Г. Ф. КОНОВАЛОВ

РАДИОАВТОМАТИКА
Учебное пособие
Издание третье, исправленное

•САНКТПЕТЕРБУРГ•
•МОСКВА•КРАСНОДАР•
•2022•

ББК 32.84я73
К 64
К 64

Коновалов Г. Ф.
Радиоавтоматика: Учебное пособие. — 3е изд., испр. —
СПб.: Издательство «Лань», 2022. — 356 с.: ил. — (Учебники
для вузов. Специальная литература).
ISBN 9785811425495
В книге изложены принципы действия, способы математическо
го описания, методы анализа качества работы и синтеза систем ра
диоавтоматики; рассмотрены структурные схемы; дан анализ устой
чивости, точности и синтеза непрерывных и цифровых систем радио
автоматики. Большое внимание уделено математическому описанию
и оценке характеристик непрерывных и цифровых систем методами
пространства состояний, а также основам проектирования оптималь
ных систем радиоавтоматики. Некоторые главы книги переработа
ны, существенное изменение получили примеры, иллюстрирующие
изложение теории систем РА: все они выполнены с использованием
алгоритмического языка Matlab.
Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров по
направлению «Радиотехника» и специалистов по направлениям «Ра
диоэлектронные системы и комплексы» и «Специальные радиотех
нические системы».

ББК 32.84я73

Обложка
Е. А. ВЛАСОВА

© Издательство «Лань», 2022
© Г. Ф. Коновалов, 2022
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2022

3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая читателю книга является учебным по
собием по курсу «Радиоавтоматика», включенного в учеб
ные планы радиотехнических вузов и факультетов.
В книге рассматриваются основы теории, методы ана
лиза и проектирования непрерывных и цифровых систем
радиоавтоматики, применяемых в различных по назначе
нию радиотехнических устройствах и системах радиоуп
равления.
В главах 1–8 излагаются методы математического опи
сания, анализа и проектирования непрерывных систем
радиоавтоматики, в главах 9 и 10 анализируются цифро
вые системы, в главе 11 описаны основные методы анали
за нелинейных систем, в главе 12 рассмотрены основные
принципы работы и проектирования оптимальных и адап
тивных систем, в том числе самонастраивающихся и экс
тремальных. Материал в книге расположен таким обра
зом, чтобы соблюдался принцип перехода от простого
к сложному.
Книга написана по материалам лекций, читаемых авто
ром более 30 лет на факультете радиоэлектроники летатель
ных аппаратов Московского авиационного института (ГУ).
Автор выражает глубокую благодарность за внимание
и поддержку, оказанную при написании учебного пособия,
профессору, доктору технических наук П. А. Бакулеву,
доценту, кандидату технических наук Г. Г. Джавадову, до
центу, кандидату технических наук О. П. Назарову, доцен
ту, кандидату технических наук А. В. Жукову и другим
товарищам, принявшим участие в обсуждении рукописи.
Автор выражает особую благодарность рецензентам:
профессору, доктору физикоматематических наук
В. Ф. Кравченко, профессору, доктору технических на
ук Б. В. Рощину, профессору, доктору технических на
ук В. В. Сизых за полезные советы, способствовавшие
улучшению учебного пособия.

4

Глава 1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В современных радиоустройствах различного назначе
ния и системах радиоуправления широко применяются ав
томатические системы, которые называют системами ра
диоавтоматики (система РА). К числу таких систем отно
сятся устройства фазовой и частотной автоподстройки час
тоты, автоматической регулировки усиления системы авто
матического измерения координат движущихся объектов,
измерители дальности, различные следящие фильтры и др.
Выделение систем РА в самостоятельный класс обу
словлено их особенностями, связанными с условиями рабо
ты в составе радиотехнических устройств и систем радио
управления, в которых осуществляется обработка парамет
ров радиосигнала при действии различного вида помех.
Системы РА функционируют на основе автоматического
измерения и дальнейшего преобразования входного сигнала,
в качестве которого могут использоваться различные пара
метры сигналов: электрическое напряжение в системах ста
билизации источников питания, частоты или фаза напря
жения в системах автоподстройки частоты, направление
прихода радиолокационного сигнала в системах автомати
ческого сопровождения радиолокационных станций (РЛС)
сопровождения по угловым координатам.
Всякий процесс управления, функциональная схема ко
торого приведена на 1.1, подразумевает наличие некоторого
устройства — объекта управления (ОУ), режим работы ко
торого автоматически изменяется в соответствии с сигналом
управления u(t), сформированным в устройстве управле
ния (УУ) по управляющему воздействию x(t). Например,
в системе фазовой автоподстройки частоты объектом управ
ления является генератор, частота колебаний напряжений
которого (выходной сигнал системы) автоматически под
держивается на заданном значении, определенном частотой
входного сигнала с эталонного генератора. В системе автома
тического сопровождения цели РЛС объектом управления

5

является электромеханическое устройство — антенна РЛС,
продольная ось которой автоматически следит за направле
нием на сопровождаемую цель. Угол отклонения продоль
ной оси антенны от выбранного направления отсчета углов
определяет выходной сигнал системы автоматического со
провождения цели РЛС.
Выходной сигнал объекта управления y(t) называют
регулируемым, он измеряется с помощью специального
датчика (Д), связанного с объектом управления. Очевид
но, что измерение связано с ошибками, возникающими
изза шума измерения (на рисунке 1.1 это обстоятельство
учитывается введением дополнительного сигнала gи(t)).
Объект управления работает в условиях изменения ус
ловий окружающей среды (температуры, давления, влаж
ности и т. п.), колебаний напряжений источников пита
ния, влияние этих факторов в функциональной схеме
учитывается случайным сигналом g(t), который называют
возмущающим воздействием.
Изменение режима работы объекта управления осуще
ствляется сигналом управления u(t), который вырабаты
вается во второй части системы — устройстве управления
(УУ). Требуемый характер управления выходным сигна
лом определяется управляющим воздействием (входным
сигналом) x(t).

Рис. 1.1
Схема системы РА:
а — разомкнутой; б — замкнутой.

6

В зависимости от принципа формирования сигнала
управления u(t) различают два основных вида систем РА:
разомкнутые и замкнутые. В разомкнутых системах
(рис. 1.1а) сигнал управления зависит только от управ
ляющего воздействия:
u(t) = f(x).
(1.1)
В таких системах РА обеспечивается заранее заданная
функциональная связь между управляющим воздействи
ем и выходным сигналом. Изза помех, действующих на
систему, и нестабильности характеристик устройств не
удается получить высокую точность работы разомкнутых
систем РА, поэтому их применяют редко.
В замкнутых системах или системах с обратной
связью (рис. 1.1б) сигнал управления формируется на ос
новании измерения управляющего воздействия и выход
ного сигнала:
(1.2)
u(t) = f(x, yи).
Выражения (1.1) и (1.2) называют алгоритмами или
законами управления систем РА. За счет обратной связи
влияние на качество работы замкнутых РА помех и неста
бильности устройств в значительной степени компенсиру
ется. Очевидно, что в разомкнутых системах такой ком
пенсации не происходит, поэтому их качество работы ни
же, чем в замкнутых системах.
Помимо управляющего воздействия на систему РА
воздействуют различные помехи n(t), снижающие точ
ность работы систем. Например, в системах автоматиче
ского сопровождения цели РЛС возникновение помех обу
словлено флюктуациями сигнала изза неоднородности
диаграммы отражения цели, а также перемещением цен
тра отражения радиолокационного сигнала по цели.
В радиотехнических устройствах большое распростра
нение получили системы, в которых сигнал управления
u(t) формируется по измеренному отклонению выходного
сигнала y(t) от входного сигнала f(t). Схема такой системы
показана на рисунке 1.2. Сигнал, поступающий с выхода
системы на ее вход, называют сигналом обратной связи,
разность
(1.3)
e(t) = f(t) – yи(t)

7

— сигналом рассогласования или сигналом ошибки, а уст
ройство, измеряющее e(t), — измерителем рассогласова
ния, которое совместно с устройством управления образу
ет регулятор системы РА.

Рис. 1.2
Функциональная схема одноконтурной системы

Рис. 1.3
Функциональная схема системы с компенсацией возмущения

Не следует путать сигнал ошибки с ошибкой системы,
которая равна разности управляющего воздействия x(t)
и выходного сигнала y(t).
Системы РА, построенные подобным образом, назы
вают системами, работающими по принципу измеренного
отклонения или рассогласования.
Существуют также системы, работающие по принципу
компенсации возмущающих воздействий (рис. 1.3). В та
ких системах возмущающее воздействие измеряется дат
чиком (Д) и используется для формирования сигнала
управления u(t). При выполнении определенных соотно
шений можно добиться того, чтобы выходной сигнал не
зависел от возмущающего воздействия g(t), что является
достоинством таких систем управления.
Ниже рассматриваются несколько конкретных систем
РА, используемых в различных по назначению радиотех
нических устройствах и системах радиоуправления.

8

1.2. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОДСТРОЙКИ
ЧАСТОТЫ
Системы автоматической подстройки частоты (АПЧ)
применяются в радиоприемных устройствах, в доплеров
ских системах измерения скорости подвижных объектов,
устройствах частотной селекции сигналов.
Рассмотрим систему АПЧ радиоприемного устройства,
предназначенную для поддержания промежуточной час
тоты сигнала на заданном уровне (рис. 1.4).

Рис. 1.4
Функциональная схема АПЧ

Входной сигнал — напряжение uc(t) частотой ωc —
преобразуется в смесителе (СМ) в напряжение промежу
точной частоты ωпр, усиливается усилителем промежуточ
ной частоты (УПЧ) и подается на частотный дискримина
тор (ЧД). Если промежуточная частота сигнала отличает
ся от ее номинального значения, равного центральной
частоте УПЧ, то на выходе ЧД возникает напряжение,
величина которого пропорциональна отклонению проме
жуточной частоты Δω. Напряжение с ЧД через фильтр
нижних частот (ФНЧ) подается на гетеродин (Г), частота
сигнала которого перестраивается таким образом, что от
клонение Δω уменьшается, в результате чего промежуточ
ная частота с заданной точностью оказывается равной
центральной частоте УПЧ ωпр0.
Рассмотрим основные соотношения, определяющие
точность работы систем АПЧ в установившемся режиме,
полагая для простоты, что коэффициент передачи ФНЧ
равен единице.
Отклонение промежуточной частоты сигнала ωпр от ее
номинального значения
Δω = ωпр – ωпр0 = Δωс – Δωг,

(1.4)

9

где ωпр = ωс – ωг; ωс = ωс0 + Δωс — частота входного сигнала;
ωг = ωг0 + Δωг — частота сигнала гетеродина; Δωс, Δωг — от
клонения частот входного сигнала и гетеродина от номи
нальных значений ωс0, ωг0.
Напряжение на выходе ЧД является функцией отклоне
ния промежуточной частоты от номинального значения:
(1.5)
uчд = F(Δω).
Зависимость F(Δω) называют дискриминационной ха
рактеристикой (рис. 1.5)

Рис. 1.5
Дискриминационная характеристика

При малых значениях Δω дискриминационная харак
теристика линейна и выражение (1.5) принимает вид
(1.6)
uчд = kчдΔω,
где kчд — коэффициент передачи ЧД.
Под действием напряжения с ЧД частота сигнала с ге
теродина перестраивается на величину
(1.7)
Δωг = kгuчд,
где kг — коэффициент передачи гетеродина.
Из выражений (1.4), (1.6) и (1.7) следует, что ошибка
регулирования промежуточной частоты в системе АПЧ
1
Δω ,
(1.8)
1+ K c
где K = kчд kг — коэффициент передачи системы АПЧ.
Коэффициент передачи является одной из основных ха
рактеристик системы АПЧ, его значение во многом опреде
ляет точность стабилизации промежуточной частоты, дина
мические характеристики системы. Из выражения (1.8) сле
дует, что с увеличением коэффициента передачи ошиб
ка (1.8) уменьшается. Зная допустимую ошибку и макси
Δω =

10

мальное значение Δωc по формуле (1.8) можно найти необхо
димый коэффициент передачи системы АПЧ.
По соотношениям (1.4)–(1.7) на рисунке 1.6 построена
структурная схема системы АПЧ относительно отклоне
ний сигналов от их номинальных значений.

Рис. 1.6
Структурная схема АПЧ

На схеме указаны возмущающие воздействия, влия
ющие на точность работы системы АПЧ: n(t)флуктуаци
онная составляющая напряжения, поступающего с час
тотного дискриминатора; δωг — нестабильность частоты
гетеродина. Рисунок 1.6 используют при анализе устой
чивости системы АПЧ, ее точности работы.

1.3. СИСТЕМА ФАЗОВОЙ ПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ
Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ)
применяются в радиоприемных устройствах, перестраи
ваемых по частоте генераторах высокостабильных коле
баний и других устройствах. Функциональная схема сис
темы ФАПЧ изображена на рисунке 1.7.

Рис. 1.7
Функциональная схема ФАПЧ

Система стабилизирует частоту подстраиваемого гене
ратора (ПГ) по сигналу с высокостабильного эталонного
генератора (ЭГ).
Объектом управления в системе ФАПЧ является ПГ,
частота колебаний напряжений которого изменяется в
зависимости от напряжения, вырабатываемого управляю

11

щим элементом (УЭ), при этом напряжение с ПГ остается
неизменным. Частота напряжения ПГ является выход
ным сигналом системы ФАПЧ. На систему действует на
пряжение с эталонного генератора частотой ωэ, этот сиг
нал является управляющим воздействием. Измерителем
рассогласования служит фазовый детектор (ФД), выход
ной сигнал которого является периодической функцией
разности фаз сигналов, подаваемых с ЭГ и ПГ. Сигнал
с ФД через фильтр нижних частот (ФНЧ) подается на УЭ,
который перестраивает частоту ПГ, приближая ее к часто
те ЭГ. В установившемся режиме в системе устанавлива
ется постоянная разность фаз между напряжениями uэ
и uг, при этом напряжение на выходе ФД также будет по
стоянным, в результате чего частота сигнала с ПГ оказы
вается равной частоте сигнала с ЭГ.
Начальное рассогласование частот от ЭГ и ПГ
(1.9)
Δω = ωэ – ωгн,
где ωгн — начальная частота сигнала ПГ.
После включения системы ФАПЧ частота сигнала ПГ
(1.10)
ωг = ωгн + ωгу.
Составляющая ωгу возникает изза перестройки часто
ты ПГ и определяется выражением
(1.11)
ωгу = kгkуэuфд = kгkуэF(ϕ)kд,
где kг — коэффициент передачи ПГ по частоте; kуэ — коэф
фициент передачи УЭ; kд — коэффициент, равный макси
мальному напряжению на выходе ФД; ϕ — разность фаз
напряжений ЭГ и ПГ.
Для простоты принято, что ФНЧ отсутствует и напря
жение с ФД подается на УЭ. Величина
(1.12)
ωуд = kгkуэkд,
имеющая размерность круговой частоты, определяет мак
симальное допустимое начальное рассогласование частот
Δωн, которое может быть скомпенсировано в системе
ФАПЧ, эту величину называют полосой удержания сис
темы. С учетом выражений (1.11) и (1.12) частота сигнала
с ПГ оказывается равной
ωг = ωгн + ωудF(ϕ).

(1.13)

12

Разность фаз сигналов с ЭГ и ПГ определяется выра
жением
t

ϕ = ϕ0 +  (ωэ − ωг )dt,

(1.14)

0

где ϕ0 — начальное значение разности фаз.
Из последнего выражения следует, что
ϕ = ωэ − ωг .

(1.15)

В установившемся режиме разность фаз ϕ — постоян
ная величина, поэтому частота сигнала ПГ равна частоте
сигнала ЭГ, т. е. ошибка стабилизации частоты сигнала
ПГ равна нулю.
Подставив в выражение (1.15) формулу (1.13), полу
чим нелинейное дифференциальное уравнение системы
ФАПЧ:
ϕ + ωуд F (ϕ) = Δωн .
(1.16)
Уравнение (1.16) является основным дифференциаль
ным уравнением системы ФАПЧ; из этого уравнения сле
дует, что в любой момент времени алгебраическая сумма
разности частот ωэ – ωг и расстройки является постоянной
величиной, равной начальному рассогласованию частот
сигналов ЭГ и ПГ.
Уравнениям (1.9)–(1.15) соответствует структурная
схема системы ФАПЧ, изображенная на рисунке 1.8.
Блок 1/p позволяет выполнить операцию интегрирования,
соответствующую выражению (1.14), возмущение n(t)
учитывает влияние на качество работы системы флуктуа
ционной составляющей напряжения, а воздействие δωг —
влияние нестабильности частоты ПГ.

Рис. 1.8
Структурная схема ФАПЧ

13

1.4. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ
ЦЕЛИ БОРТОВОЙ РЛС
Радиолокационная станция (РЛС) сопровождения пред
назначена для автоматического измерения составляющих
угла отклонения линии визирования (линия РЛС — сопро
вождаемая цель) в системе координат OXcYcZc, связанной
с летательным аппаратом (рис. 1.9а). Антенна РЛС устанав
ливается в карданном подвесе, наружная рамка которого
вращается в горизонтальной, а внутренняя — в вертикаль
ной плоскостях (рис. 1.9б).

Рис. 1.9
К определению углов отклонения линии визирования:
а – система координат OXаYаZа относительно OXcYcZc; б — схема карданного
подвеса.

С антенной связана система координат OXаYаZа, ось
OXа которой нормальна к плоскости внутренней рамки
карданного подвеса и совпадает с продольной осью антен
ны. Для измерения углов отклонения линии визирования
в горизонтальной плоскости ϕy и вертикальной ϕz на рам
ках карданного подвеса устанавливают аналоговые или
цифровые датчики.
Современные РЛС строятся как моноимпульсные (одно
импульсные) системы, в которых измерение угловых коор
динат сопровождаемой цели осуществляется по одному от
раженному от цели импульсу. РЛС — это многоканальное
устройство, два канала требуются для измерения состав
ляющей угла отклонения линии визирования в горизон
тальной плоскости и два — для измерения в вертикальной
плоскости. Для этого в антенне РЛС формируется одновре

14

менно в каждой из плоскостей две остронаправленные пере
секающиеся диаграммы направленности. На рисунке 1.10а
изображены две такие диаграммы направленности для пе
ленгации цели в вертикальной плоскости; диаграммы разне
сены относительно равносигнального направления (РСН) на
постоянный угол θ0. Если линия визирования отклонена от
РСН на угол e, который является сигналом рассогласования
в системе автосопровождения, то сигналы, принятые по диа
граммам направленности, будут различными: сигнал E1,
принятый по верхней диаграмме направленности, будет
больше сигнала E2, принятого по нижней диаграмме:
E1 = E0 + kаeE0;
(1.17)
E2 = E0 – kаeE0,
где E0 — сигнал, принятый по РСН, kа — постоянный ко
эффициент.

Рис. 1.10
К определению пеленгационной характеристики РЛС:
а — диаграмма направленности; б — пеленгационная характеристика.

Разность амплитуд принятых сигналов
Eр = E1 – E2 = 2kаeE0
(1.18)
пропорциональна углу отклонения линии визирования от
РСН. Для того чтобы исключить влияние на измерение
напряжения, пропорционального углу отклонения e от
абсолютных значений принимаемых сигналов E1 и E2, раз
ностный сигнал (1.18) нормируется суммарным сигналом:
Ec = E1 + E2.

(1.19)

15

В этом случае отношение амплитуды разностного сиг
нала (1.18) к амплитуде суммарного сигнала (1.19)
Eр
= k0 e = S
Ec

(1.20)

пропорционально углу отклонения линии визирования
от РСН. Зависимость (1.20) называют пеленгационной
характеристикой (рис. 1.10б). Эта характеристика оп
ределяет коэффициент передачи приемника РЛС, до
пустимый диапазон угла рассогласования от РСН. На
рисунке 1.11 показана функциональная схема моноим
пульсного приемника, в котором реализация соотноше
ния (1.20) обеспечивается устройством автоматической
регулировки усиления (АРУ).

Рис. 1.11
Функциональная схема моноимпульсного приемника

Суммарный сигнал (1.19) является также опорным
сигналом для фазового детектора системы автосопровож
дения, напряжение на выходе которого
(1.21)
uфд = kфдkаe,
где kфд — коэффициент передачи фазового детектора.
На рисунке 1.12а показана структурная схема систе
мы автосопровождения РЛС, из которой видно, что на
пряжение с приемника (П) через корректирующее устрой
ство (КУ) подается на усилитель мощности (УМ), на кото
рый поступает и сигнал с местной обратной связи (МОС).
Усилитель мощности вводится для обеспечения нор
мальной работы электрического двигателя (ЭД), который
через редуктор (Р) поворачивает антенну (А) в направлении
уменьшения сигнала рассогласования, не превышающего
в режиме сопровождения цели допустимого значения.
С помощью КУ, включенного после фазового детектора

16

приемника, и местной обратной связи обеспечивается ус
тойчивость и необходимые динамические свойства системы
автосопровождения цели РЛС.

Рис. 1.12
Система автоматического сопровождения:
а — структурная схема; б — к отсчету углов.

Система автоматического сопровождения цели РЛС
работает в условиях действия ряда возмущающих воздей
ствий (помех), основными из которых являются следую
щие: флюктуации отраженного от цели радиолокационно
го сигнала, угловой шум, обусловленный перемещением
по цели центра отражения сигнала (блуждание блестящей
точки), шум первых каскадов приемника. Эти возмущаю
щие воздействия снижают точность работы системы автосо
провождения. На структурной схеме системы (рис. 1.12а)
эти воздействия учитываются введением возмущающего
воздействия n(t).
Регулируемым параметром в системе автосопровожде
ния цели является угол отклонения оси антенны от про
дольной оси летательного аппарата OXc, а управляющим
воздействием (входным сигналом) — угол отклонения ли
нии визирования ϕц. Объект управления — антенна РЛС,
состояние которой (угол отклонения и его производные)
должно изменяться так, чтобы продольная ось антенны с
необходимой точностью была направлена на сопровож
даемую цель, а производные от ее угла отклонения не пре
вышали допустимых значений.

17

1.5. СИСТЕМА ИЗМЕРЕНИЯ ДАЛЬНОСТИ РЛС
Дальномер РЛС предназначен для измерения дально
сти до выбранной цели, информация о которой использу
ется в счетнорешающих устройствах систем наведения
летательных аппаратов, навигационных комплексах и др.
Принцип работы дальномера базируется на измерении
сдвига между зондирующими импульсами, следующими
через интервал времени T, и импульсами, отраженными
от цели. Отраженные от цели импульсы искажены шума
ми, поэтому непосредственное измерение дальности по
времени задержки связано с большими ошибками. Для
повышения точности измерения в дальномере формиру
ются следящие импульсы, временное положение которых
относительно зондирующих импульсов оказывается про
порциональным дальности до цели и незначительно зави
сит от шумов. На рисунке 1.13 приведена упрощенная
функциональная схема дальномера импульсной РЛС [17].

Рис. 1.13
Функциональная схема дальномера импульсной РЛС

В режиме измерения дальности отраженный от цели
импульс (ОИ) через приемник поступает на временной
дискриминатор (ВД), на второй вход которого с генератора
импульсов (ГИ) подаются два следующих друг за другом
следящих импульса. Во временном дискриминаторе вы
рабатывается напряжение пропорциональное рассогласо
ванию временного положения отраженного импульса от
носительно оси симметрии следящих импульсов:
u = kд(tR – tи) = kдΔt,

(1.22)

где Δt — рассогласование по времени между отраженными
2R
и следящими импульсами; tR =
— время задержки от
c
раженного импульса относительно зондирующего; tи —

18

время задержки следящих импульсов; R — измеряемая
дальность; с — скорость света.
На рисунке 1.14 приведены эпюры напряжений, пояс
няющие принцип работы временного дискриминатора.
Если временное рассогласование Δt не равно нулю, то во
временном дискриминаторе вырабатываются два импуль
са, длительности которых

Рис. 1.14
Эпюры напряжений временного дискриминатора

τ
− Δt
2
(1.23)
τ
τ2 = + Δt,
2
где τ — длительность отраженного импульса.
Импульсы длительностями τ1 и τ2 детектируются, раз
ность полученных напряжений является выходным на
пряжением временного дискриминатора. На каждом пе
риоде измерения дальности напряжение с выхода времен
ного дискриминатора фиксируется экстраполятором (Э) и
сбрасывается до нуля перед приходом следующей пары
следящих импульсов. Напряжение с Э через ФНЧ подает
ся на временной модулятор (ВМ), который зондирующим
импульсом (ЗИ), задержанным на время, пропорциональ
τ1 =

19

ное сигналу с ФНЧ, запускает ГИ, формирующий два сле
дящих импульса. Таким образом, образуется замкнутый
контур, в котором рассогласование сводится к минималь
ному значению, определяющему ошибку измерения даль
ности. Для повышения точности работы в ФНЧ дальноме
ра включают интегратор, при этом рассогласование Δt при
измерении постоянного значения дальности сводится к
нулю, а напряжение на выходе ФНЧ в установившемся
режиме работы пропорционально измеряемой дальности:
uф =

1
1 2R
,
t =
kвм R kвм c

(1.24)

где kвм — коэффициент передачи временного модулятора.
Для повышения точности измерения дальности в со
временных РЛС в ФНЧ дальномера включают два инте
гратора, в такой системе ошибка измерения дальности
равна нулю при измерении расстояния до цели, изме
няющемуся по линейному закону.
Описанные процессы поясняют работу дальномера в
импульсной РЛС, здесь информация об измеряемой даль
ности может быть получена только в дискретные моменты
времени, отстоящие на период повторения, поэтому рас
смотренный дальномер относится к классу импульсных
систем РА.
На рисунке 1.15 показана структурная схема дально
мера, в которой ключ характеризует импульсный харак
тер сигнала, а звено с характеристикой F(e) соответствует
временному дискриминатору, вид характеристики кото
рого зависит от отношения сигнал/шум и длительности
следящих импульсов; n(t) — учитывает влияние на каче
ство работы дальномера случайных помех.

Рис. 1.15
Структурная схема дальномера импульсной РЛС

20

1.6. ОБОБЩЕННАЯ СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ РА
Сравнивая различные системы РА, рассмотренные вы
ше, нетрудно установить, что их структурные схемы во
многом повторяют одна другую. Аналогия структурных
схем систем РА позволяет составить их обобщенную струк
турную схему (рис. 1.16).

Рис. 1.16
Обобщенная структурная схема системы РА

На этой схеме приняты следующие обозначения:
x(t) — входной сигнал или управляющее воздействие
(угол поворота линии визирования в системе автоматиче
ского сопровождения цели РЛС, частота эталонного гене
ратора в системе фазовой подстройки частоты и т. п.);
y(t) — выходной сигнал или регулируемый параметр (угол
поворота антенны РЛС, частота перестраиваемого генера
тора); e(t) — сигнал рассогласования, или сигнал ошибки.
Работа систем РА происходит в условиях действия раз
личных помех, на обобщенной структурной схеме систе
мы влияние помех учитывается введением возмущающего
воздействия n(t) поступающего на вход системы. Это воз
действие может состоять из нескольких составляющих,
например в системе автоматического сопровождения цели
РЛС оно состоит из флуктуаций отраженного от цели сиг
нала, воздействия, возникающего изза перемещения цен
тра отражения радиолокационного сигнала по поверхно
сти цели, шумов первых каскадов электронных приборов
приемника и т. п. Возмущающее воздействие g(t) поступа
ет на объект управления системы РА, это воздействие обу
словлено в основном изменением условий окружающей
среды (температуры, давления, влажности и т. п.) и флук
туациями источников питания.
Известно, что одним из основных недостатков непре
рывных систем РА является дрейф нуля их регулировоч

21

ных (амплитудных) характеристик. В обобщенной струк
турной схеме системы РА сигнал ξ(t) учитывает влияние
дрейфа нуля регулировочной характеристики, например
в системах автоматического сопровождения цели РЛС
сигнал ξ(t) учитывает дрейф нуля пеленгационной харак
теристики.
Функциональные устройства (ФУ) систем РА, указан
ные в обобщенной структурной схеме, включают устрой
ства измерения сигнала ошибки, исполнительные и кор
ректирующие устройства, предназначенные для создания
необходимых динамических характеристик, например,
к этой части системы относится ФНЧ и перестраиваемый
генератор в системе фазовой подстройки частоты. На ри
сунке 1.16 ОУ — объект управления (антенна в РЛС, пере
страиваемый генератор в системе фазовой подстройки
частоты), F(e) — дискриминатор, который, как отмеча
лось, имеет нелинейную характеристику. При малых сиг
налах ошибки амплитудная характеристика может быть
принята линейной:
(1.25)
uд = kдe.
Форма дискриминационной характеристики зависит
от амплитуды сигнала ошибки, что приводит к нежела
тельным изменениям динамических характеристик сис
тем РА. Для исключения такой зависимости проводится
нормировка сигнала по амплитуде, что достигается путем
введения устройства автоматической регулировки усиле
ния или ограничителя.
Иногда в системах радиоуправления радиотехниче
ских устройств встречаются системы, структурные схе
мы которых отличаются от рассмотренной обобщенной
схемы, например системы автоматического сопровож
дения бортовых РЛС выполняются как комплексные
системы, в которых для повышения точности имеется
дополнительный канал. Однако в этих случаях введен
ная обобщенная структурная схема РА является основ
ной для анализа ее качественных и количественных ха
рактеристик.

22

1.7. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ РА
Система РА классифицируется по различным призна
кам. Например, по принципу построения, как отмечалось,
различают: разомкнутые системы, системы управления
по отклонению и системы по возмущению.
По виду входного сигнала системы РА делятся на:
1) системы стабилизации, в которых входной сигнал
является постоянной величиной (например, системы ав
томатической стабилизации частоты и напряжения);
2) системы программного управления, в которых вход
ной сигнал является известной функцией (например, систе
ма управления антенной РЛС в режиме поиска цели);
3) следящие системы, в которых входной сигнал явля
ется случайным (например, система автоматического со
провождения цели РЛС).
В зависимости от вида уравнений, описывающих процес
сы в системах, различают непрерывные и дискретные систе
мы. В непрерывных системах при непрерывных входных
сигналах выходной сигнал системы также непрерывная ве
личина, процессы в таких системах описываются дифферен
циальными уравнениями. В дискретных системах при непре
рывном входном сигнале соответствуют дискретные измене
ния выходного сигнала. Динамические процессы в подобных
системах описываются разностными уравнениями.
В зависимости от вида уравнений, описывающих про
цессы в системах РА, различают:
1) линейные системы, в таких системах динамические
процессы описываются линейными дифференциальными
уравнениями;
2) нелинейные системы, если процессы описываются
нелинейными уравнениями.
В зависимости от изменения параметров систем (ко
эффициентов дифференциальных уравнений систем) сис
темы РА делятся:
1) стационарные системы, характеристики всех уст
ройств в таких системах в процессе работы остаются неиз
менными, подобные системы описываются дифференци
альными уравнениями с постоянными коэффициентами;
2) нестационарные системы — это системы, в кото
рых имеются устройства с изменяющимися в процессе ра

23

боты характеристиками, такие системы описываются
дифференциальными уравнениями с переменными коэф
фициентами.
Одна и та же система может характеризоваться не
сколькими признаками, например, система самонаведе
ния на подвижную цель — это нелинейная нестационар
ная система.
Если в состав системы РА входят устройства типа
длинных линий, волноводов и т. п., то такие системы опи
сываются дифференциальными уравнениями в частных
производных и относятся к классу систем с распределен
ными параметрами.
Системы с запаздыванием, в состав подобных систем
входят устройства с запаздыванием, характерным примером
систем с запаздыванием может служить система радио
управления космическими летательными аппаратами, в ко
торых запаздывание равно времени прохождения радиосиг
нала от пункта управления до летательного аппарата.
В современных радиотехнических устройствах важную
группу составляют цифровые системы, в состав которых
входят вычислительные машины. С точки зрения матема
тического описания цифровые системы РА являются дис
кретными нелинейными системами.
Для улучшения качества работы систем РА в управ
ляющем устройстве могут вырабатываться не только сиг
налы управления, но и изменяться алгоритмы управления
и перестраиваться параметры системы (коэффициенты
усиления устройств, постоянные времени корректирую
щих устройств), в результате чего достигается высокое
качество работы системы. Подобные системы РА называ
ются адаптивными.
Введенная классификация систем РА позволяет устано
вить принадлежность системы к тому или иному классу и
выбрать адекватный метод исследования этой системы.
Контрольные вопросы
1. Какой принцип управления реализуется в систе
мах РА с обратными связями? Поясните этот принцип
на примере систем АПЧ и ФАПЧ.

24

2. Что такое регулятор (управляющее устройство)
системы РА?
3. Каким образом измеряется сигнал рассогласова
ния в системе автоматического сопровождения цели
РЛС?
4. Каким образом система РА должна реагировать
на сигнал и возмущающее воздействие?
5. Дайте классификацию систем РА по виду входно
го сигнала.

25

Глава 2
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ
2.1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ РА
Основной задачей анализа и синтеза систем РА явля
ется обеспечение требуемой точности работы системы,
которая зависит не только от ее конструкции и парамет
ров элементов, образующих систему, но и характером ее
управляющего (сигнала) и возмущающих (помехи) воз
действий.
Если помеха отсутствует, а сигнал не изменяется во
времени, то система обеспечивает постоянство выходного
сигнала. Ошибки, имеющиеся при таком режиме работы,
называются статическими и оцениваются по статическим
характеристикам системы. В системе амплитудной под
стройки частоты статическая характеристика определяет
ся алгебраическим уравнением (1.8).
Если система РА находится в состоянии равновесия
и затем входной сигнал начинает изменяться, то в системе
возникают два процесса: установившийся динамический
процесс, обусловленный изменением входного сигнала,
и переходный процесс, зависящий от начальных условий,
в которых находилась система перед изменением входного
сигнала. Поэтому в динамическом режиме система РА ха
рактеризуется ошибками двух типов: динамической по
грешностью (ошибка слежения) и переходной погрешно
стью, возникающей в переходном процессе. В системах
автоматической стабилизации динамическая ошибка от
сутствует, в таких системах имеют место только статиче
ские и переходные ошибки. В следящих системах имеют
место все три ошибки.
Для определения ошибок в динамическом режиме не
обходимо составить дифференциальное уравнение равно
весия системы. В общем случае это уравнение является
нелинейным уравнением высокого порядка и его интегри
рование связано с большими трудностями. Поэтому все
гда, когда это возможно, стремятся провести линеариза

26

цию характеристик элементов систем РА. Линеаризацию
проводят по формуле Тейлора, в соответствии с которой
разложение нелинейной функции двух аргументов x и z
имеет вид
y = F (xz) = F (x0zo ) +
+

1 d2 F 2
Δz + R n+1 ,
2 dz2

dF
dF
1 d2 F 2
Δx +
Δz +
Δx +
dx
dz
2 dx2

(2.1)

где x0, y0 — постоянные установившиеся значения вход
ных переменных x и z, Δx; Δz — малые отклонения от ус
тановившихся значений x и z; Rn+1 — остаточный член.
Производные в выражении (2.1) вычисляются при ус
тановившихся значениях x0 и z0.
При работе элемента в системе РА отклонения Δx и Δz
малы, поэтому в выражении (2.1) можно ограничиться
только первыми порядками отклонений этих переменных.
В этом случае из (2.1) следует, что приращение выходного
сигнала
(2.2)
Δy = y – F(x0z0) = kxΔx + kzΔz,
где kx, kz — коэффициенты передачи линеаризованного
элемента по сигналу x и z, равные производным по соот
ветствующим переменным в точках x0 и z0, в общем случае
эти коэффициенты размерные величины.
Выражение (2.2) и является линеаризованным урав
нением элемента системы РА. В общем случае это уравне
ние содержит не только отклонения переменных, но и их
производные, т. е. в результате линеаризации получается
дифференциальное уравнение.
Линеаризованные дифференциальные уравнения уст
ройств системы РА определяют общее дифференциальное
уравнение, которое можно представить в виде
any(n)(t) + an–1y(n–1)(t) + ... + a0y(t) =
= bm x(m)(t) + bm–1x(m–1)(t) + ... + b0x(t),
(2.3)
где y(t), x(t) — выходной и входной сигналы системы.
В стационарных системах РА коэффициенты диффе
ренциального уравнения (2.3) являются постоянными ве
личинами, в нестационарных — переменными.

27

Методы анализа линейных систем РА основываются на
принципе суперпозиции, который заключается в следующем.
Если на систему поступает управляющее воздействие, которое
можно представить в виде суммы простых сигналов
(2.4)
x(t) = x1(t) + x2(t) + ... + xk(t),
то выходной сигнал определяется как сумма реакций на
каждое слагаемое (2.4).
Решение дифференциального уравнения (2.3) связано
с вычислительными трудностями, а во многих случаях,
например в следящих системах, не может быть осуществ
лено, так как неизвестно управляющее воздействие x(t).
По этим причинам исследование систем РА ведется кос
венными методами, базирующимися на операционном ме
тоде Лапласа и преобразовании Фурье.
Для этой цели в теории систем РА используются сле
дующие основные характеристики: передаточная функция,
переходная и импульсная переходная функции, комплекс
ный коэффициент передачи или частотная характеристика.

2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Применив к дифференциальному уравнению (2.4) пре
образование Лапласа (см. Приложение П.1), получим
(2.5)
D(p)Y(p) = N(p)X(p) + Mн(p),
n–1
m
где D(p) = anp + an–1p + ... + a0; N(p) = bmp + bm–1pm–1 +
+ ... b0; Y(p) — преобразование Лапласа для выходного
сигнала системы; X(p) — преобразование Лапласа для
входного сигнала; Mн — многочлен, отображающий на
чальные условия.
Поделим уравнение (2.5) на многочлен D(p), в резуль
тате получим
n

Y ( p) =

N ( p)
M ( p)
X ( p) + н
.
D ( p)
D ( p)

(2.6)

Введем обозначения:
W ( p) =

N ( p)
M ( p)
; Wн ( p) = н
.
D ( p)
D ( p)

Тогда выражение (2.6) принимает вид
Y(p) = W(p)X(p) + Wн(p).

(2.7)

(2.8)

28

Это выражение связывает преобразование Лапласа вы
ходного сигнала с преобразованием Лапласа входного сиг
нала и начальным состоянием системы. Функция W(p)
характеризует динамические свойства системы РА, она не
зависит от входного сигнала и полностью определяется
параметрами системы ai и bi, эту функцию называют пере
даточной, а функцию Wн(p) — передаточной функцией
относительно начального состояния системы РА.
При нулевых начальных условиях передаточная функ
ция системы РА равна отношению преобразования Лапласа
выходного сигнала Y(p) к преобразованию Лапласа входно
го сигнала X(p). Передаточная функция является дробно
рациональной функцией относительно оператора преобра
зования Лапласа:
W ( p) =

bm pm + b m−1 pm−1 + ... + b0
.
an pn + an−1 pn−1 + ... + a0

(2.9)

Степень многочлена знаменателя передаточной функ
ции (2.9) определяет порядок системы РА. Так, системы
амплитудной подстройки частоты, системы фазовой под
стройки частоты имеют порядок равный трем, четырем, а
порядок систем автоматического сопровождения цели
РЛС равен восьми — десяти и более.
В реальных системах РА степень многочлена числителя
никогда не превышает степени многочлена знаменателя. Это
условие называют физической реализуемостью системы
РА; оно означает, что нельзя создать систему РА, передаточ
ная функция которой не удовлетворяла бы этому условию.
Представим передаточную функцию (2.9) в виде
W ( p) =

bm ( p − β1 )( p − β2 )...( p − βm )
.
an ( p − λ1 )( p − λ2 )...( p − λn )

(2.10)

Корни многочлена числителя передаточной функции βi
называют нулями, а корни многочлена знаменателя λi —
полюсами системы РА. Нули и полюсы передаточной
функции составляют особенности системы РА. Так как
коэффициенты передаточной функции ai и bi — действи
тельные числа, то нули и полюсы могут быть или действи
тельными числами или комплексносопряженными. При
анализе систем РА нули и полюсы удобно изображать
точками на комплексной плоскости p (рис. 2.1).

29

Рис. 2.1
Особенности передаточной функции

Если передаточная функция системы не содержит осо
бенностей в правой части плоскости p, то систему называ
ют минимально фазовой, в противном случае ее считают
неминимально фазовой.
Пример 2.1. Найти передаточные функции ракеты от
носительно угла тангажа ϑ, угла наклона траектории θ
и угла атаки α. Движение ракеты в вертикальной плоско
сти при постоянной скорости и высоте полета описывается
следующими линеаризованными уравнениями:
d2 ϑ
dϑ
′ dα + a12α = −a13δ;
+ a11
+ a12
dt
dt
dt2
dθ
− a21α = 0;
dt
ϑ = θ + α,

(2.11)

′ , a12, a13 и a21 — аэродинамические коэффициенты.
где a11, a12
Р е ш е н и е. Применим преобразование Лапласа к ка
ждому из уравнений (2.11), полагая, что начальные усло
вия нулевые, в результате получим

′ pα( p) + a12α( p) = −a13δ;
p2ϑ( p) + a11 pϑ( p) + a12
pθ( p) − a21α( p) = 0;
ϑ( p) = θ( p) + α( p);

где ϑ(p), θ(p), α(p), δ(p) — преобразования Лапласа для уг
ла тангажа ϑ, угла наклона вектора скорости θ, угла атаки
α и угла отклонения руля высоты δ.
Разрешив последнюю систему уравнений относительно
ϑ(p) и δ(p), найдем, что передаточная функция ракеты от
носительно угла тангажа определяется выражением

30

Wϑ ( p) =

ϑ( p)
1 + TV p
= kp
,
δ( p)
p(Tp2 p2 + 2ξ pTp p + 1)

(2.12)

где
a12 a21
1
1
, Tp2 =
, TV =
,
a11a21 + a12
a11a21 − a12
a21
2ξ = Tp (a21 + a11 + a12 ).
kp =

Аналогичным образом находятся передаточные функ
ции относительно углов θ и α
Wθ ( p) =

p

Wα ( p) =

(Tр2 p2

kр
;
+ 2ξTр p + 1)

(2.13)

Tp2 p2

kpTV
.
+ 2ξTp p + 1

(2.14)

Пример 2.2. Дифференциальное уравнение системы
равно
10–5y(4)(t) + 0,00074y(3)(t) + 0,0138y″(t) + 0,11y′(t) + y(t) =
= 100x(t) + 20x′(t).
Найти передаточную функцию системы и указать ее
особенности.
Преобразование Лапласа для дифференциального урав
нения системы дает
10–5p4Y(p) + 0,00074p3Y(p) + 0,0138p2Y(p) + 0,11pY(p) +
+ Y(p) = 20pX(p) + 100X(p).
Из этого выражения следует формула для передаточ
ной функции системы
W ( p) =

N ( p)
20 p + 100
= −5 4
.
D( p) 10 p + 0,00074 p3 + 0,0138 p2 + 0,11 p + 1

Для вычисления особенностей передаточной функции
составим tfфункцию
>> W=tf([20 100],[10^-5 0.00074 0.0138 0.11 1]);
>> zpk(W)
Zero/pole/gain:
2000000 (s+5)
-----------------------------(s+50) (s+20) (s^2 + 4s + 100)

31

Нули
ans =
-5
Полюса
ans =
-50.0000
-20.0000
-2.0000 + 9.7980i
-2.0000 - 9.7980i
Нули и полюса на плоскости комплексного переменно
го расположены слева от мнимой, следовательно, система
относится к минимальнофазовым устройствам.

2.3. ПЕРЕХОДНАЯ И ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ
ФУНКЦИИ
Рассмотрим случай, когда на систему РА действует
единичный сигнал
x(t) = 1(t),
(2.15)
где 1(t) — единичная функция, удовлетворяющая условию
0 при t < 0
1(t) = 1(t) = 
1 при t ≥ 0.

(2.16)

Преобразование Лапласа для выходного сигнала сис
темы с передаточной функцией W(p) в соответствии с П.1
при нулевых начальных условиях имеет вид
Y ( p) =

W ( p)
.
p

(2.17)

Переходный процесс в системе РА, вызванный вход
ным сигналом в виде единичной функции, называют пе
реходной функцией:
 W ( p) 
h(t) = L−1 
,
 p 

(2.18)

1
— преобразование Лапласа для единичной функции.
p
Переходная функция вычисляется по формуле обра
щения, приведенной в П1,

где

32
c + jω

h(t) =

n

W ( p) ot
W ( p) pt
1
e dp =  Re s
e при p = λi , (2.19)
2πj c −jω p
p
i =0

где λi — полюсы подынтегрального выражения (2.19); n —
число полюсов передаточной функции системы.
Рассмотрим случай, когда на невозмущенную систему
РА действует единичный мгновенный импульс — сигнал
вида δфункции
x(t) = δ(t),
(2.20)
который, как известно, удовлетворяет следующим усло
виям:
∞



−∞

∞

δ(t)dt = 1  δ(t − τ)dt = x(τ).

(2.21)

−∞

Преобразование Лапласа для δфункции равно едини
це, то для выходного сигнала
Y(p) = W(p)L[δ(t)] = W(p).
(2.22)
Переходный процесс, возникающий в системе РА при
действии единичного мгновенного импульса, называют
импульсной переходной функцией и обозначают w(t). Из
выражения (2.22) следует, что
n

w(t) = L−1 [W ( p)] =  Re sW ( p)e pt | p=λi .

(2.23)

i =1

Импульсная переходная функция системы РА удовле
творяет следующим условиям:
∞

w(t) = 0 при t < 0,  | w(t)|dt < ∞.

(2.24)

0

Первое условие называют условием физической реали
зуемости системы; оно показывает, что в реальной сис
теме переходный процесс не может возникнуть раньше
подачи на вход системы единичного мгновенного импуль
са. Второе условие является условием устойчивости сис
темы РА.
Из выражений (2.17) и (2.22) следует, что импульсная
переходная функция равна первой производной от пере
ходной функции системы

33

d
(2.25)
h(t).
dt
Интервал времени, на котором импульсная переход
ная функция отлична от нуля, называют памятью сис
темы.
Выше определена импульсная переходная функция
стационарной системы РА. В таких системах импульсная
переходная функция зависит только от разности времени
наблюдения выходного сигнала и времени приложения
к входу системы сигнала δфункции. В нестационарных
системах РА импульсная переходная функция зависит не
только от времени наблюдения, но и от времени возникно
вения входного сигнала (это происходит изза изменения
во времени параметров системы). Если на вход нестацио
нарной системы подать в момент времени τ2 > τ1 сигнал
вида δфункции, то импульсная функция не только сдви
нется по времени, как в случае стационарных систем
(рис. 2.2а), но и изменится по форме.
w(t) =

Рис. 2.2
Импульсные переходные функции:
a — стационарной системы; б — нестационарной.

2.4. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ СИСТЕМЫ РА ПРИ
ПРОИЗВОЛЬНОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ
Из определения передаточной функции системы РА
следует, что преобразование Лапласа для выходного сиг
нала при нулевых начальных условиях
Y(p) = W(p)X(p),
где X(p) — преобразование Лапласа для входного сигнала.

34

На основании теоремы умножения изображений сиг
нал на выходе стационарной системы
∞

y(t) =  x(t − τ)w(τ)dτ.

(2.26)

0

В нестационарных системах РА
t

y(t) =  x(τ)w(t, τ)dτ,

(2.27)

t0

где t0 — время подачи входного сигнала.
Выражения (2.26) и (2.27) позволяют определить вы
ходной сигнал системы РА при произвольном виде вход
ных сигналов.

2.5. КОМПЛЕКСНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ,
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Рассмотрим случай, когда на вход системы РА дейст
вует гармонический сигнал с амплитудой Xm и частотой ω:
(2.28)
x(t) = Xmsin ωt.
Преобразование Лапласа сигнала на выходе системы
при нулевых начальных условиях в соответствии с П.1
имеет вид
Y ( p) = W ( p) X( p) =

N ( p) Xm
.
D( p) p2 + ω2

(2.29)

Преобразованию Лапласа (2.29) соответствует оригинал
y(t) = Xm

n
N ( jω)
sin(ωt) + Xm  Re sY ( p)e pt | p=λk ,
D( jω)
k=0

(2.30)

где j = −1 — мнимая единица.
В устойчивой системе все полюсы имеют отрицательные
вещественные части, поэтому в установившемся режиме
lim y(t) = W ( jω) Xm sin ωt = W ( jω)x(t),
t→∞

(2.31)

т. е. на выходе системы также получается гармонический
сигнал, частота которого равна частоте входного сигнала.
Отношение гармонического сигнала на выходе в ус
тановившемся режиме к гармоническому сигналу на

35

входе называют комплексным коэффициентом передачи
или частотной характеристикой системы РА. Из вы
ражения (2.31) следует, что частотная характеристика
системы РА
(2.32)
W(jω) = W(p) ⏐p=jω.
Частотная характеристика системы РА может быть
представлена в виде
W(jω) = P(ω) + jQ(ω),
(2.33)
где P(ω) — вещественная частотная характеристика; Q(ω) —
мнимая частотная характеристика.
Частотная характеристика системы РА в показатель
ной форме имеет вид
W(jω) = | W(jω) |ejϕ(ω),

(2.34)

где | W ( jω)|= P2 (ω) + Q2 (ω) — амплитудночастотная ха
рактеристика; ϕ(ω) = arctg

Q(ω)
— фазочастотная харак
P(ω)

теристика.
Амплитудночастотная характеристика (АЧХ) опреде
ляет зависимость от частоты отношения амплитуды сиг
нала на выходе системы к амплитуде сигнала на входе.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) устанавливает за
висимость от частоты сдвига фаз между входным и вы
ходным сигналами.
Частотная характеристика — это комплексная функ
ция, поэтому на плоскости комплексного переменного она
изображается в виде вектора, конец которого при измене
нии частоты от нуля бесконечности описывает кривую,
называемую амплитудно фазовой характеристикой или
годографом частотной характеристики системы РА.
В инженерной практике применяют логарифмические
частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмическая
амплитудночастотная характеристика (ЛАЧХ) определя
ется выражением
(2.35)
Λ(ω) = 20lg| W(jω) |.
При построении ЛАЧХ по оси ординат откладывают
значение (2.41) в децибелах, а по оси абсцисс — частоту ω
в логарифмическом масштабе.

36

При построении логарифмической фазочастотной ха
рактеристики (ЛФЧХ) по оси ординат откладывают ее
значение в радианах. Основным достоинством ЛЧХ явля
ется возможность их построения без вычислений.
При построении ЛЧХ десятикратное изменение часто
ты называют изменением на декаду, а двухкратное — из
менением на октаву. Число декад и октав в заданном диа
пазоне частот ω1 – ω2 вычисляют по формулам
nд = lg

ω2
ω 1
; n = lg 2
.
ω1 ок
ω1 lg2

(2.36)

2.6. ФАЗОВЫЕ ДЕТЕКТОРЫ И ЧАСТОТНЫЕ
ДИСКРИМИНАТОРЫ
Фазовый детектор
Фазовый детектор (ФД) (рис. 2.3) предназначен для
преобразования разности фаз двух синусоидальных коле
баний одинаковой частоты в напряжение.

Рис. 2.3
Функциональная (а) и принципиальная (б) схемы фазового детектора

Основной характеристикой ФД является зависимость
выходного напряжения от разности фаз. В системах РА
применяют ФД двух типов: балансные и параметриче
ские. Наиболее часто используются балансные ФД, кото
рые эффективно работают как на низких, так и на высо
ких частотах.
Схема балансного ФД показана на рисунке 2.3б, вы
ходное напряжение образуется из суммы двух напряже
ний: опорного u1(t) = U1sin ωt и сигнального
u2(t) = U2sin(ωt + ϕ).

(2.37)

37

Сумма и разность этих напряжений определяются вы
ражениями
u1(t) + u2(t) = A1sin(ωt + ϕ1);
u1(t) – u2(t) = A2sin(ωt + ϕ2),
где
1

A1 = [U12 + 2U1U2 cos ϕ + U22 ] 2 ;
1

A2 = [U12 − 2U1U2 cos ϕ + U22 ] 2 ;
U2 sin ϕ
U2 sin ϕ
ϕ1 = arctg
; ϕ = − arctg
.
U1 + U2 cos ϕ 2
U1 − U2 cos ϕ

В статическом режиме напряжение на выходе ФД, как
это следует из рисунка 2.3, определяется выражением
uфд = V1 − V2 = kд ( A1 − A2 ) ≈ 2kд

U1U2 cos ϕ
,
U12 + U22

где kд — коэффициент детектирования.
При U1 > U2
(2.38)
uфд = 2kдU2cosκ = kcos ϕ.
Последнее выражение приближенное, тем более спра
ведливо, чем больше U1 напряжения U2. Так, при U1 = 5U2
максимальная ошибка определения напряжения на выхо
де ФД не превышает двух процентов.
Уравнение нелинейное, проведем его линеаризацию.
В соответствии с (2.2)
uфд = k(cos ϕ0 – sin ϕ0Δϕ),
где ϕ0 — значение фазы в установившемся режиме.
При малых отклонениях фазы от ϕ0 приращение на
пряжения на выходе фазового детектора
Δuфд = uфд – kcos ϕ0 = kфдΔϕ,
где kфд = –ksin ϕ0 — коэффициент передачи фазового детек
В
.
тора, размерностью
гр
Из последнего выражения следует, что передаточная
функция фазового детектора
Wфд(p) = kфд.

38

Если учесть инерционность однополупериодных вы
прямителей на выходе фазового детектора, то его переда
точная функция
Wфд ( p) =

kфд
,
1 + pTфд

(2.39)

где Tфд = 4Сн(Rн + Ri) — постоянная времени ФД; Ri —
внутреннее сопротивление диода.
Частотный дискриминатор
Дискриминаторы предназначены для измерения сиг
нала рассогласования и преобразования его в постоянное
или переменное напряжение. Различают частотные, угло
вые и временные дискриминаторы.
Частотные дискриминаторы (ЧД) — это устройства,
выходные сигналы которых зависят от отклонения часто
ты входных сигналов от переходной частоты:
uчд = F(ω – ω0),
где ω0 — переходная частота.
По способу задания переходной частоты ЧД подразде
ляются на две группы. В дискриминаторах первой группы
переходная частота определяется настройкой эталонного
фильтра (колебательного контура). В ЧД второй группы
переходная частота равна частоте колебаний напряжения
с эталонного генератора.
На рисунке 2.4 изображена схема ЧД первой группы
с фазовым детектором.

Рис. 2.4
Схема ЧД с фазовым детектором

39

В таком ЧД входной сигнал разделяется на две состав
ляющие u1 и u2, сдвиг фаз между которыми при точной на
стройке контура на переходную частоту равен π/2. При от
клонении частоты входного сигнала от переходной сдвиг
фаз изменяется в соответствии с фазовой характеристикой
резонансного контура. Одновременно с этим уменьшается
амплитуда напряжения U2(t). В результате чего изменяется
напряжение на выходе ЧД. Схеме ЧД, показанной на ри
сунке 2.4, соответствует структурная схема ЧД, изобра
женная на рисунке 2.5, на которой ФВ — фазовращатель,
сдвигающий фазу сигнала на π/2; Ф — резонансный
фильтр.

Рис. 2.5
Структурная схема ЧД

Из схемы рисунка 2.5 следует, что на ФД подаются на
пряжения
u1 (t) = u(t) = U sin[(ω0 + Δω)t + ϕ];
π
u2 (t) = U | Wф ( jΔω)| sin (ω0 + Δω)t + ϕ + + ϕф (Δω) ,


2
где Δω — отклонение частоты напряжения от переходной
частоты; ϕф(Δω) — фазовый сдвиг, создаваемый фильтром;
| Wф(jΔω) | — амплитудночастотная характеристика фильтра.
В соответствии с выражением (2.38) напряжение на
выходе ЧД

(2.40)
uчд = 2kдU| Wф(jΔω) |sinϕф(Δω).
Выражение (2.40) определяет дискриминационную ха
рактеристику ЧД, вид которой показан на рисунке 2.6. Из
характеристики рисунка 2.6 видно, что при малых значени
ях расстройки характеристику можно считать линейной и
представить в виде uчд = kчдΔω, где kчд— коэффициент переда
чи ЧД. Таким образом, передаточная функция ЧД
Wчд(p) = kчд.

(2.41)

40

Выражение для передаточной функции ЧД справедли
во в том случае, когда полоса пропускания ЧД намного
шире спектра его входного сигнала, в противном случае
необходимо учитывать инерционность ЧД, которая опре
деляется постоянной времени детектора.

Рис. 2.6
Дискриминационная характеристика

2.7. УГЛОВЫЕ ДИСКРИМИНАТОРЫ
Угловые дискриминаторы (пеленгаторы) используются
в системах автоматического сопровождения цели для изме
рения рассогласования между продольной осью антенны
РЛС и направлением на движущуюся цель и преобразования
этого рассогласования в электрическое напряжение. Разли
чают два вида угловых дискриминаторов: с коническим ска
нированием диаграммы направленности (с последователь
ным сравнением сигналов) и моноимпульсные (с мгновен
ным сравнением сигналов).
В дискриминаторе с коническим сканированием ан
тенной РЛС формируется одна сканирующая (вращаю
щаяся) диаграмма направленности, максимум которой
смещен от продольной оси антенны (рис. 2.7а).
Если направление на цель совпадает с продольной
осью антенны OXА, то цель облучается импульсами одной
и той же мощности, поэтому амплитуда отраженных от
нее импульсов будет постоянной. Если направление на
цель не совпадает с продольной осью, то в моменты време
ни, разделенные интервалом времени, равном половине
периода сканирования, отраженные от цели импульсы
будут иметь различные амплитуды, т. е. будет осуществ
ляться модуляция отраженного сигнала по амплитуде
с частотой сканирования. При небольших отклонениях
направления на цель от продольной оси антенны модуля
ция будет линейной:

41

E(t) = E0[1 + ksecos(ωckt + ϕ)],
где E(t) — амплитуда импульса, отраженного от цели
и принятого в момент времени t; E0 — средняя амплитуда
импульсов за период сканирования; ks — постоянный ко
эффициент; e — угловое рассогласование.
Значение e характеризует отклонение направления на
цель, а ϕ — знак этого отклонения.

Рис. 2.7
К пояснению конического сканирования:
а — определение составляющих ошибок; б — выделение сигнала ошибки.

Последнее выражение можно записать в следующем
виде (рис. 2.7б):
E(t) = E0[1 + ksecos ϕcos ωскt + ksesinϕsin ωскt].
Сигнал E(t) подается на два фазовых детектора, опор
ными напряжениями являются два синусоидальных на
пряжения, сдвинутых относительно друг друга на 90°.
Опорные напряжения снимаются с генератора, кинемати
чески связанного с устройством вращения диаграммы на
правленности так, что частота вращения диаграммы на
правленности и генератора опорных напряжений одна
и та же.
На выходе одного из фазовых детекторов возникает
напряжение
uфд1 = kфдksecos ϕ = kудex
на выходе другого

42

uфд2 = kфдksesin ϕ = kудey,
где kуд — коэффициент передачи углового дискримина
тора.
Зависимость напряжения на выходе фазового детекто
ра от сигнала рассогласования называется пеленгацион
ной характеристикой дискриминатора (см. рис. 2.7б).
Передаточная функция углового дискриминатора с уче
том инерционности фазового детектора
Wуд ( p) =

kуд
.
1 + pTфд

(2.42)

В угловом дискриминаторе с коническим сканирова
нием прием отраженных импульсов происходит через
промежутки времени, равные периоду сканирования. За
этот промежуток времени сигнал изза отражающих
свойств цели изменяется (флюктуирует), что приводит
к снижению точности измерения угла рассогласования.
В моноимпульсных угловых дискриминаторах прием
отраженных от цели сигналов осуществляют четыре ан
тенны одновременно, две из которых предназначены для
пеленгации цели в одной плоскости, а две другие — в дру
гой. Так как в каждой плоскости используются по два не
зависимых канала, то амплитудные флуктуации отра
женного сигнала не влияют на точность измерения угла
рассогласования.
В зависимости от способа обработки принятых сигна
лов моноимпульсные дискриминаторы подразделяются на
фазовые, амплитудные и суммарноразностные. Ограни
чимся рассмотрением фазового суммарноразностного дис
криминатора. В таком дискриминаторе направление на
цель определяется путем сравнения фаз сигналов, приня
тых одновременно двумя антеннами. На рисунке 2.8 пока
зано, как осуществляется такое сравнение.
Непосредственно из рисунка 2.8 следует, что
d
d
sin e, R2 = R − sin e,
2
2
где R1, R2 — расстояния от антенн до цели; d — расстояние
между центрами антенн.
Разность расстояний ΔR = R1 – R2 = dsin e позволяет най
ти разность фаз
R1 = R +

43

Δϕ =

2π
2π
d sin e,
ΔR =
λ
λ

(2.43)

где λ — длина волны.

Рис. 2.8
К пояснению фазового метода пеленгации

Из (2.43) находим угловое рассогласование через раз
ность фаз сигналов, принятых антеннами:
1 λΔϕ
.
(2.44)
2π d
Последняя формула неоднозначна, однако это не явля
ется серьезным недостатком, если расстояние между цен
трами антенн выбрать не больше диаметра антенны.
На рисунке 2.9 показана функциональная схема фазо
вого суммарноразностного моноимпульсного дискрими
натора.
e = arcsin

Рис. 2.9
Функциональная схема суммарно разностного фазового
дискриминатора

44

Сигналы, принятые антеннами, подаются на волновой
мост (ВМ), с одного из выходов которого снимается сум
марный сигнал, с другого — разностный. Эти сигналы по
ступают на преобразователи частоты, состоящие из смеси
телей СМс и СМр и гетеродина Г. На выходах смесителей
образуется суммарный и разностный сигналы промежу
точной частоты, которые усиливаются усилителем про
межуточной частоты УПЧ. Для стабилизации уровней
сигналов суммарного и разностного каналов в дискрими
натор введено устройство автоматической регулировки
усиления АРУ. Разностное напряжение поступает на фа
зовый детектор ФД, опорным сигналом которого является
суммарное напряжение. Для обеспечения нормальной ра
боты ФД в разностный канал включен фазовращатель ФВ.
Напряжение на выходе ФД
uфд = kфд

kр sin Δϕ
kр Δϕ
= kфд tg ,
kс 1 + cos Δϕ
kс
2

(2.45)

где kр, kс — коэффициенты усиления разностного и сум
марного каналов.
С учетом выражений (2.43)–(2.45) получим
uфд (e) = kфд

(

)

kр
πd
tg
sin e .
kс
λ

(2.46)

2.8. ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
В системах РА используются различные исполнитель
ные устройства. В системах, предназначенных для регу
лирования электрических сигналов, например частоты
напряжений в системах АПЧ, исполнительными устрой
ствами являются электронные приборы. В системах РА,
используемых для управления механическими устройст
вами, например антеннами РЛС, в качестве исполнитель
ных устройств применяются электрические двигатели по
стоянного и переменного тока, электромагнитные порош
ковые муфты и другие устройства.
На рисунке 2.10 показана схема двигателя, работающе
го на некоторую нагрузку (Н). Двигатель состоит из обмот
ки возбуждения ОВ, подключенной к источнику постоян
ного тока, и обмотки якоря Я, на которую подается управ

45

ляющее напряжение с усилителя мощности. Напряжение
на обмотке якоря является входным сигналом двигателя, а
угол поворота якоря выходным сигналом.

Рис. 2.10
Схема электрического двигателя

Рис. 2.11
Регулировочная характеристика

Зависимость скорости вращения якоря Ω двигателя от
входного напряжения u называют регулировочной харак
теристикой (рис. 2.11).
Процессы в двигателе определяются следующими дву
мя уравнениями:
1) уравнением электрического равновесия
diя
dϕ
+ Сe
;
dt
dt
2) уравнением равновесия моментов
u = Rяiя + Lя

Mд = Cм Iя =

d2ϕ
+ Mc ,
dt2

(2.47)

(2.48)

где u — напряжение на якоре двигателя; Rя, Lя — сопро
тивление и индуктивность обмотки якоря; iя — ток
в цепи якоря; Cя, Cм — постоянные коэффициенты, зави
сящие от электрических и механических характеристик

46

dϕ d2ϕ
,
— угол поворота, угловая скорость
dt dt2
и угловое ускорение вращения якоря двигателя; Mд —
момент, создаваемый двигателем; J — момент инерции
вращающихся частей, приведенный к якорю двигателя;
Mc — момент сопротивления.
Обычно в следящих системах момент, развиваемый
двигателем, во много раз превышает момент сопротивле
ния, поэтому при нахождении передаточной функции мо
ментом сопротивления можно пренебречь, тогда уравне
ние (2.13) принимает вид

двигателя, ϕ,

d2ϕ
.
(2.49)
dt2
Уравнения (2.12) и (2.14) — это линейные уравнения,
применив к ним преобразование Лапласа при нулевых на
чальных условиях, получим
Cмiя = J

U(p) = RяIя(p) + LяpIя(p) + Cepϕ(p);
CмIя(p) = Jp2ϕ(p).
Определив из второго уравнения Iя(p) и подставив по
лученное выражение в первое, найдем
U ( p) =

Rя J 2
L J
p ϕ( p) + я p3ϕ( p) + Ce pϕ( p).
Cм
Cм

После несложных преобразований последнее выраже
ние принимает вид
U( p)  Lя Rя J 2 Rя J

=
p +
p + 1  pϕ( p).
Ce
Ce Cм
 Rя Ce Cм


Из последнего выражения следует передаточная функ
ция электрического двигателя
Wд ( p) =

kд
ϕ( p)
=
,
U( p) p(TэTм p2 + Tм p + 1)

(2.50)

1
— коэффициент передачи электрического дви
Ce
L
град
; Tэ = я — электро
гателя, размерность которого
Rя
с⋅В

где kд =

47

магнитная постоянная времени; Тм =

Rя J
— электроме
Ce Cм

ханическая постоянная времени.
Так как Tэ намного меньше Tм, то электромагнитной
постоянной времени пренебрегают, в этом случае
Wд ( p) =

kд
.
p(Tм p + 1)

(2.51)

Коэффициент передачи kд и электромеханическая по
стоянная времени определяются экспериментально Для
нахождения коэффициента передачи необходимо снять
регулировочную характеристику, угол наклона касатель
ной к которой, проведенной в точке, соответствующей ус
тановившемуся режиму работы двигателя, определяет
значение коэффициента передачи.
Для измерения электромеханической постоянной вре
мени необходимо снять осциллограмму изменения скоро
сти вращения двигателя при скачкообразном изменении
напряжения на обмотке якоря. Для этого необходимо
зарегистрировать напряжение с какоголибо датчика ско
рости вращения, механически соединенного с якорем дви
гателя. Время, в течение которого скорость вращения
двигателя изменится на величину, равную 0,63 от устано
вившегося значения, равно электромеханической посто
янной времени.
Передаточные функции электрических двигателей пе
ременного тока также описываются выражением (2.51).
Исполнительные устройства с электромагнитными по
рошковыми муфтами рассмотрены в [7].

2.9. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Устройства систем РА, классифицируемые по виду диф
ференциальных уравнений или по виду передаточных
функций, называют типовыми (основными) звеньями. Раз
личают семь типовых звеньев. Рассмотрим их основные ха
рактеристики.
Безынерционное звено
К числу таких звеньев относятся устройства с переда
точной функцией

48

W(p) = k,
где k — коэффициент передачи звена.
Амплитудная и фазовая частотные характеристики
звена:
| W(jω) | = k, ϕ(ω) = 0.
Переходная и импульсная переходная функции:
h(t) = k1(t), w(t) = δ(t).
Примерами безынерционных звеньев являются потен
циометр, полупроводниковый усилитель, зубчатая пере
дача и т. п.
Инерционное звено
К подобным звеньям относятся устройства с переда
точной функцией
k
W ( p) =
,
(2.52)
1 + pT
где k — коэффициент передачи звена; T — постоянная
времени.
Частотная характеристика инерционного звена:
k
W ( jω) =
.
1 + jωT
Вещественная и мнимая частотные характеристики:
P(ω) =

k
kωT
, Q(ω) = −
,
1 + ω2T 2
1 + ω2T 2

амплитудная и фазовая частотные характеристики:
| W ( jω)|=

k
; ϕ(ω) = − arctg ωT.
1 + ω2T 2

(2.53)

Переходная и импульсная переходная функции звена
имеют вид
t
−
k −t
(2.54)
h(t) = k(1 − e T ); w(t) = e T .
T
Пример 2.3. Определим характеристики инерционного
звена с передаточной функцией (рис. 2.12–2.15).
1
10
W ( p) =
=
.
0,1 p + 1 p + 10
Графики характеристик при k = 10, T = 0,1.

49

>>W=tf(10,[0.1 1]);
impulse (W),grid on

Impulse Response

100
90
80
70
60
e
d
uti
pl
m
A

50
40
30
20
10
0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Time (sec)

Рис. 2.12

Переходная функция
>>W=tf(10,[0.1 1]);
step (W),grid on

Step Response

10
9
8
7
6
e
d
uti
pl
m
A

5
4
3
2
1
0

0

0.1

0.2

0.3
Time (sec)

Рис. 2.13

0.4

0.5

0.6

50

Логарифмические частотные характеристики
W=tf(10,[0.1 1]);
bode (W),grid on
Bode Diagram

20

)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

10

0

-10

-20
0

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-45

-90
-1
10

0

1

10

2

10

3

10

10

Frequency (rad/sec)

Рис. 2.14

Годограф частотной характеристики
Nyquist Diagram

5

0 dB

4
3
2

si
x
A
y
r
a
ni
g
a
m
I

1

-2 dB

2 dB
4 dB
6 dB
10 dB

-4 dB
-6 dB
-10 dB

0
-1
-2
-3
-4
-5
-2

0

2

4
Real Axis

Рис. 2.15

6

8

10

51

Интегрирующее звено
К числу таких звеньев относятся устройства с переда
точной функцией
k
W ( p) = ,
(2.55)
p
где k — коэффициент передачи.
Примеры интегрирующих звеньев: электрический дви
гатель с передаточной функцией (2.51), если в ней пренеб
речь электромеханической постоянной времени; усилитель
постоянного тока с большим коэффициентом усиления,
в цепь обратной связи которого включен конденсатор.
Вещественная и мнимая частотные характеристики:
k
P(ω) = 0, Q(ω) = − ;
ω
амплитудная и фазовая
k
π
| W ( jω)|= ; ϕ(ω) = − .
(2.56)
ω
2
Переходная и импульсная переходная функции в со
ответствии с (2.18) и (2.23) следующие:
h(t) = kt ⋅ 1(t); w(t) = k ⋅ 1(t).
W=tf(10,[1,0]);
impulse (W), grid on
Импульсная переходная функция интегрирующего
звена
Impulse Response

11
10.8
10.6
10.4
10.2
e
d
uti
pl
m
A

10
9.8
9.6
9.4
9.2
9

0

0.5

1
Time (sec)

Рис. 2.16

1.5

52

Переходная функция интегрирующего звена
W=tf(10,[1,0]);
step (W), grid on

Step Response
16000

14000

12000

10000
e
d
uti
pl
m
A

8000

6000

4000

2000

0

0

500

1000

1500

Time (sec)

Рис. 2.17

Логарифмические частотные характеристики интегри
рующего звена
W=tf(10,[1,0]);
bode (W),grid on
Bode Diagram
25
20
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

15
10
5
0
-89
-89.5

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-90
-90.5
-91

0

1

10

10
Frequency (rad/sec)

Рис. 2.18

53

Годограф частотной характеристики интегрирующего
звена
W=tf(10,[1,0]);
nyquist (W),grid on

yq

g

10
0 dB
8
6
4
Im
agi
nar
y
Axi
s

2

2 dB
4
610dB
dB
dB

-2 dB
-4 dB
-6 dB

-10 dB

0
-2
-4
-6
-8
-10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real Axis

Рис. 2.19

Логарифмические частотные характеристики в задан
ном диапазоне частот
W=tf(10,[1,0]);
bode (W,{0.2,20}),grid on
Bode Diagram
40
30
)
B
d(
e
d
uti
ng
a
M

20
10
0
-10
-89
-89.5

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-90
-90.5
-91
10

0

1

10
Frequency (rad/sec)

Рис. 2.20

54

Колебательное звено
Передаточная функция звена
W ( jω) =

T 2 ( jω)2

k
,
+ 2ξTjω + 1

(2.57)

где ξ — относительный коэффициент затухания.
Примером колебательного звена является контур, со
стоящий из индуктивной катушки, резистора и конденса
тора. Амплитудная и фазовая частотные характеристики
колебательного звена
W ( jω) =

k
(1 − ω2T 2 )2

+ 4ξ2T 2ω2

;

2ξT
(2.58)
.
1 − ω2T 2
Переходная функция звена в соответствии с (2.18)
ϕ(ω) = − arctg


 1 − ξ2
1 − ξ2
e −αt
sin 
+ arctg
h(t) = k 1(t) −

ξ
 T
1 − ξ2



 . (2.59)


Импульсная переходная функция определяется выра
жением (2.23)
w(t) =

1 − ξ2
ke −αt
sin
t.
T
T 1 − ξ2

(2.60)

При ξ > 1 полюсы передаточной функции (2.57) — отри
цательные действительные числа, поэтому передаточную
функцию звена можно представить в следующем виде:
W ( p) =

k
,
(1 + pT1 ))1 + PT2 )

(2.61)

1
1
,T =
— постоянные времени; λ1, λ2 — по
λ1 2 λ2
люсы передаточной функции колебательного звена.
Ниже показаны графики основных характеристик ко
лебательного звена, найденные при T = 0,5, ξ = 0,2, k = 1
(рис. 2.21–2.24).
Импульсная характеристика колебательного звена

где T1 = T =

>>W=tf(1,[0.25,0.2,1]);

55

>>impulse (W), grid on
Impulse Response
1.5

1

0.5
e
d
uti
pl
m
A

0

-0.5

-1

0

2

4

6

8

10

12

14

Time (sec)

Рис. 2.21

>>W=tf(1,[0.25,0.2,1]);
>>step (W), grid on
Переходная функция колебательного звена
Step Response
1.6

1.4

1.2

1
e
d
uti
pl
m
A

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Time (sec)

Рис. 2.22

Частотные характеристики колебательного звена
W=tf(1,[0.25,0.2,1]);

56

bode (W),grid on

Bode Diagram
20
0
)
B -20
d(
e
d
uti -40
gn
a
M -60
-80
0
-45

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-90
-135
-180

-1

0

10

1

10

2

10

10

Frequency (rad/sec)

Рис. 2.23

Годограф колебательного звена
>>W=tf(1,[0.25,0.2,1]);
>>nyquist (W),grid on3
0 dB
-2 dB
2 2 dB

1
si
x
A
y
r
a
n
gi
a
mI

-4 dB

4 dB
6 dB

-6 dB
10 dB
20 dB

-10 dB
-20 dB

0

-1

-2

-3
-1.5

-1

-0.5

0

0.5
Real Axis

Рис. 2.24

1

1.5

57

Идеальное дифференцирующее звено
Передаточная функция звена
W(p) = kp
(2.62)
не удовлетворяет условию физической реализуемости, по
этому звено называется идеальным. Частотные характе
ристики звена
π
| W ( jω)|= kω; ϕ(ω) = .
2
Переходная функция звена

(2.63)

h(t) = kδ(t),
где δ(t) — дельта функция.
Дифференцирующее звено первого порядка
Передаточная функция такого звена
W(p) = k(1 + pT).
(2.64)
Частотные характеристики:
| W ( jω) |= k 1 + ω2T 2 ; ϕ(ω) = arctg ωT.

(2.65)

Переходная функция звена
h(t) = k(1(t) + Tδ(t)).

(2.66)

Звено запаздывания
Это звено не искажает формы сигнала, а сдвигает его
по времени. Передаточная функция звена
W(p) = e–pT,
где T — время запаздывания.
Частотные характеристики звена:
| W(jω) | = 1; ϕ(ω) = –ωT.

(2.67)

(2.68)

Контрольные вопросы
1. Каким образом линеаризуются характеристики
устройств систем РА?
2. Дайте определение основных характеристик сис
тем РА.
3. Как по дифференциальному уравнению системы
РА найти ее передаточную функцию?

58

4. Что такое условие физической реализуемости
системы РА?
5. Какие частотные характеристики используются
для исследования систем РА?
6. Чем отличаются импульсные переходные функ
ции стационарных и нестационарных систем РА?
7. Почему ЛЧХ нашли большое применение в тех
нике?
8. По каким признакам классифицируются типо
вые звенья?
9. Определите основные характеристики типовых
звеньев.
10. Как экспериментальным путем определяются ко
эффициенты передачи устройств систем РА?

59

Глава 3
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ
3.1. СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ В СИСТЕМАХ РА
Структурная схема системы РА, состоящая из типо
вых звеньев, позволяет без сложных математических вы
числений находить передаточные функции различных
систем РА.
В системах РА встречаются три вида соединений звень
ев: последовательное, параллельное и соединение звеньев
по схеме с обратной связью.
Последовательное соединение типовых звеньев изо
бражено на рисунке 3.1.

Рис. 3.1
Последовательное соединение звеньев

В соответствии с определением передаточной функции
можно записать, что
W1 ( p) =

Y1 ( p)
Y ( p)
Y ( p)
; W2 ( p) = 2
,..., Wn ( p) =
.
X ( p)
Y1 ( p)
Yn−1 ( p)

Перемножив передаточные функции, получим
W ( p) =

Y ( p)
= W1 ( p)W2 ( p),..., Wn ( p).
X ( p)

(3.1)

Таким образом, передаточная функция последователь
но соединенных звеньев равна произведению передаточных
функций звеньев.
Частотная характеристика последовательно соединен
ных звеньев
W(jω) = W1(jω)W2(jω)...Wn(jω) = | W(jω) |ejϕ(ω),
где | W(jω) | = | W1(jω) || W2(jω) || Wn(jω) |;

(3.2)

60

ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + ... + ϕn(ω).
Логарифмическая АЧХ звеньев, соединенных последо
вательно, согласно (3.2)
Λ(ω) = Λ1(ω) + Λ2(ω) + ... + Λn(ω).

(3.3)

Следовательно, логарифмическая АЧХ звеньев, соеди
ненных последовательно, равна сумме логарифмических
АЧХ отдельных звеньев. Это существенно упрощает по
строение логарифмических частотных характеристик по
сравнению с обычными характеристиками.
Пример 3.1. Найти передаточную функцию звеньев, со
единенных последовательно, если их передаточные функции
определяются выражениями:
0,25 p + 1
2
, W2 ( p) =
,
p
p +1
1
10
W3 ( p) =
, W4 ( p) =
2
0,05
p +1
0,01 p + 0,02 + 1
W1 ( p) =

% tf — функции отдельных звеньев
>> W1=tf(2,[1,0]);
>> W2=tf([0.25,1],[1,1]);
>> W3=tf(1,[0.01,0.02,1]);
>> W4=tf(10,[0.05,1]);
>> % общая передаточная функция
>> W=W1*W2*W3*W4
Transfer function:
5 s + 20
-------------------------------------------------0.0005 s^5 + 0.0115 s^4 + 0.081 s^3 + 1.07 s^2 + s
% частотные характеристики
>>bode (W), grid on

61
Bode Diagram
50

0
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

-50

-100

-150
-45
-90
)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-135
-180
-225
-270

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

Frequency (rad/sec)

Рис. 3.2

Параллельное соединение звеньев изображено на ри
сунке 3.3, на вход которых подается один и тот же сигнал,
а выходные сигналы суммируются. Так как
Y1(p) = W1(p)X(p), Y2(p) = W2(p)X(p), Yn(p) = Wn(p)X(p),
то
Y(p) = [W1(p) + W2(p) + ... + Wn(p)]X(p).

Рис. 3.3
Параллельное соединение звеньев

Таким образом, передаточная функция параллельно
соединенных звеньев равна сумме передаточных функций
отдельных звеньев:

62

n

W ( p) =  Wi ( p).

(3.4)

i =1

Частотная характеристика параллельно соединенных
звеньев
n

W ( jω) =  Wi ( jω) = P(ω) + jQ(ω),
i =1

n

где P(ω) =  Pi (ω)— вещественная частотная характеристи
i =1

n

ка звеньев, соединенных параллельно; Q(ω) =  Qi (ω)—
i=1

мнимая частотная характеристика.
Амплитудная и фазовая частотные характеристики
звеньев, соединенных параллельно, определяются по фор
мулам
1

| W ( jω)|= [P2 (ω) + Q2 (ω)] 2 ;
Q(ω)
ϕ(ω) = arctg
.
P(ω)

(3.5)

Для построения логарифмических частотных характе
ристик параллельно соединенных звеньев необходимо
сначала найти амплитудную и фазовую частотные харак
теристики по формулам (3.5), а затем построить логариф
мические частотные характеристики.
Пример 3.2. Найдем передаточную функцию звеньев
соединенных параллельно, для случая
W1 ( p) =

10
10
, W2 ( p) =
.
p
0,5 p + 1

Составим tfфункции
% tf – функции отдельных звеньев
>> W1=tf(10,[1 0]);
>> W2=tf(10,[0.5 1]);
% общая передаточная функция
>> W=W1+W2
Transfer function:
15 s + 10

63

----------0.5 s^2 + s
bode (W),grid on
Bode Diagram

80
60
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

40
20
0
-20
-60
-65

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-70
-75
-80
-85
-90
-2
10

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Рис. 3.4

Соединение звеньев по схеме с обратной связью пока
зано на рисунке 3.5. На вход звена, охваченного обратной
связью, подается сигнал рассогласования, для которого
преобразование Лапласа
E(p) = X(p) – W0(p)Y(p).
В соответствии с определением передаточной функции
Y(p) = W1(p)E(p).

Рис. 3.5
Соединение с обратной связью

Исключив из последних двух уравнений E(p), получим
Y ( p) =

W1 ( p)
X( p).
1 + W1 ( p)W0 ( p)

64

Следовательно, передаточная функция звеньев, соеди
ненных по схеме с обратной связью,
W ( p) =

Y ( p)
W1 ( p)
=
.
X( p) 1 + W1 ( p)W0 ( p)

(3.6)

Передаточная функция (3.6) найдена для случая отри
цательной обратной связью. Если обратная связь положи
тельная, то
W ( p) =

W1 ( p)
.
1 − W1 ( p)W0 ( p)

Частотные характеристики звеньев, соединенных по
схеме с обратной связью, имеют вид
−

1

2 (ω)] 2 ;
| W ( jω)| = | W1 ( jω)| [(1 + P10 (ω))2 + Q10

ϕ(ω) = ϕ1 (ω) − arcg

Q10 (ω)
,
1 + P10 (ω)

(3.7)
(3.8)

где P10(ω), Q10(ω) — вещественная и мнимая частотные ха
рактеристики звеньев образующих замкнутый контур.
После вычислений частотных характеристик (3.7) и
(3.8) могут быть построены их логарифмические частот
ные характеристики.
Пример 3.3. Составить программу вычисления переда
точной функции, если звенья с передаточной функцией
10
W1 ( p) =
охвачены обратной связью с переда
p(1 + 0,04 p)
0,2 p
точной функцией W0 ( p) =
0,2 p + 1
% tf-функции звеньев
>> W1=tf(10,[1,0]);
>> W2=tf(1,[0.04,1]);
>> W3=tf(1,[0.02,1]);
>> W0=tf([0.2,0],[0.2,1]);
% передаточная искомой системы
>> W=feedback(W1*W2*W3,W0)
Transfer function:
2 s + 10
-----------------------------------------

65

0.00016 s^4 + 0.0128 s^3 + 0.26 s^2 + 3 s
%частотные характеристики
>> bode (W),grid on
Выполнение программы
Bode Diagram
50

0
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

-50

-100

-150
-45
-90
)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-135
-180
-225
-270

-1

10

0

10

1

2

10

10

3

10

4

10

Frequency (rad/sec)

Рис. 3.6

3.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ РА
При анализе и синтезе систем РА, используются сле
дующие передаточные функции.
Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

Y ( p)
.
E( p)

(3.9)

Для системы, структурная схема которой показана на
рисунке 3.7, передаточная функция разомкнутой системы
Wр(p) = W1(p)W2(p).

66

Рис. 3.7
Структурная схема системы

Передаточная функция замкнутой системы отно
сительно сигнала X1(p)
Wз1 (з) =

Y ( p)
.
X1 ( p)

(3.10)

Передаточную функцию замкнутой системы можно
выразить через передаточную функцию разомкнутой сис
темы с помощью выражения (3.6), в котором передаточ
ную функцию обратной связи следует положить равной
единице. В результате получим
Wз1 ( p) =

Wр ( p)
.
1 + Wр ( p)

(3.11)

Передаточная функция замкнутой системы зависит от
места приложения сигнала. Так, передаточная функция
относительно сигнала x2(t) определяется выражением от
личным от (3.11)
Wз2 ( p) =

Y ( p)
W2 ( p)
.
=
X2 ( p) 1 + Wр ( p)

(3.12)

Передаточные функции замкнутых систем удобно со
ставлять по следующему правилу. Передаточная функция
замкнутой системы — это дробь, в числителе которой сто
ит передаточная функция звеньев, заключенных между
входным и выходным сигналами, а в знаменателе единица
плюс произведение передаточных функций образующих
замкнутый контур системы.
Передаточная функция ошибки
We ( p) =

E( p)
.
X1 ( p)

(3.13)

67

Из уравнения замыкания системы
E(p) = X1(p) – Y(p)
и выражения (3.10) следует, что
E(p) = [1 – Wз1(p)]X1(p).
Таким образом, передаточная функция ошибки через
передаточную функцию замкнутой системы определяется
выражением
(3.14)
We(p) = 1 – Wз1(p).
Подставив в последнее выражение формулу (3.10), по
лучим выражение передаточной функции ошибки через
передаточную функцию разомкнутой системы
We ( p) =

1
.
1 + Wр ( p)

(3.15)

3.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СТАТИЧЕСКИХ
И АСТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Как уже отмечалось, системы РА подразделяются на ста
тические и астатические. В статических системах ошибка
в установившемся состоянии не равна нулю (рис. 3.8, кри
вая 1), а в астатических равна нулю (рис. 3.8, кривая 2).
Установим, какими особенностями должны обладать пере
даточные функции астатических систем РА относительно
сигнала x(t) = C1(t). Согласно определению передаточной
функции ошибки (3.13)
C
E( p) = We ( p) X( p) = We ( p) .
p

Рис. 3.8
К пояснению статической ошибки системы

Ошибка в установившемся состоянии, называемая ста
тической, на основании теоремы преобразования Лапласа
о конечном значении функции

68

ec = lim e(t) = lim pE( p) = lim We ( p)C.
t→∞

p=0

p =0

(3.16)

Из выражения (3.16) следует, что статическая ошибка
равна нулю, если передаточная функция ошибки содер
жит множитель p (имеет нуль в точке p = 0), в противном
случае статическая ошибка не равна нулю.
Аналогичным образом можно найти условия, при кото
рых система РА является астатической относительно других
видов сигналов. Оказывается, что передаточная функция
ошибки системы с астатизмом v порядка содержит множи
тель pv (имеет нуль порядка v в точке p = 0). В такой системе
ошибка в установившемся состоянии равна нулю при вход
ном сигнале x(t) = Ctv–1. Из передаточной функции ошибки
(3.15) следует, что система РА имеет астатизм порядка v,
если передаточная функция разомкнутой системы содер
жит v интегрирующих звеньев (имеет полюс порядка v
в точке p = 0).
Пример 3.4. Найти передаточные функции в системе,
передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
Wр ( p) =

K (1 + pT2 )
.
p(1 + pT1 )(1 + pT3 )

(3.17)

Р е ш е н и е. Все звенья в цепи сигнала ошибки вклю
чены последовательно, найдем их tfфункции при K = 50,
T1 = 0,1, T2 = 0,2, T3 = 0,02 и составим программу опреде
ления передаточных функций системы
>> W1=tf(50,[1,0]);
W2=tf([0.2,1],[0.1,1]);
W3=tf(1,[0.02,1]);
%Передаточная функция разомкнутой системы
WR=tf(W1*W2*W3)
Transfer function:
10 s + 50
-----------------------0.002 s^3 + 0.12 s^2 + s
%Передаточная функция обратной связи
>> W4=tf(1,1);

69

%Передаточная функция замкнутой системы
>> WZ=feedback(WR,W4)
Transfer function:
10 s + 50
-------------------------------0.002 s^3 + 0.12 s^2 + 11 s + 50
%Передаточная функция ошибки
>> WE=W4-WZ
Transfer function:
0.002 s^3 + 0.12 s^2 + s
-------------------------------0.002 s^3 + 0.12 s^2 + 11 s + 50
Из найденных передаточных функций следует, что
рассматриваемая система имеет первый порядок астатиз
ма, поэтому ее статическая ошибка равна нулю. При сиг
нале ωэ = Ct ошибка определяется по (3.16):
e = lim pWe ( p)
p→0

C
C
= .
p2 K

(3.18)

Это выражение определяет динамическую ошибку сис
темы при заданном сигнале.

3.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГОКОНТУРНЫХ
СИСТЕМ
К многоконтурным относятся системы РА, в которых
помимо замкнутого контура с главной обратной связью
имеются контуры, образованные стабилизирующими обрат
ными связями, введенными для придания системе нужных
динамических характеристик. Передаточные функции та
ких систем находятся путем последовательного сведения
структурной схемы многоконтурной системы к эквивалент
ной одноконтурной.
На рисунке 3.9 изображена структурная схема двух
контурной системы РА.

70

Для сведения такой системы к эквивалентной однокон
турной находят передаточную функцию внутреннего кон
тура, которая в соответствии с выражением (3.6) имеет вид
Wвк (p) =

W2 ( p)
.
1 + W2 ( p)W0 ( p)

(3.19)

После этого структурную схему системы можно пред
ставить как одноконтурную (рис. 3.10), для которой
Wp ( p) = W1 ( p)Wвк (p) =

W1 ( p)W2 ( p)
.
1 + W2 ( p)W0 ( p)

(3.20)

На рисунке 3.10а дана структурная схема системы с пе
рекрестными связями.

Рис. 3.9
Структурная схема двухконтурной системы

Из этого рисунка видно, что несложными преобразова
ниями можно структурную схему системы привести к ви
ду, в котором перекрестные связи отсутствуют (рис. 3.10б).
После таких преобразований передаточные функции нахо
дятся по методу последовательного свертывания многокон
турной системы к эквивалентной одноконтурной. Переда
точная функция разомкнутой системы (рис. 3.10б)
Wр ( p) =

W1 ( p)Wвк ( p)
,
1 + W1 ( p)Wвк ( p)W3−1 ( p)W02 ( p)

W2 ( p)W3 ( p)
— передаточная функ
1 + W2 ( p)W3 ( p)W01 ( p)
ция внутреннего контура.

где Wвк ( p) =

71

Рис. 3.10
Схема многоконтурной системы:
а — с перекрестными связями; б — с неперекрестными обратными связями.

Пример 3.5. Найти передаточную функцию двухкон
турной системы, структурная схема которой известна
(рис. 3.11).

Рис. 3.11

2
2
10
2s
W1 =
, W2 =
, W3 = , W4 =
, W5 = 1.
s
1 + 0,01s
1 + 0,05s
1 + 2s

72

Листинг. Составление tf(модели по структурной схеме
системы
W1=tf(2,[0.01 1]);
W2=tf(2,[0.05 1]);
W3=tf(10,[1 0]);
W4=tf([2 0],[2 1]);
W5=tf(1,1);
WBK=feedback(W2*W3,W4);
WR=(W1*WBK)
WZ=feedback(W1*WBK,W5)
Transfer function:
80 s + 40
---------------------------------------0.001 s^4 + 0.1205 s^3 + 2.46 s^2 + 41 s
Transfer function:
80 s + 40
---------------------------------------------0.001 s^4 + 0.1205 s^3 + 2.46 s^2 + 121 s + 40

3.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ
В ряде случаев передаточные функции и параметры уст
ройств систем РА не могут быть определены расчетным
путем, поэтому приходится использовать различные экспе
риментальные методы. Определение характеристик как
отдельных устройств, так и всей системы в целом по экспе
риментальным данным называют задачей идентифика
ции. Известно несколько методов решения задачи иденти
фикации. Выбор того или иного зависит от конкретных ус
ловий работы и априорных сведений о системе. В системах
РА для идентификации параметров устройств широко при
меняют следующие методы: частотные, по переходным
функциям и статистические.
Частотный метод идентификации базируется на лога
рифмических частотных характеристиках, построенных по
экспериментальным данным. В соответствии с этим мето
дом логарифмическая АЧХ аппроксимируется прямоли
нейными отрезками с наклонами, кратными 20 дБ/дек. Ес
ли характеристика до первой сопряженной частоты имеет

73

наклон –v20 дБ/дек, то исследуемое устройство содержит v
интегрирующих звеньев. Изменение наклона характери
стики на какойлибо частоте на +k20 дБ/дек означает, что
идентифицируемое устройство содержит k форсирующих
звеньев. Если наклон изменяется на –k20 дБ/дек, то иссле
дуемый элемент имеет k инерционных или k/2 колебатель
ных звеньев. Постоянные времени звеньев определяются
через сопряженные частоты. Фазочастотная характеристи
ка используется для более точной аппроксимации лога
рифмической АЧХ прямолинейными отрезками.
Пример 3.6. Определить передаточную функцию уст
ройства, экспериментальная логарифмическая АЧХ кото
рого изображена на рисунке 3.12.

Рис. 3.12
Экспериментальная амплитудная ЛЧХ

Р е ш е н и е. Заменив логарифмическую АЧХ прямо
линейными отрезками, запишем
W ( p) =

K (1 + pT1 )
,
p(1 + pT2 )(1 + pT3 )2

1
1
1
,T =
,T =
— постоянные времени; ω1, ω2,
ω1 2 ω2 3 ω3
ω3 — сопряженные частоты; K — коэффициент передачи
устройства, определяемый по логарифмической АЧХ на
частоте, равной единице, Λ(1) = 20lg K.
Для идентификации параметров можно использовать
и переходную функцию исследуемого устройства. Для
этого необходимо зарегистрировать выходной сигнал уст
ройства при скачкообразном входном сигнале. Далее сле
дует найти передаточную функцию устройства. Это слож
ная задача, так как в устройствах с различными переда
точными функциями могут быть сходные переходные

где T1 =

74

процессы. Поэтому данный метод целесообразно приме
нять в тех случаях, когда передаточная функция известна
и нужно только по экспериментальным данным найти
значения параметров передаточной функции.
Статистические методы идентификации основываются
на определении взаимной корреляционной функции вы
ходного сигнала исследуемого устройства с его входным
сигналом
1
T →∞ 2T

Ryx (τ) = lim

T

 y(t)x(t − τ)dτ,

(3.21)

−T

где x(t) — стационарный случайный сигнал; y(t) — вы
ходной сигнал.
Если в качестве входного сигнала принять белый шум
с интенсивностью N, то согласно (2.27), из выражения
(3.21) получается, что Ryx(τ) = Nw(τ), т. е. взаимная корре
ляционная функция оказывается равной импульсной пере
ходной функции, по которой и рассчитываются параметры
и передаточная функция исследуемого устройства.

3.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ
Дифференциальные уравнения широко используются
при исследовании систем РА. Проще и удобнее составлять
дифференциальное уравнение по передаточным функциям.
Запишем передаточную функцию разомкнутой систе
ме в виде
Wр ( p) =

Y ( p) N ( p)
.
=
E( p) D( p)

(3.22)

Из последнего выражения находим
D(p)Y(p) = N(p)E(p).
(3.23)
Если в последнем выражении оператор p заменить на
d
, то получим дифференци
символ дифференцирования
dt
альное уравнение разомкнутой системы. Для составления
дифференциального уравнения замкнутой системы необ
ходимо использовать передаточную функцию замкнутой
системы

75

Wз ( p) =

Wр ( p)
Y ( p)
.
=
X( p) 1 + Wр ( p)

(3.24)

Из (3.24) с учетом (3.22) находим дифференциальное
уравнение замкнутой системы
[D(p) + N(p)]Y(p) = N(p)X(p).
(3.25)
Дифференциальное уравнение системы относительно
ошибки определяется через передаточную функцию ошиб
ки. Отметим, что определение дифференциальных уравне
ний по передаточным функциям путем замены оператора
Лапласа на символ дифференцирования является
нестрогой математической операцией, но всегда приводит
к правильному результату.
Пример 3.7. Найти дифференциальное уравнение сис
темы АПЧ, структурная схема которой приведена на ри
сунке 1.6.
Р е ш е н и е. Передаточные функции дискриминатора,
фильтра нижних частот и гетеродина описываются соот
ветственно выражениями
Wчд ( p) =

kфнч
kчд
kг
; Wфнч ( p) =
; W3 ( p) =
.
1 + pTчд
1 + pTфнч
1 + pTг

Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K
,
(1 + pTчд )(1 + pTфнч )(1 + pTг )

где K = kчдkфнчkг — коэффициент усиления системы.
Передаточная функция замкнутой системы в соответ
ствии с (3.26) имеет вид
Wз ( p) =

K
,
2
a3 p3 + a2 p + a1 p + a0

где a3 = TчдTфнчTг; a2 = TчдTфнч + TчдTг + TфнчTг; a1 = Tчд + Tфнч +
+ Tг; a0 = 1 + K.
Из последнего выражения следует, что дифференциаль
ное уравнение системы АПЧ определяется выражением
(a3p3 + a2p2 + a1p + a0)Δωг(t) = KΔωc(t),
где p =

d
— символ дифференцирования.
dt

76

Аналогичным образом можно найти дифференциальное
уравнение системы АПЧ относительно ошибки, для чего
следует использовать передаточную функцию ошибки.
Контрольные вопросы
1. Какие способы соединения звеньев используются
в системах РА?
2. Дайте определения передаточных функций, при
меняемых в системах РА.
3. Какие системы относятся к статическим систе
мам, а какие к астатическим?
4. Каким условиям должна удовлетворять переда
точная функция замкнутой системы с астатизмом пер
вого и второго порядков?
5. Как находятся передаточные функции многокон
турных систем РА?
6. Поясните способы идентификации параметров
элементов систем РА.

77

Глава 4
ОПИСАНИЕ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
4.1. ВЕКТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СИСТЕМ РА
Развитие высококачественных систем РА потребовало
разработки новых методов их математического описания.
Эти методы базируются на понятии пространства состояний.
Рассмотрим методику описания в пространстве состо
яний систем РА с одним входом и одним выходом, переда
точная функция которых
W ( p) =

bn pn + bn−1 pn−1 + ... + b0
.
pn + an−1 pn−1 + ... + a0

Такой передаточной функции соответствует дифферен
циальное уравнение
y(n)(t) + an–1y(n–1)(t) + ... + a0y(t) = bnx(n)(t) +
(4.1)
+ bn–1x(n–1) + ... + b0x(t).
Введем следующее обозначение:
(4.2)
y(t) = z1(y) + h0x(t)
и составим систему из дифференциальных уравнений пер
вого порядка:
z1′ (t) = z2 (t) + h1x(t);
z2′ (t) = z3 (t) + h2 x(t);
(4.3)
.........................
zn′ (t) = −a0 z1 (t) − a1z2 (t) −  − an −1zn (t) + hn x(t).
Коэффициенты hi найдем из условия эквивалентности
системы уравнений (4.3) исходному уравнению (4.1). Из
(4.3) следует, что
z2 (t) = z1′ (t) − h1x(t);
z3 (t) = z2′ (t) − h 2 x(t) = z1′′(t) − h 1 x′(t) − h 2 x(t);
...............................................
(4.4)
n−1

zn′ (t) = zn′ −1 (t) − hn−1x(t) = z1(n−1) (t) −  hi x(n−1−i) (t).
i =1

78

Продифференцировав zn(t) в (4.4), найдем
n

n−1

i =1

i =0

z1(n) (t) −  hi x(n−i) (t) = −  ai z i+i (t) + hn x(t).

(4.5)

Подставив в последнее выражение соотношение (4.2)
и сгруппировав слагаемые при одинаковых порядках про
изводных от z1(t) в левой и от x(t) в правой части, найдем
дифференциальное уравнение системы в виде
n−1

y(n) (t) +  ai y(i ) (t) = h0 x(n) (t) + (h1 + h0 an−1 )x(n−1) (t) +
i =0

+(h2 + h0 an−2 + h1an−1 )x(n−2) + ... + (hn + h0 a0 + h1a1 + ... (4.6)
... + hn−1an−1 )x(t).

Приравняв коэффициенты при одинаковых порядках
производных входного сигнала в уравнениях (4.1) и (4.6),
найдем, что
h0 = bn ;
h1 = bn−1 − h0 an−1;
h2 = bn−2 − h0 an−2 − h1an−1;
.......................
hn = b0 − h0 − h1a1 − ... − hn−1an−1.

(4.7)

Из введенной системы уравнений (4.3) видно, что произ
водные zi(t) не зависят от производных входного сигнала x(t).
Переменные zi(t) в системе уравнений (4.3) можно рас
сматривать как составляющие вектора
ZT (t) = [z1 (t), z2 (t),..., zn (t)],

где индекс T определяет операцию транспонирования мат
рицы.
Вектор Z(t) называют вектором состояния системы, а
его составляющие zi(t) — переменными состояния. В про
странстве, осями координат которого являются перемен
ные состояния, каждому моменту времени соответствует
вектор Z(t). Величина и положение этого вектора с возрас
танием времени изменяются, в результате чего вектор Z(t)
описывает кривую (рис. 4.1), называемую траекторией
движения системы в пространстве состояний. Про
странство, по осям координат которого отложены выход

79

ной сигнал и его производные, называют фазовым про
странством.

Рис. 4.1
Траектория движения системы второго порядка

Систему уравнений (4.3) можно записать в виде сле
дующего векторного дифференциального уравнения:
Z (t) = AZ(t) + Bx(t).
(4.8)
Выражение (4.2) определяет уравнение выхода системы
(4.9)
Y(t) = CTZ(t) + h0x(t).
Здесь
0, 1, 0, ..., 0

0, 0, 1, ..., 0



A = .......................

−a , −a , −a , ..., −a 
1
2
n−1 
 0
• матрица системы размером n×n;

h1 
h 
B =  2
 
h 
 n

• матрица управления размером n×1;
1 
0
C= 
 
0
 

• матрица наблюдения размером n×1.

80

Элементы матрицы системы A определяются струк
турной схемой системы и значениями ее параметров.
Матрица управления B характеризует влияние на произ
водные переменных состояния входного сигнала, а мат
рица наблюдения C — связь выходного сигнала с вектором
состояния. Обычно не все переменные состояния являют
ся наблюдаемыми сигналами, т. е. могут быть измерены
с помощью какихлибо датчиков, в то время как выходной
сигнал системы всегда наблюдаем.
В реальных системах РА степень многочлена числите
ля передаточной функции меньше степени многочлена ее
знаменателя, поэтому h0 = 0 и ряд коэффициентов hi мат
рицы управления оказываются равными нулю. При этом
матрица
BT = [0, …, hn–m, …, hn],
где m — порядок многочлена числителя передаточной
функции системы.
В общем случае система РА имеет r входов и l выходов.
Матрица системы A в подобных системах не изменяется
по сравнению с матрицей систем с одним входом, матрица
управления B становится прямоугольной размером n×r,
матрица наблюдения C — прямоугольной размером n×l.
На рисунке 4.2 показана структурная схема системы,
соответствующая векторному дифференциальному урав
нению (4.8); двойные линии на рисунке обозначают век
торные связи. На рисунке 4.3 изображена схема, состав
ленная из интеграторов; из этой схемы видно, что вве
денные переменные состояния — это сигналы на выходах
интеграторов.

Рис. 4.2
Структурная схема системы в векторной форме

81

Рис. 4.3
Структурная схема системы в переменных состояния

Следует иметь в виду, что выбор переменных состоя
ния это неоднозначная операция. Для иллюстрации этого
положения представим передаточную функцию системы
в виде
W ( p) =

αn
α1
α2
+
+ ... +
,
p − λ1 p − λ2
p − λn

(4.10)

где λi — полюсы системы; αi = ( p − λi )W ( p) | p=λi — посто
янные коэффициенты.
Представление передаточной функции системы в виде
(4.10) называют параллельным программированием. Вы
ражению (4.10) соответствует схема, представленная на
рисунке 4.4.
Если сигналы на выходах интеграторов снова принять
за переменные состояния, то систему с передаточной
функцией (4.10) можно описать следующей системой
уравнений:
f1′(t) = λ1f1 (t) + α1x(t);
f2′(t) = λ2f2 (t) + α2x(t);
............................
fn′ (t) = λn fn (t) + αn x(t).

(4.11)

В этом случае выходной сигнал
y(t) = f1(t) + f2(t) + ... + yn(t).

(4.12)

82

Рис. 4.4
Структурная схема в переменных состояния по полюсам системы

Системе уравнений (4.11) соответствует векторное
дифференциальное уравнение
(4.13)
F(t) = AFF(t) + BFx(t).
Выходной сигнал системы (4.12) описывается вектор
ным уравнением вида
y(t) = CFF(t).
Здесь
f1 (t) 
f (t) 
F(t) =  2 


f (t)
n 

— вектор переменных состояния размером n×1;
λ1,0,...,0 
A F = 0, λ2 ,...,0


............ 

— матрица системы размером n×n;
α1 
α 
BF =  2 
 
α 
 n

— матрица управления размером n×1;

(4.14)

83

1
1
CF =  
 
1
 

— матрица наблюдения размером n×1.
Укажем еще один способ выбора вектора переменных
состояния. Если передаточную функцию системы пред
ставить в виде (последовательное программирование)
W ( p) =

b0
1
1
...
p + λ n p + λn−1 p + λ1

(4.15)

и в качестве переменных состояния выбрать сигналы на
выходах интеграторов инерционных звеньев, то векторное
дифференциальное уравнение окажется следующим:
 (t) = A G G(t) + B G x(t),
G
(4.16)
а уравнение выхода
y(t) = CTG G(t),

(4.17)


 g1 (t)  

 g (t)  

где G(t) =  2   — вектор переменных состояния;



 g (t) 

 n 
λ1,1, 0, 0..., 0 
0 
1 
0, λ ,1, 0,...,0 
0 
0
2
 ; B G =   ; CG =   — матрицы сис
AG = 
..................


 
 
0, 0, 0, 0,..., λ 
b 
0
n

 0
 

темы, управления и наблюдения.
Из уравнений (4.8), (4.13) и (4.16) следует, что при мате
матическом описании одного и того же динамического про
цесса (одной и той же системы РА) различному выбору пе
ременных состояния соответствуют разные векторные диф
ференциальные уравнения, различающиеся матрицами сис
темы, управления и наблюдения. Каждое из этих уравнений
полностью определяет выходной сигнал системы.
Ранее векторные дифференциальные уравнения были
определены для стационарных систем РА. В нестационар

84

ных системах матрицы системы, управления и наблюде
ния будут переменными и уравнения, например (4.8) и
(4.9), примут вид:
Z (t) = A(t)Z(t) + B(t)x(t);
(4.18)
y(t) = CT (t) + h0 (t)x(t).

4.2. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ
Найдем решение векторного дифференциального урав
нения стационарной системы (4.8), полагая, что началь
ное состояние системы определяется вектором Z(0). Пре
образование Лапласа уравнения (4.8) имеет вид
pZ(p) – Z(0) = AZ(p) + BX(p),
(4.19)
где Z(p) — преобразование Лапласа вектора переменных
состояния системы.
Из (4.19) последовательно находим
[pI – A]Z(p) = Z(0) + BX(p);
–1

[pI – A] [pI – A]Z(p) = [pI – A]–1Z(0)+[pI – A]–1BX(p),
где I — единичная матрица; [pI – A] — характеристическая
матрица; [pI – A]–1 — обратная характеристическая матрица.
Из последнего выражения следует, что преобразование
Лапласа вектора переменных состояния
Z(p) = [pI – A]–1Z(0) + [pI – A]–1BX(p)
или в области действительного переменного
t

Z(t) = W(t)Z(0) +  W(t − τ)Bx(τ)dτ.

(4.20)

0

Функцию
(4.21)
W(t) = L–1[[pI – A]–1]
называют матрицей импульсных переходных функций,
матрицу W(t – τ) — матрицей перехода.
Матрица импульсных переходных функций может
быть найдена и без вычисления обратной характеристиче
ской матрицы. Оказывается, что элементы матрицы им
пульсных переходных функций wij(t) — это реакция i пе
ременной состояния при возбуждении интегратора j пере
менной состояния сигналом вида дельтафункции.

85

Очевидно, что матрица импульсных переходных функ
ций зависит от выбора переменных состояния.
Пример 4.1. Найти матрицу перехода для системы, пе
редаточная функция которой
W ( p) =

200
.
( p + 10)( p + 20)

(4.22)

Р е ш е н и е. В качестве переменных состояния выбе
рем фазовые координаты (выходной сигнал и его первую
производную). Тогда передаточной функции (4.22) соот
ветствует векторное дифференциальное уравнение
1  z1 (t)   0 
z1′ (t)   0,
z′ (t) = −200, −30 z (t) + 200 x(t)
 2  
 2  


и уравнение выхода
z1 (t) 
y(t) = [1,0] 
.
z2 (t)

Таким образом, матрицы системы, управления и на
блюдения оказываются равными
1 
 0,
0 
1 
;B = 
; C =  .
A=


−200, −30
200
0

Характеристическая матрица
 p, − 1

pI − A = 
.
200,
p
30
+



Матрица, обратная характеристической (см. приложе
ние П.4),
[ pI − A]−1 =

 p + 30,1
1
.
( p + 10)( p + 20) −200, p 

Матрица импульсных переходных функций определя
ется выражением (4.21)
2e −10t − e −20t ,0,1e −10t − 0,1e −20t 
.
W(t) = 
−10t + 20e −20t , − e −10t + 2e −20t 
−20e


Если в последнем выражении t заменить на t – τ, то
получим матрицу перехода W(t – τ).

86

Если в рассматриваемом примере переменными состо
яния выбрать переменные по полюсам системы, то мат
рицы системы, управления и наблюдения получаются сле
дующими:
−10,0 
20 
1
AF = 
 ; B F = −20 ; C F = 1 .
0,
20
−




 

При этом матрица импульсных переходных функций
получается следующей:
e −10t ,0
WF =  −20t  .
0, e


4.3. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА НЕСТАЦИОНАРНОЙ
СИСТЕМЫ
Найдем решение векторного дифференциального урав
нения (4.18), которое, как известно, состоит из решения
однородного уравнения и составляющей, обусловленной
действием входного сигнала x(t). Однородное уравнение
получим из первого уравнения (4.18), положив x(t) = 0.
В результате найдем, что
Z (t) = A(t)Z(t).
(4.23)
Решение этого уравнения ищем в виде
Z(t) = W(t)Z(t0),

(4.24)

где W(t) — матрица импульсных переходных функций;
Z(t0) — вектор, описывающий состояние системы в на
чальный момент времени t0.
Из выражения (4.24) следует, что при t=t0 матрица
импульсных переходных функций равна единичной мат
рице
(4.25)
W(t0) = I,
где I — единичная матрица.
Подставив (4.24) в (4.23), найдем, что матрица импульс
ных переходных функций удовлетворяет выражению
 (t) = A(t)W(t).
W
(4.26)
Проинтегрировав (4.26), получим

87

t

W(t) = exp  A(t)dt.

(4.27)

t0

Определим вынужденную составляющую решения.
С этой целью положим, что
Z(t) = W(t)V(t),
(4.28)
где V(t) — неизвестный вектор размером n×1.
Подставив (4.28) в исходное уравнение (4.18), найдем
 (t)V(t) + W(t)V
 (t) = A(t)W(t)V(t) + B(t)x(t)
W
или с учетом (4.26)
 (t)V
 (t) = B(t)x(t).
W

(4.29)

Умножив последнее выражение на матрицу, обратную
матрице импульсных переходных функций, получим
 (t) = W
 −1 (t)B(t)x(t).
V
Проинтегрировав это уравнение, определим неизвест
ный вектор
t

V(t) =  W −1 (τ)B(τ)x(τ)dτ.

(4.30)

t0

Общее решение векторного уравнения (4.18) равно сум
ме (4.24) и (4.28). С учетом уравнения (4.30) оно имеет вид
t

Z(t) = W(t)Z(t0 ) + W(t)  W −1 (τ)B(τ)x(τ)dτ.

(4.31)

t0

Функцию
W(t, τ) = W(t)W −1 (τ)
(4.32)
называют матрицей перехода системы РА. Отметим не
которые ее свойства.
1. В начальный момент времени t = t0 матрица перехо
да равна матрице импульсных переходных функций

(4.33)
W(t, t0) = W(t)W–1(t0) = W(t),
так как W(t0) = I.
2. При t = τ матрица перехода равна единичной матри
це, так как
W(t, t) = W(t)W–1(t) = I.

(4.34)

88

В общем случае вычислить матрицу перехода сложно.
Обычно для ее определения используются численные ме
тоды.

4.4. МАТРИЦА ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ
Матрица переходных функций — это реакция вектора
переменных состояния на входной сигнал x(t) = 1(t) при
начальном состоянии системы Z(0) = 0. Преобразование
Лапласа для матрицы переходных функций H(p) находит
1
ся из выражения (4.20), в котором Z(0) = 0 и X( p) = ,
p
в результате найдем
1
H( p) = [ pI − A]−1 B .
(4.35)
p
Обратное преобразование Лапласа и определяет мат
рицу переходных функций стационарной системы. Раз
мер матрицы n×1, где n — порядок исследуемой системы.
В нестационарных системах матрица переходных функ
ций H(t) находится из выражения (4.30), в котором следует
положить Z(t0) = 0 и x(τ) = 1(τ), при этом получим
t

H(t) =  W (t, τ)B(τ)dτ.

(4.36)

t0

4.5. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ РА
Управляемость и наблюдаемость являются внутренни
ми свойствами системы и не зависят от выбора переменных
состояния. Нестрого, термин «управляемость» означает,
что в течение некоторого промежутка времени возможно
перевести систему из любого состояния в начало координат.
Термин «наблюдаемость» означает, что начальное состоя
ние системы может быть определено соответствующими из
мерения ее выхода.
Для проверки управляемости системы следует соста
вить матрицу
Q = [BABA2BAn−1B],

(4.37)

где A — матрица системы; B — матрица управления.

89

Система управляема, если ранг матрицы Q равен по
рядку системы n, т. е.
ранг Q = n.
(4.38)
Если матрица системы A — диагональная с различны
ми элементами, то система управляема, если матрица уп
равления B не имеет нулевых строк.
С физической точки зрения в управляемой системе
входной сигнал возбуждает все переменные состояния.
Для проверки наблюдаемости системы необходимо об
разовать матрицу
L = [CAT CAT 2CAT (n−1) ],

(4.39)

T

где C — транспонированная матрица наблюдения.
Система наблюдаема, если
ранг L = n.
(4.40)
Если матрица A диагональная с различными элемен
тами, а матрица C не содержит нулевых столбцов, то сис
тема наблюдаема.
Управляемость и наблюдаемость системы являются до
статочными условиями для регулирования выходного сиг
нала системы, но не являются необходимыми условиями.
Проиллюстрируем это положение конкретным примером.
Пример 4.2. Оценить управляемость и наблюдаемость
системы с передаточной функцией
p +1
W ( p) =
.
(4.41)
p( p + 1)
Р е ш е н и е. Если в качестве переменных состояния
выбрать фазовый вектор, то векторное дифференциальное
уравнение системы и уравнение выхода получаются сле
дующими:
z1′ (t)  0,1  z1 (t)  1 
z′ (t) = 0, − 1 z (t) + 0 x(t);
 2  
 2   
y(t) = z1 (t).

(4.42)

Из последнего выражения следует, что матрицы сис
темы, управления и наблюдения имеют вид
0,1 
1 
1 
; B =  ; C =  .
A=

0, − 1
0
0

90

Для проверки управляемости системы образуем мат
рицу (4.39)
1,0 
Q=
.
0,0

Ранг этой матрицы не равен порядку системы, следо
вательно, рассматриваемая система не управляема.
Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу
(4.39)
1,0
L =  .
0,1

Ранг данной матрицы равен двум, т. е. равен порядку
системы, следовательно, анализируемая система наблю
даема.
Матрица импульсных переходных функций, равная
(4.21), получается следующей:
1(t),1 − e −t 
W (t) =  −t
.
0, e


Решение дифференциального уравнения (4.42) равно
t

z1 (t)  1(t),1 − e −t  z10    x(τ)dτ
=
+
 z   0
z (t) 0, e −t
,
 2  
  20  

0


где z10, z20 — начальные значения переменных состояния.
Так как рассматриваемая система наблюдаема, то z10,
z20 можно вычислить, измеряя выходной сигнал системы.
Определим, существует ли такое управление x(t), что
бы выходной сигнал за заданное время T стал равным ну
лю, т. е. y(T) = z1(T) = 0.
Пусть x(t) = k является постоянной величиной, тогда
из первого уравнения (4.42) получим
0 = z10 + z20 – z10e–T + kT.
Отсюда следует, что постоянное управление
z20 e −T − z10 − z20
T
переводит выходной сигнал в нуль за время t = T.
x(t) = k =

91

Далее необходимо удержать систему в этом нулевом со
стоянии, для этого необходимо обеспечить, чтобы z1′ (t) = 0.
Из первого уравнения (4.42) следует, что это условие будет
выполняться при управлении x(t) = –x2(t) или учитывая вто
рое уравнение (4.42)
x(t) = –z20e–t.
Таким образом, можно управлять выходным сигналом,
хотя рассматриваемая система и не является управляемой.
Контрольные вопросы
1. Что такое переменные состояния? Поясните их
физический смысл.
2. Поясните неоднозначность выбора переменных
состояния.
3. Между какими сигналами устанавливает связь
матрица наблюдения?
4. Поясните физический смысл матрицы перехода.
5. Поясните физический смысл управляемости и на
блюдаемости систем, как проверяется управляемость и на
блюдаемость систем?

92

Глава 5
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РА
5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
Устойчивость линейной системы определяется ее ха
рактеристиками и не зависит от действующих воздейст
вий. Процессы в системах РА описываются дифференци
альными уравнениями вида
[1 + Wр(p)]y(t) = Wр(p)x(t),

(5.1)

d
— символ дифференцирования; x(t), y(t) — вход
dt
ной и выходной сигналы системы.
Решение уравнения (5.1) состоит из двух составляю
щих:

где p =

(5.2)
y(t) = yb(t) + yn(t),
где yb(t) — решение неоднородного уравнения; yn(t) — пе
реходная составляющая решения.
Система РА устойчива, если переходная составляю
щая решения стремится к нулю. Это означает, что если
система выведена из состояния равновесия какимлибо
возмущением, то она возвращается в исходное состояние
после устранения этого возмущения.
Переходная составляющая решения уравнения (5.1)
зависит от корней характеристического уравнения, кото
рое получают из выражения (5.1), приравнивая левую
часть нулю:
(5.3)
1 + Wр(p) = 0.
Переходная составляющая решения
n

yn (t) =  Ci eλit ,

(5.4)

i =1

где λi — корни характеристического уравнения (полюсы
системы); Ci — постоянные интегрирования.
Действительному корню характеристического уравне
ния в выражении (5.4) соответствует слагаемое yni(t) =
= Ci e λit . Если λi < 0, то переходная составляющая с ростом

93

времени стремится к нулю, если λi > 0, то эта составляю
щая неограниченно возрастает (рис. 5.1а)
Паре комплексносопряженных корней уравнения в вы
ражении (5.4) соответствует слагаемое
yni (t) = Ai e γit sin(β i t + ψi ),

где γi ± jβi — корни характеристического уравнения; Ai,
ψi — постоянные интегрирования, зависящие от постоян
ных коэффициентов Сi.
При этом переходная составляющая стремится к нулю,
если вещественные части корней отрицательны, в против
ном случае амплитуда колебаний переходной составляю
щей непрерывно возрастает (рис. 5.1б).
Пара мнимых корней характеристического уравнения
приводит к появлению переходной составляющей в виде
колебаний с постоянной амплитудой (рис. 5.1в):
yni(t) = Aisin(βit + ψi).

Рис. 5.1
К пояснению устойчивости системы РА:
а — переходные составляющие для вещественных корней; б — пары комплексно
сопряженных; в — пары мнимых корней.

Таким образом, для устойчивости системы РА необхо
димо и достаточно, чтобы все корни характеристического
уравнения имели отрицательные знаки, или эти корни на
плоскости комплексного переменного были расположены
слева от мнимой оси. Только при этом все слагаемые в вы
ражении (5.4) будут стремиться к нулю.
Если корни характеристического уравнения располо
жены на мнимой оси, то система РА находится на границе
устойчивости. При этом возможны два случая: корень
в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой ко
рень появляется, когда свободный член характеристиче

94

ского уравнения равен нулю. Если остальные корни этого
уравнения отрицательные, то система РА устойчива не
относительно выходного сигнала, а относительно его про
изводной, выходной сигнал в установившемся режиме
имеет произвольное значение. Такие системы называют
нейтрально устойчивыми. В том случае, когда характе
ристическое уравнение имеет пару мнимых сопряженных
корней, границу устойчивости называют колебательной.
При исследовании устойчивости систем РА, описывае
мых в переменных состояния, характеристическое уравне
ние получается из характеристической матрицы, опреде
литель которой следует приравнять нулю
| pI − A | = 0.

(5.5)

В большинстве случаев корни характеристического
уравнения системы вычислить невозможно, поэтому были
разработаны правила (критерии), позволяющие судить
о расположении корней на плоскости комплексного пере
менного без их расчета. Прежде чем воспользоваться для
оценки устойчивости тем или иным критерием, следует
проверить выполнение необходимого условия устойчиво
сти, в соответствии с которым все коэффициенты харак
теристического уравнения (5.1) или (5.5) должны быть
больше нуля. Для доказательства этого положения пред
ставим характеристическое уравнение в виде
(5.6)
an(p – λ1)(p – λ2)...(p – λn) = 0.
Если система устойчива, т. е. все корни λi отрицатель
ные, то, раскрыв скобки в (5.6), получим уравнение с поло
жительными коэффициентами. Если система неустойчива,
т. е. хотя бы один из корней положительный, то перемножив
сомножители в (5.6), получим уравнение с несколькими от
рицательными коэффициентами. В дальнейшем будем пола
гать, что необходимое условие устойчивости выполняется.
Пример 5.1. Оценим устойчивость замкнутой системы
по корням характеристического уравнения. Передаточная
функция разомкнутой системы
Wp ( p) =

k
.
p(0,1 p + 1)(0,02 p + 1)

95

Характеристическое уравнение системы при k = 40
1 + Wp(p) = 0,002p3 + 0,12p2 + 1p + 40 = 0.
Корни характеристического уравнения:
>> P=[0.002 0.12 1 40];
>> roots(P)
ans =
-57.3617
-1.3191 +18.6259i
-1.3191 -18.6259i

Система устойчивая

при k = 100
>> P=[0.002 0.12 1 100];
>> roots(P)
ans =
-64.3138
2.1569 +27.7990i
2.1569 -27.7990i Система неустойчивая
при k=60
>> P=[0.002 0.12 1 60];
>> roots(P)
ans =
-60.0000
0.0000 +22.3607i
0.0000 -22.3607i

Система на границе устойчивости

5.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Для оценки устойчивости систем РА по критерию Гур
вица необходимо из коэффициентов характеристического
уравнения составить матрицу Гурвица. С этой целью ха
рактеристическое уравнение запишем в виде
anpn + an–1pn–1 + ... + a0 = 0.

96

Матрица Гурвица имеет вид
an−1, an−3 , an−5 ,
a , a , a ,
n−2
n−4
 n
 0, an−1, an−3 ,
 ...,
...,
...,

...,
...,
 0,

... 0 
... 0 

... 0  .
... ...

..., a0 

(5.7)

Порядок составления матрицы Гурвица следующий.
В левом верхнем углу матрицы записывается коэффици
ент an–1, далее по главной диагонали матрицы располага
ются коэффициенты характеристического уравнения с
младшими индексами, над элементами главной диагонали
записываются коэффициенты с убывающими индексами,
под ними — с возрастающими.
Для оценки устойчивости системы РА необходимо вычис
лить определители Гурвица, которые получаются из матрицы
(5.7) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в
левом углу матрицы. Например, первый определитель
Δ1 = an–1,
второй
Δ2 =

an−1, an−3
,
an , an−2

третий
an−1, an−3 , an−5
Δ3 = an , an−2 , an−4 .
0, an−1, an−3

Система РА устойчива, если при an > 0 все определите
ли Гурвица
Δ1 > 0, Δ2 > 0, Δ3 > 0, ..., Δn > 0.
Раскрыв Δn по последнему столбцу, получим

(5.8)

(5.9)
Δn = a0Δn–1.
Так как a0 > 0, то для проверки устойчивости системы
достаточно уточнить знаки только до Δn–1 определителя.
Если определитель Δn = 0, то система РА находится на
границе устойчивости. Возможны два случая: 1) свобод

97

ный член характеристического уравнения равен нулю, что
соответствует нейтрально устойчивой системе; 2) опреде
литель Δn–1 = 0, что соответствует колебательной границе
устойчивости. Из условия Δn–1 = 0 можно определить па
раметры, при которых система РА находится на границе
устойчивости. Например, можно вычислить критический
коэффициент усиления Kкр. Отношение
Kкр
(5.10)
K
называют запасом устойчивости по усилению. Для нор
мального функционирования системы необходимо, чтобы
α ≥ 2.
Пример 5.2. Найти условия устойчивости системы
ФАПЧ (см. рис. 1.8), передаточная функция которой в ра
зомкнутом состоянии имеет вид
α=

Wр ( p) =

K (1 + pT2 )
.
p(1 + pT1 )(1 + pTD 4 )

(5.11)

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение системы
ФАПЧ
T1Tфд p3 + (T1 + Tфд)p2 + (1 + KT2) + K = 0,
(5.12)
где K — коэффициент усиления системы ФАПЧ.
Из характеристического уравнения видно, что
a3 = T1Tфд, a2 = T1 + Tфд, a1 = 1 + KT2, a0 = K.
Матрица Гурвица в соответствии с (5.7) имеет вид
K,
0
T1 + Tфд
 T T , 1 + KT , 0  .
2
 1 фд

T1 + Tфд , K 
 0,

В соответствии с (5.8) условия устойчивости получаются
следующими:
T1Tфд  0, Δ1 = T1 + Tфд  0, Δ2 = (T1 + Tфд)(1 + KT2) –
– KT1Tфд > 0.
Первые два условия выполняются при любых значе
ниях параметров, последнее — в том случае, когда

98

K < Kкр =

T1 + T фд
.
Tфд (T1 − T2 ) − T1T2

Из этого выражения следует, что форсирующее звено
улучшает устойчивость системы, повышает критический
коэффициент, а инерционные звенья снижают его значе
1
, то при
ние. Действительно, если при T2 = 0 Kкр =
T1 + Tфд
T2 =

TфдT1
K = ∞.
Tфд + T1 кр

5.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Частотные критерии устойчивости базируются на
принципе аргумента. Рассмотрим этот принцип, для чего
запишем выражение для характеристического вектора,
которое получим из характеристического уравнения (5.6)
путем замены p на jω:
(5.13)
G(jω) = an(jω – λ1)(jω – λ2)...(jω – λn).
На рисунке 5.2 изображены сомножители характе
ристического вектора. Определим изменение аргумента
вектора G(jω) при изменении частоты от –∞ до ∞:
n

Δ arg G ( jω) =  arg( jω − λi ).
i =1

Рис. 5.2
К оценке изменения аргумента характеристического вектора

Если корень характеристического уравнения λi распо
ложен на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то
вектор (jω – λi) поворачивается на угол π, если этот корень
находится на комплексной плоскости справа от мнимой
оси, то вектор (jω – λi) поворачивается на угол –π. Допус

99

тим, что m корней характеристического уравнения распо
ложены справа от мнимой оси, а остальные n – m корней —
слева. Тогда изменение аргумента характеристического
вектора равно (n – 2m)π. Это выражение и определяет прин
цип аргумента. В устойчивой системе m = 0, и изменение
аргумента характеристического вектора при изменении
частоты от нуля до бесконечности получается следующим:
π
Δ arg G( jω) = n .
(5.14)
2
Из выражения (5.14) следует критерий устойчивости
Михайлова, согласно которому изменение аргумента ха
рактеристического вектора определяется по годографу
вектора, который записывают в виде

G(jω) = U(ω) + jV(ω),
где U(ω), V(ω) — действительная и мнимая части характе
ристического вектора.
Формулировка критерия устойчивости Михайлова сле
дующая: система РА устойчива, если годограф характе
ристического вектора, начинаясь на положительной час
ти действительной оси, обходит последовательно в по
ложительном направлении n квадрантов, где n — порядок
характеристического уравнения системы. Только в этом
случае выполняется условие (5.14). На рисунке 5.3, приве
дены примеры годографов для устойчивых и неустойчивых
систем.

Рис. 5.3
Общий вид характеристического вектора:
а — устойчивой системы; б — неустойчивой системы; в — система на границе
устойчивости.

100

Если годограф проходит через начало координат
(рис. 5.3в), то система находится на границе устойчиво
сти. В этом случае
U(ωкр) = 0, V(ωкр) = 0,

(5.15)

где ωкр— частота, при которой годограф характеристиче
ского вектора проходит через начало координат.
Из этих уравнений можно определить значения пара
метров, при которых система находится на границе ус
тойчивости.
Пример 5.3. Найти критическое значение коэффици
ента усиления в системе ФАПЧ, которая рассматривалась
в примере 5.2.
Р е ш е н и е. Характеристический вектор определяет
ся из выражения (5.13):
G(jω) = K – ω2(T1 + Tфд) + jω(1 + KT2 – ω2T1Tфд).
В соответствии с выражением (5.15) условия, опреде
ляющие границу устойчивости, получаются следующими:
Kкр − ω2кр (T1 + Tфд ) = 0;
ωр: (1 + KT2 ) − ω3T1Tфд = 0.

Следовательно,
ω2кр =

T1 + Tфд
1 + KT2
; Kкр =
.
T1TD4
Tфд (T1 − T2 )

При значениях коэффициента усиления меньше кри
тического ФАПЧ устойчива, в противном случае она не
неустойчива. На рисунке 5.4 показан годограф характери
стического вектора устойчивой системы при T1 = 0,1 c,
T2 = 0,04 c, Tфд = 0,005 c, K = 200 c–1.

Рис. 5.4
Годограф характеристического вектора системы ФАПЧ

101

На практике более широко по сравнению с критерием
Михайлова применяется критерий Найквиста, который
позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по
частотным характеристикам разомкнутой системы.
Рассмотрим случай, когда разомкнутая система РА ус
тойчива и не содержит интегрирующих звеньев. Для до
казательства критерия Найквиста введем вектор
F( jω) = 1 + Wр ( jω) =

D( jω) + N ( jω)
,
D( jω)

(5.16)

N ( jω)
— частотная характеристика разомк
D( jω)
нутой системы.
Числитель (5.16) является характеристическим векто
ром замкнутой системы, а знаменатель — характеристи
ческий вектор разомкнутой системы. Определим измене
ние аргумента вектора (5.16) при изменении частоты от
–∞ до ∞ для случая, когда замкнутая система устойчивая:

где Wр ( jω) =

ΔF(jω) = Δarg[D(jω) + N(jω)] – ΔargD(jω) = 0.
Таким образом, если разомкнутая и замкнутая систе
мы устойчивы, то изменение аргумента вектора F(jω) рав
но нулю, следовательно, его годограф не охватывает нача
ла координат (рис. 5.5а). В противном случае, когда годо
граф F(jω) охватывает начало координат, изменение его
аргумента не равно нулю и система в замкнутом состоя
нии неустойчива.

Рис. 5.5
К выводу критерия устойчивости Найквиста:
а — годограф F(jω) устойчивой системы; б — годограф Wр(jω) устойчивой системы.

102

Очевидно, что об изменении аргумента вектора F(jω)
удобнее судить по годографу частотной характеристики
разомкнутой системы Wр(jω). Действительно, изменение
аргумента вектора F(jω) будет равно нулю, если годограф
Wр(jω) не охватывает точку с координатами (–1, j0). Отсю
да следует формулировка критерия Найквиста.
Система РА, устойчивая в разомкнутом состоянии,
будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годо
граф частотной характеристики разомкнутой системы
не охватывает точку с координатами (–1, j0). В том
случае, когда годограф частотной характеристики ох
ватывает эту точку, система неустойчива. Если годо
граф частотной характеристики разомкнутой системы
проходит через точку (–1, j0), то система в замкнутом
состоянии находится на границе устойчивости.
Если система РА содержит ν интегрирующих звеньев,
то начальное значение фазочастотной характеристики
π
равно − ν, а амплитудночастотной — бесконечности,
2
т. е. разомкнутая система нейтральна. В таких астатиче
ских системах для оценки устойчивости замкнутой систе
мы годограф разомкнутой системы дополняют дугой бес
конечного радиуса (рис. 5.6). Формулировка критерия
устойчивости при этом не изменяется.

Рис. 5.6
Годограф Wр(jω) астатической системы

Аналогичным образом доказывается критерий устой
чивости Найквиста и для случая, когда разомкнутая сис
тема неустойчива. При этом система в замкнутом состоя

103

нии будет устойчива, если годограф частотной характе
ристики разомкнутой системы m раз охватывает точку
с координатами (–1, j0), где m — число полюсов разомк
нутой системы, расположенных на комплексной плоско
сти справа от мнимой оси.

5.4. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
В процессе работы системы РА ее параметры (коэффи
циенты усиления, постоянные времени) изза изменения
внешних условий, колебаний напряжения источников
энергии и других причин отличаются от расчетных значе
ний. Если не принять определенных мер, то система РА
может стать неустойчивой. Для исключения этого явле
ния при проектировании следует обеспечить определен
ные запасы устойчивости системы, которые характеризу
ют близость годографа частотной характеристики разомк
нутой системы к точке с координатами (–1, j0). Запасы
устойчивости определяются на двух частотах: частоте
среза и критической частоте. На частоте среза АЧХ ра
зомкнутой системы равна единице, на критической часто
те ФЧХ принимает значение, равное –π.
Различают запас устойчивости по фазе и усилению.
Запас устойчивости по фазе показывает, на какое значе
ние ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза отлича
ется от –π (рис. 5.6):
(5.17)
Δϕ = π + ϕр(ωср).
Запас устойчивости по усилению определяет, во сколь
ко раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы сис
тема оказалась на границе устойчивости. Так как фазо
частотная характеристика разомкнутой системы не зависит
от коэффициента усиления, то при его изменении меняется
только масштаб годографа, поэтому запас устойчивости по
усилению вычисляется по формуле
α=

1
.
| Wр ( jω)|

(5.18)

Системы РА, годографы частотных характеристик ко
торых пересекают вещественную ось только справа от точ
ки с координатами (–1, j0) (рис. 5.6), называют абсолютно

104

устойчивыми. В таких системах неустойчивость может на
ступить только при увеличении коэффициента усиления.
Если годограф частотной характеристики разомкну
той системы пересекает вещественную ось и слева от точ
ки (–1, j0), то систему называют условно устойчивой
(рис. 5.7). Неустойчивой такая система может стать как
при увеличении, так и при уменьшении коэффициента
усиления.
Для нормальной работы системы РА необходимо, что
бы запас устойчивости по усилению, как указывалось вы
ше, был не менее двух, а запас по фазе был равен 40–50 гр.
Пример 5.4. Рассчитать запасы устойчивости в системе
ФАПЧ, передаточная функция которой в разомкнутом со
стоянии определяется выражением (5.11). Параметры сис
темы:
–1
T1 = 0,1 c; T2 = 0,04 c; Tфд = 0,005 c; K = 200 c .
Р е ш е н и е. АЧХ разомкнутой системы
| Wр ( jω) |=

1 + ω2T22
K
,
2
ω 1 + ω2T 2 1 + ω2Tфд
1

а ФЧХ
π
ϕр (ω) = − + arctg ωT2 − arctg ωT1 − arctg ωTфд .
2
На рисунке 5.8 построен годограф частотной характе
ристики разомкнутой системы ФАПЧ, из которого видно,
что запас устойчивости по усилению равен бесконечности,
а запас по фазе 40 гр.

Рис. 5.7
Годограф Wр(jω) условно устойчивой системной характеристики
условно устойчивой системы

105

Рис. 5.8
Годограф частот разомкнутой системы

5.5. ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ
ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ
ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Построение годографов частотных характеристик ра
зомкнутых систем связано с громоздкими вычислениями,
поэтому целесообразно оценивать их устойчивость по
ЛЧХ. Для этого необходимо построить логарифмические
частотные характеристики разомкнутой системы.
В абсолютно устойчивых системах, в которых годо
граф Wр(jω) не имеет точек пересечения с вещественной
осью слева от точки с координатами (–1, j0), для устойчи
вости замкнутой системы РА необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие ωср  ωкр (рис. 5.9а), в против
ном случае замкнутая система неустойчива (рис. 5.9б).

Рис. 5.9
ЛЧХ разомкнутой системы:
а — устойчивой; б — неустойчивой.

106

В условно устойчивых системах РА для оценки устой
чивости следует в диапазоне частот, в котором логариф
мическая АЧХ больше нуля, подсчитать число переходов
логарифмической ФЧХ через прямую –π. Если число по
ложительных переходов через эту прямую равно числу
отрицательных, то система в замкнутом состоянии устой
чива (рис. 5.10).

Рис. 5.10
К оценке устойчивости условно устойчивой системы

По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить за
пасы устойчивости: запас по фазе отсчитывают по ФЧХ на
частоте среза, а запас устойчивости по усилению соответ
ствует значению логарифмической АЧХ на критической
частоте (рис. 5.9а).
Если ωср = ωкр, то система РА находится на границе ус
тойчивости. Критический коэффициент усиления вычисля
ется по формуле
(5.19)
20lg Kкр = 20lg K + ΔΛ.
В заключение дадим некоторые рекомендации, которые
следуют из практики проектирования систем РА. Вопер
вых, для того чтобы в системе были обеспечены необходи
мые запасы устойчивости, наклон логарифмической АЧХ
в диапазоне частот, в котором расположена частота среза,
был равен –20 дБ/дек. При наклоне –40 дБ/дек трудно
обеспечить необходимый запас устойчивости по фазе. При
наклоне 0 дБ/дек получают излишне большие запасы ус
тойчивости по фазе, система становится передемпфирован
ной с длительным переходным процессом. Вовторых, за
пас устойчивости по фазе в системе РА зависит от диапазо
на частот, в котором логарифмическая АЧХ разомкнутой
системы на частоте среза имеет наклон –20 дБ/дек. Чем

107

больше этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости
по фазе и наоборот.
Пример 5.5. Рассчитать запасы устойчивости в сис
теме ФАПЧ, рассмотренной в примере 5.4. Параметры
системы:
T1 = 0,1 c; T2 = 0,04 c; Tфд = 0,005 c; K = 200 c–1.
Р е ш е н и е. АЧХ разомкнутой системы
| Wр ( jω) |=

1 + ω2T22
K
,
2
ω 1 + ω2T 2 1 + ω2Tфд
1

а ФЧХ
π
ϕр (ω) = − + arctg ωT2 − arctg ωT1 − arctg ωTфд .
2

На рисунке 5.8 построен годограф частотной характе
ристики разомкнутой системы ФАПЧ, из которого видно,
что запас устойчивости по усилению равен бесконечности,
а запас по фазе 40 гр.
Проще решить эту задачу, используя пакет Мatlab.
Частотная характеристика разомкнутой системы
Wr ( p) =

200(0,04 p + 1)
.
p(0,1 p + 1)(0,005 p + 1)

Листинг. Запасы устойчивости ФАПЧ
% tf – функции звеньев системы
>>W1=tf(200,[1 0])
>>W2=tf([0.04 1],[0.1 1]);
>>W3=tf(1,[0.005 1]);
% tf – функция разомкнутой системы ФАПЧ
>>Wr=W1*W2*W3;
% частотные характеристики разомкнутой ФАПЧ
% запасы устойчивости
margin (WR);
grid on

108
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 58.3 deg (at 77.7 rad/sec)

100

50
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

0

-50

-100
-90

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-135

-180
-1
10

0

10

1

2

10

10

3

10

4

10

Frequency (rad/sec)

Рис. 5.11

Пример 5.6. Определить запасы устойчивости системы
автоматического сопровождения цели РЛС, структурная
схема которой показана на рисунке 5.12.

Рис. 5.12
Структурная схема системы автосопровождения цели РЛС

Передаточная функция цепи сигнала ошибки системы
W1 ( p) = Wп ( p)Wфд ( p) =

k!
,
(1 + pTп )(1 + pTфд )

kп
— передаточная функция приемника
1 + pTп
kфд
системы; Wфд ( p) =
— передаточная функция фа
1 + pTфд

где Wп ( p) =

зового детектора; k1 = kпkфд = 10

В
— коэффициент пере
гр

109

дачи цепи сигнала ошибки; Tп = Tфд = 0,01 c — постоянные
времени приемника и фазового детектора.
Передаточная функция внутреннего контура системы,
образованного усилителем мощности, электрическим дви
гателем с редуктором и цепью обратной связи определяет
ся выражением
W2 ( p)
Wвк ( p) =
,
1 + W2 ( p)W0 ( p)
W ( p)Wд ( p)
k2
где W2 ( p) = ум
— переда
=
i
p(1 + pTум )(1 + pTм )
точная функция усилителя мощности с двигателем и ре
гр
1
дуктором; k2 = kум kд = 10 — коэффициент передачи;
i
Вс
i — передаточное число редуктора; Tум = 0,01 с, Tм =
= 0,04 c — постоянные времени усилителя мощности и
электромеханическая постоянная времени двигателя;
k0 p2
W0 ( p) = Wд0 ( p)Wко ( p) =
— передаточная функция
(1 + pT0 )
цепи обратной связи; Wдо(p) = kдоp — передаточная функ
ция датчика скорости вращения антенны; Wко(p) =
k p
= ко — передаточная функция корректирующего
1 + pT0
устройства в цепи обратной связи системы; ko = kдоkко =
Вс2
=3
— коэффициент передачи цепи обратной связи; T0 =
гр
= 10 — постоянная времени корректирующего звена в цепи
обратной связи; Tдо = 0,002 c — постоянная времени датчика
угловой скорости вращения антенны.
Передаточная функция разомкнутой системы автосо
провождения
W1 ( p)W2 ( p)
Wр ( p) =
.
1 + W2 ( p)W 0 ( p)
Листинг «Запасы устойчивости в системе
автоматического сопровождения цели РЛС»
% tf – функции элементов системы
% приемника системы

110

W1=tf(10,[0.01 1]);
%фазового детектора
W2=tf(1,[0.01 1]);
%электрического двигателя с редуктором
W3=tf(10,[1 0]);
W4=tf(1,[0.04 1]);
%усилителя мощности
W5=tf(1,[0.01 1]);
%цепи гибкой обратной связи
W0=tf([3 0 0],[10 1]);
% внутреннего контура системы
WBK=feedback(W3*W4*W5,W0)
%разомкнутой системы
WR=W1*W2*WBK
margin(WR),grid on
150

Bode Diagram
Gm = 7.36 dB (at 48.4 rad/sec) , Pm = 45.4 deg (at 23.9 rad/sec)

100
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

50
0
-50
-100
-150
-90
-180

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-270
-360
-450
-3
10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

Frequency (rad/sec)

Рис. 5.13

Устойчивость систем с запаздыванием
Wр(p) = Wри(p)e–pτ,
где Wри(p) — передаточная функция разомкнутой системы
без запаздывания; τ — время запаздывания.
Передаточной функции соответствуют следующие ам
плитудночастотная и фазочастотная характеристики сис
темы:

111

| Wр(jω) | = | Wри(jω) |; ϕр = ϕри(ω) – ωτ,
где ϕри(ω) — фазочастотная характеристика разомкнутой
системы без запаздывания.
Из этих характеристик следует, что запаздывание влия
ет только на фазочастотную характеристику, создавая на
каждой частоте дополнительный фазовый сдвиг.
Пример 5.7. Передаточная функция системы в разомк
нутом состоянии
10
Wр ( p) =
e − p0,05.
p(1 + p0,02)
Определить запасы устойчивости.
Определение частоты среза
v=5:5:100;
% частотная характеристика разомкнутой системы
WR=10./(j.*v.*(0.02.*v+1)).*exp(-j.*v.*0.05);
% Логарифмическая частотная характеристика
LWR=20.*log10(WR);
semilogx(v,LWR)
grid on;
10

5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
0
10

1

10

Рис. 5.14

Частота среза ωср = 8,5 рад/с.
% Определение критической частоты
v=5:5:100;
FR=-pi./2-atan(v.*0.02)-v.*0.05;
semilogx(v,FR)
grid on;

2

10

112
-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8
0
10

1

10

2

10

Рис. 5.15

Критическая частота ωкр = 22 рад/с.
Условие устойчивости выполняется, запасы устойчи
вости: по фазе 30 гр, по усилению 8 дБ.
Нетрудно установить, что при времени запаздывания
τ > 0,14 с рассматриваемая система неустойчива.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение устойчивости систем РА с фи
зической и математической точек зрения.
2. Какой характер имеет переходный процесс в ус
тойчивой и неустойчивой системах?
3. Докажите необходимое и достаточное условия ус
тойчивости.
4. Что такое критерии устойчивости?
5. Что такое граница устойчивости? Каким образом
при этом расположены корни характеристического
уравнения системы РА на плоскости комплексного пе
ременного?
6. Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица.
7. Каким образом по критерию Гурвица вычисляет
ся критический коэффициент усиления и запас устой
чивости по усилению?
8. Сформулируйте критерий устойчивости Найкви
ста.

113

9. Что такое частота среза и критическая частота?
Каким образом эти частоты определяются по годогра
фу частотной характеристики разомкнутой системы?
10. Что такое запасы устойчивости? Каким образом
они определяются по годографу частотной характе
ристики разомкнутой системы?
11. Почему для оценки близости системы РА к гра
нице устойчивости необходимо использовать запасы
как по усилению, так и по фазе?
12. Как определяются запасы устойчивости по ЛЧХ?
13. Как вычисляется критический коэффициент уси
ления по ЛЧХ?

114

Глава 6
АНАЛИЗ КАЧЕСТВА РАБОТЫ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ
6.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
При анализе качества работы систем РА исходят из то
го, что структурная схема и параметры устройств системы
известны. Требуется оценить качество ее работы. Помимо
устойчивости (см. главу 5) системы РА оцениваются ря
дом качественных показателей, основными из которых
являются точность работы, характер переходного процес
са и частотные свойства. Показатели качества работы за
висят не только от характеристик системы, но и от
свойств, действующих на нее сигналов. Известно, что на
систему РА помимо сигналов (управляющих воздействий)
действуют возмущающиеся воздействия (помехи), сни
жающие точность ее работы. Например, в системе стаби
лизации промежуточной частоты, в системах автоматиче
ского сопровождения цели РЛС изменение температуры
окружающей среды, отклонения напряжений источников
энергии от номинальных значений, блуждание центра от
ражения радиолокационного сигнала по цели, шум элек
тронных приборов приемника являются возмущающими
ся воздействиями.
Законы изменения управляющих воздействий и помех
обычно заранее неизвестны, поэтому качество работы сис
тем РА определяется косвенными признаками, которые
называют показателями качества работы системы.
По реакции системы РА на скачкообразный сигнал су
дят о показателях качества переходного процесса и стати
ческой ошибке системы.
Динамическая ошибка работы системы РА оценивает
ся при управляющем воздействии вида
k

x(t) =  αi ti .

(6.1)

i =0

Частотные показатели качества работы систем РА оп
ределяются при гармоническом входном сигнале.

115

Качество работы систем РА относительно случайных
сигналов и помех характеризуется суммарной средней
квадратической ошибке.
В системах автоматической стабилизации входной
сигнал является постоянной величиной, поэтому основ
ными показателями качества таких систем являются ха
рактеристики переходного процесса и суммарная средняя
квадратическая ошибка. Качество работы следящих сис
тем, входной сигнал которых является случайной функ
цией, оценивается не только по переходному процессу, но
и по частотным характеристикам, динамической точности
работы и суммарной средней квадратической ошибке.
Для оценки качества работы систем РА применяются
и косвенные методы. Эти методы базируются на вычисле
нии интегральных оценок. Широко используется квадра
тичная интегральная оценка:
∞

JV =  v(t)dt,

(6.2)

0

где v(t) — квадратичная форма переменных состояния
системы.
Качество работы систем РА определяется величиной
интегральной оценки (6.2). Чем меньше ее значение, тем
выше качество работы системы и наоборот. Меняя значе
ния коэффициентов квадратичной формы v(t), можно из
менять влияние переменных состояния на величину инте
гральной оценки.
Применение интегральных оценок наталкивается на
ряд трудностей, одна из которых связана с тем, что по
значению интегральной оценки нельзя судить о показате
лях качества и точности работы систем РА, другая — вы
числением интеграла (6.2).

6.2. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА
На переходные процессы в системах РА накладывают
ся определенные ограничения, связанные с особенностями
работы системы. Например, в системах автоматического
сопровождения цели РЛС не допускаются большие откло

116

нения угла отклонения антенны от установившегося зна
чения, так как может произойти срыв сопровождаемой
цели, для повышения надежности работы механических
узлов антенны ограничивается число колебаний антенны
в переходном процессе.
К основным показателям качества переходного процес
са в системе РА относятся следующие параметры (рис. 6.1):

Рис. 6.1
К оценке показателей переходного процесса системы РА

1) длительность переходного процесса tп, равная ин
тервалу времени с момента подачи входного сигнала до
момента времени, когда выходной сигнал не будет отли
чаться от его установившегося значения не более 5%;
2) перерегулирование γ, равное отношению максималь
ного значения выходного сигнала в переходном процессе
y
к установившемуся значению max ;
yy
3) время установления первого максимума выходного
сигнала tр, характеризующее скорость изменения выход
ного сигнала в переходном процессе;
2π
4) частота колебаний в переходном процессе ωt = ,
T
где T — период колебаний.
Установившееся значение выходного сигнала системы
вычисляется по теореме о конечном значении (см. прило
жение П.1). При единичном входном сигнале
yу = lim pWз ( p)
p→0

1
= Wз (0),
p

где Wз(p) — передаточная функция замкнутой системы.
В астатических системах РА установившееся значе
ние выходного сигнала в переходном процессе равно еди

117

нице, в статических

−K
, где K — коэффициент усиле
1+ K

ния системы.
Если сигнал на входе системы РА отличается от еди
ницы, то в переходном процессе изменяется только мас
штаб выходного сигнала.
Пример 6.1. Найти переходный процесс в системе
ФАПЧ, передаточная функция которой в разомкнутом
состоянии определяется выражением (5.11)
Wз ( p) =

200(1 + p0,04)
8 p + 200
=
.
p(1 + p) + 200(1 + p0,04) p2 + 9 p + 200

Определим импульсную переходную функцию и пере
ходный процесс в системе. Составляем tfфункцию
Импульсная переходная функция
>> W=tf([8 200],[1 9 200]);
>> impulse (W),grid on
Impulse Response

12

10

8

6
e
d
uti
pl
m
A

4

2

0

-2

-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Time (sec)

Рис. 6.2

Переходная функция
>> W=tf([8 200],[1 9 200]);
>> step (W),grid on

1

1.2

1.

118
Step Response

1.5

1

e
d
uti
pl
m
A
0.5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (sec)

Рис. 6.3

Из графика переходного процесса видно, что длитель
ность переходного процесса tп = 0,8 с, а γ = 1,45.

6.3. ЧАСТОТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА РАБОТЫ
Частотные показатели качества работы систем РА опре
деляются по АЧХ замкнутой системы (рис. 6.4). Нетрудно
установить, что значение этой характеристики при часто
те, равной нулю, равно единице в астатических системах и
K
в статических системах. Для удобства АЧХ статиче
1+ K
ских систем нормируются, т. е. ее значения делятся на на
чальное значение; в этом случае АЧХ статических систем то
же начинаются с единицы.

Рис. 6.4
АЧХ замкнутой системы

119

К частотным показателям качества работы систем РА
относятся следующие параметры:
1) полоса пропускания системы ωп — диапазон частот,
в котором АЧХ замкнутой системы больше или равна еди
нице. Если АЧХ во всем диапазоне частот меньше едини
цы, то полоса пропускания отсчитывается по уровню 0,7;
2) резонансная частота ωр — частота, соответствую
щая максимуму АЧХ замкнутой системы, эта частота ха
рактеризует частоты колебаний в переходном процессе;
3) показатель колебательности M — максимальное
значение АЧХ замкнутой системы. Обычно стремятся,
чтобы показатель колебательности не превышал двух.
Рассмотрим некоторые приближенные соотношения,
устанавливающие связь между параметрами частотных
характеристик замкнутой и разомкнутой систем, которые
позволяют оценить частотные показатели качества работы
систем РА без построения АЧХ замкнутых систем.
Частотные характеристики замкнутой и разомкнутой
систем связаны соотношением
Wз ( jω) =

−1
Wр ( jω)
1
e −ϕр ( ω)  ,
= 1 +

1 + Wр ( jω)  | Wр ( jω)|


где | Wр(jω) |, ϕр(ω) — АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.
Из последнего выражения находим, что
1
2
−
| Wр ( jω)|= 1 +
cos ϕр (ω)
 | Wр ( jω)|2 | Wр ( jω)|



ϕз (ω) = arctg

−

1
2

;

(6.3)

;

(6.4)

sin ϕр (ω)
| Wр ( jω)| + cos ϕр (ω)

или при Δϕ = π + ϕр(ω)
1
2
−
| Wз ( jω)|= 1 +
cos Δ(ϕ)
 | Wр ( jω)|2 | Wр ( jω)|



ϕз (ω) = − arctg

−

1
2

sin Δϕ(ω)
.
| Wр ( jω)| − cos Δϕ(ω)

Из уравнений (6.3) и (6.4) следует, что в диапазоне
частот, в котором | Wр(jω) | > 1, АЧХ замкнутой системы

120

приблизительно равна единице, а ФЧХ мало отличается
от нуля. В диапазоне частот, в котором | Wр(jω) | < 1, харак
теристики | Wз(jω) | и ϕз(ω) стремятся к характеристикам
разомкнутой системы.
На частоте, равной полосе пропускания, АЧХ замкну
той системы равна единице. Тогда, согласно (6.4),
| Wр ( jω)|=

1
.
2cos Δϕ(ωп )

(6.5)

В диапазоне частот среза и пропускания логарифмиче
ская АЧХ разомкнутой системы имеет наклон –20 дБ/дек.
Поэтому ФЧХ изменяется незначительно и можно при
нять, что Δϕ(ωп) ≈ Δϕ(ωср) = Δϕ. Тогда выражение (6.5) при
нимает вид
| Wр ( jωп )|=

1
.
2cos Δϕ

Полоса пропускания и частота среза связаны соотно
шением
20lg

ωп
= −20lg | Wр ( jω)| .
ωср

Отсюда
ωп = 2ωсрcosΔϕ.
(6.6)
Значение показателя колебательности системы РА
можно определить, если исследовать на максимум выра
жение (6.4). В диапазоне частот, в котором расположена
резонансная частота, ФЧХ разомкнутой системы изменя
ется незначительно и приблизительно равна этой харак
теристике на частоте среза. Поэтому для отыскания мак
симума (6.4) можно продифференцировать это выражение
по | Wр(jω) | и приравнять его нулю. В результате получим,
что максимум АЧХ замкнутой системы получается при
1
| Wр ( jω)|=
. Подставив это выражение в (6.4), най
cos Δω
дем, что колебательность системы связана с запасом ус
тойчивости по фазе выражением
M=

1
.
sin Δϕ

(6.7)

121

Найденные частотные показатели качества работы
системы могут быть найдены из графиков амплитудной и
фазовой частотных характеристик. Покажем это на при
мере системы фазовой подстройки частоты, передаточная
функция которой, как было показано ранее, определяется
выражением
200(0,04 p + 1)
Wз ( p) = 2
.
1 p + 9 p + 200
% tf – функция замкнутой системы
W=tf([8 200],[1 9 200]);
bode (W), grid on
Выполнение программы
Bode Diagram

10
0
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

System: W
Frequency (rad/sec): 13.2
Magnitude (dB): 5.33

-10
-20
-30
-40
-50
0

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-45

-90

-135
0
10

1

2

10

10

Рис. 6.5

Полоса пропускания системы
>> W=tf([8 200],[1 9 200]);
>> bandwidth (W)
ans =
22.8657

3

10

122

Колебательность и собственную частоту системы най
дем из АПЧ, для этого нужно щелкнуть левой клавишей
по максимальному значению АПЧ, в результате получим,
что собственная частота равна 13,2 рад/с.

6.4. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ СИСТЕМ
Помимо статических ошибок, которые были рассмот
рены в разделе 3.3, точность работы систем РА при детер
минированных воздействиях характеризуется динамиче
скими и переходными ошибками (рис. 6.6).

Рис. 6.6
К пояснению точности работы систем РА

Динамическая ошибка — ошибка в установившемся ре
жиме работы при действии на нее нестационарного сигнала.
Переходная ошибка — ошибка при работе системы в пе
реходном процессе, который возникает при отработке на
чального рассогласования.
Динамическая точность работы систем РА оценивает
ся при медленно изменяющихся входных сигналах (воз
действия, число производных от которых ограничено).
Сигнал (6.1) относится к медленно изменяющемуся воз
действию, так как число производных от этого сигнала, не
равных нулю, равно k, а k + 1 производная равна нулю.
Гармонический сигнал не является медленно изменяю
щимся, так как число производных от него равно беско
нечности.
Переходные процессы в системах РА затухают значи
тельно быстрее по сравнению с изменением медленно ме
няющегося сигнала, поэтому и достигается установив
шийся динамический режим работы системы.

123

В соответствии с определением передаточной функции
ошибки (3.13) преобразование Лапласа для ошибки системы

(

1
E( p) = We ( p) X( p) = C0 + C1 p + C2 p2 + ...
2
1
k
... + Ck p X( p),
k!
или в области действительного переменного

)

(6.8)

1
1
e(t) = C0 x(t) + C1x′(t) + C2x′′(t) + ... + Ck x(k) (t). (6.9)
2
k!
Число слагаемых в последнем выражении ограничено,
так как сигнал x(t) является медленно изменяющимся
воздействием.
Первое слагаемое в выражении (6.9) называют ошиб
кой по положению, а коэффициент C0 — коэффициентом
ошибки по положению, второе слагаемое — ошибкой по
скорости, а коэффициент C1 — коэффициентом ошибки
по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (6.9) назы
вают ошибкой по ускорению, а коэффициент C2 — коэффи
циентом ошибки по ускорению.
Для нахождения коэффициентов ошибок Ci известны
три способа. Первым способом эти коэффициенты вычис
ляются по формуле
dk
Ck = k ! k We ( p) p=0 .
dp
Вторым способом коэффициенты ошибок находятся
путем деления числителя передаточной функции ошибки
на ее знаменатель.
Наиболее удобным является третий способ. Переда
точную функцию ошибки представим в виде
b pn + bn−1 pn−1 + ... + b2 p2 + b1 p + b0
We ( p) = n n
.
an p + an−1 pn−1 + ... + a2 p2 + a1 p + a0
Перемножив многочлен знаменателя последнего вы
ражения на (6.8), получим
(an pn + an −1 pn −1 + ... + a2 p2 + a1 p + a0 ) ×
1
1
× C0 + C1 p + C2 p2 + ... + Ck pk =
(6.10)
2
k!
= bn pn + bn −1 pn −1 + ... + b2 p2 + b1 p + b0 .

(

)

124

Приравняв в выражении (6.10) коэффициенты при
одинаковых степенях p слева и справа, определим форму
лы для последовательного вычисления коэффициентов
ошибок. В результате найдем
C0 =

b0
1
2
; C = (b − C0 a1 ); C2 = (b2 − C0 a2 − a1C1 ).
a0 1 a0 1
a0

Из выражения (6.9) следует, что коэффициенты оши
бок имеют размерность ci.
В инженерных расчетах коэффициенты ошибок удоб
нее рассчитывать через коэффициенты передаточной
функции разомкнутой системы:
Wр ( p) =

K dm pm + ... + d2 p2 + d1 p + d0
.
p ν bn pn + ... + b2 p2 + b1 p + b0

(6.11)

В таблице 6.1 приведены формулы для расчета пер
вых трех коэффициентов ошибок статических и аста
тических систем РА через параметры передаточной
функции (6.11).
Таблица 6.1
ν

0

С0
С1
С2

1

2

Формулы для расчета

Ci

C0
C1

1
1+ K
K

b1 − d1
(1 + K )2

b (d − b )
d (d − b )
b − d2
2  K 2
+ K 1 1 31 + K 2 1 1 31 
2
(1 + K )
(1 + K ) 
 (1 + K )
0
1
K

C2

b −d 1 
2  1
− 2
 K
K 

C0
C1
C2

0
0
2
K

Учитывая особенности передаточных функций астати
ческих систем РА, рассмотренных в разделе 3.3, нетрудно
установить, что в таких системах ν первых коэффициен

125

тов ошибок равны нулю, где ν — порядок астатизма сис
темы РА.
При анализе качества работы систем РА помимо вы
числения ошибок при медленно изменяющихся сигналах
приходится оценивать точность и при гармонических воз
действиях. В этих случаях нельзя применять метод коэф
фициентов ошибок, так как число производных от гармо
нического сигнала не ограничено. Очевидно, что при этом
для расчета ошибок необходимо использовать частотные
характеристики. По АЧХ ошибки вычисляется амплиту
да колебаний ошибки, по ФЧХ — сдвиг колебаний ошиб
ки относительно входного сигнала.
Пример 6.2. Найти динамическую ошибку следящей
системы при входном сигнале
1
x(t) = α1t + α2t2 .
2
Передаточная функция следящей системы в разомк
нутом состоянии
Wр ( p) =

1 + pT2
K
.
p (1 + pT1 )(1 + pT3 )

Р е ш е н и е. Коэффициенты ошибок вычисляются по
формулам таблицы 6.1 для систем с астатизмом первого
порядка
1
 T + T3 − T2
1 
; C = 2 1
− 2 .
K 2
K

K 
Динамическая ошибка системы в соответствии с вы
ражением (6.9)
C0 = 0; C1 =

e(t) =

1
1
1
(α + α2t) + T1 + T3 − T2 −  α2 .
K 1
K
K

Из последнего выражения следует, что при увеличе
нии коэффициента усиления системы K ошибка уменьша
ется, форсирующие звенья системы также снижают вели
чину динамической ошибки, увеличение же постоянных
времени инерционных звеньев ухудшает динамическую
ошибку системы.

126

6.5. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА СИСТЕМЫ
Качество работы систем РА при случайных воздействиях
оценивается по суммарной средней квадратической ошибке.
В большинстве случаев закон распределения ошибки можно
считать гауссовским, поэтому для расчета составляющих
суммарной средней квадратической ошибки достаточно
учесть математической ожидание и корреляционную функ
цию ошибки или ее спектральную плотность.
Прежде чем рассматривать методы вычисления сум
марной средней квадратической ошибки, установим, че
рез какие передаточные функции в выражение для ошиб
ки входят сигнал и помеха, полагая, что на вход системы
подается воздействие вида
f(t) = x(t) + n(t),
где x(t) — случайный сигнал; n(t) — случайная помеха.
Суммарная ошибка системы (рис. 6.7)
e(t) = x(t) – y(t),
где y(t) — выходной сигнал системы.

Рис. 6.7
К определению суммарной ошибки

Преобразование Лапласа для суммарной ошибки
E(p) = X(p) – Wз(p)N(p) = We(p)X(p) – Wз(p)N(p), (6.12)
где Wз(p), We(p) — передаточные функции замкнутой сис
темы и ошибки; X(p), N(p) — преобразования Лапласа для
сигнала и помехи.
Из выражения (6.12) следует, что суммарная ошибка
состоит из двух составляющих, одна из которых, опреде
ляющая точность воспроизведения системы сигнала, за
висит от передаточной функции ошибки, вторая, обуслов
ленная действием помехи, — от передаточной функции

127

замкнутой системы. При анализе средней квадратоиче
ской ошибки ограничимся случаем, когда сигнал и помеха
являются стационарными случайными функциями. При
этом математическое ожидание помехи будем полагать
равным нулю, а случайный сигнал представим в виде


x(t) = mx + x(t),



где mx — математическое ожидание сигнала; x(t) — слу
чайная составляющая сигнала.
Математическое ожидание сигнала суммарной ошиб
ки рассчитывается по теореме о конечном значении функ
ции (см. приложение П.1):
me = lim pWe ( p)mx ( p).

(6.13)

p→0

Точность системы относительно случайной составляю
щей сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки
σ2e = M [e2 (t)] = Re (τ) |τ=0 ,

(6.14)

дисперсия ошибки; σe — средняя квадратиче
где
ская ошибка системы; e(t) — ошибка системы; M — мате
матическое ожидание от квадрата ошибки; Re(τ) — авто
корреляционная функция ошибки.
На основании эргодической теоремы автокорреляци
онную функцию ошибки находят как среднее по времени
от произведения случайных составляющих ошибки, раз
деленных промежутком времени τ:
σ2e —

Re (τ) = lim




1
2T

T →∞



+T





 e(t) e(t + τ)dt,

(6.15)

−T

где e(t) = x(t) − y(t) — случайная составляющая суммарной
ошибки.
По теореме умножения изображений, согласно (6.12)
получаем
∞





e(t) =  we (t) x(t − λ) − wз (t)n(t − λ) dλ;

(6.16)

0

где we(t) — импульсная переходная функция ошибки сис
темы; wз(t) — импульсная переходная функция замкнутой
системы.

128

Подставив выражения (6.16) в (6.15), после неслож
ных преобразований найдем автокорреляционную функ
цию ошибки:
∞∞

Re (τ) =   (we (λ)we (η)Rx (τ + λ − η) +
00

+wз (λ)wз (η)Rn (τ + λ − η) + we (λ)wз (η)Rxn (τ + λ − η) + (6.17)
+wз (λ)we (η)Rnx (τ + λ − η))dλdη,

где Rx(τ) — автокорреляционная функция сигнала; Rп(τ) —
автокорреляционная функция помехи; Rxп(τ), Rпx(τ) — вза
имные корреляционные функции.
Подставив в последнее выражение τ = 0, получим вы
ражение для дисперсии ошибки:
∞∞

σ2e =   (we (λ)we (η)Rx (λ − η) + wз (λ)wз (η)Rn (λ − η) +
00

+we (λ)wз (η)Rxn (λ − η) + wз (λ)we (η)Rnx (λ − η))dλdη = (6.18)
= σ2ex + σ2en + σ2exn + σ2enn .

Дисперсия ошибки может быть вычислена и через ее
спектральную плотность, которая, как известно, равна
преобразованию Фурье от автокорреляционной функции
ошибки системы (6.17):
Se (ω) =

∞

 Re (τ)e− jωτdτ.

−∞

Подставив в это выражение формулу (6.17), определим
спектральную плотность ошибки системы:
Se(ω) = | We(jω) |2Sx(ω) + | Wз(jω) |2Sп(ω) +
+ Se(–jω)Wз(jω)Sxп(ω) + We(jω)Wз(–jω)Sпx(ω), (6.19)
где Sx(ω) — спектральная плотность сигнала; Sп(ω) —
спектральная плотность помехи; Sxп(ω), Sпx(ω) — взаимные
спектральные плотности.
Так как
Re (τ) =

1
2π

∞

 Se (ω)e− jωτdω,

−∞

то в соответствии с выражением (6.14) дисперсия ошибки

129

σ2e =

1
2π

∞

 (| We ( jω)| Sx (ω)+ | Wз ( jω)|2 Sn (ω) +

−∞

+ W (− jω)Wз ( jω)Sxn (ω) + We ( jω)Wз (− jω)Snx (ω))dω = (6.20)
= σ2ex + σ2en + σexn + σ2enx .

Если сигнал и помеха не коррелированы, то Rxn(τ) =
= Rnx(τ) = 0; Sxn(ω) = Snx(ω) = 0 и (6.16)–(6.20) упрощаются.
Первое слагаемое в (6.20) зависит от АЧХ ошибки сис
темы и от статистических характеристик сигнала, оно оп
ределяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведе
ния сигнала x(t). Второе слагаемое в (6.20) зависит от
АЧХ замкнутой системы и характеристик помехи, оно
характеризует ошибку системы вследствие действия по
мехи n(t). Последние два слагаемых в (6.20) — составля
ющие ошибки изза корреляции сигнала с помехой и по
мехи с сигналом.
Величину
σ = me2 + σ2e .

(6.21)

называют суммарной средней квадратической ошибкой
системы РА.
Вычисление средней квадратической ошибки через ее
автокорреляционную функцию (6.17) связано с некоторы
ми трудностями, одна из которых связана с нахождением
импульсной переходной функции системы РА, другая —
с вычислением интеграла (6.18). Поэтому на практике
среднюю квадратическую ошибку рассчитывают через
спектральную плотность ошибки. При этом предваритель
но необходимо все слагаемые выражения (6.20) привести к
виду расчетных формул, приведенных в приложении П.2.
Достигается это с помощью формирующих фильтров. Фор
мирующий фильтр — устройство, позволяющее генериро
вать случайный сигнал с заданной спектральной плотно
стью из сигнала белого шума. Характеристики формирую
щего фильтра для стационарных случайных сигналов оп
ределяются следующим образом. Так как спектральная
плотность сигнала является четной дробнорациональной
функцией частоты, то она может быть представлена в виде
двух комплексносопряженных сомножителей:
Sx(ω) = NxWф(jω)Wф(–jω).

130

Из последнего выражения и находится передаточная
функция формирующего фильтра:
Wф(p) = ψ(jω)|jω=p.
Для расчета коэффициентов передаточной функции
формирующего фильтра выражение для спектральной
плотности сигнала нужно записать в виде
Sx (ω) = Nx

c2m ( jω)2m + c2m−2 ( jω)2m−2 + ... + c2 ( jω)2 + c0
=
d2n ( jω)2n + d2n−2 ( jω)2n−2 + ... + d2 ( jω)2 + d0
2

b ( jω)m + bm−1 ( jω)m−1 + ... + b1 ( jω) + b0
= Nx m
.
an ( jω)n + an−1 ( jω)n−1 + ... + a1 ( jω) + a0

(6.22)

Вычислив квадрат модуля в левой части (6.22) и при
равняв коэффициенты при одинаковых степенях частоты
слева и справа, получим уравнения для определения коэф
фициентов передаточной функции формирующего фильтра
ai и bi.
Формирующий фильтр и анализируемая система РА
образуют некоторую расширенную систему, на вход кото
рой действует белый шум. На рисунке 6.8 показана схема
такой системы для случая, когда помеха является белым
шумом.

Рис. 6.8
Схема включения формирующего фильтра

Если помеха не белый шум, то в схему расширенной
системы нужно включить формирующий фильтр, кото
рый из белого шума будет генерировать случайную поме
ху с заданной спектральной плотностью.
С учетом введенных формирующих фильтров выра
жение (6.20) для случая, когда сигнал и помеха не кор
релированы, принимает вид

131

σ2e =
+

2

∞

1
 | We ( jω)Wфx ( jω)| Nx dω +
2π −∞
2

∞

(6.23)

1
 | Wз ( jω)Wфn ( jω)| Nndω = σ2ex + σ2en ,
2π −∞

где Wфx(jω), Wфn(jω) — частотные характеристики форми
рующих фильтров сигнала и помехи; Nx, Nn — интенсив
ности белых шумов на входах формирующих фильтров.
Интегралы в (6.23) вычисляются по табличным фор
мулам, приведенным в приложении П.2.
Для расчета дисперсии сигналов по их спектральным
плотностям может быть использован второй способ, в со
ответствии с которым спектральную плотность сигнала
необходимо представить в следующем виде:
S(ω) = NWф ( jω) Nф (− jω) =
=N

cm ( jω)m + cm−1 ( jω)m−1 + ... + c1 ( jω) + c0
.
dn ( jω)n + dn−1 ( jω)n−1 + ... + d1 ( jω) + d0

(6.24)

Дисперсия сигнала рассчитывается по формуле
β2i
,
2αi
i =1
n

σ2 = N 

(6.25)

где N — уровень спектральной плотности сигнала; αi, βi —
коэффициенты, вычисляемые по формулам

dn
c
, β = n −1 ;
dn −1 1 dn −1
dn −1
cn −2
α2 =
, β2 =
;
dn −2 − α1dn −3
dn −2 − α1dn −3
d − α1dn −3
c −β d
α 3 = n −2
, β = n −3 1 n −3 ;
dn −3 − α2dn −4 3 dn −3 − α2dn −4
.....................
.................
d − αn −2d0
c − βn −2d0
αn = 1
, βn = 0
.
d0
d0
α1 =

(6.26)

132

6.6. ЭФФЕКТИВНАЯ ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ
СИСТЕМЫ
На практике часто встречаются случаи, когда помеху
можно считать белым шумом, спектральная плотность
которого в пределах полосы пропускания системы РА по
стоянна. При этом дисперсия ошибки системы изза дей
ствия помехи
σ2en =

∞

Sn (0)
 | Wз ( jω) |2dω.
2π −∞

Величину
fэф =

∞

∞

1
 | Wз ( jω)|2dω; ωэф =  | Wз ( jω)|2dω
2π −∞
−∞

(6.27)

называют эффективной полосой пропускания системы
РА относительно белого шума. Из рисунка 6.9 видно, что
ωэф — это основание прямоугольника, площадь которого
равна площади, ограниченной графиком квадрата АЧХ
замкнутой системы.

Рис. 6.9
К определению эффективной полосы пропускания

Дисперсия ошибки системы изза действия помехи:
Sт (0)
ωэф .
(6.28)
π
В таблице 6.2 даны выражения для вычисления эф
фективной полосы пропускания систем РА, наиболее час
то встречающихся в радиотехнических устройствах.
σ2eп =

133

Таблица 6.2
Wр(p)

fэф

K
p

K
2

K
1 + pT

K2
2T (1 + K )

K
p(1 + pT1 )(1 + pT3 )

K (T1 + T3 )
2(T1 + T3 − KT1T )3

K (1 + pT2 )
p(1 + pT1 )

K (T1 + T22 K )
2T1 (1 + KT2 )

K (1 + pT2 )
p2

1 + KT22
2T2

Средняя квадратическая ошибка системы
автоматического сопровождения цели РЛС
Найдем суммарную среднюю квадратическую ошибку
системы автоматического сопровождения цели бортовой
РЛС, передаточная функция которой в замкнутом состоя
нии определяется выражением
Wз ( p) =

1 + pT2
,
(1 + pT1 )(1 + pT3 )

(6.29)

где T1 = 0,37 c; T2 = 0,5 c; T3 = 0,14 c.
На систему действуют:
1) сигнал, обусловленный перемещением сопровожда
емой цели относительно РЛС. Математическое ожидание
и спектральная плотность случайной составляющей этого
сигнала определяются выражениями
mx = αt, Sx (ω) =

Nx
,
ω2 (1 + ω2Tx2 )

(6.30)

где α = 0,5 рад⋅с–1; Nx = 3,05⋅10–4 рад2⋅с; Tx = 10 c;
2) случайное воздействие, возникающее изза колеба
ний летательного аппарата относительно центра масс.
Спектральная плотность этого воздействия
Sк (ω) = Nк

1 + Tк20 ω2
,
ω2 (Tк4 ω4 + 4ξ2Tк2ω2 + 1)

где Nк = 0,15⋅10–4 рад2⋅с; Tк = 0,4 c; Tк0 = 2,5 с; 4ξ = 1;

(6.31)

134

3) угловой шум, возникающий изза того, что центр
отражения радиолокационного сигнала «блуждает» по со
провождаемой цели. Этот шум можно считать белым
с уровнем спектральной плотности
L
Sуш = 0,25 ,
(6.32)
R
где L — геометрический размер цели; R — дальность до
сопровождаемой цели.
4) помехи, обусловленные тепловым шумом приемни
ка РЛС и флуктуациями отраженного от цели сигнала.
Эти воздействия при анализе точности системы можно
считать белыми шумами и объединить в одно воздействие
с уровнем спектральной плотности

Sф(ω) = Nф,

(6.33)

где Nф = 0,31⋅10 рад ⋅с.
Рассчитаем математическое ожидание ошибки систе
мы и дисперсии составляющих ошибки относительно ка
ждого из указанных сигналов.
Математическое ожидание (динамическая ошибка сис
темы) в соответствии с (6.13)
–6

2

me = lim pWe ( p)
p→0

α
= (T1 + T3 − T2 )α = 0,5 ⋅ 10−2 рад,
p2

где We(p) = 1 – Wз(p) — передаточная функция ошибки
системы автоматического сопровождения цели РЛС.
Дисперсия ошибки системы относительно случайной
составляющей сигнала, обусловленного перемещением со
провождаемой цели относительно РЛС, вычисляется по
формуле (6.20), в котором спектральная плотность под
знаком интеграла
Sex(ω) = Nx| We(jω)Wфx(jω) |2,
1
— частотная характеристика
jω(1 + jωTx )
формирующего фильтра сигнала.
Таким образом, дисперсия ошибки относительно сиг
нала

где Wфx ( jω) =

135

1
2π

σ2ex =
= Nx

∞

c jω + c

 Nx d3 ( jω)3 + d21( jω)2 +0 d1 ( jω) + d0

2

dω =

−∞
c12d0

+ c02d2
,
2d0 (d1d2 − d0d3 )

где c1 = T1T3; c0 = T1 + T3 – T2; d3 = T1T3Tx; d2 = T1T3 + T1Tx +
+ T3Tx; d1 = T1 + T3 + Tx; d0 = 1.
Последний интеграл найден по формуле, приведенной
в приложении П.2 для n = 2. Подставив значения пара
метров системы и сигнала в последнее выражение, най
дем, что σ2ex = 7,645 ⋅ 10−7 рад2 .
Случайный сигнал, возникающий изза колебаний
летательного аппарата, является управляющим воздей
ствием, передаточная функция формирующего фильтра
этого сигнала находится по формулам (6.24) и (6.31) и
имеет вид
Wфк ( p) =

1 + Tк0 p
,
p(Tк2 p2 + 2ξкTк p + 1)

где 2ξк = 2(2ξ2 + 1) .
Дисперсия ошибки системы относительно сигнала ко
лебаний летательного аппарата, согласно (6.20),
σ2ек =
=

∞

1
 Nк | We ( jω)Wфк ( jω)|2 dω =
2π −∞
∞

2

c2к ( jω)2 + c1к ( jω) + c0к
1
Nк
dω,

4
2π −∞
d4к ( jω) + d3к ( jω)3 + d2к ( jω)2 + d1к ( jω) + d0к

где с2к = T1T3Tк0; с1к = Tк0(T1 + T3 – T2) + T1T3; с0к = T1 + T3 –
– T2; d4к = Tк2T1T3 ; d3к = Tк2 (T1 + T3 ) + 2ξкTкT1T3 ; d2к = Tк2 +
+ T1T3 + 2ξкTк (T1 + T3 ); d1к = 2ξкTк + T1 + T3 ; d0к = 1.
Этот интеграл вычисляется по формуле, данной в при
ложении П.2 для случая n = 2:
σ2eк =
= Nк

2 d d d
2
2
2
c2к
0к 1к 4к + (c1к − 2c0к c2к )d0к d3к d4к + c0к ( −d1к d4к + d2к d3к d4к )
.
2
2
2d0кd4к (−d0кd3к − d1кd4к + d1кd2к d3к )

136

После подстановки в последнее выражение заданных
значений параметров системы и сигнала получим σ2eк =
= 2,853 ⋅ 10−6 рад.
Угловой шум и флуктуации отраженного сигнала яв
ляются помехами для системы автоматического сопрово
ждения цели, снижающие точность сопровождения цели.
Составляющие дисперсии ошибки системы, возника
ющие изза углового шума и флуктуаций отраженного от
цели сигнала, определяются выражениями
2

σ2уш

∞
 T22 + T1T3 
1
=
|
W
(
j
ω
)|
S
(
ω
)
d
ω
=
S
з
уш
уш
 2T T (T + T )  .

2π −∞
 1 3 1 3 

При дальности до сопровождаемой цели R = 5000 м и
L = 5 м дисперсия ошибки системы σ2eуш = 0,0336 ⋅ 10−6 рад2 .
Дисперсия ошибки системы изза флуктуаций отра
женного от цели сигнала и шума приемника станции вы
числяется по формуле
σ2eф

1
=
2π

∞

2

 | Wз ( jω)| Sф (ω)dω = Nф

−∞

T22 + T1T3
.
2T1T 3 (T1 + T3 )

При заданных значениях параметров системы и спек
тральной плотности флуктуаций дисперсия ошибки
σ2eф = 1,73 ⋅ 10−6 рад2 .
Таким образом, дисперсия ошибки системы автомати
ческого сопровождения цели относительно случайных со
ставляющих в соответствии с (6.20)
σ2e = σ2ex + σ2eк + σ2eуш + σ2eф = 3,4 ⋅ 10−6 рад2 .

Средняя квадратическая ошибка системы σe = 1,84⋅10–3
рад или σe = 6,3 угл. мин.
Суммарная средняя квадратическая ошибка системы
автоматического сопровождения цели РЛС в соответствии
с (6.21)
σ = me2 + σ2e = 0,53 ⋅ 10−2 рад

или σ = 18 угл. мин.

137

6.8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРА
СОСТОЯНИЯ
Одной из задач анализа качества работы систем РА яв
ляется оценка статистических характеристик вектора пе
ременных состояния. Статистические характеристики век
тора состояния приходится вычислять, когда необходимо
найти характеристики выходных сигналов системы, кото
рые используются как входные воздействия для других
устройств. Например, характеристики вектора состояния
бортовой РЛС используются как входные воздействия для
систем управления летательным аппаратом.
Как уже отмечалось в главе 4, современная теория сис
тем управления оперирует векторными дифференциаль
ными уравнениями, которые для случая стационарной
системы удобно записать в виде
Z′(t) = AZ(t) + Bx(t);
(6.34)
y(t) = CTZ(t),
где Z(t)— вектор переменных состояния; y(t), x(t) — выход
ной и входной сигналы; A, B, C — матрицы системы, управ
ления и наблюдения. Решение векторного дифференциаль
ного уравнения (6.34) определяется выражением (4.29), ко
торое при нулевых начальных условиях запишем в виде
∞

Z(t) =  W(λ)V(t − λ)dλ,

(6.35)

0

где W(t) — матрица импульсных переходных функций;
V(t) = Bx(t).
Матрица корреляционных функций вектора состояния
R Z (τ) = M[Z(t)ZT (t + τ)].

(6.36)

В последнем выражении транспонированный вектор
состояния
∞

ZT (t) =  VT (t + τ − η)W T (η)dη.

(6.37)

0

Подставив (6.35) и (6.37) в выражение (6.36) найдем,
что матрица корреляционных функций вектора состояния
имеет вид

138
∞∞

R Z (τ) =   W (λ)RV (τ + λ − η)W T (η)dλdη,

(6.38)

00

где RV (τ + λ − η) = M[V(t − λ)VT (t + τ − η)] — матрица корре
ляционных функций вектора V(t).
Матрица корреляционных функций вектора состоя
ния — это квадратная матрица размером n×n, где n — по
рядок анализируемой системы. По главной диагонали
матрицы расположены автокорреляционные функции пе
ременных состояния системы. Остальные элементы мат
рицы (6.38) являются взаимными корреляционными
функциями между переменными состояния. Если в вы
ражении (6.38) положить τ = 0, то получим матрицу кор
реляционных моментов вектора состояния
∞∞

R Z (0) =   W (λ)RV (λ − η)W T (η)dλdη.

(6.39)

00

Формулы (6.38) и (6.39) используются для статистиче
ской оценки вектора состояния в случае, если известна
матрица импульсных переходных функций системы РА.
Если при исследовании системы достаточно найти только
матрицу корреляционных моментов, то можно обойтись
без определения матрицы импульсных переходных функ
ций, что существенно упрощает расчеты. Найдем уравне
ние, которому удовлетворяет матрица корреляционных
моментов вектора состояния. С этой целью запишем вы
ражение для производной от матрицы корреляционных
моментов вектора состояния (6.36) при τ = 0
M[Z (t)ZT (t) + Z(t)Z T (t)] = 0.
(6.40)
Так как элементы матрицы корреляционных момен
тов вектора состояния в рассматриваемой задаче не зави
сят от времени, то производные от них равны нулю, по
этому в последнем выражении справа записана нулевая
матрица.
Принимая во внимание (6.34), найдем
AR Z (0) + R Z (0)AT + BM[x(t)ZT (t)] + M[Z(t)x(t)]BT = 0. (6.41)

139

Вычислим в (6.41) два последних слагаемых для слу
чая, когда входным сигналом системы является белый
шум с автокорреляционной функцией
Rx (τ) = σ2x δ(τ).

(6.42)

С учетом (6.34) для последнего слагаемого в выраже
нии (6.41) имеем
∞

1
1
M[Z(t)x(t)] =  W (λ)Bσ2x δ(λ)dλ = W (0)Bσ2x = IBσ2x ,
2
2
0

где I — единичная матрица.
Аналогичным образом
∞

1
M[x(t)ZT (t)] =  σ2x δ(λ)BT W T (λ)dλ = σ2x BT I.
2
0

В последних двух формулах учтено, что матрица им
пульсных переходных функций при аргументе равном ну
лю является единичной матрицей, а коэффициент 1/2
следует из свойства дельтафункции
∞

1

1

 W (λ)δ(λ)dλ = 2 W (0) = 2 I.
0

Таким образом, уравнение (6.41) получается следую
щим:
AR Z (0) + R Z (0)AT + Bσ2x BT = 0.

(6.43)

Для решения уравнения (6.43) необходимо выполнить
умножение и сложение матриц справа и приравнять эле
менты полученной матрицы нулю, в результате получим
систему алгебраических уравнений, число которых равно
n2. Матрица корреляционных моментов симметрическая,
n
, этому же значению
поэтому число уравнений равно
n +1
равно число неизвестных элементов матрицы корреляци
онных моментов вектора переменных состояния. Из най
денных решений необходимо отобрать только те, при ко
торых матрица корреляционных моментов является по
ложительно определенной.

140

Уравнение (6.43) найдено для случая, когда входной
сигнал системы — белый шум. Если на входе системы не
белый шум, а случайный сигнал, спектральная плотность
которого описывается дробнорациональным выражени
ем, то такой сигнал можно представить как результат
прохождения сигнала белого шума через некоторый фор
мирующий фильтр, на выходе которого получается слу
чайный сигнал с нужной спектральной плотностью. Рас
сматривая исследуемую системы и формирующий фильтр
совместно, приходим к случаю, рассмотренному выше.
Пример 6.3. Найдем матрицу корреляционных функ
ций и корреляционных моментов вектора состояния для
системы с передаточной функцией
W ( p) =

200
,
( p + 10)( p + 20)

на которую действует случайный сигнал белого шума с ав
токорреляционной функцией (6.42). Матрицы системы
и управления, а также матрица импульсных переходных
функций для рассматриваемой задачи определены в при
мере 4.1 и имеют вид
1 
 0,
0 
A=
 ; B = 200 ;
−
−
200,
30




2e −10t − e −20t ;0,1e −10t − 0,1e −20t 
W(t) = 
.
−10t + 20e −20t ; − e −10t + 2e −20t 
−20e


Матрица корреляционных функций вектора белых
шумов
V(t) = Bx(t)
определяется выражением
RV (τ) = M[V(t)VT (t)] = Bσ2x δ(τ)BT

или в развернутой форме
0
0,
RV (τ) = 
4
0, 4 ⋅ 10


.
δ(τ)

Подставив W(t) и Rv(τ) в выражение (6.38) и выполнив
интегрирование найдем, что матрица корреляционных
функций вектора состояния имеет вид

141

R Z (τ) =

σ2x
3

 10(2e −10| τ| − e −20| τ| );
200(−e −10| τ| + e −20| τ| ) 
200( −e −10| τ| + e −20| τ| ); 2000(−e −10| τ| + 2e −20| τ|  .



Приняв в последнем выражении τ = 0, найдем матрицу
корреляционных моментов вектора состояния
R Z (0) =

σ2x
3

0 
10;
 0; 2000 .



Найдем матрицу корреляционных моментов вектора
состояния без вычисления матрицы импульсных переход
ных функций, для этого воспользуемся уравнением (6.43),
которое в рассматриваемой задаче имеет вид
1  R11
 0;
−200; −30 R

  21
0;
+σ2x [0; 200] = 
0;

R12  R11
+
R22  R21

R12  0; −200  0 
+
+
R22  1; −30  200

0
.
0

Из последнего выражения следует система алгебраи
ческих уравнений:
R21 + R12 = 0;
R22 − 200R11 − 30R12 = 0;
−200R11 − 30R21 + R22 = 0;
−200R12 − 30R22 − 200R21 − 30R22 + 4 ⋅ 104 σ2x = 0.

Так как R Z (0) симметрическая, то из полученной сис
темы уравнений находим
R12 = R21 = 0; R11 =

10 2
2000 2
σ ;R =
σx .
3 x 22
3

Интегральные оценки
Интегральной оценкой систем РА называют значение
интеграла:
∞

∞

0

0

J1 =  cTZ(t)dt =  y(t)dt,

(6.44)

где Z(t) — вектор переменных состояния, начальное значение
известно и не равно нулю; y(t) — выходной сигнал системы.
Интегральные оценки определяются при входном сиг
нале равном нулю. Смысл применения оценки (6.44) за

142

ключается в том, что интеграл находится без вычисления
подынтегрального выражения. Чем меньше интеграл, тем
выше качество работы системы РА и наоборот.
Интегральную оценку (6.44) называют первой интег
ральной оценкой. Для ее расчета необходимо в преобразо
вании Лапласа для выходного сигнала Y(p) при заданном
начальном состоянии системы положить p = 0.
Первая интегральная оценка используется только в тех
случаях, когда заранее известно, что переходный процесс
в системе РА имеет монотонный характер. Часто по значе
нию первой интегральной оценки нельзя судить о качестве
работы системы. Действительно, если в системе РА имеют
место незатухающие колебания (рис. 6.10), то первая инте
гральная оценка окажется равной нулю, т. е. будет соответ
ствовать высокому качеству работы, на самом деле такая
система неработоспособна.

Рис. 6.10
К определению первой интегральной оценки

Поэтому качество работы систем РА определяют с по
мощью квадратичной интегральной оценки:
∞

J2 =  y2 (t)dt.

(6.45)

0

Очевидно, для системы с переходным процессом, по
казанным на рисунке 6.10, квадратичная интегральная
оценка равна бесконечности, т. е. соответствует неудовле
творительному качеству работы системы.
Для достижения требуемых показателей качества рабо
ты ряд параметров системы РА могут варьироваться отно
сительно расчетных значений. К числу таких регулируе
мых параметров относятся коэффициент усиления систе
мы, постоянные времени корректирующих устройств и
другие значения параметров, при которых интегральная

143

оценка имеет минимальное значение, называют опти
мальными. Оптимальные параметры находятся из сле
дующей системы уравнений:
d
J = 0, i = 1,2,..., k,
dβi

(6.46)

где βi — регулируемые параметры; k — число регулируе
мых параметров.
Иногда выбор параметров из условия минимума оцен
ки (6.46) приводит к резко выраженным колебательным
процессам, поэтому в системах РА применяется обобщен
ная интегральная квадратичная оценка:
∞

JV =  v(t)dt,

(6.47)

0

где v(t) — квадратичная форма.
Примером квадратичной формы является функция
v(t) = α1z12 (t) + α2z22 (t) + ... + αn zn2 (t),

(6.48)

где z1(t), z2(t), ..., zn(t) — переменные состояния системы;
αi — весовые коэффициенты.
В простейшем случае интегральная оценка (6.47) име
ет вид
∞

Jτ =  [z12 (t) + τ2z22 (t)]dt,

(6.49)

0

где τ — весовой коэффициент.
Физический смысл интегральной оценки (6.49) сле
дующий. При выборе параметров системы РА из условия
минимума оценки (6.49) не допускается как длительное
отклонение от нуля переменной (иначе первая состав
ляющая оценки будет большой), так и большое значение
z2(t) (иначе вторая составляющая оценки будет большой).
Таким образом, получается хотя и быстрый, но и плавный
переходный процесс. При этом, чем больше весовой коэф
фициент τ, тем более медленному переходному процессу
соответствует минимум интегральной оценки (6.49). Ока
зывается, что выбор параметров системы РА из условия
минимума оценки (6.49) означает приближение переход
ного процесса в системе к экспоненте с постоянной време

144

ни τ, а из условия минимума оценки (6.45) — приближе
ние переходного процесса к ступенчатой функции.
Для вычисления квадратичных интегральных оценок
выражение (6.48) необходимо записать в матричном виде
(см. приложение П. 4)
v(t) = ZT (t)VZ(t),

(6.50)

α1, 0, 0, ..., 0
 0, α , 0, ..., 0
2


где V =  ........................  — матрица квадратичной
 0, 0, 0, ..., 0 


формы.
Расчет квадратичных интегральных оценок основан на
введении дополнительной квадратичной формы w(t), ко
торая с квадратичной формой интегральной оценки (6.48)
связана выражением
d
(6.51)
w(t) = −v(t).
dt
При этом квадратичная интегральная оценка (6.47)
оказывается равной
∞

JV = − 
0

d
w(t)dt = w(0).
dt

(6.52)

Если выразить дополнительную квадратичную форму
через вектор состояния
w(t) = ZT (t)WZ(t),

(6.53)

то окажется , что оценка (6.52) равна
JV = ZT (0)WZ(0),

(6.54)

где W — матрица дополнительной квадратичной фор
мы; Z(0) — начальное значение вектора переменных со
стояния.
Для определения матрицы дополнительной квадра
тичной формы подставим выражение (6.53) в (6.51). В ре
зультате найдем, что

145

d
 (t) = −Z (t)(t)VZ(t). (6.55)
w(t) = Z T (t)WZ(t) + ZT (t)WZ
dt
Векторное дифференциальное уравнение системы при
входном сигнале равном нулю имеет вид
Z′(t) = AZ(t),
(6.56)

Подставив последнее выражение в (6.55), получим
ZT (t)AT WZ(t) + ZT (t)WAZ(t) = −ZT (t)VZ(t).

(6.57)

Из этого выражения следует матричное уравнение
AT W + WA = −V.

(6.58)

Последнее выражение в математике известно как урав
нение Ляпунова.
К сожалению, из уравнения Ляпунова нельзя опреде
лить матрицу W. Поэтому поступают следующим образом.
Выполняют операции умножения и сложения в левой час
ти уравнения (6.58), после чего приравнивают элементы
полученной матрицы к соответствующим элементам мат
рицы справа. Так как матрица W — симметрическая, то
n(n + 1)
алгебраических
в результате получают систему
2
уравнений с неизвестными элементами матрицы W. Квад
ратичная форма всегда больше нуля, поэтому из найден
ных решений для элементов матрицы W необходимо ото
брать только те, при которых матрица дополнительной
квадратичной формы будет положительно определенной
матрицей.
Пример 6.4. Определить оптимальное значение коэф
фициента усиления из условия минимума интегральной
оценки (6.49) для системы, передаточная функция кото
рой в разомкнутом состоянии
Wр ( p) =

K
,
p(1 + pT1 )(1 + pT2 )

где T1 = 0,1 c; T2 = 0,05 c.
Начальное состояние системы:
z1(0) = 1; z2(0) = z3(0) = 0.

146

Р е ш е н и е. Передаточная функция системы в замк
нутом состоянии
Wз ( p) =

b1
,
p3 + a2 p2 + a3 p + a4

T + T2
1
K
;a = 1
; a3 =
.
T1T2 2
T1T2
T1T2
Таким образом, матрицы системы и квадратичной оцен
ки следующие:

где a4 = b4 =

1
0 
 0
1, 0, 0
0
1  ; V = 0, 0, 0 .
A= 0




−a4 , −a3 , −a2 
0, 0, 0

В пакете Мatlab для вычисления матрицы дополни
тельной квадратичной формы X используется функция
X=lyap(A,V)
Листинг «Интегральная квадратичная оценка»
%файлIOJ2
%цикл с переменной k
for k=5:0.1:15
%Исходные данные
T1=0.1;T2=0.05;
a1=1;
a2=(T1+T2)./(T1.*T2);
a3=1./(T1.*T2);
a4=k./(T1.*T2);
b1=k./(T1.*T2);
%Матрица системы
A=[0,1,0;0,0,1;-a4,-a3,-a2];
%Матрица квадратичной оценки
V=[1,0,0;0,0,0;0,0,0];
%Матрица дополнительной квадратичной формы
X=lyap(A,V);
%Интегральная квадратичная оценка
io=X(1,1)
hold on;
% Вывод графика квадратичной оценки
plot(k,io,'k.-')

147

grid on;
end;
Выполнение программы
0.19

0.185

0.18

0.175

0.17

0.165

0.16

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Рис. 6.11
График зависимости интегральной оценки от коэффициента усиления
системы

Минимальное значение интегральной оценки, как это
видно из графика, получается при коэффициенте усиле
ния системы k = 9,6, который называют оптимальным.
При таком коэффициенте усиления матрица дополни
тельной квадратичной формы получается следующей:
X=
0.1625 -0.5000 -7.5000
-0.5000 7.5000 -0.0000
-7.5000 -0.0000 500.0000
io =
0.1625
Здесь io — величина квадратичной оценки.
Определим переходный процесс при нулевом значении
входного сигнала и начальных условиях Z0=[1 0 0 0].

148

Листинг «Переходный процесс при оптимальном
значении коэффициента усиления»
% Файл PP – переходный процесс
%Передаточная функция системы
%в форме tf
W=tf([1920],[1 30 200 1920])
%Переходный процесс при
%начальных условиях Z0=[1 0 0 0]
impulse(W)
grid on;
Выполнение программы
Impulse Response
6
5
4
3

e
d
uti
pl
m
A

2
1
0
-1
-2
-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Контрольные вопросы
1. Какие характеристики составляют понятие каче
ства работы системы РА?
2. Определите показатели качества переходного про
цесса и частотные показатели, поясните их физический
смысл.

149

3. Поясните связь частотных показателей качества
работы с частотными характеристиками разомкнутой
системы РА.
4. Что такое статическая и динамическая ошибки
системы РА?
5. При каком сигнале статическая ошибка совпада
ет с ошибкой по положению?
6. Чему равны первые два коэффициента ошибок
в системах РА с астатизмом первого и второго поряд
ков?
7. Дайте определение средней квадратической ошиб
ки системы и укажите способы ее вычисления.
8. Что такое суммарная средняя квадратическая
ошибка системы РА?

150

Глава 7
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
7.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача проектирования (синтеза) системы РА состоит
в выборе структурной схемы параметров и способа техни
ческой реализации системы из условия обеспечения ряда
требований, которые следуют из назначения проектируе
мой системы и обеспечения ее характеристик.
Один из возможных способов описания требований
к проектируемой системе — задание показателей качества
работы системы, рассмотренных в главе 6 (например, допус
тимых значений статической, динамической и средней квад
ратической ошибок системы). Это может быть сделано, если
известны характеристики управляющих и возмущающих
воздействий. Детерминированные воздействия должны быть
заданы как функции времени или их производные. Для слу
чайных сигналов и помех должны быть известны их корре
ляционные функции или спектральные плотности. При такой
постановке синтез системы РА сводится к выбору структур
ной схемы, с помощью которой можно обеспечить требуемые
показатели качества работы системы РА не хуже заданных.
Если характеристики управляющих и возмущающих
воздействий известны, то систему РА можно спроектиро
вать как оптимальную, обеспечив минимальной значение
суммарной средней квадратической ошибки. Решить эту
задачу позволяет теория оптимальных фильтров Н. Вине
ра и Р. Калмана, которая применительно к проектирова
нию оптимальных систем РА, рассмотрена в главе 8.
Возможна и иная постановка задачи синтеза опти
мальных систем. Наиболее общей является ее постановка
из условия достижения минимума функционала (крите
рия качества)
T

J =  [ve (t) + vu (t)]dt,
,

(7.1)

0

где ve (t) = e2 (t) + α1 (e(t)2 + ...αk (e(k) )2 — квадратичная фор
ма относительно ошибки e(t); vu(t0 = u2(t) + q1(u'(t))2 +

151

+ ... + qk(u(k)(t))2 — квадратичная форма относительно сиг
нала управления u(t); T — время работы системы.
Первая квадратичная форма в функционале (7.1) вы
бирается из требований, предъявляемых к точности про
ектируемой системы, вторая учитывает ограничения на
сигнал управления. При этом задача оптимального проек
тирования формулируется следующим образом. Из допус
тимого множества u(t) необходимо выбрать и технически
реализовать такой сигнал управления, который переводит
объект управления из начального состояния в конечное
и минимизирует функционал (7.1). Для решения таких
задач используются методы вариационного исчисления,
принцип максимума Л. С. Понтрягина, метод динамиче
ского программирования. Здесь возможны два случая:
1) полностью известна информация о состоянии объекта
управления; 2) информация об объекте управления не
полная или вообще неизвестна. Во втором случае при син
тезе системы возникает дополнительная задача оценки
состояния объекта управления, на основании которой
формируется оптимальный сигнал управления.
Синтез оптимальных систем из условия минимума
функционала (7.1) связан с рядом трудностей, одна из ко
торых состоит в том, что в настоящее время нет каких
либо методов, позволяющих связать коэффициенты квад
ратичных форм функционала αi и qi с заданными показа
телями качества работы проектируемой системы. Поэтому
в процессе синтеза системы приходится рассчитывать
большое число вариантов оптимальных систем с различ
ными видами квадратичных форм и их коэффициентов,
объем расчетов при этом может быть весьма значитель
ным. Другая трудность связана с реализацией найденных
оптимальных алгоритмов управления, которые получа
ются особо сложными и могут быть реализованы лишь
приближенно. Вследствие отмеченных трудностей методы
проектирования оптимальных систем из условия мини
мума функционала (7.1) в основном используются в науч
ных исследованиях для оценки предельных соотношений
и мало пригодны в инженерных задачах проектирования
систем РА.

152

В данной главе рассматривается синтез систем РА из
условия обеспечения допустимых ошибок в системе и удов
летворения других показателей качества работы. Такой
метод называют динамическим синтезом систем РА.
Помимо требований к качеству работы систем РА при
их синтезе предъявляются требования и сложности проек
тируемой системы. Всегда желательно, чтобы спроектиро
ванная система была простой, а требования к ее элемен
там — минимальными. В качестве функционала сложно
сти системы можно применять следующий интеграл [13]:
J=

1
2π

∞

 ω2v | Wр ( jω)|2 dω,

(7.2)

−∞

где Wр(jω) — частотная характеристика разомкнутой сис
темы; ν — порядок астатизма системы.
Чем меньше значение интеграла (7.2), тем ниже требо
вания к устройствам системы.
Помимо требований к качеству работы проектируемой
системы РА, к ее сложности предъявляется и ряд требова
ний, связанных с надежностью работы системы, стабиль
ностью ее характеристик при изменении условий окру
жающей среды, эксплуатацией, массой, габаритами и т. п.
В настоящее время теория оптимальных систем не позво
ляет объединить всю совокупность требований к проекти
руемой системе в виде единого критерия, поэтому удовле
творение их во многом зависит от опыта и квалификации
инженераисследователя.

7.2. ЖЕЛАЕМАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
При синтезе систем РА будем полагать, что по извест
ным характеристикам управляющих и возмущающих
воздействий определены допустимые значения ошибок по
положению, скорости, ускорению. Из условия обеспече
ния требуемого значения средней квадратической ошибки
найдена полоса пропускания системы, а из условия обес
печения допустимой колебательности системы определено
значение запаса устойчивости по фазе.
Требования к динамической ошибке формулируются
в виде следующих неравенств:

153

ex0 ≤ ex04 ; ex ≤ ex д ; ex ≤ exд ,

(7.3)

где ex0 , ex , ex — ошибки проектируемой системы по поло
жению, скорости и ускорению.
На первом этапе задача синтеза состоит в нахождении
желаемой передаточной функции разомкнутой системы,
которая позволяет удовлетворить заданные требования
к проектируемой системе. Очевидно, что для упрощения
проектируемой системы ее желаемую передаточную функ
цию разомкнутой системы формировать в более простом
виде.
Желаемую передаточную функцию статической ра
зомкнутой системы на первом этапе проектирования сле
дует принять следующей:
Wрж1 ( p) =

K

(7.4)

,

n

(1 + pT1 )(1 + pT3 )∏ (1 + pTi )
i=4

где K — коэффициент усиления проектируемой системы;
T1, T3, Ti — постоянные времени.
Если передаточная функция (7.4) не позволяет выпол
нить заданные требования к качеству работы системы, то
следует использовать желаемую передаточную функцию
вида
K (1 + pT2 )
(7.5)
Wрж2 ( p) =
.
n
2
(1 + pT1 ) (1 + pT3 )∏ (1 + pTi )
i =4

При синтезе систем с астатизмом первого порядка
K (1 + pT2 )
(7.6)
Wрж1 ( p) =
;
n
p(1 + pT1 )(1 + pT3 )∏ (1 + pTi )
i =4

Wрж2 ( p) =

K (1 + pT2 )2
n

.

(7.7)

p(1 + pT1 )2 (1 + pT3 )∏ (1 + pTi )
i =4

При проектировании систем с астатизмом второго по
рядка желаемая передаточная разомкнутой системы име
ет вид

154

Wрж ( p) =

K (1 + pT2 )
n

.

(7.8)

p2 (1 + pT3 )∏ (1 + pTi )
i =4

В формулах (7.4)–(7.8) постоянные времени должны
удовлетворять условию
(7.9)
T1 > T2 > T3 > Ti.
Задача синтеза систем РА сводится к определению по
заданным показателям качества параметров желаемой
передаточной функции K, T1, T2, T3. Звенья с постоянны
ми времени Ti в желаемых передаточных функциях (7.4)–
(7.8) учитывают влияние на проектируемую систему РА
устройств с малыми постоянными времени (например,
приемника РЛС в системе автоматического сопровожде
ния цели и т. п.).
Прежде чем рассматривать методику нахождения па
раметров желаемой передаточной функции разомкнутой
системы, проанализируем типичные логарифмические
АЧХ, соответствующие передаточным функциям (7.6)
и (7.7) (рис. 7.1).

Рис. 7.1
ЛЧХ разомкнутых систем РА

На этих характеристиках различают три диапазона
частот. Вид характеристики в диапазоне низких частот
(ДНЧ) характеризует точность работы системы относи
тельно управляющего воздействия (сигнала). В диапазоне
средних частот (ДСЧ) находится частота среза системы.
В этом диапазоне частот вид характеристики определяет
запас устойчивости по фазе, полосу пропускания, показа

155

тели качества переходного процесса. Вид характеристики
в диапазоне высоких частот (ДВЧ) влияет на запасы ус
тойчивости в системе РА.
Найдем параметры желаемой передаточной функции
системы РА с астатизмом первого порядка (7.6). По за
данному значению колебательности системы и форму
ле (6.7) вычисляют запас устойчивости по фазе:
1
.
(7.10)
M
Требуемое значение полосы пропускания и выраже
ние (6.6) позволяют рассчитать частоту среза проектируе
мой системы:
Δϕ = arcsin

ωср =

ωп
.
2cos Δϕ

(7.11)

По допустимым значениям ошибок по скорости и ус
корению находят коэффициенты ошибок:
C0 = 0, C1 =

ex
2e
,C =
,
m
x m 2 x

(7.12)

m — максимальные значения первой и второй
где x m , x
производных от управляющего воздействия.
Коэффициент ошибки по скорости определяет коэф
фициент усиления в проектируемой системе РА:
1
K= .
(7.13)
C1

Для нахождения постоянных времени T1 и T2 устано
1
1
и ω2 =
с коэф
вим связь сопряженных частот ω1 =
T1
T2
фициентом усиления K и частотой среза ωср. Из рисун
ка 7.1 следует, что
ωср
K
.
(7.14)
Λ(ω1 ) = 20lg ; Λ(ω2 ) = 20lg
ω1
ω2
Наклон характеристики между частотами ω1 и ω2 равен
–40 дБ/дек, поэтому
Λ(ω1 ) − Λ(ω 2 ) = 40lg

ω2
.
ω1

(7.15)

156

Согласно (7.14) и (7.15),
ω
T
K
= 2 = 1.
ωср ω1 T2

(7.16)

Постоянные времени T1 и T2 можно найти и из выра
жения для коэффициента ошибки по ускорению:
n


 T1 + T3 +  Ti − T2

T − T2
1
i=4
(7.17)
− 2 ≈2 1
.
C2 = 2 


K
K
K 
Упрощения в (7.17) не приводят к невыполнению тре
бований по точности работы проектируемой системы. Из
выражений (7.16) и (7.17) находим, что

T2 = 2

KC2ωср
KT2
;T =
.
K − ωср 1 ωср

(7.18)

Постоянную времени T3 передаточной функции (7.6)
определим из условия обеспечения в проектируемой сис
теме запаса устойчивости по фазе (7.10):
Δϕ =

π
− arctg ωсрT1 + arctg ωсрT2 − arctg ωсрT3 −
2

n

− arctg ωсрTi .

(7.19)

i=4

При высоких требованиях к точности работы системы не
всегда можно удовлетворить заданные условия, используя
передаточную функцию (7.6), поэтому приходится применять
более сложную функцию (7.7). Коэффициент усиления в этом
случае вычисляется по формуле (7.13), а постоянные времени
T1 и T2 в соответствии с выражениями
−1

T2 =


KC2  K
K
.
− 1 ; T1 = T2
4  ω ср
ω
ср


(7.20)

Постоянную времени T3 рассчитывают по формуле
Δϕ =
n

π
− 2arctg ωсрT1 + 2arctg ωсрT2 − arctg ωсрT3 −
2

− arctg ωсрTi .
i=4

(7.21)

157

Аналогичным образом определяются параметры же
лаемых передаточных функций статических систем (7.4)
и (7.5) и систем с астатизмом второго порядка (7.8).

7.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ КОРРЕКТИРУЮЩИХ
УСТРОЙСТВ
После выбора и определения параметров желаемой пе
редаточной функции разомкнутой системы находят пере
даточные функции корректирующих устройств, предва
рительно определив передаточную функцию функцио
нально необходимых устройств проектируемой системы.
К таким устройствам относятся, например, фазовый де
тектор и перестраиваемый генератор в системе ФАПЧ,
гетеродин и частотный дискриминатор в системе АПЧ,
угловой дискриминатор и антенна с исполнительным уст
ройством и усилителем мощности в системе автоматиче
ского сопровождения цели РЛС.
Передаточную функцию разомкнутой системы без кор
ректирующих устройств, составленную из передаточных
функций функционально необходимых устройств системы,
будем называть исходной передаточной функцией.
Включение в систему РА корректирующих устройств
означает введение в алгоритм управления, формирующего
регулятор системы, дополнительных сигналов, пропор
циональных сигналу ошибки, производным и интегралам
от него, а также сигналов, пропорциональных производ
ным от выходного сигнала. С физической точки зрения
введение дополнительных сигналов приводить к компен
сации влияния на качество работы системы РА наиболее
инерционных устройств системы, в результате чего и дос
тигаются заданные показатели качества работы системы.
Различают три способа включения корректирующих
устройств: последовательный (рис. 7.2а); параллельный
(рис.7.2б) и по схеме с обратной связью (рис. 7.7в). Выбор
того или иного способа включения корректирующего уст
ройства зависит от удобства технической реализации и тре
бований к стабильности характеристик системы РА.
Синтез систем РА основан на определении передаточ
ной функции корректирующего устройства, включенного
последовательно в цепь сигнала ошибки системы. Переда

158

точная функция этого устройства должна быть выбрана
такой, чтобы выполнялось условие
(7.22)
Wрж(p) = Wри(p)Wкз(p),
где Wри(p) — передаточная функция исходной части ра
зомкнутой системы; Wкз(p) — передаточная функция по
следовательного корректирующего звена.
Из последнего выражения найдем, что
W ( p)
(7.23)
.
Wкз ( p) = рж
Wри (p)
Следовательно, чем больше звеньев исходной передаточ
ной функции включено в желаемую передаточную функцию
проектируемой системы, тем проще передаточная функция
корректирующего звена. Число звеньев исходной функции,
которые можно ввести в желаемую функцию, определяется
заданным запасом устойчивости по фазе.

Рис. 7.2
Схемы включения корректирующих устройств:
а — последовательный; б — параллельный; в — по схеме с обратной связью.

Если в системе РА применяются корректирующие
устройства, включенные в цепь обратной связи, то их пе
редаточные функции определяются из выражения
Wрж ( p) = Wри ( p)Wкз ( p) =

Wр ( p)
.
1 + Wоб ( p)W0 ( p)

(7.24)

Из последнего выражения находим передаточную
функцию корректирующего устройства в цепи обратной
связи
W0 ( p) =

1  1
− 1 ,
Wоб ( p)  Wкз ( p) 

(7.25)

159

где Wоб(p) — передаточная функция объекта управления
(устройств, охваченных обратной связью).
Если в системе РА используется корректирующее уст
ройство, включенное параллельно с какимлибо элемен
том системы, то его передаточная функция с учетом ри
сунка 7.2 находится из выражения
Wрж(p) = Wри(p)Wкз(p) = Wри(p) + Wп(p)Wоб(p).
Тогда

(7.26)

Wп(p) = W1(p)[Wкз(p) – 1],
(7.27)
где Wп(p) — передаточная функция параллельного кор
ректирующего устройства; W1(p) — передаточная функ
ция цепи сигнала ошибки.
В современных системах РА применяются все три спо
соба включения корректирующих устройств. Это объяс
няется тем, что в ряде случаев передаточная функция од
ного корректирующего устройства получается настолько
сложной, что ее трудно реализовать технически. Кроме
того, для улучшения стабильности работы систем РА от
носительно изменений условий окружающей среды и ко
лебаний напряжений источников питания целесообразно
наиболее инерционные и нестабильные устройства систе
мы охватить обратной связью. При этом передаточная
функция последовательного корректирующего устройст
ва, найденная по формуле (7.23), должна быть представ
лена в виде
(7.28)
Wкз(p) = Wкз1(p)Wкз2(p).
Один из сомножителей последнего выражения, напри
мер первый, реализуется с помощью последовательного
корректирующего устройства, а второй — эквивалентного
корректирующего устройства в цепи обратной связи, пе
редаточная функция которого определяется по формуле
(7.25).
При синтезе систем РА часто оказывается, что переда
точные функции корректирующих устройств не удовлетво
ряют условию физической реализуемости. Очевидно, что
в таких случаях желаемая передаточная функция изза уп
рощения передаточных функций корректирующих уст
ройств может быть реализована лишь приближенно. При
этом необходимо обеспечить, чтобы ЛЧХ разомкнутой сис

160

темы в области низких и средних частот совпадали с желае
мыми ЛЧХ, расхождение характеристик допустимо только
в области высоких частот. После упрощения передаточных
функций корректирующих устройств необходимо построить
ЛЧХ спроектированной системы и проверить выполнение
заданных показателей качества работы системы.

7.4. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА В СИСТЕМАХ РА
Обычно в системах РА применяются корректирующие
устройства на постоянном токе. Корректирующие устрой
ства на переменном токе используют редко, так как они
сложны и для их нормальной работы требуются источни
ки переменного тока с высокой стабильностью частоты,
что в ряде случаев, особенно в системах РА летательных
аппаратов, не выполнимо. Ниже рассматриваются кор
ректирующие устройства постоянного тока.
На рисунке 7.3а, б показаны схема и ЛЧХ звена с от
ставанием по фазе, которое используется в системах РА
как последовательное корректирующее устройство.

Рис. 7.3
Корректирующее звено с отставанием по фазе:
а — схема; б — ЛЧХ.

Передаточная функция звена с отставанием по фазе име
ет вид
1 + pT
(7.29)
W ( p) =
,
1 + pαT
R + R2
—
где T = R2C — постоянная времени звена; α = 1
R2
постоянный коэффициент.
На рисунке 7.4а, б представлены схема и ЛЧХ после
довательного корректирующего звена с опережением по
фазе, передаточная функция которого

161

W ( p) = β

где T = R1C; β =

1 + pT
,
1 + pβ T

(7.30)

R2
.
R1 + R2

Рис. 7.4
Корректирующее звено с опережением по фазе:
а — схема; б — ЛЧХ.

В системах РА применяют также последовательное
комбинированное звено, схема которого и ЛЧХ изображе
ны на рисунке 7.5а, б. Передаточная функция звена
W ( p) =

(1 + pT2 )(1 + pT3 )
.
(1 + pT1 )(1 + pT4 )

(7.31)

Рис. 7.5
Комбинированное корректирующее звено:
а — схема; б — ЛЧХ.

Сопротивления и емкости выбираются такими, чтобы
выполнялось условие
T1 > T2 > T3 > T4.
С этой целью необходимо, чтобы C2 > C1 и R1 > R2. Тогда
сопротивления и емкости звена рассчитывают по извест
ным постоянным времени

162

T1 = R1C1 + (R1 + R2 )C2 ; T2 = R2C2 ; T3 = R1C1;
R1C1R2C2
RCR
T4 =
≈ 1 1 2.
R1C1 + (R1 + R2 )C2 R1 + R2

(7.32)

В качестве корректирующих обратных связей исполь
зуют жесткие и гибкие связи.
Жесткая обратная связь не содержит дифференциру
ющих звеньев. Рассмотрим ее влияние на характеристики
отдельных звеньев. Если жесткой обратной связью c коэф
фициентом передачи k0 охватить инерционное звено с по
стоянной времени T1 и коэффициентом усиления k1, то,
согласно (3.6), получим
k
W ( p) =
,
(7.33)
1 + pT
k1
T1
,T =
.
где k =
1 + k1k0
1 + k1k0
Таким образом, охват инерционного звена жесткой об
ратной связью не изменяет его характера, однако коэф
фициент усиления и постоянная времени звена уменьша
ются в (1 + k1k0) раз.
Если жесткой обратной связью с коэффициентом пере
дачи k0 охватить интегрирующее звено с коэффициентом
передачи k1, то получим инерционное звено с передаточ
ной функцией (7.33), в которой
1
1
k= ,T=
,
k0
k1k0
т. е. изменился тип звена. Следовательно, такую обратную
связь необходимо использовать в тех случаях, когда тре
буется понизить порядок астатизма, т. е. исключить в сис
теме влияние интегрирующего звена.
Гибкая обратная связь содержит дифференцирующие
звенья, поэтому она действует только в переходном про
цессе, что не снижает точность работы системы в устано
вившемся режиме. Оценим влияние гибкой обратной свя
зи на характеристики различных звеньев. Если такой свя
зью с передаточной функцией
pT0
W0 ( p) =
(7.34)
1 + pT0

163

охватить безынерционное звено, то получим звено с пере
даточной функцией
W ( p) = k1

1 + pT0
,
1 + pT0 (1 + k1 )

(7.35)

где k1 — коэффициент передачи безынерционного звена.
Таким образом, охват безынерционного звена гибкой
обратной связью эквивалентен включению в цепь сигнала
ошибки системы последовательного звена с отставанием
по фазе.
Если гибкой обратной связью с передаточной функци
ей (7.34) охватить интегрирующее звено, то
W ( p) =

k 1 + pT0
,
p 1 + pT

(7.36)

T0
k1
;T =
; k1 — коэффициент передачи
1 + k1T0
1 + k1T0
интегрирующего звена.
Из выражения (7.36) следует, что охват интегрирую
щего звена гибкой обратной связью эквивалентен после
довательному включению в цепь сигнала ошибки системы
звена с опережением по фазе, при этом астатизм системы
РА не снижается. Для создания такого вида связи исполь
зуются тахогенераторы, гироскопические датчики угло
вой скорости вращения, RCцепи. На рисунке 7.6а пока
зана схема RCцепи, передаточная функция которой опре
деляется (7.34).
Сигнал на выходе такой цепи в определенном диапазо
не частот пропорционален первой производной uвых(t).
В системах РА применяются гибкие обратные связи,
выходной сигнал которых пропорционален второй произ
водной входного сигнала обратной связи. Такая обратная
связь (рис. 7.6б) может быть сформирована с помощью та
хогенератора и дифференцирующей RCцепи, если вход
ным сигналом обратной связи является угол поворота, или
с помощью RCцепи, изображенной на рисунке 7.6в, если
на входе сигнал постоянного тока. Передаточная функция
такой цепи

где k =

164

W ( p) =

T1T2 p2
.
R


T1T2 p2 + T2 (1 + 1 ) + T1  p + 1
R2



(7.37)

Если R1  R2, то приближенно можно принять, что
W ( p) =

T1T2 p2
.
(1 + pT1 )(1 + pT2 )

(7.38)

Рис. 7.6
Гибкие обратные связи:
а — электрическая RCцепь; б — с тахогенератором; в — двойная RCцепь.

Корректирующие устройства удобно собирать на опе
рационных усилителях, передаточные функции которых
определяются по формуле
W ( p) =

W0 ( p)
,
Wвх ( p)

(7.39)

где W0(p) — операторное сопротивление обратной связи
операционного усилителя; Wвх(p) — операторное сопро
тивление входной цепи усилителя.
Пример 7.1. Найдем передаточные функции корректи
рующих устройств и укажем способы их включения в сис
теме автоматического сопровождения цели РЛС, переда
точная функция которой, составленная из функционально
необходимых устройств, имеет вид
(7.40)
Wри(p) = Wп(p)Wфд(p)Wум(p)Wа(p),
где передаточные функции приемника, фазового детекто
ра, усилителя мощности и антенны с двигателем и редук
тором.
Параметры устройств исходной части системы:

165

В
; k = 0,8; kум = 10;
рад фд
рад
kа = 0,0435
; T = 0,02 с.
Вс м
В системе автоматического сопровождения цели долж
ны быть обеспечены следующие характеристики: полоса
пропускания ωп = 20 – 25 с–1; колебательность системы не
более 1,4. Коэффициенты ошибок не должны превышать
следующих значений:

kп = 115

C0 = 0, C1 = 0,02 c, C2 = 0,01 c2.
Р е ш е н и е. С учетом данных требований к системе и
формул (7.10)–(7.13), найдем
Δϕ = 0,785 рад; ωcр = 20 с–1; K = 50 c–1.
В качестве желаемой передаточной функции разомкну
той системы примем функцию (7.7). Все сопряженные час
тоты передаточной функции исходной части системы (7.39)
больше частоты среза, поэтому для упрощения корректи
рующих устройств, включим передаточную функцию ис
ходной части системы в состав желаемой передаточной
функции. В результате получим
Wрж ( p) =
=

(7.41)
K (1 + pT2 )2
.
p(1 + pT1 )2 (1 + pT3 )(1 + pTп )(1 + pTфд )(1 + pTум )(1 + pTм )

Передаточную функцию последовательного корректи
рующего устройства найдем, используя выражение (7.23):
1 + pT2 1 + pT2
Wкз ( p) = kкз
,
(7.42)
1 + pT1 1 + pT1
где kкз =

K
— коэффициент передачи корректирующего
Kри

звена; T1 = 0,5, T2 = 0,25; Kри — коэффициент передачи ис
ходной части системы.
Листинг «Система автоматического
сопровождения цели»
Частотные характеристики разомкнутой системы
%tf - функции приемника,фаз.детектора
% и корректирующего звенв

166

W1=tf(115,[0.01 1]);
W2=tf(1,[0.01 1]);
W3=tf([0.25 1],[0.5 1]);
% tf - функция усилителя мощности
W4=tf(10,[0.01 1]);
% tf- функция антенны с приводом
W5=tf(0.0435,[0.02 1 0]);
% tf - функция разомкнутой системы
WR=W1.*W2.*W3.*W4.*W5.*W3
%Запасы устойчивости
margin(WR),grid on

100

Bode Diagram
Gm = 10.2 dB (at 30.6 rad/sec) , Pm = 37 deg (at 12.7 rad/sec)

50
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

0
-50
-100
-150
-90
-180

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-270
-360
-450
-1
10

0

1

10

10

2

10

Рис. 7.7

Частотные характеристики замкнутой системы
W1=tf(115,[0.01 1]);
W2=tf(1,[0.01 1]);
W3=tf([0.25 1],[0.5 1]);
% tf - функция усилителя мощности
W4=tf(10,[0.01 1]);
% tf- функция антенны с приводом
W5=tf(0.0435,[0.02 1 0]);

3

10

167

% tf - функция разомкнутой системы
WR=W1.*W2.*W3.*W4.*W5.*W3;
% частотная характеристика системы
WZ=feedback(WR,1);
bode(WZ),grid on
% полоса пропускания системы
bandwidth(WZ)
Bode Diagram

50
0
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

System: WZ
Frequency (rad/sec): 13.9
Magnitude (dB): 3.5

-50
-100
-150
-200
-250
0
-90

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-180
-270
-360
-450
0
10

1

10

2

10

Рис. 7.8

ans=
24.7579
Переходный процесс в системе
%tf – функции: приемника,фаз.детектора
% и корректирующего звена
W1=tf(115,[0.01 1]);
W2=tf(1,[0.01 1]);
W3=tf([0.25 1],[0.5 1]);
% tf - функция усилителя мощности
W4=tf(10,[0.01 1]);
% tf- функция антенны с приводом

3

10

10

168

W5=tf(0.0435,[0.02 1 0]);
% tf - функция разомкнутой системы
WR=W1.*W2.*W3.*W4.*W5.*W3;
% переходный процесс
WZ=feedback(WR,1)
step(WZ),grid on
Step Response

1.5

1

e
d
uti
pl
m
A
0.5

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Time (sec)

Рис. 7.9

7.5. КОМПЛЕКСНЫЕ СИСТЕМЫ
Системы РА, которые формируются не только на базе
радиотехнических устройств, но и на базе устройств других
типов (например, гироскопических приборов, инерциаль
ных систем и др.), называют комплексными. Подобные сис
темы широко применяются при навигации для определения
координат и параметров движения различных объектов (на
пример, для измерения скорости летательных аппаратов
и углов сноса относительно расчетной траектории использу
ются гироскопические системы с доплеровским измерите
лем). Для измерения высоты полета применяются баромет
рический и радиолокационные высотомеры. В комплексных
системах для достижения высокого качества работы исполь
зуется принцип инвариантности, т. е. принцип независимос
ти, например ошибки системы от управляющего или какого
либо другого воздействия.

169

Различают следующие виды инвариантности: абсолют
ную, полную, инвариантность до наперед заданной малой
величины ε и частичную.
Для абсолютной инвариантности ошибки системы от
носительно управляющего воздействия необходимо, что
бы передаточная функция ошибки системы удовлетворяла
условию:
(7.43)
We(p) ≡ 0.
Очевидно, что выполнить это условие в системах РА,
построенных по принципу измеренного отклонения невоз
можно, поэтому достичь абсолютную инвариантность
в таких системах не удается, но при достаточно большом
коэффициенте усиления системы можно добиться равенст
ва нулю ошибки с точностью до наперед заданной малой
величины ε.
Если независимость ошибки от управляющего воздей
ствия достигается только в установившемся режиме рабо
ты системы, то говорят, что в системе достигается полная
инвариантность или инвариантность до переходной со
ставляющей, возникающей изза начальных условий. Из
выражения для установившегося значения ошибки
lim e(t) = lim pWe ( p) X( p)
t→∞

p→0

(7.44)

следует, что при произвольном воздействии x(t) в системе,
построенной по принципу измеренного отклонения, не
возможно достичь и полной инвариантности. Очевидно,
если управляющее воздействие имеет ограниченное число
производных, то можно достичь инвариантности ошибки
системы относительно такого сигнала. Такую инвариант
ность называют частичной инвариантностью.
Таким образом, в системах РА, построенных по прин
ципу измеренного отклонения, невозможно осуществить
инвариантность ошибки относительно управляющего или
какоголибо другого воздействия. Это связано с тем, что
подобные системы не удовлетворяют необходимому струк
турному свойству инвариантных систем, в соответствии
с которым для достижения инвариантности ошибки отно
сительно какоголибо сигнала в системе РА должно быть
по меньшей мере два канала воздействия этого сигнала на

170

ошибку системы. Принцип двухканальности структурной
схемы инвариантной системы является необходимым ус
ловием достижения инвариантности ошибки системы от
носительно того или иного воздействия, физический
смысл этого принципа нетрудно пояснить. Действительно,
если, например, управляющее воздействие подается по
двум каналам одновременно, то можно подобрать пара
метры этих каналов такими, что их воздействия на ошиб
ку системы будут равны по величине, но различны по зна
ку, и тогда ошибка будет равна нулю, т. е. инвариантна
относительно этого управляющего воздействия.
На рисунке 7.10 показана структурная схема системы,
которая удовлетворяет принципу двухканальности. В сис
теме используются два принципа построения систем РА:
замкнутый контур, который осуществляет управление по
принципу измеренного отклонения, и цепь компенсации,
по которой поступает сигнал с датчика, измеряющего воз
действие x(t).
Выясним условие инвариантности в комплексной сис
теме рисунка 7.10, из которого следует, что преобразова
ние Лапласа для выходного сигнала
Y ( p) =

W1 ( p)W2 ( p) + Wк ( p)W2 ( p)
X ( p) +
1 + Wр ( p)

Wр ( p)
+
n( p),
1 + Wр ( p)

(7.45)

где Wр(p) = W1(p)W2(p) — передаточная функция разомк
нутой системы.

Рис. 7.10
Структурная схема комплексной системы РА

171

Преобразование Лапласа для ошибки системы
E( p) = X( p) − Y ( p) =
−

1 − Wк ( p)W2 ( p)
X ( p) −
1 + Wр ( p)

Wр ( p)
n( p).
1 + Wр ( p)

(7.46)

Если выполняется условие инвариантности
Wк ( p) =

1
,
W2 ( p)

(7.47)

то выражения (7.46) и (7.47) принимают вид
Y(p) = X(p) + Wз(p)n(p);
E(p) = –Wз(p)n(p),
(7.48)
где Wз(p) — передаточная функция замкнутого контура
системы РА.
Из выражений (7.48) следует, что ошибка системы не за
висит от управляющего воздействия x(t) и равна нулю или
инвариантна относительно этого сигнала. Путем выбора це
пи сигнала ошибки замкнутого контура системы с переда
точной функцией W1(p) нетрудно сформировать замкнутый
контур системы с учетом требуемой фильтрации помех.
Датчик, измеряющий управляющее воздействие x(t),
и последовательно включенный с ним фильтр с переда
точной функцией Wк(p) образуют цепь компенсации ком
плексной системы РА. Эта цепь не формирует замкнутого
контура, поэтому не влияет на устойчивость комплексной
системы.
Рассмотрим возможность реализации условия инвари
антности (7.47). В реальных системах степень многочлена
числителя всегда меньше степени многочлена знаменателя,
поэтому передаточная функция (7.47) не удовлетворяет ус
ловию физической реализуемости и в рассматриваемой
системе РА инвариантность ошибки относительно управ
ляющего воздействия x(t) недостижима. Однако в подоб
ных системах можно существенно повысить точность отно
сительно управляющего воздействия при необходимой
фильтрации помех, т. е. сделать систему широкополосной
относительно управляющего воздействия и узкополосной
относительно помехи.

172

Синтез комплексных систем можно выполнить с учетом
следующих условий: 1) обеспечения нужных частотных
характеристик системы; 2) повышения ее динамической
точности работы. Рассмотрим метод, который позволяет
повысить порядок астатизма системы относительно управ
ляющего воздействия по сравнению с порядком астатизма
замкнутого контура. Передаточная функция ошибки ком
плексной системы, как это следует из выражения (7.45),
Weк ( p) =

1 − Wк ( p)W2 ( p)
= We ( p)[1 − Wк ( p)W2 ( p)], (7.49)
1 + Wр ( p)

где We(p) — передаточная функция ошибки замкнутого
контура.
Разложим передаточную функцию ошибки комплекс
ной системы (7.49) в степенной ряд:
1
1
Weк ( p) = C0к + C1к p + C2к p2 + ... + Cкк pк .
(7.50)
2
k!
Аналогичным образом представим и второй сомножи
тель выражения (7.49)
1
1 − Wд ( p)Wк ( p)W2 ( p) = D 0 + D1 p + D2 p2 +
2
(7.51)
1
k
+... + Dk p .
k!
Тогда передаточная функция ошибки комплексной
системы с учетом выражения (6.8) примет вид

1
1
C0к + C1к p + C2к p2 + ... + Cкк pк =
2
k!
1
1
= C0 + C1 p + C2 p2 + ... Cк pк  ×
2
k!


1
1
×  D0 + D1 p + D2 p2 + ... + Dк p к  ,
2
k!



(7.52)

где Ci, I = 0, 1, …, k — коэффициенты ошибок замкнутого
контура системы.
Приравняв в последнем выражении слагаемые при
одинаковых степенях p, найдем коэффициенты ошибок
комплексной системы:
C0к = C0D0;
(7.53)
C1к = C0D1 + C1D0;

173

C2к = С0D2 + 2C1D1 + C2D0;
..................................
Из формул (7.53) следует, что необходимый порядок
астатизма обеспечивается, если соответствующее число
коэффициентов Di равно нулю. Из этих условий и опреде
ляется передаточная функция цепи компенсации ком
плексной системы.
Подставим выражения
W2 ( p) =

ce pe + ce−1 p e−1 +... + c0
,
bm pm + bm−1 pm−1 + ... + b0

(7.54)

Wк ( p) =

αq pq + αq −1 pq −1 + ... + α0
τq pq + τq −1 pq −1 + ... + τ0

(7.55)

в формулу (7.51). Тогда для получения астатизма первого
порядка необходимо, чтобы передаточная функция цепи
компенсации
Wк ( p) =

α0
.
τ0

(7.56)

Коэффициенты этой функции определяются из условия
D0 =

b0 τ0 − α0 c0
.
b0 τ0

(7.57)

Для получения астатизма второго порядка нужно,
чтобы передаточная функция цепи компенсации
Wк ( p) =

α1 p + α0
.
τ1 p + τ0

(7.58)

Коэффициенты передаточной функции (7.58) находят
ся из (7.57) и условия
D1 =

b1τ0 + b0 τ1 − α0 c1 − α1c0
.
τ0b0

(7.59)

При последовательном определении коэффициентов
передаточной функции (7.55) одни коэффициенты, на
пример τi, выбираются из условия обеспечения требуемых
частотных характеристик, а коэффициенты αi вычисля
ются согласно равенства нулю соответствующих коэффи
циентов Di.

174

Коэффициенты τi передаточной функции цепи компен
сации определяют инерционность цепи компенсации. Для
выяснения их влияния на частотные характеристики сис
темы представим передаточную функцию комплексной
системы в виде
 W ( p) 
Wзк ( p) = Wз ( p) 1 + к
.
W1 ( p) 


(7.60)

Следовательно, наличие цепи компенсации в ком
плексной системе эквивалентно последовательному вклю
чению с замкнутым контуром корректирующего устрой
ства с передаточной функцией
Wэк ( p) = 1 +

Wк ( p)
.
W1 ( p)

(7.61)

Из последнего выражения следует, что чем меньше
инерционность цепи компенсации, тем больший опере
жающий эффект создается корректирующим устройством,
при этом полоса пропускания комплексной системы отно
сительно управляющего воздействия увеличивается.
Пример 7.2. Найти передаточную функцию цепи компен
сации для системы автоматического сопровождения цели
РЛС из условия расширения полосы пропускания системы
относительно воздействия, возникающего колебания лета
тельного аппарата, не менее чем в два раза по сравнению
с полосой пропускания системы относительно сигнала.
Р е ш е н и е. Систему сформируем по схеме рисунка 7.10,
в котором передаточная функция цепи сигнала ошибки оп
ределяется выражением
W1 ( p) =

40(1 + p0,25)
.
(1 + p0,01)(1 + p)

В передаточной функции антенны Wз(p) постоянной
времени Tу пренебрегаем, так как соответствующая сопря
женная частота намного больше полосы пропускания
замкнутого контура системы, в результате получим
Wз ( p) ≈

1
.
p(1 + p0,02)

175

Листинг «Замкнутый контур комплексной системы»
%Частотные характеристики
%системы по сигналу
%ЧХ цепи сигнала ошибки
W1=tf(40,[0.01 1]);
W2=tf([0.25 1],[1 1]);
%ЧХ антенны
W3=tf(1,[0.02 1 0]);
%ЧХ разомкнутой системы по сигналу
WR=W1.*W2.*W3;
%ЧХ системы по сигналу
WZ=feedback(WR,1);
%полоса пропускания замкнутого контура
bandwidth (WZ)
bode(WZ),grid on
Выполнение программы
ans=
17.1799
Bode Diagram

50

)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

0

-50

System: WZ
Frequency (rad/sec): 5.92
Magnitude (dB): 1.62

-100

-150
0
-45
)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-90
-135
-180
-225
-270
0
10

1

10

2

10

Рис. 7.11

3

10

10

176

Передаточная функция цепи компенсации (7.47)
Wk ( p) =

p2 0,02 + p
1
=
k3 = 1
W3 ( p)
k3

не удовлетворяет условию физической реализуемости,
поэтому может быть реализована приближенно. Переда
точную функцию цепи компенсации примем следующей:
Wk ( p) =

p
p0,02 + 1
.
0,01 p + 1 0,005 p + 1

В передаточную функцию цепи компенсации добавлено
инерционное звено с постоянной времени 0,005, это сдела
но для обеспечения условия физической реализуемости.
Листинг «Комплексная система»
%Частотные характеристики
%комплексной системы
%ЧХ цепи сигнала ошибки
W1=tf(40,[0.01 1]);
W2=tf([0.25 1],[1 1]);
%ЧХ антенны
W3=tf(1,[0.02 1 0]);
%ЧХ разомкнутой системы по сигналу
WR=W1.*W2.*W3;
%ЧХ цепи компенсации
%ЧХ датчика угловой скорости
WK1=tf([1 0],[0.01 1]);
WK2=tf([0.02 1],[0.005 1]);
WK=WK1.*WK2;
%ЧХ системы по сигналу
WZ=feedback(WR,1);
%ЧХ ошибки по сигналу
WE=1-WZ;
% ЧХ комплексной системы
% по сигналу колебаний
WZK=WZ+WE.*WK.*W3;
bandwidth (WZK)
bode(WZK),grid on
Выполнение программы
ans=
84.4453 % полоса пропускания комплексной системы

177
Bode Diagram

20
0
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

System: WZK
Frequency (rad/sec): 19.7
Magnitude (dB): 1.21

-20
-40
-60
-80
45
0

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-45
-90
-135
-180
0
10

1

10

2

10

3

10

10

Рис. 7.12

Полоса пропускания комплексной системы по сигналу
колебаний, возникающему изза колебаний основания
антенны, почти в пять раз больше полосы пропускания по
сигналу слежения за движущейся целью.
В системах автоматического сопровождения цели бор
товых РЛС приходится при разработке комплексных сис
тем учитывать взаимное влияние систем по каждой из
осей карданного подвеса антенны.
На рисунке 7.13 показано взаимное расположение сис
темы координат OXаYаZа, связанной с антенной РЛС, и сис
темы OXYZ, связанной с летательным аппаратом. От сис
темы координат OXYZ к системе координат, связанной
с антенной, можно перейти путем двух последовательных
поворотов: поворота наружной рамки карданного подвеса
на угол ϕy и затем поворота внутренней рамки на угол ϕz.
Сигналы ошибок в системах управления поворотом
рамками карданного подвеса вырабатываются в системе
координат, связанной с антенной, поэтому сигналы, вы
рабатываемые в цепях компенсации, должны быть сфор
мированы в той же системе координат. Поэтому в подоб

178

ных комплексных системах возникает необходимость пе
ресчета составляющих сигнала, возникающего изза коле
баний летательного аппарата, из системы координат, свя
занной с летательным аппаратом в систему координат,
связанную с антенной.

Рис. 7.13
Взаимное расположение систем координат

Если для измерения составляющих сигнала колебаний
летательного аппарата применяются гироскопические
преобразователи угловой скорости вращения, то формулы
пересчета, как это следует из рисунка 7.13, имеют сле
дующий вид:
ϕ yk = −ωx cos ϕy sin ϕz + ωy cos ϕz + ωz sin ϕy sin ϕz ;
(7.62)
ϕ zk = ωx sin ϕy + ωz cos ϕy ,
где ϕ yk , ϕ zk — составляющие угловой скорости колебаний
летательного аппарата, пересчитанные в систему коорди
нат, связанную с антенной; ωx; ωy; ωz — абсолютные угло
вые скорости колебаний летательного аппарата относи
тельно соответствующих осей координат; ϕy, ϕz — углы
поворота антенны вокруг осей карданного подвеса.
К статической и динамической точности вычисления
сигналов по формулам (7.62) предъявляются высокие тре
бования. Это объясняется тем, что комплексные системы
весьма чувствительны к отклонению параметров цепи
компенсации от расчетных значений.

179

7.6. СИНТЕЗ СИСТЕМ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
О ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Ранее при динамическом синтезе систем РА полагали,
что характеристики управляющих воздействий и помех из
вестны, т. е. заданы их математические ожидания и спек
тральные плотности случайных составляющих.
На практике это не всегда так. Характеристики воз
действий обычно известны не полностью. Кроме того, они
изменяются в процессе работы системы, поэтому показа
тели качества работы могут оказаться ниже расчетных.
Использованием адаптивных систем позволяет исклю
чить зависимость показателей качества работы от измене
ния характеристик воздействий и нестабильности пара
метров устройств. Адаптивные системы анализируются
в главе 12, здесь же рассмотрим синтез робастных систем
(от английского слова robust — грубый), в которых пока
затели качества работы можно обеспечить не ниже задан
ных. Техническая реализация таких систем РА по срав
нению с адаптивными намного проще, что является их
существенным преимуществом.
Синтез робастных систем может быть выполнен раз
личными методами [13]. Применительно к задачам синте
за систем РА целесообразно использовать метод, основан
ный на известных средних квадратических значений
управляющего воздействия и его производных. Данный
метод не связан с конкретной формой спектральной плот
ности управляющего сигнала, поэтому ее изменение не
приводит к несоблюдению точности работы системы РА.
Рассматриваемый метод синтеза систем РА сводится к
выбору частотной характеристики ошибки из условия не
превышения средней квадратической ошибкой заданного
значения. После этого можно сформулировать требования
к частотной характеристике разомкнутой системы.
Дисперсия ошибки относительно управляющего воз
действия определяется выражением (6.23)
1
| W ( jω)|2Sx (ω)dω ≤ D e0 ,
(7.63)
2π  e
где We(jω) — частотная характеристика ошибки; De0 — до
пустимое значение дисперсии ошибки.
σ2ex =

180

Представим квадрат АЧХ ошибки в следующем виде:
| We(jω) |2 = c0 + c1ω2 + c2ω4 + ... + cnω2n.
Тогда дисперсия ошибки (7.63)
σ2ex = c0 D0 + c1 D1 + c2 D2 + ... + cn Dn ,

(7.64)
(7.65)

где D0 — дисперсия управляющего воздействия; Di — дис
персии производных; сi — постоянные коэффициенты.
Задача синтеза системы состоит в выборе характери
стики We(jω), удовлетворяющей условию (7.63). Если из
вестна только дисперсия управляющего воздействия D0,
то из выражения (7.65) следует, что
c0 =

De0
D0

и частотная характеристика ошибки проектируемой сис
темы должна удовлетворять условию
| We ( jω)|≤| We0 ( jω)|=

De0 σe 0
,
=
D0
σ0

(7.66)

где | We0(jω) | — АЧХ ошибки, найденная по априорным
сведениям об управляющем воздействии.
Таким образом, ошибка не должна превышать значе
ния (7.66) в диапазоне частот, в котором возможны спек
тральные составляющие управляющего воздействия.
В том случае, когда известна только дисперсия первой
производной управляющего воздействия D1, то коэффициент
c1 =

De0
D1

и частотная характеристика системы должна удовлетво
рять условию
| We ( jω)|≤| We0 ( jω)|= ω

De 0
σ
= ω e0 .
D2
σ1

(7.67)

Если известна только дисперсия второй производной
управляющего воздействия, то
| We ( jω)|≤| We0 ( jω)|= ω2

De0
σ
= ω2 e0 .
D2
σ2

(7.68)

181

От ограничений, накладываемых на АЧХ ошибки, мож
но перейти к требованиям, которым должна удовлетворять
частотная характеристика разомкнутой проектируемой сис
темы. Из выражений (3.10) и (3.15) следует, что
Wр ( jω) =

Wз ( jω)
.
We ( jω)

(7.69)

Так как на частотах меньше частоты среза | Wз(jω) | ≈ 1,
то условия (7.66)–(7.68) выполняются, если
| Wр0 ( jω)|≥

1
,
| We0 ( jω)|

(7.70)

а ФЧХ разомкнутой системы может быть произвольной.
На частотах больше частоты среза | Wз(jω) | ≈ | Wр(jω) | и
поэтому вид частотной характеристики разомкнутой сис
темы не влияет на точность системы РА и может быть
произвольным, но при этом требования к запасам устой
чивости должны соблюдаться.
Выполнение условия (7.70) гарантирует, что динами
ческая ошибка будет не выше заданной.
Очевидно, что выражениям (7.66) и (7.70) на рисун
ке 7.14 соответствует прямая линия, параллельная оси час
σ
тот и отстоящая от нее на 20lg 0 , а условиям (7.67)
σe0
и (7.70) — прямая с наклоном –20 дБ/дек, которая пересека
σ
ет ось абсцисс на частоте, равной 1 , а условиям (7.68)
σe0
и (7.70) — прямая с наклоном –40 дБ/дек, которая начина
σ2
.
ется на оси абсцисс с частоты
σe0

Рис. 7.14
ЛЧХ запретной области относительно динамической ошибки

182

Эти прямые образуют запретную область, в которой не
должна располагаться низкочастотная часть логарифми
ческой АЧХ разомкнутой проектируемой системы РА.
Частоты, соответствующие точкам излома запретной об
ласти, вычисляются по формулам
ω1 =

σ1
σ
σ2
; ω = 2; ω =
.
σ0 2 σ1 3
σe0

(7.71)

Рассмотрим ограничения на вид АЧХ разомкнутой про
ектируемой системы изза действия помехи, спектральная
плотность которой известна и постоянна в пределах полосы
пропускания системы РА (помеха в виде белого шума). То
гда дисперсия ошибки изза действия помехи
σ2en = Nn fэф ,

(7.72)

где fэф — эффективная полоса пропускания системы; Nп —
уровень спектральной плотности белого шума помехи.
Задача синтеза системы РА заключается в том, чтобы
суммарная средняя квадратическая ошибка системы не
превышала допустимого значения:
σe = σ2ex + σ2en ≤ σe0 ,

(7.73)

где σen — средняя квадратическая ошибка изза действия
помехи.
Условие (7.73) накладывает противоречивые требова
ния к проектируемой системе РА. С одной стороны, сред
няя квадратическая ошибка относительно сигнала долж
на быть меньше σe0, так как в противном случае не будет
выполнено условие (7.73), а с другой, не должна превы
шать этого значения и составляющая σen. Поэтому эффек
тивная полоса пропускания проектируемой системы
fэф ≤

σ2e0
.
Nn

(7.74)

Таким образом, при синтезе системы РА необходимо
обеспечить одновременное удовлетворение условий (7.70)
и (7.74). Если эти условия выполнить одновременно не
возможно, то при заданном значении σe0 решения задачи
проектируемой робастной системы РА не существует.

183

Определим, какие ограничения накладывает условие
(7.74) на АЧХ разомкнутой системы. С этой целью рас
смотрим типовую логарифмическую АЧХ, низкочастот
ные участки которой содержат асимптоты с наклонами
–20, –40 или –60 дБ/дек. При этом всегда в области часто
ты среза наклон логарифмической АЧХ равен –20 дБ/дек,
так как только в этом случае можно обеспечить необходи
мый запас устойчивости по фазе.
В [13] показано, что для систем РА с такими наклона
ми логарифмической АЧХ разомкнутой системы эффек
тивная полоса пропускания системы с достаточной для
практики точностью определяется по формуле
lω0
,
(7.75)
2
где ω0 — частота, соответствующая точке пересечения
асимптоты логарифмической АЧХ с наклоном –20 дБ/дек
с осью абсцисс; l — коэффициент, равный 1, 2 или 3, в за
висимости от наклона асимптоты, для которой определена
частота ω0.
Согласно (7.74) и (7.75),
fэф =

ω0 ≤

2σ2e0
.
lNn

(7.76)

Это выражение определяет крайнее допустимое поло
жение логарифмической АЧХ разомкнутой проектируе
мой системы РА, или что то же самое, границу запретной
области, в которой не должна располагаться логарифми
ческая АЧХ разомкнутой системы. Построение запретной
области осуществляется следующим образом. На оси абс
цисс (рис. 7.15) через точку
ω0 =

2σ2e0
Nn

проводят прямую с наклоном –20 дБ/дек, а через точки
ω0
ω
и 0 прямые с наклонами –40 и –60 дБ/дек. В ре
2
3
зультате формируется запретная область, заштрихован
ная на рисунке 7.15.

184

Рис. 7.15
ЛЧХ запретной области относительно помехи

Рис. 7.16
ЛЧХ общей запретной области

Требования к точности работы проектируемой систе
мы РА относительно возмущающего воздействия выпол
няются, если ее логарифмическая АЧХ не заходит в зап
ретную область.
На рисунке 7.16 показаны две запретные области, опре
деленные ранее. Для обеспечения в проектируемой системе
РА заданной точности необходимо, чтобы выбранная лога
рифмическая АЧХ разомкнутой системы не располагалась
в запретных областях и удовлетворяла требованиям к запа
сам устойчивости. На рисунке 7.16 такая характеристика
показана пунктиром. Если запретные области на рисун
ке 7.16 перекрываются, то синтез робастной системы при
заданных точностных характеристиках не возможен.
В [13] показано, что для гарантированного получения
заданной точности должен быть обеспечен некоторый ин
тервал между левой и правой запретными областями, ми
нимальная ширина этого интервала должна составлять
около четверти декады.

185

Контрольные вопросы
1. Поясните постановку задачи проектирования
систем РА.
2. Укажите способы включения корректирующих
устройств в системах РА.
3. Опишите основные схемы, применяемые в каче
стве дифференцирующих устройств.
4. Каким образом формируется передаточная функ
ция проектируемой системы РА?
5. Как определяются передаточные функции кор
ректирующих устройств?
6. Какие системы относятся к комплексным?
7. Как можно повысить порядок астатизма в комп
лексных системах?
8. В чем заключается синтез робастных систем РА?

186

Глава 8
СИНТЕЗ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
8.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Если желаемая передаточная функция равна единице, то
задачу отыскания оптимальной передаточной функции назы
вают задачей оптимального сглаживания или фильтрации.
Задачу отыскания оптимальной передаточной функ
ции системы при
(8.1)
Wж(p) = epT
называют задачей оптимального статистического упреж
дения, а при
Wж ( p) = p; Wж ( p) =

1
p

(8.2)

— задачей оптимального статистического дифференциро
вания и интегрирования.

Рис. 8.1
К определению суммарной ошибки системы

Для оценки приближения сигнала y(t) к yж(t) исполь
зуются различные показатели. Наибольшее распростране
ние нашел критерий среднеквадратической ошибки
σ2e = e2 (t),

(8.3)
e2 (t) —

сред
где e(t) = yж(t) – y(t) — ошибка системы РА;
нее по времени от квадрата ошибки системы.
При синтезе систем РА оптимальной считается система,
в которой среднеквадратическая ошибка (8.3) достигает
минимального значения. Широкое применение критерия

187

среднеквадратической ошибки объясняется тем, что опти
мальная система, спроектированная из условия минимума
этой ошибки, получается линейной. Кроме того, крите
рий (8.3) удобен с математической точки зрения. В даль
нейшем при синтезе оптимальных систем РА будем ис
пользовать критерий среднеквадратической ошибки (8.3).
Найти оптимальную передаточную функцию системы
несложно. Трудности, возникающие при этом, можно пре
одолеть с помощью современных ЭВМ.
Cинтез систем при заданной структурной схеме
Задача синтеза системы РА при заданной структурной
схеме заключается в том, что при известных характеристиках
сигнала и помехи нужно определить оптимальные значения
параметров системы, при которых суммарная средняя квад
ратическая ошибка минимальна. Так как структурная схема
системы известна, то нетрудно найти выражение для суммар
ной дисперсии как функцию параметров системы
σ2e = f (β1, β2 ,..., βn ),
(8.4)
где βi — параметры системы.
Для расчета оптимальных значений параметров нужно
исследовать на минимум функцию (8.4). Для этого нужно
решить следующую систему уравнений:
∂ 2
(8.5)
σ = 0, i = 1,2,..., n.
∂βi e
Пример 8.1. Найти оптимальное значение коэффици
ента усиления в системе РА, передаточная функция кото
рой в разомкнутом состоянии
K
Wр ( p) =
.
(8.6)
p(1 + pT )
Р е ш е н и е. На систему действуют сигнал и помеха,
спектральные плотности которых
N
Sx (ω) = 2x ; Sn (ω) = Nn .
ω
Суммарная дисперсия системы
de =

∞

1
 [| We ( jω)Wф ( jω)|2 Nx + | Wз ( jω)|2 Nn ]dx =
2π −∞

= Nx

K
1 + KT
+ Nn ,
2T
2

188

jω(1 + jωT )
— частотная характеристика
( jω)2 T + jω + K
1
— частотная характеристика
ошибки системы; Wф ( jω) =
jω
K
—
формирующего фильтра сигнала; Wз ( jω) =
( jω)2 T + jω + K
частотная характеристика замкнутой системы.
Оптимальное значение коэффициента усиления опре
делим из условия (8.5), которое для рассматриваемой за
дачи имеет вид
N
∂
K
d = − x + Nn = 0.
∂K e
2K
2
Тогда оптимальный коэффициент усиления
Nx
Kopt =
.
Nn

где We ( jω) =

На рисунке 8.2 показаны кривые изменения составля
ющих дисперсии ошибки системы от коэффициента уси
ления для
Nx = 0,76⋅10–4рад2с–1; Nn = 0,305⋅10–5 рад2с–; T = 0,1 c.
Оптимальная полоса пропускания.
6 .10

5

4.5 .10
dex( K)

5

den( K) 3 .10 5
de( K)
1.5 .10

5

0

0

4

8

12

16

20

Рис. 8.2
К определению оптимального коэффициента усиления системы

189

Рассмотрим систему РА с частотной характеристикой
(рис. 8.3)
e j 0 при ≤ ωn 
(8.7)
Wз ( jω) = 
,
0 при ω  ωn 
где ωn — ширина полосы пропускания системы РА.
Если сигнал и помеха не коррелированы, то
σ2e =

∞

ωn

n

0

1
1
S (ω)dω +
π ω x
π

 Sn (ω)dω = σ2ex + σ2en ,

(8.8)

где σ2e — дисперсия ошибки; Sx(ω) — спектральная плот
ность сигнала; Sn(ω) — спектральная плотность помехи;
σex — средняя квадратическая ошибка системы относи
тельно сигнала; σen — средняя квадратическая ошибка
системы изза действия помехи.

Рис. 8.3
К пояснению оптимальной полосы пропускания системы

Рис. 8.4
Зависимость дисперсии ошибки от ωn

Оптимальная полоса пропускания системы РА соот
ветствует минимальной дисперсии ошибки. Для ее вычис
ления продифференцируем выражение (8.8) по полосе
пропускания ωn и полученный результат приравняем
к нулю. В результате получим
1
1
− Sx (ω) + Sn (ω) = 0.
π
π

(8.9)

190

Из этого выражения следует, что оптимальная полоса
пропускания — частота, на которой выполняется равенство
(8.10)
Sx(ωn0) = Sn(ωn0).
Так как частотные характеристики систем РА отлича
ются от идеальной характеристики (8.7), то оптимальная
полоса пропускания, найденная из выражения (8.10), по
лучается приближенной. Как показывает практика, ошиб
ка при этом не превышает 10–20%.
Синтез оптимальных систем
Постановка задачи оптимальной фильтрации. Необхо
димо найти передаточную функцию системы, при которой
суммарная средняя квадратическая ошибка системы
(см. рис. 8.1) минимальна:
σe = e2 (t) = min,
(8.11)
где e(t) = yж(t) – y(t) — ошибка системы; yж(t) — желаемый
выходной сигнал системы; y(t) — выходной сигнал системы.
Рассмотрим задачу оптимальной фильтрации. В этом
случае

Wж(p) = 1, т. е. yж(t) = x(t).
Согласно (8.11), дисперсия ошибки
σ2e = [x(t) − y(t)]2 = σ2x + σ2y − 2σ2xy .

(8.12)
(8.13)

Дисперсию выходного сигнала синтезируемой системы
РА σ2y найдем аналогично дисперсии ошибки системы (6.18):
σ2y =

∞

∞

−∞

−∞

 w(λ)  w(η)Rf (λ − η)dηdλ,

(8.14)

где w(t) — импульсная переходная функция замкнутой
системы РА; Rf(τ) — автокорреляционная функция сум
марного входного сигнала
f(t) = x(t) + n(t).
Таким же образом получим, что
σ2xy =

∞

 w(λ)Rxf (λ)dλ,

(8.15)

−∞

где Rxy(τ) — взаимная корреляционная функция связи
сигнала с суммарным воздействием.

191

Подставив выражения (8.14) и (8.15) в (8.13), определим
σ2e = σ2x +

∞

∞

−∞

−∞

 w(λ)  w(η)Rf (λ − η)dηdλ −

∞

(8.16)

−2  w(λ)Rxf (λ)dλ.
−∞

Синтез оптимальной системы сводится к нахождению
импульсной переходной функции из (8.16), которая дос
тавляет минимум дисперсии ошибки. Для решения этой
задачи дадим вариацию импульсной переходной функции
(8.17)
w(t) = w0(t) + δw(t),
где w0(t) — искомая оптимальная импульсная переходная
функция проектируемой системы РА; δ — вариация им
пульсной переходной функции.
Импульсную переходную функцию, при которой дис
персия ошибки (8.16) минимальна, определим из условия
∂ 2
σ = 0 при δ = 0.
(8.18)
∂δ e
Подставим формулу (8.17) в (8.16). Тогда импульсная
переходная функция проектируемой системы РА с учетом
(8.18) должна удовлетворять уравнению
∞
∞

2  w(λ)   w0 (η)Rf (λ − η)dη − Rxf (λ) dλ = 0.
(8.19)
 −∞

−∞
Так как неоптимальная импульсная переходная функ
ция w(t) — функция произвольная, то уравнение (8.19)
выполняется только в том случае, когда
∞

 w0 (η)Rf (t − η)dη − Rxf (t) = 0,

−∞

(8.20)

где переменная λ заменена на t.
Выражение (8.20) называют уравнением Винера —
Хопфа.
Средняя квадратическая ошибка выделения сигнала
из воздействия f(t) в установившемся режиме – постоян
ная величина, ее значение определяется из выражения
(8.16), в котором вместо w(t) нужно подставить w0(t). Тогда
с учетом уравнения (8.20)

192

σ2e min = σ2x −

∞

∞

−∞

−∞

 w0 (λ)  w0 (η)Rf (λ − η)dηdλ.

(8.21)

Решение уравнения Винера — Хопфа во временной об
ласти является сложной задачей. Значительно проще ре
шить эту задачу в частотной области, т. е. найти оптималь
ную частотную характеристику проектируемой системы.
С этой целью применим к уравнению (8.20) преобразование
Фурье. В результате получим
(8.22)
W0(jω)Sf(ω) = Sxf(ω).
Из этого уравнения найдем оптимальную частотную
характеристику:
W0 ( jω) =

Sxf (ω)
Sxf (ω)
=
,
Sf (ω)
Ψ ( jω) Ψ (− jω)

(8.23)

где Sf(ω) — спектральная плотность суммарного сигнала на
входе проектируемой системы; Sxf(ω) — взаимная спект
ральная плотность сигнала с суммарным сигналом; Ψ(jω) —
функция, все полюсы которой на плоскости комплексного
переменного p = jω расположены в левой полуплоскости;
Ψ(–jω) — функция, все полюсы которой расположены
в правой полуплоскости.
В общем случае
Sxf(ω) = Sx(ω) + Sxn(ω);
Sf(ω) = Sx(ω) + Sxn(ω) + Sn(ω) + Snx(ω).
Если сигнал и помеха некоррелированы, то

(8.24)

Sxf(ω) = Sx(ω);
(8.25)
Sf(ω) = Sx(ω) + Sn(ω).
Из выражений (8.23) и (8.25) следует, что оптималь
ная частотная характеристика выделяет составляющие
сигнала на частотах, на которых его спектральная плот
ность сравнительно велика, и ослабляет составляющие
сигнала на частотах с максимальной спектральной плот
ностью помехи.
С учетом оптимальной частотной характеристики зна
чение дисперсии ошибки для некоррелированных сигнала
и помехи в соответствии с выражением (6.20)

193

σ2e min =

1
2π

∞

S (ω)S (ω)

 Sx x(ω) + Sn n (ω)dω.

(8.26)

−∞

Из последнего выражения следует, что если спектры
сигнала и помехи не перекрываются, то средняя квадра
тическая ошибка может быть равна нулю.
Спектральная плотность является четной функцией от
носительно частоты, поэтому полюсы характеристики (8.23)
расположены на плоскости комплексного переменного как
слева, так и справа от мнимой оси. Поэтому найденная оп
тимальная частотная характеристика (8.23) соответствует
физически нереализуемой неустойчивой системе. Дальней
ший синтез системы сводится к определению реализуемой
оптимальной частотной характеристики, наиболее близкой
к полученной нереализуемой (8.23).
Реализуемая оптимальная частотная характеристика
определяется выражением
+

W0 ( jω) =

1  Sxf (ω) 
,
Ψ ( jω)  Ψ (− jω) 

(8.27)

где операция [...]+ — означает выделение слагаемых, по
люсы которых на плоскости комплексного переменного
расположены слева от мнимой оси.
В случае, часто встречающемся в инженерной практи
ке, когда функция
Sxf (ω)
Ψ (− jω)

(8.28)

является дробнорациональной функцией относительно
частоты, выделение слагаемых с полюсами, расположен
ными слева от мнимой оси, осуществляется путем разло
жения (8.28) на простые дроби:
n
Sxf (ω)
αi
=
,
Ψ (− jω) i=1 ω − ωi

(8.29)

1 S (ω)
, λ — полюсы (8.28).
где αi =  ω −  xf
λi  Ψ (− jω) i

Однако среди реализуемых устройств система РА с харак
теристикой (8.27) обеспечивает наименьшее значение сред

194

ней квадратической ошибки выделение сигнала из его сме
си с помехой.
Тогда передаточная функция последовательного кор
ректирующего устройства, включенного в цепь сигнала
ошибки проектируемой системы
Wк ( p) =

Wр 0 ( p)
,
Wри ( p)

(8.30)

где Wр0(p) — передаточная функция разомкнутой опти
мальной системы; Wри(p) — передаточная функция исход
ной части, составленная из функционально необходимых
устройств системы.
Пример 8.2. Найти передаточную функцию последова
тельного корректирующего устройства в оптимальной
системе автоподстройки частоты, структурная схема ко
торой показана на рисунке 1.6, для случая когда спек
тральные плотности сигнала и помехи определяются вы
ражениями
Sx (ω) =

Nx
, Sn (ω) = Nn .
1 + ω2Tx2

(8.31)

Р е ш е н и е. Инерционностью усилителя и дискрими
натора системы пренебрежем. Тогда передаточная функ
ция исходной части системы автоподстройки
kри
,
(8.32)
Wри ( p) =
1 + pTг
где Tг — постоянная времени гетеродина; kри = kдkуkг — ко
эффициент передачи исходной части системы.
Спектральная плотность смеси сигнала с помехой
1 + jωT0 1 − jωT0
,
1 + jωTx 1 + jωTx

(8.33)

1 + jωT0
1 − jωT0
; Ψ (− jω) = B
.
1 + jωTx
1 − jωTx

(8.34)

Sf (ω) = Sx (ω) + Sn (ω) = B

где B = Nx + Nn ; T02 = Tx2

Nn
.
Nx + Nn

Таким образом,
Ψ ( jω) = B

В соответствии с выражением (8.27)

195

α2  Nx
1  α1
+
=
Ψ ( jω) 1 + jωTx 1 − jωT0  B
N
α1
.
= x
B 1 + jωT0
По методу неопределенных коэффициентов
W0 ( jω) =

α1 =

Tx
.
Tx + T0

(8.35)

(8.36)

В соответствии с (8.35) и (8.36) оптимальная частотная
характеристика проектируемой системы автоподстройки
частоты
K0
(8.37)
W0 ( jω) =
,
1 + jωT0
N
где K0 = α1 x .
B
Для наглядности выразим параметры оптимальной час
тотной характеристики через коэффициент, равный отно
шению уровней спектральных плотностей сигнала и поме
хи. В результате получим
K0 =

Tx
ρ
1
; T0 =
,
=1−
1+ρ + 1+ ρ
1+ ρ
1+ ρ

(8.38)

Nx
.
Nп
На рисунке 8.5 показаны зависимости коэффициента
усиления K0 и постоянной времени T0 от коэффициента ρ,
из которых видно, что увеличением коэффициента ρ по
стоянная времени оптимальной системы уменьшается (ее
предельное значение равно нулю), а коэффициент усиле
ния растет (его предельное значение равно единице). Та
ким образом, при отсутствии помехи оптимальная систе
ма является усилительным звеном и дисперсия ошибки
равна нулю.

где ρ =

196

Рис. 8.5

Дисперсию суммарной ошибки в оптимальной системе
автоподстройки частоты определим по формуле (6.20):
de = σ2e =

1
2π

∞

 [|1 − W0 ( jω)|2 Sx (ω)+ | W0 ( jω)|2 Sn (ω)]dω

−∞

K2
T0 + (1 − K0 )2 Tx
Nx + 0 Nn .
2Tx (T0 + Tx )
2T0

На рисунке 8.6 показана зависимость дисперсии сум
марной ошибки от отношения уровней сигнала и помехи
Wр 0 ( p) =

где Kр 0 =

Kр 0
,
1 + pT

K0
T0
;T=
.
1 − K0
1 − K0

Рис. 8.6

Передаточная функция последовательного корректи
рующего устройства в соответствии (8.32)

197

Wк ( p) = kк

1 + pTг
,
1 + pT

Kр 0
— коэффициент корректирующего устройства.
Kри
В заключение отметим, что при нестационарных воз
действиях оптимальная система оказывается нестацио
нарной, определение оптимальной импульсной переход
ной функции является сложной задачей. Поэтому при
проектировании нестационарных систем метод Винера не
применяется. Решение нестационарных задач проектиро
вания систем РА базируется на оптимальных фильтрах
Калмана.

где kк =

8.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ
СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ
Наблюдается воздействие F(t), в общем случае много
мерное, состоящее из полезного сигнала X(t) и помехи N(t):
F (t) = X (t) + N (t).

(8.39)

Статистические характеристики сигнала и помехи из
вестны. Задача заключается в том, чтобы спроектировать
систему РА (фильтр), которая позволяет выделить сигнал
X(t) из наблюдаемого воздействия F(t) с минимальной
средней квадратической ошибкой
σ2e = M[ET (t)E(t)] = min,

(8.40)

где E(t) = X ж (t) − X(t) — вектор переменных состояния
ошибки; X ж (t) — желаемый выход системы; M[...] — оз
начает взятие математического ожидания от выражения,
заключенного в квадратные скобки.
Оценка сигнала Xˆ (t) производится в момент времени t1,
при этом если t = t1, то оптимальную задачу называют зада
чей фильтрации, при t < t1 — задачей сглаживания и при
t > t1 — задачей оптимального упреждения. В задаче фильт
рации E(t) = X ж (t) − X(t). Ниже рассматривается именно
этот случай. При этом помеха принимается в виде белого
шума с характеристиками

198

M[N(t)] = 0; M[N(t)NT (t)] = P(t)δ(t − τ),

(8.41)

где P(t) — матрица интенсивностей белых шумов помехи.
Полезный сигнал генерируется из белого шума с по
мощью формирующего фильтра, векторное дифференци
альное уравнение которого имеет вид
Z (t) = A(t)Z(t) + V(t);
(8.42)
X(t) = CT (t)Z(t),
где V(t) = B(t)X(t); A(t), C(t), B(t) — матрицы формирую
щего фильтра сигнала, наблюдения и управления.
На входе формирующего фильтра сигнала белый шум
с характеристиками
M[V(t)] = 0; M[V(t)VT (t)] = Q(t)δ(t − τ),

(8.43)

где Q(t) — матрица интенсивностей белого шума, вычис
ляемая по формуле
Q(t) = B(t) Nx BT (t).

(8.44)

На рисунке 8.7 показана схема, поясняющая поста
новку задачи оптимальной фильтрации: при известном
векторном дифференциальном уравнении формирующего
фильтра сигнала и заданных статистических характери
стиках сигнала и помехи необходимо найти оптимальный
фильтр (его векторное дифференциальное уравнение), по
зволяющий оценить вектор переменных состояния сигна
ла Zˆ (t) с минимальной средней квадратической ошибкой
(8.40).

Рис. 8.7
К постановке задачи оптимальной фильтрации

В задаче фильтрации вектор ошибки определяется вы
ражением

199

E(t) = Z (t) − Zˆ (t).

(8.45)

При синтезе оптимальных систем РА по найденному
решению оптимального фильтра находится корректиру
ющее устройство, включение которого обеспечивает полу
чение оптимальной системы.

8.3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО НЕПРЕРЫВНОГО
ФИЛЬТРА
Как отмечалось выше уравнение Винера — Хопфа
(8.20) является необходимым и достаточным условием
оптимальности. В пространстве состояний это уравнение
получается следующим:
t

 W0 (t, η)M[F(λ)FT (η)]dη − M[Z(t)FT (τ)] = 0.

(8.46)

0

В стационарном случае уравнение (8.46) имеет вид
∞

 W0 (η)Rf (t − η)dη − R ZF (t) = 0.

(8.47)

0

Найдем векторное дифференциальное уравнение оп
тимального фильтра из условия минимума средней
квадратической ошибки, следуя методу Калмана —
Бьюси, который базируется на уравнении (8.46). Пред
положим, что искомый оптимальный фильтр описыва
ется уравнением
̂
Z (t) = H (t)Zˆ (t) + K(t)F (t),
(8.48)
где H(t), K(t) — неизвестные матрицы, которые необходимо
найти из условия получения несмещенной оценки вектора
переменных состояния сигнала и обеспечения минимально
го значения средней квадратической ошибки (8.40).
Чтобы процесс на выходе оптимального фильтра мож
но рассматривать как несмещенную оценку, должно вы
полняться равенство
M[Zˆ (t)] = M[Z (t)] = Z (t).
(8.49)

200

Найдем математическое ожидание от выражения (8.48)
̂
MZ (t) = H (t)M[Zˆ (t) + K (t)M[F (t)]],
(8.50)
вектора V(t) равно нулю, получим еще одно уравнение для
среднего значения вектора переменных состояния
Z (t) = A(t)Z(t).
(8.51)
Из последних двух уравнений следует условие несме
щенности оценки вектора состояния оптимального фильтра
H(t) = A(t) − K(t)CT (t).

(8.52)

Подставив последнее выражение в уравнение (8.48),
найдем векторное дифференциальное уравнение опти
мального фильтра
̂
Z (t) = [A (t) − K (t)CT (t)]Zˆ (t) + K(t)F (t)
(8.53)
или
̂
Z (t) = A (t)Zˆ (t) + K (t)[F (t) − CT (t)Zˆ (t)]

(8.54)

с начальными условиями:
Zˆ (t0 ) = M[Zˆ (t0 )] = M[Z (t0 )] = Z 0 .
Выражение (8.54) называют уравнением Калмана, мат
рица усилений в котором K(t) находится из условия ми
нимума суммарной средней квадратической ошибки (8.40)
K(t) = R E (t)C(t)P −1 (t).

(8.55)

Матрица корреляционных моментов ошибки R E (t)
в выражении (8.55) является решением векторного диф
ференциального уравнения Риккати
 E (t) = A(t)R E (t) + R E (t)AT (t) −
R
−R E (t)C(t)P −1 (t)CT (t)R E (t) + Q(t)

(8.56)

с начальными условиями:
R E (0) = M[Z(0)ZT (0)].

(8.57)

Векторные уравнения (8.54), (8.55), (8.56) и (8.57) пол
ностью определяют оптимальный фильтр Калмана в задаче
фильтрации.

201

Так как матрица корреляционных моментов ошибки —
это симметрическая матрица, то решение уравнения Рик
кати (8.56) сводится к вычислению системы из 0,5n(n + 1)
дифференциальных уравнений первого порядка. Из числа
найденных решений необходимо отобрать только те, при
которых матрица корреляционных моментов ошибки по
ложительно определена. Такое решение является единст
венным.
Уравнению (8.54) соответствует структурная схема,
показанная на рисунке 8.8, из которой видно, что опти
мальный фильтр — это нестационарная система с обрат
ной связью, внутренним контуром которой является фор
мирующий фильтр сигнала.

Рис. 8.8
Структурная схема оптимального непрерывного фильтра

В стационарном случае элементы матрицы формирую
щего фильтра сигналы — постоянные величины, а матрица
корреляционных моментов ошибки не зависит от времени,
поэтому уравнение Риккати (8.56) принимает вид
AR E + R E AT − R E CP −1CT R E + Q = 0.

(8.58)

Матрица усилений также будет стационарной:
K = R E CP −1.
(8.59)
Оптимальный фильтр в этом случае стационарный, его
уравнение определяется выражением
Z (t) = AZˆ (t) + K[F (t) − CT Zˆ (t)].
(8.60)
В стационарном случае решение уравнения Риккати
(8.58) сводится к решению системы из 0,5n(n + 1) алге
браических нелинейных уравнений с неизвестными эле
ментами матрицы корреляционных моментов ошибки. Из
найденных решений необходимо отобрать только те, при
которых матрица корреляционных моментов ошибки ока

202

зывается положительно определенной. Такое решение яв
ляется единственным.
Отметим, что передаточная функция оптимального
фильтра, соответствующая уравнениям (8.54) и (8.55), сов
падает с передаточной функцией, получаемой при синтезе
оптимального фильтра по методу Винера.
Найденный оптимальный фильтр может быть ис
пользован для проектирования оптимальной системы
РА. Если проектируемая система является счетноре
шающим устройством, то при технической реализации
могут быть применены однотипные интеграторы и сум
маторы, используемые в вычислительной технике. Если
проектируемая система предназначена для управления
динамическим объектом, то реализация оптимальной
системы сводится к определению структуры и парамет
ров корректирующего устройства, подключение которого
к объекту управления позволяет получить оптимальную
систему. При стационарных сигналах и помехе реализа
ция оптимальной системы упрощается. В этом случае
матрицы в уравнениях (8.54) и (8.55) не зависят от вре
мени, поэтому можно найти передаточные функции оп
тимальной системы и затем, используя методику главы
7, определить передаточные функции корректирующих
устройств, которые в этом случае будут стационарными.
Пример 8.3. Определить из условия минимума средней
квадратической ошибки структурную схему и параметры
оптимальной системы в стационарном режиме, на которую
действует смесь сигнала и помехи со спектральными плот
ностями
Nx
; Sn (ω) = Nn .
Sx (ω) =
1 + ω2Tx2
Р е ш е н и е. Передаточная функция формирующего
фильтра сигнала — это инерционное звено с постоянной
времени Tx и коэффициентом усиления, равным единице.
Такой передаточной функции формирующего фильтра со
ответствует следующее дифференциальное уравнение:
x (t) + a0 x(t) = b0v(t),
1
где a0 = b0 = ; v(t) — случайный сигнал на входе форми
Tx
рующего фильтра с интенсивностью Nx.

203

В пространстве состояний последнее уравнение имеет
вид:
z1 (t) = −a0 z1 (t) + b0v(t);
z1 (t) = x(t).
Таким образом, в рассматриваемой задаче:
A = −a0 ; B = b0 ; C = 1; P = Nn ; Q = b02 Nx .

Уравнение оптимального фильтра в соответствии с вы
ражением (8.54) запишется в виде
∧

zˆ 1 (t) = −a0 zˆ 1 (t) + k(t)[f (t) − z 1 (t)],

где k(t) — коэффициент усиления фильтра; zˆ (t)— оценка
сигнала; x(t) — выходной сигнал оптимального фильтра.
Листинг «Оптимальный фильтр первого порядка»
Tx=1; Nx=10; Nn=1;p=Nn;
a0=1/Tx; b0=1/Tx;
A=-a0; B=b0; C=1;
Q=b0.^2.*Nx;
syms x;solve(A.*x+x.*A'-x.*C.*(1/p).*C'.*x+Q)
x=-1+11.^(1/2)
K=x.*(1/p).*C
Выполнение программы
ans =
-1-11^(1/2)
-1+11^(1/2)
x=
2.3166
K=
2.3166

Рис. 8.9
Структурная схема оптимального фильтра

204

Контрольные вопросы
1. Поясните постановку задачи синтеза оптималь
ных систем РА.
2. Поясните физический смысл оптимальной поло
сы пропускания системы РА.
3. Каким образом вычисляются значения оптималь
ных параметров системы РА из условия минимума сред
ней квадратической ошибки?
4. Поясните постановку задачи оптимальной фильт
рации Винера и условий физической реализации опти
мального решения.
5. Сформулируйте задачу синтеза фильтра Калмана.
6. Как можно получить оптимальный фильтр Вине
ра из фильтра Калмана?

205

Глава 9
ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
9.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА
ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ
Повышение требований к качеству работы систем РА,
увеличение объема перерабатываемой информации, услож
нение объектов управления привело к тому, что средствами
аналоговой техники и непрерывной автоматики не удается
решить многие практические задачи. В результате в совре
менных радиотехнических устройствах и системах радио
управления стали широко применяться цифровые системы
РА, в состав которых входят ЦВМ или специализированные
цифровые устройства. Быстрое внедрение в технику цифро
вых систем объясняется тем, что они по сравнению с анало
говыми имеют значительно бóльшие вычислительные воз
можности. В цифровых системах, выполненных на базе
микроэлектроники (интегральных схемах, микропроцессо
рах и миниЭВМ), при небольших габаритах и массах можно
использовать более сложные алгоритмы обработки сигналов.
При этом точность реализации алгоритмов определяется пе
риодом дискретизации, числом разрядов цифровых кодов и
может быть сделана весьма высокой.
Важным преимуществом цифровых систем является
высокая стабильность их работы, в таких системах РА
отсутствует дрейф нуля дискриминаторов и других циф
ровых устройств системы. Кроме того, в цифровых систе
мах просто осуществляется перестройка их структуры
и регулировка параметров.
В радиотехнических устройствах и системах радио
управления цифровые системы применяются для стабили
зации частоты, измерения дальности, управления антен
нами РЛС, для формирования команд различными объек
тами. Для обработки сигналов в РЛС широкое применение
нашли цифровые фильтры, реализуемые на устройствах
цифровой техники: сумматорах, регистрах и т. п. Подоб
ные фильтры используются и в качестве корректирующих
устройств в различных системах РА. Цифровые фильтры

206

позволяют избавиться от применения ЦВМ, что упрощает
и снижает стоимость систем РА.
На рисунке 9.1 показана структурная схема цифровой
системы РА, которая состоит из преобразователей инфор
мации непрерывных сигналов в код (НК), цифровой вы
числительной машины (ЦВМ), обратного преобразователя
(КН), осуществляющего преобразование кода в непрерыв
ный сигнал, и непрерывного объекта управления (ОУ).

Рис. 9.1
Структурная схема цифровой системы РА

В качестве преобразователей непрерывных сигналов


x(t) и y(t) в цифровые x(t) и y(t) происходит квантование
(дискретизация) сигналов по времени, т. е. осуществляется
выборка непрерывных сигналов, соответствующих дис
кретным моментам времени (обычно выборка производится
через равные промежутки времени T). Дискретность ввода
сигналов обеспечивается импульсным элементом (ИЭ).
В процессе преобразования сигналов в цифровую форму
происходит также их квантование по уровню. В результате
из всех возможных дискретных сигналов выбираются
только разрешенные уровни, кратные шагу квантования,
равного значению младшего разряда ЦВМ. Если преобра
зователь НК имеет α разрядов, то число уровней квантова
ния, отличных от нуля, составляет 2α – 1.
Сигнал с преобразователей НК подается на ЦВМ, в ко
торой реализован алгоритм управления системы. Для
преобразования этого сигнала в непрерывный введен пре
образователь КН, на выходе которого получают сигнал
uT(t), под действием которого регулируется режим работы
объекта управления системы РА.
Квантование сигналов по уровню — это нелинейная
операция, поэтому цифровые системы относятся к классу

207

нелинейных. Сигнал, квантованный по уровню, можно
представить в виде (рис. 9.2)
(9.1)
xT(t) = x(t) + Δx(t),
где x(t) — непрерывный сигнал; Δx(t) — шум квантования.

Рис. 9.2
К пояснению процесса квантования сигнала по уровню

Число разрядов преобразователей информации обычно
выбирается равным 8–15, при этом число уровней кванто
вания сигналов велико, что позволяет во многих случаях
пренебречь нелинейностью характеристик преобразовате
лей. При необходимости влияние шума квантования на
качество работы системы РА можно учесть путем введе
ния дополнительного сигнала Δx(t).
Цифровые системы изза квантования в них сигналов
по времени относятся к дискретным. Квантование сигналов
по времени — линейная операция, поэтому, пренебрегая
шумом квантования, цифровую систему можно рассматри
вать как линейную дискретную систему, методы анализа
и синтеза которой рассматриваются в данной главе.
Входные и выходные сигналы цифровых систем явля
ются последовательностями, однако при анализе можно
отвлечься от физических принципов работы цифровых
устройств и считать основной характеристикой ЦВМ ал
горитм, в соответствии с которым входные сигналы пере
рабатываются в выходные, не принимая во внимание
форму представления сигналов. Тогда ЦВМ в системе РА
можно представить как последовательное соединение ци
фрового фильтра, в котором осуществляется преобразова
ние сигналов, и звена запаздывания с передаточной функ
–p
цией e τ (рис. 9.3).

208

Рис. 9.3
Структурная схема ЦВМ

Звено запаздывания учитывает время прохождения
сигнала через цифровой фильтр. Время запаздывания за
висит от решаемого алгоритма и быстродействия ЦВМ,
в общем случае оно не равно периоду выдачи данных с
ЦВМ. Очевидно, что эти величины связаны соотношением
0 < τ < T. Знак равенства имеет место в том случае, когда
ЦВМ обслуживает один канал.
Система, структурная схема которой показана на ри
сунке 9.1, состоит из цифровой части и непрерывного объ
екта, такую систему называют аналого цифровой. В радио
технических устройствах применяются также системы РА,
все части которых являются цифровыми. На рисунке 9.4
показана структурная схема цифровой системы автопод
стройки частоты (ЦФАПЧ).

Рис. 9.4
Структурная схема цифровой системы ФАПЧ

На вход цифрового фазового детектора (ЦФД) такой
системы поступает периодический сигнал, форма которого
с помощью формирующего устройства (ФУ) преобразуется
к виду, необходимому для работы ЦФД. В последнем выра
батывается кодовая последовательность, соответствующая
разности фаз сигналов с эталонного (ЭГ) и цифрового
управляемого (ЦУГ) генераторов. Сигнал ЦФД обрабатыва
ется по определенному алгоритму в цифровом фильтре
(ЦФ), после чего подается на цифровое устройство управ
ления (ЦУУ), сигнал у которого определяет частоту после
довательности импульсов с ЦГ. На рисунке 9.4 видно, что
система ФАПЧ — замкнутая система, входным сигналом

209

которой является сигнал с ЭГ, а выходным — сигнал с ЦГ.
Задача системы состоит в поддержании частоты ЦГ равным
с заданной точностью частоте с ЭГ.

9.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА
В ДИСКРЕТНЫЙ
Для математического описания преобразования не
прерывного сигнала x(t) в дискретный удобна следующая
модель сигнала:
∞

x∗ (t) = x(t)  δ
n=0

( Tt − n),

(9.2)

где T — период квантования сигнала по времени.
Использование в (9.2) дельтафункции безразмерного ар
гумента связано с тем, что размерность сигнала x∗(t) должна
совпадать с размерностью x(t). Согласно правилу изменения
t
= Tδ(t) из (9.2)
масштаба аргумента дельтафункции δ
T
найдем

( )

∞

x∗ (t) = x(t)T  δ(t − nT ).

(9.3)

n=0

Выражения (9.2) и (9.3) отличаются множителем T,
который нужно учитывать при предельных переходах
(T=0), во всех остальных случаях этот множитель можно
опускать и модель дискретного сигнала принимает вид
x∗ (t) = x(t) δ(t − nT ).

(9.4)

Сигнал x∗(t) называют мгновенными импульсами или
обобщенным дискретным сигналом. Этот сигнал представ
ляет собой последовательность дельтафункций, площади
которых равны значениям сигнала в дискретные моменты
времени t = 0, T, 2T, ... . Преобразование непрерывного
сигнала в последовательность мгновенных импульсов (9.4)
можно рассматривать как модуляцию последовательности
единичных импульсов непрерывным сигналом (рис. 9.5).
На структурных схемах цифровых систем РА процесс пре
образования сигнала x(t) в x∗(t) отображается введением

210

ключа, который называют дискретизатором или про
стейшим импульсным элементом.

Рис. 9.5
К пояснению процесса квантования сигнала по времени:
а — схема дискретизатора; б, в, г — к пояснению математической модели.

Последовательность мгновенных импульсов (9.4) по
дается на цифровое устройство системы, в котором пере
рабатывается в соответствии с алгоритмом в выходную
последовательность импульсов u∗(t). В системах РА с не
прерывными объектами управления последовательность
u∗(t) преобразуется в непрерывный сигнал. Для этой цели
применяются преобразователи, сигнал на выходе которых
между дискретными моментами времени остается посто
янным. В этом случае каждый мгновенный импульс по
следовательности u∗(t) преобразуется в прямоугольный
импульс длительностью T, амплитуда которого равна пло
щади мгновенного импульса. Например, мгновенный им
пульс в момент времени t = 0 преобразуется в прямо
угольный (рис. 9.6) вида
uT(t) = u(0)[1(t) – 1(t – T)].

Рис. 9.6
К определению передаточной функции экстраполятора

Из последнего выражения следует передаточная функ
ция преобразования

211

WЭ ( p) =

L[uT (y)]
1 − e − pT
,
=
L[u(0)δ(t)]
p

(9.5)

где L[u(0)δ(t)] — преобразование Лапласа для мгновенного
импульса в момент времени t = 0.
Устройство, которому соответствует передаточная функ
ция (9.5), называют формирующим элементом или экстра
полятором нулевого порядка.
Представление цифровой части системы РА в виде
дискретизатора, цифрового фильтра и формирующего эле
мента позволяет использовать для анализа и синтеза циф
ровых систем математический аппарат дискретных сис
тем, который к настоящему времени разработан достаточ
но полно.

9.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Z%ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
На математическом аппарате Zпреобразования стро
ится современная теория дискретных и цифровых систем
РА. С целью определения Zпреобразования найдем пре
образование Лапласа последовательности мгновенных им
пульсов (9.4). В результате получим
∞

∞

0

n=0

X( p) =  x∗ (t)e − pT dt =  x(nT )e − pnT .

(9.6)

Функцию x(nT) называют дискретной.
Введем обозначение epT = z. Тогда выражение (9.6) при
нимает вид
∞

X(z) =  x(nT )z−n = Z [x(t)].

(9.7)

n=0

Функцию X(z) называют Zпреобразованием сигнала
x(t). В приложении П.3 приведены Zпреобразования сиг
налов, наиболее часто используемых в системах РА. Более
полная таблица приведена в [5].
Пример 9.1. Определить Zпреобразование сигнала
x(t) = 1(t).
Р е ш е н и е. В соответствии с (9.7)
∞

X(z) =  1z−n .
n=0

212

В этом выражении применена формула геометриче
ской прогрессии.
Свойства Zпреобразования описаны в [5], поэтому ог
раничимся указанием некоторых из них, которые требу
ются для дальнейшего изложения.
1. Свойство линейности X1(z) = Z[x1(t)] и X2(z) =
= Z[x2(t)], то
(9.8)
Z[ax1(t) + bx2(t)] = aX1(z) + bX2(z).
2. Первая теорема смещения. Если X(z) = Z[x(t)], то
для целых k
(9.9)
Z[x(t – kT)] = z–kX(z).
3. Вторая теорема смещения. Если X(z) = Z[x(t)], то
для целых k
r −1


Z [x(t + kT )] = zk  X (z) −  x(nT )z−n  .
n=0



(9.10)

4. Свертка функций. Если Y(z) = X1(z)X2(z), то
y(nT ) =

n

 x1 (nT − mT)x2 (mT).

(9.11)

m=0

5. Предельные значения. Если дискретные значения
функции в установившемся режиме существуют, то они
могут быть найдены путем следующего предельного пере
хода:
lim x(nT ) = lim
n→∞

z→1

z −1
X(z).
z

(9.12)

Начальное значение сигнала вычисляется по формуле
lim x(nT ) = lim X(z).
z→∞

n→0

(9.13)

6. Формула обращения. Дискретные значения функ
ции по ее Zпреобразованию определяются контурным
интегралом:
x(nT ) =

1
j2πT



| z | =1

X(z)zn−1dz.

(9.14)

213

9.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТЫХ
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
Первоначально найдем передаточную функцию систе
мы, структурная схема которой показана на рисунке 9.7.

Рис. 9.7
Структурная схема импульсного фильтра

Подобные системы называют импульсными фильтра
ми. Импульсный фильтр состоит из объекта управления,
непрерывной части, экстраполятора и дискретизатора. Не
прерывная часть и экстраполятор образуют приведенную
непрерывную часть импульсного фильтра, на вход которой
подаются мгновенные импульсы. Выходной сигнал от каж
дого мгновенного импульса:
y(t) =

∞

 e(mT)w(t − mT),

(9.15)

m=0

где w(t) — импульсная переходная функция приведенной
непрерывной части импульсного фильтра.
Следует иметь в виду, что сигнал на выходе импульс
ного фильтра является непрерывным и не равным нулю
между дискретными моментами времени.
Введем последовательность мгновенных импульсов
выходного сигнала. С этой целью условно подключим к
выходу фильтра фиктивный дискретизатор, работающий
синхронно с основным дискретизатором импульсного
фильтра. На выходе фиктивного дискретизатора с учетом
выражения (9.15) получим
∞

y∗ (t) = y(t)  δ(t − nT ) =
n=0

∞

∞

m=0

n=0

 e(mT)  w(t − mT)δ(t − nT).

Применив к последнему выражению преобразование
Лапласа. С учетом введенного обозначения epT = z, найдем
Y(z) = E(z)W(z),
где E(z) = Z[e(mT)].

(9.16)

214

Zпреобразование от импульсной переходной функции
приведенной непрерывной части импульсного фильтра
W(z) = Z[w(nT)]
(9.17)
называют дискретной передаточной функцией импульс
ного фильтра.
Выражение (9.19) можно записать в виде
W (z) =

Y (z)
,
E(z)

(9.18)

из которого следует, что дискретную передаточную функ
цию импульсного фильтра W(z) можно определить как
отношение Zпреобразования выходного сигнала к Zпре
образованию входного сигнала при нулевых начальных
условиях.
В цифровых системах РА передаточная функция экст
раполятора нулевого порядка определяется выражением
(9.5), поэтому передаточная функция приведенной непре
рывной части импульсного фильтра имеет вид
W ( p) = Wэ ( p)Wн ( p) = (1 − e − pT )

Wн ( p)
,
p

(9.19)

где Wн(p) — передаточная функция непрерывной части
фильтра.
Выражению (9.19) соответствует импульсная переход
ная функция
w(t) = h(t) – y(t – T),
(9.20)
 W ( p) 
— переходная функция непрерывной
где h(t) = L−1  н
 p 
части фильтра.
Если через H(z) обозначить Zпреобразование для пе
реходной функции непрерывной части фильтра, то с уче
том (9.9) и (9.20) найдем вторую формулу для вычисления
дискретной передаточной функцией импульсного фильтра
z −1
H(z).
(9.21)
z
Дискретная передаточная функция характеризует про
цессы, происходящие в импульсном фильтре, только в дис
кретные моменты времени.
W (z) =

215

Дискретные передаточные функции импульсных фильт
ров удобно вычислять, используя алгоритмический язык
Matlab, в расширителе которого CST имеется функция c2d,
преобразующая по передаточной функцию непрерывной
части фильтра в эквивалентную дискретную передаточную
функцию. Ниже приведены примеры использования функ
ции c2d.
Пример 9.2. Найти передаточную функцию реверсив
ного счетчика без сброса, который накапливает посту
пающие на его вход положительные и отрицательные им
пульсы. Счетчик является цифровым интегратором и опи
сывается разностным уравнением
u(nT) = u[(n – 1)T] + x(nT),
(9.22)
где u(nT), x(nT) — дискретные значения выходного и вход
ного сигналов.
Р е ш е н и е. Применим к (9.22) Zпреобразование
–1
(9.23)
U(z) = z U(z) + X(z),
из которого следует выражение передаточной функции
счетчика
W (z) =

U(z)
z
=
.
X (z) z − 1

(9.24)

Пример 9.3. Определить дискретную передаточную
функцию разомкнутого дальномера с одним интеграто
ром, широко применяемого в РЛС.
Р е ш е н и е. В таком дальномере фильтр нижних час
тот — интегратор с передаточной функцией
k
Wн ( p) = .
p
Переходная функция непрерывной части
k
h(t) = L−1  2  = t1(t).
 p 
В соответствии с формулой (9.21) дискретная переда
точная функция дальномера с одним интегратором в ра
зомкнутом состоянии равна
z −1
kT
Wр ( p) =
Z [h(t)] =
,
z
z −1
где Z[h(t)] — Zпреобразование переходной функции.

216

Решим рассмотренный пример с использованием
функции c2d. После вызова программы Matlab нужно со
ставить tfфункцию непрерывной части фильтра при k = 10
и T = 0,1:
>> W=tf(10,[1 0]);
>> c2d(W,0.1)
Transfer function:
1
----z-1
Sampling time: 0.1

Ниже показаны дискретные передаточные функции
для различных передаточных функций непрерывных час
тей импульсных фильтров.
10
1. W ( p) =
.
2p +1
10(0,5 p + 1)
2. W ( p) =
,
p2
10
3. W ( p) =
,
p(2 p + 1)
0,5 p + 1
4. W ( p) =
,
0,2 p + 1
0,2 p + 1 0,05 p + 1
5. W ( p) =
.
0,5 p + 1 0,02 p + 1
1. >> W=tf(10,[2 1]);
>> c2d(W,0.5)
Transfer function:
2.212
---------z - 0.7788
Sampling time: 0.5

217

2. >> W=tf([5 10],[1 0 0]);
>> c2d(W,0.2)
Transfer function:
1.2 z - 0.8
------------z^2 - 2 z + 1
Sampling time: 0.2
3. >> W=tf(10,[2 1]);
>> c2d(W,0.2)
Transfer function:
0.9516
---------z - 0.9048
Sampling time: 0.2
4. >> W=tf([0.5 1],[0.2 1]);
>> c2d(W,0.1)
Transfer function:
2.5 z - 2.107
------------z - 0.6065
При параллельном включении импульсных фильтров
дискретная передаточная функция равна
k

W (z) =  Wi (z);

(9.25)

i=1

где k — число параллельно включенных звеньев.
При последовательном включении импульсных фильт
ров (рис. 9.10) дискретные передаточные функции получа
ются следующими:
k

W (z) = ∏ Wi (z).
i =1

(9.26)

218

Рассмотрим разомкнутую цифровую систему РА, ко
торая состоит из последовательного соединения цифровой
управляющей машины и непрерывной части.
y*(t)
x(t)
пнк

wцв

пкн

э

wн
y(t)

Рис. 9.8
Схема разомкнутой цифровой системы

Безынерционные звенья с коэффициентами передачи
kнк и kкн учитывают наличие преобразователей НК и КН.
Коэффициент передачи входного преобразователя НК
kнк = q–1, где q1 — входной сигнал преобразователя, соответ
ствующий единице младшего разряда. Аналогичным обра
зом для выходного преобразователя КН получим kкн = q2.
Цифровая управляющая машина и непрерывная часть сис
темы соединены последовательно, поэтому передаточные
функции разомкнутой цифровой системы имеют вид
Wр (z) = q1−1q2Wц (z);
где Wц(z) — дискретная передаточная функция цифровой
ЭВМ; W(z), W(z, εT) — передаточные функции импульс
ного фильтра.

9.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
На рисунке 9.9 изображена структурная схема замк
нутой цифровой системы РА, в которой цифровой фильтр
с передаточной функцией Wц(z) является последователь
ным корректирующим устройством.
Передаточные функции замкнутой системы опреде
ляются так же, как и в непрерывных системах. Так, пере
даточная функция замкнутой системы через передаточ
ную функцию разомкнутой системы
Wз (z) =

Wр (z)
Y (z)
,
=
X(z) 1 + Wр (z)

а передаточная функция ошибки

(9.27)

219

We (z) =

E(z)
1
.
=
X(z) 1 + Wр (z)

(9.28)

Рис. 9.9
Структурная схема замкнутой цифровой системы

Полученные передаточные функции используются для
анализа устойчивости и качества работы цифровых систем.
Аналогичным образом можно найти передаточные
функции цифровых систем, структурные схемы которых
отличаются от рассмотренной.
Цифровые системы РА, так же как и непрерывные сис
темы, в зависимости от ошибки в установившемся режиме
подразделяются на статические и астатические. Ошибка в
установившемся режиме в дискретные моменты времени
находится по теореме о конечном значении (9.12). При
входном сигнале x(t) = B 1(t)
z −1
z
We (z) B
= BWe (1).
(9.29)
z
z −1
Ошибку, определяемую последним выражением, на
зывают статической. Если эта ошибка не равна нулю, то
цифровая система относится к классу статических, в про
тивном случае система относится к классу астатических.
Из выражения (9.29) следует, что в астатических систе
мах передаточная функция ошибки равна нулю в точке
z = 1, что выполняется, если передаточная функция ра
зомкнутой системы в соответствии с (9.27) имеет полюс
в этой же точке.
В общем случае, когда передаточная функция разомк
нутой цифровой системы содержит в точке z = 1 полюс
кратности ν, то порядок астатизма системы равен ν и дис
кретные значения ошибки равны нулю при входном сиг
нале вида
ec = lim e(nT) = lim
n→∞

z→∞

220
ν−1

x(t) =  αi ti .

(9.30)

i =0

9.6. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ
СИСТЕМ
Выражения для частотных характеристик цифровых
систем получаются из их передаточных функций путем
замены оператора z на ejωT. Так как частота входит в пока
затель числа e, то частотные характеристики оказываются
периодическими функции частоты, период изменения ко
π
торых равен ± . Следовательно, нельзя различить со
T
ставляющие, частоты которых кратны частоте работы
2π
дискретизатора ωT = . На рисунке 9.10 показан годо
T
граф вектора ejωT.

Рис. 9.10
j T
Годограф e ω

Нулевой частоте на годографе соответствует точка на
π
вещественной оси, при изменении частоты от нуля до
T
единичный вектор на плоскости комплексного переменно
го совершает один оборот.
Частотные характеристики цифровых систем РА опи
сываются трансцендентными выражениями. Их опреде
ление связано со сложными расчетами, поэтому на прак
тике применяются частотные характеристики относитель
но псевдочастоты. Переход к псевдочастоте основан на
введении комплексной переменной

221

s=

z −1
.
z +1

(9.31)

Величину
2
2 ωT
s = j tg
(9.32)
T
T
2
называют псевдочастотой.
Удобство псевдочастоты заключается в том, что на
частотах, на которых выполняется условие ωT < 2, она
приближенно равна круговой частоте. Нетрудно убедить
π
π
ся, что при изменении частоты − ≤ ω ≤ + псевдочасто
T
T
та принимает значения от –∞ до +∞, а комплексная пере
менная s движется по мнимой оси от –j∞ до +j∞, т. е. внут
ренняя часть круга единичного радиуса на плоскости
комплексной переменной z отображается в левую полу
плоскость комплексной переменной s.
Таким образом, частотные характеристики относи
тельно псевдочастоты определяются выражением
jv =

W ( jv) = W (z)|

z=

(1+s) ,
(1−s)

T
при s = jv .
2

(9.33)

Пример 9.4. Найти частотные характеристики разомк
нутого дальномера с одним интегратором, передаточная
функция которого определяется выражением (9.27).
Р е ш е н и е. Частотная характеристика относительно
круговой частоты
W ( jω) =

kT
kT
kT
ωT
=−
−j
ctg
.
2
2
2
e jωT − 1

Амплитудная и фазовая частотные характеристики
дальномера имеют вид
kT
π ωT
; ϕ(ω) = − −
.
ωT
2
2
2sin
2
Частотная характеристика относительно псевдочасто
ты в соответствии (9.33)
| W ( jω)|=

222

W ( jv) = k

T
2.

1 − jv
jv

Тогда

( Tv2 )

2

1+

π ωT
.
ϕ(v) = − −
v
2
2
Очевидно, что построение частотных характеристик от
носительно псевдочастоты проще, чем относительно круго
вой частоты.
При построении частотных характеристик цифровых
систем на языке Matlab используется функция filt, про
грамма вычислений следующая:
| W ( jv)|= k

>> W=filt([0 1.5],[1 -1])
Transfer function:
1.5 z^-1
-------1 - z^-1
Sampling time: unspecified
>> bode(W,{0.01 15}),grid on
Выполнение программы

Bode Diagram

50
40
)
B
d(
e
d
uti
n
g
a
M

30
20
10
0
-10
-90

)
g
e
d(
e
s
a
h
P

-135

-180
-2
10

-1

0

10

10
Frequency (rad/sec)

Рис. 9.11

1

10

223

Определим частотный спектр сигнала на выходе дис
кретизатора. Последовательность единичных импульсов
является периодической, поэтому может быть разложена
в ряд Фурье:
∞

δT (t) =



Ak e

jk

2π
t
T ,

(9.34)

k=−∞

где
Ak =

1
T

∞



δ(t)e

− jk

2π
t
T dt

=

−∞

1
.
T

Сигнал на выходе дискретизатора с учетом (9.34) мож
но записать в виде
x∗ (t) =

∞

2π
jk t
1
x(t)e T .

T k=−∞

Применив к последнему выражению преобразование
Лапласа и заменив в полученной формуле p на jω, най
дем, что
X( jω) =

∞

(

)

1
2π
X jω − jk
.
T k
T
=−∞

(9.35)

Из этого выражения следует, что спектр сигнала на
выходе дискретизатора является периодическим и содер
жит высокочастотные составляющие.
Так как сигнал на выходе дискретизатора существует
только в дискретные моменты времени, то прохождение
сигнала через дискретизатор связано с потерей информа
ции. Однако при ограниченном спектре сигнала можно
вновь восстановить сигнал по последовательности мгно
венных импульсов на выходе дискретизатора. Для этого
необходимо, чтобы выполнялось условие теоремы Ко
тельникова:
2π
(9.36)
≥ 2ωм .
T
Условие (9.36) используется для выбора частоты рабо
ты дискретизатора. При этом нужно иметь в виду, что ре
альные сигналы имеют неограниченные спектры, хотя и
убывающие при стремлении частоты к бесконечности, по
ωT =

224

этому условие теоремы Котельникова нужно рассматри
вать как приближенное утверждение, определяющее наи
меньшую частоту работы дискретизатора.
Аналогично (9.35) определяется частотная характери
стика импульсного фильтра через частотную характе
ристику его приведенной непрерывной части:
W ( jω) =

∞

(

)

1
2π
WПНЧ jω − jk
.
T k
T
=−∞

(9.37)

С ростом частоты модуль частотной характеристики
приведенной непрерывной части фильтра уменьшается, по
этому при нахождении частотной характеристики импульс
ного фильтра можно в выражении (9.37) ограничиться толь
ко двумя или тремя слагаемыми.
Проанализируем условия неискаженной передачи сиг
нала импульсным фильтром. Одно из условий определено —
период дискретизатора должен удовлетворять условия тео
ремы Котельникова. Кроме того, для неискаженной переда
чи сигнала нужно отфильтровать все высокочастотные со
ставляющие спектра сигнала. Для этого необходимо, чтобы
ширина полосы пропускания приведенной непрерывной
части импульсного фильтра была меньше граничной часто
ты в спектре сигнала. При этом приближенно можно счи
тать, что частотные характеристики импульсного фильтра и
приведенной непрерывной части связаны соотношением
1
W
(jω).
T ПНЧ
Очевидно, что в этом случае частотные свойства им
пульсного фильтра совпадают со свойствами приведенной
непрерывной части.
WЦ ( jω) ≈

9.7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
Методы вычислений переходных процессов в цифро
вых системах РА основываются на Zпреобразовании пе
реходного процесса, которое при единичном входном сиг
нале имеет вид
H (z) = W (z)

z
.
z −1

(9.38)

225

Для расчета дискрет переходного процесса нужно най
ти обратное Zпреобразование выражения (9.38). При этом
следует воспользоваться формулой обращения (9.14), ко
торая устанавливает, что дискретные значения переход
ного процесса
l

h(nT ) =  ResH(z) zn−1 z=zi ,

(9.39)

i=1

где zi — полюсы выражения H(z); l — число полюсов.
Вычет в простом полюсе вычисляется по формуле
Re sH(z)zn−1 = lim(z − zi ) H(z)zn−1.
z→zi

(9.40)

Вычет в полюсе кратности k
Re sh(z)zn−1 =

1
dk−1
lim[(z − zi )k H (z)zn−1 ].
(k − 1)! dzk−1 z→zi

(9.41)

Характер изменения переходного процесса зависит от
расположения полюсов передаточной функции цифровой
системы.
Дискретные значения переходного процесса могут
быть найдены также путем разложения H(z) в ряд Лора
на. Для этого нужно числитель H(z) разделить на знаме
натель. В результате получим
H(z) = h0 + h1z–1 + h2z–2 + h3z–3 +... + hkz–k. (9.42)
Коэффициенты при z–i определяют дискретные значе
ния переходного процесса.
Пример 9.5. Определить переходный процесс в цифро
вой системе, передаточная функция которой в разомкну
том состоянии
1 − e −β
Wр (z) = k1
.
z − e −β
Р е ш е н и е. Передаточная функция разомкнутой сис
темы
Wp =

k1 (1 − e −β )
z − e −β ,

k
kz−1
=
,
z + d 1 + dz−1
где d = k1(1 – e–β) – e–β; k = k1(1 – e–β).
Wз (z) =

226

Программа вычислений при k1 = 1; β = 0,25.
>> k=1-exp(-0.25);
>> d=k-exp(-0.25);
>> W=filt([0 k],[1 -d])
Transfer function:
0.2212 z^-1
--------------1 + 0.5576 z^-1
Sampling time: unspecified
>> step(W),grid on
Step Response

0.25

0.2

0.15
e
d
uti
pl
m
A

0.1

0.05

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

Рис. 9.12

Пример 9.6. Найти переходный процесс относительно
ошибки в дальномере РЛС с одним интегратором при
kT = 1,5.
Р е ш е н и е. Передаточная функция дальномера в ра
зомкнутом состоянии определяется выражением (9.27)
и равна
Wр (z) =

kT
z −1

(9.43)

227

Передаточная функция ошибки
We (z) =

z −1
.
z + 0,5

Программа вычисления переходного процесса
>> W=filt([1 -1],[1 0.5])
Transfer function:
1 - z^-1
-----------1 + 0.5 z^-1
Sampling time: unspecified
>> step(W),grid on
Выполнение программы
Step Response

1

0.5

e
d
uti
pl
m
A
0

-0.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

Рис. 9.13

Рассмотрим еще один метод расчета переходных про
цессов в цифровых системах РА, который базируется на
разностных уравнениях системы. В общем виде дискрет
ная передаточная функция системы

228

W (z) =

Y ( Z) cm zm + cm−1z m−1 +... + c0
=
,
X(z)
zl + a l−1 zl−1 + ... + a0

Представим последнее выражение через отрицатель
ные степени z:
W (z) =

cm zm−l + cm−1zm−l−1 + ... + c0 z−l
.
1 + al−1z−1 + ... + a0 z−l

(9.44)

Из (9.44) находим Zпреобразование для выходного сиг
нала:
Y(z) = [cmzm–l + cm–1zm–l –1 + ... + c0z–l]X(z) –
– [al–1z–1 + al–2z–2 + ... + a0z–l]Y(z).
(9.45)
Так как в соответствии с первой теоремой смещения
(9.10)
Z[x(t – kT)] = z–kX(z), Z[t(t – kT)] = z–kY(z),
то, согласно (9.45), разностное уравнение системы относи
тельно дискретных значений входного и выходного сиг
налов
y(nT) = cmx[(n – l + m)T] + cm–1x[(n – l +
+m – 1)T] + ... + c0x[(n – l)T] –
– al–1y[(n – 1)T] – ay[(n – 2)T] – ... – a0y[(n – l)T]. (9.46)
Из последнего выражения следуют рекуррентные фор
мулы для расчета дискрет переходного процесса при за
данном входном сигнале. В случае, когда m = l – 1 эти
формулы имеют вид
y(0) = 0;
y(T ) = cm x(0);
y(2T ) = cm x(T ) + cm−1x(0) − al−1y(T );
............................................
k−1

k

i =0

i =1

(9.47)

y(kT ) =  cm−i x[(k − 1 − i)T] −  al−i y[(k − i)T].

В уравнениях (9.47) учтено, что дискретные значения
выходного сигнала при отрицательных значениях аргу
ментов равны нулю.
Формулы (9.47) используются и для расчета переход
ных процессов в непрерывных системах РА. Для этого

229

осуществляют дискретизацию векторного дифференци
ального уравнения системы, после чего по выраже
нию (9.47) вычисляют переходный процесс.

9.8. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
Точность цифровых систем РА характеризуется как
статическими ошибками, определяемых в установившем
ся режиме работы системы при постоянных входных сиг
налах, так и динамическими, вычисляемых при неста
ционарных входных воздействиях. Если число производ
ных от входного сигнала ограничено, то динамическая
ошибка вычисляется по формуле
1 
e(nT) = C0 x(nT) + C1x (nT) + C2x
(nT ) + ...
2
1
... + Ck x(k) (t),
k!

(9.48)

где C0, C1, C2, …, Ck — коэффициенты ошибок по положе
нию, скорости, ускорению и т. д.
Коэффициенты ошибок вычисляются по передаточной
функции ошибки
Ci = i !

di
W e (e pT ) p=0 .
dpi

(9.49)

Выражение (9.49) неудобно для расчетов, поэтому ко
эффициенты ошибок рассчитываются по формулам
C0 = We (z)|z=1;
d
C1 = zT We (z) ;
dz
z=1
d2
 d

+ zT 2 We (z) zT |z=1 .
C2 = 2 T
dz
 dz


(9.50)

В астатических системах несколько первых коэффици
ентов ошибок равны нулю:
C0 = C1 = C2 = ... = Cν–1 = 0,
где ν — порядок астатизма системы.
Найдем среднюю квадратическую ошибку системы, на
вход которой подается воздействие
f(t) = x(t) + n(t),

(9.51)

230

где x(t) — случайный сигнал с известными статистиче
скими характеристиками; n(t) — случайная стационарная
помеха с нулевым математическим ожиданием.
Ошибка системы
e(t) = x(t) – y(t).
Определим Zпреобразование для ошибки

(9.52)

E(z) = X(z) – Wз(z)F(z) = We(z)X(z) – Wз(z)n(z), (9.53)
где We(z), Wз(z) — передаточные функции ошибки и зам
кнутой системы.
После окончания переходного процесса суммарная
ошибка (9.51) образует дискретный сигнал, математиче
ское ожидание которого рассчитывается по формуле с по
мощью теоремы о конечном значении (9.12):
me = lim We (z)mx .
z→1

(9.54)

Средняя квадратичная ошибка системы вычисляется
через ее спектральную плотность, которая находится так
же, как и в непрерывных системах. Поэтому аналогично
(6.19) спектральная плотность ошибки
Se(z) = | We(z) |2Sx(z) + | Wз(z) |2 +
+ We(z–1)Wз(z)Sxn(z) + We(z)Wз(z–1)Snx(z), (9.55)
где Sx(z), Sn(z) — спектральные плотности сигнала и поме
хи; Sxn(z), Snx(z) — взаимные спектральные плотности.
Дисперсия ошибки системы
1
dz
σ2e =
(9.56)
S (z) .
2π  e
z
| z| =1

Если для расчета дисперсии ошибки использовать спек
тральную плотность относительно псевдочастоты (9.37), то
в соответствии с (9.56)
σ2e =

T
2π

∞

 Se (v)

dv

(9.57)
.
2
T
1 + jv
2
Для вычисления интеграла (9.57) используются фор
мулы, приведенные в приложении П.2. В результате най
дем, что средняя квадратическая ошибка системы
−∞

σe = σ2ex + σ2en + σ2exn + σ2enn ,

(9.58)

231

где σ2ex — дисперсия ошибки относительно сигнала; σ2en —
дисперсия ошибки изза действия помехи; σ2exn , σ2enx — со
ставляющие, обусловленные корреляцией сигнала с поме
хой и помехи с сигналом.
Если сигнал и помехи не коррелированы, то последние
два слагаемых в выражениях (9.57) и (9.58) равны нулю.
Иногда точность работы цифровых систем РА оцени
вается суммарной средней квадратической ошибкой:
σΣ = me2 + σ2e ,

(9.59)

me2 —

математическое ожидание ошибки, вычисляе
где
мое по формуле (9.54).
Пример 9.7. Определить суммарную среднюю квадрати
ческую ошибку цифрового дальномера с одним интеграто
ром, на вход которого действует помеха в виде белого шума
 , где R — на
и сигнал (измеряемая дальность) R = R0 + Rt
0
чальное значение дальности; R — скорость изменения даль
ности.
Р е ш е н и е. Передаточные функции дальномера с од
ним интегратором
kT
kT
z −1
, Wз (z) =
, We (z) =
.
z −1
z − 1 + kT
z − 1 + kT
Динамическую ошибку дальномера вычислим через
коэффициенты ошибок. В результате найдем, что
Wp (z) =

1 
R,
k
где C1 — коэффициент ошибки по скорости, рассчитанный
по формуле (9.50).
Спектральная плотность ошибки дальномера относи
тельно помехи, согласно (9.55),
me = C1R =

2

Se (z) =

kT
S(0),
z − 1 + kT

(9.60)

где S(0) — спектральная плотность белого шума.
Спектральная плотность относительно псевдочастоты
находится по формулам (9.33) и (9.60):

232

(

kT 1 − jv

Se (z) =
jv

T
2

)

T
(2 − kT ) + kT
2

2

S(0).

Дисперсия ошибки измерения дальности, возникаю
щая изза помехи,
kT
(9.61)
S(0).
2 − kT
Для вычисления интеграла (9.61) использована фор
мула для n = 1, приведенной в приложении П.2.
Из выражения (9.61) следует, что с увеличением пе
риода дискретизации ошибка измерения дальности растет
и при kT = 2 будет равна бесконечности, что связано с на
рушением устойчивости дальномера.
Суммарная средняя квадратическая ошибка дально
мера с одним интегратором в соответствии (9.60)
σ2en =

σΣ =

R 2
kT
+
S(0).
k2 2 − kT

9.9. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
При анализе переходных процессов было установлено,
что переходный процесс будет затухающим, если все по
люсы цифровой системы РА на плоскости комплексного
переменного z расположены внутри круга единичного ра
диуса. Это условие является необходимым и достаточным
для устойчивости системы. Полюсы системы — корни ха
рактеристического уравнения, которое получается из пе
редаточной функции замкнутой системы, если ее знаме
натель приравнять нулю:
(9.62)
1 + Wр(z) = 0,
где Wр(z) — передаточная функция разомкнутой системы.
Пример 9.8. Определить условие устойчивости дально
мера с одним интегратором, передаточная функция кото
рого в разомкнутом состоянии определяется выражением
(9.27).
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение дальномера
z – 1 + kT = 0.

233

Условие устойчивости:
| z1 | = | 1 – kT | < 1 или k <

2
.
T

Расположение корней характеристического уравне
ния (9.62) внутри круга единичного радиуса соответствует
расположению корней на плоскости комплексного пере
π
менного p cлева от мнимой оси в полосе ± , которое не
T
может быть проверено ни одним из критериев, используе
мых для оценки устойчивости непрерывных систем РА.
Однако если с помощью подстановки (9.36) в уравне
нии (9.62) перейти к комплексной плоскости s, то обла
стью устойчивости оказывается вся ее левая полуплос
кость и для оценки расположения корней на плоскости s
могут быть использованы критерии устойчивости, разра
ботанные для непрерывных систем РА. Так, для проверки
устойчивости цифровой РА по критерию Гурвица необхо
димо от характеристического уравнения (9.62) перейти
к уравнению
1 + Wр (s) = [1 + Wр (z)]

z=

1+s
1−s

= bl sl + bl−1sl−1 + ... + b0 = 0. (9.63)

Так же как и в непрерывных системах, для оценки ус
тойчивости нужно составить матрицу Гурвица:
bl−1, bl−1, bl−5 , ..., 0
 b , b , b , ..., 0
l−2
l−4
 l

 0, bl−1, bl−3 , ..., 0
..............................  .


b0 

Условия устойчивости: при bl > 0
Δ1 = bl−1 > 0; Δ2 =

bl−1, bl−3
> 0,..., Δl−1 > 0.
bl , bl−2

Если хотя бы один из определителей меньше или равен
нулю, то цифровая система неустойчива. Условие
Δl–1 = 0
определяет границу устойчивости, из этого уравнения на
ходится критический коэффициент усиления.

234

Пример 9.9. Оценить условия устойчивости для циф
ровой системы, передаточная функция которой в разомк
нутом состоянии
Wр (z) = kT

(1 − e −β )z
.
(z − 1)(z − e −β )

(9.64)

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение системы в
соответствии с (9.62) и (9.64)
a2z2 + a1z + a0 = 0,
где a2 = 1; a1 = kT(1 – e–β) – 1 – e–β; a0 = e–β.
Оценим устойчивость системы по расположению кор
ней характеристического уравнения на плоскости z при
следующих параметрах:
k = 1,5, T = 0,2, β = 0,25.
При таких параметрах
a2 = 1, a1 = –0,4470, a0 = 0,7788.
Составляем программу
% Полином из коэффициентов характеристического
% уравнения
>> P=[1 -0.4470 0.7788];
% Вычисление корней
>> roots(P)
ans =
0.2235 + 0.85371i
0.2235 - 0.85371i
% Модуль корней
>> abs=sqrt(0.2235.^2+0.85371.^2)
abs =
0.8815 % корни расположены в круге
% единичного радиуса
Выполнение программы
система устойчивая.

235

Критический коэффициент усиления можно рассчи
тать, если перейти к характеристическому уравнению, за
писанному относительно псевдочастоты
b2s2 + b1s + b0 = 0,
где b2 = a2 – a1 + a0; b1 = 2a2 – 2a0; b0 = a2 + a1 + a0.
Условия устойчивости:
b2 = 2(1 + e–β) – kT(1 – e–β) > 0; b1 = 2(1 – e – β) > 0;
b0 = kT(1 – e–β) > 0.
Так как e < 1, то второе и третье условия устойчиво
сти выполняются при любых коэффициентах k и β, а пер
вое только в том случае, когда
2 1 + e −β
(9.65)
.
k<
T 1 − e −β
Если в выражении (9.65) поставить знак равенства, то
получим уравнение для границы устойчивости.
Устойчивость цифровых систем РА может быть оценена
и по частотным критериям устойчивости. Так, для оценки
устойчивости по критерию Найквиста нужно построить
годограф частотной характеристики разомкнутой системы
относительно круговой частоты или относительно псевдо
частоты на основе s преобразования (9.37). В том и другом
случае цифровая система, устойчивая или нейтральная
в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом, если
годограф частотной характеристики разомкнутой системы
не охватывает точку с координатами (–1, j0). Если годограф
охватывает эту точку, то система в замкнутом состоянии
неустойчивая, если проходит, то система находится на гра
нице устойчивости.
Близость системы к границе устойчивости определяет
ся запасами устойчивости. Запас устойчивости по усиле
нию вычисляют на критической частоте, на которой
ФЧХ разомкнутой системы равна –π:
1
α=
,
| Wр ( jωкр )|
–β

где ωкр — критическая частота.
Запас устойчивости по фазе рассчитывается на час
тоте среза:
Δϕ = π + ϕр(ωср),
где ωср — частота среза.

236

Пример 9.10. Определить по критерию устойчивости
Найквиста критический коэффициент усиления в цифро
вой системе, передаточная функция которой в разомкну
том состоянии
1 − e −β
k
Wр (z) = k1
=
,
z − e −β z − eβ
где k = 1, 5, β = 0,25.
Р е ш е н и е. Разомкнутая система устойчива, так как ее
полюс z1 = e–β < 1, т. е. расположен на плоскости комплекс
ного переменного z внутри круга единичного радиуса.
Для оценки устойчивости замкнутой системы необходи
мо построить годограф частотной характеристики разомкну
той системы
>> W=filt([0 1.50],[1 -0.7788])
Transfer function:
1.5 z^-1
--------------1 - 0.7788 z^-1
Sampling time: unspecified
>> nyquist(W)
Nyquist Diagram

4

3

2

1
si
x
A
y
r
a
ni
g
a
m
I

0

-1

-2

-3

-4
-1

0

1

2

3
Real Axis

Рис. 9.14

4

5

6

7

237

Годограф не охватывает точку [–1, j0], следовательно,
замкнутая система устойчивая. Критический коэффици
ент усиления найдем из условия Wр(jωкр) = –1, в результа
те получим
1 + e −β
.
k1кр =
1 − e −β

9.10. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
Синтез цифровых систем РА сводится к выбору цифро
вого корректирующего устройства, последовательное вклю
чение которого с объектом управления позволяет получить
систему с желаемыми характеристиками (рис. 9.15).

Рис. 9.15
Структурная схема системы с последовательным корректирующим
устройством

Рассмотрим синтез разомкнутой цифровой системы,
импульсная переходная функция которой должна совпа
дать с дискретными значениями импульсной переходной
функции аналогового эквивалента проектируемой систе
мы, т. е. w(nT) = wa(t) при t = nT дискретная передаточная
функция которой должна быть эквивалентна передаточ
ной функции заданного аналогового эквивалента систе
мы. При таком подходе к синтезу системы характеристи
ки проектируемой цифровой системы совпадают или близ
ки к характеристикам аналогового эквивалента.
По передаточной функции аналогового эквивалента на
ходится дискретная передаточная функция проектируемой
цифровой системы WA(z) как Zпреобразование импульсной
переходной функции аналогового эквивалента системы:
(9.66)
WA(z) = Z[wа(t)]

238

Передаточная функция последовательного корректи
рующего устройства
Wк (z) =

WA (z)
,
W (z)

(9.67)

где W(z) — дискретная передаточная функция объекта
управления.
Передаточная функция Wж(z) легко определяется
функцией Matlab c2d.
Проиллюстрируем это положение на конкретном при
мере.
Пример 9.11. Найти передаточную функцию цифрово
го корректирующего устройства в разомкнутой системе,
предназначенной для управления астатическим объектом,
передаточная функция которого с экстраполятором
W ( p) =

k(1 − e − pT )
.
p2

Импульсная переходная функция объекта управления
равна
W(t) = k(t2 – (t – T)2)
По таблице Zпреобразования (П.3) находим, что дис
кретная передаточная функция объекта управления
W (z) = k

T 2 (z + 1)
.
(z − 1)2

Передаточная функция аналогового эквивалента
Wа ( p) =

1
.
(1 + pT1 )

Р е ш е н и е. Дискретную передаточную функцию про
ектируемой системы найдем по функции c2d при T1=0.1
>> W=tf(1,[0.1 1])
Transfer function:
1
--------0.1 s + 1

239

>> WA=c2d(W,0.02)
Transfer function:
0.1813
---------z - 0.8187
Sampling time: 0.02
Дискретная передаточная функция цифрового коррек
тирующего звена при k = 2 и T = 0,02 может быть реали
зована в виде цифрового фильтра, передаточная функция
которого
(z − 1)2
0,1813
Wk (z) = WA(z)./ W (z) =
.
z − 0,8187 kT 2 (z + 1)2
Данная передаточная функция корректирующего зве
на удовлетворяет условию физической реализуемости.
При синтезе разомкнутых цифровых систем, в кото
рых требуется совпадение переходных процессов в про
ектируемой системе и ее аналоговом эквиваленте при
входном сигнале x(t) = 1(t) желаемая дискретная переда
точная функция проектируемой системе определяется по
формуле
z −1
(9.68)
H(z),
z
где H(z) — Zпреобразование переходной функции анало
гового эквивалента.
При синтезе цифровых систем с конечной длительно
стью переходных процессов дискретная передаточная
функция желаемой системы равна
Wж (z) =

dl−1zl−1 + dl−2zl−2 + ... + d0
(9.69)
.
zl
В системе с такой передаточной функцией переходный
процесс заканчивается за конечный промежуток времени.
В этом нетрудно убедиться, если разложить H(z) в ряд Ло
рана (9.47). Действительно,
Wж (z) =

240

z
= d z−1 + (dl −1 + dl −2 )z−2 +
z − 1 l −1
+(dl −1 + dl −2 + dl −3 )z−3 + ... + (dl −1 + dl −2 + dl −3 + ... + d0 )z−l +
+(dl −1 + dl −2 + dl −3 + ... + d0 )z−l −1 .
H(z) = Wж (z)

Из последнего выражения следует, что переходный
процесс заканчивается за время, равное lT; в последую
щие дискретные моменты времени h(nT) не изменяется и
остается равной h(lT).
Если нули и полюса передаточной функции объекта
управления на плоскости комплексного переменного z
расположены внутри круга единичного радиуса, то можно
спроектировать систему, в которой длительность переход
ного процесса равна одному периоду квантования сигна
лов по времени.
Пример 9.12. Определить передаточную функцию циф
рового корректирующего устройства системы, рассмотрен
ной в примере 9.11, при условии, что переходный процесс
заканчивается за один такт работы дискретизатора.
Р е ш е н и е. В системах с длительностью переходного
процесса, равной одному такту работы дискретизатора,
–1
желаемая передаточная функция Wж(z) = z . Передаточ
ную функцию корректирующего устройства найдем по
формуле (9.67):
1 z −1
Wк (z) =
,
z kT
kT
где W (z) =
— передаточная функция объекта управ
z −1
ления.
Рассмотрим метод синтеза цифровых систем в частот
ной области. В этом случае желаемая передаточная функ
ция проектируемой системы определяется частотными ха
рактеристиками аналогового эквивалента системы в интер
вале частот 0 ≤ ωT ≤ π. Обычно требуется, чтобы в заданном
диапазоне частот совпадали АЧХ цифровой системы и ее
аналогового эквивалента и не требуется совпадения ФЧХ.
Для нахождения желаемой передаточной функции оп
ределим связь между операторами p и z. Так как z = epT, то
3
5

1
2 z −1 1  z −1 1 z −1
+ 
+ 
+ ... . (9.70)
p = ln z = 


T
T z + 1 3  z + 1 5  z + 1


241

Если в передаточную функцию аналогового эквива
лента проектируемой системы вместо оператора p подста
вить первое слагаемое (9.70), то желаемая передаточная
функция будет иметь вид
Wж (z) = W0 ( p) p= 2 z−1 .
(9.71)
T z+1

Тогда по формуле (9.67) вычисляется передаточная
функция корректирующего устройства.
В выражение (9.71) можно включить и большее число
слагаемых (9.70), но при этом значительно усложняется
цифровое корректирующее устройство без заметного вы
игрыша точности приближения АЧХ цифровой системы
к характеристикам аналогового эквивалента.
Рассмотренные методы синтеза разомкнутых систем при
годны и для проектирования замкнутых цифровых систем
РА. Желаемая передаточная функция замкнутой системы
находится по ее аналоговому эквиваленту, после чего рассчи
тывается передаточная функция разомкнутой системы
Wзж (z)
.
Wрж (z) =
1 − Wзж (z)
Передаточная функция цифрового корректирующего
устройства вычисляется по формуле (9.67).
В инженерной практике широко применяется синтез
цифровых систем и цифровых фильтров по их аналоговым
эквивалентам. При таком методе синтеза цифровых уст
ройств обеспечивается приближенное совпадение харак
теристик цифрового устройства с заданным аналоговым
эквивалентом.
Пример 9.13. Нужно спроектировать цифровой фильтр,
характеристики которого эквивалентны фильтру с переда
точной функцией
1 + 0,2 p
.
W ( p) =
(1 + 0,1 p)(1 + 0,05 p)
Составляем программу расчета дискретной передаточ
ной функции цифрового фильтра.
Листинг «Программа цифрового фильтра»
W1=tf([0.2 1],[0.1 1]);
W2=tf(1,[0.05 1 ]);
W=W1*W2;

242

%Дискретная передаточная функция
% цифрового фильтра
WZ=c2d(W,0.02)
% Вычисление полюсов цифрового
% фильтра
P=[1 -1.489 0.5488];
roots(P);
% Переходные функции фильтров
step(W,WZ);
% Частотные характеристики фильтров
bode(W,WZ),grid on;
Выполнение программы
Transfer function:
0.6265 z - 0.5667
---------------------z^2 - 1.489 z + 0.5488
Sampling time: 0.02
1.4

Step Response

1.2

1

0.8
e
d
uti
pl
m
A

0.6

0.4

0.2

0

Рис. 9.16

243
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
45
0
-45
-90
-135
-180
-225

0

1

Рис. 9.17

2

9.11. ЦИФРОВЫЕ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
После определения передаточных функций корректи
рующих устройств следующим этапом синтеза цифровой
системы является их техническая реализация. Для этого
используются следующие методы:
1) метод программирования, применяемый в системах
с ЦВМ. Реализация корректирующего устройства сводит
ся к составлению программы по его разностному уравне
нию;
2) метод, базирующийся на использовании цифровых
фильтров, реализуемых на элементах цифровой техники
по алгоритму, определяемому по разностным уравнениям
корректирующего устройства.
В зависимости от вида представления передаточной
функции цифрового фильтра различают формы его струк
турных схем. Рассмотрим основные из них.
Передаточную функцию цифрового фильтра запишем
в виде
Wк (z) =

U(z) dm zm−l + dm−1zm−l−1 + ... + d0 z−l
=
,
X(z) 1 + al−1z−1 + al−2z−2 + ... + a0 z−l

(9.72)

где U(z), X(z) — Zпреобразование выходного и входного
сигналов фильтра.

244

Из последнего выражения следует, что
m

l−1

i =0

j =0

U(z) =  di zi−l X(z) −  aj z j −lU(z).

(9.73)

На рисунке 9.18 в соответствии с (9.73) для m = l – 1
построена структурная схема фильтра, которую называют
прямой формой цифрового фильтра. Для реализации тако
го фильтра требуется 2l линий задержек.
Запишем уравнение (9.72) следующим образом:
m

U(z) = F (z) di zi−l ;
i =0
l−1

F (z) = X(z) −  aj

(9.74)
z j −l F (z),

j =0

где F(z) — Zпреобразование промежуточной переменной.

Рис. 9.18
Прямая форма цифрового фильтра

Уравнениям (9.74) соответствует структурная схема
фильтра, показанная на рисунке 9.19.

Рис. 9.19
Каноническая форма цифрового фильтра

245

Для создания такого фильтра требуется l линий за
держек, т. е. в два раза меньше, чем при прямой форме
фильтра. Структурные схемы цифровых фильтров, число
задержек которых равно порядку передаточной функции,
называют каноническими. Помимо рассмотренной кано
нической структуры существуют и другие: последователь
ная и параллельная.
Для определения последовательной канонической
структуры цифрового фильтра необходимо найти нули и
полюсы фильтра. При этом выражение (9.72) можно
представить в виде
Wк (z) = k

1 + z01z−1 β2 + β1z−1 + β2z−2
1
...
.
1 + z1z−1 1 + α1z−1 + α2z−2 1 + zl z−1

(9.75)

Таким образом, цифровой фильтр состоит из последова
тельного соединения цифровых фильтров первого порядка,
соответствующих вещественным полюсам (рис. 9.20а), и
фильтров второго порядка, соответствующих паре комп
лексносопряженных полюсов (рис. 9.20б).

Рис. 9.20
Каноническая форма цифрового фильтра:
а — первого порядка; б — второго порядка.

246

Представление передаточной функции цифрового фильт
ра в виде (9.75) называют последовательным программи
рованием, структурную схему фильтра — последовательной
канонической формой.
Представление передаточной функции цифрового филь
тра (9.72) в виде
l

Wк (z) =  Wкi (z)

(9.76)

i =1

называют параллельным программированием. Цифровой
фильтр в этом случае представляет собой параллельное
соединение фильтров первого и второго порядков. Такую
структуру называют параллельной канонической формой.
На практике преимущественно используются последо
вательные и параллельные канонические формы цифро
вых фильтров, так как они более удобны для технической
реализации и обеспечивают по сравнению с прямой фор
мой более высокую точность.

9.12. ОШИБКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Источники ошибок цифровых фильтров следующие:
1) квантование входных сигналов по уровню;
2) округление результатов арифметических операций;
3) округление коэффициентов передаточных фильтров
при их реализации.
Методы анализа ошибок цифровых фильтров базиру
ются на следующих предпосылках:
1) ошибки изза квантования входных сигналов по
уровню распределены равномерно в диапазоне от –q/2 до
+q/2, где q — шаг квантования;
2) составляющие ошибки цифрового фильтра от вы
борки к выборке статистически независимы;
3) шаг квантования сигналов по уровню мал по срав
нению с квантуемыми сигналами.
При таких предположениях плотность распределения
вероятности ошибки квантования (рис. 9.21)
1
w(Δ x ) = ,
q
где Δx — ошибка (шум) квантования.

247

Рис. 9.21
Плотность распределения вероятности ошибки
квантования по уровню

Математическое ожидание и дисперсия ошибки кван
тования следующие:
q
2

q Δxw(Δx )dΔx = 0;

mΔ =

−

σ2Δ =

2

q
2

(9.77)
q2

q Δ2xw(Δx )dΔx = 12 .

−

2

Из принятых допущений следует, что ошибка кванто
вания по уровню является белым шумом с дисперсией,
равной (9.77). Этот шум приводит к появлению ошибки,
дисперсия которой на основании выражения (9.57) опре
деляется по формуле
σ2к =

q2 T
| W ( jv)|2
12 2π  к

dv
T
1 + jv
2

2

,

(9.78)

где Wк(jv) — частотная характеристика цифрового фильт
ра относительно псевдочастоты.
Очевидно, что средняя квадратическая ошибка цифро
вого фильтра изза квантования входного сигнала по уров
ню не зависит от структурной схемы фильтра, а определя
ется только его передаточной функцией.
Пример 9.14. Найти ошибку изза квантования вход
ного сигнала по уровню в цифровом фильтре с передаточ

248

ной функцией
z
.
z − a0
Р е ш е н и е. Относительно псевдочастоты передаточ
ная функция фильтра имеет вид
W (z) =

W ( jv) =

1 − jv
(1 + a0 ) jv

T
2

T
+ 1 − a0
2

.

Используя выражение (9.78) и формулу, приведенную
в приложении П.2 для n = 1, вычислим ошибку изза
квантования входного сигнала по уровню:
σ2к =

q2 1
.
12 1 − a0

Из последнего выражения следует, что при полюсе
фильтра близком к единице, дисперсия ошибки изза
квантования входного сигнала по уровню может быть зна
чительной.
Проанализируем ошибку, возникающую в цифровом
фильтре изза округления арифметических операций.
Основное влияние на точность фильтра оказывает округ
ление результатов умножения. Действительно, если пе
ремножаются два числа меньше единицы, каждое из ко
торых имеет α разрядов, то их произведение содержит 2α
разрядов. Изза ограниченного числа разрядов фильтра
младшие разряды отбрасываются и результат округляет
ся. Так как ошибки округления в различные моменты
времени не зависят друг от друга, то для их определения
необходимо в узлы фильтра, в которых производится ок
ругление, ввести источники белого шума с интенсивно
стью (9.77). Различным структурным схемам цифровых
фильтров соответствуют различные точки введения бело
го шума, поэтому ошибка изза округления операции
умножения зависит от выбранной структуры фильтра.
На рисунке 9.22 показана последовательная канониче
ская форма фильтра с передаточной функцией
W (z) =

b0 z−1
1
,
−
1
1 + z1z 1 + z2z−1

(9.79)

249

где z1, z2 — полюсы фильтра.

Рис. 9.22
К оценке дисперсии ошибки канонического фильтра последовательной
формы

Составляющие дисперсии ошибки изза округления
результатов умножения на значение полюса z1
σ201 =

b02
q2
,
12 2(1 − z12 )(1 − z22 )(1 − z1z)

на значение полюса z2
σ202 =

q2 b02
,
12 1 − z22

σ203 =

q
.
12

Дисперсия суммарной ошибки изза округления ре
зультатов умножения в цифровом фильтре с передаточной
функцией (9.79)
σ20 = σ201 + σ202 + σ203 .

Представим передаточную функцию фильтра в виде
W (z) = A1

z−1
z−1
+ A2
,
1
−
1 + z1z
1 + z2z−1

(9.80)

b0 z1
bz
; A = 0 2 — постоянные коэффициенты.
z1 − z2 2 z2 − z1
На рисунке 9.23 изображена структурная схема фильт
ра, соответствующая передаточной функции (9.80).

где A1 =

250

Рис. 9.23
К оценке дисперсии ошибки цифрового фильтра параллельной формы

Составляющие ошибок изза округления результатов
умножения входного сигнала на коэффициент A1
σ201 =

q2 1
,
12 1 − z12

σ202 =

q2 1
.
12 1 − z12

на значение полюса z1

Аналогично для второй части структурной схемы най
дем, что
σ203 =

q2 1
q2 1
; σ204 =
.
2
12 1 − z2
12 1 − z22

Дисперсия суммарной ошибки изза округления ре
зультатов умножения в цифровом фильтре, выполненного
по параллельной канонической форме
σ20 =

q2  1
1 
.
+
6 1 − z12 1 − z22 

(9.81)

Отметим, что если коэффициенты A1 и A2 умножить на
сигналы y1(nT) и y2(nT), то дисперсия изза округления
операций умножения

251

σ20 =

q2 
1
1 
2+
,
+
12  1 − z12 1 − z22 

т. е. меньше значения (9.81). Это обстоятельство нужно учи
тывать при технической реализации цифровых фильтров.
Третьим видом ошибок в цифровых фильтрах является
округление коэффициентов передаточной функции фильт
ров, связанные с ограниченным числом разрядов регистров
фильтра, в результате чего коэффициенты передаточной
функции оказываются отличными от расчетных. Это ведет к
изменению полюсов фильтра, что и является причиной воз
никновения ошибок. Наибольшую чувствительность к из
менению значений полюсов имеют фильтры, выполненные
по прямой форме, причем степень чувствительности возрас
тает по мере роста порядка передаточной функции фильтра.
По этим причинам цифровые фильтры следует выполнять по
последовательной или параллельной канонической форме.
Контрольные вопросы
1. Определите математическую модель процесса
квантования сигнала по времени.
2. Что такое Zпреобразование сигнала?
3. Поясните методы определения передаточных функ
ций импульсного фильтра.
4. Какими способами определяются переходные про
цессы в цифровых системах РА?
5. Укажите методы вычисления статической и ди
намической ошибок в цифровых системах.
6. Каковы особенности передаточных функций ста
тических и астатических систем?
7. Каким образом определяются частотные харак
теристики цифровых систем относительно псевдочас
тоты?
8. Сформулируйте условия устойчивости цифровых
систем РА.
9. Укажите виды структурных схем фильтров. Ка
ковы основные источники их погрешностей?

252

Глава 10
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ
10.1. ВЕКТОРНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
Современная теория дискретных систем РА, так же как
и непрерывных, базируется на описании процессов в про
странстве состояний. Познакомимся с методами математи
ческого описания в пространстве состояния систем РА
с одним входом и одним выходом.
Рассмотрим системы, дискретные передаточные функ
ции которых имеют вид
W (z) =

Y ( Z ) cm zm + cm−1zm−1 + ... + c0
=
,
X(z)
zl + al−1zl−1 + ... + a0

(10.1)

где x(t), y(t), — входной и выходной сигналы.
Передаточной функции (10.1) соответствует разност
ное уравнение
y(n + l) + al −1 y(n + l − 1) + ... + a0 y(n) = cm x(n + m) +
(10.2)
+cm −1x(n + m − 1) + ... + c0 x(n).

В аргументах выражения (10.2) для сокращения записи
множитель T опущен, так же будем поступать и дальше.
Введем обозначение
y(n) = g1 (n) + h0 x(n)

(10.3)

и составим следующую систему из разностных уравнений
первого порядка:
g1 (n + 1) = g2 (n) + h1x(n);
g2 (n + 1) = g3 (n) + h2x(n);
(10.4)
...............................
gl (n + 1) = −a0 g1 (n) − a1 g2 (n) − ... − al−1 gl (n) + hl x(n).

Неизвестные коэффициенты hi в системе уравне
ний (10.4) определяются из условия эквивалентности сис
темы разностных уравнений (10.4) исходному разностно
му уравнению (10.2) и вычисляются по формулам:

253

h0 = cl ;
h1 = cl−1 − al−1h0 ;
(10.5)
h2 = cl−2 − al−2h0 − al−1h1;
.............................
Уравнения (10.3) и (10.4) перепишем в матричной
форме:
G(n + 1) = AG(n) + Bx(n);

(10.6)

y(n) = CT G(n) + h0 x(n),

(10.7)

 g1 (n) 
 g (n)
где G(n) =  2 
  
 g (n) 
 l

• вектор переменных состояния, размером l ×1;
0, 1, 0, ......, 0

 0, 0, 1, ......, 0



A = ...........................

−a , −a , −a , ..., a 
1
2
l−1 
 0

• матрица системы размером l × l;
 h1 
h 
B =  2
 
h 
 l

• матрица управления размером l ×1;
1
0
C= 
 
0
 
• матрица наблюдения размером l ×1;
• CT — транспонированная матрица наблюдения;
• l — порядок системы.
Выражение (10.6) называют векторным разностным
уравнением системы, а выражение (10.7) — уравнением
выхода.

254

Для пояснения физического смысла введенных пере
менных состояния на рисунке 10.1 изображена структур
ная схема, составленная по уравнениям (10.6) и (10.7),
которая отличается от схемы непрерывной системы тем,
что в схеме цифровой системы вместо векторного интегра
тора введен вектор запаздывания. На рисунке 10.1б пока
зана структурная схема, в которой изображены все со
ставляющие вектора состояния. Из этой схемы видно, что
переменные состояния — это дискретные значения вы
ходного сигнала в текущий момент времени и l – 1 его
значения в предыдущие моменты времени.
Составляющие вектора переменных состояния gi (n)
можно рассматривать как оси координат многомерного про
странства. С течением времени вектор состояния изменяет
свое значение и положение, его конец при этом описывает
в пространстве состояний некоторую кривую, называемую
траекторией движения системы. Очевидно, что эта траек
тория зависит от начального состояния системы и входного
сигнала.

Рис. 10.1
Структурная схема цифровой системы:
а — в векторной форме; б — в переменных состояния.

Матрица системы A определяет устойчивость и другие
показатели качества работы системы, матрица управле
ния B характеризует влияние на переменные состояния

255

входного сигнала, а матрица наблюдения C устанавливает
связь выходного сигнала с вектором переменных состоя
ния.
Так же как и в непрерывных системах, выбор пере
менных состояния в цифровых системах является неодно
значной операцией, т. е. векторное разностное уравнение
зависит от выбранных переменных состояния. Однако все
возможные векторные уравнения эквивалентны, так как
описывают один и тот же динамический процесс связи вы
ходного сигнала системы с входным. Проиллюстрируем
это на конкретном примере.
Пример 10.1. Найти векторное разностное уравнение
для системы, дискретная передаточная функция которой
W (z) =

z −1
.
z2 − o,75z + 0,125

Р е ш е н и е. Данной передаточной функции соответст
вует разностное уравнение
y(n + 2) − 0,75y(n + 1) + 0,125y(n) = x(n + 1) − x(n).

Уравнения системы в пространстве состояний получа
ются следующими:
g1 (n + 1) = g2 (n) + x(n);
g2 (n + 1) = −0,125g1 (n) + 0,75g2 (n) − 0,25x(n),

(10.8)

а уравнение выхода имеет вид
y(n) = g1 (n).

(10.9)

Таким образом,
1 
 0,
 1 
1
A=
;B=
; C =  .


−0,125 +0,75
−0,125
0

На рисунке 10.2а изображена структурная схема рас
сматриваемой системы, построенная по уравнениям (10.8)
и (10.9), из которой видно, что переменные состояния —
это сигналы на выходах звеньев запаздывания.
Представим передаточную функцию системы в виде
W (z) =

3
2
−
.
z − 0,25 z − 0,5

256

Такой передаточной функции соответствует структур
ная схема рисунка 10.2б.

Рис. 10.2
Схемы системы в переменных состояния:
а — относительно дискрет выходного сигнала; б — относительно полюсов системы.

Выберем в качестве переменных состояния сигналы на
выходах звеньев запаздывания. Тогда можно записать
следующую систему уравнений:
f1 (n + 1) = 0,25f1 (n) + 3x(n);
f2 (n + 1) = 0,5f2 (n) − 2x(n).

(10.10)

В этом случае уравнение выхода имеет вид
y(n) = f1 (n) + f2 (n).

(10.11)

Перепишем выражения (10.10) и (10.11) в матричной
форме:
F(n) = A F F(n) + Bx(n);
y(n) = CTF F(n),

257

 f (n) 
где F(n) =  1
 — вектор переменных состояния; AF =
 f2 (n) 
0, 25, 0
3
1
; B F =   ; C F =   — матрицы системы,
= 

0, 0, 5
−2
1

управления и наблюдения.
Из уравнений (1.8) и (10.10), (10.9) и (10.11) следует,
что различным переменным состояния соответствуют раз
личные матрицы системы, управления и наблюдения, но
связь выходного сигнала с входным остается неизменной:
y(n) = CT GT (n) = CTF F(n).

Ранее цифровые системы РА в пространстве состояний
описаны для стационарных систем. В нестационарных сис
темах матрицы системы, управления и наблюдения явля
ются переменными, и векторные разностные уравнения
имеют вид
G(n + 1) = A(n)G(n) + B(n)x(n),

(10.12)

y(n) = CT (n) + h0 (n)x(n).

(10.13)

В общем случае цифровая система имеет r входов и m
выходов. В этом случае вид векторных разностных урав
нений остается таким же, как и в (10.12) и (10.13), в кото
рых матрица системы A имеет тот же вид, что и системах
с одним входом и одним выходом, изменяются лишь мат
рицы управления и наблюдения. Матрица управления
становится прямоугольной размером l × r, а матрица на
блюдения имеет размер l × m.

10.2. ДИСКРЕТНАЯ МАТРИЦА ПЕРЕХОДА
Рассмотрим однородное нестационарное уравнение, ко
торое получается из разностного векторного уравнения
(10.12) при x(n) = 0:
G(n + 1) = A(n)G(n).

(10.14)

Обозначим через G(0) начальное состояние системы.
Тогда из выражения (10.14) последовательно получаем:

258

G(1) = A(0)G(0);
G(2) = A(1)G(1) = A(1)A(0)G(0);
..........................................

(10.15)

n−1

G(n) = ∏ A(i)G(0).
i =0

Введем дискретную матрицу перехода с помощью со
отношения:
G(n) = Φ(n, m)G(m).

Дискретная матрица перехода Φ(n, m) обладает сле
дующими свойствами:
Φ(n, n) = I; Φ(n, m) = [Φ(m, n)]−1,

где I — единичная матрица.
Выражение (10.15) через введенную дискретную мат
рицу перехода записывают в виде
G(n) = Φ(n,0)G(0).

Тогда матрица перехода имеет вид
n−1

Φ(n,0) = ∏ A(i).

(10.16)

i=0

Для стационарных систем
Φ(n,0) = Φ(n) = An .

Полное решение векторного разностного уравне
ния (10.12) найдем путем следующих последовательных
вычислений:
G(1) = A(0)G(0) + B(0) X (0);
G(2) = A(1)G(1) + B(1) X(1) = A(1)A(0)G(0) +
+A(1)B(0) X(0) + B(1) X (1);
..................................................................
n−1
n−1  n−1

G(n) = ∏ A(i)G(0) +   ∏ A( j)B(i) X(i),
i =0  j =i +1
i =0


или, учитывая введенную дискретную матрицу перехода,

259
n −1

G(n) = Φ(n)G(0) +  Φ(n − i − 1)B(i) X(i),

(10.17)

i =0

или, заменяя n на n + 1, в виде
n

G(n + 1) = Φ(n + 1)G(0) +  Φ(n − i)B(i) X(i).

(10.17а)

i =0

В аналогоцифровых системах РА, где имеется непре
рывная часть, дискретную матрицу перехода можно опреде
лить путем дискретизации непрерывных уравнений (4.8)
и (4.9), описывающих процессы в системе. Положим, что
входной сигнал непрерывной системы X(t) может быть
принят постоянным между дискретными моментами време
ни, чего можно достичь соответствующим выбором периода
дискретизации. Рассмотрим интервал времени tn ≤ tn+1, на
котором вектор переменных состояния известен. Тогда из
уравнения (4.30) следует, что
Z(tn+1 ) = Φ(tn+1, tn ) +

tn+1



Φ(tn+1, τ)B(τ) X(τ)dτ.

(10.18)

tn

Введем следующие обозначения:
Z(tn ) = G(n); Z(tn+1) ) = G(n + 1); Φ(tn+1, tn ) =
= Φ(n + 1, n);
tn+1



(10.19)

Φ(tn+1, τ)B(τ)dτ = Γ(n + 1, n).

tn

Тогда уравнение (10.18) можно записать в виде
G(n + 1) = Φ(n + 1, n)G(n) + Γ(n + 1, n) X(n),

(10.20)

где Γ(n + 1, n)— матрица перехода по управлению.
Уравнение (10.20) совместно с уравнением выхо
да (10.13) используется и для анализа процессов и непре
рывных системах РА с помощью ЦВМ.
Для стационарных систем дискретная матрица пере
хода может быть найдена с помощью Zпреобразования,
которое следует применить к уравнению (10.6). В резуль
тате получим
zG(z) = AG(z) + V(z) + zG(0),

где V(z) = BX(z); G(0)— начальное состояние системы.

260

Из последнего выражения находим, что
G(z) = [zI − A]−1 + V(z) + [zI − A]−1 G(0).

(10.21)

Обратное Zпреобразование от выражения (10.21) с уче
том (9.11) позволяет определить
G(n) =

n

 Φ(n − 1 − m)V(m) + Φ(n)G(0)

m=0

или
G(n + 1) =

n

 Φ(n − m)V(m) + Φ(n + 1)G(0),

(10.22)

m=0

где Φ(n) = Z−1 {[zI − A]−1 z}.
Матрицу [zI − A] называют характеристической, опре
делитель этой матрицы является характеристическим
уравнением системы.
Пример 10.2. Найти дискретную матрицу перехода для
системы, рассмотренной в примере 10.1.
Р е ш е н и е. Система описывается разностным урав
нением (10.8), ее характеристическая матрица имеет вид
−1 
 z,
zI − A = 
.
−
0,125,
z
0,75


Матрица, обратная характеристической (см. приложе
ние П.4),
z − 0,75, 1
1
.
(z − 0,5)(z − 0,25)  −0,125, z

Согласно теореме о вычетах (9.44), дискретная матри
ца перехода
−4(0,25)n + 4(0,5)n 
 2(−25)n − (0,5)n ,
Φ(n) = 
n
n
n
n 
0,5(0,25) − 0,5(0,5) , −(0,25) + 2(0,5) 

10.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА
ОПТИМАЛЬНОГО ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА
Современные методы расчета оптимальных фильтров
основываются на том, что случайные сигналы генериру
ются из белого шума с помощью формирующих фильтров.

261

Для стационарных случайных сигналов может быть най
дена дискретная передаточная функция формирующего
фильтра. Для этого необходимо спектральную плотность
дискретного случайного сигнала представить в виде про
изведения двух комплексносопряженных функций:
S(v) = NWф ( jv)Wф (− jv),

где Wф ( jv)— частотная характеристика формирующего
фильтра относительно псевдочастоты; N — интенсивность
белого шума на входе формирующего фильтра.
Для математического описания сигнала при решении
оптимальных задач используется передаточная функция
формирующего фильтра в виде Zпреобразования
Wф (z) = Wф ( jv) jv= 2 z−1 .

(10.23)

T z+1

Передаточная функция (10.23) определяет векторное
разностное уравнение формирующего фильтра.
В оптимальной задаче находится оценка и вектора пе
ременных состояния формирующего фильтра сигнала и
ошибки оценки
n
n
(10.24)
E   = G (n) − Gˆ  ,
j
j
n
где E   — ошибка оценки в моменты времени t = nT на
j
n
основании j предыдущих значений; Gˆ   — оценка век
j
тора состояния формирующего фильтра по j предыдущим
значениям; G(n) — вектор переменных состояния форми
рующего фильтра сигнала.
Различают три случая:
1) если n > j, то задачу оценки называют предсказанием;
2) если n = j, то задачу оценки называют задачей
фильтрации;
3) если n<j, то задачу оценки считают задачей интер
поляции.
В дальнейшем рассматривается задача фильтрации.
После предварительных замечаний, сформулируем задачу
синтеза оптимальных фильтров (рис. 10.3).

262

Рис. 10.3
К постановке задачи дискретного фильтра Калмана

Полагаем, что случайный дискретный сигнал X(n) явля
ется результатом прохождения белого шума через форми
рующий фильтр, векторное разностное уравнение и уравне
ние выхода которого имеют вид:
G (n + 1) = Φ(n + 1, n)G (n) + B(n + 1)V (n);
(10.25)
X(n + 1) = CT (n + 1)G (n + 1),
где G(n) — вектор переменных состояния сигнала;
Φ(n + 1, n) — дискретная матрица перехода; B(n + 1) —
матрица управления; CT(n + 1) — транспонированная
матрица наблюдения.
Гауссовская случайная последовательность V(n) имеет
характеристики
M[V(n)]; M[V(n)VT n)] = Q(n)δnj ,

(10.26)

где Q(n) — матрица интенсивностей белых шумов на входе
формирующего фильтра сигнала;
1 при n = j;
δnj = 
0 при n ≠ j.
M[...] означает взятие математического ожидания от
выражения, заключенного в квадратные скобки.
Начальное состояние вектора переменных состояния
G(0) является гауссовским распределением с характери
стиками
M[G(0)] = 0; M[G(0)GT (0)] = R E (0).

(10.27)

Измеряемый сигнал (воздействие на входе синтезиру
емого фильтра)
F(n) = CT (n)G(n) + N(n),
(10.28)
где N(n) — вектор помех с характеристиками;

263

M[N(n)] = 0; M[N(n)NT (n) = P(n)]δnj ,

(10.29)

где P(n) — матрица интенсивностей белых шумов вектора
помех.
Случайные последовательности V(n) и N(n) полагаем
некоррелированными.
Задача синтеза состоит в том, чтобы найти векторное
разностное уравнение, обеспечивающего по измеренным
значениям воздействия (10.28) F(1), F(2), ..., F(n) опти
мальную текущую оценку вектора переменных состояния
сигнала с минимальной дисперсией ошибки:
M[ET (n)E(n)] = min,

(10.30)

()

()

n
n
где ET (n) = G (n) − Gˆ
— вектор ошибки; G
— оценка
n
n
вектора переменных состояния сигнала.

10.4. ДИСКРЕТНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА
Существует несколько видов записи рекуррентных век
торных разностных уравнений оптимального фильтра Кал
мана. Воспользуемся уравнениями, приведенными в [10].
Векторное разностное уравнение оптимального фильтра, да
ющего оценку вектора состояния сигнала с минимальной
дисперсией ошибки (10.30) имеет вид

(

) (

)

1
n
Gˆ n + + 1 = Φ n + 1, n)G) + K(n + 1) −
n
n
n 

,
− F (n + 1) − CT (n + 1)Φ (n + 1, n)G
n 


()

(10.31)

где K(n + 1) — неизвестная матрица усиления.
Первое слагаемое в (10.31) дает оценку сигнала
1
G n+
по n измерениям, второе — уточняет эту оценку.
n
На рисунке 10.4 показана структурная схема оптималь
ного фильтра, составленная по уравнению (10.31).
Из структурной схемы видно, что найденный фильтр —
система с обратной связью, внутренним контуром которой
является формирующий фильтр сигнала, а параметры об
ратной связи определяются матрицей усиления. Эта мат
рица вычисляется по формуле

(

)

264

(

)

(

)

1
1
C(n + 1)[CT (n + 1)R E n + ×
n
n
×C(n + 1) + P(n + 1)]−1 .
K(n + 1) = R E n +

(10.32)

Рис. 10.4
Структурная схема оптимального фильтра

Матрица корреляционных моментов ошибки в (10.32)
n
1
с учетом того, что E + 1 и R E n +
не зависят друг от
n
n
друга, определяется по формуле

( )

(

)

(

)

()

1
n T
= Φ(n + 1, n)R E
Φ (n + 1, n) +
n
n
+B(n + 1)Q(n)BT (n + 1).

RE n +

(10.33)

Матрица корреляционных моментов ошибки R E
вычисляется по формуле

(

RE n +

)

(

( nn )

)

1
1
+ 1 = [I − K(n + 1)CT (n + 1)]R E n + . (10.34)
n
n

Сумма элементов главной диагонали матрицы (10.34)
равна суммарной ошибке оптимального фильтра, которая
при заданных характеристиках сигнала и помехи имеет
минимальное значение.
Особенностью оптимального фильтра Калмана являет
ся рекуррентная форма его уравнений, поэтому для обра
ботки результатов вычислений целесообразно использо
вать цифровые вычислительные устройства.
Последовательность вычислений на одном цикле сле
дующая (рис. 10.4).

265

1. По найденной на предыдущем цикле вычислений
n
оценка Gˆ
и матрице корреляционных моментов ошиб
n
n
по формуле (10.33) вычисляется матрица
ки RE
n
1
RE n + .
n
2. По формуле (10.32) находится матрица усиления
K (n).
3. По уравнению (10.31) вычисляется оценка вектора
1
состояния сигнала G n + + 1 .
n
4. Вычисляется матрица корреляционных моментов
1
ошибки RE n + + 1 .
n
При стационарных воздействиях в установившемся
режиме матрицы усиления и корреляционных моментов
ошибки являются стационарными и могут быть найдены
по уравнениям (10.32), (10.33) и (10.34).
При реализации оптимальных фильтров на цифровых
устройствах изза ограниченного числа разрядов вычис
ления выполняются с погрешностями. Наибольшие по
грешности получаются при расчете матрицы корреляци
онных моментов ошибки, причем с каждым последующим
циклом объем вычислений увеличивается и качество оце
нок вектора состояния сигнала ухудшается. В теории оп
тимальных фильтров это явление называют неустойчиво
стью фильтров Калмана.
Пример 10.3. Найти уравнение оптимального фильтра
первого порядка, на вход которого воздействует помеха
в виде белого шума с интенсивностью P и случайный ста
ционарный сигнал, генерируемый формирующим фильт
ром, разностное уравнение которого имеет вид

()
()
( )

(

(

)

)

g1 (n + 1) = dg1 (n) + v(n).

Р е ш е н и е. Из разностного уравнения формирующего
фильтра сигнала следует, что A = d; B = 1; C = 1. Выраже
ния (10.32), (10.33) и (10.34) в рассматриваемом примере
являются скалярными и имеют вид

266

(

) R (n + n1 ) + P ;
1
n
R ( n + ) = d R ( ) + Q;
n
n
1
1
R ( n + + 1) = [1 − K (n + 1)]R ( n + ).
n
n
K (n + 1) = RE n +

−1

1
n

E

2

E

(10.35)

E

E

E

Из уравнений (10.35) находим, что

()
( () )

()

−1

n
n
K (n + 1) = d2 RE
+ Q  d2 RE
+ Q + P ;
n
n



1
+ 1 = K (n + 1) P.
RE n +
n

Уравнение оптимального фильтра в соответствии с вы
ражением (10.31) следующее:

(

)

()

()

1
n
nˆ 

gˆ 1 n + + 1 = dgˆ 1
.
+ K (n + 1)  F (n + 1) − dg1
n
n
n 


Оценка сигнала вычисляется в такой последовательно
сти: по начальному значению RE (0) определяется коэф
фициент усиления K (1) и дисперсия RE (1/1) , а затем на
ходится значение оценки сигнала gˆ 1 (1/1), после чего цикл
вычислений повторяется. В таблице 10.1 приведены ре
зультаты расчета нескольких циклов для случая: d = 1;
P = 0,8; Q = 2; RE (0) = 10.
Таблица 10.1
n

0
1
2
3

(

K(n + 1)

0,9375
0,7746
0,7660
0,7654

0,7500
0,6197
0,6128
0,6124

В установившемся режиме

(

RE n +

)

1
RE n + + 1
n

)

()

n
1
+ 1 = RE
= RE ,
n
n

поэтому уравнения (10.35), решенные относительно ошибки
фильтрации, приводят к следующему квадратному уравне
нию:

267

RE2 + QRE − QP = 0,

решение которого при заданных значениях параметров
RE1,2 = −1 ± 1,6124. Так как дисперсия — величина поло
жительная, то ошибка фильтрации RE = 0,6124, при этом
значении дисперсии коэффициент усиления оптимального
фильтра K = 0,7654.
Уравнение для оценки сигнала в установившемся ре
жиме имеет вид

(

) ()
()

()

1
n
nˆ 

gˆ 1 n + + 1 = gˆ 1
+ 0,7654  F (n + 1) − g1
=
n
n
n 

n
= 0,235gˆ
+ 0,7654F 9n + 1).
n

Взяв Zпреобразование от последнего разностного урав
нения, найдем дискретную передаточную функцию опти
мального фильтра:
Wф (z) =

0,7654z
.
z − 0,235

Контрольные вопросы
1. Поясните физический смысл переменных состоя
ния в дискретных системах.
2. Сформулируйте задачу синтеза дискретного фильт
ра Калмана.
3. Поясните структурную схему оптимального фильт
ра в задаче фильтрации.
4. Что такое неустойчивость фильтров Калмана?

268

Глава 11
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ
11.1. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Строго говоря, линейных систем РА не существует,
так как характеристики реальных устройств нелинейные
и некоторые их них не могут быть линеаризованы, напри
мер характеристика релейного элемента. При больших
отклонениях сигналов от установившихся значений при
ходится учитывать нелинейные свойства и элементов сис
тем РА, допускающих линеаризацию. В этих случаях
процессы в системах РА описываются нелинейными диф
ференциальными уравнениями, что существенно услож
няет их анализ.
В системах РА встречаются устройства с различными
нелинейными характеристиками ограничения, зоны не
чувствительности, люфтов в механических передачах.
Нелинейными являются дискриминационные характери
стики в различных системах автоматической подстройки
частоты и пеленгационные в системах автоматического
сопровождения цели РЛС.
При составлении дифференциальных уравнений нели
нейных систем РА сначала составляют дифференциальные
уравнения для каждого устройства системы. В результате
получают систему дифференциальных уравнений, в кото
рой одно или несколько уравнений нелинейные. Устройст
ва, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть
системы РА, а устройства, которые не могут быть линеари
зованы, составляют нелинейную часть.
Во многих системах РА нелинейные устройства можно
представить как статические, зависимость выходного сиг
нала от входного в которых описывается нелинейной за
висимостью y = F (x).
Встречаются случаи, нелинейные устройства описыва
ются дифференциальными уравнениями вида y = F (x, x ).
Характерной особенностью нелинейных систем явля
ется возможность возникновения в них автоколебаний.

269

Исследование условий возникновения автоколебаний. Ис
следование условий возникновения автоколебаний, их
устойчивости и параметров (амплитуды и частоты) явля
ется одной из задач анализа нелинейных систем. В систе
мах РА с дискриминационными характеристиками при
ходится оценивать условия, при которых наступает срыв
слежения.
В настоящее время не создано общей теории анализа
нелинейных систем автоматики. Разработанные методы
позволяют решать лишь отдельные нелинейные задачи.
Рассмотрим основные методы анализа нелинейных сис
тем: метод фазовой плоскости; кусочнолинейной аппрок
симации; метод гармонической линеаризации, статисти
ческой линеаризации и метод моделирования.
Метод фазовой плоскости применяется для анализа
нелинейных систем, порядок которых не выше второго. На
плоскости с координатами e(t) и e(t), где e(t) — ошибка
системы или какойлибо другой сигнал, строится траекто
рия движения системы. Плоскость и траекторию движения
системы называют фазовыми. По характеру фазовой траек
тории оценивается качество работы системы.
Метод кусочно линейной аппроксимации использует
ся в том случае, когда нелинейная часть системы безы
нерционная и ее характеристика может быть аппрокси
мирована прямолинейными отрезками. На каждом таком
участке процессы описываются линейными дифференци
альными уравнениями, решение которых может быть
найдено. В точках излома нелинейной характеристики ре
шения «сшиваются»: значения переменных в конце дан
ного участка принимаются за начальные условия для по
следующего участка. Таким образом, удается построить
фазовую траекторию движения системы. При большом
числе аппроксимированных участков нелинейной харак
теристики дифференциальных уравнений линейной части
выше второго порядка вычисления фазовой траектории
становятся громоздкими.
Метод гармонической линеаризации базируется на за
мене нелинейного элемента линейным звеном, параметры
которого определяются при синусоидальном входном сиг
нале из условия равенства амплитуд первых гармоник на

270

выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему ли
нейного звена. Данный метод может быть использован в
том случае, когда линейная часть системы является низ
кочастотным фильтром, т. е. отфильтровывает все возни
кающие на выходе нелинейного элемента гармонические
составляющие, кроме первой гармоники.
Метод статистической линеаризации является при
ближенным и применим для систем произвольного поряд
ка. Он основан на замене нелинейного элемента линейным
звеном, коэффициенты передачи которого по математиче
скому ожиданию и случайной составляющей сигнала на
входе нелинейного элемента определяются из условия ста
тистической эквивалентности нелинейного звена линейно
му звену.
Метод моделирования основан на использовании для
анализа нелинейных систем РА различных вычислитель
ных машин. Этот метод не накладывает ограничений на
порядок исследуемых систем и позволяет оценить качест
во систем при большом наборе начальных условий и раз
личных видах входных сигналов и помех.
В инженерной практике для анализа нелинейных сис
тем РА применяются методы гармонической и статисти
ческой линеаризации. Эти методы являются приближен
ными. Для систем РА, порядок которых не выше второго,
также используется метод, основанный на теории марков
ских случайных процессов, позволяющих получить точ
ное решение.

11.2. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
Рассмотрим метод гармонической линеаризации нели
нейных характеристик для случая, когда нелинейное зве
но является статическим. Пусть на вход нелинейного зве
на действует сигнал x(t) = a sin ψ, ψ = ωt.
Сигнал на выходе этого звена также будет периодиче
ским. Разложим его в ряд Фурье, в результате получим
y = F (a sin ψ) = q(a)a sin ψ + q ′(a)a cos ψ + yвг ,
(11.1)
где yвг — слагаемое, учитывающее вторые и более высо
кие гармонические составляющие.

271

Коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам
q(a) =

1
πa

2π

 F(a sin ψ)sin ψdψ;
0

(11.2)

1
q′(a) =
F (a sin ψ)cos ψdψ.
πa 

При определении разложения (11.1) полагали, что по
xp
стоянная составляющая отсутствует. Так как a cos ψ =
,
ω
то разложение (11.1) можно записать в виде
q′(a) 

y = q(a) +
p x.
ω 


(11.3)

Последнее выражение называют уравнением гармони
ческой линеаризации, а коэффициенты q(a) и q′(a) — ко
эффициентами гармонической линеаризации.
Таким образом, нелинейное звено при воздействии гар
монического сигнала описывается уравнением (11.3), кото
рое с точностью до высших гармоник является линейным.
Эта операция и называется гармонической линеаризацией
нелинейного звена. При постоянных значениях амплитуды
входного сигнала коэффициенты гармонической линеари
зации являются постоянными. Различным амплитудам
входного сигнала соответствуют различные коэффициенты
гармонической линеаризации. Именно в этом заключается
принципиальное отличие гармонической линеаризации от
обычной, коэффициенты которой не зависят от амплитуды
входного сигнала, а определяются только видом характе
ристики нелинейного звена.
Уравнение гармонической линеаризации (11.3) — это
линейное уравнение, поэтому и вся система РА становится
линейной. Для ее исследования могут быть использованы
методы, разработанные для линейных систем. Зависи
мость коэффициентов гармонической линеаризации от
амплитуды сигнала на входе нелинейного звена позволяет
выявить специфические свойства нелинейных систем, ко
торые не могут быть определены при использовании
обычной линеаризации.
Определим коэффициенты гармонической линеариза
ции для некоторых нелинейных характеристик, анализ

272

которых позволяет установить некоторые важные для
практики положения. Первоначально рассмотрим харак
теристику с ограничением, график которой показан на
рисунке 11.1. В соответствии с формулами (11.2) находим,
что
q(a) =

1 
 a sin ψdψ +
πa  
0
α

π−α



c sin ϕdψ +

α


=  c sin ψdψ +  a sin2ψdψ  =

2 π−α
π+α
4 α sin2α c
=  −
+ cos α  ;

4
π  2
a
q′(a) = 0,
2 π−α

где α = arcsin

π+α



a sin2 ψdψ =

π−α

2π

(11.4)

( ac ) — значение аргумента, при котором на

ступает ограничение.

Рис. 11.1
К определению коэффициентов гармонической линеаризации

Из выражения (11.4) следует важный вывод: для одно
значных нелинейных характеристик коэффициент гармо
нической линеаризации q′(a) = 0 и уравнение гармониче
ской линеаризации имеет вид y = q(a)x. На рисунке 11.2
изображена зависимость коэффициента гармонической
линеаризации от амплитуды входного сигнала, рассчи
танная по формуле (11.4).

273

Рис. 11.2
Зависимость q(a) для нелинейной характеристики с ограничением

Рассмотрим дискриминационную характеристику зве
на, график которой приведен на рисунке 11.3.

Рис. 11.3
Дискриминационная характеристика

Характеристика однозначна, поэтому, как и в преды
дущем случае, коэффициент гармонической линеариза
ции q′(a) равен нулю. Коэффициент q(a) вычисляется по
формулам:
• при −c1 < a < c1
q(a) = −k2 +

c2 
2(k1 + k2 ) 
c1 c1
1 − 12  ,
arcsin +
π
a a
a 


(11.5)

• при a ≥ c2
2

c2 
c c
q(a) =  (k1 + k2 )  arcsin 1 + 1 1 − 12  −
a a
a 

π

c2 
c
c
− k2  arcsin 2 + 2 1 − 22  .
a a
a 


(11.6)

274

На рисунке 11.4 показана зависимость коэффициента
гармонической линеаризации от амплитуды сигнала, вы
численная по формулам (11.5) и (11.6) при k1 = k2 .

Рис. 11.4
Зависимость q (a) для пеленгационной характеристики

Рис. 11.5
К определению q(a) нелинейного звена с люфтом

На рисунке 11.5 изображена нелинейная характери
стика с люфтом. Эта характеристика неоднозначна. Непо
средственно из рисунка 11.5 и формул (11.2) следует, что
коэффициенты гармонической линеаризации определя
ются при a > c + Δ выражениями

(

)

1
1
1
ψ + sin2ψ2 + ψ1 + sin2ψ1 ;
π 2 2
2
1
q′(a) = − (sin2 ψ2 − sin2 ψ1 ),
π

q(a) =

где ψ1 = arcsin

c−Δ
c+Δ
; ψ2 = arcsin
.
a
a

275

Графики зависимости коэффициентов гармонической
линеаризации характеристики звена с люфтом показаны
на рисунке 11.6.

Рис. 11.6
Зависимость q (a), q′( a) звена с люфтом

Рис. 11.7
К определению уравнения нелинейной системы

Таким образом, если характеристика нелинейного зве
на неоднозначная, то оба коэффициента гармонической
линеаризации не равны нулю. Поэтому уравнение гармо
нической линеаризации зависит не только от амплитуды,
но и от частоты сигнала на входе нелинейного звена.

11.3. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Ранее отмечалось, что при исследовании нелинейных
систем РА удается представить систему в виде последова
тельного соединения двух частей: линейной и нелинейной
(рис. 11.7). Запишем передаточную функцию линейной час
ти в виде
Wл ( p) = −

N ( p)
.
D ( p)

276

Принимая во внимание уравнение (11.3), уравнение
нелинейной системы можно записать в виде
p

D( p) + n( p) q(a) + q′(a)  = 0.
ω


(11.7)

В этом выражении не учтены высшие гармоники. Это
сделано не случайно и не потому, что они малы. Дело в
том, что если в отдельном нелинейном звене при подаче на
его вход синусоидального сигнала в выходном сигнале
всегда имеются высшие гармоники, при включении нели
нейного звена в замкнутый контур системы изза фильт
рующих свойств линейной части системы высшими гар
мониками на входе нелинейной части можно пренебречь.
Если в замкнутой нелинейной системе РА возникают ав
токолебания с постоянной амплитудой и частотой, то коэф
фициенты гармонической линеаризации оказываются по
стоянными, а вся система стационарной. Незатухающие
колебания в замкнутых системах, как показано в главе 5,
возникают в том случае, когда характеристическое уравне
ние системы содержит пару мнимых сопряженных корней.
Поэтому для оценки возможности возникновения в нели
нейной системе автоколебаний необходимо в гармонически
линеаризованное характеристическое уравнение системы
вместо p подставить jω . В результате получим уравнение,
коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты
предполагаемого автоколебательного режима. Если это урав
нение удовлетворяет при действительных значениях ампли
туды автоколебаний aк и частотой ωк , то в исследуемой сис
теме могут возникнуть автоколебания с амплитудой с такой
амплитудой и частотой, устойчивость которых необходимо
дополнительно оценить.
Таким образом, для оценки возможности возникнове
ния автоколебаний в нелинейной системе необходимо
найти условия границы устойчивости, как это делалось
при анализе устойчивости линейных систем РА.
Характеристическое уравнение гармонически линеа
ризованной системы определяется выражением (11.7).
Подставив в него p = jω, получим
D( jω) + N ( jω)[q(a) + jq′(a)] = 0.

277

Выделив в последнем выражении вещественную и
мнимые части, найдем уравнение
B(ω) + jC(ω) = 0.
(11.8)
Если при значениях aк и ωк уравнение удовлетворя
ется, то в системе возможен автоколебательный режим,
параметры которого рассчитываются по следующей сис
теме уравнений:
B(aк , ωк ) = 0;
C(aк , ωк ) = 0.

(11.9)

Из формул (11.9) можно найти зависимость амплиту
ды и частоты автоколебаний от параметров системы, на
пример от коэффициента усиления линейной части систе
мы. Для этого необходимо в уравнениях (11.9) коэффици
ент усиления считать переменной величиной, т. е. эти
уравнения записать в виде
B(aк , ωк , k) = 0;
C(aк , ωк , k) = 0.

(11.10)

По графикам aк = f (k), ωк = f (k) можно выбрать коэф
фициент усиления, при котором амплитуда и частота воз
можных автоколебаний имеют допустимые значения или
вообще отсутствуют.

11.4. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
АВТОКОЛЕБАНИЙ
Решение уравнений (11.9) и (11.10) обычно связано с
большими вычислительными трудностями, так как коэф
фициенты гармонической линеаризации имеют сложную
зависимость от амплитуды входного сигнала. Кроме того,
помимо определения амплитуды и частоты возможных ав
токолебаний в нелинейной системе, необходимо оценить их
устойчивость. В инженерной практике для этого использу
ется частотный метод, который базируется на приближен
ном выражении для передаточной функции нелинейного
звена, определяемой следующим выражением:
Wн (a) = q(a) + jq ′(a).
(11.11)
Если нелинейная характеристика однозначна, то
q′(a) = 0 и

278

Wн (a) = q(a).

Передаточная функция (11.11) определяет амплитуду
и фазу первой гармоники колебаний сигнала на выходе
нелинейного звена:
q(a)′
,
ay =| Wн (a)| a, θ(a) = arctg
q(a)
где | Wн (a)|= q2 (a) + q ′2 (a); θ(a) — амплитудная и фазовая
характеристика нелинейного звена; a — амплитуда коле
баний на входе нелинейного звена.
Таким образом, сигнал на выходе нелинейного звена
y = ay sin(ωt + θ(a)).

Так как линейная и нелинейная части системы соеди
нены последовательно, то частотная характеристика ра
зомкнутой системы
Wр ( jω, a) = Wл ( jω)Wн (a).

(11.12)

Из выражения (11.12) следует, что частотная характе
ристика разомкнутой нелинейной системы зависит не
только от частоты входного сигнала, как это имеет место в
линейных системах, но и от его амплитуды. Незатухаю
щие колебания в линейной системе по критерию устойчи
вости Найквиста возникают в том случае, если частотная
характеристика проходит через точку с координатами –1,
j0. Данное условие является также условием существова
ния автоколебаний в линейной системе, т. е.
Wр ( jω, a) = −1.

(11.13)

С учетом (11.12) условие (11.13) принимает вид
Wл ( jω)Wн (a) = −1,

или
Wл ( jω) = −

1
.
Wн (a)

(11.14)

Решение уравнения (11.14) относительно частоты и
амплитуды автоколебаний можно получить графически,
как точку пересечения годографа частотной характери
стики линейной части системы и годографа обратной ха
рактеристики нелинейной части, взятой с обратным зна

279

ком. Если годографы не пересекаются, то режим автоко
лебаний в исследуемой системе не существует.
Устойчивость автоколебательного режима оценивает
ся следующим образом. Режим автоколебаний устойчив,
если точка на годографе нелинейной части Wн−1 (a), соот
ветствующая увеличенной амплитуде по сравнению со
значением в точке пересечения годографов (11.14), не ох
ватывается годографом частотной характеристики линей
ной части системы. В противном случае автоколебатель
ный режим неустойчив. На рисунке 11.8 изображены го
дографы, которые пересекаются в точках b и c.

Рис. 11.8
К определению устойчивости автоколебаний в нелинейной системе

Точка b определяет неустойчивый режим автоколеба
ний, так как точка годографа Wн−1 (a), соответствующая
увеличенной амплитуде, охватывается годографом час
тотной характеристики линейной части системы. Точке c
соответствует устойчивый режим автоколебаний, ампли
туда которого определяется по годографу Wн−1 (a) и равна
aк1, а частота находится по годографу Wл ( jω) и равна
ωк1. На рисунке 11.8б дан пример расположения годогра
фов для случая, когда автоколебания в нелинейной систе
ме отсутствуют.
На рисунке 11.9а, б изображены годографы нелиней
ных звеньев, которые часто встречаются при исследова
нии нелинейных систем РА.

280

Рис. 11.9
К определению параметров автоколебаний в системах с однозначными
нелинейными характеристиками

Из характеристик рисунка 11.9 следует, что в нели
нейных системах, частотные характеристики линейных
частей которых не имеют точек пересечения с участком
действительной оси от –1 до −∞, автоколебания отсутст
вуют, т. е. когда выполняется условие устойчивости ли
нейной системы, получаемой из нелинейной путем заме
ны нелинейного звена линейным.

11.5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Для оценки статистических характеристик нелиней
ных систем РА можно использовать метод статистической
линеаризации, при котором нелинейная характеристика
заменяется линейной, статистически равноценной в из
вестном смысле исходной нелинейной характеристике.
Для приближенной оценки, когда оперируют моментами
первого и второго порядка (математическим ожиданием и
дисперсией) можно считать статистически равноценными
характеристики, имеющие равные значения этих момен
тов при заданном законе распределения входного сигнала.
Заменим нелинейную зависимость y = F (x) линейной
характеристикой
z = kx,
(11.15)
которая имеет такие же математическое ожидание и диспер
сию, какие имеются на выходе нелинейного звена с характе
ристикой y = F (x). С этой целью представим (11.15) в виде

281



z = k0mx + k11 x,


где x — центрированная случайная функция.
Выберем коэффициенты k0 , k11 такими, чтобы
2 σ2 = σ2 ,
mz = k0mx = my ; σ2z = k11
x
y

(11.16)

где mx , my , mz — математические ожидания сигналов;
σ2x , σ2y , σ2z — дисперсии сигналов.
Из выражений (11.16) следует, что статистическая
равноценность имеет место, если
k0 =

my
σy
; k11 = ± ,
σx
mx

(11.17)

причем знак k11 должен совпадать со знаком производной
нелинейной характеристики F(x).
Величины k0 , k11 называют коэффициентами стати
стической линеаризации. Для их вычисления нужно
знать математическое ожидание и дисперсию сигнала на
выходе нелинейного звена:
my =
σ2y

=

∞

 F(x)w(x)dx;

−∞
∞



(11.18)

F 2 (x)w(x)dx,

−∞

где w(x) — плотность вероятности распределения случай
ного сигнала на входе нелинейного звена.
Рассмотренный метод статистической линеаризации
не всегда является наилучшим, поэтому целесообразно
статистическую линеаризацию выполнить из условия на
илучшего приближения корреляционной функции сигна
ла на выходе нелинейного звена с корреляционной функ
ции сигнала на выходе линейного звена. С этой целью оп
ределим коэффициенты статистической линеаризации с
учетом того, чтобы дисперсия отклонения сигнала на вы
ходе нелинейного звена, определяемая выражением


2 σ2 − 2k m m − 2k M [x y] + M [y2 ],
M [(z − y)2 ] = k02mx2 + k12
0 x y
12
x

была минимальной. Приравняв нулю производные от по
следнего выражения по k0 и k12 , запишем уравнения

282

2k0mx2 − 2mx my = 0;


2k12σ2x − 2M [x y] = 0.

Следовательно, в этом случае коэффициенты стати
стической линеаризации вычисляются по формулам


k0 =

∞

mx
M [x y] 1
; k12 =
= 2  (x − mx ) F (x)w(x)dx. (11.19)
my
σ2x
σx −∞

Таким образом, статистическая линеаризация из ус
ловия минимума дисперсии ошибки дает то же значение
коэффициента k0 , которое было найдено при первом спо
собе линеаризации; коэффициент статистической линеа
ризации относительно случайной составляющей k12 имеет
другое значение. Рекомендуется брать их среднее арифме
тическое значение:
(k11 + k12 )
.
2
Обратим внимание, что коэффициенты статистической
линеаризации зависят от математического ожидания и дис
персии на входе нелинейного звена (в этом заключается суще
ственное отличие статистической линеаризации от обычной).
Коэффициенты статистической линеаризации, как
следует из выражений (11.7)–(11.19), зависят не только от
характеристик нелинейного звена, но и от закона распре
деления сигнала на его входе. Во многих случаях закон
распределения этой случайной величины может быть
принят гауссовским. Это объясняется тем, что нелиней
ные звенья в системах РА соединяются последовательно
с линейными инерционными звеньями, законы распреде
ления выходных сигналов которых близки к гауссовским
при любых законах распределения их входных сигналов.
Чем более инерционна система, тем ближе закон распре
деления сигнала на выходе к гауссовскому, т. е. инерци
онные устройства приводят к восстановлению гауссовско
го распределения, нарушаемого нелинейными звеньями.
Кроме того, изменение закона распределения в широких
пределах мало влияют на коэффициенты статистической
линеаризации. Поэтому полагают что сигналы на входе
нелинейного звена распределены по гауссовскому закону.

k1 =

283

При этом коэффициенты статистической линеаризации
зависят только от математического ожидания и дисперсии
сигнала на входе нелинейного звена, поэтому для типовых
нелинейных характеристик коэффициенты k0 , k1 могут
быть заранее вычислены, что существенно упрощает рас
четы систем методом статистической линеаризации.
Пример 11.1. Определить коэффициенты статистиче
ской линеаризации для дискриминатора с синусоидаль
ной характеристикой
y = A sin ax.
Р е ш е н и е. В соответствии с выражениями (11.7)–
(11.19)
 y2σ2x 
z = k0mx = A sin amx exp  −
;

2 

(

 a2σ2x   k0mx
A 1 
k11 =
 −
 1 − cos amx exp  −

2 
σx  2 
A
2
2
 a σx 
k12 = Aa exp  −
 cos amx .

2 

1
2 2


)  ; (11.20)

На рисунке 11.10а, б изображены зависимости, вы
численные по формулам (11.20) для А = 5, a = 0,314, из
которых видно, что увеличение дисперсии входного сиг
нала σ2x приводит к уменьшению коэффициентов
статистической линеаризации; при большом уровне помех
их значения близки к нулю.

Рис. 11.10
Коэффициенты статистической линеаризации

284

Зависимости (11.20) приближенно справедливы и для
дискриминатора с характеристикой
 A sin ax; − π ≤ ax ≤ π;
y=
0;| ax |> π.

(11.21)

Выражения (11.21) часто используются для аппрок
симации дискриминационных характеристик при анализе
систем автоматического сопровождения цели РЛС и сис
тем автоподстройки частоты.

11. 6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ АНАЛИЗА СТАЦИОНАРНЫХ
РЕЖИМОВ И СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ
Возможность замены характеристик нелинейных звень
ев линейными зависимостями позволяет при анализе нели
нейных систем использовать методы, разработанные для
анализа линейных систем РА. Применим метод статистиче
ской линеаризации для анализа стационарных режимов
в системе РА (рис. 11.11). Нелинейным устройством являет
ся дискриминатор с характеристикой F(e), где e — сигнал
ошибки системы. Задача анализа заключается в оценке
влияния характеристик дискриминатора на точность систе
мы и определения условий, при которых нарушается нор
мальная работа системы и происходит срыв слежения.
При анализе точности работы системы относительно
неслучайной составляющей сигнала ϕ(t) нелинейный эле
мент F(e) в соответствии с методом статистической линеа
ризации заменяется линейным звеном с коэффициентом
передачи k0 . По формуле (6.13) найдем математическое
ожидание сигнала ошибки
me = lim pWe ( p)ϕ( p),
p→0

(11.22)

1
— передаточная функция
1 + k 0 (me , σe )W ( p)
ошибки системы.

где We ( p) =

285

Рис. 11.11
Структурная схема нелинейной системы

Отметим, что математическое ожидание сигнала ошибки
(11.22) имеет конечное значение, если число производных
сигнала ϕ(t) не превышает порядка астатизма системы.
При анализе системы относительно случайной состав
ляющей n(t) (помехи) нелинейный элемент заменяется ли
нейным звеном с коэффициентом передачи k1 . При этом
выражение для дисперсии сигнала ошибки в соответствии
с (6.20) принимает вид
σ2e =

1
2π

∞



−∞

2

1
S (ω)dω,
1 + k1 (me , σe )W ( jω) n

(11.23)

где Sn (ω) — спектральная плотность помехи.
Для определения me и σ2x необходимо решить систему
алгебраических уравнений (11.22) и (11.23). Для этого мож
но использовать метод приближенных вычислений, в соот
ветствии с которым при какихлибо значениях me , σ2e нахо
дятся коэффициенты статистической линеаризации k0 и k1,
после чего по формулам (11.22) и (11.23) вычисляются зна
чения me и σ2e и т. д. до тех пор, пока не совпадут два после
довательных приближения. Уравнения (11.22) и (11.23) мо
гут быть решены и графически. Проиллюстрируем это на
конкретном примере.
Пример 11.2. Найти суммарную среднюю квадратиче
скую ошибку системы автоматического сопровождения
цели (рис. 11.11). Расчеты провести для случая, когда
ϕ(t) = αt, α = 0,7 рад ⋅ с −1, а передаточная функция исполни
тельного устройства системы и спектральная плотность
помехи соответственно определяются выражениями

286

W ( p) =

ku
Nn
, S (ω) =
,
p n
1 + ω2Tn2

(11.24)

где ku = 0,35 рад (с ⋅ В); Nn = 0,3 ⋅ 10−3 рад2 ⋅ c −1; Tn = 0,05 c.
Р е ш е н и е. Пеленгационная характеристика системы
аппроксимируется выражением (11.21), в котором A = 5;
a = 0,314.
Уравнения (11.22) и (11.23) для рассматриваемой сис
темы получаются следующими:
me =

Nn
α
; σ2 =
.
k0 (me , σe )ku e 2Tn (1 + k1 (me , σe )ku

(11.25)

Расчет коэффициентов статистической линеаризации
выполним в такой последовательности. Проведем на ри
сунке 11.10 прямую, уравнение которой следует из перво
го уравнения выражений (11.25) и имеет вид
k0 (me , σe ) =

α
= 2B.
ku

(11.26)

По точкам пересечения этой прямой с изображенными
на рисунке 11.10а кривыми найдем график зависимости
(кривая 1 на рисунке 11.12)
σ2e = f (me ).

(11.27)

Формула (11.27) связывает математическое ожидание
сигнала ошибки me и дисперсию этого сигнала σ2e , удов
летворяющие уравнению (11.26).
Для каждой пары значений me и σ2e , связанных урав
нением (11.27), по формулам (11.20) рассчитывают коэф
фициенты статистической линеаризации k1, а по форму
лам (11.25) — зависимость дисперсии сигнала ошибки σ2e
от математического ожидания этого сигнала (кривая 2 на
рисунке 11.12). Точка пересечения кривых 1 и 2 и опреде
ляет математическое ожидание сигнала ошибки me и ди
сперсию этого сигнала σ2e .

287

Рис. 11.12
К вычислению коэффициентов статистической линеаризации

В рассматриваемой системе автоматического сопровож
дения цели me1 = 3,14⋅10–4 рад; σ2e1 = 1,5⋅10–3 рад. По этим
значениям и кривым рисунка 11.10 находят коэффициен
ты статистической линеаризации k0 = 64 B/рад;
k1 = 57,3 ⋅ 10−3 рад2 , которые затем используются для оцен
ки точности работы системы. Динамическая ошибка сис
темы определена — это значение математического ожида
ния сигнала ошибки me1 . Дисперсия ошибки системы изза
действия помехи, согласно (6.20),
σ2en =

∞

k1kuTn
1
= 1,5 ⋅ 10−3 (рад),
| Wз ( jω)|2 Sn (ω)dω =

2π −∞
2(1 + k 1 kuTn )

где | Wз ( jω)|— АЧХ замкнутой системы.
Таким образом, суммарная средняя квадратическая
ошибка системы автоматического сопровождения цели
σ = me21 + σ2en = 5 ⋅ 10−2 (рад).

Определим условия, при которых в следящей системе из
за нелинейных свойств пеленгационной характеристики
происходит срыв сопровождения цели. Процесс срыва носит
случайный характер, поэтому его характеристикой является
вероятность срыва за какойто промежуток времени. Вы
числение этой вероятности является сложной задачей.
В инженерной практике ограничиваются выявлением ха
рактеристик сигнала и помех, при которых происходит срыв
сопровождения. Метод статистической линеаризации позво
ляет решить эту задачу, при этом удобно использовать гра

288

фический способ, который применялся ранее для анализа
стационарных режимов в системах РА.
Оценим, при каком уровне спектральной плотности
помехи происходит срыв сопровождения цели в системе,
рассмотренной в примере 11.2. С увеличением уровня
спектральной плотности помехи кривая 2 на рисун
ке 11.12 не изменяет своей формы и смещается вверх; при
какомто значении Nn кривые 1 и 2 не будут пересекать
ся. Это означает, что отсутствует совместное решение
уравнений (12.24) и (11.25). Математическое ожидание
и дисперсия сигнала ошибки резко возрастают и происхо
дит срыв сопровождения, система становится разомкну
той, а следовательно, неработоспособной. После срыва со
провождения цели математическое ожидание сигнала
ошибки неограниченно увеличивается, а дисперсия сиг
нала ошибки оказывается равной дисперсии помехи. Гра
ничное значение уровня спектральной плотности помехи
Nn , при котором происходит срыв сопровождения цели,
равно Nn гр . При этом кривая 2 на рисунке 11.12 оказыва
ется касательной к кривой 1. В рассмотренном ранее при
мере Nn гр = 9,14 ⋅ 10−4 рад2 ⋅ с.
Граничное значение уровня спектральной плотности по
мехи зависит от параметров системы, сигнала и ширины
спектра помехи. Так, с ростом производной сигнала увели
чивается математическое ожидание сигнала ошибки, в ре
зультате чего Nn гр уменьшается. С расширением спектра
помехи Nn гр также снижаются, так как при этом увеличи
вается дисперсия сигнала ошибки. С ростом коэффициента
передачи линейной части системы сигнал ошибки
уменьшается, а следовательно, увеличивается Nn гр .

11.7. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ
ПРОЦЕССОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Для решения некоторых задач анализа нелинейных
систем РА могут быть использованы методы, разработан
ные для исследования марковских процессов, отличаю
щихся от других случайных процессов простотой стати
стической связи между предыдущими и последующими
значениями случайного сигнала.

289

Случайные процессы характеризуются nмерной плотно
стью распределения вероятности w(x1, x2 ,..., xn ), где x1 =
= x1(t1), x2 = x2(t2), ..., xn = xn(tn). Через условную плотность
вероятности, характеризующую распределение x(t) в момент
времени tn при известных значениях x1, x2, ..., xn–1, nмерную
плотность вероятности процесса x(t) можно записать:
w(x1, x2 ,..., xn ) =
x

= w(x1, x2 ,..., xn−1 )w  n , x2 ,..., xn−1 .
x
 1


(11.28)

Случайный процесс x(t) называется марковским (или
процессом без последействия), если для любых nмо
ментов времени t1< t2 < ... <tn условная плотность вероят
ности последнего значения xn при известных x1, x2, ..., xn–1
зависит только xn−1 и не зависит от всех предыдущих зна
чений, т. е. справедливо соотношение
x

 x 
w  n , x2 ,..., xn−1  = w  n .
x
 1

 xn−1 

(11.29)

Таким образом, если известно состояние марковского
процесса в настоящий момент времени tn, то его будущее
значение в момент времени tn+1 не зависит от прошлого
состояния в моменты времени tn−1, tn−2 ,...
Из выражений (11.28) и (11.29) следует, что
 x 
w(x1, x2 ,..., xn ) = w(x1, x2 ,..., xn−1 )w  n  =
 xn−1 
x   x 
= w(x1, x2 ,..., xn−2 )w  n−1  w  n  =
 xn−2   xn−1 
n
x 
= ∏ w(xi )w  i+1 .
 xi 
i =1

(11.30)

Таким образом, nмерная плотность вероятности мар
ковского процесса полностью определяется одномерной
 x 
плотностью и плотностью перехода w  i .
 xi−1 
В [11] показано, что процесс x1, x2, ..., xn является мар
ковским, если составляющие xi удовлетворяют следующей
системе стохастических уравнений:

290

n
dxi
= ai (x1 , x2 ,..., xn ) +  bij (x1 , x2 ,..., xn )ξ j (t),
dt
(11.31)
j =1

i = 1,2,..., n,

где ai — известные, в общем случае, нелинейные функ
ции; ξ j (t) — независимые белые шумы с единичными
спектральными плотностями N0.
Плотность вероятности nмерного марковского про
цесса, являющегося решением стохастических дифферен
циальных уравнений (11.31), удовлетворяет уравнению
Фоккера — Планка
n

n

n

∂w
∂
∂2
( Ai w) + 
( B w),
= −
∂t
∂xi
∂xi ∂xj ij
i =1
i=1 j =1

(11.32)

где
Ai (x1 , x2 ,..., xn , t) = ai (x1 , x2 ,..., xn , t) +
+

n

n

1
∂
N0
bjk (x1, x2 ,..., xn , t);
4 
∂
x
k
j =1 k =1

(11.33)

Bij (x1, x2 ,..., xn , t) =
=

n

1
N0bik (x1, x2 ,..., xn , t)bjk (x1, x2 ,..., xn , t).
4 k
=1

(11.34)

Часто встречаются случаи, когда составляющие мар
ковского процесса удовлетворяют системе стохастических
дифференциальных уравнений
dxi
= ai (x1, x2 , , xn , t) + ξi (t),
(11.35)
dt
где ξi (t) − белые шумы, не зависящие от составляющих x(t).
В этом случае коэффициенты уравнения (11.32) полу
чаются следующими:
Ai (x1, x2 ,..., xn , t) = ai (x1, x2 ,..., xn , t);
1
Bij = Nij ,
4
где NIJ — взаимные спектральные плотности шумов x(t).
Уравнения Фоккера — Планка позволяют найти плот
ность вероятности ошибки системы РА, вероятность срыва
слежения, среднее время до срыва. Однако следует заметить,

291

что интегрирование уравнения (11.32) является сложной
математической задачей, в общем случае не решенной. Для
некоторых частных случаев, имеющих практическое значе
ние, решение этого уравнения может быть найдено.
Для анализа выходного сигнала системы РА или ее
ошибки методами теории марковских процессов необходи
мо, вопервых, чтобы все случайные возмущения, дейст
вующие на систему, были белыми шумами, вовторых, что
бы система описывалась стохастическими дифференциаль
ными уравнениями вида (11.31) или (11.35). Первое условие
обычно выполняется, так как системы РА — это устройства
с ограниченной полосой пропускания, в пределах которой
спектр возмущений можно принять постоянным. Если
спектр возмущения в пределах полосы пропускания изме
няется, то можно ввести формирующий фильтр с белым шу
мом на входе, что, однако, приводит к повышению порядка
стохастического дифференциального уравнения и, следова
тельно, к усложнению оценки характеристик нелинейной
системы.
Для выполнения второго условия передаточная функ
ция линейной части системы W ( p) должна быть дробно
рациональной функцией оператора p. В этом случае мате
матическое описание нелинейной системы в виде системы
стохастических дифференциальных уравнений осуществ
ляется так же, как и в линейных системах. Для приведе
ния исходного дифференциального уравнения нелиней
ной системы к виду (11.31) или (11.35) следует использо
вать формулы, приведенные в главе 4.
Пример 11.3. Составить стохастическое дифференци
альное уравнение для ошибки системы (см. рис. 1.16),
когда
k(1 + pT2 )
,
W ( p) =
p(1 + pT1 )
а шум не зависит от ошибки e(t).
Р е ш е н и е. Согласно структурной схеме системы, диф
ференциальное уравнение системы относительно ошибки
имеет вид

292

e(t) +
−

1 
(t) + 1 x (t) − kT2 d [F (e) + ξ(t)] −
e(t) = x
T1
T1
T1 dt

k
[F (e) + ξ(t)].
T1

Введем обозначение e(t) = e1 (t) и составим систему
дифференциальных уравнений
e(t) = e2 (t) + h1 [F (e) + ξ(t)];
1
(t) + 1 x (t) + h2 [F (e) + ξ(t)].
e2 (t) = − e2 (t) + x
T1
T1

Коэффициенты h1 и h2 вычислим по формулам (4.7):
h1 = −

k(T1 − T2 )
kT2
; h2 = −
.
T1
T12

Введенные переменные e1 (t) и e2 (t) являются состав
ляющими марковского процесса.
После описания системы стохастическими дифферен
циальными уравнениями можно перейти к решению
уравнения Фоккера — Планка, определяющему плотность
вероятности ошибки системы w(e) с учетом нелинейной
характеристики дискриминатора. Как отмечалось, реше
ние уравнения Фоккера — Планка может быть найдено в
том случае, когда линейная часть системы имеет порядок
не выше второго. Решим это уравнение для системы, в ко
k
торой W ( p) = . Такая система описывается стохастиче
p
ским дифференциальным уравнением
e(t) = −kF (e) + x (t) − k S(0, e)ξ1 (t),

(11.36)

где S(0, e)— спектральная плотность белого шума; ξ1 (t) —
спектральная плотность белого шума с интенсивностью,
равной единице.
Уравнение Фоккера — Планка в соответствии с (11.32)
имеет вид
∂w
∂
∂2
= − [ A (e)w(e)] + 2 [B(e)w(e)].
∂t
∂e
∂e

(11.37)

Коэффициенты уравнения (11.37) в рассматриваемой
задаче следующие:

293

1 ∂S(0, e)
,
A (e) = −kF (e) + x (t) + k2
8
∂e
(11.38)
1 2
B(e) = k S(0, e).
4
При решении уравнение обычно записывают следую
щим образом:
∂w ∂
+ П = 0,
∂t ∂e В

где П В = A (e)w(e) −

(11.39)

∂
[B(e)w(e)] — поток плотности веро
∂e

ятности.
Найдем плотность вероятности ошибки в установив
∂w(e)
шемся режиме w0 (e). В этом режиме
= 0, тогда урав
∂t
нение (11.39) принимает вид
∂
[B(e)w(e)] = П С ,
(11.40)
∂e
где ПС — поток плотности вероятности в установившемся
режиме, значение которого постоянно.
Плотность вероятности w0 (e) — функция неотрица

A (e)w0 (e) −

тельная, при e → 0 она быстро убывает, так что w0 (∞) = 0;
при e → ∞ равна нулю и производная

∂w0 (e)
, поэтому
∂e

уравнение (11.40) будет следующим:
∂
[B(e)w0 (e)] = 0.
∂e
Проинтегрировав уравнение (11.41), найдем

A (e)w0 (e) −

(11.41)

e

w0 (e) =

A (z)
C
exp 
dz,
B(e)
B(z)

(11.42)

0

где константа С определяется из условия нормировки
eг

 w0 (e)de = 1.

(11.43)

− eг

В этом выражении через eг обозначены граничные значе
ния дискриминационной характеристики (см. рис. 11.13).

294

Рис. 11.13
К определению граничных значений дискриминационной
характеристики

Одним из показателей качества работы систем РА яв
ляется вероятность срыва слежения. Как отмечалось, при
срыве слежения ошибка системы превышает граничные
значения, в результате чего система размыкается. Если
время размыкания превышает некоторое значение, то
система становится неработоспособной. Вероятность воз
вращения ошибки в допустимые пределы за сравнительно
короткое время мала, поэтому считают, что первое пре
вышение ошибки граничных значений означает срыв сле
жения, вероятность которого оценивается по формуле
Pср (t) = 1 −  w(e, t)de,

(11.44)

E

где w(e, t) — плотность вероятности ошибки, являющаяся
решением уравнения Фоккера — Планка.
При этом полагают, что в начальный момент времени
−eг < e0 < eг , где в зависимости от решаемой задачи e0 мо
жет быть детерминированной или случайной величиной.
При определении области интегрирования Е следует
иметь в виду, что реализация марковского процесса, в ко
тором ошибка выходит за граничные значения, должна
быть исключена из рассмотрения. Для этого в системах,
порядок передаточной функции линейной части которых
не превосходит второго, достаточно потребовать, чтобы
при e = ±eг плотность вероятности ошибки w(e, t) = 0; для
систем более высокого порядка такое ограничение оказы
вается слишком жестким [11].
В том случае, когда передаточная функция линейной
части системы

295

W ( p) =

k
p(1 + pT )

и x(t) = αt, а спектральная плотность шума не зависит от
ошибки, расчет вероятности срыва слежения можно вы
полнить по формуле [12]

 1 e2 
 1 e2  
Pср = fск t exp  − Э21  + exp  − Э22  ,
 2 σe 
 2 σe  


где eЭ1 =

2
kд

e1

 [F(e) − β]de; eЭ2 =

e0

(11.45)

eг

2
[F (e) − β]de ; e0 , e1 —
kд 
e0

α 2
, σ — дисперсия
k e
ошибки в системе, в которой нелинейная характеристика
kkд
1
заменена линейной; fск =
— постоянный коэф
2π
T
фициент, имеющий размерность частоты.
Величины eЭ1 и eЭ2 в (11.45) выполняют функции эк
вивалентных порогов в системе с линейной дискримина
ционной характеристикой, достижение которых рассмат
ривается как срыв слежения. В [12] отмечается, что рас
чет по (11.45) позволяет определить вероятность срыва
значительно точнее по сравнению с вероятностью выхода
ошибки за пределы линейного участка дискриминацион
ной характеристики.
Расчет вероятности срыва слежения во многих случа
ях сложен и требует выполнения большого объема вычис
лений. Поэтому часто ограничиваются оценкой менее
полных характеристик. К таким характеристикам отно
сятся, например, среднее время до срыва слежения или
критический уровень шума, при котором срыв слежения
еще не наступает (см. [11]).

координаты ошибки (рис. 11.13); β =

Контрольные вопросы
1. В чем сущность метода гармонической линеари
зации нелинейных характеристик?
2. Чем отличается гармоническая линеаризация от
обычной?

296

3. Что такое статистическая линеаризация нелиней
ных характеристик? Как она осуществляется относи
тельно математического ожидания сигнала и его слу
чайной составляющей?
4. Как оценивается точность системы РА по методу
статистической линеаризации?
5. Сформулируйте правило оценки устойчивости и
параметров автоколебаний.
6. Как оцениваются условия срыва слежения в систе
мах РА?

297

Глава 12
ОПТИМАЛЬНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
РАДИОАВТОМАТИКИ
12.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Систему РА, обеспечивающую наилучшие показатели
качества работы при заданных условиях, называют оп
тимальной. Качество работы таких систем оценивается
выбранным критерием оптимальности. При синтезе оп
тимальных систем различают два типа задач. В задачах
первого типа полагают, что структурная схема системы
известна и необходимо найти оптимальные значения ее
параметров, обеспечивающих экстремальное значение
выбранного критерия оптимальности. Подобные задачи
уже рассматривались в главах 6 и 8, где изложены мето
дики выбора оптимальных регулируемых параметров из
условия минимума интегральных оценок при заданном
начальном состоянии системы, минимума суммарной
средней квадратической ошибки при случайных воздей
ствиях.
В задачах второго типа система неизвестна, и необходи
мо определить ее структурную схему и значения парамет
ров, обеспечивающих экстремум выбранного критерия оп
тимальности. Методы проектирования таких оптимальных
систем при случайных воздействиях рассмотрены в главах 8
и 10, в которых полагали, что характеристики воздействий
и объекта управления известны и не изменяются в процессе
работы или их изменения являются допустимыми и поэтому
можно ограничиться найденными расчетными значениями
параметров системы. В действительности статистические и
динамические характеристики систем РА и действующие на
них воздействия в процессе работы могут изменяться в ши
роких пределах непредвиденным образом, т. е. системы ра
ботают в условиях неопределенности (неполноты) априорной
информации о характеристиках воздействий и состоянии
объекта управления. При этом в ряде случаев практически
невозможно описать процессы, возникающие в системе изза
изменения условий работы, а иногда не известны и причи

298

ны, под действием которых изменяются характеристики
воздействий и параметры устройств системы.
Один из возможных способов построения оптималь
ных систем РА при неполной информации о воздействиях
и характеристиках устройств состоит в том, чтобы вы
бранная структурная схема системы и ее параметры ми
нимизировали критерий оптимальности при наиболее не
благоприятных условиях, например, в системах автосо
провождения РЛС обеспечивали минимальную ошибку
при максимальном уровне воздействий и минимальном
отношении сигнал/шум. Такие оптимальные системы на
зывают минимаксными.
Современные системы РА с целью повышения качест
ва их работы в условиях неполноты априорной информа
ции строятся как адаптивные системы, в которых в про
цессе работы системы автоматически определяется необ
ходимая информация о текущем управляемом процессе и
в нужном направлении изменяется структура и парамет
ры системы. Современный уровень развития радиоэлек
троники и вычислительной техники позволяет создать
подобные адаптивные системы.
Оптимальные системы РА классифицируются по раз
личным признакам. Их можно разделить на два основных
класса: системы с постоянной настройкой (без адапта
ции) и адаптивные системы. Системы с постоянной на
стройкой в зависимости от вида критерия оптимальности
подразделяются на:
1) системы оптимальные по быстродействию, в ко
торых критерием оптимальности является минимум дли
тельности переходного процесса;
2) системы оптимальные по точности, в которых
критерий оптимальности — минимум ошибки или мини
мум какойлибо функции от ошибки.
Адаптивные системы в зависимости от способа адапта
ции делятся на:
1) экстремальные, в которых достигается режим, со
ответствующий экстремуму статической характеристики
объекта управления, положение и значение которого не
известны;

299

2) самонастраивающиеся, в которых требуемый оп
тимальный режим работы обеспечивается за счет автома
тической настройки параметров системы;
3) обучающиеся, в которых оптимальный режим рабо
ты достигается в результате анализа и накопления ин
формации о состоянии системы и автоматическом измене
нии ее структурной схемы и параметров в зависимости от
накопленного опыта.
Примерами адаптивных систем РА являются адаптив
ный пеленгатор РЛС, система управления антенной фази
рованной решеткой.

12.2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ
СИСТЕМ
Синтез оптимальных систем начинается с выбора кри
терия оптимальности, общей формой которого является
следующий квадратичный функционал:
T

1
1
J = ET (t)FE(t) +  [ET (t)VE(t) + UT (t)QU(t)]dt, (12.1)
2
2
0

где E(t) — вектор ошибки; U(t) — вектор управления.
Матрицы квадратичных форм в (12.1) F, V, Q опреде
ляются выражениями
β1 , 0, ... 0 
α1 , 0, ... 0
 0, β , ... 0 
 0, α ... 0
2
2




F = .................... ; V = ...................  ;
0, 0, ... β 
0, 0, ... α 
n 
n 


q1 , 0, ... 0
 0, q , ... 0
2


Q = ...................  .
0, 0, ... q 
n 

1
в (12.1) введен для удобства и не влияет
2
на результат решения оптимальной задачи.
Рассмотрим частные случаи применения крите
рия (12.1). Если при синтезе систем РА важно оптими
зировать лишь конечное состояние объекта управления

Множитель

300

при заданном начальном, то в (12.1) следует ограни
читься только одним первым слагаемым. Примером та
ких систем являются системы радиоуправления само
наведением летательных аппаратов, в которых требует
ся обеспечить наименьшую ошибку в момент пролета
летательного аппарата относительно цели.
При синтезе систем, в которых накладываются требо
вания к виду переходного процесса и точности системы,
первое слагаемое в (12.1) можно не вводить.
Если в проектируемой системе необходимо достичь
минимальной длительности переходного процесса, то ис
пользуется критерий вида
T

J =  dt = T.

(12.2)

0

Задача синтеза оптимальных систем заключается в
следующем. Известно векторное дифференциальное урав
нение объекта управления, необходимо найти вектор
управления (алгоритм управления), который переводит
объект управления из начального состояния в конечное,
удерживает его в этом конечном состоянии или изменяет
его в соответствии с входным сигналом, обеспечивая при
этом экстремальное значение критерия оптимальности.
Синтез считается законченным, если алгоритм управле
ния найден как функция вектора переменных состояния
объекта управления.
Рассмотрим синтез системы стабилизации, полагая,
что входной сигнал равен нулю, а объект управления опи
сывается векторным дифференциальным уравнением вида
 (t) = AG(t) + BU(t);
G
(12.3)
Y (t) = G(t),
где G(t) — выходной вектор состояния объекта управления.
Критерий оптимальности имеет вид
J=

∞

1
[GT (t)VG(t) + UT (t)QU(t)]dt,
2
0

где G(t) = −E(t), так как входной вектор равен нулю.

(12.4)

301

В критерии (12.4) по сравнению с (12.1) отсутствует
первое слагаемое, так как при T = 0 оценка конечного со
стояния не имеет смысла. Кроме того, верхний предел ин
тегрирования в (12.4) равен бесконечности. При этом
можно гарантировать, что после окончания переходного
достигнутое нулевое состояние будет сохранено. Для ре
шения оптимальной задачи стабилизации используем
принцип максимума Понтрягина, согласно которому оп
тимальный вектор управления соответствует максимуму
функции Гамильтона, определяемой выражением
1
 T (t)P(t).
H = − [GT (t)VG(t) + UT (t)QU(t)] + G
(12.5)
2
Подставив уравнение (12.3) в (12.5), найдем, что
1
H = − [GT (t)VG(t) + GT (t)QG(t)] +
2
+[AG(t) + BU(t)]T P(t).

(12.6)

В последних двух выражениях через P(t) обозначен
вспомогательный вектор, являющийся решением вектор
ного дифференциального уравнения
∂H
P (t) = −
.
∂G(t)

(12.7)

Производную вектора состояния определим из (12.5):
 (t) = ∂H .
G
∂P(t)

(12.8)

Систему дифференциальных уравнений (12.7) и (12.8)
называют канонической.
Исследование функции (12.6) на максимум позволяет
определить оптимальное управление
U(t) = Q −1BT P(t).

(12.9)

Из (12.9) следует, что для вычисления оптимального
управления нужно найти вектор P(t). Для этого необходимо
решить каноническую систему уравнений (12.7) и (12.8),
начальными условиями для которой являются начальное
состояние объекта управления G(0) и конечное значение
P(∞). Вычислив P(t), найдем оптимальное управление как
функцию времени, которое предварительно должно быть

302

рассчитано и запомнено, после чего оно может быть подано
на объект управления. Очевидно, что при таком способе
управления получается разомкнутая система со всеми при
сущими ей недостатками. Поэтому следует получить опти
мальное управление через вектор состояния. Для этого необ
ходимо вектор P(t) выразить через G(t):
P(t) = −KG(t).
(12.10)
Матрица усиления K удовлетворяет следующему мат
ричному уравнению:
V + KA + AT K − KSK = 0,

(12.11)

BQ −1BT .

где S =
Подставив (12.10) в формулу (12.9), определим
U(t) = −Q −1BT KG(t).

(12.12)

На рисунке 12.1 показана структурная схема опти
мальной системы стабилизации. Система линейная, так как
на вектор управления не наложено никаких ограничений.
Определение матрицы усилений по формуле (12.11)
сводится к решению системы нелинейных алгебраических
уравнений. Так как матрица усилений — матрица сим
метрическая, то число уравнений равно 0,5n(n + 1), n —
порядок вектора состояния. Из найденных решений сле
дует отобрать только то, при котором матрица K является
положительно определенной.
Для вычисления элементов матрицы усилений могут
быть использованы ЭВМ, на которых следует решить мат
ричное уравнение Риккати:
K(t) = V + K(t)A + AT K(t) − K(t)SK(t)
(12.13)
с граничными условиями K(T ) = 0, где время T выбрано
достаточно большим.

Рис. 12.1
Структурная схема оптимальной системы стабилизации

303

Если момент времени T принять начальным, а K (T )—
начальным условием, то матрица усилений определяется
как асимптотическое решение уравнения Риккати при
уменьшении времени. Для того чтобы получить решение
уравнения Риккати, соответствующее увеличению време
ни, вводят переменную τ = T − t. Тогда уравнение (12.13)
принимает вид
K(τ) = V + K(τ)A + AT K(τ) − K(τ)SK(τ).

Это уравнение решается на ЭВМ с начальным услови
ем K(0) = 0. При достаточно большом T установившееся
значение K (τ) позволяет найти элементы матрицы K.
Рассмотрим синтез оптимальной системы слежения,
качество работы которой оценивается функционалом
J=

∞

1
[ET (t)VE(t) + UT (t)QU(t)]dt,
2

(12.14)

0

где E(t) = X(t) − Y (t) — вектор ошибки; X(t), Y (t) — вход
ной и выходной векторы.
Объект управления описывается уравнением (12.3),
оптимальное управление в задаче слежения определяется
выражением (12.9), в котором вспомогательный вектор
P(t) зависит не только от вектора состояния объекта
управления, но и от входного вектора:
P(t) = −KG(t) + Z(t),

(12.15)

где Z(t) — неизвестный вектор, являющийся решением
уравнения
Z (t) = [KS − AT ]Z(t) + VX(t).
(12.16)
Так как X(t) известен, то уравнение (12.16) может
быть решено при граничных условиях:
Z(∞) = X(∞) = 0.
Для входных сигналов, не удовлетворяющих этим гра
ничным условиям, решение оптимальной задачи не най
дено.
Для определения вектора Z(t) в системе должно быть
предусмотрено специальное вычислительное устройство,
этот вектор можно рассчитать заранее и поместить в па
мять вычислителя.

304

Пример 12.1. Определить алгоритм оптимального уп
равления для системы, передаточная функция объекта
управления
W ( p) =

b0
.
a1 p2 + p

Такую передаточную функцию имеет, например, ра
зомкнутая система ФАПЧ без фильтра нижних частот.
Р е ш е н и е. Данной передаточной функции соответст
вует система уравнений в пространстве состояний:
g1 (t) = g2 (t);
g2 (t) = −a1 g1 (t) + b0u(t).
Критерий оптимальности
J=

∞

1
[g 2 (t) + αg22 (t) + qu2 (t)]dt.
2 1
0

Таким образом, в рассматриваемой системе
0, 1 
0
1
1, 0 
A=
; B =  ; C =  ; V = 

 ; Q = q.
0, −a1 
b0 
0
 0 α

В соответствии с уравнением (12.12) оптимальное
управление имеет вид
u(t) =

b0
[k g (t) + k22 g2 (t)].
q 21 1

Элементы матрицы усиления в последнем выражении
определим из решения системы алгебраических уравне
ний, которая получается из уравнения (12.11):
k12 = k21 =

q
;
b0

k11 = a1k21 + k12k22

b02
;
q
1

k22

 a2q2 (2k21 + α)q  2 a1q
=  14 +
 − b2 .
b02
0
 b0


Передаточная функция оптимальной системы стаби
лизации

305

W0 ( p) =

k0 W ( p)
,
1 + k0 (k21 + k22 p)

b0
.
q
Найдем оптимальное управление для задачи слежения
при входном сигнале
x(t) = 1(t) − 1(t − T ).
Оптимальное управление определяется выражениями
(12.9) и (12.15):

где k0 =

u(t) = −[k21 g1 (t) + k22 g2 (t)]

b0
b
+ z2 (t) 0 .
q
q

В последнем выражении z2 (t) находится в соответст
вии с (12.15) из следующей системы уравнений:
b2k
z1 (t) = 0 21 z2 (t) + x1 (t);
q
 k b2

z2 (t) = −z1 (t) +  22 0 − a1  z2 (t) + αx2 (t),
q


где x1 (t) = 1(t − T ); x2 (t) = x1 (t) = 0.
На рисунке 12.2 показана структурная схема спроекти
рованной системы, для вычисления z2 (t) в которой включе
но вычислительное устройство. Передаточную функцию это
го устройства определим из последней системы уравнений:
1
WД ( p) = − 2
,
p + c1 p + c0

где c1 = a1 − k22

b02
b2
; c0 = k21 0 .
q
q

Рис. 12.2
Структурная схема оптимальной системы

306

В оптимальных системах стабилизации и слежения,
рассмотренных ранее, полагали, что вектор состояния объ
екта управления полностью известен, т. е. его составляю
щие можно измерить с помощью соответствующих датчи
ков. В действительности это нереально. Обычно можно из
мерить только часть переменных состояния или какоелибо
их сочетание, при этом измерения содержат случайные
ошибки. Кроме того, сама система, как правило, подверже
на воздействию случайных возмущений. Таким образом,
для формирования оптимального управления необходимо
предварительно оценить вектор состояния объекта управ
ления, что может быть сделано с помощью его математиче
ской модели.
Для объекта управления, описываемого уравнения
ми (12.3), можно осуществить в соответствии с математиче
ской моделью
̂ (t) = AGˆ (t) + BU (t),
G

(12.17)

где Gˆ (t)— оценка вектора состояния.
Если начальные значения векторов G(0) и Gˆ (0) равны,
то в любой момент времени Gˆ (t) = G (t). Однако точное зна
чение Gˆ (0) получить невозможно, поэтому оценка Gˆ (t) по
модели (12.17) дает большие ошибки. Для устранения этого
недостатка на вход оценивателя состояния кроме сигнала
U(t) подают сигнал рассогласования Y (t) − CT G(t), а вместо
уравнения (12.17) используют уравнение
̂ (t) = AG (t) + L[Y (t) − CT G (t)] + BU (t)
G

(12.18)

или
̂ (t) − [A − LCT ]Gˆ (t) + LY (t) + BU (t),
G

(12.19)

где L — вектор усиления оценивателя размером n × m;
m — размерность выходного вектора.
Составляюшие вектора L выбираются такими, чтобы
(12.20)
lim[G (t) − Gˆ (t)] = 0.
t →∞

Если собственные значения матрицы [A − LCT ] в (12.19)
выбрать так, чтобы их вещественные части были отрица
тельными, то при любых начальных значениях Gˆ (0) обес
печивается выполнение (12.20).

307

После того как найдена оценка вектора состояния объ
екта управления, можно использовать алгоритм управле
ния, полученный в задачах оптимальной стабилизации и
слежения. На рисунке 12.3 показана полная структурная
схема оптимальной системы стабилизации с оценивателем
вектора состояния и обратной связью.

Рис. 12.3
Полная структурная схема оптимальной системы стабилизации

Оцениватель построен в соответствии с уравнени
ем (12.18). Сравнение этого уравнения с (8.53) показыва
ет, что оцениватель — это оптимальный фильтр Калмана,
характеристики которого зависят от динамических ха
рактеристик объекта управления и помех, но не зависят
от критерия оптимальности системы управления.
Оценка состояния и оптимальное управление по квад
ратичному функционалу (12.4) представляет собой двой
ственную дуальную задачу. Если одна из них решена, то в
соответствии с принципом дуальности нетрудно решить и
другую. Поэтому при решении задач фильтрации и детер
минированного управления могут быть использованы од
ни и те же программы для ЭВМ.

308

12.3. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Проектирование систем РА при неопределенности из
менения внешних условий (характеристик объектов уп
равления и внешних воздействий) приводит к необходи
мости использования адаптивных систем, в которых для
достижения оптимального значения критерия качества
работы системы и поддержания его на этом уровне соглас
но измерениям внешних условий изменяются параметры
и структурная схема системы. В результате система как
бы приспосабливается к изменению внешних условий,
при этом сохраняя оптимальный режим работы. Адаптив
ные системы, в которых оптимальный режим работы под
держивается только за счет регулировки параметров сис
темы при сохранении ее структурной схемы, называют
самонастраивающимися (СНС). Если оптимальный ре
жим поддерживается и за счет изменения структуры сис
темы, то системы называют самоорганизующимися.
Оптимальные значения параметров устройств управ
ления СНС определяются путем аналитического анализа
или за счет использования специальных пробных сигна
лов, относительно которых оценивается критерий качест
ва работы и организуется соответствующая перестройка
параметров устройств управления. СНС первого типа на
зывают аналитическими, второго — поисковыми. Разли
чают также СНС с настройкой по внешним воздействиям
и по характеристикам объекта управления.
На рисунке 12.4 показана обобщенная структурная схе
ма СНС, которая состоит из основного контура, работающего
по принципу измеренного отклонения, и устройства адапта
ции (УА), предназначенного для целенаправленного изме
нения характеристик устройств управления (УУ). В УА ана
лизируется соответствие критерия качества заданному (оп
тимальному) значению, в результате чего вырабатываются
сигналы для изменения настраиваемых параметров УУ.
Заметим, что синтез систем без устройств адаптации осу
ществляется методами, приведенными ранее. Этот этап на
зывают первичным синтезом СНС, а проектирование уст
ройств самонастройки — вторичным синтезом СНС.

309

Рис. 12.4
Обобщенная структурная схема СНС

Рассмотрим СНС с настройкой по внешним воздейст
виям, структурная схема которой является частным слу
чаем обобщенной (рис. 12.5).

Рис. 12.5
Структурная схема СНС c надстройкой по внешним воздействиям

В таких системах оптимальный режим обеспечивается
за счет измерения характеристик внешних воздействий.
В УА решается задача оценки параметров входного сигна
ла и формируется алгоритм самонастройки. Обычно кри
терием качества является квадрат суммарной ошибки
J = σ2 (t) = eд2 (t) + σ2e (t),

σ2e —

(12.21)

дисперсия ошибки
где eд — динамическая ошибка;
относительно случайных составляющих воздействий.
При анализе таких СНС полагают, что число производ
ных от сигнала x(t) ограничено, а характеристики случай
ных воздействий известны с точностью до параметров.
Кроме того, считают, что изменение параметров воздейст
вий происходит намного медленнее по сравнению с пере
ходными процессами в СНС. При таких предположениях
для анализа СНС можно использовать методы, изложенные
в главе 6. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

310

Пример 12.2. Передаточная функция системы в разом
кнутом состоянии имеет вид
Wр ( p) =

K (1 + pT )
.
p2

На вход замкнутой системы поступает сигнал
αt2
2
и действует помеха с спектральной плотностью
x(t) =

Sn (ω) = Nn .

Найти K (t) для оптимальной системы в смысле мини
мума (12.21).
Р е ш е н и е. Применив формулы (6.13) и (6.21), най
дем, что
2
x
1 + KT 2
+ Nn
.
2
2T
K
Оптимальное значение коэффициента усиления, соот
ветствующее минимуму (12.21), вычислим из условия

σ2 =

2
∂σ2
x
T
= −2 3 + Nn = 0,
∂K
2
K0

откуда
K03 =

2
4x
.
NnT

Таким образом, в УА (рис. 12.5) должна вычисляться
(t) и значение коэффициента
вторая производная сигнала x
усиления K0 , которое следует установить в УУ системы. Оп
тимальный коэффициент усиления K0 может быть рассчи
тан заранее и помещен в память. В процессе работы системы
(t) устанавливается нужное зна
по измеренному значению x
чение K0 .
При выборе структуры УА возможны два подхода.
В первом настаиваемые параметры изменяются так, что
бы скомпенсировать отклонение критерия качества от за
данного значения и сохранить его на требуемом уровне. Во
втором подходе параметры объекта управления и внеш
них воздействий идентифицируются. Связь этих парамет

311

ров с регулируемыми параметрами УУ известна и реали
зуется в УА, в результате чего и достигается адаптация
критерия качества к изменению внешних условий.
Системы, в которых реализуется первый подход (без
идентификации характеристик внешних воздействий и
объекта управления), называют СНС с эталонными моде
лями, в системы, реализующие второй подход, — СНС с
настраиваемой моделью или адаптивными системами с
идентификатором.
На рисунке 12.6 показана структурная схема СНС с эта
лонной моделью.

Рис. 12.6
Структурная схема СНС с эталонной моделью

Сигнал отклонения ε(t), равный разности сигнала с мо
дели yм (t) и с выхода системы y(t), является входным сиг
налом цепи самонастройки (ЦС), с помощью которой произ
водится изменение параметров УУ, устраняющее рассогла
сование ε(t). Из схемы рисунка 12.6 видно, что ЦС образует
в СНС замкнутый контур, устойчивость которого влияет на
устойчивость всей СНС. Для проверки устойчивости СНС
используют прямой метод Ляпунова, в соответствии с кото
рым ограниченное значение ε(t) свидетельствует об устой
чивости СНС. Познакомимся с этим методом на конкретном
примере.
Пример 12.3. Система в разомкнутом состоянии опи
сывается уравнением
y(t) + a1y (t) + a0 y(t) = k0 (t)kу e(t),
(12.22)
где a0 , a1 — постоянные коэффициенты; k0 (t) — коэффи
циент передачи объекта управления; kу — регулируемый
коэффициент усиления УУ.

312

Уравнение модели системы следующее:
yм (t) + a1yм (t) + a0 yм (t) = kм e(t).

(12.23)

Найти алгоритм для регулируемого коэффициента
усиления УУ и условие устойчивости СНС.
Р е ш е н и е. Вычтя из (12.23) уравнение (12.22), полу
чим

ε(t) + a1ε (t) + a0 ε(t) = b0 (t)e(t),
(12.24)
где ε(t) = yм (t) − y(t), b0 (t) = kм − k0 (t)kу .
Перепишем последнее выражение в виде
ε1 (t) = ε2 (t),
ε 2 (t) = −a0 ε1 (t) − a1ε2 (t) + b0 (t)e(t).

(12.25)

Выберем функцию Ляпунова следующим образом:
V = a0 ε12 (t) + ε22 (t) + b02 (t).

(12.26)

Полная производная от функции Ляпунова (12.26):
dV
= 2[a0 ε1 (t)ε1 (t) + ε2 (t)ε 2 (t) + b0 (t)b0 (t)]
dt
или с учетом выражения (12.26)
dV
= 2[−a1ε22 (t) + b0 (t)[ε2 (t)e(t) + b0 (t)].
dt

(12.27)

В соответствии с прямым методом Ляпунова, если
dV
оказывается знакопостоянной функцией противо
dt
положного знака по сравнению с V, то система асимпто
тически устойчива и отклонения ε1 (t) и ε2 (t) стремятся
к нулю. В рассматриваемом примере это условие
выполняется, если
b0 (t) = −ε2 (t)e(t).
(12.28)
Представим k0 (t) в виде k0 (t) = k0 + Δk0 (t), где k0 — по
стоянное номинальное значение коэффициента передачи;
Δk0 (t) — его переменная составляющая, изменение кото
рой происходит медленно по сравнению с процессом само
настройки, поэтому его производную на интервале време
ни самонастройки можно принять равной нулю. Тогда из
выражений (12.24) и (12.28) следует, что

313

t

1
1
ky (t) = ε2 (t)ε(t) или kу (t) =  ε2 (t)e(t)dt. (12.29)
k0
k0
0

На рисунке 12.7 приведена структурная схема СНС,
соответствующая алгоритму самонастройки (12.29).
В рассмотренном примере в качестве критерия опти
мальности приближение выходного сигнала системы y(t)
к выходному сигналу модели системы yм (t).
Помимо такого критерия наиболее часто используются
зависимости вида
∞

J = ε2 (t); J =  ε2 (t)dt.

(12.30)

0

Рис. 12.7
Структурная схема СНС второго порядка

В таких случаях синтез цепи самонастройки осуществ
ляется следующим образом. На основании измеренного от
клонения ε(t) сигналов на выходе модели и системы и вы
бранного критерия вторичной оптимальности цепи самона
стройки определяются требуемые значения параметров УУ,
которые и устанавливаются в системе. Для реализации та
кого принципа самонастройки обычно применяют гради
ентный метод, в соответствии с которым необходимо найти
градиент, определяемый выражением

314

∂J ∂J
∂J 
∇J = 
,
,...,
,
 ∂c1 ∂c2
∂cm 

(12.31)

где ci — регулируемые параметры УУ, число которых
равно m.
Выходной сигнал системы запишем в виде
d
.
(12.32)
dt
где C = [c1, c2 ,..., cm ] — вектор регулируемых парамет
ров УУ; B — вектор неконтролируемых параметров объек
та управления.
Эталонная модель описывается уравнением, форма ко
торого совпадает с (12.32).
В соответствии с методом градиента скорость измене
ния регулируемых параметров УУ пропорциональна со
ставляющим вектора градиента (12.31):
y(t) = Wз ( p, C, B)x(t)); p =

∂ci
∂J
= −γ i
,
∂t
∂ci

(12.33)

где γ i — постоянный коэффициент.
Критерий оптимальности (12.30) является функцией
ε(t) = yм (t) − y(t), поэтому выражение (12.33) можно пред
ставить в виде
∂ci
∂J ∂y
= γi
.
∂t
∂ε ∂ci

(12.34)

∂J
при выбранном критерии оптималь
∂ε
ности известен, второй сомножитель вычисляется по фор
муле

Сомножитель

∂y ∂Wy 1 − Wм
=
,
∂ci
∂ci Wy

(12.35)

где Wy ( p, C) — оператор УУ.
Подставив (12.35) и (12.34), найдем алгоритм цепи са
монастройки:
∂ci
∂J ∂W 1 − Wм
= γi
.
∂t
∂ε ∂ci Wу

(12.36)

315

В поисковых СНС для оптимизации критерия качества
применяются специальные поисковые сигналы. Рассмотрим
основные методы поиска экстремума, полагая, что функция
J унимодальная, т. е. имеет один экстремум. Для конкрет
ности будем полагать, что экстремум является минимумом,
необходимым условием которого является равенство нулю
градиента (12.31). Если при какомто значении вектора C
градиент J не равен нулю, то это означает, что минимум не
достигнут и нужно изменить вектор C так, чтобы J умень
шалось. Таким образом, поиск минимума состоит из двух
этапов: определение градиента и организация движения в
направлении минимума. При использовании для поиска ме
тода градиента скорость изменения составляющих вектора
пропорциональна составляющим градиента (12.33). Так как
градиент измеряется непрерывно, то скорости изменения
составляющих вектора C в любой момент времени пропор
∂c
циональна градиенту. Если при этом i неположительна,
∂t
то градиент J уменьшается и при какомто значении вектора
C достигает минимума.
Если используется дискретный метод, то составляю
щие вектора C на каждом последующем шаге принимают
ся следующими:
Cn+1 = Cn − γ∇J (C).
(12.37)
Вычисления по формуле (12.37) производят до тех пор,
пока не будет выполняться условие
J (Ck+1 ) > J (Ck ),
(12.38)
что соответствует достижению минимума, равного J (Ck ).
Кроме метода градиента поиск экстремума может осу
ществляться методом наискорейшего спуска, согласно ко
торому скорость изменения вектора C берется пропорцио
нальной градиенту в начальной точке C0:
∂C
= −γJ (C0 ).
(12.39)
∂t
Изменение вектора с этой скоростью происходит до тех
пор, пока при какомто значении C1 не будет удовлетво

316

∂J
= 0, после чего находят градиент в точ
∂t
ке C1 и вычисления повторяются.
В дискретной форме алгоритм наискорейшего спуска
имеет вид

ряться условие

Cn+1 = Cn − γ∇J (C0 ).

(12.40)

Вычисления производятся до тех пор, пока не будет
выполнено условие (12.38). В найденной точке Ck снова
определяют градиент, после чего начинают второй цикл,
при этом вместо C0 в (12.40) подставляют Ck. Подобные
циклы продолжают до тех пор, пока не будет достигнут
минимум J, фиксируемый по какомулибо правилу, на
пример, когда модуль разности J на законченном в пре
дыдущих циклах не превосходит заданного значения.
В рассмотренных методах при поиске экстремума из
меняются одновременно все аргументы функции J, что
затрудняет реализацию алгоритмов. Процедуру поиска
можно упростить, если при начальном значении c0 изме
нять только составляющую c1 до тех пор, пока J не дос
тигнет экстремального значения. После этого следует
осуществить аналогичное изменение c2 до достижения
экстремума и т. д. до cm , затем цикл поиска повторяется,
начиная с c1 до выполнения условия ΔJ = 0. Этот метод
поиска экстремума функции J называют методом Гаус
са — Зайделя.
Изложенные методы поиска применяются в СНС, когда
известен конкретный вид функции J. Во многих СНС функ
ция J в явной форме неизвестна, но могут измеряться ее зна
чения, по которым и находят составляющие градиента.
В таких системах помимо метода численного дифференци
рования, связанного с использованием ЭВМ, применяется
метод синхронного детектирования. В соответствии с этим
методом составляющие вектора C получают приращения
δci (t), в результате чего функция J принимает вид
J (c1 + δc1 (t), c2 + δc2 (t),..., cm + δcm (t)).

Разложим эту функцию в ряд Тейлора, ограничась
квадратичными членами, и умножим на δci (t). В резуль
тате получим

317

 m ∂J
δci (t) +
vi = J (c) + 
 i=1 ∂ci
m

∂2 J (c)
1
+ 
δcj (t)δck (t) δci (t), i = 1,2,..., m.
2 j,k=1 ∂cj ∂ck


(12.41)

Усредненное значение функции (12.41):
T

vi =

1
v (t)dt,
T i

(12.42)

0

где T — время усреднения.
В качестве поисковых сигналов выбирают гармониче
ские воздействия
δci (t) = B sin ωi t; ωi = (2i + 1)Ω = const; i = 1,2,..., m.
Так как
T

T

0

0

 δci (t)dt = 0,  δci (t)δcj (t)ck (t)dt = 0,

 B2
T
, при i = j
1
δci (t)δcj (t)dt =  2
,

T0
 0, при i ≠ j

то выражение (12.42) принимает вид
vi =

∂J B2
,
∂ci 2

т. е. значение vi пропорционально Iм составляющим гра
диента.
Для аппаратурной реализации этого способа определе
ния градиента необходим генератор гармонических коле
баний, умножитель и фильтр, усредняющий сигналы vi .
Устройство, состоящее из умножителя и сглаживающего
фильтра, называют синхронным детектором.
На рисунке 12.8 приведена структурная схема СНС
с эталонной моделью, в которой составляющие градиента
определяются по методу синхронного детектирования.

318

Рис. 12.8
Структурная схема СНС с синхронным детектированием

Сигнал ошибки системы e(t) подают на эталонную мо
дель, сигнал рассогласования в цепи самонастройки ε(t) =
= yм (t) − y(t) возводится в квадрат и поступает на умно
житель, на вторые входы которых подаются поисковые
колебания δci (t), частоты колебаний которых намного
больше полосы пропускания системы. Сигналы с умножи
телей поступают на усредняющие фильтры (Ф) с коэффи
2
циентом передачи 2 . В результате на выходах фильтров
B
вырабатываются сигналы, пропорциональные составля
ющим градиента J. Эти составляющие интегрируются,
выходные сигналы интеграторов определяют параметры
устройства управления, которые изменяются до тех пор,
пока составляющие градиента не обратятся в нуль, что
соответствует приближению y(t) к yм (t) с минимальной
средней квадратической ошибкой.
Число регулируемых параметров устройства управле
ния m выбирается таким, чтобы обеспечить достаточное
приближение передаточной функции разомкнутой систе
мы к передаточной функции модели.

319

12.4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
В радиотехнических устройствах экстремальные сис
темы применяются в тех случаях, когда необходимо что
бы какойлибо параметр соответствовал экстремальному
значению. Например, часто требуется, чтобы собственная
частота какоголибо колебательного устройства отслежи
вала изменение частоты сигнала.
Особенностью экстремальных систем является экстре
мальная характеристика (с явным максимумом или мини
мумом) объекта управления, которая зависит от входных
сигналов и в процессе работы может изменяться непредви
денным образом, сохраняя при этом экстремальный вид.
Задача управления состоит в том, чтобы сигналы на входе
объекта управления обеспечивали его работу в экстремаль
ном режиме.
Критерий оптимальности в системах определяется не
выбранным функционалом, а свойствами объекта управ
ления. Это является основным отличием экстремальных
систем от оптимальных.
На практике наибольшее распространение нашли одно
мерные экстремальные системы с показателями качества
работы y = f (u, g ), где g (t) — возмущающее воздействие.
В таких системах осуществляется две операции: выявление
отклонения текущего значения y(t) от экстремального и ор
ганизация изменения сигнала u(t) для перевода объекта
управления в экстремальный режим работы. Первая опера
ция является поисковой, вторая — рабочей.
В зависимости от способа поиска экстремума различа
ют следующие типы экстремальных систем: с определени
ем производной, с определением знака производной, шаго
вые и с запоминанием экстремума. Существуют также
системы с поисковыми сигналами и без них.
На рисунке 12.9 показана обобщенная структурная схе
ма экстремальной системы, которая отличается от обычной
наличием устройства поискового элемента (УПЭ); через ЛЧ
на схеме обозначена линейная часть объекта управления.

320

Рис. 12.9
Обобщенная структурная схема экстремальной системы

В системах с определением производной УПЭ формиру
ет сигнал ε(t) = k0 s, где k0 — постоянный коэффициент;
dy
— производная от экстремальной характеристики
dt
объекта управления. Изза операции дифференцирования
такие системы чувствительны к помехам. Этого недостатка
не имеют экстремальные системы, в которых УПЭ опре
деляет не производную, а только ее знак. Если производ
ная имеет отрицательный знак, то в экстремальной харак
теристике рабочая точка находится справа от максимума
(слева от минимума), а если положительный, то слева от
максимума (справа от минимума). В таких системах ε(t0) =
= k0signs, т. е. система является релейной.
В шаговых экстремальных системах через определен
ные интервалы времени в УПЭ измеряются и фиксируют
ся в запоминающем устройстве выходные сигналы объек
та управления. Затем эти сигналы, измеренные в начале и
конце интервала, сравниваются. Если оказывается, что
выходной сигнал объекта управления уменьшился, то при
движении к максимуму изменяется на противоположный
знак сигнала управления (не изменяется при движении
к минимуму) и наоборот. Шаг интервала времени выбира
ется в зависимости от изменения экстремальной характе
ристики изза внешних условий и систем защиты от по
мех. Для защиты от помех шаг следует выбирать как мож
но большим, но при этом ухудшается качество слежения
за изменением экстремума.
В системах с запоминанием экстремума УПЭ содержит
блок памяти, который запоминает большие по сравнению
с записанными ранее значениями y (в системах с макси
мумом), т. е. запоминание происходит только при увели
s=

321

чении y. Сигналы с выхода объекта управления и запоми
нающего устройства сравниваются и, если максимум не
достигнут, их разность оказывается равной нулю. При
достижении максимума или переходе через экстремаль
ную точку сигнал на выходе объекта управления умень
шается, а сигнал с запоминающего устройства сохраняет
экстремальное значение, поэтому происходит изменение
знака сигнала управления, что обеспечивает движение
к точке экстремума.
Поиск экстремума может быть выполнен с помощью
специальных поисковых колебаний, когда объект управле
ния допускает такой режим работы. На рисунке 12.10 изо
бражена экстремальная характеристика объекта управле
ния, на который действует поисковый сигнал.

Рис. 12.10
Экстремальная характеристика объекта управления

Если сигналу управления соответствует точка 1 экс
тремальной характеристики, то на выходе объекта управ
ления создается сигнал той же частоты, совпадающий по
фазе с поисковым сигналом. Если сигналу управления со
ответствует точка 2 экстремальной характеристики, то
сигнал на выходе объекта управления будет иметь проти
воположную фазу. Таким образом, фаза сигнала на выхо
де объекта управления определяет положение рабочей
точки относительно экстремума характеристики. На ри

322

сунке 12.11 показана структурная схема одномерной экс
тремальной системы, в которой для идентификации фазы
используется синхронный детектор. Поисковые колеба
ния δu = B sin ωt создаются генератором поисковых коле
баний (ГПК). Так же, как и в системах рисунка 12.8, вы
∂y
. В зависимости от знака градиента
числяется градиент
∂u
с релейного элемента (РЭ) поступает напряжение того или
иного знака, в результате чего исполнительное устройство
(ИУ) осуществляет движение к точке экстремума. В рас
сматриваемой системе усредняющий фильтр можно ис
ключить, возложив его функции на исполнительное уст
ройство.

Рис. 12.11
Структурная схема одномерной экстремальной системы

Основным режимом экстремальных систем является
колебательный относительно экстремального значения.
Поэтому качество работы этих систем оценивается сле
дующими показателями: наибольшим отклонением сиг
нала u от его экстремального значения, периодом колеба
ний и средним значением отклонения выходного сигнала
от экстремального значения, называемым потерями на
поиск (рысканье).
Рассмотрим методику оценки качества работы экстре
мальных систем с дифференцированием, полагая, что объ
ект управления является безынерционным. Устройством
управления в такой системе служит релейный элемент с по
рогом срабатывания ε0 , исполнительным устройством яв
ляется интегрирующее звено. Уравнение переключением ис
полнительного устройства, определяющее отклонение u от
экстремального значения, имеет вид

323

d
y[u(t)] = ε0 .
dt
Так как в рассматриваемой системе u = ±c, то уравне
ние переключения получается следующим:
±c

dy
= ε0 .
du

При аппроксимации экстремальной характеристики
зависимостью y = ku2 , уравнение переключения прини
ε0
. Период
2kc
колебаний — время, за которое сигнал u изменяется от
umax до umin и обратно до umax :

мает вид ±2cku = ε0 , следовательно, | umax |=

Tk =

2ε0
.
kc2

Потери на поиск определяются выражением
R=

1
umax − umin

Umax



[y(u) − y(u )]du =

Umin

ε2
,
12kc2

где y(u ) — экстремальное значение сигнала, равное нулю.
В [15] даны оценки работы экстремальных систем других
типов.

12.5. ВИДЫ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
Адаптивная система управления амплитудным
распределением в антенной решетке
Такая система (рис. 12.12) предназначена для подав
ления сигналов и помех, приходящих с направлений, от
личных от направления главного лепестка диаграммы на
правленности.
Система состоит из антенных элементов, на вход каж
дого из которых поступает аддитивная смесь сигнала xi (t)
и помехи vi (t). Выходные сигналы суммируются и образу
ют выходной сигнал антенной решетки:
y(t) = WT X(t),

(12.43)

где WT = [w1, w2 ,..., wn ]— вектор весовых коэффициентов;

324

X(t) = [x1 (t), x2 (t),..., xn (t)]— вектор входных сигналов; n —
число антенных элементов в решетке.

Рис. 12.12
Структурная схема адаптивной системы управления
в антенной решетке

В устройстве адаптации (УА) осуществляется опти
мальная весовая обработка принятых сигналов. В качестве
критерия оптимальности могут использоваться различные
величины: минимум средней квадратической ошибки, мак
симальное отношение мощности сигнала к мощности поме
хи и др. Найдем алгоритм адаптации цифрового УА при
использовании критерия минимума средней квадратиче
ской ошибки. В этом случае ошибка e( j) = d( j) − y( j), где
d( j) — желаемый выходной сигнал. С учетом выражения
(12.43) средняя квадратическая ошибка получается сле
дующей:
J = M[e2 (t)] = M[d2 ] + WT Rx W − 2WT Rdx ,

где Rx = M[X( j)XT ( j)], Rdx = M[d) j)XT ( j)]— матрицы кор
реляционных моментов.
Градиент J при минимальном значении средней квад
ратической ошибки
∇J = 2Rx W − 2Rdx = 0.

Из этого условия находят оптимальный вектор весо
вых коэффициентов:
W0 = −Rx−1Rdx .

325

Это выражение является уравнением Винера для рас
сматриваемой задачи, решение которого связано со значи
тельными трудностями изза большого объема вычисле
ний Rx и ее обращения. Поэтому для поиска оптимального
вектора W0 целесообразно использовать метод наиско
рейшего спуска (12.40), в соответствии с которым
W( j + 1) = W( j) − γ∇J ( j).

Градиент единичного отсчета вычисляется по формуле
∇J ( j) = ∇[e2 (t)] = 2e( j)∇[e( j)] = −2e( j)X( j).

Таким образом, алгоритм адаптации сводится к сум
мированию текущего значения весового коэффициента с
входным сигналом, умноженным на ошибку.
Переходный процесс адаптации зависит от собствен
ных значений λi матрицы Rx и является суммой экспо
нент с постоянными времени
Ti =

1
i = 1,2,..., n.
2γλi

В рассматриваемой системе необходимо знать желае
мый выход d( j), который формируется таким образом,
чтобы его характеристики были аналогичными прини
маемому сигналу.
Адаптивный фазовый суммарно(разностный пеленгатор
На рисунке 12.13 показана структурная схема адаптив
ного пеленгатора, обеспечивающего компенсацию ошибок,
возникающих изза неидентичности суммарного и разност
ного каналов.
В состав адаптивного пеленгатора включена модель, на
вход которой подается контрольный сигнал (КС), этот же
сигнал подается в суммарный сигнал и с запаздыванием
на Δϕ в разностный. На выходе модели по контрольному
сигналу формируется желаемый сигнал пеленгатора. По
измеряемой ошибке и выходному сигналу пеленгатора
в устройстве адаптации (УА) создается сигнал, под дейст
вием которого изменяется коэффициент усиления разно
стного канала kр , за счет чего и достигается компенсация
влияния нестабильности коэффициента k на точность ра
боты пеленгатора.

326

Рис. 12.13
Структурная схема адаптивного пеленгатора

Контрольные вопросы
1. Сформулируйте постановку задачи синтеза опти
мальных систем.
2. Какие критерии оптимальности применяются при
проектировании систем?
3. Каким образом находится оптимальное управле
ние в задачах стабилизации и слежения?
4. Какие системы относятся к адаптивным?
5. Поясните принцип работы СРС с эталонной моде
лью.
6. Какие методы поиска используются в адаптив
ных системах?
7. Перечислите типы оптимальных систем.

327

Глава 13
ЗАДАЧИ ПО ТЕМАМ КУРСА
Непрерывные системы РА
13.1. Для системы, структурная схема которой изобра
жена на рисунке 13.1, определить передаточные функции:
разомкнутой системы Wр ( p); замкнутой системы Wзx ( p),
Wзz ( p); ошибки Wex ( p), Wez ( p) и преобразования Лапласа
Y ( p), E( p).

Рис. 13.1
Структурная схема комплексной системы РА

13.2. Для системы рисунка 13.2 определить передаточ
ные функции: Wр ( p), Wзx ( p), Wзz ( p).

Рис. 13.2
Структурная схема двухконтурной cистемы РА

13.3. Передаточная функция системы имеет вид
W ( p) =

b1 p + b0
.
p3 + a2 p2 + a1 p + a0

Найти уравнение системы в установившемся режиме
при постоянном входном сигнале.
13.4. Оценить устойчивость, передаточная функция
которой в замкнутом состоянии имеет вид
2 ⋅ 104
Wз ( p) = 3
.
2
p + 130 p + 3,2 ⋅ 103 p + 2 ⋅ 104

328

13.5. Для системы, передаточная функция которой в
разомкнутом состоянии
Wр ( p) =

10
,
p(1 + 0,1 p)(1 + 0,01 p)

определить запас устойчивости по усилению.
13.6. Для системы с передаточной функцией в разомк
нутом состоянии
20(1 + Tp)
,
p2 (1 + 0,1 p)

Wр ( p) =

найти постоянную времени T, при которой запас устойчи
вости по усилению равен двум.
13.7. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K
.
p(1 + Tp)2

Найти зависимость критического коэффициента уси
ления от постоянной времени T.
13.8. По критерию устойчивости Найквиста оценить
устойчивость системы, передаточная функция которой
в разомкнутом состоянии
Wр ( p) =

100
.
p(1 + p)(1 + 0,01 p)2

13.9. По логарифмическим частотным характеристи
кам определить запасы устойчивости в системе, переда
точная функция которой в разомкнутом состоянии
Wр ( p) =

100(1 + 0,25 p)
.
p(1 + p)(1 + 0,01 p)2

13.10. По логарифмическим частотным характеристи
кам определить запасы устойчивости в системе, переда
точная функция которой в разомкнутом состоянии
Wр ( p) =

50(1 + 0,2 p)
.
p2 (1 + 0,02 p)

13.11. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K (1 + 0,5 p)
.
p(1 + 2 p)(1 + 0,02 p)2

329

По логарифмическим частотным характеристикам оп
ределить коэффициент усиления в системе, при котором
запас устойчивости по усилению равен десяти.
13.12. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

3
.
(1 + 0,2 p)(1 + 0,01 p)

Найти переходную и импульсную переходную функ
ции замкнутой системы.
13.13. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

20
.
p(1 + 0,1 p)

Найти переходную и импульсную переходную функ
ции замкнутой системы.
13.14. Передаточная функция замкнутой системы
Wз ( p) =

1
.
(1 + 0,1 p)(1 + 0,02 p)(1 + 0,01 p)

Определить выходной сигнал в установившемся ре
жиме при сигнале x(t) = 1(t) и указать порядок астатизма
системы.
13.15. Передаточная функция разомкнутой системы
100(1 + 0,2 p)
.
p2 (1 + 0,02 p)
Найти аналитическое выражение для выходного сиг
нала замкнутой системы и сигнала ошибки при входном
сигнале x(t) = 10sin5t и нулевых начальных условиях.
13.16. Передаточная функция замкнутой системы
Wр ( p) =

Wз ( p) =

a4

p4

b2 p2 + b1 p + b0
.
+ a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0

Каковы условия получения порядка астатизма, если:
1) ν = 0; 2)ν = 1; 3) ν = 2; 4) ν = 3?
13.17. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

b2 p2 + b1 p + b0
.
c4 p4 + c3 p3 + c2 p2 + c1 p + c0

Каковы условия получения порядка астатизма, если:
1) ν = 0; 2) ν = 1; 3) ν = 2;

330

13.18. Передаточная функция ошибки системы
We ( p) =

d 4 p4 + d3 p3 + d2 p2 + d1 p + d0
.
a4 p4 + a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0

Каковы условия получения порядка астатизма, если:
1) ν = 0; 2) ν = 1; 3) ν = 2?
13.19. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K (1 + T2 p)
.
p(1 + T1 p)(1 + T3 p)

Найти ошибку в замкнутой системе при входном сиг
нале x(t) = α0 ⋅ 1(t) + α1t ⋅ 1(t).
13.20. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K
.
(1 + T1 p)(1 + T2 p)

Вычислить ошибку в замкнутой системе при входном
сигнале x(t) = α1t ⋅ 1(t).
13.21. В комплексной системе (см. рис. 13.1) при W1(P) =
p
1
= 10, W2 ( p) =
и Wk ( p) =
вычислить первые два
p
1 + 0,01 p
коэффициента ошибок комплексной системы и замкнутого
контура, а также ошибку относительно воздействий x(t) =
= αxt; z(t) = α zt.
13.22. В комплексной системе (см. рис. 13.2) вычис
лить первые два коэффициента ошибок относительно воз
действий x(t) и z(t) для случая, когда
W1 ( p) =

10
10
; W ( p) = ; W0 ( p) = 0,01 p.
1 + 0,01 p) 2
p

13.23. Передаточная функция замкнутой системы
b0
Wз ( p) = 3
.
2
p + a2 p + a1 p + a0
Найти векторное дифференциальное уравнение системы.
13.24. Оценить устойчивость системы, векторное диф
ференциальное уравнение которой имеет вид
0,
1,
0  z1 (t)  0
z1 (t)  

z (t) = 
 z (t) + 0
 x(t).
0,
0,
1
2
 2  





4
z3 (t) −0,2 ⋅ 10 , −380, −14 z3 (t) 0,2 ⋅ 104 

331

13.25. Векторное дифференциальное уравнение системы
определяется выражением
1,
0  z1 (t)  0 
z1 (t)   0,
z (t) =  0,
 z (t) + 0  x(t).
0,
1
 2  
 2  

z3 (t) −167, −10, −18,4 z3 (t)  167 

Найти матрицу переходных функций.
13.26. Вычислить матрицу перехода для системы, век
торное дифференциальное уравнение которой имеет вид
1   0 
z1 (t)   0,
z (t) = −500, −60 + 400 x(t).
 2  
 


13.27. Корреляционная функция случайного процесса
R (τ) = σ2e −μ| τ| , где μ — параметр затухания. Определить
спектральную плотность процесса.
13.28. Передаточная функция разомкнутой системы
K
Wр ( p) = . Рассчитать эквивалентную полосу пропуска
p
ния белого шума замкнутой системы.
13.29. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K (1 + T2 p)
.
p(1 + T1 p)(1 + T3 p)

Вычислить эквивалентную полосу пропускания белого
шума замкнутой системы.
13.30. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K
.
p(1 + Tp)

Рассчитать суммарную среднюю квадратическую ошиб
ку при действии на замкнутую систему управляющего воз
действия со спектральной плотностью
Sx (ω) =

Nx
1 + Tx2ω2

и помехи со спектральной плотностью Sп (ω) = Nп .
13.31. На систему с передаточной функцией в разомк
нутом состоянии

332

Wр ( p) =

K
p(1 + Tp)

действует стационарный сигнал со спектральной плотно
стью
Sx (ω) =

2Tx σ2x
1 + Tx2ω2

и помеха со спектральной плотностью Sn (ω) = Nn . Опреде
лить оптимальный коэффициент усиления при T = 0,1 c;
Tx = 20 c; σ2x = 3,05 ⋅ 10−2 рад2 ; Nn = 3,05 ⋅ 10−6 рад2 ⋅ с.
13.32. Передаточная функция разомкнутой системы
Wр ( p) =

K (1 + Tp)
,
p2

где K = 100 c −2 .
На вход замкнутой системы действуют сигнал x(t) =
1 2
= αt и помеха со спектральной плотностью Sn (ω) = Nn .
2
Найти постоянную времени T, соответствующую минимуму
средней квадратической ошибки замкнутой системы при α =
= 0,17 рад ⋅ с–2; Nn = 3,05 ⋅ 10−5 рад2 ⋅ c.
Цифровые системы РА
13.33. Для цифровой системы, структурная схема ко
торой изображена на рисунке 13.3, найти дискретные пе
редаточные функции: разомкнутой системы Wр (z); замк
нутой системы Wз (z) и ошибки We (z), если передаточная
функция непрерывной части системы
Wн ( p) =

k1
.
1 + T1 p

Рис. 13.3
Структурная схема цифровой системы

333

13.34. Найти дискретные передаточные функции: ра
зомкнутой системы Wр (z); замкнутой системы Wз (z) и
ошибки We (z) для системы, структурная схема которой
показана на рисунке 13.3, если передаточная функция не
прерывной части системы
Wн ( p) =

k
.
p2

13.35. Для цифровой системы, структурная схема кото
рой приведена на рисунке 13.4, определить дискретные пе
редаточные функции: разомкнутой системы Wр (z); замк
нутой системы Wз (z) и ошибки We (z), если передаточная
функция непрерывной части системы
k
Wн ( p) = .
p

Рис. 13.4
Структурная схема цифровой системы РА с учетом запаздывания

13.36. Найти дискретные передаточные функции циф
ровой системы (рис. 13.4), если передаточная функция не
прерывной части
k
Wн ( p) = e − pT .
p
13.37. Структурная схема дальномера с двумя интегра
торами аналогична схеме рисунка 13.5, передаточная функ
ция непрерывной части в дальномере имеет вид
k(1 + T0 p)
Wн ( p) =
.
p2
Найти дискретные передаточные функции дальномера.
13.38. Определить условие устойчивости цифровой
системы в задаче 13.33.
13.39. Оценить устойчивость системы в задаче 13.34.
13.40. Найти условие устойчивости для системы зада
чи 13.35.
13.41. Определить условие устойчивости в цифровой
системе задачи 13.36.

334

13.42. Вычислить дискретные значения переходного
процесса и статической ошибки в цифровой системе зада
чи 13.33 для случая, когда T = T1 = 0,1c; k1 = 0,5.
13.43. Для условий задачи 13.35 определить дискрет
ные значения переходного процесса относительно ошиб
ки, если kT = 0,5.
13.44. Для условий задачи 13.33 вычислить ошибку
системы при входном сигнале x(t) = αt.
13.45. Вычислить ошибку в системе задачи 13.35 отно
сительно управляющего воздействия x(t) = αt.
13.46. Определить среднюю квадратическую ошибку в
системе задачи 13.33 при действии белого шума.
Нелинейные системы РА
13.47. Для релейной характеристики (рис. 13.5) опре
делить эквивалентный коэффициент передачи.

Рис. 13.5
Релейная характеристика

13.48. Для релейной характеристики (рис. 13.6) найти
эквивалентный коэффициент передачи.

Рис. 13.6
Релейная характеристика с гистерезисом

335

13.49. На рисунке 13.7а, б показаны структурная схе
ма нелинейной системы и характеристика ее нелинейного
звена. Определить параметры автоколебаний (амплитуду
и частоту), если
k
k2
W1 ( p) = 2 2 1
; W2 ( p) =
;
1 + T2 p
T1 p + 2ξT1 p + 1
где k1k2 = 50; k2 = 1; T12 = 0,001c; 2ξT1 = 0,01c; T2 = 0,02 c.

Рис. 13.7
Релейная система:
а — структурная схема; б — характеристика нелинейного звена.

13.50. На рисунке 13.8а, б изображены структурная
схема нелинейной системы и характеристика нелиней
ного звена. Найти параметры автоколебаний в системе,
если
k3
k
k2
W1 ( p) = 2 2 1
; W2 ( p) =
; W3 ( p) =
;
1 + T2 p
1 + T3 p
T1 p + 2ξT1 p + 1
k1k2k3 = 500; k3 = 10; T1 = 1c; 2ξT1 = 1,4 c; T2 = 1c; T3 = 4 c; C = 50.

Рис. 13.8
Система РА с ограничением:
а — структурная схема; б — характеристика нелинейного звена.

336

13.51. На рисунке 13.9 показана структурная схема сис
темы с астатизмом второго порядка. Возможны ли в системе
автоколебания, если линеаризованная система устойчива?

Рис. 13.9
Структурная схема следящей системы c астатизмом 2 порядка

Ответы
13.1.
1) Wр ( p) = W1 ( p)W2 ( p);
W ( p) + Wk ( p)W2 ( p)
Wр ( p)
; Wзz ( p) =
;
2) Wзx ( p) = р
1 + Wр ( p)
1 + Wр ( p)
3) Wex ( p) =

1 − Wk ( p)W2 ( p)
1
; Wez ( p) =
;
1 + Wр ( p)
1 + Wр ( p)

4) Y(p) = Wзx(p)X(p) + Wзz(p)Z(p); E(p) = Wex(p)X(p) +
+ Wez(p)Z(p).
13.2.
W1 ( p)W2 ( p)
;
1) Wр ( p) =
1 + W2 ( p)W0 ( p)
W1 ( p)W2 ( p) + W2 ( p)W0 ( p)
;
2) Wзx ( p) =
1 + W1 ( p)W2 ( p) + W2 ( p)W0 ( p)
Wр ( p)
3) Wзz ( p) =
;
1 + Wр ( p)
4)
1
1
Z ( p) +
X( p).
1 + Wр ( p)
1 + W1 ( p)W2 ( p) + W2 ( p)W0 ( p)
13.3. a0 e(t) = b0 x(t).
13.4. Система устойчивая.
13.5. α = 11.
13.6. T = 0,5 c.
2
13.7. Kкр = .
T

E( p) =

337

13.8. Система неустойчивая.
13.9. α = 8; Δϕ = 0,87 рад.
13.10. α = ∞; Δϕ = 0,87 рад.
13.11. K = 38 c −1 .
13.12. h(t) = 0,75 –1,09e–25t + 0,34e–80t; w(t) = 27,2e–25t –
– 27,2e–80t.
13.13. h(t) = 1(t) – 1,08e–5tsin(13,2t + 1,19); w(t) =
= 15,1e–5tsin 13,2t.
13.14. lim y(t) = 1; ν = 0.
t→∞

13.15. y(t) = 11,5sin(5t − 0,12); e(t) = 2sin(5t + 2,8).
13.16. 1) b0 ≠ a0 ; 2) b0 = a0 , b1 ≠ a1; 3) b0 = a0, b1 = a1, b2 ≠
≠ a2.
13.17. 1) c0 ≠ 0;2) c0 = 0;3) c0 = c1 = 0.
13.18. 1) d0 ≠ 0;2) d0 = 0;3) d0 = d1 = 0.
α
13.19. eд = 1 .
K
K (T1 + T2 )
1
α t+
α1 .
13.20. eд =
1+ K 1
(1 + K )2
13.21. C0x = C1x = 0; C0z = 0; C1z = 0,1c; eдx = 0; eдz = 0,1α z .
13.22. C0x = C1x = 0; C0z = 0; C1z = 0,001c.
13.23.
1,
0 
 0,
0 



Z(t) = AZ(t) + Bx(t); A = 0,
0,
1 ; B = 0  .


 
−a0 , −a1, −a2 
b0 

13.24. Система устойчивая.
13.25.
e −5t − 4,5 e −33,3t 
h1 (t)  1(t) − 0,5 e −10t + 4
h (t) = 
10
−
t
5
e
− 20 e −5t + 150 e −33,3t  .
 2  
e −10t + 100 e −5t − 5000 e −33,3t 
h3 (t)  −50

13.26.
 5 e −10(t−τ) − 1 e −50(t−τ) ; 1 e −10(t−τ) − 1 e −50(t−τ)

4

4
40
40
Φ(t − τ) = 
.
50
50 −50(t−τ) 1 −10(t−τ) 5 −50(t−τ) 
e
+ e
;− e
− e −10(t−τ) +

 4

4
4
4

338

2μσ2
.
μ2 + σ2
K
13.28. ωкр = .
2
K ( KT 2 + T1 + T3 )
13.29. ωэк =
.
2(T1 + T3 + K (T1T2 + T2T3 − T1T3 ))
13.30.
T (1 + KTx ) + Tx
K
σ2 = Nx
+ Nn .

2
2Tx (T + Tx KTx2 )

13.27. S(ω) =

13.31. K0 = 30 c−1; σ2 = 2,7 ⋅ 10−4 рад2 .

13.32. T0 = 0,1c.
13.33.

K
K
z − e −β
; Wз (z) =
; W e (z) =
,
−β
−φ
z−e
z−e +K
z − e −β + K
T
где K = k1 (1 − e −β ); β = .
T1

Wр (z) =

13.34.
Wр (z)
KTT1
z +1
; Wз (z) =
;
+
z −1
1 + Wр (z)
2(z − 1)2
1
We (z) =
.
1 + Wр (z)
Wр (z) = KT 2

13.35.
Wр (z) =

z(z − 1)
KT
KT
; Wз (z) =
; We (z) =
.
z(z − 1)
z(z − 1) + KT
z(z − 1) + KT

13.36.
Wр (z) =

Wр (z)
KT
1
; Wз (z) =
; We (z) =
.
1 + Wр (z)
1 + Wр (z)
z2 (z − 1)

13.37.
Wр (z)
z(T + 2T0 ) + T − 2T0
; Wз (z) =
;
2
1 + Wр (z)
2(z − 1)
1
We (z) =
.
1 + Wр (z)

Wр (z) = KT

339

T
.
T1
13.39. Система неустойчивая.
1
13.40. K < .
T
0,62
13.41. K <
.
T
13.42. y(nT ) = 0,33[1 − (0,055)n ]; ec = 0,67.
13.43.

13.38. K < 1 − e −β ; β =

e(nT ) = 2( 0,5)n+1 sin

π(n + 4)
.
4

13.44.
e(nT) =

13.45. e(nT ) =

k1Tα
1
T
;β= .
αnT +
1 + k1
T1
(1 − e −β )(1 + k1 )
α
.
K

13.46.
σ2 =

1
N k12
T
;β= .
T 1 + k1 1 + e −β − k1 (1 − e −β )
T1

13.47.
g (a) =

4B
a
1 + ; b(a) = 0.
πa
u0

13.48.
2B
2B
(cos ψ1 − cos ψ2 ); b(a) =
(sin ψ2 − sin ψ1 );
πa
πa
u
u
ψ1 = arcsin 0 ; ψ2 = π − arcsin 0 .
a
a
−
1
13.49. az2 = 12,7; ωk = 39 c .
13.50. ayk = 3; ωk = 0,8 c −1.
13.51. Режим автоколебаний невозможен.
g (a) =

( )

( )

340

ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ П.1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕОБРАЗОВАНИИ
ЛАПЛАСА
Функциональное преобразование вида
∞

F ( p) =  f (t)e − ptdt = L[f (t)],
0

где p = c + jβ — комплексная переменная, называют пре
образованием Лапласа.
Основные теоремы:
• линейности
n
 n
L  ak fk (t) =  ak Fk ( p);
k=1
 k=1

• дифференцирования
n

L[f (n) (t)] = pn F ( p) −  pn−k f k−1 (0);
k=1

• интегрирования
L   ... f (t)dtn  =

F ( p) n f ( −n) (0)
+  n−k+1 ;
pn
k=1 p

• запаздывания
L[f (t − Δ)] = F ( p)e − pΔ ;

• умножения изображений
t

F1 ( p) F2 ( p) = L   f1 (t − τ)f2 (τ)dτ ;
 0


• о конечном значении
lim f (t) = lim pF ( p);
t→∞

p→0

341

• о начальном значении
lim f (t) = lim pF ( p);
t→0

p→∞

• обращения
f (t) = L−1 [F ( p)] =

1
2πj

c+ j∞



c− j∞

n

F ( p)e ptdp =  Re sF ( p) e pt

p =λi ,

i=1

где Re sF ( p)e pt — вычет в полюсе λi , i = 1,2,..., n, n —
число полюсов.
Вычет в простом полюсе λi:
Re sF ( p)e pt = lim( p − λi ) F ( p)e pt .
p →λi

Вычет в полюсе кратности «k»: λ ki
Re sF ( p)e pt =

1
dk −1
lim k −1 F ( p)e pt .
(k − 1)!
dp
p →λi

Преобразования Лапласа наиболее часто встречающих
ся функций приведены в таблице П.1.
Таблица П.1
N

f(t)

F(p)

N

f(t)

F(p)

6

te −αt

1
( p + α )2

1
p

7

sin βt

β
p2 + β2

t

1
p2

8

cosβt

p
p2 + β2

4

1
tn−1
(n − 1)!

1
pn

9

e −αt sin βt

β
( p + α)2 + β2

5

e −αt

1
p+α

10

e −αt cosβt

p+α
( p + α)2 + β2

1

δ(t)

2

1(t)

3

1

342

ПРИЛОЖЕНИЕ П.2
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ПЛОТНОСТИ
Интеграл от функции спектральной плотности запи
сывают в виде
Jn =

1
2π

∞



−∞

2

C( jω)
dω,
D( jω)

C( jω) = cn −1 ( jω)n −1 + cn −2 ( jω)n −2 + ... + c1 jω + c0 ;
D( jω) = dn ( jω)n + dn −1 ( jω)n −1 + ... + d1 jω +d0 .
• Для n = 1

где

J1 =

c02
;
2d0d1

• для n = 2
J2 =

c12d0 + c02d2
;
2d0d1d2

• для n = 3
J3 =

c22d0d1 + (c12 − 2c0 c2 )d0d3 + c02d2d3
;
2d0d3 (−d0d3 + d1d2 )

• для n = 4
J4 =
+

c32 (−d02d3 + d0d1d2 ) + (c22 − 2c1c3 )d0d1d4
+
2d0d4 (−d0d32 − d12d4 + d1d2d3 )

(c12 − 2c0 c2 )d0d3d4 + c02 (−d1d42 + d2d3d4 )
;
2d0d4 (−d0d32 − d12d4 + d1d2d3 )

• для n = 5
J5 =

где

2
2
2
1 c4 m0 + (c3 − 2c2c4 )m1 + (c2 − 2c1c3 + 2c0 c4 )m2 + 

,
2Δ5 +(c12 − 2c0 c2 )m3 + c02m4


343

1
(d m − d m ); m1 = −d0d3 + d1d2 ;
d5 3 1 1 2
1
m2 = −d2d5 + d1d4 ; m3 = (d2m2 − d4m1 );
d0
1
m4 = (d2m3 − d4m2 ); Δ5 = d0 (d1m4 − d3m3 + d5m2 ).
d4
m0 =

344

ПРИЛОЖЕНИЕ П.3
Z%ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Таблица П.2
x(t)

X(z)

1(t)

z
z −1

t

Tz
(z − 1)2

2

T 2 z(z + 1)
(z − 1)3

t

3

T 3z(z2 + 4z + 1)
(z − 1)4

e −α t

z
z − e −α t

cosβt

z2 − z cosβT
z2 − 2z cosβT + 1

π
T
sin βt

z
z +1

e −αt cosβt

z(z − e −αT cosβT)
z2 − 2ze −αT cos βT + e −2αT

π
T
e −αt sin βt

z
z + e −αT

t

cos

e −αt cos

z sin βT
z2 − 2z cosβT + 1

ze −αT sin βT
z2 − 2ze −αT cos βT + e −2αT

345

ПРИЛОЖЕНИЕ П.4
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
Определения. Матрицей A = [aij ] размером m × n на
зывают таблицу чисел, состоящую из m строк и n столб
цов; индекс i указывает номер строки, а индекс j — номер
столбца. Числа (элементы) матрицы могут быть вещест
венными или комплексными. Рассмотрим матрицы с ве
щественными элементами:
a11, a12 , ..., a1n 
a , a , ..., a 
22
2n
 21

A = .........................  .
a , a , ..., a 
m2
mn 
 m1

Матрицу размером m ×1 называют
столбцом или вектором столбцом:

матрицей

x1 
x 
X =  2 .
 
x 
 m

Если m = n, то матрицу называют квадратной. В слу
чае, если aij = 0 при любых i ≠ j, матрицу называют диа
гональной. Диагональную матрицу, в которой aii = 1,
i = 1,2,..., n, называют единичной:
1, 0, ..., 0
0, 1, ..., 0


I = ..................  .
0, 0, ..., 1 



Матрицу произвольных размеров, все элементы кото
рой равны нулю, называют нулевой. Если существует
матрица A = [aij ] размером m × n, то матрицу AT = [aji ]
размером n × m называют транспонированной по отно
шению матрицы A.
Транспонированная матрицастолбец состоит из одной
строки и называется матрицей строкой или вектором
строкой.

346

Матрицу считают симметрической, если AT = A, и ко
сосимметрической, если AT = −A.
Матрицу S называют ортогональной, если SST = I.
Сумму всех диагональных элементов квадратной мат
рицы называют следом матрицы:
S p =  aii .
i

Сложение и умножение матриц. Матрицы одинаковых
размеров можно складывать. Элементы матрицы
C = A + B = [aij + bij ].

Равенство A = B означает, что aij = bij .
Умножение матрицы на число α означает, что все эле
менты матрицы умножаются на это число.
Умножение матрицы A размером m × n на матрицу B
размером n × r позволяет получить матрицу C размером
n

m × r, элементы которой cij =  aikbkj ; i = 1, 2, ..., m; j = 1,
k=1

2, …, r.
Таким образом, перемножать можно матрицы, если
число столбцов первого сомножителя равно числу строк
второго. Для умножения матриц не справедлив коммута
тивный закон, т. е. AB ≠ BA.
Произведение векторастолбца X размером n ×1 на
векторстроку YT размером 1 × n дает квадратную матрицу
размером n × n.
Произведение векторастроки YT размером 1 × n на
векторстолбец X размером n ×1 называют скалярным
произведением:
Y T X = y1x1 + y2x 2 +... + yn xn .

Если AB = BA, то матрицы A и B называют переста
новочными.
При транспонировании матриц имеем
(A + B)T = AT + BT ;
(AB)T = BT AT .

Определитель. Если A квадратная матрица размером
n × n, то ее определителем считают величину

347

n

| A + BA |= det A =  aij Δij , i = 1,2,..., n,
j =1

Δij − (−1)i+ j Mij

— алгебраическое дополнение элемента
где
aij ; Mij — минор элемента aij , т. е. определитель квадрат
ной матрицы, получаемый из матрицы A вычеркиванием i
строки и j столбца.
Определитель ортогональной матрицы |S|= ±1.
Матрицу A называют невырожденной (несингуляр
ной), если ее определитель не равен нулю, в противном
случае матрицу называют вырожденной (сингулярной).
Обратная матрица. Любая невырожденная матрица
имеет обратную, которая вычисляется по формуле
 Δ ji 
A −1 =   .
|A| 

Для матрицы второго порядка
a , a12 
A =  11

a21, a22 
имеем
| A |= a11a22 − a21a12 ;
Δ11 = a22 ; Δ12 = −a12 ; Δ21 = −a21; Δ22 = a11.

Таким образом, обратная матрица
A −1 =

 a22 , −a12 
1
.
a11a22 − a21a12 −a21, a11 

Ранг матрицы. Минором kго порядка матрицы A на
зывается определитель, составленный из элементов про
извольно выбранных ее k строк и k столбцов.
Если какойлибо минор порядка r матрицы A не равен
нулю, а все миноры, начиная с минора порядка r + 1, рав
ны нулю, то число r называется рангом матрицы.
Квадратичные формы. Если V — вещественная сим
метрическая матрица, а X — векторстолбец, то
v(x) = XT VX

называется квадратичной формой с матрицей преобразо
вания V.

348

Квадратичная форма v(x) считается положительно оп
ределенной или отрицательно определенной, если соот
ветственно
v(x) > 0;
при x ≠ 0
v(x) < 0,

причем v(0) = 0.
Квадратичная форма v(x) положительно определена,
если все главные диагональные миноры матрицы V поло
жительны, т. е.
v11 > 0,

v11, v12
> 0,...,| V |> 0.
v21, v22

349

ЛИТЕРАТУРА
1. Бакулев, П. А. Радиолокационные и радионавигационные
системы / П. А. Бакулев, А. А. Сосновский. — М. : Радио
и связь, 1994.
2. Бесекерский, И. А. Теория систем автоматического регули
рования / И. А. Бесекерский, Е. П. Попов. — М. : Наука,
1975.
3. Гришин, Ю. П. Микропроцессоры в радиотехнических сис
темах/ Ю. П. Гришин, Ю. М. Казаринов, В. М. Катиков. —
М. : Радио и связь, 1982.
4. Диткин, В. А. Операционное исчисление / В. А. Диткин,
А. П. Прудников. — М. : Высшая шк., 1975.
5. Джури, Э. Импульсные системы автоматического регули
рования : пер. с англ. / под ред. Я. З. Цыпкина. — М. : Физ
матгиз, 1963.
6. Коновалов Г. Ф. Радиоавтоматика : учеб. для радиотехн.
вузов и факультетов. — М. : Высшая шк., 1990.
7. Коновалов, Г. Ф. Системы автоматического управления
с электромагнитными порошковыми муфтами / Г. Ф. Коно
валов, О. В. Коноваленко. — М. : Машиностр., 1976.
8. Леонов, А. И. Моноимпульсная радиолокация / А. И. Лео
нов, К. И. Фомичев. — М. : Радио и связь, 1984.
9. Лихарев, В. А. Цифровые методы и устройства в радиоло
кации. — М. : Радио и связь, 1973.
10. Медич, Д. Статистические оптимальные оценки и управ
ление : пер. с англ. / под ред. А. С. Шаталова. — М. : Энер
гия, 1973.
11. Обрезков, Г. В. Методы анализа срыва слежения /
Г. В. Обрезков, В. Д. Разевиг. — М. : Сов. радио, 1972.
12. Первачев, В. С. Радиоавтоматика. — М. : Радио и связь,
1972.
13. Радиоавтоматика / под ред. В. А. Бесекерского. — М. :
Высшая шк., 1985.
14. Растригин, Л. А. Системы экстремального управления. —
М. : Наука, 1985.
15. Сейдж, Э. П. Оптимальное управление системами : пер. с
англ. / Э. П. Сейдж, Ч. С. Уайт, III ; под ред. Б. Р. Левина. —
М. : Радио и связь, 1982.
16. Современная радиолокация : пер. с англ. / под ред.
Ю. Б. Кобзарева. — М. : Сов. радио, 1969.
17. Теоретические основы радиолокации / под ред. В. Е. Дуле
вича. — М. : Сов. радио, 1978.
18. Цифровые системы синхронизации / под ред. М. И. Жод
зишского. — М. : Сов. радио, 1980.
19. Цыпкин, Я. З. Основы теории автоматических систем. —
М. : Наука, 1977.
20. Чураков, Е. Л. Оптимальные и адаптивные системы. —
М. : Энергоатомиздат, 1987.

350

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................................3
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ...................................4
1.1. Основные понятия ................................................................. 4
1.2. Система автоматической подстройки частоты.................. 8
1.3. Система фазовой подстройки частоты.............................. 10
1.4. Система автоматического
сопровождения цели бортовой РЛС................................................ 13
1.5. Система измерения дальности РЛС .................................. 17
1.6. Обобщенная структурная схема системы РА .................. 20
1.7. Классификация систем РА ................................................. 22
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ......................................25
2.1. Общее уравнение системы РА ........................................... 25
2.2. Передаточная функция........................................................ 27
2.3. Переходная и импульсная переходная функции ............. 31
2.4. Выходной сигнал системы РА при произвольном
входном сигнале................................................................................. 33
2.5. Комплексный коэффициент передачи, частотные
характеристики................................................................................... 34
2.6. Фазовые детекторы и частотные дискриминаторы......... 36
2.7. Угловые дискриминаторы .................................................. 40
2.8. Исполнительные устройства.............................................. 44
2.9. Типовые звенья .................................................................... 47
ГЛАВА 3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ......................................................59
3.1. Соединения звеньев в системах РА................................... 59
3.2. Передаточные функции систем РА ................................... 65
3.3. Передаточные функции статических
и астатических систем ....................................................................... 67
3.4. Передаточные функции многоконтурных систем........... 69
3.5. Определение параметров элементов систем.................... 72
3.6. Дифференциальные уравнения систем............................. 74

351

ГЛАВА 4. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ.......................................................................77
4.1. Векторные дифференциальные уравнения систем РА... 77
4.2. Матрица перехода стационарной системы ...................... 84
4.3. Матрица перехода нестационарной системы .................. 86
4.4. Матрица переходных функций.......................................... 88
4.5. Управляемость и наблюдаемость систем РА................... 88
ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РА ........................92
5.1. Постановка задачи устойчивости ...................................... 92
5.2. Критерий устойчивости Гурвица ...................................... 95
5.3. Частотные критерии устойчивости ................................... 98
5.4. Запасы устойчивости......................................................... 103
5.5. Оценка устойчивости по логарифмическим
частотным характеристикам........................................................... 105
ГЛАВА 6. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА РАБОТЫ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ....................................................114
6.1. Постановка задачи ............................................................. 114
6.2. Показатели качества переходного процесса .................. 115
6.3. Частотные показатели качества работы.......................... 118
6.4. Анализ точности работы систем...................................... 122
6.5. Средняя квадратическая ошибка системы ..................... 126
6.6. Эффективная полоса пропускания системы .................. 132
6.8. Статистические характеристики вектора состояния..... 137
ГЛАВА 7. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ....................................................150
7.1. Постановка задачи ............................................................. 150
7.2. Желаемая передаточная функция
разомкнутой системы ...................................................................... 152
7.3. Передаточные функции
корректирующих устройств ........................................................... 157
7.4. Корректирующие устройства в системах РА................. 160
7.5. Комплексные системы ...................................................... 168
7.6. Синтез систем с неполной
информацией о воздействиях......................................................... 179

352

ГЛАВА 8. СИНТЕЗ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ .............................................................186
8.1. Постановка задачи ............................................................. 186
8.2. Постановка задачи синтеза оптимальных систем
радиоавтоматики в пространстве состояний................................ 197
8.3. Синтез оптимального непрерывного фильтра............... 199
ГЛАВА 9. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ
РАДИОАВТОМАТИКИ....................................................205
9.1. Общие сведения. Структурная схема
цифровой системы ........................................................................... 205
9.2. Математическая модель процесса преобразования
непрерывного сигнала в дискретный ............................................ 209
9.3. Математический аппарат Z-преобразования ................. 211
9.4. Передаточные функции разомкнутых
цифровых систем ............................................................................. 213
9.5. Передаточные функции цифровых систем .................... 218
9.6. Частотные характеристики цифровых систем............... 220
9.7. Переходные процессы в цифровых системах................ 224
9.8. Анализ точности работы цифровых систем................... 229
9.9. Анализ устойчивости цифровых систем ........................ 232
9.10. Синтез цифровых систем................................................ 237
9.11. Цифровые корректирующие устройства...................... 243
9.12. Ошибки цифровых фильтров......................................... 246
ГЛАВА 10. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ...................................252
10.1. Векторные разностные уравнения
цифровых систем ............................................................................. 252
10.2. Дискретная матрица перехода ....................................... 257
10.3. Постановка задачи синтеза
оптимального дискретного фильтра.............................................. 260
10.4. Дискретный фильтр Калмана......................................... 263
ГЛАВА 11. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ....................................................268
11.1. Особенности нелинейных систем.................................. 268

353

11.2. Метод гармонической линеаризации
нелинейных звеньев......................................................................... 270
11.3. Уравнение нелинейной системы ................................... 275
11.4. Частотный метод определения параметров
автоколебаний .................................................................................. 277
11.5. Статистическая линеаризация нелинейных
характеристик ................................................................................... 280
11. 6. Применение метода статистической линеаризации
для анализа стационарных режимов и срыва слежения ............. 284
11.7. Применение теории марковских процессов
для анализа нелинейных систем .................................................... 288
ГЛАВА 12. ОПТИМАЛЬНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ
СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ ................................297
12.1. Основные сведения.......................................................... 297
12.2. Принципы построения оптимальных систем............... 299
12.3. Адаптивные системы ...................................................... 308
12.4. Экстремальные системы................................................. 319
12.5. Виды адаптивных систем ............................................... 323
ГЛАВА 13. ЗАДАЧИ ПО ТЕМАМ КУРСА .....................327
ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................340
Приложение П.1. Основные сведения
о преобразовании Лапласа.............................................................. 340
Приложение П.2. Формулы для интегрирования
спектральной плотности ................................................................. 342
Приложение П.3. Z-преобразование....................................... 344
Приложение П.4. Краткие сведения из теории матриц ....... 345
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................349

3. ГОРМОНАЛЬНЫЙ ПРОФИЛЬ И ХОЗЯЙСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ

Геннадий Федорович КОНОВАЛОВ

РАДИОАВТОМАТИКА
Учебное пособие
Издание третье, исправленное

Зав. редакцией
инженернотехнической литературы Е. В. Баженова
Ответственный редактор С. В. Макаров
Подготовка макета Е. С. Жукович
Выпускающий Н. А. Крылова

ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.10.953.П.1028
от 14.04.2016 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com;
196105, СанктПетербург, пр. Юрия Гагарина, 1, лит. А.
Тел.: (812) 4129272, 3362509.
Бесплатный звонок по России: 88007004071

Подписано в печать 26.04.17.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84×108 1/32.
Печать офсетная. Усл. п. л. 18,69. Тираж 200 экз.
Заказ № 21317.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного оригиналмакета
в ПАО «Т8 Издательские технологии».
109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.

5

ГДЕ КУПИТЬ
ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ:
Для того, чтобы заказать необходимые Вам книги,
достаточно обратиться в любую из торговых компаний
Издательского Дома «ЛАНЬ»:
по России и зарубежью

«ЛАНЬ1ТРЕЙД»
РФ, 196105, Санкт1Петербург, пр. Ю. Гагарина, 1
тел.: (812) 412185178, 412114145, 412185182
тел./факс: (812) 412154193
e1mail: trade@lanbook.ru
ICQ: 44618691967
www.lanbook.com
пункт меню «Где купить»
раздел «Прайс1листы, каталоги»
в Москве и в Московской области

«ЛАНЬ1ПРЕСС»
109263, Москва, 71ая ул. Текстильщиков, д. 6/19
тел.: (499) 178165185
e1mail: lanpress@lanbook.ru
в Краснодаре и в Краснодарском крае

«ЛАНЬ1ЮГ»
350901, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1
тел.: (861) 274110135
e1mail:lankrd98@mail.ru

ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ:
интернет1магазин
Издательство «Лань»: http://www.lanbook.com
магазин электронных книг
Global F5
http://globalf5.com/

Èçäàòåëüñòâî
«ËÀÍÜ»
ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÎÍÀÓ×ÍÀß
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
ÄËß ÂÛÑØÅÉ ØÊÎËÛ
Мы издаем новые
и ставшие классическими учебники
и учебные пособия по общим
и общепрофессиональным
направлениям подготовки.
Большая часть литературы
издательства «ЛАНЬ»
рекомендована Министерством образования
и науки РФ и используется вузами
в качестве обязательной.
Мы активно сотрудничаем
с представителями высшей школы,
научно%методическими советами
Министерства образования и науки РФ,
УМО по различным направлениям
и специальностям по вопросам грифования,
рецензирования учебной литературы
и формирования перспективных планов издательства.
Наши адреса и телефоны:
РФ, 196105, Санкт%Петербург, пр. Юрия Гагарина, 1
(812) 336%25%09, 412%92%72
www.lanbook.com