СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙНАУЧНО-ТЕХНИЧЕСИИЙЖУРНАЛГОСУДАРСТВЕННОГОНОМИТЕТАСОВЕТА МИНИСТРОВСССРПО ДЕЛАМСТРОИТЕЛЬСТВАОКТЯБРЬ1975S?Сканы - Геннадий1147;
Обработка - Armin;Плоды темы:Журнал "Строительная механика
и расчет сооружений"DWG.ru, 2013 год
СОДЕРЖАНИЕ
Всесоюзное социалистическое соревнованиеСолод арь М. Б. Повысим эффективность проектных -решений	 1ОбзорыКоренев Б. Г. О методах борьбы с вибрациями сооружений	 3Расчеты на прочностьВольфе он Б. П. Расчет зданий как тонкостенных пространственных систем
при произвольной диаграмме работы материала и простом нагружении .... 3
Осипов 'М. М., Яковлев А. С., Давыдов В. И. О давлении сыпучих в про¬
цессе движения на стенки железобетонных силосов	 13Суров К. JI. Расчет пологих тонких оболочек в усилиях	 16*Андрианов И. В., Маневич JL И., Наливайко JI. А. К расчету круг¬
лых цилиндрических ортотропных пластин, подкрепленных радиальными ребрами 19-
Карпунин В. Г., Клещев С. И. Цилиндрический изгиб тонких пластин излиней'но-упрочняющегося материала			 23Коренева Е. Б. Расчет круглой пластины переменной толщины на антисим¬
метричную нагрузку			 26*Соболев Д. Н., Юсупов А. К. Изгиб -балки на нелинейном статистическинеоднородном основании		 291Шапиро Г. И. Расчет составных стержней со случайными связями сдвига . . 33
Сидоров В. Н., Золотов А. Б. Алгоритмизация решения краевых задачстроительной механики на ЭВМ	. . 3(>Бениаминов Д. М. Уравнения смешанного* метода <в теории упругости .... 43
Г а л у с т о в К. 3. Решение .релаксационной задачи двухкомпонентной теорииползучести бетона				 4(>Никонова Г. А. Равновесие усеченного предельно напряженного бетонногоклина в условиях плоской деформации		 . . . 50Расчеты на устойчивостьШ и л ь к р у т Д. И., В ы р л а н П. М. Динамическое исследование устойчивости
всей совокупности форм равновесия геометрически нелинейных пологих сфери¬
ческих оболочек	 54Шапиро Л. А. Об учете упрочнения стали в гнутых профилях	 53Динамические расчетыГениев Г. А. О некоторых особенностях трехмерных' волн формоизменения видеальной жесткопластической среде			 62Из опыта работы проектных организацийПанкратов В. Ф. Методы подбора сечений центрально сжатых стержнейминимальной массы			65Шенкар А. С. Предельные состояния элементов металлических конструкцийпри учете деформаций сдвига	 63ДискуссииР ж а н и ц ы н А. Р. К вопросу о приведенных длинах сжатых стержней ... 74
Краткие сообщения и заметкиКаджая Д. И. О расчете и конструировании купола	 76Крайтерман Б. Л., Максимова И. И. К расчету круглых гибких плас¬
тин, закрепленных на контуре, методом подобластей			73ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУМосква
Пролетарии всех стран, соединяйтесьIСТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙНАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ГОСУДАРСТВЕННОГО КОМИТЕТА СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР
ПО ДЕЛАМ СТРОИТЕЛЬСТВАИздается с 1 января 1959 г. Выходит один раз в два месяца № 5 (101), 1975 г.М. Б. СОЛОДАРЬ — управляющий Ленинградским отделением ЦНИИПСКПовысим эффективность проектных решенийЛенинградское отделение ЦНИИПроектстальконструкция выполняет проектные ра¬
боты ,по металлоконструкциям 'промышленных зданий и сооружений для многих отра¬
слей народного хозяйства Советского Союза и для некоторых зарубежных стран. Про¬
ектируются также уникальные здания и сооружения гражданского и специального
назначения.Коллектив отделения постоянно и настойчиво работает над созданием новых и пе¬
редовых технических решений, которые наряду -с положительными экономическими
показателями оказывают существенное влияние на повышение производительности тру¬
да, улучшение качества строительства и сокращение его сроков.Большое внимание уделяется работе по выполнению постановления ЦК КПСС и
Совета Министров о развитии производства и комплексной поставки легких металли¬
ческих конструкций и постановления ЦК КПСС о повышении эффективности исполь¬
зования черных металлов.Широко развернув социалистическое 'соревнование, отделение ритмично 'выполняет
все установленные плановые показатели и добилось положительных результатов в
выполнении принятых социалистических обязательств.Успешно был завершен 1974 ,г. и также успешно выполнены установленные показа¬
тели и принятые обязательства за 1-е полугодие текущего года.Успех выполнения принятых обязательств во многом зависит от того, насколько
по-деловому, а не формально, поставлен текущий контроль за их выполнением, на¬
сколько оперативно и своевременно подводятся итоги соревнования, выявляются по¬
бедители и осуществляется моральное и материальное поощрение.Выполнение социалистических обязательств в 1974 г. и в 1-м полугэдии 1975 г. поз¬
волило коллективу Л О ЦНИИПСК добиться хороших результатов в работе. В те¬
чение нескольких лет отделение работало над поисками путей индустриализации от¬
дельных процессов строительства и приближения его к заводским условиям. В резуль¬
тате была предложена и разработана новая схема покрытий промышленных зданий
применительно к конвейерному способу сборки и блочному монтажу. При активной
поддержке и помощи со стороны партийной организации отделения данные конструк¬
ции получили сегодня широкое распространение в стране и, в частности, на объектах
Ижорского завода в Ленинграде. Эффект от их внедрения превзошел даже предвари¬
тельные подсчеты и обеспечил повышение производительности труда на монтаже почти
в 2 раза. Эта работа отделения была отмечена Государственной премией Советского
Союза за 1974 г.Созданная принципиально новая схема и конструктивная форма перекрестной кон¬
сольно-подвесной конструкции покрытия нового здания Ленинградского аэровокзала
в наилучшей степени обеспечила возможность 'реализации архитектурного замысла и
также была удостоена Государственной премии Советского Союза за >1974 г.ВСЕСОЮЗНОЕ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЕСОРЕВНОВАНИЕ. IIIIIIIIIIIIIIII1© СТРОЙИЗДАТ, 19751
Указанная схема несущих конструкций может быть использована с достаточной
эффективностью также и для зданий, предназначенных под выставки, обеспечивая при
этом наименьшую кубатуру зданий и снижение расхода металла до 12—<15%.Для главного корпуса обогатительной фабрики № 2 Норильского ГМК отделением
запроектированы металлоконструкции общим весом 20 тыс. т. В покрытии корпуса
впервые применены тонкостенные сварные ригели двутаврового сечения, а также кро¬
вельные панели из профилированного настила с легким утеплителем. Из условия обес¬
печения ‘максимальной надежности эксплуатации, снижения трудоемкости изготовления
и монтажа, а также улучшения условий транспортировки все конструкции покрытия,
подкрановые 'балки и колонны запроектированы сплошностенчатыми из стали повы¬
шенной прочности с монтажными соединениями на высокопрочных болтах. Примененные
впервые в Советском Союзе тонкостенные сплошностенчатые ригели пролетом 30 м по
расходу стали примерно равны обычным стропильным фермам. Принятые решения
обеспечивают снижение стоимости и сокращение сроков строительства.Распространение опыта применения легких конструкций покрытия в виде тонко¬
стенных двутавровых 'балок на другие объекты, сооружаемые в Северной климатиче¬
ской зоне, имеет большое народнохозяйственное значение.Одним из ответственных пунктов социалистических обязательств было досрочное
и .качественное выполнение проектов для ленинградского металлического завода
имени XXII съезда КПСС. Сроки были установлены предельно сжатые. Несмотря на
это, коллектив полностью справился с этим серьезным заданием, вся техническая до¬
кументация на комплекс цехов объемом свыше 10 тыс. т металлоконструкций была
выдана как в 1974 г., так и в .1-м полугодии 1975 г. досрочно. Этому в значительной
степени .способствовало также и применение типовых конструкций в максимально воз¬
можном объеме. Проектирование цехов для данного завода продолжается и во 2-м по¬
лугодии 1975 г.Социалистические обязательства, относящиеся к проектированию .главного корпуса
Волго-Донского завода тяжелого машиностроения, являющегося важнейшей стройкой,
десятой пятилетки, отражают огромную творческую работу проектировщиков по соз¬
данию уникального здания, не имеющего равного себе в мире по размерам и оснащен¬
ности крановым оборудованием. Достаточно сказать, что вес металлоконструкций зда¬
ния достигает 60 тыс. т. Впервые разработаны большепролетные подкрановые конст¬
рукции под краны грузоподъемностью 1200 т. Суммарная грузоподъемность кранового
оборудования корпуса составляет 15 тыс. т. Можно с уверенностью считать, что данный
проект будет весомым вкладом в технический прогресс в области металлостроитель-
ства. Воя техническая документация, по срокам относящаяся к 1-му полугодию, выда¬
на досрочно.Такой важнейший показатель производственной деятельности за 1-е полугодие, как
экономия стали за счет рационального проектирования, выполнен в объеме 13% запро¬
ектированного тоннажа (вместо ,10% по обязательствам); 96% проектов (вместо
85%) выпущено досрочно.Объем применения сталей повышенной и высокой прочности достиг почти 50%.В текущем году в отделении появилась новая форма соревнования — это коллектив¬
ные социалистические обязательства по важнейшим стройкам десятой пятилетки.Так, в начале этого года шесть институтов Ленинграда, включая и Л О ЦНИИПСК,
приняли коллективные обязательства по проектированию крупнейшего в мире Усть-
Илимского лесопромышленного комплекса.После одобрения ЦК КПСС инициативы коллективов 28 ленинградских предприя¬
тий, научных и проектных организаций, заключивших договор о творческом содруже¬
стве по сокращению сроков, экономии материальных и трудовых ресурсов, повышению
качества работ при создании Саяно-Шушенской ГЭС, коллективные обязательства по
Усть-Илимскому ЛПК были пересмотрены на новой качественной основе.В настоящее время участниками этих социалистических обязательств стали 30 про¬
изводственных объединений, заводов, проектных, научно-исследовательских институтов,
и вузов Ленинграда. Для руководства всеми работами создан специальный координа¬
ционный совет.В 1-м полугодии текущего года наше отделение включилось также в коллективные
социалистические обязательства 8 ленинградких организаций за сокращение сроков
проектирования и строительства крупнейшего предприятия страны—Таджикского алю¬
миниевого завода. Со своей стороны ЛО ЦНИИПСК внесло предложение в Октябрь¬
ский РК КПСС Ленинграда о целесообразности заключения коллективных социалисти¬
ческих обязательств по проектированию и строительству второй очереди Ленинград¬
ской атомной электростанции и Волго-Донского завода тяжелого машиностроения.Критически оценивая достигнутые положительные показатели, мы ясно себе пред¬
ставляем, что для дальнейшего улучшения нашей деятельности еще имеются значи¬
тельные резервы. В первую очередь это относится к улучшению технологического про¬
цесса проектирования и коренному пересмотру нередко встречающейся порочной прак¬
тики выдачи заданий на проектирование с опозданием, недостаточного объема и низ¬
кого качества. Такой .пересмотр приобретает особенно 'большое значение при принятии
коллективных социалистических обязательств большим числом организаций, взаимосвя¬
занных жесткими сроками выполнения работ.2
В честь XXV съезда КПСС коллектив J10 ЦНИИПСК принял в 1-м полугодии до¬
полнительные социалистические обязательства.Этими обязательствами, в частности, предусмотрено выпустить ранее установлен
ного сжатого срока проект стального каркаса первого в Ленинграде высотного здания
для КБ Кировского завода; высота здания превышает 100 м.Коллектив Ленинградского отделения ЦНИИПроектстальконструкция, идя навстречу
XXV съезду нашей партии, примет все меры, чтобы установленные плановые показа¬
тели и принятые социалистические обязательства на 1975 г. были выполнены и тем
самым был внесен достойный вклад в дело дальнейшего совершенствования проекти¬
рования металлоконструкций и обеспечения важнейших строек десятой пятилетки ка¬
чественной технической документацией.Д-р техн. наук проф. Б. Г. КОРЕНЕВ (МИСИ им. В. В. Куйбышева)УДК 624.04:539.433О методах борьбы с вибрациями сооруженийИнженерная динамика сооружений самым тесным образом связана с выбором рас¬
четных схем, анализом динамических нагрузок, нормированием уровня вибраций. Ос¬
новное число работ в этой области шосвящено вопросам динамического расчета. Обыч¬
ная проектная ситуация такова: конструктивная схема и размеры сооружения опреде¬
ляются исходя из статического расчета и лишь после этого оно проверяется на дина¬
мические воздействия. Если усилия в элементах сооружения, скорости, ускорения или
перемещения конструкций, их вероятностные характеристики или какие-либо иные кри¬
терии качества не превышают допустимых значений, то расчет на этом заканчивается;
в противном случае снова требуется расчет, но уже при измененных исходных данных.
Однако путь, который связан с изменением параметров конструкции, далеко не всегда
является экономически выгодным; более того, во многих случаях практически он не
может привести к сколь-нибудь удовлетворительным результатам.Наиболее острые ситуации возникают, когда критерии качества связаны с ограни¬
чением уровня колебаний по причинам санитарно-гигиенического характера или явля¬
ются следствием технологических требований; при этом снижать вибрации до необхо¬
димого уровня за счет изменения размеров сечений, масс и т. д. в большинстве случа¬
ев нецелесообразно, а очень часто и практически невозможно.Поэтому появляется необходимость в применении специальных методов борьбы с
вибрациями, которые, как правило, сводятся к созданию специальных устройств, не
изменяющих основной конструктивной схемы здания и, .следовательно, не влияющих
на работу сооружения при -статической нагрузке. К их числу относятся виброизоляция,
гасители колебаний различных систем, демпферы, антивибраторы, демпфирующие по¬
крытия, специальные устройства, снижающие эффект прохождения через резонанс. Сю¬
да же можно отнести и специальные аэродинамические методы борьбы с вибрациями
гибких сооружений, вызванными действием ветра.Общим для применения всех этих устройств является то, что ни одно из них не мо¬
жет применяться без соответствующего динамического расчета. Это обстоятельство, а
также то, что применение указанных устройств является важной технической задачей,
привело к тому, что их конструктивная разработка, методы расчета, действительная
эффективность стали предметом многочисленных исследований. В настоящее время
возросло число публикаций по этой тематике, появилось сравнительно много моногра¬
фий, инструкций и материалов справочного характера [1—6].Очень (большое внимание этому вопросу уделяется ,и в работах, посвященных проб¬
лемам машиностроения и приборостроения, в связи с задачами судостроения, авиа¬
строения и т. д. [7—14].В этой статье мы остановимся на некоторых вопросах, относящихся к разработке
методов борьбы с вибрациями, и постараемся дать обзор тех результатов которые
нашли применение в практике строительства; кроме того, здесь будут приведены сооб¬
ражения по поводу тематики дальнейших исследований.Одним из важнейших методов борьбы с вибрациями является виброизоляция; она
широко внедрена в практику проектирования и строительства. Весьма удачная ин¬
струкция, составленная В. С. Мартышкиным в ЦНИИСК в 1955 г., во многом способ*,
ствовала внедрению виброизоляции. В настоящее время она заменена новым руковод¬
ством [2], составленным коллективом сотрудников лаборатории динамики ЦНИИСК
им. Кучеренко при участии других организаций. В новом руководстве полностью вы¬
держана преемственность, сохранены основные положения прежней инструкции и в то
же время сделаны достаточно существенные добавления и изменения. Хотя в настоя-1* Зак. 506
щем виде руководство, с нашей точки зрения, в основном отвечает требованиям прак¬
тики проектирования, однако интенсивное развитие отдельных разделов теории виб-
роизоляционных устройств и более строгие, во многих отношениях разносторонние
требования, предъявляемые практикой к виброизоляции, требуют дальнейшего разви¬
тия исследований по проблемам виброизоляции в делом.В то же время необходимо развитие и упрощение методики расчета виброизоля¬
ции; это связано с возможностью использовать более точные и сложные расчетные
схемы, тем самым более полно учитывая действительный характер работы виброизо¬
ляции. К этому кругу вопросов относятся уточнение и упрощение расчета виброизоля¬
ции для общего случая твердого тела с шестью степенями свободы, учет случайных
воздействий, более точный расчет пассивной и противоударной виброизоляции. По-ви¬
димому, назрела потребность в составлении специальных программ для расчета вибро¬
изоляции во всех тех важнейших нестандартных случаях, для которых непригодны ре¬
шения, унифицированные в альбомах виброизоляционных устройств.Не менее важны проблемы разработки новых конструктивных схем виброизоляции
и конструкций виброизоляторов и демпферов.Рассмотрим более детально некоторые вопросы виброизоляции применительно к ее
отдельным видам.Активная виброизоляция при гармонических или полигармонических воздействиях
в 'эксплуатационном режиме обычно рассматривается наиболее детально, она рассчиты¬
вается .с детерминистских позиций, в *большинстве случаев по приближенным, но в от¬
дельных случаях и по уточненным — схемам. Расчет на прохождение через резонанс
обычно выполняете# сравнительно грубо и в [2] основан на предположении о постоян¬
стве углового ускорения и о том, что затухание описывается моделью Фойгта.Опыт эксплуатации виброизолированных установок показал, что с практической
точки зрения активная виброизоляция, как правило, себя оправдывает. В отдельных слу¬
чаях отмечается недостаточная эффективность активной виброизоляции, вызываемая
эксплуатационными и конструктивными дефектами: созданием жестких опорных мот
стйков в результате затяжки пружин или появления каких-либо случайных опорных
элементов, фактически ликвидирующих расчетную основу виброизоляции к появления
жестких дополнительных связей в местах примыкания к машине трубопроводов из-за
неудачной конструкции гибких вставок или их ожесточения в процессе эксплуатации.
По-видимому, вопрос о гибких вставках и об учете их влияния при расчете в силу
его практической важности заслуживает серьезного внимания.Переходя к более принципиальным вопросам, остановимся сначала на проблемах,
связанных с изучением переходных режимов. В этой области имеется обширная лите¬
ратура [15], в которой основное внимание уделено системам с одной степенью свобо¬
ды. Следует отметить работы по прохождению через резонанс системы с двумя степе¬
нями свободы. Имеются также исследования по прохождению через резонанс упругих
систем с распределенной массой i[15].Эта тематика заслуживает серьезного внимания несмотря на то, что вряд ли есть
нужда в изучении переходного режима с той же степенью детализации, как и основ¬
ного, тем более соответствующие критерии качества практически отсутствуют. По-
видимому, в задачах виброизоляции все же наибольший интерес представляет уста¬
новление указанных критериев и уточнение расчетной модели, приближение ее к той,
которая рассматривается при стационарном режиме (колебания твердого тела при оп¬
ределенных упрощающих предположениях). Желательно привести учет диссипативных
сил в соответствие с конструктивными параметрами демпферов, что может быть ис¬
точником появления нелинейных задач.С нашей точки, зрения, заслуживает серьезного внимания изучение специальных
способов подавления пускоостановочного резонанса: разработка самих мер, а затем
и теоретическое исследование явления прохождения через резонанс.Не останавливаясь в кратком обзоре на постановке задачи и отдельных предложе¬
ниях, укажем, что они в общем -не новы и были в значительной мере изложены в статье
[-16]. Следует отметить перспективность комбинированного применения ударных гаси¬
телей и виброизоляции. Не менее перспективно комбинированное применение динами¬
ческих гасителей и виброизоляции; теория виброизоляции с динамическим гасите¬
лем при прохождении через резонанс разрабатывалась Ван Фо Фы, а затем Л. М. Рез¬
никовым.Несмотря на теоретический интерес указанных задач, с практической точки зрения
наиболее важны задачи о виброизоляции при гармоническом стационарном воздействии.
Здесь, хотя основное с точки зрения практики обычных расчетов при линейных схемах
уже сделано и отражено в указанном руководстве, но проблемы оптимизации оста¬
ются весьма актуальными так же, как и задачи теории нелинейной виброизоляции и др.С практической точки зрения представляет интерес и решение некоторых сравни¬
тельно более простых задач. Вопрос о расчете линейной виброизоляции по уточнен¬
ным схемам требует дальнейшего развития: следует более точно оценить влияние гиб¬
ких вставок, влияние колебаний поддерживающей конструкции; необходимо разрабо¬
тать более детально критерии возможного уровня динамических усилий и, что более
сложно, критерии допускаемого уровня колебаний виброизолированной системы. Этот
вопрос имеет особенно большое практическое значение в связи с тем, что его4
решение поможет найти пути уменьшения массы блока и тем самым упростить и уде¬
шевить активную виброизолядию. Но решение этой задачи можно найти лишь в ре¬
зультате весьма серьезных разработок, которые должны стать предметом совместной
деятельности машиностроителей и строителей. Может быть, в отдельных случаях целе¬
сообразно попользовать предложенное в литературе устройство покрытий, улучшаю¬
щих демпфирование машины или же применять в схеме самой машины небольшие га¬
сители колебаний или отдельные точечные демпферы. Представляют также интерес
упрощение техники расчета виброизоляции и составление необходимых для этого
программ.В области активной виброизоляции может возникнуть ряд задач, связанных с рас¬
четом машин, передающих случайные воздействия.Представляет известный интерес изучение двухконтурной виброизоляции (Н. А. Пи-
кулев, В. С. Глазырин), которая в машиностроительной литературе называется двух¬
каскадной (К. В. Фролов), а также установление критериев экономичности таких ре¬
шений.Следует специально изучить работу виброизоляции с пластмассовыми виброизоля¬
торами, обладающими своеобразными реологическими свойствами.В связи с тем, что работа виброизоляции во многих случаях происходит в режиме
полигармонических, случайных и импульсивных воздействий, представляет интерес
выявить поведение виброизоляции при высоких частотах (превышающих 100 Hz) и, в
частности, более детально рассмотреть «провалы» характеристики виброизоляции,
связанные с волновыми эффектами в самом виброизоляторе.«Вопрос о противоударной виброизоляции с общих позиций рассматривался недоста¬
точно подробно. Основное внимание уделялось более частной, но не менее важной
теме — виброизоляции кузнечных молотов, которая детально отражена в руководстве
[2]. При составлении руководства были учтены многие положения, которые рассмат¬
ривались в последние годы в ряде исследований. В частности, здесь была использо¬
вана разработанная Е. С. Сорокиным теория импульсного резонанса, . работы,
Ф. М. Гитмана и В. А. Ильичева по изучению рессорных опор, в которых возникают
силы сухого трения, (цикл исследований \В. А. Ильичева по рассмотрению .влияния излу¬
чения упругих -волн фундаментом на эффективность .противоударной виброизоляции.
Серьезного внимания заслуживает работа по улучшению конструкций демпферов вяз¬
кого трения (В. С. Мартышкин, В. С. Глазырин, Е. М. Миронов).Вообще было бы желательно более тщательно проанализировать на основе теории
противоударной виброизоляции насколько велико влияние на окончательный резуль¬
тат демпфирования, уровня вибраций блока, частоты его свободных колебаний.Можно ожидать весьма положительного эффекта от противоударной виброизоля¬
ции машин, установленных на перекрытиях. В этой связи необходимо учесть, что при
проектировании ©иброизолящии машин 'ударного действия, так же как и в области про¬
ектирования .виброизоляции машин с нагрузками, изменяющимися во времени по гармо¬
ническому закону, могут возникнуть отдельные ситуации, при которых следует учиты¬
вать динамические явления -в поддерживающей конструкции. Эти задачи должны быть
своевременно выявлены и проанализированы с позиций одновременного и комплексного
использования инструкций ЦНИИСК по расчету сооружений на действие импульсивной
нагрузки и руководства по виброизоляции.Вопрос о пассивной виброизоляции с каждым годом приобретает все большее зна¬
чение. В руководстве [2] содержится большой раздел, в котором пассивная виброизо¬
ляция рассматривается достаточно подробно не только с детерминистских, но и со сто¬
хастических позиций. Это важно с практической точки зрения, поскольку колебания
оснований многих виброизолированных систем имеют случайный характер. В литера¬
туре сейчас уделяется внимание и вопросам оптимизации параметров пассивной вибро-
изоляции. Интересно, что при этом отмечается невозможность осуществления полной
защиты от вибраций с помощью пассивной виброизоляции и вносится предложениео	дополнительной защите объекта с помощью введения демпфирующих покрытий эле¬
ментов его конструкции.Конечно, является очевидным, что пассивная виброизоляция, отфильтровывая вы¬
сокочастотные колебания, пропускает и даже усиливает вибрации с частотой, кото¬
рая близка к собственной частоте установки. В этой связи необходимо более внима¬
тельное и обоснованное назначение систем критериев оптимальности, которые должны
исходить из детального анализа конструкции и учитывать эксплуатационный режим
защищаемого объекта. При этом нз следует забывать, что в ряде случаев опасны
отнюдь не абсолютные значения скоростей и ускорения защищаемого объекта, а эф¬
фекты, вызываемые инерционными силами, например относительные перемещения то¬
чек объекта. Этот вопрос не является новым; его значение велико и говорит о том,
что задачи пассивной виброизоляции должны решаться в самом тесном контакте с
машиностроителями.Вероятно в теории пассивной виброизоляции не следует ограничиваться рассмот¬
рением только простейших схем.Нет нужды останавливаться на тесной связи задач активной и пассивной вибро¬
изоляции и о тождественности многих расчетов для этих видов виброизоляции. Поэто¬
му известная идея о применении гасителей, настроенных на частоту собственных ко¬5
лебаний вместе с виброизоляцией, является достаточно интересной и для пассивной
виброизоляции при широкополосных спектрах воздействия; кроме того, гасители та¬
кого рода уменьшают время свободных колебаний, вызванных случайными толчками,
что также важно с эксплуатационной точки зрения.Проблема виброизоляции всегда связана с конструктивными решениями виброизо¬
ляторов и демпферов. Этот вопрос заслуживает серьезного внимания (пластмассовые
виброизоляторы, пневматические виброизоляторы и др.). Не останавливаясь на такой
своеобразной и по существу далекой от динамики задачи, как квазистатический рас¬
чет демпфера, укажем, что в этой области появилось несколько специальных теорети¬
ческих исследований.Виброизоляция в строительстве в настоящее время применяется довольно широко.
Есть области, в которых о/начение виброизоляции трудно переоценить,— например, про¬
мышленность .сборного железобетона, где применение вибро-метода уплотнения бетона
было бы «практически невозможным без применения виброизоляции.По-видимому, необходимо увеличить выпуск машин в виброизолированном исполне¬
нии и вновь поднять вопрос о целесообразности создания предприятия по выпуску
виброизолирующих устройств.Перейдем к применению ударных и динамических гасителей колебаний, которое
в строительных конструкциях является относительно новой задачей. Тем не менее,
известно довольно много случаев удачного использования ударных и динамических
гасителей колебаний. По-видимому, инициатива в этом вопросе принадлежит в боль¬
шей мере ЦНИИСК и Свердловскому Промстройниипроекту, которые занимались на
практике установкой как ударных, так и динамических гасителей колебаний. Так,
еще в начале 50-х годов, были предложены и установлены ударные гасители на трубах
Руставского завода 1[17], и вскоре после этого ударные гасители применялись при виб¬
роизоляции дробилок.Ударные гасители отличаются простотой конструкции и обладают высокой эффек¬
тивностью, допускают много различных конструктивных модификаций. Они сравни¬
тельно давно и широко применяются в машиностроении (И. В. Ананьев [8]).В последние грды специалисты в области машиностроения широко обсуждают и
развивают теорию ударного гашения и теорию виброударных машин (А. А. Кобрин-
ский) [13]. Для современного направления этих работ характерным является то, что
наряду с решением сложных нелинейных задач динамики ударных гасителей, изучаются
вопросы оптимизации их параметров. При этом рассматривается и устойчивость воз¬
никающих периодических движений. Развитие теории ударных гасителей в большей
мере может опираться на многочисленные работы, проводимые машиностроителями.В строительстве возникает много специфических задач в области ударного вибро¬
гашения, что связано с многообразием конструкций ударных гасителей и в особенно¬
сти с необходимостью рассмотрения колебаний сложных и разнообразных конструк¬
ций при различных динамических нагрузках [18].В настоящее время в строительной литературе накоплен большой материал по тео¬
рии ударного гашения и конструкциям гасителей (В. И. Сысоев, Н. А. Пикулев,А.	А. Зевин и др.)* Есть все основания для его дальнейшего широкого развития и прак¬
тического применения. Очевидно, что те области, в которых применялись сначала удар¬
ные гасители — гашение колебаний гибких конструкций, вызванных действием ветра
и снижение амплитуд колебаний виброизолированных установок при прохождении че¬
рез резонанс, являются достаточно важ.ньгми; однако есть основания предполагать, что
область их применения может быть расширена, главным образом, за счет демпфиро¬
вания колебаний конструктивных элементов, находящихся в резонансном режиме.Простота конструкций ударных гасителей является одной из причин их высокой
надежности и безотказности.Идея динамического виброгашения имеет очень длительную историю, насчитыва¬
ющую несколько десятилетий, и обширную литературу [7, 19]. Практическое приме¬
нение гасителей прошло путь от узкополосных гасителей без затухания к гасителям с
оптимальным затуханием при нестабильной частоте внешнего воздействия, теория ко¬
торых была предметом ряда исследований и излагается в многочисленных курсах и
монографиях; в этих работах большое внимание уделялось выбору оптимальных па¬
раметров гасителя, которые определялись из условия минимума наибольшей ординаты
амплитудно-частотной характеристики для главной массы. В дальнейшем теория была
обобщена на многомассовые системы и стержни, задачи о пластинах, складках и обо¬
лочках [20, 21]; наряду с гармоническими силами, имеющими нестабильную частоту,
изучались импульсивные воздействия, прохождение через резонанс, случайные воздей¬
ствия; все эти работы проводились для линейных гасителей.Для практического применения динамических гасителей при гашении колебаний
строительных конструкций следов,ало решить ряд задач, многие из которых уже нача¬
ли рассматриваться за последние годы. К их числу принадлежит в первую очередь изу¬
чение применения гасителей колебаний для сложных многомассовых систем, являю¬
щихся расчетными моделями строительных конструкций (башенные сооружения, рас¬
сматриваемые как стержни переменного сечения, с учетом явлений излучения колеба¬
ний в грунт; пластинки перекрытий, пространственные системы покрытий зданий [22]).
Это направление оказалось совершенно необходимым и включало оптимизацию иаоа-6
метров гасителя или нескольких гасителей и групп гасителей (Л. М. Резников,
М. Я. Волоцкий, С. Г. Букейханов). Особенность этого подхода заключается в том,
что влияние нерезонирующих гармоник при применении гасителей существенно повы¬
шается; поэтому основные параметры исходной многомассовой системы могут суще¬
ственно влиять на результат. Например, при детальном изучении колебаний башен
заострение концевой части приводит к существенному повышению эффекта гашения.
Далее было необходимо применительно к задачам динамики строительных конструк¬
ций рассмотреть вопросы гашения колебаний при случайных воздействиях; существен¬
ную роль приобрела оптимизация параметров гасителя, исходящая из рассмотрения
статистических характеристик уровня колебаний строительных конструкций. Наряду
с этим было необходимо исследовать влияние нелинейности восстанавливающей силы
и демпфирования в гасителе. Некоторые из этих вопросов рассматривались в ЦНИИСК.Представляет интерес изучение учета расстройки при проектировании группы га¬
сителей (Н. А. Пикулев [23]). Следует упомянуть и о применении динамического га¬
сителя для подавления автоколебаний башенных сооружений для повышения сейсмо¬
стойкости зданий и др., а также об ударно-динамических гасителях (В. И. Сысоев),о	применении динамического гасителя вместе с гироскопом (А. 3. Кравченко совме¬
стно с автором и др.).В статье мы лишь упомянем об электромеханических гасителях колебаний. Наибо¬
лее полное и детальное исследование работы этих устройств содержится в работах
С. С. Кораблева и В. И. Шапина, в которых упоминаются более ранние работы
В. И. Бабицкого, А. Е. Кобринского, А. С. Князева, Б. Д. Тартаковского и др. Вряд ли
эти сложные устройства найдут широкое применение в строительстве. Однако их при¬
менение возможно в тех ситуациях, когда использование других методов исключено.Из ранее сказанного следует, что применение гасителей колебаний в ближайшем
будущем может приобрести более широкий размах, оно опирается на довольно под¬
робно разработанную теорию; внедрение этих устройств и их исследование являются
одной из наиболее актуальных задач динамики сооружений.Перейдем к вопросам, связанным с устройством антивибраторов; естественно, что
они тесно связаны с проблемами динамического уравновешивания машин. Опыт пока¬
зал, что в некоторых случаях применение антивибраторов является весьма эффектив¬
ным. В качестве очень удачного примера можно привести фрикционный антивибра¬
тор— гаситель В. С. Мартышкина. Область применения их — снижение динамических
усилий, передаваемых тихоходными динамически неуравновешенными машинами (на¬
пример, компрессорами). Для этой цели может быть использовано устройство для
синхронизации работы компрессоров (В. Г. Подольский), а также устройство «олпозит-
ных» машин, в которых проведено динамическое уравновешивание.В последнее время возросло внимание к методу гашения вибраций, который пока
не нашел еще применения в строительстве, однако в настоящее время, в связи с внед¬
рением легких конструкций, имеет определенные перспективы и во всяком случае за¬
служивает изучения. Речь идет о покрытии металлических конструкций тонким слоем
материала, обладающего повышенным, затуханием, вследствие этого повышается дек¬
ремент затухания. По-видимому, такие слои, обладая антикоррозийными свойствами
и улучшая акустические характеристики, в некоторых случаях могут эффективно при¬
меняться для борьбы с вибрациями. В последнее время появилось много исследова¬
ний по этому вопросу, из них мы назовем работы Б. Д. Тартаковского, Г. С. Писарен¬
ко и др.; отметим также работу Сноудена, в которой изучены колебания алюминиевых
и стальных балок, покрытых слоями демпфирующего материала.Из этого краткого обзора видно, что по методам борьбы с вибрациями имеется
большое число исследований, открывающих возможности практического внедрения и
ставящих новые задачи перед специалистами. Наблюдаются возросшие связи между
отдельными методами и широкое стремление не только к их обоснованному примене¬
нию, но и к оптимизации параметров.В настоящее время актуальными являются дальнейшие конструкторские разработки
и научные исследования методов борьбы с вибрациями, наряду с более широким внед¬
рением в практику уже имеющихся и в общем довольно обширных результатов.• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.'В.	С. Мартышкин. Виброизоляция. «Борьба с шумом» под ред. Е. Я. Юдина. М., Строй-
издат, 1964.2.	Руководство по проектированию виброизюляции машин и оборудования. М., Строй.издат, 1972.3.	С. И. Сергеев. Демпфирование механических колебаний. М., Физматгиз, 1959.4.	Справочник -по динамике сооружений под ред. (Б. Г. Коренева и И. М. Рабиновича. М.,
Стройиздат, 19725.	G. Grede. Vibration isolation, New Vork, 1953.6.	Shock and Vibration Handbook, vol. I—III Me Graw—Hill, 1961.7.	А. М. Алексеев, А. К. С борове кий. Судовые виброгасители. М., Судпромгиз, 1962.8.	И. В. Ананьев, И. Г. Тимофеев. Колебания упругих систем в авиационных конструк¬
циях и их демпфирование. М., Машиностроение, 1966.9.	Э. Г. Вол ьп ер т. Динамика амортизаторов с нелинейными упругими элементами. М., Ма¬
шиностроение, 1972.10.	М. М. Грибов. Регулируемые амортизаторы радиоэлектронной арматуры. М., «Советское
радио», 1974.■11. B.C. Ильинский. Защита аппаратов от динамических воздействий. М., «Энергия», 1970.12.	Ю И Иориш. Защита самолетного оборудования от вибраций. М., Оборонгиз, 1949.13.	А Е. К о б р и н с к и й, А. А. К о б р и н с к и й. Виброударные системы (динамика и устой¬
чивость). М., «Наука», 1973.7
/14. М. 3. Коловский. Нелинейная теория виброзащитных систам. М., «Наука», 1966.15.	Е. Г. Голоскоков, А. П. Филиппов. Нестационарные колебания механических сис¬
тем. Киев, «Наукова Думка», 1966.16.	Б. Г. Коренев, Н. А. П и к у л е в, И. С. Шейнин. О 'методах уменьшения вибраций
при прохождении через резонанс во время пуока и остановки оборудования. В сб.: «Колебания,
зданий и сооружений» под ред. Б. Г. Коренева. М., Госстрой из дат, 1963.17.	Б. Г. Коренев, В. И. Сысоев. Метод гашения колебаний сооружений башенно-го типа.
БСТ, '1953, № 5.18.	В. И. С ы с о е в. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы, снабженных
ударными гасителями колебаний. Сб. ЦНИИСК «Исследования то динамике сооружений» под ред.
Б. Г. Коренева, !вып. 17. М., Стрюйиэдат, 1971.19.	Дж. П. Д е н-Г а р т о г. Механические колебания. М., Физматгиз, 196020.	Б. Г. Коренев, JI. М. Резников. О колебаниях башенных сооружений, оборудованных-
динамическими гасителями. «Строительная механика и расчет сооружений», 1968, № 2.21.	Б Г. Коренев, М. Я. Во л оц кий. Применение динамических гасителей для уменьше¬
ния колебаний складчатых систем. «Строительная механика и расчет сооружений», 1973, № 1.22.	Б. Г. Коренев, JI. М. Резников, А. А. 3 е в и н. Сравнительный анализ эффективности
динамическо™ и ударного гасителей колебаний. «Строительная механика и расчет сооружений»,.w / J\9 о,231. Н. А. П и к у л е в, А. Н. Э р д е л е в с к и й. К вопросу проектирования группы виброгаси-
телеи с учетом расстроек. «Строительная механика и расчет сооружений», 1971, № 5.рпсчеты ншимпнаш
I'llllllllllli 1,11 НД ПРОЧНОСТЬКанд. техн. наук Б. П. ВОЛЬФСОН (ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, Москва)УДК 624.074.1:04Расчет зданий как тонкостенных пространственных систем
при произвольной диаграмме работы материала
и простом нагруженииВ предыдущих работах автора [1—.2] 'при исследовании тонкостенных пространст¬
венных систем типа современных зданий в качестве основного было принято предполо¬
жение о том, что материал составляющих граней-пластинок линейно-упругий, а связи
в швах упругоподатливые. При этом в процессе вывода разрешающей системы диффе¬
ренциальных уравнений использовались следующие соотношения (см. [2]):
для перемещений точки срединной поверхностиа ту	а rijи (г, s) = 2 2 Ui‘ ^ (s): 0 (z’ ^ 2 2 Vki ^ ^ki (s):	(1>j=\ i=1 /=1 k—\связь полных деформаций с компонентами перемещенийez = duldz; es = dv/ds\ yzs = д v/д z + д и/дs;	(2)связь перемещений с компонентами напряженийdv \	Е f dv	д иЕ I ди	dv \	Е I ду' 1 — (i*\ дг	ds j’ °s~ 1 — ds	dzI	du	dv \Xzs = G \dT + ~зГ):(3>зависимость усилий в связях шва t от компонент смещений краев соединяемых гра¬нейГ/ = Р/А<.	“ (4>где At — см. формулу (9);интегральные условия равновесия элементарной полоски, полученные на основе
принципа возможных перемещений,Ф1 = Рй Ф*=Р2,	(5>где Фх = j	<рг:У (s) d F - 2 Tt Wry (s) - cp'+' (s)] - J t <?'ry (s) d F;p OZ	t	fPi = — jp(p/.y(s)ds; Фг = j	tygp (s) d F — j osrJ>gp (s) d F —8
dTt_dzII2№gp (s) + ^gp1 («)]; p2 = — 1 я ^gp (s)ds.Из членов уравнений, учитывающих работу связей в швах, удержаны только те,
которые отражают работу связей продольного сдвига.В настоящей работе соотношения (1) и (2) полагаются справедливыми, а вместо
соотношений (3) и (4), соответствующих линейно-упругим материалу граней-пластинок
и связям швов, принимаются нелинейные соотношенияаи = /(«„) и Tt = ft(At).Тем самым условия равновесия для нелинейной задачи запишутся в видеф; = р1; Ф2 = Р2.(6)(7)Выражения Ф* имогут быть получены из (5) заменой aZi сг«, т, Tt на а2,
as> **- Tf.Для материала граней-пластинок будем считать справедливой гипотезу «единой кри¬
вой» [3]. Другими словами, считаем материал упругопластическим при простом или
близком к нему нагружении [4] либо нелинейно-упругим без всяких оговорок. При
этом в качестве основной гипотезы принимается известное утверждение: при сложном
напряженном состоянии связь интенсивности напряжений с интенсивностью деформаций
для каждой точки тела принимается такой же, как связь напряжения с удлинением
при простом растяжении (сжатии либо чистом сдвиге) того же тела.Для плоакой задачи интенсивности напряжений и деформаций (иногда их называют
обобщенными напряжениями и деформациями) определяются выражениями0и = 0,5 У2 у (<т2 — ст5)г + а|+ a2s + ax2zs;е„ = [V2 /2(1 + ц)]У(«, - О* + К - «.)* + (»• - Н)2 + 3yL/2-(8)В дальнейшем полагаем, что связь между ои и еи (диаграмма работы материала)
задается в общем случае в табличной форме. Условная диаграмма <т* =/(еи) для ма¬
териала типа железобетона показана на рис. 1 (/ — разрушение материала при сжа¬
тии; 2 — появление трещин в бетоне от растяжения; 3 — появление пластичности в ар¬
матуре растянутой зоны; 4 — разрушение в растянутой зоне; е„, е£ — предельные
интенсивности деформаций материала в сжатой и растянутой зонах; Даи — невязка по
аи). Точками изображены табличные значения.В принятой для связей швов между пранями-пластинками нелинейной зависимости
(см. второе из выражений (6)) величина взаимного смещения соединяемых граней
At определяется с помощью выраженияA t = Uj(z, s) — и/+1 (z, s) — 0,5/* [dvj (z, s)/d z + d (z, s)/dz].(9)В дальнейшем предполагается, что связь между Т t и А * для каждого шва (либо
для каждого типа шва) задается в общем случае также в табличной форме. Пример
такой связи Тt =:f(At) показан на рис. 2.Для решения полученной нелинейной задачи целесообразно использовать процеду¬
ру шагового метода. В излагаемом далее алгоритме решения используется одна из мо¬
дификаций шагового метода последовательных нагружений.Предлагаемый алгоритм решения нелинейной задачи проследим на простейшем при¬
мере диафрагмы, состоящей из двух пластинок, соединенных между собой связями-
перемычками (рис. 3) и находящихся под действием горизонтальной q (z) и вертикаль¬
ной р (za s) нагрузок.Алгоритм позволяет определить напряженно-деформированное состояние конструк¬
ции при действии расчетных на¬грузок, а также величины на¬
грузок, приводящих конструк¬
цию в состояние, близкое к раз«
рушению.В качестве первого шага на¬
гружения примем нагрузки q(z)
и p(z, s) /подобными рас¬
четной и составляющими ка¬
кую-то часть от нее.лrL*Z£касРис. 1Рис. 22 За к. 506
Разобьем каждую из граней пластинок то высоте на k участков (&+l)-iM расчетным
горизонтальным сечением. Каждое горизонтальное сечение, в свою очередь, разделил®
на I участков.На первом шаге нагружения решается упругая задача, т. е. решается система ли¬
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (система урав¬
нений (7) работы [2]), полученная из (5) путем несложных преобразований. При этом
касательный модуль упругости материала пластинок и начальное значение жесткостной
характеристики связей в вертикальном шве принимаются равными их значениям в на¬
чале координат в таблично-графических зависимостях ои -*еи и Т ,—Дв. Эти функции
являются дискретными, т. е. определенными в ряде точек. Поэтому для вычисления
значений производных daH lden=EK&c (еи) и dT	(At) необходимо аппрок¬симировать заданные дискретные функции о* (бг) и T*(At) какими-либо аналити¬
ческими зависимостями, найти производные функции и в дальнейших расчетах исполь¬
зовать эти функции. Можно ^поступить и_ несколько по-иному: каждый раз, когда не¬
обходимо определить Екас (еи) или р (А*), строится парабола, проходящая через
ближайшие три точки (рис. 1, 2), находится ее производная функция и определяется
значение этой функции в точке еи или А*.Алгоритм вычислений при переходе от 1-ш ко 2-му (или, что то же самое, от t-го
к 1+1-му) шагу нагружения приведен на схеме. Рассмотрим последовательно весь ход
вычислений.В результате расчета при первом (t-м) шаге нагружения определяем перемещения-
и (z, s) и v (z, s) в 1+\ точках, соответствующих краям I участков, на которые раз¬
биты расчетные горизонтальные сечения граней-пластинок (см. разрез по А—А на рис.3,а). Далее по формулам (2) и (8) в тех же точках находим последовательно ег, es^
Yze и би> С помощью зависимости, изображенной на рис. 1, находим Екас в каждой
точке. При этом в общем случае может оказаться, что каждый участок каждого рас¬
четного сечения имеет свой касательный модуль упругости, т. е. расчетные сечения од¬
ной и той же грани-пластинки оказываются не идентичными. Коэффициенты (8) [2]
меняются от сечения к сечению, т. е. оказываются функциями z.Рассмотрим для иллюстрации коэффициент перед . Vц (г) в первом из уравнений
(7) работы [2]. На втором и последующих шагах нагружения этот коэффициент для
га-го горизонтального сечения по высоте грани можно вычислить по формулегде I — количество участков в расчетном горизонтальном сечении; /г —текущий номер>
участка; sn, бЛ — длина и толщина участка п.Для построения функций cpij (s) необходимо знать положение центра тяжести се¬
чения с переменным вдоль сечения модулем. Очевидно, что при определении положе¬
ния центра тяжести можно принять Екас постоянным для всего сечения и менять со¬
ответствующим образом только толщину участков. Построение новых функций ср** (s)
для каждого расчетного сечения необходимо для получения взаимно ортогональных функ¬
ций поперечного распределения для каждого элемента. При этом, однако, функции
q>ij (s) оказываются различными по высоте грани, т. е. как бы зависящими от z. А это
противоречит соотношениям (1). По-видимому, более правильным является принятие
одинаковых функций q)ij (s) для всех расчетных сечений одной грани, А это, в свою
очередь, приведет к отсутствию ортогональности функций для одного элемента и, со¬
ответственно, к появлению дополнительных членов в разрешающих уравнениях.Вычислив значения коэффициента ац,гу для всех расчетных сечений одной грачи
и отложив их на графике (см. рис. 3,6), получаем возможность аппроксимировать по-п
лученную дискретную зависимость каким-либо аналитическим выражением. Аналогич¬
но находим аналитические выражения для коэффициентов Chj. ту, dij,ту, ставших пере¬
менными по длине граней-пластинок и отражающих влияние связей швов.Таким образом, получаем левую часть системы линейных дифференциальных урав¬
нений с переменными коэффициентами для второго и последующих шагов нагружения.Следуя выбранной модификации шагового метода, необходимо в столбец свобод¬
ных членов (правую часть) решаемой «а последующем (2-м, t+1-м) шаге нагружения
системы уравнений ввести невязку А (г), (Представляющую собой в рассматриваемом
случае разность значений правой части системы линейных дифференциальных уравне¬
ний Ну (г), решаемой на предыдущем (1-м, t-м) шаге нагружения, и правой части
системы нелинейных дифференциальных уравнений Яну (z), получающейся в резуль-Формиро ванUQ исходной системы линейных дифференциальных
	уравнений с постоянными коэффициентами	Решение исходной системы уравнений с постоянными.коэффициентами -1-й ига г	Цикл по шагам нагрузки |		Цикп по каждому участку Всех расчленений граней-пластинокВычисление перемещений. u(Z, S) и ’tf'(Z)S)-i-u. и±аг1Цикл по
расчетной
Всех швовкаждой
точке
конструкцииIВычисление деформаций
sz 1 i:stjz,s	ВычиспениеТ*&1)Вычислениед~ЬТВычисление напр.XXВычислениеВычислениеВычислениес*Вычисление> & с > 'С .Z,SВычисление36%z,s)/3z;3i?[z$/}zПодстановка В нелинейные ураВненияП)
с целью получения фиктивной нагрузки
	Нуп (2) 6 правой частиВычисление значений пе¬
ременных коэффициен¬
тов для всех расчетных
сеченийВычисление функции - невязки
Л L (Zj по формуле ffi)Т.Аппроксимация функ¬
ций - КОЭфСриЦ.
по Высоте граней
аналитич. зависим.XФормирование правой части	формирование левой[см. (10)]	'	частирешаемой на последующем uiaee линейной системы
дифференциальных уравнений с переменными коэффициен¬
тами -(с +1) -й исагРешение уравнений (L + 1)-го uia?a с переменными
	коэффициентамиI	Печать результатов‘2* Зак. 50611
тате подстановки в нее найденного точного решения системы линейных уравнений на
том же (предыдущем) этапе.Другими словами невязка представляет собой разность значений правых частей си¬
стемы уравнений, описывающей приближенное упругое решение (для упругой задачи
это решение точное), и правых частей системы нелинейных уравнений, соответствую¬
щих определенному точному (но ненужному) решению.Таким образом, правую часть решаемой на (i-H)-m шаге системы линейных урав¬
нений следует принимать в виде суммы4+1 (г) = Нг+1 + Д' (г) (10); А/ (z) = Hly (z) — Н‘„у (г).	(11)Как следует из (11), для вычисления функции-невязки А* (z) необходимо знать
функцию Н1ну (z), представляющую в нашем случае фиктивную нагрузку, получаю¬
щуюся в правой части системы исходных нелинейных уравнений (7). Эта функция по¬
лучается путем подстановки в (7) значений напряжений, найденных с использованием
реальной диаграммы работы материала по деформациям, соответствующим точному
решению упругой задачи на предыдущем шаге (целесообразно проверять правиль¬
ность решения системы уравнений на каждом шаге нагружения, например, путем под¬
становки полученных результатов в исходные уравнения). Функция-нагрузка на пер¬
вом шаге нагружения Ну (z)=Hр (z) назначается как часть окончательной рас¬
четной нагрузки, а на всех последующих определяется выражением (10).Как видно из (7), для определения Н1ну (z) необходимо найти функцииda*(z, s)/dz; a* (z, s); т* (z, s); dx* (z, s)/dz; T\ (z) и dT*(z)/dz.Для определения значений первых четырех из этих функций на . краях участков
расчетных горизонтальных сечений можно использовать следующий алгоритм: по фор¬
мулам (3) определить значения az, сг« и т; по (в) найти a J и еи для упругого реше¬
ния; по таблице^графику рис. 11 найти а* ; вычислить коэффициент приведения k =
=,а//аи* определить o*2=k<5z> o*s=h(5ys , x*s =kxza\ найденные величины позволя¬
ют построить дискретные функции a* (zt 5), ,<j* (z, s) и r*s (z, s) во всех расчет¬
ных сечениях (ом. рис. 3,в); определить значения функций до* 1 (z, s)/dz и дх*(z, s)/dz~
Для этого найти аналитические функции (например квадратные параболы), аппрокси¬
мирующие функции Ia2(z, s) либо (z, s) вдоль оси z по краю каждого участка.
Такую аппроксимацию целесообразно осуществлять по трем точкам (рассматривая и
две соседние). Далее найти производные этих аппроксимирующих функций и тем са¬
мым получить дискретные функции doz (z, s)/dz и dxzs (z, s)/dz во всех точках рас¬
четных сечений; вычислить интегралы, входящие в (7). Интегрировать можно либо по
отдельным участкам сечений, либо построив аналитические аппроксимирующие функ¬
ции по всему сечению (или ряду точек).Для отыскания в расчетных уровнях вертикальных швов значений функций Т t (z),
дТ* (z)/dz и соответствующих слагаемых в уравнениях (7) следует: по формуле (9)
найти At; по таблице-графику рис. 2 определить Т* (z); по найденным величинам по¬
строить дискретные функции Т* (z., s) для каждого вертикального шва; определить
значения функций дТ* (z, s)/dz. Для этого необходимо найти аппроксимирующее
функции для Т * (z, s) по трем соседним точкам; далее получить производные этих
аппроксимирующих функций и тем самым построить дискретные функции дТs (z, s)/dz
по длине всех швов. .При этом .следует обратить внимание на правильный выбор систе¬
мы координат, что может повлиять на знак функций дТt (z, s)/dz; вычислить соответ¬
ствующие слагаемые в уравнениях (7).В результате оказываются вычисленными левые части всех уравнений (7), т. е. оп¬
ределены значения функций Н 1ну (z).Следует сделать еще несколько замечаний, касающихся вычислительного алгоритма
в целом. Во-первых, необходимо помнить, что перемещения, деформации и напряжения
(ог* asH T'gs)» полученные на 2-м (i-f-tlнм) шаге, следует складывать с соответству¬
ющими величинами, полученными на 1-м шаге (накопленными за i шагов). Во-вторых,
величина шага нагрузки зависит от сравнительной величины функции-невязки и функ¬
ции нагрузки на шаге. Если значения функции-невязки оказались большими, то сле¬
дует, не решая заново уравнений, уменьшить нагрузку, т. е. соответствующим обра¬
зом уменьшить значения функций u(z, s), v(z., s) ez(z, s). Тем самым можно
без пересчета уменьшить шаг нагрузки и соответствующую величину невязки.
В третьих, процесс вычислений целесообразно продолжать до достижения расчетной на¬
грузки при удовлетворительно малых значениях функции-невязки.12
Изложенная выше методика учета неупругих свойств материалов позволяет полнее
оценить напряженно-деформированное состояние и несущую способность конструкциий
зданий, тем самым обеспечить большую надежность этих конструкций.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Б. П. В о л ь ф с о н. Исследование пространственной работы составных конструкций. Доклады
АН СССР, т. 149. 1963, № 1.2.	Б. П. Вольф с он. Расчет зданий как сборных (монолитных) тонкостенных пространствен¬
ных систем. «Строительная механика и расчет сооружений», 1972, № 5.3.	Справочник. Прочность. Устойчивость. Колебания. Т. I. М., «Машиностроение», 1969.4.	Ю. Н! Р а б о т н о в. Сопротивление материалов. М., Физ'матгиз, 1962.Канд. техн. наук М, М. ОСИПОВ, инженеры А. С. ЯКОВЛЕВ и В. И. ДАВЫДОВ
(Кабардино-Балкарский госуниверситет, Нальчик)УДК 725.36:624.012.4.040 давлении сыпучих в процессе движения на стенки
железобетонных силосовДавление сыпучего материала, действующее на стенки силосных сооружений, явля¬
ется предметом теоретического и особенно экспериментального изучения исследователей
различных стран на протяжении последних десятилетий [п.К 'настоящему времени накоплен большой практический материал о железобетонных:
силосах и о причинах их аварий в СССР .и за рубежом [2—3]. Повторяющийся харак¬
тер аварий и повреждений этих сооружений позволяет выявить не только дефекты про¬
изводства, но и недостатки при проектировании. Большинство экспериментальных и
теоретических исследований давления на стенки силосов, недостаточно полно охваты¬
вает все определяющие параметры, которые характеризуют процесс движения сыпуче¬
го. Методика экспериментальных исследований такова, что данные экспериментов не
позволяют математически описать закономерность изменения давления и других ве¬
личин в заданной точке силосного сооружения.Ниже описывается метод (разработанный М. М. Осиповым) определения горизон¬
тального давления Р (МПа) на стенки железобетонных силосов и иллюстрируется на
практическом примере получение разрешающих функций Чг для расчета давлений.Чтобы найти систему определяющих параметров, составим уравнение энергии для
элементарного слоя высотой dH, вырезанного из силоса; в общем виде для материала
стенки с линейной зависимостью между напряжением а и деформацией 8 его можно
записать так:£* + Un + Л + UT + UQ T + UA = const,	' (1)где Ек — кинетическая энергия слоя; Un и Un — энергии соответственно потенциальная
и деформаций; Л и UB.т — энергии соответственно равная работе сил, которую произ¬
водит слой сыпучего, находящийся выше элементарного, и равная работе сил внутрен¬
него трения сыпучего; UT — энергия, производимая силами трения сыпучего о стенки
силоса.Если раскрыть содержание каждого слагаемого в (1), то станет очевидным, что
на стенки силоса при выпуске сыпучего будет передаваться давлениеР = /(£, Я, у, g, у, /д, ф, а),	(2)где Е (МПа) — модуль упругости, характеризующий упругие свойства материала стен¬
ки; Н (м)—некоторый характерный размер, через который можно выразить все раз¬
меры силосного сооружения; у (кг/м3)—средняя плотность сыпучего материала;
g (м/сек2)—ускорение силы тяжести; v (м/сек)—скорость движения сыпучего в си¬
лосном сооружении; /д — коэффициент трения сыпучего о стенки при движении; ср —
угол внутреннего трения сыпучего; а (м) — размер ячейки в плане. Примем за основ¬
ные единицы Н, уу v, так как составленный из показателей их размерностей определи¬
тель Д = —1=7^0. Выразив величииы формулы (2) ,в этих единицах, получим связь меж¬
ду безразмерными комплексами. Окончательно получимР = УНЧ1(Е/УН, v*/gH, /д, ф, а/Н).Рассмотрим случай, когда а/Н есть величина постоянная. Для этого случая вместо
функции Ч7! введем функцию XF.Для определения функции ^ (были изготовлены из органического стекла три гео¬
метрически подобные модели М\, М2, Мъ, соответственно в Vio* Vis и Vie натуральной
величины железобетонного квадратного силоса, высотой 20 м и размерами ячейки в
плане 4X4 м (рис. 1).В качестве сыпучего было использовано зерно (пшеница), средней плотностью у =
= 775 кг/м3. Нагрузка создавалась давлением зерна при засыпке «струей», а также
равномерным давлением воздуха. В соответствии с видами нагрузок опыты состоялиia
из следующих частей: а) нагружение моделей давлением воздуха (пневматическое та¬
рирование моделей); б) нагружение моделей давлением зерна. Пневматическое тариро¬
вание проводилось путем ступенчатого нагружения. Ступени нагружения принимались
равными 0,2 кН/м2. Отсчеты во время тарировки снимались после каждой ступени на¬
гружения, что позволило определить зависимость между давлениями и радиальными
перемещениями и построить тарировочные кривые. Перемещения стенок замерялись
одновременно в 7 точках >по образующим а, Ь, с (.рис. 1) с помощью специальных при¬
боров, состоящих из индикатора часового типа и приставки к нему в виде стальной
«скобочки», на которую наклеивался проволочный датчик. Датчики таких приборов
включались в мостовую схему универсальной тензометрической установки УТС1-ВТ-12,
импульсы которой записывались с помощью шлейфового осциллографа Н 105 на лен¬
ту. Показания индикаторов использовались для контроля осциллограмм. В каждой
модели создавались скорости, подобные скоростям в натурном сооружении, при произ¬
водительности ленты транспортера 1*00 т/час, 200 т/час, 300 т/час [4]. При этом ис¬
пользовалась формула и^ =vK (Hi!Hn)1/2 (A &=1, 2, 3), которая получена из закона
подобия Фруда в предположении, что в натуре и в моделях движется одно и то же
сыпучее. В результате вычислений получены значения скоростей v\k\	соот¬ветственно для моделей Мь М2, М3:aj1) = 0,74^мм/сек, = 1,48 мм/сек, и{3) = 2,22 мм/сек;=0,65 мм/сек, v^ = 1,30 мм/сек, v^3) = 1,95 мм/сек; .	(3)= 0,584 ~мм/сек, v^ = \,l7 мм/сек, i^3* = l,75 мм/сек.Максимальные значения давлений P\k^ (I, &=1, 2, 3) для каждой из семи точек
•получены экспериментально при скоростях (3). Экспериментальные значения давлений
приведены в таблице в МПа-10-5-№ точекМодель 1 при23VivtvaVlv2*1V»16669,564,557,4557,4557,452934,838,52106,5ИЗ114,584,484,479,177,47675,33184,5190,9192,5134,1129,3127,491,999,2;io3,i4201,1210,6202,9149,6153,9161,4123,3123,3117,55262,1258,8265,5196,2198,7205,9145,7142,3146,86282287291210,9215,1224,1152,7156,81627233238242175179185 •135138142В дальнейшем все вычисления проводились для точки шесть, как наиболее харак¬
терной. Осциллограммы давлений в этой точке для скоростей (3), показанные сплош¬
ной линией при П.1), штрихпунктирной при	пунктирной при	приводятсясоответственно на рис. 2,а, б, в. На рис. 2, 3, 4, 5 вместо /МО-3 должно быть /МО-5.Эксперименты показали, что сразу после открытия задвижки, давление растет для
большинства точек, особенно для тестой точки, расположенной в нижней трети высо¬
ты моделей.44
По данным таблицы были построены графики зависимости = P^lyHi от
1/П2i=yHi/E, где £=2890,2 МПа — среднее значение модуля упругости, найденное по
деформациям вырезанных из моделей плоских рам, на которые действуют две проти¬
воположные силы [5]. Полученные кривые имеют вид параболы второго порядка, по¬
этому теоретическую зависимость Р=у¥ (Н) можно подбирать так же по параболе
второго порядка, как наиболее простой и удобной в практическом отношении кривой:Т(П 2) = аН* + ЬН + с.	(4>Уравнение (4) можно записать в следующем виде:¥ (П2) = аг т2 + Ьг т + сг,	(5)где аг = а (Е/у)2; Ьг = Ь (Е/у)\ сх = с\ т = у Н/Е.Из (5) видно, что аь Ьи С\ не зависят от уН/Е, Следовательно аь Ь\, С\ зависят от
числа Фруда Fr=v2/gH, f д, <р. Можно принятьо>\ = Ах Fг2 A2F г -f- Лз! bi = Bi F г2 -\-В% F г -f- B§\ c* = F r2-J- C%F t -J- C3. (6).Здесь Ai = Ai (/д, ф); В/ = £/(/д, <p); £/==£/(/д> ф)> * = 1» 2, 3.Подставив (6) в (5), получим разрешающую функцию для определения гори¬
зонтального давления:уlk = MlFr\k)1 +A2Fr<*> + As) (y H,/E)* + (B1Fr<*>* + BZFr<*> ++ B3) (yHt/E) + (CxFr<*>* +C,Fr<*> +[C3),	(7)где i — номер модели; k — скорость движения сыпучего в i-й модели; Для определения:
неизвестных коэффициентов Л*, В*, С* составлено девять линейных алгебраических:
уравнений.Система уравнений решалась на ЭЦВМ типа «БЭСМ—4», получены следующие зна¬
чения неизвестных коэффициентов:Ах——0Д291-ЮР4, Я, =0,1106-1019, С!=—0,23Ы018;Л2=0,21261 • 1017, В2=—ОДШ-Ю12, С2=—0,4754.10е;Л3=—0,10612-1011, £8=<и<И7-1(Л С3=—0,7569* 10”"1.Подставляя значение этих коэффициентов в (7), получим выражение разрешающей
функции в точке шесть. Горизонтальное давление в этой точке определяется по фор¬
мулеРв = уН (— 0,1291.1024 Fr2m2 + 0,2261.1017 Frm2 — 0,1062* 1011 т2 ++ 0,1106-1019 Fr2 m — 0,2004-1012 Fr m + 0,1047-10« m — 0,231 • lO*3 Fr2 ++ 0,4754-10* F r — 0,7569-10-1 ).Аналогичным путем могут быть получены формулы для определения давления в остав¬
шихся шести точках.Таким образом, были получены формулы для определения давления в заданной
точке, в зависимости от всех определяющих параметров, участвующих в процессе.На рис. 3 даны кривые горизонтального давления для натурного железобетонного
силоса зернового элеватора с размерами ячейки 4X4 и высотой 20 м, построенных/N2510151 ^
2\3\\\ач\.d3V\ 'Vi.¥*Г\^Тa\s\N5N5 .1ftРунШиW\,6рцн2Df ,Рян7Уз77 .Рис. 4Рис. 515*
по формуле Янсена [6] (кривая а) и по полученным формулам для y = 775 кг/м3 и
£ = 265* 102 МЛа (бетон М 200) три скоростях опорожнения =2,334 мм/сек (кри¬
вая Ъ), 1/д2) =4,668 мм/сек (кривая с), v^ =7,002 мм/сек (кривая d)y соответствен¬
но для производительности ленты транспортера 100 т/час, 200 т/час, 300 т/час.Из приведенных на рис. 3 данных видно, что характер изменения давлений по вы¬
соте различен: в пределах верхней зоны давление близко к статическому, вычисленному
по Янсену, в средней зоне наблюдается рост давления, а в нижней трети силоса (в
точке 6) оно становится значительным — в 1,5 раза превышает давление по Янсену.
Заметим, что характер распределения давления по высоте силоса неравномерен и рез¬
ко отличается от давления по Янсену.На р.ис. 4 и 5 приведены кривые горизонтальных давлений, построенные также по
полученным формулам соответственно для £=290-102 МПа (бетон марки 250) и Е =
= Э1‘5-102 МПа (бетон марки 300). На этих графиках для сравнения даются кривые
горизонтальных давлений по Янсену (кривые а). Как видно из рисунков, с увеличени¬
ем марки бетона давление на стенки возрастает. Данные теоретических исследований
позволяют отметить, что с увеличением жесткости стенки давление увеличивается. Это
подтверждается и экспериментальными исследованиями [7].Выводы. 1. Предлагаемый метод позвюляет определить действительное давление в
любой заданной точке сооружения с учетом всех определяющих параметров, участву¬
ющих в процессе, а также закономерность изменения давления. 2. Использование при
расчете силосов действительных эпюр давления позволит повысить надежность и дол¬
говечность сооружений.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	А. М. Курочкин. Давление зерна >в «силосах. Исследования напряженного состояния желе¬
зобетонных силосных сооружений, вып. 3. Саратов, 1971.2.	А. Н. Ш кин ев. Аварии на строительных объектах, их причины и способы предупрежде¬
ния и ликвидации. М., Госстройиздат, 1962.3.	О. Ф. Таймер (О. Theimer). Мюнхен, ФРГ. Аварии железобетонных силосо© зерновых
элеваторов. Конструирование и технология машиностроения. Тр. американского общества инжене-
ров-механиков, № 2. М., «Мир», 1969.4.	Альбом «ормалей транспортирующего оборудования для зерна и муки, JVb 5956/126. М., НИИ-
промзернопроект, 1966.5.	М. М. О с и п о в, А. С. Яковлев, В. И. Дав ы д о в. Исследование модуля упругости орг¬
стекла в моделях силоса (рукопись принята к печати).6.	Указания по проектированию силосов для сыпучих материалов СН 302—65. М., 1965.7.	Б. М. Иванов. Исследования механизма передачи давлений зерна на стенки '’.илосов при
перем>ен.ны.х параметрах зернового потока. Автореферат дисс. на соискание уч. степени канд. техн.
наук. Одесса, 1971.Канд. техн. наук К. JI. СУРОВ (ВЗИСИ, Москва)УДК 624.074.4.04Расчет пологих тонких оболочек в усилияхИз различных систем дифференциальных уравнений, пригодных для расчета поло¬
гих тонких оболочек, на практике используются преимущественно следующие [1—3]:
система в компонентах вектора смещения, система смешанного метода расчета относи¬
тельно функций прогиба и напряжений и уравнение 8-го порядка относительно потен¬
циальной функции.В работе [2] для решения задач расчета оболочек впервые было предложено непо¬
средственное использование исходных уравнений равновесия и соотношений упругости.
При этом число искомых функций 'системы доводилось до 13. В развитие этого направ¬
ления, «по соображениям, изложенным ниже, для интегрирования с помощью ЭВМ ис¬
пользуется система четырех дифференциальных уравнений 2-го порядка, относительно
основных силовых функций: двух мембранных усилий Nx, Ny и двух изгибающих мо¬
ментов Мх, Му:	_Тц Ny + T£j Nx + Тц Мх + ТЦ Му = В,	(1)где i = 1, 2, 3, 4; /= 1, 2, 3, 4; B—z при i=2 и В= 0 при i= 1, 3, 4.Два уравнения этой системы получаются непосредственно из уравнений смешанно¬
го метода, третье — путем линейных преобразований суммы двух уравнений системы в
компонентах вектора смещения и четвертое — из соотношений упругости. В результате
для гладкой изотропной оболочки операторы системы (1) получают вид:Т11 = Т22 = д2/дх2 + 2д*/ду2; Г12 = Г21 = д*/д у*\ Т13 = Т31 = Г24 = Г42=С/ЯУ;Г33 = Ти = д*/д *2; Т34 = Г43 = Г32 = Г41 = 0; Ты = Г23 = С/Rx.16
В системе (1) для удобства дальнейших выкладок мембранные усилия Nx и Nv оп¬
ределены с точностью до постоянного множителя 1/С=/г/2уз (h — толщина оболочки).
Путем линейного комбинирования строк операторы системы (1) могут быть приведены
к более удобному для интегрирования ортогональному виду:Тп=Т3з=д2/д*2 + 2д*1д у2 - ClRy; Г12 - Г34 = д*/д у2 - C/Rx;Тг з = —Г31 = а2/а х2 + 2д*/д у2 + С//?у; - Г14 = Г32 = а2/а у2 + С/Яг21 = г43 = а2/а X2 - ciRy; г22 = г44н а2/а у2 + 2а2/а *2 - с/я*;
-723 = г„ = а2/а *2 + с//?у; -г24 = г42 = а2/а у2 + 2а2/а *2 + с/я,,т. е. квадранты матрицы дифференциальных операторов системы (1) после преобразо¬
вания попарно симметричны. При этом компоненты грузового вектора будут иметь
значения: b\ = b2 — —Z; 63 = 64=Z.В случае наличия у оболочки переменных значений главных кривизн и жесткост-
ных характеристик операторы системы (1) получают вид:Та = ах а2/а х2 + 2а2 д2/д у\Т а3 C/Ry; Ti2 = рх д2/д у2 =F Рз C/Rx;Тis = Т Yi d2/d х* т 2Тг d2/d I/2 — Y3 C/Ry;ти = т«! a2/a у2 т 63 с//?*, »= i, з;Tn = a1d2Jdx*4:a3C/Ry; Ti2 =	у* + 2fcd*/d х2 Т $3C/RX; [(2>Т'/з = Т Yi д2/д х2 — уз С/Ry‘,Та = Т 6i д21д у2 Т 2б2 32/Э — б3 C/Rx, i = 2, 4,при i= 1, 2 в (2) следует принимать верхний знак, при i= 3, 4 — нижний.Как обычно, при переменных значениях характеристик жесткости и кривизны обо¬
лочки, симметрия квадрантов матрицы дифференциальных операторов системы (1)
соблюдается в этом случае лишь при определенных соотношениях аг-ма3, Pi-т-Рз, Yi~=“Y3»
61Ч-63 — безразмерных функциональных коэффициентов, характеризующих изменения
кривизн и жесткостных характеристик оболочки в направлениях действия усилий. За¬
пись операторов исходной системы в форме (2) без добавочных членов, включающих
производные над функциями, описывающими изменения кривизн и жесткости оболоч¬
ки в данном случае возможна, поскольку при выводе уравнений системы произведения
функций не попадают под операции дифференцирования.В случае необходимости учета нелинейных факторов при решении системы (1), до¬
бавочные нелинейные члены имеют простую структуру в виде произведений искомых
функций с заданными числовыми коэффициентами, типа aMxMv, eMxNx, cMvNv и т. д.Для численного интегрирования в конечных разностях на ЭВМ как по линейной,
так и по нелинейной моментным теориям, система с операторами (2) имеет следующие
преимущества:1.	Дифференциальные операторы системы включают только вторые производные по
направлениям х и у, при отсутствии смешанных производных, что обеспечивает наибо¬
лее удобную структуру для аппроксимирующей системы алгебраических уравнений.2.	При конечно-разностной аппроксимации отпадает .необходимость рассматривать
законтурные точки, что существенно снижает общий порядок системы алгебраических
уравнений.3.	Граничные условия общего характера относительно искомых функций легко фор¬
мулируются, а контурные операторы имеют простую структуру и получаются из об¬
щих уравнений системы, путем отбрасывания некоторых членов.4.	Отсутствуют дифференциальные операции над функциями, характеризующими
изменения кривизн и жесткостных параметров, если эти величины являются перемен¬
ными.5.	Ликвидируется противоречивость граничных условий в угловых точках контура,
так как в системе отсутствуют смешанные производные.6.	В связи с изложенным в пп. 2, 3, 5 наличие отверстия практически не усложняет
расчета оболочки.7.	Переход к расчету по нелинейной моментной теории не вызывает затруднений в
связи с простой структурой нелинейных членов дифференциальных уравнений.8.	Получается большая точность решения, ввиду отсутствия погрешностей вычисле¬
ний, неизбежных при переходе от малых величин-деформаций к большим величинам-
усилиям.9.	После решения системы (2), усилия сдвига S, кручения Н и прогибов W можно
определять решением отдельных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го по¬
рядка, например: —Dd2W/dx2=Mx\ d2S[dx2=d2Nx/dxdy и т. д. (D — цилиндрическая
жесткость оболочки).К недостаткам системы (1) следует отнести необходимость решения шести уравне-
ний вместо четырех три наличии у оболочки, кроме .главных кривизн по ортогональным
направлениям, кривизны кручения, с добавлением в качестве искомых функций сдвига
и крутящего момента Я. Однако такие оболочки редко встречаются на практике, а17
для оболочек постоянного кручения типа гиперболического параболоида можно иметь
аналогичное автономное решение, которое локализуется относительно двух функций5	и ЯМатрица коэффициентов системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей в
конечных разностях систему (1), имеет устойчивую и удобную для решения струк¬
туру.При этом целесообразно применение итерационных методов решения этой системы,
что дает существенную экономию в использовании оперативной памяти ЭВМ и поз¬
воляет не прибегать к внешним запоминающим устройствам. Наибольший эффект дает
использование способа, предложенного автором и изложенного в [4]. Способ состоит
в рекуррентно-циклическом решении методом Зейделя системы (A+kE)Xn = B +
+kXn-u где А заданная матрица; Е — единичная матрица; k — число; В — вектор
свободных членов; X — вектор неизвестных; п — номер итерационного цикла. Сходи¬
мость процесса для любой матрицы Л, при надлежащем выборе числа &=const, дока¬
зана в [4].Для изложенного способа расчета пологих оболочек автором была составлена про¬
грамма в ВЦ ЦНИИСК им. Кучеренко, применительно к ЭВМ М-220. Время счета при
100 узлах конечно-разностной сетки составляет 25—3-0 мин. Результаты решения кон¬
трольного примера ло указанной программе приведены ниже.Исходные данные: размер оболочки в плане — 20X20 м, толщина ft = 2,7 см=const,
главные радиусы кривизны &c=i;y=05 м, нагрузка — равномерно распределенная, ин¬
тенсивностью 10 кН/м2, шаг сетки—1,67X1,67 м, граничные условия — края оболочки
свободны от сил и закреплений, угловые точки контура неподвижны. Полученные по
линейной теории значения усилий Ny Н/м, Му Нм/м для lU плана оболочки приве¬
дены соответственно в табл. 1, 2. Значения функций Nx, Мх ортогональны приведен¬
ным.Таблица 1уX01,673,335,06,678,3310,00—12490000001,67—2451—1250— 756— 528,7— 416— 364— 349,73,33Г—2498—1742—1248,6— 949,7— 778,4— 694— 669,85,0—2497—1968,5—1547,6—1248,6—1059,8— 962— 933,2«,67—2497—2081—1718,6—1437,2—1248,3—1147,4—1117,38,33—2497—2133—1802,8—1534,7—1349—1248—1217,710,0—2497—2147—1827—1563,2—1478,8—1278—1247,8Таблица 2У491,673,335,06,678,3310,00+0,290000001.67+3,17[-0,29—0,65- 2,40—4,70—6,80—7,703,33+0,14-0,65+0,008- 2,70—6,80—0,60—2,105,0+0,005-2,40+2,70b 0,02—4,90—9,70—1,706,67+0,006-4,70+6,80- 4,90+0,02—5,10—7,308.33+0,007-6,90+10,60- 9,70+5,10+0,004—2,2010,0+0,013-7,70+12,10-11,70+7,30+2,20+0,006Начало координат принято в углу оболочки и соответствует элементам приведен¬
ных матриц при х=у=О. Сечения угловых опор приняты равными половине шага сет¬
ки, т. е, 0,83X0,83 м.Вывод. Изложенный метод расчета пологих тонких оболочек имеет ряд преиму¬
ществ, указанных выше, по сравнению с методами решения в перемещениях или функ¬
циях напряжений и прогиба, особенно при наличии определенных осложняющих факто¬
ров: переменных значений кривизн и жесшостных характеристик, отверстий, произволь¬
ных граничных условий, учете нелинейных зависимостей.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	В. 3. Власов. Общая теория оболочек. М., Гостехиздат, 1949.2.	И. Е. Милейковский. Новый вариант уравнений смешанного метода расчета складок и
оболочек. Об.: «Строительная механика». М., Ласстройиздат, 1966.3.	А. А. Назаров. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. М., Гоостройиздат,
I960.4.	К. Л. Суров. Расчет пологих тонких оболочек с учетам осложняющих факторов. Сб.: «Рас*-	яет (Цространстввиных конструкций», № 16. (М., '1975.18
Инж. И. В. АНДРИАНОВ, д-р техн. наук проф. J1. И. МАНЕВИЧ(Днепропетровский государственный университет),
инж. JI. А. НАЛИВАЙ КО (Днепропетровский химико-технологический институт)УДК 624.073.04К расчету круглых цилиндрических ортотропных пластин,
подкрепленных радиальными ребрамиБольшая часть выполненных в рассматриваемой области работ относится к расчету
констфуктивно-ортотропных пластин (ом. [1—3]). Вопросы учета дискретности ребер»
исследовались в [3—6]. При этом условия сопряжения пластины и ребер удовлетворя¬
лись, как правило, приближенно, в нескольких точках [5, 6]. Такой подход не позволя¬
ет без проведения большой серии расчетов при различных значениях геометрических и
жесткосгных параметров определить область применимости конструктивно-ор*г6тропной
теории. Особенно значительные трудности возникают, если сама пластина ортйтропна:.Предложенный в настоящей работе асимптотический метод позволяет получить приб¬
лиженное аналитическое решение ряда практически важных задач.	* f!1.	Исследуются задачи плоского напряженного состояния и изгиба круглой цилинд¬
рически ортотропной пластины (оплошной или кольцевой), регулярно подкрепленной:
радиальными ребрами переменной Жёсткости. Принимается схема контакта по линии.
Ребра, обладающие сосредоточенными жесткостями на растяжение-сжатие EF, и из¬
гиба EI, расположены симметрично относительно срединной поверхности пдшстинии.Рассмотрим сначала плоское напряженное состояние. В этом случае задача сводит¬
ся к системе уравнений равновесия относительно компонент вектора перемещений
иг и uq :п— 1и {иг, и0) = Uo к, и,) + г-1 [а (Е Fdur/dг)/д г] 2 6 (9 — \*=0—2 я k/n) s Вг З2 иг/д г2 + (Вг/г) д иг/д г + Gr # г~2 д2 иг/д 02 +
+ Г\ (v, Bf+Grb)d*uJ дгдЬ- г”2 (Gr , + Вь) д иь/д 6 - г-2 Ве щ ^/1—1+ г-1 [д (Е F д иг/д r)/dr] ^ S (6 — 2 я k/n) = 0; Ц(иг, и9) = г~ 2 х ; ,k=0x^Kj/ae^+G^a^^/a^ + r-1 (v,b6 + Gri)d*ur/drde ++ r~2 (Be + Gr e)9 ur>d 6 + r_1 Gr ed “e / a r — r~2 Gr e ие = 0	^ -1*-при соответствующих краевых условиях.Здесь г, 0—полярные координаты (г0^г^7?0, О^0^2я); Вт, Bq —жесткости,
пластинки на растяжение-сжатие в радиальном и тангенциальном направлениях; Gr0J—
жесткость на сдвиг; yr; —-коэффициенты Пуассона; 6(0) —дельта-функция Дирака.Пусть краевая нагрузка изменяется плавно (номер т высшей гармоники, учиты¬
ваемой в разложении краевой напрузки по тригонометрическим функциям, значительно
меньше п (т<^п). Тогда для решения исходной задачи может -быть использован разви¬
тый в [7, 8] асимптотический метод, причем в качестве малого параметра выступает
величина Е = т/п.Разложив в рад Фурье [7] функциюП—1	/00	\2	6(9-2я*/п) = (1/2я) 1+2 2со«/я6	О-2**=о	\ /= 1	/и ограничившись в (1.2) постоянной составляющей, получаем из (1.1) ооредненную сис¬
тему, соответствующую конструктивно-ортотропной теории:Lio (40), М0О)) + ^ ^ (eF	= 0; I20 (4°) , u<°>) = О.1...; (1.3>Граничные условия для системы (1.3) находим аналопично.Останавливаться на решении полученной краевой задачи не будем, так как здесь
могут быть использованы хорошо развитые точные [1—-З] или приближенные [9J
методы.Представляя решение исходной системы (1.1) в виде«Г = 40) + 4°; ие = ue0) + “е}^ -4>19
подставляя (1.4) в (1.1) и учитывая (1.2), (1.3), получаем для определения дополни¬
тельных перемещений \ исследующую систему:л / ди\ 00h («<■>, u<1,)=—— —	^—) 2 cos / и 0; (4° - “е)) = °- С1-5)г и	п г дг \	dr ) j=1	°(Граничные условия для системы (1.5) находим аналогично.Предположение о малости е (e<Cl) позволяет использовать для решения системы
(1.5) асимптотические методы [10].Частный интеграл ее в первом приближении по е можно определить, сохранив в ле¬
вых частях уравнений (1.5) производные максимального порядка по 0:ОгЬд2 ы<Ш)/а в2 =- (п/л г) \EFd* и(г0)/д г*+[д (EF)/d г] ди^/дг} 2 cos / п 6;/=1г-1 в е а и^0)/д в = - к ве + аг,) au<10>/a г + г-1 (в, + аг,) «<(10)(1.6):Г EF V . / ■ 2nk\
I В г + — 2 6 I 0 — I1 Rq k=0 \ п /Найденное из соотношения (1.6) частное решение, вообще говоря, не удовлетворяет
граничным условиям, причем краевая невязка бысщропеременна по 0. В этом случае
компенсирующее ее решение однородной дополнительной системы (1.5) имеет характер
пограничного слоя [10], т. е. изменяемость функции и^1\ ы^погиО велика. Это Дозво¬
ляет ограничиться в первом приближении в системе (1.5) производными максимального
порядка по г, 0. Кроме того, поскольку рассматриваемое состояние быстро затухает с
удалением от границ, можно «заморозить» переменные по г коэффициенты, положив
их равными значениям три r=R0 (или г=г0) [10]. Окончательно получим (рассматри¬
вается край r=R0, для г=г0 система аналогична)(р.и{п)	д2и]}1^ v0 В г q а2^11*дг*	R% д®2	*о	дгдЬ	. (1.7)/V2 BQ &u<Qn)/dt* + GrQd*4nQ)/dr* + R^[ (vr BQ + Gr 0 )д* и^/д г д Ъ = 0.При выводе (1.7) принималось, что d(EF)jdr &EFfR0.Переход от системы (1.1) к системе (1.7) отражает тот физически очевидный факт,
что при быстрой изменяемости краевой нагрузки напряженное состояние круглой плас¬
тинки мало отличается от напряженного состояния полуплоскости.Таким образом, расчет состояния типа пограничного слоя свелся к интегрированию
уже изученных .в работе [8] уравнений (1.7).2.	Перейдем теперь к задаче об изгибе, рассматриваемой пластинки, которая сводит¬
ся к решению уравнения равновесия относительно функции прогиба до:п—1L (до) = L0 (до) + г-"*1 [д2 (Е I д2 w/d г2)/а г2] 2 8 (0 — 2 я kjri) д2 w/д г2 = Drd* wjd г4 +k=0+ 2 D й r~2 a4 wldr2 д е2 + Da г~4 д4 до/d 04 — 2 D г~3 XГ 0	о	/■ 0:х dsw/drdbi-\-2r~l Dr д3 w/д г> + 2 (Dfl -f Dr 0) r~A d2 w/д 62 + D0 r~z dw/dr —П— 1—	r~2 D a2 an/а r2 + г 1 [a2 (EI a2 w/д r*)/d r2] 2 S (0 — 2 я k/n) = <7 (r, 0) (2.1)*=0при соответствующих граничных условияхЗдесь q(r, 6)—распределенная нормальная нагрузка, которая предполагается мед¬
ленно меняющейся по г и 0; DTi DQ—нагибные жесткости относительно осей 0 и г со¬
ответственно; DrQ =Dr v0 +2Z)K; Z)K — жесткость кручения.Применяется описанный выше метод. В результате осреднения жесткостных харак¬
теристик ребер приходим к уравнению равновесия конструктивно-ортотропной пластиныLio = L0 (до0) + (1/2 я г) д2 (д2 до0/а г2)/д г2 = q	(2.2)при соответствующих (также ооредненных) граничных условиях.Представив до в виде до-=до0+^1 и учитывая (2.2), '(1.2), получаем для определения
дополнительного перемещения w\ следующее уравнение:■ a4 w0 д (Е I) аз Wq д2 (Е I) д2 w02L Ю = — —Я гаг4 1 дг аг3 ' дг2 дг22	cos jn 0 = 7* (w0). (2.3)/=1Асимптотический анализ уравнения (2.3) по малому параметру е=1/п [7, 8, 10]
показывает., что частное решение (2.3) Дою в первом приближении определятся следую¬
щим образом::20
Wl° - ~~ DB п* яa (e i) d*w0 a2 (e /) а2ш03	3 -Я	X -9.	3a г dr3	dr2 dr2•jt,(0). (2.4)Здесь 4jp3(0)—периодическая функция /периода 2я/я, которую на участке —^л/п можно (представить в виде*ф3 (0) = я4/90 — я2 п2 0а/12 + я п? 03/12 — л4 04/48.Решение Шц однородного уравнения, соответствующего (2.3), имеет характер погра¬
ничного слоя [10] и позволяет удовлетворить всем краевым условиям. При д'(Е1)/дг«
^EI/Ro оно определяется из уравнения[Ei г 2яН1 а4шп	1 а4дои 1 a4wnъ+т 2 « (•-—)] -jr + 2D„ 7Г5^, + «, V	(2-5)причем все переменные коэффициенты в (2.5) «замораживаются» (r=R0 или г=г0 в
зависимости от того, какая граница рассматривается).Здесь уместно кратко рассмотреть предложенный в [3, 4] «метод возмущений». По¬
следний представляет собой -метод последовательных приближений, причем за нулевое
приближение принимается конструктивно-ортоттропное решение до0, а последующие оп¬
ределяются из системы Lo(Wi)=q*(Wi-\)t i=l,2,... Однако даже если расстояние меж¬
ду ребрами достаточно .мало ;по сравнению с периодом внешней- нагрузки (в противном
случае конструктивно-ортотчропное решение неприменимо в качестве нулевого прибли¬
жения), изменяемость q*(<Wi-1) .по 0 велика по сравнению ,с изменяемостью w0 и опре¬
деляется расстоянием между ребрами. Следовательно, возможность применения для
поиска Wi (/>0) метода усреднения жесткостных характеристик становится сомнитель¬
ной, так как ребра относительно новой фиктивной нагрузки q*(Wi-{) расположены ред¬
ко (.по одному ребру на период). В этом случае конструктивно-ортотропна я теория не¬
применима. Если найденный в [3,4] частный интеграл дополнительного уравнения еще
может быть оправдан на основе полученных в настоящей статье результатов [см. (2.4) ]
(хотя он и переусложнен из-за непоследовательности проведенных в ;[3, 4] упрощений),
то компенсирующее невязку решение типа погранслоя должно определяться из урав¬
нения (2.5).3.	В качестве примера приведем расчет сплошной изотропной круглой пластины,
подкрепленной п радиальными ребрами переменной жесткости El (г) —E0I0r/R0t Е010 =
= const, защемленной по контуру и нагруженной равномерной поверхностной нагруз¬
кой q. Конструктивно-ортотролное решение в этом случаеЧастное решение (2.4) дополнительной системы (2.3) может быть представлено в
виде суммы двух составляющих:Первая имеет такую же изменяемость в кольцевом направлении, как -и конструктивно-
ортстропное .решение w, и мала (порядка (£//30) (2л/я)4 по сравнению с ним. Следова¬
тельно, в первом приближении эта составляющая может быть опущена. Краевая не¬
вязка, возникающая за счет второй составляющей, должна 'быть компенсирована реше¬
нием однородного уравнения (2.5). Поскольку ребра являются осями симметрии, можно
ограничиться исследованием области О^0^2я/П.Выпишем условия сопряжения ребер с пластиной [12]:Здесь индексы «in л юс» и «минус» означают, что данное усилие (перемещение) вычис¬
лено при 0->-О оправа или слева соответственно.Из условий '(3.1) в силу симметрии получаемУчитывая, что изменяемость по 0 и г в рассматриваемом состоянии велика, а приве¬
денная жесткость ребра, как правило, не меньше цилиндрической жесткости пластины
(£//2лЯ0/^^1), условие (3.2) можно приближенно заменить {13] : иу(°) = 0 при h=0.Таким образом, расчет состояния типа пограничного слоя (2.5) можно свести к рас¬
чету защемленной по сторонам 0=0; 2я/п полуполосы (R0 считается достаточно боль¬
шим для затухания состояния рассматриваемого типа при г-МЗ).Для нахождения решения используем метод Канторовича [11], представляя wn в
виде, удовлетворяющем граничным условиям (3.3) и до(°)=0 при г = 0:щ = Я Ro (Г? — l)2/8 D (8 + 9 EI); п = r/R0; EI = п Е9 /0/2 я R0 D.ww = [qRoE I r\j8 D (8 + 9 EI)] [— (1 /30) (2 n/nf + 02 (0 — 2 я/л)2].d tef^/d 0 = 3 до /30; w^" — w	d2 w^~/d 02= d2 w /Э02;D (d3 u&/d 03 — d3 w~/d 03) + EI r3 d* w^/д r* = 0.(3.1)(3.2)d w^jd в = dw /дв = д ш(0*/д 0 = 0.(3.3)00Шц = 2 ф/ Ы е2 (0 — 2 я/п)2 (0 — я/л)2-'-2 .(3.4)/=121
Рис. IРис. 3W* =}Mr\ Me; Hr^yОграничиваясь в (3.4) первым 'членом (такое приближение дает хорошие результаты
при расчете .пластин [11]) и используя стандартную процедуру метода Канторовича [11]^
получаем»11 = — [V «о ^7/8 D (8 + 9 F/)l е“ (r,_I) fcos Р (^ - 1) + (4 + а) р-1 sin р (п——	1)] 02 (0— 2я/я)2, О<0<2я/п, о» 0,66п; Р» 0,36п.На рис. 1—5 приведены результаты расчета перемещения w и моментов Мг, М0 »
ЯТ0 для различных значений п и El (v=0). Приняты следующие обозначения:8 0(8 + 917)®	. , -8(8+9 £/)-JW‘	^	Кривым lt 2, 3 соответствуют значения EI, равные 1, 5, 10.Анализ графиков показывает, что даже при достаточно большом числе ребер (п=
= 10, tpnc. 1—3) поправки к кольцевому (рис. 1) и радиальному^ (рис. 2) изгибающим
моментам достигают весьма больших величин и не могут гори Е1^5 определяться без
учета дискретности ребер. Крутящий момент Нг е воо1бще не улавливается конструк¬
тивно ортотропной схемой, между тем, как видно из рис. 3, Нт§	<гтри Е1^5.Перемещение w в данном случае (л =10) с достаточной степенью точности опреде¬
ляется по конструктивно-ортотропной схеме (максимальные поправки не превышают
3—5%). Однако с уменьшением числа ребер влияние дискретности и при определении
w становится существенным, а поправки к моментам могут в несколько раз превосхо¬
дить значения, определяемые по конструктивно-ортотропной теории (см. рис. 4, 5, где
принято п=6, 0=ле).В заключение отметим, что полученные результаты могут быть использованы при'
определении напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций
типа ребристых цилиндрически ортотропных круглых пластин, которые нашли широкое
распространение во многих отраслях современной техники. Эти результаты позволяют
оценить область применимости приближенных инженерных методов и уточнить полу¬
ченные на их основе решения, что особенно важно с точки зрения проектирования ра¬
циональных конструкций.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Д. В. Вайнберг, Е. Д. Вайнберг. Пластины, диски, балки-стенки (прочность, устой¬
чивость и колебания). Киев, Госстройиздат УССР, 1959.2.	Д. В. Вайнберг, Е. Д. Вайнберг. Расчеты пластин. Киев. «Буд1вельник», (1970.3.	Д. В. Вайнберг. Методы расчета ребристых пластин.— В сб.: Расчет пространственных
конструкций, вып. 5. М., Стройиздат, 1959.4.	В. М. Агранович, О. М. Р у б а ч. До питания про напружений стан круглих пластин,,
змщнених рад!альними ребрами. Прикладна механиса, т. 3, вып! 1, 1957.5.	К. Ф. Ч е р н ы х , К. Н. Чистякова. К расчету круглой пластины, усиленной радиаль¬
ными ребрами. Уч. записки ЛГУ, 280, вып. 35, 1960.6.	Ю. Б. Ш у л ь к и н. О расчете круговых пластин, усиленных радиальными ребрами.— В сб.:
Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 7. Киев, «Буд!вельник», 1968.7.	И. В. Андрианов, Л. И. Маневич. О классификации приближенных уравнений тео¬
рии подкрепленных оболочек, учитывающих дискретность расположения ребер.—В сб.: Гидро¬
аэромеханика и теория упругости, № 15. Днепропетровск, 1972.8.	И. В. Андрианов. Применение асимптотического метода к расчету напряженно.дефор-22
Шфованного состояния ортотропной полосы, подкрепленной ребрами жесткости.— В сб.: Теорети¬
ческие и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и динамики конструкций.
Днепропетровск, ДГУ, 1973.9.	А. В. Павленко. Применение асимптотического метода к решению плоских смешанных за¬
дач теории упругости для ортотропной среды. Автореферат дне. на соиск. уч. степени канд. физ.-
мат. наук. Днепропетровск, 1971.10.	М. И. В и ш и к, Л. А. Л ю с т е р и и к. Асимптотическое поведение решений линейных диф¬
ференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными
условиями. Успехи матем. наук, т. 15, вып. 4 (94), 1960.И. Л. В. Канторович, В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. М.—Л.,
Физматгиз, 1962.12.	П. А. Жилин. К анализу краевых задач для ребристых оболочек. Труды ЦКТИ, № 72,
1966.13.	В. К. Прокопов. Скелетный метод расчета оребренной цилиндрической оболочгш. ЛИИ,
Научно-технический информационный бюллетень, 1957, № 12.Инж. В. Г. КАР ПУН И Н, канд. техн. наук С. И. КЛЕЩЕВ
(Свердловский НИИХиммаш)УДК 624.073.04Цилиндрический изгиб тонких пластин
из линейно-упрочняющегося материалаМетод малого параметра, или метод возмущений, широко применяется в расчетах
пластин и оболочек с переменной толщиной [1] ив геометрически нелинейных задачах
теории пластин и пологих оболочек [2, 3]. Однако приложение этого метода к реше¬
нию упругопластических задач ,мало исследовано [4]. Ниже методом возмущений ре¬
шается задача цилиндрического изгиба тонких пластин из линейно-упрочняющегося
материала (рис. 1). Следуя [5] и [6], уравнение малых прогибов удлиненной пластинки
при коэффициенте Пуассона v=0,5 (случай несжимаемого материала) можно запи¬
сать в видеd* / d?w \	4 НЧ О/* — / -—Л/2(2)w, h — прогиб и толщина пластины; q, Си е/ — интенсивность поперечной нагрузки,
напряжений и деформаций; z— расстояние по высоте сечения пластины до нейтраль¬
ного слоя.В случае линейного упрочнения зависимость а< — 8* может быть представлена дву¬
мя выражениями [6]:<*//<*/= £/ при е/<е5; ^-/£/ = £11— Х(1— г3/е()\ при	(3)где Е — модуль упругости; Х= (Е—Е\)/Е; еа — величина интенсивности деформаций,
соответствующая пределу пропорциональности материала,Интенсивность дефюрмации е* находится на основании формул [5] и для удлинен¬
ной пластины приводится к видуе/= (2/у!Г) \zd*wldx*\.	(4)_ Для удобства расчета вводятся безразмерные величины w = wjh; z=2z/h;
х=х/1. Тогда уравнение (4) принимает виде/ = е5 1А_1 \zd2w/dx2\; £1 = VJ(llh)2 es.	(5)Высота упругого ядра в сечении пластины z8 определяется из уравнения (5) при
Si = ев:2s=pl\d?wldx*\.	(6)	рис ,В точках сечения пластины, для которых г«<|2|^1, появ- ^
ляются пластические деформации, в остальных точках сече¬
ния— упругие деформации. Если ze> 1, то нужно положить
гв=1, в этом случае все сечение деформируется упруго.Подстановка (3) в (2) я интегрирование по z в пределах от
—1 до +1 с учетом (6) дает:J = Eh»[\-\F(zs)W. F= 1-32^2 + 4/2. (7)		£Подстановка первого выражения (7) в уравнение (1) дает окончательно уравнение23
цилиндрического изгиба пластин с линейным упрочнением в безразмерных величинах
(здесь и далее черточки опущены)d*w/dx* = P + Xd2 (F d2 w/d x2)/d x2, P = (9q/E) (l/h)*.	(8)P — безразмерный параметр нагрузки.К уравнению (8) надлежит присоединить граничные условия, которые для случая
шарнирного опирания краев пластинки имеют видw (0) = w (1) = d2 w/d х2\х=0 = d2 w/d х2\х=х = 0.	(9)Для случая защемления краев —о>(0) = ш(1) = dw/dx\х=0 = dw/dx |Л.=1 = 0.	(10)Уравнение (8) является нелинейным. Как правило, аналогичные задачи решаются
методами последовательных приближений, наиболее известным из которых является
метод упругих решений [5].Ниже уравнение (8) решаем методом возмущений. Прогиб w ищем в виде ряда
по целым и .неотрицательным степеням (параметра X (0^Л,<1)00 00w='^wk(x)Xk (11); d2 w/d х2 = ^ (d2 wk/d x2)Xk .	(12)k=o	k=oСчитая известными функции d2Wh/dx2 (6^0), можно получить рекуррентные соот¬
ношения для коэффициентов разложения функции zs=	(13)/г—ОПодстановка рядов (12) и (13) в формулу (6) и приравнивание коэффициентов
при одинаковых степенях X в правой и левой частях формулы (6) даетz*0) = 1, если ± d2 w0/d х2; z*0) = ^ (± d2 w0/d х2)~1 , если ц < ± d2 w0/dx2\z[k) =0, если ± d2w0/dx2\ z[k) = — (d2 w0/d x2)~1 (d2 w j / d x2) z[L\ (14)k^ < ± d2 w0/d x2; 01; k = i + j.Знак в выражейии (14) выбирается согласно знаку d2w0/dx2.Аналогично для коэффициентов разложений в ряд по степеням параметра X функ¬
ции F имеемF0 = 1 — Зг<0)/2 + (z<0>)3/2; Fk = — Зг<*>/2 + 0,5 ^ ^ 4П) - *=»' +/ + п■ (15>kОбозначив Ф нелинейную часть уравнения (8), можно получить коэффициенты
разложения функции Ф, исходя из рядов (12) и (15), дляФк — 2 F i (d2 Wijd х2) , 0 <t; /<й, k=i + j.	(16)kПодстановка ряда (11) в уравнение (8) и приравнивание коэффициентов при оди¬
наковых степенях параметра X дает систему последовательных приближений для опре¬
деления Wk', если k=0 и &^5/1, то соответственноd*w0/dx* = P (17); d*wk/dx* = d2Фk_l|dx2.	(18)Граничные условия (9, 10) принимают для k-ro приближения вид /г^О):Щ (0) = Щ (1) = d2 Wk/d х2\х=Х) = d2 wk/d x2\x=l = 0;Щ (0) = Wk (1) = d Wkld x}x-o = d Wkld x\x=l = 0.	(19)В дальнейшем рассматривается задача для пластинки с защемленными краями.
Интегрирование (18) в соответствии с граничными условиями (19) дает (fc^l):3	2 *= фн-i+ca-i *■+Dk-\; wk = ck~\ у + Dk~\ y + j (* - у) d у • (2°)где Ck_{ = 6 (/f-1 - 2J*-1); D*_, = 6 (J^~x — 2У* 1 /3);	(21)1	1
J*-1 = j ФА_, d x; 4~l = j’ x Фк_х d x.	(22)0	024
Интегралы (22) могут быть пбдсчитаны с заданной наперед точностью. Рекуррент¬
ные соотношения (14—16) позволяют запрограммировать расчет задачи на ЭВМ до
произвольного числа приближений.Ниже приведены результаты расчета цилиндрического изгиба пластины с защемлен¬
ными краями под действием равномерно распределенной нагрузки на ЭВМ «Наири-2».
Интегралы (22) подсчитывались по формуле Симпсона с автоматическим выбором ша¬
га интегрирования с относительной точностью 0,001. Для оценки сходимости метода
возмущений указанная выше задача была просчитана методом упругих решений [5].
Сравнивались результаты вычисления прогиба пластины w в середине пролета и
максимальной 'интенсивности деформации у >в заделке, отнесенной к г*Y = «/макс/** = »*■ |d2W/dx%=0*(23)Рис. 2А.Метод упру¬
гих решенийМетод возму¬
щенийYw (0,5)Yw (0,5)0.93,4610,3133,4590,3120,82,7690,3002,7640,3000,52,0780,2842,0780,284В таблице представлены результаты расчета для
jll = 5, />=105, Х = 0,9; 0,8; 0,5.Для данного значения параметра \х нагрузка Р в
1,75 раза больше той, при которой появляется теку¬
честь в заделке пластины. Результаты подсчитаны до
17-го приближения включительно. Из таблицы следу¬
ет, что расхождения не превышают десятых долей процента и уменьшаются с уменьше¬
нием К. Для меньших значений параметра ц расхождения в прогибах несколько меньше.
Скорость сходимости обоих -методов приблизительно одинакова.Преимущество метода возмущений состоит в том, что он позволяет просчитать
задачу для всех значений параметра 0^Л<1 одновременно, в то время как метод
упругих решений, например, требует расчета для каждого конкретного значения К.
Алгоритм расчета последовательных приближений методом возмущений по рекуррент¬
ным зависимостям (14—.16), (20—212) несколько сложнее по сравнению с алгоритмом
метода упругих решений.На рис. 2 представлены результаты вычисления коэффициентов y»(*=1»---» 5)
разложения величины у в ряд по- степеням X в зависимости от параметра /712ц (соот¬
ветственно кривые 1, 2, ..., 5)Р/12|* = (уТ?/4Ее,)(//й)*.	(24>По формулам (23), (17) с учетом (19), получаемYo = Р/12.1.	(25)Пример. Определить величину y Для пластины: ///*=50; <7=0,3 МН/м2; материал —
сталь Х18Н10Т; £=1,88-105 МН/м2; ев = 1,17-Ю-3; А, = 0,883 [7].По формулам (24), (25): Я/12ц=.1,5; Yo=1AИз рис. 2: yi=0,21; Y2=0,146; ys=0,1i1; Y4=0,09; ys=0,08.По формулам (12) и (23): y = 1,5+0,21 • 0,883+0,145 (0,883)2+0,11 (0,883) 3+0,009 X
X (0,883) 4+0,08 (0,883)5 = 1,98.Выводы. Предложенным методом возмущений построен график (рис. 2), позволяю¬
щий определять максимальные деформации в защемленных пластинах при равномерно
распределенной нагрузке за пределами упругости с учетом упрочнения материала.Эти результаты были использованы при проектировании крупногабаритных химиче¬
ских аппаратов с плоскими стенками из углеродистых и кислотостойких сталей.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	В. В. Ершов, В. Ф. Ц ы б у л и и. К расчету сферической оболочки переменной толщины ме¬
тодом малого параметра. «Строительная .механика .и расчет сооружений», 1973, № 1.2.	А. С. В о л ь м и р. Гибкие пластинки и оболочки. Гостехиздат, 1956.3.	М. С. Кор ни шин. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их ре¬
шения, М., «Наука», 1964.4.	Ю. К. Чекуш кин. Осесимметричные упругопластические деформации, при изгибе круглой
пластины. «Строительная .механика и расчет сооружений», 1969, № 6.5.	А. А. И л ь ю ш и н. Пластичность. Гостехиздат, 1948.6.	Л. Н. К у р е к. Упругапластический изгиб прямоугольных пластин, сб. трудов МИСИ им.
В. В. Куйбышева, 1966, № 47.7.	Р. М. Шнейдерови ч. Прочность при статическом и повторностатическом нагружени¬
ях. М., «Машиностроение», 1968.3 Зак. 506
Инж. Е. Б. КОРЕНЕВА (МИСИ им. В. В. Куйбышева)УДК 624.073.112.04тРасчет круглой пластины переменной толщины
на антисимметричную нагрузкуЗадачи о расчете круглых пластин переменной толщины на антисимметричную на¬
грузку очень часто возникают при изучении влияния горизонтальных нагрузок и воз¬
действий на различные сооружения и конструкции, имеющие в плане круглую форму,
например, на фундаменты дымовых труб, междуэтажные .перекрытия и фундаменты
телевизионных башен и др. Расчет круглых изотропных пластин переменной толщины'
на тодобные воздействия изучался в монографии {1]. В работе Я- М. Григоренко [2]
было показано, что названная задача сводится к решению дифференциального уравне¬
ния второго порядка с переменными коэффициентами. Е. Ф. Бурмистров и Н. М. Мас¬
лов в статье .[3] рассмотрели конструктивно-ортотропную пластину переменной толщи¬
ны. В указанных работах решения 'были получены в гипергеометрических и в вырож¬
денных гипергеометрических функциях.В настоящей работе так же, как и в [4], рассматриваются такие законы измене¬
ния толщины пластины, при которых решение получается в присоединенных функциях
Лежандра. Входящие в решение функции хорошо изучены и для некоторых из них
имеются таблицы.Положим, что прогиб круглой пластины представлен в виде w(r)sin 0, где г и 0 —
полярные координаты. Будем исходить из дифференциального уравнения, полученного'
в |[2],3	/ г dh \ с1ъй 3 Г	г dh Т“57*" + “ 11 + "й dr~) 1Гг "г* [' “<2+ ~h ~di~J'e == 12(1 р.,	f	_С1Е №	г3 J	^ гз	v 7где х0 =r~ldw/dr — кривизна срединной поверхности в окружном направлении; h —
переменная толщина пла-стины; q(r) — заданная нагрузка; Е — модуль упругости; а —
коэффициент Пуассона; С — постоянная; предел интегрирования г а представляет зна¬
чение радиуса внутренней окружности, ограничивающей пластину.Однородное уравнение, .соответствующее (1), в результате введения новой незави¬
симой переменной x=(rlr0)a , где ос, г0 — действительные постоянные, принимает сле¬
дующий вид:**е , Г1Л ■ М , 3 <**dx2 х \ а / "•“ Л dx J dx
_^_ri_i2 + o)oa?x2 L	h dx J 9Сопоставим i(2) с уравнениемd2 v/d x2 — [2 + 1)*/(1 — x2)]dv/dx + (v — [x)(v + (x+ l)v/(l — x2) = 0, (3>
решение которого [5] имеет вид v = (х2 — l)“,J^2 [Л Р* (х) + В Qvx (*)],где (х) и (х) —присоединенные функции Лежандра.Приравнивая коэффициенты уравнений (2) и (3) и интегрируя затем выражение для
dh/dx, получим *а=—(7+2а)/(2+а);vi,2 = —1/2 ± У 1/4 + (^ + 1)[и- — 2а0 (2 +а)] ;	(4),2а0+1	р.+1	2а0+1	Р-+1h = h0x~ 3 (1 — *2) 3 , jc< 1; h = h„x 3 (*2 — 1) 3, *>1, (5).
где h0 — постоянная; а0=1/а.На основании приведенной в '[5] формулы Р^ (*) =—(X) можно в дальнейшем
положить V—Vi.Вычислим а0 при нескольких значениях коэффициента Пуассона. При а=1/б; lU\ 7з;
соответственно имеем а0=—0,2955; —0,3000; —0,3043; отсюда видим, -что влиянием сг
на величину ао можно пренебречь. Примем приближенно а0=—0,3; —(1+2а0) /3 = 0,44
при всех значениях <j; тогда расчетные формулы для профиля пластины примут вид26
ft =7i0 Р0,44 (Р_20/3 — 1)<н-+‘)/з> р<1; /t = h0p°.« (1 _р-2°/3)(|А+1)/3, р> 1. (6)Полученные зависимости между толщиной пластины и относительным радиусом
&=г/го позволяют установить область применения полученных решений. Из формул (6)
видно, что если )х<;—0,802, то в центре толщина пластины обращается в нуль; при
—0,802 толщина h стремится к бесконечности, если р—*0. При —0,802 толщина
h в центре конечна и равна h0. Таким образом, за исключением названного выше част¬
ного случая, полученные решения позволяют рассчитывать только кольцевые пластины
или пластины с очень жесткой средней частью.Рассмотрим характер изменения толщины пластины h при значениях Р близких к
единице. Если |А<1, то 'при ,р = 1 толщина пластины h обращается в нуль. При |я!>1 и
.(З-Я толщина пластины h стремится к бесконечности, в этом 'последнем случае решение
можно использовать три расчете .кольцевых пластин, жесткость которых в средней ча¬
сти кольца очень велика.На рис. 1—4 ‘представлены графики зависимости относительной толщины пластины
ют относительного радиуса (профили пластин) при различных значениях ц; приведен¬
ные радиусы изменяются в области 0,4^$^; 1,6. В случае необходимости, изменяя
значения параметра |i, «можно, очевидно, получить и другие профили. Из графиков
видно, что формулы, полученные в дайной работе, позволяют рассчитывать на изгиб
пластины, являющиеся элементами конструкций, схематически данных на рис. 5 и 6.При расчете круглых пластин, задаваясь ji, по (4) вычисляется параметр v; некото¬
рые значения его приведены в таблицеиа, равный1/61/3—2,5—2,0—1,5—0,50,00,940,480,100,300,720,870,410,040,340,79ПродолжениеД(J, равный1/61/30,51,211,271.01,691,761.52,182,252,02,682,742,53,173,24Рис. IРис. 2Рис. 4Остановимся на рассмотрении частных случаев, в которых -решение задачи выражает¬
ся в элементарных функциях.Если М' = 1/г, то используя функции Лежандра [5], решение представими в виде:у е = (*2 — 1 )~'h[A (х + Vx2 — l)v+,/i + В (х + Vx2 — l)“v_,f«], 1. (7)Здесь А, В—постоянные, определяемые из граничных условий. Используя приве¬
денные в [5] формулы для присоединительных функций Лежандра при ili=—V2, полу¬
чимХв =А(х + — l)v+Vl + в(* +	Х>1	(8)В выражениях (7), (8) индекс v необходимо вычислить по формуле (4) при соответ¬
ствующих значениях <т.Функции Лежандра в более общем случае при iМ-=72±я, где n=il, 2, 3, ..., состоят1из конечного числа слагаемых, являющихся 		элементарными функциями. Функции Р^л.п,pv+2 п-j-1	1 —v—п—1» vv .	также состоят изконечного числа слагаемых [5].:3 Зак. 506	27Рис. 5Рис. 6
Эти формулы позволяют получить в элементарном виде выражения для одной, а в
случае, когда |i=iv+2/i+l, для обоих присоединенных функций Лежандра, входящих в
решение. В частном случае, если индексы присоединенной функции Лежандра Р^ (х)
удовлетворяют зависимости |л=—v, тоP7,(*) = (*2-ir/22-7r(v+i)> *>1.	(9)Из формулы (4) следует, что выражение (9) может 1быть попользовано при значениях
p,i = —Vi=aoi(2+0)/i[l+ao(2+ia)]. Если <z0=—0,3; cr=V6, то |Щ =—Vi = ±l,86.Все приведенные выше результаты можно, используя работу i[3],обобщить на слу¬
чай, когда пластина является конструктивно-ортотропной. В этом случае следует исхо¬
дить из дифференциального уравнения упругой поверхности ([3]:г2 d2 x6/d г2 + г (3 + г D~l d D/d г) d %e/d г — |и2 + 2a +4(л2 — a2) G (2 + o)r dD "1	1 / 1 f , ч . J C\+ —	— —	j	= —■	 — \ q (r) r2 dr —— . (10)^ En2	D dr J 0 Drt2 V r J	r /Здесь Dz=Eh3/\2(n2—a2)—приведенная жесткость; E, о—приведенные модуль упруго¬
сти и коэффициент Пуассона; Е{—Е!пх\ Е2=Еп2\ ctj = о/п2\ о2=<т — модули упруго¬
сти и коэффициенты Пуассона при изгибе соответственно в радиальном и тангенциаль¬
ном направлениях; G — модуль сдвига. После введения переменной х=(г/г0)а и замены
D-'dD/dx на 3h~ldh/dx, уравнение (10) записывается в видеd2 v.Q/d х2 + [\/х + 2/a х + 3ЬГХ dh/d х] d KQ/d х — За~2 х~2 [BY — (2 + о) a/xh~~l х
X d h/d х] v.9 = (D n2 a2 л:2)-1 (- q, r'+2 x(/+2)/a/(3 + /) + C/r0 x'1*),	(11)гдеBx = [n2 + 2a — 4 (n2 — a2) G E~1]/3; q (r) = q^r1 , / = 0, 1, 2, ... ; qj = const.Сопоставляя коэффициенты однородного уравнения, соответствующего (И) и урав¬
нения (3), получим a=—(4+3Bi+2a)/(2+ia). Формулы для определения v и h совпа¬
дают с (4) и (5).Для расчета пластин в отдельных случаях целесообразно ввести функции Коши по¬
добно тому, как это описано в ([4].Функции Коши U\(xq, х)у U2(x0, х) уравнения (3) при х=х0 удовлетворяют усло¬
виямUx (х0, *о)=1; U[ (х0, *0) = 0; U2 (*о, х0) = 0; U'2(x0, х0) = 1
и имеют следующий вид:их (х0, х) = (xl - 1 Т<2 (X2 - 1)~^2 {[*0 (|* + V + 1) Q'v Ы - (V - SX + 1) X
X Q:+1 (х0)] Р? (х) + [х0 (и- + м + 1) (*0) - (V - ^ + 1) p»+l (х0)] X
X Q? (х)\/К (|х, v); U2 (х0, х) = (х\ - 1 f/2+‘ (х2 - 1)~^2| ($ (х„) Р» (х) -Здесь введено обозначение К(|х, v) = (l—x\)W, где W — определитель Вронского
уравнения Лежандра;еО* ^ г (1 + Н-/2 + V/2) Г (1/2 + Н-/2 + V/2)
v)- Р (1 + v/2 — р./2) Г (1/2 + v/2 — (J./2) , лго > 1,если х0<1, то в решение входят функции Лежандра на разрезе i[5], и /С(ц, v) выра¬
жается подобной формулой, в которой отсутствует множитель е1При получении формул были использованы функции Коши уравнения Лежандра:U\(x о, х) = (1 — *о) [ Q> (х0) Р? (х) - Р> (х0) Q4 (*)]/* (p., V);Выражение для U2 аналогично U* при замене Q ^ (х0) и —Р '^ (х0) соответствен¬
но на — Q J (х0) и	(xq).В частном случае при jx=0 уравнение (3) переходит в уравнение Лежандра;
/С(|я, v) = 1, и функции Коши принимают более простой вид:Ui (*о. х) = (1 - 4 )[Q; (х0) Pv (х) - Р’у (х0) Qv (дс)];Uiixo, х) получим заменив Qv и Pv соответственно на — Qv и Pv.28
Обозначив правую часть уравнения (11) через yjpi(x), можно записать его частное
решение в видеX*0 (*) = J % (z) иг (г, х) dг.В заключение следует отметить, что полученное .в работе ([4] решение задачи о сим¬
метричном изгибе -круглой пластины, выраженное в функциях Лежандра, можно по¬
добно то-му, как это было -сделано выше, выразить в указанных частных случаях че¬
рез элементарные функции. При этом значение а и соотношение между индексами ц
и v, аналогичное формуле (4), должны быть взяты из работы »[4].Для конструктивно-ортотропных пластин при симметричной деформации индекс v
обычно принимает действительные значения. Однако не возникает трудностей, если v
комплексное число. Тогда решение будет представлено функциями Р—*/. .+*(*>•
Q!Liye_l_p/(*), которые хорошо изучены и носят название функций конуса [5, 6].При рассмотрении подобных случаев, которые могут встречаться сравнительно ред¬
ко, можно воспользоваться таблицами i[6] при целых значениях ц; если jx = V2dbn, где
п— 1, 2, 3,..., то решение выражается через элементарные функции по аналогии с тем,
как это было указано выше.При |х = х/2 решение принимает следующий вид:*0 = (х2 — I)-1/* Ф, Ф = A cos |р In [х + (х2 — 1)1/г] | + В sin {р In [х + (х2 —1)1/г]}-При |х=—7г решение также получается в элементарных функциях и записывается
следующим образом: х0=Ф.В обоих случаях число р определяется с помощью формул, приведенных в [4].Вывод. Получено точное решение задачи об антисимметричном изгибе круглой пла¬
стины, пригодное при различных законах изменения жесткости. В отдельных случаях
решение представлено элементарными функциями. Полученные формулы могут быгь
использованы при расчете покрытий резервуаров, круглых фундаментов и других по¬
добных конструкций.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	А. Д. Коваленко. Круглые пластины переменной толщины. М., Физматгиз, 1959.2.	Я. М. Г р и г о р е н к о. Про антисимметричну деформашю Kpynnoi пластиш змiHHoi товщинл,
Доповш АН УССР, 1962, № 6.3.	Е. Ф. Бурмистров, Н. М. Маслов. Антисимметричный изгиб круглой ортотропной пла¬
станы переменной толщины. МТТ, 1973, № 3.4.	Е. Б. Ко р е н е в а. Симметричный изгиб круглых пластинок переменной толщины. «Строи¬
тельная механика и расчет сооружений», 1974, № 4.5.	Г. Бейтмен, А. Э р д е й и. Высшие трансцендентные функции, т. I. Гипергеометрическая
функция, функции Лежандра. М., «Наука», 1965.6.	М. И. Жури на, Л. Н. Кармазина. Таблицы и формулы для сферических функций
Рт11 ... (z). ,М., ВЦ АН СССР, ,1962.Д-р техн. наук Д. Н. СОБОЛЕВ (МИСИ им. В. В. Куйбышева),
канд. техн. наук А. К. ЮСУПОВ (Дагестанский политехнический ин-т)УДК 624.072.233.5.04Изгиб балки на нелинейном статистически
неоднородном основании1.	Постановка задачи. При расчете гибких балок, лежащих на нелинейных неодно¬
родных основаниях, возникают принципиальные трудности, связанные с учетом реаль¬
ных свойств подстилающих массивов. Как известно «[1—3], неоднородности основания
описываются моделью Винклера со случайным коэффициентом -постели. При этом ре¬
акции основания определяются линейной зависимостьюг(х) = с (х) у (х),	(1)где у(х) — прогиб балки; с(х) — коэффициент постели, представленный гауссовской
случайной функцией координаты вдоль оси балки. Зависимость (1) достаточно точно
отражает реальные свойства основания, если его упругие свойства подчиняются физи¬
ческому закону, близкому к линейному. В противном случае линейное соотношение (1)
может привести к искаженному представлению о работе балки [4, 5]. Здесь рассматри¬
вается случай, когда реакцияг (х) = ас (х) у'1 (х),	(2)29
где a, v — детерминированные коэффициенты, учитывающие нелинейность упругих
свойств основания, определяемые натурными экспериментами и с учетом геометрии по¬
дошвы балки в ее сечении; с(х) — случайная функция, представленная на ©сей вещест¬
венной оси каноническим разложениемUJс (X) = Со + 2 fa* фЯ W!УК\.	(3)п=Огде с0 = const — среднее значение коэффициента постели; фп, —детерминированные
собственные функции и собственные числа ,[6] линейного интегрального уравненияф (х) = \ j* К (х, х') ф (*') d х',ядром которого является корреляционная функция исходной случайной функции с(х);
ап — гауссовские случайные величины с единичной корреляционной матрицей. Разло¬
жение (3) предполагается построенным.Дифференциальное уравнение прогибов у(х) |балки записываем в известном виде
EIyIy(x) = Q(х)—т(х), где Q(x)—интенсивность внешней распределенной нагрузки.Внеся в последнее уравнение функцию г(х) из равенства '(2), получаемEIylv(x)+ac(x)y' (x) = Q(x).	(4)Граничные условия для функции у(х) ‘считаем заданными.Таким обр-азом, задача сводится к интегрированию уравнения (4) при заданных гра¬
ничных условиях.2.	Построение приближенного решения. Краевая задача для нелинейного стохасти¬
ческого уравнения (4) в общем случае решается только приближенно. Применение ме¬
тодов, основанных на линеаризации исходного уравнения, в случае наличия сущест¬
венно нелинейных членов, приводит [7] к недопустимым погрешностям. Поэтому реше¬
ние будем строить методом итераций.Решив уравнение EIG(x, b,)-\-c0G(x, £) ='6(х—£) при заданных граничных условиях,
определим функцию Грина G(x, для соответствующей линейной краевой задачи. В
случае неограниченной балки функция Грина известна ,[8], а для балок конечной дли¬
ны она легко строится методом компенсирующих нагрузок. Поэтому здесь функция
Грина предполагается известной.При известной функции Грина искомая функция легко строится методом итераций.
Решение во втором шаге имеет вид
ЬIh (X) = у,-- j G (X, 6)[У (6) + V Ш [аСо + а с, (£) - с0] d %,	(5)—ьна первом шаге итерации уг (£) = U (£) + V (£), здесь
ъ	ьU &) = У*(Ъ) — <*с0 j G(g, x)yl(x)dx\ V (g) = — a j G(g, x) cx (*) t/<J (*) d x;—b —b
b b
У* (£) = Уо (I) + Co j* G(l, x)y0(x)dx; y0(x) = j G(x, £)Q(|)d£,—b —b
где 2b— длина балки; £i(|) —центрированная случайная составляющая функции с(%);
Уо(х) — решение в нулевом шаге.Разложив (U+V) v ,в ряд Тейлора по V в окрестности Ut получаем(i/ + K)v = C/v+vt/v-1r + v(v — l)t/4-2W2!+ ...	(6)Подставляя ряды (3) и (6) в (5) и удерживая в (6) только первые три члена, после
некоторых упрощений, получаемоо	ооУ* W =~У W - 2 ^У^п) Vn (х) + 2 (Wm/УККг) Znm (х) -п=0	п,т=Оат aklY^т ^k) V nmk (*).	(7)п, т, /5=0где детерминированная функцияь
7(Х) = У о (*) —с0 а f G(x, t)[Uv (Б) -и (g)/a] dg.-ь30
Координатные функции, входящие в (7), определяются выражениями
ь	Г	. 1	ъV„(*) = c«av Jg(x, ?)	Rn(t)dt + §G(x, l)U' (l)<pn(tr_dt;—b L	J	—frbZnm (*) = “» * — Г 0- f G (*. I) U'‘~2 (E) (6) (£) <* I ~—bb	a N — n *- a v j* G (x, g) tT-1 (£) <p„ (I) Rm (I) d I; Unmk (x) =	j* G (x, g) xX и'-2 (g) Ф„ (E) Rm (I) Rk(l) d I; Rn (I) = - a j G (x, |) yj (*) Фл (*) d x. (8)—b3.	Определение статистических характеристик. Совместная плотность распределения
g системы случайных величин ап с единичной корреляционной матрицей [9] имеет вид8 (ао. ei	 ау)= (2n)_(Y+1)/2 П е~“п12 ,
п= огде у+\ — число удерживаемых членов ряда (3).Формула для q-ro начального момента mq[y2(x)] функции случайных величин
У2(х, а0, ви - ", а у) (7) записывается [9] в видеоо / у	\	Y\Уг Ml = 1 f ( П е_а«/2 \у1(х, а0	a )\\dan, (9)V	(2jt)V+l _JM Vn=0 /	п=0где q — степень, в которую возводится функция, представленная выражением (7).
Подставляя (7) в (9) и интегрируя, после ряда преобразований получаемYтг [й (X)] = у (X) + 2 К' Znn М; [у, (*)] = ^ К + S У \Znn Zmm+
л=0	/1=0Y+ Zmn + z2mn ] + 3 2 K2 zln + ^y[Vn umnm + vn ummn + V„ Unmn] +/2=0Y+ 6 2 V* Unnn, «. [i/2 (X)] = 3S Y [ ^ Zm„ + Km Z„m + Va vm zmn] +/1=0Y	Y+ 9 2 2 ^ Z™; ш‘ I». W1 = ~ 32 Y(V„ Vm? + 3 2 К2 K’	(10>л=0	n=0Yгде 2 y = ^ [(1 — 6(n— m)/XnXOT];/2, m=0б — символ Кронекера; Vn, Znm, Unmh — даны формулами (8). При раскрытии инте¬
гралов в (9) члены, содержащие центрированные случайные величины в шестой и выше
степени, были отброшены как бесконечно малые 'более высокого порядка.Таким образом, формулы (10) позволяют получить не только уточненные среднее
значение и дисперсию искомой функции, но и асимметрию и эксцесс распределения.4.	Пример. Пусть корреляционная функция Кс (х — х') = S2C е~9 ^ х~х I,
р = 0,1 м-1; S2C —дисперсия .коэффициента постели. Функцию с(х) разложим на отрезке
L= 15 м, который по сравнению с размерами балки приближенно может быть принят
бесконечно большим. Тогда, как и в работе i[ 10], получаемс (х) = с0 + ^ (av \ 1/2 cos cov x + 6V Xv 1/2 sin cov x),V=0где tov = v я L~l; Я^1 = (p L)~l; X~l = 2L~l [p/(a>2 + p*)] ; av , fcv —31
две некоррелированные системы .гауссовских случайных величин; каждая система пред¬
ставляется единичной корреляционной матрицей.При L= 15 м и р = 0,1 м—1 имеем X, jj"1 =0,666; Xf1 =0,25; Я^-1 =0,07. Так как22*7' = 0,986 » 1, тоограничиваемся удержанием в каноническом разложенииv=0только первых пяти членов.Рассмотрим балку, свободно лежащую на статистически неоднородном основании.
Граничные условия имеют вид у"(—b)=y"(b)=y"'(—b)=y'"(b) = 0. Здесь 26—длина
балки, в середине которой поместим начало координат.Решив уравнение для функции Грина методом вариации произвольных постоянных
для случая принятых граничных условий, функцию записываем в видеG (х> 5) = Q (*, Ti), где Q (/, 7]) = Аг (tj) е~х f cos X t + А2 (у) el *sin X / +x t+ Аз (*]) ext cos X / + Л4 (тг]) e~k t sin X t -f- — f [sin X (/ — u) ch X (/ — и) —c0 •'—	cos X (/—u)shX(t— и)] 6 (и — r\)du\ X=Yc0/4EI; t == x + 6; tj = g + 6.
Неизвестные ^4г (л) определяется из следующей системы:Л2 — Л4 = 0; — Ai -\- А2 Л3 -f- Л4 = 0; exp (26 Я) (Ai Bi — A2 B2) — exp (— 2В X) x
X (A3 B± + A4 B2) = X Cq1 [cos X (2b — tj) sh X (2b — ?]) + sin к (2b — rj) ch X (2b — tj)];
exp (26 X)[(Bt + B2) At - (B2 - Bx) A2] - exp (-2b Х)[Л3 (B2 - Bx) + (B, ++ #2) Л4] = 2X сJ"1 cos X (2b — ?]) ch X(2b — tj) , B± = sin 26 X; B2 = cos 26 X.С помощью построенной Функции Грина, а также канонического разложения слу¬
чайной функции с(х) по формулам (8), (10) на ЭВМ «Одра»—1204 просчитано большое
количество частных примеров. На рис. 1—8 приводятся графики, .построенные по резуль¬
татам некоторых численных реализаций. На рис. 1 даются средние значения изгибаю¬
щего момента при с0=14 МН/м2; 6 = 4 м; с0/Е1=0,2 м~5; Sc/c0=0,1. При этом верхние
кривые относятся к загружению балки (| =—4 м) силой б (х—£), а нижние кривые —к
загружению силой д(х). Для этих же параметров на рис. 2 (£ = —4 м) и рис. 3 (| = 0)
построены графики стандартов изгибающих моментов. Кривые, приведенные на рис. 4,
позволяют судить об изменении асимметрии Sk плотности вероятностей изгибающего
момента. На рис. 5 (£=—4м) и рис. 6 (5=0) даются графики эксцесса для парамет¬
ров, указанных выше. Для координаты х=—1,6 м при £=0 (рис. _7) определено влия¬
ние статистических .неоднородностей основания и а отношение [(М—m^/ntx] • 100%, а
кривые, построенные на рис. 8, показывают влияние указанных неоднородностей на ве-НкНм<мжИмх,пРис. 6
100/6— -но\\иРис. 5v-1 //У1/1ноZЛ'0,0 0,2Sc/Co 0J0 0? Scjr-Рис. 7Рис. 832
личину стандарта поперечной силы а. Здесь а определено в первом приближении, a
ти т2—в третьем; параметры приняты следующие: с0 = 10 МН/м2; Ь = 4 (м; с0/Е1 =
= 0,2 м-5; £ = 0,0 и х——1,6 м.Из приведенных вычислений следует, что при отношении *Sc/c0<0,l плотность рас¬
пределения вероятностей внутренних усилий в сечениях балки достаточно близка к
нормальному закону и заметно уклоняется от .него, если это отношение увеличивается.
Однако располагая первыми четырьмя моментами, легко построить искомую плотность
в виде А — ряда Шарлье [7]. Кроме того, сравнительный анализ полученных результа¬
тов с данными расчета балки на линейном упругом статистически неоднородном осно¬
вании типа Винклера показывает, что учет нелинейности упругих свойств основания и
нелинейности подошвы балки во .многих практически важных случаях является необхо¬
димым и существенно уточняет наши представления о совместном характере работы
системы «балка—основание».СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	В. В. Болотин. Об упругих деформациях подземных трубопроводов, прокладываемых в
статистически неоднородном грунте. «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, № 1.2.	Д. Н. Соболе®. К расчету конструкций, лежащих на статистически неоднородном осно¬
вании. «Строительная (механика и расчет сооружений», 1965, № 3.3.	Д. Н. Соболев, Б. Л. Фаянс, В. И. Шейнин. К расчету плит на статистически неод¬
нородном основании. «Строительная механика и расчет сооружений», 1968, № 3.4.	А. В. Вронский. Учет нелинейной зависимости осадки основания от нагрузки при рас¬
чете балок на неоднородном основании. «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1969, № 3.5.	Рекомендации по применению нелинейных методов расчета конструкций на деформируемом
основании. НИИСП Госстроя УССР, 1970.6.	Б. Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. М., «Советское радио»,
1968.7.	А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. М., «Наука», 1968.8.	Б. Г. Коренев. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М., Стройиздат, 1969.9.	Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М., «Наука», .1965.10.	А. К. Ю с у п о в. Распределение напряжений в упругой полуплоскости с квазистациоларным
по глубине модулем упругости. «Строительная механика и расчет сооружений», 1971, № 1.Инж. Г. И. ШАПИРО <МНИИТЭП)УДК 624.072.2.04Расчет составных стержней со случайными связями сдвигаДля задачи расчета составных стержней на абсолютно жестких поперечных связях
и упругоподатливых связях сдвига, рассмотренных А. Р. Ржаницыным i[l], следуя В. А.
Ломакину [2], введено предположение о случайности коэффициента жесткости связей
сдвига. Полученная задача решается методом теории возмущений.1.	Рассмотрим работу составного стержня с я+1 ветвями, в швах которого усилия
сдвига т и взаимный сдвиг Ъ связаны соотношениями4 = bk*k (*=1, 2	п)	(1.1)с коэффициентами жесткости связей сдвига £h = £h(x), являющимися случайными функ¬
циями X.Так какп6; = 2iWr,- + Ato	(1.2)/=1(все обозначения шриняты по {1]), то используя (1.1) их k = Tk, можно получить сис¬
тему из п дифференциальных уравненийпdTk (x)ldx\/dx =2дА/7’/ W + VW. k=\, ..., п./= 1Полученная система уравнений громоздка и для ее решения требуются дополнитель¬
ные ограничения на функции ък(х) по сравнению с системой, в которой решение ищет¬
ся через взаимные сдвиги. Дифференцируя (1.2), учитывая (1.1) и Т£=7^, получим си¬
стему дифференциальных уравнений второго порядка относительно 6
п6"k (X) = 2 Aft, 8/ (X) б,- (X) + д;0 (*), ft = 1, 2, . . ., п,	(1.3)1=1Граничные условия ставятся так же, .как и в i[ 1 ]; зашишем их в видеUk(r) = qk,	(1.4)33
где ик(Г)—детерминированная. функция, заданная во взаимных смещениях и ее про¬
изводных и определяемая видом закрепления на границе; qk — известные, заданные на
границе i(торце) условия.Если из соотношений (1.3), (1.4) будут найдены неизвестные 6h(x), то легко опреде¬
лить напряженное состояние составного стержня. При этом и неизвестные б* и все уси¬
лия являются случайными функциями х, нахождение моментов любого порядка которых
не представляет трудностей.2.	Система дифференциальных уравнений (1.3) с граничными условиями (1.4) пред¬
ставляет собой статистически нелинейную краевую задачу и ее решение ищем методом
возмущений [2].Пусть Ек(х) — случайная функция х, которую представим в видеEliW = <8t> + 6jW,	(2.1)где<Ое*>—математическое ожидание е&(х); в дальнейшем положим	= const;ек(х) — пульсация коэффициента жесткости, причем вн(х) мало (с точки зрения сред¬
неквадратичного значения) по сравнению (с <Сел>.'Введем неслучайный параметр х соотношением•*(*)=<«*> + »•*(*). '(2.2)а искомое решение представим в виде00«*(*) = 2 */б*</>«- (2-3)
/=0При этом решение исходной задачи i( 1.3), (1.4), (2.1) получается при х=1.В соответствии с теоремой А. Пуанкаре об аналитической зависимости решения сис¬
темы дифференциальных уравнений от параметра ,[3] решение системы (1.3), (1.4) су¬
ществует, единственно и ряд (2.3) сходится к этому решению.Подставляя (2.2) и (2.3) в (1.3) и i(1.4) и приравнивая коэффициенты при одинако¬
вых степенях х, получим краевую задачу для <6ь(0)(х)
пб*(0) w = 2 &ki < 8‘ > e'<°> w + дао w; ит) (п = як. k=1.2. • • •. я (2-4)
/=1и рекуррентную последовательность статистически линейных краевых задач дляп	п6Ш)« = 2 > *'</>{х) + 2 дь-<*> в«/-п <*>:/=0 i=\^(/)(Г) = 0» 2’ k=l' 2’ — п' (2-5)которые представляют собой неоднородные линейные системы уравнений.Решение задачи нулевого приближения (2.4) совпадает с решением задачи состав¬
ных стержней в детерминированной постановке [1]. Все остальные приближения по¬
лучаются из решения системы (2.5) после подстановки в нее найденных предыдущих
приближений.Замечание. Если в функции Ук(Г) входят явным образом параметры жестко¬
сти, то в этом случае надо (2.2) и (2.3) подставить в (1.4) и приравнять коэффициенты
при одинаковых степенях х. Тогда для Иъ.{])(Г) в (2.5) получим не нулевые, а случай¬
ные значения граничных условий. Решение задачи составных стержней со случайными
условиями на торцах строится так же, как и задач со случайной нагрузкой. Краевая
задача (2.5) для каждого приближения / будет задачей составных стержней со случай¬
ной нагрузкой. Имеется много различных методов решения таких задач [2, 4]. Наибо¬
лее просто воспользоваться известным ее общим решением. Ниже для двухветвевой сис¬
темы построено это решение.3.	Рассмотрим стержень, составленный из двух брусьев. В этом (случае вместо сис¬
тем (2.4) и (2.5) получим соответственно дифференциальные уравнения:а" (лс) = Дх < t > 6(0) (х) + Д' (д ); и(0) (Г) = q;	(3.1)6</) W = Ai<e>6(/) W + 6(/-i) W; £/(/>(/’) = о. / = 1, 2, ... (з.2)Решение уравнения (3.1) представим в виде1 х^(0) W = sh X х -f- С2 ch X х + — j* (?) sh X (^ — £) d g.	(3.3)
о34
Решения рекуррентной последовательности уравнений (3.2) запишутся в видеА6(/) (х) = cnshk х + CJ2ch \ х +~Y~ ^ 7(g) 6(/_I} (l)shk(x — l)dl, (3.4)Огде Сь С2, Cjb Cj2 — произвольные постоянные, определяемые из граничных условий;
К=(Л,<е>Г/* •Таким образом,оо8W = e(0) (*)'+2 *</> <*>•	(3-5>/= 1Отсюда для средних значенйй'<б(Х)> и пульсации 6(х) имеемоо	оо<б(*)>^а(0) (*) +V <вЫ)(*)>; в(*)-в(1) W + 2«0) (З-6)
/=2 ' /=2корреляционная функция для б имеет вид (хи *2)=^	>-Нетрудно показать, что если в общем случае все компоненты внешней нагрузки из¬
меняются пропорционально одному параметру 0, то Кьл (ху x^lK^ ц..(х1> *2)=0i/ef»
где обозначено К 6 j (ху х2)—при 0=0ь /С5 ц (Ху *2) — при 0=02.Пример 1. Рассмотрим балку на двух опорах, пролетом L, со свободными торцами.
В точке х = а {начало координат на левом торце балки) на балку действует сосредото¬
ченная сила Р. Грузовой членА' = — Р (L — a) vlL 2 ЕI при 0 < х «< а\ А' = Р a vjL 2 Е I при а < х < L,где v —расстояние между осями ветвей.Из граничных условий 16' (0) = б'(L) =0 найдемС* = Сц = 0; С2 = (о Р/12 2 Е I) [(L — a)/L — sh X (L — a)/sh X L];f ' ® *«-■> ® <* M* - 0 * t-0Подставив полученные значения в (3.3) и (3.4), по формуле (3.5) найдем суммарное
взаимное смещение, по (3.6)—среднее значение и пульсацию б. Учитывая (1.1) опреде¬
лим усилия взаимного сдвига. Обозначим через т0 усилие взаимного сдвига в детерми¬
нированной задаче на левом торце (тп пропорционально силе Р). Тогда пульсация т в
первом приближении запишется: х(х) = e(*)6(0)(X) + <e>6(i)(X), и в точке х=0 имеемг (0) “ Т[<Г> -	F® Л u Ch М«- Е)«IТаким образом, среднеквадратичное отклонение т прямо пропорционально нагруз¬
ке Р.Пример 2. Рассмотрим полубесконечный стержень, составленный из двух брусьев
Граничные условия заданы в виде б'(0) =—P/E\Fi=—а0/Е{; б'(оо)=0, грузовой член
А =0. Этот пример соответствует случаю передачи усилия с одного бруса на другой
без учета изгиба брусьев, иапример, в задаче вытягивания арматуры из бетона при уп¬
ругом «законе сцепления». Для задачи сцепления Ai=4(l+/i|bi)/Z)a£a; n=EJE^\ \i=
=Fa/F6; где D& — диаметр арматуры; ЕХ=ЕЛ — модуль упругости арматуры; £в —
модуль упругости бетона.Учитывая граничные условия и грузовой член, получим3(0) (X) = ^ (ch Я х — sh \ х); б(/)W--^cbX*. /=1, 2,Суммарные взаимные смещения найдем по формуле (3.5).Вычислим значения дисперсии б в точке *=0 в первом приближении
где Ке (|, л) = <е(1)е(л)>^-
корреляционная функция е(*).
Поскольку двойной интеграл в
правой части последнего выраже¬
ния есть число, то мы видим, что
среднеквадратичное отклонение6	(0) пропорционально <Jo. 	На рисунке (оси g0,YD6 (0))
приведены результаты обработки
опытов, проведенных во ВНИИ-
железобетона В. В. Зайцевым и
Л. П. Серовой, по вытягиванию
из бетона проволочной арматуры,
/)а=3 мм с прочностью бетона
на сжатие R = 22,5 МН/м2 (обо-
6Шт] ЮО	0	Ю л 20 т/фк] значено □); Я =10,2 МН/м2 (Д),v	’ и стержневой арматуры классаAll, Da =16 мм; я=53 МН/м2
(О). Там же (оси сто, 6(0)) приведены данные первичных измерений экспериментов,
проведенных на поризованном керамзитобетоне R = 11,2 МН/м2; арматура класса AIV;
D& = 10 мм (ф). Результаты опытов обрабатывались до уровня нагружения, пока «за¬
кон сцепления» оставался упругим. Видна хорошая сходимость опытных данных с вы¬
водами расчета. На рисунке на оси абсцисс вместо сг(0) следует 6(0).Выводы. Учет статистической неоднородности связей сдвига в конструкциях, при ра¬
счете которых используется теория составных стержней, позволяет правильнее оценить
напряженно-деформируемое состояние, возникающее в них. Сходимость опытных дан¬
ных в экспериментах по сцеплению с выводами расчета подтверждает целесообразность
такого подхода.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	А. Р. Р ж а н и ц ы н. Теория составных стержней строительных конструкций. М., Стройяздат,
1948.:2. В. А. Ломакин. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М., «Нау¬
ка», 1970.3.	Л. Э. Э л ь с г о л ь ц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., «Нау¬
ка», 1965.4.	В. В. Болотин. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах
сооружений. М., Стройиздат, 1971.Канд. техн. наук А. Б. ЗОЛОТОВ, инж. В. Н. СИДОРОВ
(ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, Москва)УДК 624.04:681.3Алгоритмизация решения краевых задач
строительной механики на ЭВМ1.	Введение. При расчете строительных конструкций часто приходится сталкиваться
с необходимостью решения краевых задач для уравнений в частных производных (на¬
пример, расчет стен, оболочек и т. д.). В статье предлагаются приемы алгоритмизации
численного решения подобных задач на ЭВМ. При этом основная цель состоит в раз¬
работке такой методики, чтобы программа была наглядна, ее алгоритмическая запись
по возможности приближалась к исходным математическим выражениям, а длина была
бы минимальна. Это достигается благодаря способности ЭВМ, транслируя программу
с входного языка АЛГОЛ—60 (или языков этого уровня), самой выводить громоздкие
формулы, записанные по определенным правилам, и тому, что по возможности, не ис¬
пользуются такие приемы, как накопление библиотеки стандартных программ или при¬
влечение всякого рода дополнительных инженерных и математических соображений
при дискретизации задачи.Предлагаемая схема алгоритмизации численного решения на ЭВМ сводится к сле¬
дующему: а) дифференциальные уравнения или соответствующие им выражения энер¬
гии, описывающие исходную задачу, формулируются для некоторой области, окаймля¬
ющей заданную (метод «стандартной области»); б) на окаймляющей области задается
сетка. Производные заменяются конечными разностями. Заданные функции аппрокси¬
мируются сеточными. В программе, составляемой на алгоритмическом языке АЛГОЛ-бО,
им соответствуют процедуры-функции; в) составляется процедура вычисления общего
разностного выражения от произвольно заданной функции для любого узла сетки. Под¬
становкой в эту процедуру единичных функций вычисляются коэффициенты разреша¬
ющей системы линейных уравнений в порядке, удобном для ее решения по какой-либо
стандартной программе.60[нн/м2]
50036
Получение произвольного коэффициента разрешающей матрицы и является фактиче¬
ской целью основного этапа методики.2.	Теоретические предпосылки. Для удобства изложения статьи выделим отдельно
основные математические результаты, непосредственно используемые в алгоритмах.А) Общие формулы вычисления коэффициентов матриц. Они
выводятся для конечномерных линейных операторов, билинейных и квадратичных функ¬
ционалов, а также коэффициентов линейного функционала. Пусть в конечномерном
пространстве заданы в виде каких-то формул или алгоритмов линейный оператор L(x),
билинейный функционал В(х, у), квадратичный функционал Q(x) (или, по-другому,
Q(x> х)) и линейная форма G(x).Здесь *=fjt(i)}—конечномерный «вектор; i={ia} — мультииндекс (s = 1, ..., N).Пусть ej(k) — единичный вектор в том же пространствеej (к) = 0 при / Ф k\ ej (k) = 1 при / = k.	(1)Здесь / и k — мультииндексы. Тогда произвольный вектор пространства можно пред¬
ставить суммой/Из общих теорем теории конечномерных линейных операторов известно, что каждо¬
му оператору, билинейному и квадратичному функционалам взаимно однозначно соот¬
ветствует матрица (в случае квадратичной формы—симметричная матрица), линейно¬
му функционалу .соответствует вектор. Из этой же теории можно получить общие фор¬
мулы для коэффициентов соответствующих матриц:а)	для линейного оператора h} = (L(ej))i, индекс i указывает, что берется i-я ком¬
понента вектора Leyб)	для билинейного функционала Ьц=В(в{, е,)\в)	в случае квадратичного функционала при вычислении коэффициента симметрич¬
ной матрицы можно воспользоваться либо предыдущей формулой, либо использовать
легко проверяемое [2] равенство для симметричного билинейного функционала Q(x, у),
соответствующего .квадратичному Q(x, х):Q(*> y) = Q(“> u)—Q(v, v)f и = 0,Ь(х + у)\ а = 0,5(дс—у),откуда <7// = 0,25 ^ Q(ei + («/) *’•<=1.-1г)	коэффициенты вектора, соответствующего линейной форме, вычисляются по оче¬
видной формуле gi-G(ei).Простые доказательства приведенных формул можно взять, например, из [2]. Их
применение для решения задач осуществляется следующим образом. Пусть каким-либо
способом (формулами или алгоритмом) задан оператор исходной задачи или, анало¬
гично,— соответствующий ему функционал. На алгоритмическом языке записывается
процедура-функция вычисления значения оператора в заданной точке, либо значения
функционала от заданной функции. При этом заданная функция произвольна и входит
в алгоритмическое выражение как формальный параметр. В предлагаемой методике
этот этап — центральный: здесь происходит почти буквальная перепись исходного ма¬
тематического выражения в формулу алгоритмического языка. Например, исходной
формуле г(х)д2у/дх2 соответствует запись r(t)X^2(i, у). Подстановка единичной функ¬
ции (1) в качестве фактического параметра в составленную таким образом процедуру-
функцию позволяет получить любой коэффициент окончательной матрицы.Б) Некоторые применяемые обобщенные функции. Для фор¬
мулировки исходных задач понадобятся следующие, недифференцируемые в обычном
смысле, функции:	_	_	__Q(x)—характеристическая функция области, Q(x) = 1 при х £ Q, 0(Х) = О при
х £ Q, где Q — область, занимаемая конструкцией; х={хи . .xN}. Аналитически
функция 0 задается так:0	(х) = 1 при р (х) >0; 0 (а:) = 0 при р (х) < 0,	(2)где р(х) = 0 — уравнение границы области.6(х)—дельта-функция, сосредоточенная в точке. Ее определение (при N=2)jje(7)ф (*)dx = Ф (0).Ь(р) — функция, сосредоточенная на границе области Q. Ее определение
j j в (Р) Ф W d (х) = |ф (x)dl,Iгде / — линия границы, описываемая уравнением р(х)= 0;37
6'(р) —нормальная производная от функции д(р), определяется так:
| J 6' (p)q>(x)dx= — j.d(p dl.iФункции 0, б(р) я<&'(р) связаны соотношениямидв д р дд(р) д р д р—	= * (р) — ; —— = в (р) -г— ; —— = cos (n, xs), s=i, 2. (3)
dxs	dxs dxs	dxs dxsФормулы (2), (3) используются при сеточной аппроксимации этих функций. Более
полные сведения о подобных функциях содержатся в [1].В.	Метод «стандартной области». Исходная задача записывается либо
в виде дифференциального оператора, либо в виде функционала, определенных в любой
области, окаймляющей заданную.Смысл сказанного можно пояснить на одной из простых задач — решении уравне¬
ния Пуассона при краевых условиях третьего типа:2((d2u/dx?s) = F, х £ Q; д ujdn + а и = /, х £ d[Q,	(4)s-1dQ —граница области й; F, f, а — заданные функции; и — искомая функция.С помощью функций 6 и б(р), получим уравнение2^r(e-^r“)+a6(p)M=ef+fi(p)/’определенное во всем пространстве. Главный результат заключается в том, что все от¬
дельные операции также определены во всем пространстве, что значительно упрощает
алгоритм.Соответствующий уравнению (4) функционал энергииоо 2	g	00\ j 62 (~д~Х~) dXl dXiJt~\\aU*dl~\ | “d*ldjC2 — J fudh—00 S=1	S	I	— 00	Iгде / — линия, описываемая уравнением границы области р(х)= 0.Следует отметить, что в терминах третьей краевой задачи можно приближенно
сформулировать произвольную краевую задачу; формулировка смешанной краевой за¬
дачи для метода стандартной области дается ниже.Предлагаемая реализация метода «стандартной области» применялась в работах од¬
ного из авторов |[4, 5] и основывалась на теории обобщенных функций/[1].Е. Сеточная аппроксимация. Выбирается параллелепипед (прямоуголь¬
ник), окаймляющий заданную область, и разбивается прямоугольной сеткой на элемен¬
тарные параллелепипеды (прямоугольники) (рис. 1). Если считать заданные величины
постоянными внутри каждого элементарного объема, то аппроксимация исходной зада¬
чи на окаймляющей области сводится к разработке разностных схем-аналогов опера¬
ций дифференцирования в исходном уравнении и записи их ъ виде «алгольных» проце-
дур-функций. Заданные обычные функции аппроксимируются среднеинтегрально по эле¬
ментарному объему, например, по формулам вида/а (0 = j / W dx или /л (0 = J £=.Iif(x)dx,□ l □* НXi—координата узла; h — шаг сетки; значок CU—означает интегрирование по соот¬
ветствующему элементарному параллелепипеду. Обобщенные функции типа б(р), б'(р)
аппроксимируются как разностные производные от обычных функций, например:/И	Г~Ы2 Д,-9а)2; «' (Р) ~ «А (р) =]/ 2 (н Г*д*6* (р))2;s=l	s=lN	N6(р)ди/дп~ j h~2 Asusbsf)h, д и/дп	bsusbsQh;s=l	s=lА. — операция разности; h8 — шаг сетки.Что касается вида разностных схем, то они, как правило, подбираются такими, что¬
бы система разрешающих алгебраических уравнений полностью соответствовала систе¬
ме уравнений, получаемой при решении такой задачи методом конечного элемента. Ра¬
зумеется, это необязательное требование предлагаемого приема алгоритмизации. Из об-38
VLZ.'ZZdQ\iZ
Рис. IРис. 2“T“i 1
~T“!_L—Г"1’ r
*4—*" 1 '
"7“/кpi..1" ''~n,~t:У \p(*) = 0щего количества применяемых разностных схем такая схема лучше других аппроксими¬
рует граничные условия и четко соблюдает условия согласованности между дискрети¬
зированными слагаемыхми исходного оператора и его правой частью. Таким образом,
метод конечного элемента рассматривается как вариант вариационно-разностного.3.	Примеры реализации. Ниже даны четыре характерных примера применения пред¬
лагаемого подхода к решению задач расчета конструкций.А.	Общая задача теории упругости анизотропного тела. В
случае третьей краевой задачи и применительно к методу «стандартной» N — мерной
области эта задача формулируется двумя способами:а) при помощи дифференциального оператораLs{u) + 6(p)bsus = bFs + d(p)fs, 8=1, .... N,	(5)N	N Nгде Ls (и) = д (0 ost)/d х^\ ost =	Cstmn втп*t=\	т=\ п= 1Catmn —коэффициент упругости; emn=0,5(dunpdxm+dumldxn) —относительная де¬
формация; Fs — объемные силы; f8 —поверхностные силы; bt — жесткость опорных за¬
креплений.В случае смешанной краевой задачи введем функцию х« = 1, если и«— не задано;
лс« = 0, если иа — задано (ue = 0), тогда задача (5) примет видLs (* и) + 6 (р) bs r.s us + (1 — *у) us = 0 Fs + 6 (p) fs, s = 1, . . N. (6)Разностная аппроксимация. В окаймляющей области задается сетка, входящие в
уравнение (6) функции заменяются сеточными, операции дифференцирования заменя¬
ются разностями, тогда:(О Ls (* и) + \ (Р) fs («) + bs щ 6ft (р) + Fs («) + (1 — *5 (t)) Us (i) = 0,N	N N•* = •••»	Ls (V)	D 0 Ost (l); Ost (i) =	cstmn &тп*t—1	m=\ /1=1*mn = 0,5 (D+ vn (i) + D+ CFm(/)); i — номер узла сетки.Аппроксимация производных строится так, чтобы формируемая система линейных
уравнений совпадала с уравнениями метода конечного элемента:где Д^ ф = ± ф (isl ± 1)ТФ (is2); Т% ф = ф (is2 ± 1) + ф (^2).причем, если N=i2, то Гв3=£— единичный оператор.Реализация на АЛГОЛе—60. Программирование сводится к составлению процедур—
функций, описывающих заданные или служебные характеристические функции cstmn(i),
0(7), F(si i), 6(p, i), f(s, i), k(s, i), а также процедуры-функции вида: D(t, s, i, u) —
производная в узле сетки от произвольной функции и; o(s, /, i, и) — напряжение © узле
сетки при произвольной функции и\ Lh(s, i, и)—дифференциальный оператор в узле
сетки от произвольной функции и; coefficient (i, j) — произвольный коэффициент раз¬
решающей блочной матрицы, ще i и у—мультииндексы коэффициентов блочной мат¬
рицы.В последней процедуре-функции выполняется следующее: формируется единичная
процедура-функция (ej), представляющая элемент базиса. Она выполняет такую опе¬
рацию: е/ (/) = 1, если i = /; ej (i) = 0, если i Ф j.При обращении к Lh, на место формального параметра произвольной функции и
подставляется, в качестве фактического параметра, индентификатор е.б)	.При помощи функционала.Общий оператор краевой задачи теории упругости анизотропного тела взаимно од¬
нозначно соответствует квадратичному функционалу:Ф (и) = j в с*'""*.,, (V)гтпbk v\dlRN+ 2 j Fkvdx + 2 f fkvdly
RN	i39
где vs='K»u8't (1—ив)—характеристическая функция для точеъ в которых заданы пе¬
ремещения; / — поверхность тела (описывается уравнением р(х)= 0). Повторяющиеся
верхние и нижние символы означают суммирование.Воспользовавшись функцией &(р), можно перейти к другой формулеФ(и)= j (0 cstmn гтп + 6 (р) bk vl) dJ+ 2 j (6 Fk + 6 (p) fk ) dT.RN	RNАппроксимация функционала. Внутри каждого элементарного объема величины е3*
и Cstmn можно считать постоянными, функции Uh — линейными по 'каждому направле¬
нию. Величины bh, fh, Fh разносятся по ближайшим узлам обратно пропорционально
расстоянию. В результате получим:Ф (и) = 2 в (О A (i, и) + 2 Ьк (0 (ик (О)2 + 2 2 {Fk (0+/* (»■))«*. «(0 = J в (*) dx-i	i i □Выражение для относительной деформации est(i) аппроксимируется так же, как в
операторе.Обычно программа решения какой-либо задачи по данной методике включает в себя
две основные процедуры-функции (остальная часть программы связана с сеточной ап¬
проксимацией заданных функций, операциями дифференцирования и сервисом типа
ввод-вывод). Первая—процедура вычисления «смысловой» функции, например, вычи¬
сления функционала, сформулированного для краевой задачи теории упругости анизо¬
тропного тела внутри элементарного объема. Ее заголовок: real procedure A(i, и), гдеi	— номер узла сетки; и — процедура вычисления сеточной функции вида u(i). И вто¬
рая — общая процедура вычисления произвольного коэффициента разрешающей матри¬
цы: real procedure coefficient (ki, i, kj, j, В), где ki, i и kj, j — задают номер элемента
блочной матрицы; В —идентификатор процедуры-функции вида B(i, и).Для большей наглядности тело основной процедуры-функции A (i, j) приводится пол¬
ностью. При первом взгляде на этот текст очевидна краткость «алгольной записи» функ¬
ционала, при подробном чтении — близость ж исходной математической формуле:real procedure A(i, и); integer array/; real procedures; begin integer s 1, s 2, /1,12; real R; array E [1 :N, 1 :N], c[ UN, UN, UN, UN], x[\:N]\ fors 1: = 1step 1 until N do x[sl]:=tfX[sl, i[s 1]]; EE(i, u, E)\cijmn(x, c)\ R:=0\ for s 1: = 1 step 1
until N do for s2: = 1 step 1 until W do for /1: = 1 step 1 until N do for t 2: = 1 step 1
until N do R: = R + с [s 1, s 2, /1, t 2] X E [s 1, s 2] X E [M, t 2]; A: = 0 (i)xR end A;Что касается процедуры-функции coefficient, то ее текст один и тот же для всех за¬
дач, имеющих одинаковую индексацию векторов неизвестных. Он будет приведен в
описании реализации следующей задачи.Б. Уравнение Пуассона. Описывает задачу распространения тепла в кон
струкциях и задачу кручения.Краевая задача для уравнения Пуассона с переменными коэффициентами и произ¬
вольными граничными условиями имеет такой вид:д д	д и b	f\ —	а—	u = F, х £0; —— + — u = —, *£Г1; u = g, х£Г 2,д xs о xs	о п а	аГ\Ц Г2 = д&,	(7)где a, b, F, f, g — заданные функции; и — искомая функция.Выражению (7) соответствует следующее уравнение, справедливое для любой окай¬
мляющей области(х L + Ь 6 (р)) % u + (1 — *.)и = Ъ F + 6(p)f — (х L’+ (1 — -л)) g,s=1Соответствующий уравнениям (7), (8) функционал энергииэ ^=119 ^2 °s (~d^dj^8^) +6 s “)2 jd Xi d x*+
о»+ j j 0 (F + b(p)f)ud Xi d x2 при условии—	00(1 _x)(«-g) = 0.	(9)40
Используя штрафную функцию [3] вместо условия (9), можно добавить к исходно¬
му функционалу слагаемое kd(p)(\—к) (и—g)2, k-+oo, и получить общий функционал
без ограничений:В справедливости выведенных формул можно убедиться 'непосредственной про¬
веркой.Разностная аппроксимация оператора. Разностным оператором, соответствующим
методу конечных элементов, будетФункции Fh, 6h(p)fh, bh(p)bh, разносятся по узлам обратно пропорциональ¬
но расстоянию. Значения функций к и g присваиваются ближайшим узлам.Для иллюстрации приведена процедура-функция, вырабатывающая произвольный
коэффициент матрицы разрешающих уравнений:real procedure coefficient (i 1, i 2, /1, j 2, LAPLACE); value /1, i 2, /1, /2; inte¬
ger i 1, i 2, /1, j 2; real procedure LAPLACE; begin real procedure E (k 1, k2)\ value
k 1, k2\ integer k 1, k 2; E : = if k 1 = j 1 Д k 2 = j 2 then 1 else 0; coefficient:LAPLACE
(i 1, i 2, E) end;’Эта процедур а-функция при сохранении принципа нумерации неизвестных подходит
для «алгольной» (программы любой задачи, основанной на применении дифференци¬
ального оператора. Конкретизирует задачу, в нашем случае, процедура-функция вы¬
числения оператора Лапласа. Ее заголовок выглядит так: real procedure: = LAPLACEгде операция D+ и вычисление аппроксимирующих функций такие же, что и при опе¬
раторном подходе.В.	Задача об изгибе анизотропной плиты. Запишем применительно к
методу «стандартной области» общее уравнение изгиба анизотропной плиты при крае¬
вых условиях второго и третьего рода:где Bst=&Bst\ со — прогиб плиты; 0 — характеристическая функция области; Bst,
b2, g, МПу Qn—заданные функции; р(*)=0— уравнение границы тела; Мп — изги¬
бающий момент; Qn —поперечная сила.00э	(и) = Э (и) + 11*6 (р) (1 — х) (и — g)2 dxtd хг.—	00где Df ф = Tf Д± ф (/ = 1, 2; s); Tf ф = (ф (it ± 1) + ф («'<))/2;(И, <2, F).Разностная аппроксимация функционала. Аппроксимация имеет видЭн («) = ]	ahs (D, +(* uh+ gh))2 + bh (* и)2 + kh (1 - *) (и - *)■ ++ 2 + fh) “cp >id — d2 w	d2 — d2 wZj IT Bst ТГ + 4	5зз . . +/d w+ b1b(p)w + b26' (p)—	= g + 6' (p)Mn + b(p) Qn,о n(10)41
Уравнению (10) соответствует функционалд2 w д2 wд х2 д xiВ случае смешанных граничных условий (заделка или шарнир) можно воспользо¬
ваться этими же выражениями, придав коэффициентам жесткости bi и 62 в местах зак¬
репления большие значения.Сеточная аппроксимация. На стандартную область наносится сетка, а затем строит¬
ся -вторая — с узлами в середине ячеек исходной (*рис. 2). Все входящие в уравнение
(или функционал) величины считаются -постоянными внутри элементов, ограниченных
пунктиром, а искомые функции аппроксимируются в узлах основной сетки. Операции
дифференцирования аппроксимируются обычными разностными формулами (производ¬
ные 1-го порядка и смешанные берутся центральными). В этом случае разрешающая
-система линейных уравнений отлична от аналогичной матрицы, получаемой методом
конечного элемента. Входящие функции осредняются по элементарному объему вто¬
рой сетки, показанной (пунктиром. Вся остальная схема решения повторяет предыдущие.Г. Расчет сложных конструкций. В рамках разрабатываемой методики
расчет сложных конструкций предполагается вести следующим образом.Конструкция раз!бивается на отдельные конструктивные элементы (плиты, (пластин¬
ки, объемные тела, стержни). Каждому элементу присваивается номер и дается своя
сеточная разбивка.Геометрические места соединения элементов — ребра, стыки—также считаются эле¬
ментами (нематериальными элементами). В них дается своя одномерная внутренняя
«сетка» или просто одна точка. Задаются уравнения связи соединительного элемента с
каждым материальным элементом (рис. 3).Процедура-функция неизвестных в общем виде выглядит так: u(N, k, £), где N —
■номер элемента данного типа; k — номер векторной функции внутри элемента; i — се¬
точная координата внутри элемента.Процедура-функция оператора для сложной конструкции в общем виде L(Nr k9 i,и).Общий *вид процедуры-функции подынтегрального выражения функционала 3(Nt
£, и).Общий вид процедуры-функции вычисления произвольного коэффициента разреша¬
ющей матрицы coefficient (N1, N2, k\> k2> П, i2, L).При нумерации элементов желательно исходить из соображений минимизации ши¬
рины ленты. В случае произвольной нумерации полезна автоматическая перенумерация
сетки с помощью теории графов.4.	Заключение. Предлагаемая методика проверена при решении различных задач.
Однако серьезным недостатком ее является медленная работа процедур-функций в
трансляторе ТА-IM для ЭВМ М-220. Даже если вся процедура состоит из одной-двух
команд, на ее реализацию тратится 45—'50 машинных команд. Поэтому приходится ис¬
кать приемы ускорения программы. Например, при суммировании подынтегральной фун¬
кции обходить слагаемые, заведомо равные нулю, что сравнительно легко определить
из сеточного шаблона, а также не вычислять, очевидно, равные нулю коэффициенты
матрицы. К примеру, если функционал . содержит производные не выше второго по¬
рядка, то при вычислении коэффициента матрицы вида o(ki, t, kj, /), подынтегральная
процедура-функция вычисляется лишь в точках, отстоящих от i-ro узла не более чем
на один шаг сетки одновременно по обоим направлениям. Второй прием ускорения зак¬
лючается в предварительном выводе формул для подынтегрального выражения не для
общей, а конкретно для единичной функции. Этот прием позволяет ускорить работу
программы во много раз.II.	И. М. Г ельфанд, Г. Е. Шило®. Обобщенные функция и действия над ними. Вып. I. М.,
Физматгиз, 1959.2.	В. А. Ильин, И. Г. П о з и я к. Линейная алгебра. М., «Наука», 1374.3.	Ф. П. Васильев. Методы решения экстремальных задач. М., Изд-е МГУ им. Ломоносова,
1974.4.	А. Б. Золотов. К расчету трехмерных конструкций на ЭВМ. «Строительная механика и
расчет сооружений», 1969, № 6.5.	А. Б. Золотов. Формулировка задачи Неймана для уравнения Пуассона и второй краевой
задачи, пространственной теории упругости в терминах обобщенных функций. Численные методы
и ал гор и 1 мы. Труды ЦНИИСК им. Кучеренко, вып. 9. 1970.6.	А. К. Ghugh, Н. Gesund. Automatic generation of the coefficient matrix of finite diffe-
'Tence equations. .International Journal for numerical methods In enginiering. London. 1974. 8. № 3.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ42
Инж. Д. М. БЕНИАМИНОВ (ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, Москва)УДК 624.04.Уравнения смешанного метода в теории упругостиСоотношения теории упругости обычно сводятся к двум типам дифференциальных;
уравнений: уравнениям равновесия Ляме, записанным в .перемещениях, и уравнениям
совместности деформаций с неизвестными функциями напряжений, через которые са¬
ми (напряжения выражаются с помощью формул Морера, Дж. Максвелла или
Б. Финцы [1—3]. В предлагаемой статье на основе общего алгоритма, предложенного
в i[4], составлены системы уравнений классической теории упругости, занимающие в.
некотором роде промежуточное положение между упомянутыми уравнениями. Часть,
уравнений в системах имеет смысл уравнений равновесия, а другие — уравнений сов¬
местности. Неизвестными служат некоторые компоненты вектора перемещений и функ¬
ции напряжений. По терминологии, .принятой в строительной механике стержневых си¬
стем, где подобные уравнения широко .применяются после появления книги А. А. Гвоз¬
дева [5], полученные системы уравнений названы уравнениями смешанного метода.1.	Приведенная в [4] методика составления уравнений смешанного метода для ди¬
скретных систем легко переносится на континуальные упругие системы. Это связано с
тем, что дифференциальные операторы уравнений равновесия и соотношений между пе¬
ремещениями и деформациями не зависимы: они -по терминологии Э. Тонти «формаль¬
но сопряжены» [6], что вытекает из принципа возможных перемещений, распространен¬
ного на континуальные системы.Выведем уравнения смешанного метода для трехмерной задачи классической теории-
упругости.Пусть упругое тело занимает в пространстве некоторую область V с границей Г.
После введения декартовой системы координат и выделения одного из направлений
зависимость между деформациями и перемещениями -представляется в видееа Р = (“а, Р + WP, а); езз = w3, 3; еа3 = Кх, 3 + и3, а)*В этой формуле и далее везде греческие индексы имеют значения 1, 2, и принято обыч¬
ное правило суммирования по немым индексам. Так как все соотношения записыва¬
ются в декартовой системе координат, то не делается различия между верхними и ниж¬
ними индексами.Составление уравнений смешанного -метода связано с возможностью разделения*
всей совокупности обобщенных деформаций на две группы, из которых одна зависит от
части компонент полного вектора перемещений. Такого рода разделение компонент де¬
формаций (1.1) осуществляется в двух вариантах, а потому в теории упругости будет
два варианта уравнений смешанного метода.Первый «ариант. Разобьем компоненты деформаций (1.1) на две группы: в-
одну поместим компоненты еар, а в другую — еа3 и езз- Так как три функции
еаЗ—0,5 ма>з и 8зз зависят только от одной переменной и3, то должны выполняться
два уравнения совместности2е3а, 3 ~ е33, а = иа, 33?	(1.2).Если напряжения о3а и ст33 выразить через две функции напряжений по форму¬
лама3а = —^а, 3 "Ь а3а’ азз = Т’а, а + азз>	(1-3)то в уравнениях равновесияаР а, Р + а3 а, 3 = Яа » аР 3, Р + а33,3 = <7з	(1 4}последнее уравнение выполняется тождественно, а первые два приобретают видаР а, Р “ Та, 33 =	а3а, 3*	0*5)'В (1.3) стзд-и O33—есть произвольные частные решения последнего уравнения си¬
стемы (’1.4).Применив теперь к потенциальной энергии деформаций W(e) преобразование Ле¬
жандра, получим смешанный потенциал(еа Р» аа 3 > a33) = W (е) ~ аа 3 еа 3 ~~ а3 а е3 а ~ 033 е33>
для которого справедливы формулыd SJd ва р = оа р; д51/д(Таз= ea3; dS1/da33 = — е33>	(1.6)-43-
На способ получения уравнений состояния упругого тела в такой форме впервые
указал И. И. Гольденблат [7].Для линейно-упругого изотропного тела потенциал (1.6) имеет видSi = Е [2 (1 — v*)l—^(«п + Ч2)2- 2 (1 - v) eu е22] - (I + v) (1 - 2 v) [2 Е (1 - v)]-1*^
+ v (1 — v) 1 (Т33 (en -|- е22) + Е [2 (1 + >01 1 (е^ “Ь e2l) ——	(1 + v) (2 Я)”1 (<*13 + 023 + о%{ + о|2),а уравнения состояния в соответствии с формулами (1.6) —<Тц = (1 — v*) 1 [Е (£ц + v e22) + v (1 + v) cr33]; <х12 = Е (1 + v) 1 е12;сг22 = (1 — v2) 1 [Е (е22 + v еи) + v О + v) ^33]I ei3 = (1 + v) E 1 a13;<*33 = 0 + v) (1 — 2 v) [E (1 — \»)] 1 (X33 — V (1 — 7) 1 (eu + £22); e23 = (1 + v) E”1 023.Окончательные уравнения получаем после подстановки в уравнения (1.2) и (1.5)
деформаций еа 3. е33 к напряжений аа р , выраженных с помощью последних формул
и формул (1.1) и (1.3) через перемещения иа и функции напряжения Та,В [2 (1 - v)]-‘ «р. р . + Е [2 (1 + V)]-1 v* ив + v (1 - V)-1	Га> зз =
= ^а-°з1в.з-^(1-^Г1 °зз.в: (l+v)(l-2v)[B(l-v)]-1 Гр>3о +
+ 2(l+v)£—1 Та 33 — v(l—V)-1 Up ра + 33 =
= (l + v)(l-2v)[E(l-v)p1 a“‘>a-2(l+v)£-1 a“'0i3.	(1.7)Второй вариант. В первую группу компонент тензора деформаций поместим
только одну компоновку е33, а во вторую — еар и е^ . Пять функций еар —0,5 и3 а
зависят от двух функций иа; по этой причине они не .могут задаваться произвольно
и должны удовлетворять трем уравнениям совместностие11,22 + е22в11 =2е12,12» 2 е31Л 6ll.3=sW3 ,11» 2 е32,2 е22,3 = м3,22. (1.8)Согласно общей методике первые два уравнения равновесия в [1.4] удовлетворя¬
ются тождественно, если выразить 5 компонент тензора напряжения бдр, <Уа3 черезтри функции напряжений Ф, ^¥аОц = ф 22 ^1,3 Н" ^ll» ^22 - Ф п — ^2,3 а22 »СГ12 = — Ф 12 + СГ®2^ (Т13 = ^11+ СТ23 = Т2 2 + <*23*02 02где Одр, а” з—произвольные частные решения этих уравнений.Потенциал, определяющий уравнения состояния для этого варианта, вычисляется
так:*S2(ffap> <Ta3, £33) = W (е) — <Jap eap— <Ta3 ea3 "™ ^3 о e3 a
и для линейно-упругого изотропного тела имеет вид
So = — [(1 +^)/2 Е] [(1 — v) (au -f- (Т22)а — 2 au (Т22 + + a2i а?з “Ь a3i "Ь а23 “Ь+ азг1 v езз fan + ^22) + 0,5 Еез3 ,откуда после соответствующего дифференцирования следуют соотношенияеи = О + v) Е~1 [(1 — v) — v a22] — у £33*, £i2 = (1 + v) Е 1 Oi2;е22 = (1 + 'О Е 1 [(1 — v) а22 — v 0ц] — v (Т33; е13 = (1 -f- v) Е 1 (Ti3;<*зз = Е е33 + v (au + <т22); е23 = (1 + v) Е~~1 а23.Подставляя в уравнения совместности (1.8) и в последнее уравнение равновесия(1.4)	деформации еар , еа3 и напря1жения <та3 , а33, выраженные через функции на¬
пряжений Ф,	и перемещение а3, получаем замкнутую систему уравнений смешан¬
ного метода по второму варианту(1-,*) Е~\*Ф- (1 - v«) В-1 v* OFi + Ч^.з + 0 + v) £_1(4,Iill + T2iia)>3 - v v* «3.3=
= (1 + v) Е-' (0?ffU + 0“ 22 + 2 o“tl2) - (1 - .*) Я"1 v2 (a?? + 0%);44
(1 - V*) V* Ф.з - (I + *) Е-' Ф(ПЗ - (1 - V») £—1 (Yx +	-— О + v) £	— ^2,33) — VM3,33 — «3.11 = V(1 +Ч)Е 1 ^и.з-!-+ 2(l+v)£-> 0[з_! — (1 — va)E~l o“3;(1 - ,*) E—1 v* Ф.3 - (1 + 4) E-' Ф,22з - (1 - v») E~l (V, + Y*).33 -(1 + v) E 1 (2 ^2,22 ^1,33) v И3,33 u3,22 == v(l+v)£-> a“3 + 2(l + v)£-1 og>a-(l-*•)£-• o“3;N V* ф - v (Vt + V0.35 + ▼! .11 + *2.22 + E «3.33 = * ~ «18.1 “ °".2- (1 -9)При решении систем уравнений (1.7) и (1.9) к ним присоединяются граничные ус¬
ловия, записанные через переменные соответствующего варианта. Компоненты век¬
тора перемещения, не входящие в число переменных какого-либо варианта, выражают¬
ся через них с помощью формул Чезаро [8].Уравнения типа (1.7) и (1.9) могут быть составлены не только в декартовой, но и
в произвольной (Цилиндрической системе координат, если выделяемое направление свя¬
зать с направлением образующей. Кроме того, возможна запись аналогичных (1.9) урав¬
нений в системе координат обычной в теории оболочек. Здесь выделяемое направление
связывается с направлением нормали к срединной поверхности.2. Рассмотрим теперь задачу о плоском напряженном состоянии. Все результаты
переносятся на задачу о плоской деформации заменой [8] v на v/(l—v) и £ на £/(1—v2).Введем в двухмерной области, занимаемой пластиной, декартову систему координат
и выделим одно из направлений. В соответствии с общей процедурой запишем:уравнение совместности2 e12.2 е22,1 =ttlt22; (2.1)представление напряжений и 022 через функцию напряжений F021= ^,2"Ьа21» а22 = ^,1 "Ь а22**	(2-2)одно из уравнений равновесияall,l ^,22 = Я1 — а21,2»	(2-3)смешанный потенциалS, = 0,5 [fi-efj _(1 —V3) £—* <4 —(1 + v)£-‘ 0f2_(l+ „)£“• a\x ++ 2vsua*s].	(2.4)В (2.2) и (2.3) я — частные решения другого уравнения равновесия, ко-
торое при представлении (2.2) удовлетворяется тождественно. Если полученные из(2.4)	812, 622 и (Тц подставить в (2.1) и (2.3), то будем иметь два уравнения смешан¬
ного метода плоской задачи (полагаем <72=0)(1 v*)E~l Fu+2(l + v)£-‘ f22 = v	,22;£и1.П+vF.!i-f.22 = <7x-	(2.5)Возможны дальнейшие преобразования. Выразим функции F и и\ через разрешаю¬
щую функцию <р по формулам^ = V<P,U —Ф,22* “i = О — v2)Е~1 ф>п-|-2(1+ v)£-‘ ф 22. (2.6)Тогда первое уравнение системы удовлетворяется тождественно, а второе сводится
к неоднородному бигармоническому уравнениюV4<P = <7i-	(2.7)Краевые задачи для этого уравнения ставятся обычным образом. Необходимо толь¬
ко из соотношений (2.3), (2.4) я (2.6) выразить напряжения aap и перемещение и2
через функцию <р:ffll = [(2 + v) Ф,22 + Ф,ц],Р а12 = (ЯР,22 — v Ф, 11^,2»^22 = (v Ф, 11 — ф,22),1» и2 =— (1 — ^2) ф 12 +const.Соотношения (2.7—i(2.8) иным способом получены также в [9].Хотя, как нетрудно заметить, функция ф несет иной смысл, чем известная функ¬45(2.8)
ция Эри в плоской задаче теории упругости, она также должна удовлетворять бигармони-
ческому уравнению, методы решения которого хорошо известны. Отличительная осо¬
бенность, дающая некоторые преимущества при решении первой и смешанной краевых
задач, заключается здесь в том, что перемещения выражаются через функцию <р в яв¬
ном виде без -применения операции интегрирования.Помимо чисто методического интереса, который представляют уравнения (1.7), (1.9)
и (2.5), они с успехом могут быть использованы при решении задач теории упругости,
со смешанными краевыми условиями.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	В. Finzi. Yntegrazion della eguazione della Mecaanica del slstemt contlnui. Rendicontl d»
Lincei, Ser. VI, 19, 1934.2.	Ю. А. Крутков, Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упру¬
гости. Изд-во АН СССР, 1949.3.	В. И. Б л о х. Функции напряжения в теории упругости. ПММ, I960, т. 14, вып. 4.4.	Д. М. Бениаминов. О смешанном методе строительной механики. «Строительная меха¬
ника и расчет сооружений», 1973, № 5.5.	А. А. Гвоздев. Общий метод расчета сложных статически неопределимых стержневых
систем. М., ОНТИ, 1927.6.	Э. Тонти, Вариационные гьрищцшы теории упругости. Сб. «Механика», 1969, № 5.7.	И. И. Гольденблат. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. Гостехнздатг
1955.8.	А. И. JI у р ь е. Теория упругости, .«Наука», 1970.9.	Н. С. Рябов. К теории плоского напряженного состояния. Сб. ЦНИИСК им. В. А. Кучерен¬
ко «Теория и методы расчета сооружений», вып. 23. М., Стройиздат, 1972.Канд. техн. наук К. 3. ГАЛУСТОВ (БелдорНИИ, Минск)УДК 624.012.4:539.374Решение релаксационной задачи
двухкомпонентной теории ползучести бетонаИсследования последних лет показали, что 'бетон и железобетон в процессе дли¬
тельного загружения обнаруживают способность частичной необратимости. В зависи¬
мости от уровня загружения доля необратимой деформации силового происхождения
по сравнению с полными деформациями бетона может составлять значительную ее
часть.Существующие теории ползучести бетона не учитывают необратимые деформации,
не связанные со старением, что в ряде случаев [1, 2] приводит к заметному несоот¬
ветствию результатов опыта и теории.В последние годы разработана двухкомпонентная теория ползучести бетона [1, 2],
которая учитывает характер проявления необратимых деформаций силового проис¬
хождения.Широкое использование двухкомпонентной теории в практике проектирования же¬
лезобетонных конструкций может быть реализовано при наличии решений релаксаци¬
онной задачи теории.Ниже .приведены основные решения нелинейной релаксационной задачи двухком¬
понентной теории.Рассмотрим нелинейное уравнение двухкомпонентной теории ползучести для ста¬
рого бетона [1]:t	макс аб4(t) = £YJ--\o6^)K(t-^)dx+ f flo6(i)]FlT(a6, t)]da, (1)
6 о	огде бб — деформация бетона, вызванная изменяемым напряжением ав(0'» £б — мо¬
дуль упругости бетона.При заданном законе деформирования материала уравнение (1)—есть нелинейное
интегральное уравнение. Эксперименты [1,3] показывают, что нелинейность необрати¬
мых деформаций может быть аппроксимирована степенной функцией с показателем
степени г|)=:1-=-2. В качестве ядра интегрального уравнения K(t—гг) примем ядроН.	X. Арутюняна [4]:K(t—x) = d [Е-1 + Соб (<—т)]/а т = — С0 / ехр [— / (t — т)],где Соб(*—т) — мера обратимой деформации ползучести бетона.В этом случае интегральное уравнение (1) примет вид:t	макс agоб(/) = /С-А(0, Л(/) = Я0]‘аб(т)е-/('-^т + Х1 j o6(t)F[Т (аб, t)\do. (2)46
К уравнению (2), жоторое в дальнейшем будем называть уравнением типа I, сво¬
дятся задачи по расчету предварительно-напряженных железобетонных центрально¬
сжатых и изгибаемых элементов.В уравнении (2) /С, Х0 и Х\— некоторые постоянные члены уравнения. Так, при
расчете центрально-сжатого железобетонного элемента при действии на него постоян¬
ной нагрузки эти коэффициенты должны иметь следующие значения:К = N/F6 Yi; Я0 = Еа ц С0 //Vi» ^i = EaH</Yi» Yi==^4-mlJ'I
m = EJE6; ^ = FJF6;£a — модуль упругости арматуры; Fa, Fб — площадь поперечного сечения арматуры
и бетона; С0 — (предельное значение меры обратимой деформации ползучести бетона;
у— коэффициент, характеризующий скорость роста обратимой деформации.В случае -изгибаемого железобетонного элемента при постоянном действии внешней
нагрузки Мх коэффициенты определяются так:к = обу = Мх hi/I0 Yz; = н- «О Еа / C0/Y2; h = EaV- n0/yt,
Ya=l+fftIAno> По = ///о = (1+^б/»1)До;Обу — напряжение в бетоне, вызванное упругой деформацией.Интегральное уравнение (2) будем решать методом Пуанкаре (метод малого па¬
раметра, обозначенного ^)- Представим уравнение (2) следующим образом:
t	макс оgdx-lj o6(t)F[T(<j6,t)]do.	(3)О	оВ соответствии с методом Пуанкаре на первом этапе .решение уравнения (3) осу¬
ществляется при 5=0. Оно сводится к линейному интегральному уравнению типа
свертки, решение которого удобно получать операционным методом.В пространстве изображений при условии 5 = 0 изображение искомого оригинала
имеет следующее значение:F(p) = K(p + j)/p(p + b), 6 = /(1 + Х0С0).В пространстве оригиналов искомая функция примет видаб0 (0 = В ехр (—6 /) + А, В = К Х/6; А = К //6.Легко показать, что при /=0 сумма А+В выражает напряжение, вызванное упру¬
гомгновенной деформацией бетона. В случае центрально-сжатого элемента получим:
A-\-B = N/Foyi. Аналогичное выражение можно получить для изгибаемого элемента.
Для получения закона изменения напряжений в бетоне с учетом необратимой дефор¬
мации следует по известному <7бо(0 вычислятьF[T(06, /)] = -Fo ^ 1 — ехр [— фГ (сгб, /) 1>,	(4)где Fо—предельное значение удельной необратимой деформации; ф — параметр, ха¬
рактеризующий скорость роста «необратимой деформации.Функция длительности действия нагрузки^(^б. 0 = t при А<а<а (/); Т (аб, /)== 6”1 In [(а — A)jВ] при А + В > а > а (/).	(5)Необратимая часть деформации определится с учетом (4) и (5) следующим образом:
£н (0 = D ехр [— (ф + 2 6) *] + Т7 ехр [— (ф + 6) /] + М,	(6)где D = — K2№<pX1F0l?b2((p + 26)i F = — К2 Xj фХх F0/62 (ф + 6);М = — (D + F) = Kikl1<pF0b-2 [А,/2(А, + 2 6) + //(ф + 6)], М>0.Зная значение необратимой составляющей (6), решаем интегральное уравнение:*61 (0 = к - Хо j <тб0 (т) е~‘ (t~z)dx-D <Г(Ф+2 в) * - F <Г(ф+в) - М. (7)оДля решения линейного интегрального уравнения (7) вновь воспользуемся опера¬
ционным методом. IB пространстве оригиналов искомое напряжение определится из
следующей формулы:■<*б(0 = £(0. i(0 = ^exp[—(ф + 2б)<] + ^ехр[—(ф + В)/]_Qexp(—бхО + S, (8)
P = D(/-q> — 2б)Я<р + 2б — 6^; R = F (/ — ф - 6)/(<p + в— вх);47a6(t) = K — h> J <тв (т) в ' ( т)
Q = (К — M) (j - + D (/ - Ш<Р + 2 б - 6,) + F (j - в,)/(ф + 6 - fix);
S = (K-M) f/6i; 6X = / (1 + Я-о F0).Можно также показать, что при / = 0 из (8) получим значение напряжения, вызван¬
ного упругомгновенной деформацией Обу (t) =iP+R+Q+S=yyl [—.D—F—M + N/F6].
Учитывая, что M = —D—F, окончательно получим a6y=W/r6Yi-Таким образом, влияние ползучести учитывается сомножителями при коэффициен¬
тах Р, R, Q. Коэффициент 5 устанавливает предельное значение напряжения, до ко¬
торого может измениться напряжение в бетоне. При /-*-оо 06(t)-+S.В общем виде решение интегрального уравнения (3) в соответствии с методом
Пуанкаре представляется асимптотическим рядом по степеням g: Об(0 =Обо(0 ++Б^в1'(0+Е2^в2(0 + • • •Следовательно, основную роль при нахождении решения играют свободный и ли¬
нейный члены относительно параметра Ограничиваясь свободным и линейным чле¬
нами относительно £, получим решение, которое, как показывает эксперимент, отлича¬
ется от истинного (незначительно. Следовательно, в пределах £<1 исходное интеграль¬
ное уравнение (3) решается с точностью, достаточной для практики.Рассмотрим случай переменного воздействия нагрузки или вынужденной дефор¬
мации.Здесь задача сводится к нелинейному интегральному уравнению, которое назовем
уравнением типа II,o6(t) = Ф(0-Л(/).	(9)Уравнением типа II описываются задачи расчета конструкций (неразрезных балок)
с учетом осадки промежуточных опор, расчета железобетонных элементов на воздейст¬
вие внешней нагрузки, изменяющейся во времени и некоторые другие задачи.Функция Ф(^) учитывает характер изменения нагрузки во времени или вынуж¬
денные деформации. Например, при расчете неразрезной железобетонной балки [4] с
учетам осадки промежуточной опорыФ (/) = 5 Ах q I* [ 1 + Ье~* (,-т,)]/8 /» у2 (1 + 6) + a6s (Д /)== Яг “Ь б ,	(Ю)где+	А.з = 5й1<7РЬе *'*/8Л>Y*(1 +»•В случае изменяющейся внешней нагрузки, значение Ф(/) обуславливается харак¬
тером изменения M(t).Для иллюстрации хода решения, допустим, что характер вынужденного деформиро¬
вания соответствует (10). В этом случае интегральное уравнение (9) примет видстб (0 = + Хз exp (—s <) + -Л. (t).	(И)Решение уравнения (11) осуществляется методом Пуанкаре. На первом этапе ре¬
шается линейное (6=0) интегральное уравнением ядром типа сверткиt(0 = ^2 ^3 ^	& (т) £	d т,окоторое также решается операционным методом. Значение искомой функции на пер¬
вом этапеОбо	(0 = A exp [— j (1 + Х0 С0) t] + B exp (—s t) + D,	(12)гдеA* (/ — s), = ЯоСо/(— Xf.	+-■-	. V. B=-\ J X0 F0 J 	S	F0 ] ] J	JD =XqFq j	S2 jj + X0 C0 /сУбо — напряжение в бетоне, вызванное упругой деформацией и обратимой деформа¬
цией ползучести (приближение, соответствующее £=0).Легко видеть, что при t-+oo и /->0 соответственно имеем 06o(t)^D и або(0->,^+
4-B + D. Следовательно, функция Обо (0 носит монотонно убывающий характер от свое¬
го начального значения (A-{-B-\-D) и стремится к D при оо.Учитывая характер изменения функции (Хбо(0» Для простоты дальнейших вычисле¬
ний, аппроксимируем эту функцию зависимостью следующего вида: або(0 =
= Я exp (—где коэффициенты Я и р подбираются при аппроксимации. Функ¬
ция длительности действия напряжения представится в следующем виде:48
T(a6, t) = t, если D<cr<0(/); Т(а6, 0 = —Р 1 In [(в — D)/H],если Н + D > а > a (t).Соответствующая необратимая деформация бетона:Л* ен (0 = R ехр [- (ф + 2 р) t] + F exp [_ (ф + р) /] + М,	(13)где Я = -Л0^0Я2ф/(ф + 2Р); F = - К fo И D ф/(ф + р); Af = -(fl + f).Интегральное уравнение (11) на втором этапе с учетом (13) решается операционным
методом:<тб (<) = Wi е~6‘( + Wt e~$t + W3 е~^+2 р) * + Wt е_(ф+р) * + Wb,	(14)где Wj = (/ — бх) [R/(6j — ф — 2 Р) + F/(6X — ф — Р) — (Х2 — М)/6Х — X3/(dx — s)J;™ Ъ (i—s)	R(j— Ф — 2Р	F(/— ф — Р)W 2= 7	, И^з	—7	ТТ- , И^4 — 		о »Oi	— s	Oi — ф — 2р	Oi — ф — рНеобходимо отметить, что Обо (0 из (12) соответствует релаксационной задаче на¬
следственной теории старения, если принять в нем соответствующие значения парамет¬
ров С0 и /, следовательно, можно показать, что учет влияния необратимой составляю¬
щей деформирования, отражаемой двухкомпонентной теорией ползучести, существенно
изменяет напряженное состояние в элементе.Так при оо из (12) следует Обо(О-+D = k2jl&, а из (14)—Об(0_>^5= (^2—М)Х
Х/Я Так как М>0, то W5<D.Таким образом, предельные значения <Тбо(*) и Об (0 отличаются друг от друга, при¬
чем первое больше второго.Зная характер изменения напряжения в бетоне и используя условия равновесия и
совместности деформирования, не трудно вычислить характер изменения напряжения
в арматуре с учетом ползучести (аап). В случае центрально-сжатого железобетонного
элемента имеем следующее соотношение:ом(0 = «*-‘[ад-Об(0]-	(15>Запишем аап(0 так:О	ап (0 = <*ау И» (<• V-) • гДе °ау (t = 0) = N m/F6 Yil<Тау(/=0)—напряжение в арматуре, вызванное упругой деформацией; коэффициент
возрастания нормальных напряжений в арматуре центрально-сжатого элемента
Я«(/, ц.) = (Fcyi/MmiL) [N/Fe—06y(t) H6(t, ц]; Ha(t, ц) — коэффициент затухания на¬
пряжения в бетоне.В случае изгибаемого предварительно-напряженного железобетонного элемента, на
который действует некоторая внешняя нагрузка, получаем(0 = ^бу Нб (^» Н1)» <*а (0 = **ау ^а (^» Н*)»	О 6)где Н6 (/, fi) = L (t)l(P + R + Q + S)\ Яа(/, н*) = [Мх hjl9 - аб (/)]/ц п оау;^ау = (Мх hjlo — ^бу)/^ Л»L(t) определяется по (8).Таким образом, решение релаксационной задачи двухкомпонентной теории ползуче¬
сти бетона методом Пуанкаре в сочетании с методами операционного исчисления поз¬
воляет решать задачи в элементарных функциях с достаточной для инженерной прак¬
тики точностью. В качестве промежуточного результата получается решение той же
релаксационной задачи на базе наследственной теории старения бетона, что дает воз¬
можность оценить результаты вычислений. Решение задачи в случае другого характе¬
ра изменения внешней нагрузки или вынужденных деформаций не приводит к принци¬
пиальным затруднениям [5].Следовательно, использование двухкомпонентной теории ползучести бетона при
расчете железобетонных конструкций позволяет более правильно учитывать характер
деформирования бетона и исключает те погрешности, которые возникают, если не учи¬
тываются необратимые деформации бетона.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	К. 3. Г а л у с то®, А. А. Г в о з д е в. К вопросу о нелинейной теории ползучести бетона при
одноосном сжатии. Из®. АН СССР. «Механика твердого тела», 1972, № 1.2.	А. А. Гвоздев, К. 3. Га л ус то®, А. В. Яшин. Об уточнении теории линейной ползу¬
чести бетона. Из®. АН СССР «Механика твердого тела», 1967, № 6.3.	К. 3. Г алустов. О нелинейности деформаций ползучести бетона. «Бетон и железобетон»,
1971, № 10.4.	Н. Х.Арутюнян. Некоторые вопросы теории ползучести. Гостехиздат, 1952.5.	К. 3. Г алустов, С. Ю. Вайнер. Аналитическая форма записи необратимых деформа¬
ций первого рода двухкомпонентной теории ползучести бетона для некоторых законов изменения
нагрузки. Сб. трудов БелдорНИИ «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и мостов»,
Мишек, 1973.49
Инж. Г. А. НИКОНОВА (Волгоградский ин-т инженеров городского хозяйства)УДК 624.012.4.04:539.374Равновесие усеченного предельно напряженного
бетонного клина в условиях плоской деформацииРассматривается задача о равновесии бетонного клина, ограниченного горизон¬
тальной гранью и двумя наклонными гранями с углом при вершине О, равном 2а (рис. 1).Цель решения — определение предельного значения давления q, равномерно распре¬
деленного на горизонтальной грани длиной 2а и неограниченно распространяющегося
в направлении ух.Приводятся два варианта решения задачи на основе условий прочности для бетона,
предложенного Г. А. Гениевым [1]. В первом варианте применяется кусочно-линейное
условие, соответствующее пирамиде Кулона с соответствующей поправкой в области
растягивающих напряжений, учитывающей явление отрыва. Второй вариант решения ис¬
пользует в качестве предельной поверхности регулярную поверхность — параболоид
вращения с аналогичной поправкой в области растяпивающих напряжений.1.	Решение с использованием кусочно-линейного условия пластичности. Графически
условие пластичности для плоского деформированного состояния изображено на рис. 2
утолщенной линией.Условие пластичности при Oi>#c/2 имеет вид= Rc + k а2.	(1)В соответствии с [1] k = Rc/R*—отношение предела прочности бетона	на одноос¬
ное сжатие Rc к условному пределу прочности на одноосное растяжение Rр.Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести параметр напряженного	состоянияt = (<*i — ff2)/2.	(2)Из условия (1) находимo1	= (Rc-2kt)l(l-k); o2 = (Rc-2t)/(l-k).	(3)Решение задачи о предельных давлениях -будет складываться из решений в трех
характерных областях напряженного состояния (см. рис. 1).а.	Решение в области I (BC'D'). В области I имеется простейшее напряженное со¬
стояние (02=0). Решение в этой области состоит в определении значения o>i, очерта¬
ний области и граничных условий на линии ВС', необходимых для решения в областиII	(ЕВС'). На основании (3) находим параметр t=\Rc/2. Тогда Oi=Rc.Для определения очертания области I получим уравнения характеристик основной
системы дифференциальных уравнений. Обозначим Р — угол между положительным
направлением х и направлением большего главного нормального напряжения G\ в
рассматриваемой точке.Напряжения на произвольной площадке определяются следующим образом:[#с — t (£+ 1)]/(1 — k) ± /cos2P, i = х, у; хху = /sin2P,	(4)верхний знак относится к а*, нижний — к ау.Подставляя (4) в дифференциальные уравнения равновесияд ох/д х + д тху/ду = 0;д xxy/d х + д ву/д у = 0,получим основную систему двух квазилинейных дифференциальных уравнений пер¬
вого порядка относительно функций t и 0:(kx + cos 2 Р) д t/д х + sin 2 р д tjd у — 2 / (sin 2 fid p/d х — cos 2 Р д P/d у) = 0;sin 2 р д t/д х -f- (k± — cos 2 P) d t/d у + 2 / (cos 2 p d p/d x + sin 2 p d p/d y) = 0,*i = (*+l)/(*-l).Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик имеют видdyldx = tg (Р ± уо), Yo = 0,5 arccos k~l = const.	(5)где Yo абсолютное значение величины угла, образованного характеристиками с на¬
правлением большего главного напряжения 0\ в рассматриваемой точке; верхний знак
"-(consCtOOTBeTCTByeT Первому семействУ характеристик z=const, нижний — второмуВ рассматриваемой области р —0 имеем dy/dx=dztg- у о=const. Характеристики в
области I представляют собой прямые линии, составляющие со стороной BD' (вдоль
которой в данном случае направлена ось х) углы о-50
Рис. 3Область I — BC'D' представляет собой равнобедренный треугольник {BC' = C'D')y
длина основания которого BD' пока неизвестна -и будет установлена после получения
решений в областях I и II.б.	Решение в области II (ВС'Е). В области II существует особое напряженное со¬
стояние. Характеристики первого семейства представляют собой систему радиальных
прямых с центром в особой точке В (рис. 1).Решение в области ВСЕ состоит в определении -.переменного в направлении харак¬
теристик второго семейства напряженного состояния, очертаний области и граничных
условий на линии BE, необходимых для решения в области III — ЛВЕ.Введя в соответствии с рис. 3 полярную систему координат г, ft, обозначим р —
угол между положительным направлением радиуса г и направлением большего глав¬
ного нормального напряжения в рассматриваемой точке o»i.Напряжения на произвольной площадке определяют соотношениями:<У7 = [Rc — t(k+\))/(l—k) ± t cos 2 р, / = г, 0; тг $ = / sin 2 р,	(6)верхний знак относится к сгг, нижний — к .Подставляя (6) в дифференциальные уравнения равновесия, получим основную си¬
стему уравнений:(kx + cos 2 Р) д t/д г + sin 2 Р r—1 д t/db — 2t [sin 2 Р д fi/d г — cos 2 Р г~~1 (д Р/d ft + 1)]=0;
sin2$dt/dr + (k1 — cos2p)r~' д t/дЪ + 2 / [cos2 pa P/<?r + sin 2Pr_l (др/д»+ 1)] =0.Пользуясь .методом С. А. Х-ристиановича [2], получим дифференциальные системы
уравнений, определяющие /поля направлений двух семейств характеристических линий
и соотношения между искомыми функциями t и р на последних:г d Ъ/d г = tg (Р ± Yo), tg 2 Yo (d tit) ± 2 (d p + d ft) = 0,	(7)где Yo=const; верхний знак в выражениях (7) соответствует семейству z = const,
нижний — и=const.На характеристиках z=const — dd=0, откуда находимР = я — Yo-	(8)Интегрируя соотношения (7) и определяя постоянную интегрирования из гранич¬
ных условий на прямой ВС'У где при	—a, ip=ip0=jc—Yo. получим выраже¬
ние условий на характеристиках и=const0,5 tg 2 Yo In (2 t/Rc) = ft - Yo + a.	(9)По (9) для заданного произвольного значения О можно вычислить соответствующее
значение параметра t. Зная t, находим искомые значения главных напряжений в рас¬
сматриваемой точке.При а=я/2 приходим к задаче о действии плоского штампа на бетонное основание.Таким образом, соотношения (3), (5), (8), (9) определяют напряженное состояние
в области II — ВС'Е. Очевидно на характеристиках первого семейства—/ = const и
р = const, т. е. на прямолинейных отрезках характеристик z=const искомые функцииР сохраняют постоянное значение.Для завершения решения в области ВС Е получим уравнение характеристик вто¬
рого семейства: dr/r = —dO/tg 2у0, интегрируя которое и определяя постоянную инте¬
грирования из условия г=г0 при '0>=00=Yo—а, найдем искомое уравнение характе¬
ристик семейства w=const: r = r0 ехр [(yo—a—0)/tg2Yo], необходимое для определе¬
ния -границ распространения областей предельного состояния бетона.в.	Решение в области III (АВЕ). В области III имеет место простейшее напряжен¬
ное состояние. Траектории большего главного нормального напряжения оi — прямые
линии, нормальные к прямолинейной границе бетонного клина. Граничное условие на
линии А В определяет <Ji = <7.51
Из рис. 3 заключаем, что для характеристики ЕВ z=const: ft=Y=Yo=const. Под¬
ставляя это выражение в (9), получим 0,5 tg 2 Yo ln(2 t/Rc) = a, с помощью которого
находим t для области III, что позволит определить искомые значения 0\ и аг- Подстав-*
ляя в него значение t по формуле (2) с учетом предыдущих соотношений, получим
выражение для определения предельного давленияq = Rc(k-I)-1 [* exp (2 a/tg 2 Y«) - 1] -	(Ю)Анализируя (10), можно заключить, что случай а=0 соответствует одноосному
сжатию (q=Rc)\ при а=я/2 имеем случай давления на горизонтальную плоскость, т. е.
получим величину предельного давления, найденного при решении задачи о штампе;
при а>я/2 имеем случай давления на горизонтальную грань выемки с наклонными
откосами.Геометрические размеры характерных областей напряженного состояния зависят от
формы клина, т. е. от величины угла а. Увеличение угла а приводит к росту областей1	и II, область III остается без изменения.2.	Решение с использованием регулярной поверхности предельных состояний. В этом
случае в системе главных осей ai, a2, a3 в области сжимающих напряжений условие
пластичности записывается в форме:а1+а2“ЬаЗ — (<*1 а2 + <*2 а3 + а3 ^l)— Rc(l—Л *) (<Ti + (У2 + <Тз) = k 1	(11)В соответствии с постановкой задачи е3=0. Используя потенциал пластичности,
введенный в работе [3], по этому условию находимсгз = 0,5 (<*1 + <г2) + 0,5/?с (1 —k~l).	(12)Подставляя (12) в условие (11), получим искомое соотношение между главными
напряжениями <Ji и о2, являющееся условием пластичности для плоского деформиро¬
ванного состояния бетона,(ffx - о2)4— 2/?с (1 - A-1) (ffi + <х2) - Rl (1 + fe-1)*/3 = 0.	(13)Графически условие (13) представляет собой параболу, осью симметрии которой
является прямая 01=102.Условие разрушения от отрыва определяется системой прямых (рис. 4) <Ji = —/?Р;02	= —R р.В дальнейшем удобно ввести © рассмотрение следующие параметры напряженного
состояния:р = 0,5 (Ох + о2); / = 0,5(0! — а2),	(14)а также характеристики прочности бетона /(*=0,5 Rc(\+k~l)\ 7*=0,5 Rc (1—k~l).
При этом условие пластичности (13) записывается в формеi2	— 2 Г* р — А^/З = 0.	(15)Из соотношений (14) и условия (15) следует:а,	= tv 2 T,±i-K2J& Т., i=l, 2,	(16)верхний знак относится к <Ji, нижний — к а2.Решение задачи о предельных давлениях будет складываться из решений в трех
характерных областях (см. рис. 1) напряженных состояний бетона [4].Определяя очертания областей, аналогично первому варианту решения задачи по¬
лучим уравнения характеристик основной системы дифференциальных уравнений рав¬
новесия бетонной среды.52
Для данного условия пластичности дифференциальные уравнения полей направле¬
ний характеристик имеют видd ytd х = tg (Р ± Yb у = 0.5 arccos (TJt),	(17)где y — абсолютное значение величины угла, составленного характеристиками с нап¬
равлением большего главного нормального напряжения Ой р— имеет прежнее значение.а.	Решение в области I (BCD'). Условие а2=0 юз соотношений (16) определяет
для этой области значение параметра*	= *0 = 01/2 = const, О! = 2 (г, +Ут1 + к]/г).	(18)В рассматриваемой области можно положить Р = 0, тогда dy/dx = ±tg Yo=const.
На основании (17), (18) уо=0,5 arccos (Т*Цо).Область I — BC'D' представляет собой равнобедренный треугольник, длина основа¬
ния которого пока неизвестна.б.	Решение в области II (ВСЕ) будет состоять в определении переменного в на¬
правлении характеристик второго семейства (и = const) напряженного состояния, ус¬
тановлении очертания области и определении граничных условий на линии ВЕУ необхо¬
димых для решения в области III — АВЕ.Характеристики первого семейства z = const представляют собой систему радиаль¬
ных прямых с центром в точке В (см. рис. 1).Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик имеют вид rd'&/dr =
= tg (P±Y). Угол y определится по (17).Интегрируя дифференциальные зависимости между искомыми функциями t и 6 и
определяя постоянную интегрирования из граничных условий на прямой ВС', получимtg 2 Y = 2 $ + (tg 2 Yo — 2 Yo) + 2 а —	(19)условие на характеристиках и = const.Зная y» можно определить соответствующие значения главных напряжений.Уравнение второго «семейства характеристик определяется:d» = — drr~l tg2v-	(20)Внося условие на характеристиках (19) в (20) и интегрируя, найдем аналитическое
выражение уравнений характеристик второго семейства в видег = г* [1 + 2 (» - Y, + a)/tg 2 УоГ‘Л •Последнее уравнение используется для определения границ распространения пре¬
дельного состояния бетона.в.	В области III (АВЕ) имеется простейшее напряженное состояние, соответствую¬
щее тому типу граничных условий, когда тххух =0, т. е. трение по поверхности кон¬
такта отсутствует. Траектории (большего главного нормального напряжения 0\ — пря¬
мые линии, нормальные к прямолинейной границе бетонного клина. Граничное усло¬
вие на линии АВ определяет G\ = q.	__Для характеристики ЕВ (z=const) имеем ft=Y=Y (рис. 3), подставляя	котороев (19), найдем трансцендентное уравнение для определения значения угла y	в обла¬
сти IIItg 2"v — 2"y = (tg 2 Yo — 2 Yo) + 2 a.	(21)Пользуясь (21), можно определить значения главных напряжений. Из геометриче¬
ских соображений определяются характерные размеры областей напряженного состоя¬
ния.На рис. 5 изображен график зависимости отношения q/Rc от величины угла а при
k-' =0,685.В заключение отметим, что приведенные решения относятся к классу задач теории
предельного напряженного состояния бетона, имеющей, как известно, большое прак¬
тическое значение. С точки зрения оптимального проектирования, дающего значи¬
тельный экономический эффект, решения позволяют определять необходимые размеры
массивных конструкций наименьшего веса.Полученные результаты, в частности, могут быть использованы при расчете гидро¬
технических сооружений (плотин, дамб, русл каналов).СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Г. А. Гениев. О ли/нейном представлении условия прочности бетона. В сб.: «Теория и ме¬
тоды расчета строительных конструкций». Труды ЦНИИСК им. Кучеренко, вып. 35. Стройиздат,1974.2.	С. А. Христианович. Неустановившееся движение в каналах и реках. Некоторые новые
вопросы механики оплошной среды. Изд. АН СССР, 1938.3.	Г. А. Гениев. К вопросу об условии прочности бетона. В сб.: «Исследования по вопро¬
сам теории пластичности и прочности строительных конструкций». Госстройиздат, 1958.4.	В. Н. Киссюк. Задача э равновесии усеченного бетонного клина в условиях плоской де¬
формации и плоского напряженного состояния при учете пластичности материала. В сб.: «Иссле¬
дования по расчету оболочек стержневых и массивных конструкций». Госстройиздат, 1963.53
illlllllllllllllllllilll РАСЧЕТЫНД НСТРЙЧИВ0СТЫ11111111111111Д-р техн. наук проф. Д. И. ШИЛЬКРУТ, инж. П. М. ВЫРЛАН
(Кишиневский политехнический институт им. С. Лазо)УДК 624.074.4.04Динамическое исследование устойчивости
всей совокупности форм равновесия геометрически
нелинейных пологих сферических оболочек1.	Постановка задачи и цели исследований. Устойчивость различных равновесных
•состояний статически нагруженной оболочки 'исследуется динамическим .методом. За¬
дача численно решается в два этапа. На первом этапе определяются формы равнове¬
сия :и напряженное состояние оболочки, а на втором вычисляются частоты малых соб¬
ственных гармонических колебаний, совершаемых около данной формы равновесия.
Критерием устойчивости в малом рассматриваемой формы является вещественность
указанных собственных частот [1]. При этом неустойчивость в малом есть одновремен¬
но и неустойчивость в большом, -в то -время как устойчивость в малом еще не обес¬
печивает устойчивость в большом.В настоящей работе .исследуется устойчивость всей совокупности форм равновесия
геометрически нелинейных пологих *оферических оболочек на примере конкретного на¬
гружения. Как известно [2, 3] и др., зависимость нагрузка — характерный прогиб яв¬
ляется весьма сложной даже для пологих оболочек. Дело в том, что поведение не¬
линейных оболочек коренным образом отличается от деформации привычных жестких,
.линейных оболочек и сопровождается подчас совершенно неожиданными эффектами,
обусловленными нелинейностью, главным из которых является возможность существо¬
вания множества различных форм равновесия при одном и том же параметре нагрузки
(неединственность решения соответствующей краевой задачи). Ясно, что практически
реализуемы только некоторые из них. Поэтому изучение устойчивости всех форм пред¬
ставляет существенный интерес -и это, как нам известно, делается впервые. В опубли¬
кованных работах [4—8] и др. по динамике геометрически нелинейных оболочек да¬
ются значения частот собственных колебаний только на первом участке характери¬
стики, до верхней критической «нагрузки.2.	Основные уравнения задачи. В основу настоящей работы положены известные
уравнения динамики осесимметричных деформаций пологих оболочек, которые получе¬
ны из уравнений статики посредством принципа Даламбера с учетом инерционных сил,
порождаемых ускорениями прогибов. Инерционными силами от поворота сечений и
.перемещений в срединной поверхности пренебрегаем, как это часто делается.Эти уравнения в безразмерных величинах имеют вид1И=-(2рГ‘ [в* + 2ввн];т с I d2W \ т и>L(0) = -— р 9-S—- dP +	[0 + 0н] (0<Р<1; 0<т<оо). (1)Р j \	дт2 /	рИскомыми функциями являются 0 (р, т) — 0*(р, т)/Н — угол поворота нормали
вследствие деформации и со(р, т)=со*(р, т)/ЕН2 — функция мембранных напряжений.
Здесь 0н(р)=0н (р)/h — известная функция, определяющая угол между нормалью
к недеформированной срединной поверхности и вертикальной осью; р = г/а — без¬
размерный радиус; q = q*aAIEh4 — величина внешнего давления; S=<ja4g/Eh3 — кон¬
станта, определяющая массу оболочки, приходящейся на единицу площади срединной
поверхности; W(р, т) = №*(р, т)/Д— вертикальный прогиб оболочки; звездочкой везде
обозначены размерные'величины; £h = /h//i— относительная стрела начальной погиби в
центре оболочки (£н<0); /н — стрела начального подъема оболочки; ау h, а — соот¬
ветственно радиус плана, толщина оболочки и плотность материала; |i — коэффициент
Пуассона; Е — модуль Юнга; g — ускорение силы тяжести; оператор L( ) =
= д2( )/dp2+p-i д ( У/др-р-Ц ); пг= Л2 (1—7л2).Интегрируя по частям выражения, стоящие под знаком интеграла во втором урав¬
нении (1), учитывая №(р, т) = 0 (р, т)с?р, а также принимая ^ = const, получимРЫ
qm m S d2
~ P + _2p" dx'(2>.следующее выражение для этого члена уравнения:1	Р	Рр2 f в (р. тНр—р2 ^ в(р, x)d? + J Р2 в (р, т) dp
о	ооРассмотрим малые колебания системы около положения равновесия при статическом
нагружении, выражая искомые функции в виде0	(р, т) = 0С (р) + 6 0 (р, т); <■> (р, т) = <i>c (р) + Ь ш (р, г),	(3>где 0с (р) и (Ос (р) — 'решения уравнений статики, определяющие исследуемую на устой¬
чивость форму равновесия; 60 (р, т) и 3(0 (р, т) — малые колебания, накладываемые
на данное состояние равновесия.Подставляя (3) в (1), учитывая, что 0С, (ос есть решения уравнений статики и от¬
брасывая величины второго порядка малости ,[60]2 и *606(0, получим6 0	тп 5 д2 ( f*	(*	/»	\i [6 0>] = —	[0С + 0Н]; 1]60]= — е2 j	j 60dp +jp260dp +2	p d T2 ,¥ \ о	о	0| 6-o) [0C -f- 0H] + 6 0 tocl .	(4)-p ■ 1
Решения интегро-дифференциальных уравнений (4) :будем искать в виде
00 00
бв(р. t) = '2iTn(?)sin(Pnx + <fn); 6<0(р, т) = 2sin(Р„т+ <{>„), (5)п=1	п—1в центре оболочки 7^(0) =0 и Q(0) = 0.Подставляя (5) в (4) я приравнивая коэффициенты при sin (Рпт+фп), получимL (0„) = -Тп р-1 [0С + 0„]; L (Тп) = m р-1 х
X |юсГ„ + ЙЛ9с + 9н]+у^Р2 | Tnd9-j?Tnd9-9* (r„dpjj. (6>Граничные условия для 7V(p) и Qn(p) являются однороднымиo^«(l) + PiQ*(l) = 0; «27’;(1)+р2Г„(1)=0,	(7)-где аь аг, Рь Рг — коэффициенты, не равные все одновременно нулю (физический смыслкоторых для различных случаев опирания поясняется в [2]); K^==mSP2— квадратj /п-го собственного числа в безразмерном виде; Рп = Р п (h/g) — безразмерная час¬
тота собственных колебаний.Таким образом, задача свелась к определению собственных значений К2п уравне¬
ний (6) при граничных условиях (7). Если все К2п >0, то колебания происходят ‘ПО'
гармоническому закону, и следовательно, равновесное состояние статически нагружен¬
ной оболочки является устойчивым в малом; если хотя бы одно значение К2п <0, то
оболочка не колеблется около данного положения равновесия, а переходит в другое,
устойчивое положение. Следовательно, такое состояние является неустойчивым.3.	Методика решения задач. Интегро-дифференциальные уравнения (6) решаются,,
как мы уже указали, на втором этапе. На первом этапе решаются дифференциальные
уравнения статики .методом пристрелки, сводящим краевую задачу к задаче Коши [3].
Она решается методом Рунге—Кутта, при этом запоминаются значения функций 0С (р)
и (Ос (р) в середине и конце каждого шага.. Эти значения используются впоследствии для
решения системы уравнений (6), краевая задача для 'которой решается таким же путем.Так как граничные условия (7) однородны, то одному из т'п (0) и ^ (0) можно*
задать произвольное значение, не -равное нулю. Поэтому, применяя пристрелку, фик¬
сируется Тп (0) = 1. Варьируя значениями Qn (0) и J Тп (р) d р из (6), добиваемся того,,Очтобы удовлетворялось первое граничное условие (7) с заданной точностью. При этом
каждый раз сверяется заданное значение указанного выше интеграла с тем его значе¬
нием, которое получается в результате прохождения всего интервала O^p^l.После удовлетворения первого условия (7) вычисляется выражение F(K„ ) =■-
=,ai7’n (l)+ia2rn (1), которое называем граничной функцией. Собственные числа К2п
являются корнями уравнения F(K2 )=0.55
Можно легко доказать, что график К\ (6) (будет симметричным относительно вер¬
тикальной линии, проходящей через точку £=|£н| (где g— относительный прогиб в
центре оболочки) для симметричных систем [2]. Это обстоятельство дает возможность
сократить вычисления на ЭЦВМ. В частности, такой системой является сферическая
оболочка, нагруженная распределенным контурным моментом Мк («чистый изгиб»).4. Основные результаты. На основе вышеизложенной методики составлена доста¬
точно общая программа определения на ЭЦВМ собственных чисел свободных колеба¬
ний пологих оболочек вращения при осесимметричной деформации и действии постоян¬
ных давления и контурного момента, а также тангенциальной распределенной нагруз¬
ки, приложенной по контуру, или любой комбинации этих нагрузок при различных гра¬
ничных условиях. Ниже приводятся и анализируются конкретные результаты, получен¬
ные для пологих -сферических оболочек.1. Нагружение равномерно распределенным контурным мо¬
ментом.а) Неподвижное шарнирное опирание. На рис. 1 ,а приведена зависимость квадра¬
та первого собственного числа от нагрузки для пластины (0н(р)=О). Как видно, с
увеличением Мк параметр	увеличивается, зависимость его от Мк близка к пря¬молинейной. Для ненагруженной пластины параметр К\ =24,96 точно совпал с
найденным по линейной теории для тех же граничных условий. Для весьма пологих
оболочек (малый |£н|), когда имеется только одно решение (одна форма равновесия)
при каждом значении параметра нагрузки, график К\ (g) имеет вид, приведенный на
рис. 1,6. По мере увеличения |gH| минимум кривых /С f (g), типа изображенных на
рис. 1,6, уменьшается и при определенном значении ||н| = |1н|о этот, минимум равен
нулю. Это означает, что уже при любых |£н|>|6н|о нарушается единственность реше¬
ния :и число этих решений может быть три и более. Для рассматриваемого случая |gH|o=
=0,6865. Другим методом |gH|o впервые было найдено в [2], пользуясь случаем от¬
метим, что в [2] допущена опечатка: значение |§н|о»0,69, а не 0,74. На рис. 1, 2, 4
вместо Мконт, М\ и Мг (1) должно быть Мк.На рис. 2 представлены решения для оболочки с gH =—2,16. Кривая на рис. 2,а —
характеристика этой оболочки, на рис. '2,6 — зависимость К \ от g. В этом случае
уже могут существовать пять форм равновесия при одном и том же значении Мк. Изя)KiWсj'lfhjiLXl)--0^s'3 мг11)Рис. 1I\u'(1)-JIQ(1) -0
) \ & bkJiW =Мконтд\АпV/\13\.h,1ЮюIUп \)V7/723f iJU10>ппРис. 2-1000-3000-то\ -5000
/ -5500Г”’ Г1 		V ! 1! 16lif-------"fr
1,ГТ_-л
121 1
1 1
\ 'i /
/ /-то-10000Рис. 4Рис. 356
б)ягоо
100
ог1000оО)Кн =~1и'[1)-Д(ЛМ0(1)=0/ 0204ОБV\N0,1\?f0,6VсУУРис. 7=0 у6ыияртЧТ°	^д^ч'и положительным при значении контурного моментана рис' 2 а\ К2 =c\°v\™ * ** прио достижении им критического значения (точка Б
, ) А ] 0. На части кривой между точками Б и С /С? <0. После чего К2ных™ соответствую^	м^характеристики]^е^ащи^междуСледующие значения К2п («> 1) переходят через «уль и становятся отрицательны¬
ми по такой закономерности: после второго экстремума Af„(|) параметр К2 стано¬
вится отрицательным, ,после третьего экстремума К 2 также меньше нуля * т д В:ГГначш:ГР™азТоКГР“И (Т°ЧКа Г Н3 РИа 2’а) ВС6 К'п П*“ют »нны.ль-
подъема, чем !„=—2,16 (ом.^и^З.бРиТ^Няется также и на оболочки более высокоговыше 'ПертогоС(рисИз!аб)ОЛКакИ вядно=на"6рис'6 3 6 Р^терис™ка имеет второй максимумповторяются и для данного типа граничных услом!ГЧИСЛеННЫе ВЫШе за*0Я0МеРв°ста
2. Нагружение постоянным давлением q. На рис 5 приведены зави
«шости величин квадратов первых собственных чисел *? от давления ЛЛЯ о^лоЧек
различного .подъема с неподвижно защемленным «раем И для такого типя ™
нияш опирания закономерности изменения К2 Лр '„т„ !	нагруже-Рассматпивярмый	«	п	’	в пРеДыДущем случае.”Р“"е»сп.“ »*ет содержатьг 2ЛИ оказалось, что К f всюду отрицателен. Для второй петли Первые даГ зГа™7?
и А 2 всюду отрицательны (рис. 6,6).ских о&элочек пс^агеоимм^тоич^	ЧТ° равновесные состояния сфериче-ки, являются устойчивыми хотя бы в мя полГ тг.Д Н°М паРаметРе статической «агруз-нагрузка - прогиб до верхней критической нагрузюГгпервый1^™°® Н3 {Характеристеке
ней критической нагрузки (последний экгтпрм™^	экстремум) и после ниж-сия, соответствующие точкам на ха-рактепистикр’ остальные состояния равнове-
точками, являются неустойчивыми. Этот факт покГзь^^ЭчтоИп^пУМЯ критическими
ратуре мнение о чередовании устойчивых и неустойчивых Лопм встречающееся в лите-
и том же значении параметра „агрузш, справедливо толь^ для случая^коГа °чис°ло57
.решений не превышает трех. В частности, в [9] утверждается, что если в некоторой
точке кривой нагрузка — обобщенная координата при осесимметричных деформациях
dq/dvX), то состояние равновесия устойчиво. Точки, в которых dq/dv = 0 и d2q/dv2¥= О,
будут граничными между участками устойчивых и неустойчивых форм равновесия (где
q— параметр нагрузки; v — объем, ометаемый оболочкой при деформации). На рис.7,а построена кривая зависимости q(v)\ на рис. 7,6—кривая зависимости (v).
Как видно из этих графиков, утверждение [9] справедливо только для dq/dvc0, т. е.
в этом случае равновесное состояние неустойчиво. При dq/dv>0 равновесное состояние
может быть как устойчивым, так и неустойчивым.Полученные данные проведенных исследований, в сочетании с имеющимися резуль¬
татами по определению бифуркационных значений нагрузок, при которых появляются
неосесимметричные формы равновесия, позволяют установить теоретические значения
критических нагрузок геометрически нелинейных оболочек вращения при их осесиммет¬
ричном нагружении. Такие же результаты получены и для непологих сферических обо¬
лочек.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫil. Г. Циглер. Основы теории устойчивости конструкций. М., «Мир», 1971.2.	Д. И. Шилькрут. Некоторые задачи нелинейной теории оболочек и пластин и их реше¬
ние на ЭЦВМ. Изд-во АН МССР, Кишинев, 1967.3.	Д. И. Шилькрут, Н. В. Шевандронов, В. П. Мор ар, Ю. А. Максимов. Реше¬
ние задач нелинейной теории оболочек на аналоговых машинах. Изд-во АН МССР, Кишинев, 1969.4.	X. А. Ивенсе н, Р. М. Ивен-Ивановскяй. Динамика и устойчивость пологих сфери¬
ческих оболочек при действии нагрузки зависящее от времени. «Ракетная техника и космонавти¬
ка», т. 5. 1967, № 5.б. Д. С. М а р г о л и а с, В. И. В а й н г а р т е н. Свободные колебания параболоидальных обо¬
лочек, напруженных давлением. «Ракетная техника и космонавтика», т. 9. 1971, № 12.6.	Н. В. Валишвили, В. Б. Силки н. Об устойчивости движения пологой сферической
-оболочки. «Известия ВУЗов», серия «Машиностроение». 1969, № 3.7.	А. С. В оль мир. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., «Наука», 1972.8.	Н. В. Валишвили. Свободные колебания оболочек вращения при конечных перемеще¬
ниях. Сб.: «Теория оболочек и пластин». Труды VIII Всесоюзной конференции по теории обо¬
лочек и пластин. М., «Наука», 1973.9.	Н. В. Валишвили. Об устойчивости пологих сферичеоких оболочек. Труды VII Всесоюз¬
ной конференции по теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1970.Инж. J1. А. ШАПИРО (Белорусское отделение ЦНИИПСК)УДК 624.014.2.072.2.075.04Об учете упрочнения стали в гнутых профиляхВ результате холодного профилирования исходная заготовка из листовой стали
приобретает определенную форму поперечного сечения и отличные от начальных меха¬
нические свойства. Последнее объясняется, главным образом, наклепом, возникающим
в материале в процессе профилирования вследствие больших пластических деформа¬
ций. Упрочнение в пределах сечения распространено неравномерно — в углах оно
резко повышается, что превращает гнутый профиль в конструкцию из неоднородного
материала.Ниже определяются механические свойства гнутых профилей применительно к
.расчету сжатых стержней на устойчивость. Предлагаемые осредненныё диаграммы
материала применимы для разыскания критических нагрузок центрально-сжатых
стержней. В настоящее время различают два индустриальных способа производства
гнутых профилей.I.	Полумеханизированный процесс, в котором используются металлогибочный
станок или пресс со стандартным набором штампов, прессформ и других приспособ-
.лений. .Производственные возможности этого способа ограничены низкой производи¬
тельностью и пределом по длине штампуемого элемента.И. Исходные заготовки из листа продольно подаются через последовательные
пары катков профилегибочного стана. Каждая пара постепенно придает материалу же¬
лаемую форму. Профилегибочные станы высокопроизводительны.Экспериментальные исследования [1, 2] показывают, что при производстве
по первому способу влияние холодной обработки сконцентрировано в углах сечения.
-Механические характеристики плоских частей сечения равны характеристикам исход¬
ной заготовки. При производстве по второму способу упрочнение наблюдается как в
углах, так и, в меньшей степени, в плоских частях сечения. Причиной упрочнения
плоских частей считается наклеп, возникающий вследствие давления катков при про¬
катке.На величину наклепа и распространение зон наклепа по сечению влияют много¬
численные факторы, среди которых наиболее существенными являются величина и
конфигурация поперечного сечения, толщина исходной листовой заготовки, радиус из¬
гиба, количество фаз изгиба в процессе профилирования и количество валков на ги¬
бочном стане, состояние оборудования, производящего профилирование. Столь боль¬
шое количество -факторов затрудняет их учет.58
Установлено, что степень наклепа в углах практически не зависит от способ*
производства гнутого профиля, а зависит лишь от параметров сечения [1, 2].Наклеп, возникающий в плоских частях сечений из-за давления катков, является-
менее устойчивым фактором, зависящим также от технологических причин (история
прокатки, износ катков и т. д.). Именно влиянием плоских частей сечений в случае хо¬
лодной прокатки объясняются трудности учета упрочнения.Упрочнение в гнутых профилях можно учесть с помощью двух методов.1)	Сечение рассматривается как состоящее из нескольких субплощадей с разными
механическими характеристиками материала, средними для данной субплощади. При:
этом для каждой субплощади определяется своя диаграмма а(е), т. е. как бы рас¬
сматривается сечение из разных марок стали. Разнообразие типоразмеров гнутых
профилей затрудняет использование этого метода для нормирования упрочнения.2)	Сечение считается однородным с едиными механическими характеристиками,,
получаемыми из статистической диаграммы а(е) для всего сечения. Такой подход ис¬
пользуется в дальнейшем.Статистические (средневзвешенные) механические характеристики сечения можно
определить несколькими способами.1.	Посредством испытания целых сечений на осевые усилия. Учитывая то, что ме¬
ханические характеристики гнутых профилей зависят не только от материала исходной,
заготовки, но и от перечисленных выше причин, испытания должны проводиться
для различных видов сечений и толщин заготовок отдельно для каждой партии про¬
дукции, изготовленной в одинаковых условиях. Этот способ является трудоемким.2.	На основе полученных экспериментально механических характеристик образ¬
цов, вырезанных из разных мест сечения, и составления статистической диаграм¬
мы а(е) для всего сечения. Для этого напряжение в каждой субплощади, соответ¬
ствующее данному значению деформации, умножается на коэффициент, равный
отношению данной субплощади к площади всего сечения, затем произведения сум¬
мируются. Повторяя процесс вычисления среднего напряжения для ряда деформаций,
получаем статистическую диаграмму для всего сечения. Этот достаточно трудоемкий
способ обеспечивает хорошую точность [2] и поэтому может быть использован для
выборочной проверки результатов, полученных другими способами.3.	На основе полученных экспериментально механических характеристик минималь¬
но возможного количества образцов, вырезанных из характерных участков сечения.
Этот способ, разработанный в институте электросварки им. Е. О. Патона [3], дает
возможность получить средневзвешенный предел текучести материала сечения по
эмпирической формуле.Во всех вышеуказанных способах механические характеристики для каждой партии
проката определяются в результате трудоемких операций на металлургическом заво¬
де или на заводе металлоконструкций перед использованием в конструкциях. Между
тем расчетное сопротивление материала необходимо знать на стадии проектирования.В СССР методика учета упрочнения в гнутых профилях была впервые предложе¬
на в [4], с учетом проведенных ранее экспериментальных исследований [5]. На.
основе некоторых принятых гипотез предложены методы вычисления коэффициентов
упрочнения замкнутых сечений гнутых профилей, для некоторых типов сечений ре¬
зультаты табулированы. Для сжимаемых элементов сделан вывод о понижении крити¬
ческой силы устойчивости, вызванном наклепом участков сечения. Утверждается, что*
с возрастанием степени наклепа прочность сжатого стержня возрастает, а его устой¬
чивость падает. Критические замечания по этой методике приведены в [6].Предлагаемый ниже способ прогнозирования средневзвешенных механических харак¬
теристик для открытых сечений на основе использования эмпирических зависимостей
между степенью наклепа и параметрами сечения обоснован экспериментально и теоре¬
тически в работах [1, % 7]. Предполагается, что предел текучести в углу гнутого про¬
филя можно найти по эмпирической формуле, предложенной в [7]:аУ = атр(Я//Гш,	(1)где р=3,69у—0,Э19у2—1,79; т = 0,192гу—0,>068; Y=KJnp/<JT; (Тпр и аТ пределы проч¬
ности и текучести материала исходной заготовки; R — радиус гиба; t — толщина ис¬
ходной заготовки.Максимальное повышение предела текучести углов по [1] составляет 110%, по
данным института им. Е. О. Патона -для стали 6=4 мм —90,5% [8]. Таким образом,
данные разных экспериментов в достаточной степени согласуются.Экспериментальные данные, приведенные в [1] и [2], показывают хорошее совпа¬
дение пределов текучести со значениями, вычисленными по формуле (1) для сталей
типа С 38/23, С 44/29. Для высокопрочной стали эта формула дает менее удовлетвори¬
тельные результаты. Кроме того, экспериментально установлено, что пределы текучести
материала угла на сжатие и растяжение примерно одинаковы. Это позволяет применить
излагаемую методику для сжимаемых элементов.Экспериментально установлено [2], что предел текучести материала плоских час¬
тей холоднокатаных сечений повышается на 15—22% в зависимости от толщины ис¬
ходной заготовки (второе значение для меньших толщин). При производстве на штам¬
пах и листогибочных станках предел текучести плоских частей независимо от техноло¬
гии изготовления считается равным пределу текучести исходной заготовки.5&
Средневзвешенный предел текучести сечения определяется из выраженияо£ = саУ + (1 — с)о"л.	(2)Здесь а-! —предел текучести материала угла; 0™ — предел текучести материала
плоских частей; с — отношение площади углов к площади поперечного сечения про¬
филя. Максимальная погрешность результатов, вычисленных по (2), составляет 4%.Если отдельные субплощади плоской части получили наклеп в разной степени, вы¬
ражение (2) может принять следующий вид:<£=са?+Г-‘2о?/^.	(3)iЗдесь F — площадь всего сечения; F* — субплощадь плоской части; а™ — пределтекучести материала субплощади Fi.Принимая изгибаемый участок равным четверти окружности с радиусом /?, можно
выразить с так: c=0,bnn(R/t) (t/B), где п — число углов в сечении; В — ширина ис¬
ходной заготовки. Коэффициенты с могут быть табулированы для разных типов сече¬
ний в зависимости от R/t и t/B.Отношения площадей углов и плоскостей к площади всего сечения являются основ¬
ными (хотя и не единственными) факторами, влияющими на предел текучести всего
сечения; в целом формула (2) дает хорошее совпадение с экспериментальными дан¬
ными испытания целых сечений. По формуле типа (3) можно вычислить и средневзве¬
шенный предел прочности о„р, однако в этом случае значения в углах следует брать
из эксперимента.В настоящее время наметилась тенденции обобщение экспериментальных данных
путем использования безразмерных величин a=ia/aT и е = е/е0, где а и е — напряже¬
ние и соответствующая ему деформация; ат— предел текучести материала; е0=<7т/Е.Вычисленная величина рассматривается как условный предел текучести мате¬
риала сечения, соответствующий относительной остаточной деформации в 0,2%.Отношение k — aгде —средневзвешенный предел пропорциональности
материала сечения, принимается таким же, как и у исходного материала. Используя
вычисленное значение средневзвешенного предела прочности материала сечения ajjp,
строим диаграмму <j(e) (рис. 1 , а). Методы построения даны в [9]. Участок диаграммы
между характерными точками аР и аПр, аппроксимируется аналитической зависи¬
мостью:-5=2(-^л/е_ме_ер)-	(4)/=оЗдесь епр — относительная деформация, соответствующая пределу пропорциональ¬
ности материала сечения.Кривая дает хорошие результаты для материалов, у которых £^0,7. При этом
удобнее всего применять 5-членкую формулу (</=4).•Ниже приводится пример построения диаграммы а(е) для открытого коробчатого
сечения (рис. 1,6). Материал — ст 3,09Г2. Технология производства — на штампах и
на профилегибочных станах.Принимаем наиболее употребительные отношения R/t: 1,0; il,5 для ст 3 и 1,5; 2,0
для 09Г2.Предел текучести гнутого профиля в углах находим по формуле (1). Предел теку¬
чести материала плоских частей холоднокатаных профилей принимаем на 20% выше
0т исходной заготовки. При /1=4 имеем с=2я (R/it) (t/B).Для принятого типа сечения в сортаменте по ГОСТ 8283—67 отношение t/B колеб¬
лется в пределах 0,007—0,02. При этом средневзвешенный предел текучести сечения60
меняется на 20 МПа. Поэтому без значи¬
тельной погрешности принимаем среднее
значение данного отношения t/B = 0,014.С учетом изложенного получаем для при¬
нятых исходных данных нижеследующие ха¬
рактеристики (ом. табл. 1). Все 'О приведе¬
ны в МПа. Из таблицы видно, что влияние
отношения R/t оказывается, главным обра¬
зом, при определении наклепа в углах сече¬
ния. Диаграмму строим для профиля с ис¬
ходной заготовкой из стали 3 при произ¬
водстве его на штампах. Из табл. 1 следует,
что 00,2=271 МПа, откуд^ получим ет =
== 1 ~\~Е/iOo,2*2• 10 ^=== 2,55; Оо,2== От == 1.Здесь ет — относительная деформация в безразмерных координатах, соответству¬
ющая пределу текучести от—\. Принимая &=0,75и оПр =10^/<т!^ = 1,00024, получаем
аналитическое выражение для криволинейного участка диаграммы о =1,00024 ——0,00032 е-(8-°'75) —0,24992 е—4(е—0,75).Общий вид диаграммы показан на рис. 2, числовые значения приведены в табл. 2.Таблица 2	ВЫВОДЫ. 1. УпрОЧ-нение в гнутых про¬
филях учитывается на
основе прогнозирова¬
ния механических ха-
эактеристик материа¬
ла сечения гнутых
1рофилей, базирующе¬
гося на эксперимен¬
тально установленных
зависимостях.2.	Эмпирическая
формула (1) хорошо
описывает степень уп¬
рочнения материала
угла профиля из ста¬
ли класса С 38/23,
С 44/29. При этом
чем больше в исход¬
ной заготовке отно¬
шение предела проч¬
ности к пределу текучести, тем больше способность материала к наклепу.3.	При значительном влиянии наклепа в углах на прочность всего сечения (при вы¬
соких значениях коэффициента с) основным параметро-м наклепа является отношение
R/t. При понижении значения с возрастает влияние наклепа в плоских частях сечения.4.	Пределы текучести материала угла на сжатие и растяжение можно принимать
одинаковыми.5.	Средневзвешенный предел текучести можно вычислять по формулам (2)—(3).
Результаты применимы в первую очередь для расчета на устойчивость центрально¬
сжатых стержней.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	К. W. Каггеп. Corner Properties of Cold—Formed Steel Shapes. Journal of the Structural
Division, ASCE, vol. 93, No STI, Feb. 1967.2.	K. W. Karren and G. Winter. Effects of Gold—Forming on Light—Gage Steel Mem¬
bers. Journal of the Structural Division, ASCE, vol. 93 No STI, Feb. 1967.3.	Э. Ф. Гар ф. Исследование конструктивной прочности сварных узлов и элементов из гнутых
профилей замкнутого сечения. Автореферат кандидатской диссертации, Киев, 1970.4.	Ю. Н. Тихенко, Г. М. Беседин, Г. Н. Кадочникова, В. В. Фурсов. Теоретиче¬
ские и экспериментальные исследования работы гнутых профилей с учетом собственных напряже¬
ний. Сб.: «Проектирование металлических конструкций», ЦИНИС Госстроя СССР. Информацион¬
ный реферативный сборник, серия VII, выпуск 7/15.5.	Ю. Н. Тихенко, Г. М. Беседин, Н. К. Баева, Г. Н. Кадочникова, Д. М. Я с е в:
Механические свойства гнутых профилей при растяжении. «Обработка металлов давлением». Тру¬
ды ЛПИ № 287, Машиностроение, 1967.6.	В. И. Трофимов. Исследование и расчет новых типов металлических опор линий электро¬
передач. М., «Энергия», 1968.7.	Thin—walled steel structures. Their design and use in building. Symposium at University Col¬
lege of Swansea School of Engineering. 11—14 Sept. 1967, London Crosby Lockwood, 1969.8.	В. И. Новиков, Э. Ф. Г a p ф. Прочность гнутых профилей из низкоуглеродистой стали.
«Автоматическая сварка», 1967, № 5.9.	Б. М. Б р о у д е, Г. М. Ч у в и к и н. Обоснование некоторых способов расчета на устойчи¬
вость в СН 113—60. Сб.: «Строительные конструкции из алюминиевых сплавов», ЦНИИСК им. Ку¬
черенко. М., Госстройиздат, 1962.еаd а/ d г"еаd о/ d е0,0001,01,80,996381,151 -10“20,t50,151,02,00,998466,8274.10“30,300,301.02,20,999403,1016-ю 30,450,451,02,40,999831,4214-10“30,600,601.02,551,07,992-10“40,750,751.02,81,000133,157 -10“40,800,795320,818773,01,000171,57 -10 “41,00,908050,368015,01,000234,6 -10“61.20,958720,165457,01,000236,17 .10~71,40,981517,4417-10""29,01,000248,3 -10“81,60,991763,3499-10~211,01,000241,1 *ю“8Таблица 1Материал исход¬
ной заготовкиОтR/tтПроизводствонаштам¬пах,холоднойпрокаткой_плтплт«5Ст 32401,04802402693041,543227328830609Г23001,55213003283802,048933236038261
Д-р техн. наук проф. Г. А. ГЕНИЕВ (ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, Москва)УДК 624.04:539.3740 некоторых особенностях трехмерных волн
формоизменения в идеальной жесткопластической средеВ работе [1] были получены ц исследованы уравнения для трехмерной динамиче¬
ской задачи идеальной жесткопластйческой среды.В настоящей 'статье изучаются закономерности распространения трехмерных волн
формоизменения в данной 'Среде, а также рассматриваются их специфические особен¬
ности, связанные ,с установлением характера разрывов элементов напряженно-деформи¬
рованного состояния на фронте волн.Итак, объектом исследования является идеальная (.несжимаемая) жесткопластиче¬
ская среда, подчиняющаяся условию (пластичности Мизеса и уравнениям теории упру¬
гопластических деформацийаи = а + 2 ts е1£/Г; хц = 2 ts ъц/Г,	(1)где Оц, гц — компоненты тензора напряжений; еа, &ij — компоненты тензора дефор¬
маций, совпадающие для несжимаемой среды с компонентами девиатора деформаций;
о — среднее напряжение; Г — интенсивность деформаций сдвига; xs — предельное каса¬
тельное напряжение.Подставляя (1) в динамические уравнения равновесия, получимд2 U;it j = 1, 2, 3; i Ф ft (2)dt2/где %=о/т8; g%—Xilts; ^=Ts/p; «г — перемещения; p — плотность.Условие несжимаемости имеет видд Uilд Х\ -j- д и2/д х2 д jd х$ = 0.	(3)Имеем систему четырех диференциальных уравнений для четырех функций ии и2у
и3, Уравнения (2) являются квазилинейными уравнениями второго порядка относи¬
тельно функций Ui.Проводя операции дифференцирования и совмещая затем систему координат, хи х2у
х3 с направлениями главных осей в рассматриваемой точке среды, представим уравне¬
ния (2) в форме:/=3дх V2ui 1 Vi	UJ	1 d2ui	/ v7t'+V' + T|«1-4’'«7^ + ’' = T^'i-'’2-3’ <4>где tyi = 2Enir — приведенные значения главных деформаций.Величины о|?г связаны между .собой следующими очевидными соотношениями■Ч>1 + 'Фг + = 0; (^1 — г|)2)2 + (Ч>2 — If>3)2 + (^3 — 't'l.)* = 6.	(5)Введем в рассмотрение две новые функции Р(хь х2, х3, t) и R(xь х2, х3} t), связан¬
ные с Ui выражениямии1 = д Р/дх2; и2 = — дР/дхх — д R/dx3\ u3 = dR/dx2.	(6)Последние тождественно удовлетворяют уравнению (3). Подставляя (6) в (4), при¬
ходим к системе трех дифференциальных уравнений относительно функций Р, R, %.Перейдем к определению скоростей распространения трехмерных волн — поверхно¬
стей слабых разрывов деформаций и напряжений (первых производных Ui и функции
%). Очевидно, что данные волны представляют собой также поверхности сильных раз¬
рывов вторых производных Ui (третьих производных функций Рак).Кинематические условия совместности имеют вид:[а 'i/д Xj] = Ш/ h.f; [д2 и£ /д х} дхк]= ю/ со* h£; [д3 Р/д хг д Xj д xk] == (О/ coy hp ; [d3 R/d х£ д Xj д х*] = сог- соу со* hR ,	(7)
где со=хо(ati, *2, *з, t)=0 — уравнение поверхности разрывов; он, coj, сол— его частные
производные по соответствующим координатам; hx , A*, hp> hR—коэффициенты пре¬
рывности соответствующих функций; [. . .] —символическая запись скачка производ¬
ной. Направляющие косинусы нормали к поверхности разрывов — /г = сог/^Г; скорость
распространения волны по нормали — ЛУ=со*/£, g=(cof+со §) .Применяя (7) к системе трех дифференциальных уравнений относительно функций
Ру Ry %у получим систему трех однородных алгебраических уравнений, где в качестве
неизвестных фигурируют коэффициенты hx , ihP, 4ir:lihy + [l— i|>i (г|>! —1|>2) l\ — Г N2/k] /2 hp + (if2 — \|>3) lx /2 /3 hR = 0;— ^^ + [1—^2 (^2- M l\ — Г N*/k\ lthp + [ 1 — i|>2(t|>2 — г|)3) 1\-Г m/k] ls hR = 0;/зhx + ts (t|>2- ti) h /2 hhp + [ 1 -1|>3 (Фз -« 1\-Г N2/k] /2 ft* = 0.	(8)Обозначив n2 = rN2lk = prN2li:sy приравнивая нулю и раскрывая определитель сис¬
темы (8), получим для п2 следующие выражения: /г2=»1—случай 1 и п2— 1—Ч1,2—слу¬
чай 2,= (-фх — г])2)2 l\ l\ + (i|)2 — t|)3)2 l\ l\ + (г|)3 —ifi)2 l\ l\.	(9)Скорости распространения волн N = пУтЛ/рГ.В случае l (п2=il) векторная диаграмма скоростей распространения волн деформа¬
ций представляет собой сферу радиуса Ут5/р Г.Отношение тs/Г является секущим модулем сдвига диаграммы Гч-Г(тв = const) для
рассматриваемой точки среды, определяемым величиной интенсивности деформаций
сдвига в последней. Очевидно, что при заданном значении та увеличение Г ведет к
уменьшению скоростей распространения волн.В случае 2 форма векторной диаграммы скоростей распространения волн зависит
от вцда напряженного состояния в рассматриваемой точке. Максимальное значение
скорости волн имеют в направлении главных осей (/*=1; lj=lk=0).В этих направлениях векторная диаграмма N случая 2 имеет точки касания со сфе¬
рической диаграммой случая 1. В соответствии с (5), величины *фг можно представить
как функции одного параметра ср известными соотношениямия|?1(2) = 2*3-1^2 cos (ф Т я/3); г|э3 = — 2-3"“^2 costp.Здесь верхний знак относится к а|)ь нижний — к а|)2.При этом в соответствии с (9) следуетп2 = 1 —4 [l\ l\ sin2 ф + l\ sin2 (ф'— я/3) + l\ l\ sin2 (ф + я/3)].	(10)На рис. 1 изображены векторные диаграммы /г, построенные для второго типа волн
по соотношению (10) в системе главных осей для ряда значений ф в пределах
Ог^Гфй^я/З.Перейдем к установлению характера разрывов на каждом из типов волн, и рассмо¬
трим некоторые специфические особенности последних.Волны первого типа (случай 1). Подставляя в каждое из трек уравнений системы
(8) л2=11, получим соответственно:ЛХАФ/ +[(^2 — 'l>l)Mp + 0l>2— ■фз)^^]^2 = 0, * = 1,2,3.	(И)Очевидно, что отличные от нуля hp и hR могут иметь место только при h ^ =0. Таким
образом, на волнах первого типа производные функции среднего напряжения не имеют
разрывов. При этом из соотношений (11) следуетhR lhp = h — -ф2)//3 (1])2 —1|>3) • (12)Выражение (12) устанавливает зависимость между коэффициентами прерывностиРис. I63
третьих производных функций Р и R. Установим зависимости на волнах первого типа
между коэффициентами прерывности hu h2y hz вторых производных функций ии и2, иг.На основании (6) и (7) легко найти:= со2[hp ; h3 = &2hR; fi2 = — hp — hR .Из соотношений (13) и (12) следуетJh	(Фг — ^2)^^ Jh	U №2 — 'ФзЛ.'У h2 	Us (Фз — ^1)h /3 (ф2 — ’ h2 1Х (г|)3 — ifi) ’ | h3 /2 (урх — г|>2) *На основании (13) можно получить также следующую важную зависимость:
hi cl>i ~\- h2 (о2 -f- h3 (О3 = 0 или h\ li -)- h2 l2 -j- h3 l3 = 0.Зависимость (15) определяет равенство нулю скалярного произведения волнового
вектора h и единичного вектора п, нормального к поверхности разрыва (волне первого
типа) в рассматриваемой точке среды. Таким образом, волновой вектор лежит в пло¬
скости, касательной к волне, т. е. hn= 0, hz == (h^-rh^+h^)1^2. Из этого следует, что
волны первого типа являются носителями возмущений, связанных с формоизменением
среды. Этого результата, вообще говоря, и следовало ожидать, вследствие ее несжи¬
маемости.Вычислим значения скачков первых производных интенсивности деформаций сдвига
Г на волнах первого типа —[бГ/dxj] =соjhr .Для главных осей имеемд Г/д Xj = \pi д2 ui/d хх д xj -f \f>2 д2 и2/д х2 д Xj + г|?3 д2 и3/д х3 д xj
и соответственноГ/д xj] = tyi [д2 Ui/д xi д х,] + г|?2 [д2 и2/д х2 д xj] + г|>3 [д2 и3/д х3 д Xj]. (16)На основании (6), (7) и (12) следуетhr = ®7‘ г!д = “2 — W ~ ^2 ~ ^ “8 s °-Таким образом, на волнах первого типа первые производные интенсивности дефор¬
маций сдвига не имеют разрывов, хотя коэффициенты прерывности hu h2y /i3, в силу(14), могут быть отличными от нуля.Подводя итог результатам исследования характера разрывов для случая 1, запи¬
шем еще раз основные соотношения для этих волнhx = 0; V = 0; п Г= 0; ht /h, = (/; /1С ) (ip, — % )/(% — ), (17)i,	j, k = 1, 2, 3; i ф j ф k Ф i.Волны второго типа (случай 2).Подставим в каждое из трех уравнений (8)п*=1—Ч*.	(18)Исключая затем из двух любых полученных таким образом уравнений величину hх ,
получим выражение, устанавливающее зависимость между коэффициентами прерыв¬
ности третьих производных функций Р и R на волнах второго типа:hR/hp = /3 /Г1 [** + (Ч>1 - ♦*) ("Фз -	[V2 + (Ч>« - %) (Ч>* - **) 4]_1 • (19>Поскольку соотношения (13) остаются справедливыми и для волн второго типа, для
последних также справедлива зависимость (15), определяющая равенство нулю ска¬
лярного произведения соответствующего волнового вектора h и единичного вектора пг
нормального к поверхности разрыва (волне второго типа) в рассматриваемой точке
среды. Таким образом, и в случае 2 волновой вектор лежит в плоскости касательной к
волне, т. е. Лп = 0, h% = (h^+h^-hh^) ^2. Из этого следует, что волны второго типа
также являются носителями возмущений, связанных с формоизменением среды.Из зависимостей (16) и (19) можно получить следующие выражения для скачков,
первых производных интенсивности деформаций сдвига на волнах второго типа=	М.-М, А 1Г1Г1(t>! L дхг J ф2 — -фз /2/3	со2 \_дх2]= g^2 Mi~M» h = _J_ Г а Г -j = g^2 hi l2 — h2 /,Фз— Ф1	^ <*>з (_ 5 лез J —1|>2 lil2Возводя правые и левые части выражений (20) в квадрат и соответствующим обра¬
зом складывая результаты, а также имея в виду (15) и (9), получим окончательное вы¬
ражение для коэффициента прерывности h г '■64(13>(14>(15>
hr=a-l[dr/dxi]=gVhx = g vV h\ + h\ + t%.	(21)Таким образом, в случае 2, в отличие от волн первого типа, при Ч^О, первые про¬
изводные интенсивности деформаций сдвига Г могут «меть разрывы. Из выражений
(20) следуют также зависимости ка волнах второго типа между коэффициентами пре¬
рывности hu h2, hz вторых производных функций ии и2у «3:h\ l2 — h2l\	l\ ij?! — \|?2	h2 1% — h3 l2h2 /3 — /13 l2	/3 ^2 — 'фз	— ^1/3	 h 'Фг — 'Фз /i3 /1 — hi /3	^ /3 'Фз — 'Фг	^22)W *Фз—“Фг h\l2 — h2l\	l2 ^1 — Ф2Введем -в рассмотрение вектор Чг, модуль которого равен (выражение (9)), а
проекции на главные оси определяются значениями:Y cos (1, Т) = (г|?2 - фз) /2 /3; Y cos (2, У) = (г|?3 - ifc) /3 h\¥cos(3, Y) = (гр! — г|?2) 1Х 12,Составим скалярное произведение вектора и единичного вектора пу нормального к
поверхности разрываСФг — 'Фз) h h li + (^з — 'ФО h h h + №1 — ^2) h^h = 0-	(23)Из (23) (Следует, что вектор Ч', как и волновой вектор /г, лежит в плоскости, касатель¬
ной к волне второго типа.	_ _На основании (22) 'можно установить связь 1между векторами W и h. Освобождаясь
от знаменателей в любом из соотношений (22), получимСФ2 — 'Фз) ^2 h hi + №3 — ^1) h h h2 + СФ1 — 'фг) l\ l2h3 = 0.	(24)Из (24) следует, что волновой вектор h ортогонален вектору Ч*. Взаиморасположение
векторов /г, -Л, показано на рис. 2.Получим выражение для коэффициента прерывности h ^ . Подставляя в каждое из
трех уравнений (8) выражение (18), используя зависимости (13) и (20), найдем:fcx= со~' [dx/dXj] = tyjhpg-2 —	/=1, 2, 3.	(25)2	2 2Умножая равенства (25) соответственно на (ор со2, (03< складывая результаты и имея
в виду (15), получим окончательно:Лх = “Г1 [а X/d xj] = hr s~2 (% l\ + ^2 4 + ^ ll) ■	(26)Таким образом, в случае 2, в отличие от волн перво¬
го типа, при 4яф0 (см. (21)), первые производные при¬
веденного среднего напряжения могут иметь разрывы.Условие 4^ = 0 имеет место при совпадении нормали
к фронту волны с одним из главных направлений. Усло¬
вие 4^ = 1 определяет п = 0. Оно выполняется также и
для статической задачи (см. [2]), определяя невозмож¬
ность существования для нее действительных характе¬
ристических поверхностей.Подводя итог результатам исследования характера
разрывов для случая 2, запишем еще раз основные со¬
отношения для этих волн:	Рис. 2.= ^ S 1 V^ + ^2 Н“ h3 ^i + 'Фг ^2	) 5 hr = ~\/~лй"=0; пУ= 0; Л ¥ = 0; {ht If — hf /,)/№/ lk — hk If) ==	O’. U *=1, 2, 3; 1ф]фкф1).	(27)Полученные в настоящей статье результаты могут быть использованы для решения
динамических задач при неустановишихся движениях идеальной жесткопластической
среды.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Г. А. Г € н и е в. Вопросы динамики физически нелинейных сплошных сред. В тр. ЦНИИСК
им. Кучеренко «Теория и методы расчета строительных конструкций», вып. 35. Стройиздат, 1974.2.	Г. А. Гениев, В. С. JI е й т е с. О системе разрешающих дифференциальных уравнений в
пространственной задаче несжимаемой идеально пластической .среды. В тр. ЦНИИСК им. Кучерен¬
ко «Теория и методы расчета сооружений», вып. 23. Стройиздат, 1972.65
на ОПЫТА РПБОТЫПРОЕКТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ1111111111ППП111111П1111111111111111111111|||||||||||||||||||||||||||ШИнж. В. Ф. ПАНКРАТОВ («Уралмеханобр», Свердловск)УДК 624.072.045Методы подбора сечений центрально-сжатых стержней
минимальной массыПостановка задачи. Имеются расчетная нагрузка на стержень, его длина; выбраны,
материал, тип сечения. Требуется сразу, >без (пробных попыток, подобрать поперечное
сечение сжатого стержня минимальной площади.Рассматриваются «центрально-сжатые» стержни симметричного двутаврового и труб¬
чатого сечений из сталей классов С 38/23 (# = 21 кН/юм2), С 46/33 (# = 29 кН/см2) и
С 52/40 (# = 34 кН/ом2).Принимается, что стержень как элемент конструкции будет запроектирован раци¬
онально, если выполнены условия:а)	равенство гибкостей в расчетных плоскостях [1];б)	равенство местной устойчивости полок и стении для двутаврового сечения при
минимальных значениях их толщин, необходимых для обеспечения местной устойчи¬
вости; 'минимальное значение толщины стенки трубы, обеспечивающее местную устой¬
чивость;в)	«равенство» общей и местной устойчивости стержня при распределении площади
его сечения по условиям а) и б). Общая и местная устойчивости определяются требо¬
ваниями [2].1.	Случай симметричного двутаврового сечения. Параметры сечения указаны на
рис. 1 (кривая С 38/23 соответствует С 52/40 и наоборот). Обозначимп = 1х Ну ; Кп = Ь/t; Кс = h/d; Кп = t/d,	(1>где /*, 1У —расчетные длины стержня.Рассмотрим изменение площади сечения в зависимости от изменения п9 при соблю¬
дении условий а), б) и в). При равенстве гибкостей в расчетных плоскостях моменты
инерции сечения удовлетворяют соотношению1х = п%1у	(2)Выразив аналитически значения /* и /у, подставив (1) в (2) и решив это уравнение,
получим		K2n=(?>Kl + KcVs Kl + 2n* кп *с)/2 п» К2П.	(3)Обозначим a=FujF; $=FC/Ft где F — площадь сечения; Fn, Fс — площади полки
и стенки. Используя зависимости (1), находима = (2 + КС!К\ Kn)~x; р = 1 - 2 а.	(4)Вычисляем Л'л по (3)
для стали марки СтЗ
(клаоса С 38/23) при
м=1-М0 и при гибко¬
стях A,=i25~l'25, затем»
для каждого значения
гибкости, принимая соот¬
ветствующие минималь¬
ные значения Кп и Kcf
согласно [2], вычисляем
а по (4), которые приве¬
дены в табл. 1. Значения
Кп и Кс приведены в
табл. 2.Из табл. 1 видно, что
значения коэффициентов
распределения а практи¬
чески не зависят от гиб¬
кости X в пределах ее-66
Таблица 1Таблица 2\ я
X25507510012510,460,460,460,460,4520,370,380,380,380,3730,300,300,300,300,2940,240,240,240,240,2350,200,200,200,200,1960,170,170,170,170,1670,140,150,150,140,1480,120,130,130,130,1290,110,110,110,110,11100,100,100,100,100,10изменения от 25 до 126. То же можно сказать и о значениях коэффициентов распре¬
деления р.Вычислив коэффициенты а и Р для сталей классов С 46/33, С 52/40, находим, что
их значения практически одинаковы со значениями аир для стали класса С 38/23, а
это упрощает подбор сечения и позволяет получить простой метод для определения
оптимальной гибкости.Используя соотношение (2) и равенство Хх=Ху=Х, находим Iv = l\FjX2 п2.С учетом зависимостей (1) получаем 1У = ^К^16. Приравнивая эти две формулы и под¬
ставляя F^=\tAK^t получим ^п=6 %	Отсюда, учитывая, что Fn=aFt имеем
F=6 1х/п2а2Х2Кп. Обозначим & = 6/я2а2. Тогда F=kl2xfKuX2t и несущая способность
стержня N=mRq)kl^JKnX2i где т — коэффициент условий работы; \R — расчетное сопро¬
тивление сжатию; ср — коэффициент продольного изгиба центрально-сжатого элемента.Назовем несущую способность стержня при k= 1 приведенной несущей способностью
{«приведенной нагрузкой») и обозначим ееНетрудно заметить, что величина 1=Х2Кп/тЯу для фиксированного значения
гибкости X постоянна. Используя эту зависимость, строим для сталей классов С 38/23,
С 46/33, С 52/40 кривые оптимальных гибкостей (рис. 1). Эти кривые позволяют опре¬
делять оптимальную гибкость и, следовательно, -площадь по заданным N, lXt n, R, т
до подбора сечения, а при помощи коэффициентов а и р (не зависящих от гибкости)
распределять оптимально материал между полками и стенкой симметричного двутавро¬
вого сечения. Значения коэффициентов а, р и k приведены в табл. 3. При помощи коэф¬
фициентов Кп и Кс (табл. 2) определяются параметры сечения.		Таблица 3пКоэффициенты12345678910а0,460,380,300,240,200,170,150,130,110,10е0,080,240,400,520,600,660,700,740,780,80k28,4010,507,406,406,005,855,805,785,795,80Вполне очевидно, что величина площади двутавра определяется значениями коэффи¬
циента k и площадь будет минимальной при £=5,78 и п = 8, а максимальной при £ =
==28,40 и /1=1. Очевидно также, что на выбор п влияют конструктивные ограничения.
Значению n= 1 соответствует неконструктивное двутавровое сечение, которое в прак¬
тике не применяется. При п = 4 полка сечения получается тоньше стенки, что также
не всегда удобно из конструктивных соображений.Существуют и конструктивные ограничения [1], 'Связанные с использованием трак¬
тора при автоматической сварке, которая широко применяется на наших заводах ме¬
таллоконструкций при изготовлении двутавровых сечений. Учитывая конструктивные
ограничения, можно рекомендовать для практических расчетов значения /г, равные 2
или 3. Следует также отметить, что соотношения п обеспечиваются установкой связей.
Затрата материала на них не компенсируется выигрышем в площади сечения при уве¬
личении значения п.Кривые оптимальной гибкости в зависимости от значений l2xINx — l J. k/N построены
для коэффициента условий работы т= 1. При m< 1 значения i2x№u вычисленные для
определения оптимальной гибкости, следует умножить на коэффициент условий рабо¬67
ты m. Введение понятия приведенной нагрузки позволяет (см. рис. 1) использовать
одну кривую для любых значений п.Разработанный здесь способ дает возможность получить минимальную площадь се¬
чения симметричного двутавра, удовлетворяющего требованиям [2], для определенных
конструктивных условий.Аналитический метод определения оптимальной гибкости для стали класса С 38/23*
приведен в [3].Пример 1. Дано: N=2150 кН; /*=(12 м; п=*2; <#=21 кН/юм2; т=1. Требуется
подобрать симметричное двутавровое сечение /^/N1 = /^/7V=122* 10,50/2150=0,705.По графику рис. 1 для стали класса С 38/23 находим, что значению /^//Vi=0,70S
соответствует оптимальная гибкость Л=63; F = N/mR(p = 2150/1 *2 1 -0,805= 127 см*;
fn=aF= 127-0,38 = 48,25 см2; Fc =0 F = 127-0,24=30,5 см2; Ь= (Fn Кп) Чг= (48,25Х
Х34.60) ■/» =40,08 см; h=(Fc Кс) V* =(30,05-65) 1/2 =44,5; t=b/Ka=40,08/34,60 =1,18
см; d=hlKc=44,5/65,0 = 0,69 см.Принимаем: 6=1400 мм; t—\ 12 мм; Л = 440 мм; d—8 мм; F=40-1,2-2+44-0,8=
= 128,0 см2. Определив радиусы инерции принятого сечения, получим Лх = 58,0;
ку = 60,0; 0=2150/128-0,82=20,5 кН/см2.2.	Случай трубчатого сечения. Согласно [2] для труб из стали клаоса С 38/23 при
г/5<50 (r = Da/2 — радиус сечения; 5 — толщина стенки) проверки местной устойчи¬
вости стенок не требуется. Приняв Z)H/2s = 50, получим s=DH/100. Тогда площадь се¬
чения F = nD^( 100; момент инерции / = 0,00378 D*; радиус инерции i = 0,35 DH. Приме¬
нив зависимость ср= 1—0,4 (Х/1Юд)2, можем записать лD\ /100 = М/тК(р.Отсюда с учетом предыдущих соотношений определяемD„ = KlOO/V/ятЯ+ 3,265/2 10-4 .	(5)Формула (5) применима для стали класса С 38/23 при значениях A.^llO, так как
при этом справедливо приведенное выражение для <р.Пример 2. Дано: N = 5000 lx = ly = l=Q0 м; R = 2\ кН/Ьм2; т = 1.Требуется подобрать сечение трубы. По формуле (5) получаем DB=94 см; откуда
s = 0,94 см; F=278 см2.По сортаменту ГОСТ 10704—63 выбираем трубу с DB = 920 мм; 5=10 мм; t =
= 286 см2; i=32,2 см; X=2000/32,2=62,0; <р=0,81; о=5000/286-0,81 = 21,5 кН/см2.Выводы. 1. Получены прямые методы подбора юечений центрально-сжатых стержней
из условия их минимальной массы (минимальной площади), согласно [2]. 2. На осно¬
вании приведенного в статье способа в институте «Уралмеханобр» составлено посоОие
по подбору сечений сжатых стержней минимального веса У—12—100. 3. Метод подбора
симметричного двутаврового сечения использовался и используется в институте «Урал¬
механобр» при подборе сечений ветвей стальных плоских опор транспортерных галерей,
в частности галереи № 11 обогатительной фабрики Качканарско-го ГОК”а, галерей
№ 1, 2, 3, 4 усреднительных складов Магнитогорского металлургического комбината,
что дает определенный экономический эффект за счет экономии стали.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Справочник проектировщика. Металлические конструкции зданий и сооружений. М., Строй¬
издат, 1962.2.	СНиП II-B.3-72. Стальные конструкции, нормы проектирования.3.	В. Ф. Панкратов. Упрощенный метод подбора симметричного двутаврового сечения при
центральном сжатии. Серия «Строительное проектирование промышленных предприятий», ЦИНИС,
1970. № 4.Инж. А. С. ШЕНКАР (Теплоэлектропроект, Киев)УДК 624.014.04:539.374Предельные состояния элементов металлических
конструкций при учете деформаций сдвигаУчету сдвигов в сечениях элементов, работающих в упругопластической области,
посвящены работы многих исследователей. Большинство из них рассматривает состоя¬
ние предельного равновесия сечений под воздействием изгибающего момента М, попе¬
речной силы Q, а в отдельных работах также и осевой силы N [1,2] и др.Полученные в указанных работах решения позволяют определить только несущую
способность сечений, вопрос о возникающих при этом деформациях в них не рассматри¬
вается.68
о r\*N«гifexfc)Определению напряженного и
деформированного состояния сече¬
ний посвящены исследования [3—
6]. Однако в них пренебрегаетсяF1 . пч [	^	^ 	—■ влиянием поперечной силы Q.Поэтому в настоящем исследо¬
вании рассматриваются вопросы
tK(z)	/ I tgOaa определения напряженно-деформи-«tflTlllU	V* / |	рованного состояния сечений и ихпредельного состояния по критери¬
ям как прочности, так и ограниче-		ния максимальных деформаций.Y	Р 2 Ри этом Учитываются не только•	р -	с' изгибающий момент и осевая сила,с*	но и поперечная сила.1. Предлагается метод определения напряженно-деформированного состояния сллош-
ностенчатых сечений в упругопластической стадии при учете деформаций сдвига, ори¬
ентированный на применение ЭВМ.Решается прямая задача, в которой напряженно-деформированное состояние опреде¬
ляется по заданным внешним усилиям М, N, Q, диаграмме материала о — ей геомет¬
рии действительного сечения.Метод позволяет единообразно охватить область состояний от упругого до предель¬
ного, а также материалы с диаграммой работы а — е, которая за пределом пропор¬
циональности может быть представлена некоторой непрерывной дифференцируемой
функцией.Решение основано на теории малых упругопластических деформаций [7] в условиях
простого нагружения при следующих основных гипотезах: изгиб происходит в пло¬
скости, совпадающей с плоскостью симметрии; материал следует условной диаграмме
а — е с линейным упрочнением; принимается энергетический критерий пластичности,
при котором момент возникновения пластических деформаций соответствует достиже¬
нию интенсивностью деформаций е» величины, равной ет; в области пластических де¬
формаций принимается коэффициент Пуассона yi=0,5; нормальные напряжения, дейст¬
вующие параллельно плоскости сечения, не учитываются; деформации удлинения в се¬
чении распределяются по линейному закону; относительные сдвиги распределяются по
высоте сечения по закону, соответствующему работе сечения в упругой области.Рассмотрим обобщенное поперечное сечение в виде двутавра с одной осью симмет¬
рии, находящееся под воздействием М, N, Q (рис. 1). Начало координат расположим
у менее сжатой кромки сечения.Зависимость между напряжениями и деформациями за пределом пропорциональности
представим в видеех = °х 1ЕС (в/ ); Y« = X2x/Gc (8/ ): Ес (8/ ) = 3 0 (8/ ) = «//«/,	(1)где a,, 8i соответственно интенсивность напряжений и деформаций; Ес (е*) — обобщен¬
ный секущий модуль деформации, определяемый по диаграмме деформирования а г (е*).А. А. Ильюшиным [7] показано, что за пределом упругости при коэффициенте
Пуассона |х=0,5 зависимость <л(е<) приближенно совпадает с диаграммой простого
растяжения а (е).Такое допущение позволяет при |8г|^ет представить обобщенный секущий модуль
в виде функции (интенсивности деформаций, которая для диаграммы с линейным упроч¬
нением (рис. 2) имеет вид:Яс(е,) =3G/(e/) = a + c/|c/|	(2)или в безразмерных параметрахЛ* = Ес (е/)/£ = з Т)2 = 3 G (е£)/Е = а* + с*11 е/ |, а*=а/Е\ с*=с/Е.	(3)Зависимости (2), (3) справедливы при различных углах наклона участка упрочнения
диаграммы а—е. В соответствии с принятыми гипотезами запишем:линейный закон изменения относительных удлинений в видеex(z) = e1 + *z,	(4)где ei — относительная деформация у менее сжатой кромки сечения (в начале коорди¬
нат); х — кривизна продольной оси;закон изменения сдвигов по высоте сечения в нормированном видеУгх (z) = Ys W/«о»	(5)где s(z) —статический момент части площади, отсекаемой текущей координатой z, от¬
носительно центральной оси действительного сечения; s0—статический момент распо¬
ложенной по одну сторону от центра тяжести части площади относительно центральной
оси действительного сечения; у — максимальная ордината эпюры угловых деформаций
в центре тяжести действительного Сечения.69
Условие возникновения пластических деформаций 8г = ет, записанное через парамет¬
ры удлинения и одвига при коэффициенте Пуассона, соответствующем упругой стадии,
выражается алгебраическим уравнением четвертой степени(ех + **)* + 0,4578 [у s (z)/s,]a - г\ = 0,	(6)Решения Zi уравнения (6) определяют точки, в которых упомянутое условие выпол¬
няется. Это дает возможность установить зоны пластических деформаций и соответст¬
венно стадию упругопластического деформирования сечения. На рис. 3 представлены
все возможные случаи (1 — зона пластичности, 2 — упругая зона).Используя известные соотношения в упругой области и зависимости (1) в пластиче¬
ской, для каждой стадии деформирования сечения могут быть записаны условия равно¬
весия внешних и внутренних сил и моментов.При этом обобщенный секущий модуль деформации определяется выражением (2), а
интенсивность деформаций в пластической области (jlx = 0,5) зависимостью е»=(ех2 +
+Y**/3) 1^f, где е* и у2Х определяются по формулам (4) и (5).Подстановкой (4) и (5) система уравнений равновесия преобразуется к виду, в ко¬
тором при зафиксированном распределении упругих и пластических зон напряженно-
деформированное состояние сечения полностью определяется величинами 8i, х, у.Удобно записывать условия равновесия для наиболее общей по характеру деформи¬
рования 4-й стадии, которые в таком случае легко преобразуются в систему уравнений,
•описывающую напряженно-деформированное состояние сечения в любой другой стадии.
При этом дополнительно толщины полок принимаются нулевыми и игнорируются каса¬
тельные напряжения в поясах.Рассмотрим общую схему алгоритма численного решения задачи.В качестве начального приближения выбирается решение ею, х0, уо, определяемое
по заданным внешним силовым факторам М, iV, Q и геометрии действительного сечения
в предположении идеальной упругости материала.Решением уравнения (6) при значениях неизвестных ею, х0, у°> полученных на нуле¬
вом шаге, определяются точки z* по высоте сечения, в которых удовлетворяется условие
возникновения пластических деформаций. Устанавливается стадия упругопластического
деформирования.По значениям z<, решением нелинейной системы уравнений равновесия определяются
новые значения неизвестных 6ц, xi, Yi на первом шаге.Таким образом, итерационный процесс сводится к последовательному определениюзон пластических деформаций по сечению, стадии пластического деформирования и
значений неизвестных ej, х, у на следующем шаге. Выход из итерационного процесса
осуществляется при достижении заданной точности в определении значений неизвестных
и удовлетворении условий равновесия.Использование аналитического представления обобщенного секущего модуля £с(е0
в функции от интенсивности деформации (2) позволило отказаться от анализа напря¬
женного состояния в каждой точке сечения, а рассматривать целиком напряженно-де-
формированное состояние области, работающей за пределом пропорциональности.Строгое доказательство сходимости предложенного итерационного процесса не про¬
водилось, однако проведенные численные исследования показали, что процесс всегда
является сходящимся.2.	Критерии предельных состояний сечений формулируются на основе введенной в
1972 г. классификации [8], предусматривающей две группы предельных состояний и по¬
строенной по степени потери эксплуатационной способности. По новой классификации
потеря несущей способности, являясь по существу аварийным состоянием, рассматрива¬
ется как крайний случай потери эксплуатационной способности и свидетельствует о не¬
пригодности к эксплуатации. Чрезмерное развитие деформаций также может привести к
потере эксплуатационной способности и в зависимости от степени потери определяет
либо непригодность к эксплуатации, либо непригодность к нормальной эксплуатации.
Так как именно предельная деформация является «основным параметром предельного
состояния» [9], необходимо создание рабочего метода определения деформаций и уста¬
новления норм допустимых деформаций [10].Вопросы предельных состояний сечений в свете новой классификации рассматрива¬
лись Г. Е. Вельским [4]. Им сформулированы для сечений сжато (растянуто)-изогну¬
того элемента критерии предельных состояний первой группы и предложены допусти¬
мые значения силовых факторов и максимальных деформаций. В то же время вопросыопределения деформаций
в сечении, а также назна¬
чения величин предель¬
ных деформаций второй
группы предельных со¬
стояний не затрагива¬
лись. Видимо поэтому,
как указывает и сам ав¬
тор, приведенные им ре¬10
комендации «нуждаются в более глубоком и всестороннем анализе».Учитывая изложенное, на основе имеющихся представлений сделана попытка сфор¬
мулировать критерии первой и второй групп предельных состояний сечений, а также
разработать практические методы определения деформаций в сечении при действии М,
N, Q.Для первой группы предельных состояний, так же как и в [4], предлагаются два
критерия—прочностной и деформационный. Прочностной критерий зависит от формы
поперечного сечения элемента и вида диаграммы о — е. При диаграмме Прандтля проч¬
ностной критерий предусматривает удовлетворение условия пластичности е» = ет в каж¬
дой точке прямоугольного сечения или в каждой точке стенки двутаврового сечения.
Следуя [4], для диаграммы с линейным упрочнением формулировка прочностного кри¬
терия сохраняется, однако при выполнении дополнительного условия <Тт = (Уо,2.Деформационный критерий ограничивает развитие деформаций в сечении и может
быть записан в форме [11]:8/ макс ^ Iе/ ]»	(7)*где 6* макс — максимальное значение интенсивности деформаций наиболее напряженно¬
го волокна; [е*] — допускаемая величина интенсивности деформаций. Под [е<] необхо¬
димо понимать [4] то максимальное значение интенсивности деформаций, которое соот¬
ветствует некоторым значениям силовых факторов N*9 М*, Q* предельной кривой для
диаграммы Прандтля при выполнении условия а0,2=от(N* = N/NT ; М* = М/Мт ; Q* = Q/QT).Для второй группы предельных состояний предлагается только деформационный
критерий, который по форме совпадает с условием (7).Очевидно, что значения [е<] для первой и второй групп предельных состояний раз¬
личны, так как выполнение требований каждой группы обеспечивает безопасность от
различной степени потери эксплуатационной способности.3.	Используя разработанный метод определения напряженно-деформированного сос¬
тояния, выполнены численные исследования предельных состояний сечений по прочност¬
ному критерию. Построенные по числовым данным предельные кривые аппроксимирова¬
ны аналитическими соотношениями.Сечения, симметричные относительно двух осей. В сечении действуют M*t N*, Q*.а)	Двутавровое симметричное сечение:М* + В± N*2 + Q*2 — В2 М* Q*2 — В3 N* Q*2 = 1 при 0 < N* < р4;BiM* + N* + BtQ*2 — BAB2M*Q*2 — BtB3N*Q*2= 1 при р4<#*<1,Bi = 1/P« (2 - р4); вг = (1,74 - Р|)/(2 —р|) [1 - 0,13 (1 - Р4)];Вз = (1+р4)(1-°.87Р«)/(1+Р4); £4=1—р4/2; р4 = ^ст/^.Fст—площадь стенки; F — полная площадь сечения.б)	Частные случаи легко получить из (8).Сечения, симметричные относительно одной оси. В сечении действуют М* и Q*.а)	Двутавровое несимметричное сечение:M*+Q«-B,M*.Q*2= 1; B, = B2-Bf + Bt; h = F1/F„; р»=*Ft/F„iВь = (Pi - Р?) [(1- Й)]/(1/Й -1(1 +!Р«)1 [1 + (Pi + р*)*1 (1 + Й>;B. = pip2(p2-pi)/(l + l/p? + p4).	(9)б)	Тавровое сечение, сжатое в сторону полки. При Pi=0, по (9), найдем В6=О,
Bj=В2—В$.На рис. 4—7 в координатах М* — Q* и N* — М* для различных сечений представле¬
ны предельные кривые прочностного критерия.На рис. 4 цифрами обозначены кривые, полученные: 1 — автором, 2 — Б. М. Броуде,3— А. Р. Ржаницыным, Б. Б. Лампси, 4— И. Л. Диковичем, 5 — Е. А. Бейлиным, Ь—
В. Н. Кукуджановым, 7 — Н. И. Безуховым.На рис. 5 при действии N*, М* и Q*(a — Q* = 0; б— Q* = 0,2; в — Q* = 0,4; г —
Q* =0,6) приведены решения: 1 — автора, 2 — Е. А. Бейлина, 3 — Н. И. Безухова.На рис. 6 при трех значениях Q*(a — Q*=0; б — Q*=0,2; в — Q*=0,4; г — =
= 0,6) приведены кривые, полученные автором для симметричных двутавровых сечений.На рис. 7 в координатах М* — Q* показаны предельные кривые, полученные авто¬
ром для сечений различных типов (1 — p1=ip2=0; 2 — Pi=0, р2=0,6; 3 — Pi = 0, Рг=
= 1,2; 4 — р1=0,3, p2=il,2; 5—р1 = 0,6, р2=1,2; 5-р1=р2=0,3; 7-Pi = p2=0,6;8— р1 = р2= 1,2).Установлено, что (все кривые выпуклы, а на их очертание оказывает влияние как фор¬
ма поперечного сечения, так и соотношение площадей полки и стенки.Влияние поперечной силы Q* на предельное состояние наблюдается для всех рассмот-71:
Рис. 4Рис.ренных типов сечений, проявляясь в наибольшей степени для прямоугольного сечения и
уменьшаясь с развитием поясов двутавра или тавра.4.	Приведем некоторые частные решения для сечений, симметричных относительно
двух осей, устанавливающие связь между их геометрией, одним из силовых факторов
М*, N*, Q* и некоторой величиной т, названной параметром деформации, который пока¬
зывает во сколько раз максимальная деформация в сечении превосходит ет.Решения, полученные для диаграммы о — е с линейным упрочнением и для диаграм¬
мы Прандтля, представлены в безразмерных параметрах,а)	В сечении действует изгибающий момент м*.Для симметричного двутаврового сеченияМ'т = 1 - 1/[3/я2 (4 + 1)] + о* [m — 1 — (тз - 1)/3 m2 (4 рх + 1)].(10)Для прямоугольного сечения Мт определяется по (10) при Pi = 0. В случае диаграм¬
мы Прандтля в (10) а* — 0.Можно записать обратные зависимости, непосредственно определяющие значение т.
Однако только для диаграммы Прандтля они оказываются пригодными на практике.Для симметричного двутаврового и прямоугольного сечений соответственно имеемт = V" 1/3 (4 0!+ 1) (1 — М*) и т = ТЛ/З (1 —М*).б)	В сечении действует нормальная сила N*.Для симметричного двутавра и прямоугольного сеченияN'm = \+a* (т — 1).(П)При диаграмме Прандтля в (И) а* = 0.в)	В сечении действует перерезывающая сила Q*.В упругопластической стадии работы симметричного двутаврового сечения, т. е. когда
выполняется условие pi<l/4(l,172 т—1), перерезывающая сила•	0,8 тQm = <*1 + — — (12 р! £2 + а2 + а3 — а4) + а* XX4pi+l2	т(12)72
Ox = ii — i2; o2 = |2(3-2g2); 03-3(1-6?); a, = 2 (1-6?);°6 = ii (3 — 2 6,); £,.2 = 0,5 [l ±l/(l+4p1)(l-l/l,172m)];6i	= zjh; = 22/h.(13)При Pi = 0 из этих условий вытекают соотношения для прямоугольного сечения.
Зависимости (12), (13) при а* — О справедливы также для диаграммы Прандтля.
Рассмотрим случай, когда все сечение работает за пределом пропорциональности, т. е-
выполняется условие Pi^s 1/4(1,172 т—1). Для симметричного двутаврового сеченияДля прямоугольного сечения действительна формула (14) при Pi = 0.Рассматриваемая стадия работы для обоих типов сечений при диаграмме Нрандтля
характеризуется достижением предельного состояния по прочностному критерию, а усло¬
вие (14) превращается в условие Q*=l.5.	В результате обработки результатов, полученных численно, с использованием реше¬
ний п. 4 предлагаются приближенные зависимости, определяющие для сечений, находя¬
щихся под воздействием М*у N* и Q*, (предельные кривые по деформационному критерию
(при фиксированном значении параметра деформации т).Так же, как и ранее рассматриваются диаграмма о— 8 с линейным упрочнением и
диаграмма Прандтля.В сечении действуют М*, N*, Q*.а)	Для двутаврового симметричного сеченияб)	Для прямоугольного сечения та же формула (15) при Рч=1.Зависимости (15) удовлетворяют граничным условиям, условиям предельного перехода
и справедливы при т>1. На основе (15) легко получить различные частные случаи. Ис¬
пользование зависимостей при диаграмме Прандтля обосновано только для прямоуголь¬
ного сечения, при этом по (И) Nт = 1.Для случая, когда в сечении действуют М* и N* получены также зависимости, по
которым при диаграмме Прандтля параметр деформации т может быть определен не¬
посредственно.а)	Для двутаврового симметричного сеченияОчевидно, что условием бесконечного роста деформаций в сечении является равен¬
ство нулю знаменателей подкоренных выражений (16), (17). Легко показать, что реа¬
лизация этого условия приводит к соотношениям предельного состояния сечения по
прочностному критерию.Таким образом, для материала, следующего диаграмме о—8 с линейным упрочнени¬
ем, практический метод определения деформаций в сечении в условиях воздействия
М*, N*t Q* сводится к использованию ярафиков предельных кривых по деформацион¬
ному критерию. Такие кривые (графики) могут быть построены по условиям (15) для
различных значений параметра деформации т.Для материала, следующего диаграмме Прандтля, аналогичные графики по предло¬
женным условиям могут быть построены только для прямоугольного сечения.(?;=1+а*[2т(бр1+1)/3(4рх+1)-1].(14)(15)= 1 при Р4<Л?*<^т-Аг = N'jh (2 N'm - р4); Аг = 1 -	- 1/(т + 1)*;Лз=1-Р4/2ЛС; Рб=5/(4 + р4); р, = р4/2 (1 + р4).т = V[\ _N*4р4(2- р4)]/3 (4 р! + 1) {1 - [М* + АГ»/р4(2 -р4)]}
при 0 < N* < р4;(16)т=У (\ — yv*)/3(4p1+l){l— [(1— р4/2) +при р4 < N* < 1.б)	Для прямоугольного сеченияm = V( 1 — JV*2)/3[1 — (M*+N*2)].(17)73
В условиях 'воздействия в сечении М* и N* графики предельных кривых могут быгь
построены также для симметричного двутавра. Кроме того, имеется возможность непо¬
средственного определения параметра деформации т по (16), (17).6.	По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:1.	При расчете рамных конструкций .в уиругопластичешой стадии рекомендуется
использование предложенного метода определения .напряженно-деформированного сос¬
тояния сечений.2.	Предельное состояние сечения по первой группе может определяться как прочно¬
стными, так и деформационными ограничениями, в то время как по второй группе —
только деформационными ограничениями.3.	Учет поперечной силы приводит к сужению области напряженных состояний, ог¬
раниченных предельной кривой, и дает ощутимый эффект лишь при 0,4.4.	При наличии рекомендаций по нормированию деформаций, предложенные форму¬
лы предельных состояний сечений позволяют выполнить прочностной расчет элементов
металлических конструкций по прочностному и деформационному критериям.В заключение укажем, что предложенный приближенный метод используется ов Ки¬
евском отделении института Теплопроект три расчете узлов железобетонных брусковых
конструкций каркасов тепловых электрических станций.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	А. Р. Ржаницын. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М., Гос-
стройиздат, 1954.2.	И. Л. Д и к о © я ч. Статика упругопластических балок. «Судостроение», 1967.3.	А. Р. Ржаницын. Изгиб и сложное сопротивление прямоугольного сечения стержня при
произвольной диаграмме работы материала. В сб.: «Расчет тонкостенных пространственных кон¬
струкций». М., Стройиздат, 1964.4.	Г. Е, Вельский. О предельных состояниях элементов металлических конструкций при
сжатии (растяжении) с изшбом. «Строительная механика и расчет сооружений*. 1973, № 2.5.	А. Р. Ржаницын. К вопросу о мгновенной жесткости сечения. «Строительная мехажика и
расчет сооружений», 1966, № 2.6.	В. П. Ко л ом и ец. Метод определения напряжений и деформаций -в сечении балки при
сложном на1гружении с учетом действительной диаграммы (а—е). Известия ВУЗов. «Авиацион¬
ная техника». 1966, № 11.7.	А. А. Ильюшин. Пластичность, ч. 1. Гостехтеоретиздат, 1948.8.	В. А. Балдин, А. А. Гвоздев, Н. Н. Стрелецкий, А. А. Б а т ь, М. Г. Е ф р е м о в,Н.	Б. Лялин, В. В. Михеев, В. А. Отставное, К. Е. Таль. К выходу СНиП II-A.10-71.
«Строительные конструкции и основания. Основные положения проектирования». «Строительная
механика и расчет сооружений», 1972, № 4.9.	Н. С. Стрелецкий. К вопросу развития методики расчета по предельным состояниям. В сб.:
«Развитие методики расчета по предельным состояниям». М., Стройиздат, 1971.10.	В. А. Балдин. Основные направления совершенствования расчета металлических конст¬
рукций. «Строительная механика и растет сооружений», 1967, № 4.111.	А. А. Гвоздев, А. В. Геммерлинг, С. М. Крылов. Расчет стержневых железобе¬
тонных конструкций по деформированной схеме. «Строительная механика и расчет сооружений»,
1973, № 4.■ДИСКУССИИД-р техн. наук проф. А. Р. РЖАНИЦЫН (МИСИ им. В. В. Куйбышева)УДК 624.072.2.075.04К вопросу о приведенных длинах сжатых стержнейВ последнее время появилось несколько статей о приведенных длинах стержней в
рамах, рассчитываемых на устойчивость [1—3]. Авторов этих статей смущает то, что
приведенные гибкости стержней с малой сжимающей силой получаются по расчету
очень большими, и предлагают различные, порой, на наш взгляд, необоснованные и
сложные приемы искусственного снижения этой гибкости. Ссылаясь на нормы расчета
конструкций, ограничивающие гибкость колонн и других стержней, и на формулы рас¬
чета сечений сжатых и сжато-изогнутых элементов, авторы статей высказывают опа¬
сение, что по существующему методу расчета придется, вопреки очевидности, увеличи¬
вать сечения недогруженных стержней.Покажем, что это не так, и что нет оснований опасаться больших приведенных гиб¬
костей в расчете рам на устойчивость.Приведенная гибкость определяется по формулеKp = *VBFlt?^,	(1)где NКр — сжимающая сила, возникающая в стержне при достижении критического
значения нагрузки на раму ^Кр; EF — жесткость сечения стержня на сжатие. Для упру¬
гой рамы, нагруженной осевыми силами, расчетные напряжения в каждом стержне74
а = N/F<p,	(2)где ф = я2£/<ттХ2пр; ат — предел текучести материа¬
ла. Подставляя сюда (1), получаемО =0TN/NKp=0Tq/qKpt	(3)где N — усилие в стержне при расчетной нагрузке q
(предполагается, что нагрузка возрастает пропорцио¬
нально одному параметру). Когда нагрузка достига¬
ет значения q*v, тогда N=NKV и а=<гт в любом
стержне. Следовательно, проверочный расчет по фор¬
муле (2) можно проделать для любого стержня ра¬
мы; если правильно определена его приведенная гиб¬
кость, результат будет один и тот же. Этим расчетом определяется единым для всех
стержней коэффициент запаса q^plq. Таким образом, если известно отношение
*7кр/<7, то расчет ло приведенным длинам становится ненужным.Сечения сжато-изогнутых стержней рамы можно рассчитывать по формуле типаo = N/Fy + M/W,	(4)что, согласно (3), дает M/W=<a—<7атА7кр. Здесь М—изгибающий момент, определен¬
ный без учета прогибов стержней; W — момент сопротивления сечения.Другой применяемой формулой являетсяo = N/F + M/W(\-q/qKp).	(5)Очевидно, что и здесь при расчете можно не определять приведенные гибкости.Надо, однако, помнить, что в нормах формулы расчета сжато-изогнутых стержней
содержат поправки для приближенного учета влияния случайных эксцентрицитетов и
пластических деформаций. Поэтому расчет по «нормам может дать разные результа¬
ты для различных стержней рамы. Но это различие является лишь следствием неточ¬
ности расчетных формул, так как в принципе они строятся исходя из условия равно-
безопасности всех стержней.Опасаться того, что проектировщики будут завышать сечения стержней с больши¬
ми приведенными длинами, не следует, так как условные напряжения, получаемые
для этих стержней, не будут выше таких же напряжений в наиболее загруженных стер¬
жнях. Кроме того, легко убедиться, что увеличение сечения стержня ведет к дальней¬
шему увеличению его приведенной длины и, следовательно, не достигает цели.Искусственное снижение приведенных длин недогруженных стержней, предлагаемое
в упомянутых выше статьях, формально потребует облегчения сечений, что приведет
к снижению общей несущей способности рамы qKр (мы* не касаемся здесь вопроса о
нахождении оптимальных соотношений параметров сечений всех стержней, который
должен решаться другими методами)'.Итак, можно сделать вывод, что приведенные гибкости для расчета не нужны или
что они имеют вспомогательное формальное значение.Что же касается ограничений предельных гибкостей, вводимых нормами для рабо¬
чих и конструктивных элементов, то эти ограничения имеют совершенно иную осно¬
ву, не связанную с устойчивостью системы. Ограничиваемую нормами расчетную гиб¬
кость Хр не следует отождествлять с приведенной гибкостью А,Пр, определяемой из рас¬
чета на устойчивость, так как расчетная гибкость характеризует местную деформатив-
ность стержня под действием случайных поперечных нагрузок. Ввиду условности ее
ограничений, Яр можно определять простыми приближенными методами, например,
следующим образом.Стержень рамы загружается местной уравновешенной нарузкой, показанной на
рис. 1, а, и определяется стрела его прогиба / при условии отсутствия других нагру¬
зок на раму. Кроме того, определяется прогиб f0 такого же стержня, но шарнирно за¬
крепленного по концам (рис. 1, б). При этом получаемч =	(6)где А = //г; / — длина стержня; г — радиус инерции его сечения.Действительно: /0//=^/2/48£/ = РЯ2/'48 EF\ принимая f/l = PX^ /48EF, получаем
формулу (6).Повышение деформативности стержня за счет продольных сжимающих .сил может
быть учтено по формуле fIl=P№/48 EF(\—q/qKV)t откуда\ = Ь КМ1-?Л7кр)/ЛПредлагаемые в статьях [1] и [2] способы определения расчетных гибкостей неоп¬
равданно сложны, а способ, предложенный в статье [3], кроме того и принципиально
неверен, так как исходит из возможности появления высших форм потери устойчи¬
вости, в природе не существующих75
В отличие от расчетных гибкостей, приведенные гибкости не должны ограничивать¬
ся. По этому поводу необходимо внести уточнение в терминологию и текст норм.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫil.	А. В. Гемм ер л инг. Определение расчетных длин колоня многоэтажных зданий. «Стро¬
ительная механика и расчет сооружений», 1974, № 2.2.	Г. Е. Б е л ь с к и й, А. М. Р и в к и н. К определению свободных длин в элементах стержневых
конструкций. «Строительная механика и расчет сооружений», 1974, № 6.3.	А. Н. Раевский, П. П. Дорофеев. Практический способ расчета многоэтажных рам.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1974, № 6.СООБЩЕНИЯ И ЗАМЕТКИКанд. техн. наук Д. И. КАДЖАЯ (Тбилисская государственная академия художеств)УДК 624.074.4.04О расчете и конструировании куполаВ статье приводятся формулы, позволяющие выбрать и рассчитать наиболее эко¬
номичную конструкцию куполов, достаточно широко применяемых для строительства в
Грузинской ССР.I.	Расчетные нагрузки купола горизонтальной проекции (Р*) и на его срединной
поверхности (qx), принимаем симметричными и выразим их следующими формулами:P* = P + 2(P0-P)*/D; qx = q + 2 (q0-q)x/D,	(1)лде P и q — расчетные нагрузки в центре купола; Р0 и q0—на его опорном контуре; за
начало координат принят центр купола; D — диаметр купола.Запишем уравнение меридиональной кривой срединной поверхности куполау = / (x/D)2 [m + nx/D + k (x/D)2],	(2)где f — стрела подъема купола; т, п и k — коэффициенты, зависимость которых может
быть выражена следующим образом: 4m+<2n+fc=il6; 0^m^4; 0^/г^16;16.Если m = 0; n=16 P/(Po+P)\ &=16(Po-—Р)/(Л>+Р), то уравнение (2) примет вид
у = 16 / *з/£з (р0 + Р) [Р + (Р0 - Р) хID].	(3)Уравнение меридиональной кривой срединной поверхности купола (3) соответствует
уравнению кривой давления [1].В теле купола меридиональные Nu кольцевые М2 усилия, а также растягивающие
усилия z в контуре определяются по безмоментной теории для двух видов нагрузок:Nx = — D2 [3 Р + 2 (Р0 — Р) Ф] Q/6 / уг, N2 = — D2 [3 Р (т — 0,5 k ф2) + (Р0 - Р) X
X (4m+l,5n<p)<p]/3/YiG; z = (Р + 2Р*) D»/12/y*:
JVi = -D* [3 <7* + 2 (9o-<7) <рФ] Q/6/YxI JV* = — D* [q + (q0 — q) <p] f"1 Yl*’ <
X {1 — [3 q 1|> + 2 (<7o — q) Ф Ф] (m + 1,5 n <p + 1,5 ft <pa)/3 [g0+ (?o— <7)ф] Yiq }:
z = D3[3<7^ + 2(<7,-<7)]/12fY*.
где 1|) = 1 + (f/D)2 (ф/2)2 [m2 + 1, 2тпф + (1,5 л2 + 8n ft/3) (ф/2)2 + 24 я ft (ф/2)3/7 +
+ 2 ft» (ф/2)4]; Ф = 1 + (f/D)2 (ф/2)* [ 1, 2 m2 + 1,2 m n ф +(27 n2/14 + 24 n ft/7) (ф/2)*+
+ 4,5 я ft (ф/2)3 + 8 ft2 (ф/2)4/3]; Q= lA+(y')a = Vl + (f/0)*(<P/2)aY?.Ф = 2 x/D; Yi == 2 m + 1,5яф + &ф2; Y2 = 2m + 1,5 л + k.В междуэтажных перекрытиях и покрытиях в качестве несущих конструкций для
сравнительно малых пролетов (до 25 м) применяются пологие оболочки. В Грузии в
течение последних 30-ти лет построены и эксплуатируются более 50 объектов с диамет¬
ром купола, равным 10—25 м, стрела подъема которых колеблется в пределах 4—10%
диаметра. Нагрузка на пологих (куполах может зависеть от очертания срединной по¬
верхности купола. Эту зависимость можно выразить формулой Рх = Р+(Ро—P)ylf-
тогда очертание купола, соответствующее кривой давления, выразим так:у —V +2 (Л) — р)\х \yxdx— \yx2dx[X	Xх \ у xdx— \ух2
о	оX76
Нахождение очертания купола из (4) связано с решением интегрального уравнения.
В качестве первого приближения в подынтегральное выражение вносим значение, опре¬
деленное по формуле (3). После преобразований получиму = {35 Р (Р, + Р) + (/>„ -Р) [14 Р + 5 (Р* - Р) Ф] чфф3 (26 Р* + 39 Р0 Я + 5 р£)-‘.Последующие приближения не вносят существенного изменения в характере очерта¬
ния купола. Соответствующие расчетные формулы будут:Ni = — [120 Р + (Р0 — Р) (15 т + 6п ф + 2,5 k фа) ф*ДО Da/240 Ть
Ni = —[60 Р (2 m — ft ф2) + (Р0 — Р) (45 m2 + 46,5 m п ф + 20 m ft фа + 13,5 п* фа ++ 13,5 n ft ф3 + 3,75 As3 ф1) ф2] D*/120 /Yi
г = 120 Р + (Р0 — Р) (15т + 6 п + 2,5 k) /У/480 f уг.Путем подбора коэффициентов /п, п и к можно получить -кривую срединной поверх¬
ности купола, которая будет близка к кривой давления. Уравнение этой кривой можн,
записать так:y = f(x/D)*(l + 6x/D).	(5)Для сравнения приводим уравнение кривой сферической поверхности y=R—у 	х*.Рассмотрим следующий пример. Круглый резервуар емкостью 10 000 м3, диаметром
44 м и стрелой подъема 4 im перекрывается сборным куполом из ребристых панелей.
Приведенная толщина купола на опоре 6,5 см и в центре 25 см. Нагрузка на купол
Я=Р0=Ю кН/м2; значений усилий N2 в кН/м и z для разных х даются в табл. 1.Таблица 1Уравнения.Усилия?оо2,24,46,68.811,013,215,417,619,822,0г■вIIоо0,10,20,30,40,50.60,70,80.91.051,210,830,630,510,430,380,340,30,270,260,244.841,210,570,330,220,150,110,080,060,050,040,036Ni0,310,310,310,310,310,310,310,310,310,310,316,45N,0,310.310,310,30,30,290,280,270,260,250,23Теперь тот же купол нагружен q = qo = \0 кН/м2; значения Nlt N2 и z для разных
х даются в табл. 2.Таблица 2УравненияУсилиях=0,02,24,46.68.811,013,215,417,619,8222■вIIоо0,10,20.30.40.50.60.70,80.91.051,210,830,630.510,430,380,330,30,280,260,251,210,570,310.210.150.110,090,080,070,060,065,0560,310,310,310.310.310.310,310,310,310,310,320,310,310.30.30.30.30,290,280,280,270,266,6Из таблицы видно, что радиальные усилия возрастают от опоры к центру, почти в
соответствии с -приведенной толщиной купола и что кольцевые усилия значительно ни¬
же, чем радиальные.Допустим, что очертание купола приближается к кривой давления и выражено урав¬
нением (5). Как видно из таблиц, более чем на 90% поверхности в сечениях купола
величина N2 невелика. В остальных сечениях кольцевые усилия значительны, но в боль¬
шинстве куполов эта часть конструкции отсутствует, так как она вырезается для вен¬
тиляции и освещения. В тех случаях когда в отверстиях нет необходимости (покрытия
резервуаров), тогда сечение в этой части тела купола утолщается.Таким образом, для создания наиболее экономичной конструкции купола, его средин¬
ная поверхность должна быть образована вращением меридиональной кривой, которая
будет близка к кривой давления или совпадает с ней. В соответствии с этими условия¬
ми выведены расчетные формулы, которые удобны для практического использования.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Д. И, Каджая. К расчету одного типа купола. «Строительная механика и расчет сооруже¬
ний», 1972, № 5.77
Канд. техн. наук Б. Л. КРАЙТЕРМАН, инж. И. И. МАКСИМОВА(Украинский институт инженеров водного хозяйства, г. Ровно)УДК 624.073.112.04К расчету круглых гибких пластин,
закрепленных на контуре, методом подобластейВ справочной литературе '[1] приводятся результаты расчета энергетическим мето¬
дом гибких круглых пластин, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой.Нами получено решение для этих пластин методом подобластей [2], который явля¬
ется редко применяемой разновидностью методов аппроксимирующих функций.
Аппроксимируем прогиб (гибкой пластинки четной функцией=2л^2(к~1)' (1>Wk=\не удовлетворяющей граничным условиям. Подставляя (1) в уравнения напряженно-
деформированного состояния гибких пластин [3]6 dl* ^ dl ^ 21 \ dl J1 dX1 d I dwT И\1Иг112(1 —V»)	dl—	dw 1 p(2>получим формулу для нагрузки qь которая в случае закрепления пластинки на конту¬
ре (ы = 0) и v=0,3 примет видm	mqi = 1,46522 Ak (ft - 1)* (ft - 2)* ft2*”6 + 2 J [(ft-1) (/-1) (s—1) (k+i-2)~l] X
M	*, t.smaX Л*Л,ЛД25-4{(А + < + 5-4) (ft + / — 3)—112 (* + 0 — 6— (s — j) xX [2/07 + (ft + /-ЗГ4}.	(3)Из соотношений метода подобластей
\*2я I (<7i-?)6d| = 0, ft=l, 2	п,	(4)5*-1и граничных условий для элементов изгиба найдем коэффициенты Ah. При удачном
выборе аппроксимирующих функций (1) нагрузка *7i(£), эквивалентная заданной q, мо¬
жет совпадать с ней с любой точностью Aq.Система нелинейных алгебраических уравнений (4), дополненная соотношениями из
граничных условий для защемленной и шарнирно закрепленной на контуре пластинки,,
решалась на ЭВМ «Мир-1» методом Ньютона. Метод Ньютона дополнялся линейной
экстраполяцией решений i-го и (t+ 1)^го этапов для получения приближенного реше¬
ния (i+2)-го этапа расчета. Предшествующее методу Ньютона применение метода ите¬
рации, рекомендуемое в [п. позволило получить решение лишь для прогиба ад (0)^ 1,5.
При прогибе ш(0)>1,5 метода итераций расходился несмотря на то, что применялись
три варианта экстраполяции решений: линейная, параболическая и линейная с «уплот¬
нением» [3]. В процессе вычисления контролировалась невязка для уменьшения
которой увеличивался порядок системы (4) до тех пор, пока напряжения, найденные
при порядках га и га+1, не совпадали с точностью 0,2%.Проведено большое число расчетов круглых гибких пластин, причем расчет на на¬
грузки 7,69 и 3,25 выполнен при га = 4, а на нагрузки 131,4 и 83,2 — соответственно при
m = 7 и га=6.Полученные решения для пластин сопоставлялись с решениями аналогичной задачи
в [1, 3]. Из сопоставлений следует, что решения, рекомендуемые в [1], недостаточно
точно описывают реальное напряженное состояние гибких пластин. В [3] приводятся не
все компоненты напряженно^деформированного состояния (отсутствуют углы поворота,
определяющие область применения уравнений Т. Кармана (2), а также тангенциальные78
напряжения). В отдельных случаях напряжения, вычисленные с использованием нашего
решения и решения [3], различаются на 5—5,5%, причем не в запас прочности. ^
Большинство авторов приводит экстремальные значения изгибных напряжений для
круглых гибких пластин лишь в -сечениях 6 = 0; 1. Из расчетов следует, что уже при
величине прогиба в центре до(0) порядка толщины пластинки, максимальные положи¬
тельные изгибные напряжения аи(£о) получаются не в центре, а в средней трети пла¬
стинки; напряжения в центре обозначим ац.Взамен формул для расчета круглых гибких пластин, приведенных в [1], рекоменду¬
ется формула, полученная методом наименьших квадратов на основе обработки много¬
численных решений уравнений (2)зz = 2^®‘(0)-	(5)Л=0где Z — компоненты напряженно-деформированного состояния ^макс, 0*, аг» а?»
ц\ причем"ш = а>//;	=ог"’(?) а2/£/2; q=paA/Et4; ^макс = шмакс а/*-Msп/п.ZА,Л2А га9D‘5Я3,98973,6347—1,4162—0,83246,58411,4556—0,0567
0,05250,01360,0271toО10>	»^макс0,022780,02607—0,1636—0,2508—1,3974
—1,4032—0,0174-0,00810,00470,0022Зб~°г, t (0)0,01800,00730,88060,97770,0583—0,0677—0,00500;00850,00090,0026а? (1)0,19100,01650,01100,71530,0020-0,09040,00060,01010,00200,0030са5б“а? (1)0,01460,05310,14450,2135—0,0095—0,02620,00150,00290,00050,0009'аг <°>0,11910,0615—0,8911—0,38073,24451,9059—0,0219—0,00340,00450,0017“а" (1)—0,35000—1,62940—3,38390—0,102000,023908б"а? 0)—0,1051—0,0140—0,48800,1303—1,01700,6955—0,03020,00370,00700,0009Значения коэффициентов Ah приведены ib таблице. Здесь же приводятся «среднеквадра¬
тичные ошибки вычислений (D). В строках «а» содержатся данные расчета неподвиж¬
но защемленных, а в строках «б» — шарнирно закрепленных пластин. Бели пластинка
прогибается в центре более, чем на половину ее толщины, то расхождения между значени¬
ями Z, найденными по (2) и по (6), составляют менее 1 %. Значения максимальных углэв
поворота сечений (йцакс» вычисленные по формуле (5), позволяют определить, описы¬
вается ли напряженно-деформированное состояние гибких пластин уравнениями Т. Кар¬
мана [4].Выводы. 1. Применение метода подобластей для расчета закрепленных на контуре
гибких круглых пластин, позволило получить практически точное решение. 2. Рекомен¬
дуется формула (5) взамен формул для расчета круглых гибких пластин, приведенных
в справочниках проектировщика.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Справочник проекторавщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений
Том расчетно-теоретический, книга 2-я. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., Стройиздат, 1973.2.	Л. Коллатц. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953.3.	М. С. К о р н и ш и н. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их
решения. «Наука», 1964.4.	Б. М. Б р о у д е. Роль нелинейных задач теории пластин в расчете конструкций. Материалы
летней школы по яроблемам «Физические и геометрические задачи теории пластин и оболочек».
Тарту, 1966,79
Центральный институт научной информации
по строительству и архитектуре
(ЦИНИС) Госстроя СССР
объявляет подписку
на информационные
издания института на 1976 г.•	ОПЕРАТИВНАЯ СИГНАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ «Указатель оглавлений ино-
странных журналов по строительству и архитектуре» на языке оригинала и с крат¬
кой аннотацией на русском языкеф БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ «Новости технической литерату¬
ры. Строительство и архитектура»: раздел А — по сериям;
раздел Б — «Проектирование и строительство» (ведомственные материалы)ф РЕФЕРАТИВНАЯ ИНФОРМАЦИЯ по строительству и архитектуре (отечествен¬
ный и зарубежный опыт) — по сериямф РЕФЕРАТЫ НА КАРТАХ (отечественный и зарубежный опыт) — по сериям•	НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЕ РЕФЕРАТИВНЫЕ СБОРНИКИ (отечественный и за¬
рубежный опыт)Организация и методы работы органов НТИ в строительстве
Изобретения, рекомендуемые для внедрения в строительстве
Организация, методы и технология проектирования
Сейсмостойкое строительствоф АННОТИРОВАННЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПЕРЕВОДОВ по вопросам строительства
и архитектурыф ИНФОРМАЦИОННЫЕ ЛИСТКИ межотраслевой информации о научно-техниче-
ских достижениях организаций системы Госстроя СССРф ОБЗОРНАЯ ИНФОРМАЦИЯ — обзоры по отдельным вопросам строительства и
архитектурыИздания ЦИНИС Госстроя СССР предназначены для инженерно-технических ра¬
ботников строительно-монтажных организаций, проектных и научно-исследователь-
ских институтов, лабораторий и КБ, органов НТИ отрасли; профессорско-препода¬
вательского состава, аспирантов и студентов учебных заведений строительного и
архитектурного профилей. Подписка принимается с 1 сентября по 1 декабря 1975 г.За проспектом на издания ЦИНИС обращаться по адресу: 125047, Москва, А-47 ул.Горького, 38. Справки по телефонам: 251-17-95, 223-80-71, 223-15-72.УДК 624.074.4.04О расчете и конструировании купола. К а д-ж а я Д. И. «Строительная механика и расчет
сооружений*, 1975, № 5, о. 76—77.На основе безмоментной теории найдено
уравнение меридиональной кривой, совпадаю¬
щей с кривой давления или близкой к ней,
вращением которой образуется срединная по¬
верхность купола. Даны расчетные формулы
для определения осевых усилий. Табл. 2,
библ. 1.УДК 624.073.112.04К расчету круглых гибких пластин, закреп¬
ленных на контуре, методом подобластей.Край терман Б. Л.. Максимова И. И.
«Строительная механика и расчет сооруже¬
ний», 1975, № 5, с. 78—79.Рекомендуются новые формулы для опреде¬
ления прогибов, углов поворота сечений, на¬
пряжений. Табл. 1, библ. 4.РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:И. И. Абрамов, А. В. Александров, В. А. Балдин, А. С. Бахарев, В. В. Болотин, Б. М. Броуде,
П. Ф. Дроздов, Ю. А. Дыховичный, К. С. Завриев, Б. Г. Коренев, Н. П. Мельников, JI. М. Пу-
хонто, И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницыя, А. Ф. Смирнов (главный редактор), О. И. Томсон (зам.
гл. редактора), А. П. Филиппов, А. А. ЧирасАдрес редакции: Москва, Ж-389, 2-я Институтская ул., д. 6, тел. 171—86—47Технический редактор М. Г. А н г е р т	Корректор Н. П. ЧугуноваСдано в набор 1/VII— 1975 г.	Уел. п. л. 7	5 п. л.	Заказ № 506Подписано к печати 16/IX—)1975 г. Бумага 70X108Vie Т-14676 Тираж 7300 экз. Цена 60 коп. УИЛ 9,55Подольская типография Союзполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной трговли
г. Подольск, ул. Кирова, 25.
УДК 624.04:539.433
О методах борьбы с вибрациями сооружений. К о-р е н е в Б. Г. «Строительная механика и расчет соору¬
жений», 1975, Л» 5, с. 3—8
Дается обзор практических методов борьбы с вибра¬
циями сооружений. Основное внимание уделено пробле¬
мам виброизоляции и применения ударных и динамиче¬
ских гасителей колебаний. Библ. 23.УДК 624.074.1:04
Расчет зданий как тонкостенных пространственных
систем при произвольной диаграмме работы материала
и простом нагруженим. Вольфсон Б. П. «Строитель¬
ная механика и расчет сооружений», 1975, № 5, с. 8—13
Предлагается метод расчета тонкостенных пространст¬
венных систем на вертикальную и горизонтальную на¬
грузки с учетом физической нелинейности, характеризу¬
емой нелинейными зависимостями между интеигаивностями
деформаций и напряжений для материала граней-пласти¬
нок и между взаимными смещениями краев связей-пе-
перемычек и усилиями в лих. Алгоритм решения просле¬
живается на примере диафрагмы здания, состоящей из
двух граней, соединенных между собой вертикальным
рядом перемычек. Ил. 3, библ. 4.УДК 725.36:624.012.4.04
О давлении сыпучих в процессе движения на стенки
железобетонных силосов. Осипов М. М., Яковлев
А. С., Давыдов В. И. «Строительная механика и
расчет сооружений», 1975, № 5, с. 13—16
Дается метод определения давления на стенки сило¬
сов в процессе движения сыпучей массы и иллюстриру¬
ется на практическом примере получение разрешающих
функций для расчета горизонтального давления. Пред¬
лагается способ определения давления сыпучих тел на
стенки силосов прямоугольного сечения, основанный на
использовали и теории моделирования и результатов экс¬
периментальных исследований горизонтальных давлений
на моделях. Ил. 5, библ. 7.УДК 624.074.4.04
Расчет пологих тонких оболочек в усилиях. Суров
К. Л. «Строительная механика и расчет сооружений»,1975,	№ 5, с. 16—.18
Излагается способ расчета пологой тонкой оболочки,
в котором за основные неизвестные принимаются нор¬
мальные силы и изгибающие моменты. Получена разре¬
шающая система 4-х дифференциальных уравнений 2-го
порядка, для которой составлен алгоритм и программа
расчета на ЭВМ. Дан числовой пример. Табл. 2, библ. 4.
УДК 624.073.04К расчету круглых цилиндрических ортотропных пла¬
стин, подкрепленных радиальными ребрами. Андриа¬
нов И. В., Маневич Л. И., Наливайко Л. А.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1975,
№ 5, с. 19—23Задача решается асимптотическим методом, родствен¬
ным методу усреднения. Учитывается дискретный харак¬
тер подкрепления. Получено простое аналитическое реше¬
ние и оценена точность конструктивно-ортогропной схе¬
мы. Ил. 5, библ. 13.УДК 624.073.04Цилиндрический изгиб тонких пластин из линейно-уп¬
рочняющегося материала. К а р п у н и н В. Г., К л е-щ е в С. И. «Строительная ■механика и расчет соору¬
жений», 1975, № 5, с. 23—25
Решение уравнения изгиба тонких пластин находится
методом возмущений, преимущество которого перед
другими методами заключается в решении задачи одно¬
временно для всех значений параметра упрочнения. По¬
лучены численные результаты для пластин с защемлен¬
ными краями при равномерно распределенной нагрузке.
Ил. 2, табл. 1, библ. 7.УДК 624.073.112.04
Расчет круглой пластины переменной толщины на анти¬
симметричную нагрузку. Коренева Е. Б. «Строитель¬
ная .механика и расчет сооружений», 1975, № 5, с. 26—29
Для некоторых законов изменения толщины круглой
пластины при антисимметричной нагрузке получено ре¬
шение в присоединенных функциях Лежандра. Показа¬
но, что в отдельных случаях решение выражается в
элементарных функциях. Ил. 6, табл. 1, библ. 6.УДК 624.072.233.5.04
Изгиб балки на нелинейном статистически неоднород¬
ном основании. Соболев Д. Н., Юсупов А. К.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1975,
№ 5, с. 29—33Рассматривается случай взаимодействия упругой бал¬
ки с нелинейным статистически неоднородным основа¬
нием. В отличие от известной схемы Винклера предпола¬
гается, что отпор основания зависит от перемещения
нелинейным образом. Приведен пример. Ил. 8, библ. 10.
УДК 624.04:681.3
Алгоритмизация решения краевых задач строительной
механики на ЭВМ. Сидоров В. Н., Золотов А. Б.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1975,
№ 5, с. 36—42Предлагается исходная формулировка уравнений и
функционалов, отличная от общепринятой, справедливая
для области, окаймляющей исходную, и включающая
в себя условия к>ак внутри области так и вне ее (в том
числе и на границе). Предлагается алгоритм вычисле¬
ния коэффициентов разрешающей системы линейных
уравнений для разностной задачи, основанной на исполь¬
зовании общих формул линейной алгебры. Приведены
примеры реализации методики. Ил. 3, библ. 6.УДК 624.072.2.04
Расчет составных стержней со случайными связями
сдвига. Шапиро Г. И. «Строительная механика и рас¬
чет сооружений», 1975, № 5, с. 33—36
Задача решается методом теории возмущений. Приве¬
дены примеры. Ил. 1, библ. 4.УДК 624.04Уравнения смешанного метода в теории упругости.Бениаминов Д. М. «Строительная механика и
расчет сооружений», 1975, № 5, с. 43—46
Построены замкнутые системы уравнений теории уп¬
ругости, в которых одни уравнения имеют смысл урав¬
нений равновесия, а другие — уравнений совместности.
В плоской задаче уравнения смешанного метода сведе¬
ны к одному бигармоническому уравнению относительно
некоторой функции, через которую с помощью операций
дифференцирования выражаются и напряжения и пере¬
мещения. Библ. 10.УДК 624.012.4:539.374
Решение релаксационной задачи двухкомпонентной те¬
ории ползучести бетона. Г а л у с т о в К. 3. «Строитель¬
ная механика и расчет сооружений», 1975, Кя 5, с. 46—49
Показано, что в большинстве случаев релаксационные
задачи сводятся к интегральным уравнениям двух типов,
решение которых здесь получено методом Пуанкаре в
сочетании с операционным методом. Библ. 5.УДК 624.012.4.04:539.374
Равновесие усеченного предельно напряженного бетон¬
ного клина в условиях плоской деформации. Никоно¬
ва Г. А. «Строительная механика и расчет сооруже¬
ний», 1975, № 5, с. 50—53
Приводятся два варианта решения задачи с исполь¬
зованием кусочно-линейного условия пластичности и ре¬
гулярной поверхности предельных состояний. Определе¬
ны напряженные состояния, установлены очертания ха¬
рактерных областей, получены значения предельных
давлений на горизонтальной грани клина. Нл. 5, библ. 4.
УДК 624.074.4.04
Динамическое исследование всей совокупности форм
равновесия геометрически нелинейных пологих сфериче¬
ских оболочек. Шилькрут Д. И., Вырлан П. М.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1975,
№ 5, с. 54—58Исследуется устойчивость «в малом» осесимметричных
форм равновесия геометрически нелинейных оболочек
способом наложения малых гармонических колебаний на
основное, нелинейное состояние равновесия. Даны зави¬
симости собственных чисел от прогиба центра оболоч¬
ки. Ил. 7, библ. 9.УДК 624.014.2.072.2.075.04
Об учете упрочнения стали в гнутых профилях. Ша¬
пиро Л. А. «Строительная механика и расчет соору¬
жений», 1975, № 5, с. 58—51
Прогнозируются механические свойства гнутых профи¬
лей с учетом упрочнения при профилировании. Ил. 2,
табл. 2. библ. 9.УДК 624.04:539.374
О некоторых особенностях трехмерных волн формоиз¬
менения в идеальной жесткопластической среде. Ге¬
ниев Г. А. «Строительная механика и расчет соору¬
жений», 1975, № 5, с. 62—65
Исследуются закономерности распространения волн
в среде, подчиняющейся условию пластичности Мизеса
и уравнениям теории упругопластических деформаций.
Устанавливаются специфические особенности волн, свя¬
занные с изучением характера разрывов на их фронте
элементов напряженно-деформированного состояния сре¬
ды. Ил. 2, библ. 2.УДК 624.072.045Методы подбора сечений центрально-сжатых стерж¬
ней минимальной массы. Панкратов В. Ф. «Строи¬
тельная механика и расчет сооружений», 1975, № 5,
с. 66—68Приводятся способы прямого подбора сечений цент¬
рально-сжатых стальных стержней симметричного дву¬
таврового и трубчатого сечений. Предварительно опре¬
деляется оптимальная гибкость. Даны примеры. Ил. !,
табл. 3, библ. 3.УДК 624.014.04:539.374
Предельные состояния элементов металлических кон¬
струкций при учете деформаций сдвига. III е н к а р А. С.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1975,
№ 5, с. 68-74Предложен приближенный метод определения напря-
женно-дефюрмнрованного состояния сечений, находящих¬
ся под воздействием произвольной комбинации силовых
факторов. Сформулированы условия и получены приб¬
лиженные формулы предельных состояний сечений на
основе прочностных и деформационных ограничений.
Разработан практический метод определения максималь¬
ной деформации в сечении по заданным внешним уси¬
лиям. Ил. 7, библ. И.УДК 624.072.2.075.04
К вопросу о приведенных длинах сжатых стержней.
Ржаницын А. Р. «Строительная механика и рас¬
чет сооружений», (1975, № 5, с. 74—76
Статья содержит критические замечания по опубли¬
кованным ранее в журнале «Строительная механика н
расчет сооружений» статьям А. В. Геммерлинга (№ 2,
1974 г.), А. Н. Раевского (№ 6, 1974 г.) и Г. Е. Вель¬
ского (№ 6, 1974 г.), а также новые предложения по
проверке нормативных гибкостей элементов стержневых
систем. Ил. 1, библ. 3.
Выставка „Физика-75"С 25 ноября по 3 декабря 1975 г. в павильоне № 5 выставочного комплекса
парка «Сокольники» в Москве открывается специализированная выставка
«Аппаратура для физических исследований» — «Физика-75».Впервые на этой выставке будет представлена экспозиция Между¬
народного хозяйственного объединения по ядерному приборо¬
строению «Интератоминструмент» (ИЛИ).На площади более 500 м2 будет де¬
монстрироваться свыше 200 приборов
ядерной техники: детекторы ионизи¬
рующих излучений, дозиметры, ра¬
диометры, спектрометры, электрон-
но-физическая аппаратура, гамма-те-
рапевтические аппараты, радиоизо-
гопные приборы, дефектоскопы, ус¬
тановки активационного анализа, ра-
циоизотопные термоэлектрические
генераторы, лабораторная мебель и
оборудование для работы с радиоак¬
тивными веществами и другие прибо¬
ры и установки.Экспозиция даст наглядное представ¬
ая справками обращаться по тел,ление о сотрудничестве организации—
членов объединения ИАИ в области
ядерного приборостроения.Экспонаты, планшеты и фотографии
стендов ИАИ познакомят посетителей
с возможностями широкого примене¬
ния эффективных ядерных методов и
приборов в науке, промышленности и
медицине.На базе выставки ИАИ состоится се¬
минар, на котором специалисты бу¬
дут более подробно информированы
о результатах и перспективах приме¬
нения приборов и устройств в про¬
мышленности, науке и медицине.. 242-32-93.INTERATOMINSTRUMENT
1 ИНТЕРАТОМИНСТРУМЕНТСтроительная механика и расчет сооружений, 1975, № 5,1—80 цена 60 коп. Индекс 70884
ОПЕЧАТКИ В ЖУРНАЛЕ № 5 - 1975 Г.Стра¬ницаСтрокаНапечатаноДолжно быть266021 сверху
Рис. 2Хд —г 1dw/dr— кривиз¬
на срединной поверх¬
ности в окружном
напра.влении
2.3х — амплитудное
0значение изгибной
деформации2,55ОПЕЧАТКИв журнале «Строительная механика и расчет сооружений» № 5—1975 г.СтраницаСтрокаНапечатаноДолжно быть414-я снизуВан Фо ФыВан Дао Н