуальные предпочтения в следующем смысле. Каж-
дый индивидуум имеет одно наиболее предпочтительное значение это-
го признака и оценивает объекты по тому, насколько значения приз-
нака для них удалены от «идеального» значения: чем дальше, тем
-------1-----ю___________I__________I 0-
У____________________________________Z
Рис. 3.
менее предпочтительны. Приведем пример такой ситуации. Пусть
имеется несколько альтернативных предложений о количестве дан-
ного ресурса, которое необходимо выделить некоторой организа-
ции. Группа экспертов должна выработать согласованное решение
о сравнительной предпочтительности этих предложений. Если экс-
перт считает, что наиболее предочтительно выделение 1000 единиц
ресурса, а предложены количества а = 1100, Ъ = 1500, с = 800, то эти
варианты он упорядочит по тому, насколько они близки ^«идеально-
му», т. е. к 1000: (1100, 800,1500), так как а отличается от 1000 мень-
ше, чем с И Ь.
Представим данные объекты точками х, у, z соответствующе-
го одномерного континуума (рис. 3). На рисунке через Л обозначена
середина отрезка ху, через В — середина xz, через С — середина yz.
Тогда эксперты, предпочитающие значения, расположенные
на оси левее Л, очевидно имеют предпочтение (а;, у, z), поскольку х
$ 2. ФРАНЗИТ?ЙВЙОСГГЬ МАЖОРИТАРНОГО отйошйний юз
ближе всего к точке наибольшего предпочтения, у — несколько
дальше, z — еще дальше. Аналогично, эксперт, имеющий в качест-
ве точки наибольшего предпочтения Л, имеет предпочтение (х —
— у, z), поскольку а; и у находятся от А на одинаковом расстоянии.
Другие эксперты могут иметь предпочтения (у, a?, z) (для точек наи-
большего предпочтения, находящихся внутри отрезка АВ), (у, х —
— z) (для точки В), (у, z, х) (для точек внутри ВС), (у — z, х) (для
точки С) и (z, у, х) (для точек, лежащих правее С). Итак, в рамках
рассматриваемой модели появляется следующее множество предпоч-
тений:
{(я» У, z), (х — у, z), (у, х, z), (у, х — z), (у, z, х), (у — z, о;),
(z, у, ®)}. (3)
Покажем, что множество (3) допустимо. Для этого воспользуемся
матричным представлением отношений из (3):
/1 1 1\ /11 1\ /1 0 1\ /10 1\
ri=(0 1 1 , г2= 1 1 1 , г» = /1 1 11 1 1 1 ,
\0 0 1/ \0 0 1/ \0 0 1/ \1 0 1/
/1 0 0\ /10 0\ /1 0 0\
г®= 1 1 1), г8=|1 1 1 , г7=(1 1 0 .
\1 0 1/ \1 1 1/ \1 1 1/
Посмотрим, чему равны элементы мажоритарной матрицы г.
Прежде всего ясно, что = 1 (к = 1, 2, 3), так как « 1 для
всех i.
Заметим, что = 0 и г\3 = 0 встречаются только по одному
разу (для i = 1 и i = 7), поэтому факт г21 = 0 (или г23 = 0) означа-
ет, что число голосов, поданных за г1 (или за г7), не меньше п/2,
так что г — г1 (или г = г7) и, значит, R транзитивно. Остается рас-
смотреть случай, когда г21 = г23 = 1.
Если теперь г31 = 0, то п1 + и2 + и3 > л/2*), так что г32 = 0
и Г1з = 1, т. е. г имеет вид
(1 7*12 1\
11 1 ,
0 0 1/
причем г = г2 для т*12 = 1 и г = т*3 для г12 = 0, так что R транзитив-
но в обоих случаях.
Если же г31 — 1, то п4 4- п3 + п6 + п7 п/2, так что г12 = 0
и матрица г выглядит так:
(1 0 из \
11 1 .
1 7*32 1 /
Любое сочетание значений г13 и г32, кроме г13 = г32 = 1, де-
лает R транзитивным, а поскольку п3 + п6 + п7 — п — п1 — п2 —
♦) Здесь п1 — число голосов за И (или 2? j).
104
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
— п3 — п4, то либо г13 = 0 (как в г5, г6 и г7), либо г32 = 0 (как в ос*
тальных предпочтениях). Значит, множество (3) допустимо.
Интерпретацию множества, получаемого из (3) обращением от-
ношений, можно дать в терминах «наименее предпочтительных зна-
чений» одномерного континуума: каждый индивидуум упорядочи-
вает объекты в прямой зависимости от того, насколько они удалены
от наименее предпочтительного значения — чем дальше, тем лучше.
Ясно, что порождаемые таким образом отношения являются обрат-
ными к отношениям, образуемым на основе «наиболее предпочти-
тельных значений».
Рассмотрим теперь случай, когда «идеальные» значения для
экспертов расположены вдали от точек, соответствующих данным
объектам (т. е. существенно правее z или левее а; на рис. 3). При этом
эксперт может не различать наиболее удаленные точки. Если, на-
пример, наименее привлекательное значение эксперта находится
левее х на рис. 3, он может иметь только такие предпочтения: (z,
у, х), если различает все объекты, (z — у, а;), если не различает два
объекта, (z — у — а;), если не различает все три объекта.
Все индивидуумы разбиваются на два класса «по стилю поведе-
ния» (в один класс входят те, для которых «идеальная» точка явля-
ется значением наибольшего предпочтения, а в другой — наимень-
шего) и на два класса по «местоположению» на оси (соответственно
тому, в положительной или отрицательной «бесконечности», т. е.
справа от z или слева от х находится их «идеальное» значение).
Будем считать, что все индивидуумы находятся по одному из
этих признаков в одном классе. Это порождает следующие две воз-
можности:
1) индивидуумы одного и того же «стиля поведения» занимают
разные «местоположения».
2) индивидуумы разных «стилей поведения» занимают одинако-
вое «местоположение».
Первой возможности соответствует множество предпочтений
вида
{(х, у, z), (х, у — z),(x — у — z), (z, X — у), (z, у, я)}, (4)
которое получается из рис. 3, если в качестве «идеального» значе-
ния все индивидуумы принимают наиболее (а не наименее) привле-
кательное.
Второй возможности соответствует множество
{(^. У. 2), (ж, у — z), (х — у — z), (у — z, х), (z, у, х)}, (5)
которое получается, если «идеальные» точки всех индивидуумов
расположены слева от х.
Множества (4) и (5) допустимы. Докажем, например, допусти-
мость (4). Для этого опять перейдем к рассмотрению матриц смеж-
ности:
/1 1 1\ /11 1\ /1 1 1\
г1 = I 0 1 11, г2 — | 0 1 11, г3 — I 1 1 1 ) ,
\0 0 1/ \0 1 1/ \1 1 1/
/1 1 0\ /10 0\
г4 =11 1 0|, г5 = 11 1 0 I .
\1 11/ V 1 1/
§ 2. ТРАНЗИТИВНОСТЬ МАЖОРИТАРНОГО ОТНОШЕНИЯ 105
Если в мажоритарной матрице г13 = 0, то п4 4- п§ п/2, так что
г28 = О, и Г21 = rsi = '•зг = 1:
/1 Г12 0\
г = 1 1 0 .
\1 1 1/
Очевидно, что г = г4 для r12 = 1 и г = г® для г12 = 0, так что в обо-
их случаях R транзитивно.
Если же г13 = 1, то п1 + п2 + п3 п/2 и г12 == г2з = 1, а
7*31 и r2i принимают одинаковое значение. Если г31 = г21 = 0, то
R транзитивно независимо от значения г32. Равенство r31 = r21 = 1
влечет п3 4- п4 + пъ. п/2 и, значит, r32 = 1, что опять приводит
к транзитивному R.
Аналогично доказывается допустимость множества (5). Таким
образом, мы получили следующее утверждение.
Теорема 2. Одномерные множества вида (3), (4), (5) до-
пустимы.
Заметим, что приведенные модели пригодны для любого конеч-
ного числа N объектов. Ясно, что если N объектов соответствуют N
различным точкам одномерного континуума, а индивидуумы ведут
себя так, как предписано одной из наших моделей (3), (4), (5), то
предпочтения для любых трех объектов допустимы, и, значит, до-
пустимы для всех N объектов. Но, конечно, такая ситуация отнюдь
не исчерпывает всех случаев допустимости для N объектов. Дело в
том, что для разных троек объектов может иметь место совокупность
отношений (3), (4), (5) разного вида. Например, если = (J, Ъ —
— с, я), = (<*» a), = (d, а — b, с), то на любой тройке объ-
ектов эта совокупность одномерна. Однако она не является одномер-
ной для всех четырех объектов. Действительно, наличие R2 показы-
вает, что объектам соответствуют разные точки одномерного конти-
нуума. Но никакое их расположение на прямой не приводит к тому,
что возможно и (Ь — с, а), и (а -— &, с) причем в обоих случаях d —
наилучшее, поскольку d не может одновременно находиться по раз-
ные стороны от Ъ.
4. Дихотомические предпочтения. Для дихотомических пред-
почтений мы охарактеризуем условия допустимости при произволь-
ном конечном числе объектов N.
Дихотомические ранжирования будем называть подобными,
если они отличаются друг от друга только переносом одного или
перестановкой двух объектов. Множество дихотомических ранжиро-
ваний называется подобным, если любые два его ранжирования по-
добны. Например, R± = (а — Ь, с — d — е), R2 = (Ь — с, а — d —
— е), R3 = (а — с, b — d — е), R& = (а — b — с, d — е) подобны.
Действительно, Rr отличается от R2 перестановкой а и с, от R3 —
перестановкой b и с, R2 отличается от R3 перестановкой а и Ь,
отличается от R±, R2, R3 переносом одного объекта из второго класса
в первый.
Ясно, что если перестановка или перенос объектов производится
внутри класса неразличимости, то отношение не изменится. Пусть
D — некоторая совокупность дихотомических ранжирований на
множестве А. Будем считать, что D содержит не менее четырех по-
парно различных отношений. Отсюда, очевидно, следует, что в А
106
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
существует четырехэлементное множество, на котором эти четыре
отношения не совпадают. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Множество D допустимо тогда и только тогда,
когда оно подобно.
Доказательство. Сначала докажем, что из подобия
следует допустимость. Рассмотрим произвольные три объекта а, Ь, с
и покажем, что на множестве {а, Ь, с} подобные отношения допусти-
мы. Отсюда будет следовать допустимость данного множества отно-
шений на всем А.
В силу дихотомичности либо все три объекта а, Ъ, с, либо два
из них находятся в одном классе отношения неразличимости.
Рассмотрим сначала случай, когда все три объекта неразличи-
мы хотя бы в одном ранжировании. Но тогда ввиду подобия осталь-
ные ранжирования могут отличаться только переносом одного из
объектов в другой класс. Значит, на множестве {а, Ь, с} наши
отношения могут иметь только следующий вид:
{(х — у — z), (ж, у — z), (у, х — z), (z, X — у)} ♦). (6)
Совокупность (6) допустима. Действительно, пара (х, у) & R (или
(z, у) R) тогда и только тогда, когда за (у, х — z) подано больше
половины голосов, так что R = (у, х — z) и, значит, транзитивно.
Аналогично, при (у, х) & R (или (z, х) & R) R = (а;, у — z), а при
(у, z) R (или (х, z) й R) R — (z, х — у). Значит, если какая-либо
пара не содержится в R, оно транзитивно. Но если все пары принад-
лежат R, то R = (х — у — z) и также транзитивно.
Рассмотрим теперь случай, когда во всех рассматриваемых от-
ношениях неразличимы только два из объектов а, Ь, с. Отметим преж-
де всего, что если два объекта неразличимы в двух предпочтениях
и Я2, причем находятся в их разных классах, так что Rr =
как, например, {х — у, z) и (z, х — у), то эти предпочтения не по-
добны. Действительно, получить одно ранжирование из другого
переносом или перестановкой двух объектов нельзя.
Значит, возможны только два случая:
а) все отношения однотипны;
б) отношения не однотипны, но подобны.
В случае а) данное множество предпочтений есть, очевидно,
часть множества (6). В случае б) множество предпочтений есть часть
одномерного множества (3), поскольку больше трех дихотомических
ранжирований трех объектов входить в подобное множество не мо-
жет, иначе появится отвергнутый случай взаимно обратных отно-
шений R1 = R'1.
Итак, допустимость подобного множества доказана.
Покажем теперь, что всякое допустимое множество подобно.
Ограничимся сначала рассмотрением отношений на произвольном
трехэлементном подмножестве А. Воспользуемся теоремой 1, по-
скольку ее доказательство не зависит от утверждения о подобности
допустимого множества.
*) Конечно, возможно и множество обратных к выписанным
отношениям, в зависимости от того, каков номер класса, содержа-
щего (х — у m z).
$ 2. Транзитивность МАЖОРИТАРНОГО ОТНОШЕНИЯ 10?
Нетрудно видеть, что не содержат циклических множеств толь-
ко совокупности вида
1) (х — у, z), (х — z, у), (у — z, х), (х — у — z);
2)(а? — У, z), (х — z, у), (х, z — у);
3) (х — у, z), (z, х — у), (х — у — z).
Действительно, всякая тройка дихотомических ранжирований,
содержащая взаимно обратные отношения (х — у, z) и (z, х — у),
является циклической. Значит, допустимое множество может только
состоять из однотипных предпочтений, как 1), или из отношений,
в которых в одноэлементный класс выделены разные объекты, как
2), или из (я — у, z) и (z, х — у), как 3). Неразличимость (х — у —
— z) не добавлена в 2), так как совокупность {(я — у, z), (ж, у — z),
(х — у — z)} — циклическая.
Очевидно, что множества вида 1) и 2) подобны, а множество ви-
да 3) не подобно. Для его анализа необходимо рассмотреть еще
один объект, и, и еще одно, отличающееся от первых трех, отноше-
ние Да. Такое отношение существует по предположению.
Пусть, например, на объектах х, у, z оно равно (х — у, z), при-
чем, по условию, и принадлежит в R4 классу с другим номером, чем
в первоначальном отношении R19 также совпадающем с (а? — у, z)
на множестве {х, у, z}, так как R± =/= R&. Значит, можно считать
jRa = (х — у, z — и), тогда Дх = (х — у — u, z) (или, наоборот,
Да == (х — у — и, z), Дх == (х — у, и — z)). Если отношение Д2, соот-
ветствующее (z, х — у), равно (z — и, х — у), то система {(х — у,
z — и), (z — и, х — у), (х — у — и, z)} недопустима, поскольку
{(a;, z — u), (z — и, х), (х — и, z)} — циклическая. Точно так же,
при Д2 = (z, х — у — и) система {Дь Д2, Да} недопустима из-за
цикличности множества {(z — и, а), (х, и — z), (z, х — и)}. Анало-
гично доказывается недопустимость совокупности {Дь Д2, Д3,
Дл} при Да, совпадающем на {х, у, z} с (z, х — у) или (х — у — z).
Значит, множество вида 3) соответствует недопустимой сово-
купности четырех различающихся отношений. Теорема доказана.
5. Предпочтения с выделенным объектом. На множестве трех
объектов {а, &, с} рассмотрим такое множество предпочтений, что
один из этих объектов в каждом отношении либо строго предпочти-
тельнее двух других объектов* либо строго^ хуже их. Если этот вы-
деленный объект — а;, то такое множество предпочтений имеет сле-
дующий вид:
{(*» У. г). (®. У — 2). (®. «> у), (г, у, х), (z— у, х), (у, z, ®)}. (7)
Другой тип совокупности предпочтений с выделенным объек’
том, разрешающий его неразличимость с другими, возникает, если
объекты у, z могут находиться в любом отношении, когда х строго
предпочтительнее (строго хуже) их, но неразличимы, если х не пред-
почтительнее (соответственно не хуже), чем у и z. Такая совокуп-
ность имеет следующий вид:
{(*. У, a), (х, z, у), (х, Z — у), (у — Z, х), (у — z — »)}. (8)
Теорема 4. Совокупности предпочтений (7), (8) с выделен-
ными объектами допустимы.
108
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
Доказательство. Для доказательства допустимости
множества (7) рассмотрим соответствующие матрицы смежности:
/1 1 1\ /11 1\ /1 1 1\
г1 = | 0 1 1 , г2 = о 1 1 , г3 = 1 0 1 0 ,
\0 01/ \0 1 1/ \0 1 1/
/1 0 0\ /10 0\ /1 0 0\
г4 = I 1 1 0 j , г5 =11 1 1 | , г6 = 11 1 11.
V 11/ \1 1 1/ \1 0 1/
Если г31 = 0, то п1 и2 + л3 п/2, так что г21 = 0, г12 = = г13 = 1 и г имеет следующий вид:
/1 1 1
Г = I 0 1 Г23
\0 Г32 1
Элементы г23 и гза могут принимать любые значения, кроме г23 =
= Гз2 = 0, причем R транзитивно в любом случае.
Если же г31 = 1, то п4 + п& + так что r2i == 1 и
г12 = Г13 = 0:
/1 о о \
Г — 11 1 Г23 I .
\1 Г32 1 )
И опять R транзитивно, поскольку г23 — г32 = 0 невозможно.
Рассмотрим теперь матрицы смежности отношений (8):
/1 1 1\ /1 1 1\ /11 1\
г1 = I 0 1 1 j , г2 = I 0 1 1 ) , г3 = | 0 1 0 j ,
\о о 1/ \о 1 1/ \о 1 1 у
/1 0 0\ /11 1\
г4 — 11 1 11, г5 = I 1 1 11.
\1 1 1/ \1 1 1/
Поскольку элементы?^, г^3, г^, г32 принимают нулевое значение
только в одном из отношений, то г12 = 0 (или г13 = 0, или г23 = 0,
или г32 = 0) означает п4 п/2 (или п3 п/2, или п1 п/2), так
Что г = г4 (соответственно г = г4, г = г8, г = г1) и R транзитивно.
Пусть теперь г12 = г13 = г23 = г32 = 1. Тогда
/1 1 1\
Г = I Г21 1 1 ,
\Г31 1 1/
причем, очевидно, г21 = г31. Но тогда R транзитивно. Теорема до-
казана.
6. Полнота условий допустимости. В данном разделе будет
завершено доказательство теоремы 1. Для этого мы установим, что
одномерные, дихотомические и с выделенным объектом множества
§ 2. ТРАНЗИТИВНОСТЬ МАЖОРИТАРНОГО ОТНОШЕНИЯ 109
предпочтений вида (3) — (8) исчерпывают класс максимальных мно-
жеств ♦), не содержащих циклических подмножеств, и, поскольку
они допустимы (см. теоремы 2—4), теорема 1 будет доказана. При
доказательстве мы широко будем пользоваться фактом, установ-
ленным в разделе 3: если множество предпочтений D допустимо,
то оно не содержит циклического подмножества, и, наоборот, если
D содержит циклическое подмножество, оно не допустимо.
Все множества D cz {Рь ..., Р13} будем классифицировать по
тому, сколько дихотомических предпочтений они содержат.
Если D содержит больше трех дихотомических предпочтений,
оно включает циклическое подмножество. Действительно, в этом
случае одноэлементные классы хотя бы двух отношений должны сов-
падать (поскольку различных объектов всего три, а отношений по
крайней мере четыре), но иметь разные номера, так как отношения
различны. Значит, эти два отношения взаимно обратны и имеют вид
(х — у, z), (z, х — у), а ввиду утверждения задачи 8 добавление к ним
любого другого дихотомического ранжирования дает циклическое и,
следовательно, недопустимое множество.
Рассмотрим теперь случай, когда D содержит ровно три дихо-
томических предпочтения. Имеют место две возможности:
а) все предпочтения однотипны,
б) однотипны только два из трех предпочтений.
Нетрудно видеть, что добавление к трем однотипным дихотомиче-
ским признакам строгого ранжирования приводит к цикличности.
Например, (х, у, z) (или (у, х, z)) вместе с (у — z, х) и (х — z, у) да-
ет циклическое множество. Значит, в случае a) D не содержит цик-
лического подмножества тогда и только тогда, когда оно включено
в множество вида (6) и, следовательно, допустимо.
В случае б) все три дихотомических признака должны содер-
жать разные объекты в одноэлементных классах, так как иначе два
из них взаимно обратны, так что вместе с третьим образуют цикли-
ческую совокупность. Пусть, например, рассматриваемые три от-
ношения имеют следующий вид: (х — у, z), (у, х — z), (у — z, х).
Очевидно, добавление к ним (х — у — z) приводит к цикличности,
поскольку совокупность {(у — X, z), (у, х — z), (х — у — z)} —
циклическая. Точно так же приводит к цикличности добавление
строгих упорядочений (z, х, у) или (х, z, у), поскольку совокупнос-
ти {(а? — у, z), (у, х — z), (z, х, у)} и {(у, х — z),(y — z, х), (х, z, у)} —
циклические. Добавление остальных четырех строгих ранжирований
дает одномерное множество (3) и, следовательно, к цикличности не
приводит. Таким образом, в случае б) множество D не содержит
циклического подмножества тогда и только тогда, когда оно вклю-
чено в одномерное множество вида (3).
Рассмотрим теперь случай, когда D содержит всего два дихо-
томических ранжирования.
Имеют место три возможности:
а) дихотомические ранжирования однотипны,
б) дихотомические отношения взаимно обратны,
♦) Как обычно, под максимальностью множества, обладающего
некоторым свойством Т, понимается то обстоятельство, что добав-
ление любого нового предпочтения приводит к совокупности, для
которой Т не выполнено.
но
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
в) дихотомические отношения не однотипны и не взаимно об-
ратны.
Рассмотрим возможность а) Пусть дихотомические ранжирова-
ния имеют вид (а?, у — z) и (z, х — у}. Тогда, очевидно, добавление
(у, х, z) или (у, z, х) приводит к цикличности. Введение строгих ран-
жирований (z, х, у) и (или) (a?, z, у), имеющих объект у в качестве
наименее предпочтительного, не дает циклическое множество, но
запрещает дальнейшее добавление (х — у — z), так как совокупность
{(а?, у — z), (у, a?, z), (а? — у — z)} — циклическая. В этом случае
D могут принадлежать и остальные строгие упорядочения: D
является подмножеством совокупности вида (3) (точнее, обратной
к <3))-
Если же не добавлять строгих ранжировании с наихудшим объ-
ектом у, что D включено в одномерное множество вида (4) и не со-
держит циклического подмножества. Значит, в случае а) исключе-
ние циклических подмножеств приводит либо к (3), либо к (4).
Пусть теперь дихотомические отношения имеют вид (a?, z — у)
и (z — у, х) (возможность б)). В этом случае, очевидно, цикличность
получается при добавлении (z, х, у) или (у, х, z). Добавление лю-
бых других строгих ранжирований даст допустимое множество, но
любые два строгих ранжирования, получающиеся друг из друга
циклической перестановкой, очевидно, запрещают (х — у — z), так
как составляют циклическое множество. Значит, множество, со-
держащее (a?, z — у) и (z — у, х), может содержать четыре строгих
упорядочения, как (7), или два строгих упорядочения и (а? — у — z),
как (5) и (8). Никаких других допустимых множеств возможность
б) не дает.
Остается рассмотреть возможность в), когда ранжирования име-
ют, например, вид (х — у, z) и (х, у — z). В этом случае, очевидно,
недопустимо включение в D ни (о? — у — z), ни (z, у, а?), поскольку
{(* — у, z), (х, у — z), (х — у — z)} и {(а: — у, z), (х, у — z), (z,
у, х)} — циклические совокупности. Все пять оставшихся строгих
упорядочений включены в D быть не могут, так как среди них обя-
зательно есть циклическая тройка. Добавление четырех строгих
упорядочений без (х, у, z) (обратного к (z, у, х)) также приводит к
цикличности, так как {(а? — у, z), (у, z, х), (z, х, у)} — циклическое
множество. Включение же в D четырех строгих ранжирований без
(у, z, х) или (z, х, у) с необходимостью превращает его в подмно-
жество одномерной совокупности вида (3).
Пусть теперь D содержит только одно дихотомическое предпоч-
тение, например, (а?, у — z). Если не включать в D отношение (х —
— у — z), то можно добавить четыре строгих упорядочения. Нельзя
только одновременно добавлять (у, z, х) и (z, х, у) (а также (z, у, х)
и (у, х, z)), поскольку, вместе с (а?, у — z) — это циклическое мно-
жество. Возможные комбинации здесь приводят либо к D, являю-
щемуся подмножеством одномерного множества вида (3) (если из
четырех строгих упорядочений только одна пара взаимно обратных),
либо к D — подмножеству (7),— если четыре строгих упорядоче-
ния состоят из двух пар взаимно обратных ранжирований.
Если же (х — у — z) €= D, то (см. задачу 7) больше
двух строгих упорядочений добавлять запрещено, и мы получаем
в качестве D подмножество совокупностей вида (4), или (5), или (6)
или (8).
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИИ
111
Аналогичное верно для случая, когда D не содержит дихото-
мических ранжирований. Если (х — у — z) D, то D может со-
держать не больше четырех строгих ранжирований — и с единст-
венной парой взаимно обратных предпочтений, как в (3), и с
двумя такими парами, как в (7).
Если же (х — у — z) €= D, то D может содержать не более двух
строгих ранжирований и включаться в множество вида (4), (5),
(6), (8).
Мы исследовали, таким образом, все варианты множеств Р,
не содержащих циклических подмножеств, и показали, что ника-
ких «не циклических» множеств, кроме (3) — (8) и их подмножеств,
не существует. Значит, из того, что D не содержит циклического
подмножества, следует, что D допустимо. Теорема 1 доказана.
Установленный попутно факт полноты системы (3) — (8) умест-
но сформулировать также в виде теоремы.
Теорема 5. Множество линейных квавипорядков является
допустимым тогда и только тогда, когда оно одномерно, подобно
или является совокупностью с выделенным объектом.
§ 3. Расстояние в пространстве отношений
1. Расстояние между отношениями и правило боль-
шинства. Мы убедились, что даже в применении к линей-
ным квазипорядкам правило большинства часто приводит
к нетранзитивному мажоритарному отношению, как толь-
ко примерно одинаковые группировки голосуют за раз-
ные отношения из циклического множества.
Можно ли обобщить правило большинства так, чтобы
результирующее отношение всегда получалось транзи-
тивным, а в том случае, когда условия транзитивности
выполнены, совпадало с мажоритарным?
В данном параграфе мы рассмотрим такое обобщение
в терминах понятия расстояния между отношениями. Это
понятие удобно также и для решения более широкого
круга проблем анализа качественных признаков. Частич-
но мы затронем и эти вопросы.
Если г = || Гц ||^ и р = || pij ||^ — матрицы смежности
отношений RQ А X А и PQA X А соответственно,
то расстояние d (Р, R) между ними определяется следую-
щей формулой:
d(P,R) = S 1пу — Ру|-
г, у=1
Таким образом, d (Р, R) — это количество поразряд-
ных несовпадений элементов матриц гтр. Рассматривая
112
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
эти булевские матрицы как векторы размерности 7V-,
можно сказать, что d (Р, R) — это обычная метрика
Хемминга в логическом кубе *) размерности №.
Тот факт, что | П; — Рц | = 1 тогда и только тогда,
когда = 1, pij = 0 или = 0, pij = 1, можно сфор-
мулировать следующим образом. Равенство |г^ — рц | =
= 1 означает, что (£, /) ЕЕ Р — R или (j, /) ЕЕ R — Р.
Таким образом,
d(P, R) = \(R-P) U (Р-Я)|.
Отношение (R — Р) J (Р — R) называется симметри-
ческой разностью отношений R и Р и обозначается R/\P.
Мера симметрической разности часто используется для
оценки близости между множествами.
Укажем теперь, как выражается правило большин-
ства в терминах расстояния.
Для отношений Rt, R2, . . . , Rn назовем медианой
такое отношение Р, на котором достигается минимальное
п
значени е суммы 2 (Я, ^fc)по всем Я S А X А.
Теорема 1. Мажоритарное отношение. опре-
деленное формулой (1), является медианой.
Доказательство. Пусть R — мажоритарное
отношение для системы Rr. . . . , Rn. Посмотрим для
данной пары (г, /) ЕЕ А X А, что выражает величина
п
S I rv — rij Р Если ГИ = 0» Т0 IГИ — ту | = 1 гу = 1, так
fc=l
к
что в этом случае 2 | ги — rij | равно количеству
fc=i
п (г, /) отношений для которых (f, j) ЕЕ Р&. Ана-
п
логично, для г1} = 1 2 I ги — гу \ = п — п (i, j). Но
k=«l
= 0 только если п (г, /) < п/2; = 1 только при
п (h ]) п/2, так что п — n(i, j) п/2. Таким образом,
п
2 | П; — Гц | < п/2 независимо от величины г^.
fc—1__________
*) Логическим кубом размерности т называется совокуп-
ность булевских векторов длины т, а метрикой Хемминга — ко-
личество поразрядных несовпадений в двух данных векторах.
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
113
Теперь ясно, что всякое изменение R (добавление или
вычитание какой-либо пары (г, /)) может только увели-
п
чить 2^(Л,Л0, так как ПРИ изменении величины
fc=i
п
на противоположную ёц г^, величина 2 I П; “=~ г*з I
fc=i
станет > п/2, увеличивая тем самым ^d(R,R^. От-
/с
сюда следует, что R — медиана, что и требовалось доказать.
Можно ли утверждать, что и обратно, медиана являет-
ся мажоритарным отношением? И нет, и да.
Дело в том, что для медианы величина выбирается
п
так, чтобы минимизировать 2 \rij— Tij\* Поскольку этот
fc=l
выбор для разных i и j независим, тем самым дости-
п
гается минимум 2 d(R,Rk).B том случае, когда п (г, /)
fc=i
не равно п/2, выбор однозначен: если п (i, j) > п/2, то
rtj = 1, если п (i, j) < п/2, то гц = 0, как в мажоритар-
ном отношении. Но если п (г, /) = п/2, то можно брать
п
и га = 0, и гц = 1: в обоих случаях 2 I rtj “ I = п/2-
fc=i
Имея это в виду, мы уже модифицировали в § 2 пра-
вило большинства для линейных квазипорядков так,
что и модифицированное мажоритарное отношение яв-
ляется медианой. Однако для сохранения линейности
мажоритарного отношения величины и не могут
одновременно равняться нулю, тогда как в медиане мо-
гут (при п (г, /) = п(/, I) = п/2).
Таким образом, если п (i, j) Ф п/2, то (i, j) ЕЕ R *->
*-> (ь /) €= Л; если же п (i, /) — п/2, этого сказать нель-
зя. Можно лишь утверждать, что существует медиана,
совпадающая с мажоритарным отношением.
Теперь воспользуемся следующим преимуществом по-
нятия расстояния — возможностью искать наиболее близ-
кие отношения из того специального класса отношений,
который нужен исследователю. Например, если Rx, . . ,
114
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
..., Rn — линейные квазипорядки, можно ограничиться по-
иском медианы, которая также является линейным ква-
зипорядком. Точнее, будем искать такой линейный ква-
п
зипорядок R, который минимизирует 2 d(R,Rk)H3i мно-
fc=i
жестве линейных квазипорядков. Эта задача является
искомым обобщением правила большинства, ее решение
всегда линейный квазипорядок — по определению.
Однако в общем случае нахождение этого решения —
весьма непростая задача, так как теперь величины гц
выбираются не независимо друг от друга, как в правиле
большинства, а связаны необходимым выполнением усло-
вия транзитивности.
2. Построение медианы в специальных классах отно-
шений. Рассмотрим задачу построения медианы в задан-
ном классе отношений более подробно.
Пусть Е — некоторое множество отношений на TV-
элементном множестве Л, a Rx, . . . , Rn — заданные от-
ношения (не обязательно принадлежащие Е). Для вся-
п
кого R ЕЕ Е обозначим / (/?) = d(R, Rk). Задача со-
к—1
стоит в том, чтобы найти min / (7?) по R ЕЕ Е.
Обозначим через В матрицу размерности N x'N,
элементы которой определяются равенством btj =
= п (г, /), где п (I, ]) — число отношений Rk, содержащих
пару (Z, /). В терминах соответствующих матриц смежно-
- п
сти г*, очевидно, В = 2 Величина btj является про-
к=1
стейшей характеристикой связи между объектами i и /,
зафиксированной в отношениях Rt, . . . , Rn.
Покажем, как выражается / (Я) через элементы мат-
рицы В.
Для булевских переменных г и 5, очевидно, | г — $| =
= (г — $)2 = г + 5 — 2г$. Поэтому
п
f(r) = ^d(R,Rk) =
/С==1
nN nN
— 2 2 irv—r«i= 2 2 (гч+—2гугу).
к**И,3=1 k=ii,j=i
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
115
Но
п
2 = ПТjj bij 2tijbij =
M
~ bij 21*ij [bij rj—
так что
N N
ш = 2 Ьц-2 2
ij=l i,j=l ' '
Величина 2^Ъ постоянна при заданных 2?х, ...» 7?п
Л;
и не зависит от г. Поэтому минимизация / (г) равносиль-
N
на максимизации g(r) = 2 (К-—4г) г« (г е Е>)- Для
отношения Я, сответствующего г, функция g, очевидно,
есть
= 2 (Ч-4г) = 2 Ьу-4|Я|*).
(i,j)6R ' / (M)eR
Итак, задача построения медианы в классе отношений
Е сводится к максимизации функции g (R):
max 2 (Ьц-----%-
R^E \
(9)
Рассмотрим различные конкретизации задачи (9),
получающиеся для различных классов Е.
Прежде всего отметим, что если Е — множество всех
бинарных отношений на А, то, как и в теореме 1, реше-
нием (9) является мажоритарное отношение в смысле (1).
Действительно, увеличению g (7?) способствуют только
такие пары (i, /), для которых — п/2 > 0.
Пусть теперь Е — множество отношений эквивалент-
ности (номинальных признаков) и произвольное R ЕЕ. Е
характеризуется разбиением {/lt . . ., Im} множества А.
*) Через | X | обозначается количество элементов в множест-
ве X.
116
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
Тогда, очевидно,
Ш
= 2 S (ь«--г) =
m in
= 2 2 ьУ-^-21Л|2- (Ю)
fc=l
Задачу максимизации функции (10) можно трактовать
как задачу анализа структуры матрицы показателей вза-
имосвязи между объектами: ищется такое разбиение
множества А наклассы 1Х, . . . , 1т, чтобы связи между
ш
объектами внутри классов 7\(т. е. величины 2 S &#)
были высоки, а распределение объектов по классам было по
т
возможности равномерно (так как “^2 |Л|2 достигает
минимума при | Ц | = . . . = 11^1). Такого рода задачи
анализа структуры матрицы связей широко использу-
ются в теории распознавания образов под названи-
ем задач классификации, таксономии, распознавания
«без учителя», кластерного анализа, диагонализации
матрицы связей и т. д. Понятно, почему мы пришли к
аналогичной постановке: всюду речь идет о построении
номинального признака, в том или ином смысле аппрок-
симирующего данные об объектах.
В том случае, когда Е — это множество линейных ква-
зипорядков (ранжирований, ранговых признаков), так
что всякое R ЕЕ Е характеризуется упорядоченным раз-
биением (11? . . . , 1т) множества Л, задача (9) прини-
мает следующий вид: найти упорядоченное разбиение
(11? ...» 1Ш), максимизирующее функцию
2 2 2= 2 2 2 hi —
- (12)
Если же ограничиться только линейными порядками
(строгими ранжированиями), то задача максимизации (11)
$ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
117
в силу одноэлементное™ множеств Ik = {г\} превращает-
ся в задачу максимизации функции
S (12)
по всем перестановкам (строгим упорядочениям) (ix,
. . ., iN). Второе слагаемое опущено, так как оно постоян-
но и не зависит от конкретного линейного порядка.
Задача максимизации (12) заключается в отыскании
такой перестановки (ix, . ., fjv) строк и столбцов в
матрице В одновременно, чтобы сумма наддиагональных
элементов была максимальной; она хорошо известна в ма-
тематико-экономических исследованиях как задача три-
ангуляции матрицы. Любопытно, что ее можно тракто-
вать как задачу построения медианы в классе линейных
порядков.
Задача (9) является задачей целочисленного програм-
мирования. Для ее практического решения в постановках
(10) — (12) можно рекомендовать метод локального улуч-
шения. Согласно этому методу оптимизация произволь-
ного исходного разбиения производится следующим об-
разом. Последовательно (в порядке нумерации) каждый
объект перемещается в тот класс, для которого прираще-
ние g (7?), вызванное этим перемещением, максимально
и положительно (если максимальное приращение не-
положительно, объект остается в своем классе) и так
до тех пор, пока g (7?) не перестанет увеличиваться. Если
число объектов в классах заранее фиксировано, как в слу-
чае линейных порядков, нужно осуществлять обмен
объектов при перемещении. Этот метод обычно на один-
два порядка уменьшает объем перебора по сравнению с точ-
ными алгоритмами.
Иногда уместно поступать еще проще: случайным об-
разом генерировать отношения из Е с тем, чтобы остано-
виться на лучшем из рассмотренных. Правда, теория кри-
териев прекращения генерирования совершенно не раз-
вита.
Наиболее простой из рассмотренных является задача
(12) триангуляции матрицы. Ее решение с помощью алго-
ритмов так называемого метода ветвей и границ описано
в [17], [49]. Их изложение увело бы нас слишком далеко от
118
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
темы; мы рассмотрим случай, когда триангуляция про-
изводится весьма просто — с помощью пополнения от-
ношений до линейных квазипорядков (раздел 1.3.4).
Для более сложных задач (10), (11) непереборные точные
алгоритмы, по-видимому, неизвестны.
Прежде всего отметим, что при любой нумерации
объектов только одно из двух чисел, Ьц и Ьц, находится
в В выше главной диагонали. Это значит, что решение за-
дачи (12) не изменится, если эти числа уменьшить на ми-
нимальное из них: при любом линейном порядке R но-
вое значение g (R) будет отличаться от старого на одну
и ту жу величину. Следовательно, вместо матрицы В
можно рассматривать матрицу В' = | Ъ'ц ||, где Ъ’ц —
= btj — min (Ьо*, Ьл). Рассмотрим теперь отношение
R — {(i, /) | Ьи > bjt} — отношение строгого предпочте-
ния для мажоритарного отношения в смысле (2). Очевид-
но, оно асимметрично. Если таково же его транзитивное
замыкание Я, т. е. R является ациклическим (задача 1.13),
то решение задачи (12) дает любой линейный порядок R,
включающий R. Действительно, сответствующая R пе-
рестановка строк и столбцов матрицы В' приводит ее к
треугольному виду: Ьц при (i, /) е R — под глав-
ной диагональю только нулевые элементы. Любое нару-
шение этого порядка может только увеличить сумму
поддиагональных элементов и, тем самым, уменьшить
сумму наддиагональных элементов, образующую зна-
чение функции g (R).
Построение линейного порядка Л, включающего 7?,
можно осуществить следующим образом. Сначала строит-
ся упорядоченное разбиение, в первый класс которого
входят те и только те г, для которых R^ <i> = ф. Такие
объекты существуют в силу ацикличности R и конечно-
сти А. Если первые к классов уже построены, то в (к 4-
+ 1)-й класс включаются те и только те объекты г, для
которых 2?-1 <i> cz 1хи . . . J Ik. Поскольку R ацик-
лично, такое построение корректно: каждый объект по-
падет в один и только один класс. При этом, очевидно,
объекты из одного и того же класса несравнимы по 7?,
так как если (i, /) GE 7?, то iE 7?"1 </> и, следовательно,
i содержится в классе, предшествующем классу /. Таким
образом, R содержится в линейном квазипорядке, порож-
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
119
даемом построенным разбиением. Произвольное строгое
упорядочение объектов внутри классов Ik приводит к ис-
комому линейному порядку.
Сложнее обстоит дело, когда R не является ацикли-
ческим. В этом случае множество А распадается на так
называемые компоненты сильной связности (бикомпонен-
ты) — классы отношения эквивалентности R Q R л.
Эти классы состоят из объектов, для которых в графе R
существуют соединяющие их (в обе стороны) пути. При
этом, если из вершин одной бикомпоненты ведет хотя бы
одна дуга в другую бикомпоненту, то и все остальные ду-
ги между этими бикомпонентами идут из первой, так как
противное означало бы, что существуют пути между
любыми вершинами обеих бикомпонент, так что все они
должны принадлежать одной и той же, а не разным би-
компонентам. Это значит, что граф бикомпонент (т. е.
граф, вершинами которого являются бикомпоненты, сое-
диняемые дугой в том и только в том случае, когда имеет-
ся хоть одна дуга из вершин одной бикомпоненты в дру-
гую) является асимметричным. На самом деле он даже
ациклический — по той же причине, поэтому бикомпо-
ненты можно линейно упорядочить, как в предыдущем
случае, так, чтобы дуги вели только из предшествующих
бикомпонент в последующие, но не обратно. Отметим, что
множество дуг между бикомпонентами есть, очевидно,
не что иное, как R*. Покажем, что если (г, /) Ez Л*, то
(г, j) е R, где R — решение задачи (12).
Действительно, всякое строгое упорядочение очевид-
ным образом связано с исключением из каждого контура
отношения R части дуг — а именно тех, которые соответ-
ствуют ненулевым поддиагональным элементам матрицы
В. При этом оптимальное упорядочение характеризуется
минимальной суммой величин Ьц, соответствующих иск-
люченным дугам (f, /) (так как сумма наддиагональных и
поддиагональных элементов матрицы постоянна и не за-
висит от упорядочения ее строк и столбцов). Но дуги из
R* не входят в контуры, и следовательно, их незачем
исключать: все равно исключать придется также дуги из
каждого контура, так что в оптимальном упорядочении
они соответствуют наддиагональным элементам и, сле-
довательно, содержатся в R.
120
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
Итак, бикомпоненты можно упорядочить согласно
описанной выше процедуре, и задача сводится к упоря-
дочению объектов внутри бикомпонент. В практических
задачах типа сравнения качества различных образцов
промышленной продукции бикомпоненты не очень вели-
ки и допускают упорядочение вручную.
3. Отношение «между». Введенное расстояние удовлет-
воряет обычным свойствам метрики:
a) d (Р, R) > 0, причем d (Р, R) = 0 <-> Р = R;
б) d(P, R) = d(R, Р);
в) d(P, P)<d(P, S) + d(S, R).
Эти свойства легко выводятся из обычных свойств абсо-
лютной величины. Первое из них выражает неотрицатель-
ность расстояния и его положительность для разных от-
ношений, второе — условие симметричности. Третье обыч-
но называется неравенством треугольника, поскольку
выражает тот факт, что в «треугольнике» с вершинами Р, R
и 5 длина одной стороны не превышает суммы длин двух
других сторон.
В обычной, евклидовой геометрии неравенство тре-
угольника обращается в равенство в том и только том
случае, когда точка S находится между точками Р и Р,
т. е. лежит на отрезке прямой, соединяющем Р и R. Мно-
жество отношений само по себе не является евклидовым
пространством, в частности, непонятно, что значит сое-
динить отношения Р и R «отрезком прямой». Однако
мы имеем расстояние между отношениями, которое удо-
влетворяет неравенству треугольника. Поэтому мы мо-
жем сами ввести в множество отношений понятие «между»
и «отрезок прямой», если воспользуемся тем, что в обычном
геометрическом пространстве эти понятия характеризуют-
ся обращением неравенства в) в равенство.
Итак, будем говорить, что отношение S cz А X А
находится между отношениями Р и R (и пользоваться
обозначением [Р, S, R]), если
d (Р, R) = d (Р, S) + d (5, R). (13)
Будем говорить, что отношения Рх, . . . , Рп лежат на
прямой, если [Pf, Р,-, PJ, как только i < / < к.
Данное определение понятия «между» вполне разумно,
поскольку обобщает обычное геометрическое понятие
«между». Однако остается неясным, как «устроены» от-
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
121
ношения, лежащие между Р и R. Можно ли выяснить
справедливость (13) без подсчета расстояний? Ответ дает
следующее утверждение.
Теорема 2. Отношение S находится между от-
ношениями Р и R тогда и только тогда, когда
PnRQSQP[jR. (14)
Доказательство. Пусть S удовлетворяет ус-
ловию (14). На языке матриц смежности это означает,
что min (ptj, su max (pih ги). Другими слова-
ми, для любых Z, j Е А
Pii < Stj < rt} или ri} < si} < ри. (15)
Но тогда для произвольных t, j €= А | р^ — | +
+ \SU rU I = I Ра rU I» так как» например, для пер-
вого неравенства \рц — su I = — Ра, I — г,ч I ==
= гц — Si], ЧТО в сумме дает rt} — pi} = |/?г> — ri} |.
Суммируя полученные равенства, приходим к (13).
Докажем обратное утверждение. Пусть выполнено
[Р, S, Л], т. е. (13). Покажем, что (14) справедливо. Под-
ставляя вместо расстояния d его выражение через мат-
рицу смежности, перенеся все члены в одну сторону и
объединяя их под знаком одной суммы, получим
N
2 (I ГU Sii I “Н I Sii Pii I I rij Pii I) = 0*
i,i=i
Отсюда следует, что для любых i, j ЕЕ А
I Гц — Si] I + | Si} — Ри I — I ri} — Pij I = 0. (16)
Действительно, допустим, что это не так и найдутся
i, у S А такие, что
I га sa I "И Ра I * I ra Ра I 0*
Непосредственной проверкой легко убедиться, что это
может быть только в случае, когда a =£= г^,
причем значение рассматриваемого выражения в лю-
бом случае равно 2 (если не равно 0). Но это противоре-
чит тому, что сумма таких выражений равна 0, ведь
компенсировать эту величину 2 можно только отри-
цательным значением, а, как мы убедились, рассмат-
риваемые выражения не могут быть отрицательными.
122
гл. 2. правило иольшинс-гва
Итак, (16) выполнено. Если при этом Гц = то зц
равно тому же значению, что удовлетворяет (15). Если
же Гц < Pij (или рц < rf;), то любое зц удовлетворяет
(15), а (15), как мы видели, эквивалентно (14).
Итак, (14) доказано. Теорема верна.
G точки зрения анализа качественных данных особен-
но интересен случай, когда рассматриваемые отношения
являются эквивалентностями (номинальные признаки)
или линейными квазипорядками (порядковые признаки).
Какие эквивалентности находятся между двумя эквива-
лентностями?
Если Р и R — эквивалентности, то PQ R — тоже
эквивалентность. Это следует из очевидной формулы
(5 X 5) П (С X С) = (5 П С) X (В р С). Действитель-
к I
но, если Р = j Pi X Pt. Rj — (J Rj X Rh где SP =
i=l j=l
= {Pl,..pk}, Я = {/?!, ...» Rt} — разбиения мно-
жества А (см. раздел 1.2.2), то PQP = ([jPiX
X Pt) п (Ц R} X Rj) = U Ц [(Рг х Pt) n (Rj X Л,)] =
= U Ц 1(Р{ П Rj) X (Р» П Rj)L Это значит, что Р Q R —
i з
эквивалентность, и ей соответствует разбиение множества
А на классы вида Р{ П Rj 0 = !,• • • , к; j = 1, . . ., Z).
Такое разбиение называется пересечением разбиений S5
и Я и обозначается З3 Я.
G другой стороны, объединение эквивалентностей не
обязательно является отношением эквивалентности. На-
пример, если Р = [{1,2} х {1,2}] [J {(3,3)}, а Л — [{1,3} X
X {1,3}] U {(2,2)}, то Р U R = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3),
(3,1), (2,2), (3,3)} — нетранзитивно, так как (3,1) е
ер и я, (1,2) еР U р,но(3,2) £Р и &
Теперь выясним, что значит «эквивалентность Р включе-
на в эквивалентность Л».
Это значит, что для каждого i (i = 1, . . ., к) найдет-
ся такое / = 1,..., I, что Рг X Pi cz R} х Rj*), т. е.
Pi £ Rj. Таким образом, Р cz R означает, что классы
эквивалентности R получены из классов эквивалентности
*) Действительно, если Р, X Р{ cz Rj х Rj U Rf X Rf, то
Pi S Rj или Pi U Rf, так как если (a, 6) e Rj X Rj и (c, d) e
G Rf X Rf, to (a, d) и (c, b) не принадлежат Rj X Rj (J Rf X Rf,
поскольку Ri f| Rj = ф.
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
123
Р только с помощью их объединения (но без «разрезания»):
разбиение R является «укрупнением» Р.
Теперь мы можем описать все эквивалентности 5, нахо-
дящиеся между Р и R согласно формуле (14). Каждый
класс S является объединением классов пересечения Р П /?,
но так, что целиком содержится в
одном классе отношения Р или от-
ношения /?♦).
Пусть, например, SP и содер-
жат по три класса, тогда ёР П
может содержать девять классов,
которые удобно изобразить табли-
цей (рис. 4), клетки (Z, /) которой
изображают Pt П Rj. Различной
штриховкой показаны пять клас-
сов отношения 5, находящегося
между Р и R. Предоставляем чита-
Рис. 4.
телю самому выяснить структуру линейных квазипорядков,
находящихся между линейными квазипорядками (зада-
ча!^.
Отметим только, что в этом случае само пересечение
Р П R, вообще говоря, не является минимальным ли-
нейным квазипорядком, находящимся между Р и R. Дело
в том, что пересечение линейных квазипорядков не обя-
зательно линейно.
Элементы класса Р{ р| Rj сравнимы с элементами клас-
са Pf Г| Rg тогда и только тогда, когда покомпонентно
сравнимы векторы (г, /) и (/, g): если Z > / и / > g, то они
не хуже элементов класса Rf П а если i / и j g,
причем (i, j) =/= (/, g), то хуже их. Если же i > /, а / < g,
то элементы этих классов неразличимы по предпочтению.
Таким образом, нелинейность отношения Р П R поро-
ждается нелинейностью векторного отношения : векто-
ры (Z, j) и (i — а, / + b) не сравнимы при ab > 0.
Чтобы сделать Р Q R линейным, нужно как-то до-
определить порядок на множестве векторов (Z, /) (i = 1,
. . . , fc. / = 1, . . . , Z), чтобы он стал линейным (не
нарушая, конечно, отношения S±). Простейший способ —
взять лексикографическое упорядочение: (Z, /) (/, g) <->
или i = f, по / $ g]. Линейный квазипорядок,
♦) Это доказывается, как в предыдущей сноске.
124
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
классами которого являются множества Рг П Rj, лекси-
кографически упорядоченные, будем обозначать Р * R.
Аналогично получается R * Р, если первой компонентой
считать номер класса отношения Я, а второй — номер
класса Р.
Если 9 = {Р19 Р2}, a = {Я1? R2}, то
9^ * Л = (Pj П Я1? Pi П Я2, Рг П Л» Л 0 Я2),
Л * 9* = (R^ ПЛ» Л ПЛ, я2 ПЛ» r2 П я 2).
Теорема 3. Отношения Р, Р * Я, R * Р, R
находятся на прямой.
Доказательство. Заметим сначала, что
Р * R cz Р. Действительно, (а, b) ЕЕ Р * R означает,
что а Pi ПЛ, Ь Pf ПЯ^, причем (Z, /) лексикографи-
чески превосходит (/, g), так что i f и, значит,
(а, Ъ) ЕЕ Р- Аналогично доказывается, что R * Р с
cz R. Отсюда следует, что Р * Я Е Р U $ * Р, Р*
*RQP J Я, Я * Р с Я J Р * Л Я * Р с 7? [J Р.
Покажем теперь, что Р * Я э Р П Я * Р. Действи-
тельно, (а, 6) ЕЯ *Р означает, что дЕР/ П Л,
Ь Pf П Л, причем . (/, i) (/, g); кроме того, при
(а, 6) ЕР имеем i f. Значит, (/, i) 2g (g, /), и, следователь-
но, (i, /) (/, g), т. е. (а, 6) ЕЕ Р * Я. Но тогда [Р, Р * Я,
Я ♦ Pl.
Аналогично устанавливается, что Я Г1Р * Я £ Я * Р.
Значит, [Р * Я, Я * Р, Я].
То, что [Р, Р * Я, Я] и [Р, Я * Р, Я], вытекает из
того, что Р П Л ^Р *Я и РПЯ cz Я * Р.
Итак, Р, Р * Я, Я * Р, Я действительно лежат на
прямой. Значит, если Р и Я — линейные квазипорядки,
то
d (Р, R) = d(P, Р * Я) + d(P R, R *Р) +
+ d(R*P, Я). (17)
4. Вычисление расстояния между линейными квази-
порядками и эквивалентностями. Пусть Р и Я — линей-
ные квазипорядки, причем Р Я. Это значит (см. за-
дачу 19), что классы Я являются укрупнениями располо-
женных подряд классов отношения Р. Следовательно,
матрицы г и р имеют вид, изображенный на рис. 5.
Здесь штриховкой вида/показаны единичные элементы
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
125
матрицы р, а штриховкой \ — единичные элементы мат-
рицы г. Чему равно расстояние d (Р, 7?)? Числу пораз-
рядных несовпадений — т. е. количеству единиц в той
части матрицы, которая заштрихована только один раз.
Это, очевидно, |7? — Р|.
Зная количества объектов в классах Р и 7?, нетрудно
подсчитать это число. Для наглядности рассмотрим сна-
чала матрицы смежности отношений 1р и 7д). Для Р
Рис. 6.
Рис. 5.
и 7?, изображенных на рис. 5, эти матрицы будут выгля-
деть как на рис. 6 (направление штриховки на рис. 6
сохраняется).
Как и выше, очевидно, что d (Ip, Ir) равно количест-
ву клеток, заштрихованных один раз. Обратим внима-
ние на то, что это количество ровно вдвое превышает ве-
личину |7? Р так как на рис. 5 заштрихованные один
раз клетки находятся только ниже главной диагонали,
а здесь еще столько же расположено симметрично выше
диагонали.
Итак, d(P, R) = ^d(IP, IR), a d(IP, Ir) вычисляет-
ся очевидным образом. Общее количество заштрихован-
ных клеток (единиц) матрицы Ir (штриховка \) равно
i
2 [7?J2, э общее количество заштрихованных клеток
i=i___________
♦) Здесь 1Р = Р П = R П Я"1, так что точнее было
бы писать 7рф, 7В*.
126
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
к
(единиц) матрицы 1р — 2 | Р1|2 *)* Тогда общее количество
i=i
клеток, заштрихованных ровно один раз, равно
I к
2 W-2l^l2.
7=1 1=1
Значит,
I к
A(P,R)=-±- A (IP, IR) = 4- (2 I Я> |2 - 2 I Pi |2 )• (18)
4=1 1=1 7
Зная это, мы можем несколько модифицировать формулу
(17) для общего случая, когда ни одно из отношений Р, R
не включено в другое.
Так как Р * R cz Р, то согласно (18)
d(P*fl,P) = 4-d(/p.R,Zp) =
к к I
= 4-(2 -221Л п \
1=1 1=11 1
Аналогично,
I I к
=4(2 W-3 2 |лп^-|4
' 7=1 7=11=1 7
Но Ip*r = Ir*p, поскольку классы одни и те же: мно-
жества вида Pi П Rj (i = 1,. . . , к; 7=1,..., Z).
В то же время эти множества образуют пересечение 1р р|
П IR, так что Ip*R = Ir*p = Ip П IR. Но тогда
A(R*P, R) + A(P*R, Р) = -±-[А(Ip П Ir, Ip) +
+ A(Ir, Ip П Ir)] = -±-d(Ip, Ir),
♦) Этот факт с очевидностью следует также из формулы
(1.2.7), поскольку ]Л X В ] = |А | |2?[.
$ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
127
так как [/Р, IP IR, /н] ввиду (14). Подставляя это
в (17), получаем
d(P,R) = -±-d(IP,IR)+d(P*R, R*P). (19)
При этом
к I
d(IP,IR)=^ 1ЛР + 2 |Я;Г-231 Pi Л Я,|2, (20)
г=1 j—1 г, j
что следует из выражений для d(P * R, Р) и d (R * Р, R).
Формула (19) является в некотором роде замечатель-
ной. Она дает разложение расстояния между линейными
квазипорядками на сумму расстояний между «чисто»
неупорядоченными частями 1р и Ir, которые отличаются
только «наполнением» классов, и «чисто» упорядоченными
частями R * Р ъ Р * R, которые, имея одинаковые классы,
отличаются только их упорядочением.
Еще более замечательной является формула (20).
Она показывает, что расстояние Хемминга между эк-
вивалентностями, определенное так, как будто учиты-
вается отдельно каждая пара объектов, на самом деле
сводится к вычислению некоторой простой функции от
статистического распределения объектов по классам раз-
биений sp, я, sp п j#.
Возникает вопрос, нельзя ли сделать еще один шаг и
аналогичным образом выразить d (Р * R, R * Р), полу-
чив тем самым формулу для вычисления d (Р, Р)?
Величина d (Р * R, R * Р) равна количеству пар (а, &),
которые принадлежат одному из отношений Р * R, R * Р
и не принадлежат другому.
Пусть а е Л П н Ь е Pf П Тот факт, что
(а, 6) е Р * Р, означает, что (i, g), т. е. i>f
или I = /, но / > g.
Если (а, Ь) Р * Р, то (/» О X (£» /)» т. е. 7 < g или
g = /, но i < /. Одновременно эти условия могут выпол-
няться только если i / и j < g.
Итак, при i > / и у < g | Pt |~| Rj | • | Pt П Rg | пар
(а, Ъ) входят в Р * R — R * Р. Это значит, что
|Р*Я-Я*Р|=3 2 |Л п Я/1 \Pj л ЯЛ
i>/ 3<g
128
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
Точно так же при i < / и / > g разности R * Р — Р * R
принадлежит | Pt Q Rj |-|Ру Q Rg | nap (a, b). Значит,
|Я*Р-Р*Я| = 22 1АП^||Р/ПЯв|.
Меняя местами / и i, j и g, убеждаемся, что эти два вы-
ражения равны:
| R * Р — Р * R [ = [ Р * R — R * Р j.
Таким образом,
d(p*/?,7?*p) = 23 2 |лп• |Р/ п ад. (21)
i<f э>ё
Формулы (21) и (20), подставленные в (19), дают вы-
ражение расстояния d (Р, R) через статистическое рас-
пределение, которое мы более подробно обсудим в сле-
дующем разделе.
5. Анализ качественных признаков. Мы уже неодно-
кратно упоминали, что отношения эквивалентности ха-
рактеризуют номинальные признаки типа «профессия»,
«пол», с неупорядоченными значениями, а квазисерии
и линейные квазипорядки — ранговые, типа «квалифи-
кация», «предпочтительность» и т. д., с линейно упорядо-
ченными значениями.
При этом соответствующие разбиения образуются
классами объектов, отвечающих одинаковым значениям
признака.
Примем для удобства следующие обозначения. Для
разбиений и J?, соответствующих качественным при-
1 1
знакам Р и R, обозначим 2Vy = 1 Р^ A Rj |, Nj. — 1 Pi |,
= (i = 1, • • • , к; j = 1, . . I). Матрица
У Na J вместе со строкой (7V.;) и столбцом (TVf.) называет-
ся в статистике таблицей (матрицей) сопряженности
или комбинационной группировкой признаков Р и R.
Величины Ni.)N.j,Nij имеют смысл вероятности того, что
объект имеет соответственно значение i по признаку Р,
значение / по признаку R, одновременно значение i по
признаку Р и / по признаку R.
Одна из основных проблем анализа данных — оценка
взаимосвязи признаков — для качественных признаков
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
129
обычно решается в терминах таблицы сопряженности.
Например, известные коэффициенты Пирсона и Чупрова
[92] для оценки связи номинальных признаков прямо
определяются в терминах этой таблицы, а известный
коэффициент ранговой корреляции Кендалла, хотя и
определяется в других терминах, может быть выражен с ее
помощью (см. задачу 17).
Расстояние между отношениями можно трактовать
как показатель близости соответствующих признаков, а
формулы (19) (21) показывают, что этот показатель
также вычисляется в терминах таблицы сопряженности.
Расстояние между признаками обладает рядом осо-
бенностей по сравнению со стандартными показателями
взаимосвязи.
Прежде всего, оно применимо для совокупного анализа
взаимосвязи и ранговых и номинальных признаков, по-
скольку метрика Хемминга имеет смысл для любых от-
ношений. В частности, легко может быть выведена фор-
мула для расстояния между эквивалентностью и линей-
ным квазипорядком, аналогичная (19) — (21) (она при-
водится в задаче 20).
Обычные же показатели взаимосвязи определены
только для данных одного типа: номинальных либо ран-
говых. Для совокупного анализа данных все признаки
рассматриваются как признаки одного типа. При этом
либо часть информации теряется (если отвлечься от ран-
говости признаков, считая их номинальными) либо ис-
кусственно привносится (если считать номинальные при-
знаки ранговыми).
Впрочем, комплексная применимость расстояния нуж-
дается в дальнейшем анализе: не исключено, что упорядо-
ченные разбиения расположены в пространстве «гуще»,
чем неупорядоченные; об этом говорит, в частности, коэф-
фициент 1/2 в формуле (19). А тогда в оценку близости бу-
дет вноситься «шум», не связанный с характером данных,
а определяемый только свойствами пространства.
Другая важная особенность расстояния — оно, в от-
личие от обычных показателей, не принимает экстремаль-
ного значения в случае статистической независимости
признаков, т. е. когда Ntj = Ni.-N.j. Это означает, что
расстояние реализует другую, чисто структурную кон-
цепцию близости (см. задачу 18). Можно показать, что
5 Б. Г. Миркин
130
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
оно характеризует степень ошибки при прогнозе значе-
ний одного признака по значениям другого.
Краткое описание экспериментов по использованию
расстояния при анализе групповых решений будет дано
в разделе 4.2.5.
В терминах пространства отношений можно уточнять
и другие проблемы анализа качественных данных —
факторный анализ, классификация, узнавание образов
и т. д., особенно такие, которые уже имеют уточнения для
числовых признаков. При этом аналогом линейной зави-
симости признаков выступает факт расположения соот-
ветствующих отношений на прямой, а аналогом скаляр-
ного произведения — расстояние. Правда, здесь иногда
возникают чисто комбинаторные трудности при практи-
ческом воплощении этих методов (как мы видели в раз-
деле 1), но иногда этот язык удобнее других.
Приведем, например, уточнение понятия «фактор»
для системы номинальных признаков.
Проблема формулируется следующим образом. Имеет-
ся N объектов, интересующих нас с точки зрения некото-
рого характеризующего их фактора. Например, это могут
быть люди, рассматриваемые с точки зрения их мораль-
ных качеств. Однако, сам фактор не является непосред-
ственно наблюдаемым (как в нашем примере), а мы мо-
жем «замерять» лишь некоторые его внешние проявле-
ния.
В нашем примере это будут «правдивость», «эгоис-
тичность» и т. д. Проблема состоит в том, чтобы, зная ха-
рактеристики объектов по «внешним» признакам, найти их
характеристики по «скрытому» фактору.
В современной науке эта проблема может решаться
двумя способами.
Первый способ — решение методами факторного анали-
за (для числовых или балльных признаков): ищется ли-
нейная комбинация «внешних» признаков, в некотором
смысле ниболее к ним близкая, и эта комбинация объ-
является искомым фактором. Например, фактор может
иметь вид у = + а2ж2, где и х2 — значения двух
«внешних» признаков, ах, а2 — константы. Зная хг и я2,
легко вычислить искомое значение фактора у.
Второй способ — классификация рассматриваемых
объектов в системе или, как еще говорят, в пространстве
§ 3. РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОШЕНИЙ
131
«внешних» признаков. При этом получаются классы
объектов, «похожих» по этим признакам, и эти классы
объявляются градациями искомого фактора. Интуитив-
но кажется очень правдоподобным, что классификация
в системе «внешних» признаков должна быть очень близка
к классификации по фактору, найденному первым спо-
собом, однако никаких аналитических результатов в этом
направлении для числовых признаков неизвестно. Сле-
дующая ниже теорема 4 показывает, что в рамках рас-
сматриваемого подхода связь этих классификаций может
быть установлена довольно просто.
В наших терминах оба способа можно уточнить сле-
дующим образом.
Пусть R19 ... , Rn — система номинальных призна-
ков (отношений эквивалентности) на множестве А. Фак-
тором назовем отношение эквивалентности R, миними-
п
зирующее 2 (Я, #i) (сравните с медианой) по всем
г=1
эквивалентностям R.
Пусть х1, ж2, . . . , хп — значения этих признаков
для объекта х ЕЕ А. Будем обозначать этот факт через
х = (я1, я2, . . . , хп). Расстояние D (ж, у) между объек-
тами х и у определим обычным для номинальных призна-
ков способом как число поразрядных несовпадений век-
торов х = (х1, . . . , хп) и у = (у1, . . . , уп), даже если
признаки недихотомические.
Сгущением назовем такое подмножество S cz А, что
все расстояния внутри S меньше, чем вовне его: для
любых х, у, zeS.w^S D (х, у) (z, ш). Таким
образом, S — сгущение тогда и только тогда, когда
max D (х, у) min D (z,w). Таксономией назовем та-
зе, y^S z^S, w&S
кое разбиение множества А, каждый класс которого
является сгущением.
Теорема 4. Если фактор R совпадает с мажори-
тарным отношением для системы эквивалентностей
Ri, . . . , Rn, то разбиение Я — таксономия.
Доказательство. Очевидно, что D (х^ у) —
п
— 21 — 11- Действительно, | гху — 1 | = 1 «-> гху =0.
5*
132
ГЛ. 2. ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
А ГхУ= 0, если объекты хну находятся в разных классах
отношения Ri, т. е. х* Ф у1. Таким образом, количество
п
суммируемых в 2 I гху — 11 единиц в точности равно ко-
i=l
личеству поразрядных несовпадений векторов х и у,
т. е. D (я, у).
По определению мажоритарного отношения, тот факт,
что (х, у) ЕЕ /?, означает, что число поразрядных совпа-
дений векторов х и у превышает п/2, так что D (я, у)
п/2. Точно так же (х, у) R означает, что D (х, у)
п/2. Следовательно, каждый класс R есть сгущение и
— таксономия. Теорема доказана.
Аналогично, в общем случае номинальный фактор сов-
падает с классификацией, оптимальной в смысле форму-
лы (10).
ЗАДАЧИ
1. Доказать существование тотально-мажоритарного пути (в
смысле отношения » между любыми точками открытого связного
множества U в n-мерном пространстве.
2. Доказать, что любое линейное отношение является мажори-
тарным для подходящей совокупности линейных квазипорядков.
3. Выяснить, при каких условиях в мажоритарном отношении
существует наилучший объект, т. е. такой а е Л, что (a, b) R
для любого Ъ е А.
4. Выяснить условия транзитивности мажоритарного отноше-
вия: а) для эквивалентностей; б) для квазилинейных отношений;
в) для произвольных квазипорядков; г) для произвольных отно-
шений.
5. Выяснить условия транзитивности мажоритарного отноше-
ния для следующего правила большинства: (a, b) G R «-> п (а, Ь)
к — 1
—, где к — натуральное число, к 3.
6. Дать алгоритм построения транзитивного модифицирован-
ного мажоритарного отношения (для линейных квазипорядков),
если оно существует, при четном п.
1. Пусть D — множество ранжирований множества {а, &, с},
не включающее циклической совокупности. Доказать, что если
(а — Ь — с) е D, то D содержит не больше двух строгих ранжи-
рований.
8. Доказать, что взаимно обратные ранжирования (х — у, z),
(z, х — у) образуют циклическое множество с любым другим дихо-
томическим ранжированием.
В задачах 9—И будет рассматриваться мажоритарное отноше-
ние, определенное формулой (2).
ЗАДАЧИ
133
9. Доказать, что мажоритарное отношение для любой системы
дихотомических предпочтений транзитивно. Оно ранжирует объекты
в порядке возрастания суммы номеров классов, в которых содер-
жится данный объект в различных отношениях, т. е. в соответствии с
п
2 п1 (а) (а €= Л), где п* (а) — номер класса Rh содержащего
га(п'(а) = 0,1).
10. Показать, что D — допустимое множество ранжирований
на множестве {а, Ь, с} (независимо от четности или нечетности об-
щего числа голосующих) тогда и только тогда, когда выполнено од-
но из следующих условий:
1) D не содержит строгих ранжирований;
2) если (х, у, z) GE D, то ни в одном из ранжирований D объект
z не предпочитается строго объекту х\
3) если (ж, у, z) £ Р, то или (z, у, х) GE D, или х и у неразличи-
мы в одном из ранжирований.
11. Доказать, что если п нечетно, то, кроме указанных в задаче
10, прибавляются следующие допустимые множества предпочтений:
1) Существует такой объект х, что выполнено одно из следую-
щих условий: а) ни в одном ранжировании он не является лучшим
(неверно xQy и xQz)\ б) ни в одном ранжировании он не является
худшим (неверно yQx и zQx), в) ни в одном ранжировании он не яв-
ляется средним (неверно yQxQz и zQxQy).
2) D не содержит (х — у — z), причем у не является строго бо-
лее предпочтительным, чем х для любого ранжирования из D.
12. Дать одномерную интерпретацию системам с выделенным
объектом.
13. Дать алгоритм построения линейного квазипорядка Я,
п
минимизирующего 2 ^), гДе R ~~ произвольный, а В к —
fc=i
заданные линейные квазипорядки.
14. Пусть R — мажоритарное отношение для ..., Вп, а
R' — ближайший к нему (в смысле d) линейный квазипорядок.
Как связаны R' и R из задачи 13?
15. Пусть Р и R — два ранжирования (упорядоченных разбие-
ния) множества А. Как связаны расстояния между соответствую-
щими квазисериями и соответствующими линейными квазипоряд-
ками?
16. Пусть Р — квазисерия. Определим матрицу || pij ||^ сле-
дующим образом:
1,
0,
— 1,
Рц —
если (i,/)G-P,
если (г, /) е Ipt
если (/, Ое=Я.
N
Доказать, что d (Р, R) = — 2 IРц — I.
Ы=1
134
ГЛ. 2 ПРАВИЛО БОЛЬШИНСТВА
17. В терминах задачи 16 коэффициент ранговой корреляции
Кендалла определяется формулой [92]:
3 Л/ ij
р (Р, Л) =-- t,} = .
1/3^ •
г ij ij
Доказать, что
„ ,р m d(P^)-d(P~\ R)
k ' 2 Yd (Р, ф) d (R, ф)
18. Доказать, что если ранговые признаки Р и R статистиче-
ски независимы, т. е. JVj, то d (Р, R) не изменится при
произвольной перенумерации классов отношений Р и R.
19. Доказать, что если Р и R — линейные квазипорядки, то
Р cz R тогда и только тогда, когда классы неразличимости отноше-
ния R являются объединениями расположенных подряд классов
отношения Р. Выяснить структуру линейных квазипорядков, на-
ходящихся между Р и R. Есть ли линейные квазипорядки между
Р ♦ R и R ♦ Р?
20. Доказать, что если R — эквивалентность, а Р — линейный
квазипорядок, то
d(P, P)=y(2lpii2-22lpilWs+ №)•
г г,;
21. Доказать, что на множестве всех отношений расстояние
d (Р, R) однозначно характеризуется условиями:
1) d (Р, R) 0 (неотрицательность), и d (Р, R) = 0 <-► Р = R;
2) d (Р, R) = d (R, Р) (симметрия);
3) d (Р, R) < d (Р, S) + d (S, Я), причем d (Р, R) = d (Р, S) +
+ d (8, Я), как только P[JR1==)S==>P ft R (определение от-
ношения «между»);
4) пусть /: А -» А некоторая перестановка объектов; обозначим
/ (Я) = {(/ (a), f (Ь)) | (а, Ь) е Я}; тогда d (Р, Я) = d (f (Р), / (Я))
(равноправие объектов);
5) пусть В CZ Л; обозначим RB = Я П В X В; если Яв =
= Рв, то d (Р, R) — d (PA~Bl Ra~b} (независимость объектов);
6) минимальное положительное значение d равно 1 (выбор мас-
штаба).
f Л A В A $
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НрОБЛЁМЫ
СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
Si la raison dominait le monde, il ne s’y pas-
serait rien.
(Если бы разум царил в мире, в нем ничего
не происходило бы.)
Французское изречение
§ 1. Требования к принципам согласования
1. Условие независимости объектов. Одно из самых
существенных свойств правила большинства, которое
обеспечивает, с одной стороны, простоту его применения,
а с другой — приводит к нетранзитивности мажоритар-
ного отношения,— это свойство независимости объектов.
Групповое решение о взаимной предпочтительности двух
(или любого большего количества) данных объектов прини-
мается без учета того, как соотносятся эти объекты с дру-
гими в индивидуальных отношениях.
Независимость объектов часто обсуждается в лите-
ратуре по групповому выбору как одно из вполне разум-
ных требований к принципам согласования. Прежде чем
обсуждать условие независимости объектов, уточним его
применительно к произвольному принципу согласования.
Для этого введем следующие обозначения.
Пусть F — принцип согласования отношений, при-
чем при данных (i = 1, . . . , п) полагаем Р (Лх, . ..
. . . , Rn) = R, F (Рп . . . , Рп) = Р.
Пусть А' — некоторое подмножество А. Будем при-
менять штрих для обозначения того, что какое-либо от-
ношение рассматривается только на А': Р' = Р f] (А' X
X A'), R' — R П х ^') и т- Д’
Условие 1. Если наборы отношений Лх,. . .
. . . , Rn и Рь . . . , Рп таковы, что R\ = Р\ (i — 1, . . .
. . . , п), то групповые отношения R и Р на А' совпадают:
R' = Р'.
Условие 1, таким образом, состоит в том, что если ис-
ходный набор отношений был 2?х, . . . , Rn, а затем не-
сколько изменился (до Plv . . , Рп), оставаясь тем же
на множестве А', то групповое отношение также не ме-
няется на А'.
136
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
Принципы согласования с этим свойством на первый
взгляд представляются вполне приемлемыми, особенно
с точки зрения анализа качественных признаков. Какое
отношение имеет третий объект с к сравнению двух объек-
тов а и 6?
Однако существует одно весьма важное возражение,
которое мы рассмотрим с привлечением следующего при-
мера.
Пусть а и Ъ — два конкурирующих проекта, оцени-
ваемые двумя экспертами, причем один считает более
предпочтительным а, а второй, наоборот, Ь, и никакие
попытки выработать единую точку зрения не удались.
Казалось бы, в этом случае можно принимать любой ва-
риант, следуя правилу большинства.
Однако, можно, следуя стандартам криминалистики,
представить на рассмотрение экспертов еще несколько
проектов, неосуществимых практически, но вполне уме-
стных гипотетически. Пусть эти новые варианты обозна-
чены буквами с, d, е. Для расширенного множества про-
ектов первый эксперт принял упорядочение Рг = (с, d,
а, &, е), второй Р2 — (Ь, с» d, е, а).
Напрашивается вывод, что учет новых вариантов су-
щественно меняет ситуацию: анализ Рг и Р2 показывает,
что степень предпочтения b по сравнению с а у второго
эксперта больше, чем степень предпочтения а по срав-
нению с & у первого и, значит, нужно выбрать Ь.
Этот вывод основан фактически на предпосылке о
том, что, во-первых, интенсивности предпочтений раз-
личных экспертов можно сравнивать, и, во-вторых, это
можно делать с помощью введения дополнительных объ-
ектов, которые дают как бы дополнительные градации
интенсивности предпочтений*).
По-видимому, он совершенно правилен, если добав-
ляемые объекты действительно дают недвусмысленную
основу для сравнения степени предпочтения. Например,
пусть совершенно точно известно, что эффективность
проекта с весьма высока, эффективность d значительно
меньше, а эффективность е выражается скорее отрица-
тельной, чем положительной величиной. Тогда, действи-
♦) Ковечно, при количественном задании предпочтений сравне-
ние интенсивностей предпочтения экспертов может быть выполнено
непосредственно.
§ 1. ТРЕБОВАНИЯ К ПРИНЦИПАМ СОГЛАСОВАНИЯ
137
тельно, Ь кажется более предпочтительным, потому что,
хотя а предпочтительнее Ь, но в общем-то столь же мало
эффективно по мнению первого эксперта, в то время как
второй эксперт оценивает эффективность Ь весьма высоко.
Если же новые объекты не закреплены по степени пред-
почтительности в общей для обоих экспертов шкале, то
вывод о предпочтительности Ь может оказаться неверным.
Pl
a d с
J__L-U
е Ъ
aedcb
р2--LLU—I-----------------------
Рис. 7.
Например, если оценка интенсивности предпочтений для
каждого эксперта имеет смысл (хотя бы как скрытая,
теоретическая переменная), то возможно расположение
объектов на осях этих переменных, изображенное на
рис. 7. В этом случае ситуация обратна к предыдущей.
Второй эксперт, хотя и считает b более предпочтитель-
ным, но расценивает его почти также низко, как а, тогда
как первый считает а очень привлекательным. Груп-
повое решение в этом случае, по-видимому, должно быть
в пользу а (конечно, если эксперты равноправны).
Итак, если интенсивности предпочтений разных экс-
пертов сравнимы, то, вообще говоря, условие 1 не выпол-
няется. Если же мы отказываемся от сравнения таких
интенсивностей, то условие 1 приемлемо, так что имеет
омысл исследовать вытекающие из него выводы.
Прямое следствие условия 1 состоит в том, что всякий
принцип согласования F, удовлетворяющий ему, можно
рассматривать как совокупность функций алгебры логи-
ки. Действительно, с упорядоченной парой (а, Ь) Е Л X Л
и отношением Ri cz Л X Л можно связать логическую
переменную Kfb по правилу:
ь [ 1, (а,Ь)ЕЛь
1 “[О, (a,b)^Ri. ( )
Тогда принцип согласования F для упорядоченной пары
объектов (а, Ь) описывается функцией Fab %*ь
138
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
ХЬа, . . Х^а), принимающей значение 1, когда (a, b)
е F (/?!, . . ., Яп), и значение 0, когда (а, Ъ)
F (Rr, . . Rn). В общем случае здесь приходится
учитывать и Xfb и ХЬа одновременно, поскольку условие 1
говорит о независимости подмножеств {а, Ь}, а не упо-
рядоченных пар (а, Ь).
Однако в частном случае, когда рассматриваются
только эквивалентности, = %Ьа, так что функции Fab
и Fba зависят только от п величин (= Afb = %ba)
(i = 1, . . ., п) и при этом совпадают. Аналогично при
рассмотрении квазисерий возможны не все четыре ком-
бинации значений Afb, Xba, а только три: случай Afb =
= lba = 1 исключен. Поэтому тогда можно ввести троич-
ную переменную
и принцип согласования описывается функцией
Fab (Hi» • • •» принимающей три значения 0, 1 или
—1 соответственно тому, принадлежит ли (а, Ь) отноше-
нию Ir, R или Я-1; при этом Fab ~ — Fba.
2. Универсальные множества отношений. Мы будем
рассматривать принципы согласования различных клас-
сов отношений: эквивалентностей, квазипорядков и т. д.
Пусть D и Е — некоторые множества бинарных от-
ношений на А, причем число объектов в А не меньше
трех, и Dn = D X ... X D — множество упорядочен-
ных наборов вида (Rx, ...» Rn), где Rt ЕЕ D (i =
= 1, . . . , п). Отображение F: Dn Ё будем называть
принципом согласования отношений класса D в классе Е,
если оно определено для всех наборов (Ях, . . . , Rn) ЕЕ
GE Ёп. В том случае, когда D = Е, будем говорить просто
о принципе согласования отношений класса D.
В связи с этим определением полезно отметить, что
допустимые в смысле 2.2.2 множества D ранжирований
на А = {а, Ь, с} — это те и только те множества, для
которых правило большинства (2.1) является принципом
согласования в классе линейных квазипорядков. Дей-
§ 1. ТРЕБОВАНИЯ К ПРИНЦИПАМ СОГЛАСОВАНИЯ
139
ствительно, то, что принцип согласования должен быть
определен для всякого набора (/?х, . . ., Rn) G D, как раз
и означает в этом случае, что допустимы любые распре-
I деления голосов за данные ранжирования.
| Когда речь идет о принципе согласования, подразу-
’ мевается, что он является универсальным, т. е. приме-
ним к достаточно богатому классу отношений. Мы бу-
дем считать, что D содержит настолько разнообразные
: отношения, чтобы позволить наличие различных мнений об
объектах множества А. А именно, потребуем, чтобы для
* любых объектов а, Ь, с €= А нашлись такие Р, R, S ЕЕ D,
i что:
? 1) (а, Ь) е Р, (&, с) s Р и (а, с) Р;
2) (а, Ь) е /?, (6, с) & R и (а, с) & R;
3) (а, Ь) е 5, (с, b) & S и (с, а) S.
Множество Z), удовлетворяющее этим условиям, бу-
дем называть универсальны.^. Очевидно, универсальны-
ми являются множества всех эквивалентностей, квази-
серий, квазилинейных отношений, (линейных) квази-
! порядков. Например, эквивалентность, для которой а, Ь, с
1 находятся в одном классе, удовлетворяет пункту 1),
{ а эквивалентность, для которой а и Ъ эквивалентны,
а с содержится в другом классе, удовлетворяет пунктам
2) и 3).
Правда, ни одно из допустимых множеств ранжирова-
ний из § 2.2 не универсально. Действительно, по пункту
2) в D должно входить ранжирование (z, xQy), по пункту
1) — (xQyQz), а по пункту 3) — (yQz, х), что по теореме
2.2.1 означает недопустимость D.
Итак, D будет предполагаться универсальным. Ка-
кие ограничения наложить на Е? По-видимому, групповое
отношение должно определяться на основе индивидуаль-
ных; так что заранее никаких особых свойств множеству Е
приписывать не стоит. Потребуем только, чтобы в Е
не было нетранзитивных отношений. В контексте анализа
данных это условие совершенно не вызывает возражений.
В контексте проблемы согласования его часто в последнее
время заменяют более общим условием ацикличности
входящих в Е отношений. Это связано в основном с тем,
чтобы во всяком подмножестве объектов можно было вы-
брать наилучший. Однако основные результаты как в
140
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
случае ацикличности, так и в случае транзитивности свя-
заны со свойствами циклических подмножеств и полно-
стью аналогичны. Только для случая ацикличности часто
требуются несколько более сильные ограничения, чтобы
доказать утверждения типа следующих ниже теорем 1, 2.
Имея это в виду, для простоты ограничимся случаем
транзитивности. Резюмируя сказанное, получаем сле-
дующее требование к принципу согласования F.
Условие 2. Множество D универсально, а Е со-
держит только транзитивные отношения.
3. Положительная связь группового отношения с
индивидуальными (монотонность). Мы хотим в общем виде
сформулировать интуитивно вполне разумное требование,
чтобы групповое отношение не менялось, если какой-
либо индивидуум изменил свое мнение в пользу группо-
вого. Например, если мажоритарное отношение содержит
(а, 6), и какое-то из индивидуальных отношений, не со-
держащих (а, Ь), изменилось так, что эта пара вошла в
него, то п (а, Ь) увеличится, и тем более (а, Ъ) будет при-
надлежать мажоритарному отношению.
Пусть R и Р —- два отношения из множества D. Пусть
R и Р отличаются только такими парами (ж, у), в которых
по крайней мере один из элементов х, у принадлежит
множеству {а, Ь}, и пусть если (а, Ь) е R, то и (а, 6) G Р
(так что если (а, Ь) Р, то и (а, Ь) R). В этов^ случае
отношение Р будем называть (а, Ь)-улучшением отноше-
ния R, a R — (а, Ъ)-ухудшением отношения Р. В част-
ности, если R и Р совпадают, то каждое из них является
одновременно и (а, &)-улучшением и (а, Ь)-ухудшением
другого.
Условие 3 (условие монотонности).
а) Если (а, Ь)ЕЙ = F (7?х, . . ., Rn) и всякое Pf
является (а, Ь)-улучшением соответствующего Rh то тем
более (а, Ь) & Р = F (Рх, . . . , Рп);
б) если (а, R и всякое Рг является (а, ^-ухуд-
шением соответствующего то тем более (а, b) Р.
Легко видеть, что на самом деле условие 3, б) выте-
кает из 3, а), и наоборот, 3, а) вытекает из 3, б).
Из условия монотонности следует, что значения функ-
ции Fab (%хь, . . ., ^ia, . . ., Xba) (раздел 1) зависят
только от величин но не от %ba: Fab = Fab (%x, ...
§ 1. ТРЕБОВАНИЯ К ЙРИНЦИПАМ СОГЛАСОВАНИЯ 141
. . . , Хп), где Условие 3 означает не что иное,
как монотонность этой функции *):
(%!, . . Кг) = (\l, • • •> Ki) —> Fab (X1? . . . , Ki)
^Fab (Xi, . . ., Ki).
4. Условие ненавязанности группового решения. Это
условие носит совершенно естественный смысл. Оно тре-
бует, чтобы групповое решение о предпочтениях прини-
малось не априорно, а на основе рассмотрения индиви-
дуальных отношений. Это значит, что не должно быть пар
(а, Ь), о которых раз и навсегда (для данного F) извест-
но, что (а, Ь) содержится (или не содержится) в групповом
отношении R, независимо от того, каковы индивидуаль-
ные предпочтения.
Условие 4. Для любой пары (a, b) ЕЕ А X А
а) существует набор R19 . . . , Rn такой, что (а, Ъ) ЕЕ
е F (7?1? . . ., Яп);
б) существует набор Pt, . . . , Рп такой, что (а, Ь)
F (Ръ . . ., Рп).
С формальной точки зрения условие 4 является ослаб-
ленным вариантом требования универсальности множе-
ства значений принципа согласования F: для любых а,
b должны найтись значения Р и R такие, что (а, Ь) Р
и (а, Ь) е R-
В терминах булевской функции Fab условие 4, а)
означает, что для некоторого набора . . . , %п
Fab (М» • • • , Хп) = 1, а 4, б) — что для некоторых . . .
. . Fab (А4, . . ., ю = о, т. е. функция Fab не дол-
жна быть ни тождественно истинной, ни тождественно
ложной.
Некоторые другие условия на принципы согласования
встретятся в следующем параграфе (а также в задачах).
5. Принцип Парето. С именем В. Парето [171] связы-
вается следующее требование к принципам согласования.
Если все индивидуумы предпочитают объект а объекту 6,
то и в групповом отношении объект а должен быть пред-
почтительнее Ъ. Точно так же, если все члены группы
*) Вообще, как легко видеть, условия монотонности и незави-
симости могут быть объединены в одном требовании: если (a, b) Е
е (а, b) G R\ (i = 1, . . ., п), то (а, Ь) е R (а, b) е Н'.
142
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
безразличны в выборе между а и &, таково же должно быть
групповое решение. Этот принцип Парето не оспаривается
никем из исследователей; наоборот, не удовлетворяю-
щие ему процедуры считаются плохими. В наших терминах
его можно сформулировать следующим образом: если
(a, b) е Rt для всех i = 1, . . . , п, то (а, Ь) G
е F (7?х, . . . , 7?п); если же (а, Ь) Rt для всех i =
= 1, . . . , и, то (а, b) F (У?!,. . . , 7?п).
Выразим принцип Парето в теоретико-множествен-
ных терминах. Обозначим F (У?х, . . . , 7?п) через R;
тогда первая его часть [(a, b) СЕ RT и (а, 6) Е и ••• и
(а, Ь) е /?п] -> (а, b)ER означает (а, Ь) е П Ri ->
г=1
-> (а, b) СЕ R, т. е. Q Rt С R. Точно так же вторая
г—1
п
часть принципа означает (а, Ъ) Е П (а, b) R, где
г==1
чертой сверху обозначено дополнение соответствующего
отношения. Но это значит, что р| cz R или, после
г=1
взятия дополнения, R cz J Rt. Таким образом, принцип
г=1
согласования удовлетворяет принципу Парето тогда и
п п
только тогда, когда (J 7?j.
г=1 г=1
В частности, при п = 2 групповыми отношениями по
принципу Парето могут являться те и только те отноше-
ния R, которые лежат между 7?х и У?2 (см. раздел 2.3.2).
Обсудим кратко два крайних случая применения прин-
п п
ципа Парето: R= и У? = (J R^ Первое из правил
г=1 г=1
является крайне консервативным : aRb тогда и только
тогда, когда aRtb для всех I. Второе, наоборот, очень
«динамично»; оно учитывает любое мнение о включении
(а, Ь) в R и, при наличии противоположных мнений о
включении (а, &),дает столь же мало оснований для ре-
шения, как и Q Ri. «Разумный» принцип согласования
г
должен представлять «золотую середину». Покажем те-
перь, что принцип Парето следует из условий 1—4.
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗМОЖНЫХ ПРИНЦИПОВ 143
Пусть (a, b) е Ri ДЛЯ всех t = 1, . . п, но
R. Условие 1 позволяет ограничиться рассмотрением
индивидуальных отношений только на множестве {а, 6}.
По условию 3, б) (а, b) EjE R и при любых других инди-
видуальных отношениях на {а, Ь}, так как они являются
(а, Ь)-ухудшениями Rt (i = 1,. . . , и). Но это проти-
воречит условию 4, а), что и требовалось доказать.
Случай (а, Ь) Rt (i = 1, . . . , п) разбирается ана-
логично.
§ 2. Характеристика возможных принципов
согласования
1. Формулировка теоремы и ее следствий. Этот параг-
раф посвящен в основном описанию принципов согла-
сования, удовлетворяющих условиям 1—4.
Прежде всего рассмотрим простейшие принципы согла-
сования — взятие теоретико-множественного пересече-
ния некоторых исходных отношений.
Фиксируем некоторое к п и допустим, что пересе-
чение любых к отношений из D содержится в Е. Конеч-
но, это не всегда так. Например, если в Е содержатся
только асимметричные отношения, а в D, наоборот,
только симметричные, то пересечение любых отношений
из D также симметрично и, следовательно, не содержится
в Е. Но если предположение справедливо, то для всякого
Л-элементного подмножества V {1, . . . , п} можно рас-
сматривать принцип согласования Fy, определенный фор-
мулой
Еу(Еъ...,Еп)=: П Ri- (3)
iev
Очевидно, что такой принцип согласования удовлетворяет
условиям 1 — 4.
Действительно, результат пересечения независим для
каждой пары объектов (условие 1); множество V выбрано
так, что Fy применим ко всем наборам (7?1? . . . , Rn) е=
ЕЕ Dn, причем Fy (У?!, . . ., Rn) Е (условие 2); если
(а, Ъ) е Fy (/?!, . . ., 7?п), так что (а, Ь) е Rt для всех
i ЕЕ F, то (а, &)-улучшение этих Rt не изменит результата,
a Rj для i^V могут вообще меняться как угодно; и
144
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
аналогичное справедливо при (a, b) Fy (Л1? ...» 7?п)
(условие 3); если (а, Ь) е Rt (или (а, Ь) ф Rfi для вся-
кого i Е V, то ясно, что (а, b) е Fv , Rn) (соот-
ветственно (а, b) Fv (flx, . . , Rn) ) (условие 4).
Принципы согласования Fy, имеющие вид (3) (при не-
котором подходящем V), будем называть тривиальными.
Оказывается, только тривиальные принципы согласова-
ния удовлетворяют условиям 1—4 одновременно.
Теорема 1. Условия 1—4 справедливы для принци-
па согласования тогда и только тогда, когда он тривиален.
Доказательство теоремы дадим в следующих разделах,
а здесь сформулируем и докажем два ее следствия.
Следствие 1. Принципы согласования, удовлет-
воряющие условиям 1—4, существуют тогда и только
тогда, когда D С2 Е.
Действительно, если DQE, то, взяв V — {1}, по-
лучим F (Rt, . . . , Rn) = Ru который является триви-
альным, и удовлетворяет свойствам 1—4. Если же суще-
ствует принцип согласования со свойствами 1—4, по тео-
реме 1 он имеет для некоторого V вид F (Дг, . . . , Rn) =
= П Rf. Пусть набор (7?lt . . . , Rn) таков, что Ri для лю-
iev
бого i Е: V совпадает с одним и тем же произвольным
отношением R е= D. Но тогда F (Rr, . .. , 2?n) = R, так
что R Е= Е. Значит, D cz Е, и следствие 1 доказано.
Обозначим через D р| D множество всех отношений
вида R' П R", где R', R" е D.
Следствие 2. Для того чтобы свойства 1—4 ха-
рактеризовали лишь принципы согласования Fy с одно-
элементным множеством V, необходимо и достаточно,
чтобы D с; Е, но D р| D Е.
Действительно, если D р| D Е, то существуют
R', R" ЕЕ D такие, что R' Q R" Е. Но тогда V не мо-
жет содержать больше одного элемента, так как если,
скажем, V = {^, . . . , ik}, то, полагая Rit = Rf
Rit = ... = Rik = R", получим Fy (/?!, . . . , Rn) =
= R' P| R", а это противоречит тому, что F — принцип
согласования отношений из D в Е.
2. Обсуждение теоремы и ее следствий. Утверждение
теоремы 1 состоит в том, что свойства 1—4 диктуют сле-
дующее правило: сначала выбрать совокупность «значи-
мых» экспертов V, а затем взять то общее, что есть в мнет
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗМОЖНЫХ ПРИНЦИПОВ
145
ниях значимых экспертов. Это и будет групповое отно-
шение.
Правда, ничего не говорится о том, как выбирать
множество V. Для этого нужно привлекать другие сооб-
ражения. Например, можно воспользоваться концепцией
п
расстояния. Величина/(7) = 2 П Я;, Я^) выражает, на-
г=1
сколько согласовано отношение f) Rj с исходными отно-
jev
шениями Яр Естественно выбрать такое У, для которого
f (7) минимально: оно самое согласованное в принятом
смысле этого слова.
Конечно, выбор V при этом полностью определяется
заданными отношениями /?х,. . . , Яп: изменятся они —
изменится и У. Следовательно, это правило не удовлет-
воряет свойствам 1—4, ибо согласно теореме 1 V для
данного принципа согласования выбирается раз и на-
всегда, независимо от набора (Я1? ...» Rn) €=
Однако, в практической ситуации, когда групповое реше-
ние делается только один раз, выбираемое V (минимизи-
рующее / (У)) можно формально считать неизменным и
для других отношений Яг-, поскольку все равно они рас-
сматриваться не будут.
Следствие 1 дает простой признак для выяснения,
когда принципы согласования, удовлетворяющие ус-
ловиям 1—4, невозможны. Прежде всего невозможно,
чтобы индивидуальные отношения были нетранзитивны:
D cz Е, а Е состоит из транзитивных отношений по
условию 2. Невозможно также согласование квазисерий
в классе эквивалентностей и, наоборот, эквивалентностей
в классе квазисерий.
Читатель легко подберет другие примеры невозмож-
ности: нужно только, чтобыD не целиком содержалось в Е.
Следствие 2 характеризует простейшие тривиальные
принципы согласования — с одноэлементным У. Такой
принцип состоит в выборе некоторого i (i = 1, . . . , и)
и постулировании F (Яг, ...» Яп) = Я$ независимо
от набора (Ях, . . . , Яп) е &п-
Такой принцип согласования, следуя Эрроу, обычно
называют диктаторским. Действительно, групповое от-
ношение полностью определяется и совпадает с индивц-
146
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
дуальным отношением независимо от того, каковы
другие индивидуальные отношения, так что индекс i
является «диктатором» в группе {1,2, ... , п}.
Такое название носит оценочный характер. При ин-
терпретации в терминах анализа субъективных мнений
диктаторский принцип противоречит демократии и часто
объявляется нежелательным. Однако если придержи-
ваться интерпретации в терминах анализа признаков,
то ничего «страшного» диктаторский принцип согласова-
ния не означает. Просто он рекомендует выбирать для
окончательного решения один из имеющихся признаков.
Кстати говоря, при практическом анализе данных часто
так и делают: из группы признаков по содержательным
или формальным соображениям выбирают один представ-
ляющий признак и дальнейшие выводы делают, основы-
ваясь только на нем.
Значит, такой прием практического анализа данных
неявно основан на свойствах 1—4, которыми полностью
характеризуется. Единственный представляющий при-
знак можно найти, например, минимизируя упоминав-
п
шуюся функцию / ({/}) =
г=1
Условия следствия 2 как раз выполнены и для случая
ранговых признаков (D = Е есть множество квазисерий
(см. раздел 2.3)) и для случая, когда имеются как ранго-
вые, так и номинальные признаки (в этом случае D = Е
есть объединенное множество квазисерий и эквивалент-
ностей).
Имелась надежда, что если в качестве D взять множест-
во квазисерий, а Е — множество квазилинейных отноше-
ний, появятся не только диктаторские, но и другие прин-
ципы согласования. Однако это не так: пересечение ква-
зисерий может не являться квазилинейным отношением.
Дальнейшее обсуждение диктаторских принципов согла-
сования содержится в разделе 4.
В том случае, если рассматриваются только номиналь-
ные признаки (D = Е есть множество эквивалентностей),
возможны тривиальные принципы согласования с любым
V. Действительно, пересечение любого числа отношений
эквивалентности на множестве А является эквивалент-
ностью .
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗМОЖНЫХ ПРИНЦИПОВ 147
Это значит, что в проблеме согласования разбиений
свойства 1—4 характеризуют обычно применяемую про-
цедуру. Сначала из некоторых внешних соображений вы-
бирают подмножество V значимых признаков, а затем
в качестве согласованного берут разбиение по всем
значимым признакам одновременно. Например, если
V == {1, 2}, и соответствует признаку «пол», а Р2 —
признаку «профессия», то нужно рассматривать разбиение
обследуемого контингента рабочих и по полу, и по про-
фессии одновременно.
3. Утверждающие и отрицающие множества. В этом
разделе мы докажем, что всякий принцип согласования,
удовлетворяющий условиям 1—4, тривиален. Тем самым
завершим доказательство теоремы 1. Для этого восполь-
зуемся следующей терминологией. Обозначим М =
{1, 2, . . ., п}. Для данного принципа согласования F
подмножество I М будем называть утверждающим
для пары (a, b) е А X А, если из того, что (а, b) е Rt
для всех i е /, следует (а, b) е R = F (R^ . . ., Rn)
(независимо от того, выполняется ли (а, b) GE Rt для
i ф 1). Данное определение корректно, так как по ус-
ловию 1 «связи» а и Ь с другими объектами не влияют на
групповое отношение а и 6. В силу условия 3, а) очевид-
но, что множество I cz М — утверждающее для (а, Ъ)
тогда и только тогда, когда (a, b) Ez Rt для i G /, (а, Ъ) (=£
Rt для i /, но (а, Ъ) е R-
Аналогично, I £ М будем называть отрицающим
для пары (a, b) е А X А, если из (а, b) Rt для i е I
следует (а, b) R = F (R^ . . ., Rn) независимо от того,
выполнено ли (а, b) Rt для остальных i I. По усло-
вию 3, б) I является отрицающим тогда и только тогда,
когда (а, Ь) Rt для i е I, (а, Ь) е Rt для i /, и
(а, b) R.
То, что утверждающие и отрицающие множества для
принципов согласования, удовлетворяющих условиям
1—4, существуют, следует из выполнения принципа
Парето (раздел 1.5). Действительно, принцип Парето гла-
сит, что множество М является одновременно и утверж-
дающим, и отрицающим для всех пар (a, b) ЕЕ А X А.
В нижеследующих леммах выясняется строение сово-
купности утверждающих множеств; при этом условия
1—4 предполагаются выполненными.
148
bl. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
Л е мма 1. Всякое утверждающее множество является
утверждающим для всех пар (a, b) GE А X А.
Доказательство. Пусть I cz М — утверж-
дающее множество для некоторой пары (с, d) ЕЕ А X А.
Покажем, что I — утверждающее для всех пар (а, Ь) ЕЕ
ЕЕ А X А. Сначала докажем, что I — утверждающее
для любой пары вида (с, Ь) (ЬеЕ.А), Пусть отношения
j?1, . . ., Вп таковы, что для всех i ЕЕ I (с, d) ЕЕ
(с, Ь)ЕЕ/?ь (d, Ь)е7?ь но (с, d)&Rh (c,b)&Rh
(d, b) S Rj для / I.
В силу универсальности D (условие 2) такие отноше-
ния существуют. Согласно условию 1 взаимоотношение
Ь, с, d в R = F (7?г, . . ., Rn) определяется только этой
информацией, независимо от «поведения» остальных
объектов.
Так как I — утверждающее для (с, d), то (с, d) Е -fi-
llo принципу Парето (d, Ъ) ЕЕ R- Тогда (с, b) Е= R в силу
транзитивности R (условие 2). Но так как (с, 6) E-ff
только для iEzI, то I является утверждающим для (с, Ь).
Аналогично доказывается, что если I — утверждаю-
щее для пары (с, 6), то I — утверждающее для любой
пары вида (а, Ь) {а ЕЕ А). Таким образом, I — утверждаю-
щее для любых (а, &) ЕЕ А X А, и лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пересечение утверждающих множеств не
пусто и само является утверждающим множеством.
Доказательство. Пусть I и J — утверждаю-
щие множества. Рассмотрим набор R^ . . ., Rn такой,
что для i ЕЕ I П J выполнено (а, Ь) ЕЕ (&, с) ЕЕ Rt и
(а, с) ЕЕ для t ЕЕ I — J выполнено (а, Ь) ЕЕ R^ (&> с)
t£Ri и (а, с) Rt\ для / ЕЕ J — I выполнено (а, b) Rt,
(b,c)^Rt и (а, с) & Rt\ для / I |J J, как и для
i Е / - J, выполнено (а, 6) Е (Ь, с) 7?г и (а, с) Rt.
Тогда (а, b) е F (2?1? . . ., 7?п), так как I — утверждаю-
щее и (a, b) е Ri для i е I. Точно так же (6, с) е
ЕЕ F (/?!, . . ., 7?п), так как J утверждающее и (6, с) е Rt
для i ЕЕ J- Значит, (а, с) ЕЕ F (Ях, ...» Rn) в силу тран-
зитивности. Но (а, с) е Ri только для i ЕЕ I J. Зна-
чит, I П J утверждающее для (а, с), а по лемме 1 и для
всех остальных пар из А X А.
С другой стороны, утверждающее множество не может
быть пустым, так как противное означало бы, что (а, Ъ) ЕЕ
F (/?!, . . ., /?п), хотя (а, Ь) Ri для всех i е М.
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗМОЖНЫХ ПРИНЦИПОВ 149
А это противоречит тому, что по принципу Парето М —
отрицающее множество. Значит, I П J не пусто. По-
скольку М конечно, то конечно и количество утверждаю-
щих множеств. По индукции нетрудно распространить
доказанное на случай любого числа утверждающих мно-
жеств. Лемма доказана.
Из леммы 2 следует, что в классе утверждающих мно-
жеств существует единственное минимальное множество
V ф ф, которое является утверждающим для любой
пары (а, 6)е4 X Л, но никакое его подмножество не
является утверждающим ни для какой пары (а, Ъ) ЕЕ
ЕЛ X Л. Действительно, если бы нашлось два различ-
ных минимальных множества V и W, то их пересечение
было бы утверждающим, строго включенным и в V, и
в W множеством, что противоречит их минимальности.
Рассмотрим это единственное V.
Лемма 3. Для всякого j Е V одноэлементное мно-
жество {/} является отрицающим для любой пары
(а, Ь)^ А X Л.
Доказательство. Фиксируем некоторое
/Е V. Пусть набор (/?х, . . ., 7?n) EJ9 таков, что для
некоторых а, 6, сЕ Л (а, b) Rj, (b, с) ЕЕ Rj и
(a, c)^Rj. Для i е V — {/} потребуем (а, b) е Riy
(b, с) ЕЕ Ri и (а, с) е Ri, Для остальных индексов
i е М — V полагаем (а, b) е Ri, (Ь, с) Ri, (а, с) Rt.
Тогда (&, с) е F (7?х, . . ., 2?п), так как V — утверждаю-
щее множество; (а, с) F (7?х, . . ., 2?П), так как
(а, с) е Ri только для j Е V - {/}, а V — {/} не является
утверждающим по определению V. Но тогда и (а, Ь) Е=Ё
F (7?х, . . ., /?п), так как иначе, если (a, b) е F (7?х,. . .
. . ., 7?п), то (а, с) Е F (7?х, . . Rn) ио транзитивности.
А поскольку (а, Ь) Rt только для i = /, то множество
{/} является отрицающим для пары (а, Ъ) и, ввиду произ-
вольности выбора а и 6, лемма доказана.
Итак, для принципа согласования, удовлетворяющего
условиям 1—4, существует единственное множество V =/= ф,
которое является утверждающим для всех пар (а, Ь) ее
ЕЕ Л X Л, но любое его одноэлементное подмножество яв-
ляется отрицающим для всех (д, 6)Е Л X Л. Сформули-
руем сказанное в теоретико-множественных терминах,
что позволит завершить доказательство теоремы 1.
150 ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
То, что V — утверждающее, означает, что П с
£ F (7?х, . . ., Rn). Действительно, из того, что для всех
i 'EV (a, b) е Ri, следует (a, b) е F (7?х, . . ., Яп), т. е.
(а, Ь) П Ri -> (а, Ь)еР (2?х, . . ., Rn), что и требо-
ieV
валось. То, что /е V — отрицающее для всех пар
(а, Ь) е А X А, означает, что (a, b) Rj (а, Ь)
& F (R„ . . Rn), т. е. (а, b) (= F (Rlt . . .,Rn)^
-> (а, b) GE Rj и, значит, F (Rv . . ., Rn) cz Rj. Посколь-
ку включение F (Rlt . . ., Rn) c Rj справедливо для лю-
бых j E F, то F (Rr, . . ., Rn) cc f~) Rj. Таким образом,
П Ri e F (Rlt ...,Rn)cz. П Ri- з11чит, F (7?lt..., Rn) =
iev jev
— П Rj, что и доказывает теорему.
j&v
4. Парадокс Эрроу. Мы уже показывали в разделе 2,
что если рассматривать проблему согласования в классе
квазисерий, то условия 1—4 с необходимостью приводят
к диктаторским принципам согласования. Поэтому если
в качестве дополнительного, пятого условия потребовать,
чтобы принципы согласования не были диктаторскими,
то придем к невозможности, несуществованию таких прин-
ципов согласования. Это и есть парадокс Эрроу; пять с
виду невинных ограничений оказываются несовместными.
«Классический» парадокс Эрроу устанавливается толь-
ко для случая, когда и индивидуальные, и групповое
отношения являются квазисериями. При этом рассматри-
вается более широкое понятие диктатора. В нашем тексте
диктатор — это такой индекс /, что F (7?х, . . ., Rn) пол-
ностью совпадает с Rf. именно к такому принципу согла-
сования приводят условия 1—4. По Эрроу, диктатор —
это такой индекс /, что Rj £ F (7?х, . . ., Rn), т. е. если
а лучше b по Rj, то а лучше Ъ и в групповом отношении,
если же а и Ь неразличимы по Rj, т. е. (а, Ь) Rj и
(b, а) Rj, то в групповом отношении а и Ъ могут быть
как неразличимы, так и предпочитаться один другому. Это
позволяет получить парадокс в классе квазисерий при
более слабых ограничениях. А именно, достаточно лишь
выполнения условий 1; 4, а) и следующего ослабленного
варианта условия 3:
Условие 3'. Пусть F — принцип согласования
в классе квазисерий, причем (a, &)eF (Ях, . . ., Rn)
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗМОЖНЫХ ПРИНЦИПОВ
151
Пусть для всякого i квазисерия Pi либо совпадает с Rt
(если (а, Ъ) Е Ri), либо, если (а, Ь) Rb получена пере-
носом объекта Ь в соответствующем ранжировании в класс
с тем же или большим номером, чем класс объекта а (так
что положение Ъ стало менее предпочтительным). Тогда
(а, b) Е F (Рп . . Рп).
Например, Rt может задаваться ранжированием
(6, а, с), a Pi — ранжированием (а — Ь, с). Множество
I cz М является утверждающим для пары (а, Ь) при вы-
полнении условия 3' тогда и только тогда, когда для неко-
торого конкретного набора Ri (i = 1, . . ., п) выполнено
(а, Ь) Е Ri для всех i ЕЕ /, (&, а) ЕЕ Ri для всех i Z,
но (а, Ь) Е F (Z?1? . . ., /?п). Это показывает, что условие
3' действительно слабее условия 3, при котором здесь
было бы достаточно, чтобы (а, Ь) Rt для i I (т. е.
(а, Ь) ЕЕ Ir. или (6, а) ЕЕ Z?f), а не обязательно (6, а) ЕЕ R^
Условия 1, 3' и 4, а) позволяют доказать лишь ослаб-
ленный принцип Парето}
П^<=Р(/?1,...,Яп), (4)
г=1
т. е. из того, что а предпочтительнее Ь для всех членов
группы, следует предпочтительность айв групповом
отношении. Действительно, допустим противное: (а, Ъ) ЕЕ
Е Ri для всех i е М, но (а, b) R = F(R, . . ., Rn)
для некоторой пары (а, b) ЕЕ А X А. Тогда, очевидно,
(а, Ь) R и для любого другого набора индивидуальных
отношений, так как если (a, b) ЕЕ F (R19 . . Rn) для
некоторых 2?i, . . ., Rn> то тем более должно быть
(а, Ь) ЕЕ F (R±, . . ., Rn) для исходных квазисерий, в ко-
торых а предпочтительнее Ь. А это противоречит условию
4, а), что и требовалось доказать.
Леммы 1 и 2 остаются справедливыми, только их дока-
зательства необходимо модифицировать в соответствии
с новой характеристикой утверждающих множеств: вме-
сто (a, b) Ri для i, не входящих в утверждающее мно-
жество, будем требовать (&, а) ЕЕ Ri-
Лемма 1'. Всякое утверждающее множество являет-
ся утверждающим для всех пар (a, b) Е А X А.
Доказательство. Пусть I £ М — утвер-
ждающее множество для (с, d) Е А X А- Покажем, что
152
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
I — утверждающее для всех пар (a, b) е А X А. Пусть
квазисерии Н1Ч . . ., Rn таковы, что для всех iE / им
соответствуют ранжирования (с, d, b) множества {Ь, с, d},
8l для i I — ранжирования (d, b, с). Тогда (с, d) ЕЕ
ЕЕ F (7?lt . . 7?п), так как I — утверждающее для (с, d),
a (d, b) е F (7?п . . 7?п) по доказанной части принципа
Парето. Ввиду транзитивности (с, &)Ef (7?1? . . ., Rn).
Но поскольку (с, b) ЕЕ Ri только для i Е /, а для i I
(Ъ, с) ЕЕ Rif то I — утверждающее для (с, Ь) (Ь ЕЕ Л).
Аналогично доказывается, что поскольку I — утверждаю-
щее для пар вида (с, Ь), то I — утверждающее для (а, Ь)
(а ЕЕ Л). Лемма доказана.
Лемма 2'. Пересечете утверждающих множеств
не пусто и само является утверждающим множеством.
Доказательство. Пусть I и J — утверждаю-
щие множества. Пусть для объектов а, Ь и с Rt = (а, Ь, с)
для i Е 7 П 7; для i Е / - / Д = (Ь, с, а) и для
i е М — J Ri = (с, а, Ь). Тогда (а, 6) Е F (Rv . . ., 7?п),
так как (a, b) е Ri для i Е I и I — утверждающее
множество. Точно так же (&, с) ЕЕ Ri для ?‘Е/и, значит,
(Ь, с) ЕЕ F (7?х, .. . ., Rn). По транзитивности (а, с) ЕЕ
F (7?х, . . ., 7?п). Но (а, с) ЕЕ Rt только для iE / А Л
а для остальных i (с, а) Е 7?f. Значит, I A J — утверждаю-
щее множество.
То, что I A /не пусто, доказывается следующим рас-
суждением. Допустим, что пустое множество индексов —
утверждающее. Это значит, что (а, Ъ) ЕЕ F (7?х, . . ., 7?п),
когда (&, а) ЕЕ 7?f для всех i ее М. Но по принципу Паре-
то (4) тогда (6, а) ЕЕ F (7?х, . . ., 7?п), а это противоречит
свойству асимметричности квазисерий. Значит, ф не
является утверждающим множеством. Лемма доказана.
Утверждение леммы 3 в данном контексте можно уси-
лить следующим образом.
Лемма 3'. В минимальном утверждающем множе-
стве V содержится ровно один элемент.
Доказательство. Фиксируем элемент / ЕЕ V.
На множестве {а, &, с} рассмотрим следующие квазисе-
рии : 7?; = (а, Ь, с); для i ЕЕ V — {/} 7?г = (6, с, а) и для
i е М — V Ri = (с, а, Ь). Тогда (6, с) е F (7?т, . . ., 7?п),
так как (&, с) EERi для i ЕЕ V. Легко видеть, что (6, а)
R = F (7?х, . . ., 7?п), так как (6, а) Rj только для
j Е F - {/}, для остальных i (a, b) е 7?f, цричем V —
§ 2. Характеристика ёозможныХ йрийцййов 153
— {/} не является утверждающим в силу минимальности
V. Значит, (а, Ъ) е= Ir или (а, Ь) е R. Но тогда
(а, с) ЕЕ R по свойству обобщенной транзитивности 7?
или (а, с) Е Д по свойству транзитивности R. Значит,
обязательно (а, с) е R- Но для всех i j (с, а) е R^
Следовательно, {/} — утверждающее множество для(а, с).
Ввиду минимальности V это означает, что V — {/}, что
и требовалось доказать.
Из лемм Г — 3' следует теорема Эрроу о невозмож-
ности.
Теорема 2 (Эрроу). Если принцип согласования
в классе квазисерий F удовлетворяет условиям 1, 3' и
4, а), то существует такой единственный индекс j ЕЕ М,
что Rj Q F (2?х, . . ., 2?п).
Действительно, по лемме 2' существует единственное
минимальное утверждающее для всех пар (лемма Г !)
множество, состоящее из единственного элемента j (лемма
3'), так что Rj F (7?х, . . ., 7?п).;
Рассуждения, аналогичные проведенным при доказа-
тельстве лемм 1' — 3', позволяют доказать также и сле-
дующий вариант парадокса Эрроу:
Теорема 2'. Если принцип согласования в классе
квазисерий удовлетворяет условию независимости 1 и ос-
лабленному принципу Парето (4), то существует един-
ственный «диктатор» так что RjC^F^R^..., Rn).
Отметим в заключение, что во всех доказанных леммах
использовались конструкции циклических множеств ран-
жирований, что особенно хорошо видно в доказательствах
этого раздела. Без их использования, как показывает
теорема 2.2.1, теоремы о «невозможности» невозможны,
ибо мажоритарное отношение удовлетворяет всем рас-
смотренным до сих пор требованиям к принципу согласо-
вания, кроме универсальности.
5. Возможность личного выбора. Подавляющее боль-
шинство работ о принципах согласования посвящено ана-
лизу условий, связанных с правилом большинства и его
модификациями (типа описанных в задачах 8—-10). Толь-
ко сравнительно недавно появилась работа [187], в кото-
рой формулируется условие, не только не присущее
правилу большинства, но даже ему противоречащее.
Предоставим слово Амартье Сену: «Можно считать,
что некоторые групповые выборы являются чисто личными,
154
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОЁАЙИЯ ОТЙОШЕЙИЙ
как, например, в случае, когда мистер А спит, лежа
на спине (х), и остальное состояние общества есть Q, или
мистер А спит, лежа на животе (у), а все остальное по-преж-
нему Q. Допустим, что мистер А предпочитает у, а не ж,
тогда как многие другие могут не соглашаться с этим.
Можно считать, что групповой выбор между х и у является
чисто личным делом мистера А, поскольку он один «ре-
ально» вовлечен в этот выбор, а остальные просто «суют
нос не в свое дело». Можно также рассматривать правило
группового выбора такое, чтобы «чисто личный» выбор
мистера А был отражен в групповом предпочтении» [187,
стр. 79). Рассуждения такого рода приводят к следующему
условию.
Условие 5. Существуют по крайней мере два
различных индекса к и j в М и две пары объектов {а, Ь}
и {с, d} таких, что к является утверждающим для (а, Ь) и
(Ь, а), a j — утверждающим для (с, d) и (d, с).
Еще более ослабить условие «личного» выбора, потребо-
вав наличия только одного утверждающего индекса,
нельзя без потери смысла этого условия. Действительно,
возможность наличия «диктатора» удовлетворяет такому
ослаблению.
Будем для простоты рассматривать принципы согласо-
вания только в классе антирефлексивных отношений (как,
например, множество квазисерий).
Условие 2'. D универсально, а Е содержит только
антирефлексивные транзитивные отношения.
Теорема 3. Не существует принципа согласования,
удовлетворяющего условиям 2', 5 и принципу Парето (4).
Доказательство. Ясно, что а Ъ и с Ф d
по условию 2'. Если (а, Ь) = (с, d), то условие 5 при-
водит к тому, что при (а, Ь) ЕЕ Rk и (6, а) Е получаем
(а, Ь) Е R = F (7?!, ..., Дп), так как {к} — утверждающее
для (а, 6), и (6, а) Е R, так как {/} — утверждающее
для (6, а). Но тогда по транзитивности R (а, а) Е 7?,
что противоречит условию 2'.
Пусть среди объектов а, Ъ, с, d только два совпадают,
например, а = с. Тогда потребуем (a, b) Е R^ (d, а) Е
Е Rj и (6, с) Е Ri для всех i Е М. Тогда (а, Ь) Е /?,
(d, а) Е R по условию 5 и (Ь, с) Е R по принципу Парето.
В силу транзитивности отсюда следует (а, с) Е R, т. е.
(а, а) Е R, что противоречит условию 2'.
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗМОЖНЫХ ПРИНЦИПОВ
155
Пусть теперь все четыре объекта а, 6, с, d различны.
Полагаем (a, b) Rk, (с, d) ЕЕ Rj и (d, а) ЕЕ Ri,
(Ь, с) ЕЕ Rt для всех i е М. Тогда (а, 6) Е й и (с, d)^R
по условию 5, (d, а) ЕЕ R и (6, с) ЕЕ R по принципу Па-
рето. Тогда, по транзитивности, [(a, b) Е= R и (6, с) ЕЕ /?] ->
-> (а, с) G R, [(а, с) Е Л и (с, d) е R] -> (а, d) е R,
[(а, d) ЕЕ R и (d, д) Е Я] -> (а, а) ЕЕ R, а это противоречит
условию 2'. Теорема доказана.
Из теоремы 3 следует, в частности, что при выполнении
условия универсальности 2Г принцип согласования F
не удовлетворяет принципу Парето, если он удовлетворяет
условию личного выбора 5. На наш взгляд, это является
отражением того факта, что условие 5 имеет смысл только
для очень больших и детализированных множеств объек-
тов при наличии очень большого числа членов группы.
Стоит отметить также, что благодаря прямому исполь-
зованию принципа Парето теорема 3 не использует усло-
вие независимости объектов 1. Это чрезвычайно редкий
случай.
6. Теорема о невозможности для кардинальных пред-
почтений. Пусть предпочтения индивидуума iEzM оце-
ниваются функцией fi (а) (а ЕЕ А), которая в соответствии
с § 1.4 определена с точностью до положительного линей-
ного пребразования (р (х) = кх + Z, где к > 0. Обозна-
чим через Li множество функций вида <р (fi (а)) (а ЕЕ А) и
L = Li х . . . X Ln. Тогда вектор-функции / е L за-
дают индивидуальные предпочтения всех i ее М, соот-
ветствующие исходным функциям fa.
Правило F, сопоставляющее всякому набору функций
/1 (а), . . ., fn (а) (а s 4) квазисерию на множестве А,
будем называть принципом согласования функций. Потре-
буем, чтобы индивидуальные предпочтения были несрав-
нимыми: для любого L f,f'^L-+F(f) = F (/'), т. е.
групповое отношение не должно зависеть от того, какие
масштабы и начальные точки выбраны для измерения инди-
видуальных предпочтений. Тогда можно доказать аналог
теоремы Эрроу о невозможности. Сначала переформули-
руем условия, налагаемые на принципы согласования.
Обозначим через Rt квазисерию, порождаемую функци-
ей через R — групповую квазисерию.
Условие независимости объектов.
Если для некоторых а, 6 Е Л f (а) = f'(a), f (Ь) = f(b)
156
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
для некоторой пары вектор-функций / и f, то a F(f) Ъ
<->aF (/') Ь.
Условие универсальности. Принцип
согласования F определен для любых наборов числовых
функций на множестве А, а его значениями являются
квазисерии.
Условие отсутствия диктатора. Не
существует / ЕМ такого, что Rj се В.
Ослабленный принцип Парето:
П Ri <= R-
гем
Теорема 4. Не существует принципа согласования
функций, удовлетворяющего сформулированным в этом
разделе условиям.
Доказательство. Мы докажем, что если
R — F (Д, . . fn), где F удовлетворяет всем условиям
этого раздела, то на самом деле R зависит только от
квазисерий Rt, соответствующих Д. Но тогда по теореме
2' ослабленный принцип Парето и условие отсутствия
диктатора противоречат друг другу, что и докажет
теорему.
Итак, пусть а, b ЕЕ А. Пусть множество L характери-
зует некоторый набор кардинальных предпочтений, a L —
другой набор, но такой, что наборы квазисерий для
L и L Совпадают. Пусть f ЕЕ L. Фиксируем имеющиеся
две «степени свободы» (масштаб и начало отсчета) в L так,
чтобы / (а) = / (а) и / (6) = / (6). Тогда, по условию неза-
висимости объектов, (а, Ъ) е В <-> (а, b) ЕЕ R, где
R = F (f), В — F (f). Остается заметить, что для другой
пары объектов в L аналогично можно подобрать другую
функцию /, причем R остается одним и тем же по условию
несравнимости индивидуальных предпочтений. Таким об-
разом, для любых а, Ъ е А (а, Ъ) В ++ (а, Ь)еК, т. е.
R = В. Это и означает, что групповое предпочтение
в данном случае определяется индивидуальными квазисе-
риями, но не кардинальными показателями. Отсюда, по
теореме 2', следует доказательство теоремы 4.
Теорема 4 показывает, что кардинальность измерений
без возможности их сравнения не приносит никакой поль-
зы в проблеме группового выбора.
ЗАДАЧИ
157
ЗАДАЧИ
1. Показать, что условия 1—4 приводят в классе эквивалент-
ностей, имеющих не более заданного числа к классов, только к
диктаторским принципам согласования.
2. Пусть предпочтения индивидуумов задаются с помощью
функций полезности Д- (а) (г = 1, п). Показать, что задание
группового отношения с помощью среднего арифметического
п
— 2 УД°влетв0Ряет аналогам условий 1,3, 4 и принципа Па-
рето. Если же предпочтения заданы ранжированиями, a ft (а) — номер
класса, содержащего а, то среднее арифметическое не удовлетворяет
условию независимости объектов 1.
3. Принципы согласования в классе дихотомических ранжиро-
ваний, удовлетворяющие принципу Парето, можно представить
булевскими функциями. Для этого с каждым дихотомическим ран-
жированием R свяжем булевский предикат г (а) (а ЕЕ А), где г (а) —
= 1, если а находится в первом, и г (а) = 0, если а находится во
втором классе ранжирования. Описать ранжирования, соответст-
вующие конъюнкции, дизъюнкции, отрицанию таких предикатов.
Распространить указанную булеву алгебру для случая неупоря-
доченных дихотомических разбиений.
4. Доказать теоремы 1 и 2 этой главы в терминах булевской
функции Fab (Х1? ..., Хп) и функции трехзначной логики Fab (рх, ...
Нп) (раздел 1.1).
5. Будем говорить, что принцип согласования F удовлетворяет
условию равноправия объектов, если / (F (Лх, ..., Rn)) = F (f (Лх), ...
..., / (_Rn)), гДе f- А А — произвольное взаимно однозначное
отображение (перестановка) и f (R) = {(/ (а), / (Ь)) | {a, b) ЕЕ R}
Показать, что если принцип согласования удовлетворяет условиям
1—4, то он удовлетворяет условию равноправия объектов.
6. Доказать, что из условия равноправия объектов следует
условие 1 независимости объектов.
7. Будем говорить, что принцип согласования удовлетворяет
условию равноправия индивидуумов, если F (Rlt ..., Rn) —
= F (Rf^y Д/(П))> где /: М -> М — произвольная перестановка
множества М = {1, ..., п}. Выяснить вид принципов согласования,
удовлетворяющих условиям 1—4 и условию равноправия индивиду-
умов.
8. Как в разделе 1, обозначим ц = 1, если а предпочтительнее
Ъ, ц = 0, если а и Ь неразличимы, и ц = — 1, если Ь предпочти-
тельнее а. Тогда всякий принцип согласования формулируется как
отображение: Fab : {1,0, ^-1}п-> {1,0, —1}. Условие равноправия
объектов в этих терминах формулируется как условие нечетности
Fab* Fab (—Hi, •••, —Hn) = — Fab (Hi, •••, Hn)‘> более того> ВВИДУ равно-
правия объектов (и их независимости) вид функции Fab не зависит
от а, Ь. Условие независимости индивидуумов при этом можно запи-
сать так: Fab (п+, п°, п~), где п+, п° и — число переменных цг,
принимающих значение 4-1, Ои —1 соответственно. Доказать, [52],
[164], что F реализует правило большинства (в смысле формулы
(2.2)) тогда и только тогда, когда выполнены условия равноправия
158
ГЛ. 3. АНАЛИЗ СОГЛАСОВАНИЯ ОТНОШЕНИИ
объектов и индивидуумов и следующее условие положительной
реакции:
[(Иг •, Ю>(Нь Нп) и F (Hi, Нп) >0]
* F (Ир •••» Нп)
9. Пусть (Хх, ..., %п) > 0 — вектор величин характеризую^
щих «вес» г-го индивидуума. Принцип согласования F (р.х, ..., рп.
будем называть взвешенным правилом большинства, если F (Их ♦ ••
(п \
S ))• Доказать [134], что взвешенное правило
i—1 /
большинства характеризуется следующими условиями:
а) равноправие объектов: F (—р.) = — F (р);
б) монотонность (условие 2): р р' -> F (р) F (pz);
в) принцип Парето: F (1, ..., 1) = 1;
ш
г) независимость: пусть т > 1 и р,1, pw таковы, что 2 =
7 fc=i
= 0, причем F (pft) > 0 для k < т — 1. Тогда F (р™) 0.
10. Принцип многостепенного голосования определяется как
суперпозиция мажоритарных функций, описанных в задаче 8 ♦).
Например, F (F (рх, F (р2, р3, р<)), р3, р4) есть результат трехсте-
пенного голосования, когда для любых а и b сначала определяется
мажоритарное решение в «комитете» субъектов 2, 3 и 4; это решение
сравнивается с решением субъекта 1, а результат выступает как
равноправный голос наряду с мнениями субъектов 3 и 5. Принци-
пы многостепенного голосования охарактеризованы в [134]. Потре-
буем, чтобы принцип согласования был не диктаторским (F (рх, ...,
..., рп) 4= p-i G €= ^0), но решающим (т. е.| F (рх, ..., рп) = 0
о рх = ... = рп = 0). Тогда он является принципом многостепен-
ного голосования в том и только в том случае, если выполнены ус-
ловия равноправия F (—-ц) = — F (ц) и монотонности ц ->
-* >F
И. Охарактеризовать правило большинства, определенное
формулой (2.1).
♦) Очевидно, что победить при многостепенном голосовании
может объект, не набравший большинства голосов. Эта логическая
возможность иногда реализуется и практически. Например, в 1876 г.
был избран президентом США Р. Б. Хейес (185 голосов выборщи-
ков), а не С. Дж. Тилден (184 голоса), хотя последний собрал аб-
солютное большинство голосов избирателей (51%).
ГЛАВА 4
АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
На совете мнения разделились. Хотя обе сто-
роны упорно стояли на своем, но победило пред-
ложение царей.
Геродот «Историям
§ 1. Понятие об экспертизе
1. Задачи экспертизы. Под экспертизой обычно пони-
мается проведение группой экспертов измерения некото-
рых характеристик для подготовки принятия решения.
Отличительная особенность экспертизы как процедуры
измерения — в качестве приборов выступают люди, либо
потому, что сами объекты или их характеристки субъектив-
ны, либо потому, что пока просто не существует объек-
тивных приборов.
В задачи экспертной комиссии часто входит не только
(и — иногда не столько) оценка имеющихся объектов,
но и построение самих объектов или их характеристик.
Например, эксперты-футурологи составляют несколько
сценариев развития той или иной системы в зависимости
от предполагаемых состояний внешней среды. Эти сцена-
рии могут рассматриваться как объекты.
Таким образом, можно выделить три основных типа
задач, решаемых экспертными комиссиями:
А. Оценка (измерение) имеющихся объектов. Таковы,
например, оценка потребительского качества образцов
промышленных изделий, или рассмотрение участвующих
в конкурсе художественных проектов, или решение о том,
может ли данный письменный текст принадлежать опре-
деленному лицу.
Необходимо отметить, что получаемая в результате
экспертизы оценка не обязательно должна носить скаляр-
ный характер, выражаться одним числом. Возможны и
векторные оценки, хотя в настоящее время они почти не
используются. Например, комиссия может разделиться
на две группы, выражающие разные мнения. Тогда каждо-
му объекту будут соответствовать две оценки — первой
160
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЁНОК
и второй групп. Обычно стараются избегать подобных
расхождений, но в некоторых ситуациях принятия реше-
ний может оказаться полезной именно векторная оценка,
фиксирующая различные мнения.
Б. Построение объектов. К задачам этого типа отно-
сятся, например, упомянутая выше разработка «сценариев
мирового развития» или конструирование системы опера-
циональных признаков для оценки поведения человече-
ского коллектива.
В. Построение объектов и их оценка. Часто именно
так и формулируется цель работы комиссии: например,
разработка системы признаков для оценки систем некото-
рого типа и оценка весомости каждого признака.
Однако иногда построение объектов не входит в явные
задачи комиссии. Пусть, например, эксперты должны дать
прогноз — в каком году осуществится техническая реали-
зация некоторой научной идеи. Для решения этой задачи
комиссия может разработать систему дополнительных
объектов — технических разработок, необходимо пред-
шествующих (по мнению экспертов) прогнозируемому
изобретению. Это сводит исходную задачу к серии более
простых задач оценки длительности каждого звена полу-
ченной цепи разработок. Вообще, экспертизы, связанные
с прогнозом, как правило, включают построение вспомо-
гательных объектов, будь то новые модели моды или
новые технические решения. Конечно, такие прогнозы
неизменно сталкиваются с принципом дополнительности:
сам факт наличия прогноза может существенно изменить
сроки его реализации.
Далее мы будем рассматривать только эксперизы, на-
правленные на решение задач первого типа — оценку
заданных объектов, ибо именно такого рода групповой
выбор является предметом нашего рассмотрения.
2. Основные этапы экспертизы. После того, как оце-
ниваемые объекты зафиксированы, возникает проблема
формирования экспертной комиссии. Особых научных
рекомендаций здесь нет, поэтому пользуются соображения-
ми здравого смысла в зависимости от целей, преследуемых
организаторами экспертизы. Обычно, когда речь идет
о формировании «непредвзятого» мнения, привлекают
наиболее квалифицированных специалистов в данной об-
ласти по возможности из всех «конкурирующих» орга-
i 1. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКСПЕРТИЗЕ
161
низаций, имеющих профессиональное отношение к рас-
сматриваемой проблеме.
Оценить квалификацию, компетентность специалиста
заранее можно следующим образом. Если эксперты при-
влекаются для решения задач, в принципе допускающих
объективное решение, так что можно говорить о степени
совпадения экспертных оценок с истинными, иногда кон-
струируют простые тестовые задачи, неправильное реше-
ние которых означает некомпетентность эксперта. К сожа-
лению, этот способ применяется редко, во-первых, из-за
трудности конструирования системы тестов, и, во-вторых,
из-за его непригодности в задачах оценки субъективных
параметров.
Чаще решение о привлечении эксперта основывается
на изучении его профессиональных характеристик, таких,
как стаж или качество работы в данной области, или же
на основе оценок его компетентности другими. Процедура
оценки компетентности эксперта на основе взаимооценок
членов комиссии будет рассмотрена в разделе 2.3.
Однако даже самый квалифицированный эксперт мо-
жет проявить себя некомпетентным в данной конкретной
экспертизе как из-за причин случайного характера,
«сбоев», так и из-за отсутствия стимулов проявлять свою
квалификацию в данной экспертизе. Поэтому возникает
проблема оценки компетентности эксперта именно по
«поведению», по его оценкам объектов в данной экспер-
тизе. Эта проблема обсуждается в разделах 2.4 и 2.5.
После того как экспертная комиссия сформирована,
фиксируется процедура ее работы, т. е. способ экспертного
оценивания и способ выражения экспертами своих оценок.
Способ экспертного оценивания в рамках выбранной
шкалы определяется тем, оценивается ли рассматривае-
мый параметр непосредственно или же происходит оценка
его частных аспектов в терминах более легко операциона-
лизируемых признаков.
Способы выражения экспертами своих оценок классифи-
цируются по тому, насколько анонимно они совершаются.
Крайний способ, анонимный опрос, подразумевает, что
никто из экспертов не знает оценок, сделанных другими
экспертами. Некоторое ослабление — анонимное обсуж-
дение оценок, не совпадающих с мнением большинства, и
их причин, проводимое в письменном виде. Другой край-
6 Б« Г. Миркин
162
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
ний способ — устное обсуждение группой экспертов всех
оценок. И тот, и другой способы имеют свои преимущест-
ва: анонимность позволяет откровенно высказывать свое
мнение, а атмосфера открытого обсуждения иногда спо-
собствует пробуждению активности и повышению компе-
тентности экспертов, если это предусмотрено организато-
рами.
Теперь все готово к проведению экспертизы: в соот-
ветствии с принятой процедурой каждый эксперт выстав-
ляет оценки объектам, после чего производится обработ-
ка и анализ результатов экспертизы.
Прежде всего оценивается согласованность оценок
разных экспертов. Если все оценки одинаковы, то проб-
лема измерения решена; экспертная комиссия свою задачу
выполнила. К счастью, обычно не все оценки совпадают.
Более того, иногда мнения сильно расходятся. Тогда
в задачи анализа входит выявление точек зрения экспер-
тов, особенно тех, кто дал крайние оценки. Это можно
делать, заставляя экспертов объяснять свои оценки, но
можно и формальными методами, на основе анализа их
оценок (раздел 2.5).
Если полученные результаты не дают возможности
принять решение, то экспертиза проводится повторно
(с разъяснением имеющихся разногласий) до тех пор,
пока организаторы не будут удовлетворены. Так работает,
например, известный метод проведения экспертизы Дель-
фи [48], [94]. Обычно, когда эксперты четко представляют
цели экспертизы, для «сходимости» процедуры Дельфи
достаточно трех туров *).
Регулярное проведение экспертиз по какому-либо
одному вопросу может довести процедуру экспертизы
до высокой степени стандартизации и воспроизводимости
результатов. При этом обычно появляются недвусмыслен-
ные характеристики различных аспектов оцениваемого
качества, почти одинаково учитываемые экспертами, и
стандартная процедура обработки оценок, основанная
на учете различной весомости этих характеристик. Воз-
ражения против результатов такой экспертизы сводятся
*) Большое количество работ с предложениями по улучшению
экспертных процедур, в том числе и метода Дельфи, регулярно появ-
ляется на страницах журнала «Future» (Англия).
§ 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ
163
к предложениям переоценки весомости разных аспектов
или введении новых, не учитываемых ранее характери-
стик. Время от времени (с изменением взглядов) часть
таких предложений принимается. Подобная адаптация
осуществляется, например, в правилах оценки спортив-
ных выступлений.
В следующих параграфах мы кратко обсудим методы
анализа экспертных оценок на разных этапах проведения
экспертизы. Конечно, мы не в силах воспроизвести в крат-
ком очерке все многообразие использовавшихся процедур.
Мы коснемся лишь некоторых, но, на наш взгляд, ключе-
вых идей и методов того, что в настоящее время состав-
ляет, если так можно выразиться, математическое обеспе-
чение экспертиз.
§ 2. Анализ результатов оценки объектов
1. Учет компетентности экспертов и весомости при-
знаков. Каждый эксперт, в зависимости от процедуры
экспертизы, может одновременно оценивать как все объ-
екты, так и только часть их (например, ту, в которой он
более компетентен). На практике широко применяются
два крайних типа оценок: 1) когда эксперт сравнивает
по предпочтительности все объекты одновременно (раз-
дел 1.4.4), и 2) когда эксперт производит одновременное
сравнение только двух объектов (парное сравнение).
В этом параграфе мы рассмотрим проблемы анализа ре-
зультатов одновременной оценки объектов, а в следующем
обратимся к обработке результатов парных сравнений.
Одновременное оценивание объектов производится
в виде их ранжирований *) или оценки в количественной
или балльной шкале. Балльные оценки — промежуточ-
ные между ранжированием и количественным измерением
(см. разделы 1.1.2, 1.4,1, 1.4.3). Поэтому анализ балльных
оценок можно производить «количественными» методами,
идеализированно рассматривая эти оценки как количест-
венные, и «качественными» методами, идеализированно
представляя их ранжированиями (т. е. в ранговой шкале).
Лучше всего производить обработку балльных оценок
*) Как следует из теоремы 1.1.2, порядковая шкала полностью
определяется соответствующим ранжированием.
б»
164
гл. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
дважды, методами обоих типов. Совпадение выводов, по-
лученных на основе применения двух принципиально
различных подходов, позволяет заключить, что эти вы-
воды основаны на самом материале, а не на методах его
обработки.
В существующих методиках балльные оценки обычно
рассматриваются как количественные. Простейший способ
получения групповой оценки — вычисление средних
п
баллов хг = — 2 ха * где хц— оценка f-го объекта /-м
экспертом. Эта формула означает фактически, что усред-
нение оценок производится в предположении равноправия
всех экспертов: xtj входит в сумму с одинаковым для всех
/ весовым коэффициентом 1/п. Для отражения реального
«неравенства» экспертов, возникающего из-за различий
в компетентности, объективности и информированности,
вводят весовые показатели компетентности qj (/ е= М)\
п
тогда = 2 ifla-
Показатель компетентности должен отражать то, на-
сколько близки оценки эксперта к «истинным» значениям.
Однако в тех случаях, когда оценивается столь неопреде-
ленная вещь, как «качество» объектов, а именно такие
экспертизы и соответствуют рассматриваемому опреде-
лению группового выбора, говорить об истинных значе-
ниях оценок не приходится. Тогда показатели q; вычи-
сляются либо на основе само- и взаимооценок компетент-
ности членов группы, либо из анализа оценок объектов,
данных экспертами в данной экспертизе.
Очень часто оцениваемый показатель бывает весьма
сложным для оценки, как, например, «качество промыш-
ленного изделия»: каждый может вкладывать в это поня-
тие свое содержание. Для облегчения работы «рядовым»
экспертам переходят к рассмотрению системы более про-
стых показателей, каждый из которых выражает некото-
рую сторону, часть основного, сложного показателя.
Например, показатель «потребительское качество» разла-
гается на признаки эстетические, социальные (нужно
ли такое изделие), функциональные (насколько хорошо
изделие выполняет свои функции) и эргономические (на-
§ 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ
165
сколько удобно в эксплуатации). Эксперты / ЕЕ М дают
оценки Xij объекта i ЕЕ А по каждому признаку к отдель-
но. При этом фиксируются (обычно также экспертным
путем) весовые коэффициенты признаков, показываю-
щие, насколько сильно к-й признак «выражает» измеряе-
мый общий показатель. Например, если kkj — оценка ве-
сомости &-го признака у-м экспертом, полагают
Тогда
(1)
3 к
Эксперименты показывают, что такие средние баллы ведут
себя достаточно устойчиво относительно изменения соста-
ва экспертов. Однако это вовсе не означает, что они дей-
ствительно выражают согласованное мнение группы.
Дело в том, что в основе всех методик такого рода ле-
жит неявное предположение: существует некая единая
система оценок такая, что индивидуальные оценки явля-
ются некоторыми флуктуациями, субъективными откло-
нениями от этой системы. Это предположение частогбывает
справедливо, особенно в случае, когда имеется достаточно
четкая система эталонов для оценки (как, например, в со-
ревнованиях по фигурному катанию, см. введение и раз-
дел 1.2.2). Если же заранее разработанной апробирован-
ной методики нет, как в случае оценки новых научных,
технических или художественных проектов, то априорное
допущение единства мнений неоправдано (и часто неверно).
Если экспертные оценки рассматриваются как ранго-
вые, то процедуру взятия среднего арифметического мож-
но заменить процедурой взятия медианы — ранжирова-
ть
ния /?, минимизирующего У» d (R, Rj). При учете компе-
i=i
тентности экспертов следует минимизировать взвешенную
п 1
сумму 2 (Zjd(Л,/?,) (задача 2). При этом для^обработкй
оценок частных характеристик общего показателя следует
вначале вычислить медиану оценок по частным признакам
для каждого эксперта, а затем уже медиану индивидуаль-
ных медиан. Согласно разделу 2.3.2 эти вычисления
166
гл. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
связаны с анализом структуры матриц парных показателей
В-, другие способы обработки таких матриц описаны
в § 3.
2. Обоснование взвешивания кардинальных предпоч-
тений. Вычисление групповых оценок по формуле (1) отра-
жает сложившуюся практику учета компетентности экспер-
тов и весомости признаков. Поскольку мы имеем теоре-
тические модели индивидуальных экспертных оценок
(§ 1.4), интересно выяснить, можно ли прийти к формуле
(1) на основе чисто теоретического анализа. Оказывается,
да, можно.
Если не только индивидуальные, но и групповое пред-
почтения удовлетворяют аксиомам фон Неймана — Мор-
генштерна (раздел 1.4.2), согласованное решение действи-
тельно выражается как взвешенная сумма индивидуаль-
ных функций полезности. Для этого достаточно, чтобы они
удовлетворяли «следующему частичному» принципу Парето
(раздел 3.1.5): объекты являются неразличимыми в груп-
повом отношении, как только они неразличимы во всех
индивидуальных. Другое, более техническое требование
состоит в предположении, что значения индивидуальных
функций полезности пробегают всю ось вещественных
чисел (для этого необходимо, чтобы А было бесконечным).
Ослабление этого требования связано с существенным
усложнением доказательства. При соблюдении сфор-
мулированных условий имеет место следующее утвер-
ждение.
Теорема 1. Групповая функция полезности f выра-
жается черев индивидуальные функции полезности Д,..., fn
с помощью формулы
/ = 91/1 + 9г/а + • • • + 9п/п,
где . ., qn — постоянные числа.
Доказательство. Прежде всего отметим, что
f зависит только от значений Д, . . ., fn, но не от того,
каким объектам (или вероятностным смесям объектов)
они соответствуют. Действительно, если объектам а,
Ь е А соответствуют одинаковые значения Д, . . ., /п,
то, по предположению, а и Ъ неразличимы по /, т. е.
/ (а) = / (&). Таким образом, / = / (Д, /2, . . /п).
Фиксируем начало отсчета так, чтобы / = 0 при
А = ...=/„= О, т. е. / (О....0) = 0.
1 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ 16?
Пусть А — множество всех вероятностных смесей.
Выберем нулевые точки индивидуальных функции по-
лезности так, чтобы они реализовались на одной и той же
смеси a GE 4: Д (а) = . . . = /п (а) = О, так что / (а) = 0.
Докажем теперь, что функция / (Д, . . ., /п) — одно-
родная первой степени, т. е. /(АД, ...» kfn) =
— kf (Д, . . ., /п) для всех вещественных к. Сначала рас-
смотрим случай, когда к заключено в интервале от 0 до 1,
так что его можно трактовать как вероятность. Для про-
извольного Ь ЕЕ А обозначим bh — (1 — к) а ф kb. Тогда
по теореме 1.4.1 Д (dft) = (1 — к) ft (а) + к ft(b) — к ft (&)
(i = 1, . . ., п). Аналогично, /(6&) = к f(b). Но f(bk) =
(М. (bk)), следовательно, к f(b) = f(k ft (6),...
• • •, A: fn (6)). Ввиду произвольности b это означает, что
kf = f (kfi, . . ., kfn), что и требовалось.
Пусть теперь к 0. Рассмотрим произвольные
р (0 < р 1) и b А. Подберем с Е 4 так, что
a/fpb ф (1 — р) cj. Это всегда можно сделать в силу свойства
1.4.5. Тогда 0 = Д (а) = р ft (b) + (1 — р) ft (с), так что
Д (&) = (1 — у) ft (с). Аналогично, f (&) = (1 — -L) /(с).
Но тогда ввиду произвольности Ь (1— /н1—
Cl \ \ \ PJ \\ PJ
1 —— 1 /пj. Полагая теперь к =1 —— , получим
желаемый результат, так как 1 — - меняется от 0 до —оо.
Осталось рассмотреть k>i. Пусть ЬееА. Найдем
сеЛ такое, что 5 = -т-сф(1-------?-) а. Тогда Д (6) =
К \ Л 1
1
== -у ft (с) и Д (с) = к fi (b) (i ЕЕ М). Аналогично, / (с) =
= kf(b). Итак, kf(b) —f(k Д (b),..., к fn (6)), что в силу
произвольности b завершает доказательство однородности /.
Пусть теперь at — смесь, дающая i'-му индивидууму
полезность Д =$= 0, а всем остальным — нуль. Поскольку
множество всех векторов (Д (&), . . ., /п (5)) (5 €Е 4), оче-
видно, выпукло, существования таких аг легко добиться,
выбирая «нулевую» точку а внутри этого множества. По
предыдущему построению ясно как, исходя из а и аг,
получить смеси, дающие индивидууму i kft при любом
к, а остальным по-прежнему 0. Поэтому величину Д
можно считать произвольно выбранной заранее.
168
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
(а) > 0» чт0 и требовалось
Очевидно, что / (at) = / (А (а{), . . ., fn (af)) = qtfh
где qi — значение / при ft = 1, fj = 0 (j =£= г). Рассмотрим
11 1
смесь Ь = — ах ф — аг ф ... ф — ап. Очевидно, что f( (b) =
= ^ti и /(6) Значит, / (Ь) = |2?<А =
г г
(1 1 \
— /1» ••• » — /nJ* В силу однородности получаем
71 74 у
П
2 Зг/ъ чт0 и требовалось доказать.
г=1
Следствие !. Пусть в групповом отношении а
не хуже Ь, как только а и b неразличимы для всех йндивиду-
умов, кроме одного, для которого а строго предпочтитель-
нее Ь. Тогда все qt неотрицательны.
Действительно, пусть а и & таковы, что Д (а) А (Ь)
и /у (а) = /у (b) (j Ф i). Тогда по теореме 1 / (а) —- / (&) =
= Qi (Ji (а) — ft (Ь)). По предположению,' f(a) — f (b) О,
следовательно, qi =
доказать.
3. Оценка компетентности экспертов. Для того чтобы
воспользоваться формулой (1), необходимо знать показа-
тели весомости произнаков Kk и компетентности экспер-
тов Зу. Величины как уже отмечалось, можно опредет
лить, исходя из ду, а для вычисления ду можно использо-
вать информацию о взаимооцеНках компетентности эк-
спертов. Эта информация задается в виде матрицы
В = Ц Ъц ||, где bij — балльная оценка компетентности
i-го эксперта, данная у-м экспертом. Излагаемый ниже
метод определения относительной «силы» экспертов^ при-
меним, вообще говоря, и при другом смысле величин fyy,
характеризующих взаимоотношения экспертов. Напри-
мер, btj может выражать .долю случаев, когда г-й эксперт
в споре побеждал у-го, или число, экспертов, считающих i
более компетентным, чем у> и т. д. (см. разделы 5 и 4 этого
параграфа). . \ /
На русском языке этот метод расчета величин ду
впервые был описан в монографии [71 как решение
«задачи о лидере» при определении относительной силы
игрока в турнире. ’ - . , . с ,
$ 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ
169
Чтобы нагляднее продемонстрировать интуитивную
оправданность этой процедуры, мы также используем
в качестве иллюстрации турнирную таблицу. Пусть мат-
рица В представляет собой окончательную таблицу розы-
грыша футбольного первенства лиги, состоящей из пяти
команд:
1 2 3 4 5
1 /1 2 0 0 0\
2 1 0 1 2 2 2 1
3I 2 0 1 1 2 I
4120110/
5 \2 0 0 2 1 /
Эта матрица отличается от обычной таблицы лишь тем, что
по диагонали стоят единицы в соответствии с истолкова-
нием ее элементов как попарных оценок силы команд.
Распределение очков среди команд характеризуется
вектором д1 = (3, 7, 6, 4, 5). Первая команда на послед-
нем месте, но она выиграла у второй, занявшей первое
место, проиграв всем остальным командам. Кажется не-
справедливым, что единственная команда, победившая
лидера, оказалась на последнем месте. Попытаемся при
назначении команде «очков» учесть результаты и осталь-
ных команд. Для этого прибавим к очкам каждой команды
очки тех, с кем она сыграла вничью, и удвоенное количе-
ство очков команд, побежденных ею. Получим вектор
д2 = (17, 37, 26, 16, 19). Как видно, теперь команда 4
переместилась на последнее место. Продолжим эту про-
цедуру* Компоненты д3 вычисляются следующим образом:
д?=17 4-2*37= 91,
q3 = 37 + 2(26 4- 16 + 19) = 159,
gl = 26 + 2 (17 4-19) 4- 16 = 114,
16 + 2*17 4-26 = 76,
gl = 19 + 2 (17 + 6) = 85.
Первая команда вышла на третье место. Аналогично по-
лучаем д4 = (409, 709, 542, 372, 419). С помощью очков
первой команды пятая вернулась на третье место. На
пятой итерации получаем дб = (1827, 3375, 2198, 1732,
1981). Распределение стабилизировалось. Относительные
170
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
«силы» команд (т. е. в нормированной шкале) представлены
векторами д4 = (0,167; 0,289; 0,221; 0,152; 0,171) и =
= (0,164; 0,304; 0,198; 0,156; 0,178). Дальнейшие итерации
производятся аналогично.
Теперь заметим, что = Bq*~\ где g° — (1, 1, 1, 1, 1),
так что процесс заключается в последовательном приме-
нении преобразования, задаваемого матрицей В, к началь-
ному вектору д°. Такого рода процессы, связанные с неот-
рицательными матрицами, хорошо изучены в линейной
алгебре. Сформулируем необходимые понятия и резуль-
таты [66J.
Матрица В называется разложимой, если множество
индексов М = {1,..., п} можно разбить на два подмножества,
1± и /2, так, что bij = 0 для всех и / ее /2. Разложи-
мость матрицы В означает, что все эксперты из /2 считают
некомпетентными всех экспертов из It. Тот факт, что мат-
рица В не является разложимой, очевидно, равносилен
тому, что граф ненулевых связей R == {(£, у) | =/= 0} об-
разует единственную бикомпоненту.
Всякий вектор д, не меняющий «направления» в ре-
зультате применения матрицы В, т. е. удовлетворяющий
равенству Bq = hq, где X — некоторое число, называется
собственным вектором матрицы В, а коэффициент «растя-
жения» X — собственным числом, которому соответствует q.
Матрица размерности п х п имеет не больше п различ-
ных собственных чисел, вообще говоря, комплексных.
Однако неотрицательная неразложимая матрица обяза-
тельно имеет вещественное и, более того, положительное
собственное число X, превосходящее модули всех осталь-
ных ее собственных чисел. Этому максимальному собст-
венному числу отвечает положительный собственный век-
тор д, причем всякий другой, не пропорциональный q,
собственный вектор обязательно имеет отрицательные ком-
поненты.
Оказывается, если В неразложима, то рассмотренная
нами процедура
(/ = 1,2,...), (2)
где q" > 0, а V = 1 — сумма компонент век-
i J
§ 2. АЙ А Л ИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ 171
тора -Вд*-1, так что q* — вектор относительных величин
? / (2 = 1) > — приводит в пределе именно к макси-
i
мальному собственному числу X = lim V матрицы В
1-+эо
с соответствующим собственным вектором
q = lim q‘.
Эти удивительные свойства неотрицательных матриц,
связанные с широко известной теоремой Перрона —
Фробениуса [66], показывают, что наш процесс вычисления
коэффициентов компетентности qj обязательно сходится
(и притом к собственному вектору В), если В неразло-
п
жима. В отличие от простого подсчета «очков» 2 fyfc
к—1
процесс (2) позволяет учесть косвенные преимущества
экспертов. Если же В разложима, так что граф ненуле-
вых связей R ==» {(г, /) | Ьц ф 0} содержит не меньше
двух бикомпонент, то это свидетельствует либо об ошиб-
ках в подборе экспертов, либо об их серьезных разногла-
сиях.
В обоих случаях вряд ли уместно использовать фор-
мулу (1) для вычисления групповой оценки.
Впрочем, при необходимости ранжирования экспер-
тов по компетентности можно воспользоваться процедурой
раздела 2.3.2 для упорядочения бикомпонент, а затем —
процессом (2) для упорядочения экспертов внутри биком-
понент.
Процедуры, подобные (2), занимают весьма видное
место в «линейной» математике, связанной с моделирова-
нием поведения. В различных ипостасях этот процесс бу-
дет встречаться далее почти во всех разделах этой главы
(а также в разделе 5.3.2).
4. Анализ компетентности экспертов по их оценкам
объектов. Наиболее часто высказывается мнение, что
компетентность эксперта следует оценивать по тому,
насколько согласованы его оценки с оценками большинст-
ва. Изложим процедуру, аналогичную (2), реализующую
это мнение, в случае, когда экспертные оценки объектов
представлены в нормированной балльной шкале.
172
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЁНОК
Пусть, например, мнения трех экспертов о распределе-
нии капиталовложений между двумя технико-экономи-
ческими проектами имеют следующий вид:
Эксперты
Проекты
1 2 3
1 0,8 0,4 0,7
2 0,2 0,6 0,3
В предположении, что эксперты одинаково компетент-
ны, вычислим средние оценки проектов: я/ = г/3 (0,8 +
+ 0,4 + 0,7) = 0,63; 4 = Vs (0,2 + 0,6 + 0,3) = 0,37.
Вектор хх = («}, #1) получен умножением матрицы эксперт-
ных оценок X = || хц || (хи — оценка г-го проекта у-м
экспертом) на вектор g° = (V3, х/з, V3) начальных коэф-
фициентов компетентности экспертов.
Пересчитаем теперь коэффициенты компетентности эк-
спертов с учетом полученного вектора х1 оценок объектов.
Для этого суммируем оценки каждого эксперта, взвешен-
ные средними оценками объектов: = 0,8rri + 0,2:4 ~
= 0,8-0,63 + 0,2-0,37 = 0,58; = 0,4х| + 0,64 = 0,47;
q* = 0,7^1 + 0,3^2 = 0,55. Деля эти величины на их
сумму 1,6, получим вектор относительных показателей
компетентности q1 = (0,36; 0,30; 0,34). При этом боль-
ший вес получит тот эксперт, который дал большую
оценку проекту, набравшему большее количество «очков».
Вектор q1 получается умножением х1 на X с последую-
щим нормированием результата. Учитывая полученные
оценки компетентности, пересчитаем средние оценки про-
ектов: xl = 2^’9) G = 2)- Получим х[ = 0,65; xl =
j
= 0,35. Теперь, учитывая аналогичным способом оценки
объектов ж2, пересчитаем относительные коэффициенты
компетентности, приходя к д2, затем — х3 = Xq2 и т. д.
Мы этих вычислений не воспроизводим, так как распреде-
ление оценок в нашем примере уже стабилизировалось.
Конечно, увеличение размеров примера может, как в пре-
дыдущем разделе, привести к изменению упорядочения
оценок после нескольких итераций.
$ 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ
173
Общая формула вычислений для (7V х п)== матрицы эк-
спертных оценок X, АГ-мерного вектора х и n-мерного векто-
ра q имеет следующий вид*):
(х* = Xq*-\
<1‘ = ±х‘Х (t = l,2,...), (3)
где д° = [•—-, ..., -М , а V есть сумма компонент векто-
N п
ра х*Х: V = 2 2 xixH- Заметим, что х‘Х - Х'х*, где
<=1 ;=1
штрихом обозначена операция транспонирования мат-
риц: x'ij = xjt. Ввиду этого уравнения (3) дают
х‘ = А-ХХ'х'-\ (4)
Л
g' = A-X’Xg'-i. (5)
Л
Это означает, что вычисления по формулам (3) факти-
чески сводятся к параллельному осуществлению двух
процессов (2), в которых вместо. В фигурируют XX' и
Х'Х. Условия сходимости х* и д*, следовательно, таковы
же, как и в предыдущем разделе. Так как матрица X
неотрицательная, то XX' и Х'Х — тоже. Остается выяс-
нить, какой должна быть матрица X, чтобы XX' и Х'Х
были неразложимы. Для этого сформулируем аналог поня-
тия неразложимости для прямоугольных матриц.
Говорят, что неотрицательная (N X п)-матрица X
разложима, если существуют такие непустые подмно-
жества I CZ А л J d М9 что хц = 0, как только (/ Е / и
7 е J) или и / J). Матрица X разложима, если пе-
рестановками строк и (или) столбцов она приводима к виду
/С 0 \
Х = (о D / ’
так что эксперты и объекты как бы распадаются на две
совершенно не связанные группы: каждая группа экспер-
*) Ради простоты используем одни и те же символы для обо-
значения и векторов-строк и векторов-столбцов.
174
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
тов оценивает только «свои» объекты. Конечно, нет смысла
совместно обрабатывать результаты такой экспертизы.
Легко показать, что квадратные матрицы XX' и Х'Х
неразложимы тогда и только тогда, когда неразложима
прямоугольная матрица X (задача 4). Таким образом,
условия сходимости процедуры (3) являются совершенно
необременительными с практической точки зрения.
Предельные векторы х = lim х* и q = lim q* суть
/—*оо t—>оо
собственные векторы матриц XX' и Х'Х соответственно,
отвечающие их максимальным собственным числам. При
этом х = Xq; это доказывается предельным переходом
в (3). Значит, групповые оценки объектов действительно
получаются из индивидуальных с помощью взвешивания
их с вычисленными коэффициентами компетентности.
Рассмотрим теперь внимательнее (пхи)= матрицу Х'Х,
порождающую вектор коэффициентов компетентности q.
N
Ее элементы — 2 xxixkj — скалярные произведения
fc=i
векторов оценок г-го и J-го экспертов, причем Ьц = Ьц.
Эти величины выражают степень близости оценок экспер-
тов (они тем больше, чем чаще встречаются объекты, кото-
рым оба эксперта назначили высокие оценки, и, следова-
тельно, чем чаще встречаются объекты, низко оцененные
обоими — в силу нормированности оценок), и являются,
таким образом, показателями взаимосвязи экспертов.
Коэффициенты компетентности 7}» вычисляемые на первой
итерации, пропорциональны сумме элементов /-й строки
матрицы Х'Х, выражающей, насколько похожи оценки
/-го эксперта на остальные. Последующие итерации про-
цесса (3) уточняют эти значения, но не меняют их смысл.
Пусть В = || Ьн ||? — некоторая симметричная матри-
ца показателей взаимосвязи между некоторыми элемен-
тами 1, 2, . . ., п, не обязательно экспертами, а компонен-
ты ti вектора t = (^, . . ., tn) тем больше, чем выше связи
г-го элемента с другими (i = 1, . . ., п). Тогда величина
ttj ~ titj по идее характеризует степень связи i и /: если
оба имеют малую связь с другими, а значит, и между
собой (если В «разумно устроена»), то мало, а когда оба
тесно связаны с другими, ttj велико. Чем меньше отличает-
ся матрица Т = || || от В, тем лучше вектор t оценивает
§ 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ
175
связи между элементами. А вектор t, для которого сте-
пень различия Т и В, выражаемая суммой 2(^1“ ^*)2»
г, 3
достигает минимума (по всем £), принято в статистике
называть главным внутренним фактором, характеризую-
щим связи между элементами 1, . . п. Оказывается,
для симметричной матрицы Х'Х главный фактор t пропор-
ционален предельному вектору q процесса (4). Значит,
получаемые коэффициенты компетентности задаются тем
самым внутренним фактором, который и определяет связи
между экспертами.
Конечно, разница 2(^7— М2 может оказаться доста-
г, 3
точно большой, так что не все связи «линейно» объяс-
няются одним фактором. Это свидетельствует о несогласо-
ванности мнений экспертов. Впрочем, согласованность
экспертных оценок можно предварительно проверить и
более простым способом. Для этого годятся любые оценки
похожести системы векторов (xrj, . . ., xnj)' коэф-
фициент конкордации Кендалла [92J, минимальный коэф-
фициент корреляции между этими векторами, максималь-
ное расстояние между соответствующими ранжирова-
ниями и т. д.
Заметим также, что возможна и иная нормировка
векторов Xj, чем рассмотренная. Например, независимо
от способа балльного оценивания, можно сначала пере-
местить нуль шкалы каждого эксперта в точку среднего
N
арифметического, полагая Уи = хц —2 после
г=1
чего разделить полученные оценки ytj на среднеквад-
ратическое отклонение = ] / ~21Уц- Для нормирован-
V N г
ной таким образом матрицы X произведение Х'Х яв-
ляется, как известно, матрицей коэффициентов корре-
ляции системы векторов X; (j ЕЕ М), максимальное соб-
ственное число X — дисперсией главного фактора g и т. д.
Теория количественного; факторного анализа развивается
для данных, нормированных именно таким способом. Мы
не будем в нее углубляться, а рассмотрим примене-
ние некоторых идей факторного анализа к проблем?
176
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
выявления точек зрения экспертов только по их оценкам
объектов.
5. Анализ точек зрения экспертов. Выяснение точек
зрения экспертов по их собственным оценкам в экспертизе
не только важно для объективизации анализа концепций,
но и может являться даже основной целью анализа эксперт-
ных оценок при подготовке решения.
Дело в том, что применение среднего балла и его мо-
дификации (1) нивелирует различия в мнениях экспертов.
Средние оценки выражают то общее, что есть в индивиду-
альных оценках, а то самостоятельное, полученное из ин-
дивидуального опыта, то, фактически, что и делает экспер-
та специалистом в своей области, сглаживается. Общие же
для всех экспертов представления зачастую тривиальны;
столь же тривиальны и усредненные оценки. Это подтвер-
ждается экспериментами, в которых усредненные оценки
группы профанов совпадают с усредненными оценками
группы специалистов [162]. Согласуются с этим и резуль-
таты анализа компетентности экспертов, излагаемые ниже.
Будет использована следующая схема анализа мне-
ний. Прежде всего выявляются некомпетентные эксперты.
Далее мы попытаемся показать, что в целях изучения то-
чек зрения можно в качестве показателя компетентности
использовать характеристику того, насколько хорошо
эксперт различает разные стороны оцениваемого качества.
Она, как показывают эксперименты, противоположна
рассмотренной в предыдущем разделе характеристике,
связанной с близостью оценок эксперта к другим. Ника-
кого противоречия здесь нет. В первом случае коэффи-
циенты компетентности вводились для усреднения оценок,
сейчас же — чтобы проанализировать крайние мнения, а
для этого необходимо элиминировать «шум», даваемый
оценками большинства.
Затем рассматриваются оценки основного показателя,
даваемые оставшимися «компетентными» экспертами. Век-
тор Xj = (я17-, . . ., XNj) оценок /-го эксперта, трактуемых
как количественные, представляет собой точку TV-мерного
пространства. В этом TV-мерном пространстве произво-
дится разделение (классификация, таксономия) векторов
Xj (j ЕЕ М) на группы (классы) похожих. Каждый из этих
классов (таксонов) состоит из близких векторов и соответ-
ствует экспертам, выражающим близкие мнения, Если
§ 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ
177
оценки трактовать как ранговые, то вектор Xj порож-
дает на А линейный квазипорядок Rj = {(f, ft)| xkj}.
В качестве меры близости можно использовать меру d из
§ 2.3, после чего для классификации экспертов использу-
ется матрица Ц d (Rj, Rt)
Тот факт, что эксперты /, попавшие в один класс, име-
ют похожие мнения, можно объяснить тем, что они при-
держиваются некой единой точки зрения. Выяснить, како-
ва именно эта точка зрения (основываясь только на ре-
зультатах оценивания объектов), можно, например, ана-
лизируя взаимосвязи их оценок Xj общего показателя и
оценок частных признаков = (xjj, • • •» £jvj).
Среднее арифметическое Xj =2 -Ду 2 ^з оценок всех
экспертов из данного класса (таксона) I cz М представля-
ет собой оценку объектов с соответствии с той точкой зре-
ния, которую выражают эксперты из I. При нечисловой
трактовке можно рассматривать линейный квазипорядок
7?/, минимизирующий сумму расстояний
Собственно, целью анализа и является получение
векторов X/ (или ранжирований jRj) и содержательная
характеристика соответствующих точек зрения. Дальней-
шее зависит от того, кто в конечном счете должен принять
решение. Он может принять какую-либо одну точку зре-
ния (как, например, в случае, когда оцениваются различ-
ные стратегические направления дальнейшего развития
какой-либо системы), а может принять все (как, например,
в случае, когда оцениваются товары широкого протребле-
ния и надо удовлетворить различные группы населения,
придерживающиеся разных точек зрения). Во всяком
случае, вряд ли целью экспертизы должно являться осво-
бождение того, кто принимает решение, от ответственности
с помощью жонглирования средними баллами. Конечно,
повторное обсуждение часто приводит к единой точке
зрения. Но при этом надо помнить, что «несогласные»
обычно испытывают определенное, не обязательно фор-
мальное давление других экспертов. «Сходимость» про-
цедуры обсуждения зависит и во многом определяется
личностью руководителя группы и отдельных экспертов.
Решение получается согласованным, но всегда ди оно
178
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
выражает подлинное мнение всех экспертов? Как видно,
в рассматриваемом подходе основными являются следую-
щие этапы: оценка компетентности экспертов по их
собственным суждениям об объектах и содержательная
интерпретация точки зрения, которой придерживаются
представители данного таксона.
Автор принимал участие в анализе данных несколь-
ких экспертных опросов в области оценки потреби-
тельского качества промышленных изделий различных
видов. При этом рассматривались обе упомянутые пробле-
мы. Возможную методику их решения мы продемонстри-
руем на типичном примере оценивания 20 изделий про-
мышленной графики (этикеток) и упаковки группой из
11 экспертов (максимальная группа в наших эксперимен-
тах состояла из 63 человек). После небольшого обсуждения
каждый из экспертов дал (в шестибалльной шкале) общую
оценку потребительского качества каждого изделия, а
также их оценку по семи признакам, характеризующим
разные стороны потребительского качества: декоратив-
ность, полнота и удобство восприятия информации, ка-
чество печати и рисунка и т. д. Анализ компетентности и
точек зрения экспертов производился на основе сравне-
ния общей оценки качества и оценок по каждому из семи
частных признаков.
Этот анализ удобно делать в терминах меры близости
d из § 2.3, как из-за легкости вычислений, так и из-за
простоты и интуитивной приемлемости интерпретации
расстояния. Мы использовали нормированную величину
S (7?, Р) = jjd(R, Р). Ясно, что 0^ 6 (7?ДР) <; 1. В на-
ших экспериментах получаемые результаты подтвержда-
лись независимым применением факторного анализа.
Каждому эксперту j (j ЕЕ М = {1, . . ., 11}) соответст-
вует восемь ранжирований данного^множества 20 объек-
тов: одно по общей оценке, остальные — по каждому из
семи частных признаков. Обозначим через D} = ] Ц®
(/ ЕЕ М) матрицу расстояний между этими ранжирования-
8 5
ми. Средняя величина = -gg- 3 б» характеризует сте-
», s=i
пень различения разных признаков экспертом /,
$ 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНКИ ОБЪЕКТОВ
179
Если величина б7 велика, то, значит, эксперт j дает
совершенно разные оценки объектам по различным приз-
накам. Поскольку все признаки связаны тем, что выра-
жают разные стороны потребительского качества, то оцен-
ки по ним не должны слишком сильно различаться. В этом
случае у нас есть большие основания считать, что эксперт
делает оценки наобум, случайно, и исключить его пред-
почтения из дальнейшего анализа.
!_________, ) 9Щ6Ю х5874 ,
О 47 М 0,3
Рис. 8.
Другой крайний случай — величина б7 мала. Эксперт
/ почти не различает разные признаки. В основе оценки
различных сторон изделия он имеет некоторое единое об-
щее представление, которое затмевает разноречивость
признаков. Между тем именно умение различать разнород-
ные признаки делает возможным сохранять и переносить
то ценное в изделиях, что уже в них имеется.
Основная масса экспертов имеет промежуточные,
средние значения б7 0,2—0,3) *). Их мы и будем счи-
тать компетентными в данном контексте. Для рассматри-
ваемой группы экспертов величины б7 расположены на
вещественной оси так, как показано на рис. 8.
Таким образом, по величине б7 эксперты разбиваются
на три класса. Это упорядоченное разбиение обозначим
через М = (1—2—3, 6—9—10—11, 4—5—7—8). Экспертов
с большим значением б7 не оказалось вовсе (в наших эк-
спериментах они не встречались), эксперты 1, 2, 3 с б7
0,17 являются «неразличающими».
Для дальнейшего анализа рассмотрим теперь матрицу
11x11 расстояний б л (j, I ЕЕ М) между общими оценками
потребительского качества, данными каждым из экспер-
тов. Выберем «центрального» эксперта /, на котором дости-
гается минимум суммы 2^/- Мнение этого эксперта
i
♦) Такие небольшие значения объясняются тем, что показа-
тель о равен 1 только при взаимообратных строгих упорядочениях
объектов. В нашем же случае все ранжирования имеют не больше
шести классов неразличимости (так как всего шесть баллов).
{go Гл. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
наиболее согласовано с остальными в смысле меры 6.
В нашем случае центральным экспертом является 2.
Будем отбирать далее экспертов /, ближайших к 2, так,
чтобы на них достигался минимум среднего расстояния до
уже отобранных экспертов. Таким способом получим три
группы экспертов и разбиение О = (1—2—3, 6—9—10—
11, 4—5—7—8), которое оказалось равным J/L.
Итак, общие оценки «неразличающих» экспертов ока-
зались общепризнанными (ввиду их центральности в
||6Я||). Они оказались также ближайшими к ранжирова-
нию по среднему баллу. *), что хорошо согласуется с изло-
женными в начале раздела соображениями о тривиаль-
ности средних оценок. Поэтому, возможно, именно эту
группу экспертов следует привлекать для прогнозирова-
ния массового спроса.
Для выявления того, какое именно общее представле-
ние лежит в основе «поведения» неразличающих экспер-
тов, был рассмотрен ряд признаков, лежащих как бы
«на поверхности»: размеры изделий, вес и т. д. Их влия-
ние оценивается по близости к общей оценке. Оказалось,
что определяющим является признак: «старого или нового
образца изделие». В других экспертизах на некоторых
экспертов наиболее влияло, в экспортном или нет исполне-
нии сделано изделие.
Остальные восемь экспертов по матрице расстоя-
ний между общими оценками качества были разбиты на
два класса. Получились множества {6, 9, 10, 11} и
{4, 5, 7, 8}. Такое совпадение с М и О, по-видимому, слу-
чайно: в других экспериментах оно не наблюдалось. Для
выяснения точек зрения этих двух типов экспертов ана-
лизировалось то общее, что содержится в матрицах
(j ЕЕ М) для принадлежащих одному и тому же
классу. Оказалось, что характеристической является вели-
чина расстояния между общей оценкой и оценкой по приз-
наку «полнота и удобство чтения информации».
То, что для экспертов 6, 9, 10, 11 эта величина мала,
можно интерпретировать как проявление следующей точ-
ки зрения: качество текстовой информации является ос-
новой общего качества изделия промышленной графики и
*) Аналогичные результаты получены и в других экспери-
ментах.
$ 3, ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ 181
упаковки. Эксперты другой группы, для которых это
расстояние велико, по-видимому, считают, что текст в та-
кого рода изделиях «работает» не больше, чем художест-
венная информация. Отметим, что эти концепции позво-
ляют различать объекты, одинаковые с точки зрения триви-
ального свойства «старого или нового образца изделие».
Тот факт, что упорядочение по среднему баллу очень
близко к ранжированиям «неразличающих» экспертовв озна-
чает: представители разных точек зрения находятся
в пространстве отношений «по разные стороны от этих
экспертов».
Чтобы проследить, не повлияло ли использование
«качественных» методов на результаты, был применен
факторный анализ (центроидный метод), теперь уже при
рассмотрении признаков как количественных. В данном
примере результаты полностью совпали, в других — полу-
чаются весьма сходные, так что выводы те же. В частно-
сти, всегда близки разбиения Л, О и где f — разби-
ение экспертов по признаку, выражающему, какое число
факторов удовлетворительно ♦) описывает оценки экспер-
та. При этом неразличающие эксперты, как правило, ока-
зываются «однофакторными», т. е. действительно их
оценки объясняются неким единым представлением.
В заключение отметим, что изложенная в данном раз-
деле методика является, по существу, интерпретацией ос-
новных идей факторного анализа (см. введение и [4j)
в терминах пространства отношений. Эта терминология
часто обеспечивает большую простоту вычислений и интер-
претации результатов, чем классическая терминология
факторного анализа.
§ 3. Обработка результатов парных сравнений
1. Матрицы парных сравнений. Попарное сравнение
широко используется в методике экспертных оценок **).
Оно не требует обязательного сравнения всех пар объек-
тов; каждый эксперт может рассматривать только часть
♦) Для «посвященных» добавим, что этими факторами учитыва-
лось не менее 80% дисперсии признаков.
♦♦^Результаты одновременного оценивания объектов всегда
можно^ представить как результаты парного оценивания. Поэтому
дальнейшее применимо и для обработки «одновременных» оценок.
182
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
объектов (в пределе только два). Более того, оценки не
обязаны быть транзитивными. Однако метод попарного
сравнения^становится малоприменимым при увеличении
числа объектов N из-за непропорционально быстрого
АЦА — 1) _
роста^числа ——— единичных парных сравнении.
Оценка экспертом j М степени btjk предпочтитель-
ности объекта i ЕЕ А по сравнению с к €= А может выра-
жать: (а) просто факт предпочтительности (как и непред-
почтительности) объекта i по сравнению с к, как это опи-
сано в разделе 1.1.4, или (б) балльную оценку этой пред-
почтительности, или (в) долю суммарной интенсивности
предпочтения этих двух объектов, приходящуюся на f,
так что btjk + bkji = 1, или (г) во сколько раз i пред-
почтительнее /.
При практическом анализе эти виды оценок тесно
связаны друг с другом. Действительно, обозначим через
bik среднее арифметическое оценок Ь^к (возможно, взятых
с коэффициентами компетентности q/) по всем экспертам
j м, оценивавшим сравнительную предпочтительность
i и к. Для оценок типа (а) величина bih выражает долю эк-
спертов, считающих i более предпочтительным, чем к.
При этом bhi =1 — bik, так что в этом случае btk можно рас-
сматривать как частный случай оценки типа (в). Отметим,
что эта матрица В совпадает (с точностью до константы)
с той, которая получена в разделе 2.3.2 при построении
медианы.
Аналогично, для оценок типа (б) величина
-—выражает долю предпочтительности i по срав-
bu +
нению с к. Конечно, оценки типа (в) можно получать и
независимо. Например, если объектами являются различ-
ные научно-технические программы, то величина btjk мо-
жет выражать мнение эксперта j об относительном распре-
делении капиталовложений между проектами i и к\ Ьць =
= 0,7 означает, что 70% нужно вкладывать в программу
Z, а 30% — в программу у.
Знание величин bik типа (в) позволяет переходить
к оценкам типа (г). Действительно, если bik — доля ре-
•
сурсов, отдаваемых г, то отношение можно трактовать
как степень предпочтительности i по сравнению с к.
$ 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ
183
0 7 1
В нашем примере i предпочтительнее к в-^"=2— раз.
Опять подчеркнем, что оценки вида (г) можно получить
непосредственно, требуя от экспертов, чтобы они указы-
вали, во сколько раз i предпочтительнее (по их мнению),
чем /.
Таким образом, любые типы оценок практически при-
водимы к оценкам типа (г) *). . Теоретическое обосно-
вание такого приведения возможно только в некоторых
идеальных случаях, которые мы рассмотрим в следующем
разделе.
2. Идеальные представления матрицы парных оценок.
В идеальном случае оценки типа (г) должны быть связаны
некоторыми соотношениями. Действительно, если i лучше
/ в пять раз, а / лучше к в три раза, не значит ли это, что
i лучше к в 15 раз? Если bjj = 5, bjk = 3, но bik = 1, а не
15, мы воспринимаем это как несправедливость.
Основная идея метода (2), как ясно видно из предыду-
щего анализа таблицы футбольного розыгрыша, собст-
венно, и состоит в том, чтобы исправить, «выровнять»
такие «несправедливые» ситуации.
Рассмотрим случай, когда оценки bi1e назначены «спра-
ведливо» и удовлетворяют условию
bijbjk = bik (i, /, к GE Л). (6)
Формула (6) означает, что если i лучше / в 6^-, а / лучше
кв bjk раз, то £ лучше А; в b^bjk раз. В частности, из (6) сле-
дует Ьц-Ьц = Ъц, т. е. Ьн =1 иЬ/;Ья =1, т. е. Ьи = .
Я—U Ji
Условие (6) аналогично условию транзитивности отноше-
ний. Матрицу В > 0, для которой выполнено (6), будем
называть сверхтранзитивной. Сверхтранзитивные матри-
цы устроены очень просто. Их описание дается следующим
утверждением.
Теорема 1. Матрица В является сверхтранзитив-
ной тогда и только тогда, когда существует положитель-
ный вектор х = {хг, . . ., х^) такой, что bik = —. При
этом вектор х является точкой равновесия процесса (2).
*) Конечно, возможно и обратное движение: от (г) к (а).
184
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
Доказательство. Если для некоторого х > О
37» 37* 37* Я?»
Ьы = -1- , то, очевидно, bi}bjk ==-L = bils и (6)
хк хз хк хк
N N N
выполнено. При ЭТОМ = S = = Nxh
2=1 J=1 j /=1
так что Вх = Nx9 т. е. х — стационарная точка. То, что
процесс (2) сходится именно к х, так что N есть наиболь-
шее собственное число матрицы В, следует из того, что
для любого вектора у вектор By пропорционален вектору х.
Действительно, (Ву\ = = S— Уз = = ^xt<
з з хз з i
так что By = кх. Но тогда, при любом начальном yQ уже
однократное применение матрицы В приводит к у1 = х,
который, как показано выше, стационарен.
Обратно, пусть матрица сверхтранзитивна. Пусть хт—
произвольное положительное число.
Обозначим xi = -r-
ьи
X-
(i^A). Покажем, что . Действительно, по
хк
^11» хг
сверхтранзитивности(6), bik = ЬцЪщ = = -у—— = — .
°1г хк
Теорема доказана.
Величины xi9 определяющие элементы матрицы В, мож-
но трактовать как оценки степени предпочтительности
объектов i А. Тогда их отношения — действительно
выражают, во сколько раз i предпочтительнее к (i, к ЕЕ А).
Доказательство теоремы 1 дает два способа вычисления
вектора относительных оценок х. Во-первых, х может
быть получен однократным применением процесса (2)
к любому начальному вектору у, т. е. х = By. В частно-
сти, если у = (1, 1, . . ., 1), получим By — вектор сум-
марного количества очков (баллов), полученных объек-
тами, так что в случае сверхтранзитивности стандартная
процедура подсчета суммы баллов (или среднего балла)
вполне осмысленна.
Достаточность одной единственной итерации выражает
тот факт, что в сверхтранзитивной матрице все косвенные
связи объектов по предпочтительности отражены в оцен-
ках Ьц прямых связей. В обычной матрице выявление
i 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ
185
и учет косвенных связей требует существенно большего
числа шагов процесса (2).
Второй способ вычисления вектора х использован
в доказательстве теоремы 1: —- взять его пропорциональ-
ным вектору (у-, у-,... , ) величин, обратных эле-
ментам i-й строки матрицы В при любом Л.
Относительные оценки xt обычно используются на
практике для распределения капиталовложений между
проектами iEi А.
Обратимся теперь к случаю, когда парные оценки
имеют тип (в). Матрицу оценок обозначим С = || Сц ||.
Напомним, что сц выражает долю «общей предпочтитель-
ности» i и /, так что Ctj = 1 — Сц. В этом случае, как уже
упоминалось, относительная предпочтительность i перед
са
са
Ьц==
. Условие (6) имеет
j выражается отношением
следующий вид:
еИ сги _ са /74
СП ’ c*i I cki '
Соотношение (7) часто называют аксиомой Лъюса,
который предложил его в вероятностной модели выбора,
чтобы выразить факт независимости отношения вероят-
ности выбора i к вероятности выбора к от сравнений i и к
с другими объектами.
Теорема 2. Неотрицательная матрица С = || |
удовлетворяет условию (7) тогда и только тогда, когда су-
ществует неотрицательный вектор х = (а^, . . Хц)
такой, что ci} = —. Этот вектор определяется вели-
чинами bij = согласно теореме 1.
cji
Доказательство. Если-----------------,то=®
-Г
х,
= —, так что верно (6), а следовательно, и (7). Обрат-
но, пусть матрица С удовлетворяет условию (7). Тогда
величины Ьц = — удовлетворяют (6) и, значит,
СН
вует х = (х!,
., хц) такой, что Ъ%
xi
xi *
сущест-
Значит,
186
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
са
C.. х’
1. Отсюда су = —, что и требовалось
СП 1 — % Хг + хз
хг
доказать.
3. Аппроксимация сверхтранзитивных матриц. Конеч-
но, в практических случаях условия (6) или (7) не выпол-
няются. Тогда естественно пытаться строить «идеальные»
сверхтранзитивные аппроксимации реальных матриц.
Процесс (2) фактически также основан на этой идее, хотя
в нем аппроксимирующая сверхтранзитивная матрица и
не строится в явном виде.
Впрочем, этот явный вид тривиален: аппроксимацией
, где q — предельный вектор Про-
II
является матрица I—
цесса (2).
В случае, когда рассматривается матрица вероятно-
стей си предпочтения i-ro объекта перед /-м, этой ап-
проксимации может быть дана следующая интерпретация.
По величинам будем искать числа д^, выражающие
«реальную» степень предпочтения i-ro объекта перед ;-м.
Если си есть вероятность победы i-ro индивидуума в спо-
ре с j-м, то ди можно считать показателем власти I над /.
N
Сумма 2 есть среднее число объектов, менее пред-
/f=i
N
почтительных, чем г, а взвешенная сумма 2 ciitQici выра-
fc=l
жает степень «реального» предпочтения над Z-м объек-
том тех объектов, которые менее предпочтительны, чем I.
Естественно потребовать, чтобы величина gw была пропор-
N
циональна сумме 2 CjtkQkiи обратно пропорциональна сум-
М
N
ме 2 cjk<hi Для любого I. В
/С==1
циенты пропорциональности
2 си&м
ян = --------
2 cjkQ.ki
и
простейшем случае коэффи-
одинаковы и
(8)
= . ,N).
§ 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ
187
Очевидно, что матрица || ||, удовлетворяющая (8),
сверхтранзитивна. Более того, справедливо утверж-
дение:
Теорема 3. Система qtj (г, / А) являетпся ре-
q.
шением уравнений (8) тогда и только тогда, когда q^ = — ,
^7
где q — собственный вектор матрицы С.
Доказательство. Пусть q — собственный
вектор матрицы С, так что = 1, . . N).
к
Разделив i-e равенство на /-е, получим
2 с*а _ к _ 2 k
qj S cik^k k 2 k Ik ’
так что qij = — удовлетворяют (8).
Пусть qu (г, j ЕЕ А) — решение системы (8). Ввиду
сверхтранзитивности существует х ~ (х1? . . х^) такой,
ат.
что q^ = — . Покажем, что х — собственный] вектор мат-
рицы С. Действительно, в силу (8)
Полученная пропорция показывает, что величины xt
пропорциональны суммам одним и тем же коэф-
к
фициентом пропорциональности X, так что Хх = Сх, что
и требовалось доказать.
Теорема 3 дает еще одну характеристику,— в терминах
(8),— аппроксимации матрицы парных оценок с помощью
процесса (2).
Укажем другую простую усредняющую процедуру,
приводящую к сверхтранзитивной матрице В, если для
188
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
исходной матрицы В выполнено условие . Эта
же процедура строит матрицу С, удовлетворяющую уело-
вию (7), если для исходной матрицы С ct) = 1 — c}t.
Итак, пусть В = J btj ] такова, что .
Рассмотрим матрицу Р=]йгу|, где dt} = Iogsb(J-.
Очевидно, di} = —d}i, а формула (6) принимает аддитив-
ный вид:
Лц 4* ~
Для каждого I G= А построим матрицу D1 = || dy |, по-
лагая
dy — — du + dy = du + dy *).
N
Обозначим D — jq- 2 — среднее арифметическое мат-
’ l=l
риц D*. Элементы 3i} матрицы D удовлетворяют адди-
тивному аналогу условия (6). Действительно,
N N
Хц 4* (S 4- 4- S (4л 4- 4»))-
7=1 1=1 '
В силу dy = — получаем отсюда
N
4у 4- = ту* (3 (4г
i=i
что и требовалось доказать.
Тогда матрица В = J $t} Ц, где = sdti, очевидно,
удовлетворяет условию (6). Матрица С = Ц Ctj |, где
’ 1+^ ’
Очевидно,
нено условие
очевидно/ удовлетворяет условию (7).
что В = Б (и С — С), если для В выпол-
(6), и для С — (7). Изложенная процедура
основана на простом усреднении логарифмов оценок и
♦) Таким образом, в матрице D1 сохраняется l-я строка мат-
рицы D, а все остальные элементы подбираются так, чтобы удовлет-
ворить равенству = dtf + dft.
§ 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ 189
представляется вполне разумной с интуитивной точки
зрения. Анализ разностей В — В и С — С позволяет вы-
явить основные источники несогласованности исходных
матриц (в смысле (6) или (7)) в целях проведения повтор-
ной экспертизы.
Приведем пример построения матриц D,D*B по задан-
ной матрице В. ~ Wf
Результаты экспертной оценки относительной важ-
ности трех проектов сведены в следующую матрицу Bi
/ ! 2 4 \
В = 1/2 1 1/2 1.
\1/4 2 1 /
Переходя к двоичным логарифмам, получим
отсюда
/ 1 3,2 2,5\
Б = 0,31 1 0,77 .
\0,4 1,3 1 J
Как видим, существенно изменились все недиагональные
элементы — более, чем в полтора раза. Это объясняется,
очевидно, несогласованностью элементов Ь12, Ь2з» Ь13:
&12&23 = 1, а &18 =4. В случаях, когда нарушения ра-
венства (6) не столь велики, метод приводит к 5, близкой
к исходной матрице В [42].
Взятие построчных сумм элементов В дает вектор
х = (6,7; 2,08; 2,7) — таковы относительные оценки
190
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
важности рассматриваемых проектов согласно изложенной
процедуре.
(1 1 1 \
»"5- , -о- дает
О О & I
г1~!± А 21 \ 2 _ /_6£ 19 _24\ з _ ( 66 21
~ \ 7 ’ 49 ’49 ) ’ Х ~~ \ 107 ’ 107 ’ 107 ) ’ л ~ \ ИЗ ’ 113 ’
—= (0,584; 0,186; 0,230), после чего распределение ста-
билизируется. Нормируя вектор х, получим X = (0,583;
0,181; 0,235), так что оба метода дают практически одинако-
вые оценки важности’Ъбъектов.
4. Вероятностные модели оценивания. В вероятностных моде-
лях предполагается, что существуют некоторые «истинные» оценки
Xi объектов i, а экспертные оценки отклоняются от них случайным
образом, представляя собой реализации случайной величины с ма-
тематическим ожиданием (средним), равным а?г-. Обычно считается,
что распределение этой случайной величины F (х) (вероятность того,
/ я — я,- \
что ее значение не превышаете) нормально, т. е. F (е) = Ф
е где Xf — математическое ожидание, а* — дисперсия, а
и
2 dz
<5.-
ф(м)="йг S е
— нормальная функция распределения с математическим ожида-
нием 0 и дисперсией 1.
Предположение нормальности разумно, во-первых, с матема-
тической точки зрения, обеспечивая простоту аналитических выкла-
док, во-вторых, со статистической точки зрения, давая возможность
применения аппарата статистических критериев для оценки досто-
верности получаемых результатов, и в-третьих, с практической точ-
ки зрения, поскольку часто оценки экспертов действительно близки
к нормальному закону. Впрочем, в некоторых случаях эксперты мо-
гут давать систематическое завышение или занижение оценок. Тог-
да симметричное нормальное распределение не годится. Например,
в сетевом планировании эксперты систематически занижают сроки
выполнения работ, поэтому там обычно используется бэта-распре-
деление.
Мы ограничимся рассмотрением случая, когда дисперсии всех
экспертных оценок одинаковы: = ... = = а, так что их расп-
/ х — xi \ . '
ределения суть Ф I —-— I. По смыслу функции распределения ве-
роятность того, что такая случайная величина не превышает Ь,
/ b~xi\
есть Ф I— -----).*Следовательно, вероятность/гого,’что*экспертоце-
$ 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ 191
нит объект i выше, чем объект /, равна Ф у—. Отсюда, если
заданы величины qj, выражающие (выборочную) вероятность того
что i лучше ;, то для нахождения (i (Е А) имеем систему урав-
нений
(9)
Обозначим через dtf величину, для которой qj = Ф (d^). Прак-
тически ее можно найти, зная qj, по таблицам значений функции
Ф (и), имеющимся почти в каждом учебнике теории вероятностей,
не говоря уже о справочниках. Очевидно, d- = —-— , так что
— xj = odij. Для простоты зафиксируем масштаб измерения ве-
личин Xi (i £ Л), так, чтобы о = 1. В этом случае dtf = xi — xj —
расстояние между xi hl xj, выраженное в единицах среднеквадратич-
ного отклонения о. Суммируя dtf по всем j = 1, ..., N и деля на N,
получим
N N
2 = xi~ 4г 2
j=i j=i
Изменение xt на произвольную константу не меняет этих равенств.
N
Значит, величины 2 dij СУТЬ «истинные» оценки xt в интерваль-
j=i
ной шкале, начало которой выбрано в точке среднего арифметиче-
N
ского —L V Х-, а масштаб таков, что а = 1.
N “ 3
Таким образом, получен алгоритм вычисления «истинных»
N
значений xf. по || сц || сосчитать || dtf Ц, а затем-А_ 2 йц = Эти ве-
™ ;=1
личины имеют нулевое среднее и единичную дисперсию, поэтому
положительные «реальные» экспертные оценки объектов вычисля-
ются как ФД JL 2 dij\ (* А)-
Проверку результатов применения этого алгоритма можно осу-
ществить, вычислив разности xt — xj. Согласованность модели с
реальными оценками характеризуется степенью похожести матриц
II °ij || и || Ф (xi - xj) ||.
Рассмотрим пример, в котором 10 экспертов ранжиро-
вали по значимости следующие четыре параметра, харак-
теризующие качество самолетов: а± — скорость действияг
192
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
а2 — радиус действия, а3 — боевой потолок, а4 — полез-
ная нагрузка. Ранги указанные экспертами, сведены
в следующую таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
oi 3 1 3 1 i 3 3 3 3 2 2
02 2 2 1 2 1 1 2 4 4 1
а» 1 3 2 3 2 2 4 1 1 3
04 4 4 4 4 4 4 1 2 3 4
Теперь можно вычислить доли случаев, когда Z-й объект
предпочитался /-му. Например, первый был признан луч-
ше, чем второй, в четырех случаях (экспертами 2, 4, 8, 9),
так что с12 = 0,4, с21 = 0,6. Таблица || сц ||, очевидно, име-
ет следующий вид:
Oi а» а3 а4
ai 0,5 0,4 0,4 0,8
02 0,6 0,5 0,7 0,7
Оз 0,6 0,3 0,5 0,9
О4 0,2 0,3 0,1 0,5
Переходя к матрице || ||,
где сц = Ф (d^), получаем
о
0,25
0,25
0,84
—0,25
0
—0,52
—0,52
—0,25 0,84\
0,52 0,52 j
0 1,28 I
—1,28 0 /
Средние значения элементов строк равны xt = 0,08;
ж2 = 0,32; х3 = 0,25; х^ = —0,66. Тогда «реальные»
экспертные оценки значимости Ф задаются вектором
(0,53; 0,63; 0,60; 0,25). После нормирования вектор отно-
сительной весомости параметров равен (0,26; 0,31; 0,30;
0,13).
Для проверки согласованности полученной модели
с экспертными оценками вычислим величины Ф (^ —
I а. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ ЮЗ
— Xj). Получаем Ф (х^ — х2) = 0,40, Ф — х3) = 0,43,
Ф (хг — х±) = 0,77, Ф (х2 — х3) = 0,53, Ф (х2 — х^) =
= 0,84, Ф(ж3 — х4) = 0,82. Отклонения величин Ф(^ — х,)
от Cjj достаточно малы (в пределах 10%); это свидетельст-
вует о достаточной адекватности результатов.
Интересно отметить, что похожие распределения весо-
мости параметров дает и процедура (2) вычисления собст-
венного вектора: (0,26; 0,33; 0,28; 0,13), и процедура лога-
рифмического усреднения раздела 3: (0,25; 0,35; 0,33;
0,07). Правда, в применении к примеру предыдущего раз-
дела, вероятностная модель дает несколько другой резуль-
тат: (0,44; 0,26; 0,30), что также свидетельствует о малой
согласованности оценок. Впрочем, все методы приводят
к одному и тому же упорядочению оценок.
5. Выявление групповой оценки в качественном виде.
Если групповое решение ищется в виде ранжирования
объектов, требования к «идеальной» матрице резко ослаб-
ляются.
Пусть R — линейный порядок (строгое ранжирова-
ние) на множестве Л, представляющий то предпочтение,
которого «в среднем» придерживаются эксперты. Тогда
вероятность предпочтения ctj г-го объекта перед /-м должна
превышать вероятность обратного предпочтения тогда
и только тогда, когда IRJ. Это приводит к следующему
определению.
Матрицу С = || ct j || будем называть треугольной, если
существует такая нумерация (строгое ранжирование)
объектов (&х, . . ., i^), что
при /«</. (10)
Конечно, не всякая матрица является треугольной.
Но для треугольной матрицы строгое ранжирование
(ix, . . ., j’jv), дающее (10), является искомым групповым
ранжированием.
В случае, когда еу — вероятности (ci7- + Cji = 1),
условие Cij^Cji означает просто Очевидно, что
такая матрица является треугольной тогда и только тогда,
когда справедливо следующее условие*): у и
*) В психологии такие матрицы называются слабо стохасти-
чески транзитивными.
7 Б. Г. Миркин
194
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕЙОК
1 1 тт о
т влечет cik > . Действительно, это условие выра-
жает факт транзитивности отношения {(г, у) | > с^}
и в силу линейности означает, что объекты можно упоря-
дочить в соответствии с его упорядоченным разбиением
(раздел 1.2.5) так, чтобы выполнялось (10).
Отметим также, что если предпочтения экспертов выра-
жены асимметричными линейными отношениями 2?^ ..., 2?п,
п
так что матрица частот С = — 2 гк удовлетворяет ус-
п fc=i
[1 11
> у выражает собой факт транзитивности мажо-
ритарного отношения, и, следовательно, нумерация, при-
водящая к (10), соответствует медиане в классе линей-
ных порядков.
Если матрица не является треугольной, то, как и в
«количественном» случае, возможны различные аппрок-
симации «идеального» вида (10). Предлагалось, в частно-
сти, искать такую нумерацию объектов, чтобы количестго
нарушений условия (10) было минимальным *), или, что-
бы максимизировалось [17]. По нашему мне-
fc<z
нию, в общем контексте анализа данных следует искать
линейный порядок как медиану исходных отношений,
что приводит к задаче максимизации суммы наддиаго-
нальных элементов счч (раздел: 2.3.2).
Учитывая большую комбинаторную сложность такого
рода аппроксимаций, в некоторых случаях удобнее нахо-
дить групповое ранжирование одним из «числовых» ме-
тодов разделов 3—4.
В некоторых случаях элементы матрицы В характери-
зуют не столько предпочтительность объектов по сравне-
нию ДРУГ с другом, сколько просто степень их взаимосвя-
зи. Например, это относится к матрицам XX' и Х'Х из
раздела 2.4. Возможна также и непосредственная оценка
♦) Нетрудно показать, что такая нумерация соответствует
линейному порядку, ближайшему в смысле расстояния d к мажо-
ритарному отношению.
ЗАДАЧИ
195
похожести объектов экспертами, что часто используется,
например, в психологическом шкалировании. Тогда мат-
рица В может оказаться симметричной или «почти» сим-
метричной.
Сформулируем понятие «идеальной» матрицы для этого
случая. Для удобства будем считать, что нумерация объ-
ектов соответствует групповому ранжированию! первый
объект предпочтительнее второго, второй — третьего
и т. д.
Если при этом i к Z, то ясно, что интен-
сивность связи i с I не меньше, чем интенсивность связи
/ с к*. Ъц bjk. Значит, «идеальная» матрица В имеет
следующий вид: вдоль главной диагонали расположе-
ны ее минимальные элементы, и чем дальше элемент от
диагонали, тем больше его величина, так что 6^ макси-
мально.
Таким образом, для отыскания строгого группового
ранжирования, соответствующего матрице В, нужно най-
ти такую нумерацию объектов, чтобы она приняла опи-
санный идеальный вид:
Ъц bjk при i к I или при i > Л: > Z.
(И)
Эта нумерация соответствует искомому ранжированию.
Алгоритм построения подобной нумерации описан в [45].
Там же рассмотрен случай, когда ищется не строгое упо-
рядочение, а произвольное ранжирование.
Отметим, что условия (10) и (И) выполнены как для
сверхтранзитивных матриц, так и для удовлетворяющих
(7), если нумерация объектов произведена в порядке убы-
вания весов xt- Кроме того, вероятностная модель раздела
4 также обеспечивает выполнение соотношений {10) и (11)
для величины Ф(^ —- xj).
ЗАДАЧИ
1. Пусть множество А состоит из четырех объектов. Оценить,
как далеко (в смысле расстояния d) от медианы может находиться
упорядочение по среднему баллу при произвольных исходных пред-
почтениях.
2. Свести задачу построения линейного квазипорядка Я, ми-
п
нимизирующего q^d (R, Як),к анализу структуры подходящей
/£=1
матрицы.
196
ГЛ. 4. АНАЛИЗ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
3. Для матрицы В медиана в классе линейных порядков и век-
тор д, получающийся методом (2), могут давать различные упоря-
дочения. Привести пример. Охарактеризовать матрицы, для кото-
рых эти упорядочения совпадают.
4. Доказать, что неразложимость прямоугольной матрицы X
эквивалентна неразложимости квадратных матриц XX' и Х'Х.
5. Рассмотрим следующее правило вычисления групповых оце-
нок Xi объектов i по индивидуальным экспертным оценкам xtj. Вы-
числим величины max х^ — xtf = ytf, характеризующие степень
«сожаления» эксперта / при выборе объекта i. Присвоим объекту i
максимальную величину «сожаления» max yij = а;/. Привести при-
мер экспертных оценок, для которых ранжирование полученных
величин xi не совпадает с ранжированием по среднему арифметиче-
скому 2 ш ПРИ каких значениях qj.
з
6. Для сверхтранзитивных матриц В процесс (2) и процедура
логарифмического усреднения дают одинаковый результат. Расши-
рить класс матриц, для которых справедливо это утверждение.
7. Для сверхтранзитивных матриц медиана в классе линейных
порядков совпадает с ранжированием, задаваемым собственным
вектором q. Попытайтесь расширить класс матриц, для которых это
справедливо.
8. Дать алгоритм приведения матрицы к треугольному виду.
9. Дать алгоритм приведения матрицы к «идеальному» виду (11).
10. Рассмотрим следующее обобщение «идеального» вида (11)
[45].1
Всякое упорядоченное разбиение У » (Zx, ..., 1т) множества Л
порождает разбиение матрицы В на подматрицы (клетки) Br& (г, s =?
= 1, ..., m), где Brs == || b^j ||, i ЕЕ Zr, / G Zs. Определим отношение
на множестве клеток:Brs^Brt <-> [max d^^min для любого
i ЕЕ Zr]. Упорядоченное разбиение назовем последовательным, если
Brs < Brt, как только г < t < s или г > t > $. Множество S О А
назовем сегментом разбиения У, если из i, j ЕЕ S и i6EZr, / (E Zs сле-
дует, что г < i < s или г > J > s влечет Ц CZ 5 для всякого t.
Обозначим St (а) = {/ | Ь^ а}. Множество S назовем замк-
нутым, если вместе со всяким i е S оно включает все множества
St (a) (IG-A, — оо < а < оо), не содержащие S.
Доказать, что упорядоченное разбиение У последовательно
тогда и только тогда, когда все его классы Zr замкнуты и все множе-
ства St (а) являются сегментами <7.
ГЛАВА 5
СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ
СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
...наплевать на все общие принципы; в наше
время не общие принципы, а одни только част-
ные случаи.
ф. М. Достоевский «Подросток»
§ 1. Концепции равновесия
1. Абстрактные формулировки. В исследованиях со-
циального выбора не пытаются строить полное обществен-
ное предпочтение, учитывая, что, как следует из резуль-
татов главы 3, такие попытки приводят к тривиальным
результатам при соблюдении мало-мальски естественных
условий. Современная нормативная теория ограничивается
обычно указанием «наилучших», «наиболее согласованных»
с некоторой естественной точки зрения объектов.
Основные концепции такого рода возникли в экономи-
ческой науке еще до начала нашего столетия и связаны
с именами Курно, Эджворта, Парето. Интенсивное их
изучение привело к созданию обширных экономико-
математических теорий, использующих и развивающих
такие части функционального анализа, как выпуклые
множества и отображения, теоремы о неподвижных точках
и т. д. Достаточное представление об этих конструкциях
можно получить из книг [1], [31], [38], [66], [69], [70].
Мы почти не будем заниматься вопросами соответ-
ствующих математических теорий. В нашу задачу входит
обсуждение основных существующих понятий оптималь-
ности и равновесности и показ на модельных примерах
того, как они «работают». В § 3 мы коснемся вопроса о де-
скриптивном описании группового выбора.
Поскольку основные интерпретации концепций сог-
ласованного группового выбора связаны с социально-
экономическими системами, так что в роли объектов вы-
ступают состояния этих систем, уместно отступить от на-
шей терминологии и всюду далее в этой главе (кроме
раздела 3.2) использовать термин «состояние» вместо тер-
мина «объект». При . этом наилучшие и максимальные
198 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
состояния будем в соответствии с традицией называть
состояниями оптимума (или равновесия).
Итак, пусть на множестве состояний А задано п от-
ношений предпочтения Rx, Т?2, ...» Яп- Всякому подмно-
жеству V cz М = {1, 2, п} сопоставим отношение пред-
почтения Ry. Обычно рассматривают один из следующих
двух способов построения Ry из Ri (i ЕЕ V).
Первый способ диктуется теоремой 3.2.1 : Rv = П
lev
так что а не хуже Ъ по Ry тогда и только тогда, когда а
не хуже Ь для всех i ЕЕ V.
Второй способ используется, только если информация
об индивидуальных предпочтениях задана кардинальным
способом в виде функций полезности /f. Тогда отношение
Rv порождается взвешенной суммой fy (а) =
lev
согласно теореме 4.2.1. С теоретической точки зрения
масштаб измерения ft не важен, поэтому можно его выб-
рать таким, чтобы qt — 1. Тогда /у = /<• Эта величина
lev
fy выражает суммарный «выигрыш» множества участ-
ников V.
Суммирование функций /г предполагает соизмеримость
предпочтений разных индивидуумов. В этом случае часто
говорят о трансферабельности (переносимости) полезно-
сти, имея в виду возможность произвольного распреде-
ления между i ЕЕ V суммарного выигрыша /у, например,
если fi измеряется в деньгах. Всякое множество V с М
называется коалицией (имеется в виду интерпретация
индексов i как индивидуумов).
Предполагается также, что задана информация о воз-
можностях коалиций. Для всяких V М и а ЕЕ А оп-
ределено множество V (а) состояний, достижимых коали-
цией V из состояния а.
Таким образом, рассматриваемая ситуация группового
выбора характеризуется набором Ry, V (а) (V <^М,
а ЕЕ Л).
Состояние а будем называть оптимальным для коали-
ции V (V-оптимальным), если оно максимально в V (a) (J {а}
по отношению Ry, т. е. не существует b е V (а) таких, что
bRya, но не aRyb (т. е. таких, что bRya). Это значит,
что если коалиция V руководствуется только отношением
$ i. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
199
Лу, она не станет менять а, так как в V (а) лучших состоя-
ний нет. Конечно, это не значит, что вообще нет лучших
состояний, просто их нет в V (а). Например, любое а,
для которого V(а) = {а}, является У-оптимальным.
Рассмотрим некоторую совокупность коалиций W.
Состояние а называется W-оптималъным, если оно опти-
мально для всех V ЕЕ W. PF-оптимальность состояния оз-
начает, что ни одной коалиции V ЕЕ W нет смысла менять
это состояние на какое-либо из V (а), так как в V (а) все
равно нет лучших состояний.
Если W состоит из всех одноэлементных коалиций,
W = {{1}, {п}}, то 1У-оптимальное состояние назы-
вается состоянием оптимума (равновесия) Курно. Эта
формулировка отражает «индивидуалистическую» рацио-
нальность: никому из индивидуумов отдельно не выгодно
менять состояние оптимума Курно, хотя, возможно, для
какой-то их коалиции это и выгодно (раздел 3).
«Коллективная» рациональность отражена в следующем
определении: если W состоит из единственной коалиции
всех игроков М, то PF-оптимальное состояние называется
оптимумом Парето.
Наиболее полно «коллективистская» рациональность
отражена в понятии оптимума (равновесия) Эджворта.
Состоянием равновесия по Эджворту называется PF-опти-
мальное состояние для множества W, состоящего из всех
непустых коалиций. Эджворт-оптимальность выражает
концепцию «полной» стабильности: никакой коалиции не
выгодно менять состояние, оптимальное по Эджворту.
Ясно, что для любых двух множеств коалиций PFX и
PF2 из Wr cz ру2 следует, что РИ2-оптимальность состояния
влечет его РИрОптимальность. При каких условиях спра-
ведливо и обратное утверждение?
Этот вопрос совершенно не исследован. Сформулируем
простые достаточные условия для введенных понятий.
При этом будем считать Ry — Q 7?ь где Rt — отношение
i^V
«не хуже».
Ситуацию группового выбора назовем комонотонной *),
если, во-первых, Р\ с У2-> Ух (а) С V2(a) и, во-вторых,
*) Это понятие противоположно понятию контрамонотон-
ности, означающему, что «успех» одной коалиции влечет «пораже-
ние» другой [54].
200 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫВОДА
для любых а еЛ, V cz М, b ЕЕ V (а) из bRya следует
bR^a, где V — М — V. Немонотонность означает, таким
образом, что расширение коалиции не «сужает» ее воз-
можностей, и «успех» одной коалиции влечет «успех» и
остальных участников. С комонотонной ситуацией мы
встретимся в разделе 2.1.
Теорема 1. В комонотонной ситуации группового
выбора состояние оптимально по Парето тогда и только
тогда, когда оно оптимально по Эджворту.
Доказательство. Достаточно доказать, что
оптимум Парето является оптимумом Эджворта. Допустим
противное, т. е. в оптимуме Парето а ддя некоторой коа-
лиции V с: М найдется b ЕЕ V (а) такое, что bRya, но не
aRyb. По условию комонотонности bR^a. А поскольку
RM = Rv П Ry, то и bRMu. Но aR^b неверно, так как
неверно, что aRyb. Таким образом, b лучше а для М, при-
чем b ЕЕ М (а), а это противоречит оптимальности а по
Парето, что и требовалось доказать.
Если ситуация группового выбора не является комо-
нотонной, то могут существовать состояния, оптимальные
по Парето, но не по Эджворту.
Для формулировки достаточного условия того, чтобы
оптимум Курно являлся оптимальным по Эджворту, по-
требуем, чтобы выполнялось условие «сверхаддитивности»:
для любых 71? V2 S М
(Fx U Wa)<=Fi(«) и У2(а), (1)
причем
если Ь е (Ух U Уг) (а) и be Vi (а),
то bRyt\jya~'*‘ bRya. (2)
Условие (1) означает, что объединение коалиций может
только уменьшить их возможности, а условие (2), — что вы-
игрыш коалиции обязательно должен приводить к выиг-
рышу подкоалиции, имеющей возможность самостоятельно
достичь «выигрывающего» состояния. Такую ситуацию,
удовлетворяющую условиям (1) и (2), уместно называть
разобгценной.
Теорема 2. В разобщенной ситуации группового
выбора состояние оптимально по Эджворту тогда и только
тогда, когда оно оптимально по Курно.
§ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
201
Доказательство. Если а — равновесие Кур-
но, не оптимальное по Эджворту, то существуют V С М и
Ь €= V (а) такие что bRya. Отсюда в силу (1) следует, что
существует i ее V, для которого b достижимо из а, причем
bR\ а согласно (2), а это противоречит определению точки
равновесия Курно.
2. Равновесие и оптимальность в терминах стратегий.
Обычно обсуждение и изучение концепций равновесия не
производится в столь общих терминах, как мы сформули-
ровали. Обычно считается, что состояние а складывается
при выборе каждым индивидуумом своей стратегии и ме-
няется, если какой-либо индивидуум изменит стратегию.
Точнее говоря, предполагается, что для каждого i ЕЕ М
задано множество At, элементы которого называются
стратегиями f-го индивидуума. Состояние — это набор
а = (ах,..., ап) стратегий всех участников. Таким образом,
множество состояний А есть подмножество множества
Ar X ... X Ап всех упорядоченных наборов (а1? ..., ап)
(at GE А19 ..., апЕЕАп). Такое представление состояний
называется стратегическим, сама ситуация группового
выбора — стратегической игрой, а ее участники — иг-
роками.
В том случае, когда А = Ах X ... X Ап, говорят об игре
в прямоугольной форме. Строгое включение A СЕ А х ...
... X Ап обычно рассматривается в связи с экономически-
ми приложениями, как, например, в модели перераспреде-
ления ресурсов (§ 2) или в более общих моделях эконо-
мического равновесия [66].
Для удобства условимся о следующих обозначениях.
Набор стратегий (f ЕЕ У) игроков из V будем обозна-
чать av. Чтобы специально выделить стратегии игроков
из У, состояние а иногда будем обозначать а = (ау,
&М— v) (^у> #у)*
Отображение У (а) в стратегическом случае можно оп-
ределить следующим образом. Будем считать, что коали-
ция У имеет некоторую гипотезу о том, какие стратегии
выберут игроки, не вошедшие в У. Эта гипотеза «материа-
лизуется» в множестве v (а) тех наборов стратегий ам-у,
которые считаются возможными в рамках гипотезы коа-
лиции У. А затем уже при заданных v (а) строится отобра-
жение У (а).
202 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
В литературе основное внимание уделяется гипотезам
«статус кво», «конфронтации» и «рациональности», правда,
без использования этих названий. Мы рассмотрим их по
очереди, обращая внимание на некоторые конкретизации
оптимумов Курно, Парето и Эджворта, рассматривав-
шиеся в литературе под разными наименованиями.
А. Гипотеза статус кво. Предполагается, что игроки
из V будут бездействовать, так что v (а) содержит един-
ственный набор ам-v- Тогда
V (а) == {Ь | Ъ = (Ьу, ам-v) ЕЕ А}.
Эта гипотеза в основном принимается в экономических
моделях, участники которых не слишком тесно связаны
друг с другом. Например, их функции полезности могут
зависеть непосредственно только от собственных страте-
гий. И поскольку действия остальных игроков мало вли-
яют на положение коалиции, гипотеза статус кво не яв-
ляется слишком обременительной.
Переформулируем понятие оптимальных состояний
для гипотезы статус кво, полагая для простоты, что пред-
почтения игроков задаются функциями полезности Д
(i е М).
Тогда состояние равновесия Курно — это такое со-
стояние а* = (я!, ..., Яп), что для всякого i е М ft (а*) >
> ft (at, ам-i) при(я{, я^ч) ЕЛ т. е. меняя свою страте-
гию, каждый индивидуум может только ухудшить свое
положение. Если А = х . . . X Ап, это запишется
следующим образом:
А (я*) = шах Д(яь ям-i). (3)
Оптимум Курно в такой форме обычно называется состоя-
нием (точкой) равновесия фон Неймана — Нэша (или про-
сто точкой Нэша).
Пусть Ry = n/?j, т. е. Ry задается векторным отноше-
нием Sg для вектора fy = (/i)«=v- Тогда оптимум Парето —
это такое состояние я* ЕЕ 4, что ни для какого а ЕЕ
М(я*) = А не выполнено fM (а) fM (я*), т. е. /м(я*)
есть максимальный элемент множества U ~ {/ | f =
= (Л (а), •••» fn (а)) при некотором яЕЛ} относительно
векторного отношения «не меньше»,
§ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
203
Аналогично, точка оптимума Эджворта а* характери-
зуется условием, что для всякого V cz М вектор /у (а*)
является максимальным элементом множества
Uy = {/у | /у = /у(яу, (лу> лм-у)€= А}.
Так определенное состояние принято называть сильным
равновесием.
В том случае, когда /у = 2 А» состояние оптимума
lev
Парето есть такое а*, в котором достигает максимума
на А сумма 2 А(а)- Аналогично, в точке Эджворта а*
i^M
достигается не только максимум суммы 2 А (а)> но и
гем
максимум каждой суммы 2 A (av> Яу) по всем (яу, я-) ЕЕ А.
iev
Точка Курно и в этом случае является точкой Нэша.
Часто рассматривают состояния, оптимальные одно-
временно и по Курно, и по Парето. При /у = 2 А такие
гек
состояния называют точками Мора [19], а при /у = (Л)геу
их совокупность образует так называемое переговорное
множество [52].
Б. Гипотеза конфронтации. Эта гипотеза связана с
именами фон Неймана и Моргенштерна, которые построи-
ли на ее основе свою теорию игр нескольких лиц.
Предполагается, что игроки из V ведут себя наихуд-
щим с точки зрения коалиции V способом, т. е. выбирают
такой вектор &^, при котором «выигрыш» коалиции V
минимален. Это значит, что в данном случае v (я) образо-
вано из таких 6^, что состояния (яу, by) минимальны по
2?у в множестве всех состояний вида (яу, я^) ЕЕ А. Если
отношение Ry задается функцией fv = 2 А» то
lev
v (я) = {bv | fv (av, bv) = , min fy (ay, Uy)}.
a_ :(ay,
у у
Учитывая, что коалиция V в принципе может выбрать лю-
бой набор яу, но, придерживаясь гипотезы конфронтации,
2б4 ГЛ, 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
рассчитывает на наихудший вариант, множество V (а)
определяется как одно и то же для любого а множество
V (a) == {(ау, by) | by s v (ау)}, максимальные элементы
которого определяются, следовательно, только коалицией
V, но не состоянием а.
В том случае, когда/у = А, ^-оптимальное состоя-
iev
ние (ау, 6-^), дающее максимальный гарантированный
«выигрыш» коалиции V, таково, что /у(а^, &у) =
== max min /у (ay, by). Поэтому поведение игроков, направ-
ау ьу
ленное на получение максимального гарантированного
выигрыша, называют максиминным. Значение /у (ау,
зависит только от V и может быть обозначено через % (У).
Трудно ожидать, чтобы при произвольно взя-
тых предпочтениях нашлось состояние а, на котором бы
достигалось значение % (У) больше чем для одной коа-
лиции У одновременно. Поэтому, начиная с основопола-
гающей книги [65], основное внимание уделяется исследо-
ванию возможных распределений выигрышей между иг-
роками, фактически сводящемуся к исследованию ТУ-опти-
мальных состояний.
Вектор (жх, я2, . . ., хп) называется дележом, если
2 ^ = Х(М)и Xi > х (О- Первое условие означает, что
гем
игроки получают максимально возможный суммарный вы-
игрыш х (Af), а второе, что каждый игрок получает не мень-
ше, чем добился бы, действуя один против всех остальных.
Теперь рассматривается новая игра, состояниями ко-
торой являются дележи, а предпочтения игроков задаются
строгим отношением «больше»: xRty «-> Xi уМноже-
ство У (х), независимо от х, определяется как множество
таких дележей у, при которых суммарная величина «вы-
игрышей» У| yt может быть гарантирована коалицией У:
геУ
iev
Теперь вводятся отношения (строгого) предпочтения
Rv для коалиций У с iRyx <-> z ЕЕ У (я) и zv > ху, через
$ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
205
которые обычным образом определяются состояния, оп-
тимальные ио Эджворту. Поскольку отношение R =
v
не является, вообще говоря, ациклическим, множество
оптимальных по Эджворту дележей, называемое обычно
с-ядром [28], может оказаться пустым. Сами фон Нейман
и Моргенштерн в качестве решения игры рассматривали
ядро множества всех дележей по отношению R = J Ry
v
(задача 1.16). Правда, это решение также может оказаться
пустым [28].
В литературе такая конструкция развивается также
для того случая, когда fy задается не суммой, а вектором
Таким образом, фон Нейман и Моргенштерн исполь-
зовали идею конфронтации только для перехода к новой
ситуации группового выбора, в которой уже используется
гипотеза статус кво. Слабость такого двухступенчатого
подхода отмечается ими самими [65]. Переход к % (V) су-
щественно обедняет информацию о ситуации и вряд ли
может служить основой хорошей нормативной общей
теории. Необходимо отметить, однако, что в случае дей-
ствительно противоположных предпочтений двух сторон
эта концепция привела к весьма удачной нормативной тео-
рии антагонистических игр, что объясняется, возможно,
тем, что для таких игр все три рассматриваемые гипотезы
приводят к одному и тому же понятию равновесия (см.
раздел 4).
В. Гипотеза рациональности. Коалиция V предпо-
лагает, что остальные игроки будут действовать в своих
интересах (а не обязательно пытаться «навредить» V), так
что v (а) = {by I (ау, Ъ?) = шах (av, a'v)}. Как , и
а- =«»у
при гипотезе конфронтации, полагаем V (а) = {(ау, by) |
I GE v(а)}. У-оптимальные состояния при гипотезе
рациональности рассматривались в частности, в [115]
и могут быть названы оптимальными по Штакельбергу.
Гипотеза рациональности связана с существенной со-
держательной трудностью — возможностью рефлексив-
ного поведения игроков. Например, при М = {1, 2},
игрок 1, зная предпочтения игрока 2, согласно гипотезе
206 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
рациональности может предвидеть, как поступит в данной
ситуации игрок 2, и ответить оптимальным для себя спосо-
бом. Но игрок 2 может повторить ход рассуждений, и,
зная предполагаемый «оптимальный» выбор игрока 1,
поступит оптимальным способом именно при этом выборе
игрока 1. В свою очередь игрок 1... и так до бесконечно-
сти. Именно это обстоятельство заставило фон Неймана и
Моргенштерна перейти к гипотезе конфронтации, при ко-
торой вся цепь рефлексивных рассуждений обрывается
на первом шаге: «буду рассчитывать на худшее».
3. Примеры и их обсуждение. Приведем простейшие
примеры, которые, однако, содержат довольно обширную
информацию об основных особенностях — в основном
о недостатках — данных концепций равновесия. Прак-
тические ситуации часто являются более «милостивыми»
по отношению к этим понятиям, чем рассматриваемые
далее примеры.
Будем считать, что имеется всего два индивидуума, 1
и 2, каждый из которых имеет по две стратегии а$, (i =
= 1,2), так что А состоит из четырех состояний (ах, а2),
(«1» Рг)» (Pi, аг), (рх, р2)- Предпочтения участников для на-
глядности зададим функциями полезности, изображая их
матрицей со строками alt рх и столбцами а2, р2.
Рассмотрим следующую игру:
«2 02
«1 / (2,1)
pl \(—1, — 1)
(-1, -1)
(1;,2)
Здесь первый элемент каждой пары есть оценка пред-
почтения первого, а второй элемент — второго игрока.
Стандартная интерпретация этой игры («семейный спор»)
такова. Муж (игрок 1) и жена (игрок 2) обсуждают,
чем заполнить выходной день: можно вдвоем пойти на
футбольный матч (стратегии ах и а2), можно в театр (стра-
тегии рх и |$2). Муж предпочитает первое, жена — второе,
но еще больше им хочется быть вместе, что отражено отри-
цательными величинами полезностей для состояний
(ai» Рг)> (Pi, »2). Прежде всего рассмотрим оптималь-
ные состояния с точки зрения гипотезы статус кво.
Очевидно, что состояние (ах, а2) равновесно по
фон Нейману — Нэшу, поскольку изменение стратегии
§ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
207
игрока 1 на повлечет уменьшение его оценки от 4-2 до
—1 и, аналогично, изменение а2 на р2 повлечет уменьше-
ние оценки игрока 2 с 1 до —1.
Ясно также, что это состояние есть оптимум Парето:
не существует среди четырех имеющихся векторов полез-
ностей вектора, превосходящего вектор / а2) = (2, 1)
по обеим координатам. Поскольку при числе индивиду-
умов, равном двум, никаких непустых коалиций, кроме
одно- и двухэлементных нет, то приходится признать, что
(а1? а2) — точка равновесия по Эджворту.
Аналогично, состояние (0П р2) тоже является точкой
равновесия по Эджворту, равно как и по фон Нейману —
Нэшу и по Парето.
На этой игре отчетливо виден основной недостаток рас-
сматриваемых концепций равновесия (даже если полностью
согласиться с заложенными в них этическими идеями).
Оказывается, полное знание игроком равновесных со-
стояний не дает ему никакой информации о том, какой
выбор все-таки осуществлять,— при условии, что до мо-
мента объявления своих выборов не происходит перегово-
ров между участниками. Это условие не слишком обремени-
тельно, поскольку разрешение вести переговоры просто
перекладывает трудность на более ранний этап — ведь
начинать переговоры нужно с каких-то предложений (или
выяснения таковых у партнеров). А какие все-таки пред-
положительные выборы делать игрокам — концепция
равновесия в данном случае не говорит.
Действительно, если муж первый скажет о своем же-
лании идти на.футбол, то жене ничего не остается делать,
кроме как присоединиться к нему или попытаться его пе-
реубедить. В аналогичном положении окажется муж,
если жена выскажется первой. Заметим также, что пере-
говоры эти могут вестись в таком тоне, что совершенно
изменят предпочтения игроков. Для такого случая пока
вообще нет разумных теорий. Мы считаем, что предпочте-
ния не меняются, как и в предыдущих главах.
Если же они не будут вести переговоров, то возникает
многоступенчатая рефлексивная схема: муж, думая, что
жена назовет театр, решает выбрать но если, думает
он, она тоже решила пойти ему навстречу и выбирает а2,
то надо выбрать 04 и т. д. В конечном итоге оказывается,
что понятие равновесия не дает никакой пользы тому, кто
208 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
его знает: все равно, окончательное решение остается за
тем, кто сумет переубедить другого, а такие психологи-
ческие факторы никак не отражены в модели.
Таким образом, концепция равновесия при гипотезе
статус кво показывает не то, что нужно делать игрокам,
а что нельзя (невыгодно) делать в состоянии равно-
весия.
Зато другие две гипотезы дают «четкие правила» инди-
видуального выбора состояний каждому игроку.
Определим максиминную стратегию мужа. Наихуд-
ший ответ р2 на ах дает —1, столько же он может полу-
чить и при рх. Итак, обе стратегии «гарантируют» ему — 1;
можно применять любую. То же получается для жены.
Вывод совершенно тривиальный, функция % (F) оставила
«за бортом» фактически всю информацию об игре.
Рассмотрим теперь гипотезу рациональности. При
04 игрок 1 ожидает а2, при рх — р2. Таким образом, для
первого игрока состоянием Штакельберга является ах; для
второго же, очевидно, 02. Мы приходим либо к бесконеч-
ным рефлексиям, либо, если фиксировать последователь-
ность ходов, к однозначному решению: (ах, а2), если пер-
вым «ходит» муж, и (рх, р2) — если жена.
Приведем другой пример, в котором точки равнове-
сия разного типа не совпадают, в отличие от разобранной
ситуации «семейный спор».
Эта игра, называемая «дилемма заключенного», форму-
лируется обычно в виде следующего анекдота [52]. Два
субъекта, подозреваемых в преступлении, могут признать
свою вину (стратегия 0<) или не сознаваться (стратегия
af). Против них нет достаточных улик, и если они не приз-
наются (состояние (ах, а2)), то отделаются довольно легким
наказанием. Если оба сознаются (состояние (0Х, р2)), то
хотя и получат наказание, но не слишком суровое. Если
же сознается один из них, то ему будет существенно смяг-
чен приговор за выдачу важного преступника, а второй
наказан по самым строгим нормам.
Соответствующая таблица предпочтений имеет такой
вид:
«2 р2
71 / (9,9) (0,10) \
Зх \(10,0) (1,1) ) ’
§ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
209
Легко видеть, что в дилемме заключенного точка рав-
новесия Курно существует при любой из трех гипотез о
поведении противника, и во всех случаях — это (Рг»Ра)*
Оптимальны по Парето остальные состояния (ах, а2),
(ах, Р2Х (Pi> «2)» а оптимума Эджворта не существует.
Таким образом, субъектам вроде бы выгодно избрать
(<хх, но поскольку это состояние не является точкой
равновесия по фон Нейману — Нэшу, то каждому выгод-
но нарушить соглашение (чтобы получить больше). Если
же нарушат оба — а для каждого лучше нарушить самому,
чем остаться верным договору, так как не нарушавший по-
лучит 0 (даже меньше, чем если оба изменят свои выборы)—
то придут к (0Х, 02). Но (plt р2) явно хуже, чем (ах, а2)!
Конечно, можно сослаться на этические соображения
(но не на учет будущего, так как считается, что это отра-
жено в предпочтениях), которыми могут руководствоваться
подозреваемые — и не нарушать договор о выборе (ах, а2).
Это рассуждение опровергается, если напомнить другую
интерпретацию аналогичной ситуации: для мелких произ-
водителей в условиях частнособственнической конку-
ренции. Им следует договориться, чтобы не перепроизвести
продукцию. При этом каждому выгодно нарушить договор,
так как это не создаст перепроизводства, но зато даст зна-
чительную прибыль. Как показывает практика, наруши-
телей сколько угодно. Недаром приходится вмешиваться
государству. Заметим, что в психологических экспери-
ментах по этой игре также многие участники выбирают
не кооперативный способ действия (0Х, 02). Только если
существенно увеличить разрыв между поощрением ко-
операции (ах, а2) и наказанием за разобщенность, начи-
нает увеличиваться доля кооперирующихся игроков [154].
Это же видно и на модели игры двух автоматов в дилемму
заключенного (раздел 3.4).
Итак, мы видим, что и в этой игре, хотя в ней, в отли-
чие от «семейного спора», невыгодно раскрывать свою
стратегию, концепции равновесия не дают участникам
никакой помощи при выборе. В следующих разделах бо-
лее детально остановимся на описании некоторых резуль-
татов^о состояниях равновесия.
4. Равновесие по фон Нейману — Нэшу. Эта концеп-
ция равновесия, как мы увидим в разделе 3.2, теснейшим
образом связана с концепцией экономического равновесия.
210 ГЛ- 5- СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
а потому, несмотря на отмеченные (и не отмеченные) не-
достатки, широко изучается в современной науке.
Прежде всего покажем, что ставшая уже классической
стратегия максиминного (т. е. основанного на гипотезе
конфронтации или, что в данном случае то же самое, ги-
потезе рациональности) поведения в антагонистической
игре реализует равновесие по фон Нейману— Нэшу,
основанное на гипотезе статус кво.
Антагонистической игрой называется игра двух лиц,
предпочтения которых выражены взаимно обратными
отношениями: если для первого игрока отношение пред-
почтения то для второго Н2 =
В терминах функций полезности это значит, что
А (а) > fi (&) *-> /2 (а) < h (*)• (4)
Согласно разделу 2 состояние равновесия а * = (а^, а2)
х ар актеризуется нер ав енств ами
А (#1, аг) /1 (ai, ^2),
/2 (ai> аг) > /2 (ai? аг)-
Ввиду антагонистичности, второе неравенство означает,
что /1 («ь а2) < А («1, а2), так что а * = (а^, а2) удовлет-
воряет неравенству
/1 («ъ 4) < /1 («ъ 4) < /1 а2). (5)
Такая точка а * называется седловой точкой функции fv
Можно доказать, что в этой точке достигаются значения
max min/x (ах,а2) и min max Д(а, а2), так что они равны:
01 Ог. Ля
max min /х (а1? а2) = min max /х (аь а2). (6)
а,} О} Л} а,}
Равенство (6) обычно называется соотношением мини-
макса.
Действительно, для любых (а^, очевидно,
min /1 (ai, а2) < /х (лх, а2) < max /г (ax, а2).
аг а.
Но тогда это же неравенство верно и при максимизи-
рующем функцию (р (а{) = min Д (а{, а2)» и при а2, МИНИ-
fl»
$ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
211
мизирующем функцию ф (а2) = max fi (ах, а2). Значит,
а,
для любой функции /х .
max min /х (ах, а2) min max /х (ах, а2).
cii a>i
Используем соотношение (5) для доказательства обрат-
ного неравенства. Так как (5) верно для любых а1? а2, то
max А (аь а2) < /i (aj, а2) < min /х а2).
Од аз
Таким образом, <р (а[) (а2). Но тогда такое же нера-
венство тем более должно выполняться для max ф (ат) и
шш'фСаг), а это и есть доказываемое.
а»
Покажем теперь, как вывести (5) из соотношения ми-
нимакса (6). Пусть в левой части (6) max достигается
на а± — а , а в правой части (6) min достигается на
а»
а2 = а*. Тогда из (6) получается неравенство /х (а*, а2) >
> /1(а1? а*) при всех аь а2, что немедленно дает (5).
В антагонистической игре равновесие имеет нор-
мативный смысл для каждого игрока в отдельности.
Если а* = (ах, а2) — равновесие, то первый игрок может
пользоваться стратегией а19 независимо от того, что выбе-
рет второй (в отличие от неантагонйстического случая
раздела 3). Это объясняется тем, что если (ах, а2) и (&1г
Ь2) — точки равновесия антагонистической игры *), то
(ai, Ь2) (а также (&1? а2)) тоже точка равновесия, причем
/i (<h, «2) = /1 (th, b*£ = fi (alt &2) = fi (b{, a2) (и то же
для /2 ввиду (4)).
Действительно, согласно (5)
/1 (^1» Яг) /1 (лц ^2) /1 (аь аг)>
/1 (^1, Ьг) /1 (&1, Ь2) /1 (&х, Ь2).
*) Очевидно, в антагонистической игре любое состояние оп-
тимально по Парето, так как улучшение полезности одного из ин-
дивидуумов необходимо уменьшает полезность второго. Значит,
точки равновесия по фон Нейману — Нэшу равновесны и по Эдж-
ворту.
212 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЙЙЦЙЙ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Полагая в этих неравенствах аг = b*t, а2 = Ь2, Ъ± = аъ
b2 = а2, получим
/1 (&1» аз) /1 (аь аг) /i (ai> 62) /i (bi, b2) /i (&i, а2).
Сравнивая начало и конец, убеждаемся в равенстве всех
этих значений. Но так как Д (an а2) fi («1» «2) = fi (6ь а2)
И /л (b*i, b2) >fi (b*i, b2) = fl (bl, aj), получаем
/1 (®i, <h) fi (bit az) fi (Ьц b2)
для любых ax и 62, значит (6J, a2) — седловая точка функ-
ции Д, что и требовалось доказать.
Согласно (5) стратегия aj гарантирует первому игроку
выигрыш ft (aj, а2): всякое отступление второго инди-
видуума от а2 только увеличит выигрыш первого. Итак,
выбор соответствует весьма осторожному поведению;
индивидуум ориентируется на самую худшую для него
стратегию противника и выбирает свою стратегию, что-
бы максимизировать ожидаемый при этом выигрыш.
Однако в том случае, когда игра разворачивается во
времени и игрок имеет принципиальную возможность пе-
реоценивать или менять свои решения, можно указать
некоторые примеры, заставляющие усомниться в том, что
такие стратегии полностью соответствуют интуитивному
пониманию «гарантированного» выигрыша. Разительный
пример негарантированности максиминной стратегии мож-
но привести, когда в игру включен случайный механизм.
Пусть жребий выбирает а с вероятностью 1/3, а р —
2/3. Если выпало а, то «выигрыши» Д = —/2 двух игроков,
1 и 2, определяются выбором игроком 2 одной из страте-
гий А2,В2,С2 по следующему правилу: Д(Л2) = 9, fi(B2) =
= 6, fi (С2) = 0. Если жребий выпадет на р, то «выигры-
ши» даются функцией Д -------/2» з адав аемой таблицей
следующего вида:
i 1. Концепции Равновесий
213
Здесь Blt Ci, Dx — стратегии первого игрока. Игрок
2 не знает, каков результат жребия. Результирующая мат-
рица (средних) выигрышей первого игрока, таким обра-
зом, является 1/3-2/3 смесью таблиц функции Д при исхо-
дах аир. Она равна:
А% В2 С2
Их
Вх
Ci
Dx
7 4 0
6 4 2
4 4 4
3 4 6
Например, в левом верхнем углу 7 получилось как
I-9+I-6.
Очевидно, единственная максиминная стратегия игро-
ка 1 в этой игре естьСх, так как 4 есть минимум строки
являющийся максимумом своего столбца В2 — «минимакс-
ной» стратегии игрока 2. Итак, если жребий даст р,
то игрок 1 должен выбирать Ci; это даст ему согласно F
выигрыш 3, если игрок 2 применит В2. Но если игрок 2 при-
менит А, то выигрыш первого игрока будет всего 3/2.
Гарантирует ему выгрыш 3 вовсе не С19 а В19 не являю-
щаяся максиминной стратегией игры.
Итак, игрок 1 имеет единственную оптимальную стра-
тегию в игре. Но когда ему действительно нужно сделать
свой выбор, эта стратегия вовсе не кажется удачной, а
доводы в ее пользу убедительными.
5. Оптимум Парето и весовые коэффициенты. Оптимум
Парето — это такое состояние а Е Л, что не существует
ь S А, для которого / (&) = (Д (&), . . ., fn (6)) > / (а) =
= (А (а)> > • •» fn GO) причем f (а) Ф f (&). Это значит,
что изменение оптимального по Парето состояния а с
целью улучшения полезности какого либо участника обя-
зательно причинит ущерб хотя бы одному индивидууму.
Противное означало бы, что можно увеличить некото-
рые полезности без уменьшения других, что противоречит
определению оптимума Парето.
Отметим, что оптимум Парето формулируется безот-
носительно к стратегическому аспекту ситуации и, в этом
смысле, эта концепция совершенно общая. Она выражает,
если так можно выразиться, «гуманистический» идеал, для
244 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫЁОРА
которого ущемление интересов хотя бы одного участника
недопустимо.
В силу такой чувствительности это понятие иногда те-
ряет смысл «оптимального» решения. Например, если име-
ется фиксированное количество ресурса, который целиком
распределяется между п индивидуумами, причем полез-
ность его пропорциональна количеству, то всякое распре-
деление оптимально по
Парето. Действительно,
улучшение положения лю-
бого участника может
быть достигнуто только за
счет передачи ему допол-
нительного количества ре-
сурса, изымаемого у дру-
гого участника, положе-
ние которого ухудшается
(см. также раздел 3.1.5).
рИСе 9. Рассмотрим подробнее
случай кардинальных по-
лезностей (§ 1.4). Ограничимся без какой-либо потери
общности двумя индивидуумами и рассмотрим множест-
во U всех пар / = (Д (а), /2 (а)), где а пробегает множест-
во всех смесей рассматриваемых объектов.
Это множество, очевидно, выпукло. Действительно,
если (Д, /2) s U и (gn g2) е U, так что найдутся а и Ь
такие, что (Д, /2) = (Д (а), Д (а)) и (gn g2) = (gx (6), g2 (6)),
то согласно теореме 1.4.1, пара (рД + (1 — р) gn р/2 +
+ (1 — р) g%) соответствует р-смеси (а, Ь) и, значит, при-
надлежит U. Очевидно также, что U — замкнуто, так
как замкнуто множество всех смесей.
Проиллюстрируем сказанное рисунком 9. На этом
рисунке точка Д выражает максимальное значение Д,
Д —максимум/2. Поскольку U выпукло, то часть его
границы между точками А и В, в которых достигаются эти
максимумы, есть множество точек (Д, /2), дающих опти-
мумы по Парето. Все остальные точки / s U могут быть
улучшены хотя бы по одной компоненте.
Казалось бы, концепции согласованности, выражен-
ные в понятии оптимума Парето и в линейной комбинации
индивидуальных функций полезности (1), совершенно не-
совместимы. Оптимум Парето выражает оптимальность
§ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
215
в смысле тривиального (§ 3.2) принципа согласования;
в частности, индивидуальные предпочтения не предпола-
гаются соизмеримыми. Наоборот, линейная комбинация
функций полезности не только выражает концепцию со-
измеримости, но и делает это фактически с помощью ве-
совых коэффициентов q^. Оптимум по Парето, как уже
упоминалось, специально учитывает интересы каждого
индивидуума, тогда как линейная комбинация учитывает
его весьма относительно, подчиняясь «решениям» инди-
видуумов с большими весовыми коэффициентами.
Тем не менее эти две концепции на самом деле выра-
жают одно и то же в следующем смысле: любое оптималь-
ное по Парето состояние является оптимальным для под-
ходящей линейной комбинации целевых функций и, на-
оборот, любое состояние, максимизирующее линейную
комбинацию целевых функций (с положительными коэф-
фициентами), является оптимальным по Парето. Соб-
ственно, это ясно из рис. 9. Но ввиду существенной мето-
дологической важности этого утверждения сформулируем
его (не приводя доказательства) в виде теоремы.
Теорема 3. При выпуклом U оптимальное по Па-
рето состояние максимизирует взвешенную сумму +
+g2/2 пРи некоторых qt, q2^ 0. Обратно, если состояние
доставляет максимум функции дх/х + q2f2 пРи положи-
тельных дх, то оно оптимально по Парето.
6. Определение весовых коэффициентов. Если точка
оптимума Парето дает максимум суммы q1f1 + ^2/2 ПРИ
91 > 9г, то это соответствует интуитивному представлению
о том, что функция /х более значима, нежели /2: ее прира-
щение в gx/g2 раз более «весомо» в сумме gx/x + д2/2, чем
такое же приращение /2. Поэтому для выбора «наиболее
приемлемого» оптимума Парето из всего их бесконечного
множества часто предлагают максимизировать сумму
функций fi, взвешенных такими показателями, которые
как-то отражали бы априорную весомость критериев Д.
В § 4.2 мы уже обсуждали эту проблему в терминах
коэффициентов компетентности экспертов. Рассмотрение
«объективных» показателей позволяет при оценке их ве-
сомости учитывать еще один аспект: появляется возмож-
ность осмысленного сравнения потерь по различным по-
казателям. Иногда эта идея применима и в анализе субъ-
ективных оценок.
216 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Фиксируем некоторый масштаб для каждого показа-
теля. Через xj обозначим точку максимума функции
fj (j €= М). Если принять Xj в качестве выбираемой точки,
то величина потери по i-му показателю составит
fij = fi (®i) — ft (*;)•
В качестве показателя потерь ftj можно (и часто это
лучше) рассматривать удельную величину потери
Tij ш •
Если все потери (у е= М) малы, то функции ft нуж-
но сопоставить больший вес ?/, и если, наоборот, /ц (у GE
ЕЕ М) велики, то qi должно быть мало, так как Д не
удовлетворительна с точки зрения остальных критериев.
Конкретизировать эти соображения можно самыми
разными способами. Рассмотрим некоторые из них.
Обозначим = (/fl, . . ., fin) и введем некоторые огра-
ничения на выбор (i ЕЕ М).
А. Величина qt есть функция qt (/\ . . ., /1, . . ., f1),
которая однородна степени — 1 от f и однородна степени
о ОТ f (j г):
И (f,. • •, f-1, W, f* . .., Г) = 4 ?< (f1.П.
qi (kf,.. ., W-s /J, W+i......W”) = ?i (Л • • • > /”)•
Б. Для любых i, jEM отношение ~ не изменится,
если: а) элиминировать какого-либо индивидуума I =£= i, у;
б) добавить какого-либо индивидуума I ф М; в) изменить
предпочтения индивидуума I (т. е. изменить /,) для I =/=
5^ ]•
Условие А означает, что увеличение потерь по f-му кри-
терию вызывает пропорциональное уменьшение веса qt
этого критерия; если же изменяются потери по другим
критериям, на qt это не отразится.
Условие Б означает, что отношение qt/qj фактически
зависит только от /ц и /уь так как изменение любого
третьего критерия /z (а с ним и /ц, /^, /гу) не влияет на
ВГО величину.
$ 1. КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ
217
Теорема 4. Условия А — Б выполнены тогда и
только тогда, когда матрица | gifu || симметрична, т. е,
4ifij ~ Qjfji'
Доказательство. Учитывая неравноправие f и
f при j Ф i в (Z1, примем обозначение
qt = qt (f, где Р = (/\ . . ., /-1, /*+1, . . П- Тогда
ввиду условий А и Б
gj (Л Fj) И /v’ '3t'
Очевидно,
,4 4 \ qi 1 1
и (7y, fa) -1?--^.- мн, fa) •
Поэтому при fij = fji = 1 получим p (l,l)-p (1,1) = 1,
так что p (1,1) = + 1. Но p (1,1) — —1 невозможно ввиду
неотрицательности qit qj. Значит, р (1,1) = 1.
Пусть Д =/=0 и /д=/=0. Рассмотрим набор (/\...,/"),
в котором вместо /{ находится -4— fl, а вместо /’ — вектор
±- /Л Тогда 31 (±-f; F»)= faqi ф; Fi) и qd-j-fr =
fa \fa / \fa 1
— faqj (J], F^ в силу (А). Но в -r— f‘ величина fa равна 1,
1 *
точно так же /« = 1 в -т— fa Значит, отношение функций
fa
qi (4— fi; Fl\ и qj (4-fi', Fi\ равно p (1,1) = 1. Следова-
тельно, единице равно и отношение равных им функций:
А _ _ М{(Л.П _
fai^-.Fi) faqi
Отсюда fij qi = qj, что и требовалось доказать. Если
fij = fji =0, то симметричность матрицы также
соблюдена. Если = 0, a fa Ф 0, то необходимо qj = О,
a qi определяется из сравнения с qk (k j). Теорема дока-
зана.
Доказанный факт дает ключ к построению величин
qi (i = 1, .. п). К сожалению, не всегда такие qt суще-
218 M. S. Современные Концепций социального выёоРА
ствуют. Дело в том, что число уравнений для их отыска-
ния (qtfu = qjfa) равно п (п — 1)/2, тогда как неизвестных
всего п, поэтому система может оказаться (на практике
часто так и бывает) несовместной. Естественно попытать-
ся, исходя из идей симметризации, уменьшить число урав-
нений. Один из подходов таков: искать qt такие, что
2 ~ 2 (г = 1, . . ., д). (7)
i з
Уравнения (7) выражают факт равенства потерь по i-му
критерию потерям по остальным критериям, доставляе-
мым принятием Xi.
Очевидно, что вектор q = (g1? . . ., gn), удовлетворяю-
щий (7), есть решение матричного уравнения Fq = 0, где
2^1/ /21 • ^nl
j
/12 — • • • f n2
F = i
In 1 ^2n • • • 1 j
Если все fij 0 при i /, то можно доказать, что суще-
ствует единственный (с точностью до постоянного множи-
теля) вектор q такой, что Fq = 0, причем если матрица
|| fij || приводима к симметричному виду |] 1|, то имен-
но с помощью этого вектора q [111].
Кроме описанного, возможны также различные под-
ходы, основанные на идее определения наилучшей смеси
стратегий (или, как говорят в теории игр, «смешанной
стратегии») для матрицы потерь || ftj ||: максиминный под-
ход, метод Гурвича, недостаточного основания и т. д.
Мы не будем их описывать, так как они достаточно хорошо
известны в исследовании операций.
Стоит заметить, правда, что на практике в случае,
когда все критерии выражены линейными функциями, а
совокупность смесей описывается линейными неравен-
ствами, экстремальная точка совместного критерия
2 как и экстремальные точки индивидуальных кри-
i
§ 2. СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ
219
териев fh находится в вершине многогранника допустимых
комбинаций. Это не всегда представляется целесообразным
из-за существенной неустойчивости и вырожденности (мно-
го нулевых компонент) такого решения. В этом случае
прибегают к построению компромиссного решения (но
п
не компромиссного критерия!), взяв х = 2 ГДО xt
г==1
максимизирует fi^qi найдены по матрице || /ц |. Конечно,
такой х не обязательно находится на границе множества
допустимых смесей, так что его, вообще говоря, можно
улучшить по всем критериям одновременно.
§ 2. Состояния равновесия в модели
перераспределения ресурсов
1. Модель перераспределения ресурсов и понятие эко-
номического равновесия. Пусть имеется некоторое коли-
чество т различных ресурсов (иногда говорят — благ
или товаров) и п производственных единиц, выполняющих
роль «индивидуумов».
Обозначение xt = (ж|, ... ж?1) выражает тот факт, что
производственная единица i использует^ единиц ресурса
к(к = 1, . . ., тп); считается что xt > 0 (i GE М). Деятель-
ность производственной единицы характеризуется функцией
полезности ^c^fiix^ выражает объем выпускаемой
продукции при затратах ресурсов хь она называется произ-
водственной функцией. Затраты всех производственных
единиц связаны тем, что общее потребление ресурсов
фиксировано. Суммарное количество ресурсов будем за-
п
давать вектором i = (А1,..i,m) = 2 хи так что 2®? =
1=1 i
(к = 1, . . ., т). Цель каждого участника — производ-
ственной единицы i — состоит в увеличении значения
Л(^).
Состояние этой системы задается набором векторов
. . ., жп), характеризующих потребление каждой про-
изводственной единицы. Изменение состояния соответ-
вует перераспределению ресурсов между участниками.
Это и закреплено в названии — модель перераспределения
ресурсов.
220 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Часто эту схему называют также моделью рынка или
обмена, имея в виду интерпретацию участников как тор-
говцев, обменивающихся своими товарами. В [203] рас-
смотрена ее трактовка применительно к «перекатке
бревен» (взаимным соглашениям) в комиссии, которая
должна выбрать некоторое подмножество проектов из
большой совокупности предложенных.
п
Пусть (хг, . . ., хп) — состояние системы; 2 =
i=l
Вектор х (У) = 2 xi выражает общее количество всех
lev
видов ресурсов у коалиции V cz М. Тогда множество
состояний, достижимых коалицией V £ М из х, естест-
венно определяется как
V(x) = {у \у (V) = x(V), Уу = xv}.]
Тогда состояние является У-оптимальным, если не суще-
ствует таких yt(i^V), что ^Уг = х(У) и Л (уе) >
iev
> ft (хг) Для всех i ЕЕ У, причем хотя бы для одного / Е У
fj (Vi) > fj Очевидно, что при таком определении ото-
бражений У (х) модель перераспределения ресурсов пред-
ставляет собой комонотонную ситуацию. Действительно,
изменение состояния х на у ЕЕ У (х) никак не скажется
(а, значит, не ухудшит!) на положении остальных уча-
стников / Е= М — У : Xj и / (xj) останутся неизменными.
Поэтому всякое оптимальное по Парето состояние яв-
ляется оптимальным по Эджворту.
Равновесие же по Курно не представляет здесь интере-
са, так как любое состояние равновесно в этом смысле.
В математической экономике часто считается, что в мо-
дели перераспределения ресурсов задано некоторое ис-
ходное распределение ресурсов, и все сделки совершаются
относительно этого начального состояния. Обозначим на-
чальное распределение (xi, • • •, in) и далее будем рас-
сматривать только такую модифицированную модель.
Определение множеств У (х) при этом должно измениться,
•так что теперь
= у?-*,}.
$ 2. СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ
221
Такая ситуация уже не является комонотонной, так
как для данного х обмен среди членов коалиции V своими
исходными ресурсами может уменьшить значения Xj и
fi Для некоторых / V, поскольку часть исходных
ресурсов i (У) могла в состоянии х находиться у / (=£ У.
В модели естественно возникает концепция экономи-
ческого равновесия, связанная с назначением цен на ре-
сурсы. Если цена &-го ресурса рк > 0, то вектор цен
р = (р1, . . pw) 0. Стоимость вектора ресурсов х =
= (х\ . . ., хт) в ценах р равна, очевидно, р*х = 2 Р^ •
к
С помощью цен проблема перераспределения ресурсов
децентрализуется. В случае отсутствия цен производст-
венная единица для получения желательного набора ре-
сурсов должна участвовать не только в двойных, но и
тройных, и четверных и т. д. сделках типа «я — тебе, ты —
ему, он — ей . . ., кто-то, наконец, мне», что заставляет
циркулировать большое количество (каждый знает о мно-
гих других) информации.
Пусть; фиксированный набор (^, . . ., #п), = #,
i
характеризует наличие ресурсов у каждого участника.
При ценах р стоимость ресурсов производственной еди-
ницы i равна р*хг-. Имея этот «доход», она может «ку-
пить» по ценам р другой вектор yt, лишь бы расходы
p*yt не превосходили р*^г. Нас попрежнему не инте-
ресует, как может происходить процедура такой «куп-
ли — продажи» (см. раздел 3.3). Сформулируем, какой
результат считать хорошим.
Будем говорить, что набор (р, zj, . . ., х^ задает со-
стояние экономического равновесия, если
а) всякий участник получает наибольшее удовлетво-
рение (в рамках платежных способностей):
max/i(&) (ieM); (8)
б) общий объем потребляемых ресурсов при этом не
превзошел их первоначального количества:
(9)
<
222 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Состояние экономического равновесия можно тракто-
вать как результат столь удачного выбора цен, что не-
смотря на то, что каждый участник потребляет ресурсов
сколько хочет (разумеется, в рамках платежеспособного
спроса), при этом не возникает дефицита. Можно поду-
мать, что прийти к такому состоянию легко —- стоит толь-
ко назначить высокие цены. Но это не так, ведь при по-
вышении цен доходы растут пропорционально. Формаль-
но это выражается в том, что при любом положительном %
Р'У1 (Хр) yt < (Хр) Xi.
2. Экономическое равновесие как равновесие по фон
Нейману — Нэшу. Экономическое равновесие можно пред-
ставить как равновесие по фон Нейману — Нэшу с по-
мощью формального введения еще одного участника —
«ценообразующего органа», который выбирает цены р.
Цель ценообразующего органа — минимизировать взве-
п
шенный дисбаланс f (р, ylt . . уп) = р- (£ — 2j &)
г=1
с помощью выбора подходящих цен р. Состояниями здесь
являются наборы вида (р, уг, . . ., рп), но не все, а только
те, в которых pnyt связаны соотношениями Р'Уг^Р' %i(i ЕЕ
ЕЕ М). Точка равновесия фон Неймана — Нэша (р,
£1? . . £п) для этой ситуации с п + 1 участником (п про-
изводственных единиц и ценообразующей орган) харак-
теризуется согласно разделу 1.2 условиями
при (Ю)
(2«< -*)>?• (S«i -*) • (И)
i г
Докажем, что (р, Жп) — состояние экономиче-
ского равновесия в модели перераспределения ресурсов.
Действительно, условие (10) совпадает с (8). Докажем (9).
Суммируя неравенства р-Ж, P'it по всем i М, иояу-
чимр-(3®»~ $)< Отсюда,ввиду (И), р-(2жг~ $)< 0
г г
при любом р 0. Выберем, в частности, р так, чтобы
рк = 1 и р1 = 0 (Z Ф к). Тогда получим0, т. е.
i
§ 2. СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯМИ МОДЕЛИ
223
что и доказывает (9) ввиду произвольности
к (к = 1, ..., тп).
Если предпочтения участников строго монотонно ме-
няются с изменением количества товаров (свойство нена-
сыщаемости), т. е. xt > yt влечет ft ^>ft (&), а имен-
но такую ситуацию мы будем рассматривать далее во всем
параграфе, то можно доказать, что в состоянии эконо-
мического равновесия «недопотребление» невозможно, т. е.
справедливо усиление соотношения (9)
Sxi = х. (9')
г
Действительно, вытекающие из (8) неравенства
p-x^p-Xi на самом деле являются равенствами, так как
если p-xt<^p-xv то можно увеличить Xi на малую вели-
чину так, чтобы неравенство сохранилось; тогда, в силу
монотонности, значение Д увеличится, а это противоречит
максимальности fi(x?). По той же причине цены положи-
тельны: р^>0, ибо допущение /Л == 0 позволило бы сколь
угодно увеличивать xf и тем самым увеличивать Д.
Суммируя равенства р-х\ = р-xi по iE М, получим
Р'СЕ хг —х) — 0, причем УXi 5= х в силу (9). Но по-
скольку р^>0, отсюда следует (9'). Так как из (9') сле-
дует (11), в итоге доказано следующее утверждение.
Теорема 1. При строго монотонных функциях по-
лезности множество состояний экономического равновесия,
характеризуемое условиями (8) и (9), удовлетворяет так-
же условию (9') и совпадает с множеством состояний
равновесия фон Неймана — Нэша, характеризуемых ус-
ловиями (10), (11), в игре с добавленным участником, ми-
нимизирующим общий дисбаланс.
3. Экономическое равновесие и оптимум Эджворта.
Понятие экономического равновесия основано на идеях
товарно-денежных отношений. Наоборот, равновесие по
Эджворту подразумевает «натуральный» обмен.
Интуитивно чувствуется, что цены есть не больше,
чем средство для упрощения обмена. Поэтому возникает
мысль о том, что эти концепции реализуются на одних и
тех же состояниях.
224 ®Л. б. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Теорема 2. Если (рх, . . ., Жп) — экономическое
равновесие, то (flt . . Жп) равновесно по Эджворту.
Доказательство. Допустим противное: най-
дется коалиция I £ М такая, что (5^, . . ., 3!п) не является
оптимальным для I. Значит, найдутся yt (i е I) такие,
что у (/) = х (/), причем ft (yt) ft (%t) (i €= Г) и хотя
бы для одного j (= I fj (у,) > fj ($j). Значит, ввиду (8)
с учетом свойства «ненасыщаемости» (i G 7) и
Р’У) > P'&j- Суммируя эти неравенства, получим р-у (/)>•
что противоречит равенству у (Г) = х (I). По-
лученное противоречие доказывает теорему.
Однако, как мы убедимся в разделах 4—5, может су-
ществовать континуум точек равновесия по Эджворту, не
соответствующих экономическому равновесию.
Сам Эджворт рассматривал случай двух участников
(с двумя товарами). Он показал, что если каждого из них
заменить большим числом одинаковых торговцев, то мно-
жество точек равновесия по Эджворту (ядро) вырождается
в пределе (при бесконечном увеличении индивидуумов
каждого типа) в единственное состояние — экономиче-
ское равновесие. В [121J его результат обобщен на случай
любого конечного числа типов участников и ресурсов,
при несколько более общих предположениях о модели.
Эти результаты выражают идею о том, что равновесие по
Эджворту является экономическим равновесием лишь
тогда, когда действия каждого отдельного участника
пренебрежимо малы. Адекватное математическое выраже-
ние этой идеи дал Ауманн, рассмотревший случай кон-
тинуального множества участников, так что мера дей-
ствий каждого из них действительно равна нулю. В этом
случае оказалось (при весьма слабых предположениях
о модели), что ядро совпадает с множеством состояний
экономического равновесия [102J, [191J, [1131.
4. Состояния равновесия в модели с производственными функ-
циями Кобба — Дугласа. Говорят, что производственная] функ-
ция / (я1, ..., хт) имеет вид Кобба — Дугласа, если
f (ж1, ..., ®т) = а (аА)“‘ (»«)“’... (»т)“т,
где > 0 и = 1. Функции такого вида хорошо описывают
Л
технологические зависимости в реальных экономических системах.
Для простоты мы ограничимся случаем т = 2, причем один
ресурс будем обозначать буквой я, а другой у.
§ 2 СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ
225
Покажем, прежде всего, что уже при двух участниках в такой
системе может оыть континуум точек равновесия по Эджворту.
Для этого прибегнем к так называемому ящику Эджворта —
удобному способу изображения четырехмерного пространства на
плоскости.
Если функция полезности участника есть / (а?, у), то можно
изобразить на плоскости (х, у) ее классы неразличимости, т. е.
такие точки (х, у), для которых / (х, у) принимает одно и то же зна-
чение с. В нашем случае / (х, у) = и уравнение, связывающее
1
С 1-а
точки класса неразличимости, есть za?/1~a = с, или у = -----.
х 1—a
Эта формула определяет кривую*) гиперболического типа, отстоящую
от начала координат тем дальше, чем больше предпочтительность с.
Пусть общее количество первого товара на рынке равно а
второго у. Систему координат второго участника изобразим с цент-
ром в точке (я, у), но с противоположными направлениями осей
(рис. 10). Тогда каждая точка (я, у) внутри полученного прямоуголь-
ника (называемого ящиком Эджворта) может рассматриваться как
четырехмерная с координатами (я, у, £ — а?, у — у), задающими
распределение ресурсов между участниками. При этом кривые без-
различия участников выпуклы в противоположные стороны. Если
распределение ресурсов описывается точкой Л, в которой линии без-
различия участников не касаются, а пересекаются, как на рис. 10,
то это распределение не оптимально по Парето. Действительно, в
точке В уровень полезности первого игрока тот же, а второго — вы-
ше; аналогично, в точке С уровень полезности первого игрока вы-
ше, а второго — тот же.
♦) Поэтому классы неразличимости предпочтения в эконо-
мической науке называются линиями неразличимости или без-
различия.
8 Б, Г. Миркин
226 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Вообще, очевидно, оптимальные по Парето точки — это точки
касания кривых безразличия разных игроков. Сойти с такой точки —
обязательно уменьшить уровень полезности хотя бы одного игрока.
Эти же точки являются точками равновесия Эджворта (при двух
участниках), поскольку, как мы уже видели, всякое распределение
равновесно по Курно.
Совокупность точек равновесия Эджворта характеризуется
кривой ВС, определяемой из условия совпадения производных кри-
вых безразличия первого и второго игроков. Эта кривая называется
кривой контрактов.
5. Экономическое равновесие для модели с функциями Кобба—-
Дугласа. Исследуем теперь вопрос о точках экономического равно-
весия в этой модели перераспределения ресурсов.
Пусть начальные запасы i-ro участника выражены вектором
У} )’ а его функция полезности fi (х, у) = х^у1"*1. При ценах
р — (рг, р2) он выбирает (xif 0, максимизирующий fi (х, у)
и. 1~а•
при ограничении ptx р2у < p]Xi + p2yt = . Поскольку х гу г —
монотонно строго возрастающая, то, как следует из раздела 3, мож-
но рассматривать только равенство:
Р1» + РгУ = <Н-
А тогда для отыскания можно применить метод множи-
телей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
Li (», У) = xaiy~ai + Хг (аг — ргх — ргу).
В точке экстремума ее частные производные равны нулю:
V “* — lift = 0, (1 — at)x'iy — Хгр2 = 0.
Значит,
V
Деля эти равенства друг на друга, получим
pi___________________gi У _ 1 ~~аг pi
p<s~i — aix’y~ a. pzx'
Принимая во внимание p^i -|- p2yi = aj, получаем
l-«i
Pi*i+ "'a-' "piS!i=
откуда
(12)
(l-«i) «i
«7,=-----z»----
(13)
§ 2. СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ
227
Эти значения fa соответствуют оптимальному ♦) выбору
ресурсов участником i при ценах (р1э р2). Векторную функцию
/ а .а. (1 — ^) \
si (Рь Р%) — \ pL ’, -~---J поэтому называют функцией спроса.
Суммарный спрос на ресурсы равен, таким образом, s (pi, рз) =
z п п
= (-£. V а.а., V (! — «.)«,). Суммарное предложение есть
^i=i 7
/ п п
2», 2 у^ . Разность этих двух векторов задает дисбаланс z(p)
г=1 г=1 Z
в потреблении ресурсов:
2 =(тг2(“л “ р^' 772«1-£9а*-^') =
\ г г /
/1 1
= 7? 2 ~_ pix^ 2((1 - pixi - aip^
\ i i
n n
Обозначим A = V aiy<» & ~ S “ °9 xi> r ~ — • Тогда
. Pl
1=1 1=1
/ 1 \
Z (p) = ^rA — В, у B — Aj .
Поскольку условия теоремы 1 выполнены, в точке экономичес-
кого равновесия справедливо (9'), т. е. z(p)=0. Значит, г А— В = 0,
1
у В — А = 0. Отсюда
Итак, цены равновесия определены только с точностью до постоян-
ного множителя (что отмечалось в предыдущем разделе). Формулы
(13) — (14) однозначно определяют экономическое равновесие.
Таким образом, при заданных начальных ресурсах экономиче-
ское равновесие единственно, тогда как точки равновесия по Эдж-
ворту составляют отрезок кривой контрактов (на рис. 10 от точки В
до С). Поскольку, впрочем, экономически равновесное распределе-
ние ресурсов также заключено между В и С, то, меняя начальное
распределение (и, тем самым, местоположение В и С), можно прий-
ти в любую точку кривой контрактов как точку экономического рав-
новесия.
*) Это легко проверить, так как матрица вторых производных
отрицательно определена.
8*
228 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
6. Распределение ресурсов с целью максимизации суммарного
эффекта. Проанализируем теперь случай, когда ресурсы распреде-
ляются, а не перераспределяются. Обычно распределение ресурсов
преследует цель максимизации суммарного эффекта. В нашем слу-
п
гае суммарный выпуск равен ft (*4» при Условиях
п п
2 *<=* 2 yi=
г=1 г—1
Применяя метод множителей Лагранжа, легко получить харак-
теристические условия оптимального распределения:
э/i
дх ~ дх дх 1
gfi Э/а d/n
ду ду ду ’ '
(15)
Эти условия с интуитивной точки зрения очевидны. Действительно,
выражает, грубо говоря, на сколько прирастет выпуск i-й про-
изводственной единицы, если ей добавить еще единицу ресурса х.
_ д/1 . df*
В том случае, когда эти производные не равны, например-gj- < -gj-,
выпуск можно увеличить, добавив второму участнику часть ресурса
первого участника: прирост выпуска второго больше, чем уменьше-
ние выпуска первого, так что суммарный прирост положителен.
Значит, в точке максимума все производные равны.
Отметим теперь, что (12) выражает факт равенства всех от-
ношений
рм
\ ду /
\ дх )
одной и той же константе г. На самом деле это равенство имеет мес-
то для любых функций полезности, а не только функций Кобба —
Дугласа.
Рассмотренное ранее экономическое равновесие характеризуется
совпадением отношения производных функций полезности по пер-
вому и второму ресурсу для всех участников. В том случае,
когда совпадают не только отношения, но и сами производные,
мы получим (15). Следовательно, оптимальное распределение ресур-
сов может быть реализовано как экономическое равновесие. Для этого
нужно назначить подходящие цены на ресурсы и выдать подходя-
$ 2. СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ
229
щее количество «денежных» средств at каждому участнику. При це-
нах, совпадающих с общими значениями производных в (15), и под-
ходящих значениях at экономическое равновесие будет максимизи-
ровать суммарный выпуск.
Аналогичное верно и для максимизации взвешенной суммы
п
2 только здесь в (15) нужно взять производные не от
г=1
fi {xv> а от 4i fi (xi> ViY Ввиду теоремы 1.2 это дает способ получе-
ния всех оптимумов Парето.
В более сложных случаях распределения ресурсов, где функ-
ции полезности не обязательно выпуклы и дифференцируемы, такой
подход связан с существенными трудностями. Обсуждение некоторых
из них содержится в [1], [54], [70].
7. Пример: оптимальное распределение ресурсов как экономи-
ческое равновесие. Пусть имеется всего две производственные еди-
1 1 1 з
ницы, причем= х2 у2 , /2 = х* у 4 . Общее количество ресурсов
задается вектором (£, у) = (11, 16). Пусть начальное распределе-
ние таково: (a?x> у^ = (11; 0), (х2, у2) = (0; 16).
Воспользуемся формулами (13) — (14) для вычисления эко-
номического равновесия:
л , И 11
Л—4, В— 2» r — g •
Значит, можно взять р± =8, р2 = 11. Тогда = 88, а2 = 176.
Согласно (13)
У 88 11
г, =----s-- == -ТГ-
у88
ffi = !—=4; (16)
У176 11
8 - 2 ’
4-176
=---И---= 12>
Очевидно, -|- х2 = 11, + д2 = 16, так что условие равновесия
(11) выполнено. При этом выпуск первой производственной едини-
цы равен Vxi9i ~ У*22, второй — 2^594. Однако суммарный вы-
пуск не является максимальным, поскольку распределение ресур-
сов (16) не удовлетворяет условиям (15).
230 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
, а
в точке
тт df1 1 Iу
Например, =
а з
d/а 1 IУ \ 4 1 I 8 \ 4 ^/1
-т— = т — = “г тг — меньше, чем >
дх 4 \х ] 4 \11 / ’ <w •
Равенства (15) будут выполнены, если первой производственной
/ 16 \
единице выделить вектор I 3, -g“ ), а второй — остальное.
/ 16 \ a/i 2 dfi 3 г-
Действительно, в точке 13, —I — У 8, = §* г г>-
= у уу И = у /Г в точке (в, 14-|) .
OX V * Оу О \ V J
цены, пропорциональные величинам этих производ-
2 3
Аналогично,
Рассмотрим
ных. Пусть, например, pi = -g-, pa = "g*. Общая стоимость ресур-
2 3 4
сов в этих ценах равна 11 • -д- + 16 • -g- = 8 . Выдадим первому
участнику денежную сумму 1 у , второму — 7 -д* .
Чтобы прийти к экономическому равновесию, участники поку-
пают на эти деньги ресурсы так, чтобы максимизировать выпуск.
2 3 1
Первый максимизирует /х (ж, у) при условии х ~ 1>
2 3 1
второй максимизирует/2 (х, у) при условии-д х + -g* у = 7 -д". Со-
гласно формуле (13) получим
1 A A L
2*3 о 2 * 1 3 16
Х1~~ 2 — 8, 3 — g •
Т 8*
Аналогично получается (х2, д2) = ^8, 14-gj.
Итак, назначив подходящие цены и фондировав денежные сред-
ства, мы добились оптимального распределения ресурсов как реа-
лизации экономического равновесия.
§ 3. Дескриптивные модели
1. Процесс поведения. До сих пор мы имели дело с нор-
мативным аспектом проблемы группового выбора, зани-
маясь анализом условий и концепций «рационального»,
«разумного», «справедливого» выбора. «Хотя нормативные
теории сыграли важную роль в науках о поведении, они
I 3. ДЁСКРЙПТИВЙЫЕ МОДЕЛИ
231
в определенном смысле не являются психологическими тео-
риями. Они не занимаются анализом того, каким образом
человек получает стимулы из окружающей среды и как он
затем использует эту информацию для изменения пове-
дения в соответствии с ней» [5]. Моделирование фактиче-
ского поведения индивидуумов (и вообще, любых уча-
стников) составляет содержание дескриптивного, описа-
тельного аспекта проблемы группового выбора.
Точные представления о возможных механизмах чело-
веческого поведения в настоящее время крайне бедны. Это
связано, па наш взгляд, в первую очередь с отсутствием
адекватных концепций образования коалиций в кон-
фликтных ситуациях. Большинство же существующих
моделей поведения можно рассматривать как специальные
случаи следующего общего определения.
Процесс поведения характеризуется сменой состояний
во времени, которое, таким образом, явно вводится в мо-
дель. Можно рассматривать время дискретным и непре-
рывным; мы ограничимся только дискретным.
Обозначим через at состояние системы в момент t =
= 0, 1, ... Тогда процесс поведения определяется урав-
нением
at — f at-k)- (17)
Число к определяет так называемую «глубину памяти»
процесса поведения. В приводимых далее примерах будут
рассматриваться только процессы с глубиной памяти 1:
at=/(aw) (« = 1,2, ...). (18)
Если в начальный момент t — 0 состояние процесса
а0 было задано, то соотношение (18) полностью опреде-
ляет состояние at для любого t = 1, 2, . . . Для однознач-
ного определения состояний процесса (17), нужно, оче-
видно, задать к начальных состояний а0, . . .,
Состояние а называется стационарным состоянием
процесса (17), если
а = / (а, . . а),
так что, придя в а, процесс так и останется в этом со-
стоянии.
Основные задачи современной дескриптивной теории
связаны с изучением существования стационарных то-
232 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
чек для конкретных процессов поведения, выяснением
свойств этих точек и построением процессов, стационар-
ные точки которых обладают заранее сформулированными
свойствами, например, задают состояние равновесия в
каком-либо из пониманий, рассмотренных в § 1. Конеч-
но, для того, чтобы судить об «оптимальности» стационар-
ной точки, необходимо иметь информацию о предпочте-
ниях участников процесса.
Далее мы рассмотрим три примера процессов поведе-
ния, относящихся к экспертной оценке качества, распре-
делению ресурсов и играм.
2. Простейшая модель группового выбора. В данном
разделе мы опишем модель процесса установления мнений
при групповом выборе. При всей своей нереалистичное™
эта модель полезна тем, что дает «обоснование» методу
(4.2) построения группового решения по результатам
парных сравнений (см. раздел 4.3).
Пусть, по-прежнему, имеется п экспертов, оцениваю-
щих предпочтительность данных N объектов в балльной
шкале. Обозначим через х^ оценку г-го объекта, данную
/-м экспертом (/ЕЛ, ]еМ). Суммарная оценка г-го
п
объекта выражается величиной Х{ = 2 хч-
После объявления оценок экспертами производится
их обсуждение. В результате мнения и оценки экспертов,
вообще говоря, несколько меняются. На следующем шаге
процесса происходит объявление и обсуждение новых,
измененных оценок.
Точка равновесия характеризуется тем, что суммар-
ные оценки объектов xt (i ЕЕ А) в результате обсуждения
не меняются. Эти оценки и объявляются групповыми.
Мы будем рассматривать очень регулярный процесс
изменения оценок. Изменение оценки х^ i-го объекта
экспертом / в результате обсуждения оценки xkl к-го объ-
екта экспертом I будет характеризоваться коэффициентом
aijki- Будем считать, что aiikl постоянен и не меняется
от шага к шагу. Общее изменение оценки хц в результате
обсуждения выражается формулой:
=22 аЦИ1хК1 G €= Д 7 Е= М).
к&А 1&М
§ 3. ДЕСКРИПТИВНЫЕ МОДЕЛИ
233
Тогда уравнения процесса поведения принимают вид
xij xij = 2 2 (Z = 0, 1, . . .).
/се а /ем
Перенося в правую часть, получим
~ 2 2 ^ijklxkb (19)
/сеА /ем
где
f^ijki при (г,/)=НМ),
г}к1 ~ I ^ijki + 1 при (Ь 7) = (А, Z).
Примем теперь еще одно допущение — о равноправии
экспертов, точнее, об одинаковости их способностей убеж-
дать. Величина 2&<7ю = &*ю выражает суммарное изме-
7
нение оценки i-ro объекта при изменении оценки к-го
объекта Z-м экспертом на единицу (ввиду (19)). Пусть
bihi не зависит от Z, т. е. суммарное изменение оценки
объекта i зависит только от обсуждаемого объекта, но не
от эксперта, оценку которого обсуждают. Обозначим
&i/c = 2^7w- гРУб° говоря, bik характеризует во сколь-
7
ко раз i предпочтительнее к для экспертов 1, 2,
Просуммируем теперь соотношения (19) по /:
4+1 ^22(2 xkl = 2 2 xkl = 2 tyi'
K&AIeM k&A k&A
Таким образом,
4+1 = 2 ъ^к. (20)
/сеА
Соотношения (20) задают процесс поведения суммарных
оценок объектов. В матричных обозначениях процесс
(20) можно записать так:
#*+1 = Вх\
где х = (art . . В = || bih ||f. Отсюда
xt+1 == Bi+1x?,
234 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Согласно этим уравнениям оценки объектов следует рас-
сматривать как измеренные в шкале отношений: rr*+1 =
= Вх* <-> ЛУ+1 = В (кх*), где X > 0. Для того чтобы
иметь возможность сравнения оценок для разных t, по-
требуем, чтобы сумма оценок была постоянной, например,
2 = 1. В том случае, когда речь идет о распределении
геА
ресурсов среди различных проектов, величину xt (при
= 1) можно интерпретировать как долю общего ко-
г
личества ресурса, выделяемого для реализации проекта
i е А. Обозначим V = 2 / 3 Тогда процесс (20)
г, к i
после модификации, состоящей в «нормировке» резуль-
татов оценивания на каждом шаге, выражается уравнением
1V+1 = Вх* (t = 0, 1 . . .). (21)
Мы пришли к процессу 4.2, использовавшемуся на
протяжении всей предыдущей главы. Стационарные точки
этого процесса — это такие 1иж, что Вх = кх, т. е. соб-
ственные числа с соответствующими векторами. По смыс-
лу модели нас интересует только неотрицательная ста-
ционарная точка. Условия сходимости к ней процесса (21)
описаны в разделе 4.2.3.
3. Процесс перераспределения ресурсов. Рассмотрим
процесс изменения цен в модели перераспределения ре-
сурсов (§ 2).
Если цены р = (р1, . . ., рт) ресурсов заданы, то про-
изводственная единица i ЕЕ М определяет свой запрос
xt (р) как такой вектор который максимизирует функ-
цию полезности Д (xt) при ограничении p-xt P'&t, где
Xi — начальный запас. Суммарный спрос, таким обра-
зом, равеня(р)= 2 ^i(P) и сальдо выражается разностью
гем
z (р) = я (р) — «, где х — общее количество ресурсов.
Для того, чтобы организовать разумный процесс из-
менения цен, заметим следующее: если спрос хк (р) на
к-й ресурс превышает его предложение $к (к=1, . . .,/п),
так что zk (р) > 0, то ресурса к не хватает и цену рк
следует повысить. Аналогично, необходимо понизить це-
ны избыточных ресурсов ^, для которых zk (р) < 0. Про*
§ з. ДЕСКРИПТИВНЫЕ МОДЕЛИ
235
стейший процесс такого рода — когда изменение прямо
пропорционально 2Л (р). В этом случае уравнения про-*
цесса имеют такой вид:
pf+1 —р* = afz (pf), (22)
где р1 = (р1*, ..pw<) иае>0. В точке равновесия р —
— р = а^ (р), так что z(p) = 0. Это значит, что система
(р, (р), . . хп (р)) является состоянием экономиче-
ского равновесия, так как условия (8) — (9) выполнены.
Таким образом, стационарные точки процесса (22) задают
состояния экономического равновесия в модели пере-
распределения ресурсов.
4. Стохастические процессы поведения. Может пока-
заться, что уравнения (17) — (18) характеризуют только
детерминированные процессы поведения, но это не так
[85J. Мы приведем пример игры двух стохастических ав-
томатов в «дилемму заключенного» и переформулируем
его в терминах соотношений (17) — (18).
Описание процессов поведения в вероятностных тер-
минах делает невозможным обсуждение вопроса о том,
как происходит процесс согласования мнений в данной
конкретной ситуации. Зато оказалось, что даже простей-
шие стохастические модели хорошо предсказывают пове-
дение индивидуумов «в среднем» [5]. Возможно, моделям
такого рода принадлежит будущее.
Рассмотрим автомат, имеющий два состояния, аир,
и два входных сигнала, один из которых назовем «поощ-
рение», второй — «штраф». Если автомат находится в не-
котором состоянии (а или Р) и на вход поступает «поощре-
ние» — он остается в том же состоянии. А при входном
сигнале «штраф» автомат меняет свое состояние с вероят-
ностью 0 0 (оставаясь в прежнем с вероятностью 1 — 0).
Величина 0 характеризует гибкость поведения автомата.
Чем меньше 0, тем более «консервативно» его поведение,
тем меньше он реагирует на «наказание».
Пусть два таких автомата играют в аналог «дилеммы
заключенного», получающийся, если матрицу этой игры
(раздел 1.3) разделить на 10:
а2 р2
oti /(0,9; 0,9) (0; 1) \
31 \ (1;0) (0,1; 0,1)/ ’
Й36 ГЛ- 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Это значит, что г-й автомат имеет состояния а$ и
и параметр 0 = 0$ (i = 1, 2), так что возможны всего че-
тыре комбинации состояний: = (аг, а2), $2 = (аг, 02)«,
$з = (Pi» аз), s4 == (Pi, £*)• Элементы матрицы характе-
ризуют вероятности поощрений каждого из автоматов для
Соответствующей комбинации состояний. Например, пер-
вый автомат в состоянии поощряется с вероятностью
0,9 (штрафуется с вероятностью 0,1), если второй нахо-
дится в состоянии а2, и с вероятностью 0 (т. е. всегда штра-
фуется) в противном случае.
Процесс игры происходит следующим образом: если
в момент t — 0, 1, ... создалась ситуация sk (к = 1,2, 3,
4), то автоматы получают поощрения или штрафы соглас-
но матрице игры и переходят в новые или остаются в ста-
рых состояниях в зависимости от полученного входного
сигнала. Поскольку этот сигнал не определен однозначно,
то и новая ситуация определена не однозначно, а зависит
от реализации случайного механизма матрицы игры. По-
этому состояние игры в момент t естественно характери-
зуется вектором pt = (р], р*, pF, pf), где p? > 0 — ве-
роятность того, что в момент t игра находится в ситуации
sk (к = 1, 2, 3, 4).
Если известна матрица Р = || pik || вероятностей p/fe
перехода игры из ситуации в ситуацию $к (i, к = 1, 2,
3, 4), то из простых вероятностных соображений следует,
что
Рм = Pt?, (23)
4
т. е. ре+1 = 3 PfPis [41].
i=l
Уравнение (23) определяет процесс поведения, в кото-
ром множество состояний есть множество четырехмерных
вероятностных векторов. Поскольку Р > 0, вопрос о
сходимости процесса (23) решается как и в разделе 4.2.3.
Вероятности pik легко вычисляются по заданной ин-
формации об автоматах и игре. Покажем, например, как
вычислить вероятность р12 перехода из в $2. Переход из
Si в $2 происходит, когда первый автомат остается в со-
стоянии а1? а второй переходит в f}2. Первый автомат
остается в наверняка, если получает поощрение (с ве-
роятностью 0,9), и с вероятностью 1—0! при штрафе. Значит
вероятность остаться в ах равна 0,9 + 0,1 - (1 — 0J, по-
§ 3. ДЕСКРИПТИВНЫЕ МОДЕЛИ
23?
скольку эти события несовместны. Аналогично, вероят-
ность перехода второго автомата в р2 в данном случае равна
0,1 • 02 произведению вероятности штрафа и вероятно-
сти перехода при штрафе. Поскольку переходы авто-
матов по состояниям независимы, искомая вероятность
равна произведению полученных величин: р12 = (0,9 +
+ 0,1 (1 - ОХ))*О,1*02.
Матрица Р имеет следующий вид:
/ ab аО,102 0,10ib 0,101-0,102
р =1 0 1 — 01 0 01
\ 0 0 1 — 02 02
\0,901-0,90г 0,901d СО,102 cd
где а = 0,9 + 0,1 • (1 - 0Х), Ь = 0,9 + 0,1 • (1 - 02),
с = 0,9-(1 - 0J + 0,1, d = 0,9.(1 - 02) + 0,1.
Стационарное состояние р = (р1, р2, р8, р4) характе-
ризуется равенством р = рР. Решая эту систему урав-
нений, получим
= Р1 - 4 (тг + 4 - ‘)W(4 + 4 -
Например, если0х — , 02 = у , то р2 = р3= -- • р1 =
— JL Di ~ JL Di м __ _ 53 Di--L Di Это 03-
““ 36 P ~ 5 P 1 P ~ 81 20 P ~~ 162 P ~ 3 P ’ °T0 03
начает, что в среднем наши автоматы при игре в «дилемму
заключенного» пребывают в ситуациях $2 и 5з в пять, а в
$4 — более чем в три раза реже, чем в ситуации $х. Авто-
маты ведут себя вполне разумно: больше всего времени
проводят в оптимуме Парето $х. Ясно, что увеличение па-
раметров 0Х и 02, характеризующих гибкость автоматов,
приводит к возрастанию величины р1. При 0Х = 02 = 1
1 19
р2 = р3 == — pi, р4 = — pi Большего превосходства р1
наД Р2» Р3, Р4 добиться нельзя.
Рассмотрим вопрос о среднем выигрыше автоматов.
Обеспечивает ли большая гибкость больший выигрыш?
Согласно матрице игры среднее количество поощрений,
получаемых первым автоматом, равно лх = 0,9рх + р2 +
+ 0,1р4. Аналогично, среднее количество поощрений
второго автомата л2 = 0,9рх + р3 + 0,1р4. Очевидно,
что лх — л2 = р2 — р8 = 0, как следует из приведенных
238 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
выше формул для рк. Довольно неожиданный результат,
еще раз показывающий сложность «дилеммы заключенного»:
автоматы выигрывают одинаково, независимо от степе-
ни гибкости, хотя, конечно, увеличение «гибкости» уве-
личивает вероятность пребывания в оптимуме Парето.
К сожалению, такой тип выводов, даваемых вероят-
ностными моделями, не всегда пригоден, особенно в проб-
леме группового выбора, где решения часто принимаются
только один раз.
3АДАЧИ
1. Для системы отображений V(a) (а£Л, V CL М) выяснить
необходимое и достаточное условие того, что множество А пред-
ставимо в виде А = А± X ... X Ап, причем
V (а) = {b f b = (bv, aM_v) е Л}.
2. Пусть А = Лх X ... X Ап, где А{ — выпуклые замкнутые
подмножества тп-мерного пространства. Пусть fi (аг, ..., ап) — не-
прерывная функция, вогнутая по аь при любом фиксированном aM_-t
(т. е. fi (Kai + (1 — W>i, ам_^ Kfi (а:, ам_^ + (1 — X)/, (Ьам_;)
при 0 X < 1). Доказать, что в этой игре существует точка равно-
весия фон Неймана — Нэша.
3. Рассмотрим произвольную числовую функцию ф (V), оп-
ределенную на множестве коалиций V С М. Доказать, что <р (V)
может быть представлена как максиминная функция X (К) некото-
рой подходящей игры тогда и только тогда, когда она удовлетворя-
ет условию:
<Р (^i U V2) > Ф (Их) + <р (Р2) при ГгПГ2 = ф.
Функция, удовлетворяющая этому свойству, называется характе-
ристической функцией соответствующей игры.
4. Для всякой характеристической функции % (7) можно оп-
ределить дележи между игроками с помощью следующей формулы:
Дележ ф ~ (ф1? ..., фп) называется вектором Шепли соответствую-
щей игры. Показать, что величина Ф? есть математическое ожидание
выигрыша игрока i в следующей «игре». Игроки прибывают в одно
и то же место, но не одновременно. Считается, что любой порядок
их прибытия равновероятен с другими. Если игрок i, прибывая,
застает на месте членов коалиции V—i и только их, то он получает
величину X (V) — % (V — I), добавляемую его участием в коалиции.
5. Рассмотрим следующую ситуацию голосования: субъект i
имеет р^ голосов, которые отдает за наиболее для него предпочти-
тельный объект. Выбирается объект, набравший больше половины
ЗАДАЧИ
239
голосов. Такую ситуацию можно представить следующим образом
с помощью характеристической функции:
Х(Ю =
1, если Рг> 2 Pi'
lev i^v
О в противном случае,
т. е. X (I) = 1 для тех коалиций, которые имеют больше половины
голосов; эти коалиции назовем выигрывающими.
Пусть, например, четыре выборщика представляют соответст-
венно pt = 10%, = 20%, р3 = 30%, р4 = 40% голосов. Убе-
диться, что вектор Шепли для этой игры равен (1/12, 1/4, 1/4, 5/12).
Обратите внимание, что эти веса не совпадают с вектором (1/10,
1/5, 3/10, 2/5), пропорциональным распределению голосов. Пока-
жите, что хотя у третьего игрока голосов больше, чем у второго, он
не имеет больших возможностей образовать выигрывающую коали-
цию, чем второй.
6. Убедиться, что для игры голосования с Pi = 10%, р2 = р3 =
= pi = 30% вектор Шепли равен (0, 1/3, 1/3, 1/3). Объяснить ре-
зультат.
7. Пусть х = («и ...» хп) — некоторое состояние модели пере-
распределения ресурсов. Будем говорить, что в этом состоянии
участник i доминируется участником j, если /$ (х^) < fi (xj), т. е.
запас xj более предпочтителен для г, чем свой собственный. Дока-
зать, что для всякого оптимума Парето отношение доминирования
на М является ациклическим и, следовательно, существуют макси-
мальные элементы: не доминируемые никем участники.
8. Состояние, в котором отношение доминирования пусто, т. е.
ни один из участников не доминируется другим, назовем справед-
ливым. Пусть функции fi (х^ — вогнутые и возрастающие. Дока-
зать, что существует справедливый оптимум Парето. Даказать, что
состояние экономического равновесия при равных количествах на-
1
чальпых ресурсов (i == 1, 2,п) является справедливым.
9. Доказать, что если состояние а оптимально по Парето для
набора положительных функций ...9fn, то существуют такие по-
ложительные qlt ...» qn, что максимум функции min qji достигается
i
на а.
10. В обозначениях раздела 2.6 прибылью участника i назовем
величину fi (х, у) — pYx — р2у. Доказать, что если цены р± и р2
равны производным в (15), то, решая индивидуальные задачи мак-
симизации прибыли без какого-либо ограничения по ресурсам (в
том числе и бюджетного), участники придут к оптимальному рас-
пределению.
11. Верно ли утверждение задачи 10, если fi (х, у) (i ЕЕ М) —
линейные функции, так что fi (х, у) — а(х + 0 tyl
12. Пусть х = (х1? ...» хп) —- некоторое состояние в общей мо-
дели перераспределения ресурсов. Сделкой коалиции Г в состоянии
х назовем такое состояние у = (ylt ..., уп), что уь = Xi (i & V) и
240 ГЛ. 5. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ СОЦИАЛЬНОГО ВЫБОРА
3 A W = тах 2 h при у> = х Пусть все Функчии
lev* iev
f i дифференцируемы. Доказать, что всякое состояние можно пере-
вести в состояние, дающее максимум 2 /$’ с пом°Щью бесконеч-
г(=М
ной последовательности парных сделок (т. е. сделок, при которых
коалиции V содержат ровно два элемента).
13. Пусть /j (ж, у) = min (ж, у), f2 (х, у) = 0,4 х, /3 (ж, у) =
= 0,4 у. Пусть (^, уг) = (0, 0), (*2, у2) = (1, 0), (£3, 03) = (0, 1).
Показать, что максимум суммарного эффекта достигается в состоя-
нии (2lt yj — (1, 1), (х2, у2) = (х3, у3) = (0, 0), однако оно не может
быть достигнуто из начального с помощью только парных сделок.
14. Доказать, что в модели перераспределения ресурсов с
функциями Кобба — Дугласа процесс (22) сходится к точке равно-
весия из любого начального состояния при а* —»0 (f оо), — о°.
t
15. Выяснить условия, при которых автоматы, играющие в
«дилемму заключенного», находятся в точке равновесия по фон
Нейману — Нэшу с наибольшей вероятностью.
16. Исследовать игру автоматов в вероятностный аналог игры
«семейный спор».
17. Рассмотрим автомат А = 1, 2), состоящий из двух под-
автоматов — памяти и действия [19]. Автомат памяти имеет т со-
стояний 1, 2, ..., тп. Если st — состояние автомата памяти в момент
I, то с вероятностью 0$
{min [т9 + 1] при поощрении,
max [1, $t — 1] при штрафе.
С вероятностью 1 — 0j состояние sf+1 = st при любом входном сиг-
нале. Подавтомат действия имеет два состояния: оц и р^. Он сме-
няет свое состояние в том и только в том случае, если подавтомат
памяти находится в состоянии 1 и на вход автомата поступил сиг-
нал «штраф». В противном случае смены состояния не происходит.
Смена состояния также происходит с вероятностью 0;. Параметр
0i по-прежнему характеризует гибкость автомата, число т состоя-
ний памяти характеризует проявление «установки делать дей-
ствие (Х{ или Р|»: в состоянии т эта установка наибольшая, в состоя-
нии 1 — наименьшая. Исследовать игру автоматов Аг и А2 в аналог
«дилеммы заключенного» из раздела 3.4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Приводимый список литературы по групповому выбору и смеж-
ным вопросам не претендует на полноту. В частности, он почти не
содержит публикаций, выполненных до 1960 г.: это в основном ра-
боты, которые отражены в прекрасном (и единственном на русском
языке) обзоре Льюса и Райфы [52, гл. 14].
§ 1.1. Методологические аспекты проблемы измерения тракту-
ются в [39], [76], а с точки зрения измерения субъективных предпоч-
тений — в [65], [97], [128].
§ 1.2. Результаты первых пяти разделов широко известны. Мы
придаем им несколько необычную форму для явного выражения
связи отношений и соответствующих разбиений. Эта тенденция
продолжается и в следующем параграфе.
Теорема 4 фактически совпадает с теоремой 2 из [9, стр. 58];
правда, там содержится лишь набросок доказательства.
§ 1.3. Автору не известна литература с модельным анализом
нетранзитивностей строгого предпочтения. Интервальные отно-
шения предпочтения впервые рассматривались в [158], для случая
постоянной погрешности см. также [76]. В предположении произ-
вольности погрешности измерения характеристика отношений пред-
почтения независимо дана в [127], [56]. Обзор результатов по теории
предпочтений с нетранзитивными отношениями неразличимости
сделан в [130].
Интервальные эквивалентности независимо изучались в рам-
ках теории графов в связи с задачами упорядочения, возникающими
в генетике, археологии и т. д. Обзор математических результатов о
графах интервалов сделан в [37, § 45]. Общие постановки задач
упорядочения взаимосвязанных объектов, сводящиеся к задачам
теории интервальных отношений и их обобщений см. в [45] и 4.3.5.
Другая модель нетранзитивности отношения неразличимости
исследуется в [88] (см. задачу 1.11).
§ 1.4. Взгляд на измерение как отображение, сохраняющее эм-
пирические отношения между объектами, начал формироваться до-
вольно давно (например, высказывался Гельмгольцем). Подробное
и мотивированное изложение этого подхода, называемого часто ре-
презентационной теорией, содержится в основополагающей статье
[76]. Аксиоматика фон Неймана и Моргенштерна неоднократно
обобщалась и развивалась (см., например, [161]). Практические
методы экспертного оценивания излагаются в [3], [81], [82].
В настоящее время широко развивается направление «кардина-
лизации» предпочтений на основе «логической», «субъективной», а
не частотной интерпретации вероятности (см., например, [129],
[181]).
242
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1.5. Разработка вопроса о выявлении предпочтений потреби-
телей по их реальному «поведению» принадлежит Е. Слуцкому
(1915 г.) [74, раздел 5]. Аксиома выявленного предпочтения впер-
вые сформулирована П. Самуэльсоном [179] (в терминах потреби-
тельского спроса). Дальнейшие исследования см. в [142], [138],
[205], [78]. Разделы 2—4 написаны в основном по результатам Сена
[187], [188], впервые — и весьма успешно — применившего «фи-
нитный» подход.
Задачи. Задачи 6—8 основаны на [165]. Решения задач 9, 10
неизвестны. Понятие ядра [7] (задача 16), по-видимому, впервые
было введено в [65] как концепция решения игры нескольких лиц
и часто называется НМ-решением, (см. также раздел 5.1.2.).
§ 2.1. Изучение правила большинства занимает значительное
место в теории голосования. Понятие тотально-мажоритарного пу-
ти и соответствующая теорема существования (см. задачу 2.1) со-
общены автору А. В. Малишевским. Стратегический аспект прави-
ла большинства отмечается в [52]. Более свежие публикации —
[124], [164], [72].
§ 2.2. В проблему выяснения условий транзитивности внесли
вклад Блэк [108], Эрроу [97], Инада [149], [150], Сен [184], [187].
Проблема транзитивности для обобщений правила большинства
рассмотрена в [103], а для отношений, не являющихся линейными
квазипорядками — в [131]. Уделяется также внимание выяснению
условий, при которых мажоритарное отношение хотя и нетранзи-
тивно, но ациклично [172], [173], [185], [194], [198]. Окончательные
результаты этого направления описаны в [135].
Условия транзитивности для мажоритарного отношения, оп-
ределенного формулой (1), даны впервые.
§ 2.3. Расстояние Хемминга в пространстве множеств (отно-
шения — также множества) обсуждается довольно давно [51]. Ак-
сиоматическое введение расстояния в множестве ранжирований сде-
лано в [41]. Аналогичные аксиомы для расстояния в множестве эк-
вивалентностей даны в [57], а в совокупном множестве эквивалент-
ностей и линейных квазипорядков (т. е. номинальных и ранговых
признаков) — в [58]. Там же даны формулы, выражающие хеммин-
гово расстояние через таблицу сопряженности.
Теорема 4 принадлежит Л. Б. Черному. Подход к обработке
нечисловой информации в терминах пространства разбиений пред-
ложен в [55].
Задачи. Решение задач 4—6 неизвестно. Задачи 9—11 — крат-
кое изложение результатов [150], [187]. Задачи 13, 14 в общем слу-
чае не решены. В [49] дан алгоритм метода ветвей и границ для на-
хождения строгого ранжирования, минимизирующего сумму рас-
стояний до заданных строгих ранжирований. Утверждения задач
16—18 принадлежат Л. Б. Черному. Задача 21 содержит аксиомы,
аналогичные аксиомам Кемени и Снелла [41]. Однако ее решение
значительно легче, чем в [41], [57], [58], поскольку «переходы»
между произвольными отношениями значительно более «плавны»,
чем между отношениями специального типа. Другая система акси-
ом предложена К. Богартом.
§ 3.1. Условия 1, 3 и 4 (для квазисерий) постоянно обсуждают-
ся в литературе, начиная с монографии Эрроу [97]. На русском язы-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
243
ке обсуждение этих и некоторых аналогичных условий содержится
в [52]. Условие универсальности принадлежит автору.
§ 3.2. Теорема 1 принадлежит автору [59]. Доказательство тео-
ремы 2 (Эрроу), близкое к изложенному аналогу доказательства тео-
ремы 1, опубликовано в [110]. Теоремы 3 и 4 заимствованы из [187],
где содержатся также некоторые другие теоремы о невозможности.
В работе [163] доказаны теоремы о невозможности для более слабых
понятий «диктатора». Другой подход к анализу невозможности в
случае кардинальности предпочтений описан в [151].
Характеристики некоторых других принципов согласования
даны в [52]; см. также работы Моркелюнаса [61], [62], [63], Фиш-
берна [134], Мураками [167].
Задачи. Характеристика правила большинства (2.2) впервые
дана Мэем [52] (задача 8). Решение задач 9 и 10 см. в [134]. Решение
задачи 11 нам не известно.
§ 4.1. О теории и практике экспертиз см., например, [2],
[33], [50].
§ 4.2. Теорема 1 принадлежит Харшаньи [141]. Почему-то этот
весьма интересный результат до сего времени совершенно не отра-
жен в отечественной литературе.
Использование процесса (2) является повсеместным [7], [16]
[86]. Идея процесса (3) заимствована из [20], где такой метод приме-
няется для обработки нуль-единичной матрицы геологических дан-
ных.
§ 4.3. Понятие сверхтранзитивной матрицы хорошо извест-
но в многомерном психологическом шкалировании. То, что ре-
зультат итеративного процесса (2) для таких матриц совпадает с
идеальным, показано в [16]. Теорема 3 заимствована из [143], про-
цедура логарифмического усреднения — из [42].
Вероятностные модели часто рассматриваются в многомерном
шкалировании [77], [197]. Пример раздела 4 взят из [64].
Задачи. Решение задач 3,6,7 не известно. Задача 10 рассматри-
валась в [45].
§ 5.1. Понятие РР-оптимальности в приведенном виде дано, по-
видимому, впервые. Содержание разделов 1 и 2 сформировалось как
результат обсуждения с А. В. Малишевским. Некоторые другие
концепции равновесия даны в [23], [28].
Разделы 3 и 4 содержат «классический» материал. Пример
«негарантированности гарантирующей стратегии» основан на ра-
боте[101].
Более общая формулировка теоремы 3 дана в [38], гл. 7.
Проблеме определения весовых коэффициентов по матрице
|| Л; || посвящено довольно много работ: [6], [10], [36], [93]. Теорема
4 принадлежит Тейлу [196], а переход к уравнениям (7) предложен
в [111].
§ 5.2. Модель перераспределения ресурсов широко использу-
ется для анализа соотношения «локальных» и «глобальных» характе-
ристик экономической системы [1]. Понятие экономического равно-
весия принадлежит Вальрасу. Переход к игре с добавленным участ-
ником впервые использовался Эрроу и Дебре при доказательстве
существования равновесия в их модели экономики. Формулы (13)
и (14) взяты в [41], гл. 4.
244 Библиографические примечаний
§ 5.3. Материал этого параграфа не публиковался ранее за
исключением раздела 3, содержащего предложенный еще Вальрасом
процесс изменения цен, названный им процессом «нащупывания».
Подобные процессы поведения широко исследовались в литера-
туре [54].
Стохастическое моделирование поведения рассматривается в
[19], [84], [85], [5].
Задачи. Решение задачи 2 дано в[ 8], задач 3—6 — в [69]. За-
дачи 7, 8 основаны на книге Кольма [153] (см. также [193]). Задача
9 решена в [31]. Утверждение задачи 10 широко используется в
экономико-математических обоснованиях применения «цен» р на
практике. Задачи 12, 13 решены в работе Полтеровича [70]. Решение
задачи 17 не известно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аганбегян А. Г., Б агриновский К. А., Гран-
берг А. Г., Система моделей народнохозяйственного плани-
рования. «Мысль», 1972.
2. АзгальдовГ. Г., РайхманЭ. П., О квалиметрии,
Изд-во стандартов, 1973.
3. А к о ф Р., Сасиени М., Основы исследования операций.
«Мир», 1971.
4. Аркадьев А. Г., БраверманЭ. М., Обучение ма-
шины классификации объектов. «Наука», 1971.
5. Аткинсон Р., Бауэр Г., КротерсЭ., Введение в
математическую теорию обучения. «Мир», 1969.
6. Бенайюн Р., Ларичев О. И., де Монгольфье
Ж., Т е р н и Ж., Линейное программирование с многими
критериями. Метод ограничений. Автоматика и телемеханика,
1971, К2 8, 108—114.
7. Б е р ж К., Теория графов и ее применения. ИЛ, 1962.
8. Б е р ж К., Общая теория игр нескольких лиц. Физматгиз,
1961.
9. Биркгоф Г., Теория структур. ИЛ, 1952.
10. Богданович 3. П., Юхименко А. И., Принятие
сложных многокритерийных решений в экономических систе-
мах. Препринт-71-31, ИК АН УССР, 1971.
И. Б о р е л ь Э., Вероятность и достоверность. «Наука», 1964.
12. Борисов В. И., Проблемы векторной оптимизации, В сб.
«Исследование операций», «Наука», 1972, 72—91.
13. Борисовский П. Л., Миркин Б. Г., Черный
Л. Б., К анализу экспертных оценок в терминах пространст-
ва разбиений. В сб. «Распознавание образов и регрессионный
анализ в экономических исследованиях», Новосибирск, 1972,
86-94.
14. Бородкин Ф. М., Миркин Б. Г., Эмпирическое опи-
сание в социологии. В сб. «Математика и социология», Ново-
сибирск, 1972, 3—41.
15. Браверман Э.М., Методы экстремальной группировки
параметров и задача выделения существенных факторов.
Автоматика и телемеханика, 1970, Кг 1.
16. Брук Б. Н., Бурков В. Н., Методы экспертных оценок
в задачах упорядочения объектов. Изв. АН СССР, Техн, ки-
бернетика, 1972, № 3, 29—39.
17. Б у р к о в В. Н., Г р о п п е н В., Разрезы в сильносвяз-
ных графах и потенциалы перестановок. Автоматика и теле-
механика, 1972, № 6, 111—119.
246
ЛИТЕРАТУРА
18. Вагйер В. В., Теория отношений и алгебра частичных
отображений. В сб. «Теория полугрупп и ее приложения», вып.
1, СГУ, Саратов, 1965, 3-178.
19. Варшавский В. И., Коллективное поведение автоматов.
«Наука», 1973.
20. В а с и л ь е в Ю. Л., Дмитриев А. Н., Спектральный
подход к сравнению объектов, охарактеризованных набором
признаков, ДАН СССР, 1972, 206, № 6, 1309—1312.
21. В а т е л ь И. А., Е р е ш к о Ф. И., Математика конфлик-
та и сотрудничества. «Знание», 1973.
22. В и л к а с Э. И., М а й м и н а с Е. 3., К проблеме сложных
решений (постановка и подходы). Кибернетика, 1968, № 5.
23. Вилкас Э. И., Оптимальность в бескоалиционных играх;
обзор подходов. «Литов, матем. сборник», 1970, 10, № 3, 463—
470.
24. Вилкас Э.И., Согласованность коалиционных упорядо-
чений. В сб. «Успехи теории игр», Вильнюс, 1972.
25. Волкович В.Л., Многокритериальные задачи и методы
их решения. В сб. «Кибернетика и вычислительная техника»,
вып. 1, «Наукова думка», 1969.
26. Волконский В. А., Об объективной математической ха-
рактеристике народного потребления. В сб. «Экономико-мате-
матические методы», вып. 1, АН СССР, 1963, 201—240.
27. Волконский В. А., К о н ю с А. А., Комментарий к
работе Е. Е. Слуцкого «К теории сбалансированного бюдже-
та потребителя». См. [26].
28. Воробьев Н. Н., Развитие теории игр. См. [65], 633—694.
29. Воробьев Н.Н., Вопросы математизации принятия ре-
шений на основе экспертных оценок. В сб. «VI симпозиум по
кибернетике, часть III», Тбилиси, 1972, 47—51.
30. ГаврилецЮ.Н., О критерии оптимальности экономи-
ческой системы. Экономика и математические методы, 1967,
3, Я® 2, 186—198.
31. Гермейер Ю.Б., Введение в теорию исследования опе-
раций. «Наука», 1971.
32. Гермейер Ю. Б., Об играх двух лиц с фиксированной
последовательностью ходов. ДАН СССР, 1971, 198, № 5,
1001—1004.
33. Глушков В.М., Прогнозирование на основе экспертных
оценок. Кибернетика, 1969, № 2, 2—4.
34. Емельянов С. В., Дудин Е. Б., Ларичев О. И.,
Малевич А. А., Наппельбаум Э. Л., Озер-
ной В. М., Подготовка и принятие решений в организацион-
ных системах управления. В сб. «Техническая кибернетика»,
1969 («Итоги науки и техники»), 1971, 89—184.
35. Загоруйко Н. Г., Методы распознавания и их примене-
ние. «Сов. радио», 1972.
36. Зак Ю.А., Модели и методы построения компромиссных
планов в задачах математического программирования с не-
сколькими целевыми функциями. Кибернетика, 1972, Я® 4,
102—107.
ЛИТЕРАТУРА
247
37. Зыков А. А., Теория конечных графов. «Наука», Новоси-
бирск, 1969.
38. Карлин С., Математические методы в теории игр, програм-
мировании и экономике. «Мир», 1964.
39. Карнап Р., Философские основания физики. «Прогресс»,
1971.
40. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введение в
конечную математику. «Мир», 1965.
41. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделиро-
вание. «Сов. радио», 1972.
42. Киселев Ю.В., Оценка важности программ методом пар-
ных сравнений. Изв. АН СССР, Техн, кибернетика, 1971,
41—47.
43. Козырев В.П., Аксиоматическое определение меры бли-
зости матриц некоторого класса. В сб. «Исследования по диск-
ретной математике», «Наука», 1972, 200—213.
44. Кравченко Т. К., Метод экспертных оценок. В сб. «Це-
левая7 стадия планирования и проблемы принятия социаль-
но-экономических решений», ЦЭМИ АН СССР, 1972, 274—306.
45. К у п е р ш т о х В. Л., Миркин Б. Г., Упорядочение
взаимосвязанных объектов, I, II. Автоматика и телемеханика,
1971, № 6, № 7.
46. Ланге О., Введение в эконометрику. «Прогресс», 1964.
47. Лефевр В. А., Конфликтующие структуры. «Сов. радио»,
1973.
48. Лисичкин В. А., Теория и практика прогностики. «На-
ука», 1972.
49. Литвак Б. Г., Об упорядочении объектов по предпочте-
ниям. В сб. «Математические методы управления производст-
вом», вып. 5, МГУ, 1973.
50. Любинский В. Е., Экспертные оценки состояния системы
управления (народным хозяйством). Изв. АН СССР, Экономи-
ка, 1973, № 2, 100—110.
51. ЛьюсР., Галантер Е.,т Психофизические шкалы. В
сб. «Психологические измерения». «Мир», 1967, 111—195.
52. Л ь ю с Р. Л., Р а й ф а X., Игры и решения, ИЛ, 1961.
53. Макаров И. М.,* Озерной В. М., Ястребов
А. П., Принятие решения о выборе варианта сложной систе-
мы автоматического управления. Автоматика и телемехани-
ка, 1971, № 3, 84-90.
54. Малишевский А. В., Модели совместного функциони-
рования многих целенаправленных элементов. Автоматика
и телемеханика, 1972, № № И, 12.
55. Миркин Б. Г., Новый подход к обработке социологиче-
ской информации. В сб. «Измерение и моделирование в со-
циологии». «Наука», Новосибирск, 1969.
56. Миркин Б. Г., Об одном классе отношений предпочтения.
В сб. «Математические вопросы формирования экономических
моделей». ИЭиОПП, Новосибирск, 1970, 90—102.
57. М и р к и н Б. Г., Ч е р н ы й Л. Б., Об измерении близости
между разбиениями конечного множества объектов. Автомати-
ка и телемеханика, 1970, № 5.
248
ЛИТЕРАТУРА
58. М и р к и н Б. Г., Ч е р н ы й Л. Б., Некоторые свойства
пространства разбиений. В сб. «Матем. анализ экономич.
моделей», часть III, ИЭиОПП, Новосибирск, 1972, 126—
147.
59. Миркин Б. Г., О принципах согласования отношений. В
сб. [58], 112-125.
60. М о и с е е в Н. Н., Математика — управление — экономи-
ка. «Знание», 1970.
61. Моркелюнас А. И., Одно правило группового решения.
«Литов, матем. сборник», 1970, 10, № 4, 745—764.
62. М о р к е л ю н а с А. И., Групповой выбор и равновесие.
«Литов, матем. сборник», 1970, 10, № 2, 309—325.
63. М о рк ел юн ас А. И., Аксиоматическое определение не-
которых групповых решений. «Лит. матем. сборник», 1971,
11, № 1, 159—172.
64. НайтенгейлМ.Е., Формальное определение ценности
признаков. В [75], 155—166.
65. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и
экономическое поведение. «Наука», 1970.
66. Никайдо X., Выпуклые структуры и математическая эко-
номика. «Мир», 1972.
67. Озерной В.М., Принятие решений (обзор). Автоматика
и телемеханика, 1971, № 11, 106—121.
68. О р е О., Теория графов. «Наука», 1968.
69. Оуэн Г., Теория игр. «Мир», 1971.
70. Полтерович В. М., Математические модели перерас-
пределения ресурсов. ЦЭМИ АН СССР, 1970.
71. Поспелов Г. С., К вопросу о программном методе уп-
равления многоотраслевым производством. В сб. «Програм-
мный метод управления», ВЦ АН СССР, 1971.
72. Р о з е н б л юм Л. Я., Формирование шкал предпочтений
при голосовании. В сб. «VI Симпозиум по кибернетике, часть
III». Тбилиси, 1972, 172—175.
73. Розин Б.Б., Распознавание образов при анализе резуль-
татов анкетного опроса. В сб. «Распознавание образов и рег-
рессионный анализ в экономических исследованиях»; ИЭиОПП,
Новосибирск, 1972, 60—85.
74. Е. Е. Слуцкий. К теории сбалансированного бюджета по-
требителей. В сб. «Экономико-математические методы», вып. 1,
АН СССР, 1963, 241—270.
75. Статистическое измерение качественных характеристик, ред.
Е. М. Четыркин. «Статистика», 1972.
76. Суппес П., Зинес Р., Основы теории измерений. В сб.
«Психологическиеизмерения», «Мир», 1967.
77. Торгерсон У. С., Многомерное шкалирование. Теория
и метод. См. [75], 96—118.
78. Удзава X., Предпочтение и рациональный спрос в теории
потребления. В сб. «Проблемы моделирования народного хо-
зяйства», вып. 1. ИЭиОПП АН СССР, Новосибирск, 1970,192—
225.
79. Ушаков И. А., Задача о выборе предпочтительного объ-
екта. Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, 1971, № 4, 3—7,
Литература
249
80. Ф е л ь с Э., Тинтнер Г., Методы экономических иссле-
дований. «Прогресс», 1971.
81. Фишберн П.К., Методы оценки аддитивных ценностей.
См. [75], 8—34.
82. Ф и ш б е р н П. К., Измерение относительных ценностей.
См. [75], 35-94.
83. Харман Г., Современный факторный анализ. «Статисти-
ка», 1972.
84. Цетлин М. Л., Исследования по теории автоматов и мо-
делированию биологических систем. «Наука», 1969.
85. Цыпкин Я.З., Адаптация и обучение в автоматических
системах. «Наука», 1968.
86. Ч е р н о у с ь к о Ф. Л., О весовых коэффициентах в экс-
пертных оценках. Кибернетика, 1972, № 6, 128—130.
87. ШапотД.В., О построении критериев качества техниче-
ских объектов. Изв. АН СССР, Техн, кибернетика, 1971,
6, 53—59.
88. Шрейдер Ю.А., Равенство, сходство, порядок. «Наука»,
1971.
89. Шубкин В. Н., Социологические опыты. «Мысль»,
1970.
90. Щукин В. Н., Мироносецкая И. С., Решение зада-
чи перспективного отраслевого планирования по нескольким
критериям оптимальности. В сб. «Оптимизация планов разви-
тия и размещения отраслей промышленности». ИЭиОПП, Но-
восибирск, 1971, 39—56.
91. Экман Г., КюннапсТ., Шкалирование эстетических
оценок «прямыми» и «косвенными» методами. В сб. «Семиотика
и искусствометрия», «Мир», 1972, 267—277.
92. Юл. Дж., Кендалл М. Дж., Теория статистики. Гос-
статиздат, 1960.
93. Юттлер X., Линейная модель с несколькими целевы-
ми функциями. Экономика и математические методы, 1967,3,
№3.
94. Янч Э., Прогнозирование научно-технического прогресса.
«Прогресс», 1970.
95. A b е 1 s о n R. Р., Т u к е у J. W., Efficient utilisation of
nonmetrical information in quantitative analysis: general theo-
ry and the case of simple order. «Ann. Mathem. Statist». 1963,
34, 1347-1369.
96. A m a r a R. C., Lipinski A. J., Some views on the use
of expert judgement. Technol. Forecast and Social Change, 1972,
3, № 3, 279—289.
97. Arrow K. J., Social choice and individual values. Wiley,
New York, 1951, 1963.
98. А г г о w K. J., Karlin S. and S и p p e s P. (eds.) Mathe-
matical Methods in Social Sciences. Stanford univ. Press, Stan-
ford, 1960.
99. Arrow K. J., Tullock and an existence theorem. Public Choi-
ce, 1968, 6.
100. Arrow K. J., ScitovskyT. (eds.), Readings in welfa-
re economics. G. Allen and Unvin, London, 1969.
250
ЛИТЕРАТУРА
101. Aumann R.J., М a s h 1 е г M., Some thoughts on the mi-
nimax principle. Manag. Sci., 18, № 5, part 2, 1972, 54—63.
102. Aumann R.J., Markets with a continuum of traders. Econo-
metrica, 1964, 32, № 1—2, 39—50.
103. BatraR., PattanaikP., Transitivity of social deci-
sions under some more general group decision rules than majo-
rity voting. Rev. Econ. Stud., 1971, 38, № 3, 295—306.
104. Beaver R., Rao P., The use of limit theorems in paired
and triple comparison model building. J. Mathem. Psych., 1972,
9, № 1, 92—93.
105. Benayoun R., Tergny J., Criteres multiples en prog-
rammation mathematique: une solution dans le cas lineaire,
Rev. franc, inform, et rech. operat., 1969, 3, V — 2, 31—56.
106. Bernard G., Besson M. L., Douze methodes d’analyse
multioritere, Rev. franc, inform, et rech. oper., 1971, 5, № V —
3, 19—64.
107. В i r n b e г g J., P о n d у L., D a v i s G., Effect of three
voting rules on resource allocation decision. Manag. Sci., 1970,
16, ^2 6, 356—372.
108. Black D., The theory of committees and elections. Cambridge
Univ. Press, 1958.
109. Black D., Lewis Carrol and the theory of games. Amer. Econ.
Rev., 1969, 59, № 2, 206-210.
110. Blau J. H., A direct proof of Arrow’s theorem. Econometri-
ca, 1972, 40, № 1, 61—68.
111. Bogaard P. J. M., van den, V e r s 1 u i s J., The design
of optimal committee decisions. Statistica Neerlandica, 1962,
16, 271—289.
112. Briskin L., A method of unifying multiple objective func-
tions. Manag. Sci., 1966, 12, 10.
113. Brown D. J., Robinson A., A limit theorem on the
cores of large standard exchange economies. Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1972, 69, № 5, 1258-1260.
114. В u г к e C. J., Z i n n e s J. L., A paired comparison of pair
comparisons. J. Math. Psychol., 1965, 2, № 1, 53—76.
115. Chen C. I., С r u z J. B., Stackelberg solution for two-per-
son games with biased information patterns. IEEE Trans. Au-
tom. Control, AG-17, № 6, 1972, 791—798.
116. Coleman J.S., Foundations for the theory of collective
decisions. Amer. J. of Sociology, 1966, 71, № 6, 615—627.
117. Condorcet, marquis de, Essai sur 1’application de Г analyse
a la probabilite des decisions rendues a la pluralite des vois,
Paris, 1785.
118. D a v i s О. A., H i n i c h M. J., On the power and importan-
ce of the mean preference in a mathematical model of democra-
tic choice. Public Choice, 1968, 5, 59—72.
119. D a v i s O. A., D e G г о о t M. H., H i n i c h M. J., Soci-
al preference orderings and majority rule. Econometrica, 1972,
40, № 1, 147—158.
120. Debreu G., Representation of a preference ordering by a
numerical function, in Thrall R., Coombs C., Davis R. (eds.)
Decision processes. Wiley, New York, 1954, 159—165.
ЛИТЕРАТУРА
251
121. Debreu G., Scarf И., A limit theorem on the core of eco-
nomy. Intern. Econ. Rev., 1963, 4, №3.
122. D u m m e t M., Farquharson R., Stability in voting.
Econometrica, 1961, 33, № 1.
123. Edgeworth F. Y., I Mathematical Psychics. London, 1881.
• 124. Farquharson R., Theory of voting. Yale Univ. Press,
New Hawen, 1969.
125. Fishburn P. C., Preferences, summation and social welfa-
re functions. Manag. Sci. , 1969, 16, № 3, 179—186.
126. F i s h b u r n P. C., Arrows impossibility theorem. J. Econ.
Theory, 1970, 2, № 1, 103—106.
127. Fishburn P. G., Intransitive indifference with unequal
indifference intervals. J. Mathem. Psych., 1970, 7, Xs 1, 144—
149.
128. Fishburn P. C., Utility theory for decision making. New
York, Wiley, 1970.
129. Fishburn P. G., Preference-based definitions of sub-
jective probability. Ann. Math. Stat., 1967, 38, № 6,1605—
1617.
130. Fishburn P. C., Intransitive indifference in preference
theory: a survey. Operat. Res., 1970, 18, №1,207—228.
131. Fishburn P. C., Intransitive individual indifference and
transitive majorities, Econometrica, 1970, 38, № 3, 482—489.
132. Fishburn P. G., Comments on Hansson’s «Group prefe-
rences», Econometrica, 38, № 6, 1970, 933—935.
133. Fishburn P.G., Should social choice be based on binary
comparisons? J. Mathem. SocioL, 1971, 1, № 1, 133—142.
134. F i s h b u r n P. G., The theory of representative majority
decision, Econometrica, 1971, 39, № 2, 273—284.
135. Fishburn P. G., Conditions on preferences that guarantee
a simple majority winner. J. Mathem. Sociology, 1972, 2, № 1,
105—112.
136. FriedlaenderAnn A., Macro policy goals in the post-
war period: a study in revealed preference. Quart. J. of Econ.,
1973, 87, № 1, 25-43.
137. Gilmore P.C., Hoffman A. J., A characterisation
of comparability graphs and of interval graphs. Canad. J. Ma-
them., 1964, 16, № 3, 539-548.
138. Gordon E., Uzawa’s preference axioms. Rev. Econ. Stud.,
1971, 38, № 115, 319—330.
139. HanssonB., Choice structures and preference relations.
Synthese, 1968, № 18.
140. HanssonB., On group preferences. Econometrica, 1969,
№ 37.
141. Harsanyi J.G., Cardinal welfare, individualistic ethics
and interpersonal comparisons of utility. J. Polit. Econ., 1955,
63, 309—321; см. также [100].
142. Houthakker H. S., Revealed preference and the utility
functions. Economica, 1960, № 7, 159—174.
143. Hofshi R., Korsh J.F., A measure of an individual’s
power in a group. Manag. Sci., 1972, 19, № 1, 52—61.
252
ЛИТЕРАТУРА
144. Horvath W., Stochastic models of behavior. Manag. Sci.,
1966, 15, № 12, 513—518.
145. H о w s о n J. T., Equilibria of polymatrix games. Manag. Sci.,
1972,18, № 5, part 1, 312-318.
146. Hurwicz L., Optimality and informational efficiency in
resource allocation processes. Gm. [98], [105], 61—80.
147. Inada K., Majority rule and rationality. J. Econ. Theory,
1970, № 2, 27-40.
148. Inada K., Alternative incompatible conditions for a social
welfare function. Econometrica, 1955, 23, № 2, 396—399.
149. Inada K., A note on the simple majority decision rule. Eco-
nometrica, 1964, 32, № 4, 525—531.
150. Inada K., The simple majority rule. Econometrica, 1969,
37, № 3, 490-506.
151. Inada K., Social welfare function and social indifefrence sur-
faces. Econometrica, 1971, 39, № 3, 599—624.
152. Kelly J.S., The continuous representation of a social pre-
ference ordering. Econometrica, 1971, 39, № 3, 593—597.
153. К о 1 m S. - Ch., Justice et equite. Paris, Centre Nat. Rech.
Sci., 1972.
154. Kozielecki J., Konflict, teoria gier i psychologia. PWN,
Warszawa, 1970.
155. Kramer G., On a class of equilibrium conditions for majo-
rity rule. «Cowles Foundation Discussion Paper», 1969, 284.
156. La decision. Aggregation et dynamique des ordres de preferen-
ce. Colloque intern, du CNRS, Aixen — Provence, 3—7 juil-
let 1967. Paris, CNRS, 1969.
157. Ledyard J.O., A convergent Pareto-satisfactory non-taton-
nement adjustment process for a class of unselfish exchange en-
vironments. Econometrica, 1971, 39, № 3, 467—500.
158. Luce R. D., Semi-orders and a theory of utility discriminati-
on. Econometrica, 1956, 24, 178—191.
159. Luce R. D., Individual choice behavior: a theoretical analysis.
Wiley, New York, 1959.
160. LuceR.D., SuppesP., Preferences, utility and subjec-
tive probability, in «Handbook of mathematical psychology»,
v. Ill, Wiley, New York, 1965.
161. Marshak J., Rational behavior, uncertain prospects and
measurable utility. Econometrica, 1960, 18.
162. Martino J., Technological forecasting for decisionmaking.
New York, Elsevier, 1972.
163. M ac-Col ell A., SonnencheinH., General Possibi-
lity theorems for group decision. Rev. Econ. Stud., 1972, 39,
№ 2, 118, 185—192.
164. May R. M., Some mathematical remarks on the paradox of
voting. Behav. Science, 1971, 16, № 2.
165. Mirkin B. G., Description of some relations on the set of
real-line intervals. J. Mathem. Psych., 9, № 2, 1972, 243—
252.
166. Mueller D.C., Constitutional Democracy and Social Web
fare. Q. J. of Econ., 1973, 87, № 1, 60-80,
ЛИТЕРАТУРА
253
167. Murakami Y., Logic and Social Choice. Nev York, Dover,
1968.
168. Nicholson M., Conditions for the «voting paradox» in com-
mittee decisions. Metro economica, 1965, 17, № 1—2, 29—44.
169. Niemi R., Majority decision-making with partial unidi-
mensionality, Amer. Political Sci. Rev., 1969, 63.
170. Owen G., Political games. Naval Res. Log. Quart., 1971, 18,
№ 3, 345-355.
171. Pareto V., Cours d’Economie Politique. Rouge, Lausanne,
1889.
172. Pattanaik P.K., Sufficient conditions for the existence
of a choise set under majority vbting. Econometrica, 1970, 38,
№ 1, 165—170.
173. Pattanaik P.K., A note on democratic decisions and the
existence of choice sets. Rev. Econ. Stud., 1968, 35, 1—9.
174. P 1 о 11 C. R., Recent results in the theory of voting, in Intri-
lingator M. (ed.) «Frontiers of Quantitative Economics», North-
Holland P. C., Amsterdam — London, 1971, 109—127.
175. Plott C. R., A notion of equilibrium and it’s possibility un-
der majority rule. Amer. Econ. Rev., 1967, 57, 787—806.
176. Raiffa H., Decision Analysis, Addison — Wesley, Reading,
Mass., 1968.
177. Riker W., Voting and the summation of preferences: an in-
terpretive bibliographical review of selected developments du-
ring last decade. Amer. Political Sci. Rev., 1961, 55.
178. Roberts F. S., Homogeneous families of semiorders and the
theory of probabilistic consistency. J. Mathem. Psych., 1971,
8, № 2, 248—263.
179. Samuelson P. A., A note on the pure theory of consumers
behavior. Economica, 1938, 5, 61—71, 353—354.
180. Samuelson P. A., Arrow’s mathematical politics. В книге:
Hook S. (ed.) Human Values and Economic Policy, New York
University Press, 1967.
181. Savage L.G., Estimation of personal probabilities and ex-
pectations, J. Amer. Stat. Assoc., 1971, 66, 336, 783—801.
182. Sayeki Y., Allocation of importance: an axiom system.
J. Mathem. Psych., 1972, 9, № 1, 55—65.
183. S c a r f H. E., The core of N-person game. Econometrica, 1967,
35, № 1, 50-70.
184. S e n A. K., A possibility theorem on majority decision rule.
Econometrica, 1966, 34, № 2, 491—499.
185. Sen А. К., P a 11 a n a i k P. K., Necessary and sufficient condi-
tions for rational choice under majority decision. J. Econ. Theo-
ry, 1969, 1, № 1, 178—202.
186. S en A. K., Interpersonal aggregation and partial comparabi-
lity. Econometrica, 1970, 38, № 3, 393—409.
187. S en A. K., Collective Choice and Social Welfare. Edinburg,
Oliver and Boyd, 1970.
188. Sen A. K., Choice functions and revealed preference. Rev.
Econ. Stud., 1971, 38, № 3, 115, 307—318.
189. S e r t e 1 M. R., A four-flagged lemma. Rev. Econ. Stud.,
1972, 39, Ks 4, 487—490.
254
ЛИТЕРАТУРА
190. Shepard R. N., Metrical structures in ordinal data. J. Mat-
hem. Psych., 3, № 2', 1966, 287—315.
191. Schmeidler D., Competitive equilibria in markets with
a continuum of traders and incomplete preferences. Economet-
rica, 1969, 37, № 4, 578-595.
192. Schmeidler D., A condition for the completeness of par-
tial preference relations. Econometrica, 1971, 39, № 2, 403—404.
193. Schmeidler D., Vind K., Fair net trades. Econo-
metrica, 1972, 40, 4.
195. Simpson P., On defining areas of voter choice: professor
Tullock on stable voting. Quart. J. of Econ., 1969, 83, № 3,
478-490.
195. S u p p e s P., A t к i n s о n R. C., Markov learning models
for multipersonal interactions. Stanford Univ. Press, Stanford,
1960.
196. Theil H., On the simmetry approach to the committee de-
cision problem. Manag. Sci., 1963, 9, 380—393.
197. Thur st о n e L.L., The measurement of values. Univ. Pres.
Chicago, 1959.
198. Tullock G., The general irrelevance of the general impos-
sibility theorem. Quart. J. of Econ., 1967, 81, № 2, 256—270.
199. T versky A., Evaluation by aspects: a theory of choice.
Psychol. Rev., 1972, 79, 281—299.
200. V i crey W., Utility, strategy and social decision rules. Qu-
art. J. of Econ., 1960, 74, 507—535.
201. W e i d 1 i c h W., The statistical description of polarisation
phenomena in society. Brit. J. of Mathem. and Statist. Psy-
chology, 1971, 24, 251—266.
202. White D. J., Uncertain value functions. Manag. Sci.,
1972, 19, № 1, 31-41.
203. Williamson O.E., Sargent J. G., Social choice:
a probabilistic approach. Econ. J., 1967, 77.
204. Wilson R., Axiomatic model of logrolling. Amer. Econ.
Rev., 1969, 59, № 3, 331-341.
205. Wilson R., Social choice theory without the Pareto princip-
le. J. Econ. Theory, 1972, 5, № 3, 476—486.
206. Wilson R., The finer structure of revealed preference. J.
Econ. Theory, 1970, 2, № 4, 348-353.
207. Wilson R., Computing equilibria of N-person games. SIAM
J. Appl.l Mathem., 1971, 21, № 1, 80—87.
208. Zeckhauser R., Majority rule with lotteries on alter-
natives. Quart. J. of Econ., 1969, 83.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома выявленного предпочтения сильная 80 сильнейшая 80 — слабая 80 — конгруэнции сильная 80 слабая 80 — Лыоса 185 Объект максимальный 73 — минимальный 73 — наилучший (наибольший) 71 — паихудший (наименьший) 71 Оптимум Парето 199, 213 — (равновесие) Курно 199 Штакельберга 205 Эджворта 199, 223 Отношение бинарное 32
Гипотеза конфронтации 202, 203 — рациональности 202, 205 — статус кво 202 Граф 36 антирефлексивное 36 — — антисимметричное 36 асимметричное 36 квазилинейное 49 линейное 36, 44 полное 44
Допустимые преобразования 25, 58 рефлексивное 36 симметричное 36
Игра антагонистическая 210 — в прямоугольной форме 201 —, НМ-решение 205 — стратегическая 201 Измерения 15, 19 — в номинальной шкале 39 — количественные 25 — приближенно-количественные 65 транзитивное 36 транзитивно ориентируемое 56 — векторное >54 — групповое 89 — индивидуальное 89 — мажоритарное 91 модифицированное 97 — «между» 120 — неразличимости 33, 48
Квазипорядок 44 — линейный 44 Квазисерия 37 — непрерывная 46 Класс разбиения 38 — предпочтения 32 выпуклое 83 монотонное 83 — строгого предпочтения 33 ациклическое 72 — п-арное 36 Отображение корректное 71 — нормальное 73
Максиминное поведение 204 Матрица неразложимая 170, 173 — парных сравнений (оценок) 181, 183 — разложимая 170 — сверхтранзитивная 183 — смежности 53 — — квазидиагона льная 53 — треугольная 193 Медиана отношений 112 Множество бюджетное 82 — индексов отрицающее 147 — — утверждающее 147 — переговорное 203 — ранжирований допустимое 99 — — универсальное 139 Парадокс голосования 19 — Эрроу 150 Попарное сравнение 31 Порядок лексикографический 45 — линейный 45 Правило большинства 19, 90 взвешенное 158 — многостепенного голосования 158 — согласования отношений 89 — тотально-мажоритарное 93 Предпочтения 11 — , выявление 71, 76 — , измерение 58 — , — по фон Нейману — Морген- штерну 61 — кардинальные 58 — потребительские 14
Образ (срез) бинарного отношения 32 , выявление 82 —, соизмерение 16
256
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Признаки (показатели) 13, 24
— — качественные 128
— — классификационные (номиналь-
ные) 40
— — количественные 24
Принцип Парето 141, 151, 154, 155,
166
---ослабленный 151, 156
— согласования 19, 20
---отношений 89, 135, 138
— диктаторский 145
-------тривиальный 143
— — функций 155
Равновесие по Курно 199
— по фон Нейману — Нэшу 202,
209
— по Штакельбергу 205
— по Эджворту 199, 223
— сильное 203
— экономическое 221
Разбиение 38
— упорядоченное 42
Ранжирование 11, 30, 99, 139, 163
— второго порядка 68
— строгое 43
Сгущение 131
Серия 43
Симметрическая разность отноше-
ний 112
Ситуация комонотонная 199
— разобщенная 200
Смесь вероятностная (лотерея) 61
р-смесь 61
Состояние справедливое 239
— V-оптимальное 198
— W-оптимальное 199
Срез бинарного отношения 32
Стратегия 201
Таксономия 131
Теорема Дебре 46
— Гилмора — Гоффмана 57
— Эрроу (о невозможности) 153
Точка Мора 203
— Нэша 202
Транзитивное замыкание отношения
80, 88
Транзитивность 36
— обобщенная 40
Универсальное множество отноше-
ний (ранжирований) 139
Упорядочение И, 30, 43
— строгое 43
Условие личного выбора 153
— монотонности (положительной
связи) 140
— независимости объектов 135,
155
— ненавязанности группового реше-
ния 141
— отсутствия диктатора 156
— положительной реакции 157
— равноправия индивидуумов 157
--- объектов 157
— универсальности 139, 155
Фактор 130, 131, 175
— внутренний 175
---главный 175
Факторный анализ 13, 175, 181
Функция выбора 77
— полезности 29
— — групповая 166
--- индивидуальная 166
— спроса 82, 226
Эквивалентность 37
— интервальная 53
Экспертные оценки И, 14, 21, 69,
159
Шкала балльная 27, 163
---нормированная 171
— интервалов 25
— номинальная (классификационная)
39
— нормированная 69
— отношений 25
— порядковая 27
— ранговая 27, 163
Ядро отношения 88
Цена 91 к.
4
Под проблемой группового
эыбора в книге понимает-
ся общая проблема перехо-
да от разрозненных «индиви-
дуальных данных» (мнений,
оценок, классификации и
т. п.) к единому компакт-
ному их описанию. Такого
рода проблемы независимо
возникают в теории голо-
сования, при анализе экс-
пертных оценок, в тео-
рии игр и экономического
поведения, при построении
согласованной классифика-
ции или компромиссного
критерия оптимальности и
т- Д.
В книге излагаются наибо-
лее важные концепции
и результаты исследований
в этих областях. Главное
внимание уделено изложе-
нию теоретических вопро-
сов, но содержатся и
практические рекоменда-
ции, особенно по анализу
экспертных оценок и обра-
ботке нечисловых данных.
Основная часть материала
впервые публикуется в мо-
нографической литературе.
Книга предназначена для
всех, кто занимается про-
блемой принятия решений:
математиков, экономистов,
специалистов в области мо-
делирования социально-
экономических процессов и в
теории управления.