АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОСТРОЕНИЯ
Ю.ПСТОЯН, С.В.ЯКОВЛЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
оптимизационные
методы
геометрического
проектирования:
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1986

УДК 519.85:681.5
Математические модели и оптимизационные методы геометрическо-
геометрического проектирования / Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. — Киев: Наук,
думка, 1986.—268 с.
В монографии на основе формализации понятия геометрической
информации и введенного пространства информации предлагается
единый подход к исследованию задач геометрического проектиро-
проектирования. В зависимости от вида отображения геометрической инфор-
информации выделяются классы задач геометрического проектирования.
Особое внимание уделяется задачам размещения и покрытия гео-
геометрических объектов, построению математических моделей этих
задач. Рассматривается решение дискретных задач геометрического
проектирования с помощью известных методов и оригинальных
подходов, в том числе основанных на погружении комбинаторных
множеств в арифметическое евклидово пространство. Предлагается
метод последовательной статистической оптимизации для решения
многомерных многоэкстремальных задач. Приводятся постановки
ряда практических задач геометрического проектирования и срав-
сравнительный анализ результатов их решения.
Для специалистов в области прикладной математики, кибер-
кибернетики, автоматизации проектирования; может быть полезна также
аспирантам и студентам вузов.
Ил. 67. Табл. 30. Библиогр.: с. 259—266 A85 назв.).
Ответственный редактор
В. С. Михалевич
Рецензенты
В. Л. Рвачев, И. Н. Ляшенко
Редакция физико-математической литературы
„1502000000-120,
М221(О4)=86
(с) Издательство «Наукова думка», 1986

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие б
Глава I
Геометрическое проектирование 7
1.1. Модели некоторых классов точечных множеств 7
1.2. Понятие геометрической информации 17
1.3. Пространства канонических информации 25
1.4. Пространство информации 31
1.5. Основная задача геометрического проектирования 41
Глава II
Математическая модель /Г&-задач геометрического проектирования 50
11.1. Общая характеристика и формальная постановка Я&-задач 50
11.2. Ф-функции и их свойства 55
'11.3. Формализация с помощью Ф-функций отношений непересечения, разме-
размещения в области и покрытия 61
11.4. Структуры неравенств и их свойства 64
11.5. Использование структур линейных неравенств при формализации огра-
ограничений в задачах размещения 73
11.6. Использование структур линейных неравенств при формализации огра-
ограничений в задачах покрытия 77
11.7. О классе со-функций в пространстве информации 82
11.8. Особенности £>задач геометрического проектирования 89
Глава III
Методы дискретной оптимизации в геометрическом проектировании 100
III. 1. Общая схема метода последовательного анализа вариантов 101
111.2. Применение метода последовательного анализа вариантов К решению
задач размещения и покрытия 103
111.3. Общая схема метода ветвей и границ 108
111.4. Дерево допустимых решений и нижние оценки в задаче размещения
многоугольников в полосе 111
111.5. Оптимальное размещение прямоугольников в полосе 115
111.6. Применение метода вектора спада для поиска приближенных решений
задач геометрического проектирования 124
Глава IV
Некоторые комбинаторные задачи оптимизации в арифметическом евклидовом
пространстве 132
IV. 1. Отображение комбинаторных множеств в Rn . 132
IV.2. Разложение образов по гиперплоскостям 140
IV.3. Общий перестановочный многогранник и его свойства 145
IV.4. Решение некоторых задач гильотинного раскроя 150
IV.5. Об одной задаче минимизации длины связывающей сети 162
3

Глава V
Вероятностная модель детерминированной оптимизационной задачи ...... 169
V.I. Рандомизация задачи 169
V.2. Статистическая оценка оптимума 176
V.3. Другие вероятностные характеристики поведения функционала на
множестве • 184
V.4. Оценка погрешности вероятностной модели 190
Глава VI
Метод последовательной статистической оптимизации 196
VI. 1. Общая схема последовательных алгоритмов статистической оптимиза-
оптимизации 196
VI.2. Условия применения метода 203
VI.3. Исследование сходимости метода 210
VI.4. О теоретической эффективности метода 216
VI.5. Некоторые алгоритмы и их основные параметры 223
Глава VII
Применение метода последовательной статистической оптимизации в задачах
геометрического проектирования 227
VII. 1. Особенности применения метода 227
VII.2. Размещение многоугольников в полубесконечной полосе заданной
ширины 233
VII.3. Задачи размещения в полосе с учетом ориентации. Сквозные резы 241
VII.4. Размещение объектов с учетом длины связывающей их сети .... 245
VII.5. Размещение объектов с учетом уравновешивания 252
VII.6. Задачи компоновки узлов радиоэлектронной аппаратуры 255
Список литературы 259

ПРЕДИСЛОВИЕ
Одним из основных путей ускорения научно-технического про-
прогресса является автоматизация проектно-конструкторских работ на базе широкого
внедрения электронно-вычислительной техники. При решении многих задач про-
проектирования так или иначе необходимо учитывать их геометрические особен-
особенности, что позволяет выделить эти задачи в отдельный класс так называемых
«адач геометрического проектирования. В качестве примеров укажем задачи опти-
оптимального раскроя материалов [13, 45 — 47, 88, 108], задачи автоматизированного
проектирования генеральных планов промышленных предприятий, объемно-плани-
объемно-планировочного решения цехов и производств [39, 69, 81, 93, 94, 102, 103], задачи
конструкторского этапа проектирования радиоэлектронной и цифровой аппара-
аппаратуры, больших интегральных схем [1, 2, 8, 80, 89, 111, 148], задачи размещения
источников физико-механических полей [97, 98, 137, 138] грузов на судах и самолетах
[21, 131, 149], задачи покрытия и разбиения [15, 58—60, 107, 109, 119, 158] со
специальными критериями качества и др.
Интенсивные исследования в данной области были начаты в пятидесятых
годах [45, 46]. В настоящее время изучение задач осуществляется по двум
взаимосвязанным направлениям. С одной стороны, создание формального мате-
математического аппарата и выявление особенностей задач на основе единого подхода
к их описанию. С другой стороны, использование специфики каждой конкретной
вадачи, что позволяет свести ее к соответствующему классу задач математического
программи рования.
В Харькове в течение уже более двух десятилетий осуществляются разра-
разработки в области формализации задач геометрического проектирования и выбора
эффективных методов их решения. Начало указанным работам положила теория
/^-функции [104—106]. Этот аппарат позволил аналитически описывать сложные
геометрические объекты, строить и исследовать условия их взаимоотношений.
Исследование /^-функций показало их принципиальную возможность приме-
применения для математической постановки задач геометрического проектирования.
Однако непосредственное использование этой теории на практике возможно лишь
в сравнительно простых случаях. Дело в том, что необходимость многократной
проверки условий, накладываемых на взаимоотношения располагаемых объектов,
приводит к значительным затратам машинного времени, объема памяти и других
ресурсов ЭВМ.
Преодолеть эти трудности стало возможно благодаря математическому аппа-
аппарату, основанному на использовании функции плотного размещения [25, 125, 128],
что позволило преобразовать информацию о размещаемых объектах в информа-
информацию об их возможных плотных размещениях. Дальнейшее развитие исследова-
исследований в этом направлении привело к созданию аппарата Ф-функций [122].
Отметим, что первоначально основное внимание в указанных выше работах
было уделено задачам размещения геометрических объектов. Однако впослед-
впоследствии удалось результаты, полученные при решении задач размещения, обоб-
обобщить на задачи покрытия областей сложной геометрической формы.
Класс задач геометрического проектирования необозримо широк. Некоторые
методы решения отдельных задач этого класса на основе единого подхода
?ЛХ Формализации наиболее полно отражены в монографиях [125, 128, 131, 133,
137}. '
б

Настоящая монография представляет собой дальнейшие исследования в
области геометрического проектирования и отражает ряд новых результатов,
полученных в харьковской школе в последние годы.
Структура книги следующая. Первая глава посвящена формализации по-
понятия геометрической информации — центрального понятия задач геометричес-
геометрического проектирования. Введены пространства геометрических информации и ка-
канонических информации, что позволило подойти к формализации задач геомет-
геометрического проектирования с единых позиций. Сформулирована основная опти-
оптимизационная задача и выделен класс так называемых f^-задач геометрического
проектирования.
Во второй главе рассмотрена математическая постановка £^-задач геомет-
геометрического проектирования. Сформулированы основные задачи размещения и
покрытия геометрических объектов. Определены понятия Ф-, ©-функций, струк-
структур неравенств. Получено аналитическое описание области допустимых реше-
решений в задачах размещения и покрытия. Исследованы особенности этих задач.
В третьей главе описаны методы дискретной оптимизации (Методы последо-
последовательного анализа вариантов, ветвей и границ, вектора спада) и их примене-
применение к решению задач геометрического проектирования. Приведены формулиров-
формулировки ряда практических задач и результаты их решения с помощью указанных
подходов.
В четвертой главе исследованы свойства комбинаторных множеств при их
погружении в арифметическое евклидово пространство. Полученные результаты
позволили предложить ряд новых методов решения дискретных по постановке
задач геометрического проектирования. Описаны численные эксперименты при
решении задач гильотинного раскроя и минимизации длины связывающей сети
с использованием методов, основанных на указанном погружении.
Пятая глава посвящена вероятностной модели задачи геометрического про-
проектирования. Введение вероятностной меры на а-алгебре подмножеств множе-
множества допустимых решений задачи позволило получить ряд ее интересных свойств
и использовать их при поиске приближенного решения задачи.
В шестой главе описана общая схема метода последовательной статистичес-
статистической оптимизации, в основу которой положена схема метода последовательного
анализа вариантов. Предложены основные алгоритмы, реализующие метод. Ис-
Исследованы вопросы сходимости, условия применения и теоретической эффектив-
эффективности метода последовательной статистической оптимизации.
В седьмой главе рассматривается применение метода последовательной ста-
статистической оптимизации при решении различных задач геометрического проек-
проектирования. Приведены результаты численных экспериментов.
Авторы, безусловно, не претендуют на то, что предложенные в настоящей
монографии методы являются наиболее эффективными и универсальными.
Естественно, по мере развития математической теории и средств вычислитель-
вычислительной техники будут появляться новые, высокоэффективные алгоритмы. Кроме
того, в силу ограниченности объема, в книгу не включено большое количество
методов решения определенных классов задач геометрического проектирования,
разработанных к настоящему времени. В основном рассмотрены Я^-задачи гео-
геометрического проектирования.
В заключение авторы считают своим долгом выразить благодарность со-
сотрудникам отдела математического моделирования и оптимального проектирования
Института проблем машиностроения АН УССР и кафедры прикладной матема-
математики Харьковского института радиоэлектроники за внимание к их работе, а
также А. И. Коноваловой, В. К. Кривонос, Л. П. Проходовской за помощь в
технической подготовке рукописи.
Особую благодарность за ценные замечания и предложения авторы выра-
выражают академику АН ЛитССР И. Б. Моцкусу, Л. Ф. Гуляницкому (по § Ш.6),
О. А. Емцу (по § IV.3—IV.5), А. А. Жиглявскому (по § V.I, V.2), М. Ф. Касп-
шицкой (по § VII. 2—VII. 4), М. А. Кухаренко (по § VII.4, VII.6), С. Л. Ма-
гасу (по § II.3, III.4, III.5), а также рецензентам академику АН УССР
В. Л. Рвачеву и д-ру физ.-мат. наук, проф. И. Н. Ляшенко.

Глава I
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
В процессе проектирования и создания всевозможных
материальных объектов возникают задачи, в которых осуществляются
обработка, различные преобразования геометрической информации и
синтез новых пространственных форм. При этом синтез новых про-
пространственных форм на базе некоторой исходной геометрической
информации производится в соответствии с конкретными требования-
требованиями, вытекающими из поставленной задачи. Решение таких задач без
применения ЭВМ и соответствующего математического аппарата, как
правило, не эффективно. Это связано с необозримым многообразием
пространственных форм, сложностью конфигураций участвующих в
синтезе и синтезируемых объектах проектирования. Кроме того, взаи-
взаимодействие материальных объектов, участвующих в синтезе нового
материального объекта, непосредственно зависит от их геометрической
формы. В процессе решения требуется учитывать большое количество
различных ограничений, обусловленных особенностями проектируемого
материального объекта. Перечисленные и многие другие обстоятель-
обстоятельства делают задачи, связанные с преобразованием геометрической
информации, практически необозримыми для человека.
Автоматизация проектирования, использование электронно-вычис-
электронно-вычислительной техники и математических методов возможны лишь при
условии формализации задач. А для этого прежде всего необходимо
формализовать понятие геометрической информации, так как в него в
процессе инженерного проектирования иногда вкладывается различ-
различный смысл. Поскольку геометрическая информация, в свою очередь,
неразрывно связана с объектом проектирования, то для формализа-
формализации этого понятия следует построить модели, адекватные материаль-
материальным объектам.
1.1. Модели некоторых классов точечных множеств
Для построения математических моделей, адекватных
материальным объектам, необходимо прежде всего определить, в ка-
каком пространстве их рассматривать. Ясно, что речь должна идти
о точечных множествах в линейном полном метрическом пространстве.
Вместе с тем есякий материальный объект как геометрическое тело
в любом пространстве должен представляться совокулностью точек,
взаимное расположение которых определяло бы его в виде чертежа,
7

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
1
Рис. 5.

Рис. 6.
натурной модели, или друго-
другого изображения. Всеми необ-
необходимыми в этом смысле
свойствами обладает арифме-
арифметическое евклидово простран-
пространство Rn.
Однако класс точечных
множеств пространства Rn
значительно шире, чем тре-
требуется для построения мате-
математических моделей матери-
материальных объектов. Проиллюст-
Проиллюстрируем сказанное на примерах
множеств в R2. На рис. 1
изображено множество, содер-
содержащее изолированные точки;
на рис. 2— нигде не плотное множество; на рис. 3 — множество,,
имеющее самопересечение границ; на рис. 4 — множество с асимпто-
асимптотическим поведением границ; на рис. 5 — ограниченное множество с
бесконечным числом компонент связности; на рис. 6 — множества
g бесконечным семейством компонент линейной связности границ..
Этот список можно продолжить.
Ясно, что топологическая структура указанных множеств такова,
что они не являются математическими моделями реальных объектов.
Следовательно, необходимо сузить класс рассматриваемых точечных
множеств R2. Для этого целесообразно воспользоваться системой то-
топологических и алгебротопологических требований к точечным мно-
множествам. Такой подход позволяет достаточно просто и гибко форми-
формировать классы интересующих нас точечных множеств путем включения
или исключения соответствующих требований. Предлагаемые ниже
результаты основаны на публикациях [127, 131].
Выделим сначала класс точечных множеств пространства R2. Для?
«того введем понятие ср-объекта [127].
Определение 1.1. Непустое множество SaR2 называется ср-объек-
том, если
А1) 5 — канонически замкнутое (%а) или канонически открытое
(%0) множество [3];
А2) внутренность (int S) и замыкание (cl 5) множества S имеют
один и тот же гомотопический тип [152].
Из определения следует, что если S — замкнутый ф-объект, то
int 5 открытый, и наоборот. Поэтому в дальнейшем часто будут
рассматриваться свойства замкнутых и соответствующих им открытых.
Ф-объектов одновременно.
Покажем, какие точечные множества пространства R2 не являются/
ф-объектами, поскольку для них не выполняется требование А1. Во-
первых, это множества, содержащие изолированные точки. Так, кано-
рическое замыкание и каноническая внутренность множества, содер-
содержащего изолированные точки (см. рис. 1), указаны на рис. 7, а и
б соответственно и не совпадают с исходным множеством. (Штриховой

a
Рис. 7.
кривой здесь и далее на рисунках отмечены не принадлежащие мно-
множеству кривые.) Во-вторых, это нигде не плотные множества прост-
пространства R2: точки, кривые и т. д. (см. рис. 2). Его каноническое
замыкание и каноническая внутренность — пусты, т. е. не совпадают
<: этим множеством. В-третьих, это множества, имеющие нигде не
плотные «составляющие». Одно из таких множеств приведено на
рис. 8, а, а его каноническое замыкание — на рис. 8, б. В-четвертых,
это множества, из которых удалены точки, или нигде не плотные не
являющиеся границей кривые. Этот случай наглядно иллюстрируется
рис. 9, где крестиком обозначены исключенные из множества точки.
Итак, ни одно из указанных множеств не является ф-объектом,
так как не выполняется требование А1. Вместе с тем классы %а и уО
точечных множеств являются достаточно широкими и не исключают
из рассмотрения многие точечные множества пространства R2, которые
не могут быть моделями материальных объектов. Действительно, мно-
множества, приведенные на рис. 3 — 6, принадлежат классу %а.
Покажем, какие множества не являются ср-объектами, поскольку
для них не выполняется требование А2. Воспользуемся следующей
леммой.
Лемма 1.1. Свойство связности (линейной связности) сохраняется
при преобразованиях гомотопической эквивалентности пространств.
Доказательство этой теоремы имеется в работе [127].
Из леммы 1.1 непосредственно вытекают следующие утверждения.
Теорема 1.1. Если замкнутый (открытый) у-объект линейно
связен, то соответствующий ему открытый (замкнутый) у-объект
также линейно связен.
Теорема 1.2. Если замкнутый (открытый) у-объект связен, то
соответствующий ему открытый (замкнутый) ^-объект также
связен.
Точечное множество, приведенное на рис. 3, имеет самопересечение
границ. Оно связно, канонически замкнуто. Однако int S не явля-
является связным, т. е. согласно теореме 1.2 S не ф-объект.
На рис. 10 изображена полоса Р бесконечной длины, а ширина
асимптотически стремится к нулю. Полоса «наматывается» на круг /С.
Исследуем точечное множество S = int P, являющееся канонически
АО

Рис. 9.
открытым и линейно связным. Однако cl S имеет две компоненты
связности: полосу Р и окружность Fr /С. (Здесь и далее Fr — граница
множества.) Следовательно, согласно теореме 1.1 множество S и его
замыкание не являются ф-объектами. Если же положить S = Р, то
это множество не будет ф-объектом, так как не является ни канони-
канонически замкнутым, ни канонически открытым, т. е. S § %а, S § %0.
Исследуем множество S = int P [) int К, которое канонически
открыто, не связно. В свою очередь, множество clS связно. Тогда
по теореме 1.2 множества S и clS не являются ф-объектами.
Теорема 1.3. Мощности семейства компонент связности (линей-
(линейной связности) замкнутого и соответствующего ему открытого
(^-объектов совпадают.
Доказательство этой теоремы вытекает из того факта, что образ
компоненты связности (линейной связности) пространства при преоб-
преобразованиях гомотопической эквивалентности совпадает с компонентами
связности (линейной связности) образа пространства [127], т. е. преоб-
преобразование гомотопической эквивалентности не изменяет мощности се-
семейства компонент связности (линейной связности) пространства.
Рассмотрим точечное множество 5, которое канонически замкнуто
и состоит из одной компоненты связности (рис. 11). В свою очередь,
II

Рис. 10. Рис. 11.
intS имеет пять компонент связности. Поскольку количество компо-
компонент связности S и intS не совпадает, то согласно теореме 1.3 мно-
множество S не является ф-объектом.
Точечное множество S, приведенное на рис. 4, состоит из мно-
множества Sx и отрезка S2. Sx представляет собой счетное объединение
эллипсов, большие полуоси которых равны, а малые таковы, что
каждая последующая вдвое меньше предыдущей. При этом S2 =
= clS1\S1. Множество intS линейно связно, поскольку intS=*
«intSp В свою очередь, clS не является линейно связным мно-
множеством и состоит из двух компонент линейной связности: множе-
множества St и отрезка S2. Таким образом, количество компонент линей-
линейной связности множеств clS и intS не совпадает, а значит, соглас-
согласно теореме 1.3 множество S не ф-объект.
Теорема 1.4. ^-объект имеет не более чем счетное семейство
компонент связности (линейной связности).
Доказательство. Для определения мощности семейства ком-
компонент связности ф-объекта достаточно согласно теореме 1.3 огра-
ограничиться рассмотрением открытого ф-объекта. Ясно, что компонен-
компонента связности открытого ф-объекта — открытое множество. Выбе-
Выберем в каждой компоненте связности по одной точке. Для всякой
из этих точек можно указать окрестности, полностью лежащие
в соответствующей компоненте связности. Возьмем в каждой из
этих окрестностей по одной точке с рациональными координа-
координатами. Это всегда возможно в силу сепарабельности пространства.
Множество точек с рациональными координатами счетно. Поэтому
множество компонент связности ф-объекта будет не более чем счетно.
Аналогично рассматривается случай линейной связности.
На рис. 12 приведен ф-объект, имеющий счетное семейство ком-
компонент связности и состоящий из счетного числа транслян-
тно равных [153] множеств.
Теорема 1.5. Ограниченный ^-объект имеет конечное число ком*
понент связности.
и

Доказательство. Ком-
Компоненты связности открытого
Ф-объекта разбивают его, с
одной стороны, на открытые
подмножества (в силу дока-
доказательства теоремы 1.4), ас
другой — на замкнутые под-
подмножества (в силу связности
компонент). Вместе с тем Рис 12.
компоненты связности замкну-
замкнутого ф-объекта также разбивают его на открыто-замкнутые подмно-
подмножества.
Пусть {Si} — семейство компонент связности замкнутого ф-объек-
ф-объекта. Согласно теореме 1.4 оно не более чем счетно. Покажем, что
семейство {SJ не может быть счетным. Из каждой компоненты {Si}
выберем по произвольной точке Xi и рассмотрим последовательность
{я,}. Если семейство {Si} счетно, то последовательность {xj беско-
бесконечная. Поскольку множество
S=»US, A.1)
i
ограничено в R2 и замкнуто, то последовательность {xt} сходится к
пределу x£S. В силу представления A.1) точка х принадлежит не-
некоторому множеству S/ и является предельной точкой множества
S\S/, так как все подпоследовательности сходящейся последовательнос-
последовательности имеют один и тот же предел. Но х§ 5\5/, т. е. множество 5\S/
не замкнуто, а множество S/ не открыто, что не имеет место. Та-
Таким образом, ограниченный ф-объект не может иметь счетного се-
семейства компонент связности. Тот факт, что ограниченный ф-объект
может иметь конечное число компонент связности, очевиден. В ка-
качестве иллюстрации к теореме 1.5 приведем множество, изображенное
на рис. 5. Оно является ф-объектом, поскольку ограничено, а семей-
семейство компонент связности счетно.
Теорема 1.6. Компонента связности ^-объекта линейно связна.
Доказательство этой теоремы имеется в работе [127].
Следствие 1.6.1. Компоненты связности и линейной связности
Ф-объекта совпадают.
Следствие 1.6.2. Ограниченный ф-объект имеет конечное семей-
семейство компонент линейной связности.
Вернемся к точечному множеству, изображенному на рис. 4. Ранее
показано, что оно не является ф-объектом, так как это противоречит
теореме 1.3. Вместе с тем компоненты связности и линейной связности
этого множества не совпадают, что противоречит следствию 1.6.1.
Теорема 1.7. Если замкнутый (открытый) ц-объект п-связен
[5], то соответствующий ему открытый (замкнутый) ^объект
также п-связен.
Доказательство теоремы вытекает из того, что гомотопически
эквивалентные пространства имеют изоморфные фундаментальные
группы [152].
13

Рассмотрим точечное множество, изо-
изображенное на рис. 13, для которого
выполняется требование А1. Однако
внутренность этого множества односвяз-
на, а замыкание четырехсвязно, т. е.
это не ф-объект.
В общем случае использование опре-
определения гомотопического типа не позво-
позволяет сделать вывод о выполнимости
требования А2 для точечного множества.
Кроме того, изоморфизм фундаменталь-
фундаментальных групп является необходимым, но
рис 13. недостаточным условием выполнения тре-
требования А2. Поэтому для дальнейшего
исследования свойств ср-объектов воспользуемся понятием локальной
связности [16, 50].
Лемма 1.2. Свойство локальной связности сохраняется при преоб-
преобразованиях гомотопической эквивалентности.
Доказательство этой леммы имеется в работе [127].
Теорема 1.8. ^-объект является локально связным множеством»
Рассмотрим сначала открытый ф-объект. Чтобы указать фунда-
фундаментальную систему связных окрестностей, достаточно выбрать после-
последовательность шаров в R2, радиусы которых стремятся к нулю.
В то же время, поскольку свойство локальной связности в силу
леммы 1.2 сохраняется при преобразованиях гомотопической эквива-
эквивалентности, то замкнутый ф-объект также локально связен.
Теорема 1.9. Всякое ограниченное бесконечносвязное точечное
множество пространства R2 не является у-объектом.
Доказательство этой леммы имеется в работе [127].
Приведенное на рис. 5 множество является ограниченным беско-
нечносвязным множеством без одноточечных компонент линейно связ-
связной границы. На рис. 6 изображено ограниченное бесконечносвязное
множество, имеющее одноточечные компоненты линейно связной
границы. Как следует из теоремы 1.9, эти точечные множества
не ф-объекты.
Важным классом ф-объектов как точечных множеств в пространстве
R2 является класс ф-многоугольников [70].
Определение 1.2. ф-многоугольником называется ф-объект, граница
которого состоит из конечного числа прямых или лучей.
Отметим, что ф-многоугольник, вообще говоря, не является много-
многоугольником и наоборот. На рис. 14 приведены многоугольники, не яв-
являющиеся ф-многоугольниками, а на рис. 15 — ф-многоугольник, не яв-
являющийся многоугольником.
При рассмотрении точечных множеств пространства /?3, удовлетво-
удовлетворяющих требованиям А1 и А2, оказывается, что непрерывные
компоненты линейной связности границы могут иметь самопересечения.
Точечное множество, приведенное на рис. 16, состоит из объединения
«ущемленного» тора и шара с двумя коническими отверстиями. Это
множество канонически замкнуто, а его внутренность и замыкание
14

имеют один и тот же гомотопический тип (кольца), т. е. требования
А1 и А2 выполняются. Вместе G тем данное множество имеет само-
самопересечение границ. Для того чтобы исключить такие случаи, для
точечных множеств пространства R* понятие ф-объекта вводится сле-
следующим образом [127].
Определение 1.3. Непустое точечное множество S cz R3 называ-
называется ф-объектом, если
Al) S — канонически замкнутое или канонически открытое мно-
множество;
А2) внутренность и замыкание имеют один и тот же гомотопи-
гомотопический тип;
A3) в любой точке x£clS существует окрестность Uxczc\Sy
такая что int Ux и cl Ux имеют один и тот же гомотопический тип.
15-

Рис. 15.
Рис. 16.
Требование A3 позволяет исключить случаи самопересечения гра-
границ точечных множеств, так как внутренность и замыкание окрест-
окрестностей точек самопересечения границ имеют различные гомотопичес-
гомотопические типы. Для точечных множеств пространства R2 требования А2
и A3 эквивалентны. Поскольку при доказательстве теорем 1.1—1.9
не используются свойства jR2, отличные от /?3, то соответствующие
утверждения справедливы для ф-объектов пространства /?3.
Заметим, что и совокупность ф-объектов как система точечных
множеств не является замкнутой относительно теоретико-множественных
операций. На рис. 17 изображены два ф-объекта в/?2, на рис. 18 заштри-
заштрихованы их объединение и пересечение, а на рис. 19 — разность и симме-
симметрическая разность. При этом на рис. 18, б пересечение ф-объектов пред-
представляет собой кривую, а штриховой линией отмечены их контуры. Ясно,
что ни одно из полученных точечных множеств не является ф-объектом.
ф-объекты как точечные множества могут находиться в определен-
определенных отношениях между собой (пересекаться, касаться, быть на опре-
определенном расстоянии друг от друга). Введем следующие определения.
Определение 1.4. Точечные множества Sx и S2 пересекаются, если
х)ни имеют общие внутренние точки, т. е. intSx П intS2=^ 0.
Определение 1.5. Точечные множества Sx и S2 касаются, если они
4шеют общие только граничные точки.
Определение 1.6. Точечные множества Sx и S2 пространства R нахо-
находятся на расстоянии г, если точечные множества St ф г В и 52 каса-
касаются. Здесь ф — операция суммы по Минковскому [153], а В — еди-
единичный шар пространства R. Как следует из определения, если
точечные множества Sx и S2 находятся на расстоянии г} то
P(SV S2) « min p(xt у)*-г. A.2)
16

Отметим, что определение 1.5, вооб-
вообще говоря, обобщает известное в диффе-
дифференциальной геометрии понятие касания
[95] гиперповерхностей. Необходимость в
таком обобщении следует из того, что
не во всех точках границы точечных
множеств можно указать касательные
гиперплоскости.
Однако корректно использовать дан-
данные определения для произвольных то-
точечных множеств не всегда представ-
представляется возможным. В этом смысле выде-
выделение класса ф-объектов имеет принци-
принципиальное значение. Поясним сказанное.
На рис. 20, а, б изображены два произвольных точечных множества
St и S2, не являющихся ф-объекгами, а на рис. 20, в — такое вза-
взаимное расположение St и S2, при котором они согласно определе-
определениям 1.4—1.6 не касаются, не пересекаются и не находятся на
каком-либо расстоянии друг от друга. Ясно, что сужение класса
точных множеств до класса ф-объектов позволяет исключить ука-
указанные случаи.
Рис. 17.
1.2. Понятие геометрической информации
Всякий ф-объект обладает вполне определенной прост-
пространственной формой, имеет заданные метрические характеристики,
занимает некоторое положение в соответствующем пространстве R1.
Указанные характеристики задают так называемую геометрическую
информацию [124, 126] о ф-объекте.
В понятие геометрической информации включается:
совокупность пространственных форм {s}\
а
\
Рис. 18,
2 5-1343
17

st\s2
a
Рис. 19.
метрические характеристики {т}, определяющие «размеры» точеч-
точечных множеств, имеющих формы из {s}\
параметры {/?}, задающие местоположение точечных множеств
в соответствующих пространствах.
Тогда геометрическую информацию представим в виде
g =
}, {/>}).
Пространственные формы {s} представляют собой множества,
элементами которых являются классы эквивалентности на совокупности
любых точечных множеств в соответствующих линейных метрических
пространствах. В качестве примеров пространственных форм укажем
следующие классы эквивалентности: отрезок, окружность, сфера,
симплекс, конус, цилиндр, эллипс и т. д. Ясно, что мощность мно-
множества пространственных форм, участвующих в формировании набора
точечных множеств в векторных пространствах, может быть произ-
произвольной. Например, если рассматривать точечные множества R2f
имеющие формы многоугольников, то множество таких форм будет
счетно (каждой форме ставится в соответствие число вершин много-
многоугольника). Если рассматривать подобные точечные множества, то {s}
состоит из одной компоненты. Если же в качестве множества {s}
выступают пространственные формы, которыми обладают гладкие
многообразия в R2(R3), то мощность {s} — континуум.
Заметим, что совокупность возможных форм точечных множеств
существенно определяется тем, в каких пространствах эти множества
рассматриваются. Например, точечные множества в топологических
пространствах различаются лишь своим гомотопическим типом и их
IS

У
и
можно отличать только по числу компонент связности, линейной
связности, связности границы и т. д. В метрических же пространствах
совокупность форм шире. Выделенный класс ф-объектов, естественно,
сужает разнообразие форм.
Для того чтобы различать множества, имеющие одну и ту же
пространственную форму, необходимо знать их метрические характе-
характеристики. Метрические характеристики {т} можно разбить на два
вида: {/Их}, {т2} — соответственно метрические характеристики, задаю-
задающие локальные свойства точечных множеств и свойства точечных
множеств в целом. Так, в качестве компонент {ш^) могут выступать,
например радиус кривизны части границы множества, порядок сопри-
соприкосновения границ множеств, а {т2} — площадь поверхности, центр
тяжести, диаметр множества и т. д.
ф-объект S определенной формы у
с заданными метрическими харак-
характеристиками способен занимать то
или иное положение в некотором
пространстве R. Пусть R — ев-
евклидово пространство. Тогда, осу-
осуществляя аффинные преобразова-
преобразования типа трансляции и поворота,
ф-объект 5 будет менять свое по-
положение относительно нуля этого
п4 остранства Это положение опре-
определяется параметрами {р} ф-объек-
ф-объекта S.
В качестве элементов компо- о х, х
ненты {р} выбираются параметры,
характеризующие положение собст-
собствен ной системы координат ф-объек-
ф-объекта S относительно нуля пространства R. Начало собственной системы
координат называется полюсом ф-объекта. В качестве полюса может
быть взята произвольная внутренняя точка множества S. Однако
полюс обычно выбирается исходя из удобств задания метрических
характеристик 5. Так, для центрально-симметричного ф-объекта полюс,
как правило, совпадает с центром симметрии. Если ф-объект 5 сим-
симметричен относительно некоторой оси, то с ней совмещается ось
собственной системы координат ф-объекта 5.
Компонента {р} в общем случае вкл чает в себя и углоЕые пара-
параметры, характеризующие ориентацию точечного множества в соответ-
соответствующем пространстве. В дальнейшем элементы компоненты {р}
назовем параметрами размещения ф-объекта [124, 128].
Пример 1.1. Метрической характеристикой точечного множества
S в пространстве /?2, имеющего форму квадрата (рис. 21), является дли-
длина / стороны этого квадрата, а его положение на плоскости определяется
тремя параметрами: координатами хг, ух полюса Ох и углом 0Х между
осью абсцисс собственной системы координат х'Оху' и осью абсцисс
системы координат хОу. В этом случае {s} = {квадрат}, {т} = {/},
= {*i, Уц 6i}.
Рис. 21.
2*
19

Рис. 22
Всякая геометрическая информация g в пространстве R индуци-
индуцирует точечное множество (или набор точечных множеств), определя-
определяемое численными значениями элементов компонент {т} и {р}, а также
формой {s}. Причем этой информации достаточно для описания гео-
геометрической структуры, которая была бы математической моделью
всякого материального объекта. В дальнейшем, если не оговорено
противное, предполагается, что геометрическая информация индуци-
индуцирует только замкнутые множества.
Одна и та же геометрическая информация позволяет индуцировать
точечные множества заданной формы нескольких видов: нигде не плот-
плотные множества и множества, не являющиеся нигде не плотными.
Во втором случае компонента {s} может задавать форму как множе-
множества S, так и его дополнения. Поясним сказанное на примере.
Пример 1.2. Пусть компонента {s} информации g состоит из
двух элементов: квадрата и окружности. Тогда в R2 эти элементы
будут индуцировать точечные множества вида квадрата и окружности
(рис. 22, а), либо не являющиеся нигде не плотными множествами в виде
объединения квадрата и круга (рис. 22, б), либо квадрата с вырезан-
вырезанным кругом (рис. 22, в), либо дополнение до /?2 последнего множе-
множества (рис. 22,г) и т. д.
Неопределенность геометрической информации g нетрудно устра-
устранить. Так, полагая, что компонента {т} включает в себя радиус
окружности —г, будем считать, что информация индуцирует множе-
множество с «вырезанным» кругом, т. е., как на рис. 22,в. Если перед
метрическими характеристиками стоит знак «плюс», то индуцируется
множество, приведенное на рис. 22,6, и т. д. Отсутствие знаков при
метрических характеристиках показывает, что информация индуци-
индуцирует нигде не плотные множества. Однако поскольку класс точеч-
точечных множеств нами сужен до ф-объектов, то нигде не плотные мно-
множества и множества с нигде не плотными составляющими исключа-
исключаются из рассмотрения.
Для уточнения того, какие множества индуцируются заданной
геометрической информацией, необходимо присвоить соответствующие
знаки метрическим характеристикам {т}.
Одни и те же точечные множества, вообще говоря, определяются
информацией разного вида. Например, треугольник в /?2 можно за-
20

дать информацией, метрические характеристики которой — координаты
вершин в собственной системе координат, а элементы {/?} — пара-
параметры размещения треугольника. Этот же треугольник задается сово-
совокупностью отрезков, метрические характеристики которых — длины
отрезков, а элементы {р}— параметры размещения отрезков. Еще
информацию можно задать с помощью отрезка, как элемента {/?};
длины отрезка и величины прилегающих к нему углов, как элемен-
элементов {т}\ параметров размещения отрезка, как элементов {/?}. Более
того, можно задать информацию о данном треугольнике так, чтобы
компонента {т} была пуста: {$} = {треугольник}', {т} = 0, {р} =
= {координаты вершин треугольника относительно неподвижной си-
системы координат). И так далее. Ясно, что все указанные информа-
информации индуцируют одно и то же точечное множество.
Определение 1.7. Информации g1 и g2 называются тождественными,
если индуцируют в одном и том же пространстве одинаковые точеч-
точечные множества.
Тождественные информации обозначим g1^g2-
Пример 1.3. Прямая ax+by + с в пространстве R2 однозначно
определяется информацией
gi = ({прямая}, {а, 6, с}, {0}),
которая тождественна следующей:
g* = ({прямая}, {0}, {*!, ylt 6J),
где хг, ylt 0! — параметры размещения прямой. Воспользовавшись
уравнением прямой в отрезках
а'х+Ь'у+ 1 =0,
где а' = а/с у Ь' = Ь\с, информации gx и g2 можно тождественно пре-
преобразовать к виду
g-3 = ({прямая}, {а\ Ь'}, {0}). A.3)
Итак, g1=*g2^g3.
Некоторые компоненты геометрической информации g = ({5), {т},
{/?}) могут быть не фиксированы и принимать свои значения из за-
заданного множества, что порождает соответствующие классы эквива-
эквивалентности точечных множеств.
Определение 1.8. Информации gx и g*2 называются эквивалентными,
если они индуцируют в одном и том же пространстве одинаковые
с точностью до собственных конгруэнтных преобразований точечные
множества.
Эквивалентные информации обозначим gx со g2.
Ясно, что если gr sg, то g1 со g%. В то же время, как следует
из определения 1.8, не тождественные эквивалентные информации
порождаются только в результате изменения элементов компоненты
{р}. Если же компонента {р} фиксирована, то из эквивалентности
информации gx и g2 вытекает их тождественность.
Пример 1.4. Рассмотрим информации
#i = ({окружность}, {+1}, {0, 0}),
gt*= ({окружность}, {+1}, {3, 2}),
£1

индуцирующие в R2 соответственно ф-объекты St и S2, приведенные
на рис. 23. Пусть также
g3 = ({эллипс}, {+1, +1}, @, 0}).
Тогда gt со g2 и gi == g3.
Заметим, что выбор информации g о ф-объекте из множества
всевозможных эквивалентных и тождественных информации осуще-
осуществляется исходя из простоты ее задания и зависит от конкретно
поставленной задачи.
Порождение эквивалентных и тождественных информации обуслов-
обусловливается прежде всего взаимосвязью их компонент. Если некоторые
компоненты информации не
фиксированы заранее, то эта
взаимосвязь значительно уси-
усиливается. Так, например из-
изменение метрических характе-
характеристик {т} может привести
к преобразованию формы ф-
объекта (в примере 1.4 равен-
равенство элементов компоненты
{т} информации g3 по су-
существу привело к тому, что
форма эллипса преобразова-
1? 2 з х\ лась к частному случаю —
форме окружности). В свою
очередь, компоненты {т} и
{/?} связаны с определенными
Рис. 23. пространственными формами.
Поэтому изменение формы
влечет за собой изменение как состава, так и количества элементов
компонент {т} и {р}. Этот факт, в частности, иллюстрируется то-
тождественными информациями gx и g2 примера 1.4.
Взаимосвязь компонент информации g = ({5}, {т}> {р}) можно
проиллюстрировать следующим образом. Известно, что носителем
компоненты {$} является ф-объект. Вместе с тем граница этого ф-
объекта тоже определяет его форму. Пусть задано уравнение грани-
границы ф-объекта в собственной системе координат OXZ'
/(Z') = 0, A.4)
причем точки Z', принадлежащие ф-объекту, и только они удовлет-
удовлетворяют неравенству
f(Z')>0. A.5)
Определение 1.9. Уравнение A.4) называется каноническим урав-
уравнением связного неограниченного ф-объекта, если для всех его точек
справедливо неравенство A.5).
Замечание. Это определение, вообще говоря, не совпадает с клас-
классическим определением [4] канонического уравнения для квадратичной
формы f(Z'). Поэтому в данном случае будем, как правило, пользо*
ваться классическим определением.
22

Определение 1.10. Уравнение A.4) называется каноническим урав-
уравнением связного ограниченного ф-объекта S, если его точки удовле-
удовлетворяют неравенству A.5), а для координат полюса справедливо
равенство
/(Z")= max/(Z').
Z'€ int S
Замечание. Если ф-объект не связен, то определение его канони-
канонического уравнения аналогично. Отличие состоит в выборе точки по-
полюса, которая определяется из соображений удобств записи уравне-
уравнения A.4).
Итак, каноническое уравнение ф-объекта характеризует его фор-
форму. В свою очередь, в это уравнение входят постоянные, являющие-
являющиеся метрическими характеристиками ф-объекта.
Пример 1.5. Рассмотрим эллипс с полуосями а и Ь в простран-
пространстве R2. Тогда Zx = (xlt уг), а функция f(ZL) имеет вид
х2 и2
f(Z.) = I—-i —у.
/VI/ а2 £2
Таким образом, каноническое уравнение эллипса запишется так:
Ясно, что уравнение A.6) одновременно носитель формы и носитель
метрических характеристик, а именно: {$} = {эллипс}, {т} = {а, Ь).
Пусть {р} = {uf v} — параметры размещения ф-объекта S cz Rny
где и — вектор координат полюса, a v — Еектор угловых параметров.
Запишем уравнение ф-объекта 5 относительно неподвижной системы
координат OZ, использоЕав каноническое уравнение этого ф-объекта
F(Z, и, v) = f[A{Z-u)]~0, A.7)
где А — ортогональный оператор, Еыраженный через угловые пара-
п(п-\)
метры v1, v2, ... , v 2 .
Определение 1.11. Уравнение A.7) называется уравнением общего
положения [128] ф-объекта SczRn.
Пример 1.6. Уравнение общего положения эллипса в /?2 имеет
вид
1 \(х — хх) cos 9f + (у - ух) sin 6x1»
[— (х — *i) sin Qj + (у — уг) cos e^2 dQ
Заметим, что положив хг ■« ух =» 0г ■■ 0, получим каноническое урав-
уравнение эллипса A.6).
Итак, как показано выше, геометрическая информация g в общем
случае задается тремя компонентами {s}> {m}y {/?}. Компонента {$}
всегда не пуста, в то время как компоненты {т} и {р} могут быть
пусты. Упорядочим элементы компонент {$}, {т} и {р} следующим
23

образом. Пусть {$} = {s1, а2, ... , sn, ...}. Тогда {т} — {т\
т2, , т\ ..}, {/?} = {р\ р2, ... , р«, . ..}, где т( и /?' —
группы элементов, относящиеся к элементу s*9 i = 1, 2, . . , я, . ..
Разобьем множество ср-объектов на два класса: к первому классу
отнесем ср-объекты, имеющие конечное число метрических характерис-
характеристик {т}, а ко второму — остальные. Обозначим через Ч множество
всех элементарных функций и их композиции, кроме функций вида
г
,ха) V , где г — четное. Пусть я|э £ W. Тогда равенство
•ф(я) = 'ф(х1, *а, .. . , хп) = 0
задает множество точек X cz Rn, являющихся граничными для неко-
некоторого точечного множества SczRn. Таким образом, всякая функция
из ¥ определяет FrS.
Осуществим классификацию пространственных форм, носителями
которых являются точечные множества с конечным числом элементов
компоненты {т}.
Определение 1.12. Пространственная форма называется простой,
если ее носителем является ср-объект, имеющий при любых 1{)
т1 ^=0 линейно связную границу, определяемую функцией
Из этого определения следует, что все замкнутые носители про-
простой пространственной формы, если они ограничены, гомеоморфны зам-
замкнутому диску. Кроме того, поскольку всякий ф-объект с линейно
связной границей линейно связен, носителем простой пространствен-
пространственной формы всегда является линейно связный ф-объект. Вместе с тем
линейно связный ф-о5ъект будет носителем простой пространственной
формы только тогда, когда линейно связна его граница. В качестве
примеров простых пространственных форм укажем в пространстве R2
окружность, эллипс, параболу, а в пространстве R3 — сферу, тор,
цилиндр, полупространство, эллипсоид.
Определение 1.13. Пространственная форма называется псевдо-
псевдопростой, если ее носителем является ф-объект, граница которого имеет
конечное число компонент связности и определяется функцией iKlF,
причем при любых т1 £ {т}, т1 Ф 0 число компонент связности гра-
границы постоянно, а сам ф-объект или его дополнение до всего про-
пространства связен.
Рассмотрим полосу ширины 2ft в пространстве R2. Это точечное
множество является ф-объектом, граница которого при ft Ф 0 имеет
две компоненты связности. Каноническое уравнение полосы в системе
координат примет вид
Л2-(*/'J = 0,
а уравнение общего положения записывается следующим образом:
Л2 — [(У — Уд cos 0Х — (х — xj sin GJ2 «= 0,
где xl9 ylt 0i — параметры размещения.
Таким образом, полоса имеет псевдопростую пространственную
форму, а геометрическая информация о полосе задается так!
g = ({полоса}, {Л}, {х19 у19 GJ). A.8)
24

Эту информацию можно рассматривать шире, пользуясь указан-
указанными в начале параграфа соображениями и полагая, что если перед
h поставлен знак «плюс», то в R2 индуцируется собственно полоса,
а если поставлен знак «минус», то—дополнение полосы до R2.
Определение 1.14. Пространственная форма называется элементар-
элементарной, если ее носителем является всякое точечное множество, граница
которого определяется функцией i|; ^ 4я.
Таким образом, всякая простая и псевдопростая пространственные
формы являются элементарными. Однако класс элементарных прост-
пространственных форм шире, чем классы простых и псевдопростых форм.
Это связано с тем, что в качестве носителей элементарной простран-
пространственной формы выступают точечные множества, необязательно яв-
являющиеся ф-объектами. Носители элеме тарных пространственных
форм, не являющихся простыми и псевдопростыми, при изменении?
метрических характеристик геометрической информации могут изме-
изменять как свой порядок связности, так и порядок связности своих
границ.
Определение 1.15. Все пространственные формы, не являющиеся
элементарными, называются составными.
В качестве примеров точечных множеств, обладающих составными
пространственными формами, приведем несвязные ф-объекты, каждая
из компонент связности которых имеет элементарную пространствен-
пространственную форму; ф-объекты с линейно связными границами, определяемы-
определяемыми каноническими уравнениями, в которые входят функции из Чгг
взятые по модулю.
Таким образом, все множество пространственных форм, носителе
которых имеют конечное число метрических характеристик, разбива-
разбивается на множества элементарных и составных пространственных форм.
Определение 1.16. Информация g*({$}, {tri}> {р}) называется ка-
канонической, если компонента {$} состоит из одного элемента, пред-
представляющего собой элементарную пространственную форму.
В примерах 1.3 и 1.4 точечные множества задаются канонически-
каноническими информациями. В свою очередь, в примерах 1.1 и 1.2 информации
не канонические, поскольку в первом случае пространственная форма
точечного множества (квадрата) не является элементарной, а во вто-
втором компонента {$} состоит из двух элементов.
—~^ Каноническая информация в одном и том же пространстве R при*
фиксированных значениях элементов компонент {т} и {р} индуци-
индуцирует единственное точечное множество «S. И наоборот, всякому то-
точечному множеству S в пространстве R> которое задается конечным
числом метрических характеристик и имеет элементарную простран-
пространственную форму, соответствует единственная с точностью до эквива-
эквивалентности информации информация g.
1.3. Пространства канонических информации
Рассмотрим каноническую информацию gc = ({$}, {т}^
{р}), элементы компонент {т} и {/?} которой могут принимать про-
произвольные значения. При фиксированных {т} и {р} информация g:
2S

порождает точечное множество (ф-объект) S пространства R1. Пусть
<3 — множество всевозможных канонических информации, компоненты
\s} которых совпадают, а элементы компонент {т} = {тх, т2, ...
. .. , mk) и {р} = {р1У р2, ... , pi) — произвольные действитель-
«ые числа. Обозначим элемент g£G так:
g = ({*}. {mL, т2, ... , mk}t {pv р2, ... ,
Поскольку в общем случае каждый элемент компонент {т} и {р}
принимает значения на множестве мощности континуум, а число всех
элементов этих компонент конечно, то, очевидно, мощность множе-
множества G — континуум.
Введем на множестве информации G операции сложения и умно-
умножения на число к соответственно следующим образом. Пусть
g"i = ({s}> {m\, ml ... , ml}, {p\, pi ... , />}}),
g2 = ({5}, {m2v ml ... , ml}, {pi pi ... , />?}).
Тогда
{^1 + ml m\ + ml ... , ml + ml),
pl Pl+Pl .. . P\ +P2t})>
Нетрудно проверить, что введенные таким образом на множестве
</ операции сложения и умножения на число порождают линейное
пространство Gn, п = k + / с п линейно независимыми элементами.
Так как все элементы пространства Gn имеют одну и ту же компо-
компоненту {$}, то в дальнейшем вектор g£Gn будем обозначать так:
g = (mlf m2, ... , mk, р19 р2, ... , pt).
Вводя на линейном пространстве Gn скалярное произведение
(eri, вг.) = S m\m\ + S p)p), A.9)
получаем пространство канонических информации G?, n = k -\- ty ко-
которое, очевидно, изоморфно арифметическому евклидовому простран-
пространству Rn.
Скалярное произведение вида A.9) задает в пространстве Gnc норму
II «г II - VisTe) - к 2( («/)' + S( (Рд2
« метрику
P(«ri. ft) = llft-ftll - [
Кроме того, если информация, порождающая пространство Go не
включает в себя угловые параметры, то скалярное произведение A.9)
26

вадает метрику и на множестве 9R ф-объектов, индуцируемых в про-
пространстве R1 элементами G", т. е. для
1/2 П ]Q\
1=1 /=Г" '
Рассмотрим некоторые подпространства пространства G?. Пусть
базисной ортонормальной системой элементов в этом пространстве
является набор е1У е2, ... , еп. Возьмем произвольное подпростран-
подпространство Gnc~~x с базисной системой элементов е19 в2, ... , в[9 et+2* - • •
... , еь . .. , еПУ в котором всегда nij+i = 0. Ясно, что всякая
точка g^Gc~~l индуцирует в пространстве R1 некоторое точечное
множество, которое, вообще говоря, может иметь пространственную
форму, отличную от {$}. Очевидно, такая же ситуация возможна
для подпространств G"~v, v<ik с базисной системой элементов е19
2 £ f + ... 9 еп-
Таким образом, может оказаться, что информация g^Gnc индуци-
индуцирует точечное множество в пространстве R1, которое не будет соб-
собственно точечным множеством, имеющим пространственную форму
{s}. Это значит, что в общем случае пространство G? значительно
шире, чем требуется для описания любых точечных множеств в прост-
пространстве R1, имеющих пространственную форму {$}. Поэтому будем
отличать собственные точечные множества и несобственные точечные
множества с пространственной формой {s} в пространстве R1. Соот-
Соответственно будем называть собственной или несобственной информа-
информацию g\ индуцирующую указанные точечные множества. Такое деле-
деление осуществим на основании следующих признаков: если все элементы
компоненты {т} не равны нулю, т. е, nti Ф 0, /=1, 2, ... , /?,
то информация g является собственной информацией, индуцирующей
собственное точечное множество в R1: если один или более из эле-
элементов компоненты {т} равны нулю, то информация g является не-
несобственной информацией, индуцирующей несобственное точечное мно-
множество в пространстве R1.
Подпространство Gn~k с базисной системой элементов е^+ь £&+г>. • •
... , еп не представляет ни практического, ни теоретического интереса.
Действительно, каждая точка этого пространства индуцирует Есе то-
точечные множества, имеющие пространственную форму {$} и одни
и те же параметры размещений.
Если элементами компоненты
{Pl> Pv . - - . PU Pl+U • • • , Pi}, t = 1-
информации gc являются угловые параметры размещений р/+ь
/?/_1_2' • • • » Pt* то использование пространства G", порождаемого ин-
информацией gc = ({s}> {т}у {р})> вызывает определенные трудности.
27

Это объясняется тем, что угловые параметры размещений в силу
своего нелинейного характера либо вообще теряют смысл, либо яв-
являются характеристическими. Покажем это. Положим ffii = tn*, pt =
= /?*, *'= 1, 2, ... , /, /?/+i = 2лл, где п — любое целое число и
рг+1 = О, / = 2, 3, ... , t — /. Возьмем следующие элементы glt
gi = {т*> "**> • • • » "**> P*i> pj, • • • i />?» 0, 0, ... , 0),
g2 = (m?, m%, ... , m*, /??, pt ... . P?» 2зхп, 0, ... , 0).
Ясно, что при любых mi9 i = 1, 2, ... , fe:
а значит, и
S2) = 2nj/z|. A.11)
Таким образом, с одной стороны, точечные множества Sx и 52, ин-
индуцируемые соответственно информациями gx и g2 в пространстве
Rry совпадают, а с другой — расстояние psgj(Sx, 52) согласно A.11)
может быть сколь угодно большим.
Положим
i$> m% ... , mt у, 0, ... , Oj,
ff2 == V"*l> *#2> •••> *#fe> U, U, ••» > Ч)'
Тогда
я
и, следовательно,
/О С \ п
PgjJ^i' ^2) = ~2 -
В данном случае угловой параметр рг+\ является не определяю-
определяющим, т. е. вне зависимости от метрических характеристик точечных
множеств 5Х и S2 величина pgjj(S1, 52) постоянна.
Ясно, что пространства G", аналогичные описанному, интереса не
представляют. Их можно исключить из рассмотрения, осуществив
специальным образом отображение А пространства G" на пространство
Gc, h < п. Оператор А при этом должен быть определен всюду на
пространстве G", непрерывным bG? и осуществлять отображение,
ставящее в соответствие всякому элементу g£Gnc единственный эле-
элемент q С Ghc.
В свою очередь, пространству G% соответствует совокупность то-
точечных множеств 3R, имеющих одну и ту же пространственную фор-
форму. При этом скалярное произведение
23

задаваемое выражением A.9), порождает метрику не только в прост
ранстве G?, но и на множестве SR:
PaR(S1> S2) = Y(q1 — q2, qx — q2) = II tfi — #2 II = У Aqt — Aq21|.
Если
то точечные множества Sx и S2, порождаемые соответственно инфор-
мациями #х и q2, поточечно совпадают.
Выбор конкретного вида оператора А зависит от рассматриваемо-
рассматриваемого класса точечных множеств, способа задания его геометрической
информации и других особенностей конкретной задачи.
Заметим, что отображение А в общем случае влияет не только
на угловые параметры. Если информация
# = ({$}, {т}, {р}) = ({5}, {т}, {vv v2, ... , vi,
А А А П „ /(/-О
индуцирует точечное множество в пространстве Rl, 9t- — угловой па-
параметр, то в дальнейшем будем иметь в виду, что
£ = 4g* =({$}, {т}, {vlf v2t ... , vh ft(Q1$ m\
/а(ва, /^), ... , /aFa, m))Y A.12)
где /J6t-, /n), f = 1, 2, ... , a — функции, реализующие оператор Л.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1.7. Пусть исходная каноническая информация имеет
вид
g = {{окружность}, {г}, {р1У р2}) A.13)
и порождает пространство G^, элементами которого являются векторы
(f» Pi» Рг)- Если г>0, то вектору (г, /?х, р2) соответствует круг
радиуса г с параметрами размещения рх и /?2, а если г<0, то —
дополнение круга до всего R2.
Рассмотрим элементы gv g2£G3c следующего вида: ^ = A, 0, 0),
g2 = B, 1, 1). Приведем в пространстве R2 множества, индуцируе-
индуцируемые информациями
firi+g'2 = C, 1, 1),
Si— g>2=3(— 1. —It —О»
(-l)ft = (-2, -1, -1).
С учетом знака элементов компоненты {/п} эти множества изобра-
изображены на рис. 24.
Отметим, что информация g*3 + g*2 индуцирует точечное множе-
множество, являющееся суммой Минковского кругов радиусов 1 и 2, а ин-
29

О ос
Vl.
что
в
Рис. 24.
формация g2 — gi индуцирует в R2 точечное множество, являющееся
разностью Минковского [153] кругов радиусов 2 и 1. С этой точки
зрения можно считать, что операции сложения и вычитания в прост-
пространстве Gc являются обобщением операций сложения и вычитания па
Минковскому. Действительно, это обобщение распространяется, на-
например при сложении «дырок» радиусов —тх и —г2\ при вычитании
«дырок» радиусов —гг и —г2; при сложении «дырки» и круга радиусов
—гг и г2, если г2>\гг\\ при вычитании кругов радиусов тх и г2,
если гг < г2; при вычитании «дырки» и круга радиусов —гг и г2 и т. д.
Согласно выражению A.10) множество всех кругов и «дырок» в
пространстве R2 может быть метризовано:
PaR(Slf Sf) =}/>, -r*J + (Pi-PiJ + (Pi-
В примере 1.7 угловые параметры не входили в геометрическую
информацию A.13). В следующем примере эти параметры неявно
участвуют в информации.
Пример 1.8. Пусть каноническая информация, имеющая вид
A.3), порождает пространство G?, элементами которого являются век-
векторы (а\ &'), индуцирующие в пространстве R2 всевозможные полу-
полуплоскости.
Укажем подпространства пространства G?, выбрав в качестве ба-
базисной системы элементы ег и е2. Подпространство с базисной систе-
системой ех (е2) в качестве своих точек имеет информации, порождающие
в R2 всевозможные полуплоскости, границы которых параллельны
оси ординат Оу (абсцисс Ох) неподвижной системы координат хОу.
Таким образом, все подпространства пространства G? в качестве
своих элементов имеют собственные информации.
В дальнейшем, если речь идет о пространстве канонических информа-
информации, всегда имеется в виду пространство
30

т. е. пространство, полученное в результате отображения исходного
пространства G". При этом, естественно, не исключается случай, когда
оператор А тождественный.
В данном параграфе рассматривались пространства канонических
информации, изоморфные арифметическим евклидовым пространствам
соответствующего числа измерений. Вместе с тем все конечномерные
банаховы пространства одного и того же числа измерений изоморфны
между собой [55]. Поэтому по исходной геометрической информации
g* можно строить пространства, изоморфные всевозможным конечно-
конечномерным пространствам той же размерности, например изоморфные
пространствам Rpt /? = 0, 1, 3, 4, ...
1.4. Пространство информации
Рассмотрим канонические информации
^ = ({^}, {m1}, {р1}),
Г = ({s2}, {т2}, {р2}),
gn = ({*"}. {"**}> {Рп)Ъ
где в соответствии с A.12) р1 = (v[, vf2, ... , и/, 0/, 0^, ... , Q}a)y
a = l±zll9 Ц^!ц(т^ 6{).
Предположим, что информации g*1, g*2, .. . , gn индуцируют то-
точечные множества в пространстве R1 и порождают пространства ка-
канонических информации Gc\ Gc\ ... , Gkcn. Заметим, что некоторые
из информации в A.14) могут быть тождественными.
Построим пространство Gkc> как прямое произведение пространств
Gkc\ Gc\ ... , Gkc\ т. е.
Gkc = Gkc> xGh •-. xGkc\ k = kx + k2+ ... +kn.
Элементы пространства Gkc имеют вид
go = ({s\ s\ ... , sn}> m\ p\ m\ p2, ... , mn, pn).
Эта информация порождает пространство информации Gk, элементами
которого являются векторы
g = (m1, m2, ... , wrt, p\ p2, ... , pn).
Действительно, для этого достаточно установить взаимно одно-
однозначное соответствие между gc£Gkc и g£Gk следующим образом:
{т\ р\ т\ р\ ..., тп, рп)++(т\ т\ ..., тпУ р\ р\ ... , рп).
Всякое пространство Gcl по построению является подпространством
пространства Gk. Пространство Gk не будет каноническим, если era
порождают более одного пространства канонических информации.
31

Итак, в общем случае всякая точка g£Gk задает геометрическую
-информацию о наборе соответствующих точечных множеств, индуци-
индуцируемых этой информацией в пространстве R1.
Любой элемент g£Gk задает геометрическую информацию о то-
точечных множествах St; с= Rly i = 1, 2, . . . , п. С одной стороны,
она независима для каждого из точечных множеств Sit т. е. не ука-
указывает, в каких взаимных отношениях находятся точечные множества
Sv S2, ... , Sn. С другой стороны, использовав различного рода
отображения В точечных множеств Slf S2, . . . , Sny индуцируемых
информацией g£Gk, можно строить точечные множества разной
структуры, геометрическая информация gB о которых будет порож-
порождать пространство информации Gvb- В качестве примеров таких отоб-
отображений укажем аффинные преобразования, теоретико-множественные
операции, операции сложения и вычитания по Минковскому и т. д.
Пусть В— какое-либо из этих отображений, действующее из
пространства R1 в его подпространство Rh> h < L При этом отобра-
отображение В может быть суперпозицией конечного числа отображений
указанного вида. Возьмем произвольный элемент g£Gk, который
индуцирует набор точечных множеств SiczR1, /=1, 2, ... , п.
Отображение В преобразует точечные множества Slt S2, ... , Sn
в некоторое точечное множество SczR11,
S^B(Sly S2, ... , Sn), A.15)
заданное геометрической информацией gB, которая порождает прост-
пространство информации Gi. Очевидно, что в общем случае q Ф k. По-
Поскольку между точечным множеством и информацией, индуцирующей
это точечное множество, существует однозначное соответствие, то
в указанном смысле можно говорить, что отображение В в A.15)
отображает пространство Gk на пространство G%. В зависимости от
вида отображения В размерность пространства G% может быть равна,
больше или меньше размерности Gk.
Рассмотрим в качестве отображения В теоретико-множественные
операции: объединение, пересечение, разность, симметрическая раз-
разность.
Возьмем произвольный элемент g£Gk:
g = ({s\ s\ ... , s«}, {m\ m\ ... , mn}> {p\ p\ ... , p«}),
•который в пространстве Rl индуцирует набор точечных множеств Sv
52, ... , Sn. С помощью суперпозиции теоретико-множественных
операций можно построить точечное множество S cz Rl. Ограничимся
рассмотрением частного случая суперпозиции, а именно: композицией
теоретико-множественных операций:
n = B(Su S2, ... , Sn), A.16)
где % — некоторая теоретико-множественная операция.
.32

Точечное множество S czR* зададим геометрической информацией
#* вида
^ = ({s1*s2* .-• *sn), {m\ m2, ... , тп}>
{р\ р\ ... , />"}), A.17)
или аналогично соотношению A.16) запишем
Рассмотренный оператор 5 не изменяет ни метрических характе-
характеристик in1, m2, .. . , m", ни параметров размещения р1, р2, .. .
... , рп точечного множества. Кроме того, если я>1, простран-
пространственная форма s = s1%s2>k ••• 4сsn является составной.
В информации g* в первой компоненте указываются не только
пространственные формы s\ s2, ... , sn, формирующие простран-
пространственную форму точечного множества S, но и задается взаимодей-
взаимодействие их между собой. Другими словами, определяются отношения,
в которых находятся точечные множества, имеющие простые прост-
пространственные формы s1, s2, ... , sn. Таким образом, в общем случае
информация g% не является канонической. Она порождает некоторое
пространство информации G^, как правило, имеющее ту же размер-
размерность, что и исходное пространство G*.
Отметим, что с помощью теоретико-множественных операций на
основе канонических информации можно порождать весьма широкий
спектр пространств информации, элементы которых индуцируют раз-
разнообразные точечные множества.
Пример 1.9. Пусть
g-i= ({окружность}, {rj, {px, /?2}),
g2 = ({окружность}, {г2}, {р3, р4».
Тогда информация
порождает пространство Ge с элементами, индуцирующими в прост-
пространстве R2 множество наборов, состоящих из двух кругов, круга и
круговой «дырки», двух круговых «дырок».
Положим, что информация
g^=g1Ug2=({S1\jS2}t {Г19 rj, {Pl, p2, p3> Ра})
индуцирует пространство G^. Если в g^ координаты гг и га положи-
тельные и г1<г2, то эта информация индуцирует в R2 точечные
множества, аналогичные изображенным на рис. 25. Вид этих мно-
множеств, очевидно, зависит от параметров р19 р2У р3» /*4« П° аналогии
соответствующие точечные множества в 7?2 можно построить при
других знаках гг и г2.
Определение 1.17. Будем говорить, что элементы пространства G*
задают единую геометрическую структуру, если задан оператор В>
зз

У
I
- 1
\
\
У
ЧЪ
1
Рис. 25.
и все составляющие компоненты {т} не равны нулю, т. е. тсф0,
i= 1, 2, ... , л.
Укажем основные свойства пространства G*.
Свойство 1. Все пространства G* независимо от оператора В вида
A.16) — A.17) изоморфны пространству G*. Этот факт следует из ра-
равенства размерностей этих пространств, поскольку все конечномерные
банаховы пространства одного числа измерений изоморфны.
Свойство 2. Из построения пространства G* вытекает, что всякое
пространство канонических информации G^, t= 1, 2, ... , п явля-
является подпространством пространства Gkc.
Свойство 3. Подпространства, состоящие из всевозможных ком-
комбинаций векторов, которые соответствуют только параметрам разме-
размещений, не имеют связи ни с одной конкретной пространственной фор-
формой из множества s\ s2, ... , sn. С этой точки зрения никакой эле-
элемент такого подпространства не несет в себе геометрической инфор-
информации.
Свойство 4. Поскольку в выражениях A.16) и A.17) под симво-
символом ^< понимается любая из четырех теоретико-множественных
операций ((J, П» \ и А)» то информация A.17) задает не более
t = 4 • 2"-1 различных точечных множеств в соответствующем про-
пространстве RK
Свойство 5. Поскольку всякая информация g# типа A.17) при
конкретном выборе символа % порождает соответствующее простран-
пространство информации G*, то эта информация порождает t пространств
информации типа G*, изоморфных пространству Gk. Таким образом,
пространство G^ можно рассматривать как семейство, состоящее не
более чем из t элементов.
34

Свойство 6. Расстояние между любой тарой точек g*4 g^
равно
Р (gl gl) = I! gl - gl !| - Й (ml - m'y +
u+u d+tn i
+ 2 (т]-тЬ2+ ••• + .2 (m! —m?J + S M-f/J +
2/ na
VI , 1 2\2 i i V
/=/4-1 /=(i '
+ 2 (t»}-e?)«]1/2, (MS)
/A)Ж
где d = /г + t% H h tn-u а ==
2, • • • , Pn) = (Щ\ /ji J,
b • • ,_ttld+tn, V\9 V2> • . . , U/, Э|, 02, +; +
ба+2, _..., 02а, U(n—1)/+ь У(Л_i)/+2» •••» уп/> 0(п
. • •• » бпа)- Из этого выражения следует, что если при фик-
фиксированном значении символа % p(g\l, g*f) = 0, то точечные множе-
множества, порождаемые информациями g\ и g\ в пространстве R2, по-
поточечно совпадают. В общем случае при различных смыслах символа >(<
(оператора в соотношении A.16)) в пространстве R1 индуцируются
точечные множества, обладающие различной геометрической структу-
структурой, хотя они составлены из одних и тех же более простых точечных
множеств. Исходя из этого сравнивать соответствующие точечные
множества не имеет смысла.
Свойство 7. Элементы каждого из пространств семейства G* инду-
индуцируют точечные множества в пространстве R1 с довольно широким
«спектром» разновидностей одной и той же геометрической структуры.
Действительно, хотя исходные простые пространственные формы фик-
фиксированы, изменение метрических характеристик и параметров раз-
размещений приводит к индуцированию таких точечных множеств в
пространстве R1, которые могут иметь различные пространственные
формы.
Построим на основе оператора В вида A.16) еще один тип про-
пространств информации. В качестве исходной возьмем информацию тида
A.17) и в ней зафиксируем значения параметров размещения, т. е.
положим
Тогда
g* = ({s1* s2 * ... * sn), {m\ m\ ..., mn), (p\ p\ .... pn})
8* 35

в пространстве Rl индуцирует некоторое точечное множество S, по-
положение собственной системы координат которого задается парамет-
параметрами
Осуществив собственное конгруэнтное преобразование D (трансля-
(трансляцию и вращение) точечного множества «S, получим новое точечное
множество
Тогда геометрическая информация gD об этом точечном множестве
с учетом представления A.14) будет такой:
{Ь\ Р(т\ б1), v\ Р(т\ ё2), ... , \"(т\ ёп)}) =
{m\ m2, ..., тп}> {v, F(m,
{Uv + v, F(m, e + 6)}), A.19)
где U — ортогональный оператор [55], элементы матрицы которого
содержат в себе составляющие параметра 0, F = (/\ /2, ... , fn).
С учетом равенств A.17) и A.18) можно записать
т. е. в данном случае получим произведение операторов С = BD.
Нетрудно убедиться, что
DB [gj = BD (£Д т. е. С = DB = 5/>.
С помощью соотношения A.19) информацию, индуцирующую точеч-
точечное множество Sd в пространстве R1, можно задать так:
g-D-Us1*.*2*.-•*$"}, {/гс1, т2, ..., mn}, {о, в}). A.20)
Эта информация порождает некоторое пространство G\. Ясно, что
обычно t < fe, хотя могут быть случаи, когда t >- k.
Заметим, что пространственная форма
S = S1 ^ S2 ^ • • • >fc $п,
являющаяся компонентой информации A.20), при я > 2 составная.
Каждый элемент go пространства G\ индуцирует некоторую со-
совокупность точечных множеств {Q} в пространстве R1. Эту совокуп-
совокупность можно метризовать, использовав метрику пространства G\
A.21)
36

где d = tl + t2 + • • • + /„, gl>, gD^G[. Однако элементы простран-
пространства G\ индуцируют в пространстве Rl несколько зауженную сово-
совокупность точечных множеств. Это объясняется тем, что в геометри-
геометрической информации gD не содержатся такие параметры размещения
точечных множеств, из которых состоит точечное множество, порож-
порождаемое информацией g%.
Кроме того, поскольку в компоненту {/>} информации A.19) в
общем случае входят и угловые параметры размещения, то приведен-
приведенная метрика обладает недостатками, о которых говорилось в преды-
предыдущем параграфе. Поэтому на семействе точечных множеств {Q} це-
целесообразно ввести метрику, отличную от A.21).
На основании соотношений A.19)
go = ({s}, [т\ т\ ..., т"}, {у1^ 8), y*{v, 8), ..., y*{v, в)».
A.22)
Изменяя значения р = (у, 8), будем, очевидно, получать различные
элементы пространства G^. Обозначим через Go множество, порож-
порождаемое информацией A.22), в предположении, что множество значе-
значений параметров у1, у2, ... , уп определяется только параметрами раз-
размещения v и 0. Таким образом, Go — множество информации gDi
которые генерируются всевозможными значениями компонент {т} и
{/»> = {». e>.
Замечание. Если в качестве оператора В рассматривать суперпо-
суперпозицию конечного числа теоретико-множественных операций, то этот
оператор так же, как и при композиции, будет задавать различные
геометрические структуры, причем очевидно, что множество этих
структур будет не уже, чем в случае задания оператора В компози-
композицией теоретико множественных операций.
Пример 1.10. Пусть
^* = ({51П52}, {гь r2l {-1, -1,1, 1}),
где sl — окружность, / = 1, 2. Эта информация в пространстве R2
в зависимости от значений гх и г2 индуцирует либо пустые множе-
множества, либо множества S, аналогичные приведенным на рис. 26. Вы-
Выберем собственную систему координат х'Огу' точечного множества S
так, чтобы при нулевых значениях параметров размещения (т. е.
в начальном положении) граница множества S совпадала с границей
множества, изображенного на рис. 26, а. Тогда информация об этом
точечном множестве согласно представлению A.22) имеет вид
g^U^ns2}, {rl9 rj, {y4vl9 6), y*(v2, 6), y*(v3, 9), y*(vv 6)}) =
= ({s1n«s2}» {rlt r7), {—cos 8 —sin 8 + »!, — sin 8 — cos 8 + i>3,
cos 6 + sinS + vlt sin 8 + cos 8 + vt}). A.23)
Эта информация порождает множество информации Gv, принадле-
принадлежащее пространству информации G6n, элементами которого являются
векторы
g = ('i> г„ у1, у\ у\ у4).
37

Рис. 26.
Определение 1.18. Будем говорить, что непустые точечные мно-
множества в пространстве R1 имеют одну и ту же составную простран-
пространственную форму s = 5х>к52^ • • • %$", если они индуцируются эле-
элементами множества GbczG*, у которых составляющие компоненты
{т} не равны нулю (пг^фО).
Таким образом, множество Go, элементами которого являются
элементы множества Gz>c:G* с составляющими тсфО, i= 1, 2, ...
п
...» S ti, содержит в себе только информации g**, индуцирующие
точечные множества с одной и той же составной пространственной
формой.
38

Примером точечных множеств с
одинаковой составной пространст-
пространственной формой служат множества,
индуцируемые информацией A.23),
при условии, что гх Ф О и г2ф0.
Множества, имеющие одинако-
одинаковую составную пространственную
форму, могут быть заданы разными
информациями. Покажем это нг
следующем примере.
Пример 1.11. Пусть
gr1 = ({5ins2}, {+2, -2},
{-1, -1, 1, 1}),
^({^V2}* (+2, +2}, Рис 27
{-1, -1, 1, 1}),
где s1, s2 — {окружность}. Эти информации порождают одно и то же
точечное множество в /?2, хотя формально задают разные составные
пространственные формы s1 П s2 и 5Х\52 (рис. 27).
На основе информации gD = Dig*) можно построить не только
множества Go cz G*, но и пространство информации, которое шире
пространства G*. Действительно, воспользовавшись соотношениями
A.19) —A.21), имеем
*•••*«"}, {m1, m2, ..., тп},
{U'v + v, F(m, еЧ
, {m1, m2, .... тп),
Строим информацию
{т\ т\ ... , т«}, {Ь, /Mm, в), is Fa(m, в)})), A.24)
порождающую пространство G^, где
При этом полагаем, что собственная система координат точечного
множества SD, индуцируемого информацией go, выбрана вполне опре-
определенным образом.
Ясно, что G* является подпространством пространства G*.
Как следует из определения 1.17, каждый элемент пространства
G*, не принадлежащий множеству G/>, задает некоторую единую гео-
геометрическую структуру.
Пример 1.12. Пусть
39

где s1, s2 — {окружность}. Эта информация порождает пространство
G6n. С учетом выражения A.23) строим информацию
gQ =({s1f)s2}y {rly r2}, {piCosQ + ptSinB + Vn
—рг sin 6 + р% cos 6 + v2i p3 cos 6 + р4 sin 0 + vl9
—р3 sin 8 + р4 cos 8 + aj),
которая индуцирует в R2 точечные множества 5, аналогичные изоб-
изображенным на рис. 26. Информация gn порождает множество G^c:
cGn-
Согласно определению 1.18 элементы множества Gd в случае гхФ
=^0, г2Ф0 индуцируют в пространстве R2 точечные множества q
одной и той же составной пространственной формой.
На основе информации gn можно получить информацию
g- = ({51n«2}, {rl9 гш), {рьр2, р3, Рь vlt v29 f(Q)})f
индуцирующую пространство G9n, подпространством которого явля-
ft Q
ется пространство Gn. Элементы пространства Gn, если ггф0 и
г2 ф 0, порождают в " пространстве R2 точечные множества, которые
согласно определению L17 имеют единую геометрическую структуру.
Пусть
g\ = {{Sl}, {MJ, {Р\ Р1}),
gl = ({st), {M2}, {P\ Я»}), A.25)
gl = ({sn}, {Мп}, {Р», Р»}),
где
Si = S1*S2* •-.*А
19 ^ г
Mi = (ntiy mi, ... , tfti),
pi = (pi, pi ..., fa,
Pl = (pu pi ... , p% t=l, 2, ..., n,
которые в пространстве Rl индуцируют некоторые точечные множе-
множества. Информации A.25) порождают пространства информации G^*f
Gt*, ... , &п.
Построим пространство Gd9 как прямое произведение пространств
Gti, Gt2, ... , GTrt, т. е.
Gd = Gti x Gt. x • • • X G\ d = Ti + Ta H Ь Y«-
Рассуждая, как при построении пространств G* и Gk, полагаем,
что элементом пространства Gd после упорядочивания элементов ком-
компонент {М} и {Р} является информация
g = ({^i» ^2» • • • » Sn}, {Мг, М%% ... 9 Мп},
40

Информация g£Gd задает геометрическую информацию о некотором;
наборе точечных множеств S19 S2, ... , Sn в пространстве Rly при-
причем каждое из них в общем случае имеет составную пространствен-
пространственную форму.
Пусть D — некоторое отображение, действующее из пространст-
пространства R1 в пространство R*. Возьмем произвольный элемент g£Gd, ин-
индуцирующий в пространстве R1 набор точечных множеств S^ S2, ....
... , Sn. Осуществляя отображение D этих точечных множеств, по-
получаем в зависимости от вида отображения D один или несколько-
наборов точечных множеств.
Например, если в качестве отображения D выступает отображе-
отображение 0, представляющее собой сумму Минковского некоторого мно-
множества S с набором множеств Slf 5а, ... , Snt то, очевидно, полу-
получим набор точечных множеств
= {Sfy S2e, ... , S®}.
Его геометрическая информация имеет вид
£е = «*?. sf9 .... s% «, Л#, ... , М%
{Р\ Р2 Р\ Р\ Р\ ... , Рп))
и порождает пространство информации G*e, причем в общем случае
t r^d. Следовательно, такое отображение переводит один набор то-
точечных множеств в другой.
В качестве отображения D могут выступать различного вида аф-
аффинные отображения, теоретико-множественные операции и т. д.
С данной точки зрения можно говорить об отображении D информа-
информации g£Gd на информацию gD^Gb, т. е. gD = Dg.
По аналогии с описанным подходом к построению пространст-
пространства G* можно строить бесконечномерные пространства информации*
Однако исследование таких пространств целью данной книги не
является и не рассматривается.
1.5. Основная задача геометрического
проектирования
Всякая, задача геометрического проектирования так или
иначе связана с преобразованием геометрической информации. При
этом важно знать, в каком пространстве информация g индуцирует
точечные множества. Так, в примерах § 1.2—1.4 индуцируются то-
точечные множества в арифметических евклидовых пространствах R*
и R3. Приведем пример, когда информация индуцирует множества
в других пространствах.
Пусть на плоскости заданы две точки С и D и набор точечных
множеств Slt S2, . .. , Sn с фиксированными формами, метрическими
характеристиками и параметрами размещения. Требуется определить
41

0 а
S\ такую непрерывную кривую,
соединяющую точки С и D,
которая бы не пересекала ни
одно из точечных множеств
Sj, 1=1,2,.. , п. Данную
задачу иллюстрирует рис. 28.
Ясно, что информация g в
этом случае включает: в ком-
компоненту {s} формы мно-
множеств Sx, 52, .. . , Sn и две
точки; в компоненту {т}
_ метрические характеристики
х множеств Sl9 52, . .. , Sn;
в компоненту {/?} парамет-
параметры размещения множеств Sv
S2f ... , Sn и координаты точек С и D в системе координат хОу.
На основе данной информации синтезируется пространственная
форма, которая определяется непрерывной функцией у(х). Другими
словами, при отображении информации g индуцируются точечные
множества в пространстве С[а, ьу
Определим формально понятие задачи геометрического проектиро-
проектирования [124, 183].
Пусть информация g-= ({$}, {щ}у {p})£G индуцирует точечное
множество S в пространстве R1, а информация g-* = ({s*}, {А/г*},
{/?*}) £G* — точечное множество S* в пространстве Rk.
Определение 1.19. Отображение Р вида
A.26)
28,
называется задачей геометрического проектирования.
При изложении данного материала неоднократно подчеркивалось,
что элементы компонент {s}, {m} и {р} информации g могут быть
фиксированы либо изменяться в процессе решения поставленной за-
задачи.
В качестве примера, когда информация g не изменяется в про-
процессе решения, приведем следующую задачу.
Пример 1.13. Пусть задан набор карт раскроя. Необходимо
выбрать такую из них, которая удовлетворяла бы требованиям тех-
технологического производства. Ясно, что геометрическая информация g
в этой задаче никак не преобразуется в процессе ее решения, т. е.
оператор Р в равенстве (L26) тождественный: Р = 1. Вместе с тем
информация g оказывает непосредственное влияние на выбор иско-
искомого решения, поскольку технологические ограничения так или иначе
связаны с формой и размерами заготовок. В частности, при прямо-
прямоугольном раскрое не всякая форма является допустимой.
Определение 1.20. Не фиксированные элементы компонент инфор-
информации g называются переменными этой информации.
Обозначим переменные информации через и = (иг, и2, . . . , ui).
В общем случае, для того чтобы указать, какие элементы компонент
информации g = ({s}, {т}> {р}) являются ее переменными, исполь-
42

зуем обозначение g = g(u). Итак, если G— некоторое пространство
информации g, a U — множество допустимых значений переменных
информации g-, то множеству U соответствует подмножество Gu про-
пространства G.
Нетрудно видеть, что в примере 1.13 геометрическая информация
не содержит переменных.
Рассмотрим пример задачи геометрического проектирования с не-
нетождественным отображением геометрической информации.
Пример 1.14. В пространстве R2 задан круг 50 радиуса г0 и на-
набор п кругов St радиусов rh i = 1, 2, ... , п. Требуется определить
такое взаимное расположение кругов Sl9 S2, ... , Snj при котором
они полностью покрывают круг So, т. е. любая точка точечного мно-
множества So принадлежит хотя бы одному из точечных множеств Sl9
S^ . .. , Sn.
Компоненты информации g = ({s}, {m}> {/?}) в данном примере
определяются следующими элементами!
{s} = {s°, s\ ... , sn}> {m} = {rOi rlt ... 9 rn}9
где s\ i = 0, 1, ... , n —{окружность}; xCt yh i = 1, 2, ... , n —
параметры размещения множеств Sl9 52, . . . , Sn соответственно.
Параметры х0 и у0 можно зафиксировать, положив, например х0 =
= yQ =5 0. Информация g* порождает пространство G^^1) с элемен-
элементами
S === v 0» ^1> • * ' » *П9 -^о» Уо» ^1» ^1» • • • » ^я> Угс)#
Осуществим отображение Л информации g следующим образом:
gm == Ag = ({5° П [51 U*2U . • • U*4]}>
{+^o» +^i» ••• » +M» {*o> Уо» ^i» ^i» ••• » Xn> Уп})- A.27)
В результате получим информацию g*€G^n+l\ которая в простран-
п
стве R2 индуцирует множества вида 50 f] [ U ^t] ПРИ различных зна-
чениях параметров размещения, т. е. в результате преобразования
информации синтезируется определенная геометрическая структура.
Пример одного из таких множеств при фиксированных элементах
компоненты {р} изображен на рис. 29.
Задача поиска покрытия множества So множествами Sv S2, ...
#.. , Sn9 очевидно, состоит в задании такого отображения А вида
A.27), при котором
SofHU S,] = S0.
Переменными информации g в данном примере являются параметры
размещения кругов Sl9 52, ... , Stl9 т. е.
U = (Хр У\у %2* У2> • • • > %п* Уп/t
Д множество U = R2n.
4Я

Рис. 29.
Рис. 30.
Описанная задача может быть эквивалентно сформулирована сле-
следующим образом. Зададим отображение А' вида
g* = A'g=({s°Vs1l).-.l)sn}, {—г0, +г19 +г2, ..., +гп},
{*о> Уо> *l> Уи ••• > *п> Уп}). A.28)
Информация g-*, определенная выражением A.28), индуцирует в про-
пространстве R2 геометрическую структуру вида
где с—операция дополнения. (На рис. 30 изображен пример точеч-
точечного множества, индуцируемого этой информацией, при тех же зна-
значениях компонент {т} и {/?}, что и в случае, приведенном на
рис. 29.) Тогда задача поиска покрытия множества So множеехвами Slf
S2, ... , Sn состоит в определении такого отображения А' вида
A.28), при котором
cSol)[\J St] = R\
Предметом рассмотрения данной книги являются оптимизационные
задачи геометрического проектирования.
Определение 1.21. Задачи геометрического проектирования, в ко-
которых переменные и информации g определяются в результате реше-
решения оптимизационной задачи, называются оптимизационными зада-
задачами геометрического проектирования.
В таких задачах при отображении Р пространства информации G
на пространство информации G* заданный на множестве W простран-
пространства X функционал и (до) должен достигать своего экстремума.
Пусть w = (wt, до2, ... , wk)£W. В общем случае элементы век-
вектора w включают в себя переменные £ = (£lf £2, ... , £а), не являю-
щиеея элементами компонент геометрической информации ^G

и часть переменных £ = (£х, £2, . .. , £з) информации g-* = g-* (*
Ясно, что а + Р = k.
Оптимизационные задачи геометрического проектирования могут
быть многокритериальными. В настоящей работе методы векторной
оптимизации для многокритериальных задач геометрического проек-
проектирования не рассматриваются и предполагается, что в результате сверт-
свертки получен один критерий оптимизации.
Многие задачи геометрического проектирования, формально не
относящиеся к классу оптимизационных задач, тем не менее могут
быть эквивалентно сформулированы как оптимизационные. Поясним
сказанное. В примере 1.14 задача геометрического проектирования
состоит в отображении информации вида A.27), при котором синте-
п
зируется геометрическая структура Sof][(J Si]. Вместе с тем эту за-
дачу можно рассматривать как задачу максимизации функции
И И = СО(ХХ, ylt X2J y2i . . . , ХП9 уп),
где функция со (х1$ ylf х2, у2,.*., хп* Уп) выражает зависимость пло-
п
щади множества 50 f| [ U Si] от параметров размещения кругов Slf
S2, . . . , Sn. Более подробно задачи данного класса рассмотрены в
§ II 7.
Итак, в оптимизационных задачах геометрического проектирова-
проектирования осуществляется отображение Р исходной информации g$G, при
котором элементы компонент этой информации преобразуются таким
образом, чтобы заданный на некотором множестве W пространства
X функционал k(w) достигал своего экстремального значения.
Исходную информацию g = ({s}, {m}, {p}) в оптимизационных
задачах геометрического проектирования можно условно считать вклю-
включающей в себя информации g1, g2, g3, g*4, g*5, g6 следующего назна-
назначения [124].
Информация g*1, используемая при формализации оптимизируемого
функционала, может подвергаться различным преобразованиям. Как
указывалось ранее, в общем случае в оптимизационных задачах гео-
геометрического проектирования функционал характеризует не только
зависимость от элементов компонент геометрической информации g\
Поэтому, если 0! — множество исходных данных, участвующих в
формализации функционала, но не входящих в g\ функционал к
формируется в результате отображения /?г множества Qx и множества
Glt порожденного информацией g*1, т. е.
* = Ri(G19 Qx).
В качестве функционала х могут выступать функции нескольких пере-
переменных, функционалы на комбинаторных множествах, в пространствах
функций и т. д.
Информация g2 используется при формировании области Г до-
допустимых значений переменных w «= (wv wv...9 wk). Если Q2 — мно-
45

жество исходных данных, не характеризующих геометрическую ин-
информацию, но участвующих в формализации ограничений, то мно-
множество Г определяется отображением /?2 множества Q2 и множества
G2, порожденного информацией g2:
Информация g3 участвует в синтезе новых пространственных
форм и метрических характеристик и определяет переменные £ = (?i>
t2, ..., ад информации g(u). Она преобразуется в процессе оптими-
оптимизации функционала х.
Информация g*4 используется при формировании отображения Р
вида A.26). Она может подвергаться определенным преобразованиям.
При этом, если Q4 — исходные данные, не характеризующие геомет-
геометрическую информацию, но участвующие в построении отображения Р,
отображение является, в свою очередь, отображением /?4 множества Q4
и множества G4, порожденного информацией g*4:
P-RAQ*, G4).
Информация g*5 характеризует переменные и=(иг, и2, ..., и„)
исходной информации g* и участвует в определении их значений.
Любой элемент компонент информации g может быть переменной
этой информации. При этом и можно представить в виде
и=(Е, а), A.29)
где E = (Ci, t2, ..., СЮ, сг = (аг, а2, ..., ат), р + у = /г, Си а —пере-
—переменные информации g", соответственно участвующие и не участвую-
участвующие при формировании оптимизируемого ункционала к.
Информация g*s преобразуется при изменении переменных и ин-
информации g{u). Поясним сказанное. Информация g6 (и) индуцирует
некоторое точечное множество в пространстве R1. Отображение Р
согласно A.26) ставит в соответствие g*6 (и) некоторый образ gu>
индуцирующий точечное множество Su в пространстве R*, т. е.
Таким образом, при фиксированной информации g*6 можно выбрать
соответствующее значение и таким образом, чтобы точечное мно-
множество SM, индуцируемое информацией gu вида A.30), удовлетво-
удовлетворяло заданным геометрическим свойствам.
Пусть S, Z, Е—соответственно области допустимых значений
переменных £, £, а. Тогда
Учитывая, что S, Z, S—множества некоторых пространств Hv H2>
#3 соответственно, получаем
X = Н, X Н2 X Я8.
46

В свою очередь, область U допустимых значений переменных и пред™
ставляется с учетом равенства A.29) так:
т. е. U с: #2 X Я3.
Итак, исходную информацию g можно представить в виде сово-
совокупности информации g*1, g2, g*3, g-4, g6, g*6. При этом информации
g» g*2» g*4» g*5 участвуют в формировании математической модели
задачи геометрического проектирования, а информации g-3 и g*6 под-
подвергаются преобразованию в процессе оптимизации функционала и при-
принимают участие в синтезе новых пространственных форм, их метри-
метрических характеристик и параметров размещения.
Ясно, что в общем случае часть элементов исходной информации
одновременно является элементами нескольких информации совокуп-
совокупности g-1, g*2, g3, g*4, g, g. В то же время некоторые из информации
gl> g*2» g» g*4» g*6» g*6 могут индуцировать пустые множества. На
такой факт не имеет места одновременно для всех g*1, g*2, g3, g,
g-5, g*6, если информация g* индуцирует непустое множество.
Основная задача геометрического проектирования [124]. Требуется
определить такое значение и* = (£*, а*) на области допустимых зна-
значений U a Z х S и соответствующий и* образ S*, индуцируемый в
пространстве Rk информацией
g* = P[g*(u*)]9 (I.31)
чтобы функционал n(w) на области допустимых решений WczX
достигал экстремума, т. е.
n(w*) = extr к (w) = extr x(£, a). A.32)
Классифицируем основную задачу геометрического проектирования
в зависимости от размерности пространства, в котором определен
функционал х(ш).
Определение 1.22. Основная задача геометрического проектиро-
проектирования A.31) — A.32) называется ^-задачей, если пространство X
конечномерно, и Я-задачей, если пространство X бесконечномерно.
Такое деление задач геометрического проектирования на Е- и #-
задачи связано с тем, что для формализации этих задач, т. е. построе-
построения их математических моделей, применяются разные подходы. Вслед-
Вследствие этого и методы решения задач, как правило, отличаются.
Классификация основной задачи геометрического проектирования
на Е-к Я-задачи является все же условной, потому что на практике
встречаются, и довольно часто, такие задачи, в которых одновременно
имеют место элементы Е- и Я-задач. Это обстоятельство нетрудно
увидеть в задачах проектирования сложных технических объектов
таких, как летательные аппараты, суда, химические предприятия»
теплоэнергетические комплексы, крупные металлургические предприя-
предприятия и пр. Более того, во всех этих задачах просматривается три
взаимосвязанных уровня: разбиение, при котором приходится по каким-
4?

то критериям элементы проектирования сгруппировать; размещение^
при котором сгруппированные элементы по каким-либо критериям
надо разместить в той или иной части пространства; соединение, при
котором требуется также по определенным критериям элементы проек-
проектирования соединить теми или иными коммуникационными сетями.
При этом на каждом уровне могут возникать взаимосвязанные между
собой Е- и //-задачи.
В настоящей работе речь будет идти только о Е-задачах геомет-
геометрического проектирования. Однако класс £-задач является весьма
обширным и разнородным по виду информации g*, типам ее отобра-
отображения в процессе оптимизации. £-задачи, приведенные ниже, и все-
всевозможные задачи размещения, компоновки, покрытия, разбиения пока-
показывают насколько обширен и чрезвычайно разнообразен этот класс. Это
можно объяснить многообразием пространственных форм и метрических
характеристик, используемых при синтезе новых пространственных форм
и их метрических характеристик, а также огромным арсеналом воз-
возможных реализаций отображений геометрической информации и ее
отображений на синтезируемые образы, которые должны удовлетво-
удовлетворять требуемым условиям. Эти обстоятельства вынуждают ввести
дополнительные ограничения на вид информации g и типы ее отобра-
отображений для того, чтобы выявить такой подкласс £-задач, к которому
был бы возможен единый подход при построении их математических
моделей.
Пусть информация g- и типы ее отображений, имеющие место
в £-задачах, удовлетворяют следующим требованиям.
Во-первых, информация g индуцирует точечные множества только
в /-мерных банаховых пространствах В . Нетрудно показать, что про-
пространства В1 обладают всеми нужными свойствами для того, чтобы
с помощью их элементов можно было строить математические модели
материальных объектов, с любой степенью точности учитывающие их
геометрические характеристики.
Во-вторых, информация g* в общем случае содержит в себе данные
только о двух видах точечных множеств: ф-объектах с кусочно-глад-
кусочно-гладкой границей и гладких (I — 1)-мерных многообразиях. Использование
только таких точечных множеств пространств В1 объясняется тем, что
точечные множества, имеющиеся в пространствах В7, значительно бога-
богаче, чем это надо для построения математических моделей материаль-
материальных объектов. Существуют точечные множества в В1, которые явля-
являются объектами, обладающими пространственной формой и метричес-
метрическими характеристиками, но тем не менее их топологическая структура
или сложность строения таковы, что они не являются математической
моделью каких-либо материальных объектов.
В-третьих, отображение Р по отношению ко Есякому ф-объекту
или (/ — 1)-мерному гладкому многообразию обладает следующим
свойством. Пусть исходная информация g состоит из совокупности
информации gi = {sc, ml> р1} о точечных множествах 50, S19 ...
.. ., 5П, индуцируемых в В1. Тогда положим, что sl и ml% i = 1»
48

2,..., п—фиксированные компоненты g, а т° = (т°> т°), где
т° — постоянные величины, а т° — такие переменные информации gt
изменение которых либо не приводит к изменению формы s°y либо
однозначно определяет ее. Другими словами,
где р6 — параметры размещений точечных множеств, индуцируемых
информацией g*6. В частном случае, при т° = т° имеем
В-четвертых, отображение к по отношению к точечным множест-
множествам, индуцируемым информацией g*3 при фиксированном т°, являет-
является таким, что осуществляет их собственные конгруэнтные преобразо-
преобразования.
В-пятых, переменная w задана в арифметическом евклидовом
пространстве, т. е. wf^WaR*.
Определение 1.23. £-задачи, удовлетворяющие перечисленным
пяти требованиям, назовем £^-задачами с собственными конгруэнт-
конгруэнтными преобразованиями (сокращенно £^-задачами).
Таким образом, решение всякой Я^-задачи сводится к определению
таких параметров размещений р% и соответствующего им образа Sp>
индуцируемого информацией
при которых
k(w*)
Заметим, что переменная w не обязательно включает в себя все
параметры размещений р\. Однако эти параметры обязательно участ-
участвуют в формировании области допустимых решений U.
Выделение класса £>задач позволяет предложить единый подход
при построении их математических моделей. Этому вопросу посвящена
следующая глава.
•5-1343

Глава II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
£*-ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Использование современных математических методов и
ЭВМ при решении оптимизационных задач геометрического проекти-
проектирования возможно лишь при условии формализации этих задач. Дру-
Другими словами, задачи должны быть поставлены так, чтобы соответ-
соответствующие математические объекты и описанные формально взаимо-
взаимоотношения между ними желательно точнее аппроксимировали мате-
материальные объекты и отражали их реальное взаимодействие. При этом,
с одной стороны, математическая модель не должна быть перегру-
перегружена лишней информацией, а с другой — должна быть адекватна
реальной задаче. Поэтому выбор математической модели и способов
ее построения является чрезвычайно важным для таких высокоинфор-
высокоинформативных задач, как задачи геометрического проектирования.
II.1. Общая характеристика и формальная
постановка /Г^-задач
Как отмечалось выше (см. § 1.5), в данной работе
рассматриваются оптимизационные Я-задачи с собственными конгру-
конгруэнтными преобразованиями. Сформулированы основные требования,
которым должны удовлетворять задачи геометрического проектиро-
проектирования указанного класса. Любая jE^-задача, так или иначе, связана
с точечными множествами — ф-объектами, индуцируемыми геометри-
геометрической информацией. При этом каждый ф-объект обладает конкретной
геометрической формой, задаваемой каноническим уравнением, а его
положение в пространстве однозначно определяется параметрами раз-
размещения.
В ^-задачах возможны отображения Р двух видов: задаваемые
соответственно равенствами A.33) и A.34).
В первом случае метрические характеристики геометрической инфор-
информации g о совокупности ф-объектов 50, Sl9 . . ., Sn фиксированы,
т. е. не являются переменными этой информации. Такие задачи назо-
назовем £>задачами с неподвижными границами. В качестве иллюстрации
задач этого класса можно привести задачи, рассмотренные в при-
примере 1.14.
Во втором случае некоторые метрические характеристики т° £ {^°}
Ф-объекта 50 являются переменными геометрической информации g.
60

Эти задачи назовем £л-задачами с подвижными границами. В примере
1.14 описана одна из задач этого класса. В ^-задачах с подвижными
границами некоторые метрические характеристики (переменные ин-
информации g) могут быть взаимосвязаны. Естественно, это приводит
к появлению соответствующих уравнений связи. Например, такой
факт имеет место при преобразованиях, для которых выполняется ус-
условие гомотетии.
Всякая оптимизационная задача геометрического проектирования,
как указано в § 1.5, сводится к поиску экстремума функционала к
на некотором множестве WcnW (многокритериальные задачи нами
не рассматриваются). Из требований, предъявляемых к /^-задачам,
следует, что при оптимизации функционала осуществляются только
собственные конгруэнтные преобразования ф-объектов Sly S2, ...,Sn.
При этом в /?£-задачах в общем случае
и(ш) = и(£, 0, (ИЛ)
где I = (glf ga, .. ., £а) — переменные, не являющиеся элементами
компонент информации g; £=(£!, t2, .. ., £р) — переменные инфор-
информации g.
Для класса £узадач с неподвижными границами элементами век-
вектора С являются только параметры размещения. В свою очередь, в
/^-задачах с подвижными границами вектор £ может содержать также
элементы, входящие в in0.
Слелующим характерным признаком £^-задач геометрического
проектирования является необходимость соблюдения определенных
взаимоотношений между ф-объектами Slt S2, . . ., Sn. При этом за-
задачи могут быть классифицированы как задачи размещения и задачи
покрытия.
Остановимся сначала на задачах размещения, ф-объект So назовем
областью размещения, а ф-объекты S19 S2, . . ., Sn—размещаемыми
объектами. Взаимоотношения между ф-объектами в задачах размещения
характеризуются взаимоотношениями между каждой парой размещае-
размещаемых объектов, а также между объектами и областью размещения.
В этих задачах объекты Sx, S2, . . ., Sn не могут пересекаться друг
с другом. На практике такие ограничения обусловлены невозмож-
невозможностью нахождения различных материальных объектов одновременно
в одном и том же месте. В данном случае взаимоотношения между
размещаемыми объектами определяются условием отсутствия их общих
внутренних точек.
Вместе с тем на такие взаимоотношения можно взглянуть и шире.
Дело в том, что между некоторыми ф-объектами Si9 S2, . .., Sn
может быть задано некоторое допустимое (наибольшее или наимень-
наименьшее) расстояние Тогда под взаимоотношением размещаемых объектов
понимается такое их взаимное расположение, при котором между ними
выдерживаются заданные расстояния.
Указанные взаимоотношения между ф-объектами назовем услови-
условиями их взаимного непересечения. Формализуем условия взаимного
4* 51

непересечения ф-объектов St и S/. Определим расстояние Гц между
ф-объектами St и S/ следующим образом:
rt/ = inf р (л:, у),
где р(- , •)—метрика пространства, в котором индуцируются точеч-
точечные множества S* и S/.
Ясно, что если St П S/=^= 0, то г// = 0, а при clSt- Г) clS/ = 0
справедливо rt/>0.
Величина /*;/ однозначно определяется значениями параметров раз-
размещения m = {Vi, Of) и ur-=(vh 0/) ф-объектов S* и S, при их соб-
собственных конгруэнтных преобразованиях, т. е.
ru^rijiviy 0ь у/, О/).
Поэтому условия непересечения ф-объектов Si и S/ представляют
собой ограничения на параметры их размещения:
гц(v£, О,, vh 0/)>O, (II2)
а условия размещения ф-объектов S; и S/ на расстоянии, не превы-
превышающем 1ц > 0 и не меньшем dtj > 0, описываются ограничениями
вида
dif<rif(vi9 0Ь vh 9/)</;/. (II.3)
Кроме условий взаимного непересечения ф-объектов, в задачах
размещения должны выполняться так называемые условия размеще-
размещения ф-объектов в области So. Имеется в виду следующее. Взаимо-
Взаимоотношения между ф-объектами Slf S2, . .., Sn и областью So должны
быть такими, чтобы все точки точечных множеств Sl9 S2, ..., Sa
принадлежали множеству So. Нетрудно видеть, что условия разме-
размещения ф-объекта St в области So можно формализовать как условие
непересечения ф-объектов St- и ^So, где cS0 — дополнение множества
So до всего пространства, в котором индуцируются рассматриваемые
точечные множества. При этом
Зависимость вида (П.4) имеет место в задачах размещения с фикси-
фиксированной областью So, т. е. в £>задачах с неподвижной границей.
В задачах с подвижными границами эта зависимость может включать
в себя и переменные метрические характеристики /й° информации
g> т. е.
Го/ = го*(т0, vh Qi). (П.5)
В задачах покрытия рассматриваются взаимоотношения не каждой
пары ф-объектов, а их совокупности. При этом требования на вза-
взаимное непересечение ф-объектов Sl9 52, ..., Sn и размещение их в
области So не накладываются. Основное ограничение здесь состоит
в том, что каждая точка, принадлежащая области So, должна при-
принадлежать хотя бы одному из множеств Sx, S2, ..., Sn. Формально
условие покрытия области SQ ф-объектами Sv Sa, ..., Sn представ-
52

ляет собой зависимость всех параметров размещения и определяется
неравенством вида
ь&19 elf v2, e2, ..., vn, en)>o. (ii.6)
В задачах покрытия область So назовем областью покрытия, а
ф-объекты Sv S2, ..., Sn— покрывающими.
В зависимости от того, изменяются ли метрические характерис-
характеристики области покрытия, данные задачи можно отнести к соответ-
соответствующим классам ^-задачи с неподвижными границами либо под-
подвижными границами.
В первом случае условие покрытия области So покрывающими
объектами S19 S2, ..., Sn описывается зависимостью только от пара-
параметров размещения, т. е. вида (II.6). Во втором в эту зависимость
входят и переменные метрические характеристики т° информации,
индуцирующей область So, т. е.
1(т°9 vl9 в19 v2, 02, ..., vn, в„)>0. (II.7)
В £д,-задачах могут иметь место и ограничения, отличные от
условий взаимного непересечения и размещения ф-сбъектов в области
(в задачах размещения) и условий покрытия (в задачах покрытия).
Они вызваны спецификой конкретной задачи, а также технологией
производства, техникой безопасности, санитарными нормами и пр.
Указанные требования, естественно, накладывают дополнительные
ограничения на параметры размещения ф-объектов, метрические харак-
характеристики и в общем случае могут быть формализованы в виде не-
некоторых неравенств
Ft(V9 яО>0, /=»1, 2, ..., L, (II.8)
где г\1 = (т)ь тJ, . . .,v\kt) — часть переменных геометрической инфор-
информации g*, а I1 = (Si, £2, • • •, Sn/)—переменные, не входящие в g.
В некоторых случаях формализация ограничений A1.8) сводится к за-
заданию допустимых расстояний между соответствующими ф-объектами.
Отметим, что ограничения на параметры размещения ф-объектов
могут быть настолько жесткими, что сбласть G допустимых решений
(см. § 1.5) представляет ее бой дискретное множество.
Итак, формальная постановка jE^-задач геометрического проекти-
проектирования состоит в оптимизации функционала вида (П. 1) при наличии
ограничений, которые в зависимости от конкретно решаемой задачи
могут представляться некоторыми неравенствами из совокупности
неравенств вида (II.2)—(И.4), (II.6) — (II.8). Ясно, что наиболее
существенными при этом являются неравенства-ограничения, фор-
формализующие в задачах размещения — условия непересечения ф-
объектов и размещения их в области, а в задачах покрытия — усло-
условия покрытия области покрывающими объектами. В связи с этим
дадим формальные постановки следующих основных £л-задач геомет-
геометрического проектирования.
Основная задача размещения геометрических объектов. Имеются
размещаемые ф-объекты Si с параметрами размещения щ = (vi, 0t),
53

2»1, 2, ...» n и область размещения So. Требуется определить
такие значения параметров размещения, при которых ф-объекты Sx,
52, .. . , Srt располагались бы в области So, попарно не пересекались
и заданный функционал достигал экстремума, т. е. имеем следующую
задачу математического программирования:
extrx(a;)f (H.9)
где область W задается системой неравенств
еь vh 0,)>O, A1.10)
rot(m°, vh 9,)>0, t,/=l,2, ...,Л, />f. A1.11)
Основная задача покрытия геометрическими объектами. Имеется
область покрытия So и покрывающие ф-объекты Sc с параметрами
размещения и( = (vh 0t), i = 1, 2, . . ., п. Требуется определить такие
параметры размещения, при которых ф-объекты Sly S2, .. . , Sn покры-
покрывали бы область покрытия So и достигал оптимума заданный функ-
функционал. Аналогично получаем задачу математического программиро-
программирования
extrx(aj), (П.12)
где область W задается неравенством
l(m°, vly 9lf vt, вл9 . .., vny вЛ) > 0. A1.13)
Отметим, что при решении £&-задач в общем случае необходимо
учитывать не только ограничения, входящие в приведенные форму-
формулировки основных задач размещения и покрытия геометрических объек-
объектов. Однако задачи (II.9)—(II.II) и (П.12)—A1.13) являются «опре-
«определяющими» для своих классов и характеризуют основные особенности
соответствующих £#-задач.
Обозначим ф-объект St с параметрами размещения ui = (и], u2iy ...
. . ., и\) через Sc (ut)y i « 1, 2, ..., п, а ф-объект So —через S0(m°),
поскольку положение его фиксировано и0 = @, 0, . . ., 0), а изменять-
изменяться может только часть метрических характеристик т°. Тогда основ-
основная задача размещения ф-объектов Sc состоит в определении их пара-
параметров размещения щ = (и), и], . .. , и\), i «= 1, 2, .. . , пу доставляю-
доставляющих экстремум функционалу х, заданному на множестве допустимых
решений
U - {(%, ut9 .. ., un)lSt (ut) с So (т% S, {щ) {] S, (и,) = 0,
/>t - 1, 2, . .., п) - { Л U Rt{i~l) X ut x #</-<-!> х
X c[intSf (^)©S,(M/)] x #<"-/>} П
Л { U^^) X [S0(w°)e^] X «'c-')}, (II.14)
где ф, © — операции суммы и разности Минковского [153].
54

В свою очередь, для описания допустимых решений основной задачи
покрытия можно предложить следующие эквивалентные представления:
U = {(и19 и а, ..., un)IS° (m°) с: U S, (ut)} =
U IK и,. •••>"„) x (U S, (и,) 0 So (m0))] П
(ot, и an)£Rnt t=l
П #tt<X{0}}, A1.15)
где Pr#m — оператор проецирования на подпространство Rmf a {0} — нуль
пространства Rnt.
В /^-задачах с неподвижными границами переменные метрические
характеристики т° ф-объекта 50 отсутствуют. В этом случае в пред-
представлениях (П. 14) и A1.15) вместо записи S0(nt°)можно использовать
обозначение So@), подчеркивая тем самым, что положение области So
фиксировано и все ее параметры размещения равны нулю.
Из приведенных постановок основных Я^-задач следует, что для
их решения необходимо знать конкретный вид функций, входящих
в неравенства A1.10), A1.11), A1.13), а также представление (ИЛ).
Это позволит выяснить, к какому конкретному классу задач матема-
математического программирования относятся рассматриваемые /^-задачи и
выбрать эффективные методы их решения.
При этом вид оптимизируемого функционала определяется, как
правило, без затруднений. Основные сложности состоят в формали-
формализации ограничений A1.10), (II. 11) — в задачах размещения и A1.13) —
в задачах покрытия.
II.2. Ф -функции и их свойства
Для формализации ограничений вида (НЛО), A1.11),
(II 13) в работах [122, 131, 136] предложен математический аппарат
Ф-функций, представляющих собой обобщение понятия функции плот-
плотного размещения, введенного в [25, 125, 128]. Дадим общее описание
©того аппарата.
Пусть Жр — класс ограниченных р-связных замкнутых ф-объектов
с кусочно-гладкой границей в арифметическом евклидовом простран-
пространстве R1. Рассмотрим ф-объекты Sx ^ SR^ и Sa£9R19 параметры разме-
размещения которых иг = (vlt 0Х) и и2 = (иа, 02), а канонические уравнения
имеют вид
М«) = о, (иле)
М<0-О. (П.17)
Обозначим ф-объект S с параметрами размещения и = (у, 0) через 5 (и).
Параметры размещения ф-объектов S1(w1) и S2(u2) порождают
пространство Rk. Ясно, что размерность k этого пространства опре-
55

деляется числом параметров размещения, характеризующих местополо-
местоположение St и S2, но не превышает величины /(/+ 1)/2.
Пространство Rk можно представить в виде объединения двух
множеств Gx и G2, где G± состоит из точек (ulf и2) = (vv Qv v2, 02) £ Rk,
которым соответствуют такие взаимные положения ф-объектов Sx (ut)
и Sa(tt2), что
П intS2(a2)=0. A1.18)
Тогда G2 = /?*\G1, т. е. точкам множества G2, отвечает условие
intSx(Wl) П intS2(u2) Ф 0. A1.19)
Ясно, что в случае A1.18) ф-объекты Si{u^) и S2(u2) касаются, либо
не имеют общих точек, а в случае A1.19) пересекаются.
Положим, что (vlf Qv v2, Q2)£Gl9 и решим следующую оптимиза-
оптимизационную задачу. Найти такие vt и v2> чтобы
РК> tT2) = minminр(у!, v2) (II.20)
* *
v\ V2
при наличии уравнений связи
Л(»Г. v*> 02) = O, A1.22)
которые являются соответственно уравнениями общего положения
ф-объектов Sj и S2. Эти уравнения с учетом канонических уравнений
ф-объектов St и 52 можно переписать так:
/i Mi (<-*!)]= 0, /2[4(<-^2)] = 0, A1.23)
где Alt A2 — ортогональные операторы, выраженные через параметры
0Х и 02 соответственно.
Поскольку ф-объекты St и 52 заданы в пространстве R1, то
<-<\\=|/14 (^ -vi)\
У* == (У*1, У*2, . . . , У*), У* = (vtu 022, . . . , »*/)•
В результате решения задачи A1.18)—A1.20) получим зависимости
\ = Si @i, 0i» f2» 92)» \ = ^2 (yi» Si» <V 8J.
Заметим, что задача A1.18)—A1.20), по существу, состоит в опре-
определении кратчайшего расстояния между ф-объектами Sx (иг) и 52 (и2)
при условиях A1.16), A1.17), т. е. p(v19 v2) является некоторой заданной
на множестве Gr функцией параметров размещения vlf Qv v2y G2. Обо-
Обозначим эту функцию t|>la(i>lf вг, у2, 02). Ясно, что на множестве Gx
*i2(yi» ei» у2» %) = min min p(v*9 v*).
Отметим основные свойства функции ^{v^ Qv v2, 8a) [131].
56

Свойство 1. Значения функции ^г2(о19 8lf v2, 02) не зависят от
выбора полюсов ф-объектов Sx и S2.
Свойство 2. Каждой паре ф-объектов St и S2 соответствует един-
единственная функция ^12(vlf 8Х, ц2, 02).
Эти свойства непосредственно вытекают из способа построения
функции ^12(vlt в1э у2, 02). Зафиксируем параметры размещения/
Ф-объекта Sl9 положив v1 = О, 0Х = 0. Тогда
При этих условиях решим задачу A1.20)—A1.22). В данном случае
кратчайшее расстояние между Sx и S2 будет зависеть только от пара-
параметров размещения v2 и 02 и определяться некоторой функцией
*1Я(»2. 62)-
Свойство 3. Справедливо следующее равенство:
Фи (»1. 0lf »„ 02) = Ь21Л (v2 - vj, 02 - 0Х], (П.24>
где А — ортогональный оператор, выраженный через угловые пара-
параметры Qv
Равенство A1.24) вытекает из того, что при изменении параметров
размещения ф-объектов они подвергаются только собственным конгру-
конгруэнтным преобразованиям.
Свойство 4. Функция tyl2(Vi> 0i> v2, 02) непрерывна по совокупности
переменных.
Свойство 5. Для любых фиксированных 0, = 0*, 02 = 0*
(И.25)
гДе Yi2 — поверхность, определяемая равенством:
*u(fi. Bt, olf 02*) = O. A1.26)
Свойство 6. Во всех точках дифференцируемости функции ty12{vlr
Справедливость последних свойств вытекает из следующих соображе-
соображений. Пусть
Построим поверхность Yi2- Кратчайшее расстояние от точки у = {v\r
^1» и2» ^2) до этой поверхности, очевидно, равно г*, т. е. поверхность
(П.26) определяет совокупность точек (vu в*9 v2i в*) множества Glf
которым соответствует касание ф-объектов S1(u°1) и S2(hJ), где ttj =
= (»!, 0J, а^ = (у2, 02). Если же эти ф-объекты не имеют общих.
точек, то кратчайшее расстояние между ними равно
б?

Построим поверхность y[it описываемую уравнением!
Тогда проекции поверхностей у12 и Yi2 на плоскость Oi^ образуют
эквидистантные поверхности с эквидистантным расстоянием г, откуда
и следуют указанные свойства функции ipla(tilf 8*, у2, 02*).
Таким образом, для построения функции ty12(vlf 0f, и2, 0*) доста-
достаточно знать уравнение поверхности у12. Приведя функцию в этом
уравнении к нормальной форме [104], получаем уравнение вида A1.26).
До сих пор каждый раз подчеркивалось, что функция (ф12(у1, 6*,
v2, 8*) определена на множестве Gx cz Rk. Продолжим ее на область
O2=Rk\G1 с сохранением условия A1.25) таким образом, чтобы
*|>12<0 на G2. (Такое продолжение всегда возможно [92].) В резуль-
результате получим функцию Ф12(у1, 0*, v2t 0*), определенную на всем
-пространстве Rk.
В качестве одного из возможных продолжений функции
Q** ^2» ®i) на область G2 можно предложить следующее!
цA ? » 2)
(vv 0Г, vt, 02*) sign [Ft (vL, vl9 0^) Ai F% E,, olf ©t)] -
^, vl9 0t), f2(y2, t;2, 0*)}, A1.27)
где Дх — операция /^-конъюнкции [104].
Определение ИЛ. Функция Ola(i>i, 0f, у2, 0*) называется норма-
нормализованной Ф-функцией, а определяемая ею поверхность — нормализо-
нормализованной Ф-поверхностью (сокращенно Фп-функцией и Фп-поверхностью).
Рассмотрим процесс построения Ф-функции объектов S2 и cSt =■
Решим задачу минимизации следующей определенной на G%
функции:
4 *
щи наличии уравнений связи вида A1.21)—A1.22). Проводя рассуж-
рассуждения, аналогичные приведенным выше, введем в рассмотрение функ-
функцию 1|)^2 (v19 9lf v2, 02), удовлетворяющую условию
^;2К. в*, *lf 02*) - min p(y, Y;2) + о, (Н.28)
где Yi2 — поверхность, задаваемая уравнением:
♦»(»i. et» ^2» e*)-c»o,
a Vi2 — некоторая константа, определяемая ф-объектами St и 52.

Продолжим функцию \|){3 на множество G2 с сохранением условия
A1.28), изменяя ее знак на противоположный. Тогда Ф^-функция
объектов cSt и S2 примет вид
==— 4>'i2(vi> e?> v2> 9!)sisnfi(^ ^i» 0Г)-
Перечислим наиболее важные свойства Ф„-функции. Все свойства
функции г|I2 сохраняются и для функции Ф12. Однако Ф„-функции
присущи и некоторые другие свойства [122, 136]. Перечислим их.
Свойство 1. Во всех точках дифференцируемое™ функции Ф12 спра-
справедливо i| grad Ф121|==1.
Свойство 2. Если ф-объекты ограничены, то соответствующая им
Ф/гФункция не ограничена сверху.
Свойство 3. Если один из ф-объектов не ограничен, то Ф„-функ-
ция не ограничена снизу.
Свойство 4. Ф„-функция определена и непрерывна на Rk.
Свойство 5. Справедливо следующее равенство:
ф12 (р1э 6Х, v2y 02) = Ф12 \А (v2 — Vj), 02 — Вг], A1.29)
где Ф12 (v2) 02) — Ф„-функция ф-объектов Sx (u^ и 52 (и2) при vt =
= ех = о.
Отметим наиболее важное с точки зрения формализации задач
геометрического проектирования свойство Фп-функции.
Характеристическое свойство Фп-функции.
Фи(»1. ei' у2» 02)>О» если dS^) П clS2(tt2) = 0,
intSt (щ) П int52(tt2) = 0, A1.30)
Ф12(их, 02, v2, 92)<0, если intS^tti) fl intS2(u2)^ 0.
Таким образом, характеристическое свойство Ф,гфункции позволяет
говорить о пересечении, непересечении и касании соответствующих
точечных множеств. Сделаем следующее обобщение.
Определение II.2. Любая, всюду определенная и непрерывная
функция в Rkt обладающая свойствами A1.30), называется Ф-функ-
цией, а поверхность Yi2» определяемая уравнением Ф^О^, Bl9 v2, 92) =
= 0, — Ф-поверхностью.
Ф-функцию можно рассматривать как функцию, заданную на под-
подпространстве пространства геометрических информации. Действительно,
пусть заданы информации gc = ({s1}, {m1}, {#<•}), I = 1, 2, .. ., п,
индуцирующие точечные множества в пространстве R1. Эти информа-
информации порождают пространство информации G. Ф-функция ф-объектов
Si и Sj в данном случае определяется на подпросаранстве простран-
пространства G, порожденного переменными ut и иг Здесь, естественно, речь
идет о £>задачах с неподвижными границами.
В £>задачах с подвижными границами Ф-функция, как нетрудно
видеть, будет определена на подпространстве пространства G, порож-
59

денного переменными параметрами размещения ис, и/, а также пере-
переменными метрическими характеристиками т°.
Рассмотрим ряд конструктивных соображений, связанных с постро-
построением Ф^-функций для многосвязных ф-объектов. Пусть
Sa£3Kb Тогда ф-объект Sx можно представить в виде
где S{G®{, f = 0, 1 p.
Построим Ф,гфункции ф-объекта S2 и ф-объектов S?, cS\*=Rl\
\5j, t = 1, 2,. . ., р. При этом, положив v1 = 0, 0Х = 0, получим
зависимости ФЬ^»^)- Тогда для любых значений параметров раз-
размещений v2 и 82 Ф-функция ф-объектов Sx и 52 определится такз
Ф12 (оа. е2) = ш^х ф{2 (и2 — vl в2) =
V(oa-o{, e2)],
где (у1, 0i) — параметры размещения ф-объектов Si, t = 0, 1, ... , /?,
а V1 — сокращенное обозначение (р + 1)-й операции /^-дизъюнкции
[104].
Действительно, если параметры размещения таковы, что ф-объект
S2 пересекается одновременно с ф-объектом S? и с одним из ф-объек-
ф-объектов cS\, i'=l,2,...,/?, то, по крайней мере, одна из функций Ф^,
/ = 0, 1, . . ., р будет иметь отрицательное значение при этих пара-
параметрах Отметим, что параметры {v\, BJ, / = 0, 1, . . ., р однозначно
определяются параметрами ф-объекта Sv При этом целесообразно
положить vl = vi
l
Воспользовавшись свойством 5, Ф^функцию ф-объектов 5Х и 5а
можно записать следующим образом:
Фц(Р19 6lf v%, 62) = Ф12 [Л (v2 — vj, 0,-6,] =
- Vi{Ф12iAt (v2-v,-v[)9 e2-ej}. (И.32)
i0
Vi
i=0
Пусть SigSRp, a S2g3R^ Представим ф-объект Sx в виде A1.31),
а ф-объект S2 — в виде
где SoG^Ri» t=0, 1,...,9- Тогда для определения Ф-функции
^n(vv 9i» У2» %) ф-объектов Sx и S2 можно построить Ф-функцию
Ф*2(^, QiV2, 6а) ф-объектов S^SRp и S2^SR{ и Ф-функцию Ф*2*(^,
60

0i» y2» %) ф-объектов S?£3Ri и S2£$^. Для этого достаточно исполь-
использовать приведенный выше подход. В результате
Ф12 fai. ei> ^2> 92) = max {Ф?2 (vly 9lf i>a, 92),
»1 А, и2, е2)} = фГз^, elf v2, e2) \лф*2*>1> elf о„ е2),
(^, 9lf l>2, 92)= V^
К, 9Х, и2, е2) = Vi Ф21 \а% (v, — хА — оа), е2 - ех],
где Vi — операция ^-дизъюнкции, Ф{2, f = 0, 1, ... , р — dV-функции
<р-объекта S% с ср-объектами S[t i = 0, 1, . .., р при vx = 9Х = 0, а
ф^ь /==0, 1, . . . , ^ — Фп-функции ф-объекта Si с ф-объектами S^
/ = 0, 1, . .., q при 02 = е2 = 0.
II.3. Формализация с помощью Ф-функций
отношений непересечения, размещения
в области и покрытия
Формализовав условия взаимного непересечения ф-объек-
тов Si и S/ с помощью характеристического свойства Ф-функций,
имеем
Ф;/(с\, 9м vh 97)>О, A1.33)
г^ Ф*/(-) — Ф-функция ф-объектов Sc и S/, a (vi9 Q() и (v/, 9/) — их
параметры размещения.
Если при размещении накладываются ограничения на максимально
и минимально допустимые расстояния между ф-объектами S( и S/
(соответственно <1ц и /t/), то с помощью аппарата Ф-функций эти
ограничения можно формализовать так:
/,/<Ф,/(»„е,, vh e,)<du. A1.34)
В частном случае при 1ц = йц = 0 ограничение A1.34) является усло-
условием касания ф-объектов St и S/ и определяет Ф-поверхность Ф-функ-
ции Ф;/(-)- При 1ц = 0 и йц = оо из условия A1.34) следует A1.33).
Аналогично формализуются условия размещения ф-объекта в обла-
области So:
Ф<о(и„в„ о0, 90)>0, A1.35)
где Ф^о — Ф-функция ф-сбъектов St- и cS0 = Rl\S0. При этом по-
поскольку параметры размещения (и0, 90) ф-объекта So фиксированы
(см. §П.1), то, положив ио = О, 90 = 0, зависимость A1.35) можно
записать следующим образом:
Ф?(^,^) = Ф,о(^, 9,, 0, 0)>0.
61

В задачах размещения с подвижными границами могут изменяться
метрические характеристики т° области размещения 50. В этом случае
при формализации условия размещения ф-объекта S,- в области So
Ф-функция задается для ф-объектов cS0(nt°) и Si9 где через S0(m°)
обозначен ф-объект So с параметрами размещения v0 = 0, 80 = 0 и
заданными метрическими характеристиками т°.
Тогда зависимость A1.35) примет вид
Ф?№, е„ in0) = Oco(vh в,, 0, 0, т°) > 0, A1.36)
где Фо/ — Ф-функция ф-объектов cS0(tn°) и S{.
Таким образом, функции, входящие в неравенства A1.33)—A1.36),
аналитически формализуют условия (П.2)—(II.4) (см. § П.2).
Остановимся на вопросе формализации условий покрытия ф-объекта
So ф-объектами Sl9 S2, ..., Sn с помощью введенного аппарата
Ф-функций [143]. Для формализации отношений в задачах размеще-
размещения достаточно строить Ф-функции для каждой пары объектов. К сожа-
сожалению, такой подход не приемлем при решении задач покрытия, где
необходимо характеризовать совокупность ф-объектов. Указанные
сложности можно обойти, введя в рассмотрение некоторый объект,
представляющий собой при фиксированных параметрах размещения
объединение покрывающих ф-объектов. Поясним сказанное.
Пусть заданы ф-объекты St {ut) с параметрами размещения ut =
= (vi9 Bt), / = О, 1, . .., п. Как и ранее, зафиксируем положение
ф-объекта So, положив v0 = 90 = 0. Рассмотрим объект
Т(и1у и„ ..., «„) = /?'VIM, (и*)-
Заметим, что Т (их, и2У .. ., ип), вообще говоря, не ф-объект (см. § 1.1).
Итак, при каждом фиксированном наборе параметров размещения
иъ и29 ... , ип объект Т(ии и2, .. ., ип) представляет собой допол-
дополнение к объединению ф-объектов 5;(а<), i = 1, 2, .. ., п. Для этого
объекта можно записать уравнение общего положения, например,
использовав теорию ^-функций [106]
f (у*, vl9 ег, v%9 е2,..., Vn9 On) = Vi f (v*9 vi9 et.) = o,
где и* = (v*9 v*, . .., оГ).
Согласно формуле (II. 15), условие покрытия ф-объекта So ф-объек-
ф-объектами S19 S2, ..., Sn состоит в непересечении множеств S0(m°) и
Т (щ, и2У ..., ип). Это хорошо видно из рис. 31, где заштрихованы
область покрытия So и объект Т (и19 «2, ..., ип) при фиксированных
параметрах размещения и19 и2У .. . , ип.
Таким образом, условия покрытия можно формализовать так:
ф(^, ег, vt, e2, ..., Vn% en)>o, (и.37)
где Ф(у,, 0lf v2y Э2, ..., vn, 9м) — Ф-функции объектов 50 и Т(uL9
и2У ..., ип). В задачах покрытия с подвижными границами области,
62

очевидно, условие покрытия будет фор-
формализоваться аналогично и примет вид
\ vlt 01э v2y Э2, ..., vn, 9„) > 0,
где Ф(т°, t>!, 0г, v2, 92,^.. ., 1>„, вп) —
Ф-функция объектов 50 (пг°) и Т (uly u2i ...
..., «л).
Полученные Ф-функции позволяют
получить аналитическое представление
зависимостей в неравенствах (П.6), (П.7).
Для построения Ф-функции объектов Рис- 31-
So и Т используем технику введе-
введения Ф-функции для двух объектов. При этом тот факт, что то-
точечное множество Г, вообще говоря, не является ф-объектом, прин-
принципиального значения не имеет. Однако это существенно затрудняет
получение искомой зависимости. Действительно, для построения*
Ф-функции требуется решить оптимизационную задачу: минимизиро-
минимизировать выпуклую функцию при наличии уравнений связи, которые*
будучи уравнениями общего положения ф-объектов, зависят от их
формы. Форма же объекта Т составная и не фиксирована (так как
зависит от параметров ф-объектов Slf 52, ..., Sn), а функция F (и*„
щу и2, ..., ип)у входящая в уравнение общего положения объекта 7\
невыпуклая. Таким образом, получение зависимости A1.37) требует
привлечения сложного аппарата математического программирования
и нэ всегда возможно. Поэтому для формализации и решения задач
покрытия применение аппарата Ф-функций возможно лишь при не-
небольшом числе объектов и их простой форме. Формализация условий
покрытия в случае объектов произвольной формы предлагается в § II.7.
Итак, аппарат Ф-функций наиболее эффективен в задачах размеще-
размещения. Но для того чтобы формализовать ограничения A1.33)—(И.36)>
требуется получить соответствующие зависимости в явном виде.
В связи с этим рассмотрим способы построения Ф-функций ф-объек-
ф-объектов St и S2. В дальнейшем для простоты изложения положим, что
параметры иг = (vl9 9i) ф-объекта Sj фиксированы: vt = 0, вг = 0,
т. е. он неподвижен. Если же в дальнейшем потребуется, чтобы все
параметры были переменными, то можно будет использовать свойство 5
Фл-функции.
Пусть Sj £Зй{ и S2£3Ki с каноническими уравнениями вида (И.1>
и (II.2) соответственно, причем функции ft(v) и f2(v) непрерывно
дифференцируемы. Тогда задача A1.20)—A1.22) запишется так:
#extr p(t>*, vt) A1.38)
{v\, v*) g Gt
при наличии уравнений связи
М»*) = 0, A1.39)
F2(v$y v2, 92) = 0, A1.40)
где с учетом A1.23) F2{v*2, v2, 92) = f2{A2(v?-v2)].
6Э

Решить эту задачу можно классическими методами [10, 68, 87}
поиска экстремума при наличии уравнений связи. Естественно при
этом потребовать, чтобы функции /г и F2 были из соответствующих
классов, позволяющих легко решать поставленную оптимизационную
задачу.
Следующий подход к построению Ф-функции основывается на
одном ее замечательном свойстве. Оказывается, что Ф-поверхность
для всякой пары ф-объектов известна под названием годографа функ-
функции плотного размещения (г. ф. п. р.) [125, 128]. Различные способы
построения г. ф. п. р. предложены в работах [24, 69, 134, 135].
В указанных публикациях речь идет в основном об объектах, явля-
являющихся либо кругами, либо ф-многоугольниками. Таким образом,
сузив класс ф-объектов до класса ф-многоугольников либо кругов,
можно использовать построение Ф-функции с помощью г. ф. п. р.
Заметим, что поскольку при фиксированных значениях парамет-
параметров размещения значение Ф-функции равно кратчайшему расстоянию
между ф-объектами (если они не пересекаются), то для вычисления
Ф-функции можно использовать алгоритмы определения расстояния
между точечными множествами, в частности метод [79].
Ф-функцию можно также построить с помощью структур нера-
неравенств [74]. По существу, структура неравенств, описывающая
условия непересечения ф-объектов и их размещения в области, пред-
представляет собой эквивалентную запись Ф-функции. Указанный подход
подробно изложен в следующих параграфах.
II.4. Структуры неравенств и их свойства
Понятие структур линейных неравенств было введено
в связи с формализацией отношений в задачах размещения геометри-
геометрических объектов и рассматривалось в работах [70—76]. Свое на-
название этот аппарат получил по аналогии с известным понятием
структуры [64] как множества с заданными на нем бинарными отно-
отношениями пересечения и объединения.
Определение II.3. Структурой неравенств ©($(#), Д, т) назы-
называется упорядоченный набор % (х) неравенств вида }. (х) < 0, x£Rk,
i = 1, 2, . .. , т с определенными для каждой пары неравенств опе-
операциями конъюнкции или дизъюнкции, представленными в виде сим-
симметричной матрицы А = Hfii/ljmxm.
Операции конъюнкции между i-м и /-м неравенствами соответст-
соответствует значение 6t/= 1, а операции дизъюнкции — 6t/= 0. При этом
полагаем 6it = 1, i = 1, 2, . .. , m. Очевидно, что в понятии струк-
структуры неравенств обобщено понятие системы неравенств. Так, если
все элементы матрицы Д структуры ©(§(*), Д, т) равны единице,
то структура неравенств будет тождественна системе неравенств набора
$(х). Матрицу операций с единичными элементами обозначим Д\
а структуру &($(х), Д1, т) будем называть системой неравенств.
В дальнейшем также будем пользоваться обозначением Д° для мат-
матрицы операций, все недиагональные элементы которой равны нулю.

Введем еще одно определение.
Определение И.4. Структура ©($(*), Д, т), все неравенства
набора %(х) которой линейны, называется структурой линейных
неравенств.
Приведем наиболее интересные свойства структур неравенств [74].
Для любой структуры ©(§(*), А, т) из набора Щ (х) можно
выделить, по крайней мере, один набор % (х) неравенств, связанных
между собой операцией конъюнкции, причем среди неравенств набора
%{х), не включенных в $(х), нет ни одного, связанного одновре-
одновременно операцией конъюнкции^со всеми неравенствами из %(х).
Определение II.5. Набор § (х) неравенств структуры @ (§ (х), А, т)
называется полной системой неравенств этой структуры.
Покажем, каким образом из структуры неравенств можно выде-
выделять полные системы. Включим в искомый набор §(х) неравенство
fix (х) < О, где i, бЗт = {1, 2, . . . , т}, и рассмотрим строку мат-
матрицы А с номером iv Если в этой строке все элементы, кроме 8^,
равны нулю, то в набор % (х) войдет только неравенство fix (х) < О-
Если в строке кроме 8^ существуют элементы, отличные от нуля»
то выберем любой из них, например 6Ма, /2 £ 3m, i2 Ф h- Неравенства
fit (x) < 0 и fia(x)<0 включаем в набор §(*). Теперь необходимо
найти неравенство, связанное с fit (x) < 0 и fi2(x) <0 операцией
конъюнкции одновременно. Для этого составим вектор а1 = (aj, а\, . . .
. . . , а}п)у где а) = 6/^8/^, /= 1, 2, . . . , т. Если для некоторого
неравенства fCi (х) <: 0, /36 3m» h ^ h* h ^= г'2» то включаем его в на-
набор Щ(х). Далее составим вектор а2 = (а?, а^, ... , о&), элементы
которого определяются по правилу: aj = сх;б/^3. Процесс включения
неравенств в набор § (х) продолжается аналогично.
Поскольку структура ®(S(x), A, m) содержит т<оо неравенств,
то за конечное число 6 <: m шагов будет получен такой набор S (х) =
= {///W<0> //63m, // = //, /=^i, *€3*, ^6 3^}, что среди нера-
неравенств набора %(х), не вошедших в $(х), не будет ни одного, свя-
связанного операцией конъюнкции со всеми неравенствами набора %(х).
При этом полной системе неравенств будет отвечать вектор а*-1,
содержащий ровно k единиц.
В силу ограниченного числа неравенств исходной структуры © (g (я),
А, т)у из нее можно выделить лишь конечное число различных пол-
полных систем неравенств %с (х), i = 1, 2, . .. , р.
Определение И.6. Множество значений x£Rk> при которых со-
совместна хотя бы одна полная система неравенств структуры ©(§(*),
А, /я), называется множеством, заданным этой структурой.
Таким образом, множество, заданное структурой ®(8f(x), А, т),
представляет собой объединение множеств, описанных всеми выде-
выделенными из этой структуры полными системами неравенств.
Пример II.1. Рассмотрим структуру неравенств ©(gf (x), A, m).
Пусть /л = 6, e(x) = {/<(*)<Ot (-1, 2, ... , 6}
б *5-13 43 65

!(*)=<
/t (*) = -4 (Xl + IJ — 9x1 + 36 <: 0,
д==
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
«21
Поскольку матрица операций Д симметрична, в последующих
примерах условимся указывать только ее диагональные и наддиаго-
нальные элементы.
Для данной структуры можно ука-
указать k = 3 различных полных систем
неравенств
х\ + х\ - 25 < 0,
9*2 + 36<:0,
— 16 < 0,
—x% + 1 < 0.
Рис. 32. Множество, заданное этой структурой^
на рис. 32 заштриховано.
Введем на множестве структур неравенств некоторые отношения
и операции.
Определение II.7. Структуры ©(S1 (*), Дх, т) и ©(S2(x), Да, та)
называются эквивалентными, если заданные ими множества совпа-
совпадают.
Нетрудно видеть, что введенное таким образом отношение экви-
эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и
транзитивности [55]. Отношение эквивалентности обозначим знаком
равенства. Итак, отношение эквивалентности позволяет разбить мно-
множество определенных в Rk структур на классы эквивалентности,
причем в один класс могут входить структуры с различным числом
неравенств, с разными матрицами операций и т. д.
В частности, от структуры можно перейти к эквивалентной, поме-
вдв местами некоторые неравенства и соответствующие им элементы
матрицы операций или же добавив к структуре конечный набор нера-
неравенств, который не изменит заданной ею области. Наконец, иногда
удается, не изменяя ни состава набора неравенств, ни их порядка,
изменить матрицу операций.
Пусть структуры неравенств ©($°(#), До, т0), ©(^(л:), Д1в тг)
и ©(§2(х), Д2» Щ) определены в пространстве Rk и состоят из сле-
следующих элементов:
66

go {x) = {/J (*) < 0, f = 1, 2, ... , m0}, Ao = || 6°y ||moXmo,
§i (x) = {/) (x) < 0, i = 1, 2, .. . , mj, Дх = || 6-y ||miXmi,
ga (*) = {/»(x) < 0, * = 1, 2, .. . , /n,}, Д2 = II ef/jU.xm,-
Определение II.8. Структура @E0(л:), Ао> mo) называется пере-
пересечением структур ©(g1^), Alf mx) и @(S2(*)> д2^ m2) и обозна-
обозначается
До, moJ^
, Alf mx) П
если
если ^'^ mi)
если i>mly
A1.41)
A1.42)
A1.43)
если / < ml9
т1
e^mii/-mi. если i>ml9 j
1, в остальных случаях,
/= 1, 2, ... , т, /= 1, 2, .. . , т.
Определение II.9. Структура ©(S°(*)> Ао, т0) называется объ-
объединением структур ®(%г(х), Дх, тх) и ©(S2W, A2, т2) и обозна-
обозначается
если выполняются условия A1.42), A1.43) и
б}/, если i < т1У / <: тх^
b2i-mui-mx* если i>m1, ]>т1У
{ 0, в остальных случаях,
* = 1, 2, ... , т, /= 1, 2, .. . , т.
Пример И.2. Пусть структуры &(Щг(х), Дх, тх) и ©C>2(^),
Д2, т2) таковы, что
§2 (д:) = {—хг + д:2 < 0, хг + 3 < 0, д:2 + 8 <: 0, — хх < 0},
1 0
1
1
0
1
1
1
1
1
1 1
1
0
0
1
0
1
0
1
67

Тогда в структуре, задаваемой равенством A1.41), т0 = 8, %°(х)
« {5*j + Зл-а + 1 < 0, хх — 1 < 0, х2 + 3 < 0, хх + х% < 0, —A;r
+ х% < О, ^ + 3 < 0, х8 + 8 < 0, —Xl< О},
10 1 1 1
10 11
1 1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 0
1 0
1
1
1
1
1
0
1
О
1
В структуре, задаваемой равенством A1.44), т0 и
1
те же, а
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
О
0
1
1
0
0
О
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
Утверждение II.1. Пересечение (объединение) структур нера-
неравенств @(Sx(a:), Дх, тх) и ®(Щ2(х)у Д2, т) определяет пересечение
(объединение) множеств, заданных этими структурами.
Доказательство. Пусть
До
тг) П
Д2, тЛ).
С помощью процедуры ЕЫделения полных систем из структур нера-
Еенств представим множестоа, заданные структурами @(S°(x), До, т0),
соответственно в виде
D0 = U D°h D1 = U
/1 i
D2 - U D).
i
Тогда из способа выделения полных систем из структуры неравенств
следует, что для любых i£3Pl и /бЗр2 можно выбрать такое /3
что
Отсюда
U U
1
! П
= (U о!) Л ( U
1
D1
68

Аналогично доказывается утверждение и для случая объединения
структур:
®(8°(*). До, то) = е(ф(х), Дх, тх) П®($2(*)> А2, О-
Из способа выделения полных систем из структуры следует, что мно-
множества D°h /==1, 2, .. . , р0 можно перенумеровать так, чтобы вы-
выполнялись соотношения
^о = \D\, если / <: р19
1d?_Pi, если 1>р2.
Тогда
D0=UO? = (UO?)U( U Di)~(\JD\) U (P\jtf) = IP\jD*.
/1 1 / + 1 *1 1
Введенные операции пересечения и объединения структур нера-
неравенств, очевидно, обладают свойством ассоциативности. Поэтому при
многократном применении этих операций будем применять сокращен-
р р
ные записи вида (] и (J , где р — количество пересекаемых или
i=i i=i
объединяемых структур соответственно. Кроме того, заметим, что на
множестве классов эквивалентности структур операции пересечения
и объединения обладают свойствами коммутативности и дистрибу-
дистрибутивности.
Из утверждения II. 1 следует справедливость следующего факта.
Утверждение 11.2. Любая структура @(S (x), А, т) эквивалентно
представима в виде объединения конечного числа систем неравенств
«(«(*), Д, m)= U «(&(*). Дх> rrii).
i«=i
Ясно, что в качестве систем неравенств в правой части данного
выражения могут выступать выделенные из исходной структуры пол-
полные системы неравенств.
Как отмечалось выше, структуры неравенств представляют в опре-
определенном смысле обобщение понятия системы неравенств. Поэтому для
структур вводятся аналогично определения совместности и их решения.
Определение 11.10. Структура неравенств 6(§(а;), А, т) назы-
называется совместной, если задает непустое множество.
Определение 11.11. Решением структуры ®(8(а;), Д, т) называ-
называется процесс отыскания точки, принадлежащей заданному этой струк-
структурой множеству.
Если точка, принадлежащая заданному структурой множеству,
найдена, будем говорить, что. она удовлетворяет этой структуре
неравенств.
Из утверждения П.1 следует, что решение структуры неравенств
§(), Д, т) можно свести к решению р систем неравенств, выде-
выделенных из структуры. Такой подход универсален, однако в общем
случае приводит к излишним вычислительным затратам. Для случая
структур линейных неравенств в работах [72, 75] предложен подход
к решению структур, являющийся модификацией метода исключения
69

неизвестных для сиаем неравенств [63]. Предлагаемый подход непо-
непосредственно использует специфические свойства структур линейных
неравенств, что значительно сокращает вычислительные затраты.
Кроме того, он позволяет строить ортогональные проекции много-
многогранного множества, заданного структурой линейных неравенств, на
подпространства меньшей размерности.
В основе подхода лежит идея построения такой положительной
комбинации неравенств, добавление которой к структуре не изменяло
бы заданного ею множества. Опишем этот подход подробнее, сле-
следуя [72, 75].
Пусть дана структура ©E (я), Д, т), в которой неравенства,
входящие в набор %(х)9 имеют вид
п
X ciikXk + Ьс < 0, i = 1, 2, .... /л, A1.45)
где им и bt — постоянные величины.
Рассмотрим положительную линейную комбинацию 1-го и /-го
неравенств
2 (*alk + pay*) xk + abi + рб, < 0, A1.46)
где a>0 и р>0.
Возьмем i-e и j-e неравенства структуры такие, что 6ty = I, i£
€3m, /(:3m, ЬФ]. Присвоив неравенству A1.46) номер m+1 и до-
добавив его к неравенствам из набора %(х)У получим набор %i[x).
В матрице операций Д допишем строку и столбец с номером m+1
и элементами
Л« 1, 2, .. . , т. A1.47)
Полученную матрицу обозначим Дг. Таким образом, сформирована
некоторая структура @(§i(#), Ai, m+1). Нетрудно убедиться, что
в(в(х), А, т)-©(«Л*), Alf m+1). A1.48)
Действительно, рассмотрим наборы полных систем неравенств структур
©(§(*), Д, т) и ©(SiW, Ai, m+ 1). Они отличаются лишь систе-
системами, в которые одновременно входят i-e и j-e неравенства. Причем
системы, выделенные из структуры ®(%i(x), Ax, m-f 1), могут быть
получены добавлением неравенства A1.45) к соответствующим систе-
системам, выделенным из ®(8(я), Д, т). Но добавление положительной
линейной комбинации неравенств к системе не изменяет определяе-
определяемого ею множества. Поэтому области, задаваемые наборами полных
систем неравенств структур ®C(я), Д, т) и ©(^(я), Ai, m+1),
совпадают, а следовательно, имеет место равенство A1.48).
Таким образом, добавление к структуре в соответствии с прави-
правилом (П.47) положительной линейной комбинации неравенств, свя-
связанных операцией конъюнкции, не изменяет заданного этой струк-
структурой многогранного множества. Указанное свойство позволяет
использовать для решения структур линейных неравенств метод исклю-
70

чения неизвестных, который применяется для решения систем линей-
линейных неравенств.
Метод исключения заключается в следующем [63]. Пусть в систему
неравенств вида A1.45) входят такие линейные неравенства с номе-
номерами i и /, что коэффициенты при хру р £ Зл в них отличны от нуля
и противоположны по знаку, т. е.
aipalP<0. (II.49)
Тогда, если в неравенстве A1.46) положить
коэффициент при хр в нем станет равным нулю, а неравенство A1.46)
в этом случае будет описывать ортогональную проекцию на прост-
пространство Rn-{ с системой координат Ох1...хр—\хр+\...хп пересечения
полупространств в Rn, заданных i-м и /-м неравенствами.
Таким образом, если среди неравенств системы есть удовлетво-
удовлетворяющие свойству A1.40), то переменная х(р) исключается в резуль-
результате построения положительных линейных комбинаций всех пар таких
неравенств. Эти комбинации, а также неравенства с нулевыми коэф-
коэффициентами при хр выделяются в отдельную систему. Если же среди
неравенств системы нет ни одного с нулевым коэффициентом при хр
и нет ни одной пары с противоположными по знаку коэффициентами
при Хру то ортогональная проекция множества, заданного в Rn такой
системой на пространство Rn~{, очевидно, прия> 1 совпадает с Rn-~l.
Пусть в пространстве Rn (я>1) определена структура линейных
неравенств &(Щ(х)> Д, т)> набор %(х) которой, в свою очередь,
состоит из наборов Щ+(х)> Щ~(х), 9°(х) неравенств с положительными,
отрицательными и равными нулю коэффициентами при переменной хр
соответственно. Обозначим через I = \iv /2, ..., imt} и J = {jly
/2> ••• > /mf} номера неравенств, входящих в наборы $+(х) и 8>~(я)
соответственно, а через ki—количество неравенств из набора %+{х),
связанных операцией конъюнкции с 1-м неравенством при / £ /, и на-
набора §""(*) — при /£/.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема II. 1. Если найдется такое l£l [) J, что kt = 0 и среда
выделенных из структуры ©(§ (х). А, т) полных систем, включаю-
щих в себя 1-е неравенство, есть, по крайней мере, одна, не содер-
содержащая ни одного неравенства из набора %°(х), то ортогональная
проекция на пространство Rn-X множества, заданного структу-
структурой <В(%(х), Д, т), совпадает с Rn~l.
Доказательство теоремы приведено в [72].
Пусть среди неравенств структуры ©($(#), Д, т) нет ни одного,
отвечающего условиям теоремы II. 1. Тогда величина
L = I] kt = £ А/
определяет максимальное число различных пар неравенств из набора
§ (х) таких, что неравенства, образующие эти пары, связаны опера-
операцией конъюнкции и имеют противоположные по знаку коэффициенты
71

при переменной х. Построим такие положительные линейные комби-
комбинации указанных пар неравенств, чтобы коэффициенты при хр были
равны нулю. Последовательно добавляя к структуре ©(§(#), А, т)
по описанным выше правилам эти линейные комбинации, получаем
структуру ©(§l(*), Al, m + L). По построению
© (8l (x), Al, m + L) = в (8 (x)y A, m).
Выделим из структуры ®(8l(*), Al, m + L) структуру в С¥(х), &,g)9
включающую в себя только неравенства с нулевыми коэффициентами
при переменной хр. Для этого из набора %l{x) исключим неравен-
неравенства с ненулевыми переменными прч хр> а матрицу А получим в ре-
результате вычеркивания строк и столбцов матрицы Al, соответствую-
соответствующих исключенным из §l(*) неравенствам.
Теорема II.2. Структура ©(¥(*), A, g) описывает ортогона-
ортогональную проекцию многогранного множества, заданного в Rn струк-
структурой ®(8> (я), Д, т) на пространство Rn~l с системой координат
0х1.. .хр^\Хр^\...хп*
Доказательство. Представим структуру @(SlW, Al, т +
-f- L) в виде объединения выделенных из нее полных систем нера-
неравенств. Тогда по построению эти системы содержат неравенства
с коэффициентами при хр, равными нулю и полученными в резуль-
результате положительных линейных комбинаций всех пар неравенств
с противоположными по знаку коэффициентами при хр. Согласно
методу исключения [63], подсистема всякой такой системы, содержа-
содержащая неравенства с нулевыми коэффициентами при хр, описывгет орто-
ортогональную проекцию на Rn-~l множества, заданного исходной системой
неравенств. Значит объединение, выделенных подсистем будет описы-
описывать ортогональную проекцию на Rn~x множества, заданного струк-
структурой ©(SlWi Al, m + L) или же эквивалентной ей структурой
®(8>(дс), А, т). Но объединение подсистем по построению совпадает
с объединением всех выделенных из <В(Чг(х), A, g) полных систем.
Описанный подход к исключению неизвестного хр из структуры
®(8(*), А, т) естественным образом распространяется на случай
исключения из структуры нескольких переменных. Пусть структура
®(8>о(*)» ^о» то) задана в пространстве /?п(я>1), а последователь-
последовательность структур ©(8t(*), A,, m£), i= 1, 2, ... , L<n получена в
результате последовательного исключения из структуры @(S;_-iU),
А/+ь ^i—i) переменных Xi. Предположим, что ни одна из структур
в этой последовательности не удовлетворяет условиям теоремы 11.1.
Тогда можно утверждать следующее.
Теорема Н.З. Структура в(8{?\ Al, tnL) описывает ортого-
ортогональную проекцию многогранного множества, заданного в Rn
структурой @(S0W> Ao» то) на пространство Rn~L с системой
координат OxL+lxL+2...Xn'
Построенную процедуру ортогонального проецирования можно ис-
использовать для проверки совместности структуры ©Cfo(#), AOf m0),
а также отыскания некоторой точки x°^Rny удовлетворяющей дан-
данной структуре.
72

II.5. Использование структур
линейных неравенств при формализации
ограничений в задачах размещения
Рассмотрим формализацию условий взаимных непересе-
непересечений ф-многоугольников на основе структур линейных неравенств^
[70, 75]. Пусть St и S2— многоугольники с параметрами размеще-
размещения х1 = (х1У г/х) и х2 = (х2, у2) соответственно. Обозначим через
вE1(х), А1у тг) и ©(S2(*)> А., т2) структуры линейных неравенств,
задающих St и S2. Для построения таких структур необходимо опи-
описать ф-многоугольники логическими формулами, а затем перейти от.
полученных логических формул к структурам.
Рассмотрим множество S1(a;1) П S2(x2). При фиксированных пара-
параметрах размещения х1 и х2 оно может быть задано пересечением-
соответствующих структур
©($!(*_*!), дз, щ) Л &($*(x — x*), Д2, т2). A1.50)
Пусть элементы векторов х = (xv х2), х1 = (х\У х2), х2 = (х\, х2) при-
принимают произвольные значения. Тогда структура неравенств A1.50)
описывает некоторое многогранное множество W в пространстве R6.
Укажем некоторые свойства множества W. Если St ф 0 и S2^= 0r
то всегда найдутся такие параметры размещения х1 и х2
гоугольников, что
Поскольку значения х1 и х2 не ограничены, множество W также
не ограничено.
Рассмотрим множество У, представляющее собой ортогональную
проекцию множества W на пространство R* с системой координат
Ох\х\х\х1У т. е.
где Рг — оператор ортогонального проецирования.
Теорема П.4. Для выполнения соотношения A1.51) необходимо
и достаточно, чтобы (х1, x2)£V.
Доказательство. Пусть имеет место условие A1.51). Тогда
существует точка (х, х1, x2)£W, удовлетворяющая структуре A1.50).
Однако точка (я1, х2) как ортогональная проекция точки (х, а:1, х2}
на пространство ^4 в силу A1.52) принадлежит V.
Докажем достаточность. Пусть имеет место включение (a;1, x2)£V.
Тогда из A1.52) следует, что существует, по крайней мере, одна
точка (х, х1, x2)£W, т. е. структура A1.50) совместна и выполня-
выполняется соотношение A1.51).
Следствие II.4.1. Для того чтобы S1(x1) (] S2(;r) = 0, необхо-
необходимо и достаточно выполнение условия (jc1, x2)£R*\V.
Рассмотрим выпуклые ф-многоугольники S± и 52 и определим*
при каких значениях их параметров размещения
int Sx (jc1) П int52(A;2) = 0. A1.53)
7a

Теорема Н.5. Для того чтобы для выпуклых ^-многоугольников
выполнялось условие A1.53), необходимо и достаточно, чтобы их
параметры размещения х1 и х2 удовлетворяли условию
(х\ x2)£R*\\ntV.
Доказательство теоремы приведено в [75].
Теоремы II.4 и II.5 позволяют найти необходимые и достаточные
условия выполнения соотношения A1.53) в случае, когда множества
St и S2 невыпуклые.
Действительно, предположим, что
5Х= U Si A1.54)
S2= fisj, (П.55)
где S], i = 1, 2, ... , р± и S/, / = 1, 2, . .. , p2 — выпуклые мно-
множества.
Каждой паре выпуклых множеств S] и S/ отвечает структура,
представляющая собой пересечение структур, задающих множества
S\ и Sy. Эта структура определяет в пространстве R6 некоторое мно-
многогранное множество Wtj, ортогональная проекция Уц которого на
пространство /?4 согласно теореме II.4 обладает следующим свойством:
для того чтобы
int S) (х1) П int S/ {х2) = 0 A1.56)
необходимо и достаточно, чтобы (х1, х2)£ /?4\int Vij. Вместе с тем
для выполнения условия A1.53) требуется, чтобы равенство A1.56)
имело место для каждой пары множеств S/ и S/ представлений
A1.54)—A1.55). Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема II.6. Пусть множества S± и S2 представимы в виде
объединения выпуклых множеств и имеют вид A1.54) и (П.55)
соответственно. Тогда для выполнения условия A1.56) необходимо
и достаточно, чтобы
(х\ х2NД .R(/?4\m
Таким образом, может быть предложен следующий подход к по-
построению области D, определяющей условия взаимных непересечений
<р-многоугольников Sx и 52:
осуществить разбиение ф-многоугольников Sx и 52 на выпуклые
ф-многоугольники S}, i = 1, 2, . . . , рх\ S/, /= 1, 2, . .. , /?2;
построить условия взаимных непересечений каждой пары выпук-
выпуклых многоугольников S\ и S/, i » 1, 2, . . . , pl9 j » 1, 2, . .. , р2\
определить пересечение множеств, определяющих условия взаимных
непересечений каждой пары выпуклых ф-многоугольников.

Заметим, что теорема II.5 справедлива для любого разбиения
множеств Sx и S2 на выпуклые части. Поэтому в качестве такого
разбиения можно рассматривать эквивалентные преобразования струк-
структур ©(S1^), Ai> Щ) и ©(S2(#), А2, Щ) к объединению их полных
систем неравенств, т. е.
j) ((*), A1, ml),
(*), А2, m2) = &$
Отсюда следует, что структуру A1.50) можно представить в виде
S
S .&[©(&'(*-*')> Л1, rn\) n @(S/(*-*2), A1,
Пусть структура ©(§(#\ я2), А, т) получена в результате исклю-
исключения переменных хг и х2 из структуры СИ.50), а системы ©(Sfi/C*1»
л:2), A1, triij) — исключением этих переменных из систем ©(S!(x— х1),
А1, т)) П C(g?(jc — л:2), А1, /и?), i = 1, 2, . . . , Л, /= 1, 2 р2.
Преобразуем структуру @(S(^1> ^2)» А, т) эквивалентно к объе-
объединению систем
@(S(x\ x2)t A, /n)=JJ ©(Ч^*1, ^2), А1, я,).
Если переменные л^ и ^2 исключались согласно рассмотренному
выше подходу, то справедлива следующая теорема [75].
Теорема II.7. При указанных выше предположениях можно за-
задать такой порядок нумерации k = fe(/, /) систем, что
*1, х2), А1, лЛ) = в(»£/(jc1, х2), А1, тц)%
еде i= 1, 2, ... , а, / = 1, 2, . . . , /?2, й = 1, 2, .. . , /?, /? =
Таким образом, для построен 1я условий взаимных непересечений
выпуклых ф-многоугольников достаточно исключить переменные хх
и х2 из структуры A1.50), преобразовать полученную структуру экви-
эквивалентно к объединению систем, а затем заменить в этих системах
знаки неравенств на противоположные. При этом в матрице операций
берется логическое отрицание всех недиагональных элементов, т. е.
0 заменяется на 1, а 1—на 0.
Приведенное в данном параграфе описание условий пересечения
ф-многоугольников в виде структуры линейных неравенств есть ничто
иное, как эквивалентная запись ненормализованной Ф-функции этих
Ф-многоугольников. Действительно, пусть структура неравенств
&{$(хг, х2), А, т) задает условия непересечения ф-многоугольников
Sx и S2. Тогда, использовав приведенную выше процедуру выделения
полных систем неравенств, и теорию /^-функций [106], можно пост-
построить неравенство вида Ф12 (а;1, х2) > 0, которое описывает ту же
область, что и структура ©(^(л:1, х2) А, т). Ясно, что Ф12(#\ х2)
75

представляет собой ненормализованную Ф-функцию ф-многоугольни-
ф-многоугольников St и S2.
Пример II.3. Для двух прямоугольников Sx и S2, заданных
системами неравенств
< О,
хх — 1 < О,
— х2 < О,
х2 — 6 < О,
xx —5 < 0,
— x2 < 0,
x2 —2 < 0,
условия взаимных непересечений определяются структурой ©(^(х1, х2),
А, /и), где т = 4;
10 0 0
— 5 >0,
— х* — 6 >0,
;—2 >о,
Тогда искомая ненормализованная Ф-функция имеет вид
Ф12 (х1, х2) = (х\ — х\ — 1) \г (—х\ + х\ — 5) Vx (х
х\
■х\
А =
1
0 0
1 0
1
После очевидных преобразований получим
Фи(*S x2) = j (-7+ 1x1-^ + 21
Обратим внимание на еще одно важное с практической точки зре-
зрения свойство предложенного способа построения условий непересече-
непересечения ф-многоугольников и размещения их в области. Оно касается
£*£-задач с подвижными границами.
Ограничения в таких задачах также могут быть записаны с
помощью структур линейных неравенств. Действительно, перемен-
переменные метрические характеристики т° геометрической информации g
об области в этом случае войдут в неравенства набора структуры
©(8(х), А, /и), т. е. 8(х) ==§(*> ^г0)- Ясно, что введение новых
переменных в структуру A1.50) не изменит способа исключения из нее
переменных х = (хх, х2), т. е. подход к по-
построению условий непересечения и разме-
размещения ф-многоугольников в области рас-
распространяется на данный класс £^-задач.
Проиллюстрируем сказанное на при-
примере формализации ограничений на сле-
следующем важном классе £>задач с под-
вижными границами.
^ Пусть имеется полубесконечная поло-
полоса So ширины а, расположенная вдоль
рис. зз. оси абсцисс (рис. 33), и п ориентирован-
76

ных ограниченных ср-многоугольников Sl9 S2, . . . , Sn. Необходимо
найти такое размещение этих ф-многоугольников в полосе, чтобы
длина г ее занятой части была минимальна. Ясно, что при этом па-
параметры размещения xi = (х[, х12) ф-многоугольников St-, i = 0, 1, ...
... , п должны быть такими, чтобы
So (*) П St (х*) = S( f *'), mt S, (*') П int S, (xf) = 0,
U /= 1, 2, . .. , n, /> i\
где S0(z)— часть полосы So длины г при xj = л:^ = 0.
Приведем формальное описание условий непересечения многоуголь-
многоугольников 5Х, 52, . . . , Sn и размещение их в S0(z). Задав каждый из
ф-мнэгоугольников структурой линейных неравенств, легко построить
структуру ©(Sgf**, jcO» ^g» mg)' определяющую условие непересече-
Н!!я ф-многоугольников St- и S/. Здесь индекс g1 устанавливает порядок
нумерации этих структур, т. е. g = g(i, /).
Условия размещения ф-мнэгоугольника St- в прямоугольнике 50(г),
очевидно, задается системой неравенств ©(¥;(л;% г), Д1, 4), гдг
—х[ — ai < 0,
4 + ^2—я < о.
а[ = mm{x]l!(xLJ x2)£SJ, ^ fo/O
6i = min{^2/(^1, A:2)£St-}, fe2
i = 1, 2, ... , /2.
Тогда область допустимых решений задачи размещения ф-много-
уго!ьников в полосе мин шальной длины г определяется пересечением
структур
П О)
П @(¥((х', z), А1, 4) Л ©(&„(**, *0. Ag- «в). (Н-58)
1 = 1 g=l
где a) = Cn = n(n )/
Различные способы решения структуры A1.58), а также всей задачи
в целом предлагаются в § II 1.4.
II.6. Использование структур
линейных неравенств при формализации
ограничений в задачах покрытия
Перейдем к формализации с помощью структур ли-
линейных неравенств условия покрытия ф-многоугольника So транс-
трансляциями ф-многоугольников Sl9 S2t . . . , Sn. Пусть, как и ранее,
х{ = (*i, xl2) — параметры размещения многоугольников Sif i = 0, 1,...
...» п. Положим х[ = х\ == 0. Обозначим через <&($i{x), &if mc)
77

структуры неравенств,_задающие множества Si(x(), i = 0, 1, . . . , п,
а через ©(§*(*)> Д*, mt) — структуры, задающие_множества cS{(x£),
i s= 1, 2, . . . , л. Ясно, что структура ®(8*(*). Д/» /ю*) может быть
получена из в (8* (я). Дь /я*), если положить mc = mi9 в неравенст-
неравенствах набора 8* (х) поменять знаки на противоположные и, кроме того,
все недиагональные единицы матрицы Д, заменить нулями, а нули —
единицами.
Рассмотрим множество
ih^StixQ] П50@).
При фиксированных параметрах размещения ф-многоугольников Si9
S2, ... , Sn оно может быть задано пересечением структур
Д, /п) = в(80(х), До, т0) П
Л [П «($,(* —*'). Д,, mt)\. A1.59)
i
Пусть элементы векторов х = (х1У х2) и х{ = (^{, а:^), /=1,2,...
. . . , п принимают произвольные значения. Тогда структура нера-
неравенств A1.59) описывает некоторое многогранное множестро W в про-
пространстве /?2(п+1). Обозначим ортогональную проекцию множества W
на пространство R2n с системой координат Олг^яЛ • • • *i*2 через V,
V = PrR*nW. (H.60)
Покрытие ф-многоугольника S0@) ф-многоугольниками Si{xl)$
/=19 2, ...» /I, очевидно, имеет место при
[jbst(*f)l Л5О(О) = 0, A1.61)
т. е. когда структура A1.59) не совместна.
Теорема И.8. Для того чтобы выполнялось соотношение A1.61)
необходимо и достаточно, чтобы параметры х1 = {х[, х12) <р-мно-
гоугольников Si9 i = 1, 2, . .. , п удовлетворяли условию
(*\ х\ ... , xn)£R2n\intV,
где множество V имеет вид A1.60).
Таким образом, для построения области D, описывающей условия
покрытия ф-многоуголышка So ф-многоугольниками St, 52, ... , Snt
необходимо последовательно произвести следующие операции-
^ сформировать структуры ©($0(#), До, т0) и <&($i(x — х1), Ati
mi), задающие соответственно ф-многоугольники 50@), cSt(x(), i=*
= 1, 2, ... , п\
сформировать структуру A1.59);
построить множество V вида A1.60), представляющее собой орто-
ортогональную проекцию множества, заданного структурой A1.59) на
пространство R2n переменных х\, х\у x2v х\> ... , х\, хп2\
построить дополнение множества intV до всего пространства R2n*
78

В результате
D= R*n \lntV.
Допустим, множество V вида A1.60) задается структурой а ($*(*)^
Л00, т*). Нетрудно видеть, что если в матрице А* поменять 1 на 0г
а 0 на 1, а знаки неравенств %*(х) на противоположные, то тем не
менее полученная структура не будет описывать дополнение множе-
множеству V.
Предложим следующий подход [170] к построению дополнения
к множеству, заданному в виде объединения систем неравенств.
Рассмотрим множество Y логических переменных у1У у2, ... , yt.
Обозначим через Ау множество, элементами которого являются все-
всевозможные подмножества Y. Каждому элементу Е из Ау можно
поставить в соответствие конъюнкцию Ке и дизъюнкцию De элемен-
элементов из Е.
Пусть задан двоичный предикат, определенный на Ау и удовле-
удовлетворяющий следующим условиям: если Е1, Е2 £ AYi E1 с £2, то из
Р (Е1) = 0 => Р (Е2) = 0, A1.62)
Р{Е2) = 1=фЯ(£1) = 1. A1.63)
Предположим, что задана логическая функция Ft представленная
в виде конъюнктивной нормальной формы (к. н. ф.) [161]
где D % — дизъюнкция элементов из E)cz Ay. Данной к. н. ф. соот-
е
i
ветствует дизъюнктивная нормальная форма (д. н. ф.) [161]
F«^£.. (И.65>
Здесь КЕ* — некоторые конъюнкции элементов из Ej cz Ау.
Представление A1.65) эквивалентно следующему:
F==F1\JF2y A1.66)
где Ft— дизъюнкция таких конъюнктов, входящих в A1.63), для
которых Р(КЕ2) = 1, a F2 — дизъюнкция таких конъюнктов из A1.65),.
что Р (К *) = 0.
Рассмотрим задачу определения Ft по заданному представлению
A1.62). Тривиальный подход к решению этой задачи состоит в сле-
следующем. Перемножим все дизъюнкты D \ с последующим примене-
применением операций поглощения. Затем выделим все конъюнкты, для которых
предикат Р(КЕ2) равен 1.
Такой подход применим, если число переменных, входящих в A1.64),.
невелико. Кроме того, он не учитывает свойств A1.62), A1.63) пре-
предиката, позволяющих предложить более эффективные методы решения
поставленной задачи.

Приведем алгоритм, построенный по схеме отсечения и учитываю-
учитывающий свойства A1.62), A1.63). Последовательно перемножая дизъюнкты
D ь входящие в A1.64), на k-u шаге после перемножения k дизъюнктов
получим д. н. ф., которую назовем промежуточной д. ф. н., а
конъюнкты, входящие в нее,— промежуточными конъюнктами.
Обозначим через sk число промежуточных конъюнктов, получен-
полученных на k-M шаге, а через / — число переменных.
Положим, что
Е\ = [Ури УР2...., Уц}.
Пусть t-й промежуточный конъюнкт имеет вид
у я, Л у9ш Л • • • Л v
Поставим ему в соответствие /-мерный вектор, у которого на q{-x
местах i = 1, 2, .. . , г стоят единицы, а на остальных — нули. Сово-
Совокупность таких векторов-строк составит булеву матрицу С. Таким
образом, построим взаимно однозначное соответствие между произ-
произвольной промежуточной д. н. ф. и булевой матрицей. Ясно, что на
первом шаге матрица С состоит из s1 строк, все элементы i-й строки
равны нулю, кроме р\-го места.
Пусть на k-м шаге получена промежуточная д. н. ф., которой
соответствует булева матрица
Рассмотрим (k + l)-u шаг Перемножим заданную промежуточную
д. н. ф. на дизъюнкт D \ . Ясно, что
^ V • • • V У sjfe+1-
Поставим в соответствие каждой строке матрицы С характеристиче-
характеристическое число г] по следующему правилу:
г] = — 1, если /-я строка содержит единицы хотя бы на двух из
р1г /Я, ... , pV местах, т. е. 3 i, r:c}pi = 1, с/рГ = 1;
г\ = 0, если /-я строка содержит нули на всех р\> р2., ... , psJ местах,
т. е. г..р!. = 0 VfG3S/;
-ц = /, если /-я строка содержит единицу на р месте, т. е. 3/:
с. t=l, с. =0 Чгфг. Алгоритм будет использовать следующие
очевидные соображения. Во-первых, если данный промежуточный
конъюнкт имеет метку, отличную от нуля, то он не умножается ни на
одну из переменных с индексом p\+v p2k+2, ..., p*kk+{1. Действи-
Действительно, такие метки означают, что данный конъюнкт содержит хотя бы
одну из переменных у t- , i'G3s^+r Тем самым нам не потребуется
в дальнейшем осуществлять операции поглощения.
Во-вторых, если /-й промежуточный конъюнкт имеет метку О, то
80

он умножается на переменную ур{ в том случае, когда остальные
fi
f
конъюнкты не имеют метку i (поскольку иначе произойдет поглоще-
поглощение конъюнктом с меткой i домноженного конъюнкта); для любого
t-vo конъюнкта с меткой единицы /-й строки не покрывают единиц
t-и строки, кроме, быть может, /-го места.
Рассмотрим, как преобразуется матрица С при переходе от
одного шага алгоритма к другому. Будем последовательно вы-
выбирать промежуточные конъюнкты, входящие в данную проме-
промежуточную д. н. ф. При перемножении каждого конъюнкта КЕ2 на
переменную у i ££Ь_1 в соответствии с указанными выше правилами
получим новый промежуточный конъюнкт
КЕ2 = У I Д
i
Если Р(Еа) = 1, то формируем новую дополнительную строку
матрицы С, которая будет отличаться от строки, соответствующей
конъюнкту КЕ2, единицей на /?'+1 месте. Если Р (Е2а) = 0, то допол-
дополнительная строка не формируется. Строки, соответствующие конъюнк-
конъюнктам и домноженные на у / , после (k + 1)-го шага исключаются.
По окончании £гго шага будет получена матрица С, соответствую-
соответствующая искомой д. н. ф.
Теорема 11.9. Если к. н. ф., переменные которой имеют одина-
одинаковый показатель отрицания, преобразовать в д. н. ф. в соот-
соответствии с законами дистрибутивности и операциями поглощения,
то полученная д. н. ф. будет единственной, минимальной и крат-
кратчайшей.
Доказательство теоремы приведено в [170].
На основании теоремы II.9 вытекает следующее утверждение [170].
Теорема 11.10. Предложенный алгоритм позволяет строить
единственное, минимальное и кратчайшее представление д. н. ф. Ft.
Доказательство. Предложенный алгоритм позволяет с исполь-
использованием специально введенных характеристических чисел последова-
последовательно производить операции поглощения. Следовательно, если не вы-
выполнять отсечений, использующих предикатные ограничения, то в силу
доказанной выше теоремы будет получена единственная, минимальная
и кратчайшая д. н. ф. Представим ее в виде A1.66).
Предположим, что существует другая, отличная от F, д. н. ф. вида
F'=F{\/Fi,
где F{ —д. н. ф., для конъюнктов которой соответствующий предикат
равен единице, а /V — д. н. ф., для конъюнктов которой предикат
равен нулю.
Поскольку д. н. ф. F кратчайшая, то все конъюнкты, входящие
* Р> будут входить и в F'. Следовательно, конъюнкты, входящие
Р Л» бУДут также входить в F{, т. е. представление вида Fx явля-
является минимальным и кратчайшим. Единственность Fx следует из един-
единственности F.
6 5-1343 81

Замечание. Если Р (Е) = 1 для любого Е £ AYf то предложенный
алгоритм является, по существу, тривиальным методом минимизации
д. н. ф., состоящим в перемножении всех «скобок».
Рассмотрим применение предложенного алгоритма к решению задач
аналитического описания областей сложной геометрической формы.
Будем считать, что исходная область V представима в виде объеди-
объединения систем линейных неравенств 4ri(x)f i= 1, 2, .. . , г. Все нера-
неравенства взяты из набора $(х). Перенумеруем неравенства набора % (х).
Тогда V характеризуется заданной в виде A1.64) д. н. ф., в каждый
из конъюнктов которой входят переменные с индексами, соответ-
соответствующими номерам неравенств набора ${х), образующих системы
^•(л;). Дополнение к области V будет характеризоваться к. н. ф.,
полученной применением правил де Моргана к исходной д. н. ф. При
этом отрицанию переменной у{ поставим в соответствие неравенство
с тем же номером /, но противоположное по знаку.
Теперь необходимо преобразовать к. н. ф. в д. н. ф. Решить эту
задачу можно описанным выше подходом. При этом предикатные
ограничения будут характеризовать совместность либо несовместность
систем линейных неравенств, соответствующих промежуточному ди-
дизъюнкту. Полагаем, что предикат равен 1, если соответствующая
система линейных неравенств совместна, и 0 — в противном случае.
Ясно, что такой предикат удовлетворяет свойствам A1.60), A1.61).
Для проверки совместности системы линейных неравенств существует
алгоритм полиноминальной сложности [156].
Основная сложность, связанная с использованием структур ли-
линейных неравенств, при построении области D = #2"\int V, харак-
характеризующей условие покрытия, состоит в том, что количество не-
неравенств в наборе $ (х) структуры A1.59) велико. Более того, это
число, как правило, возрастает при ортогональном проецировании на
пространство R2n. Поэтому применение предложенного выше подхода
к описанию множества D может привести к огромным вычислитель-
вычислительным затратам.
Вместе с тем в ряде задач не нужно знать описание области D,
а важно уметь находить некоторую точку из этой области, удовлет-
удовлетворяющую исходным требованиям. Например, в этой точке заданный
функционал должен достигать экстремума. Кроме того, в силу слож-
сложности практических задач покрытия в них иногда достаточно опреде-
определить хотя бы одну точку из области допустимых решений. При этом,
представив множество Y в виде объединения систем линейных нера-
неравенств, остается найти точку, не удовлетворяющую ни одной системе.
II.7. О классе со-функций в пространстве
информации
В § П.2— И.З описан математический аппарат Ф-функций
и его использование при формализации задач размещения и покры-
покрытия. Ф-функции позволяют естественным образом записывать условия
взаимного непересечения ср-объектов и размещения их в области.
Однако при формализации условий покрытия области необходимо
82

рассматривать совокупность ф-объектов, в результате чего применение
аппарата Ф-функций становится неэффективным, поскольку в данном
случае Ф-функция зависит от всех переменных геометрической инфор-
информации, характеризующей эту совокупность. Построение такой Ф-функ-
ции чрезвычайно сложно.
В связи с этим возникла необходимость во введении специального
класса функций, позволяющих легко формализовать условия покры-
покрытия области. При этом естественным является желание, чтобы для
всякой пары ф-объектов предлагаемый класс функций обладал свой-
свойствами, аналогичными свойствам Ф-функций.
Пусть информации g1, g*2, ... , gn индуцируют в пространстве
R1 точечные множества ф-объекты и порождают пространства кано-
канонических информации (см. §1.4) G*1» Gkc2> ..., Gkcn. Рассмотрим
пространство G* = G*1 X G*2 X • • • X G?n, элементы которого порож-
порождают пространство информации Gk (см. § 1.5).
Пусть информация g=z({s\ s2, ..., sn}, {m\ m2, ..., mn}>
{p1* P2> •••» pn})(:Gk и индуцирует в пространстве Rl набор
ф-объектов Su S2, . .. , Sn. С помощью суперпозиции теоретико-
множественных операций построим множество
Q = B(SV S2, ... , Sn) A1.67)
аналогично тому, как это сделано в §1.5. Тогда множество
и задается геометрической информацией g% вида
где знак ■)£ определяет взаимоотношения между соответствующими
элементами в зависимости от вида оператора В в равенстве A1.67).
Информация g\j. порождает пространство G^. Зададим в этом про-
пространстве функцию [167]:
«У = щ(т\ т\ ... , т\ р\ р\ ... , рп) = fi(Q), A1.68)
где \х(-) — абстрактная мера [55], т. е. неотрицательная аддитивная
функция, заданная на полукольце множеств. Поскольку информация g
индуцирует ф-объекты в пространстве R1, в дальнейшем будем рас-
рассматривать в качестве jli(-) меру Лебега [55] в этом пространстве.
Заметим, что ф-объекты измеримы по Лебегу.
Ясно, что различным значениям переменных информации g% соот-
соответствуют разные точечные множества в пространстве R1. Вместе
с тем оператор В в равенстве A1.68) не изменяет ни метрических
характеристик /я1, т2, ... , тп, ни параметров размещений р\ р2, ...
... , рп ф-объектов Slt S2, . .. , Sn. Поэтому функция со(^) одно-
однозначно определяется переменными информации g"*, если указано,
в каких теоретико-множественных отношениях находятся ф-объекты
Sly S2, ... , Sn. В этом случае вместо символа >)< в записи со^(-) будем
указывать, какие именно отношения заданы между ф-объектами.
Определение 11.12. Функции, определяемые выражением A1.68),
называются ©-функциями.
Пример II.4. Рассмотрим информации g1 и g2, индуцирую-
33

щие в пространстве R2 круги SL и S2 с радиусами rt и г2 и пара-
параметрами размещения (хх, ух) и (х2, у2) соответственно. Пусть й =*»
^^а и для определенности гх > г2. Тогда
О, если р12 >гг + г2,
яг*, если р12 < гг — г2,
lt х2, у2)
r\ arccos a2 —
r\
если гх — г2< р12 < гх + га,
где р12
В случае произвольных гх и г2 в данных формулах вместо гг следует
писать тах{г1У г2}, а вместо r2 — min{rli r2}.
Класс со-функций, не привязываясь к пространству геометрических
информации, был введен в [168]. Вместе с тем именно в простран-
пространстве информации эти функции обладают важными свойствами, позво-
позволяющими эффективно применять их при формализации задач геомет-
геометрического проектирования. Укажем некоторые основные свойства
со-функций. При этом будем полагать, что рассматриваются инфор-
информации, которые индуцируют измеримые подмножества пространства
R1, имеющие конечную отличную от нуля меру.
Свойство 1. со-функция неотрицательна. Это следует из неотри-
неотрицательности меры fx(-).
Свойство 2. В пространстве канонических информации со-функция
зависит только от переменных метрических характеристик информа-
информации, т. е. если
ЯГ* - «Г* ({*}> {т}> {/>}) 6 Gk* s <& A1.69)
то со (gr#) = со* (/я, р) = со (т).
Свойство 3. Если метрические характеристики ф-объекта фиксиро-
фиксированы, то в пространстве канонических информации со-функция постоянна,
т. е. при условии A1.69) (o(g^) = со* (т, р) ** const, если {т} = const.
Последние свойства следуют из того факта, что собственные конгруэнт-
конгруэнтные преобразования точечных множеств не изменяют их меры.
Свойство 4. Эквивалентным информациям соответствуют равные
ca-функции. Действительно, эквивалентные информации индуцируют
равные с точностью до собственных конгруэнтных преобразований
точечные множества.
Из свойств 2—4 следуют следующие свойства.
Свойство 5. Значение со-функции не зависит от выбора полюсов
Ф-объектов.
Свойство 6. Имеет место следующее равенство:
со* (m\ m2, ... , тп, р\ р2, ... , рп) т
be со* (т\ т\ ... , //Л р1 +р\ р* + р°, ... , рп
где р' » (р{, plv ... , pj), i « 0, 1, ... , п.
84

Свойство 7. Пусть Qt и Q2 — точечные множества, порожденные
информациями
gtisi^s* * ... * sn, in1, m\ ... , тп, р1, р2, ..., рп)
и
9 т\ т2, ... , тп,~р\
Тогда
!<«>(£*) — <*Q*)\ = КК ^ ... , тп, р\ р\ ... 9 рп) —
—со* (m\ m2, ... , mn, p1, j52, ... , рп) \ ==
Заметим, что последнее выражение можно рассматривать как
метрику в фактор-пространстве всех измеримых подмножеств /?7,
имеющих конечную меру.
Свойство 8. со-функция непрерывна и дифференцируема почти
всюду.
Рассмотрим совокупность ф-объектов Slt S2, ... , Sn, индуцируе-
индуцируемых в Rl информациями g\ g*2, ... , gn. Пусть множество
Q = B(Slf 52, ..., Sn) = S1fl52n ... r\Sn A1.70)
индуцируется в R* информацией
«(^П52Л ... 0sn, m\ m\ ..., т\ р\ р\ ..., р% A1.71)
Определение 11.13. со-функция ©(#„,) = со2(тх, /и2, ..., mn, p1,
Р2, •.. , Р")» где Q и ^ определяются равенствами A1.70) и A1.71),
называется со-функцией пересечения.
Свойство 9. Пусть информации
, т1, т\ ... , hr, р\ р2, ... , рг), (И.72)
A1.73)
индуцируют в пространстве R1 точечные множества Gx и G2, Поло-
Положим Q = Gi Л G2, g* = g* Л gV Тогда, если
(О \&%) '==: СОл {ftt f til % . . • , /У£ , Р > Pi • • • i Р / == ^ \^*'^/
или
©(g-J = coG (ш1, /я2, .. . , /w', p1, p3, ... , рО = 0, A1.75)
то
<0(g'*) = ®Gt[\GSmly ™2y * * ' ^Г> ^lf /^2> # ' ' ' ^^
Р1, р2, ...,^, р\р2, ...,рО«0. A1-76)
85

Докажем это свойство для случая, когда имеет место равенство
A1.74). Имеем
т. е. <u{g*) < 0. Однако в силу свойства 1 (o(g^) > 0, откуда и сле-
следует A1.76). Аналогично можно рассмотреть случай A1.75).
Свойство 10. Пусть точечные множества Gx и G2 индуцируются
информациями A1.72) и A1.73) соответственно и G1DG2=0. Тогда
Р\ Р2, • • • , >г, Р\Р2*> • • , РО == coG (т\ т\ ... , mr, p1, p2, ...
Действительно, если G2 П С2 == 0, то
со (ff* UI*) = ^ (Gx U G2) = ^ (Gx) + (х (G2) = со {gj + со (|j.
Теорема 11.11. Пусть точечные множества Gv G2, ... , Gn инду-
индуцируются в пространстве R1 информациями g^, g\, ... , g-J.
^п---. ert*>и- —
• • • + (-1Г1»(^iП^2fl • • • П ЙГ2)- (И.77)
Доказательство. По определению со-функции
«> («ri U вт2 U • • - U «Г© — I* ( U G,). A1.78)
t—1
Далее, применяя к правой части равенства A1.78) правило вклю-
включения-исключения [ПО] и снова переходя к со-функциям, получаем
искомую формулу A1.77).
При разложении со-функции со (gl(JSiU ••• Ug**) B РЯД (П.77) по
со-функциям пересечения нет необходимости вычислять все со-функции
пересечения. В случае, если хотя бы одна из со-функций пересечения
будет равна нулю, все со-функции более высокого уровня пересечений
в силу свойства 9 также будут равны нулю.
Пусть информации g1 = {{s1}, {m1}, {р1}) и #2 = ({s2}, {w2}, {p2})
индуцируют в пространстве R1 ср-объекты Sx и S2. Положим р1 «
= (vu Эх), р2 = (у2, 02), а компоненты {s1}, {s2}, {w1}, {m2} посто-
постоянные. Построив со-функцию пересечения ф-объектов SL и S2, получим
со^П^2)-^^^^, 6lf vt4 G2).
86

Согласно свойству 10, если St(]S2== 0, то со (g1 Л g2) = 0» т. е.
неравенство
задает условие пересечения двух ср-объектов.
Свойство 11. Если Ф-функция ср-объектов S1nS2 неотрицательна:
Фц@1» ^l» V2> 92) > 0, то их со-функция пересечения равна нулю.
Если же Ф12A>!, Ви v2t 02)<O, то имеет место неравенство A1.79).
Рассмотрим поверхность vf2» определяемую уравнением
где е>0.
Свойство 12. При e-v 0 поверхность Yf2 слабо сходится к Ф-поверх-
ности ф-объектов Sx и 52, т. е. к годографу их функции плотного
размещения.
Пусть
Q = E,0^H 5,, A1.80)
где Vr — шар пространства R1 радиуса г, а0 — сумма Минковского.
Свойство 13. Если Olt(vv 91Э v2, 92) > г, то со2(у1э 9lf v2> 92)=0;
если Ф12К, 9lf v2, 92)<r, то (oQ(vl9 Qu v2, 62)>0, где структура
области Q задается выражением A1.80).
Перейдем к формализации условий размещения и покрытия в Ek-
задачах геометрического проектирования, пользуясь указанными
свойствами сэ-функций.
На основании свойства 11 со-функций условие непересечения
ф-объектов St и S/, параметры размещения которых (v{, Э,), (у/, 0/),
можно записать в виде
®^о5/^ 9ь Vjf e^ = 0-
Поскольку со-функция всегда неотрицательна, это условие задается
также неравенством
Условие размещения ф-объекта Si в области So, очевидно, запи-
запишется так:
%п*Ле') = 0' (П82)
а в случае областей с подвижными границами —
где т° — переменные метрические характеристики информации об
области размещения So.
Данные условия аналогично A1.81) могут быть записаны в виде
неравенств: для этого знак равенства в A1.82) и A1.83) следует за-
заменить на знак <:.
87

Формализуем теперь условие покрытия области 50 ср-объектами
Sl9 S2, . . . , Sn- Обозначим параметры размещения ф-объектов Si
через (v£, 9t), i = 0, 1, ... , п и, как обычно, зафиксируем v0 = О
и 0О = 0. Пусть
Тогда условие покрытия в задачах с неподвижными границами при-
примет вид
ю2(*>1> ei> у2> е2» • • • > »п. Qn) = (oSo(vQi 90), (И.85)
а в задачах с подвижными границами —
М"*0, yi> ei> »а» е2» ••• > 0Я. 9м) = со5о(т°, и0, 60). A1.86)
Согласно свойству 3 со-функций величина со5о(уо, 0О) = const, т. е.
не зависит от параметров vQ и 80. В свою очередь, в равенстве A1.86)
согласно свойству 2 со-функций coSo (т°, v0> Эо) = со5 (in0). Ясно, что
оба эти условия можно записать так:
<*2 (А0, их, ех, »а> е2, ..., Vn9 е„) = n(S0). (н.87)
Аппарат со-функций позволяет формализовать условия взаимного
непересечения ф-объектов Sly S2, ... , Sn и размещения их в обла-
области SQ в виде одного уравнения
<о2(т°, »1, 6lf v2, 62, ... , Vn9 вп) = f cos. (t;., 6,), (Н.88)
где структура области Q задается выражением A1.84).
В силу свойства 3 со-функций в правой части уравнения A1.88)
стоит константа. Учитывая, что cos>(i>t., в с) = ^(St), можно записать
п
co2(m°, vl9 6lf v2t 62, ... , ия, вя) = £ ^(S,). A1.89)
Совместно рассматривая уравнения A1.85) — A1.89), можно сде-
сделать следующий интересный вывод. Оказывается, что условие покры-
покрытия области So ф-объектами Sl9 S2, ... , Sn, а также условия вза-
взаимного непересечения этих ф-объектов и размещения их в области
SQ выполняются только в случае, когда со-функции, стоящие в левых
частях уравнений A1.85) — A1.89), достигают своего максимального
значения по переменным vl9 6lf v2, 02, . ., , vn> Эп. Поэтому, если
существует покрытие области So ф-объектами Sv S2, ... , Srt> условие
покрытия при любых фиксированных т° формализуется так:
<o2(i>x, ei> v2, 02, ... , vn, 0n)-^max. A1.90)
В свою очередь, если существует допустимое размещение ф-объектсв
Slf 52, . .. , Sn в области So заданных размеров, то условия взаим-
взаимных непересечений ф-объектов и размещения их в So также будут
иметь вид A1.90). В обоих случаях структура области Q одна и та же
и имеет вид A1.84).
88

Таким образом, поиск допустимых решений в £*-задачах разме-
размещения и покрытия сводится к решению задачи безусловной оптими-
оптимизации A1.90). В силу непрерывности со-функции для решения этой
задачи можно использоезть любой из методов безусловной оптими-
оптимизации нулевого порядка [10]. В то же время по свойству 8 со-функция
почти всюду дифференцируема. Это дает возможность привлечь методы
минимизации недифференцируемых функций [17, 32, 87, 99, 159].
Однако указанные методы позволяют при определенных условиях
находить только локальные экстремумы со-функции. Поскольку зна-
значение глобального экстремума нам известно (это константы в правых
частях уравнений A1.87), A1.89)), то перебор локальных экстремумов^
следует осуществлять до тех пор, пока не будет определен глобаль-
глобальный экстремум.
Ранее указывалась связь со- и Ф-функции. В заключение отметим,
взаимосвязь со-функций и структур линейных неравенств при форма-
формализации ограничений в ^-задачах. С одной стороны, конечно, эта
взаимосвязь непосредственно вытекает из того факта, что структуры
неравенств, по существу,— эквивалентная запись Ф-функции. С дру-
другой— условие (II .90) позволяет сделать еще один интересный вывод.
В силу дифференцируемости почти всюду со-функции со2(ух, 91э v29.
02, ... , vnt 0n) она может достигать своего максимума либо в точках:
разрыва производных, либо в точках, где частные производные су-
существуют и равны нулю. Определив множество таких точек и выбрав*
те из них, в которых достигается максимум (значение которого из-
известно) со-функции, получим тем самым множество допустимых реше-
решений в виде структуры неравенств.
II.8. Особенности Ен-задач
геометрического проектирования
В начале главы были сформулированы основные задачи:
размещения и покрытия геометрических объектов, что позволило по-
поставить данные задачи в виде (II.9) — (И.11) и A1.10) — (II.11) соот-
соответственно. В свою очередь, в § П.2—II.4 описаны подходы к фор-
формализации ограничений A1.10), (П.11), A1.13), т. е. функции,..
участвующие при записи этих ограничений, могут быть представлены
либо в виде Ф-, либо со-функций.
Действительно, пользуясь аппаратом Ф-функций, получаем
rtj(vt, e,f vh B/jsO//^, et, vh ey),
ht{m\ vi9 е,)зФ?(ет°, vtt 9,),
Я(т°, vl9 elt v%9 62, ... , vn, Qn) s Ф(т\ vv Qlt v29 92, ... , vn9 еп)„
где Ф;;- — Ф-функция ф-объектов Si и 5/ с параметрами размещение
wi- = (^> fy), Uj = (Vj, 0у); Ф°с — Ф-функция ф-объектов с So (m°) и S&
Ф(/й°, vl9 eXi v2, Э2, ..., vn9 Qn) — Ф-функция объектов S0(m°>
и с U Si.
8$

Используя аппарат со-функций, имеем
ru(vP в,, vp 6/) г — co2i (vp 6,, vr 07),
rQi{m\ viy в,) s — co2g (m°, о,, в,),
Mm0, t>lf 6lf i>2, 62, ... , vn, Qn) s — co2a (m°f t>lf 6lf
t>a, 92» • • • » ^> en),
где cog — со-функции, причем
Q^Stf] Sh Q2 = cS0(m°) П Si9 Q8 = 50 (m°) (][c Ij St].
Ясно, что в ^-задачах с неподвижными границами вместо S0(in°)
можно пользоваться обычной записью So.
Как следует из результатов § II.7, область допустимых решений
W в задачах размещения и покрытия может быть задана одним
•уравнением
co2(m°, vl9 0x, v%, Э2, ..., vnt вд) — с, A1.91)
где
G = Son[ U S,], ^П-92)
а в задачах размещения
c = q = Jjfx(St), (IL93)
© задачах покрытия
. A1.94)
С учетом этого постановки основных задач размещения и покры-
покрытия можно сформулировать следующим образом. Найти
extr k(w) (II.95)
w$W
щи условии
max coa(m°, vl9 6lf vv 92, ... , vn, вп). A1.96)
vlt в1# о„ e2,..., t;n, en
Если максимум в задаче A1.96) равен значению cv определяе-
определяемому равенством A1.93), то задача размещения имеет решение.
Если же этот максимум равен значению с2, определяемому равен-
равенством A1.94), то имеет решение задача покрытия. В остальных слу-
случаях основные задачи размещения и покрытия решений не имеют.
Несмотря на то, в каком виде сформулированы основные задачи
размещения и покрытия (П.9) —A1.11), (И.12) —A1.13) или A1.95) —
A1.96), они характеризуются рядом общих особенностей. При этом
для всякого конкретного набора ф-объектов So, Sx, ... , Sn каждая
«з функций, стоящих в левых частях неравенств A1.10), (II. 11),
A1.13) (формализованных с помощью Ф-или со-функций), имеет

вполне определенный вид. Это относится и к функциям в уравне-
уравнении A1.91). Однако независимо от ф-объектов 5Х, S2, . . . , Sn и об-
области So эти функции сохраняют характерные свойства. Поэтому
для анализа особенностей класса £^-задач достаточно записи указан-
указанных функций в общем виде.
Перечислим вкратце особенности основных задач размещения
и покрытия, вытекающие из приведенных выше свойств Ф- и со-функ-
ций, а также свойств минимизируемого функционала.
Ф-функции, участвующие при формировании п (п + 1)/2 неравенств
в системе A1.10) — A1.11), всегда нелинейные, кусочно-гладкие
и в общем случае определяются громоздкими трансцендентными вы-
выражениями. При этом каждое из неравенств системы может само
определяться системой или структурой неравенств. Так, если разме-
размещаемыми объектами являются ф-многоугольники, соответствующие
им Ф-функции определяются /^-конъюнкцией функций, формирующих
системы неравенств. Количество этих систем не более чем сумма
вершин ф-многоугольников [128]. При невыпуклости хотя бы одного
из ф-многоугольников соответствующая Ф-функция определяется
структурой неравенств, количество которых то же, что и в преды-
предыдущем случае.
Каждое неравенство системы ограничений (НЛО) — (И. 11) свя-
связывает не более / (/ +- 1)/2 переменных, где / — размерность про-
пространства, в котором индуцируются ф-объекты. Кроме того, группа
из /(/+ 1)/2 переменных, описывающих положение одного ф-объекта
в области размещения, входит в 2л — 1 неравенство системы
(НЛО) —A1.11).
При формализации ограничений A1.10) — (И. 11) с помощью аппа-
аппарата со-функций перечисленные особенности сохраняются. Правда,
в данном случае область допустимых решений можно задать с по-
помощью одного уравнения вида A1.91) при условиях A1.92) и A1.93).
Однако это уравнение, естественно, эквивалентно записывается как
система неравенств, связывающая со-функции пересечения каждой пары
ф-объектов, а также ф-объектов и области размещения.
В основной задаче покрытия область допустимых покрытий задается
одним уравнением вида A1.91) либо неравенством (IIЛ3). Функции,
входящие в эти уравнение и неравенство, связывают все параметры
размещения ф-объектов и переменные метрические характеристики.
При этом неравенство A1.13) можно получить и с помощью аппарата
структур линейных неравенств.
Итак, в задачах размещения и покрытия область допустимых ре-
решений невыпукла, многосвязна и имеет сложную геометрическую
структуру. Функция цели к (w) в общем случае кусочно-гладкая, причем
нелинейная на каждом гладком куске. Пространство параметров, в ко-
котором определена функция цели, зависит от числа ф-объектов и имеет
размерность, как правило, я/(/+ 1)/2. Если угловые параметры раз-
размещений фиксированы, то размерность пространства параметров
будет nl. В реальных задачах число п достигает больших значений.
В силу нелинейности функции цели и невыпуклости области ее
определения основная £л-задача является многоэкстремальной. Экстре-
91

мумы могут достигаться внутри области допустимых решений и на
ее границе. Число локальных экстремумов может быть чрезвычайно
большим и в ряде задач оценивается величиной порядка п\ и бо-
более [128].
В большинстве задач размещения и покрытия целевая функция
может быть представлена в виде суммы п функций, каждая из кото-
которых зависит не более чем от г < п переменных и имеет непрерывные
частные производные по этим переменным. Такие функции называются
квазисепарабельными с показателем сепарабельности г [90, 139].
В работе [128] показано, что если целевую функцию представить
в виде
п
х (w) = ух и, (и.)у
или
«W= Л1 **("*)•
t = l
где Vi и Ai — соответственно операции/?-дизъюнкции и ^-конъюнк-
^-конъюнкции, то ее можно привести к квазисепарабельному виду. Там же до-
доказано, что целевые функции в задачах размещения с подвижными
границами и в задачах компоновки представляются с помощью R-ди-
R-дизъюнкции некоторых функций и, следовательно, являются квазисепа-
квазисепарабельными. В ряде задач целевую функцию удается представить
как квазисепарабельную после специальных преобразований.
Свойства квазисепарабельных функций подробно исследованы
в монографии [90] и будут использованы при обосновании предлагае-
предлагаемых в последующих главах статистических методов оптимизации.
В заключение заметим, что рассматриваемые Ek-задачи являются
детерминированными по постановке. Однако в ряде случаев удается
осуществить их рандомизацию. При этом в силу эмпирических или
теоретических соображений можно указать предельный вид закона
распределения значений минимизируемого функционала при я->оо.
Анализ перечисленных особенностей показывает, что оптимиза-
оптимизационные ££-задачи геометрического проектирования относятся к классу
сложных нелинейных многоэкстремальных задач математического
программирования большой размерности с громоздкой системой огра-
ограничений. Использование специфики каждой конкретной задачи дает
возможность применять специальные методы их решения, описание
и обоснование которых является целью данной книги.
В связи с тем, что основные £^-задачи размещения и покрытия
являются существенно многоэкстремальными, целесообразно поставить
вопрос о нахождении локальных экстремумов функционала или при-
приближений к ним. В общем случае недифференцируемость функции
цели, невыпуклость области ее определения, а также большая раз-
размерность задачи приводят к неоправданным затратам времени для
получения даже одного локального экстремума. Поэтому при вычис-
вычислении произвольных локальных экстремумов следует не стремиться
к высокой точности, а добиваться высокой скорости получения реше*
92

яия при приемлемой его точности. Такой подход оправдывается и тем,
что размеры объектов и области размещения, функции цели, геомет-
геометрические и специальные ограничения в реальных задачах всегда
задаются с погрешностями. Следовательно, и находить локальные
экстремумы можно с точностью, определяемой точностью постановки
основной задачи.
Исследования показали, что эффективным подходом к определению
локальных экстремумов в ^-задачах геометрического проектирования
является метод последовательно-одиночного размещения [128], пред-
представляющий собой модификацию метода Гаусса—Зейделя [29]. Метод
последовательно-одиночного размещения предложен для решения
задач размещения как с подвижными, так и с неподвижными грани-
границами. Суть его состоит в следующем. Минимизация функции цели
осуществляется последовательно по группам переменных. Причем,
если в методе Гаусса—Зейделя Еопрос выбора группы является до-
довольно сложным, то в методе последовательно-одиночного размеще-
размещения он решается естественно: в группу должны рходить параметры
одного или нескольких размещаемых ф-объектов. Выбор переменных
(v{1 9t) в качестве группы значительно сокращает объем вычислений.
Это связано с тем, что при частичной минимизации функции цели
по группе переменных (vi, 9/) из общего числа п (п + 1)/2 неравенств-
ограничений вида A1.10) — (И. 11) достаточно проверить лишь п не-
неравенств, содержащих эти переменные.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода последователь-
последовательно-одиночного размещения. Пусть ф-объекты Slf 52, ... , Sn распо-
располагаются в области 50 в соответствии с некоторой последовательно-
последовательностью я =■ {ях, я2, ... , пп}. Для определенности предположим, что
п =ж {1, 2, . .. , п}, и зафиксируем ориентацию ф-объектов Sc, поло-
положив 9; = 9* = const, i = 1, 2, .. . , я.
Первый ф-объект Sx располагаем в области So таким образом,
чтобы его параметры размещения vt удовлетворяли условию
где Gx — область допустимых значений параметров vx ф-объекта St.
Зафиксируем параметры размещения vl9 положив vt = v*. Тем
самым будет задано и положение ф-объекта S1#
Будем располагать ф-объект 52 в области S0\int Sx так, чтобы
его параметры размещения удовлетворяли условию
х* (и*) == min *! (и?, v2),
v£Gt
где G2 — область возможных значений параметров v% ф-объекта S2.
В этом случае целевая функция зависит только от и2, поскольку
значения параметров размещения и*, G*, 9* фиксированы. Задавая
параметры vti =u* ф-объекта Sa, тем самым фиксируем его положение.
Обозначим
93

Пусть в области So расположены ф-объекты Slt 52, . .. , Sk.
Расположим ф-объект Sk+\ в области S0\int(U Si) так, чтобы его
параметры размещения Vk+\ удовлетворяли условию
**+i K+i) e min *к№, v*, ... , и*э
где G^+i — область возможных значений параметров vk+\ ф-объекта
Sk+\- В результате находим вектор и*+] = (v*+l, 6*+1), который опре-
определяет положение ф-объекта S
Далее вычислим
Процесс продолжается до тех пор, пока не будут расположены все
ф-объекты Slf S2, ... , Srt, либо область возможных значений пара-
параметров размещения станет пустой. Последнее обстоятельство может
иметь место, например в задачах, когда требуется максимизировать
число размещенных в области So объектов.
Алгоритм реализации метода последовательно-одиночного размеще-
размещения можно записать в виде следующей итерационной формулы:
0K), A1.97)
*y . .. , и*) = max{x*_i (v*9 v*t... , i^,),
min Kk(v*, vl ... ,i>*_lf vk)}9 /г=2, 3, ... ,/г, A1.98)
£G
где Uj, u2, ... , vn — параметры размещения ф-объектов; Kk(v*, у*,...
... ,u*) — значение функции цели после частичной ее минимизации по
группам переменных vlt и2, . .. , vk\ Gk — область допустимых зна-
значений параметров vkj k = 1, 2, .. . , п.
Таким образом, метод последовательно-одиночного размещения
в случае ориентированных ф-объектов позволяет перейти от миними-
минимизации функции, заданной в пространстве размерности In, к я-кратной
оптимизации в /-мерных пространствах. Отметим, что получаемые
с его помощью локальные экстремумы лежат на границе области
допустимых решений. Кроме того, поскольку значение
minx (у*, v*9 . .. , 0*_lf vk)
может достигаться, вообще говоря, на некотором множестве точек,
то в результате применения этого метода не все экстремальные
значения функции цели могут быть определены. Последнее обстоя-
обстоятельство, в частности, является причиной того, что метод дает при-
приближенные значения функции цели.
При использовании метода последовательно-одиночного размещения
необходимо уметь строить области Gk допустимых значений параметров
последовательно размещаемых ф-объектов. При установке очередного
ф-объекта Sk его параметры должны удовлетворять ограничениям
A1.10) — A1.11). Однако громоздкость аналитической записи Ф-функ-
94

ций, входящих в эти неравенства, значительно усложняет проверку
условий размещения путем непосредственной подстановки очередной
группы переменных. Обойти эти трудности можно с помощью аппа-
аппарата г. ф. п. р. [25, 125, 128], использование которого позволяет
перейти от размещения объекта в области к определению точки этой
области, удовлетворяющей заданным свойствам. Алгоритмы построения
годографов довольно просты особенно для плоских геометрических
объектов. Это позволяет легко формировать области Gk возможных
значений параметров размещения очередного размещаемого объекта,
минуя необходимость проверки неравенств A1.10), A1.11).
Как отмечалось в § II.2, г. ф. п. р., по существу, представляет
собой Ф-поверхность, задаваемую Ф-функцией двух ф-объектов.
Рассмотрим процесс построения множеств Gx, G2, ... , Gn, поль-
пользуясь аппаратом г. ф. п. р. Сначала построим область Gx. Условие-
размещения в области So ф-объекта Sx определяется неравенством
, в*)>0,
где Фо1(^1, 9*)— Ф-функция ф-объектов St и 52. Построим в облает»
So Ф-поверхность Фо1 (vl9 9*) == 0, которая представляет собой г. ф.
п. p. Yoi- При этом Gt будет лежать внутри области, ограниченной
годографом Yoi. Для описания области Gt не требуется определять
аналитический вид функции Ф01 (vl9 9*), поскольку построение искомого
множества обеспечивается эффективными методами и алгоритмами
построения г. ф. п. р.
Определим область G2. Зафиксируем точку v*£Glt Условие раз-
размещения ф-объекта S2 в области So определяется неравенством
ФО2@2, 9*)>0. (Ц.99>
Строим г. ф. п. p. Yo2 ф-объектов S2 и cS0, т. е. Ф-поверхность,
определяемую равенством Ф02 (v2, 9*) = 0. Тогда точки множества
G02, ограниченного годографом 702, будут удовлетворять неравенству
A1.99). Таким образом, каждая из точек u2£Go2 гарантирует разме-
размещение ф-объекта S2 (u2) в области So, но не обеспечивает непересечения
ф-объектов Sx(u*) и S2(u2). Чтобы исключить это, воспользуемся*
условиями взаимного непересечения ф-объектов Sx и 52
ф»№ е?, *2> 9*) > о.
Построив Ф-поверхность у12, определяемую равенством Ф12(а?, 9*,
V2* 9*) = 0, получим г. ф. п. р. ф-объектов Sx и S2, ограничивающий
множество G12, при любых значениях параметров v2, из которого
ф-объекты St (и*) и S2 (u2) не пересекаются. Искомая область G2 пред-
представляется в виде G2 = G0l\G12.
Пусть v*£Glt y*^G2, ... , v*_i€G*-i. Построим область Gk.
Условие размещения ф-объекта Sk в области So описывается неравен-
неравенством
Ф»@*, 9*)>0. A1.100)

Определим Ф-поверхность 7оь представляющую собой г. ф. п. р.
tp-объектов Sk и cS0> Этот годограф ограничивает множество Go*
точек Vk, удовлетворяющих неравенству A1.100). Каждая из точек
Vk^Gok гарантирует. размещение ф-объекта Sk(uk) в области Sof%HO
не обеспечивает непересечение ф-объекта Sk(Uk) с ф-объектами Si (и*),
i<Ck. Записав условия взаимного непересечения ф-объектов Si (и*)
и Sk(Uk), i<k, имеем
<Dik(vf, 6f, vk, 9*)>0.
Построим Ф-поверхность Yib которая определяется равенством Ф^(у*,
в?, vk, вр = 0. Получим г. ф. п. р. ф-объектов Sx (и*) и S* (яЛ),
ограничивающий множество Gi*, обладающее тем свойством, что для
любых i^gGi* ф-объекты SL (и*) и Sk(Uk) не пересекаются. Обозначим
<J^ = GOk\G\k.
Далее строим годограф <\>2Ь определяемый равенством Ф2^(у*» 9?»
t^f 9*) и ограничивающий множество G2^. Обозначим G2k = Glk\G2k.
Тогда, если vk^G\, ф-объект Sk(uk) лежит внутри So и не имеет
общих точек с ф-объектами S1(uX) и S2(u*).
Продолжая описанный процесс построения г. ф. п. p. yik, полу-
получаем множества G^ и Glk == G^^G^, t = 3, 4, ... , &—1. При этом
для любой точки Vk С Gk~x ф-объект Sk (Uk) будет размещаться в обла-
области So и не будет иметь общих точек с ф-объектами Sx(a*),
S2(u*), ... t S*-i(«£_,).
Пример II.5. Рассмотрим применение аппарата г. ф. п. р.
совместно с методом последовательно-одиночного размещения на
примере определения локальных экстремумов в задаче размещения
ориентированных прямоугольников S19 S2, ... , Sn в полосе So.
Постановка этой задачи дана в§ III.5.
Частичные значения функции цели после размещения k прямо-
прямоугольников задаются следующим образом [128]:
где х\ — абсцисса полюса t-ro прямоугольника в неподвижной си-
системе координат хОу (предполагается, что полюс прямоугольника St
выбран в точке, имеющей в системе координат, которая связана
с Si, наименьшие абсциссу и ординату).
В соответствии с методом последовательно-одиночного размещения
определим такие значения координат полюса первого прямоугольника,
чтобы функция щ принимала минимальное значение. При этом полу-
получим, что х}* = 0, а координата х\* может быть произвольной в интер-
интервале от 0 до а—bL. Для определенности выберем наименьшее воз-
возможное значение ординаты полюса размещаемого объекта. Итак,
v* = (*i% хл*) = (°> °)> а xi ^ ai- Годограф первого прямоугольника
$6

ffk
a ■
•У/
4
> <
4 Tl a ,
Рис. 35.
относительно области размеще-
размещения приведен на рис. 34, а и
в * обозначен штриховой линией.
Рис. 34. Для размещения прямоуголь-
прямоугольника S2 нужно построить его го-
годограф относительно полосы 50 и прямоугольника Sx (trf). Этот годограф
изображен на рис. 34, б. Отсюда легко определяются координаты
полюса прямоугольника S2: *J* = 0, х22* = Ь19 т. е. v* = (О, Ь^,
а х2 = max{«!, а2} = аг.
Пусть k объектов уже размещены. Построим годограф прямо-
прямоугольника Sk+\ относительно полосы и размещенных объектов.
Выбираем точку годографа с наименьшей абсциссой (и при неодно-
неоднозначности с наименьшей ординатой). Это и будет точка положения
полюса (k + 1)"го прямоугольника. На рис. 34, в изображен годограф
объекта S7 относительно полосы и размещенных прямоугольников
Slf S2, ... , S6. Аналогично определяются координаты полюсов всех
размещаемых прямоугольников.
Метод последовательно-одиночного размещения, хотя и был предло-
предложен для решения задач размещения, тем не менее легко распространяется
на задачи покрытия. Действительно, основное отличие задач размещения
и покрытия состоит в описании области допустимых решений. Эта осо-
особенность сохраняется и при использовании метода последовательно-
одиночного размещения при определении множества возможных
значений параметров размещения очередного покрывающего ф-объекта.
7 5-1343
97

В задачах покрытия множество Gk определяется совсем просто: оно
совпадает с областью покрытия. Таким образом, для построения
области Gk не требуется привлекать дополнительный аппарат. Учи-
Учитывая эту специфику, при использовании метода последовательно-
одиночного размещения в задачах покрытия будем называть его
методом последовательно-одиночного покрытия.
Проиллюстрируем работу метода последовательно-одиночного по-
покрытия на примере.
Пример II.6. Пусть имеется п прямоугольников SA, S2, ...
... , Sn фиксированных размеров щ X bi и область покрытия — прямо-
прямоугольник So с размерами а0 х 60» гДе К — const. Прямоугольники
ориентированы так, что их стороны взаимно параллельны. Требуется
определить покрытие прямоугольниками Slt S2, ... , Sn прямоуголь-
прямоугольника So максимальной площади.
Задача, по существу, состоит в покрытии прямоугольника So
максимальной длины а0.
Частичное значение целевой функции зададим следующим образом!
Щ (ао> v*, v% ... , и*) =
= max {aQh[(dQk(aot v*, и*, ... » v* vk) — aobo]},
где <йяк — со-функция прямоугольников Si (vi), f = 1, 2, ... , k и пря-
прямоугольника So (a0) длины а0;
G* = [.U S*] П 50;
если г > О,
если г < 0.
Таким образом, в данном случае речь идет о максимизации функ-
функций цели. Поэтому в итерационной формуле A1.97) — A1.98) следует
заменить min на max.
На рис. 35 приведены последовательно получаемые частичные
покрытия области S0(a0) при установке прямоугольников Sv S2, ...
... , 5в. Заметим, что на рис. 35, а, б а0 = 0.
В случае, если наибольшее частичное значение функционала щ
достигается не в одной точке щ% а на множестве точек в качестве
v* выбираются координаты точки, принадлежащей непокрытой части
области So и имеющей наименьшую абсциссу (при неоднозначности
и наименьшую ординату).
Пример применения метода последовательно-одиночного покрытия
при решении задачи поиска допустимого покрытия приведен в § II 1.2.
Итак, методы последовательно-одиночного размещения и покрытия
дают возможность сравнительно легко получать локальные экстре-
экстремумы или приближения к ним. Поэтому некоторые особенности,
связанные с решениями с помощью этого метода задач размещения
и покрытия, можно считать свойственными /^-задачам. Имеется
в виду следующее. Зададим порядок установки ф-объектов в области

размещения (покрытия). Тогда этот порядок однозначно определяет
некоторое приближение к локальному экстремуму функции цели
и соответствующую точку в области допустимых решений. Изменение
порядка установки ф-объектов, как правило, приводит к получению
нового приближения к оптимуму и новой точке из области допусти-
допустимых решений.
Таким образом, можно установить соответствие между последо-
последовательностью установки прямоугольников (последовательностью сим-
символов) и приближениями к локальным экстремумам функции цели.
Этот факт дает возможность разбить процесс решения f^-задач на
два этапа: определение локальных экстремумов (или приближений
к ним) и организация перебора локальных экстремумов. На первом
э^апе применяется метод последовательно-одиночного размещения
(покрытия) или другой быстросходящийся метод, на втором — методы
оптимизации функционалов, заданных на комбинаторном множестве.
Следовательно, континуальная по своей постановке основная £>задача
геометрического проектирования имеет явно выраженную дискретную
структуру. Эту структуру индуцируют методы локальной оптимизации.

Глава HI
МЕТОДЫ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ
Широкий круг задач геометрического проектирования
по своей математической постановке сводится к соответствующим
классам задач дискретной (в частности, комбинаторной) оптимизации.
Это объясняется прежде всего дискретно-непрерывной структурой
этих задач, а также жесткой системой ограничений, накладываемых
в ряде случаев на параметры размещения геометрических объектов.
Общая задача дискретной оптимизации состоит в следующем.
Пусть на дискретном множестве Ео сг Е определен функционал F(x).
Требуется найти
(x). (Ill .2)
Заметим, что знание значения F(x*) не всегда позволяет легко
определить точку я*, и наоборот. Поэтому задачи (III. 1), (II 1.2)
различны и, как правило, рассматриваются совместно. На практике
основное внимание уделяется поиску точки я*. Поэтому обычно
решается задача (III.2) и для найденной точки л:* по возможности
вычисляется значение F(a:*).
Специфика реальных условий, в которых приходится решать
реальные задачи дискретной оптимизации, часто не позволяет точно
решить задачу (III. 1) — (III.2). В этом случае ищется приближ иное
ее решение. При этом различают следующие постановки.
Найти точку Х°£Е0 такую, что
F(x°)<m'mF(x) + B, (Ш.З)
где е > 0 — точность решения.
Найти точку 1с^Е0 такую, что
р(*, argminF(;t)) <: б, (III.4)
х£Е0
где б>0 — точность решения; р(- , •) — метрика пространства Е.
Величины е и б либо задаются, либо подлежат оценке после опре-
определения точек х° и х. На практике рассматривается, как правило,
задача (Ш.З). Решение же задачи (Ш.4) существенно зависит от
метризации пространства Е.
100

В последующих параграфах этой главы исследуются точные
(§ III.1 —III.5) и приближенные (§ III.6) методы решения задач
дискретной оптимизации.
III.1. Общая схема метода последовательного
анализа вариантов
Одним из наиболее мощных методов решения задач
дискретной оптимизации является метод последовательного анализа
ваоиантов. Общая схема метода впервые предложена в работах
[85, 86], а строгое математическое описание дано в статье [82].
Дальнейшее развитие данная схема получила в работах [19, 20, 83,
84]. В настоящем параграфе приводится общее описание метода по-
последовательного анализа вариантов, придерживаясь работ [19, 20, 84],
и иллюстрируются возможности его применения к некоторым задачам
геометрического проектирования.
Пусть задано некоторое базовое множество Е элементов произ-
произвольной природы. Обозначим через V (Е) множество всевозможных
последовательностей, составленных из элементов Е. Предположим,
что известно подмножество допустимых последовательностей из V(E),
которое обозначим W(E). Введем вспомогательные определения [84].
Определение III. 1. Последовательность {Ьг, Ь2, ... , bk}£W(E)
называется полной, если не существует такого элемента bk+\$E,
для которого последовательность [Ьг, b2, ... , bk, bk+\}£W(E).
___ Совокупность всех полных последовательностей из W (Е) обозначим
W(E).
Определение III.2. /-м начальным отрезком последовательности
р = [Ь1У Ь2, . .. , bk}> k > I называется последовательность р/ == {blf
b2, ... , bi).
Определение Ш.З. /-м конечным отрезком последовательности
Р =г [blf b2, ... , bk), k > t называется последовательность вида
p' = tfc, fc+b ...» bk).
Ясно, что pj+р'^р.
Определение Ш.4. /-й начальный и t-и конечный отрезки одной
и той же последовательности называются сопряженными, если / =
-/+1.
Определение III.5. р-родовым множеством последовательности
р £ W (Е) называется множество R (р) с: W (£), состоящее из всех
полных допустимых последовательностей, у которых р является
начальным отрезком.
Определение Ш.6. Совокупность Рф) всех конечных отрезков
элементов Р-родового множества ^?(р), сопряженных с р, называется
множеством продолжений.
Пусть на множестве W(E) задан функционал F. Предположим,
что
Р —1*5. А.1. .... bljtWlE), p = {ft}, ftj, ... э bl9)ZW(E).
101

Обозначим через ps, Ps и ps, Ps s-e начальные и конечные отрезки
последовательностей р и р соответственно.
Определение III.7. Функционал F, определенный на W(E)f назы-
называется монотонно-рекурсивным, если из условий
(Ш.5)
вытекает справедливость неравенства
F(ft>F(fi). (Ш.6)
Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. Найти
F(**)=.minF(*), (III.7)
Для ее решения применим метод последовательного анализа вариантов,
основанный на следующем принципе оптимальности [82, 84], пред-
представляющем собой обобщение принципа оптимальности Беллмана [12]
в динамическом программировании.
Обобщенный принцип оптимальности. Пусть F — монотонно-
монотонного «
рекурсивный функционал, а последовательности р £ W (Е) и р £ W (Е)
таковы, что
Тогда элементы множества RF) не могут быть решениями задачи
(Ш.7) —(III.8).
Общая схема метода последовательного анализа вариантов для
минимизации монотонно-рекурсивных функционалов может быть
представлена в виде многоэтапного процесса, реализуемого следующим
алгоритмом.
Алгоритм II 1.1.
Шаг 1. Положить k**l. Выбрать ограниченное число последо-
последовательностей pf°£№(£), t = l, nik таких, что
JJ R (p}*}) =W(E)9 R (p|*>) ф 0, I = \7bk.
Шаг 2. Если для определенных значений i последовательность
pf} принадлежит множеству W(E), то для этих I вычислить значе-
значения функционала F(pi^) и запомнить последовательности, которым
.отвечает наименьшее из них.
Шаг 3. Исключить родовые множества, состоящие из последова-
последовательностей, которые согласно обобщенному принципу оптимальности
не могут отвечать наименьшему значению функционала.
102

Шаг 4. Сформировать множество W*, состоящее из рассмотренных,
но не исключенных последовательностей. _
Шаг 5. Выбрать последовательность р* £ W* такую, что E* 4 WJJE).
Если она существует, то перейти к шагу 6, иначе — к шагу 7.
Шаг 6. Положить k = к + 1. Выбрать nik последовательностей
р[Л), i = 1, гни таких, что
2, R (Р1Л)) * 0. ' = Г^и.
Исключить последовательность р* и перейти к шагу 2.
Шаг 7. В качестве решения выбрать любую из последовательно-
последовательностей, принадлежащих множеству W*.
Итак, для применения метода последовательного анализа вариан-
вариантов при решении практических задач необходимо решить следующие
основные вопросы?
1) каким образом на основе обобщенного принципа оптимальности
осуществлять исключение множеств, не содержащих искомое решение
(шаг 3);
2) по какому правилу выбирать последовательности pi*\ *=1, mk
на шаге 1 и шаге 6;
3) по какому правилу выбирать последовательность р* £ W* на
шаге 5.
Решение этих вопросов существенно зависит от решаемой прак-
практической задачи и определяется ее спецификой. Проиллюстрируем
работу метода последовательного анализа вариантов на двух задачах
геометрического проектирования.
Ш.2. Применение метода
последовательного анализа вариантов
к решению задач размещения и покрытия
Рассмотрим следующую задачу. Имеется область раз-
размещения Socz R2 и п ориентированных геометрических объектов
St- с: R2, I = 1, п заданной формы. Области So принадлежит т точек
Pjf /=1, ту координаты которых известны. Полюсы объектов Sit
i= I, n могут совмещаться только с этими,точками. Требуется вы-
выбрать такие объекты из множества {S/}, /= 1, п и разместить их
в So с учетом принадлежности области и попарных непересечений,
чтобы суммарная площадь этих объектов была максимальной.
Сформулированная задача может быть представлена в виде (Ш.7)—
(III.8). Обозначим через Sc (Pj) объект Si9 полюс которого совмещен
с точкой Я/. Ясно, что S* (Я/) £ {S,} X {Pj}.
Перенумеруем объекты Si (Pj) следующим образом:
S* = Sx (Я,), S* = Sa (Я,), .. . , S* = Sn (Л),
= S2 (Pm)9 ....S^-Sn (P,n).
103

Будем говорить, что объект S* мажорирует объект S*, и обозна-
обозначать S*£—Sf, если для любого r£3Ui
где Si(Pr)zDSt(Pr),
l=i — /гentierl-^11—) • f = / — /гentier(
Оператор entier (•) здесь и далее обозначает взятие целой части
числа.
Сформируем симметричную матрицу С = \\сц\\тпхтп, элементы
которой определяются по правилу:
f 1, если S* cz So, S) cz So, '±^1 3 Зт-ь S? П5/*=0,
10 — в остальных случаях.
(ШЛО)
Для определения элементов сц при условии \i — / \/п § Зт-i доста-
достаточно вычислить значение Ф-функций объектов S* и S* и Ф-функций
каждого из объектов с дополнением к области So. Если указанные
значения положительны, то Сц = 1> иначе cl7 = 0. Таким образом,
матрица С является носителем информации о допустимом размещении
геометрических объектов. Рассмотрим произвольную последователь-
последовательность
Последовательность (III. 11) назовем допустимой, если для любых
ii^iu /€3ь <€3л, t/бЗтя, ^€3тл справедливо условие
При fe=l последовательность (III. 11) состоит из одного элемента.
Будем считать ее допустимой, если S* cz 50.
На множестве допустимых последовательностей зададим следую-
следующий функционал:
F(tlt /2, ... , 4) = S^(S*), (III. 12)
где \i (S) — площадь множества S.
Легко проверить, что такой функционал является монотонно-
рекурсивным. Здесь, правда, необходимо отметить, что поскольку
речь идет о задаче максимизации функционала, то в определении
III.7 следует использовать неравенства (III.5) и (III.6) противопо-
противоположного смысла или же рассматривать задачу минимизации функ-
функционала— F.
Опишем, каким образом согласно обобщенному принципу опти-
оптимальности исключать родовые множества, не содержащие максимума
функционала (III. 12). Рассмотрим две допустимые последовательности
#~ «
Р = Ui, *2» ...,//} и р = (Д, /2, ... , Д}. Поставим им в соответ-
104

ствие векторы а = (а^ а2, ... > атп) и а = (а1э а2, ... , ат„) с эле-
элементами
z =пс S =Пс г-Т"^.
* II *р ' 1 Л Р '
Будем говорить, что вектор а мажорирует вектор а, и обозна-
обозначать а£—5, если для любых г^Зшп, таких что
выполняется неравенство аг > аг.
Сформулируем обобщенный принцип оптимальности применитель-
применительно к решению описанной задачи в виде следующего очевидного*
утверждения.
Утверждение III. 1. Если последовательности E = {il9 /2, ... , ii\
и E = {д, /2, ... , ]t}% t > / таковы, что
ТГТ S /„ ... , Л).
mo родовое множество последовательности E может быть исклю-
исключено из рассмотрения.
Остановимся на вопросах, связанных с выбором последователь-
последовательностей из множества W* и включением новых последовательностей
в это множество.
На первом этапе в W* включаются все тх допустимых последо-
последовательностей pi, i= I, mt из множества одноэлементных последова-
последовательностей {/*}, £= 1, т/г.
Опишем &-й этап (& > 2). Из множества №* выбирается последо-
последовательность Р*, состоящая из наибольшего числа элементов. Есл»
существует несколько последовательностей одинаковой длины, та
из них выбирается та, которой отвечает наибольшее значение функ-
функционала (III. 12). Если же и такая последовательность не единственна^
то выбирается любая из них.
Пусть выбрана последовательность
P* = l/i, h 1AGW.
Поставим ей в соответствие последовательность р° = {/' /*, ... , у^),,
элементы которой совпадают с элементами р*, а
Другими словами, символы последовательности р* упорядочиваются
по убыванию площади соответствующих им объектов. Новой после-
последовательности р° отвечает такое же размещение, что и исходной р*.
105

В W* включаются все допустимые последовательности вида
Р(*} = ill il> ..., in «}, «еЗтп, / = ТТ^Гъ
где (Jb (Sa) < И* (S*ph mk — число допустимых последовательностей.
По окончании работы алгоритма III. 1 в множестве W* находятся
'Последовательности, которым соответствуют оптимальные решения
задачи. Пусть, например одна из них имет вид [tl9 i2t ... , ik}(z:W*.
Для того чтобы найти соответствующее размещение, необходимо
рассмотреть последовательность объектов S*if 5*, ... , S*k, а каж-
каждому из этих объектов согласно (II 1.9) отвечает номер размещаемого
объекта и номер точки, в которую помещается его полюс.
Время решения существенно зависит от вида матрицы С. Если
матрица сильно разрежена или, наоборот, нулевых элементов немного,
то время решения задачи сокращается. В первом случае это про-
происходит за счет большого числа недопустимых последовательностей
{не выполняются условия размещения), а во втором — за счет отсева,
согласно обобщенному принципу оптимальности родовых множеств.
Рассмотрим еще одну задачу. Имеется прямоугольная область 50
и набор прямоугольников Sif /=1, п заданных размеров, причем
допускается поворот прямоугольников на 90°, а
y(S0)=|^Et), (III. 13)
где ц>(-) — площадь объекта.
Требуется найти такое расположение прямоугольников в области,
*ггобы они полностью покрыли ее, либо указать на неразрешимость
задачи.
Во второй главе было показано, что задача поиска допустимого
покрытия может быть рассмотрена как задача максимизации функции
<*ta(*i, #2» ••• » хп)у гАе хс> i^l, n— векторы параметров размеще-
размещения объектов Sc, a
Q = Son [US/].
Свяжем неподвижную систему координат с прямоугольником S0)
а подвижные системы координат с прямоугольниками Sn i = 1, n,
так, чтобы их оси совпадали со сторонами прямоугольников (см.
рис. 33). Обозначим через St@) и 5^(я/2) объект Si, собственная
система координат которого повернута относительно неподвижной
на углы 0 и я/2 соответственно.
Рассмотрим произвольную последовательность символов {llt i2t ...
... , //}, где /<п, i'/бЗзп, ii*j*ir, j Ф U /€3n, rg3«. Назовем ее
допустимой, если не существует таких г£3/ и <£3/, при которых
ir= it + n. Отсюда получим, что всякая полная допустимая последо-
последовательность состоит из п символов.
106

Поставим допустимой последовательности {1г\ ?2, ... , ii) в соот-
соответствие совокупность объектов {S\, S*, ... , S*} следующим образом:
St/@), если it < я,
с /я\ . (III.14)
Sif (^-J , если ij >n. v
*
Расположим прямоугольники S*, /= 1, / в So согласно способу
последовательно-одиночного покрытия, т. е. точка е наименьшими
абсциссой и ординатой каждого размещаемого прямоугольника S* сов-
совмещается с точкой непокрытой части области So, имеющей наимень-
наименьшую абсциссу (рис. 35). Если точек и наименьшей абсциссой не-
несколько, то выбирается та из них, которая имеет минимальную ор-
ординату.
Утверждение III.2. Если выполняется условие (II 1.13) и покры-
покрытие прямоугольника So прямоугольниками S/, / = 1, лг существует,
то можно указать такую допустимую последовательность сим-
символов {il9 i2y ... , in}9 г'/бЗгя, /63«, что при последовательно-
одиночном покрытии So прямоугольниками {SJ, S*, ... , S*} вида
(II 1.14) искомое покрытие будет получено.
Доказательство утверждения непосредственно вытекает из того,
что при выполнении условия (III. 13) любое покрытие представляет
собой разбиение прямоугольника So на прямоугольники S/, /= 1, п.
На множестве допустимых последовательностей зададим монотон-
монотонно-рекурсивный функционал
F (*х, 1„ .. . , ii) = \i Щ ST, Ц)Ь (Ш. 16)
где через Sf (x°t) обозначен прямоугольник S* с параметрами разме-
размещения $ = (xt, yt), которые однозначно определяются последователь-
последовательностью установки прямоугольников при последовательно-одиночном
покрытии.
Итак, рассматриваемая задача может быть сведена к следующей.
Найти такую допустимую последовательность {^, iA, ... , /„}, для
которой функционал F(it, iif ... , in) вида (III. 15) достигает макси-
максимального значения, равного ^t(S0).
Для решения задачи рассмотрим метод последовательного анализа
вариантов. Укажем правила включения-исключения последователь-
последовательностей из множества W*> формируемого в процессе работы алгорит-
алгоритма III.1.
1. Если для некоторой последовательности {ilt i2i ... , //}
F(ii, i» ... .«/XS^Sf,),
то родовое множество этой последовательности исключается.
2. На первом шаге алгоритма III. 1 выбираются последовательности
[1) Т7
107

в
15
16
20
17
2
6
15
10
16
/4
5
19
5
и
7
1
12
Рис. 36.
3. На k-м этапе выбирается
последовательность из множества
W*, состоящая из наибольшего
числа символов. Если таких
последовательностей несколько,
то выбирается любая из них.
4. Пусть выбрана последова-
последовательность р* = {/*, /*, ... , /7).
В множество W* включаются
допустимые последовательности
вида Pf> ={*'•, **, ... , i*pa},
где ag32«.
Отметим следующий факт. Если на некотором этапе получена
полная допустимая последовательность, то она является решением
данной задачи. Таким образом, если не требуется определять все
возможные покрытия, то процесс решения задачи III.2 может быть
прекращен.
В случае, когда по окончании работы алгоритма III. 1 множество
W* пусто, рассматриваемая задача решения не имеет, т. е. не сущест-
существует искомого покрытия области So прямоугольниками S/, / = 1, п.
Опишем результаты решения задачи покрытия прямоугольника,
имеющего длину 12 и ширину 7, множеством из 20 прямоугольников,
размеры которых указаны в табл. 1. Искомое покрытие (рис. 36)
было получено за 40 мин на ЭВМ ЕС 1050. Время решения задачи
существенно определяется размерами прямоугольников и в общем
случае резко возрастает с увеличением числа прямоугольников.
При решении описанных выше задач отсечение множества после-
последовательностей, не являющихся оптимальными, производилось на ос-
основе обобщенного принципа оптимальности. Вместе с тем представ-
представляют интерес попытки на каждом этапе по начальному отрезку
последовательности оценивать значение функционала, соответствую-
соответствующее полной допустимой последовательности, и в процессе дальнейшего
поиска решения использовать эту информацию для исключения ва-
вариантов. По такому принципу построен метод ветвей и границ [56, 57].
Ш.З. Общая схема метода ветвей и границ
Рассмотрим задачу поиска минимума функционала F (х)
на множестве допустимых решений Ео. Поставим множеству GczE0
в соответствие конечное дерево подмножеств Glf G2, ... , Gn{G) с по-
Таблица 1
i
at
bi
1
0,5
2
2
2
1
3
2,5
0,5
4
0,5
2
5
2
0,5
6
4
2
7
0,5
0,5
8
3
2
9
3,5
4,5
10
1,5
1
11
2
2,5
12
1
3
13
1
3
14
4,5
2,5
15
2
3
16
1
2,5
17
3
1
18
1
1
19
3,5
1
20
3
3
108

мощью некоторого оператора Р9 определенного на всевозможных
подмножествах Ео. Этот оператор задает так называемое правило
ветвления и для каждого множества G а Ео позволяет указать такую
систему подмножеств Р (G) = {Glt G2, ... , Gn(G)}> что
n(G)
G = U Gh
Таким образом, правило ветвления задает некоторое разбиение
области допустимых решений на подмножества. При этом исходную
задачу минимизации функционала на множестве Ео можно свести
к решению конечного числа задач минимизации на подмножествах Ео.
Необходимость разбиения исходной задачи на подзадачи может
быть обусловлена высокой размерностью задачи, большим временем
ее решения, сложностью области допустимых решений и т. д. Есте-
Естественно, что если невозможно точно решить задачу минимизации
функционала на множестве G, то следует попытаться как-то оценить
это решение, т. е. получить некоторую оценку минимального значе-
значения функционала на множестве G. В методе ветвей и границ исполь-
используется нижняя оценка функционала на множестве.
Обозначим нижнюю оценку функционала на множестве G через
TJ(G). Таким образом, основное свойство нижней оценки функционала
F (х) состоит в следующем:
n(G) <minF(x).
В дальнейшем будем полагать, что если множество G состоит из одного
элемента х> то f\(G) = F(x). Если же G= 0, то положим r\(G) =
- +00.
Наиболее распространенным подходом к получению нижней оценки
функционала на множестве G является релаксация задачи. Под релак-
релаксацией понимается переход от решения задачи минимизации функцио-
функционала на множестве G к гадаче минимизации этого же функционала
на множестве G id G.
Ясно, что если оптимальное решение релаксированной задачи яв-
является допустимым решением исходной задачи, то оно оптимально
для нее. Если релаксированная задача не имеет решений, то исходная
задача также не имеет решений. Кроме того,
min F (х) > min F (х).
Таким образом, релаксация осуществляется в результате неучета не-
некоторых ограничений задачи, причем не учитываются те ограничения,
отбрасывание которых позволило бы легко решить релаксированную
задачу. Естественно при этом стремиться к тому, чтобы нижняя оценка
минимума функционала была как можно ближе к его точному зна-
значению.
109

Приведем некоторые основные алгоритмы, описывающие метод
ветвей и границ.
Алгоритм III.2.
Шаг 1. Положить k = О, W* = EQ9 G0 = Ео.
Шаг 2. Сформировать систему множеств
Шаг 3. Вычислить нижние оценки r|(G*) для множеств
Шаг 4. Выбрать множество Gp£ й^н-ь Для которого
min r](G).
Шаг 5. Если определена точка x*£G% такая, что
то перейти к шагу 9, иначе — к шагу 6.
Шаг 6. Пересчитать оценки для множеств системы Wk\Gkt,
Шаг 7. Положить Gk+{ = G".
Шаг 8. Положить k = k + 1 и перейти к шагу 2.
Шаг 9. Точка г* и значение функционала F (х*) являются реше-
решениями задачи. Вычисления прекратить.
Данный алгоритм относится к типу так называемых фронтальных
алгоритмов. Решение с его помощью получается, как правило, при
просмотре всего дерева подмножеств. Для многих практических задач
из-за ограниченности временных ресурсов процесс поиска минимума
функционала требуется прекращать до получения точного решения.
В этом случае желательно знать допустимое решение исходной задачи*
которому соответствует наименьшее полученное к данному моменту
значение функционала. В этом смысле представляет интерес следую-
следующий алгоритм.
Алгоритм III.3.
Шаг 1. Положить k = О, Wo = £, G° = Ef
Р= 1010, е=101(\
Шаг 2. Сформировать систем / множеств
Wk+l = (Wk\Gk){)P(Gk).
Шаг 3. Вычислить нижние оценки f|(G?) для множеств
Шаг 4. Пересчитать оценки для множеств из Wk\Gk.
Шаг 5. Выбрать множество G%$P(Gk) такое, что
n(S)= min
110

Шаг 6. Если f\(G%)<F°, перейти к шагу 7, иначе —к шагу П.
Шаг 7. Если определена точка я0 £ (Gp) такая, что
то перейти к шагу 10, иначе — к шагу 8.
Шаг 8. Положить Gk+] = G".
Шаг 9. Положить k = k + 1 и перейти к шагу 2.
Шаг 70. Запомнить точку хР и значение Т7^) Положить F0
/7(°)
JfJf. Выбрать множество Gjxg^+i такое, что
Я (GM = min r\ (G).
Шаг 12. Вычислить
Шаг 75. Если е>0, перейти к шагу 14, иначе — к шагу 15.
Шаг 14. Положить Gk+l = G^ и перейти к шагу 9.
Шаг 15. Положить х* — л^, Т7 (л:*) = F0. Вычисления прекратить*
Согласно данному алгоритму, если процесс решения задачи к не-
некоторому моменту времени не завершен в качестве приближенного
решения можно выбрать точку х0£Е0. Погрешность решения оцени-
оценивается величиной е, вычисленной на 12 шаге алгоритма.
На шаге 6 алгоритма III.2 и шаге 4 алгоритма III.3 требуется пере-
пересчет оценок для множеств из Wf\Gk. Это осуществляется следующим
образом. Полагаем
(G), i=T7k.
Ясно, что если при некотором /£3^ старая нижняя оценка функциона-
функционала совпадает с новой, то при / <: / оценки можно не перечитывать»
Итак, основные вопросы, возникающие при использовании метода
ветвей и границ, состоят в оценке минимального значения функцио-
функционала на подмножестве множества допустимых решений и в определе-
определении правила ветвления дерева допустимых решений.
Ш.4. Дерево допустимых решений и нижние оценки
в задаче размещения многоугольников в полосе
Проиллюстрируем возможность применения метода ветвейг
и границ при решении задачи размещения многоугольников в полу-
полубесконечной полосе заданной ширины. Постановка этой задачи при-
приведена в предыдущей главе. При этом область допустимых решений
G = Ео задается пересечением структур линейных неравенств вида
A1.58).
Согласно свойствам структур линейных неравенств структуру
A1.58) можно преобразовать к объединению систем линейных нера-
Ш

-венств. Для этого каждую из структур &(%g(xl> х?)> Ag, mg), вхо-
входящих в A1.58), приведем к виду
в(8,(*. *0. А*, Щ) =  в(»|(^, *'), A1, mj). (III. 16)
i
Таким образом, структура A1.58) запишется следующим образом!
П © (¥t (х\ г), Д1, 4) П 0J © (в! (*', *0, A1, mj))- (HI.17)
Из представления (III. 16) видно, что каждая из систем <5(Щг(х)9
Д1, п2), входящая в (III. 17), содержит все системы © (V (хс, г), Д\ 4),
i == 1, /г и по одной системе, выделенной из каждой структуры © ($g (xc,
.#/), ^Д^ nig), т. е. набор Щг (х) состоит из неравенств Y/ (л:^ г),
i = Т~п; $1 (х1, хО, g = 1, со, ? == 1, /?в. Общее количество систем
равно
О)
Р== Пр«. (III.18)
Итак, область G представляется в виде объединения выпуклых
многогранных множеств
G= U G, (III. 19)
•и описывается объединением р систем неравенств
U G(8r(x), Д1, л,). A11.20)
Ясно, что если некоторые из систем неравенств в представлении
(III.20) не совместны, то соответствующие им множества Gr пусты.
Множество G построим с помощью следующей процедуры [71].
Сначала выбираем выпуклое множество, описываемое структурой
п
П ©0Ft-(#f", 2), Д1, 4). Далее это множество последовательно пересе-
пересекается с множествами, задаваемыми структурами ©(Sg(^, я')» А#э
?/ns)t g* == 1, со. Такой подход позволяет представить в виде дерева
Бпроцесс формирования систем неравенств, описывающих область G.
Введем переменные yg, определяющие номер системы, входящей
структу ру ®(8я(*<, *0> Ag, mg), g = 1, со. Ясно, что yg£3Pg. Тогда
любая из систем неравенств в представлении (III.20) включает в себя
п
неравенства системы f] ©(Ч^- (х£, г), Д1, 4) и неравенства систем с фик-
£=1
сированными номерами у1У yz, ... , уы.
Построим дерево допустимых решений задачи. Вершины первого
уровня дерева допустимых решений определяются значением величины
Vi€3^. Вершины следующего уровня задаются парой {Vi, тЛ» где
Уъ€3р2- И так далее. Вершине g-ro уровня соответствует последо-
112

вательность {Yi> Y2> ••• » Yg}« Обозначим через Л [y2, Y2> ••• » Y*b
g"G3co вершину g-го уровня дерева допустимых решений. Тогда вер-
вершина А [у1у у2> • • • » Ycol определяет одну из систем неравенств, вхо-
входящих в представление (III.20). Таким образом, дерево допустимых
решений позволяет получить все системы неравенства в структуре
(III.20), т.е. представить множество G в виде (III.19).
Рассмотрим некоторые свойства дерева допустимых решений [70].
Обозначим через G(yx, Y2> ••• » Уе) многогранное множество, описы-
описываемое системой неравенств, соответствующей вершине А [у1У у2, ...
... , yg]. Поскольку множество G(y3, Y2> ... , yg+i) образуется в ре-
результате пересечения множества G(yx, Y2> • • • » Ум) с множеством,
заданным системой неравенств с номером y*+i» to имеет место сле-
следующее включение:
Если G(Yx, y2» • • • » Ум) = 0» T0 G(Vi» Y2» • • • » Vco) = 0. Кроме
того,
G(Yi, Т., ... . Y,) cz G(y*, Y2*, .. . . V*) (22)
последовательность {y*, Y*» • • • » Yg) отличается хотя бы одним эле-
элементом от {yi, Y2» ••• 9 Y^l- Из (III.22) с учетом справедливости
включения (III.21) получим;
Y2» ••• . Уё> Vg+u ... , Yo))
В указанных случаях вершину Л [Yi, Y2> ••• » Yel» g"< со, соответ-
соответствующую множеству G(Yi, y2> • •« , Yg)> будем считать концевой.
Кроме того, концевыми, естественно, являются вершины вида А[уг,
Y2. • • • . Vco].
Остановимся на вопросе получения нижней оценки функционала
в рассматриваемой задаче. Обозначим через [x(S4-) площадь много-
многоугольника Si, i = 1, п. Тогда первоначально можно положить, на-
например
% MS*)
F° = Г| (G) = i^4— , Ш1.23)
где а — ширина полосы.
Нижняя оценка оптимума для множества G(Yi>Y2> ••• »Ye) опре-
определяется при решении следующей задачи:
i z.
yg)
Из соотношения (III.21) получим, что
Следовательно, если ti[G(Yi»Y2» ••• . Y«)l > f0» гДе F° — фиксиро-
фиксированное число, при любых ветвлениях из вершины A[y1Jy2f ... , Yg]
могут быть получены только такие множества G(ylyy2t ... , y©)»
значение минимума на которых не меньше F°.
8 5-1343 ИЗ

Перенумеруем структуры неравенств, определяющие условия вза-
взаимных непересечений по следующему правилу. Если структура описы-
описывает условия непересечения /-го и /-го многоугольников, то ей при-
присвоим номер g = i + С/_ь Тогда множество G (у1У у2> ... , yg) будет
задаваться системой неравенств, связывающих переменные х\, х\, х*,
х\, ... , х{, 4» *> т- е-
Следовательно, для того чтобы проверить, что некоторая вершина
дерева допустимых решений является концевой, необходимо рассмат-
рассматривать множества в пространствах больших размерностей. Для этого
можно использовать следующий подход к редукции размерности.
Пусть требуется проверить, является ли концевой вершина А [уг, у2, ...
... у yg]. Как указывалось выше, этой вершине соответствует система
неравенств, включающая в себя все неравенства системы с номером ygy
а также все неравенства системы, отвечающей вершине А [у1У у2, ...
... , yg]. Поскольку в неравенства системы с номером yg входят лишь
четыре переменные х[> х\, х{, х2\ то вершину g-ro уровня дерева до-
допустимых решений можно анализировать в пространстве Rb перемен-
переменных xlv х2, х[У х\, г. Для этого достаточно исключить из системы
неравенств, отвечающих вершине А [уг, у2, ... , Yg-ib BCe переменные,
кроме пяти перечисленных. Полученную в результате систему обозначим
через Ч1"*. Добавляя к этой системе поочередно сиаемы с номерами ygy
получаем системы неравенств, отвечающие вершинам g-vo уровня
дерева решений. Таким образом, каждой вершине А [у19 у2, ... , yg],
полученной из А\у1Уу2, ... , Yg-il> соответствует некоторое мно-
множество пространства Rb.
Обозначим через Dg множество, описываемое системой Ч^, а через
D(yg) — множество, описываемое системой с номером yg. Тогда признак
того, что некоторая вершина А[у19 у2, ... , yg] является концевой,
определяется одним из следующих условий:
=0, (Ш. 24)
*\[D(yg)]>F<>t (III.26)
где F° — заданное число.
Для проверки условий (III.24) и (III.26) достаточно решить соот-
соответствующую задачу линейного программирования. Проверка же ус-
условия (III.25) сводится к определению совместности конечного числа
систем линейных неравенств. Действительно, пусть множества D(yg)
и D (у%) описываются системами неравенств $ (х) = {Д- (я) <: 0, i = 1, k]
и S* (х) = {/* (х) < 0, i = TTk*} соответственно. Здесь х = (х[, х12У
х[, х{, z). Обозначим через ^(х) == {tyc(x), i = 1, т) набор неравенств
из §*(#), не входящих в $ (х)у а через $?(х) — систему неравенств, со-
состоящую из всех неравенств системы %(х) и неравенства i|>t@
Тогда справедливо следующее утверждение [71].
114

Утверждение 1И.З. Условие (II 1.25) справедливо тогда и только
тогда, когда все системы неравенств $*(х)> i=\y m несовместны.
Возвратившись к методу ветвей и границ, отметим, что если на
некотором этапе поиска будет получена концевая вершина вида
^(Yi» ?2» • • • » W» то решается задача линейного программирования:
минимизировать функцию F (х) = z на множестве G(yly у2У ... , v<o)>
описываемом системой линейных неравенств. Если полученное значение
z меньше 7го, то полагаем F° = z. Первоначально определяем F° из
выражения (II 1.23).
Если концевой является вершина А \у19 у2, ... , yg]> где g"<<o,
то соответствующее ей множество G (уг, ^2» • • • > Уё) исключается из
рассмотрения. Действительно, в этом случае оно либо пусто, либо
не содержит решения, лучше имеющегося.
1II.5. Оптимальное размещение прямоугольников
в полосе
Описанная выше вычислительная схема с использованием
метода ветвей и границ позволяет решать задачи оптимального /раз-
/размещения произвольных многоугольников в полосе. Однако йоиск
точного решения сопряжен с затратами времени, памяти и других
ресурсов ЭВМ. Они обусловлены прежде всего большим числом вершин
дерева допустимых решений, а также с необходимостью на каждом
шаге решать задачу линейного программирования для получения ниж-
нижней оценки функционала. Вместе с тем некоторые из этих сложностей
можно обойти, сузив класс размещаемых объектов до прямоуголь-
прямоугольников. Дело в том, что в этом случае в силу специфики задачи
удается строить оценки, не используя аппарат линейного программи-
программирования. Особенности формирования выпуклых многогранных мно-
множеств, соответствующих вершинам дерева допустимых решений, и
подходы к оценке функционала в задаче упаковки прямоугольников
в полосе рассматривались в работах [70, 71, 73].
Пусть полоса So задана в системе координат хг0х2 и расположена
горизонтально вдоль оси Охг. Ширину полосы обозначим через а,
а размеры прямоугольников St — через аь и bt соответственно. Полюс
каждого прямоугольника Sit i = 1, п выберем в точке пересечения
его диагоналей, а координаты полюза в системе xfix2 обозначим
через х1 = (х[9 х*2). Тогда условия размещения прямоугольников Si
на участке полосы длиной z определяются следующей системой из
An неравенств:
x* —7 <: l
A11.27)
2
2
а
2
»-?.
115

Обозначим систему (III.27) через ©(^(л;1, х2, ... , хп, z), А1, Щ.
Условия взаимных непересечений прямоугольников Si и S/ опре-
определяются структурами линейных неравенств видаб(8*(*'» #0> А0, 4),
где при фиксированных i и /, /£3n, *£3/-i
g=i + C*-U (HI.28)
а набор %g (Xе, xi) состоит из неравенств
4
2 'V2 "^ 2
хх < 2
а. (III.29)
' 2 •
-4 +4 ^ 2—•
Здесь и далее через" А0 обозначена матрица операций, все элементы
которой за исключением диагональных, равны нулю.
Таким образом, область G допустимых решений задачи размеще-
размещения прямоугольников в полосе длины z определяется структурой
хп> г), А1, 4п). (III.30)
Введем переменные yg, g= 1, со, каждая из которых может при-
принимать значения из множества A,2, 3, 4}, и перенумеруем неравен-
неравенства наборов $ё(х1, xi) при фиксированных i и /' цифрами 1, 2, 3, 4
в том порядке, в каком они указаны в (III.29). Следовательно, за-
заданному значению переменной ygy g"£3<o будет соответствовать одно
из неравенств набора 8*(**, *0- Все неравенава этого набора свя-
связаны между собой операцией дизъюнкции. Таким образом, если струк-
структуру (II 1.30) эквивалентно преобразовать к объединению систем не-
неравенств, то каждая из этих систем будет содержать все неравенства
(III.27) и по одному неравенству каждого из наборов §й(#*,#/), g- =
= 1, со. Общее число неравенств в каждой такой системе равно
An + со, а количество различных систем, которые можно выделить из
структуры,
/? = 4«>.
Рассмотрим специфику дерева допустимых решений задачи раз-
размещения прямоугольников в полосе и подходы к нижней оценке
длины занятой части полосы.
Пусть известно некоторое размещение прямоугольников, которому
отвечает значение длины занятой части полосы, равное Р. Положим
i «a
116

Рис. 37.
Выделим из множества прямоугольников Siy i = 1, п такие прямо-
прямоугольники, сумма длин сторон которых меньше F0. Наибольшую
ИЗ ЭТИХ СуММ Обозначим Zmax-
В то же время выберем из множества прямоугольников S*, i =
= 1, п подмножества таких прямоугольников, сумма длин сторон
которых не меньше F*. Наименьшую из этих сумм обозначим ^min-
Рассмотрим произвольную вершину А [уХУ у2, ... , yg] дерева до-
допустимых решений. Подставим в неравенства системы, описывающей
множество G(Yi, Y2> ••• » Y^)» вместо переменной z значение гтах.
Тогда интервалы изменения значения переменных х\ и xk2> k = 1, п
будут иметь вид
?t _u k ^ Yk ^ <, Ь. hL пи 4U
^^ ' " 1 *niax о ii2^» ^lil. oij
-%- Hf
fk.
(III.32)
Здесь H\k — значение наибольшей из сумм высот прямоугольников,
стоящих один над другим над прямоугольником S*; #f&—значение
наибольшей из сумм высот прямоугольников, стоящих один над дру-
другим под Sk\ Hik — значение максимальной из сумм длин прямоуголь-
прямоугольников, стоящих один правее другого справа от S*; U\k — значение
максимальной из сумм длин прямоугольников, стоящих один левее
другого слева от5Л. Геометрическая интерпретация величин Hfu, i =
*= 1, 4 приведена на рис. 37.
117

Таким образом, условие (II 1.22) в задаче размещения прямоуголь-
прямоугольников можно проверять, не применяя аппарат линейного программи-
программирования.
При переходе от вершины А [уг, у2> ... , Yg-il K вершине А \у19
?2> • • • » Ygl B системе неравенств, описывающей многогранное мно-
множество G(ylyy2y ... , yg), добавляется неравенство из структуры
®(8*(*'\ х')> Д°, 4), задающее, по существу, одно из четырех взаим-
взаимных положений прямоугольников St и S/. При этом, если yg= 1 или
yg = 3, могут измениться только границы интервалов для переменных
х\, а при yg = 2 или yg = 4 — только границы интервалов для пере-
переменных Х\, k £ Зл-
Величины Hfk* г = 1, 4, k = 1, п могут быть вычислены согласно
следующим рекуррентным соотношениям:
, / 0, ес
, / 0, если g = 1,
если g>U
^ | тах{Я^т, Я^/ + а/}, если yg£{U 3),
Vpm "" 1 max[//^m, Я^ + Ь/}, если 7^6B, 4},
s ^ тах{Я|/, Я|т + ат}, если ?£{1» 3},
I {Я^ Hg + bm}i если ^6B, 4},
Tg+2, если v«€ll.2},
7,-2, если Vir6{3, 4},
где т= 1, *', /= 1,/, а величины g, t и / связаны соотношением
(III 28).
Таким образом, определяя для вершины A[yL, y2, ... , yg] зна-
значения Н%> г = 1, 4, k = 1, п, проверка условия G(Yi» Y2» • • • » V^) ^
= 0 сводится к проверке непустоты интервалов, задаваемых нера-
неравенствами (III.31)—(III.32). Если хотя бы один из этих интервалов
пуст, то G(ylyy2, ... , yg)= 0.
ЕслибG1, Тг» • • • » yg) Ф 0» то требуется оценить нижнюю оценку
значения функционала на этом множестве, например по формуле
Л [G (Yi, Та, • • • . yg)] = max {Hik + Hg2k + bk), (III.34)
\<k<n
В частности, если g = со, то значения параметров размещения прямо-
прямоугольников определяются так:
4k
Следующая особенность дерева допустимых решений основана на свой-
свойствах симметрии в размещении прямоугольников в полосе. Предпо-
Предположим, что концевой вершине A[yif у2, ... , y®] отвечает такое раз-
118

мещение, при котором длина занятой части полосы равна 7го, а пара-
параметры размещения х\ = dj, х\ = d\t k = 1, п.
Пусть вершине Л [y^, Y^» ••• , Y^l соответствует размещение
прямоугольников с параметрами х\ = F° — dkv х\ = d% вершине А \у®\
VB2)» • • • » Y^l — размещение с параметрами xj = dj, jc* = а — d\, a
вершине А \у&\ YB3)» • • • » Y^l — размещение с параметрами х\ = F0 —
— d*f х^ = а — d\, k= I, п. Ясно, что всем четырем вершинам A \yit
Та» • • • » Тсо], ^ [vir), Y2r), ... , т!огI» г = ТГЗ отвечают варианты раз-
размещений, которые попарно симметричны относительно прямых хг =
= F°/2y х2 = а/2 или же их точки пересечения. Всем этим вариантам
соответствует одно и то же значение. длины занятой части полосы.
Поэтому при переборе вершин дерева допустимых решений достаточно
рассмотреть лишь одну из них. Для того чтобы найти, какие вершины
дерева решений определяют размещения, симметричные размещению,
отвечающему вершине А[у1Уу2, ... , Yob можно использовать сле-
следующие соотношения:
если
(«7,.,
Y,-
In
если yc £
если ус£
если у, i
:и.з},
111. 3],
Ц2.4},
п
где Z= 1, со, а значение д^ задается выражением (III.33). Из соот-
соотношения (II 1.35) следует, что если величины Vi» Тг» • • • » Yg-i ПРИ"
нимают значения из множества {1,3}, то значение величины yg
достаточно выбрать из множества {1, 2,3). Аналогично, если вели-
величины у1У у2, ... , Yg—1 принимают значения из множества B, 4), то
в силу (II 1.36) значение величины yg достаточно выбирать из множества
{1, 2, 4). Из соотношения (III.37) вытекает, что из четырех вершин
A (YiL Yi = 1» 4 для ветвления можно оставить только вершины А [1],
а т.
Симметричные решения порождаются также при наличии транс-
лянтно равных [153] прямоугольников. Действительно, их можно по-
поменять местами без изменения длины занятой части полосы. Если
прямоугольники Si и S/ являются транслянтно равными, то из вершин
^lYi» Y2» ••• » Yg]» гДе Yg£U> 2, 3,4), достаточно рассматривать
только те, для которых yg= A, 2).
Покажем, каким сбразом осуществлять отсечение вершин дерева
решений в случае, когда для соответствующих им многогранных
множеств справедливо включение (III.21). Прежде всего, заметим, что
в ряде случаев удается указать такое число Y«£U> 2, 3,4}, для
которого
G(Yi» Ya> • • • . Т*-ь Yp s G (Yx, v2, ... , Y*-0-
При этом можно воспользоваться следующими утверждениями [70|,
119

22
IS
п
25
10
26
23
20
15
19
2!
13
27
16
12
1U зу
Рис. 38.
Рис. 39.
Утверждение III.4. Если для некоторого г£{1, 2, 3, 4} выполня-
выполняется соотношение
а, если г £{/, <?),
тах, если г£{2, 4},
где q определяется равенством A11.33), то у\ = г.
Утверждение III.5. Если пары прямоугольников {St-, Sk} ti {S/,
Sk), &<O'<C/ расположены так, что величины ут и уг, т = k +
+ C?_i, r = ^ + Cy_i, определяющие взаимное расположение пар,
связаны соотношением \ут — угj = 2, то у| = Y/--
Иллюстрация утверждения III.4 приведена на рис. 38. Здесь Н$Г1+
+ Hff > 2:maK, вследствие чего при любых допустимых параметрах
размещений х1 и х? прямоугольник S/ может стоять только справа
от Si, т. е. vl = 2. Аналогично можно рассмотреть случаи г = 1, 3, 4.
Геометрический смысл утверждения III.5 состоит в следующем. Если
прямоугольники St- и S/ расположены соответственно слева и справа
от Sk, то для справедливости включения (III.21) необходимо, чтобы
Sj был правее St.
Таким образом, если среди вершин A[ylfy2, ... , Yg—ь Ygl» Yg€
£{1, 2, 3, 4} будет найдена вершина А [уи у2, ... , Yg-ь Y|l» то ос"
тальные вершины можно считать концевыми.
Пусть
т(Й1.38)
Yg Т- Yg> Yg> Yg *Z I * > 2, 3, 4}.
Включение A11.38) имеет место при
2, если yg = 1, #S + Я?/ > zmax,
3, если Yg = 2, Hyg+\t { + Hyg^\t / > a,
4, еСЛИ Yg = 1, #4^ + #2/ > 2!max,
4, еСЛИ Yg = 3, #^-{-1, / + Hyg-U / > *max«
Таким образом, если для некоторого g£3m справедливо включение
120

i
0,5
0,5
2
0,5
0,5
3
0,5
3
4
0,5
3
5
0,5
3,5
6
4,5
0,5
7
2,5
0,5
8
3,5
1
9
2
0,5
10
1
4
т
11
1
1
а бли ца
12
ел to
13
4
2
14
2
4
t
%
15
2,5
2
16
to —
"ел
17
1,5
4
18
2,5
2,5
19
1
2,5
20
1
3,5
21
2,5
2,5
22
3
1,5
23
4,5
3
24
1,5
6
25
1,5
5
26
2,5
1,5
27
"ел
Таблица 3
8
l
8
2
2
8
1
3
3
7
4
CD CO
5
1
9
6
4
5
7
7
1
8
6
2
9
2
7
10
1
8
и
3
5
12
1
7
13
ел to
14
4
2
15
3
3
16
2
4
17
1
5
18
4
1
19
4
1
20
I
4
(HI.38), то вершину A [yv y2, ... , yg, ... ym] можно считать
концевой.
На этом закончим перечисление свойств дерева допустимых реше-
решений задачи оптимального размещения прямоугольников в полосе.
Возможно существуют и другие критерии к определению концевые
вершин. Однако рассмотренных свойств дерева достаточно для эффек-
эффективного решения практических задач.
Приведем несколько практических примеров решения задачи раз-
размещения прямоугольников в полосе с использованием метода ветвей
и границ.
77
18
13
12
10
19
15
20
16
ос
Рис. 40.
12*

У
JO
77
10
y/Z
18
19
20
15
/J
12
/Г
21 ее
Рис. 41.
i
ai
bi
1
15
127
2
16
126
3
14
112
4
ПО
16
5
13
98
б
95
15
7
12
85
8
81
14
9
И
73
10
68
13
И
10
62
12
56
12
13
9
50
14
45
11
15
8
44
Та б л и
16
35
10
17
8
32
18
26
И
на
19
17
8
4
20
17
7
126
Размеры сторон 27 прямоугольников, размещаемых в полосе ши-
ширины 8, приведены в табл. 2. Оптимальное размещение получено за
56 мин 25 с на ЭВМ БЭСМ-6 и приведено на рис. 39. Длина поло-
полосы равна 14.
Размеры сторон 20 прямоугольников даны в габл. 3. Их опти-
оптимальное размещение в полосе ширины 9 приведено на рис. 40, а в
полосе ширины 10 — на рис.
41. Время решения задач со-
составляет соответственно 15 и
34 мин на ЭВМ БЭСМ-6, а
длина занятой части полосы —
23 и 21.
И еще один пример. Раз-
Размещается 20 прямоугольни-
прямоугольников, размеры которых указа-
указаны в табл. 4.
Оптимальное размещение
в полосе ширины 126 получе-
получено на ЭВМ БЭСМ-6 за 9 с
(рис. 42), а в полосе ширины
150—-за 15 с (рис. 43). Дли-
ны занятой части полосы
соответственно равны 142 и
ю
15
18
17
20
13
12
/42
Рис. 42,
122

Рис. 43.
130. На рис. 40—43 заштрихованы не занятые участки полосы.
Как видно из результатов решения указанных выше примеров,
время получения оптимального размещения существенно определяется
исходной геометрической информацией об объектах. Численный экспе-
эксперимент, проведенный при решении большого числа модельных задач
с различными исходными данными, позволил выделить следующие
основные факторы, влияющие иа время решения задачи с использо-
использованием метода ветвей и границ [76].
Во-первых, степень близости значения нижней оценки к оптималь-
оптимальному значению длины занятой части полосы. Этот фактор свойствен
для всех задач, решаемых методом ветвей и границ.
Во-вторых, способ начальной нумерации прямоугольников. При
этом, как показал вычислительный эксперимент, прямоугольники
рекомендуется ранжировать по убыванию величин
123

В-третьих, соотношение размеров прямоугольников. Так, если
набор прямоугольников {Slf 52, ... , Sn} содержит более десяти
таких, что
то время решения задачи очень велико.
В-четвертых, соотношение ширины полосы и высоты прямоуголь-
прямоугольников. Чем ближе эти размеры друг к другу, тем меньше время
решения.
В целом решение задач показало эффективность метода ветвей
и границ при размещении в полосе до 30 прямоугольников.
III.6. Применение метода вектора спада
для поиска приближенных решений задач
геометрического проектирования
Задачи геометрического проектирования, как правило,
имеют большую размерность. Вместе с тем эффективность точных
методов решения задач дискретной оптимизации существенно зависит
от размерности, причем с ее возрастанием резко увеличивается объем
вычислений, необходимых для отыскания точного решения. Обычно
он настолько велик, что точно решить задачу за реальное время не
возможно. Поэтому возникает необходимость в выборе эффективных
приближенных методов дискретной оптимизации. В настоящее время
разработано большое число приближенных методов, например [5, 22,
33, 43, 44, 151, 155, 160,161] и др., успешно применяемых при решении
различных практических задач, в том числе задач геометрического
проектирования. Одним из наиболее эффективных и легко реализуе-
реализуемых приближенных методов дискретной оптимизации является метод
вектора спада [112, 113]. Ниже описан метод вектора спада согласно
работам [114, 115] и его применение иллюстрируется к задачам
разбиения и покрытия.
Поскольку метод вектора спада направлен на поиск локального
оптимума функционала, определим понятие локального минимума
в дискретном пространстве. Пусть на множестве Е топологического
пространства задан функционал F.
Определение III.8. Точка хо£Е называется локальным миниму-
минимумом функционала F относительно топологической окрестности
U(xo)czE, если для любых x£U (х0) справедливо неравенство
F(xo)<zF(x).
Заметим, что точка хо£Е, являясь локальным минимумом функ-
функционала относительно одной окрестности Ut (xo)y тем не менее
может не быть локальным минимумом относительно другой окрест-
окрестности и2(х0).
Определение III.9. Точка хо$Е называется точкой локального
минимума функционала F, если существует ее окрестность U(x>0,
такая что х0 является локальным минимумом F относительно U (
124

Таким образом, понятие локального минимума функционала су-
существенно зависит от топологии на Е. Например, в дискретной топо-
топологии [16, 55] всякая точка является локальным минимумом функ-
функционала. Действительно, в этой топологии открытыми являются все-
всевозможные подмножества носителя топологии, а, значит, каждая
точка совпадает со своей окрестностью. Для того чтобы исключить
подобные случаи, на окрестность U (х0) обычно накладывается тре-
требование невырожденности [115].
При поиске минимума функционала естественно стремиться к
тому, чтобы некоторая точка была локальным минимумом функцио-
функционала относительно окрестности наибольшей мощности. В частности,
если х0 является точкой локального минимума функционала относи-
относительно окрестности U(xo)~E, то х0 — точка глобального минимума.
Метод вектора спада, по существу, является аналогом градиент-
градиентных методов решения непрерывных задач математического програм-
программирования. Роль градиента здесь выполняет понятие вектора спада
[113].
Определение ШЛО. Вектор А [£/(#)] называется вектором спада
функционала F(x), определенного на G, относительно невырожден-
невырожденной окрестности U (х), если выполняются следующие условия:
]У д2
где элементы А, [£/(#)], /= 1, m(U) вектора A [U (х)] — действитель-
действительные числа, a m(U) = Cardf/ (x)\
2) точка х° является точкой минимума функционала относительно
окрестности U (л?) тогда и только тогда, когда A/ [U (х)] > О,
! = 1, m{U)\
3) если точка х не является точкой минимума функционала F
относительно окрестности U (х)> то с помощью вектора спада A [U (х)]
можно найти точку x°£U(x), такую, что F(x°) <.F(x).
Таким образом, вектор спада позволяет для каждой точки x£G
определить «направление» уменьшения значения функционала F в
окрестности U (х). Во многих случаях координаты вектора спада вы-
вычисляются значительно проще, чем сами значения функционала в
точках окрестности. Кроме того, если требуется найти любое «нап-
«направление» уменьшения минимизируемого функционала, то нет необ-
необходимости вычислять все координаты вектора Д[£/(л;)], а достаточно
ограничиться определением первого отрицательного значения A/ [U (х)]9
Опишем общую схему метода вектора спада в виде следующего
алгоритма.
Алгоритм II1.4.
Шаг 1. Положить £= 1. Выбрать начальное приближение x^£G.
Шаг 2. Сформировать окрестность U (x^k)) cz G.
Шаг 3. Вычислить s^m(U) координат вектора спада A [U(х^)]
относительно окрестности U (х^).
Шаг 4. Если A/ [U (*<*>)] > 0 для всех i £ 3S, то перейти к шагу 7.
- Шаг 5. Определить точку л^+^/У (*<*>), для которой F(a;^+1))<
125

Шаг 6. Положить k = k + 1 и перейти к шагу 2.
Шаг 7. Точка x(k) является локальным минимумом функционала F.
Закончить вычисления.
В силу конечности множества G вычислительный процесс закон-
закончится за конечное число / итераций. При этом, если на каждой
итерации положить s = m (U), то точка хA) будет локальным мини-
минимумом функционала относительно топологической окрестности
У (*<*>) = у [/(*«>).
Отметим, что метод вектора спада следует рассматривать шире,
чем подход к получению какой-либо локальной минимали. Цель
метода состоит в нахождении по возможности меньшего допустимого
значения функционала Fix). С этой точки зрения необходимо подхо-
подходить к определению начального приближения, к правилу формирова-
формирования окрестности U (x(l)) a G на каждой итерации алгоритма III.4,
к заданию числа s вычисляемых координат вектора спада, к выбору
критерия останова.
В качестве начального приближения можно выбрать либо произ-
произвольную допустимую точку, либо некоторую точку xA)£G, получен-
полученную при решении задачи другим приближенным методом.
Важный вопрос связан с правилом формирования окрестности
точки x(i). Следует ожидать, что чем больше мощность окрестности
U(x{k)), относительно которой определен локальный минимум функ-
функционала, тем вероятнее меньшее значение этого функционала. Однако
в то же время вычисление всех координат вектора спада относительно
окрестности большой мощности сопряжено с высокими временными
затратами.* Поэтому выбор окрестности U (х<к)) определяется прежде
всего временем, выделенным на решение задачи, и связан с количе-
количеством вычисляемых координат вектора спада на каждой итерации.
Среди различных модификаций метода вектора спада различают ал-
алгоритмы, в которых координаты вектора спада вычисляются до появ-
появления первой отрицательной; алгоритмы, в которых определяется
наименьшее отрицательное значение координаты, полученное при
просчете s координат &[U (x(k))]; алгоритмы, в которых вычисляются
все m(U) значений координат вектора спада в окрестности U(x^k)).
В качестве новой допустимой точки x{k+l) выбирается точка, соответ-
соответствующая наименьшей отрицательной координате вектора спада.
Если полученная по окончании работы алгоритма точка не удов-
удовлетворительна, то поиск можно продолжить (либо задав новое началь-
начальное приближение, либо сформировав окрестность V (x(k)) id U (xik))
большей мощности) и вернуться к шагу 6.
В литературе обычно встречается описание метода вектора спада,
когда топология на множестве G задается метрикой. Укажем один
из таких алгоритмов. При этом окрестность радиуса г с центром
в точке х будем обозначать через О(х, г).
Алгоритм II 1.5.
Шаг 1. Положить k= 1. Выбрать начальное приближение
Задать последовательность радиусов 0
126

Шаг 2. Положить / = 1.
Шаг 3. Сформировать окрестность О (%<*>, rt).
Шаг 4. Вычислить координаты вектора спада относительна
О (*<*>, гг) П G.
Шаг 5. Если все координаты вектора спада не отрицательны^
положить / = /+ 1. При I < т перейти к шагу 3. При 1>т пере-
перейти к шагу 7.
Шаг 6. Определить точку лг<*+1) £O(x{k), rt) f] G, для которой
F (x<k+l))<.F (x{®). Положить k = k-\- 1 и перейти к шагу 2.
Шаг 7. Закончить вычисления. Точка x{k)—локальный минимум
функционала относительно окрестности O(x(k\ rm).
В частном случае в алгоритме II 1.5 на шаге 1 можно положить
т=1.
Отметим, что метрику пространства можно изменять на любой
итерации алгоритма II 1.5. После определения локального минимума
функционала относительно некоторой окрестности в одной метрике
можно изменить метрическую структуру пространства и найти локаль-
локальный минимум относительно окрестности в новой метрике. Затем
снова изменить метрику и т. д.
Представляет интерес найти такую совокупность метрик, что если
точка является локальным минимумом функционала относительно
окрестностей заданных радиусов во всех этих метриках, то она
является и глобальным минимумом этого функционала. При этом
число метрик должно быть не велико, а окрестности — иметь воз-
возможно меньший радиус.
Таким образом, при разработке методов локальной оптимизацию
возникает важный вопрос о совпадении локального и глобального
оптимумов. В этой связи представляют интерес работы [7, 67].
На наш взгляд, для дискретных (комбинаторных) множеств наи-
наиболее естественна метрика пространства Rn. Другими словами, осу-
осуществляется отображение дискретного множества в арифметическое
евклидово пространство, наиболее полно отражающее свойства диск-
дискретных множеств и поведение функционалов на нем.
Рассмотрим применение метода вектора спада к решению следую-
следующей задачи [109]. Дано множество, состоящее из п прямоугольников
заданных размеров и k блоков, формы и размеры которых известны.
Прямоугольники связаны сетями т различных типов. Стоимость со-
соединения /-го типа равна ct. Задано количество соединений Л/^-го
типа между t-м и /-м прямоугольниками. Множество прямоугольни-
прямоугольников требуется разместить в k блоках таким образом, чтобы суммар-
суммарная стоимость прокладки соединений была минимальной. Эта задача
может быть сформулирована как оптимизационная задача в комби-
комбинаторном пространстве разбиений. Действительно, пусть
n = {IF, П2, ... , П*}, A11.39)
где Up == (я?, л£, ... , JiN(P))> р == 1, kt 0 <: N (р) < п — заранее
нефиксированное число.
127

Тогда рассматриваемый функционал примет вид
т k k N{p) N(g)
и комбинаторная задача оптимизации состоит в поиске минимума
функционала (II 1.40) на множестве допустимых разбиений.
Решению данной задачи методом вектора спада посвящена статья
109]. Зададим на множестве разбиений метрику Хаусдорфа [153]
р (IP, П**) = max min г (Пр, IT7) +
+ max min r(Upt П*7),
где
г (Пр9 П") = Card{(np U Пд)\(Пр {] П")}.
Тогда координаты вектора спада в этой метрике относительно окрест-
окрестности радиуса 2 с центром в точке П примут вид
{Д?/№ AJ№ /?=1, ft, <7=1, k, i = l, N(p), /=
тде
m N(g) N(p)
А/и=2 c,( S <V-S iV^). (Ш.42)
Координаты (III.41) определяют изменение значения функционала
^Ш.40) при перестановке элементов пр и nj разбиения П вида
(III.39). Координаты (Ш.42) задают изменение значения функцио-
функционала, если в разбиении П элемент п) исключить из ГГ7 и включить
в IP.
При формализации задачи мы не указывали различных ограниче-
ограничений, которые могут иметь место на практике. Это прежде всего
условия помещаемости прямоугольников в соответствующие блоки,
ограничения на совместимость размещенных прямоугольников с уста-
устанавливаемыми ограничениями на прокладку соединений и т. д. Пере-
Перечисленные ограничения лишь сужают область допустимых разбиений
и уменьшают число координат вектора спада. Изменение числа
координат вектора спада обусловлено наличием недопустимых разби-
разбиений в рассматриваемой окрестности. Правила же вычисления этих
координат остаются прежними.
В табл. 5 приведены результаты следующего вычислительного экс-
эксперимента на ЭВМ БЭСМ-6 [109]. С помощью датчика случайных чисел
г!28

n
20
50
100
к
5
10
10
F°
229
1463
4952
F*
150
524
2182
/
9
43
139
3
36
516
генерировались размеры прямо- Таблица 5
угольников и количество связей
между каждой парой прямоуголь-
прямоугольников. Размеры блоков, их кол-
личество и начальное допустимое
разбиение задавались априорно.
Через F0 и F* в табл. 5 обозначе-
обозначены значения функционала (III.40),
соответствующие начальному и
полученному по окончании работы метода разбиениям. Время решения t
приводится в секундах, а через / обозначено число итераций метода
вектора спада.
Рассмотрим подход к отысканию допустимого решения следующей
задачи покрытия. Дан многосвязный многоугольник Q, который
требуется покрыть прямоугольниками из заданного набора таким
образом, чтобы каждая точка многоугольника принадлежала хотя бы
одному прямоугольнику, а контур многоугольника дважды не по-
покрывался. Прямоугольники имеют размеры а х Ь, где а = тДа,
b = /ДЬ, m = 1, 2, ... , М\ I = 1, 2, . . . , L, величины Да и ДЬ
известны.
В дальнейшем будем рассматривать только односвязный много-
многоугольник, поскольку задача покрытия многосвязного многоугольника
может быть сведена к решению нескольких задач покрытия одно-
связных многоугольников с дополнительными ограничениями. Если
многоугольник имеет острые углы, то в силу недопустимости много-
многократного покрытия на контуре задача решения не имеет.
В работах [48—59, 60] описано применение метода вектора спада
к решению данной задачи. Свяжем многоугольник Q с системой
координат хОу и покроем его сеткой, количество углов которой
пусть равно N. Обозначим через Smit прямоугольник со сторонами
а = тДа, b = /Д6 и углом наклона стороны а к оси Ох /Дер,
1 <: t < Т = 2я/Дф. В свою очередь, прямоугольник Sm//, вершина
которого помещена в узел решетки с номером г, обозначим через
Smit (/)• Тогда любой набор
), i = l, ky
(III.43)
определяет некоторое покрытие части многоугольника Q. Таким
образом, задача поиска допустимого покрытия состоит в выборе та-
такого набора (III.39), которому соответствует покрытие всего много-
многоугольника при выполнении указанных выше ограничений.
На множестве всевозможных наборов вида (II 1.39) введем мет-
метрику. Рассмотрим наборы
9 6-1343
129

S** = {Sm., , (rf), i = 1, *2, £2 < N,
rh3N, mf^M,
Положим
p(S*, S^-S^l+S
где
1, если г = О,
П, если r = O,
ft (r) = ( О, если г gfc 0.
Нетрудно видеть, что функция p(S*, 5**) удовлетворяет всем ак-
аксиомам метрики.
Задав указанным выше способом метрику на множестве наборов
вида (II 1.39), можно предложить следующий алгоритм поиска допус-
допустимого покрытия многоугольника [59].
Алгоритм 111.6.
Шаг 1. Положить &=1. Задать допустимый набор 5^=-
<1) <»%
{ %
Шаг 2. Вычислить
^ по).
Шаг 3. Если
перейти к шагу 9, иначе — к шагу 4.
Шаг 4. Положить /?= 1.
Шаг 5. Сформировать окрестность 0E^, R).
Шаг 6. Определить допустимый набор 5(№) = {S^+1), S[k+l\ ...
... , ^ii0}» 5^+1)^0Eш, /?), которому соответствует максималь-
максимальное значение величины
no).
7. Если ЛЛ+1 = ХЛ, перейти к шагу 8; иначе положить
k = k + 1 и перейти к шагу 3.
Шаг 8. Положить R = R+ 1 и перейти к шагу 5.
Шаг 9. Вычисления закончить. Набору S{k) = {S^, S^', ..•
... 4 SrA} соответствует допустимое покрытие.
130

Если в процессе работы алгоритма будет необходимо рассматри-
рассматривать окрестности больших радиусов, то вычисления следует прекра-
прекратить и задать новое начальное приближение S(I). Это связано с тем,
что с увеличением радиуса окрестности R резко возрастает время
счета, затрачиваемое на перебор точек окрестности.
Получение допустимого покрытия многоугольника прямоугольни-
прямоугольниками, как правило, является одним из этапов решения задачи по-
покрытия. Обычно в дальнейшем требуется оптимизировать некоторый
заданный функционал на множестве допустимых покрытий. Это
может быть задача выбора минимального числа покрывающих прямо-
прямоугольников, определение такого покрытия, при котором минимальна
суммарная площадь перекрытий и т. д. Подходы к решению неко-
некоторых из этих задач опубликованы, например в [114].

Глава IV
НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
В АРИФМЕТИЧЕСКОМ ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Предыдущая глаиа посвящена описанию возможностей
применения некоторых методов дискретной оптимизации при решении
задач геометрического проектирования. В ряде задач оптимизируемый
функционал задается на комбинаторном множестве. Оказывается,
что многие комбинаторные множества обладают интересными свой-
свойствами при их погружении в арифметическое евклидово пространство.
Эти свойства, с одной стороны, позволяют предложить оригиналь-
оригинальные подходы к решению соответствующих оптимизационных задач.
С другой стороны, использование свойств погруженных комбинатор-
комбинаторных множеств могут послужить повышению эффективности «тради-
«традиционных» методов комбинаторной оптимизации.
IV. 1. Отображение комбинаторных множеств в Rn
Пусть имеется п различных символов я„ i = 1, 2, ..., nt
каждый из которых образует множество A{t состоящее из щ одина-
одинаковых элементов щ. Имея множества А{1 i(E3rt = {l» 2, ... , п)
и пользуясь правилами комбинаторного анализа [18], можно строить
различные наборы я, состоящие из k < п символов, т. е. я*
=» (ях, я2, ..., я^). Их соответствую дая совокупность образует то
или иное комбинаторное множество. Комбинаторные множества, эле-
элементы которых считаются различными, есЛи у них разный порядок
следования символов, назовем комбинаторными евклидовыми множе-
множествами [121] и обозначим через Е. Очевидно, множество Е дискретно,
конечно, a Card£ зависит от того, какое конкретное множество
имеется в виду.
Примерами комбинаторных евклидовых множеств являются мно-
множества перестановок, ^-расстановок, упорядоченных разбиений и др.
121, 123]. В данной глава рассматриваются мнэжхтва перестановок
из п символов без и с повторениями и связанные с этими множест-
множествами задачи. Аналогично осуществляется погружение и исследование
других комбинаторных евклидовы* множеств.
Элементами множества перестановок (обозначим его Рп) являются
упорядоченные наборы я = (я1? я2, .. . , я„) из п символов. Каждый
символ nt входит в набор только один раз и является представителем
множества Ait /£3^.
Элементами множества перестановок с повторениями (обозначим
его Рпк) являются упорядоченные наборы, состоящие из п символов,
132

причем каждый символ я, £АО J'6 3*, k < п ехо^ит в набор nt раз,
a 5j Щ = п- Заметим, что
Осуществим взаимно однозначное отображение / комбинаторного
множества Е на некоторое подмножество Ef арифметического евкли-
дового пространства Rn. Всякому элементу я = (яд, Я/я, . .. , п/п)^Е
поставим в соответствие элемент х = (х1у х2У ... , хп) £ Ef по одному
из следующих правил [121, 123]:
xt = n}r /= 1, 2, ... , п, (IV.1)
или
*, = /„ /-1, 2, ..., л. (IV.2)
Отображения, задаваемые правилами (IV.lj, (IV.2), обозначим
через / и ф соответственно. Взаимооднозначность отображения / оче-
очевидна. Для взаимнооднозначности отображения ф потребуем, чтобы
все символы я^, f= 1, 2, ... , п были различны. Тогда
Card £f = Card £ф = Card £.
Сказанное позволяет интерпретировать отображения / и ф мно-
множества Е как естественное погружение этих множеств в простран-
пространство Rn. В дальнейшем комбинаторные множества Pn, Pnk, погру-
погруженные в Rn в результате отображений / или ф, обозначим Еп, Enk.
Если в дальнейшем не оговаривается, то последующие рассуждения
проводятся для случая отображения /, однако они справедливы и для
отображения ф. Вместе с тем отображение ф обладает рядом специ-
специфических свойств, которые будут описаны отдельно.
Рассмотрим множество Enk. Всякая точка я = (я71, я/2, ..., Яуп) £ Enk
обладает тем свойством, что ее координаты принимают пг значений
а19 п9 значений ай и т. д., nk значений ak. При этом $] nt = п.
Нетрудно видеть, что величины
сг = S njah (IV.3)
с, = Jj np) (IV.4)
не зависят от я.
Следовательно, все точки множества Enk лежат на гиперплоскости
где л = (дс1, ^, ..., xn)£R\
133

Вычислив расстояние от точки x£Rn до точки n£Enk, имеем
Заметим, что
Пусть
Тогда
р(я, ;
=/!
п
S
*=1
п
I
хх
* t~— 1
п
(Я/J — ^ Zj ^//^ "Г
*=«1
k
Я/ = 2 Щ<*1 = £А>
' /=i
k
\ 2 \Г1 2
= х2 = . • • = хп = т.
=
У л:8
р (я, х) = "j/nr2 — 2^хт
т. е. данное расстояние не зависит от я, а это означает, что все
точки множества Enk лежат на я-сфере V с центром в точке
(т, т , . .. ,т) б Rn и радиусом
г = Vm* — 2Cli + c2. (I V.6)
Поскольку точки множества Enk одновременно принадлежат ги-
гиперплоскости (IV.5) и я-сфере V, то они лежат на сфере W размер-
размерности п — 1, определяемой системой уравнений
'-1 (IV.7)
% xt = cl9
где неизвестные величины задаются выражениями (IV.3), (IV.4),
(IV.6).
Из равенства (IV.6) следует, что радиус сферы W зависит от
точки, выбранной в качестве ее центра. Определим координаты центра,
при которых сфера W имеет наименьший радиус. Рассматривая под-
подкоренное выражение равенства (IV.6) как квадратный трехчлен отно-
относительно т, получаем, что наименьшее значение г достигается при
1=1
и равно
г- (IV9)
Эти результаты сформулируем в виде следующей теоремы.
134

Теорема IVЛ. Точки множества Enk лежат на семействе (п — 1)-
сферу описываемых системой уравнений (IV 7). Центром сферы
наименьшего радиуса, определяемого равенством (IV.9)у является
точка т* = (т, т, ... , t)£/?", где т задается выражением (IV.8).
В дальнейшем для определенности рассматривается сфера наи-
наименьшего радиуса, поскольку координаты ее центра вычисляются
наиболее просто.
Отметим ряд свойств множества Enk, вытекающих непосредственно
из этой теоремы. Точки множества Enk можно интерпретировать
как вершины выпуклого (п—1)-многогранника Unk) вписанного
в (п—1)-сферу W. Длина lnk наименьшего ребра многогранника Unk
равна
lnk = ( min {a,;} — рх) |/,
где
Pi = <*/ = min {а,}.
\<i<k
Диаметр dnk множества Enk определяется из выражения
где последовательность {я;/} упорядочена по возрастанию.
Осуществим линейное преобразование пространства
y=U[x — T% (IV. 10)
где U — ортогональный оператор [55], задаваемый матрицей следую-
следующего вида [123]!
£/ =
/2
0
0
1
2
0
4
1
У'п
/2
0
0
1
2
0
V2
4
1
УН
0
1
0
1
2
0
4
1
Vn
0
1
0
1
2
0
4
1
Vn
0
0
0
0
0
4
1
Vn
... 0
... 0
1
... 0
I
• • • 7
l
0
0
1
yi
0
~~~2
1
"(IV
.
11)
135

Если п нечетное, то предпоследняя строка матрицы имеет следую-
следующий вид:
1 1 1
/л(л —1) Vn(n—\) уп(п — \) У п
Если п четное и кратное четырем, то первые я/2 элементов строки
равны \\V~n и —\\Vn— остальные я/2 элемента. Если п четное
и не кратное четырем, то может быть два случая. В первом случае
строка имеет такой вид:
уъ уъ уъ
л (л - 2)
i-2) уП(п-2)
л» (л-2)
-/ь
»(л-2)»
а во втором — первые —g~ элементов равны , следующие
^~к— элемента равны и последние два элемента равны
нулю. В новой системе координат гиперплоскость вида (IV.5) прохо-
проходит через точку %* и задается уравнением
Чтобы получить уравнение (п—1)-сферы W в пространстве размер-
размерности п — 1, необходимо определить матрицу обратного оператора
и~г9 откуда
х=и-Цу — *•).
Затем подставим соответствующие выражения для хг, х2, ... , х"
в уравнение сферы системы равенств (IV.7), положив уп = 0. Ука-
Указанные операции возможны, поскольку всякое ортогональное преоб-
преобразование является невырожденным [55] и матрица, обратная орто-
ортогональной, также ортогональна.
Пример IV. 1. Построим многогранник, вершинами которого
являются точки множества £4 = ф(Р4). Согласно теореме IV. 1 его
вершины лежат на трехмерной сфере. Из формул (IV.8)—(IV 9)
получаем, что радиус этой сферы равен ]/5, а ее центр находится
в точке т* с координатами E/2, 5/2, 5/2, 5/2).
Осуществим линейное преобразование пространства
где
-A i 1 I)
\2 , 2 • 2 ' 2/
и
2
0
1
"~ 2"
1
2
2
0
1
~ 
1
2"
0
V2
2
1
2
1
2
0
Гй
2
1
2
1

136

N
1
2
3
4
Б
6
7
8
9
10
11
12
A,
B,
B,
0.
0.
C,
C,
0.
0.
B,
C,
D,
X
2,
i,
1,
2,
со"
1,
1,
з,
4,
2,
1,
3, 4)
3, 4)
4, 3)
4, 3)
2, 4)
2, 4)
4, 2)
4, 2)
2, 3)
1. 4)
1, 4)
2. 3)
toi
\ 2 '
(V*
/ /2
1 2
(-К2,
У
~~~
V2
2 '
/5 о
2 ' "
-VI
(У2, —/2, 1
(/2,
(-VTJ.
/ 3/2
\ 2
/ /2
\ 2
//2
1 2 '
/3/2
1 2
V~2, 1,
/2, 1
/2
2
з/г
2 '
3/2
2 '
/2
2
,2>о)
2, 0J
•)
г, о)
1,0)
,о)
о)
,о)
,о,о)
о.о)
о,о)
.о.о)
N
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
D,
со"
B,
A,
со"
C,
D,
D,
B,
B,
D,
D,
X
1, 3, 2)
2, 4, 1)
3, 4, 1)
4, 3, 2)
4, 1, 2)
4, 2, 1)
3, 1, 2)
3, 2, 1)
4, 1, 3)
4, 3, 1)
2, 1, 3)
2, 3, 1)
Та бл и
и
/3 /2 /2
/'/2 3/2
\ 2 ' 2 '
/ /2 3/2
V 2 ' 2
/ 3/2 /5
\ 2 ' 2
[-Ч-Ч
(¥•¥--
(-/2, -/2,
(-/2, 2, -
(V2, -V2,
ца 6
\
' /
о, о|
\
' ' /
\
,-2@)
-2, о)
-2, О)
-2, О)
-1, 0>
■1, 0)
1 О):
(/2, /2, -1, 0)
После такого преобразования точки множества Е4 примут значения
координат, указанные в табл. 6. На рис. 44, 45 изображены много-
многогранники, вершинами которых являются точки множества Еп до и
после его преобразования. Из рисунков видно, что данные много-
гранниики — «усеченные октаэдры», вписанные в шар радиуса ]/5.
Расстояние между ближайшими вершинами равно ]/2, а между наи-
наиболее удаленными — 21/5, т. е. диаметр многогранника равен диа-
диаметру шара, в который он вписан.
Пример IV.2. Рассмотрим множество Р48 перестановок симво-
символов 1, 1, 3, 7, из которых три различны. Многогранник П43, вер-
вершинами которого являются точки множества £43 = / (/54з)» приведен
на рис. 46. Вершины многогранника лежат на сфере с центром
в точке C, 3, 3, 3) и радиусом 2]/6. Расстояние между ближай-
Ш

4 8
23 19
Рис. 44.
Рис. 46.
ложив пг = п% ==
Е
шими вершинами равно 2]/2. Все 12
вершин множества £43 приведены в
табл. 7.
Продолжим исследование свойств
погруженных комбинаторных мно-
9 жеств, использовав результаты, полу-
полученные в |121, 123].
Теорема IV.2. Множество Enk
^ симметрично относительно всякой
** гиперплоскости вида
v v Л / ; 10 я-
Ж[ *""™* X/j \Jf "ij "~~ *• > •*! •••> •*■>
f^/. (IV. 12)
Доказательство этой теоремы име-
имеется в работе [123].
Рассмотрим множество Enk9 по-
: nk = 1. Тогда Епп = Яп, т. е. на множество
Еп распространяются все геометрические свойства, которыми обладает
N
X
A.
1
1. 3,
7)
A.
2
1,
7.
3)
A.
3
3, 1,
7)
A.
4
з,
7,
1)
A.
5
7. 1
Табл
. 3)
A
и ца
6
• 7, 3,
7
10
12
C, 1, 1, 7)
C, 1, 7, 1)
C, 7, 1, I)
G, 1, 1, 3)
G, 1. 3, 1)
G, 3, 1, 1)
138

погруженное множество Enk. Однако Еп характеризуется и рядом спе-
специфических свойств.
Пусть Еп = ц>(Рп). Это множество совпадает с образом множества
Рп при отображении /, если элементами последнего являются упо-
упорядоченные наборы, состоящие из натуральных чисел от 1 до п.
Еычислим константы сх и с% по формулам (IV.3), (IV.4):
Отсюда согласно теореме IV. 1, вытекает справедливость для множе-
множества Еп вида (III. 13) следующего утверждения.
Утверждение IV. 1. Точки множества Еп лежат на (п—1)-
сфере W с центром в точке т* = (тх, т3, ... , т„),
и радиусом
Теорема IV.3. Множество Еп = <р(Рп) центрально-симметрично
с центром симметрии в точке т* с координатами (IV.14).
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку а* =
= (ах, а2, . . . , ап)£у{Рп) и поставим ей в соответствие точку Р* =
= (Pi» Ра> • • • » Р«) по следующему правилу:
р, = ,г+1-а„ 1 = 1, 2, ..., п. (IV.16)
Поскольку {at}, i= 1, 2, . .. , /г попарно различные числа, прини-
принимающие значения из Зп> то в силу представления (IV. 16) pf — раз-
различные числа из Зя- Следовательно, Р*€ф(Лг)-
Определим расстояние между точками а*, р*, т*. Согласно ут-
утверждению IV. 1
р(а*, г*)-г, р(Р*, т*) = г,
где г задается выражением (IV. 15).
Далее
«*, Р*) = у t (ее, - Р,J = j/" J [f -
nf^-^±^
Таким образом,
Р(«*. ^*)
139

Отсюда следует, что точки а* и р* расположены симметрично отно-
относительно т*, а из произвольности выбора точки а*£ф(Лг) вытекает
справедливость утверждения теоремы.
Следствие IV.3.1. Диаметр множества ф(Лг) равен 2г, где г
определяется по формуле (IV. 15).
Следствие IV.3.2. (п—1)-многогранник Пп, являющийся выпук-
выпуклой оболочкой множества Еп, центрально-симметричен с центром
симметрии в точке т* с координатами, определяемыми выражением
Утверждение и следствия теоремы IV.3 иллюстрируют рис. 44 и 45.
IV.2. Разложение образов по гиперплоскостям
Продолжим изучение структуры образов комбинаторных
множеств при их погружении в арифметическое евклидово простран-
пространство. Выше было показано, что множества Еп и Enk лежат на
(п—1)-сфере, описываемой системой уравнений (IV. 7), исследованы
вопросы симметрии множеств. Вместе с тем они обладают еще рядом
интересных свойств. Как и ранее, положим, что координаты любой
точки из множества Enk принимают пг значений alf n2 значений а2
и т. д. nk значений ak.
Теорема IV.4. Множество Enk лежит на семействе п-плоскостей
{T's} вида
7^sxi + ^h-s^+'-+jr=rsxn-s ~ Wi *п + а) = О,
при этом s может принимать значения 1, 2, ... , п — I.
Доказательство этой теоремы имеется в работе [123].
Следствие IV АЛ, Множество Enk лежит на семействе (п — ^-пло-
^-плоскостей вида
trv ()
s= 1, 2, ... , /2 — 1; /= 1, 2, ... , ys.
Константа ct определяется равенством (IV.3).
Доказательство непосредственно вытекает из того факта, что
точки множества Enk} с одной стороны, принадлежат я-плоскости
^х{ = сг, ас другой — одной из n-плоскостей семейства {Ts}.
Итак, теорема IV.4 фактически указывает на возможность раз-
разбиения множества Enk на подмножества, лежащие во взаимно парал-
параллельных плоскостях.
140

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих теорему [IV.4].
Пример IV.3. Множество £4 = ф(Р4) из примера IV. 1 лежит
на следующих семействах 4-плоскостей:
s= 1:
Т\; -д- х1 -\- -^ лг2 -)- -д- х3 — лг4 4~ 2 = О,
Тi: -g- лгх + "g" ^s 4~ ■j хз — xi ~Ь "з == ^>
7\ ' "з" *1 + "з ^i "Ь "з хз — х* — "з = ®*
Т\ 4 х, + |^2 + ^ х3 - х,- 2 = 0;
Тг: х, 4- х2 — х3 — х, + 4 = 0,
fi:x1 + x, — xa — xt + 2 = 0,
1 2 • %1 I %z "^3 "^4 === ♦
i 2 * "^1 "Т" ^2 "^3 "^4 == ♦
2 * ^1 ""• ^2 "~~" ^3 ^4 —* М|
s = 3:
Г*: 3 atj — х2 — лг3 — л:4 4- 6 = 0,
Т|: 3*i — дс2 — jcs — х4 4- 2 = О,
1 31 O^j Х2 Х$ ЛГ4 2 = и,
Тз: 3*! — л:2 — х3 — л:4 — 6 = 0.
Распределение точек множества Е4 по 4-плоскостям {T*s} указано
в табл. 8, где нумерация точек соответствует табл. 6.
Как видно из табл. 8, на каждой из 4-плоскостей одного семей-
семейства лежит одинаковое число точек: при s=l и s = 3 — по шесть
точек; при s == 2 — по четыре. Исключение составляет 4-плоскость т\.
Данной плоскости принадлежит восемь точек. Это связано с тем,
что а\ = 0 и согласно свойству 4 число точек в этой плоскости
должно быть вдвое больше, чем в остальных плоскостях семейства.
Пример IV.4. Распределение точек множества £43, описанного
в примере IV.2, по гиперплоскостям следующее:
s = 1:
т1-— г о. -1 у о. * v v _l_ I6 — о
1 1 • з 1 ' 3 2 3 3 4 ' 3~ ~~~ '
141

Таблица 8
Таблица 9
Семей-
Семейство
S= 1
s = 2
s=3
Плос-
Плоскость
П
т\
т\
т\
т\
Tl
т3
'2
т4
' 2
тъ
' 2
Tl
о
т1
Tl
Т\
1,
з,
7,
14
1,
5,
9,
21
17
1,
2,
6,
2, 5,
4, 9,
8, 13
15,
2, 3,
6, 7,
Номер точек
6, 10, 11
12, 21, 23
, 16, 17, 19
18, 20, 22, 24
4
8
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
, 22,
, 18,
4, 5,
3, 1С
7, 11
12, 13,
23, 24
19, 20
8 9 16
К 15, 21, 22
, 14, 17, 18
19, 20, 23
Семей-
Семейство
S = 1
s=2
s = 3
Плос-
Плоскость
т\
т\
т\
т\
т\
т\
т\
т\
П
т\
Номер точек
1, 3,7
2, 5, 10
4, 6, 8, 9, 11, 12
1,2
3, 4, 7, 8
5, 6, 10, 11
9, 12
1, 2, 3, 4, 5, 6
7, 8, 9
10, И, 12
2:
Т\:хл+х2 — х3 — х4 + 8 = 0,
Т22:хх + х,— х9 — *4 + 4 = 0,
* 2 J I ' ^Z """"* ^3 ~"*~ ^4 """* == »
Т\ \ хх + хг — х3 — х4 + 8 = 0;
v v v v _1_ 39 Л
-vj "~~~ Л„ -~-~ Ag —"""* Л^ ~J~ O6 v/j
v v v v _1_ 1 fi П
/vi Ло Ло "~" Л| -f 1U V.
Т%
Номера точек множества E4S, принадлежащих 4-плоскостям {7^},
указаны в табл. 9, где нумерация точек соответствует табл. 7.
Рассмотрим еще один аспект, связанный с разложением множе-
множества Епк [123].
Оказывается, точки х1 = (a;j, х129 ... , х^) g Rn~xt координаты
которых принимают значения, равные значениям первых п—1 коор-
координат точки (х{, х\, ... , х\)<^Епк, лежащей на одной из я-плоо
костей семейства {7^}, принадлежат (п — 2)-сфере W с центром
в точке т*_х =г (т, т, ... , т) б R
"'1
где
/г—1
142

и радиусом
'*-i = j/ 2J (x)-xf. (IV.20)
Действительно, подмножество точек множества EnkJ которые при-
принадлежат л-плоскости Т{, имеют одно и то же значение координаты
хп. Следовательно, первые п — 1 координат формируют
Пг\ ... (/!;— 1)! ... tlk\
точек, принадлежащих некоторому множеству E\n-\)k- При этом
2 щ
1=1
Множество £(/г-1)й состоит из точек, координаты которых принимают
только значения х[, х\, . .. , x?n_v Применяя к нему теорему IV.U
получаем, что точки множества E\n^\)k лежат на (п — 2)-сфере W*
пространства 7?". Центр этой сферы имеет координаты вида (IV. 19)
и радиус, задаваемый выражением (IV.20).
Понятно, что множество E\n-i)k лежит на (п—1)-плоскости
или, что то же самое, на (п—1)-плоскости
п _ 1 2j xi — ^п + fl/ = 0,
Этот факт непосредственно следует из равенства
л-1
Тем самым доказано следующее утверждение.
Утверждение IV.2. Множество Е*пк представимо в виде прямого
произведения
^•nk == £(п—\)k X Хп
где хг принимает только значения ар i = 1, 2, . .. , k < n, при-
причем множество Е\п^\)к лежит на (п — 2)-сфере Wt в пространстве
Это утверждение позволяет разложить исходное множество Enk

на множества меньшей размерности, объединение прямых произведе-
произведений которых порождает множество Enk, т. е.
Епи= U Епк = U {E(n-.i)k X xr), (IV.21)
где хг может принимать только значения, равные ар г = 1, 2, .. ., k.
Понятно, что если рассматривается множество ЕПУ то его раз-
разложение имеет вид
En^U^'n^U^EUxx,). (IV.22)
Разложения вида (IV.21), (IV.22) можно продолжить по индук-
индукции с переходом на множества меньшей размерности. Для этого
требуется применить процедуру разложения уже к множествам
£(п-1)л, *= 1, 2, . . . , k и т. д.
Следующая теорема в определенном смысле обобщает утвержде-
утверждение IV.2.
Теорема IV.5. Множество Enk разложимо следующим образом:
^ 5 lks X E[n_s)kn-e), (IV.23)
Enk - ^ EU « 5( (Elks X E[n_s)k
где множество Ef{n_s)k8 лежит на (s—\усфере в пространстве,
Rs; множество Efin_s)kn-s — на {п — s—\)-сфере в пространстве
_ п\
V* — sI (/г _ sI •
Доказательство этой теоремы имеется в работе [123].
Теорема IV.6. Всякое множество Efnk, входящее в разложение
^ U
лежит на (п — 2)-сфере Wn_2 пространства Rn с центром в точ-
точке т° = (tJ, tJ, ... , tJ), где
— т2
тп_х — т nav
(IV.24)
т„_5+1 = xn_s+2 =...=тд»т + -^- аь
и радиусом
/й 2 (Р,7-ТпJ. (IV.25)
n-s+t У
Доказательство этой теоремы имеется в работе [123].
Следствие IV.6.1. Всякое множество, входящее в разложение
(IV.24) множества ЕА*=ф(Рп)9 лежит на {п — 2)-сфере, координаты
444

центра которой равны
ln-s+2
IV.3. Общий перестановочный многогранник
и его свойства
В предыдущих параграфах речь шла о распределении
точек комбинаторных множеств после их погружения в Rn по ги-
гиперплоскостям. В частности, показано, что множество Enk принад-
принадлежит (п—1)-сфере Wn_t и его можно интерпретировать как вер-
вершины некоторого выпуклого многогранника Ппк, вписанного в эту
сферу. Данный параграф посвящен описанию многогранника Unk как
пересечения полупространств. В случае множества Еп свойства соот-
соответствующего многогранника П„ исследованы в работах [33, 52, 53,
171]. Предлагаемые ниже результаты в определенном смысле обоб-
обобщают свойства П„ (поскольку ПЛ s Unn) и основаны на публикациях
[34, 129, 130].
Каждый элемент множества Enk является упорядоченным набором
п вещественных чисел а1У аа, ... , ап, из которых k различны. Не
теряя общности, положим
аг < а2 < . . . < а„. (IV.26)
Рассмотрим систему неравенств
^ri
m
(IV.27)
Нетрудно видеть, что система неравенств (IV.27) совместна и,
следовательно, описывает некоторый многогранник Ппк, множество
вершин которого обозначим Vn. Из (IV.27) с учетом (IV.26) сле-
следует, что
т. е. данный многогранник ограничен.
Совокупность неравенств системы (IV.27), имеющих одинаковое
значение верхнего предела суммирования /л, назовем w-й группой
неравенств системы (IV.27). Ясно, что система (IV.27) состоит из
(п—1)-й различной группы неравенств.
Теорема IV.7. Точки множества Enk являются вершинами мно-
многогранника, описываемого системой неравенств (IV.27), и наобо-
наоборот, т. е. Enk = Vn.
Доказательство. Покажем, что
EnkaVn. (IV.28)
Юз.1313 Н5

Пусть fc = (fctl, bi9, ... , bin)£Enk. В /л-й группе неравенств систе-
системы (IV.27) в точке Ь, по крайней мере, одно неравенство выполня-
выполняется как равенство, а именно!
т т
2*,,-2 «< = 0, (IV.29)
где значения rit /£3m определяются из соотношений
Рассмотрим систему уравнений, каждое из которых при т = 1,
2, . . . , п имеет вид (IV.29). Эта система совместна и имеет един-
единственное решение. Действительно, матрицу коэффициентов при пере-
переменных хо / g 3n перестановкой столбцов можно привести к диаго-
диагональному виду, причем все наддиагональные элементы будут равны
единице. Итак, точка b является решением системы уравнений вида
(IV.29), а значит b£Vn.
В силу произвольности выбора точки Ь£Еп следует справедли-
справедливость включения (IV.28).
Докажем, что
Enk zd Vn. (IV.30)
Воспользуемся методом математической индукции. При п = 2 и 3
справедливость включения (IV.30) очевидна. Предположим, что (IV.30)
верно при п = /—1, а следовательно, с учетом справедливости при
любом п включения (IV.28), £/—i, * = У/_1.
При п = / система (IV.27) примет вид
i i
v rt = 2 «/. (IV.31)
т
2 *г£ > 2 a,, (IV.32)
т€3/-ь r,€3/. O^O» Vfqb/, f,
Пу л
Справедливость включения (IV.30) при п = I будем доказывать
от противного. Допустим, что существует такая точка #, что
*„ = П*«/, V,63/, Лба, (IV.33)
тогда можно указать также / £ 3/-i и £ > 0, при которых выполня-
выполняются соотношения
,+1, (IV.34)
Щ + I = И- (IV.35)
146

Подставим значения хр = ч) в равенство (IV.31). После преобразова
ний с учетом (IV.35) получим
/ t-\ i
]g Xi = S щ + (at+x — g) + Ц а,.
1=1 t=l iW+2
Вернемся к системе (IV.31) — (IV.32). Для любого
!>,,>£ «л. (iv. зб)
t xr. > 2 а,. (IV.37)
i=\ l i=i
При sg3f/-i\3/
t Б) + S a,, (IV.38)
2
7 i Xr. -^ ^j Ott-. ^1 V .Oaf
В неравенствах (IV.36) — (IV.39) значение / таково, что /•/ = /?.
Итак, из системы (IV.31) —(IV.32) в силу соотношений (IV.26),
(IV.34) — (IV.39) можно исключить неравенства вида (IV.36) и
(IV.39).
Введем следующие обозначения:
( хс, если i £3p-i>
yi==\xM, если г'бЗ/^ХЗр-х,
at-, если /£3/_i>
а{ — g, если / = /,
а,+1> если ^3/-i\3/.
Тогда система (IV.31) — (IV.32) преобразуется к виду
S Ui = S Pt»
m m
/ I i//«. ^ 2j Pit
Поскольку px <: P2 < ... < P/—ь то система (IV.40) описывает
многогранник, множество вершин которого V/ i совпадает с погру-
погруженным в Rl-i множеством перестановок Ei_\yk символов рх, р2,...
..., Р/-ь Рассмотрим произвольную точку Р* = (РГ1, Рг2, ... , рГ|_1) € V'/—1
и поставим ей в соответствие точку у = (уг, у2, ... , yi) по следу-
10* ш

ющему правилу. Определим число р из соотношения ар »= t и по-
положим
| Pv если
> если **
Г/1, если
С одной стороны, с учетом равенства (IV.33) и в силу условия
P*£V/_i имеем, что y£Vi. Однако, с другой стороны, в системе
(IV.31) — (IV.32) в группу с номером t входят только строгие нера-
неравенства, а из остальных неравенств могут одновременно выполняться
как равенства (будучи линейно независимыми), лишь /—1 неравен-
неравенства. Следовательно, y$Vi. Пришли к противоречию.
Таким образом, доказано включение (IV.30). Из (IV.28) и (IV.30)
имеем Enk «= Vn, что и требовалось доказать.
В дальнейшем многогранник П„ь описываемый системой (IV.27),
будем называть общим перестановочным многогранником, а Пп » Ппп —
перестановочным многогранником.|
Пример IV.5. Многогранник П43, приведенный на рис. 46
(см. пример IV.2), описывается следующей системой неравенств:
**> 1,
х8 •> 1,
хг + хг > 2,
х2 + Xt > 2,
х3 + л:4 > 2,
Х1 + ^2 + -^3 > 5»
^i + ^ + ^4 > 5,
^1 + #8 + *4 > 5»
^2 + ^3 + X* > б«
Укажем некоторые свойства [33] перестановочного многогран-
многогранника Пп.
Свойство 1. Вершины !!„, смежные с вершиной а « (а^, а^, ...
.. . , ain), имеют вид р =■ (а/4, а/в, ... , а/п), где каждая из после-
последовательностей (/х, /2, .. » jn) получена из (tl9 /а, ... , /„) в резуль-
результате транспозиции индексов ir и iu таких, что \ir — //|=* 1.
Свойство 2. Множество решений системы (IV.27) является /-гра-
/-гранью @ < / < п — 2) многогранника Пп в том и только том случае,
когда каждое из этих решений обращает в равенство те неравенства
из (IV.30), которые обладают свойством
сох с: соа с: • • • с: co^^^i си 3„.
148

В работах [34, 35] рассмотрены вопросы смежности граней П„
Назовем /-грани 5{ и Sl2 многогранника П„ смежными, если
Sf nSJ = S'-\ /€3,-2,
где S1'1— (/ — 1)-грань.
Согласно предыдущему свойству можно указать множества Q{ =
= (coi, 0J, ... , o)i_/-i} и Й2 = {o)i, 0J, ... , o)rt-i_i}, соответст-
соответствующие /-граням S\ и Sl2. В свою очередь, для грани S' существует
множество Q1'1 = {о^, оJ, ... , co^__i}.
Свойство 3. Для того чтобы /-грани S\ и S2 были смежными, не-
необходимо и достаточно, чтобы множество Q' = Q\ (] Ql2 определяло
(/—1)-грань S', /еЗп-2.
Для общего перестановочного многогранника Ппк указанные свой-
свойства допускают некоторые обобщения.
Свойство 4. Если х = (хг, х2, ... , хп) — вершина Пп, то можно
указать такую последовательность индексов rl9 га, ..., гп, что для
любого т£Зп имеют место равенства
т т
Свойство 5. Вершины П„ь смежные с вершиной а = (а^, ait, ...
. .. , ain), имеют вид р = (a/t, а/2, ... , a/rt), где каждая из последо-
последовательностей (/j, /а, .. . , )п) получена из (/1? /2, ... , in) в результате
перестановки таких индексов /г и //, что
Свойство 6. Число неравенств, входящих в систему (IV.27),
перестановки равно 2П.
Действительно, равенство, входящее в систему (IV.27), можно
представить в виде совокупности неравенств
п п
2 xi > 2 а,,
t=i i=i
п п
2 ** < 2 аь
i=\ i=l
а в каждую группу т входит С™ неравенств. Отсюда общее число
неравенств равно
t С = 2".
Свойство 7. Поскольку из п координат aiy i^n точки x£Enk
только k различны, то из системы неравенств (IV.27) можно исклю-
исключить некоторые неравенства. Пусть с учетом (IV.26) для любого /£
€3т-ь т < п имеет место условие щ = а*+ь В этом случае при вы-
выполнении неравенств первой группы в системе (IV.27) будут также
149

справедливы неравенства 2, 3, ... t )n групп. Действительно, так как
у. -^ еч Т\Х\ЛЛ 1 С °t ТП HJTQ .ТТТП^ПГГ» /
ливы нераенств , , ..
при i £ Зп» то Для любого /
Следовательно, в системе (IV.27) можно исключить неравенства групп
2, 3, ... , т и общее их число станет равным
N=l+n+ t
Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда набор
чисел ах, а2, . .. , ап обладает свойством
at = а/-{-ь V/ £ З/2—i \ 3rt-m-
Тогда в системе (IV.27) достаточно оставить только неравенства
групп 1, 2, ... , п — / — 1, п — 1.
Последующие параграфы посвящены решению некоторых дискрет-
дискретных оптимизационных задач геометрического проектирования мето-
методами, основанными на погружении комбинаторных множеств в Rn.
IV.4. Решение некоторых задач
гильотинного раскроя
Рассмотрим следующую задачу [129, 130]. Имеется N
прямоугольников одинаковой ширины h с длинами сторон аг, а2, ...
.. . , aN и достаточно длинная полоса Q ширины Я, разделенная на
g полос (Ос i = 1, 2, . .. , g ширины h каждая. Требуется упаковать
данный набор прямоугольников так, чтобы минимизировать длину
занятой части полосы. На расположение прямоугольников наклады-
накладываются ограничения. Предположим, что i-я полоса ширины h может
иметь /nt- зон, в которых упаковка невозможна. Зоны запрета за-
задаются расстояниями ctj и йф i£3g, t63mt- от начала полосы Q до
начала и конца /-й зоны в i-й полосе со* соответственно. Считаем
зоны запрета расположенными так, что все величины dij, i £ 3>£> /£ 3m,
меньше минимально возможного значения длины занятой части по-
полосы Q.
Сформулируем математическую постановку данной задачи. Не теряя
общности предположим, что ах < аг <:•••< aN. Кроме того, поло-
положим, что сц жж 0 для любого i£3g, а также cit т{+1 = L, если задана
длина L полосы Q, и ciy mt.+1 = oo, если рассматривается полубеско-
полубесконечная полоса Q. Пусть /// — максимальное число прямоугольников,
которые могут быть упакованы после /-й зоны запрета в полосе со*.
Эта величина легко определяется из системы неравенств
150

Zi ap < cit /4-1 — dcjy
2 ap>ct,i+x—dth (IV.42)
!=>1, 2 fe; /= 1, 2, ... , m,.
Для любых i£3g> /€3mf введем следующие обозначения:
2 '</. 0V.43)
/i
^ + 1. (IV.44)
*!/=£ /u+1. (IV.45)
Если n>N, то рассмотрим n — -/V фиктивных прямоугольников ну-
нулевой длины. Следовательно, можно считать, что после /-й зоны
запрета в полосе со^ упаковывается 1ц прямоугольников.
Обозначим длины размещаемых прямоугольников (с учетом фик-
фиктивных) &х, Ь2, . . . , Ьп и положим, что bx< b2 <••••< Ьп. Среди
данных п прямоугольников могут быть одинаковые. Действительно,
Ьг = Ь2 = • • • = bn-~N = 0, и, кроме того, набор alt а2, ... , aN может
содержать равные числа. Пусть число различных прямоугольников
равно k. Тогда математическая модель рассматриваемой задачи будет
следующей.
Найти перестановку я*= (я*, я*, ... , я*), такую, чтобы дости-
достигался
11тГХ
min max (dimi+ S «p+s,w.)
при ограничениях
tin\
2 — diff /= 1, 2, . .. , g; /=1,2,..., mL—\.
Для решения данной задачи предлагается следующий подход, осно-
основанный на погружении комбинаторного множества Pnk в арифмети-
арифметическое евклидово пространство. Поставим каждой точке я = (я2,
я2, .. . , я„) £ РпЛ в соответствие точку х = (*1э л:2, ... , хп) £ EnkczRn
по правилу: х-ь = Яь f = 1, 2, ... , п. Введем дополнительную пере-
переменную хп+\ так, чтобы
max (rf/W/ + 2 хР+чт£) < Xn+i.
151

Тогда получим такую постановку рассматриваемой задачи.
Найти точку х* = (х*, *£, ... , **+1), на которой достигается
minxn+\ (IV.46)
при ограничениях
(*!, х%9 ..., xn)£Enkt (IV.47)
hmrX
S *p+«/*i, — **+i < <W (IV.48)
P=ssO *
/-1, 2, ... , m — 1. (IV.49)
Поиск решения задачи (IV.46) — (IV.49) разобьем на этапы. На пер-
первом условие принадлежности точки (хг, х2, . . . , хп) множеству Епк
заменяется более слабым условием. Из свойств множества Епк сле-
следует, что
либо
где Wn-\ — (п—1)-сфера с центром в точке
п
т* 8= (т, т, . .. , т) £ Rny <t = —
и радиусом
Таким образом, этот этап сводится либо к решению задачи линей-
линейного программирования
min^+i (IV.50)
при ограничениях
/. ]
i tn^ l
\П v ^ « /тт г г" 1 \
2j Xp+Sim' — *n+l ^ —Utmn (IV.01)
р=0 1
Д *р+Ч/ < ft, /+1 — dih (IV.52)
S JCp = 5j 6p, (IV.53)
t, *гр > S( 6P> (IV.54)
1=1, 2, ... , g; /= 1, 2, .... m, —1, *«=!, 2, ... , л— 1,
152

либо к решению задачи выпуклого программирования:
пИп*л+1, (IV.55>
Urn-1
S хР+Чт —Хп+\ < —dim:, (IV.56)
р=0 l
/t7-l
S cttH.i — dih (IV.57)
Для решения задачи (IV.50) — (IV.54) в силу специфики входя-
входящих в нее неравенств эффективна следующая модификация метода
отсекающих гиперплоскостей [10, 67, 99], разработанная, вообще го-
говоря, для задач выпуклого программирования. На первом шаге ре-
решается задача линейного программирования, в которой в качестве
ограничений рассматривается система, включающая в себя неравенства
вида (IV.51) — (IV.53) и р неравенств вида (IV.54). Решение задачи
обозначим *A) = (х[}\ #2, .. .,*i+i). На (/ + 1)-м шаге к имеющимся не-
неравенствам присоединяются (одновременно или последовательно) по*
одному неравенству из каждой группы неравенств вида (IV.54), ко-
которые не выполняются в точке х<1) = (х^К х^\ . .. , x$i)- Получен-
Полученная после конечного числа этапов точка я0 = (xj, x!j, ... , л£+1) явля-
является решением задачи (IV.50) — (IV.54).
Решение задачи (IV.55) — (IV.58) также не вызывает затруднений-
Здесь можно предложить любой из методов выпуклой оптимизации.
Однако, как правило, ее решение дальше отстоит от точки л:* = (#*>.
л*, ..., a^.j), чем решение задачи (IV.50) — (IV.54). Кроме того,,
решение задачи (IV.50) — (IV.54) обладает следующим интересным,
свойством. Если ограничения (IV.51) — (IV.52) не порождают вершин,,
в которых достигается минимум целевой функции, то получаемое ре-
решение является глобальным оптимумом задачи (IV.46) — (IV.49). Дей-
Действительно, как показано в § IV.3, точки множества Enk совпадают
с множеством вершин общего перестановочного многогранника П„^
описываемого неравенствами (IV.53) — (IV.54). Известно, что линей-
линейная функция достигает своего экстремума (если он существует) именно-
в вершинах многогранника допустимых решений.
Необходимость второго этапа решения задачи (IV.46) — (IV.49)*
обусловлена тем, что первые п координат точки х° = (x°lf х°, ... , х°п+1}
могут не принадлежать множеству Enk. Таким образом, требуется по»
сформированной точке х? определить точку х° = (xj, x°2t ... t x°n+l),
такую, 4to"(xJ, x°2, ... , хоп+1)£Епк. Этот этап может быть реализо-
реализован несколькими способами.
15а

Например, пусть
Тогда положим
(m'+ So ^J-
Второй способ формирования точки Х° аналогичен. Полагаем
«ели {х°, х° , ..., хо } cz {6lf Ь2, . .. , Ьп}. Остальные координаты
точки х0 и элементы из множества {bit b2t .. . , bn), не совпадаю-
совпадающие ни с одним элементом множества [х°г, х°г, •.. , хР }, упорядо-
упорядочиваем по возрастанию
хР. < х°. < • • • < х. ,
btt<bt9<---< btn_no
полагаем
Третий этап решения задачи (IV.46) — (IV.49) состоит в коррек-
коррекции вектора х0. Поскольку некоторые из компонент этого вектора
могут не удовлетворять неравенствам вида (IV.48) — (IV.49), рассмат-
рассматриваем последовательно данные неравенства. Если какое-то из них
при фиксированных /£3g и /£ЭЦ-1 не выполняется, то ищем
Зс°, = min {#> } (IV.59)
лри условии
1ц-\
Ц+,и > di, - ct. /+i + Д ~x?+stl, (IV.60)
5^ is =B niax {uy-j-j^.},
ори условии
iir\
Далее меняем местами координаты x°s a+q^ и #2..+^ вектора дг0. Про-
Процесс продолжаем до тех пор, пока не будут удовлетворены все нера-
154

венства (IV.48) — (IV.49). Значение целевой функции в результате
будет равно
х°п+\ = max {dm + 2 х%т +р).
\<i<g
Итак, точка Зс° = (xl, л:2, . .. > Хп+\) является приближенным
решением задачи (IV.46) — (IV.49). Нетрудно оценить погрешность е
решения
Ш 2М
2 ьп—{+\ — 2 Ь{
/=1 t=l
<7 f"t
где
Af =
При решении задачи (IV.46) — (IV.49), естественно, возникает
необходимость сокращения используемых ресурсов ЭВМ: времени,
объема памяти. При этом существенно используются любые возмож-
возможности уменьшения числа вершин многогранника Пп^, количества пере-
переменных, ограничений и т. д. В этом смысле представляют интерес
следующие свойства.
Свойство 1. Значения целевой функции задачи (IV.46) — (IV.49)
не изменятся при любой перестановке индексов переменных
Свойство 2. Если существуют такие il9 i2, /, что
ъ» i *= с*ш1 h dtltf = di9,j9 ilt it£3g, j€3mtt
то при замене **+«,„/ на хр*+чл.1> и наобоРот **+«/„/ на xPi+*i1%t
значение целевой функции задачи (IV.46) — (IV.49)8*He изменится.
Свойство 5. Решение задачи (IV.50) — (IV.64) можно искать не
на всем многограннике, описываемом ограничениями (IV.50) — (IV.54),
а на его части, отсекаемой следующими гиперплоскостями:
Хд > Xq+U (IV.61)
2шЛ Xp-\-S/ г «^ 2mi ХР"\-8: ft (IV.O.Jj
р=»0 lf l
i» a g* принимают всевозможные значения из множества
155

Для того чтобы неравенства (IV.61) — (IV.62) не порождали
новых вершин, целевую функцию следует представить в виде
п+\
2 аЛ> где xt(i£3n+i) — любые действительные числа, причем
ап+\— достаточно большое число.
Свойство 4. Пусть L° > L*, где L* — минимум занятой части
полосы Q. При отсутствии зон запрета
g
где величина lp\, /?£3g определяется из соотношений
2 a, > L°f
i
2 a,<L°.
Для определения L° можно предложить, например, любой из спо-
способов упаковки: метод последовательно-одиночного размещения,
BL-алгоритм [172], оптимальный алгоритм порядка 2, 5 [182]. Более
грубую оценку дает следующее выражение:
L° = max {аи, un—u • • • » ^N-g+2* 2 пр}-
p=\
Опишем некоторые результаты численных экспериментов решения
ряда модельных задач, сравнивая их с известными точными решени-
решениями, полученными разрезанием полосы заданной длины.
Пример IV.6. Упаковывается 25 прямоугольников в полосе ши-
ширины Я, разбитой на полосы ширины h каждая, причем Я/Л = 4. Длины
сторон прямоугольников указаны в табл. 10. Решение данной
задачи с использованием описанного в данном параграфе метода
позволило получить длину занятой части полосы, равную 5,51.
Упаковка приведена на рис. 47. Глобальный оптимум равен 5,50.
Относительная погрешность решения составляет 0,2 %.
Пример IV.7. Упаковывается 12 прямоугольников, длины сто-
сторон которых указаны в табл. И, а Я//1 = 3. Первой полосе принад-
принадлежит зона запрета длины 35. Получена упаковка (рис. 48), длина
занятой части полосы которой равна 68. Глобальный оптимум задачи
равен 67.
Пример IV.8. Упаковывается 25 прямоугольников, длины
сторон которых указаны в табл. 12, а H/h = 3. Зоны запрета зада-
задаются величинами сп = 0, dlx = 14, с31 == 4, d3l = 14, /u = /32 = 8.
Значения /21 и /31 определялись в предложении, что L* не известно.
Получена упаковка (рис. 49), длина занятой части полосы которой
составляет 181. Точное решение задачи имеет длину полосы 179.
156

Ah-
22
21
16
25
10
23
20
17
15
11
19
18
13
12
5,51
Рис. 47.
12
11
10
Пример IV.9. Упаковы- у
вается 30 прямоугольников,
длины сторон которых указа-
указаны в табл. 13, а Я/А = 4.
При этом /п = /л = 7, /3i =
=л /41 ав 8. Получена длина
занятой части полосы, рав-
равная 342 (рис. 50). Точному
решению соответствует дли- о~
на занятой части полосы,
равная 341.
На рис. 47—50 заштрихованы зоны запрета.
Время решения примеров IV.6— IV.8 фактически определяется
временем решения задачи первого этапа и составляет до 30 мин на
EG 1030.
Описанная задача является задачей гильотинного раскроя. К этому
же классу можно отнести и следующую аналогичную по постановке
задачу.
Таблица 10
Рис. 48.
i
at
l
0,50
2
0,51
3
0,52
4
0,53
5
0,54
6
0,56
7
0,57
8
0,58
9
0,59
10
0,60
11
0,63
12
0,63
13
0,63
Продолжение табл. 10
i
14
0,67
15
0,71
1б
0,75
17
0,76
18
0,78
19
0,79
20
0,83
21
0,92
22
0,94
23
0,96
24
1,00
25
5,50
157

У
2h
h
ш
У
J/?
2h
J?
21
25
22
20
18
17
19
14
16
12
10
15
/181
Рис. 49.
JO
28
29
27
26
25
24
25
22
19
15
18
20
21
16
11
13
14
17
12
3
7
8
10
9
\
/\—'4
342 cc
Рис. 50.
i
aL
i
a{
i
at
1
1
1
2
14
20
2
2
3
5
4
7
5
9
6
11
2
2
3
4
4
5
Б
6
6
9
15
25
16
26
17
27
18
28
7
12
7
10
19
29
8
14
9
20
0
25
b
11
9
12
10
16
5 л и ц а
И
28
Таблица
11
17
12
18
Продолжение табу
20
35
21
36
22
37
23
39
24
39
11
12
30
12
13
19
12
25
40
158

i
ас
1
1
i
a,
16
39
2
3
17
40
3
4
18
55
4
5
19
61
5
7
20
66
6
9
21
73
7
15
22
74
8
16
23
76
9
19
24
77
10
21
25
81
11
27
12
29
T абл и и а
13
32
П родолжение
26
82
27
91
28
94
14
35
табл
29
95
13
15
38
13
30
97
Имеется N прямоугольников одинаковой длины h с шириной сто-
сторон а19 а2, .. . , ам и достаточно длинная полоса Q ширины //>.
разделенная на столбцы сор I = 1, 2, .. . , g длины h и ширины Н
каждый, i-й столбец из первых g0 может иметь т. зсн запрета
/ = 1, 2, . .. , g0. Заданы расстояния сц и dLj i£3go> j(~pm 0T ниж-
нижнего края полосы до начала и конца /-й зоны запрета в t'-м столбце.
Ясно, что 0<Cfy<dt-/. Необходимо упаковать данный набор прямо-
прямоугольников так, чтобы минимизировать длину занятой части полосы
(или, что то же самое, число столбцов).
Математическая постановка задачи следующая. Для определен-
определенности, как и ранее, положим аг <: а2 <;...< aN. Кроме того, для
любого i i сц = 0, Сш{ = Я, а для i>goimi= 1, сп = dn = 0. Опре-
Определим число столбцов g-j (g"i>gr0+l)» заведомо достаточное для
упаковки данного набора прямоугольников, из системы неравенств
2 2
l 1
/6 3m,,
где ац — число прямоугольников, которые могут быть упакованы
после /-й зоны запрета в столбце i.
Далее с учетом обозначений (IV.43) — (IV.45) получим постановку
задачи вида: найти перестановку я* = (я*, я*, ... , я*), такую,
чтобы достигался
min g (IV.63)
159

ограничениях
iir\
S ц < ch W — dif, I = 1, 2, ... , g\ j = 1, 2, ... , m{.
(IV.64)
'Здесь переменная g—количество столбцов, в которых упакованы
заданные прямоугольники.
После несложных преобразований [35, 129] при погружении мно-
множества перестановок в Rn задача (IV.63) — (IV.64) сведется к сле-
следующей эквивалентной.
Найти точку х* = (л:*, л:*, ... , л:*), на которой достигается
min S аЛ (IV.65)
ягри ограничениях
S Xp+stJ<citJ+i—dti, Z= I, 2, ... , glt /= 1, 2, ... , tni— 1,
(IV.66)
где 0 < at < аа < ... < ап — произвольные действительные числа,
а величины /tm^ определяются из системы (IV.42).
Для решения данной задачи применим трехэтапный подход, опи-
описанный ниже. Первые два этапа аналогичны. Отличие состоит лишь
в виде целевой функции и отсутствии ограничений, содержащих
переменную хп+\. По окончании двух этапов получаем точку 5с°=*
Опишем третий этап. Пусть i и / таковы, что переменные
x°p+s(j> рв0,1, ..., /// — 1 не удовлетворяют соответствующим
неравенствам вида (IV.66). Тогда из соотношений (IV.59) — (IV.60)
определим величину i^+g^. Значение qu выбираем как наименьшее из
чисел q, для которых
Далее меняем местами координаты i^+g^ и i!Jf+sfy вектора 32°. Про-
Процесс продолжаем до тех пор, пока не будут удовлетворены все не-
неравенства вида (IV.66).
Решение задачи (IV.65)—(IV.66) обладает свойствами, аналогич-
аналогичными свойствам 1—4 задачи (IV.48) — (IV.49).
Приведем примеры решения двух практических задач, математи-
математическая постановка которых имеет вид (IV.63) — (IV.64).
Пример IV. 10. Упаковывается 17 прямоугольников, ширина
сторон которых указана в табл. 14, а Hjh = 2.
160

IS
15
17
Ю
и
12
14
IS
h
Рис. 51.
2h X
и
12
;*
9
2
1
to
11
13
N
6
15
1
5
7
8
h 2h 3/7 4/7 5h
Рис. 52.
Исходя из числовых данных находим gt = 3. Решение получено
на первом этапе и равно g = 2. Упаковка приведена на рис. 51.
i
0,10
2
0,12
3
0,15
4
0,16
5
0,17
6
0,18
7
0,20
Таблица
8
0,22
14
9
0,22
Продолжение табл. 14
i
10
0,22
и
<5,22
12
0,22
i
*
l
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
13
0,23
7
11
8
12
9
12
14
0,24
15
0,27
10
12
И
15
12
17
16
0,28
17
0,30
Таблица 15
13
18
14
20
15
32
Пример IV. 11. Упаковывается 15 прямоугольников, ширина
сторон которых указана в табл. 15, а #/Л = 3. Зоны запрета зада-
задаются величинами d22 = с22 = 30, с32 = 10, d3o = 22, cb2 = 35, db2 =
= 60, сА1 = 0, d41 = 52.
Исходя из числовых данных получаем gt = 7. Для решения
задачи потребовалось три этапа. Получено значение g = 6, которое
совпадает с глобальным оптимумом. Соответствующая упаковка при-
приведена на рис. 52, причем штриховка, соответствующая зонам запрета
и незанятой части полосы, нанесена в разные стороны.
11 5-1343
161

IV.5. Об одной задаче минимизации длины
связывающей сети
Пусть имеется п прямоугольников одинаковых разме-
размеров ах Ь, расположенных на плоскости так, как показано на рис. 53.
Центры симметрии прямоугольников соединены между собой свя-
связями с весами сц > 0, ccj = cfi, сц = 0, /еЗщ /бЗл- Требуется
определить такое размещение прямоугольников, при котором взвешен-
взвешенная длина сети, связывающей центры симметрии прямоугольников,
имела бы наименьшую длину.
Обозначим через xlt у19 х2, у2, ... , хп, уп координаты центров
симметрии прямоугольников. Ясно, что, ух = у2 = . .. = уп = Ь/2.
Следовательно, размещение прямоугольников полностью определяется
координатами л: = (л:1, х2> ..., хп), а взвешенная длина сети —
порядком размещения, т. е. перестановкой символов зх=(п1, я2, ...
... , лп)£Рп. Имеем
п—1 п
Далее, поскольку xt = (i—
то
n—1 n
1=1 /=/+1
я/ — я/|. (IV.67)
Получим задачу комбинатор-
комбинаторной оптимизации: найти
F (я*) = min F (я),
2а да
Рис. 53.
4а х
В дальнейшем, не теряя общ-
общности, в выражении (IV.67)
положим а = 1.
Осуществим погружение множества перестановок в Rni £„ =
= ф(Яп). В результате задача может быть сформулирована следую-
следующим образом: найти
и (л:*) = minx (л:),
х£Еп
х* = arg min к (х),
£Е
(IV.68)
(IV.69)
где
"
§ .
Укажем некоторые очевидные свойства функции и (#).
Свойство 1. к(х) — выпуклая функция.
Свойство 2. Функция к(х) — кусочно-линейна и на каждой
области линейности имеет вид
162

где
f 1, если ^< xh
l/ "" 1 2, если jc/ > jc/.
Свойство 3. Каждой области линейности функции к(х) принад-
принадлежит одна точка множества Еп, и наоборот.
Свойство 4. Количество областей линейности функции к(х)
равно п\
Введем вспомогательные определения. Рассмотрим систему
равенств
х х ,х
(IV.73)
Для определенности положим, чю переменная хх входит в ра-
равенства (IV.71). Очевидно, что система (IV.71) — (IV.73) задает
в пространстве Rn+] ребро некоторого многогранника, которое назо-
назовем ребром функции н(х). В свою очередь, ребро функции к(х)>
определенное системой (IV.71) — (IV.73) при фиксированном i£3n-b
назовем ребром /-го типа. Всякое ребро функции х(х) однозначно
задается набором индексов af, a^, ... , aj-, поэтому обозначим его
через R(alu а2, . . . , а-).
Свойство 5. Количество ребер функции и(л;) равно 2rt — 2.
Доказательство этого свойства непосредственно вытекает из свой-
свойства 6 перестановочного многогранника П,,.
Согласно свойствам множества Ею все его точки принадлежат
гиперплоскости
Yx.=:
(IV.74)
Свойство 6. Угол между ребром R (а{, с4, ... , а}) и гипер-
гиперплоскостью (IV.74) определяется только величиной х(Р'), где р* ==
= (Pi» Рг, •-., Р«) — точка пересечения ребра Я(а1, а^, ..., а{)
с цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна
оси Охп+и а направляющая представляет собой я-сферу, заданную
уравнением
п
wi / t I \ 2
163

где r =
При этом
к(Р') = г у t-j ^ ф(ее}, aj, . ♦. , cxrt)f (IV.75)
где
( 0, если / £ Зр
7«p(i, если /ез„\з,.
Ребра функции назовем смежными, если соответствующие им
(п — 2)-грани многогранника Пп являются смежными, т. е. пересе-
пересекаются по (п — 3)-грани Пп.
Свойство 7. Ребро функции к(х) является наименее наклоненным
к гиперплоскости (IV.74), если все смежные с ним ребра имеют
больший наклон к этой гиперплоскости.
На основе приведенных свойств функции (IV.70) и множества Еп
можно предложить следующий точный метод решения задачи (IV.68) —
(IV.69). Поиск решения разбивается на этапы. На первом формиру-
формируется по одному ребру f-ro типа (i = 1, 2, .. . , п— I) функции x(x).
С помощью формулы (IV.75) из этих ребер выбирается наименее
наклоненное к плоскости (IV.74) ребро /?(а{, а12, .. . , а\).
На втором этапе проверяется, является ли ребро /?(а{, а2, ...
..., а)) наименее наклоненным из всех ребер функции (IV.76). При этом
последовательно рассматриваются смежные с ребром R(a\, «2, ...
... , а\) ребра всех типов и по формуле (IV.75) вычисляется их наклон
к гиперплоскости (IV.74). Из каждого типа ребер выбирается по
одному наименее наклоненному, а из полученных (п — 2)-х ребер
всех типов, кроме типа t, выбирается наименее наклоненное ребро
#(а{, ai ... , а)).
Если наклон к гиперплоскости (IV.74) ребра /?(а{, а2, ... , а/)
больше, чем ребра R(a\, а2, ... , а*), то последнее в силу свой-
свойства 7 функции к(х) является наименее наклоненным из всех ее
ребер. Если больший наклон имеет ребро R(a\, a2, ..., aj), то
описанная выше процедура повторяется для ребра /?(а{, а2у .... а7/).
И так до тех пор, пока не будет получено ребро, наименее накло-
наклоненное из всех ребер функции х (х). Обозначим его jR (a^, a?, ...
В процессе получения ребра /?(af, af, ..., a£) формируется
система п линейных уравнений с п неизвестными:
_*(' + 2) .1 9 п 1
1 n (IV.76)
V v *(*+*)
> Xj « 5 •
164

Таблица 16
7
2
3
Ц
5
6
7
8
9
Ю
11
12
13
74
15
16
17
18
19
20
1 2 3 4
4 3 2
4 3
IS
5
1
6
9
4
6
6
1
1
и
7
1
26
6
11
6
в
2
9
3
2
11
6
9
3
12
9
4
12
3
1
10
6
24
6
5
15
12
5
£
11
8
18
4
2
J
5
и
2
12
9Ь
3
6
29
25
3
2
13
5
6
1
6
2
Ю
7
2
8
1
18
4-
1
6
15
67
9
1
2
в
10
6
16
7
45
57
5
1
4
10
1
3
17
15
43
2
2
8
в
2
2
18
96
6
а
8
3
6
6
3
3
19
8
54
5
2
12
6
4
5
20
8'
15
3
3
78
12
14
14
Из свойства 2 множества Еп следует, что система (IV.76) совме-
совместна тогда и только тогда, когда для любого i£3n-i
где (о,. = {а{, GC2, . .. , а-}, со„ = Зя.
Если система (IV.76) совместна, то ее решение является реше-
решением задачи (IV.68) —(IV.69) • имеет вид
*а( = *\ /= 1, 2, ... , п — 1,
Система (IV.76) будет несовместна, если ребра, смежные с R (аГ,
а™), не являются смежными между собой.
165
«-2, . •

Таблица 17
7
2
3
4
5
6
7
8
9
10
If
12
15
/4
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1 2 3 k 5 6 7 8 9 10 11 12
92
99 93 93
06 95
91
S3
98 91
13
91
91
SO
Ik 15 16
05
92
91
90
93 9k
9k
17 18
91 9k
90
99
96
35
19
97
92
98
99
93
20
99
99
98
9k
21
98
96
■9k
97
92
22
97
95
96
91
90
99
90
25 2k
97 98
90 99
95
92
98
96 97
95
25
99
92
90
96
В этом случае необходим третий этап решение задачи. Он состоит
в следующем. Определяется совместная подсистема системы (IV.76)
максимального ранга г. Далее рассматриваются совместные подсис-
подсистемы ранга г—1 и дополняются (п — г + 0~м Уравнениями по сле-
следующему правилу. Пусть А — подсистема ранга г — 1. В А выби-
выбирается два уравнения
k
2
(IV.77)
k(k
Подсистема А дополняется не входящим в нее уравнением
riatr '-
(IV. 78)
При этом ребро,, соответствующее грани перестановочного много-
многогранника П„, должно принадлежать гиперплоскости (IV.78) и быть
наиболее наклоненным среди ребер типа i, лежащих в этой гипер-
гиперплоскости.
Точно так же дополняется подсистема А в случае, если для
любого i3*-i все уравнения (IV.77) не входят в Л, а уравнение
166

Таблица 18
26 V 23 29 30 31 32 3334 3S3S37 38 39 40 4/ 42 43 44 454647 48 49 50
1 231+56789 10 // 12 13 Ik 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

(IV.77) включено в А. Дополнив таким образом подсистему А (п —
— г+ 1)-м уравнениями, получим новую систему п уравнений. Если
она несовместна, то процесс повторяется снова. Просматривая все
совместные системы п уравнений, полученные из исходной подсистемы Л,
находим отвечающее ей решение. Если таких подсистем несколько,
то, перебирая все решения, выбираем наилучшее. Как следует из
процесса формирования решения, оно является искомым для задачи
(IV.68) —(IV.69).
Описанный метод позволяет использовать распараллеливание вы-
вычислений на каждом этапе решения задачи (IV.68) — (IV.69).
Приведем результаты численных экспериментов на ЕС 1050 при
решении трех практических задач.
Пример IV. 12. Дано п = 20. Ненулевые элементы матрицы
С = \\dj \\nxn указаны в табл. 16. При этих условиях получено сле-
следующее решение задачи (IV.68) — (IV.69): и (х*) = 4408, #* =
==A, 9, 2, 4, 5, 8, 11, 3, 12, 19, 10, 7, 16, 15, 6, 18, 17, 14, 20, 13).
Пример IV. 13. Дано п = 25. Ненулевые элементы матрицы
С = ], cj/Цпхп указаны в табл. 17. Получено решение х(#*) = 11382,
** = E, 14, 25, 10, 16, 24, 23, 4, 9, 13,6, 15,22, 17,3, 18,7,21,20,
12, 2, 8, 19, 11, 1).
Пример IV. 14. Дано п = 50. Ненулевые элементы матрицы
С =\\сц\\пхп указаны в табл. 18. Получено решение х(л;*) = 14136,
х* = B2, 14, 20, 4, 2, 27, 7, 9, 6, 50, 11, 48, 45, 37, 39, 42, 46, 30,
35, 32, 25, 23, 34, 17, 10, 15, 1, 36, 18, 8, 49, 40, 26, 19, 13, 5, 3,
29, 43, 47, 28, 38, 12, 41, 16, 44, 21, 33, 24, 31). Этот пример решен
путем декомпозиции исходной задачи на три задачи меньшей размер-
размерности.
Рассмотренные задачи имеют широкое практическое приложение.
В частности, задачи такого класса, возникающие при проектировании
ЭВМ, приведены в монографии [1], а некоторые задачи гильотин-
гильотинного раскроя — в статье [108].

Глава V
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ
ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ
ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
Большинство задач геометрического проектирование
являются детерминированными. Однако в рамках существующих на се-
сегодняшний день детерминированных методов глобальной оптимизации^
получить точное решение в задачах большой размерности не удается.
Это обстоятельство побудило к разработке статистических методов^
оптимизации, основанных на построении вероятностной модели, т. е.
рандомизации исходной задач»!. В ряде работ, например [9, 26, 36,
37, 77, 90, 101, 146] и др. указывается, что при решении много-
многоэкстремальных задач большой размерности поведение регулярных алго-
алгоритмов носит близкий к статистическому характер и использование-
вероятностных подходов становится обоснованным. В основе боль-
большинства методов решения многомерных многоэкстремальных задач-
лежит вероятностное описание свойств минимизируемого функционала.
Эти свойства, как правило, заложены в распределении значений
функционала при соответствующем задании вероятностной мерьв
на области его определения.
V.I. Рандомизация задачи
Рассмотрим основную задачу геометрического проекти-
проектирования как задачу математического программирования.
Пусть XczRm — компактное множество, а В — а-алгебра подмно-
жества X. На множестве X задан В-измеримый ограниченный снизу
функционал к(х). Необходимо найти такую точку х*£Х, для которой
при всех х£Х справедливо неравенство
где е > 0—точность решения.
Осуществим рандомизацию данной задачи. Рассмотрим случайный
эксперимент, состоящий в генерации точек со из множества Y с= X.
Отождествим пространство элементарных событий с Y. Пусть (К, BYr
Як) —вероятностное пространство, где YczX, By—о-алгебра подмно-
подмножества Y% PY — вероятностная мера на By. Тогда х(со):со£Y есть
случайная величина на вероятностном пространстве (Y,BYi PYy) и мож-
можно говорить о законе ее распределения и других вероятностных ха-
характеристиках, которые предполагается использовать для решения;
задач (V.1).
16»

Рис. 54.
Закон распределения случайной
величины и (со): со g Y определяется
видом функционала к(х) и веро-
вероятностным распределением /V(dco).
Вообще говоря, если известно веро-
вероятностное распределение /V(dco),
то при выполнении определенных
условий в некоторых случаях удает-
удается найти точный вид распределения
случайной величины и (со): со g Y.
Однако это обстоятельство справед-
справедливо лишь для простых функцио-
функционалов, для которых решение задачи (V.1) не вызывает затруднений.
Если функционал имеет сложный многоэкстремальный характер
или задан алгоритмически, то функцию распределения случайной вели-
величины х (со): cog Y явно определить очень сложно. Такому распределе-
распределению можно поставить в соответствие близкое в определенном смысле
распределение F* (v) заданного функционального вида, зависящее
ют конечного числа параметров. При этом следует ожидать, что
поскольку речь идет о задаче минимизации, то распределение значе-
значений случайной величины и (со): cog Y будет усечено слева.
Пусть F (v) — функция распределения случайной величины V =
= х(со) :cog Y. В силу ограниченности функционала для любого е > О
имеем (рис. 54)
(V.2)
где Цу )
Остановимся на вопросе выбора распределения F*(v) заданного
функционального вида, зависящего от конечного числа параметров
и соответствующего распределению F(v).
Один из наиболее тривиальных и легко реализуемых подходов
состоит в следующем. В соответствии с заданным вероятностным рас-
распределением генерируются точки соь со2,... , со„ из множества Y. Выдви-
Выдвигается гипотеза о виде функции распределения случайной величины
м(со):cog Y. Эта гипотеза проверяется по статистике (x(coi) и(со2), • • •
..., х((оп)} с использованием известных критериев согласия. К сожалению,
чтобы получить более или менее точную информацию о функции
распределения случайной величины х(со):cog 7, требуется генерировать
большое число точек, что связано с большими временными затратами.
Применение эмпирической функции распределения F*(v) также
нецелесообразно. Дело в том, что основной интерес в задачах опти-
оптимизации представляет поведение функционалов в окрестностях гло-
глобального экстремума, а, значит, важное значение имеют свойства
функции распределения F(v) на «хвостах». Однако для эмпирической
функции распределения
где v —• наименьшее полученное выборочное значение.
470

Указанных недостатков лишен следующий подход, основанный на
разложении распределения F (v) в ряд по заданным (как правило, нор-
нормальным) распределениям [61].
Пусть V = х((о) :со£К — непрерывная случайная величина с мате-
математическим ожиданием т и дисперсией а2. Предположим, что централь-
центральные моменты fe-ro порядка \ik величины V конечны при любом k. Обоз-
Обозначим через F(и) функцию распределения, а через f(u) = F'(u) —
плотность распределения случайной величины
и = #
о
Рассмотрим формальное разложение:
/ (и) = с0 ер (и) + f| ф^1) (и) + g ф® (а) + ... f (V.3)
где Сб — постоянные коэффициенты.
Заметим, что
где Яа-(^) —полиномы Чебышева—Эрмита [61] k-и степени.
Представление (V.3) является, по существу, разложением плотно-
плотности / (и) по ортогональным многочленам. Как правило, в качестве
выбирают плотность нормального распределения
а коэффициенты разложения (V.3) можно определить из выражения
оо
ck = (—1)* f Hk(u)f{u)du.
Так как функция плотности / (и) имеет нулевое математическое ожи-
ожидание и единичное стандартное отклонение, а моменты й-го порядка
имеют вид \ik/ok, то численные значения коэффициентов разложения
будут следующими:
Г — \ Г — Г z=x О Г — ^3 Г -— ^4 3 Г= ^5 10 ^3
Ч) — Ь ci — ^г^^» °з — ^з» 4 ~" а* ' 5 а3 о»'
^-S? —"бЦ + ЗО.... (V.4)
Таким образом, всякую нормированную случайную величину, име-
имеющую конечные моменты всех порядков, можно разложить в ряд (V.3),
коэффициенты разложения которого имеют вид (V.4). Отсюда
F(u) = O (и) + § ФC) (и) + g ФD) (а) + ..., (V.5)
f{u) « Ф(а) + &ф(»)(и) + g фD)(и) + ... f (V.6)
171

Доказано [61], что если сходится интеграл
и*
е4 dF(u), (V.7)
то ряд правой части равенства (V.5) при любом и сходится к функ-
функции F(u). Если, кроме того, функция плотности f(v) имеет ограни-
ограниченную вариацию на (—оо, оо) в соответствующем пространстве, то ряд
в правой части равенства (V.6) сходится к f(u) в любой точке непре-
непрерывности этой функции.
При решении многих практических задач распределение значений
целевой функции при соответствующей рандомизации становится близ-
близким к нормальному. Этот факт дает возможность использовать в разло-
разложениях (V.5) —(V.6) небольшое число членов ряда. Кроме того, в неко-
некоторых случаях удается представить минимизируемую функцию в виде
суммы п слагаемых таким образом, что после рандомизации получим
сумму независимых или слабо зависимых случайных величин. Для их
функций распределения целесообразно использовать разложение Эдж-
ворта [61]:
= O (и) -1 Ь фC) до + *. gj _ 3 фD) {и) + J° ^i| j2 ФF) {и) _
- 51 (S -10 Э)фE) <*>+71Э (S -3)фG) w - (у-
В каждой строке указанного разложения выписаны члены одного поряд-
порядка. При достаточно общих условиях разложение (V.8) является асим-
асимптотическим для F (и) по степеням /г~1/2.
Ясно, что чем большая точность аппроксимации требуется, тем
большее число центральных моментов необходимо использовать в приве-
приведенных выше разложениях. В свою очередь, центральные моменты
оцениваются по выборочным данным, причем с увеличением порядка
момента резко возрастает объем выборки, необходимой для определе-
определения оценки с заданной точностью. Поэтому подходы, основанные
на разложениях, эффективны, когда требуемая точность достигается
для любого числа членов ряда.
Итак, предложенные выше соображения позволяют получать рас-
распределения F*(v), близкие к исходному распределению F(v) в смысле
метрик
р(Р», /=)= sup \F*(v)~F(v)\y
— 00<l><00
либо
p(F*, F) = |/ J [F*(v)-F(v)]*dv.
Вместе с тем хотелось бы как-то оценить параметр г\у распределения
(V.2). Распределению F(v) вида (V.2) поставим в соответствие распре-
172

деление F* (v) заданного функционального вида, зависящего от конечно-
конечного числа параметров, такое, что для некоторого параметра г£ и для
любого е>0
Зададим число е*>0 и будем искать распределение F*(v) в таком
виде, чтобы выполнялось условие
Так, в качестве распределения F*(v) можно выбрать предельное
распределение случайной величины х (со): со £ Y, если оно существует
и является усеченным. Один из параметров этого распределения есть
Примерами предельных усеченных распределений, в частности, мо-
могут выступать:
логарифмически нормальное распределение
1п(г —rp —ц 21 ,
e j J z при v ч, (vj])
ч
О при v < г),
где \iy s2 — математическое ожидание и дисперсия, a rj — параметр усе-
усечения;
распределение Вейбулла—Гнеденко
при t>>r]( «>0, р>0,
( )
0 в остальных случаях,
где г), а, Р — параметры положения, масштаба и формы соответствен-
соответственно;
обобщенное гамма-распределение с плотностью вероятностей
exp[-afa-T!)] при v>л, os>0, ^>0,(VI3)
? (V)
0 в остальных случаях,
где Г (•) — гамма-функция, а, А,, т) — параметры распределения.
Кривые функций распределений (V.12), (V.13) при различных значе-
значениях параметров приведены на рис. 55, 56.
Часто знание аналитического вида функционала позволяет полу-
получить предельное в определенном смысле распределение значений это-
этого функционала при заданном вероятностном распределении на обла-
области его определения. Проиллюстрируем сказанное на следующем
классе функций [90, 139], к минимизации которых сводятся многие
задачи геометрического проектирования.
173

Рис. 55.
Рис. 56.
Пусть область определения функции к(х) есть множество Y czRm.
Предположим, что существует такая монотонная функция 'фт[х(л:)])
что
где
при
. <Pi (xi9..., xmt x\,.. ., Xi+r-m) при i > m —r,
причем для всех i и почти всех х £ Y имеет место неравенство
где с0 — const.
Пусть Z = (Zi, Z2,... ,Zm) —векторная случайная величина, распре-
распределенная на Y и
m
(V.17)
где FZ(Z) — функция распределения случайной величины Z. Обозначим
где |im и Qm — соответственно математическое ожидание и дисперсия
случайной величины \|?m[>c(Z)J. Тогда, если r=o(olj?), то для всех
v > 1 имеет место следующее соотношение:
1.
(V.19)
Таким образом, функция распределения случайной величины Wm
при большом числе т приближается к нормальному закону распреде-
распределения, если зависимость между слагаемыми % и ср/ суммы (V.14)
убывает с определенной скоростью при увеличении модуля разности
\i — /|. При этом согласно равенству (V.19) сходимость имеет место
на «хвостах» функции распределения.
174

В частном случае, когда г = 0, получим, что функция ф[()|
является сепарабельной. Тогда после рандомизации типа (V.17) слу-
случайная величина i|?m[x(Z)] \Z£ Y представима в виде суммы т незави-
независимых случайных величин. Согласно центральной предельной теореме
при выполнении ее условий получим, что искомое распределение асим-
асимптотически нормально.
Указанные выше результаты позволяют сделать вывод о том, чта
существует широкий к^асс функций, предельное распределение значе-
значений которых после соответствующей рандомизации принадлежит клас-
классу Кэптейна. Один из параметров этого распределения (если оьо явля-
является усеченным) соответствует минимальному значению функции и (я),,
а функциональный вид предельного распределения определяется пре-
преобразованием ipm.
Например, если
где ф; > О, то распределение значений случайной величины к(г) имеет
логарифмически нормальный закон распределения при выполнении ус-
условий (V.14) —(V.17).
Рассмотрим пример одного класса задач геометрического проекти-
проектирования, для которого минимизируемая функция удовлетворяет усло-
условиям (V.14) — (V.16). Для этого докажем следующую теорему [128].
Теорема V.I. Для функций вида
т
GiM=V1gi(xl), (V.20).
1 = 1
существует конечное число областей D/, в каждой из которых
справедливы следующие разложения:
i
Gi (X) = £ \lk(pk (xik-])n+U X(k-\)n+2, • • • , Xkn), (V.22>
i
G2W =S hyk{xik-l)n+U ^-1)/г+2, ... , Xkn), (V.23)-
где
f n < entier (^), (V.24)
1^^, К — постоянные коэффициенты.
Доказательство. Не теряя общности, положим, что / — це-
целое число. Объединяя члены в правой части равенства (V.20) в I
групп, получаем
°ЛХ) = <Pi (*1> *а» • • • . Хп) \Zi4>2(Xn+U Хп+2, . • • , Х2п) X
X V 1 • • • V 1<Р/ (^ш-л+19 Хт-П+2> • • • > Хт) =
I
= \Лфл(*(*-1)л+Ь X(k-l)n+29 ••• > Xkn),
175-

причем
kn
Vl
ft— \)n-\-l
Обозначим
^Пользуясь определением операции /^-дизъюнкции [104], имеем
G, (х) = 2'-' (ф1 + Ф2 + 2Фз + 22Ф4 + .. • + 21-*щ + j ф1 + ф21 +
+ 'I <Pi — Ф21 + Ф1 + Ф2 — 2Фз I + III Ф1 — Ф21 + Ф1 + Ф2 — 2Фз I +
+ i Ф1 — Ф2! + Фх + Ф2 — 2Фз — 22Ф41 + • • • + I +
+ Ф1 + Ф2 + 2ф3 + • • • + 2'-2<р/1). (V.25)
Как следует из представления (V.25), область значений функции
<Ji(x) можно разбить на подмножества Dh на каждом из которых
имеет место равенство
/
Gi(*) = X «лРлфЛ (*(*-1)л+Ь X(k-\)n+2f ••• > Xkn)f
где аи принимает значения —1 или 1, а Р* — коэффициенты, полу-
полученные в результате перемножения величин вида 2/~'. Полагая [х^=
= о^рь получаем искомое представление (V.22). Если I не является
целым, то оно будет удовлетворять условию (V.24).
Аналогично доказывается возможность представления (V.23).
Поскольку в задачах размещения с подвижными границами функ-
функция цели представима в виде (V.20), то при задании однородной ве-
вероятностной меры на каждом из подмножеств Y czRm в силу рас-
рассуждений, приведенных выше, случайная величина Gx (со): со £ Y будет
асимптотически (т-^оо) нормальна.
Таким образом, оценивая параметры распределения F*(v) случай-
случайной величины х (со): со £ Y> можно получить некоторые вероятностные
характеристики поведения функционала к(х) на множестве Y. Естест-
Естественно выбирать такие вероятностные характеристики, которые бы
позволяли судить о наличии искомого приближения к оптимуму на
заданном множестве, о существовании лучших значений функционала,
чем полученные, и т. д.
V.2. Статистическая оценка оптимума
Одной из наиболее важных характеристик функционала
к(х) на множестве Y является значение его оптимума. Заметим, что
вероятностная модель задачи несет в себе информацию об оптимуме
[162]. Действительно, функция распределения случайной величины
x(co):co£F должна удовлетворять условию (V.2j, т. е. должна быть
усечена некоторым параметром r\Yy по существу, являющимся анало-
аналогом наименьшего значения функционала п(х) на Y. Остановимся на
вопросе оценки величины
476

Возможны два подхода к оценке величины цу9 основанные на ран-
рандомизации задачи: параметрический и непараметрический.
Рассмотрим сначала параметрический подход. Если функции рас-
распределения F(v) случайной величины x(co):cogF удалось поставить
в соответствие такую функцию распределения F*(v)t что для парамет-
параметра цу последней \r\Y — т]*|<8*, то задача оценки величины ч\у
с точностью 8 сводится к оценке параметра т]* с точностью е — в*.
Ясно, что распределение F*(v) должно быть выбрано так, чтобы
&*<8. В предыдущем параграфе речь шла в основном об аппрокси-
аппроксимации F(v) предельным распределением F*(v) значений случайной
величины х((о):со£К. В этом случае, оценивая параметры указанно-
указанного предельного распределения, нетрудно получить выражения для
оценки величины т]у.
Пример V.I. Если предельное распределение F*(v) является ло-
логарифмически нормальным вида (V. 11) с параметрами |х, s, у], то
значение ц можно определить по формуле
V а2 — а?
где аг и а2 — начальные моменты первого и второго порядков соот-
соответственно, ар — действительный корень уравнения
в котором Yi — коэффициент асимметрии. Рассматривая в качестве ве-
величин а1У а2 и Yi выборочные их оценки, получаем оценку ц по
методу моментов.
Пример V.2. Для распределения Вейбулла — Гнеденко вида
(V.12) можно предложить следующие формулы оценки параметров
у], а, Р с помощью выборочного среднего т и выборочного стан-
стандартного отклонения s:
где
Вещественный параметр р оценивается по выборочному коэффициенту
асимметрии yt из соотношения
[r(l + |) -ЗГ (l + |) Г(l + -1
Таблицы значений функций Л(р), В(Р), Сф) для различных р при-
приведены, например в монографии [28].
12 5-1343 177

При вероятностной оценке опти-
оптимума широкое применение получи-
получили подходы, основанные на распре-
распределении экстремальных значений
случайной величины к (со): со £ Y.
Другими словами, для выбора рас-
распределения F*(v) предлагается ис-
использовать не предельное распреде-
распределение случайной величины х(со)$
:со(=7, а предельное распределение
Рис- 57* ее экстремальных значений. Оба
указанных распределения будут ха-
характеризоваться одним и тем же параметром усечения ц* в представ-
представлении (V.9). На рис. 57 через F*(v) обозначена функция распреде-
распределения экстремальных значений случайной величины V с усеченной
снизу функцией распределения F(v).
Будем генерировать на множестве Y независимую случайную
выборку {со/} в соответствии с заданным вероятностным распределе-
распределением Py(dco). Функционал х преобразует эту выборку в последова-
последовательность значений {x((ot)}, которую разобьем на п групп по т
элементов в группе. Выбрав в каждой группе наименьшее значение,
получим выборку объема п экстремальных выборочных значений слу-
случайной величины V = х (со) s со £ Y% Распределение экстремальных зна-
значений в тп наблюдениях должно стремиться к тому же пределу,
что и распределение экстремальных значений в выборке объема п.
Поэтому исходное распределение F (v) должно удовлетворять так на-
называемому постулату устойчивости [28, 30]:
P*(u) = f(ani; + pn),
где ап и $п — некоторые функции, зависящие от п.
Известно [28, 30], что существует три предельных распределения
экстремальных значений (единственные, удовлетворяющие постулату
устойчивости), каждому из которых присуще специфическое поведе-
поведение для экстремумов случайной величины. Первое предельное рас-
распределение справедливо для исходных распределений экспоненциаль-
экспоненциального типа, второе — для распределений типа Коши, третье имеет
место в случае, если исходное распределение является усеченным.
Поскольку согласно постановке задачи исходное распределение
F(v) имеет вид (V.2), т. е. усечено слева, то для дальнейших иссле-
исследований в качестве распределения экстремальных значений будем
применять третье предельное распределение.
Необходимым и достаточным условием существования третьего
предельного распределения минимальных значений является следую-
следующее равенство:
/Ш-<8' <v-26>
где t > 0? Р > 0, и для любого в > 0
178

При этом
где
id — P — ехР (—v^9 если v ^ ^»
р ' ~" и) , если и < 0.
Третье предельное распределение экстремальных значений имеет
вид
(,) = 1-ехр [-
где параметр положения г\ равен значению минимума случайной ве-
величины V\ а — параметр масштаба; параметр р определяет форму
распределения F*(v).
Такое распределение приводилось в § V. 1, когда предлагалось
выбирать его в качестве предельного распределения случайной вели-
величины x.(co):co£F. Напомним, что третье предельное распределение
экстремальных значений называется также распределением Вейбул-
ла — Гнеденко.
Принципиальным при использовании закона Вейбулла — Гнеденко
для статистической оценки оптимума функционала к (х) является тот
факт, что после рандомизации исходное распределение F (v) случай-
случайной величины V = к (со): со £ Y играет небольшую роль. От него за-
зависят только параметры предельного распределения, которые оцени-
оцениваются по выборке в тп реализаций случайной величины х (со): со£ Y.
Подчеркнем, что параметры предельного распределения являются
функциями исходного распределения F (v) и объема выборки п, из
которой были взяты экстремумы. Эти параметры определяются ис-
исключительно тем, каким образом исходная функция распределения
приближается к нулю.
Таким образом, при указанных предположениях относительно ис-
исходного распределения F(v), минимальное значение случайной вели-
величины V = х(со): со £ Y должно совпадать с параметром т] предельного
распределения экстремальных значений вида (V.12), который можно
оценить по выборочным данным. Оценка экстремального значения
случайной величины x(co):co£F является приближенной и зависит
от объема выборки п. Насколько велико должно быть п определя-
определяется исходным распределением и степенью точности, которую тре-
требуется достигнуть.
При наличии быстро сходящегося детерминированного поиска ло-
локальных экстремумов можно вместо экстремальных значений статис-
статистической выборки использовать значения локальных оптимумов [179].
Это позволяет избежать необходимость группировки выборки и зна-
значительно сокращает ее объем.
12* 179

Итак, использование предельных распределений экстремальных
значений позволяет свести задачу оценки параметра г\у распределения
случайной величины x(co):co£F к оценке параметра т)* трехпарамет-
рического распределения Вейбулла — Гнеденко. Параметры предель-
предельных распределений оцениваются по выборке {х^), и (со2), . . , к((оп)}
с помощью известных методов математической статистики.
Однако такая оценка оптимума обладает рядом недостатков. Во-
первых, для оценки параметра г]* требуется оценить все параметры
распределения F*(v) (будь-то распределение случайной величины
и (со): со £ Г или же распределение ее экстремальных значений). Это
приводит к необходимости резкого увеличения объема выборки для
повышения точности оценки. Во-вторых, неадекватность вероятност-
вероятностной модели (например, при малом числе используемых параметров
функции распределения минимизируемого функционала после рандо-
рандомизации задачи) порождает погрешность, которая в ряде случаев мо-
может быть велика. В-третьих, в некоторых практических задачах воз-
возникают осложнения при построении доверительных интервалов для
используемых параметров, что затрудняет оценку погрешности веро-
вероятностной модели.
Указанные сложности в определенной степени позволяют обойти
непараметрический подход к вероятностной оценке оптимума [78,
174 — 178, 184], основанный на бурно развивающейся в последнее
время теории порядковых статистик.
Рассмотрим независимые реализации »c(<0i), х(со2), ... , к((дп)
случайной величины х(о)):а)£У\ Обозначим через г\(\) < %) < •••
• • • < Ц(п) порядковые статистики, соответствующие данной выборке.
На их основании сделаем выводы о величине
Лк — inf х(х).
В качестве оценок величины fly будем применять оценки вида
*\Y \**» ") == АЛ "'I •1@» V ^ •**ш\
использующие k крайних порядковых статистик. Величина k опреде-
определяет, сколько из п экстремальных выборочных значений несет ин-
информацию об оптимуме. Для состоятельности оценки (V.27) необхо-
необходимым является следующее условие:
Будем характеризовать качество оценок т1у(я> k) величиной
М [Г\У(П, Щ — Г]у]2.
Следующая теорема позволяет определить значения коэффициен-
коэффициентов щ, i=*l,&, обеспечивающих наилучшую в указанном смысла
оценку оптимума г\у [40, 42].
180

Теорема V.2. Пусть функция распределения случайной величины
V = к (со): со £ Y удовлетворяет условию (V.26) при ц = Цу- Тогда
асимптотически при д->оо
(In — 4y? M [fjy (л, ft) — Пу]2 = атЛа + о A),
где ат = (я1э я2, ... , а^); Л — симметрическая матрица с элемен-
элементами
hi = Г (| + /) ГA + /)/Г A + i) Г(/), / <: |.
Естественно стремиться минимизировать величину аТЛа. В резуль-
результате получим оптимизационную задачу
k k
при ограничениях
1=1
Указанный минимум достигается на векторе
где Л — матрица, обратная Л, а ет = A, 1, . . . , 1) и равен (^Л^).
Рассмотрим еще один подход к оценке координат вектора а, ис-
используя следующее представление при л->оо:
г (я, ft) = т|У — (соп) Р aTb + о (~1, (V.28)
где
, ft* = (bly Ь2, ... Ьл), fet- = Г D- + Л/Г @.
Определим значения координат вектора а, решив следующую за-
задачу:
k k
при ограничениях
Данный минимум равен [етЛ~гР — FтЛеJFтЛ6)]" и достигается
на векторе
а* = л ——-^ . (V.29)
L(bTA-1b)(eTA-1e) —(eTA-16JJ N
181

В смысле простоты вычислений для статистической оценки опти-
оптимума представляет интерес так называемая оценка Робсона и Уиттно-
ка [185]
л, <„,*) = [i - <ЦШ>] пи, +(^ т- (V-30)
В частности, при k = 2 имеем
Т\у{П, 2) = Т1<1)— | [ПB) —
Для получения оценки r\Y (п, к) с помощью порядковых статис-
статистик, как следует из выражений (V.27) — (V.30), необходимо знать значе-
значение параметра р. Этот параметр определяется видом функции распре-
распределения случайной величины к (со): со £ Y.
При решении многих практических задач достаточно априорных
сведений для того, чтобы определить значение параметра р. Так,
если функция распределения случайной величины и(со):со£К имеет
достаточно гладкую плотность f (v) и / (v) Ф О в точке rjy, то Р = 1.
В общем случае
р = у , 1=2, 3, ... ,
если
/<'-*> Ы = о,
но
В работах [40, 42, 78] исследованы вопросы определения точного
значения параметра р на основе априорных сведений о поведении
функционала к(х) вблизи точки глобального минимума х*. Эти ре-
результаты основаны на следующем утверждении.
Пусть е>0 — заданное число. Обозначим
А(г) . [x£Y :к(х) < к(х*) + г),
Я(е) = Я(е)П Y.
Теорема V.3. Предположим, что п(х)—непрерывная функция,
заданная на компакте Y czRm и достигающая своего глобального
минимума в точке x*£Y.
Пусть также выполнены условия:
а) функция распределения случайной величины и(со):со£Г удов-
удовлетворяет условию (V .26);
б) существует такое ео>О, что при 0<е<ео множества
А (г) односвясны и \i (А (г)) > 0, где \i — мера Лебега;
в) liminfP[Z>(e)}/tx(fi(e)}>0;
0
г) существуют такие числа ех>0, s>0, q>0, c2>0, что
при всех х£О(гг) справедливо неравенство
сг |; х — **j|s < к(х) — к(х*) < с21| х- **||*.
182

Тогда
Условия а и б теоремы V.3 достаточно ясны. Условие в, грубо
говоря, означает, что при генерации точек из множества Y вероят-
вероятность попадания во множество D(e) имеет не больший порядок ма-
малости, чем мера Лебега е-окрестности глобальной минимали. Условие
г определяет скорость убывания минимизируемой функции в окрест-
окрестности глобальной минимали. Заметим, что условия теоремы V.3 вы-
выполняются для широкого класса функций. Достаточно, например,
потребовать, чтобы меры Р и \х были абсолютно непрерывны отно-
относительно друг друга, и точка я* — внутренней точкой множества Y.
Важную роль, как следует из выражения (V.31), играет условие
г, поскольку определяет значение показателя степени s. Если функ-
функция к(х) дифференцируема и все компоненты градиента ук(х*) фО
и конечны, то s= 1. Например, для линейной функции к(х) вели-
величина s = 1, а следовательно, р = т.
Если функция к(х) дважды непрерывно дифференцируема в ок-
окрестности точки а:*, матрица вторых производных невырождена и
градиент в точке jc* равен нулю, то s = 2 и р = т/2. В указанных
случаях условия а и г выполняются автоматически.
Для функций, у которых глобальный минимум достигается в ко-
конечном числе точек я*, /= 1, / и в окрестности каждой из них мо-
может быть определен параметр Р;, имеет место
^maxIPj,, р2, ... , Р/}.
В случае отсутствия априорной информации о поведении функции
к(х) на множестве Y можно использовать статистическую оценку
параметра р [185]
= in у/in——-——, (V .61)
где
lim— =0, lim j = т, 0<т< 1.
Оценка (V.32) является состоятельной и асимптотически несмещен-
несмещенной. Дисперсия />р этой оценки удовлетворяет соотношению
Функция A — т)/т1п2т достигает минимума в точке т0 = 0, 2. По-
Поэтому асимптотически эффективная оценка имеет место при
r0 =- entier @, 2k)
и равна
183

Описанный выше непараметрический подход к оценке оптимума
функции к (х) на множестве Y не использует аппроксимации функции
распределения F(v) функцией F*(v). Однако вид F (v) неявно фигури-
фигурирует в оценке (V.27). Действительно, информация о функции рас-
распределения заложена в параметре Р равенства (V.26).
Отметим, что параметрический и непараметрический подходы к
оценке оптимума взаимно дополняют друг друга. Если погрешность
аппроксимации исходной функции распределения мала, то эффекти-
эффективен, как правило, параметрический подход. Если же известно апри-
априорно точное значение параметра C предельного распределения экстре-
экстремальных значений, то целесообразно применять непараметрический
подход с использованием оценки (V.27).
V.3. Другие вероятностные характеристики
поведения функционала на множестве
Кроме статистической оценки оптимума могут исполь-
использоваться другие вероятностные характеристики поведения функционала
на множестве, основанные на рандомизации исходной детерминиро-
детерминированной задачи. Укажем некоторые из них: оценки математического
ожидания или моды наименьшего значения в выборке реализаций
случайной величины к (со): со £ У, оценка вероятности получения
улучшений, нижняя граница оптимума заданного уровня р и т. д.
Для получения выражений математического ожидания и моды
наименьшего значения возможен следующий подход [61, 90].
Пусть [vly v2, ... , vn] — выборка в п реализаций случайной ве-
величины V, функция распределения вероятностей которой Fv(v) аб-
абсолютно непрерывна. Обозначим через 1/* наименьшее значение в этой
выборке. Тогда V* также является случайной величиной, а ее функ-
функция распределения имеет вид
Отсюда, продифференцировав полученное выражение, найдем плот-
плотность распределения случайной величины У*:
где fv(v) — плотность вероятности случайной величины V.
Введем обозначение
l = nFv(xfi. (V.33)
Поскольку Fv(vt) — функция распределения, то случайная величина
I удовлетворяет неравенству 0 < g < n и ее плотность вероятности
h(l) определяется формулой
184

При п -v оо функция h (|) для любого | > 0 сходится к пределу
= e-e. (V.34)
Таким образом, зная функцию распределения Fv(v), из уравнения?
(V.33) можно найти переменную vt, выраженную через вспомогатель-
вспомогательную величину |, распределение которой известно. Если точное реше-
решение уравнения (V.33) получить невозможно, то обычно находят асимп-
асимптотическое решение для больших п. Зная распределение случайной
величины V%, можно оценить ее моду и математическое ожидание.
Приведем несколько примеров вычисления моды и математического^
ожидания наименьшего выборочного значения для некоторых рас-
распределений, применяемых в исследуемых задачах.
Пример V.3. Рассмотрим нормальное распределение с матема-
математическим ожиданием т и дисперсией а2. Если V% — наименьшее зна-
значение выборки в п реализаций случайной величины с этим распреде-
распределением, то основное уравнение (V.33) примет вид
V*
Асимптотическое решение этого уравнения получено в [61] и записы-
записывается следующим образом:
(V.35>
где
4 In n — In In n — In 4я
Перейдем в равенстве (V.35) к средним значениям. С учетом
того, что предельная плотность распределений случайной величины
£ имеет вид (V.34), для больших п получим
MVt — т — о la —
где с — постоянная Эйлера (с = 0,5772...), а М — оператор взятия
математического ожидания соответствующей случайной величины.
Из равенства (V.35) следует, что мода V* случайной величины
Vt при больших п равна
F*== т — оа.
Пример V.4. Пусть случайная величина V имеет распределение
из класса Кэптейна, т. е.
где g(u)—монотонная функция с областью значений (—оо, оо).
185

Найдем плотность распределения наименьшего выборочного зна-
значения V* в выборке из п независимых реализаций случайной величи-
величины V. Используя асимптотическое решение (V.35) уравнения для
нормального закона распределения, имеем
(V.37)
При больших п, отбросив остаточный член, получим
Случайная величина § имеет предельное распределение вида (V.34).
Следовательно,
Используя выражения (V.37) и (V.38), вычисляем математическое
ожидание и моду случайной величины У*:
оо
= J
Здесь g~x(v) — функция, обратная g(v).
Таким образом, для вычисления величин MVt и V* достаточно
знать вид функции g(v). Пусть, например, в формуле (V.36)
0 при v < т],
■что соответствует логарифмически нормальному распределению слу-
случайной величины V. Тогда
X ехр [— (и — л)т exp \ab — ^)] du = rj + Г A + -^j exp (m — aa),
гле Г(-) — гамма-функция, а
V* ss= л -|- ехр (т — ао).
Формула для определения математического ожидания наименьшего
значения в выборке из п реализаций логарифмически нормально рас-
распределенной случайной величины приведена также в работе [90].
186

Пример V.5. Определим выражения для моды и математического
ожидания наименьших выборочных значений в случае третьего пре-
предельного распределения экстремальных значений. Пусть случайная
величина V имеет распределение вида (V.12). Запишем для него ос-
основное уравнение (V.33):
[(р)]} (V.39)
Разрешив (V.39) относительно У*, получим [165]
V* = ri + a[-ln(l+|)]l/3. (V40)
Сделаем замену
Использовав равенство 1пA + б) = б + о (б) при б->0, найдем асимп-
асимптотическое решение уравнения (V.39) для больших значений п.
С учетом соотношений (V.40) и (V.41) получим
Таким образом, при больших объемах выборки случайная величи-
величина V* определяется с помощью линейного преобразования величины,
имеющей предельное распределение с плотностью
fu («) = *[ Ы\ ^г = М-1 ехр (-«-3),
где \{ti) — функция, обратная (V.41).
Вычислим математическое ожидание минимального значения в вы-
выборке объема п:
MV* = л + ал~1/3 j ufu(u) du = r) + an
о
Мода случайной величины V* приводится в монографии [28] и имеет
вид
Отметим, что использование математического ожидания или моды
наименьшего выборочного значения в качестве вероятностной харак-
характеристики поведения функционала на множестве Y является обобще-
обобщением предложенной в §V.2 вероятностной оценки оптимума функ-
функционала на Y. Действительно, при az-voo значения MV% и V*
случайной величины V стремятся к минимуму этой величины. Вместе
с тем мода и математическое ожидание существуют не только для
ограниченных случайных величин и, следовательно, могут быть
187

использованы, если закон распределения случайной величины V =
= к(со): со£ F не является усеченным. Применение математического
ожидания наименьшего выборочного значения в задачах оптимизации
предложено, например в работах [90, 116, 166].
Среди других вероятностных характеристик поведения функциона-
функционала на множестве Y отметим величину вероятности получения лучших
значений функционала в ней, чем уже имеющиеся, и вероятности
улучшения за п реализаций случайной величины к (со): cog Y, Эти
величины легко оцениваются через известную функцию распределения
F*(v)y соответствующую распределению случайной величины
и (со): cog Г.
Итак, пусть задано некоторое значение функционала у0, и тре-
требуется определить вероятность того, что значения случайной величи-
величины и(со):со£У меньше v0 Такая вероятностная характеристика
функционала выражается следующим образом:
где F (v) — функция распределения случайной величины к (со): со £ Y.
Аналогично можно получить выражения вероятности получения зна-
значений, меньших v0, в п реализациях случайной величины х (со): со £ Y:
Поскольку истинный вид функции распределения F (v) неизвестен,
то согласно предыдущему параграфу, используя аппроксимацию этой
функции, соответственно получаем
2? = F* (vo)t SS = 1 - [1 - Р* К)]".
Для оценки вероятности улучшений можно использовать и непа-
непараметрический подход, т. е. не определять явный вид функции рас-
распределения Z7* (v) и не осуществлять аппроксимации функции распре-
распределения F(v) этим распределением. Будем рассматривать реализации
случайной величины к (со): со £ Y как процесс испытаний Бернулли
с исходами: «успех» — при получении значения к (со), меньшего задан-
заданного v0, и «неудача* — в противном случае. Пусть п — число произ-
произведенных испытаний Бернулли с вероятностью успеха р до его
первого появления. Известно, что п — случайная величина, имеющая
геометрическое распределение вероятностей с параметром р. По ме-
методу максимального правдоподобия имеем оценку для р:
Таким образом, если испытания Бернулли производятся до перво-
первого успеха, то, определив, на каком испытании значение случайной
величины к (со) i со £ Y будет меньше у0, получим оценку вероятности
улучшений.
Не будем обрывать серию испытаний Бернулли. Пусть произве-
произведено т испытаний, из которых k успешные. Число успехов в неза-
независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р подчиняется
188

биномиальному распределению. Параметр р при этом оценивается
величиной
Это несмещенная оценка по методу максимального правдоподобия.
Рассмотрим еще один важный класс вероятностных характеристик
поведения функционала п (х) на множестве Y. Это нижняя граница
оптимума заданного уровня. Зададим вероятность р. Под нижней
границей оптимума уровня р будем понимать такое число vp, для
которого вероятность того, что значение случайной величины
x(co):co£F будет меньше vp, не превышает 1—р.
Если функция плотности распределения f(v) случайной величины
У = к (со) • cogF известна, то значение vp определяется из выражения
vp
J f(v)dv=l—p. (V.42)
— оо
По существу vp есть значение границы одностороннего довери-
доверительного интервала уровня у = 1 — р для минимума случайной ве-
величины V.
Рассмотрим подход [77] к оценке нижней границы оптимума,
основанный на знании функции распределения приращений упорядо-
упорядоченных значений случайной величины х (со): cog Y. Пусть T)(i), r)B) . ..
т . 9 у|(п) — порядковые статистики, соответствующие выборке объема
п реализаций случайной величины х(со): cog У. Введем случайные
величины
Ic = ji(i+i) — T\(ih /= 1, 2, ... , n—l.
Ясно, что если
то
Обозначим
Т1(м)
= minx (л:),
п— 1
+ S Si» k <П.
(V.43)
Тогда, если известна функция распределения случайной величины %п
при /г->оо, вопрос нахождения нижней границы vp несложен. Дей-
Действительно, при п -*- оо первая порядковая статистика по вероятности
сходится к минимуму случайной величины х (со): cog Y. Заметим, что
случайные величины £, удовлетворяют условиям Линдеберга [96].
Следовательно, при п~*оо функция распределения случайной вели-
189

чины Хп асимптотически нормальна с математическим ожиданием и
дисперсией соответственно
го* = JjAfg/, (V.44)
°1 = 2 Dlr (V.45)
Исходя из соотношений (V.43) — (V.45), получаем
i i ■/ /Л 7 Л С\
Vp = T)(/j) -f" ITlk + tpOky (V.4b)
где значение tp определяется из уравнения
1
Итак, во всех рассмотренных выше случаях вероятностные харак-
характеристики поведения функционала к(х) на множестве Y непосред-
непосредственно или косвенно определялись распределением F(v) случайной
величины и(со):со£У. Другими словами, вероятностные свойства
к(х) характеризуются некоторым функционалом £ от указанного
распределения. В общем случае используем запись S(/7). При не-
непараметрическом подходе к оценке вероятностных свойств функцио-
функционала п(х) вид функции распределения F(v) не используется. Однако
в данном случае эта функция распределения неявно определяет ис-
исследуемые вероятностные свойства к(х). В дальнейшем функционал
Й (F) будем называть критерием перспективности множества.
V.4. Оценка погрешности вероятностной модели
Исследование поведения детерминированной функции
к(х) на множестве Y посредством свойств случайной величины V =
= к (со): со£ Y порождает два вида погрешностей. Во-первых, погреш-
погрешность е* аппроксимации истинной функции распределения F (v) слу-
случайной величины к (со): со £ Y специально выбранной функцией рас-
распределения Т7* (v) из определенного класса в случае параметрического
подхода. Во-вторых, погрешность выборочной оценки параметров рас-
распределения F*(v).
Остановимся сначала на определении погрешности, связанной с за-
заменой функции распределения F(v) функцией/7*^). Эта погрешность
определяется выбранной вероятностной характеристикой поведения
н(х) на множестве Y и равна
Пусть вероятностные свойства функционала характеризуются ве-
величиной вероятности получения меньших значений, чем заданное
число vQ. В этом случае
t* = \F{vo)-F*{vo)\. (V.47)
190

Используя разложение распределения F(v) в ряд (V.5), выберем
в качестве F*(v) конечное число k членов этого ряда. Тогда
оо
LJ l
Сделаем некоторые замечания. В § V.1 показано, что ряд (V.5>
сходится к функции F (и), если существует интеграл (V.7). Однако
сходимость ряда не принесет никакой практической пользы, если для
получения высокой точности аппроксимации функции F(u) необхо-
необходимо знать большое число коэффициентов ck в разложении. Ведь
чем больше коэффициентов рассматривается, тем большее число цен-
центральных моментов нужно оценивать. А если для хорошей оценки
моментов первого порядка следует произвести выборку в 30—40
реализаций случайной величины, то для моментов третьего порядка —
уже более 200. На практике, кач правило, ограничиваются только
первьши тремя членами разложения (V.5). Аналогичные рассуждения
можно произвести для определения погрешности при разложении
в ряд Эджворта.
Использование оценки погрешности е* вида (V.47) позволяет
оценить погрешность и для других вероятностных характеристик
поведения минимизируемого функционала на множестве. Пусть, на-
например
где о0, п — заданные числа. Тогда погрешность е** можно оценить
с помощью любого из последовательно получаемых выражений:
= | F (v0) - F* (v0) | S [ 1 - F* (vo)V [l-F (vo)]«-* <з
Аппроксимация распределения F(v) конечным числом членов ряда
(V.5) позволяет также оценить сверху модуль разности истинных
значений моментов распределений F (v) и F*(v). Получим некоторую
функцию от е*, откуда легко найти оценку погрешности вероятно-
вероятностной модели, если в качестве S (F) используется некоторая функция
от моментов исходного распределения F(v). Следует отметить, что
если поведение функционала на множестве Y характеризуется через
параметр усечения г)к, то использование разложения исходного рас-
распределения в ряд по ортогональным полиномам неэффективно, так как
приводит к большой погрешности. Дело в том, что такая аппрокси-
аппроксимация не обеспечивает сходимости на хвостах функции распределения
в смысле асимптотического (по числу членов ряда) равенства
F()
19*

Однако для широкого класса функций удается получить условия
сходимости на хвостах функции распределения и выбрать предельное
распределение в качестве /^(у). В частности, этот факт имеет место
,для функций, удовлетворяющих условиям (V.14) — (V.16). Так, при
рандомизации, когда вероятностная мера на множестве Y задается
выражением (V.17), имеем асимптотическую сходимость на хвостах
функции распределения к распределению из класса Кэптейна. В ра-
работе [90] доказана следующая теорема, являющаяся частным случаем
теоремы об асимптотической сходимости для с^мм слабо зависимых
случайных величин.
Теорема V.4. Пусть выполняются условия (V .14) — (V. 17).
Тогда существуют абсолютные константы сх>0 и с2>0, та-
.кие, что в интервале 1<у<6Д имеют место следующие соот-
мошения:
\а\
(V.50)
Величина р определяется из уравнения
Р2 + р — 26 = 0.
Ряд
= 2J V (V.52)
.сходится при
бо
«3('~2)
*г#£ V; — 1-й семиинвариант.
Обобщим результаты теоремы V.4. Обозначим через gm моно-
монотонно возрастающую функцию, обратную функции i|?m, заданной вы-
выражением (V.9). Пусть функция gm такова, что область ее значе-
значений—неотрицательная числовая полуось. Рассмотрим случайные ве-
величины
Ут-gmiWm), (V.53)
V=*gm(W), (V.54)
192

где W — случайная величина, распределенная нормально N (О, 1), а
Wm имеет вид (V.13) и функцию распределения Fw - Функции рас-
распределения случайных величин V т и V обозначим через Fwm и Fw
соответственно. Имеет место следующая теорема [163].
Теорема V.5. Пусть выполняются условия (V.9) — (V.13) и
(V.53) — (V.54). Тогда существуют абсолютные константы сг>О
« с2>0 такие, что в интервале
m(-l) (V.55)
имеет место равенство
[^M ^М] (V.56)
где величины а, А и функции £(•), М') удовлетворяют условиям
(V.49) — (V.52).
Применим описанные результаты для определения погрешности е*,
порождаемой заменой распределения Fy предельным распределением
Fy> если в качестве вероятностной характеристики поведения функ-
функционала выбрать значение статистической оценки оптимума.
Поскольку по предположению функция gm принимает только не-
неотрицательные значения, то распределение случайной величины V
принадлежит классу Кэптейна и усечена нулем, т. е. Fy@)=0 и
Fv (v) > 0 при v > 0. Функция распределения случайной величины
Vm также усечена, причем точка у*, для которой Fy (и*) = 0, удов-
удовлетворяет условию и* > 0.
Согласно равенству (V.56) отношение Fw (v)/Fv(v) конечно
и отлично от нуля в интервале, определяемом неравенствами (V.55).
Следовательно, минимум случайной величины Vт можно положить
равным нулю с точностью e* = gm(—6Д).
Обобщив данные результаты на случай, когда предельное рас-
распределение случайной величины Vт усечено некоторым параметром
Лу, можно утверждать, что с точностью е* = gm (—SA) истинное
значение параметра х\у равно минимуму случайной величины Vт.
Особый интерес представляет случай, когда статистическая оцен-
оценка оптимума функционала осуществляется посредством аппарата по-
порядковых статистик. В этом случае погрешность 8* равна нулю
и тогда аппроксимация исходной функции распределения F (v) функ-
функцией F*(v) не производится. Поэтому погрешность модели здесь
зависит только от объема выборки. В частности, в классе оценок,
оптимума вида (V.27), как следует из выражений (V.28) —(V.29),
при а = а*.
Заметим, что хотя при использовании оценок оптимума вида (V.27)
погрешность 8* = 0, это, вообще говоря, не означает, что такие
оценки лучше, чем оценки оптимума посредством параметров рас-
13 5-1343 193

пределения F*(v). Дело в том, что при фиксированном объеме вы-
выборки п выборочные оценки параметров распределения F*(v) точнее,
чем оценки оптимума построения на экстремальных статистиках.
Вместе с тем, если погрешность е* аппроксимации распределений
велика, то суммарная погрешность оценки оптимума посредством
параметров распределения F*(v) станет больше погрешности оценки
вида (V.27).
Второй вид погрешности вероятностной модели порождается при
оценке параметров функции распределения F*(v). Такая оценка осу-
осуществляется на основе выборочных данных. Задача определения по-
погрешности выборочной оценки параметров хорошо изучена. Разрабо-
Разработан ряд методов оценивания — метод моментов, метод максимального
правдоподобия, метод минимума X2 и др. Они позволяют получать,
как правило, состоятельные, асимптотические несмещенные, а в ряде
случаев при выполнении довольно общих условий — асимптотически
нормальные оценки параметров с математическим ожиданием, равным
истинному значению параметра и дисперсией, обратно пропорциональ-
пропорциональной объему выборки. Подробное описание методов оценивания мож-
можно найти, например, в монографиях [61, 96, 150], и мы на этом
вопросе останавливаться не будем. Однако отметим важный подход,
связанный с погрешностью вероятностной модели и основанный на
идеях интервального оценивания и теории проверки гипотез.
Как было показано выше, вероятностные свойства поведения
функционала характеризуются функционалом &(F*). Поэтому при
оценке величины S (F*) мы можем говорить о вероятности
где 2* — заданное число.
Полагая, что погрешность ь* модели получена и
поставим задачу проверки гипотезы Но: 8 (F) ;> 2* при альтернативе
Нх: 2(/7)<2*. При этом основной вопрос состоит в построении
критической области S или одностороннего доверительного интервала
для 2 (F) при некоторой доверительной вероятности 1 — у.
Рассмотрим построение доверительного интервала уровня 1 —v
по выборке т|A) < т|B) < ... <: т|(я) для величины f\Y(nt k), определяе-
определяемой выражением (V.27). По существу, нас интересует лишь одно-
односторонний доверительный интервал [40, 42]
(Ли) — s*(Y)fo(*> — Ло)Ь Г)A)}> (V.57)
где
Здесь, как и в выражении (V.27), величина k задает число порядко-
порядковых статистик, несущих информацию об оптимуме, а параметр |3
определен либо оценен в § V.3. На практике обычно выбирают k =
= 10-т- 15 при /г> 100. Если я< 15, то k = 2-т-З. Итак, на основе
построения доверительного интервала можно проверить гипотезу
194

Яо : fjy (л, k) < г]* при альтернативе Нг: т)у (л, /г) > т)*, где т|* — фик-
фиксированное число. Критическая область для проверки гипотезы Яа
будет задаваться следующим образом:
Лея) / У*
где 7 — ошибка первого рода.
Как обычно, гипотезу Но принимаем, если число г\* попало в до-
доверительный интервал уровня 1 — у, и отклоняем в противном
случае.
Заметим, что величина
vP = По) — MY)! *!<*> — Л(оЬ
где S/( (?) вычисляется по формуле (V.57), может быть, в свою оче-
очередь, выбрана в качестве вероятностной характеристики поведения
функционала н(х) на множестве.
13*

Глава VI
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
В данной главе на основе рандомизации детерминиро-
детерминированной задачи предлагается метод последовательной статистической
оптимизации. Применительно к решению задач геометрического про-
проектирования метод имеет определенную историю. Простейшие его
реализации (метод асимптотического перебора локальных экстрему-
экстремумов) описаны в монографии [128]. В процессе дальнейшего развития
метод получил название метода сужающихся окрестностей. Этот
метод наиболее полно описан в [139]. Здесь основной акцент делался
на эмпирическую оценку эффективности применения метода в зада-
задачах размещения и дискретной оптимизации. Исследования же теоре-
теоретических основ данного подхода [142, 144, 163, 169],— изучение
вопросов сходимости, скорости сходимости, оценки точности решения,
выделения условий эффективного применения,— позволили обобщить
полученные ранее результаты, предложить ряд новых алгоритмов,
построенных по общей схеме.
Суть метода последовательной статистической оптимизации со-
состоит в сужении на основе вероятностных свойств оптимизируемого
функционала области поиска. Алгоритмы такого класса часто пред-
предлагаются в литературе для решения сложных оптимизационных
задач. Укажем, например, работы [41, 51, 54, 90, 93, 100, 147].
Метод последовательной статистической оптимизации в силу гибкости
своей структуры, с одной стороны, позволяет использовать некоторые
идеи указанных подходов (не обобщая, однако, эти подходы), а
с другой — обладает рядом отличительных особенностей. Кроме того,
он применим для задач оптимизации функционалов на дискретных
(в частности, комбинаторных) множествах.
VI. 1. Общая схема последовательных алгоритмов
статистической оптимизации
Вернемся к вероятностной модели задачи (V.1). В ре-
результате рандомизации имеем следующую постановку. Требуется
найти такое значение х*£Х, что
(VI.1)
где е — заданная точность решения; р — вероятность нахождения ре-
решения с точностью е; х (со) — случайная величина на вероятностном
пространстве (Х9 В, Р).
196

Напомним, что поведение функционала и на множестве YczX
предложено характеризовать некоторым функционалом £(F), где
F (v) — функция распределения случайной величины х (со): со £ Y или же
функция распределения экстремальных ее значений. Величина S (F)
оценивается с помощью распределения /^(и), соответствующего ис-
исходному распределению F(v). Точность этой оценки определяется
значением |2 (F) — S (F*)|.
На распределение F*(v) в зависимости от постановки задачи
и используемых схем оптимизации налагаются различные ограниче-
ограничения. В связи с этим выделим класс § (G, в, S) функций распределе-
распределения, выборочные оценки множества параметров 6 = {0lf 0а, . . . , 0Л}
которых характеризуются свойством 5, а область значений случайной
величины есть G. Пусть 5* и SN — соответственно свойства, харак-
характеризующие состоятельность и асимптотическую нормальность
i_J выборочных оценок параметров 0,£ в. Здесь п — объем вы-
п I
V у п I
борки. Кроме того, поскольку, как правило, речь идет об усеченных
распределениях, то целесообразно задать множество G* = [т), %), где
ц£в, a rfo > т\. Величина r\v вообще говоря, может быть неограни-
неограниченной.
Введем следующие предположения. Пусть существует такая си-
система % подмножеств множества X, для которой выполняются ус-
условия:
1) Х£т;;
2) для любого множества У£т можно хотя бы одним способом
указать конечное число измеримых множеств Y\£ъ таких, что
3)
где |А (•) — мера множества;
4) для любого множества Y £т можно задать такую вероятност-
вероятностную меру Ру, что функции распределения F (v) случайной величины
^(со):©^}7 соответствует функция распределения Т7* (v), для которой
|fi(F) — S(F*)|< в*,
где е*>0 — фиксированное число.
В качестве меры множества будем выбирать меру Лебега для
континуальных множеств, число элементов множества, если оно ко-
конечно, и т. д.
Рассмотрим метод последовательной статистической оптимизации,
использующий указанные выше предположения и основанный на ве-
вероятностной модели детерминированной оптимизационной задачи [144,
165].
Общая схема метода следующая. Поиск приближения к оптимуму
распадается на этапы, на каждом из которых осуществляются серии
испытаний. Под испытанием понимается генерация в соответствии
с заданным вероятностным распределением Ру точки со из множе-
множества Y£% и вычисление соответствующего значения функционала
197

к (со). По результатам серии оцениваются параметры распределения
случайной величины х(со): со£Y и вычисляется значение £(F*)f
которое называется критерием перспективности 8 множества Y. Кри-
Критерий перспективности выбирается так, чтобы выполнялось следующее
свойство: его меньшему значению должно соответствовать множество,
поиск на котором целесообразнее с точки зрения поставленной за-
задачи. Различные критерии перспективности описаны в предыдущей
главе. Это может быть оценка минимума функционала на исследуе-
исследуемом множестве, оценка математического ожидания или моды наи-
наименьшего значения в выборе реализаций соответствующей случайной
величины, оценки вероятностей получения улучшений и т. д.
Наименьшее из значений критериев перспективности, соответству-
соответствующих рассмотренным в процессе поиска множествам, назовем эта-
эталонным.
В зависимости от используемого критерия перспективности мно-
множества предлагаемые в данном параграфе реализации метода могут
быть разбиты на две группы. В первую входят модификации метода,
в которых в процессе поиска оценки значений критериев перспектив-
перспективности рассмотренных множеств не изменяются. Другими словами,
эти значения не зависят от меняющихся в процессе поиска текущих
параметров метода (например, от текущего рекордного значения
функционала, от оставшегося числа испытаний, если суммарное их
количество ограничено). В качестве таких критериев перспективности
можно указать наименьшее значение функционала на множестве Y%
математическое ожидание или моду наименьшего значения функ-
функционала в выборке фиксированного объема, наименьшее значение
функционала в данной выборке и т. д.
Во вторую группу входят модификации метода, для которых
оценки критериев перспективности уже рассмотренных множеств
в процессе поиска изменяются. Например, если перспективность мно-
множества характеризуется вероятностью получения лучших значений
функционала, чем уже имеющиеся, или же математическим ожиданием
наименьшего значения функционала в выборке объема /, где / —
число испытаний, которое оставалось произвести. В обоих случаях
речь идет о многоэтапном поиске. Огличие состоит лишь в правиле
выбора нового множества для дальнейшего исследования его перспек-
перспективности.
Рассмотрим общую схему первой группы модификаций метода. На
первом этапе поиска в соответствии с заданным вероятностным рас-
распределением генерируем точки со*, со*, . .. , со* из множества Y1 =
~Х. По выборке {х(со}), к(Ц), ..., к(со*)} оцениваем значение
критерия перспективности. Это осуществляется путем оценки пара-
параметров специально выбранного распределения F*(u) либо с исполь-
использованием непараметрического подхода (например, путем исследования
порядковых статистик). Оценку значения критерия перспективности
на первом этапе принимаем за оценку эталонного критерия.
На втором этапе по определенному правилу выбираем множество
£ такое, что n(FJ)< ^(К1), выбор множества для дальнейшего
198

исследования существенно определяет направление поиска и приво-
приводит к различным модификациям метода. Более подробно подходы
к выбору множества излагаются в § VI.5.
В соответствии с заданной на Y\ вероятностной мерой PY* (dco)
генерируем точки ш\, со^, ..., со^ из Y\ и по выборке {x(ooj),
к (о*), ..., h(odJJ)} оцениваем значение критерия перспективности
для множества Y\.
Если эта оценка при заданной точности не превосходит оценки
эталонного значения критерия, то множество У\ считаем перспек-
перспективным и переходим к следующему этапу, полагая Y2 = Y\. При
этом в зависимости от используемой реализации подхода оценка
эталонного значения критерия либо не меняется, либо приравнива-
приравнивается наименьшей полученной оценке.
Если оценка перспективности множества Y\ превышает оценку
эталонного критерия, то множество Y\ считаем бесперспективным.
По заданному правилу выбираем множество Y\d%y удовлетворяющее
условию \*>(YD<.\*>(Yl), У\фУ\, и аналогично оцениваем критерий
перспективности множества Y\. Если множество Y\ является перспек-
перспективным, то переходим к следующему этапу, полагая Y2 = Y\. Иначе
формируем множество К|£т и т. д.
Таким образом, переход к новому этапу не осуществляется, если
в процессе поиска на данном этапе рассмотрены бесперспективные
множества. При этом эталонное значение критерия не меняется.
Если к тому же Y1 с: U Y2{, то дальнейший поиск продолжается на
У1. Рассмотрим k-и этап поиска. Пусть по окончании (k—1)-го
этапа получено перспективное множество Yk~l. Определим оценку
значения эталонного критерия. Выберем множество У^£т, удовлет-
удовлетворяющее условию \x(Y^)< ^(K*), причем Yf Ф Yk~x. Если такого
множества нет, то весь дальнейший поиск осуществляется на Yk~l.
В противном случае генерируем точки со£, со*, . .. , со^ в соот-
соответствии с заданной вероятностной мерой PYk(d(o). По выборке
(k(cdJ), x(co^), ..., и (со*)} оцениваем значение критерия перспек-
перспективности для множества Y\. Если множество перспективное (т. е.
оценка критерия при заданной точности не превосходит оценки эта-
эталонного значения), то переходим к следующему этапу, полагая
yk+i =- yk Иначе по заданному правилу выбираем множество Y\ Ф
ФУ\ из т такое, что \i(Y§<\jl(Y§ и т. д.
Если будут рассмотрзны такие множества, что Yk~x cz\] Ykv причем
для всех рассмотренных множеств оценка критерия перспективности
больше оценки эталонного критерия, то возвращаемся к (fe—1)-му
этапу и последовательно исследуем перспективность множеств
'*■*-! + «• Yrk.l+2 Г»-*-1+«» •••' r«*-i-
199

Здесь s^_j таково, что
Г*-2 с 'uVf1- (VI-2)
Как только будет получено перспективное множество Yr~l+ai то
полагаем
Г*-] = Г*-1+«> '*-i = />-! +а
и переходим к следующему этапу. Если перспективных множеств на
(k—1)-м этапе больше не найдено, то возвращаемся к (k — 2)-му
этапу, т. е. полагаем k = k— 1, гЛ-1 = rk_x -j- 1. При k = 1 поиск
продолжается на Y1 до получения искомого решения.
Отметим, что поскольку количество множеств Yf, удовлетворя-
удовлетворяющих условию (VI.2), конечно, то поиск закончится за конечное
число шагов.
Прежде чем перейти к описанию общей схемы второй группы
модификаций предлагаемого метода, отметим следующий факт. Ста-
Статистика, получаемая при генерации точек из некоторого множества
К, по существу, позволяет оценить параметры функции распределения
случайной величины х (со) -со(= Y, от которых зависит, в свою оче-
очередь, критерий перспективности. Поэтому, если критерий перспек-
перспективности требуется пересчитывать на последующих этапах, то нет
необходимости запоминать выборку (х(со,)}, t = 1, лг, r=l,fe. Не-
Необходимо запомнить лишь оценки с помощью данной выборки этих
параметров.
Итак, критерий перспективности множества для второй группы
модификаций метода зависит от постоянных в процессе поиска ста-
статистических параметров 6F распределения F (v) случайной величины
и (со): cog!7 и от изменяющихся параметров @м метода (например»
текущего рекордного значения функционала или количества произ-
произведенных испытаний), т. е.
S (F) = S (@F, @м), S (F*) = S (в*\ в"),
где ®F — выборочные оценки вектора параметров 6F.
Общая схема реализаций методов этой группы аналогична схеме,
приведенной выше. Отличие состоит в определении множества, на
котором осуществляется поиск на последующем этапе. Число мно-
множеств, рассмотренных на k-м этапе, обозначим через rk. Первона-
Первоначально все rk равны нулю. На первом этапе по выборке {х(со}),
х(со^), ... , x(g)J)} оцениваем статистические параметры распреде-
распределения случайной величины к (со) ■ со £ Y\, где Y\= Yx = Х> полагая
гг = 1. Определяем величину в^ и оцениваем критерий перспектив-
i
ности S (ву4, e^fi). Вектор оценсж e£i параметров e£i запоминаем.
£ Д i il
На втором этапе выбираем множество V\£x такое, что |д,(У^)<
<[г(Кх). Полагаем га = т% + 1 и по выборке (x(ooj), x(co^), ...
200

,., х(со^2)) оцениваем статистические параметры б£* случайной величи-
величины к (со): со £ Y\. Определяем величину в^2. Вектор оценок в£* па-
па6^2
Если
раметров 6^2 запоминаем.
то переходим к следующему этапу.
Иначе полагаем г2 = г2 + 1 и выбираем множество Y\ £ и такоек
что |л(У|)<|л(У];), У\Ф Y\. Аналогично оцениваем параметры ©£*
распределения случайной величины и (со): со £ У*. Вектор оценок-
ву« запоминаем. Вычисляем величину в^2. Сравниваем значения
Если минимальное из этих значений равно SJ, то переходим к ис-
исследованию множества У", полагая г2 = г2 + 1.
Если минимальное значение равно й^, (i = 177), то полагаем?
Y2 = Yfy k = k+ I и переходим к следующему этапу.
Рассмотрим fe-й этап. Пусть были исследованы множества
у у у
2, . . . , I Г4, / х, 1 2,
Этим множествам соответствуют статистические оценки параметров-
Qyi9 i = k—1, /=1,г. Предположим, что в качестве перспектив-
перспективного получено множество Yk~~x = У*, K^Jrk - Выберем множества
FJ £ т такое, что \il (Y^) < \x (Yk~x). Положим rk == rk+\. Оценим
вектор оценок статистических параметров ©^ и векторов параметров
®yk метода. Вычислим оценку критерия перспективности для мно-
множества Y\ и пересчитаем оценки перспективности всех рассмотрен-
рассмотренных ранее множеств:
Если
min S} =
то переходим к следующему (k + 1)-му этапу и обозначим Yk = FJ
Если
min fi/ =
201

то полагаем rk = rk+\ и выбираем множество Y?k ^Yks s = 1, r^-i
такое, что \i(Ykrb) < \i(Yk~~l)f Ykrh^Yk"\ Для полученного множе-
ства аналогично оцениваем параметры вектора ®Yk и пересчитываем
оценки критериев перспективности всех рассмотренных множеств.
Если
mm С} = S71,
где m<fe — 1, то переходим к (т-)-1)-му этапу, положив Ym =t
yw
— i / .
Поиск прекращается, когда с заданной точностью и вероятностью
будет получено приближение к оптимуму. Для второй группы моди-
модификаций метода останов возможен также в случае, если выделенные
ресурсы (машинное время, суммарное число испытаний и т. д.) пол-
полностью израсходованы.
Основное отличие второй группы модификаций метода от первой
состоит в том, что в процессе поиска могут быть получены такие
значения параметров метода, при которых неперспективное ранее
множество становится перспективным на последующих этапах. На-
Например, естественно предположить, что чем больше мера множества
F, тем больше дисперсия случайной величины и (со), со £Y. Поэто-
Поэтому, если перспективность множества характеризовать вероятностью
получения улучшений, то при некоторых рекордных значениях эта
вероятность будет больше для множеств большей меры.
Отметим также следующее. Если получены такие значения па-
параметров ejj* метода, что для любых вм<в^ из условия
следует
Si(eflf вм)<2(в^, 6м),
то множество Y2 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.
Действительно, в этом случае всегда существует множество Yv
оценка критерия перспективности которого меньше.
Таким образом, описанные схемы метода последовательной ста-
статистической оптимизации позволяют перейти от поиска минимума
функционала к(х) на множестве X к минимизации на множестве, по
тем или иным причинам считающемся перспективным. Поскольку
в процессе поиска вычисляются значения функционала в рассматри-
рассматриваемых множествах, то наименьшее из этих значений может быть
принято в качестве приближения к искомому оптимуму. Вместе с тем
в полученном по окончании поиска множестве могут быть выпол-
выполнены условия для эффективного использования детерминированных
методов (например, если минимизируется функция выпуклая или
сепарабельная и т. д.) либо иных статистических методов оптимиза-
оптимизации, т. е. предложенный подход можно рассматривать совместно
202

с другими методами оптимизации. В этом случае сначала область
допустимых решений сужается, а затем производится поиск искомого
приближения к оптимуму на полученном множестве. Интересен тот
факт, что данный метод эффективен именно в задачах большой раз-
размерности, поскольку в этом случае вероятностная модель лучше
отражает свойства минимизируемого функционала.
Предлагаемый в данной главе метод, по существу, состоит в по-
последовательном сужении области поиска оптимума около точки,
в окрестности которой поиск по тем или иным соображениям явля-
является эффективным. Возникает вопрос, в каких случаях сужение це-
целесообразно и не приводит к потере искомого решения. Исследова-
Исследованию этого вопроса посвящены последующие параграфы.
VI.2. Условия применения метода
Поскольку на первом этапе предложенных последова-
последовательных алгоритмов статистической оптимизации используется схема
наброса, то применение описанного метода будет оправданным в том
случае, когда для получения с его помощью решения с заданными
точностью и вероятностью необходимо сделать меньше вычислений
минимизируемого функционала, чем при случайном переборе на всем
множестве X.
Уменьшение числа испытаний возможно за счет того существен-
существенного факта, что для некоторых законов распределения оценить кри-
критерий перспективности множества с вычислительной точки зрения
значительно легче, чем проводить непосредственный поиск искомого
приближения к экстремуму на данном множестве. В связи с этим
выделим класс законов распределения значений минимизируемого
функционала, которые отвечают указанному выше свойству [142,
163, 169].
Рассмотрим следующую задачу. Пусть U и V—случайные вели-
величины. Положим, что случайная величина V имеет усеченную слева
функцию распределения
^ (VI-3)
при v < т), v 7
а функция распределения Fu (и) случайной величины U принадлежит
классу распределений ЩМ = ЩF, 6, SM).
Осуществим выборку [vl9 оа, .. . , vn] в п независимых реализа-
реализаций случайной величины V. Обозначим
ап = mia vt. (VI.4)
\<1<П
В то же время по выборке {uv и2, . . . , ип] в п независимых
реализаций случайной величины U оценим некоторый параметр р £ 0
закона распределения Fu(u). Обозначим полученную оценку через
рп. Пусть математическое ожидание оценки рп совпадает с истинным
значением параметра р, а дисперсия имеет вид с2/п, где с>0 —
const.
203

Зададим велич: ну е>0 и поставим в соответствие оценкам ак
и р вероятности
При указанных предположениях имеет место следующая теорема.
Теорема IV. 1. Для законов распределения Fy(v) из класса
g(G*, 0*, SN) при заданном е>0, характеризуемых условием
e,)<l-exp(--|L) , (VI.б)
имеет место соотношение
РЪ = о(Р1). (VI.6)
Доказательство. Определим непосредственно значение Ра-
Вероятность того, что реализация vt удовлетворяет неравенству
|t>j —т)|>в при известной функции распределения Fv(v) случайной
величины V, равна 1—Fv^+e). Поскольку реализации случайной
величины V являются независимыми, то
K=ll-Fv(r\ + e)]n. (VI.7)
Перейдем к вычислению вероятности Pp. Так как оценка J3rt ве-
величины Р являются асимптотически нормальной (р, с/УП), то при
имеет место асимптотическое равенство
Сравним вероятности Р% и Яр при л->сх). В силу соотношений
(VI.7) — (VI.8) после раскрытия неопределенности имеем
-/11 «»(-4)«
Отсюда следует, что L = 0 в случае, если
iv(T,+e)<l-exp(-^-). (VI.10)
Это, в свою очередь, означает, что при выполнении неравенства
(VI.5) справедливо
204

Отметим наиболее важное следствие из этой теоремы.
Следствие. Пусть существует асимптотически нормальная (т|,
c/V^n) оценка if параметра т]£в закона распределения (VI.3) из
класса §(G*, 0, SN). Тогда при выполнении условия (VI.5) имеет
место соотношение
Применительно к предлагаемому в данной главе методу теорема
VI. 1 означает следующее. Для распределений из класса 5(G*, в, $N),
удовлетворяющих неравенству (VI.5), можно указать такое число iV,
что вероятность правильной оценки перспективности множества по
n>N испытаний будет больше, чем вероятность непосредственного
определения искомого приближения к оптимуму за п испытаний.
На основе доказательства теоремы VI. 1 с учетом равенства (VI.9)
вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема VI.2. Для законов распределения F v (^) из класса
G*, в*, SN), характеризуемых условием
_exp(—^г),
имеет место соотношение
Зададим некоторую вероятность р. Пусть па (р) и п$ (р) соот-
соответственно решения уравнений
Теорема VI.3. Для законов распределения из класса Щ (G*, в*,
SN), характеризуемых условием (VI.5), имеет место асимптоти-
асимптотическое равенство
lim р . . =0.
Справедливость теоремы непосредственно вытекает из монотон-
монотонности функций п$(р) и па(р) и соотношения (VI.6).
Из теоремы VI.3 следует, что при определенных условиях поря-
порядок роста числа испытаний, необходимых для оценки параметра р
с заданными точностью и вероятностью, меньше, чем при определе-
определении с теми же точностью и вероятностью приближения ап величины
щ с помощью равенства (VI.4). Таким образом, для оценки критерия
перспективности множества требуется значительно меньше вычисле-
вычислений функционала, чем для нахождения с заданной точностью и ве-
вероятностью точки #*, удовлетворяющей условию (VI. 1).
В качестве примеров функций распределения, для которых выпол-
выполняется условие (VI.5), можно привести логарифмически нормальное
распределение, распределение Вейбулла — Гнеденко (при параметре
формы, большем 2), обобщенное гамма-распределение (при параметре
формы, большем 2) [142, 166].
205

Выше речь шла о параметрическом подходе для оценки критерия
перспективности множества. При непараметрическом подходе аналогом
приведенных рассуждений будет исследование зависимости длины
одностороннего доверительного интервала для оцениваемого парамет-
параметра от скорости роста числа испытаний, необходимого для достиже-
достижения искомой точности. Для определенности рассмотрим непараметри-
непараметрическую оценку оптимума, основанную на аппарате порядковых ста-
статистик.
Теорема VI.4 [40, 42]. Пусть выполнены условия теорем V.2,
V.3. Тогда средняя длина одностороннего доверительного интер-
интервала уровня 1—у асимптотически равна (при объеме выборки
я->оо и размерности пространства ш->оо)
In A-7*)
где
Доказательство. Средняя длина доверительного интервала
асимптотически (п->-оо) равна
Цу, п, а, т, k) = LxL2L3, (VI. 12)
где
Полагая а = /п/р, при т-^оо имеем
-т
(VI. 13)
„[l_(l_T*")«] -infl-v*") +o(l)
1 ч •
pln(l-v*)
Далее, поскольку в окрестности точки д
т т -1
(о-П) Ч,
(VI. 14)
206

то
Отсюда
Подставляя выражения (VI. 13) — (VI. 15) в (VI. 12), после элемен-
элементарных преобразований получаем искомое представление вида (VI. 11).
Таким образом, число испытаний п в серии при непараметриче-
непараметрической оценке оптимума вида (V.27) должно расти со скоростью
N
В этом случае будет асимптотически обеспечена средняя длина дове-
доверительного интервала уровня 1—у.
VI.3. Исследование сходимости метода
В зависимости от применяемой стратегии поиска, вы-
выбранного критерия перспективности множества, а также вероятност-
вероятностных свойств минимизируемого функционала возможны различные-
подходы к исследованию сходимости предлагаемого метода.
Рассмотрим прежде всего группу алгоритмов, основанных на ста-
статистической оценке оптимума функционала на исследуемом множе-
множестве. Зададим точность решения р>0 и положим, что число испы-
испытаний в каждой серии одинаково и равно п. Будем предполагать,
что система множеств т, удовлетворяющая условиям 1—3 § VI. 1,
априорно задана, и для любого множества У£т можно задать такую
вероятностную меру, что распределению F (v) случайной величины
и (со): со £7 соответствует распределение F* (и) £ § (G*, ©, 5*), для
которого
где т]*£©> G* = [т]*, %], T)i >Л*» е*>0 — фиксированное число..
Согласно предположению (VI. 17) параметр т)* с точностью е* ха-
характеризует значение минимума функционала на множестве Y. Сле-
Следовательно, оценка этого параметра может быть принята в качестве
оценки критерия перспективности множества К. Параметр т]у оцени-
оценивается по выборочным данным и поэтому он будет определять мини-
минимум функционала х (#) на множестве У с точностью е* > е* и неко-
некоторой вероятностью р. Величины е* и р зависят от числа п испыта-
испытаний в серии.
Обозначим е = 8 — 2s* и предположим, что е>0. Рассмотрим
следующий многоэтапный алгоритм минимизации, построенный по
общей схеме предложенного метода. На первом этапе производим
207'

серию из п испытаний и по выборке х^), х(со2), ... , х(со„) слу-
случайной величины х(со) :со£ Y1 = X определяем оценку г\1х (п) вели-
величины
Здесь и в дальнейшем оценку величины т]у, вычисленную по выбор-
выборке объема п, будем обозначать к\у (п). Оценку у\1х(п) примем в ка-
яестве оценки эталонного значения критерия перспективности. Пере-
Переходим ко второму этапу. Пусть
Уi cz: (J
1
где Yi£%, t= I, m2. Генерируем целое число /из [1, т2] в соот-
соответствии с законом распределения
/>{/ = /)=аР\ (VI. 18)
где а(Р — заданные числа, причем для любого i = I, m2 величина
4V0 и faP-1.
Пусть
п »«= inf х(л:).
Оценим эту величину по выборке реализаций к (со) i a> ^ Ку. Если
r\Vf(n) — Г\у.(п)<Ъ,
то множество F/ считаем перспективным и обозначим К2 = Y).
„Далее, полагая, что
где F?^t, t= I, m3, генерируем в соответствии с заданным зако-
законном целое число / из [1, т3] и аналогично исследуем множество Y*.
Если
Л 2 (л) — r\x{n)>ly
Yi
то множество Y/ считаем бесперспективным. Снова в соответствии
с законом (VI. 18) генерируем число из [1, т2] и аналогично иссле-
исследуем выбранное множество.
Рассмотрим k-й этап поиска. Пусть после {k—1)-го этапа полу-
получено множество Yk^K Положим
.208

где Г?£т, i = I, mk.
Генерируем число / из [1, Ши\ по закону
(VI. 19)
где о?}#0 Vi— I, mA> £с^=1.
Исследуем на перспективность множество К*. Сравним статисти-
статистическую оценку fj/ (л) с истинным значением
Если
ул
то множество Yj считаем перспективным. Обозначим Yk = Yh и пе-
переходим к следующему этапу.
Если
\k(n) — r\x(n)>ef
то множество Y) считаем бесперспективным. Снова в соответствии
с законом распределения (VIЛ 9) выбираем множество Y) и исследуем
его на перспективность.
Таким образом, по окончании каждого этапа поиска с определен-
определенной точностью и вероятностью (определяемыми методами оценивания
величин r\Yk(n)) получаем перспективное множество меньшей меры,
чем на предыдущем этапе.
Пусть Y1 — множество, полученное по окончании /, этапов поиска.
Рассмотрим вероятность того, что это множество не содержит точек
х9 удовлетворяющих условию
к(х)<т1к(х) + в. (VI.20)
Поскольку в процессе поиска присутствует вероятностный элемент
формирования подмножеств и перспективность этих подмножеств оце-
оценивается статистически, то минимальное значение функционала на
множестве, полученном по окончании поиска, есть случайная величина.
Поэтому интересно исследовать вероятность того, что по оконча-
окончании / этапов поиска искомое приближение к оптимуму не уте-
утеряно [142].
Теорема VI.5. Для любых е>2е* и 6>0 можно указать та-
такое N = N(е, б), что при числе испытаний в серии n>N справед-
справедливо неравенство
Р{т1к{х) —
14 5-1343 209

Доказательство. Вероятность того, что по окончании /эта-
/этапов поиска была выбрана окрестность, не являющаяся перспективной,
удовлетворяет неравенству
/
/>{infx(x) — infx(x)>e}<: I — U(\—Pnk)y (VI.22)
&* £ яЛ
где Р\ — вероятность принятия на k-м этапе в качестве множества Ykf
бесперспективного множества Yk, при условии, что перспективность
оценивается по п испытаниям.
Вычислим вероятность Р%. Ошибочное решение на k-м этапе по-
поиска может быть принято в трех ситуациях.
1. Выбрано множество У/, которое не содержит точек х, удов-
удовлетворяющих условию
x(x)<inf х(л;) + е.
Однако согласно статистическим оценкам множество У* следует счи-
считать перспективным. Вероятность Pk\ этой ситуации вычисляется по
формуле полной вероятности:
где уР — вероятность того, что множество У? содержит искомое
приближение к глобальному экстремуму функционала к(х)\ Р" —
вероятность опровергнуть по п испытаниям истинную гипотезу о бес-
бесперспективности множества У?, а вероятность a\k) определяется из
выражения (VI. 19).
2. Множество У* не содержит искомого приближения к оптиму-
оптимуму и согласно набранной статистике считается бесперспективным.
Однако при дальнейшем поиске на этом этапе получено ошибочное
решение. Вероятность Рю. этой ситуации равна
3. Множество У* содержит искомое приближение к оптимуму.
Однако согласно набранной статистике оно считается бесперспектив-
бесперспективным и при дальнейшем поиске на этом этапе получено ошибочное
решение. Вероятность Риъ этой ситуации вычисляется по формуле
где Pi — вероятность опровергнуть по п испытаниям правильную ги-
гипотезу о перспективности множества Y[ \
210

Поскольку все три ситуации являются независимыми, то
1 = 1 1=1
Отсюда
PI = —-£=! . (VI.23)
l - £ a<*> [(l - ?<*>) (l - p*) + ?f >#]
*=i
Оценим вероятность Р". Ее значение совпадает с вероятностью
того, что согласно статистическим данным
в то время как
Истинное значение параметра, которому отвечает выборочная
оценка г); (я), обозначим г]\. Тогда, используя свойства вероятности
L
и полагая
имеем
(Л) - Г|£ + T]J? - Лу* (Я)
K^f}{(«)-r)*;>!|-}. (VI.24)
Поскольку
то, учитывая неравенство (VI. 17), согласно которому
нетрудно ей деть, что ^ > 0.
Для параметров г]*^ согласно предположению можно указать со-
i
стоятельные оценки tj* (n). Следовательно, для любого ц!*'> 0
{|n(Lj*l>JJ}
ft-»-op yj
14* 211

Отсюда с учетом неравенства (VI.24) следует, что для любого р,?>
>0, а значит, и е>0
П-+оо
Аналогично можно показать, что для любого е>0
\imPl = 0.
П-*-оо
Указанные утверждения справедливы для^любэго i = 1, rrik. Возвра-
Возвращаясь к равенству (VI.23), для любого е>0 получим
lim Pi « 0.
Следовательно, для любых е и 3 можно указать такое число
Nk = Nk(&, б), что при n>Nk справедливо неравенство
Пусть
N**maxNki 6 « 1 — (I —~8I/'.
Тогда с помощью неравенства (VI.22) имеем, что для любых е>2е*
и 8>0 при всех n>N выполняется неравенство (VI.21), что и тре-
требовалось доказать.
Сделаем некоторые замечания.
Замечание 1. Из выражения (VI.23) следует, что с увеличением
вероятности у^ величина Р\ будет возрастать с ростом a\k\ Таким
образом, если минимизируемый функционал к обладает тем свойст-
свойством, что при переходе в рекордную точку вероятность уР увеличива-
увеличивается, то прежде всего следует исследовать на перспективность мно-
множество, содержащее эту точку.
Замечание 2. Если новое множество выбирать не в соответствии
с законом распределения (VI. 19), а детерминировано, то это приве-
приведет лишь к иному (отличному от (VI.23)) выражению для вероят-
вероятности Р\.
Замечание 3. В описанном алгоритме число испытаний в каждой
серии предполагалось одинаковым. Ясно, что если выбирать число
испытаний различным, но большим величины N, фигурирующей в
утверждении теоремы VI.5, то получение искомого решения будет
обеспечено.
Замечание 4. На первом этапе в алгоритме используется, по су-
существу, случайный перебор. Известно, что полученные с его помо-
помощью решения сходятся по вероятности к глобальному минимуму.
Следовательно, уже на первом этапе при достаточно большом числе
испытаний в серии можно получить решение с заданной точностью
и вероятностью. Однако из сходимости методов, построенных па пе-
переборе, не вытекает, что по окончании последнего этапа предложен-
212

ного алгоритма будет получено перспективное множество. В свою
очередь, приведенное доказательство обосновывает разбиение процес-
процесса поиска оптимума на этапы, при котором проводится последова-
последовательное сужение области поиска, а затем — просмотр этой области.
При описании последовательного метода статистической оптими-
оптимизации предлагались различные критерии перспективности множества.
В данном параграфе исследовались вопросы сходимости метода при
использовании статистической оценки опгимума. Такие алгоритмы
позволяют получи!ь с некоторыми точностью и вероятностью перс-
перспективное множество по окончании / этапов. Алгоритмы, основанные
на иных критериях перспективности множества в общем случае, не
обеспечивают сходимости к глобальной минимали. Вместе с тем они
дают возможность получить множество, поиск на котором по тем
или иным соображениям является перспективным. Более подробно
этот Еопрос освещен в следующем параграфе.
VI.4. О теоретической эффективности метода
Исследуем вопрос об эффективности применения метода
последовательной статистической оптимизации. Заметим, что эффек-
эффективность статистических методов оптимизации, как правило, прове-
проверяется на специально разработанных тестовых примерах либо сравни-
сравнивается с чисто случайным поиском (методом Монте-Карло), который
в этом случае и является эталоном [26, 36, 101]. Применение раз-
различных алгоритмов при решении практических и тестовых задач бу-
будет рассмотрено в гл. VII. В данном параграфе выделим условия,
при которых предложенный метод эффективнее чисто случайного
перебора. Он считается более эффективным, чем метод Монте-Карло,
если число испытаний, необходимое для нахождения с заданными
точностью и вероятностью глобального экстремума в исследуемом
алгоритме, меньше.
Сначала покажем, что существует класс задач оптимизации, в
которых последовательные схемы сужения области поиска приводят
к повышению вероятности получения искомого решения. Пусть функ-
функция к(х) выпукла и задана на односвязном множестве XczRm. Рас-
Рассмотрим две схемы поиска: равновероятный случайный перебор по
всему множеству X и последовательное сужение области поиска
с использованием на каждом шаге равновероятного перебора на мно-
множестве меньшей меры.
Определим вероятность того, что значение глобальной экстремали
будет найдено с точностью б, где б — объем m-мерного куба, выра-
выраженный в долях от общего объема области поиска X [54]. Не теряя
общности, будем считать, что исходная область является единичным
гиперкубом. Тогда величина б есть вероятность попадания при одном
испытании в область объема б. Вероятность того, что хотя бы в
одном из г испытаний будет получена течка из этой области:
Р = 1 — A — 6)^. (VI.25)
213

Рассмотрим многоэтапный поиск. На первом этапе равновероятно
производим п испытаний на множестве X, На каждом последующем
этапе осуществляем следующие преобразования. Строим /л-мерный
куб с центром в рекордной точке со стороной в / раз меньшей, чем
на предыдущем этапе. Если при этом полученный гиперкуб выходит
за пределы исходной области поиска, то осуществляем соответствую-
соответствующее смещение центра. На построенном гиперкубе производим п испы-
испытаний и переходим к следующему этапу.
Пусть осуществлено k этапов, на каждом из которых сторона
гиперкуба уменьшалась в а раз. Тогда на последнем этапе область
поиска представляет собой m-мерный куб с ребром а-^-1* и объемом
Vk = a-<*-1)m.
Если на каждом этапе поиска производилось одинаковое число
испытаний п (что не снижает общности последующих рассуждений),
то суммарное их число к концу поиска будет равно kn. Оценим ве-
вероятность того, что за kn испытаний глобальная экстремаль будет
определена с точностью до области объема а~кт. На первом этапе
вероятность определения оптимума с точностью до (хгт равна
Рг = 1— A — а~т)п.
На втором этапе глобальная экстремаль будет определена с точностью
до объема куба с ребром в а раз меньше, чем на первом этапе,
с вероятностью
Я2= 1—A — а-т)п.
Аналогично, на i-м этапе вероятность определения оптимума с точ-
точностью до объема куба со стороной в а раз меньше, чем на (/ — 1)-м
этапе, равна
Л = 1—A — а~т)п.
В результате вероятность определения глобальной экстремали с
точностью до области объема arkm после k этапов задается следую-
следующим выражением!
При равновероятном случайном переборе по всему множеству X
вероятность определения глобальной экстремали с точностью до об-
области объема arkm за kn испытаний в силу равенства (VI.25) равна
Р в 1_A_а-*т)*лв
Нетрудно видеть, что с увеличением п вероятность Р стремится к 1
значительно быстрее., чем Р.
Итак, в рамках описанной схемы последовательного сужения об-
области допустимых решений показано, что для выпуклых функций
данный подход является более эффективным, чем случайный перебор
по всему множеству X. Однако предлагаемые в данной главе после*
214

довательные алгоритмы статистической оптимизации эффективны не
только для решения задач с выпуклой функцией цели.
Рассмотрим алгоритмы, использующие в качестве критериев пер-
перспективности множества значение статистической оценки оптимума
функционала на этом множестве. Согласно теореме VI.4 алгоритмы,
основанные на статистической оценке оптимума, дают возможность
с определенными точностью и вероятностью получить множество,
содержащее искомое приближение к глобальному экстремуму. В свею
очередь, теоремы VI. 1 — VI.3 позволяют выделить класс законов
распределения значений функционала, для которых оценка перспек-
перспективности множества требует значительно меньшего числа испытаний,
чем непосредственный поиск приближения к оптимуму.
Определим условия, при которых суммарное число испытаний,
необходимое для нахождения приближения с точностью г и вероят-
вероятностью р для алгоритмов, использующих статистическую оценку
оптимума, будет меньше, чем при случайном переборе. При этом
предположим, что в полученном на последнем этапе множестве при-
применим точный детерминированный метод поиска минимали.
Зададим число е>0 и количество испытаний в серии, равное п.
Пусть для любого множества У?£т функция распределения Рук(рк{)
случайной величины ]/\: к (со): со £ Yt является усеченной, причем су-
существуют асимптотически нормальные (т)**, CklVn) оценки парамет-
параметров усечения г\\. Будем считать, что параметр у\\ совпадает с ми-
минимальным значением функционала к(х) на рассматриваемом множе-
множестве F*. Другими словами, погрешность вероятностной модели,
порожденная аппроксимацией функции распределения F ь{р), специ-
специально выбранным распределением t^k(v) отсутствует и е* = 0.
Предположим, что функция распределения случайной величи-
величины Vki удовлетворяет ограничениям, приведенным в § VI.3, т. е. для
любого 0<ё<е
< ||j (VI.26)
Выбор е в интервале @, е) обусловлен тем, что погрешность оценки
параметров функции распределения не должна превышать погреш-
погрешности, с которой ищется решение поставленной задачи.
Рассмотрим сначала двухэтапный процесс поиска. На первом эта-
этапе за п испытаний оценим наименьшее значение х\х функционала
у,(х) на множестве X. Согласно указанным выше замечаниям вели-
величина г)х совпадает с параметром г\* функции распределения случай-
случайной величины к(о))!О)£Х.
Обозначим, как и ранее, через yf] вероятность того, что при
формировании множества Y] глобальный экстремум не будет потерян.
215

Тогда вероятность того, что за k серий на втором этапе не будет
правильно определено перспективное множество, равна
Я* = [ 1 _ у\*р (гЦ (п) - f|x (п) < в}]*,
гДе \2(п) и f)x(n) — выборочные оценки параметров г)*2 и т)* соот-
соответственно, причем т)* = т)*2 в силу равенства цх = т) 2, поскольку
К-сХ и глобальный экстремум принадлежит этим множествам.
Если число серий на втором этапе равно &, то суммарное число
испытаний в результате поиска в целом есть (k+l)n. Оценим веро-
вероятность того, что за (k+l)n испытаний при равновероятном слу-
случайном переборе на множестве X приближение с точностью е к гло-
глобальному экстремуму не будет найдено. Эта вероятность равна
где Fy (v) — функция распределения значений случайной величины
V = x(g)):g)£X.
. Выделим условия, при которых Я* < Я**. Нетрудно заметить,
что это неравенство выполняется, если
1 _yfp (f,^(n) - f|x (n)<8} - [1 -Fv(r\x + e)] v *>. (VI.27)
Рассмотрим предел левой части неравенства (VI.27) при е-^0.
Поскольку оценки х\х (п) и г\ 2 (п) являются асимптотически нормаль-
нормальными, Л^(тH, со/Уп) и N (\\l9 cJV п) соответственно, то разность
f^n) — f|on) также асимптотически нормальна
Следовательно,
L* = lim [1 —y)i
1% — т)с, 1/ -^ U.
У
где для любого г > О
Iim6(e, n)=0. (VI.28)
Поскольку Tli = Но» Т0
L*=l _J^h +б@) пI (VI.29)
216

Из равенств (VI.28) и (VI.29) следует существование таког01
числа No, что при n>NQ значение L*< 1.
Вычислим предел при е-^0 правой части неравенства (VI.27)
L** = lim [1 - Fv(?lo + e)]^14"*") = 1.
Таким образом, при n>N0 имеем L*<L** и, следовательно^
можно указать такое е0 > 0, что при е < е0 справедливо неравенства
Р* < Р**
Допустим, что по окончании двухэтапного поиска получено перс-
перспективное множество Y2=Yk. Поскольку \i(Y2)<C \^(Х), то естест-
естественно предположить, что поиск в области Y2 эффективнее, чем на X.
Если функция распределения случайной величины к (со): со £ Y2 удов-
удовлетворяет условию (VI.26), то сужение множества Y2 (т. е. пере-
переход к новому этапу) приводит к повышению эффективности поиска
по сравнению с чисто случайным перебором на множестве Y2 (а сле-
следовательно, и на множестве X).
Обобщим приведенные рассуждения на произвольное число t
этапов поиска. Полагаем, что по окончании каждого этапа получаем
множество Y\ такое, что распределение значений случайной величи-
величины Vki = к (со): ю£ Y) удовлетворяет условию (VI.26). Тогда справед-
справедливо следующее утверждение [163, 169].
Теорема VI.6. При указанных выше предположениях существует
такое значение вероятности Ро и такое ео>0, при которых для
любых /?0</?<1 и 0<е<80 число испытаний, необходимое для
нахождения экстремума с точностью г и вероятностью р в алго-
алгоритмах, основанных на статистической оценке оптимума, меньшег
чем при случайном переборе на множестве X.
При сравнении вероятностей Р* и Р** предполагалось, что точ-
точность 8* = 0, т. е. функции распределения F(v) и F*(v) близки &
смысле равенства их параметров усечения rjy и rj*. Если же е*> 0^
то условия, при которых предложенные алгоритмы будут эффектив-
эффективнее чисто случайного перебора, изменяются. На основе указанного
выше утверждения для случая е*>0 будет справедлива следующая
теорема [163].
Теорема VI.7. При достаточно малом е*>0 существуют та-
такие числа е0 и р0, что для любых /?0</?< 1 и 2е*<е<е0 числа
испытаний, необходимое для нахождения экстремума с точностью е
и вероятностью р в алгоритмах, основанных на статистической
оценке оптимума, будет меньше, чем при случайном переборе на
множестве X.
Таким образом, рассмотренные алгоритмы эффективны в тех слу-
случаях, когда требуется определить экстремум с достаточно высокими
точностью и вероятностью, а ошибка е* настолько мала, что выпол-
выполняется неравенство ео>2е*.
21?

Эффективность метода последовательной статистической оптими-
оптимизации, как следует из неравенств (VI.27) и (VI.29), зависит от ве-
вероятности yf) того, что при сужении области поиска искомый экстре-
экстремум не будет потерян. Эта вероятность определяется правилом фор-
формирования нового множества. Если глобальный экстремум принад-
принадлежит множеству Yk~l, а информация о его положении на множе-
множестве Yki отсутствует, то вероятность yf* можно оценить величиной
где ji(') — мера множества.
Итак, выше показано, что алгоритмы, основанные на статистиче-
статистической оценке оптимума, асимптотически эффективнее случайного пе-
перебора. Покажем теперь, что при выполнении довольно общих усло-
условий метод последовательной статистической оптимизации (независимо
от выбранного критерия перспективности) позволяет с любой наперед
заданной точностью и вероятностью определить множество, поиск на
котором с точки зрения выбранного критерия перспективности эффек-
эффективнее.
Для этого рассмотрим следующую задачу. Пусть функционал
>с (х) определен на множестве Y и Y1aY, Y2aY. Рассмотрим слу-
случайные величины Vr = к (со): со £ Yx и V2 = к (со) ■ со £ Y2 на вероят-
вероятностных пространствах (Yx, Pyt, Pyt) и (Y2, ($кя, Py2) соответствен-
соответственно. Обозначим через FVi (иг) и FVa (v2) функции распределения слу-
случайных величин Vt и V2. Как и ранее, перспективность множества
Yh i= 1, 2 определяется функционалом (критерий перспективности)
от функции распределения случайной величины на соответствующем
вероятностном пространстве, т. е.
S; = S (/>.), f=l, 2.
Пусть существуют такие функции распределения известного функ-
функционального вида F*t(Vi) и F*t(vt) из класса §(G, G, S*) (т. е. за-
зависящие от конечного числа параметров в, для которых существуют
состоятельные оценки), что
JS(FV,)-S (/>,)!< e*. (VI.30)
где е* > 0 — фиксированное число.
Поскольку вид функции распределения F* известен и опреде-
определяется только параметрами распределения, то можно записать
где G; = {0t-i, 9i2, .••, 9i>} — параметры функции распределения
Fy (ux), Я* — функция, определяемая видом этого распределения.
Обозначим оценку критерия Ж* (в;) по выборке объема п через
fiin). Предположим, что эта оценка состоятельная.
218

Теорема VI.8. При указанных предположениях, если 22>Й1,
то
НтЯ(йГ >2(Г) + 2е*} = 0. (VI.32)
Доказательство основывается на свойстве состоятельности выбороч-
выборочных оценок.
Обозначим а = ft? — ft* + 2е*. Из соотношений (VI.30) — (VI.31)
непосредственно вытекает, что а>0. Тогда
Р {&{2п) > й\п) + 2е*} = Р {2Т - ft? + ftf - U\n) >*}<
<п> ©* I ^ а\ _l_ D (l Ъ{п) @* I -^
>2 JV2 I > Tf Г + " 1! ЯН JV1 I >
откуда с учетом состоятельности оценок UT\ i = 1,2 следует равен-
равенство (VI. 32).
Из теорем VI.6—VI.8 вытекает, что предлагаемые схемы после-
последовательной статистической оптимизации асимптотически эффектив-
эффективнее случайного перебора. Ясно, что в общем случае эти схемы не
обеспечивают сходимости к глобальному экстремуму. Однако вслед-
вследствие своей структуры метод позволяет с определенными точностью
и вероятностью определить множество, на котором поиск «хороших»
значений целевой функции производить целесообразнее (с точки зре-
зрения выбранного критерия перспективности множества). Этот факт и
обусловливает широкое применение метода при решении практических
задач.
VI.5. Некоторые алгоритмы
и их основные параметры
Рассмотрим алгоритмы, построенные по общей схеме
метода последовательной статистической оптимизации, приведенной
в § VI. 1. Прежде чем перейти к описанию алгоритмов, укажем ос-
основные характеристики, приводящие к выбору той или иной моди-
модификации метода. Классификация основных признаков данных моди-
модификаций предложена в табл. 20. Рассмотрим их.
Основное отличие параметрического подхода от непараметриче-
непараметрического состоит в том, что в первом случае необходимо знать функцию
распределения случайной величины V = к (со): со £ Y. Поэтому при
параметрическом подходе на одном из шагов алгоритма требуется
определять вид функции распределения случайной величины V и оце-
оценивать статистические моменты этого распределения.
В зависимости от того, меняется ли в процессе поиска значение
критерия перспективности для рассмотренных множеств или нет,
алгоритмы, реализующие метод последовательной статистической
оптимизации, были разбиты в § VI. 1 на две группы. Основное отличие
их состоит в том, что в процессе поиска в алгоритмах второй группы
219

Подход
(вероятностная модель)
Критерий перспективности
Параметрический
Непараметрический
Статистическая оценка оптимума
Нижняя оценка оптимума заданного уровня вероятности
Вероятность улучшений
Вероятность улучшений в выборке заданного объема
Математическое ожидание наименьшего значения в вы-
выборке заданного объема
Мода наименьшего значения в выборке заданного объема
мера множества может увеличиваться, т. е. возможен «обратный» ход
алгоритма.
Остановимся на правиле изменения эталонного значения критерия
перспективности множества. Естественно, что это правило определя-
определяется выбранным критерием перспективности множества. Например,
пусть в качестве критерия перспективности множества Y выступает
значение оптимума функционала на этом множестве. Тогда, поскольку
для любого множества YxczY справедливо неравенство
min х (х) <: min к (х), (VI. 33)
то при сужении области поиска нет необходимости изменять оценку
эталонного значения критерия перспективности. Действительно, в силу
(VI.33) точное значение эталонного критерия не уменьшается. Здесь,
правда, следует сделать оговорку. Дело в том, что в процессе поиска
для некоторого множества в силу вероятностного оценивания воз-
возможно получение оценки оптимума меньшей, чем на первом этапе.
В этом случае первоначальную оценку можно было бы уточнить.
Однако эта задача довольно сложная. К тому же при сужении об-
области поиска вероятностная модель исходной задачи становится, как
правило, грубее, и погрешности оценок возрастают. Иначе обстоит
дело, когда в качестве критериев перспективности множества высту-
выступают величина вероятностей улучшений или мода наименьшего выбо-
выборочного значения и т. д. В этом случае при сужении области поиска
на исследуемых множествах точное значение критерия перспектив-
перспективности может уменьшаться, а следовательно, может уменьшаться и
соответствующая его оценка.
Выбор нового множества для исследования его перспективности
зависит от того, задана ли априорно система множеств ч?, удовлетво-
удовлетворяющая условиям 1—4 в § VI. 1. Если система т? задана, то выбор
нового множества проводится по одному из следующих правил. Пусть
по окончании k этапов получено перспективное множество Yk. Этому
множеству соответствует набор множеств {Y;+1} таких, что
Г*с: U
i
220

Таблица 19
П pa вило изменения
критерия
пер спективности
Правило изменения
эталонного значения
критерия перспек-
перспективности
Правило формиро-
формирования множества
Задание числа
испытаний в серии
Не изменяется в
процессе поиска
Изменяется в про-
процессе поиска
Не изменяется в
процессе поиска
Изменяется в про-
процессе поиска
Детерминирован-
Детерминированный подход
Вероятностный
подход
Априорное
С помощью вспо-
вспомогательной задачи
Рассмотрим детерминированный подход к выбору множества, ис-
исследуемого на перспективность. Если по окончании k этапор получена
рекордная точка 7c£Yk, то в качестве такого множества выбирается
то из множеств {F?+1}, которому принадлежит эта точка (при наличии
нескольких множеств, содержащих рекордную точку, выбирается любое
из них). Здесь, естественно, предполагается, что процедура определе-
определения принадлежности точки множеству легко реализуется. Данный
подход основан на том эвристически понятном факте, что вблизи от
рекордной точки должны также находиться «хорошие» значения. Если
описанная процедура сложна, то последовательно исследуются мно-
множества Fi+l, Kf1, - • • до тех пор, пока не будет получено перспектив-
перспективное. При вероятностном подходе новое множество из системы {F?+1}
выбирается в соответствии с некоторым вероятностным распределением.
Как правило, это равновероятностный либо приоритетный выбор в со-
соответствии с некоторым правилом предпочтения
Если априорно система множеств т не задана, то на каждом по-
последующем этапе формируются множества У, меньшей меры, а затем
исследуются вероятностные свойства поведения функционала на этих
множествах. С точки зрения простоты реализации интересен выбор
новых множеств как шаров в соответствующих метрических простран-
пространствах с определенными центрами и радиусами. Радиусы шаров при пере-
переходе от этапа к этапу монотонно уменьшаются. А центры с учетом
сделанных выше замечаний выбираются в рекордных точках.
В определенных случаях целесообразно использовать схему дихо-
дихотомии, т. е. на каждом этапе исходное множество делится пополам.
Такой подход обоснован, если отсутствует информация о положении
глобального экстремума. Однако на практике обычно такую инфор-
информацию можно извлечь либо из свойств минимизируемого функционала,
либо из статистических данных, получаемых в процессе поиска.
В частности, если известно, что в окрестности рекордной точки веро-
вероятность нахождения глобального экстремума выше, то новое множество
выбирается так, что
M*")
221

Здесь р — оцениваемая вероятность того, что глобальный экстремум
принадлежит множеству У*+1 при условии, что он принадлежит мно-
множеству Yk.
На выбор той или иной модификации предлагаемого метода вли-
влияет также подход к определению числа испытаний в серии. Если это
число априорно задано, то от него зависят и точность получаемого
в результате поиска решения и вероятность, с которой искомое решение
найдено. В случае, если точность и вероятность определения решения
фиксированы заранее, то число испытаний в серии определяется из
решения следующей вспомогательной задачи. Погрешность е и веро-
вероятность р решения исходной задачи порождают определенную погреш-
погрешность е и вероятность /?, с которыми требуется оценивать критерий
перспективности множества. Зная функцию распределения значений
критерия перспективности, можно легко найти количество испытаний,
необходимое для оценки критерия перспективности с точностью ё и
вероятностью J).
Ясно, что чем больше испытаний в серии, тем точнее оценивается
значение критерия перспективности множества. Однако с ростом числа
испытаний резко возрастает время решения задачи Поэтому число
испытаний в серии целесообразно выбирать таким образом, что «потери»
от исследования перспективности множества У компенсировать «ка-
«качеством» решения. Можно число испытаний в серии выбирать таким
образом, чтобы минимизировать по i следующую функцию [90]:
/ (о = г (/) + 5@,
где г (i) — функция риска, a s(i) — функция потерь. В качестве функ-
функции риска выбирается математическое ожидание наименьшего значения
в выборке в i реализаций случайной величины к(оо):о)£У, а функ-
функция s(i) полагается равной
s @ = с • i,
где с — стоимость одного испытания.
При использовании параметрического подхода число испытаний
в серии должно быть таковым, чтобы отсутствовали значимые от-
отклонения эмпирической функции распределения случайной величины
х (со): со £ Y от теоретической.
Перейдем непосредственно к описанию основных алгоритмов, реа-
реализующих метод.
Рассмотрим первую группу реализаций метода. Для определенно-
определенности положим, что перспективность множества характеризуется веро-
вероятностью получения значений, меньших заданного числа v, с исполь-
использованием параметрического подхода к оценке критерия перспективности.
Алгоритм VI.L
Шаг 1. Положим k = 1, v0 = 1010, а = 1, fi* = 0.
Шаг 2. Определяем длину серии испытаний Nka.
Шаг 3. Формируем множество У*.
Шаг 4. Задаем вероятностное распределение Pyk (da)) на У*.
а
222

Шаг 5. Моделируем ЛГ* раз распределение P^k (dco) и формируем?
выборку х(соО, х(со2), ... , х(со *).
ее
Шаг 6. Определяем
i>0 = min (i>0, н(щ), х(со2), ... , х(со k)}
(X
и соответствующее значение соо.
Шаг 7. Задаем гипотетическое распределение Т7* (и), соответствую-
соответствующее случайной величине к (со): со £ F£ и оцениваем его параметры.
ZZ/яг <S. Если Z7* (а0) > £*, то полагаем S* = /r*(u0) и переходим^
к шагу 9, иначе — к шагу 10.
Шаг 9. Если k > /, то переходим к шагу 11, иначе полагаем fe =
= fe+l, a = a+l и переходим к шагу 2.
Шаг 10. Если а<5А;, то полагаем а = а + 1 и переходим к шагу 2,,
иначе — к шагу 11.
Шаг 11. Дальнейший поиск производим на множестве F*. Вели-
Величины vQ, coo принимаются за приближение к оптимуму.
Заметим, что
а число Ski используемое на шаге 10, выбирается из следующих:
соображений. Пусть на (k—1)-м этапе получено перспективное мно-
множество Yk. Тогда согласно предположению 2 в § VI. 1 найдется Sk мно-
множеств Y) таких, что
Ykcz\jYki9
1
Число /, используемое на шаге 9, есть заданное общее число этапов
поиска.
Если перспективность множества характеризовать вероятностью-
получения значений, меньших некоторого заданного числа v0 за п
испытаний, где п фиксировано и одинаково для всех этапов поиска,
то алгоритм VI. 1 не изменится.
Если перспективность множества характеризовать математическим
ожиданием или модой наименьшего значения функционала на множе-
множестве F, то на шагах 8, 9 изменится выражение для определения
оценки критерия перспективности и проверяться будет неравенства
противоположного смысла, так как математическое ожидание и моду
наименьших значений (в отличие от вероятности улучшений) нужно
уменьшать.
Обобщением алгоритма VI. 1 можно считать алгоритмы, в кото-
которых вероятностное распределение Р ь (dco) на k-м этапе задается
уа
не на подмножестве Yka a X, а на всем X. При этом распределение
Рх (dco) выбирается так, чтобы вероятность генерации точек, близких
22а

«с рекордной, возрастала. Дисперсия распределения о\ при переходе
от этапа к этапу уменьшается. Доказано, что если дисперсия о\ при
возрастании k стремится к нулю, то данные алгоритмы при выполне-
выполнении достаточно общих условий сходятся по вероятности к глобаль-
глобальному экстремуму. Из сходимости этих алгоритмов, в свою очередь,
вытекает сходимость алгоритмов типа VI. 1, в которых на шаге 4
вероятностное распределение задается не на Yk, а на X, и при пере-
переходе от этапа к этапу это распределение изменяется в соответствии
с указанным правилом.
Следующий алгоритм основан на схеме испытаний Бернулли [61,
150].
Рассмотрим сложное испытание, состоящее в ЛЛкратном повторе-
повторении простого испытания, с которым связано случайное событие А,
имеющее вероятность р. Появление события А при i-м повторении про-
простого испытания есть случайное событие А{ в сложном испытании.
Будем полагать, что все события Aif i = 1, N, независимы в совокуп-
совокупности. При этом число \i появления события А при iV-кратном повто-
повторении испытания есть случайная величина, имеющая биномиальный
закон распределения вероятностей [61]:
р [р = М) «= С% Рм A — pf~M. (VI.34)
Пусть к началу очередной серии испытаний в методе последова-
последовательной статистической оптимизации лучшее значение функционала
равно у*. Событие А состоит в генерации точки со, такой что и(со)<
< у*. Другими словами, величина р есть вероятность улучшений.
Если в серии из L испытаний получено / улучшений, то величина Р
состоятельно оценивается отношением l\L. В частности, если улучше-
улучшение впервые получено на L испытаний, оценка р равна 1/L. Зная оцен-
оценку р, а также значения М и Р{\х = М}, из выражения (VI.34) несложно
оценить среднюю длину испытаний в серии до получения М успехов.
Алгоритм VL2.
Шаг U Полагаем * = 1, и* = v0 = 1010, а = 1.
Шаг 2. Задаем (или оцениваем) длину серии испытаний Af и вели-
величину ожидаемых успешных испытаний М.
Шаг 3. Формируем множество У*.
Шаг 4. Задаем вероятностное распределение Pyk (dco) на К*.
а
Шаг 5. Полагаем / = 0, L = 0.
Шаг 6. Полагаем / = /+1. Если K.N, переходим к шагу 7;
иначе — к шагу 12.
Шаг 7. Моделируем распределение Р k (dco) и вычисляем значение
уа
3<(С0).
Шаг 8. Если к (со) < и*, полагаем L = L + 1.
Шаг 9. Если и(со)<£>о, полагаем оо0 = со, ио = к((д) и переходим
к шагу 10.
Шаг 10. Если L = М, переходим к шагу 11; иначе — к шагу 6.
224

Шаг 11. Полагаем у* = и0, а = а+ 1 и переходим к шагу 5.
Шаг 12. Полагаем а = 1, k = k+1. Если k < /, переходим к шагу 2;
иначе —к шагу 13.
Шаг 13. Пару (соо, у0) принимаем за приближение к оптимуму.
Поскольку данный алгоритм по существу базируется на непара-
непараметрической оценке вероятности улучшения, выполнение условия 4
является не обязательным. Систему т при этом можно задать беско-
бесконечным числом способов. Поэтому под записью Yka будем подразуме-
подразумевать, что на k-м этапе рассматриваются множества одинаковой меры,
а нижний индекс может принимать любое значение. Новое множество
У* (шаг 3) выбирается таким образом, чтобы рекордная точка ему
принадлежала. Представляет интерес следующий подход к формиро-
формированию множества У«. Пусть У* (со/), / = 1, st s К М множества, содер-
содержащие полученные на /-й итерации fe-ro этапа значения со, < v*9 j = 1, s.
В качестве Yka (где ос = / + 1 при s = М или k = k + 1, а = 1 при
s<.M) рассматривается объединение множеств У*(а>/). При задании
вероятностного распределения на таком множестве (шаг 4) можно
увеличивать вероятность генерации точек из тех множеств, которые
содержат лучшие значения со/.
Число ожидаемых успешных испытаний М на каждом этапе (ите-
(итерации) можно варьировать, в частности, уменьшая М с уменьшением
меры исследуемого множества У*. Если в алгоритме VI.3 положить
М = 1, то переходить к очередной итерации будем при появлении пер-
первого улучшения. Алгоритмы такого типа рассматривались в работах
[65, 66].
Рассмотрим вторую группу реализаций метода. Пусть общее коли-
количество испытаний фиксировано и равно ЛЛ Предположим сначала, что
перспективность множества характеризуется вероятностью получения
за оставшееся число испытаний значений функционала, лучших уже
полученного. Ясно, что поскольку оставшэеся количество не произве-
произведенных испытаний и текущее рекордное значение функционала в про-
процессе поиска изменяется, то данный алгоритм относится ко второй
группе.
Алгоритм VI.3.
Шаг 1. Полагаем k = О, Y] = Y1 = X, v0 = 1010, 5t = 1. Задаем
погрешность модели в.
Шаг 2. Определяем длину серии испытаний п.
Шаг 3. Вычисляем N = N — п.
Шаг 4. Если N<0, полагаем n = N + n.
Шаг 5. Если k > /, переходим к шагу 16, иначе формируем мно-
множество Уа+1.
Шаг 6. Задаем вероятностное распределение Руи+\ №>) на У*+1.
Шаг 7. Модулируем п раз распределение PYk+i (dco) на множестве
а
Уа+1 И формируем Выборку [И^), Х(СО2), ... , И ((»)„)}, С0;£ У«+1, i=l, П.
*/4 I5 5Ц343 225

Шаг 8. Определяем
v0 = min {v0 x (coi), x (co2), ... , к (<дп)}
и соответствующую рекордную точку соо.
Шаг 9. Если N < О, переходим к шагу 16, иначе — к шагу 10.
Шаг 10. Оцениваем параметры распределения F*(v) случайной
величины х (со) \ ю £ Fa+I •
Я/яг i/. Оцениваем критерий перспективности множества
&k+l=l-[l-F*(v0)]N.
Шаг 12. Пересчитываем оценку перспективности для всех рассмот-
рассмотренных неисключенных множеств Yka.
Шаг 13. Исключаем множества, у которых с уменьшением значе-
значений х (со) и N величина критерия перспективности минорируется одним
из значений критериев перспективности рассмотренных множеств.
Шаг 14. Определяем множество Ylh которому соответствует наи-
наименьшая оценка значения критерия перспективности, и обозначаем
Шаг 15. Полагаем k = / и переходим к шагу 2.
Шаг 16. Принимаем значение v0 и соответствующую ему точку со0
приближением к оптимуму. Поиск прекращаем.
Аналогичными будут алгоритмы, в которых в качестве критериев
перспективности множества рассматриваются математическое ожидание
или мода наименьшего значения функционала за N оставшихся испы-
испытаний (с той лишь разницей, что переходить к очередному этапу при
увеличении значений критериев).
В заключение отметим, что выбор того или иного алгоритма
в первую очередь определяется постановкой конкретно решаемой зада-
задачи. В зависимости от особенностей задач алгоритмы могут видоизме-
видоизменяться, используя специфику реальных условий. Некоторые из реали-
реализаций метода последовательной статистической оптимизации рассмотре-
рассмотрены в следующей главе.

Глава VII
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Метод последовательной статистической оптимизации
в различных своих модификациях вот уже более, чем пятнадцать
лет применяется при решении задач геометрического проектирования.
Сначала метод был узко направленным и имел вспомогательное зна-
значение— он использовался лишь для перебора приближений к локаль-
локальным экстремумам в задачах размещения. Впоследствии по мере рас-
расширения области применения метода, а также в связи с разработкой
его теоретических основ, метод стал иметь самостоятельное значение.
Появился ряд публикаций по использованию метода при решении
задач дискретной оптимизации (в частности, коммивояжера, квадра-
квадратичного назначения, теории расписаний), а также в многомерных
многоэкстремальных задачах математического программирования.
В настоящей главе предлагаются лишь некоторые иллюстрации
использования метода последовательной статистической оптимизации
Поскольку книга в целом посвящена задачам геометрического про-
проектирования, то метод в основном описывается применительно к
таким задачам.
VII. 1. Особенности применения метода
Особенности применения метода последовательной ста-
статистической оптимизации при решении задач геометрического проек-
проектирования прежде всего обусловлены особенностями собственно этих
задач (см. § П.8) — их многомерностью и многоэкстремальностью.
В силу большой размерности задач геометрического проектирова-
проектирования удается строить их вероятностные модели, в достаточной степени
адекватные исходным детерминированным моделям. Имеется в виду
тот факт, что с увеличением размерности при соответствующем за*
дании вероятностной меры на множестве допустимых решений значе-
значения целевой функции (как случайной величины) подчиняются распре-
распределению из определенного класса. В § V.1 показано, что в /^-зада-
/^-задачах с подвижными границами, если на множестве допустимых решений
задана однородная вероятностная мера, распределение значений целевой
функции принадлежит классу Кэптейна. Там же описаны подходы к
определению функции распределения значений целевой функции
в общем случае.
Наличие большого числа экстремумов целевой функции и возмож-
возможность достаточно легко находить приближения к ним позволяют
%U 15\ 227

осуществлять направленный перебор этих экстремумов. При этом
локальным экстремумам можно поставить в соответствие некоторые
точки дискретного пространства, например, воспользовавшись резуль-
результатами § П.8.
В §11.8 указано, что задачи геометрического проектирования имеют
ярко выраженную дискретно-континуальную структуру. Они непре-
непрерывны по постановке, а дискретизация осуществляется путем выде-
выделения локальных экстремумов или приближений к ним (например,
с помощью метода последовательно-одиночного размещения). Таким
образом, существует взаимосвязь непрерывной и дискретной вероят-
вероятностных моделей задач геометрического проектирования. Непрерывная
вероятностная модель соответствует исходной постановке задачи в
непрерывной формулировке. В этом случае вероятностная мера задает-
задается на всем множестве допустимых решений. Дискретная вероятност-
вероятностная модель соответствует задаче дискретной оптимизации, возникаю-
возникающей на этапе перебора локальных экстремумов. Здесь вероятностная
мера задается не на всем множестве допустимых решений целевой
функция, а на дискретном множестве точек, соответствующих локаль-
локальным экстремумам (или их приближениям) этой функции.
Следуя работе [179], рассмотрим локальные экстремумы целевой
функции как экстремальные выборочные значения. Тогда, как опи-
описано в § V.I, V.2, в случае дискретной вероятностной модели,
функция распределения соответствующей случайной величины асимп-
асимптотически принадлежит одному из трех классов предельных рас-
распределений экстремальных значений. В силу того что глобальный
экстремум целевой функции существует, в данном случае в качестве
предельного распределения выступает распределение Вейбулла-—Гне-
денко.
Отметим, что в задачах с жесткой системой ограничений, когда
множество допустимых решений само является дискретным, соответ-
соответствующая вероятностная модель также будет дискретна. Другими
словами, если в непрерывных задачах геометрического проектирова-
проектирования дискретная вероятностная модель индуцируется на этапе перебора
локальных экстремумов, то в дискретных задачах геометрического
проектирования эта модель является исходной.
В отличие от вероятностной модели задачи в непрерывной ее
постановке (которая подробно рассмотрена в гл, V и VI) дискретная
вероятностная модель обладает рядом отличительных особенностей.
Прежде всего, если множество Y дискретно, то случайная величина
V = к (со): со £ Y также дискретна и ее функция распределения имеет
ступзнчатый вид (рис. 58). То же замечание можно сделать относи-
относительно распределения экстремальных значений дискретной случайной
величины. Однако если число точек дискретного множества Y (про-
(пространства элементарных событий) устремить к бесконечности, то пре-
предельное распределение случайной величины будет обладать теми же
свойствами, что и предельное распределение непрерывной случайной
величины. При этом можно воспользоваться, например техникой пре-
преобразования дискретных и непрерывных случайных величин, приве-
приведенной в [96].
228

Рис. 58.
Рис. 59.
Следовательно, некоторые особенности непрерывной вероятнсстной
модели задач присущи и дискретной модели. Поэтому при использо-
использовании метода последовательной статистической оптимизации в диск-
дискретных задачах достаточно аппроксимировать дискретную функцию
распределения случайной величины к (со): со£ Y непрерывной (рис. 59).
В результате легко могут быть получены приближения различных
критериев перспективности для дискретных множеств F£t, например
вероятности улучшений, математического ожидания, меры наимень-
наименьшего значения случайной величины х(со): cog У, статистической оценки
оптимума и т. д. Ясно, что точность приближения будет тем выше,
чем больше точек содержит дискретное множество Y. Точнее говоря,
первостепенное значение имеет не число точек дискретного множества,
а количество различных значений функционала и в этих точках.
В ряде оптимизационных задач геометрического проектирования
число локальных экстремумов (а значит, и точек соответствующего
дискретного множества) оценивается величиной порядка я!, где п —
число размещаемых объектов, а разброс значений целевой функции
велик. Поэтому уже при л>10 дискретное распределение с высокой
степенью точности заменяется непрерывным. Экспериментальные
исследования такого рода описаны в монографии {139].
Другая особенность дискретной вероятностной модели состоит в
том, что описанный в § V.2 подход к статистической оценке опти-
оптимума с помощью аппарата порядковых статистик, вообще говоря,
здесь неприемлем. Действительно, необходимым условием существо-
существования предельного распределения экстремальных значений является
выполнение постулата устойчивости, который в случае распределения
Вейбулла—Гнеденко имеет вид (V.26). В свою очередь, при этом
должно выполняться равенство условных вероятностей
^1ЛA)<а|ЛB). Л(з)> •••> Л(ло}=/>[г1A)<а|ЛB)}- (VII. 1)
Для непрерывных случайных величин условие (VII. 1) имеет место
[28, 30], однако для дискретных случайных величин в общем случае
оно не выполняется. Указанное обстоятельство проиллюстрировано
в статье [180].
Таким образом, если задача геометрического проектирования дис-
дискретна (а следовательно, дискретна соответствующая вероятностная
15*
229

модель), то возникают затруднения, связанные с применением при-
приведенных в § V.2 результатов относительно статистической оценки
оптимума и аппарата проверки статистических гипотез. Выход из
данного положения можно найти в использовании непараметриче-
непараметрического подхода. В случае параметрической вероятностной модели пред-
представляет интерес погружение дискретного множества в арифметиче-
арифметическое евклидово пространство с последующим доопределением функци-
функционала так, чтобы он удовлетворял необходимым свойствам.
Проиллюстрируем сказанное на примере. Рассмотрим взвешенную
задачу о покрытии [57, 112]. Имеется булева матрица А = !|я//|'тхт
и набор положительных чисел clt с2, ..., ст. Пусть Y — множество
перестановок с повторениями [18], элементами которого являются
наборы у = (уг$ у2. ... , ут), где ус = О V 1» * = 1» 2, ..., т.
Требуется найти такой элемент y£Y, что
при ограничениях
т
2 ачУ1 ^ *» / = 1, 2, ,. ., т.
Таким образом, целевая функция
задана на комбинаторном множестве F, число точек которого 2т.
Осуществим отображение Y ->Yf cz Rm, как описано в § IV. 1. Тем
самым множество Y будет погружено в Rm. Доопределим значения
функции в точках Rm\Yf в соответствии с выражением (VII.2).
Тогда функция к (у) вида (VII.2) задана на гиперкубе Е9 описывае-
описываемом системой неравенств
0< yt < 1, /= 1, 2, ..., т.
Пусть WczE. Будем генерировать точки из множества W таким
образом, чтобы элементы векторной случайной величины со = (сох,
щ, ...» о)т) удовлетворяли условию
О <<о; < 1, / = 1, 2, .... т
и были независимы. Тогда случайная величина
будет распределена асимптотически (т->оо) нормально как сумма
независимых случайных величин. Зная предельное распределение этой
случайной величины, легко получить различные статистические
характеристики поведения функционала на множестве W>
230

В то же время для случайной величины и(со):(о£№ вида (VII.3)
выполняются условия, необходимые для применения аппарата поряд-
порядковых статистик к оценке оптимума функции х(у) вида (VII.2) на
множестве W. Следовательно, для оценки минимума функции х(у)
на W можно использовать выражения (V.28)—(V.30). Заметим, что
для функции к (у) выполняются все условия теоремы V.3, а сама
функция линейна. Значит, в выражениях (V.28)—(V.30) параметр р
равен т.
Ясно, что статистическая оценка оптимума на множестве Wy в
свою очередь, является оценкой оптимума на множестве Yf П W.
При этом множество Yf (] W не должно быть пустым (что возможно,
например, если множество W представляет собой в пространстве Rm
шар с центром в точке A/2, 1/2, ..., 1/2) и радиусом A/3). Под-
Подчеркнем, что при получении статистической оценки оптимума гене-
генерируются точки <о = (о)!, со2, . . ., (от) не из множества Yf [)W, a
из множества W. В противном случае не выполняются условия, при
которых получены формулы для границ соответствующих случайных
величин.
Следующая особенность применения метода последовательной
статистической оптимизации при дискретной вероятностной модели
заключается в изменении мощности множества при его сужении.
Сужение области поиска в непрерывных задачах не изменяет мощ-
мощности множества. Какое бы число испытаний не проводилось, вероят-
вероятность получения одинаковых точек в этом случае равна нулю. Раз-
Размерность задачи при этом не изменяется, а, значит, вероятностные
свойства оптимизируемого функционала, связанные с размерностью
задачи, сохраняются. В дискретных задачах вероятность генерации
одинаковых точек отлична от нуля. Сужение области поиска влечет
за собой уменьшение числа точек множества, а значит увеличение
этой вероятности. Таким образом, вероятностная модель от этапа к
этапу становится грубее, увеличивается погрешность аппроксимации
дискретной функции распределения непрерывной. Характер изменения
области поиска при ее сужении изображен на рис. 60.
Следовательно, на определенном этапе метода последовательной
статистической оптимизации погрешность дискретной вероятностной
модели превысит допустимую, в результате чего дальнейшее приме-
применение статистической оценки перспективности поиска на формируе-
формируемом множестве становится нецелесообразным. Поэтому перспективное
множество Y, полученное к этому моменту, следует взять за исход-
исходное и дальнейший поиск искомого решения осуществлять на Fc
использованием других методов дискретной оптимизации.
Итак, можно сделать следующий вывод. Метод последовательной
статистической оптимизации в дискретных задачах следует рассмат-
рассматривать совместно с эффективными методами решения задач «малых»
размерностей, например последовательного анализа вариантов, ветвей
и границ, вектора спада и т. д. (см. гл. III, IV). При этом полу-
полученные по окончании работы метода множество и рекордная точка
из этого множества являются исходными данными для работы по-
последующих методов,
231

• • Y, .\
у .—- X
/ ,'' К' \ .\
I ( Л\ Х
Рис. 60.
Отметим еще одно важное обстоятельство, присущее дискретным
задачам. Оно связано со способом метризации дискретного простран-
пространства. В непрерывных задачах, по существу, метрика на множестве
Y задается однозначно — рассматривается метрика евклидового про-
пространства Rm. Это связано с тем, что в евклидовых пространствах
естественно вводятся понятия направления, градиента, нормы и т. д.
Дискретное же пространство не обладает классическими свойствами
линейных пространств. Поэтому, как правило, приходится использо-
использовать возможности (если таковые существуют) введения различных
метрических структур на множестве допустимых решений. В част-
частности, в работах [26, 114, 118, 139] приведены некоторые способы
метризации пространства перестановок и пространства разбиений.
Разнообразие метрик объясняется прежде всего тем, что при реше-
решении той или иной задачи метрику стремились ввести так, чтобы
малым изменениям расстояния между элементами дискретного мно-
множества соответствовало малое изменение значений функционала в
этих точках, т. е. используется некий аналог понятия непрерывности
в дискретных задачах. Так появились свойства статистической непре-
непрерывности функционала [261, монотонности в среднем [139] и т. д.
Как правило, за исключением тривиальных случаев проверка указан-
указанных свойств не возможна. Более естественным при этом является
оценка коэффициента корреляции расстояния между дискретными
точками в выбранной метрике и модуля разности значений функцио-
функционала в этих точках. Чем выше коэффициент корреляции, тем целе-
целесообразнее задание соответствующей метрики при решении задачи
[181].
По мнению авторов, наиболее естественной является евклидова
метрика при погружении дискретного множества в арифметическое
евклидово пространство (см. § IV. 1). Дело в том, что в этом случае
удается «увидеть» множество допустимых решений и воспользоваться
232

его свойствами, описанными, в частности, в гл. IV. Наиболее инте-
интересным при этом является тот факт, что для большинства комбина-
комбинаторных множеств их точки являются вершинами некоторого выпуклого
многогранника (описание такого многогранника в случае множества
перестановок приведено в § IV.3).
Ясно, что за «хорошую» структуру области допустимых решений
иногда приходится платить усложнением функционального вида це-
целевой функции. Однако целевая функция, как правило, и так имеет
сложный вид. Поэтому такая «плата», вообще говоря, сбоснована.
Отметим, что, конечно же, существуют задачи, в которых евклидова
метрика не эффективна. Однако опыт решения задач геометрического
проектирования подтверждает точку зрения авторов. Некоторые из
результатов вычислительного эксперимента при решении класса Ек-
задач с подвижными границами приведены в следующих параграфах.
В заключение отметим, что хотя метод последовательной статис-
статистической оптимизации и эффективен при решении широкого круга
задач геометрического проектирования, дальнейшее изучение особен-
особенностей этих задач должно тем не менее привести к постепенному
ослаблению вероятностного элемента и в последующем к отказу от
применения вероятностных методов. Уже сейчас можно утверждать,
что при решении задач размещения прямоугольников в полосе целе-
целесообразнее, например, использовать метод ветвей и границ (см. § III.5)
при соответствующей декомпозиции задачи. Тем не менее авторы
приводят результаты решения указанного класса задач. Предлагае-
Предлагаемый ниже эксперимент при решении задач размещения прямоуголь-
прямоугольников в полосе интересен с точки зрения иллюстрации того, что
даже для такого «неудобного» класса задач метод последовательной
статистической оптимизации все же является эффективным.
VII.2. Размещение многоугольников
в полубесконечной полосе заданной ширины
Задачи оптимального размещения плоских геометриче-
геометрических объектов в полубесконечной полосе возникают во многих отрас-
отраслях промышленности, связанных с раскроем рулонного материала:
в легкой промышленности, автомобилестроении, авиа- и судостро-
судостроении и др. Конечно, учет определенных особенностей позволяет
конкретизировать и в некоторых случаях упростить описанную задачу.
Так, при раскрое рулонного материала в трикотажной промышлен-
промышленности накладывается ограничение на ориентацию выкроек. При этом
каждая выкройка (представляемая как геометрический объект) может
иметь фиксированное число возможных ориентации. В частном случае
объекты могут быть ориентированы заранее. Ясно, что если область
размещения анизотропна и объект требуется сориентировать по осям
анизотропии, то его положение будет характеризоваться меньшим
числом параметров и размерность задачи уменьшится.
Отметим, что к размещению многоугольников в полосе наимень-
наименьшей длины сводятся многие задачи, которые по своей неформальной
постановке не имеют отношения к размещению геометрических объек-
233

тов. Это задачи на составление графиков профилактических работ
и механизмов, оптимального расхода различного вида энергии и т. д.
Если рассматривать фигуру, ограниченную графиком изменения
количества ресурсов во времени, осями абсцисс, ординат и прямой,
параллельной оси ординат, то получим геометрический объект. В
работе [И] подробно рассмотрен вопрос рационального использова-
использования ресурсов во времени и показано, что эта задача при определен-
определенных условиях может быть сформулирована как задача размещения
набора прямоугольников заданных размеров в полубесконечной поло-
полосе определенной ширины. При этом требуется минимизировать длину
занятой части полосы.
Вообще сведение задачи размещения плоских геометрических
объектов к размещению прямоугольников является довольно распро-
распространенным. Дело в том, что для прямоугольников значительно
легче описывать условия их взаимного непересечения и принадлеж-
принадлежности к области размещения. Укажем, что в настоящее время хорошо
разработаны специальные способы заключения плоского геометричес-
геометрического объекта в прямоугольник, обладающий заданными экстремальными
свойствами (например, минимальной площадью).
Рассмотрим формальную постановку задачи размещения много-
многоугольников в полосе наименьшей длины.
Пусть область размещения So представляет собой полубесконеч-
полубесконечную полосу заданной ширины. Требуется разместить объекты Slf
<S2, ...» Sn произвольной геометрической формы в области так, чтобы
длина занятой части полосы была минимальной. Область и объекты
размещения предполагаются плоскими. В дальнейшем, поскольку вся-
всякий геометрический объект можно аппроксимировать с определенной
точностью многоугольником, будем полагать, что St- — многоуголь-
многоугольник с числом вершин mif i= I, 2, ..., п.
Зафиксируем начало подвижной системы координат в левом ниж-
нижнем углу полубесконечной полосы. Пусть хц и уц, / = 1, 2,. .., mi—-
координаты вершин объектов Siy i = 1, 2, ..., п в подвижной сис-
системе координат, связанной с ним. В этом случае функцию цели дан-
данной задачи можно записать следующим образом:
х = max (xt + max **/),
\<i<n
где Xi — абсцисса полюса объекта Sc в неподвижной системе координат
хОу. Используя операцию /^-дизъюнкции [104], получаем
* = ViIVi (* + *//)]• (VH.4)
i = I /=1
Ясно, что функция цели к зависит от всех параметров размещения
объектов Sl9 S2, ..., Sn.
Таким образом, задача размещения многоугольников в полубес-
полубесконечной полосе сводится к минимизации функции Зп переменных
на множестве точек, определяемом системой неравенств, которые
формализуют условия взаимного непересечения объектов и располо-
расположения их внутри области 50.
234

Рассмотрим частный случай приведенной задачи и предположим,
что размещаемые объекты являются ориентированными прямоуголь-
прямоугольниками. Ориентацию зададим таким образом, чтобы их основания
были параллельны основанию полосы. Пусть размеры прямоугольника
Si равны ctixbi, i=l, 2, ... , п. Тогда функция (VII.4) может
быть переписана для данного частного случая в виде
х в V1 <*< + аЛ>
где Xi — абсцисса полюса объекта Sc в неподвижной системе координат.
Задача размещения прямоугольников в полубесконечной полосе
отличается простотой задания функции цели и проверки условий вза-
взаимного непересечения и принадлежности к области размещения, что
значительно сокращает время построения допустимых вариантов раз-
размещения. В связи с этим последняя задача была выбрана в качестве
тестовой для изучения возможностей метода последовательной ста-
статистической оптимизации.
Поскольку функция цели в задачах размещения в полосе имеет
вид (VII.4), то согласно теореме V.1, генерируя равновероятностно
точки из области определения функции, получаем, что распределение
ее значений асимптотически нормально, причем сходимость имеет
место на «хвостах» функции распределения.
Кроме того, применение метода последовательно-одиночного разме-
размещения в рассматриваемой задаче позволяет довольно легко определять
значения локальных экстремумов. Это обстоятельство дает возмож-
возможность использовать предельное распределение экстремальных значений
(закон Вейбулла—Гнеденко) для оценки перспективности поиска на
специальным образом формируемых множествах. Как отмечалось
в §Н.8, при использовании метода последовательно-одиночного раз-
размещения осуществляется отображение множества локальных экстре-
экстремумов (или приближений к ним) на некоторое дискретное простран-
пространство. В задаче размещения объектов в полосе с минимизацией длины
ее занятой части последовательность объектов (перестановка символов)
Однозначно определяет приближение к локальному экстремуму (при
размещении прямоугольников имеем точное значение локального
экстремума).
Пусть я = (/х, /2, . .., in) — заданная перестановка, согласно кото-
которой размещаются объекты Slf S2, . . ., Sn. Тогда итерационная фор-
формула, реализующая метод последовательно-одиночного размещения,
будет иметь вид [128]
Vi mln (xt + bt ), (VII.5)
где щ — частичное значение функции цели после размещения k объек-
объектов; xik+i — абсцисса полюса размещаемого объекта; Gk+\ — область
допустимых положений полюса 4+i-ro объекта; bik г — максимальная
из абсцисс вершин многоугольника Sik+% в собственной системе коор-
координат.
235

20
12
\
19
13
16
22
10
21
25
17
11
16
/
/
/
/
у
Рис. 61.
Заметим, что применение аппарата годографа вектор-функции плот-
плотного размещения позволяет легко выбрать искомое положение полюса
4+1-го размещаемого объекта.
Таким образом, задачу размещения многоугольников в полосе
можно рассматривать как задачу минимизации функционала, задан-
заданного конструктивно на множестве перестановок.
Рассмотрим результаты применения метода последовательной ста-
статистической оптимизации при решении следующих трех задач, выбран-
выбранных в качестве тестовых. Эти задачи состоят в размещении 25, 50
и 100 прямоугольников в полосе ширины 100, 90 и 100 условных
единиц соответственно. Размеры прямоугольников (в условных еди-
единицах) указаны в табл. 20-—22. На рис. 61—63 представлена раз-
размещения, соответствующие глобальным экстремумам. Заметим, что
в задаче с 25 прямоугольниками глобальный экстремум равен 163,
с 50 прямоугольниками — 150, со 100 прямоугольниками — 250 усл. ед.
Решение приведенных тестовых задач проводилось для случаев,
когда в пространстве перестановок задавались евклидовая, транспози-
транспозиционная, цепная, алфавитная и инверсная метрики [26, 139]. Для этих
метрик проверялись свойства монотонности в среднем [139] и статис-
статистической непрерывности [26] оптимизируемого функционала. В табл. 23
для указанных тестовых задач приведено изменение математического
ожидания и среднеквадратического отклонения значений минимизируе-
минимизируемого функционала при равновероятном выборе перестановок из шаров
определенных радиусов с центром в перестановке, соответствующей
глобальному экстремуму. Статистические характеристики оценивались
по выборочным данным. Объем выборки во всех случаях равен 200.
Как следует из таблицы, свойство монотонности в среднем выпол-
выполняется для всех метрик. Однако для евклидовой, транспозиционной
236

13
JL.
10
14
22
18
17
26
26
20
16
21
15
34
30
37
29
28
27
45
38
36
43
35
33
46
41
50
32 40
Рис. 62.
11
13
15
17
23
22
21
18 \20
25
27
36
37
29
32
28
38
33-
4/
56
Ъ2Ь
45
46
50
40
43
30
51
54 \56
55
58
64
■61
60
59
57
97
65
96
93
95
67 68
70
71
72
92
75
85
so9!
-88
8687
83
79
73
78
100
Рис. 63.
и цепной метрик уменьшение математического ожидания значений
функционала происходит медленно. Что касается свойства статисти-
статистической непрерывности, то оно наиболее ярко проявляется в алфавит-
алфавитной метрике. В транспозиционной и инверсной метриках дисперсия
с уменьшением радиуса практически не меняется, а в цепной—увели-
цепной—увеличивается. В евклидовой метрике изменение дисперсии невелико.
Это позволяет сделать следующие выводы. При формировании
новых окрестностей в транспозиционной, инверсной и цепной метриках
центр можно выбирать равновероятно из допустимого множества. Для
алфавитной и евклидовой метрик целесообразнее воспользоваться алго-
алгоритмом метода последовательной статистической оптимизации, в кото-
котором новый центр переносится в рекордную точку. Как отмечено
в § VI.5, это позволяет увеличить вероятность выбора перспективной
окрестности.
16 5-1343
237

.— ососослсооо-^-^оослооооюслю-^о-^ю
н—н- ►— ~ Ю Ю СЛ ►— ►— Ю *— ►— оо h—
ьооючсюосооо^осйоозч
сосососомсососоююююююююю
^СЛСЛ^СОЮ1— ОСООО"^СЛСЛ£»ООЮ>—
сосою
1— ОСО
— Ю СО
— Ю 00 мн-
юслосоооо
Ю Ю »-(ОЮ 00 ►—
слсо^слсл(Ооооо
СО *— СО *— .— .—
05о — со -^ -^ ел со ►$».
Mh-KOW^^-H- ю ■£»• СО СОЮ— Ю
СПСЛОЮСЛСЛО)'ЧЧ*>ЮО'- СЛ .£•> 00 00 Ю О 00
ю ►— •— 1— •— со •— •—
© ООСОО^©^СОСЛС
ю to •— ю
Ю^СССОО
ЮЮ СО ►— •— 4^> Ю Ю СО СО •— •—
ооососослоои- — -^^слсослоослоою
ОСО
СЛ 00
о> со
8г
со
4*. 4*.
5с,
со ю
о^5
оо-^ ел
СЛ СЛ СО
СЛ СО СЛ
00 -^ СЛ
со >—
СО СО СО
^* ^J CO
СЛ 4а» СО to
00 1— — 1—
00 СЛ -^ Ю
ю ю
СО СЛ4ь 4^.
ю ю ю ю ю ю ю
■^•^ ©
ю со
4* СО СО COCO
ЮСО Ю
СЛ 00-^ -^
СЛ
4^
-
8
СЛ
ю
ел
4^.
Й4^йё^
_- н-Ю — —tO
юоооосослсоооооою
СОФ
SS
«О СЛ
4^ Ю
^iOOCO
сл-й
ю
ю —ю
СО СЛ -^СО
rf*. 4^. 4^45».
СЛ4*. СО Ю
ю —со
со
4*>
ю
1
сз-
^.
—=
ел*». сом>-
ю^ •— •— со
ю ооо ст> о
о «ооо -^ ел
^ ю — ю ю
ел ело 4^ о
Ю СЛ Ю Ю •*».
сл too — оо
СЛ1*». СО Ю •—
»*»■ сою
о сл сл -^ сл
со — н- ю со
■^J О CO-^J СЛ
о со оо -^ о>
СЛ СО н-О0
•— осо -^ со
— Ю~ н- Ю
^ СО — 1*». —
ЮО ЮО СЛ
00С75О ^ О
^?
о-
о*
§

о
:т (числ
ектов)
И
25
60
100
о.
сиус ша
£
300
99
49
24
12
6
3
300
99
49
24
12
6
3
300
99
49
24
12
6
3
Та(
5 л иц i
i 23
Метрика
евклидовая
т
_
205
194
191
189
187
187
179
176
173
169
164
297
294
288
280
279
274
272
о
_
16,4
14,9
13,7
13,6
12,8
.__
7,3
6,8
5,8
5,5
4,3
4,0
9,7
9,3
8,6
8,5
7,8
6,9
6,3
алфавитная
т
_
202
185
175
167
—
183
177
М70
160
155
295
280
272
262
255
253
о
_
14,3
12,1
10,4
5,4
6,9
5,8
5,9
6,1
4,0
9,3
6,5
4,7
3,8
3,5
2,9
транспозици-
транспозиционная
- 1
206
202
193
189
__
181
179
176
172
165
295
289
285
281
280
272
о
12,2
10,8
11,7
13,1
7,9
6,8
5,9
6,1
4,0
8,4
6,4
8,2
8,8
10,3
7,7
инверсная
т
202
200
198
193
188
183
179
182
178
171
167
166
164
163
298
295
291
277
277
276
273
о
10,3
12,1
10,7
9,8
10,1
12,0
13,0
5,9
6,3
6,3
7,0
5,7
5,3
3,4
9,4
7,9
5,8
7,2
п,о
10,1
3,9
цепная
- 1
_
—
208
207
203
186
—
183
179
175
171
167
292
287
286
287
285
271
а
_
11,5
12,1
14,0
24,3
—
5,7
6,3
4,5
7,1
9,1
8,9
7,1
6,8
7,0
11,1
20,8
Проверка свойств статистической непрерывности и монотонности
в среднем возможна лишь на тестовых задачах, в которых известен
глобальный экстремум. Для практических задач при определении пра-
правила формирования новой окрестности предлагалось использовать
величину коэффициента корреляции расстояния между перестановками
и модуля разности значений функционала на них. Значения коэффи-
коэффициентов корреляции в различных метриках для исследуемых тестовых
задач приведены в табл. 24. Оценка коэффициента корреляции про-
производилась в результате равновероятной генерации 1000 перестановок
и вычисления соответствующих значений функционала.
Из таблицы следует, что наибольший коэффициент корреляции
соответствует алфавитной метрике, несколько меньше — в евклидовой,
д/гя транспозиционной и ин-
инверсной он близок к нулю,
а в цепной — отрицателен.
Эти результаты находятся
в соответствии с данными,
полученными при прозерке
свойств статистической не-
непрерывности и монотоннос-
монотонности в среднем.
При решении указанных
тестовых задач размещения
Таблица 24
Метрика
Евклидовая
Алфавитная
Транспозицион-
Транспозиционная
Индерсная
Цепная
Число объектов
100
0,06
0,19
0,03
0,07
—0,06
50
0,11
0,21
0,07
0,04
—0,01
25
0,07
0,23
0,10
0,04
0,02
16*
239

Число
объектов
25
50
100
Оптимум
163
150
250
Объем
выборки
50
100
200
50
100
200
50
100
200
Математическое
ожидание выбороч-
выборочной оценки
131,4
149,8
154,3
142,3
148,2
149,1
252,6
250,7
249,4
Таблица 25
Стандартное откло-
отклонение выборочной
оценки
15,8
10,2
8,2
6,3
3,1
2,2
3,8
1.3
1,1
прямоугольников в полосе использовались различные критерии, харак-
характеризующие перспективность поиска в формируемой окрестности. Одна-
Однако получаемые результаты практически не отличались друг от друга.
Более того, метризация пространства перестановок также не оказывает
существенного влияния на качество результата. И это естественно:
какие бы окрестности не рассматривались, мы тем не менее имеем
дело с приближениями к локальным экстремумам. А предельное рас-
распределение их значений одно — Вейбулла—Гнеденко.
Особенности, связанные с различной метризацией пространства
перестановок, приводят к выбору соответствующих параметров метода.
Укажем усредненные по 20 просчетам результаты решения тестов
с 25, 50, 100 прямоугольниками. Средняя длина занятой части полосы
соответственно равна 171,1, 164,4, 271,3 усл. ед., а дисперсия резуль-
результатов соответственно 5,03, 6,76, 7,68 усл. ед.
Проанализируем результаты. Получаемые решения отличаются от
оптимума на 5—10%. Следует иметь в виду, что в результате поиска
определена окрестность, в которой с заданными точностью и веро-
вероятностью содержится искомое решение. Использование же в этой
окрестности других методов оптимизации, как правило, позволяет
получать новые улучшения. Среднее время решения на ЭВМ БЭСМ-6
задачи размещения 25 прямоугольников составило около 7 мин,
50 прямоугольников — 36 мин, 100 прямоугольников—1ч 28 мин.
Выберем в качестве оценки перспективности поиска оптимума на
множестве значение статистической оценки оптимума и проведем сле-
следующий эксперимент. Пусть Пл — множество перестановок из /гсимво-
лов. Будем равновероятно генерировать перестановки из множества
Пп и вычислять значения минимизируемого функционала. Поскольку
в рассматриваемых задачах значения функционалов от перестановок
соответствуют локальным оптимумам целевой функции (VII.4), то
распределение этих значений будет близко закону Вейбулла—Гнеденко.
Таким образом, выборочные значения функционала можно приме-
применить для оценки параметров предельного распределения. Один из этих
параметров соответствует минимальному значению целевой функции.
Для исследуемых тестовых задач в табл. 25 приведена зависимость
математического ожидания и стандартного отклонения статистической
240

оценки оптимума от объема выборки. Сравнение полученных результатов
с известными точными значениями оптимумов показывает, что в зада-
задачах при п = 50 и 100 уже для малых объемов выборки статистичес-
статистическая оценка оптимума достаточно близка к истинному значению. В за-
задаче с 25 прямоугольниками имеют место расхождения между значе-
значением оптимума и его статистической оценкой. Это связано с тем, что
ошибка е*, порожденная заменой истинного распределения значений
функционала предельным распределением, велика. В частности, при
п = 25 эта ошибка равна 11 усл. ед.
В заключение приведем усредненные результаты сравнения реше-
решений, получаемых при решении тестовой задачи размещения 50 прямо-
прямоугольников с помощью предлагаемого подхода, метода вектора спада
и случайного перебора. Применение метода последовательной стати-
статистической оптимизации дает в среднем результат 164 усл. ед. Нена-
Ненаправленный случайный перебор за то же время позволил получить
значение длины полосы, равное 173 усл. ед. При использовании метода
вектора спада (см. алгоритм II 1.3) определен локальный оптимум
в окрестности единичного радиуса в пространстве перестановок с ин-
инверсной метрикой. Он равен 168 усл. ед.
VII.3. Задачи размещения в полосе
с учетом ориентации.
Сквозные резы
В предыдущем параграфе описан случай, когда ориен-
ориентация размещаемых объектов заранее фиксирована. На практике же
нередко ограничение на ориентацию либо полностью снимается, либо
ослабляется.
Рассмотрим следующую задачу. В полубесконечной полосе задан-
заданной ширины требуется разместить п многоугольников, каждый из
которых может иметь miy i = 1, 2,..., п возможных ориентации. Необ-
Необходимо определить такое допустимое расположение объектов, при
котором длина занятой части полосы минимальна.
Для определения приближений к локальным экстремумам в данной
задаче можно также воспользоваться методом последовательно-оди-
последовательно-одиночного размещения, реализуемого итерационной формулой (VI 1.5).
Заметим, что в задачах, рассмотренных ранее, приближение к локаль-
локальному экстремуму однозначно определялось последовательностью раз-
размещения объектов. Если же объекты могут иметь различную ориен-
ориентацию, то кроме последовательности размещения следует учитывать
и их ориентацию.
Пронумеруем допустимые ориентации t'-ro объекта числами от 1
до trie. Тогда длина полосы однозначно будет определяться двойкой
(а, Р), где а = (а1? а2, . . . , а„) — перестановка символов, задающая
порядок размещения объектов, а р = (рх, Р2, . . . , рп) — последова-
последовательность номеров ориентации объектов. Следовательно, приближен-
приближенное значение локального экстремума можно рассматривать как функ-
функционал, заданный конструктивно на множестве П всевозможных
допустимых пар (а, Р).
241

Рис. 64.
Введем метрику на множестве П. Пусть пг = (а1, Р1) ия2 = (а2, Р2) —
элементы этого множества. Зададим функцию расстояния следующим
образом:
p(jtlf л2) = р1(а1, а2) + р2(Р\ Р2), (VII.6)
где рх (а1, а2) — функция расстояния между перестановками а1 =
= (а\, а\у . . ., а£) и а2 = (а*, а\, . . . , а„), а р2 (Р1, р2) — функция
расстояния между элементами Р1 = (pi, pL ... > pi) и р2 = (Р?, р|,...
В качестве pt (a1, а2) можно взять любую из метрик простран-
пространства перестановок. Расстояние между элементами р1 и р2 можно
задавать также различными способами. В частности, укажем
(VII.7)
где 6t-/ — символ Кронекера.
Нетрудно видеть, что функции р(ях, я2) ир2(Р1, Р2), заданные
соответственно равенствами (VII.6) и (VII.7), удовлетворяют аксио-
аксиомам метрического пространства.
Для элементов пг и к2 можно задать также евклидово рассто-
расстояние:
Р («I. я,) - [£ (а* - о?)» + £ (PJ - Р?J]1/2.
1 1
(VH..8)
Применим метод последовательной статистической оптимизации
для решения следующей практической задачи. В полубесконечной
полосе ширины 120 усл. ед. требуется разместить 20 заготовок 5 типов.
Количество заготовок каждого типа, их допустимые ориентации и
координаты вершин в собственной системе координат приведены
в табл. 26.
Выберем реализацию метода в виде алгоритма VI.3. Задача реша-
решалась для случая, когда суммарное число испытаний было ограничено
и равно 500. Функция р(ях, п2) определялась выражением (VII.8).
Число испытаний в серии полагалось равным 50. Полученное разме-
размещение приведено на рис. 64. Длина занятой части полосы равна
419, 77 усл. ед. Время решения 1 ч 36 мин на ЭВМ БЭСМ-6. Для
242

Таблица 26
Тип
1
2
S
Число
объектов
типа
2
4
4
Допусти-
Допустимая
ориента-
ориентация
0
я/2
я
23я/20
Зя/2
7я/4
0
я/2
я
7я/4
Зя/2
0
Зя/20
Зя/4
я
Координаты
вершин
х
0
ПО
по
80
80
60
40
20
0
0
120
120
90
80
30
30
0
0
80
90
60
у
0
0
20
20
30
30
20
40
40
0
0
10
10
20
20
30
30
0
0
20
20
Тип
4
5
Число
объектов
типа
5
5
Допусти-
Допустимая
ориента-
ориентация
бя/4
Зя/2
7я/4
0
Зя/20
я/4
Зя/4
Зя/2
0
Зя/20
я/2
Зя/4
я
Зя/2
7я/4
37я/20
Координаты
вершин
X
50
40
20
10
0
0
20
40
60
70
0
20
70
90
70
90
60
30
20
0
у
30
20
20
10
20
0
—20
—10
—10
0
0
—10
—10
0
10
10
20
20
10
10
сравнения укажем, что за то же время метод Монте-Карло позво-
позволил получить результат 498,48 усл. ед.
^При размещении объектов в полу бесконечной полосе кроме усло-
условий непересечения могут накладываться дополнительные ограничения.
Одним из наиболее распространенных ограничений является необхо-
необходимость сквозных резов по ширине полосы между рядами размещен-
размещенных объектов (рис. 65). По своей неформальной постановке задача
состоит в следующем. Задано п многоугольных объектов L типов
по п( объектов /-го типа, п = XI пс- Каждый объект /-го типа может
4 = 1
иметь тс возможных ориентации. Объекты требуется разместить в по-
полосе 50 так, чтобы выполнялись условия взаимных непересечений,
а между рядами размещенных объектов допускались сквозные резы.
Для решения поставленной задачи можно использовать подход,
предложенный в [23]. Процесс решения разбивается на три условных
этапа.
Первый этап состоит в формировании матриц минимальных рас-
расстояний между каждой парой объектов, взятых по одному каждого
типа и плотно расположенных таким образом,^ чтобы абсциссы самых
левых их вершин совпадали. При таком расположении возможны тс х
х/Я/ вариантов взаимной ориентации каждой пары объектов St и S/.
Для каждого варианта k взаимной ориентации объектов S* и S/ фор-
243

600
мируется матрица ||а?/|| наименьших расстояний между полюсами
объектов. При этом, если полюсы объекта выбирать в крайней левой
вершине, то элементами || аки-\\ будут являться ординаты полюсов объек-
объектов Sj при условии, что абсциссы полюсов объектов 5t- и 5/ совпа-
совпадают, а значение Ф-функции, соответствующее установленным объек-
объектам, равно нулю.
Второй этап состоит в размещении объектов Sit I = 1, п в области
50 согласно заданным последовательности установки объектов (alf
a2» • • •» a") и последовательности ф19 р2, . .., pn) номеров их ориен-
ориентации с помощью метода последовательно-одиночного размещения.
Ограничение на наличие сквозных резов учитывается следующим
образом. Если ордината верхней вершины устанавливаемого объекта
больше ширины полосы, то проводится линия сквозного реза, опре-
определяемая в системе координат хОу уравнением лг = тахл;/, где xi —
абсциссы вершин размещенных объектов. При этом объект распола-
располагается в части полосы So левее сквозного реза.
Ясно, что при наличии сквозных резов к моменту размещения
очередного объекта требуется проверять условие, чтобы крайняя
правая вершина объекта лежала левее сквозного реза. Если это усло-
условие не выполняется, объект в ряду, образованном данным резом, не
устанавливается. Осуществляется проверка возможности его разме-
размещения в следующем ряду. И так далее.
На втором этапе можно предложить локально-оптимизирующую
процедуру размещения объектов. Суть ее заключается в следующем.
Прежде чем разместить объект Sai в полосе So согласно последова-
последовательности (а,, а2, .. ., ап) осуществляется предварительное размеще-
размещение пары объектов 5а, и Sa, для различных вариантов их ориента-
ориентации. Окончательно объект Sai размещается в таком положении,
когда ордината самой верхней вершины объекта Sat будет минимальна.
244

Размещение объекта Sat задается так, чтобы ордината верхней вер-
вершины очередного объекта 5а, была минимальна, и т. д. Разместив;
все объекты Sh i = 1, п в соответствии с последовательностью (а^
а2, .. ., ап), получим один вариант размещения, которому соответ-
соответствует определенное значение длины занятой части полосы So.
На третьем этапе осуществляется направленный перебор вариан^
тов размещения методом последовательной статистической оптимиза-
оптимизации [38].
С помощью описанного подхода был решен ряд задач рациональ-
рационального размещения комплектов лекал различных типов в полосе задан-
заданной ширины. Использовались как модельные, так и практические
задачи, предложенные технологами.
Вариант размещения 40 лекал 5 типов изображен на рис. 65.
Координаты вершин лекал приведены в табл. 27. Допустимые ориен-
ориентации— 0 и 180°. Ширина полосы 100 усл. ед. Задача решена за 25 с:
на ЭВМ БЭСМ-6. Просмотрено 1200 вариантов. Лучшему соответ-
соответствует длина занятой части полосы, равная 990 усл. ед. (рис. 65)..
Сквозные резы выделены сплошной линией.
VII.4. Размещение объектов с учетом длины
связывающей их сети
Описанные выше задачи размещения геометрических объек-
объектов являются примерами задач, в которых цель оптимизации — вы-
выполнение экстремальных требований к занятой части области разме-
размещения. Однако в большинстве задач качество размещения определяется
специальными свойствами, характеризующими размещенные объекты.
Такие задачи возникают при конструировании электронных вычисли-
вычислительных систем, компоновке генеральных планов промышленных
предприятий и т. д.
Пусть Slf 52, .. . , Sn — множество плоских объектов произволь-
произвольной геометрической формы. Обозначим через С = ||с.у||пхя матрицу
соединений. Каждый элемент ctj этой матрицы равен количеству
связей между объектами St и S/, причем с.. = с. и с.. = 0 для всех
I /=1, 2, ..., п.
Необходимо разместить объекты Sly S2, ... , Sn в области S^
таким образом, чтобы суммарная длина соединений, заданных мат-
матрицей С, была минимальной.
Как обычно, область So свяжем с неподвижной системой коор-
координат, а размещаемые объекты St- — с собственными подвижными си-
системами координат. Параметры размещения объекта Si обозначим
через (хр \)и fy)- Ясно, что описанная задача является задачей ма-
математического программирования. Функцию цели ее в зависимости
от метрики, в которой вычисляется расстояние между точками соеди-
соединений объектов, можно представить в виде [141]
к- S S SUP?*
24S

А*
ос,
Рис. 66.
где Yf7 — число каналов в k-м
соединении /-го и /-го объек-
объектов, а
в евклидовой метрике и
Р?/ e I aik — ajk I + I $ы + Р/л!
в манхеттенской. Здесь alk и
§ik — координаты (в неподвиж-
неподвижной системе координат) точки
Mik соединений объекта Si с
остальными (п—1)-м объектами
(рис. 66).
Ограничения представляют собой систему неравенств, определяю-
определяющих условия непересечения размещаемых объектов и условия их раз-
размещения внутри области So.
В некоторых случаях при постановке задач такого рода требуется
выдерживать между каждой парой объектов кратчайшее расстояние,
а также кратчайшие расстояния между объектами и границей области
размещения.
Рассмотрим упрощенную модель описанной выше задачи. Приве-
Приведенные далее допущения объясняются тем, что при решении таких
задач, как правило, требуется получить опорное решение, которое
нуждается в доработке конструктора, учитывающего не формализо-
формализованные ограничения.
Пусть область размещения So и размещаемые объекты Sv S2, . ..
. . . , Sn представляют собой прямоугольники размерами А х В и atxbif
i= 1, 2, .. . , п соответственно. Предположим, что каждому прямо-
прямоугольнику соответствует одна точка соединений, находящаяся в его
левой нижней вершине. Зафиксируем ориентацию объектов. Будем
полагать, что сторона размера at параллельна основанию А области
размещения. Полюсы размещаемых прямоугольников выберем в точках
соединений.
Тогда формулу, определяющую длину связывающей размещенные
объекты сети, можно преобразовать к виду
.где
Г
ч
\{xt - */)« + tot -
или
соответственно в евклидовой или в манхеттенской метриках; через
(х(, у() обозначены координаты полюса j-ro прямоугольника в
:246

неподвижной системе координат, связанной с областью разме-
размещения.
Разместим объекты согласно методу последовательно-одиночного
размещения. Пусть зх = (ц, г2, ... , in) — последовательность разме-
размещения прямоугольников. Предположим, что объекты Stl, St-2, . .. , Sik
уже размещены, и зафиксируем координаты их полюсов (х. , у.),
t= 1, 2, ... , А. Обозначим через х^, частичное значение функции
цели после размещения k объектов. Тогда итерационная формула,
реализующая метод последовательно-одиночного размещения, при-
примет вид
i(VIL9)
где Gk+\ — область допустимых значений координат полюса ik+1-ro
объекта.
Заметим, что применение аппарата г. ф. п. р. дает возможность
легко определить решение задачи минимизации, стоящей в (VI 1.9).
В ряде случаев в силу жесткой системы ограничений на положе-
положение объектов приведенная выше задача размещения может быть све-
сведена к задаче назначения на фиксированные места. Математической
моделью такой задачи является квадратичная задача назначения
[111, 148].
Имеется п объектов размещения и п посадочных мест. Заданы
симметричные матрица L = || lij\\nXn> каждый элемент 1ц которой
равен числу связей между i-м и /-м объектами, и матрица R1 =
= || Гц |jnXn, определяющая расстояние между i-м и /-м посадочным
местом.
Пусть i-й объект размещается на kt-u месте. Тогда требуется
минимизировать функционал
x = -lJ+1/l'rw (VIU0)
Ясно, что решение поставленной задачи есть перестановка символов
п = {klf k2y ... , kn).
Задача квадратичного назначения хорошо изучена. Однако при
наличии большого числа алгоритмов ее решения сравнение этих алго-
алгоритмов в общем виде едва ли возможно. Поэтому, как правило,
эффективность методов решения данной задачи проверяется на так
называемой тест-задаче Штейнберга [111]. Задача состоит в следую-
следующем. Имеется 34 одинаковых объекта, представляющих собой квад-
квадраты размерами 1 х 1 с точками соединений, находящимися в центре
каждого квадрата. Задана матрица соединений, приведенная в табл. 27.
Объекты требуется разместить в области прямоугольной формы раз-
размером 4 х 9 в узлах целочисленной решетки (рис. 67, а) таким обра-
образом, чтобы суммарная длина соединений была минимальной.
В монографии [111] приведен обзор результатов применения раз-
различных алгоритмов при решении задачи Штейнберга и даны ссылки
247

Таблица 27
/
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Г2
13
1U
15
16
17
1
2
3
и
5
6
7
в
9
10
11
12.
13
/4
15
16
17
18
6
в
4/
17
1
6
1
2
6
40
\
2
1
7
9
4
75
7
12
22
7
1
1
19
2
4
8
1
2
\
16
д
16
2
20
23
25
18
19
7
IS
3U
6
21
12
1
2ff
13
\
•4
16
20
20
3
21
9
11
\
29
5
18
47
23
г
4
4
4
22
S
3
1
и
36
\
18
12*
■25
4
25
3
5
23
S
10
7
36
6
\
и
2
7
23
2
19
6
2Ь
п
\
/4
72
7
8
39
в
в
7
25
22
в
26
\
10
11
2
8
26
/2
35
\
/4
18
9
27.
7
Ю
1
9
5
16
г
4
9
S
2
\
//
/
17
J
10
26
28
в
/1
7
27
т
\
316
33
8
2
11
29 30
Q
2
3
16
9
10
\
157
25
4
12
в
J
3
ю
22
19
\
//
5
S
13
31
2
1
4
12
19
\
9
Ш
32
1
20
26
6
4
\
15
35
5
6
4
5
3
18
\
16
зь
4
4
2
12
8
13
2Ь
20
\
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
/4
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2U
25
26
27
28
29
30
51
32
33
34

15
IB
9
17
31
30
28
1U
1
10
Ю
3k
29
W
20
7
в
2
35'
32
23
12
13
и
35
2k
25
21
J11
6
5
3
36
26
22
27
2k
25
26
35
2
9
22
21
19
29
36
17
k
5
27
33
20
26
30
31
10
7
13
6
32
31+
33
3
15
12
11
Ik
18
в
16
1
Рис. 67.
в
на соответствующую литературу. В табл. 28 эти результаты допол-
дополнены с указанием новых источников.
Рассмотрим решение задачи Штейнберга методом последователь-
последовательной статистической оптимизации. Прежде всего приведем результаты
подсчета коэффициентов корреляции расстояний между перестановками
и соответствующими им значениями функционала (VII. 10) в евкли-
евклидовой, цепной, инверсной, транспозиционной и алфавитной метриках.
Коэффициенты оценивались по выборке в 500 реализаций. Наиболь-
Наибольшие коэффициенты корреляции соответствуют транспозиционной и ев-
евклидовой метрикам и равны соответственно 0,28 и 0,21. В остальных
метриках он положителен и близок к нулю. Транспозиционная мет-
метрика обладает также тем интересным свойством, что в окрестностях
Подход
Алгоритм Буркарда—Стратмана [173]
Алгоритм сканирования [8]
Метод последовательной статистической опти-
оптимизации (алгоритм VI.3) [65]
Модификация метода вектора спада [157]
Метод Раймонда
Метод последовательной статистической опти-
оптимизации (алгоритм VI.2) [165]
Метод вектора спада [114]
Алгоритм Холла
Алгоритм парных перестановок
Парные перестановки Хиллера
я4-алгоритм Джилмора
ль-алгоритм Джилмора
Алгоритм Хиллера—Коннорса
Алгоритм попарных связей
Алгоритм Штейнберга
Алгоритм группового развертывания
Т
а б л и ц а 28
Метрика
евклидовая
4125
4134
4183
4194
4222
4267
4318
4419
4458
4475
4548
4680
4822
4873
4895
6265
ортогональная
4802
4846
4885
—
—
5036
—
139
—
5203
5432
5471
—
—
5803
249

малого радиуса можно вычислять значения функционала (VII. 10) на
приращениях [111], что значительно уменьшает время счета.
Для изучения возможностей метода последовательной статисти-
статистической оптимизации при решении задачи Штейнберга была выбрана
модификация метода, реализуемая алгоритмом VI .2. Центр новой
окрестности задавался в рекордной точке. В пространстве перестановок
вводилась евклидовая метрика. Поиск прекращался по достижении
минимально возможного в евклидовой метрике радиус^ (равного 1^2).
Осуществлено десять просчетов, характеризуемых различными
начальными вводами датчика случайных чисел. Число испытаний
в серии полагалось равным 250. Усредненные результаты для слу-
случаев, когда расстояние между объектами задавалось в евклидовой
и ортогональной метриках, равны 4256 и 5089 соответственно. Среднее
время решения задачи при евклидовом расстоянии равно 37, при
ортогональном — 29 мин на ЭВМ БЭСМ-6. Лучший полученный для
евклидовой метрики результат равен 4183, а для ортогональной
метрики — 4885. Соответствующие размещения показаны на рис.
67, б, в.
Данная тестовая задача решалась и с помощью других модифи-
модификаций метода последовательной статистической оптимизации. В частно-
частности, рассматривались алгоритмы, в которых перспективность поиска
характеризовалась величиной вероятности улучшений [139] и значе-
значением математического ожидания экстремального значения [116, 165].
Полученные результаты отражены в табл. 29. Они показывают хоро-
хорошую конкурентоспособность метода последовательной статистической
оптимизации при решении задачи квадратичного назначения. Поскольку
эффективность метода возрастает с увеличением размерности, то сле-
следует ожидать, что он будет успешно применен и в случае, когда
34
Задача Штейнберга является тестовой задачей размещения одно-
габаритных элементов. В этом случае условия непересечения объектов
и размещения их внутри области выполняются автоматически. Если же
объекты So, Sj, ... , Sn разногабаритные, а посадочные места за-
заданы так, что условия попарных непересечений выполняются не при
любых размещениях объектов, задача резко усложняется. Трудности
появляются прежде всего за счет необходимости учета «геометриче-
«геометрических» ограничений. Вместе с тем, формализовав эти ограничения,
можно сузить область допустимых решений задачи, что, в свою
очередь, позволяет сократить перебор.
Предложим следующий подход [164] к формализации условий
непересечений в задачах размещения разногабаритных объектов на
фиксированные места. Пусть So, Sx, ... , Sn — компактные ср-объекты
заданных размеров и формы, a z.£S0, j = 1, m, m > п — множество
посадочных мест. Объект Sh устанавливаемый на посадочное место
г., обозначим St(z}).
Пусть $ — кольцо множеств, порождаемое элементами So, Si B),
i = 1, п, j = 1, т. Сформируем систему множеств SK с Ж, ЗК » {Tk}f
250

k = 1, ... , L, L = | SB | такую, что
L n m I
U Тн = . U U Si By), П П = So, / <: Lf
причем множества из & не являются собственными подмноже-
подмножествами множеств из 3R. Введем булевы переменные
= | 1, если объект Si установлен в точке г.,
4 \ 0 в противном случае;
( 1» если Tk a Si (гу),
i;fe \ 0 в противном случае.
Тогда условия попарного непересечения объектов Sh i'= I, п примут вид
S S^o)..<i, ^ = T7T, (vii.12>
а условия размещения объектов в области 50 запишутся так:
t S а,,*©» = 0, ft = /+1, L. (VII. 13>
Поскольку один и тот же объект не может быть установлен одно-
одновременно в нескольких посадочных местах,
fco..< 1, * = 17/П (VII. 14>
Описанный подход к формализации геометрических ограничений
в дальнейшем будем называть принципом разбиения области. Такое
название объясняется тем, что область So по существу разбивается
на подмножества {Tk}, й= 1, /.
Если || сц \\пхп — матрица связей между i'-м и у-м объектами
a \\r q\\mxm — матрица расстояний между р-м и q-ы посадочными
местами, то суммарная длина связей между объектами будет равна
п—1 п mm
Получим задачу оптимизации квадратичного функционала (VII. 15)
с булевыми переменными при линейной системе ограничений (VII. 12) —
(VII.14).
В зависимости от степени разреженности матрицы А = \\ arjei||nxmxL,.
что, в свою очередь, определяется соотношением метрических харак-
характеристик объектов So, Sx, .. . , Sn и расстояниями между посадоч-
посадочными местами, для решения задачи (VII.12) — (VII.15) можно пред-
предложить соответствующий метод оптимизации функционала с булевыми
переменными. При высоком коэффициенте заполнения матрицы А воз-
возможны точные подходы (метод последовательного анализа вариантов,
метод ветвей и границ и т. д.). Малый коэффициент заполнения мат-
251-

рицы А позволяет предложить различные декомпозиционные методы.
В общем случае для решения задач указанного класса в настоящее
время разработаны эффективные приближенные методы, обзор кото-
которых можно найти, например в [112].
Применение различных модификаций метода последовательной
-статистической оптимизации к задачам размещения разногабаритных
элементов рассмотрено в [65, 66, 117, 141].
VII.5. Размещение объектов с учетом
уравновешивания
Рассмотрим задачу размещения геометрических объектов
в ограниченной области с учетом их центров тяжести [128, 139].
Пусть в области So задана точка А с координатами (х0, у0) в непо-
неподвижной системе координат. Необходимо в 50 разместить геометри-
геометрические сбъекты Slf S2, ... , Sn с массами соответственно mlf m2, ...
. . . , тп таким образом, чтсбы отклонение центра тяжести системы
размещенных объектов от точки (х0, у0) было минимальным.
Обозначим через (#/, у[) параметры центра тяжести объекта Sc
в собственной подвижной системе координат, а через (xiy yt) — пара-
параметры размещения объекта 5t- в неподвижной системе координат.
В этом случае координаты центра тяжести объекта St в неподвиж-
неподвижной системе координат будут иметь вид
х* = xt + х[, у* = yt + y'{.
Если отклонение центра тяжести системы размещенных объектов от
точки (л;0, у0) рассматривать в евклидовой метрике, то целевую функ-
функцию поставленной задачи можно записать следующим образом:
К =
+ \УО-—П
(VII. 16)
"Такие задачи уравновешивания возникают при загрузке судов и само-
самолетов, контейнеризации оборудования и т. д.
Для нахождения локальных экстремумов (или приближений к ним)
в описанной задаче размещения так же, как и при размещении объек-
объектов с учетом длины связывающей сети, можно воспользоваться мето-
методом последовательно-одиночного размещения. Пусть объекты разме-
размещаются в порядке я = {ix, /2, .. . , /„}. Тогда итерационная формула,
реализующая этот метод, примет вид
J252

где
k к k+\
? = S m,/*, tfi = S
{x*r y*f), I, /=1, 2, ..., &— параметры размещенных объектов
(л:* , у* ) — параметры размещаемого объекта; nk+l — частичй^е
значение функции цели после размещения /*+i-ro объекта; Gk+\ ^~
область допустимых значений параметров ik+\-ro объекта.
Таким образом, метод последовательно-одиночного размещен^51
позволяет сводить задачу минимизации функции (VII. 16) к миними"
зации функционала, конструктивно заданного на множестве переега"
новок. Перебор значений функционала можно проводить с помощь10
метода последовательной статистической оптимизации. При эт<?м
после соответствующей рандомизации можно воспользоваться пре"
дельным распределением экстремальных значений для оценки onfH"
мумов в формируемых окрестностях.
В зависимости от конкретной постановки задачи уравновешивай*151
функция цели может отличаться от вида (VII. 16). Естественно, что
иной будет и итерационная формула, реализующая метод последов2*
тельно-одиночного размещения.
В ряде случаев задачи уравновешивания в силу жестких огра#и"
чений могут быть сведены к задачам назначения на фиксирований16
места. Рассмотрим следующую задачу, возникающую при уравно#е"
шивании масс вращающихся частей в турбостроении, авиамоторостр#е"
нии и других отраслях промышленности.
На диске требуется разместить с равным угловым шагом лопаТ#и
таким образом, чтобы суммарный небаланс полученной системы б*?1Л
минимальным. Каждая лопатка характеризуется своим статическ^м
моментом, а диск считается полностью уравновешенным.
Рассмотрим математическую постановку этой задачи. Пусть ищ-
ищется п объектов Su S2, ... , Sn со статическими моментами, р£в"
ными соответственно mlf m2, ... , тп. Функция цели задачи опре"
деляется как квадратный корень из суммы квадратов момент**8
объектов Si относительно двух взаимно перпендикулярных осей [I4»
139]. Если объект S* расположен под углом фА к оси Ох, то от#°"
сительно этой оси объект имеет момент тс coscp^, а относителъ*10
оси у — момент т. sin (pfe.
Пусть объекты располагаются на диске с равным угловым шаг<^м
в порядке {kv k2t .. . , kn). Тогда целевую функцию можно преД~
ставить в виде
где cp^ = 2nki/n.
Таким образом, перестановка символов я = {kly k2> . .. э kn)
значно определяет целевую функцию рассмотренной задачи.
Для решения задачи балансировки разработаны специальн^1е
методы [14, 139]. Так, в статье [14] предложен алгоритм ^е
17 5-1343

Таблица 29
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
11
12
13
14
15
16
mi
0
11
—31
— 3
— 4
—18
42
—14
—30
6
17
22
— 16
—33
—28
17
i
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
28
30
31
32
5
0
— 7
— 2
— 4
17
—53
—38
—30
48
77
11
—14
30
— 14
— 9
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
11
—63
— 4
16
—26
—42
13
9
—26
12
8
—11
48
— 7
—18
7
i
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
mt
13
3
5
— 9
—25
19
3
— 10
3
2
14
— 10
19
— 5
—36
49
i
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
mi
2
22
12
37
7
—24
20
— 9
25
-26
—69
7
5
2
—46
—40
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
mi
—55
— 6
7
0
— 9
—27
— 6
29
61
27
46
19
53
27
-26
—19
щения, основанный на разложении в ряды Фурье. Однако этот
алгоритм эффективен при условии, что распределение статических
моментов отдельных лопаток близко к нормальному. Применение
точных детерминированных методов дискретного программирования
возможно лишь при небольшом числе лопаток (порядка 10—15).
В паротурбостроении размещаемое на диске число лопаток на поря-
порядок выше. Характерной особенностью аналитического вида функции
цели данной задачи является возможность быстрого вычисления ее
с помощью ЭВМ (за сотые — тысячные доли секунды).
Приведем результаты использования метода последовательной ста-
статистической оптимизации при решении следующей практической за-
задачи балансировки.
На идеально сбалансированном диске размещается 96 лопаток,
статические моменты которых (в единицах моментных весов) приве-
приведены в табл. 29. Требуется найти такое размещение, при котором
суммарный небаланс, определяемый формулой (VII. 17), был бы ми-
минимален. Поскольку статические моменты лопаток измеряются с не-
некоторой погрешностью, то нет необходимости искать точное реше-
решение поставленной задачи. Как правило, на практике требуется опре-
определить такой порядок установки лопаток, при котором суммарный
.небаланс не превышал бы единицы моментных весов.
Для решения указанной задачи использовался метод последова-
последовательной статистической оптимизации (алгоритм VI.I) [118, 139, 140].
В качестве критерия перспективности поиска в окрестности выбира-
выбиралась величина вероятности получения улучшений. Выдвигалась гипо-
гипотеза о нормальном распределении значений функционала (VII. 12) при
равновероятном выборе перестановок из окрестностей определенных
радиусов. Проверка соответствия эмпирического и гипотетического
распределений проводилась с помощью критериев Пирсона и Колмо-
254

горова. В пространстве перестановок вводилась евклидовая метрика.
Число испытаний в серии полагалось равным 100.
Поиск прекращен при достижении требуемой точности решения.
Порядок размещения получен следующий: C0, 64, 67, 35, 83, 24,
91, 40, 72, 94, 34, 49, 90, 23, 48, 38, 82, 61, 4, 15, 73, 78, 92,
93, 54, 51, 75, 45, 2, 27, 63, 11, 50, 79, 96, 42, 1, 58, 77, 10, 33, 37,
81, 95, 56, 62, 17, 32, 36, 3, 25, 70, 46, 20, 12, 71, 16, 57, 68,
22, 89, 60, 21, 74, 76, 29, 55, 19, 44, 65, 41, 47, 59, 84, 43, 39,
9, 88, 18, 66, 28, 53, 7, 26, 8, 6, 87, 13, 14, 86, 5, 52, 31, 85,
69, 80). Время счета составило 56 с на ЭВМ БЭСМ-6.
В описанном примере искомое решение найдено непосредственно
при использовании алгоритма VI. 1. Вообще говоря, если решение
по окончании поиска не удовлетворяет требованиям точности, то его
можно взять за опорное и дальнейший поиск продолжить другими
методами оптимизации (например, методом вектора спада). Более
подробные результаты численных экспериментов в задачах баланси-
балансировки рассмотрены в монографии [139].
VII.6. Задачи компоновки узлов
радиоэлектронной аппаратуры
Одним из важнейших этапов технического проектирования
радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) является компоновка элементов
электрических схем по функциональным узлам [80, 111]. Рассмотрим
задачу разбиения схемы РЭА на узлы с учетом их конструктивных
параметров. Необходимо найти такое разбиение, при котором сум-
суммарное число внешних еыводов минимальное. При этом предполага-
предполагаются заданными принципиальная электрическая схема устройства,
а также конструктивные параметры элементов схемы и компонуемых
узлов, которые дают возможность решать вопрос о допустимости
назначения данного набора элементов в данный функциональный узел.
В качестве конструктивных параметров могут фигурировать, напри-
например, площадь или вес размещаемых элементов, количество элемен*
тов, входящих в узел и т. д.
Формальная постановка изложенной задачи компоновки элементов
схемы в узлы состоит в следующем [65, 66, 132].
Имеется множество цепей L = {llt /2, .. . , ld} и множество эле-
элементов схемы Т = {tv /2, ..., tn]. Каждый элемент tt характери-
характеризуется конструктивным параметром а{. Задано множество компонуе-
компонуемых узлов () = {и,, «|, ..., «т}, причем каждому узлу щ соответ-
соответствует значение конструктивного параметра bi и максимально
допустимое число выводов г(. По принципиальной электрической
схеме построим матрицу инцидентности элементов цепям C=||ci7|jt
в которой
, если элемент tt инцидентен цепи U,
, в противном случае.
17" 255

Введем булевы переменные xip I =» 1, 2, ... , я, / = 1, 2, ... , т,
которые характеризуют принадлежность элементов узлам. Положим
v f 1, если элемент tc назначается в узел ип
4 10, в противном случае.
Построим булевы функции yijy характеризующие инцидентность
узлов цепям
уц - entier -±± |. (VII. 18)
1Z
Из формулы (VII. 18) следует, что
e f 1, если узел uf инцидентен цепи li%
if @, в противном случае.
Количество st узлов, инцидентных цепи /t-, можно определить
по формуле
Si-jS^*/. (VH.19)
Цепи, для которых st* ** I, назовем внутренними, так как при этом
все элементы, инцидентные этой цепи, скомпонованы в один узел.
Цепи, для которых st>l, назовем внешними.
Количество узлов Q{, в которые включены элементы, инцидент-
инцидентные внешней цепи с номером i9 определяется по формуле
*, = s,- entier^). (VII.20)
Легко видеть, что qt = s{ для внешних цепей и qc = 0 для внутрен-
внутренних цепей.
Из соотношений (VII. 18)—(VII.20) следует, что величины q( одно-
однозначно определяются выбором булевых переменных %. Необходимо
найти такое разбиение, при котором суммарное число внешних еыво-
дов F будет минимально. Решение сводится к следующей задаче
минимизации:
d
F= min 2 qk, (VII.21)
где функции qk выражаются через переменные Xij посредством соот-
соотношений (VII. 18)—(VII.20), а область допустимых решений G опре-
определяется системой
Е ХцакЪь /=1, 2, ..., m, (VII.22)
V) *„«1, /= 1, 2, ... , л, (VII.23)
25&

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
1
2
11
2
И
49
50
51
52
б
13
47
48
8
58
64
28
65
16
11
20
24
19
80
85
41
82
25
92
93
29
102
33
85
110
109
36
111
2
2
11
47
48
49
50
51
52
53
54
47
48
57
8
64
15
66
16
18
72
17
74
80
85
42
84
70
92
95
30
102
105
106
110
111
112
111
3
3
12
3
12
63
66
5
13
53
52
47
48
7
62
65
15
64
72
72
17
118
23
82
85
92
93
92
31
103
85
34
112
36
36
4
4
4
3
12
63
66
4
4
51
52
53
54
4
4
4
69
65
16
72
74
21
118
81
40
43
85
95
26
92
27
104
107
35
113
114
116
119
5
4
4
2
11
63
66
4
4
51
13
53
54
4
4
4
69
65
16
17
74
21
118
81
40
43
82
95
26
93
27
104
107
108
116
114
116
119
6
4
4
1
10
65
67
4
4
6
14
59
54
4
4
4
68
64
71
75
73
77
38
22
40
86
83
98
26
94
101
85
108
109
117
ИЗ
115
37
7
8
47
48
49
50
57
58
53
54
55
56
60
62
63
64
66
99
70
88
78
74
21
37
87
84
91
89
97
95
96
102
105
107
110
118
114
116
9
4
10
1
10
55
56
6
14
6
14
59
61
59
9
68
97
68
44
75
73
7
117
84
83
90
83
96
94
94
27
32
108
35
ИЗ
ИЗ
115
10
3
12
47
48
55
56
5
14
53
54
59
61
9
61
65
97
66
44
76
73
7
117
86
82
90
84
96
93
95
27
32
108
90
115
113
115
Табл 1
И
55
56
24
117
90
86
100
101
111
119
12
57
52
71
45
79
76
86
46
99
31
109
114
я ца
13
1
10
47
48
49
50
6
14
53
54
53
54
60
7
68
28
66
45
79
20
24
77
89
83
43
84
99
94
95
29
109
33
35
115
36
37
30
14
d —
entier
i+Уц
(VII.24)
Неравенства (VII.22) задают область допустимых значений конст-
конструктивных параметров. Ограничения (VII.23) являются условиями
принадлежности каждого элемента узлу. Неравенства (VI 1.24) опи-
описывают ограничения на допустимое число внешних выводов каждого
узла.
Задача (VII.21)—(VH.24) является задачей целочисленного про-
программирования. Общее число вариантов компоновок без учета огра-
ограничений равно 2тп. Учет ограничений (VI 1.23) уменьшает число
257

вариантов до тп. Ясно, что для имеющих место на практике значе-
значений пит использование полного перебора и известных точных
методов решения невозможно.
В настоящее время задачи компоновки чаще всего решаются при-
приближенными детерминированными методами, в частности последова-
последовательными и итерационными алгоритмами [80, 111]. Для решения
некоторых задач компоновки, как указано в [80], целесообразно
использовать методы случайного поиска.
Применим для решения описанной задачи метод последовательной
статистической оптимизации (алгоритм VI.2). Нетрудно видеть, что
перестановка символов {klf ft2, ... , kn] однозначно определяет набор
булевых переменных Xij. Поэтому задачу (VI 1.21)—(VI 1.23) можно
свести к минимизации функционала, конструктивно заданного на
множестве перестановок.
Введем на множестве перестановок евклидову метрику. Параметр N
в алгоритме VI.2 примем равным 20, а М= 1.
Для иллюстрации рассмотрим тестовую задачу компоновки, при-
приведенную в монографии [80]. Требуется разбить схему, состоящую
из 37 элементов на 4 узла таким образом, чтобы число выводов
каждого узла не превышало 15. Количество элементов в узлах соот-
соответственно равно 9, 9, 9, 10. Схема задается матрицей, приведен-
приведенной в табл. 30.
Получим следующий вариант компоновки: {1, 3, 15, 16, 17, 18,
27, 28, 29}, {23, 24, 25, 26, 30, 31, 32, 33, 35}, B, 4, 19, 20, 21,
22, 34, 36, 37}, {5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14}. Общее число
связей между узлами после компоновки равно 29. Результат получен
методом последовательной статистической оптимизации (алгоритм VI.2)
за 620 испытаний. Время решения на ЕС 1022 составило около 5 мин.
Для сравнения укажем, что использование метода Монте-Карло за
1500 испытаний позволило получить результат, равный 51. Резуль-
Результаты работы последовательного и итерационного алгоритмов, приве-
приведенные в работе [80], соответственно 60 и 46.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрайтис Л. Б., Шейнаускас Р. И., Жилевичус В. А. Автоматизация проек-
проектирования ЭВМ.— М.: Сов. радио, 1978.—272 с.
2. Автоматизация конструирования больших интегральных микросхем / А. И. Пет-
Петренко, П. П. Сыпчук, А. Я. Тетельбаум и др.— Киев : В ища шк., 1983.—
312 с.
3. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.— М.:
Наука, 1977.—367 с.
4. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии.— М.: Наука, 1968.—
912 с.
Б. Антамошкин А. Н., Сараев В. Н. Оптимизация функционалов с булевыми
переменными : (Обзор).— Теория оптим. решений, 1981, вып. 7, с. 3—10.
6. Архипова Т. Т., Рощин В. А., Сергиенко И. В. Применение метода вектора
спада для решения некоторых задач организации вычислительного процес-
процесса в системах коллективного пользования ЭВМ.— Кибернетика, 1975, № 2,
с. 124—128.
7. Архипова Т. Т., Сергиенко И. В. Об условиях совпадения локального и гло-
глобального экстремумов в задачах оптимизации.— Там же, № 1, с. 113—115.
8. Базилевич Р. П. Декомпозиционные и топологические методы автоматизи-
автоматизированного конструирования электронных устройств.— Львов : Вища шк.,
1981.-168 с.
9. Батищев Д. И. Поисковые методы оптимального конструирования.— М.: Сов.
радио, 1975.—216 с.
10. Бейко И. В., Бублик Б. Н., Зинько П. Н. Методы и алгоритмы решения за-
задач оптимизации.— Киев : Вища шк., 1983.— 512 с.
11. Беленькая Л. А., Склепус В. А., Стоян Ю. Г. и др. Использование /^-функций
в задаче рационального распределения ресурсов.— Приборы и системы авто-
автоматики, 1971, вып. 15, с. 34—40.
12. Беллман Р. Динамическое программирование.— М.: Изд-во иностр. лит.,
1960.-400 с.
13. Белякова Л. Б. Об оптимальном раскрое листового металла.— В кн.: Авто-
Автоматизация технол. проектирования при помощи ЭВМ. М., 1966, с. 105—115.
14. Болотников А. А. О наилучшем уравновешивании диска с размещенными на
его периферии массами.— Пробл. машиностроения, 1978, вып. 6, с. 68—74.
15. Болтянский В. Г., Солтан П. С. Комбинаторная геометрия различных классов
выпуклых множеств.— Кишинев: Штиинца, 1978.— 278 с.
16. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.— М.: Мир, 1968.— 324 с.
17. Васильев Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных задач.— М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1974.— 374 с.
18. Виленкин Н. Я. Комбинаторика.— М.: Наука, 1969.— 328 с.
19. Волкович В. Л., Волошин А. Ф. Об одной общей схеме последовательного
анализа и отсеивания вариантов.— Кибернетика, 1978, № 4, с. 98—105.
20. Вычислительные методы выбора оптимальных проектных решений / В. С. Ми-
халевич, Н. 3. Шор, Л. А. Галустова и др.-—Киев : Наук, думка, 1977.—178 с.
21. Гаврилов В. Н. Реализация проектных требований в задаче оптимальной
компоновки приборного отсека.— В кн.: Автоматизация проектирования авиа-
авиационных конструкций. Куйбышев, 1979, с. 95—99.

22. Гене Г. В., Левнер Е. В. Эффективные приближенные алгоритмы для ком-
комбинаторных задач.—М., 1981.—66 с—(Препринт / АН СССР. ЦЭМИ).
23. Гиль Н. #., Ещенко В. Г. Решение одной задачи раскроя ткани с помощью
ЭВМ.—Харьков, 1977.—9 с—(Препринт / АН УССР. Ин-т нробл. машино-
машиностроения; № 64).
24. Гиль Н. И., Ещенко В. Г. Способ построения годографа вектор-функции плот-
плотного размещения для одного класса геометрических объектов.— Харьков,
1977.—11 с—(Препринт/АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения; № 63).
25. Пль М. /., Стоян /О. Г. Функщя аильного розмицення та П особливосп.—•
Доп. АН УССР. Сер. А, 1973, № 4, с. 350—353.
26. Голенко Д. И. Статические модели в управлении производством.— М.: Ста-
Статистика, 1973.—368 с.
27. Гуляницкий Л. Ф. К вопросу о размещении компонентов ЭВМ.— В кн.: Во-
Вопросы приближенного решения некоторых оптимизационных задач. Киев 5
Ин-т кибернетики АН УССР, 1977, с. 20—27.
28. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений.— М.: Мир, 1965.— 450 с.
29. Гутер Г. С. Оптимизация методом частичного улучшения по группам пере-
переменных.— В кн.: Математические методы решения экономических задач. M.f
1969, с. 21—38.
30. Дейвид Г. Порядковые статистики.—М.: Наука, 1979.—336 с.
31. Демидовш Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М. з
Наука, 1966.—664 с.
32. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация.— М. з
Наука, 1981.—384 с.
33. Емелинев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, опти-
оптимизация.— М.: Наука, 1981.— 344 с.
34. Емец О. А. Общий перестановочный многогранник и некоторые его свойства.—
Полтава, 1983.—20 с—Рукопись деп. в* УкрНИИТИ, 28.06.83, № 616 Ук.-
83 Деп.
35. Емец О. А. Оптимизация на перестановках: методы с погружением некото-
некоторых задач.—Полтава, 1983.—18 с—Рукопись деп. в УкрНИИТИ, 03.08.84.
№ 1359 Ук.-84 Деп.
36. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.—М.: Наука, 1975.—
471 с.
37. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования.— М,: Наука,
1976.—240 с.
38. Ещенко В. Г., Соколовский В. 3., Яковлев С. В. Решение одной многоэкстре-
малькой задачи математического программирования со сложной системой
ограничений.— В кн.: Численные методы нелинейного программирования, M.t
1979, с. 83—85.
39. Жак С. В., Зинченко А. Б., Котельников Ю. С, Рафалович И. И. Выбор не-
некоторых архитектурно-планировочных решений с помощью ЭВМ.—В кн.!
Совершенствование пром. зданий и их конструкций на хим. предприятиях.
Ростов н/Д, 1971, с. 178—190.
40. Жиглявский А. А. Исследование вероятностных методов глобальной опти-
оптимизации : Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.— Л., 1980.— 16 с.
41. Жиглявский А. А., Ермаков С. М. О случайном поиске глобального экстре-
экстремума.—Теория вероятностей и ее применения, 1983, 28, № 1, с. 129—134.
42. Жиглявский А. А., Терентьева М. В. Статистические методы в глобальном
случайном поиске.— Весн. ЛГУ. Сер. Математика, механика, астрономия,
1985, № 15, с. 49—51.
43. Журавлев Ю. И. Локальные алгоритмы вычисления информации.— Киберне-
Кибернетика, 1965, № 1, с. 12—19, 1966, JSfe 2, с. 5—11.
44. Журавлев Ю. И. Экстремальные алгоритмы в математических моделях для
задач распознавания и классификации.—Докл. АН СССР, 1976, 231, № 3,
с. 532—534.
45. Залгаллер В. А. Об одном необходимом признаке плотнейшего расположен
ния фигур.— Успехи мат. наук, 1953, № 8, с. 4—12.
46. Канторович Л. В., Залгаллер В. А. Расчет рационального раскроя промыш-
промышленных материалов.— Л.: Лениздат, 1951.— 199 с.
47. Канторович Л, В., Залгаллер В, Л. Рациональный раскрой промышленных
260

материалов.—2-е изд., перераб. и доп.—Новосибирск : Наука, 1971.— 299 с.
48. Каспшицька М. Ф., Кравець В. Л., Серггенко I. £. Про формал!защю i метод-
розв'язування одного класу задач автоматизацп i проектування ЕОМ.—
Доп. АН УРСР. Сер. А, 1978, № 9, с. 841—845.
49. Каспшицкая М. Ф., Сергиенко И, В, Метод вектора спада в применении к-
выпуклым дискретным функциям.— Кибернетика, 1971, № 6, с. 107—108.
60. Келли Дж. Л. Общая топология.-—М.: Наука, 1981.—-432 с.
61. Киселев Я. И., Сидоров Я. М., Статистическая оценка глобального экстре-
экстремума.— Автоматика и вычисл. техн., 1974, № 4, с. 45—49.
Б2. Ковалев М. М„ Горуновж С. А. Перестановочные полиматрицы.—Весщ
АН БССР. Сер. физ.-мат, 1980, № 6, с. 9—14.
63. Ковалев М. М., Исаченко А. Я., Нгуен Нгиа. Линеаризация комбинаторных
задач оптимизации.—Докл. АН БССР, 1978, 22, № 10, с. 869-872.
64. Коган Б. М. Решение задач нелинейного программирования на цифровых вы-
вычислительных машинах.— В кн.: Применение вычислительной техники для
автоматизации производства. М., 1961, с. 140—164.
55. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональ-
функционального анализа.— М.: Наука, 1968.— 496 с.
66. Корбут А. А., Сигал И. X., Финкелыитейн Ю. Ю. Метод ветвей и границ
(обзор теории, алгоритмов, программ и приложений).— Math. Operationsforsch.
und Statist., 1977, 8, № 2, с. 253—280.
57. Корбут А. А., Финкелыитейн Ю. Ю. Дискретное программирование.— М.:
Наука, 1969.—368 с.
68. Корниенко Я. М„ Матвеев Г. В., Метельский Я. Я. и др. О разбиениях мно-
многоугольников.—Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1978, № 2, с. 25—29.
69. Кравец В. Л. Отыскание допустимого решения одной задачи покрытия.—
В кн.: Вопросы приближенного решения некоторых оптимизационных задач.
Киев : Ин-т кибернетики АН УССР, 1977, с. 39—45.
60. Кравец В. Л. Каспшицкая М. Ф. О формализации одного класса задач
покрытия и методы их решения.— В кн.: Вопросы автоматизации и про-
проектирования интегральных схем. Киев : Ин-т кибернетики АН УССР, 1978,.
с. 77-87.
61. Крамер Г. Математические методы статистики.— 2-е изд., стереотип.— М. г
Мир, 1975.—648 с.
62. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов.— М.: Мир, 1967.— 348 с.
63. Кузнецов В. Г. Метод исключения неизвестных в теории линейных нера-
неравенств.— Изв. вузов. Математика, 1962, № 4, с. 87—92-
64. Курош Д. Г. Лекции по общей алгебре.—М.: Наука, 1976.—399 с.
65. Кухаренок М. А. Методы и алгоритмы оптимизации решения комплексной
задачи проектирования РЭА: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Харьков»
1984.-24 с.
66. Кухаренок М. Л. Совместное решение задач размещения элементов и внешних
контактных площадок при проектировании ЦВА.— В кн.: Прикладные методы,
кибернетики. Киев : Ин-т кибернетики, 1984, с. 59—63.
67. Лебедева Т. Т., Сергиенко И. В., Солтан В. Я. К вопросу об условиях сов-
совпадения локального и глобального экстремумов в задачах дискретной опти-
оптимизации.—Кибернетика, 1984, № 5, с. 58—65.
68. Линейное и нелинейное программирование / Под общ. ред. И. Н. Ляшенко.—
Киев : Вища шк., 1975.—372 с.
69. Литвинов В. Н., Новиков Я. Д., Стоян Ю. Г. Компоновка генеральных пла-
планов с помощью математических моделей и ЭВМ.—Изв. АН СССР: Техн. ки-
кибернетика, 1979, № 4, с. 180—187.
70. Магас С. Л., Методы решения экстремальных задач размещения многоуголь-
многоугольных геометрических объектов в полосе: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат.
наук.—М., 1984.—20 с.
71. Магас С. Л. О решении задачи размещения многоугольников в полосе мето-
методом ветвей и границ.—Харьков, 1983.—12 с—Рукопись деп. в ВИНИТИ,,
27.01.83, № 287-83 Деп.
72. Магас С. Л. Об одном способе ортогонального проектирования многогранни-
многогранников.—Харьков, 1981,-11 с—Рукопись деп. в ВИНИТИ. 04.08.81. Кг 4308*
81 Деп,
261

73. Магас С. Л. Об оптимальном раскрое полосы прямоугольными заготовками.—
В кн.: Вычислительная математика в современном научно-техническом про-
прогрессе: Тез. докл. III респ. конф. (Канев, 14—16 сент. 1982 г.). Киев, Ин-т
кибернетики АН УССР, 1982, с. 92—93.
74. Магас С. Л. Определение и свойства структур линейных неравенств.— Авто-
Автоматизации проектирования в машиностроении, 1983, вып. 3, с. 5—11.
75. Магас С. Л. Построение условий взаимных непересечений многогранников
с использованием ортогонального проецирования.— Автоматизация технол.
процессов, 1982, вып. 1, с. 143—154.
76. Магас С. Л., Стоян Ю. Г. Опыт применения метода ветвей и границ для ре-
решения задач оптимального раскроя материала на многоугольные заготовки.—•
В кн.: Автоматизация поискового конструирования и подготовки инженерных
кадров: Тез. док. III Всесоюз. конф. Иваново, 1983, с. 32—34.
77. Макаров И. М., Радашевш Ю. Б., Сидоров И. М. Об одном способе постро-
построения правил остановки алгоритмов оптимизации.— Докл. АН СССР, 1979,
256, № 3, с. 536—539.
78. Математическая теория планирования эксперимента /Под ред. С. М. Ермако-
Ермакова.—М. : Наука, 1983.—392 с.
79. Метельский Н. Н. Метод вычисления расстояний между множествами точек
на плоскости.— Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1985. № 3.
80. Методы разбиения схем РЭА на конструктивно законченные части/Под ред.
К. К. Морозова.—М.: Сов. радио, 1978.— 132 с.
$1. Минаков Н. П. Решение компоновочных задач в автоматизированном про-
проектировании.—Пром. стр-во, 1973, № 4, с. 17—19.
€2. Михалевич В. С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их примене-
применение.—Кибернетика, 1965, № 1, с. 45—56; № 2, с. 85—88.
83. Михалевич В. С, Волкович В. С. Вычислительные методы исследования и
проектирования сложных систем.— М.: Наука, 1982.— 286 с.
84. Михалевич В. С, Кукса А. И. Методы последовательной оптимизации в ди-
дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов.— М. j
Наука, 1983.—208 с.
85. Михалевич В. С, Шор Н. 3. Метод последовательного анализа вариантов при
решении вариационных задач управления, планирования и проектирования.—
Докл. IV Всесоюз. мат. съезда, Л., 1961, с. 91.
#6. Михалевич В. С, Шор. И. 3. Численное решение многовариантных задач по
методу последовательного анализа вариантов.— Научно-методические мате-
материалы экономико-математического семинара,— М.: Л ЭМИ АН СССР, 1962,
вып. 1, с. 15—42.
87. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. #., Столярова Е. М. Методы оптимизации.—
М. .-Наука, 1978.—352 с.
88. Мойжес Ю. Л. Геометрические основы рационального раскроя полосового
и листового металла.— М.: Машиностроение, 1966.— 108 с.
$9. Морозов К К., Одинокое В. Г. Использование ЭЦВМ при конструирова-
конструировании некоторых узлов радиоэлектронной аппаратуры.— М.: Сов. радио, 1972.—
104 с.
90. Моцкус И. Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании (Статистические
решения. Усиление локальных методов. Эвристические способности челове-
человека).— м.: Наука, 1967.—215 с.
D1. Мухачева Э. А. Алгоритм решения задачи рационального раскроя прямо-
прямоугольных листов на прямоугольные заготовки.— Мат. методы решения экон.
задач, 1969, № 1, с. 5—11.
D2. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вло-
вложения.—М. : Наука, 1969.-490 с.
U3. Плужников Л. Н., Андреев В. О., Клименко Э. С. Применение метода слу-
случайного поиска при промышленном проектировании.—Изв. АН СССР. Техн.
кибернетика, 1971, № 2, с. 26—33.
94. Плужников Л. И., Клименко Э. С, Ушакова Т. И. Метод поиска мест взаим-
взаимного расположения группы объектов на примере компоновки схемы генпла-
генплана промышленого узла («Компоновка 2-70»), М., 1972.— 78 с.
95. Погорелое А. В. Дифференциальная геометрия.—5-е изд.—М.: Наука, 1969.-е
158 с.
262

96. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей : Основ, понятия, пре-
предел, теоремы, случайн. процессы.— М.: Наука, 1973.— 496 с.
97. Путятин В. П., Соколовская Е. Г. Применение методов дискретной оптими-
оптимизации к решению задачи назначения источников физического поля.— В кн.:
Прикладные методы математики и кибернетики. Киев: Ин-т кибернетики
АН УССР, 1983, с. 28—36.
98. Путятин В. П., Соколовская Е. Г. Минимаксная задача назначения источни-
источников физического поля на фиксированные места.— В кн.: Вычислительные ме-
методы кибернетики. Киев : Ин-т кибернетики АН УССР, 1982, с. 14—23.
99. Пшеничный Б. Н„ Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных за-
задачах.—М.: Наука, 1975.—319 с.
100. Радашевич Ю. Б., Сидоров И. М. Статистический метод оценки значений
оптимума при приближенном решении задач целочисленного линейного про-
программирования.—Автоматика и вычисл. техника, 1979, № 6, с. 37—43.
101. Растригин Л. А. Системы экстремального управления.— М.: Наука, 1974.—
630 с.
102. Рафалович Н. И., Ренжиглова И. А. Разработка схем генеральных планов
промышленных предприятий с применением ЭВМ.— Орг., методы и техно-
технология проектирования, 1977, вып. 9, с. 29—34.
103. Рафалович Н. И., Шаумян Н. Л., Салтыкова Л. Н. Разработка оптимальных
объемно-планировочных решений многоэтажных промышленных зданий.—
Там же, вып. 6, с. 37—44.
104. Рвачев В. Л. Геометрические приложения алгебры логики.— Киев : Техшка,
1967.—212 с.
105. Рвачев В. Л. Об аналитическом описании некоторых геометрических объек-
объектов.—Докл. АН УССР, 1963, 153, № 4, с. 765—767.
106. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения.— Киев: Наук,
думка, 1982.—550 с.
107. Роджерс К. А. Укладки и покрытия.— М.: Мир, 1968.— 134 с.
108. Романовский И. В. Решение задачи гильотинного раскроя методом перера-
переработки списка состояний.— Кибернетика, 1969, № 1, с. 102—103.
109. Рясная И. И. Решение методом вектора спада одной задачи разбиения сис-
системы объектов.— В кн.: Математическое обеспечение пакетов прикладных
программ и методы дискретной оптимизации. Киев: Ин-т кибернетики
АН УССР, 1984, с. 43—47.
ПО. Сачков В. Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики.—
М.: Наука, 1982.—384 с.
111. Селютин В. А. Машинное конструирование электронных устройств.— М.:
Сов. радио, 1977.—383 с.
112. Сергиенко И. В. Математические модели и методы решения задач дискретной
оптимизации.— Киев : Наук, думка, 1985.— 384 с.
113. Серггенко I. В. Один метод розв'язування задач на в1дшукання екстремаль-
них значень.— Автоматика, 1964, № 5, с. 15—21.
114. Сергиенко И. В., Каспшицкая М. Ф. Модели и методы решения на ЭВМ ком-
комбинаторных задач оптимизации.— Киев : Наук думка, 1981.— 287 с.
115. Сергиенко И. В., Лебедева Т. Т., Рощин В. А. Приближенные методы реше-
решения дискретных задач оптимизации.— Киев : Наук, думка, 1980.— 276 с.
116. Соколовский В. 3., Яковлев С. В. Об одной модификации метода сужающих-
сужающихся окрестностей.—Харьков, 1979.— 16 с— (Препринт АН УССР/Ии-т пробл.
машиностроения; № 134). \
117. Соколовский В. 3., Яковлев С. В. Размещение разногабаритных модулей
методом сужающихся окрестностей.— Вычисл. техника, 1979, 9, с. 87—89.
118. Соколовский В. 3., Яковлев С. В. Решение некоторых задач балансировки
методом сужающихся окрестностей.— Харьков, 1979.— 11 с.— (Препринт
АН УССР/Ин-т пробл. машиностроения ; 133).
119. Солтан В. П. О разбиении плоского множества на конечное число выпуклых
, частей.—Кибернетика, 1984, № 6, с. 70—74.
120. Стоян Ю. Г. Автоматизащя об'емно-планувального проектування в машино-
будуваннк— Bich. АН УРСР, 1979, № 3, с 46—52.
121. Стоян Ю. Г, Некоторые свойства специальных комбинаторных множеств.—
263

Харьков, 1980.—22 с—(Препринт АН УССР/Ин-т пробл. машинострое-
машиностроения; 85).
122. Стоян Ю. Г. Об одном обобщении функции плотного размещения.— Докл,
АН УССР. Сер. А, 1980, № 8, с. 71—74.
. 123. Стоян Ю. Г. Об одном отображении комбинаторных множеств в евклидово
пространство.—Харьков, 1982.—33 с—(Препринт АН УССР/Ин-т пробл.
машиностроения; 173).
124. Стоян Ю. Г. Основная задача геометрического проектирования.— Харьков,
1983.—36 с—(Препринт/ АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения ;№ 181).
125. Стоян Ю. Г. Размещение геометрических объектов.— Киев : Наук, думка,
1975.—239 с.
126. Стоян Ю. Г. Пространства геометрических информации.— Харьков, 1985.—»
68 с.— (Препринт АН УССР / Ин-т проблем машиностроения; 223).
127. Стоян Ю. Г., Винарский В. Я. Алгебро-топологические свойства (р-объектов.—-»
Харьков, 1981.— 34 с.— (Препринт/АН УССР. Ин-т пробл. машинострое-
машиностроения ;№ 166).
128. Стоян Ю. Г., Гиль Н. И. Методы и алгоритмы размещения плоских геоме-
геометрических объектов.— Киев: Наук, думка, 1976.— 247 с.
129. Стоян Ю. Г., Емец О. А. О комбинаторных задачах размещения прямоуголь-
прямоугольников.— Экономика и мат. методы, 1985, № 5, с. 64—69.
130. Стоян Ю. Г., Емец О. А, Об оптимизации на перестановках с использованием
больших задач линейного программирования: модели, способы и алгоритмы.—
В кн.: Системы программного обеспечения решения задач оптимального пла-
планирования : Крат. тез. докл. VII Всесоюз. симпоз. (Нарва-Иыэссуу, 16—24 апр.
1982 г.). М.: ЦЭМИ АН СССР, 1982, с. 100.
131. Стоян Ю. Г., Кулиш Е. Н. Автоматизация проектирования компоновки обо-
оборудования летательных аппаратов.— М.: Машиностроение, 1984.— 192 с.
132. Стоян Ю. Г., Кухаренок М. А. Обобщенный подход к задачам компоновки
и размещения при проектировании РЭА.— В кн.: Вычислительная техника,
Каунас, 1982, с. 54—55.
133. Стоян Ю. Г., Панасенко А. А. Периодическое размещение геометрических
объектов.— Киев : Наук, думка, 1978.—1176 с.
134. Стоян Ю. Г., Пономаренко Л. Д. Рациональное размещение геометрических
тел в задачах автоматизации проектирования.— Изв. АН СССР. Техн. кибер-
кибернетика, 1978, № 1, с. 39—47.
135. Стоян Ю. Г., Пономаренко Л. Д. Сума Мшковського та годограф вектор-
функцп пильного розмпцення.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1977, № 10, с. 887—
889.
136. Стоян /0. Г., Пономаренко Л. Д., Винарский В. Я. Основные свойства и ме-
методы построения Ф-функций.— Харьков, 1984.— 28 с.— (Препринт / АН УССР.
Ин-т пробл. машиностроения ; № 193).
137. Стоян Ю. Г., Путятин В. П. Размещение источников физических полей.—
Киев : Наук, думка, 1981.— 185 с.
138. Стоян Ю. Г., Путятин В. П., Соколовская Е, Г. Численное исследование за-
задачи назначения источников физического поля.— Харьков, 1984.— 41 с—
(Препринт/АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения ;№ 205).
139. Стоян Ю. Г., Соколовский В. 3. Решение некоторых многоэкстремальных
задач методом сужающихся окрестностей.— Киев : Наук, думка, 1980.—205 с.
140. Стоян Ю. Г., Соколовский В. 3„ Яковлев С. В. Метод уравновешивания
вращающихся дискретно распределенных масс.— Энергомашиностроение,
1982, № 2, с. 4—5.
141. Стоян Ю. Г., Туранов Н. Т. Алгоритм размещения плоских фигур с наимень-
наименьшей длиной связывающей сети.— Упр. системы, 1970, вып. 4/5, с. 97—107.
142. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Исследование сходимости и эффективности ме-
метода сужающихся окрестностей.— Харьков, 1981.— 43 с.— (Препринт/
АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения ;№ 168).
143. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. О поиске допустимых решений в геометрических
задачах о покрытии.— В кн.: Методы решения нелинейных уравнений и задач
оптимизации. Тез. докл. III симпоз. (Таллин, 31 янв.— 3 февр, 1984 г.). Тал-
Таллин: Валгус, 1984, с. 161—162,
264

144. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Статистические методы последовательного ана-
анализа вариантов.— Стохастическая оптимизация. Междунар конф Тез докл •
в 2-х ч. (Киев, 9—16 сент. 1984 г.).— Киев: ИК АН УССР, 1984 — Ч. if,
с. 93—95.
145. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В., Кухаренок М. А. Дискретная оптимизация в
задачах большой размерности.—В кн.: Статистический анализ нечисловой ин-
информации, экспертные оценки и дискретная оптимизация. М., 1981, с. 214—
215.
146. Стронгин Р. Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах: (Информ.-
стат. алгоритмы).—М.: Наука, 1978.—240 с.
147. Сушков Ю. А. Об одном способе организации случайного поиска.— Исслед.
операций и стат. моделирование, 1972, вып. 1, с. 180—186.
148. Теория и методы автоматизации проектирования вычислительных систем/
Под ред. М. Брейера.—М.: Мир, 1977.—388 с.
149. Тихомиров В. А. Об автоматизации компоновки авиационного оборудова-
оборудования.— Управляющие системы и машины, 1980, № 2, с. 126—128.
150. Уилкс С. Математическая статистика.—М.: Наука, 1967.-632 с.
151. Финкельштейн Ю. Ю. Приближенные методы и прикладные задачи дискрет-
дискретного программирования.— М.: Наука, 1976.— 264 с.
152. Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гунтмахер В. Л. Гомотопическая топология.—
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969.—459 с.
153. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии.—>
М.: Наука, 1966.—416 с.
154. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям.—
М.: Статистика, 1980.— 95 с.
155. Хачатуров В. Р. Аппроксимационно-комбинаторный метод и некоторые его
приложения.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1974, 14, JNfe 6,
с. 1464—1487.
156. Хачиян Л. Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании.—
Докл. АН СССР, 1979, 244, № 5, с 1093—1096.
157. Ходзинский А. Н. Некоторые методы решения оптимизационных задач ком-
комбинаторного типа и их исследование: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.—
Киев, 1984.-22 с.
158. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом Н. М. Геометрические оценки и за-
задачи комбинаторной геометрии.— М.: Наука, 1974.— 383 с.
Л59. Шор Н. 3. Методы минимизации недифференцируемых функций и их при-
применение.— Киев : Наук, думка, 1979.— 200 с.
160. Щербина О А. О локальных алгоритмах решения квазиблочных задач ди-
дискретного программирования.— Проблемы кибернетики, 1983, вып. 40, с. 171—
200.
161. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику.— М.: Наука, 1979.—
272 с.
162. Яковлев С. В. Использование рандомизации для статистической оценки опти-
оптимума.— В кн.: Применение случайного поиска при решении прикладных за-
задач. Кемерово, 1982, с. 33—35.
163. Яковлев С. В. Методы и алгоритмы решения оптимизационных задач геоме-
геометрического проектирования: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Киев,
1982.—20 с
164. Яковлев С. В. Модели и методы дискретной оптимизации в геометрических
задачах размещения и покрытия.— В кн.: Республиканский семинар по ди-
дискретной оптимизации: Тез. докл. (Ужгород, 28—30 мая 1985\ г.). Киев:
Ин-т кибернетики АН УССР, 1985, с. 137—138.
165. Яковлев С. В. О некоторых схемах поисковой оптимизации.— Автоматизи-
Автоматизированные системы управления и приборы автоматики, 1985, вып. 75, с. 9—14.
166. Яковлев С. В. Об использовании математического ожидания экстремальных
значений при решении задач САПР.— Автоматизированные системы управ-
управления и приборы автоматики, 1980, вып. 53, с. 57—61.
167. Яковлев С. В. Об одном классе функций и его применении при формализа-
формализации задач геометрического проектирования.— В кн.: Математические методы
в проектировании. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1985, с, 36—40,
265

168. Яковлев С. В. Программное обеспечение для решения одного класса задач
покрытия.— В кн.: Системы программного обеспечения решения задач опти-
оптимального планирования: Крат. тез. докл. VIII Всесоюз. симпоз. (Нарва-
Иыэссуу, 6—14 апр. 1984 г.). М., 1984, с. 137—138.
169. Яковлев С. В. Стохастический алгоритм оптимизации для решения одного
класса многоэкстремальных задач.— Теория оптимал. решений, 1981, вып. 7,
с. 49—58.
170. Яковлев С. В., Герасин С. Н. Метод минимизации класса булевых функций
с учетом предикатных ограничений.— Проблемы бионики, 1985, вып. 35, с. 59-*
65.
171. Bowman V. I. Permutation polyhedra.—SIAM J. Appl. Math., 1972, 22, N 4,
p. 580—589.
172. Brown D. J. An improved BL lower found. — Inform. Proa Lett., 1980, 11»
N 1, p. 37-39.
173. Burkard R. £., Stratmann К Н. Numerical investigations on quadratic as-
assignment problem.—Nav. Res. Log. Quart., 1978, 25, N 1, p. 129—148.
174. Cooke P. Optimal linear estimation of bounds of random variables.— Biomet-
rika, 1980, 67, p. 257—258.
175. Cooke P. Statistical inference for bounds of random variables. — Ibid., 1979,
66, p. 367—374.
176. Glough D. J. An asymptotic extreme value sampling theory for extimation
of a global maximum.—Can. Oper. Res. Soc. J., 1969, 7, p. 105—115.
177. Hall P. On estimating the endpoint of a distribution. — Ann. Statist, 1972,
10, N 2, p. 556—569.
178. Hartley H. O., Plaftenberger P, Statistical control of optimization. — In j
Optimizing methods in statistics. New York: Acad. press, 1971, p. 281—300.
179. McRoberts K. L. Search model from evaluating combinatorially explosive
problems.—Oper. Res., 1971, 19, N 6, p. 25—30.
180. Nagaraja H. N. On the non-Markovian structure of discteate order statis-
statistics.-J. Statist Plann. and Inferen., 1982,7, N 1, p. 29-33.
181. Petersohn U.t Voss K., Weber К. Н. Jenetishe Adaptationein stochastisches
Suchverfahren fur diskrete optimurungs probleme. — Math. Operationsforchu
und Statist., 1974, 5, H. 7/8, S. 551—571.
182. Sleator D. 2,5 times optimal algorithm for packing in two dimentions.—
Informs Proc. Lett., 1980, 10, N 1, p. 37—40.
183. Stoyan Yu. G. Mathematical methods for geometric design.— In: Advances in
CAD/CAM : Proc. PROLAMAT 82 (Leningrad, USSR, 16—18 May 1982).
Amsterdam etc., 1983, p. 67—86.
184. Watt P. V. D. A note on estimations of bounds of random variables. — Bio-
metrika, 1980, 67, p. 712—714.
185. Weissman J. On a shape estimator of Weiss,—Nav. Res. Log. Quart., 1981,
28, N 4, p. 603—605.

Юрий Григорьевич Стоян
Сергей Всеволодович Яковлев
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Утверждено к печати ученым советом
Института проблем машиностроения АН УССР
Редактор
Б. В Хитровская
Художественный редактор
И. П. Антонюк
Технический редактор
Б. М. Кричевская
Корректоры
Л. Г. Бузиашвили,
Л. Н. Лембак
МБ № 7884
Сдано в набор 20.08.85. Подп. в печ. 24.03.86. БФ 00164. Формат 60x90/^
Бум. тип. № 1. Лит. гарн. Вые. печ. Усл. печ. л. 16,75. Усл. кр.-отт, 16,75*
Уч.-изд. л. 19,98. Тираж 2100 экз. Зак. № 5-1343. Цена 3 р. 30 к.
Издательство «Наукова думкаэ. 252601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Отпечатано с матриц книжной фабрики им. М. В. Фрунзе
310057. Харьков 57, ул. Донец-Захаржевского. 6/8, в Несте-
ровской городской типографии. 292310. Нестеров Львовской
обл., ул. Горького, 8. Зак. 2724.